Slide - Amostragem de Populações Normais 1 - 2023-2

Populações Normais Amostragem de Populações Normais Prof. Eduardo Bearzoti Aulas: 17 e 19/10/2023 Prof. Eduardo Bearzoti Amostragem de Populações Normais Populações Normais Etapa do Curso CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1 Unidade 1 – Amostra Aleatória e Distribuições Amostrais População e amostra Momentos amostrais Amostragem em populações normais Estatísticas de ordem 2 Unidade 2 – Princípios da Redução de Dados Suficiência Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher Famílias exponenciais 3 Unidade 3 – Estimação Pontual Paramétrica Estimadores e propriedades Métodos dos momentos e da máxima verossimilhança Teorema de Rao-Blackwell e desigualdade de Cramér-Rao Prof. Eduardo Bearzoti Amostragem de Populações Normais Populações Normais Amostragem de Populações Normais 3. AMOSTRAGEM DE POPULAÇÕES NORMAIS * neste tópico, estaremos vendo importantes resultados em situações em que amostramos populações normais. 3.1 Independência entre ¯X e S2 → o teorema a seguir é muito importante: Teorema 3.1 Seja uma amostra aleatória X1, X2, . . . Xn tomada de uma popula- ção com distribuição normal. Isto implica que ¯X e S2 sejam variáveis aleatórias independentes. → este teorema não é intuitivo, uma vez que ¯X entra no cálculo de S2. Principal importância: será útil na derivação da distribuição t de Student Prof. Eduardo Bearzoti Amostragem de Populações Normais Populações Normais Amostragem de Populações Normais Antes de demonstrarmos o Teorema, vale lembrar que, se X e Y são variáveis aleatórias independentes, cada qual com distribuições marginais fX (x) e fY (y), então a distribuição conjunta de X e Y é dada por: f (x, y) = fX (x)fY (y) conforme definição 4.2.5 do livro. Esta ideia pode ser generalizada para mais do que duas variáveis aleatórias. Da mesma forma, se X e Y têm distribuição conjunta f (x, y), então, se podemos fazer uma fatoração do tipo: f (x, y) = g(x)h(y) em que g(x) é função exclusivamente de x, e h(y) é função exclu- sivamente de y, então X e Y são independentes (conforme Lema 4.2.7 do livro). Prof. Eduardo Bearzoti Amostragem de Populações Normais Populacées Normais Independéncia entre X e S? Para provarmos o Teorema 3.1, admitiremos, em um primeiro mo- mento, que as variaveis X;, X2,...X;, foram tomadas de uma popu- lacdo normal N(0, 1). Inicialmente, notemos que S* pode ser expresso como uma func3o de apenas (n — 1) desvios: 1 n 2 yy S? = —— dX x) i=1 1 n _— ot _ xy yy = (ox XY + D(X — x) i=2 1 n 2 n — _ ._ xX ._ xX) = 4 ((Sai-») +Yeo-x i=2 i=2 Populacées Normais Independéncia entre X e S? Para chegar a ultima igualdade, basta notar que: n X= 1X —-S°X; i=2 — — n — e, como podemos escrever nX = X + 5) X, temos que: i=2 n x, - XK =—-S (x - X) i=2 Ou seja, (Xi — X)? = (S075(X%; — X))*. Assim, 0 slide anterior mostra portanto que S* pode ser escrito como sendo uma func3o apenas de Xo — X, X3-—X... X,—X. Portanto, mostrar que X seja independente de Xp — X, X3;—X... X, — X implica que X seja independente de S?. Populacées Normais A A ‘v 2 Independéncia entre X e S A f.d.p. conjunta de Xj, X2,...Xp é: ) 9 n (27)n/2 Fazemos entao a seguinte transformacao um-a-um n-dimensional: y1=x y2 = x2 —X Yn — Xn — x Para obtermos a transformacao n-dimensional inversa, lembremos, como visto ha pouco: n xy- x= ) (x; — X) i=2 Populacées Normais A A ‘v 2 Independéncia entre X e S Ou seja: n n xX1- YW = ) Yi >F X= V1 y Yi Assim, a transformacao n-dimensional inversa é: n x1 = Y1 — y Yi i=2 x2 = Yi + y2 x3 = Yi + 3 Xn = Yi + Yn O jacobiano desta transformacao é pois o determinante da matriz: Populacées Normais Independéncia entre X e S? 1 -1 -1 .:-- -1 1 1 OO :-- O 1 0 1 = :-. O 1 0 O :-. 