Lista de Exercícios Econometria - Regressão Linear e MQO

Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Economia Administração e Contabilidade FEAC Curso de Mestrado em Economia Aplicada CMEA Disciplina Econometria Prof Anderson Moreira Aristides dos Santos Primeira Lista de Exercícios de Econometria Obs Esta lista corresponde a um material didático de apoio sem fins de autoria portanto muitas das questões são retiradas dos principais livros ou de outros materiais de Econometria 1 Um economista deseja verificar se a taxa de crescimento econômico de um país é afetada pelo nível de liberdades individuais e pelo grau de corrupção do país através da seguinte regressão contendo um termo constante Yi 1 2Li 3Ci ui onde Y é a taxa de crescimento do PIB L o nível de liberdades individuais e C o grau de corrupção do país i A variável L pode assumir os valores 1 nível elevado de liberdades 0 nível médio de liberdades ou 1 nível baixo de liberdades Similarmente a variável C pode assumir os valores 1 baixo grau de corrupção 0 grau de corrupção médio ou 1 elevado grau de corrupção Para uma amostra de 10 países observados ao longo de 1999 o economista obtém os seguintes dados País Y L C Dinamarca 6 1 1 México 2 1 1 Chile 3 0 1 Colômbia 1 0 1 Rússia 2 0 0 Argentina 2 0 0 Brasil 1 0 0 Grécia 1 0 0 Egito 0 1 0 Indonésia 0 1 0 a Usando seus conhecimentos de álgebra linear escreva as equações normais e calcule o vetor de coeficientes de MQO considere uma estimação com dados contínuos b Interprete os coeficientes estimados c Calcule as variâncias dos coeficientes estimados Tais coeficientes são estatisticamente significativos a 10 d Calcule o R2 da regressão 2 Dados sobre um problema com três variáveis conduziram aos seguintes resultados XX 33 0 0 0 40 20 0 20 60 𝑿𝒚 132 24 92 𝑆𝑄𝑇 150 a Qual a dimensão da amostra b Calcule a equação da regressão c Estime o erro padrão de b2 e teste a hipótese de que β2 seja igual a zero d Interprete os parâmetros estimados 3 Considere os seguintes dados y x1 x2 x3 10 1 0 0 12 1 1 0 30 1 2 1 40 1 3 1 50 1 4 1 y é a variável dependente e x2 e x3 são variáveis independentes a Faça e interprete a estimação dos parâmetros por MQO b Faça o teste de significância para cada parâmetro c Calcule e interprete o R2 e o R2 ajustado d Calcule a matriz de projeção P e a matriz M e mostre suas propriedades e Indique como o teorema de FrischWaugh poderia ser demonstrado com os dados dessa questão 4 Suponha que ao excluirmos uma variável explicativa de certa regressão o R2 ajustado aumente mas o R2 diminua Você diria que tal variável deve ou não ser excluída da regressão 5 Discuta e mostre que o estimador do MQO é o MELNV 6 Mostre o processo para encontrar o vetor dos estimadores com o método MQO 7 Mostre como podemos encontrar a matriz de variância e covariância dos estimadores 8 Discuta e mostre a consistência dos estimadores do MQO 9 Sobre a matriz M mostre que a eMu b MM c MX0 10 Um economista estima uma função de produção para a indústria de minerais metálicos do Brasil i i i i u K L Y ˆ 0 3756ln 0 6022ln 11755 ln 00851 01254 03257 n 27 ee 08491 142139 ˆ Y 2 Y onde Y é o valor adicionado por estabelecimento em milhares de reais L é uma medida do insumo trabalho empregado e K representa o valor do estoque de capital físico utilizado também em milhares de reais Os valores entre parênteses são os desvios padrões estimados a Interprete os coeficientes estimados e analise sua significância estatística b Como mudariam os coeficientes estimados se Y passasse a ser medido em milhões de reais c Teste ao nível de 5 de significância a hipótese de que os coeficientes associados à mãodeobra e ao capital são conjuntamente iguais a zero d Calcule um intervalo de confiança a 95 para o efeito sobre Y de um aumento de 1 no estoque de capital Usando os mesmos dados acima o economista estima uma nova equação 0 0753 0 1316 ˆ ln ln 0 6376ln 1070 ln i i i i i u K K L Y n 27 0 8536 ˆ 2 iu 142090 ˆ Y 2 Y e Qual restrição o economista impôs ao modelo ao estimar tal equação Qual é o significado econômico dessa restrição Mostre o passo a passo para tua resposta f Faça um teste dessa restrição g Você acredita que a hipótese de que o erro tem média condicional nula é razoável nos modelos acima considere outras variáveis possivelmente relevantes para explicar Y por exemplo investimentos em PD qualificação da mãodeobra subsídios governamentais 11 Considere que lny logaritmo natural da pobreza lnx2 logaritmo natural da renda familiar per capita e lnx3 logaritmo natural do índice de Gini VarCov é a matriz de variância e covariância dos coeficientes estimados e b é o vetor coluna com os parâmetros estimados Os cálculos foram estimados por MQO 𝑉𝑎𝑟 𝐶𝑜𝑣 001838369 000305338 000055547 000250681 00000045663 000393353 𝒃 92494 090347 07719 n102 municípios de Alagoas no ano de 2010 a Interprete os coeficientes estimados b Mostre como encontrar a fórmula do teste t para soma dos parâmetros estimados e teste a hipótese que B2B30 12 Um pesquisador suspeita que a relação entre renda e taxa de mortalidade infantil TMI é não linear Dessa forma ele considera como base o seguinte modelo econométrico 𝑇𝑀𝐼𝑖 