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Engenharia Civil ·
Isostática
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Universidade Federal da Bahia Escola Politécnica Departamento de Construção e Estruturas ENGN89 Isostática A Professor Yagho de Souza Simões ATIVIDADE COMPLEMENTAR VIGAS INCLINADAS Instruções para o Trabalho Diagramas de Esforços Solicitantes Cortante e Momento Fletor Objetivo Aprofundar o estudo do comportamento estático de vigas inclinadas e desenvolver habilidade na determinação dos esforços solicitantes Orientações Gerais A atividade deve ser realizada em trios Estudem previamente o conteúdo pelos slides e pelas referências bibliográficas disponibilizadas pelo professor Todos os cálculos devem ser apresentados de forma organizada com a decomposição completa das forças e etapas do processo de equilíbrio Parte 1 Cinco Casos de Estudo exemplos criados pelo grupo Cada trio deverá propor cinco exemplos numéricos diferentes de vigas inclinadas contendo os carregamentos abaixo Para cada caso determinar os diagramas de Esforço normal N Esforço cortante V Momento fletor M Os cinco tipos de carregamento são a Carga pontual b Carga distribuída vertical aplicada na projeção horizontal da viga c Carga distribuída horizontal aplicada na projeção vertical da viga d Carga distribuída vertical ao longo do trecho inclinado e Carga distribuída perpendicular ao eixo da viga inclinada Cada exemplo deve ser completo com todos os passos necessários para a obtenção das reações de apoio esforços solicitantes e dos diagramas Parte 2 Exemplo Final Com base no que foi estudado criar um exemplo final completo contendo Pelo menos uma carga pontual vertical Pelo menos uma carga pontual horizontal Pelo menos um momento aplicado E uma das cargas distribuídas utilizadas na Parte 1 Esse exemplo deve incluir 1 Decomposição detalhada de todas as forças verticais horizontais e ao longo da inclinação 2 Cálculo das reações de apoio 3 Determinação dos diagramas N V e M 4 Representação gráfica clara da geometria dos carregamentos e dos diagramas Valor da atividade 10 ponto Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m 22 15 25 tirante 05 2 3 EXEMPLO kN m tan β 225 β 3866 22 RF RDy RDx 05 2 3 15 25 22 RDy 0 RDy 22 kN 22 4 RF 55 0 RF 16 kN RF RDx 0 RDx 16 kN EXEMPLO kN m β 3866 T tirante T β β T β Cx Cy 16 16 22 22 Cx Cy T β 22 ß 3866 ΣMC 0 22 4 T sen ß 25 0 T 5635 kN ΣFx 0 T cos ß Cx 0 Cx 44 kN ΣFy 0 22 T sen ß Cy 0 Cy 132 kN ß 3866 tirante Tx T cos ß 44 kN Ty T sen ß 352 kN ß 3866 tirante EXEMPLO kN m N kN 0 x m 44 V kN 22 132 x m M kNm 33 x m 352 44 22 44 132 15 25 EXEMPLO kN m N kN 352 22 V kN 16 28 16 x m x m M kNm 48 8 x m 44 352 16 22 44 132 05 3 2 EXEMPLO kN m Força normal N kN 352 22 44 0 Força cortante V kN 16 28 16 132 22 Momento fletor M kNm 48 33 8 Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m ΣFy 0 RAy 125 125 FR1 0 RAy 4375 kN ΣMA 0 125 5 125 05 FR1 3 RE 125 0 RE 10 kN ℓ 6² 45² 7 5 m FR1 2 5 ℓ 18 75 kN ΣFx 0 RAx 125 RE 0 RAx 2 5 kN EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m Bx0 By125 kN MB625 kNm 05 125 MB Bx By EXEMPLO kN m FR11875 kN Dx10 kN Dy1875 kN MD1125 kNm tan φ 456 φ 3687 Dx 10 cos φ 1875 sen φ 1925 kN Dy 10 sen φ 1875 cos φ 