Distribuições de Probabilidade Contínuas - Unidade II

Professor ELMIRO Algumas Distribuições de Probabilidade Contínuas Unidade II Slide 11 Introdução à Estatística Período 20231 Modelos probabilísticos contínuos Variável Aleatória Contínua características Assume valores num intervalo de números reais Não se pode listar individualmente todos os possíveis valores assumidos Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável Continuação Propriedades dos Modelos Contínuos Uma VA X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade fx fdp com as seguintes propriedades A área sob a curva de densidade é 1 isto é fx 0 para todo x Pa X b área sob a curva da densidade fx e acima do eixo x entre os pontos a e b PX x0 0 para x0 fixo Assim Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b 1 dx fx R dx fx b a Continuação Média e Variância Valor Esperado Média Seja X uma VA contínua o valor esperado ou esperança matemática de X é dada por Notação EX Variância Seja X uma va contínua a variância de X dado por EX EX2 ou seja Notação 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝜎2 Continuação Exemplo Foi determinado o peso em kg de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população Os dados obtidos foram dispostos em uma distribuição de frequência com sete classes e sua representação gráfica histograma esta representada ao lado 30 40 50 60 70 80 90 100 000 001 002 003 004 Peso Densidade Continuação Da análise do histograma observamos que a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg a maioria dos valores 88 encontrase no intervalo 5585 existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg 12 e acima de 92kg 1 Vamos definir a seguinte variável aleatória X peso em kg de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da populaçãoexemplo anterior Vem a pergunta Como se distribuem os valores da variável aleatória X isto é qual a distribuição de probabilidades de X Continuação A curva contínua fx da figura acima denominase Curva Normal Continuação A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições de probabilidade contínuas tendo em vistas que Muitos fenômenos aleatórios comportamse de forma próxima a essa distribuição Exemplos 1altura 2pressão sanguínea 3peso Pode ser utilizada para calcular de forma aproximada probabilidades para outras distribuições como por exemplo para a distribuição Binomial Continuação Observação Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal Vejamos o exemplo abaixo Considere a va X definida como a duração em horas de uma lâmpada de certa marca Então A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica pois grande proporção de valores da variável estão entre 0 e 500 horas e pequena proporção de valores acima de 1500 horasrepresentação gráfica ao lado Continuação Distribuição Normal A VA X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por f x 1 σ 2π e1 2 xμ σ 2 para x Pode ser mostrado que 1 é o valor esperado média de X 2 2 é a variância de X 2 0 Notação X N 2 Obs fx é simétrica em relação a Continuação Propriedades da distribuição normal EX e VarX 2 A distribuição é simétrica em torno de sua média A área total sob curva é igual a um fx 0 quando x x é ponto de máximo de fx e são pontos de inflexão de fx Continuação Influência de na curva Normal Curvas Normais com mesma variância 2 mas com médias diferentes 2 1 Continuação Influência de 2 na curva Normal Curvas Normais com mesma média mas com variâncias diferentes 2 2 1 2 N1 2 N2 2 2 2 1 2 Continuação Cálculo de probabilidades Encontrar a área sob a curva da função de densidade utilização de métodos numéricos Pa X b Área sob a curva acima do eixo horizontal x entre a e b PROBLEMAS Continuação Transformar qualquer distribuição Normal µ 2 em uma distribuição normal com parâmetros fixos Normal Padrão através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades Assim SOLUÇÃO Se X N 2 definimos Z X μ σ então EZ 0 VarZ 1 Continuação 0 z fz a b Z N0 1 a b x fx X N 2 A VA Z N01 denominase normal padrão ou reduzida Portanto Continuação Uso da tabela da normal padrão Denotamos por Φz PZ z z f x dx Estes valores estão tabelados para a normal padrão Continuação Exemplo