Slide Forças Distribuídas Centroides e Centros de Gravidade-2023 1

ENGN89 – Isostática A Departamento de Construção e Estruturas (DCE) Prof. Dr. Yagho de Souza Simões Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade 24/04/2023 yaghosimoes@ufba.br Considerações Iniciais Centro de gravidade de um corpo bidimensional Centroide de áreas Momentos de Primeira Ordem Placas compostas Determinação de centroides por integração Teoremas de Pappus-Guldinus Conteúdo Programático 2 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade Referências Bibliográficas 3 BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., MAZUREK, D. F. e EISENBERG, E. R. (2019) – Mecânica Vetorial para Engenheiros, 11ª edição, McGraw-Hill – Porto Alegre – RS, Brasil CAPÍTULO 5 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade 1. Considerações Iniciais 4 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ❖ Relembrando da Física, a atração exercida pela Terra sobre um corpo pode ser representada por uma força única W. Essa força de gravidade ou simplesmente força peso é aplicada no centro de gravidade desse corpo. ❖ Na verdade, a Terra exerce uma força gravitacional em cada partícula que compõe um corpo. Essas forças podem ser substituídas por uma única força equivalente igual ao peso do corpo aplicada no centro de gravidade do corpo. 2. Centro de gravidade de um corpo bidimensional 5 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade Como um sistema de forças distribuídas pode ser substituído por uma única força resultando atuando sobre um ponto específico do objeto: centro de gravidade? Seja uma placa plana horizontal. ∆𝑾𝟏 ∆𝑾𝟐 ∆𝑾𝟑 A placa poder ser dividida em n elementos. Cada elemento tem coordenadas 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 e força Δ𝑊𝑖. ∆𝑊1: (𝑥1, 𝑦1) ∆𝑊3: (𝑥3, 𝑦3) ∆𝑊2: (𝑥2, 𝑦2) ∆𝑊𝑛: (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 2. Centro de gravidade de um corpo bidimensional 6 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade A resultante dessas forças é uma força única W cuja intensidade é dada pela adição dos pesos elementares: Para obter as coordenadas ҧ𝑥 e ത𝑦 do ponto G no qual a força W deve ser aplicada, é necessário escrevermos que os momentos de W em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 são iguais às somas dos momentos correspondentes dos pesos elementares. ∆𝑾𝟏 ∆𝑾𝟐 ∆𝑾𝟑 ෍ 𝐹𝑧 𝑊 = ∆𝑊1+ ∆𝑊2 + ∆𝑊3 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 ෍ 𝑀𝑦: ҧ𝑥𝑊 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + 𝑥3∆𝑊3 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 ෍ 𝑀𝑥: ത𝑦𝑊 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + 𝑦3∆𝑊3 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 2. Centro de gravidade de um corpo bidimensional 7 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ෍ 𝑀𝑦: ҧ𝑥𝑊 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + 𝑥3∆𝑊3 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 ෍ 𝑀𝑥: ത𝑦𝑊 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + 𝑦3∆𝑊3 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 ҧ𝑥 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 ത𝑦 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 Se aumentarmos o número de elementos em que se divide a placa e diminuirmos, ao mesmo tempo, o tamanho do elemento, no limite de um número infinito de tamanho infinitesimal: ҧ𝑥 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 ത𝑦 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 𝑊 = ∆𝑊1+ ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 𝑊 = න 𝑑𝑊 ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝑊 𝑊 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝑊 𝑊 Essas equações definem o peso 𝑾 e as coordenadas ഥ𝒙 e ഥ𝒚 do centro de gravidade G de uma placa plana. 