Slide - Amostragem de Populações Normais Cont - 2023-2

Amostragem de Pops. Normais (cont. ) Prof. Eduardo Bearzoti Aulas: 24 e 26/10/2023 Amostragem de Populacoes Normais 3. AMOSTRAGEM DE POPULACOES NORMAIS 3.1 Independéncia entre X e S? 3.2 Distribuic3o Associada a S? * sendo a populacdo normal, j4 sabemos que X (amostras i.i.d.) tem distribuicao N (u, =) E possivel estabelecer também a distribuicdo de amostragem de S?, ou ao menos a distribuicdo de alguma variavel relacionada a S*? SIM! Amostragem de Populacoes Normais Também aqui partiremos de uma amostra aleatdria 21, Zo,...Zp tomada de uma populacao N(0, 1). Faremos isso apenas por comodidade. Mais adiante, generalizaremos para qualquer distribuicdo normal N(, 07). Também aqui devemos nos lembrar de um fato muito importante: Conforme vimos na Videoaula sobre transformacao de variaveis, uma variavel com distribuicdo N(0,1), ao quadrado, tem distribuicdo de qui-quadrado com 1 grau de liberdade. 4. 72 2 Ou seja: Z* ~ xf{ Amostragem de Populacoes Normais Além disso, com a f.g.m. de uma soma (vista na aula sobre mo- mentos), pode-se demonstrar que: n yz i=1 tem distribuicado qui-quadrado com n graus de liberdade. * revise os slides dessa aula e assim vocé devera ser capaz de de- monstrar esse fato facilmente Além disso, também vimos na aula passada que, com distribuicao normal, X é independente de S*, e assim X é independente de n _ S>(X; — X)*. i=1 - Assim, em particular (pois Z é um caso particular de X) Z é inde- n _— pendente de 5+ (Z; — Z)? i=1 Distribuicdo de Amostragem Associada a S$? n — A partir disto, é simples mostrar que )*(Z; — Z)* tem distribuicao i=1 qui-quadrado com n— 1 graus de liberdade, ou seja n SoZ — Zz) ~ Xn-1 i=1 Para tanto, observe que: n n S 2 =S) (4 -24+ 2) i=1 i=1 n n n =S\(Z- 2) +2ZS(Z-2)4+ 507 i=1 i=1 i=1 n =) (Z - Z)? + nZ? i=1 Distribuicdo de Amostragem Associada a S* Como estes dois termos sao independentes, a f.g.m. desta soma é: Ms72(t) = My(z_z)2(t) M,z2(t) € assim: Mez(t) t Ms(z—z)2(t) = ae ( ) M,,z2(t) Ja sabemos que )>"_, Z? tem distribuicdo qui-quadrado com n graus de liberdade. Também sabemos que Z ~ N (0, t). assim, \/nZ ~ N(0,1), e portanto (\/nZ)* ~ Xi. Distribuicdo de Amostragem Associada a S$? Assim: Mcyy_ s(t) = [1/(1—2¢)]"/? _ 1 H(Z—Z\"" fa /(1 = 2ty]¥/2 (1 — 2tye- D2 a qual é a f.g.m. de uma qui-quadrado com (n — 1) graus de liber- dade. Este resultado pode ser generalizado para normais com quaisquer { e a, observando que: _ ~- xX zac a n n v 2 n v = X-pw Xp (X;- XX)? (n—1)S? Z,-Z)* = AOR oS Py LY OAS NO Yiz-2% =o (ASF - A) ay i=1 i=1 i=1 Distribuicdo de Amostragem Associada a S* (n—1)S? . . ow . Portanto, ~~ tem distribuicdo qui-quadrado com (n— 1) graus oO de liberdade. Trata-se de uma distribuicdo relacionada a S* mas muito Util, pois permite construir intervalos de confianca para o*, bem como testes de hipoteses. n _ _ OBSERVACAO. Uma vez que 5>(X;— X)? estd centralizada em X, i=1 diz-se que sua distribuicao € uma qui-quadrado central. n — por outro lado, a distribuicdo de S~ X? (nao centralizada) segue i=1 uma distribuicdo chamada qui-quadrado ndo-central (possui um pa- rametro de nao-centralidade), nado vista aqui. Distribuicao F de Snedecor 3.3 Distribuicao F de Snedecor * trata-se de outra importantissima distribuicdo associada a amos- tragem de uma populacao normal. Definicado. Sejam duas variaveis independentes U e V, de distribui- cao qui-quadrado com 11 € 2 graus de liberdade, respectivamente Entao a variavel: U/4 V/v2 tem distribuicao F com 14 € v2 graus de liberdade. (1 e v2 sao seus dois parametros) A obtencao de sua f.d.p. é feita como segue: Distribuicao F de Snedecor Sendo U e V independentes, sua distribuicdo conjunta é: y1—2)/2 ylv2—2)/2 exp {—$(u + v)} fy.v(u, Vv) = u,v( ’ ) r(4)r(¥) (142) /2 Assim, podemos definir a transformacao bi-dimensional: U/v x Um vy iy V/v2 que tem jacobiano igual a (11 /v2)y, e assim fe v( Vy 1 Vy (11-2) /2 x,y) = Sy _|[ — yx VOT nF (AY T (8) eter? Lay” _ 1 yl 2)/2 exp {—5llealeady + n} Distribuicao F de Snedecor Dessa forma, a distribuicao de X é a marginal dada por: CO x(x) = | fx,y(x, y)dy 0 2 SY ay2 rCBF) amr? on oe 1 | yluitve—2)/2 exp {—pllea/ea)x 4 uy} dy 0 [v1 + v2)/2] (“yr x(1—2)/2 rr) a) Trample sendo esta, entao, a distribuicao F de Snedecor Distribuicao F de Snedecor Importancia (sdo varias): verificar se duas populacdes tem mesma variancia; teste F da ANOVA; Intervalo de Confianca de Clopper- Pearson para o pardmetro p da binomial (IC “exato”); etc. Exemplo: sejam duas populacoes com distribuicao normal e mesma variancia 07. Sejam ainda duas amostras aleatérias X1, X2,... Xn, e Y1, Yo,... Yn, tomadas de cada uma delas. Entao a estatistica: ny —_ > (Xi — X)?/(m — 1) i=1 ng —_ (Yi — Y)?/(n2 = 1) i=1 tem distribuicao F com 14 = ny—1 e 2 = no—1 graus de liberdade. Distribuicao F de Snedecor Esperanca de uma variavel F Como a F envolve a razao entre duas qui-quadrado independentes, tem-se que sua esperanca é dada por: U/4 V2 1 E(X) =E | —— } =—F(U) E( — 0)= © (Ying) = ne E(Y) A esperanca de U é igual a 11. Resta obter a esperanca de 1/V: 1 1 1\2/? pe 4 1 eF(-\)——*_(2 + (v—2)/2 —tvhg (v) (v2/2) (3) I v PL ag 1 1\2/? poo 1 _ + (v2—4) /2 = d (v2/2) (3) I " oo | "| " Distribuicao F de Snedecor —T[(v2 — 2)/2] (1\27 (1\ FP 7 [(v2/2) 2 2 7 Vo — 2 € assim: by Vy V> E XxX DS - —_ So SE mm (x) VyVo9—-2 WwW-2 surpreendentemente, E(X) depende apenas do nimero de graus de liberdade do denominador. * note também que E(X) sd é definida para n > 2. De maneira semelhante, demonstra-se que a variancia de uma F é: 2v3 —2 vx) = 2st ve = 2) V1(V2 — 2)*(v2 — 4) Distribuicao F de Snedecor Um aspecto muito interessante da F é o de que a razao 1/X, ou Seja: V/v2 U/4 claramente tem, também, distribuicao F, com 12 e 14 graus de liberdade. Isto faz com que so seja necessario tabular as caudas de um dos lados da distribuicao. Considere, por exemplo, o quantil £9.95 de uma variavel aleatéria X, ou seja, P(X > £9.95) = 0, 05. Como a transformacao 1/X é um-a-um, temos que: P(X > 095) p(s < . ) 0,95) = Y <a X — £0.95 Distribuicao F de Snedecor de maneira que & ps = 1/£0,95, sendo & 95 o quantil 0, 05 da variavel aleatoria 1/X. Mas, se X tem distribuicdo F, 1/X também tem distribuicao F, sd trocando os graus de liberdade. Assim, se precisamos do quantil 9,19 de uma F de pardmetros me n, mas so temos a tabela contendo £999, basta tomar o valor cor- respondente aos pardametros ne m, e inverté-lo. Formalmente: 1 £1—p(Fim.n) = 7 = §p(Fn,m)