Probabilidade - Conceitos Basicos Regras e Teorema de Bayes

41 Revisão e Visão Geral 42 Conceitos Básicos de Probabilidade 43 Regra da Adição 44 Regra da Multiplicação Ideias Básicas 45 Regra da Multiplicação Complementares e Probabilidade Condicional 46 Probabilidades Através de Simulações 47 Contagem 48 Teorema de Bayes no site da LTC Editora 4 Probabilidade PROBLEMA DO CAPÍTULO Os instrumentos polígrafos são eficazes como detectores de mentira Um instrumento polígrafo mede várias reações físicas tais como pressão sanguínea taxa de pulsação e condutividade da pele Em geral dãose aos sujeitos várias questões que devem ser respondidas e com base nas medidas físicas o examinador determina se o sujeito está ou não mentindo Erros nos resultados do teste podem levar a que um indivíduo seja falsamente acusado de cometer um crime ou à perda de um emprego por um candidato Com base em pesquisa as taxas de sucesso de testes de polígrafo dependem de vários fatores inclusive das questões feitas do objetivo do teste da competência do examinador e do instrumento polígrafo usado para o teste Muitos experimentos foram realizados para se avaliar a eficácia de aparelhos de polígrafo mas consideraremos os dados da Tabela 41 que inclui resultados de experimentos realizados pelos pesquisadores Charles R Honts Boise State University e Gordon H Barland Department of Defense Polygraph Institute A Tabela 41 resume os resultados do teste de polígrafo para 98 sujeitos diferentes Em cada caso soubese se o sujeito havia mentido ou não Assim a tabela indica quando o teste de polígrafo estava correto Analisando os Resultados Ao se testar em relação a uma condição tal como mentira gravidez ou doença o resultado do teste é ou positivo ou negativo No entanto algumas vezes ocorrem erros durante o processo de teste que podem levar a um resultado falsopositivo ou a um resultado falsonegativo Por exemplo um resultado falsopositivo em um teste de polígrafo indicaria que o sujeito mentiu quando de fato ele não mentiu Um falsonegativo indicaria que o sujeito não mentiu quando de fato ele mentiu Resultados Incorretos Falsopositivo O teste indica incorretamente a presença de uma condição tal como mentir estar grávida ou ter alguma doença quando o sujeito realmente não apresenta tal condição Falsonegativo O teste indica incorretamente que o sujeito não tem a condição quando na verdade ele apresenta tal condição Resultados Corretos Verdadeiropositivo O teste indica corretamente que a condição está presente quando ela realmente está Verdadeironegativo O teste indica corretamente que a condição não está presente quando ela realmente não está Medidas da Confiabilidade do Teste Sensitividade do Teste A probabilidade de um verdadeiropositivo Especificidade do Teste A probabilidade de um verdadeironegativo Neste capítulo estudamos os princípios básicos da teoria da probabilidade Esses princípios nos permitirão abordar questões relacionadas com a confiabilidade ou com a não confiabilidade dos testes de polígrafo tais como dados os resultados amostrais na Tabela 41 qual é a probabilidade de um falsopositivo ou de um falsonegativo Essas probabilidades são baixas o bastante para apoiar o uso de testes de polígrafo para se fazerem julgamentos sobre o sujeito de teste Tabela 41 Resultados de Experimentos com Instrumentos Polígrafos O Sujeito Realmente Mentiu Não Não Menti Sim Mentiu Resultado positivo de teste O teste do polígrafo indicou que o sujeito mentiu 15 falsopositivo 42 verdadeiropositivo Resultado negativo de teste O teste do polígrafo indicou que o sujeito não mentiu 32 verdadeironegativo 9 falsonegativo 114 Capítulo 4 41 Revisão e Visão Geral Os capítulos anteriores desenvolveram algumas ferramentas fundamentais usadas nos métodos estatísticos a serem introduzidos em capítulos posteriores Discutimos a necessidade de métodos amostrais sólidos e de medidas comuns de características dos dados incluindo a média e o desviopadrão O principal objetivo deste capítulo é desenvolver uma compreensão sólida dos valores de probabilidade porque esses valores constituem a fundamentação subjacente sobre a qual são construídos os métodos de inferência estatística Como um exemplo simples suponha que você tenha desenvolvido um procedimento de seleção de sexo e afirme que esse procedimento aumenta muito a probabilidade de um bebê ser uma menina Suponha que resultados de testes independentes com 100 casais mostrem que seu procedimento resulta em 98 meninas e apenas 2 meninos Embora haja uma chance de se obterem 98 meninas em 100 nascimentos sem qualquer tratamento especial essa chance é tão incrivelmente pequena que você a rejeitaria como uma explicação razoável Ao contrário seria geralmente reconhecido que os resultados dão forte apoio à afirmativa de que a técnica de seleção de sexo seja eficaz É exatamente assim que os estatísticos pensam eles rejeitam explicações baseadas em probabilidades muito pequenas Estatísticos usam a regra do evento raro para inferência estatística Regra do Evento Raro para Inferência Estatística Se sob uma dada hipótese a probabilidade de um evento particular observado for extremamente pequena concluímos que provavelmente a hipótese não é correta Embora o principal objetivo neste capítulo seja promover um entendimento seguro de valores de probabilidade que serão usados nos capítulos seguintes um objetivo secundário é desenvolver habilidades básicas necessárias para a determinação de valores de probabilidades em uma variedade de circunstâncias importantes 42 Conceitos Básicos de Probabilidade Conceitochave Nesta seção apresentamos três métodos diferentes para o cálculo da probabilidade de um evento O objetivo mais importante desta seção é aprender como interpretar valores de probabilidade que são expressos como valores entre 0 e 1 Devemos entender que uma pequena probabilidade como 0001 corresponde a um evento que é não usual no sentido de que ele raramente ocorre Discutimos também expressões de chances e como a probabilidade é usada para a determinação das chances de ocorrência de um evento Embora os conceitos relacionados com chances não sejam necessários para os tópicos que seguem chances serão consideradas em algumas situações diárias Por exemplo chances são usadas para se determinar a verossimilhança de se ganhar na loteria Parte 1 O Básico de Probabilidade Ao considerarmos probabilidades lidamos com experimentos tais como fazer um teste de polígrafo jogar um dado responder a um teste de questões de múltipla escolha ou se submeter a um teste sobre uso de drogas que produzem resultados DEFINIÇÃO Um evento é qualquer conjunto de resultados de um experimento Um evento simples é um resultado ou evento que não pode mais ser decomposto em componentes mais simples O espaço amostral de um experimento consiste em todos os eventos simples possíveis Isto é o espaço amostral consiste em todos os resultados que não podem mais ser decompostos Probabilidades que Desafiam a Intuição Em certos casos nossas estimativas subjetivas de valores de probabilidades diferem drasticamente das probabilidades efetivas Eis um exemplo clássico se você respira profundamente há mais de 99 de chance de inalar uma molécula que tenha sido exalada no último suspiro de César Nesse mesmo contexto mórbido e não intuitivo se a taça de cicuta fatal que matou Sócrates contivesse água em sua maior parte então o próximo copo de água que você bebesse provavelmente conteria uma daquelas mesmas moléculas Eis um outro exemplo menos mórbido que pode ser verificado em classes de 25 alunos há uma chance superior a 50 de 2 alunos terem a mesma data de aniversário dia e mês O Exemplo 1 ilustra os conceitos apresentados anteriormente Na apresentação que segue usamos f para representar um bebê do sexo feminino e m para representar um bebê do sexo masculino Procedimento Exemplo de Evento Espaço Amostral Completo Nascimento 1 mulher f m único evento simples 3 nascimentos 2 mulheres e 1 homem ff ffm fmf fnm mff mfm mmf mmm ffm fnf mff são todos eventos simples que resultam em 2 mulheres e 1 homem Com um nascimento o resultado de 1 mulher é um evento simples pois não pode ser decomposto mais Com três nascimentos o evento 2 mulheres e um homem não é um evento simples pois pode ser decomposto em eventos mais simples tais como ffm fnf ou mff Com três nascimentos o espaço amostral consiste nos 8 eventos simples listados anteriormente Com três nascimentos o resultado ffm é considerado um evento simples pois é um resultado que não pode mais ser decomposto Podemos pensar incorretamente que ffm pode ser decomposto em resultados individuais de f f e m mas f f e m não são resultados individuais de três nascimentos Com três nascimentos há exatamente 8 resultados que são eventos simples fff ffm fnf fnm mff mfm mmf e mmm Inicialmente listamos alguma notação básica para então apresentar três diferentes abordagens para se encontrar a probabilidade de um evento Notação para Probabilidades P representa probabilidade A B e C denotam eventos específicos PA denota a probabilidade de ocorrência do evento A 1 Aproximação da Probabilidade pela Frequência Relativa Realize ou observe um experimento e conte o número de vezes em que o evento A realmente ocorreu Com base nesses resultados efetivos PA é aproximada por PA número de vezes em que A ocorreu número de vezes em que o experimento foi repetido 2 Abordagem Clássica da Probabilidade Requer Resultados Igualmente Prováveis Suponha que determinado experimento tenha n diferentes eventos simples e que cada um desses eventos simples tenha igual chance de ocorrer Se o evento A pode ocorrer em s dessas n maneiras então PA número de maneiras em que A pode ocorrer número de diferentes eventos simples sn ATENÇÃO Ao usar a abordagem clássica verifique sempre se os resultados são igualmente prováveis 3 Probabilidade Subjetiva PA a probabilidade do evento A é estimada usandose o conhecimento de circunstâncias relevantes Apostando para Ganhar Na loteria estadual típica dos Estados Unidos a casa leva uma vantagem de 65 a 70 porque apenas 30 a 35 do total apostado são devolvidos como prêmio Nas corridas de cavalo a vantagem da casa fica em torno de 15 Nos cassinos a vantagem da casa é de 526 na roleta 14 nos dados e de 3 a 22 nos caça níqueis No vintee um a vantagem da casa é de 59 mas alguns jogadores profissionais podem ganhar sistematicamente com uma vantagem de 1 para o jogador usando técnicas complicadas de contagem de cartas que requerem muitas horas de prática Em um sistema o jogador analisa as cartas que são mostradas e subtrai um ponto para uma carta de figura ou 10 para um ás e acrescenta um ponto para as cartas 2 3 4 5 6 As cartas 7 e 8 são ignoradas Quando a contagem é alta e o carteador já está adiantado na pilha de cartas o baralho contém de maneira desproporcional mais cartas altas e as chances favorecem o jogador Se um jogador que conta cartas mudasse subitamente de pequenas para grandes apostas o carteador reconheceria a contagem de cartas e o jogador seria expulso Os contadores de cartas tentam driblar essa vigilância trabalhando em grupos Quando a contagem está bastante alta o jogador sinaliza para um cúmplice que entra no jogo com grandes apostas Um grupo de estudantes do MIT supostamente ganhou milhões de dólares contando cartas no vinteeum Note que a abordagem clássica requer resultados igualmente prováveis Se os resultados não são igualmente prováveis ou usamos a estimativa da frequência relativa ou temos que nos basear no conhecimento das circunstâncias para fazermos uma suposição razoável A Figura 41 ilustra as três abordagens Ao procurarmos probabilidades com a abordagem de frequência relativa obtemos uma aproximação em vez de um valor exato À medida que o número total de observações aumenta as aproximações correspondentes tendem a se aproximar cada vez mais da probabilidade real Essa propriedade é estabelecida como um teorema comumente conhecido como lei dos grandes números Quão Provável Como devemos interpretar termos como provável improvável ou estremamente improvável A FAA Federal Aviation Administration interpreta esses termos como a seguir Provável Uma probabilidade da ordem de 000001 ou maior para cada hora de voo Esperase que tais eventos ocorram várias vezes durante a vida operacional de cada aeronave Improvável Uma probabilidade da ordem de 000001 ou menor Esperase que tais eventos não ocorram durante a vida operacional de um único avião de um tipo particular mas ele pode ocorrer durante a vida operacional total de todos os aviões de determinado tipo Extremamente improvável Uma probabilidade da ordem de 0000000001 ou menor Tais eventos são tão improváveis que não se precisa considerar que venham a ocorrer Figura 41 Três Abordagens para Encontrar Probabilidades a Abordagem da Frequência Relativa Ao tentarmos determinar a probabilidade de que um carro específico bata em um ano devemos examinar resultados passados para determinar o número de carros em uso em um ano e o número deles que bateram encontramos então a razão do número de carros que bateram para o total de carros Para um ano recente o resultado é uma probabilidade de 00480 Ver o Exemplo 2 b Abordagem Clássica Ao tentarmos determinar a probabilidade de se ganhar o grande prêmio em uma loteria selecionando 6 números entre 1 e 60 cada combinação tem igual chance de ocorrência A probabilidade de se ganhar é 00000000200 que pode ser encontrada usando métodos apresentados mais adiante neste capítulo c Probabilidade Subjetiva Ao tentarem estimar a probabilidade de um astronauta sobreviver a uma missão do ônibus espacial os peritos consideram eventos passados junto com mudanças nas tecnologias e condições para desenvolver uma estimativa de probabilidade Até a escrita deste livro essa probabilidade havia sido estimada pelos cientistas da NASA como 099 Lei dos Grandes Números À medida que um experimento é repetido mais e mais vezes a probabilidade dada pela frequência relativa de um evento tende a se aproximar da probabilidade real A lei dos grandes números nos diz que as estimativas dadas pelas frequências relativas tendem a ficar melhores com mais observações Essa lei reflete uma noção simples confirmada pelo senso comum uma estimativa de probabilidade baseada em apenas umas poucas tentativas pode estar errada por grandes quantidades mas com um número muito grande de tentativas a estimativa tende a ser mais precisa Probabilidade e Resultados que Não São Igualmente Prováveis Um erro comum consiste em incorretamente admitir que os resultados sejam igualmente prováveis porque não sabemos coisa alguma sobre a verossimilhança de cada resultado Quando não se sabe coisa alguma a respeito da verossimilhança de diferentes resultados possíveis não se deve supor que sejam igualmente prováveis Por exemplo não podemos concluir que a probabilidade de se ser aprovado em um teste seja 12 ou 05 porque ou se passa ou não se passa A probabilidade real depende de fatores tais como o preparo para o teste e sua dificuldade Probabilidade de uma Batida de Carro Ache a probabilidade de que um carro selecionado aleatoriamente nos Estados Unidos sofra uma batida neste ano Para uma ano recente havia 6511100 carros que tinham sofrido batidas entre os 135670000 carros registrados nos Estados Unidos com base em dados do Statistical Abstract of the United States Podemos agora usar a abordagem da frequência relativa como segue Pbatida número de carros que bateram número total de carros 6511100 135670000 00480 Note que a abordagem clássica não pode ser usada uma vez que os dois resultados batida não batida não são igualmente prováveis Probabilidade de um Resultado Positivo em um Teste Consulte a Tabela 41 incluída no Problema do Capítulo Admitindo que um dos 98 resultados de teste resumidos na Tabela 41 seja selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que seja um resultado positivo de teste O espaço amostral consiste nos 98 resultados de teste listados na Tabela 41 Entre os 98 resultados 57 são resultados positivos encontrados de 42 15 Como cada resultado de teste tem igual chance de ser escolhido podemos aplicar a abordagem clássica como segue Presultado positivo de teste pela Tabela 41 número de resultados positivos de teste número total de resultados 57 98 0582 Genótipos Ao estudar o efeito da hereditariedade sobre a altura escrevese cada genótipo individual AA Aa aA e aa em um cartão misturamse os cartões e selecionase um deles aleatoriamente Qual é a probabilidade de que seja selecionado um genótipo no qual os dois componentes são diferentes O espaço amostral AA Aa aA aa nesse caso inclui resultados igualmente prováveis Entre os 4 resultados há exatamente 2 nos quais os dois componentes são diferentes Aa e aA Podemos usar a abordagem clássica para obter Presultado com componentes diferentes 2 4 05 Acertando na Loteria Muitas pessoas gastam grandes quantias de dinheiro comprando bilhetes de loteria mesmo não tendo uma ideia realista das chances de ganhar O padre Donald Kelly do Colégio Marista sugere a seguinte analogia ganhar na loteria é equivalente a escolher corretamente a moeda de um centavo vencedora de uma pilha de moedas de um centavo de 21 milhas 338 km de altura Os aviões comerciais normalmente voam a uma altura de 6 milhas assim tente imaginar uma pilha de moedas com mais de três vezes a altura do voo desses aviões e então selecionar a moeda que representa o bilhete vencedor da loteria Usando os métodos desta seção ache a probabilidade de ganhar na loteria do seu estado e em seguida determine a altura da pilha de moedas correspondente EXEMPLO 5 Probabilidade de um Presidente do Alasca Ache a probabilidade de que o próximo presidente dos Estados Unidos seja do Alasca SOLUÇÃO O espaço amostral consiste em dois eventos simples o próximo presidente é do Alasca ou não é Se fóssemos usar a abordagem da frequência relativa concluiríamos incorretamente que é impossível que alguém do Alasca seja presidente porque isso nunca aconteceu no passado Não podemos usar a abordagem clássica porque os dois resultados possíveis são eventos que não são igualmente prováveis Restanos a estimativa subjetiva A população do Alasca é 02 da população total dos Estados Unidos mas a distância do Alasca apresenta desafios especiais aos políticos daquele estado de modo que uma probabilidade estimada de 0001 é razoável EXEMPLO 6 Preso no Elevador Qual é a probabilidade de que você fique preso no próximo elevador que usar SOLUÇÃO Na falta de dados históricos sobre falhas de elevadores não podemos usar a abordagem da frequência relativa Há dois resultados possíveis ficar preso ou não ficar preso mas não são igualmente prováveis de modo que não podemos usar a abordagem clássica Isso nos deixa com a estimativa subjetiva Nesse caso a experiência sugere que a probabilidade é muito pequena digamos 00001 equivalente a 1 chance em 10 mil Tal estimativa subjetiva com base em nosso conhecimento geral deve estar na vizinhança da verdadeira probabilidade Calculando o Número Total de Resultados Nos problemas de probabilidade básica devemos ser cuidadosos ao examinar a informação disponível e identificar corretamente o número total de resultados possíveis Em alguns casos o número total de resultados possíveis é dado mas em outros casos tem que ser calculado como nos Exemplos 7 e 8 1º 2º 3º meninomeninomenino exatamente 2 meninos meninomeninomenina meninomeninamenino meninomeninamenina meninameninomenino meninameninomenina meninameninamenino meninameninamenina EXEMPLO 7 Gênero de Crianças Ache a probabilidade de que quando um casal tem três filhos exatamente dois deles sejam meninos Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o gênero de uma criança não seja influenciado pelo gênero de qualquer outra criança SOLUÇÃO O maior obstáculo aqui é identificar corretamente o espaço amostral Isso envolve mais do que trabalhar com os números 2 e 3 dados no enunciado do problema O espaço amostral consiste em 8 maneiras diferentes pelas quais as três crianças podem ocorrer ver a margem Esses 8 resultados são igualmente prováveis assim usamos a abordagem clássica Das 8 diferentes possibilidades 3 correspondem a exatamente 2 meninos de modo que P2 meninos em 3 nascimentos 38 0375 INTERPRETAÇÃO Há uma probabilidade igual a 0375 de que se um casal tem 3 filhos exatamente dois sejam meninos EXEMPLO 8 Pesquisa da America Online O provedor de serviços de Internet America Online AOL fez a seguinte pergunta aos usuários sobre o Kentucky Fried Chicken KFC O KFC ganhará ou perderá mercado depois de eliminar as gorduras trans Entre as respostas recebidas 1941 diziam que o KFC ganharia mercado 1260 diziam que o mercado do KFC permaneceria o mesmo e 204 disseram que o KFC perderia mercado Ache a probabilidade de que uma resposta selecionada aleatoriamente afirme que o KFC ganharia mercado SOLUÇÃO Sugestão Em vez de tentar determinar uma reposta diretamente a partir da informação comece por resumir a informação dada em um formato que lhe permita compreendêla claramente Por exemplo use este formato 1941 ganho de mercado 1260 negócios permanecem inalterados 204 perda de mercado 3405 total de respostas Agora podemos usar a abordagem da frequência relativa como segue Presposta de ganho de mercado número dos que disseram que o KFC ganharia mercadonúmero total de respostas 19413405 0570 INTERPRETAÇÃO Há uma probabilidade de 0570 de que a resposta escolhida aleatoriamente aponte ganho de mercado Importante Note que a pesquisa envolve uma amostra de resposta voluntária porque os usuários da AOL eles mesmos decidiram se respond iam ou não Consequentemente ao interpretar os resultados dessa pesquisa tenha em mente que eles não refletem necessariamente as opiniões da população em geral As respostas refletem apenas as opiniões daqueles que escolheram responder Simulações As afirmações das três abordagens para o cálculo de probabilidades e os exemplos precedentes parecem sugerir que devemos sempre usar a abordagem clássica quando um experimento tem resultados igualmente prováveis mas muitos experimentos são tão complicados que a abordagem clássica é impraticável No jogo de paciência por exemplo os resultados mão de cartas dadas são todos igualmente prováveis mas é extremamente frustrante tentar usar a abordagem clássica para achar a probabilidade de vitória Em tais casos podemos obter boas estimativas mais facilmente usando a abordagem da frequência relativa Simulações podem ser úteis quando usamos essa abordagem Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta da mesma maneira que o experimento de modo que são produzidos resultados se melhores Veja a Seção 46 e o Projeto de Tecnologia ao final deste capítulo Por exemplo é muito mais fácil usar a abordagem da frequência relativa para estimar a probabilidade de ganhar no jogo de paciência isto é jogar várias vezes ou realizar uma simulação por computador do que realizar os cálculos extremamente complexos exigidos pela abordagem clássica EXEMPLO 9 Dia de Ação de Graças Se um ano é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de o Dia de Ação de Graças cair em uma a quartafeira ou b em uma quintafeira SOLUÇÃO a O Dia de Ação de Graças é sempre a quarta quintafeira do mês de novembro Assim é impossível que o Dia de Ação de Graças caia em uma quartafeira Quando um evento é impossível dizemos que sua probabilidade é 0 b É certo que o Dia de Ação de Graças caia em uma quintafeira Quando um evento ocorre com certeza dizemos que sua probabilidade é 1 Como qualquer evento imaginável é impossível é certo ou se situa entre esses dois extremos resulta que a probabilidade matemática de qualquer evento é 0 1 ou um número entre 0 e 1 ver Figura 42 ATENÇÃO Sempre expresse uma probabilidade como uma fração ou um número decimal entre 0 e 1 A probabilidade de um evento impossível é 0 A probabilidade de um evento cuja ocorrência é certa é 1 Para qualquer evento A a probabilidade de A está entre 0 e 1 inclusive Isto é 0 PA 1 A Figura 42 mostra a escala de 0 a 1 e também as expressões mais familiares e comuns de verossimilhança Eventos Complementares Às vezes precisamos calcular a probabilidade de um evento A não ocorrer DEFINIÇÃO O complementar de um evento A representado por A barra consiste em todos os resultados em que A não ocorre EXEMPLO 10 Adivinhando no Teste SAT Uma questão típica do teste SAT exige que a pessoa que o faz escolha uma entre cinco possibilidades A B C D ou E Como apenas uma resposta é correta se você faz uma escolha ao acaso sua probabilidade de acertar é 15 ou 02 Ache a probabilidade de fazer uma escolha ao acaso e de ela não ser correta ou ser incorreta SOLUÇÃO Como exatamente uma de cinco opções é correta segue que 4 delas não são corretas de modo que Pnão adivinhar a resposta correta Pcorreta Pincorreta 45 08 Figura 42 Valores Possíveis para Probabilidades INTERPRETAÇÃO Ao tentar adivinhar a resposta em uma questão de múltipla escolha há uma probabilidade de 08 de se escolher a resposta errada Embora as pessoas que fazem esses testes não sejam penalizadas por questões erradas escolher ao acaso ou adivinhar é razoável para algumas questões especialmente se você pode eliminar alguma das opções A longo prazo os escores não são afetados mas muitas adivinhações tendem a resultar em escores baixos Embora seja difícil desenvolverse uma regra universal para arredondamento de probabilidades a seguinte orientação se aplica à maioria dos problemas deste texto Arredondamento de Probabilidades Ao expressarmos o valor de uma probabilidade devemos dar a fração exata ou o número decimal exato ou arredondar o resultado final para três algarismos significativos Sugestão Quando uma probabilidade não é uma fração simples como 23 ou 59 devemos expressála na forma decimal para que o número seja mais bem