9 kN qx 25 sen φ 15 kNm qy 25 cos φ 2 kNm REx 10 cos φ 8 kN REy 10 sen φ 6 kN EXEMPLO kN m 1875 125 1125 10 125 625 125 25 4375 3 5 x m N kN 3125 4375 x m V kN 10 25 x m M kNm 1125 1875 125 EXEMPLO kN m 1125 1925 9 75 2 15 8 6 N kN 1925 x m 8 V kN 9 qy 1 x m l1 92 45 m 1125 9 M kNm x m EXEMPLO kN m 125 25 125 125 125 1925 3125 0 4375 Força normal N kN 9 6 10 125 25 Força cortante V kN 1125 1125 625 1875 125 Momento fletor M kNm Atividades disponíveis Resolver 2a Lista de Exercícios Parte III Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m 3 10 18 A B C D E 3 15 15 15 EXEMPLO kN m FR1 10 45 45 kN 3 225 m 18 RBy RB REy 3 75 FR1 525 18 15 RB 45 0 RB 635 kN ΣFy 0 3 FR1 18 RB REy 0 REy 25 kN ΣME 0 EXEMPLO kN m 3 10 18 635 25 3 15 15 15 MB MC MD EXEMPLO kN m MD 25 15 375 kNm EXEMPLO kN m MC 25 3 18 15 195 kNm EXEMPLO kN m FR2 10 3 30 kN MB 3 3 FR2 15 54 kNm EXEMPLO kN m MB 54 kNm MC 195 kNm MD 375 kNm EXEMPLO kN m Para o trecho AB Mo 103² 8 1125 kNm Para o trecho BC Mo 1015² 8 28125 kNm EXEMPLO kN m Momento fletor M kNm Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m 10 10 125 10 2 2 10 24 08 4 16 16 EXEMPLO kN m 10 FR1 10 FR2 10 12 4 2 2 10 24 08 4 16 16 RCx RCy RE FR1 125 24 30 kN FR2 125 8 100 kN ΣMC 0 ΣFy 0 FR1 2 FR2 32 RE 56 3 10 FR1 FR2 10 32 10 08 10 2 10 4 0 RCy RE 0 RE 50 kN RCy 110 kN ΣFx 0 10 RCx 0 RCx 10 kN EXEMPLO kN m 10 10 125 10 MBe MBd MD MBb 10 110 10 ME 50 EXEMPLO kN m FR130kN MBe1024FR11260kNm EXEMPLO kN m MBb1100810268kNm EXEMPLO kN m FR130kN MBd1024FR11211008102128kNm EXEMPLO kN m MD 10 32 50 16 48 kNm EXEMPLO kN m ME 10 16 16 kNm EXEMPLO kN m MBe 60 kNm MBb 68 kNm MBd 128 kNm MD 48 kNm ME 16 kNm EXEMPLO kN m M Be 60 kNm M Bb 68 kNm M Bd 128 kNm M D 48 kNm M E 16 kNm M o qL28 Para o trecho AB M o 125 2428 9 kNm Para o trecho BD M o 125 828 100 kNm EXEMPLO kN m Momento fletor M kNm Atividades disponíveis Resolver 2a Lista de Exercícios Parte IV Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m 10 RD RAy RAx 10 15 RF EXEMPLO kN m 10 RD RAy RAx Bx By Bx By 10 15 RF FR1 104 40 kN FR2 15 18 2 135 kN Bx 135 kN FR12 FR212 RF 4 0 ΣFx 0 Bx FR2 0 ΣMB 0 ΣFy 0 By FR1 RF 0 RF 2405 kN By 1595 kN EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m ΣFx 0 10 135 RAx 0 RAx 35 kN ΣMA 0 RD 2 10 36 135 18 0 RD 585 kN ΣFy 0 RAy 1595 RD 0 RAy 218 kN EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m ΣFx0 10 Cx0 Cx10 kN ΣFy0 585 Cy0 Cy585 kN ΣMC0 MC 585 20 MC117 kNm EXEMPLO kN m ΣFx0 Ex FR20 Ex135 kN FR2 15 18 2 135 kN ΣFy0 2405 Ey0 Ey2405 kN ΣME0 ME FR2 120 ME162 kNm EXEMPLO kN m 10 585 10 117 10 585 117 135 1595 2405 162 135 10 135 1595 35 218 2405 162 135 15 2405 2405 EXEMPLO kN m 10 585 10 585 117 2 N kN x m 10 V kN x m 585 M kNm x m 117 EXEMPLO kN m 585 10 117 18 135 1595 18 35 218 N kN x m 585 218 V kN x m 10 35 M kNm x m 117 63 EXEMPLO kN m 10 135 135 1595 2405 4 N kN x m 135 V kN x m 1595 1 q l l11595q1595 m M kNm x m 162 1272 EXEMPLO kN m xm NkN 2405 x m V kN 135 x m M kNm 162 162 18 2405 2405 135 15 EXEMPLO kN m 10 10 15 585 218 135 2405 Força normal N kN 585 10 1595 35 135 2405 Força cortante V kN 117 117 63 162 162 1272 Momento fletor M kNm Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m P 25 kN α 20 5 P α P 25 kN α 20 FR1 kN m P α 18 3 