Prova de Cálculo das Probabilidades e Estatística I - Módulo II

Calculo das Probabilidades e Estatıstica I Departamento de Estatıstica UFPB Profª Ana Flavia Profª Izabel Cristina Profª Juliana Freitas Profª Julyana Tavares Profª Maria Lıdia Modulo II 2ª Prova 5 Variavel Aleatoria 51 Introducao 52 Variavel Aleatoria Discreta 53 Distribuicao Binomial 54 Variaveis Aleatorias Contınuas 55 Distribuicao Normal 1 10 Variˆancia e Desviopadrao Definicao Variˆancia e Desviopadrao seja X uma vad com valores em RX tx1 x2 u e ppxiq sua funcao de probabilidade Entao a variˆancia e o desviopadrao de X denotados por σ2 V arpXq e σ DPpXq respectivamente sao definidos por Variˆancia σ2 V arpXq EpX2q pEpXqq2 e Desvio padrao σ DPpXq a V arpXq em que EpX2q x2 1ppx1q x2 2ppx2q x3 3ppx3q Observacao µ EpXq σ2 V arpXq e σ DPpXq sao respectivamente a media a variˆancia e o desviopadrao populacional de X 2 10 Exemplo 1 Considere a funcao de probabilidade ppxiq dada na tabela ao lado em que X e a variavel numero de meninos em trˆes nascimentos de uma especıfica populacao Determine o valor esperado a variˆancia e o desviopadrao de X xi 0 1 2 3 ppxiq 012 037 038 013 Solucao 1 Adicione as colunas x ppxq e x2 ppxq Em seguida preencha a tabela 2 A soma da coluna x ppxq e o valor esperado EpXq e a soma da coluna x2 ppxq e a funcao EpX2q EpXq 0 037 076 039 152 meninos EpX2q 0 037 152 117 306 V arpxq EpX2q pEpXqq2 306 p152q2 07496 DPpxq a V arpXq a 07496 08658 meninos 3 10 Exemplo 1 Considere a funcao de probabilidade ppxiq dada na tabela ao lado em que X e a variavel numero de meninos em trˆes nascimentos de uma especıfica populacao Determine o valor esperado a variˆancia e o desviopadrao de X xi 0 1 2 3 ppxiq 012 037 038 013 Solucao 1 Adicione as colunas x ppxq e x2 ppxq Em seguida preencha a tabela 2 A soma da coluna x ppxq e o valor esperado EpXq e a soma da coluna x2 ppxq e a funcao EpX2q EpXq 0 037 076 039 152 meninos EpX2q 0 037 152 117 306 V arpxq EpX2q pEpXqq2 306 p152q2 07496 DPpxq a V arpXq a 07496 08658 meninos xi ppxiq xi ppxiq x2 i ppxiq 0 012 0012000 02012000 1 037 1037037 12037037 2 038 2038076 22038152 3 013 3013039 32013117 3 10 Exemplo 1 Considere a funcao de probabilidade ppxiq dada na tabela ao lado em que X e a variavel numero de meninos em trˆes nascimentos de uma especıfica populacao Determine o valor esperado a variˆancia e o desviopadrao de X xi 0 1 2 3 ppxiq 012 037 038 013 Solucao 1 Adicione as colunas x ppxq e x2 ppxq Em seguida preencha a tabela 2 A soma da coluna x ppxq e o valor esperado EpXq e a soma da coluna x2 ppxq e a funcao EpX2q EpXq 0 037 076 039 152 meninos EpX2q 0 037 152 117 306 V arpxq EpX2q pEpXqq2 306 p152q2 07496 DPpxq a V arpXq a 07496 08658 meninos xi ppxiq xi ppxiq x2 i ppxiq 0 012 000 000 1 037 037 037 2 038 076 152 3 013 039 117 Total 100 152 306 Nessa populacao as famılias tem em media 152 meni nos em trˆes nascimentos com desviopadrao de 08658 meninos 3 10 Propriedades da Variˆancia Seja X uma variavel aleatoria e c uma constante entao A variˆancia de uma constante e zero isto e Varpcq 0 Somandose ou subtraindose uma constante a va X sua variˆancia nao se altera ou seja Varpc Xq VarpXq Multiplicandose c por uma va X sua variˆancia fica multiplicada pelo quadrado da constante em outras palavras VarpcXq c2VarpXq Sejam X e Y duas variaveis aleatorias independentes a variˆancia da somasubtracao destas variaveis aleatorias equivale a soma das variˆancias de X e Y isto e VarpX Y q VarpXq VarpY q Exemplo 2 Seja X uma va com V arpXq 9 entao determine a variˆancia das