Prova de Cálculo de Probabilidades e Estatística I - Módulo II

Calculo das Probabilidades e Estatıstica I Departamento de Estatıstica UFPB Profª Ana Flavia Profª Izabel Cristina Profª Juliana Freitas Profª Julyana Tavares Profª Maria Lıdia Modulo II 2ª Prova 5 Variavel Aleatoria 51 Introducao 52 Variavel Aleatoria Discreta 53 Distribuicao Binomial 54 Variaveis Aleatorias Contınuas 55 Distribuicao Normal 1 18 Variavel Aleatoria Contınua Uma variavel X e denominada de variavel aleatoria contınua vac quando seu espaco amostral RX e um conjunto infinito nao enumeravel Exemplo 1 resistˆencia de um material concentracao de CO2 na agua tempo de vida de um componente eletrˆonico tempo de resposta de um sistema computacional temperatura medicoes peso altura comprimento 2 18 Funcao de densidade Seja X uma variavel aleatoria contınua vac A funcao fpxq que associa a cada x P RX um numero real que satisfaz as seguintes condicoes a fpxq ě 0 para todo x P RX e b ż 8 8 fpxqdx 1 e denominada de funcao densidade de probabilidade fdp da variavel aleatoria X Neste caso fpxq representa apenas a densidade no ponto x ao contrario da funcao de probabilidade ppxq de uma variavel aleatoria discreta fpxq aqui nao e a probabilidade da variavel X assumir o valor x 3 18 Calculo das Probabilidades Seja X uma vac com funcao densidade de probabilidade fpxq Sejam a ă b dois numeros reais Definese Ppa ă X ă bq ż b a fpxqdx isto e a probabilidade de que X assuma valores entre os numeros a e b e a area sob o grafico de fpxq entre os pontos x a e x b a b Ppa ă X ă bq fpxq x Area total ÞÝÑ 1 Area em amarelo ÞÝÑ Ppa ă X ă bq Ppa ă X ă bq Area em amarelo Area total 4 18 Variavel Aleatoria Contınua Seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao de densidade fpxq entao 1 PpX aq 0 isto e a probabilidade de que uma vac assuma um valor isolado e igual a zero 2 Se a ă b sao dois numeros reais entao Ppa ă X ă bq Ppa ď X ă bq Ppa ă X ď bq Ppa ď X ď bq ż b a fpxqdx 3 Se X assumi valores apenas num intervalo ra bs entao definimos fpxq 0 para todo x R ra bs Como consequˆencia a funcao de densidade ficara definida para todos os valores reais de x e temos que Pp8 ă X ă 8q ż 8 8 fpxqdx 1 Assim sempre que a fpxq for especificada apenas num intervalo finito devese supor que seja zero para todos os demais valores nao pertencentes ao intervalo 5 18 Variavel Aleatoria Contınua Definicao Funcao de Distribuicao Acumulada seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao den sidade de probabilidade fpxq Entao a funcao de distribuicao acumulada ou simplesmente funcao de distribuicao de X e a funcao F definida por Fpxq PpX ď xq ż x 8 fpuqdu Definicao Valor Esperado Variˆancia e Desviopadrao seja X uma variavel aleatoria contınua com funcao densidade de probabilidade fpxq Entao o valor esperado variˆancia e desviopadrao de X sao respecti vamente EpXq ż 8 8 xfpxqdx V arpXq EpX EpXqq2 e DPpXq a V arpXq 6 18 Distribuicao Normal Um dos principais modelos de distribuicao contınua e a distribuicao normal Sua importˆancia para a Estatıstica reside no fato que muitas variaveis encontradas na natureza se distribuem de acordo com o modelo normal Exemplo 1 No processo de controle de qualidade de fios de rede RJ45 observouse o comprimento de 5000 fios O histograma das medicoes de comprimentos esta apresentado ao lado Podemos observar