RD RAx RAy FR1 5 36 18 kN ΣFx 0 RAx P cos α 0 RAx 2349 kN ΣFy 0 RAy P sen α FR1 RD 0 RAy 6019 kN ΣMA 0 P cos α 15 P sen α 18 FR1 54 RD 72 0 RD 20532 kN P 25 kN α 20 MC Cx Cy RD RAx RAy MC Cx Cy RD 20532 kN RAx 2349 kN RAy 6019 kN FR1 5 36 18 kN ΣFx 0 Cx 0 ΣFy 0 Cy FR1 RD 0 Cy 2532 kN ΣMD 0 MC Cy 36 FR1 18 0 MC 4151 kNm FR1 kN m MC Cx Cy RD 18 36 RD 20532 kN Atividades disponíveis Ler e estudar seção 44 e exemplos resolvidos 413 a 415 H seções 41 e 43 a 45 S Resolver 2a Lista de Exercícios Partes I e II
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carregamento são a Carga pontual b Carga distribuída vertical aplicada na projeção horizontal da viga c Carga distribuída horizontal aplicada na projeção vertical da viga d Carga distribuída vertical ao longo do trecho inclinado e Carga distribuída perpendicular ao eixo da viga inclinada Cada exemplo deve ser completo com todos os passos necessários para a obtenção das reações de apoio esforços solicitantes e dos diagramas Parte 2 Exemplo Final Com base no que foi estudado criar um exemplo final completo contendo Pelo menos uma carga pontual vertical Pelo menos uma carga pontual horizontal Pelo menos um momento aplicado E uma das cargas distribuídas utilizadas na Parte 1 Esse exemplo deve incluir 1 Decomposição detalhada de todas as forças verticais horizontais e ao longo da inclinação 2 Cálculo das reações de apoio 3 Determinação dos diagramas N V e M 4 Representação gráfica clara da geometria dos carregamentos e dos diagramas Valor da atividade 10 ponto Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m 22 15 25 tirante 05 2 3 EXEMPLO kN m tan β 225 β 3866 22 RF RDy RDx 05 2 3 15 25 22 RDy 0 RDy 22 kN 22 4 RF 55 0 RF 16 kN RF RDx 0 RDx 16 kN EXEMPLO kN m β 3866 T tirante T β β T β Cx Cy 16 16 22 22 Cx Cy T β 22 ß 3866 ΣMC 0 22 4 T sen ß 25 0 T 5635 kN ΣFx 0 T cos ß Cx 0 Cx 44 kN ΣFy 0 22 T sen ß Cy 0 Cy 132 kN ß 3866 tirante Tx T cos ß 44 kN Ty T sen ß 352 kN ß 3866 tirante EXEMPLO kN m N kN 0 x m 44 V kN 22 132 x m M kNm 33 x m 352 44 22 44 132 15 25 EXEMPLO kN m N kN 352 22 V kN 16 28 16 x m x m M kNm 48 8 x m 44 352 16 22 44 132 05 3 2 EXEMPLO kN m Força normal N kN 352 22 44 0 Força cortante V kN 16 28 16 132 22 Momento fletor M kNm 48 33 8 Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m ΣFy 0 RAy 125 125 FR1 0 RAy 4375 kN ΣMA 0 125 5 125 05 FR1 3 RE 125 0 RE 10 kN ℓ 6² 45² 7 5 m FR1 2 5 ℓ 18 75 kN ΣFx 0 RAx 125 RE 0 RAx 2 5 kN EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m Bx0 By125 kN MB625 kNm 05 125 MB Bx By EXEMPLO kN m FR11875 kN Dx10 kN Dy1875 kN MD1125 kNm tan φ 456 φ 3687 Dx 10 cos φ 1875 sen φ 1925 kN Dy 10 sen φ 1875 cos φ 9 kN qx 25 sen φ 15 kNm qy 25 cos φ 2 kNm REx 10 cos φ 8 kN REy 10 sen φ 6 kN EXEMPLO kN m 1875 125 1125 10 125 625 125 25 4375 3 5 x m N kN 3125 4375 x m V kN 10 25 x m M kNm 1125 1875 125 EXEMPLO kN m 1125 1925 9 75 2 15 8 6 N kN 1925 x m 8 V kN 9 qy 1 x m l1 92 45 m 1125 9 M kNm x m EXEMPLO kN m 125 25 125 125 125 1925 3125 0 4375 Força normal N kN 9 6 10 125 25 Força cortante V kN 1125 1125 625 1875 125 Momento fletor M kNm Atividades disponíveis Resolver 2a Lista de Exercícios Parte III Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m 3 10 18 A B C D E 3 15 