Teoria das Probabilidades: Probabilidade Condicional

Teoria das Probabilidades Probabilidade Condicional 1 28 Motivacao Em algumas situacoes a probabilidade de ocorrˆencia de um certo evento pode ser afetada se tivermos alguma informacao sobre a ocorrˆencia ou nao de um outro evento Exemplo 1 Considere o experimento aleatorio que consiste no lancamento de um dado honesto Considere agora os seguintes eventos A sair um numero par B sair um numero diferente de 4 Obtenha as seguintes probabilidades PA PB e PA B 2 28 Motivacao O espaco amostral associado ao experimento aleatorio e os eventos citados podem ser representados pelos seguintes conjuntos Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 6 B 1 2 3 5 6 A B 2 6 Note que Ω e um espaco finito e equiprovavel portanto a PA A Ω 3 6 1 2 0 50 b PB B Ω 5 6 0 83 c PA B A B Ω 2 6 1 3 0 33 3 28 Motivacao Considerando ainda o contexto do Exemplo 1 suponha agora que soubessemos da ocorrˆencia de B 1 2 3 5 6 e que quisessemos calcular a probabilidade de A 2 4 6 Vamos denotar essa probabilidade como PA B e denominala de probabilidade condicional do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu Assim PA B 2 5 Note que no calculo da probabilidade condicional PA B o espaco amostral foi reduzido ao evento condicionante B 4 28 Motivacao Considerando ainda o contexto do Exemplo 1 suponha agora que soubessemos da ocorrˆencia de A 2 4 6 e que quisessemos cal cular a probabilidade de B 1 2 3 5 6 Vamos denotar essa probabilidade como PB A e denominala de probabilidade condicional do evento B ocorrer dado que o evento A ocorreu Assim PB A 2 3 Note que no calculo da probabilidade condicional PB A o espaco amostral foi reduzido ao evento condicionante A 5 28 Probabilidade Condicional A definicao a seguir nos permite calcular uma probabilidade condicional sem a necessi dade de reduzir o espaco amostral ao evento condicionante Definicao 1 Formalmente definimos probabilidade condicional de A dado a ocorrˆencia de B da seguinte maneira PA B P A B PB desde que PB 0 Analogamente a probabilidade condicional de B dado a ocorrˆencia de A e PB A P A B PA desde que PA 0 6 28 Exemplo 2 Considerando o contexto do Exemplo 1 calcule PA B e PB A utilizando a definicao formal de probabilidade condicional Ja vimos que Ω 1 2 3 4 5 6 A 2 4 6 PA 36 B 1 2 3 5 6 PB 56 A B 2 6 PA B 26 Daı PA B P A B PB 26 56 2 5 0 40 PB A P A B PA 26 36 2 3 0 67 7 28 Observacoes A cada evento A Ω associamos dois numeros PA a probabilidade nao condicionada de A chamada de probabilidade a priori de A PA B a probabilidade condicionada de A desde que algum even to B para o qual PB 0 tenha ocorrido chamada de probabilidade a posteriori de A dado B A probabilidade condicional esta definida em termos da probabilidade nao condicionada P Em geral PA e PA B sao numeros reais diferentes 8 28 Observacoes Probabilidades condicionais satisfazem todas as propriedades das pro babilidades comuns ou seja se A e B sao eventos quaisquer do es paco amostral Ω tal que PB 0 entao 0 PA B 1 PΩ B 1 Se Ai i 1 2 e uma sequˆencia de eventos dois a dois mutuamente excludentes disjuntos ou seja Ai Aj ϕ i j entao PA1 A2 B PA1 B PA2 B 9 28 Exemplo 3 O quadro a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade com informacoes sobre area de estudo e classe socioeconˆomica AreaClasse Alta A Media M Baixa B Total Exatas E 120 156 68 344 Humanas H 72 85 112 269 Saude S 169 145 73 387 Total 361 386 253 1000 Se um aluno ingressante e escolhido ao acaso determine a probabilidade de a Ser da classe media dado que estuda na area de exatas b Estudar na area de humanas sendo da classe alta c Ser da classe baixa sabendose que estuda na area de saude 10 28 Exemplo 3 Solucao Temos que AreaClasse Alta A Media M Baixa B Total Exatas E 120 156 68 344 Humanas H 72 85 112 269 Saude S 169 145 73 387 Total 361 386 253 1000 a Ser da classe media dado que estuda na area de exatas PM E P M E PE 1561000 3441000 156 344 0 45 11 28 Exemplo 3 Solucao Temos que AreaClasse Alta A Media M Baixa B Total Exatas E 120 156 68 344 Humanas H 72 85 112 269 Saude S 169 145 73 387 Total 361 386 253 1000 b Estudar na area de humanas sendo da classe alta PH A P H A PA 721000 3611000 72 361 0 20 12 28 Exemplo 3 Solucao Temos que AreaClasse Alta A Media M Baixa B Total Exatas E 120 156 68 344 Humanas H 72 85 112 269 Saude S 169 145 73 387 Total 361 386 253 1000 c Ser da classe baixa sabendose que estuda na area de saude PB S P B S PS 731000 3871000 73 387 0 19 13 28 Regra do Produto de Probabilidades Da definicao de probabilidade condicional podemos dizer que P A B