seguintes variaveis Y 2 e W 2 2X Solucao V arpY q V arp2q 0 e V arpWq V arp2 2Xq V arp2Xq 22V arpXq 4 9 36 4 10 Experimentos de Bernoulli Sucesso Fracasso SIM NÃO Quando um experimento e tal que so ha dois possıveis resultados dicotˆomicos denominamos de experimento de Bernoulli Em geral nesse tipo de experimento estamos interessados na ocorrˆencia de um desses resultados que denominaremos de sucesso Por exemplo se desejamos obter a probabilidade de produzir pecas defeituosas entao o evento sucesso e produzir peca defeituosa e o evento fracasso e produzir peca nao defeituosa Se desejamos obter a probabilidade de sobrevivˆencia o evento sucesso e o ser esta vivo e o evento fracasso e esta morto Numa pesquisa de opiniao cuja pergunta tem como resposta apenas SIM ou NAO entao consideramos em geral o SIM que e a resposta de interesse como sucesso 5 10 Distribuicao de Bernoulli Denotando os resultados possıveis para um experimento de Bernoulli por 0 fracasso e 1 sucesso entao a vad associada X tem como espaco amostral RX t0 1u Seja p igual a probabilidade de sucesso isto e PpX 1q p entao a probabilidade de fracasso e o complemento PpX 0q 1 p Definicao Distribuicao de Bernoulli dizemos que X e uma variavel aleatoria com distribuicao Bernoulli se sua funcao de probabilidade e ppxq PpX xq pxp1 pq1x x P t0 1u Denotamos por X Bernoullippq onde lˆese X tem distribuicao Bernoulli com parˆametro p Suas medidas estatısticas sao dadas a seguir Media EpXq p Variˆancia V arpXq pp1 pq e Desviopadrao DPpXq a pp1 pq 6 10 Distribuicao Binomial Suponha agora a ocorrˆencia de um numero fixo n de repeticoes do experimento de Bernoulli de forma inde pendente Em cada repeticao do experimento defina como sucesso a ocorrˆencia do evento de interesse Definicao Distribuicao Binomial dizemos que a variavel aleatoria Y tem distribuicao Binomial se ela e definida como o numero de sucesso nas n repeticoes independentes do experimentos de Bernoulli Sua funcao de probabilidade e ppyq PpY yq n ypn yqpyp1 pqny y P t0 1 2 nu Em outras palavras se tX1 X2 Xnu sao n variaveis aleatorias independentes com distribuicao Bernoullippq entao Y ř Xi e uma vad com distribuicao Binomial e denotamos por Y Bpn pq Suas medidas estatısticas sao dadas a seguir Media EpY q np Variˆancia V arpXq npp1 pq e Desvio Padrao DPpXq a npp1 pq 7 10 Exemplo 2 Um estudo indica que nas comunidades de climas muito frio e com uma dieta de baixa ingestao de gordura animal a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino e igual a 06 Determine a qual e a probabilidade de um casal ter dois meninos e trˆes meninas b qual e o numero medio de meninos em cinco nascimentos Solucao Seja X o numero de meninos em cinco nascimentos X tem distribuicao Binomialpn 5 p 06q e queremos saber pp2q PpX 2q e EpXq pp2q 5 2p5 2q062p1 06q52 5 4 3 2 1 3036 043 10 036 0064 02304 EpXq np 5 06 3 a A probabilidade de um casal ter dois meninos e trˆes meninas e de 2304 b Em media nasce 3 meninos em cinco nascimentos nessa populacao 8 10 Exemplo 3 Seja X o numero de ocorrˆencia de um determinado evento Sabese que X tem distribuicao binomial com media igual a 12 e variˆancia igual a 096 Determine a probabilidade de que nao mais que um evento ocorra Solucao 1 Sabemos que o valor medio e variˆancia sao EpXq np 12 V arpXq npp1 pq 096 2 Resolvendo o sistema temos que npp1 pq 096 ÞÝÑ 12p1 pq 096 ÞÝÑ 1 p 096 12 08 Entao p 1 08 02 e np n02 12 ÞÝÑ n 12 02 6 Assim X Bpn 6 p 02q 3 Queremos a probabilidade de nao mais que um evento ocorra entao queremos PpX ď 1q pp0q pp1q 6 0p6 0q020p1 