Lista - Propriedades Geométricas dos Corpos Rígidos - 2024-1

Capa Propriedades Geométricas dos Corpos Rígidos Centro de gravidade e centroide de áreas e linhas Cálculo por integração: O cálculo do centro de gravidade e centroide de áreas e linhas por integração é uma abordagem fundamental na engenharia e na física, essencial para compreender o comportamento e as propriedades de objetos e sistemas físicos. Esses conceitos são aplicados em uma variedade de campos, desde o design de estruturas até a análise de corpos em movimento. Para começar, é importante definir o que são o centro de gravidade e o centroide. O centro de gravidade é o ponto onde toda a massa de um objeto é considerada concentrada, como se fosse uma única partícula. Já o centroide é o ponto que representa o centro geométrico de uma figura, independentemente da distribuição de massa. O cálculo desses pontos para formas simples, como retângulos e triângulos, pode ser realizado facilmente por meio de fórmulas geométricas. No entanto, para formas mais complexas, é necessário recorrer à integração. Na integração para calcular o centro de gravidade ou centroide, a área ou linha é dividida em elementos diferenciais infinitesimais. Cada elemento é então ponderado pela sua respectiva massa (ou comprimento, no caso de linhas), e a integral é usada para somar todas essas contribuições ao longo da extensão da figura. Por exemplo, para encontrar o centro de gravidade de uma área bidimensional, podemos representar a área como uma região delimitada por uma curva. Matematicamente, as integrais que calculam as coordenadas centroidais de figuras planas são dadas pelas expressões a seguir: x=∫ x .dA ∫dA y=∫ y .dA ∫dA Dividimos essa região em elementos de área infinitesimal dA e determinamos a posição de cada elemento relativa a um sistema de coordenadas. Em seguida, multiplicamos a posição de cada elemento pela sua densidade de massa diferencial (ou massa por unidade de área) e integramos sobre toda a área. A posição resultante dividida pela massa total da área nos dá as coordenadas do centro de gravidade. Para calcular o centroide de uma linha, o procedimento é semelhante, mas em vez de áreas infinitesimais, consideramos elementos de comprimento infinitesimal dl ao longo da linha. Teorema de Pappus-Guldinus: O Teorema de Pappus-Guldinus é uma ferramenta poderosa para calcular o centro de gravidade e o centroide de áreas e linhas, oferecendo uma abordagem alternativa ao método de integração. Esse teorema estabelece uma relação simples entre a geometria de um objeto e as propriedades do seu centro de gravidade ou centroide, facilitando os cálculos em casos específicos. De acordo com o teorema, o volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma área plana em torno de um eixo externo é igual ao produto da área da figura plana pela distância percorrida pelo seu centroide durante a rotação completa. Esse conceito é fundamental para o cálculo do centro de gravidade de figuras planas. Para encontrar o centro de gravidade de uma área bidimensional utilizando o Teorema de Pappus- Guldinus, primeiro encontramos o momento de inércia da figura em relação ao eixo de rotação. Em seguida, dividimos esse momento de inércia pelo valor da área da figura. O resultado é a distância do centro de gravidade ao eixo de rotação. O Teorema de Pappus-Guldinus também pode ser aplicado ao cálculo do centroide de linhas, como curvas ou arcos. Nesse caso, consideramos o comprimento da linha e a distância percorrida pelo seu centroide durante a rotação em torno de um eixo. A relação entre esses valores nos fornece as coordenadas do centroide. Matematicamente, o teorema de Pappus-Guldinus pode ser expresso pelas expressões para superfície e volume respectivamente: Onde y é a distância do centroide da superfície ou linha em relação ao eixo e θ o ângulo em radianos de rotação em relação a este eixo. Uma das grandes vantagens desse método é a simplificação dos cálculos, especialmente para formas geométricas complexas ou irregulares. Em vez de realizar integrações complicadas, podemos utilizar as propriedades de simetria e os resultados conhecidos sobre sólidos de revolução para determinar rapidamente o centro de gravidade ou centroide de uma figura. Momentos de Inércia O momento de inércia de área, também conhecido como segundo momento de área ou momento de inércia geométrico, é uma medida fundamental da distribuição de área em uma seção transversal de um objeto em relação a um eixo específico. Esse conceito é crucial na análise estrutural e na engenharia de materiais, pois descreve a resistência de um objeto à flexão e à torção. Para entender o momento de inércia de área, imagine uma área bidimensional, como a seção transversal de uma viga. Quando essa área é submetida a um momento de flexão ou torção, a sua resistência à deformação depende da distribuição de sua massa em relação ao eixo de rotação ou eixo de flexão. Quanto mais a massa estiver distribuída longe do eixo, maior será a resistência da área à deformação. O momento de inércia de área é