os seguintes padroes a maioria dos fios estao concentrados em torno da media que e 10m 97 a proporcao dos comprimentos dos fios RJ45 vai diminuindo a medida que os valores se afastam da media Existe apenas uma pequena proporcao de valores abaixo de 998m 15 e acima de 1002m 15 o histograma se aproxima de uma curva simetrica que denominamos de curva normal ou gaussiana 7 18 Distribuicao Normal Um dos principais modelos de distribuicao contınua e a distribuicao normal Sua importˆancia para a Estatıstica reside no fato que muitas variaveis encontradas na natureza se distribuem de acordo com o modelo normal Exemplo 1 No processo de controle de qualidade de fios de rede RJ45 observouse o comprimento de 5000 fios O histograma das medicoes de comprimentos esta apresentado ao lado Podemos observar os seguintes padroes a maioria dos fios estao concentrados em torno da media que e 10m 97 a proporcao dos comprimentos dos fios RJ45 vai diminuindo a medida que os valores se afastam da media Existe apenas uma pequena proporcao de valores abaixo de 998m 15 e acima de 1002m 15 o histograma se aproxima de uma curva simetrica que denominamos de curva normal ou gaussiana x fx 996 998 1000 1002 1004 0 10 20 30 40 7 18 Distribuicao Normal Um dos principais modelos de distribuicao contınua e a distribuicao normal Sua importˆancia para a Estatıstica reside no fato que muitas variaveis encontradas na natureza se distribuem de acordo com o modelo normal Exemplo 1 No processo de controle de qualidade de fios de rede RJ45 observouse o comprimento de 5000 fios O histograma das medicoes de comprimentos esta apresentado ao lado Podemos observar os seguintes padroes a maioria dos fios estao concentrados em torno da media que e 10m 97 a proporcao dos comprimentos dos fios RJ45 vai diminuindo a medida que os valores se afastam da media Existe apenas uma pequena proporcao de valores abaixo de 998m 15 e acima de 1002m 15 o histograma se aproxima de uma curva simetrica que denominamos de curva normal ou gaussiana x fx 996 998 1000 1002 1004 0 10 20 30 40 7 18 Distribuicao Normal A distribuicao normal tambem tem uma importˆancia teorica devido ao fato de ser a distribuicao limite da estatıstica media X para grandes amostras Média 096 x fx 0 1 2 3 4 00 02 04 06 08 8 18 Distribuicao Normal A distribuicao normal tambem tem uma importˆancia teorica devido ao fato de ser a distribuicao limite da estatıstica media X para grandes amostras Média 101 x fx 0 1 2 3 4 5 00 02 04 06 08 8 18 Distribuicao Normal A distribuicao normal tambem tem uma importˆancia teorica devido ao fato de ser a distribuicao limite da estatıstica media X para grandes amostras Média 102 x fx 0 1 2 3 4 5 6 7 00 01 02 03 04 05 06 10000 médias de variáveis exponenciais x fx 08 10 12 14 0 1 2 3 4 8 18 Distribuicao Normal Uma variavel aleatoria contınua X tem uma distribuicao normal se sua funcao densidade de probabilidade for do tipo fpxq 1 2πσ2 exp ˆ px µq2 2σ2 para 8 ă x ă 8 em que 8 ă µ ă 8 e 0 ă σ2 ă 8 Denotamos por X Npµ σ2q Lˆese X tem distribuicao Normal com media µ e variˆancia σ2 fpxq 0 x µ 9 18 Distribuicao Normal As principais caracterısticas da distribuicao normal Npµ σ2q sao Media EpXq µ 8 ă µ ă 8 Variˆancia V arpXq σ2 σ ą 0 Simetria em torno da media PpX ą µq PpX ă µq 05 Se X tem distribuicao Npµ σ2q entao Z X µ σ tem distribuicao