𝛽1 𝛽2𝑎𝑛𝑎𝑙𝑓𝑖 𝛽3𝑙𝑛𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 𝑢𝑖 Onde analf é a taxa de analfabetismo das pessoas de 15 anos ou mais a Explique a forma funcional escolhida pelo pesquisador b Interprete os coeficientes estimados c Faça o teste de significância individual d Faça o teste global de significância do modelo 13 ANPEC2006 O método dos Mínimos Quadrados Ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo cujo objetivo é explicar as variações de renda entre os 526 indivíduos de uma amostra aleatória lnrenda0362 0094 educ 0014 exper 0178 sexo 0010 exper sexo e 0128 0008 0002 0058 0002 R20368 n526 Em que sexo é uma variável dicotômica valor 1 se for mulher e 0 caso contrário educ é o número de anos de escolaridade entre 0 e 17 exper são os anos de experiência entre 0 e 40 e e é a estimativa do erro Os números entre parênteses são os erros padrões das estimativas robustos à heterocedasticidade Com base nos resultados é correto afirmar que 0 Ao nível de significância de 5 o efeito de um ano a mais de experiência profissional para indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres 1 Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade 1 ano adicional de estudo acarreta em um aumento da renda de aproximadamente 9 2 O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1 menor do que para os homens 3 Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são heterocedástico 4 Se a um nível de significância de 5 o valor crítico F para a regressão for 237 os coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero 14 ANPEC2010 Considere as seguintes afirmações referentes ao modelo de regressão linear clássico com regressores estocásticos 𝑦𝑖 𝛽0 𝛽1𝑥1𝑖 𝛽2𝑥2𝑖 𝑒𝑖 i1n Eex1 x20 Varex1 x2σ2 0 Os estimadores de MQO dos parâmetros são eficientes dentro da classe de estimadores lineares mesmo se os erros da regressão não forem normalmente distribuídos 1 Se a hipótese de homecedasticidade for violada os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários dos betas serão viesados 2 A soma do y e do y estimado são iguais 15 ANPEC 2010 Considere a regressão yXβ e Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho 4 e que 𝐸𝑒𝑒 𝜎2 2 1 0 0 1 6 0 0 0 0 3 1 0 0 1 4 x 1 1 1 1 y 0 7 5 0 Compute a estimativa eficiente de 𝛽 16 As muito feias que me perdoem mas beleza é fundamental disse certa vez Vinicius de Moraes Com o objetivo de verificar se as pessoas mais bonitas obtém benefícios econômicos por sua beleza o que indiretamente corroboraria a frase de Vinicius DHamermesh e JBiddle Beauty and the Labor Market AER 845 1994 estimaram a partir de dados da década de 1970 para os EUA as seguintes equações desviospadrão em parênteses Para amostra de homens u x abaixo acima sal ˆ 0164 0 016 ln 0046 0033 1 2 R 040 N 700 Para amostra de mulheres v x abaixo acima sal ˆ 0124 0 039 ln 0066 0048 2 2 R 033 N 409 onde sal é o salário do indivíduo em US acima e abaixo são variáveis dummy que assumem valor 1 se a beleza do indivíduo foi classificada respectivamente acima ou abaixo da média pelo entrevistador e x é um vetor de variáveis explicativas adicionais que incluem experiência profissional em nível e ao quadrado educação raça estado civil tamanho da firma e setor de atividade dentre outras Note que a beleza de cada indivíduo foi classificada com base em apenas 3 categorias acima da média pessoas bonitas média comuns e abaixo da média feias a De acordo com os coeficientes estimados quais são os diferenciais estimados de salários entre homens bonitos e feios E entre mulheres bonitas e feias b Os coeficientes estimados são significativos a algum nível de significância convencional O que isso sugere acerca da hipótese de que a beleza proporciona vantagens econômicas no mercado de trabalho c As regressões acima permitem testar a hipótese de que o efeito da educação sobre o salário é maior para pessoas bonitas Caso positivo diga como realizar o teste Caso negativo sugira uma especificação alternativa que permita testar tal hipótese d Qual deve ter sido a motivação para a inclusão nas regressões acima da experiência profissional ao quadrado como variável explicativa no vetor x 17 Demonstre que se i i u y y ˆ então SQT SQE SQR Sabendo que 18 Estimouse uma regressão para verificar a hipótese da Curva de Kuznets que propõe uma relação de U invertido para a relação renda e desigualdade de renda Considerouse como a variável dependente o L de Theil A renda o log da renda percapita municipal e Pop o log da população municipal rural foram utilizadas como variáveis independentes Os resultados obtidos foram 0 0012 2 0 0855 0 1066 0 0316 0 0043 01268Re 0 3082Re 0 2942 Pop nda nda L i i i R2 009 n 231 a Interprete os coeficientes estimados b Calcule o teste F de significância global c Quais coeficientes são significativos d Quais as restrições nas derivadas para que uma função tenha o formato de U invertido 19 Um economista deseja estimar para a população mundial o grau de aversão ao risco de contrair o vírus da AIDS Para tanto ele estima a seguinte regressão a partir de dados da ONU para uma amostra de 27 países u conhec cam ˆ 0 50 46 8 022 1611 Onde cam é a proporção de homens