Slide Equilíbrio de Corpos Rígidos-2023 1

ENGN89 – Isostática A Departamento de Construção e Estruturas (DCE) Prof. Dr. Yagho de Souza Simões Equilíbrio de Corpos Rígidos 17/04/2023 yaghosimoes@ufba.br Considerações Iniciais Equilíbrio de Corpos Rígidos Diagrama de Corpo Livre (DCL) Equilíbrio em duas dimensões Equilíbrio em três dimensões Conteúdo Programático 2 Equilíbrio de Corpos Rígidos Referências Bibliográficas 3 BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., MAZUREK, D. F. e EISENBERG, E. R. (2019) – Mecânica Vetorial para Engenheiros, 11ª edição, McGraw-Hill – Porto Alegre – RS, Brasil CAPÍTULO 4 Equilíbrio de Corpos Rígidos 1. Considerações Iniciais 4 COORDENADAS RETANGULARES Equilíbrio de Corpos Rígidos 𝑴𝒐𝑹 = ෍ 𝑴𝒐 = ෍(𝒓 × 𝑭) 𝑹 = ෍ 𝑭 𝑹 = 𝑅𝑥𝒊 + 𝑅𝑦𝒋 + 𝑅𝑧𝒌 𝑴𝒐𝑹 = 𝑀𝑥𝑅𝒊 + 𝑀𝑦𝑅𝒋 + 𝑀𝑧𝑅𝒌 2. Equilíbrio de Corpos Rígidos 5 Equilíbrio de Corpos Rígidos De forma análoga ao estudo de partículas, “quando a força e o binário resultantes em um corpo rígido são nulas, as forças externas formam um sistema equivalente a zero, e diz-se que ele está em equilíbrio”. As condições necessárias e suficientes para isso acontecer são dadas pelas relações: 𝑴𝒐𝑹 = ෍ 𝑴𝒐 = ෍(𝒓 × 𝑭) = 𝟎 𝑹 = ෍ 𝑭 = 𝟎 COORDENADAS RETANGULARES 𝑹 = 𝑅𝑥𝒊 + 𝑅𝑦𝒋 + 𝑅𝑧𝒌 = 0 𝑴𝒐𝑹 = 𝑀𝑥𝑅𝒊 + 𝑀𝑦𝑅𝒋 + 𝑀𝑧𝑅𝒌 = 0 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝑦 = ෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑧 = ෍ 𝐹𝑧 = 0 ෍ 𝑀𝑥 = 0 ෍ 𝑀𝑦 = 0 ෍ 𝑀𝑧 = 0 6 equações de equilíbrio 2. Equilíbrio de Corpos Rígidos 6 Equilíbrio de Corpos Rígidos São empregadas para determinar as forças desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou reações exercidas sobre eles por meio de seus apoios (vínculos). 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝑦 = ෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑧 = ෍ 𝐹𝑧 = 0 ෍ 𝑀𝑥 = 0 ෍ 𝑀𝑦 = 0 ෍ 𝑀𝑧 = 0 6 equações de equilíbrio Para um corpo rígido em equilíbrio, o sistema de forças externas não causa qualquer movimento translacional ou rotacional ao corpo considerado. APLICABILIDADE 3. Diagramas de Corpo Livre (DCL) 7 Equilíbrio de Corpos Rígidos Para escrever as equações de equilíbrio de um corpo rígido, é necessário primeiro identificar todas as forças que atuam sobre ele e, então, desenhar o diagrama de corpo livre. PASSO A PASSO PARA CONSTRUÇÃO 1. Selecione o corpo a ser analisado e “separe-o” do solo e de outros corpos (esboçar o contorno do corpo); 2. Indique o ponto de aplicação, magnitude e direção das forças externas conhecidas, incluindo o peso próprio do corpo, quando necessário; 3. Indique o ponto de aplicação e a direção da forças externas desconhecidas ao corpo. Elas normalmente são as reações do solo as quais se opõem a um possível movimento de corpo livre; 4. Inclua as dimensões necessárias para o cálculo dos momentos das forças. 3. Diagramas de Corpo Livre (DCL) 8 Equilíbrio de Corpos Rígidos PASSO A PASSO PARA CONSTRUÇÃO 1. Selecione o corpo a ser analisado e “separe-o” do solo e de outros corpos (esboçar o contorno do corpo); 2. Indique o ponto de aplicação, magnitude e direção das forças externas conhecidas, incluindo o peso próprio do corpo, quando necessário; 3. Indique o ponto de aplicação e a direção da forças externas desconhecidas ao corpo. Elas normalmente são as reações do solo e de outros corpos os quais se opõem a um possível movimento de corpo livre; 4. Inclua as dimensões necessárias para o cálculo dos momentos das forças. DCL 4. Equilíbrio em duas dimensões 9 Equilíbrio de Corpos Rígidos REAÇÕES DE APOIO Apoio de primeiro gênero (móvel): conseguem impedir o movimento em uma direção apenas. Cada um desses dispositivos desenvolve uma reação de apoio a estrutura, promovendo uma incógnita. Sua linha de ação é conhecida e deve ser indicada no DCL. Pressupomos que a estrutura e as forças a ela aplicadas