2. Centro de gravidade de um corpo bidimensional 8 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade Essas mesmas equações podem ser deduzidas para um fio contido no plano 𝑥𝑦. Normalmente o centro de gravidade do fio se encontra fora do mesmo: ҧ𝑥 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 ത𝑦 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 𝑊 = ∆𝑊1+ ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 𝑊 = න 𝑑𝑊 ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝑊 𝑊 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝑊 𝑊 Essas equações definem o peso 𝑾 e as coordenadas ഥ𝒙 e ഥ𝒚 do centro de gravidade G de um fio. 3. Centroide de áreas e fios 9 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ∆𝑊 = 𝛾 𝑡 ∆𝐴 Analogamente, a intensidade da força peso elementar ∆𝑊 pode ser expressa por: 𝛾: peso específico do material (peso por unidade de volume, N/m³) 𝑡: espessura da placa (m) 𝐴: área total da placa (m²) No caso de uma placa plana homogênea e de espessura uniforme, a intensidade da força peso 𝑊 da placa é dada por: 𝑊 = 𝛾 𝑡 𝐴 ∆𝐴: área do elemento (m²) 3. Centroide de áreas e fios 10 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade Substituindo ∆𝑊 e 𝑊 nas equações anteriores e dividindo todos os termos por 𝛾 𝑡: ҧ𝑥 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 ത𝑦 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 ҧ𝑥 = 𝑥1∆𝐴1+ 𝑥2∆𝐴2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝐴𝑛 𝐴 ത𝑦 = 𝑦1∆𝐴1+ 𝑦2∆𝐴2 + ⋯ + 𝑦𝑛𝐴𝑊𝑛 𝐴 ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝐴 𝐴 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 𝑊 = ∆𝑊1+ ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 𝐴 = න 𝑑𝐴 ∆𝑊 = 𝛾 𝑡 ∆𝐴 𝑊 = 𝛾 𝑡 𝐴 𝐴 = ∆𝐴1+ ∆ 𝐴2 + ⋯ + ∆𝐴𝑛 Aumentando o número de elementos em que se divide a placa até o limite de um número infinito de tamanho infinitesimal. 3. Centroide de áreas e fios 11 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝐴 𝐴 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 Essas equações definem as coordenadas ҧ𝑥 e ത𝑦 do centro de gravidade de uma placa homogênea. O ponto ҧ𝑥 e ത𝑦 para essas condições (placa homogênea e de espessura uniforme) é também conhecido como centroide (ponto C) da superfície da placa. 3. Centroide de áreas e fios 12 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ∆𝑊 = 𝛾 𝑎 ∆𝐿 Analogamente, a intensidade da força peso elementar ∆𝑊 pode ser expressa por: 𝛾: peso específico do material (peso por unidade de volume, N/m³) a: área da seção transversal do fio (m²) 𝐿: comprimento total do fio (m) No caso de um fio homogêneo de seção transversal uniforme, a intensidade da força peso 𝑊 da placa é dada por: 𝑊 = 𝛾 𝑎 𝐿 ∆𝐿: comprimento do elemento (m) 3. Centroide de áreas e fios 13 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ҧ𝑥 = 𝑥1∆𝑊1+ 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 ത𝑦 = 𝑦1∆𝑊1+ 𝑦2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑦𝑛∆𝑊𝑛 𝑊 𝑊 = ∆𝑊1+ ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 ∆𝑊 = 𝛾 𝑎 ∆𝐿 𝑊 = 𝛾 𝑎 𝐿 Substituindo ∆𝑊 e 𝑊 nas equações que definem o centro de gravidade e dividindo todos os termos por 𝛾 𝑎: ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝐿 𝐿 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝐿 𝐿 𝐿 = න 𝑑𝐿 O ponto ҧ𝑥 e ത𝑦 para as condições estabelecidas é conhecido como centroide (ponto C) da fio. 4. Momentos de primeira ordem 14 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade A integral ׬ 𝑥 𝑑𝐴 é conhecida como momento de primeira ordem da área A em relação ao eixo y, sendo representada por 𝑸𝒚. De forma semelhante, a integral ׬ 𝑦 𝑑𝐴 define o momento de primeira ordem da área A em relação ao eixo x, sendo indica por 𝑸𝒙. Substituindo 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 nas equações anteriores, podemos defini-los como o produto da área A pelas coordenadas de seu centroide. 𝑄𝑦 = න 𝑥 𝑑𝐴 𝑄𝑥 = න 𝑦 𝑑𝐴 𝑄𝑦 = ҧ𝑥𝐴 𝑄𝑥 = ത𝑦𝐴 ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝐴 𝐴 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 As mesmas considerações são obtidas para fios. 4. Momentos de primeira ordem 15 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ❖ Coordenadas de ҧ𝑥 e ത𝑦: ❖ Aplicações do momento de primeira ordem: tensões de cisalhamento em vigas sob ação de carregamentos transversais; ❖ Se o centroide de uma área estiver localizado sobre um eixo de coordenadas, o momento de primeira ordem em relação a esse eixo será nulo (o inverso é verdadeiro). 