Representação por Variáveis de Estado e Função de Transferência em Sistemas de Controle

REPRESENTAÇÃO POR VARIÁVEIS DE ESTADO Estado de um sistema no instante t0 é uma informação em t0 que junto com o conhecimento na entrada ut t t0 é suficiente para determinar a saída yt t 0 EX yt Vct Gs Ys Us função de transferência Candidato a estado xt x1t x2t it Vct ut Rx1t Lix1t x2t x1t Cx2t x1t RLx1t 1Lx2t 1Lut x2t 1Cx1t Θx2t Θut Considerando que yt Θx1t x2t Θut Matricialmente x1t x2t RL 1L x1t 1L ut 1C 0 x2t yt 0 1 x1t x2t Θut OBS Transformada de Fourier Transformada Z coordenadas polares Laplace coordenadas cartesianas ut RCyt LCyt yt EDO Us RCYs LCs2Ys Ys FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Gs 1RC s2 LCs 1RC OBS Sistema do tipo MIMO multiple input multiple output A função de transferência não depende da corrente Observador de estado aproximação matemática por um sensor secundário Como medir a temperatura da saída do motor de um foguete OBS A ordem das matrizes é igual ao tamanho do estado EXERCÍCIO Xt x1t x2t Vct Vct sistema de controle Qualquer SLITr canal sem retardo pode ser escrito da seguinte forma xt Axt But yt Cxt Dut Sendo Xt x1t x2t xmt ut u1t u2t umt Yt y1t y2t ymt vetor de estado vetor de entrada vetor de saída Com relação a matriz D temos quando o sistema é ligado toda a tensão da fonte é exercida sobre o resistor quando o capacitor está descarregado D o sinal de entrada que passa direto para a saída OBS Se A B C e D dependem do tempo temos um SL variável no tempo causal sem retardo xt AtXt Btut yt cxt Dut Voltando ao circuito ut Rit Lit yt it Cyt yt RLyt 1LCyt 1LCut Para resolver uma EDO é necessário que se conheçam as condições iniciais do sistema e a entrada Voltando às equações de estado A forma geral da resposta yt depende de L1 sI A1 controle via espaço de estados Sendo assim yt é definido como Os elementos de eAt são combinações lineares de elementos exponenciais senoidais x exponenciais entre outras relacionam EXEMPLO 3 μ x₁ x₂ x₁t 1 0 x₁t 1 ut x₂t 0 1 x₂t G B AB G 1 1 0 1 detβ 0 LD NÃO CONTROLÁVEL EXEMPLO 4 μ β₀ x₁ L x₄ x₂ x₁ RL x₁ 1L x₂ 1L μ x₂ AC x₁ x₁ RL 1L x₁ 1L u x₂ 4C 0 x₂ G B AB G 1L R²L 0 1LC detβ 1L²C 0 LI CONTROLÁVEL Voltando ao item 3 Fizemos y x₂ 0 1 x₂ x 1 0 x 1 u y 0 1 x autovalores de A λ₁λ₂1 085 autovalor positivo é um sistema instável Existe um autovalor que não aparece nos polos NÃO CONTROLÁVEL MONITORIA 0809 x x₁ x₂ Vₑ Vₑ Vₒ L it 1C iτ dτ Vl Vₑ Vₒ V₂ VL μt Vₒ Vₑ x Ax Bu y Cx MATRICIALMENTE x₁ 1 1 0 x₁ x₂ 1 1 0 x₂ 0 0 ut x₃ 0 0 1 x₃ y 0 0 1 x₁ x₂ x₃ OBSERVABILIDADE 0809 x AX Bu y CX DW DEFINIÇÃO O SLIT acima é dito observável se x0 desconhecido seja possível determinar de forma única conhecendo yt t 0 tf e ut t 0 tf tf0 e finito EXEMPLO yt não depende de x₁t portanto o sistema é nãoobservável OBS posto cheio detA 0 TEOREMA O SLIT acima é observável se e somente se a matriz de observabilidade dada por O C CA CA² CAⁿ¹ caso o posto da matriz seja cheio o sistema é dito observável EXEMPLO x 21x₁ u x₂ x₁ x₂ y x₂ y 0 1 x₁ O 0 1 detθ 0 NÃO CONTROLÁVEL OBSERVÁVEL FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Gs CsIA1 B 0 1 s2 0 1 sA Gs 1 s1 O Autovalores λ1 2 λ2 1 Pólos ρ1 1 λ1 2 autovalor nãoobservável DEFINIÇÃO Um sistema é dito detectável se os autovalores nãoobserváveis tiverem parte real negativa DEFINIÇÃO Os pólos da Função de Transferência são autovalores controláveis e observáveis controle por realimentação 2009 PROFR TÍCARO REALIMENTAÇÃO DE ESTADO ut Kxt rt onde K ℝ Em malha fechada x Ax BKx r ABKx Br y Cx DKx r CDKx Dr x ABKx Br y CDKx Dr representação de estado CONTROLE POR ALOCAÇÃO DE PÓLOS OBJETIVO Determinar a matriz do ganho K ℝmm de modo a alocar os autovalores de ABK na região desejada TEOREMA se o sistema for controlável existe uma matriz K que aloca os autovalores de ABK em qualquer posição do plano s desde que autovalores complexos apareçam em pares conjugados MÉTODO DA FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL x Ax Bu y Cx Du O sistema max mover variáveis tem a seguinte forma x A x B u y C x D u A Q1 A Q 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 α0 α1 α2 αm1 B Q1 B 0 0 0 1 C C Q b0 b1 b2 bm1 A função de transferência do sistema é dada por Gs CsIA1 B D Gs bm1 sm1 bm2 sm2 b2 s2 b1 s b0 sm am1 sm1 a1 s a0 só é possível se o sist for controlável O sistema representado nessa forma está FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL Consideremos agora a seguinte realimentação de estado u Kx x KQ x r A BK A BK 0 0 0 1 FÓRMULA DE ACKERMANN Seja Δmfs sm am1mfsm1 a1mfs a0mf polinômio em malha fechada desejado Então o ganho que aloca os autovalores desejados é dado por κ 0 0 0 1 G1 ΔmfA Sendo ΔmfA Am am1mfAm1 a1mfA a0mf OBS MATLAB place e acker servossistemas servossistema do tipo 0 κ u Kp r y u Kx Kpr y K2y Kpκ KpCx u K KpCx KpM x Ax Bu Kpκ y Cx OBS o sistema interno é bem mais rápido que o externo Influência na determinação do valor de Kp Função de transferência em malha fechada Gmfs YsRs c sI A BK1 B observador de estados OBJETIVO estimar os valores das variáveis de estados que não são diretamente mensuráveis OBSERVADOR EM MALHA ABERTA x Ax Bu y Cx et será igual a xt apenas se e0 x0 Analisando o erro de estimação et xt et et Ax Bu A x Bu et Ae x et 0 se e somente se todos os autovalores de A tiverem parte real negativa et A et LC et et ALC et seguidor de ordem zero A função do seguidor de ordem zero é manter o último valor amostrado de ft de maneira que yt ftKδttK EXEMPLO 134 Dado um zoh em cascata com G1s sendo em cascata temos Gs 1 eTs s 2 s 1 estabililidade Método de Euler ou forward método backward Hz Yz T2 z1z1 z 1 z 1 z 1 NzDz a0 zn a1 zn1 an1 z an sistema de tanque acoplado 17 11 ICARO A1 área transversal do tank 1 A2 área do orifício do tank 1 A2t qin1t qout1t A1h1t qin1t qout1t h1t qin1t qout1t A1 EDO h1t Kmut a12gh1t A1 q vazão OBS Abstraindo a viscosidade OBS LEI DE BERNOULLI qout a2gh A2t qin2t qout2t A2 tipo O Nãolinear necessita a linearização segunda ordem dar armazenamentos de energia