normal padrao Np0 1q A letra Z sera reservada para representar a distribuicao normal padrao 10 18 Distribuicao Normal Padrao As areas sobre a curva da normal podem ser obtidas computacionalmente ou usando tabelas Como µ e σ2 sao numeros reais precisarıamos de infinitas tabelas para cobrir todos os possıveis pares pµ σ2q da distribuicao normal Para resolver isso devemos primeiro transformar qualquer distribuicao normal com media µ e variˆancia σ2 isto e Npµ σ2q em uma distribuicao normal padrao Np0 1q µ 0 σ2 1 atraves da transformacao Z X µ σ Assim so precisamos de uma unica tabela para calcular probabilidades a Tabela da Distribuicao Normal Padrao Exemplo 2 Seja X Np10 4q Entao µ 10 e σ 4 2 Determine Pp57 ă X ă 1268q Pp57 ă X ă 1268q P ˆ57 10 2 ă X µ σ ă 1268 10 2 P p215 ă Z ă 134q Agora basta calcular P p215 ă Z ă 134q com o auxılio da tabela da normal padrao 11 18 Distribuicao Normal Padrao Seja Z uma variavel aleatoria com distribuicao normal padrao Para calcular a probabilidade de selecionar um numero entre 215 e 134 na distribuicao normal padrao devemos encontrar a area abaixo da curva no intervalo p215 134q Pp215 ď Z ď 134q fpzq 215 0 134 z Vamos aprender a usar a tabela da normal padrao 12 18 Distribuicao Normal Padrao 1 Qual e a probabilidade PpZ ď 134q Solucao Queremos a probabilidade PpZ ď 134q em que Z e variavel aleatoria normal padrao entao podemos olhar diretamente o valor na tabela Essa probabilidade esta linha coluna 1 3 4 Portanto PpZ ď 134q 09099 09099 fpzq 134 z Tabela da Distribuicao Normal z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 13 18 Distribuicao Normal Padrao 1 Qual e a probabilidade PpZ ď 215q Solucao Agora queremos a probabilidade PpZ ď 215q Essa probabilidade esta linha coluna 2 1 5 Portanto PpZ ď 215q 00158 00158 fpzq 215 z Tabela da Distribuicao Normal z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 04960 04920 04880 04840 04801 04761 04721 04681 04641 01 04602 04562 04522 04483 04443 04404 04364 04325 04286 04247 02 04207 04168 04129 04090 04052 04013 03974 03936 03897 03859 03 03821 03783 03745 03707 03669 03632 03594 03557 03520 03483 04 03446 03409 03372 03336 03300 03264 03228 03192 03156 03121 05 03085 03050 03015 02981 02946 02912 02877 02843 02810 02776 06 02743 02709 02676 02643 02611 02578 02546 02514 02483 02451 07 02420 02389 02358 02327 02296 02266 02236 02206 02177 02148 08 02119 02090 02061 02033 02005 01977 01949 01922 01894 01867 09 01841 01814 01788 01762 01736 01711 01685 01660 01635 01611 10 01587 01562 01539 01515 01492 01469 01446 01423 01401 01379 11 01357 01335 01314 01292 01271 01251 01230 01210 01190 01170 12 01151 01131 01112 01093 01075 01056 01038 01020 01003 00985 13 00968 00951 00934 00918 00901 00885 00869 00853 00838 00823 14 00808 00793 00778 00764 00749 00735 00721 00708 00694 00681 15 00668 00655 00643 00630 00618 00606 00594 00582 00571 00559 16 00548 00537 00526 00516 00505 00495 00485 00475 00465 00455 17 00446 00436 00427 00418 00409 00401 00392 00384 00375 00367 18 00359 00351 00344 00336 00329 00322 00314 00307 00301 00294 19 00287 00281 00274 00268 00262 00256 00250 00244 00239 00233 20 00228 00222 00217 00212 00207 00202 00197 00192 00188 00183 21 00179 00174 00170 00166 00162 00158 00154 00150 00146 00143 22 00139 00136 00132 00129 00125 00122 00119 00116 00113 00110 23 00107 00104 