1 O determinante desta matriz é igual a n (ver explicacdo na Videoaula extra sobre Transformacao de Variaveis). Assim, a distribuicao conjunta de Yj, Yo,... Yn é& n n 2 n 2 — og (1/2) (inn VI" @— 1/2) Lia i 11) &(¥1,¥2,--+Yn) (2m)n/2° € 1/2 — (2) am2|) aay 2S Qn (27) ("-1)/2 Populacées Normais Independéncia entre X e S? Percebe-se assim que a densidade conjunta de Yj, Yo,... Yn pode ser fatorada, separando a densidade de Yj (identificada como sen- do uma N (0, +)) das demais. Isto mostra que Yj é independente de Yo, Y3,... Yn Ou seja, xXé independente de Xz — xX, X3—-X...X,-X Portanto, X é independente de S? Populações Normais Independência entre ¯X e S2 Nós admitimos, em um primeiro momento, que as variáveis X1, X2, . . . Xn foram tomadas de uma população normal N(0, 1). → isto não implica em nenhuma perda de generalidade Vamos agora admitir que X1, X2, . . . Xn foram tomadas de uma po- pulação normal N(µ, σ2). Se fosse possível calcularmos, para todo i: Zi = Xi − µ σ então sabemos que essas Zi têm distribuição N(0, 1). Prof. Eduardo Bearzoti Amostragem de Populações Normais Populações Normais Independência entre ¯X e S2 Vamos representar a média e a variância entre as Zi’s por ¯Z e S2 Z , respectivamente, e por ¯X e S2 a média e a variância entre as Xi’s. Assim, ¯Z, S2 Z , ¯X e S2 são variáveis aleatórias. Na demonstração do Teorema 3.1, já provamos que ¯Z e S2 Z são independentes. Isto implica que ¯X e S2 também sejam independentes? Prof. Eduardo Bearzoti Amostragem de Populações Normais Populacées Normais Independéncia entre X e S? Como Z e S? sao independentes, sua distribuicdo conjunta é: = .2\_ f(s 2 Bg (Z, 5) = £ (2) f., (s) Zz zZ Além disso, é bem facil verificar que: y _ 3 2 22 X=ZLo+u S* =0°S: Este par de transformacoes tem o seguinte par de inversas: = X-— S? z-A-k gp 5 a a Populacées Normais Independéncia entre X e S? O jacobiano da transformacao do par Z, S? para o par X, S* é, portanto: 1 J=|¢ Oj;_t 0 + a3 o2 E assim a distribuicdo conjunta de X e S? é dada por: 6. (x8) <6, [ZH] j= X,S2 (x, s°) = Z,82 o > 52 | | = f X—p f s*\ 1 Z os 3 \ G2} o3 Populacées Normais Independéncia entre X e S? Chamando, por exemplo: _ X— g(x)=F (~—*) a 2 Ss 1 h(s*)=f,(>=)sa ( ) s3 o2 o? temos que podemos fatorar a distribuic3o conjunta de X e S* em: < 22 < 2 Bg (x, 5°) = g(x) h(s*) e, portanto, conforme o Lema 4.2.7 do livro, X e S? sao variaveis aleatorias independentes. Populacées Normais Independéncia entre X e S? OBSERVACAO: Embora o Teorema 3.1 estabeleca que a normalidade é condicao suficiente para a independéncia entre X e S*, Lukacs, dentre outros, demonstraram que é€ também condicao necessdria! Ou seja, X é independente de S* se e somente se a populac3o amostrada for normal. (é condicdo necessaria e suficiente) * provamos a suficiéncia, mas a necessidade da condicdo nado sera demonstrada aqui