Introdução à Probabilidade e Estatística

Introdução à Probabilidade Unidade II Slide 07 Professor ELMIRO Introdução à Estatística Período 20231 No ano de 1654 um jogador da sociedade parisiense Chevalier de Mère propôs a Blaile Pascal 16231662 algumas questões sobre possibilidades de vencer em jogos Chevalier de Mère Blaile Pascal Eis a questão proposta Um jogo de dados entre dois adversários chega ao fim quando um dos jogadores vence três partidas em primeiro lugar Se esse jogo for interrompido antes do final de que maneira cada um dos adversários deve ser indenizado Introdução Pascal escreveu a Pierre de Fermat 16011665 sobre esse problema e a correspondência entre eles deu subsídios e consequentemente o inicio da formatação da teoria das probabilidades PierreSimon Laplace 17491827 no livro Teoria analítica das probabilidades demonstra admiração por essa nova teoria por meio da afirmação Uma ciência que começou pelo estudo dos jogos de azar e tem se transformado no mais importante objeto do conhecimento humano Pierre de Fermat PierreSimon Laplace Continuação Continuação Existem muitas situações que envolvem incertezas que sejam eles fenômenos ou experimentos aleatórios Um modelo matemático ajudará a investigar de maneira bastante precisa esse fenômeno que de modo geral podem ser classificados como Determinísticos ou NãoDeterminísticos São Determinísticos quando os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja executado Exemplo Deslocamento de um corpo velocidade média leis da física etc São NãoDeterminísticos Probabilísticos ou Aleatórios quando aplicados em situações que envolvem incerteza Desta forma os Resultados variam de uma observação para outra mesmo em condições normais de experimentação As condições do experimento determinam apenas o comportamento inserto do resultado observável Para estes casos o modelo matemático aplicável é a Teoria da Probabilidade Exemplos Lançamento de dois dados Índices econômicos Tempo de vida de um equipamento eletrônico etc Continuação A teoria das probabilidades é o fundamento para a inferência estatística O que se busca nesta parte do curso é que sejamos capazes de compreender os conceitos mais importantes da probabilidade e as suas aplicações O conceito de probabilidade faz parte do diaadia dos trabalhadores de todas as áreas uma vez que seu conceito é frequentemente utilizado Por exemplo podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70 de ser aprovado em uma determinada disciplina Um professor está 90 seguro de que um novo método de ensino proporcione uma melhor compreensão pelos alunos Um engenheiro de produção afirma que uma nova máquina reduz em 20 o tempo de produção de um bem Continuação Teoria da Probabilidade Objetivo A teoria das probabilidades busca quantificar as chances de ocorrer um dado fenômeno aleatório ou não determinístico Pode também ser vista como o ramo da matemática que cria elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios Na teoria das probabilidades estudamos os experimentos aleatórios equiprováveis isto é experimento onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance Alguns conceitos importantes 1 Experimento aleatório São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais que conduzem a resultados incertos e ao ser repetido sob as mesmas condições pode fornecer resultados diferentes Exemplos 1 Lançamento de uma moeda honesta 2 Lançamento de um dado 3 Lançamentos de duas moedas 4 Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas 5 Determinação da vida útil de um componente eletrônico Características de um experimento aleatório Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições Podemos descrever todos os possíveis resultados Continuação 2 Espaço amostral conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento É indicado pela letra Os elementos do espaço amostral serão chamados