compreendido Todos os dígitos em um número são significativos exceto pelos zeros que são colocados para a localização adequada da vírgula decimal EXEMPLO 11 Arredondamento de Probabilidades A probabilidade de 004799219 do Exemplo 2 tem sete algarismos significativos 4799219 e pode ser arredondada para três algarismos significativos como 00480 O zero imediatamente à direita da vírgula decimal não é significativo porque ele é necessário para a colocação correta da vírgula decimal mas o zero no extremo direito é significativo porque não é necessário para a colocação correta da vírgula decimal A probabilidade de 13 pode ser deixada como uma fração ou arredondada para 0333 Não arredonde para 03 A probabilidade de 24 do Exemplo 4 pode ser expressa como 12 ou 05 como 05 é exato não precisamos expressálo com três algarismos significativos como 0500 A fração 19413405 do Exemplo 8 é exata mas seu valor não é óbvio devemos assim expressála na forma decimal como 0570 A expressão matemática da probabilidade como um número entre 0 e 1 é fundamental e comum em procedimentos estatísticos e será utilizada em todo o restante deste livro Um resultado típico de computador por exemplo pode incluir uma expressão valor P como significância inferior a 0001 O significado dos valores P será discutido mais adiante mas tratase essencialmente de probabilidades do tipo estudado nesta seção Por ora você deve reconhecer que uma probabilidade de 0001 equivalente a 11000 corresponde a um evento tão raro que ocorre em média apenas uma vez em cada mil provas O Exemplo 12 envolve a interpretação de tais valores pequenos de probabilidade EXEMPLO 12 Evento Não Usual Em um experimento clínico da vacina Salk para pólio 200745 crianças receberam um placebo e 201229 outras foram tratadas com a vacina Salk Houve 115 casos de pólio entre as que receberam o placebo e 33 casos de pólio no grupo de tratamento Se supusermos que a vacina não tenha qualquer efeito a probabilidade de se obterem tais resultados de teste é menor do que 0001 Um evento com probabilidade menor do que 0001 é um evento não usual O que essa probabilidade informa sobre a eficácia da vacina SOLUÇÃO Um valor de probabilidade menor do que 0001 é muito pequeno Ele indica que o evento ocorrerá menos de uma vez a cada mil vezes de modo que o evento é não usual A probabilidade pequena sugere que os resultados do teste provavelmente não ocorreriam se a vacina não tivesse qualquer efeito Consequentemente há duas explicações possíveis para os resultados desse experimento clínico 1 A vacina não tem efeito e os resultados ocorreram por acaso 2 a vacina tem efeito o que explica por que o grupo de tratamento teve uma incidência de pólio bem menor Devido ao fato de a probabilidade ser tão pequena menor do que 0001 a segunda explicação é mais razoável Concluímos que a vacina parece ser eficaz O exemplo precedente ilustra a regra do evento raro para inferência estatística dada na Seção 41 Sob a hipótese de que a vacina não tenha qualquer efeito vemos que a probabilidade dos resultados é extremamente pequena menos de 0001 de modo que concluímos que a hipótese não é correta Esse exemplo ilustra também o papel da probabilidade para se chegar a importantes conclusões sobre experimentos clínicos Por ora devemos compreender que quando uma probabilidade é muito pequena como menor do que 0001 ela indica que é muito improvável que o evento ocorra Parte 2 Além do Básico de Probabilidade Chances As expressões de verossimilhança são frequentemente dadas em forma de chances como 501 ou 50 para 1 Como o uso de chances torna muitos cálculos extremamente difíceis estatísticos matemáticos e cientistas preferem usar probabilidades A vantagem das chances é que facilitam as transferências de dinheiro associadas ao jogo e assim tendem a ser usadas em cassinos loterias e corridas de cavalos Note que nas três definições que seguem as chances reais contra e as chances reais a favor são calculadas com a real verossimilhança de algum evento mas as chances no rateio descrevem a relação entre a aposta e a quantidade no rateio As chances reais correspondem a probabilidades reais de resultados mas as chances no rateio são estabelecidas pelos operadores de cassinos e pistas de corrida As pistas de corrida e os cassinos fazem negócios para obter lucros de modo que as chances no rateio não são as mesmas que as chances reais DEFINIÇÃO A chance real contra a ocorrência do evento A é dada pela razão PĀ PA usualmente expressa na forma ab ou a para b onde a e b são números primos entre si A chance real a favor do evento A é dada pela razão PA PĀ que é o inverso da chance real contra aquele evento Se a chance contra A é ab então a chance a favor de A é ba A chance no rateio contra o evento A representa a razão do lucro líquido se você ganhar para a quantia apostada chance no rateio contra o evento A lucro líquido quantia apostada EXEMPLO 13 Se você aposta 5 dólares no número 13 em uma roleta sua probabilidade de ganhar é 138 e a chance no rateio é dada pelo cassino como 351 a Ache a chance real contra o resultado 13 b Qual seria o seu lucro líquido se você ganhasse apostando no 13 c Se o cassino estivesse operando apenas por diversão e a chance no rateio fosse alterada para se igualar à chance real contra o 13 quanto você ganharia se o resultado fosse 13 SOLUÇÃO a Com P13 138 e P não 13 3738 obtemos chances reais contra 13 P não 13 P13 3738 138 371 ou 371 b Como as chances no rateio contra o 13 são de 351 temos 351 lucro líquido quantia apostada Assim há um lucro líquido de 35 dólares para cada dólar apostado Para uma aposta de 5 dólares o lucro líquido é 175 O apostador vencedor ganharia 175 mais os 5 originais da aposta Isto é a quantia recebida seria de 180 dólares para um lucro líquido de 175 dólares c Se o cassino estivesse operando por diversão e não por lucro as chances no rateio seriam iguais às chances reais contra o 13 ou seja 371 Assim há um lucro líquido de 37 dólares para cada 1 dólar apostado Para uma aposta de 5 dólares o lucro líquido seria de 185 dólares O cassino lucra pagando apenas 175 em vez dos 185 que ele pagaria com um jogo de roleta justo em vez de favorável ao cassino 42 Habilidades e Conceitos Básicos Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Interpretando a Probabilidade Com base em resultados recentes a probabilidade de alguém se machucar nos Estados Unidos usando equipamentos de esportes ou de lazer é 1500 com base em dados do Statistical Abstract of the United States O que significa dizermos que a probabilidade é 1500 Tal machucadura é não usual 2 Probabilidade de um Presidente Republicano Ao predizermos a chance de que seja eleito um Presidente Republicano em 2012 poderíamos pensar que há dois resultados possíveis Republicano não Republicano de modo que a probabilidade de um Presidente Republicano é 12 ou 05 Esse raciocínio é correto Por que sim ou por que não 3 Probabilidade e Eventos Não Usuais Se A denota algum evento o que é denotado por Ā Se PA 0995 qual é o valor de PĀ Se PA 0995 Ā é não usual 4 Probabilidade Subjetiva Estime a probabilidade de que da próxima vez que você andar de carro você não será atrasado por alguma batida de carro que bloqueie a rua Nos Exercícios 512 expresse o grau de verossimilhança indicado como um valor de probabilidade entre 0 e 1 5 Loteria Em um dos jogos instantâneos de loteria do Estado de Nova York as chances de ganhar são estabelecidas como 4 em 21 6 Clima Uma previsão de tempo para a casa do autor foi estabelecida como Chance de chuva 80 7 Teste Se você faz uma adivinhação aleatória para a resposta de uma questão de verdadeirofalso há uma chance de 5050 de acertar 8 Nascimentos Quando nasce um bebê há aproximadamente uma chance de 5050 de que seja uma menina 9 Dados Ao se jogarem dois dados no Cassino Venetian em Las Vegas há 6 chances em 36 de que o resultado seja 7 10 Roleta Ao jogar na roleta no Cassino Mirage você tem 18 chances em 38 de ganhar se você apostar que o resultado será um número ímpar 11 Cartas É impossível obteremse cinco ases na seleção de cartas de um baralho misturado 12 Dias Ao selecionar um dia de semana você tem certeza de selecionar um dia contendo a letra i 13 Identificando Valores de Probabilidade Quais dos seguintes valores não podem ser probabilidades 31 25 52 05 05 123321 321123 0 1 14 Identificando Valores de Probabilidade a Qual é a probabilidade de um evento de ocorrência certa b Qual é a probabilidade de um evento impossível c Um espaço amostral consiste em 10 eventos separados que são igualmente prováveis Qual é a probabilidade de cada um d Em um teste de questões de verdadeirofalso qual é a probabilidade de responder corretamente a uma questão se você faz uma adivinhação ao acaso e Em um teste com questões de múltipla escolha com cinco possibilidades de resposta para cada questão qual é a probabilidade de responder corretamente a uma questão se você faz uma adivinhação ao acaso 15 Gênero de Crianças Consulte a lista de oito resultados possíveis quando um casal tem três filhos Ver o Exemplo 7 Ache a probabilidade de cada evento seguinte a Há exatamente uma menina b Há exatamente duas meninas c Todos são meninas 16 Genótipos No Exemplo 4 notamos que um estudo envolveu genótipos igualmente prováveis representados por AA Aa aA e aa Se um desses genótipos é selecionado aleatoriamente como no Exemplo 4 qual é a probabilidade de o resultado ser AA A obtenção de AA é não usual 17 Teste do Polígrafo Consulte os dados amostrais da Tabela 41 que está incluída no Problema do Capítulo a Quantas respostas estão resumidas na tabela b Quantas vezes o polígrafo forneceu um resultado negativo de teste c Se uma das respostas for selecionada aleatoriamente ache a probabilidade de que seja um resultado negativo de teste Expresse a resposta como uma fração d Use o método de arredondamento desta seção para expressar a resposta da parte c como um decimal 18 Teste do Polígrafo Consulte os dados amostrais da Tabela 41 a Quantas respostas foram realmente mentiras b Se uma das respostas for selecionada aleatoriamente qual é a probabili dade de que seja uma mentira Expresse a resposta como uma fração c Use o método de arredondamento desta seção para expressar a resposta da parte b como um decimal 19 Teste do Polígrafo Consulte os dados amostrais na Tabela 41 Se uma das respostas for selecionada aleatoriamente qual é a probabilidade de que seja um falsopositivo Expresse a resposta como um decimal O que essa probabilidade sugere sobre a precisão do teste de polígrafo 20 Teste do Polígrafo Consulte os dados amostrais na Tabela 41 Se uma das respostas for selecionada aleatoriamente qual é a probabilidade de que seja um falsonegativo Expresse a resposta como um decimal O que essa probabilidade sugere sobre a precisão do teste de polígrafo 21 Senado Americano O 110 Congresso dos Estados Unidos incluía 84 senadores e 16 senadoras Se um desses senadores é selecionado ale atoriamente qual é a probabilidade de que uma mulher seja escolhida Essa probabilidade concorda com a afirmativa de que homens e mulheres têm a mesma chance de serem eleitos senadores 22 Genética Mendeliana Quando Mendel realizou seu famoso ex perimento genético com ervilhas uma prole de mudas consistia em 428 ervilhas verdes e 152 ervilhas amarelas Com base nesses resultados esti me a probabilidade de se obter uma prole de ervilhas verdes O resultado está razoavelmente próximo do valor esperado de 34 como afirmado por Mendel 23 Atingidos por um Raio Em um ano recente 281 de 290789000 pessoas nos Estados Unidos foram atingidas por um raio Estime a pro babilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente nos Estados Uni dos ser atingida por um raio neste ano Um jogador de golfe está ra ciocinado corretamente se é pego por uma tempestade e não procura abrigo contra raios porque a probabilidade de ser atingido por um raio é muito pequena 24 Seleção de Gênero Em um teste da técnica XSORT de seleção de gênero da MicroSort 726 nascimentos consistiam em 668 meninas e 58 meninos com base em dados do Genetics IVF Institute Consi derando esse resultado qual é a probabilidade de nascer uma menina de um casal que usa o método XSORT da MicroSort A técnica parece ser eficaz em aumentar a probabilidade do nascimento de meninas Usando a Probabilidade para Identificar Eventos Não Usuais Nos Exercícios 2532 considere um evento como incomum ou não usual se sua probabilidade for menor do que ou igual a 005 Isto é equivalente ao critério comumente usado em infe rência estatística mas o valor 005 não é absolutamente rígido e outros valores como 001 são algumas vezes usados 25 Adivinhando Aniversários Em seu primeiro encontro Kelly pe diu a Mike que adivinhasse o dia do aniversário dela sem incluir o ano de nascimento a Qual é a probabilidade de Mike adivinhar corretamente Ignore os anos bissextos b Seria não usual ele adivinhar corretamente na primeira tentativa c Se você fosse Kelly e Mike adivinhasse corretamente na primeira ten tativa você acreditaria que ele teve sorte em sua adivinhação ou você ficaria convencida de que ele já sabia o dia do seu aniversário d Se Kelly pede a Mike que adivinhe a idade dela e a resposta de Mike é errada por mais de 15 anos qual é a probabilidade de Mike e Kelly terem um segundo encontro 26 Efeito Adverso do Viagra Quando o fármaco Viagra foi testado clinicamente 117 pacientes relataram dor de cabeça contra 617 que não a tiveram com base em dados da Pfizer Inc Use essa amostra para estimar a probabilidade de que um usuário do Viagra tenha dor de cabeça É inco mum que um usuário do Viagra tenha dores de cabeça A probabilidade é alta o bastante para que os usuários do Viagra fiquem preocupados 27 Falhas de MarcaPassos de Coração Entre 8834 casos de mau funcionamento de marcapassos 504 foram causados por firmware que é um programa dentro do aparelho com base em dados de Pacemaker and ICD Generator Malfunctions de Maiselo et al Journal of the American Medical Association Vol 295 Nº 16 Com base nesses resultados qual é a probabilidade de que o mau funcionamento de um marcapasso seja causado por um firmware Um defeito de firmware é incomum entre os defeitos apresentados por marcapassos 28 Excluído de um Voo Entre 15378 passageiros da companhia aérea Delta selecionados aleatoriamente 3 foram excluídos de um voo contra vontade com base em dados do US Department of Transportation Ache a probabilidade de que um passageiro selecionado aleatoriamente seja excluído de um voo contra sua vontade Tal exclusão é incomum Tais exclusões representam um problema sério para os passageiros da Delta em geral Por que sim ou por que não 29 Pena de Morte Nos últimos 30 anos as execuções de penas de morte nos Estados Unidos incluíram 795 homens e 10 mulheres com base em dados da Associated Press Se uma execução é selecionada aleatoriamente ache a probabilidade de que a pessoa executada seja uma mulher É incomum uma mulher ser executada Como pode ser expli cada a discrepância 30 Pesquisa de CélulaTronco Adultos foram selecionados aleato riamente para uma pesquisa da Newsweek e lhes foi perguntado se eram a favor ou contra o uso de dólares de taxa federal para o financiamento de pesquisa usando célulastronco obtidas de embriões humanos Dos adultos selecionados 481 eram favoráveis 401 eram contra e 120 não tinham certeza Com base nesses resultados ache a probabilidade de que um adulto selecionado aleatoriamente responda favoravelmente É inco mum um adulto ser favorável 31 Telefones Celulares nas Famílias Em uma sondagem com consu midores de 12 anos de idade ou mais realizada pela Frank N Magid As sociates perguntouse aos respondentes quantos telefones celulares eram usados pela família Entre os respondentes 211 disseram nenhum 288 disseram um 366 disseram dois 144 disseram três e 89 disseram quatro ou mais Ache a probabilidade de que uma família selecionada aleatoriamente tenha quatro ou mais celulares em uso É não usual uma família ter quatro ou mais celulares em uso 32 Chamadas Telefônicas Pessoais no Trabalho O USA Today re latou em uma sondagem com trabalhadores em escritórios quanto tempo eles gastavam por dia em telefonemas pessoais Entre as respostas 1065 relataram tempos entre 1 a 10 minutos 240 relataram tempos entre 11 e 30 minutos 14 relataram tempos entre 31 e 60 minutos e 66 disseram não fazer telefonemas pessoais Se um trabalhador é escolhido aleatoria mente qual é a probabilidade de que ele não faça telefonemas pessoais É não usual que um trabalhador não faça telefonemas pessoais Construção do Espaço Amostral Nos Exercícios 3336 cons trua o espaço amostral indicado e responda às questões apre sentadas 33 Gênero de Crianças Construindo o Espaço Amostral Essa seção incluiu uma tabela que resumia os resultados de gênero para um casal que pretendia ter três filhos a Construa uma tabela semelhante para um casal que pretenda ter dois filhos b Supondo que os resultados listados na parte a sejam igualmente prováveis ache a probabilidade de se ter duas meninas c Ache a probabilidade de se ter exatamente uma criança de cada gê nero 34 Gênero de Crianças Construindo o Espaço Amostral Essa seção incluiu uma tabela que resumia os resultados de gênero para um casal que pretendia ter três filhos a Construa uma tabela semelhante para um casal que pretenda ter qua tro filhos b Supondo que os resultados listados na parte a sejam igualmente prováveis ache a probabilidade de se ter exatamente duas meninas de dois meninos c Ache a probabilidade de que as quatro crianças sejam meninos 35 Genética Cor dos Olhos Ambos os pais têm o genótipo casta nhoazul que consiste no par de alelos que determina a cor dos olhos e cada pai contribui com um desses alelos para a criança Suponha que se a criança tem pelo menos um alelo castanho esta cor dominará e os olhos serão castanhos A determinação efetiva da cor dos olhos é um tanto mais complicada que isso a Liste os resultados possíveis Suponha que esses resultados sejam igual mente prováveis b Qual é a probabilidade de um filho desses pais ter o genótipo azul azul c Qual é a probabilidade de a criança ter olhos castanhos 36 Doença Genética Ligada ao X Homens têm cromossomos XY ou YX e mulheres têm cromossomos XX Doenças genéticas recessivas ligadas ao X tais como retinósquise juvenil ocorrem quando há um cromossomo X defeituoso sem um cromossomo X bom emparelhado No que segue represente um cromossomo X defeituoso pela letra x mi núscula de modo que uma criança com um par de cromossomos xY ou Yx terá a doença enquanto uma criança com XX ou XY ou YX ou xX não terá a doença Cada um dos pais contribui com um dos cro mossomos para a criança a Se o pai tem o cromossomo x defeituoso e a mãe tem cromossomos XX bons qual é a probabilidade de que um filho herde a doença b Se o pai tem o cromossomo x defeituoso e a mãe tem cromossomos XX bons qual é a probabilidade de que uma filha herde a doença c Se a mãe tem um cromossomo x defeituoso e um cromossomo X bom e o pai tem cromossomos XY bons qual é a probabilidade de que um filho herde a doença d Se a mãe tem um cromossomo x defeituoso e um cromossomo X bom e o pai tem cromossomos XY bons qual é a probabilidade de que uma filha herde a doença 42 Além do Básico Chances Nos Exercícios 3740 responda às questões dadas que envolvem chances 37 Chances na Paciência Um jogo de paciência foi jogado 500 ve zes Entre as 500 jogadas o jogo foi vencido 77 vezes Os resultados são do jogo de paciência da Microsoft e foram usadas as regras de Vegas de passa 3 com apostas de 52 dólares e um retorno de 5 dólares por carta Com base nesses resultados ache as chances contra ganhar 38 Encontrando as Chances na Roleta Uma roda de roleta tem 38 ranhuras Uma ranhura é 0 outra é 00 e as demais são numeradas de 1 a 36 respectivamente Você faz uma aposta de que o resultado será um número ímpar a Qual é a probabilidade ganhar b Quais são as chances reais contra ganhar c Quando você aposta no resultado de um número ímpar as chances no rateio são de 11 Qual o seu lucro se você aposta 18 dólares e ganha d Qual lucro você obtém em uma aposta de 18 dólares se você consegue convencer o cassino a mudar as chances no rateio de modo que sejam as chances reais contra ganhar Recomendação Não tente realmente con vencer o cassino disso o senso de humor deles é notoriamente inexistente quanto se trata dessas questões 39 Chances no Derby de Kentucky Quando o cavalo Barbaro ga nhou o 132 Derby de Kentucky uma aposta de 2 dólares de que Barbaro venceria resultou em um retorno de 1420 dólares a Qual o lucro líquido de uma aposta de 2 dólares em Barbaro b Quais as chances no rateio contra Barbaro vencer c Com base em avaliações preliminares antes da corrida os apostadores acreditavam que Barbaro tivesse uma probabilidade de 57500 de ganhar Supondo que 57500 seja a verdadeira probabilidade de uma vitória de Barbaro quais eram as reais chances contra sua vitória d Se as chances no rateio fossem as chances reais encontradas na parte c quanto valeria uma aposta de 2 dólares depois da vitória de Barbaro Probabilidade 125 40 Encontrando Probabilidades a Partir de Chances Se as chan ces reais contra um evento A são de ab entao PA ba b Ache a probabilidade de o cavalo Cause to Believe ganhar o 132 Derby de Kentucky dado que as chances reais contra sua vitória nessa corrida eram de 973 41 Risco Relativo e Razão de Chances Em um teste clínico com 2103 sujeitos tratados com Nasonex 26 relataram dores de cabeça Em um grupo de controle de 1671 sujeitos que receberam um placebo 22 re lataram dores de cabeça Denotandose por p1 a proporção de pessoas com dor de cabeça no grupo de tratamento e denotando por p2 a proporção de pessoas com dor de cabeça no grupo controle placebo o risco relativo é p1p2 O risco relativo é uma medida da força do efeito do tratamento com Nasonex Outra tal medida é a razão de chances que é a razão das chances a favor de uma dor de cabeça para o grupo de tratamento para as chances a favor de uma dor de cabeça para o grupo controle placebo encontrada pelo seguinte cálculo p11 p1 p2 1 p2 O risco relativo e as razões de chances são comumente usados em me dicina e em estudos epidemiológicos Ache o risco relativo e a razão de chances para os dados da dor de cabeça O que os resultados sugerem sobre o risco de uma dor de cabeça com o tratamento com Nasonex 42 Moscas em uma Laranja Se duas moscas pousam em uma laran ja ache a probabilidade de que elas fiquem em pontos de um mesmo hemisfério 43 Pontos em um Bastão Selecionamse dois pontos em uma vara reta A vara é então quebrada nesses dois pontos Ache a probabilidade de que as três partes resultantes possam formar um triângulo Esse é possivelmente o exercício mais difícil neste livro Meninos e Meninas Não São Igualmente Prováveis Em muitos cálculos de pro babilidade bons resultados são obtidos supondose que nascimentos de meninos e meninas sejam igualmente prováveis Na verdade é mais provável que nasça um menino com probabili dade 0512 do que uma menina com proba bilidade 0488 Esses resultados se baseiam em dados recentes do Centro Nacional para Estatísticas da Saúde que mostraram que os 4112856 nascimentos em um ano incluíram 2105458 me ninos e 2007398 meninas Pesquisadores monitoram es sas probabilidades para pos síveis mudanças que possam sugerir fatores como mudan ças no meio ambiente e expo sição a substâncias químicas 43 Regra da Adição Conceitochave Nesta seção apresentamos a regra da adição como uma ferramenta para a de terminação de probabilidades que podem ser expressas como PA ou B que denota a probabili dade de que ocorra ou o evento A ou o evento B ou ambos ocorram como um único resultado de um experimento Para acharmos a probabilidade de ocorrência de um evento A ou de um evento B começamos por encontrar o número total de maneiras segundo as quais o evento A pode ocorrer e de maneiras segundo as quais o evento B pode ocorrer mas encontramos esse total sem considerar qualquer resultado mais de uma vez A palavrachave para lembrar é ou Ao longo de todo este texto usaremos o ou inclusivo que significa ou um ou outro ou ambos Exceto pelo Exercício 41 não usaremos o ou exclu sivo que significa um ou outro mas não ambos Na seção anterior apresentamos os fundamentos da probabilidade e consideramos os even tos classificados como simples Nesta seção e na seguinte vamos considerar eventos compostos DEFINIÇÃO Um evento composto é qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples Notação para a Regra da Adição PA ou B Pem uma única tentativa ocorre ou o evento A ou o evento B ou ocorrem am bos Entendendo a Notação Nesta seção PA e B representa a probabilidade de que A e B ocorram ambos na mesma prova do experimento mas na Seção 44 usaremos PA e B para representar a probabilidade de que o evento A ocorra em uma prova seguido pela ocorrência do evento B em outra prova Assim o verdadeiro significado de PA e B só pode ser determi nado se soubermos que nos referimos a uma prova que pode ter os resultados A e B ou que nos referimos a duas provas com o evento A ocorrendo na primeira e B ocorrendo na segunda O significado de PA e B depende pois do contexto Na Seção 42 consideramos eventos simples tais como a probabilidade de se obter um falsopositivo quando se seleciona aleatoriamente um resultado de um teste entre os 98 resul tados de teste listados na Tabela 41 reproduzida aqui para sua comodidade Se selecionamos aleatoriamente um resultado de teste a probabilidade de um falsopositivo é dada por Pfalso positivo 1598 0153 Veja o Exercício 19 na Seção 42 Consideremos agora Pobter resultado positivo de teste ou um sujeito que mentiu quando se seleciona aleatoriamente um dos 98 resultados de teste Consulte a Tabela 41 e conte cuidadosamente o número de sujeitos que tiveram teste positivo