calculado como a integral da área multiplicada pelo quadrado da distância de cada elemento diferencial de área ao eixo de rotação. Em outras palavras, ele é uma medida da soma das contribuições individuais de cada elemento de área à resistência global da seção transversal à deformação. Para formas simples, como retângulos, triângulos e círculos, existem fórmulas específicas para calcular o momento de inércia de área. Matematicamente, os momentos de inércia de figuras simples como retângulos e círculos são dados pelas expressões respectivamente: I retangulo=b.h 3 12 I circulo= π .d 4 64 No entanto, para formas mais complexas ou irregulares, o cálculo do momento de inércia de área geralmente requer o uso de técnicas de integração, onde a área é dividida em elementos diferenciais infinitesimais e a contribuição de cada elemento é somada ao longo de toda a seção transversal. Produtos de Inércia Método Analítico: O produto de inércia de área é uma grandeza fundamental na análise de seções transversais de objetos, especialmente em casos onde a simetria é quebrada ou onde há inclinação em relação aos eixos cartesianos. Ele descreve a distribuição da área em relação a dois eixos perpendiculares e é crucial na determinação de propriedades como o momento de inércia polar e o ângulo de orientação principal da seção. No método analítico, o produto de inércia de área é calculado através da integração das contribuições individuais de cada elemento diferencial de área ao redor dos eixos 𝑥 e y. Esses elementos de área são ponderados pela sua posição em relação aos eixos e são somados ao longo de toda a seção transversal. Matematicamente, o produto de inércia de área I xy em relação aos eixos 𝑥x e 𝑦y é expresso como: Onde 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas dos elementos de área diferencial dA. Essa integral dupla é realizada sobre toda a região da seção transversal. O produto de inércia de área é uma medida da assimetria da seção transversal em relação aos eixos coordenados. Se I xx for zero, isso indica que a seção transversal é simétrica em relação aos eixos 𝑥 e y. Por outro lado, se I xy for diferente de zero, a seção transversal é assimétrica e o seu centro de massa não está localizado no cruzamento dos eixos. O produto de inércia de área também é utilizado para calcular o momento de inércia polar e o ângulo de orientação principal da seção transversal. Essas grandezas são importantes na determinação da resistência da seção à torção e no projeto de componentes sujeitos a momentos torcionais. Círculo de Mohr O método do círculo de Mohr é uma técnica eficaz para determinar o produto de inércia de uma área em relação a dois eixos coordenados, o que é crucial na análise de seções transversais de objetos e na mecânica de materiais. Este método é particularmente útil quando se trata de seções transversais assimétricas ou inclinadas em relação aos eixos cartesianos. O círculo de Mohr é um diagrama que representa graficamente as propriedades de inércia de uma seção transversal em relação a dois eixos coordenados. Ele utiliza o produto de inércia de área I xy como um dos seus elementos-chave. Esse produto de inércia é a integral dupla do produto das coordenadas x e y de cada elemento diferencial de área dA em relação aos eixos 𝑥 e y, respectivamente. No método do círculo de Mohr, o produto de inércia de área é representado em um sistema de coordenadas polar. O eixo radial representa os momentos de inércia principais I 1 e I 2, enquanto o eixo angular representa o produto de inércia I xy. Os pontos no diagrama correspondem às coordenadas (I 1, I 2) das principais seções transversais de inércia, e a inclinação do eixo angular determina a magnitude e a direção do produto de inércia. A figura a seguir mostra em detalhes o círculo de Mohr: O círculo de Mohr é uma ferramenta poderosa para visualizar e interpretar as propriedades de inércia de uma seção transversal. Ele permite determinar facilmente a orientação principal da seção, o momento de inércia polar e o ângulo de inclinação dos principais eixos coordenados. Além disso, o círculo de Mohr é frequentemente utilizado na análise de tensões e deformações em materiais, onde é aplicado para determinar os principais momentos de inércia em relação aos eixos de tensão. Exercícios Parte A: Figura simétrica em relação ao eixo vertical: A altura de um triângulo isósceles é um eixo de simetria vertical para este triângulo. Um espelhamento em torno desse eixo produz a mesma figura. Figura simétrica em relação ao eixo horizontal: A seta abaixo possui simetria horizontal, um eixo horizontal passando em sua meia altura é um eixo de simetria. Um espelhamento em torno desse eixo produz a mesma figura. Figura simétrica em relação a um centro: O círculo é simétrico em relação a seu centro, qualquer rotação em torno desse centro produz a mesma figura. Figura com 2 eixos de simetria: O retângulo possui dois eixos de simetria, as retas que ligam os pontos médios opostos de duas arestas são eixos de simetria, qualquer espelhamento em relação a qualquer desses eixos produz a mesma figura. Parte B: Dada a figura abaixo: Cálculo de x: x= (40.30).20+( 15.30 2 ). (40+5)+(0,5.