de pontos amostrais Exemplos Nos exemplos dados anteriormente os espaços amostrais são 1 Lançamento de uma moeda honesta c k onde ccara e kcoroa 2 Lançamento de um dado 1 2 3 4 5 6 3 Lançamento de duas moeda honesta c kc ck ck k ccara e kcoroa 4 Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas Ao Ko Ap Kp Ae Ke Ac Kc 5 Vida útil de um componente eletrônico t t 0 Continuação 3 Evento conjunto de resultados desejados do espaço amostral ou seja um subconjunto de Pode ser expresso por um único ponto amostral ou uma reunião deles Exemplos Lançamse dois dados D1 e D2 Enumerar os seguintes eventos A saída de faces iguais B saída de faces cuja soma seja igual a 10 C saída de faces cuja soma seja igual a 12 D saída de faces onde uma face o dobro da outra E saída de faces cuja soma seja menor que 2 F saída de faces cuja soma seja menor que 15 Continuação Solução 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Os eventos pedidos são A saída de faces iguais A 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 B saída de faces cuja soma seja igual a 10 B 4 6 55 6 4 Continuação 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 C saída de faces cuja soma seja igual a 12 C 6 6 D saída de faces onde uma face o dobro da outra D 1 2 2 1 2 4 4 2 3 6 6 3 E saída de faces cuja soma seja menor que 2 E evento impossível F saída de faces cuja soma seja menor que 15 F evento certo Continuação Evento simples todo subconjunto do espaço amostral com apenas um elemento Exemplo Evento C saída de faces cuja soma seja igual a 12 C 6 6 Evento composto todo subconjunto do espaço amostral com mias de um elemento Exemplo Evento B saída de faces cuja soma seja igual a 10 B 4 6 55 6 4 Eventos mutuamente exclusivos se a ocorrência de um deles implica na nãoocorrência do outro Exemplo Evento C saída de faces cuja soma seja igual a 12 C 6 6 e Evento B saída de faces cuja soma seja igual a 10 B 4 6 55 6 4 Continuação Evento certo Ocorre quando um evento coincide com o espaço amostral Exemplo Evento F saída de faces cuja soma seja menor que 15 F evento certo Evento impossível Ocorre quando um evento é vazio Exemplo Evento E saída de faces cuja soma seja menor que 2 E evento impossível Continuação Classes de Eventos Definição Classe de Eventos é um conjunto formado por todos os eventos possíveis subconjuntos do espaço amostral É representado por F Exemplo Consideremos um espaço amostral finito e1 e2 e3 e4 então el e2 e3 e4 F el e2 el e3 el e4 e2 e3 e2 e4 e3 e4 el e2 e3 el e2 e4 el e3 e4 e2 e3 e4 el e2 e3 e4 Continuação Diagrama de Venn Uma forma de determinar o espaço amostral a através de um dispositivo gráfico em que o espaço amostral é representado por um retângulo e os eventos por círculos Este dispositivo e denominado de Diagrama de Venn A B Continuação Operações com eventos Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral Consideremos um espaço amostral finito e1 e2 e3 en Sejam A e B dois eventos de F 1 Reunião Definição A B ei ei A ou ei B i 12 n A B Continuação 2 Interseção Definição A B ei ei A e ei B i 12 n A B 3 Complementação Definição A A ei ei A A Continuação A B 4 Subtração Definição A B ei ei A e ei B i 12 n Lei da Dualidade de Morgan 1 ABAB 2 ABAB Continuação Exemplo Lançamse duas moedas Considere os eventos AObtenção de faces iguais e BObtenção de cara na primeira moeda Determine os eventos AB AB A B A B A B A B A B A B B A Solução Sejam ccara e kcoroa então c c c k k c k k Ac c k k Bc c c k Continuação Solução Sejam ccara e kcoroa então c c c k k c k k Ac c k k Bc c c k A Bc c c k k k A Bc c Ac k k c Bk c k k A Bk c A Bc k k c k k A Bk c A Bc k k c k k A Bc k B Ak k Continuação Partição do Espaço Amostral Definição Dizemos que os eventos A1 A2 A3 An formam uma partição do Espaço Amostral se 1Ai i123 n 2Ai Aj ij 3ڂi1 n Ai A1 A4 A2 A3 An Continuação EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Lançamse