Resumo Apostilado

Sistemas de Controle para Engenharia 6ª edição Gene F Franklin J David Powell Abbas EmamiNaeini Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB 102052 F831s Franklin Gene F Sistemas de controle para engenharia recurso eletrônico Gene F Franklin J David Powell Abbas EmamiNaeini tradução Fernando de Oliveira Souza revisão técnica Antonio Pertence Júnior 6 ed Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2013 Editado também como livro impresso em 2013 ISBN 9788582600689 1 Engenharia Sistemas de controle I Powell J David II EmamiNaeini Abbas III Título CDU 6213371 Gene F Franklin falecido após a publicação da edição original deste livro foi professor por mais de 50 anos e um dos pioneiros no campo de sistemas de controle Foi autor de três livrostexto altamente conceituados incluindo este e ajudou a fundar e dirigir o Stanfords Information Systems Laboratory Graduouse em Engenharia Elétrica pelo Georgia Institute of Technology Era mestre pelo Massachusetts Institute of Technology e doutor pela Columbia University J David Powell é autor de mais de 100 artigos e de dois livros na área de sistemas de controle Graduouse em Engenha ria Mecânica pelo Massachusetts Institute of Technology É mestre e doutor em Aeronáutica e Astronáutica pela Stanford University Abbas EmamiNaeini é autor de mais de 77 artigos e diretor da SC Solutions Inc Graduouse com honras pelo Georgia Institute of Technology É mestre e doutor em Engenharia Elétrica pela Stanford University Tradução Fernando de Oliveira Souza Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Eletrônica UFMG Revisão técnica Antonio Pertence Júnior Professor da Universidade FUMEC MG Mestre em Engenharia pela Universidade Federal de Minas Gerais Especialista em Processamento de Sinais 2013 Versão impressa desta obra 2013 Stanford University Stanford University SC Solutions Inc Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à BOOKMAN EDITORA LTDA uma empresa do GRUPO A EDUCAÇÃO SA Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10735 Pavilhão 5 Cond Espace Center Vila Anastácio 05095035 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 wwwgrupoacombr IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Obra originalmente publicada sob o título Feedback Control of Dynamic Systems 6th Edition ISBN 9780136019695 Authorized translation from the English language edition entitled Feedback Control of Dynamic Systems6th Edition by Gene Franklin JPowell Abbas EmamiNaeini published by Pearson EducationInc publishing as Prentice Hall Copyright 2010 All rights reserved No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means electronic or mechanical in cluding photocopying recording or by any information storage retrieval system without permission from Pearson EducationInc Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda a Grupo A Educação SA company Copyright 2013 Tradução autorizada a partir do original em língua inglesa da obra intitulada Feedback Control of Dynamic Systems 6ª edição auto ria de Gene Franklin JPowell Abbas EmamiNaeini publicado por Pearson Education Inc sob o selo Prentice Hall Copyright 2010 Todos os direitos reservados Este livro não poderá ser reproduzido nem em parte nem na íntegra nem ter partes ou sua íntegra armazenado em qualquer meio seja mecânico ou eletrônico inclusive fotoreprografação sem permissão da Pearson EducationInc A edição em língua portuguesa desta obra é publicada por Bookman Companhia Editora Ltda uma empresa do Grupo A Educação SA Copyright 2013 Gerente editorial Arysinha Jacques Affonso Colaboraram nesta edição Editora Maria Eduarda Fett Tabajara Capa Maurício Pamplona arte sobre capa original Imagem da capa Desert panorama RubAl Khali Dubai Sean RandalliStockphoto Leitura final Amanda Jansson Breitsameter Editoração Techbooks Para Gertrude David Carole Valerie Daisy Annika Davenport Malahat Sheila e Nima Prefácio Na sexta edição voltamos a apresentar um texto de apoio para disciplinas de controle mantendo as melhores características das edições anteriores O Capítulo 4 foi substancialmente reescrito des tacando as propriedades básicas da realimentação o material foi organizado em uma ordem mais lógica e é apresentado de forma muito mais eficaz seguindo uma abordagem ascendente de leitura Também atualizamos todo o texto sobre como o projeto assistido por computador é utilizado para refletir a maneira como o projeto é realizado hoje Ao mesmo tempo trabalhamos para fornecer aos engenheiros de controle de sistemas conhecimentos básicos para que os resultados do com putador possam ser guiados e verificados As referências ao programa MATLAB também foram atualizadas incluindo alguns de seus recursos mais recentes Os estudos de caso no Capítulo 10 foram mantidos e um novo estudo de caso do campo emergente da Bioengenharia foi adicionado A seção Perspectiva histórica foi acrescentada ao final de cada capítulo para trazer informações adicionais sobre como surgiram os conceitos apresentados Finalmente para orientar o leitor na busca de temas específicos o Sumário foi ampliado de forma a incluir subseções A estrutura básica do livro mantevese inalterada e continuamos a combinar análise e projeto usando as três abordagens lugar das raízes resposta em frequência e equações de variáveis de esta do O texto continua apresentando muitos exemplos cuidadosamente elaborados para ilustrar o con teúdo Como antes fornecemos um conjunto de questões de revisão ao final de cada capítulo com respostas no final do livro para que os alunos possam verificar se realmente aprenderam o conteúdo Nos três capítulos sobre os métodos de projeto continuamos requerendo que os alunos apren dam a executar cálculos básicos a fazer o esboço do lugar das raízes e a esboçar diagramas de Bode para testar os resultados do computador e como auxílio ao projeto Assim a utilização do MATLAB é introduzida no início do reconhecimento do uso universal de ferramentas computa cionais no âmbito do projeto de controle Além disso reconhecendo o fato de que cada vez mais controladores são implementados em computadores voltamos a introduzir o controle digital no Capítulo 4 e em exemplos de casos comparando as respostas dos sistemas realimentados usando controladores analógicos com os que têm um controlador digital equivalente Como antes prepa ramos uma coleção de todos os arquivos MATLAB em formatos m e SIMULINK utilizados para produzir as figuras do livro Esse e outros materiais estão disponíveis no site do Grupo A em inglês e podem ser acessados livremente Acreditamos que esta edição apresenta um bom material de apoio pedagógico fornece uma forte motivação para o estudo de controle e representa uma base sólida para enfrentar os desafios educacionais Apresentamos o estudo de controle por realimentação tanto como uma especialidade quanto como um suporte para muitos outros campos Desafios educacionais Alguns dos desafios educacionais na área de controle por realimentação são antigos outros surgiram nos últimos anos Alguns permanecem para os estudantes em toda a sua formação em engenharia ou tros são únicos para este curso relativamente sofisticado Sejam eles antigos ou novos gerais ou espe cíficos percebemos que os desafios educacionais foram essenciais para a evolução deste livro Aqui vamos lidar com vários desafios educacionais e descrever nossas abordagens para cada um deles viii Prefácio DESAFIO Os alunos devem dominar o projeto bem como as técnicas de análise O projeto é fundamental para todas as engenharias especialmente para engenharia de con trole Os estudantes acham que as questões de projeto com suas correspondentes oportunidades para abordar as aplicações práticas são motivadoras Contudo eles também consideram os problemas de projeto difíceis porque estes geralmente são mal colocados e não apresentam soluções únicas Devido à sua importância e ao efeito motivacional nos alunos o projeto é enfatizado ao longo desta obra para que a confiança na solução de problemas de projeto seja desenvolvida desde o início A ênfase no projeto começa no Capítulo 4 após o desenvolvimento de modelagem e res posta dinâmica A ideia básica de realimentação é introduzida mostrando sua influência sobre a rejeição de distúrbio rastreamento precisão e robustez a mudanças de parâmetros A orienta ção de projeto continua com tratamentos baseados em lugar das raízes resposta em frequência e técnicas de realimentação de estados Todas as abordagens são destinadas a propiciar o conhe cimento necessário para obter um bom projeto de controle por realimentação sem desenvolvi mento matemático complexo além do que é essencial para uma compreensão clara Ao longo do texto os exemplos são usados para comparar e contrastar as técnicas de pro jeto oferecidas pelos diferentes métodos e nos estudos de caso apresentados no Capítulo 10 problemas de projeto complexos do mundo real são resolvidos usando todos os métodos de uma maneira unificada DESAFIO Novas ideias continuam a ser introduzidas no controle O controle é um campo ativo de pesquisa e portanto há um constante fluxo de novos con ceitos ideias e técnicas Com o tempo alguns desses novos conceitos se juntam à lista de coisas que todo engenheiro de controle deve saber Este livro foi feito para apoiar os alunos em sua necessidade de entender tanto os temas tradicionais quanto os mais modernos Em cada uma de nossas edições temos tentado dar a mesma importância aos métodos de lugar das raízes resposta em frequência e métodos de variáveis de estado para o projeto Nesta edição continuamos a insistir na importância de um conhecimento sólido dessas técnicas jun tamente a métodos computacionais baseados em cálculos detalhados Também fornecemos uma introdução à amostragem de dados e controladores discretos reconhecendo o importante papel desempenhado pelos controladores digitais em nosso campo Embora esse material possa ser ignorado para economizar tempo sem prejudicar o fluxo do texto sentimos que é muito impor tante que os alunos compreendam que o controle implementado em computador é amplamente utilizado e que as técnicas mais básicas de controle digital são facilmente compreendidas DESAFIO Os alunos precisam gerenciar uma grande quantidade de informações A vasta gama de sistemas na qual o controle por realimentação é aplicado e a crescente varie dade de técnicas disponíveis para a solução de problemas de controle demandam que o estudante de controle aprenda muitas ideias novas Como os alunos mantêm sua perspectiva apesar das longas e complexas passagens textuais Como eles identificam pontos importantes e tiram con clusões adequadas Como fazem revisões apropriadas para as provas Ajudar os alunos nessas tarefas é um ponto fundamental Eis as características deste livro que podem auxiliar os alunos 1 As aberturas de capítulos oferecem uma introdução e uma visão geral O tema específico do capítulo é situado no contexto da disciplina como um todo e as seções do capítulo são apresentadas brevemente 2 As notas na margem destacam pontos importantes Elas indicam importantes definições equações e conceitos 3 Os quadros identificam conceitoschave no texto Funcionam também para resumir os pro cedimentos de projeto 4 Os resumos dos capítulos ajudam o estudante a revisar e priorizar pontos importantes do texto Esses resumos reiteram brevemente os principais conceitos e conclusões do capítulo 5 Questões de revisão no final de cada capítulo com soluções no final do livro orientam o estudante em seu aprendizado DESAFIO Os alunos de controle por realimentação vêm de uma vasta gama de áreas Controle por realimentação é um campo interdisciplinar com aplicação em sistemas de todas as áreas da engenharia Consequentemente algumas universidades têm separado os cursos introdutórios de controle e os usado como suporte para alguns cursos outras como Stanford têm um único conjunto de cursos realizado por estudantes de diversas áreas No entanto restringir os exemplos a um campo é perder grande parte do poder de alcance do controle por realimentação ainda que cobrir toda a gama de aplicações seja muito difícil Neste livro desenvolvemos o caráter interdisciplinar e fornecemos material de revisão para algumas das técnicas mais comuns a fim de facilitar o estudo de todos os alunos independentemente de seus cursos Para estudantes de Engenharia Elétrica que normalmente têm uma boa experiência em análise por meio de transformadas incluímos no Capítulo 2 uma introdução à prática de escrever equações de movimento para os sistemas mecânicos Para os engenheiros mecânicos incluímos no Capítulo 3 uma revisão da transformada de Laplace e da resposta dinâmica pontos necessários no controle Além disso introduzimos brevemente outras técnicas e de vez em quando apresentamos equações de movimento de um sistema físico sem derivação mas com uma descrição física suficiente para ser entendida do ponto de vista da resposta Exemplos de alguns dos sistemas físicos representados no texto incluem o cabeçote de leituragravação para um disco rígido de computador um sistema de localização por satélite a relação arcombustível no motor de um automóvel e um sistema de piloto automático de avião Resumo do livro O conteúdo do livro está organizado em dez capítulos e três apêndices As seções opcionais de materiais avançados ou extras marcadas com um triângulo estão incluídas ao final de alguns capítulos Há material extra em inglês no site do Grupo A Os exemplos e os problemas com base nesse material também são marcados com um triângulo Os apêndices incluem material de fundamentos teóricos e referencial No livro os apêndices incluem tabelas com transformadas de Laplace respostas para as questões de revisão dos capítulos e uma lista de comandos do MATLAB No Capítulo 1 são apresentadas as noções essenciais da realimentação e algumas das questões fundamentais sobre projeto Este capítulo também contém um breve histórico sobre o controle desde os primórdios do controle de processos até o controle de voo Esperase que esse breve histórico dê um contexto para o campo apresente algumas das figuraschave que contribuíram para seu desenvolvimento e motive o aluno em sua apreizagem O Capítulo 2 faz uma breve apresentação da modelagem dinâmica e inclui mecânica elétrica eletromecânica fluidos e dispositivos termodinâmicos Esse material pode ser utilizado como base para trabalhos de revisão para nivelar o conhecimento de todos os alunos ou trabalhado mais a fundo dependendo das necessidades dos alunos O Capítulo 3 aborda a resposta dinâmica como usada no controle Muito desse material pode já ter sido estudado pelos alunos principalmente por estudantes de engenharia elétrica Para muitos estudantes a correlação entre a localização dos polos e a resposta transiente e os efeitos de zeros e polos sobre a resposta dinâmica representa um material novo A estabilidade de sistemas dinâmicos também é introduzida neste capítulo Esse material deve ser abordado cuidadosamente O Capítulo 4 apresenta equações básicas e funções de transferência de realimentação juntamente com as definições da função de sensibilidade Com essas ferramentas controles em malha aberta e malha fechada são comparados com relação à rejeição de distúrbio rastreamento exatidão e sensibilidade aos erros do modelo A classificação dos sistemas de acordo com sua capacidade de rastrear sinais de referência polinomial ou de rejeitar perturbações polinomiais é descrita utilizando o conceito de tipo de sistema Finalmente a estrutura de controle clássico proporcional integral e derivativa PID é introduzida e a influência dos parâmetros do controlador na equação característica do sistema é explorada juntamente com os métodos de sintonia do PID A seção final do capítulo é opcional e trata do controle digital x Prefácio Após a descrição de realimentação no Capítulo 4 o livro apresenta os métodos de projeto com base no lugar das raízes resposta em frequência e realimentação de variável de estado nos Capítulos 5 6 e 7 respectivamente O Capítulo 8 aborda com mais detalhes as ferramentas necessárias para o projeto e a imple mentação de controladores por realimentação em computadores digitais No entanto para um estudo completo sobre controle por realimentação usando computadores digitais indicamos o livro Digital Control of Dynamic Systems de Franklin Powell e Workman EllisKagle Press 1998 No Capítulo 9 é apresentado um material sobre sistemas não lineares incluindo técnicas de linearização das equações de movimento resposta em frequência como uma função descri tiva plano de fase teoria de estabilidade de Lyapunov e critério do círculo para estabilidade No Capítulo 10 as três principais abordagens são integradas em vários estudos de caso e a base para projeto do ponto de vista prático é discutida Como utilizar O conteúdo deste livro pode ser coberto de diferentes formas A maioria dos alunos de discipli nas de controle terá algum conhecimento de dinâmica e de transformadas de Laplace Portanto o Capítulo 2 e a maior parte do Capítulo 3 seriam uma revisão para esses alunos Em um tri mestre de dez semanas é possível estudar o Capítulo 3 e os Capítulos 1 4 5 e 6 No segundo trimestre os Capítulos 7 e 9 podem ser cobertos confortavelmente e partes selecionadas do Capítulo 8 podem ser incluídas Um curso semestral deve acomodar confortavelmente os Ca pítulos 17 incluindo o material de revisão dos Capítulos 2 e 3 se necessário Se restar tempo após essa cobertura essencial podem ser adicionados uma introdução sobre controle digital apresentado no Capítulo 8 determinadas questões sobre não linearidade a partir do material no Capítulo 9 e alguns dos estudos de caso do Capítulo 10 Todo o livro também pode ser coberto em uma sequência de três trimestres consistindo em modelagem e resposta dinâmica Capítulos 2 e 3 controle clássico Capítulos 46 e controle moderno Capítulos 710 Prérequisitos em controle realimentado Este livro destinase principalmente a disciplinas de nível superior de todas as engenharias Para os temas centrais nos Capítulos 47 o prérequisito necessário é o conhecimento em mo delagem e resposta dinâmica Muitos estudantes entram no curso com conhecimento suficiente desses conceitos Para os que necessitam de revisão os Capítulos 2 e 3 devem ser suficientes Para compreender o material sobre espaço de estado é necessário um conhecimento básico de álgebra matricial Uma revisão das relações básicas é dada no Apêndice WE disponível em inglês no site do Grupo A e uma breve apresentação de um material necessário no controle é dada no início do Capítulo 7 A ênfase é nas relações entre sistemas dinâmicos lineares e álgebra linear Recursos online em inglês Para o aluno Acesse o site do Grupo A wwwgrupoacombr busque pela página do livro e faça seu cadas tro para ter acesso aos seguintes materiais Arquivos m e mdl usados para gerar todas as figuras de MATLAB do livro Material com conteúdo extra e apêndices Para o professor Procure pela exclusiva Área do Professor no site do Grupo A cadastrese e tenha acesso a Manual do professor com problemas resolvidos Arquivos em Powerpoint com todas as figuras e tabelas do livro Prefácio xi Agradecimentos Finalmente queremos reconhecer nossa grande dívida para com todos aqueles que contribuí ram para que o controle por realimentação se desenvolvesse neste campo empolgante que é hoje e especificamente a ajuda considerável e a instrução que recebemos de nossos alunos e cole gas Em particular temos nos beneficiado de muitas discussões com quem ensinou introdução ao controle em Stanford A E Bryson Jr R H Cannon Jr D B DeBra S Rock S Boyd C Tomlin P Enge e C Gerdes Outros colegas que nos ajudaram incluem D Fraser N C Emami B Silver M Dorfman D Brennan K Rudie L Pao F Khorrami K Lorell e P D Mathur Agradecimentos especiais vão para os muitos estudantes que forneceram quase todas as soluções para os problemas no livro G F F J D P A E N Stanford Califórnia Sumário 1 Visão Geral e um Breve Histórico da Teoria de Controle Realimentado 1 Visão geral do capítulo 2 11 Um sistema de controle retroativo simples 2 12 A primeira análise da realimentação 5 13 Uma breve história 8 14 Uma visão geral do livro 12 Resumo 14 Questões de revisão 14 Problemas 14 2 Modelos Dinâmicos 17 Visão geral do capítulo 17 21 Dinâmica de sistemas mecânicos 18 211 Movimento de translação 18 212 Movimento rotacional 23 213 Combinando rotação e translação 30 214 Sistemas com parâmetros distribuídos 33 215 Resumo desenvolvimento de equações de movimento para corpos rígidos 34 22 Modelos de circuitos elétricos 35 23 Modelos de sistemas eletromecânicos 38 24 Modelos de sistemas fluidos e térmicos 43 241 Fluxo de calor 43 242 Fluxo de fluido incompressível 46 25 Perspectiva histórica 51 Resumo 53 Questões de revisão 53 Problemas 54 3 Resposta Dinâmica 63 Visão geral do capítulo 64 31 Revisão das transformadas de Laplace 64 311 Resposta por convolução 64 312 Funções de transferência e resposta em frequência 69 xiv Sumário 313 A transformada de Laplace unilateral L 74 314 Propriedades da transformada de Laplace 76 315 A transformada inversa de Laplace por expansão em frações parciais 78 316 Teorema do Valor Final 79 317 Resolução de problemas com a transformada de Laplace 81 318 Polos e zeros 83 319 Análise de sistemas lineares usando o MATLAB 84 32 Representação de sistemas por diagramas 88 321 Diagrama de blocos 88 322 Redução de diagrama de blocos usando o MATLAB 92 33 Efeitos da localização dos polos 93 34 Especificações no domínio do tempo 100 341 Tempo de subida 100 342 Sobressinal e tempo de pico 100 343 Tempo de acomodação 102 35 Efeitos de zeros e polos adicionais 104 36 Estabilidade 112 361 Estabilidade entrada limitadasaída limitada 112 362 Estabilidade de sistemas LIT 113 363 Critério de estabilidade de Routh 114 37 Obtenção de modelos a partir de dados experimentais 121 371 Modelos a partir de dados da resposta transitória 122 372 Modelos de outros dados 126 38 Escalonamento em amplitude e no tempo 126 381 Escalonamento de amplitude 126 382 Escalonamento no tempo 127 39 Perspectiva histórica 128 Resumo 129 Questões de revisão 130 Problemas 131 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 146 Visão geral do capítulo 147 41 Equações básicas de controle 147 411 Estabilidade 148 412 Rastreamento 149 413 Regulação 149 414 Sensibilidade 150 42 Controle de erro em estado estacionário para entradas polinomiais tipo de sistemas 153 421 Tipo de sistema para rastreamento 153 422 Tipo do sistema para regulação e rejeição de distúrbios 157 43 Controlador de três termos controlador PID 160 431 Controlador proporcional P 160 432 Controle proporcional mais controle integral PI 161 433 Controle PID 162 434 Método de ZieglerNichols para sintonia de controladores PID 165 44 Introdução ao controle digital 170 45 Perspectiva histórica 175 Resumo 176 Questões de revisão 177 Problemas 178 Sumário xv 5 O Método do Lugar das Raízes 189 Visão geral do capítulo 190 51 Lugar das raízes de um sistema realimentado básico 190 52 Diretrizes gerais para determinar o lugar das raízes 194 521 Regras para traçar o lugar das raízes positivo 180 196 522 Resumo das regras para determinar o lugar das raízes 200 523 Seleção do valor do parâmetro 201 53 Lugar das raízes ilustrativo 203 54 Projeto usando compensadores dinâmicos 214 541 Projeto usando o compensador de avanço 215 542 Projeto usando o compensador de atraso 219 543 Projeto usando o compensador de rejeição de faixa 220 543 Implementação analógica e digital 221 55 Um exemplo de projeto usando o lugar das raízes 224 56 Extensões do método do lugar das raízes 229 561 Regras para esboçar um lugar das raízes negativo 0 229 562 Considerando dois parâmetros 232 563 Retardo no tempo 234 57 Perspectiva histórica 236 Resumo 238 Questões de revisão 240 Problemas 240 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 254 Visão geral do capítulo 254 61 Resposta em frequência 255 611 Técnicas para traçar o diagrama de Bode 261 612 Erro em regime permanente 271 62 Estabilidade neutra 272 63 O critério de estabilidade de Nyquist 274 631 Princípio do argumento 275 632 Aplicação em controle 276 64 Margens de estabilidade 286 65 Relação entre ganho e fase no diagrama de Bode 293 66 Resposta em frequência de malha fechada 297 67 Compensação 298 671 Compensador PD 299 672 Compensador de avanço 299 673 Compensador PI 310 674 Compensador de atraso 311 675 Compensador PID 315 676 Considerações de projeto 319 677 Especificações em termos da função de sensibilidade 321 678 Limitações no projeto em termos da função de sensibilidade 325 68 Retardo no tempo 328 69 Representação alternativa dos dados 329 691 Carta de Nichols 329 610 Perspectiva histórica 332 Resumo 333 Questões de revisão 335 Problemas 336 xvi Sumário 7 Projeto no Espaço de Estados 356 Visão geral do capítulo 356 71 Vantagens do espaço de estados 357 72 Descrição de sistemas no espaço de estados 358 73 Diagrama de blocos e espaço de estados 363 731 Escalonamento de tempo e amplitude em espaço de estados 366 74 Análise das equações de estado 366 741 Diagrama de blocos e formas canônicas 367 742 Resposta dinâmica a partir das equação de estado 377 75 Projeto de lei de controle para realimentação completa de estados 383 751 A lei de controle 383 752 Introdução de uma entrada de referência com realimentação completa de estados 391 76 Seleção da localização dos polos para um bom projeto 394 761 Polos dominantes de segunda ordem 395 762 Lugar das raízes simétrico LRS 396 763 Comentários sobre os métodos 404 77 Projeto de estimador 404 771 Estimadores de ordem completa 404 772 Estimadores de ordem reduzida 409 773 Seleção dos polos do estimador 412 78 Projeto do compensador lei de controle e estimador combinados 415 79 Introdução da entrada de referência com o estimador 426 791 Estrutura geral para uma entrada de referência 427 792 Selecionando o ganho 435 710 Controle integral e rastreamento robusto 436 7101 Controle integral 436 7102 Controle robusto de rastreamento abordagem no espaço do erro 438 7103 O estimador estendido 447 711 Recuperação de função de transferência de malha RFTM 450 712 Projeto direto via funções de transferência racionais 455 713 Projeto para sistemas com atraso puro de tempo 458 714 Perspectiva histórica 460 Resumo 463 Questões de revisão 464 Problemas 464 8 Controle Digital 484 Visão geral do capítulo 484 81 Digitalização 485 82 Análise dinâmica de sistemas discretos 487 821 Transformada z 487 822 Inversão da transformada z 488 823 Relação entre s e z 490 824 Teorema do Valor Final 491 83 Projeto usando equivalentes discretos 493 831 Método de correspondência polozero MPZ 496 832 Método modificado de correspondência polozero MMPZ 499 833 Comparação dos métodos de aproximação digital 499 834 Limites da aplicabilidade do método de projeto equivalente discreto 500 Sumário xvii 84 Características físicas 501 841 Conversores analógicodigital AD 501 842 Conversores digitalanalógico DA 501 843 Préfiltros antialias 502 844 O computador 503 85 Seleção de taxa de amostragem 503 851 Eficiência de rastreamento 504 852 Rejeição ao distúrbio 504 853 Efeito do préfiltro antialias 505 854 Amostragem assíncrona 506 86 Projeto discreto 506 861 Ferramentas de análise 506 862 Propriedades de realimentação 508 863 Exemplo de projeto discreto 508 864 Análise discreta de projetos 510 87 Perspectiva histórica 512 Resumo 513 Questões de revisão 514 Problemas 514 9 Sistemas não Lineares 519 Visão geral do capítulo 519 91 Introdução e motivação por que estudar sistemas não lineares 520 92 Análise por linearização 522 921 Linearização por análise de sinais pequenos 522 922 Linearização por realimentação não linear 527 923 Linearização pela não linearidade inversa 527 93 Análise por ganho equivalente usando o lugar das raízes 528 931 Integrador antiwindup 533 94 Análise do ganho equivalente usando resposta em frequência funções descritivas 536 941 Análise de estabilidade usando funções descritivas 542 95 Análise e projeto baseados na estabilidade 546 951 O plano de fase 546 952 Análise de estabilidade de Lyapunov 550 953 O critério do círculo 557 96 Perspectiva histórica 562 Resumo 563 Questões de revisão 563 Problemas 564 10 Projeto de Sistemas de Controle 572 Visão geral do capítulo 572 101 Um esquema de projeto de sistemas de controle 573 102 Projeto do controle de atitude de um satélite 578 103 Controle lateral e longitudinal de um Boeing 747 593 1031 Amortecedor de guinada 597 1032 Piloto automático de manutenção de altitude 603 104 Controle da razão arcombustível em um motor automotível 609 105 Controle do cabeçote de leituraescrita de um disco rígido 615 106 Controle de sistemas de PTR na fabricação de pastilhas de semicondutores 623 xviii Sumário 107 Quimiotaxia ou como a E coli se movimenta 635 108 Perspectiva histórica 641 Resumo 643 Questões de revisão 644 Problemas 644 Apêndice A Transformada de Laplace 655 A1 A transformada de Laplace L 655 A11 Propriedades da transformada de Laplace 656 A12 Transformada inversa de Laplace por expansão em frações parciais 663 A13 Teorema do Valor Inicial 666 A14 Teorema do Valor Final 667 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 668 Apêndice C Comandos do MATLAB 681 Bibliografia 685 Índice 691 Visão Geral e um Breve Histórico da Teoria de Controle Realimentado 1 Controle realimentado ou retroativo de sistemas dinâmicos é um conceito antigo com muitas características que têm evoluído ao longo do tempo A ideia central é que a saída de um sistema pode ser medida e retransmitida a um controlador usado para fazer o controle Comprovouse que um sinal de realimentação pode ser usado para controlar uma vasta variedade de sistemas dinâmicos incluindo por exemplo aeronaves e discos rígidos para armazenamento de dados Para alcançar um bom controle existem quatro requisitos básicos O sistema deve ser sempre estável A saída do sistema deve rastrear o sinal de comando na entrada A saída do sistema não deve responder a entradas de distúrbio Esses requisitos devem ser cumpridos mesmo se o modelo utilizado no projeto não for to talmente preciso ou se a dinâmica do sistema físico mudar ao longo do tempo ou devido a mudanças ambientais O requisito de estabilidade é básico e pode ter dois motivos Em primeiro lugar o sistema pode ser instável Esse caso é ilustrado por um Segway veículo automotor com duas rodas em paralelo que pode simplesmente cair se o controle for desligado Por outro lado a realimentação pode conduzir o sistema à instabilidade A referida experiência de instabilidade é chamada de círculo vicioso no qual o sinal de retroação piora a situação ao invés de melhorar Há muitos exemplos de sistemas que têm como requerimento que sua saída siga um comando Por exemplo dirigir um carro para que o veículo permaneça na sua faixa Da mesma forma pilotar um avião durante a aproximação da pista de pouso exige que o trajeto de descida seja precisa mente seguido Rejeição de distúrbios é uma das aplicações mais antigas do controle realimentado Neste caso o comando é uma constante de referência para qual a saída deve obedecer quando as condições ambientais mudam Um exemplo muito comum é o quarto com temperatura controla da automaticamente cuja função é manter a temperatura próxima da temperatura de referência enquanto a temperatura externa e o vento mudam e quando as portas e janelas são abertas e fechadas 2 Sistemas de Controle Finalmente para projetar um controlador para um sistema dinâmico é necessário ter um modelo matemático da resposta dinâmica do sistema sendo que o modelo preferido é o mais simples Infelizmente quase todos os sistemas físicos são muito complexos e frequen temente não lineares Como resultado o projeto será normalmente baseado em um modelo simplificado e deve ser robusto o suficiente para que o controle atenda a seus requisitos de desempenho quando aplicado ao dispositivo real Além disso mais uma vez em quase todos os casos quando o tempo e o ambiente mudam até os melhores modelos estarão sujeitos a erros porque a dinâmica do sistema foi alterada Novamente o projeto não deve ser muito sensível a estas inevitáveis mudanças e assim deve funcionar suficientemente bem indepen dentemente delas As ferramentas disponíveis para engenheiros de controle resolverem estes problemas têm evoluído ao longo do tempo Foi especialmente importante o desenvolvimento dos compu tadores digitais tanto como auxiliares de cálculo quanto como dispositivos de controle em barcados Como dispositivos de computação os computadores têm permitido a identificação de modelos cada vez mais complexos e a aplicação de métodos de projeto de controle muito sofisticados Além disso como dispositivos embarcados dispositivos digitais têm permitido a implementação de leis de controle bastante complexas Engenheiros de controle não só de vem ser hábeis em manipular essas ferramentas de projeto mas também precisam entender os conceitos por trás delas para poder utilizálas da melhor forma Também é importante que o engenheiro de controle compreenda as capacidades e as limitações dos dispositivos de con trole disponíveis Visão geral do capítulo Neste capítulo começamos nossa exploração do controle retroativo usando um exemplo sim ples e familiar um forno doméstico controlado por um termostato Os componentes genéricos de um sistema de controle são identificados no contexto desse exemplo Em outro exemplo controle de velocidade de cruzeiro de um automóvel desenvolvemos as equações elemen tares estáticas e atribuímos valores numéricos aos elementos do modelo do sistema a fim de comparar o desempenho do controle em malha aberta com o controle em malha fechada quando dinâmicas são ignoradas A fim de contextualizar nossos estudos e fornecer uma visão de como o campo tem evo luído a Seção 13 fornece um breve histórico da teoria de controle Além disso outros ca pítulos apresentarão breves seções com notas históricas a respeito dos temas apresentados Finalmente a Seção 14 fornece uma visão geral do conteúdo e organização de todo o livro 11 Um sistema de controle retroativo simples Em sistemas de controle retroativo a variável controlada como temperatura e velocidade é medida por um sensor e a informação medida é retransmitida realimentada ao controla dor para influenciar a variável controlada O princípio é facilmente ilustrado por um sistema muito comum um forno doméstico controlado por um termostato Os componentes deste sistema e suas interconexões são mostradas na Fig 11 Esse diagrama identifica os compo nentes principais do sistema e mostra as direções de fluxo de informação de um componente para outro Podemos facilmente analisar o funcionamento deste sistema qualitativamente a partir do diagrama Suponha que tanto a temperatura da sala onde está localizado o termostato e a tempe ratura exterior são significativamente inferiores à temperatura de referência também chamada de set point quando a energia é aplicada O termostato está na lógica de controle e abrirá a válvula de gás do forno Isso fará com que o calor a ser fornecido para a sala Qin tenha uma taxa significativamente maior do que a perda de calor Qout Como resultado a temperatura da sala subirá até que ela exceda por uma pequena quantidade a referência do termostato Neste momento o forno será desligado e a temperatura começará a cair Quando a temperatura cair um pouco abaixo do valor de referência o termostato agirá novamente e o ciclo se repetirá Respostas típicas da temperatura da sala juntamente com os ciclos do forno ligado e desligado são mostradas na Fig 11 A temperatura do lado externo é mantida em 50F e o termostato é inicialmente fixado em 55F Às 6h da manhã o termostato é fixado em 65F e o número de ciclos do forno aumenta para manter a temperatura nesse nível¹ Observe que a casa está bem isolada de modo que a queda da temperatura com o forno desligado é significativamente mais lenta do que o aumento da temperatura quando o forno está ligado A partir desse exemplo podemos identificar os componentes genéricos do sistema de controle retroativo como mostrado na Fig 12 O componente central em um sistema realimentado é o processo que tem sua saída controlada No nosso exemplo o processo seria a sala cuja saída é a sua temperatura e a perturbação do processo é o fluxo de calor externo na casa devido à condução através das paredes e do telhado O fluxo externo de calor também depende de outros fatores como o vento as portas abertas etc O projeto do processo obviamente pode ter um impacto importante sobre a eficácia do controle A temperatura de uma sala bem isolada com janelas de isolamento térmico pode ser controlada com mais facilidade do que outra com isolamento térmico ruim Da mesma forma o projeto de aeronaves realizado com o controle em mente faz uma enorme diferença para o desempenho final Em todos os casos quanto mais cedo as questões de controle forem introduzidas no projeto do processo melhor O atuador é o dispositivo que pode influenciar a variável controlada do processo e no nosso caso o atuador é o forno a gás Na verdade o forno normalmente tem uma chamapiloto uma válvula de gás e um ventilador que liga e desliga em Temperatura desejada Termostato Válvula Qout de gás Forno Qin Sala Temperatura da sala a 70 60 Temperatura da sala 50 Temperatura externa 40 30 20 Forno desligado Forno ligado 10 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Tempo horas b Figura 11 a Diagrama de blocos de componentes de um sistema de controle de temperatura em uma sala b gráfico da temperatura na sala e ação do forno ¹ Note que o forno é ligado alguns minutos antes das 6 horas em sua programação noturna regular função da temperatura do ar no forno Esses detalhes ilustram o fato de que muitos sistemas realimentados contêm componentes que constituem outros sistemas realimentados² A principal característica do atuador é sua habilidade de mover a saída do processo com velocidade e nível adequados O forno deve produzir mais calor do que a casa perde no pior dia e deve distribuílo rapidamente se a temperatura da casa tiver de ser mantida em uma faixa estreita Potência velocidade e confiabilidade são geralmente mais importantes que a precisão Em geral o processo e os atuadores estão intimamente ligados e os centros de projeto de controle buscam uma entrada adequada ou sinal de controle para enviar ao atuador A combinação do processo e do atuador é chamada de planta e a componente que realmente calcula o sinal de controle desejado é o controlador Devido à flexibilidade do processamento de sinais elétricos o controlador funciona normalmente baseado em sinais elétricos embora o uso de controladores pneumáticos baseados em ar comprimido tenha um longo e importante lugar em processos de controle Com o desenvolvimento da tecnologia digital custo eficiência e flexibilidade conduziram ao uso de processadores de sinais digitais como o controlador em um número crescente de casos O termostato na Fig 11 mede a temperatura ambiente e é chamado de sensor na Fig 12 um dispositivo cuja saída contém ruído inevitavelmente é o sensor A seleção e posicionamento dos sensores é muito importante no projeto de controle por isso às vezes não é possível que a variável controlada e a variável sensorizada sejam a mesma Por exemplo embora possamos realmente desejar controlar a temperatura da casa como um todo o termostato está em um quarto particular que pode ou não estar na mesma temperatura do resto da casa Por exemplo se o termostato está ajustado para 68F mas é colocado na sala de estar perto de uma lareira uma pessoa que trabalha na sala de estudo ainda pode sentir frio³⁴ Como veremos além do posicionamento propriedades importantes do sensor são precisão das medições baixo ruído confiabilidade e linearidade O sensor normalmente converte a variável física em um sinal elétrico para ser utilizado pelo controlador Nosso sistema geral também inclui um filtro de entrada cuja função é converter o sinal de referência na forma elétrica para o controlador manipulálo Referência Filtro de entrada Controlador Sinal de controle Atuador Processo Saída Sensor Ruído no sensor Planta Distúrbio Figura 12 Diagrama de blocos dos componentes de um controle realimentado elementar ² Jonathan Swift 1733 disse isso desta forma Assim naturalistas observam uma pulga tem pulgas menores sobre ela E estas têm ainda menores para mordêlas E assim por diante ad infinitum ³ Na reforma da cozinha na casa de um dos autores os novos fornos foram colocados contra a parede em que o termostato estava instalado do outro lado Agora quando o jantar é preparado na cozinha em um dia frio o autor congela durante seu estudo a menos que o termostato seja reajustado ⁴ Esta história é de um empregado novo em uma fábrica de nitroglicerina que era responsável por controlar a temperatura crítica de uma parte do processo manualmente Foilhe dito para manter a leitura abaixo de 300º Em uma inspeção de rotina o fiscal percebeu que o lote estava perigosamente quente e encontraram o trabalhador com o termômetro sob a água fria da torneira ele pretendia diminuir o valor da leitura da temperatura no termômetro Eles saíram um pouco antes da explosão Moral da história às vezes o controle automático é melhor do que o manual posteriormente Em alguns casos o filtro de entrada pode modificar o comando de entrada de referência de forma a melhorar a resposta do sistema Finalmente há uma comparação para calcular a diferença entre o sinal de referência e a saída do sensor para dar ao controlador uma medida do erro do sistema Neste texto serão apresentados os métodos de análise e seus componentes de sistemas de controle realimentados e serão descritas as técnicas mais importantes que os engenheiros de projeto podem usar com confiança na aplicação da realimentação para resolver problemas de controle Também vamos estudar as vantagens específicas da realimentação que compensam a complexidade que ela exige No entanto embora o sistema de controle de temperatura seja de fácil compreensão ele é não linear como pode ser visto pelo fato de que o forno está ligado ou desligado Para introduzir controles lineares precisamos de um outro exemplo 12 A primeira análise da realimentação O valor da realimentação pode ser facilmente demonstrado por meio de uma análise quantitativa de um modelo simplificado de um sistema familiar o controle de velocidade de cruzeiro em um automóvel Fig 13 Para estudar esta situação analítica precisamos de um modelo matemático do nosso sistema na forma de um conjunto de relações quantitativas entre as variáveis Para este exemplo nós ignoramos a resposta dinâmica do veículo e consideramos apenas o comportamento estável A resposta dinâmica é claro desempenha um papel importante em capítulos posteriores Além disso vamos supor que para a gama de velocidades a ser utilizada pelo sistema podemos aproximar as relações como lineares Depois de medir a velocidade do veículo em uma estrada plana a 65 kmh descobrimos que uma mudança de 1º no ângulo do acelerador nossa variável de controle provoca uma mudança de 10 kmh na velocidade A partir de observações durante a condução subindo e descendo colinas verificouse que quando a inclinação da pista muda em 1 medimos uma mudança de velocidade de 5 quilômetros por hora O velocímetro tem precisão de uma fração de 1 kmh e será considerado exato Com essas relações podemos desenhar o diagrama de blocos da planta Fig 14 que mostra essas relações matemáticas em forma gráfica Neste diagrama as linhas ligam e transportam os sinais e um bloco é como um amplificador ideal que multiplica o sinal na sua entrada pelo valor marcado no bloco para produzir o sinal de saída Para somar dois ou mais sinais vamos mostrar as linhas dos sinais indo para um somador um círculo com o sinal de somatório Σ dentro Um sinal algébrico mais ou menos ao lado de cada seta indica se a entrada adiciona ou subtrai a saída total do somatório Para essa análise queremos comparar os efeitos da variação de 1 na velocidade da saída quando a velocidade de referência é definida em 65 kmh com e sem realimentação para o controlador Figura 13 Diagrama de blocos dos componentes de controle de velocidade em cruzeiro de um automóvel Figura 14 Diagrama de blocos da planta do sistema de controle de velocidade em cruzeiro No primeiro caso mostrado na Fig 15 o controlador não usa a leitura do velocímetro mas estabelece u r10 Esse é um exemplo de um sistema de controle em malha aberta O termo malha aberta se refere ao fato de que não existe um caminho fechado em torno do qual os sinais percorrem o diagrama de blocos Em nosso exemplo simples a velocidade é a saída em malha aberta yol que é dada pelas equações yol 10u 05w 10 r10 05w r 5w O erro na velocidade de saída é eol r yol 11 5w 12 e o erro em porcentagem é erro 500wr 13 Se r 65 e w 0 a velocidade será 65 sem erro algum No entanto se w 1 correspondendo a uma inclinação de 1 então a velocidade será 60 e temos um erro de 5 kmh o que é um erro 769 na velocidade Para uma inclinação de 2 o erro de velocidade deve ser de 10 kmh o que é um erro de 1538 e assim por diante O exemplo mostra que não haveria erro quando w 0 mas esse resultado depende que o ganho do controlador seja exatamente o inverso do ganho de planta 10 Na prática o ganho da planta está sujeito a alterações e se isto acontecer erros também serão introduzidos Se houver erro no ganho de planta em malha aberta o erro da velocidade em porcentagem seria o mesmo que o erro do ganho da planta em porcentagem O diagrama de blocos de um sistema realimentado é mostrado na Fig 16 na qual o ganho do controlador foi ajustado para 10 Lembrese de que nesse exemplo simples assumese um sensor ideal cujo bloco não é mostrado Nesse caso as equações são ycl 10u 5w u 10 r ycl Figura 15 Controle de velocidade em cruzeiro em malha aberta as quais são combinadas da seguinte forma ycl 100r 100ycl 5w 101ycl 100r 5w ycl 100101 r 5101 w ecl r101 5w101 Assim a realimentação tem reduzido a sensibilidade do erro de velocidade em relação à inclinação da estrada por um fator de 101 quando comparado com o sistema em malha aberta Observe no entanto que agora há um pequeno erro de velocidade em terreno plano porque mesmo quando w 0 ycl 100101 r 099r kmh Este erro será pequeno enquanto o ganho da malha produto de ganhos do controlador e da planta for grande5 Se considerarmos novamente a velocidade de referência de 65 kmh e comparar as velocidades com uma inclinação de 1 a porcentagem do erro de velocidade de saída é erro 100 65 x 100101 65 x 100101 5101 65 x 100101 14 100 5 x 101 101 x 65 x 100 15 00769 16 A redução da sensibilidade da velocidade em relação ao distúrbio de inclinação e ao ganho da planta em nosso exemplo se dá em virtude de o ganho da malha ser de 100 no caso realimentado Infelizmente há limite para o quão alto esse ganho pode ser quando as dinâmicas são introduzidas a realimentação pode fazer a resposta piorar ou até mesmo fazer com que o sistema fique instável O dilema é ilustrado por outra situação familiar na qual é fácil alterar o ganho de realimentação Se alguém tentar aumentar muito o ganho de um amplificador de altofalantes o sistema de som produzirá um som agudo muito desagradável Esta é uma situação na qual o ganho na malha de realimentação é muito grande A questão de como obter o maior ganho possível para reduzir os erros sem fazer com que o sistema fique instável é parte importante do projeto do controle retroativo Figura 16 Controle de velocidade de cruzeiro em malha fechada 5 Se o erro for muito grande é uma prática comum redefinir a referência neste caso para 101100 r de modo que a saída atinja o verdadeiro valor desejado 8 Sistemas de Controle 13 Uma breve história Uma história interessante dos primeiros trabalhos sobre o controle realimentado foi escrita por O Mayr 1970 que apresenta antigos mecanismos de controle Dois dos exemplos mais an tigos são o controle de vazão para regular um relógio dágua e o controle de nível em um recipiente de vinho o qual deve ser mantido cheio independentemente de quantos copos são en chidos nele O controle de vazão de líquidos é reduzido para o controle de nível do fluido uma vez que um pequeno orifício irá produzir fluxo constante se a pressão for constante o que é o caso se o nível do líquido acima do orifício for constante O mecanismo de controle de nível de líquido inventado na antiguidade e ainda hoje utilizado por exemplo no reservatório de água do vaso sanitário comum é a válvula de boia Quando o nível do líquido diminui o mesmo acontece com a boia permitindo a entrada do fluxo no tanque com o aumento do nível o fluxo diminui e se necessário ele é cortado A Fig 17 mostra como uma válvula de boia opera Ob serve que neste caso o sensor e o atuador não são dispositivos distintos mas estão contidos no dispositivo formado pela combinação do tubo de fornecimento e da boia A invenção mais recente descrita por Mayr 1970 é um sistema projetado por Cornelis Drebbel aproximadamente em 1620 para controlar a temperatura de um forno usado para aque cer uma incubadora6 Fig18 O forno consiste de uma caixa para conter o fogo com uma haste na parte superior equipada com uma tampa Dentro da caixa há uma incubadora de parede dupla paredes ocas que são preenchidas com água para transferir uniformemente o calor para a incubadora O sensor de temperatura é um recipiente de vidro cheio de álcool e mercúrio que está colocado no interior da parede oca da incubadora preenchida com água Quando o fogo aquece a caixa e a água o álcool se expande e a haste lateral flutua para cima diminuindo a abertura que permite a combustão Se a caixa estiver muito fria o álcool contrai a abertura aumenta e o fogo se torna mais forte A temperatura desejada é definida pelo comprimento da haste lateral que define a abertura para uma dada expansão do álcool Um famoso problema na história dos sistemas de controle foi a busca de um meio para controlar a velocidade de rotação de um eixo problema aparentemente motivado pelo desejo de se controlar automaticamente a velocidade da pedra de moagem em um moinho movido pelo vento Fuller 1976 Entre os vários métodos propostos o mais promissor usava um pêndulo cônico ou governador de bolas flutuantes para medir a velocidade do moinho As velas do moinho de vento eram recolhidas ou baixadas por meio de cordas e polias como uma persiana para manter a velocidade fixa No entanto foi a adaptação desses princípios que possibilitou o surgimento da máquina a vapor nos laboratórios de James Watt em torno de 1788 Uma versão antiga é mostrada na Fig 19 enquanto as Figuras 110 e 111 focalizam no governador de bolas flutuantes e no esboço dos seus componentes respectivamente A ação do governador de bolas flutuantes também chamado de governador centrífugo é simples de ser descrita Suponha que o motor está operando em equilíbrio Duas bolas pesadas giram em torno de um eixo central e descrevendo a figura de um cone em determinado ângulo com o eixo Quando uma carga é aplicada repentinamente no motor sua velocidade irá dimi nuir e as bolas do governador vão cair para um cone menor Assim o ângulo da bola é usado 6 Médicos franceses introduziram incubadoras no cuidado de bebês prematuros há mais de 100 anos Controle de nível de líquido A incubadora de Drebbel Governador de bolas flutuantes Figura 17 Histórico do sistema de controle de nível e fluxo de líquido Tubo de fornecimento Boia Capítulo 1 Visão Geral e um Breve Histórico da Teoria de Controle Realimentado 9 para detectar a velocidade de saída Esta ação abrirá por meio de alavancas a válvula principal do cilindro de vapor que é o atuador fornecendo mais vapor ao motor restaurando grande parte da velocidade perdida Para manter a válvula de vapor em uma nova posição é necessário que as bolas flutuantes girem em um ângulo diferente o que implica que a velocidade sob carga não é exatamente a mesma de antes Nós vimos este efeito antes com controle de velocidade em cruzeiro em que o controle realimentado permitiu um pequeno erro Para recuperar a mes ma velocidade anterior do sistema seria necessário redefinir a velocidade desejada alterando o comprimento da haste da alavanca da válvula Inventores posteriores introduziram mecanismos que integravam o erro da velocidade para fornecer uma reconfiguração automática No capítulo 4 vamos analisar estes sistemas para mostrar que essa integração pode resultar em sistemas retroativos com erro nulo em estado estacionário quando sujeitos a perturbações constantes Por ser um homem prático Watt não se envolveu na análise teórica do governador Fuller 1976 delineou o desenvolvimento inicial da teoria de controle por um período de estudos de Christian Huygens em 1673 a James Clerk Maxwell em 1868 Fuller dá crédito especial das contribuições da G B Airy professor de matemática e astronomia na Universidade de Cambridge de 1826 a 1835 e Astrônomo Real no Observatório Greenwich de 1835 a 1881 Airy mostrouse in teressado no controle de velocidade se seus telescópios pudessem girar em sentido contrário à ro tação da Terra uma estrela fixa poderia ser observada por períodos prolongados Usando o gover nador pêndulocentrífugo ele descobriu que era capaz de um movimento instável e a máquina se posso por assim dizer tornouse perfeitamente violenta Airy 1840 citado por Fuller 1976 Início da teoria de controle Água Gases da combustão Parede de metal Fogo Álcool Mercúrio Material flutuante Haste Tampa Ovos Figura 18 Incubadora de ovos de galinha desenvolvida por Drebbel Fonte adaptação de Mayr 1970 Figura 19 Fotografia de um antigo motor a vapor de Watt Fonte British Crown Copyright Science Museum London 10 Sistemas de Controle De acordo com Fuller Airy foi o primeiro a discutir instabilidade em sistemas de controle realimentado e o primeiro a analisar tais sistemas usando equações diferenciais Estes foram os primeiros estudos sobre o controle realimentado Aparentemente o primeiro estudo sistemático da estabilidade do controle realimentado foi apresentado no artigo intitulado On Governors de J C Maxwell 18687 Nesse artigo Maxwell desenvolveu as equações diferenciais do governador linearizandoas com base no equilíbrio e afirmou que a estabilidade depende das raízes de certa equação equação caracte rística que devem ter parte real negativa Maxwell tentou obter condições relacionando os coe ficientes de um polinômio com raízes de parte real negativa Ele foi bemsucedido apenas para os casos de segunda e terceira ordem A determinação de critérios de análise de estabilidade foi o problema considerado para o Prêmio Adams de 1877 dado a E J Routh8 Seu critério per manece como uma ferramenta de muito interesse tal que engenheiros de controle ainda estão aprendendo a aplicar sua simples técnica A análise da equação característica mantevese como a base da teoria de controle até a invenção do amplificador eletrônico por H S Black em 1927 no laboratório Bell Telephone Laboratories Logo após a publicação do artigo de Routh o matemático russo A M Lyapunov 1893 co meçou a estudar a questão da estabilidade do movimento Seus estudos baseados em equações diferenciais não lineares de movimento incluem os resultados de equações lineares equivalen tes ao critério de Routh Seu trabalho foi fundamental para o que hoje é chamado de abordagem em variáveis de estado na teoria de controle mas essa abordagem não foi introduzida na litera tura de controle até 1958 O desenvolvimento do amplificador realimentado é brevemente descrito em um interes sante artigo baseado em uma palestra de H W Bode 1960 reproduzida em Bellman e Kalaba 1964 Com a introdução de amplificadores eletrônicos ligações telefônicas de longa distân cia se tornaram possíveis nas décadas seguintes à Primeira Guerra Mundial No entanto como as distâncias aumentaram também cresceu a perda de energia elétrica apesar da utilização de fios de maior diâmetro o aumento do número de amplificadores foi necessário para repor a energia perdida Infelizmente um grande número de amplificadores causa uma grande dis torção pois eles são constituídos por válvulas que apresentam uma pequena não linearidade que é multiplicada muitas vezes Para resolver o problema da distorção Black propôs um amplificador realimentado Como mencionado antes no problema de controle de velocidade 7 Uma exposição da contribuição de Maxwell é dada em Fuller 1976 8 E J Routh foi o melhor aluno de sua classe na Universidade de Cambridge em 1854 enquanto J C Maxwell foi o segundo lugar Em 1877 Maxwell estava no comitê do Prêmio Adams e escolheu o problema de estabilidade como o tema do ano Análise da estabilidade Resposta em frequência Figura 110 Fotografia focalizando o governador de bolas flutuantes Fonte British Crown Copyright Science Museum London Capítulo 1 Visão Geral e um Breve Histórico da Teoria de Controle Realimentado 11 em cruzeiro de um automóvel quanto mais desejamos reduzir erros ou distorções mais a aplicação da realimentação se torna necessária O ganho na malha que conecta planta sensores e atuadores deve ser muito grande Entretanto com um ganho muito alto de realimentação o sistema começa a ficar instável Os critérios de análise de estabilidade de Maxwell e Routh foram brevemente discutidos mas vale ressaltar que quando a dinâmica é muito complexa equações diferenciais de ordem aproximadamente ou superior a 50 o critério Routh não é muito útil Assim os engenheiros de telecomunicações no Bell Telephone Laboratories fami liarizados com o conceito de resposta em frequência e com a matemática de variáveis comple xas voltaramse para o estudo da análise complexa Em 1932 H Nyquist publicou um artigo descrevendo um método para determinar a estabilidade por meio de uma representação gráfica da resposta em frequência A partir desta teoria desenvolveuse uma extensiva metodologia descrita por Bode 1945 para o projeto de amplificadores realimentados que ainda é ampla mente utilizada no projeto de controle realimentado Os diagramas de Nyquist e Bode são discutidos em mais detalhes no Capítulo 6 Simultaneamente ao desenvolvimento do amplificador realimentado o controle reali mentado foi se tornando padrão em processos industriais Este campo caracterizado por processos que não são apenas altamente complexos mas também não lineares e sujeitos a retardos no tempo entre o atuador e sensor que podem ser relativamente longos desenvolveu o controle proporcionalintegralderivativo PID O controlador PID foi primeiramente descrito por Callender e outros 1936 Essa tecnologia foi baseada em um extenso trabalho experimental e em simples aproximações linearizadas para a dinâmica do sistema Isso levou a experimentos padrões adequados para a aplicação em campo e depois à sintonia satis fatória dos parâmetros do controlador PID controladores PID são abordados no Capítulo 4 Também estavam em desenvolvimento naquela época dispositivos de orientação e controle de aeronaves foi especialmente importante o desenvolvimento de sensores para medição de alti tude e velocidade de aeronaves Um relato interessante sobre esse ramo da teoria de controle está em McRuer 1973 Um enorme impulso foi dado ao campo do controle realimentado durante a Segunda Guer ra Mundial Nos Estados Unidos engenheiros e matemáticos no Laboratório de Radiação do MIT combinaram seu conhecimento para reunir não só a teoria de Bode do amplificador reali mentado e do controle PID mas também a teoria de processos estocásticos desenvolvida por N Wiener 1930 O resultado foi o desenvolvimento de um conjunto abrangente de técnicas para Controle PID Eixo Entrada para o motor Válvula borboleta Vapor Anel Bolas Rotação Polia do motor Figura 111 Componentes para o funcionamento de um governador de bolas flutuantes 12 Sistemas de Controle a concepção de servomecanismos como os mecanismos de controle passaram a ser chamados Muito deste trabalho foi coletado e publicado nos registros do Laboratório de Radiação por James e outros 1947 Outra abordagem para projetar sistemas de controle foi introduzida em 1948 por W R Evans que estava trabalhando no campo da orientação e controle de aeronaves Muitos dos seus problemas envolviam dinâmicas instáveis ou com estabilidade neutra o que dificultou a aplicação de métodos baseados em frequência Então ele sugeriu voltar ao estudo da equação característica que tinha sido a base do trabalho de Maxwell e Routh quase 70 anos antes No entanto Evans desenvolveu técnicas e regras que permitem fazer um acompanhamento gráfico dos caminhos das raízes da equação característica à medida que um parâmetro é alterado Seu método o lugar das raízes é apropriado para o projeto bem como para análise de estabilidade e continua sendo uma técnica importante atualmente O método do lugar das raízes desenvolvi do por Evans é abordado no Capítulo 5 Durante a década de 1950 vários autores incluindo R Bellman e R E Kalman nos Esta dos Unidos e L S Pontryagin na URSS começaram novamente a considerar a equação dife rencial ordinária ODE como um modelo para sistemas de controle Muito deste trabalho foi es timulado pelo novo campo de controle de satélites artificiais no qual a ODE é uma forma natural para a representação dos modelos Os computadores digitais também apoiaram esta iniciativa pois poderiam ser utilizados para realizar cálculos impensáveis 10 anos antes Atualmente é claro esses cálculos podem ser feitos por qualquer estudante de engenharia com um computador portátil O trabalho de Lyapunov foi traduzido para a linguagem de controle nessa época e o estudo do controle ótimo iniciado por Wiener e Phillips durante a Segunda Gerra Mundial foi estendido para otimizar trajetórias de sistemas não lineares com base no cálculo variacional Muito deste trabalho foi apresentado na primeira conferência da recémformada Federação In ternacional de Controle Automático realizada em Moscou em 19609 Este trabalho não utilizou a resposta em frequência ou a equação característica mas trabalhou diretamente com a ODE em sua forma normal ou na forma de espaço de estados geralmente relacionada com a ampla utilização de computadores Embora as bases do estudo de equações diferenciais tenham sido estabelecidas no final do século 19 essa abordagem é chamada frequentemente de controle moderno para diferenciála do controle clássico que é baseado em variáveis complexas e nos métodos de Bode e outros A partir da década de 1970 até atualmente vemos um crescente cam po de trabalho que pretende usar as melhores características de cada técnica Assim chegamos ao estado atual em que os princípios de controle são aplicados em uma ampla gama de disciplinas incluindo todos os ramos da engenharia O engenheiro de controle bem preparado precisa entender a teoria matemática básica que fundamenta o campo e deve ser capaz de selecionar a melhor técnica de projeto adequada para o problema em mãos Com o uso onipresente de computadores é especialmente importante que o engenheiro seja capaz de usar seu conhecimento para orientar e verificar os cálculos feitos no computador10 14 Uma visão geral do livro O objetivo central deste livro é apresentar as técnicas mais importantes para o projeto de siste mas de controle com uma entrada e uma saída O Capítulo 2 irá rever as técnicas necessárias para obtenção dos modelos de sistemas dinâmicos que queremos controlar Estes incluem mo delismo para engenharia mecânica elétrica eletromecânica e alguns outros sistemas físicos O Capítulo 2 também descreve sucintamente a linearização de modelos não lineares mas isso será discutido mais profundamente no Capítulo 9 9 O controle ótimo ganhou um grande impulso quando Bryson e Denham 1962 mostraram que um avião supersônico deve mergulhar em um certo ponto para atingir uma determinada altitude em tempo mínimo Esse resultado não intui tivo foi posteriormente demonstrado aos pilotos de caça em testes de voo 10 Para mais informações sobre a história do controle consulte os artigos da IEEE Control Systems Magazine de no vembro de 1984 a junho de 1996 Lugar das raízes Projeto no espaço de estados Controle moderno Controle clássico Capítulo 1 Visão Geral e um Breve Histórico da Teoria de Controle Realimentado 13 No Capítulo 3 e no Apêndice A será discutida a análise da resposta dinâmica utilizando a transformada de Laplace junto à relação entre o tempo de resposta e aos polos e zeros da função de transferência Esse capítulo também inclui uma discussão sobre o problema crítico de análi se de estabilidade do sistema incluindo o teste de Routh O Capítulo 4 cobre as equações e as características básicas da realimentação É feita uma análise dos efeitos da realimentação em relação à rejeição de distúrbios precisão de rastrea mento sensibilidade a parâmetros variantes e resposta dinâmica A ideia básica do controle PID elementar é discutida Também neste capítulo uma breve introdução é dada para a implemen tação digital das funções de transferência e portanto de controladores lineares invariantes no tempo de modo que os efeitos do controlador digital possam ser comparados com controlado res analógicos Nos Capítulos 5 6 e 7 são introduzidas técnicas para a realização dos objetivos de contro le identificados pela primeira vez no Capítulo 4 em sistemas dinâmicos mais complexos Esses métodos incluem o lugar das raízes resposta em frequência e técnicas baseadas em variáveis de estado Estes são os meios alternativos para o mesmo fim e têm diferentes vantagens e desvan tagens para o projeto de controladores Os métodos são fundamentalmente complementares e cada um precisa ser compreendido para obter projetos de sistemas de controle mais eficazes No Capítulo 8 são discutidas ideias sobre a implementação de controladores em compu tadores digitais que foram introduzidas no Capítulo 4 O capítulo aborda como digitalizar as equações de controle desenvolvidas nos Capítulos 5 6 e 7 como a amostragem introduz um atraso que tende a desestabilizar o sistema e como para um bom desempenho se dá a necessi dade da taxa de amostragem ser um múltiplo das frequências do sistema A análise dos sistemas de amostragem exige outra ferramenta de análise a transformada z e essa ferramenta é des crita e seu uso é ilustrado A maioria dos sistemas reais é não linear No entanto os métodos de análise e projeto na maior parte do livro são para sistemas lineares No Capítulo 9 é explicado por que o estudo de sistemas lineares é pertinente porque é útil para o projeto embora a maioria dos sistemas seja não linear e como os projetos de sistemas lineares podem ser modificados para lidarem com a maioria das não linearidades comuns nos sistemas O capítulo aborda a saturação descrevendo as funções do controlador antiwindup e contém uma breve introdução à teoria de estabilidade de Lyapunov A aplicação de todas as técnicas em problemas de substancial complexidade é discutida no Capítulo 10 em que os métodos de projeto são implementados simultaneamente em estudos de casos específicos Hoje projetistas de controle fazem uso extensivo de programas computacionais que estão disponíveis comercialmente Também existem ferramentas de projeto de controle disponíveis para estudantes Para esse propósito os programas mais utilizados são o MATLAB e o SI MULINK da Mathworks Linhas de instruções para o MATLAB foram incluídas em todo o texto para ajudar a ilustração deste método na solução de muitos problemas que necessitam do auxílio computacional Muitas das figuras do livro foram criadas usando o MATLAB e os arquivos para a sua criação estão disponíveis no site do Grupo A É desnecessário dizer que muitos temas não são tratados no livro Não aprofundamos os mé todos de controle multivariável que são apropriados para sistemas com mais de uma entrada eou saída exceto quando parte no Capítulo 10 do estudo da processadora térmica rápida O controle ótimo também é tratado apenas de uma maneira introdutória no Capítulo 7 Além disso o detalhamento dos métodos experimentais de teste e modelagem também está fora do escopo deste texto O livro concentrase na análise e no projeto de controladores lineares para modelos lineares de plantas não porque pensamos que esse é o passo final de um projeto mas porque essa é a melhor forma de entender as ideias básicas e geralmente é o primeiro passo para se chegar a um projeto satisfatório Acreditamos que o domínio do con teúdo apresentado aqui fornece uma base para o entendimento dos temas mais avançados e práticos uma base sólida o suficiente para permitir que o leitor desenvolva um novo método de projeto seguindo passos similares de todos aqueles que trabalharam para nos dar o conhe cimento que aqui apresentamos 14 Sistemas de Controle RESUMO Controle é o processo de fazer com que uma variável do sistema assuma um determinado valor chamado de valor de referência Um sistema concebido para acompanhar uma refe rência é chamado de controle de rastreamento ou servo Um sistema projetado para manter uma saída fixa independentemente dos distúrbios presentes é chamado de regulação ou controle de regulação Os dois tipos de controle foram definidos e ilustrados com base nas informações utilizadas para o controle e nomeados de acordo com a estrutura resultante No controle de malha aberta o sistema resultante não contém um sensor para medição da saída e assim não há uma ação de correção para fazer com que a saída seja igual ao sinal de referência No con trole de malha fechada o sistema inclui um sensor para medir o sinal de saída e utiliza a realimentação para influenciar na variável de controle Um simples sistema realimentado consiste do processo o qual possui a saída que deve ser controlada o atuador cuja saída causa uma mudança na saída do sistema sensores para a medição dos sinais de referência e saída e o controlador que implementa a lógica pela qual o sinal de controle que comanda o atuador é calculado Diagramas de blocos são úteis para a visualização da estrutura do sistema e o fluxo de informações no sistema de controle Os diagramas de blocos mais comuns representam as relações matemáticas entre os sinais em um sistema de controle As teorias e técnicas de projeto de controle passaram a ser divididas em duas categorias métodos de controle clássico baseados no uso das transformadas de Laplace e Fourier que foram os métodos dominantes no campo de controle até cerca de 1960 enquanto métodos de controle moderno são baseados em equações diferenciais na forma de espaço de estados e foram introduzidos no campo a partir de década de 1960 Muitas ligações foram descober tas entre as duas categorias e engenheiros bem preparados devem estar familiarizados com ambas as técnicas QUESTÕES DE REVISÃO 1 Quais são os principais componentes de um sistema de controle realimentado 2 Qual é o propósito do sensor 3 Cite três propriedades importantes de um bom sensor 4 Qual é o propósito de um atuador 5 Cite três propriedades importantes de um bom atuador 6 Qual é o propósito do controlador Qualis ésão as saídas e as entradas do controlador 7 Queais variáveleis físicas de um processo podem ser medidas diretamente por um sensor de efeito Hall 8 Que variável física é medida por um tacômetro 9 Descreva três técnicas diferentes para a medição de temperatura 10 Por que a maioria dos sensores tem uma saída elétrica independentemente da natureza física da variável que está sendo medida PROBLEMAS 11 Desenhe um diagrama de blocos para o controle realimentado para cada um dos sistemas a Sistema de direção manual de um automóvel b Incubadora de Drebbel c Controle de nível de água por uma boia e válvula d Motor a vapor de Watt com um governador de bolas flutuantes Capítulo 1 Visão Geral e um Breve Histórico da Teoria de Controle Realimentado 15 Em cada caso indique a localização dos elementos listados abaixo e dê as unidades associa das a cada sinal Processo A saída desejada do processo Sensor Atuador A saída desejada do atuador Controlador A saída do controlador O sinal de referência O sinal de erro Observe que em alguns casos o mesmo dispositivo físico pode executar mais de uma função 12 Identifique os princípios físicos e descreva o funcionamento do termostato em uma casa ou escri tório 13 Uma máquina para fabricação de papel é diagramada na Fig 112 Existem dois principais parâ metros sob controle a densidade das fibras controlada pela consistência do material bruto que flui a partir do reservatório principal e o teor de umidade do produto final que sai do secador O con teúdo do reservatório de mistura é diluído pelo líquido de diluição controlado por uma válvula de controle VC Um medidor fornece uma leitura da consistência Na seção seca da máquina há um sensor de umidade Desenhe um gráfico de sinais e identifique os nove componentes listados no Problema 11 parte d para a Controle de consistência b Controle de umidade 14 Muitas variáveis no corpo humano estão sob controle realimentado Para cada uma das seguintes variáveis controladas desenhe um gráfico que mostre o processo sendo controlado o sensor que mede a variável o atuador que regula a variável controlada o caminho que a informação per corre até fechar a realimentação e os distúrbios que perturbam a variável Talvez seja necessário consultar uma enciclopédia ou um livro de fisiologia humana para obter informações sobre este problema a Pressão sanguínea b Concentração de açúcar no sangue c Frequência cardíaca d Ângulo dos olhos e Diâmetro das pupilas 15 Desenhe um gráfico com os componentes para o controle de temperatura em um frigorífico ou para um ar condicionado automotivo 16 Desenhe um gráfico com os componentes para o controle de posição de um elevador Indique como é feita a leitura da posição da cabine do elevador Qual é a precisão adequada para o sensor Material bruto Medidor de consistência Controlador Líquido de diluição VC Refinador Reservatório de mistura Reservatório de armazenamento Canal de massa Sensor de umidade Telas e produtos de limpeza Reservatório principal Seção seca Prensas Bobina Figura 112 Máquina de fazer papel Fonte Åström 1970 p 192 reproduzido com permissão 16 Sistemas de Controle O sistema de controle deve considerar o fato de que em elevadores de edifícios altos há uma gran de extensão de cabos 17 O controle realimentado necessita medir a variável que está sendo controlada Como os sinais elé tricos podem ser transmitidos amplificados e transformados facilmente muitas vezes queremos ter um sensor cuja saída é uma tensão ou corrente proporcional à variável que está sendo medida Descreva um sensor que daria uma saída elétrica com intensidade proporcional a a Temperatura b Pressão c Nível de líquido d Fluxo de líquido ao longo de uma tubulação ou sangue ao longo de uma artéria e Posição linear f Posição de rotação g Velocidade linear h Velocidade de rotação i Aceleração translacional j Torque 18 Cada uma das variáveis enumeradas no Problema 17 pode ser utilizada no controle realimentado Descreva um atuador que poderia aceitar uma entrada elétrica e ser usado para controlar as variá veis indicadas Dê as unidades do sinal de saída do atuador Modelos Dinâmicos 2 O objetivo geral do controle realimentado é a utilização do princípio de realimentação para que a variável de saída de um processo dinâmico siga uma variável de referência desejada com preci são independentemente da trajetória da variável de referência de perturbações externas ou de qualquer alteração na dinâmica do processo Esse complexo objetivo é alcançado como resultado de uma série de simples e distintos passos O primeiro deles é desenvolver uma descrição mate mática chamada de modelo dinâmico do processo a ser controlado O termo modelo como é utilizado e compreendido por engenheiros de controle é um conjunto de equações diferenciais que descrevem o comportamento dinâmico do processo Um modelo pode ser obtido usando os princípios físicos ou por meio de testes de um protótipo do dispositivo medindo sua resposta a determinadas entradas e usando os dados para construir um modelo analítico Este capítulo trata apenas do uso da física Existem livros dedicados inteiramente à determinação experimental de modelos às vezes chamada de Identificação de Sistemas e essas técnicas são descritas de forma muito breve no Capítulo 3 Um cuidadoso projetista de sistemas de controle deverá contar com pelo menos alguns experimentos para verificar a precisão do modelo quando este for obtido por meio de princípios físicos Em muitos casos a modelagem de processos complexos é difícil e cara especialmente quando importantes etapas para a construção de protótipos e testes são incluídas No entanto neste tex to introdutório vamos concentrarnos nos princípios mais básicos para a modelagem de sistemas físicos comuns Fontes mais abrangentes e textos especializados serão referenciados ao longo do texto para aqueles que desejam obter mais detalhes Nos últimos capítulos será explorada uma variedade de métodos de análise para lidar com equações dinâmicas e suas soluções para fins de criação de sistemas de controle realimentado Visão geral do capítulo O passo fundamental na construção de um modelo dinâmico é escrever as equações que repre sentam as dinâmicas do sistema Como é discutido em uma variedade de exemplos a Seção 21 demonstra como escrever as equações dinâmicas para uma variedade de sistemas mecânicos Além disso a seção demonstra o uso do MATLAB para encontrar a resposta temporal de um simples sistema para uma entrada em degrau Ademais as ideias de funções de transferência e diagramas de blocos são introduzidas junto à ideia de que problemas podem ser resolvidos via SIMULINK 18 Sistemas de Controle Circuitos elétricos e sistemas eletromecânicos são modelados nas Seções 22 e 23 res pectivamente Para aqueles que querem exemplos de modelagem de sistemas dinâmicos mais diversifica dos a Seção 24 que é opcional amplia a discussão para o sistema cardíaco e para um sistema de fluxo de fluidos O capítulo termina com a Seção 25 uma discussão sobre a história por trás das descober tas que levaram ao conhecimento já consagrado hoje As equações diferenciais desenvolvidas na modelagem são geralmente não lineares Como os sistemas não lineares são significativamente mais difíceis de serem resolvidos do que os sistemas lineares e porque modelos lineares são geralmente adequados a ênfase nos capítulos iniciais é principalmente em sistemas lineares No entanto neste capítulo é mostrado como linearizar simples não linearidades e como usar o SIMULINK para resolver numericamente as equações dinâmicas que representam um sistema não linear O Capítulo 9 apresenta uma dis cussão muito mais ampla a respeito de linearização e análise de sistemas não lineares A fim de concentrarse na primeira importante etapa para o desenvolvimento de modelos matemáticos vamos adiar a explicação dos métodos computacionais utilizados para resolver as equações dinâmicas desenvolvidas deste capítulo até o Capítulo 3 21 Dinâmica de sistemas mecânicos 211 Movimento de translação A pedra fundamental para a obtenção de um modelo matemático ou as equações de movimen to para qualquer sistema mecânico é a lei de Newton F ma 21 sendo F a soma vetorial de todas as forças aplicadas em cada corpo de um sistema newtons N a a aceleração vetorial de cada corpo com relação a um referencial inercial muitas ve zes chamada de aceleração inercial ms2 m massa do corpo kg Note que na Eq 21 como em todo o texto usamos a convenção de letras em negrito para indicar que a quantidade é uma matriz ou vetor possivelmente uma função vetorial No Sistema Internacional de Unidades SI uma força de 1 N resulta na aceleração de 1 ms2 em uma massa de 1 kg No sistema Inglês de unidades uma força de 1 lb resulta na aceleração de 1 pés2 em uma massa de 1 slug O peso de um objeto é mg sendo que g é a aceleração da gravidade 981ms2 322 pés2 O sistema inglês de unidades é comumente usado para fazer referência à massa de um objeto em termos do seu peso em libras que é a Lei de Newton para movimento de translação Figura 21 Modelo do sistema de contro le de velocidade em cruzeiro u Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 19 quantidade medida nas balanças Para obter a massa em slugs para ser usada na lei de Newton o peso deve ser dividido por g Portanto um objeto com peso 1 lb tem uma massa de 1322 slugs A massa em slugs tem a unidade lbs2pé Em unidades métricas balanças são tipicamente cali bradas em quilogramas que é uma medida direta da massa A aplicação desta lei geralmente envolve a definição de coordenadas convenientes em re lação ao movimento do corpo posição velocidade e aceleração sendo que as forças no corpo são determinadas por meio de um diagrama de corpo livre e então as equações de movimento são escritas a partir da Eq 21 O procedimento é mais simples quando as coordenadas esco lhidas expressam a posição com relação a um referencial inercial pois nesse caso as acelera ções necessárias para a lei de Newton são simplesmente as segundas derivadas das coordenadas de posição EXEMPLO 21 Modelo do sistema de controle de velocidade em cruzeiro 1 Escreva as equações de movimento para a velocidade do carro conforme mostrado na Fig 21 assumindo que o motor fornece uma força u Obtenha a transformada de Laplace da equação diferencial resultante e encontre a função de transferência entre a entrada u e a saída v 2 Use o MATLAB para encontrar a resposta da velocidade do carro para o caso em que a en trada vai de u 0 no tempo t 0 para uma constante de u 500 N Suponha que a massa m do carro é 1000 kg e que o coeficiente de viscosidade é b 50 Nsm Solução 1 Equações de movimento Por simplicidade suponha que o momento de inércia das rodas é desprezível e que o atrito retardando o movimento do carro é proporcional à velocidade do carro com uma constante de proporcionalidade b1 O modelo do carro pode ser obtido utilizando o diagrama de corpo livre mostrado na Fig 22 que define as coordenadas mostra todas as forças que atuam sobre o corpo linhas grossas e indica a aceleração linha tracejada A coordenada da posição do carro x é a distância da linha de referência indicada e é escolhida de forma que seja positiva para a direita Note que neste caso a aceleração inercial é simplesmente a segunda derivada de x ou seja a porque a posição do car ro é medida em relação a um referencial inercial A equação do movimento é encontrada usando a Eq 21 A força de atrito age em oposição à direção do movimento portanto é desenhada em oposição à direção do movimento do corpo e entra como uma força negativa na Eq 21 O resultado é u b m 22 ou 23 1 Se a velocidade é v a força de atrito aerodinâmico é proporcional a v2 Neste modelo simples temos uma aproxima ção linear Uso do diagrama de corpo livre na aplicação da lei de Newton Figura 22 Diagrama de corpo livre para o sistema de controle de ve locidade em cruzeiro x Força de atrito bx u x m 20 Sistemas de Controle Para o caso de controle de velocidade de cruzeiro de um automóvel no qual a variável de interesse é a velocidade v a equação de movimento tornase 24 A solução dessa equação será abordada em detalhes no Capítulo 3 no entanto a essência é uma solução da forma v Voest para uma dada entrada da forma u Uoest Então já que sVoest a equação diferencial pode ser escrita como 25 O termo est é anulado obtendo 26 Por razões que ficarão claras no Capítulo 3 esta é geralmente escrita como 27 Esta expressão da equação diferencial em 24 é chamada de função de transferência e será usada extensivamente nos últimos capítulos Note que em essência s foi substituído por ddt na Eq 242 2 Resposta temporal As dinâmicas de um sistema podem ser prescritas para o MATLAB em termos de vetores linha contendo os coeficientes dos polinômios que descrevem o nu merador e o denominador da função de transferência A função de transferência para este problema é dada na parte a Neste caso o numerador chamado de num é simplesmente um número dado que não existem potências de s de modo que num 1m 11000 O denominador chamado den contém os coeficientes do polinômio s bm que são A função step no MATLAB calcula a resposta temporal de um sistema linear para a entrada sendo o degrau unitário Como o sistema é linear a saída para este caso pode ser multipli cada pela magnitude da entrada em degrau para obter a resposta a um degrau de qualquer amplitude Equivalentemente num pode ser multiplicado pelo valor da entrada em degrau As declarações num 11000 1m den 1 501000 s bm sys tfnum500 den a função step fornece a resposta ao degrau unitário então num500 fornece a resposta a um degrau de amplitude 500 stepsys traça o gráfico da resposta ao degrau calcula e traça o gráfico da resposta temporal para uma entrada em degrau de amplitude de 500 N A resposta ao degrau é mostrada na Fig 23 2 O uso de um operador de diferenciação foi desenvolvido por Cauchy em cerca de 1820 com base na transformada de Laplace que foi desenvolvida em 1780 aproximadamente No Capítulo 3 vamos mostrar como obter funções de transferência usando a transformada de Laplace Referência Gardner e Barnes 1942 Função de transferência Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 21 A lei de Newton também pode ser aplicada a sistemas com mais de uma massa Neste caso é particularmente importante traçar o diagrama de corpo livre de cada massa mostrando as forças externas aplicadas bem como as forças internas iguais e opostas de cada massa que atuam nas outras EXEMPLO 22 Um sistema de duas massas modelo de suspensão A Figura 24 mostra o sistema de suspensão de um veículo Escreva as equações dinâmicas para o movimento do automóvel assumindo que cada roda tenha um movimento unidimensional ver tical e suporte um quarto da massa do carro Um sistema que consiste em uma das quatro sus pensões nas rodas é normalmente referido como modelo de um quarto do carro Suponha que o modelo corresponda a um carro com massa de 1580 kg incluindo as quatro rodas que têm uma massa de 20 kg cada Ao colocar um peso conhecido um autor diretamente sobre uma roda e medir a deflexão do carro descobrimos que ks 130000 Nm Medindo da deflexão da roda para o mesmo peso aplicado encontrase kw 1000000 Nm Utilizando os resultados na Seção 33 Fig 318 b e qualitativamente observando que a resposta do carro quando o autor salta corresponde à curva ζ 07 concluise que b 9800 Nsm Solução O sistema pode ser aproximado pelo sistema simplificado mostrado na Fig 25 As coordenadas das duas massas x e y com as direções de referência conforme indicado são os deslocamentos das massas de suas condições de equilíbrio As posições de equilíbrio diferem das posições em que as molas não estão comprimidas devido à força da gravidade O amorte cedor representado no esquema tem atrito constante b A magnitude da força do amortecedor é assumida como sendo proporcional à taxa de variação do deslocamento relativo das duas massas ou seja a força b A força da gravidade poderia ser incluída no diagrama de corpo livre no entanto seu efeito é produzir um deslocamento constante em x e y Ao definir x e y como a distância a partir da posição de equilíbrio a necessidade de incluir a força da gravi dade é eliminada Figura 23 Resposta da velocidade do carro para uma entrada em degrau u 10 8 6 4 2 0 Amplitude 0 50 100 Tempo s Figura 24 Suspensão do automóvel 22 Sistemas de Controle A força da suspensão do carro atua sobre as massas em proporção ao seu deslocamento na constante elástica ks A Figura 26 mostra o diagrama de corpo livre de cada massa Note que as forças da mola nas duas massas são iguais em magnitude mas atuam em direções opostas o que também é o caso do amortecedor Um deslocamento positivo y da massa m2 irá resultar em uma força da mola em m2 na direção indicada e uma força da mola em m1 na direção indicada No entanto um deslocamento de massa x positivo m1 irá resultar em uma força da mola ks em m1 na direção oposta àquela estabelecida na Fig 26 como indicado pelo termo menos x para força desta mola A mola inferior kw representa a compressibilidade dos pneus para a qual o amortecimento não é suficiente o que justifica a inclusão de um amortecedor no modelo A força desta mola é proporcional à distância com que o pneu é comprimido e a força nominal de equilíbrio neces sária para dar suporte às massas m1 e m2 contra a gravidade Ao definir x como a distância do ponto de equilíbrio surgirá uma força resultante se a superfície da estrada contiver uma irregu laridade r muda a partir de seu valor de equilíbrio igual a zero ou se a roda saltar mudanças em x O movimento do carro simplificado sobre uma estrada esburacada irá resultar em um valor de rt que não é constante Como observado anteriormente há uma força constante em razão da gravidade agindo so bre cada massa no entanto essa força tem sido omitida assim como as forças iguais e opostas das molas As forças gravitacionais podem ser sempre omitidas em sistemas verticais de massa e mola 1 se as coordenadas das posições são definidas a partir da posição de equilíbrio que resulta quando a gravidade age e 2 se as forças da mola utilizadas na análise são na realidade perturbações nas forças da mola daquelas forças que agem no equilíbrio Aplicando a Eq 21 a cada massa e notando que algumas forças em cada massa estão na direção negativa para baixo o sistema de equações é obtido b ksy x kwx r m1 28 ksy x b m2 29 que pode ser reescrito na seguinte forma 210 Figura 25 Modelo de um quarto do carro m1 m2 b y x r υcarro Superfície da estrada Referência inercial ks kw Figura 26 Diagramas de corpo livre para o siste ma de suspensão m1 x kwx r ksy x m2 y by x ksy x by x Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 23 211 A fonte mais comum de erro na escrita de equações para sistemas como esses são erros de sinal O método lógico para definir os sinais no desenvolvimento precedente implicou em men talmente imaginar o deslocamento das massas e desenhar a força resultante na direção em que o deslocamento a produziria Depois de ter obtido as equações de um sistema a verificação dos sinais de sistemas que são obviamente estáveis devido a características físicas pode ser reali zada rapidamente Como veremos quando estudarmos estabilidade na Seção 36 um sistema estável sempre tem os mesmos sinais em variáveis semelhantes Para este sistema a Eq 210 mostra que os sinais nos termos e x são todos positivos para que o sistema seja estável Da mesma forma os sinais nos termos e y são todos positivos na Eq 211 A função de transferência é obtida substituindo ddt por nas s equações diferenciais ob tendo a qual após alguma álgebra resulta em 212 Para determinar os valores numéricos subtraise da massa total do carro 1580 kg a massa das quatro rodas e dividese o resultado por 4 para encontrar m2 375 kg A massa da roda me dida diretamente é m1 20 kg Portanto a função de transferência com os valores numéricos é 213 212 Movimento rotacional A aplicação da lei de Newton em sistemas unidimensionais rotacionais exige que a Eq 21 seja modificada para M Iα 214 sendo M a soma de todos os momentos externos sobre o centro de massa do corpo Nm ou lbpé I momento de inércia da massa do corpo em seu centro de massa kgm2 ou slugpé2 α a aceleração angular do corpo rads2 EXEMPLO 23 Movimento rotacional controle de atitude de um satélite Satélites como mostrado na Fig 27 normalmente requerem controle de atitude de modo que antenas sensores e painéis solares fiquem devidamente orientados As antenas geralmente são direcionadas para um determinado local na Terra enquanto os painéis solares precisam estar orientados na direção do sol para a máxima geração de potência Para obter informações so bre um sistema completo de controle de atitude com três eixos é útil considerar um eixo por vez Escreva as equações de movimento para um eixo do sistema e mostre como elas seriam A procura por erros de sinal Lei de Newton para movimento rotacional 24 Sistemas de Controle representadas em um diagrama de blocos Além disso determine a função de transferência do sistema e construa o sistema de forma apropriada para que este seja avaliado por meio do SI MULINK no MATLAB Solução A Figura 28 representa este caso no qual o movimento é permitido apenas em torno do eixo perpendicular à página O ângulo θ que descreve a orientação do satélite deve ser medido com relação a um referencial inercial ou seja uma referência que não tem aceleração angular A força de controle é proveniente de jatos de reação que produzem um momento de Fcd sobre o centro de massa Também pode haver pequenos momentos de perturbação MD no satélite que surgem principalmente devido à pressão solar agindo sobre as assimetrias nos pai néis solares Aplicando a Eq 214 a equação de movimento é obtida Fcd MD I 215 A saída deste sistema θ é resultado da integração da soma dos torques de entrada duas vezes consequentemente este tipo de sistema é muitas vezes referido como uma planta de integrador duplo A função de transferência pode ser obtida como descrito para Eq 27 e é 216 sendo U Fcd MD Nesta forma o sistema é geralmente referido como a planta 1s2 A Figura 29 mostra o diagrama de blocos representando a Eq 215 na metade superior e o diagrama de blocos representando a Eq 216 na metade inferior Este sistema simples pode ser analisado usando técnicas de análise lineares que são descritas nos capítulos seguintes ou via MATLAB como mostrado no Exemplo 21 Este sistema também pode ser numericamente avaliado para uma entrada arbitrária com história temporal conhecida usando o SIMULINK O SIMULINK é um pacote computacional Planta de integrador duplo Planta 1s2 Figura 27 Satélite de comunicação Fonte cortesia Space SystemsLoral Figura 28 Esquema de controle de satélite Figura 29 Diagrama de blocos representando a Eq 215 na metade superior e o diagrama de blocos representando a Eq 216 na metade inferior Figura 210 Diagrama de blocos no SIMULINK da planta com integrador duplo 26 Sistemas de Controle momentos em cada corpo é essencialmente a mesma discussão para o Exemplo 22 exceto que as molas e amortecedores naquele caso produzem forças em vez de momentos de inércia como neste caso Quando os momentos são somados equacionados de acordo com a Eq 214 e reorganizados o resultado é I1 1 b 1 2 kθ1 θ2 Mc MD 217 I2 2 b 2 1 kθ2 θ1 0 218 Ignorando o torque de perturbação MD e o amortecimento b por simplicidade encontramos a função de transferência do torque aplicado M para o movimento da cabeçote de leitura Figura 211 Mecanismo de lei tura e escrita em disco Fonte cortesia da HewlettPackard Company Figura 212 Esquema para mo delagem da cabeça do disco de leituraescrita Inércia da cabeça I2 Motor de acionamento I1 Eixo flexível k b Mc MD θ1 Cabeça de leitura e sensor de faixa Disco θ2 Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 27 219 Também pode ser possível sentir o movimento de inércia onde o torque é aplicado θ1 no caso em que a função de transferência com as mesmas simplificações seria 220 Esses dois casos são típicos de muitas situações em que os sensores e atuadores podem ou não ser colocados no mesmo local em um corpo flexível Referimonos à situação entre senso res e atuadores na Eq 219 como o caso descolado enquanto que a Eq 220 descreve o caso colado No Capítulo 5 será visto que é muito mais difícil controlar um sistema quando houver flexibilidade entre os sensores e atuadores caso descolado do que quando os sensores e atuadores são rigidamente unidos uns aos outros caso colado No caso especial em que um ponto de um corpo em rotação é fixo com relação a um refe rencial inercial como é o caso de um pêndulo a Eq 214 pode ser aplicada de modo que M é a soma de todos os momentos sobre o ponto fixo e I é o momento de inércia em torno do ponto fixo EXEMPLO 25 Movimento rotacional pêndulo 1 Escreva as equações de movimento para o pêndulo simples mostrado na Fig 214 no qual toda a massa está concentrada no ponto final e não há um torque Tc aplicado no pivô 2 Use o MATLAB para determinar a história temporal de θ para uma entrada em degrau em Tc de 1 Nm Assuma l 1 m m 1 kg e g 981 ms2 Sensor colado e atuador Figura 213 Diagramas de corpo livre da ca beça do disco de leituraescrita Mc MD θ1 θ1 kθ1 θ2 bθ1 θ2 kθ1 θ2 bθ1 θ2 I1 I2 θ2 θ2 Figura 214 Pêndulo mg Tc θ l 28 Sistemas de Controle Solução 1 Equações de movimento O momento de inércia em torno do ponto pivô é I ml2 A soma dos momentos em torno do ponto pivô contém um termo de gravidade assim como o torque aplicado Tc A equação de movimento obtida da Eq 214 é Tc mgl sen θ I 221 que é normalmente escrita na forma 222 Essa equação é não linear devido ao termo senθ Uma discussão geral sobre equações não lineares é apresentada no Capítulo 9 no entanto procedemos com a linearização neste caso assumindo que o movimento é pequeno o bastante para que sen θ θ Então a Eq 222 tornase uma equação linear 223 Sem torque aplicado o movimento natural é o movimento de um oscilador harmônico com uma frequência natural de3 224 A função de transferência pode ser obtida como descrito para a Eq 27 obtendose 225 2 Histórico temporal A dinâmica de um sistema pode ser escrita para o MATLAB em ter mos de vetores linha contendo os coeficientes dos polinômios que descrevem o numerador e o denominador da função de transferência Neste caso o numerador chamado de num é simplesmente um número uma vez que não existem potências de s de modo que e o denominador chamado de den contém os coeficientes das potências de s em s2 gl e é um vetor linha com três elementos A resposta desejada do sistema pode ser obtida usando a função step do MATLAB As declarações do MATLAB são t 000210 vetor tempo incrementa de 0 a 10 com passo de 002 num 1 den 1 0 981 sys tfnum den define o sistema usando seu numerador e denominador y stepsyst computa a resposta temporal nos instantes de tempo dados em t para um degrau aplicado em t 0 plott 573y converte radianos para graus e traça a resposta temporal As declarações acima irão produzir a resposta temporal mostrada na Fig 215 3 Em um relógio de pêndulo é desejável que se tenha um período do pêndulo de exatamente 2 s Mostre que o pêndulo deve ser de aproximadamente 1 m de comprimento Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 29 Como vimos neste exemplo as equações de movimento resultantes são muitas vezes não lineares Tais equações são muito mais difíceis de serem resolvidas do que as lineares e os tipos de movimentos possíveis resultantes de um modelo não linear são muito mais difíceis de categorizar do que os resultantes de um modelo linear É portanto útil linearizar os modelos a fim de obter acesso a métodos de análise linear Pode ser que os modelos e métodos de análise lineares sejam utilizados apenas para a concepção do sistema de controle cuja função seria manter o sistema na região linear Uma vez que um sistema de controle é sintetizado e se de monstra ter um desempenho desejável com base na análise linear então é prudente proceder a uma análise mais aprofundada ou a uma simulação numérica precisa do sistema considerando as não linearidades a fim de validar o desempenho O SIMULINK é um modo adequado para a realização dessas simulações e pode lidar com a maioria das não linearidades O uso desta ferramenta de simulação é realizado pela construção de um diagrama de blocos4 que representa as equações de movimento A equação linear de movimento para o pêndulo com os parâmetros especificados no Exemplo 25 pode ser vista a partir da Eq 223 como 981 θ 1 226 e isso é representado no SIMULINK pelo diagrama de blocos da Fig 216 Note que o círculo do lado esquerdo da figura contém os sinais e indicando a adição e subtração na equação acima O resultado da execução desta simulação numérica será essencialmente idêntico à solução linear mostrada na Fig 215 porque a solução é feita para ângulos relativamente pequenos θ θ No entanto usar o SIMULINK nos permite simular equações não lineares assim po demos analisar o presente sistema para movimentos maiores Neste caso a Eq 226 tornase 981 sen θ 1 227 e o diagrama de blocos do SIMULINK mostrado na Fig 217 implementa essa equação não linear 4 Uma discussão mais ampla sobre diagramas de blocos é apresentada na Seção 321 SIMULINK Figura 215 Resposta do pêndulo para uma entrada em degrau de 1 Nm de torque 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 Tempo s Ângulo do pêndulo θ Figura 216 Diagrama de blocos no SI MULINK que representa a equação linear 226 Degrau Ganho 1 Integrador Ts Integrador 1 Ganho 2 Ganho 981 981 573 Display 1 1s 1s θ θ θ θ θ 30 Sistemas de Controle O SIMULINK é capaz de simular todas as não linearidades comumente encontradas in cluindo as zonas mortas as funções onoff stiction histerese o arrasto aerodinâmico função do v2 e funções trigonométricas Todos os sistemas reais têm uma ou mais dessas característi cas em graus variados EXEMPLO 26 Uso do SIMULINK para movimentos não lineares pêndulo Use o SIMULINK para determinar a evolução temporal de θ para o pêndulo no Exemplo 25 Compare este resultado com a solução linear para Tc com valores 1 Nm e 4 Nm Solução Histórico temporal Os diagramas de blocos do SIMULINK para os dois casos dis cutidos acima são combinados e as duas saídas nas Figuras 216 e 217 são enviadas através de um bloco multiplexador Mux para o display para que elas possam ser traçadas no mesmo gráfico A Fig 218 mostra o diagrama de blocos combinado onde o ganho K representa os valores de Tc As saídas deste sistema para os valores de Tc 1 Nm e 4 Nm são mostradas na Fig 219 Note que para Tc 1 Nm as saídas na parte superior da figura permanecem em 12 ou menos e a aproximação linear é extremamente próxima à saída não linear Para Tc 4 Nm o ângulo de saída cresce para perto de 50 e uma diferença substancial da magnitude e frequência na resposta é evidente em virtude de θ ser uma pobre aproximação de senθ nessas magnitudes O Capítulo 9 é dedicado à análise de sistemas não lineares e amplia essas ideias 213 Combinando rotação e translação Em alguns casos sistemas mecânicos contêm movimentos de translação e rotação O procedi mento nestes casos é o mesmo que o descrito nas Seções 211 e 212 esboçar os diagramas de corpo livre definir coordenadas e direções positivas determinar todas as forças e momentos e aplicar as Equações 21 eou 214 Uma derivação exata das equações para estes sistemas pode se tornar bastante complexa e portanto a análise completa para os exemplos a seguir constam no material complementar W2 disponível em inglês no site do Grupo A e apenas as equações linearizadas do movimento e suas funções de transferência são apresentadas aqui Figura 217 Diagrama de blocos no SIMULINK que representa a equação não linear 227 Degrau Ganho 1 Ganho 3 Integrador 3 Integrador 2 Função trigonométrica 573 1 981 sen Display 1 S 1 S Figura 218 Diagrama de blocos de um pêndulo para ambos os mo delos linear e não linear Integrador Integrador 1 Integrador 2 Degrau K Ganho 1 Ganho 3 Função trigonométrica Ganho Ganho 2 Mux Display 981 981 573 1s Integrador 3 1s 1s sen 1s Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 31 EXEMPLO 27 Movimentos rotacional e de translação guindaste Escreva as equações de movimento do guindaste representado esquematicamente na Fig 220 Linearize as equações para θ 0 o que normalmente é válido para o guindaste de suspensão Também linearize as equações para θ π que representa a situação para o pêndulo invertido mostrado na Fig 221 O carrinho possui massa mt e o guindaste ou pêndulo tem massa mp e inércia em torno de seu centro de massa I A distância do pivô ao centro de massa do pêndulo é l portanto o momento de inércia do pêndulo sobre o ponto de pivô é I mpl2 Figura 219 Resposta do SIMULINK para o pêndulo considerando os mode los linear e não linear a para Tc 1 Nm e b Tc 4 Nm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 Tempo s θ Linear b Tc 4 Nm Não linear 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 θ Resposta do sistema linear a Tc 1 Nm Resposta do sistema não linear 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 x u mt θ I mp Figura 220 Esquema do guindaste Twi temperatura da água entrando Tw temperatura da água saindo Para completar a dinâmica o retardo no tempo entre a medição e o fluxo de saída é descrito pela relação Tmt Twt td 267 a sendo Tm a temperatura medida na água de saída e td o tempo de atraso Também pode haver um retardo na medição da temperatura Ts de vapor o que seria modelado da mesma maneira A equação 266 é não linear porque Ts é multiplicado pela entrada de controle AS A equação pode ser linearizada em torno de Tso um valor específico de Ts para que Tsi Ts seja assumido como constante para a aproximação do termo não linear que será definido como ΔTs A fim de eliminar o termo Twi na Eq 267 é conveniente medir todas as temperaturas em termos do defasamento em graus de Twi As equações resultantes são então CsTs 1R Ts 1R Tw KscvS ΔTs AS Cw Tw 1R ww cvw Tw 1R Ts Tm Twt td Embora o retardo no tempo não seja uma não linearidade veremos no Capítulo 3 que operacionalmente Tm etd s Tw Portanto a função de transferência do trocador de calor tem a forma TmsAss Ketd s τ1 s 1τ2 s 1 268 242 Fluxo de fluido incompressível Escoamento de fluido é comum em muitos componentes de sistemas de controle Um exemplo é o atuador hidráulico que é usado extensivamente em sistemas de controle pois pode fornecer uma grande força com baixa inércia e baixo peso Ele é frequentemente usado para o controle aerodinâmico de superfícies de aviões para mover a articulação em equipamentos de terraplanagem em tratores e implementos agrícolas em máquinas de limpeza de neve e para mover braços de robôs As relações físicas que regem o fluxo de fluidos são a continuidade equilíbrio de força e resistência A relação de continuidade é simplesmente uma relação de conservação da matéria isto é ṁ win wout 269 sendo m massa do fluído dentro de uma específica parte do sistema win taxa de fluxo de massa de entrada em uma específica parte do sistema wout taxa de fluxo de massa de saída em uma específica parte do sistema EXEMPLO 216 Equações para descrever a altura da água em um tanque Determine as equação diferenciais que descrevam a altura da água no tanque apresentado na Fig 236 Solução Aplicando a Eq 269 temos h 1Aρ win wout 270 Figura 221 Pêndulo invertido Solução Os diagramas de corpo livre precisam ser desenhados para o carrinho e para o pêndulo e as forças de reação devem ser consideradas no ponto em que os dois se conectam Realizamos esse procedimento no material complementar W2 Após a aplicação das Leis de Newton para o movimento de translação do carro e para o movimento de rotação do pêndulo se verá que as forças de reação entre os dois corpos poderão ser eliminadas e as variáveis desconhecidas serão θ e x Os resultados são duas equações diferenciais acopladas em θ e x com a entrada sendo a força aplicada ao carrinho u Elas podem ser linearizadas de maneira semelhante como feito para o pêndulo simples assumindo pequenos ângulos Para pequenos movimentos θ 0 fazemos cos θ 1 sen θ 0 e θ² 0 assim as equações são aproximadas por I mpl²θ mpglθ mplx mt mpx bx mplθ u 228 Note que a primeira equação é muito semelhante à do pêndulo simples Eq 221 na qual o torque aplicado decorre da aceleração do carrinho Da mesma forma a segunda equação que representa o movimento do carrinho x é muito parecida com a equação de translação do carro Eq 23 na qual o termo forçante decorre da aceleração angular do pêndulo Desprezando o termo de atrito b resulta na função de transferência da entrada de controle u ao ângulo do guindaste θ θsUs mpl I mpl²mt mp m²pl²s² mpglmt mp 229 Para o pêndulo invertido na Fig 221 na qual θ π assumese θ π θ sendo que θ representa o movimento da direção vertical para cima Neste caso sen θ θ cos θ 1 e as equações não lineares tornamse5 I mpl²θ mpglθ mplx mt mpx bx mplθ u 230 Como observado no Exemplo 22 um sistema estável terá sempre os mesmos sinais em cada variável o que é o caso do guindaste estável modelado pelas equações em 228 No entanto os sinais de θ e θ na parte superior da Eq 230 são opostos indicando instabilidade que é a característica do pêndulo invertido A função de transferência novamente sem atrito é θsUs mpl I mpl² m²pl²s² mpglmt mp 231 5 O pêndulo invertido é frequentemente descrito considerando o ângulo do pêndulo no sentido horário como positivo Se definido dessa maneira então inverta os sinais em todos os termos na Equações 230 em θ ou θ Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 33 que exista um sensor para medir a saída e a entrada de controle Para o caso do pêndulo inverti do em cima de um carro seria necessário medir o ângulo do pêndulo θ e fornecer uma entrada de controle u que acelere o carro de tal forma que o pêndulo permaneça direcionado para cima Nos últimos anos esse sistema existiu principalmente em laboratórios de sistemas de controle como uma ferramenta educacional No entanto mais recentemente existe um dispositivo prá tico em produção e sendo vendido que emprega basicamente esse mesmo sistema dinâmico o Segway Ele usa um giroscópio para que o ângulo do dispositivo em relação à vertical seja conhecido motores elétricos fornecem torques às rodas para equilibrar o dispositivo e fornecer o movimento desejado para a frente ou para trás Ele é mostrado na Fig 222 214 Sistemas com parâmetros distribuídos Todos os exemplos anteriores continham um ou mais corpos rígidos embora alguns fossem co nectados a outros por molas Estruturas reais por exemplo painéis solares de satélites asas de avião ou braços do robô geralmente sofrem flexões como mostra a viga flexível na Fig 223 a A equação que descreve o seu movimento é uma equação diferencial parcial de quarta or dem que surge em razão de os elementos de massa serem continuamente distribuídos ao longo da viga com uma pequena quantidade de flexibilidade entre eles Esse tipo de sistema é chama do de sistema com parâmetros distribuídos Os métodos de análise dinâmica presentes nesta seção não são suficientes para analisar este caso no entanto textos mais avançados Thomson e Dahleh 1998 mostram que o resultado é 232 sendo E módulo de elasticidade ou módulo de Young I momento de inércia da área da viga Figura 222 Segway que é semelhante ao pêndulo invertido e é mantido na posição ver tical por um sistema de controle realimentado Fonte foto cedida por David Powell 34 Sistemas de Controle ρ densidade da viga w deflexão da viga de comprimento x A solução exata da Eq 232 é muito complexa para ser usada em projeto de sistemas de controle mas muitas vezes é importante explicar os efeitos brutos da flexão no projeto de sis temas de controle A viga contínua na Fig 223 b tem um número infinito de modos de vibração todos com diferentes frequências Normalmente os modos de menor frequência possuem a maior am plitude e são os mais importantes para uma boa aproximação O modelo simplificado na Fig 223 c pode ser feito para duplicar o comportamento essencial do primeiro modo de flexão e frequência e normalmente seria adequado para o projeto do controlador Se frequências mais elevadas do que as do primeiro modo de flexão estiverem previstas para o funcionamento do sistema de controle pode ser necessário modelar a viga como mostrado na Fig 223 d o que pode ser feito para aproximar os dois primeiros modos de flexão e frequência Da mesma for ma modelos de ordem superior podem ser usados nos casos em que precisão e complexidade são consideradas necessárias Thomson e Dahleh 1998 Schmitz 1985 Quando um objeto de flexão contínua é aproximado por dois ou mais corpos rígidos conectados por molas o modelo resultante algumas vezes é referido como um modelo de parâmetros concentrados 215 Resumo desenvolvimento de equações de movimento para corpos rígidos A física necessária para escrever as equações de movimento de um corpo rígido é inteiramente determinada pelas leis do movimento de Newton O método é o seguinte 1 Nomeie variáveis como x e θ que sejam necessárias e suficientes para descrever uma posi ção arbitrária do objeto Uma estrutura flexível pode ser aproximada por um modelo de parâmetros concentrados Figura 223 a Braço de robô flexível usado para a pesquisa na Universidade de Stanford b modelo para uma viga contínua flexível c modelo simplificado para o primeiro modo de flexão d mo delo para os modos de primeira e segunda flexão Fonte foto cedida por E Schmitz a b c d w Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 35 2 Trace um diagrama de corpo livre de cada componente Indique todas as forças atuando em cada corpo e suas direções de referência Também indique as acelerações do centro de massa em relação a um referencial inercial para cada corpo 3 Aplique a lei de Newton para o movimento de translação Eq 21 eou para o movimento de rotação Eq 214 4 Combine as equações para eliminar as forças internas 5 O número de equações independentes deve ser igual ao número de incógnitas 22 Modelos de circuitos elétricos Circuitos elétricos são frequentemente usados em grande parte dos sistemas de controle de vido à facilidade de manipulação e processamento de sinais elétricos Embora os controlado res estejam sendo cada vez mais implementados com lógica digital muitas funções ainda são realizadas em circuitos analógicos Circuitos analógicos são mais rápidos que os digitais e para controladores simples a implementação do circuito analógico pode ser mais barata que a implementação digital Além disso os amplificadores de potência para controladores eletrome cânicos e para filtros antialiasing para o controle digital devem ser circuitos analógicos Circuitos elétricos consistem de interconexões de fontes de tensão e corrente e de outros elementos eletrônicos como resistores capacitores e transistores Um importante elemento em circuitos elétricos é o amplificador operacional ou ampop6 que também é exemplo de um sistema realimentado complexo Alguns dos métodos mais importantes de projeto de con troladores foram desenvolvidos em alto ganho amplificadores realimentados de banda larga principalmente no Bell Telephone Laboratories entre 1925 e 1940 Componentes elétricos e eletrônicos também desempenham um papel central em dispositivos de conversão eletrome cânica de energia como motores geradores e sensores elétricos Neste breve estudo não po demos discutir a física da eletricidade ou fazer uma revisão exaustiva de todas as importantes técnicas de análise Vamos definir as variáveis descrever as relações que são impostas por elementos típicos e circuitos e descrever alguns dos métodos mais eficazes para resolver as equações resultantes Os símbolos de alguns elementos de circuito linear e suas relações de correntetensão são dadas na Fig 224 Circuitos passivos consistem de interconexões de resistores capacitores e indutores Com a eletrônica aumentamos o conjunto de elementos elétricos acrescentando dispositivos ativos transistores diodos e amplificadores As equações básicas de circuitos elétricos chamadas de leis de Kirchhoff são as seguintes 1 Lei de Kirchhoff das correntes LKC A soma algébrica das correntes deixando um nó ou junção é igual à soma algébrica das correntes que entram nesse nó 2 Lei de Kirchhoff das tensões LKT A soma algébrica das tensões tomadas em torno de um caminho fechado em um circuito é zero Tratandose de circuitos complexos com muitos elementos é essencial escrever as equa ções de forma cuidadosa e bem organizada Entre os vários métodos para fazer isso escolhemos para descrição e ilustração o popular e poderoso esquema conhecido como análise nodal Um nó é selecionado como referência e assumimos as tensões de todos os outros nós como incógni tas A escolha da referência é arbitrária na teoria mas na prática a escolha do terminal comum ou terra é a escolha óbvia e padrão Em seguida as equações são escritas usando a lei das correntes LKC em cada nó Expressamos essas correntes em termos de incógnitas de acordo com as equações elementares na Fig 224 O Exemplo 28 ilustra a aplicação da análise nodal 6 Oliver Heaviside introduziu o operador matemático p para indicar a diferenciação então pv dvdt A transformada de Laplace incorpora essa ideia usando a variável complexa s Ragazzini e outros 1947 demonstraram usando a transformada de Laplace que um amplificador eletrônico de alto ganho é capaz de realizar diferentes operações de modo que o nomearam como amplificador operacional comumente abreviado para ampop Leis de Kirchhoff 36 Sistemas de Controle EXEMPLO 28 Equações de um circuito Determine as equações diferenciais para o circuito mostrado na Fig 225 Solução Selecionando o nó 4 como a referência e as tensões nos nós 1 2 e 3 como v1 v2 e v3 respectivamente Aplicando a LKT no nó 1 temos v1 vi 233 aplicando a LKC no nó 2 temos 234 e aplicando a LKC no nó 3 temos 235 Figura 224 Componentes elementares de circuitos i υ i υ υs υ i υ Resistor Capacitor Indutor Fonte de tensão Símbolo υ Ri Equação i C dυ dt υ L di dt υ υs is i Fonte de corrente i is Figura 225 Circuito em ponteT C2 C1 3 2 1 4 υi υ1 υ2 υ3 υ0 R2 R1 Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 37 Essas são as três equações que descrevem o circuito As leis de Kirchhoff também podem ser aplicadas aos circuitos que contêm amplificador operacional O circuito simplificado do ampop é mostrado na Fig 226 a e o símbolo es quemático é desenhado na Fig 226 b Se o terminal positivo não é mostrado presumese que ele está conectado à terra v 0 e o símbolo reduzido na Fig 226 c é usado Para o uso em circuitos de controle geralmente se assume que o ampop é ideal com os valores de R1 R0 0 e A As equações do ampop ideal são extremamente simples sendo i i 0 236 v v 0 237 O ganho do amplificador é considerado tão elevado que a tensão de saída vout o que for preciso para satisfazer essas equações Claro que um amplificador real somente se aproxima dessas equações mas a menos que seja especificamente mencionado assumiremos que todos os ampops são ideais Modelos mais realistas são objeto de vários problemas no final do ca pítulo EXEMPLO 29 Ampop somador Encontre as equações e funções de transferência do circuito mostrado na Fig 227 Solução A Equação 237 requer que v 0 e assim as correntes são i1 v1R1 i2 v2R2 e iout voutRf Para satisfazer a Eq 236 i1 i2 iout 0 da qual segue que v1R1 v2R2 voutRf 0 então 238 A partir dessa equação vemos que a saída do circuito é uma soma ponderada das tensões de entrada com o sinal trocado Esse circuito é chamado de somador Um segundo importante exemplo de controle é dado pelo ampop integrador Amplificador operacional O ampop somador Figura 226 a Circuito simplificado do ampop b símbolo esquemático do ampop c símbolo reduzido quan do v 0 R1 R0 i i i0 i i υ0 Aυ υ υ υ υ υ υ0 a b c υ υ0 38 Sistemas de Controle EXEMPLO 210 Integrador Encontre a função de transferência do circuito mostrado na Fig 228 Solução Neste caso as equações são diferenciais e as Equações 236 e 237 requerem que iin iout 0 239 e que 240 A Eq 240 pode ser escrita na forma integral como 241 Usando o operador matemático ddt s na Eq 240 a função de transferência assumin do condições iniciais nulas pode ser escrita como 242 Portanto o ampop ideal nesse circuito realiza a operação de integração assim este circui to é simplesmente referido como um integrador 23 Modelos de sistemas eletromecânicos Corrente elétrica e campo magnético interagem de duas formas que são particularmente impor tantes para a compreensão do funcionamento de atuadores eletromecânicos e sensores Se uma corrente de i ampères em um condutor de comprimento l metros é organizado em ângulos reto em um campo magnético de B teslas então existe uma força sobre o condutor perpendicular ao plano de i e B com magnitude F Bli newtons 243 Esta equação é a base da conversão de energia elétrica em trabalho mecânico e é chamada de lei de motores EXEMPLO 211 Modelando um altofalante A geometria típica de um altofalante para produzir som é esboçada na Fig 229 O ímã perma nente estabelece um campo magnético radial nas lacunas entre os polos do ímã entreferro A Ampop como integrador Lei de motores Figura 227 Ampop somador υ1 Rf R1 R2 υ2 i2 i1 iout υout Figura 228 Ampop integrador υin C Rin iout υout Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 39 corrente elétrica que percorre as bobinas do entreferro causará um campo magnético na bobina que irá interagir com o campo magnético do imã permanente criando uma reação de atração ou repulsão produzindo o som7 Os efeitos do ar podem ser modelados como se o cone tivesse massa M e coeficiente de atrito viscoso b Assuma que o imã crie um campo uniforme B de 05 tesla e a bobina tenha 20 enrolamentos com diâmetro de 2 cm Escreva as equações de movi mento deste dispositivo Solução A corrente é perpendicular ao campo e a força de interesse é perpendicular ao plano de i e B de modo que a Eq 243 se aplica Neste caso a intensidade do campo é B 05 tesla e o comprimento do condutor é Assim a força é F 05 126 i 063i N As equações matemáticas são obtidas a partir das leis de Newton e considerando a massa M e o coeficiente de viscosidade b temse M b 063i 244 Essa equação diferencial de segunda ordem descreve o movimento do cone do altofalante em função da corrente de entrada i no sistema Substituindo s por ddt na Eq 244 como antes a função de transferência é facilmente encontrada 245 A segunda importante relação eletromecânica é o efeito do movimento mecânico na tensão elétrica Se um condutor de comprimento l metros está se movendo em um campo magnético de B teslas a uma velocidade de v metros por segundo em ângulos retos entre si uma tensão elétrica é estabelecida através do condutor com magnitude et Blv V 246 Essa expressão é chamada de lei dos geradores 7 Bobinas também são usadas como o atuador na cabeça da unidade de leituraescrita de um disco rígido Lei dos geradores Figura 229 Geometria de um alto falante a configuração geral b bobina eletromagnética Ímã permanente Enrolamento Cone Bobinas S N S Eletroímã Cone a b Pequena força de suspensão 40 Sistemas de Controle EXEMPLO 212 Altofalante com circuito Considere o altofalante na Fig 229 e o circuito na Fig 230 encontre as equações diferenciais relacionando a tensão de entrada va com o deslocamento x do cone Assuma que a resistência R e a indutância L sejam eficientes Solução A dinâmica do altofalante satisfaz a Eq 244 e a tensão resultante nas bobinas é dada pela Eq 246 com a velocidade A tensão resultante é ebobina Bl 063 247 Este efeito da tensão induzida deve ser adicionado à análise do circuito A equação de mo vimento para o circuito elétrico é 248 Essas duas equações acopladas 244 e 248 constituem o modelo dinâmico para o alto falante Novamente substituindo s por ddt nessas equações a função de transferência entre a ten são aplicada e o deslocamento do altofalante é dada por 249 Um atuador comum baseado nesses princípios e utilizado no controle de sistemas é o motor de corrente contínua CC que provê movimento rotativo Um esboço dos componentes básicos de um motor de corrente contínua é dado na Fig 231 Além da carcaça do motor e dos rola mentos a parte estática estator tem ímãs que estabelecem um campo em todo o rotor Os ímãs podem ser eletroímãs ou para os motores pequenos ímãs permanentes As escovas de contato com o comutador rotativo fazem com que a corrente sempre esteja percorrendo os enrolamen tos produzindo o torque Se a direção da corrente for invertida a direção do torque é invertida Atuador de motor CC Figura 230 Circuito de um altofalante υa R i x L ebobina Figura 231 Aspecto geral de um motor CC S Ímã permanente Enrolamentos do rotor Ímã permanente Escova Escova Eixo Rolamentos Ângulo do eixo θm ia Comutador N Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 41 As equações do motor fornecem o torque T no rotor em termos da corrente de armadura ia e expressam a tensão da força eletromotriz em termos da velocidade de rotação do eixo m8 Assim T Kt ia 250 e Ke m 251 Em unidades coerentes a constante do torque Kt é igual à constante elétrica Ke mas em alguns casos a constante do torque será dada em outras unidades como a onçapolegadas por ampères e a constante elétrica pode ser expressa em unidades de volts por 1000 rpm Nesses casos o engenheiro deve fazer as conversões necessárias para ter certeza de que as equações estão corretas EXEMPLO 213 Modelando um motor de corrente contínua Encontre as equações de um motor de corrente contínua com o circuito elétrico equivalente mostrado na Fig 232 a Suponha que o rotor tenha momento de inércia Jm e coeficiente de atrito viscoso b Solução O diagrama de corpo livre para o rotor mostrado na Fig 232b define o sentido positivo e mostra os dois torques aplicados T e b m Aplicando a lei de Newton Jm m b m Ktia 252 Analisando o circuito elétrico incluindo a força eletromotriz temos a equação 253 Substituindo s por ddt nas Eqs 252 e 253 a função de transferência para o motor é dada por 254 Em muitos casos o efeito relativo da indutância é desprezível comparado com o movimen to mecânico e pode ser desprezado na Eq 253 Então combinando as Eqs 252 e 253 temos 255 8 A força eletromotriz age contra a tensão aplicada na armadura Força eletromotriz Torque Figura 232 Motor de cor rente contínua a circuito elétrico da armadura b diagrama de corpo livre do rotor υa Ra La e Keθm a θm bθm T b ia Jm 42 Sistemas de Controle A partir da Eq 255 fica claro que neste caso o efeito da força eletromotriz é indistinguí vel do atrito e temos que a função de transferência é 256 257 sendo 258 259 Em muitos casos a função de transferência entre a entrada do motor e a saída ω m é desejada Em tais casos a função de transferência é 260 Outro dispositivo utilizado para conversão eletromecânica de energia é o motor de indução de corrente alternada CA inventado por N Tesla A análise elementar do motor CA é mais complexa do que a do motor CC Um conjunto típico de curvas experimentais de torque em função da velocidade para valores fixos de frequência e diferentes valores para a amplitude da tensão senoidal aplicada é dado na Fig 233 Embora os dados na figura sejam para uma velo cidade constante eles podem ser usados para extrair as constantes do motor que irão proporcio nar um modelo dinâmico para o motor Para a análise de um problema de controle envolvendo um motor CA como o descrito na Fig 233 podemos fazer uma aproximação linear para as curvas de velocidade perto de zero em uma tensão média para obter a expressão T K1va K2 m 261 A constante K1 representa a razão de uma mudança no torque devido a uma mudança de voltagem em velocidade zero e é proporcional à distância entre as curvas de velocidade zero Ativador de motor CA Torque T Torque T υa V1 υa V2 V1 Velocidade θm V3 V2 V1 υa V4 Velocidade θm a b Inclinação K2 Figura 233 Curvas torquevelocidade para servomotor mostrando quadro amplitudes da tensão da armadura a máquina com baixa resistência do rotor b máquina com alta resistência do rotor mostrando quatro valores da tensão da armadura va Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 43 A constante K2 representa a razão de uma mudança no torque devido a uma mudança de velo cidade a partir da velocidade zero em uma tensão de média portanto é a inclinação de uma curva em velocidade zero conforme mostrado pela linha de V2 Para a parte elétrica os valores da resistência da armadura Ra e indutância La também são determinados de forma experimental Uma vez que temos valores de K1 K2 Ra e La a análise prossegue como a análise do Exemplo 213 para o motor CC Para o caso em que o indutor pode ser desprezado podemos substituir K1 e K2 na Eq 255 no lugar de Kt Ra e KtKeRa respectivamente Além dos motores de corrente contínua e corrente alternada aqui mencionados sistemas de controle usam motores de corrente contínua sem escovas Reliance Motion Control Corp 1980 e motores de passo Kuo 1980 Modelos para estas máquinas desenvolvidos nos trabalhos aci ma citados não diferem em princípio dos motores considerados nesta seção Em geral a análise apoiada por experimentos desenvolve o torque em função da tensão e velocidade de forma simi lar ao motor CA curvas torquevelocidade indicadas na Fig 233 A partir de tais curvas podese obter uma fórmula linear como na Eq 261 para ser usada na parte mecânica do sistema e um circuito equivalente constituído por uma resistência e uma indutância para usar na parte elétrica 24 Modelos de sistemas fluidos e térmicos Termodinâmica transferência de calor e dinâmica dos fluidos são objetos de estudo de vários livros Para fins de geração de modelos dinâmicos para utilização em sistemas de controle o aspecto mais importante da física é representar a interação dinâmica entre as variáveis Experi mentos são geralmente necessários para determinar os valores reais dos parâmetros e portanto para completar o modelo dinâmico para que se possa projetar sistemas de controle 241 Fluxo de calor Alguns sistemas de controle envolvem a regulação da temperatura para partes do sistema Os modelos dinâmicos de sistemas de controle de temperatura envolvem o fluxo e o armazena mento de energia térmica O fluxo de calor através de substâncias é proporcional à diferença de temperatura na substância isto é 262 sendo q fluxo de calor joules por segundo Js ou British Termical Units BTUs R resistência térmica CJs ou FBTUs T temperatura C ou F O fluxo de calor em uma substância afeta a temperatura da substância de acordo com a relação 263 sendo C a capacitância térmica Normalmente existem vários caminhos para o fluxo de calor entrar ou sair de uma substância e q na Eq 263 é a soma dos fluxos de calor obedecendo à Eq 262 EXEMPLO 214 Equações para o fluxo de calor Uma sala com todos os lados isolados exceto dois 1R0 é mostrada na Fig 234 Encontre as equações diferenciais que determinam a temperatura da sala Solução Aplicando as Eqs 262 e 263 temos 44 Sistemas de Controle sendo C1 capacitância térmica do ar dentro da sala TO temperatura externa TI temperatura interna R2 resistência térmica do teto da sala R1 resistência térmica da parede da sala Normalmente as propriedades dos materiais são apresentados em tabelas como a seguir 1 O calor específico a um volume constante cv é convertido em capacitância térmica por C mcv 264 sendo que m é a massa da substância 2 A condutividade9 térmica k está relacionada com a resistência térmica R por sendo A a área da seção transversal e l o comprimento do caminho do fluxo de calor Além do fluxo devido à transferência de calor como expresso pela Eq 262 o calor tam bém pode fluir de uma massa mais quente para uma massa mais fria ou viceversa Neste caso q wcvT1 T2 265 sendo w a taxa de fluxo de massa do fluido em T1 fluindo para o reservatório em T2 Para uma discussão mais completa de modelos dinâmicos para sistemas de controle de temperatura veja Cannon 1967 ou manuais de transferência de calor EXEMPLO 215 Equações para modelagem de um trocador de calor Um trocador de calor é mostrado na Fig 235 O vapor entra na câmara através da válvula de controle no topo e o vapor mais frio deixa a câmara pela parte inferior Há um fluxo constante de água através da tubulação que passa no meio da câmara para que ele capte o calor do vapor Encontre as equações diferenciais que descrevem a dinâmica da temperatura de saída do fluxo de água em função da área As de admissão de vapor controlada pela válvula de controle O sen sor que mede a temperatura de saída da água está abaixo da saída do cano assim a temperatura é medida com um atraso de td segundos Solução A temperatura da água na tubulação irá variar continuamente ao longo da tubulação quando o calor fluir a partir do vapor para a água A temperatura do vapor também irá reduzir na câmara quando passar pelo labirinto de tubos Um modelo preciso para este processo tér mico é portanto bastante complexo pois a transferência de calor real do vapor para a água 9 No caso de isolamento de casas a resistência é dada em valores de R por exemplo R11 se refere a uma substância que tem uma resistência ao fluxo de calor equivalente à que é dada por uma madeira sólida de 11 polegadas Calor específico Condutividade térmica Figura 234 Modelo dinâmico para a temperatura na sala q2 q1 R2 R1 Temperatura externa TO Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 45 será proporcional à temperatura local de cada fluido Para muitas aplicações de controle não é necessário ter um modelo com grande precisão porque a realimentação irá corrigir uma quanti dade considerável de erro no modelo Portanto faz sentido combinar as temperaturas variando espacialmente nas temperaturas Ts e Tw para a saída de vapor e água respectivamente Em se guida assumimos que a transferência de calor do vapor para a água é proporcional à diferença destas temperaturas como dado pela Eq 262 Há também um fluxo de calor para a câmara a partir da admissão de vapor que depende do fluxo de vapor e de sua temperatura de acordo com a Eq 265 qin wscvsTsi Ts sendo ws KsAs fluxo de massa de vapor As área de admissão de vapor na válvula Ks coeficiente do fluxo de admissão da válvula cvs calor específico do vapor Tsi temperatura de entrada do vapor Ts temperatura de saída do vapor O fluxo de calor líquido na câmara é a diferença entre o calor do vapor quente de entrada e o calor que flui para fora da água Este fluxo líquido determina a taxa de mudança de tempera tura do vapor de acordo com a Eq 263 266 sendo Cs mscvs a capacitância térmica do vapor na câmara com massa ms R a resistência térmica média do fluxo de calor em toda a câmara Da mesma forma a equação diferencial que descreve a temperatura da água é 267 sendo ww fluxo de massa da água ccw calor específico da água Figura 235 Trocador de calor Vapor na Tsi Água ww na Twi ws KsAs Vapor na Ts Tm Água na Tw As Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 47 sendo A área do tanque ρ densidade da água h mAρ altura da água m massa da água no tanque O equilíbrio de forças deve aplicarse exatamente como descrito pela Eq 21 para siste mas mecânicos Às vezes em sistemas de fluxo de fluido alguma força resulta da pressão do fluido agindo em um pistão Neste caso a força do fluido é f pA 271 sendo f força p pressão do fluido A área na qual o fluido age EXEMPLO 217 Modelando um pistão hidráulico Determine a equação diferencial que descreve o movimento do pistão mostrado na Fig 237 dado que há uma força FD atuando sobre ele e uma pressão na câmara p Solução As Eqs 21 e 271 se aplicam diretamente sendo que as forças incluem a pressão do líquido e as forças aplicadas O resultado é M Ap FD sendo A área do pistão p pressão na câmera M massa do pistão x posição do pistão Figura 236 Exemplo de tanque de água h Pressão p1 ωin ωout Figura 237 Pistão hidráulico x Pistão Líquido à pressão p FD 48 Sistemas de Controle Em muitos problemas de fluxo de fluidos o fluxo é resistido tanto por uma compressão no caminho quanto pelo atrito A forma geral do efeito da resistência é dada por 272 sendo w taxa do fluxo de massa p1 p2 pressões nas extremidades do caminho pelo qual o fluxo está correndo R α constantes cujos valores dependem do tipo de restrição Ou como é mais comumente usado em hidráulica 273 sendo Q taxa do fluxo de volume sendo Q wp p densidade do fluido A constante α assume valores entre 1 e 2 O valor mais comum é de aproximadamente 2 para elevadas taxas de fluxo aquelas que têm um número de Reynolds Re 105 através de tubos restrições ou bicos Para fluxos muito lentos através de longos canos ou tampões po rosos onde o fluxo permanece laminar Re 1000 α 1 As taxas de fluxo entre esses dois extremos estão relacionadas a valores intermediários de α O número de Reynolds indica a importância relativa das forças inerciais e forças viscosas no fluxo É proporcional à velocidade de um material e à densidade e ao tamanho de uma restrição e é inversamente proporcional à viscosidade Quando Re é pequeno as forças viscosas predominam e o fluxo é laminar Quando Re é grande as forças de inércia predominam e o fluxo é turbulento Note que o valor de α 2 indica que o fluxo é proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão e portanto irá produzir uma equação diferencial não linear Para os estágios iniciais de análise e projeto de sistemas de controle é normalmente muito útil linearizar as equações de modo que as técnicas de projeto descritas neste livro possam ser aplicadas Linearização en volve a seleção de um ponto de operação e a não linearidade é visualizada como uma pequena perturbação neste ponto EXEMPLO 218 Linearização da altura e vazão de um tanque Encontre a equação diferencial não linear que descreve a altura de água no tanque na Fig 236 assuma α 2 Também obtenha uma equação linearizada no ponto de operação ho Solução Aplicando a Eq 272 resulta que o fluxo de saída de água no tanque em função da altura da água é 274 sendo p1 ρgh pa pressão hidrostática pa pressão ambiente do lado de fora da restrição Substituindo a Eq 274 na Eq 270 chegamos à equação diferencial não linear para a altura 275 A linearização envolve a seleção do ponto de operação po ρgho pa e substituindo p1 po Δp na Eq 274 Então expandindo o termo não linear de acordo com a relação 1 εβ 1 βε 276 sendo ε 1 A Eq 274 pode ser escrita como wout po paR 1 Δppo pa12 po paR 1 12 Δppo pa 277 A aproximação de linearização feita na Eq 277 é válida enquanto Δp po pa ou seja enquanto as variações de pressão do sistema a partir do ponto de operação escolhido forem relativamente pequenas Combinando as Eqs 270 e 277 é obtida a seguinte equação de movimento linearizada para o nível de água no tanque Δħ 1Aρ win po paR 1 12 Δppo pa Devido a Δp ρg Δh essa equação se reduz a Δ ħ g2ARpo pa Δh winAρ po paρAR 278 sendo uma equação diferencial linear para Δħ O ponto de operação não é um ponto de equilíbrio porque é necessário uma entrada de controle para mantêlo Em outras palavras quando o sistema estiver no ponto de operação Δh 0 sem entrada win 0 o sistema sairá desse ponto porque Δħ 0 Então se não há água fluindo para o tanque o tanque drenará movendoa assim a partir do ponto de referência Para definir um ponto de operação que é também um ponto de equilíbrio temos de exigir que haja uma vazão nominal winoAρ po paρAR e definir o fluxo de entrada linear como sendo uma perturbação desse valor Atuadores hidráulicos obedecem às mesmas relações fundamentais que vimos no tanque de água a continuidade Eq 269 a força de equilíbrio Eq 271 e a resistência do fluxo Eq 272 Embora o desenvolvimento feito assuma que o fluido é perfeitamente incompressível de fato o fluido hidráulico tem alguma compressibilidade Esta característica faz com que atuadores hidráulicos tenham alguma ressonância porque a compressibilidade do fluido age como uma mola Esta ressonância limita a velocidade de resposta EXEMPLO 219 Modelando um atuador hidráulico 1 Encontre as equações diferenciais não lineares relacionando o movimento θ da superfície de controle com o deslocamento de entrada x da válvula para o atuador hidráulico mostrado na Fig 238 2 Encontre a aproximação linear para as equações de movimento quando ẏ constante com e sem uma carga aplicada isto é quando F 0 e quando F 0 Suponha que o movimento θ é pequeno Solução 1 Equações de movimento Quando a válvula está em x 0 ambas as passagens estão fechadas e não há movimento resultante Quando x 0 como mostrado na Fig 238 o óleo 50 Sistemas de Controle flui no sentido horário e o pistão é forçado para a esquerda Quando x 0 o líquido flui no sentido antihorário O óleo fornecido em alta pressão ps entra pelo lado esquerdo da câmara do pistão forçando o pistão para a direita Isso faz com que o óleo flua para fora da câmara pelo canal mais à direita Assumindo que o fluxo através do orifício formado pela válvula é proporcional a x isto é 279 Similarmente 280 Pela relação de continuidade A Q1 Q2 281 sendo A área do pistão O equilíbrio de forças no pistão fornece Ap1 p2 F m 282 sendo m massa do pistão e da haste em anexo F força aplicada pela haste do pistão para controlar a superfície anexada Ademais com o equilíbrio de momentos da superfície de controle anexada usando a Eq 214 temos I Fl cos θ Fad 283 sendo I momento de inércia da superfície de controle do anexo na dobradiça Fa carga aerodinâmica aplicada Para resolver este conjunto de cinco equações é necessário considerar a seguinte relação cinemática entre θ e y l d θ Fa F Superfície de controle aerodinâmico Óleo em baixa pressão Óleo em alta pressão p2 p1 x y pe ps pe Válvula ω2 ω2 ω1 ω1 Figura 238 Atuador hidráulico com válvula Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 51 y l sen θ 284 O atuador é geralmente construído de modo que a válvula exponha igualmente as duas passagens e portanto R1 R2 e podemos deduzir das Eqs 279 para 281 que ps p1 p2 pe 285 Estas relações completam as equações não lineares de movimento elas são difíceis de serem resolvidas 2 Linearização e simplificação Para o caso em que uma constante 0 e que não há nenhuma carga aplicada F 0 as Eqs 282 e 285 indicam que 286 Portanto usando a Eq 281 e fazendo sen θ θ desde que θ seja assumido pequeno temos 287 Isso representa uma integração entre a entrada x e a saída θ sendo que a constante de proporcionalidade é função somente da pressão de alimentação e dos parâmetros fixos do atuador Para o caso constante mas F 0 as Eqs 282 e 285 indicam que e 288 Este resultado também é uma integração entre a entrada x e a saída θ mas a constante de proporcionalidade agora depende da carga aplicada F Enquanto os valores de comando x produzirem movimento θ que tem um valor suficien temente pequeno de a aproximação dada pelas Eqs 287 ou 288 é válida e nenhuma outra relação dinâmica linearizada é necessária No entanto assim que os valores de coman do x produzirem acelerações em que as forças de inércia m e a reação em I são frações significantes de ps pe as aproximações não são mais válidas Devemos então incorporar essas forças nas equações obtendo uma relação dinâmica entre x e θ que é muito mais complexa do que a integração pura implícita nas Eqs 287 ou 288 Normalmente para projetos de sistema de controle iniciais assumese que atuadores hidráulicos obedecem à simples relação das Eqs 287 ou 288 Quando atuadores hidráulicos são usados em sis temas de controle realimentado encontramse ressonâncias que não são explicadas usando a aproximação que considera o dispositivo como um simples integrador como nas Eqs 287 ou 288 A fonte da ressonância devese às acelerações negligenciadas recémdiscutidas e o fato de que o óleo é levemente compressível às pequenas quantidades de ar retido 25 Perspectiva histórica A segunda lei de Newton do movimento Eq 21 foi publicada pela primeira vez em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica em 1686 juntamente com suas duas outras fa mosas leis a primeira um corpo permanece em seu estado de movimento uniforme a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele e a terceira para cada ação existe uma reação igual e oposta Isaac Newton publicou sua lei da gravitação universal na mesma publicação De acordo com essa lei cada partícula de massa atrai todas as outras partí 52 Sistemas de Controle culas com uma força proporcional ao produto de suas duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas Sua base para o desenvolvimento dessas leis foi o trabalho de vários outros cientistas combinado com o desenvolvimento do próprio cálculo a fim de con ciliar todas as observações É surpreendente que essas leis sejam ainda hoje a base para quase todas as análises dinâmicas com exceção do trabalho sobre efeitos relativísticos de Einstein no início de 1900 Também é surpreendente que o desenvolvimento do cálculo de Newton te nha formado a base da nossa matemática o que permite a modelagem dinâmica Além de ser brilhante ele também era muito excêntrico Segundo Brennan em Heisenberg Probablye Slept Here Ele era visto no campus usando roupas desalinhadas com a gola suja cabelo despen teado e sapatos desgastados Parecia não se preocupar com nada além de seu trabalho Estava tão focado em seus estudos que se esquecia até de comer Outro aspecto interessante é que Newton desenvolveu o cálculo e as leis da física agora famosos aproximadamente 20 anos antes de publicálos O incentivo para publicálos surgiu de uma aposta entre três homens al moçando em um restaurante em 1684 Edmond Halley Christopher Wren e Robert Hooke Todos achavam que a caracterização elíptica do movimento planetário de Kepler poderia ser explicada pela lei do inverso do quadrado mas ninguém havia provado isso assim apostaram quem seria o primeiro a provar a conjectura10 Halley foi até Newton para pedir ajuda visto que este era um matemático famoso Newton respondeu que já tinha feito isso há muitos anos e que lhe enviaria as demonstrações Dois anos depois apresentou o Principia descrevendo todos os detalhes A base para o trabalho de Newton começou com o astrônomo Nicolau Copérnico mais de 100 anos antes do Principia ser publicado Ele foi o primeiro a especular que os planetas giravam em torno do sol em vez de todas as coisas no céu girarem em torno da Terra Mas a noção herética de Copérnico foi largamente ignorada naquele momento excluída pela Igreja que proibiu sua publicação No entanto dois cientistas tomaram notas de sua obra Galileu Galilei na Itália e Johannes Kepler na Áustria Kepler baseouse em uma grande coleção de dados astronômicos tomados pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe e concluiu que as ór bitas planetárias eram elipses não círculos como Copérnico havia postulado Galileu foi um excelente construtor de telescópios e foi capaz de estabelecer claramente que a Terra não era o centro de todo o movimento em parte porque era capaz de ver luas girarem em torno de outros planetas Ele também fez experiências rolando bolas sobre planos inclinados o que fortemente sugeriu que F ma aliás é um mito que ele tenha feito suas experiências soltando objetos do alto da Torre de Pisa Galileu publicou sua obra em 1632 o que despertou a ira da Igreja que decretou sua prisão domiciliar até a morte11 Apenas em 1985 a Igreja reconheceu as importan tes contribuições de Galileu Esses homens construíram as bases que Newton agregou com suas leis de movimento e da gravitação universal Com esses princípios físicos todas as observações se encaixaram com um referencial teórico que constituiu o que hoje é a base para a modelagem de sistemas dinâmicos A sequência de descobertas que levaram às leis da dinâmica que conhecemos hoje é espe cialmente notável quando paramos para pensar que elas eram realizadas sem um computador uma calculadora ou mesmo uma regra de cálculos À frente de tudo isso Newton teve de inven tar o cálculo a fim de conciliar os dados Após a publicação do Principia Newton foi eleito ao Parlamento e recebeu honras inclusive sendo o primeiro homem de ciência a ser nomeado cavaleiro pela rainha Ele também se envolvia em brigas com outros cientistas com bastante regularidade e usava sua posição de poder para con seguir o que queria Por exemplo ele queria dados do Observatório Real mas estes não lhe eram entregues rápido o bastante Então ele criou uma nova diretoria com autoridade sobre o Obser vatório e expulsou o Astrônomo Real da Royal Society Newton também tinha outros interesses menos científicos Muitos anos após sua morte John Maynard Keynes descobriu que Newton gastou muito tempo com ocultismo alquimia e trabalhos bíblicos assim como gastou com a física 10 Muito do conhecimento sobre Newton foi tirado de Heisenberg Probablye Slept Here por Richard P Brennan 1997 O livro discute seu trabalho e os outros cientistas que forneceram as bases para Newton 11 A vida de Galileu suas realizações e a prisão domiciliar são muito bem descritas no livro de Dava Sobel Filha de Galileu Mais de uma centena de anos após o Principia de Newton Michael Faraday realizou uma série de experimentos e postulou a noção de linhas eletromagnéticas de forças no espaço livre Ele também descobriu a indução lei de Faraday o que levou ao desenvolvimento do motor elétrico e às leis da eletrólise Faraday nasceu em uma família pobre praticamente não tinha escolaridade e se tornou aprendiz de encadernador aos 14 anos Ele lia muitos dos livros que encadernava e ficou encantado por artigos científicos Fascinado procurou um emprego como lavador de garrafas para um famoso cientista aprendendo muito Mais tarde finalmente tornouse professor na Royal Institution em Londres Com a falta de uma educação formal contudo não tinha habilidades matemáticas nem a capacidade para criar fundamentos teóricos para suas descobertas Faraday tornouse um famoso cientista apesar de suas origens humildes Depois que alcançou a fama por suas descobertas e se tornou um membro da Royal Society o primeiro ministro perguntoulhe por que suas invenções poderiam ser benéficas12 A resposta de Faraday foi porque primeiro ministro algum dia você poderá taxálas Contudo naquela época a maioria dos cientistas era abastada assim Faraday era tratado como um cidadão de segunda classe por alguns desses cientistas Como resultado rejeitou a cavalaria bem como seu sepultamento na Westminster Abbey As observações de Faraday juntamente com os conhecimentos em magnetismo e eletricidade de Coulomb e Ampère levaram James Clerk Maxwell a integrar todo o conhecimento destes sobre magnetismo e eletricidade nas equações de Maxwell Mesmo contradizendo a opinião da maioria dos cientistas de destaque da época Faraday era uma exceção Maxwell inventou os conceitos de campos e ondas que explicam as forças magnética e eletrostática ele foi a chave para a criação da teoria unificadora Embora Newton tenha descoberto o espectro da luz Maxwell foi também o primeiro a perceber que a luz era um tipo de onda eletromagnética e seu comportamento foi explicado pelas equações de Maxwell Na verdade as únicas constantes em suas equações são μ e ε A constante de velocidade da luz é c 1με Maxwell foi um matemático e físico teórico escocês Seu trabalho tem sido chamado de segunda grande unificação da física sendo a primeira atribuída a Newton Maxwell nasceu em uma classe privilegiada e a ele foram dados os benefícios de uma excelente educação em que se destacou Na verdade ele era um cientista teórico e experimental extremamente talentoso bem como um homem muito generoso com muitos amigos e pouco vaidoso Além de unificar as observações do eletromagnetismo em uma teoria que ainda rege nossas análises de engenharia foi o primeiro a apresentar uma explicação sobre como a luz viaja as cores primárias a teoria cinética dos gases a estabilidade dos anéis de Saturno e a estabilidade dos sistemas de controle realimentado Ele descobriu as três cores primárias vermelho verde e azul que constituem a base para nossa televisão em cores Sua teoria mostra que a velocidade da luz é uma constante o que foi difícil de conciliar com as leis de Newton e levou Albert Einstein a criar a teoria especial da relatividade no início de 1900 Isso levou Einstein a dizer Uma época científica se encerrou e outra surgiu com James Clerk Maxwell13 RESUMO A modelagem matemática de um sistema a ser controlado é o primeiro passo necessário para analisar e projetar sistemas de controle Neste capítulo foram desenvolvidos modelos para representar sistemas Importantes equações para cada categoria de sistemas estão resumidas na Tabela 21 QUESTÕES DE REVISÃO 1 O que é diagrama de corpo livre 2 Quais são as duas formas para a lei de Newton 12 E MC2 A Biography of the Worlds Most Famous Equation por David Bodanis Walker and Co New York 2000 13 The Man Who Changed Everything The Life of James Clerk Maxwell Basil Mahon Wiley 2003 54 Sistemas de Controle 3 Para um processo estrutural ser controlado tal como um braço de robô qual é o significado de con trole colado E controle descolado 4 Qual é lei de Kirchhoff das correntes 5 Qual é lei de Kirchhoff das tensões 6 Quando por que e por quem foi nomeado o dispositivo amplificador operacional 7 Qual é a grande vantagem de não ter entrada de corrente em um amplificador operacional 8 Por que é importante que o valor da resistência de armadura Ra em um motor elétrico seja pequeno 9 Quais são as definições e unidades da constante elétrica de um motor 10 Quais são as definições e as unidades da constante de torque de um motor elétrico 11 Por que aproximamos o modelo físico de uma planta que é sempre não linear por um modelo linear 12 Quais são as relações de a fluxo de calor através de uma substância e b armazenamento de calor em uma substância 13 Nomeie e apresente as equações para as três relações que regulam o fluxo de um fluido PROBLEMAS Problemas da Seção 21 sistemas dinâmicos mecânicos 21 Escreva as equações diferenciais para os sistemas mecânicos apresentados na Fig 239 Para a e b indique se o sistema eventualmente irá enfraquecer de modo que não tenha mais movimento uma vez que as condições iniciais não sejam nulas para ambas as massas Justifique sua resposta 22 Escreva a equação diferencial para o sistema mecânico apresentado na Fig240 Indique se o sis tema eventualmente irá enfraquecer de modo que ele não tenha mais movimento uma vez que as condições iniciais não sejam nulas para ambas as massas Justifique sua resposta 23 Escreva as equações de movimento para o sistema de pêndulo duplo mostrado na Fig 241 Su ponha que os ângulos de deslocamento dos pêndulos são pequenos o suficiente para garantir que a mola esteja sempre na horizontal Assuma que as hastes do pêndulo não tenham massa com comprimento l e as molas são unidas a três quartos do comprimento da haste de cima para baixo 24 Escreva as equações de movimento de um pêndulo constituído por uma fina haste suspensa por um pivô tendo 4 kg e comprimento l Qual o comprimento que a haste deve ter para que o período seja exatamente 2 segundos A inércia I de uma fina haste em torno de uma extremidade é 13ml2 TABELA 21 Equaçõeschave para modelos dinâmicos Sistema Importantes leis e relações Equações associadas Equação Mecânico Movimento de translação lei de Newton F ma 21 Movimento rotacional M Iα 214 Elétrico Amplificador operacional 236 237 Eletromecânico Lei de motores F Bli 243 Lei do gerador et Blv 246 Torque desenvolvido em um motor T Ktia 250 emf Tensão gerada como resultado da rotação do motor e Ke m 251 Fluxo de calor Fluxo de calor q 1RT1 T2 262 Temperatura como função do fluxo de calor 1Cq 263 Calor específico C mcv 264 Fluxo de fluido Relação de continuidade conservação de matéria win wout 269 Força do fluxo atuando em um pistão f pA 271 Efeito da resistência no fluxo de fluido w 1Rp1 p21α 272 Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 55 Assuma que θ é pequeno o suficiente tal que θ θ Por que geralmente relógios antigos têm cerca de 18 m de altura 25 Para a suspensão de um carro discutida no Exemplo 22 trace a posição do carro e da roda após o carro bater em um degrau na pista isto é r é um degrau unitário usando o MATLAB Suponha que m1 10 kg m2 350 kg Kw 500000 Nm Ks 10000 Nm Escolha o valor de b ade quado supondo que você esta no carro 26 Escreva as equações de movimento de um corpo suspenso de massa M a partir de um ponto fixo por uma mola com constante elástica k Defina cuidadosamente onde o deslocamento do corpo é zero 27 Fabricantes de automóveis estão contemplando a construção de sistemas de suspensão ativa A simples mudança é fazer com que os amortecedores tenham amortecimento variável bu1 Tam bém é possível fazer um dispositivo para ser colocado em paralelo com as molas que tenha a capa cidade de fornecer uma força igual u2 em direções opostas a do eixo da roda e do corpo do carro Figura 239 Sistemas mecânicos x1 m1 x2 k2 b1 b1 k1 y a F m2 k3 Atrito nulo Atrito b2 m1 c m2 Atrito nulo Atrito nulo m1 b m2 k3 Atrito b1 Atrito nulo k2 k1 k2 k1 Figura 240 Sistema mecânico para o Problema 22 m1 K1 x1 b2 x2 K1 K2 Atrito nulo m1 Atrito nulo Figura 241 Pêndulo duplo m k m 56 Sistemas de Controle a Modifique as equações de movimento no Exemplo 22 incluindo tais entradas de controle b O sistema resultante é linear c É possível usar a força u2 para substituir o amortecedor e molas Será uma boa ideia 28 Modifique a equação de movimento para o sistema de controle de velocidade de cruzeiro no Exemplo 21 Eq 24 para que ele tenha uma lei de controle isto é u Kvr v 289 sendo vr velocidade de referência 290 K constante 291 Essa é uma lei de controle proporcional em que a diferença entre vr e a velocidade real é usada como um sinal para a velocidade do motor aumentar ou diminuir Revise as equações de movi mento sendo vr a entrada e v a saída e encontre a função de transferência Assuma que m 1000 kg e b 50 Nsm e encontre a resposta para um degrau unitário na entrada vr usando o MAT LAB Pelo método de tentativa e erro encontre um valor para K que você acredita que resultaria em um sistema de controle no qual a velocidade real converge o mais rápido possível à velocidade de referência nenhum comportamento é condenável 29 Em muitos sistemas de posicionamento mecânico há flexibilidade entre uma e outra parte do sistema Um exemplo é mostrado na Fig 27 na qual existe flexibilidade nos painéis solares A Fig 242 ilustra tal situação na qual u é uma força aplicada à massa M que está ligada a outra massa m O acoplamento entre os objetos é frequentemente modelado por uma mola com constante k com um coeficiente de amortecimento b embora a situação real seja geralmente muito mais complicada do que isso a Escreva as equações de movimento que governam este sistema b Encontre a função de transferência entre a entrada de controle u e a saída y Figura 242 Esquema de um sistema com flexibilidade b k u M m y x Problemas da Seção 22 modelos de circuitos elétricos 210 Um passo inicial para obter um modelo realista de um ampop é dado pelas equações a seguir e é mostrado na Fig 243 Encontre a função de transferência do circuito amplificador simples mostrado usando este modelo 211 Mostre que a conexão do ampop mostrado na Fig 244 resulta em Vout Vin se o ampop é ideal Encontre a função de transferência se o ampop tem a função de transferência não ideal do Proble ma 210 212 Mostre que com a função de transferência não ideal do Problema 210 a conexão do ampop mostrada na Fig 245 é instável 213 Uma conexão comum para um amplificador de potência de motor é mostrada na Fig 246 A ideia é que um motor de corrente contínua siga a tensão de entrada e a conexão é chamada de amplificador de corrente Suponha que o resistor rs é muito pequeno comparado com o resistor R de realimentação e encontre a função de transferência de Vin para Ia Mostre também a função de transferência quando Rf Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 57 214 Uma conexão de ampop com realimentação tanto no terminal negativo quanto no terminal positi vo é mostrada na Fig 247 Se o ampop tem a função de transferência não ideal dada no Problema 210 encontre o máximo valor possível para a relação de realimentação positiva em termos da relação de realimentação negativa para que o circuito permaneça estável 215 Escreva as equações dinâmicas e encontre a função de transferência para os circuitos mostrados na Fig 248 a Circuito passivo de avanço b Circuito ativo de avanço c Circuito ativo de atraso d Circuito passivo notch 216 O circuito muito flexível mostrado na Fig 249 é chamado de biquad porque sua função de trans ferência pode ser feita como a razão de dois polinômios de segunda ordem ou quadráticos Ao selecionar valores diferentes para Ra Rb Rc e Rd o circuito realizar um filtro passabaixa passa faixa passaaltas ou rejeita faixa notch Figura 243 Problema 210 circuito elétrico Rin υ υ Vin Vout Rf Figura 244 Problema 211 circuito elétrico υ υ Vin Vout Figura 245 Problema 212 circuito elétrico υ υ Vin Vout Figura 246 Circuito com ampop para o Problema 213 Rin υ υ Rs R Vin Vout Motor CC Rf Ia 58 Sistemas de Controle a Mostre que se Ra R e Rb Rc Rd a função de transferência de Vin para Vout pode ser escrita como um filtro passabaixa 292 Rin υ υ Vin Vout Rf R r b a Vout c R1 R2 Vin C Rf Vout Rin Vin R2 R1 C R d R2 2C R C C Vout Vin R2 R1 C u y Figura 247 Problema 214 circuito com ampop Figura 248 a Circuito passivo de avanço b circuito ativo de avanço c circuito ativo de atraso e d cir cuito passivo notch Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 59 sendo b Usando o comando step no MATLAB compute e trace em um mesmo gráfico as respostas temporais para o circuito biquad na Fig 249 para A 1 ωn 1 e ζ 01 05 e 10 217 Encontre as equações e a função de transferência para o circuito biquad da Fig 249 se Ra R Rd R1 e Rb Rc Problemas da Seção 23 modelos de sistemas eletromecânicos 218 A constante de torque de um motor é a relação do torque pela corrente e muitas vezes é dada em onçapolegadas por ampères A constante elétrica de um motor é a razão da força eletromotriz pela velocidade e muitas vezes é dada em volts por 1000 rpm Com unidades consistentes as duas constantes são as mesmas para um determinado motor a Mostre que a unidade onçapolegadas por ampère é proporcional a volts por 1000 rpm redu zindo ambas para unidades MKS SI b Um certo motor tem uma força eletromotriz de 25 V e 1000 rpm Qual é a constante de torque em onçapolegadas por ampère c Qual é a constante de torque do motor da parte b em newtonmetros por ampère 219 O sistema eletromecânico mostrado na Fig 250 representa um modelo simplificado de um mi crofone O sistema consiste em parte de um capacitor de placas paralelas conectadas a um circuito elétrico A placa a do capacitor está rigidamente fixada à estrutura do microfone As ondas sonoras passam através do bocal e exercem uma força fst na placa de b a qual tem massa M e está conec tada à estrutura por um conjunto de molas e amortecedores A capacitância C é função da distância x entre as placas como segue sendo ε constante dielétrica do material entre as placas A área da superfície das placas R1 Rc Rb Ra R2 R R R C C Vout R Vin V1 V2 V3 R Rd Figura 249 Ampop biquad 60 Sistemas de Controle A carga q e a tensão entre as placas estão relacionadas por q Cxe O campo elétrico por sua vez produz a força fe na placa móvel que opõe seu movimento a Escreva as equações diferenciais que descrevem o funcionamento deste sistema A forma não linear é aceitável b É possível obter um modelo linear c Qual é a saída do sistema 220 Um motor elétrico movimentando cargas que apresentam um modo de vibração dominante é um típico problema de controle de posição eletromecânica Este problema surge no controle da cabe çote de leituraescrita do disco rígido e em muitas outras aplicações Um diagrama esquemático é esboçado na Fig 251 O motor tem uma constante elétrica Ke uma constante de torque Kt uma indutância de armadura La e uma resistência Ra O rotor tem a inércia J1 e um atrito viscoso B A carga tem uma inércia J2 As duas cargas estão conectadas por um eixo que tem constante elástica k e um amortecimento viscoso equivalente b Escreva as equações de movimento Problemas da Seção 24 modelos de fluxo de calor e fuido 221 Um sistema de nivelamento de mesas de precisão mostrado na Fig 252 depende da expansão térmica dos atuadores sob dois cantos da mesa que produzem o nivelamento aumentando ou di minuindo seus respectivos cantos Os parâmetros são os seguintes Tat temperatura do atuador Tamb temperatura do ar ambiente Rf coeficiente do fluxo de calor entre o atuador e o ar C capacitância térmica do atuador R resistência do aquecedor Assuma que 1 o atuador age como uma resistência elétrica pura 2 o fluxo de calor no atuador é proporcional à entrada de potência elétrica e 3 o movimento d é proporcional à diferença entre Tat e Tamb devido à expansão térmica Encontre as equações diferenciais relacionando a altura do atuador d versus a tensão aplicada vi Figura 250 Modelo simplificado para o microfone capacitor x K B L R it fst M a ε υ b A Figura 251 Motor com carga flexível La Ra υa J1 J2 θ2 θ1 k b Capítulo 2 Modelos Dinâmicos 61 222 Um condicionador de ar fornece ar frio na mesma temperatura para cada sala no quarto andar do edifício mostrado na Fig 253a O piso plano é mostrado na Fig 253b O fluxo de ar frio produz uma quantidade igual de fluxo de calor q para fora de cada sala Escreva um conjunto de equações diferenciais que regem a temperatura em cada sala sendo To temperatura externa do edifício Ro resistência ao fluxo de calor através das paredes externas Ri resistência ao fluxo de calor através das paredes internas Assuma que 1 todas as salas são quadradas 2 não existe fluxo de calor através do teto e do piso e 3 a temperatura é uniforme no interior de todas as salas Utilize a simetria para reduzir o número de equações diferenciais para três 223 Para o sistema de fluxo de fluido constituído de dois tanques mostrado na Fig 254 encontre as equações diferenciais relacionando o fluxo entrando no primeiro tanque com o fluxo saindo do segundo tanque 224 Um experimento de laboratório que estuda o fluxo de água através de dois tanques é esboçado na Fig 255 Suponha que a Eq 274 descreve o fluxo através dos orifícios de mesmo tamanho dos pontos A B ou C a Com os orifícios em A e C mas não em B escreva as equações de movimento para este siste ma em termos de h1 e h2 Assuma que h3 20 cm h1 20 cm e h2 20 cm Quando h2 10 cm o fluxo é 200 gmin b Com h1 30 cm e h2 10 cm encontre o modelo linearizado e a função de transferência da bomba em centímetros cúbicos por minuto para h2 c Repita as itens a e b assumindo que o orifício A é fechado e o orifício B é aberto Figura 252 a Mesa de precisão man tida nivelada por atuadores b vista lateral de um atuador υi Tat b d υi a Figura 253 Ar condiciona do do edifício a edifício b planta do piso do quarto andar Quarto andar Ro Ri a b 62 Sistemas de Controle 225 As equações para o aquecimento de uma casa são dadas pelas Eqs 262 e 263 e em um caso particular pode ser escrito com o tempo em horas como onde a C é a capacitância térmica da casa BTUF b Th é a temperatura na casa F c To é a temperatura externa a casa F d K é a taxa de calor do aquecedor 90000 BTUh e R é a resistência térmica F por BTUh f u é o interruptor do aquecedor 1 se o aquecedor estiver ligado e 0 se o aquecedor estiver desligado É medido que com a temperatura exterior de 32F e da casa em 60F o aquecedor eleva a tem peratura de 2F em seis minutos 01 hora Com o aquecedor desligado a temperatura cai 2F na casa em 40 minutos Quais são os valores de C e R para a casa wout win Bomba A B C h1 h3 h2 Figura 254 Sistema de fluxo de fluido constituído de dois tanques para o Problema 223 Figura 255 Sistema de fluxo de fluido constituído de dois tanques para o Problema 224 Resposta Dinâmica 3 0 2 4 6 8 10 12 ωnt 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 yt ζ 0 01 02 03 04 05 06 ζ 07 08 09 10 No Capítulo 2 vimos como obter um modelo dinâmico de um sistema No projeto de sistemas de controle é importante observar o quanto uma tentativa de projeto de controlador atende às espe cificações desejadas Isso é feito por meio das equações do modelo do sistema Existem duas abordagens para resolver as equações dinâmicas Um método rápido é uma aná lise aproximada usando técnicas de análise de sistemas lineares Os resultados aproximados nos permitem compreender as características de certas soluções e como o sistema poderá ser alterado para modificar a resposta buscando atender a uma desejada especificação Por outro lado uma análise precisa das respostas de um sistema normalmente envolve soluções numéricas de equa ções dinâmicas não lineares utilizando auxílio computacional Este capítulo foca a análise linear e ferramentas computacionais que podem ser usadas para obter a resposta temporal de sistemas lineares Existem três domínios nos quais estudamos as respostas de sistemas dinâmicos planos a resposta em frequência e o espaço de estados análise utilizando uma descrição em espaço de estados Um engenheiro de controle bem preparado precisa conhecer bem todos eles sendo que eles serão tratados nos Capítulos 5 6 e 7 respectivamente O objetivo deste capítulo é discutir algumas ferramentas matemáticas fundamentais antes de estudarmos a análise no planos no domínio da frequência e no espaço de estados 64 Sistemas de Controle Visão geral do capítulo A transformada de Laplace revisada na Seção 31 e no Apêndice A é uma ferramenta ma temática para transformar equações diferenciais em uma forma algébrica mais simples de ser manipulada Além das ferramentas matemáticas que temos ao nosso dispor temos também ferramentas gráficas que nos ajudam a visualizar o modelo de um sistema e avaliar a pertinên cia entre as relações matemáticas e os elementos do sistema Uma abordagem é o diagrama de blocos que foi introduzido no Capítulo 1 A manipulação de diagramas de blocos é discutida na Seção 32 e permite determinar funções de transferência Uma vez que a função de transferência é determinada podemos identificar seus polos e ze ros os quais fornecem muitas características do sistema incluindo sua resposta em frequência introduzida na Seção 31 As Seções 33 a 35 focam nos polos zeros e em algumas maneiras para manipulálos afim de obter as características do sistema de forma desejada Quando a rea limentação é introduzida a possibilidade do sistema se tornar instável é discutida Para estudar esse efeito na Seção 36 são apresentados a definição de estabilidade e o teste de Routh que pode determinar se um sistema é estável examinando os coeficientes da equação característica de um sistema O desenvolvimento de um modelo baseado em dados experimentais da resposta temporal é discutido na Seção 37 A Seção 38 discute o escalonamento de amplitude e tempo Finalmente a Seção 39 fornece uma perspectiva histórica do material neste capítulo Uma alternativa para a representação gráfica de sistemas é o gráfico de fluxo de sinais e o gráfico de fluxo que permitem determinar complicadas funções de transferências as quais são discutidas no material complementar W3 disponível em inglês no site do Grupo A 31 Revisão das transformadas de Laplace As duas propriedades de sistemas lineares e invariantes no tempo LIT que formam a base para quase todas as técnicas de análise aplicadas a esses sistemas são 1 A resposta de um sistema linear pode ser determinada aplicando o princípio de superposi ção 2 A resposta de um sistema LIT pode ser expressa como a convolução da entrada com a res posta ao impulso do sistema Os conceitos de superposição convolução e resposta ao impulso serão definidos em breve A segunda propriedade surge como resultado do fato de que a resposta de um sistema LIT à uma entrada senoidal também é senoidal como será mostrado Este resultado é a razão prin cipal para o extenso uso das transformadas de Fourier e de Laplace no estudo de sistemas LIT 311 Resposta por convolução O princípio de superposição nos diz que se um sistema tem uma entrada que pode ser expres sa como a soma de diferentes sinais então a resposta do sistema pode ser expressa como a soma das respostas individuais a cada um dos diferentes sinais que compõem o sinal de entrada Con sidere um sistema com entrada u e saída y Suponha também que com o sistema em repouso é aplicada uma entrada u1t e observada uma saída y1t Depois de o sistema entrar novamente em repouso aplicase uma segunda entrada u2t e novamente observase a saída y2t Então compomos a entrada ut α1u1t α2u2t Finalmente se a propriedade de superposição se aplica então a saída do sistema resultante devido à entrada será yt α1y1t α2y2t A propriedade da superposição pode ser aplicada se e somente se o sistema for linear EXEMPLO 31 Superposição Mostre que a superposição se aplica a um sistema modelado por uma equação diferencial linear de primeira ordem ky u Superposição Capítulo 3 Resposta Dinâmica 65 Solução Assumimos que a entrada u α1u1 α2u2 causa a saída y α1y1 α2y2 Então α1 1 α2 2 Se substituirmos essas equações na equação do sistema temos α1 1 α2 2 kα1y1 α2y2 α1u1 α2u2 Assim temos que α1 1 ky1 u1 α2 2 ky2 u2 0 31 Se y1 é a solução com a entrada u1 e y2 é a solução com a entrada u2 então a Eq 31 é satis feita a resposta é a soma de respostas individuais e a propriedade da superposição é satisfeita Note que a superposição resultado da Eq 31 também deve ser mantida caso k seja uma função do tempo Se k for constante dizemos que o sistema é invariante no tempo Neste caso se a entrada for atrasada ou deslocada no tempo então a saída sofrerá o mesmo deslocamento aplicado na entrada Matematicamente isto é expresso dizendo que se y1t é a saída causada pela entrada u1t então y1t τ será a resposta devido à entrada u1t τ EXEMPLO 32 Invariância no tempo Considere 1t kty1t u1t 32 e 2t kty2t u1t τ sendo τ uma constante de deslocamento Assuma que y2t y1t τ então Fazendo a mudança de variável t τ η então Se kη τ k sendo k uma constante então a qual é igual à Eq 31 Portanto concluímos que se o sistema é invariante no tempo yt τ será a resposta a ut τ isto é se a entrada é atrasada por τ segundos então a saída também será atrasada por τ segundos Devido à propriedade de superposição podemos obter a saída de um sistema linear re sultante de um sinal de entrada geral simplesmente decompondo o sinal de entrada em uma soma em sinais básicos e concluindo que a saída do sistema devido à entrada geral é igual à soma das saídas devido a cada sinal básico que compõe a entrada Para que este processo funcione os sinais básicos precisam ser suficientemente ricos de forma que qualquer sinal razoável possa ser expresso como a soma deles e que a saída devido a estes sinais seja fácil de ser obtida Os candidatos mais comuns para sinais básicos são o impulso unitário e uma função exponencial Suponha que o sinal de entrada de um sistema LIT é u1t pt e que o sinal de saída correspondente é y1t ht como mostrado na Fig 31a Se a entrada for escalonada para u1t u0pt então devido à propriedade de escalonamento que compõe a propriedade de superposição a resposta será y1t u0ht Também foi mostrando que um sistema LIT é invariante no tempo Se atrasarmos o sinal de pulso no tempo por u2t pt τ então a saída será da forma y2t ht τ como mostrado na Fig 31b Pelo princípio de superposição a resposta devido a dois pulsos será a soma da saída resultante de cada pulso como mostrado na Fig 31c Se considerarmos quatro pulsos como entrada então a saída será a soma de quatro saídas individuais como mostrado na Fig 31d Qualquer sinal pode ser aproximado por uma série de pulsos como mostrado na Fig 32 Definindo um pulso estreito pΔt como um pulso retangular com área unitária tal que pΔt 1Δ 0 t Δ 0 caso contrário 33 como mostrado na Fig 31a Suponha que a resposta do sistema para pΔt seja definida como hΔt A resposta no tempo nΔ para ΔukΔpΔkΔ é ΔukΔhΔΔ n Δk Pela propriedade de superposição a resposta total a uma série de pulsos estreitos no instante de tempo t é dada por yt Σk0k ΔukΔhΔt Δk 34 Fazendo Δ tender a 0 na Eq 33 o pulso estreito se torna cada vez mais estreito e alto mantendo a mesma área Então temos o conceito de um impulso unitário δt o qual irá nos permitir tratar sinais de tempo contínuo Neste caso temos limΔ0 pΔt δt 35 limΔ0 hΔt ht resposta ao impulso 36 Além disso no limite quando Δ 0 o somatório na Eq 34 é substituído por uma integral yt 0 uτht τdτ 37 a qual é chamada de integral de convolução A ideia do impulso veio da dinâmica Suponha que desejemos estudar o movimento de uma bola de beisebol atingida por um taco Os detalhes da colisão entre o taco e a bola podem ser muito complexos devido à deformação da bola e à curvatura do taco entretanto para propósito de calcular a trajetória da bola podemos resumir o efeito da colisão como a mudança de velocidade em um intervalo de tempo muito curto Assumimos que a bola é sujeita a um impulso uma força muito intensa em um período de tempo muito curto O físico Paul Dirac sugeriu que tal força poderia ser representada por um conceito matemático de um impulso unitário δt o qual tem a propriedade δt 0 t 0 38 δt dt 1 39 Se a função ft é contínua no instante t τ então ela tem a propriedade de peneiração fτ δt τ dτ ft 310 Em outras palavras o impulso é tão estreito e tão intenso que o valor de f só interessa no período em que δ ocorre Como a integração é o limite de um processo somatório a Eq 310 pode ser vista como a representação de f como uma soma de impulsos Se substituirmos f por u então a Eq 310 representa uma entrada ut como uma soma de impulsos com intensidade ut τ Para encontrar a resposta devido a uma entrada arbitrária o princípio da superposição nos diz que precisamos somente encontrar respostas ao impulso unitário Figura 31 Ilustração da convolução como a resposta de um sistema a um sinal de entrada composto por uma série de pulsos estreitos impulsos Se o sistema não for apenas linear mas também invariante no tempo LIT então a resposta ao impulso é dada por ht τ porque a resposta no instante t para uma entrada aplicada no instante τ depende somente da diferença de tempo entre o momento que o impulso é aplicado e o instante em que é observado a resposta ie o atraso no tempo Para sistemas invariantes no tempo a saída para uma entrada geral é dada pela integral Figura 32 Ilustração da representação de um sinal por meio de uma soma de pulsos estreitos 68 Sistemas de Controle 311 ou por uma mudança de variável τ1 t τ 312 Essa é a integral de convolução EXEMPLO 33 Convolução Podemos ilustrar o processo de convolução com um simples sistema Determine a resposta ao impulso para o sistema descrito pela equação diferencial ky u δt com a condição inicial y0 0 antes do impulso ser aplicado Solução Devido a δt ter efeito somente em um intervalo de tempo muito curto próximo de t 0 podemos integrar esta equação de um instante logo antes de zero a até um instante logo após zero A integral de é simplesmente y a integral de y em um intervalo muito estreito é zero e a inte gral do impulso unitário neste mesmo intervalo é um Portanto y0 y0 1 Devido ao fato de o sistema estar em repouso antes da aplicação do impulso y0 0 Assim o efeito do impulso é y0 1 Para tempo positivo temos a equação diferencial ky 0 y0 1 Se assumirmos uma solução y Aest então Asest Logo a equação anterior tornase Asest kAest 0 s k 0 s k Devido a y0 1 é necessário que A 1 Assim a resposta ao impulso é yt ht ekt para t 0 Devido ao fato de que ht 0 para tempo negativo a função degrau unitário é definida Com essa definição a resposta ao impulso do sistema de primeira ordem tornase ht ekt1t A resposta do sistema para uma entrada geral é dada pela convolução entre este sinal e a res posta ao impulso A integral de convolução Degrau unitário Capítulo 3 Resposta Dinâmica 69 312 Funções de transferência e resposta em frequência Uma consequência imediata da convolução é que uma entrada da forma est resulta em uma saída Hsest Note que tanto a entrada quanto a saída são funções exponenciais no tempo e que a saída difere da entrada apenas na amplitude de Hs Hs é a função de transferência do sistema A constante s pode ser complexa expressa como s σ jω Assim tanto a entrada quanto a saída podem ser complexas Fazendo ut est na Eq 312 então 313 Sendo1 314 A integral na Eq 314 não precisa ser resolvida para encontrar a função de transferência de um sistema No lugar disso podese assumir uma solução na forma da Eq 313 e substituin doa na equação diferencial do sistema assim a função de transferência é obtida A função de transferência pode ser formalmente definida como a função Hs que é um ganho de transferência de Us para Ys entrada para saída é chamada de função de trans ferência do sistema Isto é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada 315 com a suposiçãochave de que a condição inicial do sistema é zero Se a entrada ut é um im pulso unitário δt então yt é a resposta ao impulso A transformada de Laplace de ut é 1 e a transformada de yt é Hs porque Ys Hs 316 Em outras palavras A função de transferência Hs é a transformada de Laplace da resposta ao impulso ht Assim se desejarmos caracterizar um sistema LIT aplicamos um impulso unitário na en trada e a saída resultante será uma representação a transformada inversa de Laplace da função de transferência EXEMPLO 34 Função de transferência Encontre a função de transferência para o sistema do Exemplo 31 e encontre a saída y para a entrada u est 1 Note que a entrada é exponencial para todo o tempo e que a Eq 314 representa a resposta para todo o tempo Se o sistema for causal então ht 0 para t 0 e a integral se reduz a Função de transferência Função de transferência 70 Sistemas de Controle Solução A equação do sistema do Exemplo 33 é t kyt ut est 317 Assumindo que yt seja expresso como Hsest Dessa forma temos sHsest e a equação Eq 317 tornase sHsest kHsest est 318 Resolvendo a equação para Hs temos Substituindo essa equação novamente na Eq 313 obtemos a saída Uma maneira muito comum de usar a resposta exponencial de sistemas LIT é encontrar a resposta em frequência ou a resposta à senoide Inicialmente expressamos a senoide como uma soma de duas exponenciais relação de Euler Se fizermos s jω na Eq 313 então a resposta para ut ejωt é yt Hjωejωt similar mente a resposta para ut ejωt é Hjωejωt Pela propriedade de superposição a res posta à soma destas duas funções exponenciais que compõem o sinal cosseno é a soma das respostas 319 A função de transferência Hjω é um número complexo que pode ser representado na forma polar ou na forma de magnitude e fase como Hjω Mωejϕω ou simplesmente H Mejϕ Então a Eq 319 tornase 320 sendo M Hjω ϕ Hjω Isso significa que se um sistema representado por uma função de transferência Hs tem uma entrada senoidal com magnitude A a saída também será senoidal com a mesma frequência e com magnitude AM e terá um deslocamento de fase pelo ângulo ϕ EXEMPLO 35 Resposta em frequência Considere o sistema no Exemplo 31 encontre a resposta ao sinal senoidal de entrada u A cosωt Além disso a encontre a resposta em frequência e trace a resposta para k 1 b determine a resposta completa devido à entrada senoidal ut sen10t Resposta em frequência Capítulo 3 Resposta Dinâmica 71 Solução No Exemplo 34 a função de transferência foi obtida Para encontrar a resposta em frequência basta fazer s jω então Da qual temos que Portanto a reposta do sistema a uma entrada senoidal também será senoidal yt AM cosωt ϕ 321 M geralmente é chamado de coeficiente de amplitude e ϕ de fase ambos são funções da frequência ω O programa computacional MATLAB é utilizado para calcular os coeficientes de amplitude e fase para k 1 como mostrado na Fig 33 O comando logspace é usado para definir a faixa de frequência na escala logarítmica e o comando bode é usado para calcular a resposta em frequência Apresentando a resposta em frequência na escala loglog como origi nalmente proposto por H W Bode estes gráficos são chamados de gráficos de Bode2 veja o Capítulo 6 Seção 61 k 1 numH 1 forma do numerador denH 1 k forma do denominador sysH tfnumHdenH define o sistema usando o numerador e o denominador w logspace22 define a faixa de frequência para 50 valores de w entre 102 a 102 magphase bodesysHw calcula a resposta em frequência loglogwsqueezemag traça o gráfico da magnitude em escala loglog semilogxwsqueezephase traça o gráfico da fase em escala semilog 2 Note que o símbolo no MATLAB é utilizado para fazer comentários Figura 33 Resposta em frequência para k 1 102 101 100 101 102 102 101 100 101 102 ω rads Magnitude ω rads Fase 90 60 30 0 102 101 100 M φ 72 Sistemas de Controle Para determinar a resposta a uma entrada que inicia em t 0 como ut sen10t1t a tabela de transformadas de Laplace Apêndice A Tabela A2 pode ser utilizada obtendo na qual representa a transformada de Laplace e a saída do sistema usando expansão em fra ções parciais é dada por A transformada inversa de Laplace da saída é dada por veja o Apêndice A sendo ϕ tan110 842 A componente y1t é chamada de resposta transitória e tende a zero ao decorrer do tempo e a componente y2t é chamada de reposta em estado estacionário e é igual à resposta dada pela Eq 321 A Figura 34a é o gráfico da resposta temporal destacando ambas as compo nentes y1 y2 e a resposta completa y A frequência da saída é 10 rads e a diferença de fase3 da resposta em estado estacionário medida na Fig 34b é aproximadamente 10δt 147 rad 842 A Figura 34b apresenta a defasagem de 842 entre a entrada e a saída A Figura 34b apresenta também que a amplitude da saída em estado estacionário é ie a amplitude do sinal de entrada vezes a magnitude da função de transferência avaliada na frequência ω 10 rads Este exemplo ilustra que a resposta de um sistema LIT a uma senoide de frequência ω é uma senoide com a mesma frequência e com um coeficiente de amplitude igual à magnitude da função de transferência avaliada na frequência de entrada Além disso a diferença de fase entre os sinais de entrada e saída é dada pela fase da função de transferência avaliada na frequência da entrada O coeficiente de magnitude e a diferença de fase podem ser calculados usando a função de transferência como discutido eles podem também ser medidos experimentalmente e facilmente em laboratório aplicando ao sistema uma entrada senoidal conhecida e medindo a amplitude e a fase de saída do sistema em estado estacionário A frequência de entrada deve ser escolhida apropriadamente para se obter algumas curvas como as mostradas na Fig 33 A resposta em frequência pode ser generalizada definindo a transformada de Laplace do sinal ft como 322 Se aplicarmos essa definição aos sinais ut e yt e usarmos a integral de convolução Eq 312 temos 3 A diferença de fase também pode ser determinada usando o método de Lissajous A propriedadechave das transformadas de Laplace Capítulo 3 Resposta Dinâmica 73 Ys HsUs 323 sendo Ys e Us as transformadas de Laplace de yt e ut respectivamente Este resultado é demonstrado no Apêndice A A transformada de Laplace Eq 322 pode ser usada para estudar as características da res posta completa de um sistema realimentado incluindo a resposta transitória isto é o tempo de resposta para uma condição inicial ou para um sinal aplicado subitamente A transformada de Fourier por outro lado tem como foco a resposta em regime permanente Um problema padrão em controle é encontrar a resposta yt de um dado sistema para uma dada entrada ut A Eq 322 nos fornece um meio de obter a resposta de um sistema LIT para uma ampla varie dade de sinais Dada uma entrada e um sistema calculase a transformada da entrada e a função de transferência do sistema A transformada da saída é calculada pelo produto das transforma das da entrada e da função de transferência conforme Eq 323 Se for desejada a resposta temporal do sistema é necessário inverter Ys sendo que este processo é chamado de obter a transformada inversa de Laplace este passo geralmente não é realizado Contudo entender o processo necessário para obter yt de Ys é importante pois isto fornece compreensão sobre Resposta transitória Figura 34 a Resposta transitória completa b di ferença de fase entre a saída e a entrada 1 10 9 8 7 6 Tempo s a 5 4 3 2 0 01 005 0 005 01 015 02 025 Saída y2 y y1 91 10 99 98 97 96 Tempo s b 95 94 93 92 9 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Saída Entrada δt yt ut Resposta em estado estacionário Resposta Transitória 74 Sistemas de Controle características do comportamento do sistema Portanto dado um sistema LIT com função de transferência Hs e um sinal de entrada ut o processo para determinar yt usando a transfor mada de Laplace é dado pelos seguintes passos PASSO 1 Determinar a função de transferência Hs Lresposta do impulso do sistema Calcular Hs seguindo os passos a Obter a transformada de Laplace das equações dinâmicas do sistema Geralmente uma tabela de transformadas de Laplace é utilizada b Resolver a equação algébrica resultante Frequentemente neste passo é desenhado o dia grama de blocos do sistema e assim as equações são resolvidas por meio de manipulações gráficas dos blocos ou usando o MATLAB PASSO 2 Determinar a transformada de Laplace do sinal de entrada Us Lut PASSO 3 Determinar a transformada de Laplace do sinal de saída Ys HsUs PASSO 4 Reescrever Ys usando expansão em frações parciais PASSO 5 Encontrar a saída do sistema usando a transformada inversa de Laplace de Ys obti da no Passo 4 yt L1Ys ie invertendo Ys é obtido yt a Encontrar os componentes de yt na tabela de pares de transformadas b Combinar os componentes para obter a solução total na forma desejada Como mencionado anteriormente os Passos 4 e 5 geralmente não são realizados na prática e a solução qualitativa modificada em vez da solução quantitativa é quase sempre usada para fins de projeto de controle O processo se inicia com os três primeiros passos apresentados En tretanto no lugar de inverter Ys podese usar um conhecimento a priori e a intuição sobre os efeitos da localização dos polos e zeros de Ys na resposta yt para estimar as características de yt Em outras palavras obtémse informações de yt avaliando os polos e zeros de Ys sem ser necessário obter a transformada inversa de Ys Embora seja possível determinar as propriedades da resposta transitória de um sistema usando a Eq 322 geralmente é utilizada uma versão mais simples da transformada de Lapla ce que é baseada em entradas que se iniciam no instante de tempo zero 313 A transformada de Laplace unilateral L Em muitas aplicações é usada a definição de transformada de Laplace unilateral a qual usa 0 que indica um valor imediatamente antes de t 0 como o limite inferior da integração na Eq 322 A transformada de Laplace L de ft denotada por Lft Fs é uma função da variável complexa s σ jω sendo 324 O efeito da função exponencial no integrando é fornecer um fator de convergência se σ 0 Isto significa que mesmo se ft não convergir a zero quando t o termo integrando con vergirá para um valor de σ suficientemente grande se f não crescer com uma taxa maior que a taxa de decaimento da exponencial O limite inferior da integração é 0 para permitir o uso de uma função impulso unitário em t 0 como ilustrado no Exemplo 33 entretanto geralmente a distinção entre t 0 e t 0 na prática não é considerada Portanto neste livro o t 0 será considerado apenas se a função impulso em t 0 estiver envolvida ou caso esta distinção tenha valor prático Se a Eq 324 é a transformada de Laplace unilateral então a Eq 322 é a transformada de Laplace bilateral4 A partir de agora será usado o símbolo L para indicar L Tendo como base a definição formal na Eq 324 podemse verificar as propriedades da transformada de Laplace e calcular as transformadas de algumas funções no tempo contínuo 4 Outra possibilidade de transformada de Laplace unilateral é L que tem como o limite inferior da integral o 0 Em algumas aplicações essa transformada é utilizada Definição da transformada de Laplace Capítulo 3 Resposta Dinâmica 75 simples A análise de sistema lineares por meio da transformada de Laplace geralmente envolve o uso de tabelas de propriedades e de pares de transformadas como as fornecidas no Apêndice A As tabelas com transformadas de Laplace de funções no domínio do tempo juntamente com tabelas de propriedades permitemnos encontrar as transformadas de Laplace de sinais comple xos a partir de sinais simples Para um estudo mais detalhado das transformadas de Laplace ou para tabelas mais extensas veja Churchill 1972 e Campbell e Foster 1948 Para o estudo da transformada bilateral veja Van der Pol e Bremmer 1955 Estes autores mostram que funções no domínio do tempo podem ser obtidas por meio da transformada inversa de Laplace 325 sendo que σc é um valor selecionado à direita de todas as singularidades de Fs no planos Na prática esta relação é raramente utilizada Normalmente dividese a transformada de Laplace em partes mais simples e assim utilizamse os pares de transformadas fornecidas em tabelas A seguir calculamos as transformadas de Laplace de alguns sinais típicos EXEMPLO 36 Transformadas do degrau e da rampa Encontre a transforma de Laplace das funções degrau a1t e rampa bt1t Solução Para um degrau de amplitude a ft a1t e da Eq 324 temse Para a rampa ft bt1t novamente da Eq 324 temse para obter a equação anterior a técnica de integração por partes foi utilizada sendo u bt e dv estdt Podese estender o domínio da validade de Fs para o planos ex ceto na posição no polo neste caso na origem veja o Apêndice A Um exemplo mais sutil é o impulso unitário EXEMPLO 37 Transformada do impulso unitário Encontre a transformada de Laplace da função impulso unitário Solução Usando a Eq 324 temse 326 Para o cálculo da transformada do impulso unitário é necessário usar a L no lugar de L EXEMPLO 38 Transformada da senoide Encontre a transformada de uma função senoidal 76 Sistemas de Controle Solução Novamente usando a Eq 324 temse 327 Substituindo a relação da Eq D34 do Apêndice WD disponível em inglês no site do Grupo A na Eq 327 obtémse Podese estender o domínio de validade do cálculo da transformada de Laplace para todo o planos exceto no polo localizado em s jω veja o Apêndice A A Tabela A2 no Apêndice A lista as transformadas de Laplace para funções no domínio do tempo elementares Todas as transformadas apresentadas nessa tabela foram obtidas aplicando se a definição da transformada na Eq 324 como feito nos Exemplos 3638 314 Propriedades da transformada de Laplace Nesta seção todas as propriedades significantes listadas na Tabela A1 serão abordadas As demonstrações dessas propriedades os exemplos e o Teorema do Valor Inicial são apresentados no Apêndice A 1 Superposição Uma das propriedades mais importantes da transformada de Laplace é a linearidade Lαf1t βf2t αF1s βF2s 328 O escalonamento da amplitude é um caso particular da linearidade Lαft αFs 329 2 Retardo no tempo Suponha que a função ft é atrasada por λ 0 unidades de tempo Então a transformada de Laplace será 330 Esta relação nos mostra que um retardo no tempo λ corresponde a multiplicar a transformada por esλ 3 Escalonamento no tempo Esta propriedade é algumas vezes útil para escalonar no tempo equações de movimento Por exemplo no sistema de controle de um disco rígido é viável medir o tempo em milesegundos Capítulo 3 Resposta Dinâmica 77 veja o Capítulo 10 Se o tempo t é escalonado por um fator a então a transformada de Laplace do sinal escalonado no tempo é 331 4 Deslocamento na frequência Multiplicação modulação de ft por uma função exponencial no domínio do tempo corres ponde a fazer um deslocamento na frequência 332 5 Diferenciação A transformada de Laplace da derivada temporal do sinal é relacionada com a transformada de Laplace do sinal e com sua condição inicial 333 Diferenciando novamente a Eq 333 obtémse L s2Fs sf0 0 334 Aplicando a diferenciação repetidamente na Eq 333 temse Lfmt smFs sm1f0 sm2 0 f m10 335 sendo que f mt denota a mésima derivada temporal de ft 6 Integração Assumindo que se deseja determinar a transformada de Laplace da integral de uma função ft isto é 336 basta dividir a transformada de Laplace de ft por s 7 Convolução Foi visto anteriormente que a resposta de um sistema é determinada pela convolução da entrada com a resposta ao impulso do sistema ou pelo produto da função de transferência do sistema pela transformada de Laplace da entrada A discussão a seguir estende este conceito para várias funções no domínio do tempo Convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência Assuma que Lf1t F1s e Lf2t F2s Então 337 Isso implica que L1F1sF2s f1t f2t 338 O resultado dual a este é apresentado a seguir 8 Produto no tempo Multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da frequência 78 Sistemas de Controle 339 9 Multiplicação pelo tempo Multiplicação pelo tempo corresponde à diferenciação no domínio da frequência 340 315 A transformada inversa de Laplace por expansão em frações parciais A maneira mais fácil de encontrar ft a partir de sua transformada de Laplace Fs se Fs é racional é expandir Fs como a soma de termos simples que podem ser encontradas em tabe las A ferramenta básica para realizar esta tarefa é chamada de expansão em frações parciais Considere a forma geral de uma função racional Fs consistindo da razão de dois polinômios 341 A qual pode ser expressada em termos de produto de fatores 342 A seguir é discutido o caso de polos distintos Para a transformada Fs representando a resposta de qualquer sistema físico m n Quando s zi s é chamado de zero da função e quando s pi s é chamado de polo da função Assumindo agora que os polos pi são reais ou complexos mas distintos Fs pode ser reescrita por frações parciais como 343 Agora é determinado o conjunto de constantes Ci Multiplicase ambos os lados da Eq 343 pelo fator s p1 obtendose 344 Fazendo s p1 em ambos os lados da Eq 344 então todos os termos Ci serão iguais a zero exceto o primeiro Para este termo C1 s p1Fssp1 345 Portanto todos os coeficientes podem ser expressos de maneira similar Ci s piFsspi Esse processo é chamado de método de encobrimento porque na forma fatorada de Fs Eq 342 os termos no denominador desaparecem quando a expressão é avaliada em s pi e assim determinamse os coeficientes Ci Depois deste processo concluído a função no domínio do tempo tornase como pode ser verificado usando a Tabela A2 que apresenta na linha 7 que Zeros e polos O método de encobrimento para determinar coeficiente Capítulo 3 Resposta Dinâmica 79 então ft epit1t Para o caso de fatores quadráticos ou raízes repetidas no denominador veja o Apêndice A EXEMPLO 39 Expansão em frações parciais raízes reais distintas Suponha que Ys tenha sido calculado como Encontre yt Solução Escrevendo Ys em termos de frações parciais Usando o método de encobrimento temse De forma similar e Esse resultado pode ser verificado adicionando as frações parciais e constatando que a função original é recuperada Então usando as frações parciais obtidas e uma tabela obtémse A expansão em frações parciais pode ser computada usando a função residue no MATLAB num conv1 21 4 forma do polinômio no numerador den conv1 1 01 3 forma do polinômio no denominador rpk residuenumden cálculo dos resíduos obtendose o resultado r 01667 15000 26667 p 3 1 0 k o qual também pode ser obtido por cálculos manuais Note que a função conv no MATLAB é usada para multiplicar dois polinômios Os argumentos da função são os coeficientes do poli nômio 316 Teorema do Valor Final Uma propriedade especialmente útil da transformada de Laplace em controle é conhecida como Teorema do Valor Final que nos permite calcular o valor constante de estado estacionário de uma função no domínio no tempo por meio de sua transformada de Laplace O teorema é demonstrado utilizandose expansão em frações parciais Suponha que seja conhecida a trans 80 Sistemas de Controle formada de Laplace Ys da função yt e que desejase saber o valor final de yt usandose Ys Existem três possibilidades para o limite ele pode ser constante indefinido ou ilimitado Se Ys tem polos ie raízes do denominador como descrito na Seção 315 no semiplano direito do planos isto é se a parte real de qualquer polo pi 0 então yt irá crescer e o limite será indeterminado Se Ys tem um par de polos no eixo imaginário do planos ie pi jω então yt apresentará um comportamento oscilatório que persistirá eternamente e o valor final não poderá ser calculado Apenas um caso pode fornecer um valor final constante e diferente de zero se todos os polos de Ys estiverem no semiplano esquerdo do planos exceto em s 0 então todos os termos de yt irão convergir para zero exceto o termo correspondente a um polo em s 0 e este termo consiste em uma constante no tempo Assim o valor final é dado pelo coeficiente associado ao polo em s 0 Portanto o Teorema do Valor Final é Se todos os polos de sYs estão no semiplano esquerdo do planos então 346 Essa relação é fornecida no Apêndice A EXEMPLO 310 Teorema do Valor Final Encontre o valor final do sistema correspondente a Solução Aplicando o Teorema do Valor Final obtémse Assim depois dos transientes terminarem yt irá convergir para o valor 06 Devese tomar muito cuidado ao utilizar o Teorema do Valor Final pois ele é aplicado apenas a sistemas estáveis veja a Seção 36 O uso da Eq 346 em qualquer Ys pode gerar resultados errados como ilustrado no próximo exemplo EXEMPLO 311 Uso incorreto do Teorema do Valor Final Encontre o valor final do sinal correspondente a Solução Aplicandose a Eq 346 de forma descuidada obtémse Entretanto e a Eq 346 resulta apenas em um termo constante O valor final verdadeiro contudo é ilimitado O Teorema do Valor Final Use o Teorema de Valor Final apenas em sistemas estáveis Capítulo 3 Resposta Dinâmica 81 O Teorema do Valor Final também pode ser usado para encontrar o ganho DC de um siste ma O ganho DC é a razão da saída de um sistema depois que o regime transitório tenha ter minado pela sua entrada presumido constante Para encontrar o ganho DC assumese que a entrada seja um degrau unitário Us 1s e aplicase o Teorema do Valor Final para calcular a saída em estado estacionário Portanto para um sistema com função de transferência Gs ganho DC 347 EXEMPLO 312 Ganho DC Encontre o ganho DC de um sistema que tem a seguinte função de transferência Solução Aplicando a Eq 347 obtémse ganho DC 317 Resolução de problemas com a transformada de Laplace A transformada de Laplace pode ser usada para resolver equações diferenciais usando as pro priedades descritas no Apêndice A Primeiro encontrase a transformada de Laplace da equa ção diferencial usando a propriedade de diferenciação nas Eq A12 e A13 no Apêndice A Então encontrase a transformada de Laplace da saída usando expansão em frações parciais e a Tabela A2 esse resultado pode ser convertido para o domínio do tempo A seguir são apre sentados três exemplos EXEMPLO 313 Solução de equações diferenciais homogêneas Encontre a solução da equação diferencial t yt 0 onde y0 α 0 β Solução Usando a Eq 334 a transformada de Laplace da equação diferencial é Utilizando a Tabela A2 Apêndice A para encontrar a transformada inversa dos dois termos do lado direito da equação anterior temos yt α cos t β sen t1t na qual 1t denota a função degrau unitário Podese verificar que esta solução está correta substituindoa na equação diferencial O exemplo a seguir ilustra a solução de uma equação diferencial não homogênea isto é quando o sistema é forçado EXEMPLO 314 Solução da equação diferencial forçada Encontre a solução da equação diferencial t 5 t 4yt 3 sendo que y0 α e 0 β Cálculo do ganho DC usando o Teorema do Valor Final 82 Sistemas de Controle Solução Calculando a transformada de Laplace dos dois lados das Eqs 333 e 334 temos Isolando Ys Aplicando a expansão em frações parciais Portanto a função no domínio do tempo é dada por Diferenciando essa solução duas vezes e substituindo o resultado na equação diferencial origi nal verificase que a solução satisfaz a equação diferencial A solução é especialmente simples se as condições iniciais forem nulas EXEMPLO 315 Solução de equações forçadas com condições iniciais nulas Encontre a solução de t 5 t 4yt ut sendo y0 0 0 0 ut 2e2t1t 1 usando expansão em frações parciais e 2 usando o MATLAB Solução 1 Calculando a transformada de Laplace dos dois lados temos Isolando Ys Utilizando o método do encobrimento para obter a expansão em frações parciais Portanto a função no domínio do tempo é dada por 2 A expansão em frações parciais também pode ser computada utilizandose a função residue no MATLAB num 2 forma do numerador den poly214 forma do denominador rpk residuenum den cálculo dos resíduos Obtendo o resultado Capítulo 3 Resposta Dinâmica 83 r 03333 1 06667 p 4 2 1 k o qual está de acordo com os resultados obtidos manualmente Uma boa vantagem preliminar do uso da transformada de Laplace para resolver equações diferenciais é que ela nos fornece informações qualitativas das características do comportamen to da resposta Uma vez que conhecemos os valores dos polos de Ys nós sabemos quais tipos de termos irão aparecer na resposta No último exemplo o polo em s 1 resultou em um termo de decaimento na resposta y Cet O polo s 4 produziu o termo y Ce4t que tem uma taxa de decaimento maior Se tivesse um polo em s 1 existiria um termo de crescimen to na resposta y Cet Usar a localização dos polos para entender a essência de como o sis tema irá responder é uma ferramenta importante que será estudada na Seção 33 Projetistas de sistemas de controle geralmente manipulam parâmetros do controlador para ajustar os valores dos polos de forma que estes forneçam respostas aceitáveis além disso eles convertem estes polos em termos da resposta temporal do sistema apenas no estágio final do projeto Projetistas também utilizam métodos de tentativa e erro apresentados no Capítulo 5 que representam graficamente como as mudanças nos parâmetros do controlador afetam a localização dos polos Uma vez que o sistema de controle foi projetado com a prevista localização dos polos para fornecer respostas aceitáveis o projetista determina a resposta temporal para determinar se o projeto é satisfatório Isso normalmente é feito por meio de computadores os quais resolvem equações diferenciais utilizando métodos numéricos 318 Polos e zeros Uma função racional pode ser descrita tanto na forma de uma razão de polinômios em s 348 quanto em função de seus polos e zeros 349 K é chamado de ganho da função de transferência As raízes do numerador z1 z2 zm são chamados de zeros finitos do sistema Os zeros estão localizados no planos onde a função de transferência é zero Se s zi então Hsszi 0 Os zeros também correspondem à propriedade de bloquear a transmissão de sinais de um sistema e são chamados de zeros de transmissão do sistema Sistemas têm a capacidade inerente de bloquear frequências que coincidem com seus zeros Se excitarmos um sistema com uma entrada não nula u u0es0t sendo que s0 não é um polo do sistema então a saída é identica mente nula5 y 0 para frequências em s0 zi Os zeros também têm efeito significativo nas propriedades transitórias de um sistema veja Seção 35 As raízes do denominador p1 p2 pn são chamadas de polos6 do sistema Os polos estão localizados no planos onde a magnitude da função de transferência é infinita Se s pi então Hsspi Os polos do sistema determinam as propriedades de estabilidade como veremos na Seção 36 Além disso eles também determinam o comportamento natural ou não forçado de um siste 5 Identicamente nulo significa que a saída e todas suas derivadas são zero para t 0 6 O significado do polo também pode ser apreciado por uma visualização em 3D da função de transferência na qual as partes real e imaginária de s são marcadas nos eixos x e y e a magnitude da função de transferência é dada no eixo vertical eixo z Para um único polo o gráfico resultante em 3D será parecido com uma tenda Polos indicam características da resposta Zeros Polos 84 Sistemas de Controle ma os polos também são referenciados como os modos do sistema Os polos e zeros podem ser números complexos e assim são representados graficamente em um plano complexo o qual chamamos de planos A localização dos polos e zeros é o coração do controle realimentado e tem significativa implicação prática no projeto de sistemas de controle O sistema é dito ter n m zeros no infinito se m n porque a função de transferência aproxima de zero quando s aproxima de infinito Se os zeros no infinito forem contados o sistema tem o mesmo número de polos e zeros Nenhum sistema físico pode ter n m caso contrário ele poderá ter uma res posta infinita em ω Se zi pj então existem cancelamentos na função de transferência o quais podem gerar propriedades indesejáveis em sistemas como discutido no Capítulo 7 319 Análise de sistemas lineares usando o MATLAB O primeiro passo para analisar um sistema é escrever um conjunto de equações diferenciais no domínio do tempo que representam o comportamento dinâmico de um sistema físico Estas equações são geradas usando as leis físicas que governam o comportamento do sistema por exemplo dinâmicas de um corpo rígido mecanismos termofuido e eletromecânicos como descrito no Capítulo 2 O próximo passo na análise de sistemas é determinar e designar as en tradas e saídas do sistema e então calcular a função de transferência caracterizando o compor tamento entradasaída do sistema dinâmico Como foi dito neste capítulo um sistema dinâmico linear pode também ser representado pela transformada de Laplace de suas equações diferen ciais isto é sua função de transferência A função de transferência pode ser expressa como a razão de dois polinômios como na Eq 348 e em função de seus polos e zeros como na Eq 349 Analisando a função de transferência podemos determinar as propriedades dinâmicas do sistema em ambos os sentidos qualitativo e quantitativo Uma maneira de extrair informa ções úteis de sistemas é simplesmente determinar a localização dos polos e zeros e deduzir as características essenciais das propriedades dinâmicas do sistema Outra forma é determinar as propriedades do sistema no domínio do tempo obtendo a resposta do sistema a excitações típi cas como impulsos degraus rampas e senoides Outra maneira ainda é determinar a resposta temporal do sistema analiticamente calculando sua transformada inversa de Laplace usando expansão em frações parciais e as Tabelas A1 e A2 É claro que também é possível determinar a resposta do sistema para uma entrada arbitrária Iremos ilustrar este tipo de análise utilizando cálculos já realizados no Capítulo 2 em al guns sistemas físicos para aumentar o grau de dificuldade Iremos utilizar diferentes represen tações de sistemas função de transferência função de polos e zeros etc e como ferramenta computacional usaremos o MATLAB O MATLAB tipicamente aceita representações de sis temas em diferentes maneiras incluindo funções de transferência e funções de polos e zeros e se refere a estas representações como tf e zp respectivamente Ademais o MATLAB também pode converter a representação do sistema de uma forma para outra EXEMPLO 316 Função de transferência do controle de velocidade em cruzeiro usando o MATLAB Encontre a função de transferência entre uma entrada u e a posição de um carro x no sistema de controle de velocidade em cruzeiro no Exemplo 21 Solução A partir do Exemplo 21 temos que a função de transferência do sistema é No MATLAB fornecemos os coeficientes do numerador do polinômio como um vetor linha num e os coeficientes do denominador como um vetor linha den Para esse exemplo de vemos fornecemos ao MATLAB num 0 0 0001 e den 1 005 0 MATLAB printsys Estes coeficientes podem ser obtidos utilizando o MATLAB pelo comando printsysnum den A representação em função dos polos e zeros é computada utilizando o comando z p k tf2zpnum den e o resultado será a função de transferência na forma fatorada sendo z p 0 005 e k 00001 EXEMPLO 317 Função de transferência de um motor CC usando o MATLAB No Exemplo 213 assumimos que Jm 001 kgm² b 0001 Nms Kt Ke 1 Ra 10 Ω e La 1 H Encontre a função de transferência entre a entrada va e 1 a saída θm 2 a saída ω θm Solução 1 Substituindo os parâmetros acima no Exemplo 213 encontramos a função de transferência do sistema Hs 100s³ 101s² 101s No MATLAB fornecemos os coeficientes do numerador do polinômio como um vetor linha numa e do denominador como dena Então numa 0 0 0 100 e dena 1 101 101 0 A representação em função dos polos e zeros é computada no MATLAB usando o comando z p k tf2zpnuma dena o qual resulta em z p 0 50500 86889j 50500 86889j k 100 e assim a função de transferência na forma fatorada é Hs 100ss 505 j86889s 505 j86889 2 Se considerarmos a velocidade θm como a saída então temos numb0 0 100 denb1 101 101 ou seja temos a função de transferência Gs 100ss³ 101s² 101s 100s² 101s 101 Isto era esperado porque θm é simplesmente a derivada de θm assim Lθm sLθm Para um comando na forma de um degrau em va computamos a resposta ao degrau no MATLAB Exemplo 21 como numb0 0 100 forma do numerador denb1 101 101 forma do denominador sysbtfnumbdenb define o sistema usando seu numerador e denominador t00015 vetor da variável tempo ystepsysbt calcula a resposta ao degrau plotty traça o gráfico da resposta ao degrau O sistema em regime permanente resulta em uma velocidade angular constante como mostrado na Fig 35 Note que existe um pequeno erro entre o sinal de referência e a saída do sistema isso acontece porque o sistema não tem ganho DC unitário 86 Sistemas de Controle Quando um sistema dinâmico é representado por uma única equação diferencial de qual quer ordem encontrar a forma polinomial da função de transferência por meio da equação diferencial geralmente é fácil Dessa forma é melhor nesses casos especificar um sistema diretamente em termos de sua função de transferência EXEMPLO 318 Transformações usando o MATLAB Encontre a função de transferência de um sistema que é representado pela equação diferencial 6 25y 9u 3 Solução Usando as regras de diferenciação das Eqs 333 e 334 obtemos por inspeção Os comandos no MATLAB são numG 3 9 forma do numerador denG 1 6 25 forma do denominador Se é desejado a função de transferência na forma fatorada ela pode ser obtida transformando a descrição tf Portanto o comando no MATLAB é converte a forma numeradordenominador na forma de polos e zeros zpktf2zpnumGdenG o qual resulta em z 3 p 3 4j 3 4j k 3 Isso significa que a função de trans ferência também pode ser escrita como Também podemos converter a representação em polos e zeros para a representação em função de transferência usando o comando zp2tf converte a forma de polos e zeros na forma numeradordenominador numGdenGzp2tfzpk Nesse exemplo z3 p3i4 3i4 k3 resulta nos polinômios do numerador e do denominador Figura 35 Resposta transitória do motor CC 0 1 Tempo s 2 3 4 5 0 02 04 06 08 0 12 14 ω rads Capítulo 3 Resposta Dinâmica 87 EXEMPLO 319 Função de transferência de um satélite usando o MATLAB 1 Encontre a função de transferência entre a entrada Fc e o ângulo de atitude do satélite θ no Exemplo 23 e 2 Determine a resposta do sistema para um pulso de 25 N com 01 s de duração começando em t 5 s Faça d 1m e I 5000 kgm2 Solução 1 Do Exemplo 23 e isto significa que a função de transferência do sistema é que nesse caso pode ser determinada por inspeção Os coeficientes do numerador dessa função de transferência são passados para o MATLAB na forma do vetor linha num e os coeficientes do denominador na forma do vetor linha den Para esse exemplo temos numG 0 0 00002 e denG 1 0 0 2 Os seguintes comandos no MATLAB computam a resposta do sistema para um pulso de 25 N de 01 s de duração numG0 0 00002 forma da função de transferência denG1 0 0 sysGtfnumGdenG define a função de transferência do sistema t000110 define o vetor tempo com dt 001 s u1zeros1500 25ones110 entrada zeros1491 pulso de 25N aplicado em t 5 s com 01 s de duração y1lsimsysGu1t simulação linear ff180pi fator de conversão de radianos para graus y1ffy1 saída em graus plottu1 gráfico do sinal de entrada plotty1 gráfico do sinal de saída O sistema é excitado com um pulso de curta duração uma entrada impulsiva que tem o efeito de transmitir um ângulo θ0 no instante de tempo t 5 s para o sistema Em virtude de o sistema ser não amortecido na ausência de qualquer controle a saída é uma velocidade angular constante com um valor fornecido pelo impulso em t 5 s O pulso aplicado na entrada do sistema é mostrado na Fig 36a e a saída o ângulo θ na Fig 36b Agora considere o sistema excitado pelo mesmo pulso de magnitude positiva aplicado em t 5 s seguido por um outro pulso de mesma duração mas com a magnitude negativa aplicado em t 61 s Veja a entrada impulsiva na Figura 37a A resposta do sistema é apresentada na Figura 37b Isto é realmente como o ângulo de atitude de um satélite é controlado na prática Outros comandos relevantes no MATLAB são pulso duplo u2zeros1500 25ones110 zeros1100 25ones110 zeros1381 y2lsimsysGu2t simulação linear plottu2 gráfico do sinal de entrada ff180pi fator de conversão de radianos para graus y2ffy2 saída em graus plotty2 gráfico da saída Figura 36 Resposta transitória do satélite a entrada b ângulo de atitude do satélite 32 Representação de sistemas por diagramas 321 Diagrama de blocos Para obter a função de transferência precisamos encontrar as transformadas de Laplace das equação dinâmicas do sistema e obter a expressão algébrica relacionando a saída com a entrada Muitos sistemas de controle podem ser representados por sistemas de equações em que seus componentes não interagem exceto se a entrada de um componente for a saída de outro Nestes casos é fácil desenhar o diagrama de blocos que representa a relação matemática de forma similar ao diagrama de blocos apresentado na Fig 12 Capítulo 1 A função de transferência de cada componente é colocada em uma caixa e as relações de entradasaída entre os componentes são indicadas por linhas e setas Em seguida as equações podem ser resolvidas por simplificação gráfica muitas vezes isto é mais fácil e mais informativo do que a manipulação algébrica embora os métodos sejam equivalentes em todos os sentidos Desenhos de três diagramas de blocos elementares são apresentados na Fig 38 É conveniente pensar em cada bloco como a representação de um amplificador eletrônico com a função de transferência impressa em seu interior As interconexões dos blocos incluem pontos somadores nos quais qualquer número de sinais pode ser somado Estes são representados por um círculo com o símbolo Σ no interior Na Fig 38a o bloco com a função de transferência G1s está em série com o bloco com a função de transferência G2s e a função de transferência geral é o produto G1G2 Na Fig 38b dois sistemas estão em paralelo com suas saídas somadas e a função de transferência geral é dada pela soma G1 G2 Esses diagramas são facilmente obtidos a partir das equação que os descrevem A Figura 38 c apresenta um caso mais complicado Nele os dois blocos estão conectados em um arranjo com realimentação um bloco alimenta o outro Quando a realimentação Y2s é subtraída como mostrado na figura chamamos de realimentação negativa Como será visto Figura 37 Resposta transitória do satélite pulsoduplo a entrada b ângulo de atitude do satélite a realimentação negativa é geralmente necessária para a estabilidade do sistema Agora vamos simplesmente resolver as equações e em seguida relacionálas novamente ao diagrama As equações são U1s Rs Y2s Y2s G2sG1sU1s Y1s G1sU1s e a solução delas é Y1s G1s 1 G1sG2s Rs 350 A solução pode ser expressa pela seguinte regra Y2s U1s G1G2 Ys Us G1 G2 Ys Rs G1 1 G1G2 Figura 38 Três exemplos de diagramas de blocos elementares O ganho de um sistema com realimentação negativa em malha simples é dada pelo ganho do ramo direto dividido pela soma de 1 mais o ganho da malha Quando a realimentação é adicionada em vez de ser subtraída chamamos de realimentação positiva Nesse caso o ganho do sistema é dado pelo ganho do ramo direto dividido pela soma de 1 menos o ganho da malha Os três casos elementares dados na Fig 38 podem ser usados em conjunto para resolver por meio da redução repetida qualquer função de transferência definida por um diagrama de blocos No entanto as manipulações podem ser tediosas e estão sujeitas a erros quando a topologia do diagrama é complicada A Figura 39 mostra exemplos de álgebra de diagrama de blocos que complementam os casos na Fig 38 As Figuras 39a e b mostram como as interconexões de um diagrama de blocos podem ser manipuladas sem afetar as relações matemáticas A Figura 39c mostra como a manipulação pode ser usada para converter um sistema geral à esquerda para um sistema sem um componente no caminho da realimentação normalmente referido como um sistema com realimentação unitária Em todos os casos o princípio básico é o de simplificar a topologia mantendo exatamente as mesmas relações entre as demais variáveis do diagrama de blocos Em relação à álgebra das equações lineares a redução de diagrama de blocos é uma forma pictórica para resolver equações eliminando variáveis EXEMPLO 320 Função de transferência de um diagrama de blocos simples Encontre a função de transferência do sistema mostrado na Fig 310a Solução Inicialmente o diagrama é simplificado substituindo a conexão em paralelo O resultado é apresentado no diagrama da Fig 310b e usando a regra de realimentação a função de transferência em malha fechada é Ts YsRs 2s4s2 1 2s4s2 2s 4 s2 2s 4 Figura 310 Diagrama de blocos de um sistema de segunda ordem EXEMPLO 321 Função de transferência do diagrama de blocos Encontre a função de transferência do sistema mostrado na Fig 311a Solução Primeiro simplificamos o diagrama de blocos Usando os princípios da Eq 350 a realimentação envolvendo G1 e G3 pode ser substituída pela função de transferência equivalente note que esta é uma realimentação positiva O resultado é a Fig 311b O próximo passo é mover o ponto de conexão precedente para o ponto que sucede G2 como mostrado na Fig 311c A malha com realimentação negativa à esquerda está em série com o subsistema à direita composto por dois blocos em paralelo G5 e G6G2 A função de transferência geral pode ser escrita usando as três regras de redução dadas pela Fig 38 Ts Ys Rs G1G2 1 G1G3 1 G1G2G4 1 G1G3 G5 G6 G2 G1G2G5 G1G6 1 G1G3 G1G2G4 Como vimos um sistema de equações algébricas pode ser representado por um diagrama de blocos que representa as funções de transferência individuais por blocos e tem interconexões que correspondem às equações do sistema Um diagrama de blocos é uma ferramenta conveniente para se visualizar o sistema como um conjunto de subsistemas interrelacionados que enfatizam as relações entre as variáveis do sistema 322 Redução de diagrama de blocos usando o MATLAB Se as funções de transferência individuais para os componentes de um sistema de controle estão disponíveis é possível usar comandos no MATLAB para calcular as funções de transferência dos sistemas interligados Os três comandos são series parallel e feedback Eles calculam as funções de transferência resultantes de dois blocos de funções de transferência em série paralelo e em realimentação respectivamente O próximo exemplo ilustra sua utilização EXEMPLO 322 Função de transferência de um sistema simples usando o MATLAB Repita o calculo da função de transferência do diagrama de blocos na Fig 310a usando o MATLAB Solução Nomeamos separadamente os blocos de funções de transferência mostrados na Fig 310a como ilustrado na Fig 312 Então combinamos os dois blocos que estão em paralelo G1 e G2 num12 forma de G1 den11 sysG1tfnum1den1 define o subsistema G1 num24 forma de G2 den21 0 sysG2tfnum2den2 define o subsistema G2 combinação paralela de G1 e G2 para formar o subsistema G3 sysG3parallelsysG1sysG2 e então combine em série o resultado G3 com G4 num41 forma de G4 den41 0 sysG4tfnum4den4 define o subsistema G4 sysG5seriessysG3sysG4 combinação em série de G3 e G4 Figura 312 Exemplo de simplificação de diagrama de blocos Capítulo 3 Resposta Dinâmica 93 e complete a redução do sistema com realimentação num61 forma de G6 den61 sysG6tfnum6den6 define o subsistema G6 sysCLfeedbacksysG5sysG61 combinação em realimentação de G5 e G6 O resultado do MATLAB é sysCL na forma e esse é o mesmo resultado que foi obtido fazendo a redução do diagrama de blocos 33 Efeitos da localização dos polos Uma vez determinada a função de transferência por qualquer método disponível a resposta do sistema que ela representa pode ser analisada Quando o sistema de equações é composto por equações diferenciais ordinárias EDOs a função de transferência resultante será a razão de polinômios isto é Hs bsas Assumindo que b e a não tenham fatores em comum situação muito comum então os valores de s tais que as 0 representam pontos nos quais Hs é infinito Como mostrado na Seção 315 estes valores de s são chamados de polos de Hs Valores de s tais que bs 0 são pon tos nos quais Hs 0 e os valores correspondentes de s são chamados de zeros Os efeitos dos zeros na resposta transiente serão discutidos na Seção 35 Esses polos e zeros descrevem com pletamente Hs exceto por uma constante multiplicadora Em virtude da resposta ao impulso ser dada pela função no tempo correspondente à função de transferência chamamos a resposta ao impulso de resposta natural do sistema Podemos usar polos e zeros para calcular a resposta temporal correspondente e assim identificar o histórico temporal sabendo a localização dos polos no planos Por exemplo os polos identificam as classes dos sinais contidos na resposta ao impulso como pode ser visto por uma expansão em fração parcial de Hs Para um polo de primeira ordem A Tabela A2 linha 7 indica que a resposta ao impulso será uma função exponencial isto é ht eσt1t Quando σ 0 o polo está localizado em s 0 então a função exponencial decai e dizemos que a resposta ao impulso é estável Se σ 0 o polo está à direita da origem Como a função exponencial cresce à medida que o tempo cresce a resposta ao impulso é dita instável Seção 36 A Figura 313a mostra uma típica resposta estável e define uma constante de tempo τ 1σ 351 corresponde ao tempo quando a resposta é 1e vezes o valor inicial Por isso é uma medida da taxa de decaimento A reta é tangente à curva exponencial em t 0 e termina em t τ Esta ca racterística de uma função exponencial é útil para esboçar a resposta temporal ou para verificar resultados do computador A Figura 313b mostra as respostas ao impulso e ao degrau de um sistema de primeira ordem calculadas usando o MATLAB Polos zeros A resposta ao impulso é a resposta natural Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem Estabilidade Constante de tempo 94 Sistemas de Controle EXEMPLO 323 Resposta versus localização dos polos raízes repetidas Compare a resposta temporal com a localização dos polos para o sistema com função de trans ferência entre a entrada e a saída dada por 352 Solução O numerador é e o denominador é as s2 3s 2 s 1s 2 Portanto os polos de Hs são s 1 e s 2 e o único finito zero é s 12 Uma descri ção completa da função de transferência está mostrada pelo gráfico da localização dos polos e zeros no planos usando a função pzmapnumden do MATLAB sendo num2 1 den1 3 2 veja a Fig 314 Expandindo Hs em frações parciais temos Figura 313 Resposta de um sistema de primeira or dem a resposta ao impulso b resposta ao impulso e ao degrau usando o MATLAB ht 10 08 06 04 02 0 0 10 20 30 40 Tempo s t τ eσt 1 e 0 2 Tempo s 1 3 4 0 02 04 06 08 1 ht yt b y h a Capítulo 3 Resposta Dinâmica 95 A partir da Tabela A2 podemos obter a transformada inversa de cada termo em Hs o que nos fornece ht a resposta ao impulso do sistema Neste caso 353 A forma dos componentes de ht que são et e e2t são determinadas pelo polos em s 1 e 2 Isto é verdade também para casos mais complicados em geral as formas dos componentes da resposta natural são determinadas pela localização dos polos da função de transferência Um esboço da localização destes polos e da correspondente resposta natural é dado na Fig 315 em que também são apresentados outros polos incluindo polos complexos que serão discutidos em breve O papel do numerador no processo de expansão em frações parciais é influenciar o tama nho do coeficiente que multiplica cada componente Como e2t decai mais rápido que et o sinal correspondente ao polo em 2 decai mais rápido que o sinal que corresponde ao polo em 1 Para abreviar basta dizer que o polo em 2 é mais rápido que o polo em 1 Em geral os polos mais à esquerda no planos estão associados a sinais naturais que decaem mais rápido que aqueles associados aos polos mais próximos do eixo imaginário Se os polos estivessem localizados em valores positivos de s na metade direita do planos a resposta teria sido uma função de crescimento exponencial e portanto instável A Fig 316 mostra que o termo rápido 3e2t domina a primeira parte do histórico temporal e que o termo et é o principal contribuinte para a parte seguinte O objetivo deste exemplo é ilustrar a relação entre os polos e as características da resposta o que pode ser feito de forma precisa apenas encontrando a transformada inversa de Laplace e examinando cada termo como feito anteriormente No entanto se o objetivo é simplesmente Polos rápidos e polos lentos referemse à taxa de decaimento relativa ao sinal A resposta ao impulso utilizando o MATLAB Figura 314 Planos destacando os polos e zeros 1 1 2 j j Ims Res Zero Polo Figura 315 Respostas temporais as sociadas com pontos no planos SPE semiplano esquerdo SPD semiplano direito Ims Res SPE SPD ESTÁVEL INSTÁVEL 96 Sistemas de Controle traçar a resposta ao impulso para este exemplo um modo adequado seria usar as instruções no MATLAB numH 2 1 forma do numerador denH 1 3 2 forma do denominador sysH tfnumHdenH define o sistema impulsesysH calcula a resposta ao impulso O resultado é mostrado na Fig 316 Polos complexos podem ser definidos em termos de suas partes real e imaginária tradicio nalmente referenciadas como s σ jωd Isso significa que um polo tem parte real imaginária negativa se σ é positivo Como polos complexos sempre vêm em pares complexos conjugados o denominador corresponde