ou mentiram mas cuidado para não contar o mesmo sujeito mais de uma vez O exame da Tabela 41 mostra que 66 sujeitos tiveram teste positivo ou mentiram Importante É errado somaremse os 57 sujeitos com resultado positivo de teste com os 51 su jeitos que mentiram porque esse total de 108 conta 42 dos sujeitos duas vezes Veja o papel que o total correto de 66 tem no exemplo seguinte Tabela 41 Resultados de Experimentos com Instrumentos Polígrafos O Sujeito Realmente Menti u Não Não Menti u Sim Menti u Resultado positivo de teste 15 42 O teste do polígrafo indicou que o sujeito mentiu falsopositivo verdadeiropositivo Resultado negativo de teste 32 9 O teste do polígrafo indicou que o sujeito não mentiu verdadeironegativo falsonegativo EXEMPLO 1 Teste de Polígrafo Consulte a Tabela 41 Se um sujeito é selecionado aleatoriamente entre os 98 sujeitos que passaram por um teste de polígrafo ache a probabilidade de ser selecionado um sujeito que tenha um resultado positivo de teste ou tenha mentido SOLUÇÃO Pela Tabela 41 vemos que há 66 sujeitos que tiveram resultado positivo no teste ou mentiram Obtivemos o total de 66 somando os sujeitos que tiveram teste positivo com os sujeitos que mentiram tendo o cuidado de contar cada um apenas uma vez Dividindo o total de 66 pelo total geral de 98 obtivemos este resultado Presultado no teste positivo ou mentiu 6698 ou 0673 No Exemplo 1 há várias maneiras para contar os sujeitos que tiveram teste positivo ou que mentiram Qualquer uma das estratégias seguintes funcionaria Pinte de uma cor as células que representam os sujeitos que tiveram teste positivo ou que mentiram e some os números nessas celas coloridas tendo o cuidado de somar cada um apenas uma vez Essa abordagem resulta em 15 42 9 66 Some os 57 sujeitos que tiveram teste positivo com os 51 que mentiram mas o total de 108 envolve contagem dupla de 42 sujeitos assim compense a contagem dupla subtraindo a superposição que consiste nos 42 sujeitos que tiveram teste positivo e que mentiram Essa abordagem resulta em 57 51 42 66 Comece com o total de 57 sujeitos que tiveram teste positivo adicione os sujeitos que mentiram e não estavam incluídos naquele total e obtenha o resultado 57 9 66 O Exemplo 1 ilustra que no cálculo da probabilidade de um evento A ou evento B o uso da palavra ou sugere adição e a adição deve ser feita sem contagens duplas O exemplo precedente sugere uma regra geral pela qual somamos os números de resultados correspondentes a cada um dos eventos em questão Ao calcular a probabilidade da ocorrência do evento A ou da ocorrência do evento B ache o número total de maneiras segundo as quais A pode ocorrer e o número total de maneiras segundo as quais B pode ocorrer mas ache o total de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez ATENÇÃO Ao usar a regra da adição tenha sempre cuidado para não contar resultados mais de uma vez Uma maneira de se formalizar a regra consiste em combinar o número de maneiras segundo as quais o evento A pode ocorrer com o número de maneiras segundo as quais o evento B pode ocorrer e se houver superposição compensar subtraindo o número de resultados contados duas vezes como na regra seguinte Regra Formal da Adição PA ou B PA PB PA e B em que PA e B denota a probabilidade de que A e B ocorram ao mesmo tempo como resultado de uma realização do experimento Vocabulário de Shakespeare De acordo com Bradley Efron e Ronald Thisted as obras de Shakespeare incluíram 31534 palavras diferentes Eles usaram a teoria da probabilidade para concluir que Shakespeare conhecia pelo menos outras 35000 palavras que ele não usou em suas obras O problema de estimar o tamanho de uma população é um problema importante frequentemente encontrado nos estudos de ecologia mas o resultado aqui é uma outra aplicação interessante Ver Estimating the Number of Unseen Species How Many Words Did Shakespeare Know em Biometrika Vol 63 Nº 3 Embora a regra formal da adição seja apresentada como uma fórmula o uso cego de fórmulas não é recomendável É sempre melhor entender o espírito da regra e usar esse entendimento como segue Regra da Adição Intuitiva Para achar PA ou B ache a soma do número de maneiras segundo as quais o evento A pode ocorrer e o número de maneiras segundo as quais o evento B pode ocorrer somando de tal maneira que cada resultado seja contado apenas uma vez PA ou B é igual a esta soma dividida pelo número total de resultados do espaço amostral A regra da adição fica mais simples quando os eventos são disjuntos DEFINIÇÃO Os eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer simultaneamente Isto é eventos disjuntos não se superpõem EXEMPLO 2 Teste do Polígrafo Consulte novamente a Tabela 41 a Considere a seleção aleatória de 1 dos 98 sujeitos incluídos na Tabela 41 Determine se os seguintes eventos são disjuntos A obter um sujeito com resultado negativo no teste B obter um sujeito que não mentiu b Supondo que 1 pessoa seja selecionada aleatoriamente entre as 98 pessoas que foram testadas ache a probabilidade de se selecionar um sujeito que teve resultado negativo no teste ou que não mentiu SOLUÇÃO a Na Tabela 41 vemos que há 41 sujeitos com resultados negativos no teste e que há 47 sujeitos que não mentiram Os eventos de se obter um sujeito com resultado negativo no teste e o de se obter um sujeito que não mentiu podem ocorrer ao mesmo tempo porque há 32 sujeitos que tiveram resultados negativos no teste e não mentiram Como esses eventos se superpõem eles podem ocorrer ao mesmo tempo e dizemos que eles não são disjuntos b Na Tabela 41 precisamos encontrar o número total de sujeitos que tiveram resultados negativos no teste ou que não mentiram mas devemos encontrar esse total sem contagem dupla Obtivemos um total de 56 a partir de 32 9 15 Como 56 sujeitos tiveram resultados negativos no teste ou não mentiram e como há 98 sujeitos no total obtivemos Presultado negativo de teste ou não mentiu 5698 0571 Figura 43 Diagrama de Venn para Eventos que Não São Disjuntos Área Total 1 A Figura 43 mostra o diagrama de Venn que fornece uma ilustração visual da regra formal da adição Nessa figura podemos ver que a probabilidade de A ou B é igual à probabilidade de A círculo esquerdo mais a probabilidade de B círculo à direita menos a probabilidade de A e B região central em forma de uma bola de futebol americano Essa figura mostra que a adição das áreas dos dois círculos provocará a dupla contagem da região central em forma de uma bola de futebol americano Este é o conceito básico que sustenta a regra da adição Em função da relação entre a regra da adição e o diagrama de Venn mostrado na Figura 43 a notação PA B é algumas vezes usada no lugar de PA ou B Analogamente a notação PA B é algumas vezes usada no lugar de PA e B de modo que a regra formal da adição pode ser escrita como PA B PA PB PA B Se A e B são disjuntos PA e B se torna zero na regra da adição A Figura 44 mostra que quando A e B são disjuntos temos PA ou B PA PB Podemos resumir os pontos principais desta seção como segue 1 Para achar PA ou B comece associando ou com adição 2 Considere se os eventos A e B são disjuntos isto é eles podem acontecer ao mesmo tempo Se eles não são disjuntos isto é se eles podem acontecer ao mesmo tempo certifiquese de evitar ou pelo menos compensar a dupla contagem ao adicionar as probabilidades em questão Se você compreender a importância de não contar duas vezes ao achar PA ou B você não terá necessariamente que calcular PA B PA e B Erros cometidos ao se aplicar a regra da adição frequentemente envolvem dupla contagem isto é eventos que não são disjuntos são tratados como se fossem Uma indicação de tal erro é uma probabilidade total que excede 1 no entanto erros que envolvem a regra da adição nem sempre resultam em probabilidade total maior que 1 Eventos Complementares Na Seção 42 definimos o complementar do evento A e o representamos por Ā Dissemos que Ā consistia em todos os resultados para os quais A não ocorra Os eventos A e Ā têm que ser disjuntos porque é impossível um evento e seu complementar ocorrerem ao mesmo tempo Também podemos afirmar com certeza que A ocorre ou não ocorre o que implica que um dos dois A e Ā tem que ocorrer Essas observações nos levam à aplicação da regra da adição para eventos disjuntos como segue P A ou Ā PA PĀ 1 Justificamos o fato de que PA ou Ā PA PĀ 1 notando que A e Ā são disjuntos justificamos o total de 1 pela certeza de que A ocorre ou não ocorre Esse resultado da regra da adição leva às seguintes três expressões equivalentes Regra dos Eventos Complementares PA PĀ 1 PĀ 1 PA PA 1 PĀ A Figura 45 ilustra visualmente a relação entre PA e PĀ EXEMPLO 3 Dados do FBI mostram que 624 dos assassinatos são esclarecidos com prisões Podemos expressar a probabilidade de um assassinato ser esclarecido por uma prisão como Pesclarecido 0624 Para um assassinato selecionado aleatoriamente ache Pesclarecido SOLUÇÃO Usando a regra dos eventos complementares obtémse Presolvido 1 Presolvido 1 0624 0376 Isto é a probabilidade de um assassinato escolhido aleatoriamente não ser esclarecido por uma prisão é 0376 A principal vantagem da regra dos eventos complementares é que seu uso pode simplificar enormemente certos problemas conforme ilustraremos na Seção 45 Figura 44 Diagrama de Venn para Eventos que São Disjuntos Área Total 1 Figura 45 Diagrama de Venn para o Complementar do Evento A Área Total 1 Probabilidade 129 43 Habilidades e Conceitos Básicos Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Eventos Disjuntos Uma única tentativa de um experimento é realizada e os eventos resultantes são analisados Com suas próprias palavras descreva o que significa dois eventos em uma única tentativa serem disjuntos 2 Eventos Disjuntos e Complementares Ao considerarmos eventos resultantes de uma única tentativa se um evento é o complementar de outro evento os dois eventos devem ser disjuntos Por que sim ou por que não 3 Notação Usando o contexto da regra da adição apresentada nessa seção e usando suas próprias palavras descreva o que PA e B denota 4 Regra da Adição Ao analisar os resultados de um teste da técnica de seleção de gênero da Microsoft desenvolvida pelo Genetics IVF Institute um pesquisador deseja comparar os resultados com os da jogada de uma moeda Considere PF ou K que é a probabilidade de se obter uma menina gênero feminino ou cara na jogada da moeda Explique por que a regra da adição não se aplica a PF ou K Determinando se Eventos São Disjuntos Para os Exercícios 512 determine se os dois eventos são disjuntos para uma única repetição Sugestão Considere disjuntos como equivalente a separados ou não superpostos 5 Selecionar aleatoriamente um médico no Bellevue Hospital em Nova York e obter um cirurgião Selecionar aleatoriamente um médico no Bellevue Hospital em Nova York e obter uma mulher 6 Realizar uma pesquisa do Pew Research Center e selecionar aleatoriamente um sujeito que é Republicano Realizar uma pesquisa do Pew Research Center e selecionar aleatoriamente um sujeito que é Democrata 7 Selecionar aleatoriamente um Corvette da linha de montagem da Chevrolet e obter um sem defeitos Selecionar aleatoriamente um Corvette da linha de montagem da Chevrolet e obter um com a bateria descarregada 8 Selecionar aleatoriamente uma moscadafruta com olhos vermelhos Selecionar aleatoriamente uma moscadafruta com olhos marrons escuro 9 Receber um telefonema de um sujeito de pesquisa voluntário que acredita que haja evidência sólida de aquecimento global Receber um telefonema de um sujeito de pesquisa voluntário que se opõe à pesquisa com célulastronco 10 Selecionar aleatoriamente alguém tratado com o fármaco redutor de colesterol Lipitor Selecionar aleatoriamente alguém em um grupo controle que não recebe qualquer medicação 11 Selecionar aleatoriamente um filme com classificação R Selecionar aleatoriamente um filme com classificação de quatro estrelas 12 Selecionar aleatoriamente um graduado em faculdade Selecionar aleatoriamente alguém que não possuí casa Achando Complementares Nos Exercícios 1316 ache os complementares indicados 13 Pesquisa do STATDISK Com base em recente pesquisa de usuários do STATDISK encontrouse que PM 005 em que M é o evento de obter um usuário de Macintosh quando se seleciona aleatoriamente um usuário do STATDISK Se um usuário do STATDISK é selecionado aleatoriamente o que significa PM Qual é seu valor 14 Daltonismo As mulheres têm uma taxa de 025 de daltonismo verdevermelho Se uma mulher é selecionada aleatoriamente qual é a probabilidade de ela não ter o daltonismo verdevermelho Sugestão O decimal equivalente a 025 é 00025 e não 025 15 Pesquisa Pew Uma pesquisa do Pew Research Center mostrou que 79 dos americanos acreditam que seja moralmente errado não relatar toda a renda na declaração para o imposto de renda Qual é a probabilidade de que um americano não tenha essa crença 16 Ponto de Verificação de Sobriedade Quando o autor observou uma blitz de sobriedade realizada pelo Dutchess County Sheriff Department viu que 676 motoristas foram examinados e 6 foram presos por dirigirem intoxicados Com base nesses resultados podemos estimar que PI 000888 em que I denota o evento de examinar um motorista e obter um que esteja intoxicado O que significa PI e qual é seu valor Nos Exercícios 1720 use os dados do teste do polígrafo na Tabela 41 que está incluída no Problema do Capítulo 17 Teste do Polígrafo Se um dos sujeitos de teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que ele tenha um resultado positivo de teste ou não tenha mentido 18 Teste do Polígrafo Se um dos sujeitos de teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que ele não tenha mentido 19 Teste do Polígrafo Se um dos sujeitos de teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que ele tenha um resultado negativo verdadeiro de teste 20 Teste do Polígrafo Se um dos sujeitos de teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que ele tenha um resultado negativo de teste ou tenha mentido Nos Exercícios 2126 use os dados da tabela a seguir que resumem desafios de tenistas com base em dados relatados no USA Today Os resultados são do primeiro US Open que usou o sistema eletrônico HawkEye para apresentar uma repetição instantânea para determinar se uma bola é fora ou não Em cada caso suponha que um dos desafios seja selecionado aleatoriamente O desafio à chamada foi bemsucedido Sim Não Homens 201 288 Mulheres 126 224 21 Replay Instantâneo no Tênis Se S denota o evento de selecionar um desafio bem sucedido ache PS 22 Replay Instantâneo no Tênis Se M denota o evento de selecionar um desafio feito por um homem ache PM 23 Replay Instantâneo no Tênis Ache a probabilidade de que o desafio selecionado tenha sido feito por um homem ou tenha sido bemsucedido 24 Replay Instantâneo no Tênis Ache a probabilidade de que o desafio selecionado tenha sido feito por uma mulher ou tenha sido bemsucedido 25 Replay Instantâneo no Tênis Ache Po desafio foi feito por um homem ou não foi bemsucedido 26 Replay Instantâneo no Tênis Ache Po desafio foi feito por uma mulher ou não foi bemsucedido Nos Exercícios 2732 consulte a seguinte tabela que resume os resultados de um estudo de pessoas que se recusaram a responder a perguntas de sondagens com base nos dados de I Hear You Knocking but You Cant Come In de Fitzgerald e Fuller Sociological Methods and Research Vol 11 No 1 Em cada caso suponha que um dos sujeitos seja aleatoriamente selecionado Idade Responderam 1821 73 2229 255 3039 245 4049 136 5059 138 60 ou mais 202 Se Recusaram 11 20 33 16 27 49 27 Recusa em Pesquisa Qual é a probabilidade de que a pessoa selecionada tenha se recusado a responder Esse valor de probabilidade sugere que as recusas sejam um problema para os entrevistadores 28 Recusa em Pesquisa Uma companhia farmacêutica está interessada na opinião das pessoas mais velhas porque elas estão recebendo auxílio saúde ou irão receber em breve Qual é a probabilidade de que o sujeito selecionado seja alguém com 60 anos ou mais e que respondeu 29 Recusa em Pesquisa Qual é a probabilidade de que a pessoa selecionada tenha respondido ou tenha entre 18 e 21 anos de idade 30 Recusa em Pesquisa Qual é a probabilidade de que a pessoa selecionada tenha se recusado a responder ou tenha mais de 59 anos de idade 31 Recusa em Pesquisa Um pesquisador de mercado está interessado nas respostas especialmente daqueles entre 22 e 39 anos porque eles são as pessoas com mais chance de fazer compras Ache a probabilidade de que um sujeito selecionado responda ou tenha idade entre 22 e 39 anos 32 Recusa em Pesquisa Um pesquisador de mercado não está interessado nas recusas ou em sujeitos com menos de 22 ou com mais de 59 anos de idade Ache a probabilidade de que a pessoa selecionada tenha se recusado a responder ou tenha menos de 22 anos ou mais de 59 anos de idade Nos Exercícios 3338 use estes resultados do teste 1PanelTHC para uso de maconha que é fornecido pela companhia Drug Test Success entre 143 sujeitos com resultados positivos no teste há 24 resultados falsospositivos entre 157 resultados negativos há 3 resultados falsosnegativos Sugestão Construa uma tabela semelhante à Tabela 41 incluída no Problema do Capítulo 33 Examinado em Relação ao Uso de Maconha a Quantos sujeitos estão incluídos no estudo b Quantos sujeitos não usavam maconha c Qual é a probabilidade de que um sujeito selecionado aleatoriamente não tenha usado maconha 34 Examinado em Relação ao Uso de Maconha Se um dos sujeitos do teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que tenha tido um teste positivo ou tenha usado maconha 35 Examinado em Relação ao Uso de Maconha Se um dos sujeitos do teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que ele tenha tido um teste negativo ou não tenha usado maconha 36 Examinado em Relação ao Uso de Maconha Se um dos sujeitos do teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que ele realmente tenha usado maconha Você acha que o resultado reflete a taxa do uso de maconha na população em geral 37 Examinado em Relação ao Uso de Maconha Ache a probabilidade de um falsopositivo ou de um falsonegativo O que o resultado sugere sobre a precisão do teste 38 Examinado em Relação ao Uso de Maconha Ache a probabilidade de um resultado correto encontrando a probabilidade de um positivoverdadeiro ou de negativoverdadeiro Como esse resultado se relaciona com o resultado do Exercício 37 43 Além do Básico 39 Seleção de Gênero Ache PF ou K no Exercício 4 supondo que meninos e meninas sejam equiprováveis 40 Eventos Disjuntos Se os eventos A e B são disjuntos e os eventos B e C também são disjuntos os eventos A e C têm que ser disjuntos Dê um exemplo que comprove sua resposta 41 Ou Exclusivo A regra formal da adição expressou a probabilidade de A ou B como segue PA ou B PA PB PA e B Reescreva a expressão para PA ou B supondo que a regra da adição use o ou exclusivo em vez do ou inclusivo Relembre que o ou exclusivo significa um ou outro e não ambos 42 Generalizando a Regra da Adição Generalize a regra formal da adição para obter uma expressão para PA ou B ou C Sugestão Desenhe um diagrama de Venn 43 Complementares e a Regra da Adição a Desenvolva uma fórmula para a probabilidade de não se obter nem A e nem B em uma única tentativa Isto é ache uma expressão para PA ou B b Desenvolva uma fórmula para a probabilidade de não se obter A ou não se obter B em uma única tentativa Isto é ache uma expressão para PA ou B c Compare os resultados das partes a e b PA ou B PA ou B ESTATÍSTICA NO NOTICIÁRIO Redundância A confiabilidade de sistemas pode ser grandemente reforçada com redundância ou replicação de componentes críticos Carros de corridas na série da NASCAR Winston Cup têm dois sistemas de ignição de modo que se um falha o outro manterá o carro correndo Aviões têm dois sistemas elétricos independentes e aeronaves usadas para voo instrumental normalmente têm dois rádios separados O que segue é de um artigo da revista Popular Science sobre aeronaves invisíveis Um avião construído em grande parte de fibras de carbono foi o Lear Fan 2100 que tinha que levar dois identificadores de radar Isso porque se um falhasse o avião se tornaria quase invisível na tela do radar Essa redundância é uma aplicação da regra da multiplicação da teoria da probabilidade Se um componente tem probabilidade de falha de 0001 a probabilidade de dois componentes independentes falharem é de apenas 0000001 Figura 46 Diagrama de Árvore para Respostas de um Teste 44 Regra da Multiplicação Ideias Básicas Conceitochave Na Seção 43 apresentamos a regra da adição para achar PA ou B a probabilidade de que uma única prova tenha resultado A ou B ou ambos Esta seção apresenta a regra básica da multiplicação usada para se achar PA e B a probabilidade de o evento A acontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova Se o resultado do primeiro evento A afeta a probabilidade do segundo evento B é importante ajustarse a probabilidade de B para refletir a ocorrência do evento A A regra para se encontrar PA e B é chamada regra da multiplicação porque envolve a multiplicação da probabilidade de um evento A pela probabilidade do evento B onde a probabilidade do evento B se necessário é ajustada por causa do resultado do evento A Na Seção 43 associamos a palavra ou com a adição nesta seção associaremos a palavra e com a multiplicação Notação PA e B Pevento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova Para ilustrar a regra da multiplicação vamos considerar o exemplo seguinte que envolve questões de teste usadas extensivamente na análise e planejamento de testes padronizados tais como o SAT Scholastic Assessment Test ACT American College Test MCAT Medical College Admission Test e LSAT Law School Admission Test Para facilitar a correção esses testes comummente usam questões de múltipla escolha ou do tipo verdadeirofalso Vamos supor que a primeira questão em um teste seja do tipo verdadeirofalso e a segunda seja de múltipla escolha com cinco respostas possíveis a b c d e Vamos usar as duas questões seguintes Tente respondêlas 1 Verdadeiro ou falso Uma libra de plumas é mais pesada que uma libra de ouro 2 Quem disse que o fumo é uma das principais causas da estatística a Philip Morris b Smokey Robinson c Fletcher Knebel d R J Reynolds e Virginia Slims As respostas a essas duas questões são V para verdadeiro e c A primeira questão é verdadeira Pesos para pluma são expressos em libras Avoirdupois mas pesos de ouro e outros metais preciosos são expressos em libras Troy Uma libra Avoirdupois equivale a 45359 g que é maior do que as 37324 g em uma libra Troy A segunda resposta é Fletcher Knebel que era um colunista político e autor de livros incluindo Seven Days in May Uma maneira de se achar a probabilidade de que se uma pessoa responde aleatoriamente a ambas as questões a primeira resposta esteja certa e a segunda resposta esteja certa consiste em listar o espaço amostral como segue Va Vb Vc Vd Ve Fa Fb Fc Fd Fe Se as respostas são adivinhações aleatórias então os 10 resultados possíveis são igualmente prováveis de modo que Pambas corretas PV e c 110 01 Note agora que PV e c 110 PV 12 e Pc 15 de em que vemos que 110 12 15 e assim PV e c PV Pc Isso sugere que em geral PA e B PA PB mas vamos considerar um outro exemplo antes de fazer tal generalização Um diagrama de árvore é uma ilustração dos possíveis resultados de um experimento mostrados como segmentos de linha que se originam de um ponto inicial Esses diagramas são algumas vezes úteis na determinação do número de resultados possíveis de um espaço amostral se o número de possibilidades não for muito grande O diagrama de árvore exibido na Figura 46 resume os resultados das questões verdadeirofalso e de múltipla escolha Pela Figura 46 vemos que se ambas as respostas são adivinhadas todos os 10 ramos são igualmente prováveis e a probabilidade de se obter o par correto V c é 110 Para cada resposta da primeira questão há 5 respostas para a segunda O número total de resultados é 5 vezes 2 ou 10 O diagrama de árvore na Figura 46 ilustra a razão para o uso da multiplicação A discussão anterior sobre questões verdadeirofalso e de múltipla escolha sugeriu que PA e B PA PB mas o Exemplo 1 introduzirá outro elemento importante a ser considerado EXEMPLO 1 Teste do Polígrafo Se dois dos sujeitos incluídos na Tabela 41 são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que a primeira pessoa selecionada tenha um resultado de teste positivo e a segunda pessoa selecionada tenha um resultado de teste negativo Tabela 41 Resultados de Experimentos com Instrumentos Polígrafos O Sujeito Realmente Mentiu Não Não Mentiu Sim Mentiu Resultado positivo de teste 15 42 O teste do polígrafo indicou que o sujeito mentiu falsopositivo verdadeiropositivo Resultado negativo de teste 32 9 O teste do polígrafo indicou que o sujeito não mentiu verdadeironegativo falsonegativo SOLUÇÃO Primeira seleção Presultado positivo do teste 5798 porque há 57 sujeitos com teste positivo e o número total de sujeitos é 98 Segunda seleção Presultado negativo do teste 4197 depois da primeira seleção de um sujeito com um teste positivo há 97 sujeitos restantes 41 dos quais têm resultado negativo no teste Com Pprimeiro sujeito ter resultado positivo no teste 5798 e Psegundo sujeito tem resultado negativo no teste 4197 temos P1º sujeito tem resultado positivo do teste P2º sujeito tem resultado negativo do teste 5798 4197 0246 O pontochave é Temos que ajustar a probabilidade do segundo evento para refletir o resultado do primeiro Como a seleção do segundo sujeito é feita sem a reposição do primeiro a segunda probabilidade tem que levar em conta o fato de que a primeira seleção removeu um sujeito que teve teste positivo de modo que apenas 97 sujeitos estão disponíveis para a segunda seleção