Atividade Complementar Resolvida-2023 1

Questão 1 a) Dada a figura a seguir, determine o sistema força-binário resultante no ponto A. b) Considerando o momento concentrado ilustrado na figura anterior, encontre o binano equivalente formado por forças horizontais aplicada em C e E. c) Considerando o momento concentrado ilustrado na figura anterior, determine o binano equivalente formado pelas menores forças aplicadas em C e E. Questão 2 Com base na figura a seguir, responda os seguintes itens. a) Determine o par ordenado que define o centroide da figura. b) Calcule o momento de inércia da superfície em relação ao eixo x e, em seguida, calcule o respectivo raio de giração. c) Calcule o momento de inércia da superfície em relação ao eixo centroidal paralelo ao eixo x. d) Calcule o momento de inércia da superfície em relação ao eixo z. Questão 3 Sabendo que o eixos x' e y' passam pelo centroide C da área mostrada, responda: a) Determine as coordenadas do centroide em relação aos eixos x e y. b) A figura é simétrica? Justifique sua resposta. Questão 4 Seja a figura plana a seguir. Admitindo que o ponto C seja o seu centroide, determine: a) A figura é simétrica? Justifique sua resposta. b) Com base nos seus conhecimentos sobre simetria, classifique o ponto C. c) Calcule o produto de inércia da figura em relação aos eixos centroidais. d) Os eixos z e y são principais? Caso a resposta seja negativa, determine a orientação dos mesmos, bem como os momentos de inércia principais, por meio do Círculo de Mohr. 1) Calculo do momento em A: 𝛴𝑀𝐴 = 𝑀𝑅𝐴 → [MRA = - 180.2 - 60 sen 30°.6 - 60.cos30°.3 + -60.cos75°.6 + 320.9 - 1800 + 150.3] [MRA = -360 - 180 - 155,885 + 77,646 + + 2580 - 1800 + 450 ] 𝑀𝑅𝐴 = 911,76𝑁.𝑚 Calculo da força resultante 𝛴∑𝐹𝑥 = 𝑅𝑥 → 𝑅𝑥 = 180.cos25° + 60 sen 75° - 60.cos30° + 150 𝑅𝑥 = 163,335 + 57,956 - 51,962 + 150 𝑅𝑥 = 319,13𝑁 𝑅𝑦 = 180.sen25° - 180 - 60.cos75° - 60.sen30° + + 320] 𝑅𝑦 = 76,071 - 180 - 15,529 - 30 + 320 𝑅𝑦 = 170,541𝑁 A força resultante é: \left\{ 170,541N \\ \text{A} \right\] R^2 = 319,13^2 + 170,54^2 𝑅^2 = 130,927,25 𝑅 = 361,84𝑁 tg 𝛼 = \frac{170,54}{319,13} = 28,12° Sendo assim, e também: A: 26𝑁 𝑚 1) b) Para o momento aplicado, temos: 𝛴𝑀 = -1800𝑁.𝑚 ( 1 ) - Rc.3 - RE.3 = -1800 3Rc + 3RE = 1800 Rc + RE = \frac{1800}{3} Rc + RE = 600 Rc = 600 - RE (1) 𝛴𝐹𝑥 = 0 → Rc - RE = 0 Substituindo (1): (600 - RE) - RE = 0 2RE = 600 RE = 300𝑁 Substituindo em (1): Rc = 600 - 300 Rc = 300𝑁 1) c) Para que sejam os menores focos, a distância deve ser a máxima possível: Tem que: a^2 = 3^2 + 3^2 a^2 = 18 → a = 4,24𝑚 𝛴𝐹𝑦 = 0 → Rc - RE = 0 Rc = RE ( 1 ) tg 𝛽 = 3/3 → 𝛽 = 45º Sendo assim: 90º = 𝛽 + 𝛼 → 90º = 45º + 𝛼 𝛼 = 45º 𝛴𝑀 = -1800𝑁.