Distribuições de Probabilidade Discretas - Aula II

Professor ELMIRO Algumas Distribuições de Probabilidade Discretas Unidade II Slide 10 Introdução à Estatística Período 20222 Alguns modelos probabilísticos discretos 1 Distribuição Uniforme Discreta Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por x1 x2 xk Dizemos que X segue o modelo Uniforme se sua distribuição de probabilidade é dada por 1n i1 2 3 n 0 caso contrário Exemplo Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado e estamos interessados na VA X Número da face obtida Neste caso todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e assim podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente entre os diversos resultados ou seja podemos escrever a seguinte distribuição de probabilidade PXxi Continuação x 1 2 3 4 5 6 PXx 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Notação XUdx1xn OBS podemos mostrar que EX 1 𝑛 σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 VX 1 𝑛 ൡ ൝σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 2 σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 2 𝑛 Para o exemplo anterior EX 1 6 123456 21 6 35 EX35 VX 1 6 149162536 212 6 1 6 91 441 6 1 691735 VX 1 6 17529 VX29 Continuação 2 Distribuição de Bernoulli Algumas situações têm alternativas dicotômicas e podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucessofracasso Associaremos p a probabilidade de sucesso ao evento que nos interessa e 1p será a probabilidade de fracasso Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma VA com distribuição de Bernoulli Definição Uma VA X de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1um se ocorrer sucessos e 0zero se ocorrer fracasso f ou seja Xs1 e Xf0 A probabilidade de sucesso é p 0p1 e a probabilidade de fracasso é 1p Logo a fdp é dada por Continuação Notação XBerp indica que a VA X tem distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p Se XBerp podemos mostrar que EXp e VarXp1p Exemplo Considere o experimento Lançar um dado e observar a face superior Defina o evento o número é múltiplo de 3 e a variável X é definida como 1 se o evento ocorrer sucesso e 0 caso contrário Encontre a distribuição de probabilidade de X calcule a esperança e a variância x 0 1 PXx 1p p fxPXx൝ px 1p 1x se x0 ou x1 0 caso contrário Continuação 1 2 3 4 5 6 S 3 6 p 26 13 X1 e F 1 2 4 5 1p 46 23 X0 logo fxPXxቐ 1 3 x 2 3 1x se x0 ou x1 0 caso contrário EX 13 e VX 1 3 2 3 29 Continuação 3 Distribuição Binomial Exemplo Suponha que um dado seja lançado 3 vezes Seja A o evento obtenção de uma face maior ou igual a 5 e a obtenção de A seja classificada como SucessoS caso contrário com FracassoF Determinar a função de distribuição de probabilidade da variável X número de vezes em que se obtém o evento A obtenção de faces maiores ou iguais a 5 nos 3 lançamentos do dado Continuação Solução Sabemos A5 6 PA26 PS26 probabilidade de sucesso consequentemente A1 2 3 4 PA46 PF46 probabilidade de fracasso O Espaço amostral da VA X no que se refere a obtenção de sucesso ou fracassos é dado por FFF FFS FSF SFF FSS SFS SSF SSS Continuação FFF FFS FSF SFF SSF SFS FSS SSS Valor de X 0 1 1 1 2 2 2 3 PXx 4 6 4 6 4 6 4 6 3 2 6 0 4 6 4 6 2 6 4 6 2 2 6 1 4 6 2 6 4 6 4 6 2 2 6 1 2 6 4 6 4 6 4 6 2 2 6 1 2 6 2 6 4 6 4 6 1 2 6 2 2 6 4 6 2 6 4 6 1 2 6 2 4 6 2 6 2 6 4 6 1 2 6 2 2 6 2 6 2 6 4 6 0 2 6 3 Valor de X 0 1 2 3 PXx 1 4 6 3 2 6 0 3 4 6 2 2 6 1 3 4 6 1 2 6 2 1 4 6 0 2 6 3 Continuação Valor de X 0 1 2 3 PXx 3 0 4 6 3 2 6 0 3 1 4 6 2 2 6 1 3 2 4 6 1 2 6 2 3 3 4 6 0 2 6 3 Portanto a distribuição de probabilidade de X é dada por f x P Xx 3 x 2 6 x 4 6 3x para x 012 ou 3 Onde 3 x 3 x 3x x012 ou 3 Continuação Generalizando Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por Notação XBn p para indicar que VA X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p Podemos provar que Se XBn p então EXnp e VarXnp1p fx PX x n x px1 pnxx 01 n onde n x n xn x Continuação Exemplo Um professor da disciplina de Estatística elaborou uma prova de múltipla escolha composta de 10 questões objetivas cada uma com 5 alternativas sendo verdadeira apenas uma delas Suponha que nenhum dos estudantes tenha estudado para a prova o que é muito comum e frequente O professor estabeleceu que para ser aprovado o aluno deve acertar pelo menos 8 questões das 10 propostas a Qual a probabilidade de um aluno consegui êxito na disciplina b Qual a média e o desvio padrão de acerto na prova Continuação Solução Seja a VA X número de questões respondidas corretamente nas 10 questões propostas Sabemos que PSp 1 5 probabilidade de sucesso que PF1 1 5 4 5 probabilidade de fracasso e sabemos também que n10 número de questões propostas a A probabilidade de um aluno qualquer escolhido aleatoriamente galgar aprovação será PX8 PX8PX9PX10 PX8 f x P X x 10 x 1 5 x 4 5 10x x 01 2 10 2 8 5 4 5 1 8 10 1 9 5 4 5 1 9 10 0 10 5 4 5 1 10 10 Continuação b EX np 10 2 VX np1p 10 16 DPx 16 126 DPx 126 1 5 1 5 5 4 Continuação EXERCÍCIO PROPOSTO Num determinado processo de fabricação 10 das peças são consideradas defeituosas As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma Qual a probabilidade de uma caixa escolhida aleatoriamente ter a exatamente 3 peças defeituosas b nenhuma peças defeituosas c Pelo menos 1 peças defeituosas d Se a empresa paga uma multa de R1000 por caixa em que houver alguma peça defeituosa qual o valor esperado da multa num total de 1000 caixas