e 41 deles têm teste negativo O Exemplo 1 ilustra o importante princípio de que a probabilidade para o segundo evento B tem que levar em conta o fato de que o primeiro evento A já ocorreu Este princípio é frequentemente expresso pela notação mostrada a seguir Notação para Probabilidade Condicional PBA representa a probabilidade de o evento B ocorrer depois que se admite que o evento A ocorreu Podemos ler BA como B dado A ou ocorrência de B depois que o evento A ocorreu Por exemplo jogar na loteria do estado da Califórnia e em seguida jogar na loteria de Nova York são eventos independentes porque o resultado da loteria da Califórnia não tem absolutamente qualquer efeito sobre as probabilidades dos resultados da loteria de Nova York Por outro lado o evento de fazer o seu carro pegar e o evento chegar à sua aula de estatística a tempo são dependentes porque o resultado de tentar fazer pegar o carro de fato afeta a probabilidade de chegar à escola no horário DEFINIÇÃO Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro Similarmente vários eventos são independentes se a ocorrência de qualquer um deles não afeta a probabilidade de ocorrência dos outros Se A e B não são independentes então A e B são dependentes Dois eventos são dependentes se a ocorrência de um deles afeta a probabilidade de ocorrência do outro mas isso não significa necessariamente que um dos eventos cause o outro Veja o Exercício 9 Usando a notação e definições anteriores juntamente com os princípios ilustrados nos exemplos precedentes podemos resumir o conceitochave desta seção como a seguinte regra formal da multiplicação mas é recomendável que você trabalhe com a regra intuitiva da multiplicação que provavelmente refletirá mais compreensão do que o uso cego de uma fórmula Regra Formal da Multiplicação PA e B PA PBA Se A e B são eventos independentes PBA é o mesmo que PB Veja a seguinte regra intuitiva da multiplicação Veja também a Figura 47 Regra Intuitiva da Multiplicação Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte multiplique a probabilidade do evento A pela probabilidade do evento B mas certifiquese de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A ATENÇÃO Ao aplicar a regra da multiplicação sempre considere se os eventos são independentes ou dependentes e ajuste os cálculos de acordo No Exemplo 2 consideramos duas situações 1 Os itens são selecionados com reposição 2 os itens são selecionados sem reposição Se os itens são selecionados com reposição cada seleção começa com exatamente a mesma coleção de itens mas se os itens são selecionados sem reposição a coleção de itens muda depois de cada seleção e devemos levar em conta essas mudanças Condenados pela Probabilidade Uma testemunha descreveu uma ladra de Los Angeles como uma mulher caucasiana com cabelos louros em forma de rabo de cavalo que fugira em um carro amarelo dirigido por um afroamericano com bigode e barba Janet e Malcolm Collins possuíam as características descritas e foram condenados com base na hipótese de que há apenas 1 chance em 12 milhões de um casal ter essas mesmas características A probabilidade do carro amarelo foi estimada em 110 e as outras probabilidades foram estimadas em 110 13 110 11000 As sentenças foram posteriormente anuladas quando se observou que não havia evidência que apoiasse as probabilidades estimadas ou a independência dos eventos Entretanto como o casal não foi selecionado aleatoriamente cometeuse sério erro em não se considerar a probabilidade de outros casais com mesmas características estarem na mesma área Início PA e B Regra da multiplicação A e B são independentes Sim Não PA e B PA PB PA e B PA PBA Certifiquese de encontrar a probabilidade do evento B supo ndo que o evento A já ocorreu EXEMPLO 2 Controle de Qualidade na Produção Marcapassos são implantados em pacientes com o propósito de estimular a taxa de pulsação quando o coração não pode fazêlo sozinho A cada ano mais de 250000 marcapassos são implantados nos Estados Unidos Infelizmente os marcapassos às vezes falham mas a taxa de falha é baixa cerca de 00014 por ano com base em dados de Pacemaker and ICD Generator Malfunctions de Maisel et al Journal of the American Medical Association Vol 295 Nº 16 Consideraremos uma pequena amostra de cinco marcapassos incluindo três que são bons denotados por B e dois que são defeituosos denotados por D Um pesquisador médico deseja selecionar aleatoriamente dois dos marcapassos para mais experimentação Ache a probabilidade de que o primeiro marcapasso selecionado seja bom B e o segundo seja também bom B Use cada uma das seguintes hipóteses a Suponha que as duas seleções aleatórias sejam feitas com reposição de modo que o primeiro marcapasso selecionado é reposto antes de ser feita a segunda seleção b Suponha que as duas seleções aleatórias sejam feitas sem reposição de modo que o primeiro marcapasso selecionado não é reposto antes de ser feita a segunda seleção SOLUÇÃO Antes de prosseguir seria útil visualizar os três marcapassos bons e os dois com defeito de maneira a nos fornecer mais clareza como mostrado a seguir B B B D D a Se os dois marcapassos são selecionados com reposição as duas seleções são independentes porque o segundo evento não é afetado pelo primeiro resultado Em cada uma das duas seleções há três marcapassos bons B e dois defeituosos D de modo que obtivemos Pprimeiro marcapasso é B e segundo marcapasso é B 35 35 925 ou 036 b Se os dois marcapassos são selecionados sem reposição as duas seleções são dependentes porque a probabilidade do segundo evento é afetada pelo primeiro resultado Na primeira seleção três dos cinco marcapassos são bons B Depois de escolhermos um marcapasso bom na primeira seleção temos quatro marcapassos incluindo dois que são bons Obtivemos então Pprimeiro marcapasso é B e segundo marcapasso é B 35 24 620 ou 03 INTERPRETAÇÃO Note que na parte b ajustamos a segunda probabilidade para levar em conta a seleção de um marcapasso bom B na primeira seleção Depois de selecionar B na primeira vez há dois B entre os quatro marcapassos restantes Ao considerarmos se fazemos a amostragem com ou sem reposição deve parecer óbvio que um pesquisador médico não faria amostragem com reposição como na parte a No entanto na estatística temos interesse especial na amostragem com reposição Veja a Seção 64 Até agora discutimos dois eventos mas a regra da multiplicação pode ser facilmente estendida para vários eventos Em geral a probabilidade de qualquer sequência de eventos independentes é simplesmente o produto das probabilidades correspondentes Por exemplo a probabilidade de se jogar uma moeda três vezes obtendose três caras é 05 05 05 0125 Podemos também estender a regra da multiplicação de modo que ela se aplique a eventos dependentes simplesmente ajuste as probabilidades à medida que você avança Considerando Eventos Dependentes como Independentes A parte b do Exemplo 2 envolveu a seleção de itens sem reposição e portanto tratamos os eventos como dependentes No entanto alguns cálculos são pesados mas podem se tornar manuseáveis pela prática comum de considerar os eventos como independentes quando pequenas amostras são extraídas de grandes populações Em tais casos é raro selecionarse o mesmo item duas vezes Eis uma diretriz comum usada rotineiramente em aplicações como análise de pesquisas eleitorais Considerando Eventos Dependentes como Independentes A Diretriz dos 5 para Cálculos Pesados Se os cálculos são muito pesados e o tamanho da amostra não é maior que 5 do tamanho da população trate as seleções como independentes mesmo que sejam feitas sem reposição sendo pois tecnicamente dependentes EXEMPLO 3 Controle de Qualidade na Produção Suponha que tenhamos um lote de 100000 marcapassos incluindo 99950 que são bons B e 50 que são defeituosos D a Se dois desses 100000 marcapassos são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que ambos sejam bons b Se 20 desses 100000 marcapassos são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que sejam todos bons SOLUÇÃO Primeiramente note que 5 de 100000 são 005100000 5000 a Embora o tamanho amostral de dois não seja maior do que 5 do tamanho da população de 100000 não usaremos a diretriz dos 5 porque o cálculo exato é muito simples como mostrado a seguir Pprimeiro marcapasso é bom e segundo marcapasso é bom 99950100000 9994999999 0999 b Com 20 marcapassos selecionados aleatoriamente sem reposição o cálculo exato se torna bastante pesado Ptodos os 20 marcapassos são bons 99950100000 9994999999 9994899998 9993199981 20 fatores idênticos Como esse cálculo é extremamente pesado usamos a diretriz dos 5 tratando os eventos como independentes embora sejam realmente dependentes Note que o tamanho amostral de 20 não é maior do que 5 da população de 100000 como exigido Tratando os eventos como independentes obtivemos o seguinte resultado que é de fácil cálculo Ptodos os 20 marcapassos são bons 99950100000 99950100000 99950100000 99950100000 99950100000 99950100000 ²⁰ 0990 20 fatores idênticos Como o resultado é arredondado para três casas decimais nesse caso obtivemos o mesmo resultado que teríamos obtido pela realização dos cálculos exatos pesados com eventos dependentes O exemplo que segue se destina a ilustrar a importância da identificação cuidadosa do evento em consideração Note que as partes a e b parecem ser semelhantes mas suas soluções são muito diferentes EXEMPLO 4 Aniversários Suponha que sejam selecionadas aleatoriamente duas pessoas e suponha também que os aniversários ocorram com igual frequência nos diferentes dias da semana a Ache a probabilidade de que as duas pessoas selecionadas tenham nascido no mesmo dia da semana b Ache a probabilidade de que as duas pessoas selecionadas tenham ambas nascido na segundafeira SOLUÇÃO a Como não foi especificado qualquer dia particular da semana a primeira pessoa pode ter nascido em qualquer um dos sete dias A probabilidade de que a segunda pessoa tenha nascido no mesmo dia da semana que a primeira pessoa é 17 A probabilidade de que as duas tenham nascido no mesmo dia da semana é 17 b A probabilidade de que a primeira pessoa tenha nascido em uma segundafeira é 17 e a probabilidade de que a segunda pessoa também tenha nascido em uma segundafeira é 17 Como os dois eventos são independentes a probabilidade de que as duas pessoas tenham ambas nascido em uma segundafeira é 17 17 149 Aplicações Importantes da Regra da Multiplicação Os dois exemplos que seguem ilustram aplicações práticas da regra da multiplicação O Exemplo 5 nos dá uma ideia sobre teste de hipóteses que será introduzido no Capítulo 8 e o Exemplo 6 ilustra o princípio da redundância que é usado para aumentar a confiabilidade de muitos sistemas elétricos e mecânicos EXEMPLO 5 Eficácia da Seleção de Gênero Um geneticista desenvolveu um procedimento para aumentar a probabilidade de bebês do gênero feminino Em um teste inicial 20 casais usam o método e os resultados consistem em 20 meninas entre 20 bebês Admitindo que o procedimento de seleção de gênero não tenha qualquer efeito ache a probabilidade de se obterem 20 meninas entre 20 bebês por acaso Com base no resultado há Motores a Jato Independentes Logo após a decolagem em Miami o voo 855 da Eastern Airlines teve um de seus motores paralisado por causa de um sinal de aviso de baixa pressão do óleo Quando o avião L1011 retornava para Miami para aterrissagem as luzes de aviso de pressão baixa para os outros dois motores também sinalizaram Um motor então falhou seguido pela falha do último motor em funcionamento O jato desceu sem potência da altura de 13000 pés para uma altura de 4000 pés quando a tripulação foi capaz de religar um dos motores e os 172 passageiros a bordo aterrissaram em segurança Com motores de jato independentes a probabilidade de todos os três motores falharem é de apenas 00001³ ou seja uma chance em um trilhão A FAA descobriu que o mesmo mecânico que trocou o óleo em todos os três motores deixou de substituir os anéis de vedação da entrada de óleo O uso de um único mecânico fez com que a operação dos motores se tornasse dependente uma situação corrigida exigindose que os motores sejam vistoriados por diferentes mecânicos ESTATÍSTICA NO NOTICIÁRIO Para Ganhar Aposte Audaciosamente O New York Times publicou um artigo de Andrew Pollack no qual ele relatava ganhos menores do que esperado no Cassino Mirage em Las Vegas Ele escreveu que os ganhos no Mirage podem ser extremamente voláteis porque ele ilisonjeia os grandes apostadores jogadores capazes de apostar 100000 dólares ou mais em uma única mão de cartas A lei das médias não funciona tão consistentemente para poucas grandes apostas quanto para milhares de pequenas apostas Isso reflete o mais fundamental princípio das apostas para ganhar faça uma grande aposta em vez de fazer várias pequenas apostas Com o jogo certo tal como dados você pode ter quase 50 de chance de dobrar seu dinheiro se você fizer uma grande aposta Com muitas pequenas apostas suas chances de dobrar seu dinheiro caem substancialmente alguma evidência forte para apoiar a afirmativa do geneticista de que o procedimento é eficaz para aumentar a probabilidade de os bebês serem do gênero feminino SOLUÇÃO Desejamos encontrar Ptodos os 20 bebês são meninas com a hipótese de que o procedimento não é eficaz de modo que a probabilidade de um recémnascido ser do gênero feminino é 05 Como foram usados pares separados de pais trataremos os eventos como se fossem independentes Obtivemos este resultado Ptodos os 20 bebês são meninas P1º é menina e 2º é menina e 3º é menina e 20º é menina Pmenina Pmenina Pmenina 05 05 05 05²⁰ 0000000954 A baixa probabilidade de 0000000954 indica que em vez de se obterem 20 meninas por acaso uma explicação mais razoável seria de que parece que as meninas são mais prováveis com o procedimento de seleção de gênero Pelo fato de haver uma chance tão pequena de se obterem 20 meninas em 20 nascimentos temos evidência suficiente para apoiar a afirmativa do geneticista de que o procedimento de seleção de gênero é eficaz em aumentar a probabilidade de nascimento de meninas EXEMPLO 6 Redundância para Confiabilidade Aumentada Motores de aeronaves modernas são agora altamente confiáveis Uma característica do projeto que contribui para essa confiabilidade é o uso da redundância com a qual componentes críticos são duplicados de modo que se um falhar o outro funcionará Por exemplo aviões monomotores têm agora dois sistemas elétricos independentes de modo que se um sistema elétrico falhar o outro pode continuar a trabalhar para que o motor não pare Para os objetivos deste exemplo assumiremos que a probabilidade de uma falha de um sistema elétrico seja de 0001 a Se o motor de uma aeronave tem um sistema elétrico qual é a probabilidade de que ele funcionará b Se o motor de uma aeronave tem dois sistemas elétricos independentes qual é a probabilidade de que o motor possa funcionar com um sistema elétrico funcionando SOLUÇÃO a Se a probabilidade de uma falha em um sistema elétrico é 0001 a probabilidade de não falhar é 0999 Isto é a probabilidade de que o motor possa funcionar com um sistema elétrico funcionando é como segue Psistema elétrico funcionar Psistema elétrico não falhar 1 Pfalha do sistema elétrico 1 0001 0999 b Com dois sistemas elétricos independentes o motor funcionará a menos que ambos os sistemas elétricos falhem A probabilidade de que os dois sistemas elétricos independentes falhem é encontrada aplicandose a regra da multiplicação para eventos independentes como segue Pambos os sistemas elétricos falham Pprimeiro sistema elétrico falha e o segundo sistema elétrico falha 0001 0001 0000001 Há uma probabilidade de 0000001 de que ambos os sistemas elétricos falhem de modo que a probabilidade de que o motor possa funcionar com um sistema elétrico funcionando é 1 0000001 0999999 INTERPRETAÇÃO Com apenas um sistema elétrico vemos que há uma probabilidade de 0001 de falha mas com dois sistemas elétricos independentes há apenas uma probabilidade de 0000001 de que o motor não possa funcionar com um sistema elétrico funcionando Com dois sistemas elétricos a chance de uma falha catastrófica cai de 1 em 1000 para 1 em 1000000 resultando em um aumento substancial em segurança e confiabilidade Nota Para os objetivos deste exercício supomos que a probabilidade de falha de um sistema elétrico seja de 0001 mas é na realidade muito menor Arjen Romeyn um especialista em segurança de transporte estima que a probabilidade de uma única falha seja de cerca de 00000001 ou 0000000001 Podemos resumir os fundamentos das regras da adição e da multiplicação como segue PA ou B A palavra ou sugere adição e ao somarmos PA e PB temos que ter o cuidado de somar de tal maneira que cada resultado seja contado apenas uma vez PA e B A palavra e sugere multiplicação e ao multiplicarmos PA e PB temos que ter o cuidado de assegurar que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A 44 Habilidades e Conceitos Básicos Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Eventos Independentes Crie seu próprio exemplo de dois eventos independentes e crie outro exemplo de dois exemplos dependentes Não use exemplos dados nesta seção 2 Notação Com suas próprias palavras descreva o significado de PB A 3 Amostra para uma Pesquisa Há atualmente 477938 adultos no Alasca e eles estão todos incluídos em uma grande lista numerada A Organização Gallup usa um computador para selecionar aleatoriamente 1068 números diferentes entre 1 e 477938 e então entra em contato com os adultos correspondentes para uma pesquisa Os eventos de seleção dos adultos são realmente independentes ou dependentes Explique 4 Diretriz dos 5 Os eventos descritos no Exercício 3 podem ser tratados como independentes Explique Identificação de Eventos Independentes e Dependentes Nos Exercícios 512 para cada par de eventos dado classifique os dois eventos como independentes ou dependentes Se dois eventos são tecnicamente dependentes mas podem ser tratados como se fossem independentes considereos como independentes 5 Selecionar aleatoriamente um telespectador que assiste ao Saturday Night Live Selecionar aleatoriamente um segundo telespectador que assiste ao Saturday Night Live 6 Descobrir que o rádio de seu carro funciona Descobrir que os faróis de seu carro funcionam 7 Usar short xadrez com meias pretas e sandálias Convidar alguém para um encontro e receber uma resposta positiva 8 Descobrir que seu celular funciona Descobrir que seu carro pega 9 Descobrir que sua televisão funciona Descobrir que sua geladeira funciona 10 Descobrir que sua calculadora funciona Descobrir que seu computador funciona 11 Seleção aleatória de um consumidor da Califórnia Seleção aleatória de um consumidor que possui uma televisão 12 Selecionar aleatoriamente um consumidor que possui um computador Selecionar aleatoriamente um consumidor que usa a Internet Teste do Polígrafo Nos Exercícios 1316 use os dados amostrais da Tabela 41 Veja o Exemplo 1 13 Teste do Polígrafo Se 2 dos 98 sujeitos de teste são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que ambos tenham resultados falsospositivos É não usual selecionaremse 2 sujeitos sem reposição e obteremse 2 resultados falsospositivos Explique 14 Teste do Polígrafo Se 3 dos 98 sujeitos de teste são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que todos tenham resultados falsospositivos É não usual selecionaremse 3 sujeitos sem reposição e obteremse 3 resultados falsospositivos Explique 15 Teste do Polígrafo Se quatro dos sujeitos de teste são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que em cada caso o polígrafo tenha indicado que o sujeito mentiu Tal evento é não usual 16 Teste do Polígrafo Se quatro dos sujeitos de teste são selecionados aleatoriamente sem reposição ache a probabilidade de que todos tenham resultados de teste incorretos ou falsopositivo ou falsonegativo Tal evento é provável Nos Exercícios 1720 use os dados da tabela seguinte que resume os tipos de grupos sanguíneos e Rh para 100 sujeitos Esses valores podem variar em diferentes regiões de acordo com a etnia da população Grupo O A B AB Tipo Rh 39 35 8 4 Rh 6 5 2 1 Capítulo 4 17 Grupos e Tipos Sanguíneos Se 2 dos 100 sujeitos são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que sejam do grupo O e tipo Rh a Suponha que as seleções sejam feitas com reposição b Suponha que as seleções sejam feitas sem reposição 18 Grupos e Tipos Sanguíneos Se 3 dos 100 sujeitos são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que sejam do grupo B e tipo Rh a Suponha que as seleções sejam feitas com reposição b Suponha que as seleções sejam feitas sem reposição 19 Doadores Universais de Sangue Pessoas com sangue do grupo O e tipo Rh são considerados doadores universais porque podem doar sangue para qualquer pessoa Se 4 dos 100 sujeitos são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que sejam todos doadores universais a Suponha que as seleções sejam feitas com reposição b Suponha que as seleções sejam feitas sem reposição 20 Receptores Universais Pessoas com sangue do grupo AB e tipo Rh são considerados receptores universais pois podem receber sangue de qualquer pessoa Se 3 dos 100 sujeitos são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que eles sejam receptores universais a Suponha que as seleções sejam feitas com reposição b Suponha que as seleções sejam feitas sem reposição 21 Adivinhação Um teste rápido consiste em uma questão do tipo verdadeirofalso seguida por uma questão de múltipla escolha com quatro respostas possíveis a b c d Um estudante despreparado faz adivinhações aleatórias para ambas as questões a Considere o evento de estar correto na primeira adivinhação e o evento de estar correto na segunda adivinhação Esses dois eventos são independentes b Qual é a probabilidade de que ambas as respostas estejam corretas c Com base nos resultados a adivinhação parece ser uma boa estratégia 22 Amostragem de Aceitação Com um método do procedimento chamado amostragem de aceitação uma amostra de itens é aleatoriamente selecionada sem reposição e o lote inteiro é aceito se todos os itens na amostra estão OK A Companhia Telektronics acabou de fabricar um lote de 400 unidades de suprimento de backup de potência e 8 deles são defeituosos Se 3 das unidades são selecionadas aleatoriamente para teste qual é a probabilidade de que o lote inteiro seja aceito 23 Nível de Confiança nas Pesquisas É comum nas pesquisas de opinião pública aparecer um nível de confiança de 95 significando que existe uma probabilidade de 095 de os resultados da pesquisa serem corretos dentro das margens de erro especificadas Se cada uma das seguintes organizações conduz pesquisas independentes ache a probabilidade de que todas elas sejam corretas dentro das margens de erro especificadas Gallup Roper Yankelovich Harris CNN ABC CBS NBC The New York Times O resultado sugere que com um nível de 95 de confiança quase todas as pesquisas estarão dentro das margens de erro especificadas 24 Identificação da Voz de um Criminoso Em um caso ocorrido em Riverhead Nova York nove vítimas diferentes escutaram gravações de cinco homens diferentes Todas as nove vítimas identificaram a mesma voz como a do criminoso Se as identificaçoes tivessem sido feitas por adivinhações aleatórias ache a probabilidade de que todas as nove vítimas tivessem selecionado a mesma pessoa Esse resultado constitui uma dúvida razoável 25 Testando a Eficiência do Método de Escolha do Gênero Avanços recentes parecem tornar possível que casais aumentem bastante as chances de conceber uma criança do gênero de sua escolha Em um teste de um método de escolha de gênero 3 casais tentaram ter crianças do sexo feminino Se esse método não tem qualquer efeito qual é a probabilidade de que os 3 bebês sejam meninas Se realmente há 3 meninas entre 3 bebês esse método de escolha do sexo parece eficaz Por que sim ou por que não 26 Testando a Eficiência do Método de Escolha do Gênero Repita o Exercício 25 para estes resultados Entre 10 casais que tentam ter meninas há 10 meninas entre 10 nascimentos Se esse método de escolha de gênero não tem qualquer efeito qual é a probabilidade de quem entre 10 bebês todos sejam meninas Se realmente ocorrem 10 meninas entre 10 nascimentos o método de seleção de gênero parece ser eficaz Por que sim ou por que não 27 Redundância O princípio da redundância é usado quando a confiabilidade do sistema pode ser melhorada através de componentes redundantes ou replicados Suponha que seu despertador tenha probabilidade 09 de funcionar em uma determinada manhã a Qual é a probabilidade de que o seu despertador não funcione em uma manhã de um importante exame final b Se você tem dois desses despertadores qual é a probabilidade de que ambos não funcionem em uma manhã de um importante exame final c Com um despertador você tem uma probabilidade de 09 de ser acordado Qual é a probabilidade de ser acordado se você está usando dois despertadores d Um segundo despertador aumenta significativamente a confiabilidade 28 Redundância A FAA exige que as aeronaves comerciais usadas para voo por instrumento tenham dois rádios independentes em vez de um Suponha que para um voo típico a probabilidade de falha de um rádio seja 0002 Qual é a probabilidade de que um voo particular seja ameaçado pela falha de ambos os rádios Descreva como o segundo rádio independente aumenta a segurança nesse caso 29 Pneus Defeituosos A Wheeling Tire Company produziu um lote de 5000 pneus que incluiu exatamente 200 defeituosos a Se 4 pneus são selecionados aleatoriamente para instalação em um carro qual é a probabilidade de que sejam todos bons b Se 100 pneus são selecionados aleatoriamente para embarque para uma revendedora qual é a probabilidade de que sejam todos bons Essa revendedora