entre 15 e 24 anos que usaram camisinha na última relação sexual de alto risco e conhec é a proporção de homens entre 15 e 24 anos com conhecimento adequado das formas de transmissão do vírus HIV e que sabem que pessoas aparentemente saudáveis podem transmitir o vírus Essas variáveis assumem valores entre 0 e 100 Os valores entre parênteses são os desviospadrão estimados Segundo o economista a população mundial seria neutra ao risco de contrair o vírus HIV se o aumento do nível de conhecimento sobre os riscos de contaminação não afetasse a probabilidade da adoção de mecanismos de prevenção como a camisinha Caso tal probabilidade se tornasse maior com o aumento do conhecimento sobre o vírus a população poderia ser considerada avessa ao risco a Interprete os coeficientes estimados O que tais coeficientes sugerem acerca do grau de aversão ao risco de contrair o vírus HIV b Como mudariam os coeficientes estimados se ambas as variáveis cam e conhec passassem a ser medidas entre 0 e 1 de modo que por exemplo uma proporção de 50 de homens que usaram a camisinha passasse a ser representada pelo valor 05 e não mais por 50 c Considere as seguintes variáveis contidas no erro dentre milhares de outras I nível de educação II PIB per capita III proporção de domicílios com acesso à internet Você acredita que a presença dessas variáveis no erro possa estar violando a hipótese média condicional nula do erro Justifique d Teste ao nível de 5 de significância a hipótese de que a população mundial é neutra ao risco de contrair o vírus HIV e Teste ao nível de 5 de significância a hipótese de que o parâmetro associado à variável conhec é igual a 1 O que o resultado desse teste sugere acerca do grau de aversão ao risco de contrair o vírus HIV 20 Suponha um modelo econométrico para explicar o consumo C de famílias de uma região através de três variáveis renda R poupança total P e posse do imóvel em que habita D As variáveis C R e P são medidas em unidades monetárias A variável dummy assume valor 1 se a família e dona do imóvel em que habita e zero caso contrário Considerando uma regressão com a ordem das variáveis R P e D o economista encontrou os seguintes resultados com 14 famílias b 28 2 1 4 𝑿𝑿𝟏 114 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 s213 a Teste se não há diferença entre os efeitos da renda e da poupança sobre o consumo b Teste se o fato de a família ser dona do imóvel em que habita não influencia em nada o consumo c Realize um teste conjunto dos itens anteriores 21 Os dados abaixo referemse a um modelo de regressão linear estimado 𝒃 1 1 2 𝑿𝑿𝟏 1103 0 0 0 110 0 0 0 110 ee2700 O modelo com intercepto explica o investimento agregado de uma economia em função da taxa de juros real x2 e um índice de utilização da capacidade instalada x3 Teste a hipótese conjunta de que o intercepto é igual a zero e os coeficientes angulares se anulam mutuamente 22 Um economista deseja estimar um modelo em que o salário do indivíduo depende da educação e da experiência profissional modelo com constante Considere a ordem dos parâmetros constante educação e experiência Ele dispõe dos seguintes dados 𝑿𝑿𝟏 1100 0 0 0 125 0 0 0 1100 𝑿𝒚 100 100 500 ee4850 a Calcule os coeficientes estimados por MQO e teste sua significância b Mostre que a hipótese nula formulada pelo economista pode ser representada na forma Rβq e teste a hipótese 23 Um economista estima a seguinte equação i i i i u EDUC EDUC Y ˆ 18 0 140 9 7 466 12 2 252 75 0 N 91 ˆ 2 132455 0 iu SQT 715973 onde Y é a renda per capita em reais e EDUC é o nível médio de escolaridade da população em anos de estudo Os valores entre parênteses são os desvios padrões estimados a Como seria realizado o teste de White para heterocedasticidade no modelo acima Para que valores da estatísticaF do teste se poderia concluir pela presença de heterocedasticidade b Suponha que a presença de heterocedasticidade tenha sido detectada através do teste de White e que o economista acredite que a variância dos erros aumente linearmente com EDUC isto é varui educi s2 educi Qual seria o estimador BLUE nesse caso 24 Um economista deseja investigar para empresas brasileiras que possuem ações na Bovespa a relação entre dividendos pagos por ação e o lucro líquido da empresa Considere que os dados foram obtidos no ano de 2002 através de uma amostra aleatória simples das empresas que negociaram ações na Bovespa Suponha que você aluno a de Econometria seja oa assistente de pesquisa do economista O economista antes de contratálo a estimou a seguinte regressão por Mínimos Quadrados Ordinários MQO di 0 1lucroi Xi ui onde di são os dividendos pagos por ação da empresa i lucroi é o lucro líquido da empresa i X é um vetor formado por outras variáveis explicativas ui é o erro e b0 b1 e são parâmetros a Explique porque dada a natureza das variáveis sendo investigadas seria razoável esperar que a regressão acima sofresse de heteroscedasticidade b Quais seriam as conseqüências da presença de heterocedasticidade para os resultados da regressão efetuada pelo economista c Um colega seu também estagiário sugere que o teste de significância da variável lucro seja realizado com base na