Slide - Momentos de Inércia - 2024-1

ENGN89 – Isostática A Departamento de Construção e Estruturas (DCE) Prof. Dr. Yagho de Souza Simões Forças Distribuídas: Momentos de Inércia 11/09/2023 yaghosimoes@ufba.br Considerações Iniciais Momentos de Inércia de Superfícies Cálculo dos Momentos de Inércia por Integração Momento Polar de Inércia Conteúdo Programático 2 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Raio de Giração Problemas de Interesse Teorema dos Eixos Paralelos Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Conteúdo Programático 3 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Referências Bibliográficas 4 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., MAZUREK, D. F. e EISENBERG, E. R. (2019) – Mecânica Vetorial para Engenheiros, 11ª edição, McGraw-Hill – Porto Alegre – RS, Brasil CAPÍTULO 9 HIBBELER. R. C. – Estática – Mecânica para Engenharia, Pearson – Prentice Hall – São Paulo – SP, Brasil; CAPÍTULO 10 1. Considerações Iniciais 5 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia ANTERIORMENTE... 𝑊 = න 𝑑𝑊 ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝑊 𝑊 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝑊 𝑊 Placa plana homogênea e de espessura uniforme ҧ𝑥 = ׬ 𝑥 𝑑𝐴 𝐴 ത𝑦 = ׬ 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 𝐴 = න 𝑑𝐴 A resultante das forças distribuídas poderia ser obtida pela soma das áreas e o momento da resultante em relação a qualquer eixo era dado pelo cálculo do momento de primeira ordem. ∆𝑾 = 𝜸 𝒕 ∆𝑨 𝑾 = 𝜸 𝒕 𝑨 2. Momentos de Inércia de Superfícies 6 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Consideraremos forças distribuídas ∆𝑭 cujas intensidades são proporcionais aos elementos de área ∆𝐴 sobre os quais essas forças atuam e, ao mesmo tempo, variam linearmente com a distância entre ∆𝑨 e um dado eixo. DEFINIÇÃO Consideremos uma viga sujeita a flexão pura (Figura ao lado). As forças internas em qualquer seção da viga são forças distribuídas que variam linearmente com a distância 𝑦 entre o elemento de área ∆𝐴 e um eixo que passa pelo centroide da seção – 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 (Mecânica dos Materiais – ENGN90): ∆𝐹 = 𝑘𝑦∆𝐴 Seção transversal 2. Momentos de Inércia de Superfícies 7 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia DEFINIÇÃO ∆𝐹 = 𝑘𝑦∆𝐴 Seção transversal R = න 𝑑𝐹 = න 𝑘𝑦𝑑𝐴 Força resultante: R = 𝑘 න 𝑦𝑑𝐴 න𝑦𝑑𝐴 = 𝑄𝑥 = ത𝑦𝐴 Momento de primeira ordem R = 0 Momento resultante: M = න 𝑦𝑑𝐹 = න 𝑘𝑦²𝑑𝐴 M = 𝑘 න 𝑦²𝑑𝐴 Momento de segunda ordem ou Momento de Inércia න𝒚²𝒅𝑨 2. Cálculo dos Momentos de Inércia por Integração 8 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Momento de Inércia em relação ao eixo 𝑥 I𝒙 = න𝒚²𝒅𝑨 Momento de Inércia em relação ao eixo 𝑦 I𝒚 = න𝒙²𝒅𝑨 Integração dupla 2. Cálculo dos Momentos de Inércia por Integração 9 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Para a área retangular abaixo, determine os momentos de segunda ordem da área em relação aos eixos 𝑥 e y. EXEMPLO DE FIXAÇÃO 2. Cálculo dos Momentos de Inércia por Integração 10 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia 𝑰𝒙 E 𝑰𝒚 A PARTIR DA MESMA FAIXA ELEMENTAR As fórmulas anteriores podem ser usadas para determinar o momento de inércia 𝑑𝐼x em relação ao eixo 𝑥 de uma faixa retangular paralela ao eixo 𝑦. Vejamos: 𝒅I𝒙 = 𝟏 𝟑 𝒚3𝒅𝒙 𝒅I𝒚 = 𝒙2𝒅𝑨 = 𝒙2𝒚𝒅𝒙 3. Momento Polar de Inércia 11 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Propriedade geométrica de extrema importância em problemas referentes à torção de eixos cilíndricos e em problemas que tratam da rotação de placas. 𝐽𝑂 = න𝑟²𝑑𝐴 O momento de inércia polar pode ser calculado a partir dos momentos de inércia retangulares: 𝐽0 = න𝑟2𝑑𝐴 = න 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝐴 = න𝑥2𝑑𝐴 + න𝑦2𝑑𝐴 = 𝐼𝑦 + 𝐼𝑥 4. Raio de Giração 12 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia Considere-se uma superfície 𝐴 com momento de inércia 𝐼𝑥. Imaginemos que a superfície seja concentrada em uma faixa estreita paralela ao eixo 𝑥 de modo a possuir o mesmo valor para o momento de inércia. Para isso ocorrer, a faixa deve ser deslocada a uma distância 𝑘𝑥 dada por: 𝐼𝑥 = 𝑘𝑥²𝐴 𝑘𝑥 = 𝐼𝑥 𝐴 Raio de giração 𝑟𝑥 = 𝐼𝑥 𝐴 ou 𝐼𝑦 = 𝑘𝑦²𝐴 𝑘𝑦 = 𝐼𝑦 𝐴 𝑟𝑦 = 𝐼𝑦 𝐴 5. Problemas de Interesse 13 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia 1) Determine o momento de inércia de um triângulo em relação à sua base. 2) Determine o momento de inércia polar de uma superfície circular por integração direta em relação ao polo O. Em seguida, determine o momento de inércia de uma superfície circular em relação ao seu diâmetro. Elemento diferencial de superfície anelar 5. Problemas de Interesse 14 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia 3) Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação a cada um dos eixos coordenados. Em seguida, determine o raio de giração dessa superfície.