Esperança e Variância - Introdução à Estatística

Professor ELMIRO Esperança e Variância Unidade II Slide 09 Introdução à Estatística Período 20222 Introdução Nos modelos matemáticos aleatórios são empregados alguns valores numéricos denominados parâmetros que tem como objetivo caracterizar a distribuição de probabilidade Logo a cada distribuição de probabilidade podemos associar certos parâmetros os quais fornecem informações sobre a distribuição São eles MÉDIA Esperança VARIÂNCIA OBJETIVO Definir medidas para as variáveis aleatórias que sintetizem características relevantes de uma distribuição de probabilidade Continuação Esperança e Variância de uma VA Discreta Definição Valor Esperado média Dada a VA discreta X assumindo os valores x1 x2 xn Chamamos de valor médio ou valor esperado ou esperança matemática de X o valor μX EX x1PXx1x2PXx2xnPXxn ou μX EX σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖PXxi Exemplo Calcule a Esperança matemática da VA X soma dos pontos obtidos nos dois dados Solução A distribuição de probabilidade da VA X é x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PXX 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 Continuação Logo EX σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖PXxi 2 1 363 2 364 3 365 4 366 5 367 6 368 5 369 4 36 10 3 36 11 2 3612 1 36 EX 2 36 6 3612 3620 3630 3642 3640 3636 3630 3622 36 12 36 256 36 7 EX7 A Média da VA X soma dos pontos obtidos nos dois dados é igual a 7sete Continuação 1 A média de uma constante é a própria constante 2 Multiplicandose uma variável aleatória X por uma constante sua média fica multiplicada por essa constante 3 A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é respectivamente a soma ou diferença das médias Observação Note que toda função de uma variável aleatória X é também uma variável aleatória Podemos portanto falar na esperança de X2 2X1 dentre outras Por exemplo k Ek kEX EkX EY EX Y EX 1 i i 2 i 2 x px EX Continuação Variância Seja X variável aleatória com esperança dada por EX Então a Variância de X representada por VarX 𝜎𝑥2 é definida por 𝜎𝑥2VX EXEX2 EX2EX2 A variância nos dá a dispersão dos valores da variável em relação ao valor esperado Observação Notase que se uma variável aleatória é medida em certa unidade portanto a variância dessa variável é expressa no quadrado dessa unidade Para fins de comparação e facilidade de interpretação introduzse o conceito do desvio padrão da variável aleatória denotado por 𝜎𝑥 que é definido como a raiz quadrada positiva da variância isto é 𝜎𝑥 𝜎𝑥2 Continuação Exemplo 1 Determine a Variância da VA X soma dos pontos obtidos nos dois dados Solução Do exemplo anterior sabemos que EX7 EX2σi1 n xi 2PXxi22 1 3632 2 3642 3 3652 4 3662 5 3672 6 3682 5 36 92 4 36 102 3 36112 2 36122 1 36 EX24 1 369 2 3616 3 3625 4 3636 5 3649 6 3664 5 3681 4 36100 3 36121 2 36144 EX2 4 3618 3648 36100 36 180 36 294 36 320 36 324 36 300 36 242 36 144 36 1974 36 5483 Continuação Logo VX EX2EX2 5483 72 548349 583 VX 583 Desvio Padrão DPX σx 583241 DPX 241 Continuação 1 A variância de uma constante é zero 2 Multiplicandose uma variável aleatória por uma constante sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante 3 Somandose ou subtraindose uma constante à variável aleatória sua variância não se altera 4 A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é dada por onde OBS Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então consequentemente covXY0 logo 0 Vk k VX VkX 2 VX X Vk 2 covXY VY VX Y VX EXY EXEY EY EX Y E X covXY EXEY EXY VY VX Y VX Continuação EXECÍCIOS PROPOSTOS 1 Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos livros Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X número de livros vendidos por semana a Calcule o número esperado de livros vendidos por semana b Calcule a VarX c Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros por semana d Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro e O lucro da livraria é obtido através da relação Y3X2 Qual o lucro esperado da livraria X 0 1 2 3 4 5 PXX 005 015 042 020 008 010