variância robusta do estimador de MQO calculada pelo procedimento de White Você que tem uma formação econométrica mais sofisticada decide usar Mínimos Quadrados Ponderados MQP e após investigação minuciosa dos dados chega à seguinte relação funcional para heterocedasticidade Varui lucroi Xi s2lucroi s2 0 Descreva cuidadosamente como você estimaria os parâmetros do modelo por MQP e testaria a hipótese de que a variável lucro tem um efeito significativo na variável dividendo d Por que a sua sugestão estimar por MQP poderia ser considerada um procedimento melhor do que a alternativa sugerida pelo seu colega estimar por MQO usando a variância robusta Sob que condições o seu procedimento poderia levar a resultados menos confiáveis do que o procedimento proposto pelo colega 25 Diga se a seguinte a frase é verdadeira ou falsa justificando a sua resposta Ao contrário dos anos 70 atualmente a correção de heterocedasticidade em um modelo de regressão se dá pelo uso de MQO mas com uma matriz de variânciacovariância dos parâmetros apropriada ao invés da estimação por MQG 26 Considerando os dados da questão 12 um pesquisador resolveu verificar se seu modelo apresentava o problema de heterocedasticidade Para tanto ele realizou o teste de Breusch Pagan a Descreva os passos do teste Considere que o pesquisador encontrou um R2 da regressão auxiliar de 01426 realize o teste supracitado b Considere que o pesquisador acredita que a variância do erro tem a fórmula a seguir Indique como ele poderia estimar o novo modelo e faça uma comparação teórica com os resultados obtidos pelo MQO 𝐸𝑢𝑖 2 𝜎2𝑙𝑛𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 2 c Agora suponha que o pesquisador não conhece a forma do desvio padrão do erro heterocedástico assim ele estima o modelo com erros padrão robustos ver saída do stata abaixo Faça uma comparação com o modelo não robusto 27 Considere o exercício número 10 e indique como o pesquisador poderia testar heterocedasticidade através do teste de White Posteriormente dado um R2 da regressão auxiliar de 02713 realize esse teste 28 Faça uma discussão das hipóteses do Modelo Clássico de Regressão Linear 29 ANPEC2017 Considere o modelo de regressão linear 𝑦𝑖 𝛽0 𝛽1𝑥1𝑖 𝛽2𝑥2𝑖 𝑢𝑖 e i12N em que 𝐸 𝑢𝑖𝑥1𝑖𝑥2𝑖 0 A hipótese 𝐸 𝑢𝑖𝑥1𝑖𝑥2𝑖 não é necessária para que o estimador de MQO de 𝛽1 seja consistente cons 4748262 1616601 2937 0000 4431345 5065179 analf 3488335 0129829 2687 0000 323382 3742851 lnrenda 5571095 2349897 2371 0000 6031766 5110423 tmi Coef Std Err t Pt 95 Conf Interval Robust Root MSE 38045 Rsquared 07159 Prob F 00000 F2 5563 505042 Linear regression Number of obs 5566 reg tmi lnrenda analf robust 1 Se 𝑉𝑎𝑟𝑢𝑖𝑥1𝑖𝑥2𝑖 𝑥1𝑖𝜎2 o estimador de MQO de 𝛽1 é tendencioso 2 Suponha que os parâmetros tenham sido estimados por MQO Se 𝑉𝑎𝑟𝑢𝑖𝑥1𝑖𝑥2𝑖 𝜎2𝑥1𝑖 a estatística t não é válida para testar a significância dos parâmetros do modelo 30 ANPEC2017 levemente modificada Considere o modelo de regressão linear simples 𝑦𝑖 𝛽1 𝛽2𝑥2𝑖 𝑢𝑖 Para uma amostra de 10 observações são encontrados os seguintes resultados x11 𝑦𝒚𝒙𝟏 4000 𝒙𝟐𝒙𝟐 15 𝒚𝒙𝟐 500 𝑥2𝒙𝟐𝒙𝟏 10 Calcule o vetor coluna b utilizando o método MQO 31 Suponha que um pesquisador queira analisar o impacto da renda sobre a saúde do indivíduo com dados de corte transversal crosssection utilizando uma base contendo os municípios do Brasil Entre diversos controles ele resolve incluir variáveis binárias dummies para os estados do Brasil Mostre e explique como ficaria o modelo econométrico indicando quantas dummies o pesquisador deve adicionar ao modelo e o sentido teórico dessas variáveis 32 Um pesquisador deseja encontrar o impacto do saneamento básico porcentagem da população com acesso adequado à água esgoto e coleta de lixo sobre a taxa de mortalidade infantil utilizando dados em painel dos estados do Brasil no período de 20012010 O resultado do modelo encontrase abaixo o pesquisador utilizou como controle a taxa de analfabetismo e o logaritmo natural da renda domiciliar per capita e um modelo de efeitos fixos com o uso de variáveis dummies Interprete os parâmetros do modelo e explique a importância da adição das dummies 33 ANPEC 2005 É dada a seguinte função de produção para determinada indústria ln𝑦𝑖 𝛽0 𝛽1 ln𝐿𝑖 𝛽2 ln𝐾𝑖 𝑢𝑖 Em que y é o valor adicionado por firma em reais L é o trabalho empregado K é o valor do capital em reais e u é o termo aleatório Uma amostra aleatória de 27 observações leva às seguintes estimativas ln𝑦𝑖 11755 06022 ln𝐿𝑖 03856 ln𝐾𝑖 𝑢𝑖 𝐮𝐮 084 R2076 1 A nível de 5 os coeficientes associados ao trabalho e ao capital são conjuntamente iguais a zero cons 7125508 1091304 653 0000 4975751 9275265 27 5273632 9788637 054 0591 1400898 2455625 26 1420827 2947098 482 0000 8402786 2001375 25 3516766 1721718 204 0042 1251568 6908375 24 6713749 158007 425 0000 3601172 9826325 23 7461614 171067 436 0000 409177 1083146 22 7559995 1320282 057 0567 184482 3356819 21 2793493 1288598 217 0031 2550863 53319 20 4186728 9420764 444 0000 6042522 2330934 19 1548836 251609 616 0000 1053192 204448 18 5481064 1678798 326 0001 2174005 8788124 17 9877761 1130538 874 0000 121048 7650717 16 3815948 136549 279 0006 6505823 1126072 15 3736592 