três moedas Enumerar o espaço amostral e os eventos a faces iguais b cara na 1ª moeda c coroa na 2ª e 3ª moedas d construa uma partição para 2Um lote contém peça de 5 10 15 30 mm de diâmetro Suponha que 2 peças sejam selecionadas no lote Se x e y indicam respectivamente os diâmetros da 1ª e 2ª peças selecionadas o par x y representa um ponto amostral Usando a plano cartesiano indicar os seguintes evento a Axy b Byx c Cxy10 Continuação Função Probabilidade Definição É uma função P que associa cada evento de F um número real pertencente ao intervalo 0 1 satisfazendo os seguintes axiomas 1 P 1 2 Sendo A e B Eventos mutuamente exclusivos ME então PABPA PB 3 Pڂi1 n Ai σi1 n PAi se os Ai forem dois a dois mutuamente exclusivos Observamos pela definição que 0 PAi 1 evento A pertencente a Continuação Propriedades Fundamentais Se for o conjunto vazio então P0 Se ഥA for o evento complementar de A então P ഥA 1 PA Se A e B forem eventos quaisquer tais que A B então PA PB Se A e B são dois eventos quaisquer então PABPAPBPAB Sejam A B e C três eventos quaisquer então PABC PAPBPC PABPACPBCPABC Continuação Espaços amostrais finitos e equiprováveis Um espaço amostral é dito finito se a1a2an Considere o evento Ai ai formado por um resultado simples A cada evento simples ai associaremos um número pi denominado de probabilidade de ai satisfazendo às seguintes condições 1 pi 0 i 1 2 n 2 p1 p2 pn 1 Continuação Se considerarmos o espaço equiprovável teremos p1 p2 pn p logo p p p 1 np 1 p 1 n Considere agora o evento Ba1 a2 ak com k n Então B pode ser escrito como B A1 A2 Ak então PB PA1PA2PAk 1 n1 n1 n k n nB n ou seja PBnúmero de casos favoráveis número de casos possíveis Continuação Continuação Exemplos 1 Três cavalos A B e C estão numa corrida A tem duas vezes mais chance de ganhar que B e B tem duas vezes mais chance que C Quais são as probabilidades de vitória de cada um isto é PA PB e PC Qual é a probabilidade de que B ou C ganhe Solução Seja PC p Como B tem duas vezes mais chance de ganhar do que C então PB2p Como A tem duas vezes mais chance de vencer do que B PA 2PB 22p 4p Sabemos que a soma das probabilidades tem que ser 1 então PAPBPC1 p 2p 4p 1 7p 1 p 17 Logo PA 47 PB 27 e PC 17 Por definição PBC PB PC 27 17 37 Continuação Exemplos 2 Em João Pessoa 60 dos residentes gostam de corrida 30 de sushi e 40 de música Adicionalmente sabemos que 15 gostam de correr e de sushi 20 gostam de correr e de música 10 gostam de sushi e de música e 5 gostam de correr de sushi e de música 1Qual a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente gostar de pelo menos uma das três atividades 2Qual a probabilidade de um morador desta cidade não gostar de nenhum tipo destas atividades Continuação Solução Sejam Agostar de corrida Bgostar de Sushi e CGostar de música A B 30 10 10 5 15 5 15 C P A 060 PB030 e PC040 PAB015 PAC020 PCB010 e PABC005 a PABCPAPBPC PABPAC PBCPABC PABC060030040015 020010005090 bP A B C1 PABC 1090010 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos Seja PA 020 e PB 030 Calcule as probabilidades a PA b PB c PA B d PA B e PA B f PA B 2 Suponha agora que os eventos A e B não sejam mutuamente exclusivos Adicionalmente sabemos que PAB010 Calcule as mesmas probabilidades do exercício anterior Continuação Tabela de contingência Revela a existência de eventos combinados e facilita o tratamento probabilístico de tais eventos É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas e que além dessas informações é possível visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos Continuação Exemplo Perguntouse a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco Os resultados estão a seguir Determine a probabilidade de uma pessoa sorteada a Seja de Patos e tenha respondido SIM a pesquisa b Seja de João Pessoa e tenha respondido NÃO a pesquisa Resultado J Pessoa C Grande Patos Total Sim 100 150 150 400 