PB PA B se PB 0 ou equivalentemente P A B PA PB A se PA 0 Este resultado e denominado de Regra do Produto de Probabilidades 14 28 Regra do Produto de Probabilidades Generalizacao da Regra do Produto Se PA1 A2 An 0 entao PA1 A2 An PA1 PA2 A1 PA3 A1 A2 PAn A1 A2 An1 15 28 Exemplo 4 Um empreiteiro apresentou orcamentos separados para a execucao da par te eletrica e hidraulica de um edifıcio A probabilidade dele ganhar a con corrˆencia da parte eletrica e igual a 15 Caso ele ganhe a parte eletrica a probabilidade de ganhar a parte hidraulica e de 34 caso contrario essa probabilidade e de 13 Neste caso qual e a probabilidade dele a ganhar os dois contratos b ganhar apenas um contrato c nao ganhar contrato algum d ganhar pelo menos um dos contratos 16 28 Exemplo 4 Solucao Sejam H e E os seguintes eventos H Ganhar o contrato da parte hidraulica E Ganhar o contrato da parte eletrica Temos que PE 15 PH E 34 e PH Ec 13 a Qual a probabilidade de ganhar os dois contratos PE H PEPH E 1534 320 0 15 17 28 Exemplo 4 Solucao Sejam H e E os seguintes eventos H Ganhar o contrato da parte hidraulica E Ganhar o contrato da parte eletrica Temos que PE 15 PH E 34 e PH Ec 13 b Qual a probabilidade ganhar apenas um contrato P E Hc Ec H PE Hc PEc H PEPHc E PEcPH Ec 1514 4513 120 415 1960 0 32 18 28 Exemplo 4 Solucao Sejam H e E os seguintes eventos H Ganhar o contrato da parte hidraulica E Ganhar o contrato da parte eletrica Temos que PE 15 PH E 34 e PH Ec 13 c Qual a probabilidade de nao ganhar contrato algum PEc Hc PEcPHc Ec 4523 815 0 53 19 28 Exemplo 4 Solucao Sejam H e E os seguintes eventos H Ganhar o contrato da parte hidraulica E Ganhar o contrato da parte eletrica Temos que PE 15 PH E 34 e PH Ec 13 d Qual a probabilidade de ganhar pelo menos um dos contratos Nosso interesse e calcular PE H Esta probabilidade pode ser calculada da seguinte maneira PE H 1 PE Hc Utilizando uma das leis de De Morgan segue que PE Hc PEc Hc que e a probabilidade que foi calculada no item c Portanto PE H 1 PEc Hc 1 815 715 0 47 20 28 Eventos Independentes Dois eventos A e B sao independentes se e somente se PA B PA ou PB A PB Equivalentemente dizemos que dois eventos A e B sao independentes se e somente se PA B PAPB 21 28 Exemplo 5 A probabilidade de que A resolva um problema e de 58 e a probabilidade de que B o resolva e de 34 Se ambos tentarem independentemente qual a probabilidade de a ambos resolverem o problema b o problema ser resolvido c apenas B conseguir resolver o problema d nenhum deles conseguir resolver o problema 22 28 Exemplo 5 Solucao Sejam A e B os seguintes eventos A o aluno A conseguir resolver o problema B o aluno B conseguir resolver o problema Temos que A e B sao eventos independentes Alem disso PA 58 e PB 34 a Qual a probabilidade de ambos resolverem o problema PA B PAPB pois A e B sao eventos independentes 5834 1532 0 47 23 28 Exemplo 5 Solucao Sejam A e B os seguintes eventos A o aluno A conseguir resolver o problema B o aluno B conseguir resolver o problema Temos que A e B sao eventos independentes Alem disso PA 58 e PB 34 b Qual a probabilidade do problema ser resolvido PA B PA PB PA B 58 34 1532 2932 0 91 24 28 Exemplo 5 Solucao Sejam A e B os seguintes eventos A o aluno A conseguir resolver o problema B o aluno B conseguir resolver o problema Temos que A e B sao eventos independentes Alem disso PA 58 e PB 34 c Qual a probabilidade de apenas B conseguir resolver o problema PB Ac PB PA B PB PAPB PB1 PA PBPAc 3438 932 0 28 25 28 Exemplo 5 Solucao Sejam A e B os seguintes eventos A o aluno A conseguir resolver o problema B o aluno B conseguir resolver o problema Temos que A e B sao eventos independentes Alem disso PA 58 e PB 34 d Qual a probabilidade de nenhum deles conseguir resolver o problema PAc Bc PA Bc por uma das leis de De Morgan 1 PA B 1 2932 332 0 09 26 28 Independˆencia Coletiva Vejamos agora o conceito de independˆencia para trˆes eventos Dizemos que os eventos A B e C sao coletivamente independentes se e somente se PA B PAPB PA C PAPC PB C PBPC PA B C PAPBPC Observacao Se apenas as trˆes primeiras relacoes acima estiverem satisfeitas dizemos que os eventos sao independentes aos pares A definicao pode ser estendida facilmente para um numero finito qualquer de eventos 27 28 Bibliografia Estatıstica Basica 7ª edicao Wilton O Bussab e Pedro A Morettin 2011 Editora Saraiva livro texto Probabilidade Aplicacoes a Estatıstica 2ª edicao Paul L Meyer 2009 LTC Nocoes de Probabilidade e Estatıstica Marcos N Magalhaes e Antonio C P de Lima 2002 Edusp Confucio Se queres prever o futuro estuda o passado 28 28