π .10 2). (20)−(π .10 2).20 (40.30)+( 15.30 2 )+(0,5.π .10 2)−(π .10 2) x=24 ,436mm Cálculo de y: y= (40.30).15+( 15.30 2 ).10+(0,5.π .10 2).(30+ 4.10 3.π )−(π .10 2).15 (40.30)+( 15.30 2 )+(0,5.π .10 2)−(π .10 2) y=16,497mm Cálculo do momento de primeira ordem M x: M x=(40.30).20+( 15.30 2 ). (40+5)−(π .10 2).20 M x=30983,4 mm 3 Cálculo do momento de primeira ordem M y: M y=(40.30).15+( 15.30 2 ).10+(0,5.π .10 2).(30+ 4.10 3.π )−(π .10 2).15 M y=20916,663 mm 3 Parte C: Dada a figura abaixo: Cálculo de x: x= (40.30).20+(0,5.π .10 2). (20)−(π .10 2).20 (40.30)+(0,5.π .10 2)−(π .10 2) x=20mm Se a figura plana tem eixo de simetria, a coordenada centroidal passa pelo eixo de simetria. Cálculo de y: y= (40.30).15+(0,5.π .10 2).(30+ 4.10 3.π )−(π .10 2).15 (40.30)+(0,5.π .10 2)−(π .10 2) y=17,898mm Cálculo do momento de primeira ordem M x: M x=(40.30).20+(0,5.π .10 2). (20)−(π .10 2).20 M x=20858,4 mm 3 Cálculo do momento de primeira ordem M y: M y=(40.30).15+(0,5.π .10 2).(30+ 4.10 3.π )−(π .10 2).15 M y=18666,663mm 3 Parte D: Dadas as curvas analíticas definidas por: f 1 (x )=x f 2 (x )=x 2 Os pontos de interseção são definidos pela equação: f 1 (x )=f 2 (x ) x=x 2 x 2−x=0 x (x−1)=0 x=0e x=1 Cálculo de x: x= ∫ 0 1 ∫ x 2 x xdydx ∫ 0 1 ∫ x 2 x dydx x= ∫ 0 1 x (x−x 2)dx ∫ 0 1 (x−x 2)dx x= ∫ 0 1 (x 2−x 3)dx ∫ 0 1 (x−x 2)dx x=( 1 3 3 −1 4 4 ) ( 1 2 2 −1 3 3 ) x=0,0833 0,1667 x=0,4997mm Cálculo de y: y= ∫ 0 1 ∫ x 2 x ydydx ∫ 0 1 ∫ x 2 x dydx y= ∫ 0 1 ∫ x 2 x ydydx 0,1667 y= ∫ 0 1 ( x 2 2 − (x 2) 2 2 )dx 0,1667 y= ∫ 0 1 ( x 2 2 − x 4 2 )dx 0,1667 y=( 1 3 6 − 1 5 10) 0,1667 y=0,0667 0,1667 y=0,4 mm Cálculo do momento de primeira ordem M x: M x=∫ 0 1 ∫ x 2 x xdydx M x=∫ 0 1 x (x−x 2)dx M x=∫ 0 1 (x 2−x 3)dx M x=( 1 3 3 −1 4 4 ) M x=0,0833mm 3 Cálculo do momento de primeira ordem M y: M y=∫ 0 1 ∫ x 2 x ydydx M y=∫ 0 1 ( x 2 2 − (x 2) 2 2 )dx M y=∫ 0 1 ( x 2 2 − x 4 2 )dx M y=( 1 3 6 − 1 5 10) M y=0,0667 mm 3 Parte E: Definindo uma figura plana pelas equações polares: x (θ)=r .cosθ y (θ)=r .sinθ 0≤θ≤ π 2 0≤r ≤ R Que é o quarto de circunferência contido no primeiro quadrante. Cálculo de x: x= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R x .dA ∫ 0 π 2 ∫ 0 R dA x= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R x .r .dr .dθ ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .dr .dθ x= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .cosθ.r .dr .dθ ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .dr .dθ x= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r 2.cosθ.dr .dθ ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .dr .dθ x= R 3 3 .(sin π 2 −sin 0) R 2 2 .( π 2 −0) x= R 3 3 . (1−0) R 2 .( π 2 −0) x= R 3 3 R 2 2 . π 2 x= R 3 3 . 2 R 2 . 2 π x= 4. R 3.π Cálculo de y: y= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R y .dA ∫ 0 π 2 ∫ 0 R dA y= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R y .r .dr .dθ ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .dr .dθ y= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .sinθ.r .dr .dθ ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .dr .dθ y= ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r 2.sinθ.dr .dθ ∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .dr .dθ y= R 3 3 .(−cos π 2 +cos0) R 2 2 .( π 2 −0) y= R 3 3 .(0−(−1)) R 2 .( π 2 −0) y= R 3 3 R 2 2 . π 2 y= R 3 3 . 2 R 2 . 2 π y= 4. R 3.π Cálculo de M x: M x=∫ 0 π 2 ∫ 0 R x .dA M x=∫ 0 π 2 ∫ 0 R x .r .dr .dθ M x=∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .cosθ.r .dr .dθ M x=∫ 0 π 2 ∫ 0 R r 2.cosθ.dr .dθ M x= R 3 3 .(sin π 2 −sin 0) M x= R 3 3 . (1−0) M x= R 3 3 Cálculo de M y: M y=∫ 0 π 2 ∫ 0 R y .dA M y=∫ 0 π 2 ∫ 0 R y .r .dr .dθ M y=∫ 0 π 2 ∫ 0 R r .sinθ.r .dr .dθ M y=∫ 0 π 2 ∫ 0 R r 2.sinθ.dr .dθ M y= R 3 3 .(−cos π 2 +cos0) M y= R 3 3 .(0−(−1)) M y= R 3 3 Parte F: Dada a figura composta abaixo: A figura tem eixos de simetria, logo as coordenadas centroidais passam pelos eixos de simetria: x=20mm y=15mm Cálculo do perímetro da figura: P=2.40+2.30+2.π .10 P=202,832mm Cálculo da área: A=40.30−π .10 2 A=885,384 mm 2 Cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo x, incluindo a área interna: Aeixox=θ. y . P Aeixox=2π .15.202,832 Aeixox=19116,510 mm 2 Cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo y, incluindo a área interna: Aeixo y=θ. x . P Aeixoy=2π .20.202,832 Aeixoy=25488,680 mm 2 Cálculo do volume de revolução em torno do eixo x: V eixox=θ. y . A V eixox=2π .15.885,384 V eixox=83445,671mm 3 Cálculo do volume de revolução em torno do eixo y: V eixoy=θ. x . A V eixoy=2π .20.885,384 V eixoy=111260,895 mm 3 Parte G: Dadas as curvas analíticas definidas por: f 1 (x )=x f 2 (x )=x 2 Os pontos de interseção são definidos pela equação: f 1 (x )=f 2 (x ) x=x 2 x 2−x=0 x (x−1)=0 x=0e x=1 Cálculo do momento de inércia em torno do eixo x: I x=∫ 0 1 ∫ x 2 x y 2dydx I x=∫ 0 1 ( x 3 3 − (x 2) 3 3 )dx I x=∫ 0 1 ( x 3 3 − x 6 3 )dx I x=( 1 4 12− 1 7 21) I x=0,0357mm 4 Cálculo do momento de inércia