a um par complexo as s σ jωds σ jωd s σ2 ω2d 354 Ao obter a função de transferência a partir da equação diferencial o resultado normalmente é escrito na forma polinomial 355 Multiplicando a forma dada na Eq 354 e comparandoa com os coeficientes do denominador de Hs na Eq 355 encontramos a correspondência entre os parâmetros σ ζωn e 356 sendo que o parâmetro ζ é o coeficiente de amortecimento7 e ωn é a frequência natural não amortecida Os polos da função de transferência estão localizados em um raio de ωn no planos e em um ângulo θ sen1ζ como mostrado na Fig 317 Portanto o coeficiente de amortecimento reflete o nível de amortecimento como uma fração do valor crítico de amorte cimento ponto onde os polos se tornam reais Em coordenadas retangulares os polos estão em s σ jωd Quando ζ 0 não temos amortecimento θ 0 e a frequência natural amorte cida ωd ωn a frequência natural não amortecida Para encontrar a resposta temporal usando a Tabela A2 correspondente a uma função de transferência complexa o método mais simples é manipular Hs de modo que os polos com 7 Em comunicações e filtragem na engenharia a função de transferência de segunda ordem padrão é escrita como H 11Qsωn ωns Sendo que ωn é chamado de centro da banda e Q é o fator de qualidade A comparação com a Eq 355 mostra que Q 12ζ Coeficiente de amortecimento frequência natural amortecida e não amortecida Figura 316 Resposta ao impulso do Exemplo 323 Eq 352 ht 20 15 10 05 0 05 6 5 4 3 2 1 0 Tempo s Capítulo 3 Resposta Dinâmica 97 plexos fiquem na forma da Eq 354 porque então a resposta temporal pode ser encontrada diretamente na tabela A equação 355 pode ser reescrita como 357 Portanto a partir da linha 20 na Tabela A2 e das definições na Eq 356 a resposta ao impulso é 358 A Figura 318a apresenta ht para vários valores de ζ sendo que o tempo foi normalizado para a frequência natural não amortecida ωn Note que a frequência real ωd diminui ligeira mente com o aumento da taxa de amortecimento Note também que para um coeficiente de amortecimento muito baixo a resposta é oscilatória enquanto para valores grandes ζ próximo de 1 a resposta não mostra qualquer oscilação Algumas dessas respostas estão esboçadas na Fig 315 para mostrar qualitativamente como a alteração dos locais dos polos no planos afetam a resposta ao impulso Para um projetista de controle a Fig 315 é útil para entender como as mudanças instantâneas nos locais dos polos podem influenciar a resposta temporal As localizações de três polos são mostradas na Fig 319 para comparação com as respostas ao impulso na Fig 318a A parte real negativa do polo σ determina a taxa de decaimento exponencial de um envelope que multiplica a senoide como mostrado na Fig 320 Note que se σ 0 o polo está na SPD então a resposta natural irá crescer com o tempo por isso tal como definido anteriormente o sistema é dito instável Se σ 0 a resposta natural não cresce nem decai de modo que a estabilidade está aberta à discussão Se σ 0 a resposta natural decai então o sistema é estável A resposta ao degrau de Hs também é interessante de ser analisada ou seja a resposta do sistema Hs para a entrada sendo o degrau unitário u 1t com Us 1s A transformada da resposta ao degrau é dada por Ys HsUs a qual é encontrada na Tabela A2 linha 21 A Figura 318b que traça yt em função de vários valores de ζ mostra que as características básicas da resposta transiente entre a resposta ao degrau e a resposta ao impulso são muito simi lares a diferença entre as respostas é que o valor final da resposta ao degrau é o degrau unitário EXEMPLO 324 Resposta temporal oscilatória Discuta a correlação entre os polos de 359 e a resposta ao impulso do sistema e encontre a resposta exata ao impulso Resposta ao impulso padrão de um sistema de segunda ordem A estabilidade depende de se a resposta natural cresce ou decai Resposta ao degrau Figura 317 Um par de polos complexos no planos Ims Res θ sen1ζ ωn ωd σ 98 Sistemas de Controle Figura 318 Respostas de siste mas de segunda ordem em função de ζ a respostas ao impulso b respostas ao degrau b 09 ζ 1 0 2 4 6 8 10 12 10 08 06 04 02 00 02 04 06 08 10 yt ωnt a 0 2 4 6 8 10 12 ωnt 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 yt ζ 0 01 02 03 04 05 06 07 08 ζ 0 01 02 03 04 05 06 ζ 07 08 09 10 Figura 319 Localização dos polos correspondente a três valores de ζ Res Ims Res Ims Res Ims 45 30 175 ζ 0707 ζ 05 ζ 03 Capítulo 3 Resposta Dinâmica 99 Solução A partir da forma de Hs dada na Eq 355 temos que e Isso indica que devemos esperar uma frequência em torno de 2 rads com muito pouco movi mento oscilatório Para obter a resposta exata Hs deve ser manipulada até que o denominador esteja na forma da Eq 354 A partir desta equação vemos que os polos da função de transferência são complexos com parte real 1 e partes imaginárias 2j A Tabela A2 contém dois itens linhas 19 e 20 que cor respondem ao denominador O lado direito da equação precedente precisa ser dividido em duas partes de modo que elas coincidam com os numeradores das entradas na tabela Assim a resposta ao impulso é A Figura 321 apresenta a resposta e mostra como o envelope atenua a senoide o termo domi nante 2cos 2t e o deslocamento de fase causado pelo termo 12 sen 2t Como no exemplo anterior a maneira conveniente de determinar a resposta ao impulso seria usar as instruções no MATLAB numH 2 1 forma do numerador denH 1 2 5 forma do denominador sysH tfnumHdenH define o sistema por seu numerador e denominador t 0016 vetor de tempo y impulsesysHt cálculo da resposta ao impulso plotty traça a resposta ao impulso como mostrado na Fig 321 Resposta ao impulso pelo MATLAB Figura 320 Resposta de um siste ma de segunda ordem com um enve lope exponencial 0 Tempo s 30 25 20 15 10 5 1 06 02 02 06 08 08 04 0 04 1 ht eσt eσt 100 Sistemas de Controle 34 Especificações no domínio do tempo As especificações para o projeto de um sistema de controle muitas vezes envolvem determina dos requisitos associados à resposta temporal do sistema Os requisitos para uma resposta ao degrau são expressos em termos das grandezas apresentadas na Fig 322 1 O tempo de subida rise time tr é o tempo que leva para o sistema atingir as proximidades de sua referência 2 O tempo de acomodação settling time ts é o tempo necessário para os transitórios do sistema terminarem 3 O sobressinal overshoot Mp é o valor máximo que o sistema supera seu valor final divi dido pelo seu valor final e muitas vezes é expresso em porcentagem 4 O tempo de pico peak time tp é o tempo necessário para o sistema alcançar seu ponto máximo 341 Tempo de subida Para um sistema de segunda ordem as respostas temporais apresentadas na Fig 318b for necem informações sobre as especificações que são muito complexas para serem lembradas a não ser que sejam convertidas em uma forma mais simples Ao examinar essas curvas tendo em conta as definições dadas na Fig 322 podemos relacionar as curvas com as localizações dos polos em função dos parâmetros ζ e ωn Por exemplo todas as curvas se elevam praticamente ao mesmo tempo Se considerarmos a curva com ζ 05 como uma média o tempo de subida a partir de y 01 a y 09 é de aproximadamente ωntr 18 Assim podemos dizer que 360 Embora essa relação possa ser melhorada incluindo o efeito do coeficiente de amorteci mento é importante manter em mente que a Eq 360 é normalmente usada Esta equação é precisa apenas para sistemas de segunda ordem sem zeros para todos os ou tros sistemas é uma aproximação grosseira para a relação entre tr e ωn A maioria dos sistemas que estão sendo analisados para projetar sistemas de controle são mais complicados do que o sistema de segunda ordem puro então projetistas utilizam a Eq 360 sabendo que ela é apenas uma aproximação grosseira 342 Sobressinal e tempo de pico O sobressinal Mp pode ser calculado de forma mais analítica Esse valor ocorre quando a deri vada é zero o que pode ser encontrado a partir de cálculos O histórico temporal das curvas na Fig 318b encontrado a partir da transformada inversa de Laplace de Hss é Definição de tempo de subida tempo de acomodação sobressinal e tempo de pico Tempo de subida tr Figura 321 Exemplo 324 resposta do sistema 0 Tempo s 6 5 4 3 2 1 2 15 1 05 0 05 1 15 2 ht Capítulo 3 Resposta Dinâmica 101 361 sendo ωd ωn e σ ζωn A equação precedente pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica A senα B cosα C cosα β ou sendo A σωd B 1 e α ωdt em uma forma mais compacta 362 Quando yt atinge seu valor máximo sua derivada será zero Isso ocorre quando sen ωdt 0 então ωdtp π e assim 363 Substituindo a Eq 363 na expressão de yt temos Então temos a fórmula 364 Resposta ao degrau padrão de sistema de segunda ordem Tempo de pico tp Sobressinal Mp Figura 322 Definição do tempo de subida tr tempo de acomodação ts e sobressinal Mp t Mp tp ts tr 1 09 01 1 102 Sistemas de Controle a qual corresponde ao gráfico na Fig 323 Dois valores frequentemente usados dessa curva são Mp 016 para ζ 05 e Mp 005 para ζ 07 343 Tempo de acomodação O parâmetro final de interesse a partir da resposta transitória é o tempo de acomodação ts Esse é o tempo necessário para o transiente decair para um valor pequeno de modo que yt esteja quase em estado estacionário Várias medidas são possíveis Para ilustração vamos utilizar 1 como uma medida razoável em outros casos 2 ou 5 são usados Como um cálculo analítico observase que o desvio de y a partir de 1 é consequência do decaimento exponencial eσt e das funções seno e cosseno A duração desse erro é essencialmente decidida pelo transiente expo nencial assim podemos definir o tempo de acomodação ts quando o decaimento exponencial atinge 1 eζωnts 001 Portanto ζωnts 46 ou 365 sendo σ a parte real negativa do polo como é mostrado na Fig 317 As Equações 360 364 e 365 caracterizam a resposta transiente de um sistema sem zeros finitos e dois polos complexos e com frequência natural não amortecida ωn coeficiente de amortecimento ζ e parte real negativa σ Na análise e no projeto elas são usadas para estimar o tempo de subida sobressinal e tempo de acomodação respectivamente para praticamente qualquer sistema Em síntese especificase tr Mp e ts e analisase onde os polos precisam estar localizados para que a resposta real satisfaça as especificações desejadas Para os valores espe cificados de tr Mp e ts as formas das equações de síntese são 366 ζ ζMp a partir da Fig 323 367 368 Tempo de acomodação ts Síntese de projeto Figura 323 Sobressinal Mp em função do coeficiente de amortecimento ζ para um sistema de segunda ordem 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Mp 00 02 04 06 08 10 ζ 16 5 Capítulo 3 Resposta Dinâmica 103 Estas equações representadas no planos como mostrado na Fig 324ac serão usadas nos capítulos posteriores para indicar a localização dos polos e zeros que atendem às especificações da resposta dinâmica desejada para o sistema de controle É importante ter em mente que as Eqs 366368 são guias qualitativos e não fórmulas precisas para o projeto Elas são destinadas a fornecer um ponto de partida para o projeto Após o projeto de controle ser completado o resposta temporal deve ser sempre verificada por um cálculo exato geralmente por meio de simulação numérica para verificar se as especificações de tempo foram realmente cumpridas Se não outra iteração do projeto é necessária Para um sistema de primeira ordem a transformada da resposta ao degrau é Podemos ver na linha 11 da Tabela A2 que Ys corresponde a yt 1 eσt1t 369 Comparando com o desenvolvimento para a Eq 365 temos que o valor de ts para um sistema de primeira ordem é o mesmo Não haver sobressinal é possível então Mp 0 O tempo de subida para y 01 até y 09 pode ser visto a partir da Fig 313 No entanto é mais comum descrever um sistema de primeira ordem em termos de sua constante tempo que foi definida na Fig 313 como τ 1σ EXEMPLO 325 Transformação das especificações para o planos Encontre a região admissível no planos para os polos da função de transferência de um siste ma se as exigências para a resposta do sistema são tr 06 s Mp 10 e ts 3 s Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem Constante tempo τ Ims Res Ims Res Ims Res Ims Res ωn sen1ζ σ a b c d Figura 324 Regiões no planos delimitadas por especificações na resposta transitória a tempo de subida b sobressinal c tempo de acomodação d composição das três especificações 104 Sistemas de Controle Solução Sem saber se o sistema é de segunda ordem sem zeros ou não é impossível localizar a região admissível com precisão Independentemente do sistema podemos obter uma primeira aproximação com as relações de um sistema de segunda ordem A Eq 366 indica que A Eq 367 e a Fig 323 indicam que ζ 06 e a Eq 368 indica que A região admissível está à esquerda da linha sólida na Fig 325 Note que qualquer polo que satisfaça ambas as restrições impostas por ζ e ωn irá automaticamente satisfazer a restrição imposta por σ 35 Efeitos de zeros e polos adicionais As relações mostradas na Fig 324 estão corretas para sistemas de segunda ordem simples para sistemas mais complexos elas podem ser usadas apenas como orientação Se um determinado projeto tem um tempo de subida inadequado muito lento devemos aumentar a frequência natural se o transitório tem um sobressinal muito grande então o coeficiente de amortecimento deve ser aumentado se o transitório persistir por muito tempo os polos precisam ser desloca dos para a esquerda no planos Até agora apenas os polos de Hs entraram na discussão Contudo Hs também pode possuir zeros8 A nível de análise transiente os zeros exercem influência modificando os coe ficientes dos termos exponenciais cuja forma é decidida pelos polos como pode ser visto no Exemplo 323 Para ilustrar isso considere as duas funções de transferência seguintes que têm os mesmos polos mas zeros diferentes 8 Supomos que bs e as não têm fator algum em comum Se isso não é satisfeito é possível que bs e as sejam zero no mesmo local mas Hs pode não ser igual a zero nesse local As implicações deste caso serão discutidas no Capítulo 7 no qual temos uma descrição de espaço de estado Efeitos de zeros O efeito de zeros perto dos polos Figura 325 Exemplo 325 região admissível no planos 3 2 1 0 1 2 3 3 4 5 2 1 0 1 Res Ims Capítulo 3 Resposta Dinâmica 105 370 371 Elas são normalizadas para terem o mesmo ganho DC ou seja o ganho em s 0 Observe que o coeficiente do termo s 1 foi modificado de 2 em H1s para 018 em H2s Essa redução drástica é causada pelo zero em s 11 em H2s o que quase cancela o polo em s 1 Se colocarmos o zero exatamente em s 1 esse termo irá desaparecer completamente Em geral um zero perto de um polo reduz a influência desse termo na resposta total A partir da equação para obter os coeficientes de uma expansão em frações parciais Eq 343 C1 s p1Fssp1 temos que se Fs tem um zero perto do polo em s p1 o valor de Fs será pequeno porque o valor de s está próximo do zero Portanto o coeficiente C1 que reflete o quanto deste termo aparece na resposta será pequeno A fim de levar em conta como os zeros afetam a resposta transitória ao projetar um sistema de controle consideremos as funções de transferência com dois polos complexos e um zero Para facilitar a análise de uma ampla variedade de casos escrevemos a função de transferência em uma forma normalizada em relação ao tempo e à localização do zero 372 O zero está localizado em s αζωn ασ Se α for grande o zero será afastado dos polos e assim o zero terá pouco efeito sobre a resposta Se α 1 o valor do zero estará próximo da parte real dos polos e deverá ter uma influência significativa sobre a resposta As curvas de resposta ao degrau unitário para ζ 05 e para vários valores de α são apresentadas na Fig 326 Vemos que o efeito principal do zero é aumentar o sobressinal Mp enquanto ele tem muito Figura 326 Respostas ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem com um zero ζ 05 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 α 1 2 4 100 Resposta ao degrau de Hs 0 2 4 6 8 10 ωnt 106 Sistemas de Controle pouca influência sobre o tempo de acomodação Um gráfico apresentando curvas do Mp em função de α é dado na Fig 327 O gráfico mostra que o zero tem muito pouco efeito sobre o Mp se α 3 mas à medida que α assume valores inferiores a 3 o efeito aumenta especialmente quando α 1 ou menor A Figura 326 pode ser explicada em termos da análise da transformada de Laplace Inicial mente substituindo sωn por s O efeito disto é normalizar a frequência na função de transferência e o tempo na resposta ao degrau assim τ ωnt Em seguida reescrevendo a função de transferência como a soma de dois termos 373 O primeiro termo que chamamos de H0s é o termo original sem zero finito e o segundo termo Hds que possui o zero é o produto de uma constante 1αζ vezes s vezes o termo ori ginal A transformada de Laplace de dfdt é sFs então Hds corresponde ao produto de uma constante vezes a derivada do termo original i e As respostas ao degrau de H0s denotada por y0t e de Hds denotada por ydt são apresen tadas na Fig 328 Olhando para estas curvas podemos ver que o zero resultou no aumento do sobressinal a derivada tem uma grande corcova na parte inicial da curva e somandoa à resposta de H0s chegamos à resposta total de Hs para produzir o sobressinal Essa análise também é muito informativa para o caso em que α 0 e o zero está no SPD onde s 0 Isso é normalmente chamado de zero de fase não mínima um tema a ser discutido com mais deta lhes na Seção 611 Neste caso o termo derivativo é subtraído em vez de ser adicionado Um caso típico é esboçado na Fig 329 EXEMPLO 326 Efeito de zeros nas proximidades dos polos na resposta transitória Considere o sistema de segunda ordem com um zero finito e ganho DC unitário Zero de fase não mínima 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 Mp 0 2 4 6 8 10 α ζ 03 05 07 Figura 327 Curvas do sobressinal Mp em função da localização normali zada do zero α Em α 1 a parte real do zero é igual à parte real dos polos Capítulo 3 Resposta Dinâmica 107 Determine o efeito da localização do zero s z na resposta ao degrau unitário quando z 1 2 3 4 5 6 Solução A resposta ao degrau é a transformada inversa de Laplace de e é a soma das duas partes yt y1t y2t sendo e Figura 328 Respostas ao degrau de segunda ordem das funções de transferência Hs H0s e Hds 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 02 yt 0 2 4 6 8 10 Tempo s yt y0t ydt Figura 329 Respostas ao degrau de um sistema de segunda ordem com zero no SPD um sistema de fase não mínima 15 10 05 0 05 10 15 0 2 4 6 8 10 Tempo s yt y0t ydt yt 108 Sistemas de Controle Podese ver que se z 4 ou z 6 um dos modos do sistema estará ausente da saída e a respos ta será de primeira ordem devido ao cancelamento polozero As respostas ao degrau do sistema são mostradas na Fig 330 z 4 tracejada z 6 traçoponto Vêse que o efeito do zero é maior em termos de sobressinal para z 1 zero mais próximo da origem O sistema também apresenta sobressinal para z 2 3 Para z 4 ou z 6 as respostas são de primeira ordem como esperado É interessante observar que para z 5 onde o zero está localizado entre os dois polos não existe sobressinal EXEMPLO 327 Efeito da proximidade dos zeros complexos aos polos levemente amortecidos Considere o sistema realimentado de terceira ordem com um par de polos levemente amorteci dos e um par de zeros complexos com função de transferência Determine o efeito dos zeros complexos s α jβ na resposta ao degrau unitário do sistema para três zeros diferentes α β 01 10 α β 025 10 e α β 05 10 como mostrado na Fig 331 Solução As três respostas ao degrau unitário são traçadas usando o MATLAB como mos trado na Fig 332 O efeito dos modos levemente amortecidos são claramente vistos como oscilações nas respostas ao degrau para os casos em que α β 025 10 α β 05 10 ou seja quando os zeros complexos não estão próximos aos polos levemente amortecidos como mostrado na Fig 331 Por outro lado se os zeros complexos cancelam exatamente os polos levemente amortecidos como é o caso de α β 01 10 as oscilações são comple tamente eliminadas na resposta ao degrau Na prática os polos levemente amortecidos não são conhecidos com precisão e o cancelamento exato não é possível No entanto colocar os zeros complexos perto dos polos levemente amortecidos pode trazer melhorias ao desempenho da resposta ao degrau Voltaremos a essa técnica nos Capítulos 5 7 e 10 no contexto de projeto do compensador dinâmico Figura 330 Efeito do zero na resposta tran sitória z 1 z 2 z 3 z 6 0 05 1 15 2 25 0 05 1 15 2 25 Tempo s Resposta ao degrau unitário Capítulo 3 Resposta Dinâmica 109 EXEMPLO 328 Resposta de aeronaves usando o MATLAB A função de transferência entre o profundor e a altitude das aeronaves Boeing 747 descrita na Seção 1032 pode ser aproximada como 1 Use o MATLAB para traçar a resposta temporal da altitude para uma entrada impulsiva de 1o no profundor Explique a resposta observando as razões físicas para a natureza de fase não mínima da resposta 2 Examine a precisão das aproximações para tr ts e Mp Eqs 360 e 365 e Fig 323 Figura 331 Localização dos zeros complexos σ 05 025 10 jω 1j 1j 0 Figura 332 Efeito dos zeros complexos na resposta transitória 0 5 10 15 20 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo s Resposta ao degrau unitário α 05 α 025 α 01 110 Sistemas de Controle Solução 1 As instruções no MATLAB para obter a resposta ao impulso para este caso são u 1 u delta numG u301 6 forma do numerador denG 1 4 13 0 forma do denominador sysG tfnumGdenG define o sistema por seu numerador e denominador yimpulsesysG calcula a resposta ao impulso y h ploty traça a resposta ao impulso O resultado é apresentado na Fig 333 Observe como a altitude cai inicialmente e de pois sobe para um novo valor final O valor final é previsto pelo Teorema do Valor Final O fato de que a resposta tem um valor final finito para uma entrada impulsiva se deve ao termo s no denominador Isso representa uma integração pura e a integral da função impul so é um valor finito Se a entrada fosse um degrau a altitude teria continuado a aumentar com o tempo em outras palavras a integral de uma função degrau é uma função rampa A queda inicial é prevista pelo zero de fase não mínima na função de transferência A defle xão negativa no profundor é definida como sendo para cima por convenção ver Fig 1030 A deflexão para cima no profundor move a cauda para baixo o que movimenta o nariz para cima e produz a elevação A deflexão no instante inicial provoca uma força para baixo antes de a aeronave rotacionar portanto a resposta inicial da altitude é para baixo Após a rotação o aumento da elevação resulta em um ângulo de ataque das asas que faz o avião subir 2 O tempo de subida dado pela Eq 360 é O coeficiente de amortecimento ζ é encontrado pela relação Da Fig 323 podemos encontrar o sobressinal Mp como 014 Devido a 2ζωn 2σ 4 a Eq 365 mostra que Resposta de um sistema de fase não mínima Figura 333 Resposta da altitude de uma aeronave a uma entrada impulsi va no profundor 0 Tempo s 6 5 4 3 2 1 2 0 2 4 6 8 10 14 12 16 Altitude ft Capítulo 3 Resposta Dinâmica 111 O exame mais detalhado na resposta temporal ht obtida pelo MATLAB mostra que tr 043 s Mp 014 e ts 26 s o que é razoavelmente próximo das estimativas O único efeito significativo do zero de fase não mínima era fazer com que a resposta inicial fosse na direção errada e tornar a resposta um pouco mais lenta Além de estudar os efeitos dos zeros é útil considerar os efeitos de um polo extra na res posta de um sistema de segunda ordem padrão Neste caso tomamos a função de transferência 374 Respostas ao degrau são mostradas na Fig 334 para ζ 05 e vários valores de α Neste caso o maior efeito é aumentar o tempo de subida A curva do tempo de subida em função de α é mostrada na Fig 335 para vários valores de ζ A partir dessa discussão podemos tirar várias conclusões sobre a resposta dinâmica de um sistema simples como revelado por seus poloszeros Efeitos de polozero na resposta dinâmica 1 Para um sistema de segunda ordem sem zeros finitos os parâmetros da resposta transitória são aproximadas como 2 Um zero no semiplano esquerdo SPE irá aumentar o sobressinal se o zero é menor que 4 vezes a parte real dos polos complexos A curva é dada na Fig 327 3 Um zero no semiplano direito SPD irá diminuir o sobressinal e pode fazer com que a resposta ao degrau comece na direção errada 4 Um polo adicional no SPE irá aumentar significativamente o tempo de subida se o polo extra é menor que 4 vezes a parte real dos polos complexos A curva é dada na Fig 335 Efeitos do polo extra Figura 334 Respostas ao degrau para vários sistemas de terceira ordem com ζ 05 12 10 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 ωnt yt α 1 2 5 100 112 Sistemas de Controle 36 Estabilidade Para um sistema não linear e variante no tempo o estudo da estabilidade é um tópico complexo e complicado Nesta seção vamos considerar apenas sistemas LIT para os quais temos a se guinte condição de estabilidade Um sistema LIT é dito estável se todas as raízes do polinômio no denominador de sua função de transferência têm parte real negativa isto é todas raízes estão no lado es querdo do planos e é instável em caso contrário Um sistema é estável se suas condições iniciais decaem para zero e é instável se elas diver gem Como se verificou um sistema LIT parâmetros constantes é estável se todos os polos do sistema estão estritamente no semiplano esquerdo do planos ie todos os polos têm parte real negativa s σ jω σ 0 Se qualquer polo do sistema estiver no semiplano direito do planos ie tiver parte real positiva s σ jω σ 0 então o sistema é instável como mostrado na Fig 315 Com qualquer polo simples no eixo jω σ 0 condições iniciais pe quenas irão persistir Para qualquer outro polo com σ 0 um movimento oscilatório irá persis tir Portanto um sistema é estável se sua resposta transitória decai e instável se ela não decai A Figura 315 mostra a resposta temporal de um sistema devido à localização dos polos Nos capítulos seguintes vamos abordar noções mais avançadas de estabilidade como o teste de estabilidade de Nyquist Capítulo 6 e a estabilidade de Lyapunov Capítulo 9 361 Estabilidade entrada limitadasaída limitada Um sistema é dito estável no sentido entrada limitadasaída limitada BIBO estabilidade Bounded InputBounded Output se cada entrada limitada resulta em uma saída limitada in dependentemente do que acontece internamente no sistema Um teste para verificar essa pro priedade está disponível quando a resposta do sistema é dada em termos da convolução Se o sistema tem entrada ut saída yt e resposta ao impulso ht então 375 Se ut é limitado então existe uma constante M tal que u M e a saída é limitada por Sistema estável Figura 335 Tempo de subida normalizado para vários valores de polos adicionais α 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ωntr 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ζ 10 07 05 Capítulo 3 Resposta Dinâmica 113 Assim a saída será limitada se h dτ for limitado Por outro lado suponha que a integral não é limitada e a entrada é limitada ut τ 1 se hτ 0 e ut τ 1 se hτ 0 Neste caso 376 e a saída não é limitada Concluímos que O sistema com resposta ao impulso ht é BIBO estável se e somente se EXEMPLO 329 BIBO estabilidade para um capacitor Determine se o capacitor ligado a uma fonte de corrente como apresentado na Fig 336 é está vel A tensão no capacitor é a saída e a corrente é a entrada Solução A resposta ao impulso é o degrau unitário ht 1t Para essa resposta 377 não é limitada O capacitor não é BIBO estável Note que a função de transferência do sistema é 1s e tem um polo no eixo imaginário Fisicamente podemos ver que a entrada de corrente constante fará com que a tensão cresça e assim a resposta do sistema não será limitada nem estável Em geral se um sistema LIT tem algum polo no eixo imaginário ou no SPD a resposta não será BIBO estável se todos os polos estiverem no interior do SPE então a resposta será BIBO estável Assim para estes sistemas a localização dos polos da função de transferência pode ser utilizada para verificar a estabilidade Uma alternativa para calcular a integral da resposta ao impulso ou até mesmo para calcular as raízes da equação característica é dada pelo critério de estabilidade de Routh que discutire mos na Seção 363 362 Estabilidade de sistemas LIT Considere o sistema LIT cujo denominador da função de transferência é a equação característica sn a1sn1 a2sn2 an 0 378 Suponha que as raízes pi da equação característica sejam reais ou complexas mas distintas Note que a Eq 378 aparece como o denominador da função de transferência do sistema antes que qualquer cancelamento de polos por zeros ocorra Definição matemática da BIBO estabilidade Determinação da BIBO estabilidade pela localização dos polos Figura 336 Capacitor ligado a uma fonte de corrente ut yt C 114 Sistemas de Controle 379 A solução para a equação diferencial cuja equação característica é dada pela Eq 378 pode ser escrita usando expansão em frações parciais como 380 sendo pi as raízes da Eq 378 e Ki dependente das condições iniciais e da localização dos zeros Se em uma função de transferência um zero cancelar um polo no SPD o Ki cor respondente seria igual a zero na saída mas um transiente instável poderá aparecer em algum intervalo O sistema é estável se e somente se condição necessária e suficiente cada termo na Eq 380 tender a zero quando t epit 0 para todos os pi Isto irá acontecer se todos os polos do sistema estiverem estritamente no SPE sendo Repi 0 381 Se alguns polos são repetidos a resposta deve ser alterada a partir da Eq 380 incluindo um polinômio em t no lugar do Ki mas a conclusão é a mesma Isso é chamado de estabilidade interna Portanto a estabilidade de um sistema pode ser determinada calculando o posiciona mento das raízes da equação característica e verificando se todas elas estão no SPE Se o sis tema possuir qualquer polo no SPD ele é instável Assim o eixo jω é o limite entre a resposta assintoticamente estável e instável Se o sistema não tem polos repetidos no eixo jω então é dito ser neutramente estável Por exemplo um polo na origem integrador resulta em uma resposta que não decai Um par de polos complexos no eixo jω resulta em uma resposta oscilan te com amplitude constante Se o sistema tem polos repetidos no eixo jω então ele é instável uma vez que ele resulta em termos tejωit na Eq 380 Por exemplo um par de polos na origem integrador duplo resulta em uma resposta sem limites O MATLAB calcula os polos e portanto determina a estabilidade do sistema relativamente simples Uma alternativa para determinar a localização das raízes da equação característica é dada pelo critério de estabilidade de Routh que discutiremos a seguir 363 Critério de estabilidade de Routh Existem vários métodos para obtenção de informações sobre a localização das raízes de um po linômio sem realmente calculálas Estes métodos foram desenvolvidos no século 19 e foram es pecialmente úteis antes da disponibilidade do programa MATLAB Eles ainda são úteis para de terminarem a estabilidade de polinômios especialmente quando os coeficientes estão na forma simbólica não numérica Considere a equação característica de um sistema de nésima ordem9 as sn a1sn1 a2sn2 an1s an 382 É possível fazer certas afirmações sobre a estabilidade do sistema sem realmente calcular as raízes do polinômio Este é um problema clássico e existem vários métodos para a solução Uma condição necessária para a estabilidade do sistema é que todas as raízes da Eq 382 tenham partes reais negativas o que exige que todos os coeficientes ai sejam positivos10 9 Sem perda de generalidade podemos supor que o polinômio seja mônico ou seja o coeficiente da maior potência de s é 1 10 Isso é fácil de ser visto se construirmos um polinômio como o produto de fatores de primeira e segunda ordem Estabilidade interna ocorre quando todos os polos estão estritamente no SPE O eixo jω é o limite da estabilidade Uma condição necessária para a estabilidade de Routh Capítulo 3 Resposta Dinâmica 115 Uma condição necessária mas não suficiente para a estabilidade é que todos os coefi cientes do polinômio característico sejam positivos Se algum dos coeficientes estiver faltando for zero ou for negativo então o sistema terá polos localizados fora do SPE Essa condição pode ser verificada por inspeção Uma vez que as condições necessárias básicas forem satisfeitas precisamos de um teste mais poderoso Testes equivalentes foram propostos independentemente por Routh em 1874 e por Hurwitz em 1895 vamos discutir a primeira versão A formulação de Routh exige o cálculo de um arranjo trian gular em função dos coeficientes ai Ele mostrou que uma condição necessária e suficiente para a estabilidade é que todos os elementos da primeira coluna desse arranjo sejam positivos Um sistema é estável se e somente se todos os elementos da primeira coluna do arran jo de Routh forem positivos Para determinar o arranjo de Routh primeiro organize os coeficientes do polinômio ca racterístico em duas linhas começando com o primeiro e segundo coeficientes seguidos pelos coeficientes pares e ímpares sn 1 a2 a4 sn1 a1 a3 a5 Em seguida adicione as seguintes linhas para completar a arranjo de Routh Linha n sn 1 a2 a4 Linha n 1 sn1 a1 a3 a5 Linha n 2 sn2 b1 b2 b3 Linha n 3 sn3 c1 c2 c3 Linha 2 s2 Linha 1 s Linha 0 s0 Calcule os elementos das linhas n 2 e n 3 como a seguir Uma condição necessária e suficiente para a estabilidade Arranjo de Routh 116 Sistemas de Controle Note que os elementos da linha n 2 e das linhas abaixo dela são obtidos a partir das duas fileiras anteriores usando determinantes com os dois elementos na primeira coluna e outros elementos das colunas sucessivas Normalmente há n 1 elementos na primeira coluna do arranjo pronto Se estes são todos positivos então todas as raízes do polinômio característico estão no SPE No entanto se os elementos da primeira coluna não são todos positivos então o número de raízes no SPD é igual ao número de mudanças de sinal na coluna Um padrão é contado como duas mudanças de sinal uma mudança de para e outra de para Uma simples demonstração do teste de Routh é encontrada em Ho e outros 1998 EXEMPLO 330 Teste de Routh O polinômio as s6 4s5 3s4 2s3 s2 4s 4 satisfaz a condição necessária para estabilidade desde que todos os ai sejam positivos e não nulos Determine se alguma das raízes do polinômio está no SPE Solução O arranjo de Routh para esse polinômio é s6 1 3 1 4 s5 4 2 4 0 s4 s3 0 s2 s 0 s0 Concluímos que o polinômio tem raízes no SPD desde que os elementos da primeira coluna não sejam todos positivos Na verdade existem dois polos no SPD devido às duas mudanças de sinais11 Note que no cálculo do arranjo de Routh podemos simplificar o resto dos cálculos mul tiplicando ou dividindo uma linha por uma constante positiva Observe também que as duas últimas linhas têm um elemento diferente de zero O método de Routh também é útil para determinar a faixa de valores dos parâmetros na qual um determinado sistema realimentado é estável 11 As raízes do polinômio calculadas usando o MATLAB são 32644 0779707488j 0604609935j e 08858 o que está de acordo com as conclusões do exemplo EXEMPLO 331 Estabilidade em função de valores dos parâmetros Considere o sistema mostrado na Fig 337 As propriedades de estabilidade do sistema estão em função do ganho de realimentação proporcional K Determine os valores de K para os quais o sistema é estável Figura 337 Sistema realimentado para teste de estabilidade Solução A equação característica do sistema é 1 K s 1 s s 1s 6 0 ou s3 5s2 K 6s K 0 O arranjo de Routh correspondente é s3 1 K 6 s2 5 K s 4K 305 s0 K Para o sistema ser estável é necessário que 4K 30 5 0 e K 0 ou K 75 e K 0 Assim o método de Routh fornece uma resposta analítica à questão da estabilidade Embora qualquer ganho que satisfaça a desigualdade estabilize o sistema a resposta dinâmica poderia ser completamente diferente dependendo do valor específico de K Com base em um valor específico do ganho podemos calcular os polos de malha fechada encontrando as raízes do polinômio característico O polinômio característico é representado por seus coeficientes em um vetor linha em ordem decrescente dos fatores de s denT 1 5 K6 K e podemos calcular suas raízes no MATLAB usando o comando rootsdenT Para K 75 as raízes são 5 e 122j e o sistema tem estabilidade neutra Note que o método de Routh prevê a presença de polos no eixo imaginário para K 75 Se fixermos K 13 os polos de malha fechada são 406 e 047 17j e para K 25 os polos são 190 e 154 327j Em ambos os casos o sistema é estável como previsto pelo método de Routh A Figura 338 mostra a resposta transitória para os três valores do ganho Para obter a resposta transitória calculamos a função de transferência em malha fechada Ts Ys Rs Ks 1 s3 5s2 K 6s K Calculando raízes no MATLAB Figura 338 Resposta transitória para o sistema da Fig 337 então o numerador do polinômio é expresso como numT K K forma do numerador e denT é como definido anteriormente Os comandos no MATLAB são sysTtfnumTdenT define o sistema stepsysT calcula a resposta ao degrau produzindo a resposta ao degrau unitário EXEMPLO 332 Estabilidade em função de valores de dois parâmetros Encontre os valores possíveis para os ganhos do controlador K KI tal que o sistema realimentado na Fig 339 com um controlador PI proporcionalintegral veja o Capítulo 4 seja estável Solução A equação característica do sistema em malha fechada é 1 K KI s 1 s 1s 2 0 que pode ser reescrita como s3 3s2 2 Ks KI 0 O arranjo de Routh correspondente é s3 1 2 K s2 3 KI s 6 3K KI 3 s0 KI Para estabilidade interna temos que KI 0 e K 1 3 KI 2 A região permitida para os ganhos pode ser traçada no MATLAB usando os comandos fhkik 63kki ezplotfh Figura 339 Sistema com controle proporcionalintegral PI Capítulo 3 Resposta Dinâmica 119 hold on fkik ki ezplotf esta região é a área sombreada no plano KI K mostrada na Fig 340 representando uma solução analítica para o problema de estabilidade Este exemplo ilustra o verdadeiro valor do método de Routh e o motivo pelo qual ele é superior às abordagens numéricas Teria sido mais difícil chegar a esses limites nos ganhos usando técnicas de busca numérica A função de trans ferência em malha fechada é Como no Exemplo 331 podemos calcular os polos de malha fechada para diferentes valores dos ganhos do compensador dinâmico usando a função roots do MATLAB na qual o argumen to é o denominador da função de transferência denT 1 3 2K KI forma do denominador Similarmente podemos encontrar o zero calculando a raiz do polinômio no numerador numT K KI forma do numerador O zero do sistema em malha fechada é KI K A Figura 341 mostra a resposta transitória para três pares de ganhos de realimentação Para K 1 e KI 0 os polos de malha fechada são 0 e 15 086j e o zero está na origem Para K KI 1 os polos e zeros estão localizados em 1 Função roots do MATLAB Figura 340 Região de estabilidade KI K 0 6 2 1 Figura 341 Respostas transitórias para o sistema na Fig 339 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s 12 10 08 06 04 02 0 y K 1 KI 0 K 1 KI 1 K 10 KI 5 120 Sistemas de Controle Para K 10 e KI 5 os polos de malha fechada são 046 e 126 33j e o zero é 05 A resposta ao degrau foi novamente obtida usando o MATLAB sysTtfnumTdenT define o sistema stepsysT calcula a resposta ao degrau Existe um erro grande em estado estacionário quando KI 0 Veja o Capítulo 4 Se o primeiro termo em uma das linhas é zero ou se toda a linha é zero então o arranjo de Routh padrão não pode ser formado por isso temos de usar uma das técnicas especiais descritas a seguir Casos especiais Se apenas o primeiro elemento em uma das linhas é zero então podemos substituir o zero por uma constante pequena e positiva ǫ 0 e continuar o procedimento como antes Em seguida aplicamos o critério de estabilidade tomando o limite quando ǫ 0 EXEMPLO 333 Teste de Routh para o caso especial I Considere o polinômio as s5 3s4 2s3 6s2 6s 9 Determine se alguma das raízes está no SPD Solução O arranjo de Routh é s5 1 2 6 s4 3 6 9 s3 0 3 0 Novo s3 ǫ 3 0 Substitua o zero por ǫ s2 9 0 s 0 0 s0 9 0 Existem duas mudanças de sinal na primeira coluna do arranjo o que significa que existem dois polos que não estão no SPE12 Outro caso especial ocorre quando uma linha inteira do arranjo de Routh é zero Isso indica que há pares de raízes complexos conjugados que são imagens espelhadas umas das outras em relação ao eixo imaginário Se a iésima linha é zero formamos uma equação auxiliar da linha anterior diferente de zero a1s β1si1 β2si1 β3si3 383 Sendo que βi são os coeficientes da linha i 1 do arranjo Então substituímos a iésima li nha pelos coeficientes da derivada do polinômio auxiliar e completamos o arranjo Portanto as raízes do polinômio auxiliar na Eq 383 são também raízes da equação característica e devem ser testadas separadamente EXEMPLO 334 Teste de Routh para o caso especial II Considere o polinômio as s5 5s4 11s3 23s2 28s 12 determine se existem raízes no eixo jω ou no SPD 12 As raízes calculadas pelo MATLAB são 29043 06567 12881j 07046 09929j Caso especial I Caso especial II Capítulo 3 Resposta Dinâmica 121 Solução O arranjo de Routh é s5 1 11 28 s4 5 23 12 s3 64 256 0 s2 3 12 s 0 0 a1s 3s2 12 Novo s 6 0 s0 12 Não há troca de sinais na primeira coluna Então todas as raízes têm parte real negativa exceto por um par no eixo imaginário Podemos deduzir isso da seguinte maneira quando substituirmos o zero na primeira coluna por ǫ 0 não há mudança de sinal Se deixarmos ǫ 0 então há duas mudanças de sinal Assim se ǫ 0 existem dois polos no eixo imaginário que são as raízes de a1s s2 4 0 ou s j2 O que está de acordo com o fato de que as raízes calculadas usando o MATLAB são 3 2j 1 e 1 O resultado de RouthHurwitz assume que os coeficientes do polinômio característico são precisamente conhecidos Sabese que as raízes de um polinômio podem ser muito sensíveis até mesmo a pequenas perturbações nos coeficientes do polinômio Se o intervalo de variação de cada um dos coeficientes do polinômio é conhecido então existe um notável resultado cha mado teorema de Kharitonov 1978 que permite verificar a estabilidade de um polinômio com coeficientes que não são precisamente conhecidos apenas verificando a estabilidade de quatro polinômios chamados de Kharitonov utilizando o teste de Routh 37 Obtenção de modelos a partir de dados experimentais Existem várias razões para o uso de dados experimentais para obter um modelo do sistema dinâmi co a ser controlado Em primeiro lugar o melhor modelo teórico construído a partir das equações de movimento ainda é apenas uma aproximação da realidade Às vezes como no caso de uma nave espacial muito rígida o modelo teórico é extremamente bom Outras vezes como em muitos pro cessos químicos tal como a fabricação de papel o modelo teórico é muito aproximado Em todo caso antes do projeto de controle final ser feito é importante e prudente testar o modelo teórico com dados experimentais Por outro lado em situações nas quais o modelo teórico é especialmente complicado ou a física do processo é mal compreendida a única informação confiável em que se basear o projeto de controle está nos dados experimentais Finalmente o sistema pode estar sujei to a variações a qualquer momento o que ocorre quando o ambiente no qual sistema está muda Exemplos incluem uma aeronave que muda de altitude ou velocidade uma máquina de papel em que se utiliza uma diferente composição de fibras ou um sistema não linear que é alterado para um novo ponto de operação Nessas ocasiões é preciso reajustar o controlador alterando os parâ metros de controle Isto exige um modelo para as novas condições e os dados experimentais fre quentemente são mais eficazes se não são as únicas informações disponíveis para o novo modelo Existem quatro tipos de dados experimentais para se gerar um modelo 1 resposta transitória gerada por um impulso ou degrau unitário 2 resposta em frequência que resulta da excitação de um sistema por uma entrada senoidal em muitas frequências 3 informações do estado estacionário estocástico que podem ser obtidas no voo de uma aeronave durante um tempo turbulento ou de alguma outra fonte natural de aleatoriedade 4 dados por ruído artificial aleatório que podem ser gerados em um computador digital Quatro fontes de dados experimentais 122 Sistemas de Controle Cada classe de dados experimentais tem suas propriedades vantagens e desvantagens Dados da resposta transitória são relativamente fáceis e simples de serem obtidos Eles também são representativos dos sinais naturais aos quais o sistema está sujeito Assim um mo delo gerado a partir desses dados pode ser confiável para a concepção do sistema de controle Por outro lado para que a relação sinalruído seja suficientemente alta a resposta transitória deve ser altamente visível Consequentemente o método é raramente adequado para as condi ções normais de operação assim os dados devem ser coletados em testes especiais A segunda desvantagem é que os dados não são obtidos em uma forma apropriada para o projeto padrão de um sistema de controle e algumas partes do modelo como os polos e zeros devem ser cal culadas a partir dos dados13 Este cálculo pode ser simples em casos especiais ou complexo em casos gerais Dados de resposta em frequência ver Capítulo 6 são simples de serem obtidos mas muito mais demorados do que a informação da resposta transitória Isso é especialmente verdade se as constantes de tempo do processo são grandes como muitas vezes ocorre em indústrias de proces sos químicos Tal como acontece com os dados da resposta transitória é importante ter uma boa relação sinalruído de modo que a obtenção de dados da resposta em frequência não seja muito cara Por outro lado como veremos no Capítulo 6 os dados da resposta em frequência estão na forma correta para utilizar os métodos de projeto baseados na resposta em frequência assim uma vez que os dados tenham sido obtidos o projeto do controlador pode proceder de imediato Registros do funcionamento normal em um ambiente naturalmente estocástico à primeira vista parecem ser uma base atrativa para modelagem de sistemas uma vez que tais registros são por definição ininterruptos e baratos de serem obtidos Infelizmente a qualidade desses dados é inconsistente tendendo a ser pior exatamente quando o controle é melhor porque as ações de controle são mínimas e os sinais são suaves Em tais momentos alguns sistemas dinâ micos são dificilmente excitados porque contribuem pouco para a saída do sistema O resultado é um modelo que representa apenas uma parte do sistema e pode ser inadequado para o contro le Em alguns casos como ocorre quando se tenta modelar a dinâmica do eletroencefalograma ondas cerebrais de uma pessoa dormindo ou anestesiada para localizar a frequência e a inten sidade das ondas alfa os registros normais são a única possibilidade Normalmente eles são a última opção para fins de controle Finalmente sinais artificiais aleatórios podem ser construídos utilizando a lógica digital Especialmente interessante para o modelamento é o sinal artificial aleatório binário SAAB O SAAB assume o valor A ou A de acordo com a saída 1 ou 0 com a mudança de um regis trador realimentado O registrador é realimentado com uma soma binária de vários estados do registrador que foram selecionados para fazer o período de saída o maior possível Por exemplo com um registrador de 20 bits 220 1 mais de um milhão de etapas são produzidas antes da repetição de padrões A análise para além do escopo deste texto revelou que o sinal resultante é parecido com um sinal aleatório de banda larga No entanto este sinal está inteiramente sob o controle do engenheiro que pode definir o nível A e o comprimento bits do registrador do sinal Os dados obtidos a partir de testes com um SAAB devem ser analisados por computador e programas foram desenvolvidos para realizar esta análise 371 Modelos a partir de dados da resposta transitória Para obter um modelo a partir de dados transitórios assumimos que a resposta ao degrau está disponível Se a resposta transitória é uma simples combinação de transientes elementares en tão um modelo de baixa ordem razoável pode ser estimado por meio de cálculos manuais Por exemplo considere a resposta ao degrau mostrada na Fig 342 A resposta é monótona e suave Se assumirmos que ela é dada por uma soma de exponenciais podemos escrever yt y Aeαt Beβt Ceγt 384 13 Ziegler e Nichols 1943 com base nos trabalhos anteriores do Callender e outros 1936 usaram diretamente a resposta ao degrau para a concepção do controle em certas classes de processos Veja o Capítulo 4 para mais detalhes Resposta transitória Resposta em frequência Estado estacionário estocástico Ruído artificial aleatório Capítulo 3 Resposta Dinâmica 123 Subtraindose o valor final e assumindose que α é o polo mais lento temos 385 Essa é a equação de uma reta cuja inclinação determina α e a interceptação determina A Se adicionarmos uma reta à curva de log10y y ou log10yy se A é negativo então podemos estimar A e α Uma vez que estes são estimados traçase a curva y y Aeαt que é como uma curva aproximada Beβt e em um gráfico logarítmico é equivalente a log10 B 04345βt Repetese este processo removendo o polo mais lento remanescente até que o resultado seja preciso Então traçamos a resposta do modelo final e a comparamos com os dados para que possamos avaliar a qualidade do modelo calculado É possível obter um bom ajuste para a resposta ao degrau e ainda estar longe das constantes de tempo reais polos do sistema No entanto o método permite uma boa aproximação para o controle de processos cuja resposta ao degrau aparece como a resposta apresentada na Fig 342 EXEMPLO 335 Determine o modelo a partir da resposta transitória Encontre a função de transferência que gera os dados apresentados na Tabela 31 os quais tam bém são apresentados graficamente na Fig 343 Solução A Tabela 31 mostra e a Fig 343 implica que o valor final dos dados é y 1 Sabemos que A é negativo porque y é maior que yt Portanto o primeiro passo no proces so é traçar o gráfico log10y y mostrado na Fig 344 A partir da reta ajustada visual mente os valores são Assim A 133 α 10 Figura 342 Resposta ao degrau característi ca de muitos processos químicos t yt 10 TABELA 31 Dados da resposta ao degrau t yt t yt 01 0000 10 0510 01 0005 15 0700 02 0034 20 0817 03 0085 25 0890 04 0140 30 0932 05 0215 40 0975 1000 Sinha e Kuszta 1983 124 Sistemas de Controle Se subtrairmos 1 Aeαt dos dados e traçarmos o gráfico do log do resultado obtemos a Fig 345 Estimando Combinando esses resultados obtermos y aproximado t 1 133et 033e58t 386 A Eq 363 é representada pela curva colorida na Fig 346 e traz uma aproximação razoá vel dos dados apesar de algum erro próximo de t 0 A partir de t temos Figura 343 Dados da resposta ao de grau na Tabela 31 Figura 344 log10 y y em função do t yt 10 08 06 04 02 0 02 0 1 2 3 4 5 6 Tempo s 20 15 10 05 0 05 1167 1602 0125 0 1 2 3 4 Tempo s log101 y Capítulo 3 Resposta Dinâmica 125 A função de transferência resultante é Observe que esse método nos forneceu um sistema com um zero no SPD embora os dados não tenham apresentado valores de y negativos Diferenças muito pequenas no valor estimado de A as quais ajustamse bem aos dados podem causar valores de β variando entre 4 e 6 Isso ilustra a sensibilidade das posições dos polos para a qualidade dos dados e enfatiza a necessida de de uma boa relação sinalruído Utilizando um computador para traçar gráficos temos uma capacidade maior para itera os quatro parâmetros a fim de conseguir o melhor ajuste global A apresentação dos dados nas Figs 344 e 345 podem ser obtida diretamente por meio de um gráfico semilog Isso elimina a necessidade de calcular log10 e a expressão exponencial para encontrar os valores dos parâ metros As equações das curvas para ajustarem os dados são yt Aeαt e yt Beβt que são linhas retas em um gráfico semilog Os parâmetros A e α ou B e β são selecionados iterativa mente de modo que a linha reta se aproxime o melhor possível dos dados Este processo produz um ajuste melhor como mostrado pela linha preta tracejada na Fig 346 Os parâmetros reajus tados são A 137 B 037 e β 43 resultando na função de transferência O zero no SPD ainda está presente mas agora está localizado em s 20 e não tem efeito notório na resposta temporal Figura 345 log10 y 1 Aeαt em função do t 20 15 10 05 0 0 01 02 03 04 05 Tempo s log10Beβt 17 048 Figura 346 Modelo ajustado para os dados experimentais 0 1 2 3 4 5 6 Tempo s yt 10 08 06 04 02 0 02 Dados A 133 α 1 B 033 β 58 A 137 α 1 B 037 β 43 126 Sistemas de Controle Esse conjunto de dados foi muito bem aproximado por um modelo de segunda ordem Em mui tos casos um modelo de ordem superior é necessário e os modos podem não ser tão bem separados Se a resposta transitória tem modos oscilatórios então estes podem ser às vezes estimados comparandoos com os gráficos padrões da Fig 318 O período fornece a frequência ωd e o decaimento de um período para o próximo vai permitir uma estimativa do coeficiente de amor tecimento Se a resposta é uma mistura de modos que não são bem separados em frequência métodos mais sofisticados devem ser utilizados Uma deles é o método de mínimos quadrados de identificação de sistemas em que uma rotina de otimização numérica seleciona a melhor combinação de parâmetros do sistema de modo a minimizar o erro de ajuste O erro de ajuste é definido para ser uma função de custo escalar assim o erro de ajuste leva em conta todos os pontos dos dados na determinação dos melhores valores para os parâmetros do sistema 372 Modelos de outros dados Como mencionado na Seção 312 também podemos gerar um modelo usando dados de resposta em frequência que são obtidos excitando o sistema com um conjunto de senoides e traçando o gráfico Hjω No Capítulo 6 iremos mostrar como estes gráficos podem ser usados diretamente para o projeto Como alternativa podemos usar a resposta em frequência para estimar os polos e zeros de uma função de transferência usando assíntotas em linha reta em um gráfico logarítmico A construção de modelos dinâmicos a partir de registros do funcionamento estocástico nor mal ou a partir da resposta a um SAAB poderá basearse no conceito de correlação cruzada ou no ajuste por mínimos quadrados de um modelo discreto equivalente ambos temas do campo de identificação de sistemas Eles exigem uma apresentação substancial e um estudo que estão fora do escopo deste texto Uma introdução à identificação de sistemas pode ser encontrada no Capítulo 8 de Franklin e outros 1998 e um estudo completo é dado em Ljüng 1999 Baseado em grande parte no trabalho do professor Ljüng um pacote de ferramentas do MATLAB fornece um ótimo auxílio para realizar identificação de sistemas e verificar a quali dade dos modelos propostos 38 Escalonamento em amplitude e no tempo As magnitudes dos valores das variáveis em um problema são geralmente muito diferentes tanto que surgem dificuldades numéricas Este era um problema sério quando as equações eram resol vidas usando computadores analógicos e era necessário dimensionar as variáveis de modo que todas tivessem magnitudes similares Hoje o uso generalizado de computadores digitais para resolver equações diferenciais eliminou a necessidade de dimensionar um problema a menos que o número de variáveis seja muito grande porque os computadores são capazes de manipular números com grandes variações de magnitude com precisão No entanto precisamos entender o princípio de escalonamento para poucos casos nos quais existem variações extremas de magni tude e o escalonamento é necessário ou o tamanho da palavra do computador é limitada 381 Escalonamento de amplitude Existem dois tipos de escalonamento em amplitude e no tempo como já vimos na Seção 314 O escalonamento em amplitude geralmente é realizado naturalmente basta escolher as unida des que façam sentido para o problema em questão Para o levitador magnético expressar o mo vimento em milímetros e a corrente em miliampères irá manter os números dentro de intervalos fáceis de serem trabalhados Equações dinâmicas são algumas vezes desenvolvidas em unida des padrões do SI como metros quilogramas e ampères mas para o cálculo do movimento de Mínimos quadrados de identificação de sistemas Capítulo 3 Resposta Dinâmica 127 um foguete entrando em órbita o uso de quilômetro faz mais sentido As equações dinâmicas são normalmente resolvidas utilizando ferramentas computacionais que muitas vezes são ca pazes de trabalhar em qualquer unidade Para sistemas de ordem superior tornase importante dimensionar o problema para que as variáveis do sistema tenham variações numéricas simila res Um método para realizar o melhor dimensionamento de um sistema complexo é primeiro estimar os valores máximos para cada variável do sistema e em seguida dimensionar o sistema para que cada variável varie entre 1 e 1 Em geral podemos realizar o escalonamento em amplitude definindo variáveis escalona das para cada elemento de estado Se x Sxx 387 então Sx e Sx 388 Em seguida escolha Sx para resultar em uma mudança de escala adequada substitua as Eqs 387 e 388 nas equações dinâmicas e recalcule os coeficientes EXEMPLO 336 Escalonamento para o levitador magnético A equação dinâmica linearizada para o levitador magnético veja o Exemplo 92 Capítulo 9 é δ 1667δx 476δi 389 sendo δx em metros e δi em ampères Escalone as variáveis para o levitador magnético para resultar unidades em milímetros e miliampères Solução Utilizando a Eq 387 definimos δx Sxδx e δi Siδi tal que Sx e Si tenham o valor de 1000 para converter δx e δi em metros e ampères para δx e δi em milímetros e miliampères Substituindo essas relações na Eq 389 e tomando nota da Eq 388 temos Neste caso Sx Si então a Eq 389 permanece inalterada Se tivéssemos escalonado as duas quantidades por valores diferentes poderia ter havido uma mudança no último coeficiente na equação 382 Escalonamento no tempo A unidade de tempo usada no sistema internacional de medidas ou no sistema de unidades inglesas é o segundo O auxílio computacional geralmente fornece um método para se calcular com precisão os resultados sem importar o quão rápido ou lento é o problema em questão No entanto se um sistema dinâmico responde em poucos microssegundos ou se existem frequên cias características no sistema da ordem de vários megahertz o problema pode tornarse mal condicionado de modo que as rotinas numéricas poderão produzir erros Isso pode ser um pro blema em sistemas de alta ordem O mesmo vale para um sistema extremamente lento Por isso é útil saber como mudar as unidades de tempo em um problema malcondicionado Definindo a nova escala de tempo para τ ωot 390 tal que se t é medido em segundos e ωo 1000 então τ será medido em milisegundos O efeito do escalonamento no tempo é alterar a diferenciação tal que 391 128 Sistemas de Controle e 392 EXEMPLO 337 Escalonamento em um oscilador A equação para um oscilador foi obtida no Exemplo 25 Para o caso com uma frequência natural muito rápida ωn 15000 rads aproximadamente 2 kHz a Eq 223 pode ser rescrita como 150002 θ 106 Tc Determine a equação escalonada para que a unidade do tempo seja milisegundos Solução O valor de ωo na Eq 390 é 1000 A Eq 392 mostra que e a equação com o tempo escalonado tornase Na prática podemos resolver a equação 152 θ Tc 393 e nomear os eixos do gráfico em milisegundos no lugar de segundos 39 Perspectiva histórica Oliver Heaviside 18501925 foi um excêntrico engenheiro elétrico matemático e físico in glês Ele era autodidata e abandonou a escola aos 16 anos de idade para trabalhar como opera dor de telégrafo Atuou principalmente fora da comunidade científica que não lhe via com bons olhos Ele reformulou as equações de Maxwell para a forma em que são usadas hoje e também lançou as bases das telecomunicações e da hipótese sobre a existência da ionosfera Desenvol veu o processo simbólico conhecido como cálculo operacional de Heaviside para resolver equa ções diferenciais O cálculo de Heaviside foi largamente utilizado entre os engenheiros eletri cistas nas décadas de 1920 e 1930 e mais tarde foi demonstrado que era equivalente à rigorosa transformada de Laplace que levou esse nome em virtude do matemático francês PierreSimon Laplace 17491827 que tinha trabalhado no cálculo operacional Laplace também foi astrônomo e matemático sendo muitas vezes referenciado como O Newton da França Ele estudou a origem e a estabilidade dinâmica do sistema solar comple tando o trabalho de Newton em seus cinco volumes Méchanique céleste Mecânica Celeste Laplace inventou o conceito geral de potencial em um campo gravitacional ou elétrico descrito pela equação de Laplace Laplace teve uma breve carreira política como ministro do Interior de Napoleão Durante uma conversa na qual Napoleão perguntou para Laplace por que ele não havia mencionado Deus em Méchanique céleste Laplace respondeu Senhor não havia neces sidade alguma dessa hipótese Ele era um oportunista e mudava de lado conforme os ventos políticos A vantagem operacional da transformada de Laplace é transformar uma equação di ferencial em uma operação algébrica que é muito mais fácil de ser manipulada em aplicações de engenharia Ela também é aplicável a soluções de equações diferenciais parciais o problema original no qual Laplace estava trabalhando quando desenvolveu a transformada Ele formulou a equação de Laplace com aplicações na teoria eletromagnética dinâmica de fluidos e astrono mia Também fez contribuições fundamentais à teoria da probabilidade As transformadas de Laplace e Fourier estão intimamente relacionadas veja o Apêndice A A série e a transformada de Fourier desenvolvidas nessa ordem provêm métodos para Capítulo 3 Resposta Dinâmica 129 representar sinais em termos de funções exponenciais As séries de Fourier são usadas para re presentar sinais periódicos com espectros discretos nos termos de uma série As transformadas de Fourier são usadas para representar sinais não periódicos com espectro contínuo em termo de uma integral A transformada de Fourier tem esse nome por causa do matemático francês Jean Batiste Joseph Fourier 17681830 que usou as séries de Fourier para resolver problemas de condução de calor Laplace e Fourier foram contemporâneos e se conheciam muito bem Na verdade Laplace foi um dos professores de Fourier Fourier acompanhou Napoleão em uma expedição egípcia em 1798 como conselheiro científico e a ele também é creditada a descoberta do efeito estufa Os métodos de transformadas fornecem um método unificado em aplicações para a reso lução de muitos problemas de engenharia Transformadas lineares como a transformada de Laplace e de Fourier são úteis para o estudo de sistemas lineares Enquanto as transformadas de Fourier são úteis para estudar o comportamento estacionário as transformadas de Laplace são usadas para estudar o comportamento transitório e sistemas dinâmicos em malha fechada O livro de Gardner e Barnes de 1942 foi influente na popularização da transformada de Laplace nos Estados Unidos RESUMO A transformada de Laplace é a principal ferramenta utilizada para determinar o comporta mento de sistemas lineares A transformada de Laplace de uma função no tempo ft é dada por 394 Essa relação leva à propriedade fundamental da transformada de Laplace ou seja L t sFs f0 395 Essa propriedade permite encontrar a função de transferência de uma EDO linear Dada a função de transferência Gs de um sistema e a entrada ut com transformada Us a saída transformada do sistema é Ys GsUs Normalmente as transformadas inversas são encontradas utilizando tabelas como a Tabela A2 no Apêndice A ou utilizando o computador As propriedades das transformadas de La place e suas inversas estão resumidas na Tabela A1 no Apêndice A O Teorema do Valor Final é útil para encontrar erros em estado estacionário para sistemas estáveis se todos os polos de sYs estão no SPE então 396 Diagrama de blocos é uma maneira conveniente de mostrar as relações entre os componentes de um sistema Eles geralmente podem ser simplificados utilizando as relação na Fig 39 e na Eq 350 isto é a função de transferência do diagrama de blocos G1s Y1s G2s R1s é equivalente a 397 A localização dos polos no planos determinam o caráter da resposta como mostrado na Fig 315 130 Sistemas de Controle A localização de um polo no planos é definida pelos parâmetros mostrados na Fig 322 Esses parâmetros estão relacionados às quantidades no domínio do tempo tempo de subida tr tempo de acomodação ts e sobressinal Mp os quais são definidos na Fig 322 As corres pondências entre eles para um sistema de segunda ordem sem zeros são dadas por 398 399 3100 Quando um zero está presente no SPE o sobressinal aumenta Este efeito é resumido nas Figs 326 e 327 Quando um polo adicional estável estiver presente a resposta do sistema é mais lenta Este efeito é resumido nas Figs 334 e 335 Para um sistema estável todos os polos em malha fechada devem estar no SPE Um sistema é estável se e somente se todos os elementos da primeira coluna do arranjo de Routh forem positivos Para determinar o arranho de Routh referemse as fórmulas na Seção 363 A Regra de Mason é uma técnica útil para determinar as funções de transferência de sistemas interligados complicados Determinar um modelo a partir de dados experimentais ou a verificação de um modelo ana lítico baseado em experimentos é um passo importante no projeto do sistema Escalonamento de Amplitude e Tempo Seção 38 são métodos que minimizam certas complicações ao lidar com equações diferenciais O escalonamento de variáveis resulta em valores numéricos que caem dentro de uma faixa de magnitude suficiente para minimizar erros e permitir que a computação seja mais fácil QUESTÕES DE REVISÃO 1 Qual é a definição de função de transferência 2 Quais são as propriedades dos sistemas cujas respostas podem ser descritas por funções de transfe rência 3 Qual é a transformada de Laplace de ft λ1t λ se a transformada de ft é Fs 4 Declare o Teorema do Valor Final 5 Qual é o uso mais comum do Teorema do Valor Final em controle 6 Dada uma função de transferência de segunda ordem com coeficiente de amortecimento ζ e frequên cia natural ωn qual é a estimativa do tempo de subida da resposta ao degrau Qual é a estimativa do percentual de sobressinal da resposta ao degrau Qual é a estimativa do tempo de acomodação 7 Qual é o maior efeito de um zero no SPE na resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem 8 Qual é o efeito mais notado de um zero no SPD na resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem 9 Qual é o principal efeito de um polo real extra na resposta ao degrau de um sistema de segunda or dem 10 Por que a estabilidade é uma importante consideração no projeto de sistemas de controle 11 Qual é o principal uso do critério de Routh 12 Em que condições poderia ser importante saber como estimar uma função de transferência de dados experimentais Capítulo 3 Resposta Dinâmica 131 PROBLEMAS Problemas da Seção 31 revisão da transformada de Laplace 31 Mostre que em uma expansão em frações parciais polos complexos conjugados têm coeficientes que também são complexos conjugados O resultado dessa relação é que sempre quando pares de polos complexos conjugados estão presentes apenas um dos coeficientes deve ser computado 32 Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções a f t 1 2t b f t 3 7t t2 δt c f t et 2e2t te3t d f t t 12 e f t senh t 33 Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções a f t 3 cos 6t b f t sen 2t 2 cos 2t et sen 2t c f t t2 e2t sen 3t 34 Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções a f t t sen t b f t t cos 3t c f t tet 2t cos t d f t t sen 3t 2t cos t e f t 1t 2t cos 2t 35 Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções denota convolução a f t sen t sen 3t b f t sen2 t 3 cos2 t c f t sen tt d f t sen t sen t e f t cost τ sen τ dτ 36 Dado que a transformada de Laplace de ft é Fs encontre a transformada de Laplace das fun ções a gt f t cos t b gt f τ dτ dt1 37 Encontre a função no domínio do tempo que corresponde a cada uma das seguintes transformadas de Laplace utiliza expansão em frações parciais a b c d e f g h i j 38 Encontre a função no domínio do tempo que corresponde a cada uma das seguintes transformadas de Laplace a 132 Sistemas de Controle b c d e f g 39 Resolva as seguintes EDOs usando a transformada de Laplace a t t 3yt 0 y0 1 0 2 b t 2 t 4yt 0 y0 1 0 2 c t t sen t y0 1 0 2 d t 3yt sen t y0 1 0 2 e t 2 t et y0 1 0 2 f t yt t y0 1 0 1 310 Usando a integral de convolução encontre a resposta ao degrau do sistema cuja resposta ao impul so é dada abaixo e mostrada na Fig 347 Figura 347 Resposta ao impulso para o Problema 310 0 2 4 6 8 10 0 005 01 015 02 025 03 035 04 Tempo s ht 311 Usando a integral de convolução encontre a resposta do degrau do sistema cuja resposta ao impul so é dada abaixo e mostrada na Fig 348 Figura 348 Resposta ao impulso para o Problema 311 1 05 0 05 1 15 2 25 3 0 05 1 15 ht Tempo s 312 Considere o sistema de segunda ordem padrão Capítulo 3 Resposta Dinâmica 133 a Escreva a transformada de Laplace do sinal na Fig 349 b Qual é a transformada da saída se esse sinal é aplicado a Gs c Encontre a saída do sistema para a entrada mostrada na Fig 349 Figura 349 Sinal de entrada para o Problema 312 ut 1 1 2 3 Tempo s 313 Uma carga de giro é ligada a um motor CC com indutância insignificante Um resultado de teste na saída indica que a carga alcança uma velocidade de 1 rads em 12 s quando uma entrada cons tante de 100 V é aplicada aos terminais do motor A velocidade da saída em estado estacionário no mesmo teste é de 2 rads Determine a função de transferência do motor θsVfs 314 Um esboço simplificado de uma unidade de fita de computador é apresentado na Fig 350 a Escreva as equações dinâmicas em termos dos parâmetros indicados abaixo K e B represen tam a constante da mola e de amortecimento do estiramento respectivamente e ω1 e ω2 são velocidades angulares Uma corrente positiva aplicada ao motor CC irá fornecer um torque no eixo tracionador no sentido horário como indicado pela seta Encontre o valor de corrente que apenas anula a força F em seguida elimine a corrente constante e sua força de equilíbrio F a partir de suas equações Suponha velocidades angulares positivas nas duas rodas de acor do com as direções indicadas pelas setas J1 5 105 kgm2 inércia do motor e do eixo tracionador B1 1 102 Nms amortecimento do motor r1 2 102 m Kt 3 102 NmA constante de torque do motor K 2 104 Nm B 20 Nms r2 2 102 m J2 2 105 kgm2 B2 2 102 Nms amortecimento viscoso tensor F 6 N força constante 1 velocidade da fita ms velocidade a ser controlada Figura 350 Esboço simplificado de uma uni dade de fita x1 x2 F Coluna de vácuo r1 r2 Cabeça ω1 ω2 Eixo tracionador ia u J1 B1 Atrito nulo B K Polia de tensão J2 B2 Motor CC 134 Sistemas de Controle b Encontre a função de transferência da corrente no motor para a posição da fita c Encontre os polos e zeros da função de transferência do item b d Use o MATLAB para encontrar a resposta de x1 para uma entrada em degrau ia 315 Para o sistema na Fig 251 calcule a função de transferência da tensão do motor para a posição θ2 316 Calcule a função de transferência do sistema de dois tanques acoplados na Fig 255 com os orifí cios A e C 317 Para o sistema de segunda ordem com função de transferência determine a O ganho DC b O valor final para um entrada em degrau 318 Considere a fresa de rolamento contínuo representada na Fig 351 Suponha que o movimento do cilindro ajustável tem um coeficiente de amortecimento b e que a força exercida pelo material laminado no cilindro ajustável é proporcional à mudança na espessura do material Fs cT x Suponha ainda que o motor de corrente contínua tem um torque constante Kt e uma força eletro motriz constante Ke e que o pinhão ligado à cremalheira tem raio efetivo R a Quais são as entradas deste sistema E a saída b Sem esquecer os efeitos da gravidade sobre o cilindro ajustável desenhe um diagrama de blocos do sistema que demonstre claramente as seguintes quantidades Vss I0s Fs a força que o motor exerce sobre o cilindro ajustável e Xs c Simplifique o seu diagrama de blocos tanto quanto possível e identifique cada saída e entrada separadamente iot υat υst 1 N Relação de engrenagens Pinhão e cremalheira Movimento de saída do material nos cilindros Espessura T Espessura x Cilindro ajustável verticalmente Cilindro fixo La Ra Fm Figura 351 Fresa de rolamento contínuo Problemas da Seção 32 diagramas de modelagem de sistemas 319 Considere o diagrama de blocos mostrado na Fig 352 Note que ai e bi são constantes Calcule a função de transferência para este sistema Esta estrutura especial é chamada de forma canônica controlável e será discutida no Capítulo 7 321 Encontre as funções de transferência para os diagramas de blocos na Fig 354 utilizando as ideias de simplificação de diagramas de blocos A estrutura especial na Fig 354b é chamada de forma canônica observável e será discutida no Capítulo 7 322 Use a álgebra de diagramas de bloco para determinar a função de transferência entre Rs e Ys na Fig 355 Problemas da Seção 33 efeito da localização de polos e zeros 323 Para o circuito elétrico mostrado na Fig 356 encontre a A equação no domínio do tempo relacionando it e v1 t b A equação no domínio do tempo relacionando it e v2 t c A função de transferência V2sV1s o coeficiente de amortecimento ζ e a frequência natural do sistema ωn assumindo condições iniciais nulas d O valor de R que resultará em v2t tendo um overssinal não maior que 25 assumindo que v1t é um degrau unitário L10mH e C4 μF 324 Para o sistema com realimentação unitária apresentado na Fig 357 especifique o ganho K do controlador proporcional para que a saída yt tenha um sobressinal não maior que 10 na resposta a um degrau unitário 325 Para o sistema com realimentação unitária apresentado na Fig 358 especifique o ganho e a localização dos polos do compensador tal que a resposta ao degrau do sistema em malha fechada tenha um sobressinal não maior que 25 e um tempo de acomodação 1 não maior que 01 s Verifique seu projeto usando o MATLAB Problemas da Seção 34 especificações no domínio do tempo 326 Desejase que o tempo de pico de um sistema de segunda ordem seja inferior a tp Desenhe a região no planos para os valores correspondentes dos polos que atendam às especificações tp tp 327 Um sistema de servomecanismo tem uma dinâmica dominada por um par de polos complexos e não possui zeros finitos As especificações no domínio do tempo sobre o tempo de subida tr sobressinal Mp e tempo de acomodação ts são dadas por a Esboce a região no planos na qual os polos podem ser alocados de modo que o sistema irá atender a todas as três especificações b Indique em seu esboço os locais específicos denotados por que resultarão no menor tempo de subida e também atendam exatamente à especificação do tempo de acomodação 328 Suponha que você irá projetar um controlador por realimentação unitária para uma planta de primeira ordem apresentada na Fig 359 Como você vai aprender no Capítulo 4 a configuração mostrada é referida como um controlador proporcionalintegral Você deve projetar o controlador de modo que os polos de malha fechada estejam dentro das regiões sombreadas indicadas na Fig 360 Figura 359 Sistema com realimentação unitária para o Problema 328 Figura 360 Localização desejada para o polos do sistema em malha fechada para o Problema 328 a Quais são os valores de wn e ζ correspondentes às regiões sombreadas na Fig 359 Uma simples estimativa na figura é suficiente b Seja Kα α 2 Encontre os valores de K e KI tal que os polos do sistema de malha fechada esteja dentro das regiões sombreadas c Prove que não importa os valores Kα e α o controlador fornece flexibilidade suficiente para alocar os polos em qualquer lugar plano complexo semiplano esquerdo 329 A função de transferência em malha aberta de um sistema com realimentação unitária é Gs K ss 2 A resposta ao degrau desejada do sistema é especificada para ter tempo de pico tp 1 s e sobresinal Mp 5 a Determine se ambas as especificações podem ser atendidas simultaneamente selecionando o valor correto de K b Esboce a região associada no planos em que ambas as especificações são atendidas e indique locais possíveis para as raízes considerando valores prováveis de K c Atenue as especificações do item a pelo mesmo fator e escolha um valor adequado para K use o MATLAB para verificar se as novas especificações são satisfeitas 330 As equações dinâmicas do motor CC mostrado na Fig 232 são dadas nas Eqs 252253 como Jmθm b KtKe Ra θm Kt Ra va sendo Jm 001 kgm2 b 0001 Nms Ke 002 Vs Kt 002 NmA Ra 10Ω a Encontre a função de transferência entre a tensão aplicada va e a velocidade do motor θm b Qual é a velocidade em estado estacionário do motor após a tensão va 10 V ter sido aplicada c Encontre a função de transferência entre a tensão aplicada va e o ângulo do eixo θm d Suponha que realimentação é adicionada ao sistema ao item c de modo que ele tornase um servomecanismo de posição de tal forma que a tensão aplicada é dada por va Kθr θm Capítulo 3 Resposta Dinâmica 139 sendo K o ganho de realimentação Encontre a função de transferência entre θr e θm e Qual o máximo valor de K que pode ser usado caso seja desejado que o sobressinal Mp 20 f Quais valores de K irão prover um tempo de subida menor que 4 s Ignore a restrição de sobressinal Mp g Use o MATLAB para traçar a resposta ao degrau do servo sistema de posição para os valores de ganho K 05 1 e 2 Encontre o tempo de subida e o sobressinal para cada uma das três respostas ao degrau examinando seus gráficos Os gráficos estão de acordo com seus cálculos nos itens e e f 331 Desejase controlar a elevação da antena de rastreamento de satélite mostrada nas Figs 361 e 362 A antena e as partes móveis têm momento de inércia J e amortecimento B que surgem em alguma medida devido ao atrito aerodinâmico e de rolamento mas principalmente a partir da força eletromotriz do motor de acionamento CC As equações dinâmicas são sendo Tc o torque do motor Assuma que J 600000 kgm2 B 20000 Nms a Encontre a função de transferência entre o torque do motor Tc e o ângulo da antena θ Figura 361 Antena de rastreamento de satélite Fonte cortesia Space SystemsLoral θ Figura 362 Esquena da antena para o Problema 331 b Suponha que o torque aplicado é calculado para que θ siga o comando de referência θr de acordo com a seguinte lei de realimentação Tc Kθr θ sendo K o ganho de realimentação Encontre a função de transferência entre θr e θ c Qual valor máximo de K que pode ser usado se se deseja o sobresinal Mp 10 d Quais valores de K irão prover um tempo de subida menor que 80 s Ignore a restrição em Mp e Use o MATLAB para traçar a resposta ao degrau do sistema da antena para K 200 400 1000 e 2000 Encontre o sobresinal e o tempo de subida para as quatro respostas ao degrau examinando seus gráficos Esses gráficos confirmam os cálculos nos itens c e d 332 Mostre que o sistema de segunda ordem y 2ζωn y ωn2 y 0 y0 yo y0 0 tem a resposta yt yo eσt sqrt1 ζ2 senωdt cos1 ζ Mostre que para o caso subamortecido ζ1 as oscilações na resposta decaem a uma taxa previsível ver Fig 363 chamada de decaimento logarítmico δ lnyoy1 ln eστd στd 2πζsqrt1 ζ2 lnΔy1y1 lnΔyiyi sendo τd 2πωd 2πωn sqrt1 ζ2 o período natural de vibração amortecida O coeficiente de amortecimento em termos do decaimento logarítmico é ζ δ sqrt4π2 δ2 Figura 363 Definição do decaimento logarítmico Problemas da Seção 35 efeitos dos zeros e polos adicionais 333 Em sistemas de controle de aeronaves uma resposta ideal de arfagem qo em função do comando de arfagem qc é descrita pela função de transferência QosQcs τωn2 s 1τ s2 2ζωn s ωn2 A resposta da aeronave real é mais complicada do que esta função de transferência ideal no entanto o modelo ideal é usado como um guia para o projeto piloto automático Suponha que tr é o tempo de subida desejado e que ωn 1789 tr 1τ 16 tr ζ 089 Mostre que essa resposta ideal possui um rápido tempo de acomodação e um sobresinal mínimo traçando a resposta ao degrau para tr 08 10 12 e 15 s 334 Considere o sistema mostrado na Fig 364 sendo Gs 1 ss3 e Ds Ks z s p 3101 Encontre K z e p tal que o sistema em malha fechada tenha um sobresinal de 10 a uma entrada em degrau e um tempo de acomodação de 15 s critério 1 Figura 364 Sistema com realimentação unitária para o Problema 334 335 Esboce a resposta ao degrau de um sistema com função de transferência Gs s2 1 s40 1s42 s4 1 Justifique sua resposta em função da localização dos polos e zeros Não encontre a transformada inversa de Laplace Então compare sua resposta com a resposta ao degrau calculada usando o MATLAB 336 Considere os dois sistemas de fase não mínima G1s 2s1 s1s2 3102 G2s 3s1s2 s1s2s3 3103 a Esboce a resposta ao degrau unitário para G1s e G2s preste atenção ao traçar a parte transiente da resposta b Explique a diferença no comportamento das duas respostas ao que se refere à localização dos zeros c Considere um sistema estável e estritamente próprio isto é m zeros e n polos sendo m n Seja yt a resposta ao degrau do sistema A resposta ao degrau é dita ter um sobresinal negativo se ela começa na direção errada Prove que um sistema estável e estritamente próprio tem um sobresinal negativo se e somente se sua função de transferência tem um número ímpar de zeros reais SPD 337 Encontre as relações entre a resposta ao impulso e a resposta ao degrau correspondendo à Eq 357 para os casos em que a as raízes são repetidas b as raízes são reais Expresse suas respostas em termos de funções hiperbólicas senh cosh para melhor mostrar as propriedades da resposta do sistema c o valor do coeficiente de amortecimento ζ é negativo 338 Considere o seguinte sistema de segunda ordem com um polo extra Hs ωn2 p s ps2 2ζωns ωn2 Mostre que a resposta ao degrau unitário yt 1 Aept Beσt senωdt θ sendo A ωn2 ωn2 2ζωnp p2 B p p2 2ζωnp ωn21 ζ2 θ tan11 ζ2 ζ tan1ωn1 ζ2 p ζωn a Qual termo domina yt quando p se torna maior b Encontre valores aproximados de A e B para valores pequenos de p c Qual termo domina yt quando p se torna menor Pequeno em relação a quê d Usando a expressão anterior para yt ou o comando step no MATLAB e assumindo ωn 1 e ζ 07 trace a resposta ao degrau do sistema anterior para vários valores de p variandoo de um valor muito pequeno a um valor muito grande Até que ponto o polo extra deixa de ter muito efeito sobre a resposta do sistema 339 Considere um sistema de segunda ordem com ganho DC unitário com um zero extra Hs ωn2 s z zs2 2ζωns ωn2 a Mostre que a resposta ao degrau unitário é dada por yt 1 1 ωn2 z2 2ζωn z 1 ζ2 eσt cosωdt β1 sendo β1 tan1ζ ωn z 1 ζ2 b Derive uma expressão para o sobressinal da resposta ao degrau Mp c Para um dado valor do sobressinal Mp como obtemos ζ e ωn 340 O diagrama de blocos de um piloto automático projetado para manter a inclinação de atitude θ de uma aeronave é mostrado na Fig 365 A função de transferência que relaciona o ângulo do profundo δe e a arfagem de atitude θ é θs δes Gs 50s 1s 2 s2 5s 40s2 003s 006 sendo θ a arfagem de atitude em graus e δe é o ângulo do profundo também em graus O controle do piloto automático usa o erro de arfagem de atitude e para ajustar o profundo de acordo com a função de transferência Figura 365 Diagrama de blocos do piloto automático Capítulo 3 Resposta Dinâmica 143 Usando o MATLAB encontre um valor de K que irá proporcionar um sobressinal menor que 10 e um tempo de subida mais rápido que 05 segundos para uma mudança em degrau unitário de θr Depois de analisar a resposta ao degrau do sistema para vários valores de K comente sobre as dificuldades associadas ao ajuste do tempo de subida e ao sobressinal para sistemas complexos Problemas da Seção 36 estabilidade 341 Uma medida do grau de instabilidade na resposta instável de uma aeronave é o tempo que leva para a amplitude da resposta dobrar ver Fig 366 dada uma condição inicial diferente de zero a Para um sistema de primeira ordem mostre que o tempo necessário para a resposta dobrar é sendo p a localização do polo no SPD b Para um sistema de segunda ordem com dois polos no SPD mostre que Figura 366 Tempo necessário para a resposta dobrar Tempo Amplitude 2A A 0 A τ2 342 Suponha que a realimentação unitária será aplicada nos sistemas em malha aberta listados Use critério de estabilidade de Routh para determinar se os sistemas resultantes em malha fechada serão estáveis a b c 343 Use critério de estabilidade de Routh para determinar quantas raízes com partes reais positivas têm as equações seguintes a s4 8s3 32s2 80s 100 0 b s5 10s4 30s3 80s2 344s 480 0 c s4 2s3 7s2 2s 8 0 d s3 s2 20s 78 0 e s4 6s2 25 0 344 Encontre a faixa de valores de K para a qual todas as raízes do seguinte polinômio estejam no SPE s5 5s4 10s3 10s2 5s K 0 Use o MATLAB para verificar sua resposta traçando as raízes do polinômio no planos para vários valores de K 345 A função de transferência de um típico sistema de unidade de fita é dada por na qual o tempo é medido em milisegundos Usando o critério de Routh de estabilidade determine o intervalo de K para o qual este sistema é estável quando a equação característica é 1 Gs 0 346 Considere um sistema de levitação magnética em malha fechada mostrado na Fig 367 Determine as condições sobre as quais os parâmetros do sistema a K z p Ko garantem a estabilidade do sistema em malha fechada Figura 367 Sistema de levitação magnética 347 Considere o sistema mostrado na Fig 368 a Calcule a equação característica do sistema em malha fechada b Para quais valores de T A o sistema é estável Dica uma resposta aproximada pode ser encontrada usando eTs 1 Ts ou eTs 1 T2 s 1 T2 s para o atraso puro de tempo Como uma alternativa podese usar o MATLAB SIMULINK para simular o sistema ou encontrar as raízes da equação característica do sistema para vários valores de T e A Figura 368 Sistema de controle para o Problema 347 348 Modifique o critério de Routh para que ele se aplique ao caso em que todos os polos devem estar à esquerda de α quando α 0 Aplique o teste modificado para o polinômio s3 6 Ks2 5 6Ks 5K 0 encontre os valores de K para os quais todos os polos tenham parte real menor que 1 349 Suponha que o polinômio característico de um sistema em malha fechada é dado por s4 11 K2s3 121 K1s2 K1 K1 K2 110K2 210s 11K1 100 0 Encontre as restrições sobre os dois ganhos K1 e K2 que garantam um sistema em malha fechada estável e trace as regiãoões admissíveleis no plano K1 K2 O computador pode ajudar a resolver este problema 350 As linhas de energia elétrica suspensas às vezes experienciam oscilações de baixa frequência e alta amplitude vertical ou um galope durante as tempestades de inverno quando os condutores de linha ficam cobertos de gelo Na presença de vento o gelo pode assumir sustentação aerodinâmica e as forças de arraste podem resultar em um galope de até vários metros de amplitude Um galope de grande amplitude pode causar confronto de condutores e danos estruturais nos suportes da linha causados pela grandes cargas dinâmicas Esses efeitos por sua vez podem levar a quedas de energia Suponha que o condutor de linha é uma haste rígida restrita a movimento vertical e suspensa por molas e amortecedores como mostrado na Fig 369 Um simples modelo desse galope no condutor é my Dαẏ Lαv ẏ2 v212 Tnπℓy 0 sendo m massa do condutor y deslocamento vertical do condutor D força de arrasto aerodinâmico Capítulo 3 Resposta Dinâmica 145 L força de sustentação aerodinâmica v velocidade do vento α ângulo aerodinâmico de ataque tan1 v T tensão no condutor n número de frequências harmônicas ℓ comprimento do condutor Suponha que L0 0 e D0 D0 uma constante e linearize a equação em torno do valor y 0 Use o critério de estabilidade de Routh para mostrar que pode ocorrer o galope sempre que y x α α nπ2 ℓ T Constante de mola Gelo α Vento υ Vento relativo y2 υ2 Condutor y L α D0 0 Figura 369 Condutor de energia elétrica Uma Primeira Análise da Realimentação 4 Nos próximos três capítulos vamos apresentar três técnicas para o projeto de controladores Antes de fazer isso é útil desenvolver as premissas a serem utilizadas e derivar as equações que são comuns a cada uma das abordagens de projeto que descrevemos Como observação geral as dinâmicas dos sistemas de controle geralmente são muito complexas e são não lineares No en tanto nesta análise inicial vamos supor que a planta a ser controlada assim como o controlador pode ser representada como sistemas dinâmicos lineares e invariantes no tempo LIT Assumimos também que cada sistema só tem uma entrada e uma saída portanto pode ser representado por uma simples função de transferência escalar Como mencionado no Capítulo 1 as preocupações básicas para o controle são estabilidade rastreamento regulação e sensibilidade O objetivo da análise deste capítulo é revisitar cada um desses requisitos em um ambiente dinâmico linear e desenvolver equações que iram expor as restrições impostas aos controladores e identificar os objetivos elementares a serem sugeridos aos controladores As duas estruturas fundamentais para a realização do controle são a estrutura em malha aberta como mostrado na Fig 41 e a estrutura em malha fechada também conhecida como controle realimentado como mostrado na Fig 42 A definição de controle em malha aberta é que não há caminho de sinal fechado em que a saída influencie o esforço de controle Na estrutura mostrada na Fig 41 a função de transferência do controlador modifica o sinal de referência antes de ser aplicada à planta Esse controlador pode cancelar a dinâmica indesejada de uma planta e substituíla por uma dinâmica mais desejável ao controlador Em outros casos as ações de controle em malha aberta são tomadas à medida que o ambiente muda calibradas para fornecer uma boa resposta mas não dependentes da medida atual da resposta Um exem plo seria o piloto automático de aeronaves cujos parâmetros são alterados com a altitude ou a velocidade mas não por informações sobre o movimento da aeronave O controle realimentado por outro lado usa um sensor para medir a saída e por meio da realimentação modifica indi retamente a dinâmica do sistema Embora seja possível um sistema estável tornarse instável devido à realimentação um círculo vicioso a realimentação dá flexibilidade ao projetista e fornece uma resposta mais desejável para cada um de nossos objetivos em relação ao controle em malha aberta Controle em malha aberta e em malha fechada Visão geral do capítulo O capítulo começa discutindo equações básicas de uma estrutura de malha aberta simples e de uma estrutura de malha fechada elementar Na Seção 41 as equações para as duas estruturas são apresentadas na forma geral e comparadas em relação à estabilidade rastreamento regulação e sensibilidade Na Seção 42 o erro em estado estacionário na resposta devido a entradas polinomiais é analisado com mais detalhes Na análise de desempenho em regime permanente são atribuídos números que correspondem ao tipo do sistema de controle de acordo com o grau máximo do polinômio de entrada para o qual o erro em regime permanente é constante Para cada tipo uma constante de erro apropriada é definida o que permite ao projetista calcular facilmente o tamanho do erro Embora Maxwell e Routh tenham desenvolvido uma base matemática para assegurar a estabilidade de um sistema realimentado o projeto de controladores era baseado na experiência do projetista e em tentativa e erro A partir dessa tradição surgiu um controlador quase universal a estrutura proporcionalintegralderivativo PID considerada na Seção 43 Este dispositivo é composto por um termo Proporcional para fechar a malha de realimentação um termo Integral para garantir erro nulo à referência constante e às entradas de perturbação e um termo Derivativo para melhorar ou permitir a estabilidade e a boa resposta dinâmica Nesta seção estes termos são considerados e seus respectivos efeitos são ilustrados Como parte da evolução do projeto do controlador PID um passo importante foi o desenvolvimento de um procedimento simples para selecionar os três parâmetros um processo chamado de sintonia do controlador Ziegler e Nichols desenvolveram e publicaram um conjunto de experimentos para serem executados características para serem medidas e valores de ajuste recomendados Esses procedimentos são discutidos nesta seção Finalmente na Seção 44 é apresentada uma breve introdução para a aplicação de controladores digitais cada vez mais comum A sensibilidade da resposta temporal às mudanças dos parâmetros é discutida no Apêndice W4 disponível em inglês no site do Grupo A 41 Equações básicas de controle Começamos a coletar um conjunto de equações e funções de transferência que será usado durante todo o restante do texto Para o sistema de malha aberta da Fig 41 se considerarmos a perturbação como entrada da planta a saída é dada por Yol GDol R GW 41 e o erro a diferença entre a entrada de referência e o sinal de saída do sistema é dado por Eol R Yol 42 R GDol R GW 43 1 GDol R GW 44 A função de transferência em malha aberta neste caso é Tols Gs Dols Para o controle realimentado a Fig 42 apresenta a estrutura básica de realimentação unitária Há três entradas externas a referência R a qual deve ser rastreada pela saída a perturbação da planta W a qual deve ser rejeitada pelo controle para não atrapalhar a saída e o ruído do sensor V que o controlador deve ignorar Para o diagrama de blocos da Fig 42 as equações para a saída e controle são dadas pela superposição das respostas às três entradas individualmente como a seguir Figura 41 Sistema em malha aberta destacando a referência R o sinal de controle U a perturbação W e a saída Y Figura 42 Sistema em malha fechada destacando a referência R o sinal de controle U a perturbação W a saída Y e o ruído do sensor V Ycl GDcl1GDcl R G1GDcl W GDcl1GDcl V 45 U Dcl1GDcl R GDcl1GDcl W Dcl1GDcl V 46 Talvez mais importante que essas equações seja a equação do erro Ecl R Ycl Ecl R GDcl1GDcl R G1GDcl W GDcl1GDcl V 47 11GDcl R G1GDcl W GDcl1GDcl V 48 Nesse caso a função de transferência de malha fechada é Tcl GDcl1GDcl Com essas equações exploramos os quatro objetivos básicos de estabilidade rastreamento regulação e sensibilidade para os casos em malha aberta e malha fechada 411 Estabilidade Como vimos no Capítulo 3 a condição de estabilidade é simplesmente declarada como todos os polos da função de transferência devem estar no semiplano esquerdo SPE No caso de malha aberta descrito pela Eq 41 estes são os polos de GDol Para ver como as restrições impostas por este requisito influenciam o controlador são definidos os polinômios as bs cs e ds sendo Gs bsas e Dols csds Portanto GDol bcad Com estas definições o requerimento de estabilidade é que as e ds não tenham raízes no semiplano direito SPD Um engenheiro ingênuo pode acreditar que se a planta é instável com as tendo uma raiz no SPD o sistema pode ser estável pelo cancelamento deste polo com um zero de cs No entanto o polo permanece instável e ao menor ruído ou perturbação fará com que a saída cresça até que ocorra uma saturação ou falha do sistema Da mesma forma se a planta apresenta resposta pobre por causa de um zero de bs no SPD a tentativa de consertar isso com um cancelamento usando uma raiz de ds também irá resultar em um sistema instável Concluise que uma estrutura de malha aberta não pode ser usada para estabilizar uma planta e portanto não pode ser usada se a planta é instável Para o sistema realimentado Eq 48 os polos do sistema são as raízes de 1 GDcl 0 Novamente usando os polinômios definidos acima a equação característica do sistema é 1 GDcl 0 49 1 bscsasds 0 410 asds bscs 0 411 A partir dessa equação fica claro que o processo de realimentação concede mais liberdade para o projeto do controlador do que o caso de malha aberta No entanto ainda é preciso evitar cancelamentos instáveis Por exemplo se a planta é instável e portanto as tem uma raiz no SPD poderemos cancelar este polo colocando um zero de cs no mesmo lugar No entanto a Eq 411 mostra que como resultado o polo instável continua a ser um polo do sistema e Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 149 esse método não irá funcionar No entanto diferentemente da estrutura em malha aberta um polo de as no SPD NÃO impede que um controlador por realimentação estabilize o sistema Por exemplo no Capítulo 2 obtemos a função de transferência do pêndulo invertido a qual para valores simples pode ser Gs para a qual temos bs 1 e as s2 1 s 1 s 1 Suponha Ds A equação característica resultante é s 1s 1s δ Ks γ 0 412 Este é o problema que enfrentou Maxwell em seu estudo sobre governadores ou seja sob quais condições impostas aos parâmetros todas as raízes desta equação estarão no SPE O proble ma foi resolvido por Routh No nosso caso uma solução simples é fazer γ 1 e a equação de segunda ordem pode ser facilmente resolvida para colocar os outros dois polos na posição desejada Exercício Se desejarmos forçar que a equação característica seja s2 2ζωs ω2 0 resolva para K e δ em termos de ζ e ω 412 Rastreamento O problema de rastreamento é fazer com que a saída siga a entrada de referência tanto quanto possível No caso de malha aberta se a planta é estável e não tem nem polos nem zeros no SPD então em princípio o controlador pode ser selecionado para cancelar a função de transferência da planta e substituíla por qualquer outra que o engenheiro deseje Essa aparente liberdade no entanto vem com três ressalvas Em primeiro lugar a fim de implementar o controlador fisica mente a função de transferência deve ser própria o que significa que a função de transferência não pode ter mais zeros do que polos Em segundo lugar o engenheiro não deve ser ganancioso e requerer um projeto irrealisticamente rápido Esta análise foi toda baseada na suposição de que a planta é linear e o objetivo é uma resposta rápida que exigirá entradas amplas na planta que por certo irão saturar o sistema se o objetivo for muito exigente Novamente é da respon sabilidade do engenheiro conhecer os limites da planta e definir a função de transferência para um valor razoável de seu conhecimento Em terceiro e último lugar embora seja possível em princípio cancelar qualquer polo no SPE a próxima seção sobre sensibilidade destaca o fato de que a função de transferência da planta está sujeita a alterações e uma tentativa de cancela mento de um polo no SPE poderá resultar em um desastre quando esse polo se mover um pouco e expor o sistema de resposta a transientes inaceitáveis Exercício A planta com função de transferência é controlada por um controlador em malha fechada com função de transferência Encontre os valores dos parâmetros deste controlador para que o sistema em malha fechada tenha a equação característica s 6 s 3s2 3s 9 01 resposta c2 18 c1 54 c0 162 d1 9 Exercício Mostre que se a entrada de referência do sistema no exercício acima for um degrau de amplitude A o erro em estado estacionário será zero 413 Regulação O problema da regulação é manter o erro pequeno quando a referência é no máximo um sinal de referência constante e podem existir distúrbios Uma rápida olhada no diagrama de blocos em malha aberta revela que o controlador não tem influência na resposta do sistema para qualquer um dos distúrbios w ou v então essa estrutura é inútil para a regulação Voltamonos para o caso de realimentação Da Eq 48 encontramos um conflito entre w e v na busca de um bom controlador Por exemplo o termo relacionado à contribuição da perturbação na planta para o erro do sistema é W Para selecionar Dcl de forma que este termo seja pequeno devemos 1 Este processo é chamado de alocação de polos e será discutido no Capítulo 7 150 Sistemas de Controle fazer Dcl tão grande quanto possível e infinito se isso for viável Por outro lado o termo de erro para o ruído do sensor é V Neste caso infelizmente se selecionarmos um Dcl grande a função de transferência tende para a unidade e o ruído do sensor não é reduzido completamen te O que devemos fazer A solução do dilema é observar que cada um desses termos é uma função na frequência então uma delas pode ser grande para algumas frequências e pequena para outras Também notamos que os distúrbios em muitas plantas ocorrem em frequências muito baixas Por outro lado um bom sensor é aquele que pode ser construído para ter muito pouco ruído em toda a gama de baixas frequências de interesse Assim usando essa informação nós projetamos a função de transferência do controlador para ser grande em baixas frequências reduzindo o efeito de w e pequena em altas frequências reduzindo o efeito do ruído do sensor em alta frequência O engenheiro de controle deve determinar a melhor faixa de frequência para que ocorra a transição de amplificação para atenuação Exercício Mostre que se w é um distúrbio constante e se Dcl tem um polo em s 0 então o erro devido a este distúrbio será zero No entanto mostre que se G possuir um polo em zero ele não ajudará com uma perturbação 414 Sensibilidade Suponha que uma planta é projetada com ganho G em uma frequência particular mas em ope ração ela muda para G δG Isso representa uma mudança fracionária ou percentual do ganho de δGG Para fins de análise a frequência é ajustada para zero e é tomado o ganho do contro lador em malha aberta Dol0 No caso de malha aberta o ganho nominal global é portanto Tol GDol e com a perturbação do ganho da planta o ganho total seria Tol δTol DolG δG DolG DolδG Tol DolδG Portanto a mudança no ganho é δTol DolδG A sensibilidade SGT de uma função de trans ferência Tol para a ganho da planta G é definida como a razão da mudança fracionária em Tol definida como para a mudança fracional em G Em forma de equação 413 414 Substituindo os valores temos 415 Isso significa que um erro de 10 em G pode resultar em um erro de 10 em Tol No caso em malha aberta portanto calculamos que S 1 A partir da Eq 45 para o caso em malha fechada a mesma mudança em G resulta em um novo ganho em malha fechada como sendo Tcl o ganho em malha fechada Podemos calcular diretamente a sensibilidade deste ganho do sistema em malha fechada usando cálculos diferenciais O ganho em estado estacionário em malha fechada é Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 151 A variação de primeira ordem é proporcional à derivada e é dada por A expressão geral para sensibilidade da Eq 413 é dada por 416 então 417 Esse resultado apresenta a maior vantagem da realimentação2 No controle realimentado o erro no ganho global da função de transferência é menos sensível às variações no ganho de planta por um fator de S em relação ao erro no ganho de controle em malha aberta Se o ganho é tal que 1 DG 100 uma mudança de 10 no ganho da planta G causará apenas uma mudança de 01 no ganho em estado estacionário O controlador em malha aberta é 100 vezes mais sensitivo a mudanças no ganho que o controlador em malha fechada com ga nho 100 O caso de realimentação unitária no exemplo é tão comum que iremos nos referenciar ao resultado da Eq 417 simplesmente como sensibilidade S sem sobrescritos e subscritos Até este momento os resultados desta seção foram computados assumindo erros de estado estacionário na presença de entradas constantes tanto para sinais de referência quanto para pertur bação Resultados muito semelhantes podem ser obtidos para o comportamento em estado esta cionário na presença de uma referência ou sinal de distúrbio senoidal Isso é importante porque há momentos em que esses sinais ocorrem naturalmente como por exemplo uma perturbação de 60 Hertz devido à interferência da linha de transmissão de energia elétrica em um sistema eletrônico O conceito também é importante porque sinais mais complexos podem ser descritos como uma combinação de componentes senoidais em uma faixa de frequência e analisados para outras fre quências utilizando a superposição Por exemplo sabese que a audição humana está restrita aos sinais na frequência no intervalo de cerca de 60 a 15000 Hertz Um sistema de amplificador rea limentado e altofalante projetado para fornecer um som de alta fidelidade deve acompanhar com precisão qualquer tipo de sinal tom puro senoidal neste intervalo Se considerarmos o controla dor de realimentação do sistema mostrado na Fig 42 como tendo a função de transferência Ds e o processo com função de transferência Gs então o ganho de malha aberta em estado estacio nário do sinal senoidal de frequência ωo será Gjωo Djωo e o erro do sistema realimentado será 418 Assim para reduzir erros a 1 com a entrada na frequência ω0 devemos fazer 1 DG 100 ou efetivamente Djωo Gjωo 100 e um bom amplificador de áudio deve ter ganho de malha no intervalo de 2π60 ω 2π15000 Nós vamos rever esse conceito no Capítulo 6 como parte do projeto baseado em técnicas de resposta em frequência 2 Bode que desenvolveu a teoria da sensibilidade bem como muitas outras propriedades da realimentação definiu a sensibilidade como S 1 GD o inverso de nossa escolha O caso filtrado Até agora a análise foi baseada nas estruturas em malha aberta e malha fechada mais simples Um caso mais geral inclui um filtro dinâmico na entrada e também dinâmica no sensor A estrutura filtrada de malha aberta é mostrada na Fig 43 como tendo a função de transferência Tol GDolf Neste caso a função de transferência do controlador em malha aberta foi simplesmente substituída pelo DF e a discussão do caso de malha aberta não filtrado é facilmente aplicada a essa mudança Para o caso realimentação filtrada mostrado na Fig 4 as mudanças são mais significativas Nesse caso a transformação da saída do sistema é dada por Y GDclF1 GDclH R G1GDclH W HGDcl1GDclH V 419 Como é evidente a partir desta equação a dinâmica do sensor H é parte da função de transferência e entra na questão da estabilidade com DclH substituindo Dcl no caso de realimentação unitária De fato se F H no que diz respeito a estabilidade controle e regulação o caso filtrado é idêntico ao caso de realimentação unitária com DclH substituindo Dcl Por outro lado a função de transferência do filtro F pode desempenhar o papel do controlador em malha aberta exceto que aqui o filtro F iria modificar a função de transferência de todo o laço GDcl1GDclH ao invés de simplesmente GDol Portanto a estrutura filtrada de malha fechada pode realizar melhores propriedades que as estruturas de malha aberta e de realimentação unitária O controlador Dcl pode ser projetado para efetivamente regular o sistema para a perturbação W e para o ruído do sensor V enquanto o filtro F é projetado para melhorar a precisão de rastreamento Se a dinâmica do sensor H é acessível ao projetista este termo também pode ser projetado para melhorar a resposta ao ruído de sensor A questão remanescente diz respeito à sensibilidade Usando a fórmula na Eq413 com mudanças nos parâmetros de interesse temos STFclF 10 420 STFclG 11 GDclH 421 STFclH GDclH1 GDclH 422 Destas a mais interessante é a última Observe que em relação a H a sensibilidade atinge a unidade à medida que o ganho de malha cresce Portanto é particularmente importante que a função de transferência do sensor não seja apenas pequena em relação ao ruído mas seja também muito estável em ganho O dinheiro gasto com sensor é um dinheiro bem gasto Figura 43 Sistema filtrado em malha aberta Figura 44 Sistema filtrado em malha fechada R referência u controle Y saída e V ruído do sensor Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 153 42 Controle de erro em estado estacionário para entradas polinomiais tipo de sistemas No estudo do problema de regulação a entrada de referência é tomada como uma constante É também um caso comum que a perturbação na planta seja uma tendência constante Mesmo no problema de rastreamento a entrada de referência é geralmente constante para longos períodos de tempo ou pode ser adequadamente aproximada como se fosse um polinômio no tempo nor malmente de baixo grau Por exemplo quando uma antena está seguindo o ângulo de elevação de um satélite o histórico temporal do sinal é uma curva em forma S como esquematizado na Fig 45 Este sinal pode ser aproximado por uma função linear do tempo chamada de entrada em rampa ou velocidade por um tempo significativo em relação à velocidade de resposta do servomecanismo Como outro exemplo o controle de posição de um elevador tem uma rampa de entrada de referência que vai dirigir o elevador para se mover com velocidade constante até chegar perto do próximo andar Em casos raros a entrada pode mesmo ser aproximada por um período substancial como tendo uma aceleração constante Esses casos nos levam a considerar os erros de estado estacionário em sistemas estáveis com entradas polinomiais Como parte do estudo dos erros de estado estacionário para entradas polinomiais uma ter minologia foi desenvolvida para expressar os resultados Por exemplo podemos classificar os sistemas como tipo de acordo com o grau do polinômio que ele pode razoavelmente seguir Por exemplo um sistema que possa controlar um polinômio de grau 1 com um erro constante é chamada de Tipo 1 Além disso para quantificar o erro de rastreamento várias constantes de erro são definidas Em todas as análises a seguir supõese que os sistemas são estáveis caso contrário a análise não faz sentido algum 421 Tipo de sistema para rastreamento No caso de realimentação unitária mostrado na Fig 42 o erro do sistema é dado pela Eq 48 Se considerarmos o rastreamento da entrada de referência e definirmos W V 0 a equação para o erro é simplesmente 423 Ao considerar entradas polinomiais temos cuja transformada é R To mando um sistema mecânico como base para a nomenclatura de referência genérica a entrada ao degrau para k 0 é chamada de entrada de posição a entrada em rampa para k 1 é cha mada de entrada de velocidade e se k 2 a entrada é chamada de entrada de aceleração independentemente das unidades dos sinais reais A aplicação do Teorema do Valor Final com a fórmula de erro dá o resultado 424 425 426 Figura 45 Sinal de rastreamento do satélite Tempo s θs 154 Sistemas de Controle Inicialmente considerase um sistema para o qual GDcl não tem polo na origem e tem uma entrada em degrau para que Rs1s Assim rt é um polinômio de grau 0 Neste caso a Eq 426 se reduz a 427 428 Este sistema é definido como Tipo 0 e a constante GDcl0 Kp é definida como a constante de erro de posição Observe que se a entrada for um polinômio de grau superior a 1 o erro resul tante crescerá sem limites Um polinômio de grau 0 é o mais alto grau que um sistema do Tipo 0 pode rastrear Se GDcls tem um polo na origem podemos continuar nesta linha e considerar entradas polinomiais de primeiro grau mas é bastante simples analisar a Eq 426 em uma configuração geral Para este caso é necessário descrever o comportamento do controlador e da planta quando s se aproxima de 0 Para este fim coletamos todos os termos exceto os polos na origem na função GDclos que é finita em s 0 para que possamos definir a constante GDclo0 Kn e escrever a função de transferência como 429 Por exemplo se GDcl não tem integrador então n 0 Se o sistema tem um integrador então n 1 e assim por diante Substituindo esta expressão na Eq 426 430 431 A partir dessa equação podemos ver que se n k então e 0 e se n k então e Se n k 0 então e se então Como vimos se a entrada é um polinômio de grau zero como um degrau ou posição a constante Ko é chamada de constante de posição definida por Kp e o sistema é classificado como Tipo 0 Se n k 1 a entrada é um polinômio de primeiro grau como uma rampa ou entrada de velocidade e a cons tante K1 é chamada de constante de velocidade definida como Kv Esse sistema é classificado como Tipo 1 De forma similar sistemas do Tipo 2 e de tipos superiores podem ser definidos A Fig 46 representa claramente esta situação para um sistema do Tipo 1 no qual a referência é uma entrada em rampa O erro entre a entrada e a saída é claramente destacado Usando a Eq 429 esses resultados podem ser resumidos pelas equações 432 433 434 A informação sobre o tipo do sistema também pode ser útil para determinar os valores do erro em função do grau de uma entrada polinomial como mostrado na Tabela 41 EXEMPLO 41 Tipo do sistema para controle de velocidade Determine o tipo do sistema e a constante de erro relevante para o controle de velocidade com realimentação proporcional dada por Ds kp A função de transferência da planta é G Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 155 Solução Neste caso GDcl e aplicando a Eq 432 temos que n 0 pois não há polo em s 0 Assim o sistema é Tipo 0 e a constante de erro é uma constante de posição dada por Kp kpA Figura 46 Relação entre Kv e a resposta à rampa 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Tempo s r y r y 1 Kυ ess TABELA 41 Erro em função do tipo do sistema Tipo de entrada Degrau posição Rampa velocidade Parábola aceleração Tipo 0 Tipo 1 0 Tipo 2 0 0 EXEMPLO 42 Tipo do sistema e controle integral Determine o tipo do sistema e a constante de erro relevante para controle de velocidade com controlador proporcional e integral dado por Dc kp kIs A função de transferência da planta é G Solução Neste caso a função de transferência de malha é GDcl e como um siste ma com realimentação unitária com um único polo em s 0 o sistema é do Tipo 1 A constante de velocidade é dada pela Eq 433 como Kv sGDcls AkI A definição do tipo de sistema nos ajuda a identificar rapidamente a capacidade de um sis tema rastrear polinômios Na estrutura de realimentação unitária se os parâmetros do processo mudam sem retirar o polo na origem de um sistema do Tipo 1 a velocidade constante vai mu dar mas o sistema continuará tendo erro nulo em estado estacionário para uma entrada Afirma ções semelhantes podem ser feitas para sistemas do Tipo 2 ou superiores Assim podemos dizer que tipo do sistema é uma propriedade robusta com relação às variações dos parâmetros na estrutura de realimentação unitária A robustez é uma das principais razões para a preferência da realimentação unitária em relação a outros tipos de estrutura de controle Outra forma para a fórmula da constante de erro pode ser desenvolvida diretamente em termos da função de transferência em malha fechada A partir da Fig 44 a função de transfe rência incluindo um sensor é Robustez do tipo do sistema 156 Sistemas de Controle 435 e o sistema de erro é Es Rs Ys Rs TsRs A função de transferência em relação ao erro é e o sistema de erro transformado é Es 1 T sRs Assumimos que as condições do Teorema do Valor Final são satisfeitas ou seja que todos os polos de sEs estão no SPE Neste caso o erro em estado estacionário é encontrando aplicando o Teorema do Valor Final para chegarmos a 436 Se a entrada de referência for um polinômio de grau k a transformada do erro será e o erro em estado estacionário é encontrado novamente aplicando o Teorema do Valor Final 437 Como anteriormente o resultado de avaliar o limite na Eq 437 pode ser zero uma constante não nula ou infinito e se a solução da Eq 437 é uma constante não nula o sistema é referen ciado como Tipo k Note que um sistema do Tipo 1 ou maior tem um ganho DC de 10 o que significa que T0 1 nestes casos EXEMPLO 43 Tipo do sistema para o controle de um servo com tacômetro realimentado Considere o problema de controle de posição de um motor elétrico incluindo um sistema sem realimentação unitária causado por ter um tacômetro fixo ao eixo do motor e sua tensão que é proporcional à velocidade do eixo realimentada como parte do controle Os parâmetros são Determine o tipo do sistema e a constante de erro relevante à respectiva entrada de referência Solução O sistema de erro é Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 157 O erro do sistema em estado estacionário a partir da Eq 437 é Para uma entrada polinomial de referência Rs 1sk1 temos então o sistema é do Tipo 1 e a constante de velocidade é Kv Note que se kt 0 tal vez a estabilidade ou a resposta dinâmica possam ser melhoradas a constante de velocidade é menor que kp A conclusão é que se o tacômetro realimentado é usado para melhorar a resposta dinâmica o erro em estado estacionário é geralmente maior 422 Tipo do sistema para regulação e rejeição de distúrbios Um sistema também pode ser classificado em relação à sua capacidade de rejeitar entradas de perturbações polinomiais de uma maneira análoga ao esquema de classificação baseado em entradas de referências A função de transferência da perturbação de entrada Ws para o erro Es é 438 porque se a referência for igual a zero a saída é o erro De um modo semelhante às entradas de referência o sistema é do Tipo 0 se uma perturbação em degrau resulta em uma constante de erro em estado estacionário não nula e é do Tipo 1 se uma perturbação em rampa resulta em uma constante de erro em estado estacionário não nula etc De um modo geral seguindo a mesma abordagem utilizada no desenvolvimento da Eq 431 assumimos que uma constante n e uma função Tows podem ser definidas com as pro priedades que Tow0 1Knw e que a função de transferência da perturbação para o erro pode ser escrita como Tws snTows 439 Então o erro em estado estacionário em relação a uma entrada de perturbação polinomial de grau k é 440 A partir da Eq 440 se n k então o erro é zero e se n k o erro é ilimitado Se n k o sistema é do tipo k e o erro é dado por 1knw EXEMPLO 44 Tipo do sistema para o controle de posição de um motor CC Considere o modelo simplificado de um motor CC em realimentação unitária como mostrado na Fig 47 no qual o torque de distúrbio é indicado por Ws Este caso foi considerado no Exemplo 211 a Use o controlador Figura 47 Motor CC com realimentação unitária Ds kp 441 e determine o tipo do sistema e as propriedades do erro em estado estacionário em relação às entradas de distúrbio b Considere a função de transferência dada por Ds kp kIs 442 e determine o tipo do sistema e as propriedades do erro em estado estacionário em relação às entradas de distúrbio Solução a A função de transferência de malha fechada de W para E com R 0 é Tws Bsts 1 Akp s0 Tow n 0 Kow AkpB Aplicando a Eq 440 vemos que o sistema é do Tipo 0 e o erro em estado estacionário para uma entrada em degrau unitário é ess BAkp Como visto na seção anterior esse sistema é do Tipo 1 para entradas de referência ilustrando que um mesmo sistema pode ter diferentes tipos para diferentes entradas b Para este controlador a função de transferência do erro em virtude do distúrbio é Tws Bss2ts 1 kps kIA n 1 Knw AkIB e portanto o sistema é do Tipo 1 e o erro a uma entrada de distúrbio em rampa é ess BAkI 443 444 445 446 Fórmula de Truxal para as constantes de erro Truxal 1955 obteve uma fórmula para o cálculo da constante de velocidade de um sistema do Tipo 1 em termos dos polos e zeros de malha fechada uma fórmula que conecta o erro de estado estacionário à resposta dinâmica do sistema Como o projeto de controle muitas vezes exige Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 159 uma relação de compromisso entre essas duas características pode ser útil conhecer a fórmula Truxal Sua obtenção é bastante direta Suponha que a função de transferência em malha fecha da T s de um sistema do um Tipo 1 é 447 Já que o erro em estado estacionário na resposta devido a uma entrada em degrau em um siste ma do Tipo 1 é zero o ganho DC é unitário assim T 0 1 448 O erro do sistema é dado por 449 O erro do sistema devido a uma entrada em rampa é 450 Usando o Teorema do Valor Final temos 451 Usando a regra de LHôpital a Eq 451 pode ser reescrita como 452 ou 453 A equação 453 implica que 1Kv está relacionada com a inclinação da função de transferência na origem um resultado que também será mostrado na Seção 612 Usando a Eq 448 pode mos reescrever a Eq 453 como 454 ou 455 Substituindo a Eq 447 na Eq 455 temos que 456 457 ou 458 160 Sistemas de Controle Observase a partir da Eq 458 que Kv aumenta à medida que os polos de malha fechada se afastam da origem Existem relações similares para outros coeficientes de erro e estas serão exploradas nos problemas EXEMPLO 45 Fórmula de Truxal Um sistema de terceira ordem do Tipo 1 tem os polos de malha fechada 2 2j e 01 O sistema tem apenas um zero em malha fechada Onde o zero deve estar para obter Kv 10 Solução A partir da fórmula de Truxal temos ou Portanto o zero de malha fechada deve estar em z 1104 00962 43 Controlador de três termos controlador PID Nos capítulos seguintes vamos estudar três técnicas gráficas de análise e projeto baseadas no lugar das raízes na resposta em frequência e na formulação em espaço de estado das equa ções Aqui nós descrevemos um método de controle com antiga relevância histórica que foi desenvolvido por meio de experiência e por tentativa e erro Partindo do controle proporcional realimentado os primeiros engenheiros descobriram a ação de controle integral como forma de eliminar o erro em regime permanente Entretanto encontravam em muitos casos uma res posta dinâmica pobre assim um termo de antecipação baseado na derivada foi adicionado O resultado é chamado de controlador de três termos ou PID e tem a função de transferência3 459 sendo kp o termo proporcional kI o termo integral e kD o termo derivativo Vamos discutir um de cada vez 431 Controlador proporcional P Quando o sinal de controle realimentado é linearmente proporcional ao erro do sistema cha mamos o resultado de realimentação proporcional Esse foi o caso de realimentação usado no controlador de velocidade na Seção 41 para o qual a função de transferência do controlador é 460 Se a planta é de segunda ordem como por exemplo um motor quando se leva em conta a indu tância então a função de transferência da planta pode ser escrita como 461 3 O termo derivativo sozinho faz com que a função de transferência se torne imprópria e impraticável No entanto a adição de um polo de alta frequência torna o termo próprio e somente altera ligeiramente o desempenho Fórmula de Truxal Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 161 Nesse caso a equação característica com o controlador proporcional é 1 kpGs 0 462 s2 a1s a2 kpA 0 463 O projetista pode controlar o termo constante nesta equação o qual determina a frequência na tural mas não pode controlar o coeficiente de amortecimento O sistema é Tipo 0 e se fizermos kp grande o suficiente para obtermos o erro em regime permanente pequeno o coeficiente de amortecimento pode ser muito pequeno para uma resposta transitória satisfatória usando apenas o controlador proporcional 432 Controle proporcional mais controle integral PI Adicionando um termo integral ao controlador temos no domínio do tempo a equação de controle proporcional mais integral 464 para o qual Dcls na Fig 42 tornase 465 A introdução do termo integral aumenta o tipo do sistema e portanto pode rejeitar totalmente perturbações constantes Por exemplo considere o controle PI no exemplo de controle de velo cidade no qual a planta é descrita por 466 A transformada da equação do controlador é 467 e a transformada da equação do sistema com este controlador é 468 e se multiplicarmos a Eq 468 por s e colocarmos os termos em evidência τ s2 Akp 1s AkIY Akps kIR sAW 469 Como o controlador PI inclui dinâmicas a utilização deste controlador vai mudar a respos ta dinâmica É o que podemos entender considerarando a equação característica dada por τ s2 Akp 1s AkI 0 470 As duas raízes desta equação podem ser complexas e em caso afirmativo a frequência natural será ωn e o coeficiente de amortecimento é ζ Estes dois parâmetros podem ser determinados pelos ganhos do controlador Por outro lado se a planta é de segunda ordem 471 então a equação característica do sistema é 472 Controle proporcional mais integral 162 Sistemas de Controle s³ a1s² a2s AkpS AkI 0 473 Neste caso os parâmetros do controlador podem ser usados para ajustar dois coeficientes mas não o terceiro Para isso precisamos do controle derivativo 433 Controle PID O último termo deste clássico controlador é o derivativo D Um efeito importante desse termo é suavizar a resposta devido a sinais instantâneos Portanto o termo D às vezes é introduzido no caminho de realimentação como mostrado na Fig48a Ele pode ser uma parte do controlador padrão ou pode representar um sensor de velocidade como um tacômetro no eixo do um motor A equação característica de malha fechada é a mesma que teríamos se o termo estivesse na malha direta como dado pela Eq 459 e desenhado na Fig 48b É importante notar que os zeros da referência para a saída são diferentes nos dois casos Com o termo derivativo na realimentação a referência não é derivada o que mostra como as respostas indesejadas devido a mudanças instantâneas são evitadas Para ilustrar o efeito do termo derivativo no controlador PID considere o controle de velocidade mas com uma planta de segunda ordem Neste caso a equação característica é s² a1s a2 Akp kIs kDrS 0 s³ a1s² a2S AkpS kI kDrS² 0 474 Colocando os termos em evidência temos s³ a1 AkDs² a2 Akps AkI 0 475 O ponto aqui é que nesta equação na qual as três raízes determinam a natureza da resposta dinâmica do sistema os três parâmetros kp kI e kDr selecionados apropriadamente determinam em teoria as raízes arbitrariamente Sem o termo derivativo existiriam apenas dois parâmetros de ajuste mas ainda existiriam três raízes assim a escolha das raízes da equação característica seria restrita Para ilustrar o efeito deste termo de forma mais concreta um exemplo numérico é utilizado Figure 48 Diagrama de blocos do controlador PID a com o termo D na realimentação e b com o termo D na malha direta EXEMPLO 46 Controle PID de velocidade em um motor Considere o controle de velocidade de um motor CC com os parâmetros4 4 Esses valores foram escalonados para medir o tempo em milisegundos multiplicando os valores de La e Jm por 1000 Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 163 Jm 113 102 b 0028 Nmsrad La 101henry Nms2rad Ra 045 ohms Kt 0067 Nmamp Ke 0067 voltsrad 476 Estes parâmetros foram definidos no Exemplo 211 do Capítulo 2 Use os parâmetros do con trolador kp 3 kI 15 s kD 03 s 477 Discuta os efeitos dos controladores P PI e PID na resposta do sistema considerando o distúrbio de torque e entrada de referência como ambos sendo degrau unitário Os parâmetros não usados devem ser nulos Solução A Figura 49a ilustra os efeitos dos controladores P PI e PID na resposta do siste ma a um distúrbio em degrau Note que adicionando o termo integral a oscilação aumenta mas elimina o erro em regime permanente e a adição do termo derivativo reduz a oscilação enquan to o erro em regime permanente é mantido nulo A Figura 49b ilustra os efeitos dos controla dores P PI e PID na resposta do sistema a uma entrada de referência em degrau A resposta ao degrau pode ser computada representando o numerador e o denominador em vetores com seus coeficientes na ordem descendente das potências de s e usando a função step no MATLAB EXEMPLO 47 Controle PI para o controle de posição de motor CC Considere o modelo simplificado de um motor CC ligado a uma realimentação unitária como mostrado na Fig 47 na qual o distúrbio está representado por Ws Considere que o sensor seja h e não 1 a Use o controlador proporcional Ds kp 478 e determine o tipo do sistema e as propriedades em regime permanente em relação à entrada de distúrbio b Use o controlador PI 479 6 8 6 4 2 0 2 4 Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 Tempo ms a 0 18 16 14 12 10 08 06 04 02 Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 Tempo ms b P PI PID P PI PID Figura 49 Respostas considerando os controladores P PI e PID a a entrada de distúrbio em degrau e b entrada de referência em degrau 164 Sistemas de Controle e determine o tipo do sistema e as propriedades em regime permanente em relação à entrada de distúrbio Solução a A função de transferência em malha fechada de W para E sendo R0 é Aplicando a Eq 440 vemos que o sistema é do Tipo 0 e o erro em regime permanente para uma entrada em degrau é ess BAkph Na seção anterior este sistema foi visto como sendo do Tipo 1 para entradas de referência e ilustra que o tipo do sistema pode ser diferente para diferentes entradas Entretanto neste caso o sistema é do Tipo 0 para entradas de referência b Se o controlador é PI a função de transferência do erro de distúrbio é 480 n 1 481 482 e portanto o sistema é do Tipo 1 e o erro a um distúrbio em rampa será 483 EXEMPLO 48 Controle de atitude do satélite Considere o modelo de controle de atitude de um satélite mostrado na Fig 410a sendo J momento de inércia W torque de distúrbio K sensor e ganho de referência Ds compensador O filtro e o sensor têm os mesmos fatores de escala o sistema com controlador PD pode ser redesenhado com realimentação unitária como na Fig 410b e como controlador PID dese nhado como na Fig 410c Assuma que o controle resulta em um sistema estável e determine os tipos do sistema e erros na resposta para distúrbios do sistema de controle sendo a Sistema na Fig 410b controle proporcional e derivativo sendo Ds kp kDs b Sistema na Fig 410c controle porporcional integral e derivativo sendo Ds kp kIs KDs5 Solução a Analisando a Fig 410b vemos que a planta tem dois polos na origem por tanto o sistema é do Tipo 2 em relação a entradas de referência A função de transferência do distúrbio para o erro é 5 Note que as funções de transferência destes controladores têm mais zeros que polos e portanto não são práticas Na prática o termo derivativo deve possuir um polo de frequência muito alta o qual foi omitido nestes exemplos por simplicidade Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 165 Figura 410 Modelo de controle de altitude de um satélite a sistema básico b controle PD c controle PID Tws 1Js² kDrS kp 484 Tows 485 na qual n 0 e Kow kp O sistema é do Tipo 0 e o erro a um distúrbio em degrau é 1kp b Para o controle PID o ganho de malha direta tem três polos na origem então o sistema é do Tipo 3 para entradas de referência mas a função de transferência do distúrbio é Tws sJs3 kDrS2 kpS kI 486 n 1 487 Tows 1Js3 kDrS2 kpS kI 488 da qual temos que o sistema é do Tipo 1 e a constante de erro é kI então o erro a um distúrbio em rampa terá uma inclinação de 1kI 434 Método de ZieglerNichols para sintonia de controladores PID Quando o controlador PID foi desenvolvido a seleção de valores para os vários termos sintonia do controlador era uma tarefa realizada sem utilizar um procedimento bem definido Assim para facilitar a vida dos operadores de plantas os engenheiros de controle procuraram 166 Sistemas de Controle maneiras de tornar este procedimento mais sistemático Callender e outros 1936 propuseram um método de projeto de controladores PID especificando valores satisfatórios para os parâme tros do controlador com base nas estimativas dos parâmetros da planta os quais um engenheiro pode obter a partir de experimentos no próprio processo Esta abordagem foi estendida por J G Ziegler e N B Nichols 1942 1943 que obser varam que as respostas ao degrau de um grande número de sistemas de controle apresentam uma curva de reação do processo como mostrado na Fig411 que pode ser gerada a partir dos dados experimentais A curva em forma de S é característica de muitos sistemas e pode ser aproximada pela resposta ao degrau de um planta com função de transferência 489 que representa um sistema de primeira ordem com retardo no tempo ou atraso de transporte de td s As constantes na Eq 489 podem ser determinadas a partir da resposta do processo ao degrau unitário Se uma reta tangente é traçada no ponto de inflexão da curva de reação do processo então a inclinação da reta será R Aτ a interseção da reta tangente com o eixo do tempo identifica o retardo no tempo L td e o valor final da curva fornece o valor de A6 Ziegler e Nichols propuseram dois métodos de sintonia para o controlador PID No primei ro a escolha dos parâmetros do controlador resulta em uma resposta ao degrau em malha fecha da com taxa de decaimento de aproximadamente 025 Isso significa que o transiente decai para um quarto de seu valor depois de um período de oscilação como mostrado na Fig 412 Um 6 K J Astrom e outros indicaram que a constante de tempo τ também pode ser estimada a partir da curva e alegaram que um ajuste mais eficiente pode ser feito incluindo este parâmetro Função de transferência para um sistema de alta ordem com uma curva de reação característica do processo Sintonia com taxa de decaimento de 025 Figura 412 Taxa de decaimento de 025 025 1 Período t yt t yt L td Atraso τ A τ A Inclinação R A τ Taxa de reação Figura 411 Curva de reação do processo Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 167 quarto de decaimento corresponde a ζ 021 um tanto quanto baixo para muitas aplicações mas visto como um compromisso razoável entre a resposta rápida e as margens de estabilidade para os processos de controle considerados Os autores simularam as equações para o sistema em um computador analógico e ajustaram os parâmetros do controlador até que os transientes decaíssem em 25 em um período Os parâmetros do regulador sugeridos por Ziegler e Nichols são definidos para o controlador Dcs kp1 1TIs TDrS 490 dados na Tabela 42 No método da sensibilidade crítica os ajustes nos parâmetros são baseados em avaliar a amplitude e a frequência do sistema no limite da estabilidade e não na resposta ao degrau Para usar este método o ganho proporcional é aumentado até que o sistema se torne marginalmente estável com oscilações persistentes as quais podem ter amplitudes limitadas pela saturação do atuador Este ganho é definido como Ku chamado de ganho crítico e o período de oscilação é Pu chamado de período crítico Estes são determinados como mostrado nas Figs 413 e 414 Pu deve ser medido quando a amplitude das oscilações é a menor possível Então os valores dos parâmetros são escolhidos de acordo com a Tabela 43 Resultados experimentais têm mostrado que a sintonia do controlador de acordo com as regras de ZieglerNichols fornecem respostas em malha fechada aceitáveis para muitos sistemas O operador do processo irá geralmente fazer um ajuste final no controlador para obter um controlador satisfatório Sintonia pela avaliação no limite da estabilidade método da sensibilidade crítica TABELA 42 Sintonia do regulador Ds K1 1TIs TDS por ZieglerNichols para taxa de decaimento de 025 Tipo do controlador Ganho ótimo P kp 1RL PI kp 09RL TI L03 PID kp 12RL TI 2L TD 05L Figura 413 Determinação do período e ganho crítico Figura 414 Sistema neutramente estável 168 Sistemas de Controle EXEMPLO 49 Ajuste de um trocador de calor um quarto de taxa de decaimento Considere o trocador de calor discutido no Capítulo 2 A curva de reação do processo é mostra da na Fig 415 Determine um controlador proporcional e um controlador PI para esse sistema usando as regras de ZeiglerNichols de taxa de decaimento de um quarto Esboce as respostas ao degrau correspondentes Solução A partir da curva de reação do processo podemos medir a inclinação máxima como R 190 e o retardo no tempo como L 13 s De acordo com as regras de ZeiglerNichols na Tabela 42 os parâmetros são A Fig 416a apresenta as respostas do sistema em malha fechada destes dois reguladores Note que o regulador proporcional resulta em um erro em regime permanente enquanto o regu lador PI rastreia exatamente a entrada em regime permanente Ambos os reguladores resultam em oscilações com sobressinal considerável Se reduzirmos arbitrariamente o ganho kp por um fator de 2 em cada caso o sobressinal e a oscilação são substancialmente reduzidos como mostrado na Figura 416b Figura 415 Curva de reação medida de um processo 00 1000 2000 3000 4000 Tempo s 12 10 08 06 04 02 0 y TABELA 43 Sintonia do regulador Dcs kp1 1 TIs TDs por ZieglerNichols baseado no método de sensibilidade crítica Tipo do controlador Ganho ótimo P kp 05Ku PI PIB Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 169 EXEMPLO 410 Ajuste de um trocador de calor comportamento oscilatório O ganho proporcional foi aplicado ao trocador de calor do exemplo anterior até que o sistema apresentasse uma resposta com oscilações persistentes devido a um curto pulso impulso na entrada como mostrado na Fig 417 O ganho crítico é medido como Ku 153 e o período crítico foi medido como Pu 42 s Determine o regulador proporcional e o regulador PI de acordo com as regras de ZieglerNichols baseadas no método de sensibilidade crítica Esboce as respostas correspondentes Solução Os reguladores de acordo com a Tabela 43 são As respostas ao degrau do sistema em malha fechada são mostradas na Fig 418a Note que as respostas são similares àquelas no Exemplo 49 Se reduzirmos kp em 50 então o sobressinal é substancialmente reduzido como mostrado na Fig 418b y 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 y 4000 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 3000 2000 1000 00 Tempo s b 4000 3000 2000 1000 00 Tempo s a PI PI Proporcional Proporcional Figura 416 Respostas ao degrau em malha fechada Figura 417 Período crítico de um trocador de calor Resposta ao impulso 0 20 40 60 80 100 120 0010 0008 0006 0004 0002 000 0002 0004 0006 0008 0010 Tempo s 170 Sistemas de Controle 44 Introdução ao controle digital Como resultado da revolução dos computadores digitais e de sua relação custobenefício hou ve um aumento do uso da lógica digital em aplicativos embarcados como controladores de sistemas realimentados Um controlador digital fornece ao projetista muito mais flexibilidade para fazer alterações na lei de controle após o projeto pois a fórmula para o cálculo do sinal de controle é um programa em vez de um circuito analógico Em muitos casos isso significa que os projetistas de controladores digitais e os programadores dos controladores podem trabalhar quase independentemente economizando uma grande quantidade de tempo Além disso é re lativamente fácil incluir a lógica binária e as operações não lineares em um controlador digital em comparação com um controlador analógico Processadores especiais projetados para pro cessamento de sinais em tempo real conhecidos como processadores de sinais digitais Digital Signal Processors DSPs são particularmente adequados para o uso em controladores de tempo real O Capítulo 8 inclui uma introdução mais ampla à matemática e aos conceitos asso ciados à análise e projeto de controladores digitais No entanto a fim de comparar os modelos analógicos dos próximos três capítulos com relação aos equivalentes digitais damos aqui uma breve introdução às técnicas mais simples para o projeto de controladores digitais Um controlador digital difere de um controle analógico no qual os sinais devem ser amos trados e quantizados7 Um sinal para ser usado em lógica digital precisa ser amostrado em primeiro lugar e em seguida as amostras precisam ser convertidas por um conversor analógico digital ou AD8 em um número quantizado digital Uma vez que o computador digital calculou o valor do sinal de controle adequado esse valor precisa ser convertido novamente em uma tensão e manterse constante ou extrapolado por um conversor digitalanalógico ou DA9 a fim de ser aplicado ao atuador do processo O sinal de controle não será alterado até o período de amostra gem seguinte Como resultado da amostragem não há limites rígidos sobre a largura de banda e velocidade do controlador digital Métodos de projeto discreto que tendem a minimizar estas limitações são descritos no Capítulo 8 os quais tendem a minimizar estas limitações Uma regra empírica razoável para selecionar o período de amostragem é que durante o tempo de subida da resposta ao degrau a entrada do controlador discreto deve ser amostrada aproximadamente seis vezes Isto corresponde a uma frequência de amostragem que é de 10 a 20 vezes a largura de ban 7 Um controlador que opera sinais que são amostrados mas não quantizados é chamado de controlador discreto um controlador que opera sinais que são amostrados e quantizados é chamado de digital 8 Conversor AnalógicoDigital 9 Conversor DigitalAnalógico y 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 y 4000 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 3000 2000 1000 00 Tempo s b 4000 3000 2000 1000 00 Tempo s a PI PI Proporcional Proporcional Figura 418 Resposta ao degrau de malha fechada da do sistema em malha fechada O quantizador dos sinais do controlador introduz ruídos extra no sistema e mantém esta interferência em um nível aceitável o conversor AD normalmente tem a precisão de 10 a 12 bits embora os sistemas de baixo custo tenham sido concebidos com apenas 8 bits Para uma primeira análise os efeitos da quantização são geralmente ignorados Um diagrama de blocos simplificado de um sistema com um controlador digital é mostrado na Fig 419 Nesta introdução ao controle digital iremos descrever uma técnica simplificada para encontrar um controlador discreto equivalente amostrado mas não quantizado para um determinado controlador contínuo O método depende do período de amostragem Ts o qual deve ser curto o suficiente para que o sinal de controle reconstruído seja o mais próximo do sinal de controle analógico original Assumimos também que a lógica digital tenha bits o suficiente para que a quantização implícita nos processos de conversões AD e DA possa ser ignorada Embora existam boas ferramentas de análise para determinar o quão bem estes requisitos são cumpridos aqui vamos testar nossos resultados por meio de simulação Encontrar um controlador discreto que seja equivalente a um controlador analógico é equivalente a encontrar uma equação de recorrência para as amostras do controle o que irá aproximar a equação diferencial do controlador O pressuposto é que temos a função de transferência de um controlador analógico e que desejamos substituíla por um controlador discreto que receberá amostras na entrada do controlador ekTs a partir de uma amostra e usando os valores passados do sinal de controle ukTs e amostras atuais e passadas da entrada ekTs irá calcular o próximo sinal de controle a ser enviado para o atuador Por exemplo considere um controlador PID com a função de transferência Us kp kI s kDsEs 491 que é equivalente à expressão de três termos no domínio do tempo ut kp et kI 0t eτdτ kD ėt 492 uP uI uD 493 Baseado nesses termos e no fato de que o sistema é linear a próxima amostra do sinal de controle pode ser computada termo por termo O termo proporcional é imediato uPkTs Ts kp ekTs Ts 494 O termo integral pode ser computado dividindo a integral em duas partes e aproximando a segunda a qual é a integral em um período de amostragem como segue uIkTs Ts kI 0kTs Ts eτdτ 495 kI 0kTs eτdτ kI kTskTs Ts eτdτ 496 uIkTs área sob a curva eτ durante um período 497 uIkTs kI Ts 2 ekTs Ts ekTs 498 Figura 419 Diagrama de blocos de um controlador digital 172 Sistemas de Controle Na Eq 498 a área em questão foi aproximada por um trapézio formado pela base Ts e vértices ekTs Ts e ekTs como mostrado pela linha tracejada na Fig 420 A área pode também ser aproximada por um retângulo de amplitude ekTs e largura Ts mostrado pela linha sólida na Fig 420 obtendose uIkTsTs uIkTs kITsekTs Essas e outras possibilidades são consideradas no Capítulo 8 No termo derivativo os papéis de u e e são o inverso de seus papéis na integração e uma aproximação consistente pode ser escrita a partir da Eq 498 e da Eq492 como 499 Como no tempo contínuo essas relações podem ser extremamente simplificadas e genera lizadas usando a ideia das transformadas Neste momento a transformada discreta será introdu zida como um operador de previsão z de forma similar à variável s na transformada de Laplace como um operador diferencial Aqui o operador z é definido como o operador de deslocamento para a frente no sentido de que se Uz é a transformação de ukTs então zUz será a transfor mação de ukTs Ts Com esta definição o termo integral pode ser escrito como 4100 4101 e a partir Eq 499 o termo derivativo tornase 4102 O controlador PID discreto é descrito por 4103 Comparando estes termos discretos equivalentes à integração e diferenciação com os termos correspondentes analógicos vêse que o efeito da aproximação discreta no domínio z é como se em toda a função de transferência analógica o operador s fosse substituído pelo operador composto presente Esta é a regra trapezoidal10 para equivalentes discretos O equivalente discreto de Das é 4104 10 Esta fórmula também é chamada de Fórmula de Tustin em homenagem ao engenheiro inglês que usou essa técnica para estudar respostas de circuitos não lineares Regra trapezoidal t x x fx u x dt 0 ti ti1 xti 0 t Figura 420 Interpretação gráfica da integra ção numérica Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 173 EXEMPLO 411 Equivalente discreto Encontre o equivalente discreto para o controlador analógico tendo a função de transferência 4105 usando o período de amostragem Ts 1 Solução O operador discreto é assim a função de transferência é 4106 4107 De forma simplificada temos 4108 Esta função de transferência discreta pode ser convertida para uma equação de diferenças por meio da definição de z como um operador de deslocamento Considerando a Eq 4108 temos 7z 5Uz 23z 21Ez 4109 e interpretando z como um operador de deslocamento esta é equivalente à equação de diferen ça11 7uk 1 5uk 23ek 1 21ek 4110 na qual substituímos kTs Ts por k 1 para simplificar a notação Para computar o próximo sinal de controle no instante de tempo kTs Ts devemos resolver a equação de diferença 4111 Agora vamos aplicar esses resultados a um problema de controle Felizmente o MAT LAB nos fornece o SIMULINK para simular sistemas contínuos e discretos permitindonos comparar as respostas dos sistemas com controladores contínuos e discretos EXEMPLO 412 Controlador discreto equivalente para o controle de velocidade A função de transferência do motor é 4112 Um controlador PI projetado para esse sistema tem a função de transferência 4113 O sistema em malha fechada tem um tempo de subida de aproximadamente 02 s e um sobres sinal de aproximadamente 20 Projete um controlador discreto equivalente para este controla dor e compare as respostas ao degrau e os sinais de controle dos dois sistemas a Compare as 11 O processo é semelhante ao utilizado no Capítulo 3 para encontrar a equação diferencial ordinária a qual uma trans formada de Laplace racional corresponde 174 Sistemas de Controle respostas se o período de amostragem é Ts 007 o que corresponde a aproximadamente três amostras durante o tempo de subida b Compare as respostas com um tempo de amostragem de Ts 0035 o que corresponde aproximadamente a seis amostras durante o tempo de subida Solução a Usando a substituição dada na Eq 4104 o controlador discreto equivalente para Ts 007 é dado pela substituição de s por s em Ds como mostrado a seguir 4114 4115 4116 Baseada nesta expressão a equação do controle é com o período de amostragem suprimido uk 1 uk 14 121ek 1 079ek 4117 b Para Ts 0035 a função de transferência discreta é 4118 sendo a equação discreta uk 1 uk 141105 ek 1 0895 ek Um diagrama de blocos no SIMULINK é construído para simular estes dois sistemas como mostrado na Fig 421 e as respostas ao degrau são mostradas na Fig 422a Os sinais de controle são mostrados na Fig 422b Note que o controlador discreto para Ts 007 resul ta em um aumento substancial do sobressinal enquanto com Ts 0035 o controlador digital tem um desempenho razoavelmente próximo ao análogo de tempo contínuo Para controladores com muitos polos e zeros fazer a substituição de conversão de contínuo para discreto na Eq 4104 pode ser uma tarefa tediosa Felizmente o MATLAB fornece um comando que faz esta substituição Uma função de transferência dada por Dcs é repre sentada no MATLAB como sysDa tfnumDdenD então a função de transferência discreta equivalente com período de amostragem Ts é dada por sysDd c2dsysDa Ts t 4119 Degrau Mux s Controlador PI s6 14 Ganho Kc s9 9 Tau 1 Mux1 s5 5 Tau 2 z1 Controlador 121z079 PI discreto 14 Ganho Kd s9 9 Tau 1 s5 5 Tau 2 Controle Saída Figura 421 Diagrama de blocos no SIMULINK para comparar as respostas dos controladores de tempo contínuo e discreto Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 175 Nesta expressão é claro os polinômios estão representados na forma correta para o MAT LAB O último parâmetro na função c2d t referese ao tipo de conversão a ser feita e t re presenta o método trapezoidal As alternativas podem ser encontradas usando o comando help no MATLAB help c2d Por exemplo para o sistema discreto equivalente para Ts 007 do exemplo acima os comandos são numDa 1 6 denDa10 sysDa tfnumDdenD sysDd c2d sysDa007t 45 Perspectiva histórica A área de controle é caracterizada em teoria e prática Teoria de controle é basicamente a apli cação da matemática para resolver problemas de controle enquanto o controle prático como utilizado aqui é a aplicação prática da realimentação em dispositivos nos quais ela será útil Historicamente as aplicações práticas vieram antes e o controle foi introduzido por tentativa e erro Embora a matemática aplicável seja conhecida a teoria que descreve como funciona o controle e aponta o caminho para melhorias foi aplicada mais tarde Por exemplo a companhia de James Watt iniciou a fabricação de motores a vapor usando o governador de bolas flutuantes em 1788 mas apenas em 1840 G B Airy descreveu a instabilidade de um sistema semelhante e apenas em 1868 J C Maxwell publicou um artigo com a descrição matemática do problema desse dispositivo Então apenas em 1877 quase 100 anos após o controle do motor a vapor E J Routh publicou uma solução fornecendo requerimentos para a estabilidade Essa situação tem sido chamada de lacuna entre teoria e prática e continua até hoje como uma fonte de criatividade estimulando tanto um campo quanto o outro Regulação é fundamental para as indústrias de processo desde a fabricação de cerveja à fabri cação de gasolina Nessas indústrias há uma série de variáveis que precisam ser mantidas constan tes Exemplos típicos são temperatura pressão volume vazão composição e propriedades quími cas como o nível de pH No entanto antes que a regulação seja feita por meio da realimentação é preciso ser capaz de medir a variável de interesse e portanto não há controle sem sensores Em 1851 George Taylor e David Kendall fundaram a companhia que mais tarde se tornou o Taylor Instrument Company em Rochester Nova York que fabricava termômetros e barômetros para a previsão meteorológica Em 1855 eles estavam fabricando termômetros para diversas indústrias incluindo uma indústria cervejeira na qual os instrumentos foram utilizados para o controle ma nual Outras industriais que surgiram no campo de instrumentação foram a Companhia Bristol fundada em Naugatuck Connecticut em 1889 por William Bristol e a Companhia Foxboro fun 0 14 12 10 08 06 04 02 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Tempo s a 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Tempo s b 0 05 10 15 20 25 Controlador contínuo Controlador discreto T 0035 s Controlador contínuo Controlador digital T 007 s Controlador discreto T 0035 s Controlador digital T 007 s Figura 422 Comparação da velocidade no sistema com os controladores contínuo e discreto a respostas de saída e b sinais de controle 176 Sistemas de Controle dada em Foxboro Massachusetts em 1908 pelo pai de William e dois de seus irmãos Por exem plo um dos instrumentos de Bristol foi utilizado por Henry Ford para medir e presumivelmente controlar a pressão do vapor enquanto trabalhou na Companhia Detroit Edison A Companhia Bristol foi pioneira na telemetria que permitiu que instrumentos fossem colocados a certa distân cia do processo para que um gerente de fábrica pudesse monitorar diversas variáveis de uma vez Enquanto os instrumentos se tornavam mais sofisticados e dispositivos como motores se tornavam disponíveis eles passaram a ser utilizados para o controle realimentado muitas vezes utilizando métodos simples como o descrito no Capítulo 1 para o controle de temperatura em uma sala Um fato importante foi que as empresas de vários instrumentos entraram em acordo sobre as normas para as variáveis utilizadas assim uma planta poderia misturar e combinar instrumentos e con troladores de diferentes fornecedores Em 1920 Foxboro introduziu um controlador baseado em ar comprimido com ação integral Em um dado momento cada uma dessas empresas introduziu instrumentos e controladores que poderiam implementar controladores PID Um passo importante para sintonizar controladores PID foi dado em 1942 quando Ziegler e Nichols que trabalhavam para a Taylor Instruments publicaram o seu método de sintonia com base em dados experimentais Um problema desafiador de controle foi um problema de rastreamento para uma arma anti aérea que poderia estar na terra ou no mar A ideia era usar um radar para rastrear o alvo e ter um controlador que poderia prever o caminho da aeronave e apontar a arma a uma posição tal que o projétil acertaria o alvo quando ele chegasse lá O Laboratório de Radiação foi instalado no MIT durante a Segunda Guerra Mundial para desenvolver esses radares um dos quais foi o SCR584 Curiosamente um dos principais contribuintes para os métodos de controle desen volvidos para este projeto foi ninguém menos que Nick Nichols que já havia trabalhado com a sintonia de controladores PID Quando o registro do Laboratório de Rad foi escrito Nichols foi selecionado para ser um dos editores do volume 25 em controle H S Black se juntou ao Bell Laboratories em 1921 e foi designado para encontrar um projeto de um amplificador eletrônico repetidor adequado para as linhas de longa distância da companhia telefônica O problema básico é que o ganho dos componentes do tubo de vácuo que ele tinha disponível variava ao longo do tempo e ele precisava de um projeto que em uma faixa de frequência de áudio mantivesse um ganho específico com grande precisão Nos anos seguintes ele tentou vários métodos incluindo uma técnica projetada para cancelar a distorção do tubo Isto até funcionou no laboratório mas era sensível demais para ser aplicado no campo Finalmente em agosto de 192712 enquanto estava em um barco que fazia a travessia de Staten Island para Manhattan ele suspeitou que a realimentação negativa poderia funcionar e logo escreveu as equações em um papel disponível uma página do jornal New York Times Ele regis trou patente em 1928 mas ela não foi usada até dezembro de 193713 A teoria de sensibilidade e muitas outras teorias de realimentação foram desenvolvidas por H W Bode RESUMO A medida mais importante do desempenho de um sistema de controle é o erro do sistema para todas as entradas Comparada com o controle em malha aberta a realimentação pode ser usada para estabilizar um sistema instável para reduzir erros da planta devido a distúrbios para melhorar o rastrea mento de sinais de entrada e para reduzir a sensibilidade da planta à variação dos parâmetros O ruído do sensor introduz um conflito entre os esforços para reduzir o erro causado por distúrbios da planta e para reduzir os erros causados pelo ruído do sensor Um sistema pode ser classificado de acordo com um Tipo k que indica a capacidade do sis tema de alcançar erro em regime permanente nulo para entradas polinomiais de grau menor que não igual a k Um sistema com realimentação unitária estável é do Tipo k em relação à entrada de referência se o ganho de malha GsDs tem k polos na origem 12 Nesta época Black tinha 29 anos 13 De acordo com a história muitos dos colegas de Black no Bell Laboratories não acreditavam que era possível reali mentar um sinal 100 vezes maior que a entrada e ainda manter o sistema estável Como será discutido no Capítulo 6 esse dilema foi resolvido por H Nyquist também nesse laboratório Capítulo 4 Uma Primeira Análise da Realimentação 177 e o erro constante dado por 4120 O erros em estado estacionário para sistemas com realimentação unitária do Tipos 0 1 e 2 são relacionados na Tabela 41 Sistemas podem ser classificados em tipo em relação à sua capacidade de rejeição de dis túrbios para isto basta calcular o erro do sistema para entradas de distúrbio polinomiais O sistema é do Tipo k em relação aos distúrbios se o erro é zero para todos dos distúrbios poli nomiais de grau menor que k mas diferente de zero para um polinômio de grau k Aumentar o ganho proporcional reduz o erro em regime permanente mas ganhos muito altos sempre tornam o sistema instável O controle integral provê robustez no erro em regime per manente mas também pode tornar o sistema menos estável O controle derivativo aumenta o amortecimento e torna o sistema mais estável Esses três tipos de controles combinados formam o controlador PID clássico O controlador PID padrão é descrito pelas equações A segunda forma acima para o controlador PID é encontrada em muitos sistemas de controle industriais Diretrizes úteis para a sintonia de controladores PID foram apresentadas nas Tabelas 42 e 43 Uma equação de diferença que representa um controlador digital equivalente a um determi nado controlador analógico pode ser obtida substituindo s por 2Tsz1z1 na função de transferência e usando z como um operador de deslocamento para frente Assim se Uz corresponde a ukTs então zUz corresponde a ukTs Ts O MATLAB pode computar o discreto equivalente por meio do comando c2d QUESTÕES DE REVISÃO 1 Dê três vantagens da realimentação para o controle 2 Dê duas desvantagens da realimentação para o controle 3 Um sistema de controle de temperatura é projetado para ter erro nulo a uma entrada constante e um erro de 05C a uma entrada de controle linear no tempo com uma taxa de crescimento de 40Cs Qual é o tipo do sistema de controle e qual é a constante de erro relevante Kp ou Kv ou etc 4 Quais são as unidades para Kp Kv e Ka 5 Qual é a definição de tipo de sistemas em relação à entrada de referência 6 Qual é a definição de tipo de sistemas em relação à entrada de distúrbio 7 Por que o tipo do sistema depende de onde está a entrada de sinal externo no sistema 8 Qual é o principal objetivo em adicionar o controle integral 9 Qual é o principal objetivo em adicionar o controle derivativo 10 Por que um projetista pode desejar adicionar o termo derivativo em realimentação e não no caminho direto do erro 11 Qual é a vantagem em ter uma regra de sintonia para controladores PID 12 Dê duas razões para o uso do controlador digital no lugar do controlador analógico 13 Dê duas desvantagens do uso do controlador digital 14 Dê a substituição do operador discreto z para o operador de Laplace s se a aproximação da integral na Eq 498 é feita por um retângulo de altura ekTs e base Ts PROBLEMAS Problemas da Seção 41 as equações básicas de controle 41 Se S é a sensibilidade de um sistema com realimentação unitária a mudanças na função de transferência da planta e T é a função de transferência da entrada para a saída mostre que S T 1 42 Definimos a sensibilidade de uma função de transferência G a um dos seus parâmetros k como a proporção de variação percentual em G para a variação percentual em k S Gk dGG d ln G k dG dkk d ln k G dk O propósito deste problema é examinar o efeito da realimentação na sensibilidade Em particular gostaríamos de comparar as topologias mostradas na Fig 423 conectando três amplificadores com ganho K para obter um único amplificador de ganho 10 a Para cada topologia na Fig 423 calcule βi se K 10 e Y 10R b Para cada topologia calcule SkG quando G YR Use os valores de βi encontrados na parte a Qual é o caso menos sensível c Calcule a sensibilidade dos sistemas na Fig 423bc para β2 e β3 Usando seus resultados comente sobre a precisão necessária para os sensores e atuadores Figura 423 Topologias com três amplificadores para o Problema 42 43 Compare as duas estruturas mostradas na Fig 424 com respeito à sensibilidade a mudanças no ganho total devido à mudanças no ganho do amplificador Use a relação S d ln F K dF d ln K F dK como uma medida Selecione H1 e H2 tal que a saída do sistema nominal satisfaça F1 F2 e assuma que KH1 0 Figura 424 Diagrama de blocos para o Problema 43 44 Um sistema de controle com realimentação unitária tem função de transferência em malha aberta Gs A ss a a Calcule a sensibilidade da função de transferência em malha fechada a variações no parâmetro A b Calcule a sensibilidade da função de transferência em malha fechada a variações no parâmetro a c Se o ganho unitário na realimentação é alterado para β 1 calcule a sensibilidade da função de transferência em malha fechada com relação a β 45 Calcule a equação para o erro do sistema com realimentação filtrado mostrado na Fig 44 46 Se S é a sensibilidade do sistema realimentado filtrado em relação a variações na função de transferência da planta e T é a função de transferência da entrada para a saída calcule a soma S T Mostre que S T 1 se F H a Calcule a sensibilidade do sistema realimentado filtrado mostrado na Fig 44 em relação às mudanças na função de transferência da planta G b Calcule a sensibilidade do sistema realimentado filtrado mostrado na Fig 44 em relação às mudanças na função de transferência do controlador Dcl c Calcule a sensibilidade do sistema realimentado filtrado mostrado na Fig 44 em relação às mudanças na função de transferência do filtro F d Calcule a sensibilidade do sistema realimentado filtrado mostrado na Fig 44 em relação às mudanças na função de transferência do sensor H Problemas da Seção 42 controle do erro em estado estacionário 47 Considere o sistema de controle do motor CC com realimentação tacômetro mostrado na figura 425 a a Encontre os valores para K e kt para que o sistema da Fig 425b tenha a mesma função de transferência do sistema da Fig 425a b Determine o tipo do sistema em relação a θr e calcule Kv em relação aos parâmetros K e kt c A adição do tacômetro na realimentação com kt positivo aumenta ou diminui Kv Figura 425 Sistema de controle para o Problema 47 48 Considere o sistema mostrado na Fig 426 sendo Ds K s α² s² ωo² a Mostre que se o sistema é estável ele é capaz de rastrear uma entrada de referência senoidal r sen ωot com erro em estado estacionário nulo Veja a função de transferência de R para E e considere o ganho em ωo b Use o critério de Routh para encontrar a faixa de valores de K tal que o sistema em malha fechada permaneça estável se ωo 1 e α 025 Figura 426 Sistema de controle para o Problema 48 49 Considere o sistema mostrado na Fig 427 o qual representa o controle do ângulo de um pêndulo sem amortecimento Figura 427 Sistema de controle para o Problema 49 a A qual condição Ds deve satisfazer para que o sistema possa rastrear um sinal em rampa na entrada de referência com erro em regime permanente constante b Para uma função de transferência Ds que estabiliza o sistema e satisfaz a condição na parte a encontre uma classe de distúrbios wt para que o sistema possa rejeitálos com erro em regime permanente nulo 410 Um sistema com realimentação unitária tem uma função de transferência YsRs Ts ωn2 s2 2ζωn s ωn2 Dê o tipo do sistema e a constante de erro equivalente em relação à entrada de referência em termos de ζ e ωn 411 Considere o sistema de segunda ordem Gs 1 s2 2ζ s 1 Desejase adicionar uma função de transferência na forma Ds K sa sb em série com Gs em uma estrutura de realimentação unitária a Ignorando a estabilidade por um momento quais são os valores de K a e b tal que o sistema seja do Tipo 1 b Quais são as restrições em K a e b tal que o sistema seja estável e do Tipo 1 c Quais são as restrições em a e b tal que o sistema seja do Tipo 1 e permaneça estável para todo valor de K 412 Considere o sistema mostrado na Fig 428 a a Qual é o tipo do sistema Calcule o erro em estado estacionário para uma entrada em rampa rt r0 t1t b Para o sistema modificado como mostrado na Fig 428b dê um valor para Hf tal que o sistema seja do Tipo 2 em relação a entradas de referências e calcule Ka neste caso c A propriedade do Tipo 2 desse sistema é robusta em relação a mudanças em Hf Isto é o sistema permanecerá do Tipo 2 se Hf variar levemente Figura 428 Sistema de controle para o Problema 412 413 Considere que um controlador que faz o controle de altitude de um satélite com função de transferência G 1s2 foi projetado em uma estrutura de realimentação unitária e com função de transferência Ds 10s2 s5 a Encontre o tipo do sistema em relação à entrada de referência e a constante de erro correspondente b Se um distúrbio de torque é adicionado ao controlador tal que a entrada do processo seja u w qual será o tipo do sistema e a constante de erro correspondente em relação à rejeição de distúrbio 414 Um sistema de controle de posição de um motor é mostrado na Fig 429 Assuma que a dinâmica do sensor seja Hs 1 a O sistema pode rastrear um sinal de referência constante r com erro em estado estacionário nulo Se sim qual é o valor da constante de velocidade b O sistema pode rejeitar uma entrada de distúrbio em degrau w com erro em estado estacionário nulo Se sim qual é o valor da constante de velocidade c Calcule a sensibilidade da função de transferência em malha fechada para mudanças no polo em 2 da planta d Em alguns casos existem dinâmicas no sensor Repita as questões de a a c para Hs 20 s 20 e compare as constantes de velocidade Figura 429 Sistema de controle para o Problema 414 415 A estrutura geral de um sistema realimentado mostrado na Fig 430 tem entradas de distúrbio w1 w2 e w3 e é assintoticamente estável Também G1s K1 i1m1 s z1i sl1 i1m1 s p1i G2s K2 i1m1 s z2i sl2 i1m1 s p2i a Mostre que o sistema é do Tipo 0 Tipo l1 e Tipo l1 l2 em relação às entradas de distúrbio w1 w2 e w3 respectivamente Figura 430 Sistema com realimentação unitária e com entradas de distúrbio 416 Uma possível representação para um sistema de controle de velocidade de um automóvel com um integrador é mostrado na Fig 431 a Com uma entrada de referência nula vc 0 encontre a função de transferência relacionada à saída de velocidade v com a entrada de distúrbio do vento w b Qual é a resposta em estado estacionário de v se w é uma rampa unitária c Qual é o tipo do sistema em relação à entrada de referência Qual é o valor da constante de erro correspondente d Qual é o tipo e a constante de erro correspondentes ao sistema em relação à entrada de distúrbio w Figure 431 Sistema usando controle integral 417 Para o sistema realimentado mostrado na Fig 432 encontre o valor de α tal que o sistema seja do Tipo 1 para K 5 Encontre a constante de velocidade correspondente Mostre que o sistema não é robusto usando este valor de α e calcule o erro e r y para uma entrada de referência em degrau para K 4 e K 6 Figura 432 Sistema de controle para o Problema 417 418 Considere o sistema na Fig 433a na qual a parâmetro a da planta está sujeito a variações a Encontre Gs tal que o sistema mostrado na Fig 433b tenha a mesma função de transferência de r para y do sistema mostrado na Fig 433a b Assuma que a 1 é o valor nominal do parâmetro da planta Qual é o tipo do sistema e a constante de erro neste caso c Agora assuma que a 1 δa sendo δa uma perturbação no parâmetro da planta Qual é o tipo e a constante de erro para o sistema perturbado Figura 433 Sistema de controle para o Problema 418 419 Dois sistemas realimentados são mostrados na Fig 434 a Determine valores para K1 K2 e K3 tal que i ambos os sistemas apresentem erro nulo em estado estacionário para entradas em degrau isto é ambos sejam do Tipo 1 e ii as constantes de velocidade dos sistemas sejam Kv 1 quando K0 1 b Suponha que K0 está sujeito a uma pequena perturbação K0 K0 δK0 Qual será o efeito resultante no tipo do sistema em cada caso Qual sistema tem um tipo mais robusto Qual sistema você prefere Figura 434 Dois sistema de controle para o Problema 419 420 Considere o sistema mostrado na Fig 435 no qual o ganho de realimentação β está sujeito a variações Projete um controlador para este sistema de forma que a saída yt rastreie com precisão a entrada de referência rt a Seja β 1 Considere as três opções de controladores Dis D1s kp D2s kps kIs D3s kps2 kIs k2s2 Escolha o controlador incluindo valores para os parâmetros do controlador no qual o sistema resultante seja do Tipo 1 com um erro em estado estacionário para uma entrada de referência em rampa unitária menor que 110 b Agora suponha que exista uma atenuação no caminho de realimentação modelada por β 09 Encontre o erro em estado estacionário devido a uma rampa na entrada para sua escolha de Dis na questão a c Se β 09 qual é o tipo do sistema na questão b Quais são os valores da constante de erro apropriada Figura 435 Sistema de controle para o Problema 420 421 Considere o sistema mostrado na Fig 436 a Encontre a função de transferência da entrada de referência para o erro de rastreamento b Para este sistema responder a entradas da forma rt tn1t quando n q com erro em estado estacionário nulo quais restrições são colocadas nos polos em malha aberta p1 p2 pq Figura 436 Sistema de controle para o Problema 421 422 Um modelo linear de um motor CC com a indutância de armadura negligenciada La 0 e com um distúrbio de torque w foi dado anteriormente neste capítulo e será novamente considerado com uma pequena diferença J RaKt θm Ke θm va RaKt w sendo θm medido em radianos Dividindo esta equação pelo coeficiente de θm obtémse θm a1 θm b0 va c0 w com a1 Kt Ke J Ra b0 Kt J Ra c0 1J Usando potenciômetros é possível determinar o erro de posição entre θm e o ângulo de referência θref ou seja e θref θm E usando um tacômetro é possível medir a velocidade do motor θm Considere a realimentação do erro e e da velocidade do motor θm na forma va Ke TD θm sendo K e TD os ganhos do controlador a serem determinados a Desenhe o diagrama de blocos do sistema realimentado resultante mostrando as variáveis θm e θm b Considere os parâmetros a1 65 b0 200 e c0 10 Caso não exista distúrbio de torque w 0 qual velocidade em rpm é obtida com va 100 V c Usando os valores dos parâmetros dados no item b considere um controlador da forma D kp kD s e encontre kp e kD tal que usando os resultados do Capítulo 3 quando não há distúrbio de torque um degrau em θref resulta em uma resposta que tem um sobresinal de aproximadamente 17 e um tempo de acomodação menor que 005 s considerando uma faixa tolerável de 5 d Encontre a expressão do erro em regime permanente para um ângulo de entrada de referência e calcule seu valor considerando seu projeto do item c Assuma θref 1 rad e Encontre a expressão para o erro em regime permanente em relação a um distúrbio de torque constante quando θref 0 e calcule seu valor usando o projeto do item c assumindo w 10 423 Desejase projetar um controle automático de velocidade para um automóvel Assuma que 1 a massa do carro é m 1000 kg 2 o controle U é feito pelo acelerador que fornece uma força ao automóvel de 10 N por grau de movimento no acelerador e 3 o ar provê uma força de atrito proporcional à velocidade de 10 N sm a Obtenha a função de transferência do sinal de controle U para a velocidade do automóvel b Assuma que a mudança de velocidade é dada por Vs 1s 002 Us 005s 002 Ws sendo que V é dado em metros por segundo U em graus e W é a inclinação da estrada em porcentagem Projete um controlador proporcional U kp V que irá manter o erro de velocidade menor que 1 ms na presença de uma constante de 2 de inclinação c Discuta qual vantagem se houver o controle integral pode ter para este problema d Assumindo que o controle integral puro isto é sem o termo proporcional é vantajoso selecione o ganho de realimentação tal que as raízes tenham coeficiente de amortecimento crítico ζ 1 424 Considere o sistema de controle de velocidade do automóvel mostrado na Fig 437 a Encontre a função de transferência de Ws e de Rs para Ys b Assuma que a velocidade desejada seja uma constante de referência r tal que Rs r0 s Assuma que a estrada seja plana wt 0 Calcule os valores dos ganhos kp Hr e Hy para garantir que limt yt r0 Discuta sobre o caso em malha aberta Hy 0 e o caso realimentado Hy 0 Figura 437 Sistema de controle de velocidade c Repita o item b assumindo uma inclinação constante Ws w0 s está presente em adição à entrada de referência Em particular encontre a variação na velocidade devido à mudança de inclinação em ambos os casos não realimentado e realimentado Use seus resultados para explicar 1 por que o controle realimentado é necessário e 2 como o ganho kp pode ser escolhido para reduzir o erro em regime permanente d Assuma que wt 0 e que A está sujeito a perturbações A δA Determine o erro na velocidade devido a uma mudança no ganho para ambos os casos não realimentado e realimentado Neste caso como os ganhos devem ser escolhidos para reduzir os efeitos de δA 425 Considere o sistema multivariável mostrado na Fig 438 Assuma que o sistema é estável Encontre as funções de transferência de cada entrada de distúrbio para cada saída e determine os valores em regime permanente de y1 e y2 para distúrbios constantes Definimos um sistema multivariável do tipo k em relação a entradas polinomiais em wi se o valor em regime permanente de cada saída é zero para cada combinação das entradas de grau menor que k e ao menos uma entrada seja uma constante diferente de zero para um entrada de grau k Qual é o tipo do sistema em relação à rejeição de distúrbios em w1 e w2 Figura 438 Sistema multivariável Problemas da Seção 43 o controlador de três termos controlador PID 426 As funções de transferência de controle de velocidade para um sistema de acionamento de fita magnética são mostrados na Fig 439 O sensor de velocidade é rápido o suficiente para que sua dinâmica possa ser desconsiderada assim o diagrama do sistema tem realimentação unitária a Assumindo a referência nula qual é o erro em regime permanente devido a um distúrbio de toque em degrau de 1 N m Qual deve ser o ganho do amplificador K para que o erro em regime permanente satisfaça ess 001 rads b Marque os polos do sistema em malha fechada no plano complexo e esboce com precisão a resposta temporal para uma entrada de referência em degrau usando o ganho K calculado no item a c Marque a região aceitável no plano complexo para os polos de malha fechada que satisfaçam as especificações de ts 01 s para uma faixa tolerável de 1 e um sobressinal de Mp 5 d Encontre os valores de kp e kD para um controlador PD que satisfaça as especificações e Como é que a perturbação induzida no erro em estado estacionário pode alterar com o novo sistema de controle do item d Como poderia eliminar totalmente o erro de estado estacionário com um torque de perturbação Figura 439 Sistema de controle de velocidade de um acionamento de fita magnética 427 Considere o sistema mostrado na Fig 440 com controle PI a Determine a função de transferência de R para Y b Determine a função de transferência de W para Y c Qual é o tipo do sistema e a constante de erro em relação à referência d Qual é o tipo do sistema e a constante de erro em relação ao distúrbio Figura 440 Sistema de controle para o Problema 427 428 Considere a planta de segunda ordem com função de transferência Gs 1s15s1 em uma estrutura de realimentação unitária a Determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de referência considerando os controladores P D kp PD D kp kDS e PID D kp kIs kDS Faça kp 19 kI 05 e kD 419 b Determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de distúrbio considerando os reguladores no item a com relação a rejeição de distúrbios polinomiais wt na entrada da planta c Esse sistema melhor rastreia as entradas ou rejeita os distúrbios Explique sua resposta d Verifique suas respostas dos itens a e b usando o MATLAB traçando a resposta do sistema para entradas em degrau e em rampa na referência e no distúrbio 429 O sistema de controle de velocidade de um motor CC mostrado na Fig 441 é descrito pelas equações diferenciais ẏ 60y 600va 1500w sendo y a velocidade do motor va a tensão de armadura do motor e w o distúrbio no toque Assuma que a tensão de armadura é calculada usando um controlador PI va kpe kI 0t edt com e r y a Calcule a função de transferência de W para Y em função de kp e kI b Calcule os valores de kp e kI tal que a equação característica do sistema em malha aberta tenha raízes em 60 60j Figura 441 Diagrama de blocos do controle de velocidade de um motor CC para os Problemas 429 e 430 430 Para o sistema no Problema 429 calcule os erros em regime permanente a para uma entrada de referência em degrau b para uma entrada de referência em rampa c para uma entrada de distúrbio em degrau d para uma entrada de distúrbio em rampa e Verifique suas respostas dos itens a e d usando o MATLAB Note que a resposta a rampa pode ser gerada como a resposta ao degrau de um sistema modificado que adiciona um integrador ao sistema original Figura 442 Controle de altitude de satélite 431 Considere o problema de controle de altitude de um satélite mostrado na Fig 442 os parâmetros normalizados são J 10 inércia do satélite Nms²rad θr altitude de referência do satélite rad θ altitude atual do satélite rad Hy 1 sensor de escala fator Vrad Hr 1 sensor de escala da referência Vrad w torque no distúrbio Nm a Use o controle proporcional P com Ds kp e encontre a faixa de valores para kp tal que o sistema seja estável b Use o controle PD com Ds kp kDS e determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de referência c Use o controle PD com Ds kp kDS e determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de distúrbios d Use o controle PI com Ds kp kIs e determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de referência e Use o controle PI com Ds kp kIs e determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de distúrbios f Use o controle PID com Ds kp kIs kDS e determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de referência g Use o controle PID com Ds kp kIs kDS e determine o tipo do sistema e a constante de erro em relação à entrada de distúrbios 432 A resposta ao degrau unitário de uma máquina de papel é mostrada na Fig 443a na qual a entrada no sistema é o fluxo de estoque e a saída é a espessura O retardo no tempo e a inclinação da resposta transiente podem ser determinados a partir da figura a Encontre os parâmetros dos controladores P PI e PID usando o método da resposta transiente de ZeiglerNichols b Usando o controle proporcional realimentado projetistas obtiveram um sistema em malha fechada com a resposta ao impulso mostrada na Fig 443b Quando o ganho ku 8556 o sistema está na margem da estabilidade Determine os parâmetros dos controladores P PI e PID usando o método da sensibilidade crítica de ZeiglerNichols Figura 443 Respostas de uma máquina de papel para o Problema 432 188 Sistemas de Controle 433 Uma máquina de papel tem a função de transferência na qual a entrada é o fluxo de estoque e a saída é a espessura do papel a Encontre os parâmetros do controlador PID usando as regras de ZeiglerNichols b O sistema tornase marginalmente estável para um ganho proporcional de ku 3044 como mostrado pela resposta ao impulso na Fig 444 Encontre os parâmetros do controlador PID usando as regras de sintonia de ZeiglerNichols Problemas da seção 44 introdução ao controle digital 434 Calcule os controladores discretos equivalentes usando a regra trapezoidal na Eq 4104 com Ts 005 para a D1s s 22 b D2s c D3s d D4s 435 Encontre as equações de diferença correspondentes aos controladores discretos encontrados no Problema 434 a Controlador discreto encontrado no item a no Problema 434 b Controlador discreto encontrado no item b no Problema 434 c Controlador discreto encontrado no item c no Problema 434 d Controlador discreto encontrado no item d no Problema 434 Figura 444 Resposta ao impulso de uma máquina de papel para o Problema 433 00 50 100 150 200 250 0020 0015 0010 0005 000 0005 0010 0015 Tempo s y O Método do Lugar das Raízes 5 GUARDA COSTEIRA No Capítulo 3 foram relacionadas características da resposta ao degrau como o tempo de subida sobressinal e tempo de acomodação a localização do polo no planos da transformada de um sis tema de segunda ordem caracterizada pela frequência natural ωn coeficiente de amortecimento ζ e pela parte real do polo σ Essa relação é apresentada graficamente na Fig 315 Também ana lisamos as mudanças causadas nessas características da resposta transitória quando um polo ou um zero é adicionado à função de transferência No Capítulo 4 vimos como a realimentação pode melhorar os erros em regime permanente e influenciar a resposta dinâmica de um sistema alteran do a localização dos polos Neste capítulo é apresentada uma técnica específica que mostra como mudanças em um dos parâmetros do sistema irá modificar as raízes da equação característica as quais são os polos de malha fechada e assim alterar a resposta dinâmica do sistema O método foi desenvolvido por W R Evans propondo regras para traçar a localização das raízes um gráfico chamado por ele de lugar das raízes Com o desenvolvimento do MATLAB e programas similares as regras não são mais necessárias para se obter um gráfico preciso mas é essencial para um en genheiro projetista de controle entender como o controlador dinâmico proposto irá influenciar a localização dos polos como um guia para o processo de projeto Também é importante entender as regras básicas de como o lugar das raízes é gerado a fim de realizar checagens sobre os resul tados do computador Por essas razões o estudo das regras de Evans é importante O lugar das raízes é usado normalmente para o estudo do efeito da variação de um ganho de malha entretanto o método é geral e pode ser usado para traçar o gráfico das raízes de qualquer polinômio em relação a um parâmetro real que age linearmente na equação Por exemplo o mé todo do lugar das raízes pode ser usado para traçar gráficos das raízes da equação característica quando o ganho de um sensor de velocidade em realimentação é alterado ou o parâmetro pode ser um parâmetro físico do sistema como a inércia ou a indutância de armadura de um motor Finalmente o lugar das raízes pode ser obtido para uma equação característica que resulta da análise do controle digital de sistemas usando a transformada z um tópico que foi introduzido no Capítulo 4 e será discutido no Capítulo 8 Visão geral do capítulo Iniciamos na Seção 51 ilustrando o lugar das raízes para alguns sistemas realimentados simples obtendo equações que podem ser resolvidas diretamente Na Seção 52 será mostrado como colocar uma equação na forma adequada para o desenvolvimento das regras para traçar o gráfico do lugar das raízes Na Seção 53 este método é aplicado para determinar o lugar das raízes para uma série de problemas típicos de controle que ilustram os fatores que moldam a forma final O MATLAB é utilizado para a execução detalhada do lugar das raízes de casos específicos Quando apenas o ajuste do parâmetro selecionado não pode produzir um projeto satisfatório projetistas estudam a utilização de outros parâmetros ou de elementos dinâmicos como compensadores de atraso avanço ou de atrasoavanç o como descrito na Seção 54 Na Seção 55 é descrito o uso do lugar das raízes para se compreender o projeto de controle de atitude de uma pequena aerovane Na Seção 56 o método do lugar das raízes é estendido para se considerar um parâmetro negativo sistemas com mais de um parâmetro variável e sistemas com retardo no tempo Finalmente a Seção 57 fornece notas históricas da origem do método do lugar das raízes 51 Lugar das raízes de um sistema realimentado básico Iniciamos com o sistema realimentado básico mostrado na Fig 51 Para este sistema a função de transferência de malha fechada é YsRs Ts DsGs1DsGsHs 51 e a equação característica na qual suas raízes são os polos da função de transferência é 1 DsGsHs 0 52 Para colocar a equação na forma apropriada para o estudo de suas raízes quando um parâmetro variar a equação é colocada na forma polinomial e o parâmetro de interesse é selecionado definindo este parâmetro como K Assumese que a equação característica pode ser definida por meio de componentes polinomiais as e bs Então definese a função de transferência Ls bsas tal que a equação característica pode ser reescrita como1 1 KLs 0 53 Se como frequentemente é o caso o parâmetro é o ganho do controlador então Ls é simplesmente proporcional a DsGsHs Evans sugeriu que todas as possíveis raízes da Eq 53 fossem traçadas graficamente para K variando de zero a infinito e então o gráfico obtido é utilizado como auxílio para se selecionar o melhor valor de K Além disso ao estudar os Figura 51 Diagrama básico de blocos em malha fechada 1 No caso mais comum Ls é a função de transferência de malha aberta do sistema realimentado e K é o ganho do controlador Entretanto o lugar das raízes é um método geral apropriado para o estudo de qualquer polinômio e qualquer parâmetro que pode ser colocado na forma da Eq 53 Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 191 efeitos dos polos e zeros adicionais sobre este gráfico podemos determinar as consequências adicionais na dinâmica devido ao acréscimo de um compensador Ds na malha Assim este é um método não apenas para a seleção do valor de um parâmetro específico mas também para o projeto de um compensador dinâmico O gráfico de todas as possíveis raízes da Eq 53 relativo ao parâmetro K é chamado de lugar das raízes e o conjunto de regras para construir este gráfico é chamado de método do lugar das raízes de Evans Iniciamos a discussão deste método estudando o mecanismo de construção do lugar das raízes usando a equação na forma da Eq 53 e K sendo um parâmetro variável Para definir a notação de estudo assumese que a função de transferência Ls é racional sendo seu numerador um polinômio mônico2 bs de grau m e seu denominador um polinômio mônico as de grau n tal que3 n m Assim estes polinômios podem ser fatorados como 54 As raízes de bs 0 são os zeros de Ls e são nomeadas como zi e as raízes de as 0 são os polos de Ls e são nomeadas como pi As raízes da própria equação característica são nomeadas como ri da forma fatorada n m as Kbs s r1s r2 s rn 55 Agora o problema do lugar das raízes expresso na Eq 53 pode ser enunciado de várias maneiras equivalentes e úteis Cada uma das seguintes equações tem as mesmas raízes 1 KLs 0 56 57 as Kbs 0 58 59 As equações 5659 às vezes são referenciadas como as formas do lugar das raízes ou as formas da equação característica de Evans O lugar das raízes é um conjunto de valores de s para os quais as Eqs 5659 são satisfeitas para algum valor positivo real de K4 Devido às soluções das Eqs 5659 serem as raízes da equação característica em malha fechada e assim os polos do sistema em malha fechada o método do lugar das raízes pode ser entendido como um método para inferir propriedades dinâmicas do sistema em malha fechada quando o parâmetro K é variado 2 Mônico significa que o coeficiente do termo de grau mais alto é 1 3 Se Ls é a função de transferência de um sistema físico é necessário que n m ou então o sistema poderá ter uma resposta infinita a uma entrada finita Se o parâmetro puder ser escolhido tal que n m considerase a equação equi valente 1 K1Ls1 0 4 Se K é positivo o lugar das raízes é chamado de lugar das raízes positivo Mais adiante serão consideradas algu mas simples mudanças se K 0 resultando no lugar das raízes negativo Método de Evans Formas do lugar das raízes EXEMPLO 51 Lugar das raízes do controle de posição de um motor No Capítulo 2 a função de transferência normalizada de um motor CC tensãoparaposição foi expressa como Θms Vas Ys Us Gs A ss c Encontre o lugar das raízes dos polos em malha fechada do sistema sendo que a saída Θm é realimentada como mostrado na Fig 51 em relação ao parâmetro A se Ds Hs 1 e c 1 Solução Considerando a notação utilizada os valores são Ls 1 ss 1 bs 1 m0 zi vazio K A as s2 s n 2 pi 01 Da Eq 56 o lugar das raízes é um gráfico das raízes da equação asKbs s2 s K 0 Assim as raízes da Eq 511 podem ser expressas como r1 r2 12 14K 2 O gráfico do lugar das raízes correspondente é mostrado na Fig 52 Para 0 K 14 as raízes são reais e estão entre 1 e 0 Para K 14 existem duas raízes em 12 e para K 14 as raízes se tornam complexas com parte real constante em 12 e partes imaginárias que aumentam em proporção com a raiz quadrada de K A linha tracejada na Fig 52 corresponde às raízes com coeficiente de amortecimento ζ 05 Os polos de Ls em s 0 e s 1 são marcados pelo símbolo e os pontos onde o lugar das raízes cruzam as linhas do coeficiente de amortecimento igual a 05 são marcados com Então podemos calcular o valor de K neste ponto onde o lugar das raízes cruza ζ 05 porque sabemos que se ζ05 então θ30º e a magnitude da parte imaginária da raízes é 3 vezes a magnitude da parte real Assim o valor da parte real é 12 e da Eq 512 temos 4K12 32 e portanto K1 Podese observar várias características neste simples lugar raízes por meio das Eqs 511 e 512 e da Fig 52 Inicialmente existem duas raízes e então existem dois ramos no lugar das raízes Para K0 estes ramos partem dos polos de Ls que são 0 e 1 pois com K0 o sistema está em malha aberta e a equação característica é as0 À medida que K aumenta as raízes se movem na direção uma da outra até assumirem o mesmo valor em s12 e neste ponto as duas raízes deixam o eixo real Depois desse ponto as raízes se movem para o infinito com partes reais iguais então a soma das duas raízes será sempre igual a 1 Do ponto de vista de projeto vemos que alterando o valor do parâmetro K podemos alocar os polos do sistema em malha fechada em qualquer ponto no lugar das raízes na Fig 52 Se alguns pontos neste lugar das raízes correspondem satisfatoriamente às especificação da resposta transitória então o projeto pode ser concluído escolhendo o valor de K correspondente caso nenhum ponto satisfaça as especificações é necessário considerar um controlador mais complexo Como indicado anteriormente a técnica do lugar das raízes não é limitada ao ganho do sistema K A no Exemplo 51 as mesmas ideias são aplicáveis para se obter o lugar das raízes em função de outro parâmetro qualquer que aparece relacionado linearmente na equação característica Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 193 EXEMPLO 52 Lugar das raízes em relação a um polo da planta Considere a equação característica como no Exemplo 51 exceto que Ds Hs 1 e tam bém que A 1 Selecione c como o parâmetro de interesse na equação 513 Encontre o lugar das raízes da equação característica em relação a c Solução A equação característica de malha fechada na forma polinomial correspondente é s2 cs 1 0 514 As formas alternativas da Eq 56 com as definições associadas aos polos e zeros serão apli cadas fazendo 515 Assim a forma para o lugar das raízes da equação característica é As soluções da Eq 514 são calculadas facilmente como 516 O local das soluções é mostrado na Fig 53 com os polos raízes de as indicados por e o zero raiz de bs indicado por Note que quando c 0 as raízes estão nos pontos marcados com sobre o eixo imaginário e a resposta temporal correspondente é oscilatória O coeficiente de amortecimento ζ aumenta à medida que c aumenta a partir de 0 Em c 2 exis tem duas raízes em s 1 e os dois ramos do lugar das raízes mudam de direção abruptamente e se movem em direções opostas ao longo do eixo real Este ponto de múltiplas raízes onde duas ou mais raízes chegam ao eixo real é chamado de ponto de chegada É claro que calcular o lugar das raízes para uma equação quadrática é fácil pois podemos calcular as raízes da equação característica como feito nas Eqs 512 e 516 e representálas graficamente em função do parâmetro K Para o método ser útil ele precisa ser aplicável a sis temas de alto grau para os quais é difícil obter explicitamente as soluções As regras gerais para obter o lugar das raízes foram desenvolvidas por Evans Com a disponibilidade do MATLAB estas regras não são mais necessárias para traçar o lugar das raízes de um sistema específico o Ponto de chegada Figura 52 Lugar das Raízes de Ls 2 1 Eixo real 0 1 2 15 1 05 0 05 1 15 Eixo imaginário θ sen1 ζ 30 Figura 53 Lugar das raízes versus 1 Gs 1 1 ssc 0 comando rlocussys faz isto Entretanto no projeto de controladores não estamos interessados apenas no lugar das raízes mas também em como modificar a dinâmica do sistema de forma que as especificações da resposta dinâmica sejam atendidas obtendo um controlador de bom desempenho Com este propósito é muito útil ser capaz de esboçar grosseiramente o lugar das raízes e assim avaliar as consequências de se considerar as possíveis alternativas de compensadores Também é importante ser capaz de avaliar rapidamente se um gráfico do lugar das raízes gerado computacionalmente está correto É fácil utilizar uma constante errada ou esquecer de adicionar um termo a primeira regra bem conhecida da computação GIGO5 52 Diretrizes gerais para determinar o lugar das raízes Começamos com uma definição formal do lugar das raízes A partir da Eq 56 o lugar das raízes pode ser definido como Definição I O lugar das raízes é o conjunto de valores de s tais que 1 KLs 0 é satisfeita quando o parâmetro real K varia de 0 a Geralmente 1 KLs 0 é a equação característica de um sistema e neste caso as raízes no lugar das raízes são os polos desse sistema Agora considere a Eq 59 Se K é um valor real e positivo Ls deve ser real e negativo Em outras palavras se Ls é expresso na forma polar em módulo e fase então a fase de Ls deve ser 180º para satisfazer a Eq 59 Assim podemos definir o lugar das raízes em termos desta condição de fase como segue Definição II O lugar das raízes de Ls é o conjunto de pontos no planos tal que a fase de Ls é 180º Definindo ψi como o ângulo entre um ponto de teste e um zero e φi como o ângulo entre um ponto de teste e um polo então a Definição II é expressa na seguinte forma sendo l um inteiro ψi φi 180º 360ºl 1 O imenso mérito da Definição II é que enquanto é muito difícil resolver manualmente um polinômio de alto grau calcular a fase de uma função de transferência é relativamente fácil O caso comum é quando K é real e positivo e este caso é conhecido como lugar das raízes positivo ou de 180º Quando K é real e negativo Ls deve ser real e positivo com a fase de 0º e este caso é conhecido como lugar das raízes negativo ou de 0º Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 195 A partir da Definição II podemos em princípio determinar o lugar das raízes positivo para uma função de transferência complexa medindo a fase e marcando os pontos nos quais encon tramos 180 Esta abordagem direta pode ser ilustrada considerando o exemplo 518 Na Fig 54 os polos de Ls são marcado com e o zero com Suponha que o ponto de teste seja s0 1 2j Podese testar se o s0 está ou não no lugar das raízes para algum valor de K Para este ponto estar no lugar das raízes precisamos que Ls0 180 360l 1 para algum valor inteiro de l ou equivalentemente a partir da Eq 518 s0 1 s0 s0 5 s0 22 4 180 360l 1 519 O ângulo do termo s0 1 pode ser calculado6 traçando uma linha da posição do zero em 1 até o ponto de teste s0 Neste caso a linha é vertical e tem o ângulo de fase marcado com ψ1 90 na Fig 54 De maneira similar o vetor do polo em s 0 até o ponto de teste s0 é mostrado com o ângulo φ1 e os ângulos dos dois vetores de 2 2j até s0 são mostrados com ângulos φ2 e φ3 A fase do vetor s0 5 é mostrada com ângulo φ4 A partir da Eq 519 encon tramos a fase total de Ls em s s0 como a soma das fases do termo no numerador correspon dendo ao zero menos as fases dos termos no denominador correspondendo aos polos L ψ1 φ1 φ2 φ3 φ4 90 1166 0 76 266 1292 Como a fase de Ls não é 180 concluímos que s0 não está no lugar das raízes então devemos escolher outro ponto e testar novamente Apesar de a medição de fase não ser difícil medir a fase de todo ponto no planos não é prático Portanto para fazer com que o método seja prá tico precisamos utilizar algumas diretrizes gerais para determinar o lugar das raízes Evans desenvolveu um conjunto de regras para este propósito as quais iremos ilustrar considerando a função de transferência 520 Começamos considerando o lugar das raízes positivo que é o caso mais comum7 As primeiras três regras são relativamente simples e são essenciais para qualquer esboço razoável As outras duas regras são usadas ocasionalmente Como sempre assumimos que o MATLAB ou outra ferramenta equivalente esteja sempre disponível para se traçar o lugar das raízes com precisão 6 A avaliação gráfica do módulo e da fase de um número complexo é revisado no Apêndice WD Seção 3 disponível em inglês no site do Grupo A 7 O lugar das raízes negativo será tratado na Seção 56 Figura 54 Medindo a fase da Equação 518 6 4 2 Eixo real 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário φ2 0 φ3 s0 ψ1 φ4 φ1 196 Sistemas de Controle 521 Regras para traçar o lugar das raízes positivo 180 REGRA 1 Os n ramos do lugar das raízes partem dos polos de Ls e m destes ramos termi nam nos zeros de Ls A partir da equação as Kbs 0 se K 0 a equação se reduz a as 0 sendo as raízes desta os polos de Ls Quando K se aproxima do infinito s deve satisfazer bs 0 ou s Como existem m zeros tal que bs 0 m ramos podem terminar nestes pontos O caso em que s é considerado na Regra 3 REGRA 2 O lugar das raízes está no eixo real à esquerda de um número ímpar de polos e zeros Se considerarmos um ponto de teste no eixo real como s0 na Fig 55 vemos que os ângu los φ1 e φ2 dos dois polos complexos se cancelam assim como irão cancelar também os ângulos de dois zeros complexos Ângulos de polos e zeros reais são 0 se o ponto de teste estiver à direita deles e serão de 180 se o ponto de teste estiver à esquerda de um polo ou zero Portanto para que o ângulo total seja 180 360l 1 o ponto de teste deve estar à esquerda de um número ímpar de polos mais zeros no eixo real como mostrado na Fig 55 REGRA 3 Para valores grandes de s e K n m ramos do lugar das raízes tendem assintotica mente a retas centradas em s α e com ângulo φl sendo 521 À medida que K a equação pode ser satisfeita somente se Ls 0 Isso aparentemente pode ocorrer em dois casos di ferentes No primeiro caso como discutido na Regra 1 m raízes serão os zeros de Ls No segundo caso Ls tende a zero se s então por suposição n é maior que m As assíntotas descrevem como estas n m raízes aproximam do Para valores grandes de s a equação 522 Pode ser aproximada8 por 523 8 Esta aproximação pode ser obtida dividindo as por bs e selecionando os dois termos dominantes potências de s de maior grau obtendo a expansão de s αnm Figura 55 Regra 2 O trecho do eixo real do lugar das raízes está à esquerda de um número ímpar de polos e zeros 8 2 4 6 Eixo real 0 1 2 4 2 2 4 Eixo imaginário s0 φ3 0 φ1 φ2 Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 197 Essa é a equação para um sistema com n m polos todos alocados em s α Outra forma de visualizar este mesmo resultado é considerar a imagem que teremos se observamos os polos e os zeros de uma distância muito grande ou seja de um ponto s muito grande os polos e zeros irão parecer estar alocados na origem do planos Assim m zeros irão cancelar o efeito de m polos e os outros n m polos irão parecer estar no mesmo lugar Dizemos que o lugar das raízes da Eq 522 é assintótico ao lugar das raízes da Eq 523 para valores grandes de K e s Precisamos calcular α e encontrar o lugar das raízes para o sistema resultante Para encontrar o lugar das raízes escolhe mos o ponto de teste tal que s0 Rejφ para algum valor grande de R e φ variável Como todos os polos deste simples sistema estão localizados no mesmo lugar o ângulo da função de transferência é 180 se todos os n m ângulos cada um igual a ϕl somamse 180 Portanto φl é dado por n mφl 180 360l 1 para algum l inteiro Assim o lugar das raízes assintótico consiste em retas radiais nos n m ângulos dados por 524 Para o sistema descrito pela Eq 520 n m 3 e φ123 60 180 e 300 ou 60 180 As linhas do lugar das raízes assintótico partem de s0 α no eixo real Para determinar α podemos usar uma simples propriedade de polinômios Considere o polinômio as com coefi cientes ai e raízes pi como na Eq 54 igualando o polinômio com sua forma fatorada temse sn a1sn1 a2sn2 an s p1s p2 s pn Se multiplicarmos os fatores do lado direito da equação temos que o coeficiente de sn1 é p1 p2 pn No lado esquerdo da equação este coeficiente é a1 Assim a1 pi em outras palavras o coeficiente do segundo termo de mais alto grau em um polinômio mônico é a soma de suas raízes com sinal negativo neste caso os polos de Ls Aplicando este resultado ao polinômio bs encontramos a soma negativa dos zeros como sendo b1 Estes resultados podem ser escritos como 525 Finalmente aplicando este resultado ao polinômio característico de malha fechada obtido na Eq 522 sn a1sn1 an Ksm b1sm1 bm 526 s r1s r2 s rn 0 Note que a soma das raízes é o valor do coeficiente de sn1 de sinal trocado e é indepen dente de K se m n 1 Portanto se Ls tem ao menos dois polos a mais que zeros temos que a1 ri Mostramos que o ponto central das raízes não depende de K se m n 1 e que a soma em malha aberta e malha fechada é a mesma e é igual a a1 o que pode ser expresso como 527 Para valores grandes de K temos que m das raízes ri se aproximam dos zeros zi e n m das raí zes se aproximam dos ramos do sistema assintótico o qual tem a soma dos polos igual a n mα Combinando estes resultados podemos concluir que a soma de todas as raízes é igual à soma das raízes que vão para o infinito mais a soma daquelas raízes que vão para os zeros de Ls Isolando α temos 528 O ângulo dos assintóticos O centro dos assintóticos Figura 56 As assíntotas são n m linhas radiais partindo de α com ângulos iguais Note que os somatórios pi e zi sempre têm partes imaginárias nulas pois os polos e zeros complexos sempre ocorrem em pares complexos conjugados Assim a Eq 528 requer informação apenas das partes reais Para a Eq 520 α 4 4 0 3 0 83 267 As assíntotas em 60º estão tracejadas na Fig 56 Note que elas cruzam o eixo imaginário em 267j3 462j A assíntota em 180º já foi encontrada no eixo real pela Regra 2 REGRA 4 Os ângulos de partida de um ramo no lugar das raízes em um polo de multiplicidade q é dado por qφldep ψi φi 180º 360ºl 1 i l e os ângulos de chegada de um braço em um zero de multiplicidade q é dado por qψlarr φi ψi 180º 360ºl 1 Se um sistema tem polos próximos do eixo imaginário pode ser importante determinar se o ramo do lugar das raízes que parte deste polo parte em direção à estabilidade semi plano esquerdo SPE ou em direção à instabilidade semi plano direito SPD Para calcular o ângulo de partida em um polo utilizamos um ponto de teste s0 muito próximo do polo em questão definindo o ângulo entre o polo e o ponto de teste como φldep e movendo todos os outros termos da Eq 517 para o lado direito Podemos ilustrar este processo colocando um ponto de teste s0 próximo do polo em 4 4j do nosso exemplo e calculando os ângulos de Ls0 A situação está ilustrada na Fig 57 e o ângulo entre 4 4j e o ponto de teste é definido como φ1 Selecionando o ponto de teste muito próximo do polo em questão podemos considerar os ângulos φ2 e φ3 para o ponto de teste iguais aos ângulos para o polo Assim φ2 90º φ3 135º e φ1 pode ser calculado da condição de ângulo assumindo qualquer valor para que a soma total seja 180º O calculo é l1 φ1 90º 135º 180º 405º 45º Pela simetria do lugar das raízes o ângulo de partida próximo ao polo 4 4j será 45º Se Ls possuir zeros os ângulos do polo para os zeros deverão ser adicionados ao lado direito da Eq 531 Para o caso geral podemos observar da Eq 531 que o ângulo de partida de um polo é Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 199 534 sendo φi a soma dos ângulos dos polos restantes e ψi a soma dos ângulos de todos os ze ros Para um polo de multiplicidade q devemos contar o ângulo deste polo q vezes Isto altera a Eq 534 para 535 sendo que l assume valores para todo q porque existem q ramos partindo de um polo múltiplo O processo de cálculo do ângulo de partida para pequenos valores de K como mostrado na Fig 57 também é válido para calcular o ângulo pelo qual um lugar das raízes chega a um zero de Ls para grandes valores de K A fórmula geral resultante é 536 sendo φi a soma dos ângulos de todos os polos ψi a soma dos ângulos dos zeros restantes e l um inteiro como anteriormente REGRA 5 O lugar das raízes pode ter múltiplas raízes em alguns pontos e os ramos atingirão um ponto de q raízes em ângulos separados por 537 e partirão em ângulos com a mesma separação Como acontece com qualquer polinômio é pos sível que um polinômio característico de grau maior que 1 tenha múltiplas raízes Por exemplo no lugar das raízes do polinômio de segunda ordem na Fig 52 há duas raízes em s 12 quando K 14 Aqui os ramos horizontais do lugar das raízes se aproximam até partirem do eixo real tornandose complexos para K 14 O lugar das raízes chega com 0 e 180 e parte em 90 e 90 Para calcular os ângulos de chegada e partida de um ponto com múltiplas raízes é útil usar um truque que chamamos de continuação do lugar das raízes Podemos imaginar um traçado de um lugar das raízes para uma primeira série de K talvez para 0 K K1 Se deixarmos K K1 K2 podemos traçar um novo lugar das raízes para o parâmetro K2 um lugar das raízes que é a continu ação do lugar das raízes original e cujos polos de partida são as raízes do sistema original em K K1 Para ver como isso funciona voltamos para o lugar das raízes em um sistema de segunda ordem da Eq 511 e seja K1 o valor correspondente ao ponto de partida em que K1 14 Se fizermos K 14 K2 temos o lugar das raízes da equação s2 s 14 K2 0 ou 538 Regra para ângulos de chegada Continuação do lugar das raízes Figura 57 Os ângulos de partida e chegada são encontrados considerando um ponto de teste pró ximo a um polo ou zero 10 5 Eixo real 0 5 6 4 2 0 2 4 6 Eixo imaginário φ2 Polo 1 Polo 3 φ3 φ1 Polo 2 s0 200 Sistemas de Controle Os passos para traçar esse lugar das raízes são naturalmente os mesmos para traçar qualquer ou tro exceto que agora a partida inicial do lugar da raízes da Eq 538 corresponde ao ponto em que o lugar das raízes original sofre um rompimento do lugar das raízes original da Eq 511 Aplican do a regra para os ângulos de partida Eq 535 a partir do polo duplo em s 12 temos que 2φdep 180 360l 1 539 φdep 90 180l 1 540 φdep 90 ângulos de partida no ponto de rompimento 541 Neste caso os ângulos de chegada em s 12 do lugar das raízes do sistema original são claramente 0 e 180 O lugar das raízes completo para o nosso exemplo de terceira ordem é desenhado na Fig 58 Ele combina todos os resultados encontrados até o momento o segmento do eixo real o centro das assíntotas e seus ângulos e os ângulos de partida dos polos Geralmente é suficiente para traçar o lugar das raízes usar apenas as regras de 1 a 3 que devem ser memorizadas A Regra 4 às vezes é útil para entender como os segmentos partem especialmente se houver um polo perto do eixo jω A Regra 5 às vezes é útil para ajudar a interpretar gráficos traçados pelo computador e como veremos na próxima seção para explicar as mudanças qualitativas em alguns ramos quando um polo ou zero é movimentado O lugar das raízes na Fig 58 foi traçado utilizando os comandos no MATLAB numL 1 denL 1 8 32 0 sysL tfnumL denL rlocussysL A seguir as regras para traçar o lugar das raízes são resumidas 522 Resumo das regras para determinar o lugar das raízes REGRA 1 n ramos do lugar das raízes partem dos polos de Ls e m ramos terminam nos zeros de Ls REGRA 2 O lugar das raízes no eixo real está à esquerda de um número ímpar de polos e zeros REGRA 3 Para valores grandes de s e K n m dos ramos são assintóticos a retas radiais com ângulos φl e centralizadas em s α no eixo real sendo 542 543 10 5 Eixo real 0 5 6 4 2 0 2 4 6 Eixo imaginário Figura 58 Lugar das raízes para Ls Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 201 REGRA 4 Os ângulos de partida de um ramo do lugar das raízes em um polo de multipli cidade q é dado por 544 e os ângulos de chegada de um ramo em um zero de multiplicidade q é dado por 545 REGRA 5 O lugar das raízes pode ter múltiplas raízes em pontos no lugar das raízes com multiplicidade q Os ramos irão se aproximar a um ponto de q raízes em ângulos separados por 546 e partirão em ângulos com a mesma separação formando um arranjo de 2q raios equidistantes Se o ponto estiver sobre o eixo real então a orientação deste arranjo é dada pela regra do eixo real Se o ponto estiver no plano complexo então a regra do ângulo de partida deve ser aplicada 523 Seleção do valor do parâmetro O lugar das raízes positivo é um gráfico de todas as localizações possíveis para as raízes da equação 1 KL s 0 para algum valor real positivo de K O objetivo do projeto é selecionar um determinado valor de K que atenda às especificações da resposta estática e dinâmica Volta mos agora à questão de selecionar K a partir de um determinado lugar das raízes de modo que as raízes estejam localizadas em lugares específicos Apesar de mostrar como a seleção do ganho pode ser feita por cálculos manuais a partir de um gráfico do lugar das raízes isto quase nunca é feito à mão porque a determinação pode ser realizada facilmente pelo MATLAB É útil contudo ser capaz de realizar uma checagem manual dos resultados obtidos por computador Partindo da Definição II do lugar das raízes foram desenvolvidas regras para esboçar um lugar das raízes a partir apenas da fase de Ls Se a equação possuir uma raiz em um lugar espe cífico quando a fase de Ls é 180 então a condição de magnitude também deve ser satisfeita Esta condição é dada pela Eq 59 que pode ser reescrita como Para valores de s que pertencem ao lugar das raízes a fase de Ls é 180 então pela condição de magnitude temos 547 A Equação 547 tem interpretações algébrica e gráfica Para ver a interpretação gráfica consideramos o lugar das raízes de 1 KLs sendo 548 Para esta função de transferência o lugar das raízes é traçado na Fig 59 as linhas correspon dendo ao coeficiente de amortecimento ζ 05 são esboçadas e os pontos onde o lugar das raí zes cruza estas linhas são marcados com pontos Suponha que queremos definir o ganho de modo que as raízes estejam localizadas nos pontos Isso corresponde à seleção do ganho de forma que dois dos polos do sistema em malha fechada tenham coeficiente de amortecimento ζ 05 Nós vamos encontrar o terceiro polo em breve Qual é o valor de K quando a raiz está no ponto desejado Da Eq 547 o valor de K é dado por 1 dividido pela magnitude de Ls0 onde s0 é a coordenada do ponto desejado Na figura temos três vetores traçados s0 s1 s0 s2 e s0 s3 que são os vetores dos polos de Ls ao ponto s0 Como s1 0 o primeiro vetor é igual a s0 Algebricamente temos 202 Sistemas de Controle 549 Usando a Eq 547 temos 550 A interpretação gráfica da Eq 550 mostra que as três magnitudes são os comprimentos dos vetores desenhados na Fig 59 veja o Apêndice WD disponível em inglês no site do Gru po A Assim podemos calcular o ganho para posicionar as raízes no ponto s s0 medindo o comprimento destes vetores e multiplicando estes comprimentos desde que as escalas dos eixos imaginário e real sejam idênticas Usando a escala da figura estimamos que s0 40 s0 s2 21 s0 s3 77 Assim o ganho estimado é K 402177 65 Concluímos que se K é definido como o valor 65 então uma raiz de 1 KL estará em s0 que tem o coeficiente de amortecimento de 05 desejado Outra raiz está no conjugado de s0 Onde está a terceira raiz O terceiro ramo do lugar das raízes parte ao longo do eixo real negativo Se executarmos os cálculos à mão seria preciso ter um ponto de teste calcular um ganho e repetir esse processo até que tenhamos encontrado o ponto onde K 65 No entanto se executarmos uma verificação sobre a determinação do MATLAB basta apenas utilizar o procedimento aci ma para verificar o ganho referente ao local indicado pela raiz Para usar o MATLAB trace o lugar das raízes usando o comando rlocussysL por exem plo e então o comando K p rlocfindsysL irá produzir uma cruz no gráfico e quando po sicionada no local desejado da raiz e selecionada com um clique no mouse o valor do ganho K é devolvido bem como as raízes correspondentes ao K na variável p O uso de rltool torna isso ainda mais fácil e será discutido em detalhes no Exemplo 57 Finalmente com o ganho selecionado é possível calcular a constante de erro do sistema de controle Um processo com a função de transferência dada pela Eq 548 tem um integrador e em uma configuração de realimentação unitária é um sistema de controle de Tipo 1 Neste caso o erro de estado estacionário no rastreamento de uma entrada em rampa é dada pela constante de velocidade 551 Cálculo gráfico do ganho desejado Figure 59 Lugar das raízes para Ls mostrando o cálculo de K ζ 05 ζ 05 s0 s3 s0 s1 s0 s2 6 4 2 0 10 2 4 6 8 6 4 2 0 2 4 6 Eixo imaginário Eixo real Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 203 552 553 Com o ganho ajustado para raízes complexas com amortecimento ζ 05 o ganho do lugar das raízes é K 65 então a partir de Eq 553 obtemos Kv 6532 2 Se a resposta dinâmica do sistema em malha fechada como determinado pela localização da raiz é satisfatória e a precisão de erro em estado estacionário como medida por Kv é boa o suficiente então o projeto pode ser completado apenas pela seleção do ganho No entanto se nenhum valor de K satisfaz todas as restrições geralmente é o caso então modificações adicionais são necessárias para atender às especificações do sistema 53 Lugar das raízes ilustrativo Um número de importantes problemas de controle são caracterizados por um processo com o simples integrador duplo função de transferência 554 O controle de atitude de um satélite é descrito por essa equação Além disso o sistema de lei turagravação de uma unidade de disco rígido de computador está geralmente flutuando no ar então o atrito é desprezado O motor é normalmente acionado por uma fonte de corrente então a força contra eletromotriz não afeta o torque O resultado é uma planta descrita pela Eq 554 Se obtemos um sistema de realimentação unitária com esta planta e um controlador proporcio nal o lugar das raízes em relação ao ganho do controlador é 555 Se aplicarmos as regras triviais neste caso o resultado é REGRA 1 O lugar das raízes tem dois ramos que partem de s 0 REGRA 2 Nenhuma parte do eixo real pertence ao lugar das raízes REGRA 3 As duas assíntotas têm origem em s 0 e seus ângulos são 90 REGRA 4 O lugar das raízes partem de s 0 com ângulos de 90 Conclusão O lugar das raízes consiste do eixo imaginário e a resposta deve ser oscilatória para todo valor de kp Um projeto mais útil resulta do uso do controle proporcional mais o controle derivativo EXEMPLO 53 Lugar das raízes do controle de atitude de um satélite com o controlador PD A equação característica com o controlador PD é 556 Para colocar a equação característica na forma do lugar das raízes definimos K kD e no momento selecionamos o valor arbitrário da razão dos ganhos9 como kpkD 1 o que resulta no lugar das raízes da forma 557 9 Dado um sistema físico específico esse número é selecionado considerando o tempo de subida especificado no pro jeto ou o sinal de controle máximo do atuador 204 Sistemas de Controle Solução Novamente obtemos os resultados do uso das regras REGRA 1 O lugar das raízes tem dois ramos que partem de s 0 um deles termina no zero em s 1 e o outro se aproxima do infinito REGRA 2 O trecho do eixo real à esquerda de s 1 pertence ao lugar das raízes REGRA 3 Desde que n m 1 existe uma assíntota ao longo do eixo real negativo REGRA 4 Os ângulos de partida dos polos duplos em s 0 são 90 REGRA 5 Das Regras 14 deve ficar claro que o lugar das raízes vai passar em torno do zero voltar ao eixo real à esquerda do zero e terminar como indicado pela Regra 1 Acontece que os segmentos do lugar das raízes voltam ao eixo real em s 2 o que cria um ponto de múltiplas raízes Avaliando o ângulo de chegada neste ponto vemos que os segmentos chegam em 90 e que a partir da Regra 2 este é um ponto de raízes múltiplas Concluímos que os dois ramos do lugar das raízes deixam a origem indo para o norte e sul e que se curvam10 sem passar no SPD e voltam ao eixo real em s 2 a partir deste ponto um ramo vai para o oeste em direção ao infinito e o outro vai para o leste até encontrar com o zero em s 1 O lugar da raízes é traçado na Fig 510 usando os comandos numS 1 1 denS 1 0 0 sysS tfnumSdenS rlocussysS Comparando este caso com aquele simples 1s2 temos que A adição do zero atraiu o lugar das raízes para o SPE um ponto de muita importância para a construção de um compensador Efeito de um zero em SPE No caso anterior consideramos um controlador PD puro No entanto como já mencionado anteriormente a operação física de diferenciação não é prática então o controle PD é aproxi mado por 558 10 Você pode provar que o caminho é um círculo assumindo que s 1 ejθ e mostrando que a equação tem uma solu ção para uma série de K positiva e θ real Veja o Problema 518 6 4 Eixo real 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário Figura 510 Lugar da raízes de Ls Gs Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 205 a qual pode ser colocada na forma do lugar das raízes definindo K kp pkD e z pkpK então11 559 Por razões que veremos quando considerarmos projeto usando a resposta em frequência o controlador com esta função de transferência é chamado de um compensador de avanço ou referindose à frequente aplicação de componentes elétricos uma rede de avanço A equação característica para a planta 1s2 com este controlador é EXEMPLO 54 Lugar das raízes de um satélite com um controlador PD modificado ou compensador de avanço Para avaliar o efeito do polo acrescentado vamos novamente definir z 1 e considerar três diferentes valores de p Começamos com um valor grande p 12 e consideramos o lugar das raízes para 560 Solução Novamente aplicando as regras para o traçado do lugar das raízes REGRA 1 O lugar das raízes tem três ramos dois partem de s 0 e um parte de s 12 REGRA 2 O trecho no eixo real 12 s 1 pertence ao lugar das raízes REGRA 3 Existem n m 3 1 2 assíntotas centradas em α 112 e com ângulos de 90 REGRA 4 Os ângulos de partida dos ramos do lugar das raízes que partem de s 0 são nova mente 90 O ângulo de partida do polo em s 12 é 0 Existem várias possibilidades sobre como se comportam os ramos ainda atendendo às orientações acima O MATLAB é o modo adequado para descobrir os caminhos Os comandos no MATLAB numL 1 1 denL 1 12 0 0 sysL tfnumLdenL rlocussysL mostram que dois dos ramos do lugar das raízes partem verticalmente de s 0 curvamse para esquerda sem passar pelo SPD e retornam ao eixo real em s 23 onde um ramo vai para direita em direção do zero em s 1 e o outro vai para esquerda ao encontro do ramo que parte do polo em s 12 Estes dois ramos atingem um ponto de raízes múltiplas s 52 e partem do eixo real se aproximando verticalmente das assíntotas localizadas em s 55 O lugar das raízes está traçado na Fig 511 Considerando esse lugar das raízes vemos que o efeito do polo acrescentado foi distorcer o simples círculo do controle PD mas para pontos próximos à origem o local é bastante seme lhante ao caso anterior A situação muda quando o polo é trazido para mais próximo 11 Aqui o uso de z para zero não deve ser confundido com o uso do operador z usado para definir a função de transfe rência discreta necessária na descrição de controladores digitais 206 Sistemas de Controle EXEMPLO 55 Lugar das raízes de um satélite com um compensador de avanço com um polo relativamente pequeno Agora considere p 4 e esboce o lugar das raízes para 561 Solução Novamente aplicando as regras para o traçado do lugar das raízes REGRA 1 O lugar das raízes tem três ramos dois partem s 0 e um parte de s 4 REGRA 2 O trecho no eixo real 4 s 1 pertence ao lugar das raízes REGRA 3 Existem duas assíntotas centradas em α 32 e com ângulos de 90 REGRA 4 Os ângulos de partida dos ramos do lugar das raízes que partem de s 0 são 90 REGRA 5 Os comandos do MATLAB numL 1 1 denL 1 4 0 0 sysL tfnumLdenL rlocussysL mostram que dois dos ramos do lugar das raízes partem verticalmente de s 0 curvamse le vemente para esquerda e se aproximam das assíntotas indo para o norte e sul O ramo do lugar das raízes que parte de s 4 parte em direção ao zero Neste caso o lugar das raízes difere do caso quando p 12 O gráfico do lugar das raízes é apresentado na Fig 512 Figura 511 Lugar da raízes de Ls 6 4 Eixo real 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário Figura 512 Lugar da raízes de Ls 6 4 Eixo real 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 207 Nestes dois casos temos sistemas similares mas em um caso p 12 existem pontos de partida e chegado no eixo real entretanto para p 4 estas características desaparecem Uma questão lógica a ser feita é em qual ponto elas desaparecem É fato que isto ocorre em p 9 e nós vamos ver este lugar das raízes em seguida EXEMPLO 56 Lugar das raízes de um satélite alterando a posição do polo Esboce o lugar das raízes de 562 Solução REGRA 1 O lugar das raízes tem três ramos dois partem de s 0 e um parte de s 9 REGRA 2 O trecho no eixo real 9 s 1 pertence ao lugar das raízes REGRA 3 Existem duas assíntotas centradas em α 82 4 REGRA 4 Os ângulos de partida são como anteriormente 90 em s 0 REGRA 5 Os comando do MATLAB são numL 1 1 denL 1 9 0 0 sysL tfnumLdenL rlocussysL produzindo o lugar das raízes na Fig 513 Ela mostra que dois ramos partem verticalmente do polo em s 0 e se curvam até se encontrarem novamente no eixo real em s 3 com um ân gulo de chegada dos 60 enquanto o ramo do polo em s 9 parte para o leste e juntase aos dois outros polos em s 3 com um ângulo de chegada de 0 Estes três ramos se dividem em s 3 com ângulos de partida 0 e 120 um deles parte em direção ao zero e os outros em direção ao noroeste para se juntarem às assíntotas Usando a Regra 5 podese confirmar esses ângulos de chegada e partida12 Da Fig 511 até a Fig 513 é evidente que quando o terceiro polo está próximo do zero p próximo de 1 há uma distorção do lugar das raízes que resultaria em equação que consiste de dois ramos em linha reta partindo dos dois polos em s 0 com 90 Então à medida que au 12 A forma deste lugar das raízes especial é a Trissectriz de Maclaurin uma curva plana que pode ser usada para tris secionar um ângulo 6 4 Eixo real 2 0 2 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário Figura 513 Lugar das raízes de Ls 208 Sistemas de Controle mentamos p o lugar das raízes se altera até que em p 9 o lugar das raízes apresenta um ponto de raízes múltiplas em 3 ponto de quebra À medida que o polo é deslocado para a esquerda de 9 o lugar das raízes apresenta diferentes pontos de quebra aproximandose quando p é muito grande do lugar das raízes circular de um zero e dois polos Então a Figura 513 quando p 9 é a transição entre os dois extremos de segunda ordem que ocorrem em p 1 quando o zero é cancelado e p onde o polo extra não tem nenhum efeito EXEMPLO 57 Repita os exemplos anteriores utilizando a RLTOOL Repita os Exemplos 53 56 usando a ferramenta RLTOOL do MATLAB Solução RLTOOL é uma ferramenta interativa do MATLAB para traçar o lugar das raízes que fornece uma interface gráfica GUI para análise e projeto A RLTOOL fornece uma maneira fácil de projetar controladores realimentados porque permite a visualização rápida dos efeitos causa dos no lugar das raízes Para ilustrar o uso desta ferramenta considere os comandos no MATLAB numL 1 1 denL 1 0 0 sysL tfnumLdenL rltoolsysL irá inicializar a interface gráfica e produzir o lugar das raízes mostrado na Fig 510 que é similar aos obtidos nos Exemplos 54 55 e 56 mas sem o polo no eixo real negativo que foi movido com o propósito de ilustração nos três exemplos anteriores Clicando em Compensa Figura 514 Interface gráfica da RLTOOL Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 209 dor Editor na janela Control and Estimation Tools Manager e em seguida clicando com o botão direito sobre a janela Dynamics e selecionando add polezero você pode adicionar um polo na posição s 12 Isto irá produzir o lugar das raízes que é mostrado na Fig 511 e Fig 514 Agora coloque o mouse sobre o polo em s 12 mantenha pressionado o botão do mouse e deslizeo lentamente a partir de s 12 até s 4 para que possa examinar as formas do lugar das raízes em todos os pontos intermediários Tenha cuidado especial e cal ma quando você passar por s 9 porque o lugar das raízes muda muito rapidamente com um polo nesta região Note que você também pode colocar o mouse em um dos polos de malha fechada e movimentálo ao longo do lugar das raízes Será mostrada a localização das outras raízes que correspondem a esse valor do ganho K bem como a frequência e o coeficiente de amortecimento das raízes do sistema em malha fechada quando forem raízes complexas Mais detalhes podem ser encontrados no Tutorial RLTOOL no Apêndice WR Uma conclusão útil deste exemplo é a seguinte Um polo adicional localizado à esquerda do lugar das raízes e movendose para a di reita tende a empurrar os ramos do lugar das raízes para a direita à medida que se aproxima deles O integrador duplo é o modelo mais simples dos exemplos assumindo um corpo rígido sem fricção Um caso mais realista seria incluir os efeitos da flexibilidade no controle de satélites onde pelo menos os painéis solares seriam flexíveis No caso do mecanismo de leituragravação da uni dade de disco o conjunto cabeça e suporte do braço sempre tem flexibilidade e geralmente um comportamento muito complexo com um número de modos levemente amortecidos que muitas vezes pode ser aproximado por um único modo dominante Na Seção 21 foi demonstrado que a flexibilidade em uma unidade de disco adiciona um conjunto de polos complexos no modelo 1s2 Geralmente há duas possibilidades dependendo de se o sensor está no mesmo corpo rígido que o atuador que é chamado de caso justaposto13 ou se está em outro corpo caso não justaposto14 Começamos considerando o caso justaposto semelhante ao que é dado pela Eq 220 Como vi mos no Capítulo 2 a função de transferência no caso justaposto não só tem um par de polos com plexos mas também um par de zeros complexos localizados em uma frequência menor do que a frequência natural dos polos Os números nos exemplos que se seguem são escolhidos mais para ilustrar as propriedades do lugar das raízes do que para representar determinados modelos físicos EXEMPLO 58 Lugar das raízes de um sistema de controle de satélite para o caso justaposto Trace o lugar das raízes da equação característica 1 GsDs 0 sendo 563 em um estrutura de realimentação unitária com o controlador 564 13 Típico do controle de atitude de satélites no qual a flexibilidade surge a partir de painéis solares e o atuador e o sensor agem sobre o corpo principal do satélite 14 Típico do satélite no qual a flexibilidade surge devido ao fato de a atitude ser controlada a partir de um corpo de comando acoplado por um suporte flexível Esse também é o caso do controle da cabeça do mecanismo de leituragra vação de disco rígido de um computador em que o motor está em uma extremidade do braço e a cabeça está na outra 210 Sistemas de Controle Solução Neste caso tem polos e zeros próximos do eixo imaginário assim os ângulos de partida são de grande importância REGRA 1 O lugar das raízes tem cinco ramos três que se aproximam dos zeros finitos e dois que se aproximam de assíntotas REGRA 2 O segmento do eixo real 12 s 1 é parte do lugar das raízes REGRA 3 O centro das duas assíntotas é E os ângulos das assíntotas são 90 REGRA 4 Cálculo do ângulo de partida do polo em s 01 j66 O ângulo neste polo é de finido para ser φ1 Os outros ângulos estão marcados na Fig 515 A condição do lugar das raízes é 565 assim o ramo do lugar das raízes neste polo parte para cima e para a esquerda no sentido da região de estabilidade do plano Um exercício interessante seria calcular os ângulos de chegada no zero localizado em s 01 j6 Usando o MATLAB o lugar das raízes é traçado na Fig 516 Note que todas as caracterís ticas determinadas usando as simples regras foram exibidas pelo gráfico assim verificando em parte que os dados foram fornecidos corretamente O exemplo anterior mostrou que No caso justaposto a presença de um único modo flexível introduz uma raiz levemente amortecida na equação característica mas não causa instabilidade no sistema Figura 515 Figura para o cálculo do ângulo de partida para Ls 15 10 Eixo real 0 5 5 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Eixo imaginário φ5 ψ1 ψ2 ψ3 φ1 φ2 φ3 φ4 Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 211 O ângulo de partida calculado mostra que o lugar das raízes parte dos polos introduzidos por um modo flexível em direção ao SPE Em seguida é considerado o caso não justaposto para o qual a função de transferência da planta é 566 compensado novamente por 567 Como estas equações mostram a função de transferência do caso não justaposto tem os polos comple xos mas não tem os zeros complexos