deve se planejar para lidar com pneus defeituosos devolvidos por clientes 30 Sistemas de Ignição de Carros Um analista de controle da qualidade seleciona aleatoriamente 3 sistemas de ignição de carros diferentes de um processo de fabricação que produziu 200 sistemas incluindo 5 defeituosos a Esse processo de seleção envolve eventos independentes b Qual é a probabilidade de que todos os 3 sistemas de ignição sejam bons Não considere os eventos como independentes c Use a diretriz dos 5 para tratar os eventos como independentes e encontre a probabilidade de que todos os 3 sistemas de ignição sejam bons d Qual resposta é melhor a resposta da parte b ou a reposta da parte c Por quê 44 Além do Básico 31 Confiabilidade de um Sistema Consulte a figura que segue na qual protetores de corrente p e q são usados para proteger uma televisão de alta definição muito cara Se há um pico na voltagem o protetor de corrente a reduz para um nível seguro Suponha que cada protetor de corrente tenha 099 de probabilidade de funcionar corretamente quando ocorre um pico na voltagem a Se os dois protetores são arranjados em série qual é a probabilidade de que um pico de voltagem não danifique a televisão Não arredonde a resposta b Se os dois protetores são arranjados em paralelo qual é a probabilidade de que um pico de voltagem não danifique a televisão Não arredonde a resposta c Qual arranjo deve ser usado para a melhor proteção 32 Mesmo Aniversário Se 25 pessoas são selecionadas aleatoriamente ache a probabilidade de que não haja quaisquer duas pessoas com aniversário no mesmo dia Ignore os anos bissextos 33 Seleção de Cartas Duas cartas são selecionadas aleatoriamente sem reposição de um baralho bem misturado Ache a probabilidade de que a primeira carta extraída seja um ás e a segunda seja uma carta de espada 45 Regra da Multiplicação Complementares e Probabilidade Condicional Conceitochave A Seção 44 introduziu a regra básica da multiplicação Nesta seção vamos estender o uso dessa regra às duas seguintes aplicações especiais 1 Probabilidade de pelo menos um Ache a probabilidade de obtermos entre várias tentativas pelo menos um de algum evento especificado 2 Probabilidade condicional Ache a probabilidade de um evento quando temos a informação adicional de que algum outro evento já ocorreu Começamos com situações nas quais queremos achar a probabilidade de que entre várias provas pelo menos uma forneça um resultado especificado Complementares A Probabilidade de Pelo Menos Um Vamos supor que se queira achar a probabilidade de que entre três crianças pelo menos uma seja menina Em tais casos é fundamental que o significado da linguagem seja claramente compreendido Pelo menos um é equivalente a um ou mais O complementar de se obter pelo menos um de um item particular é não se obter qualquer item daquele tipo Por exemplo não se obter pelo menos uma menina entre 3 crianças é equivalente a não se obter qualquer menina ou obteremse 3 meninos Podemos usar o seguinte procedimento para encontrar a probabilidade de pelo um de algum evento Ache a probabilidade de pelo menos um de algum evento seguindo os passos 1 Use o símbolo A para denotar o evento de se obter pelo menos um 2 Seja A o evento de não se obter qualquer dos itens em consideração 3 Calcule a probabilidade de que nenhum dos resultados seja o evento em consideração 4 Subtraia o resultado de 1 Isto é calcule esta expressão Ppelo menos um 1 Pnenhum EXEMPLO 1 Gênero de Crianças Ache a probabilidade de um casal ter pelo menos 1 menina entre 3 crianças Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o gênero de uma criança seja independente do gênero de qualquer outra criança Princeton fecha Laboratório PES O laboratório Princeton Engineering Anomalies Research PEAR fechou recentemente depois de estar em operação desde 1975 O objetivo do laboratório era realizar estudos sobre percepção extrassensorial PES e telepatia Em um dos experimentos do laboratório pediase aos sujeitos de teste que pensassem alto ou baixo e então um aparelho apresentava um número aleatório ou acima de 100 ou abaixo de 100 Os pesquisadores então usavam métodos estatísticos para determinar se os resultados diferiam significativamente do que seria de se esperar por acaso O objetivo era determinar se os sujeitos de teste podiam usar suas mentes para de alguma maneira influenciar o comportamento do aparelho gerador de números aleatórios Como o laboratório PEAR se tornou um embaraço para muitos membros da comunidade de Princeton eles agradeceram seu fechamento Depois de ter sido usado para pesquisa por 28 anos e depois de usar mais de 10 milhões de dólares de financiamento o laboratório não conseguiu fornecer resultados fortes o bastante para convencer as pessoas de que a PES ou a telepatia são fenômenos reais Coincidências John Adams e Thomas Jefferson segundo e terceiro presidentes dos Estados Unidos morreram ambos no dia 4 de julho de 1826 O presidente Lincoln foi assassinado no Teatro Ford o Presidente Kennedy foi assassinado em um carro Lincoln fabricado pela Ford Motor Company Lincoln e Kennedy foram ambos sucedidos por vicepresidentes de nome Johnson Quatorze anos antes do naufrágio do Titanic um romance descrevia o afundamento de um navio de nome Titan que se chocara com um iceberg ver The Wreck of the Titanic Foretold de Martin Gardner Gardner afirma Na maior parte dos casos de coincidências surpreendentes é impossível fazerse sequer uma estimativa grosseira de suas probabilidades SOLUÇÃO Passo 1 Use um símbolo para representar o evento desejado Neste caso seja A pelo menos 1 das 3 crianças é menina Passo 2 Identifique o evento que é o complementar de A A não se obter pelo menos 1 menina entre 3 crianças todas as 3 crianças são meninos menino e menino e menino Passo 3 Ache a probabilidade do complementar PA Pmenino e menino e menino 12 12 12 18 Passo 4 Ache PA calculando 1 PA PA 1 PA 1 18 78 INTERPRETAÇÃO Há uma probabilidade de 78 de que um casal com 3 filhos tenha pelo menos uma menina EXEMPLO 2 Pneus Defeituosos Suponha que a probabilidade de um pneu Firestone defeituoso seja 00003 com base em dados de Westgard QC Se a revendedora CarStuff compra 100 pneus Firestone ache a probabilidade de que compre pelo menos um defeituoso Se essa probabilidade for muito alta deve ser feito algum planejamento para lidar com pneus defeituosos devolvidos pelos consumidores A revendedora deve fazer esses planos SOLUÇÃO Passo 1 Use um símbolo para representar o evento desejado Neste caso seja A pelo menos 1 dos 100 pneus é defeituoso Passo 2 Identifique o evento que é o complementar de A A não se obter pelo menos 1 pneu defeituoso entre 100 pneus todos os 100 pneus são bons bom e bom e bom 100 vezes Passo 3 Ache a probabilidade do complementar PA 09997 09997 09997 09997 100 fatores 09997100 09704 Passo 4 Ache PA calculando 1 PA PA 1 PA 1 09704 00296 INTERPRETAÇÃO Há uma probabilidade de 00296 de pelo 1 defeituoso entre os 100 pneus Como essa probabilidade é muito baixa não é necessário fazeremse planos para se lidar com pneus defeituosos devolvidos pelos consumidores Probabilidade Condicional Vamos considerar agora a segunda aplicação que se baseia no princípio de que a probabilidade de um evento é frequentemente afetada pelo conhecimento de circunstâncias Por exemplo a probabilidade de um jogador de golfe acertar um buraco é de 112000 com base em resultados anteriores mas se você souber que o jogador é um profissional a probabilidade é de 12375 com base em dados do USA Today A probabilidade condicional de um evento é usada quando a probabilidade é afetada pelo conhecimento de outras circunstâncias tais como o conhecimento de que um jogador é também um profissional DEFINIÇÃO A probabilidade condicional de um evento é a probabilidade obtida com a informação adicional de que algum outro evento já tenha ocorrido PBA denota a probabilidade condicional de ocorrência do evento B dado que já ocorreu o evento A PBA pode ser encontrada dividindose a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos A e B pela probabilidade do evento A PBA PA e BPA A fórmula anterior é uma expressão formal da probabilidade condicional mas o uso cego de fórmulas não é aconselhável Recomendamos a seguinte abordagem intuitiva Abordagem Intuitiva para a Probabilidade Condicional A probabilidade condicional de B dado A pode ser encontrada supondose que o evento A já ocorreu e então calculandose a probabilidade de que o evento B ocorra EXEMPLO 3 Teste do Polígrafo Com relação à Tabela 41 ache o seguinte a Se 1 dos 98 sujeitos de teste é escolhido aleatoriamente ache a probabilidade de que ele tenha um resultado positivo de teste dado que ele realmente mentiu Isto é ache Presultado positivo de teste sujeito mentiu b Se 1 dos 98 sujeitos de teste é escolhido aleatoriamente ache a probabilidade de que ele realmente tenha mentido dado que teve um resultado positivo de teste Isto é ache Psujeito mentiu resultado positivo de teste Tabela 41 Resultados de Experimentos com Instrumentos Polígrafos O Sujeito Realmente Mentiu Não Não Menti Sim Mentiu Resultado positivo de teste 15 falsopositivo 42 verdadeiropositivo O teste do polígrafo indicou que o sujeito mentiu Resultado negativo de teste 32 verdadeironegativo 9 falsonegativo O teste do polígrafo indicou que o sujeito não mentiu SOLUÇÃO a Abordagem Intuitiva para a Probabilidade Condicional Queremos Presultado do teste positivo sujeito mentiu a probabilidade de selecionar alguém com teste positivo A Falácia do Promotor A falácia do promotor é o malentendimento ou confusão de duas probabilidades condicionais diferentes 1 a probabilidade de que um réu seja inocente dado que a evidência forense mostra uma combinação 2 a probabilidade de que a evidência forense mostre uma combinação dado que a pessoa é inocente A falácia do promotor já levou a condenações erradas e à prisão de pessoas inocentes Lucia de Berk é uma enfermeira que foi condenada por homicídio e é sentenciada à prisão na Holanda Os administradores do hospital observaram mortes suspeitas que ocorreram nas alas do hospital em que de Berk tinha estado Um perito testemunhou que havia apenas uma chance em 342 milhões de que sua presença fosse uma coincidência No entanto o matemático Richard Gill calculou a probabilidade como próxima de 150 ou possivelmente tão pequena quanto 15 A corte usou a probabilidade de que as mortes suspeitas poderiam ter ocorrido com a presença de Berk dado que ela era inocente A corte deveria ter considerado a probabilidade de que de Berk fosse inocente dado que as mortes suspeitas ocorreram quando ela estava presente Esse erro da falácia do promotor é sutil e pode levar à prisão de pessoas inocentes Veja também o Problema do Capítulo do Capítulo 11 dado que esta pessoa mentiu Eis aqui o pontochave se considerarmos que a pessoa de fato mentiu estamos lidando apenas com os 51 sujeitos na segunda coluna da Tabela 41 Entre esses 51 sujeitos 42 tiveram teste positivo de modo que Presultado positivo do teste sujeito mentiu 4251 0824 Uso da Fórmula para a Probabilidade Condicional O mesmo resultado pode ser encontrado usandose a fórmula para PBA dada na definição de probabilidade condicional Usamos a seguinte notação PBA Presultado positivo do teste sujeito mentiu B resultado positivo do teste A sujeito mentiu No cálculo que segue usamos Psujeito mentiu e teve resultado positivo de teste 4298 e Psujeito mentiu 5198 para obter os seguintes resultados PBA PA e BPA se torna Presultado positivo do teste sujeito mentiu Psujeito mentiu e tem resultado positivo do testePsujeito mentiu 4298 5198 0824 Comparando a abordagem intuitiva com o uso da fórmula deve ficar claro que a abordagem intuitiva é de uso muito mais fácil e que também tem menos chance de resultar em erros A abordagem intuitiva se apoia na compreensão da probabilidade condicional em vez de na manipulação de uma fórmula e a compreensão é muito melhor b Aqui queremos Psujeito mentiu resultado positivo do teste Essa é a probabilidade de que o sujeito selecionado tenha mentido dado que teve um resultado positivo de teste Se considerarmos que o sujeito teve resultado positivo no teste estaremos lidando com os 57 sujeitos da primeira linha da Tabela 41 Entre essas 57 pessoas 42 mentiram de modo que Psujeito mentiu resultado positivo do teste 4257 0737 Novamente o mesmo resultado pode ser obtido aplicandose a fórmula da probabilidade condicional mas deixaremos isso para aqueles que gostam de manipular fórmulas INTERPRETAÇÃO O primeiro resultado de Presultado positivo do teste sujeito mentiu 0824 indica que um sujeito que mente tem uma probabilidade de 0824 de ter resultado positivo no teste O segundo resultado de Psujeito mentiu resultado positivo do teste 0737 indica que para um sujeito que tem resultado positivo no teste há uma probabilidade de 0737 de que ele realmente tenha mentido Confusão do Inverso Note que no Exemplo 3 Presultado positivo do teste sujeito mentiu Psujeito mentiu resultado positivo do teste Acreditar incorretamente que PBA e PAB sejam iguais ou usar um valor no lugar do outro é às vezes chamado confusão do inverso EXEMPLO 4 Confusão do Inverso Considere a probabilidade de estar escuro fora de casa dado que é meianoite Pescuro meianoite 1 Convenientemente desconsideramos o inverno do Alasca e outras tais anomalias Mas a probabilidade de que seja meianoite dado que está escuro fora de casa é quase zero Como Pescuro meianoite 1 mas Pmeianoite escuro é quase zero podemos claramente ver que nesse caso PB A PA B A confusão do inverso ocorre quando incorretamente trocamos esses dois valores de probabilidade Estudos mostram que médicos fornecem informações bastante enganosas quando eles confundem os inversos Com base em estudos reais eles tenderam a confundir Pcâncer teste para câncer positivo com Pteste positivo para câncer câncer Cerca de 95 dos médicos estimaram Pcâncer teste para câncer positivo como cerca de 10 vezes mais alta com a consequência de que os pacientes receberam diagnósticos enganosos e ficaram desnecessariamente angustiados pela informação incorreta 45 Habilidades e Conceitos Básicos Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Probabilidade de Pelo Menos Um Você deseja achar a probabilidade de obter pelo menos um marcapasso defeituoso quando seleciona aleatoriamente e testa 10 marcapassos O que você sabe sobre o número exato de defeituosos se pelo menos um dos 10 itens selecionados é defeituoso 2 Notação Use suas próprias palavras para descrever a notação PBA 3 Encontrando Probabilidades Um médico pesquisador precisa encontrar a probabilidade de que um paciente cardíaco sobreviva por um ano Ele raciocina que há dois resultados sobrevive não sobrevive de modo que a probabilidade é 12 Ele está certo Qual informação importante ele não incluiu em seu processo de raciocínio 4 Confusão do Inverso O que é a confusão do inverso Descrevendo Complementares Nos Exercícios 58 forneça uma descrição por escrito dos complementares dos eventos dados 5 Teste de Esteroides Quando os jogadores do time de basquete do LA Lakers são testados em relação ao uso de esteroides pelo menos um deles tem teste positivo 6 Controle da Qualidade Quando seis desfibriladores são comprados pela New York University School of Medicine todos eles são perfeitos 7 Distúrbio Ligado ao X Quando se testam 4 homens em relação à presença de um gene recessivo ligado ao X nenhum deles possui tal gene 8 Sucesso com as Moças Quando Brutus convida 5 moças diferentes para um encontro pelo menos uma delas aceita 9 Probabilidade de pelo Menos Uma Menina Se um casal planeja ter seis filhos qual é a probabilidade de eles terem pelo menos uma menina Essa probabilidade é alta o suficiente para que o casal esteja confiante de que terá pelo menos uma menina entre seis filhos 10 Probabilidade de pelo Menos Uma Menina Se um casal planeja ter oito filhos isso pode acontecer qual é a probabilidade de eles terem pelo menos uma menina Se o casal por fim tem oito filhos e todos são meninos o que o casal pode concluir 11 Pelo Menos Uma Resposta Correta Se você faz adivinhações em quatro questões de teste de múltipla escolha cada uma com cinco respostas possíveis qual é a probabilidade de pelo menos uma ser correta Se um professor muito indulgente diz que basta uma resposta correta para ser aprovado você pode esperar passar adivinhando 12 Pelo Menos Uma Calculadora Funciona Uma estudante de estatística planeja usar uma calculadora TI84 Plus em seu exame final Pela experiência passada ela estima que haja uma probabilidade de 096 de que a calculadora funcione em um dia qualquer Como o exame final é muito importante ela planeja usar a redundância levando duas dessas calculadoras Qual é a probabilidade de que ela será capaz de completar seu exame com uma calculadora funcionando Ela realmente ganha levando uma calculadora extra Explique 13 Probabilidade de Uma Menina Ache a probabilidade de um casal ter uma menina no quarto parto dado que as outras três crianças eram meninas Esse resultado é igual à probabilidade de ter quatro meninas entre quatro filhos 14 Riscos de Crédito O escore FICO Fair Isaacs Company é comumente usado como uma classificação de crédito Há uma taxa de 1 de inadimplência entre os consumidores que têm um escore FICO acima de 800 Se quatro consumidores com escores FICO acima de 800 são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que pelo menos um deles se torne inadimplente 15 Batidas de Carro A probabilidade de um carro selecionado aleatoriamente bater durante um ano é de 00480 com base em dados de Saturday Abstract of the United States Se uma família tem quatro carros ache a probabilidade de que pelo menos um deles sofra uma batida durante o ano Há alguma razão pela qual a probabilidade possa estar errada 16 Nascimentos na China Na China a probabilidade de um bebê ser um menino é de 05845 Os casais podem ter apenas uma criança Se parentes têm cinco filhos qual é a probabilidade de que haja pelo menos uma menina Esse sistema pode continuar indefinidamente 17 MoscasdaFruta Um experimento com moscasdafruta envolve um pai com asas normais e o outro pai com asas vestigiais Quando esses pais têm uma prole há uma probabilidade 34 de que a prole tenha asas normais e uma probabilidade de 14 de que tenha asas vestigiais Se os pais têm 10 crias qual é a probabilidade de que pelo menos 1 das crias tenha asas vestigiais Se os pesquisadores precisam de pelo menos uma cria com asas vestigiais eles podem estar razoavelmente certos de obterem essa cria 18 Roubos Resolvidos De acordo com dados do FBI 249 dos roubos são resolvidos com prisões Um novo detetive é designado para investigar 10 roubos diferentes a Qual é a probabilidade de que pelo menos um deles seja resolvido com uma prisão b Qual é a probabilidade de que o detetive esclareça todos os 10 roubos com prisões c O que se pode concluir se o detetive esclarece todos os roubos com prisões 19 Teste com Polígrafo Consulte a Tabela 41 incluída no Problema do Capítulo e suponha que 1 dos 98 sujeitos seja selecionado aleatoriamente Ache a probabilidade de se obter uma pessoa que teve o teste positivo dado que não mentiu Por que esse caso particular é problemático para os sujeitos de teste 20 Teste com Polígrafo Consulte a Tabela 41 e suponha que 1 dos 98 sujeitos seja selecionado aleatoriamente Ache a probabilidade de se obter alguém que teve o teste negativo dado que o sujeito mentiu O que esse resultado sugere sobre o teste do polígrafo 21 Teste com Polígrafo Consulte a Tabela 41 Ache Psujeito mentiu resultado negativo de teste Compare esse resultado com o encontrado no Exercício 20 Psujeito mentiu resultado negativo de teste e Presultado negativo de teste sujeito mentiu são iguais 22 Teste com Polígrafo Consulte a Tabela 41 a Ache Presultado negativo de teste sujeito não mentiu b Ache Psujeito não mentiu resultado negativo de teste c Compare os resultados das partes a e b Eles são iguais Gêmeos Idênticos e Fraternos Nos Exercícios 2326 use os dados da tabela que segue Em vez de resumir os resultados observados as entradas refletem as probabilidades reais com base em nascimentos de gêmeos dados do Northern California Twin Registry e do artigo Bayesians Frequencies and Scientists de Bradley Efron Journal of the American Statistical Association Vol 100 N 469 Gêmeos idênticos vêm de um único óvulo que se parte em dois embriões e gêmeos fraternos vêm de óvulos fecundados separadamente As entradas da tabela refletem o princípio de que entre conjuntos de gêmeos 13 são idênticos e 23 são fraternos Também gêmeos idênticos devem ser do mesmo gênero e os gêneros são igualmente prováveis aproximadamente e gêneros de gêmeos fraternos são igualmente prováveis Gêneros dos Gêmeos menino menino menino menina menina menino menina menina Gêmeos Idênticos 5 0 0 5 Gêmeos Fraternos 5 5 5 5 23 Gêmeos Idênticos a Depois de uma ultrassonografia uma mulher grávida fica sabendo que terá gêmeos Qual é a probabilidade de que ela tenha gêmeos idênticos b Depois de estudar mais detalhadamente o ultrassom o médico diz à mulher que ela terá dois meninos Qual é a probabilidade de que tenha gêmeos idênticos Isto é ache a probabilidade de gêmeos idênticos dado que os gêmeos são dois meninos 24 Gêmeos Fraternos a Depois de uma ultrassonografia uma mulher grávida fica sabendo que terá gêmeos Qual é a probabilidade de que ela tenha gêmeos fraternos b Depois de estudar mais detalhadamente o ultrassom o médico diz à mulher que ela terá um menino e uma menina Qual é a probabilidade de que tenha gêmeos fraternos 25 Gêmeos Fraternos Se uma mulher grávida vai ter gêmeos fraternos qual é a probabilidade de que tenha um bebê de cada gênero 26 Gêmeos Fraternos Se uma mulher grávida vai ter gêmeos fraternos qual é a probabilidade de que tenha duas meninas 27 Redundância em Despertadores Uma estudante de estatística deseja garantir não se atrasar para uma aula cedo devido ao mau funcionamento do despertador Em vez de usar um despertador ela decide usar três Qual é a probabilidade de pelo menos um dos despertadores funcionar corretamente se cada um deles tem 90 de chance de funcionar corretamente A estudante tem um ganho efetivo ao usar três despertadores em vez de um Como os resultados são afetados se todos os despertadores funcionam com eletricidade e não com bateria 28 Amostragem de Aceitação Com um método do procedimento chamado amostragem de aceitação uma amostra de itens é selecionada aleatoriamente sem reposição e o lote inteiro é rejeitado se pelo menos um item na amostra for defeituoso A Newport Gauge Company acabou de fabricar um lote de altímetros de aviões e 3 são defeituosos a Se um lote contém 400 altímetros e 2 deles são selecionados sem reposição e testados qual é a probabilidade de que o lote inteiro seja rejeitado b Se o lote contém 4000 altímetros e 100 deles são selecionados sem reposição e testados qual é a probabilidade de que o lote inteiro seja rejeitado 29 Usando Amostras Combinadas de Sangue Ao se realizarem exames de sangue para HIV o procedimento pode se tornar mais eficiente e menos dispendioso pela combinação de amostras de sangue Se amostras de três pessoas são combinadas e o teste da mistura resulta negativo sabemos que as três amostras individuais são negativas Ache a probabilidade de um resultado positivo para três amostras combinadas em uma única mistura supondo que a probabilidade de uma amostra individual de sangue dar positivo seja de 01 probabilidade para a população de risco com base nos dados do Departamento de Saúde do Estado de Nova York 30 Usando Amostras Combinadas de Água O Departamento de Saúde Pública do Condado de Orange testa água para detectar a contaminação pela presença da bactéria E coli Escherichia coli Para reduzir os custos de laboratório são combinadas amostras de água de seis piscinas públicas para um teste e são feitos testes adicionais somente se a amostra combinada falha Com base nos resultados passados há 2 de chance de se achar a bactéria E coli em uma piscina pública Ache a probabilidade de a amostra combinada de seis piscinas públicas revelar a presença da bactéria E coli 45 Além do Básico 31 Aniversários Partilhados Ache a probabilidade de que entre 25 pessoas selecionadas aleatoriamente a nenhum par tenha a mesma data de aniversário b pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversário 32 Quem Fez A fábrica de Atlanta da Medassist Pharmaceutical Company fabricou 400 marcapassos dos quais 3 eram defeituosos A fábrica de Baltimore da mesma companhia fabricou 800 marcapassos dos quais 2 eram defeituosos Se um dos 1200 marcapassos é escolhido aleatoriamente e descobrese que está defeituoso qual é a probabilidade de ter sido fabricado em Atlanta 33 Montanharussa A montanharussa RocknRoller Coster nos Estúdios DisneyMGM em Orlando tem dois assentos em cada uma das 12 filas As pessoas são colocadas nos assentos de acordo com a ordem de chegada Se você viaja uma vez nessa montanharussa qual é a probabilidade de conseguir a cobiçada primeira fila Quantas vezes você deve ir de modo que haja 95 de chance de obter a primeira fila pelo menos uma vez 34 Moedas Ocultas Um professor de estatística joga duas moedas que não podem ser vistas pelos estudantes Um estudante pergunta Uma das moedas resultou em cara Dado que o professor respondeu sim ache a probabilidade de ter resultado cara nas duas moedas 46 Probabilidades Através de Simulações Conceitochave Na Seção 42 discutimos brevemente as simulações Nesta seção usamos simulações como abordagem alternativa para determinar probabilidades A vantagem do uso de simulações é que podemos superar muitas das dificuldades encontradas no uso das regras formais discutidas nas seções anteriores Começamos pela definição de simulação DEFINIÇÃO Uma simulação de um