em torno do eixo y: I y=∫ 0 1 ∫ x 2 x x 2dydx I y=∫ 0 1 x 2(x−x 2)dx I y=∫ 0 1 (x 3−x 4)dx Universidade Federal da Bahia Escola Politécnica Departamento de Construção e Estruturas ENGN89 – Isostática A Professor: Yagho de Souza Simões ATIVIDADE AVALIATIVA DA SEGUNDA UNIDADE ORIENTAÇÕES GERAIS ✓ O texto deve ser fundamentado com base na teoria clássica. ✓ O trabalho pode ser feito em grupo com até três pessoas. ✓ Nos exercícios, os cálculos precisam ser claros, objetivos e detalhados. ✓ Utilize apenas duas casas decimais como aproximação dos números. ✓ O trabalho deve ser digitado e entregue impresso, bem como postado no AVA. ✓ Limite da entrega: 08/05/2024 no horário da aula. ✓ Sucesso! CONSIDERAÇÕES INICIAIS A segunda avaliação do componente curricular ENGN89 – Isostática A – se refere ao desenvolvimento de um trabalho prático sobre Propriedades Geométricas dos Corpos Rígidos. O que consiste esse trabalho prático? Deverá ser realizada uma coleção organizada de conteúdos que mostram o conhecimento do grupo sobre um assunto específico. Para isso, o trabalho deverá conter parte teórica e uma parte prática. Dicas para a construção do seu trabalho: Seleção de conteúdo relevante: Escolha cuidadosamente as referências bibliográficas que deseja incluir no trabalho. Priorize aquelas que demonstram os conhecimentos de maneira clara. Organização e estrutura: Organize o trabalho de forma coerente e lógica. Pense em seções para agrupar os diferentes tipos de conteúdo, facilitando a compreensão por parte do professor. Descrições detalhadas: Forneça descrições detalhadas para cada item incluído no trabalho. Explique o contexto do trabalho e sua contribuição específica. Isso ajudará o professor a entender melhor seu texto. Apresentação visual: Dê atenção à apresentação visual da sua atividade. Escolha um layout limpo e profissional, com fontes legíveis e imagens de alta qualidade. Obrigatoriedades: 1. Seu trabalho deve conter uma parte teórica (descrição sobre os assuntos indicados) e uma parte prática (resolução de exercícios) que devem se conversar muito bem. Ou seja, ao longo da descrição de cada assunto, tragam exemplos e discutam sobre eles com base na teoria clássica. Usem a criatividade, pois isso é uma forma de enriquecer seu trabalho. 2. Cuidado com o plágio! Utilizem livros e outros materiais bibliográficos apenas como consulta. Caso desejem inserir alguma informação relevante dessas referências, faça citação; 3. Evitem retirar imagens de outras fontes para explicação dos conteúdos. Criem as suas próprias figuras utilizando alguma ferramenta gráfica, como AutoCad, PowerPoint... (O grande diferencial do trabalho é a originalidade); 4. Não copiem os exemplos de livros, nem aqueles realizados em sala de aula. Porém, eles podem ser utilizados como base para a construção dos exercícios de seu trabalho; 5. A seguir são elencados todos os conteúdos que deverão fazer parte do seu trabalho. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DOS CORPOS RÍGIDOS A) Centro de gravidade e centroide de áreas e linhas • Cálculo por integração • Teoremas de Pappus-Guldinus B) Momentos de inércia C) Produtos de inércia • Método analítico • Círculo de Mohr 6. Exercícios que devem fazer parte do seu trabalho prático. Vocês podem realiza-los da maneira que quiserem desde que atendam aos critérios abaixo. a) Estude a simetria de quatro diferentes superfícies compostas. Condições: • Uma figura deve ser simétrica em relação ao eixo vertical • Uma figura deve ser simétrica em relação ao eixo horizontal • Uma figura deve apresentar centro de simetria • Uma figura deve ser bissimétrica (possui dois eixos de simetria) e conter um centro de simetria b) Determine o centroide e os momentos de primeira ordem de uma figura composta contendo pelo menos um retângulo, um triângulo, um semicírculo e círculo. c) Calcule o centroide e os momentos de primeira ordem de uma figura composta que seja simétrica em relação ao eixo vertical ou eixo horizontal. Reflita sobre os resultados encontrados. d) Determine o centroide e os momentos de primeira ordem de uma superfície delimitada por duas curvas analíticas. e) Calcule o centroide e os momentos de primeira ordem de uma superfície delimitada por uma curva analítica definida a partir de coordenadas polares. f) Construa uma figura composta e calcule a área e o volume da superfície e do sólido de revolução, respectivamente, obtido pela sua rotação em torno de um (a) eixo horizontal, (b) eixo vertical. g) Determine por integração direta o momento de inércia e o raio de giração de uma superfície delimitada por uma curva analítica em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦. h) Determine por integração direta o momento de inércia e o raio de giração de uma superfície delimitada por duas curvas analíticas em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦. i) Dada uma superfície composta por três placas retangulares de dimensões iguais, configurando uma seção transversal do tipo I, como ilustrado abaixo. Com o objetivo de reforçar a resistência de uma viga