𝑚 ( 1 ) [-Rc.sen 45º.3 - Rc.cos 45º.3 - Re.sen 45º.3 + - Re.cos 45º.3 = -1800] -3Rc (sen 45º + cos 45º) - 3Re (sen 45º + cos 45º) = -1800 Substituindo ( 1 ) -3 Re (sen 45º + cos 45º) - 3Re (sen 45º + cos 45º) = -1800 -6 Re (sen 45º + cos 45º) = -1800 6 Re = 1272,79 Re = 212,13𝑁 Substituindo em ( 1 ) Rc = 212,13𝑁 4)a) A figura não é simétrica reflexiva ou de translação, no entanto é simétrica de rotação. 4)b) O ponto C é o ponto de simetria de rotação da figura, além de ser o centróide da figura 4)b) A1 A3 A2 60mm 20mm 10mm 100mm 10mm 40mm O produto de inércia do círculo é: Ixy = ∑(Ixyi + dzi.dyi.Ai) Ixy = [(0+(50+10/2).(80/2-20).10.80) + (0+0.0.100.10)+(0+(50+10/2).(80/2-20).10.80)] Ixy = [(0+880000)+(0)+(0+880000)] Ixy = 1760000 mm⁴ 4)c) Os eixos x e y não são eixos principais pois Ixy = 1760000 mm⁴ ≠ 0. Separando a seção em 3 áreas temos: Área A1 A1=10.80=800 mm² dz1=50+10/2=55 mm dy1=80/2-20=20 mm Ix1=b.A³/12=10.80³/12=426666,7 mm⁴ Iy1=A.b³/12=80.10³/12=6666,7 mm⁴ Área A2 A2=100.10=1000 mm² dz2=0 mm dy2=0 mm Ix2=b.A³/12=100.10³/12=833333,3 mm⁴ Iy2=A.b³/12=10.100³/12=833333,3 mm⁴ Área A3 A3=10.80=800 mm² dz3=50+10/2=55 mm dy3=80/2-20=20 mm Ix3=b.A³/12=10.80³/12=426666,7 mm⁴ Iy3=A.b³/12=80.10³/12=6666,7 mm⁴ O momento de inércia em x é: Ix = ∑(Ixi + Ai.dyi²) Ix = [(426666,7 + 800.20²)+(833333,3 + 1000.0²) + (426666,7 + 800.20²)] Ix = 746666,7 + 833333,3 + 746666,7 Ix = 2 500 666,7 mm⁴ Ix = 1,502x10⁶ mm⁴ O momento de inércia em y é: Iy = ∑(Iyi + Ai.dxi²) Iy = [(6666,7 + 800.55²)+(833333,3 + 1000.0²) + (6666,7 + 800.55²)] Iy = 2 426 666,7 + 8 333 333,3 + 2 426 666,7 Iy = 5 686 666,7 mm⁴ Iy = 5,687x10⁶ mm⁴ O raio do círculo de Mohr é: R = \sqrt{(\frac{Ix - Iy}{2})^2 + Ixy^2} R = \sqrt{(\frac{1,502x10⁶ - 5,687x10⁶}{2})^2 + (1,76x10⁶)^2} R = \sqrt{(2,0925x10⁶)^2 + (1,76x10⁶)^2} R = 2,734x10⁶ mm⁴ Os momentos de inércia principais são: J₁,₂ = \frac{Ix + Iy}{2} ± R J₁,₂ = \frac{1,502x10⁶ + 5,687x10⁶}{2} ± 2,734x10⁶ J₁,₂ = 3,5945x10⁶ ± 2,734x10⁶ J₁ = 3,5945x10⁶ + 2,734x10⁶ J₁ = 6,3285x10⁶ mm⁴ J₂ = 3,5945x10⁶ - 2,734x10⁶ J₂ = 0,8605x10⁶ mm⁴ E a nova orientação é: tg 2θp = \frac{2Ixy}{Ix - Iy} tg 2θp = \frac{2.1,76x10⁶}{1,502x10⁶ - 5,687x10⁶} tg 2θp = -0,8411 2θp = -40,06° θp1=-20,03° θp2=90°+θp1=90°-20,03° θp2=69,97°