associados como ocorreu no exemplo anterior e no caso justa posto do Capítulo 2 na Eq 220 Isso tem um efeito substancial como ilustrado pelo Exemplo 59 EXEMPLO 59 Lugar das raízes para o caso não justaposto Aplicando as regras do lugar das raízes para 568 prestando atenção especial aos ângulos de partida nos polos complexos REGRA 1 Existem cinco ramos no lugar das raízes dos quais um se aproxima do zero e qua tro se aproximam das assíntotas REGRA 2 O seguimento no eixo real 12 s 1 é parte do lugar das raízes REGRA 3 O centro das assíntotas está localizado em e os ângulos para as quatro assíntotas são 45 135 REGRA 4 Calculamos o ângulo de partida do polo em s 01 j66 O ângulo neste polo é de finido para ser φ1 Os outros ângulos estão marcados na Fig 517 A condição do lugar das raízes é φ1 ψ1 φ2 φ3 φ4 φ5 180 φ1 814 90 90 90 288 180 569 φ1 814 90 288 360 φ1 374 Figura 516 Lugar das raízes para Ls 15 10 Eixo real 0 5 5 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Eixo imaginário 212 Sistemas de Controle Neste caso o ramo do lugar das raízes neste polo parte para baixo e para a direita no sentido da região de instabilidade do plano Assim devese esperar que o sistema se torne instável à medida que o ganho aumenta REGRA 5 O lugar das raízes é traçado na Fig 518 com numG 1 denG 10 020 4357 0 0 sysG tfnumGdenG numD 1 1 denD 1 12 sysD tfnumDdenD sysL sysDsysG rlocfindsysL o qual concorda com os cálculos acima Usando a RLTOOL vemos que os ramos que partem dos polos complexos entram no SPD quase imediatamente quando o ganho é aumentado Além disso selecionando o ganho para que todas as raízes fiquem à esquerda do eixo imaginário podese observar que as raízes dominantes estão próximas da origem onde o coeficiente de amortecimento é extremamente baixo Portanto esse sistema terá uma resposta muito levemen te amortecida com modos flexíveis muito oscilatórios Não seria considerada aceitável com o compensador de avanço escolhido para este exemplo Lugar das raízes com múltiplas raízes complexas Vimos lugares das raízes com pontos de chegada e partida no eixo real É claro que uma equa ção de quarta ordem ou superior pode ter múltiplas raízes complexas Embora tal característica 15 10 Eixo real 0 5 5 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Eixo imaginário φ5 ψ1 φ1 φ2 φ3 φ4 Figura 517 Figura para o cálculo do ângulo de partida para Ls Figura 518 Lugar das raízes para Ls 15 10 Eixo real 0 5 5 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Eixo imaginário Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 213 de um lugar das raízes seja um evento raro é uma curiosidade interessante ilustrada pelo pró ximo exemplo EXEMPLO 510 Lugar das raízes com múltiplas raízes complexas Esboce o lugar das raízes de 1 KLs 0 sendo Solução REGRA 1 Existem quatro ramos no lugar das raízes todos eles se aproximam das assíntotas REGRA 2 O seguimento no eixo real 2 s 0 é parte do lugar das raízes REGRA 3 O centro das assíntotas está localizado em e os ângulos são φl 45 135 45 135 REGRA 4 O ângulo de partida φdep do polo em s 1 j2 baseado na Fig 519 é Podemos observar que ao longo da linha s 1jω φ2 e φ1 são ângulos de um triângulo isós celes e somam 180 Assim a linha de um polo complexo para o outro está no lugar das raízes neste caso especial REGRA 5 Usando o MATLAB podemos ver que existem múltiplas raízes em s 1 122j e ramos do lugar das raízes passam em 1 122j Usando a Regra 5 verificamos que os seg mentos do lugar das raízes partem com ângulos de 0 e 180 como mostrado pelo MATLAB O lugar das raízes neste exemplo é uma transição entre dois casos um em que os polos complexos estão à esquerda de suas posições no exemplo e aproximamse das assíntotas em 135 e outro em que os polos complexos estão à direita de suas posições no exemplo e aproxi mamse das assíntotas em 45 Figura 519 Figura para o cálculo do ângulo de partida para 4 2 Eixo real 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário φ3 φ1 φ2 φ4 214 Sistemas de Controle 54 Projeto usando compensadores dinâmicos O projeto de controle começa com a concepção do próprio processo A consideração inicial de potenciais problemas de controle no projeto do processo e a seleção tanto do atuador quan to do sensor são de suma importância Não é incomum em um primeiro estudo de controle sugerir que o próprio processo seja alterado por exemplo pela adição de amortecimento ou rigidez em uma estrutura para tornar o processo mais fácil de ser controlado Uma vez que esses fatores sejam levados em conta o projeto do controlador começa Se a dinâmica do pro cesso for de tal natureza que um projeto satisfatório não possa ser obtido apenas pelo ajuste do ganho proporcional então alguma modificação ou compensação da dinâmica é indicada Com a grande variedade de possíveis esquemas de compensação três categorias foram consideradas particularmente simples e eficazes Existem os compensadores de avanço atraso e de rejeição de faixa notch15 Compensador de avanço aproxima a ação de controle PD e atua principal mente para acelerar uma resposta diminuindo o tempo de subida e diminuindo o sobressinal Compensador de atraso aproxima um controlador PI e é normalmente usado para melhorar a resposta em regime estacionário de um sistema Compensador de rejeição de faixa é utilizado para estabilizar sistemas com modos flexíveis levemente amortecidos como vimos com o con trole de atitude de satélites com atuador e sensor não justapostos Nesta seção examinaremos técnicas para selecionar os parâmetros desses três esquemas Compensadores de avanço de atraso e de rejeição de faixa têm sido historicamente implementados utilizando eletrônica ana lógica e portanto eram muitas vezes referidos como redes Atualmente no entanto a maioria dos novos projetos de sistemas de controle usa a tecnologia da computação digital em que a compensação é implementada em programas computacionais Neste caso é preciso calcular funções de transferência discretas que sejam equivalentes às funções de transferência analó gicas conforme descrito no Capítulo 4 e discutido no Capítulo 8 e em Franklin et al 1998 O compensador com função de transferência da forma 570 é chamado de compensador de avanço se z p e de compensador de atraso se z p O com pensador é tipicamente colocado em série com a planta em seu caminho direto como mostrado na Fig 521 Ele também pode ser colocado no caminho de realimentação e nesta localização ele tem o mesmo efeito sobre os polos do sistema como um todo mas resulta em diferentes respostas transitórias A equação característica do sistema na Fig 521 é 15 Os nomes destes esquemas de compensação derivam de suas respostas em frequência em que a saída é adiantada em relação à entrada em um caso uma mudança de fase positiva e é atrasada em relação à entrada em outro uma mudança de fase negativa Na resposta em frequência do terceiro caso parece que um trecho da resposta foi cortado Consulte o Capítulo 6 Compensadores de avanço e de atraso Figura 520 Lugar das raízes para 4 2 Eixo real 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Eixo imaginário Figura 521 Sistema realimentado com compensador 1 DsGs 0 1 KLs 0 sendo que K e Ls são selecionados para colocar a equação na forma apropriada para o lugar das raízes como feito anteriormente 541 Projeto usando o compensador de avanço Para explicar o efeito básico estabilizante do compensador de avanço em um sistema considere inicialmente o controle proporcional Ds K Se aplicarmos esse compensador em um sistema de controle de segunda ordem com a função de transferência normalizada Gs 1 ss1 o lugar das raízes em relação a K é representado pela linha sólida na Fig 522 Também na Fig 522 é mostrado o lugar das raízes produzido pelo controle proporcional mais derivativo sendo Ds Ks2 O lugar das raízes modificado é o círculo desenhado com linha tracejada Como vimos nos exemplos o efeito do zero é mover o lugar das raízes para a esquerda em direção a parte mais estável do planos Se agora a nossa especificação de velocidade de resposta exige ωn2 então o controle proporcional D K só pode produzir um valor muito baixo de coeficiente de amortecimento ζ quando as raízes são colocadas no valor especificado de ωn Assim no ganho especificado o sobressinal será substancial No entanto adicionando o zero do controlador PD podemos mover o lugar das raízes para uma posição em que as raízes de malha fechada estão em ωn 2 e coeficiente de amortecimento ζ 05 Nós compensamos a dinâmica usando Ds Ks 2 Como observamos anteriormente o controle derivativo puro normalmente não é prático pois amplifica ruídos do sensor devido à diferenciação e precisa ser aproximado Se o polo do compensador em avanço é posicionado fora da faixa de projeto de ωn então não é de se esperar uma perturbação significativa na resposta dinâmica Por exemplo considere o compensador em avanço Ds K s 2 s p Figura 522 Lugares das raízes para 1 DsGs 0 Gs 1 ss1 com compensador Ds K linha contínua e com Ds Ks 2 linhas tracejadas 216 Sistemas de Controle Os lugares das raízes para dois casos com p 10 e p 20 são mostrados na Fig 523 junto com o lugar das raízes do controle PD O fato importante sobre estes lugares das raízes é que para pequenos ganhos antes da verdadeira raiz partindo de p aproximarse de 2 os lugares das raízes com os compensadores em avanço são quase idênticos ao lugar das raízes para Ds Ks 2 Notese que o efeito do polo é reduzir o amortecimento mas para a parte inicial do lugar das raízes o efeito da polo não é grande se p 10 Normalmente a escolha dos valores de z e p na Eq 570 para casos particulares é feita por tentativa e erro o que pode ser agilizado com a experiência Em geral o zero é colocado na vizinhança da ωn em malha fechada determinada pelas especificações de tempo de subida e de acomodação e o polo é posicionado a uma distância de 5 a 20 vezes o valor da localização zero A escolha da localização exata do polo é um compromisso entre os efeitos contraditórios de supressão de ruído para o qual se quer um valor pequeno de p e eficácia da compensação para a qual se quer um valor grande de p Em geral se o polo é muito próximo do zero então como pode ser visto na Fig 523 o lugar das raízes se move para trás em direção à sua forma sem compensação e a função do zero não é bem sucedida Por outro lado por razões que são talvez mais fáceis de serem entendidas a partir da resposta em frequência quando o polo esta muito longe para a esquerda a ampliação do ruído do sensor que aparece na saída do Ds é muito grande e o motor ou outro atuador do processo pode sobreaquecer pela energia do ruído no sinal de controle ut Com um grande valor de p a compensação aproxima o controle PD puro Um exemplo simples irá ilustrar a abordagem EXEMPLO 511 Projeto usando compensador de avanço Encontre um compensador para Gs 1ss1 que resulte em um sobressinal que não seja maior que 20 e em um tempo de subida que não seja maior que 03 segundos Solução A partir do Capítulo 3 estimamos que um coeficiente de amortecimento ζ 05 e uma frequência natural de ωn 6 devem satisfazer os requerimentos Para fornecer algu ma margem de segurança escolhemos ζ 05 e ωn 7 rads Considerando o lugar das raízes traçado na Fig 523 considere inicialmente A Figura 524 mostra que K 70 irá resultar em ζ 056 e ωn 77 rads os quais satisfazem os requerimentos baseados em estimativas iniciais O terceiro polo vai estar em s 24 com K 70 Como este terceiro polo está muito próximo do zero em 2 o sobressinal não deve aumentar muito comparado ao caso de segunda ordem Entretanto a Fig 525 mostra que a resposta ao degrau do sistema excede a especificação de sobressinal por um pequeno valor Seleção do zero e do polo de um compensador de avanço Figura 523 Lugares das raízes para três casos com linha contínua Eixo imaginário Eixo real 6 2 1 0 1 2 3 4 5 3 2 1 0 1 2 3 Compensador com polo em 20 Compensador com polo em 10 Controlador PD Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 217 Normalmente o compensador em avanço no caminho direto aumenta o sobressinal em uma resposta ao degrau em virtude do zero do compensador ter um efeito de diferenciação como discutido no Capítulo 3 O requerimento de tempo de subida foi atingido pois o tempo gasto para a amplitude da resposta variar de 01 a 09 é menor que 03 s Queremos ajustar o compensador para conseguir um amortecimento melhor a fim de redu zir o sobressinal na resposta transitória A maneira conveniente de fazer isso é usar o RLTOOL sysG tf11 1 0 sysD tf1 21 10 rltoolsysGsysD Movimentando o polo do compensador de avanço mais para a esquerda a fim de puxar o lugar das raízes nesta direção irá fornecer mais amortecimento que o projeto anterior A Figura 526 mostra o lugar das raízes com as regiões no planos na mesma figura do RLTOOL A resposta transitória obtida a partir do RLTOOL é mostrada na Fig 527 e demonstra que a especificação de sobressinal agora é satisfeita com Mp 17 e o tempo de subida é um pouco degradado em relação à iteração anterior mas ainda satisfaz à especificação de 03 s Figura 525 Resposta ao degrau para o Exemplo 511 14 4 2 0 2 4 6 8 12 10 Eixo real 8 6 4 2 0 2 4 6 8 Eixo imaginário Amortecimento 05 K 70 ω 7 0 18 15 12 09 06 03 Tempo s 14 12 1 08 06 04 02 0 Amplitude Figura 524 Lugar das raízes para o compen sador de avanço 218 Sistemas de Controle Como afirmado anteriormente o nome compensador de avanço é reflexo do fato de que para sinais senoidais estas funções de transferência resultam em um aumento de fase Por exemplo a fase da Eq 570 para s jω é dada por Figura 527 Resposta ao degrau para 14 12 1 08 06 04 02 0 Amplitude 0 02 04 06 08 1 Tempo s 12 14 16 18 Figura 526 Ilustra ção do ajuste de um compensador de avan ço dinâmico usando a RLTOOL Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 219 571 Se z p então φ é positivo o que por definição indica um avanço de fase Os detalhes de projeto usando o ângulo de fase do compensador de avanço serão tratados no Capítulo 6 542 Projeto usando o compensador de atraso Obtida uma resposta dinâmica satisfatória talvez usando um ou mais compensadores de avan ço podemos descobrir que o ganho para baixa frequência o valor da constante de erro em es tado estacionário relevante como Kv ainda é muito baixo Como vimos no Capítulo 4 o tipo de sistema que determina o grau do polinômio que o sistema é capaz de seguir é determinado pela ordem do polo da função transferência DsGs em s 0 Se o sistema é do Tipo 1 a cons tante de erro de velocidade que determina a magnitude do erro a uma entrada da rampa é dada por lims0sDsGs Para aumentar essa constante é necessário manter a resposta dinâmica satisfatória já obtida Assim queremos uma expressão para Ds que trará um ganho significati vo em s 0 para aumentar Kv ou alguma outra constante erro em estado estacionário mas que seja quase unitária sem efeito em alta frequência onde a resposta dinâmica é determinada O resultado é 572 na qual os valores de z e p são pequenos comparados com ωn mas D0 zp 3 a 10 o valor depende do grau em que o ganho em estado estacionário deve ser aumentado Como z p a fase φ dada pela Eq 571 é negativa correspondendo a um atraso de fase Portanto um dispo sitivo com essa função de transferência é chamado de compensador de atraso Os efeitos do compensador de atraso na resposta dinâmica podem ser estudados olhando o lugar das raízes correspondente Mais uma vez consideramos incluindo o compensador de avanço que produz o lugar das raízes na Fig 526 Com o ganho de K 91 do exemplo anterior vemos que a constante de velocidade é Suponha que exigimos Kv 70 Para obter isso precisamos de um compensador de atraso com zp 5 a fim de aumentar a constante de erro velocidade por um fator de 5 Isso pode ser feito com um polo em p 001 e um zero em z 005 o que mantém os valores de z e p muito pequenos para que D2s tenha pouco efeito sobre a região no lugar das raízes que repre senta a dinâmica dominante em torno ωn 7 O resultado é um compensador com a função de transferência O lugar das raízes com ambos os compensadores é apresentado na Fig 528 e vemos que em grande escala à esquerda não se nota diferença em relação à Fig526 Este foi o resultado da seleção de valores muito pequenos para o polo e zero Com K 91 as raízes dominantes estão em 58 j65 O efeito do compensador de atraso pode ser visto através da expansão da região no lugar das raízes em torno da origem como mostrado no lado direito da Fig 528 Aqui podemos ver o lugar geométrico circular que é um resultado do polo e zero pequenos Uma raiz de malha fechada continua muito perto do zero do compensa dor de atraso em 005 0j portanto a resposta transitória correspondente a esta raiz vai ser um termo com decaimento muito lento que terá uma magnitude pequena pois o zero quase cancela o polo na função de transferência Ainda assim o decaimento é tão lento que este termo pode influenciar seriamente o tempo de acomodação Além disso o zero não vai estar presente na resposta ao degrau para um torque de perturbação e o transiente lento será muito mais evi Um exemplo de compensador de atraso 220 Sistemas de Controle dente Devido a este efeito é importante posicionar a combinação polozero tão alta quando possível sem causar grandes mudanças na região dominante do lugar das raízes 543 Projeto usando o compensador de rejeição de faixa Suponha que o projeto tenha completado com o compensador de atraso e avanço dado por 573 mas quando testado notouse uma grande oscilação em torno de 50 rads devido à existência de uma insuspeita flexibilidade do tipo não justaposto na frequência natural de ωn 50 Feito o ajuste necessário a função de transferência da planta incluindo o efeito da flexibilidade é estimada como 574 Um engenheiro mecânico afirma que o controle tem alterado excessivamente o amorteci mento do modo flexível Em outras palavras como vimos a partir do sistema semelhante cujo lugar das raízes é mostrado na Fig 518 as raízes levemente amortecidas em 50 rads se tor naram ainda menos amortecidas ou talvez instáveis devido à realimentação O melhor método para corrigir esta situação é modificar a estrutura para que haja um aumento no amortecimento mecânico Infelizmente isso nem sempre é possível porque este problema é encontrado muito tarde na etapa de projeto Se não for possível de que outra forma esta oscilação pode ser corri gida Há pelo menos duas possibilidades Adicionar mais um compensador de atraso para di minuir o ganho de malha suficientemente para que a oscilação seja eliminada Reduzir o ganho em alta frequência é chamado de ganho de estabilização Se o tempo de resposta resultante a partir do ganho de estabilização for muito longo uma segunda alternativa é adicionar um zero perto da ressonância de modo a mudar os ângulos de partida dos polos de ressonância para que as raízes de malha fechada passem para o SPE fazendo eliminar o transiente associado Esta abordagem é chamada de estabilização de fase e sua ação é semelhante à da flexibilidade no controle de movimento justaposto discutido anteriormente Estabilização de ganho e fase são explicados mais precisamente por seus efeitos na resposta em frequência Capítulo 6 no qual esses métodos de estabilização serão mais bem discutidos Para a estabilização de fase o Ganho e fase de estabilização 12 10 8 6 4 2 2 8 6 4 2 2 4 6 8 Ims Res 008 006 004 002 002 004 006 008 Ims Res 014 012 01 008 006 004 002 002 004 Figura 528 Lugar das raízes com os compensadores de atraso e de avanço Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 221 resultado é chamado de compensador de rejeição de faixa notch e um exemplo tem a função de transferência 575 Uma decisão necessária para o projeto é selecionar onde colocar a frequência de rejeição acima ou abaixo da ressonância natural da flexibilidade a fim de obter a fase necessária Uma verifica ção do ângulo de partida mostra que com a planta compensada pela Eq 573 e o compensador de rejeição como dado é necessário colocar a frequência de rejeição acima da ressonância para obter um ângulo de saída apontando para o SPE Assim a compensação adicionada tem a fun ção de transferência 576 O ganho do compensador em s 0 foi mantido em 1 de modo a não alterar o Kv O novo lugar das raízes é mostrado na Fig 529 e a resposta ao degrau é mostrada na Fig 530 Note da resposta ao degrau que as oscilações são bem amortecidas a especificação de tempo de subida é satisfeita mas o sobressinal aumentou Para retificar o sobressinal e atender rigorosamente a todas as especificações uma nova iteração deve ser realizada a fim de proporcionar um maior amortecimento nas raízes rápidas nas proximidades de ωn 7 rads Ao considerar a rejeição de faixa ou a estabilização de fase é importante compreender que seu sucesso depende da manutenção da fase correta na frequência de ressonância Se esta frequência está sujeita a alterações significativas como é comum em muitos casos então a fre quência de rejeição precisa ser posicionada longe o suficiente da frequência nominal a fim de funcionar para todos os casos Como regra geral a estabilização de ganho é substancialmente mais robusta a mudanças na planta do que a estabilização de fase 544 Implementação analógica e digital Compensador de avanço pode ser realizado de duas maneiras Em eletrônica analógica um método comum é usar um amplificador operacional cujo exemplo está mostrado na Fig 531 Compensador de avanço pode ser implementado usando eletrônica analógica mas computadores digitais são preferidos Figura 529 Lugar das raízes com os compensadores de avanço de atraso e de rejeição 120 100 80 60 40 Eixo real 20 100 80 60 40 20 0 20 60 20 40 0 20 40 60 Eixo imaginário 086 094 0985 0985 094 086 076 064 05 034 016 076 064 05 034 016 222 Sistemas de Controle A função de transferência do circuito na Fig 531 é facilmente encontrada pelos métodos do Capítulo 2 como sendo Davanço 577 sendo se Se o projeto de Ds estiver completo e se for desejado implementálo de forma digital então a técnica do Capítulo 4 pode ser usada selecionando um período de amostragem Ts e então fazendo a substituição de por s Por exemplo considere o compensador de avanço Escolhendo o período de amostragem como um sexto do tempo de subida como o tempo de subida é aproximadamente 03 temos Ts 005 s Com a substituição de por s na função de transferência temos a função de transferência discreta 578 Usando a operação no domínio do tempo zukTs ukTs Ts vemos que a Eq 578 é equivalente à fórmula do controlador dada por Figura 530 Resposta ao degrau com os compensadores de avanço de atraso e de rejeição 15 1 05 0 0 02 04 06 08 Tempo s Amplitude 1 12 14 16 18 Figura 531 Possível circuito para um compen sador de avanço Vin V0 C Rf R1 R2 Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 223 579 Os comandos no MATLAB para gerar o controlador equivalente discreto são sysC tf1 21 13 sysD c2DsysC005 A Fig 532 apresenta o diagrama no SIMULINK para a implementação digital do contro lador O resultado da simulação é apresentado na Fig 533 a qual compara as respostas com os controladores analógico e digital e na Fig 534 que apresenta os sinais de controle dos controladores analógico e digital Como os compensadores de avanço os de atraso ou de rejeição de faixa podem ser imple mentados usando um computador digital e seguindo o mesmo procedimento No entanto eles também podem ser implementados utilizando eletrônica analógica e um circuito de uma rede de atraso é dado na Fig 535 A função de transferência desse circuito pode ser obtida como Degrau Controlador PI 91 Ganho Kc Tau 1 Tau 2 Mux 1 Saída s2 s13 1 s 1 s1 Controlador PI discreto 91 Ganho Kd tau 1 tau 2 155z14 196z1 1 s 1 s1 Mux 1 Controle Mux Mux Figura 532 Diagrama no SIMULINK para a comparação dos controles digital e analógico 14 Controlador digital Controlador contínuo 12 1 08 06 04 Amplitude 02 00 05 1 Tempo s 15 2 Figura 533 Comparação das res postas com os controladores analó gico e digital 224 Sistemas de Controle sendo Geralmente Ri R2 assim o ganho de alta frequência é unitário ou a 1 e o ganho de baixa frequência é aumentado melhorando Kv ou outra constante de erro é feita como 55 Um exemplo de projeto usando o lugar das raízes EXEMPLO 512 Controle de um avião pequeno Para o Dakota Piper mostrado na Fig 536 a função de transferência entre o profundor e a atitude de inclinação é 580 sendo θ ângulo de inclinação em graus veja a Fig 1030 δe ângulo do profundor Figura 534 Comparação dos si nais de controle dos controladores analógico e digital 100 80 60 40 20 0 20 40 0 05 1 15 2 Tempo s Amplitude Controlador digital Controlador contínuo Ri R1 R2 C Figura 535 Possível cir cuito para o compensador de atraso Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 225 Para uma discussão mais detalhada sobre o movimento longitudinal de aeronaves veja a a Seção 103 1 Projete um piloto automático para que a resposta a uma entrada em degrau no profundor tenha um tempo de subida de 1 s ou menos e um sobressinal menor que 10 2 Quando há um distúrbio de momento constante atuando na aeronave e o piloto deve forne cer uma força constante sobre os controles para um voo estável dizse estar sem compen sação A função de transferência entre o distúrbio de momento e a atitude é a mesma em virtude do profundor ou seja 581 sendo Md o momento atuando na aeronave Existe uma superfície aerodinâmica separada para compensação δt que pode ser acionada para alterar o momento sobre o avião A cauda do avião é mostrada em detalhe na Fig 536 Sua influência é representada no diagrama de blocos mostrado na Fig 537a Para ambos os voos manual e automático é desejável ajustar o compensador trim de modo que não haja esforço de controle exigido em regime permanente do profundor que é então δe 0 No voo manual isso significa que nenhu ma força é exigida para o piloto manter o avião a uma altitude constante enquanto que no piloto automático o controle significa reduzir a quantidade de energia elétrica necessária no servomotor que conduz o profundor Projete um piloto automático para comandar o profundor δt de modo a impulsionar o valor de estado estacionário de δe de zero para um momento constante arbitrário Md bem como para atender às especificações do item a Solução 1 Para satisfazer à especificação de tempo de subida tr 1 s a Eq 360 indica que ωn para o caso ideal de segunda ordem deve ser maior que 18 rads Para fornecer um sobressinal Figura 536 Projeto de piloto automático no Piper Dakota mos trando o profundor e o compensa dor do profundor Fonte foto cortesia de Denise Freeman Compensador do profundor δt a b Profundor δe Figura 537 Diagrama de blocos para o projeto do piloto automático a malha aberta b esquema realimentado excluindo o compensador do profundor menor que 10 a Fig 323 indica que ζ deve ser maior que 06 novamente para o caso ideal de segunda ordem No processo de projeto podemos examinar um lugar das raízes para um compensador candidato de realimentação e em seguida olhar a resposta temporal que resulta quando as raízes parecem satisfazer às diretrizes de projeto No entanto uma vez que este é um sistema de quarta ordem as diretrizes de projeto podem não ser suficientes ou podem ser excessivamente restritivas Para iniciar o processo de projeto muitas vezes é instrutivo olhar para as características do sistema com realimentação proporcional isto é onde Ds 1 na Fig 537b Os comandos no MATLAB para criar um lugar das raízes com relação a K e a resposta temporal para o caso de realimentação proporcional com K 03 são numG 160conv1 251 07 denG conv1 5 401 003 006 sysG tfnumGdenG rlocussysG K 03 sysL KsysG sysH tf11 sysT feedbacksysLsysH stepsysT O lugar das raízes e a resposta temporal resultantes são mostrados com linhas tracejadas nas Figs 538 e 539 Note que a partir da Fig 538 as duas raízes mais rápidas sempre terão um coeficiente de amortecimento ζ que é menor que 04 portanto a realimentação proporcional não será aceitável Além disso as raízes mais lentas têm algum efeito sobre a resposta temporal mostrada na Fig 539 curva tracejada com K 03 causando um longo tempo de acomodação No entanto o comportamento nos primeiros segundos é a característica dominante da resposta que determina se a compensação atende às especificações o que é imposto pelas raízes rápidas O amortecimento baixo das raízes rápidas faz com que a resposta temporal seja oscilatória o que leva a um sobressinal excessivo e a um tempo de acomodação maior que o especificado Vimos na Seção 541 que o compensador de avanço faz com que o lugar das raízes se mova para a esquerda aqui está é uma mudança necessária para aumentar o amortecimento Algumas tentativas e erros serão necessários para se chegar às posições adequadas para o zero e polo Valores de z 3 e p 20 na Eq 570 têm um efeito substancial para movimentar os ramos rápidos do lugar das raízes para a esquerda assim Ds s 3 s 20 Tentativas e erros também são necessários para se chegar a um valor de K que atenda às especificações Os comandos no MATLAB para adicionar essa compensação são Compensador de avanço via MATLAB Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 227 numD 1 3 denD 1 20 sysD tfnumDdenD sysDG sysDsysG rlocussysDG K 15 sysKDG KsysDG sysH tf11 sysT feedbacksysKDGsysH stepsysT O lugar das raízes para este caso e a resposta temporal correspondente também são mostrados nas Figs 538 e 539 por linhas contínuas Note que o amortecimento das raízes rápidas que correspondem a K 15 é ζ 052 ligeiramente menor do que gostaríamos além disso a frequência natural é ωn 15 rads muito mais rápida do que precisamos No entanto estes valores estão próximos o suficiente para satisfazer às diretrizes de projeto Figura 539 Respostas temporais do piloto auto mático Res Ims Res Ims 2 3 4 10 05 05 10 Ims 5 10 5 10 15 20 Ims 5 10 K 15 K 15 K 03 K 03 Realimentação proporcional Compensador de avanço Figure 538 Lugar das raízes para o projeto do piloto automático 15 10 05 0 0 1 2 3 4 5 6 Compensador de avanço Realimentação proporcional θ Tempo s sugerindo verificar a resposta temporal Na verdade a resposta temporal mostra que tr 49 s e Mp 8 dentro das especificações embora por uma margem muito pequena Em suma o primeiro passo do projeto consistiu em ajustar a compensação para influenciar as raízes rápidas examinando seus efeitos sobre a resposta temporal e continuando as iterações de projeto até que as especificações de tempo estivessem satisfeitas 2 O objetivo do dispositivo de compensação da aeronave é proporcionar um momento que vai eliminar um valor em estado estacionário diferente de zero do profundor Portanto se integrar o δe de comando do profundor e alimentar o dispositivo de compensação com este resultado o compensador deve proporcionar o momento necessário para manter uma altitude arbitrária eliminando assim a necessidade de um estado estacionário δe Esta ideia é mostrada na Fig540a Se o ganho do termo integral KI é pequeno o suficiente o efeito desestabilizador de adicionar o integrador deve ser pequeno e o sistema deve se comportar aproximadamente como antes uma vez que a realimentação foi deixada intacta Com o propósito de análise o diagrama de blocos na Fig 540a pode ser reduzido àquele na Fig 540b com o compensador incluindo o temo PI da forma DIs KDs 1 KI s No entanto é importante manter em mente que fisicamente haverá duas saídas da compensação δe usada pelo servomotor do profundor e δt usada pelo servomotor do compensador do profundor A equação característica do sistema com o termo integral é 1 KDG KI s KDG 0 Para auxiliar no processo de projeto é desejável encontrar o lugar das raízes em relação a KI mas a equação característica não está em qualquer uma das formas dadas pelas Eqs 5659 Portanto dividindo por 1 KDG temos 1 KI sKDG 1 KDG 0 Para colocar o sistema na forma do lugar das raízes definimos Ls 1 s KDG 1 KDG 582 No MATLAB com KDG 1KDG já computado como sysT construímos o integrador como sysIn tf11 0 o ganho de malha do sistema em relação a KI como sysL sysInsysT e o lugar das raízes com relação a KI é encontrado usando o comando rltoolsysL Podese ver a partir do lugar das raízes na Fig 541 que o amortecimento das raízes rápidas diminui com o aumento KI o caso típico quando o controle integral é adicionado Isto Figura 540 Diagrama de blocos apresentando o compensador do profundor Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 229 mostra a necessidade de manter o valor de KI tão baixo quanto possível Depois de algumas tentativas e erros é selecionado KI 015 Este valor tem pouco efeito sobre as raízes note as raízes estão praticamente em cima das raízes anteriores obtidas sem o termo in tegral e pouco efeito sobre o comportamento de curto prazo da resposta ao degrau como mostrado na Fig 542a então as especificações continuam a ser atendidas KI 015 faz com que a atitude de longo prazo se aproxime do valor de referência sem erro como seria de se esperar com o controle integral Isto também faz com que δe se aproxime de zero a Fig 542b mostra que o tempo de acomodação é aproximadamente 30 s o que é a boa razão de se considerar em primeiro lugar o controle integral O tempo para o termo integral encontrar o valor correto é previsto pela nova raiz lenta que é adicionada pelo termo inte gral em s 014 A constante de tempo associada a esta raiz é τ 1014 7 s O tempo de acomodação considerando 1 para uma raiz com σ 014 é mostrado pela Eq 365 como sendo ts 33 s o que está de acordo com o comportamento na Fig 542b 56 Extensões do método do lugar das raízes Como vimos neste capítulo a técnica do lugar das raízes é um esquema gráfico para mostrar as localizações das possíveis raízes de uma equação algébrica quando um único parâmetro real varia O método pode ser estendido para considerar valores negativos do parâmetro uma con sideração sequencial de mais de um parâmetro e sistemas com retardo no tempo Nesta seção vamos examinar essas possibilidades Outra extensão interessante para sistemas não lineares está no Capítulo 9 561 Regras para esboçar um lugar das raízes negativo 0 Vamos considerar agora modificar o procedimento do lugar das raízes para permitir a análise dos valores negativos do parâmetro Em vários casos importantes a função de transferência da planta tem um zero no SPD e é dito ser de fase não mínima O resultado é geralmente um lugar das raízes da forma 1 Azi sGs 1 As ziGs 0 e na forma padrão o pa Res Ims Res Ims 1 2 3 4 15 10 05 05 15 10 Ims 5 10 15 5 10 15 20 Ims 5 10 15 Figura 541 Lugar das raízes em relação a KI assume a adição de um termo integral e do compensador em avanço com um ganho K 15 as raízes para KI 015 são marcadas com 230 Sistemas de Controle râmetro K A deve ser negativo Outra questão importante para a compreensão do lugar das raízes negativo está na construção de um sistema de controle Em qualquer implementação fí sica de um sistema de controle há inevitavelmente uma série de amplificadores e componentes cujo sinal do ganho deve ser selecionado Pela Lei de Murphy16 quando a malha for fechada o sinal vai estar errado e o comportamento será inesperado a menos que o engenheiro entenda como a resposta vai ser se o ganho for positivo em vez de negativo Então quais são as regras para o lugar das raízes negativo lugar das raízes em relação a um parâmetro negativo Em primeiro lugar as Eqs56 59 devem ser satisfeitas para valores negativos de K o que implica que Ls é real e positivo Em outras palavras para o lugar das raízes negativo a condição de fase é O ângulo de Ls é 0 360l 1 para s no lugar das raízes negativo Definição do lugar das raízes negativo Os passos para traçar um lugar das raízes negativo são essencialmente os mesmos que para o lugar das raízes positivo exceto o fato de procurar lugares onde o ângulo de Ls é 0 360l 1 em vez de 180 360l 1 Por esta razão um lugar das raízes negativo é tam bém referido como um lugar das raízes 0 Dessa vez descobrimos que o lugar está à esquerda de um número par de polos mais zeros reais O cálculo das assíntotas para grandes valores de s é como antes dado por 583 mas os ângulos são modificados 16 Qualquer coisa que pode dar errado vai dar errado Figura 542 Resposta ao degrau para o caso com um termo integral e comando de 5 0 6 5 4 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 Tempo s θ 0 02 01 0 01 02 5 10 15 20 25 30 Tempo s δe Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 231 deslocado por do lugar das raízes de 180 A seguir estão as diretrizes para traçar o lugar das raízes de 0 REGRA 1 Como antes Os n ramos do lugar das raízes partem dos polos e m destes ramos se aproximam dos zeros e n m se aproximam das assíntotas no infinito REGRA 2 O lugar das raízes no eixo real está à esquerda de um número par de polos e zeros REGRA 3 As assíntotas são descritas por Observe que a condição de ângulo aqui é medida a partir 0 em vez de 180 como no lugar das raízes positivo REGRA 4 Os ângulos de partida dos polos e os ângulos de chegada nos zeros são encontrados por meio da análise na vizinhança próxima do polo ou zero onde a fase de Ls é 0 para que onde q é a ordem do polo ou zero e l assume valores para os q inteiros tal que os ângulos este jam entre 180 REGRA 5 O lugar das raízes pode ter múltiplas raízes em determinados pontos e os ramos se aproximam a um ponto de q raízes em ângulos separados por e partem em ângulos com a mesma separação O resultado de estender as diretrizes para a construção do lugar das raízes incluindo pa râmetros negativos é que podemos visualizar o lugar das raízes como um conjunto de curvas contínuas mostrando a localização de possíveis soluções da equação 1 KL s 0 para todos os valores reais de K tanto positivos quanto negativos Um ramo do lugar das raízes se afasta de um polo em uma direção para valores positivos de K e um outro ramo de afasta do mesmo polo em outra direção para valores negativos de K Da mesma forma todos os zeros terão dois ramos chegando neles um relacionado com valores positivos de K e outro com valores negativos de K Para os outros n m polos haverá 2n m ramos do lugar das raízes se aproximando as sintoticamente ao infinito enquanto K se aproxima ao infinito nos sentidos negativo e positivo Para um único polo ou zero os ângulos de partida ou de chegada para os dois ramos do lugar das raízes serão separados por 180 Para um polo ou zero duplo os dois ramos positivos serão separados por 180 e os dois ramos negativos serão separados por 90 dos ramos positivos O lugar das raízes negativo é muitas vezes necessário quando se estuda uma função de transferência de fase não mínima Um exemplo bem conhecido é o de controle de nível de líquido na caldeira de vapor Se o nível for muito baixo a válvula de atuador acrescenta re lativamente água fria à água fervendo no reservatório O efeito inicial da adição é diminuir a taxa de ebulição o que reduz o número e o tamanho das bolhas e causa o decaimento do nível momentaneamente antes que o novo nível aumente Este sistema de nível é um exemplo típico de sistemas de fase não mínima Outra função de transferência típica de fase não mínima é a do controle de altitude de um avião Para fazer a subida do avião a deflexão para cima dos profun dores inicialmente faz com que o avião desça antes de subir Um Boeing 747 neste modo pode ser descrito pela função de transferência escalonada e normalizada 232 Sistemas de Controle 584 Para colocar 1 KGs na forma do lugar das raízes precisamos multiplicála por 1 obtendo 585 EXEMPLO 513 Lugar das raízes negativo para um avião Esboce o lugar das raízes negativo para a equação 586 Solução REGRA 1 O lugar das raízes tem três ramos e duas assíntotas REGRA 2 Os trechos do eixo real à direita de s 6 e à esquerda de s 0 pertencem ao lugar das raízes REGRA 3 Os ângulos das assíntotas são e o centro das assíntotas é REGRA 4 O ramo parte do polo em s 2 j3 no ângulo O lugar das raízes é traçado na Fig 543 pelo MATLAB o qual é consistente com os estes valores 562 Considerando dois parâmetros Uma importante técnica para o controle prático é considerar uma estrutura com duas malhas uma malha interna em torno do atuador ou parte da dinâmica do processo e uma malha externa em torno da planta inteira O processo é chamado de malha fechada sucessiva O controlador para a malha interna é selecionado para ser robusto e dar boa resposta sozinho e então a malha externa pode ser projetada para ser mais simples e mais eficaz do que se todo o controle fosse feito sem o auxílio da malha interna O uso do lugar das raízes para estudar tal sistema com dois parâmetros pode ser ilustrado por um exemplo simples Malha fechada sucessiva Figura 543 Lugar da raízes negativo de Ls s 6ss2 4s 13 5 0 Eixo real 5 10 6 4 2 0 2 4 6 Eixo imaginário EXEMPLO 514 Lugar das raízes usando dois parâmetros em sucessão Um diagrama de blocos de uma estrutura relativamente comum de servomecanismo é mostrado na Fig 544 Aqui um dispositivo de medição de velocidade um tacômetro está disponível e o problema é usar o lugar das raízes para guiar a seleção do ganho do tacômetro KT bem como o ganho do amplificador KA A equação característica do sistema na Fig 544 é 1 KAss 1 KTs 1 0 que não está na forma 1 KLs Assim após algumas manipulações a equação característica tornase s2 s KA KTs 0 587 que é uma função de dois parâmetros enquanto que a técnica do lugar das raízes pode considerar apenas um parâmetro por vez Neste caso definimos o ganho KA para um valor nominal de 4 e consideramos primeiro o lugar das raízes em relação a KT Com KA 4 a Eq 587 pode ser colocada na forma para o estudo do lugar das raízes em relação a KT com Ls ss2s4 ou 1 KT ss2 s 4 0 588 Neste caso o zero está em s 0 e os polos estão nas raízes de s2 s 4 0 ou s 12 194j Um esboço do lugar das raízes usando as regras anteriores é mostrado na Fig 545 A partir deste lugar das raízes podemos selecionar KT para que as raízes complexas tenham um coeficiente específico de amortecimento ou escolher qualquer outro valor de KT que resultaria em raízes satisfatórias para a equação característica Considere KT 1 Tendo selecionado um valor de avaliação para KT podemos agora reformar a equação para considerar os efeitos de mudança em KA 4 tendo o novo parâmetro K1 tal que KA 4 K1 O lugar das raízes em relação a K1 é governado pela Eq 550 agora com Ls s22s4 de modo que o lugar das raízes seja para a equação 1 K1 1s2 2s 4 0 589 Figura 544 Diagrama de blocos de uma estrutura de servomecanismo incluindo um tacômetro em realimentação Figura 545 Lugar da raízes dos polos em malha fechada do sistema na Fig 544 em relação a KT 234 Sistemas de Controle Notese que os polos do novo lugar das raízes correspondentes à Eq 589 são as raízes do lugar das raízes anterior que foi elaborado em relação a KT e as raízes foram obtidas com KT 1 O lugar das raízes é esboçado na Fig 546 com o lugar das raízes anterior em relação a KT em linha tracejada Poderíamos momentaneamente esboçar um lugar das raízes em relação ao K1 parar resol ver a equação e continuar o lugar das raízes com relação a KT em uma espécie de gangorra entre os parâmetros KA e KT e portanto usar o lugar das raízes para estudar os efeitos de dois parâ metros sobre as raízes de uma equação característica Note que também podemos traçar o lugar das raízes para valores negativos de K1 e portanto considerar os valores de KA menores que 4 563 Retardo no tempo Retardos no tempo muitas vezes surgem em sistemas de controle devido a atrasos do próprio processo e a atrasos no processamento dos sinais detectados Fábricas de produtos químicos muitas vezes têm processos sujeitos a retardo no tempo representando o tempo do material ser transportado através de tubulações ou outros meios Na medição da atitude de uma nave espacial rumo a Marte há um atraso de tempo significativo para uma informação chegar à Terra devido à velocidade da luz Há também um pequeno retardo no tempo em qualquer sistema de controle digital devido ao tempo de ciclo do computador e ao fato de que os dados são proces sados em intervalos discretos Um retardo no tempo sempre reduz a estabilidade de um sistema e portanto é importante ser capaz de analisar o seu efeito Nesta seção vamos discutir como usar o lugar das raízes para tal análise Apesar de um método exato de analisar o retardo no tempo estar disponível nos métodos de resposta em frequência descritos no Capítulo 6 saber maneiras diferentes de analisar um projeto fornece ao projetista de controle mais flexibilidade e uma capacidade de verificar as possíveis soluções Considere o problema de projetar um sistema de controle para a temperatura do trocador de calor descrito no Capítulo 2 A função de transferência entre o controle As e a saída de tempera tura medida Tm é descrita por dois termos de primeira ordem mais um tempo de atraso Td de 5 s O retardo no tempo surge porque o sensor de temperatura está fisicamente localizado abaixo do trocador de modo que há um atraso em sua leitura A função de transferência é 590 sendo que o termo e 5s é devido à existência do retardo no tempo17 As equações do lugar das raízes correspondentes em relação ao ganho proporcional K são 17 Retardo no tempo geralmente é referênciado como atraso de transporte em processos industriais Atrasos sempre reduzem a estabilidade de um sistema Um exemplo de lugar das raízes com retardo no tempo Figura 546 Lugar da raízes em relação a K1 KA 4 depois de escolher KT 1 Res Ims Ims Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 235 591 Como podemos esboçar o lugar das raízes correspondente à Eq 591 Como não é um polinô mio não podemos prosseguir com os métodos utilizados nos exemplos anteriores Então redu zimos o problema dado a um problema já resolvido anteriormente por aproximação da função não racional e 5s por uma função racional Uma vez que estamos preocupados com sistemas de controle e portanto tipicamente com baixas frequências queremos uma aproximação que vai ser boa para valores pequenos de s18 A maneira mais comum para encontrar essa aproximação é atribuída a H Padé Ela consiste em substituir a função transcendental e 5s por uma expansão em série de uma função racional cujo numerador é um polinômio de grau p e cujo denominador é um polinômio de grau q O resultado é chamado de pq aproximação de Padé19 para e 5s Vamos inicialmente calcular a aproximação para e s e no resultado final vamos substituir Tds por s para permitir qualquer atraso desejado O resultado da 1 1 aproximação de Padé p q 1 é veja o Apêndice W5 disponível em inglês no site do Grupo A para detalhes 592 Se assumirmos que p q 2 temos cinco parâmetros e uma aproximação melhor é possível Neste caso temos a aproximação 22 que tem a função de transferência 593 A comparação dessas aproximações pode ser vista a partir de suas configurações de polo e zero como traçado na Fig 547 Os locais dos polos estão no SPE e os zeros estão no SPD na reflexão dos polos Em alguns casos uma aproximação muito grosseira é aceitável Para pequenos atrasos a apro ximação 0 1 pode ser usada o que é simplesmente uma defasagem de primeira ordem dada por 594 18 A função não racional e5s é analítica para todos os valores finitos de s e assim pode ser aproximada por uma fun ção racional Se funções não analíticas como estivesem envolvidas uma grande cautela seria necessária na seleção de uma aproximação válida próxima a s 0 19 A aproximação p p de Padé para um atraso de T segundos é mais comumente usada e é calculada no MATLAB com o comando numden padeT P Aproximação de Padé Figura 547 Polos e zeros das aproximações de Padé para e s com índices identificando a aproximação correspondente por exemplo x1 representa a aproximação 11 Res Ims 2 1 1 Ims 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 1 1 2 236 Sistemas de Controle Para ilustrar o efeito de um atraso e da precisão das diferentes aproximações os lugares das raízes para o trocador de calor considerando quatro casos são desenhados na Fig 548 Observe que para ganhos baixos até o ponto onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginá rio as curvas aproximadas estão muito próximas do exato No entanto a curva 2 2 de Padé segue a curva exata por mais tempo que a curva de primeira ordem e sua maior precisão seria útil se o atraso fosse maior Todas as análises do atraso mostram o seu efeito instabilizador e como ele limita o tempo de resposta possível do sistema Enquanto a aproximação de Padé resulta em uma função de transferência racional na teoria isto não é necessário para traçar o lugar das raízes A aplicação direta da condição de fase pode ser usada para traçar o lugar exato das raízes para um sistema com retardo no tempo A con dição de faseângulo não é alterada se a função de transferência do processo não for racional então ainda é necessário procurar por valores de s para os quais a fase seja 180 360l Se escrevermos a função de transferência como a fase de Gs é a fase de menos λω para s σ jω Assim podemos formular o lugar das raízes como procurar por localização onde a fase de é 180 Tdω 360l 1 Para traçar tal lugar das raízes fixamos ω e procuramos ao longo de uma linha horizontal no plano s um ponto que pertence ao lugar das raízes então o valor de ω é incrementado mudando o ângulo alvo e o procedimento é repetido Da mesma forma os ângulos de partida são modifica dos por Tdω sendo ω a parte imaginária do polo a partir da qual a partida está sendo calculada O MATLAB não fornece um programa para traçar o lugar das raízes de sistemas com atraso por isso aqui devemos nos satisfazer com as aproximações de Padé Uma vez que é possível traçar a resposta em frequência ou Bode do atraso exatamente e com facilidade se o projetista considera que a aproximação de Padé não é satisfatória os métodos de resposta em frequência de projeto descritos no Capítulo 6 podem ser utilizados 57 Perspectiva histórica No Capítulo 1 foi dada uma visão geral do desenvolvimento inicial do controle realimentado e do projeto de controle incluindo resposta em frequência e lugar das raízes O projeto ba seado no lugar das raízes foi introduzido em 1948 por Walter R Evans que estava trabalhando no campo de orientação e controle de aeronaves e mísseis na Autonetics Division of North American Aviation agora parte da The Boeing Co Muitos de seus problemas envolviam dinâmica instável ou neutramente estável o que tornou difícil a aplicação de métodos baseados na resposta em frequência então ele sugeriu voltar para o estudo da equação característica que tinha sido a base do trabalho de Maxwell e Routh quase Comparação de métodos de aproximar atrasos Res Ims Sem retardo no tempo Retardo aproximado pela defasagem de primeira ordem Eq 594 Retardo aproximado pela 22 aproximação de Padé Eq 593 Retardo e5s exata 06 04 02 02 04 06 05 05 0 Figura 548 Lugar das raízes para o trocador de calor com e sem retardo no tempo Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 237 70 anos antes No entanto em vez de tratar o problema algébrico Evans tratou um problema grá fico no planos Evans também estava interessado em caraterizar a resposta dinâmica dos veícu los aeroespaciais controlados por isso estudou as raízes do sistema em malha fechada a fim de compreender seu comportamento dinâmico Para facilitar esse entendimento Evans desenvolveu técnicas e regras que permitem seguir graficamente os caminhos das raízes da equação caracte rística quando um parâmetro é alterado Seu método é apropriado para o projeto bem como para a análise de estabilidade e continua sendo uma importante técnica hoje Originalmente esse método permitiu que as soluções fossem obtidas à mão já que os computadores não estavam disponíveis para os engenheiros de projeto durante a década de 1940 no entanto eles continuam sendo uma ferramenta importante hoje para ajudar no processo de projeto Como aprendemos neste capítulo o método de Evans envolve encontrar um lugar geométrico dos pontos onde os ângulos para os outros polos e zeros se adicionam até um determinado valor Para ajudar nessa determinação Evans inventou o Spirule que é mostrado na Fig 549 O dispositivo poderia ser usado para medir os ângulos e para executar a adição ou subtração deles rapidamente Um en genheiro de controle habilidoso poderia avaliar se o critério de ângulo foi atendido por um pro blema de projeto bastante complexo em poucos segundos Além disso a curva espiral na parte retangular do dispositivo permite ao projetista multiplicar distâncias a fim de determinar o ganho em um ponto selecionado no lugar das raízes de forma semelhante a uma régua de cálculo Evans foi claramente motivado a ajudar o engenheiro que não tinha auxílio de um com putador na sua tarefa de análise e controle de sistemas Computadores eram praticamente ine xistentes na década de 1940 Computadores de grande porte começaram a ser usados para pro cessamento de dados em grande escala por empresas na década de 1950 mas até 1960 não havia cursos sobre programas de engenharia que ensinava a usar os computadores para análise e projeto O uso de computadores na engenharia tornouse comum na década de 1960 mas o processo envolvido em enviar um trabalho para um computador era feito através de um grande número de cartões perfurados além da espera pelos resultados por horas ou por toda a noite uma situação que não era propícia para qualquer tipo de iteração de projeto Computadores de grande porte daquela época tiveram suas válvulas substituídas por transistores a memória de acesso tinha em torno de 32k e os dados eram transmitidos por uma unidade de fita magnéti ca Unidades de discos surgiram durante essa década acelerando significativamente o processo de recuperação de dados Um grande passo na computação para os engenheiros ocorreu quando o processamento de dados baseado em cartões perfurados foi substituído pelo compartilhamen to de tempo com muitos usuários de terminais remotos durante o final dos anos 1960 e início de 1970 Calculadoras mecânicas também estavam disponíveis nos anos de 1940 1950 e 1960 e elas podiam somar subtrair multiplicar e dividir e custavam cerca de 2000 dólares em 1960 Algumas calculadoras podiam também fazer o cálculo de raiz quadrada Essas máquinas foram a base para os cálculos complexos feitos em Los Alamos durante a Segunda Guerra Mundial Elas eram do tamanho de uma máquina de escrever tinham um grande cabeçote que ia e voltava durante os cálculos e de vez em quando tocavam um sino ao final do curso do cabeçote veja a Fig 550 Elas tinham precisão de oito ou mais casas decimais e eram frequentemente usadas após o advento dos computadores para realizar checagem dos resultados contudo uma raiz quadrada podia demorar dezenas de segundos para ser concluída as máquinas eram barulhentas e o processo era tedioso Engenheiros empreendedores desenvolveram cálculos especiais que geravam certas músicas e não era incomum ouvir músicas como Jingle Bells Figura 549 Spirule dispositivo usado para o esboço do lugar das raízes antes dos computadores Fonte foto cortesia de David Powell 238 Sistemas de Controle O computador pessoal chegou no final de 1970 embora utilizasse uma fita cassete para armazenamento de dados e tivesse uma memória muito limitada geralmente menor que 16k Contudo essas máquinas amadureceram ao longo da década que se seguiu quando o computa dor entrou para o projeto de engenharia Primeiro veio o disquete de armazenamento de dados seguido pelo disco rígido nos meados e no final da década de 1980 Inicialmente as linguagens BASEC e APL foram um dos principais métodos de programação O MATLAB foi introduzido por Cleve Moler em 1970 Duas coisas aconteceram em 1984 a Apple introduziu o MacIntosh aponte e clique e o PCMATLAB foi introduzido pela The Mathworks que foi especificamente fundado para comercializar o MATLAB em computadores pessoais Inicialmente o MATLAB da Mathworks foi escrito para análise e controle de sistemas mas começou a envolver muitos outros campos após seu lançamento Nesse ponto da evolução o engenheiro poderia realmente realizar iterações de projeto com pouco ou nenhum tempo entre os ensaios Outros programas similares estavam disponíveis para os computadores dois deles CTRLC e MATRIXx no en tanto não se adaptaram à revolução do computador pessoal e estão caindo em desuso RESUMO Um lugar das raízes é um gráfico de valores de s que são soluções da equação 1 KLs 0 com relação ao parâmetro real K 1 Quando K 0 s está no lugar das raízes se Ls 180 produzindo um lugar das raízes de 180 ou K positivo 2 Quando K 0 s está no lugar das raízes se Ls 0 produzindo um lugar das raízes de 0 ou K negativo Se KLs é a função de transferência do ramo direto de um sistema então a equação caracte rística do sistema com realimentação negativa é 1 KLs 0 e o método do lugar das raízes mostra o efeito de alterar o valor do ganho K nas raízes do sistema em malha fechada Um lugar das raízes específico a um sistema sysL em notação do MATLAB pode ser traçado pelos comandos rlocussysL e rltoolsysL Um conhecimento prático de como determinar um lugar das raízes é útil para verificar os resultados computacionais e para sugerir alternativas de projeto As instruções fundamentais de auxílio para esboçar um lugar das raízes de 180 são as seguintes 1 O lugar das raízes no eixo real está à esquerda de um número ímpar de polos e zeros 2 Dos n ramos m se aproximam dos zeros de Ls e n m ramos se aproximam de assíntotas cen tradas em α e com ângulo de partida de φl Figura 550 A calculadora mecânica de Frieden Fonte cortesia do Museu Histórico do Computador Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 239 3 Os ramos do lugar das raízes partem dos polos de ordem q e chegam aos zeros de ordem q com ângulos com q ordem do polo ou zero i ângulos medidos a partir dos zeros φi ângulos medidos a partir dos polos O parâmetro K correspondente a uma raiz em um ponto particular s0 no lugar das raízes pode ser encontrado a partir de sendo que Ls0 pode ser encontrado graficamente medindo as distâncias de s0 para cada polo e zero Com um lugar das raízes obtido com rlocussysL o parâmetro e as raízes correspondentes podem ser encontradas com K p rlocfindsysL ou com rltool O compensador de avanço dado por aproxima um controlador porporcional derivativo PD Para um coeficiente de erro fixo geralmente move o lugar das raízes para a esquerda e melhora o amortecimento do sistema Compensador de atraso dado por aproxima um controlador proporcional integral PI Em geral melhora o erro em estado es tacionário para uma resposta de velocidade fixa incrementando o ganho de baixa frequência e degrada a estabilidade O lugar das raízes pode ser usado para analisar sucessivas malhas fechadas estudando dois ou mais parâmetros em sucessão O lugar das raízes pode ser usado para aproximar o efeito do retardo no tempo 240 Sistemas de Controle QUESTÕES DE REVISÃO 1 Dê duas definições para o lugar das raízes 2 Defina o lugar das raízes negativo 3 Onde estão as partes do lugar das raízes positivo no eixo real 4 Quais são os ângulos de partida a partir de dois polos coincidentes em s a no eixo real Não há polos ou zeros à direita de a 5 Quais são os ângulos de partida a partir de três polos coincidentes em s a no eixo real Não há polos ou zeros à direita de a 6 Qual é o principal efeito de uma compensação de avanço no lugar das raízes 7 Qual é o principal efeito de uma compensação de atraso em um lugar das raízes nas imediações das raízes dominantes de malha fechada 8 Qual é o principal efeito de uma compensação de atraso no erro de estado estacionário para uma entrada de referência polinomial 9 Por que o ângulo de partida de um polo próximo ao eixo imaginário é especialmente importante 10 Defina um sistema condicionalmente estável 11 Mostre com um argumento baseado no lugar das raízes que um sistema com três polos na origem deve ser condicionalmente estável PROBLEMAS Problemas da Seção 51 lugar das raízes de um sistema realimentado básico 51 Rescreva as equações características listadas abaixo na forma adequada ao método do lugar das raízes de Evans Dê Ls as e bs e o parâmetro K em termos de parâmetros originais em cada caso Certifiquese de selecionar K para que as e bs sejam mônicos em cada caso e que o grau de bs não seja maior que o grau de as a s 1τ 0 em relação ao parâmetro τ b s2 cs c 1 0 em relação ao parâmetro c c s c3 ATs 1 0 i em relação ao parâmetro A ii em relação ao parâmetro T iii em relação ao parâmetro c se possível Diga a razão pela qual você pode ou não Para valores fixos de A e T o lugar das raízes pode ser traçado em relação ao parâmetro c d Assuma que Gs Acsds sendo cs e ds polinômios mônicos com o grau de ds maior que o grau de cs i em relação ao parâmetro kp ii em relação ao parâmetro kI iii em relação ao parâmetro kD iv em relação ao parâmetro τ Problemas da Seção 52 diretrizes para o esboço de um lugar das raízes 52 Esboce o lugar das raízes para os mapas de polozero mostrados na Fig 551 sem o auxílio de um computador Mostre suas estimativas do centro e dos ângulos das assíntotas uma estimativa aproximada dos ângulos de chegada e partida para os polos e zeros complexos e o lugar das raízes para valores positivos do parâmetro K Cada mapa de polozero é obtido a partir de uma equação característica da forma onde as raízes do numerador bs são mostradas como pequenos círculos e as raízes do deno minador as são mostradas como sobre o planos Note que na Fig 551c existem dois polos na origem Capítulo 5 O Método do Lugar das Raízes 241 53 Para a equação característica a Desenhe os seguimentos no eixo real que correspondem ao lugar das raízes b Esboce as assíntotas de um lugar das raízes para K c Esboce o lugar das raízes d Verifique seu esboço usando o MATLAB 54 Polos e zeros reais Esboce o lugar das raízes com respeito a K para a equação 1 KLs 0 com as escolhas de Ls listadas Certifiquese de apresentar as assíntotas e os ângulos de chegada e partida em qualquer zero ou polo complexo Depois de completar cada esboço à mão verifique os resulta dos usando o MATLAB Apresente seus esboços e os resultados do MATLAB na mesma escala 55 Polos e zeros complexos Esboce o lugar das raízes com respeito a K para a equação 1 KLs 0 com as escolhas de Ls listadas Certifiquese de apresentar as assíntotas e os ângulos de chegada e partida em qualquer zero ou polo complexo Depois de completar cada esboço à mão verifique os re sultados usando o MATLAB Apresente seus esboços e os resultados do MATLAB na mesma escala Figura 551 Mapas de polo zero a b c 2 d e f 242 Sistemas de Controle 56 Múltiplos polos na origem Esboce o lugar das raízes com respeito a K para a equação 1 KLs 0 com as escolhas de Ls listadas Certifiquese de apresentar as assíntotas e os ângulos de chegada e partida em qualquer zero ou polo complexo Depois de completar cada esboço à mão verifique os resultados usando o MATLAB Apresente seus esboços e os resultados do MATLAB na mes ma escala 57 Polos reais e complexos Esboce o lugar das raízes com respeito a K para a equação 1 KLs 0 com as escolhas de Ls listadas Certifiquese de apresentar as assíntotas e os ângulos de chegada e partida em qualquer zero ou polo complexo Depois de completar cada esboço à mão verifique os re sultados usando o MATLAB Apresente seus esboços e os resultados do MATLAB na mesma escala 58 SPD e zeros Esboce o lugar das raízes com respeito a K para a equação 1 KLs 0 com as esco lhas de Ls listadas Certifiquese de apresentar as assíntotas e os ângulos de chegada e partida em qualquer zero ou polo complexo Depois de completar cada esboço à mão verifique os resultados usando o MATLAB Apresente seus esboços e os resultados do MATLAB na mesma escala a modelo para o caso de levitação magnética com o compensador de avanço b sistema de levitação magnética com um controlador integral e com um compensador de avanço c d Qual é o maior valor que pode ser obtido para o coeficiente de amortecimento das raízes estáveis complexas no lugar das raízes 59 Coloque a equação característica do sistema mostrado na Fig 552 na forma do lugar das raízes com relação ao parâmetro α e identifique os correspondentes Ls as e bs Esboce o lugar das Figura 552 Sistema de controle para o Problema 59 raízes com relação ao parâmetro α estime os polos de malha fechada e esboce as respostas ao degrau correspondentes a α 0 α 05 e α 2 Use o MATLAB para verificar suas respostas 510 Use a função rltool do MATLAB para estudar o comportamento do lugar das raízes de 1 KLs para Ls s ass 1s2 8s 52 quando o parâmetro a é variado de 0 a 10 tendo particular atenção para a região entre 25 e 35 Verifique a ocorrência de raízes múltiplas em um valor de s complexo para valores de a neste intervalo 511 Use o critério de Routh para encontrar o intervalo de valores do ganho K para o qual os sistemas na Fig 553 sejam estáveis e use o lugar das raízes para confirmar seus cálculos Figura 553 Sistema realimentado para o Problema 511 512 Esboce o lugar das raízes para a equação característica do sistema com Ls s 2ss 1s 5 e determine os valores do ganho do lugar das raízes para o qual os polos complexos conjugados tenham coeficiente de amortecimento igual a 05 513 Para o sistema na Fig 554 a Encontre o lugar das raízes do sistema em malha fechada em relação ao parâmetro K b Existe um valor de K para o qual todas as raízes tenham um coeficiente de amortecimento maior que 05 c Encontre um valor de K para o qual os polos de malha fechada tenham coeficiente de amortecimento ζ 0707 d Use o MATLAB para traçar a resposta ao degrau do sistema com o controlador resultante Figura 554 Sistema realimentado para o Problema 513 514 Para o sistema realimentado mostrado na Fig 555 encontre o valor do ganho K para que os polos do sistema em malha fechada tenham coeficiente de amortecimento de ζ 05 Figura 555 Sistema realimentado para o Problema 514 Problemas da Seção 53 lugar das raízes ilustrativo selecionado 515 Modelo simplificado do movimento longitudinal de um helicóptero tem a função de transferência Gs 98s2 05s 63s 066s2 024s 015 e equação característica 1 DsGs 0 Inicialmente faça Ds kp a Calcule os ângulos de partida e chegada nos polos e zeros complexos b Esboce o lugar das raízes para este sistema com o parâmetro K 98kp Use os eixos 4 x 4 3 y 3 c Verifique sua resposta usando o MATLAB Use o comando axis4 4 3 3 para obter as escalas corretas d Sugira uma alternativa prática de compensação Ds que irá result ar pelo menos em um sistema estável 516 a Para o sistema dado na Fig 556 trace o lugar das raízes da equação característica quando o parâmetro K1 é variado de 0 a com λ 2 Forneça os valores correspondentes de Ls as e bs b Repita o item a com λ 5 Existe algo de especial em relação a esse valor c Repita o item a para K1 2 fixo com o parâmetro K λ variando de 0 a Figura 556 Sistema de controle para o Problema 516 517 Para o sistema mostrado na Fig 557 determine a equação característica e esboce o lugar das raízes em relação a valores positivos do parâmetro c Encontre Ls as e bs e indique o sentido em que c aumenta no lugar das raízes Figura 557 Sistema de controle para o Problema 517 518 Considere o sistema com função de transferência Ls s zs p2 com z e p reais e z p Mostre que o lugar das raízes 1 KLs 0 com respeito a K é um círculo centrado em z com raio dado por r z p Dica Assuma que s z rejφ e mostre que Ls é real e negativo para φ real 519 A malha de transmissão de um sistema tem dois polos em s 1 e um zero em s 2 Há um terceiro polo p no eixo real localizado em algum lugar à esquerda do zero Vários lugares das raízes diferentes são possíveis dependendo da localização exata do terceiro polo Casos extremos ocorrem quando o polo está localizado no infinito ou quando ele está localizado em s 2 Dê valores para p e esboce três tipos distintos de lugares das raízes 520 Para a configuração de realimentação da Fig 558 use assíntotas centro de assíntotas ângulos de partida e de chegada e o arranjo de Routh para esboçar os lugares das raízes para as equações características dos sistemas de controle listados em relação ao parâmetro K Use MATLAB para verificar seus resultados a Gs 1ss13js13j Hs s2s8 b Gs 1s2 Hs s1s3 c Gs s5s1 Hs s7s3 d Gs s34js34jss12js12j Hs 13s Figura 558 Sistema de realimentação para o Problema 520 521 Considere o sistema na Fig 559 a Usando o critério de estabilidade de Routh determine todos os valores de K para os quais o sistema é estável b Use o MATLAB para traçar o lugar das raízes em relação a K e encontre os valores de K onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Figure 559 Sistema de realimentação para o Problema 521 Problemas da Seção 54 projeto usando compensação dinâmica 522 Considere Gs 1s2s3 e Ds Ksasb Usando as técnicas do lugar das raízes encontre os valores para os parâmetros a b e K do compensador Ds que irá produzir polos de malha fechada em s 1 j para o sistema mostrado na Fig 560 523 Considere a Fig 560 com Gs 1ss2 2s 2 e Ds Ks2 Esboce o lugar das raízes em relação a K da equação característica para o sistema em malha fechada tenha atenção nos pontos que são geradas raízes múltiplas se KLs DsGs Figura 560 Sistema com realimentação unitária para os Problema 522 a 528 e 533 524 Considere que o sistema de realimentação unitária da Fig 560 tenha uma planta de malha aberta dada por Gs 1s2 Projete um compensador de avanço Ds K szsp para ser adicionado em série com a planta tal que os polos dominantes do sistema em malha fechada sejam localizados em s 2 2j 525 Assuma que o sistema de realimentação unitária da Fig 560 tenha a planta de malha aberta Gs 1ss3s6 246 Sistemas de Controle Projete um compensador de atraso que atenda às seguintes especificações Tempo de acomodação da resposta ao degrau menor que 5 s Sobressinal da resposta ao degrau menor que 17 Erro em estado estacionário a uma entrada em rampa que não exceda 10 526 Uma máquina de controle numérico para o posicionamento de um servomecanismo tem uma fun ção de transferência normalizada e escalado dada por As especificações do sistema em configuração de realimentação unitária na Fig 560 são atendi das se os polos em malha fechada estiverem localizados em s 1 a Mostre que essas especificações não podem ser atendidas com apenas um controlador pura mente proporcional Ds Kp b Projete um compensador de avanço de fase Ds que irá satisfazer às especificações 527 Um sistema de controle de posição de um servomecanimo tem a função de transferência O objetivo é projetar a função de transferência de um compensador em série Ds a ser utilizado na estrutura de realimentação unitária para satisfazer às seguintes especificações Sobressinal não maior que 16 para uma entrada em degrau Tempo de subida não maior que 04 s para uma entrada em degrau Erro em estado estacionário menor que 002 para uma entrada em rampa unitária a Projete um compensador de avanço para que o sistema atenda às especificações da resposta dinâmica b Se Ds for um controlador proporcional Ds kp qual será a constante de erro de veloci dade Kv c Projete um compensador de atraso para ser usado em série com o compensador de avanço projetado anteriormente para que o sistema atenda à especificação de erro em estado estacio nário d Trace o lugar das raízes do projeto final usando o MATLAB e Trace a resposta ao degrau do projeto final usando o MATLAB 528 Assuma que o sistema em malha fechada da Fig 560 tenha a função de transferência no ramo direto Projete um compensador de atraso tal que os polos dominantes em malha fechada estejam localizados em s 1 j e que o erro em estado estacionário para uma entrada em rampa seja menor que 02 529 Um esquema elementar de suspensão magnética é apresentado na Fig 561 Para pequenos movi mentos próximos da posição de referência a tensão e no fotodetector está relacionada ao desloca mento x da bola em metros por e 100x A força para cima em newtons sobre a bola causada Figura 561 Suspensão magnética elementar u i V0 Fotodetector e Luz Solenoide Bola x pela corrente i em ampères pode ser aproximada por f05i 20x A massa da bola é de 20 g e a força gravitacional é de 98 Nkg O amplificador de potência é um dispositivo de tensão para corrente com uma saída em ampères de i u V0 a Escreva as equações de movimento para esse sistema b Encontre os valores de V0 para que a bola esteja em equilíbrio em x 0 c Qual é a função de transferência de u para e d Suponha que a entrada de controle u é dada por u Ke Esboce o lugar das raízes do sistema em malha fechada em relação ao parâmetro K e Assuma que um compensador de avanço está disponível na forma UE Ds K szsp Forneça os valores de K z e p que melhorom o desempenho proposto no item d 530 Um planta de fase não mínima tem a função de transferência Gs 42ss2 s 9 que está em um sistema de controle por realimentação negativa com um controlador de função de transferência Ds a Use o MATLAB para determinar um valor negativo de Ds K tal que o sistema em malha fechada com realimentação negativa tenha um coeficiente de amortecimento ζ 0707 b Use o MATLAB para traçar a resposta ao degrau do sistema 531 Considere o sistema de posicionamento de foguete mostrado na Fig 562 a Mostre que se o sensor que mede x tem uma função de transferência unitária o compensador de avanço Hs K s2s4 estabiliza o sistema b Assuma que o sensor tenha função de transferência modelada com um único polo com constante de tempo igual a 01 s e ganho DC unitário Usando o procedimento do lugar das raízes encontre um valor para o ganho K que forneça o máximo coeficiente de amortecimento Figura 562 Diagrama de blocos para o sistema de controle de posicionamento de foguete 532 Considere o sistema na Fig 563 a Encontre o lugar das raízes em relação ao parâmetro K b Encontre o máximo valor de K para o qual o sistema é estável Assuma K2 para os itens restantes deste problema c Qual é o erro em estado estacionário e ry para uma mudança de degrau em r d Qual é o erro em estado estacionário em y para um distúrbio constante w1 e Qual é o erro em estado estacionário em y para um distúrbio constante w2 f Se for desejado ter maior amortecimento quais mudanças devem ser feitas no sistema Figura 563 Sistema de controle para o Problema 532 533 Considere a função de transferência Gs 1s2mMs2 Mmbs Mmk para ser colocada na realimentação unitária da Fig 560 Esta é a função de transferência relacionando a força de entrada ut e de posição yt da massa M em um problema com sensor e atuador não justapostos Neste problema serão usadas as regras do lugar das raízes para projetar o controlador Ds tal que a resposta ao degrau do sistema em malha fechada tenha tempo de subida menor que 01 s e um sobressinal menor que 10 Caso desejado use o MATLAB em qualquer uma das seguintes questões a Aproxime Gs assumindo que m 0 M1 k1 b01 e Ds K K pode ser escolhido para satisfazer às especificações de desempenho Por quê b Repita o item a assumindo que Ds Ksz e mostre que K e z podem ser escolhidos para satisfazer às especificações c Repita o item b mas com um controlador prático dado pela função de transferência Ds K pszsp Selecione p para que os valores de K e z calculados no item b permaneçam mais ou menos válidos d Suponha agora que a pequena massa m não é desprezada mas é dada por m M10 Verifique se o controlador projetado no item c ainda satisfaz às especificações Caso contrário ajuste os parâmetros do controlador para que às especificações sejam atendidas 534 Considere o sistema do Tipo 1 apresentado na Fig 564 É desejado um compensador Ds que satisfaça às especificações 1 O valor de y em estado estacionário deve ser menor que 45 para um distúrbio w em forma de uma constante unitária e 2 o coeficiente de amortecimento ζ 07 Use as técnicas do lugar das raízes para a Mostre que um controlador puramente proporcional não é adequado b Mostre que um controlador proporcional derivativo é adequado c Encontre valores para os ganhos kp e kD para Ds kp kD s tal que as especificações sejam satisfeitas Figure 564 Sistema de controle para o Problema 534 Problemas da Seção 55 um exemplo de projeto usando o lugar das raízes 535 Considere um sistema de posicionamento de um servomecanismo mostrado na Fig 565 sendo ei Kpot θi eo Kpot θo Kpot 10 Vrad T torque do motor Kt ia km Kt constante de torque 01 NmA Ra resistência de armadura 10 Ω Razão de engrenamento 1 1 JL Jm inércia total 103 kgm2 C 200 µF va KA ei ef a Qual é o intervalo do ganho de amplificação KA tal que o sistema seja estável Estime o limite superior graficamente usando o gráfico do lugar das raízes O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 6 O Projeto de sistemas de controle realimentados na indústria é provavelmente mais realizado usando métodos de resposta em frequência do que qualquer outro O método de projeto baseado na resposta em frequência é popular principalmente porque proporciona bons projetos perante incertezas no modelo da planta Por exemplo para sistemas pouco conhecidos ou que sofrem mudanças a altas frequências é possível ajustar a compensação de realimentação para aliviar os efeitos dessas incertezas Atualmente esse ajuste é realizado mais facilmente usando o método de projeto baseado na resposta em frequência do que usando qualquer outro método Outra vantagem de usar a resposta em frequência é a facilidade com que informações expe rimentais podem ser usadas para fins de projeto Medições de amplitude e fase de saída de uma planta para uma excitação de entrada senoidal são suficientes para projetar um controle por reali mentação apropriado Nenhum processamento intermediário de dados como encontrar os polos e zeros ou determinar matrizes do sistema é necessário para chegar ao modelo do sistema A ampla disponibilidade de computadores tornou essa vantagem menos importante atualmente do que era anos atrás no entanto para sistemas relativamente simples usar a resposta em frequência ainda é muitas vezes o método de projeto mais rentável O método é mais eficaz para os sistemas que são estáveis em malha aberta Mais uma vantagem é que esse método é o mais fácil de ser usado para a concepção de com pensação Uma regra simples pode ser usada para fornecer projetos razoáveis com um mínimo de tentativas e erro Embora a teoria subjacente seja um pouco desafiadora e requeira um conhecimento bastante amplo de variáveis complexas a metodologia de resposta em frequência para projeto é fácil e os conhecimentos adquiridos por meio da aprendizagem da teoria compensam o esforço Visão geral do capítulo O capítulo é iniciado com uma discussão sobre como obter a resposta em frequência de um siste ma por meio da análise de seus polos e zeros Uma extensão importante dessa discussão é como Foto cortesia de Cirrus Design Corporation Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 255 usar os diagramas de Bode para exibir graficamente a resposta em frequência Nas Seções 62 e 63 discutimos brevemente a estabilidade e em seguida o uso do critério de estabilidade de Nyquist Nas Seções 64 a 66 introduzimos noções de margens de estabilidade discutimos a relação de ganhofase de Bode e estudamos a resposta em frequência de sistemas dinâmicos em malha fechada A relação de ganhofase sugere uma regra muito simples para o projeto de compensadores modele a magnitude da resposta em frequência de forma que ela atravesse a magnitude 1 com inclinação de 1 Assim como fizemos para o método do lugar das raízes descrevemos como a adição da compensação dinâmica pode ajustar a resposta em frequência Seção 67 e melhorar características de erro eou estabilidade do sistema Mostramos tam bém como implementar compensação digital em um exemplo Nas seções opcionais 677 e 678 discutimos questões sobre sensibilidade que se re lacionam com a resposta em frequência incluindo material sobre funções de sensibilidade e estabilidade robusta As duas seções seguintes analisam o retardo no tempo em sistemas e os gráficos de Nichols que representam material avançado que de certa forma pode ser consi derado opcional A última Seção 610 é um breve histórico do método de projeto baseado em resposta em frequência 61 Resposta em frequência Os conceitos básicos da resposta em frequência foram discutidos na Seção 312 Nesta seção vamos revisálos e estendêlos para o projeto de sistemas de controle A resposta de um sistema linear a uma entrada senoidal chamada de resposta em frequên cia do sistema pode ser obtida a partir do conhecimento da localização de seus polos e zeros Para revisar essas ideias considere o sistema descrito por sendo ut uma onda senoidal com amplitude A Essa onda senoidal tem a transformada de Laplace Com condições iniciais nulas a transformada de Laplace da saída é 61 Expandindo em frações parciais a Eq 61 assumindo que os polos de Gs são distintos temos 62 sendo p1 p2 pn os polos de Gs α0 pode ser encontrado calculando a expansão em frações parciais e α0 é o complexo conjugado de α0 A resposta temporal correspondente a Ys é 63 sendo Resposta em frequência Expansão em frações parciais 256 Sistemas de Controle Se todos os polos do sistema representam um comportamento estável as partes reais de p1 p2 pn 0 a resposta natural não forçada tende a zero e portanto a resposta em regime per manente do sistema dependerá somente do termo senoidal na Eq 63 o qual é causado pela excitação senoidal O Exemplo 35 determinou a resposta do sistema para a en trada u sen 10t e mostrou esta resposta na Fig 34 repetida aqui na Fig 61 Isso mostra que et a parte da resposta natural associada com Gs desaparece depois de algumas constantes de tempo e a resposta senoidal pura é essencialmente todos os termos restantes O Exemplo 35 mostrou que o termo senoidal restante na Eq 63 pode ser expresso como 64 sendo 65 66 Na forma polar 67 A Eq 64 mostra que um sistema estável com função de transferência Gs excitado por uma entrada senoidal com amplitude A e frequência ω0 irá depois de a resposta do sistema atingir seu estado estacionário exibir uma saída senoidal com a magnitude Mω0 e com uma fase φω0 na frequência ω0 Os fatos de que a saída y é uma senoide com a mesma frequência que a entrada u e que a magnitude M e a fase φ da saída são independentes da amplitude A da entrada são consequências de Gs ser um sistema linear constante Se o sistema excitado for não linear ou variante no tempo a saída poderá conter frequências diferentes da frequência de entrada e a razão saídaentrada poderá ser dependente da magnitude da entrada De forma mais geral a magnitude M é dada por Gjω e a fase φ é dada por Gjω isto é a magnitude e o ângulo da quantidade complexa Gs são avaliadas com s assumindo valores ao longo do eixo imaginário s jω A resposta em frequência de um sistema é composta por estas funções de frequência que nos dizem como um sistema irá responder a uma entrada senoi dal de qualquer frequência Estamos interessados em analisar a resposta em frequência não só porque ela vai nos ajudar a entender como um sistema responde a uma entrada senoidal mas também porque avaliar Gs com s assumindo valores ao longo do eixo jω irá provar ser muito útil para determinar a estabilidade de um sistema em malha fechada Como vimos no Capítulo 3 o eixo jω é a fronteira entre a estabilidade e a instabilidade veremos na Seção 64 que avaliar Gjω fornece informações que nos permitem determinar a estabilidade de um sistema em ma lha fechada a partir da função de transferência em malha aberta Gs Gráfico da resposta em frequência Magnitude e fase 020 015 010 005 0 005 010 Saída y 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s Figura 61 Resposta de para a entrada u sen 10t Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 257 EXEMPLO 61 Características da resposta em frequência de um capacitor Considere o capacitor descrito pela equação sendo v a entrada e i a saída Determine a resposta senoidal em regime permanente do capacitor Solução A função de transferência do circuito é então Calculando a magnitude e a fase temos Para um entrada senoidal com amplitude unitária v a saída i será uma senoide com amplitude Cω e a fase da saída será avançada em 90 Note que para esse exemplo a magnitude é propor cional à frequência de entrada enquanto a fase é independente da frequência EXEMPLO 62 Características da resposta em frequência de um compensador de avanço Do Capítulo 5 Eq 570 a função de transferência de um compensador de avanço é equivalente a 68 1 Analiticamente determine as características da resposta em frequência e discuta o que se pode esperar deste resultado 2 Use o MATLAB para traçar Djω com K 1 T 1 e α 01 para 01 ω 100 e veri fique as características previstas no item anterior Solução 1 Avaliação analítica substituindo s jω na Eq 68 temos A partir das Eqs 65 e 66 a amplitude é e a fase é dada por Em frequências muito baixas a amplitude é apenas K e em frequências muito altas é kα Portanto a amplitude é maior em frequências mais altas A fase é zero em baixa frequência e volta a ser zero em alta frequência Em valores intermediários de frequência a avaliação da função tan1 deve revelar que φ se torna positivo Essas são as caracterís ticas gerais do compensador de avanço 258 Sistemas de Controle 2 Avaliação numérica um código para o MATLAB para a avaliação da reposta em frequên cia é mostrado no Exemplo 35 Um código similar para o compensador de avanço num 1 1 den 01 1 sysD tfnumden w logspace12 determina a faixa de frequências de interesse magphase bodesysDw calcula a magnitude e fase nas frequências de interesse loglogwsqueezemaggrid semilogxwsqueezephase grid produz o gráfico da magnitude e fase da resposta em frequência mostradas na Fig 62 A análise indica que a magnitude de baixa frequência deve ser K 1 e a magnitude de alta frequência deve ser Kα 10 as quais são confirmadas pelo gráfico de magnitude O gráfico da fase também mostra que valor se aproxima de zero em altas e baixas frequências e que os valores intermediários são positivos Para os casos nos quais não há bons modelos do sistema e desejase determinar a resposta em frequência experimentalmente podemos excitar o sistema com uma senoide variando em frequência A magnitude Mω é obtida medindo a razão da saída senoidal para a entrada em estado estacionário em cada frequência A fase φω é a diferença de fase entre a entrada e a saída1 Muito pode ser aprendido sobre a resposta dinâmica de um sistema conhecendo a magnitu de Mω e fase φω de sua função de transferência No caso óbvio se o sinal for uma senoide então M e φ descrevem completamente a resposta Além disso se a entrada é periódica então uma série de Fourier pode ser construída para decompor a entrada em uma soma de senoides e novamente M e φ podem ser usados com cada componente para construir a resposta total Para entradas transitórias o melhor caminho para a compreensão do significado de Mω e φω é relacionar a resposta em frequência Gjω com as respostas transientes calculadas pela trans formada de Laplace Por exemplo na Fig 318b é traçada a resposta ao degrau de um sistema que tem a função de transferência 1 A Agilent Technologies produz instrumentos chamados de analisadores de espectro que automatizam este procedi mento experimental e aceleram o processo Figura 62 a Magnitude b fase do compensador de avanço no Exem plo 62 φ Magnitude 101 100 101 102 0 20 b ω rads 101 100 101 102 a ω rads db 0 10 20 30 40 50 60 100 101 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 259 69 para vários valores de ζ Estas curvas transitórias foram normalizadas em relação ao tempo como ωt Na Fig 63 são traçados Mω e φω para estes valores de ζ para nos ajudar a enten der quais características da resposta em frequência correspondem a características da resposta transitória Especificamente as Figs 318b e 63 indicam o efeito de amortecimento na res posta temporal do sistema e o efeito correspondente na resposta em frequência Elas mostram que o amortecimento do sistema pode ser determinado a partir do sobressinal na resposta tran sitória ou a partir do pico da magnitude na resposta em frequência Fig 63 a Além disso a partir da resposta em frequência vemos que ωn é aproximadamente igual à largura de banda a frequência em que a magnitude começa a cair abaixo de seu valor em baixa frequência A largura de banda é melhor definida no próximo parágrafo Portanto o tempo de subida pode ser estimado a partir da largura de banda Vemos também que o sobressinal na frequência é de aproximadamente 12ζ para ζ 05 então o sobressinal na resposta ao degrau pode ser esti mado a partir do sobressinal na resposta em frequência Assim vemos essencialmente que a mesma informação está contida na curva da resposta em frequência como é encontrada na curva de resposta transitória temporal Uma especificação natural para o desempenho do sistema em termos de resposta em fre quência é a largura de banda definida como a frequência máxima com que a saída de um sistema vai rastrear uma senoide de entrada de forma satisfatória Por convenção para o sistema mostrado na Fig 64 com uma entrada senoidal r a largura de banda é a frequência de r em que a saída y é atenuada por um fator de 0707 vezes a entrada2 A Fig 65 apresenta graficamente esta ideia para a resposta em frequência da função de transferência em malha fechada O gráfico é típico da maioria dos sistemas em malha fechada em que 1 a saída segue a entrada T 1 para excitações de baixas frequências e 2 a saída não segue a entrada T 1 para altas frequências de excitação O valor máximo da magnitude da resposta em frequência é refe renciado como o pico de ressonância Mr A largura de banda é a medida da velocidade da resposta e é portanto similar às medidas no domínio do tempo tais como tempo de subida e tempo de pico ou a medidas no planos como a frequência natural das raízes dominantes De fato se KGs na Fig 64 é tal que a res posta em malha fechada é dada pela Fig 63 podemos ver que a largura de banda será igual à frequência natural das raízes de malha fechada isto é ωBW ωn para o coeficiente de amorteci mento de malha fechada igual a ζ 07 Para outros coeficientes de amortecimento a largura de banda é aproximadamente igual à frequência natural das raízes de malha fechada com um erro tipicamente menor que um fator de 2 A definição de largura de banda apresentada aqui é significativa para sistemas que tem comportamento de filtros passabaixa como é o caso de qualquer sistema físico de controle Em outras aplicações a largura de banda pode ser definida de forma diferente Também se o modelo ideal do sistema não tem um rolloff em alta frequência por exemplo se ele tem um número igual de polos e zeros a largura de banda é infinita entretanto isto não ocorre na na tureza pois nada responde bem à frequência infinita Em muitos casos a principal preocupação do projetista é o erro no sistema devido a perturba ções mais do que a capacidade de rastrear uma entrada Na análise do erro estamos interessados em uma da funções de sensibilidade definidas na Seção 41 Ss no lugar de Ts Para a maioria dos sistemas em malha aberta com alto ganho em baixas frequências Ss para uma entrada de perturbação terá valores muito baixos em baixas frequências e crescerá à medida que a frequência da entrada ou da perturbação se aproximar da largura de banda Para analisar Ts ou Ss é típico 2 Se a saída é a tensão em um resistor de 1 a potência é v2 e quando v 0707 a potência é reduzida por um fator de 2 Por convenção este é chamado de ponto de meia potência Largura de banda 260 Sistemas de Controle traçar suas respostas em função da frequência da entrada Ambas as respostas em frequência para o projeto de controle podem ser avaliadas usando o computador ou podem ser rapidamente esbo çadas para sistemas simples utilizando os métodos eficientes descritos na Seção 611 Os métodos descritos a seguir também são úteis para agilizar o processo do projeto assim como para fazer uma checagem de validade da saída do computador db 10 1 01 001 08 06 04 02 8 6 4 2 008 006 004 002 0 30 60 90 120 150 180 01 1 10 02 04 06 08 2 4 6 8 ωωn b 01 1 10 02 04 06 08 2 4 6 8 ωωn a 01 02 05 09 Fase Magnitude 20 0 20 40 ζ 005 03 ζ 07 ζ 005 01 02 03 ζ 09 07 05 Figura 63 a Magnitude b fase da Eq 69 262 Sistemas de Controle vemos que o diagrama de Bode nos apresenta as partes real e imaginária do logaritmo de Gjω Em comunicações é padrão medir o ganho da potência em decibéis db3 613 Aqui P1 e P2 são as potências de entrada e saída Devido ao fato da potência ser proporcional ao quadrado da tensão o ganho de potência também é dado por 614 Portanto podemos apresentar o diagrama de Bode como a magnitude em decibéis versus log ω e a fase em graus versus log ω4 Neste livro o diagrama de Bode é dado na forma log G versus log ω também no lado direito do gráfico da magnitude o eixo é marcado em decibéis para fornecer a possibilidade da escolha para trabalhar com a representação desejada Entretanto para gráficos da resposta em frequência não estamos traçando potência e o uso da Eq 614 pode ser um pouco enganador Se os dados de magnitude são derivados em termos de log G é convencional traçálos em uma escala logarítmica mas identificar a escala de G somente sem o log Se a magnitude é dada em decibéis a escala vertical é linear tal que cada década de G represente 20 db Vantagens em trabalhar com resposta em frequência usando diagramas de Bode 1 O projeto de compensadores dinâmicos pode ser completamente baseado em diagramas de Bode 2 Diagramas de Bode podem ser determinados experimentalmente 3 Diagramas de Bode de sistemas em série são simplesmente somados o que é bastante con veniente 4 O uso da escala log permite que uma faixa de frequência muito mais larga seja apresentada em um único diagrama o que não seria possível usando a escala linear É importante que o engenheiro de controle de sistemas entenda as técnicas de traçado do diagrama de Bode por muitos motivos este conhecimento permite ao engenheiro não apenas lidar com problemas simples mas também executar uma verificação nos resultados computacionais para os casos mais complicados Muitas vezes aproximações podem ser usadas para esboçar ra pidamente a resposta em frequência e deduzir a estabilidade bem como para determinar a forma das compensações dinâmicas necessárias Finalmente uma compreensão do método de traçado é útil na interpretação de resposta em frequência de dados que foram gerados experimentalmente No Capítulo 5 escrevemos a função de transferência em malha aberta na forma 615 porque esta forma é muito mais conveniente para determinar o grau de estabilidade a partir do lugar das raízes em relação ao parâmetro K Quando estamos trabalhando com resposta em frequência é mais conveniente substituir s por jω e escrever a função de transferência na forma apropriada para o diagrama de Bode 616 devido ao fato de o ganho Ko nesta forma estar diretamente relacionado com a magnitude da função de transferência em frequências muito baixas 3 Os pesquisadores da Bell Laboratories definiram pela primeira vez a unidade de ganho de potência como bel no meado por Alexander Graham Bell o fundador da empresa No entanto essa unidade provou ser muito grande por tanto um decibel ou db 110 de um bel foi selecionado como uma unidade mais útil A sigla dB também é usada no entanto Bode utilizou db e portanto escolhemos usar db 4 Doravante iremos suprimir a base do logaritmo ela é assumida como sendo 10 Decibéis Vantagens do diagrama de Bode Forma apropriada da função de transferência para o diagrama de Bode Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 263 De fato para sistemas de Tipo 0 Ko é o ganho em ω 0 na Eq 616 e também é igual ao ganho DC do sistema Apesar de um simples cálculo converter uma função de transferência na forma da Eq 615 para uma função de transferência equivalente na forma da Eq 616 note que K e Ko não costumam ter o mesmo valor nas duas expressões Funções de transferência também podem ser reescritas de acordo com as Eqs 610 e 611 Como um exemplo suponha que 617 Então 618 e 619 Em decibéis a Eq 619 tornase 620 Todas funções de transferência dos tipos de sistemas que tratamos até agora são compostas de três classes de termos Primeiro vamos tratar do traçado de cada termo individualmente e de como cada termo afeta o digrama composto por todos os termos então vamos discutir como desenhar a curva composta 1 K ojωn Devido a magnitude desse termo é uma linha reta com uma inclinação n 20 db por década Exemplos para diferentes valores de n são mostrados na Fig 66 K ojωn é a única classe dos termos que afeta a inclinação em baixas frequências porque todos os outros termos são cons Classes de termos das funções de transferência Classe 1 singularidades de origem 1000 100 10 1 01 01 1 10 100 1000 Inclinação é 1 ou 20 db por década jωn ω rads 60 50 40 30 20 10 db 0 n 1 n 1 n 2 10 20 Figura 66 Magnitu de de pegar jωn 264 Sistemas de Controle tantes naquela região A maneira mais simples de desenhar a curva é localizar ω 1 e traçar o log Ko nesta frequência Então desenhar um linha com inclinação n passando por este pon to5 A fase de jωn é φ n 90 independentemente da frequência e portanto é uma linha horizontal 90 para n 1 180 para n 2 90 para n 1 e assim por diante 2 jωτ 1 A magnitude deste termo se aproxima de uma assíntota em frequências muito baixas e de outra assíntota em frequências muito altas Se chamarmos ω 1 de ponto de quebra então vemos que abaixo do ponto de quebra a magnitude da curva é aproximadamente constante 1 enquanto acima do ponto de quebra a magnitude da curva se comporta aproximadamente como um termo de classe 1 Kojω O exemplo apresentado na Fig 67 Gs 10s 1 mostra como as duas assíntotas cruzam o ponto de quebra e como a magnitude atual da curva está acima deste ponto por um fator de 14 ou 3 db Se o termo estiver no denominador ele estará abaixo do ponto de quebra por um fator de 0707 ou 3 db Note que esse termo irá ter apenas um pequeno efeito na com posição das curvas de magnitude em razão deste valor ser igual a 1 0 db nesta região A inclinação em altas frequências é 1 ou 20 db por década A fase da curva pode ser também facilmente desenhada usando as seguintes assíntotas para baixas e altas frequências Para ωτ 1 a jω 1 da curva tangente a uma assíntota vai de 0 em ωτ 02 para 90 em ωτ 5 como mostrado na Fig 68 A figura também ilustra as três assíntotas linhas 5 Em decibéis as inclinações são n 20 db por década ou n 6 db por oitava uma oitava é uma mudança na frequên cia por um fator de 2 Classe 2 termo de primeira ordem Ponto de quebra Figura 67 Gráfico da magnitude de jωτ 1 τ 10 100 100 10 01 001 01 10 10 100 1000 ω rads jω10 1 20 40 20 0 db Ponto de quebra 14 G 14 Assíntotas 3 ω rads jω10 1 11 Assíntota 11 002 001 01 02 04 1 90 60 30 0 30 Ponto de quebra Assíntota Figura 68 Gráfico da fase de jωτ 1 τ 10 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 265 tracejadas usadas para traçar a curva de fase e como a curva real se desvia das assíntotas por 11 em suas interseções Tanto as curvas compostas de fase e de magnitude não são afetadas par esta classe de termos em frequências abaixo do ponto de quebra por um fator maior que 10 porque a magnitude do termo é 1 ou 0 db e sua fase é menor que 5 3 jωωn2 2jωωn 11 Este termo se comporta de forma semelhante ao termo de classe 2 com as diferenças o ponto de quebra é ω ωn A magnitude muda com um coe ficiente de inclinação de 2 ou 40 db por década no ponto de quebra e 2 ou 40 db por década quando o termo está no denominador A fase muda de 180 e a transição na região do ponto de quebra varia com o coeficiente de amortecimento ζ A Figura 63 mostra a magnitude e a fase em relação a diferentes valores para o coeficiente de amortecimento quando este termo está no denominador Note que a magnitude da assíntota para frequên cias acima do ponto de quebra tem inclinação de 2 ou 40 db por década e que a tran sição na região de ponto de quebra tem larga dependência do coeficiente de amortecimento A determinação aproximada desta transição pode ser feita observando que 621 para este termo de segunda ordem no denominador Se o termo estiver no numerador a magnitude seria o inverso da curva apresentada na Fig 63a Não há regra como a Eq 621 para esboçar a transição para a curva de fase portanto precisamos recorrer à Fig 63b para um traçar um gráfico de fase com boa precisão No entanto uma noção aproximada da transição pode ser obtida observandose que ela é uma função degrau para ζ 0 ao mesmo tempo em que obedece à regra de dois termos de primeira ordem classe 2 quando ζ 1 com frequências de quebra simultâneas Todos os valores intermediários de ζ estão entre estes dois valores A fase de um termo de segunda ordem é sempre 90 em ωn Quando o sistema tem vários polos e vários zeros a resposta em frequência do sistema exige que as componentes sejam combinadas em uma curva composta Para traçar a curva de magnitude composta é útil observar que as inclinações das assíntotas compostas são iguais à soma das inclinações das curvas individuais Portanto a curva da assíntota composta tem mu danças de inclinação em cada frequência de ponto de quebra 1 para um termo de primeira ordem no numerador 1 para um termo de primeira ordem no denominador e 2 para termos de segunda ordem Além disso na região de baixas frequências a assíntota tem uma inclinação determinada pelo valor de n no termo jωn e é localizada traçando o ponto Koωn em ω 1 Por tanto o procedimento completo consiste em traçar a parte de baixas frequências da assíntota sequencialmente mudar a inclinação da assíntota em cada ponto de quebra na ordem crescente das frequências e finalmente desenhar a curva real usando as regras de transição discutidas anteriormente para as classes 2 e 3 A curva de fase composta é a soma das curvas individuais A adição gráfica das curvas de fase individuais é possível localizando as curvas de fase individuais de forma que a fase com posta se aproxime da adição das curvas individuais tanto quanto possível Um esboço rápido mas sem precisão da fase composta pode ser encontrado iniciandose pelo menor ponto de quebra e o definindo igual a n 90 A fase então é traçada em cada ponto de quebra na ordem ascendente de frequências O valor da quantidade de fase é 90 para um sistema de primeira ordem e 180 para um sistema de segunda ordem Os pontos de quebra no numerador indicam um degrau positivo na fase enquanto os pontos de quebra no denominador indicam um degrau de fase negativo6 As regras de traçado apresentadas até agora têm considerado apenas polos e zeros no semiplano esquerdo SPE Mudanças para singularidades no semiplano direito SPD serão discutidas no final da seção 6 Este método aproximado nos foi apontado pelos nossos colegas parisienses Classe 3 termo de segunda ordem Pico de amplitude Curva composta 266 Sistemas de Controle Resumo das regras para traçar o diagrama de Bode 1 Manipular a função de transferência para a forma de Bode dada pela Eq 616 2 Determinar o valor de n para o termo Kojωn classe 1 Traçar a magnitude de baixas fre quências através do ponto Ko em ω 1 com uma inclinação de n ou n 20 db por década 3 Obter a curva composta de assíntotas estenda a assíntota de baixas frequências até o pri meiro ponto de quebra Então mude a inclinação em 1 ou 2 dependendo se o ponto de quebra se deve um termo de primeira ou segunda ordem e se está no numerador ou no de nominador Continue este procedimento em ordem crescente até passar por todos os pontos de quebra 4 A curva de magnitude aproximada é adicionada por um fator de 14 3 db nos pontos de quebra devido a termos de primeira ordem no numerador e é reduzida de um fator de 0707 3 db nos pontos de quebra devido a termos de primeira ordem no denominador Em pon tos de quebra devido a termos de segunda ordem o pico de ressonância ou vale ocorre de acordo com a Fig 63a usando a relação Gjω 12ζ no denominador ou Gjω 2ζ no numerador 5 Trace a assíntota da curva de fase para baixas frequências φ n 90 6 A curva de fase aproximada muda em 90 ou 180 em cada ponto de quebra em ordem crescente Para termos de primeira ordem no numerador a mudança de fase é 90 para os no denominador a mudança é 90 Para termos de segunda ordem a mudança é de 180 7 Localize as assíntotas para cada curva de fase de modo que sua mudança de fase correspon da aos pontos de mudança de direção na curva aproximada de fase indicada pelo Passo 6 Cada curva individual de fase ocorre conforme indicado pela Fig 68 ou pela Fig 63b 8 Adicione graficamente cada curva de fase Use uma régua se uma precisão em torno de 5 for desejada Se uma precisão menor for aceitável a curva composta pode ser feita a olho nu Tenha em mente que a curva começará na assíntota de baixas frequências e irá terminar em uma assíntota de altas frequências e as assíntotas intermediárias serão determinadas em relação a quão próximos estão os pontos de quebra um do outro EXEMPLO 63 Diagrama de Bode para polos e zeros reais Trace o diagrama de Bode para a fase e magnitude do sistema com função de transferência Solução 1 Converta a função para a forma de Bode na Eq 616 2 Note que o termo jω é de primeira ordem e está no denominador então n 1 Portanto a assíntota de baixa frequência é definida pelo termo de primeira ordem Esta assíntota é válida para ω 01 em razão de o menor ponto de quebra estar em ω 05 A magnitude da curva deste termo tem uma inclinação de 1 ou 20 db por década Loca lizamos a magnitude passando pelo valor de 2 em ω 1 mesmo que a curva composta não passe por este ponto devido ao ponto de quebra em ω 05 Isso é mostrado na Fig 69a 3 Obtemos o restante das assíntotas também apresentadas na Fig 69a o primeiro ponto de quebra está em ω 05 devido a um termo de primeira ordem no numerador o qual resulta em uma mudança de inclinação de 1 Portanto desenhamos uma linha com inclinação 0 que intercepta a reta inicial de inclinação 1 Então é desenhada uma reta com inclinação 1 que intercepta a anterior em ω 10 Finalmente é desenhada uma linha com inclina ção n 2 que intercepta a anterior com inclinação n 1 em ω 50 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 267 4 A curva aproximada é obtida por uma curva tangente às assíntotas as quais se distanciam nos pontos de quebra por um fator de 14 3 db acima da assíntota no ponto de quebra em ω 05 e por um fator de 07 3 db abaixo da assíntota nos pontos de quebra em ω 10 e ω 50 5 Devido ao fato de a fase de 2jω ser 90 a curva de fase na Fig 69b inicia em 90 nas baixas frequências 6 O resultado é apresentado na Fig 69c 7 As curvas de fase individuais mostradas em tracejado na Fig 69b têm a mudança de fase correta para cada termo e estão alinhadas verticalmente de modo que sua mudança de fase corresponda aos degraus na fase a partir da curva aproximada na Fig 69c Note que a curva composta aproxima cada termo individual 8 A adição gráfica de cada curva tracejada resulta a curva sólida composta na Fig 69b Como podese ver na figura a colocação vertical de cada curva de fase faz com que a adi ção gráfica seja fácil porque a curva composta aproxima cada curva de fase individual EXEMPLO 64 Diagrama de Bode com polos complexos Como um segundo exemplo trace a resposta em frequência do sistema 622 Solução Para um sistema como este é mais difícil traçar a resposta em frequência do que no sistema do exemplo anterior porque a transição entre as assíntotas é dependente do coeficiente de amortecimento no entanto as mesmas ideias básicas ilustradas no Exemplo 63 são aplicas Este sistema possui um termo de segunda ordem no denominador Procedendo com os pas sos apresentados a Eq 622 é reescrita na forma de Bode na Eq 616 Iniciando com a assíntota de baixa frequência temos n 1 e Gjω 25ω A curva de magnitude deste termo tem uma inclinação de 1 ou 20 db por década e passa pelo valor de 25 em ω 1 como mostrado na Fig 610a Para o polo de segunda ordem note que ωn 2 e ζ 01 Na frequência do ponto de quebra dos polos ω 2 a inclinação muda para 3 ou 60 db por década No ponto de quebra do polo a razão da magnitude acima da assíntota é 12ζ 102 5 A curva de fase para este caso começa em φ 90 correspondendo ao termo 1s caindo para φ 180 em ω 2 devido ao polo como mostrado na Fig 610b e então aproximandose de φ 270 para altas frequências Devido ao fato de o amortecimen to ser pequeno a aproximação é muito boa A curva de fase verdadeira composta é mostrada na Fig 610b EXEMPLO 65 Diagrama de Bode para polos e zeros complexos satélite com partes flexíveis Como um terceiro exemplo trace o diagrama de Bode para um sistema com termos de segunda ordem A função de transferência representa um sistema mecânico com duas massas iguais acopladas a uma mola levemente amortecida A força aplicada e a medição de posição são colo cadas na mesma massa Para a função de transferência a escala de tempo foi escolhida de modo que a frequência de ressonância dos zeros complexos seja igual a 1 A função de transferência é 268 Sistemas de Controle Solução Iniciando com a assíntota de baixa frequência temos 001ω2 A qual tem uma in clinação de 2 ou 40 db por década e passa pelo valor de magnitude 001 em ω 1 como mostrado na Fig 611a Na frequência do ponto de quebra do zero ω 1 a inclinação muda para zero até o ponto de quebra do polo o qual está localizado em ω 2 quando a inclinação retorna para 2 Para interpolar a curva verdadeira marcamos o ponto de quebra do zero ω 1 com a uma variação da magnitude abaixo de 2ζ 001 No ponto de quebra do polo a variação da magnitude acima da assíntota é 12ζ 1002 50 A curva de magnitude é um Figura 69 Curvas compostas a magnitude b fase c fase aproximada 01 10 10 100 Pontos de quebra Magnitude G ω rads 05 10 50 a 60 40 20 0 20 db 1000 100 10 1 01 2 Inclinação 1 Curva de fase exata Inclinação 0 Assíntotas Inclinação 1 Inclinação 2 Fase G 0 90 180 30 60 120 150 01 10 10 100 1000 ω rads c Aproximada 05 50 Exata Fase G 01 10 10 100 1000 ω rads b 0 90 180 s50 1 1 s10 1 1 1 s05 1 Composta Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 269 pulso negativo seguido por um pulso positivo A Figura 611b mostra que a curva de fase do sistema inicia em 180 correspondendo ao termo 1s2 muda para φ 0 em ω 1 devi do aos zeros e então cai 180 de volta para φ 180 em ω 2 devido ao polo Com estes pequenos coeficientes de amortecimento a aproximação é muito boa Não apresentamos isso na Fig 611b porque não seria facilmente distinguível a partir da curva de fase verdadeira Assim a curva de fase verdadeira composta é um pulso quase quadrado entre ω 1 e ω 2 Em projetos reais os diagramas de Bode são feitos com um computador No entanto adquirir a capacidade de determinar como o diagrama de Bode se comporta é uma habilidade útil pois dá a visão ao projetista de como as mudanças nos parâmetros de compensação irão afetar a respos ta Isso permite que o projetista desenvolva os melhores projetos mais rapidamente EXEMPLO 66 Diagrama de Bode para polos e zeros complexos com o auxílio de um computador Repita o Exemplo 65 usando o MATLAB Solução Para obter o diagrama de Bode usando o MATLAB usamos a função bode como segue numG 0011 001 1 denG 025 001 1 0 0 sysG tfnumGdenG mag phase w bodesysG loglogwsqueezemag semilogxwsqueezephase Figura 610 Diagrama de Bode para uma função de transferência com polos complexos a magnitude b fase 1000 100 10 1 01 001 60 100 140 180 220 260 300 Fase G db 10 1 01 02 04 ω rads 2 4 b 10 1 01 02 04 ω rads 2 4 a 60 40 20 20 40 Magnitude G 0 Inclinação 3 Inclinação 1 Aproximação 270 Sistemas de Controle Esses comandos irão resultar em um diagrama de Bode muito parecido com o da Fig 611 Para obter o gráfico com amplitude em decibéis as últimas três linhas podem ser substituídas por bodesysG Sistemas de fase não mínima Um sistema com um zero no SPD quando avaliado para as entradas de frequência entre zero e infinito sofre uma variação líquida de fase maior para um gráfico de magnitude associado do que se todos os seus polos e zeros estivessem no SPE Tal sistema é chamado de sistema de fase não mínima Como pode ser visto na Fig WD3 no Apêndice WD disponível em inglês no site do Grupo A se o zero está no SPD então a fase diminui no ponto de quebra do zero em vez de exibir o aumento normal de fase que ocorre para um zero no SPE Considere as funções de transferência Ambas as funções de transferência têm a mesma magnitude para todas frequências isto é como mostrado na Fig 612a Contudo as fases das duas funções de transferência são drasti camente diferentes Fig 612b Um sistema de fase mínima todos os zeros no SPE para uma 100 10 1 01 001 0001 00001 Magnitude G 40 20 20 40 60 80 db 20 20 60 100 140 180 Fase G 10 1 01 ω rads b 10 1 01 ω rads a 0 Figura 611 Diagrama de Bode para uma função de transferência com po los e zeros complexos a magnitude b fase Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 271 dada curva de magnitude associada produzirá menor variação líquida na fase como mostrado em G1 do que a variação de fase que o sistema de fase não mínima irá produzir como mostrado pela fase de G2 Por conseguinte G2 é de fase não mínima A discrepância entre G1 e G2 em re lação à mudança de fase seria maior se dois ou mais zeros da planta estivessem no SPD 612 Erro em regime permanente Vimos na Seção 42 que o erro em estado estacionário de um sistema realimentado diminui à medida que o ganho da função de transferência em malha aberta aumenta Na representação da curva de magnitude composta vimos na Seção 611 que uma função de transferência em malha aberta para frequências muito baixas pode ser aproximada por 623 Portanto podemos concluir que quanto maior o valor da magnitude da assíntota de baixa fre quência menor será o erro em regime permanente para o sistema em malha fechada Esta re lação é muito útil no projeto do compensador muitas vezes queremos avaliar várias maneiras alternativas para melhorar a estabilidade e para isso queremos ser capazes de ver rapidamente como as mudanças na compensação afetarão o erro em regime permanente Para um sistema da forma dada pela Eq 616 isto é quando n 0 na Eq 623 um sistema do Tipo 0 a assíntota de baixas frequências é uma constante e o ganho Ko de um sistema de malha aberta é igual à constante de erro de posição Kp Para um sistema com reali mentação unitária com uma entrada em degrau unitário o Teorema do Valor Final Seção 316 foi usado na Seção 421 para mostrar que o erro em estado estacionário steadystate é dado por Constante erro de posição Figura 612 Diagramas de Bode para um sistema de fase mínima e outro de fase não mínima a magnitude b fase Fase 180 Magnitude 10 db 20 001 01 10 10 100 1000 120 60 0 1 ω rads b 001 01 10 10 100 1000 ω rads a 0 G1jω G2jω G2jω G1jω 272 Sistemas de Controle Para um sistema em realimentação unitária com n 1 na Eq 623 definido como Tipo 1 na Seção 421 a assíntota de baixa frequência tem uma inclinação de 1 A magnitude da as síntota de baixa frequência está relacionada com o ganho de acordo com a Eq 623 portanto podemos ler o ganho Koω diretamente a partir da magnitude no diagrama de Bode A Equação 433 nos diz que a constante de erro de velocidade onde para um sistema com realimentação unitária com uma entrada em degrau unitário o erro em regime permanente é A maneira mais fácil de determinar o valor de Kv em um sistema do tipo 1 é ler a magnitude da assíntota de baixas frequências na frequência ω 1 rads porque esta assíntota é Aω Kv ω Em alguns casos o ponto de quebra de menor frequência estará abaixo de ω 1 rads portanto a assíntota precisa ser estendida até ω 1 rads para que possa ser possível obter o valor de Kv diretamente Uma maneira alternativa seria obter a magnitude da assíntota de baixas frequên cias em qualquer frequência e calcular Kv ωAω EXEMPLO 67 Cálculo de Kv Como um exemplo de determinar erros em regime permanente a curva de magnitude do diagra ma de Bode de um sistema em malha aberta é apresentada na Fig 613 Assumindo realimenta ção unitária como na Fig 614 encontre a constante de erro de velocidade Kv Solução Devido ao fato de a inclinação para baixas frequências ser 1 sabemos que o siste ma é do Tipo 1 A extensão da assíntota de baixas frequências cruza ω 1 rads na magnitude igual a 10 Portanto Kv 10 e o erro em estado estacionário para uma entrada em rampa unitá ria para o sistema com realimentação unitária será de 01 De maneira alternativa em ω 001 rads temos que Aω 1000 portanto a partir da Eq 623 temos 62 Estabilidade neutra Nos primeiros passos da eletrônica de comunicações muitos instrumentos eram avaliados em termos de suas respostas em frequência Portanto nada mais natural que quando o amplifi cador realimentado foi desenvolvido técnicas para determinar a estabilidade na presença de realimentação eram baseadas em sua resposta Constante de erro de velocidade Figura 613 Determinação de Kv a partir do diagrama de Bode para o sistema 001 01 1 10 ω rads Magnitude 1000 100 10 1 01 001 60 40 20 0 20 40 db Kυ 10 274 Sistemas de Controle 626 Existem também os casos em que quando KGjω cruza a magnitude 1 mais de uma vez Uma maneira geralmente suficiente de resolver esta ambiguidade é traçar um esboço do lugar das raízes Outra maneira mais rigorosa de resolver esta ambiguidade é usar o critério de esta bilidade de Nyquist o assunto da próxima seção No entanto em razão de o critério de Nyquist ser bastante complexo é importante estudálo e manter em mente o tema desta seção ou seja que para a maioria dos sistemas existe uma relação simples entre a estabilidade em malha fe chada e a resposta em frequência em malha aberta 63 O critério de estabilidade de Nyquist Para a maioria dos sistemas como vimos na seção anterior o aumento do ganho eventualmente causa instabilidade Quando se iniciou o projeto de controle realimentado esta relação entre o ganho e as margens de estabilidade foi assumida como sendo universal No entanto projetistas descobriram ocasionalmente que em laboratório a relação se inverte ou seja o amplificador iria tornarse instável quando o ganho diminui A confusão causada por estas observações con flitantes motivaram Harry Nyquist do Bell Telephone Laboratories a estudar este problema em 1932 Seu estudo explicou as reversões ocasionais e resultou em uma análise mais sofisticada sem brechas Não é de surpreender que seu teste tenha passado a se chamar critério de estabi lidade de Nyquist É baseado em um resultado da teoria de variável complexa conhecido como o princípio do argumento7 explicado brevemente nesta seção e em mais detalhes no Apêndice WD disponível em inglês no site do Grupo A O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta com o número de polos de malha fechada do sistema no SPD Um estudo do critério de Nyquist lhe permitirá determinar a estabilidade de um sistema complexo a partir de sua resposta em 7 Às vezes referido como Princípio do argumento de Cauchy Figura 615 Magnitude e fase da resposta em frequência do sistema da Fig 614 Magnitude KGjω Fase Gjω 01 1 10 100 01 1 10 100 ω rads ω rads db 40 20 0 20 40 60 90 180 270 100 10 1 01 001 0001 K 10 K 2 K 01 35 80 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 275 frequência talvez com uma ou mais ressonâncias onde a curva de magnitude cruza 1 várias vezes eou a fase cruza 180 várias vezes Também é muito útil para lidar com sistemas em ma lha aberta instáveis de fase não mínima e sistemas com atrasos puros atrasos de transporte 631 Princípio do argumento Considere a função de transferência H1s cujos polos e zeros estão indicados no planos na Fig 616a Queremos avaliar H1 para valores de s no contorno C1 no sentido horário Assim esse con torno é chamado de contorno de avaliação Escolhemos o ponto de teste s0 para avaliação A quan tidade complexa resultante tem a forma O valor do argumento de H1so é Quando s percorre C1 no sentido horário a partir de so o ângulo α de H1s na Fig 616b vai variar diminuir ou aumentar mas não vai sofrer uma variação líquida de 360 já que não há polos ou zeros no interior de C1 Isso acontece porque nenhum dos ângulos que compõem α passam por uma volta completa Os ângulos θ1 θ2 φ1 e φ2 aumentam ou diminuem à medida que s percorre C1 mas retornam aos seus valores originais quando s retorna a so sem girar em 360 Isto significa que o gráfico de H1s Fig 616b não vai envolver a origem Esta conclusão decorre do fato de que α é a soma dos ângulos indicados na Fig 616a então a única maneira que α variar em 360 depois de s percorrer completamente C1 é C1 envolver um polo ou zero Agora considere a função H2s cujos polos e zeros estão indicados na Fig 616c Note que ela tem uma singularidade polo no interior de C1 Novamente começamos no ponto de teste s0 À medita que s percorre o contorno C1 no sentido horário as contribuições dos ângulos θ1 θ2 e φ1 mudam mas retornam aos seus valores originais logo que s retorna a so Em con traste φ2 o ângulo do polo no interior de C1 sofre uma mudança líquida de 360 após um percurso completo em C1 Portanto o argumento de H2s sofre a mesma alteração fazendo com que H2s envolva a origem no sentido antihorário como mostrado na Fig 616d O Figura 616 Avaliação dos con tornos a polos e zeros de H1s no plano s e o contorno C1 b H1s para s no contorno C1 c polos e zeros de H2s no planos e o contorno C1 d H2s para s no contorno C1 Res Ims ImH1s ReH1s Res ReH2s Ims ImH2s a b c d θ1 φ1 θ2 φ2 s0 H1s C1 s0ˆ H2s α θ1 φ1 θ2 s0 φ2 C1 s0ˆ α Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 277 traçar o contorno de avaliação da função de transferência em malha aberta KGs examinar os envolvimentos em 1 e tirar conclusões sobre os envolvimentos na origem da função de trans ferência em malha fechada 1 KGs A apresentação da avaliação de KGs desta maneira é muitas vezes referida como diagrama de Nyquist ou polar porque traçamos a magnitude de KGs em função do ângulo de KGs Para determinar se um envolvimento se deve a um polo ou a um zero escrevemos 1 KGs em termos dos polos e zeros de KGs 627 A Eq 627 mostra que os polos de 1 KGs são também os polos de Gs Assumindo co nhecer os polos de Gs ou fatores de as a existência rara de qualquer um destes polos no SPD poderá ser contabilizada Assumindo por enquanto que não há polos de Gs no SPD um envolvimento de 1 por KGs indica um zero de 1 KGs no SPD e portanto uma raiz instável do sistema em malha fechada Podemos generalizar essa ideia básica observando que um contorno no sentido horário C1 envolvendo um zero de 1 KGs ou seja uma raiz do sistema em malha fechada resultará em KGs envolvendo o ponto 1 no sentido horário Da mesma forma se C1 envolver um polo de 1 KGs isto é se existe um polo de malha aberta instável haverá um envolvimento de KGs no sentido antihorário em 1 Além disso se dois polos ou dois zeros estão no SPD KGs irá envolver 1 duas vezes e assim por diante O número líquido de envolvimentos no sentido horário N é igual ao número de zeros raízes do sistema em malha fechada no SPD Z menos o número de polos do sistema em malha aberta P Este é o conceitochave do critério de estabilidade de Nyquist A simplificação para representar KGs graficamente resulta do fato de que qualquer KGs que representa um sistema físico tem resposta nula para frequência infinita ie tem mais polos que zeros Isto significa que o grande arco C1 correspondente a s no infinito Fig 617 resulta num valor de KGs infinitesimalmente pequeno perto da origem para estes valores de C1 Portanto obtemos uma avaliação completa de um sistema físico KGs fazendo s percorrer o eixo imaginário de j a j na verdade de jωh a jωh onde ωh é grande o suficiente tal que KGjω seja muito menor que 1 para todo ω ωh A avaliação de KGs de s 0 a s j já foi discutida na Seção 61 sob o contexto de encontrar a res posta em frequência de KGs Em virtude de Gjω ser o complexo conjugado de Gjω podemos obter facilmente o gráfico completo de KGs refletindo a parte de 0 s j sobre o eixo real para obter a parte de j s 0 Assim vemos que a estabilidade em malha fechada pode ser determinada em todos os casos examinando a resposta em frequência da função de transferência de malha aberta em um gráfico polar Em algumas aplicações os Diagrama de Nyquist diagrama polar Re Re Im Im KGssC1 1 KGssC1 1 0 0 Figura 619 Avaliação de KGs e 1 KGs diagrama de Nyquist Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 279 Figura 621 Lugar das raízes de em relação a K Res Ims Ims Lugar das raízes Lugar das raízes 2 3 1 1 2 3 2 1 1 2 Figura 622 Diagrama de Bode em ma lha aberta de Magnitude Gjω 100 20 db 10 01 001 0001 01 1 10 100 0 20 40 60 ω rads a 01 1 10 100 ω rads b A Fase Gjω 0 90 180 B C D E A C D B Figura 623 Diagrama de Nyquist da avaliação de KGs para s C1 e K 1 05 05 10 05j ω 1 ω 1 ω E ImGs ReGs Gs para s j até 0 A B C D Gs para s 0 até j 05j ω 0 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 281 o eixo real positivo como mostrado na Fig 626 ou o negativo Também é necessário avaliar se o arco deve variar em 180 como na Fig 626 360 ou 540 Um artifício simples é suficiente para responder a essas perguntas Modificar o contorno C1 tomando um pequeno desvio em torno do polo seja para a direita Fig 627 ou para a esquerda 9 A forma deste diagrama de Nyquist é traduzida em uma curva plana estrofoide o que significa um cinto com uma torção A curva foi estudada por Barrow em 1670 Figura 625 Diagrama de Bode para Gs 1ss 12 Magnitude G 20 db 01 001 0001 01 1 100 0 20 40 60 ω rads a 01 1 10 100 ω rads b A Fase G 90 270 B D E A C D B 180 C 10 E 1 10 Figura 626 Diagrama de Nyquist9 para Gs 1ss 12 ReGs D ImGs ω 0 ω 0 ω 0 ω 0 ω 1 ω E 1Ks 1Kl 05 Arco no para todo ω 0 2 C B A 282 Sistemas de Controle Isso não faz diferença alguma para a questão da estabilidade final mas é mais conveniente ir para a direita porque então não são introduzidos polos dentro do contorno de C1 mantendo o valor de P igual a 0 Como a fase de Gs é a soma negativa de todos os ângulos dos polos vemos que os resultados da avaliação resultam em um diagrama de Nyquist se movendo de 90 para s logo abaixo do polo em s 0 atravessando o eixo real positivo para 90 para s logo acima do polo Se houvesse dois polos em s 0 a curva de Nyquist no infinito teria executado um arco de 360 e assim sucessivamente para três ou mais polos Além disso para um polo a mais em qualquer ponto no eixo imaginário o resultado também é um arco de 180 no sentido horário mas poderia ser orientado de maneira diferente do exemplo mostrado na Fig 626 A curva do diagrama de Nyquist cruza o eixo real em ω 1 com G 05 como indicado pelo diagrama de Bode Para K 0 existem duas possibilidades para a localização de 1K dentro dos dois laços do diagrama de Nyquist ou fora do contorno de Nyquist completamente Para grandes valores de K Kl na Fig 626 05 1Kl 0 vai estar dentro dos dois laços portanto N 2 e portanto Z 2 indicando que há duas raízes instáveis Isso acontece para K 2 Para valores pequenos de K Ks na Fig 626 1K está fora dos laços portanto N 0 e todas as raízes são estáveis Toda esta informação está de acordo com o lugar das raízes na Fig 614b Quando K 0 1K está sobre o eixo real positivo então N 1 o que significa Z 1 e o sistema tem uma raiz instável O lugar das raízes de 0 irá verificar este resultado Para este e muitos sistemas similares podemos ver que o critério de envolvimento se reduz a um teste muito simples para a estabilidade com base na resposta em frequência de malha aber ta o sistema é estável se KGjω 1 quando a fase de Gjω 180 Note que esta relação é idêntica ao critério de estabilidade dado na Eq 625 porém usando o critério de Nyquist não precisamos do lugar das raízes para determinar se KGjω 1 ou KGjω 1 O diagrama de Nyquist pode ser traçado usando o MATLAB com os comandos Figura 627 Contorno C1 en volvendo o SPD para o sistema do Exemplo 69 Res Ims Ims C1 284 Sistemas de Controle que o sistema em malha fechada terá um polo instável o que pode ser verificado pelo lugar das raízes de 0 Como acontece com todos os sistemas o limite da estabilidade ocorre em KGjω 1 para a fase de Gjω 180 No entanto neste caso KGjω deve ser superior a 1 para que ocorra o número correto de envolvimentos no ponto 1 para alcançar a estabilidade Para traçar o diagrama de Nyquist usando o MATLAB use os seguintes comandos 10 A forma deste diagrama de Nyquist é um estrofoide Figura 631 Diagrama de Nyquist10 para Gs Magnitude G 10 1 01 20 db 0 20 Fase G 270 90 180 01 1 10 100 ω rads b 220 140 01 1 10 100 ω rads a ReGs ImGs ω 10 11 1 ω 0 ω 1Ks 1Kl Arco no para todo ω 0 ω 0 Figura 630 Diagrama de Bode para Gs Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 285 A existência do polo no SPD no Exemplo 610 afetou as regras de traçado da curva de fase do diagrama de Bode e afetou a relação entre os envolvimentos e as raízes instáveis em malha fechada porque P 1 na Eq 628 No entanto nós aplicamos o critério de estabilidade de Nyquist sem qualquer modificação O mesmo é verdadeiro para sistemas com um zero SPD ou seja um zero de fase não mínima não tem efeito sobre o critério de estabilidade de Nyquist mas afeta as regras de esboço do diagrama de Bode EXEMPLO 611 Características do diagrama de Nyquist Encontre o diagrama de Nyquist para o sistema de terceira ordem e concilie o diagrama de Nyquist com as características de Gs Se Gs for incluído em um sistema realimentado como mostrado na Fig 618 determine se o sistema é estável para todos os valores positivos de K Solução Para traçar o diagrama de Nyquist usando o MATLAB use os seguintes comandos O resultado é apresentado na Fig 63311 Note que não há arcos no infinito para este caso devido ao fato de não haver polos na origem ou no eixo jω Além disso note que a curva de Nyquist associada com o diagrama de Bode s jω começa em 30 termina em 10 e 11 A forma deste diagrama de Nyquist é um limaçon fato apontado pelo filho de 17 anos de idade do terceiro autor que tinha recentemente aprendido sobre ele em sua aula de trigonometria Limaçon significa caracol em francês do latim Limax e foi inicialmente investigada por Dürer em 1525 Figura 632 Contorno C1 para o Exemplo 610 Ims 180 C1 Res 286 Sistemas de Controle portanto começa e termina com um ângulo de fase de 0 É assim que deve ser pois o nume rador e o denominador de Gs são de ordens iguais e não existem singularidades na origem Assim a curva de Bode deve começar e terminar com uma fase nula Observe também que o diagrama de Nyquist passa por 0 0 quando s passa por como deveria já que a magnitude é igual a zero quando s está em um zero Além disso note que a fase vai de 120 quando s aproxima 0 0 para 60 quando s se afasta de 0 0 Esse comportamento ocorre em razão de a fase do diagrama de Bode se alterar em 180 instantaneamente quando s passa por um zero no eixo jω A fase inicial diminui à medida que a curva deixa o ponto de partida em 3 0 porque a mais baixa frequência de singularidade é o polo em s 1 Mudar o ganho K irá aumentar ou diminuir a magnitude do diagrama de Nyquist mas ela nunca irá cruzar o eixo real negativo Portanto o sistema em malha fechada será sempre estável para valores positivos de K Exercício Verifique esse resultado fazendo um esboço do lugar das raízes à mão 64 Margens de estabilidade Uma grande parte dos sistemas de controle se comporta em um padrão mais ou menos seme lhante ao do sistema na Seção 62 e do Exemplo 69 na Seção 63 isto é o sistema é estável para todos os valores pequenos de ganho e tornase instável se o ganho aumentar mais que um certo valor crítico Duas quantidades usadas que medem a margem de estabilidade de tais sis temas estão diretamente relacionadas com o critério de estabilidade da Eq 625 margem de ganho e margem de fase Nesta seção vamos definir e usar esses dois conceitos para estudar projeto de sistemas de controle Outra medida de estabilidade originalmente definida por O J M Smith 1958 combina estas duas margens em uma única e fornece uma indicação melhor de estabilidade para casos complicados A margem de ganho GM é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes do siste ma atingir a instabilidade Para o caso típico ela pode ser lida diretamente do diagrama de Bode por exemplo veja a Fig 615 medindo a distância vertical entre a curva do KGjω e a linha KGjω 1 na frequência em que Gjω 180 Vemos a partir da figura que quando K 01 o sistema é estável e GM 20 ou 26 db Quando K 2 o sistema é neutramente estável com GM 1 0 db e quando K 10 resulta em um sistema instável com a GM 02 14 db Notese que a GM é o fator pelo qual o ganho K pode ser aumentado antes de resultar na instabilidade portanto GM 1 ou GM 0 db indica um sistema instável A GM também Margem de ganho 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 3 3 2 1 0 1 2 3 Eixo real Eixo imaginário Figura 633 Diagrama de Nyquist para o Exem plo 611 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 287 pode ser determinada a partir de um lugar das raízes em relação a K anotando dois valores de K 1 no ponto onde o lugar das raízes cruza o eixo jω e 2 os polos do sistema nominal em malha fechada A GM é a relação entre esses dois valores Outra medida usada para indicar a margem de estabilidade em um sistema é a margem de fase PM É o montante pelo qual a fase de Gjω excede 180 quando KGjω 1 que é uma forma alternativa de medir o grau em que as condições de estabilidade da Eq 625 são satisfeitas Para o caso na Fig 615 vemos que PM 80 para K 01 PM 0 para K 2 e PM 35 para K 10 A PM positiva é necessária para a estabilidade Note que as duas medidas de estabilidade PM e GM juntas determinam a distância em que a quantidade complexa Gjω passa do ponto 1 que é outra maneira de representar o ponto de estabilidade neutra especificado pela Eq 624 As margens de estabilidade também podem ser definidas em termos do diagrama de Ny quist A Figura 634 mostra que GM e PM são medidas em relação à distância que a curva do diagrama de Nyquist está de envolver o ponto 1 Mais uma vez podemos ver que a GM indica o quanto o ganho pode ser aumentado antes de resultar na instabilidade de um sistema como o do Exemplo 69 A PM é a diferença entre a fase de Gjω e 180 quando KGjω cruza o círculo KGs 1 o valor positivo da PM é designado para o caso estável ou seja sem envolvimen tos no diagrama de Nyquist É mais fácil determinar estas margens diretamente do diagrama de Bode do que do diagra ma Nyquist O termo frequência de cruzamento ωc é usado frequentemente para se referir à frequência com que o ganho é a unidade ou 0 db A Figura 635 mostra os mesmos dados traçados na Fig 625 mas para o caso de K 1 Os mesmos valores de PM 22 e GM 2 podem ser obtidos a partir do diagrama de Nyquist mostrado na Fig 626 O cruzamento no eixo real em 05 corresponde a uma GM de 105 ou 2 e a PM pode ser calculada graficamen te por meio da medição do ângulo de Gjω quando Gjω cruza o círculo unitário Gjω 1 Um dos aspectos úteis do projeto em resposta em frequência é a facilidade com que pode mos avaliar os efeitos das mudanças no ganho Na verdade podemos determinar a PM da Fig 635 para qualquer valor de K sem redesenhar as informações de magnitude ou fase Precisamos apenas indicar na figura onde KGjω 1 para valores selecionados de K como feito com linhas tracejadas na Fig 636 Agora podemos ver que K 5 produz uma PM instável de 22 enquanto um ganho de K 05 produz um PM de 45 Além disso se quisermos um certo valor da PM por exemplo 70 podemos simplesmente ler o valor do Gjω correspondente à frequência que criaria a PM desejada aqui ω 02 rads resulta em 70 onde Gjω 5 e observe que a magnitude nessa frequência é 1K Portanto uma PM de 70 será alcançada com K 02 A PM é mais comumente usada para especificar o desempenho do sistema de controle por que está intimamente relacionada com a taxa de amortecimento do sistema Isso pode ser visto para o sistema de segunda ordem em malha aberta 629 Margem de fase Frequência de cruzamento Figura 634 Diagrama de Nyquist definindo GM e PM ReKGs ImKGs ReKGs ImKGs 1 PM 1GM KG jω 288 Sistemas de Controle o qual com realimentação unitária produz o sistema em malha fechada 630 Pode ser mostrado que a relação entre a PM e ζ nesse sistema é 631 essa função é traçada na Fig 337 Note que a função é aproximadamente uma linha reta até cerca de PM 60 A linha tracejada mostra uma aproximação linear para a função onde 632 É claro que essa aproximação é válida apenas para PM abaixo de 70 Além disso a Eq 631 só é precisa para o sistema de segunda ordem com a Eq 630 Apesar dessas limitações a Eq 632 é frequentemente utilizada como uma regra de ouro para relacionar o coeficiente de amortecimento do sistema em malha fechada com a PM Ela é útil como ponto de partida no entanto é importante sempre verificar o amortecimento real de um projeto bem como outros aspectos de desempenho antes de terminar o projeto A margem de ganho para o sistema de segunda ordem dado pela Eq 629 é infinita GM porque a curva da fase não atravessa 180 à medida que a frequência aumenta Isso também seria verdade para qualquer sistema de primeira ou de segunda ordem Figura 635 GM e PM a partir dos gráficos de magnitude e fase 02 1 10 2 PM 22 ω rads 1GM 05 GM 2 6 db 20 0 20 db 02 1 10 2 ω rads 10 5 2 1 05 02 01 Magnitude Gjω Fase Gjω 90 180 270 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 289 Dados adicionais para auxiliar a avaliação de um sistema de controle com base na sua PM podem ser obtidos da relação entre o pico de ressonância Mr e ζ visto na Fig 63 Note que este valor foi obtido para o mesmo sistema Eq 69 dado na Eq 630 Podemos converter as informações da Fig 637 em uma forma relacionando Mr com a PM Isto é descrito na Fig 638 junto com o sobressinal a uma entrada ao degrau Mp Portanto vemos que dada a PM podemos inferir informações em relação ao sobressinal na resposta ao degrau em um sistema em malha fechada Muitos engenheiros pensam diretamente em termos de PM quando estão analisando se um sistema de controle está devidamente estabilizado Nestes termos a PM 30 é muitas vezes considerada como a menor PM adequada Além de testar a estabilidade de um sistema utilizan do a PM um projetista normalmente também se preocupa com a especificação da velocidade de resposta como largura de banda como discutido na Seção 61 Em termos dos parâmetros Figura 636 PM em relação a K a partir da resposta em frequência 02 1 10 ω rads 20 0 20 db 02 1 10 2 ω rads 10 5 2 1 05 02 01 Magnitude Gjω Fase Gjω 90 180 270 1K K 02 KGjω 1 para K 05 KGjω 1 para K 5 2 PM 70 PM 45 para K 05 PM 22 para K 5 Figura 637 Coeficiente de amortecimento em relação à PM 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 08 06 04 02 0 Coeficiente de amortecimento ζ Margem de fase 290 Sistemas de Controle de resposta em frequência discutidos até agora a frequência de cruzamento seria a melhor para descrever a velocidade da resposta de um sistema Essa ideia será discutida nas Seções 66 e 67 Em alguns casos a PM e a GM não são indicadores úteis de estabilidade Para sistemas de primeira e de segunda ordem a fase nunca atravessa a linha de 180 portanto a GM é sempre e não é um parâmetro de projeto útil Para sistemas de ordem superior é possível ter mais de uma frequência onde KGjω 1 ou KGjω 180 e as margens como definidas pre viamente precisam de esclarecimentos Um exemplo disso pode ser visto na Fig 1012 onde a magnitude cruza 1 três vezes Decidiuse definir a PM pelo primeiro cruzamento porque o valor da PM neste cruzamento foi o menor dos três valores e assim é a avaliação de estabilidade mais conservadora Um diagrama de Nyquist com base nos dados da Fig 1012 mostraria que a parte da curva de Nyquist mais próxima de 1 seria o ponto crítico de indicação de estabi lidade e portanto o uso da frequência de cruzamento que resultaria no valor mínimo da PM é a escolha lógica Na melhor das hipóteses um projetista precisa ser criterioso ao aplicar as definições de margens descritas na Fig 634 Na verdade a margem de estabilidade real de um sistema pode ser rigorosamente avaliada apenas através da análise da proximidade do diagrama de Nyquist com o ponto 1 Para ajudar nessa análise O J M Smith 1958 introduziu o vetor de margem que foi definido como a distância mais próxima do diagrama de Nyquist e o ponto 112 A Figura 639 ilustra esta ideia graficamente Devido ao fato de o vetor de margem ser um parâmetro único de margem ele remove todas as ambiguidades na avaliação da estabilidade usando a combinação de GM e PM Mais antigamente ele não era amplamente utilizado devido às dificuldades de calculálo No entanto com a ampla disponibilidade de auxílio computacional a ideia de usar a o vetor de margem para descrever o grau de estabilidade é muito mais viável 12 Este valor está bastante relacionado ao uso da função de sensibilidade para projetos e ao conceito de robustez de estabilidade que serão discutidos na Seção 677 Vetor de margem Figura 639 Definição do vetor de margem no diagrama de Nyquist ReGs ImGs Vetor de margem 1 Figura 638 Sobressinal Mp e pico de ressonância Mr em relação a Ts 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Margem de fase Mr Mp Mp Sobressinal Pico de magnitude na resposta transitória Mr Pico de ressonância Pico de magnitude na resposta em frequência 4 3 2 1 0 100 090 080 070 060 050 040 030 020 0 010 292 Sistemas de Controle Este conflito é resolvido contando os envolvimento do diagrama de Nyquist na Fig 641b Há um envolvimento do ponto 1 no sentido horário e um no sentido antihorário Portanto o sistema é estável para K 7 Para sistemas como estes é melhor recorrer ao lugar das raízes eou diagrama de Nyquist em vez do diagrama de Bode para determinar a estabilidade EXEMPLO 613 Diagrama de Nyquist para um sistema com múltiplas frequências de cruzamento Trace o diagrama de Nyquist para o sistema e determine as margens de estabilidade Solução O diagrama de Nyquist Fig 642 mostra que existem três frequências de cruza mento ω 075 90 e 101 rads com três valores correspondentes de PM 37 80 e 40 respectivamente No entanto o indicador chave da estabilidade é a proximidade do diagrama de Nyquist ao ponto 1 no eixo real Neste caso apenas a GM indica uma margem pobre de estabilidade para este sistema O diagrama de Bode para este sistema Fig 643 mostra os mesmos três cruzamentos de magnitude 1 em 075 90 e 101 rads O valor da GM 126 a partir do diagrama de Bode correspondente a ω 104 rads qualitativamente está de acordo com a GM a partir do diagrama de Nyquist e seria a margem mais útil e inequívoca para este exemplo Em resumo muitos sistemas se comportam aproximadamente como o Exemplo 69 e para eles a GM e a PM são bem definidas e úteis Há também casos frequentes de sistemas mais complexos com múltiplos pontos de cruzamento na magnitude 1 ou sistemas instáveis em ma lha aberta para os quais os critérios de estabilidade definidos pela Fig 634 são ambíguos ou incorretos por isso precisamos verificar como a GM e a PM foram definidas anteriormente e ou modificálas voltando para o critério de estabilidade de Nyquist Figura 642 Diagrama de Nyquist do sistema complexo no Exemplo 613 ReGs ImGs 2 2 05 1 1 1 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 293 65 Relação entre ganho e fase no diagrama de Bode Umas das contribuições mais importantes de Bode é o seguinte teorema Para qualquer sistema de fase mínima estável ou seja sem zeros ou polos SPD a fase de Gjω está exclusivamente relacionada com a magnitude de Gjω Teorema de Bode Quando a inclinação de Gjω em função de ω em uma escala loglog persiste em um valor constante por aproximadamente uma década de frequência a relação é particularmente simples e é dada por 633 sendo que n é a inclinação de Gjω em unidades de década de amplitude por década de frequência Por exemplo ao considerar apenas a curva de magnitude da Fig 644 vemos que a Eq 633 pode ser aplicada para as duas frequências ω1 01 onde n 2 e ω2 10 onde n 1 que são obtidas a uma década da mudança de inclinação para produzir os valores aproximados de fase 180 e 90 A curva de fase exata mostrada na figura verifica que na verdade a aproximação é bastante boa Também mostra que a aproximação irá degradar se a avaliação for realizada em frequências mais próximas da mudança de in clinação Uma declaração exata do teorema de ganho e fase de Bode é em radianos 634 Magnitude 100 100 Fase 0 01 1 10 100 02 04 2 4 6 20 4060 50 100 150 200 250 300 180 ω rads b 01 1 10 100 02 04 2 4 6 20 4060 ω rads a 80 60 40 20 0 20 40 db 10 1 01 001 0001 00001 000001 1GM 079 GM 126 PM 37 Figura 643 Diagrama de Bode do Sistema do Exemplo 613 294 Sistemas de Controle sendo M Magnitude em log ln Gjω u frequência normalizada lnωωo dMdu inclinação como definido na Eq 633 Wu função de ponderação lncothu2 A Figura 645 é um gráfico da função de ponderação Wu e mostra como a fase é mais de pendente da inclinação em ω0 ela é também dependente embora em menor grau das frequên cias vizinhas A figura também sugere que a ponderação pode ser aproximada por uma função impulso centrada em ω0 Podemos aproximar a função de ponderação por que é precisamente a aproximação feita para chegar à Eq 633 usando a propriedade de pe neirar da função de impulso e a conversão de radianos para graus Figura 645 Função de ponderação no teorema de ganho e fase de Bode Wu u 0 2 4 6 6 4 2 ω0 01ω0 10ω0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 01 1 10 01 1 10 100 ω rads Magnitude Gjω Fase Gjω ω1 ω2 01 1 10 ω rads 40 20 0 20 db 90 120 150 180 Inclinação n 2 n 1 Figura 644 Demonstração de uma relação de ga nho de fase aproximada 296 Sistemas de Controle 635 Vamos ajustar o ganho K para produzir a largura de banda desejada e ajustar o ponto de quebra ω1 1TD para fornecer a inclinação de 1 na frequência de cruzamento O processo de pro jeto real para alcançar as especificações desejadas é muito simples escolhemos um valor de K para proporcionar um cruzamento em 02 rads e um valor de ω1 que seja cerca de quatro vezes menor do que a frequência de cruzamento de modo que a inclinação seja 1 nas proximidades do cruzamento A Figura 648 mostra os passos que tomamos para chegar à compensação final 1 Trace Gjω 2 Modifique o traçado adicionando Djω com ω1 005 rads TD 20 tal que a inclina ção seja aproximadamente 1 em ω 02 rads 3 Determine DG 100 onde a curva DG cruza a linha ω 02 rads que é onde deseja mos que a magnitude 1 seja cruzada 4 Para que a frequência de cruzamento seja ω 02 rads calcule Portanto irá atender às especificações completando assim o projeto Se fôssemos desenhar a curva de fase de KDG veríamos que PM 75 o que certamente é bastante adequado O diagrama da resposta em frequência em malha fechada Fig 649 mostra que de fato a frequência de cruzamento e a largura de banda são quase idênticas neste caso A função de sensibilidade foi definida pela Eq 417 para este problema e é A resposta da saída em relação ao comando de entrada é mostrada no gráfico junto com Ts A resposta em frequência de T confirma que o projeto alcançou a largura de banda desejada de 02 rads e também podese ver que S tem o valor de 02 em ω 005 rads A resposta ao degrau do sistema em malha fechada é mostrada na Fig 650 e seu sobressinal de 14 confirma o amortecimento adequado Figura 648 Função de transferência compensa da em malha aberta ω1 Inclinação 2 ou 40 db por década Inclinação 1 ou 20 db por década DjωGjω Gjω 001 002 01 02 1 80 60 40 db 10000 2000 1000 200 100 20 Magnitude DG ω rads 100 KDG 1 K 1 001 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 297 66 Resposta em frequência de malha fechada A largura de banda em malha fechada foi definida na Seção 61 e na Fig 65 A Figura 63 mos trou que a frequência natural está sempre dentro de um fator de dois da largura de banda para um sistema de segunda ordem No Exemplo 614 projetamos a compensação de modo que a frequência de cruzamento estivesse na largura de banda desejada e foi verificado por cálculo que a largura de banda foi idêntica à frequência de cruzamento Geralmente a relação entre a frequência de cruzamento e a largura de banda não é tão boa como no Exemplo 614 Podemos ajudar a estabelecer uma correspondência mais exata fazendo algumas observações Considere um sistema no qual KGjω apresenta o comportamento típico sendo ωc a frequência de cruzamento A magnitude da resposta em frequência em malha fecha da é aproximadamente dada por 636 Figura 650 Resposta ao degrau para o compensador PD 10 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tempo s 12 10 08 06 04 02 0 θ 102 101 100 101 100 101 101 100 101 T jω Sjω ω rads Magnitude db Figura 649 Resposta em frequência em ma lha fechada de T s e Ss 298 Sistemas de Controle Nas imediações do cruzamento onde KGjω 1 Tjω depende fortemente da PM A PM de 90 significa que Gjωc 90 e portanto Tjωc 0707 Por outro lado PM 45 resulta que Tjωc 131 A avaliação exata da Eq 636 foi usada para gerar as curvas de Tjω na Fig 651 Ela mostra que a largura de banda para valores menores de PM é tipicamente um pouco maior do que ωc embora geralmente seja menor que 2ωc assim Outra especificação referente à resposta em frequência de malha fechada é o pico de resso nância da magnitude Mr definido na Fig 65 As figuras 63 e 638 mostram que para sistemas lineares o Mr está geralmente relacionado ao amortecimento do sistema Na prática o Mr é raramente usado a maioria dos projetista prefere usar a PM para especificar o amortecimento de um sistema porque as imperfeições que tornam os sistemas não lineares ou causam atrasos geralmente corroem mais significativamente na fase do que na magnitude Conforme demonstrado no último exemplo também é importante que o projeto atinja cer tas características de erro e estas são muitas vezes avaliadas em função da entrada ou da fre quência de perturbação Em alguns casos a principal função do sistema de controle é regular a saída para uma entrada constante na presença de distúrbios Para essas situações o item chave de interesse para o projeto seria a resposta em frequência de malha fechada do erro com respei to a entradas de perturbação 67 Compensação Conforme discutimos nos Capítulos 4 e 5 elementos dinâmicos ou compensadores são nor malmente adicionados aos controladores realimentados para melhorar a estabilidade e as carac terísticas de erro do sistema porque o processo em si não pode ter as características aceitáveis apenas com a realimentação proporcional A Seção 43 discutiu os tipos básicos de ação de controle proporcional derivativa e inte gral A Seção 54 discutiu três tipos de compensação dinâmica compensador de avanço que se aproxima de controle proporcionalderivativo PD compensador de atraso que se aproxi ma de controle proporcionalintegral PI e compensador rejeita faixa que tem característi cas especiais para lidar com ressonâncias Nesta seção vamos discutir esses e outros tipos de compensação em termos de características da resposta em frequência Na maioria dos casos a compensação será implementada em um microprocessador Técnicas para converter o compen sador contínuo Ds em uma forma que pode ser codificada no computador foram brevemente discutidas na Seção 44 Elas serão ilustradas mais adiante nesta seção e serão discutidas em mais detalhes no Capítulo 8 Figura 651 Largura de banda em ma lha fechada em relação à PM T jω KGjω PM 90 2ωc 5ωc 10ωc T jω KGjω ω rads PM 22 PM 45 Largura de banda Magnitude Tjω e Gjω 20 10 07 02 01 3 20 db 0 ωc Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 299 A análise da estabilidade baseada na resposta em frequência até este ponto tem geralmente considerado o sistema em malha fechada que tem a equação característica 1 KGs 0 Com a introdução da compensação a equação característica de malha fechada tornase 1 KDs Gs 0 e toda a discussão anterior neste capítulo relativa à resposta em frequência de KGs se aplica diretamente ao caso com compensador se nós a aplicarmos à resposta em frequência de KDsGs Chamamos esta quantidade de Ls de o ganho de malha ou função de trans ferência do sistema em malha aberta onde Ls KDsGs 671 Compensador PD Vamos começar a discussão do projeto de compensadores usando a resposta em frequência do controlador PD A função de transferência do compensador dada por 637 apresentada na Fig 522 tem um efeito estabilizante no lugar das raízes de um sistema de se gunda ordem As características de resposta em frequência da Eq 637 são mostrados na Fig 652 A influência estabilizadora é aparente dada pelo aumento da fase e pela inclinação 1 nas frequências acima do ponto de quebra 1TD Esta compensação é usada posicionando 1TD de modo que o acréscimo de fase ocorra nas proximidades da frequência de cruzamento ou seja onde KDsGs 1 aumentando assim a PM Note que a magnitude do compensador continua a crescer à medida que a frequência cres ce Esse recurso é indesejável porque amplifica o ruído de alta frequência que normalmente está presente em qualquer sistema real e como uma função de transferência contínua não pode ser realizada com elementos físicos Essa é também a razão pela qual afirmamos na Seção 54 que a compensação derivativa pura resulta em problemas 672 Compensador de avanço A fim de aliviar a amplificação de alta frequência da compensação PD um polo de primei ra ordem é adicionado no denominador em frequências substancialmente mais altas do que o Compensador PD Compensação de avanço Ds db Ds 10 90 01 02 1 2 10 ωT 60 30 0 ω TD 1 5 2 1 05 02 01 20 20 0 ω TD 1 01 02 1 2 10 ωT Figura 652 Resposta em frequência do controlador PD 300 Sistemas de Controle ponto de quebra do compensador PD Assim o aumento de fase ou avanço ainda ocorre mas a amplificação em altas frequências é limitada A compensação de avanço resultante tem a função de transferência 638 onde 1α é a razão entre as frequências de quebra polozero A Figura 653 mostra a resposta em frequência do compensador de avanço Note que uma quantidade significativa de avanço de fase ainda é fornecida mas com uma amplificação muito menor em altas frequências Um com pensador de avanço geralmente é usado quando uma melhoria substancial de amortecimento do sistema é necessária A contribuição de fase do compensador de avanço na Eq 638 é dada por Podese demonstrar veja o Problema 644 que a frequência na qual a fase é máxima é dada por 639 A contribuição de fase máxima isto é o pico da curva de Ds na Fig 653 corresponde a 640 ou Outra maneira de considerar isto é a seguinte a fase máxima ocorre em uma frequência que se encontra no meio do caminho entre as duas frequências de quebra às vezes chamadas de frequências de canto em uma escala logarítmica Figura 653 Resposta em frequên cia do compensador de avanço com 1α 10 Ds db Ds 10 5 90 60 30 0 2 1 05 02 01 20 0 20 01 1 10 100 ωmaxT 01 1 10 100 ωmaxT ω αT 1 φmax ωT ωT T ω 1 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 301 641 como mostrado na Fig 653 Alternativamente podemos afirmar estes resultados em termos da localização do polozero Reescrevendo Ds na forma utilizada para a análise do lugar das raízes temos 642 O Problema 644 mostra que 643 e 644 Estes resultados estão de acordo com os resultados anteriores se fizermos z 1T e p 1 αT nas Eqs 639 e 641 Por exemplo um compensador de avanço com um zero em s 2 T 05 e um polo em s 10 αT 01 e assim α 15 terá fase máxima em A quantidade de avanço de fase no ponto médio depende apenas de α na Eq 640 e é repre sentada na Fig 654 Para α 15 a Fig 654 mostra que φmax 40 Note a partir da figura que a fase poderia ser aumentada até 90 utilizando valores mais elevados da razão de avanço 1α no entanto a Fig 653 mostra que os valores crescentes de 1α também produzem amplifi cações maiores em frequências mais altas Assim nossa tarefa é selecionar um valor de 1α que seja um bom compromisso entre uma PM aceitável e uma sensibilidade de ruído aceitável em altas frequências Normalmente sugerese que a compensação deve contribuir com um avanço de fase máximo de 70 Se um avanço de fase maior for necessário então um compensador de avanço de fase duplo é sugerido sendo Mesmo se um sistema estiver sujeito a quantidades insignificantes de ruído e a compensa ção derivativa pura da Eq 637 for aceitável uma compensação contínua pareceria mais com Razão de avanço Figura 654 Máximo acréscimo de fase de um compensador de avanço 90 1 60 30 0 40 60 100 20 10 4 6 8 2 Máximo avanço de fase 1 α 302 Sistemas de Controle a Eq 638 do que com a Eq 637 devido à impossibilidade de construir um diferenciador puro Nenhum sistema físico mecânico ou elétrico responde com amplitude infinita na fre quência infinita então haverá um limite na faixa de frequência ou largura de banda para o qual a derivada da informação ou avanço de fase possa ser fornecida Isto também é verdade em uma implementação digital pois a taxa de amostragem limita a amplificação de alta frequência e essencialmente coloca um polo na função de transferência do compensador EXEMPLO 615 Compensador de avanço para um motor CC Como exemplo de projeto de um compensador de avanço vamos repetir o projeto de compen sador para o motor CC com a função de transferência que foi obtida na Seção 541 Isso também representa o modelo de uma antena de localização por satélite veja a Fig 361 Dessa vez queremos obter um erro em estado estacionário inferior a 01 para uma entrada de rampa unitária Além disso desejamos um sobressinal Mp 25 1 Determine o compensador de avanço que satisfaça às especificações 2 Determine a versão digital do compensador com Ts 005 s 3 Compare as respostas ao degrau e à rampa em ambas as implementações Solução 1 O erro em estado estacionário é dado por 645 sendo Rs 1s2 para uma entrada em rampa então a Eq 645 se reduz a Portanto vemos que KD0 o ganho de estado estacionário da compensação não pode ser inferior a 10 Kv 10 para satisfazer o critério de erro por isso escolhemos K 10 Para relacionar a especificação de sobressinal com a PM a Fig 638 mostra que uma PM de 45 deve bastar A resposta em frequência de KGs na Fig 655 mostra que a PM 20 sem adicionar o compensador de avanço de fase Se fosse possível simplesmente adicionar a fase sem alterar a magnitude precisaríamos de uma fase adicional de apenas 25 em KGs na frequência de cruzamento de ω 3 rads No entanto manter o mesmo ganho de baixa frequência e adicionando um zero do compensador resultaria em uma frequência de cru zamento maior portanto a contribuição de fase requerida para o compensador de avanço será maior do que 25 Por segurança vamos projetar um compensador que fornece um avanço de fase máximo de 40 A Fig 654 mostra que 1α 5 atinge este objetivo Para obter o maior benefício da compensação a máxima fase do compensador deve ocorrer na frequência de cruzamento Com algumas tentativas e erros determinamos que posicionar o zero em ω 2 rads e o polo em ω 10 rads faz com que o avanço de fase máximo ocorra na frequência de cruzamento A compensação portanto é As características da resposta em frequência de Ls KDsGs na Fig 655 mostra a produção de uma PM de 53 o que satisfaz às metas de projeto O lugar das raízes para esse projeto originalmente dado na Fig 524 é repetido aqui na Fig 656 com a localização das raízes para K 10 marcadas O lugar das raízes não é necessário para o procedimento de projeto em resposta em frequência e é apresentado aqui apenas para comparação com o método de projeto baseado no lugar das raízes apresentado Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 303 no Capítulo 5 Todo o processo pode ser acelerado usando a rotina SISOTOOL do MAT LAB que fornece simultaneamente o lugar das raízes e o diagrama de Bode através de uma interface interativa Para este exemplo os comandos no MATLAB são fornecerá os gráficos conforme mostrado na Fig 657 Também pode ser usado para gerar o diagrama de Nyquist e a resposta temporal se desejado Figura 656 O lugar das raízes para o compensa dor de avanço 2 s KDs K 1 10 s 1 Gs ss 1 1 K 10 Ims Res 10 8 6 4 2 2 4 6 10 8 5 0 10 15 5 Figura 655 Resposta em frequência para o compensador de avanço ω rads Magnitude L Fase graus L KGs KDsGs Polo do compensador 01 02 1 2 10 ω rads 01 02 1 2 10 200 100 10 1 90 120 150 180 210 240 Zero do compensador PM 20 53 2 20 40 20 0 db 304 Sistemas de Controle 2 Para encontrar o equivalente discreto de Ds usamos a regra trapezoidal dada na Eq 4104 Isto é 646 a qual com Ts 005 s reduzse a 647 Esse mesmo resultado pode ser obtido usando os comandos no MATLAB Como 648 a equação do controlador discreto resultante é 649 Figura 657 Interface gráfica do SISOTOOL para o Exemplo 615 306 Sistemas de Controle de erro em estado estacionário foi utilizada diretamente Nenhum tipo de especificação de ve locidade da resposta foi dada no entanto isto teria impactado o projeto da mesma forma que a especificação de erro em estado estacionário impactou A velocidade de resposta ou largura de banda de um sistema está diretamente relacionada à frequência de cruzamento como foi apon tado anteriormente na Seção 66 A Figura 655 mostra que a frequência de cruzamento foi 5 rads Ela poderia ser aumentada elevando o ganho K e aumentando as frequências do polo e do zero do compensador de avanço para manter a inclinação de 1 na frequência de cruzamento Elevar o ganho também diminui o erro de estado estacionário melhorando o limite especifica do A margem de ganho foi introduzida no problema porque a estabilidade foi devidamente es pecificada apenas pela PM Além disso a margem de ganho não teria sido útil para este sistema porque a fase nunca cruzou a linha 180 e a GM sempre foi infinita No projeto de compensadores de avanço há três parâmetros principais de projeto 1 A frequência de cruzamento ωc que determina a largura de banda ωBW o tempo de subida tr e o tempo de acomodação ts 2 A PM que determina o coeficiente de amortecimento ζ e o sobressinal Mp 3 O ganho de baixa frequência que determina as características do erro em estado estacionário O problema de projeto é encontrar os melhores valores dos parâmetros dadas as especi ficações Em essência a compensação de avanço aumenta o valor de ωcL0 ωcKv para um sistema tipo 1 Isso significa que se o ganho de baixa frequência for mantido o mesmo a frequência de cruzamento irá aumentar Ou se a frequência de cruzamento é mantida a mesma o ganho de baixa frequência diminui Mantendo essa interação em mente o projetista pode assumir um valor fixo para um destes três parâmetros de projeto e em seguida ajustar os ou tros dois iterativamente até que as especificações sejam atendidas Uma abordagem é definir o ganho de baixa frequência para atender às especificações de erro e adicionar um compensador de avanço para aumentar a PM na frequência de cruzamento Uma alternativa é selecionar a frequência de cruzamento para atender a uma especificação de tempo de resposta e em segui da ajustar o ganho e as características de avanço tal que a especificação de PM seja atendida Um procedimento passo a passo é descrito a seguir para esses dois casos Eles se aplicam a uma classe considerável de problemas para os quais uma compensação é suficiente Como em todos os procedimentos de projeto eles fornecem apenas um ponto de partida o projetista normalmente achará necessário passar por várias iterações de projeto a fim de atender todas as especificações 1 Determine o ganho de malha aberta K para atender à especificação de erro ou de largura de banda a para atender à especificação de erro selecione K para satisfazer às constantes de erro Kp Kv ou Ka ou alternativamente b para atender à especificação de largura de banda selecione K tal que a fre quência de cruzamento de malha aberta seja um fator de dois abaixo da largu ra de banda desejada 2 Calcule a PM do sistema não compensado usando o valor de K obtido a partir do item 1 3 Forneça uma margem extra de aproximadamente 10 e determine o avanço de fase necessário φmax 4 Determine α a partir da Eq 640 ou da Fig 654 5 Selecione ωmax que ocorra na frequência de cruzamento assim o zero será e o polo estará em 6 Trace a resposta em frequência compensada e verifique a PM 7 Iterativamente ajuste o compensador Ajuste os parâmetros do compensador po los zeros e ganho até que todas as especificações sejam atendidas Adicione um compensador extra ou seja uma compensação de avanço dupla se necessário Procedimento de projeto para compensação de avanço Parâmetros de projeto para redes de avanço Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 307 Embora essas diretrizes não sejam aplicadas a todos os sistemas que podem ser encontra dos na prática elas sugerem um processo de tentativa e erro sistemático para buscar um com pensador que geralmente será suficiente EXEMPLO 616 Compensador de avanço para um sistema de controle de temperatura O sistema de terceira ordem representa um sistema típico de controle de temperatura Projete um compensador de avanço tal que Kp 9 e a PM seja de pelo menos 25 Solução Procedimento de projeto 1 Dada a especificação para Kp calculamos K 2 O diagrama de Bode do sistema não compensado KGs com K 9 pode ser obtido usan do os comandos do MATLAB abaixo e é mostrado na Fig 660 juntamente com os dois casos compensados numG 9 den2 conv2 11 1 denG convden205 1 sysG tfnumGdenG wlogspace11 magphase bodesysGw loglogwsqueezemaggrid semilogxwsqueezephasegrid É difícil obter a PM e as frequências de corte com precisão por meio dos diagramas de Bode portanto o comando no MATLAB GMPMWcgWcp marginmagphasew pode ser usado A quantidade PM é a margem de fase e Wcp é a frequência em que o ganho cruza a magni tude 1 A GM e Wcg são a margem de ganho em malha aberta e a frequência com que a fase cruza 180 Para este exemplo a saída é GM 125 PM 712 Wcg 187 Wcp 168 portanto a PM do sistema não compensado é de 7 e isso ocorre em uma frequência de cruzamento de 17 rads 3 Usando uma margem de fase extra de 10 o compensador de avanço deve contribuir com 25 10 7 28 na frequência de cruzamento A margem de fase extra é tipicamente necessária porque o compensador de avanço irá aumentar a frequência de cruzamento do sistema em malha aberta no ponto em que um acréscimo maior de fase será necessário 4 A partir da Fig 654 vemos que α 13 fornecerá aproximadamente 30 de acréscimo de fase no ponto entre o zero e o polo 5 Como uma primeira tentativa posicionamos o zero em 1 rads T 1 e o polo em 3 rads αT 1 3 suportando a frequência de cruzamento em malha aberta e preservando o fator de 3 entre polo e zero como indicado por α 13 O compensador de avanço é 308 Sistemas de Controle 6 O diagrama de Bode do sistema com D1s Fig 660 curva do meio tem uma PM de 16 Não obtemos a PM de 30 desejada porque o compensador mudou a frequência de cruzamento de 17 rads para 23 rads aumentando assim o acréscimo fase necessário do compensador A resposta ao degrau do sistema com D1s Fig 661 mostra uma resposta muito oscilatória como poderíamos esperar da pequena PM de 16 7 Repetimos o projeto com um aumento da fase extra e movendo a posição do zero levemente para a direita para que a frequência de cruzamento não seja muito alterada Nós escolhe mos α 110 com o zero em s 15 de modo que Este compensador produz uma PM 38 e a frequência de cruzamento baixou ligeiramen te para 22 rads A Figura 660 curva superior mostra a resposta em frequência do projeto revisado A Figura 661 mostra uma redução substancial nas oscilações o que você deve ter esperado a partir do valor mais elevado da PM Figura 660 Diagrama de Bode para o compensador de avanço no Exemplo 616 101 101 100 ω rads b 101 101 100 ω rads a 250 200 150 180 100 50 Fase graus Magnitude 7 38 16 101 100 101 0 20 20 db KGD2 GD1 GD2 G KGD1 KG Figura 661 Resposta ao degrau para o projeto do compensador de avanço 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Tempo s 0 05 1 15 D2 D1 y EXEMPLO 617 Projeto de um compensador de avanço para um servomecanismo do Tipo 1 Considere o sistema de terceira ordem Esse tipo de sistema seria o resultado de um motor CC com um atraso no sensor de posição do eixo Projete um compensador de avanço para que obtenha PM 45 e Kv 10 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 309 Solução Novamente seguimos o procedimento de projeto anterior 1 Como dado KGs fornece Kv 10 se K 1 Portanto a especificação de Kv é atendida para K 1 e o ganho de baixa frequência do compensador deve ser 1 2 O diagrama de Bode do sistema é mostrado na Fig 662 A PM do sistema não compensado curva inferior é de aproximadamente 4 e a frequência de cruzamento está em ωc 4 rads 3 Considerando uma PM extra de 5 precisamos de PM 45 5 4 54 a ser fornecida pelo compensador de avanço 4 A partir da Fig 654 encontramos que α deve ser de 01 para atingir um avanço de fase máximo de 54 5 A nova frequência de cruzamento será maior que o valor em malha aberta de ωc 4 rads então vamos selecionar o polo e o zero do compensador posicionados em 20 e 2 rads res pectivamente Assim o compensador candidato é 6 O diagrama de Bode do sistema compensado Fig 662 curva do meio mostra uma PM de 23 O compensador de avanço único não atende à especificação devido à inclinação de alta frequência de 3 7 Precisamos de um compensador de avanço duplo neste sistema Se tentarmos um compen sador da forma obtemos PM 46 O diagrama de Bode para este caso é mostrado na curva superior da Fig 662 Figura 662 Diagrama de Bode para o compensador de avanço no Exem plo 617 101 102 101 100 ω rads b 101 102 101 100 ω rads a 250 200 150 100 50 Fase graus Magnitude 102 100 101 101 0 20 20 40 db GD2 KG 180 4 46 23 KGD1 KGD2 GD1 G Os Exemplos 616 e 617 são de terceira ordem No Exemplo 617 foi mais difícil de projetar o compensador porque a exigência de erro Kv forçou a frequência de cruzamento ωc a ser tão alta que um único compensador de avanço não poderia fornecer a PM suficiente 310 Sistemas de Controle 673 Compensador PI Em muitos problemas é importante manter a baixa largura de banda e reduzir o erro de estado estacionário Para essa finalidade um compensador proporcionalintegral PI ou de atraso é útil Da Eq 465 vemos que o controlador PI tem a função de transferência Compensador PI Figura 664 Resposta em frequên cia do compensador de atraso com α 10 Ds Ds ωT ω αT 1 10 0 01 1 10 ωT 01 1 10 30 60 90 120 5 2 1 α 10 20 20 0 db ω T 1 ω TI 1 Ds Ds ωTI 01K 60 01 1 10 02 2 ωTI 01 1 10 02 2 ω TI 1 90 30 0 02K K 2K 10K Figura 663 Resposta em frequência do compensador PI Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 311 650 o que resulta na característica da resposta em frequência apresentada na Fig 663 O aspecto desejável da compensação é o ganho infinito na frequência nula o que reduz os erros de estado estacionário Isto é realizado porém à custa de uma diminuição de fase nas frequências mais baixas do que a frequência do ponto de quebra em ω 1TI Portanto 1TI geralmente está localizado em uma frequência significativamente menor que a frequência de cruzamento para que a PM do sistema não seja afetada significativamente 674 Compensador de atraso Como discutimos na Seção 54 a compensação de atraso aproxima o controle PI Sua função de transferência foi dada na Eq 572 para o projeto baseado no lugar das raízes mas para o projeto em resposta em frequência é mais conveniente escrever apenas a função de transferên cia do compensador de atraso na forma Bode 651 com α sendo a relação entre as frequências de quebra zeropolo O controlador completo quase sempre inclui um ganho global K e talvez outras dinâmicas além da compensação de atraso Embora a Eq 651 seja muito parecida com o compensador de avanço na Eq 638 o fato é que α 1 faz com que o polo tenha uma frequência de ponto de quebra menor que do zero Esta relação produz o aumento da amplitude em baixa frequência e uma redução de fase atraso aparente na resposta em frequência na Fig 664 e dá à compensação a característica essencial do controle integral um aumento de ganho em baixa frequência O objetivo típico do projeto Compensação de atraso Figura 666 Resposta ao degrau do projeto do compensador de atraso no Exemplo 618 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Tempo s 0 12 08 04 y Figura 665 Resposta em frequência do projeto do compensador de atraso no Exemplo 618 b 102 101 101 100 102 101 101 100 ω rads ω rads a 250 200 150 180 100 50 Fase graus L Magnitude L 53 101 100 101 0 20 20 db KGD KGD KG KG 312 Sistemas de Controle de um compensador de atraso é proporcionar um ganho adicional de α na faixa de baixas fre quências para dar ao sistema PM suficiente Claro que o atraso de fase não é um efeito útil e o polo e zero do compensador de atraso são selecionados para estar em frequências muito mais baixas do que a frequência de cruzamento do sistema não compensado a fim de que o efeito so bre a PM seja mínimo Assim o compensador de atraso aumenta o ganho de malha aberta DC melhorando assim as características da resposta em estado estacionário sem alterar a resposta transitória de forma significativa Se o polo e o zero estão relativamente próximos um do outro e próximos da origem isto é se o valor de T é grande podemos aumentar o ganho de baixa frequência e portanto Kp Kv ou Ka por um fator α sem mover sensivelmente os polos de malha fechada Assim a resposta transitória permanece aproximadamente a mesma enquanto a resposta em estado estacionário é melhorada Agora o procedimento de projeto de um compensador de atraso de fase é resumido passo a passo 1 Determine o ganho K em malha aberta que irá satisfazer à especificação de PM sem o compensador 2 Trace o diagrama de Bode do sistema não compensado com a frequência de cruza mento do item 1 e avalie o ganho de baixa frequência 3 Determine α para atender à especificação de erro ganho em baixa frequência 4 Escolha a frequência de corte ω 1T o zero do compensador de atraso para estar entre uma oitava e uma década abaixo da nova frequência cruzamento ωc 5 A outra frequência de corte a localização do polo do compensador de atraso será então ω 1αT 6 Iterativamente ajuste o projeto Ajustando os parâmetros do compensador polos zeros e ganho para atender a todas as especificações Procedimento de projeto para compensaçào de atraso EXEMPLO 618 Projeto de um compensador de atraso para um sistema de controle de temperatura Novamente considere o sistema de terceira ordem do Exemplo 616 Projete um compensador de atraso tal que a PM seja de pelo menos 40 e Kp 9 Solução Seguiremos o procedimento de projeto anterior 1 A partir do gráfico de KGs em malha aberta temos que para K 9 na Fig 660 percebe se que uma PM 40 será alcançada se a frequência de cruzamento rads Este será o caso se K 3 Então escolhemos K 3 a fim de atender à especificação de PM 2 O diagrama de Bode para KGs apresentado na Fig 665 com K 3 mostra que a PM é de aproximadamente 50 e o ganho de baixa frequência é agora 3 O cálculo exato da PM usando o comando margin no MATLAB mostra que PM 53 3 O ganho de baixa frequência deve ser aumentado por um fator de três o que significa que a compensação de atraso precisa ter α 3 4 Escolhemos a frequência de canto do zero para ser de aproximadamente um fator 5 vezes mais lento do que a frequência de cruzamento esperada ou seja em 02 rads Assim 1T 02 ou T 5 5 Temos então o valor para a outra frequência de canto ω 1αT 115 rads O compensador é portanto Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 313 A resposta em frequência compensada também é mostrada na Fig 665 O ganho de baixa frequência de KD0G0 3K 9 portanto Kp 9 e a PM cai ligeiramente para 44 o que satisfaz à especificação da resposta ao degrau O sistema mostrado na Fig 666 ilustra um amortecimento razoável que seria de se esperar com PM 44 6 Nenhuma iteração é necessária neste caso Note que os Exemplos 616 e 618 são para a mesma planta e têm a mesma exigência de erro em estado estacionário Um foi compensado com um compensador de avanço e o outro com um compensador de atraso O resultado é que a largura de banda do projeto do compen sador de avanço é maior do que para o projeto do compensador de atraso por cerca de um fator de 3 Esse resultado pode ser visto por meio da comparação das frequências de cruzamento dos dois projetos Um efeito benéfico da compensação de atraso aumentar o ganho em baixa frequência para melhores características de erro foi apenas apresentado no Exemplo 618 No entanto em essência a compensação de atraso reduz o valor de ωc L0 ωcKv para um sistema do Tipo 1 Isso significa que se a frequência de cruzamento for mantida a mesma o ganho de baixa frequência irá aumentar Da mesma forma se o ganho de baixa frequência é mantido o mesmo a frequência de cruzamento irá diminuir Portanto a compensação de atraso também pode ser interpretada como a redução da frequência de cruzamento para obter uma melhor PM O procedimento para o projeto neste caso será parcialmente modificado Primeiro escolha o ganho de baixa frequência para atender às exigências de erro em seguida posicione o polo e o zero do compensador de atraso de modo a proporcionar uma frequência de cruzamento com PM adequada O próximo exemplo ilustra este procedimento de projeto O resultado final do projeto será o mesmo não importa qual procedimento é seguido EXEMPLO 619 Compensador de atraso para um motor CC Repita o projeto para o controle do motor CC no Exemplo 615 desta vez usando o compensa dor de atraso Corrija o ganho de baixa frequência a fim de atender à especificação de erro com Kv 10 então use a compensação de atraso para cumprir a exigência de PM 45 Solução A resposta em frequência do sistema de KGs com o ganho necessário K 10 é apresentada na Fig 667 O sistema não compensado tem uma frequência de cruzamento de aproximadamente 3 rads onde a PM 20 A tarefa do projetista é selecionar os pontos de quebra do compensador para que a frequência de cruzamento seja reduzida para obter resulta dos mais favoráveis de PM Para evitar efeitos prejudiciais do compensador de atraso de fase os valores das posições do polo e do zero do compensador devem ser substancialmente inferiores à nova frequência de cruzamento Uma escolha possível é mostrada na Fig 667 O zero do com pensador de atraso está em 01 rads e o polo está em 001 rads Esta seleção de parâmetros produz uma PM de 50 satisfazendo assim às especificações Aqui a estabilização é atingida mantendo a frequência de cruzamento para uma região onde Gs tem características de fase fa voráveis O critério para selecionar as posições do polo e do zero 1T é tornálas suficientemen te baixas para minimizar os efeitos do atraso de fase na frequência do cruzamento Geralmente no entanto o polo e o zero não estão localizados em frequências mais baixas que o necessário devido ao fato de a raiz adicional do sistema compare com o lugar das raízes de um projeto de um sistema semelhante na Fig 528 introduzida pelo compensador de atraso estar na mesma faixa de frequências do zero do compensador e ter algum efeito sobre a resposta especialmente a resposta a entradas de perturbação A resposta ao degrau de um sistema é mostrada na Fig 668 Ela não mostra erro algum de estado estacionário para uma entrada em degrau porque esse é um sistema do Tipo 1 No en tanto a introdução da raiz lenta do compensador de atraso faz com que a resposta exija cerca de 25 segundos para se estabelecer no valor de estado estacionário nulo O Mp é um pouco maior 314 Sistemas de Controle do que seria esperado pelas diretrizes com base em um sistema de segunda ordem mostrado na Fig 638 para uma PM 50 no entanto o desempenho é adequado Como vimos anteriormente para uma situação semelhante os Exemplos 615 e 619 aten diam a um conjunto idêntico de especificações para a mesma planta mas de maneiras muito di ferentes No primeiro caso as especificações são atendidas com uma compensação de avanço resultando em uma frequência de cruzamento ωc 5 rads ωBW 6 rads No segundo caso as mesmas especificações são atendidas com uma compensação de atraso resultando em ωc 08 rads ωBW 1 rads Claramente se houvesse especificações para o tempo de subida ou para a largura de banda elas teriam influenciado na escolha do compensador de avanço ou de atraso Da mesma forma se o tempo de acomodação fosse um problema poderia ser sugerido o uso de um compensador de avanço em vez de um compensador de atraso Em sistemas mais realistas elementos dinâmicos geralmente representam o atuador e o sensor bem como o processo em si por isso é normalmente impossível aumentar a frequência de cru zamento muito além do valor que representa a velocidade de resposta dos componentes a serem utilizados Embora a análise linear sugira que qualquer sistema pode ser compensado de fato se Figura 667 Resposta em frequência do compensador de atraso projetado no Exemplo 619 ω rads PM 20 0001 001 01 2 10 02 ω rads 0001 001 01 1 2 02 1 Polo de atraso KDsGs KGs PM 50 90 120 150 180 210 100 10 1 20 2 0 20 40 db Fase L Magnitude L Zero de atraso Figura 668 Resposta ao degrau do compen sador de atraso projetado no Exemplo 619 0 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Tempo s 0 12 08 04 y Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 315 tentar conduzir um conjunto de componentes a frequências muito mais rápidas que suas frequên cias naturais o sistema vai saturar e a hipótese de linearidade não será mais válida Com esse comportamento em mente vemos que simplesmente aumentar o ganho de um sistema e adicionar compensadores de avanço para alcançar uma PM adequada pode não ser sempre possível Pode ser preferível para satisfazer às especificações de erro adicionar um compensador de atraso de modo que a largura de banda em malha fechada seja mantida em uma frequência mais razoável 675 Compensador PID Para problemas que precisam melhorar a PM em ωc e o ganho de baixa frequência é eficaz usar o controle derivativo e o controle integral Combinando as Eqs 637 e 650 obtémse o controle PID Sua função de transferência é 652 e sua resposta em frequência é apresentada na Fig 669 Essa forma é um pouco diferente da quela dada pela Eq 459 porém o efeito da diferença é inconsequente Esta compensação é aproximadamente equivalente ao combinar compensadores de avanço e atraso no mesmo pro jeto e assim às vezes ele é referido como um compensador de avanço e atraso Dessa forma ele pode proporcionar melhoria simultânea nas respostas transitória e de estado estacionário EXEMPLO 620 Projeto de um compensador PID para o sistema de controle de atitude de uma aeronave Um projeto simplificado para o controle de atitude de aeronave foi apresentado na Seção 65 no entanto aqui temos uma situação mais realista que inclui o atraso do sensor e um distúrbio de torque A Figura 670 define o sistema Projete um controlador PID para ter erro em estado estacionário nulo a um torque de perturbação constante uma PM de 65 e largura de banda Compensador PID Figura 669 Resposta em frequência do compensador PID com TITD 20 Ds ω TI 1 ω TD 1 Ds 10K 90 01 1 10 100 ωTI 01 1 10 100 ωTI 60 30 0 30 60 90 2K K 02 2 02 2 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 317 A escolha para 1TI é um fator 20 vezes menor do que 1TD isto é 1TI 0005 Um fator menor de 20 teria um impacto negativo na fase na frequência de cruzamento reduzindo assim a PM Além disso é geralmente desejável manter a magnitude compensada tão grande quanto possível em frequências abaixo da ωc a fim de uma resposta transitória mais rápida e menores erros manter 1TD e 1TI nas frequências mais altas possíveis trará estas características Agora falta determinar a parte proporcional do controlador PID ou K Ao contrário do sis tema do Exemplo 618 no qual K foi selecionado para atender a uma especificação de erro em estado estacionário aqui o valor de K é selecionado para obter a frequência de cruzamento no ponto correspondente à PM 65 O procedimento básico para encontrar K discutido na Seção 66 consiste em traçar a amplitude do sistema compensado com K 1 encontrar o valor da amplitu de na frequência de cruzamento então em seguida definir 1K como igual a esse valor A Figura 671 mostra que quando K 1 DsGs 20 na frequência de cruzamento desejada ωc 05 rads Portanto então A equação do compensador que satisfaz todas as especificações está completa Figura 671 Projeto do compensador PID no Exemplo 620 ω rads TI 1 0005 2 3 1000 100 10 1 01 90 120 150 180 270 Magnitude L Fase L 20 0001 001 01 1 10 100 2 5 ω rads 0001 001 01 1 10 100 2 5 210 240 ωc 05 rads TD 1 01 Gs DsGs K 1 DsGs TD 1 005 DsGs TD 1 01 Gs PM 65 60 40 20 0 20 40 db Inclinação 318 Sistemas de Controle É interessante notar que esse sistema se torna instável se o ganho for reduzido tal que ωc 002 rads a região na Fig 671 onde a fase do sistema compensado é inferior a 180 Como mencionado na Seção 64 esta situação é referida como um sistema condicionalmente estável O lugar das raízes em relação a K para este e qualquer outro sistema condicionalmente estável apresenta a parte do lugar das raízes correspondente a ganhos muito baixos no SPD A resposta do sistema para um degrau unitário θcom é mostrada na Fig 672a e apresenta um comporta mento bem amortecido como seria de se esperar de uma PM de 65 A resposta do sistema para um torque de distúrbio em degrau Td 01 N é mostrada na Fig 672b Note que o termo integral de controle eventualmente conduz o erro a zero no entanto isto acontece lentamente devido à presença de um polo de malha fechada nas proximidades do zero em s 0005 Lembrese do processo de projeto de que este zero foi localizado de forma que o termo integral não impacte a PM indevidamente Então se a resposta lenta à per turbação não é aceitável acelerar esse polo irá diminuir a PM e o amortecimento do sistema Compromisso é muitas vezes uma necessidade no projeto de um sistema de controle A resposta em frequência das características de erro é apresentada na Fig 673 A curva superior apresenta as características do erro em malha aberta e a curva inferior é a resposta Figura 673 Resposta em frequência do erro devido a um distúrbio em degrau malha aberta e malha fechada 103 102 101 100 100 101 102 103 104 105 106 ω rads θ magnitude do erro Malha aberta Malha fechada Tempo s θ 12 θ 180 160 140 120 100 080 060 040 020 0 0 Tempo s 0 5 10 15 20 25 30 35 40 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 10 08 06 04 02 0 a b Figura 672 Resposta transitória para o exemplo do PID a resposta ao degrau b resposta a um distúrbio em degrau Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 319 em malha fechada O erro é atenuado por um fator de quase 106 pela realimentação há dimi nuição de atenuação do erro com o aumento da frequência de perturbação e quase não há ate nuação de erro na largura de banda do sistema de 05 rads como seria de se esperar Note do processo de projeto que a largura de banda foi limitada pelas características de resposta do sensor que tinha uma largura de banda em 2 rads Portanto a única maneira de melhorar as características de erro seria aumentar a largura de banda do sensor Por outro lado o aumento da largura de banda do sensor pode introduzir jitter para ruído de alta frequência Assim te mos o dilema clássico o projetista tem que fazer uma escolha em relação a qual recurso erros devido a perturbações ou devido a ruído no sensor é o mais importante para o desempenho geral do sistema 1 O controle PD adiciona avanço de fase em todas as frequências acima do ponto de quebra Se não houver mudança no ganho na assíntota de baixa frequência o com pensador PD irá aumentar a frequência de cruzamento e a velocidade da resposta O aumento na magnitude da resposta em frequência nas frequências mais altas vai aumentar a sensibilidade do sistema ao ruído 2 A compensação de avanço acrescenta fase em uma faixa de frequências entre os dois pontos de quebra que são geralmente selecionados para suporte da frequência de cruzamento Se não houver mudança no ganho da assíntota de baixa frequência a compensação de avanço vai aumentar tanto a frequência de cruzamento quanto a velocidade de resposta em relação ao sistema não compensado 3 O controle PI aumenta a magnitude de resposta em frequência em frequências abai xo do ponto de quebra diminuindo os erros de estado estacionário Também con tribui com atraso de fase abaixo do ponto de quebra que deve ser mantido em uma frequência baixa o suficiente para evitar a degradação em excesso da estabilidade 4 A compensação de atraso aumenta a magnitude de resposta em frequência nas fre quências abaixo dos dois pontos de quebra diminuindo assim os erros de estado estacionário Alternativamente com ajustes adequados em K a compensação de atraso pode ser usada para diminuir a magnitude de resposta em frequência em fre quências acima dos dois pontos de quebra de modo que ωc produzirá uma PM acei tável A compensação de atraso também contribui com o atraso fase entre os dois pontos que deve ser mantido em frequências suficientemente baixas para manter a diminuição da fase sem degradar a PM excessivamente Essa compensação normal mente fornecerá uma resposta mais lenta do que o uso da compensação de avanço Resumo das características de compensação 676 Considerações de projeto Vimos nos projetos anteriores que as características do diagrama de Bode em malha aberta Ls KDG determinam o desempenho em relação a erros de estado estacionário erros de baixa frequência e resposta dinâmica Outras propriedades da realimentação desenvolvidas no Capí tulo 4 incluem a redução dos efeitos do ruído no sensor e das mudanças de parâmetros sobre o desempenho do sistema A consideração do erro em estado estacionário ou erro de baixa frequência devido a entra das de comandos e distúrbios tem sido um componente importante nos diferentes métodos de projetos apresentados O projeto para erros aceitáveis devido a entradas de comando e distúrbios pode ser pensa do como a colocação de um limite inferior no ganho de baixa frequência do sistema de malha aberta Outro aspecto da questão de sensibilidade diz respeito à parcela de alta frequência do sistema Até agora o Capítulo 4 e as Seções 54 e 67 discutiram brevemente a ideia de que para aliviar os efeitos do ruído no sensor o ganho do sistema em altas frequências deve ser mantido baixo De fato no desenvolvimento do compensador de avanço nós adicionamos um polo no controlador derivativo puro especificamente para reduzir os efeitos do ruído no sensor 320 Sistemas de Controle nas frequências mais altas Não é incomum para os projetistas colocar um polo extra na com pensação isto é usar a relação para introduzir mais atenuação no efeito do ruído A segunda consideração em relação aos ganhos de alta frequência é que muitos sistemas apresentam fenômenos dinâmicos em altas frequências como ressonâncias mecânicas que po dem impactar a estabilidade de um sistema Em projetos de alto desempenho estas dinâmicas de alta frequência são incluídas no modelo da planta e o compensador é projetado com o co nhecimento específico dessas dinâmicas A abordagem padrão de projeto para dinâmicas des conhecidas de alta frequência é manter o ganho de alta frequência baixo assim como fizemos para redução de ruído no sensor A razão para isto pode ser vista a partir da relação entre ganho e frequência de um sistema típico mostrada na Fig 674 A única maneira da instabilidade ser resultado da dinâmica de alta frequência é se uma frequência de ressonância desconhecida fizer com que a magnitude suba acima de 1 Por outro lado se existe a garantia de que a magnitude de todos os fenômenos desconhecidos de alta frequência permanece abaixo de 1 a estabilida de pode ser garantida A probabilidade de uma ressonância desconhecida na planta G chegar acima de 1 pode ser reduzida se o ganho de malha nominal em alta frequência L for reduzido pela adição de polos extras em Ds Quando a estabilidade de um sistema com ressonâncias é assegurada mediante a adaptação para que as magnitudes de alta frequência nunca excedam a 1 este processo é referido como estabilização de amplitude ou ganho Claro que se as caracte rísticas de ressonância são conhecidas exatamente uma compensação especialmente apropria da como uma rejeita faixa na frequência de ressonância pode ser usada para mudar a fase em uma frequência específica para evitar envolvimento do 1 estabilizando o sistema ainda que a amplitude exceda a magnitude 1 Este método de estabilização é referido como estabilização de fase Uma desvantagem para a estabilização de fase é que a informação da ressonância fre quentemente não está disponível com a precisão adequada ou varia com o tempo portanto o método é mais suscetível a erros no modelo da planta utilizado no projeto Assim vemos que a sensibilidade à incerteza da planta e ao ruído no sensor foram reduzidas suficientemente com o baixo ganho de malha em alta frequência Estes dois aspectos da sensibilidade o comportamento em alta e em baixa frequência podem ser representados graficamente como mostrado na Fig 675 Existe um ganho de baixa frequência mínimo permitido para o erro em estado estacionário aceitável e para o desempenho em baixa frequência e um ganho de alta frequência máximo permitido para o desempenho aceitável frente ao ruído e para baixa probabilidade de instabilidade causada por erros de mo delagem da planta Definimos o limite inferior de baixa frequência da resposta em frequência como W1 e o limite superior como W21 como mostrado na figura O engenheiro de controle deve encontrar entre esses dois limites o ganho para o cruzamento próximo da largura de ban da necessária como vimos o cruzamento deve ocorrer com uma inclinação de 1 ou um pouco mais íngreme para uma boa PM e portanto um bom amortecimento Estabilização de ganho Estabilização de fase Figura 674 Efeito em altas frequências das incertezas na planta ω Altas frequências ωc Ls 1 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 321 Por exemplo se é exigido que um sistema de controle siga uma entrada de referência se noidal com frequências de 0 a ω1 com erros não superiores a 1 a função W1 seria 100 para ω 0 até ω1 Noções semelhantes são usadas para definir possíveis valores para a função W21 que restringe o ganho de malha aberta para estar abaixo de W21 para frequências acima de ω2 Essas noções serão discutidas mais adiante nas subseções a seguir 677 Especificações em termos da função de sensibilidade Vimos que as margens de ganho e fase fornecem informações úteis sobre a estabilidade re lativa de sistemas nominais e podem ser usadas para orientar o projeto de compensadores de avanço e atraso No entanto a GM e a PM são apenas dois números e têm limitações como guias para o projeto de problemas de controle realistas Podemos expressar as especificações de projeto de forma mais completa no domínio da frequência se fornecermos descrições em termos de frequência para os sinais externos tais como a referência e a perturbação e se con siderarmos a função de sensibilidade definida na Seção 41 Por exemplo até agora descreve mos o desempenho dinâmico da resposta transitória para entradas em degraus e rampas Uma descrição mais realista para sinais de entrada mais complexos é representálos como processos aleatórios com os correspondentes espectros de frequência Uma descrição menos sofisticada que é adequada aos nossos propósitos é assumir que os sinais podem ser representados como uma soma de senoides com frequências em um intervalo especificado Por exemplo geral mente podemos descrever a entrada de referência em termos de frequência como uma soma de senoides com amplitudes dadas por uma função de magnitude R como aquela traçada na Fig 676 o que representa um sinal com componentes senoidais com amplitudes aproxima damente iguais até ω1 e amplitudes muito pequenas para frequências superiores ω1 Com este pressuposto a especificação de rastreamento da resposta pode ser expressa como a magnitude do sistema de erro deve ser menor do que o limitante eb um valor como 001 para qualquer senoide de frequência ω0 na faixa de 0 ω0 ω1 e de amplitude dada por Rjω0 Para expressar uma especificação de desempenho de uma forma que poderá ser usada no projeto consideramos novamente o sistema com realimentação unitária elaborado na Fig 677 Para este sistema o erro é dado por 654 onde foi usada a função de sensibilidade 655 Além de ser o fator de multiplicação do sistema de erro a função de sensibilidade também é o inverso da distância da curva de Nyquist DG ao ponto crítico 1 Função de sensibilidade Figura 675 Critério de projeto para a sensibilidade em baixas frequências ω ωc Limitante do erro em estado estacionário Limitante para o ruído no sensor e incertezas da planta W1 W Magnitude de Ls 1 2 1 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 325 EXEMPLO 622 Típica planta incerta A incerteza no modelo da planta é descrita pela função W2 que vale zero até ω 3000 e au menta linearmente até o valor de 100 para ω 10000 e permanece em 100 para frequências maiores Trace a restrição de DGo para satisfazer a esta restrição Solução Para W2 0 não há restrição sobre a magnitude do ganho de malha acima de ω 3000 1W2 DGo é uma hipérbole de até 001 em ω 10000 e permanece em 001 para ω 10000 O limitante é esboçado na Fig 680 Na prática a magnitude do ganho de malha é traçada em coordenadas loglog Bode e as restrições das Eqs 657 e 664 são incluídas no mesmo gráfico Um esboço típico é mostra do na Fig 675 Esperase que o projetista construa um ganho de malha que fique acima de W1 para frequências abaixo de ω1 cruze a magnitude 1 DG 0 na faixa ω1 ω ω2 e fique abaixo de 1W2 para as frequências acima de ω2 678 Limitações no projeto em termos da função de sensibilidade Uma das grandes contribuições de Bode foi obter importantes limitações nas funções de trans ferência que estabelecem limites para as especificações de projeto Por exemplo a especifica ção poderia ser manter o erro do sistema pequeno para o maior número possível de frequências e ainda ter um sistema que seja robustamente estável para uma planta muito incerta Em termos do gráfico na Fig 681 queremos que W1 e W2 sejam muito grandes em suas respectivas faixas de frequência e que ω1 seja posicionada próximo de ω2 Assim esperase que o ganho de malha tenha uma grande inclinação negativa que seja maior do que W1 e menor que 1W2 em um pe ríodo muito curto mantendo uma PM boa para assegurar a estabilidade e um bom desempenho dinâmico A fórmula de ganhofase de Bode dada anteriormente mostra que isso é impossível com um controlador linear mostrando que a fase mínima possível é determinada por uma inte gral dependendo da inclinação da curva de magnitude Se a inclinação foi constante para uma substancial faixa em torno de ωo então a Eq 634 pode ser aproximada por 665 Figura 680 Esboço do limitante de DGo W21 102 103 104 105 ω rads db 102 100 101 101 102 40 0 20 20 40 Restrição de DG0 326 Sistemas de Controle sendo M a magnitude em log e u log ωωo Se por exemplo a fase fosse mantida acima de 150 para manter uma PM de 30 então a inclinação da magnitude perto de ωo é estimada em Se tentarmos fazer com que a inclinação média fique mais acentuada mais negativa do que isso perderemos a PM A partir desta condição desenvolveuse a regra de projeto de que as assíntotas da magnitude do diagrama de Bode que são restritas a serem o valor da integral de funções racionais devem ser feitas para atravessar a linha de zero db com uma inclinação de 1 em uma faixa de frequência de cerca de uma década em torno da frequência de cruzamento como já discutido na Seção 65 Modificações desta regra têm de ser feitas em casos particu lares é claro mas a limitação implícita pela Eq 665 é um limite rígido que não pode ser evitado Assim é claro que seria impossível estabilizar o sistema da Fig 681 EXEMPLO 623 Restrições de Robustez Se W1 W2 100 e é desejado PM 30 qual é a razão mínima de ω2ω1 Solução A inclinação é Assim o log da razão é log ω1ω2 240 e ω2 251 ω1 Uma alternativa para o diagrama de Bode padrão como um guia de projeto pode ser ba seada em um gráfico da função de sensibilidade em função da frequência Nesse formato a Eq 656 exige que S 1W1 na faixa de 0 ω ω1 para o desempenho e a Eq 664 exige que S 1 no intervalo ω2 ω para a estabilidade robusta Não surpreende então que Bode tenha encontrado uma limitação neste caso também A restrição estendida por Freudenberg e Looze mostra que um integrante da função de sensibilidade é determinado pela presença de polos no SPD Suponha que o ganho de malha 102 100 102 104 ω rads db 102 100 101 101 102 40 0 20 20 40 Restrição de ganho de malha W1 W21 ω1 ω2 Figura 681 Restrições no diagrama de Bode para rastreamento e estabilidade robus ta um exemplo com restrições impossíveis Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 327 DGo tem np polos pi no SPD e rolls off em altas frequências em uma inclinação mais rápida do que 1 Para funções racionais isto significa que há um excesso de pelo menos dois polos a mais do que zeros finitos Então podese demonstrar que 666 Se não houver polos no SPD então a integral é zero Isso significa que se fizermos o log da função de sensibilidade muito negativo em alguma banda de frequência para reduzir os erros nessa banda então por necessidade o ln S será positivo em relação a outra parte da banda e os erros serão amplificados nessa banda Se houver polos instáveis a situação é pior porque a área positiva onde a sensibilidade amplifica o erro deve exceder a área negativa onde o erro é reduzido pela realimentação Se o sistema for de fase mínima então em princípio é possível manter a magnitude da sensibilidade pequena espalhando o aumento da sensibilidade em todas as frequências positivas até o infinito mas tal projeto exige uma largura de banda excessiva e é pouco prático Se uma largura de banda específica é imposta então a função de sensibilidade é obrigada a assumir um valor finito possivelmente grande e positivo em algum ponto abaixo da largura de banda Como implica a definição do vetor de margem de VM na Seção 64 Fig 639 um grande Smax corresponde à proximidade do diagrama de Nyquist do ponto crítico 1 e a um sistema que tem um vetor de margem pequeno porque 667 Se o sistema for de fase não mínima a situação é pior Uma alternativa para a Eq 666 é verdadeira se houver um zero de fase não mínima de DGo um zero no SPD Suponha que o zero está localizado em zo σo jωo com σo 0 Novamente assumimos que há polos np no SPD localizados em pi com valores conjugados Agora a condição pode ser expressa como 668 Nesse caso não temos a restrição rolloff e não há possibilidade de espalhar a área posi tiva sobre as altas frequências pois a função de ponderação vai para zero com a frequência O ponto importante nesta integral é que se o zero de fase não mínima estiver perto de um polo no SPD o lado direito da integral pode ser muito grande e o excesso na área positiva deve ser cor respondentemente grande Baseado neste resultado esperase grande dificuldade especialmente para atender às especificações de rastreamento e robustez sobre a sensibilidade em um sistema com polos e zeros no SPD EXEMPLO 624 Função de sensibilidade para a antena Calcule e trace o gráfico da função de sensibilidade para o projeto da antena para a qual Gs 1ss 1 e Ds 1005s 101s 1 Solução A função de sensibilidade para este caso é 669 e o gráfico da função mostrado na Fig 682 é obtido pelos comandos no MATLAB Vetor de margem 328 Sistemas de Controle O maior valor de S é dado por M maxmag e é 1366 assim o vetor de margem é VM 373 68 Retardo no tempo A transformada de Laplace de um retardo no tempo puro é e foi aproximada por uma função racional aproximação de Padé em nossa discussão anterior sobre o lugar das raízes no Capítulo 5 Embora a aproximação possa ser usada nos métodos do domínio da frequência uma análise exata do retardo é possível com o critério de Nyquist e o diagrama de Bode A resposta em frequência do retardo no tempo é dada pela magnitude e fase de A magnitude é para todo ω 670 Esse resultado é esperado porque um atraso de tempo apenas desloca o sinal no tempo e não tem efeito sobre sua magnitude A fase é 671 em radianos e cresce negativamente à medida que a frequência cresce Isto também é espe rado pois um retardo no tempo fixo Td tornase uma fração maior ou múltiplos de uma onda senoidal devido à frequência cada vez maior O gráfico de GD jω é apresentado na Fig 683 Note que o atraso de fase é maior do que 270 para valores de ωTd maiores do que cerca Magnitude de retardo no tempo Fase de retardo no tempo Figura 683 Atraso de fase devido ao retardo puro de tempo ωTd rad 001 01 1 10 100 1000 0 90 180 270 360 450 540 630 720 GDjω Figura 682 Função de sensibi lidade para o Exemplo 624 ω rads S 100 101 101 101 101 102 100 102 Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 329 de 5 rad Essa tendência implica que seria virtualmente impossível estabilizar um sistema ou conseguir uma PM positiva com uma frequência maior do que ω 5Td e seria difícil para fre quências maiores que ω 3Td Essas características essencialmente colocam uma restrição na largura de banda alcançável de qualquer sistema com retardo no tempo Veja o Problema 669 para uma ilustração dessa restrição Os conceitos no domínio da frequência como o critério de Nyquist aplicamse diretamente a sistemas com atraso puro de tempo Isso significa que não são necessárias aproximações tipo Padé ou qualquer outra e o efeito exato do atraso no tempo pode ser aplicado a um diagrama de Bode como mostrado no exemplo a seguir EXEMPLO 625 Efeito da amostragem na estabilidade Determine o atraso de fase adicional devido à amostragem digital no Exemplo 615 e reconcilie essa diferença com o desempenho observado das implementações contínua e digital mostradas no exemplo Quão devagar poderia ser a amostragem se fosse necessário limitar o decréscimo da PM em 20 Solução A taxa de amostragem no Exemplo 615 foi escolhida como Ts 005 s A partir da Fig 422 vemos que o efeito da amostragem é manter a aplicação do controle sobre um período de amostragem assim o atraso real varia entre zero e um período de amostragem completo Portanto em média o efeito da amostragem é injetar um atraso de tempo de Ts 2 0052 0025 Td s Da Eq 671 vemos que o atraso de fase devido a esta amostragem na frequência de cruzamento de 5 rads onde medimos a PM é GD ωTd 5 0025 0125 rad 7 Portanto a PM irá diminuir de 45 na implementação contínua para 38 na implementação digital A Fig 659a mostra que o sobressinal Mp degradou de 12 no caso contínuo para 127 no caso digital o que é previsto pela Eq 632 e pela Fig 638 A fim de limitar o atraso de fase em 20 em ω 5 rads vemos na Eq 671 que o máximo tolerável Td 205 573 007 s de modo que a mais lenta amostragem aceitável seria Ts 014 s Note no entanto que essa grande queda na PM resultaria no aumento do sobressi nal de 20 para 40 O exemplo mostra que um retardo no tempo seja introduzido por amostragem digital ou por qualquer outra fonte tem um efeito muito grave sobre a largura de banda alcançável A ava liação do efeito usando a Eq 671 ou a Fig 683 é simples e direta dando assim uma rápida análise das limitações impostas por qualquer atraso no sistema Podese também avaliar o efeito de um atraso ao utilizar um diagrama de Nyquist e isso é mostrado no material complementar W6 disponível em inglês no site do Grupo A 69 Representação alternativa dos dados Antes de os computadores serem amplamente disponíveis outras maneiras de apresentar dados da resposta em frequência foram desenvolvidas para auxiliar na compreensão do projeto e para aliviar a carga de trabalho do projetista A ampla disponibilidade de computadores praticamen te eliminou a necessidade destes métodos Uma técnica utilizada foi o gráfico Nichols o qual examinamos nesta seção por causa de sua importância histórica Para os interessados apresen tamos também o método de Nyquist inverso no material complementar W6 691 Carta de Nichols Um gráfico de log Gjω versus Gjω pode ser obtido diretamente simplesmente trans ferindo as informações da magnitude e da fase em um diagrama de Bode um ponto na nova curva é obtido de um valor da frequência ω Isso significa que a nova curva é parametrizada em função da frequência Tal como acontece no diagrama de Bode a informação de magnitude é traçada em uma escala logarítmica enquanto que a informação de fase é traçada em uma escala 330 Sistemas de Controle linear Esse modelo foi sugerido por N Nichols e é normalmente referido como uma Carta de Nichols A ideia de traçar a magnitude de Gjω versus a sua fase é semelhante ao conceito de traçar as partes real e imaginária de Gjω que formaram a base para o diagrama de Nyquist mostrado nas Seções 63 e 64 No entanto é difícil capturar todas as características pertinentes de Gjω na escala linear do diagrama de Nyquist A escala logarítmica para a magnitude no gráfico Nichols alivia essa dificuldade permitindo que esse tipo de apresentação seja útil para o projeto Para qualquer valor da função completa Gjω a Seção 66 mostrou que existe um mapea mento único para a função de transferência em malha fechada com realimentação unitária 672 ou na forma polar 673 sendo Mω a magnitude da função de transferência em malha fechada e αω a fase da função de transferência em malha fechada Especificamente 674 675 Pode ser demonstrado que os contornos de magnitude constante e os contornos de fase constante em malha fechada são círculos quando Gjω é apresentado no gráfico linear de Ny quist Estes círculos são referidos como os círculos M e N respectivamente O gráfico Nichols também contém contornos de magnitude constante e de fase constantes em malha fechada com base nessas relações como mostrado na Fig 684 no entanto eles não são círculos porque as Cartas de Nichols são gráficos da magnitude em escala semilog versus a fase em escala linear Um projetista pode portanto determinar graficamente a largu ra de banda de um sistema em malha fechada a partir do gráfico dos dados de malha aberta em uma Carta de Nichols observando onde a curva de malha aberta atravessa o contorno de malha fechada com magnitude de 070 e determinando a frequência correspondente a este ponto Da mesma forma um projetista pode determinar a amplitude do pico de ressonância Mr observando o valor da magnitude do maior contorno de malha fechada tangente à curva A frequência associada com a magnitude e a fase no ponto de tangência às vezes é referida como frequência de ressonância ωr Da mesma forma um projetista pode determinar a GM observando o valor do ganho onde o gráfico de Nichols cruza a linha de 180 e a PM observando a fase em que o gráfico cruza a linha de amplitude 114 O MATLAB fornece o arquivom nichols que permite o fácil traçado da Carta de Nichols EXEMPLO 626 Carta de Nichols para o exemplo do PID Determine a largura de banda e o pico de ressonância na magnitude do sistema compensado cuja resposta em frequência está apresentada na Fig 671 Solução As informações de magnitude e fase do projeto de compensador no exemplo visto na Fig 671 são mostradas em uma Carta de Nichols na Fig 685 Ao comparar as duas figuras é importante dividir as magnitudes na Fig 671 por um fator de 20 a fim de obter DsGs em vez de os valores normalizados usados na Fig 671 Como a curva cruza o contorno de malha 14 James H M N B Nichols and R S Phillips 1947 Círculos M e N Frequência de ressonância Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 331 fechada com magnitude de 070 em ω 08 rads vemos que a largura de banda do sistema é de 08 rads Como a magnitude do maior contorno tocado pela curva é 120 também vemos que o Mr 12 Essa forma de apresentação de dados era particularmente valiosa quando um projetista pre cisava gerar gráficos e realizar cálculos à mão Uma mudança no ganho por exemplo pode ser avaliada deslizando a curva verticalmente em papel transparente sobre uma Carta de Nichols padrão como mostrada na Fig 684 Então GM PM e largura de banda eram de fácil leitura fora do gráfico permitindo avaliações para vários valores de ganho com um mínimo de esforço Com o acesso à métodos computacionais no entanto podemos agora calcular a largura de banda e realizar muitas avaliações repetitivas do ganho ou qualquer outro parâmetro usando apenas alguns comandos Atualmente a Carta de Nichols é usada principalmente como uma forma alternativa de apresentar as informações em um diagrama de Nyquist Para sistemas complexos nos quais os envolvimentos do 1 precisam ser avaliados a magnitude em escala log na carta de Nichols nos permite examinar uma gama de frequências mais amplas do que em um diagra ma de Nyquist bem como nos permite ler as margens de ganho e de fase diretamente Embora o MATLAB calcule diretamente a PM e a GM o algoritmo pode levar a resultados suspeitos em casos muito complexos e o analista pode querer verificar o resultado usando o arquivom nichols no MATLAB para que os envolvimentos reais possam ser melhor examinados e as PM e 01 180 160 140 120 100 80 60 40 DsGs 010 10 09 08 07 06 05 04 03 02 10 9 8 7 6 5 4 3 2 DsGs 50 20 150 130 120 110 105 100 095 090 080 070 060 050 040 030 020 015 1 2 5 10 30 5 20 Magnitude de malha fechada Fase de malha fechada Figura 684 Carta de Nichols 332 Sistemas de Controle GM possam ser melhor compreendidas Um exemplo do uso da Carta de Nichols para um caso complexo é mostrado no material complementar W6 disponível em inglês no site do Grupo A Outra forma de apresentação de dados é o Diagrama de Nyquist Inverso que simplifica a determinação da GM Ele é descrito em mais detalhes no material complementar W6 610 Perspectiva histórica Como discutido no Capítulo 5 antes de 1960 os engenheiros não tinham acesso aos compu tadores para ajudálos em suas análises Portanto qualquer método que permitia a determina ção da estabilidade ou da resposta característica e não exigia a fatoração da equação caracte rística era muito útil A invenção do amplificador realimentado eletrônico por H S Black em 1927 no Bell Telephone Laboratories forneceu um incentivo extra para o desenvolvimento de métodos e o método de resposta em frequência foi o primeiro método de projeto de con trole realimentado O desenvolvimento do amplificador realimentado é brevemente descrito em um interes sante artigo baseado nas palavras de Hendrik W Bode 1960 reproduzidas em Bellman e Kalaba 1964 Com a introdução dos amplificadores eletrônicos telefonemas de longa dis tância tornaramse possíveis nas décadas seguintes à Primeira Guerra Mundial No entanto como as distâncias aumentaram as perdas de energia elétrica também cresceram apesar do uso de um fio com diâmetro maior um número crescente de amplificadores era necessário 01 180 160 140 120 100 80 60 40 DsGs 010 10 09 08 07 06 05 04 03 02 10 9 8 7 6 5 4 3 2 DsGs 50 20 150 130 120 110 105 100 095 090 080 070 060 050 040 030 020 015 1 2 5 10 30 5 20 Magnitude de malha fechada Fase de malha fechada Mr ω 05 rads ω 08 rads ω 2 rads ω 01 rads BW ω 1 rads Figura 685 Exemplo de gráfico na carta de Nichols para determinar a largura de Banda Mr Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 333 para substituir a energia perdida Infelizmente um número grande de amplificadores causa va maior distorção já que a pequena não linearidade das válvulas usadas em amplificadores eletrônicos naquele período era multiplicada várias vezes Para reduzir a distorção Black propôs o amplificador realimentado Como discutido anteriormente no Capítulo 4 quanto mais desejase reduzir os erros ou distorção maior precisa ser a realimentação O ganho de malha do atuador para a planta para o sensor para o atuador precisa ser muito grande No entanto os projetistas descobriram que o ganho muito alto tornava a malha realimentada ins tável Nesta tecnologia a dinâmica era muito complexa com equações diferenciais de ordem 50 sendo comuns e o critério de Routh a única maneira de resolver a questão da estabilidade naquele momento não foi muito útil Então os engenheiros de comunicação no Bell Telepho ne Laboratories familiarizados com o conceito de resposta em frequência e com matemática de variáveis complexas voltaramse à análise complexa Em 1932 H Nyquist publicou um artigo descrevendo como determinar a estabilidade de uma representação gráfica da resposta de frequência em malha aberta Bode então desenvolveu estes métodos gráficos em 1938 tornandoos fáceis de serem criados sem cálculos extensos ou ajuda de computadores Dos métodos gráficos e da teoria de estabilidade de Nyquist desenvolveuse uma extensa metodo logia de projeto de amplificador realimentado descrita por Bode 1945 e ainda amplamente utilizada no projeto de controle realimentado Hoje as razões para a utilização do método são principalmente para que se consiga um bom projeto sem considerar a presença de dinâ micas não modeladas e para agilizar o processo de projeto mesmo quando realizado com um computador totalmente capaz de resolver a equação característica Depois de desenvolver os métodos de projeto baseados na resposta em frequência antes da Segunda Guerra Mundial Bode passou a colaborar com dispositivos eletrônicos de controle de tiro durante a guerra Os métodos que ele tinha desenvolvido para amplificadores realimentados demonstraram ser altamente aplicáveis a servomecanismos Bode caracterizou esse cruzamento de métodos de projeto de controle como sendo uma espécie de casamento forçado RESUMO O diagrama de Bode da resposta em frequência é um gráfico da magnitude da função de transferência em escala logarítmica e da fase em escala linear versus a frequência em escala logarítmica Para uma função de transferência Gs Para uma função de transferência na forma de Bode a resposta em frequência pode ser facilmente traçada em um diagrama de Bode usando as regras descritas na Seção 611 O diagrama de Bode pode ser obtido usando algoritmos de computador bode no MATLAB mas a habilidade de traçar à mão ainda são extremamente úteis Para um sistema de segunda ordem o pico da curva de magnitude no diagrama de Bode está relacionado com o amortecimento Um método de determinação da estabilidade de um sistema em malha fechada com base na resposta em frequência da função de transferência do sistema em malha aberta é o critério 336 Sistemas de Controle PROBLEMAS Problemas da Seção 61 resposta em frequência 61 a Mostre que α0 na Eq 62 com A Uo e ωo ω é e b Assumindo que a saída pode ser escrita como derive as Eqs 6466 62 a Calcule a magnitude e a fase de à mão para ω 1 2 5 10 20 50 e 100 rads b Esboce as assíntotas para Gs de acordo com as regras de Bode e compareas com o resultado obtido no item a 63 Esboce as assíntotas da magnitude e fase no diagrama de Bode para cada uma das seguintes fun ções de transferência em malha aberta Depois de completar os desenhos à mão verifique o seu re sultado usando o MATLAB Use a mesma escala em seus esboços e nos resultados do MATLAB 64 Polos e zeros reais Esboce as assíntotas da magnitude e fase no diagrama de Bode para cada uma das seguintes funções de transferência em malha aberta Depois de completar os desenhos à mão verifique o seu resultado usando o MATLAB Use a mesma escala em seus esboços e nos resulta dos do MATLAB Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 337 65 Polos e zeros complexos Esboce as assíntotas da magnitude e fase no diagrama de Bode para cada uma das seguintes funções de transferência em malha aberta e aproxime a transição no ponto de quebra de segunda ordem baseado no coeficiente de amortecimento Depois de completar os dese nhos à mão verifique o seu resultado usando o MATLAB Use a mesma escala em seus esboços e nos resultados do MATLAB 66 Múltiplos polos na origem Esboce as assíntotas da magnitude e fase no diagrama de Bode para cada uma das seguintes funções de transferência em malha aberta Depois de completar os dese nhos à mão verifique o seu resultado usando o MATLAB Use a mesma escala em seus esboços e nos resultados do MATLAB 67 Polos reais e complexos juntos Esboce as assíntotas da magnitude e fase no diagrama de Bode para cada uma das seguintes funções de transferência em malha aberta Ajuste as assíntotas com a estimativa aproximada das transições em cada ponto de quebra Depois de completar os desenhos à mão verifique o seu resultado usando o MATLAB Use a mesma escala em seus esboços e nos resultados do MATLAB 338 Sistemas de Controle 68 Polos e zeros no semiplano direito Esboce as assíntotas da magnitude e fase no diagrama de Bode para cada uma das seguintes funções de transferência em malha aberta Certifiquese de que a assín tota de fase leve em conta devidamente a singularidade no SPD esboçando o plano complexo para ver como o Ls muda quando s vai de 0 a j Depois de completar os desenhos à mão verifique o seu resultado usando o MATLAB Use a mesma escala em seus esboços e nos resultados do MATLAB a modelo para o caso do levitador magnético com o compensador de avanço b O sistema magnético de levitação com o controlador integral e compensador de avanço 69 Um determinado sistema é representado pelo diagrama de Bode assintótico mostrado na Fig 687 Encontrar e esboce a resposta deste sistema a uma entrada de degrau unitário supondo condições iniciais nulas Figura 687 Gráfico da magnitude de um diagrama de Bode para o Problema 69 10 1 01 1 10 100 1000 ω G 610 Demonstre que a inclinação 1 da magnitude em um diagrama de Bode corresponde a 20 db por década ou 6 db por oitava 611 Um sistema de segunda ordem normalizado com um coeficiente de amortecimento ζ 05 e um zero adicional é dado por Use o MATLAB para comparar o Mp da resposta ao degrau do sistema com a 001 01 1 10 e 100 com Mr da resposta em frequência em cada caso Existe uma relação entre Mr e Mp 612 Um sistema de segunda ordem normalizado com um coeficiente de amortecimento ζ 05 e um polo adicional é dado por Esboce o diagrama de Bode para p 001 01 1 10 e 100 Quais conclusões podem ser tiradas sobre o efeito de um polo extra sobre a largura de banda em comparação com a largura de banda para o sistema de segunda ordem sem polo extra 613 Para a função de transferência de malha fechada Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 339 obtenha a seguinte expressão para a largura de banda ωBW de Ts em tremos de ωn e ζ 614 Considere o sistema cuja função de transferência é Este é um modelo de um circuito sintonizado com fator de qualidade Q a Calcule a magnitude e a fase da função de transferência analiticamente e traceas para Q 05 1 2 e 5 em uma função da frequência normalizada ωω0 b Defina a largura de banda como a distância entre as frequências de cada lado de ω0 onde a magnitude cai 3 db abaixo do seu valor em ω0 e mostre que a largura de banda é dada por c Qual é a relação entre Q e ζ 615 Um esquema de um voltímetro CC é mostrado na Fig 688 O ponteiro é amortecido para que seu sobressinal máximo para uma entrada em degrau seja de 10 a Qual é a frequência natural não amortecida do sistema b Qual é a frequência natural amortecida do sistema c Trace a resposta em frequência usando o MATLAB para determinar qual frequência de entra da produzirá a saída de maior magnitude d Suponha que esse medidor seja usado para medir uma entrada de 1V AC com uma frequência de 2 rads Qual será a amplitude que o medidor irá indicar depois dos transientes iniciais terem desaparecidos Qual é o atraso de fase da saída com relação à entrada Use a análise de um diagrama de Bode para responder a estas perguntas Use o comando lsim no MATLAB para verificar sua resposta no item d Figura 688 Esquema de um voltímetro θ T k υ I 40 106 kg m2 k 4 106 kg m2s2 T entrada de torque Kmυ υ entrada de tensão Km 1 N mV I Problemas da Seção 62 estabilidade neutra 616 Determine o intervalo de K para que os sistemas de malha fechada ver Fig 618 sejam estáveis para cada um dos casos abaixo traçando o diagrama de Bode para K 1 e imaginando o gráfico da magnitude deslizando para cima ou para baixo até resultar em instabilidade Verifique suas respostas usando um esboço básico de um lugar das raízes Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 341 622 a Para ω 01 até 100 rads esboce a fase de um sistema de fase mínima e para o sistema de fase não mínima note que jω 1 diminui com ω ao invés de aumentar b Um zero no SPD afeta a relação entre os envolvimentos no ponto 1 em um gráfico polar e o número raízes instáveis em malha fechada na Eq 628 c Esboce a fase do seguinte sistema instável para ω 01 até 100 rads d Analise a estabilidade dos sistemas em a e c utilizar o critério de Nyquist em KGs De termine o intervalo de K para o qual o sistema em malha fechada é estável e verifique seus resultados qualitativamente usando um esboço do lugar das raízes 623 Diagrama de Nyquist e curvas planas clássicas Determine o diagrama de Nyquist usando o MATLAB para os sistemas dados abaixo com K 1 e verifique que o ponto inicial e final para jω 0 têm a magnitude e a fase corretas a A curva clássica chamada de Sextic de Cayley descoberta por Maclaurin em 1718 b A curva clássica chamada de Cissoid ou seja em forma de hera c A curva clássica chamada de Folium de Kepler estudada por Kepler em 1609 d A curva clássica chamada de Folium não é a de Kepler e A curva clássica chamada de Nephroid ou seja em forma de rim f A curva clássica chamada de Nephroid de Freeth em homenagem ao matemático inglês T J Freeth g A Nephroid deslocada de Freeth Problemas da Seção 64 margens de estabilidade 624 O diagrama de Nyquist para alguns sistemas de controle reais é semelhante ao mostrado na Fig 690 Quais são as margens de ganhos e fase do sistema da Fig 690 sendo α 04 β 13 e 342 Sistemas de Controle φ 40 Descreva o que acontece com a estabilidade do sistema quando o ganho vai de zero a um valor muito grande Esboce o lugar das raízes correspondente a tal sistema Além disso esboce o diagrama de Bode correspondente ao sistema 625 O diagrama de Bode para é mostrado na Fig 691 a Por que a fase inicia em 270 nas baixas frequências b Esboce o diagrama de Nyquist para Gs c O sistema em malha fechada mostrado na Fig 691 é estável Figura 690 Diagrama de Nyquist para o Problema 624 ReGs ImGs ωo ωL β α φ ω ωH 1 1 Figura 691 Diagrama de Bode para o Problema 625 ω rads 001 01 1 10 100 1000 ω rads 001 01 1 10 100 1000 1000 100 10 1 01 001 0001 60 40 20 0 20 40 60 90 180 270 G db G 346 Sistemas de Controle Figura 6100 Diagramas de Nyquist para o Problema 638 ReGs ImGs ImGs ReGs a b K0 1 K0 1 639 A dinâmica de direcionamento de um navio é representada pela função de transferência sendo V a velocidade lateral do navio em metros por segundo e δr o ângulo do leme em radianos a Use o comando bode no MATLAB para traçar a magnitude em log e a fase de Gjω para K 02 b No seu gráfico indique a frequência de cruzamento a PM e a GM c O sistema de direção do navio é estável com K 02 d Qual o valor de K que resulta em uma PM de 30 e qual seria a frequência de cruzamento 640 Para o sistema em malha aberta determine o valor de K no limite da estabilidade e os valores de K nos pontos onde a PM 30 Problemas da Seção 65 relação ganhofase de Bode 641 A resposta em frequência de uma planta em uma configuração de realimentação unitária é esboça da na Fig 6101 Suponha que a planta seja estável em malha aberta e de fase mínima a Qual é a constante de velocidade Kv do sistema b Qual é a taxa de amortecimento dos polos complexos em ω 100 c Qual é o erro de rastreamento seguimento aproximado para uma entrada senoidal de ω 3 rads d Qual é a PM do sistema como esboçado Estime com uma margem de 10 Figura 6101 Magnitude da resposta em frequência para o Problema 641 ω rads 1 10 100 1000 20 100 10 1 01 001 40 20 0 40 20 G db Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 347 642 Para o sistema com b 10a encontre o valor aproximado de a que irá fornecer a melhor PM para isso esboce apenas valores possíveis da magnitude da resposta em frequência Problemas da Seção 66 resposta em frequência de malha fechada 643 Para o sistema em malha aberta determine o valor de K que irá fornecer PM 30 e a maior largura de banda possível Use o MATLAB para encontrar a largura de banda Problemas da Seção 67 projeto de compensador 644 Para o compensador de avanço com α 1 a Mostre que a fase do compensador de avanço é dada por b Mostre que a frequência na qual a fase é máxima é dada por e que a fase máxima corresponde a c Reescreva a expressão de ωmax para que a fase máxima ocorra na frequência que é dada pela média geométrica de duas frequências de canto na escala logarítmica d Para obter os mesmos resultados em termos das localização do polo e do zero reescreva Ds como e então mostre que a fase é dada por tal que Então a frequência na qual a fase é máxima é a raiz quadrada do produto das localizações do polo e do zero 645 Para o servo sistema de terceira ordem use esboços do diagrama de Bode para projetar um compensador de avanço tal que PM 50 e ωBW 20 rads Então verifique e refine seu projeto usando o MATLAB Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 349 a Use esboços do diagrama de Bode para projetar um compensador para o motor tal que o sis tema em malha fechada satisfaça às especificações i Erro em regime permanente para uma entrada em rampa menor que 1200 ii Sobressinal menor que 20 para um entrada ao degrau iii A largura de banda do sistema compensado não seja menor que a largura de banda do sistema sem o compensador b Verifique eou refine seu projeto usando o MATLAB incluindo uma computação direta do sobressinal da resposta ao degrau 652 A função de transferência de um sistema com realimentação unitária é a Esboce o diagrama de blocos do sistema