experimento é um processo que tem o mesmo comportamento do experimento de modo que são gerados resultados semelhantes O Exemplo 1 ilustra o uso de uma simulação que envolve nascimentos EXEMPLO 1 Escolha do Gênero Em um teste do método MicroSort de seleção de gênero desenvolvido pelo Genetics IVF Institute 127 meninos nasceram entre 152 bebês de pais que haviam usado o método YSort para tentarem ter um menino Para avaliar adequadamente esses resultados precisamos saber a probabilidade de se obter pelo menos 127 meninos entre 152 nascimentos supondo que meninos e meninas sejam equiprováveis Admitindo que nascimentos de meninas e meninos sejam igualmente prováveis descreva uma simulação que resulte nos gêneros dos 152 bebês recémnascidos SOLUÇÃO Uma abordagem é simplesmente jogar uma moeda 152 vezes com cara representando meninas e coroa representando meninos Outra abordagem consiste em usar uma calculadora ou um computador para gerar 0 e 1 com 0 representando meninos e 1 representando meninas Os números têm que ser gerados de tal forma que eles sejam igualmente prováveis Eis alguns resultados típicos 0 0 1 0 1 1 1 1 Menino Menino Menina Menino Menina Menina Menina Menina EXEMPLO 2 Mesmos Aniversários O Exercício 31 na Seção 45 referese ao problema clássico do aniversário no qual achamos a probabilidade de pelo menos duas pessoas em um grupo de 25 pessoas escolhidas aleatoriamente fazerem aniversário no mesmo dia A solução teórica é difícil Não é prática a pesquisa de muitos grupos diferentes de 25 pessoas assim uma simulação é uma alternativa útil Descreva uma simulação que poderia ser usada para se encontrar a probabilidade de que entre 25 pessoas selecionadas aleatoriamente pelo menos 2 façam aniversário no mesmo dia SOLUÇÃO Comece representando os dias de aniversário por inteiros variando de 1 a 365 onde 1 1 de janeiro 2 2 de janeiro 365 31 de dezembro Em seguida use Probabilidade de um Evento que Nunca Ocorreu Alguns eventos são possíveis mas são tão improváveis que nunca ocorreram Eis um problema de grande interesse para os cientistas políticos estime a probabilidade de que seu voto determine o vencedor em uma eleição presidencial nos Estados Unidos Andrew Gelman Gary King e John Boscardin escreveram no Journal of the American Statistical Association Vol 93 N 441 que o valor exato dessa probabilidade é apenas de menor interesse mas o número tem implicações importantes para se compreender a alocação ótima de recursos de campanha se os estados e grupos de votantes recebem cotas de atenção dos candidatos a presidente e como modelos formais de escolha racional para o comportamento de eleitores podem ser capazes de explicar por que as pessoas votam Os autores mostram como o valor da probabilidade de 1 em 10 milhões é obtido para eleições apertadas 150 Capítulo 4 um programa de computador ou uma calculadora TI8384 Plus para a simulação da seleção aleatória de 50 adultos consumidores Cada resultado individual deve ser uma indicação de um dos dois resultados 1 o consumidor reconhece o nome da marca McDonalds 2 o consumidor não reconhece o nome da marca McDonalds 6 Canhotos Cerca de 10 das pessoas são canhotas Em um estudo sobre destreza 15 pessoas são selecionadas aleatoriamente Descreva um procedimento para usar um programa de computador ou uma calculadora TI8384 Plus para simular a seleção aleatória das 15 pessoas Cada um dos 15 resultados deve ser uma indicação de um de dois resultados 1 sujeito é canhoto 2 sujeito não é canhoto 7 Shaquille ONeal Shaquille ONeal é uma estrela do basquete profissional que tem a reputação de ser fraco em lances livres Até o momento da escrita deste texto ele havia feito 5155 dos 9762 lances livres que tentou com uma taxa de sucesso de 0528 Descreva um procedimento para uso de um programa de computador ou de uma calculadora TI8384 Plus para simular seu próximo lance livre O resultado deve ser uma indicação de um dos dois resultados 1 o lance livre é convertido 2 o lance livre é perdido 8 Simulação de Hibridização Quando Mendel realizou seu famoso experimento de hibridização ele usou ervilhas com vagens verdes e ervilhas com vagens amarelas Um experimento envolveu o cruzamento de ervilhas de modo tal que se esperava que 75 das ervilhas que nascessem tivessem vagens verdes e 25 vagens amarelas Descreva um processo que use um programa ou a calculadora TI8384 Plus para simular 20 ervilhas em tal experimento de hibridização Cada um dos 20 resultados individuais deve ser uma indicação de um de dois resultados 1 a vagem é verde 2 a vagem é amarela Nos Exercícios 912 desenvolva uma simulação usando a calculadora TI8384 Plus o STATDISK o Excel ou qualquer outra calculadora ou programa apropriados 9 Simulação para um Estudo de Reconhecimento de Marca Consulte o Exercício 5 que pediu a descrição de uma simulação a Realize a simulação e registre o número de consumidores que reconhecem a marca McDonalds Se possível obtenha uma cópia impressa dos resultados A proporção dos que reconhecem McDonalds é razoavelmente próxima de 095 b Repita a simulação até realizar um total de 10 vezes Em cada uma das 10 tentativas registre a proporção dos que reconhecem McDonalds Com base nos resultados seria não usual selecionaremse 50 consumidores e verificarse que cerca de metade deles reconhece a marca McDonalds 10 Simulação de Canhotos Consulte o Exercício 6 que pedia a descrição de uma simulação a Realize a simulação e registre o número de pessoas canhotas A porcentagem de pessoas canhotas pela simulação é razoavelmente próxima do valor de 10 b Repita a simulação até completar um total de 10 tentativas Registre os números de pessoas canhotas em cada uma das vezes Com base nos resultados seria não usual selecionaremse 15 pessoas e verificarse que nenhuma delas é canhota 11 Simulação de Shaq Consulte o Exercício 7 que pediu uma descrição de um lance livre simulado do jogador Shaquille ONeal a Repita a simulação cinco vezes e registre o número de vezes em que o lance livre foi convertido A porcentagem de lances livres bemsucedidos pela simulação é razoavelmente próxima do valor de 0528 b Repita a parte a até que se tenham completado 10 tentativas Registre a proporção de lances livres bemsucedidos em cada caso Com base nos resultados seria não usual que Shaquille ONeal convertesse todos de cinco lances livres em um jogo 12 Simulação de Hibridização Consulte o Exercício 8 que pediu a descrição de uma simulação de hibridização a Realize a simulação e registre o número de vagens amarelas Se possível obtenha uma cópia impressa dos resultados A porcentagem de ervilhas amarelas pela simulação é razoavelmente próxima do valor de 25 b Repita a simulação até um total de 10 vezes Registre os números de ervilhas com vagens amarelas em cada caso Com base nos resultados os números de ervilhas com vagens amarelas parecem ser bem consistentes Com base nos resultados seria não usual selecionaremse aleatoriamente 20 de tais ervilhas e verificarse que nenhuma delas tem vagem amarela 13 Probabilidade de uma Sequência de Três Use uma abordagem de simulação para encontrar a probabilidade de que quando nascem cinco bebês consecutivos há uma sequência de três bebês do mesmo gênero Descreva o procedimento de simulação usado e determine se tais sequências são não usuais 14 Probabilidade de uma Sequência de Quatro Use uma abordagem de simulação para encontrar a probabilidade de que quando nascem seis bebês consecutivos há uma sequência de pelo menos quatro bebês do mesmo gênero Descreva o procedimento de simulação usado e determine se tais sequências são não usuais 15 Método de Seleção de Gênero Até o momento da escrita deste texto os últimos resultados disponíveis do método YSORT de seleção de gênero da Microsort consistiam em 127 meninos em 152 nascimentos Isto é entre 152 conjuntos de pais que usavam o método YSORT para aumentar a probabilidade de um menino 127 realmente tiveram meninos e os outros 25 tiveram meninas Supondo que o método YSORT não tenha qualquer efeito e que meninos e meninas sejam igualmente prováveis simule 152 nascimentos É não usual obteremse 127 meninos em 152 nascimentos O que esse resultado sugere sobre o método YSORT 16 Análise do Tratamento com Nasonex Nasonex é um spray nasal para tratar alergias Em testes clínicos 1671 sujeitos receberam um placebo e 2 deles desenvolveram infecções respiratórias do trato superior Outros 2103 pacientes foram tratados com Nasonex e 6 deles desenvolveram infecções respiratórias do trato superior Suponha que o Nasonex não tenha qualquer efeito sobre as infecções respiratórias do trato superior de modo que a taxa dessas infecções também se aplica aos que usam Nasonex Usando a taxa de 21671 do grupo do placebo simule grupos de 2103 sujeitos que recebem o tratamento com Nasonex e determine se um resultado de 6 infecções respiratórias do trato superior podem facilmente ocorrer O que isso sugere sobre o Nasonex como uma causa de infecções respiratórias do trato superior 46 Além do Básico 17 Simulando o Problema de Monty Hall Um problema que tem chamado muita atenção é o problema de Monty Hall baseado no antigo programa de televisão Vamos Fazer um Trato Lets Make a Deal apresentado por Monty Hall Suponha que você seja um concorrente que selecionou uma de três portas depois de ser informado de que duas delas não escondiam coisa alguma mas atrás de uma delas estava um Corvette vermelho novo Em seguida o apresentador abre uma das portas que você não escolheu e mostra que não há nada atrás dela Ele então oferece uma chance de você manter sua escolha inicial ou mudar para a outra porta não aberta Você deve mudar ou manter a sua escolha inicial Desenvolva uma simulação para este jogo e determine se você deve ou não mudar De acordo com a revista Chance universidades como Harvard e Stanford usam esse problema para ajudar os estudantes a lidarem com situações de tomada de decisão 148 Capítulo 4 uma calculadora ou um programa de computador para gerar 25 números aleatórios cada um entre 1 e 365 Tais números podem então ser ordenados de modo a facilitar a pesquisa da lista para determinar se quaisquer duas datas simuladas são iguais Depois da ordenação números iguais serão adjacentes Podemos repetir esse processo quantas vezes quisermos até nos sentirmos confortáveis em dizer que temos uma boa base para determinar nossa probabilidade Nossa estimativa de probabilidade é o número de vezes em que foram obtidas duas datas iguais dividido pelo número total de grupos de 25 datas gerados Eis alguns resultados típicos 20 274 42 93 Jan 20 Out 1 Fev 11 Abr 3 Há várias maneiras de obter números aleatoriamente gerados entre 1 e 365 incluindo as seguintes Tabela de Números Aleatórios Consulte por exemplo CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae que contém uma tabela de 14000 dígitos Em tal tabela há diversas maneiras de extrair números de 1 a 365 Uma é tomar os algarismos nas três primeiras colunas ignorando 000 bem como qualquer número acima de 365 STATDISK Selecione Data no menu principal depois Uniform Generator e prossiga para introduzir um tamanho de amostra de 25 um mínimo de 1 e um máximo de 365 informe 0 como número de casas decimais O STATDISK fornece o resultado exibido a seguir Usando copypaste copiarcolar copie os dados para o Sample Editor em que os valores podem ser arranjados em ordem crescente Para ordenar os números clique em Data Tools e selecione a opção Sort Data Dessa saída podemos ver que a sétima e a oitava pessoas têm a mesma data de aniversário que é o 68º dia do ano Minitab Selecione Calc na barra do menu principal depois selecione Random Data e em seguida Integer Na caixa de diálogo que se apresenta introduza 25 para o número de linhas armazene os resultados na coluna C1 e introduza um mínimo de 1 e um máximo de 365 Você pode usar Manip e Sort para organizar os dados em ordem crescente O resultado parecerá com o mostrado na figura seguinte mas os números não serão os mesmos Esta saída do Minitab mostra que o 9º e o 10º resultados são iguais Excel Clique na célula no canto superior esquerdo célula A1 depois clique no ícone fx para funções Selecione Matemática e Trigonométrica depois ALEATORIOENTRE Na caixa de diálogo introduza 1 para o valor inferior e 365 para o valor superior Depois de obter o número aleatório na primeira célula clique e arraste o mouse a partir do canto inferior direito da célula até que 25 células estejam selecionadas Ao soltar o botão do mouse os 25 números devem aparecer Na saída do Excel exibida o 1º e o 3º valores são iguais STATDISK Row 1 Ran 1 7 2 8 3 16 4 38 5 42 6 46 7 68 8 68 9 104 10 117 11 140 12 195 13 204 14 244 15 271 16 274 J MINITAB C1 Q2 1 38 2 48 3 59 4 71 5 101 6 107 7 122 8 129 9 153 10 153 11 163 EXCEL A 1 15 2 3 3 15 4 362 5 164 6 184 7 158 8 59 9 143 10 85 11 134 Calculadora TI8384 Plus Pressione a tecla MATH selecione PRB e depois escolha randInt Introduzir o mínimo de 1 o máximo de 365 e 25 para o número de valores separados por vírgula que usamos randInt para gerar os números os quais foram armazenados na lista L1 onde então foram ordenados e novamente exibidos Essa tela mostra que não há números coincidentes entre os poucos que podem ser vistos Você pode apertar STAT e selecionar Edit para ver a lista completa de números gerados TI8384 PLUS randInt136525 L1 79 206 340 133 SortAL1 Done L1 17 34 46 70 79 SC EXEMPLO 3 Sequência de Seis Caras ou Coroas Uma das atividades de classe preferidas do autor é dar a seguinte tarefa aos alunos Peguem uma moeda e joguemna Os que obtiverem cara vão para casa e realmente jogam a moeda 200 vezes e registram os resultados Os que obtiverem coroa criam seus próprios resultados para 200 jogadas da moeda Na aula seguinte o autor seleciona alguns resultados e rapidamente determina se os resultados são reais ou foram criados usando o seguinte critério Se há uma sequência de seis caras ou de seis coroas os resultados são reais mas se não há qualquer dessas sequências os resultados são criados Isso se baseia no princípio de que ao criar resultados os alunos quase nunca incluem uma sequência de seis ou mais caras ou coroas mas com 200 jogadas reais da moeda há uma alta probabilidade de se obter uma sequência de pelo menos seis caras ou coroas Essa atividade é mais diversão do que se possa permitir Infelizmente o cálculo da probabilidade de se obter uma sequência de pelo menos seis caras ou seis coroas é extremamente difícil Felizmente as simulações permitem saber se tais sequências são prováveis em 200 jogadas de uma moeda Sem necessariamente encontrar o valor da probabilidade simule 200 jogadas reais de moeda repita a simulação algumas vezes e então determine se uma sequência de seis caras ou coroas é verossímil SOLUÇÃO Faça 0 cara e 1 coroa e use alguma técnica de simulação para gerar 200 dígitos que sejam 0 ou 1 Agora examine a lista É fácil determinar rapidamente se há uma sequência de pelo menos seis 0 ou seis 1 Depois de repetir a simulação algumas vezes será óbvio que uma sequência de seis 0 ou seis 1 ocorrerá quase sempre de modo que a probabilidade de se obter uma sequência é muito alta Probabilidade 149 Macacos Digitadores Uma afirmação clássica é a de que um macaco batendo ao acaso as teclas de um teclado acabaria compondo a obra completa de Shakespeare admitindose que continuasse digitando indefinidamente século após século Para tal estimativa aplicouse a regra da multiplicação da teoria das probabilidades Um resultado de 1000000000000000000000000000000000000000000000000 é considerado muito pequeno por alguns Nesse mesmo espírito Sir Arthur Eddington escreveu o seguinte poema Havia uma vez um macaco inteligente que sempre tocava um baixo Então ele disse Parece que em bilhões de anos eu certamente acabarei compondo uma melodia Tradução livre de There once was a brain baboon who always breathed down a bassoon For he said It appears than in billions of years I shall certainly hit on a tune 46 Habilidades e Conceitos Básicos Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Simulação de Dados Quando se jogam dois dados o total fica entre 2 e 12 inclusive Um estudante simula a jogada de dois dados gerando aleatoriamente números entre 2 e 12 Essa simulação se comporta de maneira semelhante à jogada real dos dados Por que sim ou por que não 2 Simulação de Dados Suponha que você tenha acesso a um computador que pode gerar aleatoriamente números inteiros entre quaisquer dois valores Descreva como esse computador pode ser usado para simular a jogada de um par de dados 3 Simulação de Aniversários Um estudante deseja realizar a simulação descrita no Exemplo 2 mas não dispõe da calculadora ou computador de modo que ele usa 365 cartões individuais para escrever os números de 1 a 365 um em cada um O estudante embaralha os cartões seleciona um e registra o resultado Esse cartão é reposto os cartões são novamente embaralhados e um segundo número é extraído Esse processo é repetido até que 25 dias de aniversários tenham sido gerados Essa simulação se comporta da mesma maneira que a seleção de 25 pessoas e registro de seus dias de aniversário Por que sim ou por que não 4 Simulação da Jogada de Uma Moeda Um estudante realizou a simulação descrita no Exemplo 3 e estabeleceu que a probabilidade de se obter uma sequência de seis 0 ou seis 1 é 0977 O que há de errado com essa afirmativa Nos Exercícios 58 descreva o processo de simulação Por exemplo para a simulação de 10 nascimentos use um gerador de dígitos aleatórios para gerar 10 inteiros entre 0 e 1 inclusive e considere 0 como homem e 1 como mulher 5 Reconhecimento de Marcas A probabilidade de se selecionar um adulto que reconheça o nome da marca McDonalds é 095 com base em dados de Franchise Advantage Descreva um procedimento para usar 18 Simulando Aniversários a Desenvolva uma simulação para achar a probabilidade de que quando 50 pessoas são escolhidas aleatoriamente pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia Descreva a simulação e estime a probabilidade b Desenvolva uma simulação para achar a probabilidade de que quando 50 pessoas são escolhidas aleatoriamente pelo menos três façam aniversário no mesmo dia Descreva a simulação e estime a probabilidade 19 Genética Simulando Controle da População Um problema clássico de probabilidade envolve um rei que desejando aumentar a proporção de mulheres decretou que depois de uma mulher dar à luz um menino ela ficaria proibida de ter outros filhos O raciocínio do rei era o de que algumas famílias teriam apenas um menino ao passo que outras teriam algumas meninas e um menino o que aumentaria a proporção de meninas Este raciocínio está correto A proporção de meninas aumentaria 47 Contagem Conceitochave Nesta seção apresentamos métodos para a contagem do número de possíveis resultados em uma variedade de diferentes situações Problemas de probabilidade requerem tipicamente que saibamos o número total de resultados possíveis mas encontrar tal total exige quase sempre os métodos desta seção porque não é prático construirse a lista desses resultados Princípio Fundamental da Contagem Para uma sequência de dois eventos na qual o primeiro evento pode ocorrer de m maneiras e o segundo pode ocorrer de n maneiras os eventos juntos podem ocorrer em um total de m n maneiras O princípio fundamental da contagem se estende facilmente a situações que envolvem mais de dois eventos como ilustrado nos exemplos a seguir EXEMPLO 1 Roubo de Identidade É boa prática não revelar números de seguro social identidade ou CPF pois eles podem ser usados por criminosos na tentativa de roubar o dinheiro das pessoas Suponha que se encontre um criminoso usando o seu número de seguro social e que ele afirme que os dígitos foram gerados aleatoriamente Qual é a probabilidade de se obter o número do seguro social de uma pessoa se esse número for formado por 9 dígitos e gerado aleatoriamente A afirmação do criminoso de que o seu número foi gerado aleatoriamente tem chance de ser verdadeira SOLUÇÃO O número do seguro social tem 9 dígitos e cada um deles tem 10 resultados possíveis 0 1 2 9 Aplicando o princípio fundamental da contagem obtemos 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000000000 Apenas um desses 1000000000 de possibilidades corresponde ao seu número do seguro social de modo que a probabilidade de se gerar aleatoriamente números de seguro social e obter o seu número é de 11000000000 É extremamente improvável que um criminoso gerasse o seu número de seguro social por acaso supondose que apenas um número tenha sido gerado Mesmo que o criminoso gerasse milhares de números de seguro social e tentasse usálos é altamente improvável que o seu número fosse gerado Se alguém é encontrado usando o seu número do seguro social provavelmente essa pessoa o conseguiu por outros meios que não a geração aleatória como espionando suas transações na Internet ou remezendo no seu lixo EXEMPLO 2 Ordem Cronológica Considere a seguinte questão de um teste de história Coloque em ordem cronológica os seguintes eventos Escolha de Código de Segurança Pessoal Todos nós usamos códigos de segurança pessoal para caixas eletrônicos contas de computador na Internet e sistemas de segurança domiciliar A segurança de tais códigos depende do grande número de diferentes possibilidades mas os piratas da Internet hackers agora têm ferramentas sofisticadas para superar tal obstáculo Pesquisadores descobriram que usando variações do primeiro e último nomes do usuário mais 1800 outros primeiros nomes eles podiam identificar de 10 a 20 das senhas em sistemas comuns de computador Ao escolher uma senha não use variações de qualquer nome uma palavra encontrada em dicionário uma senha com menos de sete caracteres números de telefones ou CPF Inclua caracteres não alfabéticos tais como algarismos ou sinais de pontuação Muito Poucos Códigos de Barras Em 1974 um pacote de chicletes foi o primeiro item a ser escaneado em um supermercado Esse escaneamento exigia que o chiclete fosse identificado com um código de barras Os códigos de barras ou Códigos Universais de Produtos são usados para identificar itens individuais a serem comprados Os códigos de barras usavam 12 dígitos que permitiam que os escaneadores automaticamente listassem e registrassem o preço de cada item comprado O uso de 12 dígitos se tornou insuficiente na medida em que crescia o número de produtos diferentes de modo que os códigos foram recentemente modificados para incluir 13 dígitos Problemas semelhantes são encontrados quando os códigos de área de telefones são divididos porque há telefones demais para um código de área em uma região Métodos de contagem são usados para o planejamento de sistemas que acomodem números futuros de unidades que possam ser processadas ou oferecidas a Boston Tea Party Festa do Chá de Boston episódio da guerra da Independência americana b Teapot Dome Scandal incidente de propina nos Estados Unidos em 19221923 c Guerra Civil A resposta correta é a c b mas suponhamos que um estudante faça adivinhações aleatórias Ache a probabilidade de que esse estudante escolha a ordem cronológica correta SOLUÇÃO Embora seja fácil listaremse os seis possíveis arranjos o princípio fundamental da contagem nos dá outra maneira de abordarmos esse problema Ao se fazerem adivinhações aleatórias há 3 escolhas possíveis para o primeiro evento 2 escolhas restantes para o segundo evento e apenas 1 para o terceiro evento de modo que o número de arranjos possíveis é 3 2 1 6 Como apenas um dos seis arranjos possíveis é correto a probabilidade de se obter a ordem cronológica correta com adivinhações aleatórias é 16 ou 0167 No Exemplo 2 vimos que os três itens podem ser organizados em 3 2 1 6 maneiras diferentes Esta solução particular pode ser generalizada usandose a seguinte notação e a regra do fatorial Notação O símbolo do fatorial denota o produto de inteiros positivos decrescentes Por exemplo 4 4 3 2 1 24 Por definição especial 0 1 Regra do Fatorial Um conjunto de n diferentes itens pode ser organizado em ordem de n maneiras diferentes Essa regra do fatorial reflete o fato de que o primeiro item pode ser selecionado de n maneiras diferentes o segundo de n 1 maneiras e assim por diante Problemas de traçados de rotas frequentemente envolvem aplicações da regra do fatorial A Verizon deseja traçar rotas para as chamadas telefônicas através das redes mais curtas A Federal Express deseja achar as rotas mais curtas para as suas entregas A American Airlines deseja achar a menor rota para retornar sua tripulação EXEMPLO 3 Rotas para Parques Nacionais Durante o verão você está planejando visitar esses seis parques nacionais Glacier Yellowstone Yosemite Arches Zion e Grand Canyon Você gostaria de planejar a rota mais eficiente e você decide listar todas as rotas possíveis Quantas rotas diferentes são possíveis SOLUÇÃO Aplicando a regra do fatorial sabemos que 6 diferentes parques podem ser ordenadas de 6 maneiras diferentes O número de rotas diferentes é 6 6 5 4 3 2 1 720 Há 720 diferentes rotas possíveis O Exemplo 3 é uma variação do problema clássico chamado problema do caixeiroviajante Como os problemas de rotas são tão importantes para tantas diferentes companhias e como o número de rotas diferentes pode ser muito grande há um esforço contínuo para a simplificação do método de se acharem as rotas mais eficientes De acordo com a regra do fatorial n diferentes itens podem ser arranjados em n diferentes maneiras Algumas vezes temos n diferentes itens mas precisamos selecionar alguns deles em vez de todos eles Por exemplo se temos que realizar pesquisas nas capitais estaduais mas dispomos de tempo para visitar apenas quatro capitais o número de diferentes rotas possíveis é 50 49 48 47 5527200 Outra maneira de se tentar obter esse mesmo resultado é calcular 50 46 50 49 48 47 