1442626 259 0010 6578416 8947666 14 2961861 1254608 236 0019 490412 5433309 13 5181465 1085276 477 0000 3043582 7319347 12 1553243 1112944 140 0164 6391428 3745629 11 1042902 2490427 419 0000 5523136 1533491 10 7743926 1011961 765 0000 9737386 5750467 9 295241 1177059 251 0013 6337238 5271097 8 4155884 2002727 208 0039 2107164 8101052 7 1755528 2592201 677 0000 1244891 2266165 6 4991998 1148789 435 0000 7254995 2729001 5 1438199 1507518 010 0924 2825837 3113476 4 824505 1650734 499 0000 4993272 1149683 3 6091697 1542243 395 0000 3053636 9129758 2 1275291 1309198 974 0000 153319 1017392 id lnrenda 9046182 15133 598 0000 1202723 6065135 analfabetismo 9235566 1276535 723 0000 6720924 1175021 saneamento 1655122 0431631 383 0000 2505391 0804854 tmi Coef Std Err t Pt 95 Conf Interval Total 103480745 269 384686786 Root MSE 20197 Adj Rsquared 08940 Residual 978987425 240 407911427 Rsquared 09054 Model 936908711 29 323071969 Prob F 00000 F 29 240 7920 Source SS df MS Number of obs 270 2 Se o desvio padrão do estimador de 𝛽2 for 00854 o intervalo de confiança a 95 para o efeito sobre Y de um aumento de 1 no estoque de capital será 095 x 0385600854 3 Os valores permitem concluir que para aquela indústria a produtividade marginal do trabalho é menor que a produtividade média do mesmo fator 4 Qualquer outra forma funcional que leve a um R2 maior que 076 será preferível à utilizada 34 Mostre que a variância do erro gerada pelo MQG é constante 35 Faça a questão 1 do capítulo 5 do Greene 2012 36 Faça questão 1 do capítulo 9 do Greene 2012 37 ANPEC Q13 2015 O governo gostaria de estimar o efeito do Programa Saúde da Família sobre a taxa de internação por difteria das crianças entre 0 e 4 anos de idade Para isso ele gostaria de estimar o seguinte modelo de regressão 𝑌𝑖 𝛽0 𝛽1𝑋1 𝜀1 no qual é a taxa de internação do município i Xi é uma variável binária que é igual a 1 se o município i participa do programa e 0 caso contrário Usando os dados para o Brasil em 2013 temos os seguintes resultados 𝑌1 85 𝑌0 65 Neste caso 𝑌1 é a média da taxa de internação para os municípios que participaram do Programa e 𝑌0 é a média da taxa de internação para os municípios que não participaram do Programa Além disso 70 dos municípios brasileiros participam do Programa Saúde da Família Você estima o modelo acima por Mínimos Quadrados Ordinários Qual o valor obtido para o coeficiente associado a Xi 38 ANPEC Q1 2016 Um economista deseja avaliar o consumo de carne bovina em 2 estados brasileiros Rio Grande do Sul RS e Rio Grande do Norte RN Para tanto ele seleciona uma amostra de 50000 unidades de consumo 35000 localizadas no Rio Grande do Sul primeira subamostra e 15000 no Rio Grande do Norte segunda subamostra Inicialmente o economista preferiu trabalhar com as subamostras em separado Para as duas subamostras ele estima a Curva de Engel para o consumo de carne bovina pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários Os resultados das regressões estão abaixo em que os errospadrão estão entre parênteses Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão então PZ1645010 e PZ196005 lnconsumo 030 115 lnrenda RS 1 025 004 R² 045 e n35000 lnconsumo 080 067 lnrenda RN 2 065 007 R² 038 e n15000 em que lnconsumo é o logaritmo natural do consumo de carne bovina em quilogramas e lnrenda é o logaritmo natural da renda total do domicílio em milhares de reais Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas Com base nos resultados acima e supondo que a amostra é suficientemente grande para que aproximações assintóticas sejam válidas é correto afirmar que Na equação 1 mantendo os preços constantes com um aumento de 1 na renda das unidades de consumo o consumo de carne bovina terá um aumento esperado de 115 ① De acordo com os resultados das regressões para um nível de renda igual a R 100 o consumo de carne no Rio Grande do Sul será maior do que no Rio Grande do Norte mantendo todas as demais condições constantes ② É possível afirmar ao nível de significância de 10 que no Rio Grande do Norte a carne bovina depende exclusivamente do nível de renda portanto não é um bem de primeira necessidade ③ É possível afirmar com 1 de significância que a demanda de carne bovina no estado do Rio Grande do Sul é superior a do Rio Grande do Norte em 67 para um nível de renda média igual R 100000 39 Considerando o seguinte modelo 𝒀 𝑿𝜷 𝒖 com Eux0 Sabese que VaruX𝛔𝟐𝛀 em que 𝛀 1 0 0 0 2 0 0 0 4 𝑿 1 2 8 𝒚 10 8 4 a O que podemos afirmar sobre os erros do modelo Qual método você usaria para estimar 𝜷 de forma mais eficiente Justifique b Mostre como chegar ao estimador do método que você considera correto a partir do estimador de MQO na forma matricial Encontre 𝜷 c Encontre a forma matricial para calcular 𝑉𝑎𝑟𝜷𝑿 a partir do item b Calcule 𝑉𝑎𝑟𝜷𝑿 40 Prove que o traço da matriz MIP é igual a nK 41 Considere o modelo de elasticidades da pobreza relativo à questão 11 calcule o estimador do modelo restrito e teste a hipótese que a soma das elasticidades seja igual a 1hum 𝑿𝑿1 53402437 08869702 0161357802 07281995 0001325621 1142644835 𝑹𝑿𝑿𝟏𝑹𝟏 𝟎 𝟕𝟔𝟖𝟒𝟑𝟐 42 Mostre que a variância do erro gerada no MQO é consistente e não viesada 43 Faça a