que possui essa seção transversal, é necessário adicionar uma quarta placa retangular com as mesmas dimensões das anteriores, em uma posição estratégica para aumentar o momento de inércia. Com base nisso, solicita-se: i) A posição ideal para a inserção da quarta placa retangular de modo a aumentar o momento de inércia em relação ao eixo horizontal centroidal. ii) A posição ideal para a inserção da quarta placa retangular de modo a aumentar o momento de inércia em relação ao eixo vertical centroidal. Observação: A inserção da nova placa pode afetar a posição do centroide da figura composta. j) Com base na figura composta do item b, calcule os seus momentos de inércia e os raios de giração em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 utilizados naquela questão. Em seguida, determine essa mesma propriedade geométrica em relação aos seus eixos centroidais. k) Com base na figura composta do item c, calcule os seus momentos de inércia e os raios de giração em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 utilizados naquela questão. Em seguida, determine essa mesma propriedade geométrica em relação aos seus eixos centroidais. l) Usando o teorema dos eixos paralelos determine o produto de inércia de uma superfície composta por pelo menos um retângulo e um semicírculo em relação aos eixos centroidais. Observação: A figura não pode ter eixos de simetria. m) Discuta sobre o produto de inércia de figuras com pelo menos um eixo de simetria. n) Defina uma figura composta que possua apenas um centro de simetria e determine a orientação dos eixos principais e os momentos de inércia principais em relação aos eixos centroidais. Para isso, utilize: i) As equações apresentadas em sala de aula. ii) O círculo de Mohr. Observação: A figura não pode ter eixos de simetria. o) Com base na questão anterior, utilize o círculo de Mohr para calcular os valores dos momentos de inércia e do produto de inércia da figura em relação aos eixos 𝑥’ e 𝑦’ que formam um ângulo de: i) 60° (rotação horária) com eixos centroidais. ii) 75° (rotação anti-horária) com eixos centroidais. p) Defina uma figura composta formada por pelo menos um retângulo e um triângulo. Em seguida, determine a orientação dos eixos principais e os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais. Para isso, utilize: i) As equações apresentadas em sala de aula. ii) O círculo de Mohr. Observação: A figura não pode ter eixos de simetria. CRITÉRIOS DE AVALIÇÃO DO TRABALHO PRÁTICO PARTE TEÓRICA (PT) Originalidade e criatividade (1,5). Estrutura e organização (3,0). Apresentação visual (2,0). Coerência e consistência (2,0). Uso de evidências e fontes: Verificar se o trabalho é apoiado por evidências relevantes, citações de fontes confiáveis e referências a estudos ou pesquisas pertinentes (0,5). Atendimento às obrigatoriedades do trabalho prático (1,0). PARTE PRÁTICA (PP) Originalidade e criatividade: Avaliar se o trabalho apresenta ideias inovadoras, soluções criativas e abordagens originais para os problemas propostos (1,5). Estrutura e organização: Analisar a organização das resoluções dos exercícios, bem como se as informações estão dispostas de forma lógica e se as respostas seguem uma estrutura adequada (2,5). Apresentação visual: Analisar a qualidade da apresentação visual das questões, como formatação, gráficos, imagens e uso adequado de recursos visuais (1,5). Desenvolvimento dos exercícios propostos: Verificar a habilidade do autor em resolver os exercícios propostos (3,5). Atendimento às obrigatoriedades do trabalho prático (1,0). NOTAL FINAL (NF) DO TRABALHO PRÁTICO 𝑁𝐹 = 0,35 𝑃𝑇 + 0,65 𝑃𝑃 Capa Propriedades Geométricas dos Corpos Rígidos Centro de gravidade e centroide de áreas e linhas Cálculo por integração: O cálculo do centro de gravidade e centroide de áreas e linhas por integração é uma abordagem fundamental na engenharia e na física, essencial para compreender o comportamento e as propriedades de objetos e sistemas físicos. Esses conceitos são aplicados em uma variedade de campos, desde o design de estruturas até a análise de corpos em movimento. Para começar, é importante definir o que são o centro de gravidade e o centroide. O centro de gravidade é o ponto onde toda a massa de um objeto é considerada concentrada, como se fosse uma única partícula. Já o centroide é o ponto que representa o centro geométrico de uma figura, independentemente da distribuição de massa. O cálculo desses pontos para formas simples, como retângulos e triângulos, pode ser realizado facilmente por meio de fórmulas geométricas. No entanto, para formas mais complexas, é necessário recorrer à integração. Na integração para calcular o centro de gravidade ou centroide, a área ou linha é dividida em elementos diferenciais infinitesimais. Cada elemento é então ponderado pela sua respectiva massa (ou comprimento, no caso de linhas), e a integral é usada para somar todas essas contribuições ao longo da extensão da figura. Por exemplo, para encontrar o centro de gravidade de uma área bidimensional, podemos representar a área como uma região delimitada por uma curva. Matematicamente, as integrais que calculam as coordenadas centroidais de figuras planas são dadas pelas expressões a seguir: 𝑥̅ = ∫ 𝑥. 