Lista 8 - Inferência Estatística 1 - 2023-2

Disciplina: EST013 (Inferˆencia Estat´ıstica I) Curso: Estat´ıstica Professor: Eduardo Bearzoti Lista 8 de Exerc´ıcios – Inferˆencia Elementar 1. Um bi´ologo que trabalha em uma empresa de biotecnologia ´e respons´avel pelo controle estat´ıstico de qualidade da produ¸c˜ao de penicilina. A penicilina ´e produzida em fermentadores de 200.000 L, contendo cepas de Penicillium spp. Durante a fermenta¸c˜ao, o pH tem que ser mantido a um valor constante, igual a 6,5. Se o pH aumentar, ou diminuir, ´e feita uma interferˆencia de corre¸c˜ao, o que atrasa o tempo de produ¸c˜ao. Assim, o bi´ologo faz um monitoramento constante do pH. Por se tratar de um grande fermentador, ele opta por tomar, em cada inspe¸c˜ao, uma amostra de n = 5 al´ıquotas. Os valores de uma dada inspe¸c˜ao foram: 6,28 6,30 6,57 6,27 5,76 (a) Obtenha a m´edia amostral ¯x e o desvio padr˜ao amostral s do pH nesta amostra. (b) Nesta situa¸c˜ao, faz sentido pensar em um teste referente a µ, para verificar se o pH est´a sob controle ou n˜ao. Formule as hip´oteses apropriadas para este teste. ´E unilateral ou bilateral? (c) Nesta empresa de biotecnologia, costuma-se utilizar um n´ıvel de significˆancia α = 0, 01 para o teste do item anterior. Fa¸ca este teste. Deve ser feita uma interferˆencia de corre¸c˜ao de pH? (d) Qual ´e a consequˆencia pr´atica de um Erro Tipo I numa situa¸c˜ao como essa? 2. A Monitoriza¸c˜ao Ambulatorial da Press˜ao Arterial (M.A.P.A.) ´e o exame que mede a press˜ao arterial periodicamente, durante 24 horas, para a obten¸c˜ao do registro da press˜ao arterial durante a vig´ılia e o sono. Uma M.A.P.A. foi conduzida para estimar a variabilidade da press˜ao sist´olica de um indiv´ıduo, tendo obtido os seguintes resultados (em mmHg × 0, 10): 11, 8 11, 8 16, 2 12, 1 11, 4 10, 5 11, 1 11, 0 9, 5 9, 9 (a) Obtenha as estimativas pontuais de σ2 e σ, utilizando os estimadores s2 e s. (b) Construa um intervalo de confian¸ca para σ2, com um ´ındice de confian¸ca de γ = 0, 95. (c) Extraia a raiz de ambos os limites desse intervalo, e obtenha o intervalo de confian¸ca para σ. 3. Alguns estudos1 sugerem que a cafe´ına seja um inibidor da germina¸c˜ao de sementes. Para verificar se isto acontece com sementes de alface, um bi´ologo exp˜oe n = 80 sementes a uma solu¸c˜ao contendo cafe´ına. Ap´os alguns dias, ele verifica que x = 52 germinaram. (a) Obtenha a estimativa por ponto da probabilidade de sucesso p de germina¸c˜ao de sementes quando tratadas com cafe´ına. (b) Obtenha agora um intervalo de confian¸ca, com γ = 0, 90 de probabilidade, para este mesmo parˆametro p. Qual ´e a interpreta¸c˜ao deste intervalo de confian¸ca? (c) Qual ´e a margem de erro desta pesquisa? 1Pereira et al. Determina¸c˜ao de inibidores da germina¸c˜ao no espermoderma de semestes de caf´e (Coffea arabica L.). Revista Brasileira de Sementes, vol. 24, no 1, p.306-311, 2002. (d) Normalmente (sem adi¸c˜ao de nenhum inibidor), sementes de alface apresentam uma por- centagem de germina¸c˜ao igual a 70% (ou seja, 0,7). Assim, neste experimento, seria muito interessante a realiza¸c˜ao de um teste de hip´oteses, para verificar se em presen¸ca de cafe´ına esta taxa de germina¸c˜ao se mant´em, ou se de fato ocorreu inibi¸c˜ao de germina¸c˜ao. Construa um teste de hip´oteses apropriado, apresentando as hip´oteses correspondentes em uma chave:          H0 : H1 : (e) Realize agora este teste, calculando zc, e utilizando um n´ıvel de significˆancia α = 0, 05. Com base nesse teste, h´a ind´ıcios suficientes de que a probabilidade p de germina¸c˜ao, em presen¸ca de cafe´ına, seja reduzida? 4. Um determinado munic´ıpio do litoral catarinense tem 10 praias. Uma esta¸c˜ao de pesquisa fez um acompanhamento da popula¸c˜ao de caranguejos da infraordem Brachyura, contando o n´umero de caranguejos observados durante a esta¸c˜ao chuvosa, em cada uma das praias. Este levantamento foi realizado em dois anos, em 1992 e em 1997. Vamos designar as contagens feitas em 1992 por X1, e as contagens feitas em 1997 por X2. Os dados est˜ao a seguir: Praia X1 X2 D = X2 − X1 1 214 296 2 221 312 3 246 285 4 250 283 5 244 281 6 240 246 7 251 297 8 287 293 9 248 296 10 198 231 Perceba que, pelo fato de os pesquisadores terem ido em duas ocasi˜oes `as mesmas praias, isso caracteriza uma situa¸c˜ao de pareamento, ou seja, de dados pareados. (a) Os pesquisadores estavam interessados em saber se a popula¸c˜ao de caranguejos tinha se alte- rado no munic´ıpio em 1997, em rela¸c˜ao a 1992, e assim resolvem calcular as diferen¸cas de 1997 para 1992. Obtenha as diferen¸cas di, preenchendo a ´ultima coluna da tabela. (b) Obtenha a m´edia das diferen¸cas ¯d, bem como a variˆancia amostral s2 d e o desvio padr˜ao amostral sd dessas diferen¸cas. (c) Para verificar se a popula¸c˜ao de caranguejos havia se alterado (para baixo ou para cima) em 1997, em rela¸c˜ao a 1992, ´e conveniente fazer um teste de hip´oteses sobre a m´edia das diferen¸cas µD. Coloque as hip´oteses deste teste em uma chave. (d) Realize o teste com um n´ıvel de significˆancia α = 0, 01. Segundo este teste, h´a indicativos suficientemente fortes de que a popula¸c˜ao de caranguejos se alterou em 1997, em rela¸c˜ao a 1992? Em caso afirmativo, em que sentido, a popula¸c˜ao aumentou, ou diminuiu? 2