Introdução às Variáveis Aleatórias - Unidade II

Variáveis Aleatória VA Unidade II Slide 08 Introdução à Estatística Período 20222 Introdução Ao descrevemos um espaço amostral associado um experimento aleatório necessariamente não especificamos que um resultado individual seja um valor numérico Exemplos 1 Lance uma moeda honesta três vezes e observe a sequência de caras e coroas obtidas kkk kkc ckk kck kcc ckc cck ccc em que k cara e c coroa 2 De um lote de 4 peças das quais 2 são defeituosas peças são extraídas até que as 2 defeituosas sejam retiradas DD DPD PDD DPPD em que Ddefeituosa e Pperfeita 3 Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFF em que Ffeminino e Mmasculino Contudo em muitas situações experimentais estaremos interessados na mensuração de algo e no seu registro como um número Mesmo nos exemplos anteriormente poderemos atribuir um número real a cada elemento do espaço amostral Exemplos 1 Seja X o número de caras Xkkk3 XkkcXckkXkck2XkccXckcXcck1 e Xccc0 2 Seja X o número de peças retiradas XDD2 XDPDXPDD3 e XDPPDXDPDP4 3 Seja X o número de meninos XMMM3XMMFXMFMXFMM2 XMFFXFMFXFFM1 e XFFF0 Continuação Na realização de um fenômeno aleatório é comum termos interesse em um ou mais resultados particulares e a eles associamos um número Desta forma são obtidas funções dos resultados que são de nosso interesse Nesses casos os elementos resultantes são as quantidades de interesse Após a realização do fenômeno teremos uma observação conhecida que no entanto não é mais aleatória Podemos considerar que a observação conhecida do fenômeno aleatório produz um particular valor observado da variável aleatória Assim uma outra realização do fenômeno fornecerá um outro valor observado da variável na maioria das vezes diferente do anterior Características Desejamos então atribuir um número real x a cada resultado do espaço amostral O domínio de X é e os números na imagem são números reais qualitativo atributo discreto quantitativo v a ℝ contínuo Continuação Continuação Como sabemos características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação Essa variabilidade ocorre ao acaso pois resulta de uma soma de fatores nãocontrolados Toda vez que uma variável é influenciada pela aleatoriedade dizse que esta é uma variável aleatória Exemplos número de livros de uma biblioteca peso de recémnascidos Usaremos letras maiúsculas X Y Z para indicar variáveis aleatórias Letras minúsculas x y z representarão valores assumidos por variáveis aleatórias Conceitos Formalmente Uma variável aleatória VA pode ser entendida como uma variável quantitativa cujo resultado valor depende de fatores aleatórios Resumidamente variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos ou seja X ℝ X Variável aleatória Xs s Continuação Exemplo Experimento Aleatório E Lançamento de duas moedas Variável Aleatória X Número de caras obtidas nas duas moedas Espaço amostral associado a E c c c k k c k k x0 correspondente ao evento k k x1 correspondente ao evento k c c k x2 correspondente ao evento c c k c c k c c 0 1 2 ℝ Xnúmero de cara obtidas k k As variáveis aleatórias classificamse em discretas ou contínuas dependendo do tipo de conjunto de valores que elas podem assumir Variável discreta quando a variável assume valores num conjunto finito ou infinito numerável Exemplos Número de filhos Número de funcionários de uma empresa Número de tumores detectados por um exame Número de peças defeituosas Algumas definições Variável contínua quando a variável assume valores de um conjunto infinito não numerável Exemplos Tempo até a cura de uma doença Altura de árvores Peso de recémnascidos Concentração de CO2 na água Poluição sonora Continuação Continuação Observação Um caso especial de variável aleatória discreta é quando esta pode assumir um dentre dois valores possíveis Este tipo de variável recebe em estatística o nome de variável dicotômica ou binária Exemplos Classificar um tumor como maligno ou benigno Determinar através de uma imagem de satélite se numa determinada área de floresta está ou não ocorrendo uma queimada Em coletas de sangue se o fator Rh é ou Variáveis Aleatória Discreta Função de Distribuição de Probabilidades A função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória qualquer X é uma descrição das probabilidades associadas aos valores possíveis de X que permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação Para uma variável aleatória discreta a distribuição é frequentemente especificada por uma tabela composta dos valores possíveis da VA juntamente com a probabilidade de cada um destes valores Em alguns casos é conveniente expressar a probabilidade em termos de uma fórmula Exemplos 1 Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFMFFF Defina X nº de crianças do sexo masculino M Então X é uma VA discreta que assume valores no conjunto X 0 1 2 3 2 Observar o tempo de reação a um certo medicamento Defina X tempo de reação ao medicamento X é uma VA contínua que assume qualquer valor real positivo X t t0 Continuação Exemplo 1 E Lançamento de três moedas honestas X número de caras obtidas ccc ccr crc rcc crr rcr rrc rrr X 0 1 2 3 Função Distribuição de probabilidade Uma função de probabilidade deve satisfazer 0PXx1 σ𝑖1 𝑛 PXx 1 Continuação x 0 1 2 3 PXx 18 38 38 18 Exemplo 2 Um dado é lançado duas vezes de forma independente Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser menor do que 6 Solução E lançamento de dois dados X soma dos pontos obtidos nos dois dados 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 X2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Continuação Função distribuição de probabilidade Então PX6PX5PX4PX3PX2436336236136 1036 Poderíamos estar interessados em outras VAs tais como 1 Y valor máximo obtido dentre os dois lançamentos x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 PXX 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 y 1 2 3 4 5 6 PYy 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 Continuação Continuação 2 Z diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento 3 W pontos do segundo lançamento z 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 PZz 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 w 1 2 3 4 5 6 PWw 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Função de distribuição acumulada Definição A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX RR definida por FXx PX x σt1 x PXt Exemplo Determine a função de distribuição acumulada do exemplo 2 obtida anteriormente para a VA Y Solução A função de distribuição de probabilidade da VA Y valor máximo obtido dentre os dois lançamentos obtida é y 1 2 3 4 5 6 PYy 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 Logo a função de distribuição acumulada será Fy1PY1136 Fy2PY1PY2136336 436 Fy3PY1PY2PY3136336536 936 Fy4PY1PY2PY3PY4136336536736 1636 Fy5PY1PY2PY3PY4PY5136336536736 936 2536 Fy6PY1PY2PY3PY4PY5PY6 1363365367369361136 3636 1 Continuação Então 0 se y1 0136 se 1 y2 0436 se 2 y3 Fyy 0936 se 3 y4 1636 se 4 y5 2536 se 5 y6 1 se y6 Representação gráfica 0 136 436 936 1636 2536 1 1 2 3 4 5 6 Y Fy Continuação EXECÍCIOS PROPOSTOS 1 Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade c para k 1 3 5 PXk 2c para k 2 4 a Determine o valor da constante c que torna a distribuição acima uma legítima distribuição de probabilidade b Determine a função de distribuição acumulada Fx e construa o gráfico c Calcule a PX1 PX3 PX4 P52X5 Continuação 2 Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição acumulada dada por a F203 F005 F106 F208 e F51 b Calcule P1X4 Continuação Variáveis Aleatória Contínuas Uma variável aleatória X é contínua se existir uma função f denominada função de densidade de probabilidade fdp de X que satisfaça as seguintes condições 1 fx 0 para todo x 𝑅𝑋 2 f x dx 1 3 Para qualquer a e b com a b teremos Pa X b 𝑎 𝑏 f x dx Observação Pa X b representa a área sob a curva da função densidade de probabilidade entre a e b