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴 𝑦̅ = ∫ 𝑦. 𝑑𝐴 ∫ 𝑑𝐴 Dividimos essa região em elementos de área infinitesimal 𝑑𝐴 e determinamos a posição de cada elemento relativa a um sistema de coordenadas. Em seguida, multiplicamos a posição de cada elemento pela sua densidade de massa diferencial (ou massa por unidade de área) e integramos sobre toda a área. A posição resultante dividida pela massa total da área nos dá as coordenadas do centro de gravidade. Para calcular o centroide de uma linha, o procedimento é semelhante, mas em vez de áreas infinitesimais, consideramos elementos de comprimento infinitesimal dl ao longo da linha. Teorema de Pappus-Guldinus: O Teorema de Pappus-Guldinus é uma ferramenta poderosa para calcular o centro de gravidade e o centroide de áreas e linhas, oferecendo uma abordagem alternativa ao método de integração. Esse teorema estabelece uma relação simples entre a geometria de um objeto e as propriedades do seu centro de gravidade ou centroide, facilitando os cálculos em casos específicos. De acordo com o teorema, o volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma área plana em torno de um eixo externo é igual ao produto da área da figura plana pela distância percorrida pelo seu centroide durante a rotação completa. Esse conceito é fundamental para o cálculo do centro de gravidade de figuras planas. Para encontrar o centro de gravidade de uma área bidimensional utilizando o Teorema de Pappus- Guldinus, primeiro encontramos o momento de inércia da figura em relação ao eixo de rotação. Em seguida, dividimos esse momento de inércia pelo valor da área da figura. O resultado é a distância do centro de gravidade ao eixo de rotação. O Teorema de Pappus-Guldinus também pode ser aplicado ao cálculo do centroide de linhas, como curvas ou arcos. Nesse caso, consideramos o comprimento da linha e a distância percorrida pelo seu centroide durante a rotação em torno de um eixo. A relação entre esses valores nos fornece as coordenadas do centroide. Matematicamente, o teorema de Pappus-Guldinus pode ser expresso pelas expressões para superfície e volume respectivamente: Onde 𝑦̅ é a distância do centroide da superfície ou linha em relação ao eixo e 𝜃 o ângulo em radianos de rotação em relação a este eixo. Uma das grandes vantagens desse método é a simplificação dos cálculos, especialmente para formas geométricas complexas ou irregulares. Em vez de realizar integrações complicadas, podemos utilizar as propriedades de simetria e os resultados conhecidos sobre sólidos de revolução para determinar rapidamente o centro de gravidade ou centroide de uma figura. Momentos de Inércia O momento de inércia de área, também conhecido como segundo momento de área ou momento de inércia geométrico, é uma medida fundamental da distribuição de área em uma seção transversal de um objeto em relação a um eixo específico. Esse conceito é crucial na análise estrutural e na engenharia de materiais, pois descreve a resistência de um objeto à flexão e à torção. Para entender o momento de inércia de área, imagine uma área bidimensional, como a seção transversal de uma viga. Quando essa área é submetida a um momento de flexão ou torção, a sua resistência à deformação depende da distribuição de sua massa em relação ao eixo de rotação ou eixo de flexão. Quanto mais a massa estiver distribuída longe do eixo, maior será a resistência da área à deformação. O momento de inércia de área é calculado como a integral da área multiplicada pelo quadrado da distância de cada elemento diferencial de área ao eixo de rotação. Em outras palavras, ele é uma medida da soma das contribuições individuais de cada elemento de área à resistência global da seção transversal à deformação. Para formas simples, como retângulos, triângulos e círculos, existem fórmulas específicas para calcular o momento de inércia de área. Matematicamente, os momentos de inércia de figuras simples como retângulos e círculos são dados pelas expressões respectivamente: 𝐼𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏. ℎ3 12 𝐼𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋. 𝑑4 64 No entanto, para formas mais complexas ou irregulares, o cálculo do momento de inércia de área geralmente requer o uso de técnicas de integração, onde a área é dividida em elementos diferenciais infinitesimais e a contribuição de cada elemento é somada ao longo de toda a seção transversal. Produtos de Inércia Método Analítico: O produto de inércia de área é uma grandeza fundamental na análise de seções transversais de objetos, especialmente em casos onde a simetria é quebrada ou onde há inclinação em relação aos eixos cartesianos. Ele descreve a distribuição da área em relação a dois eixos perpendiculares e é crucial na determinação de propriedades como o momento de inércia polar e o ângulo de orientação principal da seção. No método analítico, o produto de inércia de