5527200 Neste cálculo note que os fatores no numerador são simplificados com os fatores no denominador exceto pelos fatores 50 49 48 e 47 que permanecem Podemos generalizar este resultado notando que se temos n diferentes itens disponíveis e queremos selecionar r desses itens o número de diferentes arranjos possíveis é nn r como em 5046 Esta generalização é comumente chamada de regra da permutação Regra das Permutações Quando Todos os Itens São Diferentes Requisitos 1 Há n diferentes itens disponíveis 2 Selecionamos r dos n itens sem reposição 3 Consideramos reorganizações dos mesmos itens como sequências diferentes A permutação ABC é diferente de CBA e é contada separadamente Se as condições anteriores são satisfeitas o número de permutações ou sequências de r itens selecionados sem reposição entre os n diferentes itens disponíveis é n n r Quando usamos os termos permutações arranjos ou sequências estamos dizendo que a ordem é levada em conta no sentido de que diferentes ordenações dos mesmos itens são contadas separadamente As letras ABC podem ser arranjadas em seis maneiras diferentes ABC ACB BAC BCA CAB CBA Mais adiante iremos considerar as combinações que não contam tais arranjos separadamente No exemplo seguinte pedese que encontremos o número total de diferentes sequências possíveis EXEMPLO 4 Aposta Exata Nas corridas de cavalo uma aposta na exata em uma corrida é ganha selecionandose os cavalos que terminam no primeiro e segundo lugares e essa seleção deve ser feita na ordem correta No 132o Derby de Kentucky havia um conjunto de 20 cavalos Se um apostador seleciona aleatoriamente dois desses cavalos para uma aposta exata qual é a probabilidade de ganhar SOLUÇÃO Temos n 20 cavalos disponíveis e temos que selecionar r 2 deles sem reposição O número de diferentes sequências é encontrado como segue P n n r 20 20 2 380 Há 380 arranjos diferentes possíveis de 2 cavalos selecionados entre os 20 disponíveis Se um desses arranjos é selecionado aleatoriamente há uma probabilidade de 1380 de que o arranjo vencedor seja o selecionado Quantas Embaralhadas Após extensas pesquisas Persi Diaconis matemático de Harvard constatou serem necessárias sete embaralhadas para que se tenha uma mistura completa das cartas de um baralho A mistura é completa no sentido de que todos os arranjos possíveis são igualmente prováveis Mais de sete embaralhadas não tem efeito significativo e menos de sete não são suficientes Os crupiês dos cassinos raramente embaralham sete vezes de modo que os baralhos não ficam misturados adequadamente Alguns experientes jogadores de cartas conseguiram tirar vantagem das misturas incompletas que resultam de menos de sete embaralhadas Algumas vezes precisamos achar o número de permutações quando alguns itens são iguais entre si A seguinte variação da regra da permutação se aplica a tais casos A Secretária Aleatória Eis um problema clássico de probabilidade uma secretária endereça 50 diferentes cartas e envelopes para 50 pessoas diferentes mas as cartas são misturadas aleatoriamente antes de serem colocadas nos envelopes Qual é a probabilidade de que pelo menos uma carta vá para o envelope correto Embora à primeira vista a probabilidade possa parecer pequena é efetivamente de 0632 Mesmo com um milhão de envelopes ela continua sendo de 0632 A demonstração deste fato ultrapassa em muito o âmbito deste livro Regra das Permutações Quando Alguns Itens São Iguais a Outros Requisitos 1 Há n itens disponíveis e alguns itens são iguais a outros 2 Selecionamos todos os n itens sem reposição 3 Consideramos rearranjos de itens distintos como sequências diferentes Se as condições anteriores são satisfeitas e há n1 itens iguais entre si n2 iguais entre si nk iguais entre si o número de permutações ou sequências de todos os n itens selecionados sem reposição é n n1 n2 nk EXEMPLO 5 Seleção de Gênero Em um teste preliminar do método de seleção de gênero Microsoft desenvolvido pelo Genetics and IVF Institute 14 casais tentaram ter bebês meninas A análise da eficácia do método Microsoft se baseia em um valor de probabilidade que por sua vez se baseia no número de permutações Consideremos este problema simples De quantas maneiras 11 meninas e 3 meninos podem ser arranjados em sequência Isto é ache o número de permutações de 11 meninas e 3 meninos SOLUÇÃO Temos n 14 com n1 11 iguais meninas e n2 3 outros iguais meninos O número de permutações é calculado como segue n n1 n2 14 11 3 87178291200 399168006 364 Há 364 diferentes maneiras de se arranjarem 11 meninas e 3 meninos O exemplo anterior envolveu n itens cada um pertencendo a uma de duas categorias Quando há apenas duas categorias podemos definir que x sejam iguais entre si e os outros n x também sejam iguais entre si de modo que a fórmula das permutações se simplifica para n n x x Este resultado particular será usado na discussão de probabilidades binomiais na Seção 53 Regra das Combinações Requisitos 1 Há n diferentes itens disponíveis 2 Selecionamos r dos n itens sem reposição 3 Consideramos reorganizações dos mesmos itens como a mesma A combinação ABC é igual à combinação CBA Se as condições anteriores são satisfeitas o número de combinações de r itens selecionados sem reposição entre os n diferentes itens disponíveis é nCr n n r r Quando se planeja extrair r itens entre n diferentes itens mas sem levar em conta a ordem estamos realmente interessados nas possíveis combinações em vez de permutações Isto é quando diferentes ordenações dos mesmos itens são contadas separadamente temse um pro blema de permutação mas quando as diferentes ordenações dos mesmos itens não são contadas separadamente temse um problema de combinação e podemos aplicar a regra das combinações Como a escolha entre a regra das permutações e a regra das combinações pode ser um pouco confusa fornecemos o exemplo a seguir planejado para enfatizar a diferença entre elas EXEMPLO 6 Fase I de um Teste Clínico Ao se testar um novo fármaco em seres humanos fazse normalmente um teste clínico em três fases A Fase I é realizada com um número relativamente pequeno de voluntários sadios Suponhamos que desejemos tratar 8 pessoas sadias com um novo fármaco e que tenhamos 10 voluntários adequados disponíveis a Se os sujeitos são selecionados e tratados em sequência de modo que o teste seja interrompido se alguém apresentar uma reação adversa particular quantos arranjos sequenciais diferentes são possíveis se 8 pessoas são escolhidas entre 10 disponíveis b Se 8 sujeitos são selecionados entre 10 disponíveis e os 8 selecionados são tratados ao mesmo tempo quantos grupos de tratamento diferentes são possíveis SOLUÇÃO Note que na parte a a ordem é relevante porque os sujeitos são tratados sequencialmente e o teste é interrompido se alguém apresentar uma reação adversa particular No entanto na parte b a ordem de seleção é irrelevante porque todos os sujeitos são tratados ao mesmo tempo a Como a ordem importa desejamos o número de permutações de r 8 pessoas selecionadas em um grupo de n 10 pessoas disponíveis Obtemos nPr n n r 10 10 8 1814400 b Como a ordem não importa desejamos o número de combinações de r 8 pessoas selecionadas entre n 10 pessoas disponíveis Obtemos nCr n n r r 10 10 8 8 45 Levandose a ordem em consideração há 1814400 permutações mas sem levar em conta a ordem há 45 combinações EXEMPLO 7 Loteria da Flórida O jogo Florida Lotto é típico das loterias estaduais americanas Você deve selecionar seis números diferentes entre 1 e 53 Você ganha o prêmio se os mesmos seis números forem extraídos em qualquer ordem Ache a probabilidade de se ganhar o prêmio SOLUÇÃO Como a ordem dos números selecionados não importa você ganha se escolher a combinação correta de seis números Como há apenas uma combinação vencedora a probabilidade de se ganhar o prêmio é 1 dividido pelo número total de combinações Com n 53 números disponíveis e com r 6 números selecionados o número de combinações é nCr n n r r 53 53 6 6 22957480 Com 1 combinação vencedora e 22957480 combinações diferentes possíveis a probabilidade de se ganhar o prêmio é 122957480 Esta seção apresentou cinco diferentes regras para se encontrar o número total de resultados Embora nem todos os problemas de contagem possam ser resolvidos com uma dessas cinco regras elas constituem uma base forte para muitas aplicações reais e relevantes 47 Habilidades e Conceitos Básicos Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Permutações e Combinações Qual é a diferença básica entre uma situação que requer a aplicação da regra das permutações e uma que requer a regra das combinações 2 Fechadura de Combinação A fechadura de combinação típica usa três números entre 0 e 49 e eles devem ser selecionados na sequência correta Dada a maneira de funcionamento dessas fechaduras o nome fechadura de combinação parece correto Por que sim ou por que não 3 Trifeta Em corridas de cavalo uma trifeta é uma aposta em que os três primeiros finalistas são selecionados e a seleção é feita na ordem correta Uma trifeta envolve combinações ou permutações Explique 4 Dupla Inexata Em corridas de cavalo uma dupla inexata é uma aposta em que são selecionados os dois cavalos que terminarão nos dois primeiros lugares mas eles podem ser selecionados em qualquer ordem Uma dupla inexata envolve combinações ou permutações Explique Calculando Fatoriais Combinações e Permutações Nos Exercícios 512 calcule a expressão dada e exprima todos os resultados na forma usual de representar números em vez de usar a notação científica 5 Fatorial Ache o número de maneiras diferentes em que cinco questões de teste podem ser colocadas em ordem calculando 5 6 Fatorial Ache o número de diferentes maneiras em que nove jogadores em um time de beisebol podem se alinhar para a execução do Hino Nacional calculando 9 7 Vinte e Um No jogo de vinte e um jogado com um baralho um jogador inicialmente tira duas cartas Ache o número de diferentes mãos iniciais de duas cartas calculando 52C2 8 Jogo de Cartas Ache o número de diferentes mãos possíveis de cinco cartas no pôquer calculando 52C5 9 Programação de Rotas Um gerente deve selecionar 5 locais de entrega entre 9 disponíveis Ache o número de rotas diferentes possíveis calculando 9P5 10 Programação de Rotas Uma estrategista política deve visitar assembleias estaduais mas ela só tem tempo para visitar 3 delas Ache o número de diferentes rotas possíveis calculando 50P3 11 Loteria da Virgínia O jogo da loteria da Virginia Win for Life requer que você selecione os seis números corretos entre 1 e 42 Ache o número de possíveis combinações calculando 42C6 12 Trifeta Consulte o Exercício 3 Ache o número de diferentes trifetas possíveis em uma corrida com dez cavalos calculando 10P3 Probabilidade de Ganhar na Loteria Uma vez que se ganha na loteria Fantasy 5 da Califórnia selecionando os cinco números corretos em qualquer ordem entre 1 e 39 há 575757 diferentes combinações de cinco números que podem ser apostas e a probabilidade de se ganhar o prêmio é 1575757 Nos Exercícios 1316 ache a probabilidade de se ganhar na loteria indicada comprando um bilhete Em cada caso os números selecionados são diferentes e a ordem não importa Expresse o resultado como uma fração 13 Lotto Texas Selecione os seis números ganhadores entre 1 2 54 14 Florida Lotto Selecione os seis números vencedores entre 1 2 53 15 Florida Fantasy 5 Selecione os cinco números vencedores entre 1 2 36 16 Wisconsin Badger Five Responda a cada uma das seguintes questões a Ache a probabilidade de serem selecionados os cinco números vencedores entre 1 2 31 b Ganhase na loteria Wisconsin Badger 5 selecionandose os cinco números corretos entre 1 2 31 Qual é a probabilidade de ganhar se as regras são alteradas de modo que além da seleção dos cinco números corretos você deve também selecionálos na ordem em que forem extraídos 17 Roubos de Identidade com Números do Seguro Social Roubo de identidade começa em geral com a descoberta do número de nove dígitos de seu seguro social ou o número de seu cartão de crédito Responda a cada uma das seguintes questões Expresse as probabilidades como frações a Qual é a probabilidade de se gerar aleatoriamente um número de nove dígitos e obterse o seu número do seguro social b No passado muitos professores divulgavam as notas dos alunos juntamente com os últimos 4 dígitos dos números do seguro social dos alunos Se alguém já sabe os últimos quatro dígitos de seu número do seguro social qual é a probabilidade de que se essa pessoa gerar aleatoriamente outros cinco dígitos ela encontre o seu número do seguro Isso é algo com que se deve preocupar 18 Roubo de Identidade com Cartão de Crédito Os números de cartão de crédito têm tipicamente 16 dígitos mas nem todos eles são aleatórios Responda ao seguinte e expresse as probabilidades como frações a Qual é a probabilidade de se gerarem 16 dígitos aleatórios e obterse o seu número do cartão MasterCard b Os recibos sempre exibem os últimos quatro dígitos do número do cartão de crédito Se esses quatro dígitos são conhecidos qual é a probabilidade de serem gerados aleatoriamente os outros dígitos do número de seu cartão MasterCard c Cartões Discover começam com os dígitos 6011 Se você também sabe os últimos quatro dígitos de um cartão Discover qual é a probabilidade de gerar aleatoriamente os outros dígitos e obter todos eles corretamente Isso é algo com que se deva preocupar 19 Amostragem O Birô de Pesca uma vez pediu ajuda para descobrir a menor rota para a obtenção de amostras de localidades no Golfo do México Quantas rotas são possíveis se as amostras devem ser coletadas em 6 localidades de uma lista de 20 20 Nucleotídeos de DNA O DNA ácido desoxirribonucleico é feito de nucleotídeos e cada nucleotídeo pode conter qualquer uma destas bases de nitrogênio A adenina G guanina C citosina T timina Se uma dessas quatro bases A G C T precisa ser selecionada três vezes para formar um tripletto linear quantos tripletos diferentes são possíveis Note que todas as quatro bases podem ser selecionadas para cada um dos três componentes do tripletto 21 Eletricidade Ao testar a corrente em um cabo com cinco fios coloridos o autor usou um medidor para testar dois fios de uma vez Quantos testes diferentes são necessários para todos os pares possíveis de dois fios 22 Programação de Compromissos Os cinco jogadores iniciantes do time de basquete Boston Celtics concordaram em fazer aparições de caridade amanhã à noite Se você deve enviar três jogadores ao evento United Way e os outros dois ao evento Heart Fund de quantas maneiras diferentes você pode fazer essa programação 23 Projeto de um Computador Ao se projetar um computador se um byte é definido como uma sequência de 8 bits e cada bit tem que ser 0 ou 1 quantos são os diferentes bytes possíveis Um byte é frequentemente usado para representar um caractere individual como uma letra um algarismo ou um sinal de pontuação Por exemplo um sistema de codificação representa a letra A como 01000001 Existem bytes suficientes para representar os caracteres que comumente usamos incluindo letras maiúsculas e minúsculas algarismos sinais de pontuação cifrão etc 24 Amostra Aleatória Simples Na Fase 1 de um teste clínico com a terapia de gene para tratar o HIV cinco sujeitos foram tratados com base em dados de Medical News Today Se 20 pessoas estivessem disponíveis para a Fase 1 do tratamento e uma amostra aleatória simples de cinco fosse selecionada quantas amostras aleatórias simples seriam possíveis Qual é a probabilidade de cada amostra aleatória simples 25 Quebra Cabeças de Palavras Muitos jornais publicam um quebra cabeças no qual o leitor deve desembaralhar as letras para formar palavras As letras BUJOM estavam incluídas nos jornais no dia em que esse exercício foi escrito De quantas maneiras diferentes as letras BUJOM podem ser arranjadas Identifique o desembaralhamento correto e determine a probabilidade de se obter o resultado correto pela seleção aleatória de um arranjo das letras dadas 26 Quebra Cabeças de Palavras Repita o Exercício 25 usando as letras AGGYB 27 Diretores da CocaCola Há 11 membros no quadro de diretores da CocaCola Company a Se eles devem eleger um presidente um primeiro vicepresidente um segundo vicepresidente e um secretário quantas chapas diferentes são possíveis b Se eles devem formar um subcomitê de ética de quatro membros quantos subcomitês são possíveis 28 Combinação de Cofre O autor possui um cofre no qual ele guarda todas suas grandes ideias para a próxima edição deste livro A combinação do cofre consiste em quatro números entre 0 e 99 Se outro autor invade a casa e tenta roubar essas ideias qual é a probabilidade de que ele consiga a combinação correta na primeira tentativa Suponha que os números sejam selecionados aleatoriamente Dado o número de possibilidades parece factível tentarse abrir o cofre fazendo adivinhações aleatórias para a combinação 29 Seleção de Gênero MicroSort Em um teste preliminar do método MicroSort de seleção de gênero 14 bebês nasceram e 13 deles eram meninas a Ache o número de diferentes sequências de gêneros possíveis quando nascem 14 bebês b De quantas maneiras podem nascer 13 meninas e um menino em uma sequência c Se 14 bebês são selecionados aleatoriamente qual é a probabilidade de que sejam 13 meninas e 1 menino d O método de seleção de gênero parece fornecer um resultado que seja significativamente diferente do que se esperaria por acaso aleatório 30 Caixa Automático Você precisa de dinheiro e quer usar um caixa eletrônico mas está escuro e você não enxerga quando insere seu cartão O cartão deve ser inserido com a parte da frente para cima e de tal modo que o início de seu nome entre primeiro a Qual é a probabilidade de se selecionar uma posição aleatória e inserirse o cartão corretamente b Qual é a probabilidade de se selecionar aleatoriamente a posição do cartão e ser a posição errada na primeira tentativa e correta na segunda c Quantas seleções aleatórias são necessárias para se ter certeza absoluta de que o cartão funcionou porque foi inserido corretamente 31 Planejamento de Experimento Testes clínicos de Nasonex envolveram um grupo que recebeu placebos e outro grupo que recebeu o tratamento com Nasonex Suponha que uma Fase 1 preliminar de um experimento esteja para ser realizada com 10 sujeitos incluindo 5 homens e cinco mulheres Se 5 dos 10 sujeitos são selecionados aleatoriamente para o grupo de tratamento ache a probabilidade de serem todos do mesmo gênero Seria um problema todos os membros do grupo de tratamento pertencerem ao mesmo gênero 32 O Pesquisador Está Trapaceando Você começa a duvidar quando um pesquisador em genética seleciona aleatoriamente 20 bebês recémnascidos e parece encontrar consistentemente 10 meninas e 10 meninos O pesquisador afirma que é comum obteremse 10 meninas e 10 meninos em tais casos a Se 20 bebês recémnascidos são selecionados aleatoriamente quantas sequências diferentes de gêneros são possíveis b De quantas maneiras diferentes 10 meninas e 10 meninos podem ser arranjados em sequência c Qual é a probabilidade de se obterem 10 meninas e 10 meninos quando nascem 20 bebês d Com base nos resultados precedentes você concorda com a explicação do pesquisador de que é comum obteremse 10 meninas e 10 meninos quando se selecionam 20 bebês aleatoriamente 33 Loteria Powerball Até o momento da escrita deste livro a loteria Powerball corre em 29 estados americanos Para ganhar o prêmio da loteria Powerball você precisa selecionar os cinco números corretos entre 1 e 55 inclusive e em uma extração separada você deve selecionar o único número correto entre 1 e 42 inclusive Ache a probabilidade de você ganhar o prêmio 34 Mega Millions Até o momento da escrita deste livro a loteria Mega Millions corre em 12 estados americanos Para ganhar o prêmio você deve selecionar os cinco números corretos entre 1 e 56 e em uma extração separada você deve selecionar o único número correto entre 1 e 46 Ache a probabilidade de você ganhar o prêmio 35 Achando o Número de Códigos de Área O repórter Paul Wiseman do USA Today descreveu as antigas regras para os códigos de áreas telefônicas de números com três dígitos escrevendo sobre códigos de área possíveis com 1 ou 0 no segundo dígito Excluídos os códigos com final 00 ou 11 reservados para ligações gratuitas números de emergência e outros usos especiais Códigos começando com 0 ou 1 também devem ser excluídos Quantos códigos de área eram possíveis segundo essas regras antigas 36 Torneio de Basquete da NCAA A cada ano os times de basquete de 64 faculdades competem no torneio NCAA A Sandboxcom oferece recentemente um prêmio de 10 milhões de dólares a quem pudésse apontar corretamente o vencedor em cada um dos jogos do torneio O presidente da companhia prometeu também que além do prêmio em dinheiro ele comeria um balde de vermes a Quantos jogos são necessários para se obter um time campeão do conjunto de 64 times b Se alguém faz adivinhações aleatórias para cada jogo do torneio ache a probabilidade de acertar o vencedor em cada jogo c Em um artigo sobre o prêmio de 10 milhões de dólares o The New York Times escreveu Mesmo um especialista em basquete de faculdades que tem 70 de chance de acertar o vencedor de cada jogo tem 1 chance em de acertar todos os jogos Complete o espaço 46 37 Achando o Número de Nomes de Variável de Computador Uma regra comum de programação de computador é que nomes de variáveis devem ter entre 1 e 8 caracteres O primeiro caractere pode ser qualquer uma das 26 letras enquanto os outros caracteres podem ser qualquer uma das 26 letras ou qualquer um dos 10 algarismos Por exemplo nomes permitidos de variáveis são A BBB e M3477K Quantos nomes de variáveis diferentes são possíveis 38 Apertos de Mão e Mesas Redondas a Cinco gerentes se encontram para uma reunião Se cada gerente cumprimenta todos os demais apenas uma vez qual é o número total de apertos de mão b Se cada um de n gerentes troca aperto de mão exatamente uma vez com os demais qual é o número total de apertos de mão c De quantas maneiras cinco gerentes podem se sentar a uma mesa redonda Suponha que se todos se movem para a direita o arranjo dos assentos é o mesmo d De quantas maneiras n gerentes podem se sentar a uma mesa redonda 39 Calculando Grandes Fatorias Muitas calculadoras ou programas de computador não podem calcular diretamente 70 ou mais Quando n é grande n pode ser aproximado por n 106 em que K n 05 log n 039908993 043429448n a Você foi convidado a visitar a assembleia legislativa de cada um dos 50 estados americanos Quantas rotas diferentes são possíveis Calcule a resposta usando a tecla fatorial de sua calculadora e também usando a aproximação apresentada aqui b O Bíró de Pesca uma vez pediu aos Laboratórios Bell que ajudassem a achar a rota mais curta para a obtenção de amostras de 300 localidades no Golfo do México Se você calcular o número de rotas possíveis quantos dígitos serão usados para escrever tal número 40 Inteligência de Computador Os computadores podem pensar De acordo com o teste Turing podese considerar que um computador está pensando se quando uma pessoa se comunica com ele essa pessoa acredita estar se comunicando com outra pessoa e não com um computador Em um experimento no Museu do Computador de Boston cada um de dez juízes se comunicava com quatro computadores e com quatro pessoas e eram solicitadas a distinguir entre eles a Suponha que o primeiro juiz não possa distinguir entre os quatro computadores e as quatro pessoas Se o juiz faz adivinhações aleatórias qual é a probabilidade de identificar corretamente os quatro computadores e as quatro pessoas b Suponha que todos os 10 juízes não consigam distinguir entre computadores e pessoas de modo que todos fazem adivinhações aleatórias Com base no resultado da parte a qual é a probabilidade de que todos os 10 juízes façam todas as adivinhações corretas Tal evento poderia nos levar a concluir que computadores não podem pensar quando de acordo com o teste Turing eles podem 41 Troco para um Real De quantas maneiras diferentes você pode trocar um real incluindo a moeda de 1 real 48 Teorema de Bayes no site da LTC Editora O site deste livro inclui uma outra seção que trata da probabilidade condicional Essa seção adicional discute aplicações do teorema de Bayes ou regra de Bayes que usamos para rever um valor de probabilidade com base em informação adicional obtida posteriormente Ver o site para discussão exemplos e exercícios que descrevem aplicações do teorema de Bayes PA é estimada com o conhecimento de probabilidade subjetiva circunstâncias relevantes Observamos que a probabilidade de um evento impossível é 0 a probabilidade de qualquer evento certo é 1 e para qualquer evento A 0 PA 1 Também discutimos o complementar do evento A denotado por A Isto é A indica que o evento A não ocorre Nas Seções 43 44 e 45 consideramos eventos compostos que são eventos que combinam dois ou mais eventos simples Associamos ou com a regra da adição e e com a regra da multiplicação PA ou B A palavra ou sugere adição e ao somarmos PA e PB temos que ter o cuidado de somar de tal maneira que cada resultado seja contado apenas uma vez PA e B A palavra e sugere multiplicação e ao multiplicarmos PA e PB temos que ter o cuidado de assegurar que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A A Seção 46 descreveu técnicas de simulação que são geralmente úteis na determinação de valores de probabilidade especialmente onde fórmulas e cálculos teóricos são extremamente difíceis A Seção 47 foi dedicada às seguintes técnicas de contagem utilizadas para se determinar o número total de resultados em problemas de probabilidade princípio fundamental da contagem regra do fatorial regra das permutações quando todos os itens são diferentes regra das permutações quando