incluindo os comandos de entrada de referência e de ruído no sensor b Use esboços do diagrama de Bode para projetar um compensador para Gs tal que o sistema em malha fechada satisfaça às especificações i Erro em regime permanente para uma entrada em rampa menor que 001 ii PM 45 iii Erro em regime permanente para entradas senoidais com ω 02 rads menor que 1250 iv Componentes de ruído são introduzidas ao sinal do sensor em frequências superiores a 200 rads e devem ser atenuadas na saída por pelo menos um fator de 100 c Verifique eou refine seu projeto usando o MATLAB incluindo uma computação da resposta em frequência em malha fechada para verificar o item iv 653 Considere um sistema do Tipo 1 com realimentação unitária sendo Use esboços do diagrama de Bode para projetar um compensador de avanço tal que Kv 20 s1 e PM 40 Use o MATLAB para verificar eou refinar seu projeto tal que as especificações sejam atendidas 654 Considere um sistema de controle de atitude de satélite com a função de transferência Estabilize o sistema em amplitude usando um compensador de avanço tal que a GM 2 6 db e a PM 45 mantendo a largura de banda tão alta quanto possível com um único compensador 655 Em um modo de operação o piloto automático de um jato de transporte é utilizado para controlar a altitude Com a finalidade de projetar a malha de controle de altitude do piloto automático ape nas as dinâmicas de longo período do avião são importantes A relação linearizada entre a altitude e o ângulo do profundor para dinâmica de longo período é O piloto automático recebe do altímetro um sinal elétrico proporcional à altitude Este sinal é comparado com um sinal de comando proporcional à altitude selecionada pelo piloto e a di ferença fornece um sinal de erro O sinal de erro é processado por meio de uma compensação e o resultado é usado para comandar os atuadores nos profundores Um diagrama de blocos deste sistema é mostrado na Fig 6103 Considere que lhe foi dada a tarefa de projetar um compensador Comece condierando uma lei de controle proporcional Ds K a Use o MATLAB para esboçar o diagrama de Bode do sistema em malha aberta para Ds K 1 b Qual valor de K fornece uma frequência de cruzamento ie onde G 1 de 016 rads Capítulo 6 O Método de Projeto Baseado na Resposta em Frequência 351 d Determine a PM do projeto compensado 659 A companhia aérea Golden Nugget Airlines teve grande sucesso com seu bar próximo à cauda do avião Veja o Problema 539 No entanto quando eles compraram um avião muito maior para lidar com a demanda de passageiros descobriram que havia uma certa flexibilidade na fuselagem da aeronave que causava uma grande quantidade de movimentos desagradáveis na parte traseira do avião quando em turbulência o que causou o derramamento das bebidas dos passageiros A função de transferência aproximada para a oscilação de guinada acoplada a um rolamento Seção 1031 é sendo r a taxa de guinada do avião e δr o ângulo do leme Na realização de uma análise de elemen tos finitos FEA na estrutura da fuselagem e adicionando essa dinâmica ao movimento de guina da acoplada a um rolamento foi descoberto que a função de transferência necessitava de termos adicionais que refletem a flexão na fuselagem lateral devido à excitação do leme e turbulência A função de transferência revista é sendo ωb a frequência no modo de flexão 10 rads e ζ é o coeficiente de amortecimento no modo de flexão 002 Muitos aviões têm um amortecimento de guinada que essencialmente realimenta a taxa de guinada medida por um giroscópio para o leme com uma lei de controle sim plsmente proporcional Para o novo avião Golden Nugget o ganho de realimentação proporcional K 1 onde 679 a Faça um diagrama de Bode do sistema em malha aberta determine a PM e a GM para o projeto nominal e trace a resposta ao degrau e a curva de magnitude de Bode para o sistema em malha fechada Qual é a frequência no modo levemente amortecido que está causando a dificuldade b Investige formas de reduzir as oscilações mas mantendo o mesmo ganho de baixa frequência para não afetar a qualidade do amortecimento no movimento de guinada acoplada a um rola mento fornecida pela realimentação da taxa de guinada Especificamente investige cada um dos seguintes itens um de cada vez i Aumente o coeficiente de amortecimento no modo de flexão de ζ 002 até ζ 004 é necessário a adição de materiais de absorção de energia na estrutura da fuselagem ii Aumente a frequência no modo de flexão de ωb 10 rads até ωb 20 rads são neces sários elementos estruturais mais fortes e mais pesadol iii Adicione um filtro passabaixa na realimentação isto é substitua K na Eq 679 por KDs com 680 Selecione τp tal que os objetivos desejados no modo de flexão sejam reduzidos enquanto a margem de fase satisfaz PM 60 iv Adição de um filtro de rejeição de faixa tal como descrito na Seção 543 Escolha a frequência do zero em ωb com um amortecimento de ζ 004 e faça os polos do deno minador serem s100 12 mantendo o ganho DC do filtro 1 c Investige a sensibilidade dos últimos dois compensadores projetados iii e iv determinando o efeito de uma redução na frequência no modo de flexão de 10 Especificamente reexami ne os dois projetos tabulando GM PM o coeficiente de amortecimento no modo de flexão em malha fechada e o pico de ressonância da magnitude e descreva qualitativamente as diferen ças na resposta ao degrau d Faça uma recomendação para a Golden Nugget de modo que seus clientes deixem de derramar suas bebidas Recomendar que os clientes voltem a seus acentos não é uma resposta aceitável para este problema Faça a recomendação em termos de melhorias para o amortecimento de guinada 352 Sistemas de Controle 660 Considere um sistema com função de transferência em malha aberta ganho de malha a Trace o diagrama de Bode para este sistema e encontre a PM e a GM b Obtenha a função de sensibilidade e trace a curva de magnitude de sua resposta em frequência c Calcule o vetor de margem VM 661 Demonstre que a função de sensibilidade Ss tem magnitude superior a 1 dentro de um círculo com raio 1 centrado no ponto 1 O que isso implica na forma do diagrama de Nyquist se o con trole de malha fechada for melhor que o controle em malha aberta em todas as frequências 662 Considere o sistema na Fig 6104 com a função de transferência a Desejase um compensador Ds que satisfaça às seguintes especificações de projeto i Kv 100 ii PM 45 iii Seguimento de entradas senoidais até 1 rads com erro 2 iv Atenuação de 5 na saída das entradas senoidais com frequências maiores que 100 rads b Trace o diagrama de Bode de Gs escolhendo o ganho de malha aberta tal que Kv 100 c Mostre que uma condição suficiente para atender à especificação das entradas senoidais é que a curva da magnitude esteja fora das regiões sombreadas na Fig 6104 Lembrese de que d Explique por que a introdução de uma rede de avanço sozinha não satisfaz às especificações de projeto e Explique por que uma rede de atraso sozinha não satisfaz às especificações de projeto f Desenvolva um compensador completo de atraso e avanço que satisfaz a todas as especifica ções de projeto sem alterar o ganho de baixas frequências escolhido anteriormente Problemas da Seção 68 retardo no tempo 663 Assuma que o sistema tenha um retardo no tempo de 02 s Td 02 s Mantendo a margem de fase 40 encontre a largura de banda máxima usando Figura 6104 Restrições do sistema de controle para o Problema 662 001 01 1 ω rads 10 100 1000 Magnitude Ljω 001 01 1 10 100 1000 W1 W21 354 Sistemas de Controle a Quais são os picos de ressonância de cada sistema b Quais são as PM e GM de cada sistema c Quais são as larguras de banda de cada sistema d Qual tipo de compensador é usado 669 Considere o sistema mostrado na Fig 697 a Construa o diagrama de Nyquist inverso de YjωEjω1 Veja o material complementar W6 disponível em inglês no site do Grupo A b Mostre como o valor de K para um sistema neutramente estável pode ser lido diretamente do diagrama de Nyquist inverso c Para K 42 e 1 determine as margens de fase e ganho d Construa o lugar das raízes do sistema e identifique os pontos correspondentes nos dois grá ficos Para quais coeficientes de amortecimento ζ as GM e PM correspondem aos valores no item c 670 Uma planta instável tem a função de transferência Uma malha de controle simples será fechada em volta dela como mostrado no diagrama de blocos na Fig 697 a Construa o diagrama de Nyquist inverso de YF Veja o material complementar W6 Magnitude de malha fechada Fase de malha fechada 01 180 160 140 120 100 80 60 40 DsGs 010 10 09 08 07 06 05 04 03 02 10 9 8 7 6 5 4 3 2 DsGs 50 20 150 130 110 105 100 095 090 080 070 060 050 040 030 020 015 1 2 5 10 30 120 20 5 Não compensado Compensado ω 20 ω 30 ω 70 ω 50 ω 40 ω 25 ω 40 Figura 6106 Curvas de Nichols para o Problema 668 Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 357 estado fornecem uma formar adequada para aplicar ferramentas computacionais eficientes de projeto assistido por computador tais como o MATLAB Na Seção 73 mostramos que é benéfico considerar modelos em variáveis de estado em termos de um modelo analógico de simulação computacional Na Seção 74 estudamos o desenvolvimento de equações em va riáveis de estado a partir de diagramas de blocos Em seguida realizando cálculos manuais e computacionais e analisamos a resposta dinâmica usando equações de estado Após percorrido esses fundamentos preliminares procedese à principal tarefa de projeto de controle do siste ma via espaço de estados As etapas do método de projeto são as seguintes 1 Selecione a localização dos polos de malha fechada raízes como referido nos capítulos anteriores e desenvolva a lei de controle para o sistema em malha fechada que correspon da à resposta dinâmica satisfatória Seções 75 e 76 2 Projete um estimador Seção 77 3 Combine a lei de controle e o estimador Seção 78 4 Introduza a entrada de referência Seções 752 e 79 Depois analisar as etapas centrais de projeto exploraremos brevemente o uso do controle integral em espaço de estados Seção 710 As próximas três seções deste capítulo conside ram alguns conceitos adicionais relativos ao método de espaço de estado em razão de serem relativamente avançados podem ser considerados opcionais para alguns cursos ou leitores Finalmente a Seção 714 fornece uma perspectiva histórica do material neste capítulo 71 Vantagens do espaço de estados A noção de espaço de estado vem do método de variáveis de estado para descrever equações diferenciais Nesse método as equações diferenciais que descrevem um sistema dinâmico são organizadas como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem no vetor de esta dos do sistema e a solução é visualizada como uma trajetória desse vetor de estados no espaço O projeto de controle no espaço de estados é a técnica em que o engenheiro de controle projeta uma compensação dinâmica trabalhando diretamente com a descrição do sistema em variáveis de estado Até agora vimos que as equações diferenciais ordinárias EDOs da física dos sistemas dinâmicos podem ser manipuladas na forma de variáveis de estado No campo da matemática no qual as EDOs são estudadas a forma de variáveis de estado é chamada de for ma normal para as equações Existem várias boas razões para estudar equações desta forma três das quais estão listadas aqui Estudar modelos mais gerais as EDOs não precisam ser lineares ou estacionárias Assim estudandose as equações podemos desenvolver métodos muito gerais Portanto a descrição em variáveis estado nos fornece uma forma compacta padrão para o estudo Além disso as técnicas de análise e projeto em espaço de estados podem ser facilmente estendidas para sistemas com múltiplas entradas eou múltiplas saídas É claro que neste texto estudamos principalmente modelos lineares invariantes no tempo com única entrada e única saída pelas razões dadas anteriormente Introduzir noções de geometria em equações diferenciais na física o plano da posição ver sus velocidade de uma partícula ou corpo rígido é chamado de plano de fase e a trajetória do movimento pode ser traçada como uma curva nesse plano O estado é uma generalização da noção de incluir mais de duas dimensões Embora não possamos traçar mais de três di mensões os conceitos de distância de linhas ortogonais e paralelas e outros conceitos da geometria podem ser úteis para visualizar a solução de uma EDO como um caminho no espaço de estados Conectar as descrições interna e externa o estado de um sistema dinâmico muitas vezes descreve diretamente a distribuição da energia interna do sistema Por exemplo é comum selecionar as seguintes variáveis de estado posição energia potencial velocidade energia cinética tensão no capacitor energia elétrica e corrente no indutor energia magnética A Forma normal Plano de fase 358 Sistemas de Controle energia interna pode sempre ser calculada a partir das variáveis de estado Para um sistema ser descrito brevemente podese relacionar o estado às entradas e saídas do sistema e assim conectar as variáveis internas às entradas externas e saídas Em contraste a função de trans ferência relaciona apenas a entrada com a saída e não mostra o comportamento interno A forma de estado mantém a última informação o que às vezes é importante A abordagem de espaço de estado tem sido muitas vezes referida como projeto de contro le moderno e o uso do método baseado em função de transferência como lugar das raízes e resposta em frequência é conhecido como projeto de controle clássico No entanto devido ao método de espaço de estado para descrição de EDOs ter sido usado por mais de 100 anos e ter sido introduzido para projetos de controle no final dos anos 1950 parece um tanto enganador nos referirmos a ele como moderno Assim preferimos fazer referência às duas abordagens de projeto como método de espaço de estados e métodos de transformadas As vantagens do espaço de estados para o projeto são especialmente evidentes quando o sistema a ser controlado tem mais de uma entrada de controle ou mais de uma saída No entan to neste livro examinaremos as noções de espaço de estados de projeto usando os mais simples sistemas de única entrada e única saída SISO A abordagem de projeto usada para sistemas descritos em forma de estado é dividir e conquistar Primeiro vamos criar o controle como se todos os estados fossem medidos e disponíveis para uso na lei de controle Isto proporciona a possibilidade de atribuir ao sistema uma dinâmi ca arbitrária Tendo uma lei de controle satisfatória com base na realimentação completa dos estados introduziremos o conceito de um observador e construiremos estimativas do estado com base na saída medida Em seguida mostraremos que estas estimativas podem ser usadas no lugar das variáveis de estado atuais Finalmente introduziremos comandos de referência externos e a estrutura estará completa Somente neste ponto podemos reconhecer que a com pensação resultante tem a mesma estrutura essencial como a desenvolvida com os métodos de transformadas Antes de podermos começar o projeto utilizando descrições de estado é necessário desen volver alguns resultados analíticos e ferramentas a partir da álgebra matricial para uso em todo o capítulo Assumimos que você está familiarizado com conceitos elementares como matriz identidade triangular diagonal e transposta Também assumimos que você tem alguma fami liaridade com a mecânica da álgebra matricial incluindo a adição multiplicação e inversão de matrizes Resultados mais avançados serão desenvolvidos na Seção 74 no contexto da resposta dinâmica de um sistema linear Todos os resultados de álgebra linear utilizados neste capítulo são repetidos no Apêndice WE disponível em inglês no site do Grupo A 72 Descrição de sistemas no espaço de estados O movimento de qualquer sistema dinâmico finito pode ser expresso como um conjunto de EDOs de primeira ordem Isto é muitas vezes referido como a representação por variáveis de estado Por exemplo o uso da lei de Newton e o diagrama de corpo livre na Seção 21 normal mente levam a equações diferenciais de segunda ordem isto é equações que contêm a segun da derivada como na Eq 23 ou na Eq 215 A última equação pode ser expressa como 71 72 sendo Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 359 A saída deste sistema é θ a atitude do satélite Essas equações podem ser representadas na forma de variáveis de estado como a equação vetorial 73 em que u é a entrada e a saída é 74 O vetor coluna x é chamado de estado do sistema e contém n elementos para um sistema de nésima ordem Para os sistemas mecânicos os elementos no vetor de estados geralmente con sistem das posições e velocidades dos corpos separados como é o caso do exemplo nas Eqs 71 e 72 A quantidade F é uma matriz do sistema n n G é uma matriz de entrada n 1 H é uma matriz linha 1 n referida como matriz de saída e J é um escalar chamado de termo de transmissão direta1 Para economizar espaço às vezes vamos nos referir a um vetor de estado por seu transposto o que é equivalente a Os modelos em equações diferenciais de sistemas mais complexos como os desenvolvidos no Capítulo 2 em sistemas mecânicos elétricos e eletromecânicos podem ser descritos por variáveis de estado por meio da seleção de posições velocidades tensões nos capacitores e correntes nos indutores como variáveis de estado adequadas Neste capítulo vamos considerar o projeto de controle de sistemas utilizando a forma de variáveis de estado Para o caso em que as relações são não lineares como é o caso nas Eqs 222 275 e 279 a forma linear não pode ser usada diretamente Devese linearizar as equações como fizemos no Capítulo 2 para se adequar ao formato veja também o Capítulo 9 O método de variáveis de estado para especificar equações diferenciais é usado por pacotes computacionais para projeto de sistemas de controle por exemplo MATLAB Portanto a fim de especificar equações diferenciais lineares no computador precisase saber os valores das matrizes F G H e da constante J EXEMPLO 71 Modelo do controle de atitude de satélite na forma em espaço de estados Determine as matrizes F G H J na forma de variáveis de estado para o modelo de controle de atitude de satélite no Exemplo 23 com MD 0 Solução Defina a atitude e a velocidade angular do satélite como as variáveis de estado tal que x θ ωT2 A equação de segunda ordem 215 pode então ser escrita em uma forma equivalente como duas equações de primeira ordem Essas equações são expressas usando a Eq 73 Fx Gu como 1 Também é comum usar a notação A B C e D no lugar de F G H e J Usaremos normalmente F G para represen tar dinâmicas da planta e A B para representar um sistema linear geral 2 O símbolo significa é definido como Forma padrão de equações lineares diferentes 360 Sistemas de Controle A saída do sistema é a atitude do satélite y θ Usando a Eq 74 y Hx Ju essa relação é expressa como Portanto as matrizes na forma de variáveis de estado são e a entrada u Fc Para este exemplo muito simples a forma de variáveis de estado é uma forma mais pesada de escrever a equação diferencial que a versão de segunda ordem na Eq 215 No entanto o método não é mais complicado para a maioria dos sistemas e as vantagens de ter uma forma padrão para o uso de ferramentas computacionais de auxílio para o projeto levaram ao uso ge neralizado da forma de variáveis de estado Os próximos exemplos são mais complexos e mostram como usar o MATLAB para encon trar a solução das equações diferenciais EXEMPLO 72 Resposta ao degrau de um sistema de controle de velocidade em cruzeiro a Reescreva a equação de movimento do Exemplo 21 na forma de variáveis de estado sendo a saída a posição do carro x b Use o MATLAB para encontrar a resposta da velocidade do carro para o caso no qual a entrada muda de u 0 em t 0 para uma constante u 500 N em seguida Assuma que a massa do carro m é 1000 kg e b 50 Nsm Solução a Equações de movimento primeiro precisamos expressar a equação diferencial que des creve a planta Eq 23 como um conjunto de equações de primeira ordem Para isto definimos a posição e a velocidade do carro como as variáveis de estado e v tal que x vT A equação de segunda ordem Eq 23 pode então ser escrita como um conjunto de duas equações de primeira ordem Em seguida usamos a forma padrão da Eq 73 Fx Gu para expressar estas equações 75 A saída do sistema é a posição do carro y x1 x expressa na forma matricial como ou Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 361 Então as matrizes na forma de variáveis em espaço de estados são b Resposta temporal as equações de movimento são as dadas no item a exceto que agora a saída é v x2 Portanto a matriz de saída é Os coeficientes são bm 005 e 1m 0001 Os valores numéricos das matrizes que definem o sistema são A função step no MATLAB calcula a resposta temporal de um sistema linear para um de grau unitário na entrada Devido ao fato de o sistema ser linear a saída para este caso pode ser multiplicada pela magnitude do degrau na entrada para obter a resposta ao degrau de qualquer amplitude Equivalentemente a matriz G pode ser multiplicada pela magnitude do degrau na entrada Os comandos F 0 10 005 G 00001 H 0 1 J 0 sys ssF 500GHJ step calcula a resposta ao degrau unitário então 500G fornece u 500 N stepsys traça a resposta ao degrau calculam e traçam o gráfico da resposta temporal para uma entrada em degrau com ampli tude de 500N A resposta temporal é apresentada na Fig 72 EXEMPLO 73 Descrição de um circuito em espaço de estados Determine as equações de espaço de estados para o circuito mostrado na Fig 225 Solução Para escrever as equações na forma de espaço de estados ie um conjunto de equa ções diferenciais de primeira ordem simultâneas selecionamos as tensões nos capacitores Resposta ao degrau por meio de MATLAB Figura 72 Resposta da velocidade do carro para um degrau em u 10 8 6 4 2 0 Amplitude 0 50 100 Tempo s 362 Sistemas de Controle como v1 e v2 como os elementos de estado ie x v1 v2T e vi como a entrada ie u vi Aqui v1 v2 v2 v1 v3 e ainda v1 vi Assim v1 vi v2 v1 e v3 vi v2 Em termos de v1 e v2 a Eq 234 é Reorganizando essa equação na forma padrão temos 76 Em termos de v1 e v2 a Eq 235 é Na forma padrão a equação é 77 As Equações 234 e 235 são inteiramente equivalentes à forma no espaço de estados as Eqs 76 e 77 para a descrição do circuito As formas das matrizes padrões são EXEMPLO 74 Altofalante e circuito na forma de espaço de estados Para o altofalante na Fig 229 e o circuito para conduzilo na Fig 230 encontre as equações de espaço de estado relativas à tensão Va de entrada para a saída de deslocamento no cone x Suponha que a resistência do circuito é R e a indutância é L Solução Lembrese das duas equações acopladas 244 e 248 que constituem o modelo dinâmico para o altofalante Um vetor de estados lógico para este sistema de terceira ordem pode ser x x iT o que for nece as matrizes na forma padrão sendo a entrada agora Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 363 EXEMPLO 75 Modelando um motor CC na forma de espaço de estados Encontre as equações em espaço de estados para o motor CC com o circuito elétrico equivalente mostrado na Fig 232a Solução Lembrese das equações de movimento Eqs 252 e 253 do Capítulo 2 Um vetor de estado para este sistema de terceira ordem é o que fornece as matrizes na forma padrão sendo a entrada A forma em variáveis de estado pode ser aplicada a um sistema de qualquer ordem O Exemplo 76 ilustra o método para um sistema de quarta ordem EXEMPLO 76 Unidade disco com flexibilidade na forma de espaço de estados Encontre a forma de espaço de estados para as equações diferenciais do Exemplo 24 sendo a saída θ2 Solução Defina o vetor de estados como Então resolva as Eqs 217 e 218 para e tal que a forma em espaço de estados seja mais aparente O resultado são as matrizes Dificuldades surgem se a equação diferencial contiver derivadas da entrada u Técnicas para lidar com esta situação serão discutidas na Seção 74 73 Diagrama de blocos e espaço de estados Talvez a forma mais eficaz de entender as equações de variáveis de estado é através da repre sentação do diagrama de blocos de um computador analógico A estrutura da representação usa integradores como o elemento central que são bastante adequados para a representação de primeira ordem variáveis de estado das equações de movimento de um sistema Mesmo que os computadores analógicos estejam quase extintos a implementação do computador analógico 366 Sistemas de Controle 731 Escalonamento de tempo e amplitude em espaço de estados O escalonamento de tempo e amplitude já foi discutido no Capítulo 3 Agora estas noções são estendidas para a forma de variáveis de estado Escalonamento no tempo com τ ωot substitui a Eq 73 por 79 Escalonamento de amplitude do estado corresponde a substituir x por z Dx1x sendo Dx uma matriz diagonal de fatores de escala Escalonamento da entrada corresponde a substituir u por v Du1u Com estas substituições 710 Então 711 A Eq 711 compactamente expressa as operações de escalonamento de tempo e amplitude Lamentavelmente isso não exime o engenheiro da responsabilidade de realmente pensar em bons fatores de escala de modo que as equações escalonadas apresentem boa formatação EXEMPLO 78 Escalonamento de tempo em um oscilador A equação de um oscilador foi obtida no Exemplo 25 Para o caso de uma frequência natural muito rápida ωn 15000 rads aproximadamente 2 kHz a Eq 223 pode ser escrita como Determine a equação escalonada no tempo tal que a unidade de tempo seja milisegundos Solução Na forma de variáveis de estado com um vetor de estados x as matrizes sem o escalonamento são Aplicar a Eq 79 resulta em o que resulta nas equações de variáveis de estados que estão escalonadas 74 Análise das equações de estado Na seção anterior introduzimos e ilustramos o processo de seleção de um estado e a organiza ção das equações em forma de estado Nesta seção vamos rever esse processo e descrever como analisar a resposta dinâmica utilizando a descrição de estado Na Seção 741 começamos re lacionando a descrição de estado com diagramas de blocos e descrição em transformada de Laplace e consideramos o fato de que para um determinado sistema a escolha do estado não é única Mostramos como usar esta característica não única para selecionar entre várias formas canônicas a que vai ajudar a resolver um problema específico uma forma canônica de controle torna fácil o projeto dos ganhos de realimentação Depois de estudar a estrutura das equações de estado na Seção 742 consideramos a resposta dinâmica e mostramos como os polos e zeros 370 Sistemas de Controle Até o momento vimos que podemos obter a descrição de estado a partir de uma função de transferência em qualquer forma controlável ou modal Em razão de estas matrizes represen tarem o mesmo sistema dinâmico podemos perguntar qual é a relação entre as matrizes nas duas formas e suas correspondentes variáveis de estado Mais genericamente suponha que temos um conjunto de equações de estado que descrevem algum sistema físico sem nenhuma forma particular e nos é dado um problema para o qual a forma canônica controlável seria útil Veremos um problema na Seção 75 É possível calcular a forma desejada canônica sem obter a função de transferência antes Para responder a estas questões é necessário olhar para o tema de transformações do estado Considere um sistema descrito pelas equações de estado 721a 721b Como vimos esta não é uma descrição única do sistema dinâmico Consideramos uma mudan ça do vetor de estados x para um novo estado z que é uma transformação linear de x Para uma matriz não singular T temos 722 Substituindo a Eq 722 na Eq 721a temos as equações de movimento em termos da nova variável de estado z 723a 723b 723c Na Eq 723c 724a 724b Então substituímos a Eq 722 na Eq 721b para obter a saída em termos do novo estado z Aqui 725 Dadas as matrizes F G e H e o escalar J gostaríamos de encontrar a matriz de transfor mação T tal que A B C e D estejam em uma forma particular por exemplo forma canônica controlável Para encontrar um tal T assumimos que A B C e D estejam na forma exigida assumimos ainda que a transformação T tenha uma forma geral e combinando os termos Aqui vamos trabalhar no caso de terceira ordem a maneira como estender a análise para o caso geral deve ficar clara a partir do desenvolvimento Inicialmente reescrevemos a Eq 724a como Se A está na forma canônica controlável e descrevemos T1 como uma matriz com linhas t1 t2 e t3 então 726 Descrição de estado e equação de saída Transformação de estado Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 371 Trabalhando com a terceira e a segunda linha temos as equações matriciais 727a 727b A partir da Eq 724b assumindo que B também está na forma canônica controlável temos a relação ou 728 Combinando as Eqs 727 e 728 temos Essas equações podem ser reescritas na forma matricial como ou 729 sendo G FG F2G a matriz de controlabilidade Tendo t3 podemos voltar à Eq 727 e construir todas as linhas de T1 Em suma a receita para converter uma descrição geral de estado de dimensão n para a for ma canônica controlável é a seguinte A partir de F e G forme a matriz de controlabilidade 730 Calcule a última linha da inversa da matriz de transformação como 731 Construa a matriz de transformação como 732 Calcule as novas matrizes a partir de T1 usando as Eqs 724a 724b e 725 Quando a matriz de controlabilidade é não singular as matrizes correspondentes F e G são ditas serem controláveis Esta é uma propriedade técnica que geralmente vale para sis temas físicos e será importante quando consideramos realimentação de estados na Seção 75 Também vamos estudar algumas ilustrações física de perda de controlabilidade Como o cálculo da transformação dado pela Eq 732 é numericamente difícil de se feito com precisão ele quase nunca é feito A razão para desenvolver essa transformação detalhada mente é mostrar como essas mudanças de estado poderiam ser feitas em teoria e para fazer a seguinte importante observação Transformação da matriz de controlabilidade para a forma canônica de controle Sistemas de controlabilidade Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 373 736b O determinante dessa matriz é uma função de zo Esse polinômio é zero para zo 3 ou 4 o que implica que a controlabilidade é perdida para esses valores O que isso significa Em termos do parâmetro zo a função de transferência é Se zo 3 ou 4 há um cancelamento de polo e zero o que reduz a função de transferência de um sistema de segunda ordem para uma de primeira ordem Quando zo 3 por exemplo o modo em 3 é desacoplado da entrada e o controle deste modo é perdido Repare que obtemos para a função de transferência dada pela Eq 712 duas realizações uma na forma canônica controlável e outra na forma canônica observável A forma canônica controlável é sempre controlável para qualquer valor do zero enquanto a forma canônica obser vável perde a controlabilidade se o zero cancela um dos polos Assim essas duas formas podem representar a mesma função de transferência mas pode não ser possível transformar o estado de uma para o estado da outra neste caso da forma canônica observável para a forma canônica controlável Enquanto uma transformação de estado não pode afetar a controlabilidade a esco lha particular do estado de uma função de transferência pode Controlabilidade é uma função do estado do sistema e não pode ser analisada a partir de uma função de transferência Discutir mais a controlabilidade neste momento nos levaria muito longe A propriedade in timamente relacionada com a observabilidade e com a forma canônica observável será retoma da na Seção 771 Uma discussão mais detalhada dessas propriedades de sistemas dinâmicos é dada no Apêndice WF disponível em inglês no site do Grupo A Voltamos agora à forma modal para as equações dadas nas Eqs 717a e 717b para a função de transferência do exemplo Como mencionado anteriormente nem sempre é pos sível encontrar uma forma modal para as funções de transferência que têm polos repetidos então assumimos que nosso sistema tenha apenas polos distintos Além disso assumimos que as equações na forma geral de espaço de estados dadas pelas Eqs 721a e 721b se aplicam Queremos encontrar uma matriz de transformação T definida pela Eq 722 tal que as equa ções transformadas pelas Eqs 724a e 725 estejam na forma modal Neste caso assumimos que a matriz A é diagonal e que T é composto pelas colunas t1 t2 e t3 Com esse pressuposto a transformação de estado Eq 724a tornase 737 A Eq 737 é equivalente a três equações vetoriais 738 Em álgebra matricial a Eq 738 é uma equação famosa cuja solução é conhecida como o pro blema autovetorautovalor Lembrese de que ti é um vetor F é uma matriz e pi é um escalar O vetor ti é chamado de autovetor de F e pi é chamado de autovalor correspondente Como vimos que a forma modal é equivalente a uma representação em expansão em frações parciais Transformação para a forma modal Autovetores Autovalores 374 Sistemas de Controle com os polos do sistema ao longo da diagonal da matriz de estado deve ficar claro que esses autovalores são precisamente os polos do nosso sistema A matriz de transformação que irá converter as matrizes de descrição do estado para a forma modal tem como colunas os autove tores de F como mostrado na Equação 737 para o caso de terceira ordem À medida que isso acontece existem algoritmos computacionais robustos e confiáveis para calcular os autovalores e os autovetores de sistemas muito grandes usando o algoritmo QR4 No MATLAB o comando p eigF é a maneira de calcular os polos se as equações do sistema estão em forma de estado Observe também que a Eq 738 é homogênea e que se ti é um autovetor então αti tam bém é um autovetor para qualquer escalar α Na maioria dos casos o fator de escala é selecio nado de modo que o comprimento raiz quadrada da soma dos quadrados das magnitudes dos elementos seja uma unidade O MATLAB irá realizar esta operação Outra opção é selecionar os fatores de escala para que a matriz de entrada B seja composta por todos os 1 A última opção é sugerida por uma expansão em frações parciais com cada parte realizada na forma canônica controlável Se o sistema for real então cada elemento de F é real e se p σ jω for um polo então seu conjugado p σ jω também será um polo Para estes autovalores os autovetores são igualmente complexos e conjugados É possível compor a matriz de transformação usando as partes real e complexa dos autovetores separadamente então a forma modal é real mas tem blocos 2 2 para cada par de polos complexos Mais tarde vamos ver a função no MATLAB que faz isso mas primeiro vamos olhar para o caso simples de polos reais EXEMPLO 710 Transformação da forma canônica controlável do sistema térmico para a forma modal Encontre a matriz de transformação para transformar as matrizes na forma controlável na Eq 715 na forma modal da Eq 717 Solução De acordo com as Eqs 737 e 738 precisamos inicialmente encontrar os autovalores e autovetores da matriz Ac Selecionamos os autovetores como As equações usando os autovetores são 739a 739b 739c Substituindo a Eq 739c na Eq 739b temos 740a 740b 740c 740d Descobrimos novamente que os autovalores polos são 3 e 4 além disso a Eq 739c nos diz que os dois autovetores são 4 Este algoritmo é parte do MATLAB e de todos os outros bem conhecidos pacotes computacionais de projeto Ele está documentado cuidadosamente no pacote computacional LAPACK Anderson et al 1999 Veja também Strang 1988 Função eig no MATLAB Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 375 sendo que t21 e t22 são fatores de escala não nulos Queremos selecionar os dois fatores de escala tal que ambos os elementos de Bm na Eq 717a sejam a unidade A equação para Bm em termos de Bc é TBm Bc e sua solução é t21 1 e t22 1 Portanto a matriz de transfor mação e sua inversa5 são 741 Multiplicações matriciais elementares mostram que usando T como definido pela Eq 741 as matrizes das Eqs 715 e 717 são relacionadas como 742 Esses cálculos podem ser realizados usando os comandos no MATLAB T 4 3 1 1 Am invTAcT Bm invTBc Cm CcT Dm Dc O próximo exemplo tem cinco variáveis de estado e na forma de espaço de estados é mui to complicado realizar os cálculos manualmente No entanto é um bom exemplo para ilustrar o uso de programas computacionais desenvolvidos com esta finalidade O modelo que será usado é baseado em um estado físico após os escalonamentos de amplitude e tempo terem sido feitos EXEMPLO 711 Uso do MATLAB para encontrar os polos e zeros do sistema de unidade de fita Encontre os autovalores da matriz do sistema descrito abaixo para o controle da unidade de fita veja a Fig 350 Além disso calcule a transformação das equações da unidade de fita em sua forma dada para a forma canônica modal As matrizes do sistema são 743 Saída sendo posição do servomotor Saída sendo a posição da cabeçote de leituraescrita Saída sendo a tensão O vetor de estados é definido como posição da fita no cabeçote velocidade de rotação do eixo posição da fita na cabeçote de leituragravação velocidade de saída corrente no motor 5 Para encontrar a inversa de uma matriz 2 2 é preciso apenas trocar a posição dos elementos 11 e 22 mudar o sinal dos elementos 12 e 21 e dividir pelo determinante 1 na Eq 741 376 Sistemas de Controle A matriz H3 corresponde a fazer x3 a posição da fita na cabeçote de leituragravação a saída e a matriz HT corresponde a fazer a tensão a saída Solução Para calcular os autovalores usando o MATLAB escrevemos o que resulta em Observe que o sistema tem todos os polos no semiplano esquerdo LHP exceto um polo na origem Isso significa que uma entrada em degrau irá resultar em uma saída em rampa então podemos concluir que o sistema tem um comportamento do Tipo 1 Para transformar a forma modal usamos a função canon no MATLAB sysG ssFGH3J sysGm TI canonsysG modal AmBmCmDmssdatasysGm O resultado é Note que os polos complexos aparecem em blocos 2 2 no canto superior esquerdo de Am e os polos reais aparecem na diagonal principal desta matriz Os outros resultados dos cálculos da função canon são Acontece que a função canon foi escrita para calcular a inversa da transformação com a qual es tamos trabalhando como você pode ver a partir de TI na equação anterior por isso precisamos de inverter nossos resultados do MATLAB O inverso é calculado a partir de Função canon no MATLAB Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 377 e o resultado é Os autovalores computados com VPeigF são Observe que as duas primeiras colunas da transformação real T são compostas pelas partes real e imaginária do primeiro autovetor na primeira coluna de V É esta etapa que faz com que as raízes complexas apareçam em blocos 2 2 na parte superior esquerda da matriz Am Os vetores em V são normalizados para terem comprimento unitário o que resulta em valores não normalizados em Bm e Cm Se for desejável poderíamos facilmente encontrar novas transfor mações para fazer com que cada elemento de Bm seja igual a 1 ou trocar a ordem em que os polos aparecem 742 Resposta dinâmica a partir das equação de estado Tendo considerado a estrutura das equações de variáveis de estado agora nos voltamos a encon trar a resposta dinâmica a partir da descrição de estado e as relações entre a descrição de estado e nossa discussão anterior no Capítulo 6 sobre resposta em frequência e polos e zeros Vamos começar com as equações gerais de estado dadas pelas Eqs 721a e 721b e considerar o problema no domínio da frequência Tomando a transformada de Laplace de 744 temos 745 que agora é uma equação algébrica Se agruparmos os termos envolvendo Xs no lado es querdo da Eq 745 mantendo em mente que a ordem de multiplicação de matrizes é muito importante descobrimos que6 Se multiplicarmos ambos os lados pela inversa de sI F então 746 A saída do sistema é 747a 747b Essa equação expressa a resposta na saída para uma condição inicial e para uma entrada externa O coeficiente da entrada externa é a função de transferência do sistema que neste caso é dada por 6 A matriz identidade I é uma matriz com uns na diagronal e zeros nas outras posições portanto Ix x Função de transferência de equações de estado 378 Sistemas de Controle 748 EXEMPLO 712 Função de transferência a partir da descrição em espaço de estados do sistema térmico Use a Eq 748 para encontrar a função de transferência do sistema térmico descrito pelas Eqs 715a e 715b Solução As matrizes da descrição em espaço de estados do sistema são Para calcular a função de transferência de acordo com a Eq 748 fazemos e calculamos 749 Substituindo a Eq 749 na Eq 748 temos 750 751 752 Os resultados também podem ser encontrados usando o comando no MATLAB numden ss2tfFGHJ e fornecendo num 0 1 2 e den 1 7 12 o que está de acordo com os cálculos manuais Devido à Eq 748 expressar a função de transferência em termos da descrição geral de espaço de estados com as matrizes F G H e J somos capazes de expressar os polos e zeros em termos dessas matrizes Já vimos que transformando as matrizes de estado para a forma diagonal os polos aparecem como os autovalores na diagonal principal da matriz F Vamos agora tomar um ponto de vista da teoria dos sistemas e considerar como os polos e zeros estão envolvidos na resposta transitória de um sistema Como vimos no Capítulo 3 um polo da função de transferência Gs é um valor de fre quência generalizada s tal que se s pi então o sistema pode responder a uma condição inicial como sem função forçante Neste contexto pi é chamado de frequência natural ou Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 379 modo natural do sistema Se tomarmos as equações de espaço de estados 721a e 721b e definir a função forçante u como zero temos 753 Se assumirmos alguma mesmo que desconhecida condição inicial 754 e que o movimento do estado completo se comporta de acordo com a mesma frequência natural então o estado pode ser escrito como xt Decorre da Eq 753 que 755 ou 756 Podemos reescrever a Eq 756 como 757 As Equações 756 e 757 constituem o problema de autovetorautovalor visto na Eq 738 com autovalores pi e neste caso autovetores x0 da matriz F Se estamos apenas interessados nos autovalores podemos usar o fato de que para um x0 diferente de zero a Eq 757 tem uma solução se e somente se 758 Essas equações mostram mais uma vez que os polos da função de transferência são os autovalo res da matriz do sistema F A equação do determinante 758 é um polinômio nos autovalores pi conhecida como a equação característica No Exemplo 710 calculamos os autovalores e autovetores de uma matriz específica na forma canônica controlável Como uma alternativa para a computação dos polos do sistema podemos resolver a equação característica 758 Para o sistema descrito pelas Eqs 715a e 715b podemos encontrar os polos da Eq 758 resolvendo 759a 759b 759c Isso confirma novamente que os polos do sistema são os autovalores de F Podemos também determinar os zeros de um sistema a partir das matrizes da descrição em espaço de estados F G H e J usando um ponto de vista da teoria de sistemas A partir desta perspectiva um zero é um valor de frequência generalizada s tal que o sistema pode ter uma entrada diferente de zero e ainda ter uma saída nula Se a entrada é exponencial na frequência do zero zi dada por 760 então a saída é identicamente nula 761 A descrição em espaço de estado das Eqs 760 e 761 será 762 Assim 763 Polos de função de transferência de equações de estado 380 Sistemas de Controle ou 764 e 765 Combinando as Eqs 764 e 765 temos 766 Da Eq 766 podemos concluir que um zero do sistema em espaço de estados é um valor de zi onde Eq 766 tem uma solução não trivial Com uma entrada e uma saída a matriz é quadra da e uma solução para a Eq 766 é equivalente a uma solução para 767 EXEMPLO 713 Zeros de um sistema térmico a partir de sua descrição em espaço de estados Calcule os zeros do sistema térmico descrito pela Eq 715 Solução Usamos a Eq 767 para calcular os zeros Note que este resultado está de acordo com o zero da função de transferência dada pela Eq 712 O resultado pode também ser encontrado usando o comando no MATLAB sysG ssAcBcCcDc z tzerosysG e fornece z 20 A Eq 758 para a equação característica e a Eq 767 para o polinômio dos zeros podem ser combinadas para expressar a função de transferência em uma forma compacta a partir da descrição em espaço de estados como 768 Veja o Apêndice WE disponível em inglês no site do Grupo A para mais detalhes Enquanto a Eq 768 é uma fórmula compacta para estudos teóricos ela é muito sensível a erros numé ricos Um algoritmo numericamente estável para calcular a função de transferência é descrito em EmamiNaeini e Van Dooren 1982 Dada a função de transferência podemos calcular a resposta em frequência de Gjω e como discutido anteriormente podemos usar as Eqs 757 e 766 para encontrar os polos e zeros dos quais a resposta transitória depende como vimos no Capítulo 3 Zeros da função de transferência de equações de estado Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 381 EXEMPLO 714 Análise das equações de estado de uma unidade de fita Calcule os polos zeros e a função de transferência para as equações do servomecanismo da unidade de fita dada no Exemplo 711 Solução Há duas maneiras diferentes para calcular a resposta deste problema A mais direta é usar a função ss2tf no MATLAB espaço de estados para função de transferência que dará os polinômios do numerador e do denominador diretamente Esta função permite múltiplas entradas e saídas o quinto argumento da função indica qual entrada será usada Temos apenas uma entrada aqui mas ainda é necessário fornecer o argumento O cálculo da função de trans ferência com a entrada sendo a corrente e a saída a posição do servomotor é N2 D2 ss2tfF G H2 J 1 o que resulta em Da mesma forma para a posição da cabeçote de leituraescrita os polinômios da função de transferência são calculados por N3 D3 ss2tfF G H3 J 1 o que resulta em Finalmente a função de transferência para a tensão é NT DT ss2tfF G HT J 1 produzindo É interessante verificar se os polos e zeros determinados desta forma estão de acordo com os encontrados por outros meios Para um polinômio usamos as raízes da função Checando com o Exemplo 711 confirmamos que eles estão de acordo Onde estão os zeros Podemos encontrálos calculando as raízes do polinômio no numera dor Calculamos as raízes do polinômio N3 Notase que raízes com magnitude de 107 são dadas o que parece inconsistente com os valores apresentados para o polinômio O problema é que o MATLAB tem usado valores muito peque nos para os termos de pivô como valores reais e assim introduziu raízes estranhas que estão para todos os fins práticos no infinito Os zeros de verdade são encontrados truncando o poli nômio em valores significativos usando o comando Função ss2tf do MATLAB Raízes do MATLAB 382 Sistemas de Controle obtendo Outra abordagem é calcular os polos e zeros separadamente e se desejado combinálos em uma função de transferência Os polos foram computados com eig no Exemplo 711 e são Os zeros podem ser computados de forma equivalente à Eq 766 com a função tzero zeros de transmissão Os zeros dependem de qual saída está sendo usada e claro são respectivamente dados abaixo Para a posição da fita no servomotor como a saída usamos os comandos fornecendo Para a posição da fita no cabeçote de leituraescrita como a saída usamos a declaração Notase que esses resultados concordam com os valores previamente calculados a partir do polinômio no numerador N3 Finalmente para a tensão na saída usamos obtendo Com esses resultados podemos escrever por exemplo a função de transferência para x3 como 769 Função tzero do MATLAB 384 Sistemas de Controle Assumimos para efeitos de realimentação que todos os elementos do vetor de estado estejam à nossa disposição Na prática é claro isso normalmente seria uma suposição absurda além disso um projetista de controle bem treinado sabe que outros métodos de projeto não requerem tantos sensores A suposição de que todas as variáveis de estado estejam disponíveis apenas nos permite prosseguir com este primeiro passo A Eq 770 nos diz que o sistema tem uma matriz constante na trajetória de realimentação do vetor de estados como mostrado na Fig 712 Para um sistema de nésima ordem haverá n ganhos de realimentação K1 Kn e como existem n raízes do sistema é possível que exis tam graus de liberdade suficientes para escolher arbitrariamente qualquer local desejado para a raiz escolhendo os valores adequados de Ki Esta liberdade contrasta fortemente com o projeto baseado no lugar das raízes em que temos apenas um parâmetro e os polos de malha fechada estão restritos no lugar das raízes Substituindo a lei de realimentação dada pela Eq 770 no sistema descrito pela Eq 721a temos 771 A equação característica para este sistema em malha fechada é 772 Quando avaliado isso gera um polinômio de nésima ordem em s contendo os ganhos K1 Kn O projeto da lei de controle consiste então em escolher os ganhos K para que as raízes da Eq 772 estejam nos locais desejados Selecionar a localização desejada para as raízes é uma ciência inexata que pode exigir alguma iteração do projetista Questões em sua seleção são consideradas nos Exemplos 715 ao 717 bem como na Seção 76 Por ora assumimos que os locais desejados são conhecidos digamos Então a equação característica desejada controle correspondente é 773 Assim os elementos necessários de K são obtidos combinando os coeficientes nas Eqs 772 e 773 Isso força a equação característica do sistema a ser idêntica à equação característica desejada e os polos de malha fechada a serem posicionados nos locais desejados EXEMPLO 715 Lei de controle para um pêndulo Suponha que você tenha um pêndulo com frequência ω0 e uma descrição em espaço de estado dada por 774 Encontre a lei de controle que posiciona ambos os polos de malha fechada do sistema em 2ω0 Em outras palavras desejase o dobro da frequência natural e o aumento do coeficiente de amortecimento ζ de 0 a 1 Solução Da Eq 773 temos que Equação característica de controle Figura 712 Sistema considerado para o projeto da lei de controle H Y u x u Kx x Fx Gu Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 385 775a 775b A Eq 772 fornece ou 776 Igualar os coeficientes de mesma potência em s nas Eqs 775b e 776 fornece as equa ções e portanto De forma mais concisa a lei de controle é A Figura 713 mostra a resposta do sistema em malha fechada para as condições iniciais x1 1 x2 0 e ω0 1 Ela mostra uma resposta muito bem amortecida como seria de se esperar devido às duas raízes em s 2 O comando impulse no MATLAB foi utilizado para gerar este gráfico Calcular os ganhos usando a técnica ilustrada no Exemplo 715 tornase um pouco ente diante quando a ordem do sistema é superior a 3 Há no entanto formas canônicas especiais das equações de variáveis de estado para as quais a álgebra para encontrar os ganhos é espe cialmente simples Uma tal forma canônica que é útil no projeto da lei de controle é a forma canônica controlável Considere o sistema de terceira ordem7 777 7 Este desenvolvimento é exatamente o mesmo para sistemas de ordem superior Figura 713 Resposta ao impulso de um oscilador não amortecido com realimentação completa de estados ω0 1 Tempo s 1 2 3 4 5 6 7 0 08 06 04 02 0 02 04 06 08 10 Amplitude x1 x2 u4 Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 387 Novamente as saídas dos integradores são usadas multiplicandoas pelos bis e forman do o lado direito da Eq 777 usando um somador que produz a saída como mostrado na Fig 714c Neste caso todos os laços de realimentação retornam ao ponto de aplicação da entrada ou variável de controle e portanto esta forma é referida como a forma canônica controlável A redução da estrutura pela regra de Mason ou por operações elementares de diagrama de blo cos verifica que esta estrutura tem a função de transferência dada por Gs Tomando o estado como as saídas dos três integradores numerados por convenção a partir da esquerda temos 784 obtemos 785 Podemos agora escrever as matrizes que descrevem a forma canônica controlável em geral 786a 786b A estrutura especial da matriz do sistema é conhecida como forma companheira superior porque a equação característica é as sn a1sn1 a2sn2 an e os coeficientes deste polinômio mônico companheiro são os elementos da primeira linha de Fc Se formarmos a matriz do sistema de malha fechada Fc GcKc descobriremos que 787 Visualmente comparando as Eqs 786a e 787 vemos que a equação característica em ma lha fechada é 788 Portanto se a posição desejada dos polos resulta na equação característica dada por 789 então os ganhos de realimentação necessários podem ser encontrados igualando os coeficientes nas Eqs 788 e 789 790 Agora temos a base para um procedimento de projeto Dado um sistema de ordem n des crito de forma arbitrária por F G e dado um polinômio característico mônico de ordem n αcs então 1 F G é transformada na forma canônica controlável Fc Gc fazendo uma mudança de estado x Tz e 2 os ganhos de controle são resolvidos por inspeção usando a Eq 790 para obter a lei de controle u Kcz Em virtude de este ganho ser obtido para o Matriz de forma companheira 388 Sistemas de Controle estado sob a forma canônica controlável devemos 3 transformar o ganho de volta ao estado original para obter K KcT1 Uma alternativa a este método de transformação é dada pela fórmula de Ackermann 1972 que organiza o processo de três etapas conversão para Fc Gc calcular os ganhos e convertêlos de volta em uma forma muito compacta 791 tal que 792 onde é a matriz de controlabilidade vista na Seção 74 n é a ordem do sistema e o número de variáveis de estado e αcF é uma matriz definida como 793 onde αi são os coeficientes da equação característica desejada Eq 789 Note que a Eq 793 é uma equação matricial Consulte o Apêndice WG disponível em inglês no site do Grupo A para a derivação da fórmula de Ackermann EXEMPLO 716 Fórmula de Ackermann para um oscilador não amortecido a Use a fórmula de Ackermann para calcular os ganhos do oscilador não amortecido do Exem plo 715 b Verifique os cálculos com o MATLAB para ω0 1 Solução a A equação característica desejada é αcs s 2ω02 Portanto os coeficientes do polinô mio característico são substituídos na Eq 793 e o resultado é 794a 794b A matriz de controlabilidade é que fornece 795 Finalmente substituindo as Eqs 795 e 794a na Eq 791 obtemos Portanto que é o mesmo resultado obtido anteriormente Fórmula de Ackermann para localização do polo Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 389 b Os comandos no MATLAB são wo 1 F 0 1wowo 0 G 01 pc 2wo2wo K ackerFGpc fornecendo K 3 4 o que está de acordo com os cálculos manuais Como mencionado anteriormente o cálculo da matriz de controlabilidade tem precisão numérica muito pobre e isto influencia a fórmula de Ackermann A Eq 791 implementada no MATLAB na função acker pode ser usada para o projeto em sistemas com única entrada e única saída SISO e com número de variáveis de estado pequeno 10 Para os casos mais complexos uma fórmula mais confiável está disponível no MATLAB com o nome place Uma limitação modesta na função place é que em razão de ela se basear na atribuição dos autoveto res de malha fechada nenhum dos polos de malha fechada desejados pode ser repetido ou seja os polos devem ser distintos8 uma exigência que não se aplica na função acker O fato de que podemos posicionar os polos de um sistema por realimentação de estados em qualquer local desejado é um resultado bastante notável O desenvolvimento desta seção revela que essa mudança é possível se pudermos transformar F G na forma controlável Fc Gc que por sua vez é possível se o sistema é controlável Em casos raros o sistema pode ser incontrolável caso em que não há controle possível para posicionar os polos em posições arbitrárias Sistemas incontroláveis têm certos modos ou subsistemas que não são afetados pelo controle Isso geralmente significa que partes do sistema estão fisicamente desconectadas da en trada Por exemplo na forma canônica modal para um sistema com polos distintos uma das variáveis estado modais não é ligada à entrada se houver um valor nulo na matriz Bm Uma boa compreensão física do sistema a ser controlado impediria qualquer tentativa de proje tar um controlador para um sistema incontrolável Como vimos anteriormente existem testes algébricos para a controlabilidade no entanto nenhum teste matemático pode substituir o entendimento do engenheiro de controle sobre o sistema físico Muitas vezes a situação física é tal que todos os modos são controláveis até certo ponto e enquanto os testes matemáticos indicam que o sistema é controlável certos modos são tão fracamente controláveis que os projetos para controlálos são virtualmente inúteis O controle de um avião é um bom exem plo de controlabilidade fraca em certos modos O movimento de arfagem xp é principalmente afetado pelo profundor δe e fracamente afetado pelo movimento de rolagem xr O movimento de rolagem é essencialmente afetado apenas pelos ailerons δa A descrição de espaço de estado dessas relações é 796 em que o pequeno número na matriz ε representa o acoplamento fraco entre o movimento de rolagem e o movimento de arfagem Um teste matemático de controlabilidade para este sistema poderia concluir que o movimento de arfagem e portanto a altitude é controlável pelos aile rons bem como pelo profundor No entanto é impraticável a tentativa de controlar a altitude de um avião impondo o movimento de rolagem no avião pelos ailerons Outro exemplo irá ilustrar as propriedades do posicionamento dos polos por realimentação de estados e os efeitos da perda de controlabilidade no processo 8 Podese contornar esta restrição movendo os polos repetidos por quantidades bem pequenas para tornálos distintos Funções acker place do MATLAB Um exemplo de controlabilidade fraca 390 Sistemas de Controle EXEMPLO 717 Como a posição do zero pode afetar a lei de controle Um sistema térmico específico é descrito pela Eq 735a na forma canônica observável com um zero em s z0 a Encontre os ganhos de realimentação de estados necessários para colocar os polos deste sistema nas raízes de s2 2ζωns ωn2 ie em ζωn b Repi ta o cálculo com o MATLAB usando os valores dos parâmetros z0 2 ζ 05 e ωn 2 rads Solução a As matrizes de estado são Primeiro vamos substituir essas matrizes na Eq 772 para obter a equação característica de malha fechada em termos dos ganhos desconhecidos e da posição do zero Em seguida comparando esta equação com a equação característica desejada obtémse as equações As soluções destas equações são b Os seguintes comandos do MATLAB podem ser usados para encontrar a solução Ao 7 112 0 zo 2 Bo 1zo pc roots1 2 4 K placeAoBopc Estes comandos fornecem K 380 060 os quais estão de acordo com os cálculos ma nuais Se o zero estiver perto de um dos polos de malha aberta digamos z0 299 então encontramos K 20525 6881 Duas importantes observações devem ser feitas a partir deste exemplo A primeira é que os ga nhos crescem quando o zero z0 se aproxima de 3 ou 4 valores nos quais este sistema perde a controlabilidade Em outras palavras quando a controlabilidade é quase perdida os ganhos de controle se tornam muito grandes O sistema tem que trabalhar com mais força para conseguir o controle quando a con trolabilidade é fraca A segunda observação importante ilustrada pelo exemplo é que tanto K1 quanto K2 crescem quando a largura de banda desejada em malha fechada dada por ωn aumenta A partir disso podemos concluir que Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 391 Mover os polos em um longo caminho requer grandes ganhos Estas observações nos levam a uma discussão de como podemos escolher a localização desejada para os polos de forma geral Antes de iniciar esse tópico iremos completar o projeto com realimentação completa dos estados mostrando como a entrada de referência pode ser aplicada a esse sistema e quais são as características da resposta resultante 752 Introdução de uma entrada de referência com realimentação completa de estados Até o momento o controle foi dado pela Eq 770 ou u Kx A fim de estudar a resposta transitória dos projetos de alocação de polos para entradas de comando é necessário introduzir a entrada de referência no sistema Uma maneira óbvia de fazer isso é mudar o controle para u Kx r No entanto o sistema irá quase certamente apresentar um erro em estado estacio nário não nulo para uma entrada em degrau A maneira de corrigir este problema é calcular os valores em estado estacionário do estado e da entrada de controle que irão resultar em erro nulo na saída e então forçálos a assumir estes valores Se os valores desejados finais do estado e da entrada de controle forem xss e uss respectivamente então a nova fórmula de controle deve ser 797 de modo que quando x xss erro nulo u uss Para selecionar os valores finais corretos de vemos resolver as equações de modo que o sistema tenha erro nulo em estado estacionário para qualquer entrada constante As equações diferenciais do sistema são as padrões 798a 798b Em estado estacionário constante as Eqs 798a e 798b se reduzem a 799a 799b Queremos resolvêlas para os valores nos quais yss rss para qualquer valor de rss Para fazer isso fazemos xss Nxrss e uss Nurss Com estas substituições podemos escrever as Eqs 799 como uma equação matricial o fator comum de rss anulase fornecendo a equação para os ganhos 7100 Esta equação pode ser resolvida para Nx e Nu obtendo Com estes valores finalmente temos a base para a introdução da entrada de referência de modo a obter erro em estado estacionário nulo para uma entrada em degrau 7101a 7101b O coeficiente de r entre parênteses é uma constante que pode ser calculada de antemão Dando a este termo o símbolo então 7102 O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig 715 Cálculo de ganho para entrada de referência Equação de controle com entrada de referência Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 393 Solução Se substituirmos as matrizes do sistema desse exemplo na equação para os ganhos de entrada Eq 7100 descobrimos que a solução é Com esses valores a expressão para o controle usando Nx e Nu Eq 7101b se reduz a enquanto o uso de Eq 7102 se torna Os diagramas de blocos para os sistemas usando cada uma das equações de controle são apre sentados na Fig 717 Quando se está usando a Eq 7102 como mostrado na Fig 717b é necessário multiplicar a entrada por um ganho K1 exatamente igual ao usado na reali mentação Se esses dois ganhos não forem exatamente iguais haverá um erro em estado esta cionário Por outro lado se usarmos a Eq 7101b como mostrado na Fig 717 a só há um ganho para ser usado na diferença entre a entrada de referência e o primeiro estado e haverá erro em estado estacionário nulo mesmo que este ganho seja ligeiramente errado O sistema da Fig 717a é mais robusto do que o sistema da Figura 717b Com a entrada de referência no lugar o sistema em malha fechada terá entrada r e saída y A partir da descrição em espaço de estados sabemos que os polos do sistema são os autovalores da matriz de malha fechada do sistema F GK Para calcular a resposta transitória em malha fechada é necessário saber onde os zeros de malha fechada da função de transferência de r para y estão Eles podem ser encontrados aplicandose a Eq 767 na descrição em malha fechada a qual assumimos não ter caminho direto da entrada u para a saída y de modo que J 0 Os zeros são valores de s tais que 7105 Podemos usar dois fatos elementares sobre determinantes para simplificar a Eq 7105 Em primeiro lugar se dividirmos a última coluna de que é um escalar então o ponto em que o determinante é zero permanece inalterado O determinante também não é alterado se multipli Figura 716 Resposta ao degrau do oscilador com uma entrada de referência Tempo s 0 1 2 3 4 5 6 7 02 0 02 04 06 08 10 Amplitude x1 x2 u4 uss xss Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 395 761 Polos dominantes de segunda ordem A resposta ao degrau correspondente à função de transferência de segunda ordem com polos complexos com raio ωn e taxa de amortecimento ζ foi discutida no Capítulo 3 O tempo de subi da o sobressinal e o tempo de acomodação podem ser deduzidos diretamente das localizações dos polos Podemos escolher os polos de malha fechada para um sistema de ordem superior como um par desejado de polos dominantes de segunda ordem e selecionando o resto dos polos com partes reais correspondentes aos modos suficientemente amortecidos de forma que o sis tema simule uma resposta de segunda ordem com um esforço de controle razoável Também de vemos nos certificar de que os zeros estejam longe o suficiente no SPE para evitar que tenham qualquer efeito significativo sobre o comportamento de segunda ordem Um sistema com vários modos de vibração em alta frequência levemente amortecidos mais dois corpos rígido modos de baixa frequência está de acordo com esta filosofia Aqui podemos escolher os modos de baixa frequência para alcançar os valores desejados de ωn e ζ e selecionar o resto dos polos para aumentar o amortecimento dos modos de alta frequência mantendo a sua frequência constante a fim de minimizar o esforço de controle Para ilustrar este método de projeto evidentemente precisamos de um sistema com ordem superior a dois vamos usar o servomotor da unidade de fita descrita no Exemplo 711 EXEMPLO 720 Alocação de polos como um sistema de segunda ordem dominante Projete o servomotor da unidade de fita pelo método de polos dominante de segunda ordem tal que o sistema não tenha mais de 5 de sobressinal e que o tempo de subida não seja maior que 4 s Mantenha a tensão de pico o mais baixa possível Solução A partir dos gráficos dos transientes de segunda ordem na Fig 318 um coefi ciente de amortecimento ζ 07 irá cumprir a especificação de sobressinal e para este coefi ciente de amortecimento um tempo de subida de 4 s sugere uma frequência natural de cerca de 115 Há cinco polos no total então os outros três precisam ser posicionados longe e à esquerda do par dominante Para nossos propósitos longe significa que os transientes devido aos polos rápidos devem terminar bem antes dos transientes devido aos polos dominantes e assumimos que um fator de 4 nas respectivas frequências naturais não amortecidas seja adequado A partir destas considerações os polos desejados são dados por 7107 Com estes polos desejados podemos usar a função acker com F e G do Exemplo 711 Eq 770 para encontrar os ganhos de controle 7108 Encontrados com os seguintes comandos no MATLAB F 0 2 0 0 01 35 1 1750 0 0 2 04 4 4 14 00 03 0 0 1 G 00001 pc 707707j707707j44415 K2 ackerFGpc A resposta ao degrau e os gráficos correspondentes à tensão para este e outro projeto a ser discutido na Seção 762 são dadas na Fig 718 e Fig 719 Observe que o tempo de subida é de aproximadamente 4 s e o sobressinal é de cerca de 5 conforme especificado Como o processo de projeto é iterativo os polos selecionados devem ser vistos apenas como um primeiro passo a ser seguido por outras modificações para atender às especificações com precisão se necessário Para este exemplo aconteceu uma seleção adequada para os polos na primeira tentativa Função acker do MATLAB 396 Sistemas de Controle 762 Lugar das raízes simétrico LRS A técnica mais eficaz e amplamente utilizada para projeto de controle de sistemas lineares é o regulador linear quadrático ótimo LQR A versão simplificada do problema LQR é encon trar o controle de tal forma que o índice de desempenho 7109 é minimizado para o sistema 7110a 7110b sendo ρ na Eq 7109 um fator de peso escolhido pelo projetista Um fato notável é que a lei de controle que minimiza é dada por uma realimentação de estados linear 7111 Aqui o valor ótimo de K é o que coloca os polos de malha fechada em raízes estáveis no SPE da equação do lugar das raízes simétrica LRS Kailath 1980 7112 Projeto LQR Lugar das raízes simétrico Figura 719 Gráficos das res postas ao degrau da tensão no servomotor da unidade de fita Tempo ms x3 Posição da fita 12 10 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 12 Polos dominantes de segunda ordem LQR Tempo ms T 0 2 4 6 8 10 12 002 00 002 004 006 008 010 012 Posição da fita Polos dominantes Polos dominantes de segunda ordem de segunda ordem Polos dominantes de segunda ordem LQR Figura 718 Respostas ao de grau dos projetos para o servomo tor da unidade de fita Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 397 sendo G0 a função de transferência de malha aberta de u para z 7113 Note que este é um problema de lugar das raízes discutido no Capítulo 5 com relação ao parâmetro ρ que pesa a relação de erro de rastreamento z2 com o esforço de controle u2 no índice de desempenho da Eq 7109 Note também que s e s afetam a Eq 7112 de forma idêntica e portanto para qualquer raiz s0 da Eq 7112 também haverá uma raiz em s0 Chamamos o lugar das raízes resultante de LRS uma vez que o lugar das raízes no SPE terá imagem refletida no semiplano direito SPD isto é há simetria em relação ao eixo imaginário Podemos assim escolher os melhores polos de malha fechada selecionando primeiro a matriz H1 que define o erro de rastreamento que o projetista deseja manter pequeno e depois escolher ρ que equilibra a importância deste erro de rastreamento com o esforço de controle Observe que a saída escolhida como erro de rastreamento não precisa ser a saída do sensor da planta É por isso que chamamos a saída na Eq 7110 de z e não y Selecionar um conjunto de polos estáveis da solução da Eq 7112 resulta nos polos de malha fechada desejados os quais podemos usar no cálculo de alocação de polos tais como a fórmula de Ackermann Eq 791 para obter K Como em todo lugar das raízes para funções de transferência reais G0 o lugar das raízes também é simétrico em relação ao eixo real assim há simetria em relação a ambos os eixos real e imaginário Podemos escrever a equação do LRS na forma padrão do lugar das raízes 7114 a localização dos polos e zeros é obtida refletindo os polos e zeros de malha aberta da função de transferência a partir de U para Z em todo o eixo imaginário o que dobra o número de polos e zeros e depois esboçando o lugar das raízes Note que o lugar das raízes pode ser de 0 ou de 180 dependendo do sinal de G0sG0s na Eq 7112 Uma maneira rápida de determinar qual tipo de lugar das raízes usar 0 ou 180 é escolher aquele que não tem parte no eixo imaginário A regra de esboço no eixo real do lugar das raízes vai revelar isso imediatamente Considerando a suposiçãode controlabilidade que fizemos mais a suposição de que todos os modos do sistema estão presentes na saída z escolhida o sistema em malha fechada ótimo é garantido como sendo estável portanto nenhuma parte do lugar das raízes pode estar no eixo imaginário EXEMPLO 721 LRS para controle de velocidade de um servomecanismo Trace o LRS para o seguinte sistema de controle de velocidade de servomecanismo com z y 7115a 7115b Solução A equação do LRS Eq 7112 para este exemplo é 7116 Equação LRS Figura 720 LRS para um sistema de primeira ordem Res Ims ρ 0 ρ 0 a a ρ 0 ρ 0 398 Sistemas de Controle O LRS mostrado na Fig 720 é um lugar das raízes de 0 O polo estável ótimo pode ser determinado explicitamente neste caso como 7117 Assim a localização da raiz de malha fechada que minimiza o índice de desempenho da Eq 7109 está no eixo real na distância dada pela Eq 7117 e está sempre à esquerda da raiz de malha aberta EXEMPLO 722 LRS para projeto de controle de atitude de satélite Trace o LRS o sistema do satélite com z y Solução As equações de movimento são 7118 7119 Então calculando das Eqs 7118 e 7119 temos 7120 O lugar das raízes simétrico de 180 é mostrado na Fig 721 Os comandos no MATLAB para gerar o LRS são numGG 1 denGG conv1 0 01 0 0 sysGG tfnumGGdenGG rlocussysGG É interessante notar que os polos de malha fechada estáveis têm coeficiente de amorte cimento de ζ 0707 Poderíamos escolher duas raízes estáveis para um dado valor de ρ por exemplo s 1 j1 para ρ 407 no LRS e usálas para alocação dos polos e no projeto da lei de controle Escolher diferentes valores de ρ pode fornecer posições dos polos que atingem variações na relação entre uma resposta rápida pequenos valores de z2 dt e um esforço controle baixo pe Figura 721 LRS para o satélite ρ 0 Res Ims Ims 1 1 j j Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 399 quenos valores de u2 dt A curva na Figura 722 mostra esta relação de projeto para a planta do satélite integrador duplo Eq718 para vários valores de ρ variando de 001 a 100 A curva tem duas assíntotas linhas tracejadas correspondente a baixa ρ grande e alta ρ pequeno penalidade sobre o uso do controle Na prática geralmente um valor de ρ é escolhido em um ponto próximo ao joelho da curva porque ele fornece um compromisso razoável entre o uso do controle e a velocidade da resposta Para a planta do satélite o valor de ρ 1 corresponde ao joelho da curva Neste caso os polos de malha fechada têm um coeficiente de amortecimento de ζ 0707 A Figura 723 mostra o gráfico de Nyquist associado que tem uma margem de fase PM 65 e margem de ganho infinita Estas excelentes propriedades de estabilidade são características gerais de projetos LQR Também é possível alocar polos ótimos em projetos de sistemas instáveis em malha aberta usando o LRS e o método LQR EXEMPLO 723 LRS para projeto de um pêndulo invertido Trace o LRS para as equações linearizadas do simples pêndulo invertido com ω0 1 Faça a saída z como a soma de duas vezes a posição mais a velocidade assim como o peso para pe nalizar a posição e a velocidade Solução As equações de movimento são 7121 Figura 723 Diagrama de Nyquist para o projeto LQR 25 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 25 ρ 100 ρ 001 ρ 1 z2 dt 0 u2 dt 0 Eixo imaginário 15 15 10 05 0 05 10 25 20 15 10 05 0 05 10 Eixo real Figura 722 Curva de compromisso para o projeto da planta do satélite 400 Sistemas de Controle Para a saída especificada 2 posição velocidade temos o erro de rastreamento 7122 Então a partir das Eqs 7121 e 7122 temos 7123 O lugar das raízes simétrico a 0 é mostrado na Fig 724 Os comandos no MATLAB para gerar o LRS são para ω0 1 numGGconv1 21 2 denGGconv1 0 11 0 1 sysGGtfnumGGdenGG rlocussysGG Para ρ 1 vemos que os polos de malha fechada estão em 136 j0606 corresponden do a K 223 273 Se substituirmos as matrizes do sistema deste exemplo na equação para o ganho de entrada Eq 7100 descobrimos que a solução é Com esses valores a expressão de controle usando Nx e Nu Eq 7101b se reduz a A resposta ao degrau correspondente à posição é mostrada na Fig 725 Como último exemplo desta seção consideramos novamente o servomotor da unidade de fita e apresentamos o projeto LQR usando diretamente o computador para resolver a lei de con trole ótima A partir das Eqs 7109 e 7111 sabemos que a informação necessária para en contrar o controle ótimo é dada pelo sistema de matrizes F G e a matriz de saída H1 A maioria dos pacotes de programas assistidos por computador incluindo o MATLAB usam uma forma mais geral da Eq 7109 7124 Figura 724 LRS para o pêndulo invertido Res Ims 2 3 4 2 3 4 1 2 3 1 2 3 Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 401 A Eq 7124 reduz a forma simples da Eq 7109 se fizermos Q ρH1TH1 e R 1 A solu ção direta para o ganho do controle ótimo é obtido pelo comando no MATLAB 7125 Um método razoável para iniciar a iteração do projeto LQR é sugerido pela regra de Bryson Bryson e Ho 1969 Na prática uma escolha apropriada para obter valores aceitáveis de x e u é inicialmente escolher matrizes diagonais Q e R tais que maior valor aceitável de maior valor aceitável de As matrizes de ponderação são então modificadas durante as iterações subsequentes para conseguir uma relação aceitável entre o desempenho e o esforço de controle EXEMPLO 724 Projeto LQR para uma unidade de fita a Encontre o controle ótimo para a unidade de fita do Exemplo 711 usando a posição x3 como a saída para o índice de desempenho Faça ρ 1 Compare os resultados com os de dominância de segunda ordem obtido antes b Compare o projeto LQR para ρ 01 1 10 Solução a Tudo que precisamos fazer é substituir as matrizes na Eq 7125 formar o sistema reali mentado e traçar a resposta A matriz de índice de desempenho é o escalar R 1 a parte mais difícil do problema é encontrar a matriz de custo do estado Q Com a variável de custo de saída z x3 a matriz de saída do Exemplo 711 é e com ρ 1 a matriz especificada é Função LQR do MATLAB Regra de Bryson Figura 725 Resposta ao degrau para o pêndulo invertido Posição x1 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 45 0 05 1 15 2 25 3 35 4 Tempo s 402 Sistemas de Controle O ganho é dado pelo MATLAB usando os seguintes comandos F0 2 0 0 0 1 35 1 1750 0 0 2 04 4 4 140 03 0 0 1 G0 0 0 0 1 H35 0 5 0 0 R1 rho1 QrhoH3H3 KlqrFGQR O ganho calculado no MATLAB é 7126 Os resultados de um degrau na posição e a tensão correspondente são traçados nas Figs 718 e 719 usando o comando step como as respostas anteriores para comparação Ob viamente há uma vasta gama de escolhas para os elementos de Q e R então uma experiên cia substancial é necessária a fim de usar o método LQR eficientemente b Os projetos LQR podem ser repetidos como no item a com os mesmos Q e R mas com ρ 0110 A Figura 726 mostra uma comparação de um degrau na posição e a tensão cor respondente para os três projetos Como pode ser visto a partir dos resultados os menores valores de ρ correspondem ao maior custo no controle e à resposta mais lenta enquanto que os maiores valores de ρ correspondem ao menor custo no controle e à resposta relativa mente rápida Limitando o comportamento dos polos do regulador LQR É interessante considerar a limitação no comportamento dos polos ótimos de malha fechada em função do parâmetro do lugar das raízes ie ρ embora na prática nenhum dos dois casos fosse usado Caso controle caro ρ 0 a Eq 7109 penaliza principalmente o uso da energia de controle Se o controle é caro então o controle ótimo não move qualquer um dos polos de ma lha aberta exceto para aqueles que estão no SPD Os polos no SPD são simplesmente movidos para suas imagens refletidas no SPE O controle ótimo faz isso para estabilizar o sistema usando o esforço de controle mínimo e não faz nenhuma tentativa para mover qualquer um dos polos do sistema no SPE As localizações dos polos de malha fechada são simplesmente os pontos de partida no LRS no SPE O controle ótimo não acelera a resposta do sistema neste caso Para a planta do satélite a linha vertical tracejada na Fig 722 corresponde ao caso controle caro e ilustra que o uso muito baixo do controle resulta em um erro muito grande em z Caso controle barato ρ neste caso a energia de controle não é restrita e um esforço em controle arbitrário pode ser utilizado pela lei de controle ótimo A lei de contro le então move alguns dos polos em malha fechada para cima dos zeros no SPE O resto é movido para o infinito ao longo das assíntotas do LRS Se o sistema é de fase não mínima alguns dos polos de malha fechada são movidos para as imagens refletidas destes zeros no SPE como mostrado no Exemplo 723 O resto dos polos vai para o infinito com uma carac terística padrão de um polo do filtro de Butterworth como mostrado no Exemplo 722 A lei de controle ótimo fornece o tempo de resposta mais rápido possível consistente com a função de custo LQR A matriz de ganho de realimentação K tornase ilimitada neste caso Para a planta de integrador duplo a linha horizontal tracejada na Fig 722 corresponde ao caso de controle barato Propriedades de robustez do regulador LQR Foi provado Anderson e Moore 1990 que o diagrama de Nyquist para o projeto LQR evita um círculo de raio unitário centrado no ponto 1 como mostrado na Fig 723 Isso leva a extraor Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 403 dinárias propriedades de margens de fase e ganho Podese demonstrar Problema 732 que a diferença deve satisfazer 7127 Vamos reescrever o ganho da malha como a soma de suas partes real e imaginária 7128 A Eq 7127 implica que 7129 o que significa que o diagrama de Nyquist deve realmente evitar um círculo centrado em 1 com raio unitário Isso implica que GM o que significa que a margem de ganho supe rior é GM e a margem de ganho inferior é GM veja também o Problema 624 do Capítulo 6 Assim a matriz de ganho LQR K pode ser multiplicada por um grande escalar ou reduzida pela metade com a estabilidade do sistema em malha fechada garantida A margem de fase PM é pelo menos 60 Essas margens são notáveis e não é realista assumir que podem ser alcançadas na prática por causa da presença de erros de modelagem e falta de sensores Ganho LQR e margens de fase Figura 726 a Resposta ao degrau do servomotor da unidade de fita para os projetos LQR b tensão correspon dente às respostas ao degrau do servo motor da unidade de fita a b Posição da fita x3 0 02 04 06 08 10 12 14 12 0 2 4 6 8 10 Tempo ms 010 025 020 015 010 005 0 005 12 0 2 4 6 8 10 Tempo ms Tensão na unidade de fita T ρ 01 ρ 10 ρ 1 ρ 10 ρ 1 ρ 01 404 Sistemas de Controle 763 Comentários sobre os métodos Os dois métodos de seleção de polos descritos nas Seções 761 e 762 são alternativas que o projetista pode usar para um projeto inicial de alocação de polos Note que o primeiro método dominância de segunda ordem sugere a seleção dos polos de malha fechada sem levar em conta o efeito sobre o esforço de controle necessário para alcançar essa resposta Em alguns casos portanto o esforço de controle resultante pode ser ridiculamente alto O segundo método LRS por outro lado seleciona polos que resultam de algum equilíbrio entre os erros do siste ma e do esforço de controle O projetista pode facilmente examinar a relação entre as variações deste equilíbrio variando ρ e a localização das raízes do sistema o tempo de resposta e os ganhos de realimentação Seja qual for o método inicial de seleção de polos usado algumas al terações são quase sempre necessárias para alcançar o equilíbrio desejado de largura de banda sobressinal sensibilidade esforço de controle e outras especificações de projeto prático Uma visão mais aprofundada sobre a seleção dos polos será adquirida a partir dos exemplos que ilus tram a compensação na Seção 78 e dos estudos de caso no Capítulo 10 77 Projeto de estimador A lei de controle projetada na Seção 75 assume que todas as variáveis de estado estão disponí veis para realimentação Na maioria dos casos nem todas as variáveis de estado são medidas O custo dos sensores necessários pode ser proibitivo ou pode ser fisicamente impossível medir todas as variáveis de estado como por exemplo em uma usina de energia nuclear Nesta se ção vamos demonstrar como reconstruir todas as variáveis de estado de um sistema a partir de algumas medidas Se a estimativa do estado é denotada por seria conveniente se pudéssemos substituir o estado verdadeiro na lei de controle dada pela Eq 7102 pelas estimativas tal que o controle se torne Isso é certamente possível como veremos na Seção 78 então a construção de uma estimativa do estado é uma parte fundamental do projeto de controle no espaço de estados 771 Estimadores de ordem completa Um método de estimativa do estado é construir um modelo de ordem completa da dinâmica da planta 7130 na qual é a estimativa do estado real x Conhecemos F G e ut Assim este estimador será satisfatório se obtivermos a condição inicial correta x0 e definirmos 0 igual a ela A Figura 727 mostra este estimador em malha aberta No entanto a informação de x0 pode não ser precisa para a construção de um estimador Caso contrário o estimador de estados iria rastrear o estado de forma exata Assim se fizermos uma pobre estimativa da condição inicial o estado estimado teria um erro com crescimento constante ou um erro que tende a zero muito lenta mente Além disso pequenos erros no nosso conhecimento do sistema F G também fariam a estimativa divergir do estado verdadeiro Para estudar a dinâmica deste estimador definimos o erro de estimação como 7131 Então a dinâmica desse sistema de erro é dada por 7132 Figura 727 Estimador de malha aberta y u Processo F G H x xˆ Modelo F G H yˆ 406 Sistemas de Controle EXEMPLO 725 Projeto de um estimador para um pêndulo simples Projete um estimador para o pêndulo simples Calcule a matriz de ganho do estimador que vai colocar ambos os polos do erro do estimador em 10ω0 cinco vezes mais rápidos que os polos do controlador selecionado no Exemplo 715 Verifique o resultado usando o MATLAB para ω0 1 Avalie o desempenho do estimador Solução As equações de movimento são 7138a 7138b Pedese que os dois polos do erro do estimador sejam alocados em 10ω0 A equação caracte rística correspondente é 7139 A partir da Eq 7136 temos 7140 Comparando os coeficientes nas Eqs 7139 e 7140 descobrimos que 7141 O resultado pode ser encontrado usando o MATLAB para ω0 1 usando os seguintes comandos wo1 F0 1wowo 0 H1 0 pe10wo10wo LtackerFHpe LLt Isso fornece L 20 99T e está de acordo com os cálculos manuais O desempenho do estimador pode ser testado adicionando a realimentação do estado real na planta e traçando os erros de estimativa Note que essa não é a forma final como o sistema será construído mas essa abordagem fornece um meio de validar o desempenho do estimador Combinando a Eq 771 da planta com realimentação de estados com a Eq 7133 do estima dor com a saída realimentada as seguintes equações gerais do sistema são obtidas 7142 7143 7144 Um diagrama de blocos para essa configuração é desenhado na Fig 729 A resposta deste sistema em malha fechada com ω0 1 para uma condição inicial x0 10 00T e 0 0 0T é mostrada na Fig 730 em que K é obtido a partir Exemplo 715 e L vem da Eq 7141 A resposta pode ser obtida usando as funções impulse ou initial no MATLAB Note que as estimativas de estado convergem para o valor real das variáveis de Funções impulse e initial do MATLAB Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 409 7149 sendo a matriz de observabilidade dada na Eq 7148 Dualidade A partir dessa discussão a semelhança considerável entre os problemas de controle e estima ção já deve ter sido notada Na verdade os dois problemas são matematicamente equivalentes Essa propriedade é chamada de dualidade A Tabela 71 mostra as relações de dualidade entre os problemas de controle e estimação Por exemplo a fórmula de Ackermann para controle Eq 791 transformase na fórmula do estimador Eq 7149 se fizermos as substituições dadas na Tabela 71 Podemos demonstrar isso diretamente usando álgebra matricial O problema de controle é selecionar a matriz linha K para a alocação satisfatória dos polos da matriz do sistema F GK o problema de estimação é selecionar a matriz coluna L para a alocação satisfatória dos polos de F LH No entanto os polos de F LH são iguais aos polos de F LHT FT HTLT e dessa forma a álgebra do projeto de LT é idêntica à de K Portan to onde usamos a fórmula de Ackermann ou o algoritmo de alocação nas formas para o problema de controle temos com pe sendo um vetor contendo os polos desejados para a dinâmica de erro do estimador Assim a dualidade nos permite usar as mesmas ferramentas de projeto para problemas de estimação e para o problema de controle com as devidas substituições As duas formas canôni cas também são duais como podemos ver comparando as triplas Fc Gc Hc e Fo Go Ho 772 Estimadores de ordem reduzida O método de projeto de estimador descrito na Seção 771 reconstrói o vetor de estado inteiro usando medições de algumas das variáveis de estado Se os sensores não têm ruído então um estimador de ordem completa contém redundâncias e parece razoável questionar a necessidade de estimar as variáveis de estado que são medidas diretamente Podemos reduzir a complexi dade do estimador usando as variáveis de estado que são medidas diretamente e exatamente Sim No entanto é melhor implementar um estimador de ordem completa se houver ruído sig nificativo nas medições porque além de estimar variáveis de estado não medidas o estimador filtra as medições O estimador de ordem reduzida reduz a ordem do estimador pelo número de saídas me didas 1 neste texto Para projetar este estimador começamos com a suposição de que a saída Dualidade entre controle e estimação Funções acker place do MATLAB TABELA 71 Dualidade Controle Estimação F FF G HT H GT 410 Sistemas de Controle é igual ao primeiro estado por exemplo y xa Se isso não for verdade um passo preliminar é necessário Transformar para a forma observável é possível mas é um exagero qualquer transformação não singular com H na primeira linha é suficiente Agora o vetor de estado é particionado em duas partes xa que é medido diretamente e xb que representa o restante das variáveis de estado que precisam ser estimadas Se particionarmos as matrizes do sistema ade quadamente a descrição completa do sistema é dada por 7150a 7150b As dinâmicas das variáveis de estado não medidas são dadas por entrada conhecida 7151 onde os dois termos mais à direita são conhecidos e podem ser considerados como uma entrada na dinâmica de b Como a y a dinâmica medida é dada pela equação escalar 7152 Se agruparmos os termos conhecidos da Eq 7152 em um lado temos medidas conhecidas 7153 obtendo uma relação entre as quantidades conhecidas do lado esquerdo que consideramos como as medições e as variáveis de estado desconhecidas à direita Portanto as Eqs 7152 e 7153 têm a mesma relação com o estado xb que a equação original Eq 7150b tinha com todo o estado x Seguindo essa linha de raciocínio podemos estabelecer as seguintes substitui ções nas equações de estimativa original para obter um estimador ordem reduzida de xb 7154a 7154b 7154c 7154d 7154e Portanto as equações do estimador de ordem reduzida são obtidas substituindo as Eqs 7154 no estimador de ordem completa Eq 7133 entrada medições 7155 Se definirmos o erro de estimação como 7156 então as dinâmicas do erro são dadas subtraindo a Eq 7151 da Eq 7155 7157 e sua equação característica é dada por 7158 412 Sistemas de Controle A equação do estimador a partir da Eq 7161 é e o estado estimado a partir da Eq 7160 é Usamos a lei de controle dada nos exemplos anteriores A resposta do estimador para a con dição inicial da planta x0 1 0 T e para condição inicial do estimador xc0 0 é mostrada na Fig 733 para ω0 1 A resposta pode ser obtida usando as funções impulse ou initial no MATLAB Observe a semelhança da resposta devido à condição inicial do estimador de ordem completa na Fig 730 Os ganhos do estimador de ordem reduzida podem ser encontrados usando o MATLAB As condições para a existência do estimador de ordem reduzida são as mesmas do estima dor de ordem completa ou seja observabilidade de F G 773 Seleção dos polos do estimador Podemos basear a seleção das localizações dos polos do estimador nas técnicas discutidas na Seção 76 para o caso dos polos do controlador Como regra geral os polos do estimador podem ser selecionados para serem mais rápidos que os polos do controlador por um fator de 2 a 6 Isso garante uma rápida deterioração do erro do estimador em comparação com a dinâ mica desejada fazendo assim com que os polos do controlador dominem a resposta total Se o ruído no sensor é suficientemente grande para ser uma grande preocupação podemos es colher os polos do estimador para serem duas vezes mais lentos que os polos do controlador o que produziria um sistema com largura de banda menor e maior atenuação do ruído No entanto podemos esperar que neste caso a resposta total do sistema seja fortemente influen ciada pela localização dos polos do estimador Se os polos do estimador são mais lentos que os polos do controlador seria de se esperar que a resposta do sistema às perturbações fosse dominada pelas características dinâmicas do estimador e não pelas que foram selecionadas pela lei de controle Funções impulse initial do MATLAB Regra geral para a seleção dos polos do estimador Figura 733 Resposta à condi ção inicial do estimador de ordem reduzida Tempo s 10 Amplitude 0 05 10 15 20 25 30 35 40 8 6 4 2 0 2 x2 x2 x1 ˆ Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 413 Em comparação com a seleção de polos do controlador a seleção de polos do estimador requere que nos preocupemos com uma relação muito diferente do que o esforço de controle Como no controlador há um termo de realimentação no estimador que cresce em magnitude quando aumenta a velocidade solicitada da resposta No entanto o crescimento da magnitude da realimentação na forma de um sinal eletrônico ou de uma palavra digital em um computa dor não causa nenhuma dificuldade especial No controlador aumentar a velocidade da resposta aumenta o esforço de controle o que implica no uso de um atuador maior que por sua vez aumenta tamanho peso e custo A impor tante consequência do aumento da velocidade da resposta de um estimador é que a largura de banda do estimador tornase maior fazendo com que mais ruído no sensor passe para o atuador de controle Claro que se F H não são observáveis então nenhuma quantidade de ganho do estimador pode produzir uma estimativa razoável do estado Assim como no projeto do contro lador o melhor projeto de estimador é um equilíbrio entre a boa resposta transitória e uma lar gura de banda baixa o suficiente para que o ruído no sensor não prejudique significativamente a ação do atuador Tanto a dominância de segunda ordem e as ideias sobre protótipo da equação característica podem ser usadas para satisfazer a estas especificações Há também um resultado para o projeto dos ganhos do estimador baseado no LRS Na teoria de estimação ideal a melhor escolha para os ganhos do estimador é dependente da razão entre a intensidade do ruído no sensor v e a intensidade do ruído do processo perturbação w na Eq 7163 Isso é melhor compreendido reexaminando a equação do estimador 7162 para ver como isso interage com o sistema quando o ruído de processo w está presente A planta com ruído de processo é descrita por 7163 e a equação de medição com ruído no sensor v é dada por 7164 A equação do erro do estimador com estas entradas adicionais é encontrada diretamente sub traindo a Eq 7162 da Eq 7163 e substituindo a Eq 7164 por y 7165 Na Eq 7165 o ruído no sensor é multiplicado por L Se L for muito pequeno então o efeito do ruído no sensor é removido mas a resposta dinâmica do estimador será lenta de modo que o erro não rejeite muito bem os efeitos de w O estado de um estimador de baixo ganho não irá rastrear as entradas de uma planta incerta muito bem Esses resultados podem com algum sucesso ser aplicados também a erros no modelo por exemplo erros em F ou G Esses erros de modelagem irão adicionar termos na Eq 7165 e agirão como um ruído adicional no processo Por outro lado se L é grande então a resposta do estimador será rápida e o ruído de perturbação ou de processo será rejeitado mas o ruído no sensor multiplicado por L resultará em grandes erros Claramente um equilíbrio entre estes dois efeitos é necessário A solução ideal para esse equilíbrio pode ser encontrada com suposições razoáveis resolvendo uma equação do LRS para o estimador que é muito semelhante à formulação para o controle ótimo Eq 7112 A equação do LRS para o estimador é 7166 sendo q a razão entre a intensidade da entrada de distúrbio e a intensidade do ruído no sensor e Ge a função de transferência do ruído de processo para a saída do sensor dada por 7167 Note a partir das Eqs 7112 e 7166 que Ges é semelhante a G0s No entanto uma comparação das Eqs 7113 e 7167 mostra que Ges tem a matriz de entrada G1 em vez de Ruído de processo Ruído no sensor Equação do LRS para o estimador 414 Sistemas de Controle G e que G0 é a função de transferência da entrada de controle u para a saída de custo z e tem a matriz de saída H1 vez de H O uso da equação do LRS do estimador Eq 7166 é idêntico ao uso do LRS do con trolador Um lugar das raízes com respeito a q é gerado obtendo conjuntos de polos ideais do estimador correspondendo mais ou menos à relação entre a intensidade do ruído de processo e a intensidade do ruído no sensor O projetista então escolhe o conjunto de polos estáveis que lhe parece melhor considerando todos os aspectos do problema Uma importante vantagem de usar a técnica LRS é que após a matriz de entrada de ruído no processo G1 ser selecionada a arbitrariedade é reduzida a um grau de liberdade a seleção q em vez de aos muitos graus de liberdade necessários para selecionar os polos diretamente em um sistema de ordem superior Um comentário final diz respeito ao estimador de ordem reduzida Devido à presença de um termo de transmissão direta de y para xb através de L veja Fig 732 o estimador de ordem reduzida tem uma largura de banda do sensor para o controlador muito maior do que o estima dor de ordem completa Portanto se o ruído no sensor é um fator significativo o estimador de ordem reduzida é menos atraente pois a potencial simplicidade em termos de complexidade é menos relevante que o aumento da sensibilidade ao ruído EXEMPLO 727 LRS para o projeto de um estimador para pêndulo simples Desenhe o LRS do estimador para as equações linearizadas do pêndulo invertido simples com ω0 1 Selecione a saída como o ruído de medição da posição com razão de intensidade q Solução São dadas as equações do sistema Então calculando a partir da Eq 7167 que O lugar das raízes simétrico de 180º é mostrado na Fig 734 Os comandos no MATLAB para gerar o LRS são para ω0 1 numGG1 denGGconv1 0 11 0 1 sysGGtfnumGGdenGG rlocussysGG 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Eixo imaginário 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Eixo real q 0 q 0 Figura 734 Lugar das raízes simétrico para o projeto de um estimador para o pêndulo invertido Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 415 Poderíamos escolher duas raízes estáveis para um dado valor de q por exemplo s 3 j318 para q 365 e usálas para a alocação de polos do estimador 78 Projeto do compensador lei de controle e estimador combinados Se combinarmos o projeto da lei de controle descrito na Seção 75 com o projeto do estimator descrito na Seção 77 e implementarmos a lei de controle usando as variáveis de estado estima das o projeto de um regulador que é capaz de rejeitar distúrbios está completo mas não tem entrada de referência a ser seguida No entanto devido ao fato de a lei de controle ser projetada para realimentar o estado real e não o estimado preocupamonos com o efeito de usar no lugar do x na dinâmica do sistema Nesta seção vamos calcular esse efeito Ao fazêlo vamos calcular a equação característica de malha aberta e de malha fechada da função de transferência do compensador Vamos usar esses resultados para comparar os projetos em espaço de estados com os projetos baseados no lugar das raízes e na resposta em frequência Agora a equação da planta com realimentação é 7168 a qual pode ser reescrita em termos do estado de erro como 7169 A dinâmica total do sistema na forma de espaço de estados é obtida pela combinação da Eq 7169 com o erro de estimativa Eq 7135 obtendo 7170 A equação característica desse sistema em malha fechada é 7171 Como a matriz é um bloco triangular veja o Apêndice WE disponível em inglês no site do Grupo A podemos reescrever a Eq 7171 como 7172 Em outras palavras o conjunto de polos do sistema combinado consiste na união dos polos do controlador e dos polos do estimador Isso significa que os projetos da lei de controle e do estimador podem ser realizados de forma independente todavia quando eles são utilizados em conjunto desta forma os polos se mantêm inalterados9 Para comparar o método de projeto em variáveis de estado com os métodos de transforma das discutidos nos Capítulos 5 e 6 note a partir da Fig 735 que a parte sombreada em azul corresponde ao compensador A equação de estado para este compensador é obtida incluindo a lei de controle porque ela é parte do compensador no estimador Eq 7133 obtendo 7173a 7173b 9 Este é um caso especial do princípio da separação Gunckel e Franklin 1963 que se detém a contextos muito mais genéricos e nos permite obter um projeto global ótimo combinando os projetos separados da lei de controle e do esti mador em certos casos estocásticos Regulador Polos de combinação entre lei de controle e estimador 416 Sistemas de Controle Note que a Eq 7173a tem a mesma estrutura da Eq 721a repetida aqui 7174 Devido ao fato de a equação característica da Eq 721a ser 7175 a equação característica do compensador é encontrada comparando as Eqs 7173a e 7174 e substituindo as matrizes equivalentes na Eq 7175 obtendo 7176 Note que nunca especificamos as raízes da Eq 7176 nem a utilizamos em nossa discussão sobre a técnica de projeto no espaço de estados Note também que o compensador não é garan tido como sendo estável as raízes da Eq 7176 podem estar no SPD A função de transferên cia de y para u representando o compensador dinâmico é obtida inspecionando a Eq 748 e substituindo nas matrizes correspondentes da Eq 7173 7177 O mesmo desenvolvimento pode ser utilizado para o estimador de ordem reduzida Aqui a lei de controle é 7178 Substituindo a Eq 7178 na Eq 7174 usando a Eq 7161 e um pouco de álgebra obtemos 7179a 7179b sendo 7180a 7180b 7180c 7180d A dinâmica do compensador agora tem a função de transferência 7181 Quando calculamos Dcs ou Dcrs para um caso específico vemos que eles são muito se melhantes aos compensadores clássicos dados nos Capítulos 5 e 6 apesar do fato de que são conseguidos por meios completamente diferentes Função de transferência do compensador Função de transferência do compensador de ordem reduzida Figura 735 Esquematização do estima dor e do controlador Lei de controle Planta yt Compensador ut xt xt H υ w Sensor ut x Fx Gu K ˆ Estimador x Fx Gu Ly Hx ˆ ˆ ˆ Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 417 EXEMPLO 728 Projeto do compensador de ordem completa para o controle de atitude do satélite Projete um compensador usando alocação de polos para a planta de satélite com função de transferência 1s2 Aloque os polos do controlador em s 0707 0707j ωn 1 rads ζ 0707 e aloque os polos do estimador em ωn 5 rads ζ 05 Solução A descrição em variáveis de estado dada pela função de transferência Gs 1s2 é Se alocarmos as raízes do controlador em s 0707 0707j ωn 1 rads ζ 07 então 7182 A partir de K placeFGpc o ganho de realimentação de estados é encontrado Se as raízes do erro do estimador estão em ωn 5 rads e ζ 05 então o polinômio caracte rístico do estimador desejado é 7183 e a partir de Lt placeFHpe a matriz de ganhos de realimentação do estimador é encon trada A função de transferência do compensador dada pela Eq 7177 é 7184 que se parece muito com um compensador de avanço já que ela tem um zero no eixo real à direita de seus polos no entanto ao invés de um polo real a Eq 7184 tem dois polos comple xos O zero fornece um termo derivativo na realimentação com avanço de fase e os dois polos fornecem alguma suavização do ruído no sensor O efeito da compensação nos polos de malha fechada do sistema pode ser avaliada exata mente da mesma forma que avaliamos a compensação nos Capítulos 5 e 6 utilizando as ferra mentas lugar das raízes ou resposta em frequência O ganho de 404 na Eq 7184 é resultado da seleção dos polos inerentes nas Eqs 7182 e 7183 Se substituirmos este valor específico de ganho do compensador na variável K então a equação característica do sistema em malha fechada mais o compensador tornase 7185 A técnica do lugar das raízes nos permite avaliar as raízes desta equação com relação a K como mostrado na Fig 736 Note que o lugar das raízes passa pelas raízes selecionadas para as Eqs 7182 e 7183 e quando K 404 as quatro raízes do sistema em malha fechada são iguais às especificadas Os gráficos da resposta em frequência dados na Fig 737 mostram que a compensação projetada usando espaço de estados chega aos mesmos resultados que poderiam ser alcançados usando o projeto baseado na resposta em frequência Especificamente a margem de fase não compensada de 0 aumenta para 53 no caso compensado e o ganho K 404 produz uma fre quência de cruzamento ωc 135 rads Ambos os valores são aproximadamente consistentes Resultados idênticos dos métodos de projeto espaço de estados e resposta em frequência 418 Sistemas de Controle com as raízes do controlador em malha fechada com ωn 1 rads e ζ 07 como era de se esperar porque esses polos lentos do controlador são dominantes na resposta do sistema sobre os polos rápidos do estimador Agora consideramos um estimador de ordem reduzida para o mesmo sistema EXEMPLO 729 Projeto do compensador de ordem reduzida para o controle de atitude de um satélite Repita o projeto para a plando do satélite 1s2 mas use um estimador de ordem reduzida Alo que os polos em 5 rads Figura 736 Lugar das raízes da combinação do controla dor com o estimador com o ganho do processo como parâ metro Res Ims 2 4 6 8 6 4 2 2 4 6 K 404 K 404 ω rads 01 1 10 100 01 1 10 100 002 004 02 04 06 2 4 6 20 40 60 Compensado Não compensado 100 10 1 01 001 120 150 180 210 240 270 Fase Magnitude 53 40 20 0 20 ω rads db Figura 737 Resposta em frequên cia para Gs 1s2 420 Sistemas de Controle Usando a descrição em estado na forma canônica observável aloque os polos do controlador nas localizações pc 142 104 214j e os polos do estimador de ordem completa em pe 425 313 641j Solução Um diagrama de blocos desse sistema na forma canônica observável é mostrado na Fig 741 As matrizes em espaço de estado correspondentes são Os polos desejados são Calculando os ganhos de realimentação de estados usando K FGpc Os polos do erro de estimação estão em Calculando os ganhos do estimador como LtplaceFHpe LLt A função de transferência do compensador dada pelas substituições na Eq 7177 é 01 1 10 100 002 004 02 04 06 2 4 6 20 40 60 01 1 10 100 ω rads ω rads 55 Compensado Não compensado 100 10 1 01 001 120 150 180 210 Fase Magnitude 40 20 0 20 db 8 Figura 740 Resposta em frequência para Gs 1s2 com o estimador de ordem reduzida 422 Sistemas de Controle Solução O estimador de ordem reduzida corresponde a Depois do particionamento temos Encontrando o polinômio característico do erro temos usando place que A função de transferência do compensador dada pela Eq 7181 é obtida como O lugar das raízes associado a esse sistema é mostrado na Fig 743 Note que dessa vez temos um compensador estável mas de fase não mínima e um lugar das raízes zero grau A parte do lugar das raízes no SPD não vai causar dificuldades porque o ganho tem que ser selecionado para manter todos os polos de malha fechada no SPE Como um passo seguinte de projeto para esse sistema tentamos um projeto com o LRS EXEMPLO 732 Reprojeto do compensador do servo CC usando o LRS Projete um compensador para o sistema de servo CC no Exemplo 730 usando a alocação dos polos baseada no LRS Para a lei de controle escolha a saída de custo z igual à saída da planta para o projeto do estimador suponha que o ruído do processo entre no mesmo lugar que o sinal de controle do sistema Selecione as raízes para que a largura de banda do controle seja cerca de 25 rads e escolha as raízes do estimador para uma largura de banda cerca de 25 vezes mais rápida de a largura de banda do controlador 63 rads Obtenha um controlador discreto equi valente com um período de amostragem Ts 01 s 10 vezes o polo mais rápido e compare as saídas do controle contínuo e digital e os esforços de controle Compensador de fase não mínima Figura 743 Lugar das raízes para o controlador de ordem reduzida do servo CC Res Ims 1 1 1 3 3 4 5 6 2 3 2 1 7 6 5 4 8 4 5 Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 423 Solução Devido ao fato de o problema especificar que G1 G e H1 H então o LRS é o mesmo para o controle e para o estimador por isso precisamos gerar apenas um lugar das raízes com base na função de transferência da planta O LRS para o sistema é mostrado na Fig 744 Do lugar das raízes selecionamos 2 156j e 804 como os polos desejados de controle pc 2156j2156j804 e 449j e 9169 pe449j449j9169 como os polos desejados do estimador O ganho de realimentação de estados é K placeFGpc ou e o ganho do estimador é Lt placeFHpe L Lt ou Note que os ganhos de realimentação são muito menores que antes A função de transferência do compensador resultante computada da Eq 7177 é Agora pegamos esse compensador colocamos ele em série com a planta e usamos o ganho do compensador como o parâmetro O lugar das raízes elementar resultante do sistema em malha fechada é mostrado na Fig 745 Quando o ganho do lugar das raízes é igual ao ganho nominal de 945 as raízes estão nas localizações de malha fechada selecionadas a partir do LRS como deveria ser Note que o compensador agora é estável e de fase mínima Isso melhorou o projeto em grande parte porque o polo da planta em s 8 é praticamente inalterado pelo controlador e pelo estima dor Ele não precisa ser alterado para um bom desempenho na verdade a única característica que necessita de reparação no Gs original é o polo em s 0 Usando a técnica do LRS descobrimos essencialmente que para o melhor uso do esforço de controle devese mudar os dois polos de baixa frequência em s 0 e 2 e manter praticamente inalterado o polo em s 8 Como resultado os ganhos do controlador são muito mais baixos e o projeto do compensador é menos radical Este exemplo ilustra por que o projeto LQR é normalmente preferível do que a alocação de polos O equivalente discreto para o controlador é obtido a partir do MATLAB com o comando c2d como o seguinte código nc945conv1 7981 252 numerador do controlador dcconv1 856 5953481 106 denominador do controlador sysDctfncdc descrição do controlador ts01 tempo de amostragem de 01 s sysDdc2dsysDctszoh conversão do controlador para forma discreta O controle resultante tem a função de transferência discreta Controlador discreto Figura 744 Lugar das raízes simétrico Res Ims 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 9 Polos do controlador Polos do estimador 424 Sistemas de Controle A equação da lei de controle com o período de amostragem suprimido para fins de simplici dade é Um diagrama no SIMULINK para simulação de ambos os sistemas contínuo e discreto é mostrado na Fig 746 A comparação das respostas ao degrau contínua e discreta e o sinal de controle é mostrada na Fig 747 Uma concordância melhor entre as duas respostas pode ser obtida se o período de amostragem for reduzido Baseado no conhecimento adquirido a partir do Exemplo 732 vamos voltar com uma seleção de polos melhor para investigar o uso da alocação de polos neste exemplo Inicialmente foram utilizadas localizações de terceira ordem que produziram três polos com frequência natural de cerca de 2 rads Este projeto moveu o polo em s 8 para s 14 assim violando o princí pio de que os polos de malha aberta não devem ser movidos a menos que sejam um problema Simulação no SIMULINK Figura 745 Lugar das raízes para a especi ficação dos polos a partir do LRS Res Ims 1 1 1 2 3 4 6 7 2 3 4 7 6 2 2 4 6 10 Polos do controlador Polos do estimador Degrau Mux Controle s3 1916s2 15027s 63106 945s2 99225s 19003572 Controlador contínuo s3 10s2 16s 10 Planta s3 10s2 16s 10 Planta 1 z3 13905z2 07866z 01472 59157z2 72445z 20782 Controlador discreto Mux1 Saída Figura 746 Diagrama de blocos no SIMULINK para comparar os controladores contínuo e discreto Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 425 Agora vamos tentar novamente desta vez usando localizações dominantes de segunda ordem para deslocar os polos lentos e deixando o polo rápido sozinho em s 8 EXEMPLO 733 Reprojeto do servo CC com localização dominante de segunda ordem para os polos Projete um compensador para o sistema do servo CC do Exemplo 730 usando alocação de polos com os polos do controle dados por e os polos do estimador dados por Solução Com essas localizações para os polos descobrimos que a especificação do ganho de realimentação é usando K placeFGpc a qual tem uma magnitude menor do que o caso onde o polo em s 8 foi movido Figura 747 Comparação das respostas ao degrau e sinais de controle para os controladores contínuo e discreto a res posta ao degrau b sinais de controle a b y 0 02 04 06 08 10 12 14 5 0 1 2 3 4 Tempo s Controlador contínuo Controlador digital 5 1 2 3 4 7 2 1 5 6 4 1 3 2 0 0 Tempo s u Controlador contínuo Controlador digital 426 Sistemas de Controle O ganho do estimador é encontrado como usando Lt placeFHpe L Lt A função de transferência do compensador é que é estável e de fase não mínima Esse exemplo ilustra o valor da seleção criteriosa do polo e da técnica do LRS A seleção inicial pobre dos polos resultou em um grande esforço de controle e em um com pensador instável Estas características indesejáveis são eliminadas usando o LRS ou LQR ou selecionando melhor os polos No entanto nós realmente precisamos usar o LRS para orientar a seleção adequada dos polos Em suma o LRS ou LQR é o método de escolha Como se pôde ver a partir de alguns exemplos anteriores temos mostrado o uso do projeto ideal por meio do LRS No entanto é mais comum na prática pular essa etapa e usar o LQR diretamente 79 Introdução da entrada de referência com o estimador O controlador obtido pela combinação da lei de controle estudada na Seção 75 com o estima dor discutido na Seção 78 é essencialmente um projeto de regulador Isso significa que as equações características do controle e do estimador são escolhidas para boa rejeição à pertur bação isto é para fornecer transitórios satisfatórios para distúrbios como wt No entanto essa abordagem de projeto não considera uma entrada de referência nem prevê rastreamento de comando o que é evidenciado por uma boa resposta transitória do sistema combinado às mudanças de comando Em geral boa rejeição à perturbação e bom rastreamento de comando precisam ser levados em conta na concepção de um sistema de controle O bom rastreamento de comando é feito através da introdução correta da entrada de referência nas equações do sistema Vamos repetir as equações da planta e do controlador para o estimador de ordem completa o caso de ordem reduzida é o mesmo em termos de conceito diferindo apenas em detalhes Planta 7186a 7186b Controlador 7187a 7187b A Figura 748 mostra duas possibilidades para introduzir o comando de entrada r no sistema Essa figura ilustra a questão geral de saber se a compensação deve ser colocada na realimenta ção ou no ramo direto A resposta do sistema para entradas de comando é diferente dependendo da configuração porque os zeros das funções de transferência são diferentes Os polos de malha fechada são idênticos no entanto o que pode ser facilmente verificado fazendo r 0 e notando então que os sistemas são idênticos A diferença nas respostas das duas configurações pode ser vista com bastante facilidade Considere o efeito de um degrau na entrada r Na Fig 748a o degrau vai excitar o estimador exatamente da mesma forma que excita a planta assim o erro do estimador permanecerá zero durante e após o degrau Isso significa que a dinâmica do estimador não é excitada com a en trada de comando então a função de transferência de r para y deve ter zeros nas localizações dos polos do estimador para cancelar esses polos Como resultado um comando em degrau irá Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 429 7191a 7191b que corresponde à configuração na Fig 749b O efeito líquido desta escolha é que o controle é calculado a partir do ganho de realimentação e da entrada de referência antes dela ser aplicada e então o mesmo controle é a entrada da planta e do estimador Nesta forma se o controle da planta está sujeito à saturação como mostrado pela inclusão da não linearidade de saturação na Fig 749b e discutido no Capítulo 9 os mesmos limites de controle podem ser aplicados na Eq 7191 para o controle entrar na equação da estimativa de e a não linearidade desaparece da equação de Este comportamento é essencial para o desempenho adequado do estimador O diagrama de blocos correspondente a esta técnica é mostrado na Fig 749b Vamos voltar à seleção do fator de ganho na entrada de referência na Seção 792 após discutir os outros dois métodos de seleção de M CASO 2 A segunda abordagem sugerida anteriormente é usar o erro de rastreamento Esta solução é algumas vezes forçada pelo projeto de controle quando o sensor mede apenas a saída de erro Por exemplo em muitos termostatos a saída é a diferença entre a temperatura a ser con trolada e a temperatura de referência e não há indicação absoluta da temperatura de referência disponível para o controlador Além disso alguns sistemas de rastreamento de radar têm uma leitura que é proporcional ao erro apontado e este sinal de erro só deve ser usado para controle realimentado Nestas situações devemos selecionar M e de modo que as Eqs 7188 sejam governadas apenas pelo erro Este requisito é satisfeito se selecionarmos 7192 Então a equação do estimador é 7193 O compensador neste caso para projetos de baixa ordem é um compensador de avanço padrão no ramo direto Como vimos em capítulos anteriores este projeto pode ter uma quantidade con siderável de sobressinal devido ao zero do compensador Este projeto corresponde exatamente aos compensadores projetados pelos métodos de transformadas dados nos Capítulos 5 e 6 CASO 3 O terceiro método de seleção de M e é escolher os valores de forma a atribuir os zeros do sistema em localizações arbitrárias de escolha do projetista Este método fornece ao projetista o máximo de flexibilidade para satisfazer às restrições de ganho de resposta transitória e de regime permanente Os outros dois métodos são casos especiais deste terceiro método Todos os três métodos dependem dos zeros Como vimos na Seção 752 quando não há estimador e a entrada de referência é adicionada ao controle os zeros de malha fechada do sistema permanecem fixos como os zeros da planta em malha aberta Vamos agora examinar o que acontece com os zeros quando um estimador está presente Para fazer isso reconsideramos o controlador das Eqs 7188 Se existe um zero de transmissão de r para u então existe neces sariamente um zero de transmissão de r para y a menos que haja um polo no mesmo local do zero Portanto é suficiente tratar o controlador sozinho para determinar o efeito que as escolhas de M e terão sobre os zeros do sistema As equações para um zero de r para u a partir das Eqs 7188 são dadas por 7194 Fazemos y 0 porque nos preocupamos apenas com o efeito do r Se dividimos a última coluna por um escalar diferente de zero e então adicionamos ao restante o produto de K vezes a última coluna descobrimos que os zeros são os valores de s tais que 430 Sistemas de Controle ou 7195 Agora a Eq 7195 está exatamente na forma da Eq 7136 para a seleção de L fornecer as localizações desejadas para os polos do estimador Aqui nós temos de selecionar para um polinômio do zero desejado γs na função de transferência da entrada de referência para o controle Assim a seleção de M fornece uma quantidade substancial de liberdade para influen ciar a resposta transitória Podemos acrescentar um polinômio de nésima ordem para a função de transferência de r para u e portanto de r para y ou seja podemos atribuir n zeros além de todos os polos que foram atribuídos anteriormente Se as raízes de γs não são canceladas pelos polos do sistema então eles serão incluídos nos zeros de transmissão de r para y Duas considerações podem nos guiar na escolha do isto é na localização dos zeros A primeira é a resposta dinâmica Vimos no Capítulo 3 que os zeros influenciam a resposta transitó ria significativamente e as orientações heurísticas dadas podem sugerir localizações úteis para os zeros disponíveis A segunda consideração que conectará o projeto no espaço de estados a outro resultado das técnicas de transformadas é o erro em estado estacionário ou as constantes de erro de velocidade No Capítulo 4 obtevese a relação entre a precisão em estado estacionário de um sis tema de Tipo 1 e dos polos e zeros de malha fechada Se o sistema é do Tipo 1 então o erro em es tado estacionário para uma entrada em degrau será zero e para uma entrada em rampa unitária será 7196 sendo Kv a constante de velocidade Além disso foi demonstrado que se os polos de malha fe chada estão em pi e os zeros de malha fechada estão em zi então para um sistema do Tipo 1 a fórmula de Truxal fornece 7197 A Eq 7197 constitui a base para uma seleção parcial de γs e portanto de M e A escolha é baseada em duas observações 1 Se zi pi l 1 então o efeito deste par polozero na resposta dinâmica será pequeno por que o polo quase é cancelado pelo zero e qualquer transitório do resíduo do polo em pi será muito pequeno 2 Mesmo que zi pi seja pequeno é possível que 1zi 1pi seja substancial e portanto tenha uma influência significativa em Kv de acordo com a Eq 7197 A aplicação dessas duas diretrizes para a seleção de γs e portanto M e resulta no projeto de uma rede de atraso Ilustramos isso com um exemplo EXEMPLO 734 Aumento da constante de velocidade por meio da alocação do zero Considere o sistema de segunda ordem de um servomecanismo descrito por e com a descrição em espaço de estados Projete um controlador usando alocação de polos de modo que ambos os polos estejam em s 2 e o sistema tenha uma constante de velocidade Kv 10 Obtenha um controlador discreto equivalente com período de amostragem Ts 01 s 20 ωn 20 005 01 s e compare as saídas dos controles contínuo e digital bem como os esforços de controle Fórmula de Truxal Compensação de atraso por um método de espaço de estados Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 431 Solução Para este problema o ganho de realimentação de estados é que resulta nos polos de controle desejados No entanto com este ganho Kv 2 e precisamos Kv 10 Qual será o efeito neste projeto se usarmos estimadores projetados de acordo com os três métodos para a seleção de M e Usando a primeira estratégia o estimador autônomo descobrimos que o valor de Kv não muda Se usarmos o segundo método controle de erro introduzimos um zero em uma localização desconhecida de antemão e o efeito sobre Kv não estará sob controle direto do projeto No entanto se usarmos a terceira opção alocação de zero juntamente com a fórmula de Truxal Eq 7197 podemos satisfazer à resposta dinâmica e às exigências de estado estacionário Primeiro devemos selecionar o polo p3 e o zero z3 do estimador para satisfazer à Eq 7197 para Kv 10 Queremos manter z3 p3 pequeno de modo que haja pouco efeito sobre a resposta dinâmica e ainda se mantenha 1z3 1p3 grande o suficiente para aumentar o valor de Kv Para fazer isso arbitrariamente fazemos p3 pequeno comparado com as dinâmicas de controle Por exemplo fazemos Observe que essa abordagem é oposta à filosofia comum de projeto de estimador na qual a exigência é a resposta rápida Agora usando a Eq 7197 temos onde p1 2 2j p2 2 2j e p3 01 resolvemos para z3 tal que Kv 10 obtendo ou Assim projetamos um estimador de ordem reduzida para ter um polo em 01 e escolhemos tal que γs tenha um zero em 0096 Um diagrama de blocos do sistema resultante é mostrado na Fig 750a Você pode facilmente verificar que este sistema tem a função de transferência global 7198 para a qual Kv 10 como especificado A compensação mostrada na Fig 750a não é clássica no sentido de que ela tem duas en tradas e e y e uma saída Se resolvermos as equações para fornecer compensação de erro puro encontrando a função de transferência de e e u o que daria a Eq 7198 obteríamos o sistema mostrado na Fig 750b Isso pode ser visto da seguinte forma As equações relevantes do controlador são sendo xc o estado do controlador Aplicando a transformada de Laplace nestas equações eli minando Xcs e substituindo na saída Ys GsUs descobrimos que o compensador é descrito por Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 433 O controlador discreto tem a função de transferência discreta A equação da lei de controle com período de amostragem suprimido para fins de simplicidade é Um diagrama no SIMULINK para simulação de ambos os sistemas contínuo e discreto é mostrado na Fig 754 Uma comparação das respostas ao degrau e dos sinais de controle con tínuos e discretos é mostrada na Fig 755 Uma relação melhor entre as duas respostas pode ser alcançada se o período de amostragem for reduzido Simulação no SIMULINK Figura 752 Resposta em frequência do com pensador de atrasoavanço Magnitude 1000 ω rads 100 10 1 01 001 100 10 1 01 001 0001 00001 2 4 6 04 40 ω rads 100 Fase 90 120 150 180 10 1 01 001 2 4 6 04 40 a b Tempo s y 0 1 2 3 4 5 12 10 08 06 04 02 0 Figura 753 Resposta ao degrau do sistema com compensa dor de atraso Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 435 7199 Esta é exatamente a equação na qual L foi selecionado para fazer a equação do polinômio característico do estimador igual a αes Assim criamos n zeros exatamente nas mesmas loca lizações dos n polos do estimador Devido a este cancelamento polozero que causa incontro labilidade dos modos do estimator os polos da função transferência global consistem apenas nos polos do controlador por realimentação de estados A segunda regra para o erro de rastreamento do estimador seleciona M L e Se estes são substituídos na Eq 7194 então os zeros são dados por 7200 Se multiplicarmos a última coluna de H subtrairmos o resultado das n primeiras colunas e então pré multiplicarmos a última linha por G e adicionarmos as n primeiras linhas então a Eq 7200 se reduz a 7201 Se compararmos a Eq 7201 com as equações dos zeros de um sistema na descrição em espaço de estados Eq 766 vemos que os zeros adicionados são os obtidos por meio da substituição da matriz de entrada por L e da matriz de saída por K Assim se quisermos usar o controle de erro temos de aceitar a presença desses zeros do compensador que dependem da escolha de K e L e sobre os quais não temos controle direto Para casos de baixa ordem isso resulta como dissemos antes em um compensador de avanço como parte de uma topologia de realimentação unitária Agora vamos resumir as nossas conclusões sobre o efeito de introduzir a entrada de refe rência Quando o sinal de entrada de referência está incluído no controlador a função de trans ferência global do sistema de malha fechada é 7202 sendo Ks o ganho total do sistema e γs e bs os polinômios mônicos O polinômio αcs re sulta em um ganho de controle K tal que detsI F GK αcs O polinômio αes resulta em um ganho do estimador L tal que detsI F LH αes Em razão de como projetis tas termos de escolher αcs e αes temos total liberdade na atribuição dos polos do sistema de malha fechada Há três maneiras de lidar com o polinômio γs podemos selecionálo de modo que γs αes usando a implementação da Fig 749b caso em que é dado pela Eq 7190 podemos aceitar γs como dado pela Eq 7201 de modo que o controle de erro seja usado ou podemos escolher γs com coeficientes arbitrários selecionando a partir da Eq 7195 É importante salientar que os zeros planta representados por bs não são movi dos por esta técnica e permanecem como parte da função de transferência de malha fechada a menos que αc ou αe sejam selecionados para cancelar alguns desses zeros 792 Selecionando o ganho Passamos agora para o processo de determinar o ganho para os três métodos de seleção de M Se escolhermos o método 1 o controle é dado pela Eq 7191a e Portanto podemos usar como na Eq 7102 ou r Essa é a escolha mais comum Se usarmos o segundo método o resultado é trivial lembrando que para o con trole de erro Se usarmos o terceiro método escolhemos tal que o ganho DC total em malha fechada seja unitário11 11 Uma alternativa razoável é selecionar de modo que quando r e y são imutáveis o ganho DC de r para y é o negati vo do ganho DC de y para u As consequências dessa escolha são que nosso controlador pode ser estruturado como uma combinação de controle de erro e do controle derivativo generalizado e se o sistema for capaz de um comportamento do Tipo 1 esta capacidade será efetuada Função de transferência para um sistema de malha fechada quando a entrada de referência está incluída no controlador 436 Sistemas de Controle Então as equações do sistema global são 7203a 7203b sendo o resultado da seleção das localizações dos zeros com qualquer Eq 7195 ou Eq 7190 O sistema em malha fechada tem ganho DC unitário se 7204 Se resolvermos a Eq 7204 para temos12 7205 As técnicas nesta seção podem ser facilmente estendidas para estimadores de ordem reduzida 710 Controle integral e rastreamento robusto As escolhas do ganho de na Seção 79 irão resultar em erro de estado estacionário nulo para um comando em degrau mas o resultado não é robusto porque qualquer mudança nos parâme tros da planta fará com que o erro seja diferente de zero Precisamos usar controle integral para obter rastreamento robusto Nos métodos de projeto no espaço de estados discutidos até agora nenhuma menção foi feita ao controle integral e não foram produzidos exemplos de projeto com uma compensação contendo um termo integral Na Seção 7101 mostramos como o controle integral pode ser introduzido por um método direto de adicionar a integral do erro do sistema nas equações de movimento Controle integral é um caso especial de rastreamento de um sinal que não vai para zero em estado estacionário Nós introduzimos na Seção 7102 um método geral para o ras treamento robusto que irá apresentar o princípio do modelo interno o qual resolve uma classe inteira de problemas de controle de rastreamento e rejeição de distúrbio Finalmente na Seção 7103 mostramos que se o sistema tiver um estimador e precisar rejeitar uma perturbação de estrutura conhecida podemos incluir um modelo da perturbação nas equações do estimador e usar a estimativa computada da perturbação para cancelar os efeitos da perturbação na saída da planta real 7101 Controle integral Começamos com uma solução específica para o controle integral aumentando o vetor de estado com a dinâmica desejada Para o sistema 7206a 7206b podemos realimentar a integral do erro13 e y r bem como o estado da planta x aumentan do o estado da planta com o estado extra integral xI que obedece à equação diferencial 12 Nós usamos o fato de que 13 Cuidado com o sinal aqui estamos usando o negativo da convenção normal Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 439 ser uma rampa cuja inclinação e seu valor inicial são desconhecidos Distúrbios na planta de mesma classe também podem estar presentes Queremos projetar um controlador para esse sis tema de modo que o sistema em malha fechada tenha os polos especificados e possa rastrear os sinais de comando na entrada e rejeitar distúrbios do tipo descrito sem erro em estado estacio nário Vamos desenvolver os resultados apenas para equações diferenciais de segunda ordem Definimos a entrada de referência para satisfazer à relação 7209 e a perturbação satisfaz exatamente à mesma equação 7210 O erro rastreameto é definido como 7211 O problema de rastreamento de r e de rejeição de w pode ser visto como um exercício de proje tar uma lei de controle para fornecer regulação do erro o que significa dizer que o erro e tende a zero quando o tempo se torna grande O controle também deve ser estruturalmente estável ou robusto no sentido de que a regulação do erro e para zero em estado estacionário ocor re mesmo na presença de pequenas perturbações dos parâmetros do sistema original Note que na prática nunca teremos um modelo perfeito da planta e os valores dos parâmetros são praticamente sempre sujeitos a alguma mudança por isso robustez é sempre muito importante O significado de controle robusto 0 4 35 3 25 2 15 1 05 5 45 b Tempo s 0 4 35 3 25 2 15 1 05 5 45 a Tempo s 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 0 05 05 1 15 2 25 3 35 ut y y2 y1 u1 u2 Figura 758 Resposta transitória do sis tema de velocidade do motor a respos tas ao degrau b esforços de controle 440 Sistemas de Controle Sabemos que a entrada de comando satisfaz à Eq 7209 e gostaríamos de eliminar a re ferência das equações em favor do erro Começamos substituindo r na Eq 7209 com o erro da Eq 7211 Quando fazemos isso a referência cancelase devido à Eq 7209 e temos a fórmula para o erro em termos do estado 7212a 7212b Agora vamos substituir o vetor de estado da planta pelo estado de espaço do erro definido por 7213 Similarmente substituímos o controle pelo controle no espaço do erro definido como 7214 Com estas definições podemos substituir a Eq 7212b por 7215 A equação de estados para ξ é dada por14 7216 Note que a perturbação bem como a referência se cancela a partir da Eq 7216 As Eqs 7215 e 7216 agora descrevem todo o sistema em um espaço de erro Na forma de variáveis de estado padrão as equações são 7217 sendo e 7218 Ao sistema de erro A B podem ser dadas dinâmicas arbitrárias por realimentação de estados se ele for controlável Se a planta F G for controlável e não possuir um zero em qualquer uma das raízes da equação característica do sinal de referência então o sistema de erro A B é controlável15 Assumimos que essas condições são satisfeitas portanto existe uma lei de controle da forma 7219 de tal forma que o sistema tenha uma dinâmica de erro arbitrária por alocação de polos Agora precisamos expressar essa lei de controle em termos do estado real do processo x e do controle real Combinamos as Eqs 7219 7213 e 7214 para obter a lei de controle em termos de u e x u2 significa 7220 A estrutura para a implementação da Eq 7220 é muito simples para rastreamento de entradas constantes Nesse caso a equação para entrada referência é Em termos de u e x a lei de controle Eq 7220 se reduz a 7221 14 Observe que este conceito pode ser estendido a equações mais complexas em r e para sistemas multivariáveis 15 Por exemplo não é possível adicionar um controle integral a uma planta que tem um zero na origem Equações de controle robusto no espaço de erro Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 443 Ac0 1omegaomega 0 BcK2K1 Cc1 0 Dc0 A resposta em frequência do controlador é mostrada na Fig 761 e mostra um ganho in finito na frequência de rotação ω0 1 rads A resposta em frequência de r para e ou seja a função de sensibilidade Ss é mostrada na Fig 762 e revela um recorte acentuado na frequência de rotação ω0 1 rads O mesmo recorte também está presente na resposta em frequência da função de transferência de w para y c A Fig 763 mostra o diagrama de simulação no SIMULINK para o sistema Embora as simula ções também possam ser feitas no MATLAB é mais instrutivo usar o ambiente gráfico interati vo do SIMULINK O SIMULINK também fornece a capacidade de adicionar não linearidades veja o Capítulo 9 e realizar estudos de robustez de forma eficiente17 As propriedades de ras treamento do sistema são mostradas na Fig 764a mostrando a propriedade de rastreamento assintótico do sistema O esforço de controle associado e o sinal de erro de rastreamento são mostrados na Fig 764b e c respectivamente As propriedades de rejeição à perturbação do 17 Em geral o projeto pode ser feito no MATLAB e simulações não lineares podem ser realizadas no SIMULINK Fase graus Magnitude db 102 101 100 101 ω rads 102 101 100 101 ω rads 200 150 100 50 0 50 100 0 50 100 150 200 250 Fase graus Magnitude db 101 100 101 102 ω rads 101 100 101 102 ω rads 100 150 200 250 300 200 150 100 50 0 50 Figura 761 Resposta em frequência do controlador Figura 762 Resposta em frequência da função de sensitividade 444 Sistemas de Controle sistema são ilustradas na Fig 765a exibindo rejeição assintótica de distúrbios para entrada de perturbação senoidal O esforço de controle associado é mostrado na Fig 765b A res posta em frequência de malha fechada ou seja a função de transferência complementar para o servomecanismo robusto é mostrado na Fig 766 Como pode ser visto na figura a resposta em frequência de r para y é a unidade em ω0 1 rads como era esperado Os zeros do sistema de r para e estão localizados em j 27321 j25425 As pro priedades de rastreamento robusto se devem à presença dos zeros de bloqueamento em j Os zeros de w para y ambos zeros de bloqueamento estão localizados em j As proprie dades de rejeição robusta à perturbação se devem à presença desses zeros de bloqueamento A partir da natureza do problema de alocação de polos o estado z na Eq 7217 tenderá a zero para todas as perturbações nos parâmetros do sistema enquanto A BK permanece es tável Observe que os sinais que são rejeitados são aqueles que satisfazem às equações com os valores de αi realmente implementados no modelo dos sinais externos O método assume que eles são conhecidos e implementados exatamente Se os valores implementados estão errados então o resultado será um erro no estado estacionário Agora vamos repetir o exemplo da Seção 7101 para o controle integral EXEMPLO 737 Controle integral usando o projeto no espaço do erro Para o sistema com a descrição em variáveis de estado construa um controlador com os polos em s 5 para rastrear uma entrada que satisfaça Simulação no SIMULINK Bloqueio de zeros Display2 r Display1 16392 20718 44641 13928 Para área de trabalho e r e u x2 x1 Para área de trabalho2 Ganho Ganho1 Ganho3 Ganho2 Ganho5 s 1 s 1 s 1 s 1 1 1 Integrador2 Para área de trabalho1 Out 1 Integrador1 Integrador Integrador3 Display 1 y Ganho4 Figura 763 Diagrama de blocos no SIMULINK para o servomecanismo robusto Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 445 Solução O sistema de erro é Se escolhemos a equação característica como então a equação de alocação de polos para K é 7223 Em detalhes a Eq 7223 é Referência saída 0 25 20 15 10 5 a Tempo s 15 1 05 0 05 1 15 r y 0 5 10 15 20 25 2 15 1 05 0 05 1 15 b Tempo s Controle u 0 5 10 15 20 25 01 0 01 02 03 04 05 06 07 c Tempo s Sinal de erro e Figura 764 a Propriedades de rastreamento para o servomecanismo robusto b esforço de controle c sinal de erro de rastreamento 446 Sistemas de Controle que fornece e o sistema é implementado como mostrado na Fig 767 A função de transferência de r para e para esse sistema a função de sensibilidade Figura 765 a Propriedades de rejeição de distúrbios para servomecanismo robusto b esforço de controle Distúrbio saída 0 25 20 15 10 5 a Tempo s 1 06 04 0 04 08 08 01 02 06 1 w y 0 5 10 15 20 25 15 1 05 0 05 1 b Tempo s Controle u Fase graus Magnitude db 102 101 100 101 ω rads 102 101 100 101 ω rads 270 225 135 180 90 45 0 45 90 40 30 20 10 0 10 Figura 766 Resposta em frequência de malha fechada para o servomecanismo robusto 448 Sistemas de Controle regulador a realimentação completa dos estados Kx pode ser substituída pela realimentação das estimativas K onde o estimador é construído como antes Como um último olhar para as formas de projetar controle com entradas externas nesta seção desenvolvemos um método para rastrear uma entrada de referência e rejeitar distúrbios O método baseiase no estimador estendido para incluir estimativas dos sinais externos de uma forma que nos permita cancelar seus efeitos sobre o erro no sistema Suponha que a planta é descrita pelas equações 7226a 7226b 7226c Além disso suponha que tanto a referência r como a perturbação w são conhecidas para satisfazer às equações18 7227 7228 com correspondendo aos polinômios αws e αrs na Fig 770a Em geral devemos selecionar o polinômio equivalente de perturbação αps na Fig 770b para ser o mínimo múltiplo comum de αws e αrs O primeiro passo é reconhecer que no que tange à resposta em estado estacio nário da saída há um sinal de entrada equivalente ρ que satisfaz a mesma equação quando r e w entram no sistema no mesmo lugar do sinal de controle como mostrado na Fig 770b Como antes devemos supor que a planta não tem um zero em qualquer uma das raízes da Eq 7227 Para os nossos propósitos podemos substituir as Eqs 7226 por 7229a 7229b Se for possível estimar esta entrada equivalente podemos acrescentar ao controle um termo que vai cancelar os efeitos da perturbação real e da referência e fazer com que a saída rastreie r 18 Novamente desenvolvemos os resultados para uma equação de segunda ordem nos sinais externos a discussão pode ser estendida para equações de ordem superior Figura 769 Respostas ao degrau com controle integral e alimentação à frente Tempo s N 8 0 05 10 15 20 25 30 12 10 08 06 04 02 0 Amplitude 5 0 450 Sistemas de Controle Em razão de projetarmos o estimador para ser estável os valores de e tendem a zero em estado estacionário e o valor final do estado não é afetado pela entrada externa O diagrama de blocos do sistema para implementação é desenhado na Fig 770c Um exemplo muito simples ilustrará as etapas deste processo EXEMPLO 738 Rastreamento em estado estacionário e rejeição de distúrbios para velocidade de um motor pelo estimador estendido Construa um estimador para controlar o estado e cancelar um fator constante na saída e rastrear uma referência constante no sistema de rotação do motor descrito por 7236a 7236b 7236c 7236d Aloque o polo do controle em s 5 e os dois polos do estimador estendido em s 15 Solução Para começar projetamos a lei de controle ignorando a perturbação equivalente Notamos por inspeção que um ganho de 2 irá mover o único polo de 3 para a posição desejada 5 portanto K 2 O sistema aumentado com a entrada externa equivalente ρ que substitui a perturbação real w e a referência r é dado por As equações do estimador estendido são O ganho do estimador de erro é encontrado como a partir da equação ca racterística Um diagrama de blocos do sistema é dado na Fig 771a e as respostas para o degrau na entra da de comando r aplicada em t 0 s e na perturbação w aplicada em t 05 s são mostradas na Fig 771b 711 Recuperação de função de transferência de malha RFTM A introdução de um estimador em uma malha de controle por realimentação de estados pode afe tar adversamente as propriedades de estabilidade robusta do sistema isto é as propriedades de margem de fase PM e de margem de ganho GM podem se tornar arbitrariamente pobres como mostrado pelo famoso exemplo de Doyle Doyle 1978 No entanto é possível modificar o projeto do estimador de forma a tentar recuperar as propriedades da estabilidade robusta LQR em certa medida Esse processo é chamado de recuperação de função de transferência de malha RFTM e é especialmente eficaz para sistemas de fase mínima Para realizar a recuperação alguns dos polos do estimador são colocados nos zeros da planta ou próximo deles e os polos restantes são movidos para o SPE suficientemente longe A ideia por trás da RFTM é reprojetar o estimador de forma a moldar as propriedades do ganho de malha aproximandoas das propriedades do LQR RFTM 452 Sistemas de Controle então é baseado no projeto específico dos parâmetros Rw e Rv Podese demonstrar que para um sistema de fase mínima à medida que q se torna grande Doyle e Stein 1979 7240 a convergência é pontual em s e o grau de recuperação pode ser arbitrariamente bom O efeito deste procedimento de projeto é inverter a função de transferência da planta no limite quando q 7241 Esta é precisamente a razão da recuperação plena da função de transferência de malha não ser possível para um sistema de fase não mínima Este comportamento limitador pode ser expli cado usando o lugar das raízes simétrico Quando q alguns dos polos do estimador se aproximam dos zeros de 7242 e os restantes tendem ao infinito19 veja as Eqs 7166 e 7167 Na prática o procedimento de projeto RFTM ainda pode ser aplicado a uma planta de fase não mínima O grau de recupe ração vai depender da localização específica dos zeros de fase não mínima Uma recuperação suficiente pode ser possível em muitas frequências se os zeros no SPD estiverem localizados fora da largura de banda em malha fechada especificada Limites no desempenho de sistemas realimentados em razão dos zeros no SPD são discutidos em Freudenberg e Looze 1985 Va mos ilustrar o procedimento RFTM no exemplo simples seguinte EXEMPLO 739 Projeto RFTM para o controle de atitude de satélite Considere o sistema do satélite na descrição em espaço de estados a Projete um controlador LQR com Q ρHTH e R 1 ρ 1 e determine o ganho de malha b Então projete um compensador que recupere o ganho de malha LQR do item a usando a técnica RFTM para q 1 10 100 c Compare os diferentes projetos candidatos no item b com relação à atividade do atuador e devido ao ruído branco Gaussiano no sensor Solução Usando lqr os pesos LQR selecionados resultam no ganho de realimentação K 1 1414 A função de transferência de malha é A magnitude da resposta em frequência do ganho de malha deste LQR é mostrada na Fig 772 Para o projeto do estimador usando lqe faça Ŵ qG Rw ŴŴT Rv 1 e escolha q 10 resultando no ganho do estimador A função de transferência do compensador é 19 Em uma configuração de Butterworth Inversão da planta RFTM para sistemas de fase não mínima Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 453 e a função de transferência de malha é A Fig 772 mostra a resposta em frequência da função de transferência de malha para vários valores de q q 1 10 100 junto com a resposta em frequência da função de transferência de malha LQR ideal Como pode ser visto a partir desta figura o ganho da malha tende a se aproximar do LQR quando o valor de q aumenta Como pode ser visto na Fig 772 para q 10 a margem de ganho recuperada é de GM 111 209 db e a PM 5506º Exemplos de declarações no MATLAB para realizar o procedimento de projeto RFTM anterior são F0 1 0 0 G01 H1 0 J0 sys0ssFGHJ H11 0 sysssFGH1J wlogspace131000 rho10 QrhoH1H1 r1 KlqrFGQr sys1ssFGK0 maggk1phasgk1wbodesys1w q10 gamqG Q1gamgam rv1 LlqeFgamHQ1rv Função lqr do MATLAB Função lqe do MATLAB Figura 772 Gráficos da resposta em frequência para projeto RFTM Magnitude Fase graus 270 240 210 180 150 120 90 101 ω rads 100 101 102 103 101 100 101 102 103 ω rads 105 100 GM1 PM1 PM GM2 GM LQR LQR q 100 q 10 q 1 q 1 q 10 q 100 456 Sistemas de Controle para dados arbitrários a b αc e αe Em virtude de cada função de transferência ser uma razão de polinômios podemos assumir que as e ds são polinômios mônicos isto é o coeficiente da maior potência de s em cada polinômio é a unidade A pergunta é quantas equações e quantas incógnitas existem se compararmos os coefi cientes das potencias iguais a s na Eq 7249 Se as é de grau n dado e ds é de grau m a ser selecionado então uma contagem direta fornece 2m 1 incógnitas em ds e cys e n m equações a partir dos coeficientes de potências de s Assim a exigência é que ou Uma possibilidade para uma solução é escolher ds de grau n e cys de grau n 1 Nesse caso que corresponde ao projeto no espaço de estados para um estimador de ordem completa há 2n equações e 2n incógnitas com αcαe de grau 2n As equações resultantes terão então uma solu ção para αi arbitrário se e somente se as e bs não tiverem fatores comuns20 EXEMPLO 740 Alocação de polos para uma função de transferência polinomial Usando o método polinomial projete um controlador de ordem n para a planta de terceira ordem no Exemplo 730 Note que se os polinômios αcs e αes do Exemplo 730 estão multi plicados o resultado é a equação característica em malha fechada desejada 7250 Solução Usando a Eq 7249 com bs 10 encontramos 7251 Expandimos o polinômio ds com coeficientes di e o polinômio cys com coeficientes ci Agora igualamos os coeficientes de mesma potência em s na Eq 7251 para descobrir que os parâmetros devem satisfazer21 7252 A solução da Eq 7252 é A solução pode ser encontrada usando o comando no MATLAB x ab no qual a é a matriz de Sylvester e b é o lado direito na Eq 7252 Assim a função de transferência do controlador é 7253 20 Se eles têm um fator comum ele vai aparecer no lado esquerdo da Eq 7249 para que haja uma solução o mesmo fator deve estar no lado direito da Eq 7249 e portanto um fator de αc ou αe 21 A matriz do lado esquerdo da Eq 7252 é chamada de matriz de Sylvester e é não singular se e somente se as e bs não têm nenhum fator em comum Dimensão do controlador Função alb do MATLAB Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 457 Note que os coeficientes da Eq 7253 são os mesmos do controlador Dcs que obtivemos usando as técnicas de variáveis de estado uma vez que os fatores de Dcs são multiplicados O compensador de ordem reduzida também pode ser obtido usando uma solução polinomial EXEMPLO 741 Projeto de ordem reduzida para um modelo de função de transferência polinomial Projete um controlador de ordem reduzida para o sistema de terceira ordem no Exemplo 730 A equação característica desejada é Solução As equações necessárias para resolver este problema são as mesmas que usamos para obter a Eq 7251 exceto que usamos ds e cys com o grau n 1 Precisamos resolver 7254 Equacionando os coeficientes de mesmas potências em s na Eq 7254 obtemos 7255 A solução é novamente usando o comando no MATLAB x ab e o controlador resultante é 7256 Novamente a Eq 7256 é exatamente a mesma de Dcrs obtida utilizando as técnicas de va riáveis de estado no Exemplo 731 uma vez que os polinômios de Dcrs são multiplicados e diferenças numéricas mínimas são consideradas Observe que o polinômio de entrada de referência crs não entra na análise dos Exemplos 740 e 741 Podemos selecionar crs para que ele atribua zeros na função de transferência de Rs para Ys Este é o mesmo papel desempenhado pelo γs na Seção 79 Uma opção é sele cionar crs para cancelar αes para que a função de transferência global seja Isto corresponde à primeira e mais comum escolha de M e para a introdução da entrada de referência descrita na Seção 79 Também é possível introduzir controle integral e ainda rastreamento robusto baseado no modelo interno no método de projeto polinomial É necessário é que tenhamos controle de erro e que o controlador tenha polos nas localizações do modelo interno Para obter controle de erro com a estrutura da Fig 775 precisamos fazer apenas cr cy Para obter os polos desejados no Função alb do MATLAB Adição de controle integral à solução polinomial Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 459 basear no atraso Para ver como o método funciona vamos considerar a estrutura de realimen tação mostrada na Fig 776b A função de transferência global é 7258 Smith sugeriu o cálculo de Ds criando uma função de transferência global fictícia na qual a função de transferência do controlador Ds está em uma malha com Gs sem atraso mas com um atraso global de λ 7259 Então equacionamos as Eqs 7258 e 7259 para encontrarmos Ds 7260 Se a função de transferência da planta e o atraso são conhecidos Ds pode ser imple mentado com componentes reais como mostrado no diagrama de blocos da Fig 776c Com esse conhecimento podemos projetar o compensador Ds da forma comum baseado na Eq 7259 como se não houvesse atraso e implementálo como na Fig 776c O sistema re sultante em malha fechada deve apresentar o comportamento de um sistema finito em malha fechada exceto pelo atraso de tempo λ Essa abordagem de projeto é particularmente adequada quando o atraso puro λ é significativo quando comparado com a constante de tempo do pro cesso por exemplo em aplicações com processo de papel e celulose Observe que conceitualmente o compensador de Smith está realimentado a saída simulada da planta para cancelar a saída verdadeira da planta e assim adicionando a saída simulada da planta sem atraso Podese demonstrar que Ds na Fig 776c é equivalente a um regulador comum alinhado com um compensador que fornece um significativo avanço de fase Para im plementar tais compensadores em sistemas analógicos geralmente é necessário aproximar o atraso necessário em Ds por uma aproximação de Padé com compensadores digitais o atraso pode ser implementado de forma exata veja o Capítulo 8 Também é fato que o compensador Ds é uma forte função de Gs e um pequeno erro no modelo da planta usado no controlador poderia levar a grandes erros em malha fechada talvez até à instabilidade Este projeto é muito sensível Se Ds é implementado como um controlador PI então se poderia dessintonizar isto é reduzir o ganho para tentar garantir a estabilidade e um desempenho razoável Para o ajuste automático do regulador de Smith e uma aplicação recente em um torno hidráulico de precisão de controle de temperatura de fluido o leitor é remetido a Huang e DeBra 2000 EXEMPLO 742 Trocador de calor projeto com retardo puro de tempo A Fig 777 mostra o trocador de calor do Exemplo 215 A temperatura do produto é controla da por meio do controle da vazão de vapor no trocador O sensor de temperatura está a vários metros da válvula de controle do vapor que introduz um atraso de transporte no modelo Um modelo adequado é dado por Projete um controlador para o trocador de calor usando o compensador de Smith e alocação de polos Os polos de controle devem estar em e os polos do estimador estão em três vezes a frequência dos polos de controle natural Simule a resposta do sistema com o SIMULINK O compensador de Smith 460 Sistemas de Controle Solução Uma descrição adequada em espaço de estado é Para as localizações dos polos de controle especificadas e no momento ignorando o atraso de tempo encontramos o ganho de realimentação de estados Considerando os polos dados para o estimador a matriz de ganho do estimador para um estima dor de ordem completa é A função de transferência do controlador resultante é Se escolhermos ajustar para a unidade o ganho DC de malha fechada então O diagrama no SIMULINK para o sistema é mostrado na Fig 778 As respostas ao degrau de malha aberta e malha fechada do sistema e o esforço de controle são mostrados nas Figs 779 e 780 e o lugar das raízes do sistema sem retardo é mostrado na Fig 781 Note que o atraso no tempo de 5 segundos nas Figs 779 e 780 é muito pequeno comparado com a respos ta do sistema e é pouco perceptível neste caso 714 Perspectiva histórica A abordagem de variáveis de estado para a resolução de equações diferenciais em problemas de engenharia foi defendida por R E Kalman enquanto ele estava no MIT Isso era revolucio nário e causou alguma agitação pois estava indo contra a corrente Os acadêmicos bem esta Simulação no SIMULINK Vapor Fluxo Vapor Produto Sensor de temperatura Válvula de controle Figura 777 Um trocador de calor Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 461 Display1 s2 028s 00925 025s 045 120 Função de transferência1 600s2 70s 1 1 Função de transferência2 600s2 70s 1 1 Função de transferência Atraso de transporte Atraso de transporte u y Para área de trabalho1 Display Degrau Ganho Para área de trabalho Figura 778 Diagrama em malha fechada no SIMULINK para o trocador de calor Temperatura de saída y 0 50 100 150 200 250 300 Tempo s 0 02 04 06 08 1 12 14 Malha fechada Malha aberta Figura 779 Resposta ao degrau para o trocador de calor Controle u 0 50 100 150 200 250 300 Tempo s 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Figura 780 Esforço de controle para o trocador de calor 462 Sistemas de Controle belecidos professores de Kalman estavam bem familiarizados com as técnicas no domínio da frequência e eram seus firmes defensores Iniciando no final dos anos 1950 e no início dos anos 1960 Kalman escreveu uma série de artigos seminais introduzindo as ideias de variáveis de es tado de controlabilidade de observabilidade do Linear Quadrático LQ e do filtro de Kalman FK Gunkel e Franklin 1963 e Joseph e Tou 1961 de forma independente apresentaram o teorema da separação que tornou possível o problema do Linear Quadrático Gaussiano LQG hoje conhecido como a formulação H2 O teorema da separação é um caso especial do teorema da equivalência de Simon 1956 As soluções para ambos os problemas LQ e LQG podem ser expressas de forma elegante em termos de soluções para as equações de Riccati D G Luen berger que estava fazendo um curso com Kalman na Universidade de Stanford desenvolveu o observador de ordem reduzida ao longo de um fim de semana depois de ouvir Kalman sugerir este problema em uma palestra Kalman Bryson Athans e outros contribuíram para o campo da teoria de controle ótimo que foi amplamente empregada em problemas aeroespaciais incluindo o programa Apollo O livro de Zadeh e Desoer publicado em 1962 também foi influente na pro moção do método de espaço de estados Na década de 1970 a robustez dos métodos LQ e LQG foi estudada resultando no celebrado e influente artigo de Doyle e Stein em 1981 Uma das contribuições mais significativas de Doyle e Safonov foi estender a ideia do ganho no domínio da frequência para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas usando decomposição em valores singulares DVS Outro que contribuiu para essa pesquisa foi G Zames que in troduziu os métodos H extensões dos métodos H2 As técnicas de projeto resultantes são co nhecidas como procedimentos H e sínteseμ Durante a década de 1980 métodos numéricos confiáveis foram desenvolvidos para lidar com projetos de variáveis de estado e programas de auxílio computacional para o projeto de controle foram desenvolvidos A invenção do MAT LAB por Cleve Moler e sua ampla distribuição pela The Mathworks teve um enorme impacto não só no campo de projeto de controle mas em toda computação científica Enquanto os métodos de variáveis de estado estavam ganhando força principalmente nos Es tados Unidos grupos de pesquisa na Europa especialmente na Inglaterra liderados por Rosen brock MacFarlane Munro e outros estenderam a técnicas clássicas para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas Assim os métodos do lugar das raízes e do domínio da frequência como as técnicas de Nyquist inverso poderiam ser usados para sistemas com múltiplas entra das e múltiplas saídas Eventualmente na década de 1980 houve uma percepção de que o poder de ambos os métodos domínio da frequência e espaço de estados devia ser combinado para um método de projeto de controle eclético empregando o melhor de ambas as abordagens Vimos neste capítulo que em contraste com os métodos de resposta em frequência de Bode e Nyquist o método de variáveis de estado não lida apenas com as variáveis de entrada e saída do sistema mas também com as variáveis físicas internas a ele Os métodos de variáveis Figura 781 Lugar das raízes para o trocador de calor Res Ims 03 02 02 03 04 03 02 01 01 02 03 04 Polos de malha fechada Polos de malha fechada Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 463 de estado podem ser usados para estudar sistemas lineares e não lineares bem como sistemas variantes no tempo Além disso o método de variáveis de estado manipula problemas com sis temas de múltiplas entradas e múltiplas saídas e de alta ordem com a mesma facilidade De uma perspectiva computacional os métodos de variáveis de estado são muito superiores às técnicas de domínio da frequência que exigem manipulações polinomiais RESUMO Para qualquer função de transferência que não tenha mais zeros que polos corresponde uma equação diferencial na forma de espaço de estados A descrição em espaço de estados pode estar em várias formas Entre elas temos controlá vel observável e canônica modal Os polos e zeros de malha aberta podem ser calculados a partir das matrizes da descrição de estados F G H J Para qualquer sistema controlável de ordem n existe uma lei de realimentação de estados que irá alocar os polos de malha fechada nas raízes de uma equação característica do controle arbitrária de ordem n A entrada de referência pode ser introduzida de forma a resultar em erro de estado estacio nário nulo para uma entrada em degrau Não se espera que essa propriedade seja robusta às mudanças nos parâmetros A boa localização dos polos de malha fechada depende da resposta transitória desejada da robustez às mudanças nos parâmetros e da relação entre desempenho dinâmico e esforço de controle As localizações dos polos de malha fechada podem ser selecionadas para resultar em uma resposta de segunda ordem dominante para coincidir com uma resposta dinâmica prédefi nida ou para minimizar uma medida de desempenho quadrática Para qualquer sistema observável de ordem n um estimador ou observador pode ser cons truído apenas com as entradas dos sensores e com um estado que estima o estado da planta Os n polos do sistema de erro do estimador podem ser alocados de forma arbitrária Cada função de transferência pode ser representada por uma realização mínima ou seja um modelo no espaço de estado que é ao mesmo tempo controlável e observável Um sistema com uma única entrada e uma única saída é completamente controlável se e somente se a entrada excita todas as frequências naturais do sistema ou seja não há cance lamento de polos na função de transferência A lei de controle e o estimador podem ser combinados em um controlador de tal forma que os polos do sistema em malha fechada sejam apenas os polos da lei de controle e do estimador Com o controlador baseado no estimador a entrada de referência pode ser introduzida de forma a permitir a atribuição de n zeros arbitrários A escolha mais comum é atribuir os zeros para cancelar os polos do estimador assim não excitando um erro de estimação O controle integral pode ser introduzido para obter rastreamento de estado estacionário robusto de um degrau pelo estado aumentado da planta O projeto também é robusto em relação à rejeição de distúrbios constantes Controle robusto geral pode ser realizado através da combinação das equações da planta e do modelo de referência em um espaço de erro e projetando uma lei de controle para o sistema estendido A implementação do projeto robusto demonstra o princípio do modelo interno Um estimador dos estados da planta pode ser adicionado mantendo as propriedades de robustez 464 Sistemas de Controle O estimador pode ser estendido para incluir estimativas do controle equivalente de perturba ção e assim resultar em rastreamento robusto e rejeição de distúrbios Projetos por alocação polos incluindo o controle integral podem ser calculados usando os polinômios da função de transferência da planta no lugar das descrições do estado Projetos usando polinômios frequentemente têm problemas com a precisão numérica Controladores para as plantas que incluem atraso puro de tempo podem ser projetados como se não houvesse atraso e em seguida um controlador pode ser implementado para a planta com atraso O projeto pode vir a ser sensível a mudanças paramétricas A Tabela 73 apresenta as equações importantes discutidas neste capítulo Os triângulos in dicam equações retiradas das seções opcionais no texto A determinação de um modelo a partir de dados experimentais ou a verificação de um mo delo analítico baseado em experimentos é um passo importante no projeto do sistema pela análise no espaço de estados um passo que não é necessário para o projeto do compensador por meio dos métodos de resposta em frequência QUESTÕES DE REVISÃO As questões a seguir são baseadas em um sistema em variáveis de estado com as matrizes F G H J entrada u saída y e estado x 1 Por que é conveniente escrever as equações de movimento na forma de variáveis de estado 2 Dê uma expressão para a função de transferência deste sistema 3 Dê duas expressões para os polos da função de transferência do sistema 4 Dê uma expressão para os zeros da função de transferência do sistema 5 Em que condições o estado do sistema será controlável 6 Em que condições o sistema será observável a partir da saída y 7 Dê uma expressão para os polos de malha fechada se a realimentação de estados da forma u Kx é usada 8 Em que condições a matriz de realimentação K pode ser selecionada para que as raízes de αcs sejam arbitrárias 9 Qual é a vantagem de usar o LQR ou o LRS no projeto da matriz de realimentação K 10 Qual é a principal razão para usar um estimador no controle realimentado 11 Se o ganho L do estimador é usado dê uma expressão para os polos de malha fechada devido ao estimador 12 Em que condições o ganho L do estimador pode ser selecionado de modo que as raízes de αes 0 sejam arbitrárias 13 Se a entrada de referência é organizada de modo que a entrada do estimador seja idêntica à entrada do processo qual será a função de transferência em malha fechada global 14 Se a entrada de referência é apresentada de tal forma a permitir que os zeros sejam atribuídos como as raízes de γs qual será a função de transferência em malha fechada global 15 Quais são as três técnicas padrões para a introdução do controle integral no método de projeto por realimentação de estados PROBLEMAS Problemas da Seção 73 diagramas de blocos e espaço de estados 71 Escreva as equações dinâmicas que descrevem o circuito na Fig 782 Escreva as equações como uma equação diferencial de segunda ordem em yt Assumindo uma entrada nula resolva a equa ção diferencial para yt usando os métodos de transformada de Laplace para os valores dos parâ metros e das condições iniciais mostrados na figura Verifique suas respostas usando o comando initial no MATLAB 72 Um esquema para o satélite e para a sonda científica do experimento Gravity ProbeB GPB que foi lançado no dia 30 de abril de 2004 é esboçado na Fig 783 Suponha que a massa da nave es Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 465 TABELA 73 Equações importantes no Capítulo 7 Nome Equação Página Forma canônica controlável 368 Descrição em estados 370 Equação da saída 370 Transformação do estado 370 onde Matriz de controlabilidade 371 Função de transferência das equações de estado 378 Polos da função de transferência 379 Zeros da função de transferência 380 Equação característica do controle 384 Fórmula de Ackermann de controle para alocação de polos 388 Ganhos da entrada de referência 391 Equação de controle com entrada de referência 391 Lugar das raízes simétrico 396 Equação característica do erro de estimação 405 Forma canônica observável 407 onde Matriz de observabilidade 408 continua Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 467 74 Use a função no MATLAB tf2ss para obter as matrizes de estado no Problema 73 75 Escreva as matrizes da descrição de estados na forma normal para as funções de transferência do Problema 73 Certifiquese de que todas as entradas nas matrizes de estado sejam valores reais mantendo os pares de polos complexos conjugados juntos e faça com que elas sejam um subbloco separado na forma canônica controlável 76 Um certo sistema com estado x é descrito pelas matrizes de estado Encontre a transformação T de modo que se x Tz as matrizes de estado descrevendo as dinâmi cas de z estejam na forma canônica controlável Calcule as novas matrizes A B C e D 77 Mostre que a função de transferência não é alterada por uma transformação linear de estado 78 Use a redução em diagrama de blocos ou regra de Mason para encontrar a função de transferência do sistema na forma canônica observável representada pela Fig 731 79 Suponha que é dado um sistema com as matrizes de estado F G H J 0 neste caso Encontre a transformação T para que sob as Eqs 724 e 725 as novas matrizes de descrição de estados esteja na forma canônica observável 710 Use a matriz de transformação na Eq 741 para explicitamente multiplicar as equações no final do Exemplo 710 711 Encontre a transformação de estado que assume a forma canônica observável da Eq 735 para a forma canônica modal 712 a Encontre a transformação T que irá manter a descrição do sistema da unidade de fita do Exemplo 711 na forma canônica modal mas irá converter cada elemento da matriz de entra da Bm à unidade b Use o MATLAB para verificar se a sua transformação realiza a tarefa 713 a Encontre a transformação de estado que irá manter a descrição do sistema da unidade de fita do Exemplo 711 na forma canônica modal mas fará com que os polos de Am sejam exibidos em ordem crescente da magnitude b Use o MATLAB para verificar o seu resultado no item a e dê o conjunto completo das ma trizes no novo estado como A B C e D 714 Encontre a equação característica da matriz na forma modal Am da Eq 717a usando a Eq 758 Figura 783 Diagrama esquemático do satélite e da sonda GPB m1 m2 y1 y2 Rotor k u b Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 469 Problemas da Seção 75 projeto da lei de controle por realimentação completa dos estados 720 Considere a planta descrita por a Desenhe um diagrama de blocos para a planta com um integrador para cada variável de esta dos b Encontre a função de transferência usando álgebra matricial c Encontre a equação característica de malha fechada se a realimentação for i ii 721 Para o sistema projete um controlador por realimentação de estados que satisfaça às seguintes especificações a Polos de malha fechada com coeficiente de amortecimento ζ 0707 b Tempo de pico da resposta ao degrau menor que 314 s Verifique seu projeto usando o MATLAB 722 a Projete um controlador por realimentação de estados para que o sistema a seguir apresente a resposta ao degrau em malha fechada com um sobressinal menor que 25 e um tempo de acomodação 1 menor que 0115 s b Use o comando step no MATLAB para verificar se o projeto atende às especificações Se isso não acontecer modifique os ganhos de realimentação em conformidade 723 Considere o sistema a Projete um controlador por realimentação de estados para que o sistema a seguir apresente a resposta ao degrau em malha fechada com um sobressinal menor que 5 e um tempo de acomodação 1 menor que 46 s b Use o comando step no MATLAB para verificar se o projeto atende às especificações Se isso não acontecer modifique os ganhos de realimentação em conformidade 724 Considere o sistema na Fig 786 a Escreva um conjunto de equações que descreva este sistema na forma canônica controlável padrão como b Projete uma lei de controle na forma para alocar os polos de malha fechada em s 2 2j 725 Controlabilidade da saída Em muitas situações um engenheiro de controle pode estar interessa do em controlar a saída y ao invés do estado x Um sistema é dito de saída controlável se a qual Figura 786 Sistema para o Problema 724 s2 4 s U Y 470 Sistemas de Controle quer momento for possível transferir a saída de zero para qualquer saída desejada y em um tempo finito usando um sinal de controle apropriado u Obtenha as condições necessárias e suficientes para um sistema contínuo F G H ter a saída controlável As controlabilidades da saída e do estado estão relacionadas Se sim como 726 Considere o sistema a Encontre os autovalores do sistema Dica Note a estrutura blocotriangular b Encontre os modos controláveis e não controláveis deste sistema c Para cada modo não controlável encontre um vetor v tal que d Mostre que há um número infinito de ganhos de realimentação K que vai realocar os modos do sistema em 5 3 2 e 2 e Encontre a única matriz K que resulta nestas localizações dos polos e impede que as condi ções iniciais na parte não controlável do sistema afetem a parte controlável 727 Dois pêndulos acoplados por uma mola serão controlados por duas forças iguais e opostas u que são aplicadas nos pesos dos pêndulos como mostrado na Fig 787 As equações de movimento são a Mostre que o sistema não é controlável É possível associar um significado físico aos modos controláveis e não controláveis b Existe alguma maneira de tornar o sistema controlável Figura 787 Pêndulos acoplados para o Problema 727 k u u m m θ1 θ2 a l 728 O modelo em espaço de estados para uma determinada aplicação é dado com as seguintes matrizes a Desenhe um diagrama de blocos da realização com um integrador para cada variável de estado b Um estudante calculou det C 23 107 e afirma que o sistema é não é controlável O estudante está certo ou errado Por quê c A realização é observável 472 Sistemas de Controle 732 Demonstre que o diagrama de Nyquist para o projeto LQR evita um círculo de raio unitário com centro no ponto 1 como mostrado na Fig 789 Mostre que isto implica que 12 GM a margem de ganho superior é GM e a inferior é GM 12 e margem de fase é pelo me nos PM 60 Então a matriz de ganho LQR K pode ser multiplicada por um escalar grande ou reduzida pela metade com a estabilidade do sistema em malha fechada garantida Problemas da Seção 77 projeto de estimador 733 Considere o sistema e assuma que você esteja usando a realimentação da forma u Kx r com r sendo um sinal de referência a Mostre que F H é observável b Mostre que existe um K tal que F GK H é inobservável c Calcule um K da forma K 1 K2 que torne o sistema não observável como no item b ou seja encontre K2 para que o sistema em malha fechada não seja observável d Compare a função de transferência em malha aberta com a função de transferência do sistema em malha fechada do item c A não observabilidade se deve a quê 734 Considere um sistema com função de transferência a Encontre Fo Go Ho para este sistema na forma canônica observável b Fo Go é controlável c Calcule K para que os polos de malha fechada sejam atribuídos em s 3 3j d O sistema em malha fechada no item c é observável e Projete um estimador de ordem completa com polos do erro do estimador em s 12 12j f Suponha que o sistema modificado tenha um zero Demonstre que se u Kx r existe um ganho de realimentação K que torna o sistema em malha fechada não observável Mais uma vez assuma uma realização canônica observável para G1s 735 Explique como as propriedades de controlabilidade observabilidade e estabilidade de um sistema linear estão relacionadas 736 Considere o circuito elétrico mostrado na Fig 790 a Escreva as equações estado internas para o circuito A entrada ut é a corrente e a saída y é a tensão Faça x1 iL e x2 vc Figura 789 Diagrama de Nyquist para um regulador ótimo ImLjω ReLjω 2 1 60 α1 474 Sistemas de Controle 739 As equações linearizadas de movimento para um satélite são sendo As entradas u1 e u2 são forças radial e tangencial as variáveis de estado x1 e x3 são os desvios radial e angular da referência circular orbital e as saídas y1 e y2 são as medidas radial e angular respectivamente a Mostre que o sistema é controlável com as duas entradas de controle b Mostre que o sistema é controlável utilizando apenas uma única entrada Qual delas c Mostre que o sistema é observável com as duas medições d Mostre que o sistema é observável usando apenas uma medição Qual delas 740 Considere o sistema na Fig 793 a Escreva as equações de variáveis de estado para o sistema usando como o vetor de estados e F como a única entrada b Mostre que todas as variáveis de estado são observáveis usando medições apenas de θ1 c Mostre que o polinômio característico do sistema é o produto dos polinômios de dois oscila dores Primeiro escreva um novo conjunto de equações para o sistema envolvendo as variá veis de estado Figura 792 Circuito elétrico para o Problema 738 ut R1 x1 C R2 yt L x2 Figura 793 Pêndulos acoplados para o Problema 740 k d F F g M Injetor de gás K kd θ1 ω2θ1 Kθ1 θ2 Fml θ2 ω2θ2 Kθ1 θ2 Fml θ1 θ2 M 476 Sistemas de Controle 744 As equações de movimento para uma estação de manutenção de satélite como um satélite meteo rológico são sendo x perturbação radial y perturbação de posição longitudinal u motor de propulsão de direção y conforme ilustrado na Fig 795 Se a órbita é sincronizada com a rotação da Terra então ω 2π 3600 24 rads a O estado é observável b Escolha como o vetor de estados e y como a medição e projete um observador de ordem completa com os polos alocados em s 2ω 3ω e 3ω 3ωj 745 As equações linearizadas de movimento do pêndulo simples na Fig 796 são a Escreva as equações de movimento na forma de espaço de estados b Projete um estimador observador que reconstrua o estado do pêndulo dada as medições de e Assuma ω 5 rads e escolha as raízes do estimador em s 10 10j c Escreva a função de transferência do estimador entre o valor médido de e do valor estimado do θ d Projete um controlador isto é determine o ganho de realimentação de estados K para que as raízes da equação característica em malha fechada sejam s 4 4j 746 Uma análise do erro de um navegador inercial leva ao conjunto de equações de estado normaliza das sendo x1 leste erro velocidade x2 inclinação da plataforma em relação ao eixo norte x3 norte desvio no giroscópio u mudança no coeficiente de desvio no giroscópio Projete um estimador de ordem reduzida com y x1 sendo a medição e aloque os polos do ob servador em 01 e 01 Certifiquese de fornecer todas as equações relevantes do estimador Figura 795 Diagrama de uma estação de manu tenção de satélite em órbita para o Problema 744 Longitude de referência Localização desejada na órbita u y x Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 477 Problemas da Seção 78 projeto de compensador lei de controle e estimador combinados 747 Um certo processo tem a função de transferência a Encontre F G e H para este sistema na forma canônica observável b Se u Kx calcule K para que os polos de malha fechada do controle estejam localizados em s 2 2j c Calcule L de modo que os polos do erro de estimação estejam localizados em s 10 10j d Encontre a função de transferência do controlador resultante por exemplo usando a Eq 7177 e Quais as margens de ganho e de fase do controlador e do sistema em malha aberta dado 748 O movimento linear longitudinal de um helicóptero perto de pairar veja a Fig 797 pode ser modelado pelo sistema de terceira ordem normalizada q taxa de arfagem θ ângulo de arfagem da fuselagem u velocidade horizontal notação padrão de aeronaves δ ângulo de inclinação do rotor variável de controle Suponha que nossos sensores estejam medindo a velocidade horizontal u como a saída isto é y u a Encontre as localizações dos polos de malha aberta b O sistema é controlável c Encontre o ganho de realimentação que aloca os polos do sistema em s 1 1j e s 2 d Projete um estimador de ordem completa para o sistema e aloque os polos do estimador em 8 e 4 4 j Figura 796 Diagra ma do pêndulo para o Problema 745 θ Figura 797 Helicóptero para o Problema 748 Vertical Eixo de referência da fuselagem Orientação do rotor Rotor θ δ u 478 Sistemas de Controle e Projete um estimador de ordem reduzida com ambos os polos em 4 Quais são as vantagens e desvantagens do estimador de ordem reduzida em comparação com o de ordem completa f Calcule a função de transferência do compensador usando o ganho de controle e o estima dor de ordem completa projetado no item d e trace a sua resposta em frequência usando o MATLAB Desenhe um diagrama de Bode para o projeto em malha fechada e indique as correspondentes margens de ganho e de fase g Repita o item f usando o estimador de ordem reduzida h Esboce o LRS e selecione as raízes de uma lei de controle que fornecerá uma largura de banda de controle de acordo com o projeto no item c selecione as raízes para um estimador de ordem completa que irá resultar em uma largura de banda do erro de estimação de acordo com o projeto no item d Desenhe o diagrama de Bode correspondente e compare o posi cionamento dos polos e os projetos LRS em relação à largura de banda as margens de estabi lidade a resposta ao degrau e o esforço de controle para uma entrada em degrau unitário no ângulo do rotor Use o MATLAB para os cálculos 749 Suponha que um motor de acionamento CC com a corrente no motor u está conectado às rodas de um carro a fim de controlar o movimento de um pêndulo invertido montado sobre o carro As equações linearizadas e normalizadas do movimento correspondente deste sistema podem ser co locadas na forma sendo θ ângulo do pêndulo v velocidade do carro a Desejase controlar θ realimentando u da forma Encontre os ganhos de realimentação tal que os polos de malha fechada resultantes estejam em 1 1 j b Assuma que θ e v sejam medidos Construa um estimador de θ e da forma sendo e Considere v e u conhecidos Selecione L de modo que os polos do estimador estejam em 2 e 2 c Encontre a função de transferência do controlador e trace o diagrama de Bode do sistema em malha fechada indicando as correspondentes margens de ganho e de fase d Usando o MATLAB trace a resposta do sistema para uma condição inicial em θ e encontre uma explicação física para o movimento inicial do carrinho 750 Considere o controle de a Seja y x1 e escreva as equações de estado para o sistema b Encontre K1 e K2 tal que forneça polos de malha fechada com frequência natural ωn 3 e coeficiente de amortecimento ζ 05 c Projete um estimador de estado para o sistema que forneça polos de erro de estimação com ωn1 15 e ζ1 05 d Qual é a função de transferência do controlador obtida pela combinação dos itens a ao c e Esboce o lugar das raízes do sistema resultante em malha fechada quando o ganho da planta nominalmente 10 é variado 751 Equações de movimento instáveis da forma Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 479 surgem em situações nas quais o movimento de um pêndulo de cabeça para baixo como um fo guete deve ser controlado a Seja u Kx apenas realimentação da posição esboce o lugar da raízes em relação ao ganho escalar K b Considere um compensador de avanço da forma Selecione a e K tal que o sistema exiba um tempo de subida em torno de 2 s e sobressinal não maior que 25 Esboce o lugar das raízes com relação a K c Trace o diagrama de Bode magnitude e fase da planta sem o compensador d Trace o diagrama de Bode do projeto compensado e estime a margem de fase e Projete uma realimentação de estados de modo que os polos em malha fechada estejam nos mesmos locais do projeto no item b f Projete um estimador para x e usando a medição de x y e selecione o ganho do observador L de modo que a equação para tenha raízes características com um coeficiente de amorteci mento ζ 05 e uma frequência natural ωn 8 g Desenhe um diagrama de blocos do seu estimador combinado com a lei de controle e indique onde e aparecem Desenhe um diagrama de Bode para o sistema em malha fechada e compare a largura de banda resultante e as margens de estabilidade com as obtidas utilizando o projeto no item b 752 Um modelo simplificado para o controle de um braço robótico flexível é mostrado na Fig 798 onde kM 900 rads2 y saída posição da massa u entrada posição do fim da mola a Escreva as equações de movimento na forma de espaço de estados b Projete um estimador com raízes em s 100 100j c Ambas as variáveis de estado do sistema podem ser estimadas se apenas a medida de y estiver disponível d Projete um controlador por realimentação completa de estados com as raízes em s 20 20j e Seria razoável projetar uma lei de controle para o sistema com raízes em s 200 200j Apresente suas razões f Escreva as equações para o compensador incluindo uma entrada de comando para y Trace o diagrama de Bode para o sistema em malha fechada projetado e encontre as margens de ganho e de fase Figura 798 Braço robótico simples para o Problema 752 k y M u 753 As equações diferenciais linearizadas que regem a dinâmica do fluxo de fluidos para os dois tan ques em cascata na Fig 799 são sendo δh1 desvio de profundidade em relação ao nível nominal do tanque 1 δh2 desvio de profundidade em relação ao nível nominal do tanque 2 δu desvio na taxa de fluxo de fluido para o tanque 1 controle 480 Sistemas de Controle a Controle de nível para dois tanques em cascata Usando realimentação de estados da forma escolha os valores de K1 e K2 que irão alocar os autovalores de malha fechada em b Estimador de nível para dois tanques em cascata Suponha que apenas o desvio no nível do tanque 2 seja medido isto é y δh2 Usando essa medida projete um estimador que for necerá estimativas contínuas e suaves dos desvios nos níveis dos tanques 1 e 2 com polos de erro de estimação em 8σ1 j c EstimadorControlador para os dois tanques em cascata Esboce um diagrama de blocos apresentando os integradores individuais do sistema em malha fechada obtido pela combi nação do estimador do item b com o controlador do item a d Usando o MATLAB calcule e trace a resposta em y para um desvio inicial em δh1 Assuma que σ 1 para traçar o gráfico 754 Os movimentos laterais de um navio com 100 m de comprimento movendose a uma velocidade constante de 10 ms são descritos por sendo β ângulo de derrapagem graus ψ ângulo de orientação graus δ ângulo do leme graus r taxa de guinada veja a Fig 7100 a Determine a função de transferência de δ para ψ e as raízes características do navio sem con trolador b Usando realimentação completa de estados da forma sendo ψd a orientação desejada determine os valores de K1 K2 e K3 que irão alocar as raízes de malha fechada em s 02 02 02j c Projete um estimador de estados baseado na medição de ψ obtida a partir de uma bússola por exemplo Aloque as raízes da equação de erro de estimação em s 08 e 08 08j d Encontre as equações de estado e a função de transferência do compensador Dcs na Fig 7101 e trace sua resposta em frequência e Desenhe o diagrama de Bode para o sistema em malha fechada e calcule as correspondentes margens de ganho e de fase f Calcule os ganhos para uma entrada de referência e trace a resposta ao degrau do sistema para uma mudança na orientação de 5 Figura 799 Dois tanques para o Problema 753 h1 h2 u Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 481 Problemas da Seção 79 introdução da entrada de referência com o estimador 755 Conforme mencionado na nota de rodapé 11 na Seção 792 uma abordagem razoável para sele cionar o ganho na Eq 7205 é escolher tal que quando r e y são imutáveis o ganho DC de r para u seja o negativo do ganho DC de y para u Obtenha uma fórmula para com base nesta regra de seleção Mostre que se a planta é do Tipo 1 esta escolha é a mesma dada pela Eq 7205 Problemas da Seção 710 controle integral e rastreamento robusto 756 Suponha que a equação de movimento linearizada e escalonada no tempo para o dispositivo de levitação de esferas é Aqui ω é um distúrbio constante devido ao amplificador de potência Introduza controle integral do erro e selecione três ganhos de controle K K1 K2 K3 para que os polos de malha fechada estejam em 1 e 1 j e para que o erro em estado estacionário para w e para um comando de posição degrau seja nulo Faça y x e a entrada de referência r yref uma constante Desenhe um diagrama de blocos do seu projeto mostrando as localizações dos ganhos de realimentação Ki Suponha que ambos e x possam ser medidos Tra ce a resposta do sistema em malha fechada para uma entrada de comando em degrau e a resposta para uma mudança em degrau na entrada de distúrbio Verifique se o sistema é do Tipo 1 Use o MATLAB SIMULINK para simular as respostas do sistema 757 Considere o sistema com as matrizes de estado a Use realimentação da forma onde é um escalar diferente de zero para mover os polos para 3 3j b Escolha de modo que se r é constante o sistema apresente erro em estado estacionário nulo ou seja y r Figura 7100 Vista de cima do navio para o Problema 754 Movimento do navio β ψ δ G Dc δ ψ ψd Figura 7101 Diagrama de blocos de con trole para o navio para o Problema 754 482 Sistemas de Controle c Mostre que se F mudar para F δF sendo δF uma matriz 2 2 arbitrária então a sua esco lha de no item b deixará de fazer y r Portanto o sistema não é robusto a alterações nos parâmetros em F do sistema d O desempenho do erro em estado estacionário do sistema pode ser robusto aumentando o sistema com um integrador e utilizando uma realimentação unitária isto é definindo sendo o estado do integrador Para checar isto use primeiro a realimentação de estados da forma de modo que os polos do sistema aumentado estejam em 3 2 j e Mostre que o sistema resultante fornecerá y r não importando o quanto as matrizes F e G sejam alteradas desde que o sistema em malha fechada permaneça estável f Para o item d use o MATLAB SIMULINK para traçar a resposta temporal do sistema para uma entrada constante Trace o diagrama de Bode para o controlador bem como para a função de sensibilidade S e para a função de sensibilidade complementar 758 Considere um servomecanismo para seguir a trilha de dados em um sistema de memória em disco de um computador Devido a várias imperfeições mecânicas inevitáveis a trilha de dados não é exatamente um círculo centrado e assim o servo radial deve seguir uma entrada senoidal de fre quência em radianos ω0 a velocidade de rotação do disco As matrizes de estado para um modelo linearizado de tal sistema são A entrada de referência senoidal satisfaz a Faça ω0 1 e aloque os polos do sistema de erro para um modelo interno de projeto em e o polo do estimador de ordem reduzida em b Esboce um diagrama de blocos do sistema e mostre claramente a presença do oscilador com frequência ω0 o modelo interno no controlador Verifique também a presença dos zeros bloqueando em jω0 c Use o MATLAB SIMULINK para traçar a resposta temporal do sistema para uma entrada senoidal com uma frequência ω0 1 d Trace o diagrama de Bode para mostrar como esse sistema vai responder às entradas senoi dais com diferentes frequências mas próximas de ω0 759 Calcule a função de transferência do controlador de Ys para Us no Exemplo 738 Qual é a característica proeminente do controlador que permite o rastreamento e a rejeição de distúrbios 760 Considere o problema do pêndulo com torque de controle Tc e torque de perturbação Td Aqui gl 4 Suponha que exista um potenciômetro no pino que mede o ângulo de saída θ mas com um erro de medição constante e desconhecido b Assim a equação de medição é y θ b a Selecione o vetor de estado aumentado como sendo ω a entrada de erro de medição Escreva as equações do sistema na forma de espaço de estados Forneça valores às matrizes F G e H b Usando os métodos de variáveis de estado mostre que a equação característica do modelo é ss2 4 0 Capítulo 7 Projeto no Espaço de Estados 483 c Mostre que ω é observável se assumirmos que y θ e escreva as equações do estimador para Selecione os ganhos do estimador para alocar as raízes da equação caracte rística de erro do estimador em 10 d Usando realimentação completa das variávies de estados estimadas controláveis obtenha uma lei de controle para alocar os polos de malha fechada em 2 2j e Desenhe um diagrama de blocos completo do sistema em malha fechada estimador planta e controlador utilizando blocos integradores f Introduza o erro de medição estimado no controle de modo a produzir erro em estado esta cionário nulo para o erro de medição na saída b Demonstre o desempenho de seu projeto traçando a resposta do sistema a uma mudança em degrau de b ou seja b muda de 0 a um valor constante Problemas da Seção 713 projeto para sistemas com atraso puro de tempo 761 Considere o sistema com função de transferência eTsGs sendo O compensador de Smith para o sistema é dado por Trace a resposta em frequência do compensador para T 5 e Dc 1 e trace o diagrama de Bode que mostra as margens de fase e ganho do sistema22 22 Este problema foi dado por Åström 1977 Controle Digital 8 A maioria dos controladores que estudamos até o momento foi descrita pela transformada de La place ou pelas equações diferenciais e estritamente falando assumimos que será construída uti lizando eletrônica analógica como aquelas das Figs 531 e 535 Entretanto como discutido na Seção 44 a maioria dos sistemas de controle atualmente usa computadores digitais geralmente microprocessadores para implementar os controladores A intenção deste capítulo é expandir o projeto de sistemas de controle que serão implementados em um computador digital A implemen tação resulta em um atraso médio de meio período de amostragem e em um fenômeno chamado de aliasing e ambos precisam ser abordados no projeto do controlador Eletrônica analógica pode integrar e diferenciar sinais Para que um computador digital rea lize essas tarefas as equações diferenciais que descrevem a compensação devem ser aproximadas por meio de sua redução a equações algébricas envolvendo adição divisão e multiplicação assim como foi desenvolvido na Seção 44 Este capítulo apresenta várias maneiras de realizar essas aproximações O projeto resultante pode ser ajustado se necessário utilizando diretamente aná lise e projeto digital A partir do material neste capítulo o leitor deve ser capaz de projetar analisar e implementar um sistema de controle digital No entanto o tratamento aqui é uma versão limitada de um tema complexo abordado com mais detalhes em Digital Control of Dynamic Systems de Franklin et al 1998 3a ed Visão geral do capítulo Na Seção 81 descrevemos a estrutura básica dos sistemas de controle digital e introduzimos as questões que surgem devido à amostragem A implementação digital descrita na Seção 44 é sufi ciente para a implementação de uma lei de controle por realimentação em um sistema de controle Capítulo 8 Controle Digital 485 digital que pode ser avaliado via SIMULINK para determinar a degradação em relação ao caso contínuo No entanto para entender completamente o efeito da amostragem é útil aprender sobre ferramentas de análise discreta linear Isso requer uma compreensão da transformada z que discutiremos na Seção 82 A Seção 83 baseiase nessa compreensão para prover uma base melhor para o projeto usando equivalentes discretos que foram brevemente discutidos na Seção 44 Características em relação aos componentes físicos do controlador e questões sobre a taxa de amostragem são discutidas nas Seções 84 e 85 e ambas precisam ser abordadas para a implementação de um controlador digital Em contraste com o projeto do controlador discreto equivalente que é um método aproxi mado a Seção 86 opcional explora o projeto do controlador digital de forma direta também chamado de projeto discreto que fornece um método exato que é independente de a taxa de amostragem ser rápida ou não 81 Digitalização A Fig 81a mostra a topologia do sistema contínuo típico que consideramos nos capítulos an teriores O cálculo do sinal de erro e e da dinâmica do compensador Ds podem ser realizados em um computador digital como mostrado na Fig 81b As diferenças fundamentais entre as duas implementações são que o sistema digital opera com amostras da saída medida da planta em vez do sinal contínuo e que o controle fornecido por Ds deverá ser gerado por equações algébricas recursivas Inicialmente consideramos a ação do conversor analógicodigital AD em um sinal Este dispositivo amostra uma variável física geralmente uma tensão elétrica e depois converte a amostra em um número binário que normalmente consiste de 10 à 16 bits A conversão do sinal analógico yt para as amostras ykT ocorre repetidamente em instantes de tempo de T segundos T é o período de amostragem e 1T é a taxa de amostragem em Hertz O sinal amostrado é ykT com k podendo assumir qualquer valor inteiro Muitas vezes ele é escrito simplesmente como yk Chamamos esse tipo de variável de sinal discreto para distinguila de um sinal contínuo yt que muda continuamente no tempo Um sistema com sinais discreto e contínuo é chamado de sistema de dados amostrados Período de amostragem Figura 81 Diagrama de blocos para um sistema de controle básico a sis tema contínuo b com um computador digital Planta Ds Gs rt ut yt yt 1 Controlador contínuo et ekT Sensor rt Equações de diferenças ukT Planta Gs yt 1 Sensor ut Clock Amostrador Controlador digital T T ykT rkT yt b a DA e segurador AD 486 Sistemas de Controle Assumimos aqui que o período de amostragem é fixo Na prática sistemas de controle digital às vezes têm diferentes períodos de amostragem eou diferentes períodos em diferen tes caminhos de realimentação Normalmente a lógica do computador inclui um clock que fornece um pulso ou interrupções a cada T segundos e o conversor AD envia um número para o computador cada vez que a interrupção chega Uma implementação alternativa muitas vezes referida como livre curso é acessar o conversor AD depois que cada ciclo de execução do código tenha sido concluído No primeiro caso o período de amostragem é precisamente fixo no último caso o período de amostragem é fixado essencialmente pelo comprimento do código desde que não haja ramos lógicos presentes o que pode variar a quantidade de códi go executado Também pode haver um amostrador e um conversor AD para a entrada de comando rt que produz rkT discreto do qual a saída medida ykT será subtraída para obter o sinal de erro discreto ekT Como vimos nas Seções 44 e 544 e no Exemplo 615 o compensador contínuo é aproximado por equações de diferenças que são versões discretas das equações diferenciais e podem substituir o comportamento dinâmico de Ds caso o período de amostragem seja bastante curto O resultado das equações de diferenças é um dado discreto ukT a cada instante de amostragem Este sinal é convertido para um sinal contínuo ut pelo conversor digital analógico DA e pelo segurador o conversor DA altera o número binário para uma tensão analógica e o segurador de ordem zero mantém a mesma tensão durante todo o período de amostragem O ut resultante então é aplicado no atuador precisamente da mesma maneira que a implementação contínua Existem duas técnicas básicas para encontrar as equações de diferenças para o controlador digital Uma técnica chamada equivalente discreto consiste em projetar um compensador contínuo Ds usando os métodos descritos nos capítulos anteriores então Ds é aproximado usando o método da Seção 44 Método Tustin ou um dos outros métodos descritos na Seção 83 A outra técnica é o projeto discreto descrita na Seção 86 Nela as equações de diferenças são encontradas diretamente sem projetar Ds inicialmente A taxa de amostragem necessária depende da largura de banda do sistema em malha fe chada Geralmente as taxas de amostragem devem ser cerca de 20 vezes a largura de banda ou mais rápidas a fim de assegurar que o controlador digital irá igualar o desempenho do con trolador contínuo Taxas de amostragem mais lentas podem ser usadas se algumas adaptações forem feitas no controlador digital ou alguma degradação do desempenho for aceitável O uso do método de projeto discreto descrito na Seção 86 permite uma taxa de amostragem muito mais lenta se for desejável minimizar os custos de implementação física no entanto o melhor desempenho de um controlador digital é obtido quando a taxa de amostragem é superior a 25 vezes a largura de banda Vale a pena notar que o impacto mais importante da implementação de um sistema de con trole digital é o atraso associado ao segurador Como cada valor de ukT na Fig 81b é mantido constante até o próximo valor do computador estar disponível o valor contínuo de ut consiste de degraus veja a Fig 82 que em média estão atrasados de ukT por T2 como mostrado na figura Se simplesmente incorporarmos este atraso de T2 na análise contínua do sistema tere Segurador de ordem zero Equivalente discreto Seleção da taxa de amostragem Figura 82 Atraso devido à operação do segurador u kT 1 2 3 4 5 6 7 8 ukT ut médio Controle contínuo ut Controle do DA Capítulo 8 Controle Digital 487 mos uma excelente previsão dos efeitos da amostragem para taxas de amostragem muito mais lentas do que 20 vezes a largura de banda Discutiremos isso mais adiante na Seção 833 82 Análise dinâmica de sistemas discretos A transformada z é a ferramenta matemática para a análise de sistemas lineares discretos Ela desempenha o mesmo papel para os sistemas discretos que a transformada de Laplace para sis temas contínuos Esta seção vai dar uma breve descrição da transformada z descrever seu uso na análise de sistemas discretos e mostrar como ela se relaciona com a transformada de Laplace 821 Transformada z Na análise de sistemas contínuos usamos a transformada de Laplace que é definida como e fornece diretamente a importante propriedade que com condições iniciais nulas 81 A relação 81 nos permite facilmente encontrar a função de transferência de um sistema linear contínuo dada a equação diferencial desse sistema Para sistemas discretos um processo similar está disponível A transformada z é definida por 82 sendo fk a versão amostrada de ft como mostrado na Fig 83 e k 0 1 2 3 referese aos tempos de amostragem discretos t0 t1 t2 t3 Isso fornece diretamente a propriedade análoga à Eq 81 especificamente que 83 Esta relação nos permite encontrar facilmente a função de transferência de um sistema discreto dadas as equações de diferenças do sistema Por exemplo a equação de diferenças de segunda ordem geral pode ser convertida a partir desta forma para a transformada z das variáveis yk uk invo cando a Eq 83 uma ou duas vezes para chegar em 84 A Eq 84 então resulta na função de transferência discreta Transformada z Função de transferência discreta Figura 83 Um versão contínua amostrada do sinal f ft t ft fk 0 T 2T 3T T 488 Sistemas de Controle 822 Inversão da transformada z A Tabela 81 relaciona simples funções de tempo discreto às suas transformadas z e fornece a transforma de Laplace para as mesmas funções temporais Dada uma transformada z qualquer podemos expandila em uma soma de termos elementares usando expansão em frações parciais veja o Apêndice A e encontrar a série temporal resultante a partir da tabela Esses procedimentos são exatamente os mesmos que os utilizados para os sistemas contínuos como no caso contínuo a maioria dos projetistas usaria uma avaliação numérica das equações discretas para obter um histórico temporal em vez de inverter a transformada z TABELA 81 Transformadas de Laplace e transformadas z para funções simples de tempo discreto No Fs fkT Fz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 sen 19 20 21 22 Fs é a transformada de Laplace de ft e Fz é a transformada z de fkT Nota ft 0 para t 0 Capítulo 8 Controle Digital 489 A técnica de inversão da transformada z que não tem contrapartida contínua é chamada de divisão longa Dada a transformada z 85 simplesmente dividimos o denominador pelo numerador usando a divisão longa O resultado é uma série talvez com um número infinito de termos em da qual a série temporal pode ser encontrada usando a Eq 82 Por exemplo um sistema de primeira ordem descrito pela equação de diferença fornece a função de transferência discreta Para uma entrada de pulso unitário definida como então a transformada z é 86 assim 87 Portanto para encontrar a série temporal dividimos o numerador da Eq 87 pelo seu denomi nador usando a divisão longa Isso fornece a série infinita 88 A partir das Eqs 88 e 82 vemos que o histórico temporal amostrado de y é Inversão da transformada de z divisão longa 490 Sistemas de Controle 823 Relação entre s e z Para sistemas contínuos vimos no Capítulo 3 que certos comportamentos resultam das dife rentes localizações dos polos no planos comportamento oscilatório para polos próximos do eixo imaginário decaimento exponencial para polos no eixo real negativo e comportamento instável para os polos com parte real positiva Também seria útil saber um tipo de associação similar quando se projeta sistemas discretos Considere o sinal contínuo que tem a transformada de Laplace e corresponde ao polos em s a A transformada z de fkT é 89 A partir da Tabela 81 podemos ver que a Eq 89 é equivalente a que corresponde ao polo em z e aT Isso significa que um polo em s a no planos corres ponde a um polo em z e aT no domínio discreto Isso é verdadeiro em geral As características equivalentes no planoz estão relacionados às do planos pela ex pressão 810 sendo T o período de amostragem Característica da relação entre planoz e planos A Tabela 81 também inclui as transformadas de Laplace o que demonstra a relação z esT para as raízes dos denominadores dos termos da tabela para Fs e Fz A Fig 84 mostra o mapeamento de linhas de amortecimento constante ζ e frequência na tural ωn do planos para a metade superior do planoz usando a Eq 810 O mapeamento tem várias características importantes veja o Problema 84 1 O limite de estabilidade é o círculo unitário z 1 2 A pequena vizinhança em torno de z 1 no planoz é essencialmente idêntica à vizinhan ça em torno de s 0 no planos 3 As localizações no planoz fornecem informações da resposta normalizada para a taxa de amostragem ao invés do tempo como no planos 4 O eixo z real negativo representa sempre uma frequência de ωs2 sendo ωs 2πT taxa de amostragem em radianos por segundo 5 As linhas verticais na metade esquerda do planos parte real constante são mapeadas em círculos dentro do círculo unitário do planoz 6 As linhas horizontais no planos parte imaginária constante são mapeadas em linhas ra diais no planoz 7 Frequências maiores que ωs2 chamadas de frequência de Nyquist aparecem no topo do planoz correspondendo às frequências mais baixas devido ao caráter circular das funções trigonométricas embutidas na Eq 810 Esta sobreposição é chamada de aliasing ou do bramento Como resultado é necessário amostrar pelo menos duas vezes mais rápido que a componente de frequência mais alta do sinal a fim de representar esse sinal com amostras Discutiremos aliasing com mais detalhes na Seção 843 Para fornecer informações sobre a correspondência entre localizações no planoz a sequência temporal resultante a Fig 85 apresenta esboços de respostas temporais que Frequência de Nyquist ωs2 Capítulo 8 Controle Digital 491 resultariam das localizações dos polos indicados Essa figura é o equivalente discreto da Fig 315 824 Teorema do Valor Final O Teorema do Valor Final para sistemas contínuos que foi discutido na Seção 316 afirma que 811 desde que todos os polos de sXs estejam no semiplano esquerdo SPE Ele é frequentemente usado para encontrar erros em estado estacionário do sistema eou ganhos de estado estacioná rio de partes de um sistema de controle Podemos obter uma relação semelhante para sistemas discretos ao observar que uma resposta em estado estacionário contínua e constante é denotada por Xs As e leva à multiplicação por s na Eq 811 Portanto como a resposta em estado estacionário constante para sistemas discretos é o Teorema do Valor Final discreto é 812 se todos os polos de 1 z 1Xs estiverem dentro no círculo unitário Por exemplo para encontrar o ganho DC da função de transferência Teorema do Valor Final para sistemas discretos Rez Imz 12 10 08 06 04 02 0 02 04 06 08 10 10 08 06 04 02 0 10T 9π 5T 4π 10T 7π 5T 2π 5T 3π 10T 3π 10T π 20T π ωn 2T π ωn T π ζ 10 ζ 0 s ζωn jωn T Período de amostragem 09 08 07 06 05 04 03 02 01 z eTs 5T 1π 1 ζ2 Figura 84 Frequência natural cor sólida e amortecimento cor clara no planoz a parte abaixo do eixo Rez não mostrada é a imagem espelhada da parte superior mostrada 492 Sistemas de Controle fazemos uk 1 para k 0 tal que e Aplicando o Teorema do Valor Final temos assim o ganho DC de Gz é unitário Para encontrar o ganho DC de qualquer função de trans ferência estável basta substituir z 1 e calcular o ganho resultante Devido ao fato de o ganho DC de um sistema não mudar na representação de forma contínua ou discreta esse cálculo é uma excelente ajuda para verificar se um controlador discreto equivalente corresponde a um controlador contínuo Também é uma boa forma de verificação dos cálculos associados à deter minação do modelo discreto de um sistema Ganho DC Rez Imz 1 05 1 05 Figura 85 Sequências temporais associadas a pontos no planoz Capítulo 8 Controle Digital 493 83 Projeto usando equivalentes discretos O projeto via equivalente discreto às vezes chamado de emulação está parcialmente descri to na Seção 44 e procede pelas seguintes etapas 1 Projete um compensador contínuo como descrito nos Capítulos 1 ao 7 2 Digitalize o compensador contínuo 3 Use análise discreta simulação ou experimentação para verificar o projeto Na Seção 44 discutimos o método de Tustin para realizar a digitalização Munidos com uma compreensão da transformada z da Seção 82 desenvolvemos agora mais procedimentos de digitalização e de análise do desempenho de sistemas de controle digitalizados Suponha que nos é dado um compensador contínuo Ds como mostrado na Fig 81a De sejamos encontrar um conjunto de equações de diferenças ou Dz para a implementação digital deste do compensador como na Fig 81b Primeiro vamos reformular o problema como um problema de encontrar a melhor implementação digital de Dz mostrada na Fig 86a para re presentar o sistema contínuo representado por Ds na Fig 86b Nesta seção vamos examinar e comparar os três métodos de resolver este problema É importante lembrar como dito antes que esses métodos são aproximações não há solu ção exata para todas as entradas possíveis porque Ds responde ao histórico temporal completo de et enquanto que Dz tem acesso apenas às amostras ekT Neste sentido as várias técni cas de digitalização simplesmente fazem suposições diferentes sobre o que acontece com et entre os pontos de amostra Método de Tustin Como discutido na Seção 44 uma técnica de digitalização é abordar o problema como uma integração numérica Suponha a qual é uma integração Portanto 813 e pode ser reescrita como área sob et sobre o último T 814 sendo T o período de amostragem Para o método de Tustin a tarefa em cada passo é usar a integração trapezoidal ou seja aproximar et por uma linha reta entre as duas amostras Fig 87 Escrevendo ukT como uk e ukT T como uk 1 por simplicidade nós convertemos a Eq 814 em 815 ou obtendo a transformada z 816 Etapas de projeto usando equivalentes discretos Figura 86 Comparação das implementações a digital b contínua ekT et T Dz ukT ZOH ut et Ds ut a b 494 Sistemas de Controle Para Ds as a aplicando a mesma aproximação para integração temos De fato substituindo em toda ocorrência de s em qualquer Ds obtemos um Dz baseado na fórmula de integração trapezoidal Isso é chamado de método de Tustin ou aproximação bilinear Encontrar aproxi mação Tustin à mão mesmo para uma função de transferência simples requer muita e extensa manipulação algébrica A função c2d do MATLAB acelera o processo como mostrado no seguinte exemplo EXEMPLO 81 Controle digital para o Exemplo 615 usando a aproximação de Tustin Determine as equações de diferenças para a implementação do compensador do Exemplo 615 com uma taxa de amostragem de 25 vezes a largura de banda usando a aproximação de Tustin Compare o resultado obtido com o desempenho do sistema contínuo e a implementação discre ta feita no Exemplo 615 com uma taxa de amostragem mais lenta Solução A largura de banda ωBW para o Exemplo 615 é aproximadamente 10 rads como pode ser deduzido observando que a frequência de cruzamento ωc é aproximadamente 5 rads e utilizando a relação entre ωc e ωBW na Fig 651 Portanto a frequência de amostragem deve ser rads Normalmente quando uma frequência é indicada com unidades de ciclos por segundo ou Hz é dado o símbolo f assim com essa convenção temos 817 então o período de amostragem é s O compensador discreto é calculado pelos comandos no MATLAB sysDs tf1005 101 1 sysDd c2dsysDs0025tustin que fornece 818 Método de Tustin ou aproximação bilinear Figura 87 Integração trapezoidal t et kT T kT Capítulo 8 Controle Digital 495 Então podemos escrever a equação de diferenças inspecionando a Eq 818 para obter ou de forma equivalente adicionando 1 a todas as variáveis de tempo 819 A Eq 819 calcula o novo valor de controle uk 1 dado o valor de controle passado uk e os valores novos e passados do sinal de erro ek 1 e ek Em princípio a equação de diferenças é avaliada inicialmente com k 0 então k 1 2 3 No entanto normalmente não há exigência de que os valores para todos os momentos sejam guardados na memória Portanto o computador só precisa ter as variáveis definidas para os valores atuais e passados As instruções para o computador implementar o lação de reali mentação na Fig 81b com a equação de diferença a partir da Eq 819 poderia usar um laço contínuo através do seguinte código LEIA y r SAÍDA up u onde up será o valor passado para o próximo ciclo ep e volte a LEIA quando T s se passarem desde a última LEIA Use o SIMULINK para comparar as duas implementações de maneira semelhante à uti lizada no Exemplo 615 e obtenha as respostas ao degrau mostradas na Fig 88 Note que a amostragem de 25 vezes a largura de banda faz com que a implementação digital corresponda ao contínuo muito bem Observe também que o mesmo caso com metade da taxa de amostra gem cuja resposta ao degrau é mostrada na Fig 659 contém uma degradação perceptível no sobressinal e amortecimento em relação ao caso contínuo De modo geral se é desejado obter um sistema correspondente ao sistema contínuo com uma aproximação digital da compensação contínua devese amostrar cerca de 25 vezes a largura de banda ou mais rápido Figura 88 Comparação entre as res postas ao degrau para os controladores contínuo e digital com uma taxa de amostragem de 25 vezes a largura de banda a posição b controle 1 2 18 16 14 12 0 02 04 06 08 Tempo s b 20 10 0 10 20 30 40 50 Controle u 1 2 18 16 14 12 0 02 04 06 08 Tempo s a 0 02 04 06 08 1 12 14 Posição y Controlador contínuo Controlador contínuo Controlador digital Controlador digital 496 Sistemas de Controle 831 Método de correspondência polozero MPZ Outro método de digitalização chamado de método de correspondência polozero é encon trado por extrapolação a partir da relação entre os planos s e z indicada na Eq 810 Se tomar mos a transformada z de uma função amostrada xk então os polos de Xz estão relacionados com os polos de Xs de acordo com a relação z esT A técnica MPZ aplicase à relação z esT para os polos e zeros de uma função de transferência embora estritamente falando esta relação não se aplique a funções de transferência e nem mesmo aos zeros de uma sequência temporal Como todos os métodos de digitalização de funções de transferência o método MPZ é uma aproximação aqui a aproximação é motivada em parte pelo fato de que z esT é a transformação correta de s para z dos polos da transformada de uma sequência temporal e em parte pela quantidade mínima de álgebra necessária para determinar a função de transferência digitalizada à mão de modo a facilitar a verificação dos cálculos computacionais Em razão de os sistemas físicos geralmente terem mais polos do que zeros é útil adicionar arbitrariamente zeros em z 1 resultando em um termo 1 z 1 em Dz Isso causa uma média dos valores de entrada atuais e passados como no método de Tustin Nós selecionamos o ganho de baixa frequência de Dz de modo que ele seja igual ao ganho de Ds Resumo do método MPZ 1 Mapeie os polos e zeros de acordo com a relação z esT 2 Se o numerador tiver ordem menor que o denominador adicione potências de z 1 no numerador até que o numerador e o denominador tenham a mesma ordem 3 Defina o ganho DC ou de baixa frequência de Dz igual ao de Ds A aproximação MPZ de 820 é 821 sendo que Kd é encontrado fazendo com que o ganho DC de Dz se iguale ao ganho DC de Ds usando as versões contínua e discreta do Teorema do Valor Final O resultado é ou 822 Para um Ds com o denominador de ordem mais alta o Passo 2 do método pede para adi cionar o termo z 1 Por exemplo 823 onde depois de remover os polos em s 0 e z 1 824 Nos métodos de digitalização descritos até o momento a mesma potência de z aparece no numerador e no denominador de Dz Isso implica que a saída da equação de diferença no 498 Sistemas de Controle 828 A inspeção da Eq 828 nos fornece a equação de diferenças 829 com e isso completa o algoritmo de projeto digital O sistema digital completo é mostrado na Fig 811 O último passo no processo de projeto é a verificação implementando o projeto no com putador A Fig 812 compara a resposta ao degrau do sistema digital usando T 1 s com a resposta ao degrau da compensação contínua Observe que há um maior sobressinal e um maior tempo de acomodação no sistema digital o que sugere uma diminuição no amortecimento O atraso médio T2 mostrado na Fig 82 é a causa da redução do amortecimento Para uma ade quação melhor ao sistema contínuo pode ser prudente aumentar a taxa de amostragem A Fig 812 também mostra a resposta com uma amostragem duas vezes mais rápida e podese ver que a resposta se torna muito mais próxima da resposta do sistema contínuo Note que a compensa ção discreta tem que ser recalculada para esta taxa de amostragem mais rápida de acordo com as Eqs 821 e 822 Figura 811 Um sistema de controle digital equivalente à Fig 89 rk ut uk yk ZOH s2 1 Amostrador T 1 s e conversor analógico para digital Planta Computador Eq 829 yt Tempo s 0 5 10 15 20 25 30 Saída da planta 16 14 12 10 08 06 04 02 0 Projeto contínuo Projeto equivalente discreto T 1 s Projeto equivalente discreto T 05 s Figura 812 Respostas ao degrau para as implementações discreta e contínua Capítulo 8 Controle Digital 499 É impossível amostrar ek calcular uk e então a saída uk em um intervalo de tem po nulo portanto as Eqs 826 e 829 são impossíveis de serem implementadas de forma precisa No entanto se a equação é bastante simples eou o computador é bastante rápido um pequeno atraso computacional entre a amostra ek e uk terá um efeito negligenciável sobre a resposta real do sistema em comparação com o esperado a partir do projeto original Uma regra de ouro seria manter o atraso computacional da ordem de 110 de T A parte física do compu tador e o código de tempo real podem ser estruturados de forma que o atraso seja minimizado certificandose de que os cálculos entre ler AD e escrever DA sejam minimizados e que uk seja enviado para o SOZ imediatamente após seu cálculo 832 Método modificado de correspondência polozero MMPZ O Dz na Eq 823 também pode resultar em uk dependente de ek no mesmo instante de tempo Se a estrutura física do computador proíbe essa relação ou se os cálculos são particular mente longos pode ser desejável obter um Dz que tenha a potência de z no numerador menor por uma unidade do que a potência de z no denominador portanto a saída de computador uk exigiria apenas a entrada a partir do momento anterior isto é ek 1 Para fazer isso simples mente modificamos o Passo 2 no método MPZ de modo que o numerador tenha ordem inferior ao denominador por 1 Por exemplo se vamos ao Passo 2 para obter 830 Para encontrar a equação de diferenças multiplicamos o numerador e o denominador da Eq 830 por z 2 para ober 831 Inspecionando a Eq 831 podemos ver que a equação de diferenças é Nesta equação um período de amostragem inteiro está disponível para realizar o cálculo e obter uk pois depende apenas de ek 1 A análise discreta deste controlador portanto explica com mais precisão o comportamento do sistema real No entanto devido ao fato de este controlador usar dados que são do ciclo anterior ele normalmente não tem desempenho tão bom como o controlador MPZ em termos dos desvios da saída desejada do sistema na presença de perturbações aleatórias 833 Comparação dos métodos de aproximação digital Uma comparação numérica da magnitude da resposta em frequência do sistema é feita na Fig 813 para as três técnicas de aproximação e duas taxas de amostragem diferentes Os Dz usados para construir a Fig 813 são apresentados na Tabela 82 A Fig 813 mostra que todas as aproximações são muito boas em frequências abaixo de cerca de 14 da taxa de amostragem ou ωs4 Se ωs4 é suficientemente maior do que a frequên 500 Sistemas de Controle cia de quebra do filtro ou seja se a amostragem é rápida o bastante as características do ponto de quebra do compensador serão reproduzidas com precisão A técnica de Tustin e o mé todo MPZ mostram um corte aprofundado em ωs2 por causa de seu zero em z 1 do termo z 1 Desconsiderando a grande diferença em ωs2 que normalmente está fora do intervalo de interesse os três métodos têm precisão semelhante 834 Limites da aplicabilidade do método de projeto equivalente discreto Se realizamos uma análise discreta exata ou uma simulação de um sistema e determinarmos a digitalização para uma ampla faixa da taxa de amostragem o sistema seria frequentemente instável para taxas mais lentas do que aproximadamente 5ωn e o amortecimento poderia ser de gradado significativamente para taxas mais lentas que cerca de 10ωn Para taxas de amostragem 20ωn ou 20 vezes a largura de banda para sistemas mais complexos o projeto baseado no compensador discreto equivalente fornece resultados razoáveis e com taxas de amostragem de 30 vezes a largura de banda ou superior os compensadores equivalentes discretos podem ser usados com confiança Como mostrado na Fig 82 os erros acontecem porque a técnica ignora o efeito do atraso do SOZ que em média é T2 Um método para levar o atraso em conta é aproximar o atraso T2 com a Eq 594 incluindo uma aproximação para a função de transferência para o SOZ1 GSOZ 832 Uma vez que o projeto inicial é realizado e a taxa de amostragem é selecionada podemos melhorar nosso projeto discreto inserindo a Eq 832 no modelo original da planta e ajustando Ds para que uma resposta satisfatória seja alcançada na presença do atraso de amostragem Portanto vemos que o uso da Eq 832 parcialmente alivia a natureza aproximada no uso dos discretos equivalentes 1 Ou outra aproximação de Padé como discutido na Seção 563 Função de transferência SOZ ω rads T s ωs 100 rads ωs 20 rads Dz 1 Dz 1 ω rads 05 01 01 MMPZ Tustin MPZ Ds Ds MMPZ Tustin MPZ 5 50 05 5 50 115 T s 1 3 Figura 813 Uma comparação da resposta em frequência de três aproximações discretas TABELA 82 Comparação das aproximações digitais de Dz para Ds 5s5 Método 100 rads 20 rads Correspondência polozero MPZ MPZ Modificado Tustin Capítulo 8 Controle Digital 501 84 Características físicas Um sistema de controle digital inclui vários componentes exclusivos não encontrados em siste mas de controle contínuo um conversor analógicodigital é um dispositivo que amostra o sinal de tensão contínuo a partir do sensor e converte o sinal para uma palavra digital um conversor digitalanalógico é um dispositivo para converter a palavra digital do computador para uma voltagem analógica um préfiltro antialias é um dispositivo analógico projetado para reduzir os efeitos de aliasing e o computador é o dispositivo no qual a compensação Dz é programada e os cálculos são realizados Esta seção fornece uma breve descrição de cada uma deles 841 Conversores analógicodigital AD Como discutido na Seção 81 conversores AD são dispositivos que convertem um nível de ten são de um sensor para uma palavra digital usável pelo computador No nível mais básico todas as palavras digitais são números binários consistindo em muitos bits que são setados como 1 ou 0 Portanto a tarefa do conversor AD em cada tempo de amostragem é converter um nível de tensão para o padrão correto de bits e muitas vezes manter esse padrão até o momento da próxima amostra Das muitas técnicas de conversão AD que existem as mais comuns são baseadas em es quemas de contagem ou em uma técnica de aproximação sucessiva Em métodos de contagem a tensão de entrada pode ser convertida em um trem de pulsos cuja frequência é proporcional ao nível de tensão Os pulsos então são contados durante um período fixo utilizando um con tador binário resultando em uma representação binária do nível de tensão Uma variação deste esquema é começar a contagem simultaneamente com uma tensão que é linear no tempo e parar a contagem quando a tensão atinge a magnitude da tensão de entrada a ser convertida A técnica de aproximação sucessiva tende a ser muito mais rápida do que os métodos de contagem Ela é baseada na comparação sucessiva da tensão de entrada com níveis de refe rência que representam os vários bits na palavra digital Inicialmente a tensão de entrada é comparada com um valor de referência que é a metade do valor máximo Se a tensão de entrada é maior o bit mais significativo é setado e então o sinal é comparado com um nível de referên cia que é 34 do máximo para determinar o bit seguinte e assim por diante Um ciclo de clock é necessário para definir cada bit por isso um conversor nbit exige n ciclos Na mesma frequên cia de clock um contador baseado no conversor pode exigir até 2n ciclos o que normalmente seria muito mais lento Com qualquer técnica quanto maior o número de bits mais tempo é necessário para reali zar a conversão O preço de conversores AD geralmente aumenta com a velocidade e a quan tidade de bit Em 2009 um conversor de 14bit resolução de 0006 com uma capacidade de desempenho elevado tempo de conversão 10n s 100 milhões de amostras por segundo era vendido por aproximadamente US 25 enquanto um conversor de 12 bits 0025 com uma boa capacidade de desempenho tempo de conversão de 1 μ s 1 milhão de amostras por segundo era vendido por aproximadamente US 4 Um conversor de 8 bits 04 resolução com um tempo de conversão 1 μ s era vendido por aproximadamente US 1 O desempenho tem melhorado consideravelmente a cada ano Se mais de um canal de dados precisa ser amostrado e convertido em palavras digitais geralmente se usa um multiplexador em vez de conversores AD múltiplos O multiplexador conecta sequencialmente o conversor para o canal que está sendo amostrado 842 Conversores digitalanalógico DA Conversores DA como mencionado na Seção 81 são utilizados para converter as palavras digitais do computador para um nível de tensão e às vezes são referidos como dispositivos que Amostram e Seguram Eles oferecem saídas analógicas de um computador para a condução de atuadores ou talvez para um dispositivo de gravação como um osciloscópio ou registrador gráfico A ideia básica por trás de sua operação é que os bits binários formem interruptores portões eletrônicos para abrir ou fechar assim encaminhando a corrente elétrica através de 502 Sistemas de Controle uma rede de resistência adequada para gerar o nível de tensão correto Como não é necessária a contagem ou iteração para tais conversores eles tendem a ser muito mais rápidos do que os con versores AD Na verdade os conversores AD que usam o método de aproximações sucessivas de conversão incluem conversores DA como componentes 843 Préfiltros antialias Um préfiltro antialias analógico geralmente é colocado entre o sensor e o conversor AD Sua função é reduzir as componentes de alta frequência de ruído no sinal analógico a fim de evitar o aliasing tendo assim modulado o ruído para uma frequência mais baixa pelo processo de amostragem Um exemplo de aliasing é mostrado na Fig 814 na qual um sinal de 60 Hertz oscilatório está sendo amostrado a 50 Hertz A figura mostra o resultado das amostras como um sinal de 10 Hertz e mostra também o mecanismo pelo qual a frequência do sinal de 60 Hertz se reduz para10 Hertz devido ao aliasing O aliasing vai ocorrer a qualquer momento quando a taxa de amostragem não for pelo menos duas vezes mais rápida que qualquer uma das frequências do sinal que está sendo amostrado Portanto para evitar o aliasing em um sinal de Hertz 60 a taxa de amostragem teria de ser mais rápida que 120 Hertz claramente muito superior à taxa de 50 Hertz na figura Aliasing é uma das consequências do teorema de amostragem de Nyquist e Shannon O teorema basicamente afirma que para o sinal ser reconstruído com precisão a partir das amos tras não deve haver componente de frequência maior do que a metade da taxa de amostragem Outra consequência desse teorema é que a maior frequência que pode ser representada sem ambiguidade por amostras discretas é a taxa de Nyquist uma ideia que discutimos na Seção 823 A consequência do aliasing em um sistema de controle digital pode ser significativa Em um sistema contínuo componentes de ruído com frequência muito maior do que a largura de banda do sistema de controle normalmente têm um efeito pequeno porque o sistema não responderá a altas frequências No entanto em um sistema digital a frequência do ruído pode sofrer uma redução devido ao aliasing até a proximidade da largura de banda do sistema de forma que o sistema em malha fechada responda ao ruído Assim o ruído em um sistema de controle digital mal projetado poderia ter um efeito substancialmente maior do que se o contro le tivesse sido implementado utilizando eletrônica analógica A solução é colocar um préfiltro analógico antes do amostrador Em muitos casos um simples filtro passabaixa de primeira ordem faz isso no qual o ponto de quebra a é selecionado para ser menor que de modo que qualquer ruído presente com frequências maiores que seja atenuado pelo préfiltro Quanto menor a fre quência do ponto de quebra selecionado mais ruído acima de é atenuado No entanto um ponto de quebra muito pequeno pode forçar o projetista a reduzir a largura de banda do sistema Préfiltros analógicos reduzem o aliasing Teorema de amostragem de Nyquist e Shannon Figura 814 Um exemplo de aliasing Tempo s 002 008 01 Sinal de 50 Hertz Sinal amostrado com aliasing Sinal de 60 Hertz Capítulo 8 Controle Digital 503 de controle O préfiltro não elimina completamente o aliasing no entanto por meio da escolha criteriosa do ponto de quebra do préfiltro e da taxa de amostragem o projetista tem a capacida de de reduzir a magnitude do ruído sujeito ao aliasing para um nível aceitável 844 O computador O computador é a unidade que realiza todos os cálculos Atualmente a maioria dos controla dores digitais usados é construída em torno de um microcontrolador que contém um micropro cessador e a maioria das outras funções necessárias incluindo os conversores AD e DA Para fins de desenvolvimento em laboratório um controlador digital pode ser uma grande estação de trabalho ou um PC O custo relativamente baixo da tecnologia do microprocessador foi respon sável pelo grande aumento no uso de sistemas de controle digital que começou na década de 1980 e continua até os anos 2000 O computador é composto de uma unidade de processamento central CPU que faz os cálculos e fornece a lógica do sistema um clock para sincronizar o sistema módulos de memória para armazenamento de