área é calculado através da integração das contribuições individuais de cada elemento diferencial de área ao redor dos eixos 𝑥 e y. Esses elementos de área são ponderados pela sua posição em relação aos eixos e são somados ao longo de toda a seção transversal. Matematicamente, o produto de inércia de área 𝐼𝑥𝑦 em relação aos eixos 𝑥x e 𝑦y é expresso como: Onde 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas dos elementos de área diferencial 𝑑𝐴. Essa integral dupla é realizada sobre toda a região da seção transversal. O produto de inércia de área é uma medida da assimetria da seção transversal em relação aos eixos coordenados. Se 𝐼𝑥𝑥 for zero, isso indica que a seção transversal é simétrica em relação aos eixos 𝑥 e y. Por outro lado, se 𝐼𝑥𝑦 for diferente de zero, a seção transversal é assimétrica e o seu centro de massa não está localizado no cruzamento dos eixos. O produto de inércia de área também é utilizado para calcular o momento de inércia polar e o ângulo de orientação principal da seção transversal. Essas grandezas são importantes na determinação da resistência da seção à torção e no projeto de componentes sujeitos a momentos torcionais. Círculo de Mohr O método do círculo de Mohr é uma técnica eficaz para determinar o produto de inércia de uma área em relação a dois eixos coordenados, o que é crucial na análise de seções transversais de objetos e na mecânica de materiais. Este método é particularmente útil quando se trata de seções transversais assimétricas ou inclinadas em relação aos eixos cartesianos. O círculo de Mohr é um diagrama que representa graficamente as propriedades de inércia de uma seção transversal em relação a dois eixos coordenados. Ele utiliza o produto de inércia de área 𝐼𝑥𝑦 como um dos seus elementos-chave. Esse produto de inércia é a integral dupla do produto das coordenadas x e y de cada elemento diferencial de área 𝑑𝐴 em relação aos eixos 𝑥 e y, respectivamente. No método do círculo de Mohr, o produto de inércia de área é representado em um sistema de coordenadas polar. O eixo radial representa os momentos de inércia principais 𝐼1 e 𝐼2, enquanto o eixo angular representa o produto de inércia 𝐼𝑥𝑦. Os pontos no diagrama correspondem às coordenadas (𝐼1, 𝐼2) das principais seções transversais de inércia, e a inclinação do eixo angular determina a magnitude e a direção do produto de inércia. A figura a seguir mostra em detalhes o círculo de Mohr: O círculo de Mohr é uma ferramenta poderosa para visualizar e interpretar as propriedades de inércia de uma seção transversal. Ele permite determinar facilmente a orientação principal da seção, o momento de inércia polar e o ângulo de inclinação dos principais eixos coordenados. Além disso, o círculo de Mohr é frequentemente utilizado na análise de tensões e deformações em materiais, onde é aplicado para determinar os principais momentos de inércia em relação aos eixos de tensão. Exercícios Parte A: Figura simétrica em relação ao eixo vertical: A altura de um triângulo isósceles é um eixo de simetria vertical para este triângulo. Um espelhamento em torno desse eixo produz a mesma figura. Figura simétrica em relação ao eixo horizontal: A seta abaixo possui simetria horizontal, um eixo horizontal passando em sua meia altura é um eixo de simetria. Um espelhamento em torno desse eixo produz a mesma figura. Figura simétrica em relação a um centro: O círculo é simétrico em relação a seu centro, qualquer rotação em torno desse centro produz a mesma figura. Figura com 2 eixos de simetria: O retângulo possui dois eixos de simetria, as retas que ligam os pontos médios opostos de duas arestas são eixos de simetria, qualquer espelhamento em relação a qualquer desses eixos produz a mesma figura. Parte B: Dada a figura abaixo: Cálculo de 𝑥̅: 𝑥̅ = (40.30). 20 + (15.30 2 ) . (40 + 5) + (0,5. 𝜋. 102). (20) − (𝜋. 102). 20 (40.30) + (15.30 2 ) + (0,5. 𝜋. 102) − (𝜋. 102) 𝒙̅ = 𝟐𝟒, 𝟒𝟑𝟔 𝒎𝒎 Cálculo de 𝑦̅: 𝑦̅ = (40.30). 15 + (15.30 2 ) . 10 + (0,5. 𝜋. 102). (30 + 4.10 3. 𝜋 ) − (𝜋. 102). 15 (40.30) + (15.30 2 ) + (0,5. 𝜋. 102) − (𝜋. 102) 𝒚̅ = 𝟏𝟔, 𝟒𝟗𝟕 𝒎𝒎 Cálculo do momento de primeira ordem 𝑀𝑥: 𝑀𝑥 = (40.30). 20 + (15.30 2 ). (40 + 5) − (𝜋. 102). 20 𝑴𝒙 = 𝟑𝟎𝟗𝟖𝟑, 𝟒 𝒎𝒎𝟑 Cálculo do momento de primeira ordem 𝑀𝑦: 𝑀𝑦 = (40.30). 15 + (15.30 2 ). 10 + (0,5. 𝜋. 102). (30 + 4.10 3. 𝜋 ) − (𝜋. 102). 15 𝑴𝒚 = 𝟐𝟎𝟗𝟏𝟔, 𝟔𝟔𝟑 𝒎𝒎𝟑 Parte C: Dada a figura abaixo: Cálculo de 𝑥̅: 𝑥̅ = (40.30). 20 + (0,5. 𝜋. 102). (20) − (𝜋. 102). 20 (40.30) + (0,5. 𝜋. 102) − (𝜋. 102) 𝒙̅ = 𝟐𝟎 𝒎𝒎 Se a figura plana tem eixo de simetria, a coordenada centroidal passa pelo eixo de simetria. Cálculo de 𝑦̅: 𝑦̅ = (40.30). 15 + (0,5. 𝜋. 102). (30 + 4.10 3. 𝜋 ) − (𝜋. 102). 15 (40.30) + (0,5. 𝜋. 102) − (𝜋. 102) 𝒚̅ = 𝟏𝟕, 𝟖𝟗𝟖𝒎𝒎 Cálculo do momento de primeira ordem 𝑀𝑥: 𝑀𝑥 = (40.30). 20 + (0,5. 𝜋. 102). (20) − (𝜋. 102). 20 𝑴𝒙 = 𝟐𝟎𝟖𝟓𝟖, 𝟒 𝒎𝒎𝟑 Cálculo do momento de primeira ordem 𝑀𝑦: 𝑀𝑦 = (40.30). 15 + (0,5. 𝜋. 102). (30 + 4.10 3. 𝜋 ) − (𝜋. 102). 