alguns dos itens são iguais a outros e regra das combinações Letramento Estatístico e Pensamento Crítico 1 Interpretando um Valor de Probabilidade Pesquisadores realizaram um estudo sobre o uso do capacete e ferimentos na cabeça entre esquiadores e snowboarders Os resultados do estudo incluíram um valor P valor de probabilidade de 0004 com base em Helmet Use and Risk of Head Injuries in Alpine Skiers and Snowboarders de Sullheim et al Journal of the American Medical Association Vol 295 Nº 8 Aquele valor de probabilidade se refere a resultados particulares do estudo Em geral o que um valor de probabilidade de 0004 nos diz 2 Para a mesma analista descrita no Exercício 1 ache a probabilidade de que ela esteja correta em cada uma das duas próximas predicões 3 Estime a probabilidade de que um show de televisão primetime selecionado aleatoriamente seja interrompido por um boletim de notícias 4 Ao ser realizado um teste clínico da eficácia de um método de seleção de gênero descobriuse que há uma probabilidade de 0342 de que os resultados possam ocorrer por acaso O método parece eficaz 5 Se PA 04 qual é o valor de PA Nos Exercícios 610 use os seguintes resultados No caso judicial Estados Unidos vs Cidade de Chicago constatouse discriminação em um exame de qualificação para o posto de Capitão dos Bombeiros Na tabela que segue o Grupo A é um grupo de minoria e o Grupo B é um grupo de maioria Aprovado Reprovado Grupo A 10 14 Grupo B 417 145 6 Se um dos sujeitos de teste é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de que seja alguém que foi aprovado no exame 7 Ache a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um dos sujeitos de teste e obterse alguém que está no Grupo B ou que foi aprovado 8 Ache a probabilidade de se selecionarem aleatoriamente dois sujeitos de teste diferentes e obteremse ambos pertencentes ao Grupo A 9 Ache a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um dos sujeitos de teste e obterse alguém do Grupo A e que foi aprovado no exame 10 Ache a probabilidade de se obter alguém que foi aprovado no exame dado que a pessoa selecionada está no Grupo A Teste Rápido do Capítulo 1 Uma analista de vantagensdesvantagens de Las Vegas pode predizer o time profissional vencedor 70 das vezes Qual é a probabilidade de que ela esteja errada em sua próxima predicão Exercícios de Revisão Capacetes e Ferimentos Nos Exercícios 110 use os dados da tabela que segue com base em dados de Helmet Use and Risk of Head Injuries in Alpine Skiers and Snowboarders de Sullheim et al Journal of the American Medical Association Vol 295 N 8 Ferimentos na Cabeça Sem Ferimentos Usava Capacete 96 656 Sem Capacete 480 2330 1 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que teve ferimento na cabeça 2 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que usava capacete 3 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que teve ferimento na cabeça ou que usava capacete 4 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que não usava capacete ou que não sofreu ferimentos 5 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que usava capacete e que sofreu ferimentos 6 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que não usava capacete e que não sofreu ferimentos 7 Capacetes e Ferimentos Se dois diferentes sujeitos do estudo são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que ambos estivessem usando capacetes 8 Capacetes e Ferimentos Se dois diferentes sujeitos do estudo são selecionados aleatoriamente ache a probabilidade de que ambos tenham sofrido ferimentos na cabeça 9 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que não usava capacete dado que sofreu ferimentos na cabeça 10 Capacetes e Ferimentos Se um dos sujeitos é selecionado aleatoriamente ache a probabilidade de ser selecionado alguém que não sofreu ferimentos dado que usava capacete 11 Probabilidade Subjetiva Use a probabilidade subjetiva para estimar a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um carro que seja preto 12 Olhos Azuis Cerca de 35 da população americana tem olhos azuis com base em estudo do Dr P Sorita Soni Indiana University a Se alguém é selecionado aleatoriamente qual é a probabilidade de que não tenha olhos azuis b Se quatro pessoas diferentes são selecionadas aleatoriamente qual é a probabilidade de que todas tenham olhos azuis c Seria não usual a seleção de quatro pessoas todas com olhos azuis Por que sim ou por que não 13 Dia Nacional da Estatística a Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente ache a probabilidade de que seu aniversário seja 18 de outubro que é o Dia Nacional da Estatística no Japão Ignore anos bissextos b Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente ache a probabilidade de que seu aniversário seja em outubro Ignore anos bissextos c Estime a probabilidade subjetiva para o evento de se escolher aleatoriamente um adulto americano e se obter alguém que saiba que 18 de outubro é o Dia Nacional da Estatística no Japão d É incomum selecionarse aleatoriamente um adulto americano e obterse alguém que saiba que 18 de outubro é o Dia Nacional da Estatística no Japão 14 Mortes por Veículos Motorizados Para um ano recente a taxa de mortes por acidentes com veículos motorizados foi relatada como 152 por 100000 pessoas a Qual é a probabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente morra neste ano em consequência de um acidente com veículo motorizado b Se duas pessoas são selecionadas aleatoriamente ache a probabilidade de que ambos morram neste ano em consequência de acidente com veículos motorizados e expresse os resultado com três dígitos significativos c Se duas pessoas são selecionadas aleatoriamente ache a probabilidade de que nenhuma delas morra neste ano em consequência de acidente com veículo motorizado e expresse o resultado com seis casas decimais 15 Pesquisa sobre Sudoku A America Online realizou uma pesquisa perguntando a seus assinantes da Internet se gostariam de participar de um torneio de Sudoku Entre os 4467 usuários da Internet que escolheram responder 40 disseram absolutamente a Qual é a probabilidade de se selecionar um dos respondentes e obterse alguém que respondeu com alguma coisa diferente de absolutamente b Com base nos resultados da pesquisa podemos concluir que entre os americanos aproximadamente 40 responderiam com absolutamente Por que sim ou por que não 16 Amostragem Composta Um laboratório de testes clínicos economiza dinheiro combinando amostras de sangue para testes A amostra tem resultado de teste positivo se pelo menos uma das pessoas estiver infectada Se a amostra combinada tem resultado de teste positivo então os testes de sangue individuais são feitos Em um teste relativo à Chlamydia amostras de sangue de 10 pessoas selecionadas aleatoriamente são combinadas Ache a probabilidade de que a amostra combinada tenha teste positivo com pelo menos uma das 10 pessoas estando infectada Com base nos dados do Centro de Controle de Doenças a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente ter Chlamydia é 000320 É provável que as amostras combinadas tenham teste positivo 17 O Entrevistador Está Mentindo Um entrevistador da Gosset Survey Company afirma que 30 eleitores foram selecionados aleatoriamente de uma população de 2800000 eleitores na cidade de Nova York 85 dos quais são Democratas e todos os 30 eram democratas O entrevistador afirma que isso poderia acontecer facilmente por acaso Ache a probabilidade de se obterem 30 Democratas quando 30 eleitores são escolhidos aleatoriamente dessa população Com base nos resultados parece que o entrevistador esteja mentindo 18 Mortalidade Com base em dados do US Center for Health Statistics a taxa de mortalidade para homens na faixa de 15 a 24 anos é 1144 por 100000 pessoas e a taxa de mortalidade para mulheres na mesma faixa etária é de 440 por 100000 pessoas a Se um homem nessa faixa etária é selecionado aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele sobreviva Expresse a resposta com seis casas decimais b Se dois homens nessa faixa etária são selecionados aleatoriamente qual é a probabilidade de que ambos sobrevivam c Se duas mulheres nessa faixa etária são selecionadas aleatoriamente qual é a probabilidade de que ambas sobrevivam d Identifique pelo menos uma razão para a discrepância entre as taxas de mortalidade para homens e mulheres 19 Loteria da Carolina do Sul No jogo de loteria da Carolina do Sul Palmeto Cash 5 ganhar o prêmio requer que você selecione os cinco números corretos entre 1 e 38 De quantas maneiras diferentes possíveis esses cinco números podem ser escolhidos Qual é a probabilidade de se ganhar o prêmio É incomum que alguém ganhe nesse jogo 49 20 Códigos de Barra Em 1 de janeiro de 2005 os códigos de barras colocados nos produtos do varejo foram mudados de modo que eles agora representam 13 dígitos em lugar de 12 Quantos produtos diferentes podem agora ser identificados com esse novo código de barras Exercícios de Revisão Cumulativa 1 Pesos de Bifes A seguir estão listados os pesos onças de bifes que constam do cardápio de um restaurante como bifes Porterhouse de 20 onças com base em dados coletados por um estudante do autor Supõese que os pesos sejam de 21 onças 59534 g pois os bifes perdem uma onça ao serem grelhados 17 20 21 18 20 20 20 18 19 19 20 19 21 20 18 20 20 19 18 19 a Ache o peso médio b Ache o peso mediano c Ache o desviopadrão dos pesos d Ache a variância dos pesos Certifiquese de incluir as unidades de medida e Com base nos resultados parece que os bifes pesem o bastante 2 Pesquisa da AOL Em uma pesquisa da America Online perguntouse aos usuários da Internet se eles desejavam viver até os 100 anos Houve 3042 respostas sim e 2184 respostas não a Qual é a porcentagem de repostas sim b Com base nos resultados da pesquisa qual é a probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma pessoa que deseje viver até os 100 anos c Qual termo é usado para esse tipo de amostragem e esse método de amostragem é adequado d O que é uma amostra aleatória simples e seria ela um tipo melhor de amostragem para tais pesquisas 3 Pesos de CocaCola A seguir estão listados os pesos gramas de Cocas regulares e de Cocas dietéticas com base no Conjunto de Dados 17 no Apêndice B Regular 372 370 370 372 371 374 Dietética 353 352 358 357 356 357 a Ache o peso médio das Cocas regulares o peso médio das Cocas dietéticas e compare os resultados As médias são aproximadamente iguais b Ache o peso mediano das Cocas regulares o peso mediano das Cocas dietéticas e compare os resultados c Ache o desviopadrão dos pesos das Cocas regulares o desviopadrão das Cocas dietéticas e compare os resultados d Ache a variância dos pesos das Cocas regulares e a variância dos pesos das Cocas dietéticas Certifiquese de incluir as unidades de medida e Com base nos resultados os pesos das Cocas regulares e das Cocas dietéticas parecem ser aproximadamente os mesmos 4 Valores Não Usuais a O nível médio de pressão sanguínea diastólica para homens adultos é 674 com desviopadrão de 116 com base no Conjunto de Dados 1 no Apêndice B Usando a regra empírica da amplitude uma pressão sanguínea diastólica de 38 seria considerada incomum Explique b Um estudante que raramente comparece às aulas e não faz os deveres de casa faz um difícil teste do tipo verdadeirofalso com 10 questões Ele diz ao professor que fez adivinhações aleatórias para todas as questãoes mas consegue um escore perfeito Qual é a probabilidade de ele ter todas as 10 questões corretas se realmente fez adivinhações aleatórias É incomum obterse um escore perfeito em tal teste supondo que todas as respostas sejam adivinhações aleatórias 5 Amostragem da Cor dos Olhos Com base no estudo do Dr Sorita Soni da Indiana University sabemos que as cores dos olhos nos Estados Unidos são distribuídas da seguinte maneira 40 marrons 35 azuis 12 verdes 7 cinzas 6 castanhoclaro a Um professor de estatística coleta dados sobre cor de olhos de seus estudantes Qual é o nome para esse tipo de amostragem b Identifique um fator que poderia tornar essa amostra particular viesada e não representativa da população geral de pessoas dos Estados Unidos c Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente qual é a probabilidade de que essa pessoa tenha olhos marrons ou azuis d Se duas pessoas são selecionadas aleatoriamente qual é a probabilidade de que pelo menos uma delas tenha olhos marrons 6 Encontrando o Número de Melodias Possíveis No Directory of Tunes and Musical Themes de Denys Parsons melodias para mais de 14000 canções são listadas de acordo com o seguinte esquema A primeira nota de toda canção é representada por um asterisco e as notas sucessivas são representadas por R para repita a nota anterior S para uma nota que sobe ou D para uma nota que desce A Quinta Sinfonia de Beethoven começa com RRD As melodias clássicas são representadas através das 16 primeiras notas Com esse esquema quantas melodias clássicas diferentes são possíveis 50 Capítulo 4 Projeto de Tecnologia Usando Simulações para Probabilidades Os estudantes em geral acham que o tópico de probabilidade é o tópico individual mais difícil em um curso introdutório de estatística Alguns problemas de probabilidade podem parecer simples enquanto suas soluções são incrivelmente complexas Neste capítulo identificamos várias regras básicas e importantes comumente usadas para o cálculo de probabilidades mas neste projeto usamos uma abordagem bem diferente que pode superar muita da dificuldade encontrada com a aplicação de regras formais Essa abordagem alternativa consiste no desenvolvimento de uma simulação que é um processo que se comporta da mesma maneira que o procedimento de modo que são produzidos resultados semelhantes Veja a Seção 46 Veja o Exemplo 3 na Seção 46 em que consideramos a probabilidade de se obter uma sequência de pelo menos 6 caras ou pelo menos 6 coroas quando se joga uma moeda 200 vezes A solução para o Exemplo 3 não forneceu um valor de probabilidade de modo que o objetivo deste exercício é obter tal valor Realize uma simulação gerando 200 números com cada um sendo 0 ou 1 selecionados de tal modo que eles sejam equiprováveis Visualmente examine a lista para determinar de há uma sequência de pelo menos 6 caras ou 6 coroas simuladas Repita esse experimento o suficiente para determinar a probabilidade de modo que o valor da primeira casa decimal seja conhecido Se possível combine resultados com os de colegas para obter um valor mais preciso da probabilidade Escreva um breve resumo dos resultados incluindo o número de tentativas e o número de sucessos PROJETO COM APPLET Realize o Projeto de Tecnologia precedente usando um applet incluído no site da Editora LTC Abra a pasta Applets e prossiga para dar um clique duplo em Start Selecione o item do menu Simulating the probability of a head with a fair coin Simulando a probabilidade de cara com uma moeda honesta Selecione n 1000 Clique em Flip O Projeto de Tecnologia exige uma simulação de 200 jogadas da moeda de modo que use apenas os primeiros 200 resultados listados na coluna com o cabeçalho de Flip Como no Projeto de Tecnologia visualmente examine a lista para determinar se há uma sequência de pelo menos 6 caras simuladas ou coroas entre os 200 primeiros resultados Repita o experimento o suficiente para determinar a probabilidade de modo que o valor da primeira casa decimal seja conhecido PROJETO NA INTERNET Calculando Probabilidades Acesse o site wwwltceditoracombr Encontrar probabilidades quando se joga um dado é fácil Com um dado há seis resultados possíveis de modo que cada resultado por exemplo 2 tem probabilidade 16 Para um jogo de cartas os cálculos são mais complicados mas ainda são factíveis Mas o que se pode dizer de um jogo mais sofisticado como o jogo de tabuleiro Monopólio Qual é a probabilidade de se cair em um espaço particular do tabuleiro A probabilidade depende do espaço que sua peça ocupa naquele momento da jogada do dado da extração das cartas bem como de outros fatores Considere agora um exemplo mais realista tal como a probabilidade de se ter um acidente de automóvel O número de fatores envolvidos é muito grande até mesmo para se considerar mas ainda assim essas probabilidades são citadas por exemplo por companhias de seguro O Projeto na Internet para esse capítulo considera métodos para o cálculo de probabilidades em situações complicadas Você examinará as probabilidades subjacentes a um jogo bem conhecido bem como as de um jogo popular de shows de televisão Você estimará também as probabilidades relacionadas a acidentes e à saúde usando dados empíricos DOS DADOS À DECISÃO Pensamento Crítico Como médico o que você diria a uma mulher depois de ela ter feito o teste de gravidez É importante para uma mulher saber se está grávida para que possa interromper quaisquer atividades medicamentos exposição a tóxicos no trabalho consumo de fumo ou bebida que possam ser potencialmente prejudiciais ao bebê Os testes de gravidez como quase todos os testes de saúde não dão resultados 100 precisos Em testes clínicos de um exame de sangue para gravidez os resultados na tabela a seguir foram obtidos para o exame de sangue do laboratório Abbot com base em dados de Specificity and Detection Limit of Ten Pregnancy Tests de Tiitinen e Stenman Scandinavian Journal of Clinical Laboratory Investigation Vol 35 Suplemento 216 Outros testes são mais confiáveis do que o teste cujos resultados são apresentados nesta tabela Analisando os Resultados 1 Com base nos resultados mostrados na tabela qual é a probabilidade de uma mulher estar grávida se o teste indicar resultado negativo Se você fosse um médico e tivesse uma paciente com teste negativo que conselho você lhe daria 2 Com base nos resultados mostrados na tabela qual é a probabilidade de um falsopositivo Isto é qual é a probabilidade de se obter um resultado positivo se a mulher realmente não está grávida Se você fosse um médico e tivesse uma paciente com teste positivo que conselho você lhe daria 3 Ache os valores de cada um dos seguintes e explique a diferença entre os dois eventos Descreva o conceito de confusão do inverso nesse contexto Pgravidez resultado positivo no teste Presultado positivo no teste gravidez Resultados de Teste de Gravidez Resultado Positivo de Teste gravidez é indicada Resultado Negativo de Teste gravidez não é indicada Pessoa está grávida 80 5 Pessoa não está grávida 3 11 163 164 Capítulo 4 Atividades Cooperativas em Grupo 1 Atividade em classe Em grupos de três ou quatro use a jogada da moeda para desenvolver uma simulação que rivalize com o reino que se sustenta por esse decreto Depois que uma mãe tiver um filho homem ela não terá mais qualquer outra criança Se o decreto for seguido a proporção de meninas aumentará 2 Atividade em classe Em grupos de três ou quatro use tachinhas para estimar a probabilidade de que ao se lançar uma tachinha ela cairá com a ponta para cima Quantos lançamentos são necessários para se obter um resultado que pareça razoavelmente preciso quando arredondado para a primeira casa decimal 3 Atividade em classe Em grupos de três ou quatro use os doces Hersheys Kisses para estimar a probabilidade de que quando caem eles ficam com a parte achatada no chão Quantas tentativas são necessárias para se obter um resultado que pareça razoavelmente preciso quando arredondado para a primeira casa decimal 4 Atividade extraclasse Biólogos marinhos frequentemente usam o método de capturarecaptura como uma forma de estimar o tamanho de uma população tal como o número de peixes em um lago Esse método consiste em capturar uma amostra da população marcar cada elemento da amostra e a seguir devolvêlos à população Uma segunda amostra é posteriormente selecionada e os membros marcados são contados assim como o tamanho total da amostra Esses resultados podem ser usados para se estimar o tamanho da população Em vez de capturar peixes reais simule um procedimento usando coleções uniformes de contas coloridas balas MM ou fichas de arquivo Comece com uma grande coleção desses itens Selecione uma amostra de 50 e use um marcador de texto para marcar cada item Reponha os itens marcados misture bem a população e a seguir sorteie uma segunda amostra e prossiga para estimar o tamanho da população Compare o resultado com o tamanho efetivo da população obtido pela contagem efetiva de todos os itens 5 Atividade em classe Em grupos de dois veja o Exercício 17 da Seção 46 para uma descrição do problema de Monty Hall Simule o concurso e registre os resultados para manter e mudar a escolha original Determine então qual das duas estratégias é melhor 6 Atividade extraclasse Em grupos de três ou quatro use estimativas subjetivas para a probabilidade de se selecionar aleatoriamente um carro e obter cada uma destas cores preta branca azul vermelha preta outra Delineie então um plano de amostragem para obter as cores dos carros através de observação Execute o planejamento amostral e obtenha as probabilidades revisadas com base nos resultados observados Escreva um breve relatório dos resultados StatCrunch PROJETO DO CAPÍTULO Usando a Simulação para Encontrar Probabilidade A Seção 46 neste capítulo descreve métodos de simulação para a determinação de probabilidades O Exemplo 2 na Seção 46 descreve este clássico problema dos aniversários Ache a probabilidade de que em um grupo de 25 pessoas selecionadas aleatoriamente pelo menos 2 tenham o mesmo dia de aniversário O Exemplo 2 aponta que em vez de gerar datas de aniversários reais uma simulação pode ser realizada pela geração aleatória de números inteiros entre 1 e 365 inclusive A geração aleatória do número 20 é equivalente à seleção aleatória do dia de aniversário 20 de janeiro que é o 20º dia do ano O Exercício 31 na Seção 45 trata desse clássico problema Consideraremos esta variação do problema clássico do dia de aniversário Ache a probabilidade de que de 30 pessoas selecionadas aleatoriamente pelo menos 2 tenham o mesmo dia de aniversário Em vez de entrevistarmos pessoas selecionadas aleatoriamente desenvolveremos uma simulação que gere aleatoriamente dias de aniversário que identificaremos como números inteiros entre 1 e 365 inclusive Como devemos identificar quando o mesmo dia de aniversário ocorre não há necessidade de converter os números gerados em dias de aniversário reais simplesmente comparamos os números Procedimento do StatCrunch para a Simulação dos Dias de Aniversário 1 Faça sua assinatura no StatCrunch clique em Open StatCrunch para obter a planilha com itens de menu disponíveis no topo 2 Clique em Data clique no item do menu Simulate data 3 Agora você verá outra janela que se abre Role para baixo e clique em Uniform Uma distribuição uniforme será discutida na Seção 62 mas por enquanto simplesmente notamos que ela tem a propriedadechave de que os diferentes valores possíveis são todos equiprováveis Estamos supondo que os 365 dias diferentes possíveis são todos igualmente prováveis Essa hipótese não é exatamente correta mas nos dará bons resultados aqui 4 Você deve agora ver uma nova janela rotulada Uniform samples Como desejamos simular 30 aniversários introduza 30 para o número de linhas Introduza 1 para o número de colunas Desejamos números entre 1 e 365 assim introduza 1 na caixa rotulada a e introduza 365 na caixa rotulada b Selecione também Use single dynamic seed de modo que todos os alunos obtenham resultados diferentes 5 Clique em Simulate e a planilha mostrará 30 números na primeira coluna 6 Os números gerados aleatoriamente terão cinco casas decimais de modo que 17233247 é um resultado típico Podemos ou ignorar a parte decimal desses números ou podemos transformar os dados Para transformar os dados clique em Data e selecione Transform data Na caixa Y selecione a coluna que contém os dados e selecione a função floorY onde floor arredonda o número para baixo para um valor inteiro clique em Set Expression e então clique em Compute 7 Se ordenamos os 30 dias de aniversários será fácil examinar a coluna e ver se há dois que sejam iguais Para ordenar os valores na coluna 2 clique em Data clique em Sort columns e prossiga para selecionar a coluna a ser ordenada em seguida clique em Sort columns embaixo O StatCrunch criará então uma nova coluna que consiste nos dias de aniversário ordenados Agora é fácil olhar essa terceira coluna e ver se há dois iguais Nota Se as partes decimais dos números não forem removidas considere dois dias de aniversários como iguais se as partes inteiras dos números forem iguais Por exemplo considere 17233247 e 17299885 como o mesmo dia de aniversário A seguir mostramse as cinco primeiras linhas de uma planilha típica do StatCrunch A primeira coluna contém números entre 1 e 365 gerados aleatoriamente a segunda coluna inclui os mesmos números transformados de modo que as partes decimais são eliminadas e a terceira coluna inclui os números ordenados Projeto Use o procedimento acima para simular 30 dias de aniversário e determine se há dois iguais Repita esse procedimento o suficiente para estimar a probabilidade de se obter pelo menos 2 pessoas com o mesmo dia de aniversário quando se selecionam aleatoriamente 30 pessoas Faça bastantes simulações para se sentir seguro de que a primeira casa decimal da probabilidade está correta Sugestão A repetição do procedimento anterior pode ser agilizada gerandose colunas múltiplas Passo 4 anterior em vez de uma coluna de cada vez Row Uniform1 floorUniform SortfloorUni 1 32650253 326 33 2 16176106 161 54 3 1120378 112 78 4 2744181 274 82 5 54281693 54 83 165 51 Revisão e Visão Geral 52 Variáveis Aleatórias 53 Distribuição de Probabilidade Binomial 54 Média Variância e DesvioPadrão para a Distribuição Binomial 55 Distribuição de Probabilidade de Poisson 5 Distribuições Discretas de Probabilidade