dados e instruções e uma fonte de alimentação para fornecer as várias tensões necessárias Os módulos de memória vêm em três variedades básicas 1 Memória só de leitura ROM é a menos cara mas depois de fabricada seu conteúdo não pode ser alterado A maioria das memórias em produtos fabricados em escala é ROM Ela retém seus valores armazenados quando a energia é removida 2 Memória de acesso aleatório RAM é a mais cara mas seus valores podem ser alterados pela CPU Ela deve apenas armazenar os valores que serão alterados durante o processo de controle e normalmente representa apenas uma pequena fração da memória total de um produto desenvolvido Ela perde os valores na memória quando a energia é removida 3 Memória programável só de leitura EPROM é uma ROM cujos valores podem ser alterados por um técnico usando um dispositivo especial É normalmente utilizada durante o desenvolvimento do produto para permitir que o projetista experimente diferentes algo ritmos e valores dos parâmetros Ela retém seus valores armazenados quando a energia é removida Em alguns produtos é útil ter alguns valores armazenados em EPROM de modo que calibrações individuais possam ser realizadas em cada unidade Microprocessadores para aplicações de controle geralmente vêm com palavra digital de tamanho de 8 16 ou 32 bits embora alguns já estejam disponíveis com 12 bits Tamanhos de palavras maiores fornecem maior precisão mas tem custos maiores A solução mais econômica muitas vezes é usar um microprocessador de 8 bits mas duas palavras digitais para armaze nar um valor precisão dupla nas áreas do controlador que são fundamentais para a precisão do sistema Muitos sistemas de controle digitais usam computadores originalmente projetados para aplicações de processamento digital de sinais os chamados DSP 85 Seleção de taxa de amostragem A seleção da melhor taxa de amostragem para um sistema de controle digital é o resultado de um compromisso de muitos fatores Amostragem rápida demais pode causar perda de precisão enquanto a motivação básica para reduzir a taxa de amostragem ωs é o custo Uma diminuição na taxa de amostragem significa mais tempo disponível para os cálculos de controle portan to computadores mais lentos podem ser usados para uma dada função de controle ou uma capacidade maior de controle pode ser alcançada a partir de um determinado computador De qualquer maneira o custo por função é reduzido Para sistemas com conversores AD uma demanda menor na velocidade de conversão também irá reduzir o custo Estes argumentos eco nômicos indicam que a melhor opção de engenharia é a taxa de amostragem mais lenta possível que ainda atenda a todas as especificações de desempenho Há vários fatores que poderiam fornecer um limite inferior para a taxa de amostragem aceitável 504 Sistemas de Controle 1 eficiência de rastreamento como a medida da largura de banda de malha fechada ou pelos requisitos da resposta temporal como tempo de subida e tempo de acomodação 2 eficiência de regulação medida pela resposta de erro aos distúrbios aleatórios da planta 3 erro devido ao ruído de medição e métodos de projeto de préfiltro associados Um limite fictício ocorre quando se utilizam equivalentes discretos A aproximação ineren te no método pode dar origem a uma redução no desempenho ou até mesmo à instabilidades no sistema quando a taxa de amostragem é reduzida Isso pode levar o projetista a concluir que uma taxa de amostragem mais rápida é necessária No entanto existem duas soluções 1 amostrar mais rápido e 2 reconhecer que as aproximações são inválidas e refinar o projeto com um método de proje to digital direto descrito nas seções subsequentes A facilidade de projetar sistemas de controle digital com taxas de amostragem rápidas e o baixo custo de computadores muito eficientes muitas vezes levam o projetista a selecionar uma taxa de amostragem de 40 ωBW ou superior Para computadores com aritmética de ponto fixo taxas de amostragem muito rápidas podem levar a erros de multiplicação que têm o potencial de produzir deslocamentos significativos ou ciclos limite no controle ver Franklin et al 1998 851 Eficiência de rastreamento Um limite inferior absoluto ligado à taxa de amostragem é definido por uma especificação de rastrear uma entrada de comando com uma certa frequência a largura de banda do sistema O teorema de amostragem ver Seção 843 e Franklin et al 1998 afirma que a fim de recons truir um sinal contínuo desconhecido banda limitada a partir de amostras desse sinal temos de amostrar pelo menos duas vezes mais rápido que a maior frequência contida no sinal Portanto para que um sistema em malha fechada rastreie uma entrada a uma certa frequência ele deve ter uma taxa de amostragem duas vezes mais rápida ou seja ωs deve ser pelo menos duas vezes a largura de banda do sistema ωs 2 ωBW Vimos também a partir dos resultados de mapea mento do plano s no plano z z esT que a frequência mais alta que pode ser representada por um sistema discreto é ωs2 que suporta a conclusão do teorema É importante notar a distinção entre a largura de banda em malha fechada e a maior fre quência na dinâmica da planta em malha aberta porque as duas frequências podem ser bastante diferentes Por exemplo larguras de banda em malha fechada podem ter a ordem da magnitude menor do que os modos de ressonância de malha aberta em alguns problemas de controle In formações sobre os estados de ressonâncias da planta para fins de controle podem ser extraídas a partir da amostragem da saída sem satisfazer o teorema de amostragem porque um conheci mento a priori sobre essas dinâmicas embora impreciso está disponível e não é preciso que o sistema rastreie essas frequências Assim um conhecimento a priori do modelo dinâmico da planta pode ser incluído na compensação sob a forma de um filtro rejeita faixa A limitação da largura de banda de malha fechada fornece o limite inferior fundamental da taxa de amostragem Na prática porém o menor limite de amostragem teórica duas vezes a lar gura de banda do sinal de referência não seria considerado suficiente em termos da qualidade desejada para as respostas temporais Para um sistema com um tempo de subida na ordem de 1 s fornecendo assim uma largura de banda de malha fechada da ordem de 05 Hertz é razoável insistir em uma taxa de amostragem de 10 a 20 Hertz que é um fator de 20 a 40 vezes a ωBW Os propósitos de escolher uma taxa de amostragem muito maior do que a largura de banda são reduzir o atraso entre um comando e a resposta do sistema para o comando e também suavizar a saída do sistema para sinais de controle em degrau saindo do SOZ 852 Rejeição ao distúrbio Rejeição ao distúrbio é um importante se não o mais importante aspecto de qualquer sistema de controle Distúrbios são introduzidos em um sistema com diversas características de fre quência que vão desde degraus até ruído branco Para efeitos na seleção da taxa de amostra gem os distúrbios aleatórios de alta frequência são os mais influentes Capítulo 8 Controle Digital 505 A capacidade do sistema de controle de rejeitar distúrbios com um bom controlador con tínuo representa o limite inferior da resposta de erro que podemos esperar ao implementar o controlador digital De fato alguma degradação em relação ao projeto contínuo deve ocorrer porque os valores amostrados são ligeiramente diferentes dos dados exceto precisamente nos instantes de amostragem No entanto se a taxa de amostragem é muito rápida comparada com as frequências contidas na perturbação ruidosa não devemos esperar perda apreciável do siste ma digital em comparação com o controlador contínuo No outro extremo se a taxa de amos tragem é muito lenta em comparação com as frequências características do ruído a resposta do sistema devido ao ruído seria essencialmente a mesma resposta que se obteria se o sistema não tivesse controle algum A seleção de uma taxa de amostragem vai posicionar a resposta em algum lugar entre esses dois extremos Assim o impacto da taxa de amostragem sobre a capacidade do sistema de rejeitar distúrbios pode ser muito importante na hora da escolha da taxa de amostragem Embora a melhor escolha de taxa de amostragem em termos de múltiplos ωBW seja depen dente das características de frequência do ruído e do grau de importância de rejeição de distúr bios aleatórios para a qualidade do controlador as taxas de amostragem da ordem de 25 vezes ωBW ou superior são típicas 853 Efeito do préfiltro antialias Sistemas de controle digital com sensores analógicos geralmente incluem um préfiltro antialias análogo entre o sensor e o amostrador como descrito na Seção 843 Os préfiltros são do tipo passa baixa e a função de transferência mais simples é de modo que o ruído acima do ponto de quebra do préfiltro a seja atenuado O objetivo é ofe recer bastante atenuação na metade da taxa de amostragem para que o ruído acima de quando o aliasing ocorre em frequências mais baixas devido ao amostrador não seja prejudicial ao desempenho do sistema de controle Um procedimento de projeto conservador é selecionar ωs e o ponto de quebra suficiente mente maiores que a largura de banda do sistema tal que o atraso de fase do préfiltro não al tere significativamente a estabilidade do sistema Isso permitiria ignorar o préfiltro no projeto básico de sistema de controle Além disso para uma boa redução do ruído de alta frequência em escolhemos uma taxa de amostragem cerca de 5 ou 10 vezes maior do que o ponto de quebra do préfiltro A implicação deste procedimento de projeto do préfiltro é que as taxas de amostragens precisam ser da ordem de 30 a 100 vezes mais rápidas que a largura de banda do sistema Usando este procedimento conservador de projeto a influência do préfiltro provavel mente irá fornecer o limite inferior da seleção da taxa de amostragem Um procedimento de projeto alternativo é permitir um atraso de fase significativo do pré filtro na largura de banda do sistema Isso nos obriga a incluir as características do préfiltro analógico no modelo da planta ao realizar o projeto de controle o que nos permite usar taxas de amostragem menores mas à custa do possível aumento de complexidade na compensação porque um adicional avanço de fase deve ser fornecido para neutralizar o atraso de fase do préfiltro Se esse procedimento for utilizado e se forem permitidos baixos pontos de quebra do préfiltro o efeito da taxa de amostragem no ruído do sensor será pequeno e o préfiltro essencialmente não terá efeito sobre a taxa de amostragem Pode parecer contraintuitivo que colocar um atraso de fase o préfiltro analógico em uma parte do controlador e o avanço de fase avanço extra em Dz contrabalanceando em outra parte do controlador forneça um efeito líquido positivo no sistema global O ganho líquido é resultado do fato de que o atraso está na parte analógica do sistema na qual as altas frequências podem existir A ação contrária de avanço está na parte digital do sistema na qual as frequên cias acima da taxa de Nyquist não existem O resultado é uma redução nas altas frequências an tes da amostragem que não são novamente amplificadas pelo avanço digital produzindo assim 506 Sistemas de Controle uma redução líquida em altas frequências Além disso essas altas frequências são particular mente insidiosas com um controlador digital devido ao aliasing que resultaria da amostragem 854 Amostragem assíncrona Como observado nos parágrafos anteriores separar os projetos do préfiltro e da lei de contro le pode exigir o uso de uma taxa de amostragem mais rápida do que no caso contrário Esse mesmo resultado pode aparecer em outros tipos de arquitetura Por exemplo um sensor inteli gente com seu próprio computador rodando de forma assíncrona em relação ao computador de controle primário não será passível de projeto digital direto porque a função de transferência do sistema global depende da fase entre o sensor inteligente e o controlador digital primário Esta situação é semelhante ao erros de digitalização discutidos na Seção 86 Portanto se sub sistemas digitais assíncronos estão presentes as taxas de amostragem da ordem de 20 ωBW ou mais lentas em qualquer módulo devem ser usadas com cautela e o desempenho do sistema deve ser checado por meio de simulação ou experimento 86 Projeto discreto É possível obter um modelo discreto exato que relacione as amostras da planta contínua yk à entrada da sequência de controle uk Esse modelo da planta pode ser usado como parte de um modelo discreto do sistema realimentado incluindo o compensador Dz Análise e projeto usando este modelo discreto é chamado de projeto discreto ou alternativamente projeto digi tal direto As subseções seguintes descrevem como encontrar o modelo discreto da planta Se ção 861 com o que a compensação realimentada parece quando estamos projetando com um modelo discreto Seções 862 e 863 e como o processo de projeto é realizado Seção 864 861 Ferramentas de análise O primeiro passo no desenvolvimento de uma análise discreta de um sistema com alguns ele mentos discretos é encontrar a função de transferência discreta da parte contínua Para um siste ma semelhante ao mostrado na Fig 81b queremos encontrar a função de transferência entre ukT e ykT Ao contrário dos casos discutidos nas seções anteriores há um equivalente dis creto exato para este sistema porque o SOZ que descreve precisamente o que acontece entre as amostras de ukT e a saída ykT é dependente apenas da entrada nos instantes de amostragem ukT Para uma planta descrita por Gs e precedida por um SOZ a função de transferência dis creta é 833 sendo a transformada z da série temporal amostrada cuja transformada de Laplace é a expressão de Fs dados na mesma linha da Tabela 81 A Eq 833 possui o termo Gss por que o controle vem do SOZ como uma entrada em degrau durante cada período de amostragem O termo 1 z 1 reflete o fato de que um degrau com duração de uma amostra pode ser visto como um degrau de duração infinita seguido por um degrau negativo com ciclo atrasado Para um detalhamento mais completo veja Franklin et al 1998 A Eq 833 nos permite substituir o sistema híbrido contínuo e discreto mostrado na Fig 815a pelo sistema equivalente pura mente discreto mostrado na Fig 815b A análise e projeto de sistemas discretos é muito semelhante à análise e projeto de sistemas contínuos na verdade todas as mesmas regras se aplicam A função de transferência de malha fechada da Figura 815b é obtida utilizando as mesmas regras de redução de diagrama de blocos isto é 834 O equivalente discreto exato 508 Sistemas de Controle todos os valores de K no caso discreto o sistema se torna oscilatório com a diminuição do co eficiente de amortecimento quando z vai de 0 a 1 e em um dado momento tornase instável Essa instabilidade devese ao efeito do atraso de SOZ que é devidamente contabilizado na análise discreta 862 Propriedades de realimentação Em sistemas contínuos normalmente iniciamos o processo de projeto usando elementos básicos de controle a saber as leis de controle proporcional derivativa ou integral ou alguma com binação destas às vezes com uma compensação de atraso incluída As mesmas ideias podem ser usadas no projeto discreto Alternativamente o Dz resultante da digitalização de um Ds projetado contínuo irá produzir esses elementos básicos de projeto que serão então utilizados como um ponto de partida em um projeto discreto As leis de controle discreto são as seguintes Proporcional 835 Derivativa 836 para a qual a função de transferência é 837 Integral 838 para a qual a função de transferência é 839 Compensador de avanço Os exemplos na Seção 83 mostraram que um compensador de avanço contínuo fornece a equa ção de diferenças da forma 840 para a qual a função de transferência é 841 863 Exemplo de projeto discreto O projeto de controle digital consiste em utilizar os elementos básicos de realimentação das Eqs 835 a 841 e iterar nos parâmetros de projeto até que todas as especificações sejam atendidas EXEMPLO 84 Projeto discreto direto do controlador digital de uma estação espacial Projete um controlador digital que atenda às mesmas especificações no Exemplo 82 usando o projeto discreto Leis de controle discreto Capítulo 8 Controle Digital 509 Solução O modelo discreto da planta precedido por um SOZ é encontrado por meio da Eq 833 como a qual com T 1 s tornase Realimentação proporcional no caso contínuo gera movimento oscilatório puro assim no caso discreto devemos esperar resultados ainda piores O lugar das raízes na Fig 817 confirma isto Para valores muito pequenos de K em que o lugar das raízes representa as raízes em frequên cias muito baixas em comparação com a taxa de amostragem o lugar das raízes é tangente ao círculo unitário ζ 0 indicando o movimento oscilatório puro que se igualará ao projeto proporcional contínuo Para valores mais elevados de K a Fig 817 mostra que o lugar das raízes diverge na região instável por causa do efeito do SOZ e da amostragem Para compensar isso vamos adicionar um termo derivativo ao termo proporcional para que a lei de controle tornese 842 a qual fornece uma compensação da forma 843 sendo que o novo K e α substituem o K e o TD na Eq 842 Agora a tarefa é encontrar os va lores de α e K que forneçam um bom desempenho As especificações para o projeto são de que ωn 03 rads e ζ 07 A Fig 84 indica que esta localização da raiz no planos é mapeada na localização desejada no planoz A Fig 818 é o lugar das raízes em relação a K para α 085 A localização do zero em z 085 foi determinada por tentativa e erro até que o lugar das raízes passasse pelo local desejado no planoz O valor do ganho quando o lugar das raízes passa por z 078 018j é K 0374 Agora a Eq 843 tornase 844 Normalmente não é vantajoso alocar de forma precisa as raízes no planoz mas é neces sário apenas escolher K e α ou TD para obter raízes aceitaveis no planoz uma tarefa muito mais fácil Neste exemplo queremos fazer a alocação em apenas um local específico para que possamos comparar o resultado com o projeto no Exemplo 82 Figura 817 Lugar das raízes no planoz para a planta 1s2 com realimentação proporcional Rez Imz 1 510 Sistemas de Controle A lei de controle resultante é ou 845 que é similar à equação de controle 829 obtida previamente O controlador na Eq 845 basicamente difere do controlador projetado continuamente Eq 829 apenas pela ausência do termo uk 1 O temo uk 1 na Eq 829 resulta do ter mo de atraso s b na compensação Eq 827 O termo de atraso é normalmente incluído em ambos os controladores analógicos porque fornece atenuação ao ruído e porque diferenciadores puramente analógicos são difíceis de construir Algum atraso equivalente no projeto discreto aparece naturalmente como um polo em z 0 veja a Fig 818 e representa o atraso de uma amostra no cálculo da derivada pela primeira diferença Para mais atenuação de ruído podería mos mover o polo para a direita de z 0 resultando em menos ação derivativa e mais suavidade o mesmo compromisso existe no projeto de controle contínuo 864 Análise discreta de projetos Qualquer controlador digital projetado por equivalentes discretos ou diretamente no planoz podem ser analisados usando análise discreta que consiste das seguintes etapas 1 Encontre o modelo discreto da planta com o SOZ usando a Eq 833 2 Forme o sistema realimentado incluindo Dz 3 Analise o sistema discreto resultante Podemos determinar as raízes do sistema usando um lugar das raízes conforme descrito na Seção 863 ou podemos determinar o histórico temporal nos instantes de amostragem do sistema discreto EXEMPLO 85 Amortecimento e resposta ao degrau digital versus o projeto contínuo Use a análise discreta para determinar o amortecimento equivalente do planos e as respostas ao degrau dos projetos digitais nos Exemplos 82 e 84 e compare seus resultados com o amorteci mento e a resposta ao degrau do caso contínuo no Exemplo 82 Figura 818 Lugar das raízes no planoz para a planta 1s2 com Dz Kz 085z Eixo real 10 05 0 05 10 10 08 06 04 02 02 04 06 08 10 Eixo imaginário Raízes desejadas Raízes desejadas Capítulo 8 Controle Digital 511 Solução Os comandos no MATLAB para avaliar o amortecimento e a resposta ao degrau do caso contínuo no Exemplo 82 são sysGs tf11 0 0 sysDs tf081 1 021 2 sysGDs seriessysGssysDs sysCLs feedbacksysGDs11 stepsysCLs dampsysCLs Para analisar os casos de controle digital o modelo da planta precedida pelo SOZ é encon trado usando os comandos T 1 sysGz c2dsysGsTzoh A análise do controle digital projetado usando o equivalente discreto Eq 829 no Exem plo 82 é realizada pelos comandos sysDz tf 389 3191 135 sysDGz seriessysGzsysDz sysCLz feedbacksysDGz1 stepsysCLzT dampsysCLzT Da mesma forma o projeto discreto de Dz da Eq 844 pode ser analisado pela mesma se quência As respostas ao degrau resultantes são mostradas na Fig 819 O amortecimento ζ calcula do e a frequência natural ωn das raízes complexas do sistema em malha aberta são Caso contínuo Equivalente discreto Projeto discreto A figura mostra o sobressinal maior para o método equivalente discreto o que ocorreu devido à diminuição do amortecimento neste caso O sobressinal com um pequeno aumento ocorreu no projeto discreto porque a compensação foi ajustada especificamente para que o amortecimento equivalente ao planos do sistema discreto fosse aproximadamente o valor desejado de amortecimento ζ 07 Embora a análise tenha mostrado algumas diferenças entre o desempenho dos controla dores digitais projetados pelos dois métodos nem o desempenho nem as equações de controle Eqs 829 e 845 são muito diferentes Esta semelhança ocorre porque a taxa de amos tragem é bastante rápida comparada com ωn isto é ωs 20 ωn Se reduzíssemos a taxa de amostragem os valores numéricos dos compensadores tornariam cada vez mais diferentes e degradariam o desempenho consideravelmente para o caso equivalente discreto Como uma regra geral o projeto discreto deve ser usado se a frequência de amostragem for mais lenta que 10 ωn No mínimo um projeto equivalente discreto com amostragem lenta ωn 10 ωn deve ser verificado por uma análise discreta ou por simulação conforme descrito na Seção 44 e a compensação deve ser ajustada se necessário Uma simulação de um sistema de controle digital é uma boa ideia em qualquer caso Se ela leva em conta correta mente todos os atrasos e possivelmente o comportamento assíncrono de módulos diferentes ela pode expor instabilidades que são impossíveis de detectar usando análise linear contínua ou discreta Uma discussão mais completa sobre os efeitos da taxa de amostragem no projeto está na Seção 85 512 Sistemas de Controle 87 Perspectiva histórica Um dos primeiros exemplos reais de controle de sistemas baseados em dados amostrados veio com o uso de busca por RADAR na Segunda Guerra Mundial Nesse caso a posição do alvo es tava disponível apenas uma vez a cada rotação da antena A teoria dos sistemas de dados amos trados foi desenvolvida pelo matemático W Hurewicz2 e publicado como um capítulo em H M James N B Nichols e R S Phillips Theory of Servomechanisms vol 25 Rad Lab Series New York McGraw Hill 1947 A perspectiva histórica para o Capítulo 5 discutiu a introdução dos computadores para os engenheiros exercerem atividades de projeto A possibilidade de usar computadores para o controle digital direto motivou a continuação do trabalho em sistemas de dados amostrados durante a década de 1950 especialmente na Universidade de Columbia com o Professor J R Ragazzini Esse trabalho foi publicado em J R Ragazzini e G F Franklin SampledData Control Systems New York McGraw Hill 1958 As primeiras aplicações foram no controle de processos industriais nos quais o tamanho relativamente grande e o alto custo dos computadores disponíveis no momento poderiam ser justificados O Professor Karl Astrom introduziu o controle digital direto em uma fábrica de papel na Suécia na década de 1960 Em 1961 quando o presidente Kennedy anunciou o objetivo de enviar um homem à lua não existiam pilotos automáticos digitais para veículos aeroespaciais Na verdade pequenos computadores digitais adequados para implementação de sistemas de controle eram pratica mente inexistentes A equipe do Laboratório MIT Draper conhecido como o Laboratório de Instrumentação na época encarregada de projetar e construir os sistemas de controle da Apollo projetou inicialmente os sistemas de controle para os módulos lunar e de comando com ele trônica analógica convencional No entanto eles descobriram que esses sistemas seriam de masiadamente pesados e complexos para a missão Assim a decisão tomada foi de projetar e construir o primeiro sistema de controle digital aeroespacial Bill Widnall Dick Battin e Don Fraser foram os principais responsáveis do bemsucedido projeto e execução desse sistema de voo da Apollo no final dos anos 1960 O grupo demonstrou um piloto automático digital para o F8 da NASA na década de 1970 e pilotos automáticos digitais tornaramse dominantes a partir da década de 1980 Na verdade com a introdução dos processadores de sinais digitais de baixo custo a maioria dos sistemas de controle de qualquer espécie tornaramse digitais e hoje muito poucos sistemas de controle estão sendo implementadas com eletrônica analógica Essa evolução afetou a formação dos engenheiros de controle No passado a capacidade de projetar 2 Hurewicz morreu em 1956 ao cair de um zigurate pirâmide mexicana em um passeio de conferência no Simpósio Internacional sobre topologia algébrica no México Sugerese que ele foi um paradigma de distração uma falha que provavelmente levou à sua morte Figura 819 Resposta ao degrau dos sistemas contínuo e digital nos Exemplos 82 e 84 Tempo s 0 5 10 15 20 25 30 Saída da planta 16 14 12 10 08 06 04 02 0 Projeto contínuo Projeto equivalente discreto Projeto discreto Capítulo 8 Controle Digital 513 e construir circuitos especializados para controladores com eletrônica analógica fez com que muitos engenheiros de controle precisassem de uma base de conhecimento em Engenharia Elé trica Atualmente com a disponibilidade dos computadores digitais facilmente programáveis o conhecimento dos engenheiros de controle está mais direcionado às especialidades familiares aos sistemas de controle RESUMO A técnica de projeto mais simples e mais conveniente é transformar um projeto de controle contínuo em sua forma discreta ou seja usar o seu equivalente discreto Projeto usando equivalentes discretos implica a encontrar o compensador contínuo Ds utilizando as ideias dos Capítulos 1 ao 7 e b aproximar Ds por equações de diferenças utilizando o método de Tustin ou o método de correspondência polozero A fim de analisar um projeto de controle discreto ou qualquer sistema discreto a trans formada z é usada para determinar o comportamento do sistema A transformada z de uma sequência temporal fk é dada por e tem a propriedadechave Essa propriedade nos permite encontrar a função de transferência discreta de uma equação de diferença que é o equivalente digital de uma equação diferencial para sistemas contí nuos A análise usando a transforma z é paralela ao uso da transformada de Laplace Normalmente as transformadas z são encontradas usando um computador MATLAB ou a Tabela 81 O Teorema do Valor Final discreto é desde que todos os polos de 1 z 1Xz estejam dentro do círculo unitário Para um sinal contínuo ft cujas amostras são fk os polos de Fs estão relacionados com os polos de Fz por Os discretos equivalentes mais comuns estão a seguir 1 Aproximação de Tustin 2 Aproximação de correspondência polozero Mapear polos e zeros por z e sT Adicionar potências de z1 ao numerador até que o numerador e o denominador tenham ordem igual ou que o numerador tenha uma ordem menor do que o denomi nador Ajustar o ganho de baixa frequência de Dz igual ao de Ds No projeto por equivalentes discretos é recomendada uma taxa de amostragem mínima de 20 vezes a largura de banda Geralmente a amostragem ainda mais rápida é útil para um melhor desempenho Préfiltros analógicos são normalmente colocados antes do amostrador a fim de atenuar os efeitos de ruídos de alta frequência Um amostrador introduz aliasing em todas as frequên cias do sinal que são maiores do que a metade da frequência de amostragem reduzindo estas 514 Sistemas de Controle frequências portanto os pontos de quebra do préfiltro devem ser selecionados de modo que nenhuma frequência significativa permaneça acima da metade da taxa de amostragem O modelo discreto de uma planta contínua Gs precedida por um SOZ é O modelo discreto da planta mais o controlador discreto podem ser analisados por meio da transformada z ou de simulação usando o SIMULINK Projeto discreto é um método de projeto exato e evita aproximações inerentes aos equi valentes discretos O procedimento de projeto implica a encontrar o modelo discreto da planta Gs e b usar o modelo discreto para projetar o compensador na forma discreta diretamente O processo de projeto é mais complicado do que o projeto equivalente discreto e exige que uma taxa de amostragem seja selecionada antes de iniciar o projeto Uma abor dagem prática é iniciar o projeto usando equivalentes discretos então sintonizar o resultado usando o método projeto discreto Projeto discreto usando Gz se aproxima bastante do projeto contínuo mas o limite da es tabilidade e a interpretação das localizações das raízes no planoz são diferentes A Fig 85 resume as características da resposta Usando projeto discreto a estabilidade do sistema pode teoricamente ser assegurada quan do a amostragem é feita em uma taxa mais lenta que o dobro da largura de banda No entanto para um bom desempenho transitório e rejeição de distúrbio aleatório resultados melhores são obtidos por amostragem de 10 vezes a largura de banda de malha fechada ou mais rápida Em alguns casos problemáticos com modos de vibração às vezes é útil amos trar duas vezes mais rápido que o modo vibratório QUESTÕES DE REVISÃO 1 Qual é a taxa de Nyquist Quais são suas características 2 Descreva o processo de projeto equivalente discreto 3 Descreva como chegar a um Dz se a taxa de amostragem é de 30 ωBW 4 Para um sistema com largura de banda de 1 rads descreva as consequências de diferentes taxas de amostragem 5 Cite duas vantagens da seleção de um processador digital em vez de circuitos analógicos para im plementar um controlador 6 Dê duas desvantagens da seleção de um processador digital em vez de circuitos analógicos para implementar um controlador 7 Descreva como chegar a um Dz se a taxa de amostragem é de 5 ωBW PROBLEMAS Problemas da Seção 82 análise dinâmica de sistemas discretos 81 A transformada z de um filtro de tempo discreto hk na frequência de amostragem de 1 Hertz é a Seja uk e yk a entrada e saída discreta deste filtro Encontre uma equação de diferenças relacionando uk e yk b Encontre a frequência natural e o coeficiente de amortecimento dos polos do filtro c O filtro é estável 82 Use a transformada z para resolver a equação de diferença Capítulo 8 Controle Digital 515 sendo 83 A transformada z unilateral é definida como a Mostre que a transformada unilateral de fk 1 é b Use a transformada unilateral para obter as transformadas dos números de Fibonacci geradas pela equação de diferença uk 2 uk 1 uk Seja u0 u1 1 Dica você terá de en contrar uma expressão geral para a transformada de fk 2 em termos da transformada de fk c Calcule as posições dos polos da transformada dos números de Fibonacci d Calcule a transformada inversa dos números de Fibonacci e Mostre que se uk representa o késimo número de Fibonacci então a relação de uk 1uk irá aproximar Essa é a razão áurea altamente valorizada pelos gregos 84 Demonstre as sete propriedades de mapeamento do planos para o planoz listadas na Seção 823 Problemas da Seção 83 projeto usando equivalentes discretos 85 Um sistema com realimentação unitária tem a função de transferência em malha aberta dada por O seguinte compensador de atraso adicionado em série com a planta fornece a margem de fase de 50 Usando o método de aproximação de correspondência polozero determine uma realização dis creta equivalente para este compensador 86 A seguinte função de transferência é uma rede de avanço projetada para adicionar uma fase de aproximadamente 60 em ω1 3 rads a Suponha um período de amostragem de T 025 s e calcule e trace no planoz as localizações dos polos e zeros das implementações digitais de Hs obtidas usando 1 método de Tustin e 2 mapeamento de polo e zero Para cada caso calcule a quantidade de avanço de fase forne cida pela rede em b Utilizando uma escala loglog para a faixa de frequência entre ω 01 a ω 100 rads trace a curva de magnitude do diagrama de Bode para cada um dos sistemas equivalentes digitais que você encontrou no item a e compareos com Hs Dica as curvas de magnitude do diagrama de Bode são dadas por 87 A seguinte função de transferência é uma rede de atraso projetada para introduzir um ganho de atenuação de 1020 db em ω 3 rads a Suponha um período de amostragem de T 025 s e calcule e trace no planoz as localizações do polos e zeros das implementações digitais de Hs obtidas usando 1 método de Tustin e 2 mapeamento de polo e zero Para cada caso calcule a quantidade de avanço de fase forne cida pela rede em b Para cada um dos sistemas digitais equivalentes no item a trace a curva de magnitude do diagrama de Bode para as frequências de ω 001 a ω 10 rads Capítulo 8 Controle Digital 517 Calculando a transformada de Laplace temos a qual sem distúrbios tornase No caso discreto em que u é aplicado por meio de um SOZ podemos usar os métodos descritos neste capítulo para obter a função de transferência discreta a Esboce o lugar das raízes desse sistema à mão assumindo controle proporcional b Desenhe o lugar das raízes usando o MATLAB para verificar o esboço à mão c Adicione realimentação discreta da velocidade para o seu controlador de modo que os polos dominantes correspondam a ζ 05 e ωn 3π10T d Qual é o ganho de realimentação se T 1 s Se T 2 s e Trace a resposta ao degrau em malha fechada e a história temporal de controle associado a T 1 s 811 É possível suspender uma massa de material magnético por meio de um eletroímã cuja corrente é controlada pela posição da massa Woodson e Melcher 1968 O esquema de uma possível configuração é mostrado na Fig 823 e uma foto de um sistema funcionando na Universidade de Stanford é mostrada na Fig 92 As equações de movimento são na qual a força sobre a bola devido ao eletroímã é dada por fxI Em equilíbrio a força magnética equilibra a força da gravidade Suponha que que I0 represente à corrente em equilíbrio Se escre vermos I I0 i expandirmos f em x 0 e I I0 e negligenciarmos os termos de alta ordem obtemos a equação linearizada 846 Valores razoáveis para as constantes na Eq 846 são m 002 Kg k1 20 Nm e k2 04 NA a Calcule a função de transferência de I para x e trace o lugar das raízes contínuo para a reali mentação simples i Kx b Suponha que a entrada é passada através de um SOZ com o período de amostragem de 002 s Calcule a função de transferência da planta equivalente em tempo discreto c Projete um controlador digital para o sistema de levitação magnética tal que o sistema em ma lha fechada satisfaça às seguintes especificações tr 01 s ts 04 s e sobressinal 20 d Trace o lugar das raízes para seu projeto em relação a k1 e discuta a possibilidade de usar seu sistema em malha fechada para equilibrar bolas de várias massas e Trace a resposta ao degrau de seu projeto para uma perturbação de deslocamento na bola e mostre x e a corrente de controle i Se o sensor pode medir x apenas em uma faixa de 14 cm Figura 822 Esquema do controle de satélite para o Problema 810 θ referência inercial 518 Sistemas de Controle e o amplificador pode fornecer uma corrente de apenas 1 A que é o deslocamento máximo possível para o controle negligenciando os termos não lineares em fx l 812 Repita o Problema 527 no Capítulo 5 construindo o lugar das raízes discreto e execute os projetos diretamente no planoz Suponha que a saída y seja amostrada a entrada u seja passada através de um SOZ quando ela entra na planta e a taxa de amostragem seja de 15 Hz 813 Projete um controlador digital para o sistema da antena mostrado nas Figs 361 e 362 e descrito no Problema 331 O projeto deve fornecer uma resposta ao degrau com um sobressinal menor que 10 e um tempo de subida menor que 80 s a Qual deve ser a taxa de amostragem b Use o projeto equivalente discreto com o método de correspondência polozero c Use o projeto discreto e o lugar das raízes no planoz 814 O sistema deve ser controlado com um controlador digital tendo um período de amostragem T 01 s Usando o lugar das raízes no planoz projete um compensador que irá responder a um degrau com um tempo de subida tr 1 s e um sobressinal Mp 5 O que pode ser feito para reduzir o erro de estado estacionário 815 A função de transferência do controlador derivativo puro é na qual o polo em z 0 adiciona um pouco de atraso de fase desestabilizante Este atraso de fase pode ser removido usando um controlador derivativo da forma Justifique sua resposta com a equação de diferença que seria necessária e discuta os requisitos para sua implementação Figura 823 Esquema do levi tador magnético para o Proble ma 811 Sistemas não Lineares 9 Todos os sistemas são não lineares especialmente se estamos considerando sinais grandes Por outro lado quase todos os sistemas físicos podem ser bem aproximados por modelos lineares se os sinais forem pequenos Por exemplo se θ é pequeno então senθ θ e cosθ 1 Da mesma forma em dispositivos de eletrônica analógica como amplificadores a operação será quase linear se os sinais forem pequenos em relação à tensão de alimentação Finalmente como iremos considerar mais adiante neste capítulo em uma seção opcional Lyapunov mostrou que se a aproximação linear de um sistema for estável próxima a um ponto de equilíbrio então o sistema não linear realmente será estável em alguma vizinhança do ponto de equilíbrio Por todas essas razões os métodos de análise e projeto apresentados neste livro têm considerado apenas técni cas extremamente poderosas para modelos lineares No entanto se os sinais fazem com que um dispositivo sature ou o sistema inclui não linearidades que são ativas para pequenos sinais como alguns tipos de atrito então os efeitos não lineares devem ser levados em conta para explicar o comportamento do sistema Neste capítulo algumas das ferramentas disponíveis para essa fina lidade serão descritas Visão geral do capítulo Como cada sistema não linear é único em vários aspectos um grande número de abordagens é utilizado no projeto de controle não linear As abordagens de análise e projeto de sistemas não lineares que iremos descrever podem ser classificados em quatro categorias Na Seção 92 são dis cutidos métodos de reduzir o problema para um modelo linear Na maioria dos casos é adequado considerar a aproximação para pequenos sinais Em alguns casos existem não linearidades para as quais funções inversas podem ser encontradas e colocar a função inversa antes da não linearidade física resulta em um sistema global que responde de forma linear Em outros casos ainda alguns 520 Sistemas de Controle modelos não lineares podem ser reduzidos a uma forma linear exata pelo uso inteligente da realimentação em uma técnica chamada de torque calculado no campo da robótica A segunda categoria é uma abordagem heurística baseada em considerar a não linearidade como um ganho variável Na Seção 93 são considerados casos nos quais a não linearidade não tem memória como por exemplo um amplificador cuja saída satura quando o sinal se torna grande A ideia é considerar o amplificador como se seu ganho começasse a reduzir quando o sinal se torna grande Em razão de o lugar das raízes ser baseado na avaliação das raízes características do sistema quando o ganho muda esse ponto de vista leva a um uso heurístico do lugar das raízes para prever como um dado sistema irá responder a mudanças no tamanho do sinal de entrada A Seção 94 trata dos casos em que a não linearidade tem dinâmica ou memória então o lugar das raízes não é útil Para esses casos uma técnica introduzida por Kochenburger em 1950 conhecida como função descritiva pode ser usada Para aplicar esse método uma senoide é aplicada à parte não linear do sistema e o primeiro harmônico da resposta periódica é calculado A relação da entrada para a saída é obtida como se fosse uma resposta em frequência linear mas variável Assim o diagrama de Nyquist é o domínio natural para considerar o comportamento do sistema Enquanto as abordagens heurísticas podem dar uma visão muito útil para o comportamen to do sistema elas não podem ser usadas para decidir se o sistema é seguramente estável Para isso devemos voltar para a análise de estabilidade como estudada na teoria de controle A mais famosa destas teorias é a estabilidade interna desenvolvida por Lyapunov Como uma introdução à ideia da resposta de um sistema como uma trajetória no espaço a Seção 95 des creve a análise no plano de fase e em seguida apresenta a teoria de estabilidade Exemplos usando o teorema de estabilidade são dados para orientar a elaboração de um controlador para que o sistema seja garantidamente estável se hipóteses iniciais sobre o sistema forem satisfei tas Com estes métodos é dado ao engenheiro de controle um caminho inicial para compreen der efetivamente e projetar problemas de controle reais Finalmente a Seção 96 fornece uma perspectiva histórica do conteúdo deste capítulo 91 Introdução e motivação por que estudar sistemas não lineares É intuitivamente claro que para algum nível de intensidade do sinal qualquer sistema físico será não linear e alguns sistemas são não lineares para qualquer e todo nível do sinal Por outro lado começamos nosso estudo partindo do desenvolvimento de modelos lineares aproximados e todos nossos métodos de projeto até agora têm sido baseados na suposição de que a planta pode ser representada por uma função de transferência linear Neste capítulo daremos algumas das razões para acreditar que todo o tempo gasto estudando técnicas lineares não foi um desper dício mas vamos também tentar explicar por que é muito importante entender como considerar os efeitos não lineares no projeto de sistemas de controle Começamos mostrando que podemos combinar a técnica do lugar das raízes na qual as raízes da equação característica são traçadas em função de diversos valores do ganho com a observação de que muitos elementos não lineares podem ser vistos como um ganho que muda conforme o nível do sinal muda Enquanto o método é neste momento inteiramente heurístico os resultados de simulação são muito promissores Muitas propriedades de sistemas que con têm elementos não lineares sem memória podem ser previstas traçando um lugar das raízes em função do ganho no ponto de não linearidade No entanto o método tal como apresentado não é fundamentado em uma base firme e o projetista fica a se perguntar se existe alguma região inexplorada do espaço de estado real ou do espaço do sinal na qual seja possível que ocorra uma catástrofe Afinal o modelo é uma aproximação e não importa o quão extensa seja a simu lação não é possível cobrir todas as situações Após o uso do lugar das raízes voltamos aos métodos baseados na resposta em frequên cia Uma das grandes vantagens da resposta em frequência é que em muitos casos é possível obter a função de transferência realizando experimentos no sistema real Na abordagem mais Capítulo 9 Sistemas não Lineares 521 básica um sinal senoidal é aplicado ao sistema e a amplitude e a fase da senoide de saída são medidas No entanto ruídos e inevitáveis efeitos não lineares fazem com que a saída seja mais complicada do que uma simples senoide então o projetista extrai a componente fundamental e a trata como se ela fosse toda a história O mesmo resultado também é obtido se um analisador de espectro é usado para calcular uma função de transferência O que se fez foi calcular o que Kochenburger chamou de função descritiva Desse ponto de vista uma função descritiva pode ser definida para os elementos não lineares incluindo os com memória Novamente as simu lações são promissoras e projetos muitos úteis são feitos com essa técnica mas assim como o uso do lugar das raízes para projeto de sistemas não lineares esse método também está sobre areia movediça Então o que deve ser feito nessa situação A única possibilidade é encarar os fatos e con siderar o comportamento não linear diretamente Felizmente uma base sólida em matemática foi estabelecida quando A M Lyapunov publicou seu trabalho sobre a estabilidade do mo vimento em 1892 Esse trabalho foi traduzido para o francês em 1907 e recuperado em um contexto de controle por Kalman e Bertram em 1960 Lyapunov forneceu dois métodos para o estudo da estabilidade Para seu primeiro método considerou a estabilidade com base na apro ximação linear fato muito importante para justificar nossa concentração nessa abordagem Ele demonstrou o extraordinário resultado de que se a aproximação linear é estritamente estável com todas as raízes no semiplano esquerdo SPE então o sistema não linear terá uma região de estabilidade em torno do ponto de equilíbrio no qual a aproximação linear se aplica Além disso ele provou que se a aproximação linear tem pelo menos uma raiz no semiplano direito SPD então o sistema não linear não pode ter qualquer região de estabilidade na vizinhança do equilíbrio O tamanho da região de estabilidade no espaço de estados não é dado em termos li neares mas está incluído na construção usada para a demonstração Essa construção constituiu o segundo método O segundo método de Lyapunov é matematicamente equivalente a encontrar uma função escalar que descreve a energia interna armazenada no sistema Ele demonstrou que se tal função é construída e se a derivada da função em relação às trajetórias das equações de movimento é negativa então a função e o estado do qual ela depende eventualmente irão se dissipar e o estado irá permanecer no ponto de equilíbrio A função que tem essas propriedades é chamada de função de Lyapunov É claro que essa simples descrição omite uma grande com plexidade por exemplo existem dezenas de definições de estabilidade No entanto o conceito permanece se uma função de Lyapunov puder ser encontrada então o sistema em que ela se baseia será estável Como descrito a teoria fornece uma condição suficiente para a estabilidade Se uma função de Lyapunov não for encontrada o projetista não sabe se ela não existe ou se a pesquisa feita foi inadequada Uma boa estratégia de investigação tem sido dirigida para encon trar funções de Lyapunov para classes específicas de sistemas não lineares Os métodos de Lyapunov são baseados em equações diferenciais na forma normal ou na forma de estado e portanto dizem respeito à estabilidade interna Os métodos de resposta em frequência por outro lado são medidas externas e tem havido interesse em desenvolver resul tados de estabilidade com base na resposta externa do sistema Um desses métodos é o critério de círculo que também iremos descrever neste capítulo O método pode ser descrito como considerar a energia vista em um terminal do sistema e observar se ela está sempre fluindo para dentro dos terminais Se for assim é razoável supor que em um certo momento toda a energia irá se dissipar e o sistema será estável Para uma demonstração formal do método os pesquisadores se voltaram para o segundo método de Lyapunov mas o resultado é expresso em termos de propriedades externas como o diagrama de Nyquist da parte linear do sistema que confronta os elementos não lineares Mais uma vez essa ferramenta fornece uma base para a criação de um firme alicerce sob um método de projeto para uma classe específica de sistemas não lineares Como deve estar claro neste ponto a teoria de controle não linear é um tema muito vasto e sofisticado e neste livro podemos dar apenas uma breve introdução a uma pequena parte dela No entanto a fundação do projeto de controle recai nessa teoria e quanto mais o projetista en tende da teoria melhor entende os limites e as possibilidades dos problemas Nossa esperança 522 Sistemas de Controle é que considerando esse material os alunos sejam estimulados a continuar seus lucrativos estudos nesse tema fascinante 92 Análise por linearização Três métodos para reduzir alguns sistemas não lineares para um modelo linear adequado são apresentados nesta seção As equações diferenciais de movimento de quase todos os processos selecionados para o controle são não lineares Por outro lado os métodos de análise e projeto de controle que discutimos até agora são muito mais fáceis para modelos lineares do que para mo delos não lineares Linearização é o processo de encontrar um modelo linear que se aproxima de um modelo não linear Felizmente como Lyapunov provou há mais de 100 anos se um mo delo linear para pequenos sinais é válido próximo a um equilíbrio e é estável então existe uma região que pode ser pequena é claro que contém o equilíbrio na qual o sistema não linear é estável Então podemos seguramente calcular um modelo linear e projetar um controle linear para ele de tal forma que pelo menos na vizinhança do equilíbrio nosso projeto seja estável Como um papel muito importante do controle realimentado é manter as variáveis do processo próximas ao equilíbrio tais modelos lineares para sinais pequenos geralmente são um ponto de partida para o projeto de controle Uma abordagem alternativa para obter um modelo linear para ser usado como a base do projeto do sistema de controle é usar parte do esforço de controle para cancelar os termos não lineares e para projetar o restante do controle baseado na teoria linear Esta abordagem line arização por realimentação é popular no campo da robótica onde é chamada de método de torque calculado Este também é um tema de pesquisa para controle de aeronaves A Seção 922 apresenta brevemente este método Finalmente algumas funções não lineares são tais que uma não linearidade inversa pode ser encontrada para ser colocada em série com a não linea ridade de modo que a combinação seja linear Este método é frequentemente usado para corrigir leves características não lineares de sensores ou atuadores que têm pequenas variações em uso como discutido na Seção 923 921 Linearização por análise de sinais pequenos Para um sistema com não linearidades suaves e uma derivada contínua podese calcular um modelo linear que é válido para sinais pequenos Em muitos casos esses modelos podem ser usados para projeto A equação diferencial não linear é uma equação na qual as derivadas do estado têm uma relação não linear com o próprio estado eou controle Em outras palavras as equações diferenciais não podem ser escritas na forma1 mas na forma 91 Para realizar linearização para sinais pequenos primeiro temos de determinar os valores de equilíbrio tais que e fazer x xo δx e u u0 δu Então ex pandimos a equação não linear em termos de perturbações a partir destes valores de equilíbrio obtendo com F e G sendo termos lineares que melhor se ajustam à função não linear fx u em xo e uo calculados como 92 1 Esta equação assume que o sistema é invariante no tempo Uma expressão mais geral seria Capítulo 9 Sistemas não Lineares 523 Subtraindo a solução de equilíbrio temos 93 que é uma equação linear que aproxima as dinâmicas de movimento próximas ao ponto de equilíbrio Normalmente a notação δ é descartada e se entende que x e u se referem a desvios do equilíbrio No desenvolvimento de modelos discutidos até agora neste livro encontramos equações não lineares em várias ocasiões o pêndulo no Exemplo 25 o guindaste no Exemplo 27 o mo tor de indução na Seção 23 o fluxo de água no tanque no Exemplo 216 e o atuador hidráulico no Exemplo 217 Em cada caso assumimos que o movimento era pequeno ou que o movimento em torno de algum ponto de operação era pequeno para que as funções não lineares fossem aproximadas por funções lineares Os passos seguidos nos exemplos essencialmente envolveram encontrar F e G a fim de linearizar as equações diferenciais para a forma da Eq 93 como ilustrado nos exemplos se guintes As funções de linearização no MATLAB incluem linmod e linmod2 EXEMPLO 91 Linearização do pêndulo não linear Considere as equações não lineares de movimento do pêndulo simples no Exemplo 25 De termine os pontos de equilíbrio para o sistema e os modelos lineares para pequenos sinais correspondentes Solução A equação de movimento é 94 Podemos reescrever a equação de movimento na forma de espaço de estados com como sendo e Para determinar o estado de equilíbrio suponha que a entrada normalizada de torque tenha um valor nominal de uo 0 Então então as condições de equilíbrio correspondem a θo 0 π ou seja as configurações de repou so com o pêndulo para baixo e na posição invertida respectivamente O estado de equilíbrio e a entrada são xo θo 0T uo 0 e as matrizes de espaço de estados são dadas por 524 Sistemas de Controle O sistema linear tem autovalores em jωo e ωo correspondente a θo 0 e π respectiva mente com o último caso invertido sendo instável como era esperado EXEMPLO 92 Linearização do movimento no levitador magnético A Fig 91 mostra um rolamento magnético utilizado em grandes turbinas A bobina é energi zada usando métodos de controle realimentado para que o eixo permaneça sempre no centro e nunca toque as laterais mantendo assim o atrito a um nível quase inexistente Uma versão simplificada de um rolamento magnético que pode ser construída em um laboratório como mostrado na Fig 92 é eletroímã usado para levitar uma bola de metal O esquema físico do le vitador é representado na Fig 93 A equação de movimento da bola derivada da lei de Newton Eq 21 é 95 sendo fmxi a força causada pelo campo eletromagnético Teoricamente a força de um campo magnético está relacionada com a distância do eletroímã mas a relação exata para o levitador Figura 92 Levitador magnético usado em laboratório Fonte foto cortesia de Gene Franklin Figura 91 Um rolamento magnético Fonte foto cortesia de Margnetic Bearing Inc Capítulo 9 Sistemas não Lineares 525 de laboratório é difícil de ser obtida usando os princípios físicos pois seu campo magnético é muito complexo No entanto as forças podem ser medidas A Fig 94 mostra as curvas expe rimentais com uma bola de 1 cm de diâmetro e uma massa de 84 103 kg Para o valor de corrente de i2 600 mA e o deslocamento x1 mostrado na figura a força magnética fm apenas cancela a força da gravidade mg 82 103 N A massa da bola é de 84 103 kg e a ace leração da gravidade é de 98 ms2 Portanto o ponto x1 i2 representa um equilíbrio Usando os dados encontre as equações linearizadas do movimento próximo ao ponto de equilíbrio Solução Inicialmente escrevemos na forma expandida a força em termos dos desvios dos pontos de equilíbrio x1 e i2 96 Os ganhos lineares são encontrados como segue Kx é a inclinação da força versus x ao longo da curva i i2 como mostrado na Fig 94 e é aproximadamente 14 Nm Ki é a alteração na força em função da corrente para x x1 fixo Descobrimos que para i i1 700 mA em x x1 a força é aproximadamente 122 103 N e em i i3 500 mA em x x1 ela é aproximada mente 42 103 N Assim Figura 94 Curvas de força determi nadas experimentalmente x i 1 2 3 4 5 0 40 80 120 6 160 x1 Distância x mm Força fm 103 N i1 700 mA i3 500 mA Inclinação Kx i2 600 mA 200 Figura 93 Modelo para o levitador magnético 526 Sistemas de Controle Substituindo esses valores na Eq 96 obtemos a seguinte aproximação linear para a força na vizinhança do equilíbrio Substituindo essa expressão na Eq 95 e usando valores numéricos para massa e força da gravidade temos o modelo linearizado Como x x1 δx então A equação em termos de δx é 97 o que é a equação linearizada desejada do movimento próximo ao ponto de equilíbrio Um vetor de estado lógico é que resulta nas matrizes e o controle u δi EXEMPLO 93 Linearização do tanque de água revisitado Repita a linearização do Exemplo 216 usando os conceitos apresentados nesta seção Solução A Eq 275 pode ser escrita como 98 sendo e As equações linearizadas são da forma 99 sendo 910 911 e 912 No entanto note que algum fluxo é necessário para manter o sistema em equilíbrio então a Eq 99 é válida especificamente vemos da Eq 275 que para 913 e δu na Eq 99 é com Portanto a Eq 99 tornase 914 e está precisamente de acordo com a Eq 278 Capítulo 9 Sistemas não Lineares 527 922 Linearização por realimentação não linear A linearização por realimentação é feita subtraindo os termos não lineares das equações de movimento e os adicionando no controle O resultado é um sistema linear desde que o com putador no qual o controlador é implementando tenha capacidade de calcular os termos não lineares rápido o suficiente e que o controle resultante não cause a saturação do atuador Uma compreensão mais detalhada do método é melhor alcançada com o seguinte exemplo EXEMPLO 94 Linearização do pêndulo não linear Considere as equações não lineares de movimento do pêndulo simples no Exemplo 25 Eq 221 Linearize o sistema usando realimentação não linear Solução A equação de movimento é 915 Se calcularmos o torque como 916 então o movimento é descrito por 917 A Eq 917 é uma equação linear sem importar o tamanho do ângulo θ Vamos utilizála como modelo para fins de projeto de controle pois ela nos permite usar técnicas de análise linear O controle resultante linear fornecerá o valor de u com base em medições de θ no entanto o valor real do torque enviado para o equipamento decorre da Eq 916 Para robôs com duas ou três ligações rígidas esta abordagem de torque calculado leva a um controle eficaz Esta técnica também está sendo pesquisada para controle de aeronaves nos quais os modelos lineares mu dam consideravelmente com o caráter do regime de voo 923 Linearização pela não linearidade inversa O caso mais simples de introdução de não linearidades em um projeto de controle é a não linearidades inversa Às vezes é possível reverter o efeito de algumas não linearidades Por exemplo suponha que temos um sistema cuja saída é o quadrado do sinal de interesse 918 Uma técnica inteligente e bastante óbvia é desfazer a não linearidade precedendo a não linea ridade física com uma não linearidade de raiz quadrada 919 como mostrado no próximo exemplo Assim todo o sistema em cascata será linear EXEMPLO 95 Linearização de um sistema de rápido processamento térmico RPT Considere o sistema RPT que usa uma lâmpada não linear como um atuador como mostrado na Fig 95 Suponha que a entrada da lâmpada é a tensão V e a saída é a potência P e elas estão relacionados por Projete uma não linearidade inversa para linearizar o sistema Realimentação não linear Não linearidade inversa 532 Sistemas de Controle solução periódica de amplitude fixa conhecida como um ciclo limite assim chamado porque a resposta é cíclica à medida que o tempo aumenta Podemos retornar à Fig 913 e sermos facilmente convencidos de que o primeiro transitório a um degrau de amplitude 3 é quase uma senoide Podemos prever que o sistema está na fronteira da estabilidade para um ganho equivalente correspondente ao ganho do lugar das raízes de 12 quando o lugar das raízes cruza para o SPD A fim de evitar o ciclo limite o lugar das raízes tem que ser modificado por compensação de modo que nenhum dos ramos do lugar das raízes vá para o SPD Um método comum de fazer isso para um modo oscilatório levemente amortecido é alocar os zeros do compensador próximos aos polos em uma frequência tal que o ângulo de partida do ramo do lugar das raízes nestes polos esteja na direção do SPE um procedimento cha mado de estabilização de fase anterior O Exemplo 58 para o movimento mecânico justaposto demonstrou que um par polozero localizado desta forma muitas vezes faz com que um ramo do lugar das raízes vá do polo para o zero virando para a esquerda e assim ficando longe do SPD A Fig 917 mostra o lugar das raízes para o sistema 1ss2 02s 10 incluindo um compensador rejeita faixa com zeros localizados como acabamos de discutir Além disso o compensador também inclui dois polos que tornam a compensação fisicamente realizável Nesse caso ambos os polos foram colocados em s 10 rápidos o suficiente para não causar proble mas de estabilidade com o sistema mas lentos o suficiente para que o ruído de alta frequência não seja amplificado demais Assim o compensador usado para o lugar das raízes é sendo o ganho de 123 selecionado para fazer com que o ganho DC da compensação seja igual à unidade Este filtro rejeita faixa atenua as entradas nas proximidades do ωn2 081 ou ωn 09 Ciclo limite Figura 915 Lugar das raízes para o sistema da Fig 914 Figura 916 Respostas ao degrau do sis tema da Fig 914 Eixo imaginário 25 2 15 1 05 3 05 1 0 Eixo real 15 1 05 0 05 1 15 K 05 0 50 100 150 Tempo s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Amplitude r 8 r 4 r 1 Capítulo 9 Sistemas não Lineares 537 até o infinito o que é fisicamente impossível Um importante aspecto do projeto de sistema de controle é o dimensionamento do atuador o que significa escolher o tamanho peso potência necessária custo e nível de saturação do dispositivo Geralmente níveis de saturação mais ele vados requerem atuadores maiores mais pesados e mais caros Do ponto de vista de controle o fatorchave que entra no dimensionamento é o efeito da saturação no desempenho do sistema de controle Um método de análise não linear conhecido como funções descritivas baseado no pres suposto de que a entrada da não linearidade é senoidal pode ser usado para prever o comporta mento de uma classe de sistemas não lineares Um elemento não linear não tem uma função de transferência No entanto para uma certa classe de não linearidades é possível substituir a não linearidade por um ganho equivalente dependente da frequência para fins de análise Podemos então estudar as propriedades da malha tais como a sua estabilidade O método de funções descritivas é mais um método heurístico e seu objetivo é tentar encontrar algo semelhante a uma função de transferência para um elemento não linear A ideia é que em resposta a uma excitação senoidal a maioria das não linearidades irá produzir um sinal periódico não neces sariamente senoidal com frequências harmônicas da frequência de entrada Assim podemos ver a função descritiva como uma extensão da resposta em frequência para não linearidades Podemos assumir que em muitos casos a saída pode ser aproximada apenas pelo primeiro harmônico e o restante pode ser negligenciado Esta suposição básica significa que a planta se comporta aproximadamente como um filtro passabaixa e isto é uma boa suposição na maioria das situações práticas As outras hipóteses por trás das funções descritivas são de que a não linearidade é invariante no tempo e que há um único elemento não linear no sistema De fato o método de funções descritivas é um caso especial da mais sofisticada análise de equilíbrio har mônico Suas raízes remontam aos primeiros estudos na União Soviética e em outros lugares O método foi introduzido por Kochenburger em 1950 nos Estados Unidos Ele propôs usar a série de Fourier para definir um ganho equivalente Keq Truxal 1955 p 566 Esta ideia provou ser muito útil na prática O método é heurístico mas há tentativas de estabelecer uma justificativa teórica para a técnica Bergen e Franks 1973 Khalil 2002 Sastry 1999 Na verdade o método funciona muito melhor do que é justificado pela teoria existente Considere o elemento não linear fu mostrado na Fig 924 Se o sinal de entrada ut é senoidal com amplitude a ou 920 então a saída yt será periódica com um período fundamental igual ao da entrada e consequen temente com um série de Fourier descrita por 921 sendo 922 923 924 Figura 924 Elemento não linear y f u 538 Sistemas de Controle 925 Kochenburger sugeriu que o elemento não linear pode ser descrito pela primeira componente fundamental desta série como se fosse um sistema linear com um ganho de Y1 e fase de θ1 Se a amplitude for variada os coeficientes de Fourier e as fases correspondentes irão variar em função da amplitude do sinal de entrada devido à natureza não linear do elemento Ele chamou esta aproximação de função descritiva FD A função descritiva é definida como a quantidade complexa que é a razão entre a amplitude da componente fundamental da saída do elemento não linear e a amplitude do sinal de entrada senoidal e é essencialmente uma função da respos ta em frequência equivalente 926 Então a função descritiva é definida apenas no eixo jω No caso de não linearidades sem memória que são também uma função ímpar ie fa fa os coeficientes da série de Fourier termos cosseno são todos zeros e a função descritiva é simplesmente 927 e é independente da frequência ω Esse é o caso comum em controle e todas as não lineari dades saturação relé e zona morta resultam em tais funções descritivas O cálculo de funções descritivas para as características não lineares da Fig 96 é geralmente simples mas tedioso Pode ser feito analiticamente ou numericamente e também pode ser determinado por um ex perimento Agora vamos nos concentrar no cálculo de várias funções descritivas para algumas não linearidades muito comuns EXEMPLO 910 Função descritiva para uma não linearidade de saturação A não linearidade de saturação é mostrada na Fig 925a e é a não linearidade mais comum em sistemas de controle A função de saturação sat é definida como Se a inclinação da região linear é k e os valores saturados finais são N então a função é Encontre a função descritiva para esta não linearidade Solução Considere os sinais de entrada e saída do elemento de saturação mostrado na Fig 925 Para uma senoide de entrada u a sen ωt com amplitude a a saída é tal que a FD é Função descritiva Figura 925 a Não linearidade de satura ção b sinais de entrada e saída u y N h N h 0 y y u u t u y N t0 t1 t2 N 0 a b Capítulo 9 Sistemas não Lineares 539 apenas um ganho unitário Com a precisamos calcular a amplitude e fase da componente fundamental da saída Uma vez que a saturação é uma função ímpar todos os termos cosseno na Eq 921 são zeros e a1 0 De acordo com Eq 927 tal que desde que a integral para o coeficiente b1 no intervalo ωt 0 π seja simplesmente o dobro do intervalo ωt 0 π2 Então Agora podemos dividir a integral em duas partes que correspondem às partes linear e a satura ção Definindo o tempo de saturação ts como o tempo em que 928 Então No entanto usando a Eq 928 temos Finalmente obtendo 929 A Fig 926 mostra um gráfico de Keqa indicando que esta é uma função real independente da frequência e não resulta em mudanças de fase Podese ver que a função descritiva é inicial mente uma constante e então se deteriora essencialmente como uma função da recíproca da amplitude do sinal de entrada a EXEMPLO 911 Função descritiva para uma não linearidade de relé Encontre a função descritiva para o relé ou função sgn mostrada na Fig 925a e definida como Capítulo 9 Sistemas não Lineares 541 931 Como o ângulo de fase é conhecido para todas frequências 932 933 A função descritiva é então dada por 934 Figura 929 a Não linearidade de histere se b entrada e saída da não linearidade R1 R2 υin υout υ Vin Vout h N N h 0 u y N h h N 0 y y u u t N t1 t2 N a b u y Figura 927 Circuito do disparador de Schmitt Figura 928 Não linearidade de histerese para o cir cuito do disparador de Schmitt 542 Sistemas de Controle O gráfico da função descritiva é dado na Fig 930 A magnitude é proporcional ao recíproco da amplitude do sinal de entrada e a fase varia entre 90 e 0 941 Análise de estabilidade usando funções descritivas O teorema de Nyquist pode ser estendido para lidar com sistemas não lineares cujas não line aridades foram aproximadas por funções descritivas Na análise padrão de sistema lineares a equação característica é 1 KL 0 sendo L DG o ganho de malha e 935 Conforme descrito na Seção 63 olhamos para os envolvimentos do ponto 1K para deter minar a estabilidade Com uma não linearidade representada pela função descritiva Keqa a equação característica é da forma 1 KeqaL 0 e seguese que 936 Agora temos de olhar para a interseção de L com o gráfico de 1Keqa Se a curva L intercep ta 1Keqa então o sistema irá oscilar na amplitude cruzamento al e na frequência corres pondente ωl tendo em mente a natureza aproximada da função descritiva Em seguida olha mos os envolvimentos para decidir se o sistema é estável para o determinado valor de ganho como se ele fosse um sistema linear Se for o caso podemos deduzir que o sistema não linear é estável Caso contrário podemos inferir que o sistema não linear é instável A Fig 931 mostra um exemplo de um sistema linear exceto por uma não linearidade De fato os elementos não lineares podem ter um efeito benéfico e podem limitar a amplitude das oscilações A análise por função descritiva pode ser usada para determinar a amplitude e a fre quência do ciclo limite Estritamente falando um sistema em ciclo limite pode ser considerado instável Na realidade a trajetória de um ciclo limite está confinada em uma região finita do espaço de estados Se essa região satisfizer às especificações de desempenho então a resposta é tolerável Em alguns casos o ciclo limite tem efeito benéfico veja o estudo de caso na Seção 104 O sistema não possui estabilidade assintótica pois o sistema não permanecerá na origem do espaço de estados A função descritiva pode ser benéfica para determinar quais condições resultarão na instabilidade e pode até propor soluções para eliminar a instabilidade como ilus trado no próximo exemplo no qual o diagrama de Nyquist para um ganho de malha linear L e a recíproca negativa da função descritiva 1Keqa se sobrepõem O ponto em que elas se Figura 930 Função descritiva para a não linearidade de histerese com h 01 e N 1 a magnitude b fase Magnitude Keq 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 a 0 2 4 6 8 10 12 14 Fase Keq graus 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 a a b 100 80 60 40 20 0 544 Sistemas de Controle Se aproximarmos a função arcoseno pelo seu argumento como então o que resulta na equação polinomial e encontramos a solução relevante como a 063 Pela medição do histórico temporal da Fig 916 a amplitude da oscilação é de 062 o que está de acordo com a nossa previsão Para sistemas com não linearidades que têm memória também podemos usar a técnica de Nyquist como ilustrado no exemplo seguinte EXEMPLO 914 Determinação da estabilidade com uma não linearidade de histerese Considere o sistema com uma não linearidade de histerese mostrado na Fig 934 Determine se o sistema é estável e encontre a amplitude e a frequência do ciclo limite Solução O diagrama de Nyquist para o sistema é mostrado na Fig 935 O negativo do inver so da função descritiva para a não linearidade de histerese é Neste caso N 1 e h 01 e temos Figura 933 Função descritiva para a não linearidade de saturação com N 01 e k 1 a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Keq 10 08 06 04 02 0 Capítulo 9 Sistemas não Lineares 547 939 940 Visto que essas equações são invariantes no tempo o tempo pode ser eliminado dividindo a Eq 939 pela Eq 938 resultando em 941 A solução dessa equação fornece um gráfico de x2 versus x1 ou em outras palavras uma traje tória no plano de fases com coordenadas x1 x25 Antes de traçar o gráfico da Eq 941 é útil considerar primeiro o sistema de equações na forma matricial para a qual Se assumirmos nessa equação que na qual tanto s e são constantes então e a equação pode ser reduzida como segue 942 943 944 945 Aqui deve ser reconhecido que a Eq 945 é a equação do autovetor para a matriz F a qual na forma componente é 946 Conforme descrito no Apêndice WE disponível em inglês no site do Grupo A a Eq 946 tem uma única solução se o determinante da matriz de coeficientes é zero para a qual 947 948 Os dois valores de s para os quais a equação tem uma solução são os autovalores s 1 e s 5 Se substituirmos s 1 na Eq 946 obtemos 949 a partir da qual a solução para o vetor de estado inicial é x02 x01 Essa linha no espaço de estados é o autovetor correspondente ao autovalor s 1 Se repetimos este processo com s 5 o resultado é 950 e neste caso a solução para o autovetor é x02 5x01 Considere o que tudo isso significa Nós começamos com a suposição de que a solução temporal para o estado é uma constante vezes uma exponencial Descobrimos que isto só é possível se a exponencial é et ou e5t No primeiro caso o estado deve estar ao longo do vetor x02 x01 e no segundo o estado deve estar ao longo do vetor x02 5x01 Com este conhe cimento calculamos as soluções para a Eq 938 e Eq 939 para diferentes condições iniciais 5 Se a inclinação dx2dx1 é definida como constante a relação entre x2 e x1 é uma linha reta Se os valores conhecidos são marcados ao longo dessas linhas as trajetórias podem ser facilmente esboçadas Por exemplo ao longo do eixo x1 onde x2 0 a inclinação é e as trajetórias são verticais Esse método é chamado de método das isóclinas Capítulo 9 Sistemas não Lineares 549 e traçamos x1t vs x2t na Fig 939 Na figura os dois autovetores estão identificados Quando olhamos para estas curvas é claro que todos os caminhos começam paralelos ao autovetor rá pido correspondente a s 5 e rapidamente se movem ao lento correspondente a s 1 Todas as trajetórias se aproximam do ponto de equilíbrio na origem do espaço de estados O gráfico será substancialmente alterado se o amplificador saturar Por exemplo se o am plificador satura em um valor de u 05 então a velocidade x2 vai rapidamente se aproximar deste valor e ficará presa lá até que a posição atinja um valor que tire o amplificador da satura ção O novo gráfico é mostrado na Fig 940 Note que na região linear o movimento está quase todo ao longo do autovetor lento Fi nalmente note que o plano de fase muda novamente quando os polos são complexos Nesse caso o movimento da variável de estado é composto por senoides amortecidas e o gráfico de x1 versus x2 está ao longo de um espiral Uma coleção de trajetórias para várias condições iniciais é mostrada na Fig 941 Esses poucos exemplos apenas esboçam a análise da superfície do plano de fase mas dão uma ideia da utilização desse formato para ajudar um projetista a visualizar respostas dinâmicas Controle bangbang Um exemplo de projeto para um sistema não linear baseado no plano de fase é o controle ótimo de tempo mínimo em face da saturação de controle Para os nossos propósitos a versão mais sim ples dessa técnica amplamente utilizada é introduzida considere a planta 1s2 As equações são 951 952 com e uma constante e o controle é limitado como O problema é conduzir o erro para ser identicamente nulo em tempo mínimo Se definirmos as variáveis de estado como e as equações se reduzem a 953 954 955 956 e o problema é minimizar Intuitivamente esse é o problema do motorista ansioso que deseja realizar o percurso entre duas paradas em tempo mínimo Ele iria acelerar ao máximo por um tempo e depois frear o carro ao máximo para que ele derrapasse até o lugar certo da parada Um resultado fundamental da teoria de controle ótimo confirma esta ideia intuitiva de que a solução para este problema é se yf 0 aplicar o controle positivo pleno por um tempo e depois mudar para controle negativo pleno apenas no momento certo de fazer com que o erro atinja a origem e permaneça nela Para estudar o caso um gráfico das trajetórias da planta no plano de fase para os dois casos de u 1 e u 1 é dado na Fig 942 Para u 1 as trajetórias começam no quarto quadrante e sobem para o primeiro Para u 1 começam no segundo quadrante e descem para o terceiro Dois segmentos desta família são de particular interesse os que passam pela origem Uma vez que a trajetória chega a um desses um controle constante trará o estado para o local dese jado de repouso final Portanto para qualquer condição inicial uma vez que a trajetória atinja uma das duas curvas passando pela origem a ação correta é mudar o controle u 1 para 1 ou u 1 para 1 para que a trajetória siga a curva para a origem A curva de chaveamento é traçada na Fig 943 Para uma planta de segunda ordem a curva de chaveamento pode ser encontrada inverten do o tempo nas equações de movimento definindo o estado inicial como zero e aplicando o controle máximo O processo pode ser repetido com controle mínimo percorrendo outro ramo da curva 550 Sistemas de Controle Para qualquer condição inicial acima da curva u 1 é aplicado e para qualquer condição inicial abaixo da curva u 1 é usado Como descrito o resultado será uma resposta em tempo mínimo Observe que a curva tem inclinação vertical na origem como resultado a implementa ção é extremamente sensível nesta vizinhança Uma versão modificada conhecida como sistema de tempo próximo do ótimo STPO usado na indústria de discos rígidos de computador foi estu dada por Workman 1987 A modificação consiste em deslocar as curvas um pouco e substituir a inclinação infinita na origem por uma inclinação finita região de controle linear O resultado tem sido amplamente utilizado em unidades de disco rígido e sistemas semelhantes Respostas típicas de um sistema de tempo ótimo e de um STPO geradas com o SIMULINK são dadas nas Figs 944 e 945 Note que as respostas temporais são quase exatamente as mes mas mas enquanto o sistema de controle de tempo ótimo tem uma vibração violenta no final onde a curva de chaveamento tem inclinação infinita a saída do STPO desliza suavemente para seu valor final Para um estudo mais exato temos de nos voltar para as equações não lineares 952 Análise de estabilidade de Lyapunov A estabilidade do movimento como estudada por Lyapunov envolve matemática sofisticada além do escopo deste texto Aqui vamos apresentar argumentos heurísticos fornecendo uma amostra da teoria e alguns dos resultados mais básicos Lyapunov apresentou dois métodos para Figura 942 Plano de fase da plan ta 1 s2 para controles 1 Figura 943 Curva de chaveamento para a planta 1 s2 150 100 50 0 50 100 150 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 u 1 u 1 x2 x1 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 15 10 5 0 5 10 15 x2 x1 Capítulo 9 Sistemas não Lineares 551 o estudo da estabilidade do movimento descrito por sistemas de EDOs Seu método indireto ou primeiro método é baseado na linearização das equações e tira conclusões sobre a estabilidade do sistema não linear considerando a estabilidade da aproximação linear Ele provou os resulta dos do primeiro método usando seu método direto ou segundo método no qual as equações não lineares são consideradas diretamente Uma discussão sobre o método indireto serve para intro duzir os dois métodos O problema requer uma nova definição de estabilidade adequada para as Figura 946 Diagrama no SIMU LINK para o sistema com reali mentação da posição y 0 1 2 3 4 5 Tempo s 0 1 2 3 4 5 u 0 1 2 3 5 4 6 Tempo s Controle para o sistema de tempo ótimo Controle para o sistema de tempo ótimo 10 05 0 05 10 y 0 1 2 3 4 5 Tempo s 0 1 2 3 4 u 0 1 2 3 4 5 Tempo s Saída para o STPO Controle para o STPO α 09 10 05 0 05 10 Display s 1 Degrau Saturação Integrador1 s 1 Integrador e u x2 x1 y r Figura 944 Resposta de um sistema de tempo ótimo Figura 945 Resposta de um STPO 552 Sistemas de Controle equações na forma vetormatriz Intuitivamente dizemos que um sistema é estável se condições iniciais de tamanho moderado resultam em uma resposta que permanece de tamanho moderado Para expressar isso matematicamente primeiro precisamos de uma definição de tamanho Essa é a norma de um vetor para a qual o símbolo é x Das muitas definições possíveis seleciona mos aqui a familiar medida Euclidiana definida por seu quadrado como Com essa ideia a definição de estabilidade utilizada é que para uma dada esfera de raio qualquer ϵ é possível encontrar uma esfera menor de raio δ de modo que se o estado inicial estiver dentro de δ então a trajetória para sempre permanecerá dentro de ϵ De forma um pouco mais formal o sistema é estável se para qualquer ϵ 0 dado podese encontrar um δ 0 tal que se x0 δ então xt ϵ para todo t Se o estado não é apenas estável mas no limite quando t xt 0 o sistema é dito ser assintoticamente estável Se para qualquer ϵ é possível selecio nar um δ arbitrariamente grande então o sistema é dito ser estável em larga escala O estudo destes assuntos começa com a EDO invariante no tempo 957 para a qual a aproximação linear é 958 Nesta equação assumese que todos os termos lineares estão em Fx e os termos de ordem alta estão em gx no sentido de que quando x tornase pequeno gx tornase pequeno mais rápido como expresso por 959 O segundo método de Lyapunov começa com a noção intuitiva de que uma medida do tamanho do estado de um sistema físico é a energia total armazenada no sistema em qualquer instante e com a observação de que quando a energia armazenada não se altera mais o sistema deve estar em repouso Para um circuito elétrico por exemplo a energia elétrica é proporcional ao quadra do das tensões no capacitor e a energia magnética é proporcional ao quadrado das correntes no indutor Lyapunov extraiu a essência dessa ideia abstrata e definiu uma função escalar do estado Vx chamada de função de Lyapunov tendo as seguintes propriedades 1 2 3 V é contínuo e tem derivadas contínuas em relação a todos os componentes de x 4 ao longo das trajetórias da equação As três primeiras condições asseguram que na vizinhança da origem a função é como uma bacia lisa situada na origem do espaço de estados A quarta condição que obviamente depende das equações de movimento garante que se δ é selecionado de modo que as condições iniciais estejam mais profundas na bacia do que qualquer parte da bacia definida por ϵ a trajetória nun ca subirá mais alto na bacia do que era no início e assim permanecerá dentro de ϵ e o sistema será estável Além disso se a condição 4 é reforçada para ser Vx 0 então o valor da função deve cair para zero e pela condição 1 o estado também vai para zero O teorema de estabilida de que é a base para segundo método de Lyapunov afirma que Se uma função de Lyapunov pode ser encontrada para um sistema então o movimento é estável e além disso se Vx 0 o movimento é assintoticamente estável O segun do método é procurar por uma função de Lyapunov Segundo método de Lyapunov A parte mais difícil para a aplicação desta teoria é a afirmação Se uma função de Lyapu nov pode ser encontrada Apenas no caso linear existe uma receita dada para encontrar uma função de Lyapunov caso contrário a teoria dá ao engenheiro apenas uma licença de caça para Estabilidade pela perspectiva de Lyapunov Função de Lyapunov Capítulo 9 Sistemas não Lineares 553 procurar por tal função Estamos agora em posição de considerar o método indireto para a es tabilidade da Eq 958 Talvez porque a energia em sistemas simples seja uma soma dos quadrados das variáveis para este problema Lyapunov considera um candidato quadrático para V supondo que uma ma triz simétrica definida positiva P possa ser encontrada e a função é definida como Vx xTPx Claramente as três primeiras condições são satisfeitas por essa função a quarta condição deve ser testada antes de podermos concluir que temos uma função de Lyapunov O cálculo de é 960 961 962 963 Um resultado matricial básico conhecido como uma equação de Lyapunov é 964 e ele mostrou que se F é uma matriz de estabilidade tendo todos os seus autovalores no SPE então para qualquer matriz definida positiva Q a solução P dessa equação também será definida como positiva O argumento a partir daqui é selecionar Q e resolver para P Então se os autovalo res de F estão no SPE P será definida positiva então Vx é uma possível função de Lyapunov e 965 A parte final do argumento é notar que pela Eq 959 se x é suficientemente pequeno então o primeiro termo da Eq 965 vai dominar a quarta condição será satisfeita V será uma função de Lyapunov e é provado que o sistema é estável Note que a exigência de x de ser su ficientemente pequeno garante apenas que há uma vizinhança da origem que é estável Outras condições são necessárias para mostrar que a bacia definida por V se estende para em todas as direções quando x tende a e não antes para que a estabilidade seja válida em todos os estados e seja no geral Há também um teorema de instabilidade que mostra que se algum autovalor de F está no SPE então a origem será instável Se todos os polos de F estão no SPE com exceção de alguns polos simples no eixo imaginário então a estabilidade depende de outras propriedades dos ter mos não lineares gx Com este resultado em mãos o primeiro método ou método indireto de Lyapunov pode ser enunciado como 1 Encontre a aproximação linear e calcule os autovalores de F 2 Se todos os autovalores estão no SPE então há uma região de estabilidade próxima à origem 3 Se pelo menos um dos autovalores está no SPD então a origem é instável 4 Se existem autovalores simples no eixo imaginário e todos os outros valores estão no SPE então nenhuma afirmação sobre a estabilidade pode ser feita com base neste método EXEMPLO 915 Estabilidade de Lyapunov para um sistema de segunda ordem Use o método de Lyapunov para encontrar condições para a estabilidade de um sistema de se gunda ordem descrito pela matriz de estado Solução Para o caso linear podemos selecionar qualquer matriz definida positiva Q a mais simples é Q I A equação de Lyapunov correspondente é 966 Primeiro método de Lyapunov 554 Sistemas de Controle A Eq 966 pode ser reescrita como 967 968 969 As Eqs 967 à 969 são prontamente resolvidas obtendo p r 12α q 0 tal que e os determinantes são ½α 0 e ¼α2 0 Assim P 0 então concluímos que o sistema é estável se α 0 Para sistemas com muitas variáveis de estado e parâmetros não numéricos a solução da equação de Lyapunov pode ser onerosa mas o resultado é uma alternativa equivalente ao méto do de Routh para a computação das condições de estabilidade em um sistema com parâmetros simbólicos EXEMPLO 916 Método direto de Lyapunov para um sistema de realimentação da posição Considere o sistema de realimentação da posição modelado na Fig 938 Ilustre o uso do méto do direto neste sistema não linear Simule o sistema usando o SIMULINK assumindo T 1 e avalie a resposta ao degrau do sistema Solução Assumimos que o atuador que talvez seja apenas um amplificador neste caso tenha uma não linearidade significativa que é mostrada na figura como uma saturação mas é possivel mente mais complexa Vamos assumir apenas que u fe onde a função está no primeiro e no ter ceiro quadrante de modo que Também assumimos que fe 0 implica que e 0 e vamos supor que T 0 então o sistema em malha aberta é estável As equações de movimento são 970a 970b Para uma função de Lyapunov considere algo como energia cinética mais potencial 971 Claramente V 0 se x2 e 0 e devido à suposição sobre f V 0 se Para veri ficar se V na Eq 971 é uma função de Lyapunov calculamos V da seguinte forma Com e a origem estáveis no sentido de Lyapunov Além disso é sempre decrescente se x2 0 e a Eq 970b indica que o sistema não tem trajetória com x2 0 exceto x2 0 Assim podemos concluir que o sistema é assintoticamente estável para todo f que satisfaz duas condi ções 1 f dσ 0 e 2 fe 0 implica que e 0 O diagrama no SIMULINK para o sistema é mostrado na Fig 946 para T 1 A resposta ao degrau do sistema é mostrada na Fig 947 556 Sistemas de Controle 976 977 Se substituímos o resultado da Eq 977 na Eq 974 o resultado é a regra MIT 978 com o novo ganho adaptativo Infelizmente a estabilidade desta regra não é estabelecida e algumas análises mostraram que ela pode ser instável em circunstâncias razoáveis como em quando há dinâmicas não modeladas ou perturbações Parks propôs que o reprojeto de Lyapu nov seria uma ideia melhor e que em vez de tomar dado pela Eq 974 essa escolha fosse feita de uma forma que garanta a estabilidade Sua ideia começa com as equações diferenciais sendo r ro uma constante 979 980 Por simplicidade é feita a definição x KcKp Km e é encontrado Parks selecionou como uma função de Lyapunov candidata e calculou 981 982 Se na última equação é selecionado como então as condições para uma função de Lyapunov são satisfeitas e a estabilidade é assegurada pelas suposições dadas Assim descobrimos que o novo algoritmo é 983 Obviamente esse resultado não responde às questões sobre dinâmica não modelada ou distúr bios mas o princípio é claro deixar as equações de controlechave serem definidas de modo a obter uma função de Lyapunov pode colocar a estabilidade de um sistema sobre uma base firme Como um segundo exemplo de reprojeto de Lyapunov considere o controle adaptativo de um motor mostrado na Fig 949 Definindo a saída do modelo como ym e a saída planta como yp as equações são 984 985 Figura 949 Diagrama de blocos para o controle adaptativo de um motor wn2s s2 2zwn2s wn2 Modelo Kpwn2s s2 2zwn2s Kcs 1 Planta Controlador Entrada Erro 558 Sistemas de Controle Esta relação pode ser reescrita como 993 Basicamente a definição diz que o gráfico de fx fica entre duas linhas retas de inclinações k1 e k2 passando pela origem como mostrado na Fig 951 Nessa definição k1 e k2 podem ser ou Note que as condições de setor não impõem limites sobre o ganho incremental ou na inclinação da função fx Os exemplos seguintes ilustram como k1 e k2 são determinados EXEMPLO 917 Cálculo de um setor para a não linearidade de sinal Determine um setor que contém a função sinal y fu mostrada na Fig 96b Solução Como sgn0 0 sabemos que a única linha passando pela origem que limita superiormente a função sinal é o eixo y que corresponde a uma inclinação de k2 Da mesma forma a linha passando pela origem que limita inferiormente a função sinal tem uma inclinação de zero e corresponde ao eixo x e portanto k1 0 Assim o setor para a função sinal é 0 EXEMPLO 918 Setor para uma não linearidade de saturação Considere a não linearidade de saturação mostrada na Fig 952 Determine um setor para esta função Solução A função é limitada superiormente por uma linha de inclinação 1 k2 1 e é limi tada inferiormente pelo eixo x k1 0 como mostrado na figura Portanto o setor para esta função é 0 1 Critério do círculo Em 1949 o cientista russo Aizermann conjecturou que se um sistema Lure é estável com f substituído por qualquer ganho linear entre os limites k1 k k2 então o sistema será está vel com o ganho substituído por uma não linearidade no setor k1 k2 Isso significa que se um sistema de tempo contínuo estritamente próprio com uma única malha de realimentação como mostrado na Fig 950 com um caminho linear direto F G H é estável para todos os ganhos de realimentação linear k na faixa de k1 k k2 de tal forma que a matriz do sistema de malha fechada resultante F kGH é estável então o sistema não linear com um termo de ft yy Inclinação k2 Inclinação k1 y Figura 951 Saída da não linearidade confinada no setor Capítulo 9 Sistemas não Lineares 559 realimentação não linear variante no tempo fty pertencente ao setor k1 k2 mostrado na Fig 950 também é estável Infelizmente essa conjectura não é verdade pois contraexemplos exis tem6 No entanto uma variação da conjectura de Aizermann é verdadeira e é conhecida como o critério de círculo No lugar de apresentar uma demonstração rigorosa do critério descrevemos um argumento heurístico que fornece um conhecimento melhor do problema e motiva a demonstração Um circuito elétrico com uma impedância linear Zjω Rω jXω é descrito pela lei de Ohm como V IZs Assumimos que Z seja composto de componentes reais o que significa que a parte real R é par e a parte imaginária X é ímpar isto é Rω Rω e X ω Xω Se Rω δ 0 para todo ω a impedância é chamada de estritamente passiva Ela vai dissipar energia A potência instantânea no circuito é p vtit e a energia total absorvida pelo circui to é Referindose à figura a lei de Ohm é equivalente à equação da planta Y UGs com Y sendo a tensão U a corrente e Gs R jX sendo a impedância Aplicando a expressão para a energia da equação da planta e usando o teorema de Parseval7 para convertê la para o domínio da frequência temos 994 995 996 997 Na última etapa o fato de X ser ímpar foi usado Neste ponto o uso da notação convencional irá simplificar as equações de forma substancial Definimos produtos internos e normas 998 6 A conjectura de Aizermann estimulou uma série de pesquisas nesta área e levou ao desenvolvimento do lema de KalmanYakubovichPopov dando condições no espaço de estados para um sistema passivo O lema é usado em uma demonstração do critério de círculo 7 Veja o Apêndice A Figura 952 Setor para saturação Saída Entrada 01 01 560 Sistemas de Controle 999 Com essa notação e com a suposição de que R δ 0 a Eq 997 é reduzida a 9100 Voltando agora para a componente não linear utilizando o mesmo conceito de energia e as sumindo que f está no setor 0 K temos 9101 9102 9103 A suposição agora é que se a energia total dada pela soma da Eq 9100 e Eq 9102 é positiva então o sistema deve ser estável já que a energia está sendo constantemente perdida O valor real da energia perdida seria igual à energia inicial armazenada nos elementos do siste ma A partir disto concluímos que se então o sistema é estável Assim o critério é 9104 9105 9106 Na obtenção da Eq 9106 a suposição feita foi que a não linearidade pertence a um setor zero 0 K Se a função está no setor k1 k2 ela pode ser reduzida a um setor zero adicionan do e subtraindo k1 no diagrama de blocos como mostrado na Fig 953 Com esta alteração o sistema dinâmico é substituído por e a função por f f k1 que está no setor k2 k1 0 Com estas mudanças o critério de estabilidade é transformado em 9107 Figura 953 Manipulação no diagrama de blocos para o setor ut yt ωt fy Função Ganho1 Ganho Função de transferência Sequência de degraus 1 Gs k1 k1 fu Capítulo 9 Sistemas não Lineares 561 9108 9109 É fato que uma função bilinear como na Eq 9109 irá mapear um círculo no plano F em outro círculo no plano G veja o Apêndice WD disponível em inglês no site do Gru po A Neste caso a região aceitável é ReF 0 na qual o limite é o eixo imaginário de modo que o mapeamento é do eixo imaginário um círculo de raio infinito em um círculo finito Devido ao fato de as funções serem reais o círculo deve ser centrado no eixo real e precisamos localizar apenas dois pontos no eixo real Por exemplo quando F 0 temos 1 k2G 0 ou O outro ponto no eixo real é quando a função é infinita neste ponto 1 k1G 0 ou Assim o círculo no plano G é centrado no eixo real é passa pelos pontos como traçado na Fig 954 Como F teve que evitar o SPE se definirmos F 1 que está na região proibida e resolvendo vemos que que está dentro do círculo a partir do qual podemos concluir que o sistema será estável se a gráfico de Gjω evitar esse círculo O teorema real é o seguinte O sistema não linear descrito é assintoticamente estável dado que 1 fty pertence ao setor k1 k2 com 0 k1 k2 e 2 o diagrama de Nyquist da função de transferência Gjω HjωI F1G não intercepta ou envolve o círculo crítico que é centrado no eixo real e passa pelos pontos 1k1 e 1 k2 como mostrado na Fig 954 Como resultado o ponto comum 1 de Nyquist é substituído pelo disco crítico Esse resultado é conhecido como o critério do círculo ou teorema do círculo e se deve a Sandberg 1964 e Zames 1966 Note que essas condições são suficientes mas não necessárias porque a intersecção da função de transferência Gs com o círculo como definido não demonstra a instabilidade O círculo crítico está centrado em e tem um raio de Se k1 0 então o círculo crítico degenera em um semiplano definido por ReG 1k2 O critério do círculo e a função descritiva estão relacionados Na verdade para o caso de não linearidades ímpares invariantes no tempo que estão dentro de um setor e para as quais as funções descritivas são reais a função descritiva satisfaz à relação para todo a 9110 Critério do círculo Figura 954 Ilustração do critério do círculo ImL ReL 1 k1 1 k2 562 Sistemas de Controle tal que 9111 e o gráfico do negativo do inverso da função descritiva vai estar dentro do círculo crítico Isso pode ser visto pelos seguintes limites inferior e superior 9112 9113 A análise do ganho equivalente e da função descritiva fornecem os mesmos resultados Se tomarmos o ganho da função descritiva então a amplitude do ciclo limite pode ser prevista como feito com a funções descritiva Ambas as técnicas de ganho equivalente podem ser usadas para determinar a estabilidade mas como vimos o critério do círculo permite não linearidades variantes no tempo EXEMPLO 919 Determinação da estabilidade usando o critério do círculo Considere o sistema no Exemplo 97 Determine as propriedades da estabilidade do sistema usando o critério do círculo Solução O setor relacionado é o mesmo encontrado no Exemplo 918 O círculo crítico dege nera em um semiplano definido por ReG 1 como mostrado na Fig 955 Como o diagra ma de Nyquist está inteiramente à direita do círculo crítico o sistema é estável 96 Perspectiva histórica Quase todos os sistemas dinâmicos físicos são não lineares portanto não é surpreendente que o estudo de sistemas não lineares tenha uma longa e rica história O estudo de sistemas não linea res remonta à astronomia e ao estudo da estabilidade do sistema solar que remonta a Torricelli 16081647 Laplace e Lagrange O campo ganhou nova energia com a tese de doutorado de A M Lyapunov na Rússia em 1892 Ele estava tentando resolver o problema de estabilidade em massas fluidas em rotação apresentado por Poincaré e reconheceu que se pudesse mostrar que a energia armazenada do sistema estava sempre diminuindo então o sistema poderia ser estável e em um dado momento entraria em repouso O estudo de funções de Lyapunov foi introdu zido no campo de controle em 1960 por Kalman e Bertram e evoluiu rapidamente desde então Figura 955 Diagrama de Nyquist e critério do círculo 0 ImG ReG 01j 01j 05 1 ω 1 a 063 Diagrama de Nyquist Capítulo 9 Sistemas não Lineares 563 Maxwell foi o primeiro a estudar a estabilidade por linearização sobre um ponto de equi líbrio derivando o modelo linear para o governador de bolas flutuantes de Watt e afirmou que o sistema seria estável se as raízes características tivessem parte real negativa Kochenberger derivou o método de função descritiva em uma tentativa de lidar com não linearidades em 1950 com base nas ideias da resposta em frequência Lure propôs o problema de estabilidade absoluta em 1944 e em 1961 Popov desenvolveu o critério do círculo para análise da estabili dade não linear Posteriormente Yakubovich 1962 e Kalman 1963 estabeleceram conexões entre os resultados de Lure e Popov O estudo do controle adaptativo recebeu muita atenção durante as décadas de 1960 1970 e 1980 Controladores adaptativos são em geral variantes no tempo e não lineares Durante a década de 1960 métodos de sensibilidade e a regra MIT para ajustes adaptativos foram desen volvidos por Draper e outros Métodos para estudar sistemas adaptativos baseados em métodos de Lyapunov e de passividade foram desenvolvidos na década de 1970 Métodos de controle adaptativo robusto foram estudados na década de 1980 Além disso tem havido uma série de pesquisas em sistemas como no clima em que uma mudança brusca nas condições iniciais ou nos parâmetros pode causar mudanças drásticas na resposta do sistema Tais sistemas são ditos caóticos Em todos os estudos recentes de sistemas não lineares a disponibilidade de com putadores poderosos para resolver as equações e produzir os gráficos dos resultados tem sido fundamental O desenvolvimento de uma teoria geral do controle não linear continua a ser um sonho dos teóricos de controle em uma busca contínua RESUMO As equações não lineares de movimento podem ser aproximadas por outras lineares consi derando um modelo linear para sinais pequenos que é preciso próximo a um equilíbrio Em muitos casos o inverso de uma não linearidade pode ser usado para linearizar um sistema Não linearidades sem dinâmica como a saturação podem ser analisadas usando o lugar das raízes considerando a não linearidade como um ganho variável A técnica do lugar das raízes pode ser usada para determinar as propriedades do ciclo li mite para as não linearidades sem memória e produz os mesmos resultados que a função descritiva A função descritiva é essencialmente um método heurístico com o objetivo de encontrar uma função da resposta em frequência para um elemento não linear A estabilidade de sistemas com uma única não linearidade pode ser estudada usando o mé todo da função descritiva A função descritiva pode ser usada para prever soluções periódicas em sistemas realimentados O diagrama de Nyquist em conjunto com a função descritiva pode ser usado para determinar as propriedades ciclo limite A estabilidade de um sistema não linear no espaço de estados pode ser estudada pelos méto dos de Lyapunov O critério do círculo fornece uma condição suficiente para a estabilidade QUESTÕES DE REVISÃO 1 Por que aproximamos um modelo físico da planta que é sempre não linear por um modelo linear 2 Como você linearizaria a equação não linear do sistema de transferência de calor por radiação 3 Uma lâmpada utilizada como um atuador térmico tem uma não linearidade tal que a potência de saída medida experimentalmente está relacionada à tensão de entrada por P V16 Como você lida ria com essa não linearidade em um projeto de controle de realimentação 4 O que é integrador windup 5 Por que um circuito antiwindup é importante 564 Sistemas de Controle 6 Usando a função não linear de saturação com ganho 1 e limites 1 esboce o diagrama de blocos de saturação para um atuador que tem ganho 7 e limites de 20 7 O que é uma função descritiva e como ela está relacionada a uma função de transferência 8 Quais são as premissas por trás do uso da função descritiva 9 O que é um ciclo limite em um sistema não linear 10 Como se pode determinar a função descritiva para um sistema não linear no laboratório 11 Qual é a estratégia de controle de tempo mínimo para um controle de atitude de satélite com contro lador limitado 12 Como são usados os dois métodos de Lyapunov PROBLEMAS Problemas da Seção 92 Análise por linearização 91 A Fig 956 mostra um sistema de pêndulo simples no qual um cabo é enrolado em torno de um cilindro fixo O movimento resultante do sistema é descrito pela equação diferencial sendo comprimento do cabo na posição vertical para baixo R raio do cilindro a Escreva as equações no espaço de estados para esse sistema b Linearize a equação em torno do ponto θ 0 e mostre que para valores pequenos de θ a equação do sistema se reduz a uma equação para um pêndulo simples isto é Figura 956 Movimento do cabo enrolado em torno de um cilindro fixo R θ l l Rθ 92 O circuito mostrado na Fig 957 tem uma condutância não linear G tal que iG gvG vGvG 1vG 4 As equações diferenciais de estado são sendo i e v as variáveis de estado e u a entrada a Um estado de equilíbrio ocorre quando u 1 gerando i1 v1 0 Encontre os outros dois pares de v e i que irão produzir o equilíbrio b Encontre o modelo linearizado do sistema no ponto de equilíbrio u 1 i1 v1 0 c Encontre os modelos linearizados nos outros dois pontos de equilíbrio 93 Considere o circuito mostrado na Fig 958 u1 e u2 são fontes de tensão e corrente respectivamente e R1 e R2 são resistores não lineares com as seguintes características 566 Sistemas de Controle c Desenhe o diagrama do circuito que corresponde ao modelo linearizado Dê valores aos ele mentos 94 Considere o sistema não linear a Assuma uo 0 e resolva para xot b Encontre o modelo linearizado para a solução nominal no item a 95 Efeito de linearização da realimentação Vimos que a realimentação pode reduzir a sensibili dade da função de transferência entradasaída em respeito a mudanças na função de transfe rência da planta e reduzir os efeitos de uma perturbação atuando na planta Neste problema vamos explorar uma outra propriedade benéfica da realimentação ela pode fazer a resposta de entradasaída mais linear do que a resposta em malha aberta da planta sozinha Para sim plificar vamos ignorar toda a dinâmica da planta e assumir que a planta é descrita pela não linearidade estática a Suponha a realimentação proporcional sendo α 0 o ganho de realimentação Encontre uma expressão para yt em função de rt para o sistema em malha fechada Essa função é chamada de característica não linear do sistema Esboce a característica de transferência não linear para α 0 que é realmente ma lha aberta α 1 e α 2 b Suponha o controle integral O sistema em malha fechada é portanto não linear e dinâmico Mostre que se rt é uma constante digamos r então Assim o controle integral faz a característica de transferência em estado estacionário do sistema em malha fechada ser exatamente linear O sistema em malha fechada pode ser descrito por uma função de transferência de r para y 96 Este problema mostra que a linearização nem sempre funciona Considere o sistema a Encontre o ponto de equilíbrio e resolva para xt b Suponha que α 1 O modelo linearizado é uma representação válida do sistema c Suponha que α 1 O modelo linearizado é uma representação válida do sistema 97 Considerar o objeto em movimento em uma linha reta com velocidade constante mostrado na Fig 960 A única medida disponível é o alcance do objeto As equações do sistema são sendo Obtenha o modelo linearizado para este sistema 568 Sistemas de Controle A resolução especificada é aproximadamente 106 rad Discuta a existência amplitude e frequência de possíveis ciclos limites em função do ganho K e da FD do controlador Repita o problema para uma banda morta com histerese 915 Integrator não linear de Clegg Houve ao longo dos anos algumas tentativas de melhorar o inte grador linear Um integrador linear tem a desvantagem de ter um atraso de fase de 90 em todas as frequências Em 1958 J C Clegg sugeriu modificar o integrador linear para redefinir seu estado Figura 962 Não linearidade do quantizador para o Problema 912 Figura 963 Contator para o Problema 913 δ1 δ2 δ3 δ4 h u q 2q 3q 4q y Saída Entrada d T Is B 1 s 1 d T Motor e controlador Suspensão cardan Giroscópio ϕ ω ϕm K τLs 1 τf s 1 h cs s 1 J c Figura 964 Diagramas de blocos para o sistema do Pro blema 914 570 Sistemas de Controle podem ser modelados apenas como uma inércia Para uma curva de comutação ideal esboce os retratos de fase do sistema A função de comutação é e θ τω Suponha que τ 10 s e o sinal de controle 103 rads2 Agora esboce os resultados com a zona morta b zona morta mais histerese c zona morta mais atraso de tempo T d zona morta mais uma perturbação constante 921 Calcule a amplitude do ciclo limite no caso de controle de atitude de satélite com atraso usando Esboce a trajetória no plano de fase do ciclo limite e o histórico temporal de θ dando o valor má ximo de θ 922 Considere o pêndulo de massa pontual com atrito nulo como mostrado na Fig 966 Usando o método de isóclinas como um guia esboce o retrato do plano de fase do movimento Preste es pecial atenção à vizinhança de θ π Indique uma trajetória correspondente ao giro contínuo do pêndulo em vez de oscilar para trás e para frente Figura 966 Pêndulo para o Problema 922 l θ M 923 Desenhe a trajetória de fase para um sistema entre e mm Encontre o tempo de transição graficamente com parando a curva parabólica com a sua solução com dois intervalos de tamanhos diferentes e a solução exata 924 Considere o sistema com as equações de movimento a Essas equações correspondem a qual sistema físico b Desenhe os retratos de fase para este sistema c Mostre uma trajetória específica para rad e 925 Considere o pêndulo não linear na vertical com um motor em sua base como um atuador Projete um controlador de realimentação para estabilizar o sistema 926 Considere o sistema Demonstre que a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável Projeto de Sistemas de Controle 10 Nos Capítulos 5 6 e 7 apresentamos técnicas para análise e projeto de sistemas realimentados baseadas nos métodos do lugar das raízes da resposta em frequência e das variáveis de estado Até agora tivemos de considerar partes isoladas e aspectos idealizados de sistemas maiores e focamos na aplicação de um método de análise de cada vez Neste capítulo voltamos ao tema do Capítulo 4 as vantagens do controle realimentado para reconsiderar o problema de projeto de controle global com as sofisticadas ferramentas desenvolvidas nos Capítulos 5 ao 7 e 9 Vamos utilizar essas ferramentas em várias aplicações complexas do mundo real no formato de estudo de caso Uma abordagem de projeto passo a passo abrangente serve para dois propósitos fornecer um ponto de partida útil para qualquer problema de controle do mundo real e fornecer pontos de verificação significativos uma vez que o processo de projeto esteja em andamento Este capítulo desenvolve essa abordagem geral que será aplicada nos estudos de caso Visão geral do capítulo A Seção 101 abre o capítulo com um processo de projeto passo a passo que é suficientemente geral para ser aplicado a qualquer processo de projeto de controle mas que também fornece definições e direções úteis Então aplicamos o processo de projeto em complexas aplicações práticas projeto do sistema de controle de atitude para um satélite Seção 102 controle la teral e longitudinal de um Boeing 747 Seção 103 controle da razão arcombustível em um motor automotivo Seção 104 controle de uma unidade de disco Seção 105 e controle de um sistema de processamento térmico rápido PTR Seção 106 O estudo de caso do satélite é representativo do controle de sistemas de comunicações de satélites geossíncronos O estudo aborda o projeto de sistemas de controle robusto nos quais sabese que os parâmetros físicos Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 573 variam dentro de um determinado intervalo Nesse contexto o sistema de controle precisa atender às especificações do início da vida até o fim da vida que se estende por um pe ríodo de 1215 anos O momento de inércia e a massa do satélite irão variar à medida que o combustível for gasto para o controle de atitude e com o desdobramento e a reorientação das antenas do satélite O estudo de caso do satélite ilustra o uso de um compensador rejeita fai xa para um sistema com ressonância levemente amortecida Veremos a partir deste estudo de caso que sistemas com atuadores e sensores justapostos são muito mais fáceis de controlar do que sistemas não justapostos O estudo de caso do Boeing 747 aborda o familiar sistema de controle de voo da aeronave comercial de passageiros As equações não lineares de movi mento são dadas e linearizadas para uma condição de voo específica As dinâmicas de corpos rígidos direções longitudinal e lateral são cada uma de quarta ordem Obviamente os modos flexíveis também precisam ser considerados para um modelo mais preciso O estudo de caso de estabilização lateral do Boeing 747 irá ilustrar o uso da realimentação como uma malha in terna projetada para auxiliar o piloto que fornecerá o controle primário da malha externa O controle de altitude irá mostrar como combinar a realimentação da malha interna com o com pensador da malha externa para projetar um sistema de controle completo O estudo de caso da razão arcombustível em um motor automotivo é um exemplo do mundo real que inclui um sensor não linear e um atraso puro de tempo Vamos usar o método da função descritiva do Capítulo 9 para analisar o comportamento desse sistema Outro problema familiar a todo usuário de PC é o controle dos dados armazenados em um disco O estudo de caso sobre o controle de posição e a largura de banda será um parâmetrochave de desempenho O estudo de caso do PTR na fabricação de pastilhas de semicondutores está muito próximo da aplicação industrial O problema trata de rastreamento da temperatura e rejeição de distúrbios para um sistema térmico altamente não linear O atuador lâmpada também é não linear e vamos usar a técnica do Capítulo 9 para tentar cancelar os efeitos dessa não linearidade Outro as pecto importante desse sistema é a saturação do atuador e o fato de que o sinal de controle não pode ser negativo Em todos esses estudos de caso o projetista precisa ser capaz de utilizar várias ferramentas dos capítulos anteriores incluindo o lugar das raízes a resposta em frequência a alocação de polos por realimentação de estados e a simulação não linear de respostas temporais para obter um projeto satisfatório Na Seção 107 apresentamos um estudo de caso da área emergente da biologia de sistemas e descrevemos a quimiotaxia ou como a Escherichia coli E coli se movimenta A Seção 108 fornece uma perspectiva histó rica sobre as aplicações de controle realimentado 101 Um esquema de projeto de sistemas de controle A engenharia de controle é uma parte importante do processo de projeto de muitos sistemas dinâmicos Como sugerido no Capítulo 4 o uso deliberado da realimentação pode estabi lizar um sistema instável reduzir o erro devido a entradas de perturbação reduzir o erro de rastreamento enquanto a entrada segue um comando e reduzir a sensibilidade de uma função de transferência em malha fechada para pequenas variações nos parâmetros internos do sistema Nessas situações para as quais o controle realimentado é necessário é possível delinear uma estratégia para o projeto de sistemas de controle que muitas vezes leva a uma solução satisfatória Antes de descrever esta abordagem queremos enfatizar que o objetivo do controle é auxi liar o produto ou processo o mecanismo o robô a fábrica de produtos químicos a aeronave ou qualquer outro a realizar seu trabalho Engenheiros engajados em outras áreas do processo de projeto estão cada vez mais levando em conta a contribuição do controle no início de seus planos Como resultado mais e mais sistemas são projetados para que eles não trabalhem mais sem realimentação Isso é especialmente importante no projeto de aeronaves de alto desempe nho em que o controle tornouse essencial juntamente com a estrutura e aerodinâmica para garantir que a aeronave realmente voe É impossível dar uma descrição global de tal projeto neste livro mas reconhecer a existência de tais casos é importante na perspectiva não só da 574 Sistemas de Controle tarefa específica do projeto do sistema de controle mas também do papel central que essa tarefa pode desempenhar em uma empresa O projeto de sistemas de controle começa com um produto ou processo proposto cujo desempenho dinâmico satisfatório depende da realimentação para a estabilidade regulação da perturbação precisão de rastreamento ou redução dos efeitos das variações dos parâmetros Vamos dar uma visão geral do processo de projeto que é geralmente bastante útil se o produto é um amplificador eletrônico ou uma grande estrutura para ser colocada em órbita terrestre Obviamente para ser tão amplamente aplicável nosso esquema tem de ser vago no que diz respeito aos detalhes físicos e específicos apenas com relação ao problema de controle reali mentado Para apresentar nossos resultados vamos dividir o problema de projeto de controle em uma sequência de passos PASSO 1 Compreenda o processo e traduza os requisitos de desempenho dinâmico em especificações no tempo frequência ou na localização de polos e zeros A importância de compreender o processo o que se pretende fazer quanto erro no sistema é permitido como descrever a classe dos sinais de comando e perturbação esperados e quais capacidades e limi tações físicas dificilmente pode ser subestimada Lamentavelmente em um livro como este é fácil ver o processo como uma função de transferência linear invariante no tempo e capaz de responder às entradas de tamanho arbitrário e tendemos a ignorar o fato de que o modelo linear é uma representação muito limitada do sistema real válido apenas para pequenos si nais tempos curtos e determinadas condições ambientais Não confunda a aproximação com a realidade Você deve ser capaz de usar o modelo simplificado para a finalidade pretendida e voltar para um modelo exato ou para o sistema físico real para realmente verificar o desem penho do projeto Resultados típicos deste passo são especificações a que o sistema deve atender resposta ao degrau dentro de alguns limites como mostrado na Fig 101a resposta em frequência de ma lha aberta que satisfaça a certas restrições Fig 101b ou polos de malha fechada à esquerda de alguns limites Fig 101c PASSO 2 Seleção de sensores Na seleção do sensor considere quais variáveis são importantes para controlar e quais variáveis podem ser fisicamente medidas Por exemplo em um motor a jato existem temperaturas internas críticas que devem ser controladas mas que não podem ser medidas diretamente quando o motor está em operação Selecione os sensores que indireta mente permitem uma boa estimativa destas variáveis críticas É importante considerar sensores para o distúrbio Às vezes especialmente em processos químicos é benéfico medir uma per turbação de carga diretamente porque o desempenho pode ser melhorado se esta informação alimentar o controlador Seguem alguns fatores que influenciam a seleção de sensor Número de sensores e localizações Selecione o número mínimo exigido de sensores e suas localizações ideais Tecnologia Elétrica ou magnética mecânica eletromecânica eletroóptica piezoelétrica Desempenho funcional Linearidade polarização precisão largura de banda resolução faixa dinâmica ruído Propriedades físicas Peso tamanho força Fatores de qualidade Confiabilidade durabilidade manutenção Custo Despesa disponibilidade instalações para testes e manutenção PASSO 3 Seleção de atuadores A fim de controlar um sistema dinâmico obviamente você deve ser capaz de influenciar na resposta O dispositivo que faz isso é o atuador Antes de es colher um atuador específico considere as variáveis que podem ser influenciadas Por exemplo em um veículo aéreo muitas configurações de superfícies móveis são possíveis e a influência que elas têm no desempenho e na controlabilidade da aeronave pode se profunda As localiza ções dos jatos ou dispositivos de torque também são parte importante do projeto de controle da aeronave Especificações Sensor Atuadores Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 575 Quando uma determinada variável de controle é selecionada você pode ter de considerar outros fatores Número de atuadores e localizações Selecione os atuadores necessários e suas localizações ideais Tecnologia Elétrica hidráulica pneumática térmica outras Desempenho funcional Força máxima possível extensão da faixa linear velocidade máxima possível potência eficiência Propriedades físicas Peso tamanho força Fatores de qualidade Confiabilidade durabilidade manutenção Custo Despesa disponibilidade instalações para testes e manutenção PASSO 4 Faça um modelo linear Considere aqui a melhor escolha para o processo atuador e sensor identifique o ponto de equilíbrio de interesses e construa um modelo dinâmico para sinais pequenos válido em toda a gama de frequência incluída nas especificações do Passo 1 O modelo deve ser validado com dados experimentais sempre que possível Para que se possa fazer uso de todas as ferramentas disponíveis expresse o modelo nas formas de variáveis de estado polozero bem como na forma de frequência em resposta Como vimos o MATLAB e outros pacotes computacionais de auxílio ao projeto de sistemas de controle têm meios para realizar as transformações entre essas formas Simplifique e reduza a ordem do modelo se ne cessário Quantifique a incerteza do modelo PASSO 5 Tente um projeto simples proporcionalintegralderivativo PID ou um projeto de atraso e avanço Para obter uma estimativa inicial da complexidade do problema de projeto esboce a resposta em frequência Bode e o lugar das raízes com respeito ao ganho da planta Se o modelo da plantasensoratuador for estável e de fase mínima o diagrama de Bode provavel mente será mais útil caso contrário o lugar das raízes mostra informações muito importantes com relação ao comportamento no semiplano direito SPD Em qualquer caso tente atender às especificações com um controlador simples da variedade de atraso e avanço incluindo o controle integral se a resposta em estado estacionário exigir Não negligencie os distúrbios se a informa ção do sensor necessário estiver disponível Considere o efeito do ruído no sensor e compare uma rede de avanço com um sensor de velocidade direto para ver qual fornece um projeto melhor PASSO 6 Avaliemodifique a planta Baseado no projeto simples de controle avalie a origem das características indesejáveis do desempenho do sistema Reavalie as especificações a con figuração física do processo e as seleções do atuador e do sensor à luz do projeto preliminar e volte ao Passo 1 se melhorias parecem ser necessárias ou viáveis Por exemplo em muitos problemas de controle de movimento depois de testar o primeiro projeto você pode encontrar modos de vibração que impedem que o projeto atenda às especificações iniciais do problema Linearização Compensação simples PIDprojetor de atraso e avanço yt t log G log ω G ωc a log ω Ims Res b c 0 180 Figura 101 Exemplo de a resposta no tempo b resposta em frequência e c especificações de polos e zeros resultantes do Passo 1 576 Sistemas de Controle Pode ser muito mais fácil atender às especificações alterando a estrutura da planta pela adição de reforços ou de amortecimento passivo do que com apenas estratégias de controle Uma solu ção alternativa pode ser mover um sensor que está em um nó de um modo de vibração propor cionando assim nenhuma realimentação do movimento Além disso algumas tecnologias de atuadores como a hidráulica têm muito mais vibrações de baixa frequência que outras como a elétrica assim a alteração da tecnologia dos atuadores pode ser indicada Em uma implemen tação digital pode ser possível rever a estrutura do sistema sensoratuadorcontrolador de forma a reduzir o atraso de tempo que é sempre um elemento desestabilizador Em sistemas térmicos muitas vezes é possível mudar a capacitância ou a condutividade térmica pela substituição de materiais que irão melhorar o projeto de controle É importante considerar todas as partes do projeto não só a lógica de controle para atender às especificações com a melhor relação custo benefício Se a planta for modificada volte ao Passo 1 Se o projeto agora parece satisfatório vá para o Passo 8 caso contrário tente o Passo 7 PASSO 7 Teste um projeto ótimo Se o projeto de compensadores por tentativa e erro não for nece desempenho totalmente satisfatório considere um projeto baseado em controle ótimo O lugar das raízes simétrico LRS vai mostrar as possíveis localizações das raízes a partir das quais as localizações dos polos do controlador são selecionadas para atender às especificações da resposta você pode selecionar as localizações dos polos do estimador que representem um compromisso entre o sensor e o ruído no processo Trace a resposta em frequência de malha aberta e o lugar das raízes para avaliar as margens de estabilidade deste projeto e sua robustez às mudanças de parâmetros Você pode modificar as posições dos polos até obter um resultado com melhor compromisso Retornar ao LRS com diferentes medidas de custo geralmente faz parte deste passo ou realizar cálculos por meio das funções lqr e lqe Outra variação sobre o controle ótimo é propor um controlador de estrutura fixa com parâmetros desconhecidos for mular uma função de custo e usar o parâmetro de otimização para encontrar um bom conjunto de valores dos parâmetro Compare o projeto ótimo com o projeto baseado no método de transformadas obtido no Passo 5 Selecione o melhor dos dois antes de prosseguir para a Etapa 8 PASSO 8 Construa um modelo computacional e calcule simule o desempenho do projeto Depois de conseguir o melhor compromisso entre modificações no processo seleção do atu ador e do sensor e a escolha do projeto do controlador simule um modelo computacional do sistema Esse modelo deve incluir não linearidades importantes como a saturação do atuador fontes de ruído realísticas e as variações paramétricas previstas durante a operação do sistema A simulação muitas vezes identifica sensibilidades que podem resultar no retorno ao Passo 5 ou até mesmo ao Passo 2 Iterações de projeto devem continuar até que a simulação confirme estabilidade aceitável e robustez Como parte dessa simulação muitas vezes é possível incluir otimização dos parâmetros na qual o computador ajusta os parâmetros livres para o melhor desempenho Nos estágios iniciais do projeto o modelo simulado será relativamente simples à medida que o projeto progride modelos mais completos e detalhados serão estudados Neste passo também é possível calcular um controlador digital equivalente ao controlador analógico como descrito nos Capítulos 4 e 8 Algum refinamento nos parâmetros do controlador pode ser necessário para levar em conta os efeitos da digitalização Isso permite que o projeto final seja implementado com a lógica do processador digital Se os resultados de simulação demonstram que o projeto é satisfatório vá para o Passo 9 caso contrário volte ao Passo 1 PASSO 9 Construa um protótipo Como o último teste antes da produção é comum construir e testar um protótipo Neste ponto a qualidade do modelo é verificada vibrações insuspeitas outros modos são descobertos e maneiras de melhorar o projeto são consideradas Implemente o controlador usando programas computacionais e componentes físicos embarca dos Sintonize o controlador se necessário Após esses testes você pode desejar reconsiderar o sensor atuador e processo e voltar ao Passo 1 a menos que tempo dinheiro ou ideias estejam esgotados Projeto ótimo Protótipo teste do protótipo Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 577 Esse esquema é uma aproximação de boas práticas outros engenheiros terão variações sobre esses temas Em alguns casos podese desejar executar os passos em uma ordem dife rente omitir um passo ou adicionar outro As etapas de simulação e de construção do protótipo variam muito dependendo da natureza do sistema Em sistemas para os quais um protótipo é difícil de ser testado e de ser refeito por exemplo um satélite ou quando uma falha é perigosa por exemplo a estabilização ativa de uma centrífuga de alta velocidade ou desembarque de um homem na Lua a maior parte do projeto de verificação é feita através de algum tipo de simulação A simulação pode ser realizada na forma de uma simulação numérica digital de um modelo em escala de laboratório ou de um modelo de laboratório de tamanho real com um ambiente simulado Para os sistemas que são fáceis de construir e modificar por exemplo con trole realimentado para um sistema de combustível automotivo a etapa de simulação é muitas vezes ignorada totalmente a verificação e o refinamento do projeto são realizados em vez de trabalhar com protótipos Uma das questões levantadas na discussão anterior Passo 6 foi o importante fator de alte rar a própria planta Em muitos casos modificações adequadas nas plantas podem fornecer amortecimento adicional ou aumento de rigidez mudança nas formas dos modos redução da resposta do sistema à perturbações redução do atrito de Coulomb mudança na capacitância ou na condutividade térmica etc Vale a pena mencionar exemplos específicos da experiência dos autores Em um exemplo de fabricação de pastilhas semicondutoras a borda do anel que segura a pastilha foi identificada como um fator limitante no controle em malha fechada A modifica ção da espessura da borda do anel e a utilização de um material de revestimento diferente redu ziram as perdas de calor e juntamente com a realocação de uns sensores de temperatura para posições mais próximas da borda do anel resultaram em melhora significativa no desempenho de controle Em outra aplicação processamento de filme fino a simples mudança na ordem dos dois fluxos de entrada resultou em melhora significativa na mistura dos materiais precursor e oxidante e levou a uma melhoria na uniformidade do filme Em um processo de deposição física de vapor usando RFplasma a forma do alvo foi curvada para compensar os efeitos da geometria da câmara o que resultou em melhorias substanciais na uniformidade da deposição Como último exemplo em um problema de controle de eixo hidráulico a adição de isolamento cerâmico no controle de temperatura do óleo e de um dissipador de temperatura para a carcaça do eixo resultou na redução da magnitude dos distúrbios em várias ordens algo não realizável apenas pelo controlador1 Podese também mencionar aplicações aeroespaciais nas quais o con trole foi elaborado a posteriori e o problema de controle realimentado se tornou extremamente difícil e resultou em um desempenho pobre de malha fechada A moral dessa discussão é que não se deve esquecer a opção de modificar a própria planta para tornar o problema mais fácil de controlar e fornecer o desempenho máximo de malha fechada A abordagem usual de projetar o sistema e jogála para o grupo de controle mostrouse ine ficiente e falha Uma abordagem melhor que está ganhando força é ter engenheiros de controle envolvidos desde o início de um projeto para fornecer previamente uma realimentação sobre o quão difícil é controlar o sistema O engenheiro de controle pode fornecer informações valiosas sobre a escolha de atuadores e sensores e pode até mesmo sugerir modificações na planta Mui tas vezes é muito mais eficiente mudar o projeto da planta enquanto ele está na prancheta antes que qualquer metal tenha sido dobrado Estudos do desempenho em malha fechada podem ser executados em um simples modelo do sistema logo de início Implícito no processo de projeto está o fato bem conhecido de que projetos dentro de uma determinada categoria muitas vezes aproveitam a experiência adquirida com modelos anterio res Assim bons projetos evoluem em vez de aparecerem em sua melhor forma após a primeira passagem Vamos ilustrar o método com vários casos Seções 102106 Para fácil referência resumimos os passos aqui 1 Nosso colega Prof Daniel DeBra acredita fortemente que modificar a própria planta é uma opção para melhorar o controle Ele cita essa aplicação em particular para abordar esse tema E é claro concordamos com ele 578 Sistemas de Controle Resumo dos passos de projeto de controle 1 Entenda o processo e suas especificações de desempenho 2 Selecione os tipos e número de sensores considerando localização tecnologia e ruído 3 Selecione os tipos e número de atuadores considerando localização tecnologia ruído e potência 4 Faça um modelo linear do processo atuador e sensor 5 Faça um projeto simples baseado nos conceitos de compensação de atraso e avanço ou controle PID Se estiver satisfeito vá para o Passo 8 6 Considere modificar a própria planta para que o controle em malha fechada seja melhorado 7 Faça um teste de projeto por alocação de polos baseado em controle ótimo ou em outros critérios 8 Simule o projeto incluindo os efeitos de não linearidade ruídos e variações paramétricas Se o desempenho não for satisfatório volte ao Passo 1 e o repita Considere modificar a própria planta para que o controle em malha fechada seja melhorado 9 Construa e teste um protótipo Se não ficar satisfeito volte ao Passo 1 e o repita 102 Projeto do controle de atitude de um satélite Nosso primeiro exemplo retirado do programa espacial é sugerido pela necessidade de con trolar a direção que aponta ou atitude de um satélite na órbita da Terra A Fig 102a mostra uma imagem de um satélite de comunicações geossíncrono Vamos passar por cada passo de nosso esquema de projeto e tangenciar em alguns dos fatores que podem ser considerados para o controle de tal sistema PASSO 1 Compreenda o processo e suas especificações de desempenho Um satélite é esboça do na Fig 102b Imagine que o veículo tenha uma missão de pesquisa astronômica que exige precisão no apontamento de um pacote de sensores científicos Esse pacote deve ser mantido no ambiente mais silencioso possível o que implica no isolamento das vibrações e do ruído elétrico do corpo principal e das fontes de potência dos propulsores e dos equipamentos de comunicação Modelamos a estrutura resultante como duas massas ligadas por uma haste fle xível Na Fig 102b a atitude do satélite θ2 é o ângulo entre o sensor de estrelas e o pacote de Figura 102 a Imagem do satélite geossíncro no de telecomunicações IPSTAR b diagrama de um satélite e seu modelo de dois corpos Fonte cortesia de Thaicom plc and Space SystemsLoral a b Pacote de instrumentos b Tc k θ2 θ2 θ1 θ1 Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 579 instrumentos e θ1 é o ângulo do corpo principal do satélite em relação à estrela A Fig 102b mostra o diagrama do sistema mecânico equivalente ao satélite em que o sensor é montado no disco associado a θ2 Torques de perturbação devido a pressão solar micrometeoritos e pertur bações da órbita são calculados como sendo negligenciados A especificação de apontamento surge quando é necessário apontar a unidade em outra direção Isto pode ser atendido por dinâ micas com um tempo de acomodação de 20 s e um sobressinal não maior que 15 A dinâmica do satélite inclui parâmetros que podem variar O controle deve ser satisfatório para qualquer valor dos parâmetros em uma escala predefinida a ser dada quando as equações forem escritas PASSO 2 Seleção dos sensores A fim de orientar o pacote científico é necessário medir os ân gulos de atitude do pacote Para esta finalidade propomos o uso de um rastreador de estrelas um sistema baseado na captação da imagem de uma estrela específica e em mantêla centrada no plano focal de um telescópio Este sensor fornece uma leitura relativamente ruidosa mas muito precisa em média e proporcional a θ2 ângulo de desvio do pacote de instrumentos do ângulo desejado Para estabilizar o controle incluímos um giroscópio para fornecer uma leitura limpa de 2 porque uma rede de avanço no sinal de rastreamento de estrela pode amplificar muito o ruído Além disso o giroscópio pode estabilizar movimentos grandes antes do rastrea dor de estrelas adquirir a imagem da estrela alvo PASSO 3 Seleção dos atuadores As principais considerações na seleção do atuador são con fiabilidade precisão peso requisitos de potência e tempo de vida Alternativas para a aplicação de torque são jatos de gás frio rodas de reação ou giroscópios torque magnético e um gradiente de gravidade Os jatos têm maior potência e são menos precisos Rodas de reação são precisas mas podem transferir apenas impulsos então os jatos ou geradores de torque magnético são obrigados a descarregar impulsos de tempos em tempos Geradores de torque magnético for necem níveis relativamente baixos de torque e são adequados apenas para algumas missões de baixa altitude do satélite Um gradiente de gravidade também fornece um torque muito pequeno que limita a velocidade da resposta e coloca severas restrições na forma do satélite Para os fins desta missão selecionamos os jatos de gás frio que são rápidos e adequadamente precisos PASSO 4 Faça um modelo linear Para o satélite assumimos duas massas conectadas por uma mola com torque constante k e amortecimento viscoso constante b como mostrado na Fig 102 As equações de movimento são 101a 101b sendo Tc o torque de controle do corpo principal Com inércias J1 1 e J2 01 a função de transferência é 102 Se escolhermos como o vetor de estados então usando a Eq 101a e assumindo Tc u descobrimos que as equações de movimento na forma de variáveis de estado são 103a 103b 580 Sistemas de Controle A análise física nos leva a supor que os parâmetros k e b variam devido às flutuações de tempe ratura mas são limitados por 104a 104b Como resultado a frequência natural do veículo ωn pode variar entre 1 e 2 rads e o coeficiente de amortecimento ζ varia entre 002 e 01 Uma abordagem para o projeto de controle quando os parâmetros estão sujeitos a variações é selecionar valores nominais para os parâmetros construir o projeto para esse modelo e depois testar o desempenho do controlador com outros valores dos parâmetros No presente caso opta mos pelos valores nominais ωn 1 e ζ 002 A escolha é um tanto arbitrária sendo baseada na experiência e na análise heurística No entanto note que estes são valores mais baixos nas suas respectivas faixas e portanto correspondem à planta que é provavelmente a mais difícil de con trolar de modo a atender às especificações Assumimos que um projeto para esse modelo também tem boa chance para atender às especificações para outros valores dos parâmetros Outra opção seria selecionar um modelo com valores médios para cada parâmetro Os valores dos parâmetros selecionados são k 0091 e b 00036 com J1 1 e J2 01 as equações nominais são 105a 105b A função de transferência correspondente usando a função ss2tf no MATLAB é 106 Quando um projeto de teste estiver concluído a simulação computacional deve ser execu tada na faixa dos valores possíveis dos parâmetros para garantir que o projeto tenha robustez suficiente para suportar essas mudanças As Eqs 366368 dizem que as especificações de desempenho dinâmico serão cumpridas se os polos de malha fechada tiverem uma frequência natural de 05 rads e coeficiente de amortecimento de malha fechada de 05 estes correspon dem a uma frequência de cruzamento em malha aberta de ωc 05 e uma margem de fase em torno de PM 50 Vamos tentar atender a esses critérios de projeto PASSO 5 Teste um compensador de atraso e avanço ou um controlador PID O lugar das raízes do ganho proporcional para a planta nominal está desenhado na Fig 103 e o diagrama de Bode Seleção de valores nominais para parâmetros com variação 2 15 1 05 0 1 05 2 15 Eixo real 2 15 1 05 0 05 1 15 2 Eixo imaginário Figura 103 Lugar das raízes de KGs Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 581 é dado na Fig 104 Podemos ver na Fig 104 que esse pode ser um problema difícil de projeto pois a frequência da ressonância levemente amortecida é maior que o ponto da frequência de cruzamento de projeto apenas por um fator de 2 Esta situação vai exigir que a compensação possa corrigir o atraso de fase da planta na frequência de ressonância Tal correção é muito dependente do conhecimento da frequência de ressonância que neste caso está sujeita a altera ções Pode haver problemas à frente Para ilustrar alguns aspectos importantes do projeto da compensação vamos em primeiro lugar ignorar a ressonância e gerar um projeto que seja aceitável para o corpo rígido sozinho Consideramos a função de transferência do processo como 1s2 a realimentação com posição mais derivada rastreador de estrelas mais giroscópio ou controle PD com a função de transfe rência Ds KsTD 1 e a resposta objetivo como ωn 05 rads e ζ 05 Um controlador adequado seria 107 O lugar das raízes para a planta real com D1 é mostrado na Fig 105 e o diagrama de Bode na Fig 106 A partir desses gráficos podemos ver que os polos de baixa frequência são razoáveis mas que o sistema será instável por causa da ressonância2 Neste ponto tomamos as simples ações de reduzir nossa expectativa em relação à largura de banda e de retardar lentamente o 2 Se este sistema for construído os jatos atuadores podem saturar quando a resposta crescer Podemos analisar a res posta usando o método descrito na Seção 93 para sistemas não lineares A partir da análise podemos esperar que o sinal cresça e que o ganho equivalente do atuador diminua até que as raízes retornem ao eixo imaginário próximo a ωn O ciclo limite resultante poderia esgotar rapidamente o fornecimento de gás de controle 180 Magnitude KGs 10 001 Fase 1 01 ω rads 40 db a 20 0 20 40 01 1 10 100 200 220 240 260 280 300 320 340 360 10 1 01 ω rads b Figura 104 Diagrama de Bode de KGs para K 05 582 Sistemas de Controle sistema reduzindo o ganho até que o sistema se torne estável Com muito pouco amortecimento realmente temos que ir devagar Um pouco de testes leva a 108 para o qual o lugar das raízes está desenhado na Fig 107 e o diagrama de Bode na Fig 108 O dia grama de Bode mostra que temos uma margem de fase de 50 mas uma frequência de cruzamento de apenas ωc 004 rads Enquanto isso estiver muito baixo para atender à especificação de tempo de acomodação uma baixa frequência de cruzamento é inevitável se esperamos manter o ganho na frequência de ressonância abaixo da unidade para que o sistema seja estabilizado pelo ganho Uma abordagem alternativa para o problema é alocar zeros próximo aos polos levemente amortecidos e usálos para manter esses polos de volta do SPD Essa compensação tem uma resposta em frequência com um ganho muito baixo próximo à frequência dos polos ofensivos e Res Ims 10 20 10 20 20 20 Figura 105 Lugar das raízes de KD1sGs 120 Magnitude KD1sGs 10 00001 Fase 1 01 ω rads 80 db a 20 0 20 40 0001 001 1 100 140 160 180 200 220 240 260 280 300 10 1 01 ω rads b 40 60 01 10 Figura 106 Diagrama de Bode de KD1sGs Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 583 um ganho razoável em outros lugares Devido ao fato de a resposta em frequência parecer ter um dente ou entalhe o dispositivo é chamado de filtro rejeita faixa É também chamado de filtro rejeitabanda na teoria de rede elétrica Um circuito RC com uma característica rejeita faixa é mostrado na Fig 109 o seu padrão de polozero está na Fig 1010 e sua resposta em frequência na Fig 1011 O avanço de fase de 180 do filtro rejeita faixa pode ser usado para corrigir o atraso de fase de 180 da ressonância se a frequência do filtro rejeita faixa é menor do que a fre quência de ressonância da planta a fase do sistema é mantida acima de 180 perto da ressonância Filtro rejeita faixa Res Ims 05 05 05 Figura 107 Lugar das raízes de KD2sGs 80 Magnitude D2sGs Fase ω rads db a 20 0 20 10 001 ω rads b 40 120 160 200 240 280 180 01 1 10 001 01 1 10 1 01 001 100 140 220 260 Figura 108 Diagrama de Bode de D2s Gs 584 Sistemas de Controle ei eo Filtro rejeita faixa Figura 109 Realização de um filtro rejeita faixa Res Ims 09 09 25 Figura 1010 Padrão polozero do filtro rejeita faixa 180 Magnitude 10 001 Fase 1 01 ω rads 40 db a 20 0 40 60 1 10 100 1000 10 1 01 ω rads b 20 01 160 140 120 100 80 60 40 20 0 20 Figura 1011 Diagrama de Bode do fil tro rejeita faixa Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 585 Com essa ideia voltamos à compensação dada pela Eq 107 e adicionamos um filtro re jeita faixa produzindo a função de transferência do compensador revisado 109 O diagrama de Bode para este caso é mostrado na Fig 1012 o lugar das raízes está na Fig 1013 e a resposta ao degrau na Fig 1014 O tempo de acomodação do projeto é muito longo para a especificação e o sobressinal é muito alto mas esse projeto parece ser promissor com algumas iterações ele pode fornecer um compensador satisfatório Lembramos agora que se espera que o compensador forneça desempenho adequado quan do os parâmetros variam ao longo de faixas dadas pela Eq 103a Um exame da robustez do 60 Magnitude KD3sGs 10 001 Fase 1 01 ω rads 40 db a 20 0 20 40 01 1 10 100 10 1 01 ω rads b ωc 10 40 90 140 190 ωc PM Figura 1012 Diagrama de Bode de KD3sGs Res Ims 20 10 20 20 20 Figura 1013 Lugar das raízes de KD3sGs 586 Sistemas de Controle projeto pode ser feito olhando para o lugar das raízes mostrado na Fig 1015 que é desenhado usando o compensador da Eq 109 e a planta com ωn 2 em vez de 1 de forma que 1010 Note agora que os polos de baixa frequência têm um coeficiente de amortecimento de apenas 002 Combinando os valores de vários parâmetros obtemos a resposta em frequência e a resposta transitória mostradas nas Figs 1016 e 1017 Poderíamos fazer um pouco mais de iterações com o filtro rejeita faixa e com a taxa de realimentação mas o sistema é complexo o suficiente para que uma olhada no projeto em espaço de estados agora parece razoável Vamos para o Passo 7 PASSO 6 Avaliemodifique a planta Referese à discussão de controle justaposto após o Passo 8 PASSO 7 Teste um projeto ótimo usando alocação de polos Usando a formulação de variá veis de estado das equações de movimento na Eq 104a projetamos um controlador que irá alocar os polos de malha fechada em locais arbitrários Claro usado sem pensar o método de alocação de polos também pode resultar em um projeto que requer níveis razoáveis de esforço de controle ou que é muito sensível a mudanças na função de transferência da planta Dire trizes para a alocação dos polos são dadas no Capítulo 7 uma abordagem geralmente bem sucedida é determinar as localizações ideais dos polos utilizando o LRS A Fig 1018 mostra o LRS para o problema em questão Para obter uma largura de banda em torno de 05 rads Tempo s Amplitude 14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 12 10 08 06 04 02 0 Figura 1014 Resposta ao degrau em malha fechada de D3sGs sendo θ20 02 rad Res Ims 70 10 30 30 10 40 30 10 20 Figura 1015 Lugar das raízes de KD3s s Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 587 vamos selecionar os polos de controle em malha fechada a partir deste lugar em 045 034j e 015 105j Se selecionarmos αcs como discutido antes a partir do LRS o ganho de controle usando a função place no MATLAB é 1011 A Fig 1019 mostra as respostas ao degrau para os modelos da planta com parâmetros nominais e com mola rígida O diagrama de Bode para o controlador projetado usando o LRS com os 100 Magnitude KD3sGs 10 001 Fase 1 01 ω rads 40 db a 20 0 20 40 01 1 10 100 10 1 01 ω rads b 50 0 50 100 150 200 180 ˆ Figura 1016 Diagrama de Bode de KD3s s Tempo s Amplitude 14 0 5 10 15 20 25 30 35 40 12 10 08 06 04 02 0 Figura 1017 Resposta ao degrau em malha fechada de D3s s 588 Sistemas de Controle parâmetros da planta nominal pode ser calculado a partir da função de transferência de malha quebrando a malha em u resultando em uma margem de fase de cerca de 60 como mostrado na Fig 1020 Enquanto a velocidade da resposta do projeto atende às especificações com a planta nominal o tempo de acomodação quando a planta tem a mola rígida é um pouco maior do que as especificações Po demos ser capazes de obter um melhor compromisso entre os casos de valor nominal e de mola rígida selecionando outro ponto no LRS neste momento não sabemos O projetista tem que en frentar alternativas como essas e escolher o melhor compromisso para o problema em questão O projeto da Fig 1019 é baseado na realimentação completa dos estados Para completar o projeto ótimo precisamos de um estimador Selecionamos os polos do erro de estimação em malha fechada para ser cerca de oito vezes mais rápidos que os polos do controle A razão para isso é evitar que os polos de erro reduzam a robustez do projeto um estimador rápido quase não terá efeito na resposta Escolhemos os polos de erro a partir do LRS em 77 312j e 332 785j A alocação de polos com esses valores resulta em um estimador filtro com ganho usando a função place no MATLAB 1012 Res Ims 10 20 10 20 20 20 Figura 1018 Lugar das raízes simétrico para o satélite Tempo s Amplitude 0 5 10 15 20 12 10 08 06 04 02 0 Mola rígida Nominal Figura 1019 Resposta ao degrau em malha fechada para o projeto LRS Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 589 Depois de combinar os ganhos do controle e do estimador conforme descrito na Seção 78 a função de transferência do compensador que resulta da Eq 7177 é 1013 A resposta em frequência desse compensador Fig 1021 mostra que a alocação de polos introduziu um entalhe diretamente A resposta em frequência e o lugar das raízes do sistema combinado D4sGs são dados na Figs 1022 e 1023 enquanto a Fig 1024 mostra a resposta ao degrau para a planta nominal e para a planta de mola rígida Observe que o projeto quase atende às especificações PASSO 8 Simulação do projeto e comparação das alternativas Neste momento temos dois projetos com diferentes complexidades e com diferentes propriedades de robustez O projeto do filtro rejeita faixa pode ser melhorado com mais iterações ou começando com um caso nomi nal diferente O projeto LRS atende às especificações para a planta nominal mas é muito lento para o caso de mola rígida apesar de seleções alternativas para as posições dos polos poderem levar a um projeto melhor Em ambos os casos estudos muito mais extensos são necessários para explorar a robustez e as propriedades da resposta ao ruído Em vez de seguir qualquer um desses caminhos consideramos alguns aspectos do sistema físico Ambos os projetos são fortemente influenciados pela presença do modo de ressonância levemente amortecido causado pelas massas acopladas No entanto a função de transferência deste sistema é fortemente dependente do fato de que o atuador está em um corpo e o sensor está em outro isto é não justapostos Suponha que no lugar de considerar apontar o rastreador de estrelas para a massa pequena temos a missão de apontar para a massa principal talvez na direção de uma estação terrestre para fins de comunicação Para esse propósito podemos co 10 01 Fase 1 01 ω rads db a 20 0 20 40 1 10 100 10 1 01 ω rads b 40 60 80 100 120 140 160 180 Ujω KXjω Magnitude PM Figura 1020 Resposta em frequência para o projeto LRS de u para Kx 590 Sistemas de Controle locar o sensor na mesma massa em que está o atuador fornecendo o controle com o atuador e sensor justapostos Devido à física da situação agora temos na função de transferência do sistema zeros próximos aos modos flexíveis e o controle pode ser obtido apenas por meio de um PD em realimentação porque a planta já tem o efeito de um compensador rejeita faixa Considere a função de transferência do satélite com o atuador e sensor justapostos para medir θ1 para a qual as matrizes de estado são A função de transferência do sistema usando a função ss2tf no MATLAB é 1014 Note a presença dos zeros próximos aos polos complexos conjugados Se usarmos agora o mesmo PD como antes ou seja 1015 então o sistema não será apenas estabilizado mas também terá uma resposta satisfatória se considerarmos θ1 como a saída porque os polos ressonantes tendem a serem cancelados pelos zeros conjugados Atuador e sensor justapostos 10 01 Fase 1 01 ω rads db a 40 0 20 40 10 100 1000 10 1 01 ω rads b 250 Magnitude D4s 20 1 200 150 100 50 0 Figura 1021 Diagrama de Bode para o compensador ótimo D4s Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 591 As Figs 10251027 mostram a resposta em frequência o lugar das raízes e a resposta ao degrau respectivamente para esse sistema Note a partir da Fig 1027 que a resposta do degrau tem excesso de sobressinal associado ao zero do compensador no caminho direto da função de transferência O resultado é um projeto robusto muito simples alcançado pela movimentação do sensor de uma posição não justaposta com o atuador para uma posição justaposta com o atuador O resultado mostra que para conseguir um bom controle realimentado é muito importante con siderar a localização dos sensores e outras características do problema físico No entanto este último projeto de controle não serve para apontar o rastreador de estrelas Isso é evidente a 10 001 Fase 1 01 ω rads db a 40 0 20 40 1 10 100 10 1 01 ω rads b 0 Magnitude D4sGs 20 01 50 100 150 200 250 300 180 Figura 1022 Diagrama de Bode do sis tema compensado D4sGs Res Ims 10 20 10 20 20 20 Figura 1023 Lugar das raízes de D4sGs 592 Sistemas de Controle partir do gráfico da saída θ2 correspondente à boa resposta ao degrau na Fig 1027 O resultado é mostrado na Fig 1028 Uma arquitetura sugerida pelos resultados é colocar um rastreador de estrelas sobre o corpo do satélite para ser utilizado na pesquisa e para a acomodação inicial e em seguida usar um rastreador de estrelas sobre o pacote de instrumentos com maior tempo de acomodação para o controle fino Figura 1024 Resposta ao degrau em malha fechada de D4sGs Tempo s Amplitude 0 5 02 0 Mola rígida Nominal 10 15 20 25 30 04 06 08 10 12 Magnitude D5sGcos 10 001 Fase 1 01 ω rads 40 db a 20 0 20 40 01 1 10 100 10 1 01 ω rads b 40 60 80 100 120 140 160 180 Figura 1025 Diagrama de Bode de D5sGcos Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 593 103 Controle lateral e longitudinal de um Boeing 747 O Boeing 747 Fig 1029 é um grande jato de transporte Um esquema com as coordenadas relevantes que se movem com o avião é mostrado na Fig 1030 As equações linearizadas de movimento3 corpo rígido para o Boeing 747 são de oitava ordem mas são separadas em dois 3 Para a derivação das equações de movimento de uma aeronave é indicado ao leitor Bryson 1994 Etkin e Reid 1996 e McRuer et al 1973 Figura 1026 Lugar das raízes de D5sGcos Res Ims 20 10 20 20 20 Tempo s Amplitude 14 0 10 12 10 08 06 04 02 0 20 30 40 50 com a planta nominal Gco com a planta perturbada Gco ˆ Tempo s Amplitude 20 0 100 0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 40 60 80 Figura 1027 Resposta ao degrau em malha fechada com o controle justaposto D5sGcos e D5s cos Figura 1028 Resposta de θ2 no projeto justaposto 594 Sistemas de Controle conjuntos de quarta ordem que representam as perturbações no movimento longitudinal U W θ e q na Fig 1030 e lateral φ β r e p O movimento longitudinal consiste dos movimentos axial X vertical Z e arfagem θ q enquanto o movimento lateral consiste dos movimentos de rolamento φ p e guinada r β O ângulo de derrapagem β é uma medida da direção da velocidade para a frente em relação à direção do nariz do avião As superfícies de controle do profundor e a aceleração afetam o movimento longitudinal enquanto que o aileron e o leme afetam principalmente o movimento lateral Embora haja uma pequena quantidade de acopla mento do movimento lateral no movimento longitudinal este é geralmente ignorado por isso as equações de movimento são tratadas como dois conjuntos dissociados de quarta ordem para projetar o controle ou aumento da estabilidade para a aeronave As equações não lineares de movimento do corpo rígido no eixo de coordenadas sob hipó teses adequadas4 podem ser derivadas como Bryson 1994 1016 1017 4 xz são os eixos do plano do corpo de massa simétrica Figura 1029 Boeing 747 Fonte cortesia de Boeing Commercial Airplane Co x u Leme δr y υ α β θ q Aileron δa Profundores δe φ p ψ r z w Vetor velocidade x y z coordenadas de posição u υ w coordenadas de velocidade p taxa de rolagem q taxa de arfagem r taxa de guinada φ ângulo de rolagem θ ângulo de arfagem ψ ângulo de guinada β ângulo do derrapagem α ângulo de ataque Figura 1030 Definição das coorde nadas da aeronave Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 595 sendo m massa do aeronave U V W eixos de coordenadas da velocidade do centro de massa cm do corpo β Uo Vo Wo velocidades de referência p q r eixos de coordenadas da velocidade angular da aeronave rolamento arfa gem e guinada respectivamente X Y Z forças aerodinâmicas nos eixos do corpo sobre o cm L M N torques aerodinâmicos nos eixos do corpo sobre o cm go força gravitacional por unidade de massa Ii inércias nos eixos do corpo θ φ ângulos de Euler de arfagem e rolamento nos eixos do corpo da aeronave em relação à horizontal Vref referência de velocidade de voo T impulso resultante do propulsor e κ ângulo entre impulso e o eixo x no corpo A linearização destas equações pode ser feita da seguinte forma em estado estacionário nível e condição de velocidade de voo constantes Além disso não há desvio em qualquer eixo tal que po qo ro 0 e as asas estão em nível de modo que φ 0 No entanto haverá um ângulo de ataque a fim de fornecer alguma sustentação das asas para neutralizar o peso da aeronave assim θo e Wo 0 com 1018 A velocidade em estado estacionário das componentes axiais do corpo será 1019 como representado na Fig 1031 Com estas condições as equações de equilíbrio ver Capítulo 9 são 1020 Com as suposições Bryson 1994 1021 onde b denota a envergadura da asa muitos dos termos não lineares nas Eqs 1016 e 1017 pode ser negligenciados A substituição da Eq 1020 nas equações não lineares de movimento 596 Sistemas de Controle leva a um conjunto de equações lineares de perturbação que descrevem pequenos desvios no voo de velocidade constante contínuo e nivelado As equações de movimento então dividem se em dois conjuntos de equações desacopladas de movimento longitudinal e lateral Para o movimento longitudinal linearizado os resultados são 1022 com u perturbação de velocidade para frente da aeronave na direção x Fig 1030 w perturbação de velocidade na direção z também proporcional a perturbações no ângulo de ataque α q taxa de velocidade angular para o lado positivo do eixo y ou taxa de arfagem θ perturbação do ângulo de arfagem a partir do valor de referência θo Xuwδe derivada parcial da força aerodinâmica na direção x em relação às perturbações em u w e δe5 Zuwδe derivada parcial da força aerodinâmica na direção z em relação às perturbações em u w e δe 5 X Z M são derivadas da estabilidade e são identificadas a partir do túnel de vento e de testes de voo Vento relativo β δr φ Vento relativo z x δa θo δe α Uo Vref Wo a b c Figura 1031 Voo em con dição de estado estacionário Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 597 Muwqδe derivada parcial do momento aerodinâmico arfagem em relação às perturba ções em u w q e δe δe seções móveis na cauda do avião ou profundor ângulo para o controle de arfagem Os termos Woq e Uoq nas equações se devem à velocidade angular do corpo fixo rotativo na estrutura de referência e surgem diretamente a partir do lado esquerdo da Eq 1016 Para determinar mudanças de altitude é preciso adicionar a seguinte equação nas equações de movimento longitudinal 1023 Esta equação irá resultar na equação de altitude linearizada 1024 que é aumentada com a Eq 1022 Para o movimento lateral os resultados são 1025 com β ângulo de derrapagem definido como r taxa de guinada p taxa de rolagem φ ângulo de rolagem Yv δrδa derivada parcial da força aerodinâmica na direção y em relação às perturbações em β δr e δa Nvrpδrδa derivada da estabilidade do momento aerodinâmico guinada Lvrpδrδa derivada da estabilidade do momento aerodinâmico rolagem δr deflexão do leme δa deflexão do aileron Em seguida vamos discutir o projeto de um sistema aumentado para as dinâmicas laterais chamado de amortecedor de guinada e a influência do piloto automático no comportamento longitudinal 1031 Amortecedor de guinada PASSO 1 Compreenda o processo e suas especificações de desempenho A asa em flecha do avião têm uma tendência natural de ser levemente amortecida nos modos de movimento lateral Em um avião comercial com velocidade e altitude de cruzeiro típicas este modo dinâmico é tão difícil de controlar que praticamente todos os aviões com asa em flecha tem um sistema de rea limentação para ajudar o piloto Portanto o objetivo de nosso sistema de controle é modificar as dinâmicas naturais de modo que o avião seja aceitável para o piloto voar6 Estudos têm mostra do que os pilotos gostam de frequência natural ωn 05 e coeficiente de amortecimento ζ 05 Aeronaves com dinâmica que violam essas diretrizes são geralmente consideradas fatigantes e altamente indesejadas Assim nossas especificações para o sistema são que a dinâmica lateral que atenda a essas restrições seja alcançada PASSO 2 Selecione os sensores A medição mais fácil de movimento de aeronaves é a taxa angular O ângulo de derrapagem lateral pode ser medido com um dispositivo de palheta mas é ruidoso e pouco confiável para a estabilização Duas taxas angulares de rolamento e gui nada fazem parte do movimento lateral O estudo do modo lateral levemente amortecido 6 O modo é tão difícil de controlar manualmente que se o amortecedor de guinada falhar em cruzeiro o piloto é ins truído a descer e reduzir a velocidade até o ponto em que o modo é mais controlável 598 Sistemas de Controle indica que ele é principalmente um fenômeno guinada assim a medição da taxa de guinada é um ponto de partida lógico para o projeto Até o início dos anos 1980 a medição era feita com um giroscópio com um pequeno rotor de giro rápido que pode produzir uma saída elétrica pro porcional à taxa de guinada angular da aeronave Desde os 1980 sistemas de aeronaves mais novas têm contado com um dispositivo para a medição a laser chamado de anel giroscópio a laser Aqui dois feixes de laser atravessam um caminho fechado geralmente um triângulo em sentidos opostos À medida que o dispositivo triangular rotaciona as frequências detectadas dos dois feixes parecem mudar e este desvio de frequência é medido produzindo uma medida da taxa de rotação Estes dispositivos têm menos peças móveis e são mais confiáveis a um custo menor do que a variedade de giroscópios com rotores rápidos PASSO 3 Selecione os atuadores Duas superfícies aerodinâmicas normalmente influenciam o movimento lateral da aeronave o leme e os ailerons veja a Fig 1030 O modo de guina da levemente amortecido que será estabilizado pelo amortecedor de guinada é o mais afetado pelo leme Portanto o uso dessa única entrada de controle é um ponto de partida lógico para o projeto Assim é melhor escolher o leme como nosso atuador Dispositivos hidráulicos são universalmente empregados em aviões de grande porte para fornecer a força que movimenta as superfícies aerodinâmicas Nenhum outro tipo de dispositivo foi desenvolvido para proporcio nar a combinação de força elevada velocidade alta e peso leve desejáveis para o acionamento das superfícies aerodinâmicas de controle Por outro lado os flaps de baixa velocidade que são estendidos lentamente antes da aterrissagem são tipicamente acionados por um motor elétrico com uma engrenagem sem fim Para pequenas aeronaves sem piloto automático nenhum atua dor é necessário o manche do piloto está ligado diretamente às superfícies aerodinâmicas por meio de cabos e toda a força necessária para mover as superfícies é fornecida pelo piloto PASSO 4 Faça um modelo linear As equações de perturbação lateral de movimento para um Boeing 747 em voo horizontal a 40000 pés em velocidade nominal para a frente U0 774 pés Mach 08 Heffiey e Jewell 1972 com o leme escolhido como o actuador Passo 3 são 1025a sendo β e φ dados em radianos e r e p dados em radianos por segundo A função de transferên cia usando a função no MATLAB ss2tf é 1026 de modo que o sistema tem dois polos reais estáveis e um par de polos complexos estáveis Observe inicialmente que o ganho de baixa frequência é negativo o que corresponde ao simples fato físico de que um movimento positivo ou no sentido horário no leme provoca uma taxa de guinada negativa ou antihorária Em outras palavras virar o leme para a esquerda sentido horário faz com que a parte dianteira da aeronave rotacione para a esquerda sentido anti horário O movimento natural correspondente aos polos complexos é chamado de Dutch roll o nome vem dos movimentos de uma pessoa patinando nos canais congelados da Holanda O Dutch roll Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 599 movimento correspondente para os polos reais estáveis é referido como modo de espiral s1 00073 e modo de rolagem s2 0563 Olhando para os polos do sistema vemos que o modo ofensor que precisa de reparos para o bom manuseio do piloto é o Dutch roll com os polos em s 0033 095j As raízes têm uma frequência aceitável mas o coeficiente de amortecimento ζ 003 é muito menor que o valor desejado ζ 05 PASSO 5 Tente um simples projeto proporcionalintegralderivativo PID ou um projeto de atraso e avanço Como uma primeira tentativa de projeto vamos considerar a realimentação proporcional da taxa de guinada para o leme O lugar das raízes em relação ao ganho dessa rea limentação é mostrado na Fig 1032 e sua resposta em frequência é mostrada na Fig 1033 As figuras mostram que ζ 045 é alcançável e pode ser calculado para ocorrer em um ganho de Modo de espiral Modo de rolagem Figura 1032 Lugar das raízes para o amortecedor de guinada com realimentação proporcional Res Ims 10 20 10 20 20 20 Magnitude G 10 001 1 01 ω rads db a 40 0 20 01 1 10 20 100 Fase 180 10 1 01 ω rads b 150 100 50 0 50 Figura 1033 Diagrama de Bode do amortecedor de guinada com realimenta ção proporcional Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 601 τ 3 é mostrado na Fig 1035 Como foi visto a partir do lugar das raízes a adição da reali mentação da taxa de guinada incluindo o termo de eliminação permite que o coeficiente de amortecimento seja aumentado de 003 para cerca de 035 A resposta em frequência associada ao sistema é mostrada na Fig 1036 A resposta do sistema em malha fechada com condição inicial de β0 1º é mostrada na Fig 1037 para um ganho no lugar das raízes de 26 Para referência a resposta para a taxa de guinada sem realimentação também é dada Embora a realimentação da taxa de guinada através do circuito de eliminação resulte em uma melhoria considerável no controle original da aeronave a resposta não é tão boa quanto foi originalmente especificado Iterações adicionais não incluídas aqui poderiam incluir outros valores de ganho ou compensações mais complexas PASSO 6 Avaliemodifique a planta A solução seria não usar as asas em flecha o que causaria uma grande penalidade de arrasto ω rads Magnitude GHA 150 20 db 0 20 40 Fase 100 50 0 50 100 150 200 10 1 01 001 01 1 10 a b ω rads 01 1 10 Figura 1036 Diagrama de Bode do amortecedor de guinada incluindo o cir cuito de eliminação e o atuador Taxa de guinada realimentada β graus 0 30 25 20 15 10 5 Tempo s 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Sem realimentação LRS Figura 1037 Resposta à condição inicial com o amortecedor de guinada circuito de eliminação e projeto LRS para β0 1º 602 Sistemas de Controle PASSO 7 Teste um projeto ótimo usando alocação de polos Se aumentamos o modelo dinâmi co do sistema adicionando o atuador e o filtro de eliminação obtemos o modelo de variáveis de estado sendo eδr a entrada do atuador e e a saída do circuito de eliminação O LRS para o sistema aumentado é mostrado na Fig 1038 Se selecionarmos os polos de realimentação de estados a partir do LRS tal que as raízes complexas tenham máximo amortecimento ζ 04 encon tramos pc 00051 0468 0279 0628 j 0279 0628 j 1106 989 Então podemos calcular o ganho de realimentação de estados usando a função de alocação de polos como Figura 1038 LRS das dinâmicas laterais in cluindo o filtro de eliminação e o atuador Res Ims 1 10 2 1 10 24 ζ 04 Polos para amortecimento máximo Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 603 Note que a terceira entrada em K é maior do que as outras de modo que a realimentação de todas as seis variáveis de estado é essencialmente a mesma da realimentação proporcional de r Isso também é evidente a partir da similaridade do lugar das raízes na Fig 1031 e do LRS da Fig 1038 Se selecionarmos os polos do estimador para serem cinco vezes mais rápidos do que os polos do controlador então pe 00253 234 139 314 j 139 314 j 553 495 e o ganho do estimador novamente usando a função place do MATLAB é 1026f A função de transferência do compensador a partir da Eq 7177 é 1027 A Fig 1037 também mostra a resposta da taxa de guinada para uma condição inicial de β0 1º É claro a partir do lugar das raízes que o amortecimento pode ser melhorado pela aborda gem LRS e isto é confirmado pela redução do comportamento oscilatório na resposta transi tória do sistema No entanto esta melhoria tem um preço considerável Note que a ordem do compensador aumentou de um no projeto original Fig 1033 para seis e o filtro de elimina ção no projeto obtido usando a abordagem controlador estimador LRS Os amortecedores de guinada de aeronaves em uso hoje geralmente empregam uma rea limentação proporcional da taxa de guinada para leme por meio de um filtro de eliminação ou de pequenas modificações neste projeto O melhor desempenho possível com uma abordagem de projeto ótimo utilizando realimentação completa de estados e estimação não vale a pena em razão do aumento da complexidade Talvez uma abordagem mais frutífera para melhorar o projeto fosse adicionar a superfície aileron como uma variável de controle junto ao leme PASSOS 8 e 9 Verifique o projeto Modelos lineares do movimento da aeronave são razoavel mente precisos enquanto o movimento for suficientemente pequeno para que os atuadores e su perfícies não saturem Em razão de os atuadores serem dimensionados para a segurança a fim de lidar com transientes de grande porte tal saturação é muito rara Portanto o projeto baseado na análise linear é razoavelmente preciso e não prosseguiremos com uma simulação não linear ou ainda uma verificação do projeto No entanto fabricantes de aeronaves realizam extensas simulações não lineares e testes de voo em todas as condições possíveis de voo antes de obter a certificação do órgão regulador da aviação civil nos Estados Unidos a Federal Aviation Admi nistration FAA da Aviação para transportar passageiros 1032 Piloto automático de manutenção de altitude PASSO 1 Compreenda o processo e suas especificações de desempenho Uma das muitas tare fas do piloto é manter uma altitude específica Como um auxílio para evitar colisões entre ae ronaves as que estão num caminho rumo a leste são obrigadas a ficar em um múltiplo ímpar de 1000 pés e as que estão a um caminho rumo o oeste em um múltiplo par de 1000 pés Assim o piloto precisa ser capaz de manter a altitude a menos de cem metros Um piloto bem treinado e atento pode facilmente realizar essa tarefa manualmente a 50 pés e os controladores de tráfego aéreo esperam que os pilotos mantenham este tipo de tolerância No entanto uma vez que esta tarefa exige que o piloto seja bastante diligente aeronaves sofisticadas costumam ter um piloto automático de manutenção de altitude para diminuir o trabalho do piloto Este siste ma difere fundamentalmente do amortecedor de guinada pois sua função é substituir o piloto Compromisso de projeto resposta do sistema VS Complexidade do sistema 604 Sistemas de Controle por certos períodos de tempo enquanto a função do amortecedor de guinada é ajudar o piloto a voar Especificações dinâmicas portanto não precisam exigir que os pilotos sintam a aero nave como ela responde ao manuseio dos controles em vez disso o projeto deve fornecer o tipo de voo de que os pilotos e passageiros gostam O coeficiente de amortecimento ainda deve ser aproximadamente ζ 05 mas para um voo suave a frequência natural deve ser muito mais lenta que ωn 1 rads PASSO 2 Seleção de sensores Claramente é necessário um dispositivo para medir a altitude uma tarefa facilmente realizada por meio da medição da pressão atmosférica Quase desde o primeiro voo dos irmãos Wright essa ideia básica tem sido usada em um dispositivo chamado de altímetro barométrico Antes dos pilotos automáticos o dispositivo consistia de um fole cuja extremidade livre era ligada a uma agulha que diretamente indicava a altitude em um mos trador O mesmo conceito dos foles é utilizado atualmente para a exibição de altitude mas a pressão é medida eletricamente para o piloto automático Devido ao fato de a função de transferência da entrada de controle do profundor para o controle de altitude consistir de cinco polos veja a Eq 1030 a estabilização do laço de reali mentação não pode ser realizada pela simples realimentação proporcional Consequentemente a taxa de arfagem q também é utilizada como uma realimentação estabilizadora que é medida por um giroscópio ou giroscópio de anel laser idêntico ao utilizado para medir a taxa de guina da A estabilização usando a realimentação do ângulo de arfagem também é útil Isso é obtido a partir de um sistema de referência inercial baseado em um giroscópio de anel laser ou a partir de um giroscópio de integração da taxa Este último é um dispositivo semelhante ao giroscópio de taxa mas estruturado de forma diferente a fim de que suas saídas sejam proporcionais aos ângulos de arfagem θ rolagem φ da aeronave PASSO 3 Seleção de atuadores A única superfície aerodinâmica normalmente usada para o controle de arfagem na maioria das aeronaves é o profundor δe Ele está localizado na cauda horizontal bem posicionado a partir do centro de gravidade da aeronave de modo que a sua força produza uma taxa de arfagem e assim um ângulo de arfagem Em algumas aeronaves de alto desempenho existem dispositivos de controle da arfagem direto na asa ou talvez pequenas superfícies chamadas canard que são como pequenas asas que ficam na frente da asa principal e produzem forças verticais na aeronave que são muito mais rápidas que aquelas geradas pelos profundores na cauda No entanto para nosso fim de controle de altitude vamos considerar apenas o caso típico de uma superfície de profundor na cauda Assim como para o leme atuadores hidráulicos são os dispositivos preferidos para movi mentar a superfície do profundor principalmente devido à sua relação de forçapeso favorável PASSO 4 Faça um modelo linear As equações de perturbação longitudinal de movimento para o Boeing 747 em voo horizontal a uma velocidade nominal de U0 830 pés a 20000 pés Mach 08 com um peso de 637000 lb são 1028 sendo a saída desejada para um piloto automático de altitude 606 Sistemas de Controle Note que apenas a terceira coluna de Fq é diferente de F Para melhorar ainda mais o amorteci mento é útil realimentar o ângulo de arfagem da aeronave Por tentativa e erro selecionamos a fim de realimentar θ e q a matriz do sistema tornase com polos em s 0 225 299j 0531 00105 Até agora a malha interna da aeronave foi estabilizada de forma significativa A aeronave sem controle tem uma tendência natural de retornar ao equilíbrio em nível de voo tal como evidenciado pelas raízes de malha fechada no SPE A estabilização da malha interna é necessá ria para permitir que uma malha externa realimentada de h e seja bemsucedida além disso a realimentação de θ e q pode ser usada por si só em um modo de manutenção de atitude do piloto automático quando um piloto desejar controlar θ diretamente por meio do comando de entrada A Fig 1041 mostra a resposta da malha interna para um comando em degrau de 2 Res Ims 1 2 1 1 Polos para kq 1 Figura 1040 Lugar das raízes da malha interna para a dinâmica de manutenção de altitude com q realimentado 0040 0035 0030 0025 0020 0015 0010 0005 0000 θt rad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 1041 Resposta do pi loto automático de manutenção de altitude para um comando em θ Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 607 0035 rad em θ Com a malha interna no lugar a função de transferência do sistema do ângulo do profundor para a altitude é 1034 O lugar das raízes para este sistema dado na Fig 1042 mostra que a realimentação propor cional de altitude por si só não produz um projeto aceitável Para a estabilização podemos também realimentar a taxa de alteração na altitude em um controlador PD O lugar das raízes do sistema com realimentação em h e é mostrado na Fig 1043 Depois de algumas iterações descobrimos que a melhor razão de para h é 101 isto é O projeto final é o resultado de iterações entre os ganhos de realimentação de q θ e h ob viamente um processo demorado Embora este projeto experimental tenha sido bemsucedido a utilização da abordagem LRS promete agilizar o processo PASSO 6 Avaliemodifique a planta Não aplicável aqui PASSO 7 Faça um projeto ótimo O LRS do sistema é mostrado na Fig1044 Se escolhermos os polos de malha fechada em pc 00045 0145 0513 225 298 j 225 298 j Res Ims 2 56 4 2 4 2 6 4 8 Figura 1042 Lugar das raízes de 0 com realimentação apenas de h Res Ims 1 4 3 2 1 1 1 2 3 4 3 2 4 5 Figura 1043 Lugar das raízes de 0 com rea limentação de h e 608 Sistemas de Controle então o ganho de realimentação requerido utilizando a função place do MATLAB é A resposta ao degrau do sistema a um comando em degrau de 100 pés em h é mostrada na Fig 1045 e o esforço de controle associado é mostrado na Fig 1046 Esse projeto foi executado considerando que o modelo linear é valido para as mudanças de altitude consideradas Devemos fazer algumas simulações para confirmar isso ou para determinar o alcance da validade do modelo linear PASSOS 8 e 9 Verifique o projeto Os comentários nos Passos 7 e 8 da Seção 1031 também se aplicam a esse projeto Para pilotos automáticos de aviões pequenos agora em produção como descrito no Capítulo 5 é interessante notar que para a malha interna alguns fabricantes utilizam apenas a realimentação de θ enquanto outros usam a realimentação de q O uso de θ permite uma resposta mais rápida mas o uso de q é menos dispendioso Ambos naturalmente utilizam o altímetro para a realimentação de h 8 4 2 4 Res Ims 2 6 6 8 1 2 3 4 5 4 3 2 1 5 Figura 1044 LRS para o projeto de manutenção de altitude Altitude h pés 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Tempo s 80 60 40 20 0 Figura 1045 Resposta ao degrau do piloto automático de manutenção de altitude a um comando em degrau de 100 pés Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 609 104 Controle da razão arcombustível em um motor automotível Até os anos 1980 a maioria dos motores de automóveis tinha um carburador para dosar o com bustível de modo que a razão entre o fluxo de gasolina para o fluxo ar ou relação combustível ar CA mantinhase na vizinhança de 115 Esse dispositivo dosa o combustível usando a queda de pressão produzida pelo o ar que flui através de um tubo de Venturi O dispositivo apre senta desempenho adequado em termos de manter o motor funcionando de modo satisfatório mas historicamente permitiu excursões de até 20 na CA Após a implementação da regula mentação federal para a poluição emitida por escapamentos de veículos este nível de impreci são na CA se tornou inaceitável porque tanto o excesso de hidrocarbonetos HC quanto o ex cesso de oxigênio não podem ser aceitos Durante a década de 1970 empresas automobilisticas melhoram o processo de projeto e fabricação dos carburadores para que eles se tornassem mais precisos e fornecessem uma precisão CA em torno de 3 a 58 Por meio de uma combinação de fatores essa melhoria de precisão na CA ajudou a baixar os níveis de poluição emitidos pelo escapamento No entanto os carburadores ainda estavam em dispositivos de malha aberta pois o sistema não mede a CA da mistura que entra no motor para posterior realimentação no carburador Durante os anos 1980 quase todos os fabricantes voltaramse para os sistemas de controle realimentados para fornecer um nível muito melhor da precisão CA uma ação neces sária para atender aos níveis decrescentes admissíveis de poluentes de escape Passamos agora para o projeto de um sistema realimentado típico para controle do motor usando novamente o esquema de projeto passo a passo dado na Seção 101 PASSO 1 Compreenda o processo e suas especificações de desempenho O método escolhido para cumprir as normas de emissão de poluição tem sido a utilização de um conversor catalítico que oxida simultaneamente níveis excessivos de escape de monóxido de carbono CO e HC não queimado além de reduzir os níveis de excesso de óxidos de nitrogênio NO e NO2 ou NOx Esse dispositivo é normalmente referido como um catalisador de três vias devido a seu efeito sobre todos os três poluentes Este catalisador é ineficaz quando a CA é muito diferente do nível estequiométrico de 1147 portanto um sistema de controle realimentado é necessário para manter a CA dentro de 1 do nível desejado O sistema é ilustrado na Fig 1047 Os fenômenos dinâmicos que afetam a relação entre a saída medida da CA e os gases de escape e o comando de dosagem do combustível no coletor de admissão são 1 admissão da mistura de combustível e ar 2 atrasos de ciclo devido aos cursos dos pistões no motor e 3 o 8 Uma revisão sobre controle de motor automotivo está em um livro de Alexander Stotsky Automotive Engine Control Estimation Statistical Detection 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Tempo s 1 2 3 4 5 6 δe Figura 1046 Esforço de controle para uma entrada em degrau de 100 pés no comando de altitude 610 Sistemas de Controle tempo necessário para os gases de escape viajarem do motor até o sensor Todos esses efeitos são fortemente dependentes da velocidade e da carga do motor Por exemplo as velocidades típicas do motor variam de 6006000 rpm O resultado dessas variações é que os atrasos de tempo no sistema que irão afetar o comportamento do sistema de controle realimentado tam bém irão variar de pelo menos 101 dependendo da condição operacional O sistema passa por transientes quanto o motorista exige mais ou menos potência por meio de mudanças no pedal do acelerador com as mudanças que ocorrem durante frações de segundo Idealmente o siste ma de controle realimentado deve ser capaz de lidar com esses transientes PASSO 2 Seleção de sensores A descoberta e o desenvolvimento do sensor de gás de escape foi o passo tecnológico fundamental que tornou possível este conceito de redução de emissões de escape pelo controle realimentado O elemento ativo no dispositivo óxido de zircônio é co locado no fluxo de escape onde ele fornece uma tensão que é uma função monotônica do teor de oxigênio dos gases de escape A CA é unicamente relacionada com o nível de oxigênio A tensão do sensor é altamente não linear em relação à CA Fig 1048 quase toda mudança na tensão ocorre precisamente no valor da CA no qual o sistema realimentado deve operar para o desempenho eficaz do catalisador Portanto o ganho do sensor será muito elevado quando a CA estiver no ponto desejado 1147 mas irá cair consideravelmente para excursões de CA longe de 1147 Embora outros sensores já estejam em desenvolvimento para possível uso no controle reali mentado da CA nenhuma relação custobenefício de outro sensor até agora tem demonstrado a capacidade de fornecer o desempenho adequado Atualmente todas as linhas de produção de automóveis utilizam sensores de óxido de zircônio em seus sistemas de controle realimentado PASSO 3 Seleção de atuadores A dosagem do combustível pode ser realizada por um car burador ou por uma injeção de combustível A implementação de um sistema realimentando CA exige a capacidade de ajustar a medição do combustível eletricamente porque o sensor utilizado fornece uma saída elétrica Inicialmente carburadores foram projetados para propor cionar esta capacidade incluindo orifícios ajustáveis que modificavam o fluxo de combustível primário em resposta ao sinal do erro elétrico No entanto os fabricantes atualmente realizam a dosagem utilizando a injeção de combustível Sistemas de injeção de combustível são tipica Sensor não linear Motor Catalisador Sensor Ar Coletor de admissão Gases de escape Combustível Atuador Figura 1047 Sistema de controle realimentado CA Figura 1048 Saída do sensor de gás de escape Razão combustívelar CA 118 1147 112 09 05 01 Saída do sensor V 612 Sistemas de Controle tível cuja duração é proporcional à tensão A função de transferência do controlador pode ser escrita como 1035 sendo e z pode ser escolhido como desejado Primeiro vamos supor que o sensor é linear e pode ser representado por um ganho Ks En tão podemos escolher z para uma boa estabilidade e uma boa resposta do sistema A Fig 1050 mostra a resposta em frequência do sistema para KsKp 10 e z 03 enquanto que a Fig 1051 mostra o lugar das raízes do sistema em relação a KsKp com z 03 Ambas as análises mostram que o sistema se torna instável para KsKp 28 A Fig1050 mostra que para alcançar uma mar gem de fase de aproximadamente 60 o ganho KsKp deve ser 22 A Fig 1050 também mostra que isto produz uma frequência de cruzamento de 60 rads 1 Hz O lugar das raízes na Fig 1051 confirma que este projeto candidato vai conseguir amortecimento aceitável ζ 05 Embora esta análise linear mostre que uma estabilidade aceitável em uma razoável largura de banda 1 Hz pode ser conseguida com um controlador PI um olhar para as características não lineares do sensor Fig 1048 mostra que este desempenho pode não ser alcançável Note que a inclinação da saída do sensor próxima ao ponto de ajuste desejado é extremamente eleva da produzindo assim um valor muito elevado de Ks Portanto os valores mais baixos do ganho Complicações e não linearidade ω rads Magnitude DcG 04 db Fase 30 10 1 01 001 01 1 10 100 2 4 20 40 20 0 20 40 a ω rads 04 01 1 10 100 2 4 20 40 b 60 90 120 150 180 210 22 28 ωc para PM 60 Figura 1050 Diagrama de Bode de um controlador PI CA Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 613 do controlador Kp precisam ser utilizados para manterem o valor global KsKp de 22 quando o efeito de alto ganho do sensor é incluído Por outro lado um valor suficientemente baixo de Kp produz um sistema estável em CA 1 147 0068 que irá produzir uma resposta muito lenta aos transientes do erro que se desviam muito do ponto de ajuste porque o ganho efetivo do sensor será reduzido substancialmente Por conseguinte é necessário considerar a não linea ridade do sensor a fim de obter características satisfatórias da resposta do sistema exceto para perturbações em torno do ponto de ajuste Uma primeira aproximação para o sensor é mostrada na Fig 1052 Devido ao fato de o ganho do sensor real no ponto de ajuste ainda ser bastante diferente da sua aproximação esta aproximação irá fornecer conclusões erradas em relação à estabilidade em torno do ponto de ajuste no entanto será útil em uma simulação para determi nar a resposta às condições iniciais PASSO 6 Avaliemodifique a planta O sensor não linear é indesejável no entanto nenhum sensor linear adequado foi encontrado PASSO 7 Teste um controlador ótimo A resposta deste sistema é dominada pela não linea ridade do sensor e qualquer ajuste fino do controlador precisa considerar essa característica Além disso as dinâmicas do sistema são relativamente simples e é improvável que uma abor dagem de projeto ótimo produza qualquer melhoria em relação ao controlador PI utilizado Iremos assim omitir este passo PASSO 8 Simule o projeto com as não linearidades A simulação não linear em malha fechada do sistema implementada no SIMULINK é mostrada na Fig 1053 A função do MATLAB fas implementa a aproximação das características não lineares do sensor da Fig 1053 function y fasu if u 00606 5 5 5 Res 15 10 20 50 KsKp 22 KsKp 28 ζ 05 KsKp 22 KsKp 28 Ims Figura 1051 Lugar das raízes para um con trolador PI CA Razão combustívelar CA 118 1147 112 09 05 01 Saída do sensor V Referência Aproximação Sensor real Figura 1052 Aproximação do sensor 614 Sistemas de Controle y 01 elseif u 00741 y 01 u 00606 20 else y 09 end A Fig 1054a é um gráfico do erro do sistema utilizando a aproximação do sensor na Fig 1052 e KpKs 20 A resposta lenta aparenta ter 125 s antes do erro sair da saturação e tem uma constante de tempo de cerca de 5 s uma vez que a região linear é atingida Estes siste mas em automóveis reais são operados com ganhos muito maiores Para mostrar esses efeitos uma simulação com KpKs 60 é apresentada na Fig 1054b c Neste ganho o sistema linear é instável e os sinais crescem até cerca de 5 s O crescimento para após 5 s devido ao fato de que quando a entrada da não linearidade do sensor se torna grande o ganho efetivo do sensor diminui devido à saturação e eventualmente um ciclo de limite é atingido A frequên cia deste ciclo limite corresponde ao ponto em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário e tem uma amplitude tal que o ganho total efetivo de KpKseq 28 Conforme descrito na Seção 93 o ganho efetivo de uma saturação para entradas moderadamente grandes pode ser calcu lado e é dado pela função descritiva como sendo aproximadamente 4Nπa sendo N o nível de saturação e a a amplitude do sinal de entrada Aqui N 04 e se Kp 01 então Kseq 28 Assim podemos prever a amplitude do sinal de entrada de a 40428π 0018 Este valor é aproximadamente verificado pelo gráfico da Fig 1054c a entrada da não linearidade neste caso A frequência de oscilação também é cerca de 101 rads como previsto pelo lugar das raízes na Fig 1051 Na implementação real de controladores com realimentação da CA em motores de auto móveis a degradação do sensor ao longo de milhares de milhas de uso é a grande preocupação porque o governo federal determina que os motores cumpram as normas de emissão de polui ção para as primeiras 50000 milhas A fim de reduzir a sensibilidade do ponto de ajuste médio a alterações nas características de saída do sensor os fabricantes geralmente modificam a es trutura discutida aqui Uma abordagem é alimentar uma função relé veja a Fig 96b com a saída do sensor eliminando completamente qualquer dependência do ganho do sensor no ponto de ajuste A frequência do ciclo de limite é então determinada unicamente pelas constantes do controlador e pelas características do motor A precisão média em estado estacionário da CA também é melhorada As oscilações da CA são aceitáveis porque não são perceptíveis pelos ocupantes do carro Na verdade as excursões CA são benéficas para a operação do catalisador na redução dos poluentes Simulação não linear no SIMULINK e CA desejada Saída de CA Degrau Atraso de tempo Display1 Display s 01s 003 Lei de controle 05 Ganho 05 Ganho1 002s 1 1 Fluxo rápido s 1 1 Fluxo lento 01s 1 1 Constante de tempo do sensor Função de não linearidade do sensor MATLAB Figura 1053 Simulação não linear em malha fechada implementada no SIMULINK Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 615 105 Controle do cabeçote de leituraescrita de um disco rígido O primeiro dispositivo de armazenamento em massa com base na gravação de dados em discos rígidos foi introduzido pela IBM em 1956 com o modelo 350 RAMAC9 Consistia de uma pilha de cinquenta discos de alumínio com diâmetros de 24 polegadas revestidos com um ma terial magnético e os dados eram registrados em pistas concêntricas de 100 bytes por polegada sendo 20 pistas por polegada A velocidade de rotação dos discos era de 1200 rpm Havia um único cabeçote de leituraescrita montada sobre um braço que pode ser movido verticalmente de disco a disco e horizontalmente no disco escolhido para alcançar uma pista de dados dese jada Os cabeçotes eram mantidos acima da superfície do disco por um rolamento de ar gerado por sopro de ar através de buracos no acessório de fixação dos cabeçotes A montagem era mantida em um disco em particular por um retentor no mecanismo de elevação e mantida em uma trilha em particular por um retentor no braço Todo mecanismo do cabeçote é implemen tado com um único motor elétrico O sistema armazenava 5 MB de dados e era preciso ter certeza de que o dispositivo final poderia passar por uma porta de 90 cm de largura Os avan ços técnicos neste domínio têm sido tais que em 2000 a Seagate apresentou um disco rígido de memória magnética que consiste em três discos cada um com 25 cm de diâmetro girando a 15000 rpm projetado para ser incluído em um computador portátil Esse dispositivo pode 9 Random Access Method of Accounting and Control Tempo s 50 100 150 200 0 04 02 08 04 0 04 a Tempo s 50 100 150 200 0 b 009 006 003 Tempo s 50 100 150 200 0 c e e CA Figura 1054 Resposta do sistema com a aproximação do sensor não linear 616 Sistemas de Controle armazenar 18350 megabytes de dados O mecanismo de leituraescrita consiste em um único braço movendo um pente de cabeçotes um por superfície em um movimento rotacional para mover os cabeçotes de trilha para trilha Os cabeçotes são montados em um cardan na extre midade do braço e voam acima das superfícies dos discos Para seguir uma trilha a montagem utiliza controle realimentado ativo usando amostras de dados de posições registradas entre os setores de dados do usuário em torno de cada trilha Uma medida econômica do progresso neste campo é que enquanto o custo do RAMAC era de cerca de US10000 por megabyte uma unidade moderna custa menos de 1 centavo de dólar por megabyte Um breve resumo dessa história marcante com muitas referências é dado em Abramovitch e Franklin 2002 e uma tabela de alguns parâmetros de discos ao longo do tempo é apresentada na Tabela 101 Um grande número de pessoas de instituições industriais e acadêmicas têm contribuído com as muitas tecnologias envolvidas nos avanços dos dispositivos de disco rígido feitas ao longo dos últimos 50 anos e uma destas tecnologias foi o controle realimentado Uma foto de uma uni dade de disco Seagate 1000GB é mostrada na Fig 1055 Neste breve estudo de caso vamos apontar uma série de questões que envolvem o controle mas o exemplo de projeto vai se pre ocupar apenas com a questão de rastreamento da trilha Vamos seguir o esquema apresentado na Seção 101 na apresentação do caso PASSO 1 Compreenda o processo Uma vista expandida do problema do servo rastreamento de trilha é dada na Fig 1056 O mecanismo consiste de um motor voicecoil rotativo movendo uma montagem de um leve braço que suporta cardans deslizantes que incluem os cabeçotes de leitura magneto resistivas e as leves finas películas indutivas cabeçotes de escrita Os cardans deslizam acima da superfície do disco em um rolamento de ar produzido pela rotação do disco O amplificador de potência é normalmente ligado a um amplificador de corrente de modo que o movimento básico pode ser modelado como uma inércia simples descrita por 1036 Figura 1055 Foto do disco rígido de 1000GB Fonte cortesia Seagate Technology LLC Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 617 TABELA 101 Parâmetros de discos ao longo do tempo No Ano Unidade Capacidade Tamanho Nd tpi bpi rpm Altura de Voo Tipo de cabeçote Tipo de sensor Tipo de atuador Tempo de busca Comentário 1 1956 IBM RAMAC 5 MB 5024 20 100 1200 20μ Rolamento de Ar Retentor motor CC O primeiro disco rígido 2 1962 IBM 1301 28 MB 2524 50 520 1800 12μ Cabeça voadora Retentor Piston Hidráulico 165 ms 3 1971 IBM 3330 100 MB 1114 192 4040 Ferrite Superfície Dedicada Voice coil voador linear 30 ms O primeiro realimentado 4 1973 3340 Winchester 70 MB 414 270 5600 05μ Ferrite flying Superfície Dedicada Voice coil linear Baixa massa 5 1979 IBM 3370 571 MB 714 635 12134 2964 0324μ Película fina Superfície Dedicada Voice coil linear 6 1979 IBM 3310 645 MB 68 450 8530 Híbrido servosetor Voice coil rotativo 27 MS 7 1980 SeagateST506 5 MB 4525 255 7690 Malha aberta Motor de passo 170 MS 525 discos para PCs 8 1983 MaxtorXT1140 126 MB 8525 Servo setor Voice coil rotativo Motor do eixo centralizado 9 1991 IBM Corsair 1 GB 835 2238 58874 Cabeça MR Servo setor Voice coil rotativo 10 1993 Seagate 12550 219 GB 1035 7200 Servo setor Voice coil rotativo 11 1997 IBMTravelstar 4 GB 325 12500 211000 Servo setor Voice coil rotativo 12 2000 Seagate ST318451 183 GB 525 215k 343k 15000 Película finaMRG Servo setor Voice coil rotativo 39R 45W Primeiro 15000 Unidade de disco RPM 13 2003 Seagate ST3300007 300 GB 433 105k 658k 10000 Película finaMRG Servo setor Microatuador 49R 54W Primeiros micro atuadores 14 2006 Seagate ST3300655 300 GB 4275 125k 890k 15000 Película finaMRG Servo setor Voice coil rotativo 35R 40W Primeira unidade de gravação perpendicular 15 2007 Barracuda ES2 1000 GB 4375 150k 1090k 7200 Película finaMRT Servo setor Voice coil rotativo 74R 85W Primeira unidade SAS MRG Magnetoresistência gigante MRT Magnetoresistência por tunelamento Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 619 menores e assim mais rígidos e suaves À medida que o mecanismo do braço se tornou menor ele teve menos inércia de forma que para movimentos muito pequenos como na transferência de uma ou duas trilhas o atrito é mais importante do que a inércia Para unidades recentes a largura de uma trilha é da ordem de 02 micron µ um valor comparável com as dimensões características de um circuito integrado moderno Para se opor a esta tendência existem pes quisas explorando maneiras de adicionar um segundo atuador seja no braço ou no cardan para realizar pequenos movimentos como a ação do punho na extremidade de um braço robótico Devido à dificuldade de controlar uma flexibilidade muito levemente amortecida também é considerada a adição de um revestimento no braço para aumentar o amortecimento dos princi pais modos de vibração Outras propostas incluem a adição de sensores no braço para permitir uma realimentação adicional ao controle da flexibilidade Neste estudo de caso vamos assumir um único atuador voicecoil e que a flexibilidade é descrita como na Eq 1037 sendo ω1 2π 2500 e ζ 005 Como os detalhes da ressonância real não são bem conhecidos a resso nância terá de ser estabilizada por ganho PASSO 2 Seleção de sensores As primeiras unidades foram controladas em malha aberta com uma retenção mecânica para manter o mecanismo em um disco e outra retenção para manter as cabeças em uma trilha O controle realimentado foi introduzido em 1971 usando informação registrada da posição em uma superfície especial do disco dedicada aos servo mecanismos de dados Todo o pente de cabeças foi posicionado pela informação de superfí cie do servo Se o pente inclinasse ou desalinhasse seria muito mais difícil de ler os dados Tais questões limitaram o número de discos e da densidade de trilhas possíveis com esta dis posição A informação da posição da trilha em discos modernos é gravada em cada trilha em uma lacuna entre os setores de dados do usuário Controladores baseados nessa informação são chamados de servo setores e os dados são amostrados por necessidade Há um conflito entre o desejo de gravar grandes quantidades de dados o que exige menos e maiores seto res e a especificação para o controle ter uma alta taxa de amostragem o que exige setores menores Cada caso é um compromisso entre essas demandas conflitantes Como os dados de posição são amostrados os controladores são dispositivos digitais que fazem o melhor uso possível dos dados de posição Estudos teóricos têm usado um controle multivariável para aplicar mais de uma correção de controle para cada leitura do sensor mas este método ainda não é considerado economicamente viável Para este estudo de caso vamos projetar um controle analógico A informação de posição extraída a partir de dados gravados no disco é sujeita a erros causados por excursões fora do caminho da trilha o que significa que o raio da trilha não é constante Em geral há um componente repetitivo em cada volta da trilha e este elemento pode ser estimado geralmente de harmônico por harmônico e um sinal é utilizado para alimentar o motor que cancela este componente O sinal de erro de posição SEP também contém ruído aleatório de várias fontes Estas incluem turbulências pelo fluxo de ar nas partes deslizantes ba lanço e vibração dos discos ruído no processamento eletrônico do sinal usado para decodificar a informação da posição ruído do amplificador de potência utilizado para fornecer o torque ao motor e os erros causados pelos conversores analógicodigital necessários no processo PASSO 3 Seleção de atuadores O RAMAC usou um motor CC como atuador e dispositi vos posteriores usaram atuadores hidráulicos Quando o disco de 525in foi introduzido pela Seagate em 1980 o atuador era um motor de passo Estes foram utilizados em malha aberta O primeiro controle realimentado de posicionamento da cabeça estava no IBM 3330 em 1971 e o atuador era um motor voicecoil de movimento linear Em 1979 um motor rotativo voicecoil foi introduzido e hoje quase todos os discos rígidos usam um atuador de movimento rotativo O amplificador de potência é normalmente ligado como um amplificador de corrente para sim plificar a dinâmica A realimentação a partir do resistor de detecção de corrente para o ampli ficador constitui uma malha de torque que é projetada separadamente e cuidadosamente de modo que a dinâmica do motor possa ser ignorada na maioria das vezes ao considerar a malha externa de controle de posição no rastreamento de trilha 620 Sistemas de Controle PASSO 4 Faça um modelo linear Como mencionado na discussão do processo o modelo linear tem um modo flexível a saber 1038 com ζ 005 e ω1 25 correspondente à medição do tempo em milisegundos em vez de segundo O ganho A e a inércia J serão absorvidos no ganho do compensador Assim o am plificador de potência é tido como sendo um amplificador de corrente ideal Também estamos considerando apenas o rastreamento de trilha e não busca PASSO 5 Teste um projeto PID ou um compensador de atrasoavanço Em virtude de o modelo nominal ser muito simples o primeiro projeto será um compensador de avanço com o objetivo de alcançar a maior largura de banda possível tendo uma margem de fase de 50 e de tal modo que ele seja estabilizado pelo ganho com uma margem de ganho na ressonância de pelo me nos 4 Essa abordagem foi já publicada por R K Oswald 1974 Vamos tentar dois projetos e comparálos pela largura de banda e pela qualidade da resposta ao degrau No primeiro caso usaremos um compensador de avanço simples selecionado para fornecer margem de fase de 50 e um fator de margem de ganho de 4 Para obter a margem de fase o avanço será projetado com um α de 01 e a frequência de cruzamento será tão alta quanto possível enquanto será mantida uma margem de ganho de 4 na ressonância o que aumenta por um fator de 12ζ 10 acima da assíntota de Bode Assim o cruzamento deve estar localizado de modo que a assíntota seja um fator de 10 4 40 abaixo de 1 em ω1 5π A função de transferência de avanço resultante é 1039 e o diagrama de Bode para o projeto de avanço é mostrado na Fig 1057 A frequência de cruzamento para esse projeto é ωc 139 radms e a resposta ao degrau é apresentada na Fig 1058 que mostra um tempo de subida em torno de tr 08 ms com um sobressinal de aproximadamente 25 Mostramos anteriormente que uma margem de fase de 50 deve corresponder a um amortecimento de 05 e assim a um sobressinal de aproximada mente 17 No entanto em razão de o zero do compensador de avanço estar no caminho direto temos um sobressinal extra Como um segundo modelo um filtro passabaixa é adicionado para tentar suprimir o pico de ressonância a fim de melhorar um pouco a velocidade de resposta e a largura de banda A ideia é colocar a frequência de corte do filtro entre a frequência de cruzamento e a frequência de ressonância e fornecer um coeficiente de amortecimento bastante baixo que não reduza muito Figura 1057 Diagrama de Bode do projeto para um avanço Fase graus Magnitude db 101 102 101 100 ω rads 60 260 220 180 140 100 40 20 0 20 40 60 80 101 102 101 100 ω rads GM PM Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 621 a margem de fase mas alto o suficiente para que não interfira na margem de ganho Depois de algumas tentativas o projeto de teste 1040 é testado com o filtro 1041 Para esse caso o diagrama de Bode é dado na Fig 1059 e a resposta ao degrau na Fig 1060 Nesse caso a frequência de cruzamento é 213 um aumento de 35 e o tempo de subida é de 03 ms uma redução de 60 a partir do caso sem o filtro passafaixa O sobressinal é um pouco maior neste caso Embora não estejam apresentadas aqui outras possibilidades para a compensação de controle podem incluir um filtro rejeita faixa no lugar do filtro passabaixa projetado aqui Um filtro rejeita faixa pode ser capaz de suprimir a ressonância e permitir mais um aumento adicional na largura de banda Um bom projeto depende do grau de entendimento da ressonância e de quanto a incerteza envolve seu comportamento Em alguns casos é possível estabilizar a ressonância por fase e aumentar a frequência de cruzamento para ser maior do que a frequência de ressonância PASSO 6 Avaliemodifique a planta Eventuais alterações do processo que envolvem grandes alterações de projeto foram introduzidas na discussão sobre a compreensão do processo no Amplitude 0 08 16 24 32 4 48 56 Tempo ms 0 02 04 06 08 1 12 14 Figura 1058 Resposta ao degrau do contro le do disco com PM 50 Fase graus Magnitude db 101 102 101 100 ω rads 260 220 180 140 100 40 0 40 80 101 102 101 100 ω rads GM PM Figura 1059 Diagrama de Bode do sistema com um compensador de avanço mais o filtro passabaixa 622 Sistemas de Controle Passo 1 Uma vez que os principais parâmetros de projeto foram selecionados as possibilida des restantes de melhoria podem incluir uma mudança na fabricação do braço para adicionar rigidez o que irá aumentar a frequência de vibração e adicionar um revestimento de amorteci mento no braço para aumentar o coeficiente de amortecimento da flexibilidade Outras possi bilidades de melhoria dizem respeito à metodologia de decodificação SEP para reduzir o ruído PASSO 7 Teste um controlador ótimo ou um controlar adaptativo Um projeto foi feito com a medida de desempenho linear quadrático com o índice de desempenho função de perda sele cionado para obter um tempo de subida de aproximadamente 03 ms que coincida com o projeto clássico O resultado é mostrado na Fig 1061 Embora um esforço adicional possa fornecer um projeto aceitável a resposta claramente oscilatória tolerada por essa técnica em particular não parece promissora Em particular um projeto que inclua um custo em e deve ser considera do Tais extensões são consideradas em cursos mais avançados PASSO 8 Simule o projeto e compare as alternativas Normalmente feitas em paralelo com o projeto PASSO 9 Construa um protótipo Feito no início do processo de projeto como um modelo de teste para que os esquemas possam ser testados fisicamente enquanto projetados Para o projeto e implementação do controle digital em servos de unidades de disco o leitor é remetido para Franklin Powell e Workman 1998 Amplitude 0 08 16 24 32 4 48 56 Tempo ms 0 02 04 06 08 1 12 14 Figura 1060 Resposta ao degrau do sistema com um compensador de avanço mais o filtro passabaixa Amplitude 0 02 04 06 08 1 12 14 Tempo ms 0 02 04 06 08 1 12 14 Figura 1061 Resposta ao degrau para o projeto LQR Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 623 106 Controle de sistemas de PTR na fabricação de pastilhas de semicondutores A Fig 1062 diagrama os principais passos em uma escala ultralarga da fabricação de um cir cuito integrado como um microprocessador e alguns dos aspectos de controle associados Mui tos dos passos descritos no presente processo como deposição química de vapor ou gravação devem ser controlados com atenção e realizados em sequências de temperatura temporizadas Sze 1988 A prática padrão por muitos anos tem sido realizar estes passos em lotes de mui tas pastilhas para produzir um grande número de circuitos integrados idênticos Em resposta à demanda de dimensões críticas cada vez menores para os dispositivos no circuito integrado e Cristal de silício lingote A B C D E F G H I Luz Seção do circuito desenvolvido Fotorresistência Seção gravada do circuito Fotorresistência Pastilha Pastilha Pastilha Pastilha Produto final Semicondutores O papel do controle em cada etapa A Controle de temperatura de fusão velocidade de rotação e taxa de tração B Controle de espessura e taxa de remoção C Controle de plasma pressão fluxo composição e espessura D Controle do estágio da pastilha com precisão nm E Controle de plasma F Controle de temperatura pressão fluxo e espessura G Controle de energia H Controle de plasma temperatura pressão e fluxo Silício dopado Metal condutor Silício dopado Pastilha Pastilha Seção do circuito extraído Dióxido de silício com áreas expostas removidas Retícula máscara Lente Padrão é repetido na pastilha Pastilha com fotorresistência Vista aproximada do padrão do circuito com fotorresistência Camadas adicionais como polissilício Camadas adicionais como polissilício Camadas adicionais como polissilício Pastilha polida Dióxido de silício SiO2 Dióxido de silício SiO2 Dióxido de silício SiO2 Dióxido de silício SiO2 Dióxido de silício SiO2 Dióxido de silício SiO2 Seção da pastilha ampliada Figura 1062 Passos na fabricação de um circuito integrado Fonte cortesia da International Sematech 624 Sistemas de Controle para dar mais flexibilidade na variedade e fornecer um maior número de circuitos integrados produzidos os fabricantes de ferramentas para a fabricação dos circuitos foram solicitados a proporcionar um controle cada vez mais preciso de temperatura e perfis temporais durante o processamento térmico Em resposta a estas exigências uma importante tendência é realizar as etapas térmicas em uma pastilha de cada vez numa câmara de paredes frias e fonte de calor flexível chamada de processadora térmica rápida PTR como mostrado na Fig 1063 As demandas por um sistema de PTR são ilustradas pela especificação da temperatura da pastilha em seguir um perfil como o mostrado na Fig 1064 em que a velocidade aumenta de 25 a 150Cs a temperatura varia de 600C a 1100C e pode durar pouco ou muito tempo como 120 s O aumento das taxas é limitado pelo perigo de provocar danos na estrutura do cristal se os gradientes de temperatura se tornarem demasiadamente grandes A capacidade do PTR de mudar a temperatura rapidamente permite a fabricação de dispositivos com pequenos comprimentos críticos pela capacidade de parar o processo tal como a deposição ou gravação com rapidez e precisão A Fig 1065 mostra um reator PTR genérico com lâmpadas halógenas de tungstênio pa redes de aço inoxidável que são refrigeradas com água e janelas de quartzo A medição da temperatura pode ser feita por uma variedade de métodos incluindo termopares DTRs e pirô metros Por várias razões geração de partículas perturbação mínima etc é desejável utilizar métodos de detecção de temperatura sem contato e portanto as técnicas pirométricas são as mais comumente utilizadas Um pirômetro é um sensor de temperatura sem contato que mede a radiação infravermelha IR que é diretamente uma função da temperatura Sabese que objetos emitem energia radiante proporcional a T4 sendo T a temperatura do objeto Entre as vantagens dos pirômetros estão o tempo de resposta muito rápido e a capacidade de medirem a PTR Pirômetro Figura 1063 Sistema de radiação PTR da Applied Materials Fonte cortesia Applied Materials Temperatura Tempo Aquecimento Baixa temperatura constante Alta temperatura constante Figura 1064 Trajetória de temperatura típi ca do PTR Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 625 temperatura de objetos em movimento por exemplo uma pastilha de semicondutores de rota ção e no vácuo para fabricação de semicondutores A seleção do atuador depende da escolha das técnicas de fornecimento de energia lâmpa das halógenas de tungstênio lâmpadas de arco voltaico susceptor quente etc para aquecer a pastilha Atualmente as lâmpadas halógenas de tungstênio são comumente usadas no PTR na fabricação de semicondutores EmamiNaeini et al 2003 A Fig 1066a mostra um sistema com aquecimento em dois lados por lâmpadas halógenas de tungstênio lineares típico dos sis temas produzidos por Mattson Os arranjos das lâmpadas na parte superior e inferior estão em ângulos retos para fornecerem mais de um eixo simétrico A Fig 1066b mostra um lado de aquecimento com lâmpadas na configuração de um favo de mel típico dos sistemas da Applied Materials Finalmente a Fig 1066c mostra uma configuração de lâmpadas dispostas em anéis concêntricos típico da câmara de StanfordTI MMST Gyugyi et al 1993 As lâmpadas saturam e por razões práticas é desejado que operem dentro de 595 das configurações de potência Para ilustrar o projeto de um sistema de PTR são fornecidos os resultados de um projeto específico realizado pela SC Solutions como um modelo de laboratório construído para estudar os problemas associados com o projeto e funcionamento do PTR O modelo de laboratório é mostrado esquematicamente na Fig 1067 Ele é feito de alumínio e é composto de três padrões de lâmpadas halógenas de tungstênio 35W 12V aquecendo uma placa retangular que simula a pastilha A placa mede 4 1¾ e é escurecida para aumentar sua absorção de radiação A placa é montada em paralelo com as lâmpadas As lâmpadas são montadas no compar timento de lâmpadas O conjunto de lâmpadas é montado em um gradeamento de modo que Lâmpadas halógenas de tungstênio Saída Pastilha Chuveiro Janela de quartzo Lâmpadas Parede superior Parede inferior Parede lateral inferior Parede lateral superior ysup ylâmp yjan ych ypast ysaída r1 dypast r2 r3 r4 rsaída rch r5 rparede dlâmp dyjan dych Eixo Figura 1065 Sistema genérico PTR Lâmpadas Pastilhas Bordas das janelas a b c Lâmpadas Lâmpadas Figura 1066 Várias geometrias de lâmpadas para o PTR Fonte Norman 1992 Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 627 da placa podem ser usados para a realimentação e o resto pode ser usado para fins de controle de temperatura No nosso caso vamos usar apenas a temperatura do centro para o controle realimentado Outra alternativa seria somar as três temperaturas em um sinal e controlar a temperatura média PASSO 3 Seleção de atuadores Isso também foi discutido anteriormente Para o modelo de laboratório os atuadores foram compostos de três padrões de lâmpadas halógenas de tungstênio descritas anteriormente No nosso caso vamos ligar as três lâmpadas em um atuador aplicando o mesmo comando de entrada em cada lâmpada PASSO 4 Faça um modelo linear O modelo de laboratório foi construído veja o Passo 9 As equações não lineares do sistema envolvem tanto a condução Capítulo 2 quanto os termos de radiação veja EmamiNaeini et al 2003 Abordagens de identificação de sistemas não lineares foram usadas para obter um modelo do sistema Especificamente foi aplicado nas três lâmpadas um degrau de subida mantido constante e então um degrau de descida e as três temperaturas de saída foram registradas Estudos12 de identificação de sistemas resultaram no seguinte modelo não linear para o sistema que contém os termos de radiação e condução Ar e Acon respectivamente 1042 T T1 T2 T3T denota as temperaturas T temperatura ambiente constante u vcmd1 vcmd2 vcmd3T são as tensões de comando e as matrizes do sistema são Um modelo linear para o sistema é obtido sendo 1043 sendo y Ty1 Ty2 Ty3T e 12 Desenvolvidos por Dr G van der Linden Transferência de calor de radiação não linear Modelo linear PTR 628 Sistemas de Controle Os três polos em malha aberta são calculados com o MATLAB e estão localizados em 00527 00863 e 01482 Para o nosso caso como ligamos as três lâmpadas em um atuador e es tamos usando apenas a temperatura do centro para a realimentação o modelo linear é então resultando na função de transferência PASSO 5 Teste um controlador de atraso e avanço ou um PID Podemos testar um controlador PI simples da forma de modo a anular o efeito de um dos polos mais lentos A resposta linear em malha fechada é mostrada na Fig 1068a e o esforço de controle associado é mostrado na Fig 1068b A res posta do sistema segue a trajetória comandada com um atraso de aproximadamente 2 segundos e sem sobressinal A lâmpada tem a sua resposta normal até 75 s e fica negativa tracejado para tentar seguir a queda brusca no comando da temperatura Este comportamento não é possível no sistema já que não há meios de arrefecimento ativo e as lâmpadas saturam inferiormente Note que não há meios explícitos de controlar a não uniformidade da temperatura aqui PASSO 6 Avaliemodifique a planta Isso já foi discutido em conexão com a seleção do atuador e do sensor PASSO 7 Teste um projeto ótimo Usamos a abordagem de espaço do erro para a inclusão do controle integral e empregamos a técnica linear quadrática Gaussiana do Capítulo 7 O sistema de erro é 1044 sendo Temperatura K 0 5 15 25 10 20 30 a Resposta do rastreamento de temperatura b Esforço de controle 100 80 90 70 60 50 40 30 20 10 0 Tempo s Tensão da lâmpada 25 20 10 0 15 5 5 100 80 90 70 60 50 40 30 20 10 0 Tempo s r y u Figura 1068 Resposta do PTR linear em malha fechada para o controlador PI Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 629 e Para o projeto de realimentação de estados a formulação LQR do Capítulo 7 é usada isto é com Note que precisa ser escolhido de modo que penalize o erro de rastrea mento e e o controle u assim como as diferenças nas três temperaturas Portanto o índice de desempenho deve incluir um termo da forma o que minimiza a não uniformidade da temperatura O fator de 10 foi determinado por tentativa e erro como a ponderação relativa entre o estado do erro e o estado da planta As matrizes de ponderação do estado e do controle Q e R respectivamente são O seguinte comando no MATLAB é usado para projetar o ganho de realimentação K lqrABQR A matriz de ganho de realimentação resultante computada no MATLAB é sendo que resulta em um controlador de modelo interno da forma 1045 com xc representado o estado do controlador e Os polos com a realimentação de estados em malha fechada calculados a partir do MAT LAB são em 05574 04584j 01442 e 00877 O estimador de ordem completa foi projetado com as intensidades do ruído no processo e nos sensores selecionadas como os botões do projeto do estimador O seguinte comando no MATLAB é usado para projetar o estimador L lqeFGHRwRv A matriz de ganho do estimador resultante é com os polos do erro do estimador em 165268 01438 e 00876 A equação do estimador é 1046 Uniformidade da temperatura Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 631 linear da planta é a implementação da Eq 1042 Existe um préfiltro seguindo a trajetória da temperatura de referência para suavizar os cantos com a função de transferência 1049 Note que a conversão entre tensão e potência foi determinada experimentalmente como 1050 e é implementada como um bloco não linear nomeado como V2P no SIMULINK O modelo inverso da lâmpada estática não linear também é incluído como um bloco nomeado como InvLamp 1051 Isso irá cancelar a não linearidade da lâmpada A faixa de tensão de funcionamento do siste ma é entre 1 e 4 volts como podese ver a partir do diagrama A não linearidade de saturação é incluída na lâmpada bem como a lógica do integrador antiwindup para lidar com a satu ração A resposta dinâmica não linear é mostrada na Fig 1073a e o esforço de controle é mostrado na Fig 1073b Note que a resposta não linear está em geral de acordo com a resposta linear Não linearidade da lâmpada Display 1 Display 2 Display Sequência repetitiva k1 u k1 Matriz de ganho 1 k0 u k0 Matriz de ganho Saturação Integrador s 1 y Cx Du x Ax Bu Planta PTR Espaço de estados y Cx Du x Ax Bu Estimador Espaço de estados1 Figura 1070 Diagrama de blocos no SIMULINK para o controle em malha fechada do PTR Temperatura K 5 0 5 15 25 10 20 30 a Resposta de rastreamento de temperatura b Esforço de controle 100 80 90 70 60 50 40 30 20 10 0 Tempo s Tensão da lâmpada 14 12 10 6 8 4 2 0 4 2 6 100 80 90 70 60 50 40 30 20 10 0 Tempo s r y u Figura 1071 Resposta linear do PTR em malha fechada 632 Sistemas de Controle V2P In 1 Out 1 Subsistema 1 Display 2 Display 1 Display 3 Sequência repetitiva K u k1 Matriz de ganho 1 K u Matriz de ganho 4 K u k0 Matriz de ganho K u Matriz de ganho 4 K u Antiwindup Matriz de ganho 2 Saturação Integrador s 1 Integrador xo 30135 s 1 InvLamp In 1 Out 1 Subsistema 2 y Cx Du x Ax Bu Estimador Espaço de estado 1 Para área de trabalho 1 r Para área de trabalho 2 u Display 4 Planta não linear a b Out 1 In 1 Subsistema Display K u Matriz de ganho 3 K u Matriz de ganho 5 K u Matriz de ganho 5 Incerteza da lâmpada Para área de trabalho 2 y Constante 1 4 Fluxo de entrada K u Matriz de ganho Nodo temp Soma dor Minv Adição do fluxo 1 In 1 1 In 2 Função matemática uυ Boltzmann Radiação K u Matriz de ganho 2 Escalonamento de temperatura Mux 3 K u Matriz de ganho 3 Condução Mux 2 Constante 301352135 Figura 1072a Diagrama para o modelo não linear do sistema PTR em malha fechada no SIMULINK a malha fechada não line ar e b planta não linear Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 633 Um protótipo do modelo de laboratório PTR foi projetado construído14 e demonstrado na Sematech AECAPC98 Conference em Vail Colorado A Fig 1074 mostra uma fotografia do sistema operacional Este sistema é realmente de natureza multivariável O controlador multi variável de três entradas e três saídas utilizado no protótipo do sistema foi projetado utilizando a mesma abordagem discutida no Passo 7 e foi aplicado em uma plataforma de controle embar cada que usa um sistema operacional de tempo real O controlador contínuo isto é modelo interno combinado do controlador e estimador é da forma 1052 sendo 1053 14 Por Dr J L Ebert c 1 In 1 1 Out 1 Função matemática uυ Saturação Constante 1 Constante 1 16 d 1 In 1 1 Out 1 Função matemática uυ Constante 1 Constante 1 0625 Figura 1072b Diagrama no SIMULINK para o sistema PTR não linear em malha fechada c subsis tema para converter a tensão em potência d subsistema para a inversão do modelo da lâmpada Temperatura K 310 315 320 330 325 335 a Resposta de rastreamento de temperatura b Esforço de controle 100 120 140 160 180 80 60 40 20 Tempo s 100 120 140 160 180 80 60 40 20 Tempo s Tensão da lâmpada V 0 05 1 20 15 25 3 35 4 r y u Figura 1073 Resposta não linear do PTR em malha fechada 634 Sistemas de Controle e O controlador foi discretizado veja o Capítulo 8 com um período de amostragem de Ts 01 s e implementado digitalmente com lógica antiwindup apropriada como 1054 Figura 1074 O modelo de laboratório do PTR para controle de temperatura Fonte cortesia de Abbas EmamiNaeini Vcmd V Temperatura C 0 140 120 100 80 60 40 20 1 15 2 25 3 35 35 40 45 50 55 60 65 Tempo s 0 140 120 100 80 60 40 20 Tempo s Vcmd2 Vcmd1 Vcmd3 Tr Ty1 Ty2 Ty3 Figura 1075 Resposta do controle de temperatura do modelo de laboratório PTR Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 635 A resposta do sistema real para a trajetória de temperatura de referência juntamente com as três tensões das lâmpadas é mostrada na Fig 1075 Ela tem uma boa concordância com a simula ção em malha fechada do sistema não linear uma vez que o ruído é levado em conta Para mais informações sobre modelagem e controle de sistemas PTR é indicado ao leitor EmaniNaeini et al 2003 Ebert et al 1995ab de Roover et al 1998 e Gyugyi et al 1993 107 Quimiotaxia ou como a E coli se movimenta Preâmbulo A célula é o subsistema estrutural e fisiológico básico de todos os organismos vivos e muitas das atividades bioquímicas necessárias para a vida são realizadas dentro dela Alguns organismos tais como bactérias consistem de apenas uma única célula Uma célula procariota é mostrada na Fig 1076 A Escherichia coli E coli fotografia na Fig 1077 é um desses organismos unice lulares que têm sido extensivamente estudados e cujo interessante movimento e controle serão descritos em uma forma altamente simplificada neste estudo de caso Os resultados técnicos para o estudo vêm do campo da biologia sistêmica A biologia sistêmica é um campo emergente que objetiva criar modelos dinâmicos para descrever os processos incrivelmente complexos em muitos sistemas biológicos O objetivo é determinar como mudanças nas variáveis em uma parte afetam o todo Neste estudo de caso um modelo muito simplificado é apresentado para sugerir como as ideias de controle podem contribuir neste caso Na elaboração do estudo tentamos mi nimizar o uso de termos técnicos de biologia e definir claramente os que são considerados úteis e necessários para a apresentação Esperase que esta simples introdução inspire engenheiros de controle a realizar estudos neste importante campo Inicialmente uma breve apresentação A E coli foi descoberta pelo pediatra e bacteriologista alemão Theodor Escherich em 1885 A bactéria é um organismo cilíndrico com extremidades hemisféricas semelhantes ao esboço mostrado na Fig 1076 Uma fotografia da E coli é mostrada na Fig 1077 Ela tem aproxima damente 1 mícron µ de diâmetro e 2 micra µ de comprimento e pesa cerca de 1 picograma pg A E coli foi extensivamente estudada por geneticistas devido ao tamanho relativamente pequeno de seu genoma e de sua facilidade de crescimento no laboratório O genoma completo ou a biblioteca da informação genética herdada foi sequenciado ele contém 4639221 bases nitrogenadas de adenosina A citosina C guanina G e timina T dispostas em um total de 4288 genes Estes genes servem como instruções para a síntese de proteínas específicas e são transcritos e eventualmente traduzidos na estrutura primária ou sequência de aminoácidos de uma proteína A E coli cresce e se divide por fissão binária para criar duas bactérias filhas Biologia sistêmica E coli Cromossomo bacteriano a b Fímbrias estruturas de fixação na superfície de algumas procariotas Nucleoide região onde o DNA da célula está localizado não delimitada por uma membrana Ribossomos complexos que sintetizam proteínas Membrana plasmática membrana que envolve o citoplasma Parede celular estrutura rígida fora da membrana plasmática Cápsula revestimento exterior gelatinoso de muitas procariotas Flagelos organelas de locomoção de algumas bactérias Figura 1076 Uma estrutura celular a uma bactéria típica b TEM da bactéria Bacillus coagulans Fonte a Campbell e Reece página 98 2008 Pearson Education b Stanley C HoltBiological Photo Service Todos os direitos reservados 636 Sistemas de Controle geneticamente idênticas É uma máquina de divisão celular e se divide continuamente de tal forma que em condições ideais uma população de E coli pode dobrar a cada 20 minutos Em 2003 pesquisadores demonstraram que células solitárias da E coli apresentam quimiotaxia po sitiva o que significa que elas são atraídas para as células que permitem a formação de colônias da E coli A E coli vive na parte inferior do intestino de animais de sangue quente incluindo seres humanos e se alimenta de aminoácidos A bactéria ajuda na manutenção do equilíbrio da flora intestinal normal bactéria contra bactérias prejudiciais e na sintetização ou produção algumas vitaminas A maioria das linhagens da E Coli são inofensivas mas uma linhagem particular E coli O157H7 pode causar envenenamento alimentar em seres humanos A Escherischia coli tem um conjunto de 6 a 10 motores rotativos cada um acionando um fino filamento helicoidal de aproximadamente 10 μm de comprimento por meio de um gancho curto flexível e proximal que atua como uma junta universal Todo este conjunto é chamado de flagelo Berg 2003 O motor gira no sentido horário SH como visto por um observador fora da célula olhando para o gancho ou no sentido antihorário SAH Quando todos os motores giram no SAH os filamentos dos flagelos se agrupam e a célula nada constantemente para a frente em uma corrida como sugerido na Fig 1078 Quando um ou mais motores muda para a rotação SH o flagelo correspondente se separa e reorienta a célula em uma cambalhota resultando em um pequeno deslocamento como mostrado na Fig 1079 Os dois modos de mo vimento alternam e em um estado de equilíbrio com o seu ambiente as corridas duram aproxi madamente 1 s e as cambalhotas aproximadamente 01 s resultando em um deslocamento 3D aleatório Por meio do controle da frequência de cambalhota as bactérias podem orientar seu movimento para uma concentração de moléculas atrativas ou para longe uma concentração de moléculas repelentes como sugerido na Fig 1080 Quimiotaxia Figura 1077 Fotografia da bactéria Escherichia coli E coli Fonte United States Department of Health and Human Services National Institutes of Health Flagelos agrupados E coli Membrana plasmática Parede celular Figura 1078 Motores dos flagelos girando no sentido AH resultando em uma corrida Fonte cortesia Nimo Cyrus Emami Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 637 O problema Quimiotaxia é o nome dado ao processo pelo qual uma bactéria móvel sente as mudanças em seu ambiente e se move em direção a lugares com um ambiente mais favorável Quimiotaxia é importante para o funcionamento apropriado da célula Uma bactéria E coli compara a concen tração atrativa atual com a concentração atrativa passada Se ela detecta uma mudança positiva na concentração atrativa ela deve se mover no sentido do gradiente Para fazer isso a probabili dade de uma cambalhota e consequentemente a sua frequência de cambalhota é reduzida e as corridas correspondentes são mais longas Em contraste se ela detecta um aumento na concen tração repelente a hipótese parece ser de que ela tenha nadado na direção errada por isso ela aumenta a sua frequência de cambalhota e tenta mudar de direção de modo a nadar para longe dos repelentes A dinâmica desta quimiotaxia é o assunto do nosso estudo de caso Vários modelos diferentes de quimiotaxia bacteriana têm sido desenvolvidos por pesquisa dores na biologia sistêmica Nossa discussão é baseada em dois deles Barkai Libler 1997 Yi et al 2000 As diferentes proteínas envolvidas na resposta quimiotática têm sido bem es tudadas e suas interações foram caracterizadas com algum detalhe como mostrado na Fig 1081 Os biólogos têm nomeado as proteínas envolvidas na quimiotaxia por letras do alfabeto prefixadas por Che Assim temos CheA CheB e assim por diante Na superfície da bactéria existem receptores complexos que incluem a CheW e CheA com os quais as moléculas atra tivas ou repelentes podem se ligar Estes químicos constituem a entrada para o sistema e são chamados coletivamente de ligantes O sistema é configurado para controlar a frequência de Ligantes Membrana plasmática Parede celular Figura 1079 Motores dos flagelos girando no SH resultando em uma cambalhota Fonte cortesia Nimo Cyrus Emami Figura 1080 Movimentos de Escherichia coli se assemelham a um passeio aleatório tendencioso 638 Sistemas de Controle cambalhota que é feito pela controle da atividade da CheY a proteína que atua diretamente no motor dos flagelos Os receptores estão ativos e aguardando um ligante ou são inativos e não estão aceitando qualquer ligante Um receptor complexo tornase ativo se um grupo metilo CH3 é adicionado a ele pela CheR e inativo se o grupo é removido pela CheB O nível de CheR é principalmente fixado enquanto o nível de