00102 00099 00096 00094 00091 00089 00087 00084 24 00082 00080 00078 00075 00073 00071 00069 00068 00066 00064 25 00062 00060 00059 00057 00055 00054 00052 00051 00049 00048 26 00047 00045 00044 00043 00041 00040 00039 00038 00037 00036 27 00035 00034 00033 00032 00031 00030 00029 00028 00027 00026 28 00026 00025 00024 00023 00023 00022 00021 00021 00020 00019 29 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00015 00014 00014 30 00013 00013 00013 00012 00012 00011 00011 00011 00010 00010 14 18 Distribuicao Normal Padrao 1 Qual e a probabilidade Pp215 ď Z ď 1 34q Solucao Pp215 ď Z ď 1 34q PpZ ď 134q PpZ ď 215q 09099 fpzq 215 134 z Pp215 ď Z ď 134q PpZ ď 134q PpZ ď 215q 09099 00158 08941 z 005 006 00 04801 04761 01 04404 04364 02 04013 03974 03 03632 03594 04 03264 03228 05 02912 02877 06 02578 02546 07 02266 02236 08 01977 01949 09 01711 01685 10 01469 01446 11 01251 01230 12 01056 01038 13 00885 00869 14 00735 00721 15 00606 00594 16 00495 00485 17 00401 00392 18 00322 00314 19 00256 00250 20 00202 00197 21 00158 00154 22 00122 00119 23 00094 00091 24 00071 00069 25 00054 00052 26 00040 00039 27 00030 00029 28 00022 00021 29 00016 00015 30 00011 00011 z 004 005 00 05160 05199 01 05557 05596 02 05948 05987 03 06331 06368 04 06700 06736 05 07054 07088 06 07389 07422 07 07704 07734 08 07995 08023 09 08264 08289 10 08508 08531 11 08729 08749 12 08925 08944 13 09099 09115 14 09251 09265 15 09382 09394 16 09495 09505 17 09591 09599 18 09671 09678 19 09738 09744 20 09793 09798 21 09838 09842 22 09875 09878 23 09904 09906 24 09927 09929 25 09945 09946 26 09959 09960 27 09969 09970 28 09977 09978 29 09984 09984 30 09988 09989 15 18 Distribuicao Normal Padrao 1 Qual e a probabilidade Pp215 ď Z ď 1 34q Solucao Pp215 ď Z ď 1 34q PpZ ď 134q PpZ ď 215q 08941 00158 fpzq 215 134 z Pp215 ď Z ď 134q PpZ ď 134q PpZ ď 215q 09099 00158 08941 z 005 006 00 04801 04761 01 04404 04364 02 04013 03974 03 03632 03594 04 03264 03228 05 02912 02877 06 02578 02546 07 02266 02236 08 01977 01949 09 01711 01685 10 01469 01446 11 01251 01230 12 01056 01038 13 00885 00869 14 00735 00721 15 00606 00594 16 00495 00485 17 00401 00392 18 00322 00314 19 00256 00250 20 00202 00197 21 00158 00154 22 00122 00119 23 00094 00091 24 00071 00069 25 00054 00052 26 00040 00039 27 00030 00029 28 00022 00021 29 00016 00015 30 00011 00011 z 004 005 00 05160 05199 01 05557 05596 02 05948 05987 03 06331 06368 04 06700 06736 05 07054 07088 06 07389 07422 07 07704 07734 08 07995 08023 09 08264 08289 10 08508 08531 11 08729 08749 12 08925 08944 13 09099 09115 14 09251 09265 15 09382 09394 16 09495 09505 17 09591 09599 18 09671 09678 19 09738 09744 20 09793 09798 21 09838 09842 22 09875 09878 23 09904 09906 24 09927 09929 25 09945 09946 26 09959 09960 27 09969 09970 28 09977 09978 29 09984 09984 30 09988 09989 15 18 Exemplo 3 Seja X uma variavel aleatoria normal com media 35 e variˆancia igual a 100 Determine a probabilidade de ocorrer um numero maior que 20 Solucao Temos que µ 35 e σ 100 10 Primeiro temos que transformar X em normal padrao usando Z pX µqσ PpX ą 20q PpX µ σ ą 20 35 10 q PpZ ą 165q Entao PpZ ą 165q 1 PpZ ď 165q 1 09505 00495 fpzq 165 z z 004 005 00 05160 05199 01 05557 05596 02 05948 05987 03 06331 06368 04 06700 06736 05 07054 07088 06 07389 07422 07 07704 07734 08 07995 08023 09 08264 08289 10 08508 08531 11 