𝑄𝑦′ = 0 𝑄𝑥′ = 0 CONSIDERAÇÕES ҧ𝑥 = 𝑄𝑦 𝐴 ത𝑦 = 𝑄𝑥 𝐴 𝒙′ 𝒚′ 4. Momentos de primeira ordem 16 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ❖ Simetria de uma área em relação a um eixo BB’. ❖ Se uma superfície apresenta um eixo de simetria, o momento de primeira ordem em relação a esse eixo é nulo e o centroide está sobre esse eixo. No caso da área apresentada, a grandeza se encontra sobre o eixo BB’. CONSIDERAÇÕES BB’ é chamado de eixo de simetria MAS, POR QUAL MOTIVO ISSO ACONTECE? 4. Momentos de primeira ordem 17 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade CONSIDERAÇÕES Centroide sobre o eixo 𝑦 𝑄𝑦 = න 𝑥 𝑑𝐴 = 0 ❖ A área A é simétrica em relação a um eixo 𝑦, logo ele é um eixo de simetria. 𝑄𝑦 = ҧ𝑥𝐴 = 0 ҧ𝑥 = 0 4. Momentos de primeira ordem 18 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade CONSIDERAÇÕES ❖ Uma região que apresenta dois eixos de simetria, o centroide da mesma encontra-se na interseção desses eixos. ❖ Essa propriedade permite-nos determinar imediatamente o centroide de círculos, retângulos, círculos, dentre outras figuras simétricas. 4. Momentos de primeira ordem 19 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade CONSIDERAÇÕES ❖ Uma área é simétrica em relação a um centro O se, para cada elemento 𝑑𝐴 em (𝑥, 𝑦), existir uma área 𝑑𝐴’ de mesma área em −𝑥, −𝑦 ; ❖ O centroide dessa área coincide com o seu centro de simetria (ponto O); 𝑄𝑦 = න 𝑥 𝑑𝐴 = 0 𝑄𝑥 = න 𝑦 𝑑𝐴 = 0 ❖ Uma figura com centro de simetria não apresenta necessariamente apresenta um eixo de simetria. As mesmas considerações são obtidas para fios. Centro de simetria? 4. Momentos de primeira ordem 20 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade CENTROIDES DE SUPERFÍCIES CONHECIDAS 𝒙 𝒚 𝒉 𝒃 𝑫 𝒙 𝒚 ത𝑦 = ℎ 2 ҧ𝑥 = 𝑏 2 ത𝑦 = 𝐷 2 ҧ𝑥 = 𝐷 2 4. Momentos de primeira ordem 21 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade CENTROIDES DE SUPERFÍCIES CONHECIDAS 4. Momentos de primeira ordem 22 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade 5. Placas e fios compostos 23 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade Quando se estiver interessado na determinação de propriedades geométricas (área, centroide e momentos de primeira ordem) de superfícies que não estão tabeladas, mas identifica-se que a região em questão é formada pela junção de regiões elementares cujas propriedades são conhecidas, aplica-se a composição na avaliação das integrais referentes às propriedades de interesse. ഥ𝑿 = σ𝒊=𝟏 𝒏 ഥ𝒙𝒊𝑨𝒊 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑨𝒊 𝐴 = න 𝑑𝐴1 = න 𝑑𝐴2 + න 𝑑𝐴3 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 𝑄𝑥 = 𝑦1𝐴1 + 𝑦2𝐴2 + 𝑦3𝐴3 𝑄𝑦 = 𝑥1𝐴1 + 𝑥2𝐴2 + 𝑥3𝐴3 ഥ𝒀 = σ𝒊=𝟏 𝒏 ഥ𝒚𝒊𝑨𝒊 σ𝒊=𝟏 𝒏 𝑨𝒊 As mesmas considerações são obtidas para fios. 5. Placas e fios compostos 24 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade ORIENTAÇÕES ❖ Os momentos de primeira ordem de uma superfície podem ser positivos ou negativos; ❖ Cuidado na hora de atribuir o sinal correto ao momento de cada área (depende do eixo escolhido); ❖ É necessário inserir sinal negativo para superfícies vazias. 5. Placas e fios compostos 25 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade Determine o centroide da superfície composta mostrada. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01 Composição 1 Composição 2 5. Placas e fios compostos 26 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01 5. Placas e fios compostos 27 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02 1 Retângulo 2 Triângulo 3 Semicírculo 4 Círculo Determine o centroide da superfície composta mostrada. 5. Placas e fios compostos 28 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02 Determine o centroide da superfície composta mostrada. 5. Placas e fios compostos 29 Forças Distribuídas: Centroides e Centros de Gravidade EXERCÍCIO DE CASA Determine o centroide da superfície composta mostrada.