questão 41 do Jhonston e Dinardo 1997 44 Faça a questão 48 do Jhonston e Dinardo 1997 45 Faça a questão 49 do Jhonston e Dinardo 1997 46 ANPEC 2002 Q09 Podese afirmar sobre o modelo de regressão linear clássico 𝑦𝑡 𝛽1 𝛽2 𝑢𝑡 A reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x mesmo que o modelo não tenha intercepto ① Na presença de heterocedasticidade o estimador de MQO é viesado e não se pode confiar nos procedimentos de testes usuais F e t já que o estimador além de viesado é ineficiente ② Na presença de autocorrelação dos resíduos os estimadores de MQO são não viesados e consistentes ③ Quanto maior for a variação da variável explicativa maior será a precisão com que o coeficiente angular pode ser estimado ④ Se R2 coeficiente de determinação for zero então a melhor previsão para um valor de y é sua média amostral 47 ANPEC 2003 Q06 Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais 1 2 2 1 1 0 n i u x x x y i ki k i i i É correto afirmar que para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não tendeciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos ① a hipótese que n i x x x Var u ki i i i 1 2 2 1 não é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados sejam consistentes ② a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2 ③ para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos ④ se n i x Cov x i i 1 0 3 1 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão 𝑦𝑖 𝛽0 𝛽1𝑥1𝑖 𝛽2𝑥2𝑖 𝛽𝑘𝑥𝑘𝑖 𝑢𝑖 i1 n serão tendenciosos 48 ANPEC 2003 Q07 O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos 526 441 0 0 00058 0 029 0 080 0 297 0 417 log 2 2 0 00010 0 005 0 007 0 036 0 099 n R u exper exper educ sexo renda em que sexo é uma variável dicotômica valor 1 se for homem e 0 caso contrário educ é o número de anos de escolaridade exper é experiência profissional também medida em anos Os números entre parênteses são os errospadrão das estimativas 104 i s ib Com base nos resultados acima é correto afirmar a regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do que 05 ① a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante ② um ano a mais de escolaridade mantidos constantes todos os demais fatores aumenta em 008 a renda de um indivíduo do sexo feminino ③ a significância conjunta das variáveis educ e exper não pode ser medida por meio da estatística t Para isto o teste F deve ser utilizado ④ o modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres 49 ANPEC 2019 Q 10 Considere o seguinte modelo de regressão linear simples 𝑦 𝛽0 𝛽1𝑥 𝑢 Para uma amostra com 32 observações são observados os seguintes resultados 𝑦 30 𝑥 10 32 𝑦𝑖 𝑦2 90 𝑖1 32 𝑥𝑖 𝑥2 60 𝑖1 32 𝑦𝑖 𝑦𝑥𝑖 𝑥 30 𝑖1 A partir dessas informações obtenha a Soma dos Quadrados dos Resíduos SQR correspondente aos estimadores de MQO para esse modelo Econometria Questão 1 a i1¹⁰ ui² i1¹⁰ Yi β1 β2Li β3Ci² β1 i1¹⁰ ui² i1¹⁰ Yi β1 β2Li β3Ci 0 β2 i1¹⁰ ui² 2 i1¹⁰ Yi β1 β2Li β3Ci Li 0 β3 i1¹⁰ ui² i1¹⁰ 2 Yi β1 β2Li β3Ci Ci 0 2 i1¹⁰ Yi β1 β2Li β3Ci Ci 0 sistema i1¹⁰ Yi β1 β2Li β3Ci 0 i1¹⁰ Y β1 β2Li β3Ci Li 0 i1¹⁰ Yi β1 β2Li β3Ci Ci 0 Yi 12 Li 1 Ci 0 YiLi 6 YiCi 0 Li² 2 LiCi 2 Ci² 4 Substituindo e resolvendo sistema 2β1 5β2 6β1 2β2 0 4β1 3β2 β1 34 β2 Se β2 4 temos β1 3 β2 4 β3 0 b β13 Quando o nível de liberdades individuais e o grau de escritura são ambos iguais a zero a taxa do crescimento do PIB δet é 3 β24 quando as liberdades individuais aumentam em uma unidade e a c fica constante a taxa de crescimento do PIB Y aumenta em 4 unidades β3 a taxa de corrupção c não tem efeito significativo em Y c σ² 1nk i1 até n ui² ui² Yi Ŷi Valor previsto Ŷi β1 β2Li β3Ci Para Dinamarca Ŷi34107 ui 671 Para México Ŷi 3 41 0 7 ui 2 7 5 Então σ² 1103 1² 5² 0² 4² 1² 1² 2² 2² 1² 1² 537 L 110 i1¹⁰ Li 0 C 110 i1¹⁰ Ci 0 Varβ1 537 i1¹⁰ Li 0² 537 14 5314 Varβ2 537 i1¹⁰ Ci 0² 537 23 Varβ3 537 i1¹⁰ Li Ci 14 d R² SSRSST R² i1¹⁰ ui² i1¹⁰ Yi Ȳ² R² 1² 5² 0² 4² 1² 1² 2² 2² 1² 1² i1¹⁰ Yi Ȳ² R² 38 428 0888 Logo isso significa que cerca de 383 da variabilidade na taxa de crescimento do PIB Y pode ser explicada pelas covariáveis nesse modelo Ex2 a a volimensão da amostra é igual ao número de linhas e colunas Nesse caso a dimensão é 3 b Y X XX1 XY X 1 x12 x15 1 x22 x23 1 x33 x33 XX1 133 0 0 0 140 140 0 140 360 Y X XX1 XY XY 132 24 92ᵗ c SEβ2 sqrtSQT graus liberdade t β2 SEβ2 d A interpretação envolve entender como mudar uma unidade em covariáveis modifica a variável resposta Ex3 a Y β0 β1X1 β2X2 β3X3 ε Y variável dependente resposta X1 X2 X3 variáveis independentes βi parâmetros a serem estimados ε erro aleatório Y 10 12 30 40 50ᵗ X1 1 1 1 1 1ᵗ X2 0 1 2 3 4ᵗ X3 0 0 1 1 1ᵗ Y β0 β1X1 β2X2 β3X3 b ti βi SEβi c R² 1 SSE SST R²aj 1 SSEnk1 SSTn1 4 Se ao excluir uma variável explicativa de uma regressão o R² ajustado aumenta enquanto o R² diminui isso sugere que a variável excluída não está contribuindo significativamente para explicar a variação na variável resposta Logo pode ser apropriado excluir essa variável 5 A relação entre o MQO e o MELNV ocorre quando os erros seguem uma distribuição lognormal e o modelo é linearizado para transformálo em modelo linear Nesse caso o estimador do MQO dos logs dos dados transformados é equivalente