CheB é controlado pela atividade do receptor via CheA Como parte da dinâmica de estado estacionário da quimiotaxia grupos metil são adicionados regularmente pela CheR e igualmente removidas pela CheB Este equilíbrio é perturbado quando um ligante se liga a um receptor ativo Se o ligante é um atraente a atividade de CheA é reduzida e con sequentemente a ação de CheB na desmetilação é reduzida mais receptores são feitos ativos e a atividade de CheA lentamente retorna ao estado estacionário Este é o laço de realimentação na quimiotaxia Ao mesmo tempo uma vez que ele reduz a taxa de ativação de CheB CheA reduz a sua taxa de ativação de CheY e isto faz com que a frequência de cambalhota seja re duzida Como consequência as bactérias nadam mais e presumivelmente nadam em direção à concentração atrativa Agora se o ligante é um repelente a atividade de CheA é aumentada o que provoca aumento da taxa de atividade de CheY e aumenta a frequência de cambalhota As bactérias nadam menos enquanto procuram por uma nova direção a fim de escapar da concentração de repelentes Ao mesmo tempo no laço de retroalimentação CheB também está mais ativo os receptores tornamse inativos a uma taxa maior e novamente CheA e a frequên cia de cambalhota retornam aos seus valores de estado estacionário O fato da atividade e da frequência de cambalhota retornarem exatamente ao mesmo valor depois de uma alteração na concentração do ligante é uma propriedade notável chamada por biólogos sistêmicos de adapta ção exata Como veremos para um engenheiro de controle esse é um método de controle muito comum Um gráfico experimental de quimiotaxia é reproduzido na Fig 1082 O modelo O problema então é desenvolver um modelo como um diagrama de blocos do sistema de controle que irá descrever o movimento médio desta situação de quimiotaxia Representamos as médias como se fossem um receptor complexo com as proteínas relacionadas atuando nos flagelos Como a pesquisa mostra as equações são complexas e altamente não lineares Além Figura 1081 O sinal da quimiotaxia via trans condução na E coli CheW CheA CheW CheZ Saída frequência de cambalhota Entrada atraentes repelentes CheR CheA m p CheB p CheY CheY CheB 640 Sistemas de Controle a intensidade da atividade em estado estacionário muda e a constante de tempo da metilação também No final deixamos este estudo de caso com mais perguntas do que respostas Por exemplo deve ser possível a obtenção do modelo pela análise de pequenos sinais a partir das equações químicas e físicas dos processos O modelo como apresentado poderia ser modificado para considerar as variações da concentração de CheR por exemplo Finalmente como o modelo poderia ser estendido para descrever o movimento em três dimensões Esperamos que alguém que esteja usando este livro seja inspirado a encontrar as respostas dessas perguntas Resumo e recapitulação Durante anos os biólogos se concentraram no estudo de várias partes dos organismos vivos Recentemente o foco mudou para estudar o comportamento de todo o organismo como um sistema de partes interligadas Desde os anos 1970 sabese experimentalmente que muitos sistemas biológicos se ajustam ao seu ambiente de forma adaptativa Recentemente modelos analíticos têm sido desenvolvidos para explicar esse fenômeno como discutimos neste estudo 05 Ligante Atividade K Ka Kx Movimento Display Número aleatório Constante CheR Integrador Km Mo Methyl KM x 20 K 05 10 11 05 05 1 s 1 s Figura 1084 Um diagrama esquemático no SIMULINK para simulação da quimiotaxia da E coli Figura 1085 Frequência de cambalhota simuada do modelo de quimiotaxia após a inserção do atraente em t 20 s 1 09 08 07 06 05 Atividade de cambalhota Atraente adicionado 04 03 02 01 0 0 5 10 15 20 Tempo s 25 30 35 40 Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 641 de caso Os novos modelos analíticos podem explicar as propriedades inerentes ao sistema biológico como a adaptação perfeita robusta obtida pelo controle integral dos locais ativos Métodos de teoria de controle e interpretações têm se mostrado úteis para aumentar o nível de nossa compreensão do comportamento e das propriedades dos sistemas biológicos Desejamos que este exemplo simples ajude a estimular o interesse neste emocionante campo 108 Perspectiva histórica O primeiro piloto automático foi testado em um hidroavião Curtis em 1912 apenas 9 anos após o primeiro voo dos irmãos Wright Ele consistia em um giroscópio para medir a atitude e de servo motores para ativar as superfícies de controle e foi projetado por Elmer Sperry Em parte foi um resultado do projeto dos irmãos Wright para intencionalmente tornar a aeronave ligeiramente instável a fim de tornála mais controlável pelo piloto Esse sistema ganhou fama em 1914 quando ganhou um prêmio na França por demonstrar sua capacidade de voar perto do Figura 1086 A metilação do modelo da quimiotaxia após a inserção do atraente em t 20 s Nível de metilação 29 28 27 26 25 24 23 22 21 2 0 5 10 15 20 Tempo s 25 30 35 40 Figura 1087 Resposta ao movimento do modelo de quimiotaxia após a inserção do atraente em t 20 s 045 04 035 03 025 02 Posição x 015 01 005 0 0 5 10 15 20 Tempo s 25 30 35 40 642 Sistemas de Controle chão com o mecânico andando para trás e para frente ao longo da asa com o piloto Lawrence Sperry de pé na cabine com as mãos no ar15 O piloto automático foi desenvolvido clandestinamente em 1915 devido à segurança militar para a Primeira Guerra Mundial A exibição pública seguinte foi uma adaptação do sistema de Sperry para Wiley Post em seu voo de 1933 ao redor do mundo a bordo do Winnie Mae O voo teria sido quase impossível sem o piloto automático porque ele permitiu a Post repousar Tem sido relatado que Post tinha um sistema que consistia de uma chave inglesa e uma corda amarrada em seu dedo que poderia acordálo caso ele dormisse muito profundamente O suces so deste voo levou ao desenvolvimento de um piloto automático que incluiu algumas capacida des de navegação bem como controle de atitude e em 1947 a Força Aérea demonstrou um voo transatlântico automático em um avião do tipo DC3 desde a descolagem até a aterrissagem Posteriormente foram desenvolvidos aviões com asas em flecha e velocidades mais altas que necessitavam de sistemas de aumento de estabilidade para ajudar o piloto a controlar a aeronave mesmo quando o piloto automático estivesse desligado Atualmente estes sistemas estão em todos aviões de alto desempenho comerciais e militares Em 1974 o F16 se tornou o primeiro avião a ter regimes aerodinâmicos instáveis e era portanto altamente dependente do aumento da estabilidade para o voo sustentado Isso foi implementado para tornar o avião mais manobrável mas exigiu um sistema flybywire e redundância quádrupla para fornecer uma confiabilidade aceitável A primeira nave espacial do final de 1950 não tinha controle de atitude já que sua única missão era fazer medições e transmitir as informações de volta para a terra No entanto ela foi seguida no início dos anos 1960 pela nave espacial Corona cuja missão era tirar fotografias da Terra o que exigia que a câmera fosse apontada e estabilizada com muita precisão Na época essas missões eram secretas para fins militares e apresentadas ao público como Discoverer mas desde então foram reveladas e descritas com algum detalhe16 Os primeiros pilotos automáticos digitais estavam no módulo lunar e no módulo de co mando do programa Apollo no final dos anos 1960 Eles foram desenvolvidos principalmente pelo Laboratório de Instrumentação do MIT sob a direção de Bill Widnall Don Fraser e Dick Battin A decisão de dar o passo corajoso de usar tecnologia digital pela primeira vez em vez da implementação tradicional analógica foi feita pela NASA a fim de lidar com a complexidade exigida em um peso razoável Antes de 1980 os sistemas de controle de motores automobilísticos consistiam de uma estrutura mecânica no distribuidor para variar o tempo de faísca e de um sistema fluídico no carburador para variar o fluxo de combustível em resposta à taxa de fluxo de ar ou a mudanças bruscas na posição do pedal do acelerador Esses são sistemas em malha aberta que essencial mente são programados para configurar o controle adequado com base na condição de opera ção do motor Em 1980 os carros eram obrigados a melhorar suas taxas de emissão de poluen tes por isso era essencial melhorar os controles usando a realimentação conforme descrito na Seção 104 Atualmente estes sistemas ainda existem com o tempo de válvulas variável o tempo de injeção de combustível variável e os níveis de abertura das válvulas variáveis A aplicação de controle para a fabricação de pastilhas de semicondutores está ganhando impulso Muitas etapas importantes do processo como o PTR planarização químicomecânica e litografia usam avançados controladores em tempo real Prevêse que durante a próxima década muito mais fabricantes de semicondutores empregarão sofisticados controles de rea limentação à medida que novos sensores se tornarem disponíveis Esta adoção de sofisticados sistemas de controle em malha fechada por parte da indústria de semicondutores apresenta novos desafios e oportunidades para engenheiros de sistemas de controle especialmente para as próximas pastilhas de 450 mm de diâmetro A aplicação de controle na microscopia de força por ressonância magnética MFRM para visualização da estrutura atômica dos materiais de Roover et al 2008 pode mudar fundamentalmente nossa compreensão das estruturas atômicas dos aparelhos e permitir a visualização de subsistemas biológicos 15 Sem conexão mecânica com as superfícies de controle 16 Taubman 2003 Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 643 O campo emergente da biologia sistêmica marca a chegada da maturidade das ciências da vida A abordagem comum de estudar os componentes individuais está sendo substituída por uma nova abordagem focada na compreensão do comportamento de todo o sistema biológico Entre as metas admiráveis estão o entendimento do comportamento de sistemas biológicos e da descoberta da cura para doenças como o câncer bem como o desenvolvimento de novas abor dagens para a descoberta de novas drogas e a produção de antibióticos e vacinas As aplicações da teoria de controle nunca foram mais emocionantes do que são hoje Apli cações das ideias do controle realimentado para sistemas biológicos controle de congestio namento em rede e novos sistemas aeroespaciais estão surgindo Aplicações em tratamentos genômicos tratando o corpo humano como um sistema dinâmico estão em andamento A inter net tem atraído a atenção de muitos pesquisadores de sistemas de controle ávidos em entender o enorme sucesso desta tecnologia e como melhorála Projeto de rede e controle incluindo a modelagem da internet e desenvolvimento de roteamento e controle de congestionamento estão em estudo Vários de nossos colegas estão entusiasmados com a aplicação da teoria de controle no campo financeiro Se você gosta disso você vai adorar a bolha imobiliária RESUMO Neste capítulo estabelecemos um esquema básico de projeto de sistemas de controle e o aplicamos a seis estudos de casos típicos O esquema de controle requer um número explí cito de passos 1 Faça um modelo do sistema e determine as especificações de desempenho requeridas O objetivo deste passo é responder à pergunta qual é o sistema e o que ele deve fazer 2 Seleção de sensores Uma regra básica de controle é que se você não pode observálo você não pode controlálo A seguir estão alguns fatores a serem considerados na seleção dos sensores a Número e localização dos sensores b Tecnologia a ser usada c Desempenho do sensor como sua precisão d Dimensões físicas peso e tamanho e Qualidade do sensor como seu tempo de vida e robustez a mudanças ambientais f Custo 3 Seleção de atuadores Os atuadores devem ser capazes de acionar o sistema de modo a satisfazer às especificações de desempenho exigidas A seleção é regida pelos mesmos fatores que se apli cam à seleção de sensor 4 Faça um modelo linear Todos os nossos métodos de projeto são baseados em modelos lineares Tanto os modelos de pequenos sinais de perturbação quanto os métodos de linearização por reali mentação podem ser usados 5 Teste um controlador PID simples Um esforço para atender às especificações com um PID ou com seu primo o compensador de atraso e avanço pode ter sucesso em qualquer caso tal esforço vai expor a natureza do problema de controle 6 Avaliemodifique a planta Avalie se modificações na planta melhoraram o desempenho em malha fechada em caso afirmativo retorne ao Passo 1 ou 4 7 Teste um projeto ótimo O método do LRS para seleção da lei de controle e projeto do estimador baseado nas equações de estado certamente fornecerá um sistema de controle estável e pode ser estruturado de forma a apresentar um compromisso entre a redução de erros e do esforço de con trole Uma alternativa é a alocação de polos arbitrários que fornece ao projetista controle direto da resposta dinâmica Tanto o LRS e os métodos de alocação de polos podem resultar em projetos que não são robustos às alterações dos parâmetros 8 Simule o projeto e verifique seu desempenho Todas as ferramentas de análise devem ser usadas aqui incluindo o lugar das raízes a resposta em frequência as medidas da GM e PM e as respos tas transitórias Além disso o desempenho do projeto pode ser testado com simulações conside rando alterações nos parâmetros do modelo e os efeitos da aproximação do compensador por um modelo discreto se o controle digital for usado 644 Sistemas de Controle 9 Construa um protótipo e meça o desempenho com sinais de entrada típicos Nenhum projeto de controle é aceitável até que tenha sido testado Nenhum modelo pode incluir todas as caracterís ticas de um dispositivo físico real assim o último passo antes da implementação do projeto é experimentálo em um protótipo físico se o tempo e o orçamento permitirem O estudo de caso do satélite ilustra em particular a utilização de uma compensação do tipo rejeita faixa para um sistema com ressonância levemente amortecida Também se demostrou que sistemas com o atuador e sensor justapostos são muito mais fáceis de controlar do que sistemas não justapostos O estudo de caso da estabilização lateral do Boeing 747 ilustrou o uso da realimentação como uma malha interna projetada para auxiliar o piloto que fornece o controle primário em malha externa O controle de altitude do Boeing 747 mostrou como combinar realimentação na malha interna com compensação na malha externa para projetar um sistema de controle completo O controle da relação arcombustível no motor automobilístico ilustrou o uso do diagrama de Bode para projetar um sistema que inclui atraso de tempo A simulação do projeto com o sensor não linear confirmou nossa análise heurística de ciclos limites utilizando o conceito de ganho equivalente com um lugar das raízes O estudo de caso da unidade de disco ilustrou o controle em um ambiente incerto no qual a largura de banda é muito importante O estudo de caso PTR ilustrou modelagem e controle de um sistema térmico não linear O estudo de caso da quimiotaxia da E coli ilustrou um exemplo simples da aplicação das ideias da teoria de controle para o campo emergente da biologia sistêmica Em todos os casos o projetista precisa ser capaz de usar várias ferramentas incluindo o lugar das raí zes a resposta em frequência alocação de polos por realimentação de estados e simulação da resposta temporal para obter um bom projeto Prometemos uma compreensão destas ferramentas no início do texto e agora acreditamos que você esteja pronto para praticar a arte de engenharia de controle QUESTÕES DE REVISÃO 1 Por que uma configuração justaposta do atuador e sensor em uma estrutura levemente amortecida como um braço robótico é mais fácil de projetar do que uma configuração não justaposta 2 Por que o engenheiro de controle deve ser envolvido no projeto do processo a ser controlado 3 Dê exemplos de um atuador e um sensor para os seguintes problemas de controle a Controle de atitude de um satélite de comunicação geossíncrona b Controle de arfagem em um avião Boeing 747 c Controle de rastreamento de trilha em uma unidade de disco d Controle da relação arcombustível de um motor de automóvel de ignição à faísca e Controle da posição de um braço robótico usado para pintar automóveis f Controle de posição de um navio g Controle de atitude de um helicóptero PROBLEMAS 101 Entre os três tipos de controle PID proporcional integral ou derivado qual é mais eficaz na redução do erro resultante a partir de uma perturbação constante Explique 102 Existe uma maior chance de instabilidade quando o sensor em um sistema de controle realimenta do para uma estrutura mecânica não está justaposto com o atuador Explique 103 Considere a planta Gs 1s3 Determine se é possível estabilizar esta planta adicionando o com pensador de avanço a Qual é a margem de fase máxima do sistema realimentado resultante b É possível que um sistema com esta planta juntamente com qualquer número de compensa dores de avanço seja incondicionalmente estável Explique 648 Sistemas de Controle w componente vertical da velocidade do vento τ1 τ2 a parâmetros das equações Um piloto automático de manutenção de altitude é projetado para um balão cujos parâmetros são Figura 1094 Balão de ar quente Chão w Vento z Chama do queimador Ar quente Figura 1093 Balão Spirit of Freedom Fonte French NavyTahitipresse Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 649 Apenas a altitude é medida então uma lei de controle da forma seria usada sendo zd a altitude comandada desejada a Esboce um lugar das raízes dos autovalores de malha fechada com relação ao ganho K para um controlador proporcional com realimentação δq Kz zd Use o critério de Routh ou faça s jω e encontre as raízes do polinômio característico para determinar o valor do ganho e da frequência associada na qual o sistema é marginalmente estável b Nossa intuição e os resultados do item a indicam que uma quantidade relativamente grande de compensação de avanço é necessária para projetar um piloto automático satisfatório Em razão de Steve Fossett ter sido um milionário ele poderia pagar por uma implementação de controlador mais complexo Esboce um lugar das raízes dos autovalores de malha fechada em relação ao ganho K para um compensador de avanço duplo δq Dszd z sendo c Esboce as curvas de magnitude dos diagramas de Bode apenas as assíntotas para as funções de transferência em malha aberta dos sistemas com realimentação proporcional e com com pensador de avanço d Selecione um ganho K para que o sistema com o compensador de avanço forneça uma fre quência de cruzamento de 006 rads e Com o ganho selecionado no item d qual é o erro em estado estacionário na altitude para um vento vertical constante de 1 ms Cuidado primeiro encontre a função de transferência em malha fechada de w para o erro f Se o erro no item e for muito grande como você pode modificar a compensação para forne cer maior ganho de baixa frequência Dê apenas uma resposta qualitativa 1013 Sistemas de controle de atitude de satélites muitas vezes usam uma roda de reação para proporcio nar movimento angular As equações de movimento para um sistema desse tipo são Satélite Roda Medição Controle sendo J momento de inércia da roda r velocidade da rada Tc controle de torque Tex distúrbio de torque φ ângulo a ser controlado Z medição do sensor Zd ângulo de referência I inércia do satélite 1000 kgm2 a constante do sensor 1 rads Ds compensador a Suponha que Ds K0 uma constante Desenhe o lugar das raízes em relação a K0 para o sistema em malha fechada resultante b Para qual faixa de K0 o sistema em malha fechada é estável c Adicione uma rede de avanço com um polo em s 1 de modo que o sistema em malha fechada tenha uma largura de banda ωBW 004 rads um coeficiente de amortecimento ζ 05 e o compensador dado por Onde o zero da rede de avanço deve ser posicionado Desenhe o lugar das raízes do sistema compensado e dê o valor de K1 que permite que as especificações sejam cumpridas Capítulo 10 Projeto de Sistemas de Controle 651 c Ordene os três projetos de acordo com as seguintes características o melhor como 1 o pior como 3 I II III Rastreamento Rejeição de ruído da planta Rejeição de ruído do sensor 1015 As equações de movimento para um pêndulo invertido sobre um carrinho com as variáveis de estado ângulo do pêndulo velocidade angular do pêndulo e a velocidade do carrinho são sendo o ângulo do pêndulo a saída e a tensão no motor que aciona suas rodas a entrada de controle a Calcule a função de transferência de u para y e determine os polos e zeros b Determine o ganho de realimentação K necessário para alocar os polos do sistema em 2832 e 0521 1068j com ωn 4 rads c Determine o ganho do estimador L necessário para alocar os três polos do estimador em 10 d Determine a função de transferência do compensador por realimentação dos estados estima dos definido pelos ganhos nos itens b e c e Suponha que usemos um estimador de ordem reduzida com polos em 10 e 10 Qual é o ganho do estimador necessário f Repita o item d usando o estimador de ordem reduzida g Calcule a resposta em frequência dos dois compensadores 1016 Um Boeing 747 de 282 toneladas está se aproximando do solo ao nível do mar Se usarmos o esta do dado no estudo de caso Seção 103 e assumirmos uma velocidade de 221 péss Mach 0198 então as equações de perturbação da direção lateral são A função de transferência correspondente é a Esboce o lugar das raízes não compensado para 1 KGs e a resposta em frequência do sistema Qual tipo de controlador clássico poderia ser usado para este sistema b Teste uma abordagem de projeto em variáveis de estado traçando um LRS para o sistema Escolha os polos e escolha os polos do estimador cinco vezes mais rápidos em c Calcule a função de transferência do compensador baseado no LRS d Discuta as propriedades de robustez do sistema em relação às variações dos parâmetros e dinâmicas não modeladas 654 Sistemas de Controle medir Ox em tempo real O engenheiro de processo semicondutor tem de utilizar um equi pamento desligado do processo chamado de metrologia para medir a espessura da película de óxido na pastilha A relação entre a temperatura de saída do sistema e a Ox é não linear e dada por Espessura do óxido sendo tf a duração do processo p e c constantes conhecidas Sugira um esquema no qual a espessura de óxido no centro da pastilha Ox possa ser controlada para um valor desejado digamos Ox 5000 Å empregando o controlador de temperatura e da saída da metrologia 1021 Desenvolva um modelo não linear para uma lâmpada halógena de tungstênio e simuleo no SIMU LINK 1022 Desenvolva um modelo não linear para um pirômetro Mostre como a temperatura pode ser dedu zida a partir do modelo 1023 Repita o projeto do estudo de caso PTR adicionando três sensores para formar um único sinal para controlar a temperatura média Demonstre o desempenho do projeto linear e valide o desempenho usando simulação não linear no SIMULINK 1024 Um dos passos na fabricação da pastilha de semicondutores durante a fotolitografia é realizado posicionando a pastilha sobre uma placa aquecida durante um certo período de tempo As expe riências laboratoriais demonstraram que a função de transferência da potência de aquecimento u para a temperatura da pastilha y é dada por a Esboce um lugar das raízes de 180 para um sistema sem compensação b Usando técnicas de projeto do lugar das raízes projete um compensador dinâmico Ds tal que o sistema satisfaça às seguintes especificações no domínio do tempo i Mp 5 ii tr 20 s iii ts 60 s iv Erro em estado estacionário para um comando de entrada em degrau de 1 C 01 C Esboce o lugar das raízes de 180 para o sistema compensado 1025 Modelo de ExcitaçãoInibição da Biologia Sistêmica Yang e Iglesias 2005 Em células Dictyos telium a ativação das principais moléculas sinalizadoras envolvidas no sensoriamento quimio atraente pode ser modelada pelo seguinte modelo linearizado de terceira ordem A perturbação externa para a saída da função de transferência é sendo w o sinal de perturbação externo proporcional à concentração de quimioatraente e γ a saída que é a fração de reguladores de resposta ativa Mostre que existe uma representação alternativa do sistema com a função de transferência planta e o regulador realimentado Sabese que α 1 para essa versão do modelo Desenhe o diagrama de blocos de realimentação do sistema e mostre as localizações da entrada de perturbação e da saída Qual é o significado desta representação particular do sistema Qual propriedade oculta do sistema ela revela A rejei ção de perturbação é uma propriedade robusta para este sistema Trace a resposta de rejeição de perturbação do sistema para uma entrada de perturbação em degrau Suponha que os valores dos parâmetros do sistema sejam α 05 e γ 02 Apêndice A Transformada de Laplace A1 A transformada de Laplace L A transformada de Laplace pode ser usada para estudar as características da resposta completa de sistemas realimentados incluindo a resposta transitória Isso contrasta com a transformada de Fou rier na qual a resposta em estado estacionário é a preocupação principal Em muitas aplicações é útil definir a transformada de Laplace de ft denotada por como uma função da variável complexa s σ jω onde A1 que utiliza isto é um valor imediatamente antes de t 0 como o limite inferior da integração e é chamada de transformada de Laplace unilateral1 ou de um lado Uma função ft terá uma transformada de Laplace se ela for de ordem exponencial o que significa que existe um número real σ tal que A2 O termo de decaimento exponencial no integrando de fato fornece um fator de convergência Isto significa que mesmo se ft não desaparece quando t o integrando desaparecerá para valores suficientemente grandes de σ se f não crescer a uma taxa mais rápida que a exponencial Por exem plo é de ordem exponencial enquanto que não é Se Fs existe para algum s0 σ0 jω0 então ele existe para todos os valores de s tais que A3 O menor valor de σ0 para o qual Fs existe é chamado de abcissa de convergência e a região à direita de Res σ0 é chamada de região de convergência Normalmente a transformada de La place bilateral existe para um intervalo específico A4 que define a faixa de convergência A Tabela A2 fornece alguns pares da transformadas de Lapla ce Cada entrada na tabela é obtida com a aplicação direta da definição da transformada2 1 A transformada de Laplace Bilateral ou de dois lados e a transformada na qual o limite inferior da integração é também aparece em outros lugares 2 Em relação à transformada de Laplace unilateral um leitor perspicaz iria querer saber o que acontece com a validade da transformada de Laplace para o resto do planos ou seja a região onde Res σ0 Na verdade seria decepcionante se Fs só fosse válida para Res σ0 e não em outras partes do planos Felizmente exceto em alguns casos patológicos que não surgem na prática podese utilizar um importante resultado da teoria de variáveis complexas conhecido como Teorema da Continuação Analítica para estender a região da validade de Fs para todo o planos excluindo as localizações dos polos 656 Apêndice A Transformada de Laplace A11 Propriedades da transformada de Laplace Nesta seção iremos abordar e demonstrar cada uma das importantes propriedades da trans formada de Laplace como discutido no Capítulo 3 e na Tabela A1 Além disso mostraremos como essas propriedades podem ser usadas por meio de exemplos 1 Superposição Uma das propriedades mais importantes da transformada de Laplace é que ela é linear Pode mos demostrar isso da seguinte forma A5 A propriedade de escalonamento é um caso especial da linearidade isto é A6 EXEMPLO A1 Sinal senoidal Encontre a transformada de Laplace de ft 1 2 senωt Solução A transformada de Laplace de senωt é Portanto usando a Eq A5 obtemos TABELA A1 Propriedades da transformada de Laplace Número Transformada de Laplace Função no tempo Comentário Par de transformada 1 Superposição 2 Retardo no tempo 3 Escalonamento no tempo 4 Deslocamento na frequência 5 Diferenciação 6 Integração 7 Convolução 8 Teorema do Valor Inicial 9 Teorema do Valor Final 10 Produto no tempo 11 Teorema de Parseval 12 Multiplicação pelo tempo Apêndice A Transformada de Laplace 657 Os seguintes comandos do MATLAB fornecem o mesmo resultado syms s t w laplace12sinwt TABELA A2 Tabela de transformadas de Laplace Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 sen at 18 19 20 sen bt 21 658 Apêndice A Transformada de Laplace 2 Retardo no tempo Suponha uma função ft atrasada por λ 0 unidades de tempo Sua transformada de Laplace é Defina t t λ Então dt dt porque λ é uma constante e ft 0 para t 0 Assim Como é independente do tempo ele pode ser retirado do integrando A7 A partir desse resultado vemos que um retardo no tempo de λ corresponde à multiplicação da transformada por EXEMPLO A2 Sinal senoidal atrasado Encontre a transformada de Laplace de ft A sent td Solução A transformada de Laplace de sent é Portanto usando a Eq A7 temos 3 Escalonamento no tempo Se o tempo t é escalonado por um fator a então a transformada de Laplace de um sinal escalo nado no tempo é Novamente definimos t at Como antes dt a dt e A8 EXEMPLO A3 Senoide com frequência ω Encontre a transformada de Laplace de ft a senωt Solução A transformada de Laplace de sent é Portanto usando a Eq A8 obtemos Apêndice A Transformada de Laplace 659 como esperado Os seguintes comandos no MATLAB fornecem o mesmo resultado syms s t w A laplaceAsinwt 4 Deslocamento na frequência A multiplicação modulação de ft por uma expressão exponencial no domínio do tempo cor responde a um deslocamento na frequência A9 EXEMPLO A4 Senoide com decaimento exponencial Encontre a transformada de Laplace de Solução A transformada de Laplace de senωt é Portanto usando a Eq A9 obtemos 5 Diferenciação A transformada da derivada de um sinal está relacionada com sua transformada de Laplace e com sua condição inicial como segue A10 Devido à suposição de ter uma transformada de Laplace quando Assim A11 Outra aplicação da Eq A11 fornecem A12 Repetidas aplicações da Eq A11 fornece A13 sendo que fornece a mésima derivada de ft em relação ao tempo EXEMPLO A5 Derivada do sinal cosseno Encontre a transformada de Laplace de com Solução A transformada de Laplace de cosωt é Usando a Eq A11 com temos 660 Apêndice A Transformada de Laplace 6 Integração Vamos supor que queremos determinar a transformada de Laplace da integral de uma função no tempo isto é encontrar Aplicando a integração por partes com temos A14 EXEMPLO A6 Integração no tempo de um sinal senoidal Encontre a transformada de Laplace de Solução A transformada de Laplace de senωt é Portanto usando a Eq A14 temos 7 Convolução Convolução no domínio do tempo corresponde à multiplicação no domínio da frequência As suma que e Então Vemos que t varia de zero até infinito e τ varia de zero a t Com o auxílio da Fig A1 inverte mos a ordem da integração e alteramos os limites de integração apropriadamente para que τ varie de zero a infinito e para fornecer Multiplicar por resulta em Se fizermos a mudança de variável então Isso implica que A15 Apêndice A Transformada de Laplace 661 EXEMPLO A7 Resposta à rampa de um sistema de primeira ordem Encontre a resposta à rampa de um sistema de primeira ordem com um polo em Solução Seja a entrada em rampa e a resposta ao impulso do sistema de primeira ordem Então usando a Eq A15 encontramos Os seguintes comandos do MATLAB fornecem o mesmo resultado syms s t a ilaplace1sˆ3asˆ2 8 Produto no tempo A multiplicação no domínio do tempo corresponde à convolução no domínio da frequência Para ver isso considere a relação Substituindo a expressão para f1t dada pela Eq 325 temos Alterando a ordem de integração temos t 0 τ τ t τ Figura A1 Diagrama ilustrando a inversão da ordem de integração 662 Apêndice A Transformada de Laplace Usando a Eq A9 temos A16 9 Teorema de Parseval O famoso teorema de Parseval é usado para calcular a energia em um sinal ou correlação entre dois sinais Ele nos diz se as quantidades mencionadas podem ser calculadas no domínio do tempo ou no domínio da frequência Se A17 isto é yt e ut são quadrados integráveis então A18 O resultado de Parseval envolve apenas uma substituição da transformada por funções no tempo e uma mudança de integração A19 A20 A21 10 Multiplicação pelo tempo A multiplicação pelo tempo corresponde à diferenciação no domínio da frequência Definindo Então A22 que é o resultado desejado EXEMPLO A8 Produto no tempo do sinal senoidal Encontre a transformada de Laplace de ft t sen ωt Solução A transformada de Laplace de sen ωt é Apêndice A Transformada de Laplace 663 Assim usando a Eq A22 obtemos Os seguintes comandos do MATLAB fornecem o mesmo resultado syms s t w laplacetsinwt A12 Transformada inversa de Laplace por expansão em frações parciais Como vimos no Capítulo 3 a maneira mais fácil de encontrar ft a partir de sua transformada de Laplace Fs se Fs é racional é expandir Fs como uma soma de termos mais simples obtidos via expansão em frações parciais que podem ser encontrados em tabelas Já discutimos esse método considerando raízes simples na Seção 315 Nesta seção discutimos a expansão em frações parciais para casos de raízes complexas e repetidas Polos complexos No caso de fatores quadráticos no denominador o numerador do fator quadrático é escolhido para ser de primeira ordem como mostrado no Exemplo A9 Toda vez que existir um par de polos complexos conjugados como podemos mostrar que veja o Problema 31 e que Assumindo que p1 α jβ podemos reescrever ft em uma forma mais compacta A23 EXEMPLO A9 Expansão em frações parciais polos complexos distintos Encontre a função ft para a qual a transformada de Laplace é Solução Reescrevemos Fs como Usando o método de encobrimento encontramos Usando C1 1 e em seguida igualando os numeradores em relação à expansão em frações parciais obtemos 664 Apêndice A Transformada de Laplace Resolvendo descobrimos que C2 1 e C3 1 Para tornála mais adequada para o uso de tabelas de transformadas de Laplace reescrevemos a fração parcial como A partir da tabela temos Alternativamente podemos escrever Fs como A24 sendo C1 1 como antes e agora e A expansão em frações parciais pode ser facilmente calculada usando os comandos no MATLAB num 1 forma do numerador den conv1 01 1 1 forma do denominador rpk residuenumden cálculo dos residuos o que fornece os resultados r 05000 02887i 05000 02887i 10000 p 05000 08660i 05000 08660i 0 k que está de acordo com os cálculos manuais anteriores Observe que se estamos usando as tabelas o primeiro método é preferível enquanto o segundo método é preferível para verificar resultados do MATLAB Os seguintes comandos no MATLAB fornecem o mesmo resultado para a transformada inversa de Laplace syms s t ilaplace1ssˆ2s1 Apêndice A Transformada de Laplace 665 Polos repetidos Para o caso em que Fs tem raízes repetidas o procedimento para calcular a expansão em frações parciais tem de ser modificado Se p1 é repetido três vezes escrevemos a fração parcial como Determinamos as constantes C4 até Cn como discutido anteriormente Se multiplicarmos ambos os lados da equação anterior por s p13 obtemos A25 Se então definimos s p1 todos os fatores do lado direito da Eq A25 vão para zero exceto C3 que é como antes Para determinar os outros fatores diferenciamos a Eq A25 em relação à variável de Laplace s A26 Novamente se definirmos s p1 temos Similarmente se diferenciarmos a Eq A26 novamente e definirmos s p1 uma segunda vez temos Em geral podemos calcular Ci para um fator com multiplicidade k como EXEMPLO A10 Expansão em frações parciais raízes reais repetidas Encontre a função ft para a qual a transformada de Laplace é Solução Escrevemos a fração parcial como Então 666 Apêndice A Transformada de Laplace A função ft é O cálculo da fração parcial também pode ser realizado usando a função residue do MAT LAB num 1 3 forma do numerador den conv1 11 4 4 forma do denominador rpk residuenumden cálculo dos residuos que resulta em r 2 1 2 p 2 2 1 e k que está de acordo com os cálculos manuais Os seguintes comandos no MATLAB fornecem o mesmo resultado para a transformada inversa de Laplace syms s t ilaplaces3s1s2ˆ2 A13 Teorema do Valor Inicial Discutimos o Teorema do Valor Final no Capítulo 3 Um segundo teorema valioso da transfor mada de Laplace é o Teorema do Valor Inicial que indica que sempre é possível determinar o valor inicial da função no tempo ft a partir de sua transformada de Laplace Podemos também afirmar o teorema da seguinte forma Para qualquer par de transformada de Laplace A27 Teorema do Valor Inicial Podemos mostrar isso como segue Usando a Eq A11 temos A28 Vamos considerar o caso no qual s e reescrever a integral como Calculando o limite da Eq A28 quando s temos O segundo termo no lado direito da equação anterior se aproxima de zero quando s devido a Assim ou Apêndice A Transformada de Laplace 667 Em contraste com o Teorema do Valor Final o Teorema do Valor Inicial pode ser aplicado em qualquer função Fs EXEMPLO A11 Teorema do Valor Inicial Encontre o valor inicial do sinal no Exemplo 311 Solução Do Teorema do Valor Final temos que está de acordo com a expressão de yt calculada no Exemplo 311 A14 Teorema do Valor Final Se todos os polos de sYs estão no lado esquerdo do planos então Teorema do Valor Final Demonstração do teorema do valor final Podemos demonstrar este resultado como segue A relação da derivada desenvolvida na Eq 333 é Assuma que estamos interessados no caso em que s 0 Então e temos Outra forma de ver este mesmo resultado é notar que a expansão em frações parciais de Ys Eq 343 é Digamos que p1 0 e que todos os outros pi estão no SPE tal que C1 é o valor em estado esta cionário de yt Usando a Eq 345 vemos que que é o mesmo resultado anterior Para um estudo aprofundado da transformada de Laplace e para tabelas extensas veja Churchill 1972 e Campbell e Foster 1948 para a transformada bilateral veja Van der Pol e Bremmer 1955 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão Capítulo 1 1 Quais são os principais componentes de um sistema de controle realimentado O processo o atuador o sensor e o controlador 2 Qual é o propósito do sensor Medir a variável de saída e geralmente convertêla para uma tensão elétrica 3 Cite três propriedades importantes de um bom sensor Um bom sensor é linear a saída é proporcional ao sinal de entrada ao longo de um grande intervalo de amplitudes e de um grande intervalo de frequências na sua entrada tem baixo ru ído é imparcial é fácil de calibrar e tem baixo custo Os valores relativos destas propriedades variam com a aplicação 4 Qual é o propósito de um atuador O atuador recebe uma entrada geralmente elétrica e a converte em um sinal tal como uma força ou torque que faz com que a saída do processo se mova ou mude ao longo do intervalo desejado 5 Cite três propriedades importantes de um bom atuador Um bom atuador tem uma resposta rápida potência adequada energia adequada velocidade adequada torque adequado capacidade de fazer com que a saída do processo satisfaça às es pecificações de projeto seja leve pequeno barato e assim por diante Tal como acontece com os sensores os valores relativos destas propriedades variam com a aplicação 6 Qual é o propósito do controlador Qualis ésão as saídas e as entradas do controlador O controlador recebe a saída do sensor a entrada para o controlador e calcula o sinal de controle a saída o controlador para ser enviado ao atuador 7 Queais variáveleis físicas de um processo podem ser medidas diretamente por um sensor de efeito Hall Um dispositivo de efeito Hall mede um campo magnético e pode ser facilmente configurado para medir as posições relativas ou ângulos relativos de dois corpos 8 Que variável física é medida por um tacômetro Um tacômetro mede a velocidade de rotação ou a velocidade angular 9 Descreva três técnicas diferentes para a medição de temperatura Em cada um dos seguintes casos é importante compreender que os dispositivos mencionados precisam ser calibrados e muitas vezes corrigidos para não linearidades a fim de fornecerem medições confiáveis e precisas da temperatura a Uma técnica antiga e ainda usada em muitos termostatos residenciais baseiase na tira bimetálica constituída por duas tiras de metais diferentes que se expandem em função da temperatura com diferentes coeficientes Como resultado as curvas das tiras se inclinam com a temperatura e o movimento resultante pode ser usado como uma medida da tempe Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 669 ratura Este princípio foi introduzido no século 18 para manter o comprimento de um pêndulo de relógio constante para manter o relógio preciso b Uma técnica relacionada com a tira bimetálica é baseada no fato de que metais com funções de trabalho diferentes colocados em contato iram produzir uma tensão propor cional à temperatura Tal dispositivo é chamado de termopar e é a base de uma técnica de laboratório padrão para a medição de temperatura c Existem materiais que têm resistência elétrica que é dependente de forma monotônica da temperatura e uma ponte de resistência pode ser usada com um destes materiais para indicar a temperatura Tais dispositivos são chamados de termistores d Para altas temperaturas sabese que a cor da radiação em função do calor depende da temperatura Um pedaço de ferro colocado no fogo terá brilho laranja depois verme lho e finalmente se tornará branco quente a temperaturas elevadas Um instrumento de medição da frequência de radiação e portanto da temperatura é o pirômetro e Em fornos cerâmicos cones de diferentes materiais que fundem em diferentes tempera turas são colocados próximos aos produtos nos fornos para indicarem quando a tempe ratura desejada foi atingida O oleiro observa até que o cone de importância começa a ceder e em seguida sabe que os produtos devem ser removidos Estes dão uma medida quantizada da temperatura 10 Por que a maioria dos sensores têm uma saída elétrica independentemente da natureza física da variável que está sendo medida Os sinais elétricos são os mais fáceis de serem manipulados portanto a maioria dos con troladores são dispositivos elétricos sejam analógicos ou digitais Para proporcionar o sinal de entrada de tal dispositivo o sensor precisa fornecer uma saída elétrica Capítulo 2 1 O que é diagrama de corpo livre Para escrever as equações de movimento de um sistema de corpos conectados é útil de senhar cada corpo com a influência de todos os outros corpos representados por forças e torques sobre o corpo em questão Um desenho do conjunto de tais corpos isolados é chamado de diagrama de corpo livre 2 Quais são as duas formas para a lei de Newton Movimento de translação descrito por F ma Movimento de rotação descrito por M Iα 3 Para um processo estrutural ser controlado tal como um braço de robô qual é o significado de controle colado E controle não descolado Quando o atuador e o sensor estão posicionados no mesmo corpo rígido o controle é dito ser colado Quando eles estão em corpos diferentes que estão conectados por molas o controle é descolado 4 Qual é lei de Kirchhoff das correntes A soma algébrica de todas as entradas de corrente em uma junção ou circuito é zero 5 Qual é lei de Kirchhoff das tensões A soma algébrica das tensões em torno de um caminho fechado em um circuito elétrico é zero 6 Quando por que e por quem foi nomeado o dispositivo amplificador operacional Em um artigo em 1947 Ragazzini Randall e Russell nomearam o amplificador de alto ga nho e ampla largura de banda usado na realimentação para realizar cálculos operacionais de operações de amplificador operacional 7 Qual é a grande vantagem de não ter entrada de corrente em um amplificador operacional Sem entrada de corrente o amplificador não carrega o circuito de entrada assim a função de transferência do dispositivo não é dependente das características do amplificador Além disso a análise do circuito é simplificada neste caso 670 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 8 Por que é importante que o valor da resistência de armadura Ra em um motor elétrico seja pequeno A resistência de armadura provoca perda de potência quando a corrente de armadura flui e assim reduz a eficiência do motor 9 Quais são as definições e unidades da constante elétrica de um motor Um motor rotativo produz uma tensão em sua armadura proporcional à velocidade de rotação A constante elétrica Ke é a razão entre esta tensão e a velocidade de modo que As unidades são voltsrad 10 Quais são as definições e as unidades da constante de torque de um motor elétrico Quando a corrente ia flui na armadura de um motor elétrico um torque τ é produzido e é proporcional à corrente O torque constante Kt é a constante de proporcionalidade de modo que τ Ktia As unidades são Newtonmetrosampères 11 Por que aproximamos o modelo físico de uma planta que é sempre não linear por um modelo linear A análise e o projeto para modelos lineares são muito mais simples do que para modelos não lineares Além disso foi mostrado por Lyapunov que se a aproximação linear é estável então existe pelo menos alguma região de estabilidade para o modelo não linear 12 Quais são as relações de a fluxo de calor através de uma substância e b armazenamento de calor em uma substância a Fluxo de calor é proporcional à diferença de temperatura dividida pela resistência térmica isto é b A equação diferencial que descreve o armazenamento de calor é sendo C a capacitância térmica do material 13 Nomeie e apresente as equações para as três relações que regulam o fluxo de um fluido Continuidade Força de equilíbrio Resistência Capítulo 3 1 Qual é a definição de função de transferência A transformada de Laplace da saída de um sistema linear e invariante no tempo Ys é proporcional à transformada de sua entrada Us A função de proporcionalidade é a fun ção de transferência Fs de modo que Ys FsUs Assumese que todas as condições iniciais são nulas 2 Quais são as propriedades dos sistemas cujas respostas podem ser descritas por funções de transferência O sistema deve ser tanto linear a superposição se aplica quanto invariante no tempo os parâmetros não variam com o tempo 3 Qual é a transformada de Laplace de ft λ1t λ se a transformada de ft é Fs Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 671 4 Declare o Teorema do Valor Final Se todos os polos de sFs estão no SPE então o valor final de ft é dado por 5 Qual é o uso mais comum do Teorema do Valor Final em controle Um teste padrão de um sistema de controle é a resposta ao degrau e o TVF é usado para determinar o erro em estado estacionário para tal entrada 6 Dada uma função de transferência de segunda ordem com coeficiente de amortecimento ζ e frequência natural ωn qual é a estimativa do tempo de subida da resposta ao degrau Qual é a estimativa do percentual de sobressinal da resposta ao degrau Qual é a estimativa do tempo de acomodação Elas são dados por tr 18ωn Mp é dado pelo coeficiente de amortecimento veja curva na Fig 323 e ts 46σ 7 Qual é o maior efeito de um zero no SPE na resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem Tal zero causa sobressinal adicional e quanto mais próximo o zero está do eixo imaginário maior o sobressinal Se o zero é seis vezes maior que a parte real dos polos complexos o efeito é negligenciável 8 Qual é o efeito mais notado de um zero no SPD na resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem Tal zero muitas vezes provoca um sobressinal inicial negativo na resposta 9 Qual é o principal efeito de um polo real extra na resposta ao degrau de um sistema de se gunda ordem Um polo desacelera a resposta e torna o tempo de subida mais longo Quanto mais próxi mo o polo está do eixo imaginário mais acentuado é o efeito Se o polo for maior que seis vezes a parte real dos polos complexos o efeito é negligenciável 10 Por que a estabilidade é uma importante consideração no projeto de sistemas de controle Praticamente qualquer sistema dinâmico útil deve ser estável para desenvolver sua função A realimentação em um sistema que normalmente é estável pode tornálo instável então os projetistas de controle devem ser capazes de assegurar a estabilidade de seus projetos 11 Qual é o principal uso do critério de Routh Com esse método podemos encontrar simbolicamente a faixa de um parâmetro tal como o ganho de malha para o qual o sistema será estável 12 Em que condições poderia ser importante saber como estimar uma função de transferência de dados experimentais Em muitos casos as equações de movimento são extremamente complexas ou completa mente desconhecidas Processos químicos como uma máquina de fabricação de papel são muitas vezes deste tipo Nestes casos se é desejado obter um bom controle é muito útil ser capaz de utilizar dados transitórios ou dados em estado estacionário da resposta em frequência para estimar uma função de transferência Capítulo 4 1 Dê três vantagens da realimentação para o controle a Realimentação pode reduzir o erro em estado estacionário em resposta aos distúrbios b Realimentação pode reduzir o erro em estado estacionário no rastreamento da referência c Realimentação pode reduzir a sensibilidade de uma função de transferência a varia ções paramétricas d Realimentação pode estabilizar um processo instável 672 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 2 Dê duas desvantagens da realimentação para o controle a Realimentação requer um sensor que pode ser muito caro e pode introduzir ruído adi cional b Sistemas realimentados são muitas vezes mais difíceis de projetar e operar que siste mas em malha aberta 3 Um sistema de controle de temperatura é projetado para ter erro nulo a uma entrada cons tante e um erro de 05ºC a uma entrada de controle linear no tempo com uma taxa de crescimento de 40ºCs Qual é o tipo do sistema de controle e qual é a constante de erro relevante Kp ou Kv ou etc O sistema é do Tipo 1 e a Kv é a razão da taxa de entrada para o erro ou Kv 4005 80s 4 Quais são as unidades para Kp Kv e Ka Kp é adimensional a unidade de Kv é s1 e a unidade de Ka é s2 5 Qual é a definição de tipo de sistemas em relação à entrada de referência Com apenas uma entrada de referência polinômio de grau k sem perturbações o tipo é o maior valor de k para o qual o erro em estado estacionário é uma constante 6 Qual é a definição de tipo de sistemas em relação à entrada de distúrbio Com apenas uma entrada de distúrbio polinômio de grau k sem referência o tipo é o maior valor de k para o qual o erro em estado estacionário é uma constante 7 Por que o tipo do sistema depende de onde está a entrada de sinal externo no sistema Porque o erro depende de onde está a entrada então o tipo também 8 Qual é o principal objetivo em adicionar o controle integral O controle integral faz com que o erro devido a uma entrada constante vá para zero Ele remove os efeitos de polarização do ruído do processo Ele não pode remover os efeitos de polarização do sensor 9 Qual é o principal objetivo em adicionar o controle derivativo O controle derivativo normalmente faz com que o sistema seja melhor amortecido e mais estável 10 Por que um projetista pode desejar adicionar o termo derivativo em realimentação e não no caminho direto do erro Quando uma entrada de referência incluir mudanças bruscas incluíla na ação derivativa pode causar controle desnecessariamente grande 11 Qual é a vantagem em ter uma regra de sintonia para controladores PID Controladores PID são geralmente encapsulados como uma unidade com botões na frente para várias constantes de ganho Estes dispositivos são largamente instalados em fábricas e operados por técnicos com modesto conhecimento da teoria de controle Uma regra de sintonização permite que tal pessoa meça experimentalmente parâmetros do processo e use estes dados para definir os parâmetros de modo a fornecer uma boa resposta 12 Dê duas razões para o uso do controlador digital no lugar do controlador analógico a A lei de controle é mais fácil de ser alterada se o controlador for digital b Um controlador digital pode realizar operações lógicas e outras operações não linea res mais facilmente que um controlador analógico c A parte física de um controlador digital pode ser fixada no projeto antes que os deta lhes do projeto de controle efetivo sejam terminados 13 Dê duas desvantagens do uso do controlador digital a A largura de banda de um controlador digital é limitada pela possível frequência de amostragem b O controlador digital introduz ruído pelo processo de quantização Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 673 14 Dê a substituição do operador discreto z para o operador de Laplace s se a aproximação da integral na Eq 498 é feita por um retângulo de altura ekTs e base Ts Capítulo 5 1 Dê duas definições para o lugar das raízes a O lugar das raízes é o lugar dos pontos no planos onde a equação as Kbs 0 tem solução b O lugar das raízes é o lugar dos pontos no planos onde o ângulo de Gs bsas é 180º 2 Defina o lugar das raízes negativo O lugar das raízes negativo é o lugar dos pontos onde a equação as Kbs 0 tem so lução ou onde o ângulo de Gs bsas é 0º 3 Onde estão as partes do lugar das raízes positivo no eixo real Segmentos do eixo real à esquerda de um número ímpar de zeros e polos estão no lugar das raízes 4 Quais são os ângulos de partida a partir de dois polos coincidentes em s a no eixo real Não há polos ou zeros à direita de a O lugar das raízes parte em 90 5 Quais são os ângulos de partida a partir de três polos coincidentes em s a no eixo real Não há polos ou zeros à direita de a O lugar das raízes parte em 60 e 180 6 Qual é o principal efeito de uma compensação de avanço no lugar das raízes O compensador de avanço geralmente faz com que o lugar das raízes dobre em direção ao SPE movendo as raízes dominantes para um lugar de maior amortecimento 7 Qual é o principal efeito de uma compensação de atraso em um lugar das raízes nas imedia ções das raízes dominantes de malha fechada A compensação de atraso é normalmente alocada tão perto da origem que ela tem efeito desprezível no lugar das raízes na vizinhança das raízes dominantes de malha fechada 8 Qual é o principal efeito de uma compensação de atraso no erro de estado estacionário para uma entrada de referência polinomial A compensação de atraso normalmente aumenta o ganho em s 0 e portanto aumenta a constante de velocidade de um sistema de Tipo 1 e reduz o erro a entradas polinomiais 9 Por que o ângulo de partida de um polo próximo ao eixo imaginário é especialmente impor tante Se o lugar das raízes se inicia em direção ao SPD então a realimentação irá tornar o sis tema menos estável Por outro lado se o lugar das raízes se inicia em direção ao SPE a realimentação irá tornar o sistema mais estável 10 Defina um sistema condicionalmente estável Um sistema que tornase instável quando o ganho é reduzido é considerado condicional mente estável Isto é a sua estabilidade é condicionada em ter um compensador operante com pelo menos um valor mínimo de ganho 11 Mostre com um argumento baseado no lugar das raízes que um sistema com três polos na origem deve ser condicionalmente estável Com três polos na origem os ângulos de partida asseguram que dois polos deixam a ori gem em 180 60 ou se existem polos no eixo real no SPD eles podem partir em 0 674 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 120 o que significa que pelo menos um polo começa se movendo para o SPD Quando o ganho é reduzido a partir do nível de operação pelo menos uma raiz deve passar para o SPD para um ganho suficientemente baixo e portanto o sistema deve ser condicionalmen te estável Capítulo 6 1 Por que Bode sugeriu traçar a magnitude de uma resposta em frequência em coordenadas loglog Em coordenadas loglog o gráfico de uma função de transferência racional pode ser bem orientado por assíntotas lineares e portanto facilmente traçado e visualizado 2 Defina um decibel Se uma razão de potência é P1P2 então a medida em decibéis é 10 logP1P2 Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão e uma função de transferência daria uma razão de tensões o ganho de uma função de transferência Gjω em decibéis é Gdb 20 logGjω 3 Qual é a magnitude da função de transferência se o ganho é listado como 14 db 14 20 log M portanto M 501 4 Defina frequência de cruzamento de ganho A frequência de cruzamento de ganho ωc é o valor da frequência onde a magnitude é 1 ou 0 db 5 Defina frequência de cruzamento de fase A frequência de cruzamento de fase ωcp é o valor da frequência onde a fase cruza 180 6 Defina margem de fase PM A margem de fase PM é uma medida de quão longe em fase o diagrama de Nyquist está da instabilidade No caso típico se a fase do sistema no ganho de cruzamento é φ então a margem de fase é de 180 φ Por exemplo se φ 150 então a margem de fase é 30 7 Defina margem de ganho GM A margem de ganho é uma medida de quão longe o sistema está da instabilidade apenas por alterações no ganho Se o ganho na fase de cruzamento onde a fase do sistema é 180 é Gjωcp então a margem de ganho é de GMGjωcp 10 ou GM 1Gjωcp 8 Qual característica no diagrama de Bode melhor indica o sobressinal na resposta ao degrau de malha fechada A margem de fase está relacionada ao coeficiente de malha fechada equivalente aproxi madamente por ζeq PM100 Como vimos no Capítulo 3 o sobressinal na resposta ao degrau está monotonicamente relacionado com o coeficiente de amortecimento 9 Qual característica no diagrama de Bode melhor indica o tempo de subida na resposta ao degrau de malha fechada O tempo de subida é medido pela frequência natural de malha fechada que por sua vez é aproximada adequadamente pelo ganho de cruzamento Assim o melhor indicador do tempo de subida é ωcg 10 Qual é o principal efeito de um compensador de avanço nas medidas de desempenho em um diagrama de Bode O compensador de avanço geralmente é usado para elevar a margem de fase em uma fre quência de cruzamento de ganho desejada 11 Qual é o principal efeito de um compensador de atraso nas medidas de desempenho em um diagrama de Bode O compensador de atraso é geralmente usado para aumentar o ganho de baixa frequência para reduzir o erro em estado estacionário para entradas polinomiais ou entradas senoi Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 677 14 Se a entrada de referência é apresentada de tal forma a permitir que os zeros sejam atri buídos como as raízes de γs qual será a função de transferência em malha fechada global normalmente γs αes 15 Quais são as três técnicas padrões para a introdução do controle integral no método de pro jeto por realimentação de estados a Aumentado o estado do processo para incluir uma variável de estado integradora b Pela abordagem do modelo interno c Utilizando a abordagem do estimador estendido Capítulo 8 1 Qual é a taxa de Nyquist Quais são suas características A taxa de Nyquist é a metade da taxa de amostragem ou ωs2 Acima desta taxa nenhu ma frequência pode ser representada por um sinal amostrado 2 Descreva o processo de projeto equivalente discreto O controlador para um sistema é projetado como se o controlador fosse analógico O con trolador resultante é então aproximado por um controlador equivalente digital 3 Descreva como chegar a um Dz se a taxa de amostragem é de 30 ωBW Use o método de projeto discreto equivalente Ele geralmente produz resultados satisfató rios para uma alta taxa de amostragem No entanto depois de usar o equivalente discreto verifique o resultado usando uma simulação que inclua o efeito de amostragem ou então realize uma análise discreta linear exata O melhor é usar uma simulação que inclua todos os efeitos de amostragem e atrasos conhecidos do sistema 4 Para um sistema com largura de banda de 1 rads descreva as consequências de diferentes taxas de amostragem Uma taxa de amostragem absoluta mínima é 2 rads ou 032 Hz e T 3 s De 2 rads para 10 ou 20 rads o controle será brusco com degraus notáveis no controle e o projeto precisa ser feito com cuidado Entre 20 e 30 rads a magnitude dos degraus de controle se torna progressivamente menor e o projeto usando equivalentes discretos funciona razoa velmente bem Acima de 30 rads os degraus de controle são dificilmente perceptíveis e o equivalente discreto pode ser usado com confiança 5 Cite duas vantagens da seleção de um processador digital em vez de circuitos analógicos para implementar um controlador a A arquitetura física de um controlador digital pode ser concluída antes que o projeto final esteja completo muitas vezes concluindo a implementação física do controlador em muito menos tempo do que seria necessário para obter um controle analógico espe cificado e construído b Um processador digital é mais flexível para realizar alterações de projeto pois um programa computacional é mais fácil de ser reprogramado do que realizar religação e ou adição de ampsop em uma placa de circuito impresso c Um processador digital pode incluir mais facilmente termos não lineares e passos da lógica de decisão no projeto do controlador geral para permitir controle adaptativo ou para ganho escalonado por exemplo d Muitos modelos do mesmo controlador básico podem ser realizados simplesmente usando diferentes PROMS com a mesma arquitetura física de projeto Por exemplo 678 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão um fabricante de automóveis pode ter um projeto físico de controle do motor para sua linha de produtos mas ter uma diferente PROM para cada combinação motorveículo e Controladores digitais são menos sensíveis às variações de temperatura do que os con troladores analógicos 6 Dê duas desvantagens da seleção de um processador digital em vez de circuitos analógi cos para implementar um controlador a A taxa de amostragem finita dos conversores AD e DA e a velocidade finita de com putação do processador limitam a largura de banda do controlador para aproximada mente 110 da frequência de amostragem b A precisão finita ou o pequeno comprimento de bits dos conversores introduzem ruído extra ou deslocamentos na malha de controle se forem usados controladores de quali dade inferior c Custo Para os controladores simples uma implementação digital será tipicamente mais cara do que uma implementação analógica 7 Descreva como chegar a um Dz se a taxa de amostragem é de 5 ωBW Comece usando o equivalente discreto mas inclua uma aproximação do efeito do atraso no modelo da planta quando o projeto analógico for realizado Em seguida verifique o resultado por meio de uma análise discreta exata convertendo a planta para o seu equiva lente discreto e combineo com o controlador discreto Se o desempenho é degradado em relação ao desejado modifique o controlador discreto usando métodos de projeto discre tos Termine usando uma simulação que inclua todos os efeitos de amostragem e atrasos conhecidos do sistema Capítulo 9 1 Por que aproximamos um modelo físico da planta que é sempre não linear por um modelo linear A análise e o projeto para modelos lineares são muito mais simples do que para modelos não lineares Além disso foi mostrado por Lyapunov que se a aproximação linear é estável então existe pelo menos alguma região de estabilidade para o modelo não linear 2 Como você linearizaria a equação não linear do sistema de transferência de calor por radia ção sendo To a temperatura nominal de funcionamento Veja o estudo de caso PTR no Capítulo 10 3 Uma lâmpada utilizada como um atuador térmico tem uma não linearidade tal que a potên cia de saída medida experimentalmente está relacionada à tensão de entrada por P V16 Como você lidaria com essa não linearidade em um projeto de controle de realimentação Precedemos a lâmpada com uma não linearidade inversa isto é V P0625 de forma a linearizar o sistema em cascata veja o estudo de caso PTR no Capítulo 10 4 O que é integrador windup Se o sinal de saída do atuador da planta saturar então pode demorar um longo tempo para o erro ser trazido de volta a zero a partir de um distúrbio inicial e durante este tempo a saída do integrador pode crescer ou windup muito mais do que seria se o sistema fosse linear Circuitos especiais antiwindup são projetados para evitar o windup 5 Por que um circuito antiwindup é importante Quando um controle inclui uma ação integradora e esta é sujeita à saturação grandes entradas podem causar grandes sobresssinais e retardar a recuperação a menos que um circuito antiwindup seja incluído Apêndice B Soluções das Questões de Revisão 679 6 Usando a função não linear de saturação com ganho 1 e limites 1 esboce o diagrama de blocos de saturação para um atuador que tem ganho 7 e limites de 20 Se a saída do atuador é uout e sua entrada é uin o controle é dado por 7 O que é uma função descritiva e como ela está relacionada a uma função de transferência O objetivo da abordagem da função descritiva é encontrar algo como uma função de transferência para um elemento não linear A função descritiva pode ser vista como uma extensão da resposta em frequência para não linearidades 8 Quais são as premissas por trás do uso da função descritiva A suposição básica é de que a planta se comporta aproximadamente como um filtro passa baixa As outras hipóteses são de que a não linearidade é invariante no tempo e de que há um único elemento não linear no sistema 9 O que é um ciclo limite em um sistema não linear Em alguns sistemas não lineares o erro se acumula e a resposta se aproxima de uma solu ção periódica de amplitude fixa o ciclo de limite à medida que o tempo cresce 10 Como se pode determinar a função descritiva para um sistema não linear no laboratório Podemos injetar sinais sinoidais no sistema e colocar um filtro passabaixa com um corte acentuado na saída do sistema para medir a componente fundamental da saída A função descritiva é então calculada como a razão entre a amplitude da componente fundamental da saída do sistema não linear ao longo da amplitude do sinal senoidal de entrada 11 Qual é a estratégia de controle de tempo mínimo para um controle de atitude de satélite com controlador limitado Bangbang 12 Como são usados os dois métodos de Lyapunov O seu método indireto ou primeiro método baseiase na linearização das equações de movimento tirando conclusões sobre a estabilidade do sistema não linear e considerando a estabilidade da aproximação linear Em seu método direto ou segundo método as equa ções não lineares são consideradas diretamente Capítulo 10 1 Por que uma configuração justaposta do atuador e sensor em uma estrutura levemente amortecida como um braço robótico é mais fácil de projetar do que uma configuração não justaposta No caso não justaposto o processo naturalmente tem zeros próximos aos polos levemente amortecidos que mantêm o lugar das raízes no SPE 2 Por que o engenheiro de controle deve ser envolvido no projeto do processo a ser controla do Em muitos casos as características e as posições dos atuadores e sensores podem ter um grande impacto na complexidade e dificuldade no projeto do controlador Se as necessida des de controle estão incluídas no projeto do processo os sistemas finais são geralmente mais eficazes melhor desempenho de malha fechada e menos dispendiosos 3 Dê exemplos de um atuador e um sensor para os seguintes problemas de controle a Controle de atitude de um satélite de comunicação geossíncrona Atuadores jatos de gás frio rodas de momento torques magnéticos bobinas torque da haste propulsor de plasma Sensores sensor da Terra rolamento arfagem giroscópio para as taxas rastreador de estrela 680 Apêndice B Soluções das Questões de Revisão b Controle de arfagem em um avião Boeing 747 Atuadores profundor Sensores taxa de arfagem eou ângulo de arfagem é medida usando um giroscópio ou um giroscópio de anel de laser c Controle de rastreamento de trilha em uma unidade de disco Atuadores motor CC para mover o mecanismo de braço trenó de estágio duplo bo binas magnéticas duas para focar nas trilhas Sensores matrizes de fotodiodos d Controle da relação arcombustível de um motor de automóvel de ignição à faísca Atuadores injetor de combustível Sensores sensor de óxido de zircônio e Controle da posição de um braço robótico usado para pintar automóveis Atuadores atuadores hidráulicos ou motores elétricos Sensores encoders para medir rotações do braço sensores de pressão e sensores de força f Controle de posição de um navio Atuadores leme Sensores giroscópio g Controle de atitude de um helicóptero Atuadores mover a bailarina via ligação direta ou servo rotaciona o ângulo de ata que da pá Sensores os mesmos de aviões tubo de pitot acelerômetros giroscópios Apêndice C Comandos do MATLAB Função arquivom ou variável do MATLAB Descrição Páginas angle Ângulo ans Resposta mais recente abs Valor absoluto acker Fórmula de Ackermann para alocação de polos 387388395396406407409437 438 atan2 Tangente inversa para quatro quadrantes axis Controla escalonamento do eixo 282283285 bilin Transformação bilinear bode Bode resposta em frequência 7172257258269271327328453 bodemag Bode magnitude da resposta em frequência c2d Conversão contínuo para discreto 174175303305423424433 435494495 canon Formas canônicas no espaço de estados 375376 clear Limpa as variáveis e funções clf Limpa figura atual close Fecha figura close all Fecha todas as figuras conj Conjugado complexo conv Multiplicação polinomial 79398399400401664 cos Cosseno ctrb Matriz de controlabilidade ctrbf Forma canônica escada controlabilidade 371372 damp Amortecimento e frequência natural 510512 dcgain Calcula o ganho DC do sistema LIT deconv Divisão de polinômios det Determinante de uma matriz diag Matriz diagonal diagonais de uma matriz diary Salva o texto da sessão do MATLAB dstep Resposta ao degrau de um sistema discreto eig Autovalores e autovetores exp Exponencial 373 expm Matrix exponencial eye Matriz identidade ezplot Função fácil de usar para traçar gráfico feedback Conexão por realimentação de dois sistemas 225227 figure Cria janela de figura figurei Faça i a figura atual find Encontra índices de elementos diferentes de zero format Define o formato de saída continua 682 Apêndice C Comandos do MATLAB Função arquivom ou variável do MATLAB Descrição Páginas freqresp Resposta em frequência de sistemas LIT gram Gramianos de controlabilidadeobservabilidade grid Linhas de grid hold Mantém a figura atual i ilaplace Transformada inversa de Laplace imag Parte imaginária impulse Resposta ao impulso do sistema LIT 9596 99 109110 inf Infinito initial Resposta à condição inicial do sistema no espaço de estados 4064407 412 inv Matriz inversa 375 376377 j laplace Transformada de Laplace 7374 linmod Linearização 537538 linmod2 Linearização avançada 521522 line Criar uma linha linspace Vetor linearmente espaçado load Coloque as variáveis no ambiente de trabalho log Logaritmo natural log10 Logaritmo na base 10 loglog Gráfico loglog 7172257258269271276277 logspace Pontos de frequência logaritmicamente espaçados 6062 lqe Projeto de Estimador Linear Quadrático 452453 lqr Projeto de Regulador Linear Quadrático 402 402403 629 lsim Simulação de sistema LIT com entrada arbitrária 87 8788 ltiview Abre a interface LIT GUI ltru Recuperação da malha de transferência ltry Recuperação da malha de transferência margin Margens de ganho e de fase 307308 343344 453 max Maior componente 327328 mean Média ou valor médio min Menor componente nan Não é um número nichols Carta de Nichol 330 norm Norma de matriz ou vetor nyquist Diagrama de Nyquist 279280 282283 286 obsv Matriz de observabilidade 408 obsvf Forma canônica escada observabilidade 408 ones Matriz de uns 87 pade Aproximação de Pade para o atraso de tempo 235236 parallel Conexão em paralelo de dois sistemas LIT 92 place Alocação de polos 390391 409 420 425426 442 443 pi 3141592653589793 plot Função para traçar gráfico 2829 85 87 pole Polos de sistema LIT poly Forma polinomial de suas raízes 8283 polyval Avalia polinômio printsys Imprimir o sistema em um formato bonito 8485 pzmap Mapa Polozero 94 rand Números aleatórios uniformemente distribuídos continua Apêndice C Comandos do MATLAB 683 Função arquivom ou variável do MATLAB Descrição Páginas randn Números aleatórios normalmente distribuídos rank Posto da matriz real Parte real residue Resíduos da expansão em frações parciais 79 8283 664 rlocfind Encontra o ganho do lugar das raízes 212 344 rlocus Lugar das raízes 193194 344 398399 400401 rltool Ferramenta interativa do lugar das raízes 243 roots Raízes de um polinômio 117118 205206 381382 390391 save Salve as variáveis no ambiente de trabalho semilogx Gráfico semilog 7172 257258 453 semilogy Gráfico semilog 327328 series Conexão em série de dois sistemas LIT 92 453 510512 sgrid Linhas de grid no planos sin Seno sim Simula um modelo no SIMULINK sisotool Ferramenta de projeto SISO size Tamanho de uma matriz sort Ordena em ordem crescente ou decrescente sqrt Raiz quadrada 442 squeeze Remove dimensões únicas ss2ss Transformação de similaridade no espaço de estados ss2tf Conversão espaço de estados para função de transferência 365 378 381 580 590 598 605 ss2zp Conversão espaço de estados para polozero 365 ss Conversão para espaço de estados 361 375376 380381 382383 ssdata Criar um modelo no espaço de estados 375376 std Desvio padrão step Resposta ao degrau 2021 118119 119 subplot Vários gráficos na mesma janela sum Soma dos elementos svd Decomposição em valores singulares syms Declaração de variáveis simbólicas 657 text Anotação de texto tf2ss Conversão de função de transferência para espaço de estados 368 tf2zp Conversão de função de transferência para polozero 8485 86 tf Criação ou conversão para função de transferência 2021 7172 92 9596 109110 173 398399 tfdata Dados da função de transferência title Título do gráfico tzero Zeros de transmissão 405406 415416 var Variância who Lista das variáveis atuais why Responde qualquer pergunta que você tenha whos Lista das variáveis atuais forma longa xlabel Rótulo do eixo x xlsread Obtém dados de uma planilha do Excel ylabel Rótulo do eixo y zero Zeros de transmissão zeros Matriz de zeros 87 zgrid Linhas de grid no planoz zpk Zero polo e ganho zp2tf Conversão zeropolo para função de transferência 86 Bibliografia Abramovitch D and G F Franklin A brief history of disk drive control IEEE Control System Magazine Vol 22 pp 2842 June 2002 Ackermann J Der entwurf linearer regelungssysteme im zustandsraum Regelung stech ProzessDatenve rarb Vol 7 pp 297300 1972 Airy G B On the regulator of the clockwork for effecting uniform movement of equatorials Mem R Astron Soc Vol 11 pp 249267 1840 Alon U An Introduction to Systems Biology Chapman HallCRC 2007 Alon U M G Surette N Barkai and S Leibler Robustness in bacterial chemotaxis Nature Vol 397 pp 168171 January 1999 Anderson B D O and J B Moore Optimal Control Linear Quadratic Methods Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1990 Anderson E et al LAPACK Users Guide 3rd ed Philadelphia PA SIAM 1999 Åström K J Frequency domain properties of Otto Smith regulators Int J Control Vol 26 No 2 pp 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Amortecedor de guinada Dutch roll 599600 Amortecimento do lugar das raízes no plano z 491 Amortecimento na resposta do projeto digital versus o contínuo 510512 Amostragem assíncrona 505506 Amplitude tensão de armadura 42 Ampop circuito simplificado 3637 como integrador 3739 esquema símbolo 3637 somador 3738 Analisadores espectrais 258259 Análise de estabilidade 1011 Análise de estabilidade de Lyapunov 550552 assintoticamente estável 550552 estável em larga escala 550552 primeiro método 550553 reprojeto de controle adaptativo 555 segundo método 550553 Análise de ganho equivalente lugar das raízes 527 resposta em frequência 536537 Análise dinâmica de sistemas discretos 486487 inversão da transformada z 489 relação s e z 489491 Teorema do Valor Final 491493 transformada z 486487 Anel giroscópio a laser 598 Ângulo de arfagem 594 Ângulos de chegada regra para 199200 Ângulos de partida projeto no lugar das raí zes 211 Apollo 642643 Aproximação bilinear 493494 Aproximação de Padé 235236 Armadura 41 Arranjo de Routh 114116 Assíntotas ângulos das 197 centro do lugar das raízes positivo 197198 lugar das raízes positivo 197 resposta em frequência 264265 Åström Karl 1516 500501 511512 Athans M 461462 Atividade E coli 638639 Atraente 636637 Atraso contrastando com métodos de aproximação 235236 operação do segurador 485487 Atraso de fase entre a saída e a entrada 7273 versus tempo de atraso 328329 Atraso de tempo 76 234237 658 fase 328329 função de transferência 457458 lugar das raízes 234235 trocador de calor 236 magnitude 328329 método de projeto em resposta em frequên cia 328329 problemas relacionados a 352353 regulador de Smith 458459 trocador de calor 459460 Atraso puro de tempo projeto de sistema 457460 problemas relacionados a 482483 trocador de calor 459460 Atuadores 24 dimensionamento 536537 procedimento de projeto do sistema de controle 574575 Atuadores de motores CC 40 Atuadores hidráulicos modelagem 4952 Autovalor 373 Autovetor 373 Auxílio computacional 13 Avaliação no contorno 274276 Avaliaçãomodificação na planta 575576 B Bactéria 634635 Baixa sensibilidade critérios de projeto para 320321 Balão de ar quente 647 Barkai N 637 Battin Dick 513 642643 Bell Alexander Graham 261262 Bellman R 12 Berg H 636637 Bertram J E 555 563 BIBO estabilidade 112113 Biologia de sistemas 634635 Black H S 1011 176177 332333 Bobina de voz 3840 Bode H W 1012 176177 332333 bodem 7172 257258 269271 Boeing 648 controle lateral e longitudinal de 593609 coordenadas da aeronave 594 Boyd S P 454 692 Índice Brahe Tycho 5253 Bremmer H 7475 Bristol Companhia 175176 Brystol A E 461462 C c2dm 423424 Calculadora de Frieden 237238 Cálculo de ganho para entrada de referência 391392 Calor específico 4344 Cambalhota E coli 636637 Campbell G A 7475 Cancelamento função de transferência 8384 Cancelamento polozero 434435 Canon R H Jr 4445 canonm 375376 Capacidade térmica 4344 Capacitor características da resposta em frequência 256257 estabilidade 113 símbolo e equação 36 Características físicas 500504 Carburador 609 Carta de Nichols 329330 contornos de magnitude de malha fechada constante 330 exemplo PID 330332 Caso não justaposto lugar das raízes para 211 Célula 634635 Célula procariótica 634635 Centro de banda 9697 Ciclo limite 530531 Circuito de Schmitt 541 Circuito em ponteT 3638 Circuitos elétricos determinação das equações diferenciais 3637 elementos 36 equações e funções de transferência 3739 modelos dinâmicos de 3539 problemas relacionados a 5961 Círculos M e N 330 Clark R N 249250 Coeficiente de amortecimento 9697 versus margem de fase 288289 versus sobressinal 102 Coeficiente de erro de velocidade 271272 Comando no profundor 228229 Comparação da resposta ao degrau de sistemas contínuo e discreto 223 425426 Comparador 45 Compensação lei de controle e estimador 383 lugar das raízes 213214 532533 método de projeto em resposta em frequên cia 298321 problemas relacionados à 346353 procedimento de projeto do sistema de controle 575576 Compensação antiwindup para controladores PI 535537 Compensação de atraso 217218 característica da 318319 definição 213214 ilustração do circuito 225 método de espaço de estado 430435 método de resposta em frequência 310315 motor CC 311315 procedimento de projeto 310312 projeto usando 219220 Compensação de avanço 214215 299302 característica da 318319 definição 213214 ilustração do circuito 223 implementações analógica e digital 222 223 leis de controle discretas 508509 máximo aumento de fase 301 para motor CC 302307 principais parâmetros de projeto 305306 procedimento de projeto 306307 575576 projeto usando 214219 resposta em frequência 300 usando o MATLAB 226228 Compensação dinâmica 213214 problemas relacionados à 245246 248 249 característica de compensação 318319 resposta em frequência 299 Compensação rejeita faixa definição 214215 extensão do método do lugar das raízes 532533 projeto usando 219222 Compensador de avanço 204205 características da resposta em frequência 257259 exemplo 204206 exemplo de espaço de estado 419 projeto para o sistema tipo 1 de servomeca nismo 307309 sistema de controle de temperatura 306 308 Compensador de Smith 458459 Compensador estável 421 Compensador proporcionalderivativo PD 299 Complexidade do sistema versus a resposta do sistema 603604 Complicações de não linearidades 611612 Compromisso de projeto 78 amortecedor de guinada 603604 satélite 400401 Computador controle digital 502504 Computador analógico componentes 363364 implementação 364366 Comunicação via satélite 2324 Condição de estabilidade resposta em fre quência 273274 Condição de fase 194195 Condição de Magnitude 201 valor do parâmetro 243 Condutividade térmica 4344 Configuração Butterworth 451452 Conjectura de Aizerman 558559 Considerações de projeto projeto em resposta em frequência 319320 Constante de erro de posição 153154 271 Constante de tempo 93 Constantes de erro 154155 Continuação do lugar das raízes 199200 Continuidade analítica 655656 Controlabilidade 373 Controlabilidade fraca 389390 Controlador de três termos 160 Controlador digital atitude de uma estação espacial 497498 diagrama de blocos 485486 implementação digital 170171 Método de Tustin 494496 Controlador digital da estação espacial 508 510 Controlador discreto 423424 Controladores 45 contínuo e discreto gráficos de compara ção 223 305306 diagrama Simulink 304305 424425 dimensões 455456 equações 427 429 forma polinomial 455 função de transferência 209211 Controle adaptativo 555 Controle bangbang 548549 Controle barato 402403 Controle caro 402404 Controle clássico 12 projeto 357358 Controle da relação arcombustível 643644 Controle de atitude de aeronave projeto de compensador PID para 315320 simples critério de projeto para 294298 Controle de atitude de satélite 164165 aplicação 578593 exemplo de projeto compensador de ordem completa 416418 forma de espaço de estados 359361 LRS 398399 movimento de rotação 2326 projeto de compensador de ordem reduzida 418419 RFTM 452453 Controle de atitude digital da estação espacial 497499 Controle em malha fechada 7 146 Controle de nível de líquido 78 Controle de posição de motor CC controle PI para 163165 tipo de sistema para 157158 Controle de rastreamento 1314 Controle de satélite lugar das raízes compensador de avanço 204206 esquema 2425 flexibilidade de justaposta 209210 pequeno valor para o polo 205207 valor de transição para o polo 206207 Controle de velocidade do servo LRS 398399 Controle digital 170175 484514 análise dinâmica de sistemas discretos 168 170 486493 Índice 693 digitalização de PID 171 discretos equivalentes 166167 492501 projeto discreto 505512 regra trapezoidal 166167 seleção de taxa de amostragem 503506 Controle em malha aberta 6 sistema 146148 Controle integral 436451 abordagem do modelo interno 441 descrição 436438 diagramas de blocos 437438 equações de estado aumentadas 436437 estrutura 436437 lei de realimentação 436437 problemas relacionados a 481483 sistema de velocidade do motor 436439 solução polinomial 457458 usando o projeto no espaço do erro 447447 Controle moderno 12 Controle ótimo 396397 Controle PD modificado 204206 Controle PID 1012 Controle proporcional P 160161 leis de controle discreto 507508 Controle proporcional mais integral PI 160162 Controle proporcionalintegralderivativo PID 161163 formato digital 165 Controle realimentado 12 componentes 23 Controle robusto definição 439440 equações no espaço de erro 439440 senoide 441447 convm 79 398399 Conversor catalítico 609 Conversor digital para analógico DA 501502 Conversores analógico para digital AD 484486 500502 Convolução 77 660661 Coordenadas da aeronave 594 Copérnico Nicolau 5253 Corpos rígidos desenvolvimento de equações de movimento 3435 Correspondência polozero MPZ método 499 MMPZ comparação 500 projeto por emulação 495496 Critério de estabilidade de Nyquist 273285 problemas relacionados ao 339342 Critério de estabilidade de Routh 114116 Critério de projeto para o controle de atitude de aeronave 294298 Critério do círculo 556559 561 condições de setor 557558 determinação da estabilidade usando 562 relação com funções descritivas 562 setor para a não linearidade de sinal 557558 Cruzamentos em 1 294295 326 Curva composta 265266 Curva de reação do processo 166167 Curva de torquevelocidade para o servomo tor 42 D Dados de resposta em frequência fonte de dados experimentais 121122 margem de fase 288 Dados experimentais fontes 121122 obtendo modelos 120121 126127 dampm 510512 Década 261262 Decibel 261262 Decremento logarítmico 139 Demonstração da relação de ganhofase 292 Derivada do sinal cosseno 659660 Derivativo leis de controle discreto 507508 Descrição de estado equação 376377 função de transferência do sistema térmico 377379 zeros para sistemas térmicos 379380 Desempenho de rastreamento 504 Desenvolvimento da equação de movimento para corpos rígidos 34 Deslocamento em frequência 77 659 desmetilação 638 Desoer C A 461462 Diagrama de blocos 5 8792 álgebra 9091 equações de estado 366377 exemplo de simplificação 91 função de transferência 9092 redução usando o MATLAB 9293 sistemas de terceira ordem 365 Diagrama de blocos de filtro rejeita faixa 533 Diagrama de blocos elementar 8990 Diagrama de Bode auxiliado por computador 269271 polos complexos 267269 polos e zeros complexos 267271 polos e zeros reais 266267 regras 265266 resposta em frequência vantagens 261262 sistemas com múltiplas frequências de cruzamento 291292 sistemas de fase mínima e não mínima 271 SPD 285 Diagrama de corpo livre Leis de Newton 1819 mecanismo de leituraescrita em disco 2627 sistema de suspensão 22 Diagrama de Nyquist 277278 avaliação 276277 características 285286 definição de margens de ganho e de fase 286287 posições dos polos 399 procedimento de esboço 278 projeto LQR 400401 sistema de múltiplas frequências de cruza mento 291 sistema de segunda ordem 278280 sistema de terceira ordem 280283 sistema instável em malha aberta 283285 usando o MATLAB 282283 vetor de margem 289290 Diferenciação 77 659 Digitalização 484487 Dimensionando o atuador 536537 Dirac Paul 6667 Distúrbio 24 Divisão longa na transformada z inversa 487488 Dobramento nos planos s e z 491 Doyle J C 451452 461462 Dualidade da estimação e controle 409 E E Coli 634635 genoma 635636 movimento 635636 Efeito do zero usando o MATLAB 106108 eigm 374376 Einstein Albert 53 Elementos de projeto no espaço de estado 383 Eletroímã 3840 Emulação 492493 Entrada de referência equação de ganho 391392 estimador 426427 estrutura geral 427435 seleção de ganho 434435 estruturas alternativas 394 exemplo 391393 métodos de seleção 428 realimentação completa de estados 390 394 sistema de Tipo 1 392393 Envelope exponencial resposta de sistema de segunda ordem 97 99 EPROM 503504 Equação característica 379380 sistema em malha fechada 384 Equação característica de controle 384 Equação característica do erro de estimação 404405 Equação de estimação do estado realimentação de saída de erro 404405 Equação de Lyapunov 552553 Equação de saída 377378 descrição de estado 369370 Equação de Van der Pol 571 Equação Diofantina 455 Equação do erro de estimação 428 Equação LRS do estimador 413414 Equações de estado diagramas de blocos 366377 exemplos 368370 e 374377 e 380383 formas canônicas 366377 problemas relacionados a 464468 respostas dinâmicas 376378 Equações de estado aumentadas com o contro le integral 436437 Equações de segunda ordem sinais externos 447448 Equações diferenciais geometria 357358 problemas relacionados a 5657 59 694 Índice variável de estado de modelos dinâmicos 359360 Equações diferenciais lineares forma padrão 358359 soluções 521522 Equações diferenciais não lineares 521522 Equações do estimador 448449 Equilíbrio 521522 596 Equivalente discreto do controle de velocidade de motor 173 Equivalente discreto exato 505506 Equivalente discreto puro versus sistema controle misto 506507 Equivalentes discretos 172 projeto usando 492501 Erro em estado estacionário 269272 entradas de comando e distúrbios 319320 exemplo de determinação 272 Escalonamento levitador magnético 126128 modelos dinâmicos 520522 Escalonamento de amplitude 126127 Escalonamento de tempo 76 127128 658 oscilador 366 Espaço de erro abordagem rastreamento robusto 438447 definição 438439 equações de controle robusto 439440 projeto 447447 Espaço de estado e métodos de projeto em resposta em frequência 417 Espaço de estado para função de transferência ss2tf função do MATLAB 380381 Especificações no domínio do tempo 100105 problemas relacionados a 137 139 Esquema de realimentação para o projeto de piloto automático 225226 Estabilidade 1 93 111121 148149 condição necessária 114115 critério de Routh 199200 de sistema 234235 definição do sistema e do lugar das raízes 273 Lyapunov 550552 magnitude de entrada resposta não linear 528529 problemas relacionados à 142 145 respostas naturais 9799 sistema realimentado 116117 sistemas lineares e invariantes no tempo 111114 versus faixas de dois parâmetros 118120 versus intervalo dos parâmetros 116119 Estabilidade robustez 322 Estabilidade assintótica Lyapunov 550552 Estabilidade aumentada 594 Estabilidade de Lyapunov 550557 definição 550552 problemas relacionados à 568569 571 sistema de segunda ordem 553554 sistema não linear 554 Estabilidade em malha fechada determinação em resposta em frequência 273 Estabilidade do sistema 112113 Estabilidade entrada limitadasaída limitada BIBO 112113 Estabilidade interna 114 Estabilização de amplitude 319320 Estabilização em fase 220221 319320 Estado do sistema 358359 Estado estacionário estocástico informações 121122 Estimador 383 e mecanismo de controle 415416 estendido 447 lei de controle combinada 414425 Estimador autônomo descrição 428 exemplo 428 429 Estimador de malha aberta 404405 Estimador de malha fechada 405406 Estimador de ordem completa 403404 Estimador de ordem reduzida 409412 estrutura 411 exemplo de reprojeto de servo CC 421423 para o pêndulo 411412 Estimador do erro de rastreamento descrição 428 exemplo 429 Estimador estendido 447451 rastreamento em estado estacionário 449 451 sistema de velocidade de motor diagrama de blocos para 450451 sistema para rastreamento diagrama de blo cos para 448449 Estimador ótimo 413414 Estrutura de realimentação 209211 Estrutura de realimentação unitária 209210 Estruturalmente estável 439440 Estudo de casos atitude de um satélite 579 cabeçote de leituraescrita de um disco rígido 614615 controle lateral e longitudinal de um Boeing 648 593 PTR na fabricação de pastilhas de semicon dutores 622623 quimiotaxia E coli 634635 relação automotiva arcombustível 609 Evans W R 1012 189 237 Exemplo de máquina de papel 1415 Exemplo de motor CC 157158 Expansão em frações parciais raízes complexas distintas 663665 raízes reais repetidas 665666 resposta em frequência 255256 transformada inversa de Laplace 7879 663666 F Fabricação de pastilhas de semicondutores 622623 Faixa do parâmetro versus estabilidade 116 120 Faraday Michael 5253 Fase 71 resposta em frequência 256257 Fator de qualidade 9697 feedbackm 92 226227 510 FEM leis e equações 40 tensão 4042 Ferramentas de análise 505508 Filamento 636637 Filtro de entrada 45 152 Filtro de rejeição de banda 583584 Fissão binária 635636 Flagelo 636637 Fluxo de calor 43 equações 4345 modelos dinâmicos 43 problemas relacionados 6062 Fluxo de fluidos incomprensíveis 4652 Flybywire 642643 Forma canônica controlável 366367 derivação 386387 diagrama de blocos 366367 equações 368 função de transferência para espaço de estados tf2ss 368 sistema de terceira ordem 385 transformação para a matriz de controlabili dade 371372 Forma canônica de controle de estado parcial 385387 Forma canônica modal diagrama de blocos 368369 diagrama de blocos para sistema de quarta ordem 369370 equações de estado 368370 transformação para forma Modal 373375 Forma canônica observável 372 406408 diagrama de blocos 407408 equação 407408 ilustração 372 servo CC 421 sistema de terceira ordem 407408 Forma companheira superior 386387 Forma de Evans da equação característica 191192 Forma de variáveis de estado circuito de altofalante 362364 equações diferenciais de modelos dinâmi cos 359360 exemplo de controle de atitude de satélite 359360 modelagem de motor CC 362364 Forma fatorada de zero e polo 8384 Forma geral do controlador na forma polino mial 455 Forma normal 383 projeto no espaço de estados 356357 Formas canônicas controle 366367 diagramas de blocos e 366369 equações de estado 366377 observador 407408 Formas do lugar das raízes 191192 Fórmula de estimador de Ackermann 408 alocação de polos 387388 LRS 397398 Índice 695 oscilador não amortecido exemplo de 387 388 Fórmula de Truxal 158160 429430 Formulação direta da função de transferência 455456 Fotolitografia 654 Fourier 129 Foxboro Companhia 175176 Franklin G F 460 Fraser Don 513 642643 Frequência de acrobacia 638 Frequência de cruzamento 287288 margens de estabilidade 286287 Frequência de Nyquist 491 Frequência de ressonância 330 Frequência natural amortecida 9697 Frequência natural não amortecida 9697 Frequência natural 378379 planoz 491 Fresa de rolamento contínuo 134 Fuller 89 Função de custo 125126 576577 Função de desempenho limitada exemplo 322325 gráfico 323 Função de Lyapunov 520521 552553 Função de ponderação no teorema de ganho e fase de Bode 294295 Função de sensibilidade 321322 especificações 321329 problemas relacionados à 353354 gráfico e cálculo 327329 limitações de projeto 325329 para antena 327328 Função de sensibilidade complementar 324 Função de transferência 6870 cancelamentos 8384 classes de termos 262263 de equações de estado 377378 385387 diagrama de blocos 91 do simples sistema usando o MATLAB 9293 exemplo 6970 forma de Bode 262263 para sistema em malha fechada 434435 retardo de tempo 457458 sistemas lineares 7275 Função de transferência de compensador de ordem reduzida 416417 Função de transferência em malha fechada 259 275277 Função de transferência discreta 506507 Função de transferência do controle de veloci dade de cruzeiro usando o MATLAB 8485 Função de transferência em malha aberta 273 546547 Função de transferência para espaço de estados tf2ss formas canônicas controláveis 368 Função de transferência para o satélite usando o MATLAB 8788 Função descritiva 519520 536538 análise de estabilidade 542 análise de estabilidade para a não linea ridade de histerese 544545 método de extensão do lugar das raízes 17 não linearidade para saturação 538 para a não linearidade de histerese 541 para a não linearidade de relé 539540 sistema condicionalmente estável 542543 Função do degrau unitário 6869 Função forçante 378379 Funções tempo discreto simples 487488 Funções de tempo discreto para transformada z e transformada de Laplace 487488 Funções de transferência polinomiais alocação de polos 455457 projeto de ordem reduzida 456458 Funções de transferência racionais projeto direto com 454458 G Galileu Galilei 5253 Ganho crítico 166167 Ganho DC planoz 492493 Teorema do Valor Final 81 Ganho de estabilização 220320 Ganho desejado cálculo gráfico de 202 Gardner e Barnes 129 Gerador de entrada princípio do modelo interno 441 Giroscópio 597 GM 286287 Governador centrífugo 89 Governador centrífugo de Watt 810 563 Gráfico composto 261262 Gráfico da magnitude classe de função de transferência 264265 margens de ganho e fase 287288 Gráfico de fase classe de função de transferência 264265 margens de ganho e fase 287288 Gráfico do espectro de referência 321322 Gráfico do plano de fase com saturação 548549 Gráfico Polar 277278 Gráficos da resposta ao degrau sistema de segunda ordem 105106 Gráficos de resposta em frequência 256257 Projeto RFTM 453 Gráficos de tensão para as respostas da fita do servomotor 396397 Guindaste de suspensão para movimento de rotação 3032 Gunkel T L 460 H Halley Edumund 5152 Heaviside Oliver 35 128 Helicóptero 243244 477 Hurewicz W 511512 Huygens Christian 910 I Ilustração do lugar das raízes 203 Implementação analógica 221224 Implementação digital 221224 atraso 532533 avanço 321322 PID 165 1s2 548549 Implementações contínua e digital compara ção das 492493 impulsom 95 99 109110 Incerteza na planta de alta frequência efeito da 320321 Incerteza típica da planta 325 Incontrolabilidade dos modos do estimador 434435 Incubadora de Drebbel 89 Informações de estado estacionário estocásti co 121122 inicialm 406407 412 Injeção multiponto 610611 Injeção no corpo do acelerador 610611 Injetor de combustível 610611 Instável resposta ao impulso 93 Integração 77 659660 Integração trapezoidal 493494 Integrador 363364 ampop 3739 Integrador antiwindup 533536 Integrador de Clegg 568569 Integrador não linear 568569 Integral leis de controle discreto da 508509 Integral de convolução 6769 Integral de superposição 6768 Interrupção 484486 invm 375377 Invariância no tempo 6466 Inversão de planta 451452 Isóclinas 546547 J James H M 511512 Jatos de reação 579 Joseph P D 460 K Kalman R E 12 460 555 563 Kepler Johannes 5253 Keynes John Maynard 5253 Khalil H 537538 555 Kochenberger R J 563 Kuo B 43 L Laboratório de Radiação 175176 Laboratórios Bell 261262 Lacuna entre teoria e prática 175176 Lagrange 562 Lâmpada de tungstênio 624625 Lancaster F W 604605 LAPACK 374 Largura de banda 259 Largura de banda de malha fechada margem de fase 298299 seleção de taxa de amostragem 504 LaSalle L P 555 696 Índice Lei de controle e estimador 414425 efeito da localização dos zeros 389391 encontrando 383384 para o pêndulo 385388 Lei de Kirchhoff das correntes LKC 35 Lei de Kirchhoff das tensões LKT 35 Lei de realimentação com controle integral 436437 Lei dos geradores 40 Lei dos motores 3839 Leis de controle discretas 507508 Leis de Newton 5152 movimento de rotação 23 movimento de translação 1718 Leme 594 Levitação magnética 653 Levitador magnético escalonamento 126128 linearização do movimento 522525 Libler S 637 Ligante 637 Limaçon 286 Linearização 520521 altura da água do tanque e saída 4849 definição 520521 exemplo de processamento térmico rápido 527 exemplo do pêndulo não linear 522523 modelos dinâmicos 520522 movimento do levitador magnético 522 525 pela análise de sinais pequenos 521522 por não linearidade inversa 526 por realimentação 520522 procedimento de projeto do sistema de controle 575576 realimentação não linear 526 Linha de transmissão de energia elétrica 144 Livre curso 484486 Localização do zero e lei de controle 389390 Localizaçãoalocação de polos 93 99 fórmula de Ackermann 387388 funções de transferência polinomiais 455 457 problemas relacionados 136 resposta ao impulso correspondente 9799 seleção 394 exemplo 395403 LRS 396404 métodos 394 403404 polos dominantes de segunda ordem 394397 problemas relacionados à 471472 Localizações modificadas para os polos de segunda ordem com reprojeto do servo CC 424425 loglogm 7172 257258 269271 452453 logspacem 7172 LQ 460 lqem 452453 629 LQF 460 LQG 461462 LQR veja Regulador linear quadrático LQR lqrm 402 629 LRS veja Lugar das raízes simétrico LRS lsimm 87339 Luenberger D G 461462 Lugar das raízes 12 189 alocação de polos LRS 423424 atraso de tempo 234235 trocador de calor 236 atraso e avanço 221222 caso não justaposto 211213 combinação de controlador e estimador 418 compensação 532533 compensações rejeita faixa 221222 controlador de ordem reduzida 419 controle de posição do motor 191192 controle de satélite compensador de avanço 204206 flexibilidade justaposta 209210 pequeno valor para o polo 205207 valor de transição para o polo 206210 definição 194195 diretrizes de esboço 194195 problemas relacionados a 240 exemplo de aplicação das regras 211 exemplo de projeto 224229 exemplos de estabilidade 273 ilustração 203214 lugar das raízes de 0º veja Lugar das raízes negativo lugar das raízes de 180º veja Lugar das raízes positivo método de Evans 190191 múltiplas raízes complexas 212213 orientações para a determinação 194195 para o controle de atitude de satélite 203 205 polo da planta de malha aberta 192193 polos de malha fechada 233234 problemas relacionados a 240 243 248 252 projeto de avanço 216217 projeto de piloto automático 226227 regras de esboço 200201 regras para traçar um positivo 196201 servo CC alocação de polos 421 estimador de ordem reduzida 421422 sistema condicionalmente estável 290291 sistema realimentado 189190 194195 usando dois parâmetros em sucessão 232 235 Lugar das raízes parte no eixo real 196 Lugar das raízes discreto 506508 Lugar das raízes negativo 194195 definição 231 esboçando 231232 regras 229232 Lugar das raízes positivo 191192 194195 regras de esboço 196201 Lugar das raízes simétrico LRS 396404 alocação de polos 422423 equação 397398 seleção de polos do estimador 413414 exemplo de projeto do estimador para o pêndulo 413414 exemplo de reprojeto do compensador do servo CC 422425 para controle de velocidade do servo 398 399 para o controle de atitude do satélite 398399 para o pêndulo invertido 399401 seleção de polos 424425 sistema de primeira ordem 398399 Lyapunov A M 1011 519520 M MacFarlane A G J 461462 Magnitude classe de função de transferência 263264 resposta em frequência 256257 Magnitude de entrada exemplo não linear de estabilidade 528529 Magnitude de malha fechada constante con tornos de 330 Malha de realimentação 638 Manutenção de atitude 606607 Máquina a vapor 89 Margem de fase dados de resposta em frequência 288 gráfico de amplitude e fase 287288 largura de banda de malha fechada 298299 método de projeto baseado na resposta em frequência 286287 RFTM 450451 versus coeficiente de amortecimento 288 289 versus resposta em frequência pico de ressonância 288289 versus resposta transitória sobressinal 288289 Margem de ganho gráfico de magnitude e fase 287288 projeto em resposta em frequência 286287 RFTM 450451 Margens de estabilidade método de projeto em resposta em frequên cia 286 292 problemas relacionados 341346 marginm 307308 342343 452453 MathWorks 13 MATLAB acker 388389 409 localização do polo 395396 análise de sistemas lineares 8388 axis 282283 285 bode 71 257258 269271 c2d 423424 cálculo das raízes para 117118 canon 375376 comandos 681683 conv 79 398399 eig 374376 ezplot118119 feedback 92 226227 510 impulso inicial 95 99 109110 initial 406407 412 inv 375377 Índice 697 linmod 521522 linmod2 521522 loglog 7172 257258 269271 logspace 71 lqe 452453 629 lqr402 lsim 87 339 margin 307308 342343 452453 max 327328 nichols 330 nyquist 279280 282283 285 ones 87 pade 235236 parallel 92 place 388389 409 plot 2829 87 poly 8283 printsys 8485 pzmap94 residue 79 8283 resposta ao degrau 2021 resposta ao impulso 99 rlocfind 212 344 rlocus 193194 343344 398399 rltool 243 roots 381382 semilogx 7172 257258 452453 semilogy 327328 series 92 452453 510 sqrt 442 ss2tf 365 378379 ss2zp 365 step 2829 85 tf 2829 7172 92 tf2ss 368 tf2zp 86 365 tzero 380383 Matriz companheira da esquerda 408 Matriz de controlabilidade 371372 Matriz de entrada 358359 Matriz de forma companheira 386387 Matriz de observabilidade 408 Matriz de saída 358359 Matriz de Sylvester 455456 Matriz do sistema 358359 Matriz Hessenberg 471 maxm 327328 Maxwell James Clerk 910 53 175176 237 563 Mayr O 78 Mecanismo de leituragravação em disco esquema 2627 ilustração gráfica 2526 Mecanismo flexível de leituraescrita em disco 2528 Méchanique céleste 128 Mello B A 638639 Memória de acesso aleatório RAM 503504 Memória programável somente de leitura EPROM 503504 Memória somente de leitura ROM 503504 Método de alocação de polos no espaço de estado 419 Método de encobrimento para determinação dos coeficientes 78 Método de espaço de estado compensador de atraso 430435 Método de Evans 190191 Método de projeto em resposta em frequência 254335 atraso de tempo 328330 compensação 298328 compensação de atraso 310315 compensação PI 310311 critério de estabilidade de Nyquist 273 286 dados apresentação alternativa de 329332 estabilidade neutra 272273 margens de estabilidade 286292 perspectiva 254255 perspectiva histórica 332333 problemas relacionados à 335355 projeto de sistema de controle 254272 relação de ganhofase de Bode 292298 resposta em frequência de malha fechada 297299 Método de projeto no lugar das raízes 189 239240 compensação dinâmica projeto usando 213224 exemplo de projeto 224229 extensões de 229236 lugar das raízes ilustrativo 203214 orientações para a determinação do lugar das raízes 194203 perspectiva 189 perspectiva histórica 236238 problemas relacionados a 240253 sistema realimentado básico 189195 Método de sensibilidade crítica 166167 Método de torque calculado 521522 Método de Tustin 493494 comparação entre MPZ e MMPZ 500 controlador digital 494496 projeto por emulação 492493 Método direto de Lyapunov para o sistema de posição realimentado 554555 Método do lugar das raízes de Evans 190191 extensões 232235 problemas relacionados a 252 Método indireto de Lyapunov 553 Método MMPZ comparação MPZ 500 projeto de emulação 499 Método MPZ comparação MMPZ 500 projeto por emulação 495499 Métodos antiwindup 534535 Microfone 5960 Microprocessadores para aplicações de con trole 503504 Mínimo múltiplo comum estimador estendi do 447448 Mínimos quadrados de identificação de sistemas 125126 Modelagem da internet 643 Modelagem de sistemas por diagramas 8788 problemas relacionados à 134 137 Modelo definição 17 Modelo de carro 2122 Modelo de controle de velocidade de cruzeiro 1821 Modelo de excitaçãoinibição 654 Modelo de laboratório de PTR 626627 Modelo de parâmetro concentrado 34 Modelo de suspensão sistema de duas massas 2123 Modelo integral 447 Modelo linear de PTR 627628 Modelo matemático 5 Modelos de fluxo de fluido 43 Modelos dinâmicos 1754 circuitos elétricos 3539 equações diferenciais na forma de variáveis de estado 359360 equações para 54 escalonamento 520522 linearização 520522 modelos de fluxo de calor e fluido 4352 modelos de fluxo de fluidos 43 perspectiva histórica 5153 problemas relacionados à 5455 sistemas eletromecânicos 3843 sistemas mecânicos 1735 temperatura na sala 4344 Modo de período curto 604605 Modo de phugoid 604605 Modo de rolagem 599600 Modo espiral 599600 Modo natural 378379 Modos do estimador não controláveis 434 435 Modos do sistema 8384 Modos Normais 368369 Moler Cleve 238239 461462 Mônico 190191 Motor CA 42 CC 40 controle de posição lugar das raízes 191 193 Motor automotivo controle da razão arcom bustível no 609615 Motor CC compensador de atraso 311315 compensador de avanço 302307 entrada de referência 392393 esboço 40 função de transferência usando o MAT LAB 8485 modelagem 4143 Motores CA atuadores 42 Movimento da E coli 636637 Movimento de rotação Leis de Newton 23 modelo de controle de atitude de satélite 2326 pêndulo 2728 Movimento de translação a lei de Newton para 1718 Mudança na frequência 659 Mudanças na planta 577578 Multiplicação pelo tempo 78 662 Munro N 461462 698 Índice N Não linearidade da lâmpada 630631 Não linearidade inversa 521522 Napoleão 128 Neutramente estável 114 método de projeto de resposta em frequên cia 272274 problemas relacionados a 339340 Newton Isaac 5152 Nichols N B 511512 nicholsm 330 Números de Fibonacci 514515 Nyquist H 1012 332333 nyquistm 279280 282283 285 O Observabilidade 408 Observador 383 onesm 87 Operação do segurador atraso devido à 485 487 Ordem exponencial transformada de Laplace 655656 Oscilador escalonamento no tempo 366 Oscilador não amortecido fórmula de Acker mann para 387390 P padem 235236 Padrões polozero efeitos de 110112 parallelm 92 Parâmetros considerando dois 232235 Parâmetros de projeto para redes de avanço 305306 Passeio aleatório 638 Pêndulo exemplo equações não lineares 2728 estimadores de ordem reduzida 411412 lei de controle 385 movimento de rotação 2728 projeto de estimador 405407 projeto LRS de estimador 413414 resposta linear e não linear 522523 movimento de rotação à entrada em degrau 29 Pêndulo duplo 5556 Pêndulo invertido 3132 471 equações 3233 resposta ao degrau 401 LRS exemplo 399401 projeto de estimador 413414 Período crítico 166167 Período de amostragem digitalização 484 486 Perturbações 439440 Pico de amplitude 265266 Pico de ressonância 259 Pico de ressonância versus margem de fase na resposta em frequência 288289 PID digital 171 Piloto automático de manutenção de altitude 603609 Piloto automático digital 513 Piloto automático Piper Dakota 225226 Pirômetro 624625 Pistão hidráulico modelagem 4748 placem 390391 409 424425 Plano de fase 546547 projeto no espaço de estado 357358 Planos contorno no SPD 276277 e relação com o planoz 490491 especificação no domínio do tempo 102 103 polos complexos 9697 transformação de especificação 103105 planoz e planos características 490 controle digital relação 489491 frequência natural e amortecimento 491 sequência temporal 492 Planta 45 estimador conectado 406407 Planta de integração dupla 209210 função de transferência 203 modelo discreto 548549 Planta incerteza exemplo 325 gráfico 324 plotm 2829 87 PM 286287 Poincaré 562 Polinômios mônicos 455 Polo correlação 99 definição 8384 diagrama de Bode 266267 do sistema 8384 e zeros encontrando via MATLAB 376 377 expansão em frações parciais 665 função de transferência racional 8283 indicação da resposta caracaterística 8283 projeto de compensador 477 transformada inversa de Laplace 78 Polo da planta em malha aberta lugar da raízes 192194 Polo extra efeito de 110111 Polos adicionais efeito de 103111 ramos do lugar das raízes 209210 Polos complexos diagrama de Bode 267271 gráfico no planos 9799 Polos da função de transferência a partir da equação de estado 378379 Polos de malha fechada fórmula de Truxal 429430 lugar das raízes 233234 Polos dominantes de segunda ordem 395397 Polos lentos 95 Polos rápidos 95 Polos repetidos 665 polym 8283 Ponto de chegada 193194 Ponto de partida 192193 Ponto de quebra 263264 Ponto fixo aritmético 504 Ponto único 610611 Pontryagin L S 12 Popov 563 Precisão dupla 503504 Préfiltro 630631 Préfiltros analógicos 501502 Préfiltros antialias 501503 efeito de 505506 Prêmio Adams 1011 Primeiro método de Lyapunov 553 Princípio do argumento 274276 Princípio do argumento de Cauchy 274275 Princípio do modelo interno 441 printsysm 8485 Problema Golden Nugget Airlines 251 351 Procedimento de projeto de sistema de contro le 573574 Procedimento de projeto do sistema de contro le de disco rígido 614615 622623 Processamento térmico rápido PTR modelo de laboratório 626627 modelo linear 627628 procedimento de projeto do sistema de controle 622623 Processo 24 Produto de tempo transformada de Laplace 77 exemplo de sinal senoidal 662 propriedade 661 Projeto compensador de ordem reduzida para o controle de atitude de satélite 418419 Projeto da lei de controle para a realimentação completa de estados 382394 diagrama do sistema 384 encontrando 383391 entrada de referência 390394 exemplo de localização de zero 389390 exemplo do pêndulo 385 fórmula de Ackermann 387392 problemas relacionados ao 468 471 Projeto de compensador espaço de estados 477 condicionalmente estável 421 função de transferência 452453 ordem reduzida 418419 problemas relacionados ao 477 481 Projeto de compensador de ordem completa para o controle de atitude de satélite 416 418 para o servo CC 419422 Projeto de compensador linear quadrático 451452 Projeto de controle moderno 357358 Projeto de controle no espaço de estados 356357 Projeto de estimador 403414 ordem completa 403409 ordem reduzida 409412 exemplo de pêndulo 411412 para o pêndulo simples 405407 Índice 699 problemas relacionados a 471472 477 projeto LRS de estimador para o pêndulo 413414 seleção de polos 412414 Projeto de malha interna 604605 Projeto de ordem reduzida para modelo de função de transferência polinomial 456458 Projeto de piloto automático diagrama de blocos 225226 gráficos da resposta temporal 226228 lugar das raízes 226227 Projeto de piloto automático de malha aberta 225226 Projeto de sistema de controle 572645 estudos de casos 578642 passos do esquema do 573578 perspectiva histórica 641642 resumo 577578 Projeto digital versus contínuo amortecimen to e resposta ao degrau 510512 Projeto direto com funções de transferência racionais 455458 Projeto discreto 505512 exemplo 506510 ferramentas de análise 505506 propriedades de realimentação 507509 Projeto do servomotor da fita respostas ao degrau 396397 Projeto no espaço de estados 356465 análise de equações de estado 366383 atraso de tempo puro 457460 controle integral e rastreamento robusto 436451 descrição de sistema 358364 diagramas de blocos 363366 entrada de referência com estimador 426 436 escalonamento de tempo e amplitude 366 estabilidade de Lyapunov 550557 funções de transferência racionais 454 458 perspectiva 356 perspectiva histórica 460463 problemas relacionados ao 464483 projeto de compensador 414425 projeto de estimador 403414 projeto de lei de controle para realimenta ção completa de estados 382394 Recuperação de Função de Transferência de Malha RFTM 450455 seleção de ganho 434436 seleção de posição de polo para um bom projeto 394404 vantagens 356359 Projeto no espaço de estados dividir e con quistar 357358 Projeto ótimo 575576 Projeto por emulação 492501 controlador digital da atitude de uma esta ção espacial 497498 estágios 492493 exemplo de amortecimento e resposta ao degrau 510512 limites de aplicabilidade 500 Método MMPZ 499 Método MPZ 495496 métodos de aproximação digital compara ção de 499500 métodos de Tustin 492496 Proporcional integral PI característica de compensação 318319 compensação 310311 compensação antiwindup 535536 sistema de controle 118119 Proporcionalintegralderivativo PID 146 147 Carta de Nichols como exemplo para 330 331 controlador 160 controle de atitude de aeronave 314320 método de projeto baseado na resposta em frequência 314320 projeto no espaço de estados 575576 Propriedade de peneiramento 6667 Propriedades de estabilidade para sistema condicionalmente estável 290291 Propriedades de rastreamento robusto para servomecanismo 445 Propriedades de realimentação exemplo de projeto discreto 507508 projeto discreto 508509 Propriedades robustas 154155 439440 reguladores LQR 403404 tipo de sistema 154155 Pulso digitalização 484486 Pulso curto 6566 pzmapm 94 Q Quimiotaxia 636637 dinâmica da 637 modelo da 638639 R Ragazzini J R 35 511512 Raízes reais distintas 79 Raízes reais repetidas expansão em frações parciais 665666 RAM 503504 Rastreador de estrela 579 Rastreamento 146150 Rastreamento de estado estacionário e rejeição de distúrbios 449451 Rastreamento de referência 146147 Rastreamento robusto 436451 abordagem espaço de erro 438447 problemas relacionados 481483 Razão de amplitude 71 Realimentação amplificador 35 332333 análise 5 compromisso de projeto 78 controle de nível de líquido 78 equações 147148 incubadora de Drebbel 237 perspectiva 146 vantagem 151 Realimentação de estado 383 Realimentação de saída do erro para o estado da equação de estimação 404405 Realimentação negativa 8990 Realimentação positiva 8990 Receptor 637 638 Recuperação de Função de Transferência de Malha RFTM 450454 diagramas de resposta em frequência 453 exemplo 452453 projeto para controle de atitude de satélites 452455 Redefinir controle 534 Redefinir windup 534 Referência 24 Região de convergência 655656 Regra de Bryson 402 Regra de PM para o coeficiente de amorteci mento 288289 Regra MIT 556 563 Regra trapezoidal 172 303305 Regulação 146147 149150 Regulação com perturbação na entrada para o tipo do sistema 157 Regulador 1314 projeto de compensador 477 Regulador linear quadrático LQR diagrama de Nyquist 400401 margens de ganho e fase 403404 polos do regulador limitando o comporta mento do 402404 reguladores propriedades de robustez 403 404 unidade de fita 402403 Regulador Smith para atraso do tempo 458459 Rejeição de distúrbio 1 controle digital 504505 propriedades para o servomecanismo robus to 446 rastreamento em regime permanente pelo estimador estendido 449451 seleção da taxa de amostragem 504505 Relação de avanço 301 Relação de continuidade 4647 Relação ganho e fase de Bode 292298 frequência de cruzamento 294295 problemas relacionados com 346347 Relé 527528 Repelente 636637 residuem 79 8283 Resistência térmica 4344 Resposta à senoide 70 por convolução 6468 versus as posições dos polos e raízes reais 9496 Resposta à rampa de sistema de primeira ordem 660661 Resposta ao degrau 9798 361 compensação de atraso 433435 compensações de atraso avanço e rejeita faixa 222223 MATLAB 2021 projeto digital versus contínuo 510512 sistema de primeira ordem 102103 sistema de segunda ordem padrão 100101 700 Índice Resposta ao degrau do controle de velocidade de cruzeiro 360361 Resposta ao degrau unitário 361 Resposta ao impulso 6667 93 9798 usando o MATLAB 95 Resposta dinâmica 64130 dados experimentais obtendo modelos de 120127 efeitos dos zeros e polos adicionais 103 112 equações de estado 376383 escalonamento de amplitude e tempo 126 128 especificações no domínio do tempo 100 104 estabilidade 112121 localização dos polos efeitos da 93100 perspectiva 63 perspectiva histórica 128129 problemas relacionados à 130 representando sistemas com diagramas 8793 Transformada de Laplace 6488 Resposta em frequência 1012 70 254272 características do capacitor 249258 do compensador de avanço 257261 compensação de avanço 300 compensação PD 299 compensador de atraso e avanço 432433 exemplo 7072 métodos de projeto no espaço de estado 417 problemas relacionados à 335339 procedimento de projeto de sistema de controle 574575 Resposta em frequência de malha fechada 297298 exercícios relacionados à 346347 servomecanismos robustos 446 Resposta temporal 574575 Resposta temporal oscilatória 99 Resposta transitória dados 121122 definição 7374 fonte de dados experimentais 121122 motor CC 86 sistema de velocidade do motor 438439 sobressinal versus margem de fase 288289 Resposta transitória completa 7273 Resposta versus a complexidade do sistema 603604 Respostas ao degrau de funções de transferên cia de segunda ordem 107108 Respostas dos controles de implementações analógica e digital 224 Respostas naturais 93 estabilidade 9799 Ressonância no óleo 5152 Restrições de robustez 326327 RFTM 642643 rlocfindm 212 344 rlocusm 193194 343344 398399 RLTOOL 243 Robustez 12 Robusto 439440 Rodas de reação 579 ROM 503504 rootsm 117118 381382 Rosenbrock H H 461462 guindaste rotação e translação 3031 Rotor diagrama de corpo livre 41 Routh E J 1011 175176 237 Ruído de processo para seleção do polo do estimador 412413 Ruído no sensor 319320 seleção do polo do estimador 412413 Runtorun control 653 S Saberi A 451452 Safonov M 461462 Saída de resposta implementações analógica e digital 223 Sandberg I W 561 Sastry S 555 Satélite com anexos flexíveis 267271 Satélite GPB 466 Saturação sistema dinâmico 527528 sistemas oscilatórios exemplo não linear 530531 Saturação no atuador sistema realimentado com 534 Schmitz E 34 Segurador de ordem zero 485486 digitalização 486487 seleção da taxa de amostragem 504 Segway 3233 Seleção de ganho 434436 Seleção de parâmetro 579580 Seleção de polo LRS 425427 Seleção de taxa de amostragem controle digital 503506 amostragem assíncrona 505506 eficiência de rastreamento 504 préfiltro antialias 505506 rejeição de distúrbio 504505 digitalização 485486 Seleção do polo do estimador 412415 Seleção do valor do parâmetro 201 203 semilogxm 7172 257258 452453 semilogym 327328 Semiplano direito SPD 9697 diagrama de Bode 285 estabilidade de Lyapunov 553 extensão do método do lugar das raízes 235236 função de transferência do compensador 416417 LRS 397398 RFTM 451452 zeros 106107 exemplo 109110 sistemas de fase não mínima 269271 Semiplano esquerdo SPE efeito do zero no 204205 extensão do método do lugar das raízes 235236 LRS 397398 RFTM 450451 Teorema do Valor Final 491 zeros 269271 Senoide com frequência 658659 controle robusto 441447 Senoide com decaimento exponencial 659 Senoide de frequência estrutura do compen sador 442 Sensibilidade 146147150153 Sensor 45 procedimento de projeto do sistema de controle 573574 Sensor não justaposto 210 212 Sensor não linear 610611 Sensores para controle 175176 Sequências temporária com planoz 492 seriesm 92 452453 510 Servo CC estimador de ordem reduzida 421423 exemplo 419422 lugar das raízes polos atribuídos 421 polos de segunda ordem com localizações modificadas 424425 Servo CC compensador reprojeto de 422425 Servo com tacômetro realimentado tipo de sistema 156 Servomecanismo de unidade de disco 441 447 Servomecanismo de segunda ordem 430435 Servomecanismo robusto diagrama de blocos no SIMULINK 443 444 propriedades de rastreamento 445 propriedades de rejeição de distúrbios 446 resposta em frequência de malha fechada 446 Servomecanismos 1012 estrutura de diagrama de blocos 233234 incremento constante de velocidade 430 435 sistema projeto de compensador de avanço 307309 Servomotor curvas de torquevelocidade 42 Símbolo e equação da fonte de corrente 36 Símbolo e equação de fonte de tensão 36 Símbolo e equação do indutor 36 Símbolo e equação do resistor 36 Simon H A 461462 Simples critério de projeto para controle de atitude de aeronave 294298 Simulação diagrama de blocos de função de transfe rência 364366 procedimento de projeto de sistema de controle 576577 Simulação não linear no SIMULINK definição 614615 sistema PTR 630631 Simulação no SIMULINK de sistemas discre tos e contínuos 424425 análise dinâmica de 486493 comparação da resposta ao degrau 425 426 Índice 701 SIMULINK 639640 diagrama de blocos para RFTM 454 diagrama de blocos para servomecanismo robusto 443444 para o movimento não linear 3031 Sinais amostrados 170171 Sinais discretos 484486 Sinais quantizados 170171 Sinal de impulso 6566 Sinal de rampa rastreamento robusto 439440 Sinal senoidal 656 produto de tempo 662663 tempo integral 659660 Sinal senoidal atrasado 658 Síntese de projeto 102103 Sistema definição 261 modelo de controle de cruzeiro 1721 Sistema com múltiplas frequências de cruza mento diagrama de Nyquist para 291292 Sistema com realimentação unitária 8990 desenho 321322 Sistema condicionalmente estável diagrama de blocos 529530 lugar das raízes 290291 método de projeto de resposta em frequên cia 290291 métodos de extensão do lugar das raízes 529530 propriedades de estabilidade para 290291 Sistema contínuo diagrama de blocos para 485486 Sistema de controle de temperatura compensador de avanço para 306308 projeto do compensador de atraso para 311313 Sistema de controle híbrido versus equivalente discreto puro 506507 Sistema de dados amostrados 484486 Sistema de duas massas modelo de suspen são 2123 Sistema de fase mínima estável 292 Sistema de identificação 17 125126 Sistema de primeira ordem LRS para 398 399 Sistema de PTR 622634 Sistema de quarta ordem na forma modal canônica 369370 Sistema de radiação não linear PTR 626627 Sistema de realimentação de posição método direto de Lyapunov 554555 Sistema de suspensão diagrama de corpo livre 22 Sistema de tempo próximo do ótimo STPO 549551 Sistema de terceira ordem computador analógico 364365 diagrama de blocos 365 diagrama de Nyquist 280283 forma canônica controlável 385 forma canônica observável 407408 projeto de compensador de avanço 307309 respostas ao degrau 111112 Sistema de transferência de calor PTR 626 627 Sistema de velocidade do motor controle integral 436438 estimador estendido 450451 Sistema em malha fechada 146148 equação característica 384 função de transferência 434435 RFTM 454 Sistema estável definição 112113 diagrama de blocos 529530 Sistema instável 112113 Sistema instável em malha aberta diagrama de Nyquist 283285 Sistema neutramente estável 114 Sistema realimentado 8990 desenho 321322 saturação do atuador 534 Sistema sujeito a retardo no atraso 328329 Sistemas biológicos 643 Sistemas com parâmetros distribuídos 3234 Sistemas contínuo e discreto comparação da resposta ao degrau 425426 simulação no SIMULINK 424425 Sistemas controláveis 371372 Sistemas de fase mínima e diagrama Bode 271 Sistemas de fase não mínima diagrama de Bode 269271 resposta 109110 resposta em frequência 269271 RFTM 451452 Sistemas de rastreamento 1 Sistemas de segunda ordem diagrama de blocos 9091 diagrama de Nyquist 278280 estabilidade de Lyapunov 553554 gráfico da resposta ao degrau 105106 respostas 9798 envelope exponencial 9799 Sistemas dinâmicos com saturação 527528 Sistemas eletromecânicos modelos dinâmicos de 3843 Sistemas incontroláveis 389390 Sistemas lineares análise usando o MATLAB 8388 formas de representação 8485 Sistemas lineares invariantes no tempo para estabilidade 111114 Sistemas LIT estabilidade de 113114 Sistemas mecânicos modelos dinâmicos 1721 problemas relacionados a 5657 Sistemas não lineares 519520 análise de ganho equivalente usando res posta em frequência 536546 análise de ganho equivalente utilizando o lugar das raízes 527537 análise e projeto baseados na estabilidade 545562 estabilidade de Lyapunov 554 linearização 520527 métodos de extensão do lugar das raízes 535542 perspectiva histórica 562563 Sistemas oscilatórios com saturação 530531 exemplo com blocos 530531 Sistemas térmicos a partir da descrição de estado zeros para 379381 Sobressinal definição 100 especificação no domínio do tempo 100 102 gráfico 105106 versus coeficiente de amortecimento 102 Solução de equação forçada com condições iniciais nulas 8183 Solução de equações diferenciais forçadas 8182 Solução de equações diferenciais homogê neas 8182 Solução de problema usando a transformada de Laplace 81 Solução polinomial controle integral 457 458 Soluções das questões do final do capítulo 668 Sperry L 641642 Spirule 237 sqrtm 442 ssm 87 375376 ss2tfm 365 369370 ss2zpm 365 Stein G 461462 stepm 2829 85 360361 Sucessivas malhas fechadas 232235 Superposição 76 656 exemplo 6465 princípio 6465 Suspensão automotiva 2122 T Tanques em cascata 479480 Taxa de amostragem digitalização 484486 limite inferior 503504 Taxa de decaimento de 14 166167 Taxa de decaimento do sinal 95 Taylor Instrument Companhia 175176 Técnica do diagrama de Bode resposta em frequência 261 Temperatura da sala modelo dinâmico 4344 Tempo de acomodação definição 100 especificação no domínio do tempo 102104 Tempo de dobra 142 Tempo de pico 100 Tempo de subida 100 Tempo integral e sinal senoidal 659661 Tensão de armadura amplitudes de 42 Teorema da relação ganho e fase de Bode declaração 293 função de ponderamento ilustrado grafica mente 294295 Teorema de Amostragem de Nyquist e Shan non 501502 Teorema de estabilidade Lyapunov 552553 Teorema de Kharitonov 120121 Teorema de Parseval 559560 662 Teorema do Valor Final 7981 exemplo 7980 ganho DC 81 702 Índice sistema estável 7980 uso incorreto de 7981 Teorema do Valor Inicial 666667 Teoria de controle e prática 174177 Termo de eliminação 599600 Termo de primeira ordem 263264 Termo de segunda ordem classe de função de transferência 264265 Termo de transmissão direta 358359 Termostato 45 Tesla N 42 Testando o protótipo 576577 Teste de Routh 116117 120 tfm 2829 7172 92 tf2ssm 368 tf2zpm 86 365 Thomson W T 34 Tipo 1 sistema de servomecanismo projeto de compensador de avanço para 307309 Tipo de k definição de 156 Tipo de sistema 152153 definição 152153 para controle de velocidade 154155 para rastreamento 153155 para regulação e rejeição de distúrbios 157 160 propriedade robusta 154155 rastreamento de referência 157 usando o controle integral 154155 Torque 41 Torque calculado 519522 Torricelli 562 Tou J T 460 Trajetória de temperatura 630631 Trankle T 250 Transformação de equações de estado 370 371 Transformação do sistema térmico da forma controlável para a forma modal 374375 Transformações degrau e rampa 75 Transformações usando o MATLAB 8687 Transformada da função impulso 75 Transformada da senoide 7576 Transformada de Laplace bilateral 7475 655656 Transformada de Laplace de sinal contínuo 490491 Transformada de Laplace unilateral 7475 655656 Transformada inversa 7374 Transformada inversa de Laplace por expan são em frações parciais 7879 663666 Transformadas de Laplace 6488 376377 655667 análise dinâmica 486487 definição 7475 problemas relacionados a 134 propriedades 7374 7678 655663 resolvendo equações diferenciais 8283 resolvendo problemas 81 resolvendo problemas 8183 simples funções de tempo discreto 487488 sinal contínuo 489491 solução de equações diferenciais homogê neas 8182 tabela 656 transformada da função impulso 75 transformada da senoide 75 transformadas do degrau e da rampa 75 transformadaz análise dinâmica 486488 inversa 487489 tabelas 488 Transposto 358359 Trocador de calor atraso puro de tempo 459460 equações de modelagem 4447 ilustrado 4445 lugar das raízes 236 tzerom 380383 U Unidade de fita 132133 análise da equação de estado 380383 análise de equações de estado da 380383 exemplo 375377 projeto LQR 402403 Uniformidade de temperatura 628629 Unilateral transformada de Laplace 7475 655656 USCG cutter Tampa 250 V Valor quadrático médio RMS 454 Valor RMS 454 Válvula de boia 78 Van der Pol B 7475 Variável auxiliar 385387 Velocidade constante 154155 Velocidade do motor controle PID da 162163 Vetor margem 326327 Via de transcondução 637 Vidyasagar M 555 W Watt James 175176 Widnall Bill 513 642643 Wiener N 1012 Winnie Mae 641642 Woodson H H 517 Wright Irmãos 641642 Y Yakubovich 563 Yi TM 637 Z Zadeh L 461462 Zames G 461462 561 Zero 93 definição 8384 diagrama de Bode 266271 efeito de 103111 SPE 204205 extensão do método do lugar das raízes 236 função de transferência racional 8284 problemas relacionados a 139 142 RFTM 451452 SPD 107109 269271 transformada inversa de Laplace 78 usando o MATLAB para encontrar 375377 Zero de fase não mínima 109110 Zeros atribuídos 429 Zeros complexos diagrama de Bode 267271 Zeros da função de transferência a partir das equações de estado 379380 Zeros de bloqueio 445 447 Zeros de malha fechada 429430 Zeros de transmissão tzero 382383 Zeros finitos 8384 ZieglerNichols sintonia de PID 165168 Zirconia sensor 610 Katsuhiko ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO 5a EDIÇÃO OGATA Tradução Heloísa Coimbra de Souza Revisão técnica Eduardo Aoun Tannuri Dr Professor Associado Departamento de Engenharia Mecatrônica e Sistemas Mecânicos Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 2011 by Pearson Education do Brasil 2010 2002 1997 1990 1970 by Pearson Education Inc Tradução autorizada a partir da edição original em inglês Modern Control Engineering 5nd edition by Katsuhiko Ogata publicada pela Pearson Education Inc sob o selo Prentice Hall Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de nenhum modo ou por algum outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Françozo Editora plena Thelma Babaoka Editora assistente Aline Nogueira Marques Preparação Renata Siqueira Campos Revisão Maria Alice da Costa e Mônica Rodrigues dos Santos Capa Alexandre Mieda Diagramação Figurativa Editorial 2ª reimpressão maio 2012 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 Limão Cep 02712100 São Paulo SP Tel 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Ogata Katsuhiko Engenharia de controle moderno Katsuhiko Ogata tradutora Heloísa Coimbra de Souza revisor técnico Eduardo Aoun Tannuri 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 Título original Modern control engineering Bibliografia ISBN 9788543013756 1 Controle Teoria 2 Controle automático I Título 1012640 CDD6298 Índices para catálogo sistemático 1 Controle automático Engenharia 6298 2 Engenharia de controle Tecnologia 6298 4a reimpressão junho 2013 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom 5a reimpressão Julho 2014 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco 26 CEP 02712100 São Paulo SP Brasil Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsoncom Sumário Prefácio ix Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle 1 11 Introdução 1 12 Exemplos de sistemas de controle 3 13 Controle de malha fechada versus controle de malha aberta 6 14 Projeto e compensação de sistemas de controle 8 15 Estrutura do livro 9 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle 11 21 Introdução 11 22 Função de transferência e de resposta impulsiva 12 23 Sistemas de controle automático 14 24 Modelagem no espaço de estados 25 25 Representação de sistemas de equações diferenciais escalares no espaço de estados 30 26 Transformação de modelos matemáticos com MATLAB 34 27 Linearização de modelos matemáticos não lineares 36 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos 56 31 Introdução 56 32 Modelagem matemática de sistemas mecânicos 56 33 Modelagem matemática de sistemas elétricos 63 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 91 41 Introdução 91 42 Sistemas de nível de líquidos 92 43 Sistemas pneumáticos 96 44 Sistemas hidráulicos 112 45 Sistemas térmicos 123 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário 145 51 Introdução 145 52 Sistemas de primeira ordem 147 53 Sistemas de segunda ordem 149 54 Sistemas de ordem superior 163 55 Análise da resposta transitória com o MATLAB 166 56 Critério de estabilidade de Routh 191 57 Efeitos das ações de controle integral e derivativo no desempenho dos sistemas 196 58 Erros estacionários em sistemas de controle com realimentação unitária 203 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 246 61 Introdução 246 62 Gráfico do lugar das raízes 247 63 Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB 265 64 Gráficos do lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva 277 65 Abordagem do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle 281 66 Compensação por avanço de fase 284 67 Compensação por atraso de fase 293 68 Compensação por atraso e avanço de fase 301 69 Compensação em paralelo 312 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 366 71 Introdução 366 72 Diagramas de Bode 371 73 Diagramas polares 392 74 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase 406 75 Critério de estabilidade de Nyquist 407 vi Engenharia de controle moderno 76 Análise de estabilidade 416 77 Análise de estabilidade relativa 423 78 Resposta em frequência de malha fechada de sistemas com realimentação 437 79 Determinação experimental de funções de transferência 445 710 Projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência 450 711 Compensação por avanço de fase 452 712 Compensação por atraso de fase 460 713 Compensação por atraso e avanço de fase 468 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados 521 81 Introdução 521 82 Regras de sintonia de ZieglerNichols para controladores PID 522 83 Projeto de controladores PID pelo método de resposta em frequência 531 84 Projeto de controladores PID com abordagem de otimização computacional 535 85 Variantes dos esquemas de controle PID 541 86 Controle com dois graus de liberdade 544 87 Abordagem por alocação de zeros para a melhoria das características de resposta 546 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados 595 91 Introdução 595 92 Representação de funções de transferência no espaço de estados 596 93 Transformação de modelos de sistemas com o MATLAB 601 94 Resolvendo a equação de estado invariante no tempo 604 95 Alguns resultados úteis na análise vetorialmatricial 611 96 Controlabilidade 617 97 Observabilidade 622 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 658 101 Introdução 658 102 Alocação de polos 659 103 Resolvendo problemas de alocação de polos com o MATLAB 669 104 Projeto de servossistemas 672 105 Observadores de estado 683 106 Projeto de sistemas reguladores com observadores 704 107 Projeto de sistemas de controle com observadores 712 vii Sumário x Engenharia de controle moderno vii vii 108 Sistemas regualadores quadráticos ótimos 718 109 Sistemas de controle robusto 729 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace 778 Apêndice B Expansão em frações parciais 785 Apêndice C Álgebra vetorial e matricial 791 Referências 797 Índice remissivo 801 Prefácio Este livro apresenta conceitos importantes sobre a análise e o projeto de sistemas de con trole Nele os leitores encontrarão um compêndio compreensível para cursos sobre sistemas de controle ministrados em faculdades e universidades Ele foi escrito para estudantes do último ano de engenharias elétrica mecânica aeroespacial e química Esperase que o leitor preencha os seguintes prérequisitos cursos introdutórios sobre equações diferenciais transformadas de Laplace análise matricial e vetorial análise de circuitos mecânica e introdução à termodinâmica As principais revisões feitas nesta edição são as seguintes ampliação o uso de MATLAB para a obtenção de respostas de sistemas de controle a várias entradas de informação foi demonstrada a utilidade da abordagem de otimização computacional com o MATLAB novos exemplos de problemas foram acrescentados em todo o livro material que era de importância secundária na edição anterior foi eliminado a fim de abrir espaço para assuntos mais importantes Diagramas de fluxo de sinal foram retirados do livro Um capítulo sobre transformadas de Laplace foi eliminado Em vez dele tabelas de transformadas de Laplace e expansão em frações parciais são apresentadas nos apêndices A e B respectivamente um resumo sobre análise vetorial e matricial é apresentando no Apêndice C ele ajudará o leitor a encontrar as inversas de matrizes n n que podem fazer parte da análise e do projeto de sistemas de controle Esta edição de Engenharia de controle moderno está organizada em 10 capítulos O esque ma de tópicos deste livro é o seguinte o Capítulo 1 apresenta uma introdução aos sistemas de controle O Capítulo 2 aborda a modelagem matemática de sistemas de controle Uma técnica de técnica de linearização para modelos matemáticos não lineares é apresentada nesse capítulo O Capítulo 3 traz a derivação matemática de modelos de sistemas mecânicos e de sistemas elétricos O Capítulo 4 apresenta a modelagem matemática de sistemas fluídicos como sistemas de nível de líquido sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos e sistemas térmicos O Capítulo 5 trata da análise de respostas transitórias e de estado estacionário dos sistemas de controle O MATLAB é amplamente usado para a obtenção das curvas de resposta transitória O critério de estabilidade de Routh é apresentado para a análise de estabilidade de sistemas de controle Apresenta também o critério de estabilidade de Hurwitz O Capítulo 6 aborda o método do lugar das raízes na análise e no projeto de sistemas de controle inclusive sistemas de realimentação positiva e condicionalmente estáveis A construção do lugar das raízes com o uso do MATLAB é discutida em detalhes O projeto de sistemas com compensadores de avanço de fase de atraso de fase e de avanço e atraso de fase por meio do método de lugar das raízes está incluído O Capítulo 7 trata da análise e do projeto de sistemas de controle por meio do método de resposta em frequência Apresenta também o critério de estabilidade de Nyquist de uma forma facilmente compreensível Discute ainda a abordagem do diagrama de Bode para o projeto de compensadores por avanço de fase por atraso de fase e por atraso e avanço de fase O Capítulo 8 aborda os controles PID básico e modificado Abordagens computacionais para a obtenção da melhor opção de valores de parâmetros de controladores são discutidas em detalhes particularmente com respeito à satisfação das condições de características de resposta em degrau O Capítulo 9 apresenta uma análise básica dos sistemas de controle no espaço de estados Conceitos de controlabilidade e observabilidade são discutidos em detalhes O Capítulo 10 aborda o projeto de sistemas de controle no espaço de estados Os tópicos discutidos incluem alocação de polos observadores no espaço de estados e controle quadrático ótimo Uma introdução aos sistemas de controle robustos também é apresentada neste capítulo O livro foi organizado de forma a facilitar o entendimento gradual da teoria de controle pelo estudante Argumentos matemáticos de alto grau foram cuidadosamente evitados na apresenta ção das matérias Demonstrações matemáticas são fornecidas à medida que contribuem para a compreensão do tema apresentado Foi dada especial atenção para a apresentação de exemplos em pontos estratégicos para que o leitor tenha um entendimento claro da matéria estudada Além disso vários exercícios resolvidos Problemas do tipo A são apresentados ao final de cada capítulo com exceção do Capítulo 1 Encorajamos o leitor a estudar cuidadosamente esses problemas de forma a obter um entendimento mais profundo dos tópicos discutidos Também há muitos problemas sem solução ao final de cada capítulo exceto o Capítulo 1 Os problemas sem solução Problemas do tipo B podem ser feitos fora da sala de aula ou dados em prova Quero expressar meus sinceros agradecimentos aos seguintes revisores desta edição do livro Mark Campbell da Universidade de Cornell Henry Sodano da Universidade Estadual do Arizona e Atul G Kelkar da Universidade Estadual de Iowa Por fim quero expressar minha profunda gratidão à srta Alice Dworkin editora associada ao sr Scott Disanno editor geral sênior e a todas as pessoas envolvidas neste projeto de publicação pela produção rápida e mesmo assim excelente deste livro Katsuhiko Ogata Material de apoio O site de apoio do livro wwwpearsoncombrogata oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegido por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para universitariospearsoncom x Engenharia de controle moderno Materiais adicionais A Sala Virtual svpearsoncombr oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint Esse material é de uso exclusivo para professores e está protegido por senha Para ter acesso a ele os professores que adotam o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar email para universitariospearsoncom Introdução aos sistemas de controle 1 C A P Í T U L O 11 Introdução As teorias de controle comumente usadas hoje são a teoria de controle clássico também cha mada teoria de controle convencional a teoria de controle moderno e a teoria de controle robusto Este livro traz uma abordagem abrangente da análise e do projeto de sistemas de controle com base na teoria de controle clássico e na teoria de controle moderno Uma breve introdução à teoria de controle robusto foi incluída no Capítulo 10 O controle automático é essencial em qualquer campo da engenharia e da ciência O controle automático é um componente importante e intrínseco em sistemas de veículos espaciais sistemas robóticos modernos sistemas de manufatura e quaisquer operações industriais que envolvam o controle de temperatura pressão umidade viscosidade vazão etc É desejável que a maioria dos engenheiros e cientistas esteja familiarizada com a teoria e a prática do controle automático Este livro foi concebido como um compêndio sobre sistemas de controle para alunos que estejam cursando o último ano da faculdade Todo o material de base está incluído no livro O material matemático de base relativo a transformadas de Laplace e a análise vetorialmatricial consta dos apêndices Breve revisão histórica do desenvolvimento de teorias e práticas de controle O primeiro trabalho significativo de controle automático foi o regulador centrífugo construído por James Watt para o controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII Outros trabalhos importantes nos primeiros estágios do desenvolvimento da teoria de controle se devem a Minorsky Hazen e Nyquist entre outros Em 1922 Minorsky trabalhou em controladores automáticos para pilotagem de embarcações e demonstrou como a estabilidade poderia ser determinada a partir de equações diferenciais que descrevem o sistema Em 1932 Nyquist desenvolveu um procedi mento relativamente simples para a determinação da estabilidade de sistemas de malha fechada com base na resposta de malha aberta a excitações senoidais estacionárias Em 1934 Hazen que introduziu o termo servomecanismos para sistemas de controle de posição discutiu o projeto de servomecanismos a relé capazes de acompanhar uma variação de entrada com acurácia Durante a década de 1940 métodos de resposta em frequência especialmente os métodos com base nos diagramas de Bode tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de con trole linear de malha fechada que satisfizessem o desempenho requerido Muitos sistemas de controle industrial das décadas de 1940 e 1950 usavam controladores PID no controle de pressão temperatura etc No início da década de 1940 Ziegler e Nichols criaram regras para o ajuste de controladores PID no chamado método de ZieglerNichols Do final da década de 1940 ao início da de 1950 o método de lugar das raízes graças a Evans foi plenamente desenvolvido Os métodos de resposta em frequência e do lugar das raízes os quais são a essência da teoria clássica de controle conduziram a sistemas que são estáveis e satisfazem um conjunto de con dições de desempenho relativamente arbitrárias Esses sistemas são em geral aceitáveis mas não são ótimos no sentido estrito desse termo Desde o final da década de 1950 a ênfase nos problemas com projetos de controle foi deslocada do projeto de um dentre muitos sistemas que funcionam para o projeto de um sistema que seja ótimo em algum aspecto relevante À medida que os sistemas modernos com muitas entradas e saídas se tornam mais e mais complexos a descrição de um sistema de controle moderno requer um grande número de equa ções A teoria clássica de controle que trata somente de sistemas com uma entrada e uma saída tornouse insuficiente para sistemas com múltiplas entradas e saídas A partir de 1960 como a disponibilidade dos computadores digitais possibilitou a análise de sistemas complexos dire tamente no domínio do tempo a teoria de controle moderno com base na análise e na síntese do domínio de tempo com o emprego de variáveis de estado foi desenvolvida para lidar com a crescente complexidade dos sistemas modernos e seus rigorosos requisitos relativos à precisão à importância e ao custo em aplicações militares espaciais e industriais Entre 1960 e 1980 o ótimo controle de sistemas determinísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e de aprendizagem de sistemas complexos foi amplamente pesquisado De 1980 a 1990 os desenvolvimentos na teoria de controle moderno voltaramse para o controle robusto e para tópicos associados A teoria de controle moderno baseiase na análise do domínio do tempo em sistemas de equações diferenciais Ela simplificou o projeto de sistemas de controle porque se baseia no modelo de um sistema de controle real No entanto a estabilidade do sistema é sensível ao erro entre o sistema real e seu modelo Isso significa que quando o controlador projetado a partir de um modelo for aplicado a um sistema real o sistema poderá não ser estável Para evitar que isso aconteça projetamos o sistema estabelecendo primeiro a gama de possíveis erros para depois projetar o controlador de uma forma que se o erro do sistema estiver dentro da gama prevista o sistema de controle projetado será sempre estável O método de projeto baseado nesse princípio é chamado teoria do controle robusto Essa teoria incorpora tanto a abordagem de resposta em fre quência quanto a abordagem de domínio do tempo Matematicamente a teoria é muito complexa Como essa teoria requer um conhecimento matemático prévio em nível de pósgraduação a teoria do controle robusto foi incluída neste livro apenas em seus aspectos introdutórios O leitor interessado em detalhes sobre a teoria do controle robusto deverá procurar um curso de pósgraduação em controle em uma faculdade Definições Antes de discutirmos os sistemas de controle é necessário que seja definida a terminologia básica Variável controlada e sinal de controle ou variável manipulada A variável controlada é a grandeza ou a condição que é medida e controlada O sinal de controle ou variável manipulada é a grandeza ou a condição modificada pelo controlador de modo que afete o valor da variável controlada Normalmente a variável controlada é a saída do sistema Controlar significa medir o valor da variável controlada do sistema e aplicar o sinal de controle ao sistema para corrigir ou limitar os desvios do valor medido a partir de um valor desejado No estudo da engenharia de controle é preciso definir termos adicionais que são necessários à descrição dos sistemas de controle Plantas Uma planta pode ser uma parte de equipamento ou apenas um conjunto de componentes de um equipamento que funcione de maneira integrada com o objetivo de realizar determinada operação Neste livro denominaremos planta qualquer objeto físico a ser controlado como um componente mecânico um forno um reator químico ou uma espaçonave 2 Engenharia de controle moderno Processos O dicionário MerriamWebster define um processo como uma operação natural de progresso contínuo ou um desenvolvimento caracterizado por uma série de modificações graduais que se sucedem umas às outras de modo relativamente estável avançando em direção a dado resultado ou objetivo ou uma operação contínua progressiva artificial ou voluntária que consiste em uma série de ações ou movimentos controlados sistematicamente destinados a atingir deter minados fins ou resultados Neste livro designaremos processo toda operação a ser controlada Entre os exemplos estão os processos químicos econômicos e biológicos Sistemas Um sistema é a combinação de componentes que agem em conjunto para atingir deter minado objetivo A ideia de sistema não fica restrita apenas a algo físico O conceito sistema pode ser aplicado a fenômenos abstratos dinâmicos como aqueles encontrados na economia Dessa maneira a palavra sistema pode ser empregada para se referir a sistemas físicos biológicos econômicos e outros Distúrbios Um distúrbio é um sinal que tende a afetar de maneira adversa o valor da variável de saída de um sistema Se um distúrbio for gerado dentro de um sistema ele será chamado distúrbio interno enquanto um distúrbio externo é aquele gerado fora do sistema e que se comporta como um sinal de entrada no sistema Controle com realimentação Controle com realimentação referese a uma operação que na presença de distúrbios tende a diminuir a diferença entre a saída de um sistema e alguma entrada de referência e atua com base nessa diferença Aqui serão considerados apenas distúrbios não previsíveis uma vez que distúrbios conhecidos ou previsíveis sempre podem ser compensados no sistema 12 Exemplos de sistemas de controle Nesta seção apresentaremos vários exemplos de sistemas de controle Sistema de controle de velocidade O princípio básico de um regulador Watt de velocidade para um motor está ilustrado no diagrama esquemático da Figura 11 A quantidade de combus tível fornecida ao motor é ajustada de acordo com a diferença entre a velocidade esperada e a velocidade efetiva do motor FIGURA 11 Óleo sob pressão Cilindro de potência Válvula piloto Fecha Abre Motor Carga Combustível Válvula de controle Sistema de controle de velocidade 3 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle A sequência de ações pode ser estabelecida da seguinte maneira o regulador de velocidade é ajustado de modo que à velocidade desejada não haja fluxo de óleo sob pressão em ambos os lados do interior do cilindro de potência Se a velocidade real cai abaixo do valor desejado em decorrência de um distúrbio então a diminuição na força centrífuga do regulador de velocidade faz que a válvula de controle se mova para baixo fornecendo mais combustível e a velocidade do motor aumente até atingir o valor desejado Por outro lado se a velocidade do motor aumenta acima do valor desejado então o aumento na força centrífuga do regulador de velocidade faz que a válvula de controle se desloque para cima Isso diminui o suprimento de combustível e a velocidade do motor é reduzida até atingir o valor esperado Nesse sistema de controle de velocidade a planta sistema controlado é o motor e a variável controlada é a velocidade do eixo do motor A diferença entre a velocidade desejada e a velocidade real é o sinal de erro O sinal de controle a quantidade de combustível a ser aplicado à planta motor é o sinal atuante A grandeza externa que perturba a variável controlada é o distúrbio Uma mudança inesperada na carga é um distúrbio Sistema de controle de temperatura A Figura 12 mostra um diagrama esquemático de controle de temperatura de um forno elétrico A temperatura do forno elétrico é medida por um termômetro que é um dispositivo analógico O sinal analógico de temperatura é convertido em um sinal digital por um conversor AD analógicodigital O sinal digital obtido é fornecido ao controlador por meio de uma interface Esse sinal digital é comparado com a temperatura programada de referência e se houver alguma divergência erro o controlador envia um sinal ao aquecedor por meio de uma interface um amplificador e um relé fazendo que a temperatura do forno atinja o valor desejado Sistemas empresariais Um sistema empresarial pode consistir em vários grupos Cada tarefa atribuída a um grupo representará um elemento dinâmico do sistema Métodos com realimen tação de informações das realizações de cada grupo devem ser estabelecidos de modo que esse sistema tenha um desempenho apropriado O interrelacionamento entre os grupos funcionais deve ser minimizado de modo que reduza atrasos indesejáveis no sistema Quanto menor esse interrelacionamento menor o fluxo de informações e de materiais utilizados Um sistema empresarial é um sistema de malha fechada Um bom projeto reduzirá o con trole administrativo necessário Devese considerar que distúrbios nesse sistema correspondem à carência de mão de obra ou matériaprima à interrupção de comunicação a erros humanos e a outros fatores Para um gerenciamento apropriado é fundamental o estabelecimento de um sistema de pre visão com base em dados estatísticos Sabese que um sistema pode ser otimizado pela utilização do lead time ou da antecipação FIGURA 12 Controlador Termômetro Conversor AD Interface Interface Forno elétrico Aquecedor Relé Amplificador Entrada programada Sistema de controle de temperatura 4 Engenharia de controle moderno Para aplicar a teoria de controle com o objetivo de melhorar o desempenho de determinado sistema devemos representar as características dinâmicas dos grupos componentes desse sistema por meio de um conjunto relativamente simples de equações Embora exista certo grau de dificuldade em determinar representações matemáticas dos grupos componentes a aplicação de técnicas de otimização em sistemas empresariais melhora significativamente o desempenho desses sistemas Considere como exemplo um sistema organizacional de engenharia composto de alguns grupos principais como gerenciamento pesquisa e desenvolvimento projeto preliminar expe rimentos projeto e desenho de produtos fabricação e montagem e testes Esses grupos são interligados para que a operação de produção se processe satisfatoriamente Esse sistema pode ser analisado reduzindoo a um conjunto de componentes necessários tão elementares quanto possível possibilitando o detalhamento analítico exigido e pela representação das características dinâmicas de cada componente por meio de um conjunto de equações simples O desempenho dinâmico desse sistema pode ser determinado por uma relação estabelecida entre a realização progressiva e o tempo Um diagrama de blocos funcional pode ser traçado com a utilização de blocos para repre sentar as atividades funcionais interligados por linhas de comunicação para representar a saída da informação ou do produto resultante da operação do sistema Um exemplo de diagrama de blocos é apresentado na Figura 13 Sistema de controle robusto O primeiro passo no projeto de um sistema de controle é a obten ção de um modelo matemático da planta ou do objeto a ser controlado Na realidade qualquer modelo de uma planta que quisermos controlar incluirá um erro no processo de modelagem Ou seja a planta real será diferente do modelo a ser usado no projeto do sistema de controle Para garantir que o controlador projetado com base em um modelo funcionará satisfatoria mente quando for usado na planta real uma abordagem razoável consiste em presumir desde o início que existe incerteza ou erro entre a planta real e seu modelo matemático incluindo tal incerteza ou erro no próprio projeto do sistema de controle O sistema de controle projetado a partir dessa abordagem é chamado controle de sistema robusto Suponha que a planta real que queremos controlar seja Gus e o modelo matemático da planta real seja Gs ou seja Gus modelo da planta real que tem incerteza Ds Gs modelo nominal da planta a ser usado para projetar o sistema de controle Gus e Gs podem estar relacionados por um fator multiplicador como Gus Gs1 Ds ou por um fator somatório Gus Gs Ds ou de outras formas FIGURA 13 Produto desejado Gerência Pesquisa e desenvolvimento Projeto preliminar Experimentos Projeto e desenho de produto Fabricação e montagem Testes Produto Diagrama de blocos de um sistema organizacional de engenharia 5 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle Como a descrição exata da incerteza ou erro Ds é desconhecida recorremos a uma esti mativa de Ds e usamos essa estimativa Ws no projeto do controlador Ws é uma função de transferência escalar tal que max s W s W j 0 1 D 3 3 3 h h onde Ws3 é o valor máximo de Wj para 0 3 e chamase norma Hinfinito de Ws Aplicandose o teorema do ganho pequeno o método de projeto aqui resumese a determinar o controlador Ks de forma que a desigualdade 1 K s G s W s 1 1 3 h h h seja satisfeita onde Gs é a função de transferência do modelo usado no projeto Ks é a função de transferência do controlador e Ws é a função de transferência escolhida para a aproxi mação de Ds Na maioria dos casos práticos temos de satisfazer mais de uma desigualdade que envolve Gs Ks e Ws Por exemplo para garantir estabilidade robusta e desempenho robusto pode ser necessário que duas desigualdades como 1 K s G s W s K s G s 1 m 1 3 h h h para estabilidade robusta 1 K s G s W s 1 s 1 3 h h para desempenho robusto sejam satisfeitas Essas desigualdades são derivadas na Seção 109 Há muitas desigualdades desse tipo que precisam ser satisfeitas em vários sistemas de controle robusto Estabilidade robusta significa que o controlador Ks garante a estabilidade interna de todos os sistemas que pertencem a um grupo de sistemas que inclui o sistema da planta real Desempenho robusto sig nifica que o desempenho especificado é atingido em todos os sistemas que pertencem ao grupo Neste livro presumese que todas as plantas dos sistemas de controle que discutirmos sejam precisamente conhecidas exceto as plantas discutidas na Seção 109 em que é apresentado um aspecto introdutório da teoria de controle robusto 13 Controle de malha fechada versus controle de malha aberta Sistemas de controle com realimentação Um sistema que estabeleça uma relação de com paração entre a saída e a entrada de referência utilizando a diferença como meio de controle é denominado sistema de controle com realimentação Um exemplo poderia ser o sistema de contro le de temperatura de um ambiente Medindose a temperatura ambiente real e comparandoa com a temperatura de referência temperatura desejada o termostato ativa ou desativa o equipamento de aquecimento ou resfriamento de modo que assegure que a temperatura ambiente permaneça em um nível confortável independentemente das condições exteriores Os sistemas de controle com realimentação não estão limitados à engenharia podendo ser encontrados em várias outras áreas O corpo humano por exemplo é um sistema de controle com realimentação extremamente desenvolvido Tanto a temperatura corporal como a pressão sanguínea são mantidas constantes por meio da realimentação de ordem fisiológica Nesse caso a realimentação realiza uma função vital faz que o corpo humano seja relativamente insen sível a perturbações externas permitindo seu perfeito funcionamento nos casos de mudanças no ambiente Sistemas de controle de malha fechada Os sistemas de controle com realimentação são com frequência denominados também sistemas de controle de malha fechada Na prática os 6 Engenharia de controle moderno termos controle com realimentação e controle de malha fechada são usados indistintamente Em um sistema de controle de malha fechada o sinal de erro atuante que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de realimentação que pode ser o próprio sinal de saída ou uma função do sinal de saída e suas derivadas eou integrais realimenta o controlador de modo a minimizar o erro e acertar a saída do sistema ao valor desejado O termo controle de malha fechada sempre implica a utilização do controle com realimentação para reduzir o erro do sistema Sistemas de controle de malha aberta Os chamados sistemas de controle de malha aberta são aqueles em que o sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema Isso quer dizer que em um sistema de controle de malha aberta o sinal de saída não é medido nem reali mentado para comparação com a entrada Um exemplo prático é o da máquina de lavar roupas As operações de colocar de molho lavar e enxaguar em uma lavadora são executadas em uma sequência baseada em tempo A lavadora não mede o sinal de saída isto é não verifica se as roupas estão bem lavadas Em qualquer sistema de controle de malha aberta a saída não é comparada com a entrada de referência Assim a cada entrada de referência corresponde uma condição fixa de operação Dessa maneira a precisão do sistema depende de uma calibração Na presença de distúrbios um sistema de controle de malha aberta não vai executar a tarefa desejada Na prática o sistema de controle de malha aberta somente poderá ser utilizado se a relação entre a entrada e a saída for conhecida e se não houver nenhum distúrbio interno ou externo É claro que estes não são sistemas de controle realimentados Observe que qualquer sistema de controle cujas operações são efetuadas em uma sequência baseada em tempo é um sistema de malha aberta O controle de tráfego por meio de sinais operado em função do tempo é outro exemplo de controle de malha aberta Sistemas de controle de malha fechada versus de malha aberta Uma vantagem do sis tema de controle de malha fechada é o fato de que o uso da realimentação faz que a resposta do sistema seja relativamente insensível a distúrbios externos e a variações internas nos parâmetros do sistema Dessa forma é possível a utilização de componentes relativamente imprecisos e baratos para obter o controle preciso de determinado sistema ao passo que isso não é possível nos sistemas de malha aberta Do ponto de vista da estabilidade o sistema de controle de malha aberta é mais fácil de ser construído pelo fato de a estabilidade ser um problema menos significativo Por outro lado a estabilidade constitui um problema importante nos sistemas de controle de malha fechada que podem apresentar uma tendência de correção de erros além do necessário causando oscilações de amplitude constante ou variável Deve ser enfatizado que para sistemas nos quais as entradas são conhecidas com antecipação e que são isentos de distúrbios é conveniente o uso do controle de malha aberta Sistemas de controle de malha fechada são mais vantajosos somente nos casos em que houver distúrbios eou alterações não previsíveis nos componentes do sistema Note que a potência de saída determina parcialmente o custo o peso e as dimensões de um sistema de controle O número de componentes utilizados em um sistema de controle de malha fechada é maior do que em um sistema corres pondente de malha aberta Assim no sistema de controle de malha fechada o custo e a potência são geralmente maiores Visando à diminuição da potência necessária à operação de um sistema devese optar pelo controle de malha aberta sempre que possível Uma combinação apropriada do controle de malha aberta e de malha fechada é normalmente mais econômica e apresentará um desempenho satisfatório do sistema como um todo A maioria das análises e dos projetos de sistemas de controle apresentados neste livro refere se a sistemas de controle de malha fechada Sob certas circunstâncias como quando não existem distúrbios ou dificuldades de medida da saída os sistemas de controle de malha aberta podem ser adequados Portanto é conveniente resumir as vantagens e as desvantagens de utilizar sistemas de controle de malha aberta 7 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle Seguem as principais vantagens dos sistemas de controle de malha aberta 1 São simples de ser construídos e têm fácil manutenção 2 São menos dispendiosos que um sistema correspondente de malha fechada 3 Não apresentam problemas de estabilidade 4 São adequados quando existem dificuldades de medição da saída ou quando a medição precisa da saída não é economicamente possível Por exemplo no caso da máquina de lavar roupas seria bastante dispendiosa a instalação de um dispositivo para avaliar se as roupas foram bem lavadas As principais desvantagens dos sistemas de controle de malha aberta são 1 Distúrbios e mudanças na calibração causam erros e a saída pode apresentar diferenças em relação ao padrão desejado 2 Para que a saída mantenha a qualidade requerida é necessária uma regulagem periódica 14 Projeto e compensação de sistemas de controle Este livro discute aspectos básicos do projeto e da compensação de sistemas de controle Compensação é a modificação da dinâmica do sistema para satisfazer às especificações dadas As abordagens para projeto e compensação de sistemas de controle utilizadas neste livro são a abordagem de lugar das raízes a abordagem de resposta em frequência e a abordagem de espa ço de estados O projeto e a compensação de tais sistemas de controle serão apresentados nos capítulos 6 7 9 e 10 A abordagem de compensação com PID ProporcionalIntegralDerivado no projeto de sistemas de controle está no Capítulo 8 No projeto real de um sistema de controle a utilização de um compensador eletrônico pneumático ou hidráulico é uma questão que deve ser decidida em parte com base na natureza da planta a ser controlada Por exemplo se a planta a ser controlada inclui líquido inflamável temos de escolher componentes pneumáticos tanto um compensador quanto um atuador para evitar a possibilidade de faíscas Se no entanto não há risco de incêndio compensadores eletrônicos são os mais usados Inclusive muitas vezes transformamos sinais não elétricos em sinais elétricos em virtude da simplicidade de transmissão da maior precisão maior confiabilidade facilidade de compensação e vantagens semelhantes Especificações de desempenho Sistemas de controle são projetados para realizar tarefas espe cíficas Os requisitos impostos no sistema de controle são geralmente explicitados como especi ficações de desempenho As especificações podem ser dadas em termos de requisitos de resposta transitória como máximo sobressinal e tempo de acomodação na resposta à entrada em degrau e de requisitos em regime estacionário como erro estacionário para uma entrada em rampa ou podem ser dados em termos de resposta em frequência As especificações de um sistema de controle devem ser dadas antes do início do processo de projeto Para problemas rotineiros de projeto as especificações de desempenho que se relacionam à precisão estabilidade relativa e velocidade de resposta podem ser dadas em termos de valores numéricos precisos Em outros casos elas podem ser dadas em parte como valores numéricos precisos e em parte em termos de afirmações qualitativas Nesse último caso as especificações podem ter de ser modificadas durante o curso do projeto já que as especificações dadas podem nunca ser satisfeitas em razão de requisitos conflitantes ou podem levar a um sistema muito caro Geralmente as especificações de desempenho não devem ser mais restritivas que o neces sário para a realização da tarefa em questão Se a precisão da operação em estado estacionário for de primordial importância em determinado sistema de controle então não devemos precisar de especificações desnecessariamente rígidas na resposta transitória pois essas especificações exigirão componentes dispendiosos Lembrese de que a parte mais importante do projeto de 8 Engenharia de controle moderno sistemas de controle é estabelecer precisamente as especificações de desempenho de forma que elas resultem em um sistema de controle ótimo para o fim a que se destina Compensação do sistema Ajustar o ganho é o primeiro passo no ajuste do sistema para um desempenho satisfatório No entanto em muitos casos práticos o ajuste do ganho por si só pode não proporcionar uma alteração no comportamento do sistema que atenda às especificações desejadas Como ocorre frequentemente o aumento no valor do ganho melhora o comportamento em regime estacionário mas resulta em estabilidade deficiente e até em instabilidade Tornase necessário então reprojetar o sistema modificando a estrutura ou incorporando dispositivos ou componentes adicionais para alterar seu comportamento geral de modo que ele se comporte como desejado Tal reprojeto ou acréscimo de um dispositivo adequado chamase compensação Um dispositivo inserido no sistema com o propósito de satisfazer às especificações é denominado compensador Este compensa pelo desempenho deficiente do sistema original Procedimentos de projeto No processo de projetar um sistema de controle montamos um modelo matemático do sistema de controle e ajustamos os parâmetros de um compensador A parte do processo que mais consome tempo é a verificação do desempenho do sistema por meio da análise de cada ajuste dos parâmetros O projetista deve usar o MATLAB ou outro software disponível para evitar boa parte do trabalho matemático enfadonho necessário a essa verificação Uma vez que um modelo matemático satisfatório tenha sido obtido o projetista deve construir um protótipo e testar o sistema de malha aberta Se houver garantia de estabilidade absoluta da malha fechada o projetista fecha a malha e testa o desempenho do sistema de malha fechada resultante Devido aos efeitos negligenciados da carga entre os componentes das não linearidades dos parâmetros distribuídos e assim por diante que não foram levados em consideração no projeto original o desempenho real do protótipo do sistema provavelmente será diferente das previsões teóricas Portanto o primeiro projeto pode não satisfazer todos os requisitos de desempenho O projetista deve ajustar os parâmetros do sistema e modificar o protótipo até que o sistema atenda às especificações Ao fazer isso ele deve analisar cada teste e os resultados da análise devem ser incorporados ao teste seguinte O projetista deve garantir que o sistema final atenda às especifi cações de desempenho e seja ao mesmo tempo confiável e econômico 15 Estrutura do livro Este texto foi organizado em dez capítulos A estrutura de cada capítulo pode ser resumida como segue O Capítulo 1 apresenta a introdução a este livro O Capítulo 2 trata da modelagem matemática de sistemas de controle descritos por equações diferenciais lineares Especificamente funções de transferência são obtidas a partir de sistemas de equações diferenciais São obtidas também representações em espaço de estado a partir de sistemas de equações diferenciais O MATLAB foi usado para transformar modelos matemáticos de funções de transferência para equações em espaço de estado e viceversa Este livro explica com detalhes os sistemas lineares Se o modelo matemático de um sistema for não linear ele terá de ser linearizado antes que sejam aplicadas as teorias constantes neste livro Uma técnica para linearizar modelos matemáticos não lineares é mostrada nesse capítulo O Capítulo 3 traz modelos matemáticos de vários sistemas mecânicos e elétricos que aparecem com frequência nos sistemas de controle O Capítulo 4 aborda vários sistemas fluidos e térmicos que aparecem em sistemas de controle Aqui os sistemas fluidos incluem sistemas de níveis de líquidos sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos Sistemas térmicos como os de controle de temperatura também são discutidos nesse capítulo Engenheiros de controle devem estar familiarizados com todos os sistemas abordados nesse capítulo 9 Capítulo 1 Introdução aos sistemas de controle O Capítulo 5 apresenta análises de resposta transitória e de resposta em regime estacio nário em sistemas de controle definidas em termos de funções de transferência A abordagem MATLAB para a obtenção da análise de resposta transitória e de resposta em regime estacio nário é apresentada em detalhe É apresentada também a abordagem Matlab para a obtenção de gráficos tridimensionais A análise de estabilidade com base no critério de estabilidade de Routh está incluída nesse capítulo e o critério de estabilidade de Hurwitz é discutido resumidamente O Capítulo 6 explora o método do lugar das raízes para a análise e o projeto dos sistemas de controle Tratase de um método gráfico para a determinação da localização de todos os polos de malha fechada a partir do conhecimento da localização dos polos e zeros de malha aberta quando um parâmetro geralmente o ganho varia de zero a infinito Esse método foi desenvolvido por W R Evans por volta de 1950 Atualmente o MATLAB pode produzir gráficos do lugar das raízes com rapidez e facilidade O capítulo apresenta tanto a abordagem manual quanto a abordagem MATLAB para a geração de gráficos de lugar das raízes Detalhes dos sistemas de controle que utilizam compensadores por avanço de fase compensadores por atraso de fase e compensadores por avanço e atraso de fases são apresentados nesse capítulo O Capítulo 7 aborda a análise e o projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Este é o método mais antigo de análise de sistemas de controle e foi desenvolvido entre 1940 e 1950 por Nyquist Bode Nichols e Hazen entre outros Esse capítulo traz detalhes da abordagem de resposta em frequência no projeto de sistemas de controle usando técnicas de compensadores de avanço de atraso e de avanço e atraso O método de resposta em frequência foi o mais utilizado para o projeto e a análise antes que o método de estado estacionário se tornasse popular No entanto desde que o controle Hinfinito se tornou popular no projeto de sistemas de controle robusto a resposta em frequência vem recuperando sua popularidade O Capítulo 8 discute os controles PID e suas variantes como os controladores PID com vários graus de liberdade O controlador PID possui três parâmetros ganho proporcional ganho integral e ganho derivativo Nos sistemas de controle industriais mais da metade dos contro ladores usados atualmente são controladores PID O desempenho do controlador PID depende da magnitude relativa desses três parâmetros A determinação da magnitude relativa dos três parâmetros é chamada ajuste dos controladores PID Ziegler e Nichols propuseram as chamadas regras de ajuste de ZieglerNichols já em 1942 A partir dali várias regras de ajuste foram propostas Atualmente os fabricantes de controladores PID têm suas próprias regras de ajuste Nesse capítulo apresentamos uma abordagem de otimização por computador usando o MATLAB para determinar os três parâmetros de forma a satisfazer as características de resposta transitória A abordagem pode ser expandida para estabelecer os três parâmetros de maneira que satisfaçam quaisquer características dadas O Capítulo 9 apresenta a análise básica de equações de espaço de estado Os conceitos de controlabilidade e observabilidade os mais importantes na moderna teoria de controle graças a Kalman são amplamente discutidos Nesse capítulo soluções para equações de espaço de estado são obtidas em detalhes O Capítulo 10 trata do projeto de sistemas de controle no espaço de estados Esse capítulo se inicia com os problemas de alocação de polos e observadores de estado Na engenharia de con trole é frequentemente desejável estabelecer um indexador de desempenho significativo e tentar minimizálo ou maximizálo conforme o caso Se o indexador de desempenho escolhido tem um significado claramente físico essa abordagem é bastante útil para determinar a variável ótima de controle Esse capítulo discute o problema do regulador quadrático ótimo no qual usamos um indexador de desempenho que é uma integral de uma função quadrática das variáveis de estado e das variáveis de controle A integral é executada a partir de t 0 a t 3 O capítulo encerrase com uma breve discussão sobre sistemas de controle robusto 10 Engenharia de controle moderno Modelagem matemática de sistemas de controle 2 C A P Í T U L O 21 Introdução No estudo de sistemas de controle o leitor deve ser capaz de modelar sistemas dinâmicos em termos matemáticos e analisar suas características dinâmicas O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema com precisão ou pelo menos razoavelmente bem Note que um modelo matemático não é único para determinado sistema Um sistema pode ser representado de muitas maneiras diferentes e portanto pode ter vários modelos matemáticos dependendo da perspectiva a ser considerada A dinâmica de muitos sistemas mecânicos elétricos térmicos econômicos biológicos ou outros pode ser descrita em termos de equações diferenciais Essas equações diferenciais são obtidas pelas leis físicas que regem dado sistema por exemplo as leis de Newton para sis temas mecânicos e as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos Devemos sempre ter em mente que construir modelos matemáticos adequados é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um todo Neste livro assumiremos que o princípio de causalidade se aplica aos sistemas considera dos Isso significa que a atual saída do sistema no instante t 0 depende da entrada anterior a entrada em um instante t 0 mas não depende da entrada futura as entradas nos instantes t 0 Modelos matemáticos Os modelos matemáticos podem assumir diferentes formas Depen dendo do sistema considerado e das circunstâncias particulares um modelo matemático pode ser mais adequado que outros Por exemplo nos problemas de controle ótimo é vantajoso utilizar representações de espaço de estados Por outro lado para a análise da resposta transitória ou da resposta em frequência de um sistema linear invariante no tempo de entrada e de saída únicas a representação pela função de transferência pode ser mais conveniente que qualquer outra Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema podem ser utilizadas várias ferramentas analíticas e de computação para efeito de análise e síntese Simplicidade versus precisão Na obtenção de um modelo matemático devemos estabelecer uma conciliação entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise Na obten ção de um modelo matemático relativamente simplificado frequentemente tornase necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema Em particular se for desejável um modelo matemático linear de parâmetros concentrados isto é se quisermos empregar equações diferen ciais ordinárias é sempre necessário ignorar certas não linearidades e os parâmetros distribuídos que podem estar presentes no sistema físico Se os efeitos que essas propriedades ignoradas têm sobre a resposta forem pequenos podese obter boa aproximação entre os resultados da análise de um modelo matemático e os resultados do estudo experimental do sistema físico Em geral na solução de um novo problema é conveniente construir um modelo simplificado para que possamos ter uma percepção geral em relação à solução Um modelo matemático mais completo pode então ser construído e utilizado para que sejam obtidas análises mais precisas Devemos estar bastante atentos para o fato de que um modelo linear de parâmetros concen trados válido em operações de baixa frequência pode não ser válido para frequências suficien temente altas uma vez que a propriedade de parâmetros distribuídos não considerada pode se tornar um fator importante no comportamento dinâmico do sistema Por exemplo a massa de uma mola pode ser desprezada em operações de baixa frequência mas se torna uma propriedade importante do sistema em frequências elevadas Para o caso em que um modelo matemático envolve erros consideráveis a teoria de controle robusto pode ser aplicada A teoria de controle robusto é apresentada no Capítulo 10 Sistemas lineares Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele O princípio da superposição afirma que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções de determinação diversas é a soma das duas respostas individuais Então para o siste ma linear a resposta a diversas entradas pode ser calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados Esse é o princípio que permite construir soluções complicadas para equações diferenciais lineares a partir de soluções simples Na pesquisa experimental de um sistema dinâmico se causa e efeito forem proporcionais significando assim que é válida a aplicação do princípio da superposição então o sistema pode ser considerado linear Sistemas lineares invariantes no tempo e sistemas lineares variantes no tempo Uma equação diferencial é linear se os coeficientes forem constantes ou somente funções da variável independente Os sistemas dinâmicos compostos por componentes lineares de parâmetros con centrados invariantes no tempo podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo isto é de coeficientes constantes Esses sistemas são denominados sistemas lineares invariantes no tempo ou lineares de coeficientes constantes Os sistemas representados por equações diferenciais cujos coeficientes são funções de tempo são chamados sistemas linea res variantes no tempo Um exemplo de sistema de controle variante no tempo é um sistema de controle de veículo espacial A massa de um veículo espacial muda devido ao consumo do combustível Visão geral do capítulo A Seção 21 exibiu uma introdução à modelagem matemática dos sistemas dinâmicos A Seção 22 apresenta a função de transferência e a função de resposta impulsiva A Seção 23 introduz sistemas de controle automático e a Seção 24 discute conceitos de modelagem no espaço de estados A Seção 25 trata da representação no espaço de estados dos sistemas dinâmicos A Seção 26 mostra a transformação de modelos matemáticos com o uso do MATLAB Por fim a Seção 27 discute a linearização de modelos matemáticos não lineares 22 Função de transferência e de resposta impulsiva Na teoria de controle as funções de transferência são comumente utilizadas para caracterizar as relações de entrada e de saída de componentes ou de sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo Começamos pela definição de função de transferência e seguimos com a dedução da função de transferência de um sistema de equação diferencial Em seguida discutimos a função de resposta impulsiva Função de transferência A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo é definida como a relação entre a transformada 12 Engenharia de controle moderno de Laplace da saída função de resposta response function e a transformada de Laplace da entrada função de excitação driving function admitindose todas as condições iniciais nulas Considere o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial a y a y a y a y b x b x b x b x n m n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g o o h h h h h onde y é a saída do sistema e x é a entrada A função de transferência desse sistema é a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada quando todas as condições iniciais são zero ou G s X s Y s a s a s a s a b s b s b s b Função de transferência entrada saída condições iniciais nulas n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g h h h 6 6 Utilizando o conceito de função de transferência é possível representar a dinâmica de um sistema por meio de uma equação algébrica em s Se a maior potência de s no denominador da função de transferência for igual a n o sistema será denominado sistema de ordem n Comentários sobre a função de transferência A aplicabilidade do conceito de função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo O método da função de transferência entretanto é amplamente utilizado na análise e no projeto desses sistemas A seguir mostraremos importantes comentários a respeito da função de trans ferência Observe que o sistema ao qual a lista se refere é descrito por uma equação diferencial linear invariante no tempo 1 A função de transferência de um sistema é um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada 2 A função de transferência é uma propriedade inerente ao sistema independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada ou de excitação 3 A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada à saída entretanto não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema As funções de transferência de diversos sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas 4 Se a função de transferência de um sistema for conhecida a saída ou a resposta poderá ser estudada para várias maneiras de entrada visando ao entendimento da natureza do sistema 5 Se a função de transferência de um sistema não for conhecida ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas do sistema Uma vez determinada a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema independentemente de sua descrição física Integral de convolução Para um sistema linear invariante no tempo a função de transferência Gs é G s X s Y s h h h onde Xs é a transformada de Laplace da entrada e Ys é a transformada de Laplace da saída do sistema considerando que todas as condições iniciais envolvidas sejam nulas Seguese que a saída Ys pode ser escrita como o produto de Gs e Xs ou Ys GsXs 21 13 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Note que a multiplicação no domínio complexo é equivalente à convolução no domínio de tempo veja o Apêndice A de modo que a transformada inversa de Laplace da Equação 21 seja dada pela seguinte integral de convolução y t x g t d g x t d t t 0 0 x x x x x x h h h h h onde ambos gt e xt são 0 para t 0 Função de resposta impulsiva Considere a saída resposta de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são nulas Como a transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade a transformada de Laplace da saída do sistema é Ys Gs 22 A transformada inversa de Laplace da saída dada pela Equação 22 é a resposta impulsiva do sistema A transformada inversa de Laplace de Gs ou 1Gs gt é chamada função de resposta impulsiva Essa função gt também é denominada função carac terística do sistema A função de resposta impulsiva gt é portanto a resposta de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais do sistema são nulas A transformada de Laplace dessa função fornece a função de transferência Assim a função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear invariante no tempo contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema Dessa maneira é possível obter informações completas sobre as características dinâmicas de um sistema por meio da excitação por um impulso de entrada e medindo a resposta Na prática um pulso de entrada de duração muito pequena comparado com constantes de tempo dominantes do sistema pode ser considerado um impulso 23 Sistemas de controle automático Um sistema de controle pode ter vários componentes Para mostrar as funções que são exe cutadas em cada um desses componentes na engenharia de controle normalmente utilizamos um diagrama chamado diagrama de blocos Esta seção se inicia com a explicação do que é um diagrama de blocos Em seguida apresenta os aspectos introdutórios aos sistemas de controle automático incluindo várias ações de controle Depois mostra um método para a obtenção do diagrama de blocos para sistemas físicos e por fim discute técnicas para a simplificação desses diagramas Diagramas de blocos Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais entre eles Esses diagra mas descrevem o interrelacionamento que existe entre os vários componentes Diferindo da representação matemática abstrata pura um diagrama de blocos tem a vantagem de indicar mais realisticamente o fluxo de sinais do sistema real Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras por meio de blocos funcionais O bloco funcional ou simplesmente bloco é um símbolo da operação matemática que é aplicada ao sinal de entrada do bloco que produz o sinal de saída A função de transferência dos componentes normalmente é incluída nos blocos correspondentes os quais estão conectados por setas que indicam a direção do fluxo de sinais Note que o sinal pode passar somente no sentido indicado pelas setas Assim um diagrama de blocos de um sistema de controle evidencia explicitamente uma propriedade unilateral 14 Engenharia de controle moderno A Figura 21 mostra um elemento do diagrama de blocos A seta que aponta para o bloco indica a entrada e a seta que aponta para fora do bloco representa a saída Essas setas são desig nadas como sinais Observe que as dimensões do sinal de saída do bloco são as dimensões do sinal de entrada multiplicadas pelas dimensões da função de transferência do bloco As vantagens da representação de um sistema por diagramas de blocos consistem no fato de que é fácil construir um diagrama de blocos para todo o sistema pela simples interligação dos blocos componentes de acordo com o fluxo de sinais e pela possibilidade de avaliar a contri buição de cada componente para o desempenho global do sistema Em geral a operação funcional do sistema pode ser visualizada mais facilmente pelo exame do diagrama de blocos do que pelo exame do próprio sistema físico Um diagrama de blocos contém informações relativas ao comportamento dinâmico mas não inclui nenhuma informação sobre a construção física do sistema Consequentemente muitos sistemas que não apresentam semelhança e não estão relacionados podem ser representados pelo mesmo diagrama de blocos Deve ser notado que em um diagrama de blocos a fonte principal de energia não é mostrada explicitamente e o diagrama de blocos de dado sistema não é único Certo número de diferentes diagramas de bloco pode ser desenhado para determinado sistema dependendo do ponto de vista da análise que se quer fazer Somador Referindose à Figura 22 um círculo com uma cruz é o símbolo que indica a ope ração de soma O sinal de mais ou menos na extremidade de cada seta indica se o sinal deve ser somado ou subtraído É importante que as quantidades a serem somadas ou subtraídas tenham as mesmas dimensões e as mesmas unidades Ponto de ramificação Um ponto de ramificação é um ponto do qual o sinal que vem de um bloco avança simultaneamente em direção a outros blocos ou somadores Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada A Figura 23 traz o exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha fechada A saída Cs é realimentada ao somador em que é comparada à referência de entrada Rs A natureza de malha fechada do sistema é cla ramente indicada pela figura A saída do bloco Cs nesse caso é obtida pela multiplicação da função de transferência Gs pela entrada do bloco Es Todo sistema de controle linear pode ser representado por diagramas de bloco constituídos por blocos somadores e pontos de ramificação Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a entrada é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada Por exemplo em um sistema de controle FIGURA 21 Função de transferência Gs Elemento de um diagrama de blocos FIGURA 22 a a b b Somador 15 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle de temperatura o sinal de saída normalmente é a temperatura controlada O sinal de saída o qual tem a dimensão da temperatura deve ser convertido para uma força ou posição ou tensão antes de ser comparado ao sinal de entrada Essa conversão é realizada por meio do elemento de rea limentação cuja função de transferência é Hs como mostra a Figura 24 O papel do elemento de realimentação é modificar a saída antes de ser comparada com a entrada Na maioria dos casos o elemento de realimentação é um sensor que mede a saída da planta A saída do sensor é comparada com a entrada do sistema e é gerado um sinal de erro atuante Nesse exemplo o sinal de realimentação que é enviado ao somador para comparação com o sinal de entrada é Bs HsCs Função de transferência de malha aberta e função de transferência do ramo direto Referindose à Figura 24 a relação entre o sinal de realimentação Bs e o sinal de erro atuante Es é chamada função de transferência de malha aberta Ou seja Função de transferência de malha aberta E s B s h h GsHs A relação entre o sinal de saída Cs e o sinal de erro atuante Es é denominada função de trans ferência do ramo direto então Função de transferência do ramo direto E s C s G s h h h Se a função de transferência de realimentação Hs for unitária então a função de transferência de malha aberta e a função de transferência do ramo direto serão as mesmas Função de transferência de malha fechada Para o sistema mostrado na Figura 24 a saída Cs e a entrada Rs estão relacionadas como a seguir como Cs GsEs Es Rs Bs Rs HsCs eliminando Es dessas equações resulta em Cs GsRs HsCs FIGURA 23 Rs Es Gs Cs Ponto de ramificação Somador Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada FIGURA 24 Rs Bs Es Gs Hs Cs Sistema de malha fechada 16 Engenharia de controle moderno ou R s C s G s H s G s 1 h h h h h 23 A função de transferência que relaciona Cs a Rs é chamada função de transferência de malha fechada Essa função de transferência relaciona a dinâmica dos sistemas de malha fechada à dinâmica dos elementos do ramo direto e dos elementos de realimentação A partir da Equação 23 Cs é dada por C s G s H s G s R s 1 h h h h h Assim a saída do sistema de malha fechada depende claramente tanto da função de transfe rência de malha fechada como da natureza da entrada Obtendo funções de transferência em cascata em paralelo e com realimentação de malha fechada com o MATLAB Na análise de sistemas de controle necessitamos frequen temente calcular as funções de transferência em cascata as funções de transferência conectadas em paralelo e as funções de transferência com realimentação conectadas de malha fechada O MATLAB tem comandos convenientes para obter as funções de transferência em cascata em paralelo e com realimentação de malha fechada Suponha que existam dois componentes G1s e G2s conectados diferentemente como mostram as figuras 25a b e c onde G s G s den1 num1 den2 num2 1 2 h h Para obter a função de transferência no sistema em cascata no sistema em paralelo ou no sistema com realimentação de malha fechada os seguintes comandos podem ser usados num den seriesnum1den1num2den2 num den parallelnum1den1num2den2 num den feedbacknum1den1num2den2 Como exemplo considere o caso em que G s s s G s s 2 10 10 5 5 den1 num1 den2 num2 1 2 2 h h FIGURA 25 G1s G1s G2s G2s Cs Rs Cs Cs Rs Rs G1s G2s a b c a Sistema em cascata b sistema em paralelo c sistema com realimentação de malha fechada 17 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle O Programa 21 em MATLAB fornece CsRs numden para cada arranjo de G1s e G2s Note que o comando printsysnumden mostra o numden isto é a função de transferência CsRs do sistema a ser considerado Programa 21 em MATLAB num1 10 den1 1 2 10 num2 5 den2 1 5 num den seriesnum1den1num2den2 printsysnumden numden 50 s3 7s2 20s 50 num den parallelnum1den1num2den2 printsysnumden numden 5s2 20s 100 s3 7s2 20s 50 num den feedbacknum1den1num2den2 printsysnumden numden 10s 50 s3 7s2 20s 100 Controladores automáticos Um controlador automático compara o valor real de saída da planta com a entrada de referência valor desejado determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno A maneira pela qual o controlador automático produz o sinal de controle é chamada ação de controle A Figura 26 é um diagrama de blocos de um sistema de controle industrial o qual consiste em um controlador automático um atuador uma planta e um sensor elemento de medição O controlador detecta o sinal de erro atuante o qual normalmente é de potência muito baixa e o amplifica a um nível suficientemente alto A saída de um controlador automático alimenta um atuador como um motor elétrico um motor hidráulico um motor pneumático ou uma válvula O atuador é um dispositivo de potência que produz o sinal de entrada na planta de acordo com o sinal de controle de modo que a saída se aproxime do sinal de entrada de referência FIGURA 26 Entrada de referência Ponto de ajuste Controlador automático Detector de erro Amplificador Sinal de erro atuante Atuador Planta Saída Sensor Diagrama de blocos de um sistema de controle industrial que consiste em um controlador automático um atuador uma planta e um sensor elemento de medição 18 Engenharia de controle moderno O sensor ou elemento de medição é um dispositivo que converte a variável de saída em outra variável conveniente como deslocamento pressão tensão etc que pode ser utilizada para comparar a saída ao sinal de entrada de referência Esse elemento está no ramo de realimenta ção do sistema de malha fechada O ponto de ajuste do controlador deve ser convertido em um sinal de referência com as mesmas unidades do sinal de realimentação que vem do sensor ou do elemento de medição Classificação dos controladores industriais A maioria dos controladores industriais pode ser classificada de acordo com suas ações de controle em 1 Controladores de duas posições ou onoff 2 Controladores proporcionais 3 Controladores integrais 4 Controladores proporcionalintegrais 5 Controladores proporcionalderivativos 6 Controladores proporcionalintegralderivativos A maior parte dos controladores industriais utiliza eletricidade ou fluido pressurizado como óleo ou ar como fontes de energia Como consequência os controladores também podem ser classificados de acordo com a espécie de energia empregada na operação como controladores pneumáticos con troladores hidráulicos ou controladores eletrônicos A escolha do tipo de controlador a ser utilizado deve ser decidida com base na natureza da planta e nas condições de operação incluindo certas considerações como segurança custo disponibilidade confiabilidade precisão peso e tamanho Ação de controle de duas posições ou onoff Em um sistema de controle de duas posições o elemento atuante tem somente duas posições fixas que são em muitos casos simplesmente on e off O controle de duas posições ou onoff é relativamente simples e barato e por essa razão é bastante utilizado em sistemas de controle domésticos e industriais Considere que o sinal de saída do controlador é ut e o sinal de erro atuante é et No con trole de duas posições o sinal ut permanece em um valor máximo ou em um valor mínimo dependendo se o sinal de erro atuante for negativo ou positivo Assim ut U1 para et 0 U2 para et 0 onde U1 e U2 são constantes O valor mínimo U2 normalmente é zero ou U1 Os controladores de duas posições são em geral dispositivos elétricos e as válvulas operadas por solenoides elétricos são muito utilizadas nesses controladores Controladores proporcionais pneumáticos com ganhos muito altos atuam como controladores de duas posições e às vezes são chamados controladores pneumáticos de duas posições As figuras 27a e b mostram os diagramas de bloco do controlador de duas posições ou onoff O intervalo no qual o sinal de erro atuante deve variar antes de ocorrer a comutação é denominado intervalo diferencial Um intervalo diferencial está indicado na Figura 27b Esse intervalo diferencial faz que a saída ut do controlador mantenha seu valor atual até que o sinal de erro atuante tenha variado ligeiramente além do valor zero Em alguns casos o intervalo diferencial é o resultado de um atrito não intencional e da perda de movimento entretanto muitas vezes ele é provocado intencionalmente para prevenir uma operação muito frequente do mecanismo de onoff Considere o sistema de controle de nível de líquido mostrado na Figura 28a em que a válvula eletromagnética apresentada na Figura 28b é utilizada para o controle da vazão de entrada Essa válvula está aberta ou fechada Com esse controle de duas posições a vazão de entrada da água pode ser tanto uma constante positiva como nula Como mostrado na Figura 29 o sinal de saída movese continuamente entre os dois limites estabelecidos ocasionando o movimento do elemento atuante de uma posição fixa para outra Note que a curva de saída segue uma das duas curvas exponenciais uma correspondente à curva de enchimento e a outra à do esvaziamento 19 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Essa oscilação de saída entre dois limites é uma resposta típica de um sistema de controle de duas posições A partir da Figura 29 podemos notar que a amplitude da oscilação da saída pode ser reduzida pela diminuição do intervalo diferencial A diminuição do intervalo diferencial entretanto aumen ta o número de comutações onoff por minuto e reduz a vida útil do componente O tamanho do intervalo diferencial deve ser determinado a partir de considerações como a precisão requerida e a vida útil do componente Ação de controle proporcional Para um controlador com ação de controle proporcional a relação entre a saída do controlador ut e o sinal de erro atuante et é ut Kpet ou transformando por Laplace E s U s Kp h h FIGURA 27 a b U1 U2 u e U1 U2 u e Intervalo diferencial a Diagrama de blocos de um controlador on off b diagrama de blocos de um controlador on off com intervalo diferencial FIGURA 28 115 V R C h a b qi Boia Núcleo móvel de ferro Bobina magnética a Sistema de controle de nível de líquido b válvula eletromagnética FIGURA 29 ht t 0 Intervalo diferencial Curva do nível ht versus t relativa ao sistema mostrado na Figura 28a 20 Engenharia de controle moderno onde Kp é denominado ganho proporcional Qualquer que seja o mecanismo real e o tipo de energia utilizada na operação o controlador proporcional é essencialmente um amplificador com um ganho ajustável Ação de controle integral Em um controlador com ação de controle integral o valor da saída ut do controlador é modificado a uma taxa de variação proporcional ao sinal de erro atuante et Ou seja dt du t K e t i h h ou u t K e t dt i t 0 h h onde Ki é uma constante ajustável A função de transferência de um controlador integral é E s U s s Ki h h Ação de controle proporcionalintegral A ação de controle de um controlador proporcional integral é definida por u t K e t T K e t dt p i p t 0 h h h ou então a função de transferência do controlador é E s U s K Ts 1 1 p i e h h o onde Ti é chamado tempo integrativo Ação de controle proporcionalderivativo A ação de controle de um controlador propor cionalderivativo é definida por u t K e t K T dt de t p p d h h h e a função de transferência é E s U s K T s p 1 d h h h onde Td é chamado tempo derivativo Ação de controle proporcionalintegralderivativo A combinação das ações de controle proporcional de controle integral e de controle derivativo é denominada ação de controle pro porcionalintegralderivativo Essa ação combinada tem as vantagens individuais de cada uma das três ações de controle A equação de um controlador com essas ações combinadas é dada por u t K e t T K e t dt K T dt de t p i p p d t 0 h h h h e a função de transferência é E s U s K Ts T s 1 1 p i d e h h o onde Kp é o ganho proporcional Ti é o tempo integrativo e Td é o tempo derivativo O diagrama de blocos de um controlador proporcionalintegralderivativo é mostrado na Figura 210 21 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Sistema de malha fechada submetido a um distúrbio A Figura 211 mostra um sistema de malha fechada submetido a um distúrbio Quando duas entradas a entrada de referência e o distúrbio estão presentes em um sistema linear invariante no tempo cada entrada pode ser tratada independentemente da outra e as saídas que correspondem a cada entrada individual podem ser somadas para resultar na saída completa O sinal com que cada entrada é introduzida no sistema é mostrado no somador por um sinal de mais ou de menos Considere o sistema mostrado na Figura 211 Examinando o efeito do distúrbio Ds podemos admitir que a entrada de referência seja zero podemos então calcular a resposta CDs somente para o distúrbio Essa resposta pode ser encontrada a partir de D s C s G s G s H s G s 1 D 1 2 2 h h h h h h Por outro lado considerando a resposta à entrada de referência Rs podemos supor que o dis túrbio seja zero Então a resposta CRs à entrada de referência Rs pode ser obtida a partir de R s C s G s G s H s G s G s 1 R 1 2 1 2 h h h h h h h A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e do distúrbio pode ser obtida pela soma das duas respostas individuais Em outras palavras a resposta Cs devida à aplicação simultânea da entrada de referência Rs e do distúrbio Ds é dada por Cs CRs CDs G s G s H s G s G s R s D s 1 1 2 2 1 h h h h h h h 6 Considere agora o caso em que G1sHs 1 e G1sG2sHs 1 Nesse caso a função de transferência de malha fechada CDsDs tornase praticamente nula e o efeito do distúrbio é suprimido Isso é uma vantagem do sistema de malha fechada Por outro lado a função de transferência de malha fechada CRsRs aproximase de 1Hs conforme o ganho de G1sG2sHs aumenta Isso significa que se G1sG2sHs 1 então a função de transferência de malha fechada CRsRs tornase independente de G1s e G2s e inversamente proporcional a Hs de modo que as variações de G1s e G2s não afetem a função FIGURA 210 Es Us Kp1 Tis Ti Tds2 Tis Diagrama de blocos de um controlador proporcional integral derivativo FIGURA 211 Rs G1s G2s Hs Cs Distúrbio Ds Sistema de malha fechada submetido a um distúrbio 22 Engenharia de controle moderno de transferência de malha fechada CRsRs Esta é outra vantagem do sistema de malha fechada Concluise facilmente que qualquer sistema de malha fechada com realimentação unitária Hs 1 tende a igualar a entrada à saída Procedimentos para construir um diagrama de blocos Para construir um diagrama de blocos de um sistema devem ser previamente escritas as equações que descrevem o compor tamento dinâmico de cada componente Em seguida devese obter a transformada de Laplace dessas equações admitindose nulas todas as condições iniciais para então representar indivi dualmente em forma de bloco a transformada de Laplace de cada equação Por fim devemse agrupar os elementos em um diagrama de blocos completo Como exemplo considere o circuito RC mostrado na Figura 212a As equações para esse circuito são i R e e i o 24 e C idt o 25 As transformadas de Laplace das equações 24 e 25 com as condições iniciais nulas tornamse I s R E s E s i o h h h 26 E s Cs I s o h h 27 A Equação 26 representa uma operação de soma e o diagrama correspondente é mostrado na Figura 212b A Equação 27 representa o bloco exposto na Figura 212c Agrupando esses dois elementos obtemos o diagrama de blocos completo do sistema como se pode ver na Figura 212d Redução do diagrama de blocos É importante notar que os blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um bloco não for afetada pelo bloco seguinte Se houver qualquer efeito de carga entre os componentes é necessário combinar esses componentes em um único bloco Qualquer que seja o número de blocos em cascata que represente componentes sem carga esses blocos podem ser substituídos por um único bloco e sua função de transferência será sim plesmente o produto das funções de transferência individuais Um diagrama de blocos complexo que envolve muitas malhas de realimentação pode ser simplificado por meio de uma reorganização por etapas A simplificação do diagrama de blocos FIGURA 212 d Eis Is Eos 1 R 1 Cs Eos b Eis Is 1 R c Is Eos 1 Cs a R C eo ei i a Circuito RC b diagrama de blocos que representa a Equação 26 c diagrama de blocos que representa a Equação 27 d diagrama de blocos do circuito RC 23 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle por meio da reorganização reduz consideravelmente o trabalho necessário para a análise mate mática subsequente Devese observar entretanto que à medida que o diagrama de blocos é simplificado as funções de transferência nos novos blocos tornamse mais complexas em virtude da geração de novos polos e novos zeros Exemplo 21 Considere o sistema mostrado na Figura 213a Simplifique o diagrama Movendo o somador da malha de realimentação negativa que contém H2 para fora da malha de realimentação positiva que contém H1 obtemos a Figura 213b Eliminando a malha de rea limentação positiva obtemos a Figura 213c A eliminação da malha que contém H2G1 resulta na Figura 213d Por fim eliminando a malha de realimentação o resultado é a Figura 213e Note que o numerador da função de transferência de malha fechada CsRs é o produto das funções de transferência do ramo diretoO denominador de CsRs é igual a 1 Σ produto da função de transferência contornando cada malha 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 A malha de realimentação positiva gera um termo negativo no denominador FIGURA 213 R G1 H1 H2 G3 G2 C R G1 H1 G3 G2 C R G3 C R C R C a b c d e H2 G1 H2 G1 G1G2 1 G1G2H1 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 a Sistema de múltiplas malhas be reduções sucessivas do diagrama de blocos mostrado em a 24 Engenharia de controle moderno 24 Modelagem no espaço de estados Nesta seção apresentaremos o material introdutório sobre a análise de sistemas de controle no espaço de estados Teoria de controle moderno A tendência moderna nos sistemas de engenharia é aumentar sua complexidade principalmente em virtude da necessidade de realizar tarefas complexas e de alta precisão Sistemas complexos podem ter entradas e saídas múltiplas e ser variantes no tempo Em razão da necessidade de atender a crescentes e rigorosas exigências de desempenho dos sistemas de controle ao aumento da complexidade dos sistemas e ao acesso fácil e em larga escala aos computadores a teoria de controle moderno que é uma nova abordagem para a análise e o projeto de sistemas de controle complexos tem sido desenvolvida desde aproximadamente 1960 Essa nova teoria tem como base o conceito de estado O conceito de estado propriamente dito não é novo pois existe há bastante tempo no campo da dinâmica clássica e em outras áreas Teoria de controle moderno versus teoria de controle convencional A teoria de con trole moderno contrasta com a teoria de controle convencional porque a primeira é aplicada a sistemas de entradas e de saídas múltiplas que podem ser lineares ou não lineares variantes ou invariantes no tempo ao passo que a última é aplicável somente a sistemas lineares invariantes no tempo de entrada e de saída únicas A teoria de controle moderno é também essencialmente uma abordagem no domínio de tempo e no domínio da frequência em certos casos como o controle Hinfinito enquanto a teoria de controle convencional é uma abordagem no domínio da frequência complexa Antes de prosseguirmos devemos definir estado variáveis de estado vetor de estado e espaço de estados Estado O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis chamadas variáveis de estado tais que o conhecimento dessas variáveis em t t0 junto ao conhecimento da entrada para t t0 determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0 Observe que o conceito de estado não é limitado ao caso dos sistemas físicos ele é aplicável também a sistemas biológicos econômicos sociais e outros Variáveis de estado As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico Se pelo menos n variáveis x1 x2 xn são necessárias para descrever todo o comportamento de um sistema dinâmico de tal modo que sendo dada a entrada para t t0 e especificado o estado inicial em t t0 o estado futuro do sistema fique completamente estabelecido então essas n variáveis formam um conjunto de variáveis de estado Note que essas variáveis de estado não necessitam ser quantidades fisicamente mensuráveis ou observáveis As variáveis que não representam grandezas físicas e aquelas que não são nem mensu ráveis nem observáveis podem ser escolhidas como variáveis de estado Essa liberdade de escolha das variáveis de estado é uma vantagem dos métodos de espaço de estados Na prática entretanto é conveniente escolher para as variáveis de estado grandezas que sejam facilmente mensuráveis se isso for possível porque as leis do controle ótimo requerem a realimentação de todas as variáveis de estado com ponderação adequada Vetor de estado Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de dado sistema então essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x Esse vetor é chamado vetor de estado Assim um vetor de estado é aquele que determina univocamente o estado do sistema xt para qualquer instante t t0 uma vez que é dado o estado em t t0 e a entrada ut para t t0 é especificada Espaço de estados O espaço ndimensional cujos eixos coordenados são formados pelos eixos de x1 x2 xn onde x1 x2 xn são as variáveis de estado é denominado espaço de estados Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados 25 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Equações no espaço de estados A análise no espaço de estados envolve três tipos de variá veis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos variáveis de entrada variáveis de saída e variáveis de estado Como veremos na Seção 25 a representação de dado sistema no espaço de estados não é única mas o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer uma das diferentes representações do mesmo sistema no espaço de estados O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem os valores de entrada para t t1 Uma vez que os integradores em um sistema de controle de tempo contínuo servem como dispositivos de memória as saídas desses integradores podem ser consideradas variáveis que definem o estado interno do sistema dinâmico Assim as saídas dos integradores podem ser esco lhidas como variáveis de estado O número de variáveis de estado que definem completamente a dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores existentes no sistema Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n integradores Considere também que existam r entradas u1t u2t urt e m saídas y1t y2t ymt Defina as n saídas dos integradores como variáveis de estado x1t x2t xnt Então o sistema pode ser descrito como ẋ1t f1x1 x2 xn u1 u2 ur t ẋ2t f2x1 x2 xn u1 u2 ur t h 28 ẋnt fnx1 x2 xn u1 u2 ur t As saídas y1t y2t ymt do sistema podem ser dadas por y1t g1x1 x2 xn u1 u2 ur t y2t g2x1 x2 xn u1 u2 ur t h 29 ymt gmx1 x2 xn u1 u2 ur t Se definirmos t x t x t x t t f x x x u u u t f x x x u u u t f x x x u u u t t y t y t y t t g x x x u u u t g x x x u u u t g x x x u u u t t u t u t u t x f x u y g x u u n n r n r n n r m n r n r n n r r 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 h f f f f h f f h f f f f h f f h h h h h h h h h h h h h h h h h h h R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW as equações 28 e 29 tornamse ẋt fx u t 210 yt gx u t 211 26 Engenharia de controle moderno onde a Equação 210 é a equação de estado e a Equação 211 é a equação de saída Se as funções vetoriais f eou g envolverem explicitamente o tempo t então o sistema será chamado sistema variante no tempo Se as equações 210 e 211 forem linearizadas em torno de um ponto de operação então teremos as seguintes equações de estado e de saída linearizadas ẋt Atxt Btut 212 yt Ctxt Dtut 213 onde At é chamada matriz de estado Bt de matriz de entrada Ct de matriz de saída e Dt de matriz de transmissão direta Os detalhes da linearização de sistemas não lineares em torno de um estado de operação serão discutidos na Seção 27 Uma representação do diagrama de blocos das equações 212 e 213 é mostrada na Figura 214 Se as funções vetoriais f e g não envolverem o tempo t explicitamente então o sistema será denominado de sistema invariante no tempo Nesse caso as equações 212 e 213 podem ser simplificadas para ẋt Axt But 214 ẏt Cxt Dut 215 A Equação 214 é a equação de estado de um sistema linear invariante no tempo e a Equação 215 é a equação de saída para o mesmo sistema Neste livro vamos nos referir principalmente aos sistemas descritos pelas equações 214 e 215 A seguir apresentamos um exemplo que mostra a derivação da equação de estado e da equa ção de saída de um sistema Exemplo 22 Considere o sistema mecânico indicado na Figura 215 Admitimos que o sistema seja linear A força externa ut é a entrada do sistema e o deslocamento yt da massa é a saída O desloca mento yt é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da força externa Este é um sistema de entrada e saída únicas De acordo com o diagrama a equação do sistema é mÿ bẏ ky u 216 Esse sistema é de segunda ordem Isso significa que ele contém dois integradores Vamos definir as variáveis de estado x1t e x2t como x1t yt x2t ẏt Então obtemos x x x m ky by m u 1 1 1 2 2 o o o h FIGURA 214 ut Dt Bt At Ct yt xt dt xt 8 Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo representado no espaço de estados 27 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle ou ẋ1 x2 217 x m k x m b x m u 1 2 1 2 o 218 A equação de saída é y x1 219 Sob a forma vetorialmatricial as equações 217 e 218 podem ser escritas como x x m k m b x x m u 0 1 0 1 1 2 1 2 o o G H G H 220 A equação de saída Equação 219 pode ser escrita como y x x 1 0 1 2 6 G 221 A Equação 220 é uma equação de estado e a Equação 221 é uma equação de saída para o sistema As equações 220 e 221 estão escritas na formapadrão ẋ Ax Bu y Cx Du onde 0 m k m b m D 0 1 0 1 1 0 A B C 6 H H A Figura 216 é um diagrama de blocos do sistema Note que as saídas dos integradores são variáveis de estado FIGURA 215 m k b ut yt Sistema mecânico FIGURA 216 u 1 m b m k m x2 x2 x1 y 8 8 Diagrama de blocos do sistema mecânico mostrado na Figura 215 28 Engenharia de controle moderno Correlação entre funções de transferência e equações no espaço de estados A seguir mostraremos como obter uma função de transferência de um sistema de entrada e de saída únicas a partir das equações no espaço de estados Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por U s Y s G s h h h 222 Esse sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações ẋ Ax Bu 223 y Cx Du 224 onde x é o vetor de estado u é a entrada e y é a saída A transformada de Laplace das equações 223 e 224 é dada por sXs x0 AXs BUs 225 Ys CXs DUs 226 Uma vez que a função de transferência foi previamente definida como a relação entre a transfor mada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada quando as condições iniciais são nulas estabelecemos x0 igual a zero na Equação 225 Então temos sXs AXs BUs ou sI AXs BUs Multiplicando previamente por sI A1 ambos os lados dessa última equação obtemos Xs sI A1BUs 227 Substituindo a Equação 227 na Equação 226 temos Ys CsI A1B DUs 228 Comparando a Equação 228 com a Equação 222 vemos que Gs CsI A1B D 229 Esta é a expressão da função de transferência do sistema em termos de A B C e D Observe que o lado direito da Equação 229 envolve sI A1 Em consequência Gs pode ser escrito da seguinte maneira G s s Q s I A h h onde Qs é um polinômio em s Note que sI A é igual ao polinômio característico de Gs Em outras palavras os autovalores de A são idênticos aos polos de Gs Exemplo 23 Considere novamente o sistema mecânico mostrado na Figura 215 As equações de espaço de estados para o sistema são dadas pelas equações 220 e 221Vamos obter a função de transferên cia do sistema a partir das equações do espaço de estados Pela substituição de A B C e D na Equação 229 obtemos G s s D s s m k m b m s m k s m b m 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 C I A B 1 1 1 h h 6 6 G H H H H 4 29 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Note que s m k s m b s m b s m k s m b m k s 1 1 1 1 2 R T S S SS V X W W WW H Verifique o Apêndice C para a matriz inversa de 2 2 Portanto temos G s s m b s m k s m b m k s m ms bs k 1 0 1 1 0 1 1 2 2 h R T S S SS 6 V X W W WW H que é a função de transferência do sistema A mesma função de transferência pode ser obtida a partir da Equação 216 Matriz de transferência A seguir considere um sistema de múltiplas entradas e múltiplas saídas Suponha que existam r entradas u1 u2 ur e m saídas y1 y2 ym Defina y y y u u u y u m r 1 2 1 2 h h R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW A matriz de transferência Gs relaciona a saída Ys com a entrada Us ou Ys GsUs onde Gs é dado por Gs CsI A1B D A dedução para essa equação é a mesma que a da Equação 229 Como o vetor de entrada u é de dimensão r e o vetor de saída y é de dimensão m a matriz de transferência Gs é uma matriz m r 25 Representação de sistemas de equações diferenciais escalares no espaço de estados Um sistema dinâmico que consiste em um número finito de elementos concentrados pode ser descrito por equações diferenciais ordinárias nas quais o tempo é a variável independente Utilizandose a notação vetorialmatricial uma equação diferencial de ordem n pode ser repre sentada por uma equação diferencial vetorialmatricial de primeira ordem Se n elementos do vetor formam um conjunto de variáveis de estado então a equação diferencial vetorialmatricial é uma equação de estado Nesta seção apresentaremos métodos para obter as representações no espaço de estados de sistemas de tempo contínuo Representação no espaço de estados de sistemas de equações diferenciais lineares de ordem n cuja função de entrada não possui derivadas Considere o seguinte sistema de ordem n y a y a y a y u n n n n 1 1 1 g o h h 230 Observandose que o conhecimento de y0 ẏ0 y n 1 h0 com a entrada ut para t 0 determina completamente o comportamento futuro do sistema podese considerar yt ẏt y n 1 ht como um conjunto de n variáveis de estado Matematicamente essa escolha das variáveis de estado é 30 Engenharia de controle moderno bastante satisfatória Na prática entretanto em virtude da imprecisão dos termos com derivadas de ordem elevada em decorrência dos ruídos inerentes a qualquer situação prática a escolha dessas variáveis de estado pode não ser desejável Definindo x1 y x2 ẏ h x y n n 1 h a Equação 230 pode ser escrita do seguinte modo ẋ1 x2 ẋ2 x3 h ẋn 1 xn ẋn an x1 a1xn u ou ẋ Ax Bu 231 onde x A x x x a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B n n n n 1 2 1 2 1 h h h h g g g g h h R T S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS V X W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW A saída pode ser dada por y x x x 1 0 0 n 1 2 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW ou y Cx 232 onde C 1 0 0 Note que D na Equação 224 é zero A equação diferencial de primeira ordem Equação 231 é a equação de estado e a equação algébrica Equação 232 é a equação de saída Observe que a representação no espaço de estados de um sistema de função de transferência U s Y s s a s a s a 1 n n n n 1 1 1 g h h também é dada pelas equações 231 e 232 31 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Representação do espaço de estados de um sistema de equações diferenciais lineares de ordem n cuja função de entrada possui derivadas Considere o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada como y a y a y a y b u b u b u b u n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g o o h h h h 233 O principal problema na definição das variáveis de estado para esse caso ocorre nos termos com derivadas da entrada u As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado Uma maneira de obter uma equação de estado e a equação de saída para esse caso é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de estado x y u x y u u x u x y u u u x u x y u u u u x u n n n n n n n n 1 0 2 0 1 1 1 3 0 1 2 2 2 1 0 1 1 2 2 1 1 1 h g b b b b b b b b b b b b b o o o p p o o o o o h h h 234 onde β0 β1 β2 βn1 são determinadas a partir de β0 b0 β1 b1 a1β0 β2 b2 a1β1 a2β0 β3 b3 a1β2 a2β1 a3β0 h 235 βn 1 bn 1 a1βn 2 an 2β1 an 1β0 Com essa escolha de variáveis de estado a existência e a exclusividade da solução da equação de estado estão garantidas Note que esta não é a única escolha de um conjunto de variáveis de estado Com essa escolha obtemos ẋ1 x2 β1u ẋ2 x3 β2u h 236 ẋn1 xn βn 1u ẋn anx1 an 1x2 a1xn βnu onde βn é dado por βn bn a1βn 1 an 1β1 an 1β0 Para a dedução da Equação 236 veja o Problema A26 Em termos de equações vetoriais matriciais a Equação 236 e a equação de saída podem ser escritas como 32 Engenharia de controle moderno x x x x a a a a x x x x u y x x x u 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 n n n n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 0 h h h h g g g g h h h g h b b b b b o o o o R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W WW ou ẋ Ax Bu 237 y Cx Du 238 onde x x x x a a a a D b 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 x A B C n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 0 h h h h g g g g h h g b b b b b R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW Com essa representação no espaço de estados as matrizes A e C são exatamente as mesmas do sistema da Equação 230 As derivadas do termo à direita da Equação 233 afetam somente os elementos da matriz B Observe que a representação no espaço de estados para a função de transferência U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h é dada pelas equações 237 e 238 Existem diversas maneiras de obter a representação de sistemas no espaço de estados Os métodos para a obtenção das representações canônicas de sistemas no espaço de estados como a forma canônica controlável a forma canônica observável a forma canônica diagonal e a forma canônica de Jordan são apresentados no Capítulo 9 O MATLAB também pode ser usado para obter representações de sistemas no espaço de estados a partir de representações das funções de transferência e viceversa Esse tema será apresentado na Seção 26 33 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle 26 Transformação de modelos matemáticos com MATLAB O MATLAB é amplamente utilizado para transformar o modelo do sistema de função de transferência para o espaço de estados e viceversa Vamos começar nossa discussão com a trans formação a partir da função de transferência para o modelo no espaço de estados Seja a função de transferência de malha fechada escrita do seguinte modo ô ô polin mio do denomin ador em polin mio do numerador em U s Y s den num s s h h Uma vez obtida a expressão da função de transferência o comando MATLAB a seguir A B C D tf2ssnumden fornecerá a representação no espaço de estados É importante notar que a representação no espaço de estados para dado sistema não é única Existem diversas infinitas representações no espaço de estados para o mesmo sistema O comando MATLAB fornece uma dessas possíveis representações Transformação da função de transferência para o espaço de estados Considere a função de transferência do sistema U s Y s s s s s s s s s 10 4 16 14 56 160 2 3 2 h h h h 239 Existem várias infinitas possíveis representações no espaço de estados para esse sistema Uma delas é x x x x x x u y x x x u 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 1 14 1 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H Outra representação no espaço de estados entre várias alternativas possíveis é x x x x x x u y x x x u 14 1 0 56 0 1 160 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H 240 241 O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação 239 em uma representação no espaço de estados dada pelas equações 240 e 241 Para o exemplo de sistema considerado aqui o Programa 22 em MATLAB vai produzir as matrizes A B C e D 34 Engenharia de controle moderno Programa 22 em MATLAB num 1 0 den 1 14 56 160 ABCD tf2ssnumden A 14 56 160 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 0 1 0 D 0 Transformação do espaço de estados para função de transferência Para obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados utilize o seguinte comando numden ss2tfABCDiu onde iu deve ser especificado para sistemas com mais de uma entrada Por exemplo se o sistema tiver três entradas u1 u2 u3 então iu deverá ser 1 2 ou 3 onde 1 representa u1 2 representa u2 e 3 representa u3 Se o sistema tiver somente uma entrada os comandos numden ss2tfABCD ou numden ss2tfABCD1 poderão ser utilizados Para os casos em que o sistema tenha múltiplas entradas e saídas veja o Problema A2123 Exemplo 24 Obtenha a função de transferência do sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados x x x x x x u y x x x 0 0 5 1 0 25 0 1 5 0 25 120 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H O Programa 23 em MATLAB fornecerá a função de transferência para o sistema em questão A função de transferência obtida é dada por U s Y s s s s s 5 25 5 25 5 3 2 h h 35 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Programa 23 em MATLAB A 0 1 0 0 0 1 5 25 5 B 0 25 120 C 1 0 0 D 0 numden ss2tfABCD num 0 00000 250000 50000 den 10000 50000 250000 50000 O mesmo resultado pode ser obtido por meio do seguinte comando numden ss2tfABCD1 num 0 00000 250000 50000 den 10000 50000 250000 50000 27 Linearização de modelos matemáticos não lineares Sistemas não lineares Um sistema é não linear se o princípio da superposição não se aplicar a ele Assim para um sistema não linear não se pode obter a resposta a duas entradas simultâneas considerando as entradas individualmente e somando os resultados Embora muitas relações de grandezas