08729 08749 12 08925 08944 13 09099 09115 14 09251 09265 15 09382 09394 16 09495 09505 17 09591 09599 18 09671 09678 19 09738 09744 20 09793 09798 21 09838 09842 22 09875 09878 23 09904 09906 24 09927 09929 25 09945 09946 26 09959 09960 27 09969 09970 28 09977 09978 29 09984 09984 30 09988 09989 16 18 Exemplo 3 Seja X uma variavel aleatoria normal com media 35 e variˆancia igual a 100 Determine a probabilidade de ocorrer um numero maior que 20 Solucao Temos que µ 35 e σ 100 10 Primeiro temos que transformar X em normal padrao usando Z pX µqσ PpX ą 20q PpX µ σ ą 20 35 10 q PpZ ą 165q Entao PpZ ą 165q 1 PpZ ď 165q 1 09505 00495 09505 00495 fpzq 165 z z 004 005 00 05160 05199 01 05557 05596 02 05948 05987 03 06331 06368 04 06700 06736 05 07054 07088 06 07389 07422 07 07704 07734 08 07995 08023 09 08264 08289 10 08508 08531 11 08729 08749 12 08925 08944 13 09099 09115 14 09251 09265 15 09382 09394 16 09495 09505 17 09591 09599 18 09671 09678 19 09738 09744 20 09793 09798 21 09838 09842 22 09875 09878 23 09904 09906 24 09927 09929 25 09945 09946 26 09959 09960 27 09969 09970 28 09977 09978 29 09984 09984 30 09988 09989 16 18 Exemplo 4 Seja X uma variavel aleatoria normal com media 50 e desviopadrao igual a 10 Determine a probabilidade de ocorrer um numero entre 75 e 25 Solucao temos que µ 50 e σ 10 Pp75 ă X ă 25q Pp75 p50q 10 ă X µ σ ă 25 p50q 10 q Pp25 ă Z ă 25q PpZ ă 25q PpZ ď 25q 09938 00062 09876 09938 fpzq 25 25 z z 000 001 00 05000 04960 01 04602 04562 02 04207 04168 03 03821 03783 04 03446 03409 05 03085 03050 06 02743 02709 07 02420 02389 08 02119 02090 09 01841 01814 10 01587 01562 11 01357 01335 12 01151 01131 13 00968 00951 14 00808 00793 15 00668 00655 16 00548 00537 17 00446 00436 18 00359 00351 19 00287 00281 20 00228 00222 21 00179 00174 22 00139 00136 23 00107 00104 24 00082 00080 25 00062 00060 26 00047 00045 27 00035 00034 28 00026 00025 29 00019 00018 30 00013 00013 z 000 001 00 05000 05040 01 05398 05438 02 05793 05832 03 06179 06217 04 06554 06591 05 06915 06950 06 07257 07291 07 07580 07611 08 07881 07910 09 08159 08186 10 08413 08438 11 08643 08665 12 08849 08869 13 09032 09049 14 09192 09207 15 09332 09345 16 09452 09463 17 09554 09564 18 09641 09649 19 09713 09719 20 09772 09778 21 09821 09826 22 09861 09864 23 09893 09896 24 09918 09920 25 09938 09940 26 09953 09955 27 09965 09966 28 09974 09975 29 09981 09982 30 09987 09987 17 18 Exemplo 4 Seja X uma variavel aleatoria normal com media 50 e desviopadrao igual a 10 Determine a probabilidade de ocorrer um numero entre 75 e 25 Solucao temos que µ 50 e σ 10 Pp75 ă X ă 25q Pp75 p50q 10 ă X µ σ ă 25 p50q 10 q Pp25 ă Z ă 25q PpZ ă 25qPpZ ď 25q 09938 00062 09876 09876 00062 fpzq 25 25 z z 000 001 00 05000 04960 01 04602 04562 02 04207 04168 03 03821 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Biblioteca que e uma base de livros eletrˆonicos em portuguˆes que reune milhares de tıtulos acadˆemicos das diversas areas do conhecimento Para acessar a Biblioteca vocˆe deve fazer o login no SIGAA da UFPB e acessar seguindo esta sequˆencia no menu Biblioteca ą Pesquisar Livros Digitais ą Minha Biblioteca BUSSAB W O MORETTIN P A Estatıstica Basica 9ª ed Sao Paulo Saraiva 2017 Disponıvel em xhttpssigaaufpbbry COSTA NETO P L O Estatıstica 2ª ed Sao Paulo Edgard Blucher 2002 Disponıvel em xhttpssigaaufpbbry 18 18