ao estimador MELNV 6 1 Formular o modelo de regressão 2 Estimar os parâmetros 3 Fazer a análise de resíduos 4 Minimizar a função perda 5 Encontrar os estimadores 6 Avaliar o ajuste do modelo 7 1 Calcule os resíduos 2 Estime a variância dos erros 3 Construa a matriz de covariância dos estimadores 4 Analise a matriz de covariância 8 Os estimadores MQO são consistentes se à medida que o tamanho da amostra cresce e se aproxima do infinito os estimadores convergem para os verdadeiros valores dos parâmetros e reduz a variabilidade Alguns critérios são linearidade independência dos erros variância finita dos erros média dos erros iguais a zero nãomulticolinearidade 9 a e Mμ A matriz M de influência relaciona os resíduos E aos valores ajustados μ onde E é um vetor coluna dos resíduos M é a matriz de influência e μ é um vetor coluna dos valores ajustados b A matriz M é simétrica logo M M Os entradas de M são determinadas pelos produtos cruzados dos resíduos e devido a essa simetria M é igual a sua transposta c M projeta os valores observados de Y no espaço das variáveis independentes X resultando em resíduos E ortogonais a X Isso garante que os resíduos sejam independentes das variáveis independentes 10 a O coeficiente 11755 é o intercepto da função de produção Um aumento de uma unidade em Y está associado a um aumento de aproximadamente 11755 em L e K A mesma coisa para o coeficiente 06022 que é a elasticidade da produção em relação ao trabalho L e para o coeficiente 03756 que é a elasticidade da produção em relação ao capital K Se os valores t forem maiores que os valores críticos determinados para o nível de significância proposto então são considerados estatisticamente significativos os coeficientes b O coeficiente de L e K permaneceria inalterado pois representam escalas de elasticidade e não em relação a Y a nova equação seria lnYi β0 06022 lnLi 03756 lnKi μi c H0 βL0 e βK0 H1 βL0 e βK0 ou βL0 e βK0 ou βL0 e βK0 Estatística do teste F R2 R2 sem L x K 2 1 R2 nk1 se a estatística F for maior que o valor crítico da F com 2 e nk1 graus de liberdade rejeitamos a hipótese nula de igualdade d IC 3 95 03756 t α2 nk1 5E 03756 x A restrição é lnYi 107 06376 lnLi lnKi Essa restrição implica que o coeficiente de K na nova equação é zero o que significa que o estoque de capital K não tem efeito direto da produção Y quando a quantidade de trabalho L é levada em consideração f Ho βk 0 o coeficiente de K agora é zero H1 βk 0 não é zero t βkˆ SE βkˆ e é uma suposição importante dependendo do contexto A média condicional nula implica que dadas as variáveis independentes no modelo a média dos erros é zero Se variáveis como nãodeobra não forem consideradas podem resultar em um viés nos estimadores STQQSSD Questão 11 a β0 92494 Isso significa que quando o ln da renda familiar per capita e o ln do índice de Gini são equivalentes a zero o ln da variável natural de pobreza é 92494 O coeficiente β1 090347 significa que se mantivermos constante o ln do índice de Gini um aumento de uma unidade no ln da família per capita está associado à uma diminuição de 090347 em Y β2 07719 diz que um aumento de uma unidade no índice de Gini está associado a um aumento de 07719 em Y b t β2 β3 0 Varβ2 Varβ3 2Covβ2 β3 t 013157 0 000549213 19463 O t crítico nesse cenário α 005 e gl 99 é 19845 Note que o valor t observado 19463 não pertence a IC 19845 U 19845 Portanto não há evidências para dizer que β2 β3 sejam 0 STQQSSO Questão 12 a O pesquisador escolheu um modelo não linear para capturar a relação entre renda e taxa de mortalidade infantil b β1 representa o valor esperado da TMI quando todas as outras variáveis são zero β2 e β3 representam o efeito da taxa de analfabetismo e renda na TMI c O teste de significância individual avalia se β2 e β3 são significantivamente diferentes de zero d O teste global de significância avalia se o modelo como um todo é estatisticamente significativo na explicação da TMI Questão 13 0 Verdadeiro Basta analisar o coeficiente da interação exper sexo 001 1 Verdadeiro 2 Falso O coeficiente não implica uma diferença percentual fixa entre homens e mulheres 4 Falso Seria necessário realizar um teste F que envolve a comparação entre o modelo com os coeficiente e um modelo sem eles 3 Falso Exigiria um teste como o de BreuschPagan para chegar nesse conclusão Questão 14 1 Falso A falta de homocadasticidade afeta a eficiência dos estimadores tornandoos menos eficientes em termos de variância 2 Falso A igualdade ocorreria somente em casos específicos como V Ƴ 0 Verdadeiro A eficiência se relaciona à melhor combinação linear dos parâmetros mas não depende da normalidade dos erros Questão 15 βMQG X Σ 1 Y 1 X Σ 1 Y X 1 1 1 1ᵗ e Y 0750ᵗ X 1 1 1 1 X Σ 1 314 614 413 613 X Σ 1 X 1 1314 614 413 613 0093667 X Σ 1 Y 1665138 β MQG 0093667 1665138 0156058 Questão 16 a Para homens bonitos o diferencial estimado é 0016 enquanto para homens feios é 0164 Logo os homens bonitos em média ganham menos Para as mulheres bonitas o diferencial estimado de salário é menor que o de mulheres feias b Temos o tcrítico 196 ao nível de significância de α005 que fez os coeficientes estimados serem significância o