Não 125 130 95 350 Não Sabe 75 170 5 250 Total 300 450 250 1000 Continuação Solução Sejam os eventos A Seja de Patos e tenha respondido SIM a pesquisa B Seja de João Pessoa e tenha respondido NÃO a pesquisa Logo a PA 1501000015 b PB 12510000125 Continuação EXERCÍCIO PROPOSTO Perguntouse a uma amostra de adultos formados em engenharia em três capitais do nordeste se eles atuavam na área Os resultados estão a seguir Um adulto é selecionada ao acaso Determine a probabilidade de que a Seja de Natal ou tenha respondido Sim b Seja de Recife e tenha respondido Não c Seja de João Pessoa Resultado J Pessoa Recife Natal Total Sim 160 220 180 560 Não 135 80 95 310 Total 295 300 275 870 Continuação Probabilidade Condicional Exemplo 1 Um lote é formado pelos seguintes artigos 80 não defeituosos e 20 defeituosos Dois artigos são retirados do lote Sejam A o 1 artigo é defeituoso e B o 2 artigo é defeituoso Calcule PA e PB a com reposição b sem reposição a Se extrairmos com reposição PA PB20100 pois cada vez que estivermos extraindo do lote existirão 20 peças defeituosas no total de 100 b Se estivermos extraindo sem reposição é ainda verdade que PA20100 E sobre PB É evidente que a fim de calcularmos PB é necessário conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça Isto é devemos saber se A ocorreu ou não Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir um novo conceito Se não vejamos Continuação Se o 1 artigo retirado é defeituoso então sabemos que o evento A ocorreu então a probabilidade do o 2 artigo ser defeituoso sabendose que o 1 artigo é defeituoso será representado por PBA1999 probabilidade da ocorrência do evento B dado a ocorrência do evento A Se o 1 artigo retirado é não defeituoso então sabemos que o evento A não ocorreu então a probabilidade do o 2 artigo ser defeituoso sabendose que o 1 artigo é não defeituoso será representado por PB A 2099 probabilidade da ocorrência do evento B dado a não ocorrência do evento A Continuação Exemplo 2 Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade Destes alunos 100 são homens H e 150 são mulheres M 110 cursam física F e 140 cursam química Q A distribuição dos alunos a seguinte Um aluno sorteado ao acaso Qual a probabilidade de que esteja cursando química dado que mulher Sexo CURSO Total FísicaF QuímicaQ HomensM 40 60 100 MulheresF 70 80 150 Total 110 140 250 Continuação Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de 80 150 e representamos por PQM 80 150 probabilidade de que o aluno curse química condicionado ao fato de ser mulher Observamos porem que PMQ 80 250 e PM 150 250 Para obtermos o resultado do problema basta considerar que PQM 80 250 150 250 80 150 Logo PQM PMQ PM Continuação Probabilidade Condicional Definição A probabilidade de um evento A ocorrer dado ou na condição de que o evento B já ocorreu será dado por PAB PAځ B PB para PB 0 Obs Sempre que calcularmos PAB estaremos essencialmente calculando PA em relação ao espaço amostral reduzido B em lugar de fazêlo em relação ao espaço original Continuação Dois dados são lançados ao acaso Qual a probabilidade da soma das faces obtidas ser igual a 6 dado que o primeiro dado saiu um número menor que 3 Solução 11 12 13 14 16 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 36 36 41 42 43 44 46 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 66 66 A soma igual a 6 15 24 33 42 51 B 1º dado com nº 3 11 12 13 14 15 16 22 21 23 24 25 26 A B 15 24 Logo PA B 2 36 12 36 212 16 Exemplo Continuação EXERCÍCIO PROPOSTO Estudos realizados pela SDS da Paraíba em relação a situação do status de promoção de oficiais masculinos e femininos são apresentados na tabela abaixo dados fictícios Depois de rever o registro de promoções um comitê feminino de oficiais levantou um caso de discriminação com base em que 288 oficiais masculinos receberam promoções mas somente 36 oficiais femininas foram