Seja Z N 0 1 calcular a PZ 032 PZ 032 Φ032 Encontrar o valor de Φ032 na Tabela N01 Continuação z 0 1 2 00 05000 05039 05079 01 05398 05437 05477 02 05792 05831 05870 03 06179 06217 06255 Portanto PZ 032 Φ03206255 Continuação b PZ 13 PZ 13 Φ13 00968 c PZ 15 PZ 15 1 PZ 15 1 Φ15 1 09332 00668 Continuação d P0 Z 171 P0 Z 171 PZ 171 PZ 0 Φ171 Φ0 09564 05 04564 OBS PZ 0 PZ 0 05 e P132 Z 179 P132 Z 179 PZ 179 PZ 132 Φ179 Φ 132 09633 09066 00567 Continuação f P15 Z 15 P15 Z 15 PZ 15 PZ 15 Φ15 Φ15 09332 00668 08664 g P132 Z 0 PZ 0 PZ 132 Φ0 Φ 132 05 00934 04066 Continuação h P 23 Z 149 PZ 149 PZ 23 Φ 119 Φ 23 00681 00107 00574 i PZ 32 Φ 32 0 Continuação h Encontre o valor de z na distribuição N0 1 de modo que i PZ z 09750 z é tal que Φz 09750 Pela tabela z 196 ii PZz09975 z é tal que Φz 09975 Pela tabela z 281 Continuação iii PZz 03 PZ z 1 PZ z PZ z 1 PZ z 1 03 07 z é tal que Φz 07 Pela tabela z 052 Exercícios Seja X N10 64 10 σ2 64 e σ 8 Calcular a P6 X 12 b P X 8 ou X 14 c k tal que P X k 005 Continuação Solução a P6 X 12 P 6μ σ Xμ σ 12μ σ P 610 8 X10 σ 1210 8 P 05z025 025 05 05987 03085 02902 b P X 8 ou X 14 P X 8 ou X 14 P X 8PX 14 P X10 8 810 8 X10 8 1410 8 Pz 025PZ 05 025 1 05 04013 1 06915 07098 Continuação c k tal que P X k 005 PX k 005 P X 10 8 k 10 8 005 P Z k 10 8 005 Então k 10 8 164 K 164x8 10 K 0 1312 312 K 312 Continuação Exemplo O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal com média 120 min e desvio padrão 15 min a Sorteando um aluno ao acaso qual é a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos b Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95 dos vestibulandos terminem no prazo estipulado c Qual é o intervalo central de tempo tal que 80 dos estudantes gastam para completar o exame Solução X N100 152 a PX100P X120 15 100120 15 P Z133 133 00918 ou 918 Continuação b PX k 095 P X 120 15 k 120 15 095 P Z k 120 15 095 Então k 120 15 164 k 164 x 15 120 K 246 120 1446 k 1446 minutos c Px1 X x2 080 PX x1010P X μ x1 120 15 010 P Z x1 120 15 010 x1 120 15 128 x1 120 128x15 x1 120 92 x1 1008min Continuação PX x2090 P Xμ x2120 15 090 P Z x2120 15 090 x2120 15 128 x2 120 128x15 x2 120 192 x2 1392min Logo entre 1008 e 1392 minutos 80 dos estudantes completam o exame Continuação Exercício 1 O tempo gasto com todas as etapas da produção de um novo produto tem distribuição Normal com média 6 minutos e desvio padrão 15 minutos a Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando o tempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executar essa tarefa b Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários com tempo total gasto com a produção superior a 75 minutos Qual a probabilidade de um funcionário ser penalizado ao executar essa tarefa c Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa que fosse estebelecido um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefa entre 4 e 8 minutos Qual a probabilidade de um funcionário executar essa tarefa no intervalo de tempo sugerido d Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20 dos funcionários recebessem a gratificação Continuação Solução X N6 152 aPX5 P Xμ 56 15 P Z067 067 02514 ou seja 2514 dos funcionários receberão a gratificação por executarem a tarefa antes de 5 minutos b PX 75 P X μ 75 6 15 P Z 100 1 100 108413 PX7501587 ou seja 1587 dos funcionários serão penalizados por executarem a tarefa em um tempo superior de 75 minutos c P 46 15 Xμ σ 86 15 P133Z133 133 033 0908200918 0816426 Continuação d PX k020 P Xμ k6 15 020 P Z k6 15 020 k6 15 084 k 6 084x15 k 6 126 x2 474min Logo com o tempo de 474 min apenas 20 dos funcionários receberão a gratificação Continuação EXECÍCIO PROPOSTO Doentes sofrendo de certa moléstia são submetidos a um tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal com média 15 e desvio padrão 3 em dias a Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para se recuperar b Qual a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso presentar tempo de cura inferior a 20 dias c Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25 dos pacientes d Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso qual seria o número esperado de doentes curados em menos de 11 dias