02q60 6 1p6 1q021p1 02q61 6 1 6 1 086 6 5 1 5 02 085 086 6 02 085 026 039 065 4 A chance de que nao mais que um destes eventos ocorra e de 65 9 10 Exemplo 3 Seja X o numero de ocorrˆencia de um determinado evento Sabese que X tem distribuicao binomial com media igual a 12 e variˆancia igual a 096 Determine a probabilidade de que nao mais que um evento ocorra Solucao 1 Sabemos que o valor medio e variˆancia sao EpXq np 12 V arpXq npp1 pq 096 2 Resolvendo o sistema temos que npp1 pq 096 ÞÝÑ 12p1 pq 096 ÞÝÑ 1 p 096 12 08 Entao p 1 08 02 e np n02 12 ÞÝÑ n 12 02 6 Assim X Bpn 6 p 02q 3 Queremos a probabilidade de nao mais que um evento ocorra entao queremos PpX ď 1q pp0q pp1q 6 0p6 0q020p1 02q60 6 1p6 1q021p1 02q61 6 1 6 1 086 6 5 1 5 02 085 086 6 02 085 026 039 065 4 A chance de que nao mais que um destes eventos ocorra e de 65 9 10 Exemplo 3 Seja X o numero de ocorrˆencia de um determinado evento Sabese que X tem distribuicao binomial com media igual a 12 e variˆancia igual a 096 Determine a probabilidade de que nao mais que um evento ocorra Solucao 1 Sabemos que o valor medio e variˆancia sao EpXq np 12 V arpXq npp1 pq 096 2 Resolvendo o sistema temos que npp1 pq 096 ÞÝÑ 12p1 pq 096 ÞÝÑ 1 p 096 12 08 Entao p 1 08 02 e np n02 12 ÞÝÑ n 12 02 6 Assim X Bpn 6 p 02q 3 Queremos a probabilidade de nao mais que um evento ocorra entao queremos PpX ď 1q pp0q pp1q 6 0p6 0q020p1 02q60 6 1p6 1q021p1 02q61 6 1 6 1 086 6 5 1 5 02 085 086 6 02 085 026 039 065 4 A chance de que nao mais que um destes eventos ocorra e de 65 9 10 Exemplo 3 Seja X o numero de ocorrˆencia de um determinado evento Sabese que X tem distribuicao binomial com media igual a 12 e variˆancia igual a 096 Determine a probabilidade de que nao mais que um evento ocorra Solucao 1 Sabemos que o valor medio e variˆancia sao EpXq np 12 V arpXq npp1 pq 096 2 Resolvendo o sistema temos que npp1 pq 096 ÞÝÑ 12p1 pq 096 ÞÝÑ 1 p 096 12 08 Entao p 1 08 02 e np n02 12 ÞÝÑ n 12 02 6 Assim X Bpn 6 p 02q 3 Queremos a probabilidade de nao mais que um evento ocorra entao queremos PpX ď 1q pp0q pp1q 6 0p6 0q020p1 02q60 6 1p6 1q021p1 02q61 6 1 6 1 086 6 5 1 5 02 085 086 6 02 085 026 039 065 4 A chance de que nao mais que um destes eventos ocorra e de 65 9 10 Exemplo 3 Seja X o numero de ocorrˆencia de um determinado evento Sabese que X tem distribuicao binomial com media igual a 12 e variˆancia igual a 096 Determine a probabilidade de que nao mais que um evento ocorra Solucao 1 Sabemos que o valor medio e variˆancia sao EpXq np 12 V arpXq npp1 pq 096 2 Resolvendo o sistema temos que npp1 pq 096 ÞÝÑ 12p1 pq 096 ÞÝÑ 1 p 096 12 08 Entao p 1 08 02 e np n02 12 ÞÝÑ n 12 02 6 Assim X Bpn 6 p 02q 3 Queremos a probabilidade de nao mais que um evento ocorra entao queremos PpX ď 1q pp0q pp1q 6 0p6 0q020p1 02q60 6 1p6 1q021p1 02q61 6 1 6 1 086 6 5 1 5 02 085 086 6 02 085 026 039 065 4 A chance de que nao mais que um destes eventos ocorra e de 65 9 10 Referˆencias Bibliograficas Os livros BUSSAB e MORETTIN 2017 COSTA NETO 2002 estao disponıvel na Minha Biblioteca que e uma base de livros eletrˆonicos em portuguˆes que reune milhares de tıtulos acadˆemicos das diversas areas do conhecimento Para acessar a Biblioteca vocˆe deve fazer o login no SIGAA da UFPB e acessar seguindo esta sequˆencia no menu Biblioteca ą Pesquisar Livros Digitais ą Minha Biblioteca BUSSAB W O MORETTIN P A Estatıstica Basica 9ª ed Sao Paulo Saraiva 2017 Disponıvel em xhttpssigaaufpbbry COSTA NETO P L O Estatıstica 2ª ed Sao Paulo Edgard Blucher 2002 Disponıvel em xhttpssigaaufpbbry 10 10