físicas sejam representadas por equações lineares na maioria dos casos a relação entre elas não é efetivamente linear De fato um estudo cuidadoso dos sistemas físicos revela que mesmo os chamados sistemas lineares são realmente lineares somente para intervalos limitados de operação Na prática muitos sistemas eletromecânicos hidráulicos pneumáticos e outros envolvem relações não lineares entre as variáveis Por exem plo a saída de um componente pode ser saturada para sinais de entrada de grande amplitude Pode haver uma zona morta que afeta pequenos sinais A zona morta de um componente é uma pequena gama de variações de entrada às quais o componente é insensível Não linearidades quadráticas podem ocorrer em alguns componentes Por exemplo amortecedores utilizados em sistemas físicos podem ser lineares para operações de baixa velocidade mas podem se tornar não lineares para velocidades elevadas e a ação de amortecimento pode se tornar proporcional ao quadrado da velocidade de operação Linearização de sistemas não lineares Na engenharia de controle uma operação normal do sistema pode estar em torno do ponto de equilíbrio e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio Devese notar que existem várias exceções para esse caso Entretanto se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e os sinais envolvidos forem pequenos então é possível aproximar o sistema não linear por um sistema linear Esse sistema linear é equivalente ao sistema não linear considerado dentro de um conjunto limitado de operações Esse modelo linearizado modelo linear invariante no tempo é muito importante na engenharia de controle O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear Em virtude de desprezarmos os termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor 36 Engenharia de controle moderno esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos isto é as variáveis devem se des viar apenas ligeiramente das condições de operação Caso contrário o resultado não será preciso Aproximação linear de modelos matemáticos não lineares Para obter um modelo mate mático linear de um sistema não linear admitimos que as variáveis desviem apenas ligeiramente de alguma condição de operação Considere um sistema em que a entrada é xt e a saída é yt A relação entre yt e xt é dada por y fx 242 Se a condição de operação normal corresponde a x y então a Equação 242 pode ser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto como se segue y f x f x dx df x x dx d f x x 2 1 2 2 2 g h h h h 243 onde as derivadas dfdx d2fdx2 são avaliadas em x x Se a variação de x x for pequena podemos desprezar os termos de ordem mais elevada em x x Então a Equação 243 pode ser escrita como y y Kx x 244 onde y f x K dx df x x h A Equação 244 pode ser reescrita como y y Kx x 245 que indica que y y é proporcional a x x A Equação 245 fornece um modelo matemático linear para o sistema não linear dado pela Equação 242 próximo do ponto de operação x x y y A seguir considere um sistema não linear cuja saída y é uma função de duas entradas x1 e x2 de forma que y f x1 x2 246 Para obter uma aproximação linear desse sistema não linear podemos expandir a Equação 246 em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operação x 1 x 2 Então a Equação 246 tornase y f x x x f x x x f x x x f x x x x f x x x x x f x x 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 g 2 2 h h h h h h h G H onde as derivadas parciais são avaliadas em x1 x 1 x2 x 2 Nas proximidades do ponto normal de operação os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados O modelo matemático linear desse sistema não linear nas proximidades das condições normais de operação é então dado por y y K1x1 x 1 K2x2 x 2 onde 37 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle y f x x K x f K x f x x x x x x x x 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 h A técnica de linearização apresentada aqui é válida nas proximidades das condições de operação No entanto se as condições de operação variam muito essas equações linearizadas não são adequadas e as equações não lineares devem ser utilizadas É importante lembrar que um modelo matemático particular utilizado para fins de análise e projeto pode representar com precisão a dinâmica de um sistema real para certas condições de operação mas pode não ser preciso para outras condições de operação Exemplo 25 Linearize a equação não linear z xy na região 5 x 7 10 y 12 Encontre o erro para o caso em que a equação linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x 5 e y 10 Como a região considerada é dada por 5 x 7 10 y 12 selecione x 6 y 11 Então z x y 66 Vamos obter a equação linearizada para a equação não linear nas proximidades do ponto x 6 y 11 Expandindo a equação não linear em uma série de Taylor próxima do ponto x x y y e desprezando os termos de ordem mais elevada temos z z ax x by y onde a x xy y b y xy x 11 6 x x y y x x y y 2 2 2 2 h h Então a equação linearizada é z 66 11x 6 6y 11 ou z 11x 6y 66 Quando x 5 y 10 o valor de z dado pela equação linearizada é z 11x 6y 66 55 60 66 49 O valor exato de z é z xy 50 Assim o erro é 50 49 1 Em termos de porcentagem o erro é de 2 Exemplos de problemas com soluções A21 Simplifique o diagrama de blocos da Figura 217 Solução Inicialmente mova o ponto de ramificação que contém H1 para fora da malha que contém H2 como mostra a Figura 218a Em seguida a eliminação de duas malhas resulta na Figura 218b Reduzindo dois blocos a um único teremos a Figura 218c 38 Engenharia de controle moderno A22 Simplifique o diagrama de blocos da Figura 219 Obtenha a função de transferência relacionando Cs e Rs Solução O diagrama de blocos da Figura 219 pode ser modificado como indica a Figura 220a Eliminando o ramo direto menor obtemos a Figura 220b que pode ser reduzida à Figura 220c A função de transferência CsRs é então dada por 1 R s C s G G G 1 2 2 h h O mesmo resultado pode ser obtido procedendose como se segue sendo o sinal Xs a soma de dois sinais G1Rs e Rs temos Xs G1Rs Rs O sinal de saída Cs é a soma de G2Xs e Rs Então Cs G2 Xs Rs G2G1Rs Rs Rs E assim obtemos o mesmo resultado anterior 1 R s C s G G G 1 2 2 h h FIGURA 217 Rs Cs G H1 H2 Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 218 Rs Cs Rs Cs Cs G H2 a b c H1 G G 1 GH2 Rs 1 H1 G G H1 1 GH2 Diagrama de blocos simplificado para o sistema mostrado na Figura 217 39 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle A23 Simplifique o diagrama de blocos da Figura 221 e então obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs Solução Inicialmente mova o ponto de ramificação entre G3 e G4 para o lado direito da malha que contém G3 G4 e H2 Em seguida desloque o somador situado entre G1 e G2 para a esquerda do primeiro somador Veja a Figura 222a Simplificando cada uma das malhas o diagrama de blocos pode ser modificado como mostra a Figura 222b Prosseguindo com as simplificações chegase à Figura 222c a partir da qual se obtém a função de transferência CsRs R s C s G G H G G H G G H G G G G H H G G G G 1 1 2 1 3 4 2 2 3 3 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 h h FIGURA 219 G1 G2 Rs Cs Xs Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 220 G1 G2 Rs Cs G2 Rs Cs G1 1 Rs Cs G1G2 G2 1 a b c Redução do diagrama de blocos mostrado na Figura 219 40 Engenharia de controle moderno A24 Obtenha as funções de transferência CsRs e CsDs do sistema indicado na Figura 223 Solução A partir da Figura 223 temos Us Gf Rs Gc Es 247 Cs GpDs G1Us 248 Es Rs HCs 249 Substituindo a Equação 247 na Equação 248 obtemos Cs Gp Ds G1GpGf Rs Gc Es 250 Substituindo a Equação 249 na Equação 250 obtemos Cs GpDs G1GpGf Rs GcRs HCs Solucionando essa última equação para Cs obtemos Cs G1GpGc HCs Gp Ds G1GpGf Gc Rs FIGURA 221 G1 G2 H3 G3 G4 H2 H1 Rs Cs Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 222 G1 G1 G2 H3 G4 G3 G4 H2 H1 Rs Rs Cs Cs H3 G1G4 G1 G2 1 G1 G2 H1 Rs Cs G1 G2 G3 G4 1 G1 G2 H1 G3 G4 H2 G2 G3 H3 G1 G2 G3 G4 H1 H2 G3 G4 1 G3 G4 H2 1 a b c Sucessivas reduções do diagrama de blocos mostrado na Figura 221 41 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Então C s G G G H G D s G G G G R s 1 p c p p f c 1 1 h h h h 251 Note que a Equação 251 fornece a resposta Cs quando ambas as entradas a de referência Rs e a de distúrbio Ds estão presentes Para determinar a função de transferência CsRs fazemos Ds 0 na Equação 251 Assim obtemos R s C s G G G H G G G G 1 p c p f c 1 1 h h h Da mesma maneira para determinar a função de transferência CsDs fazemos Rs 0 na Equação 251 Assim CsDs pode ser dado por R s C s G G G H G 1 p c p 1 h h A25 A Figura 224 mostra um sistema com duas entradas e duas saídas Determine C1sR1s C1s R2s C2sR1s e C2sR2s Ao determinar as saídas correspondentes a R1s considere R2s 0 e viceversa Solução A partir da figura obtemos C1 G1R1 G3C2 252 C2 G4R2 G2C1 253 Substituindo a Equação 253 na Equação 252 obtemos C1 G1R1 G3G4R2 G2C1 254 Substituindo a Equação 252 na Equação 253 temos C2 G4R2 G2G1R1 G3C2 255 Resolvendo a Equação 254 para obter C1 o resultado é C G G G G G R G G G R 1 1 1 2 3 4 1 1 1 3 4 2 256 Resolvendo a Equação 255 para obter C2 temos C G G G G G G G R G R 1 2 1 2 3 4 1 2 4 1 4 2 257 As equações 256 e 257 podem ser combinadas para obtermos a matriz de transferência a seguir FIGURA 223 G1 Gp Gf Cs Ds Rs Es Us H Gc Sistema de controle com entrada de referência e entrada de distúrbio 42 Engenharia de controle moderno C C G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G R R 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 4 1 2 R T S S S SS V X W W W WW G G Então as funções de transferência C1sR1s C1sR2s C2sR1s e C2sR2s podem ser obtidas como segue R s C s G G G G G R s C s G G G G G G G R s C s G G G G G G G R s C s G G G G G 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 2 1 2 3 4 1 2 4 2 1 1 2 3 4 1 3 4 2 2 1 2 3 4 4 h h h h h h h h Observe que as equações 256 e 257 fornecem as respostas C1 e C2 respectivamente quando ambas as entradas R1 e R2 estão presentes Note que quando R2s 0 o diagrama de blocos original pode ser reduzido aos das figuras 225a e b Da mesma maneira quando R1s 0 o diagrama de blocos original pode ser reduzido aos das figuras 225c e d A partir desses diagramas de blocos simplificados podemos também obter C1sR1s C2sR1s C1sR2s e C2sR2s como está indicado à direita de cada um desses diagramas de bloco FIGURA 224 G1 C1 C2 R1 R2 G3 G4 G2 Sistema com duas entradas e duas saídas FIGURA 225 R1 C1 R1 C1 1 G1 G2 G3 G4 G1 G1 G3 G4 G2 R1 C2 G3 G1 G2 G4 R1 C2 1 G1 G2 G3 G4 G1 G2 G4 a b Diagramas de blocos simplificados e as funções de transferência de malha fechada correspondentes 43 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle A26 Mostre que para o sistema de equação diferencial yq a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u 258 as equações de estado e de saída podem ser dadas respectivamente por x x x a a a x x x u 0 0 1 0 0 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 2 3 b b b o o o R T S S SS V X W W WW H H H 259 e y x x x u 1 0 0 1 2 3 b0 6 H 260 sendo as variáveis de estado definidas por x1 y β0u x2 ẏ β0u β1u ẋ1 β1u x3 ӱ β0ü β1u β2u ẋ2 β2u e β0 b0 β1 b1 a1β0 β2 b2 a1β1 a2β0 β3 b3 a1β2 a2β1 a3β0 Solução A partir da definição das variáveis de estado x2 e x3 temos ẋ1 x2 β1u 261 ẋ2 x3 β2u 262 Para derivar a equação de ẋ3 notemos primeiro que a partir da Equação 258 temos yq a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u Como x3 ӱ β0ü β1u β2u temos ẋ3 yq β0uq β1ü β2u a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u β0uq β1ü β2u R2 C2 R2 C2 1 G1 G2G3 G4 G4 G4 G2 G1 G3 R2 C1 G2 G4 G3 G1 R2 C1 1 G1 G2 G3 G4 G1 G3 G4 c d 44 Engenharia de controle moderno a1ӱ β0ü β1u β2u a1β0ü a1β1u a1β2u a2ẏ β0u β1u a2β0u a2β1u a3y β0u a3β0u b0uq b1ü b2u b3u β0uq β1ü β2u a1x3 a2x2 a3x1 b0 β0uq b1 β1 a1β0ü b2 β2 a1β1 a2β0u b3 a1β2 a2β1 a3β0u a1x3 a2x2 a3 x1 b3 a1β2 a2β1 a3β0ü a1x3 a2x2 a3x1 β3u Então resulta que ẋ3 a3x1 a2x2 a1x3 β3u 263 Combinando as equações 261 262 e 263 em uma equação matricialvetorial obtemos a Equa ção 259 Além disso a partir da definição da variável de estado x1 obtemos a equação de saída dada pela Equação 260 A27 Obtenha as equações de estado e de saída para o sistema definido por U s Y s s s s s s s 4 5 2 2 2 3 2 3 2 h h Solução A partir da função de transferência dada a equação diferencial do sistema é yq 4ӱ 5ẏ 2y 2uq ü u 2u Comparando essa equação com a equaçãopadrão dada pela Equação 233 reescrita a seguir yq a1 ӱ a2 ẏ a3 y b0uq b1ü b2u b3u encontramos a1 4 a2 5 a3 2 b0 2 b1 1 b2 1 b3 2 Com referência à Equação 235 temos β0 b0 2 β1 b1 a1β0 1 4 2 7 β2 b2 a1β1 a2β0 1 4 7 5 2 19 β3 b3 a1β2 a2β1 a3β0 2 4 19 5 7 2 2 43 Com referência à Equação 234 definimos x1 y β0u y 2u x2 ẋ1 β1u ẋ1 7u x3 ẋ2 β2u ẋ2 19u Então com referência à Equação 236 ẋ1 x2 7u ẋ2 x3 19u ẋ3 a3x1 a2x2 a1x3 β3u 2x1 5x2 4x3 43u 45 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Assim a representação do sistema no espaço de estados é x x x x x x u y x x x u 0 0 2 1 0 5 0 1 4 7 19 43 1 0 0 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Esta é uma das possíveis representações no espaço de estados do sistema Existem muitas uma infinidade outras representações Se utilizarmos o Matlab ele produzirá a seguinte representação no espaço de estados x x x x x x u y x x x u 4 1 0 5 0 1 2 0 0 1 0 0 7 9 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Veja o Programa 24 em MATLAB Note que todas as representações no espaço de estados para o mesmo sistema são equivalentes Programa 24 em MATLAB num 2 1 1 2 den 1 4 5 2 ABCD tf2ssnumden A 4 5 2 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 7 9 2 D 2 A28 Obtenha um modelo no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 226 Solução O sistema envolve um integrador e dois integradores com atraso A saída de cada integra dor ou integrador com atraso pode ser considerada uma variável de estado Vamos definir a saída da planta como x1 a saída do controlador como x2 e a saída do sensor como x3 Então obtemos 46 Engenharia de controle moderno X s X s s U s X s X s s X s X s s Y s X s 5 10 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 h h h h h h h h h que pode ser reescrita como sX1s 5X1s 10X2s sX2s X3s Us sX3s X1s X3s Ys X1s Tomando a transformada inversa de Laplace das quatro equações precedentes obtemos ẋ1 5x1 10x2 ẋ2 x3 u ẋ3 x1 x3 y x1 Assim o modelo no espaço de estados do sistema na formapadrão é dado por x x x x x x u y x x x 5 0 1 10 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H É importante notar que esta não é a única representação no espaço de estados do sistema pois muitas outras dessas representações são possíveis Entretanto o número de variáveis de estado é o mesmo em qualquer representação no espaço de estados do mesmo sistema No presente sistema o número de variáveis de estado é 3 quaisquer que sejam as variáveis escolhidas como variáveis de estado A29 Obtenha um modelo no espaço de estados para o sistema mostrado na Figura 227a Solução Inicialmente note que as bs2 contém um termo derivativo que pode ser evitado se modificarmos as bs2 como segue FIGURA 226 Us Ys 1 s Controlador Planta Sensor 10 s 5 1 s 1 Sistema de controle 47 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle s as b a s b s 1 2 c m Utilizando essa modificação o diagrama de blocos da Figura 227a pode ser modificado como mostra a Figura 227b Defina as saídas dos integradores como variáveis de estado conforme a Figura 227b Então a partir da Figura 227b obtemos as expressões X s a U s X s X s s U s X s X s s b Y s X s 1 2 1 1 1 2 1 h h h h h h h h h 6 que podem ser modificadas para sX1s X2s aUs X1s sX2s bX1s bUs Ys X1s Tomando a transformada inversa de Laplace das três equações precedentes obtemos ẋ1 ax1 x2 au ẋ2 bx1 bu y x1 Reescrevendo as equações de estado e de saída na forma vetorialmatricial padrão obtemos x x a b x x a b u y x x 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G FIGURA 227 Us Ys as b 1 s2 a b a Us Ys b s 1 s X1s X2s a Sistema de controle b diagrama de blocos modificado 48 Engenharia de controle moderno A210 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 228a Solução Para solucionar esse problema primeiro desenvolva s zs p em frações parciais 1 s p s z s p z p Em seguida converta Kss a no produto de Ks e 1s a Então reduza o diagrama de blocos como mostra a Figura 228b Definindo um conjunto de variáveis de estado como indicado na Figura 228b obtemos as seguintes equações ẋ1 ax1 x2 ẋ2 Kx1 Kx3 Ku ẋ3 z px1 px3 z pu y x1 Reescrevendo temos x x x a K z p K p x x x K z p u y x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o h 6 H H H H H Observe que a saída do integrador e as saídas dos integradores com atraso de primeira ordem 1s a e z ps p foram escolhidas como variáveis de estado É importante lembrar que a saída do bloco s zs p na Figura 228a não pode ser uma variável de estado porque esse bloco contém um termo derivativo s z FIGURA 228 u y u y a b s z s p K ss a z p s p K s 1 s a x1 x2 x3 a Sistema de controle b diagrama de blocos que define variáveis de estado para o sistema 49 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle A211 Obtenha a função de transferência de um sistema definido por x x x x x x u y x x x 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Solução De acordo com a Equação 229 a função de transferência Gs é dada por Gs CsI A1B D Nesse problema as matrizes A B C e D são 0 D 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 A B C 6 H H Então G s s s s s s s s s s s s s s s s s 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 0 0 1 1 2 1 4 5 2 1 1 2 2 2 3 2 h h h h h h h h R T S S S S S SS 6 6 V X W W W W W WW H H H A212 Considere um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Quando o sistema tem mais de uma saída o comando MATLAB NUMden ss2tfABCDiu fornece as funções de transferência para todas as saídas a partir de cada entrada Os coeficientes do numerador são retornados para a matriz NUM com tantas linhas quantas forem as saídas Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 0 25 1 4 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Esse sistema contém duas entradas e duas saídas Assim estão envolvidas quatro funções de transferência Y1sU1sY2sU1s Y1sU2s e Y2sU2s Quando for considerada entrada u1 devemos supor que a entrada u2 seja zero e viceversa Solução O Programa 25 em MATLAB fornece as quatro funções de transferência Esta é a representação do MATLAB das quatro funções de transferência seguintes 50 Engenharia de controle moderno U s Y s s s s U s Y s s s U s Y s s s s U s Y s s s s 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 h h h h h h h h Programa 25 em MATLAB A 0 125 4 B 1 10 1 C 1 00 1 D 0 00 0 NUMden ss2tfABCD1 NUM 0 1 4 0 0 25 den 1 4 25 NUMden ss2tfABCD2 NUM 0 10000 50000 0 10000 250000 den 1 4 25 A213 Linearize a equação não linear z x2 4xy 6y 2 na região definida por 8 x 102 y 4 Solução Defina fx y z x 2 4xy 6y 2 Então z f x y f x y x f x x y f y y x x y y 2 2 2 2 g h h h h G onde escolhemos x 9 y 3 Desprezando na equação expandida os termos de ordem mais elevada por serem pequenos obtemos z z K1x x K2 y y onde 4 12 4 9 12 3 72 4 6 9 4 9 3 6 9 243 K x f x y K y f x y z x x y y 2 4 2 9 4 3 30 x x y y x x y y 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Portanto z 243 30x 9 72y 3 51 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Assim a aproximação linear da equação não linear dada nas proximidades do ponto de opera ção é z 30x 72y 243 0 Problemas B21 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura 229 e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs B22 Simplifique o diagrama de blocos exposto na Figura 230 e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs FIGURA 229 Rs Cs G1 G2 G3 G4 Diagrama de blocos de um sistema FIGURA 230 Rs Cs G1 G2 H1 H2 Diagrama de blocos de um sistema 52 Engenharia de controle moderno B23 Simplifique o diagrama de blocos mostrado na Figura 231 e obtenha a função de transferência de malha fechada CsRs B24 Considere os controladores automáticos industriais cujas ações de controle são proporcionais integrais proporcionaisintegrais proporcionaisderivativas e proporcionaisintegraisderivativas As funções de transferência desses controladores podem ser dadas respectivamente por E s U s K E s U s s K E s U s K Ts E s U s K T s E s U s K Ts T s 1 1 1 1 1 p i p i p d p i d e e h h h h h h o h h h h h o onde Us é a transformada de Laplace de ut a saída do controlador e Es é a transformada de Laplace de et o sinal de erro atuante Esboce as curvas de ut versus t para cada um dos cinco tipos de controladores quando o sinal de erro atuante for a et função degrau unitário b et função rampa unitária No esboço das curvas suponha que os valores numéricos de Kp Ki e Ti sejam dados como Kp ganho proporcional 4 Ki ganho integral 2 Ti tempo integrativo 2 s Td tempo derivativo 08 s B25 A Figura 232 mostra um sistema de malha fechada com uma entrada de referência e um distúrbio de entrada Obtenha a expressão para a saída Cs quando tanto a entrada de referência como a de distúrbio estiverem presentes FIGURA 231 Rs Cs G1 G2 G3 H1 H2 H3 Diagrama de blocos de um sistema 53 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle B26 Considere o sistema mostrado na Figura 233 Deduza a expressão para os erros de estado esta cionário quando tanto a entrada de referência Rs como a de distúrbio Ds estiverem presentes B27 Obtenha as funções de transferência CsRs e CsDs do sistema apresentado na Figura 234 B28 Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 235 FIGURA 232 Cs Ds Rs Gcs Gps Controlador Planta Sistema de malha fechada FIGURA 233 Cs Rs Es Ds G2s G1s Sistema de controle FIGURA 234 G2 G3 H1 G1 Gc Rs Cs Ds H2 Sistema de controle FIGURA 235 u y s z s p 1 s2 Sistema de controle 54 Engenharia de controle moderno B29 Considere o sistema descrito por yq 3ӱ 2ẏ u Deduza a representação no espaço de estados do sistema B210 Considere o sistema descrito por x x x x u y x x 4 3 1 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Obtenha a função de transferência do sistema B211 Considere um sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados x x x x u y x x 5 3 1 1 2 5 1 2 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Obtenha a função de transferência Gs do sistema B212 Obtenha a matriz de transferência do sistema definido por x x x x x x u u y y x x x 0 0 2 1 0 4 0 1 6 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 o o o H H H H G G G H B213 Linearize a equação não linear z x2 8xy 3y 2 na região definida por 2 x 4 10 y 12 B214 Determine a equação linearizada para y 02x 3 sobre o ponto x 2 55 Capítulo 2 Modelagem matemática de sistemas de controle Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos 3 C A P Í T U L O 31 Introdução Este capítulo apresenta a modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos No Capí tulo 2 obtivemos modelos matemáticos de um circuito elétrico simples e de um sistema mecânico simples Neste capítulo consideramos a modelagem matemática de vários sistemas mecânicos e elétricos que podem fazer parte de sistemas de controle A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton Na Seção 32 aplicamos essa lei a vários sistemas mecânicos e derivamos modelos em função de transferência e modelos em espaço de estados As leis básicas que governam os circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff Na Seção 33 obtemos os modelos em função de transferência e espaço de estados de vários circuitos elétricos e sistemas amplificadores operacionais que podem fazer parte de muitos sistemas de controle 32 Modelagem matemática de sistemas mecânicos Esta seção discute inicialmente modelos simples com molas e modelos simples com amor tecedores Depois derivamos os modelos em função de transferência e espaço de estados de vários sistemas mecânicos Exemplo 31 Obtemos as constantes de mola para os sistemas mostrados nas figuras 31a e b respectiva mente Para as molas em paralelo Figura 31a a constante de mola equivalente keq é obtida a partir de k1x k2 x F keq x ou keq k1 k2 Para as molas em série Figura 31b a força em cada mola é a mesma Portanto k1 y F k2x y F A eliminação do y nessas duas equações resulta em k x k F F 2 1 e o ou k x F k k F k k k F 2 1 2 1 1 2 A constante de mola equivalente keq para esse caso é então encontrada como k x F k k k k k k 1 1 1 1 2 1 2 1 2 eq Exemplo 32 Obtenhamos o coeficiente de atrito viscoso equivalente beq para cada um dos sistemas amorte cedores mostrados nas figuras 32a e b Um amortecedor de êmbolo muitas vezes é chamado amortecedor a pistão Um amortecedor a pistão é um dispositivo que proporciona atrito viscoso ou amortecimento Ele consiste em um pistão e um cilindro com óleo Qualquer movimento relativo entre a haste do pistão e o cilindro encontra a resistência do óleo porque este deve fluir em volta do pistão ou através de orifícios no próprio pistão de um lado a outro Em essência o amortecedor a pistão absorve energia Essa energia absorvida dissipase na forma de calor e o amortecedor a pistão não armazena qualquer energia cinética ou potencial a A força f devido aos amortecedores é f b1ẏ ẋ b2ẏ ẋ b1 b2ẏ ẋ Em termos do coeficiente de atrito viscoso equivalente beq a força f é dada por f beqẏ ẋ Então beq b1 b2 b A força f devido aos amortecedores é f b1ż ẋ b2 ẏ ż 31 FIGURA 31 k1 k2 y x F a b x F k1 k2 a Sistema que consiste em duas molas em paralelo b sistema que consiste em duas molas em série FIGURA 32 x y a b2 x y z b b1 b1 b2 a Dois amortecedores conectados em paralelo b dois amortecedores conectados em série 57 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos onde z é o deslocamento de um ponto entre os amortecedores b1 e b2 Observe que a mesma força é transmitida através do eixo Da Equação 31 temos b1 b2ż b2ẏ b1ẋ ou z b b b y b x 1 1 2 2 1 o o o h 32 Em termos do coeficiente de atrito viscoso equivalente beq a força f é dada por f beqẏ ẋ Substituindose a Equação 32 na Equação 31 temos f b y z b y b b b y b x b b b b y x 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 o o o o o o o h h G Portanto f b y x b b b b y x 1 2 1 2 eq o o o o h h Então b b b b b b b 1 1 1 1 2 1 2 1 2 eq Exemplo 33 Considere o sistema massamolaamortecedor montado em um carro sem massa como mostra a Figura 33 Obtenhamos os modelos matemáticos desse sistema presumindo que o carro esteja parado para t 0 e que o sistema de massamolaamortecedor do carro também esteja parado para t 0 Nesse sistema ut é o deslocamento do carro e a entrada do sistema Em t 0 o carro se move em velocidade constante ou u constante O deslocamento yt da massa é a saída O deslocamento é relativo ao chão Nesse sistema m indica a massa b o coeficiente de atrito viscoso e k a constante de mola Supomos que a força de atrito do amortecedor a pistão seja proporcional a ẏ u e que a mola seja uma mola linear isto é a força da mola é proporcio nal a y u Para sistemas translacionais a segunda lei de Newton diz que ma RF FIGURA 33 m u y k b Carro de massa nula Sistema de massamola amortecedor montado em um carro 58 Engenharia de controle moderno onde m é uma massa a é a aceleração dessa massa e RF é o somatório das forças em ação sobre a massa na direção da aceleração a Aplicandose a segunda lei de Newton ao sistema em questão e observando que o carro é isento de massa temos m dt d y b dt dy dt du k y u 2 2 e o h ou m dt d y b dt dy ky b dt du ku 2 2 Essa equação representa um modelo matemático do sistema em questão Tomandose a transfor mada de Laplace da última equação e presumindo zero como condição inicial temos ms2 bs kYs bs kUs Tomando a relação entre Ys e Us encontramos a função de transferência do sistema que é Função de transferência Gs U s Y s ms bs k bs k 2 Tal representação de um modelo matemático por função de transferência é usada com frequência na engenharia de controle Em seguida obteremos o modelo em espaço de estados desse sistema Primeiro faremos a comparação da equação diferencial do sistema y m b y m k y m b u m k u p o o com a formapadrão ӱ a1 ẏ a2 y b0ü b1u b2u e identificamos a1 a2 b0 b1 e b2 como segue a1 m b a2 m k b0 0 b1 m b b2 m k Em referência à Equação 235 temos b0 b0 0 b1 b1 a1b0 m b b2 b2 a1b1 a2b0 m k m b 2 c m Em seguida em referência à Equação 234 definimos x1 y β0u y x2 ẋ1 b1u ẋ1 m b u A partir da Equação 236 temos ẋ1 x2 b1u x2 m b u ẋ2 a2x1 a1x2 b2u m k x1 m b x2 m k m b 2 c m E u e a equação de saída tornase y x1 ou x x m k m b x x m b m k m b u 0 1 1 2 1 2 2 o o c m R T S S SS V X W W WW G H G 33 59 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos e y x x 1 0 1 2 6 G 34 As equações 33 e 34 fornecem uma representação do sistema em espaço de estados Observe que esta não é a única representação em espaço de estados Existem inúmeras representações de espaço de estados para o sistema Exemplo 34 Obtenha as funções de transferência X1sUs e X2sUs do sistema mecânico mostrado na Figura 34 As equações de movimento para o sistema apresentado na Figura 34 são m1ẍ1 k1x1 k2x1 x2 bẋ1 ẋ2 u m2ẍ2 k3x2 k2x2 x1 bẋ2 ẋ1 Simplificando obtemos m1ẍ1 bẋ1 k1 k2x1 bẋ2 k2x2 u m2ẍ2 bẋ2 k2 k3x2 bẋ1 k2x1 Obtendo a transformada de Laplace dessas duas equações admitindo condições iniciais nulas obtemos m1s2 bs k1 k2 X1s bs k2 X2s Us 35 m2s2 bs k2 k3 X2s bs k2 X1s 36 Resolvendo a Equação 36 para X2s substituindoa na Equação 35 e simplificando temos m1s2 bs k1 k2m2s2 bs k2 k3 bs k22 X1s m2s2 bs k2 k3Us a partir da qual obtemos U s X s m s bs k k m s bs k k bs k m s bs k k 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 h h h h h 37 A partir das equações 36 e 37 temos U s X s m s bs k k m s bs k k bs k bs k 2 1 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 h h h h h 38 As equações 37 e 38 são as funções de transferência X1sUs e X2 sUs respectivamente Exemplo 35 Um pêndulo invertido montado em um carro motorizado é mostrado na Figura 35a Este é um modelo de controle de posição de um foguete na fase de lançamento O objetivo do problema de controle de posição é manter o foguete em uma posição vertical O pêndulo invertido é ins tável pois pode cair a qualquer instante para qualquer direção a menos que uma força adequada de controle seja aplicada a ele Vamos considerar aqui somente um problema bidimensional em que o movimento do pêndulo fica restrito apenas ao plano da página A força de controle u é FIGURA 34 m1 m2 k2 x1 k1 k3 b u x2 Sistema mecânico 60 Engenharia de controle moderno aplicada ao carro Considere que o centro de gravidade da haste do pêndulo esteja situado no centro geométrico dele Obtenha um modelo matemático para esse sistema Defina o ângulo da haste a partir da linha vertical como i Estabeleça também as coordenadas x y do centro de gravidade da haste como xG yG Então xG x l sen i yG l cos i Para deduzir as equações de movimento do sistema considere o diagrama do corpo livre mos trado na Figura 35b O movimento rotacional da haste do pêndulo em torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por Iip Vl sen i Hl cos θ 39 onde I é o momento de inércia da haste em relação ao centro de gravidade O movimento horizontal do centro de gravidade da haste do pêndulo é dado por sen m dt d x l H 2 2 i h 310 O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pêndulo é cos m dt d l V mg 2 2 i h 311 O movimento horizontal do carro é descrito por M dt d x u H 2 2 312 Como devemos manter o pêndulo invertido na posição vertical podemos admitir que it e io t sejam grandezas suficientemente pequenas para que se possa fazer sen i Z i cos i 1 e iio 2 0 Então as equações de 39 a 311 podem ser linearizadas como se segue Iip Vli Hl 313 mẍ lip H 314 0 V mg 315 Com o auxílio das equações 312 e 314 obtemos M mẍ mlip u 316 FIGURA 35 M P y x u O x a b mg i V V H H ℓ ℓ ℓ cos i M y x u O x mg ℓ ℓ i a Sistema de pêndulo invertido b diagrama de corpo livre 61 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos E a partir das equações 313 314 e 315 obtemos Iip mgli Hl mgli lmẍ mlip ou I ml 2ip mlẍ mgli 317 As equações 316 e 317 descrevem o movimento do sistema de pêndulo invertido sobre o carro Elas constituem um modelo matemático do sistema Exemplo 36 Considere o sistema de pêndulo invertido mostrado na Figura 36 Como nesse sistema a massa está concentrada no topo da haste o centro de gravidade é o centro da bola do pêndulo Para esse caso o momento de inércia do pêndulo sobre seu centro de gravidade é pequeno e vamos supor que I 0 na Equação 317 Então o modelo matemático para esse sistema passa a ser M mẍ mlip u 318 ml 2ip mlẍ mgli 319 As equações 318 e 319 podem ser modificadas para Mlip M mgθ u 320 Mẍ u mgi 321 A Equação 320 foi obtida pela eliminação de ẍ das equações 318 e 319 A Equação 321 foi obtida pela eliminação de ip das equações 318 e 319 Utilizando a Equação 320 obtemos a função de transferência da planta como U s s Mls M m g Ml s Ml M m g s Ml M m g 1 1 2 H e e h h h o o O sistema de pêndulo invertido tem um polo no semieixo negativo do eixo real s M m Ml g h 8 B e outro no semieixo positivo do eixo real s M m Ml g h 8 B Então a planta é instável em malha aberta FIGURA 36 0 M P z u mg m ℓ sen i x x ℓ cos i ℓ i Sistema de pêndulo invertido 62 Engenharia de controle moderno Defina as variáveis de estado x1 x2 x3 e x4 como x1 i x2 io x3 x x4 ẋ Observe que o ângulo i indica a rotação da haste do pêndulo em torno do ponto P e x é a loca lização do carro Se considerarmos i e x como saídas do sistema então y y x x x y 1 2 1 3 i G G G Note que tanto i como x são quantidades facilmente mensuráveis Então a partir da definição das variáveis de estado pelas equações 320 e 321 obtemos x x x Ml M m gx Ml u x x x M m gx M u 1 1 1 2 2 1 3 4 4 1 o o o o Em termos de equações vetoriaismatriciais temos x x x x Ml M m g M m g x x x x Ml M u 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 4 1 2 3 4 o o o o R T S S S SS R T S S S S SS R T S S S SS R T S S S S SS V X W W W WW V X W W W W WW V X W W W WW V X W W W W WW 322 y y x x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 3 4 R T S S S SS V X W W W WW G G 323 As equações 322 e 323 são uma representação do sistema de pêndulo invertido no espaço de estados Note que a representação no espaço de estados do sistema não é única Existe uma infinidade de representações possíveis para esse sistema 33 Modelagem matemática de sistemas elétricos As leis básicas que regem os circuitos elétricos são as leis de Kirchhoff das correntes e das tensões A lei das correntes de Kirchhoff lei dos nós diz que a soma algébrica de todas as cor rentes que entram e saem de um nó é zero Essa lei também pode ser enunciada como se segue a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem desse nó A lei das tensões de Kirchhoff lei das malhas estabelece que em qualquer instante a soma algébri ca das tensões ao longo de qualquer malha de um circuito elétrico é zero Essa lei também pode ser enunciada da seguinte maneira a soma das quedas de tensão é igual à soma das elevações de tensão ao longo de uma malha Um modelo matemático de um circuito elétrico pode ser obtido pela aplicação de uma ou ambas as leis de Kirchhoff Esta seção trata inicialmente dos circuitos elétricos simples e depois da modelagem mate mática de sistemas com amplificadores operacionais 63 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Circuito LRC Considere o circuito elétrico mostrado na Figura 37 O circuito consiste em uma indutância L henry uma resistência R ohm e uma capacitância C farad Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao sistema obtemos as seguintes equações L dt di Ri C i dt e 1 i 324 C i dt e 1 o 325 As equações 324 e 325 fornecem um modelo matemático do circuito Um modelo de função de transferência do circuito também pode ser obtido como a seguir con siderando as transformadas de Laplace das equações 324 e 325 e supondo condições iniciais nulas obtemos LsI s RI s C s I s E s C s I s E s 1 1 1 1 i o h h h h h h Se admitirmos que ei seja a entrada e que eo seja a saída então a função de transferência desse sistema será E s E s LCs RCs 1 1 i o 2 h h 326 Um modelo no espaço de estados do sistema mostrado na Figura 37 pode ser obtido da seguinte maneira primeiro note que a equação diferencial do sistema pode ser obtida a partir da Equação 326 como e L R e LC e LC e 1 1 o o o i p o Então definindo as variáveis de estado por x1 eo x2 ėo e as variáveis de entrada e de saída por u ei y eo x1 obtemos x x LC L R x x LC u 0 1 1 0 1 1 2 1 2 o o G H G H e y x x 1 0 1 2 6 G FIGURA 37 L eo R C ei i Circuito elétrico 64 Engenharia de controle moderno Essas duas equações constituem um modelo matemático do sistema no espaço de estados Função de transferência de elementos em cascata Muitos sistemas com realimentação têm componentes com efeito de carga sobre outros Considere o sistema mostrado na Figura 38 Admita que ei seja a entrada e que eo seja a saída As capacitâncias C1 e C2 não estão carregadas inicialmente Vamos mostrar que o segundo estágio do circuito porção R2C2 produz um efeito de carga sobre o primeiro estágio porção R1C1 As equações desse sistema são C i i dt R i e 1 i 1 1 2 1 1 h 327 e C i i dt R i C i dt 1 1 0 1 2 1 2 2 2 2 h 328 C i dt e 1 o 2 2 329 Transformando por Laplace as equações de 327 a 329 respectivamente e considerando con dições iniciais nulas temos C s I s I s R I s E s 1 i 1 1 2 1 1 h h h h 6 330 0 C s I s I s R I s C s I s 1 1 1 2 1 2 2 2 2 h h h h 6 331 C s I s E s 1 o 2 2 h h 332 Eliminando I1s das equações 330 e 331 e escrevendo Ei s em termos de I2s encontramos a função de transferência entre Eos e Ei s como E s E s R C s R C s R C s R C R C s R C R C R C s 1 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 h h h h h 333 O termo R1C2 s no denominador da função de transferência representa a interação de dois circui tos RC simples Como R1C1 R2C2 R1C22 4R1C1R2C2 as duas raízes do denominador da Equação 333 são reais Essa análise mostra que se dois circuitos RC estão conectados em cascata de modo que a saída do primeiro circuito seja a entrada do segundo a função de transferência global não é o produto de 1R1C1s 1 e 1R2C2s 1 A razão para isso é que quando deduzimos a função de transferência para um circuito isolado estamos presumindo implicitamente que a saída do circuito esteja sem carga Em outras palavras a impedância de carga é admitida como infinita o que significa que nenhuma potência está sendo retirada da saída Quando o segundo circuito está conectado à saída do primeiro entretanto certa potência é consumida e assim a suposição de que não há carga na saída do primeiro circuito é falsa Portanto se a função de transferência FIGURA 38 R1 C1 eo R2 C2 ei i1 i2 Sistema elétrico 65 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos desse sistema for obtida sob a hipótese de não haver essa carga então ela não será válida O grau do efeito de carregamento determina quanto a função de transferência será alterada Impedâncias complexas Na obtenção de funções de transferência de circuitos elétricos com frequência achamos preferível escrever diretamente a transformada de Laplace das equações sem a necessidade de escrever as equações diferenciais Considere o sistema mostrado na Figura 39a Nesse sistema Z1 e Z2 representam impedâncias complexas A impedância complexa do Zs de um circuito de dois terminais é a relação entre Es a transformada de Laplace da tensão nos terminais e Is a transformada de Laplace da corrente nos elementos do circuito sob a hipótese de que as condições iniciais são nulas ou seja Zs EsIs Se os elementos de dois terminais forem um resistor R uma capacitância C ou uma indutância L então a impedância complexa será dada por R 1Cs ou Ls respectivamente Se as impedâncias complexas forem conectadas em série a impedância total será a soma das impedâncias complexas individuais Devemos lembrar que a abordagem da impedância é válida somente se as condições iniciais envolvidas forem nulas Nessas condições a determinação da função de transferência de um circuito elétrico pode ser obtida a partir do conceito de impedância complexa Essa abordagem simplifica muito a dedução das funções de transferência de circuitos elétricos Considere o circuito indicado na Figura 39b Suponha que as tensões ei e eo sejam a entrada e a saída do circuito respectivamente Então a função de transferência desse circuito é E s E s Z s Z s Z s i o 1 2 2 h h h h h Para o sistema mostrado na Figura 37 Z Ls R Z Cs 1 1 2 Então a função de transferência EosEis pode ser determinada como se segue E s E s Ls R Cs Cs LCs RCs 1 1 1 1 i o 2 h h a qual é evidentemente idêntica à Equação 326 Exemplo 37 Considere novamente o sistema mostrado na Figura 38 Obtenha a função de transferência Eos Eis por meio da abordagem de impedância complexa Os capacitores C1 e C2 não estão inicialmente carregados O circuito mostrado na Figura 38 pode ser redesenhado como o da Figura 310a o qual pode em seguida ser modificado para o da Figura 310b No sistema mostrado na Figura 310b a corrente I dividese em duas correntes I1 e I2 Ao observar que Z2 I1 Z3 Z4I2 I1 I2 I FIGURA 39 i i i e2 e e1 eo ei Z1 Z1 Z2 Z2 a b Circuitos elétricos 66 Engenharia de controle moderno obtemos I Z Z Z Z Z I I Z Z Z Z I 1 2 3 4 3 4 2 2 3 4 2 Ao observar que E s Z I Z I Z Z Z Z Z Z Z I E s Z I Z Z Z Z Z I i o 1 2 1 1 2 3 4 2 3 4 4 2 2 3 4 2 4 h h h G obtemos E s E s Z Z Z Z Z Z Z Z Z i o 1 2 3 4 2 3 4 2 4 h h h h Substituindo Z1 R1 Z2 1C1s Z3 R2 e Z4 1C2s na última equação temos E s E s R C s R C s C s R C s C s C s R C R C s R C R C R C s 1 1 1 1 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 e e h h o o h que é a mesma dada pela Equação 333 Funções de transferência de elementos sem carga em cascata A função de transferência de um sistema que consiste em dois elementos sem carga em cascata pode ser obtida pela elimi nação das entradas e das saídas intermediárias Por exemplo considere o sistema mostrado na Figura 311a As funções de transferência dos elementos são G s X s X s G s X s X s e 1 1 2 2 2 3 h h h h h h Se a impedância de entrada do segundo elemento for infinita a saída do primeiro elemento não será afetada pela conexão com o segundo Então a função de transferência de todo o sistema tornase G s X s X s X s X s X s X s G s G s 1 3 1 2 2 3 1 2 h h h h h h h h h A função de transferência de todo o sistema é portanto o produto das funções de transferência individuais de cada um dos elementos Isso é mostrado na Figura 311b FIGURA 310 Z1 Z3 Z2 Z4 Z1 I2 I1 Z2 Z3 Z4 I Eis Eos Eos Eis a b a O circuito da Figura 38 indicado em termos de impedâncias b diagrama do circuito equivalente 67 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Como exemplo considere o sistema mostrado na Figura 312 A inserção de um amplifica dor de isolamento entre os circuitos para eliminar o efeito da carga é utilizada frequentemente na montagem de circuitos Como a entrada dos amplificadores é de impedância muito elevada quando um amplificador de isolamento é inserido entre dois circuitos isso justifica a hipótese de não carregar o circuito precedente Os dois circuitos RC simples isolados por um amplificador como mostra a Figura 312 têm efeitos de carga desprezíveis e a função de transferência de todo o circuito é igual ao produto das funções de transferência individuais Assim neste caso 1 1 E s E s R C s K R C s R C s R C s K 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 1 2 2 c c h h m h m h h Controladores eletrônicos A seguir discutiremos os controladores eletrônicos que utilizam amplificadores operacionais Começamos pela dedução das funções de transferência de circuitos simples com amplificadores operacionais Em seguida obteremos as funções de transferência de alguns controladores desse tipo Por fim apresentaremos esses controladores e as respectivas funções de transferência na forma de uma tabela Amplificadores operacionais Os amplificadores operacionais também chamados abreviada mente de AmpOps são utilizados com frequência para amplificar sinais em sensores de circuitos Os amplificadores operacionais também são com frequência utilizados em filtros que têm como finalidade a compensação de sistemas A Figura 313 mostra um amplificador operacional É uma prática comum considerar o potencial de terra como 0 volt e medir as tensões de entrada e1 e e2 relativamente à terra A entrada e1 do terminal com sinal negativo do amplificador é inversora e a entrada e2 do terminal com sinal positivo não inversora Dessa maneira a entrada resultante no amplificador será e2 e1 Então para o circuito mostrado na Figura 313 temos eo Ke2 e1 Ke1 e2 FIGURA 311 X1s G1s X2s X3s G2s a b X3s X1s G1s G2s a Sistema constituído por dois elementos sem carga em cascata b um sistema equivalente FIGURA 312 R1 C1 eo R2 C2 ei Amplificador isolante ganha K Sistema elétrico 68 Engenharia de controle moderno onde as entradas e1 e e2 podem ser sinais cc ou ca e K é o ganho diferencial ganho de ten são O valor de K é cerca de 105 106 para sinais cc e sinais ca com frequências menores do que aproximadamente 10 Hz O ganho diferencial K decresce com a frequência do sinal e tornase aproximadamente unitário para frequências entre 1 MHz 50 MHz Note que o amplificador operacional amplifica a diferença entre as voltagens e1 e e2 Um amplificador desse tipo normal mente é chamado amplificador diferencial Como o ganho do amplificador operacional é muito alto é necessário haver uma realimentação negativa da saída para a entrada a fim de tornar o amplificador estável A realimentação é feita a partir da saída para a entrada inversora para que a realimentação seja negativa No amplificador operacional ideal nenhuma corrente flui pelos terminais de entrada e a tensão de saída não é afetada pela carga conectada ao terminal de saída Em outras palavras a impedância de entrada é infinita e a impedância de saída é zero No amplificador operacional real uma corrente muito pequena quase desprezível flui para um terminal de entrada e o terminal de saída não pode ser muito carregado Em nossa análise consideraremos os amplificadores operacionais ideais Amplificador inversor Considere o circuito do amplificador operacional mostrado na Figura 314 Seja eo a tensão de saída A equação para esse circuito pode ser obtida como a seguir defina i R e e i R e e i o 1 1 2 2 l l Como somente uma corrente desprezível flui pelo amplificador a corrente i1 deve ser igual à corrente i2 Assim R e e R e e i o 1 2 l l Como K 0 e eo e K 1 e deve ser quase zero ou e Z 0 Então temos R e R e i o 1 2 FIGURA 313 e2 e1 eo Amplificador operacional FIGURA 314 ei eo R2 i2 R1 i1 e Amplificador inversor 69 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos ou e R R e o i 1 2 Assim o circuito mostrado é um amplificador inversor Se R1 R2 então o circuito com ampli ficador operacional mostrado atua simplesmente como um inversor de sinal Amplificador não inversor A Figura 315a mostra um amplificador não inversor Um circuito equivalente a esse é mostrado na Figura 315b Para o circuito da Figura 315b temos e K e R R R e o i o 1 2 1 e o onde K é o ganho diferencial do amplificador A partir da última equação temos e R R R K e 1 i o 1 2 1 e o Como K 1 se R1R1 R2 1K então e R R e 1 o i 1 2 e o Essa equação fornece a tensão de saída eo Como eo e ei têm os mesmos sinais o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 315a é não inversor Exemplo 38 A Figura 316 mostra um circuito elétrico com um amplificador operacional Obtenha a saída eo Definindo i R e e i C dt d e e i R e e i o o 1 1 2 3 2 l l l h Notandose que a corrente que flui pelo amplificador é desprezível temos i1 i2 i3 Então R e e C dt d e e R e e i o o 1 2 l l l h Como e Z 0 temos R e C dt de R e i o o 1 2 FIGURA 315 eo ei R2 R1 eo ei R2 R1 b a a Amplificador operacional não inversor b circuito equivalente 70 Engenharia de controle moderno Considerando a transformada de Laplace dessa última equação e supondo condições iniciais nulas temos R E s R R Cs E s 1 i o 1 2 2 h h que pode ser escrita como E s E s R R R Cs 1 1 i o 1 2 2 h h O circuito com amplificador operacional exposto na Figura 316 é um circuito de atraso de pri meira ordem Vários outros circuitos que envolvem amplificadores operacionais são mostrados na Tabela 31 com suas respectivas funções de transferência A Tabela 31 é dada na página 75 Uso da impedância para a obtenção das funções de transferência Considere o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 317 Da mesma maneira que no caso dos cir cuitos elétricos discutidos anteriormente o método da impedância pode ser aplicado aos circuitos com amplificadores operacionais para a obtenção de suas funções de transferência No caso do circuito apresentado na Figura 317 temos Z E s E s Z E s E s i o 1 2 l l h h h h Como E s Z 0 temos E s E s Z s Z s i o 1 2 h h h h 334 FIGURA 316 ei eo R2 R1 C i1 i3 i2 e Circuito de atraso de primeira ordem com amplificador operacional FIGURA 317 Eos Is Is Eis Es Z1s Z2s Circuito com amplificador operacional 71 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Exemplo 39 Tomando como referência o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 316 obtenha a função de transferência EosEi s pela utilização do método da impedância As impedâncias complexas Z1s e Z2s para esse circuito são Z1s R1 e Z s Cs R R Cs R 1 1 1 2 2 2 2 h A função de transferência EosEis é portanto obtida como E s E s Z s Z s R R R Cs 1 1 i o 1 2 1 2 2 h h h h que evidentemente é a mesma obtida no Exemplo 38 Redes de avanço ou atraso com amplificadores operacionais A Figura 318a mostra um circuito eletrônico com um amplificador operacional A função de transferência para esse circuito pode ser obtida da seguinte maneira defina a impedância de entrada e a impedância de realimentação como Z1 e Z2 respectivamente Então Z R C s R Z R C s R 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Assim tomando como referência a Equação 334 temos E s E s Z Z R R R C s R C s C C s R C s R C 1 1 1 1 i 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 h h 335 FIGURA 318 b C1 C2 Eis Eos Es R1 R2 R3 R4 Rede de atraso ou de avanço Inversor de sinal a Z1 C1 Z2 C2 R2 i2 i1 R1 Eis Es Es a Circuito com amplificador operacional b circuito com amplificador operacional utilizado como compensador de avanço ou de atraso 72 Engenharia de controle moderno Observe que a função de transferência na Equação 335 contém o sinal negativo Assim esse circuito é inversor de sinal Se essa inversão de sinal não for conveniente no caso real um circuito inversor de sinal poderá ser conectado tanto à entrada como à saída do circuito da Figura 318a Um exemplo é mostrado na Figura 318b O inversor de sinal tem a função de transferência de E s E s R R o 3 4 h h O inversor de sinal tem o ganho de R4R3 Então a rede mostrada na Figura 318b tem a seguinte função de transferência E s E s R R R R R C s R C s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 3 2 4 2 2 1 1 3 2 4 1 2 2 1 1 a a a h h 336 onde T R1C1 aT R2C2 K R C R C c 3 2 4 1 Note que K R C R C R C R C R R R R R C R C c 3 2 4 1 1 1 2 2 1 3 2 4 1 1 2 2 a a Essa rede tem um ganho cc de Kca R2R4R1R3 Observe que essa rede cuja função de transferência é dada pela Equação 336 será uma rede de avanço se R1C1 R2C2 ou a 1 Ela será uma rede de atraso se R1C1 R2C2 Controlador PID com amplificadores operacionais A Figura 319 mostra um controlador eletrônico proporcionalintegralderivativo PID com amplificadores operacionais A função de transferência EsEi s é dada por E s E s Z Z i 1 2 h h onde Z R C s R Z C s R C s 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 FIGURA 319 Z1 C1 Z2 C2 R2 R1 Eis Eos Es R3 R4 Controlador eletrônico PID 73 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Assim E s E s C s R C s R R C s 1 1 i 2 2 2 1 1 1 e e h h o o Notando que E s E s R R o 3 4 h h temos E s E s E s E s E s E s R R R R R C s R C s R C s R R R R R C R C R C R C s R C s R R C R R C R C R C R C s R C R C R C R C s 1 1 1 1 1 i o o i 3 1 4 2 2 2 1 1 2 2 3 1 4 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 1 2 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 e h h h h h h h h o h h E 337 Observe que o segundo circuito amplificador operacional atua tanto como um inversor de sinal como um ajuste de ganho Quando um controlador PID é expresso como E s E s K s T T s 1 i o p i d e h h o Kp é chamado ganho proporcional Ti é denominado tempo integrativo e Td de tempo derivativo A partir da Equação 337 obtemos o ganho proporcional Kp o tempo integrativo Ti e o tempo derivativo Td como K R R C R R C R C T R C R C T R C R C R C R C 1 p i d 3 1 2 4 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 h Quando um controlador PID é expresso como E s E s K s K K s i o p i d h h Kp é chamado ganho proporcional Ki tempo integrativo e Kd ganho derivativo Para esse con trolador K R R C R R C R C K R R C R K R R R C p i d 3 1 2 4 1 1 2 2 3 1 2 4 3 4 2 1 h A Tabela 31 mostra uma lista de circuitos com amplificadores operacionais que podem ser utilizados como controladores ou compensadores 74 Engenharia de controle moderno TABELA 31 Ação de controle G s E s E s i o h h h Circuitos amplificadores operacionais 1 P R R R R 3 4 1 2 eo ei R1 R2 R3 R4 2 I R R R C s 1 3 4 1 2 eo ei R1 R3 R4 C2 3 PD R R R R R C s 1 3 4 1 2 1 1 h R2 eo ei R3 R4 C1 R1 4 PI R R R R R C s R C s 1 3 4 1 2 2 2 2 2 R2 R1 eo ei R3 R4 C2 5 PID R R R R R C s R C s 1 R C s 1 3 4 1 2 2 2 1 1 2 2 h h R2 R1 eo ei R3 R4 C2 C1 6 Avanço ou atraso 1 R R R R R C s R C s 1 3 4 1 2 2 2 1 1 R2 R1 eo ei R3 R4 C2 C1 7 Avanço e atraso R R R R R C s R R C s R R C s R C s 1 1 1 1 5 6 3 4 1 1 2 4 2 1 3 1 2 2 h h h h 6 6 R4 R2 R1 R3 eo ei R5 R6 C2 C1 Circuitos com amplificadores operacionais que podem ser utilizados como compensadores 75 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Exemplos de problemas com soluções A31 A Figura 320a mostra um diagrama esquemático do sistema de suspensão de um automóvel Quando o carro se move ao longo da estrada o movimento vertical das rodas age como a própria função de entrada do sistema de suspensão do automóvel O movimento desse sistema consiste em um movimento de translação do centro de massa e um movimento de rotação em torno desse mesmo centro de massa O modelo matemático do sistema completo é bastante complicado Uma versão muito simplificada do sistema de suspensão é mostrada na Figura 320b Admitindo que o movimento xi no ponto P seja a entrada do sistema e o movimento vertical xO do corpo seja a saída obtenha a função de transferência XOsXis Considere o movimento do corpo somente na direção vertical O deslocamento xO é medido a partir da posição de equilíbrio na ausência da variável de entrada xi Solução A equação do movimento para o sistema mostrado na Figura 320b é mẍO bẋO ẋi kxO xi 0 ou mẍO bẋO kxO bẋi kxi Ao considerar a transformada de Laplace da última equação e ao supor condições iniciais nulas obtemos ms2 bs kXOs bs k Xis Então a função de transferência XOsXis é dada por X s X s ms bs k bs k i o 2 h h A32 Obtenha a função de transferência YsUs do sistema mostrado na Figura 321 A entrada u é um deslocamento Como o sistema do Problema A31 este é também uma versão simplificada da suspensão de um automóvel ou de uma motocicleta FIGURA 320 a k b xi Centro de massa Corpo do carro b P xo m a Sistema de suspensão do automóvel b sistema de suspensão simplificado 76 Engenharia de controle moderno Solução Suponha que os deslocamentos x e y sejam medidos a partir das respectivas posições de repouso que ocorrem na ausência da entrada u Aplicando a segunda lei de Newton a esse sistema obtemos m1ẍ k2y x bẏ ẋ k1u x m2 ӱ k2y x bẏ ẋ Então temos m1ẍ bẋ k1 k2x bẏ k2 y k1u m2 ӱ bẏ k2 y bẋ k2 x Ao considerar a transformada de Laplace dessas duas equações e ao supor condições iniciais nulas obtemos m1s2 bs k1 k2 Xs bs k2Ys k1Us m2s2 bs k2Ys bs k2 Xs Eliminando Xs das duas últimas equações temos m s bs k k bs k m s bs k Y s bs k Y s k U s 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 h h h h h que fornece U s Y s m m s m m bs k m m m k s k bs k k k bs k 1 2 4 1 2 3 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 h h h h h 6 A33 Obtenha a representação em espaço de estados do sistema mostrado na Figura 322 Solução As equações do sistema são m1 ӱ1 bẏ1 k y1 y2 0 FIGURA 321 y b x u m2 m1 k2 k1 Sistema de suspensão FIGURA 322 m1 m2 k y1 b u y2 Sistema mecânico 77 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos m2 ӱ2 k y2 y1 u As variáveis de saída para esse sistema são y1 e y2 Definindo as variáveis de estado como x1 y1 x2 ẏ1 x3 y2 x4 ẏ2 Obtemos então as seguintes equações x x x m by k y y m k x m b x m k x x x x m k y y u m k x m k x m u 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 3 4 4 2 2 1 2 1 2 3 2 o o o o o h h 6 6 Portanto a equação de estado é x x x x m k m k m b m k m k x x x x m u 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 3 4 1 2 1 1 2 1 2 3 4 2 o o o o R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W WW e a equação de saída é y y x x x x 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 3 4 R T S S S SS V X W W W WW G G A34 Obtenha a função de transferência XOsXis do sistema mecânico apresentado na Figura 323a e a função de transferência EosEis do sistema elétrico exposto na Figura 323b Mostre que FIGURA 323 a b xi xo y k2 k1 b2 b1 R2 R1 eo ei C2 C1 a Sistema mecânico b sistema elétrico análogo 78 Engenharia de controle moderno as funções de transferência dos dois sistemas têm forma idêntica e portanto eles são sistemas análogos Solução Admitimos na Figura 359a que os deslocamentos xi x0 e y sejam medidos a partir das respectivas posições de repouso Assim as equações de movimento para o sistema mecânico da Figura 323a são b1ẋi ẋO k1xi xO b2ẋO ẏ b2ẋO ẏ k2 y Tomando as transformadas de Laplace dessas duas equações e admitindo condições iniciais nulas temos b1sXi s sXOs k1Xi s XOs b2sXOs sYs b2sXOs sYs k2Ys Se eliminarmos Ys das duas últimas equações obtemos b sX s sX s k X s X s b sX s b s b s k b sX s i o i o o o 1 1 2 2 2 2 2 h h h h h h 6 6 ou b s k X s b s k b s b s b s k b s X s i o 1 1 1 1 2 2 2 2 2 e h h o h Então a função de transferência X0sXis pode ser obtida por meio de X s X s k b s k b s k b s k b s k b s 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 c c c c h h m m m m Para o sistema elétrico mostrado na Figura 323b a função de transferência EosEis é E s E s R C s R C s R C s R C s R C s R C s R C s R C s 1 1 1 1 1 1 1 1 i o 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 h h h h h h h Uma comparação entre as funções de transferência mostra que os sistemas das figuras 323a e b são análogos A35 Obtenha as funções de transferência EosEi s dos circuitos em ponte tipo T mostrados nas figuras 324a e b FIGURA 324 R R C1 C C C2 ei eo a R1 R2 ei eo b Rede em ponte tipo T 79 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Solução Ambos os circuitos em ponte tipo T mostrados podem ser representados pela rede da Figura 325a em que utilizamos impedâncias complexas Essa rede pode ser transformada na que está representada na Figura 325b Na Figura 325b note que I1 I2 I3 I2Z1 Z3 Z4I3 Então I Z Z Z Z Z I I Z Z Z Z I 2 1 3 4 3 4 1 3 1 3 4 1 1 Assim as tensões Eis e Eos podem ser obtidas como E s Z I Z I Z Z Z Z Z Z Z I Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z I E s Z I Z I Z Z Z Z Z I Z I Z Z Z Z Z Z Z Z Z I i o 1 2 2 1 2 1 3 4 1 3 4 1 1 3 4 2 1 3 4 1 3 4 1 3 3 2 1 1 3 4 3 1 1 2 1 1 3 4 3 1 2 1 3 4 1 h h h h h h G FIGURA 325 Z1 Z4 Z3 Z2 Z1 Eis Z4 Z3 Z2 I3 I2 I1 I1 I3 I3 I2 I1 I1 ei eo Eos a b a Rede em ponte tipo T em termos de impedâncias complexas b rede equivalente 80 Engenharia de controle moderno Então a função de transferência EosEi s da rede mostrada na Figura 325a é obtida como E s E s Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z i o 2 1 3 4 1 3 1 4 3 1 2 1 3 4 h h h h 338 Para a rede em ponte tipo T mostrada na Figura 324a substitua Z R Z C s Z R Z C s 1 1 1 2 1 3 4 2 na Equação 338 Então obtemos a função de transferência EosEi s a saber E s E s C s R R C s R R C s R C s R R C s RC RC s RC RC s RC RC s RC s 1 1 1 1 1 2 1 2 1 i o 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 e e h h o o h Da mesma maneira para a rede em ponte tipo T mostrada na Figura 324b substituímos Z1 Cs 1 Z2 R1 Z3 Cs 1 Z4 R2 na Equação 338 Então a função de transferência EosEi s pode ser obtida como se segue E s E s R Cs Cs R Cs Cs R Cs Cs Cs R Cs Cs R R CR Cs R C R C s R CR Cs R Cs 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 i o 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 c c h h m m h A36 Obtenha a função de transferência EosEis do circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 326 Solução A tensão no ponto A é eA 2 1 ei eo eo A transformada de Laplace dessa última equação é EAs 2 1 Eis Eos FIGURA 326 C A B R1 R1 R2 ei eo Circuito com amplificador operacional 81 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos A tensão no ponto B é E s R Cs Cs E s R Cs E s 1 1 1 1 B i i 2 2 h h h Como EBs EAsK Eos e K 1 devemos ter EAs EBs Assim E s E s R Cs E s 2 1 1 1 i o i 2 h h h 6 Então E s E s R Cs R Cs s R C s R C 1 1 1 1 i o 2 2 2 2 h h A37 Obtenha a função de transferência EosEis do sistema com amplificador operacional indica do na Figura 327 em termos de impedâncias complexas Z1 Z2 Z3 e Z4 Utilizando a equação derivada obtenha a função de transferência EosEis do sistema com amplificador operacional indicado na Figura 326 Solução A partir da Figura 327 temos Z E s E s Z E s E s i A A o 3 4 h h h h ou E s Z Z E s Z Z E s 1 i A o 4 3 4 3 e h o h h 339 Como E s E s Z Z Z E s A B i 1 2 1 h h h 340 pela substituição da Equação 340 na Equação 339 obtemos Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z E s Z Z E s i o 4 1 2 4 1 4 2 4 1 3 1 4 3 h h h G a partir da qual obtemos a função de transferência EosEis como E s E s Z Z Z Z Z Z Z i o 3 1 2 4 2 3 1 h h h 341 FIGURA 327 A B eo ei Z3 Z1 Z2 Z4 Circuito com amplificador operacional 82 Engenharia de controle moderno Para encontrarmos a função de transferência EosEis do circuito mostrado na Figura 326 substituímos Z1 Cs 1 Z2 R2 Z3 R1 Z4 R1 na Equação 341 O resultado é E s E s R Cs R R R R Cs R Cs R Cs 1 1 1 1 i o 1 2 1 2 1 2 2 c h h m que é como não poderia deixar de ser o mesmo que o obtido no Problema A36 A38 Obtenha a função de transferência EosEis do circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 328 Solução Primeiro vamos obter as correntes i1 i2 i3 i4 e i5 Em seguida utilizaremos as equações dos nós A e B i R e e i R e e i C dt de i R e i C dt de i A A o A A o 1 1 2 3 3 1 4 2 5 2 No nó A temos i1 i2 i3 i4 ou R e e R e e C dt de R e i A A o A A 1 3 1 2 342 No nó B temos i4 i5 ou R e C dt de A o 2 2 343 Reescrevendo a Equação 342 temos C dt de R R R e R e R e 1 1 1 A A i o 1 1 2 3 1 3 e o 344 A partir da Equação 343 temos e R C dt de A o 2 2 345 Substituindo a Equação 345 na Equação 344 obtemos C R C dt d e R R R R C dt de R e R e 1 1 1 o o i o 1 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 3 c e m o h FIGURA 328 i1 R1 i2 i4 i3 A C1 ei eo R3 i5 C2 B R2 Circuito com amplificador operacional 83 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos Tomando a transformada de Laplace dessa última equação e admitindo condições iniciais nulas obtemos C C R s E s R R R R C sE s R E s R E s 1 1 1 1 o o o i 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 1 e h o h h h h a partir da qual obtemos a função de transferência EosEis como se segue E s E s R C R C s R C R C R R R C s R R 1 i o 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 e e h h o o G A39 Considere o servossistema indicado na Figura 329a O motor mostrado é um servomotor um motor cc projetado especialmente para ser utilizado em um sistema de controle A operação desse sistema é a seguinte um par de potenciômetros atua como um dispositivo detector de erros Eles convertem as posições de entrada e de saída em sinais elétricos proporcionais O sinal de entrada de comando determina a posição angular r do braço do cursor da entrada do potenciômetro A posição angular r é a entrada de referência do sistema e o potencial elétrico do cursor é propor cional à posição angular do braço A posição do eixo de saída determina a posição angular c do cursor do braço de saída do potenciômetro A diferença entre a posição angular de entrada r e a posição angular de saída c é o sinal de erro e ou e r c A diferença de potencial er ec eυ é o erro de tensão onde er é proporcional a r e ec é propor cional a c isto é er K0r e ec K0c onde K0 é a constante de proporcionalidade O erro de tensão FIGURA 329 c Cs Rs K sJs B b Evs Es Rs Cs Hs K1K2 sLas Ra Jos bo K2K3s K0 n a Referência de entrada Dispositivo de entrada Potenciômetro de entrada Potenciômetro de saída Sinal de realimentação er ec r c c K1 ia T Ra La Dispositivo de medição de erro Amplificador Motor Engrenagens Carga i K1ev ev a Diagrama esquemático do servossistema b diagrama de blocos para o sistema c diagrama de blocos simplificado 84 Engenharia de controle moderno que aparece nos terminais do potenciômetro é amplificado pelo amplificador cuja constante de ganho é K1 A tensão de saída do amplificador é aplicada ao circuito da armadura do motor cc Uma tensão fixa é aplicada ao enrolamento do campo Se existir erro o motor desenvolve um torque para girar a carga de modo que reduza o erro a zero Para a corrente de campo constante o torque desenvolvido pelo motor é T K2ia onde K2 é a constante de torque do motor e ia é a corrente da armadura Quando a armadura gira uma tensão proporcional ao produto do fluxo pela velocidade angular é induzida na armadura Para um fluxo constante a tensão induzida eb é diretamente proporcional à velocidade angular dθdt ou e K dt d b 3 i onde eb é a fcem força contra eletromotriz K3 é a constante de fcem do motor e θ é o desloca mento angular do eixo do motor Obtenha a função de transferência entre o deslocamento angular θ do eixo do motor e a tensão de erro eυ Obtenha também um diagrama de blocos para esse sistema e um diagrama de blocos simplificado supondo que La seja desprezível Solução A velocidade de um servomotor cc controlado pela armadura é controlada pela tensão da armadura ea A tensão da armadura ea K1ev é a saída do amplificador A equação diferencial do circuito da armadura é L dt di R i e e a a a a b a ou L dt di R i K dt d K e a a a a 3 1 i y 346 A equação de equilíbrio do torque é J dt d b dt d T K ia 0 2 2 0 2 i i 347 onde J0 é o momento de inércia da combinação motor carga e conjunto de engrenagens referente ao eixo do motor e b0 é o coeficiente de atrito viscoso do conjunto motor carga e conjunto de engrenagens do referido eixo do motor Eliminando ia das equações 346 e 347 obtemos E s s s L s R J s b K K s K K a a 0 0 2 3 1 2 H y h h h h 348 Vamos supor que a relação de engrenagens do conjunto de engrenagens seja tal que o eixo de saída gira n vezes para cada volta do eixo do motor Assim Cs nΘs 349 A relação entre Eυs Rs e Cs é Eυs K0Rs Cs K0 Es 350 O diagrama de blocos desse sistema pode ser construído a partir das equações 348 349 e 350 como indica a Figura 329b A função de transferência do ramo direto desse sistema é G s s C s E s s E s E s s L s R J s b K K K K K n a a 0 0 2 3 0 1 2 H H y y h h h h h h h h h 6 Quando La é pequeno pode ser desprezado e a função de transferência Gs do ramo direto tornase 85 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos G s s R J s b K K K K K n J s b R K K s K K K n R a a a 0 0 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 0 1 2 e h h o 6 351 O termo b0 K2K3Ras indica que a fcem do motor aumenta efetivamente o atrito viscoso do sistema A inércia J0 e o coeficiente de atrito viscoso b0 K2K3Ra referemse ao eixo do motor Quando J0 e b0 K2K3Ra são multiplicados por 1n2 a inércia e o coeficiente de atrito viscoso são expressos em termos do eixo de saída Introduzindo novos parâmetros definidos por J J0 n2 momento de inércia referente ao eixo de saída B b0 K2K3Ran2 coeficiente de atrito viscoso referente ao eixo de saída K K0K1K2nRa a função de transferência Gs dada pela Equação 351 pode ser simplificada resultando em G s Js Bs K 2 h ou G s s T s K 1 m m h h onde K B K T B J R b K K R J m m a a 0 2 3 0 O diagrama de blocos do sistema indicado na Figura 329b pode assim ser simplificado como mostra a Figura 329c Problemas B31 Obtenha o coeficiente de atrito viscoso beq equivalente do sistema mostrado na Figura 330 B32 Obtenha os modelos matemáticos dos sistemas mecânicos mostrados nas figuras 331a e b FIGURA 330 x b3 y b2 b1 Sistema de amortecedores 86 Engenharia de controle moderno B33 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 332 onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas B34 Considere o sistema de pêndulo de mola com carga indicado na Figura 333 Suponha que a ação da força da mola sobre o pêndulo seja zero quando este está na posição vertical ou θ 0 Suponha também que o atrito envolvido seja desprezível e o ângulo de oscilação θ seja pequeno Obtenha o modelo matemático do sistema B35 Referindose aos exemplos 35 e 36 considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 334 Suponha que a massa do pêndulo invertido seja m e seja uniformemente distribuída ao longo da haste O centro de gravidade do pêndulo está localizado no centro da haste Supondo que θ seja pequeno deduza os modelos matemáticos para o sistema na forma de equações diferenciais funções de transferência e equações no espaço de estados FIGURA 332 y1 y2 u1 m2 b1 u2 k2 k1 m1 Sistema mecânico FIGURA 331 m k a Sem fricção x Saída ut Força de entrada m b Sem fricção x Saída ut Força de entrada k1 k2 Sistemas mecânicos 87 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos B36 Obtenha as funções de transferência X1sUs e X2sUs do sistema mecânico indicado na Figura 335 B37 Obtenha a função de transferência EosEi s do circuito elétrico indicado na Figura 336 FIGURA 333 k k a ℓ mg i Sistema de pêndulo de mola com carga FIGURA 334 M y x u G O ℓ ℓ x y x i Sistema de pêndulo invertido FIGURA 335 m1 m2 k3 k1 x1 x2 u b1 k2 b2 Sistema mecânico FIGURA 336 R1 eo R2 C L ei i1 i2 Circuito elétrico 88 Engenharia de controle moderno B38 Considere o circuito elétrico mostrado na Figura 337 Obtenha a função de transferência Eos Eis pelo método do diagrama de blocos B39 Deduza a função de transferência do circuito elétrico indicado na Figura 338 Desenhe um dia grama esquemático de um sistema mecânico análogo B310 Obtenha a função de transferência EosEi s do circuito com amplificador operacional indicado na Figura 339 B311 Obtenha a função de transferência EosEi s do circuito com amplificador operacional indicado na Figura 340 FIGURA 338 R1 C1 R2 C2 eo ei Circuito elétrico FIGURA 339 C A R1 R2 ei eo Circuito com amplificador operacional FIGURA 337 R1 C1 eo R2 C2 ei i1 i2 Circuito elétrico 89 Capítulo 3 Modelagem matemática de sistemas mecânicos e elétricos B312 Utilizando a abordagem da impedância obtenha a função de transferência EosEis do circuito com amplificador operacional indicado na Figura 341 B313 Considere o sistema mostrado na Figura 342 Um servomotor cc controlado pela armadura aciona uma carga constituída por um momento de inércia JL O torque desenvolvido pelo motor é T O momento de inércia do rotor do motor é Jm Os deslocamentos angulares do rotor do motor e do elemento de carga são θm e θ respectivamente A relação das engrenagens é n θθm Obtenha a função de transferência ΘsEis FIGURA 340 C A B R1 R2 R3 ei eo Circuito com amplificador operacional FIGURA 341 C A B R1 R1 R2 ei eo Circuito com amplificador operacional FIGURA 342 L R T n ei Jm JL im i Sistema servomotor cc controlado pela armadura 90 Engenharia de controle moderno Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 4 C A P Í T U L O 41 Introdução Este capítulo trata da modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Por ser o meio mais versátil para a transmissão de sinais e força os fluidos líquidos e gases têm grande aplicação na indústria Os líquidos e os gases se diferenciam basicamente por sua incompressibilidade relativa e pelo fato de que um líquido pode ter uma superfície livre ao passo que um gás se expande para preencher seu recipiente No campo da engenharia o termo pneumático é empregado para descrever sistemas que utilizam ar ou gases e hidráulico aplicase aos sistemas que utilizam óleo Inicialmente discutiremos os sistemas de nível de líquido que com frequência são utiliza dos no processo de controle Vamos introduzir aqui os conceitos de resistência e de capacitância para descrever as dinâmicas desses sistemas Depois vamos tratar dos sistemas pneumáticos Tais sistemas são muito utilizados na automação da maquinaria de produção e no campo dos controladores automáticos Por exemplo os circuitos pneumáticos que convertem a energia do ar comprimido em energia mecânica têm grande utilização Vários tipos de controladores pneu máticos também são amplamente utilizados na indústria Em seguida apresentaremos os servos sistemas hidráulicos que são muito utilizados em sistemas de máquinasferramentas sistemas de controle de aeronaves etc Vamos estudar os aspectos básicos dos servossistemas hidráulicos e dos controladores hidráulicos Tanto os sistemas pneumáticos quanto os sistemas hidráuli cos podem ser facilmente modelados pela utilização dos conceitos de resistência e capacitância Por fim vamos tratar de sistemas térmicos simples os quais envolvem transferência de calor de uma substância para outra Os modelos matemáticos para esses sistemas podem ser obtidos pela utilização dos conceitos de resistência e capacitância térmica Visão geral do capítulo A Seção 41 apresenta uma introdução do capítulo A Seção 42 dis cute sistemas de nível de líquido A Seção 43 trata de sistemas pneumáticos em particular os princípios básicos dos controladores pneumáticos A Seção 44 inicialmente discute servossis tema hidráulico e em seguida apresenta controladores hidráulicos Por fim a Seção 45 analisa sistemas térmicos e obtém modelos matemáticos para esses sistemas 42 Sistemas de nível de líquidos Na análise de sistemas que envolvem o fluxo de fluidos julgamos necessário dividir os regimes de fluxo em fluxo laminar e fluxo turbulento de acordo com o valor do número de Reynolds Se o número de Reynolds estiver entre 3000 e 4000 então o sistema será turbulento O sistema é laminar se esse valor for menor do que aproximadamente 2000 No caso laminar o fluxo ocorre em linhas de escoamento sem turbulência Sistemas que envolvem fluxo laminar podem ser representados por equações diferenciais lineares Processos industriais envolvem frequentemente o fluxo de líquidos ao longo de tubos de conexão e de reservatórios O fluxo nesses processos geralmente é turbulento e não laminar Os sistemas que envolvem fluxo turbulento são frequentemente representados por equações dife renciais não lineares Entretanto se a região de operação for limitada essas equações diferen ciais não lineares podem ser linearizadas Nesta seção vamos discutir os modelos matemáticos linearizados de sistemas de nível de líquido Note que a introdução do conceito de resistência e capacitância para esses sistemas de nível de líquido nos possibilita descrever suas características dinâmicas de modo simples Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido Consideremos o fluxo ao longo de uma tubulação curta que conecta dois reservatórios A resistência R ao fluxo de líqui do nessa tubulação ou restrição é definida como a variação na diferença de nível a diferença entre o nível dos líquidos nos dois reservatórios necessária para causar a variação unitária na vazão isto é R variação na diferença de nível m variação na vazão em volume m³s Como a relação entre a taxa de escoamento e a diferença de nível difere do fluxo laminar para o fluxo turbulento consideraremos ambos os casos a seguir Considere o sistema de nível de líquido da Figura 41a Nesse sistema o líquido flui em uma válvula de restrição na lateral do reservatório Se o fluxo nessa restrição for laminar a relação entre a vazão em regime permanente e a altura do nível em regime permanente na restrição será dada por Q KH onde Q vazão em volume em regime permanente m³s K coeficiente m²s H altura do nível em regime permanente m FIGURA 41 Válvula de controle Q qo Q qi H h Válvula de restrição Capacitância C Resistência R b a Altura H H 0 h P q Q Taxa de escoamento tg1Rt Inclinação 2H Q h q a Sistema de nível de líquido b curva de altura do nível versus vazão 92 Engenharia de controle moderno Para o fluxo laminar a resistência Rl é obtida como Rl dH H dQ Q A resistência no escoamento laminar é constante e análoga à resistência elétrica Se o fluxo através da restrição é turbulento a taxa de fluxo em estado permanente é dada por Q K H 41 onde Q vazão em volume em regime permanente m³s K coeficiente m25s H altura do nível em regime permanente m A resistência Rt para o fluxo turbulento é obtida a partir de Rt dH dQ A partir da Equação 41 obtemos dQ K dH 2 H temos dH 2 H 2 H H 2H dQ K Q Q Assim Rt 2H Q O valor da resistência Rt do fluxo turbulento depende da vazão e da altura do nível do líquido Entretanto o valor de Rt pode ser considerado constante se as variações da altura do nível e da vazão forem pequenas Utilizandose a resistência para o caso de fluxo turbulento a relação entre Q e H pode ser dada por Q 2H Rt Essa linearização é válida desde que as variações da altura do nível e da vazão em relação aos respectivos valores de regime permanente sejam pequenas Em muitos casos práticos o valor do coeficiente K na Equação 41 que depende do coeficiente de fluxo e da área de restrição não é conhecido Então a resistência pode ser determinada pela construção do gráfico da curva que mostra a altura do nível versus a vazão com base em dados experimentais e medindose a inclinação da curva no ponto de operação Um exemplo dessa curva é o indicado na Figura 41b em que P é o ponto de operação em regime permanente A linha tangente à curva no ponto P cruza o eixo das ordenadas no ponto 0 H Assim a inclinação dessa linha tangente é 2H Q Como a resistência Rt no ponto de operação P é dada por 2H Q a resistência Rt é a inclinação da curva no ponto de operação Considere a condição de operação nas proximidades do ponto P Defina uma pequena variação do valor da altura do regime permanente como h e a pequena variação correspondente da taxa de escoamento como q Então a inclinação da curva no ponto P pode ser dada por Inclinação da curva no ponto P h 2H Rt q Q 93 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos A aproximação linear tem como base o fato de que a curva real não difere muito de sua linha tangente se a condição de operação não variar muito A capacitância C de um reservatório é definida como a variação na quantidade de líquido armazenado necessária para causar uma mudança unitária no potencial altura O potencial é a grandeza que indica o nível de energia do sistema C variação na quantidade de líquido armazenado m³ variação na altura m Note que a capacidade m³ e a capacitância m² são diferentes A capacitância do reservatório é igual à sua secção transversal Se esta for constante a capacitância será constante para qualquer altura do nível Sistemas de nível de líquido Considere o sistema indicado na Figura 41a As variáveis são definidas como segue Q vazão em volume em regime permanente antes de ocorrer alguma variação m³s qi pequeno desvio da vazão de entrada em relação a seu valor de regime permanente m³s qo pequeno desvio da vazão de saída em relação a seu valor de regime permanente m³s H altura do nível em regime permanente antes que ocorra alguma variação m h pequeno desvio de nível a partir de seu valor de regime permanente m Como foi visto anteriormente um sistema poderá ser considerado linear se o fluxo for laminar Mesmo que o fluxo seja turbulento o sistema poderá ser linearizado desde que as alterações nas variáveis sejam pequenas Com base na hipótese de que o sistema seja linear ou linearizado a equação diferencial desse sistema pode ser obtida como segue como o fluxo de entrada menos o fluxo de saída durante um pequeno intervalo de tempo dt é igual à quantidade adicional armazenada no reservatório temos C dh qi qodt A partir da definição de resistência a relação entre qo e h é dada por qo h R A equação diferencial desse sistema para um valor constante de R tornase RC dt dh h Rqi 42 Observe que RC é a constante de tempo do sistema Tomando a transformada de Laplace de ambos os membros da Equação 42 e considerando condições iniciais nulas obtemos RCs 1 Hs RQis onde Hs h e Qis qi Se qi for considerada a entrada e h a saída a função de transferência do sistema é Q s H s RCs R 1 i h h Entretanto se qo for admitida como a saída e a entrada permanecer a mesma a função de trans ferência será Q s Q s RCs 1 1 i 0 h h 94 Engenharia de controle moderno onde tomamos por base a relação Q s R H s 1 0 h h Sistemas de nível de líquido com interação Considere o sistema mostrado na Figura 42 Nesse sistema os dois reservatórios interagem Assim a função de transferência do sistema não é o produto das funções de transferência de primeira ordem A seguir vamos admitir apenas pequenas variações das variáveis a partir dos valores de regime permanente Utilizando os símbolos definidos na Figura 42 podemos obter as seguintes equações para esse sistema R h h q 1 1 2 1 43 C dt dh q q 1 1 1 44 R h q 2 2 2 45 C dt dh q q 2 2 1 2 46 Se q for considerada a entrada e q2 a saída a função de transferência do sistema será Q s Q s R C R C s R C R C R C s 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 h h h 47 É instrutivo obter a Equação 47 a função de transferência do sistema interativo pela redu ção do diagrama de blocos A partir das equações 43 a 46 obtemos os elementos do diagrama de blocos como mostra a Figura 43a Conectando os sinais corretamente podemos construir um diagrama de blocos como se pode ver na Figura 43b Esse diagrama de blocos pode ser simplificado como o da Figura 43c Simplificações adicionais resultam nas figuras 43d e e A Figura 43e é equivalente à Equação 47 Note a similaridade e a diferença entre a função de transferência da Equação 47 e a que é dada pela Equação 333 O termo R2C1s que aparece no denominador da Equação 47 exemplifica a interação entre os dois reservatórios Por analogia o termo R1C2s no denominador da Equação 333 representa a interação entre os dois circuitos RC mostrados na Figura 38 FIGURA 42 Q q Reservatório 1 Reservatório 2 H1 h1 R1 H2 h2 R2 Q q2 C1 C2 Q q1 Q vazão em volume em regime permanente H 1 nível de líquido do reservatório 1 em regime permanente H 2 nível de líquido do reservatório 2 em regime permanente Sistema de nível de líquido com interação 95 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 43 Sistemas pneumáticos Em aplicações industriais sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos são frequentemente comparados Assim antes de discutirmos os sistemas pneumáticos em detalhes vamos fazer uma breve comparação entre esses dois tipos de sistemas Comparação entre sistemas pneumáticos e sistemas hidráulicos O fluido geralmente encontrado em sistemas pneumáticos é ar em sistemas hidráulicos é óleo E estas são princi palmente as diferentes propriedades dos fluidos envolvidos que caracterizam a diferença entre os dois sistemas Essas diferenças podem ser relacionadas como segue 1 Ar e gases são compressíveis enquanto o óleo não é exceto em alta pressão FIGURA 43 c d e G3 b a Qs H1s H2s Q1s Q2s Qs Q1s Q2s Qs Q2s Qs Q2s 1 R1 1 R1 1 R1 1 R2 1 R2 1 R2 1 C1s 1 C1s 1 C2s G3 1 C2s G3 1 C2s R2C1s R2C1s 1 R1C1 s 1 1 R2C2 s 1 1 R1C1R2C2s2 R1C1 R2C2 R2C1s 1 H1s Q1s H2s 1 C1s H2s Q2s Qs H1s Q1s Q1s H2s Q2s a Elementos do diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura 42 b diagrama de blocos do sistema ce reduções sucessivas do diagrama de blocos 96 Engenharia de controle moderno 2 O ar não tem a propriedade de lubrificação e geralmente contém vapor de água O óleo tem a função de fluido hidráulico e também de lubrificante 3 A pressão de operação normal dos sistemas pneumáticos é bem mais baixa que a dos sistemas hidráulicos 4 A potência de saída dos sistemas pneumáticos é consideravelmente menor que a dos sistemas hidráulicos 5 A precisão dos atuadores pneumáticos é insatisfatória em baixas velocidades enquanto a precisão dos atuadores hidráulicos pode ser satisfatória qualquer que seja a velocidade 6 Em sistemas pneumáticos vazamentos externos são permitidos até certo ponto mas vazamentos internos devem ser evitados porque a diferença de pressão efetiva é bem pequena Nos sistemas hidráulicos vazamentos internos são permitidos até certo ponto mas o vazamento externo deve ser evitado 7 Nos sistemas pneumáticos não são necessários tubos de retorno quando for utilizado ar ao passo que nos sistemas hidráulicos eles são sempre necessários 8 A temperatura normal de operação para os sistemas pneumáticos varia de 5 C a 60 C 41 F a 140 F Entretanto eles podem ser operados dentro do intervalo de 0 C a 200 C 32 F a 392 F Os sistemas pneumáticos são insensíveis a variações de temperatura em contraste com os sistemas hidráulicos nos quais o atrito do fluido em razão da vis cosidade depende grandemente da temperatura A temperatura de operação normal para os sistemas hidráulicos varia de 20 C a 70 C 68 F a 158 F 9 Os sistemas pneumáticos são à prova de fogo e de explosão enquanto os sistemas hidráu licos não o são a menos que seja utilizado um líquido não inflamável Começamos a seguir com a modelagem matemática de sistemas pneumáticos Depois apresentaremos os controladores pneumáticos proporcionais Primeiro apresentaremos uma discussão detalhada do princípio de operação dos controla dores proporcionais Em seguida trataremos dos métodos para a obtenção das ações de controle derivativo e integral Nessas discussões vamos dar ênfase aos princípios fundamentais em vez de aos detalhes de operação desses mecanismos Sistemas pneumáticos Nas últimas décadas vimos um grande desenvolvimento dos controla dores pneumáticos a baixa pressão para sistemas de controle industriais e hoje em dia eles são extensivamente utilizados em processos industriais As razões dessa ampla aceitação incluem o fato de eles serem à prova de explosão e por sua simplicidade e fácil manutenção Resistência e capacitância de sistemas de pressão Muitos processos industriais e contro ladores pneumáticos envolvem o fluxo de gás ou ar ao longo de tubos conectados a recipientes de pressão Considere o sistema de pressão mostrado na Figura 44a O fluxo do gás em uma restrição é uma função da diferença de pressão pi p0 Este é um sistema de pressão que pode ser carac terizado em termos de uma resistência e uma capacitância A resistência ao fluxo de gás R é definida como R variação na diferença de pressão de gás Nm² variação no fluxo de gás kgs ou R dq d DP h 48 onde dΔP é uma pequena variação na diferença de pressão do gás e dq é uma pequena variação no fluxo do gás O cálculo do valor da resistência R ao fluxo de gás pode ser demasiadamente complexo Entretanto ele pode ser determinado com facilidade a partir de um gráfico que indi 97 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos que a diferença de pressão versus o fluxo pelo cálculo da inclinação da curva em determinada condição de operação como indica a Figura 44b A capacitância do recipiente de pressão pode ser definida por C variação na quantidade de gás armazenado kg variação na pressão do gás Nm² ou C dp dm V dp dt 49 onde C capacitância kgm²N m massa do gás no recipiente kg p pressão do gás Nm² V volume do recipiente m³ t densidade kgm³ A capacitância do sistema de pressão depende do tipo do processo de expansão envolvido A capacitância pode ser calculada pela aplicação da lei do gás perfeito Se o processo de expansão do gás for politrópico e a mudança de estado do gás estiver entre isotérmica e adiabática então p m V p K constante n tn c m 410 onde n expoente politrópico Para gases perfeitos py R T ou p M R T y onde p pressão absoluta Nm² y volume ocupado por 1 mol de um gás m³kgmol R constante universal do gás mNkgmolK T temperatura absoluta K y volume específico do gás m³kg M peso molecular do gás por mol kgkgmol Assim p p M R T R gás T y t 411 onde Rgás constante do gás mNkgK FIGURA 44 Resistência R Capacitância C a b P pi P po 0 q q dq ΔP Inclinação R d ΔP a Diagrama esquemático de um sistema de pressão b curva de diferença de pressão versus fluxo 98 Engenharia de controle moderno O expoente politrópico n é unitário para a expansão isotérmica Para a expansão adiabática n é igual à relação entre os calores específicos cpcv onde cp é o calor específico a uma pressão constante e cv é o calor específico a um volume constante Em muitos casos práticos o valor de n é aproximadamente constante e assim a capacitância também pode ser considerada constante O valor de dρdp é obtido a partir das equações 410 e 411 A partir da Equação 410 temos dp Kntn1 dt ou dp d Kn pn pn 1 n n n 1 1 t t t t t Substituindo a Equação 411 nessa última equação obtemos dp d nR T 1 gás t A capacitância C é então obtida como C nR T V á g s 412 A capacitância de dado recipiente será constante se a temperatura permanecer constante Em muitos casos práticos o expoente politrópico é aproximadamente 10 12 para gases em recipientes metálicos sem isolamento Sistemas de pressão Considere o sistema da Figura 44a Se admitirmos apenas pequenos desvios nas variáveis a partir de seus respectivos valores em regime permanente então esse sistema pode ser considerado linear Vamos definir P pressão do gás no recipiente em regime permanente antes de terem ocorrido mudanças na pressão Nm² pi pequena variação na pressão do gás no fluxo de entrada Nm² po pequena variação na pressão do gás no recipiente Nm² V volume do recipiente m³ m massa de gás no recipiente kg q fluxo do gás kgs ρ densidade do gás kgm³ Para pequenos valores de pi e poa resistência R dada pela Equação 48 tornase constante e pode ser escrita como R q p p i o A capacitância C é dada pela Equação 49 ou C dp dm Como a mudança de pressão dpo multiplicada pela capacitância C é igual ao gás adicionado ao recipiente durante dt segundos obtemos C dpo q dt ou C dt dp R p p o i o que pode ser escrita como 99 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos RC dt dp p p o o i Se pi e p0 forem consideradas entrada e saída respectivamente então a função de transfe rência do sistema será P s P s RCs 1 1 i o h h onde RC tem a dimensão de tempo e é a constante de tempo do sistema Amplificadores pneumáticos do tipo bocalpalheta nozzleflapper Um diagrama esquemático de um amplificador pneumático do tipo bocalpalheta é mostrado na Figura 45a A fonte de potência para esse amplificador é uma fonte de alimentação de ar a uma pressão constan te O amplificador bocalpalheta converte pequenas variações na posição da palheta em grandes variações de contrapressão no bocal Assim uma grande potência de saída pode ser controlada por uma potência muito pequena que é a necessária para posicionar a palheta Na Figura 45a o ar pressurizado é introduzido pelo orifício e o ar é ejetado do bocal em direção à palheta De modo geral a fonte de alimentação Ps para um controlador é 20 psig 14 kgfcm² O diâmetro do orifício é da ordem de 001 pol 025 mm e o do bocal é da ordem de 0016 pol 04 mm O diâmetro do bocal deve ser maior que o diâmetro do orifício para assegurar o bom funcionamento do amplificador Na operação desse sistema a palheta é posicionada contra a abertura do bocal A contrapressão Pb no bocal é controlada pela distância X do bocal à palheta À medida que a palheta se aproxima do bocal a oposição ao fluxo de ar ao longo do bocal aumenta resultando no aumento da contra pressão Pb do bocal Se o bocal for completamente fechado pela palheta a contrapressão Pb do bocal se tornará igual à pressão de alimentação Ps Se a palheta se distanciar do bocal de modo que a distância bocalpalheta seja grande da ordem de 001 pol então não haverá praticamente restrição ao fluxo e a contrapressão Pb do bocal assumirá um valor mínimo que depende do dispositivo bocalpalheta A menor pressão possível será a pressão ambiente Pa Note que em virtude de o jato de ar aplicar uma força contra a palheta é necessário que o diâmetro do bocal seja o menor possível Uma curva típica que relaciona a contrapressão do bocal Pb à distância X entre o bocal e a palheta é mostrada na Figura 45b A parte mais inclinada e quase linear da curva é a efetivamente utilizada na operação do amplificador bocalpalheta Em virtude de o intervalo de deslocamento da palheta ser restrito a um pequeno valor a variação na pressão de saída também é pequena a menos que a curva seja muito inclinada FIGURA 45 Alimentação de ar Orifício Entrada 0 Bocal a b Palheta Para a válvula de controle Ps Pb Ps Pb Pa X X a Diagrama esquemático de um amplificador pneumático do tipo bocal palheta b curva característica que relaciona a contrapressão do bocal e a distância bocal palheta 100 Engenharia de controle moderno O amplificador bocalpalheta converte o deslocamento em um sinal de pressão Como os sistemas de controle de processos industriais requerem grandes saídas de potência para operar grandes válvulas atuadoras pneumáticas geralmente a amplificação de potência do amplificador bocalpalheta é insuficiente Como consequência frequentemente é necessário utilizar um relé pneumático como amplificador de potência em conjunto com o amplificador bocalpalheta Relés pneumáticos Na prática em um controlador pneumático um amplificador bocalpalheta age como amplificador de primeiro estágio e um relé pneumático como amplificador de segundo estágio O relé pneumático é capaz de controlar uma grande quantidade de fluxo de ar A Figura 46a mostra o diagrama esquemático de um relé pneumático Conforme a con trapressão Pb do bocal aumenta a válvula do diafragma se move para baixo A abertura para a atmosfera diminui e a abertura para a válvula pneumática de controle aumenta desse modo aumenta a pressão Pc Quando a válvula do diafragma fecha a abertura para a atmosfera a pressão de controle Pc tornase igual à pressão de alimentação Ps Quando a contrapressão do bocal Pb diminui e a válvula do diafragma se move para cima e fecha a alimentação de ar a pressão de controle Pc cai para o valor da pressão ambiente Pa Dessa maneira podese fazer a pressão de controle Pc variar de 0 psig ao total da pressão de alimentação normalmente 20 psig O movimento total da válvula do diafragma é muito pequeno Em todas as posições da válvula exceto na posição em que a alimentação de ar é fechada o ar continua a sair para a atmosfera mesmo depois de alcançada a condição de equilíbrio entre a contrapressão do bocal e a pressão de controle Assim o relé mostrado na Figura 46a é chamado relé do tipo com escape Existe outro tipo de relé o tipo sem escape Neste sendo atingida a condição de equilíbrio o ar para de fluir e dessa maneira não há nenhuma perda de ar pressurizado na operação em regime permanente Note entretanto que o relé do tipo sem escape deve possuir um respiro para atmosfera a fim de liberar a pressão de controle Pc da válvula atuadora pneumática Um diagrama esquemático de um relé do tipo sem escape é mostrado na Figura 46b Nesses dois tipos de relé a alimentação de ar é controlada por uma válvula que por sua vez é controlada pela contrapressão do bocal Assim a contrapressão do bocal é convertida em pressão de controle com amplificação de potência Como a pressão de controle Pc muda quase instantaneamente com as variações na contra pressão do bocal Pb a constante de tempo do relé pneumático é desprezível em comparação com outras constantes de tempo mais significativas do controlador pneumático e da planta Observe que alguns relés pneumáticos são de ação reversa Por exemplo o relé da Figura 47 é um relé de ação reversa Nesse caso quando a contrapressão Pb do bocal aumenta a válvula de esfera é forçada em direção à posição inferior dessa maneira diminuindo a pressão de controle Pc Portanto este é um relé de ação reversa FIGURA 46 Para a atmosfera Pa Contrapressão Pb do bocal Alimentação de ar Ps Pc Para a válvula de controle a b Para a atmosfera Contrapressão Pb no bocal Alimentação de ar Ps Pc Para a válvula pneumática a Diagrama esquemático de um relé do tipo com escape b diagrama esquemático de um relé do tipo sem escape 101 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Controladores pneumáticos proporcionais do tipo forçadistância Dois tipos de con troladores pneumáticos um chamado do tipo forçadistância e o outro do tipo balanço de forças são amplamente utilizados na indústria Independentemente de quão diferentes podem ser dos controladores pneumáticos industriais um estudo cuidadoso mostrará a semelhança exis tente entre as funções dos vários circuitos pneumáticos Vamos considerar aqui os controladores pneumáticos do tipo forçadistância A Figura 48a mostra o diagrama esquemático de um desses controladores proporcionais Um amplificador bocalpalheta constitui o primeiro estágio do amplificador e a contrapressão do bocal é controlada pela distância entre bocalpalheta Um amplificador do tipo relé constitui o segundo estágio do amplificador A contrapressão do bocal determina a posição da válvula do diafragma para o amplificador do segundo estágio que é capaz de operar um grande fluxo de ar Na maioria dos controladores pneumáticos é empregado algum tipo de realimentação A rea limentação da saída pneumática reduz a amplitude do movimento da palheta Em vez de montar a palheta em um ponto fixo como indicado na Figura 48b é comum pivoteála no fole de realimentação como mostra a Figura 48c A intensidade da realimentação pode ser regulada pelo uso de uma ligação móvel entre o fole de realimentação e o ponto de conexão da palheta A palheta tornase então um elo flutuante e pode ser movida tanto pelo sinal de erro como pelo sinal de realimentação A operação do controlador mostrado na Figura 48a é como segue O sinal de entrada para o amplificador pneumático de dois estágios é o sinal de erro atuante O aumento desse sinal de erro atuante move a palheta para a esquerda Esse movimento como consequência aumentará a contrapressão do bocal e a válvula do diafragma se moverá para baixo Isso resulta em um aumento na pressão de controle que causará a expansão do fole F e a palheta se moverá para a direita abrindo o bocal Em virtude dessa realimentação o deslocamento bocalpalheta é muito pequeno mas a variação na pressão de controle pode ser grande Note que a operação apropriada do controlador requer que a realimentação do fole movi mente a palheta menos do que o movimento causado apenas pelo sinal de erro Se esses dois movimentos fossem iguais não haveria nenhuma ação de controle As equações para esse controlador podem ser deduzidas como segue Quando um erro atuante for igual a zero ou e 0 existe um estado de equilíbrio com a distância bocalpalheta igual a X o deslocamento do fole igual a Y o deslocamento do diafragma igual a Z a contrapressão do bocal igual a P b e a pressão de controle igual a P c Quando existir um erro atuante a distância bocalpalheta o deslocamento do fole o deslocamento do diafragma a contrapressão do bocal e a pressão de controle se desviarão de seus respectivos valores de equilíbrio Considere esses desvios como x y z pb e pc respectivamente A direção positiva para o deslocamento de cada variável é indicada no diagrama pela orientação da seta FIGURA 47 Para atmosfera Contrapressão do bocal Pb Alimentação de ar Ps Pc Para a válvula pneumática Relé de ação reversa 102 Engenharia de controle moderno Considerando que a relação entre a variação da contrapressão do bocal e a variação da dis tância da palheta é linear temos pb K1x 413 onde K1 é uma constante positiva Para a válvula diafragma temos pb K2z 414 onde K2 é uma constante positiva A posição da válvula diafragma determina a contrapressão Se a válvula diafragma é tal que a relação entre pc e z seja linear então pc K3 z 415 onde K3 é uma constante positiva A partir das equações 413 414 e 415 obtemos p K K p K K K x Kx c b 2 3 2 1 3 416 onde K K1K3K2 é uma constante positiva Para a palheta como existem dois pequenos movi mentos e e y em direções opostas podemos considerar esses movimentos separadamente e somar seus resultados em um deslocamento x Veja a Figura 48d Assim para o movimento da palheta temos FIGURA 48 Orifício Sinal de erro atuante Palheta Bocal Relé pneumático a b c Ps e a b F Pb pb X x Z z Y y Pc pc Sinal de erro Sinal de erro Sinal de realimentação Es Xs Pc s Ys e b a b a a b A ks Es f Pc s Kp K b a b e e e y y x a a b b a a b y d a Diagrama esquemático de um controlador pneumático proporcional do tipo forçadistância b palheta montada em um ponto fixo c palheta montada em um fole de realimentação d deslocamento x como resultado da adição de dois pequenos deslocamentos e diagrama de blocos do controlador f diagrama de blocos simplificado do controlador 103 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos x a b b e a b a y 417 O fole age como uma mola de acordo com a equação a seguir Apc ks y 418 onde A é a área efetiva do fole e ks é a constante de mola equivalente isto é equivalente à elasticidade da parte corrugada do fole Ao supor que todas as alterações das variáveis ocorram dentro de um intervalo linear pode mos obter um diagrama de blocos para esse sistema a partir das equações 416 417 e 418 como mostra a Figura 48e A partir da Figura 48e podemos ver com clareza que o controlador pneumático da Figura 48a é por si só um sistema com realimentação A função de transferência entre pc e e é dada por E s P s K a b a K A a b b K K 1 c s p h h 419 Um diagrama de blocos simplificado é mostrado na Figura 48f Como pc e e são proporcionais o controlador pneumático mostrado na Figura 48a é um controlador pneumático proporcional Como se vê considerando a Equação 419 o ganho do controlador pneumático proporcional pode variar amplamente pelo ajuste do elo flutuante da palheta O elo flutuante do acoplamento da palheta não é mostrado na Figura 48a Na maioria dos controladores proporcionais comerciais é insta lado um botão de ajuste ou algum outro mecanismo para variar o ganho pelo ajuste dessa conexão Como se observou anteriormente o sinal de erro atuante move a palheta em uma direção e a realimentação do fole move a palheta na direção oposta mas em menor grau Assim o efeito do fole de realimentação é reduzir a sensibilidade do controlador O princípio da realimentação é comumente utilizado para obter controladores de banda proporcional ampla Os controladores pneumáticos que não possuem mecanismos de realimentação o que significa que uma das extremidades da palheta é fixa como mostra a Figura 49a têm alta sensibilidade e são chamados controladores pneumáticos de duas posições ou controladores pneumáticos onoff Nesses controladores somente um pequeno movimento entre o bocal e a palheta é necessário para resultar em uma completa variação da pressão de controle do máximo para o mínimo As curvas que relacionam Pb e X e Pc e X estão na Figura 49b Note que uma pequena variação em X pode ocasionar uma grande variação em Pb que faz que a válvula do diafragma se abra ou se feche completamente Controladores pneumáticos proporcionais do tipo balanço de força A Figura 410 mostra um diagrama esquemático de um controlador pneumático proporcional de balanço de força Os controladores de balanço de força são amplamente utilizados na indústria Eles são chamados controladores de pilha O princípio básico de operação não difere do dos controladores do tipo forçadistância A principal vantagem do controlador do tipo balanço de força é que são eliminadas várias ligações mecânicas e juntas pivotadas reduzindo assim os efeitos do atrito FIGURA 49 a b 0 0 X X Ps Ps Pb X Ps Pb Pa Pc Pa Pc a Controlador sem mecanismo de realimentação b curvas Pb versus X e Pc versus X 104 Engenharia de controle moderno A seguir consideraremos o princípio do controlador do tipo balanço de força No controlador mostrado na Figura 410 a pressão de entrada de referência Pr e a pressão de saída P0 são injetadas em grandes câmaras com diafragma Note que o controlador pneumático de balanço de força opera somente com sinais de pressão Assim é necessário converter a entrada de referência e a saída do sistema nos sinais de pressão correspondentes Como no caso do controlador do tipo forçadistância esse controlador emprega palheta bocal e orifícios Na Figura 410 a abertura perfurada na câmara inferior é o bocal O diafragma situado acima do bocal atua como uma palheta A operação do controlador do tipo balanço de força mostrado na Figura 410 pode ser resumida como segue o ar a uma pressão de 20 psig fornecido por uma alimentação de ar flui por um orifício causando a redução de pressão na câmara inferior O ar nessa câmara escapa para a atmosfera pelo bocal O fluxo no bocal depende da abertura e da queda de pressão nele Um aumento na pressão de entrada de referência Pr enquanto a pressão de saída P0 permanece a mesma faz que a haste da válvula seja movida para baixo diminuindo a abertura entre o bocal e o diafragma da palheta Isso faz que a pressão de controle Pc aumente Seja pe Pr P0 420 Se pe 0 existe um estado de equilíbrio com a distância entre o bocal e a palheta que é igual a X e a pressão de controle é igual a P c Nesse estado de equilíbrio P1 P c k onde k 1 e X aP c A1 P c kA1 421 onde a é uma constante Vamos supor que pe 0 e definir pequenas variações na distância entre o bocal e a palheta e na pressão de controle como x e pc respectivamente Assim obtemos a seguinte equação X x aP c pcA1 P c pckA1 pe A2 A1 422 A partir das equações 421 e 422 obtemos x apc1 kA1 peA2 A1 423 Neste ponto devemos examinar a grandeza x No projeto de controladores pneumáticos a dis tância entre o bocal e a palheta é bem pequena Pelo fato de xα ser muito menor que pc1 kA1 ou peA2 A1 quando pe 0 x a pc1 kA1 x a peA2 A1 podemos desprezar o termo x em nossa análise A Equação 423 pode ser reescrita para refletir essa suposição como segue pc1 kA1 peA2 A1 FIGURA 410 Pressão de saída Pr Po A1 A1 A2 Pressão de entrada de referência X x Pc pc Atmosfera Alimentação de ar Pressão de controle P1 k Pc pc Diagrama esquemático de um controlador proporcional pneumático do tipo balanço de força 105 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos e a função de transferência entre pc e pe tornase P s P s A A A K K 1 1 e c p 1 2 1 h h onde pe é definido pela Equação 420 O controlador mostrado na Figura 410 é um controlador proporcional O valor de ganho Kp aumenta conforme k se aproxima da unidade Observe que o valor de k depende dos diâmetros dos orifícios dos tubos de entrada e de saída da câmara de realimentação O valor de k aproximase da unidade à medida que a resistência ao fluxo no orifício de entrada da câmara diminui Válvulas atuadoras pneumáticas Uma característica dos controles pneumáticos é que prati camente todos empregam válvulas atuadoras Uma válvula atuadora pneumática pode produzir uma grande potência de saída Como um atuador pneumático requer uma grande potência de entrada para produzir uma grande potência de saída é necessário que uma quantidade suficiente de ar pressurizado esteja disponível Na prática as válvulas atuadoras pneumáticas possuem características que podem não ser lineares isto é o fluxo pode não ser diretamente proporcional à posição da haste da válvula e podem existir também outros efeitos não lineares como histerese Considere o diagrama esquemático de uma válvula atuadora pneumática mostrado na Figura 411 Suponha que a área do diafragma seja A Suponha também que quando o erro atuante for zero a pressão de controle seja igual a P c e o deslocamento da válvula seja igual a X Na análise a seguir consideraremos pequenas variações das variáveis e linearizaremos a dinâmica da válvula atuadora pneumática Definiremos a pequena variação na pressão de controle e o deslocamento correspondente da válvula como pc e x respectivamente Como uma pequena alteração na força de pressão pneumática aplicada ao diafragma reposiciona a carga que consiste na mola no atrito viscoso e na massa a equação de balanceamento das forças tornase Apc mẍ bẋ kx onde m massa da válvula e da haste da válvula b coeficiente de atrito viscoso k constante da mola Se a força devida à massa e ao atrito viscoso for desprezível então a última equação pode ser simplificada para Apc kx FIGURA 411 C Pc pc A k X x Q qi Diagrama esquemático de uma válvula atuadora pneumática 106 Engenharia de controle moderno A função de transferência entre x e pc tornase P s X s K A K c c h h onde Xs x e Pcs pc Se qi a variação do fluxo na válvula atuadora pneumática for proporcional a x a variação do deslocamento da haste da válvula será então X s Q s K i q h h onde Qi s qi e Kq é uma constante A função de transferência entre qi e pc tornase P s Q s K K K c i c q y h h onde Ky é uma constante A pressão de controle padrão para esse tipo de válvula atuadora pneumática fica entre 3 e 15 psig O deslocamento da haste da válvula é limitado pelo movimento do diafragma que é de apenas poucos centímetros Se um movimento mais amplo for necessário pode ser empregada uma combinação de êmbolo e mola Nas válvulas atuadoras pneumáticas a força de atrito estático deve ser limitada a um baixo valor de modo que não resulte em uma histerese excessiva Em virtude da compressibilidade do ar a ação de controle pode não ser positiva isto é pode existir um erro no posicionamento da haste da válvula O uso de um posicionador de válvula resulta na melhoria do desempenho da válvula atuadora pneumática Princípio básico para a obtenção da ação de controle derivativa Apresentaremos agora os métodos para a obtenção da ação de controle derivativa Enfatizaremos aqui também o princípio e não os detalhes dos mecanismos reais O princípio básico para a geração de uma ação de controle desejada é inserir o inverso da fun ção de transferência desejada no ramo de realimentação Para o sistema mostrado na Figura 412 a função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h Se GsHs 1 então CsRs pode ser modificado para R s C s H s 1 h h h Assim se desejarmos uma ação de controle proporcionalderivativo inserimos um elemento que contém a função de transferência 1Ts 1 no ramo da realimentação Considere o controlador pneumático da Figura 413a Levando em conta pequenas altera ções das variáveis podemos desenhar um diagrama de blocos desse controlador como mostra a Figura 413b A partir do diagrama de blocos vemos que o controlador é proporcional Mostraremos agora que o acréscimo de uma restrição no ramo de realimentação negativa transformará o controlador proporcional em um controlador proporcionalderivativo ou contro lador PD FIGURA 412 Rs Cs Gs Hs Sistema de controle 107 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Considere o controlador pneumático da Figura 414a Supondo novamente pequenas varia ções do erro atuante da distância entre o bocal e a palheta e da pressão de controle podemos resumir as operações desse controlador como segue primeiro vamos supor uma pequena variação em degrau em e Nesse caso a variação da pressão de controle pc será instantânea A restrição R impedirá momentaneamente que o fole de realimentação perceba a variação da pressão pc Assim o fole de realimentação não responderá instantaneamente e a válvula atuadora pneumática sen tirá todo o efeito do movimento da palheta Com o passar do tempo o fole de realimentação se expandirá A variação da distância x entre o bocal e a palheta e a variação na pressão de controle pc podem ser representadas em um gráfico em função do tempo t como mostra a Figura 414b Em regime permanente o fole de realimentação atua como um mecanismo de realimentação normal A curva pc versus t mostra claramente que esse controlador é proporcionalderivativo Um diagrama de blocos correspondente a esse controlador pneumático é mostrado na Figura 414c No diagrama K é uma constante A é a área do fole e ks é a constante equivalente FIGURA 414 a b c e e a b Ps pc X x Pc pc R C Pcs Es Xs K x t t t a a b A ks b a b 1 RCs 1 a Controlador pneumático proporcional derivativo b gráfico da variação em degrau em e e mudanças correspondentes em x e pc versus t c diagrama de blocos do controlador FIGURA 413 e a b a b Pc s Es Xs b a b K a a b A ks X x Pc pc Ps a Controlador pneumático proporcional b diagrama de blocos do controlador 108 Engenharia de controle moderno de mola do fole A função de transferência entre pc e e pode ser obtida a partir do diagrama de blocos como segue E s P s a b Ka k A RCs a b b K 1 1 1 c s h h Nesse tipo de controlador o ganho de malha KaAa bksRCs 1 é feito muito maior que a unidade Assim a função de transferência PcsEs pode ser simplificada para resultar em E s P s K T s 1 c p d h h h onde K aA bk T RC p s d Dessa maneira a realimentação negativa com retardo ou função de transferência 1RCs 1 no ramo da realimentação transforma o controlador proporcional em um controlador proporcional derivativo Note que se a válvula de realimentação for completamente aberta a ação de controle se tornará proporcional Se a válvula for totalmente fechada a ação de controle se tornará propor cional em banda estreita onoff Obtenção da ação pneumática de controle proporcionalintegral Considere o con trolador proporcional da Figura 413a Levando em conta pequenas alterações das variáveis podemos mostrar que o acréscimo de uma realimentação positiva com retardo transformará esse controlador proporcional em um controlador proporcionalintegral ou controlador PI Considere o controlador pneumático mostrado na Figura 415a A operação desse controlador é a seguinte o fole designado por I está conectado à fonte da pressão de controle sem nenhuma restrição O fole designado por II está conectado à fonte da pressão de controle por meio de uma restrição Vamos supor que haja uma pequena variação em degrau no erro atuante Isso ocasionará uma mudança na contrapressão do bocal instantaneamente Assim também ocorrerá uma variação na pressão de controle pc instantaneamente Em virtude da restrição da válvula no percurso do fole II haverá perda de pressão pela válvula Com o decorrer do tempo o ar fluirá pela válvula de modo que a mudança da pressão no fole II alcance o valor de pc Assim o fole II se expandirá ou se contrairá com o passar do tempo de modo que produzirá um movimento adicional da palheta no sentido do deslocamento original e Isso ocasionará uma variação contínua da contrapressão pc do bocal como mostra a Figura 415b Observe que a ação de controle integral do controlador vai cancelando de maneira lenta o efeito da realimentação fornecida originalmente pelo controle proporcional Um diagrama de blocos desse controlador para o caso de alterações pequenas das variáveis é mostrado na Figura 415c A simplificação do diagrama de blocos resulta na Figura 415d A função de transferência desse controlador é E s P s a b Ka k A RCs a b b K 1 1 1 1 c s c h h m onde K é uma constante A é a área do fole e ks é a constante de mola equivalente dos foles combinados Se KaARCsa bksRCs 1 1 o que normalmente é o caso a função de transferência pode ser simplificada para E s P s K Ts 1 1 c p i e h h o 109 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos onde K aA bk T RC p s i Obtenção da ação pneumática de controle proporcionalintegralderivativo Uma com binação de controladores pneumáticos mostrada nas figuras 414a e 415a resulta em um controlador proporcionalintegralderivativo ou um controlador PID A Figura 416a mostra um diagrama esquemático desse tipo de controlador e a 416b um diagrama de blocos desse controlador supondo que as alterações das variáveis sejam pequenas A função de transferência desse controlador é FIGURA 415 a b c d e a b X x Pc pc Ps R C pc K K x e t t t Es Xs Pc s Es Xs Pc s a a b b a b b a b A ks a a b A ks a a b A ks 1 RCs 1 1 RCs 1 I II Controlador pneumático proporcional integral b gráfico de variação em degrau em e das variações correspondentes em x e pc versus t c diagrama de blocos do controlador d diagrama de blocos simplificado 110 Engenharia de controle moderno E s P s a b Ka k A R Cs R Cs R C R C s a b bK 1 1 1 c s d i i d h h h h h Definindo Ti RiC Td Rd C e considerando que em operação normal KaATi Tdsa bksTd 1 Ti s 1 1 e Ti Td obtemos E s P s aA bk T T s T s Ts aA bk Ts T Ts Ts K Ts T s 1 1 1 1 1 c s i d d i s i d i i p i d 2 Z Z e h h h h h o 424 onde K aA bk p s A Equação 424 indica que o controlador mostrado na Figura 416a é um controlador propocionalintegralderivativo ou controlador PID FIGURA 416 a b e a b X x Ps Ri Rd C C Pc pc Ri Rd Pc s Es Xs K b a b a a b A ks 1 Rd Cs 1 1 RiCs 1 a Controlador pneumático proporcional integral derivativo b diagrama de blocos de controlador 111 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos 44 Sistemas hidráulicos Exceto para os controladores pneumáticos de baixa pressão o ar comprimido raramente é utilizado para o controle contínuo de movimento de dispositivos que tenham massa significativa sob ação de forças de carga externas Para esses casos os controladores hidráulicos geralmente são preferidos Sistemas hidráulicos A ampla utilização dos circuitos hidráulicos em aplicações de máquinas ferramentas sistemas de controle de aeronaves e de operações similares ocorre em decorrência de fatores como positividade precisão flexibilidade alta relação potênciapeso partida rápida parada e reversão com suavidade e precisão e simplicidade nas operações A pressão de operação nos sistemas hidráulicos é algo entre 145 e 5000 Npol² entre 1 e 35 MPa Em algumas aplicações especiais a pressão de operação pode chegar a 10000 Npol² 70 MPa Para a obtenção da mesma potência o peso e o tamanho da unidade hidráulica podem ser reduzidos por meio do aumento da pressão de alimentação Podem ser obtidas forças de grande intensidade com a utilização de sistemas hidráulicos de alta pressão Os sistemas hidráulicos tornam possíveis a atuação rápida e o posicionamento preciso de cargas pesadas Uma combinação dos sistemas eletrônicos e hidráulicos é amplamente utilizada por causa da combinação de vantagens tanto do controle eletrônico como da potência hidráulica Vantagens e desvantagens dos sistemas hidráulicos Existem certas vantagens e desvanta gens na utilização de sistemas hidráulicos em relação a outros sistemas Algumas das vantagens são as seguintes 1 O fluido hidráulico age como lubrificante além de transportar o calor gerado no sistema para um trocador de calor conveniente 2 O tamanho comparativamente pequeno dos atuadores hidráulicos pode desenvolver grandes potências ou torques 3 Os atuadores hidráulicos têm grande velocidade de resposta com partidas paradas e reversão de velocidade rápidas 4 Os atuadores hidráulicos podem ser operados sob condições contínuas intermitentes de reversão e de parada repentina sem sofrer avarias 5 A disponibilidade de atuadores lineares e rotativos dá flexibilidade ao projeto 6 Pelo fato de os vazamentos nos atuadores hidráulicos serem pequenos as quedas de velocidade são pequenas quando uma carga é aplicada Por outro lado diversas desvantagens tendem a limitar seu uso 1 A potência hidráulica não é tão facilmente disponível se comparada à potência elétrica 2 O custo de um sistema hidráulico pode ser mais alto se comparado a sistemas elétricos que desempenham uma função semelhante 3 Existe o risco de explosão e fogo a menos que sejam utilizados fluidos antiinflamáveis 4 Em razão de sua dificuldade de manter um sistema hidráulico que seja livre de vazamentos o sistema tende a ficar poluído 5 A contaminação do óleo pode causar falha no funcionamento apropriado de um sistema hidráulico 6 Em virtude da não linearidade e de outras características complexas o projeto de sistemas hidráulicos sofisticados tornase complexo 7 Os circuitos hidráulicos geralmente têm características de amortecimento deficientes Se um circuito hidráulico não for projetado adequadamente alguns fenômenos de instabili dade poderão ocorrer ou desaparecer dependendo das condições de operação Comentários Uma atenção especial é necessária para assegurar que o sistema hidráulico seja estável e tenha desempenho satisfatório sob todas as condições de operação Como a viscosidade 112 Engenharia de controle moderno dos fluidos hidráulicos pode afetar grandemente o amortecimento e os efeitos de atrito dos cir cuitos hidráulicos os testes de estabilidade devem ser realizados com a temperatura de operação mais alta possível Note que a maioria dos sistemas hidráulicos é não linear Algumas vezes entretanto é possí vel linearizar sistemas não lineares para reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam suficientemente precisas para a maioria das aplicações Uma técnica útil para tratar sistemas não lineares foi apresentada na Seção 27 Servossistema hidráulico A Figura 417a mostra um servomotor hidráulico Ele é essencial mente um amplificador de potência hidráulico controlado por uma válvula piloto e um atuador A válvula piloto é uma válvula balanceada em que as forças de pressão atuantes sobre esta são todas balanceadas Uma grande potência de saída pode ser controlada por uma válvula piloto que pode ser posicionada com a aplicação de uma potência muito pequena Na prática as portas mostradas na Figura 417a geralmente são mais largas do que os corres pondentes ressaltos do carretel Nesse caso sempre há vazamentos pelos ressaltos Esse vazamento melhora tanto a sensibilidade como a linearidade do servomotor hidráulico Na análise a seguir faremos a suposição de que as portas serão maiores que os ressaltos isto é os ressaltos são sub postos Note que algumas vezes um sinal oscilatório um sinal de alta frequência com amplitude muito pequena em relação ao deslocamento máximo da válvula é sobreposto ao movimento FIGURA 417 x y q q p0 p0 ps p1 p2 2 3 4 1 a x b 2 1 ps x0 2 x x0 2 x Carga m b a Servossistema hidráulico b diagrama ampliado da região do orifício da válvula 113 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos da válvula piloto Isso também melhora a sensibilidade e a linearidade Nesse caso também há vazamentos pela válvula Aplicaremos a técnica de linearização apresentada na Seção 27 para obter o modelo matemá tico linearizado do servomotor hidráulico Vamos supor que a válvula seja subposta e simétrica e o fluido hidráulico esteja sob alta pressão no cilindro de potência que contém um grande êmbolo de modo que resulte em uma grande força hidráulica para mover uma carga Na Figura 417b temos um diagrama ampliado da região do orifício da válvula Definiremos as áreas das portas de entrada da válvula 1 2 3 4 como A1 A2 A3 A4 respectivamente Defini mos também a vazão nas entradas 1 2 3 4 como q1 q2 q3 q4 respectivamente Note que como a válvula é simétrica A1 A3 e A2 A4 Ao supor que o deslocamento x seja pequeno obtemos A A K x x A A K x x 2 2 1 3 0 2 4 0 c c m m onde k é uma constante Além disso vamos supor que a pressão de retorno p0 na linha de retorno seja pequena e assim possa ser desprezada Então com referência à Figura 417a as vazões pelos orifícios da válvula são q c A g p p C p p x x q c A g p p C p p x x q c A g p p C p p x x C p x x q c A g p p C p p x x C p x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s s 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 0 3 1 3 2 0 1 2 0 0 1 2 0 4 2 4 1 0 2 1 0 0 2 1 0 c c c c c c c c c c h m h m h m m h m m onde C1 c1k g 2 c C2 c2k g 2 c e c é o peso específico dado por c ρg onde ρ é a densidade de massa e g é a aceleração da gravidade A vazão q do lado esquerdo do êmbolo é q q q C p p x x C p x x 2 2 s 1 4 1 1 0 2 1 0 c c m m 425 A vazão do lado direito do êmbolo para o dreno é a mesma q e é dada por q q q C p x x C p p x x 2 2 s 3 2 1 2 0 2 2 0 c c m m Na presente análise vamos supor que o fluido seja incompressível Como a válvula é simé trica temos q1 q3 e q2 q4 Equacionando q1 e q3 obtemos ps p1 p2 ou ps p1 p2 Se definirmos a diferença de pressão por meio do êmbolo como Δp ou D p p1 p2 então p P p p P p 2 2 s s 1 2 D D Para a posição simétrica da válvula mostrada na Figura 417a a pressão em cada lado do êmbolo é 12ps quando nenhuma carga for aplicada ou D p 0 Quando a válvula de carretel é deslo cada a pressão em uma linha aumenta e na outra decresce pelo mesmo valor 114 Engenharia de controle moderno Em termos de ps e D p podemos reescrever a vazão q dada pela Equação 425 como q q q C p p x x C p p x x 2 2 2 2 s s 1 4 1 0 2 0 D D c c m m Notando que a pressão de alimentação ps é constante a vazão q pode ser escrita como uma função do deslocamento x da válvula e a diferença de pressão D p ou q C p p x x C p p x x f x p 2 2 2 2 s s 1 0 2 0 D D D c c m m h Aplicando a técnica de linearização apresentada na Seção 310 para esse caso a equação linearizada em torno do ponto x x D p D p q q é q q ax x bD p D p 426 onde u u u u q f x p a x f C p p C p p b p f p p C x x p p C x x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x x p p s s x x p p s s 1 2 1 0 2 0 1 D D D D D D D D D D e c h o m G Os coeficientes a e b são chamados coeficientes da válvula A Equação 426 é um modelo mate mático linearizado da válvula de carretel próximo do ponto de operação x x D p D p q q Os valores dos coeficientes da válvula a e b variam com o ponto de operação Note que u f uD p é negativo e portanto b é negativo Como o ponto de operação normal é o ponto onde x 0 D p 0 q 0 próximo desse ponto normal de operação a Equação 426 tornase q K1x K2D p 427 onde K C C p K C C p x 2 0 4 2 0 s s 1 1 2 2 1 2 0 2 2 h h A Equação 427 é um modelo matemático linearizado da válvula de carretel próximo da origem x 0 D p 0 q 0 Note que a região próxima da origem é a mais importante nesse tipo de sistema porque normalmente a operação do sistema ocorre nas proximidades desse ponto A Figura 418 mostra a relação linearizada entre q x e DP As linhas retas que aí se encon tram são as curvas características do servomotor hidráulico linearizado Essa família de curvas é constituída por linhas retas paralelas equidistantes parametrizadas em x Na presente análise vamos supor que as forças de reação da carga são pequenas de modo que a vazão e a compressibilidade do óleo podem ser ignoradas Com referência à Figura 417a vemos que a vazão do óleo q vezes dt é igual ao desloca mento do êmbolo dy vezes a área do êmbolo A vezes a densidade do óleo t Assim obtemos At dy q dt Observe que para dada vazão q quanto maior for a área A do êmbolo menor será a velocidade dydt Então se a área A do êmbolo for menor e as outras variáveis permanecerem constantes a velocidade dydt se tornará maior Além disso um aumento da vazão q causará um aumento na velocidade do êmbolo e fará que o tempo de resposta seja menor 115 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos A Equação 427 pode agora ser escrita como P K K x A dt dy 1 2 1 t D c m A força desenvolvida pelo êmbolo é igual à diferença de pressão ΔP vezes a área A do êmbolo ou Força desenvolvida pelo êmbolo A ΔP K A K x A dt dy 2 1 t c m Para dada força máxima se a diferença de pressão for suficientemente alta a área do êmbolo ou o volume do óleo no cilindro poderão ser menores Em consequência para minimizar o peso do controlador devemos fazer que a pressão de alimentação seja suficientemente alta Suponha que o êmbolo mova uma carga constituída por uma massa e por atrito viscoso Então a força desenvolvida pelo êmbolo é aplicada à massa da carga e ao atrito obtendose my by K A K x A y 2 1 t p o o h ou my b K A y K AK x 2 2 2 1 t p o c m 428 onde m é a massa da carga e b é o coeficiente de atrito viscoso Ao supor que o deslocamento x da válvula piloto seja a entrada e o deslocamento y do êmbolo seja a saída determinamos a partir da Equação 428 a função de transferência para o servomotor hidráulico como X s Y s s AK mK s AK bK K A s Ts K 1 1 1 2 1 2 1 t e h h o h G 429 onde K AK bK K A T bK A mK 1 e 1 2 1 2 2 2 t t FIGURA 418 x 2x1 x x1 x 0 x x1 0 q ΔP x 2x1 Curvas características de um servomotor hidráulico linearizado 116 Engenharia de controle moderno A partir da Equação 429 vemos que essa função de transferência é de segunda ordem Se a relação mK2bK2 A²t for desprezível ou se a constante de tempo T for desprezível a função de transferência YsXs poderá ser simplificada resultando em X s Y s s K h h Note que uma análise mais detalhada mostra que se os vazamentos de óleo a compressibilidade incluindo os efeitos do ar dissolvido a dilatação das tubulações e outros detalhes forem levados em consideração a função de transferência se tornará X s Y s s T s T s K 1 1 1 2 h h h h onde T1 e T2 são constantes de tempo De fato essas constantes de tempo dependem do volume de óleo no circuito de operação Quanto menor for o volume menores serão as constantes de tempo Controlador hidráulico integral O servomotor hidráulico mostrado na Figura 419 é um amplificador de potência hidráulico controlado por uma válvula piloto e um atuador Análogo aos servossistemas hidráulicos mostrados na Figura 417 para a carga de massa desprezível o servomotor da Figura 419 age como um integrador ou um controlador integral Esse servomotor constitui a base de um circuito de controle hidráulico No servomotor hidráulico mostrado na Figura 419 a válvula piloto uma válvula de quatro vias tem dois ressaltos no carretel Se a largura dos ressaltos for menor que as portas na válvula piloto a válvula será considerada subposta Nas válvulas sobrepostas a largura dos ressaltos é maior que a largura das portas Uma válvula de sobreposição nula tem a largura do ressalto idêntica à largura da porta Se uma válvula piloto for uma válvula de sobreposição nula a análise do servomotor hidráulico se tornará mais simples Na presente análise vamos supor que o fluido hidráulico seja incompressível e a força de inércia do êmbolo e da carga sejam desprezíveis comparadas à força hidráulica do êmbolo Além disso vamos supor que a válvula piloto seja uma válvula de sobreposição nula e a vazão do óleo seja proporcional ao deslocamento da válvula piloto A operação desse servomotor hidráulico é como segue Se a entrada x move a válvula piloto para a direita a porta II é aberta e então o óleo sob alta pressão entra do lado direito do êmbolo Como a porta I está ligada à porta do dreno o óleo do lado esquerdo do êmbolo retorna para o dreno O óleo que flui para dentro do cilindro de potência está sob alta pressão o óleo que flui para fora do cilindro de potência e vai para o dreno está sob baixa pressão A diferença de pressão resultante em ambos os lados do êmbolo fará que este se mova para a esquerda FIGURA 419 x Porta I Porta II Cilindro de potência y Válvula piloto Óleo sob pressão Servomotor hidráulico 117 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Note que a vazão em massa de óleo qkgs vezes dt s é igual ao deslocamento do êmbolo dym vezes a área Am² vezes a densidade do óleo tkgm³ Portanto At dy q dt 430 Como supomos que a vazão de óleo q seja proporcional ao deslocamento da válvula piloto x temos q K1x 431 onde K1 é uma constante positiva A partir das equações 430 e 431 obtemos A dt dy K x 1 t A transformada de Laplace dessa última equação supondo condições iniciais nulas nos dá AtsYs K1Xs ou X s Y s A s K s K 1 t h h onde K K1Ar Assim o servomotor hidráulico mostrado na Figura 419 atua como um con trolador integral Controlador hidráulico proporcional Foi mostrado que o servomotor da Figura 419 atua como um controlador integral Esse servomotor pode ser transformado em um controlador pro porcional por meio de uma haste de realimentação Considere o controlador hidráulico mostrado na Figura 420a O lado esquerdo da válvula piloto é ligado ao lado esquerdo do êmbolo pela haste ABC que é flutuante em vez de ser móvel em torno de uma articulação fixa O controlador aqui opera da seguinte maneira se a entrada e move a válvula piloto para a direita a porta II fica descoberta e o óleo sob alta pressão flui por essa porta para o lado direito do êmbolo e força esse êmbolo para a esquerda O êmbolo se movimentando para a esquer da levará a haste de realimentação ABC com ele e desse modo move a válvula piloto para a esquerda Essa ação continua até que o êmbolo da válvula piloto cubra novamente as portas I e II Um diagrama de blocos do sistema pode ser desenhado como na Figura 420b A função de transferência entre Ys e Es é dada por E s Y s s K a b a a b b s K 1 h h FIGURA 420 a b e b a x y II I A B C Óleo sob pressão Es Xs Ys a a b b a b K s a Servomotor que atua como controlador proporcional b diagrama de blocos do servomotor 118 Engenharia de controle moderno Observando que sob as condições normais de operação temos Kasa b 1 essa última equação pode ser simplificada para E s Y s a b Kp h h A função de transferência entre y e e tornase uma constante Assim o controlador hidráulico da Figura 420a atua como um controlador proporcional cujo ganho é Kp Esse ganho pode ser ajustado pela mudança efetiva da relação ba da alavanca O mecanismo de ajuste não é mostrado no diagrama Vimos assim que a adição da haste de realimentação faz que o servomotor hidráulico atue como um controlador proporcional Amortecedores hidráulicos O amortecedor hidráulico também chamado simplesmente amortecedor mostrado na Figura 421a atua como um elemento diferenciador Suponha que haja um deslocamento em degrau na posição y do êmbolo Então o deslocamento z tornase igual a y momentaneamente Em virtude da força da mola entretanto o óleo fluirá pela resistência R e o cilindro retornará à posição original As curvas de y versus t e de z versus t são mostradas na Figura 421b Deduziremos a função de transferência entre o deslocamento z e o deslocamento y Defina as pressões existentes dos lados direito e esquerdo do êmbolo como P1Nm² e P2Nm² res pectivamente Suponha que a força de inércia envolvida seja desprezível Então a força atuante no êmbolo deve equilibrar a força da mola Assim AP1 P2 kz onde A área do êmbolo m² k constante de mola Nm A vazão q é dada por q R P P 1 2 onde q vazão pela restrição kgs R resistência ao fluxo na restrição Nsm²kg Como o fluxo ao longo da resistência durante dt segundos deve ser igual à variação de massa do óleo à esquerda do êmbolo durante os mesmos dt segundos obtemos q dt Atdy dz onde t densidade kgm³ Vamos supor que o fluido seja incompressível ou t constante Essa última equação pode ser reescrita como dt dy dt dz A q RA P P RA kz 1 2 2 t t t FIGURA 421 a b c R q P2 P1 A k y y z z t t Ys Zs 1 Ts T RA2ρ k a Amortecedor hidráulico b gráfico da variação em degrau de y e da correspondente variação de z versus t c diagrama de blocos do amortecedor hidráulico 119 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos ou dt dy dt dz RA kz 2t Tomando as transformadas de Laplace de ambos os lados dessa última equação e considerando nulas as condições iniciais temos sY s sZ s RA K 2t Z s h h h A função de transferência do sistema tornase então Y s Z s s RA k s 2t h h Vamos definir RA²tk T Note que RA²tk tem a dimensão de tempo Então Y s Z s Ts Ts Ts 1 1 1 1 h h Evidentemente o amortecedor hidráulico é um elemento de diferenciação A Figura 421c mostra a representação do sistema por meio de um diagrama de blocos Obtenção da ação proporcionalintegral de controle hidráulico A Figura 422a traz um diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcionalintegral Um diagrama de blocos desse controlador é mostrado na Figura 422b A função de transferência YsEs é dada por E s Y s a b Ka Ts T a b b s K 1 1 h h Nesse controlador sob condições normais de operação KaTa bTs 1 1 o que resulta em E s Y s K Ts 1 1 p i e h h o onde K a b T T k RA p i 2t FIGURA 422 a b Área A Constante da mola k Densidade do óleo ρ Óleo sob pressão Resistência R e x a b y z Es Xs Ys b a b a a b K s Ts Ts 1 Zs a Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional integral b diagrama de blocos 120 Engenharia de controle moderno Assim o controlador mostrado na Figura 422a é um controlador proporcionalintegral con trolador PI Obtenção da ação proporcionalderivativa de controle hidráulico A Figura 423a mostra um diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcionalderivativo Os cilindros permanecem fixos no espaço e os êmbolos podem se mover Para esse sistema note que K y z AP2 P1 q R P P 2 1 q dt tAdz Então y z K A qR z K RA dt 2t dz ou Y s Z s Ts 1 1 h h onde T k RA2t Um diagrama de blocos desse sistema está indicado na Figura 423b A partir do diagrama de blocos podese obter a função de transferência YsEs como E s Y s a b a s K Ts a b b s K 1 1 1 h h Sob operação normal temos aKa bsTs 1 1 Então E s Y s K Ts p 1 h h h onde K a b T k RA p 2t Assim o controlador mostrado na Figura 423a é um controlador proporcionalderivativo controlador PD FIGURA 423 a b e a b x y z R k q P2 P1 Área A Densidade do óleo ρ Xs Ys Es Zs b a b a a b K s 1 Ts 1 a Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional derivativo b diagrama de blocos do controlador 121 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Obtenção da ação proporcionalintegralderivativa de controle hidráulico A Figura 424 apresenta um diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcionalintegralderivativo É uma combinação do controlador proporcionalintegral e do controlador proporcionalderivativo Se dois amortecedores hidráulicos forem idênticos a função de transferência ZsYs poderá ser obtida como segue Y s Z s T T s T T s T s 2 1 1 2 2 1 2 1 h h h Para a dedução dessa função de transferência tome como referência o Problema A49 Um diagrama de blocos desse sistema é mostrado na Figura 425 A função de transferência YsEs pode ser obtida como segue E s Y s a b b a b a s K T T s T T s T s s K 1 2 1 1 2 2 1 2 1 h h h Sob circunstâncias normais projetamos o sistema de forma que 1 a b a s K T T s T T s T s 2 1 1 2 2 1 2 1 h Então E s Y s a b T s T T s T T s K s K K s 2 1 p i d 1 1 2 2 1 2 h h h onde K a b T T T K a b T K a b T 2 1 p i d 1 1 2 1 2 FIGURA 425 b a b K s Ys Es Xs Zs T1 s T1 T2 s2 T1 2T2s 1 a a b Diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura 424 FIGURA 424 e a b x y R R k2 k1 Área A z Diagrama esquemático de um controlador hidráulico proporcional integral derivativo 122 Engenharia de controle moderno Assim o controlador da Figura 424 é um controlador proporcionalintegralderivativo contro lador PID 45 Sistemas térmicos Sistemas térmicos são aqueles que envolvem transferência de calor de uma substância para outra Os sistemas térmicos podem ser analisados em termos de resistência e capacitância embora a resistência térmica e a capacitância térmica não possam ser representadas com precisão como parâmetros concentrados uma vez que estas normalmente são distribuídas nas substâncias Para uma análise mais precisa devem ser utilizados os modelos de parâmetros distribuídos Aqui entretanto para simplificar a análise vamos supor que um sistema térmico possa ser representado por um modelo de parâmetros concentrados que as substâncias caracterizadas pela resistência ao fluxo de calor tenham capacitância térmica desprezível e que as substâncias caracterizadas pela capacitância térmica tenham resistência desprezível ao fluxo de calor Existem três diferentes modos de o calor fluir de uma substância para outra condução con vecção e radiação Consideraremos aqui apenas a condução e a convecção A transferência de calor por radiação é significativa somente se a temperatura do emissor for muito alta comparada à do receptor A maioria dos processos térmicos nos sistemas de controle de processos não envolve transferência de calor por radiação Para a transferência de calor por condução ou convecção q K Di onde q taxa de fluxo de calor kcals Di diferença de temperatura C K coeficiente kcals C O coeficiente K é dado por K X kA D por condução HA por convecção onde k condutividade térmica kcalm s C A área normal ao fluxo de calor m2 DX espessura do condutor m H coeficiente de convecção kcalm2s C Resistência térmica e capacitância térmica A resistência térmica R para a transferência de calor entre duas substâncias pode ser definida como segue R variação na diferença de temperatura C variação na taxa do fluxo de calor kcals A resistência térmica para a transferência de calor por condução ou convecção é dada por R dq d K 1 Di h Como os coeficientes de condutividade térmica e convecção são quase constantes a resistência térmica tanto para condução como para convecção é constante A capacitância térmica C é definida por C variação no calor armazenado kcal variação na temperatura C ou C mc 123 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos onde m massa da substância considerada kg c calor específico da substância kcalkg C Sistemas térmicos Considere o sistema da Figura 426a Considerase que o reservatório seja isolado para eliminar as perdas de calor para o ar em torno do sistema Além disso supõese que não haja armazenamento de calor no material de isolamento e que o líquido do reservatório seja perfeitamente misturado de modo que a temperatura seja uniforme Assim utilizase um único valor para descrever a temperatura do líquido no reservatório e no fluxo do líquido de saída Vamos definir H i temperatura em regime permanente do líquido de entrada C H o temperatura em regime permanente do líquido de saída C G vazão em massa do líquido em regime permanente kgs M massa do líquido no reservatório kg c calor específico do líquido kcalkg C R resistência térmica C skcal C capacitância térmica kcalC H taxa de entrada de calor em regime permanente kcals Suponha que a temperatura do líquido de entrada seja mantida constante e que a taxa de entrada de calor no sistema calor fornecido pelo aquecedor sofra alteração repentina de H para H hi onde hi representa uma pequena variação da taxa de entrada de calor Então a taxa de saída de calor variará gradualmente de H para H ho A temperatura de saída do líquido também variará de H o para H o i Nesse caso ho C e R são obtidos respectivamente como ho Gci C Mc R h Gc 1 o i A equação de balanço de calor para esse sistema é C di hi hodt ou C dt di hi ho a qual pode ser reescrita como RC dt di i Rhi FIGURA 426 Aquecedor Líquido frio Misturador Líquido quente a b His R 1 RCs His Hs a Sistema térmico b diagrama de blocos do sistema 124 Engenharia de controle moderno Observe que a constante de tempo do sistema é igual a RC ou MG segundos A função de transferência relativa a i e hi é dada por H s s RCs R 1 i H h h onde Hs it e His hit Na prática a temperatura do líquido de entrada pode flutuar e atuar como carga de distúrbio Se for desejada uma temperatura de saída constante podese instalar um controlador automático para ajustar a taxa de entrada de calor para compensar as flutuações na temperatura do fluxo de entrada do líquido Se a temperatura do fluxo de entrada do líquido variar bruscamente de H i para H i ii enquanto a taxa de entrada de calor H e o fluxo do líquido G forem mantidos cons tantes então a taxa de saída do calor será alterada de H para H ho e a temperatura do fluxo de saída do líquido passará de H o para H o i A equação de balanço de calor para esse caso será C di Gcii hodt ou C dt di Gcii ho a qual pode ser reescrita como RC dt di i ii A função de transferência que relaciona θ e θi é dada por H s s RCs 1 1 i H h h onde Hs it e His iit Se esse sistema térmico for submetido a variações tanto da temperatura do fluxo de entrada do líquido como da taxa de entrada de calor enquanto a vazão do líquido for mantida constante a variação i da temperatura do fluxo de saída do líquido poderá ser dada pela seguinte equação RC dt di i ii Rhi A Figura 426b mostra um diagrama de blocos correspondente a esse caso Note que o sistema contém duas entradas Exemplos de problemas com soluções A41 No sistema de nível de líquido da Figura 427 suponha que a vazão em volume de saída Q m³s pela válvula de saída esteja relacionada com a altura do nível de H m pela relação Q K H 001 H FIGURA 427 Q Qi H Capacitância C Sistema de nível de líquido 125 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Suponha também que quando o fluxo de entrada Qi for 0015 m³s o nível do líquido perma neça constante Para t 0 o sistema está em regime permanente Qi 0015 m³s No instante t 0 a válvula de entrada é fechada e portanto não há fluxo de entrada para t 0 Determine o tempo necessário para esvaziar o reservatório até a metade da altura original A capacitância C do reservatório é de 2 m² Solução Quando o nível permanece estacionário o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída Assim a altura H0 do nível em t 0 é obtida da igualdade 0015 001 H0 ou H0 225 m A equação do sistema para t 0 é C dH Q dt ou dt dH C Q H 2 0 01 Então 0005 H dH dt Suponha que para t t1 H 1125 m Integrando ambos os lados da última equação obtemos 0005 H dH dt t 0 005 t 2 25 1 125 0 1 1 h Seguese que 2 2 0005 H t 2 1 125 2 25 2 25 1 125 1 ou t1 1757 Assim a altura do nível cai à metade do valor original 225 m em 1757 s A42 Considere o sistema de nível de líquido indicado na Figura 428 No sistema Q 1 e Q 2 são as taxas de regime permanente dos fluxos de entrada e H 1 e H 2 são as alturas dos níveis em regime permanente As grandezas qi1 qi2 h1 h2 q1 e qo são consideradas pequenas Obtenha a represen tação de espaço de estados para o sistema quando h1 e h2 são as saídas e qi1 e qi2 são as entradas Solução As equações para o sistema são C1 dh1 qi1 q1 dt 432 FIGURA 428 C1 C2 R1 R2 Q1 q1 Q2 qi2 Q1 qi1 Q1 Q2 qo H1 h1 H2 h2 Sistema de nível de líquido 126 Engenharia de controle moderno R h h q 1 1 2 1 433 C2 dh2 q1 qi2 qo dt 434 R h qo 2 2 435 Eliminando q1 da Equação 432 usando a Equação 433 resulta em dt dh C q R h h 1 i 1 1 1 1 1 2 c m 436 Eliminando q1 e qo na Equação 434 com o auxílio das equações 433 e 435 temos dt dh C R h h q R h 1 i 2 2 1 1 2 2 2 2 c m 437 Defina as variáveis de estado x1 e x2 como x1 h1 x2 h2 as variáveis de entrada u1 e u2 como u1 qi1 u2 qi2 e as variáveis de saída y1 e y2 como y1 h1 x1 y2 h2 x2 Então as equações 436 e 437 podem ser escritas como x R C x R C x C u x R C x R C R C x C u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 o o e o Sob a representação vetorialmatricial padrão temos x x R C R C R C R C R C x x C C u u 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 o o e o R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW H G G que é a equação de estado e y y x x 1 0 0 1 1 2 1 2 G G G que é a equação de saída A43 O valor da constante de gás de qualquer gás pode ser determinado por meio de uma cuidadosa observação dos valores simultâneos de p y e T Obtenha a constante de gás Rar para o ar Note que a 0 C 273 K e 1013105 Pa o volume específico do ar é 0774 m³kg Então obtenha a capacitância de um recipiente de pressão de 0566 m³ que contém ar a 71 C 344 K Suponha que o processo de expansão seja isotérmico Solução Rar T p 273 1 013 10 0 744 5 y 287 NmkgK 127 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos De acordo com a Equação 412 a capacitância de um recipiente de pressão de 0566 m³ é 10 C nR T V N m kg 1 287 344 0 566 5 73 ar 6 2 Note que em termos de unidades SI Rar é dado por Rar 287 Nmkg K A44 No sistema pneumático de pressão da Figura 429a suponha que para t 0 o sistema esteja em regime permanente e a pressão de todo o sistema seja P Suponha também que os dois foles sejam idênticos Em t 0 a pressão de entrada muda de P para P pi Em seguida as pressões nos foles 1 e 2 mudam de P para P p1 e de P para P p2 respectivamente A capacidade volu me de cada fole é 5 104 m³ e a diferença de pressão de operação Dp diferença entre pi e p1 ou diferença entre pi e p2 fica entre 05 105 Nm² e 05 105 Nm² A correspondente vazão em massa kgs nas válvulas é mostrada na Figura 429b Suponha que os foles se expandam ou se contraiam linearmente com as pressões do ar que agem sobre eles a constante elástica equivalente dos foles seja k 1 105 Nm e cada fole tenha área A 15 104 m² Definindo o deslocamento do ponto médio da haste que interliga os dois foles como x determi ne a função de transferência XsPi s Suponha que o processo de expansão seja isotérmico e que a temperatura de todo o sistema permaneça igual a 30 C Suponha também que o expoente politrópico n seja 1 Solução Tomando como referência a Seção 43 a função de transferência P1sPi s pode ser obtida como P s P s R C 1 1 i s 1 1 h h 438 Da mesma maneira a função de transferência P2sPi s é P s P s R C 1 1 i s 2 2 h h 439 A força que age no fole 1 na direção x é AP p1 e a força que age no fole 2 no sentido negativo da direção x é APP p2 A força resultante equilibra kx que é a força elástica equivalente às laterais corrugadas dos foles Ap1 p2 kx ou AP1s P2s kXs 440 FIGURA 429 Fole 1 Fole 2 Válvula 1 Válvula 2 a b x Área A C C q1 q2 R1 R2 P p1 P p2 P pi Válvula 2 Válvula 1 05 105 3 105 15 105 05 105 DpNm2 qkgs a Sistema pneumático de pressão b curvas de diferença de pressão versus vazão em massa 128 Engenharia de controle moderno Observando as equações 438 e 439 vemos que P s P s R Cs R Cs P s R Cs R Cs R Cs R Cs P s 1 1 1 1 1 1 i i 1 2 1 2 1 2 2 1 e h h o h h h h Substituindo essa última equação na Equação 440 e reescrevendoa a função de transferência XsPi s é obtida como P s X s k A R Cs R Cs R C R C s 1 1 i 1 2 2 1 h h h h h 441 Os valores numéricos das resistências médias R1 e R2 são kg s N m kg s N m R dq d p R dq d p 3 10 0 5 10 0 167 10 1 5 10 0 5 10 0 333 10 1 1 5 5 10 2 2 2 5 5 10 2 D D O valor numérico da capacitância C de cada fole é 575 10 N m kg C nR T V 1 287 273 30 5 10 ar 4 9 2 h onde Rar 28 Nmkg K Veja o Problema A43 Consequentemente R1C 0167 1010 575 109 960 s R2C 0333 1010 575 109 192 s Substituindo os valores numéricos de numéricos de A k R1C e R2C na Equação 441 obtemos P s X s s s s 9 6 1 19 2 1 1 44 10 i 7 h h h h A45 Desenhe um diagrama de blocos do controlador pneumático indicado na Figura 430 Em seguida deduza a função de transferência desse controlador Suponha que Rd Ri Suponha também que os dois foles sejam idênticos Se a resistência Rd for removida substituída por um tubo do mesmo diâmetro da linha que ação de controle obteremos Se a resistência Ri for removida substituída por um tubo do mesmo diâmetro da linha que ação de controle obteremos FIGURA 430 e a b C C X x Pc pI Pc pII Ps I II Ri Rd Pc pc y Diagrama esquemático de um controlador pneumático 129 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Solução Vamos supor que quando e 0 a distância entre o bocal e a palheta seja X e a pressão de controle seja igual a P c Na presente análise vamos supor pequenos desvios dos respectivos valores de referência como segue e pequeno sinal de erro x pequena variação da distância bocalpalheta pc pequena variação no controle de pressão pI pequena variação de pressão no fole I causada por uma pequena variação na pressão de controle pII pequena variação de pressão no fole II causada por uma pequena variação na pressão de controle y pequeno deslocamento na extremidade inferior da palheta Nesse controlador pc é transmitida ao fole I por meio da resistência Rd Da mesma maneira pc é transmitida ao fole II por meio das resistências em série Rd e Ri A relação entre pI e pc é P s P s R Cs T s 1 1 1 1 c I d d h h onde Td Rd C tempo derivativo Do mesmo modo pII e pI estão relacionadas pela função de transferência P s P s R Cs Ts 1 1 1 1 I II i i h h onde Ti RiC tempo integrativo A equação de balanceamento de forças para os dois foles é pI pIIA ks y onde ks é a rigidez dos dois foles conectados e A é a área de secção transversal dos foles A relação entre as variáveis e x e y é x a b b e a b a y A relação entre pc e x é pc Kx K 0 A partir das equações deduzidas podese desenhar o diagrama de blocos do controlador como mostra a Figura 431a A simplificação desse diagrama de blocos resulta na Figura 431b A função de transferência entre Pcs e Es é E s P s K a b a k A Ts Ts T s a b b K 1 1 1 1 c s i i d e e h h o o Na prática um controlador sob condições normais de operação kaATisa bksTis 1Tds 1 é muito maior que a unidade e Ti Td Portanto a função de transferência pode ser simpli ficada como segue E s P s aATs bk Ts Ts aA bk T T T Ts T s k Ts T s 1 1 1 1 1 c i s i i s i i d i d p i d Z Z e e h h h h o o 130 Engenharia de controle moderno onde K aA bk p s Assim o controlador mostrado na Figura 430 é do tipo proporcionalintegralderivativo Se a resistência Rd for removida ou Rd 0 a ação de controle se tornará a de um controlador proporcionalintegral Se a resistência Ri for removida ou Ri 0 a ação se tornará a de um controlador proporcional de banda estreita ou de duas posições Note que as ações dos dois foles de realimentação cancelam uma à outra e não há realimentação A46 Em virtude da tolerância de fabricação as válvulas de carretel reais são tanto sobrepostas como subpostas Considere as válvulas de carretel sobreposta e subposta mostradas nas figuras 432a e b Esboce as curvas relacionando a área A descoberta da porta versus o deslocamento x FIGURA 431 Es Xs Pcs K a a b b a b A ks PIs PIIs 1 Td s 1 1 Ti s 1 a b K b a b Pcs Es Xs aATi s a b ksTi s 1 Td s 1 a Diagrama de blocos de controlador pneumático mostrado na Figura 430 b diagrama de blocos simplificado FIGURA 432 x0 2 x0 2 x0 2 x0 2 x x a b Alta pressão Baixa pressão Alta pressão Baixa pressão a Válvula de carretel sobreposta b válvula de carretel subposta 131 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Solução Para a válvula sobreposta existe uma zona morta entre 2 1 x0 e 2 1 x0 ou 2 1 x0 x 2 1 x0 A curva da área A descoberta da porta versus o deslocamento x está indicada na Figura 433a Essa válvula sobreposta é imprópria como válvula de controle Para a válvula subposta a curva da área A da porta versus o deslocamento x está indicada na Figura 433b A curva efetiva para a região subposta tem uma inclinação maior o que indica maior sensibilidade As válvulas utilizadas para controle normalmente são subpostas A47 A Figura 434 mostra um controlador hidráulico com bocal de jato O fluido hidráulico é ejetado do bocal de jato Se este for movido da posição neutra para a direita o êmbolo se moverá para a esquerda e viceversa A válvula do tipo bocal de jato não é tão utilizada quanto a válvula do tipo bocalpalheta em razão do maior fluxo nulo resposta lenta e outras características de imprevisi bilidade Sua principal vantagem consiste na insensibilidade a líquidos poluídos Suponha que o êmbolo esteja conectado a uma carga leve de modo que a força de inércia do ele mento de carga seja desprezível quando comparada à força hidráulica desenvolvida pelo êmbolo Que tipo de ação de controle esse controlador produz FIGURA 434 Óleo sob pressão A y x Controlador hidráulico com bocal de jato FIGURA 433 a b Área efetiva Área exposta à alta pressão Área exposta à baixa pressão A x x0 2 A x x0 2 a Curva da área A descoberta da porta versus o deslocamento x para a válvula sobreposta b curva da área A descoberta da porta versus o deslocamento x para uma válvula subposta 132 Engenharia de controle moderno Solução Defina o deslocamento do bocal de jato a partir da posição neutra como x e o deslocamento do êmbolo como y Se o bocal de jato for movido para a direita em um pequeno deslocamento x o óleo fluirá para o lado direito do êmbolo e o óleo existente do lado esquerdo do êmbolo retornará ao dreno O óleo que flui para dentro do cilindro está sob alta pressão o óleo que flui do cilindro de potência para o dreno está sob baixa pressão A diferença de pressão resultante causa o movimento do êmbolo para a esquerda Para um pequeno deslocamento do bocal de jato x a vazão q para o cilindro de potência é pro porcional a x ou seja q K1x Para o cilindro de potência At dy q dt onde A é a área do êmbolo e t é a densidade do óleo Então dt dy A q A K x Kx 1 t t onde K K1At constante A função de transferência YsXs é então X s Y s s K h h O controlador produz uma ação de controle integral A48 Explique a operação do sistema de controle de velocidade mostrado na Figura 435 Solução Se a velocidade da máquina aumenta a luva do regulador de esferas é movida para cima Esse movimento age como a entrada do controlador hidráulico Um sinal de erro positivo o movimento da luva para cima faz que o êmbolo se mova para baixo reduza a abertura da válvula de combustível e diminua a velocidade da máquina Um diagrama de blocos do sistema está indicado na Figura 436 FIGURA 435 Motor Óleo sob pressão k b z e y a1 a2 w Sistema de controle de velocidade 133 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos A função de transferência YsEs pode ser obtida a partir do diagrama de blocos como E s Y s a a a a a a bs k bs s K s K 1 1 2 2 1 2 1 h h Sendo válida a seguinte condição 1 a a a bs k bs s K 1 2 1 a função de transferência YsEs tornase E s Y s a a a a a a bs bs k a a bs k 1 1 2 2 1 1 2 1 2 Z c h h m O controlador de velocidade tem uma ação de controle proporcionalintegral A49 Obtenha a função de transferência ZsYs do sistema hidráulico da Figura 437 Suponha que os dois amortecedores hidráulicos do sistema sejam idênticos exceto pelos eixos dos êmbolos Solução Na dedução das equações do sistema vamos supor que a força F seja aplicada na extre midade direita do eixo causando o deslocamento y Todos os deslocamentos y w e z são medidos a partir das respectivas posições de equilíbrio quando nenhuma força é aplicada na extremidade direita do eixo Quando a força F é aplicada a pressão P1 tornase maior que a pressão P1 ou P1 P1 Da mesma maneira P2 P2 A equação de balanço de forças é a seguinte k2y w AP1 P1 AP2 P2 442 Como k1z AP1 P1 443 e q R P P 1 1 1 l temos k1z ARq1 FIGURA 437 R F R k2 k1 P1 q1 Área A z q2 w w y P2 P2 P1 Sistema hidráulico FIGURA 436 Es Ys Zs a2 a1 a2 K s a1 a1 a2 bs bs k Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade mostrado na Figura 435 134 Engenharia de controle moderno Além disso como q1 dt Adw dzt temos q1 Aẇ żt ou w z A R k z 2 1 t o o Defina A²Rt B B é o coeficiente de atrito viscoso Então w z B k z 1 o o 444 Além disso para o lado direito do amortecedor temos q2 dt At dw Como q2 P2 P2R obtemos w A q A R A P P 2 2 2 2 t t l o h ou AP2 P2 Bẇ 445 Substituindo as equações 443 e 445 na Equação 442 temos k2 y k2w k1z Bẇ Transformando essa última equação por Laplace e supondo condições iniciais nulas obtemos k2Ys k2 BsWs k1Zs 446 Tomando a transformada de Laplace da Equação 444 e supondo condições iniciais nulas temos W s Bs k Bs Z s 1 h h 447 Utilizando a Equação 447 para eliminar Ws da Equação 446 obtemos k Y s k Bs Bs k Bs Z s k Z s 2 2 1 1 h h h h a partir da qual chegamos à função de transferência ZsYs como Y s Z s Bs k k s B k k k s 2 2 1 2 1 2 2 h h h Multiplicando numerador e denominador dessa última equação por Bk1k2 obtemos Y s Z s k k B s k B k B s k B s 2 1 1 2 2 2 2 1 1 e h h o Definindo Bk1 T1 Bk2 T2 Então a função de transferência ZsYs tornase Y s Z s T T s T T s T s 2 1 1 2 2 1 2 1 h h h A410 Considerando pequenos desvios em relação ao ponto de operação em regime permanente desenhe um diagrama de blocos do sistema de aquecimento de ar mostrado na Figura 438 Suponha que 135 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos a perda de calor para o meio ambiente e a capacitância térmica das partes de metal do aquecedor sejam desprezíveis Solução Vamos definir H i temperatura do ar de entrada em regime permanente C H o temperatura do ar de saída em regime permanente C G vazão em massa do ar na câmara de aquecimento kgs M massa de ar contido na câmara de aquecimento kg c calor específico do ar kcalkg C R resistência térmica C skcal C capacitância térmica do ar contido na câmara de aquecimento Mc kcal C H entrada de calor em regime estacionário kcals Vamos supor que a entrada de calor seja alterada de H para H h e a temperatura do ar de entrada seja bruscamente alterada de H i para H i ii Então a temperatura do ar de saída vai variar de H o para H o io A equação que descreve o comportamento do sistema é C dio h Gcii io dt ou C dt d h Gc o i o i i i h Notando que Gc R 1 obtemos C dt d h R 1 o i o i i i h ou RC dt d Rh o o i i i i Tomando as transformadas de Laplace de ambos os lados dessa última equação e substituindo a condição inicial em que i00 0 obtemos s RCs R H s RCs s 1 1 1 o i H H h h h O diagrama de blocos correspondente do sistema para essa equação é mostrado na Figura 439 FIGURA 438 H h Aquecedor Hi ii Ho io Sistema de aquecimento de ar 136 Engenharia de controle moderno A411 Considere o sistema formado pelo termômetro de mercúrio com parede fina de vidro da Figura 440 Suponha que o termômetro esteja a uma temperatura uniforme H temperatura ambiente e em t 0 ele seja imerso em um banho cuja temperatura seja H ib onde ib é a temperatura do banho que pode ser constante ou variável medida a partir da temperatura ambiente H Defina a temperatura instantânea do termômetro como H i de modo que i seja a variação da tempera tura do termômetro que satisfaz a condição i0 0 Obtenha um modelo matemático para esse sistema Obtenha também o análogo elétrico do sistema do termômetro Solução Um modelo matemático para esse sistema pode ser deduzido considerando o balancea mento térmico da seguinte maneira o calor de entrada do termômetro durante dt s é q dt onde q é o fluxo de calor de entrada no termômetro Esse calor é armazenado na capacitância térmica C do termômetro elevando desse modo a temperatura em di Assim a equação de balanço de calor é C di q dt 448 Como a resistência térmica R pode ser escrita como R dq d q i i D D h o fluxo de calor q pode ser dado em termos da resistência térmica R como q R R b b i i i i H H h h onde H ib é a temperatura do banho e H i é a temperatura do termômetro Então podemos reescrever a Equação 448 como C dt d R b i i i ou RC dt d b i i i 449 A Equação 449 é um modelo matemático do sistema do termômetro FIGURA 439 Hs 1 RCs 1 R RCs 1 His Hos Diagrama de blocos do sistema de aquecimento mostrado na Figura 438 FIGURA 440 Termômetro Banho H i H ib Sistema de termômetro de mercúrio com parede fina de vidro 137 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Com referência à Equação 449 um análogo elétrico para o sistema do termômetro pode ser descrito como RC dt de e e o o i Um circuito elétrico representado por essa última equação é mostrado na Figura 441 Problemas B41 Considere o sistema constituído pelo reservatório de água cônico da Figura 442 A vazão pela válvula é turbulenta e está relacionada com a altura do nível H por Q 0005 H onde Q é a vazão medida em m³s e H em metros Suponha que a altura do nível seja de 2 m em t 0 Qual será a altura do nível em t 60 s B42 Considere o sistema de controle de nível de líquido exposto na Figura 443 O controlador é do tipo proporcional O valor de referência do controlador é fixo Desenhe o diagrama de blocos desse sistema presumindo que as alterações nas variáveis sejam pequenas Obtenha a função de transferência entre o nível do segundo tanque e o distúrbio de entrada qd Obtenha o erro de estado permanente quando o distúrbio qd é uma função de degrau unitário FIGURA 442 2 m 3 m 2 m H r Sistema de reservatório de água cônico FIGURA 441 R C eo ei Análogo elétrico do sistema do termômetro mostrado na Figura 440 138 Engenharia de controle moderno B43 Para o sistema pneumático mostrado na Figura 444 suponha que os valores da pressão do ar e do deslocamento do fole em regime permanente sejam P e X respectivamente Suponha também que a pressão de entrada seja alterada de P para P pi onde pi é uma pequena variação na pres são de entrada Essa variação causará uma alteração no deslocamento do fole em uma pequena quantidade x Presumindo que a capacitância do fole seja C e que a resistência da válvula seja R obtenha a função de transferência relacionando x e pi B44 A Figura 445 mostra um controlador pneumático O relé pneumático tem como característica pc Kpb onde K 0 Que tipo de ação de controle esse controlador produz Obtenha a função de transferência PcsEs FIGURA 443 C2 R1 C1 h2 R2 Q qi qd Q q0 H Controlador proporcional Sistema de controle de nível líquido FIGURA 444 R C A X x P po P pi k Sistema pneumático 139 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos B45 Considere o controlador pneumático na Figura 446 Supondo que o relé pneumático tenha como característica pc Kpb onde K 0 determine qual a ação de controle desse controlador A entrada do controlador é e e a saída é pc B46 A Figura 447 mostra um controlador pneumático O sinal e é a entrada e a alteração na pressão de controle pc é a saída Obtenha a função de transferência PcsEs Presuma que o relé pneu mático tem como característica pc Kpb onde K 0 FIGURA 446 Sinal de erro atuante Palheta Bocal e a b X x R I k Orifício Ps Pb pb Pc pc Controlador pneumático FIGURA 445 k Orifício Sinal de erro atuante Palheta Bocal Ps e a b Pb pb X x Y y Pc pc Controlador pneumático 140 Engenharia de controle moderno B47 Considere o controlador pneumático da Figura 448 Que ação de controle esse controlador pro duz Suponha que o relé pneumático tenha como característica pc Kpb onde K 0 B48 A Figura 449 mostra uma válvula de palheta Ela está colocada entre dois bocais em oposição Se a palheta for deslocada ligeiramente para a direita ocorrerá um desequilíbrio de pressão nos bocais e o êmbolo se moverá para a esquerda e viceversa Esse dispositivo é frequentemente utilizado em servossistemas hidráulicos como válvula de primeiro estágio de servoválvulas de dois estágios Esse uso ocorre porque podem ser necessárias forças consideráveis para mover o carretel de grandes válvulas que resulta da força do fluxo contínuo Para reduzir ou compensar FIGURA 448 e a b k X x R2 I II R1 Ps Pb pb Pc pc Sinal de erro atuante Palheta Bocal Orifício Controlador pneumático FIGURA 447 Sinal de erro atuante Palheta Bocal e a b k X x R I II Orifício Ps Pb pb Pc pc Controlador pneumático 141 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos essa força é empregada frequentemente uma configuração de válvulas em dois estágios uma válvula de palheta ou de bocal de jato é utilizada como válvula de primeiro estágio capaz de produzir a força necessária para acionar uma válvula de carretel de segundo estágio A Figura 450 exibe um diagrama esquemático de um servomotor hidráulico no qual o sinal de erro é amplificado em dois estágios com a utilização de um bocal transferência e uma válvula piloto Esquematize o diagrama de blocos do sistema da Figura 450 e determine a função entre x e y onde x é a pressão do ar e y é o deslocamento do êmbolo B49 A Figura 451 é um diagrama esquemático de um sistema de controle do leme do profundor de uma aeronave O sinal de entrada do sistema é o ângulo i de deflexão da alavanca de controle e o sinal de saída é o ângulo de elevação z Suponha que os ângulos i e z sejam relativamente pequenos Mostre que para cada valor do ângulo i da alavanca de controle existe um valor de regime permanente do ângulo de elevação do leme do profundor z FIGURA 450 x y Óleo sob pressão Óleo sob pressão Diagrama esquemático de um servomotor hidráulico FIGURA 449 y Palheta x Válvula de palheta 142 Engenharia de controle moderno B410 Considere o sistema de controle de nível de líquido mostrado na Figura 452 A válvula de entrada é controlada por um controlador hidráulico de ação integral Suponha que a vazão de entrada em regime permanente seja Q e a de saída em regime permanente também seja Q a altura do nível em regime permanente seja H o deslocamento da válvula piloto em regime permanente seja X 0 e a posição da válvula em regime permanente seja Y Vamos supor que o ponto fixo R corresponda ao nível H em estado permanente O ponto de referência permanece fixo Suponha ainda que a vazão de entrada do distúrbio qd que é de pequeno valor seja aplicada ao reserva tório de água em t 0 Esse distúrbio causa a mudança da altura do nível de H para H h Essa alteração resulta em uma variação da vazão de saída de qo Por meio do controlador hidráulico a mudança da altura do nível causa uma mudança da vazão de entrada de Q para Q qi O con trolador integral tende a manter a altura do nível constante na medida do possível na presença do distúrbio Considere que todas as variações sejam pequenas FIGURA 452 C Capacitância R Resistência a b h Y y qd Q qi H h Q qo x Sistema de controle de nível de líquido FIGURA 451 i z l a b Óleo sob pressão Sistema de controle do leme do profundor de uma aeronave 143 Capítulo 4 Modelagem matemática de sistemas fluídicos e sistemas térmicos Vamos supor que a velocidade do êmbolo válvula seja proporcional ao deslocamento da válvula piloto x ou dt dy K x 1 onde K1 é uma constante positiva Também consideraremos que a variação na vazão de entrada qi é negativamente proporcional à variação da abertura y da válvula ou qi Ky y onde Ky é uma constante positiva Vamos supor os seguintes valores numéricos para o sistema C 2 m² R 05 sm² Ky 1 m²s a 025 m b 075 m K1 4 s1 obtenha a função de transferência HsQd s B411 Considere o controlador da Figura 453 O sinal de entrada é a pressão de ar pi medida a partir de alguma pressão de referência em regime permanente P e o sinal de saída é o deslocamento y do êmbolo Obtenha a função de transferência YsPi s B412 Um termopar tem uma constante de tempo de 2 s Um poço térmico possui uma constante de tempo de 30 s Quando o termopar é inserido no poço esse dispositivo de medição de temperatura pode ser considerado um sistema de duas capacitâncias Determine as constantes de tempo do sistema combinado termoparpoço térmico Suponha que o peso do termopar seja de 8 g e que o peso do poço térmico seja de 40 g Suponha também que os calores específicos do termopar e do poço térmico sejam os mesmos FIGURA 453 a a b b Ar pi Entrada y Saída x k Fole Controlador 144 Engenharia de controle moderno Análise de resposta transitória e de regime estacionário 5 C A P Í T U L O 51 Introdução Em capítulos anteriores foi dito que o primeiro passo para a análise de um sistema de controle é a obtenção de um modelo matemático do sistema Uma vez obtido esse modelo é possível analisar o desempenho do sistema a partir dos vários métodos disponíveis Na prática o sinal de entrada de um sistema de controle não é conhecido previamente ele é de caráter aleatório e seus valores instantâneos não podem ser expressos de maneira analítica Somente em alguns casos especiais o sinal de entrada é conhecido antecipadamente e pode ser expresso de maneira analítica ou por meio de curvas como no caso do controle automático das máquinasferramentas Na análise e no projeto de sistemas de controle devemos ter uma base de comparação do desempenho de vários sistemas de controle Essa base pode ser estabelecida detalhandose sinais de entrada de teste específicos e em seguida comparandose as respostas dos vários sistemas com esses sinais Muitos dos critérios de projeto têm como base as respostas a esses sinais ou a resposta dos sistemas às mudanças das condições iniciais sem qualquer sinal de teste O uso de sinais de teste pode ser justificado em virtude da correlação existente entre as características das respostas de um sistema a um sinal de entrada típico de teste e a capacidade de o sistema responder aos sinais de entrada reais Sinais típicos de testes Os sinais de entrada de teste geralmente utilizados são as funções degrau rampa parábola de aceleração impulso senoidais e ruído branco Neste capítulo usa mos sinais de teste como degrau rampa parábola de aceleração e impulso Com esses sinais de teste tanto a análise experimental como a análise matemática dos sistemas de controle podem ser obtidas facilmente uma vez que esses sinais são funções de tempo muito simples Podese determinar quais desses sinais típicos de entrada devem ser utilizados na análise das características do sistema pelo comportamento da entrada a que o sistema será submetido com maior frequência sob condições normais de operação Se as entradas de um sistema de controle são funções de tempo que variam gradualmente então a rampa em função do tempo pode ser um bom sinal de teste Da mesma maneira se um sistema estiver sujeito a variações bruscas de entrada a função degrau poderá ser um bom sinal de teste Da mesma forma se o sistema estiver sujeito a entradas de impacto uma função impulso poderá ser a melhor opção Uma vez projetado o sistema de controle com base nos sinais de teste o desempenho do sis tema em resposta a entradas reais geralmente é satisfatório O uso desses sinais possibilita a comparação do desempenho de vários sistemas em relação à mesma base Resposta transitória e resposta estacionária A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes a resposta transitória e a resposta estacionária Por resposta transitória entendese aquela que vai do estado inicial ao estado final Por resposta estacionária entendemos o comportamento do sinal de saída do sistema na medida em que t tende ao infinito Assim a resposta ct do sistema pode ser escrita como ct ctrt csst onde o primeiro termo do lado direito da equação é a resposta transitória e o segundo é a resposta estacionária Estabilidade absoluta estabilidade relativa e erro estacionário No projeto de um sistema de controle deve ser possível prever seu comportamento dinâmico a partir do conhe cimento de seus componentes A característica mais importante do comportamento dinâmico do sistema de controle é a estabilidade absoluta isto é se o sistema é estável ou instável Um sistema de controle está em equilíbrio se na ausência de qualquer distúrbio ou sinal de entrada a saída permanece no mesmo estado Um sistema de controle linear e invariante no tempo é estável se a saída sempre retorna ao estado de equilíbrio quando o sistema é submetido a uma condição inicial Um sistema de controle linear e invariante no tempo é criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetirem de maneira contínua É instável se a saída divergir sem limites a partir do estado de equilíbrio quando o sistema for sujeito a uma condição inicial Nos casos reais o sinal de saída de um sistema físico pode aumentar até certo valor mas pode ser limitado por fins de curso mecânicos ou o sistema pode se romper ou se tornar não linear após o sinal de saída ultrapassar certa amplitude e desse modo as equações diferenciais do modelo não terão mais validade Outros comportamentos importantes do sistema além da estabilidade absoluta com os quais se deve ter uma consideração especial são a estabilidade relativa e o erro estacionário Como um sistema físico de controle contém energia armazenada a saída do sistema quando este é subme tido a um sinal de entrada não pode seguir a entrada imediatamente mas apresenta uma resposta transitória antes que um regime permanente seja obtido A resposta transitória de um sistema de controle prático frequentemente apresenta oscilações amortecidas antes de atingir o estado permanente Se o sinal de saída de um sistema em regime permanente não coincidir exatamente com a entrada dizse que o sistema apresenta um erro estacionário Esse erro é indicativo da precisão do sistema Na análise de um sistema de controle devese examinar o comportamento da resposta transitória e do estado estacionário Visão geral do capítulo Este capítulo trata das respostas do sistema aos sinais aperiódicos como degrau rampa aceleração e impulso em função do tempo Eis o resumo do capítulo a Seção 51 apresenta a matéria introdutória do capítulo A Seção 52 trata da resposta dos sistemas de primeira ordem a entradas aperiódicas A Seção 53 apresenta a resposta transitória de sistemas de segunda ordem São estudadas análises detalhadas das respostas dos sistemas de segunda ordem a excitações em degrau rampa e impulso A Seção 54 discute a análise da resposta tran sitória de sistemas de ordem superior A Seção 55 apresenta uma introdução à abordagem do MATLAB na solução de problemas de resposta transitória A Seção 56 fornece um exemplo de um problema de resposta transitória resolvido com o MATLAB A Seção 57 apresenta o critério de estabilidade de Routh A Seção 58 discute os efeitos das ações de controle integral e deriva tiva no desempenho dos sistemas Por fim a Seção 59 trata de erros estacionários e sistemas de controle com realimentação unitária 146 Engenharia de controle moderno 52 Sistemas de primeira ordem Considere o sistema de primeira ordem mostrado na Figura 51a Fisicamente esse sistema pode representar um circuito RC um sistema térmico ou algo semelhante A Figura 51b traz um diagrama de blocos simplificado A relação entradasaída é dada por R s C s Ts 1 1 h h 51 A seguir analisaremos as respostas do sistema a entradas como as funções degrau unitário rampa unitária e impulso unitário As condições iniciais são consideradas nulas Note que todos os sistemas que têm a mesma função de transferência apresentarão a mesma saída em resposta ao mesmo impulso Para determinado sistema físico pode ser dada uma inter pretação física à resposta matemática Resposta ao degrau unitário do sistema de primeira ordem Como a transformada de Laplace da função degrau unitário é 1s substituindo Rs 1s na Equação 51 obtemos C s Ts s s 1 1 1 h Expandindo Cs em frações parciais temos C s s Ts T s s T 1 1 1 1 1 h h 52 Considerando a transformada inversa de Laplace da Equação 52 obtemos ct 1 etT para t 0 53 A Equação 53 estabelece que inicialmente a resposta ct é zero e no fim tornase unitária Uma característica importante de uma curva de resposta exponencial ct é que em t T o valor de ct é 0632 ou a resposta ct alcançou 632 de sua variação total Isso pode ser facilmente comprovado substituindose t T em ct Ou seja cT 1 e 1 0632 Note que quanto menor a constante de tempo T mais rapidamente o sistema responde Outra característica importante da curva exponencial de resposta é que a inclinação da linha tangente em t 0 é 1T uma vez que dt dc T e T 1 1 t t T t 0 0 54 A saída alcançaria o valor final em t T se fosse mantida a velocidade inicial de resposta A partir da Equação 54 vemos que a inclinação da curva de resposta ct decresce monotonicamente de 1T em t 0 a zero em t A curva exponencial de resposta ct dada pela Equação 53 é mostrada na Figura 52 Em uma constante de tempo a curva da resposta exponencial vai de 0 a 632 do valor final Em duas constantes de tempo a resposta atinge 865 da resposta final Para t 3T 4T e 5T a resposta alcança 95 982 e 993 respectivamente da resposta final Assim para t 4T a resposta se mantém a 2 do valor final Como se vê na Equação 53 o estado permanente é alcançado mate maticamente apenas depois de um tempo infinito Na prática entretanto é razoável que o tempo FIGURA 51 Rs Es Cs Rs Cs a b 1 Ts 1 Ts 1 a Diagrama de blocos de um sistema de primeira ordem b diagrama de blocos simplificado 147 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário estimado de resposta seja o intervalo de tempo necessário para a curva alcançar e permanecer a 2 da linha do valor final ou quatro constantes de tempo Resposta à rampa unitária de sistemas de primeira ordem Como a transformada de Laplace da rampa unitária é 1s2 obtemos a saída do sistema da Figura 51a como C s Ts s 1 1 1 2 h Expandindo Cs em frações parciais temos C s s s T Ts T 1 1 2 2 h 55 Considerando a transformada inversa de Laplace da Equação 55 obtemos ct t T TetT para t 0 56 Então o sinal de erro et é et rt ct T1 etT Conforme t tende ao infinito etT se aproxima de zero e assim o sinal de erro et se aproxima de T ou e T A Figura 53 mostra a rampa unitária de entrada e a resposta do sistema O erro do sistema para seguir a rampa unitária como sinal de entrada é igual a T para t suficientemente grande Quanto menor a constante de tempo T menor o erro estacionário ao seguir a entrada em rampa Resposta ao impulso unitário de sistemas de primeira ordem Para o impulso unitário de entrada Rs 1 e a resposta do sistema da Figura 51a pode ser obtida como C s Ts 1 1 h 57 A transformada inversa de Laplace da Equação 57 resulta em 0 c t T e t 1 para t T h 58 A curva de resposta dada pela Equação 58 é mostrada na Figura 54 Uma propriedade importante de sistemas lineares invariantes no tempo Na análise anterior mostrouse que para a entrada em rampa unitária a saída ct é ct t T TetT para t 0 Veja a Equação 56 FIGURA 52 ct 1 0 0632 A B T 2T 3T 4T 5T t Inclinação 1 T ct 1 e t T 632 865 95 982 993 Curva exponencial de resposta 148 Engenharia de controle moderno Para a entrada em degrau unitário que é a derivada da entrada em rampa unitária a saída ct é ct 1 etT para t 0 Veja a Equação 53 Por fim para a entrada em impulso unitário que é a derivada da entrada em degrau unitário a saída ct é 0 c t T e t 1 para t T h Veja a Equação 58 A comparação das respostas do sistema com essas três entradas indica claramente que a resposta à derivada de um sinal de entrada pode ser obtida diferenciandose a resposta do sistema para o sinal original Podese ver também que a resposta à integral do sinal original pode ser obtida pela integração da resposta do sistema ao sinal original e pela determinação da constante de integração a partir da condição inicial de resposta nula Esta é uma propriedade dos sistemas lineares invariantes no tempo Os sistemas lineares variantes no tempo e sistemas não lineares não possuem essa propriedade 53 Sistemas de segunda ordem Nesta seção obteremos a resposta do sistema de controle típico de segunda ordem às entra das em degrau rampa e impulso Aqui consideraremos um servossistema como um exemplo de sistema de segunda ordem FIGURA 54 ct 0 2T T 4T 3T t 1 T ct e t T 1 T Resposta ao impulso unitário do sistema exposto na Figura 51a FIGURA 53 rt ct 6T 4T 2T 0 2T 4T 6T t T T rt t ct Erro de estado permanente Resposta de rampa unitária do sistema mostrado na Figura 51a 149 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Servossistema A Figura 55a mostra um servossistema constituído por um controlador pro porcional e elementos de carga elementos de inércia e de atrito viscoso Suponha que se deseje controlar a posição da saída c de acordo com a posição de entrada r A equação para os elementos de carga é Jc Bċ T onde T é o torque produzido pelo controlador proporcional cujo ganho é K Considerando as transformadas de Laplace de ambos os lados dessa última equação e supondo condições iniciais nulas obtemos Js2Cs BsCs Ts Então a função de transferência entre Cs e Ts é T s C s s Js B 1 h h h Pelo uso dessa função de transferência a Figura 55a pode ser redesenhada como na Figu ra 55b que pode ser modificada para o esquema mostrado na Figura 55c A função de transferência de malha fechada é então obtida como R s C s Js Bs K K s B J s K J K J 2 2 h h h h Esse sistema em que a função de transferência de malha fechada possui dois polos é chamado sistema de segunda ordem Alguns sistemas de segunda ordem podem conter um ou dois zeros Resposta ao degrau do sistema de segunda ordem A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 55c é R s C s Js Bs K K 2 h h 59 que pode ser reescrita como FIGURA 55 r K 1 sJs B e c T J B a Rs Rs Cs Cs Ts b K K sJs B c a Servossistema b diagrama de blocos c diagrama de blocos simplificado 150 Engenharia de controle moderno R s C s s J B J B J K s J B J B J K J K 2 2 2 2 2 2 c c h h m m G G Os polos de malha fechada são complexos conjugados se B2 4JK 0 e são reais se B2 4JK 0 Na análise da resposta transitória é conveniente escrever 2 2 J K J B n n 2 g v onde v é chamado atenuação n é a frequência natural não amortecida e ζ é o coeficiente de amortecimento do sistema O coeficiente de amortecimento ζ é a relação entre o amortecimento real B e o amortecimento crítico ou Bc 2 JK ou B B JK B 2 c g Em termos de ζ e n o sistema da Figura 55c pode ser modificado conforme mostra a Figu ra 56 e a função de transferência de malha fechada CsRs dada pela Equação 59 pode ser escrita como R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h 510 Essa forma é chamada formapadrão do sistema de segunda ordem O comportamento dinâmico do sistema de segunda ordem pode ser descrito em termos de dois parâmetros ζ e n Se 0 ζ 1 os polos de malha fechada são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s O sistema é então chamado subamortecido e a resposta transitória é oscilatória Se ζ 0 a resposta transitória não decai Se ζ 1 o sistema é denominado criticamente amortecido Os sistemas superamortecidos correspondem a ζ 1 Determinaremos agora a resposta do sistema mostrado na Figura 56 a uma entrada em degrau unitário Consideraremos três diferentes casos subamortecido 0 ζ 1 criticamente amortecido ζ 1 e superamortecido ζ 1 1 Sistema subamortecido 0 ζ 1 nesse caso CsRs pode ser escrito como R s C s s j s j n d n d n 2 g g h h h h onde d n 1 g2 A frequência d é chamada frequência natural amortecida do sistema Para uma entrada em degrau unitário Cs pode ser escrita como C s s s s 2 n n n 2 2 2 g h h 511 A transformada inversa de Laplace da Equação 511 pode ser obtida facilmente se Cs for escrita da seguinte maneira C s s s s s s s s s 1 2 2 1 n d n n d n n d n 2 2 2 2 2 2 g g g g g g h h h FIGURA 56 Rs Es Cs n ss 2ζn 2 Sistema de segunda ordem 151 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Consultando a tabela de transformadas de Laplace no Apêndice A podemos demonstrar que cos sen s s e t s e t n d n t d n d d t d 1 2 2 1 2 2 n n g g g g g h h G G Então a transformada inversa de Laplace da Equação 511 é obtida como cos sen tg C s c t e t t e t t 1 1 1 1 1 0 sen para t d d t d 1 2 2 1 2 n n g g g g g g g c c h h m m 6 512 A partir da Equação 512 podese ver que a frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida do sistema d e assim varia de acordo com o coeficiente de amortecimento ζ O sinal de erro para esse sistema é a diferença entre a entrada e a saída e é cos sen e t r t c t e t t t 1 0 para t d d 2 n g g g c h h h m Esse sinal de erro apresenta uma oscilação senoidal amortecida Em regime permanente ou em t não existe erro entre a entrada e a saída Se o coeficiente de amortecimento ζ for igual a zero a resposta não será amortecida e as oscilações continuarão indefinidamente A resposta ct no caso de o amortecimento ser nulo pode ser obtida substituindo ζ 0 na Equação 512 o que resulta em ct 1 cos nt para t 0 513 Assim a partir da Equação 513 vemos que n representa a frequência natural do sistema sem amortecimento Isto é n é a frequência em que a resposta do sistema poderá oscilar se o amortecimento for reduzido a zero Se o sistema linear tiver algum amortecimento a frequência natural não amortecida do sistema não poderá ser observada experimentalmente A frequência que pode ser observada é a frequência natural amortecida d que é igual a n 1 g2 que é sempre menor que a frequência natural não amortecida Um aumento em ζ poderia reduzir a frequência natural amortecida d Se ζ for aumentado acima da unidade a resposta se tornará superamortecida e não oscilará 2 Sistema criticamente amortecido ζ 1 se os dois polos de CsRs forem iguais o sistema será dito criticamente amortecido Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s e Cs podem ser escritas como C s s s n n 2 2 h h 514 A transformada inversa de Laplace da Equação 514 pode ser determinada como ct 1 ent1 nt para t 0 515 Esse resultado pode também ser obtido fazendose ζ se aproximar da unidade na Equação 512 e utilizando o seguinte limite lim sen lim sen t t t 1 1 1 d n n 1 2 1 2 2 g g g g g 3 Sistema superamortecido ζ 1 nesse caso os dois polos de CsRs são reais negativos e desiguais Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s e Cs podem ser escritas como 152 Engenharia de controle moderno C s s s s 1 1 n n n n n 2 2 2 g g g g h h h 516 A transformada inversa de Laplace da Equação 516 é c t e e s e s e t 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 para t t n s t s t 2 2 1 2 2 1 2 1 2 n n 2 2 1 2 g g g g g g g g g g g c h h h m h h 517 onde s1 ζ 1 2 g n e s2 ζ 1 2 g n Assim a resposta ct inclui dois termos exponenciais decrescentes Quando ζ for de modo considerável maior que a unidade uma das duas exponenciais decrescentes decai mais rápido que a outra e assim o termo que decai mais rápido o que cor responde à menor constante de tempo pode ser desprezado Ou seja se s2 estiver situado muito mais próximo do eixo j que s1 que significa s2 s1 então para uma solução aproximada poderemos desprezar s1 Isso é permitido porque o efeito de s1 na resposta é muito menor que o de s2 já que o termo que contém s1 na Equação 517 decresce muito mais rapidamente que o termo que contém s2 Uma vez que o termo exponencial que decresce mais rapidamente tenha desaparecido a resposta será análoga à de um sistema de primeira ordem e CsRs poderá ser aproximada para R s C s s s s s 1 1 n n n n 2 2 2 2 g g g g h h Esse modo de aproximação é uma consequência direta do fato de que os valores iniciais e finais tanto de CsRs original como da aproximação são coincidentes Com a função de transferência de CsRs aproximada a resposta ao degrau unitário pode ser obtida como C s s 1 s 1 n n n n 2 2 g g g g h h A resposta no tempo ct é então igual a 1 0 c t e para t t 1 n 2 g g h h Isso fornece uma resposta aproximada ao degrau unitário quando um dos polos de CsRs puder ser desprezado A Figura 57 mostra uma família de curvas ct como resposta ao degrau unitário para diversos valores de ζ onde a abscissa é a variável adimensional nt As curvas são funções somente de ζ Essas curvas são obtidas a partir das equações 512 515 e 517 O sistema descrito por essas equações inicialmente estava em repouso Note que dois sistemas de segunda ordem que tenham o mesmo valor de ζ mas valores de n diferentes apresentam o mesmo sobressinal e o mesmo padrão oscilatório Dizse que esses sistemas têm a mesma estabilidade relativa A partir da Figura 57 vemos que um sistema subamortecido com ζ que varia entre 05 e 08 se aproxima mais rapidamente do valor final do que um sistema criticamente amortecido ou supe ramortecido Entre os sistemas que apresentam resposta sem oscilação um sistema criticamente amortecido é o que fornece a resposta mais rápida A resposta de um sistema superamortecido é sempre mais lenta qualquer que seja o sinal de entrada É importante notar que para sistemas de segunda ordem cujas funções de transferência de malha fechada sejam diferentes da que foi apresentada pela Equação 510 as curvas de resposta ao degrau podem parecer completamente diferentes das mostradas na Figura 57 153 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Definição das especificações da resposta transitória Com frequência as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos de resposta transitória a uma entrada em degrau unitário já que se trata de entrada suficientemente brusca e gerada com facilidade Quando a resposta a uma entrada em degrau é conhecida é possível calcular matematicamente a resposta a qualquer tipo de sinal de entrada A resposta transitória de um sistema a uma entrada em degrau unitário depende das condições iniciais Por conveniência na comparação entre as respostas transitórias de vários sistemas é uma prática comum utilizar uma condição inicial padrão que é a do sistema inicialmente em repouso com o valor da variável de saída e todas as suas derivadas em função do tempo iguais a zero Assim as características de resposta dos vários sistemas poderão ser facilmente comparadas Na prática antes de atingir o regime permanente a resposta transitória de um sistema de controle apresenta frequentemente oscilações amortecidas Na especificação das características das respostas transitórias de um sistema de controle a uma entrada em degrau unitário é comum especificar o seguinte 1 Tempo de atraso td 2 Tempo de subida tr 3 Tempo de pico tp 4 Máximo sobressinal ou apenas sobressinal Mp 5 Tempo de acomodação ts Essas especificações são definidas a seguir e são mostradas graficamente na Figura 58 1 Tempo de atraso td tratase do tempo requerido para que a resposta alcance metade de seu valor final pela primeira vez 2 Tempo de subida tr é o tempo requerido para que a resposta passe de 10 a 90 ou de 5 a 95 ou de 0 a 100 do valor final Para sistemas de segunda ordem subamor tecidos o tempo de subida de 0 a 100 é o normalmente utilizado Para os sistemas superamortecidos o tempo de subida de 10 a 90 é o mais comumente utilizado 3 Tempo de pico tp é o tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobressinal 4 Máximo sobressinal em porcentagem Mp é o valor máximo de pico da curva de resposta medido a partir da unidade Se o valor final da resposta em regime permanente diferir da unidade então é comum utilizar porcentagem máxima de sobressinal definida por Porcentagem máxima de sobressinal 100 c c t c p 3 3 h h h FIGURA 57 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 08 nt ct ζ 0 01 02 03 04 05 06 07 10 20 Curva de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 56 154 Engenharia de controle moderno O valor máximo em porcentagem do sobressinal indica diretamente a estabilidade relativa do sistema 5 Tempo de acomodação ts é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores em uma faixa geralmente de 2 ou 5 em torno do valor final aí permane cendo indefinidamente O tempo de acomodação está relacionado à maior constante de tempo do sistema de controle Podese determinar qual porcentagem deve ser utilizada no critério de erro a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão As especificações no domínio de tempo dadas anteriormente são muito importantes porque a maioria dos sistemas de controle é sistema no domínio de tempo isto é devem fornecer respostas temporais aceitáveis Isso quer dizer que o sistema de controle deve ser modificado até que a resposta transitória seja satisfatória Observe que nem todas essas especificações se aplicam necessariamente a todos os casos dados Por exemplo para um sistema superamortecido os termos tempo de pico e máximo sobres sinal não se aplicam No caso dos sistemas que resultam em erros estacionários para entradas em degrau esse erro deve ser conservado em um nível de porcentagem específico Discussões detalhadas sobre erros estacionários serão apresentadas posteriormente na Seção 58 Alguns comentários sobre as especificações da resposta transitória Exceto para certas apli cações nas quais as oscilações não podem ser toleradas é desejável que a resposta transitória seja suficientemente rápida e amortecida Assim para uma resposta transitória desejável de um sistema de segunda ordem o coeficiente de amortecimento deve se situar entre 04 e 08 Valores pequenos de ζ ou seja ζ 04 resultam em excessivo sobressinal na resposta transitória e um sistema com um grande valor de ζ ou seja ζ 08 responde lentamente Veremos adiante que o máximo sobressinal e o tempo de subida são conflitantes entre si Em outras palavras tanto o máximo sobressinal como o tempo de subida não podem ser diminuídos simultaneamente Se um deles diminui o outro necessariamente se torna maior Sistemas de segunda ordem e especificações da resposta transitória A seguir obteremos o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação do sistema de segunda ordem dado pela Equação 510 Esses valores serão obtidos em termos de ζ e n Supõese que o sistema seja subamortecido Tempo de subida tr referente à Equação 512 obtemos o tempo de subida tr com ctr 1 1 1 cos sen c t e t t 1 r t d r d r 2 n r g g g c h m 518 Como eζntr 1 obtemos a partir da Equação 518 a seguinte equação FIGURA 58 ct 05 1 0 Tolerância aceitável Mp td t 005 ou 002 tr tp ts Curva de resposta em degrau unitário que mostra td tr tp Mp e ts 155 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário 0 cos sen t t 1 d r d r 2 g g Como n 1 g2 d e ζn v temos tg t 1 d r d 2 g g v Assim o tempo de subida tr é tg t 1 r d d d 1 v r b c m 519 onde o ângulo β é definido na Figura 59 Evidentemente para um menor valor de tr d deve ser maior Tempo de pico tp com o auxílio da Equação 512 podemos obter o tempo de pico diferenciando ct em relação ao tempo e igualando essa derivada a zero Como cos sen sen cos dt dc e t t e t t 1 1 n t d d t d d d d 2 2 n n g g g g g g g c e m o e os termos em cosseno nessa última equação cancelamse mutuamente dcdt calculada em t tp pode ser simplificada para 0 sen dt dc t e 1 t t d p n t 2 p n p g g h Dessa última equação resulta a seguinte expressão sen d tp 0 ou dtp 0 π 2π 3π Como o tempo de pico corresponde ao primeiro pico do sobressinal d tp π Então tp d r 520 O tempo de pico tp corresponde a meio ciclo da frequência de oscilação amortecida Máximo sobressinal Mp o máximo sobressinal ocorre no tempo de pico ou em t tp πd Ao supor que o valor final da saída seja unitário Mp é obtido a partir da Equação 512 como cos sen M c t e e e 1 1 p p 2 1 n d d 2 r g g r g r v r g g r c h m h h h 521 A porcentagem máxima de sobressinal é evdπ 100 FIGURA 59 j jd n v β ζn v n 1 ζ2 0 Definição do ângulo β 156 Engenharia de controle moderno Se o valor final c da saída não for unitário então será necessário utilizar a seguinte equação M c c t c p p 3 3 h h h Tempo de acomodação ts para um sistema subamortecido de segunda ordem a resposta transitória é obtida a partir da Equação 512 como 1 0 sen tg c t e t t 1 1 para t d 2 1 2 n g g g g c h m As curvas 1 eζnt 1 g2 são as curvas envoltórias da resposta transitória à entrada em degrau unitário A curvaresposta ct permanece sempre dentro de um par de curvas envoltórias como mostra a Figura 510 A constante de tempo dessas curvas envoltórias é 1ζn A velocidade de decaimento da resposta transitória depende do valor da constante de tempo 1ζn Para dado valor de n o tempo de acomodação ts é uma função do coeficiente de amor tecimento ζ A partir da Figura 57 vemos que para o mesmo n e para uma faixa de valores de ζ entre 0 e 1 o tempo de acomodação ts para um sistema ligeiramente amortecido é maior que para um sistema adequadamente amortecido Para um sistema superamortecido o tempo de acomodação ts se torna grande porque a resposta é lenta O tempo de acomodação correspondente à faixa de tolerância 2 ou 5 pode ser medido em termos da constante de tempo T 1ζn a partir das curvas da Figura 57 para valores dife rentes de ζ O resultado é mostrado na Figura 511 Para 0 ζ 09 se for utilizado o critério de 2 ts será aproximadamente quatro vezes a constante de tempo do sistema Se for usado o critério de 5 então ts será aproximadamente três vezes a constante de tempo Note que o tempo de acomodação atinge um valor mínimo em torno de ζ 076 para o critério de 2 ou ζ 068 para o critério de 5 e então aumenta quase linearmente para valores grandes de ζ A descontinuidade nas curvas da Figura 511 surge porque uma variação infinitesimal do valor de ζ pode causar uma variação finita no tempo de acomodação Por conveniência na comparação das respostas dos sistemas definimos comumente o tempo de acomodação ts como 4 t T 4 4 s n v g critério de 2 522 ou FIGURA 510 1 ct 1 1 1 ζ2 1 eζnt 1 ζ2 T 1 ζn 1 eζnt 1 ζ2 0 1 1 1 ζ2 3T 4T t T 2T Par de curvas envoltórias para a curva de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 56 157 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário 3 t T 3 3 s n v g critério de 5 523 Note que o tempo de acomodação é inversamente proporcional ao produto do coeficiente de amortecimento pela frequência natural do sistema não amortecido Como o valor de ζ é em geral determinado a partir da especificação do sobressinal máximo aceitável o tempo de acomodação é determinado principalmente pela frequência natural não amortecida n Isso significa que a duração do período transitório pode variar sem alteração do máximo sobressinal pelo ajuste da frequência natural não amortecida n A partir da análise anterior é evidente que para uma resposta rápida n deve ser grande Para limitar o máximo sobressinal Mp e fazer que o tempo de acomodação seja pequeno o coeficiente de amortecimento ζ não deve ser muito pequeno A relação entre a porcentagem do máximo sobressinal e o coeficiente de amortecimento Mp é apresentada na Figura 512 Note que se o coeficiente de amortecimento estiver situado entre 04 e 07 então a porcentagem do máximo sobressinal para a resposta ao degrau estará entre 25 e 4 É importante notar que as equações para a obtenção do tempo de subida tempo de pico máxi mo sobressinal e tempo de acomodação são válidas somente para o sistemapadrão de segunda ordem definido pela Equação 510 Se o sistema de segunda ordem contiver um zero ou dois zeros a forma da curva de resposta ao degrau unitário será muito diferente daquela mostrada na Figura 57 FIGURA 511 2T 3T 4T T 5T 6T 03 04 05 06 07 08 09 10 ζ Tempo de acomodação ts Faixa de tolerância de 2 Faixa de tolerância de 5 Curva de tempo de acomodação ts versus curvas ζ 158 Engenharia de controle moderno Exemplo 51 Considere o sistema mostrado na Figura 56 onde ζ 06 e n 5 rads Obteremos o tempo de subida tr o tempo de pico tp o máximo sobressinal Mp e o tempo de acomodação ts quando o sistema for submetido a uma entrada em degrau unitário A partir dos valores de ζ e n obtemos d n 1 g2 4 e v ζn 3 Tempo de subida tr o tempo de subida é t 4 3 14 r d r b b onde β é dado por 093 tg tg rad 3 4 d 1 1 b v O tempo de subida tr é então igual a 055 t 4 3 14 0 93 s r Tempo de pico tp o tempo de pico é 0785 t 4 3 14 s p d r Máximo sobressinal Mp o máximo sobressinal é Mp evd π e34314 0095 O máximo sobressinal em porcentagem é então 95 Tempo de acomodação ts para o critério de 2 o tempo de acomodação é 133 s t 4 3 4 s v Para o critério de 5 1 t 3 3 3 s s v Servossistema com realimentação de velocidade A derivada do sinal de saída pode ser utilizada para melhorar o desempenho do sistema Na obtenção da derivada do sinal de saída de posição é desejável utilizar um tacômetro em vez de diferenciar fisicamente o sinal de saída Note que a derivação amplifica os efeitos do ruído De fato se houver ruídos descontinuados a derivação amplificará mais o ruído descontinuado do que o sinal útil Por exemplo o sinal de FIGURA 512 ζ 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 05 10 15 Mp Mp Máximo sobressinal Cs Rs ωn s2 2ζωns ωn 2 2 Curva de Mp versus ζ 159 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário saída de um potenciômetro é um sinal de tensão descontínuo porque com o cursor em movi mento sobre as espirais do enrolamento são induzidas tensões por ocasião da comutação entre espirais gerando assim transitórios Portanto a saída do potenciômetro não pode ser seguida por um elemento diferenciador O tacômetro um gerador cc especial é frequentemente utilizado para medir a velocidade sem o processo de derivação O sinal de saída de um tacômetro é proporcional à velocidade angular do motor Considere o servossistema mostrado na Figura 513a Nesse dispositivo o sinal de veloci dade com o sinal de posição é realimentado como sinal de entrada produzindo o sinal de erro atuante Em qualquer servossistema esse sinal de velocidade pode ser gerado facilmente por um tacômetro A Figura 513a mostra o diagrama de blocos que pode ser simplificado como se pode ver na Figura 513b resultando em R s C s Js B KK s K K h 2 h h h 524 Comparandose as equações 524 e 59 notamos que a realimentação de velocidade tem como efeito aumentar o amortecimento O coeficiente de amortecimento ζ tornase KJ B KK 2 h g 525 A frequência natural não amortecida n K J não é afetada pela realimentação de velocida de Observando que o máximo sobressinal da resposta a uma entrada em degrau unitário pode ser controlado pelo coeficiente de amortecimento ζ podemos reduzir esse máximo sobressinal ajustando o valor da constante de realimentação de velocidade Kh a fim de fazer que ζ fique situado entre 04 e 07 Lembrese de que a realimentação de velocidade tem o efeito de aumentar o coeficiente de amortecimento sem afetar a frequência natural não amortecida do sistema FIGURA 513 Rs Cs a 1 s K Js B Kh Rs Cs b K sJs B KKh a Diagrama de blocos de um servossistema b diagrama de blocos simplificado 160 Engenharia de controle moderno Exemplo 52 Para o sistema da Figura 513a determine os valores de ganho K e a constante de realimentação de velocidade Kh de modo que o máximo sobressinal da resposta ao degrau unitário seja 02 e o tempo de pico seja 1 s Com esses valores de K e Kh obtenha o tempo de subida e o tempo de acomodação Suponha que J 1 kgm2 e B 1 Nmrads Determinação dos valores de K e Kh o máximo sobressinal Mp é dado pela Equação 521 como Mp e 1 2 g g r h Esse valor deve ser 02 Assim e 1 2 g g r h 02 ou 161 1 g2 gr que resulta em ζ 0456 O tempo de pico tp é especificado como 1 s portanto a partir da Equação 520 1 tp d r ou d 314 Como ζ é 0456 n é igual a 353 1 n d 2 g Como a frequência natural n é igual a K J K J2 n 2 n 125 Nm Então a partir da Equação 525 Kh é 0178 K K KJ K K 2 2 1 s h g b g Tempo de subida tr a partir da Equação 519 o tempo de subida tr é tr d r b onde 195 110 tg tg d 1 1 b v Portanto tr é tr 065 s Tempo de acomodação ts para o critério de 2 248 t 4 s s v Para o critério de 5 186 t 3 s s v Resposta ao impulso dos sistemas de segunda ordem Para um impulso unitário de entrada rt a transformada de Laplace correspondente é unitária ou seja Rs 1 A resposta ao impulso unitário Cs do sistema de segunda ordem mostrado na Figura 56 é igual a 161 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário C s s s 2 n n n 2 2 2 g h A transformada inversa de Laplace dessa equação fornece a solução para a resposta no tempo ct como segue Para 0 z 1 0 c t e t t 1 1 sen para n t n 2 2 n g g g h 526 Para z 1 ct 2 ntent para t 0 527 Para z 1 0 c t e e t 2 1 2 1 para n t n t 2 1 2 1 n n 2 2 g g g g g g h h h 528 Note que sem necessidade de recorrer à transformada inversa de Laplace de Cs podemos também obter a resposta no tempo ct derivando a resposta ao degrau unitário correspondente já que a função impulso unitário é a derivada da função degrau unitário Uma família de cur vas de resposta ao impulso unitário dada pelas equações 526 e 527 para vários valores de ζ é mostrada na Figura 514 As curvas ctn estão representadas no gráfico em função da variável adimensional nt e portanto são funções somente de ζ Para os casos de amortecimento crítico e superamortecimento a resposta ao impulso unitário é sempre positiva ou nula isto é ct 0 Isso pode ser visto a partir das equações 527 e 528 Para o caso de subamortecimento a resposta ao impulso unitário ct oscila em torno de zero e assume valores tanto positivos como negativos A partir da análise anterior podemos concluir que se a resposta ct ao impulso não muda de sinal o sistema deve ser criticamente amortecido ou superamortecido caso em que a resposta correspondente a um degrau não possui sobressinal mas aumenta ou diminui monotonicamente aproximandose de um valor constante O máximo sobressinal para a resposta ao impulso unitário do sistema subamortecido ocorre em 0 1 tg t 1 1 onde n 2 1 2 1 1 g g g g 529 A Equação 529 pode ser obtida igualando dcdt a zero e determinando t O máximo sobressinal é 0 1 exp tg c t 1 1 onde n 2 1 2 máx 1 1 g g g g g e h o 530 FIGURA 514 10 08 06 04 02 0 02 04 06 08 10 0 2 4 6 8 10 12 nt ct n ζ 01 ζ 03 ζ 05 ζ 07 ζ 10 Curvas de resposta ao impulso unitário do sistema mostrado na Figura 56 162 Engenharia de controle moderno A Equação 530 pode ser obtida substituindo a Equação 529 na Equação 526 Como a função de resposta ao impulso unitário é a derivada em relação ao tempo da função de resposta ao degrau unitário o máximo sobressinal Mp para a resposta ao degrau unitário pode ser determinado a partir da resposta ao impulso unitário correspondente Ou seja a área sob a curva de resposta ao impulso unitário a partir de t 0 até o instante do primeiro zero como mostra a Figura 515 é 1 Mp onde Mp é o máximo sobressinal da resposta ao degrau unitário dado pela Equação 521 O tempo de pico tp da resposta ao degrau unitário dado pela Equação 520 corresponde ao tempo necessário para que a resposta ao impulso unitário cruze pela primeira vez o eixo do tempo 54 Sistemas de ordem superior Nesta seção apresentaremos uma análise da resposta transitória de sistemas de ordem superior em termos gerais Veremos que a resposta dos sistemas de ordem superior é a soma das respostas de sistemas de primeira e de segunda ordem Resposta transitória de sistemas de ordem superior Considere o sistema mostrado na Figura 516 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h 531 Em geral Gs e Hs são dadas como relação de polinômios em s ou G s q s p s H s d s n s e h h h h h h onde ps qs ns e ds são polinômios em s A função de transferência de malha fechada dada pela Equação 531 pode então ser escrita como R s C s q s d s p s n s p s d s a s a s a s a b s b s b s b m n n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g h h h h h h h h h FIGURA 515 ct 0 Resposta ao impulso unitário 1 Mp tp t Curva de resposta ao impulso unitário do sistema mostrado na Figura 56 FIGURA 516 Rs Cs Gs Hs Sistema de controle 163 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A resposta transitória desse sistema para dado sinal de entrada pode ser obtida por uma simula ção de computador Veja a Seção 55 Se uma expressão analítica para a resposta transitória for desejada então é necessário fatorar o polinômio do denominador O MATLAB pode ser utilizado para encontrar as raízes do polinômio do denominador Utilize o comando rootsden Uma vez que o numerador e o denominador tenham sido fatorados CsRs pode ser escrita como a seguir R s C s s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h h h 532 Examinaremos o comportamento da resposta desse sistema para uma entrada em degrau unitário Considere primeiro o caso em que os polos de malha fechada são todos reais e distintos Para uma entrada em degrau unitário a Equação 532 pode ser escrita como C s s a s p a i i i n 1 h 533 onde ai é o resíduo do polo em s pi Se o sistema contém polos múltiplos então Cs terá termos multipolares A expansão em frações parciais de Cs dada pela Equação 533 pode ser obtida facilmente com o MATLAB Utilize o comando residue Consulte o Apêndice B Se todos os polos de malha fechada se situarem no semiplano esquerdo do plano s os valores dos resíduos determinarão a importância relativa dos componentes na forma expandida de Cs Se existir um zero de malha fechada próximo a um polo de malha fechada então o resíduo nesse polo será pequeno e o do termo correspondente da resposta transitória para esse polo se tornará pequeno Um par de polos e zeros próximos vai se cancelar mutuamente Se um polo estiver localizado muito longe da origem o resíduo nesse polo poderá ser pequeno Os transitórios corres pondentes a esse polo remoto são pequenos e de curta duração Os termos na forma expandida de Cs que tenham resíduos muito pequenos contribuem pouco para a resposta transitória e podem ser desprezados Nesse caso o sistema de ordem superior pode se aproximar de um de maior ordem Essa aproximação frequentemente nos possibilita avaliar as características da resposta de um sistema de ordem superior a partir de um sistema mais simplificado A seguir considere o caso em que os polos de Cs sejam constituídos pelos polos reais e de pares de polos complexos conjugados Um par de polos complexos conjugados resulta em um termo de segunda ordem em s Como a forma fatorada da equação característica de ordem ele vada consiste em termos de primeira e segunda ordens a Equação 533 pode ser reescrita como C s s a s p a s s b s c q r n 2 1 2 i j j q k k k k k k k k k k r 1 2 2 2 1 g g g h h h onde supomos que todos os polos de malha fechada sejam distintos Se entre os polos de malha fechada existirem polos múltiplos Cs deverá ter termos multipolares A partir dessa última equação vemos que a resposta de um sistema de ordem superior é composta por uma série de termos que contêm funções simples encontradas em respostas dos sistemas de primeira e segunda ordens A transformada inversa de Laplace ct da resposta ao degrau unitário Cs é então igual a cos sen c t a a e b e t c e t t 1 1 0 para j p t j q k t k r k k k t k r k k 1 1 2 1 2 j k k k k g g g g h 534 Assim a curva de resposta de um sistema estável de ordem superior é a soma de uma série de curvas exponenciais e curvas senoidais amortecidas Se todos os polos de malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s então os termos exponenciais e os termos exponenciais amortecidos da Equação 534 tenderão a zero à medida que t aumentar A saída em regime permanente é então c a 164 Engenharia de controle moderno Vamos supor que o sistema considerado seja estável Então os polos de malha fechada que estiverem situados distantes do eixo j terão grandes partes reais negativas Os termos expo nenciais que correspondem a esses polos decrescem rapidamente tendendo a zero Note que a distância horizontal a partir de um polo de malha fechada até o eixo j determina o tempo de acomodação dos componentes transitórios daquele polo Quanto menor a distância maior é o tempo de acomodação Devemos lembrar que o tipo de resposta transitória é determinado pelos polos de malha fechada enquanto a forma da resposta transitória é determinada principalmente pelos zeros de malha fechada Como vimos anteriormente os polos da entrada Rs resultam em termos da resposta de regime permanente na solução enquanto os polos de CsRs introduzem os termos da resposta transitória exponencial eou os termos da resposta transitória senoidal amortecida Os zeros de CsRs não afetam os expoentes dos termos exponenciais mas afetam os valores e os sinais dos resíduos Polos dominantes em malha fechada O domínio relativo dos polos de malha fechada é determinado pela relação das partes reais dos polos de malha fechada bem como pelo valor dos resíduos calculados nos polos As magnitudes dos resíduos dependem tanto dos polos como dos zeros de malha fechada Se as relações das partes reais forem maiores que 5 e não houver zeros nas proximidades então os polos de malha fechada mais próximos do eixo j serão dominantes no comportamento da resposta transitória porque correspondem aos termos da resposta transitória que decrescem lentamente Os polos que têm efeitos dominantes no comportamento da resposta transitória são chamados polos dominantes de malha fechada Muito frequentemente os polos dominantes apresentamse sob a forma de um par complexo conjugado Os polos dominantes de malha fechada são os de maior importância entre todos os polos de malha fechada Note que o ganho de um sistema de ordem superior é frequentemente ajustado para ter um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada A presença desses polos em um sistema estável reduz o efeito de certas não linearidades como zona morta folga e atrito de Coulomb Análise de estabilidade no plano complexo A estabilidade de um sistema linear de malha fechada pode ser determinada a partir da localização dos polos de malha fechada no plano s Se qualquer um desses polos estiver no semiplano direito do plano s então com o decorrer do tempo eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitória aumentará monotonica mente ou oscilará com amplitude crescente Isso representa um sistema instável Assim que for ligada a saída desse sistema poderá aumentar com o tempo Se não for alcançado um ponto de saturação do sistema ou se não houver um fim de curso mecânico então o sistema poderá estar sujeito a danos e apresentar falhas já que a resposta de um sistema físico real não pode aumentar indefinidamente Por isso nos usuais sistemas lineares de controle não são permitidos polos de malha fechada no semiplano direito do plano s Se todos os polos de malha fechada se situarem à esquerda do eixo j qualquer resposta transitória poderá alcançar o equilíbrio Isso caracteriza um sistema estável A estabilidade ou a instabilidade de um sistema linear é propriedade do próprio sistema e não depende da entrada ou da função de excitação do sistema Os polos da entrada ou da função de excitação não afetam a estabilidade do sistema mas contribuem somente para os termos da resposta de regime permanente na solução Assim o problema da estabilidade absoluta pode ser resolvido prontamente pela escolha dos polos de malha fechada no semiplano direito do plano s incluindo o eixo j Matematicamente os polos de malha fechada no eixo j resultarão em oscilações cuja amplitude não vai decrescer nem aumentar com o tempo Nos casos práticos em que existem ruídos entretanto a amplitude das oscilações pode aumentar a uma taxa deter minada pelo nível de potência do ruído Portanto um sistema de controle não deve ter polos de malha fechada no eixo j 165 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Observe que o simples fato de que todos os polos de malha fechada estejam situados no semiplano esquerdo do plano s não garante que as características da reposta transitória sejam satisfatórias Se os polos complexos conjugados dominantes de malha fechada estiverem situados próximos ao eixo j a resposta transitória poderá apresentar oscilações excessivas ou poderá ser muito lenta Dessa maneira para garantir que as características da resposta transitória sejam rápidas mas também suficientemente amortecidas é necessário que os polos de malha fechada do sistema se situem em uma região conveniente do plano complexo tal como a região delimitada pela área sombreada na Figura 517 Como a estabilidade relativa e o desempenho da resposta transitória de um sistema de con trole de malha fechada estão diretamente relacionados à configuração de polos e zeros de malha fechada no plano s frequentemente é necessário ajustar um ou mais parâmetros do sistema a fim de obter configurações satisfatórias Os efeitos da variação dos parâmetros do sistema nos polos de malha fechada serão discutidos com detalhes no Capítulo 6 55 Análise da resposta transitória com o MATLAB Introdução O processo prático para a representação gráfica das curvas de resposta em função do tempo dos sistemas de ordem maior que 2 é feito por meio de simulação por computador Nesta seção apresentaremos a abordagem computacional para a análise da resposta transitória com o MATLAB Em particular discutiremos resposta ao degrau resposta ao impulso resposta à rampa e resposta a outras entradas simples Representação de sistemas lineares com o MATLAB A função de transferência de um sistema é representada por dois vetores de números Considere o sistema R s C s s s s 4 25 2 25 2 h h 535 Esse sistema pode ser representado por dois vetoreslinha cada um com os coeficientes dos polinômios com potências de s decrescentes como segue num 2 25 den 1 4 25 Uma alternativa de representação é num 0 2 25 den 1 4 25 FIGURA 517 0 v v j Nesta região ζ 04 v 4 ts Região no plano complexo que satisfaz as condições ζ 04 e ts 4v 166 Engenharia de controle moderno Nessa expressão foi acrescentado um zero Note que se forem convenientemente completadas com zeros as dimensões dos vetores num e den tornamse as mesmas Uma vantagem de acrescentar zeros é que os vetores num e den podem ser somados diretamente Por exemplo num dem 0 2 25 1 4 25 1 6 50 Se num e den o numerador e o denominador da função de transferência de malha fechada forem conhecidos comandos como stepnumden stepnumdent gerarão as curvas das respostas ao degrau unitário O parâmetro t no comando step é o tempo especificado pelo usuário Para um sistema de controle definido em uma forma de espaço de estados onde a matriz de estado A a matriz de controle B a matriz de saída C e a matriz de transmissão direta D das equações de espaço de estados são conhecidas o comando stepABCD stepABCDt gerará as curvas de respostas ao degrau unitário O vetor tempo é determinado de maneira auto mática quando t não for explicitamente incluído nos comandos step Note que o comando stepsys pode ser utilizado para obter a resposta ao degrau unitário de um sistema Primeiro defina o sistema como sys tfnumden ou sys ssABCD Então para obter por exemplo a resposta ao degrau unitário forneça o comando stepsys ao computador Quando os comandos do degrau têm argumentos do lado esquerdo como yxt stepnum dent yxt stepABCDiu yxt stepABCDiu 536 nenhum gráfico é apresentado na tela Então é necessário utilizar um comando plot para ver as curvas de resposta As matrizes y e x contêm os valores de saída e de estado do sistema respecti vamente calculados nos pontos computacionais do tempo t y tem tantas colunas quantas forem as saídas e uma linha para cada elemento em t x tem tantas colunas quantos forem os estados e uma linha para cada elemento em t Note que na Equação 536 o escalar iu é um índice nas entradas do sistema e especifica qual entrada é utilizada para a resposta e t é o tempo especificado pelo usuário Se o sistema tiver múltiplas entradas e múltiplas saídas o comando step tal como é dado pela Equação 536 forne cerá uma série de gráficos de resposta ao degrau um para cada combinação de entrada e saída de ẋ Ax Bu y Cx Du Para mais detalhes veja o Exemplo 53 Exemplo 53 Considere o seguinte sistema x x x x u u y y x x u u 1 6 5 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Obtenha as curvas de resposta ao degrau unitário 167 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Embora não seja necessário conhecer a expressão da matriz de transferência do sistema para obter as curvas de resposta ao degrau unitário com o MATLAB deduziremos essa expressão para referência Sendo o sistema definido como ẋ Ax Bu y Cx Du a matriz de transferência Gs é a matriz que relaciona Ys e Us como segue Ys GsUs Transformando por Laplace as equações de espaço de estados obtemos sXs x0 AXs BUs 537 Ys CXs DUs 538 Na dedução da matriz de transferência supomos que x0 0 Então a partir da Equação 537 obtemos Xs sI A 1BUs 539 Substituindo a Equação 539 na Equação 538 temos Ys CsI A 1B D Us Assim a matriz de transferência Gs é dada por Gs CsI A 1B D A matriz de transferência Gs para o sistema dado resulta em s s s s s s s s s s s s s 1 0 0 1 1 6 5 1 1 1 1 0 6 5 1 6 5 1 1 1 1 1 0 6 5 1 1 7 5 6 5 G C I A B 1 1 2 2 h h G G G G G G Portanto Y s Y s s s s s s s s s s s s U s U s 6 5 1 6 5 7 5 6 5 6 5 6 5 1 2 2 2 2 2 1 2 h h h h R T S S S SS V X W W W WW G G Como esse sistema contém duas entradas e duas saídas podemos definir quatro funções de transferência dependendo de quais sinais forem considerados entrada e saída Note que quando consideramos o sinal u1 como entrada supomos que o sinal u2 seja zero e viceversa As quatro funções de transferência são U s Y s s s s U s Y s s s s U s Y s s s s U s Y s s s 6 5 1 6 5 6 5 7 5 6 5 6 5 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 h h h h h h h h Considere que u1 e u2 são funções de degrau unitário As quatro curvas individuais de resposta ao degrau podem ser representadas com a utilização do comando stepABCD 168 Engenharia de controle moderno O Programa 51 em MATLAB produz essas quatro curvas de resposta ao degrau As curvas são mostradas na Figura 518 Note que o vetor de tempo t é automaticamente determinado uma vez que o comando não inclui t Programa 51 em MATLAB A 1 165 0 B 1 11 0 C 1 00 1 D 0 00 0 stepABCD Para traçar duas curvas de resposta ao degrau para a entrada u1 em um diagrama e duas cur vas de resposta ao degrau para a entrada u2 em outro diagrama podemos utilizar os comandos stepABCD1 e stepABCD2 respectivamente O Programa 52 em Matlab é um programa para traçar duas curvas de resposta ao degrau para a entrada u1 em um diagrama e duas curvas de resposta ao degrau para a entrada u2 em outro diagrama A Figura 519 mostra os dois diagramas cada um constituído por duas curvas de resposta ao degrau Esse programa Matlab usa comandos de texto Para tais comandos consulte o parágrafo seguinte a este exemplo FIGURA 518 Para Y2 15 2 1 05 0 0 4 8 12 Tempo s 15 2 1 05 0 0 4 8 12 Para Y1 04 06 02 02 0 0 04 04 06 02 02 04 0 4 8 12 0 4 8 12 De U1 De U2 Resposta ao degrau Amplitude Curvas de resposta ao degrau unitário 169 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 52 em MATLAB Neste programa desenharemos curvas de resposta em degrau para um sistema com duas entradas u1 e u2 e duas saídas y1 e y2 Primeiro desenharemos as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u1 Em seguida desenharemos as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u2 Entram as matrizes A B C e D A 1 165 0 B 1 11 0 C 1 00 1 D 0 00 0 Para desenhar as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u1 dê o comando stepABCD1 stepABCD1 grid title Gráficos de Resposta ao Degrau Unitário Entrada u1 u2 0 text34 006Y1 text34 14Y2 Em seguida desenharemos as curvas de resposta em degrau quando a entrada for u2 Dê o comando stepABCD2 stepABCD2 grid title Gráficos de Resposta ao Degrau Entrada u2 u1 0 text3014Y1 text2811Y2 FIGURA 519 Gráfico de resposta do degrau entrada u2 u1 0 Tempo s Amplitude 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 12 08 04 0 02 14 1 06 02 Y2 Y1 b Gráfico de resposta do degrau entrada u1 u2 0 2 15 1 05 0 05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tempo s Amplitude Y2 Y1 a Curvas de resposta ao degrau unitário a u1 é a entrada u2 0 b u2 é a entrada u1 0 170 Engenharia de controle moderno Escrevendo texto nos gráficos da tela Para escrever texto nos gráficos da tela digite por exemplo os seguintes comandos text34 006Y1 e text3414Y2 O primeiro comando informa ao computador para escrever Y1 começando nas coordenadas x 34 e y 006 Da mesma maneira o segundo comando diz ao computador para escrever Y2 começando nas coordenadas x 34 e y 14 Veja o Programa 52 em MATLAB e a Figura 519a Outro modo de escrever um texto no gráfico é utilizando o comando gtext A sintaxe é gtexttext Quando o comando gtext é executado o computador espera até o cursor ser posicionado utilizandose o mouse na posição desejada na tela Quando o botão esquerdo do mouse for pressionado o texto entre aspas será escrito no gráfico na posição onde está o cursor Podese utilizar o comando gtext em um gráfico quantas vezes forem necessárias Veja por exemplo o Programa 515 em MATLAB Descrição do sistemapadrão de segunda ordem com o MATLAB Como foi mencionado anteriormente o sistema de segunda ordem G s s s 2 n n n 2 2 2 g h 540 é chamado sistemapadrão de segunda ordem Dados n e ζ o comando printsysnumden ou printsysnumdens imprime numden como uma relação de polinômios em s Considere por exemplo o caso em que n 5 rads e ζ 04 O Programa 53 em MATLAB gera o sistemapadrão de segunda ordem onde n 5 rads e ζ 04 Note que no programa MATLAB 53 num 0 é 1 Programa 53 em MATLAB wn 5 dampingratio 04 num0den ord2wndampingratio num 52num0 printsysnumdens numden 25 S2 4s 25 Obtenção da resposta ao degrau unitário a partir da função de transferência do sis tema Consideraremos a resposta ao degrau unitário do sistema definido por G s s 4s 25 25 2 h O Programa 54 em MATLAB fornecerá o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário desse sistema O gráfico da curva de resposta ao degrau unitário é mostrado na Figura 520 171 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 54 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Digite o numerador e o denominador da função de transferência num 25 den 1 4 25 Digite o seguinte comando de resposta ao degrau stepnumden Digite os comandos para inserir a grade e o título do gráfico grid title Resposta ao Degrau Unitário de Gs 25s24s25 Note que na Figura 520 e em muitas outras as legendas dos eixos x e y são determina das automaticamente Se for desejado rotular os eixos x e y de modo diferente será necessário modificar o comando step Por exemplo se quisermos rotular o eixo x como t s e o eixo y como Saída então deveremos utilizar os comandos de resposta ao degrau com argumentos do lado esquerdo da igualdade como c stepnumdent ou mais genericamente yxt stepnumdent e usar o comando plotty Veja por exemplo o Programa 55 em MATLAB e a Figura 521 Programa 55 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 25 den 1 4 25 t 00013 yxt stepnumdent plotty grid titleResposta ao Degrau Unitário de Gs25sˆ24s25 xlabelt Sec ylabelOutput FIGURA 520 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 Tempo s Resposta ao degrau unitário de Gs 25s24s25 Amplitude Curva de resposta ao degrau unitário 172 Engenharia de controle moderno Obtenção do gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com MATLAB O MATLAB permite traçar facilmente gráficos tridimensionais Os comandos para a obtenção de um gráfico tridimensional são mesh e surf A diferença entre os gráficos mesh e surf é que no primeiro são desenhadas apenas as linhas e no segundo os espaços entre as linhas são preenchidos por cores Neste livro usamos apenas o comando mesh Exemplo 54 Considere o sistema de malha fechada definido por R s C s s 2 s 1 1 2 g h h A frequência natural não amortecida n foi normalizada para 1 Trace as curvas de resposta ao degrau unitário ct quando ζ assumir os seguintes valores ζ 0 02 04 06 08 10 Trace também um gráfico tridimensional Um programa em MATLAB ilustrativo para gerar um diagrama bidimensional e um gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário desse sistema de segunda ordem é o Programa 56 em MATLAB Os gráficos resultantes são mostrados nas figuras 522a e b respectivamente