15 𝑴𝒚 = 𝟏𝟖𝟔𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟑 𝒎𝒎𝟑 Parte D: Dadas as curvas analíticas definidas por: 𝑓1(𝑥) = 𝑥 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 Os pontos de interseção são definidos pela equação: 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) 𝑥 = 𝑥2 𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 1 Cálculo de 𝑥̅: 𝑥̅ = ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 𝑥̅ = ∫ 𝑥(𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 1 0 ∫ (𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 1 0 𝑥̅ = ∫ (𝑥2 − 𝑥3)𝑑𝑥 1 0 ∫ (𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 1 0 𝑥̅ = (13 3 − 14 4 ) (12 2 − 13 3 ) 𝑥̅ = 0,0833 0,1667 𝒙̅ = 𝟎, 𝟒𝟗𝟗𝟕 𝒎𝒎 Cálculo de 𝑦̅: 𝑦̅ = ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 𝑦̅ = ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 0,1667 𝑦̅ = ∫ (𝑥2 2 − (𝑥2)2 2 ) 𝑑𝑥 1 0 0,1667 𝑦̅ = ∫ (𝑥2 2 − 𝑥4 2 )𝑑𝑥 1 0 0,1667 𝑦̅ = (13 6 − 15 10) 0,1667 𝑦̅ = 0,0667 0,1667 𝒚̅ = 𝟎, 𝟒 𝒎𝒎 Cálculo do momento de primeira ordem 𝑀𝑥: 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 𝑀𝑥 = ∫ 𝑥(𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 1 0 𝑀𝑥 = ∫ (𝑥2 − 𝑥3)𝑑𝑥 1 0 𝑀𝑥 = (13 3 − 14 4 ) 𝑀𝑥 = 0,0833 𝑚𝑚3 Cálculo do momento de primeira ordem 𝑀𝑦: 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 𝑀𝑦 = ∫ (𝑥2 2 − (𝑥2)2 2 ) 𝑑𝑥 1 0 𝑀𝑦 = ∫ (𝑥2 2 − 𝑥4 2 ) 𝑑𝑥 1 0 𝑀𝑦 = (13 6 − 15 10) 𝑴𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟕 𝒎𝒎𝟑 Parte E: Definindo uma figura plana pelas equações polares: 𝑥(𝜃) = 𝑟. cos 𝜃 𝑦(𝜃) = 𝑟. sin 𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 Que é o quarto de circunferência contido no primeiro quadrante. Cálculo de 𝑥̅: 𝑥̅ = ∫ ∫ 𝑥. 𝑑𝐴 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑑𝐴 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑥̅ = ∫ ∫ 𝑥. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑥̅ = ∫ ∫ 𝑟. cos 𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑥̅ = ∫ ∫ 𝑟2. cos 𝜃 . 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑥̅ = 𝑅3 3 . (sin𝜋 2 − sin 0) 𝑅2 2 . (𝜋 2 − 0) 𝑥̅ = 𝑅3 3 . (1 − 0) 𝑅 2 . (𝜋 2 − 0) 𝑥̅ = 𝑅3 3 𝑅2 2 . 𝜋 2 𝑥̅ = 𝑅3 3 . 2 𝑅2 . 2 𝜋 𝒙̅ = 𝟒. 𝑹 𝟑. 𝝅 Cálculo de 𝑦̅: 𝑦̅ = ∫ ∫ 𝑦. 𝑑𝐴 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑑𝐴 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑦̅ = ∫ ∫ 𝑦. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑦̅ = ∫ ∫ 𝑟. sin 𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑦̅ = ∫ ∫ 𝑟2. sin𝜃 . 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 ∫ ∫ 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑦̅ = 𝑅3 3 . (− cos 𝜋 2 + cos 0) 𝑅2 2 . (𝜋 2 − 0) 𝑦̅ = 𝑅3 3 . (0 − (−1)) 𝑅 2 . (𝜋 2 − 0) 𝑦̅ = 𝑅3 3 𝑅2 2 . 𝜋 2 𝑦̅ = 𝑅3 3 . 2 𝑅2 . 2 𝜋 𝒚̅ = 𝟒. 𝑹 𝟑. 𝝅 Cálculo de 𝑀𝑥: 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑥. 𝑑𝐴 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑥. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑟. cos 𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑥 = ∫ ∫ 𝑟2. cos 𝜃 . 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑥 = 𝑅3 3 . (sin𝜋 2 − sin 0) 𝑀𝑥 = 𝑅3 3 . (1 − 0) 𝑀𝑥 = 𝑅3 3 Cálculo de 𝑀𝑦: 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑦. 𝑑𝐴 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑦. 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑟. sin𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑦 = ∫ ∫ 𝑟2. sin𝜃 . 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 𝑅 0 𝜋 2 0 𝑀𝑦 = 𝑅3 3 . (− cos 𝜋 2 + cos 0) 𝑀𝑦 = 𝑅3 3 . (0 − (−1)) 𝑴𝒚 = 𝑹𝟑 𝟑 Parte F: Dada a figura composta abaixo: A figura tem eixos de simetria, logo as coordenadas centroidais passam pelos eixos de simetria: 𝑥̅ = 20 𝑚𝑚 𝑦̅ = 15 𝑚𝑚 Cálculo do perímetro da figura: 𝑃 = 2.40 + 2.30 + 2. 𝜋. 10 𝑃 = 202,832 𝑚𝑚 Cálculo da área: 𝐴 = 40.30 − 𝜋. 102 𝐴 = 885,384 𝑚𝑚2 Cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo x, incluindo a área interna: 𝐴𝑒𝑖𝑥𝑜𝑥 = 𝜃. 𝑦̅. 𝑃 𝐴𝑒𝑖𝑥𝑜𝑥 = 2𝜋. 15.202,832 𝑨𝒆𝒊𝒙𝒐𝒙 = 𝟏𝟗𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟏𝟎 𝒎𝒎𝟐 Cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo y, incluindo a área interna: 𝐴𝑒𝑖𝑥𝑜𝑦 = 𝜃. 𝑥̅. 𝑃 𝐴𝑒𝑖𝑥𝑜𝑦 = 2𝜋. 20.202,832 𝑨𝒆𝒊𝒙𝒐𝒚 = 𝟐𝟓𝟒𝟖𝟖, 𝟔𝟖𝟎 𝒎𝒎𝟐 Cálculo do volume de revolução em torno do eixo x: 𝑉𝑒𝑖𝑥𝑜𝑥 = 𝜃. 𝑦̅. 𝐴 𝑉𝑒𝑖𝑥𝑜𝑥 = 2𝜋. 15.885,384 𝑽𝒆𝒊𝒙𝒐𝒙 = 𝟖𝟑𝟒𝟒𝟓, 𝟔𝟕𝟏 𝒎𝒎𝟑 Cálculo do volume de revolução em torno do eixo y: 𝑉𝑒𝑖𝑥𝑜𝑦 = 𝜃. 𝑥̅. 𝐴 𝑉𝑒𝑖𝑥𝑜𝑦 = 2𝜋. 20.885,384 𝑽𝒆𝒊𝒙𝒐𝒚 = 𝟏𝟏𝟏𝟐𝟔𝟎, 𝟖𝟗𝟓 𝒎𝒎𝟑 Parte G: Dadas as curvas analíticas definidas por: 𝑓1(𝑥) = 𝑥 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 Os pontos de interseção são definidos pela equação: 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥) 𝑥 = 𝑥2 𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 1) = 0 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 1 Cálculo do momento de inércia em torno do eixo x: 𝐼𝑥 = ∫ ∫ 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 𝐼𝑥 = ∫ (𝑥3 3 − (𝑥2)3 3 ) 1 0 𝑑𝑥 𝐼𝑥 = ∫ (𝑥3 3 − 𝑥6 3 ) 1 0 𝑑𝑥 𝐼𝑥 = (14 12 − 17 21) 𝑰𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓𝟕 𝒎𝒎𝟒 Cálculo do momento de inércia em torno do eixo y: 𝐼𝑦 = ∫ ∫ 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 1 0 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥2(𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥 1 0 𝐼𝑦 = ∫ (𝑥3 − 𝑥4)𝑑𝑥 1 0