promovidas A administração da polícia argumentou que o número relativamente baixo de promoções para as oficias femininas foi devido não à discriminação mas ao fato de que há relativamente poucas oficias mulheres na força policial E agora como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu questionamento da acusação de discriminação Sexo Promovidos Não promovidos Total Masculino 288 672 960 Feminino 36 204 240 Total 324 876 1200 Continuação Teorema da Multiplicação de Probabilidade A mais importante consequência da definição de probabilidade condicional é o seguinte teorema Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral então PAځ BP B xPAB ou PAځ BP A xPAB O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser generalizado para mais de dois eventos assim Sejam A1 A2 An eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral a probabilidade da ocorrência simultânea de A1 A2 An é dada por Pځi1 n AiP A1 P A2A1 PA3A1A2PA4A1A2A3PAn A1A2An1 Continuação Exemplos 1 Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas Retirase ao acaso 3 lâmpadas sem reposição Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem boas Então PA1A2A3 PA1xPA2A1xPA3A1A2 4 6 3 5 2 4 1 5 2 Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades 5 delas defeituosas Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos Sejam os eventos A o 1o carro é defeituoso B o 2o carro é defeituoso Logo PA 512 e PBA 411 então PAB PAxPAB512 x 411 533 01515 Continuação Teorema da probabilidade Total Sejam A um evento qualquer do espaço amostral e B1 B2 Bk uma partição do mesmo espaço amostral então PA PAB1PB1 PAB2PB2 PABkPBk Ou seja PA k i 1 PAB PB i i Continuação B4 B1 B1 B2 A Exemplo No curso de Engenharia Mecânica 5 dos homens e 2 das mulheres estão acima do peso ideal Sabese também que 60 dos estudantes são homens Sorteandose aleatoriamente um estudante calcule a probabilidade de que ele esteja acima do peso Sejam A o estudante esta acima do peso M a estudante seja mulher e H o estudante seja homem Então pelo teorema da multiplicação de probabilidade teremos PA PAMPM PAHPH 002 x 04 005 x 06 004 Continuação Eventos independentes Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência ou nãoocorrência do evento A ou seja PAB PA ou PBA PB Assim A e B são eventos independentes se PA B PA x PB Continuação Exemplo Lançamse 3 moedas Verifique se os eventos A e B definidos abaixo são independentes A saída de cara na 1ª moeda B saída de coroa na 2ª e 3ª moedas Solução ccc cck ckc ckk kcc kck kkc kkk A ccc cck ckc ckk PA 4 8 1 2 B ckk kkk PB 2 8 1 4 AB ckk PAB 1 8 Como PAPB 1 2 1 41 8 PABPAPBlogo concluímos que A e B são eventos independentes Continuação Teorema de Bayes Sejam B1 B2 Bk uma partição do espaço amostral ou seja eventos mutuamente exclusivos Seja A um evento qualquer associado a então P Τ Bi A PBiځ A PA P Τ A BiPBi P Τ A B1PB1 P Τ A BkPBk Continuação B4 B1 B3 B2 A Exemplo Em uma turma 60 dos estudantes são homens e 40 mulheres Além disso sabese que 1 dos homens e 4 das mulheres tem menos de 160m Dado que um estudante com menos de 160m foi sorteado aleatoriamente qual a probabilidade de ser mulher Solução Sejam os eventos H Homem M Mulher A menos de 160m PMA PMځ A PA PMځ A PMځ APHځ A PMA P Τ A MPM P Τ A MPMP Τ H APA 004 x 040 004 x 040001 x 060 PMA 0727 Continuação EXERCÍCIO PROPOSTO Uma determinada peça é produzido por três fábricas 1 2 e 3 Sabese que 1 produz o dobro de peças que 2 e que 2 produz o mesmo número de peças que 3 Sabese também que 2 das peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas enquanto que 4 das produzidas por 3 são defeituosas Todas as peças produzidas são colocadas em um deposito e em seguida uma é escolhida ao acaso Qual a probabilidade da peça escolhida seja defeituosa Sabendose que a peça selecionada seja perfeita qual a probabilidade de ter sido produzida pela fabrica 3 Continuação