estão contidas no mesmo plano. Claramente, as reações de apoio estarão contidas nesse mesmo plano. Suporte ou Conexão Reação Roletes Apoio basculante Superfície sem atrito Cabo curto Haste curta Cursor sobre haste sem atrito Pino deslizante sem atrito 4. Equilíbrio em duas dimensões 10 Equilíbrio de Corpos Rígidos REAÇÕES DE APOIO Apoio de segundo gênero (fixo): conseguem impedir a translação do corpo rígido em todas as direções, mas não podem impedir o corpo de girar em torno do dispositivo. As reações envolvem duas incógnitas e são representadas pelas componentes 𝑥 e 𝑦. Suporte ou Conexão Reação Pino sem atrito ou articulação Superfície rugosa Engaste Apoio do tipo engaste: impedem qualquer movimento do corpo livre. Logo, imobilizam-no complemente. Promove três incógnitas, dois componentes de força e um momento de binário. Quando o sentido da força ou do momento for desconhecido, não se deve tentar determiná-lo. Este deve ser arbitrado e os cálculos mostraram o sentido correto. 4. Equilíbrio em duas dimensões 11 Equilíbrio de Corpos Rígidos REAÇÕES DE APOIO Rolete 4. Equilíbrio em duas dimensões 12 Equilíbrio de Corpos Rígidos REAÇÕES DE APOIO Pino ou Apoio Fixo 4. Equilíbrio em duas dimensões 13 Equilíbrio de Corpos Rígidos REAÇÕES DE APOIO Engaste 4. Equilíbrio em duas dimensões 14 Equilíbrio de Corpos Rígidos METODOLOGIA Considerando um corpo rígido bidimensional e escolhendo os eixos 𝑥 e 𝑦 no plano deste corpo, temos: 𝐹𝑧 = 0 𝑀𝑥 = 0 𝑀𝑦 = 0 𝑥 𝑦 Logo, as seis equações de equilíbrio se resume a três: 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝑦 = ෍ 𝐹𝑦 = 0 ෍ 𝑀𝑧 = 0 Essa equação deve ser satisfeita independentemente da escolha do ponto considerado. σ 𝑀𝐴 = 0 4. Equilíbrio em duas dimensões 15 Equilíbrio de Corpos Rígidos METODOLOGIA • As equações podem ser resolvidas para até três reações incógnitas. • Quando um corpo tem as suas reações calculadas pelas equações de equilíbrio ele é chamado estaticamente determinado (completamente vinculado). • O pino (apoio fixo) impede o ponto A de se mover nas duas direções, o que provoca uma duas forças 𝐴𝑥 e 𝐴𝑦. O rolete (apoio móvel) impede a rotação da treliça em torno de A exercendo uma força vertical 𝐵. 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝑦 = ෍ 𝐹𝑦 = 0 ෍ 𝑀𝐴 = 0 4. Equilíbrio em duas dimensões 16 Equilíbrio de Corpos Rígidos METODOLOGIA A partir das três equações obtidas não é possível criar equações adicionais, mas elas podem ser substituídas: 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 𝑅𝑦 = ෍ 𝐹𝑦 = 0 ෍ 𝑀𝐴 = 0 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝑀𝐴 = 0 ෍ 𝑀𝐵 = 0 ෍ 𝑀𝐴 = 0 ෍ 𝑀𝐵 = 0 ෍ 𝑀𝐶 = 0 4. Equilíbrio em duas dimensões 17 Equilíbrio de Corpos Rígidos EXEMPLO Determine as equações de equilíbrio do problema a seguir para que seja possível encontrar as reações de apoio. Lembre-se que, para facilitar o problema, é melhor que essas equações contenham apenas uma incógnita, para que elimine a necessidade de obter as soluções de equações simultâneas. 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝑀𝐶 = 0 ෍ 𝑀𝐷 = 0 4. Equilíbrio em duas dimensões 18 Equilíbrio de Corpos Rígidos EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1) Um guindaste fixo tem massa de 1.000 kg e é usado para suspender um caixote de 2.400 kg. Ele é mantido na posição indicada na figura por um pino em A e um suporte basculante em B. O centro de gravidade do guindaste está localizado em G. Determine os componentes das reações em A e B. 4. Equilíbrio em duas dimensões 19 Equilíbrio de Corpos Rígidos EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2) Três cargas são aplicas a uma viga como mostra a figura. Esse elemento estrutural é sustentado por um rolete em A e um pino em B. Desprezando o peso próprio da viga, determine suas reações de apoio, quando P = 67,5 kN.