que discorda da afirmacão da indústria pois feios ganham mais pelo teste estatístico c Sim a partir da interação entre as variáveis beleza e educação d A motivação é capturar a possibilidade de que o efeito da experiência profissional no salário seja nãolinear Questão 17 SQT SQE SQR Essa identidade representa a decomposição da variabilidade total em duas partes explicada pelo modelo e não explicada Questão 18 a O coeficiente 03082 associado a renda per capita municipal sugere que essa variável está relacionada com o aumento no índice de Theil O coeficiente 01268 sugere quando um aumento per capita municipal quando expresso em ln está associado a uma redução na desigualdade de renda O coeficiente 00043 associado sugere que um aumento no logaritmo da pop municipal rural está positivamente relacionado com o índice de Theil mas de forma bem fraca b F R2 k 1 R2 n k 1 F 009 9 1 009 231 3 1 F 003 0004 F 75 A regressão é significative 75 RC c Os coeficientes cujos intervalos de confiança não incluem o zero são considerados significativos d Relação não linear entre covariáveis e variáveis independentes A taxa de variação da 1ª derivada deve mudar de negativa para positiva na medida que a var ind aumenta A segunda derivada deve ser negativa na região onde a função forma um U invertido Questão 19 a Os coeficientes sugerem que um aumento no uso da camisinha e no conhecimento para o HIV está positivamente relacionado com a aversão ao risco de contrair HIV b Os coeficientes estimados seriam 100 vezes menores se as variáveis comi e conhec fossem medidas entre 0 e 1 c A presença dessas variáveis no erro pode violar a hipótese média condicional nula do erro pois podem ser fontes de heterocedasticidade ou autocorrelação nos resíduos d Para testar se a pop é neutra ao risco você deve testar se os coeficientes de com e conhec são estatisticamente iguais a zero e Para testar se o parâmetro associado à variável conhec é igual a 1 devese testar se o coeficiente estimado é estatisticamente igual a 1 Se for igual sugere que o conhecimento não afeta a aversão ao risco Como neste caso é maior vemos que a variável conhecimento tem efeito positivo na aversão ao risco Questão 20 H0 β1 β2 H1 β1 β2 t β1 β2 sqrtΓ2 1xXii Onde xXii é o elemento da diagonal de XX correspondente à variável de interesse t14 2145 Significativo Se o valor absoluto de tD for maior que 2145 rejeitamos H0 c F211 3816 significativo S T Q Q S S D 21 F bXX1bkeenk 1 1 2b F 000009426 00009426 01 F₃₁₀₀ com α 005 2997 Não rejeitamos a hipótese conjunta de que o intercepto é igual a zero e os coeficientes angulares se anulam mutuamente ao nível de significância de 5 S T Q Q S S D 23 a Estimam os resíduos μᵢ como no nosso modelo O teste de White consiste em regredir os resíduos ao quadrado sobre as variáveis EDUC e EDUC² μᵢ² β₀ β₁ EDUCᵢ β₂ EDUCᵢ² εᵢ b VarμᵢEDUCᵢ σ² EDUCᵢ Podemos utilizar a inversa da var condicional como peso Yᵢ β₀ β₁ EDUCᵢ β₂ EDUCᵢ² μᵢ onde μᵢ é ponderado assim μᵢ μᵢEDUCᵢ S T Q Q S S D 25 Verdadeiro Antigamente a correção da heteroscedasticidade em modelos de regressão era feita por MQG Atualmente a abordagem mais comum é MQE mas com uma matriz hetercor dos parâmetros apropriada chamada de matriz de força robusta que resolve problemas com heteroscedasticidade de modo eficaz sem MQG 28 O modelo clássico de Regressão Linear assume várias hipóteses fundamentais Primeiro se supõe relação linear entre variáveis dependentes e independentes Segundo presume que erros de previsão têm média zero são independentes e têm variância constante bem como são normalmente distribuídos Além disso esperase que não exista multicolinearidade significativa entre as variáveis independentes o que significa que elas não são altamente correlacionadas 46 0 Incorreta Se o modelo não tem β1 0 a reta de regressão não passará pela média amostral Y a menos que seja 0 1 Na presença de heterocedasticidade os estimadores ainda não são viesados mas a eficiência é prejudicada 2 Falsa Os MQO ainda não são viesados mas não são mais consistentes Viola a suposição de ind dos erros 3 Correta 4 Correta Questão 47 0 Falso A única suposição necessária é que a homocedasticidade seja atendida 1 Verdade 2 Falso R² aumentará se a nova covariável estiver relacionada à variável dependente e contribuir para explicar a variação em Y 3 Falso A validade assintótica depende mais do TCL que diz que em amostras grandes a distribuição se aproxima da Normal 4 Falso A multicolinearidade não torna os estimadores MQO tendenciosos mas pode tornálos menos eficientes e imprecisos Questão 48 0 Falso Para determinar a significância estatística é preciso analisar os valoresp associados aos coeficientes das variáveis independentes 1 Falso Para avaliar a significância da diferença de renda entre homens e mulheres é necessário examinar o pvalor associado ao coeficiente da variável sexo 2 Verdade 3 Verdade 4 Verdade Questão 49 SQR Σ yi ŷi² onde ŷi β0 β1xi Logo SQR Σ yi β0 β1xi² β1 Σn i1 xi xyi ȳ Σn i1 xi x² β0 ȳ β1 x β1 3060 12 β0 30 05 10 25 ŷi 25 05 xi Não foi fornecido xi vou escolher 15 ŷ β0 β1x 25 12 15 25 75 325 Resíduo Y ŷ 30 325 25 SQR 25² 625 Valor específico pro x escolhido