Lista - Inferência Estatística 1 2022 2

1) Encontrar a distribuição da amostra aleatória (X_1, ..., X_n) de uma população X ~ f(x|θ), quando: a) X tem distribuição de Bernoulli: f(x|p) = p^x (1 - p)^{1-x}, x = 0, 1, 0 < p < 1. b) X tem distribuição de Poisson: f(x|θ) = e^{-λ}λ^x/x!, x = 0, 1, 2, ..., λ > 0. c) X tem distribuição exponencial: f(x|θ) = 0e^{-θx}, x > 0, θ > 0. d) X tem distribuição geométrica: f(x|p) = p (1 - p)^x, x = 0, 1, 2, ..., 0 < p < 1. e) X tem distribuição Normal: f(x|μ, σ) = \frac{1}{√{2πσ²}} exp \left[-\frac{1}{2σ²} (x - μ)²\right], -∞ < x < ∞, -∞ < μ < ∞, σ > 0. 2) Seja (X_1, ..., X_n) de uma população X com média μ e variância σ², mostre que: a) E(\overline{X}) = μ. b) Var(\overline{X}) = σ²/n. 3) Seja (X_1, ..., X_n) de uma população X, com média μ e variância σ². Mostre E(σ²) = ((n - 1)/n) σ². 4) Seja (X_1, ..., X_n) de uma população X ~ f(x|θ). encontre a distribuição da média amostral (\overline{X}), quando: a) X tem distribuição de Poisson; b) X tem distribuição de Bernoulli; c) X tem distribuição N(μ, σ²). 5) Seja (X_1, ..., X_n) de uma população contínua com f.d.p X ~ f(x), e função de distribuição F(x) e considere as estatísticas M = max (X_1, ..., X_n) e T = min (X_1, ..., X_n). Mostre então que: a) A densidade de M é dada por g(x) = n[F(x)]^{n-1}f(x). b) A densidade de T é dada por h(x) = n[1 - F(x)]^{n-1}f(x). 6) Seja (X_1, ..., X_n) uma amostra de uma população: X ~ f(x|θ) = θe^{-θx}, x > 0, θ > 0. a) Encontre a densidade de M = max (X_1, ..., X_n). b) Mostre que T = min (X_1, ..., X_n) também se distribui exponencialmente com parâmetro nα. 7) Seja (X_1, ..., X_n) uma amostra aleatória de uma população X com distribuição geométrica, isto é: X ~ f(x|p) = P(X = x) = p(1 - p)^{x-1}, x = 1, 2, ..., 0 < p < 1. Mostre que a distribuição do M = max (X_1, ..., X_n) é dada por: P(M = k) = [1 - (1 - p)^k]^n - [1 - (1 - p)^{k-1}]^n, k = 1, 2, ... 8) Seja (X_1, ..., X_n) uma amostra aleatória de uma população exponencial, X ~ f(x|θ) = αe^{-αx}, x > 0, α > 0.. Mostre então que (X̄) tem distribuição Gama com parâmetros nα e n, isto é: f_{X̄}(x) = \frac{n^α}{Γ(n)} [(nα) x]^{n-1} exp(-nαx) x, x > 0. 9) Com as informações do problema (8), encontre a distribuição de T = min (X_1, ..., X_n). 10) Verifique a validade da expressão (1.3.2) no capítulo 1 do livro do Bolfarine e Sandoval (2001).