15 15 EXEMPLO kN m FR1 10 45 45 kN 3 225 m 18 RBy RB REy 3 75 FR1 525 18 15 RB 45 0 RB 635 kN ΣFy 0 3 FR1 18 RB REy 0 REy 25 kN ΣME 0 EXEMPLO kN m 3 10 18 635 25 3 15 15 15 MB MC MD EXEMPLO kN m MD 25 15 375 kNm EXEMPLO kN m MC 25 3 18 15 195 kNm EXEMPLO kN m FR2 10 3 30 kN MB 3 3 FR2 15 54 kNm EXEMPLO kN m MB 54 kNm MC 195 kNm MD 375 kNm EXEMPLO kN m Para o trecho AB Mo 103² 8 1125 kNm Para o trecho BC Mo 1015² 8 28125 kNm EXEMPLO kN m Momento fletor M kNm Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m 10 10 125 10 2 2 10 24 08 4 16 16 EXEMPLO kN m 10 FR1 10 FR2 10 12 4 2 2 10 24 08 4 16 16 RCx RCy RE FR1 125 24 30 kN FR2 125 8 100 kN ΣMC 0 ΣFy 0 FR1 2 FR2 32 RE 56 3 10 FR1 FR2 10 32 10 08 10 2 10 4 0 RCy RE 0 RE 50 kN RCy 110 kN ΣFx 0 10 RCx 0 RCx 10 kN EXEMPLO kN m 10 10 125 10 MBe MBd MD MBb 10 110 10 ME 50 EXEMPLO kN m FR130kN MBe1024FR11260kNm EXEMPLO kN m MBb1100810268kNm EXEMPLO kN m FR130kN MBd1024FR11211008102128kNm EXEMPLO kN m MD 10 32 50 16 48 kNm EXEMPLO kN m ME 10 16 16 kNm EXEMPLO kN m MBe 60 kNm MBb 68 kNm MBd 128 kNm MD 48 kNm ME 16 kNm EXEMPLO kN m M Be 60 kNm M Bb 68 kNm M Bd 128 kNm M D 48 kNm M E 16 kNm M o qL28 Para o trecho AB M o 125 2428 9 kNm Para o trecho BD M o 125 828 100 kNm EXEMPLO kN m Momento fletor M kNm Atividades disponíveis Resolver 2a Lista de Exercícios Parte IV Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m 10 RD RAy RAx 10 15 RF EXEMPLO kN m 10 RD RAy RAx Bx By Bx By 10 15 RF FR1 104 40 kN FR2 15 18 2 135 kN Bx 135 kN FR12 FR212 RF 4 0 ΣFx 0 Bx FR2 0 ΣMB 0 ΣFy 0 By FR1 RF 0 RF 2405 kN By 1595 kN EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m ΣFx 0 10 135 RAx 0 RAx 35 kN ΣMA 0 RD 2 10 36 135 18 0 RD 585 kN ΣFy 0 RAy 1595 RD 0 RAy 218 kN EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m EXEMPLO kN m ΣFx0 10 Cx0 Cx10 kN ΣFy0 585 Cy0 Cy585 kN ΣMC0 MC 585 20 MC117 kNm EXEMPLO kN m ΣFx0 Ex FR20 Ex135 kN FR2 15 18 2 135 kN ΣFy0 2405 Ey0 Ey2405 kN ΣME0 ME FR2 120 ME162 kNm EXEMPLO kN m 10 585 10 117 10 585 117 135 1595 2405 162 135 10 135 1595 35 218 2405 162 135 15 2405 2405 EXEMPLO kN m 10 585 10 585 117 2 N kN x m 10 V kN x m 585 M kNm x m 117 EXEMPLO kN m 585 10 117 18 135 1595 18 35 218 N kN x m 585 218 V kN x m 10 35 M kNm x m 117 63 EXEMPLO kN m 10 135 135 1595 2405 4 N kN x m 135 V kN x m 1595 1 q l l11595q1595 m M kNm x m 162 1272 EXEMPLO kN m xm NkN 2405 x m V kN 135 x m M kNm 162 162 18 2405 2405 135 15 EXEMPLO kN m 10 10 15 585 218 135 2405 Força normal N kN 585 10 1595 35 135 2405 Força cortante V kN 117 117 63 162 162 1272 Momento fletor M kNm Esforços internos em pórticos 2 Vigas e pórticos EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO kN m P 25 kN α 20 5 P α P 25 kN α 20 FR1 kN m P α 18 3 RD RAx RAy FR1 5 36 18 kN ΣFx 0 RAx P cos α 0 RAx 2349 kN ΣFy 0 RAy P sen α FR1 RD 0 RAy 6019 kN ΣMA 0 P cos α 15 P sen α 18 FR1 54 RD 72 0 RD 20532 kN P 25 kN α 20 MC Cx Cy RD RAx RAy MC Cx Cy RD 20532 kN RAx 2349 kN RAy 6019 kN FR1 5 36 18 kN ΣFx 0 Cx 0 ΣFy 0 Cy FR1 RD 0 Cy 2532 kN ΣMD 0 MC Cy 36 FR1 18 0 MC 4151 kNm FR1 kN m MC Cx Cy RD 18 36 RD 20532 kN Atividades disponíveis Ler e estudar seção 44 e exemplos resolvidos 413 a 415 H seções 41 e 43 a 45 S Resolver 2a Lista de Exercícios Partes I e II