Lista - Teorema do Valor Intermediario - 2024-1

Solução: f(x) = x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ - 1 < 0 f(1) = 3 > 0 Logo f(0) < 0 < f(1) e como f é uma função continua, pelo Teorema de valor intermediário existe c ∈ (0,1), tal que f(c) = 0. Também f'(x) = 7x⁶ + 6x⁵ + 5x⁴ + 3x³ + 1 Suponha que f tenha duas raízes, então f(a) = f(b) = 0. Logo, pelo Teorema de Rolle, existe x ∈ (a,b) Tal que f'(x₀) = f(b) - f(a) = 0 -> f(x₀) = 0 => 7x₀⁶ + 5x₀⁴ + 3x₀ + 1 = 0 -> o que é impossível! Portanto f tem uma única raiz. Solução 2: Dado ε > 0: |x² + 1 - 10 | = |x² - 9 | = |(x+3)(x-3)| Tomamos δ₁ = 1/70 => |x - 3| < δ₁ =1 => -1 < x - 3 < 1 => 2 < x < 4 Logo 3 - x ≠ -3 ≠ ±3 δ₁ = 1/70 Assim, tomando δ = 1/4. ε/7 Logo: |x² + 1 - 10 | = |(x+3)(x-3)| 0 < |x - 3| < δ => |x² + 1 -10 | < ε. Portanto, dado ε > 0, existe δ > 0, 0 < | x - 3 | < δ => | x² + 1 -10 | < ε. Isto é: Lim x₂ + 1 = 0. x→3 Solução 3: lim lim 1/senx = 0 lim lim 1/senx x -> 0 x->0 2 x -> 0 lim 1/x = 1/2 = 1 lim x → 0 1/senx → 0 lim f(x) = 0 x → 0 x -> 0 sendo x = | Assim, existe lim f(x₀) = f(0) = 1/2 lim x -> 0 x -> 0 Portanto, f é derivável em x₀=0. Solução (4) Considere f : R* -> R* é uma função derivável e calculável e calculável pelo Teorema Fundamental do Cálculo derivando Impróprio para x: => d/dx ∫ f(x) dt = [d/dx] (x + ln(f(x))) = TFC fo∞ = 1 + a) Fazendo x = 1, ∫ f(t) dt = 1 + ln(f(1)) fo = 1 f(1) = ln(f(1)) = -1 => f(1) = e^(-1) => e⁻¹ = 1 + f(1) e = 1 + f⁻¹(1) => b) Em (1), x = 1 => f(1) = 1+ b, Useo de oumna fundanendal do caleulo an ay ealewla (3) e x+ p(t) dt + lalp (x)), x 41 4 Sya pR’ R wma punçao dual tal qu 3 Motu por mio da delcao qe a nçao JU3 lm (x +1) = JO (2Moabwpela dyfpao do leme qup tem ma ma d kolle paa meathan q a puncao akoeo o Teoenga do waler mlermdavo o toe 5 3 a