Observe que usamos o comando meshtzetay para o gráfico tridimensio nal Podemos usar um comando meshy para obter o mesmo resultado Note que o comando meshtzetay ou meshy produzirá um gráfico tridimensional igual ao da Figura 522b mas com os eixos x e y permutados Veja o Problema A515 Quando queremos resolver um problema usando o MATLAB e se o processo de solução implica muitos cálculos repetitivos várias abordagens podem ser concebidas para simplificar o programa Uma abordagem frequentemente utilizada para simplificar os cálculos é for loops O Programa 56 em MATLAB usa um for loop Neste livro muitos programas em MATLAB dife rentes que utilizam for loops são apresentados para a solução de vários problemas Aconselhase ao leitor estudar atentamente esses problemas e familiarizarse com a abordagem FIGURA 521 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 Tempo s Resposta ao degrau unitário de Gs 25s24s25 Saída Curva de resposta ao degrau unitário 173 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário FIGURA 522 Gráfico das curvas de resposta ao degrau unitário com n 1 e ζ 0 02 04 06 08 1 Resposta 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 0 Tempo s a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 0 ζ 0 02 02 04 04 06 06 08 08 10 10 Gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário 01 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 05 1 15 2 Resposta ζ t s b a Gráfico bidimensional das curvas de resposta ao degrau unitário para ζ 0 02 04 06 08 e 10 b gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário 174 Engenharia de controle moderno Programa 56 em MATLAB Gráficos bidimensional e tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário para um sistema padrão de segunda ordem com wn 1 e zeta 0 02 04 06 08 e 1 t 00210 zeta 0 02 04 06 08 1 for n 16 num 1 den 1 2zetan 1 y151nxt stepnumdent end Para gerar o diagrama bidimensional utilize o comando plotty plotty grid titleGráfico das Curvas de Resposta ao Degrau com omegan 1 and zeta 0 02 04 06 08 1 xlabelt sec ylabelResposta text41186zeta 0 text351502 text3 512404 text3510806 text3509508 text3508610 Para gerar o gráfico tridimensional utilize o comando meshtzetay meshtzetay titleGráfico Tridimensional das Curvas de Resposta ao Degrau Unitário xlabelt Sec ylabelzeta zlabelResposta Obtenção do tempo de subida tempo de pico máximo sobressinal e tempo de aco modação com o MATLAB O MATLAB pode ser convenientemente utilizado para obter o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Considere o sistema definido por R s C s s 6s 25 25 2 h h O Programa 57 em MATLAB calcula o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Uma curva de resposta para esse sistema é mostrada na Figura 523 para verificação dos resultados obtidos pelo Programa 57 em MATLAB Note que esse programa também pode ser aplicado a sistemas de ordem superior Veja o Problema A510 175 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 57 em MATLAB Este é um programa em MATLAB para determinar o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação de um sistema de segunda ordem e de um sistema de ordem superior Neste exemplo admitimos que zeta 06 e wn 5 num 25 den 1 6 25 t 000055 yxt stepnumdent r 1 while yr 10001 r r 1 end risetime r 10005 risetime 05550 ymaxtp maxy peaktime tp 10005 peaktime 07850 maxovershoot ymax1 maxovershoot 00948 s 1001 while ys 098 ys 102 s s 1 end settlingtime s 10005 settlingtime 11850 Resposta ao impulso A resposta ao impulso unitário de um sistema de controle pode ser obtida pelo uso de um dos seguintes comandos do MATLAB impulsenumden impulseABCD yxt impulsenumden yxt impulsenumdent 541 yxt impulseABCD yxt impulseABCDiu 542 yxt impulseABCDiut 543 FIGURA 523 Amplitude Tempo s Resposta ao degrau 06 04 02 08 1 12 14 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Curva de resposta ao degrau unitário 176 Engenharia de controle moderno O comando impulsenumden traça a curva de resposta ao impulso unitário na tela O comando impulseABCD produz uma série de gráficos de curvas de resposta ao impulso unitário uma para cada combinação de entrada e saída do sistema ẋ Ax Bu y Cx Du Observe que nas equações 542 e 543 o escalar iu é um índice nas entradas do sistema e espe cifica qual a entrada a ser utilizada para a resposta ao impulso Note também que se o comando usado não inclui explicitamente t o vetor tempo é deter minado automaticamente Se o comando incluir o vetor t fornecido pelo usuário como os comandos dados nas equações 541 e 543 esse vetor especifica os instantes de tempo nos quais se deseja que a resposta ao impulso seja calculada Se um comando do MATLAB for escrito com o argumento yxt do lado esquerdo da igualdade como no caso em que yxt impulseABCD esse comando retornará as saídas as respostas de estado do sistema e o vetor de tempo t Nenhum gráfico é desenhado na tela As matrizes y e x contêm os valores das saídas e das respostas de estado do sistema calcu ladas para os elementos nos pontos de tempo t y tem tantas colunas quantas forem as saídas e uma linha para cada elemento em t x tem tantas colunas quantas forem as variáveis de estado e uma linha para cada elemento em t Para traçar a curva de resposta temos de incluir um comando plot por exemplo plotty Exemplo 55 Obtenha a resposta ao impulso unitário do seguinte sistema R s C s G s s 0 2s 1 1 2 h h h O Programa 58 em MATLAB produzirá a resposta ao impulso unitário A Figura 524 mostra o gráfico resultante Programa 58 em MATLAB num 1 den 1 02 1 impulsenumden grid titleResposta ao impulso unitário de Gs 1s2 02s 1 FIGURA 524 Resposta ao impulso unitário de Gs 1s202s1 Tempo s Amplitude 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 08 02 06 08 06 04 0 02 04 Curva de resposta ao impulso unitário 177 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Método alternativo para obter resposta ao impulso Note que quando as condições iniciais são nulas a resposta ao impulso unitário de Gs é a mesma que a resposta ao degrau unitário de sGs Considere a resposta ao impulso unitário do sistema apresentado no Exemplo 55 Como Rs 1 para a entrada em impulso unitário temos R s C s C s G s s s s s s s 0 2 1 1 0 2 1 1 2 2 h h h h Assim podemos converter a resposta ao impulso unitário de Gs na resposta ao degrau unitário de sGs Se digitarmos os seguintes valores de num e den no MATLAB num 0 1 0 den 1 02 1 e utilizarmos o comando de resposta ao degrau como indicado no Programa 59 em MATLAB obteremos uma curva de resposta ao impulso unitário do sistema como mostra a Figura 525 Programa 59 em MATLAB num 1 0 den 1 02 1 stepnumden grid titleResposta ao Degrau Unitário de sGs ss2 02s 1 Resposta à rampa Não existe um comando específico para rampa no MATLAB Assim é necessário utilizar o comando degrau ou o comando lsim que será visto adiante para obter a resposta à rampa Especificamente para obter a resposta à rampa do sistema de função de trans ferência Gs dividese Gs por s e utilizase o comando para a resposta ao degrau Por exemplo considere o sistema de malha fechada R s C s s s s 1 2 1 2 h h FIGURA 525 Resposta ao degrau unitário de sGs ss202s1 Tempo s Amplitude 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 08 02 06 08 06 04 0 02 04 Curva de resposta ao impulso unitário obtida como a resposta ao degrau unitário de sGs ss2 02s 1 178 Engenharia de controle moderno Para uma entrada em rampa unitária Rs 1s2 Então C s s s s s s s s s s 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 h h Para obter a resposta desse sistema à rampa unitária digite os seguintes valores de numerador e denominador no programa em MATLAB num 2 1 den 1 1 1 0 e utilize o comando de resposta ao degrau Veja o Programa 510 em MATLAB O gráfico que resulta do processamento do programa é mostrado na Figura 526 Programa 510 em MATLAB Resposta à rampa unitária A resposta à rampa unitária é obtida como a resposta ao degrau unitário de Gss Digite o numerador e o denominador de Gss num 2 1 den 1 1 1 0 Especifique os instantes de tempo para o cálculo tais como t 00110 e então digite o comando de resposta ao degrau c stepnumdent t 00110 c stepnumdent No gráfico da curva de resposta à rampa adicione a referência A entrada de referência é t Acrescente ao argumento do comando plot o seguinte tt Assim o comando plot fica como a seguir plottcott plottcott Acrescente grade título xlabel e ylabel grid titleCurva de Resposta à Rampa Unitária para o Sistema Gs 2s 1s2 s 1 xlabelt s ylabelEntrada e Saída FIGURA 526 Curva de resposta à rampa unitária para o sistema Gs 2s 1s2 s 1 t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e Saída 12 0 4 2 6 8 10 Curva de resposta em rampa unitária 179 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Resposta à rampa unitária de um sistema definido no espaço de estados A seguir trataremos da resposta à rampa unitária do sistema no modelo de espaço de estados Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx Du onde u é a função rampa unitária A seguir apresentaremos um exemplo simples para explicar o método Considere o caso em que A B x C D 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 h 6 6 G G Quando as condições iniciais forem nulas a resposta à rampa unitária será a integral da resposta ao degrau unitário Então a resposta à rampa unitária pode ser dada por z y dt t 0 544 A partir da Equação 544 obtemos ż y x1 545 Vamos definir z x3 Então a Equação 545 tornase ẋ3 x1 546 Combinando a Equação 546 com a equação original do espaço de estados obtemos x x x x x x u 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 547 z x x x 0 0 1 1 2 3 6 H 548 onde u aparece na Equação 547 como a função de degrau unitário Essas equações podem ser escritas como ẋ AAx BBu z CCx DDu onde AA BB B CC DD 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A C 6 6 H H H G Note que x3 é o terceiro elemento de x Um gráfico da curva de resposta à rampa unitária zt pode ser obtido executando o Programa 511 em MATLAB Um gráfico da curva de resposta à rampa unitária obtida como resultado desse programa em MATLAB é mostrado na Figura 527 180 Engenharia de controle moderno Programa 511 em MATLAB Resposta à rampa unitária A resposta à rampa unitária é obtida pela adição de uma nova variável de estado x3 A dimensão da equação de estado é acrescida de 1 Digite as matrizes A B C e D das equações originais de estado e de saída A 0 11 1 B 0 1 C 1 0 D 0 Digite as matrizes AA BB CC e DD das novas equações de estado e de saída aumentados AA A zeros21C 0 BB B0 CC 0 0 1 DD 0 Digite o comando de resposta ao degrau zxt stepAABBCCDD zxt stepAABBCCDD No gráfico x3 adicione a entrada em rampa unitária t digitando o seguinte comando plottx3ott x3 0 0 1x plottx3ott grid titleResposta à Rampa Unitária xlabelt s ylabelEntrada e Saída Obtenção da resposta a uma entrada arbitrária Para obter a resposta a uma entrada arbi trária podese utilizar o comando Isim Os comandos como lsimnumdenrt lsimABCDut y lsimnumdenrt y lsimABCDut FIGURA 527 Resposta à rampa unitária t s Entrada e Saída 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 5 1 0 8 6 3 2 4 7 10 Curva de resposta à rampa unitária 181 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário gerarão a resposta a uma entrada em função do tempo r ou u Veja os dois exemplos a seguir Veja também os problemas A514 a A516 Exemplo 56 Utilizando o comando Isim obtenha a resposta à rampa unitária do seguinte sistema R s C s s s s 1 2 1 2 h h Podemos obter a resposta à rampa unitária por meio do Programa 512 em MATLAB A Figura 528 mostra o gráfico resultante Programa 512 em MATLAB Resposta à rampa num 2 1 den 1 1 1 t 00110 r t y lsimnumdenrt plottrtyo grid titleResposta à Rampa Unitária Obtida com o Uso do Comando lsim xlabelt s ylabelEntrada e Saída do sistema text6346Entrada em Rampa Unitária text47590Saída Exemplo 57 Considere o sistema x x x x u y x x 1 1 0 5 0 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G FIGURA 528 Resposta à rampa unitária obtida com o uso do comando Isim t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e Saída do sistema 12 0 4 2 6 8 10 Saída Entrada em rampa unitária Resposta à rampa unitária 182 Engenharia de controle moderno Utilizando o MATLAB obtenha as curvas de resposta yt quando a entrada u é dada por 1 u entrada em degrau unitário 2 u et Suponha que o estado inicial seja x0 0 Uma opção do programa em MATLAB para produzir as curvas de resposta desse sistema para a entrada em degrau unitário u 1 t e a entrada exponencial u et é mostrada no Programa 513 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são apresentadas nas figuras 529a e b respectivamente Programa 513 em MATLAB t 00112 A 1 051 0 B 01 C 1 0 D 0 Para a entrada em degrau unitário u 1t utilize o comando y stepABCD1t y stepABCD1t plotty grid titleResposta ao Degrau Unitário xlabelt s ylabelSaída Para a resposta à ebtrada exponencial u expt utilize o comando z lsimABCDut u expt z lsimABCDut plottutzo grid titleResposta à Entrada Exponencial u expt xlabelt s ylabelEntrada Exponencial e Saída do sistema text23049Entrada Exponencial text64028Saída Resposta à condição inicial A seguir serão apresentados alguns métodos para a obtenção de resposta a uma condição inicial Os comandos que podem ser utilizados são step ou initial Veremos primeiro um método para obter a resposta a uma condição inicial utilizando um exemplo simples Depois discutiremos a resposta a uma condição inicial quando o sistema está represen tado na forma de espaço de estados Por fim apresentaremos um comando inicial para obter a resposta de dado sistema definido em um espaço de estados 183 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Exemplo 58 Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 530 onde m 1 kg b 3 Nsm e k 2 Nm Suponha que em t 0 a massa m seja puxada para baixo de modo que x0 01 m e ẋ0 005 ms O deslocamento xt é medido a partir da posição de equilíbrio antes que a massa seja puxa da para baixo Obtenha o movimento da massa sujeita à condição inicial Considere a inexistên cia de uma força externa A equação do sistema é mẍ bẋ kx 0 com as condições iniciais x0 01 m e ẋ0 005 ms x é medido a partir da posição de equi líbrio A transformada de Laplace da equação do sistema resulta em ms2Xs sx0 ẋ0 bsXs x0 kXs 0 ou ms2 bs k Xs mx0s mẋ0 bx0 Resolvendo essa última equação para Xs e substituindo os valores numéricos dados obtemos FIGURA 529 Resposta ao degrau unitário t s 0 2 4 6 8 10 12 Saída 1 02 0 12 06 04 08 14 a Resposta à entrada exponencial u et t s 0 2 4 6 8 10 12 02 b Entrada exponencial e saída do sistema 08 0 1 04 02 06 12 Entrada exponencial Saínda a Resposta ao degrau unitário b resposta à entrada u et 184 Engenharia de controle moderno X s ms bs k mx s mx bx s s s s 0 0 0 3 2 0 1 0 35 2 2 o h h h h Essa equação pode ser escrita como segue X s s s s s s 3 2 0 1 0 35 1 2 2 h Então o movimento da massa m pode ser obtido como a resposta ao degrau unitário do seguinte sistema G s s s s s 3 2 0 1 0 35 2 2 h O Programa 514 em MATLAB fornecerá o gráfico do movimento da massa O gráfico é mos trado na Figura 531 Programa 514 em MATLAB Resposta à condição inicial A resposta do sistema à condição inicial é convertida a uma resposta ao degrau unitário modificandose o polinômio do numerador Digite o numerador e o denominador da função de transferência Gs num 01 035 0 den 1 3 2 Digite o comando de resposta ao degrau a seguir stepnumden Insira a grade e o título do gráfico grid titleResposta do sistema MassaMolaAmortecedor à Condição Inicial FIGURA 530 m k b x Sistema mecânico 185 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Resposta à condição inicial enfoque no espaço de estados caso 1 Considere o sistema definido por ẋ Ax x0 x0 549 Vamos obter a resposta xt quando a condição inicial x0 for especificada Suponha que não exista entrada de forças externas que atuem sobre esse sistema Suponha também que x seja um vetor de ordem n Primeiro obtenha as transformadas de Laplace de ambos os lados da Equação 549 sXs x0 AXs A equação pode ser escrita como sXs AXs x0 550 Considerando a transformada inversa de Laplace da Equação 550 temos ẋ Ax x0 δt 551 Note que ao obter inicialmente a transformada de Laplace de uma equação diferencial e depois considerar a transformada inversa de Laplace dessa equação transformada geramos uma equação diferencial que envolve a condição inicial Agora defina ż x 552 Então a Equação 551 pode ser escrita como z Aż x0 δt 553 Integrando a Equação 553 em relação a t obtemos ż Az x01t Az Bu 554 onde B x0 u 1t Referindose à Equação 552 o estado xt é dado por zt Assim x ż Az Bu 555 A solução das equações 554 e 555 fornece a resposta à condição inicial Em resumo a resposta da Equação 549 à condição inicial x0 é obtida resolvendose as seguintes equações no espaço de estados FIGURA 531 Resposta do sistema massamolaamortecedor à condição inicial Amplitude 012 002 0 008 004 006 01 Tempo s 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Resposta do sistema mecânico considerado no Exemplo 58 186 Engenharia de controle moderno ż Az Bu x Az Bu onde B x0 u 1t Os comandos do MATLAB para obter as curvas de resposta onde não especificamos o vetor de tempo t isto é deixamos o vetor de tempo ser determinado automaticamente pelo MATLAB são dados a seguir Especificar matrizes A e B xzt stepABAB x1 1 0 0 0x x2 0 1 0 0x h xn 0 0 0 1x plottx1tx2 txn Se escolhermos o vetor de tempo t por exemplo considere que o intervalo de tempo no cál culo seja de t 0 a t tp com o incremento de cálculo de Δt então usaremos os seguintes comandos MATLAB t 0 Δt tp Especificar matrizes A e B xzt stepABAB1t x1 1 0 0 0x x2 0 1 0 0x h xn 0 0 0 1x plottx1tx2 txn Veja o Exemplo 59 Resposta à condição inicial enfoque no espaço de estados caso 2 Considere o sistema definido por ẋ Ax x0 x0 556 y Cx 557 Suponha que x seja um vetor de ordem n e que y seja um vetor de ordem m Da mesma maneira que o caso 1 definindo ż x podemos obter a seguinte equação ż Az x01t Az Bu 558 onde B x0 u 1t Observando que x ż a Equação 557 pode ser escrita como y Cż 559 Substituindo a Equação 558 na Equação 559 obtemos y CAz Bu CAz CBu 560 A solução das equações 558 e 560 reescritas aqui 187 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário ż Az Bu y CAz CBu onde B x0 e u 1t fornecem a resposta do sistema para dada condição inicial Os comandos do MATLAB para a obtenção das curvas de resposta curvas de saída y1 versus t y2 versus t ym versus t são mostrados a seguir para dois casos Caso A Quando o vetor de tempo t não é especificado ou seja o vetor de tempo t deverá ser determinado automaticamente pelo MATLAB Especificar matrizes A B e C yzt stepABCACB y1 1 0 0 0y y2 0 1 0 0y h ym 0 0 0 1y plotty1ty2 tym Caso B Quando o vetor de tempo t é especificado t 0 Δt tp Especificar matrizes A B e C yzt stepABCACB1t y1 1 0 0 0y y2 0 1 0 0y h ym 0 0 0 1y plotty1ty2 tym Exemplo 59 Obtenha a resposta do sistema submetido à dada condição inicial x x x x x x 0 10 1 5 0 0 2 1 1 2 1 2 1 2 o o h h G G G G G ou ẋ Ax x0 x0 Obter a resposta do sistema à dada condição inicial vem a ser o mesmo que obter a resposta ao degrau unitário do seguinte sistema ż Az Bu x Az Bu onde B x0 u 1t Então uma opção do programa em MATLAB para obter a resposta é o Programa 515 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 532 188 Engenharia de controle moderno Programa 515 em MATLAB t 00013 A 0 110 5 B 21 xzt stepABAB1t x1 1 0x x2 0 1x plottx1xtx2 grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelVariáveis de Estado x1 e x2 gtextx1 gtextx2 Para um exemplo ilustrativo de como usar as equações 558 e 560 para encontrar a resposta à condição inicial veja o Problema A516 Obtenção da resposta à condição inicial pelo uso do comando inicial Se o sistema for definido no espaço de estados então o comando initialABCDinitial conditiont produzirá a resposta à condição inicial Considerando o sistema definido por ẋ Ax Bu x0 x0 y Cx Du onde A B C x D 0 10 1 5 0 0 0 0 0 2 1 0 6 G G G então o comando initial pode ser utilizado como mostra o Programa 516 em MATLAB para a obtenção da resposta à condição inicial As curvas de resposta x1t e x2t são mostradas na Figura 533 Elas são as mesmas que as da Figura 532 FIGURA 532 Resposta à condição inicial t s 0 05 1 15 2 25 3 Variáveis de estado x1 e x2 3 2 3 1 1 0 2 x1 x2 Resposta do sistema do Exemplo 59 à condição inicial 189 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 516 em MATLAB t 00053 A 0 110 5 B 00 C 0 0 D 0 yx initialABCD21t x1 1 0x x2 0 1x plottx1otx1tx2xtx2 grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelVariáveis de Estado x1 e x2 gtextx1 gtextx2 Exemplo 510 Considere o seguinte sistema submetido às condições iniciais Não existem forças externas atuantes yq 8ÿ 17ẏ 10y 0 y0 2 ẏ0 1 ÿ0 05 Obtenha a resposta yt para a condição inicial dada Definindo as variáveis de estado como x1 y x2 ẏ x3 ÿ obtemos a seguinte representação para o sistema no espaço de estados x x x x x x x x x y x x x 0 0 10 1 0 17 0 1 8 0 0 0 2 1 0 5 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o h h h 6 H H H H H H FIGURA 533 Resposta à condição inicial t s 0 05 1 15 2 25 3 Variável de estado x1 e x2 3 3 2 1 0 1 2 x1 x2 Curvas de resposta à condição inicial 190 Engenharia de controle moderno Uma opção do programa em MATLAB para a obtenção da resposta yt é o Programa 517 em MATLAB A curva de resposta resultante é mostrada na Figura 534 Programa 517 em MATLAB t 000510 A 0 1 00 0 110 17 8 B 000 C 1 0 0 D 0 y initialABCD2105t plotty grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelSaída y 56 Critério de estabilidade de Routh O problema mais importante relacionado aos sistemas de controle lineares é o da estabilidade Isto é sob quais condições um sistema se tornará instável Se for instável como deveríamos estabilizálo Na Seção 54 foi visto que um sistema de controle é estável se e somente se todos os polos de malha fechada estiverem situados no semiplano esquerdo do plano s A maioria dos sistemas lineares de malha fechada tem funções de transferência de malha fechada da forma R s C s a s a s a s a b s b s b s b A s B s n n n n m m m m 0 1 1 1 0 1 1 1 g g h h h h onde a e b são constantes e m n Um critério simples conhecido como critério de estabi lidade de Routh nos possibilita determinar o número de polos de malha fechada que se situam no semiplano direito do plano s sem ter de fatorar o polinômio do denominador O polinômio pode incluir parâmetros que o MATLAB não pode tratar FIGURA 534 Saída y t s Resposta à condição inicial 05 1 15 2 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta yt à condição inicial 191 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Critério de estabilidade de Routh O critério de estabilidade de Routh nos diz se existem ou não raízes instáveis em uma equação polinomial sem que seja necessário resolvêla Este crité rio de estabilidade aplicase somente a polinômios com um número finito de termos Quando o critério é aplicado a um sistema de controle as informações sobre a estabilidade absoluta podem ser obtidas diretamente dos coeficientes da equação característica Eis o procedimento no critério de estabilidade de Routh 1 Escreva o polinômio em s da seguinte maneira a0 sn a1 sn 1 an 1 s an 0 561 onde os coeficientes são grandezas reais Suponha que an 0 isto é qualquer raiz nula foi removida 2 Se algum dos coeficientes for zero ou negativo na presença de pelo menos um coeficiente positivo então existirá uma ou várias raízes imaginárias ou que tenham partes reais posi tivas Assim nesse caso o sistema não será estável Se estivermos interessados somente na estabilidade absoluta não haverá necessidade de continuar o procedimento Observe que todos os coeficientes devem ser positivos Esta é uma condição necessária como podemos ver no argumento a seguir um polinômio em s tendo coeficientes reais sempre poderá ser fatorado em fatores lineares e quadráticos como s a e s2 bs c onde a b e c são reais Os fatores lineares resultam em raízes reais e os fatores quadráticos em raízes complexas conjugadas do polinômio O fator s2 bs c resulta em raízes com partes reais negativas somente se b e c forem ambos positivos Para que todas as raízes tenham partes reais negativas as constantes a b c etc em todos os fatores devem ser positivas O produto de qualquer número de fatores lineares e quadráticos que contenha somente coeficientes positivos resulta sempre em um polinômio com coeficientes positi vos É importante notar que a condição de que todos os coeficientes sejam positivos não é suficiente para assegurar estabilidade A condição necessária mas não suficiente para a estabilidade é que os coeficientes da Equação 561 estejam todos presentes e que todos tenham sinais positivos Se todos os a forem negativos estes podem ser feitos positivos multiplicando ambos os lados da equação por 1 3 Se todos os coeficientes forem positivos organize os coeficientes do polinômio em linhas e colunas de acordo com o seguinte padrão sn a0 a2 a4 a6 sn 1 a1 a3 a5 a7 sn 2 b1 b2 b3 b4 sn 3 c1 c2 c3 c4 sn 4 d1 d2 d3 d4 h h h s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1 O processo de formação das linhas continua até que se esgotem todos os elementos O número total de linhas é n 1 Os coeficientes b1 b2 b3 etc são calculados como segue 192 Engenharia de controle moderno b a a a a a b a a a a a b a a a a a 1 1 1 2 0 3 2 1 1 4 0 5 3 1 1 6 0 7 h O cálculo dos b continua até que os elementos restantes sejam todos zeros O mesmo padrão de multiplicação em cruz dos coeficientes das duas linhas anteriores é seguido para o cálculo de c d e etc Ou seja c b b a a b c b b a a b c b b a a b 1 1 1 3 1 2 2 1 1 5 1 3 3 1 1 7 1 4 h e d c c b b c d c c b b c 1 1 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 h Esse processo continua até que a nésima linha seja completada A matriz completa de coeficien tes é triangular Observe que ao desenvolver essa matriz uma linha inteira pode ser dividida ou multiplicada por um número positivo de modo a simplificar os cálculos numéricos subsequentes sem alterar a conclusão sobre a estabilidade O critério de estabilidade de Routh afirma que o número de raízes da Equação 561 com partes reais positivas é igual ao número de mudanças no sinal dos coeficientes da primeira coluna da matriz Devese notar que os valores exatos dos termos na primeira coluna não precisam ser conhecidos do contrário apenas os sinais são necessários A condição necessária e suficiente para que todas as raízes da Equação 561 se situem no semiplano esquerdo do plano s é que todos os coeficientes da Equação 561 sejam positivos e que todos os elementos da primeira coluna da matriz tenham sinais positivos Exemplo 511 Vamos aplicar o critério de estabilidade de Routh ao seguinte polinômio de terceira ordem a0s3 a1s2 a2s a3 0 onde todos os coeficientes são números positivos A matriz dos coeficientes é s3 a0 a2 s2 a1 a3 s1 a a a a a 1 1 2 0 3 s0 a3 A condição para que todas as raízes tenham partes reais negativas é dada por a1a2 a0a3 193 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Exemplo 512 Considere o seguinte polinômio s4 2s3 3s2 4s 5 0 Vamos seguir o procedimento visto e construir a matriz de coeficientes As duas primeiras linhas podem ser obtidas diretamente a partir do polinômio dado Os termos restantes são obtidos a partir destes Se algum dos coeficientes for inexistente este poderá ser substituído por zeros na tabela s4 1 3 5 s4 1 3 5 s3 2 4 0 s3 2 4 0 A segunda linha é dividida por 2 1 2 0 s2 1 5 s2 1 5 s1 6 s1 3 s0 5 s0 5 Neste exemplo o número de mudanças no sinal dos coeficientes na primeira coluna é 2 Isso quer dizer que existem duas raízes com partes reais positivas Note que o resultado não se altera quando os coeficientes de uma linha são multiplicados ou divididos por um número positivo visando simplificar o cálculo Casos especiais Se um termo na primeira coluna de qualquer linha for nulo mas os termos restantes não forem nulos ou não existirem então o termo nulo será substituído por um número positivo muito pequeno ϵ e o resto da matriz será calculada Considere por exemplo a seguin te equação s3 2s2 s 2 0 562 A matriz de coeficientes é s3 1 1 s2 2 2 s1 0 ϵ s0 2 Se o sinal do coeficiente acima do zero ϵ é o mesmo do coeficiente abaixo isso indica que existe um par de raízes imaginárias De fato a Equação 562 tem duas raízes em s j Entretanto se o sinal do coeficiente acima do zero ϵ for oposto ao do coeficiente abaixo isso indica que existe uma mudança de sinal Por exemplo na equação s3 3s 2 s 12s 2 0 a matriz dos coeficientes é Uma mudança de sinal s3 1 3 s2 0 ϵ 2 s1 3 2 e s0 2 Uma mudança de sinal Ocorreram duas mudanças de sinal dos coeficientes na primeira coluna Portanto há duas raízes no semiplano direito do plano s Isso está de acordo com o resultado correto indicado pela forma fatorada da equação polinomial Se todos os coeficientes em uma linha calculada forem nulos isso indica que há raízes de mesmo valor radialmente opostas situadas no plano s isto é duas raízes reais de igual valor e sinais opostos eou duas raízes imaginárias conjugadas Nesse caso podese continuar o cálculo do resto da matriz formandose um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha e utilizando os coeficientes da derivada desse polinômio na próxima linha Essas raízes de igual valor e situadas radialmente opostas no plano s podem ser determinadas resolvendo o polinômio 194 Engenharia de controle moderno auxiliar que é sempre par Para um polinômio auxiliar de grau 2n existem n pares de raízes iguais e opostas Por exemplo considere a seguinte equação s5 2s4 24s3 48s2 25s 50 0 A matriz de coeficientes é s5 1 24 25 s4 2 48 50 Polinômio auxiliar Ps s3 0 0 Os termos na linha s3 são todos nulos Note que esse caso ocorre somente em uma linha de número ímpar O polinômio auxiliar é então formado a partir dos coeficientes da linha s4 O polinômio auxiliar Ps é Ps 2s4 48s2 50 o que indica que existem dois pares de raízes de igual valor e sinais opostos isto é duas raízes reais com o mesmo valor mas sinais opostos ou duas raízes complexas conjugadas no eixo imaginário Esses pares são obtidos resolvendose a equação polinomial auxiliar Ps 0 A derivada de Ps em relação a s é 8 96 ds dP s s s 3 h Os termos na linha s3 são substituídos pelos coeficientes da última equação isto é 8 e 96 A matriz de coeficientes tornase então s5 1 24 25 s4 2 48 50 s3 8 96 Coeficientes de dPsds s2 24 50 s1 1127 0 s0 50 Vemos que ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna da nova matriz Assim a equação original tem uma raiz com uma parte real positiva Resolvendose as raízes da equação polinomial auxiliar 2s4 48s2 50 0 obtemos s2 1 s2 25 ou s 1 s j5 Esses dois pares de raízes de Ps fazem parte das raízes da equação original De fato a equação original pode ser escrita na forma fatorada como a seguir s 1s 1s j5s j5s 2 0 É evidente que a equação original tem uma raiz com uma parte real positiva Análise da estabilidade relativa O critério de estabilidade de Routh fornece a resposta para a questão da estabilidade absoluta Isso em muitos casos práticos não é suficiente Normalmente é necessária uma informação sobre a estabilidade relativa do sistema Um método eficiente para examinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo do plano s e aplicar o critério de estabilidade de Routh Isto é substituise s ŝ v v constante na equação característica do sistema escrevese o polinômio em termos de ŝ e aplicase o critério de estabilidade de Routh ao novo polinômio em ŝ O número de mudanças de sinal na primeira 195 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário coluna da matriz desenvolvida para o polinômio em ŝ é igual ao número de raízes que estão localizadas à direita da linha vertical s v Assim esse teste revela o número de raízes que se situam à direita da linha vertical s v Aplicação do critério de estabilidade de Routh à análise de sistemas de controle O critério de estabilidade de Routh é de utilidade limitada na análise de sistemas de controle linea res principalmente porque não sugere como melhorar a estabilidade relativa ou como estabilizar um sistema instável É possível entretanto determinar os efeitos da mudança de um ou dois parâmetros de um sistema examinando os valores que causam a instabilidade A seguir consi deraremos o problema da determinação do intervalo de variação de um parâmetro compatível com a estabilidade do sistema Considere o sistema mostrado na Figura 535 Vamos determinar o intervalo de valores de K para que haja estabilidade A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s K K 1 2 2 h h h h A equação característica é s4 3s3 3s2 2s K 0 A matriz de coeficientes é então s4 1 3 K s3 3 2 0 s2 3 7 K s1 2 7 9 K s0 K Para que haja estabilidade K e todos os coeficientes na primeira coluna devem ser positivos Assim 9 14 K 0 Quando K 9 14 o sistema tornase oscilatório e matematicamente a oscilação é mantida com amplitude constante Note que os limites dos parâmetros de projeto que levam à estabilidade podem ser determi nados pelo uso do critério de estabilidade de Routh 57 Efeitos das ações de controle integral e derivativo no desempenho dos sistemas Nesta seção estudaremos os efeitos das ações de controle integral e derivativo no desem penho do sistema Aqui serão considerados somente sistemas simples de modo que os efeitos das ações de controle integral e derivativo sobre o desempenho do sistema possam ser vistos com clareza FIGURA 535 Rs Cs K ss2 s 1 s 2 Sistema de controle 196 Engenharia de controle moderno Ação de controle integral No controle proporcional de uma planta cuja função de transfe rência não possui um integrador 1s existe um erro estacionário ou erro residual na resposta a uma entrada em degrau Esse erro residual pode ser eliminado se uma ação de controle integral for incluída no controlador No controle integral de uma planta o sinal de controle o sinal de saída do controlador em qualquer instante é a área sob a curva do sinal de erro atuante até aquele momento O sinal de controle ut pode ter um valor não nulo quando o sinal de erro atuante et for zero como se pode ver na Figura 536a Isso é impossível no caso do controlador proporcional uma vez que um sinal de controle não nulo requer um sinal de erro atuante não nulo Um sinal de erro atuante em regime permanente significa que existe um erro residual A Figura 536b mostra a curva et versus t e a curva correspondente ut versus t quando o controlador é do tipo proporcional Observe que a ação de controle integral embora remova o erro residual ou o erro estacionário pode conduzir a uma resposta oscilatória com uma amplitude que decresce lentamente ou mesmo uma amplitude sempre crescente ambas em geral indesejáveis Sistemas de controle proporcional Veremos que para uma entrada em degrau o controle proporcional de um sistema sem integrador ocasionará um erro estacionário Mostraremos então que esse erro pode ser eliminado se for incluída no controlador uma ação de controle integral Considere o sistema mostrado na Figura 537 Obteremos o erro estacionário da resposta do sistema ao degrau unitário Defina G s Ts K 1 h Como 1 R s E s R s R s C s R s C s G s 1 1 h h h h h h h h o erro Es é dado como E s G s R s Ts K R s 1 1 1 1 1 h h h h FIGURA 537 1 Ts 1 Rs Es Cs K Controlador proporcional Planta Sistema de controle proporcional FIGURA 536 et ut 0 0 t t et ut 0 0 t t a b a Gráficos das curvas et e ut mostrando sinal de controle não nulo quando o sinal de erro atuante é zero controle integral b gráficos das curvas et e ut mostrando sinal de controle nulo quando o sinal de erro atuante é zero controle proporcional 197 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Para a entrada em degrau unitário Rs 1s temos E s Ts K Ts s 1 1 1 h O erro estacionário é lim lim lim e e t sE s Ts K Ts K 1 1 1 1 t s s 0 0 ss 3 h h Esse sistema sem um integrador no ramo direto sempre tem um erro estacionário na resposta ao degrau Esse erro estacionário é chamado erro residual A Figura 538 mostra a resposta ao degrau unitário e o erro residual Controle integral de sistemas Considere o sistema exposto na Figura 539 O controlador é integral A função de transferência de malha fechada do sistema é R s C s s Ts K K 1 h h h Portanto R s E s R s R s C s s Ts K s Ts 1 1 h h h h h h h Como o sistema é estável o erro estacionário para a resposta ao degrau unitário pode ser obtido aplicandose o teorema do valor final como segue lim lim e sE s Ts s K s Ts s 1 1 0 s s 0 0 2 2 ss h h O controle integral do sistema elimina então o erro estacionário na resposta ao degrau de entra da Este é um importante aperfeiçoamento em relação ao controle proporcional puro que não impede o erro residual Resposta a distúrbios do tipo torque controle proporcional Vamos estudar os efeitos de um distúrbio do tipo torque ou conjugado que ocorre no elemento de carga Considere o sis tema mostrado na Figura 540 O controlador proporcional transmite o torque T para posicionar o FIGURA 538 ct 1 0 t Erro residual Resposta ao degrau unitário e erro residual FIGURA 539 1 Ts 1 Rs Cs Es K s Sistema de controle integral 198 Engenharia de controle moderno elemento de carga que consiste em momento de inércia e atrito viscoso O torque que age como distúrbio é designado como D Supondo que a entrada de referência seja nula ou Rs 0 a função de transferência entre Cs e Ds será dada por D s C s Js bs K 1 p 2 h h Portanto D s E s D s C s Js bs K 1 p 2 h h h h O erro estacionário causado pelo torque de perturbação em degrau de valor Td é dado por lim lim e sE s Js bs K s s T K T s s p d p d 0 0 2 ss h Em regime permanente o controlador proporcional fornece um torque Td que é igual em valor mas de sinal oposto ao torque de perturbação Td A saída em regime permanente pelo torque de perturbação em degrau é c e K T p d ss ss O erro estacionário pode ser reduzido aumentandose o valor do ganho Kp O aumento desse valor entretanto tornará a resposta do sistema mais oscilatória Resposta a distúrbios do tipo torque controle proporcionalintegral Para eliminar o erro residual em virtude de um distúrbio do tipo torque o controlador proporcional pode ser substituído por um controlador proporcionalintegral Se for acrescentada uma ação de controle integral ao controlador enquanto existir um sinal de erro um torque será desenvolvido pelo controlador para reduzir esse erro desde que o siste ma de controle seja estável A Figura 541 mostra um controle proporcionalintegral em um sistema cujo elemento de carga é constituído pelo momento de inércia e atrito viscoso A função de transferência de malha fechada entre Cs e Ds é D s C s Js bs K s T K s p i p 3 2 h h Na ausência da entrada de referência ou rt 0 o sinal de erro é obtido a partir de FIGURA 540 R D C E T Kp 1 sJs b Sistema de controle de distúrbio por torque 199 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário E s Js bs K s T K s D s p i p 3 2 h h Se o sistema de controle for estável isto é se as raízes da equação característica 0 Js bs K s T K p i p 3 2 tiverem partes reais negativas então o erro estacionário na resposta a um torque de distúrbio em degrau unitário pode ser obtido pela aplicação do teorema do valor final como segue lim lim e sE s Js bs K s T K s s 1 0 s s p i p 0 0 3 2 2 ss h Assim o erro estacionário relativo ao torque de perturbação em degrau pode ser eliminado se o controlador for do tipo proporcionalintegral Observe que a ação de controle integral acrescentada ao controlador proporcional converteu o sistema originalmente de segunda ordem em um sistema de terceira ordem Então para um valor muito alto de Kp o sistema de controle pode se tornar instável uma vez que as raízes da equação característica podem conter partes reais positivas Um sistema de segunda ordem é sempre estável se os coeficientes da equação diferencial do sistema forem todos positivos É importante destacar que se o controlador fosse um controlador integral como na Figu ra 542 então o sistema sempre se tornaria instável porque a equação característica Js3 bs2 K 0 teria raízes com partes reais positivas Esse sistema instável não poderia ser utilizado na prática Note que no sistema da Figura 541 a ação de controle proporcional tende a estabilizar o sistema enquanto a ação de controle integral tende a eliminar ou reduzir o erro estacionário na resposta a várias entradas FIGURA 541 C E D R 0 T Kp1 1 Tis 1 sJs b Controle proporcional integral de um elemento de carga que consiste em momento de inércia e atrito viscoso FIGURA 542 C E D R 0 T K s 1 sJs b Controle integral de um elemento de carga que consiste em momento de inércia e atrito viscoso 200 Engenharia de controle moderno Ação de controle derivativo Uma ação de controle derivativo quando acrescentada a um controlador proporcional permite que se obtenha um controlador de alta sensibilidade Uma vantagem em utilizar a ação de controle derivativo é que esta responde a uma taxa de variação do erro atuante e pode produzir uma correção significativa antes que o valor do erro atuante se torne muito elevado Portanto o controle derivativo prevê o erro atuante inicia uma ação corretiva antecipada e tende a aumentar a estabilidade do sistema Embora o controle derivativo não afete diretamente o erro estacionário ele aumenta o amor tecimento do sistema permitindo assim o uso de um valor mais elevado do ganho K o que resultará em maior precisão no regime permanente Pelo fato de o controle derivativo operar sobre a taxa de variação do erro atuante e não sobre o próprio erro atuante esse modo nunca é utilizado sozinho Ele é sempre utilizado em combinação com uma ação de controle proporcional ou proporcionalintegral Controle proporcional de sistemas com carga inercial Antes de discutirmos o efeito da ação de controle derivativo no desempenho do sistema vamos considerar o controle proporcional de uma carga inercial Considere o sistema mostrado na Figura 543a A função de transferência de malha fechada é obtida como R s C s Js K K p 2 p h h Como as raízes da equação característica Js2 Kp 0 são imaginárias a resposta à entrada em degrau unitário continua a oscilar indefinidamente como mostra a Figura 543b Os sistemas de controle que apresentam essas características de resposta não são desejáveis Veremos que a adição do controle derivativo estabilizará o sistema Controle proporcionalderivativo de sistemas com carga inercial Vamos transformar um controlador proporcional em um controlador proporcionalderivativo cuja função de transferência é Kp1 Td s O torque desenvolvido pelo controlador é proporcional a Kpe Td ė O controle derivativo é essencialmente antecipatório medindo a velocidade dos erros instantâneos prevendo um grande sobressinal antes que ele ocorra e produzindo ações apropriadas de limitação antes que o sobressinal assuma um valor muito elevado Considere o sistema apresentado na Figura 544a A função de transferência de malha fechada é dada por FIGURA 543 Rs Cs a b Kp 1 Js2 ct 1 0 t a Controle proporcional de um sistema com carga inercial b resposta a uma entrada em degrau unitário 201 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário R s C s Js K T s K K T s 1 p d p p d 2 h h h A equação característica Js2 KpTd s Kp 0 tem agora duas raízes com partes reais negativas para os valores de J Kp e Td Assim o controle derivativo introduz um efeito de amortecimento A Figura 544b apresenta uma curva típica de resposta ct para uma entrada em degrau unitário Evidentemente a curva de resposta mostra uma melhoria significativa em relação à curva de resposta original da Figura 546b Controle proporcionalderivativo de sistemas de segunda ordem Podese obter uma conciliação entre o comportamento da resposta transitória aceitável e o comportamento aceitável em regime permanente utilizando uma ação de controle proporcionalderivativo Considere o sistema da Figura 545 A função de transferência de malha fechada é R s C s Js B K s K K K s d p p d 2 h h h O erro estacionário para uma entrada em rampa unitária é e K B p ss A equação característica é Js2 B Kds Kp 0 O coeficiente de amortecimento efetivo desse sistema é então B Kd em lugar de B Como o coeficiente de amortecimento ζ do sistema é K J B K 2 p d g FIGURA 544 b ct 1 0 t Rs Cs a Kp 1 Tds 1 Js2 a Controle proporcional derivativo de um sistema com carga inercial b resposta a uma entrada em degrau unitário FIGURA 545 Rs Cs Kp Kds 1 sJs B Sistema de controle 202 Engenharia de controle moderno é possível obter valores pequenos tanto para o erro estacionário ess correspondente a uma entrada em rampa como para o máximo sobressinal para uma entrada em degrau fazendo que o valor de B seja pequeno o de Kp elevado e o de Kd seja grande o bastante para que o valor de ζ fique entre 04 e 07 58 Erros estacionários em sistemas de controle com realimentação unitária Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores Alterações na entrada de referência causarão erros inevitáveis durante o regime transitório podendo causar também erros estacionários Imperfeições nos componentes do sistema como atrito estático folga e deriva dos amplificadores bem como desgaste ou deterioração causarão erros em regi me permanente Nesta seção entretanto não discutiremos erros causados por imperfeições nos componentes do sistema Em vez disso vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de entradas Qualquer sistema de controle físico apresenta inerentemente erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada em degrau mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não nulo a uma entrada em rampa A única maneira possível de eliminar esse erro é modificando a estrutura do sistema O erro estacionário que um sistema apresenta em relação a determinado tipo de entrada depende do tipo de função de transferência de malha aberta desse sistema o que será discutido a seguir Classificação dos sistemas de controle Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com sua habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau em rampa em parábola etc Este é um critério razoável de classificação pois as entradas reais com frequência podem ser consideradas combinações das entradas citadas Os valores dos erros estacionários relativos a essas entradas individuais são indicadores de qualidade do sistema Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de trans ferência de malha aberta Gs G s s T s T s T s K T s T s T s 1 1 1 1 1 1 N p a b m 1 2 g g h h h h h h h Essa função de transferência contém o termo sN no denominador representando um polo de multi plicidade N na origem O presente método de classificação tem como base o número de integrações indicadas pela função de transferência de malha aberta Um sistema é chamado tipo 0 tipo 1 tipo 2 se N 0 N 1 N 2 respectivamente Note que essa classificação é diferente da que se refere à ordem de um sistema Conforme o tipo N aumenta a precisão aumenta por outro lado agravase a estabilidade do sistema É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade relativa Veremos adiante que se Gs for escrita de modo que cada termo no numerador e no deno minador exceto os termos sN se aproxime da unidade à medida que s se aproxima de zero então o ganho K de malha aberta estará diretamente relacionado ao erro estacionário Erros estacionários Considere o sistema mostrado na Figura 546 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s G s 1 h h h h A função de transferência entre o sinal de erro et e o sinal de entrada rt é 1 R s E s R s C s G s 1 1 h h h h h onde o erro et é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída 203 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário O teorema do valor final oferece um modo conveniente de determinar o desempenho em regime permanente de um sistema estável Como Es é E s G s R s 1 1 h h h o erro estacionário é lim lim lim e e t sE s G s sR s 1 t s s 0 0 ss 3 h h h h As constantes de erro estático definidas a seguir são figuras de mérito dos sistemas de controle Quanto mais altas as constantes menor o erro estacionário Em dado sistema a saída pode ser a posição a velocidade a pressão a temperatura ou outros fatores A natureza física da saída entretanto é irrelevante nesta análise Assim a seguir chamaremos a saída de posição a taxa de variação da saída de velocidade etc Isso significa que no sistema de controle de tempera tura posição representa a temperatura de saída velocidade representa a taxa de variação da temperatura de saída e assim por diante Constante de erro estático de posição Kp O erro estacionário do sistema para uma entrada em degrau é lim e G s s s G 1 1 1 0 1 s 0 ss h h A constante de erro estático de posição Kp é definida por Kp lim s 0 Gs G0 Então o erro estacionário em termos da constante de erro estático de posição Kp é dado por e K 1 1 p ss Para um sistema do tipo 0 lim K T s T s K T s T s K 1 1 1 1 p s a b 0 1 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 1 ou maior 1 lim K s T s T s K T s T s N 1 1 1 1 para p s N a b 0 1 2 g g 3 h h h h Então para um sistema do tipo 0 a constante de erro estático de posição Kp é finita ao passo que para um sistema do tipo 1 ou maior Kp é infinita Para uma entrada em degrau unitário o erro estacionário ess pode ser resumido como segue e K 1 1 ss para sistemas do tipo 0 ess 0 para sistemas do tipo 1 ou maiores FIGURA 546 Rs Cs Es Gs Sistema de controle 204 Engenharia de controle moderno A partir da análise anterior podese ver que a resposta de um sistema de controle com realimentação a uma entrada em degrau conterá um erro estacionário se não houver integração no ramo direto Se erros pequenos para entradas em degrau puderem ser tolerados então um sistema do tipo 0 poderá ser admissível desde que o ganho K seja suficientemente grande Se este for muito grande entretanto será difícil obter uma estabilidade relativa adequada Se for desejável um erro estacionário nulo para uma entrada em degrau o tipo do sistema deverá ser 1 ou maior Constante de erro estático de velocidade Ky O erro estacionário do sistema com uma entrada em rampa unitária é dado por lim lim e G s s s sG s 1 1 1 s s 0 2 0 ss h h A constante de erro estático de velocidade Ky é definida por Ky lim s 0 sGs Assim o erro estacionário em termos da constante de erro estático de velocidade Ky é dado por e K 1 ss y O termo erro de velocidade é empregado aqui para expressar o erro estacionário para uma entrada em rampa A dimensão do erro de velocidade é a mesma do erro do sistema Ou seja o erro de velocidade não é um erro na velocidade e sim um erro de posição em decorrência de uma entrada em rampa Para um sistema do tipo 0 0 lim K T s T s sK T s T s 1 1 1 1 s a b 0 1 2 g g y h h h h Para um sistema do tipo 1 lim K s T s T s sK T s T s K 1 1 1 1 s a b 0 1 2 g g y h h h h Para um sistema do tipo 2 ou maior 2 lim K s T s T s sK T s T s N 1 1 1 1 para s N a b 0 1 2 g g 3 y h h h h O erro estacionário ess para a entrada em rampa unitária pode ser resumido como segue ess K 1 y para sistemas do tipo 0 ess K 1 y K 1 para sistemas do tipo 1 ess K 1 y 0 para sistemas do tipo 2 ou maiores A análise anterior indica que um sistema do tipo 0 é incapaz de seguir em regime estacio nário uma entrada em rampa O sistema do tipo 1 com realimentação unitária pode seguir a entrada em rampa com um erro finito Em uma operação em regime estacionário a velocidade de saída é exatamente a mesma velocidade de entrada mas existe um erro de posição Esse erro é proporcional à velocidade de entrada e é inversamente proporcional ao ganho K A Figura 547 mostra um exemplo da resposta de um sistema do tipo 1 com realimentação unitária a uma entrada em rampa O sistema de tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em rampa em regime estacionário com erro nulo 205 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Constante de erro estático de aceleração Ka O erro estacionário do sistema com uma entrada em parábola unitária entrada em aceleração definida como rt t 2 2 para t 0 0 para t 0 é dado por lim lim e G s s s s G s 1 1 1 s s 0 3 0 2 ss h h A constante de erro estático de aceleração Ka é definida pela equação Ka lim s 0 s2Gs O erro estacionário é então e K 1 a ss Note que o erro de aceleração isto é o erro estacionário em virtude da entrada em parábola é um erro de posição Os valores de Ka são obtidos como segue Para um sistema do tipo 0 0 lim K T s T s s K T s T s 1 1 1 1 a s a b 0 1 2 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 1 0 lim K s T s T s s K T s T s 1 1 1 1 a s a b 0 1 2 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 2 lim K s T s T s s K T s T s K 1 1 1 1 a s a b 0 2 1 2 2 g g h h h h Para um sistema do tipo 3 ou maior 3 lim K s T s T s s K T s T s N 1 1 1 1 para a s N a b 0 1 2 2 g g 3 h h h h FIGURA 547 rt ct 0 t rt ct Resposta de um sistema do tipo 1 com realimentação unitária a uma entrada em rampa 206 Engenharia de controle moderno Assim o erro estacionário para uma entrada em parábola unitária é ess para sistemas dos tipos 0 e 1 ess K 1 para sistemas do tipo 2 ess 0 para sistemas do tipo 3 ou maiores Observe que tanto os sistemas do tipo 0 como os do tipo 1 são incapazes de seguir uma entrada em parábola no estado permanente O sistema do tipo 2 com realimentação unitária pode seguir uma entrada em parábola com um sinal de erro finito A Figura 548 mostra um exemplo da resposta de um sistema do tipo 2 com realimentação unitária a uma entrada em parábola O sistema do tipo 3 ou maior com realimentação unitária em regime permanente segue uma entrada em parábola com erro zero Resumo A Tabela 51 resume os erros estacionários para sistemas dos tipos 0 1 e 2 quando estes forem submetidos a diversas entradas Os valores finitos para erros estacionários aparecem na linha diagonal Acima da diagonal os erros estacionários são infinitos abaixo da diagonal são nulos Devese lembrar que os termos erro de posição erro de velocidade e erro de aceleração significam desvios em regime estacionário na posição da saída Um erro na velocidade finita implica que depois que os transitórios tenham desaparecido a entrada e a saída se movem na mesma velocidade mas têm uma diferença de posição finita As constantes de erro Kp Ky e Ka descrevem a habilidade de um sistema com realimentação unitária para reduzir ou eliminar o erro estacionário Portanto são indicativos do desempenho em regime permanente Em geral é desejável aumentar as constantes de erro enquanto se mantém a resposta transitória dentro de um limite aceitável Observe que para melhorar o desempenho FIGURA 548 rt ct 0 t rt ct Resposta de um sistema do tipo 2 com realimentação unitária a uma entrada em parábola TABELA 51 Entrada em degrau rt 1 Entrada em rampa rt t Entrada em aceleração rt 2 1 t2 Sistema do tipo 0 K 1 1 Sistema do tipo 1 0 K 1 Sistema do tipo 2 0 0 K 1 Erro estacionário em termos do ganho de K 207 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário em regime permanente é necessário aumentar o tipo do sistema adicionando um integrador ou integradores no ramo direto Entretanto isso introduz um problema adicional de estabilidade O projeto de um sistema satisfatório com mais de dois integradores em série no ramo direto geralmente não é fácil Exemplos de problemas com soluções A51 No sistema da Figura 549 xt é o deslocamento de entrada e θt é o deslocamento angular de saída Suponha que as massas envolvidas sejam desprezíveis e a restrição de todos os movimen tos seja pequena então o sistema pode ser considerado linear As condições iniciais de x e θ são nulas ou seja x0 0 e θ0 0 Mostre que esse sistema é um elemento derivador Em seguida obtenha a resposta θt quando xt for um degrau unitário Solução A equação para o sistema é bẋ Lio kLθ ou L b k L x i i o o A transformada de Laplace dessa última equação considerando condições iniciais nulas é Ls b k L s sX s H c m h h Assim X s s L s k b s 1 H h h h Portanto o sistema dado é um sistema derivador Para uma entrada em degrau unitário Xs 1s a saída Θs tornase s L s k b 1 1 H h h A transformada inversa de Laplace de Θs nos fornece t L e 1 k b t i h h FIGURA 549 Sem atrito x b k θ L Sistema mecânico 208 Engenharia de controle moderno Note que se o valor de kb for grande a resposta θt se aproximará de um sinal em forma de pulso como mostra a Figura 550 A52 Conjuntos de engrenagens são frequentemente utilizados nos servossistemas para reduzir a velo cidade aumentar o torque ou obter transferência de potência mais eficaz adequando a rotação do motor com a da carga considerada Considere o sistema de engrenagens mostrado na Figura 551 Nesse sistema a carga é acionada por um motor por meio de um conjunto de engrenagens Supondo que a rigidez dos eixos do conjunto de engrenagens seja infinita não exista nem folga nem deformação elástica e que o número de dentes de cada engrenagem seja proporcional ao respectivo raio obtenha o momento de inércia equivalente e o coeficiente de atrito viscoso equivalente referidos ao eixo do motor e ao eixo da carga Na Figura 551 o número de dentes nas engrenagens 1 2 3 e 4 são N1 N2 N3 e N4 respectivamente O deslocamento angular dos eixos 1 2 e 3 são θ1 θ2 e θ3 respectivamente Assim θ2 θ1 N1N2 e θ3θ2 N3N4 O momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso de cada engrenagem são designados como J1 b1 J2 b2 e J3 b3 respectivamente J3 e b3 incluem o momento de inércia e o coeficiente de atrito da carga FIGURA 550 xt t t 1 0 0 θt 1 L Entrada em degrau unitário e resposta do sistema mecânico mostrado na Figura 549 FIGURA 551 Eixo 1 Engrenagem 2 Engrenagem 1 Engrenagem 3 Engrenagem 4 Eixo 2 Eixo 3 J1 b1 N1 Torque de entrada do motor Tm t θ1 N2 N3 N4 θ2 θ3 Torque de carga TL t J2 b2 J3 b3 Sistema de engrenagens 209 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Solução Para esse sistema de engrenagens podemos obter as seguintes equações para o eixo 1 J1ip 1 b1io 1 T1 Tm 563 onde Tm é o torque desenvolvido pelo motor e T1 é o torque de carga na engrenagem 1 em razão do restante do conjunto de engrenagens Para o eixo 2 J2ip 2 b2io 2 T3 T2 564 onde T2 é o torque transmitido à engrenagem 2 e T3 é o torque de carga da engrenagem 3 em razão do restante do conjunto de engrenagens Como o trabalho realizado pela engrenagem 1 é igual ao realizado pela engrenagem 2 então T T T T N N ou 1 1 2 2 2 1 1 2 i i Se N1N2 1 a relação das engrenagens reduz a velocidade tanto quanto aumenta o torque Para o eixo 3 J3ip 3 b3io 3 TL T4 565 onde TL é o torque de carga e T4 é o torque transmitido para a engrenagem 4 T3 e T4 estão rela cionados por T T N N 4 3 3 4 e θ3 e θ1 estão relacionados por N N N N N N 3 2 4 3 1 2 1 4 3 i i i Eliminando T1 T2 T3 e T4 das equações 563 564 e 565 temos J b N N J b N N N N J b T T L m 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 4 1 3 3 3 3 3 i i i i i i p o p o p o h h Eliminando θ2 e θ3 dessa última equação e escrevendo a equação resultante em termos de θ1 e suas derivadas em relação ao tempo obtemos J N N J N N N N J b N N b N N N N b N N N N T T L m 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 1 2 1 4 3 i i p o e e e e e e e e o o o o o o o o G G 566 Assim o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso equivalentes do conjunto de engre nagem referentes ao eixo 1 são dados respectivamente por J J N N J N N N N J b b N N b N N N N b eq 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 1 1 2 1 2 2 2 1 2 4 3 2 3 eq e e e e e e o o o o o o Da mesma maneira o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso equivalentes do conjunto de engrenagens referentes ao eixo da carga eixo 3 são dados respectivamente por J J N N J N N N N J b b N N b N N N N b eq eq 3 3 3 4 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 3 3 4 2 2 1 2 2 3 4 2 1 e e e e e e o o o o o o 210 Engenharia de controle moderno A relação entre J1eq e J3eq é então J N N N N J eq eq 1 2 1 2 4 3 2 3 e o e o e entre b1eq e b3eq é b N N N N b eq eq 1 2 1 2 4 3 2 3 e o e o O efeito de J2 e J3 no momento de inércia equivalente é determinado pelas relações de engrena gens N1N2 e N3N4 Para conjuntos de engrenagens redutores de velocidade as relações N1N2 e N3N4 normalmente são menores que a unidade Se N1N2 1 e N3N4 1 então o efeito de J2 e J3 no momento de inércia equivalente J1eq é desprezível A mesma observação se aplica ao coefi ciente de atrito viscoso equivalente b1eq do conjunto de engrenagens Em termos do momento de inércia equivalente J1eq e do coeficiente de atrito viscoso equivalente b1eq a Equação 566 pode ser simplificada resultando J1eqip 1 b1eqio 1 nTL Tm onde n N N N N 2 4 1 3 A53 Quando o sistema mostrado na Figura 552a é submetido a um degrau unitário de entrada o sistema responde com uma saída como a indicada na Figura 552b Determine os valores de K e T a partir da curva de resposta Solução O máximo sobressinal de 254 corresponde a ζ 04 Da curva de resposta obtemos tp 3 Consequentemente 3 t 1 1 0 4 p d n n 2 2 r g r r Seguese que n 114 FIGURA 552 Rs Cs a b ct 1 0 3 t 0254 K sTs 1 a Sistema de malha fechada b curva de resposta ao degrau unitário 211 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A partir do diagrama de blocos temos R s C s Ts s K 2 K h h o que resulta em 2 T K T 1 n n g Portanto os valores de T e K ficam determinados como T K T 2 1 2 0 4 1 14 1 1 09 1 14 1 09 1 42 n n 2 2 g A54 Determine os valores de K e k do sistema de malha fechada mostrado na Figura 553 para que o máximo sobressinal da resposta ao degrau unitário seja 25 e o tempo de pico seja 2 s Suponha que J 1 kgm2 Solução A função de transferência de malha fechada é R s C s Js Kks K K 2 h h Substituindo J 1 kgm2 na última equação teremos R s C s s Kks K K 2 h h Note que neste problema n K 2ζn Kk O máximo sobressinal Mp é M e p 1 2 gr g cujo valor está especificado em 25 Então 025 e 1 2 gr g a partir do qual 1386 1 g2 gr ou ζ 0404 A especificação do tempo de pico tp é de 2 s Assim 2 tp d r FIGURA 553 Rs Cs k 1 s K Js Sistema de malha fechada 212 Engenharia de controle moderno ou d 157 Então a frequência natural não amortecida n é 172 1 1 0 404 1 57 n d 2 2 g Portanto obtemos K k K 1 72 2 95 2 2 95 2 0 404 1 72 0 471 N m s n n 2 2 g A55 A Figura 554a mostra um sistema mecânico vibratório Quando uma força de 89 N degrau de entrada é aplicada ao sistema a massa oscila como mostra a Figura 554b Determine m b e k do sistema a partir dessa curva de resposta O deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio Solução A função de transferência desse sistema é P s X s ms bs k 1 2 h h Como P s s 8 9 h obtemos X s s ms bs k 8 9 2 h h Seguese que o valor de regime permanente de x é 003048 lim m x sX s k 8 9 s 0 3 h h Então k 292 Nm Note que Mp 95 corresponde a ζ 06 O tempo de pico tp é dado por t 1 0 8 p d n n 2 r g r r FIGURA 554 k b x a b P89 N force xt m 002048 0 1 2 3 4 5 t 00029 m m a Sistema mecânico vibratório b curva de resposta ao degrau 213 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A curva experimental mostra que tp 2 s Portanto 196 rad 2 0 8 3 14 s n Como 2 n km 292m obtemos 76 Kg m 292 1 96 292 n 2 2 Então b é determinado a partir de 2 m b n g ou b 2ζnm 2 06 196 76 179 Nsm A56 Considere a resposta ao degrau unitário do sistema de segunda ordem R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h A amplitude da senoide exponencialmente amortecida varia como os termos de uma série geomé trica No instante t tp π d a amplitude é igual a eσ dπ Depois de uma oscilação ou seja para t tp 2π d 3π d a amplitude é igual a eσ d3π depois de outro ciclo de oscilação a amplitude é eσ d5π O logaritmo da relação de amplitudes sucessivas é denominado decremento logarítmico Determine o decremento logarítmico para esse sistema de segunda ordem Descreva um método para a determinação experimental do coeficiente de amortecimento a partir da taxa de decremento da oscilação Solução Vamos definir a amplitude da resposta oscilatória em t ti como xi onde ti tp i 1T T período de oscilação A relação de amplitudes em cada período das oscilações amortecidas é x x e e e e 2 1 3 2 2 1 d d d 2 v r v r v r gr g h h h Então o decremento logarítmico δ é ln x x 1 2 2 1 2 d g gr Esta é uma função apenas do coeficiente de amortecimento ζ Assim o coeficiente de amorteci mento ζ pode ser determinado utilizandose o decremento logarítmico Na determinação experimental do coeficiente de amortecimento ζ a partir da taxa de decremento das oscilações medimos a amplitude x1 no instante t tp e a amplitude xn no instante t tp n 1T Note que é necessário escolher n suficientemente grande para que a relação x1xn não seja próxima de 1 Então x x e n n 1 1 2 1 2 gr g h ou ln x x n 1 1 2 n 1 g2 gr h Portanto ln ln n x x n x x 4 1 1 1 1 n n 2 1 1 g r 2 e e o o G 214 Engenharia de controle moderno A57 No sistema mostrado na Figura 555 os valores numéricos de m b e k são dados como m 1 kg b 2 Nsm e k 100 Nm A massa é deslocada de 005 m e liberada sem velocidade inicial Determine a frequência da oscilação observada Determine também a amplitude quatro ciclos depois O deslocamento x é medido a partir da posição de equilíbrio Solução A equação de movimento para o sistema é mẍ bẋ kx 0 Substituindo os valores numéricos de m b e k nessa equação temos ẍ 2ẋ 100x 0 onde as condições iniciais são x0 005 e ẋ0 0 A partir dessa última equação obtemos a frequência natural não amortecida n e o coeficiente de amortecimento ζ como n 10 ζ 01 A frequência realmente observada nas oscilações é a frequência natural amortecida d 10 995 rad 1 1 0 01 s d n 2 g Na presente análise ẋ0 é dada como zero Assim a solução xt pode ser escrita como cos sen x t x e t t 0 1 t d d 2 n g g g c h h m Seguese que para t nT onde T 2πd xnT x0eζnnT Consequentemente a amplitude após quatro ciclos é x4T x0eζn4T x0e0110406315 005e 2526 005 007998 0004 m A58 Obtenha a resposta ao degrau unitário tanto analítica como computacionalmente do seguinte sistema de ordem superior R s C s s s s s s s s 8 40 96 80 3 25 72 80 4 3 2 3 2 h h Obtenha a expansão de Cs em frações parciais com o MATLAB para o caso em que Rs seja um degrau unitário Solução O Programa 518 em MATLAB gera a curva de resposta ao degrau unitário mostrada na Figura 556 Ele também fornece a expansão de Cs em frações parciais como segue FIGURA 555 k m b x Sistema amortecedor massamola 215 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário C s s s s s s s s s s j j s j j s s s s s s s s s 8 40 96 80 3 25 72 80 1 2 4 0 2813 0 1719 2 4 0 2813 0 1719 2 0 4375 2 0 375 1 2 4 0 5626 2 2 4 0 3438 4 2 0 4375 2 0 375 1 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h h h Programa 518 em MATLAB Resposta ao degrau unitário de CsRs e expansão em frações parciais de Cs num 3 25 72 80 den 1 8 40 96 80 stepnumden v 0 3 0 12 axisv grid Para obter a expansão em frações parciais de Cs digite os comandos num1 3 25 72 80 den1 1 8 40 96 80 0 rpk residuenum1den1 num1 25 72 80 den1 1 8 40 96 80 0 rpk residuenum1den1 r 02813 01719i 02813 01719i 04375 03750 10000 p 20000 40000i 20000 40000i 20000 20000 0 k Então a resposta no tempo ct pode ser dada por ct 05626e 2t cos 4t 03438e 2t sen 4t 04375e 2t 0375te 2t 1 A curva de resposta é uma superposição de uma curva exponencial com uma senoide amortecida conforme se pode ver na Figura 556 216 Engenharia de controle moderno A59 Quando um sistema de malha fechada envolve uma dinâmica no numerador a curva de resposta ao degrau unitário pode apresentar um grande sobressinal Obtenha a resposta ao degrau unitário do seguinte sistema utilizando o MATLAB R s C s s s s 4 4 10 4 2 h h Obtenha também a resposta à rampa unitária com o MATLAB Solução O Programa 519 em MATLAB produz tanto a resposta ao degrau unitário como a resposta à rampa unitária do sistema dado A curva de resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária juntamente com a entrada em rampa unitária são mostradas nas figuras 557a e b respectivamente Observe que a curva de resposta ao degrau unitário apresenta um sobressinal superior a 215 A curva de resposta à rampa unitária está avançada em relação à curva do sinal de entrada Esses fenômenos ocorrem por causa da presença de um grande termo derivativo no numerador Programa 519 em MATLAB num 10 4 den 1 4 4 t 000210 y stepnumdent plotty grid titleResposta do Degrau Unitário xlabelt s ylabelOutput num1 10 4 den1 1 4 4 0 y1 stepnum1den1t plotttty1 v 0 10 0 10 axisv grid titleResposta à Rampa Unitária xlabelt s ylabelEntrada e Saída em Rampa Unitária text6150Entrada em Rampa Unitária text3571Saída FIGURA 556 Amplitude Tempo s Resposta ao degrau 06 04 02 08 1 12 0 0 05 1 15 2 25 3 Curva de resposta ao degrau unitário 217 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A510 Considere o sistema de ordem superior definido por R s C s s s s s s s 6 11 3223 18 12 811 6 3223 18 12 811 4 3 2 2 h h Utilizando o MATLAB desenhe a curva de resposta ao degrau unitário desse sistema Utili zando o MATLAB obtenha o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Solução O Programa 520 em MATLAB imprime a curva de resposta ao degrau unitário bem como fornece o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomo dação A curva de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 558 FIGURA 557 Saída t s Resposta ao degrau unitário a 05 1 15 2 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e saída em rampa unitária t s Resposta à rampa unitária b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada em rampa unitária Saída a Curva de resposta ao degrau unitário b curva de resposta à rampa unitária com entrada em rampa unitária 218 Engenharia de controle moderno Programa 520 em MATLAB Este programa destinase a desenhar a curva de resposta ao degrau unitário bem como fornece o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação Neste programa o tempo de subida é o tempo requerido para que a resposta suba desde 10 até 90 de seu valor final num 63223 18 12811 den 1 6 113223 18 12811 t 000220 yxt stepnumdent plotty grid titleResposta ao Degrau Unitário xlabelt s ylabelSaída yt r1 1 while yr1 01 r1 r11 end r2 1 while yr2 09 r2 r21 end risetime r2r10 02 risetime 05800 ymaxtp maxy peaktime tp1002 peaktime 16600 maxovershoot ymax1 maxovershoot 06182 s 1001 while ys 098 ys 102 s s1 end settlingtime s1002 settlingtime 100200 FIGURA 558 Saída y t t s Resposta ao degrau unitário 06 04 02 08 1 12 14 16 18 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Curva de resposta ao degrau unitário 219 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A511 Considere o sistema de malha fechada definido por R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h Utilizando um for loop escreva um programa em MATLAB para obter a resposta ao degrau unitário desse sistema para os quatro casos seguintes Caso 1 ζ 03 n 1 Caso 2 ζ 05 n 2 Caso 3 ζ 07 n 4 Caso 4 ζ 08 n 6 Solução Defina 2 n a e 2ζn b Então os vetores a e b têm quatro elementos cada um como segue a 1 4 16 36 b 06 2 56 96 Utilizando os vetores a e b o Programa 521 em MATLAB fornece as curvas de resposta ao degrau unitário como mostra a Figura 559 Programa 521 em MATLAB a 1 4 16 36 b 06 2 56 96 t 0018 y zeros814 for i 14 num ai den 1 bi ai yi stepnumdent end plotty1oty2xty3ty4 grid titleCurvas de Resposta ao Degrau Unitário para os Quatro Casos xlabelt s ylabelSaídas gtext1 gtext2 gtext3 gtext4 FIGURA 559 Curvas de resposta ao degrau unitário para os quatro casos t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Saídas 14 0 04 02 06 08 1 12 1 2 3 4 Curvas de resposta ao degrau unitário para os quatro casos 220 Engenharia de controle moderno A512 Utilizando o MATLAB obtenha a resposta à rampa unitária do sistema de controle de malha fechada cuja função de transferência é R s C s s s s s 6 9 10 10 3 2 h h Obtenha também a resposta desse sistema quando a entrada for dada por r e 05t Solução O Programa 522 em MATLAB fornece a resposta à rampa unitária e a resposta à entrada exponencial r e 05t As curvas de resposta resultantes são mostradas nas figuras 560a e b respectivamente Programa 522 em MATLAB Resposta à Rampa Unitária num 1 10 den 1 6 9 10 t 00110 r t y lsimnumdenrt plottrtyo grid titleResposta à Rampa Unitária com o Uso de Comando lsim xlabelt s ylabelSaída text3265Entrada em Rampa Unitária text6031Saída Resposta à Entrada r1 exp05t num 0 0 1 10 den 1 6 9 10 t 00112 r1 exp05t y1 lsimnumdenr1t plottr1ty1o grid titleResposta à Entrada r1 exp05t xlabelt s ylabelEntrada e Saída text14075Entrada r1 exp05t text62034Saída 221 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A513 Obtenha a resposta do sistema de malha fechada definido por R s C s s s 5 5 2 h h quando a entrada rt for dada por rt 2 t A entrada rt é uma entrada em degrau de valor 2 mais a entrada em rampa unitária Solução Um programa possível é o Programa 523 em MATLAB A Figura 561 mostra a curva de resposta resultante juntamente com o traçado da função de entrada FIGURA 560 Resposta à rampa unitária com o uso do comando lsim t s Saída 9 5 1 8 6 3 2 4 7 10 Entrada em rampa unitária a 00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saída Resposta à entrada r1 e05t Entrada r1 e05t Saída t s 0 2 4 6 8 10 12 b Entrada e saída 1 01 0 04 02 03 05 06 07 08 09 a Curva de resposta à rampa unitária b resposta à entrada exponencial r1 e 05t 222 Engenharia de controle moderno Programa 523 em MATLAB num 5 den 1 1 5 t 000510 r 2t c lsimnumdenrt plottrtco grid titleResposta à Entrada rt 2 t xlabelt s ylabelSaída ct e Entrada rt 2 t A514 Obtenha a resposta do sistema mostrado na Figura 562 quando a entrada rt for dada por rt 2 1 t2 A entrada rt é uma entrada em aceleração unitária Solução A função de transferência de malha fechada é R s C s s s 2 2 2 h h O Programa 524 em MATLAB fornece a resposta à aceleração unitária A Figura 563 mostra a resposta resultante juntamente com a entrada em aceleração unitária FIGURA 561 Resposta à entrada rt 2 t t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saída ct e entrada rt 2 t 12 0 4 2 6 8 10 Resposta à entrada rt 2 t FIGURA 562 2 ss 1 Rs Cs Sistema de controle 223 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Programa 524 em MATLAB num 2 den 1 1 2 t 00210 r 05t2 y lsimnumdenrt plottrtyoty grid titleResposta à Aceleração Unitária xlabelt s ylabelEntrada e Saída text21275Entrada em Aceleração Unitária text7275Saída A515 Considere o sistema definido por R s C s s 2 s 1 1 2 g h h onde ζ 0 02 04 06 08 e 10 Escreva um programa em MATLAB utilizando um for loop para obter os gráficos bidimensional e tridimensional da saída do sistema A entrada é a função degrau unitário Solução O Programa 525 em MATLAB é uma opção de programa para obter os gráficos bidi mensional e tridimensional A Figura 564a mostra o gráfico bidimensional das curvas de res posta ao degrau unitário para vários valores de ζ A Figura 564b exibe o gráfico tridimensional obtido pelo comando meshy e a Figura 564c é obtida com o uso do comando meshy Esses dois gráficos tridimensionais são basicamente os mesmos A única diferença é que o eixo x e o eixo y são permutados FIGURA 563 Resposta à aceleração unitária t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Entrada e saída 50 0 10 5 15 20 25 30 35 40 45 Entrada em aceleração unitária Saída Resposta à entrada em aceleração unitária 224 Engenharia de controle moderno Programa 525 em MATLAB t 00212 for n 16 num 1 den 1 2n102 1 y161nxt stepnumdent end plotty grid titleCurvas de Resposta ao Degrau Unitário xlabelt s ylabelSaídas gtextzeta 0 gtext02 gtext04 gtext06 gtext08 gtext10 Para desenhar um gráfico tridimensional digite o seguinte comando meshy ou meshy Mostramos dois gráficos tridimensionais um usando meshy e o outro usando meshy Esses dois gráficos são os mesmos exceto que os eixos x e são y são permutados meshy titleGráfico Tridimensional das Curvas de Resposta do Degrau Unitário com o Uso do Comando meshy xlabeln onde n 123456 ylabelValores de Tempo Computados zlabelSaídas meshy titleGráfico Tridimensional das Curvas de Resposta ao Degrau Unitário com o Uso do Comando meshy permutado xlabelValores de Tempo Computados ylabeln onde n 123456 zlabelSaídas FIGURA 564 a 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 2 4 6 8 10 12 Saída t s z 0 ζ 0 02 02 04 04 06 06 08 08 10 10 Curvas de resposta ao degrau unitário a Gráfico bidimensional das curvas de resposta ao degrau unitário b gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy c gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy 225 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A516 Considere o sistema submetido à condição inicial dada a seguir x x x x x x x x x y x x x 0 0 10 1 0 17 0 1 8 0 0 0 2 1 0 5 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o h h h 6 H H H H H H Não há função de entrada ou função de força nesse sistema Obtenha a resposta yt versus t para a condição inicial dada utilizando as equações 558 e 560 080 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 05 1 15 2 Saída Valores de tempo computados n onde n 1 2 3 4 5 6 b Gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy 06 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 05 1 15 2 Saídas n onde n 1 2 3 4 5 6 Valores de tempo computados c Gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário com o uso do comando meshy permutado 226 Engenharia de controle moderno Solução Uma opção de programa MATLAB baseado nas equações 558 e 560 é o Programa 526 em MATLAB A Figura 565 mostra a curva de resposta resultante Note que o problema foi resolvido com o uso do comando initial no Exemplo 516 A curva de resposta resultante aqui é exatamente a mesma mostrada na Figura 534 Programa 526 em MATLAB t 000510 A 0 1 00 0 110 17 8 B 2105 C1 0 0 yxt stepABCACB1t plotty grid titleResposta à Condição Inicial xlabelt s ylabelSaída y A517 Considere a seguinte equação característica s4 Ks3 s2 s 1 0 Determine o intervalo de valores de K para que o sistema seja estável Solução A matriz dos coeficientes de Routh é s4 1 1 1 s3 K 1 0 s2 K K 1 1 s1 1 K K 1 2 s0 1 para que haja estabilidade é necessário que FIGURA 565 Saída y t s Resposta à condição inicial 05 1 15 2 25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta yt à condição inicial dada 227 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário K K K K K 0 1 0 1 1 0 2 2 2 2 A partir da primeira e da segunda condição K deve ser maior que 1 Note que para K 1 o termo 1 K 2K 1 é sempre negativo pois 0 K K K K K K 1 1 1 1 1 2 1 h Assim as três condições não podem ser satisfeitas simultaneamente Então não existe um valor de K que permita a estabilidade do sistema A518 Considere a equação característica dada por a0sn a1sn 1 a2sn 2 an 1s an 0 567 O critério de estabilidade de Hurwitz apresentado a seguir fornece condições para que todas as raízes tenham partes reais negativas em termos dos coeficientes dos polinômios Conforme as dis cussões sobre o critério de estabilidade de Routh na Seção 56 para que todas as raízes tenham partes reais negativas todos os coeficientes a devem ser positivos Esta é uma condição necessária mas não suficiente Se essa condição não for satisfeita isso indicará que algumas das raízes têm partes reais positivas ou são imaginárias ou nulas A condição suficiente para que todas as raízes tenham parte real negativa é dada pelo seguinte critério de estabilidade de Hurwitz se todos os coeficientes do polinômio forem positivos eles serão organizados no seguinte determinante a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n 1 0 3 2 1 0 5 4 3 2 1 2 3 4 1 2 g g g g g D onde para s n substituímos as por zero Para que todas as raízes tenham parte real negativa é necessário e suficiente que os menores principais sucessivos de Δn sejam positivos Os menores principais sucessivos são os seguintes determinantes a a a a a a a a a i n 0 0 0 1 2 1 i i i i 1 0 3 2 1 2 1 2 2 2 3 1 g g g g f D h onde as 0 se s n Note que algumas das condições para os determinantes de ordem inferior estão incluídas nas condições dos determinantes de ordem mais elevada Se todos esses determinantes forem positivos e a0 0 como foi admitido anteriormente o estado de equilíbrio do sistema cuja equação característica é dada pela Equação 567 será assintoticamente estável Observe que para o critério de estabilidade não são necessários os valores exatos dos determinantes mas somente o sinal desses determinantes Agora considere a seguinte equação característica a0s4 a1s3 a2s2 a3s a4 0 228 Engenharia de controle moderno Obtenha as condições de estabilidade utilizando o critério de estabilidade de Hurwitz Solução As condições para que se tenha estabilidade são que todos os coeficientes a sejam positivos e que a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 2 1 0 3 2 1 2 0 3 3 1 0 3 2 1 4 3 1 2 3 1 4 0 3 2 3 1 2 0 3 1 2 4 2 2 D D h h É evidente que se todos os coeficientes a forem positivos e se a condição Δ3 0 for satisfeita a condição Δ2 0 também será atendida Portanto para que todas as raízes da equação caracterís tica em questão tenham parte real negativa é necessário e suficiente que todos os coeficientes a sejam positivos e que Δ3 0 A519 Mostre que a primeira coluna da matriz de Routh de sn a1sn 1 a2sn 2 an 1s an 0 é dada por 1 n n 1 1 2 2 3 1 D D D D D D D onde a a a a a a a a a a n r 1 0 0 1 0 0 0 1 r r r 1 3 5 2 1 2 4 1 3 2 h h h h h D h ak 0 se k n Solução A matriz dos coeficientes de Routh tem a seguinte forma 1 a2 a4 a6 an a1 a3 a5 b1 b2 b3 c1 c2 h h h O primeiro termo da primeira coluna da matriz de Routh é 1 O próximo termo da primeira coluna é a1 que é igual a Δ1 O próximo termo é b1 que é igual a a a a a 1 1 2 3 1 2 D D O próximo termo na primeira coluna é c1 que é igual a 229 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário b b a a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 3 1 1 1 4 5 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 4 1 5 2 3 D D E E E Os termos restantes na primeira coluna da matriz de Routh podem ser determinados de modo análogo A matriz de Routh possui a propriedade de que os últimos termos não nulos de qualquer coluna são os mesmos isto é se a matriz for a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 e1 e2 f1 g1 então a7 c3 e2 g1 e se a matriz for a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 0 b1 b2 b3 c1 c2 0 d1 d2 e1 0 f1 então a6 b3 d2 f1 Em qualquer um dos casos o último termo da primeira coluna é igual a an ou a a n n n n n n 1 1 1 D D D D Por exemplo se n 4 então a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 4 1 3 5 7 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 3 4 D D 230 Engenharia de controle moderno Assim foi demonstrado que a primeira coluna da matriz de Routh é dada por 1 n n 1 1 2 2 3 1 g D D D D D D D A520 Mostre que o critério de estabilidade de Routh e o critério de estabilidade de Hurwitz são equi valentes Solução Se escrevermos todos os determinantes de Hurwitz na forma triangular a a a i n 0 1 2 i ii 11 22 j f D h onde os elementos abaixo da linha diagonal são todos zeros e os elementos acima são valores quaisquer então as condições de Hurwitz para a estabilidade assintótica se tornam Δi a11a22 aii 0 i 1 2 n que são equivalentes às condições a11 0 a22 0 ann 0 Mostraremos que essas condições são equivalentes a a1 0 b1 0 c1 0 onde a1 b1 c1 são elementos da primeira coluna na matriz de Routh Considere por exemplo o seguinte determinante de Hurwitz que corresponde a i 4 a a a a a a a a a a a a a a 0 0 4 1 0 3 2 1 0 5 4 3 2 7 6 5 4 D O determinante ficará inalterado se a linha i for subtraída k vezes da linha j Subtraindo da segunda linha a0 a1 vezes a primeira linha obtemos a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 4 11 3 22 1 0 5 23 3 2 7 24 5 4 D onde a11 a1 a22 a2 a a 1 0 a3 a23 a4 a a 1 0 a5 a24 a6 a a 1 0 a7 De forma similar subtraindo da quarta linha a0 a1 vezes a terceira linha obtemos a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 4 11 3 22 1 5 23 3 43 7 24 5 44 D t 231 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário onde â43 a2 a a 1 0 a3 â44 a4 a a 1 0 a5 Em seguida subtraindo da terceira linha a1 a22 vezes a segunda linha temos a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 4 11 3 22 5 23 33 43 7 24 34 44 D t t onde a33 a3 a a 22 1 a23 a34 a5 a a 22 1 a24 Por fim subtraindo da última linha â43a33 vezes a terceira linha obtemos a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 4 11 3 22 5 23 33 7 24 34 44 D onde a a a a a 44 44 33 43 34 t t A partir dessa análise vemos que Δ4 a11 a22 a33 a44 Δ3 a11 a22 a33 Δ2 a11 a22 Δ1 a11 As condições de Hurwitz para a estabilidade assintótica Δ1 0 Δ2 0 Δ3 0 Δ4 0 reduzemse às condições a11 0 a22 0 a33 0 a44 0 A matriz de Routh para o polinômio a0s4 a1s3 a2s2 a3s a4 0 onde a0 0 e n 4 é dada por a0 a2 a4 a1 a3 b1 b2 c1 d1 232 Engenharia de controle moderno Observando a matriz de Routh vemos que a a a a a a a b a a a a a b a b a b c a a a a a a d 11 1 22 2 1 0 3 1 33 3 22 1 23 1 3 1 1 2 1 44 44 33 43 34 4 1 t t A última equação é obtida a partir do fato de que a34 0 â44 a4 e a4 b2 d1 Então as con dições de Hurwitz para a estabilidade assintótica tornamse a1 0 b1 0 c1 0 d1 0 Assim fica demonstrado que as condições de Hurwitz para a estabilidade assintótica podem ser reduzidas às condições de Routh para a estabilidade assintótica O mesmo argumento pode ser estendido aos determinantes de Hurwitz de qualquer ordem e a equivalência entre o critério de estabilidade de Routh e o de Hurwitz pode ser estabelecida A521 Considere a equação característica s4 2s3 4 Ks2 9s 25 0 Utilizando o critério de estabilidade de Hurwitz determine o intervalo de valores de K para que haja estabilidade Solução Comparando a equação característica a seguir s4 2s3 4 Ks2 9s 25 0 com a seguinte equação característica de quarta ordem a0s4 a1s3 a2s2 a3s a4 0 temos a0 1 a1 2 a2 4 K a3 9 a4 25 O critério de estabilidade de Hurwitz estabelece que Δ4 é dado por a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 4 1 0 3 2 1 0 4 3 2 4 D Para que todas as raízes tenham parte real negativa é necessário e suficiente que os menores sucessivos principais de Δ4 sejam positivos Os menores sucessivos principais são a a a a a K K a a a a a a a K K 2 2 1 9 4 2 1 0 0 2 1 0 9 4 2 0 25 9 18 109 1 1 2 1 0 3 2 3 1 0 3 2 1 4 3 D D D Para que todos os menores principais sejam positivos é necessário que Δi i 1 2 3 seja posi tivo Portanto devemos ter 2K 1 0 18K 109 0 233 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário de onde concluímos que a região de K para que haja estabilidade é K 18 109 2 A522 Explique por que o controle proporcional de uma planta que não possui propriedade de integra ção o que significa que a função de transferência da planta não inclui o fator 1s apresenta erro residual na resposta ao degrau Solução Considere por exemplo o sistema mostrado na Figura 566 Se em regime permanente c for igual a uma constante não nula igual a r então e 0 e u Ke 0 resultando em c 0 o que contradiz a suposição de que c r constante não nula Esse sistema de controle requer um erro residual não nulo Em outras palavras se e for igual em regime permanente a r1 K então u Kr1 K e c Kr1 K o que resulta no sinal de erro e r1 K Assim o erro residual de r1 K deve existir nesse sistema em particular A523 O diagrama de blocos da Figura 567 mostra um sistema de controle de velocidade no qual o elemento de saída do sistema é submetido a um distúrbio de torque No diagrama rs s Ts e Ds são as transformadas de Laplace da velocidade de referência da velocidade de saída do torque de excitação e do distúrbio de torque respectivamente Na ausência de um distúrbio de torque a velocidade de saída é igual à velocidade de referência Analise a resposta desse sistema a um degrau unitário do torque de distúrbio Suponha que a entrada de referência seja zero ou rs 0 Solução A Figura 568 é um diagrama de blocos convenientemente modificado para essa análise A função de transferência de malha fechada é D s s Js K 1 XD h h onde Ds é a transformada de Laplace da velocidade de saída causada pelo torque de distúrbio Para um torque de distúrbio em degrau unitário a velocidade de saída em regime permanente é FIGURA 566 r c e u K 1 Ts 1 Sistema de controle FIGURA 567 Ds Es Ts Ωs Ωrs K 1 Js Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade 234 Engenharia de controle moderno lim lim s s Js K s s K 1 1 D s D s 0 0 3 X h h A partir dessa análise concluímos que se um distúrbio de torque em degrau for aplicado ao ele mento de saída do sistema resultará em um erro de velocidade de modo que o torque resultante do motor cancelará exatamente o distúrbio de torque Para desenvolver esse torque do motor é necessário que haja o erro na velocidade de modo que resulte em um torque não nulo A dis cussão continua no Problema A524 A524 No sistema considerado no Problema A523 desejase eliminar tanto quanto possível os erros de velocidade causados por distúrbios de torque É possível cancelar o efeito de um distúrbio de torque em regime permanente de tal modo que um distúrbio de torque constante aplicado ao elemento de saída não cause alteração da velocidade em regime permanente Solução Suponha que escolhamos um controlador conveniente cuja função de transferência é Gcs como mostra a Figura 569 Então na ausência da entrada de referência a função de transferência de malha fechada entre a velocidade de saída Ds e o distúrbio de torque Ds é D s s Js G s Js Js G s 1 1 1 1 D c c X h h h h A velocidade de saída em regime permanente em virtude de um distúrbio de torque em degrau unitário é lim lim s s Js G s s s G 1 0 1 D s D s c c 0 0 3 X h h h h Para satisfazer a condição D 0 devemos optar por Gc0 Isso pode ser realizado se escolhermos Gcs s K FIGURA 568 K 1 Js ΩDs Ds Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da Figura 567 quando rs 0 235 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário A ação de controle integral continuará a corrigir o erro até que ele se anule Esse controlador entretanto apresenta um problema de estabilidade porque a equação característica mostra duas raízes imaginárias Um método de estabilização para esse sistema é adicionar um modo proporcional ao controlador ou seja escolher Gcs Kp s K Com esse controlador o diagrama de blocos da Figura 569 na ausência da entrada de refe rência pode ser modificado para o da Figura 570 A função de transferência de malha fechada DsDs tornase D s s Js K s K s D p 2 X h h Para um torque de distúrbio em degrau unitário a velocidade de saída em regime permanente é 0 lim lim s s Js K s K s s 1 D s D s p 0 0 2 2 3 X h h Então vemos que o controlador proporcionalintegral elimina o erro de velocidade em regime permanente O uso da ação de controle integral aumenta a ordem do sistema em uma unidade Isso tende a produzir uma resposta oscilatória No presente sistema um torque de distúrbio em degrau causará um erro transitório na velocidade de saída mas o erro se tornará nulo em regime permanente O integrador produz uma saída não nula com erro nulo A saída não nula do integrador produz um torque no motor que cancela exatamente o torque de distúrbio Note que mesmo que o sistema tenha um integrador na planta por exemplo um integrador na função de transferência da planta isso não elimina o erro estacionário em razão de um torque de distúrbio em degrau Para eliminálo devemos ter um integrador antes do ponto de entrada do torque de distúrbio FIGURA 569 Ds Es Ts Ωs Ωrs Gcs 1 Js Diagrama de blocos de um sistema de controle de velocidade FIGURA 570 1 Js Kps K s ΩDs Ds Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade da Figura 569 quando Gcs Kp Ks e Ωrs 0 236 Engenharia de controle moderno A525 Considere o sistema mostrado na Figura 571a O erro estacionário a uma entrada em rampa unitária é ess2ζn Mostre que esse erro pode ser eliminado se a entrada no sistema for feita por meio de um filtro proporcionalderivativo como pode ser visto na Figura 571b e o valor de k for estabelecido adequadamente Note que o erro et é dado por rt ct Solução A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 571b é R s C s s s ks 2 1 n n n 2 2 2 g h h h Então R s C s s s s s ks R s 2 2 n n n n 2 2 2 2 g g f h h p h Se a entrada for uma rampa unitária então o erro estacionário será lim e r c s s s s s ks s k 2 2 1 2 s n n n n n n n 0 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 g g g f h h h p Portanto se k é escolhido como k 2 n g podese fazer que o erro estacionário para seguir a entrada em rampa seja zero Note que se existir variação nos valores de ζ eou n causada por mudanças ambientais ou de envelhecimento dos componentes podese ter como resultado um erro estacionário não nulo A526 Considere o sistema de controle estável com realimentação unitária com função de transferência no ramo direto Gs Suponha que a função de transferência de malha fechada possa ser escrita como R s C s G s G s T s T s T s T s T s T s m n 1 1 1 1 1 1 1 n a b m 1 2 g g h h h h h h h h h h h Mostre que e t dt T T T T T T n a b m 0 1 2 g g 3 h h h onde et rt ct é o erro na resposta ao degrau unitário Mostre também que lim K sG s T T T T T T 1 1 s n a b m 0 1 2 g g y h h h FIGURA 571 Rs Cs a b 1 ks n ss 2ζn 2 n ss 2ζn 2 a Sistema de controle b sistema de controle com filtro de entrada 237 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Solução Vamos definir Tas 1Tbs 1 Tms 1 Ps e T1s 1T2s 1 Tns 1 Qs Então R s C s Q s P s h h h h e E s Q s Q s P s R s h h h h h Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s e E s sQ s Q s P s h h h h Como o sistema é estável 80 etdt converge para um valor constante Observando que lim lim e t dt s s E s E s s s 0 0 0 3 h h h temos lim lim lim e t dt sQ s Q s P s Q s sQ s Q s P s Q s P s s s s 0 0 0 0 3 l l l l l h h h h h h h h h h 6 Como lim s 0 P s Ta Tb Tm lim s 0 Q s T1 T2 Tn temos e 0 3 e tdt T1 T2 Tn Ta Tb Tm Para uma entrada em degrau unitário rt sendo lim lim lim lim e t dt E s G s R s G s s sG s K 1 1 1 1 1 1 1 s s s s 0 0 0 0 0 3 y h h h h h h temos lim K sG s T T T T T T 1 1 s n a b m 0 1 2 g g y h h h Observe que os zeros no semiplano esquerdo isto é Ta Tb Tm positivos melhorarão Ky Polos próximos à origem ocasionam baixas constantes de erro de velocidade a menos que existam zeros nas proximidades Problemas B51 Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98 da resposta a uma entrada em degrau Supondo que o termômetro seja um sistema de primeira ordem determine a constante de tempo 238 Engenharia de controle moderno Se o termômetro for imerso em um banho cuja temperatura muda linearmente a uma taxa de 10omin qual será o erro apresentado pelo termômetro B52 Considere a resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s s 1 1 h h Obtenha o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação B53 Considere o sistema de malha fechada dado por R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h Determine os valores de ζ e de n de modo que o sistema responda a uma entrada em degrau com aproximadamente 5 de sobressinal e com um tempo de acomodação de 2 segundos Utilize o critério de 2 B54 Considere o sistema mostrado na Figura 572 O sistema está inicialmente em repouso Suponha que o carro seja posto em movimento por uma força impulsiva de valor unitário O sistema pode ser parado por outra força impulsiva B55 Obtenha a resposta ao impulso unitário e a resposta ao degrau unitário de um sistema com rea limentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s 2s 1 2 h B56 Sabese que a função de transferência de um sistema oscilatório tem a seguinte forma G s s 2 n n n 2 2 2 g h Suponha que haja um registro da oscilação com amortecimento como mostra a Figura 573 Determine o coeficiente de amortecimento ζ do sistema a partir do gráfico FIGURA 572 x m k Força impulsiva δt Sistema mecânico FIGURA 573 x1 T t t1 xn tn Oscilação decrescente 239 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário B57 Considere o sistema mostrado na Figura 574a O coeficiente de amortecimento do sistema é 0158 e a frequência natural não amortecida é 316 rads Para melhorar a estabilidade relativa utilizamos a realimentação tacométrica A Figura 574b mostra esse sistema com o tacômetro no ramo de realimentação Determine o valor de Kh de modo que o coeficiente de amortecimento seja 05 Desenhe as curvas de resposta ao degrau unitário do sistema original e do sistema com realimentação tacométrica Desenhe também as curvas de erro versus tempo para a resposta à rampa unitária de ambos os sistemas B58 Considerando o sistema apresentado na Figura 575 determine os valores de K e k de modo que o sistema tenha um coeficiente de amortecimento ζ igual a 07 e uma frequência natural não amortecida n de 4 rads B59 Considere o sistema mostrado na Figura 576 Determine o valor de k de modo que o coeficiente de amortecimento ζ seja 05 Então obtenha o tempo de subida tr o tempo de pico tp o máximo sobressinal Mp e o tempo de acomodação ts na resposta ao degrau unitário FIGURA 574 Rs Cs Rs Cs a b 10 s s 1 Kh 10 s 1 1 s a Sistema de controle b sistema de controle com realimentação tacométrica FIGURA 575 Rs Cs 1 s K s 2 k Sistema de malha fechada 240 Engenharia de controle moderno B510 Utilizando o MATLAB obtenha a resposta ao degrau unitário à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema R s C s s 2s 10 10 2 h h onde Rs e Cs são as transformadas de Laplace da entrada rt e da saída ct respectivamente B511 Utilizando o MATLAB obtenha a resposta ao degrau unitário à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema x x x x u y x x 1 1 0 5 0 0 5 0 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G onde u é a entrada e y a saída B512 Obtenha o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobressinal e o tempo de acomodação na resposta ao degrau unitário do sistema de malha fechada dado a seguir tanto analítica como computacionalmente R s C s s 2s 36 36 2 h h B513 A Figura 577 mostra três sistemas O sistema I é um servossistema posicionador O sistema II é um servossistema posicionador com ação de controle PD O sistema III é um servossistema posicionador com realimentação de velocidade Compare as respostas ao degrau unitário ao impulso unitário e à rampa unitária dos três sistemas Qual dos sistemas é melhor com respeito à velocidade de resposta e ao máximo sobressinal na resposta ao degrau FIGURA 576 Rs Cs 1 s 16 s 08 k Diagrama de blocos de um sistema 241 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário B514 Considere o sistema de controle de posição mostrado na Figura 578 Escreva um programa em MATLAB para obter a resposta do sistema ao degrau unitário bem como a resposta à rampa unitária Desenhe as curvas x1t versus t x2t versus t x3t versus t e et versus t onde et rt x1t tanto para a resposta ao degrau unitário como para a resposta à rampa unitária B515 Utilizando o MATLAB obtenha a curva de resposta ao degrau unitário do sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s s 2 s 4 10 h h h Utilizando o MATLAB obtenha também o tempo de subida o tempo de pico o máximo sobres sinal e o tempo de acomodação na curva de resposta ao degrau unitário FIGURA 577 08 5 5 CIIIs Rs Sistema III 1 5s 1 1 s CIIs Rs Sistema II 51 08s 1 s5s 1 Cs Rs Sistema I 1 s5s 1 Servossistema posicionador Sistema I servossistema posicionador com ação de controle PD Sistema II e servossistema posicionador com realimentação de velocidade Sistema III FIGURA 578 5 4 x1 x2 x3 r e 1 s 1 s 2 01s 1 Sistema de controle de posição 242 Engenharia de controle moderno B516 Considere o sistema de malha fechada definido por R s C s s s s 2 1 2 1 2 g g h h onde ζ 02 04 06 08 e 10 Utilizando o MATLAB desenhe um gráfico bidimensional das curvas de resposta ao impulso unitário Desenhe também um gráfico tridimensional dessas curvas de resposta B517 Considere o sistema de segunda ordem definido por R s C s s s s 2 1 1 2 g h h onde ζ 02 04 06 08 e 10 Desenhe um gráfico tridimensional das curvas de resposta ao degrau unitário B518 Obtenha a resposta à rampa unitária do sistema definido por x x x x u y x x 0 1 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G onde u é a entrada em rampa unitária Utilize o comando Isim para obter a resposta B519 Considere o sistema dado pela equação diferencial ÿ 3ẏ 2y 0 y 0 01 ẏ 0 005 Usando o MATLAB obtenha a resposta yt sujeita à condição inicial indicada B520 Determine o intervalo de valores de K para a estabilidade do sistema de controle com realimen tação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s s s K 1 2 h h h B521 Considere a seguinte equação característica s4 2s3 4 Ks2 9s 25 0 Utilizando o critério de estabilidade de Routh determine o intervalo de K para a estabilidade B522 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 579 Determine o intervalo de valores de K compatíveis com a estabilidade do sistema Suponha que K 0 B523 Considere o sistema de controle de posição de um satélite mostrado na Figura 580a A saída do sistema apresenta oscilações continuadas não desejáveis Esse sistema pode ser estabilizado pelo uso de realimentação tacométrica como mostra a Figura 580b Se KJ 4 que valor de Kh resultará em um coeficiente de amortecimento igual a 06 FIGURA 579 Rs Cs K s 2 s 1s2 6s 25 Sistema de malha fechada 243 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário B524 Considere o servossistema com realimentação tacométrica mostrado na Figura 581 Determine os intervalos de valores de K e de Kh que tornam o sistema estável Note que Kh deve ser positivo B525 Considere o sistema ẋ Ax onde a matriz A é dada por b b b 0 0 1 0 0 1 A 3 2 1 H A é chamada matriz de Schwarz Mostre que a primeira coluna da tabela de Routh da equação característica sI A 0 consiste em 1 b1 b2 e b1b3 B526 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha fechada seja R s C s s as b Ks b 2 h h FIGURA 580 Rs Cs b Kh K Js 1 s Rs Cs a K 1 Js2 a Sistema instável de controle de atitude de um satélite b sistema estabilizado FIGURA 581 Kh K Cs Rs 20 s 1 s 4 1 s Servossistema com realimentação tacométrica 244 Engenharia de controle moderno Determine a função de transferência de malha aberta Gs Mostre que o erro estacionário na resposta à rampa unitária é dado por e K b a K 1 ss y B527 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta seja G s s Js B K h h Discuta os efeitos que as variações de K e de B produzem sobre o erro estacionário da resposta à entrada em rampa unitária Esboce curvas típicas de resposta à rampa unitária para valores pequenos médios e elevados de K supondo que B seja constante B528 Se o ramo direto de um sistema de controle contiver pelo menos um integrador então a saída continua variando enquanto o erro estiver presente Ela deixa de variar somente quando o erro for precisamente zero Se um distúrbio externo entra no sistema é conveniente que haja um elemento integrador entre o elemento medidor de erro e o ponto de entrada do distúrbio de modo que o efeito do distúrbio externo possa ser anulado em regime permanente Mostre que se o distúrbio for uma função rampa então o erro estacionário causado por esse distúrbio em rampa somente poderá ser eliminado se houver dois integradores antes do ponto de entrada do distúrbio 245 Capítulo 5 Análise de resposta transitória e de regime estacionário Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 C A P Í T U L O 61 Introdução A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada está intima mente relacionada à localização dos polos de malha fechada Se o ganho de malha do sistema for variável então a localização dos polos de malha fechada dependerá do valor do ganho de malha escolhido É importante então que o projetista saiba como os polos de malha fechada se movem no plano s à medida que o ganho de malha varia Do ponto de vista do projeto em alguns sistemas o simples ajuste do ganho pode mover os polos de malha fechada para as localizações desejadas Então o problema do projeto pode se reduzir à escolha de um valor de ganho apropriado Se apenas o ajuste do ganho não produzir o resultado desejado será necessário adicionar um compensador ao sistema Este assunto será discutido em detalhes nas seções 66 a 69 Os polos de malha fechada são as raízes da equação característica A determinação das raízes de uma equação característica de grau superior a 3 é trabalhosa e requer a busca de uma solução por meio de um computador O MATLAB fornece uma solução simples para esse problema Entretanto apenas a determinação das raízes da equação característica pode ser uma solução limi tada porque à medida que o ganho da função de transferência de malha aberta varia a equação característica se altera e os cálculos devem ser refeitos Um método simples para a determinação das raízes da equação característica foi desenvolvido por W R Evans e tem sido amplamente utilizado na engenharia de controle Esse método chama do método do lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores de um parâmetro do sistema As raízes correspondentes a um valor específico desse parâmetro podem então ser localizadas no gráfico resultante Observe que o parâmetro é normalmente o ganho mas é possível utilizar qualquer outra variável da função de transferência de malha aberta A menos que se estabeleça o contrário vamos supor que o ganho da função de transferência de malha aberta seja o parâmetro a ser variado por toda a gama de valores de zero a infinito Utilizando o método do lugar das raízes o projetista pode prever quais os efeitos da varia ção do valor do ganho ou da adição de polos de malha aberta eou zeros de malha aberta sobre a localização dos polos de malha fechada Portanto é desejável que o projetista tenha uma boa compreensão do método de geração do lugar das raízes do sistema de malha fechada tanto manualmente como por meio de aplicativos como o MATLAB No projeto de um sistema de controle linear vemos que o método do lugar das raízes prova sua eficiência pois indica o modo pelo qual os polos e os zeros de malha aberta devem ser modi ficados para que a resposta satisfaça às especificações de desempenho do sistema Esse método é em particular eficiente para a obtenção rápida de resultados aproximados Pelo fato de a geração do lugar das raízes pelo MATLAB ser bastante simples podese pensar que esboçar o lugar das raízes manualmente seja desperdício de tempo e esforço Entretanto a experiência em esboçar manualmente o lugar das raízes é da maior importância para a interpre tação do próprio lugar das raízes gerado por computador além de servir para que se tenha de maneira rápida uma ideia aproximada do lugar das raízes Visão geral do capítulo A estrutura deste capítulo é como se segue a Seção 61 apresentou uma introdução ao método do lugar das raízes A Seção 62 detalha os conceitos básicos do método do lugar das raízes e apresenta o procedimento geral para o esboço desse método com exemplos ilustrativos A Seção 63 discute a geração do gráfico do lugar das raízes pelo MATLAB A Seção 64 trata de um caso especial quando o sistema de malha fechada apresenta realimentação positiva A Seção 65 apresenta os aspectos gerais do método do lugar das raízes no projeto de sistemas de malha fechada A Seção 66 mostra o projeto de sistemas de controle com compensação por avanço A Seção 67 trata da técnica de compensação por atraso A Seção 68 aborda a técnica de compensação por atraso e avanço Por fim a Seção 69 discute a técnica de compensação paralela 62 Gráfico do lugar das raízes Condições de ângulo e de módulo Considere o sistema mostrado na Figura 61 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h 61 A equação característica desse sistema de malha fechada é obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação 61 Ou seja 1 GsHs 0 ou GsHs 1 62 Aqui vamos supor que GsHs seja uma relação dos polinômios em s Note que podemos estender a análise ao caso em que GsHs apresenta retardo de transporte eTs Como GsHs é uma grandeza complexa a Equação 62 pode ser dividida em duas equações equiparandose os ângulos e módulos de ambos os lados respectivamente obtendose Condição angular G s H s h h 1802k 1 k 0 1 2 63 Condição de módulo GsHs 1 64 Os valores de s que satisfazem tanto a condição angular como a de módulo são as raízes da equa ção característica ou os polos de malha fechada Um lugar dos pontos no plano complexo que FIGURA 61 Hs Gs Cs Rs Sistema de controle 247 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes satisfaz somente a condição angular é o lugar das raízes As raízes da equação característica os polos de malha fechada que correspondem a dado valor do ganho podem ser determinadas pela condição de módulo Os detalhes sobre a aplicação das condições de ângulo e de módulo para a obtenção dos polos de malha fechada serão apresentados posteriormente nesta seção Em muitos casos GsHs envolve um parâmetro de ganho K e a equação característica pode ser escrita como 1 0 s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h Então o lugar das raízes do sistema é o lugar dos polos de malha fechada quando o ganho K varia de zero a infinito Note que para começar o esboço do lugar das raízes de um sistema pelo método do lugar das raízes devemos conhecer a localização dos polos e zeros de GsHs Lembrese de que os ângulos dos vetores no plano complexo grandezas complexas que se originam nos polos e zeros de malha aberta e vão até o ponto de teste s são medidos no sentido antihorário Por exemplo se GsHs for dado por G s H s s p s p s p s p K s z 1 2 3 4 1 h h h h h h h onde p2 e p3 são polos complexos conjugados então o ângulo de GsHs será G s H s 1 1 2 3 4 z i i i i h h onde z1 θ1 θ2 θ3 e θ4 são medidos no sentido antihorário como mostram as figuras 62a e b O módulo de GsHs para esse sistema é G s H s A A A A KB 1 2 3 4 1 h h onde A1 A2 A3 A4 e B1 são os módulos das grandezas complexas s p1 s p2 s p3 s p4 e s z1 respectivamente como mostra a Figura 62a Note que pelo fato de os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta caso existam situaremse sempre simetricamente em relação ao eixo real o lugar das raízes tam bém será sempre simétrico em relação a esse eixo Portanto será necessário construir apenas a metade superior do lugar das raízes e desenhar a imagem espelhada da metade superior na metade inferior do plano s FIGURA 62 Ponto de teste Ponto de teste p4 p3 p2 p1 s s z1 ϕ1 ϕ1 j θ4 θ2 θ3 θ4 θ1 θ3 θ1 θ2 v 0 p4 p2 A4 B1 A3 A2 A1 p1 p3 z1 j v 0 b a a e b Diagramas que mostram medidas dos ângulos a partir do ponto de testes s e dos polos e zeros de malha aberta 248 Engenharia de controle moderno Exemplos ilustrativos Serão apresentados a seguir dois exemplos ilustrativos de construção do gráfico do lugar das raízes Embora existam métodos computacionais facilmente acessíveis para construir o lugar das raízes utilizaremos aqui computação gráfica combinada com inspe ção para determinar o lugar geométrico sobre o qual as raízes da equação característica do sistema de malha fechada devem ser localizadas Esse método gráfico aumentará a compreensão de como os polos de malha fechada se movem no plano complexo quando os polos e zeros de malha aberta se deslocam Ainda que apenas sistemas simples tenham sido apresentados para fins de ilustração o procedimento para a construção do lugar das raízes de sistema de ordem mais elevada não é mais complicado Pelo fato de as medidas gráficas dos ângulos e dos módulos estarem envolvidas na análise será muito conveniente utilizar a mesma escala tanto para o eixo das abscissas como para o das ordenadas quando se desenha o lugar das raízes em gráficos no papel Exemplo 61 Considere o sistema com realimentação negativa mostrado na Figura 63 Vamos supor que o valor do ganho K seja não negativo Para esse sistema 1 G s s s s K H s 1 2 h h h h Vamos esboçar o gráfico do lugar das raízes e em seguida determinar o valor de K de modo que o coeficiente de amortecimento z do par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada seja 05 Para o sistema dado a condição angular é G s s s s K s s s k k 1 2 1 2 180 2 1 0 1 2 c f h h h h h A condição de módulo é 1 G s s s s K 1 2 h h h Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real O primeiro passo na construção de um gráfico do lugar das raízes é localizar no plano complexo os polos de malha aberta s 0 s 1 e s 2 Não existem zeros de malha aberta nesse sistema As posições dos polos de malha aberta são indicadas por cruzes As posições dos zeros de malha aberta neste livro serão indicadas por pequenos círculos Observe que os pontos de partida do lugar das raízes os pontos correspon dentes a K 0 são os polos de malha aberta O número de lugares das raízes individuais para esse sistema é 3 que é igual ao número de polos de malha aberta Para determinar o lugar das raízes no eixo real selecionase um ponto de teste s Se esse ponto de teste estiver no eixo real positivo então 0 s s s 1 2 c FIGURA 63 Rs Cs K ss 1 s 2 Sistema de controle 249 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Isso demonstra que a condição angular não pode ser satisfeita Então não existe lugar das raízes no eixo real positivo A seguir selecionase um ponto de teste no eixo real negativo entre 0 e 1 Então 180 0 s s s 1 2 c c Assim 180 s s s 1 2 c e a condição angular é satisfeita Dessa maneira o segmento do eixo real negativo entre 0 e 1 pertence ao lugar das raízes Se um ponto de teste for selecionado entre 1 e 2 então 180 0 s s s 1 2 c c e 360 s s s 1 2 c Podese observar então que a condição angular não será satisfeita Portanto o eixo real negati vo entre 1 e 2 não pertence ao lugar das raízes Da mesma maneira se um ponto de teste for localizado no eixo real negativo entre 2 e a condição angular será satisfeita Portanto o lugar das raízes existirá sobre o eixo real negativo entre 0 e 1 e entre 2 e 2 Determinar as assíntotas do lugar das raízes As assíntotas do lugar das raízes à medida que s se aproxima do infinito podem ser definidas da seguinte maneira se um ponto de teste for selecionado muito distante da origem então lim lim lim G s s s s K s K 1 2 s s s 3 3 3 3 h h h e a condição angular tornase 3 180 s k k 2 1 0 1 2 c f h h ou Ângulos í 012 das ass ntotas k k 3 180 2 1 c f h Como o ângulo se repete à medida que k varia os ângulos distintos para as assíntotas são deter minados como 60 60 e 180 Assim existem três assíntotas A que corresponde ao ângulo de 180 é o eixo real negativo Antes de podermos desenhar essas assíntotas no plano complexo devemos determinar o ponto onde elas cruzam o eixo real Como G s s s s K 1 2 h h h se um ponto de teste estiver muito distante da origem então Gs poderá ser escrito como G s s s K 3 3 2 g h Para valores elevados de s essa última equação pode ser aproximada como G s s K 1 3 Z h h 65 Um gráfico do lugar das raízes de Gs dado pela Equação 65 consiste em três retas Isso pode ser visto a seguir onde a equação do lugar das raízes é 180 s K k 1 2 1 3 c h h ou 3 180 s k 1 2 1 c h 250 Engenharia de controle moderno que pode ser escrita como 60 s k 1 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação obtemos 60 j k 1 2 1 c v h ou 60 60 0 tg 1 1 c c c v Considerando a tangente de ambos os lados dessa última equação 0 1 3 3 v que podem ser escritas como 1 0 1 0 0 3 3 v v Essas três equações representam três linhas retas como mostra a Figura 64 Essas três linhas retas são as assíntotas Elas se encontram no ponto s 1 Assim a abscissa de intersecção entre as assíntotas e o eixo real é obtida igualando a zero o denominador do lado direito da Equação 65 e resolvendo para s As assíntotas são praticamente partes do lugar das raízes nas regiões muito distantes da origem 3 Determinar o ponto de partida do eixo real Para desenhar com precisão o lugar das raízes devese definir o ponto de partida do eixo real onde as ramificações do lugar das raízes originárias dos polos em 0 e 1 saem do eixo real à medida que K aumenta e se movem no plano complexo O ponto de partida do eixo real corresponde a um ponto no plano s onde ocorrem raízes múltiplas da equação característica Existe um método simples para a determinação do ponto de partida do eixo real que apre sentaremos a seguir Escreveremos a equação característica como fs Bs KAs 0 66 FIGURA 64 j v 0 1 j 3 j 3 v 1 3 0 v 1 3 0 0 Três assíntotas 251 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes onde As e Bs não contêm K Note que fs 0 tem raízes múltiplas nos pontos onde 0 ds df s h Isso pode ser visto como segue Suponha que fs tenha raízes múltiplas de ordem r onde r 2 Então fs pode ser escrita como fs s s1rs s2 s sn Derivando essa equação em relação a s e estimandose o valor de dfsds em s s1 teremos 0 ds df s s s1 h 67 Isso indica que raízes múltiplas de fs satisfazem à Equação 67 A partir da Equação 66 obtemos 0 ds df s B s KA s l l h h h 68 onde A s ds dA s B s ds dB s l l h h h h O valor específico de K que produzirá raízes múltiplas da equação característica é obtido a partir da Equação 68 como K A s B s l l h h Se substituirmos esse valor de K na Equação 66 teremos 0 f s B s A s B s A s l l h h h h h ou BsAs BsAs 0 69 Se a Equação 69 for resolvida em relação a s podem ser obtidos os pontos onde ocorram as raízes múltiplas Por outro lado a partir da Equação 66 obtemos K A s B s h h e ds dK A s B s A s B s A s 2 l l h h h h h Se dKds for igualado a zero obteremos novamente a Equação 69 Assim os pontos de partida do eixo real podem ser determinados a partir das raízes de ds dK 0 Podese notar que nem todas as soluções da Equação 69 ou de dKds 0 correspondem ao ponto de partida real do eixo real Se um ponto no qual dKds 0 estiver sobre o lugar das raízes este será mesmo um ponto de partida ou de chegada ao eixo real Em outras palavras se o valor de K for real e positivo em um ponto em que dKds 0 então este será de fato um ponto de partida ou de chegada do eixo real No presente exemplo a equação característica Gs 1 0 é dada por 1 0 s s s K 1 2 h h ou K s3 3s2 2s 252 Engenharia de controle moderno Definindo dKds 0 obtemos ds dK 3s2 6s 2 0 ou s 04226 s 15774 Como o ponto de partida do eixo real deve estar sobre o lugar das raízes entre 0 e 1 está claro que s 04226 corresponde efetivamente ao ponto de partida do eixo real O ponto s 15774 não está sobre o lugar das raízes Então esse ponto não é realmente um ponto nem de partida nem de chegada De fato o cálculo dos valores de K correspondentes a s 04226 e s 15774 resulta em K 03849 para s 04226 K 03849 para s 15774 4 Determinar os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário Esses pontos podem ser determinados com a utilização do critério de estabilidade de Routh do seguinte modo como a equação característica para o presente sistema é s3 3s2 2s K 0 a matriz de Routh tornase s3 1 2 s2 3 K s1 K 3 6 s0 K O valor de K que faz que o termo s1 na primeira coluna seja igual a zero é K 6 Os pontos de cruzamento com o eixo imaginário podem então ser determinados com a resolução da equação auxiliar obtida a partir da linha s2 isto é 3s2 K 3s2 6 0 do que resulta s j 2 As frequências no ponto de cruzamento do eixo imaginário são portanto 2 O valor do ganho correspondente aos pontos de cruzamento é K 6 Um método alternativo é fazer s j na equação característica igualar a zero tanto a parte real como a parte imaginária e então resolver para e K Para o presente sistema a equação característica com s j é j3 3j2 2j K 0 ou K 32 j2 3 0 Igualando tanto a parte real como a imaginária dessa última equação a zero obtemos K 32 0 2 3 0 A partir da qual 2 K 6 ou 0 K 0 Assim o lugar das raízes cruza o eixo imaginário em 2 e o valor de K no ponto de cru zamento é 6 Além disso um ramo do lugar das raízes no eixo real toca o eixo imaginário em 0 O valor de K nesse ponto é zero 5 Escolher um ponto de teste nos entornos do eixo j e da origem como mostra a Figura 65 e aplicar a condição angular Se um ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma 253 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes dos três ângulos q1 q2 q3 deve ser 180 Se o ponto de teste não satisfizer à condição angular selecione outro ponto de teste até que a condição seja atendida A soma dos ângulos no ponto de teste indicará a direção em que o ponto de teste deve ser movido Continue com esse processo e localize um número suficiente de pontos que satisfaçam à condição do ângulo 6 Desenhar o lugar das raízes com base nas informações obtidas nos passos anteriores como mostra a Figura 66 7 Determinar um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada de modo que o coeficiente de amortecimento z seja 05 Os polos de malha fechada com z 05 situados em linhas que passam pela origem e formam os ângulos cos1 z cos1 05 60 com o eixo real negativo Com o auxílio da Figura 66 esses polos de malha fechada com z 05 são obtidos da seguinte maneira s1 03337 j05780 s2 03337 j05780 O valor de K que fornece esses polos é determinado pela condição de módulo como segue K ss 1 s 2s 03337 j05780 10383 Utilizando esse valor de K o terceiro polo é obtido em s 23326 FIGURA 65 j j1 j1 1 2 s 1 s 2 θ2 θ1 θ3 0 s v Construção do lugar das raízes FIGURA 66 j j1 j1 1 2 3 0 v K 6 K 6 K 10383 K 10383 K K j2 j2 60 1 Gráfico do lugar das raízes 254 Engenharia de controle moderno Observe que a partir do passo 4 podese ver que para K 6 os polos de malha fechada dominantes se situam no eixo imaginário em s j 2 Com esse valor de K o sistema apre sentará oscilações permanentes Para K 6 os polos de malha fechada dominantes se situam no semiplano direito do plano s resultando em um sistema instável Por fim note que se necessário o lugar das raízes pode ser facilmente graduado em termos dos valores de K utilizando para isso a condição de módulo Simplesmente selecionase um ponto sobre o lugar das raízes medese o módulo das três grandezas complexas s s 1 e s 2 e multiplicamse esses valores o produto é igual ao valor do ganho K naquele ponto ou s s 1 s 2 K A graduação do lugar das raízes pode ser feita facilmente com a utilização do MATLAB Veja a Seção 63 Exemplo 62 Neste exemplo será esboçado o gráfico do lugar das raízes de um sistema com polos de malha aberta complexos conjugados Considere o sistema mostrado na Figura 67 Para esse sistema 1 G s s s K s H s 2 3 2 2 h h h onde K 0 Vêse que Gs tem um par de polos complexos conjugados em s 1 j 2 s 1 j 2 Um procedimento típico para esboçar o gráfico do lugar das raízes é o seguinte 1 Determinar o lugar das raízes no eixo real Para qualquer ponto de teste s no eixo real a soma das contribuições angulares dos polos complexos conjugados é 360 como mostra a Figura 68 Assim o efeito resultante dos polos complexos conjugados sobre a condição angular no eixo real é nulo A localização do lugar das raízes sobre o eixo real é determinada pelo zero de malha aberta existente nesse mesmo eixo Um teste simples revela que o intervalo entre 2 e no eixo real negativo constitui uma parte do lugar das raízes Verificase que como esse lugar está situado entre dois zeros em s 2 e s é de fato uma parte formada por dois ramos do lugar das raízes cada um partindo de um dos dois polos complexos conjugados Em outras palavras dois ramos do lugar das raízes se separam em um ponto da região sobre o eixo real negativo entre 2 e FIGURA 68 j 1 0 2 v j 2 j 2 Ponto de teste θ2 θ1 Determinação do lugar das raízes no eixo real FIGURA 67 Rs Cs Ks 2 s2 2s 3 Sistema de controle 255 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Como existem dois polos de malha aberta e um zero existe apenas uma assíntota que coin cide com o eixo real negativo 2 Determinar o ângulo de partida dos polos complexos conjugados de malha aberta A presença de um par de polos complexos conjugados de malha aberta requer a determinação do ângulo de partida desses polos O conhecimento desse ângulo é importante já que o lugar das raízes próximo a um polo complexo fornece informações de como o polo originário do polo complexo migra para o eixo real ou se estende sobre a assíntota Referindose à Figura 69 se for escolhido um ponto de teste móvel em uma região muito próxima do polo complexo conjugado de malha aberta em s p1 verificase que a soma das contribuições angulares do polo em s p2 e do zero em s z1 pode ser considerada invariável Se o ponto de teste estiver sobre o lugar das raízes então a soma de z1 q1 e q2 deverá ser 1802k 1 onde k 0 1 2 Assim no exemplo z1 θ1 θ2 1802k 1 ou θ1 180 θ2 z1 180 θ2 z1 O ângulo de partida é então θ1 180 θ2 z1 180 90 55 145 Como o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real o ângulo de partida do polo em s p2 é 145 3 Determinar o ponto de chegada ao eixo real Um ponto de chegada ao eixo real existe onde um par de ramos do lugar das raízes se funde quando K aumenta Para esse problema o ponto de chegada ao eixo real pode ser determinado da seguinte maneira dado que K s s s 2 2 3 2 temos 0 ds dK s s s s s 2 2 2 2 2 3 2 2 h h h h o que resulta em s2 4s 1 0 FIGURA 69 j 0 v θ2 s p2 ϕ1 ϕ1 z1 p1 θ2 θ1 Determinação do ângulo de partida 256 Engenharia de controle moderno ou s 37320 ou s 02680 Note que o ponto s 37320 está sobre o lugar das raízes Então este é efetivamente um ponto de chegada ao eixo real Note que no ponto s 37320 o valor do ganho correspondente é K 54641 Como o ponto s 02680 não está sobre o lugar das raízes não pode ser um ponto de chegada ao eixo real Para o ponto s 02680 o valor correspondente do ganho é K 14641 4 Esboçar o gráfico do lugar das raízes tomando por base as informações obtidas nos pas sos anteriores Para determinar com precisão o lugar das raízes devem ser determinados vários pontos entre o ponto de chegada ao eixo real e os polos complexos de malha aberta pelo método de tentativa e erro Para facilitar o esboço do gráfico do lugar das raízes devese encontrar a direção na qual o ponto de teste deve ser movido guardando mentalmente a soma das variações dos ângulos nos polos e nos zeros A Figura 610 mostra um gráfico completo do lugar das raízes para o sistema considerado O valor do ganho K em qualquer ponto do lugar das raízes pode ser determinado aplicandose a condição de módulo ou por meio do MATLAB veja a Seção 63 Por exemplo o valor de K em que os polos complexos conjugados de malha fechada têm o coeficiente de amortecimento z 07 pode ser encontrado pela localização das raízes como mostra a Figura 610 e calculando o valor de K da seguinte maneira 134 K s s j s j 2 1 2 1 2 s j 1 67 1 70 h h Ou utilizar o MATLAB para determinar o valor de K veja a Seção 64 Observe que nesse sistema o lugar das raízes no plano complexo é parte de um círculo Esse lugar das raízes circulares não ocorre na maioria dos sistemas Lugares das raízes circulares podem ocorrer em sistemas que têm dois polos e um zero dois polos e dois zeros ou um polo e dois zeros Mesmo nesses sistemas a ocorrência de partes de lugares das raízes circulares depende da localização dos polos e dos zeros existentes Para mostrar a existência de partes circulares do lugar das raízes no presente sistema é necessário deduzir a equação do lugar das raízes Para esse sistema a condição de ângulo é 180 s s j s j k 2 1 2 1 2 2 1 c h FIGURA 610 j j1 j1 1 2 3 4 0 v Linha de ζ 07 j2 j2 145 1 Gráfico do lugar das raízes 257 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Se s v j for substituído nessa última equação obtemos 180 j j j j j k 2 1 2 1 2 2 1 c v v v h que pode ser escrita como 180 tg tg tg k 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h ou 180 tg tg tg k 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação e utilizando a relação 1 tg tg tg tg tg x y x y x y h 610 obtemos 180 tg tg tg tg tg k 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 v v v c c c m m m h E E ou 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 v v v v v v c c m m que pode ser simplificada para 1 2 2 1 2 2 2 v v v h h h ou v 22 2 3 0 Essa última equação é equivalente a 0 ou v 22 2 3 2 Essas duas equações são equações do lugar das raízes do presente sistema Observe que a primeira 0 é a equação para o eixo real O eixo real entre s 2 e s corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte remanescente do eixo real corresponde ao lugar das raízes quando K é negativo Nesse sistema K é não negativo Note que K 0 corresponde ao caso em que a realimentação é positiva A segunda equação para o lugar das raízes é a equação de um círculo com centro em v 2 0 e raio igual a 3 A parte do círculo à esquerda dos polos com plexos conjugados corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte remanescente do círculo corresponde ao lugar das raízes quando K é negativo É importante notar que equações de fácil interpretação para o lugar das raízes podem ser deduzidas apenas para sistemas simples Para sistemas complexos que contenham muitos polos e zeros qualquer tentativa de dedução de equações para o lugar das raízes é desencorajada Essas equações deduzidas são muito complicadas e sua configuração no plano complexo é difícil de ser visualizada Regras para a construção do lugar das raízes Para um sistema complexo com muitos polos e zeros de malha aberta a construção do gráfico do lugar das raízes pode parecer complicada mas na verdade não é difícil se forem aplicadas as regras de construção para esse fim Pela localização de pontos específicos e assíntotas e pelo cálculo dos ângulos de partida de polos complexos e ângulos de chegada em zeros complexos podese construir a forma geral do lugar das raízes sem dificuldade 258 Engenharia de controle moderno Vamos resumir agora as regras e os procedimentos gerais para a construção do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 611 Inicialmente obtenha a equação característica 1 GsHs 0 Em seguida modifique essa equação de modo que o parâmetro de interesse apareça como fator de multiplicação na forma 1 0 s p s p s p K s z s z s z n m 1 2 1 2 g g h h h h h h 611 Na presente discussão supomos que o parâmetro de interesse seja o ganho K sendo K 0 No caso de K 0 o que corresponde à realimentação positiva a condição de ângulo deve ser modi ficada Veja a Seção 64 Verificase entretanto que o método ainda é aplicável a sistemas com outros parâmetros de interesse além do ganho Veja a Seção 66 1 Localizar os polos e zeros de GsHs no plano s Os ramos do lugar das raízes se iniciam nos polos de malha aberta e terminam nos zeros zeros finitos ou zeros no infinito A partir da forma fatorada da função de transferência de malha aberta determinar a localização dos polos e dos zeros de malha aberta no plano s Note que os zeros de malha aberta são os zeros de GsHs enquanto os zeros de malha fechada constituem os zeros de Gs e os polos de Hs Observe que os lugares das raízes são simétricos ao eixo real do plano s pois os polos com plexos e os zeros complexos ocorrem apenas em pares conjugados Um gráfico do lugar das raízes possui tantos ramos quantas forem as raízes da equação caracte rística Como o número de polos de malha aberta geralmente excede o número de zeros o número de ramos é igual ao de polos Se o número de polos de malha fechada for o mesmo que o de polos de malha aberta então o número de ramos individuais do lugar das raízes que terminam em zeros finitos de malha aberta será igual ao número m dos zeros de malha aberta Os ramos restantes n m que terminam no infinito n m zeros implícitos no infinito ao longo das assíntotas Se forem incluídos polos e zeros no infinito o número de polos de malha aberta será igual ao de zeros de malha aberta Portanto podese afirmar que os lugares das raízes que se iniciam nos polos de GsHs e terminam nos zeros de GsHs à medida que K varia de zero a infinito inclui os polos e zeros que se situam tanto no plano finito de s como no infinito 2 Determinar os trechos do lugar das raízes no eixo real Os trechos do lugar das raízes no eixo real são determinados pelos polos e zeros de malha aberta que se encontram sobre ele Os polos e zeros complexos conjugados de malha aberta da função de transferência não têm nenhum efeito na determinação dos trechos do lugar das raízes no eixo real porque a contribuição angular de um par de polos ou zeros complexos conjugados sobre o eixo real é de 360 Cada região do lugar das raízes no eixo real se estende sobre uma área de um polo ou zero a outro polo ou zero Para a construção dos trechos do lugar das raízes no eixo real escolha um ponto de teste sobre ele Se o número total de polos reais e zeros reais à direita desse ponto de teste for ímpar então esse ponto estará situado em uma região do lugar das raízes Se polos de malha aberta e zeros de malha aberta forem polos simples e zeros simples então o lugar das raízes e seus complementos formarão segmentos alternados ao longo do eixo real FIGURA 611 Hs Gs Cs Rs Sistema de controle 259 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 3 Determinar as assíntotas dos lugares das raízes Se o ponto de teste s estiver localizado distante da origem então o ângulo de cada vetor do plano complexo poderá ser consi derado o mesmo Um zero de malha aberta e um polo de malha aberta podem cancelar seus efeitos mutuamente Portanto os lugares das raízes se os valores de s forem muito elevados deverão ser assintóticos para as retas cujos ângulos inclinações são dados por Ângulos das assíntotas n m k k 180 2 1 0 1 2 c f h h onde n número finito de polos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs Aqui k 0 corresponde às assíntotas de menor ângulo em relação ao eixo real Embora k assu ma um número infinito de valores à medida que k aumenta o ângulo se repete e o número de assíntotas distintas é n m Todas as assíntotas se cruzam em um ponto no eixo real Os pontos de intersecção são obtidos como a seguir se tanto o numerador como o denominador da função de transferência de malha aberta forem expandidos o resultado será G s H s s p p p s p p p K s z z z s z z z n n n n m m m m 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 g g g g g g h h h h 6 Se um ponto de teste for situado muito distante da origem então dividindo o denominador pelo numerador será possível escrever GsHs como G s H s s p p p z z z s K n m n m n m 1 2 1 2 1 g g g h h h h 6 ou G s H s s n m p p p z z z K n m n m 1 2 1 2 g g h h h h G 612 A abscissa do ponto de intersecção das assíntotas com o eixo real é então obtida igualandose a zero o denominador do lado direito da Equação 612 e resolvendo para s ou s n m p p p z z z n m 1 2 1 2 g g h h 613 O Exemplo 61 mostra por que a Equação 613 resulta na intersecção Uma vez determinada a intersecção podese desenhar as assíntotas no plano complexo É importante notar que as assíntotas mostram o comportamento dos lugares das raízes para s 1 Um ramo do lugar das raízes pode se situar de um lado da assíntota correspondente ou pode cruzar a assíntota correspondente de um lado ao outro 4 Determinar os pontos de partida e os de chegada ao eixo real Em virtude da simetria conjugada do lugar das raízes os pontos de partida ao eixo real e os de chegada estão localizados sobre o eixo real ou ocorrem em pares complexos conjugados Se um lugar das raízes estiver localizado entre dois polos de malha aberta adjacentes no eixo real então existirá pelo menos um ponto de partida do eixo real entre os dois polos Da mesma maneira se o lugar das raízes estiver entre dois zeros adjacentes um dos zeros pode estar localizado em no eixo real então sempre existirá pelo menos um ponto de chegada entre os dois zeros Se o lugar das raízes se situar entre um polo e um zero de malha aberta finito ou infinito sobre o eixo real poderão existir pontos de partida e de chegada simultaneamente mas não de modo isolado Suponha que a equação característica seja dada por Bs KAs 0 260 Engenharia de controle moderno Os pontos de partida e os de chegada ao eixo real correspondem às raízes múltiplas da equação característica Então como foi discutido no Exemplo 61 os pontos de partida e de chegada podem ser determinados a partir das raízes de 0 ds dK A s B s A s B s A s 2 l l h h h h h 614 onde o apóstrofo indica a diferenciação em relação a s É importante notar que os pontos de partida e os de chegada devem ser as raízes da Equação 614 mas nem todas as raízes da Equação 614 são pontos de partida ou pontos de chegada Se uma raiz real da Equação 614 estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então este é realmente um ponto de partida ou de chagada Se uma raiz real da Equação 614 não estiver sobre a região do lugar das raízes no eixo real então essa raiz não corresponderá nem a um ponto de partida nem a um ponto de chegada Se duas raízes s s1 e s s1 da Equação 614 forem um par de complexos conjugados e se não for certo que pertençam ao lugar das raízes então será necessário verificar o valor correspondente de K Se o valor de K correspondente a uma raiz s s1 de dKds 0 for positivo o ponto s s1 será realmente um ponto de partida ou um ponto de chegada Como se supõe que K seja não negativo se o valor de K assim obtido for negativo ou um vetor no plano complexo então o ponto s s1 não será nem um ponto de partida nem um ponto de chegada 5 Determinar o ângulo de partida de um polo complexo ou de chegada a um zero complexo do lugar das raízes Para esboçar o lugar das raízes com precisão razoável devese determinar a direção dos ramos do lugar das raízes próximos aos polos e zeros complexos Se um ponto de teste for escolhido e movido nas proximidades de um polo complexo ou de um zero com plexo podese considerar que a soma das contribuições angulares de todos os outros polos e zeros permanece invariável Assim o ângulo de partida ou o ângulo de chegada do lugar das raízes de um polo complexo ou em um zero complexo pode ser determinado subtraindo de 180 a soma de todos os ângulos dos vetores de todos os outros polos e zeros que chegam ao polo complexo ou do zero complexo em questão incluindo os sinais apropriados Ângulo de partida de um polo complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao polo complexo em questão com origem em outros polos soma dos ângulos dos vetores que chegam ao polo complexo em questão com origem nos zeros Ângulo de chegada em um zero complexo 180 soma dos ângulos dos vetores que chegam ao zero complexo em questão originários de outros zeros soma dos ângulos dos vetores de chegada ao zero complexo em questão partindo dos polos O ângulo de partida é mostrado na Figura 612 FIGURA 612 j v Ângulo de partida θ2 θ1 ϕ 0 Construção do lugar das raízes Ângulo de partida 180 θ1 θ2 z 261 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 Encontrar os pontos onde o lugar das raízes pode cruzar o eixo imaginário Os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo j podem ser determinados facilmente a pelo uso do critério de estabilidade de Routh ou b fazendo s j na equação característica igualando a zero tanto a parte real como a parte imaginária e resolvendo para e K Os valores de assim determinados fornecem as frequências em que o lugar das raízes cruza o eixo imaginário O valor de K correspondente a cada frequência de cruzamento representa o ganho nesse ponto de cruzamento 7 Obter uma série de pontos de teste na região da origem do plano s e esboçar o lugar das raízes Determinar o lugar das raízes em ampla região nas proximidades do eixo j e da origem A parte mais importante do lugar das raízes não se situa nem no eixo real nem junto às assíntotas mas em uma região próxima ao eixo j e à origem O formato do lugar das raízes nessa importante região do plano s deve ser obtido com uma precisão razoável Se for necessário obter a forma do lugar das raízes com exatidão podese usar o MATLAB em vez de fazer o cálculo manualmente 8 Determinar os polos de malha fechada Um ponto em particular sobre cada um dos ramos do lugar das raízes será um polo de malha fechada se o valor de K nesse ponto satisfizer a condição de módulo Reciprocamente a condição de módulo possibilita que se deter mine o valor do ganho K em qualquer ponto especificado sobre o lugar das raízes Se necessário o lugar das raízes pode ser graduado em função de K Os valores de K variam continuamente ao longo do lugar das raízes O valor de K correspondente a um ponto s no lugar das raízes pode ser obtido com a utilização da condição de módulo ou seja â â produto da dist ncia entre o ponto e os zeros produto da dist ncia entre o ponto e os polos K s s Esse valor pode ser calculado tanto gráfica como analiticamente O MATLAB pode ser utilizado para graduar o lugar das raízes em função de K Veja a Seção 63 Se o ganho K da função de transferência de malha aberta for um dado do problema então pela aplicação da condição de módulo podese determinar as posições corretas dos polos de malha fechada em cada um dos ramos do lugar das raízes para dado valor de K Para isso pode se utilizar o método de tentativa e erro ou o MATLAB que será apresentado na Seção 63 Comentários sobre os gráficos do lugar das raízes Observe que a equação característica do sistema de realimentação negativa cuja função de transferência de malha aberta é G s H s s a s a K s b s b n m n n n m m m 1 1 1 1 g g h h h h é uma equação algébrica de grau n em s Se a ordem do numerador de GsHs for menor que a do denominador em duas ou mais unidades o que significa que existem dois ou mais zeros no infinito então o coeficiente a1 será a soma negativa das raízes das equações e é independente de K Nesse caso se algumas das raízes se moverem para a esquerda sobre o lugar das raízes à medida que K aumenta então as outras raízes devem se mover para a direita conforme K aumenta Essa informação é útil na determinação da forma geral do lugar das raízes Note também que uma pequena alteração na posição dos polos e zeros pode ocasionar mudanças importantes na configuração do lugar das raízes A Figura 613 demonstra que uma pequena variação no posicionamento de um zero ou de um polo resultará em uma configuração do lugar das raízes bastante diferente Cancelamento dos polos de Gs com zeros de Hs É importante notar que se o deno minador de Gs e o numerador de Hs contiverem fatores comuns então os polos e os zeros de malha aberta correspondentes se cancelarão mutuamente reduzindo o grau da equação carac terística em uma ou mais unidades Por exemplo considere o sistema da Figura 614a Esse sistema possui realimentação de velocidade Mudando o diagrama de blocos da Figura 614a 262 Engenharia de controle moderno para o mostrado na Figura 614b fica claro que Gs e Hs têm em comum o fator s 1 A função de transferência de malha fechada CsRs é R s C s s s s K s K 1 2 1 h h h h h A equação característica é ss 2 Ks 1 0 Entretanto em virtude do cancelamento dos termos s 1 que aparecem em Gs e Hs temse G s H s s s s s K s s s s s K 1 1 1 2 1 2 2 h h h h h h h A equação característica reduzida é ss 2 K 0 O gráfico do lugar das raízes de GsHs não mostra todas as raízes da equação característica mas apenas as raízes da equação reduzida FIGURA 613 j v j v Gráficos do lugar das raízes FIGURA 614 Cs Rs a 1 s K s 1 s 2 Cs Rs c 1 s 1 K ss 1 s 2 K ss 2 s 1 Hs Cs Rs b Gs a Sistema de controle com realimentação de velocidade b e c diagramas de blocos modificados 263 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Para obter o conjunto completo dos polos de malha fechada devese adicionar o polo can celado de GsHs aos polos de malha fechada obtidos a partir do gráfico do lugar das raízes de GsHs É importante lembrar que o polo cancelado de GsHs é um polo de malha fechada do sistema como mostra a Figura 614c Configurações típicas de polos e zeros e o lugar das raízes correspondentes Em resumo mostramos na Tabela 61 várias configurações de polos e zeros de malha aberta e seus correspondentes lugares das raízes O padrão do lugar das raízes depende apenas da separação relativa dos polos e zeros de malha aberta Se o número de polos exceder o número de zeros finitos em três ou mais unidades haverá um valor do ganho K além do qual o lugar das raízes entrará no semiplano direito do plano s e assim o sistema se tornará instável Para que um sistema seja estável todos os polos de malha fechada devem se situar no semiplano esquerdo do plano s Observe que uma vez que se tenha alguma experiência com o método é possível avaliar com facilidade as alterações no lugar das raízes em decorrência de modificações no número e no posicionamento dos polos e zeros Conseguese isso visualizando o gráfico do lugar das raízes resultante das várias configurações de polos e zeros TABELA 61 j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v Configurações de polos e zeros de malha aberta e os lugares das raízes correspondentes 264 Engenharia de controle moderno Resumo A partir das discussões anteriores fica claro que é possível esboçar um gráfico do lugar das raízes com razoável precisão para dado sistema seguindo regras simples É aconselhável que o leitor estude os vários gráficos do lugar das raízes apresentados nos problemas resolvidos no final do capítulo Nos estágios preliminares de um projeto não são necessárias as posições precisas dos polos de malha fechada Frequentemente necessitase apenas das localizações aproximadas para fazer uma estimativa do desempenho do sistema É importante então que o projetista tenha a capacidade de esboçar rapidamente o lugar das raízes de dado sistema 63 Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB Nesta seção apresentamos o método de geração do gráfico do lugar das raízes e a obtenção de informações relevantes usando o MATLAB Desenhando o gráfico do lugar das raízes com o MATLAB Na construção do gráfico do lugar das raízes a equação do sistema é apresentada na forma da Equação 611 que pode ser escrita como 1 0 den K num onde num é o polinômio do numerador e den o polinômio do denominador Ou seja num s z1s z2 s zm sm z1 z2 zmsm1 z1z2 zm den s p1s p2 s pn sn p1 p2 pnsn1 p1 p2pn Note que ambos os vetores num e den devem ser escritos segundo as potências decrescentes de s Um comando MATLAB comumente utilizado para desenhar o lugar das raízes é rlocusnumden Esse comando faz que o gráfico do lugar das raízes seja desenhado na tela O vetor de ganho K é determinado automaticamente O vetor K contém todos os valores do ganho para os quais os polos de malha fechada são calculados Para os sistemas definidos no espaço de estados rlocusABCD traça o lugar das raízes do sistema determinando automaticamente o vetor de ganho Note que os comandos rlocusnumdenK e rlocusABCDK utilizam o vetor de ganho K informado pelo usuário Se for desejável traçar o lugar das raízes com as marcas o ou x será necessário utilizar o seguinte comando r rlocusnumden plotro ou plotr x Traçar o gráfico do lugar das raízes utilizando as marcas o ou x é instrutivo uma vez que cada um dos polos de malha fechada calculados será mostrado graficamente algumas regiões do lugar das raízes são mais densamente ocupadas por essas marcas e em outras a ocupação é mais esparsa O MATLAB fornece seu próprio conjunto de valores de ganho utilizado no cálculo para traçar um lugar das raízes Isso é feito por uma rotina interna de passo variável adaptativo O MATLAB também utiliza no comando plot uma forma automática de escalar os eixos Exemplo 63 Considere o sistema mostrado na Figura 615 Trace o lugar das raízes com razão de quadratura de modo que uma linha com inclinação 1 seja uma linha verdadeiramente a 45 Escolha a região do lugar das raízes delimitada por 265 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 6 x 6 6 y 6 onde x e y são respectivamente a coordenada do eixo real e a coordenada do eixo imaginário Para configurar na tela determinada região que tenha a forma de um quadrado utilize o seguinte comando v 6 6 6 6 axisv axissquare Com esse comando a região do gráfico ficará configurada de acordo com a especificação e uma linha de coeficiente angular 1 estará de fato a 45 sem apresentar distorção decorrente da forma irregular da tela Neste problema o denominador é determinado pelo produto dos termos de primeira e segunda ordens Portanto devese multiplicar esses termos para obter um polinômio em s A multiplicação desses termos pode ser feita facilmente com a utilização do comando de convolução como é mostrado a seguir Defina a ss 1 a 1 1 0 b s2 4s 16 b 1 4 16 Em seguida utilize o seguinte comando c convab Observe que convab fornece o produto dos dois polinômios a e b O resultado do processa mento é apresentado a seguir a 1 1 0 b 1 4 16 c conv ab c 1 5 20 16 0 O polinômio do denominador é então den 1 5 20 16 0 Para determinar os polos complexos conjugados de malha aberta as raízes de s2 4s 16 0 devese digitar o comando roots como a seguir r rootsb r 20000 3464li 20000 3464li Consequentemente o zero de malha aberta e os polos de malha aberta do sistema são os seguintes Zero de malha aberta s 3 Polos de malha aberta s 0 s 1 s 2 j34641 O Programa 61 em MATLAB traça o gráfico do lugar das raízes para esse sistema A Figura 616 mostra o gráfico resultante FIGURA 615 Ks 3 ss 1s2 4s 16 Sistema de controle 266 Engenharia de controle moderno Programa 61 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 3 den 1 5 20 16 0 rlocusnumden v 6 6 6 6 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Ks 3ss 1s2 4s 16 Note que no Programa 61 em MATLAB em vez de den 1 5 20 16 0 podese codificar den conv 1 1 0 1 4 16 Os resultados serão os mesmos Exemplo 64 Considere o sistema de realimentação negativa cuja função de transferência em malha aberta GsHs é G s H s s s s s K s s s s K 0 5 0 6 10 1 1 10 3 5 2 4 3 2 h h h h Não existem zeros de malha aberta Os polos de malha aberta estão localizados em s 03 j31480 s 03 j31480 s 05 e s 0 Digitando o Programa 62 em MATLAB no computador obtémse o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 617 FIGURA 616 0 2 Eixo real Eixo imaginário 6 4 2 4 6 0 2 6 4 2 4 6 Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks 3ss 1s2 4s 16 Gráfico do lugar das raízes 267 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Programa 62 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 den 1 11 103 5 0 r locusnumden plotr o v 6 6 6 6 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário Observe que nas regiões próximas de x 03 y 23 e x 03 y 23 dois ramos se aproximam um do outro Podese desejar saber se esses dois ramos devem ou não se tocar Para analisar essa situação é possível traçar gráficos do lugar das raízes com pequenos incrementos no valor de K na região crítica Pelo método convencional de tentativa e erro ou usando o comando rlocfind que será apresentado adiante nesta seção encontrase a região de interesse específica como utilizando aquela em que 20 K 30 Utilizando o Programa 63 em MATLAB obtemos o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 618 Esse gráfico mostra que os dois ramos que se aproximam no semiplano superior ou no semiplano inferior não se tocam Programa 63 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes num 1 den 1 11 103 5 0 K1 00220 K2 200130 K3 3051000 K K1 K2 K3 r locusnumdenK plotr o v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário FIGURA 617 Eixo real 6 4 6 4 2 2 0 Eixo imaginário 6 2 4 6 2 0 4 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 Gráfico do lugar das raízes 268 Engenharia de controle moderno Exemplo 65 Considere o sistema mostrado na Figura 619 As equações do sistema são ẋ Ax Bu y Cx Du u r y Neste problema obteremos o gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados Como exemplo consideremos o caso em que as matrizes A B C e D são A B C D 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 1 14 1 0 0 0 6 6 H H 615 O gráfico do lugar das raízes desse sistema pode ser obtido com a utilização do seguinte comando do MATLAB rlocusABCD Esse comando produz o mesmo gráfico do lugar das raízes que é obtido pelo comando rlocus numden onde num e den são obtidos a partir de numden ss2tfABCD como a seguir num 0 0 1 0 den 1 14 56 160 FIGURA 618 Eixo real 4 2 3 4 2 1 3 1 0 Eixo imaginário 4 1 3 3 4 2 0 1 2 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 05s2 06s 10 Gráfico do lugar das raízes FIGURA 619 r u B y A C D x x Sistema de controle de malha fechada 269 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes O Programa 64 em MATLAB gera o gráfico do lugar das raízes mostrado na Figura 620 Programa 64 em MATLAB Gráfico do lugar da raízes A 0 1 00 0 1160 56 14 B 0114 C 1 0 0 D 0 K 001400 rlocusABCDK v 20 20 20 20 axisv grid titleGráfico do Lugar das Raízes do Sistema Definido no Espaço de Estados Lugares com z constante e lugares com n constante Lembrese de que no plano com plexo o coeficiente de amortecimento z de um par de polos complexos conjugados pode ser expresso em termos do ângulo z que é medido em relação ao eixo real negativo como mostra a Figura 621a com ζ cos z Em outras palavras as linhas de coeficiente de amortecimento z constante são linhas radiais que passam pela origem como mostra a Figura 621b Por exemplo se o coeficiente de amorteci mento for 05 será necessário que os polos complexos estejam situados em linhas que passem pela origem formando ângulos de 60 com o eixo real negativo Se a parte real de um par de polos complexos conjugados for positiva o que significa que o sistema é instável o z corres pondente será negativo O coeficiente de amortecimento determina a localização angular dos polos enquanto a distância entre o polo e a origem é determinada pela frequência natural não amortecida n Os lugares de n constantes são círculos Para desenhar linhas com ζ constante e círculos com n constante no gráfico do lugar das raízes com o MATLAB devese utilizar o comando sgrid FIGURA 620 Eixo real 20 15 20 0 15 10 5 5 10 Eixo imaginário 20 5 20 10 15 0 15 10 5 Gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados Gráfico do lugar das raízes do sistema definido no espaço de estados onde A B C e D são dadas pela Equação 615 270 Engenharia de controle moderno Traçando grades polares no gráfico do lugar das raízes O comando sgrid sobrepõe linhas de coeficiente de amortecimento constante z 0 1 com incremento de 01 e círculos de n constante no gráfico do lugar das raízes Veja o Programa 65 em MATLAB e o gráfico resultante mostrado na Figura 622 Programa 65 em MATLAB sgrid v 3 3 3 3 axisv axissquare titleLinhas com zeta Constantes e Círculos omegan Constantes xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário FIGURA 621 0 j j n d ϕ v 0 v 02 02 05 05 07 07 08 08 ζ 09 ζ 09 ζ 0 ζ 0 ζ 0 ζ 1 a b a Polos complexos b linhas com coeficiente de amortecimento z constantes FIGURA 622 3 2 1 0 3 2 1 0 1 3 2 1 3 2 Eixo real Linhas com ζ constantes e círculos com n constantes Eixo imaginário 2 1 2 1 05 034 016 064 05 034 016 064 076 086 094 0985 076 086 094 0985 Linhas com ζ constantes e círculos com n constantes 271 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Se forem desejáveis apenas determinadas linhas com z constante como a linha com z 05 e a linha com z 0707 e determinados círculos com n constante como o círculo com n 05 o círculo com n 1 e o círculo com n 2 utilizase o seguinte comando sgrid05 0707 05 1 2 Se for desejável desenhar linhas com z constante e círculos com n constante como os fornecidos anteriormente para um gráfico do lugar das raízes de um sistema com num 0 0 0 1 den 1 4 5 0 então execute o Programa 66 em MATLAB O gráfico resultante do lugar das raízes é mostrado na Figura 623 Programa 66 em MATLAB num 1 den 1 4 5 0 K 00011000 r rlocusnum denK plotr v 3 1 2 2 axisv axissquare sgrid050707 0512 sgrid titleGráfico do Lugar das Raízes com Linhas com zeta 05 e 0707 e com Círculos omegan 05 1 e 2 xlabelEixo Real ylabelEixo Imaginário gtextomegan 2 gtextomegan 1 gtextomegan 05 Insira o marcador x em cada um dos 3 polos de malha aberta gtextx gtextx gtextx Se quisermos omitir todas as linhas de valores inteiros z ou todos os círculos de valores n constantes devemos utilizar chaves vazias nos argumentos do comando sgrid Por exemplo se for desejável desenhar somente a linha com coeficiente de amortecimento constante correspondente a z 05 e nenhum círculo com n constante no gráfico do lugar das raízes podemos usar o comando Sgrid05 FIGURA 623 05 0707 05 0707 n 1 n 05 n 2 1 05 0 05 1 15 2 25 3 0 05 1 15 2 05 1 15 2 Eixo real Gráficos do lugar das raízes com linhas ζ 05 e 0707 e com círculos n 05 1 e 2 Eixo imaginário 05 1 2 Linhas com ζ constante e círculos com n constante sobrepostos no lugar das raízes 272 Engenharia de controle moderno Sistemas condicionalmente estáveis Considere o sistema com realimentação negativa mos trado na Figura 624 Podemos traçar o gráfico do lugar das raízes para esse sistema aplicando as regras e procedimentos gerais para a construção do lugar das raízes ou usar o MATLAB para obter gráficos de lugar das raízes O Programa 67 em MATLAB vai traçar o diagrama de lugar das raízes para o sistema A Figura 625 mostra o gráfico resultante Programa 67 em MATLAB num 1 2 4 den convconv1 4 01 6 1 14 1 rlocusnum den v 7 3 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs Ks2 2s 4ss 6s 2 14s 1 text10 055K 12 text1030K 73 text10415K 154 Podese ver pelo gráfico da Figura 625 que o sistema é estável apenas para amplitudes limi tadas do valor de K ou seja 0 K 12 e 73 K 154 O sistema tornase instável se 12 K 73 e se 154 K Se K assumir um valor correspondente a uma operação instável o sistema pode deixar de funcionar ou tornarse não linear em virtude da não linearidade resultante de saturação que pode existir Tal sistema é chamado condicionalmente estável Na prática os sistemas condicionalmente estáveis não são desejáveis A estabilidade con dicional é perigosa mas ocorre em certos sistemas particularmente em sistemas que tenham um ramo direto instável Um ramo direto instável pode ocorrer se o sistema tiver uma malha interna Aconselhase evitar tal estabilidade condicional já que se o ganho cair abaixo do valor FIGURA 624 Rs Cs Ks2 2s 4 ss 4 s 6s2 14s 1 Sistema de controle FIGURA 625 Eixo real 5 4 3 2 1 6 7 3 0 2 1 Eixo imaginário 5 5 4 3 2 3 2 1 4 0 1 Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks2 2s 4ss 4s 6s2 14s 1 K 12 K 73 K 154 Gráfico do lugar das raízes de um sistema condicionalmente estável 273 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes crítico seja qual for o motivo o sistema se tornará instável Note que a inclusão de uma rede de compensação adequada eliminará a estabilidade condicional A inclusão de um zero fará que o lugar das raízes se incline para a esquerda Veja a Seção 65 Portanto a estabilidade condicional pode ser eliminada incluindose a compensação adequada Sistemas de fase não mínima Se todos os polos e zeros do sistema estiverem no semiplano s esquerdo então o sistema é chamado sistema de fase mínima Se o sistema tiver pelo menos um polo ou zero no semiplano s direito será denominado sistema de fase não mínima O termo fase não mínima vem das características de mudança de fase de tal sistema quando sujeito a entradas senoidais Considere o sistema mostrado na Figura 626a Para esse sistema 1 G s s Ts K T s T H s 1 1 0 a a 2 h h h h h Este é um sistema de fase não mínima já que há um zero no semiplano s direito Para esse sis tema a condição angular é G s s Ts K T s s Ts K T s k k 1 1 1 1 180 180 2 1 0 1 2 a a c c f h h h h h h h ou 0 s Ts K T s 1 1 a c h h 616 O lugar das raízes pode ser obtido a partir da Equação 616 A Figura 626b mostra um grá fico de lugar das raízes para esse sistema Pelo diagrama vemos que o sistema é estável se o ganho K for menor que 1Ta Para obter um gráfico de lugar das raízes com o MATLAB digite o numerador e o denomi nador como de costume Por exemplo se T 1 s e Ta 05 s digite os seguintes num e den no programa num 05 1 dem 1 1 0 O Programa 68 em MATLAB resulta no lugar das raízes mostrado na Figura 627 FIGURA 626 a b Rs Cs j K 0 K 0 K K 1 Ta K 1 Ta K 1 Ta 1 T v K1 Tas sTs 1 a Sistema de fase não mínima b gráfico do lugar das raízes 274 Engenharia de controle moderno Programa 68 em MATLAB num 0 05 1 den 1 1 0 k1 000130 k2 301100 K3 1005500 K k1 k2 k3 rlocusnumdenK v 2 6 4 4 axisv axissquare grid titleGráfico do Lugar das Raízes de Gs K1 05sss 1 Posicione a marca x de cada um dos 2 polos de malha aberta Posicione a marca o do zero de malha aberta gtextx gtextx gtexto Ortogonalidade do lugar das raízes e lugares de ganho constante Considere o sistema de realimentação negativa cuja função de transferência de malha aberta é GsHs No plano GsHs os lugares em que GsHs constante são círculos com centro na origem e os luga res correspondentes a G s H s h h 1802k 1 onde k 0 1 2 se situam no eixo real negativo do plano GsHs como mostra a Figura 628 Note que o plano complexo utilizado aqui não é o plano s mas o plano GsHs Os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são mapeamentos confor mes dos lugares de G s H s h h 1802k 1 e de GsHs constante no plano GsHs Como a fase constante e os lugares de ganho constante no plano GsHs são ortogonais os lugares das raízes e os lugares de ganho constante no plano s são ortogonais A Figura 629a mostra os lugares das raízes e os lugares de ganho constante para o seguinte sistema 1 G s s s K s H s 2 3 2 2 h h h Note que como a configuração de polos e zeros é simétrica em relação ao eixo real os lugares de ganho constante também são simétricos em relação ao eixo real A Figura 629b mostra o lugar das raízes e os lugares de ganho constante para o sistema 1 G s s s s K H s 1 2 h h h h FIGURA 627 Gráfico do lugar das raízes de Gs K1 05sss 1 Eixo real Eixo imaginário 1 3 42 1 0 1 2 3 4 5 6 2 1 2 0 3 4 Gráfico do lugar das raízes de G s s s K s 1 1 0 5 h h h 275 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Observe que como a configuração dos polos no plano s é simétrica em relação ao eixo real e como a linha paralela ao eixo imaginário passa pelo ponto v 1 0 os lugares de ganho constante são simétricos em relação à linha 0 eixo real e à linha v 1 Verificase nas figuras 629a e b que cada ponto no plano s tem o valor correspondente de K Se for utilizado o comando rlocfind apresentado a seguir o MATLAB vai fornecer o valor de K do ponto específico assim como os polos de malha fechada mais próximos que correspondem a esse valor de K Determinando o valor do ganho K em um ponto arbitrário no lugar das raízes Na análise de sistemas de malha fechada pelo MATLAB é necessário frequentemente determinar o valor do ganho K em um ponto arbitrário do lugar das raízes Isso pode ser feito com a utilização do comando rlocfind como segue K r rlocfindnum den O comando rlocfind que deve seguir um comando rlocus sobrepõe coordenadas xy móveis na tela Com o mouse posicionase a origem das coordenadas xy sobre o ponto desejado no lugar FIGURA 628 Re Im 0 Plano Gs Hs Re Im 0 Plano Gs Hs Constante Gs Hs Gs Hs 180 2k 1 Diagrama de ganho constante e lugares de fase constante no plano GsHs FIGURA 629 a b v j 0 K 6 K 6 j4 j6 j4 K 1 K 2 K 1 6 4 2 4 6 K 10 K 03 j2 j2 j6 K 03 K 03 2 v j 0 j2 j3 j2 3 2 1 2 j1 j1 j3 1 B C A Gráfico do lugar das raízes e lugares de ganho constante a Sistema com Gs Ks 2s2 2s 3 Hs 1 b sistema com Gs Kss 1s 2 Hs 1 276 Engenharia de controle moderno das raízes e pressionase o botão do mouse Em seguida o MATLAB exibe na tela as coordenadas daquele ponto o valor do ganho naquele ponto e os polos de malha fechada correspondentes a esse valor de ganho Se o ponto selecionado não estiver no lugar das raízes tal como o ponto A na Figura 629a o comando rlocfind fornece as coordenadas desse ponto selecionado o valor do ganho desse ponto como K 2 e a posição dos polos de malha fechada como os pontos B e C correspondentes a esse valor de K Note que cada ponto no plano s tem um valor de ganhoVeja por exemplo as figuras 629a e b 64 Gráficos do lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva Lugar das raízes para sistemas com realimentação positiva1 Em um sistema de controle complexo pode haver uma malha de realimentação positiva interna como mostra a Figura 630 Essa malha é normalmente estabilizada pela malha externa A seguir avaliaremos apenas a malha de realimentação positiva interna A função de transferência de malha fechada da malha interna é R s C s G s H s G s 1 h h h h h A equação característica é 1 GsHs 0 617 Essa equação pode ser resolvida por um método análogo ao utilizado na Seção 62 para o caso do lugar das raízes A condição de ângulo entretanto deve ser alterada A Equação 617 pode ser reescrita como GsHs 1 que é equivalente às duas equações a seguir G s H s h h 0 k360 k 0 1 2 GsHs 1 Para o caso de realimentação positiva a soma total de todos os ângulos dos polos e zeros de malha aberta deve ser igual a 0 k360 Assim esse lugar das raízes segue uma condição angular de 0 em vez da condição de 180 considerada previamente A condição de módulo permanece inalterada Para ilustrar o gráfico do lugar das raízes de um sistema com realimentação positiva utili zaremos as seguintes funções de transferência Gs e Hs como exemplo 1 G s s s s K s H s 3 2 2 2 2 h h h h h O ganho K é admitido como positivo 1 Veja Wojcik nas Referências ao final do livro FIGURA 630 Cs G1s H1s Rs Hs Gs Sistema de controle 277 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As regras para a construção do lugar das raízes dadas na Seção 62 devem ser modificadas da seguinte maneira A Regra 2 é modificada como segue se o número total de polos e zeros reais à direita do ponto de teste no eixo real for par então esse ponto de teste estará posicionado no lugar das raízes A Regra 3 é modificada como segue Ângulos das assíntotas n m k k 360 0 1 2 c f h onde n número de polos finitos de GsHs m número de zeros finitos de GsHs A Regra 5 é modificada como segue o cálculo do ângulo de partida de um polo complexo de malha aberta ou do ângulo de chegada de um polo complexo de malha aberta ou em um zero complexo pode ser determinado subtraindo de 0 a soma de todos os ângulos dos vetores com origem nos outros polos e zeros que se dirigem ao polo complexo ou ao zero complexo em questão incluindo os sinais apropriados As demais regras para a construção do gráfico do lugar das raízes permanecem as mesmas Agora vamos aplicar as regras modificadas para a construção do gráfico do lugar das raízes 1 Posicione os polos de malha aberta s 1 j s 1 j s 3 e zero s 2 no plano complexo À medida que K cresce de 0 a os polos de malha fechada têm origem nos polos de malha aberta e terminam nos zeros de malha aberta finitos ou infinitos exata mente como nos casos de sistemas com realimentação negativa 2 Determine os lugares das raízes no eixo real Os lugares das raízes existem no eixo real entre 2 e e entre 3 e 3 Determine as assíntotas do lugar das raízes Para o presente sistema Ângulos das assíntotas 180 k 3 1 360 c c Isso significa simplesmente que as assíntotas estão sobre o eixo real 4 Determine os pontos de partida e de chegada Dado que a equação característica é s 3s2 2s 2 Ks 2 0 obtemos K s s s s 2 3 2 2 2 h h Derivando K em relação a s obtemos ds dK s s s s 2 2 11 20 10 2 3 2 h Note que 2s3 11s2 20s 10 2s 08s2 47s 624 2s 08s 235 j077s 235 j077 O ponto s 08 está sobre o lugar das raízes Como esse ponto se situa entre dois zeros um zero finito e outro infinito é de fato um ponto de chegada do eixo real Os pontos s 235 j077 não satisfazem a condição angular e portanto não são nem pontos de partida nem de chegada 5 Determine o ângulo de partida do lugar das raízes de um polo complexo Para o polo complexo em s 1 j o ângulo de partida θ é θ 0 27 90 45 ou θ 72 278 Engenharia de controle moderno O ângulo de partida do polo complexo em s 1 j é 72 6 Escolha um ponto de teste em uma região ampla próxima ao eixo j e à origem e aplique a condição angular Determine um número suficiente de pontos que satisfaça a condição angular A Figura 631 mostra o lugar das raízes do sistema dado com realimentação positiva O lugar das raízes é mostrado com linhas e uma curva tracejadas Note que se 3 K s s s s 2 3 2 2 s 2 0 2 h h uma das raízes reais entra no semiplano direito do plano s Então para valores de K maiores que 3 o sistema tornase instável Para K 3 o sistema deve ser estabilizado com uma malha externa Note que a função de transferência para o sistema com realimentação positiva é dada por R s C s G s H s G s s s s K s K s 1 3 2 2 2 2 2 h h h h h h h h h Para comparar o gráfico do lugar das raízes desse sistema e o do sistema correspondente com realimentação negativa a Figura 632 mostra o lugar das raízes do sistema com realimentação negativa cuja função de transferência é dada por R s C s s s s K s K s 3 2 2 2 2 2 h h h h h h FIGURA 631 5 4 3 2 1 1 2 v j 0 j1 j2 j1 j2 Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação positiva com Gs Ks 2s 3 s2 2s 2 Hs 1 FIGURA 632 5 4 3 2 1 1 2 v j 0 j1 j2 j3 j1 j3 j2 Gráfico do lugar das raízes para um sistema com realimentação negativa com Gs Ks 2s 3 s2 2s 2 Hs 1 279 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A Tabela 62 mostra vários gráficos do lugar das raízes de sistemas com realimentação positiva e realimentação negativa As funções de transferência de malha fechada são dadas por R C GH G R C GH G 1 1 para sistemas com realimentação negativa para sistemas com realimentação positiva onde GH é a função de transferência de malha aberta Na Tabela 62 nos gráficos do lugar das raízes dos sistemas com realimentação negativa as linhas e as curvas estão traçadas com linhas contínuas e nos gráficos dos sistemas com realimentação positiva estão com linhas e curvas tracejadas TABELA 62 j v j v j v j v j v j v j v j v j v j v As linhas e curvas contínuas correspondem aos sistemas com realimenta ção negativa as linhas e as curvas tracejadas correspondem aos sistemas com realimentação positiva Gráficos do lugar das raízes de sistemas com realimentação positiva e com realimentação negativa 280 Engenharia de controle moderno 65 Abordagem do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle Considerações preliminares de projeto Na construção de um sistema de controle sabemos que uma modificação adequada na dinâmica da planta pode ser uma maneira simples de atender às especificações de desempenho Isso no entanto pode não ser possível em muitas situações práticas porque a planta pode ser fixa e não ser passível de modificações Nesses casos devemos ajustar outros parâmetros que não aqueles da planta fixa Neste livro consideramos que a planta é dada e inalterável Na prática o gráfico do lugar das raízes de um sistema pode indicar que o desempenho dese jado não pode ser atingido simplesmente com o ajuste de ganho ou de algum outro parâmetro ajustável De fato em alguns casos o sistema pode ser instável em todos os valores de ganho ou de outro parâmetro ajustável Tornase então necessário remodelar os lugares das raízes para atender às especificações de desempenho Os problemas de projeto portanto tornamse aqueles de melhorar o desempenho do sistema por meio da inclusão de um compensador A compensação de um sistema de controle fica reduzida ao projeto de um filtro cujas características tendem a compensar as características indesejáveis e inalteráveis da planta Projeto pelo método de lugar das raízes O projeto pelo método de lugar das raízes baseiase na modificação do lugar das raízes do sistema por meio do acréscimo de polos e zeros à função de transferência de malha aberta do sistema forçando o lugar das raízes a passar pelos polos de malha fechada desejados no plano s A característica do projeto pelo método do lugar das raízes é que ele se baseia no pressuposto de que o sistema de malha fechada tem um par dominante de polos de malha fechada Isso significa que o efeito dos zeros e polos adicionais não afeta muito as características de resposta No projeto de um sistema de controle se for necessário outro ajuste além do ganho ou de outro parâmetro devemos modificar o lugar das raízes original pela inserção de um compen sador apropriado Uma vez que os efeitos da adição de polos eou zeros no gráfico do lugar das raízes forem perfeitamente compreendidos podemos determinar facilmente a localização dos polos e zeros do compensador que vão remodelar o lugar das raízes conforme o desejado Em essência no projeto pelo método do lugar das raízes o lugar das raízes do sistema é modificado por meio de um compensador de modo que um par de polos de malha fechada dominantes possa ser colocado na posição desejada Compensação em série e compensação em paralelo ou por realimentação As figu ras 633a e b mostram os esquemas de compensação comumente utilizados pelos sistemas de controle com realimentação A Figura 633a mostra a configuração em que o compensador Gcs é colocado em série com a planta Esse esquema é chamado compensação em série A alternativa para a compensação em série é retornar os sinalis a partir de determinados elementos e inserir um compensador no ramo da realimentação interna resultante como mostra a Figura 633b Essa compensação é chamada compensação em paralelo ou compensação por realimentação Na compensação de um sistema de controle normalmente vemos que o problema se reduz ao projeto adequado de um compensador em série ou em paralelo A escolha entre o compensa dor em série e o compensador em paralelo depende da natureza dos sinais no sistema do nível de potência nos vários pontos dos componentes disponíveis da experiência do projetista de considerações econômicas entre outras Em geral a compensação em série pode ser mais simples que a compensação em paralelo entretanto a compensação em série requer frequentemente amplificadores adicionais para aumentar o ganho eou produzir isolamento Para evitar dissipação de potência o compensador em série é colocado no ponto de menor potência do ramo direto Devese notar que em geral o número de componentes requeridos na compensação em paralelo será menor que o número de componentes 281 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes na compensação em série desde que esteja disponível um sinal adequado porque a transferên cia de energia ocorre do nível mais alto de potência para o nível mais baixo Isso significa que amplificadores adicionais podem ser desnecessários Nas seções 66 a 69 discutiremos primeiro as técnicas de compensação em série e depois apresentaremos uma técnica de compensação em paralelo utilizando o projeto de um sistema de controle com realimentação de velocidade Compensadores comumente usados Se for necessário um compensador para satisfazer às especificações de desempenho o projetista deve implementar um dispositivo físico que tenha a função de transferência prescrita para o compensador Vários dispositivos físicos têm sido utilizados para esse fim De fato muitas ideias excelentes e úteis para a construção física de compensadores podem ser encontradas na literatura Se for aplicada uma excitação senoidal à entrada de uma rede e a resposta em regime per manente que também é senoidal tiver um avanço de fase então a rede será chamada rede de avanço de fase O valor do ângulo de avanço de fase é uma função da frequência de entrada Se a resposta em regime permanente tiver um atraso de fase então a rede será denominada rede de atraso de fase Em uma rede de atraso e avanço de fase tanto o atraso como o avanço de fase ocorrem no sinal de saída mas em regiões de frequências diferentes o atraso de fase ocorre na região de baixa frequência e o avanço de fase ocorre na região de alta frequência Um compensador com características de uma estrutura de avanço de fase de atraso de fase ou de atraso e avanço de fase é chamado compensador por avanço de fase compensador por atraso de fase ou compensador por atraso e avanço de fase respectivamente Entre os vários tipos de compensadores são amplamente empregados os compensadores por avanço de fase compensadores por atraso de fase compensadores por atraso e avanço de fase e compensadores por realimentação de velocidade tacométricos Neste capítulo a maior parte das discussões estará limitada a esses tipos Os compensadores por avanço de fase atraso de fase e atraso e avanço de fase podem ser dispositivos eletrônicos como circuitos com amplificadores operacionais ou redes RC elétricas mecânicas pneumáticas hidráulicas ou uma combinação desses tipos e amplificadores Compensadores em série usados frequentemente em sistemas de controle são os compensa dores por avanço de fase por atraso de fase e por atraso e avanço de fase Os controladores PID que são frequentemente usados nos sistemas de controle industriais são discutidos no Capítulo 8 FIGURA 633 G1s G2s Hs Gcs Gcs Gs Hs a b a Compensação em série b compensação em paralelo ou por realimentação 282 Engenharia de controle moderno Note que no projeto de um sistema de controle pelo método do lugar das raízes ou pelo método de resposta em frequência o resultado final não é único porque a melhor solução ou a solução ótima pode não ser precisamente definida se forem dadas as especificações de domínio do tempo ou de domínio de frequência Efeitos da adição de polos A adição de um polo à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a direita tendendo a diminuir a estabilidade relativa do sistema e fazendo com que a acomodação da resposta seja mais lenta Lembrese de que a adição de um controle integral acrescenta um polo na origem tornando assim o sistema menos estável A Figura 634 mostra exemplos de lugares das raízes que ilustram os efeitos da adição de um polo a um sistema com um único polo e da adição de dois polos a um sistema com um único polo Efeitos da adição de zeros A adição de um zero à função de transferência de malha aberta tem o efeito de deslocar o lugar das raízes para a esquerda tendendo a tornar o sistema mais estável e mais rápida a acomodação da resposta Fisicamente a adição de um zero na função de transferência do ramo direto significa adicionar um controle derivativo ao sistema O efeito desse controle é introduzir certo grau de antecipação no sistema e aumentar a velocidade da resposta transitória A Figura 635a mostra o lugar das raízes de um sistema que é estável para pequenos valores de ganho mas é instável para valores elevados As figuras 635b c e d mostram os gráficos do lugar das raízes do sistema quando um zero é adicionado à função de transferência de malha aberta Note que quando um zero é inserido no sistema da Figura 635a ele se torna estável para todos os valores de ganho FIGURA 635 a j v b j v c j v d j v a Gráfico do lugar das raízes de um sistema com três polos b c e d gráficos do lugar das raízes que mostram os efeitos da adição de um zero ao sistema com três polos FIGURA 634 a j v b j v c j v a Gráfico do lugar das raízes de um sistema com um único polo b gráfico do lugar das raízes de um sistema com dois polos c gráfico do lugar das raízes de um sistema com três polos 283 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 66 Compensação por avanço de fase Na Seção 65 apresentamos uma introdução à compensação de sistemas de controle e discu timos o material preliminar para o método do lugar das raízes no projeto de sistemas de controle e sua compensação Nesta seção trataremos do projeto de sistemas de controle utilizandose a técnica de compensação por avanço de fase No projeto de um sistema de controle colocamos um compensador em série com a função de transferência inalterável Gs para obter um comporta mento desejável Então o maior problema tornase a escolha criteriosa dos polos e zeros do compensador Gcs onde deverão estar os polos de malha fechada dominantes no lugar desejado do plano s de forma a atender às especificações de desempenho Compensadores por avanço de fase e compensadores por atraso de fase Existem várias maneiras de construir compensadores de avanço de fase e de atraso de fase como as redes eletrônicas utilizando amplificadores operacionais redes elétricas RC e sistemas mecânicos do tipo molaamortecedor A Figura 636 mostra um circuito eletrônico que utiliza amplificadores operacionais A função de transferência para esse circuito foi obtida no Capítulo 3 como segue veja a Equação 336 E s E s R R R R R C s R C s R C R C s R C s R C K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 3 2 4 2 2 1 1 3 2 4 1 2 2 1 1 a a a h h 618 onde T R C T R C K R C R C c 1 1 2 2 3 2 4 1 a Observe que K R C R C R C R C R R R R R C R C c 3 2 4 1 1 1 2 2 1 3 2 4 1 1 2 2 a a Essa rede tem um ganho dc de Kcα R2R4R1R3 A partir da Equação 618 vemos que essa rede é uma rede de avanço de fase se R1C1 R2C2 ou a 1 Essa rede será de atraso de fase se R1C1 R2C2 As configurações dos polos e zeros dessa rede quando R1C1 R2C2 e quando R1C1 R2C2 são mostradas nas figuras 637a e b respectivamente FIGURA 636 C1 C2 R1 R2 R3 R4 Eis Eos Es Circuito eletrônico que é uma rede de avanço de fase se R1C1 R2C2 e uma rede de atraso de fase se R1C1 R2C2 284 Engenharia de controle moderno Técnicas de compensação por avanço de fase baseadas no método do lugar das raí zes O método do lugar das raízes para projetos é muito eficiente quando as especificações são dadas em termos de grandezas no domínio do tempo como o coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes máximo sobressinal tempo de subida e tempo de acomodação Considere o problema de um projeto no qual o sistema original seja instável para todos os valores de ganho ou que seja estável mas apresente características de resposta transitória inde sejáveis Nesses casos é necessário redesenhar o lugar das raízes na região próxima ao eixo j e à origem de modo que os polos de malha fechada dominantes tenham localização desejada no plano complexo Esse problema pode ser resolvido pela inserção de um compensador por avanço de fase apropriado em cascata com função de transferência no ramo direto Os procedimentos para o projeto de um compensador por avanço de fase para o sistema da Figura 638 pelo método do lugar das raízes podem ser enunciados como segue 1 Com base nas especificações de desempenho determine a localização desejada dos polos de malha fechada dominantes 2 Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema não compensado sistema original e verifique se é possível apenas com o ajuste do ganho obter os polos de malha fechada desejados Caso não seja possível calcule a deficiência de ângulo z Esse ângulo deve ser completado pelo compensador por avanço de fase desde que o novo lugar das raízes passe pela localização desejada dos polos de malha fechada dominantes 3 Suponha que o compensador por avanço de fase Gcs seja G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h onde a e T são determinados com base na deficiência angular Kc é determinado a partir do requisito de ganho de malha aberta 4 Se não forem especificadas as constantes de erro estático determine a posição do polo e do zero do compensador por avanço de fase de modo que esse compensador complete o ângulo z necessário Se não for imposto nenhum outro requisito ao sistema tente fazer FIGURA 637 j v a 1 R2C2 1 R1C1 j v b 1 R2C2 1 R1C1 0 0 Configurações de polos e zeros a rede por avanço de fase b rede por atraso de fase FIGURA 638 Gcs Gs Sistema de controle 285 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes que o valor de a seja o maior possível Um valor elevado de a geralmente resulta em um valor elevado de Kυ o que é desejável Observe que lim lim K sG s G s K sG s s c c s c 0 0 a y h h h 5 Determine o valor de Kc do compensador de avanço de fase a partir da condição de módulo Uma vez projetado o compensador verifique se todas as especificações de desempenho foram alcançadas Se o sistema compensado não satisfizer às especificações de desempenho então repita os procedimentos de projeto ajustando o polo e o zero do compensador até que essas especificações sejam atendidas Se for requerida uma constante de erro estático de valor elevado acrescente uma rede de atraso de fase em cascata ou substitua o compensador por avanço de fase por um compensador por atraso e avanço de fase Note que se os polos de malha fechada selecionados como dominantes não forem realmente dominantes será necessário modificar a posição desse par de polos dominantes Os outros polos de malha fechada que não os dominantes apenas modificam a resposta obtida a partir desses polos dominantes A importância das modificações depende da localização dos polos de malha fechada remanescentes Além disso os zeros de malha fechada afetam a resposta se estiverem situados próximos da origem Exemplo 66 Considere o sistema mostrado na Figura 639a A função de transferência do ramo direto é G s s s 1 10 h h O gráfico do lugar das raízes desse sistema é mostrado na Figura 639b A função de transfe rência de malha fechada é 05 05 R s C s s s s j s j 10 10 31225 31225 10 2 h h h h Os polos de malha fechada estão situados em s 05 j31225 O coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada é ζ 12 10 01581 A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada é n 10 31623 rads Como o coeficiente FIGURA 639 Rs Cs a b 10 ss 1 Gs Polos de malha fechada j 1 3 2 1 j3 j2 j1 j3 j2 j1 v a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 286 Engenharia de controle moderno de amortecimento é muito pequeno o sistema terá um grande sobressinal na resposta em degrau o que não é desejável Desejase projetar um compensador por avanço de fase Gcs como mostra a Figura 640a de forma que os polos de malha fechada dominantes tenham um coeficiente de amortecimento de z 05 e a frequência natural não amortecida n 3 rads As localizações desejadas dos polos de malha fechada dominantes podem ser determinadas por s2 2ζns 2 n s2 3s 9 s 15 j25981s 15 j25981 Seguese que s 15 j25981 Veja a Figura 640b Em alguns casos depois de obtido o lugar das raízes do sistema original os polos de malha fechada dominantes podem ser movidos para a posição desejada simplesmente pelo ajuste do ganho Entretanto este não é o caso do sistema em questão Por essa razão vamos inserir um compensador por avanço de fase no ramo direto Um procedimento geral para determinar o compensador por avanço de fase é o seguinte primeiro determine a soma dos ângulos junto a um dos polos de malha fechada dominantes na posição desejada com os polos e zeros de malha aberta do sistema original e em seguida o ângulo z necessário a ser acrescentado para que a soma total dos ângulos seja igual a 1802k 1 O compensador por avanço de fase deve contribuir com esse ângulo z Se o ângulo z for muito grande então podem ser necessárias duas ou mais redes de avanço de fase e não uma única Considere que o compensador Gcs tem a seguinte função de transferência G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h O ângulo entre o polo na origem e o polo de malha fechada dominante em s 15 j25981 é 120º O ângulo do polo em s 1 ao polo de malha fechada desejado é 100894º Portanto a deficiência angular é Deficiência angular 180 120 100894 40894 A deficiência angular de 40894º deve ser preenchida por um compensador de avanço de fase FIGURA 640 a 10 ss 1 Gs Rs Cs Gcs b Polo de malha fechada desejado j 1 3 15 j25981 j2 j1 j3 j2 j1 v 60 n 3 a Sistema de compensação b posição de polos de malha fechada desejados 287 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Note que a solução para esse problema não é única Existe uma infinidade de soluções Apresentaremos duas possibilidades de solução a seguir Método 1 Há muitas maneiras de determinar a localização do zero e do polo do compen sador por avanço de fase A seguir apresentaremos um procedimento para obter o maior valor possível para a Note que um valor maior de α resulta em um valor de Kυ maior Na maioria dos casos quanto maior o valor de Kυ melhor é o desempenho do sistema Primeiro trace uma reta horizontal passando pelo ponto P a localização desejada para um dos polos de malha fechada dominantes Isso é mostrado na Figura 641 pela reta PA Trace também uma reta conectando o ponto P à origemTrace a bissetriz do ângulo entre as retas PA e PO como mostra a Figura 641 Desenhe duas retas PC e PD que formem ângulos z2 com a bissetriz PB As intersecções de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as localizações necessárias para o polo e o zero da rede de avanço de fase O compensador assim projetado fará que o ponto P seja um ponto de compensação do sistema sobre o lugar das raízes O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo No sistema considerado o ângulo de Gs no polo de malha fechada desejado é 220894 s s 1 10 s j 1 5 2 5981 c h Assim se for necessário forçar o lugar das raízes a passar pelo polo de malha fechada desejado o compensador por avanço de fase deve contribuir com z 40894 nesse ponto Seguindo o procedimento de projeto apresentado anteriormente podemos determinar o polo e o zero do compensador por avanço de fase Considerando a Figura 642 seccionando o ângulo APO em duas partes iguais e tomando 40894º2 de cada lado encontramse os lugares do zero e do polo como segue zero em s 19432 polo em s 46458 Assim Gcs pode ser dado como G s K s T s T K s s 1 1 4 6458 1 9432 c c c a h Para esse compensador o valor de a é α 1943246458 0418 O valor de Kc pode ser determinado a partir da condição de módulo 1 K s s 4 6458 s s 1 9432 1 10 c s j 1 5 2 5981 h ou FIGURA 641 j v O A P C B D 1 αT 1 T ϕ 2 ϕ 2 Determinação do polo e do zero de uma rede de avanço de fase 288 Engenharia de controle moderno 12287 K s s s s 10 1 9432 4 6458 1 c s j 1 5 2 5981 h h h Logo o compensador por avanço de fase Gcs projetado é dado por 12287 G s s s 4 6458 1 9432 c h Portanto a função de transferência de malha aberta do sistema projetado tornase 12287 G s G s s s 4 6458 s s 1 9432 1 10 c c h h m h e a função de transferência de malha fechada tornase R s C s s s s s s s s s s 1 4 6458 12 287 1 9432 12 287 1 9432 5 646 16 933 23 876 12 287 23 876 3 2 h h h h h h A Figura 643 mostra o gráfico de lugar das raízes para o sistema projetado FIGURA 643 j 1 3 1 2 4 5 j2 j1 j3 j3 j2 j1 v Gráfico do lugar das raízes do sistema projetado FIGURA 642 j 1 0 2 19432 46458 A P j3 j2 j1 j2 j1 v 20447 20447 3 Determinação do polo e do zero de um compensador por avanço de fase 289 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Vale a pena verificar a constante de erro estático de velocidade Kυ para o sistema projetado lim lim K sG s G s s s s s s 1 2287 4 6458 1 9432 1 10 5 139 s c s 0 0 y h h h E Note que o terceiro polo de malha fechada do sistema projetado é encontrado pela divisão da equação característica pelos fatores conhecidos como segue s3 5646s2 16933s 23875 s 15 j25981s 15 j25981s 265 O método de compensação precedente nos possibilita situar os polos dominantes de malha fechada nos pontos desejados do plano complexo O terceiro polo em s 265 está bastante próximo do zero adicionado em s 19432 Assim o efeito desse polo sobre a resposta tran sitória é relativamente pequeno Desde que nenhuma restrição tenha sido imposta ao polo não dominante e que não haja nenhuma especificação relativa ao valor da constante de erro estático de velocidade concluímos que o atual projeto é satisfatório Método 2 Se determinarmos o zero do compensador de avanço de fase em s 1 de forma que ele cancele o polo da planta em s 1 o polo compensador deverá estar localizado em s 3 Veja a Figura 644 Então o compensador de avanço tornase G s K s s 3 1 c c h O valor de Kc pode ser determinado por meio da condição de módulo 1 K s s 3 s s 1 1 10 c s j 1 5 2 5981 h ou 09 K s s 10 3 c s j 1 5 2 5981 h Então 09 G s s s 3 1 c h FIGURA 644 j 1 3 1 2 4 j2 j1 j3 j2 j1 v Polo de malha fechada desejado Polo compensador Zero compensador 60 120 Polo compensador e zero compensador 290 Engenharia de controle moderno A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é 09 G s G s s s s s s s 3 1 1 10 3 9 c h h h h A função de transferência de malha fechada do sistema projetado é R s C s s 3s 9 9 2 h h Note que no caso em questão o zero ou o compensador de avanço de fase cancelará um polo da planta resultando em um sistema de segunda ordem em lugar de um sistema de terceira ordem como projetamos por meio do Método 1 A constante do erro estático de velocidade para o caso em questão é obtida como segue lim lim K sG s G s s s s 3 9 3 s s 0 0 y h h h E Observe que o sistema projetado pelo Método 1 resulta em um valor maior para a constante de erro estático de velocidade Isso significa que o sistema projetado pelo Método 1 terá erros menores de estado permanente nas entradas em rampa do que o sistema projetado pelo Método 2 Para variações na combinação de zero e polo do compensador que acrescentem 40894º o valor de Kυ será diferente Embora alguma mudança possa ser feita no valor de Kυ por meio da alteração do lugar de polo e de zero do compensador de avanço de fase se for desejável um grande aumento no valor Kυ será preciso mudar o compensador de avanço de fase para um compensador de atraso e avanço de fase Comparação das respostas ao degrau dos sistemas compensados e não compensados A seguir examinaremos as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária dos três sistemas o sistema original não compensado o sistema projetado pelo Método 1 e o sistema projetado pelo Método 2 O programa do MATLAB utilizado para obter as curvas de resposta ao degrau unitário é o Programa 69 em MATLAB onde num1 e den1 indicam o numerador e o denominador do sistema projetado pelo Método 1 e num2 e den2 indicam o sistema projetado pelo Método 2 Num e den também são utilizados para o sistema sem compensação original A Figura 645 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário resultantes O programa em MATLAB para obter as curvas de resposta à rampa unitária dos Programa 69 em MATLAB Resposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 num2 9 den2 1 3 9 num 10 den 1 1 10 t 00055 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t c stepnumdent plottc1tc2tcx grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 c2 e c text151148Sistema compensado Método 1 text09048Sistema compensado Método 2 text251067Sistema não compensado 291 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes sistemas projetados é o Programa 610 em MATLAB no qual usamos o comando step para obter respostas de rampa unitária utilizando os numeradores e denominadores dos sistemas projetados com o Método 1 e com o Método 2 como segue num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 0 num2 9 den2 1 3 9 0 A Figura 646 mostra as curvas de resposta à rampa unitária resultantes Programa 610 em MATLAB Resposta à rampa unitária do sistema compensado num1 12287 23876 den1 1 5646 16933 23876 0 num2 9 den2 1 3 9 0 t 00055 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t plottc1tc2tt grid titleResposta à rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada em rampa unitária e Saídas c1 e c2 text25538Entrada text05528Sistema compensado Método 1 text235175Sistema compensado Método 2 Ao examinar essas curvas de resposta note que o sistema compensado projetado pelo Método 1 exibe um sobressinal um pouco maior na resposta ao degrau do que o sistema compensado projetado pelo Método 2 No entanto o primeiro tem melhores características de resposta para a entrada em rampa do que o segundo Portanto é difícil dizer qual o melhor A decisão quanto FIGURA 645 Saídas c1 c2 e c 04 08 18 0 1 05 15 0 2 25 t s 3 35 4 45 5 12 06 1 02 14 16 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Método 1 Sistema compensado Método 2 Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário para os sistemas projetados e para o sistema original sem compensação 292 Engenharia de controle moderno à escolha deve ser feita conforme os requisitos de resposta como sobressinais menores para entradas do tipo degrau ou erros de estado permanente menores após uma entrada em rampa ou entrada variável esperados no sistema projetado Se houver o requisito tanto de sobressinais menores nas entradas em degrau quanto de erros de estado permanente menores após alterações na entrada é possível que seja necessário usar um compensador de atraso e avanço de fase Veja a Seção 68 quanto às técnicas para compensadores de atraso e avanço de fase 67 Compensação por atraso de fase Compensador eletrônico por atraso de fase usando amplificadores operacionais A configuração do compensador eletrônico por atraso de fase com a utilização de amplificadores ope racionais é a mesma que a do compensador por avanço de fase mostrado na Figura 636 Escolhendo R2C2 R1C1 no circuito mostrado na Figura 636 este se torna um compensador por atraso de fase Com base na Figura 636 a função de transferência do compensador por atraso de fase é dada por E s E s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 i o c c b b b t t h h onde 1 T R C T R C R C R C K R C R C c 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2 4 1 2 b b t Note que utilizamos β no lugar de a nas expressões apresentadas No compensador por avanço de fase usamos a para indicar a relação R2C2R1C1 que era menor que 1 ou 0 a 1 Neste capítulo vamos supor sempre que 0 a 1 e β 1 Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas no método do lugar das raízes Considere o problema de determinar uma rede de compensação apropriada para o caso em que o sistema apresente resposta transitória com características satisfatórias mas as características em FIGURA 646 Entrada em rampa unitária e saídas c1 e c2 Respostas à rampa unitária do sistema compensado Sistema compensado Método 1 Entrada Sistema compensado Método 2 1 05 15 0 2 25 3 35 4 45 5 t s 5 2 0 3 45 1 05 4 25 35 15 Curvas de resposta à rampa unitária de sistemas projetados 293 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes regime permanente sejam insatisfatórias A compensação nesse caso consiste essencialmente no aumento do ganho de malha aberta sem alterar apreciavelmente as características da respos ta transitória Isso significa que o lugar das raízes nas proximidades dos polos dominantes de malha fechada não deve ser modificado significativamente mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado tanto quanto necessário Isso pode ser obtido se for colocado um compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência do ramo direto dada Para evitar uma modificação apreciável no lugar das raízes a contribuição angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno digamos inferior a 5º Para assegurar que isso ocorra colocamos o polo e o zero da rede de atraso de fase relativamente próximos um do outro e próximos da origem do plano s Então os polos de malha fechada do sistema compensado serão apenas um pouco deslocados das posições originais Por essa razão as características da resposta transitória terão apenas uma ligeira alteração Considere um compensador por atraso de fase Gcs onde G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c b b b t t h 619 Se colocarmos o zero e o polo do compensador por atraso de fase muito próximos um do outro então s s1 onde s1 é um dos polos dominantes de malha fechada os módulos de s1 1T e s1 1βT serão quase iguais ou G s K s T s T K 1 1 c c c 1 1 1 Z b t t h Para fazer que a contribuição angular da porção de atraso de fase do compensador seja pequena será necessário que 5 0 s T s T 1 1 1 1 c c 1 1 b Isso quer dizer que se o ganho K c do compensador por atraso de fase for definido como igual a 1 as características da resposta transitória não serão alteradas Isso significa que o ganho resultante da função de transferência de malha aberta pode ser aumentado de um fator β onde β 1 Se o polo e o zero forem colocados muito próximos da origem então o valor de β pode ser aumentado Podese utilizar um valor alto de β se for possível a implementação física de um compensador por atraso de fase Note que o valor de T deve ser elevado mas seu valor exato não é crítico Entretanto não deve ser muito alto para evitar dificuldades na implementação do compensador por atraso de fase em decorrência dos componentes físicos Um aumento do ganho significa um aumento das constantes de erro estático Se a função de transferência de malha aberta do sistema não compensado for Gs então a constante de erro estático de velocidade Kυ do sistema não compensado será lim K sG s s 0 y h Se for escolhido um compensador como o que é dado pela Equação 619 então para o sistema compensado com a função de transferência de malha aberta GcsGs a constante de erro estático de velocidade se tornará lim lim K sG s G s G s K K K s c s c c 0 0 b y y y t t h h h onde Kυ é a constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado Assim se o compensador for o dado pela Equação 619 então a constante de erro estático de velocidade deverá ser multiplicada por K cβ onde K c é aproximadamente a unidade 294 Engenharia de controle moderno O principal efeito negativo da compensação por atraso de fase é que o zero do compensador que será gerado próximo da origem cria um polo de malha fechada também próximo da origem Esse polo de malha fechada e esse zero do compensador produzirão uma cauda alongada de pequena amplitude na resposta ao degrau aumentando assim o tempo de acomodação Procedimentos de projeto de compensação por atraso de fase pelo método do lugar das raízes O procedimento para o projeto de compensadores por atraso de fase para o sistema da Figura 647 pelo método do lugar das raízes pode ser enunciado como segue vamos supor que o sistema não compensado satisfaça às especificações da resposta transitória por meio do simples ajuste do ganho se não for esse o caso considere como referência a Seção 68 1 Desenhe o gráfico do lugar das raízes para o sistema não compensado no qual a função de transferência de malha aberta é Gs Com base nas especificações da resposta transitória localize os polos dominantes de malha fechada sobre o lugar das raízes 2 Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja dada pela Equação 619 G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c b b b t t h Então a função de transferência de malha aberta do sistema compensado tornase GcsGs 3 Calcule a particular constante de erro estático especificada no problema 4 Determine o acréscimo na constante de erro estático necessário para satisfazer às espe cificações 5 Determine o polo e o zero do compensador por atraso de fase que produzam o aumento necessário no valor em particular da constante de erro estático sem modificar aprecia velmente o lugar das raízes Note que a relação entre o valor do ganho requerido pelas especificações e o ganho encontrado no sistema não compensado deve ser igual à relação entre a distância do zero à origem e a distância do polo à origem 6 Desenhe o novo gráfico do lugar das raízes para o sistema compensado Posicione os polos dominantes de malha fechada desejados sobre o lugar das raízes Se a contribuição angular da rede de atraso for muito pequena isto é de uns poucos graus então o lugar das raízes original e o novo serão quase idênticos Caso contrário haverá uma pequena discrepância entre eles Localize então sobre o novo lugar das raízes os polos dominantes de malha fechada desejados com base nas especificações da resposta transitória 7 Ajuste o ganho K c do compensador a partir da condição de módulo de modo que os polos dominantes de malha fechada se situem na posição desejada K c será aproximadamente 1 Exemplo 67 Considere o sistema mostrado na Figura 648a A função de transferência do ramo direto é G s s s 1 s 2 1 06 h h h FIGURA 647 Gcs Gs Sistema de controle 295 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A Figura 648b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s j s j s 1 2 1 06 1 06 0 3307 0 5864 0 3307 0 5864 2 3386 1 06 h h h h h h h Os polos dominantes de malha fechada são s 03307 j05864 O coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada é z 0491 A frequência natural não amortecida dos polos de malha fechada dominantes é 0673 rads A constante de erro estático de velocidade é 053 s1 É desejável aumentar a constante de erro estático de velocidade Kυ para aproximadamente 5 s1 sem que haja modificação significativa na posição dos polos dominantes de malha fechada Para atender a essa especificação vamos inserir um compensador por atraso de fase em cascata com a função de transferência de ramo direto de acordo com a Equação 619 Para aumentar a constante de erro estático de velocidade por um fator em torno de 10 escolhemos β 10 e posicionamos o zero e o polo do compensador por atraso de fase em s 005 e s 0005 respectivamente A função de transferência do compensador por atraso de fase vem a ser G s K s s 0 005 0 05 c c t h A contribuição angular dessa rede de atraso de fase próxima de um polo de malha fechada domi nante é de aproximadamente 4 Pelo fato de essa contribuição angular não ser muito pequena existe uma ligeira alteração no novo lugar das raízes próximo aos polos dominantes de malha fechada desejados A função de transferência de malha aberta do sistema compensado tornase G s G s K s s s s s s s s s K s 0 005 0 05 1 2 1 06 0 005 1 2 0 05 c c t h h h h h h h h FIGURA 648 106 ss 1 s 2 Polo de malha fechada j1 j2 j1 0 1 2 3 1 j v a b j2 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 296 Engenharia de controle moderno onde K 106K c A Figura 649 mostra o gráfico de blocos do sistema compensado A Figura 650a exibe o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo dos polos dominantes de malha fechada e inclui também o gráfico do lugar das raízes do sistema original A Figura 650 b expõe o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo à origem O Programa 611 em MATLAB gera os gráficos do lugar das raízes mostrados pelas figuras 650 a e b Programa 611 em MATLAB Gráficos de lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado Digite os numeradores e denominadores dos sistemas compensado e não compensado numc 1 005 denc 1 3005 2015 001 0 num 106 den 1 3 2 0 Digite o comando rlocus Esboce o gráfico do lugar das raízes de ambos os sistemas rlocusnumcdenc hold Current plot held rlocusnumden v 3 1 2 2 axisv axissquare grid text2802Sistema compensado text2812Sistema não compensado text28058Polo de malha fechada original text01085Novo polo de text01062malha fechada titleGráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado hold Current plot released Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem rlocusnumcdenc v 06 06 06 06 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Se o coeficiente de amortecimento dos novos polos dominantes de malha fechada permanecer o mesmo então os polos serão obtidos a partir do novo gráfico do lugar das raízes como segue s1 031 j055 s2 031 j055 O ganho de malha aberta K é determinado a partir da condição de módulo como segue FIGURA 649 Kc s 005 s 0005 Kc 0966 106 ss 1 s 2 Sistema compensado 297 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes K s s s s s 0 05 0 005 1 2 1 0235 s j 0 31 0 55 h h h Então o ganho do compensador por atraso de fase K c é determinado como 09656 K K 1 06 1 06 1 0235 c t Assim a função de transferência do compensador por atraso de fase projetado é 09656 9656 G s s s s s 0 005 0 05 200 1 20 1 c h 620 Portanto o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s s s s s s 0 005 1 2 1 0235 0 05 200 1 1 0 5 1 5 12 20 1 1 h h h h h h h h h A constante de erro estático de velocidade Kυ é 512 lim K sG s s s 0 1 1 y h No sistema compensado a constante de erro estático de velocidade aumentou para 512 s1 ou 512053 966 vezes o valor original O erro estacionário a uma excitação em rampa decresceu para cerca de 10 do valor do erro do sistema original Assim o objetivo principal do projeto de aumentar a constante de erro estático para aproximadamente 5 s1 foi essencialmente alcançado Note que como o polo e o zero do compensador por atraso de fase estão muito próximos entre si e posicionados muito perto da origem o efeito sobre a forma do lugar das raízes original FIGURA 650 Eixo real 25 3 0 1 05 05 15 2 1 a Eixo imaginário 2 2 15 1 15 1 0 05 05 Gráficos do lugar das raízes dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Polo de malha fechada original Sistema compensado Novo polo de malha fechada 04 06 02 02 04 0 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Eixo real Eixo imaginário 01 01 05 03 04 03 0 02 02 04 05 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado e do sistema não compensado b gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem 298 Engenharia de controle moderno é pequeno Exceto pela presença de uma pequena região do lugar das raízes próxima à origem os lugares das raízes dos sistemas não compensado e compensado serão muito semelhantes Entretanto o valor da constante de erro estático de velocidade do sistema compensado é 966 vezes maior que o do sistema não compensado Os outros dois polos de malha fechada do sistema compensado são encontrados em s3 2326 s4 00549 A inserção do compensador por atraso de fase aumenta a ordem do sistema de 3 para 4 acres centando um polo adicional de malha fechada próximo do zero do compensador de atraso de fase O polo de malha fechada adicionado em s 00549 fica próximo de zero em s 005 Esse par de zero e polo produz uma cauda longa de pequena amplitude na resposta transitória como será visto adiante na resposta ao degrau unitário Como o polo em s 2326 está muito distante do eixo j em comparação com os polos dominantes de malha fechada o efeito desse polo sobre a resposta transitória também é pequeno Por essa razão podese considerar os polos em s 031 j055 como os polos dominantes de malha fechada A frequência natural não amortecida dos polos dominantes de malha fechada do sistema compensado é 0631 rads Esse valor é aproximadamente 6 menor que o valor original 0673 rads Isso implica que a resposta transitória do sistema compensado fica mais lenta que a resposta do sistema original A resposta levará mais tempo para se acomodar O máximo sobressinal na resposta ao degrau será maior no sistema compensado Se esses efeitos adversos puderem ser tolerados a compensação por atraso de fase que foi discutida aqui se apresentará como uma solução satisfatória para esse problema de projeto Em seguida vamos comparar as respostas a uma rampa unitária do sistema compensado com a do sistema não compensado e verificar que o desempenho em regime permanente é muito melhor no sistema compensado do que no não compensado Para obter a resposta a uma rampa unitária com o MATLAB utilizamos o comando step para o sistema CssRs Como CssRs para o sistema compensado é sR s C s s s s s s s s s s s s s s 0 005 1 2 1 0235 0 05 1 0235 0 05 3 005 2 015 1 0335 0 0512 1 0235 0 0512 5 4 3 2 h h h h h h h 6 temos numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 0 Além disso CssRs para o sistema não compensado é sR s C s s s s s s s s s 1 2 1 06 1 06 3 2 1 06 1 06 4 3 2 h h h h 6 Então num 106 den 1 3 2 106 0 O Programa 612 em MATLAB produz o gráfico das curvas de resposta a uma rampa unitária A Figura 651 mostra o resultado Fica claro que o sistema compensado apresenta um erro esta cionário muito menor um décimo do erro estacionário do original ao seguir uma entrada em rampa unitária 299 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Programa 612 em MATLAB Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado A resposta à rampa unitária será obtida como a resposta ao degrau unitário do sistema CssRs Digite os numeradores e denominadores de C1ssRs e C2ssRs onde C1s e C2s são transformados em Laplace dos sinais de saída dos sistemas compensado e não compensado respectivamente numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 0 num 106 den 1 3 2 106 0 Especifique o intervalo de tempo tal como t 00150 e digite o comando step e o comando plot t 00150 c1 stepnumcdenct c2 stepnumdent plottc1tc2tt grid text2227Sistema compensado text26213Sistema não compensado titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 O Programa 613 em MATLAB fornece as curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado A Figura 652 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário desses sistemas Note que o sistema compensado por atraso de fase apresenta um máximo sobres sinal maior e uma resposta mais lenta que o sistema original não compensado Observe que um par constituído por um polo em s 00549 e um zero em s 005 gera uma cauda de pequena amplitude e longa duração na resposta transitória Se o valor mais alto do máximo sobressinal e a resposta mais lenta não forem desejados tornase necessário utilizar um compensador por atraso e avanço de fase como apresentado na Seção 68 FIGURA 651 t s 10 0 5 35 50 30 40 45 20 15 25 Saídas c1 e c2 50 0 15 5 35 25 30 20 45 40 10 Resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Resposta dos sistemas compensado e não compensado a uma entrada em rampa O compensador é dado pela Equação 620 300 Engenharia de controle moderno Programa 613 em MATLAB Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Digite os numeradores o denominadores dos sistemas compensado e não compensado numc 10235 00512 denc 1 3005 2015 10335 00512 num 106 den 1 3 2 106 Especifique o intervalo de tempo tal como t 00140 e digite o comando step e o comando plot t 00140 c1 stepnumcdenct c2 stepnumdent plottc1tc2 grid text13112Sistema compensado text136088Sistema não compensado titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 Comentários Entretanto devese observar que em certas circunstâncias tanto o compensador por avanço de fase como o compensador por atraso de fase podem satisfazer às especificações dadas tanto as especificações da resposta transitória como as de regime permanente Assim ambas as formas de compensação podem ser utilizadas 68 Compensação por atraso e avanço de fase A compensação por avanço de fase basicamente aumenta tanto a velocidade de resposta como a estabilidade do sistema A compensação por atraso de fase melhora a precisão do sistema em regime permanente mas reduz a velocidade de resposta FIGURA 652 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Saídas c1 e c2 Sistema não compensado Sistema compensado t s 5 0 30 40 25 35 15 10 20 14 04 0 12 08 1 06 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado O compensador é dado pela Equação 620 301 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Se for desejado melhorar não só a resposta transitória mas também a resposta em regime permanente podese utilizar simultaneamente o compensador por avanço de fase e o compen sador por atraso de fase No entanto em vez de inserir os compensadores por avanço de fase e por atraso de fase como elementos separados é econômico utilizar um único compensador por atraso e avanço de fase O compensador por atraso e avanço de fase combina as vantagens da compensação por atraso de fase e por avanço de fase Como o compensador por atraso e avanço de fase possui dois polos e dois zeros essa compensação aumenta a ordem do sistema em duas unidades a menos que ocorra o cancelamento de polos e zeros no sistema compensado Compensador eletrônico por atraso e avanço de fase com a utilização de amplificado res operacionais A Figura 653 mostra um compensador eletrônico por atraso e avanço de fase com a utilização de amplificadores operacionais A função de transferência desse compensador pode ser obtida como segue a impedância complexa Z1 é dada por Z R C s R 1 1 1 1 1 1 1 3 ou Z R R C s R C s R 1 1 1 1 3 1 1 1 3 h h Da mesma maneira a impedância complexa Z2 é dada por Z R R C s R C s R 1 1 2 2 4 2 2 2 4 h h Temse então E s E s Z Z R R R C s R R C s R R C s R C 1 1 1 1 i 1 2 3 4 1 1 1 3 1 2 4 2 2 2 h h h h A função de transferência do inversor de sinal é E s E s R R o 5 6 h h Assim a função de transferência do compensador mostrado na Figura 653 é E s E s E s E s E s E s R R R R R C s R R C s R R C s R C s 1 1 1 1 i o o i 3 5 4 6 1 1 1 3 1 2 4 2 2 2 h h h h h h h h G G 621 FIGURA 653 C1 C2 R1 R5 Eis Eos Es Rede de avanço e atraso de fase Inversor de sinal Z1 Z2 R2 R3 R4 R6 Compensador por avanço e atraso de fase 302 Engenharia de controle moderno Vamos definir T R R C T R C T R C T R C C 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 c b h h A Equação 621 tornase E s E s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 i o c c 1 1 2 2 1 2 1 2 c b c b c b f e e c e e h h p o o m o o 622 onde 1 1 R R R R R R K R R R R R R R R R R c 1 1 3 2 2 4 1 3 5 2 4 6 2 4 1 3 2 2 c b Observe que g é frequentemente escolhido como igual a β Técnicas de compensação por atraso e avanço de fase baseadas no método do lugar das raízes Considere o sistema mostrado na Figura 654 Suponha que tenha sido utilizado o compensador por atraso e avanço de fase G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 1 2 2 c b c b c b J L K K KK J L K K KK e N P O O OO N P O O OO h o h h h 623 onde β 1 e g 1 Considere Kc pertencente à porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase No projeto de compensadores por atraso e avanço de fase consideramse dois casos g β e g β Caso 1 g β Nesse caso o procedimento de projeto é uma combinação de um projeto de compensador por avanço de fase e de um compensador por atraso de fase O procedimento do projeto do compensador por atraso e avanço de fase é o seguinte 1 Com base nas especificações de desempenho dadas determine a localização desejada dos polos dominantes de malha fechada 2 Utilizando a função de transferência de malha aberta Gs do sistema não compensado determine a deficiência angular z para que os polos dominantes de malha fechada estejam na posição desejada A parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com esse ângulo z 3 Supondo que adiante será escolhido T2 suficientemente alto para que o módulo da parte de atraso de fase s T s T 1 1 1 2 1 2 b seja aproximadamente igual à unidade onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada escolha os valores de T1 e g a partir do requisito FIGURA 654 Gcs Gs Sistema de controle 303 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes s T s T 1 1 1 1 1 c z A escolha de T1 e g não é única Uma infinidade de pares de T1 e g é possível Então determine o valor de Kc da condição de módulo 1 K s T s T G s 1 c 1 1 1 1 1 c h 4 Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada determine o valor de β que satisfaça esse requisito para Kυ A constante de erro estático de velocidade Kυ é dada por lim lim lim K sG s G s sK s T s T s T s T G s sK G s 1 1 1 s c s c s c 0 0 1 1 2 2 0 c b c b y J L K K K J L K K K N P O O O N P O O O h h h h onde Kc e g já foram determinados no passo 3 Assim dado o valor de Kυ podese determinar o valor de β com base nessa última equação Então utilizando o valor de β assim determinado escolha o valor de T2 tal que s T s T s T s T 1 1 1 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b O Exemplo 68 ilustra o procedimento de projeto apresentado Caso 2 g β Se for requerido que g β na Equação 623 então o procedimento de projeto para o compensador por atraso e avanço de fase pode ser modificado como segue 1 Com base nas especificações de desempenho dadas determine a posição desejada dos polos dominantes de malha fechada 2 O compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 623 é modificado para G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b e e e e e h o h h h o o o o 624 onde β 1 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é Gcs Gs Se a constante de erro estático de velocidade Kυ for especificada determine o valor do coeficiente Kc a partir da seguinte equação lim lim K sG s G s sK G s s c s c 0 0 y h h h 304 Engenharia de controle moderno 3 Para obter a posição desejada dos polos dominantes de malha fechada determine a con tribuição angular z que deve ser fornecida pela porção de avanço de fase do compensador de atraso e avanço de fase 4 Para o compensador por atraso e avanço de fase será escolhido mais à frente um valor de T2 suficientemente grande para que o módulo dado por s T s T 1 1 1 2 1 2 b seja aproximadamente igual à unidade onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada Determine os valores de T1 e β com base nas condições de módulo e de ângulo K s T s T G s s T s T 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b z J L K K K N P O O O h 5 Utilizando o valor de β determinado escolha o valor de T2 para que s T s T s T s T 1 1 1 5 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b O valor de βT2 a maior constante de tempo do compensador por atraso e avanço de fase não deve ser muito grande para que seja fisicamente realizável Um exemplo de projeto de compensador por atraso e avanço de fase com g β é dado no Exemplo 69 Exemplo 68 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 655 A função de transferência de ramo direto é G s s s 0 5 4 h h Esse sistema possui polos de malha fechada em s 02500 j19843 O coeficiente de amortecimento é 0125 a frequência natural não amortecida é 2 rads e a cons tante de erro estático de velocidade é 8 s1 É desejável tornar o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada igual a 05 e aumentar a frequência natural não amortecida para 5 rads e a constante de erro FIGURA 655 4 ss 05 Sistema de controle 305 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes estático de velocidade para 80 s1 Projete um compensador apropriado para atender a todas as especificações de desempenho Vamos supor que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase com a função de transferência G s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 c c 1 1 2 2 2 2 c b c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h h onde g é diferente de β Então a função de transferência em malha aberta do sistema compensado será G s G s K s T s T s T s T G s 1 1 1 c c 1 1 2 2 c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h h h A partir das especificações de desempenho os polos dominantes de malha fechada devem situarse em s 250 j433 Como 235 s s 0 5 4 s j 2 50 4 33 c h a parte relativa ao avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com 55 de modo que o lugar das raízes passe pela localização desejada dos polos dominantes de malha fechada No projeto da parte de avanço de fase do compensador primeiro são determinadas as posições do zero e do polo que fornecerão a contribuição de 55 Existem muitas possibilidades de escolha mas aqui foi adotado o zero em s 05 de maneira que cancele o polo da planta em s 05 Uma vez escolhido o zero o polo pode ser localizado de modo que a contribuição angular seja 55 Por um cálculo simples ou por meio de análise gráfica verificase que o polo deve situarse em s 5021 Assim a parte relativa ao avanço de fase do compensador será K s T s T K s s 1 5 02 0 5 c c 1 1 c Assim 2 1004 T 0 5 5 02 1 c Em seguida determine o valor de Kc com base na condição de módulo 1 K s s 5 02 s s 0 5 0 5 4 c s j 2 5 4 33 h Então 626 K s s 4 5 02 c s j 2 5 4 33 h A parte de atraso de fase do compensador pode ser projetada como segue primeiro determinase o valor de β para satisfazer o requisito da constante de erro estático de velocidade lim lim lim K sG s G s sK G s s 6 26 10 04 s s 0 5 4 4 988 80 s c s c s 0 0 0 c b b b y h h h h h 306 Engenharia de controle moderno Então β é determinado como β 1604 Por fim escolhese um valor de T2 tal que satisfaça as duas condições a seguir 1 5 0 s T s T s T s T 16 04 1 1 16 04 1 1 s j s j 2 2 2 50 4 33 2 2 2 50 4 33 c c 1 1 Z Podemos escolher vários valores para T2 e verificar se as condições de módulo e angular são satisfeitas Com cálculos simples chegamos a T2 5 1 módulo 098 210 ângulo 0 Como T2 5 satisfaz as duas condições podemos escolher T2 5 Agora a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase projetado é dada por G s s s s s s s s s s s s s 6 26 2 10 04 2 1 16 04 5 1 5 1 6 26 5 02 0 5 0 01247 0 2 0 1992 1 80 19 1 10 2 1 5 1 c J L K K KK J L K K KK e e N P O O OO N P O O OO h h o o h h h h O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta G s G s s s s s 5 02 0 01247 25 04 0 2 c h h h h h Em virtude do cancelamento dos termos s 05 o sistema compensado é de terceira ordem Matematicamente esse cancelamento é exato mas na prática ele não é exato porque a dedução do modelo matemático do sistema envolve em geral algumas aproximações e como resultado as constantes de tempo não são precisas O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 656a Uma visão aumentada do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 656b Pelo fato de a contribuição angular da parte de atraso de fase do compensador de atraso e avanço de fase ser muito pequena há apenas um pequeno deslocamento da posição desejada s 25 j433 A equação característica para o sistema compensado é ss 502s 001247 2504s 02 0 ou s3 50325s2 251026s 5008 s 24123 j42756s 24123 j42756s 02078 0 Então os novos polos de malha fechada ficam localizados em s 24123 j42756 O novo coeficiente de amortecimento é z 0491 Portanto o sistema compensado atende a todas as especificações de desempenho requeridas O terceiro polo de malha fechada do sistema com pensado está localizado em s 02078 Como esse polo está muito próximo do zero situado em s 02 o efeito desse polo na resposta é pequeno Note que em geral se um polo e um zero estiverem situados próximos um do outro sobre o semieixo real negativo e próximo à origem então essa combinação de polo e zero produzirá uma espécie de cauda alongada de pequena amplitude na resposta transitória 307 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As curvas de resposta ao degrau unitário e as curvas de resposta à rampa unitária antes e depois da compensação são mostradas na Figura 657 Observe que há uma longa cauda de baixa amplitude na resposta ao degrau unitário do sistema compensado Exemplo 69 Considere novamente o sistema de controle do Exemplo 68 Suponha que seja utilizado um compensador por atraso e avanço de fase na forma dada pela Equação 624 ou FIGURA 656 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo imaginário 10 5 5 10 0 Eixo real a 2 2 8 6 0 4 10 10 4 6 8 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo da origem Eixo real Eixo imaginário 05 0 01 03 04 02 005 005 02 015 025 015 0 01 01 025 02 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo da origem FIGURA 657 t s 1 0 6 8 5 7 3 2 4 a Saídas 04 08 18 0 12 06 1 02 14 16 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Erro estacionário do sistema compensado 00125 Erro estacionário do sistema não compensado 0125 Sistema compensado Sistema não compensado t s 2 1 7 9 6 8 10 0 4 3 5 b Saídas 10 4 0 6 9 2 1 8 5 7 3 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Curvas da resposta transitória dos sistemas compensado e não compensado a Curvas de resposta ao degrau unitário b curvas de resposta à rampa unitária 308 Engenharia de controle moderno G s K s T s T s T s T 1 1 1 1 c c 1 2 1 2 2 b b b c c e e h m m o o h Supondo que as especificações sejam as mesmas dadas no Exemplo 68 projete um compensador Gcs As localizações desejadas para os polos dominantes de malha fechada são s 250 j433 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s K s T s T s T s T s s 1 1 1 0 5 4 c c 1 2 1 2 b b c c e e h h m m o o h Como o requisito da constante de erro estático de velocidade Kυ é 80 s1 temos 8 80 lim lim K sG s G s K K 0 5 4 s c s c c 0 0 y h h Portanto Kc 10 A constante de tempo T1 e o valor de β são determinados a partir de s T s T s s s T s T s T s T 1 0 5 40 1 4 77 8 1 1 55 s j s j 1 1 2 5 4 33 1 1 1 1 2 5 4 33 c b b b h A deficiência angular de 55 foi obtida no Exemplo 68 Com base na Figura 658 podemos localizar facilmente os pontos A e B tais que 55 APB PB PA 8 4 77 c Utilize abordagem gráfica ou trigonométrica O resultado é AO 238 BO 834 ou T1 2 38 1 0420 β 834T1 3503 A parte relativa ao avanço de fase da rede de atraso e avanço de fase tornase então 10 s s 8 34 2 38 c m Para a porção relativa ao atraso de fase podemos escolher T2 de forma que satisfaça às condições 1 5 0 s T s T s T s T 3 503 1 1 3 503 1 1 s j s j 2 2 2 50 4 33 2 2 2 50 4 33 c c 1 1 Z 309 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Com cálculos simples constatamos que T2 5 então 1 módulo 098 15 ângulo 0 e se escolhermos T2 10 temos 1 módulo 099 1 ângulo 0 Como T2 é uma das constantes de tempo do compensador por atraso e avanço de fase não deve ser muito grande Se T2 10 for aceitável do ponto de vista prático podemos escolher T2 10 Então 00285 T 1 3 503 10 1 2 b Assim o compensador por atraso e avanço de fase tornase G s s s s s 10 8 34 2 38 0 0285 0 1 c c c h h m m O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta G s G s s s s s s s 8 34 0 0285 0 5 40 2 38 0 1 c h h h h h h h Nenhum cancelamento ocorre nesse caso e o sistema compensado é de quarta ordem Pelo fato de a contribuição angular da parte relativa ao atraso de fase da rede de atraso e avanço ser muito pequena os polos dominantes de malha fechada ficam muito próximos da localização desejada De fato a localização dos polos dominantes de malha fechada pode ser encontrada a partir da seguinte equação característica a equação característica do sistema compensado é s 834s 00285ss 05 40s 238s 01 0 que pode ser simplificada para s4 88685s3 444219s2 993188s 952 s 24539 j43099s 24539 j43099s 01003s 38604 0 Os polos dominantes de malha fechada estão localizados em s 24539 j43099 Os outros polos de malha fechada estão localizados em s 01003 s 38604 FIGURA 658 0 j v A B P 55 j5 j4 j3 j2 j1 j4 j3 j2 j1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 Determinação da localização desejada do polo e do zero 310 Engenharia de controle moderno Como o polo de malha fechada em s 01003 está muito próximo de um zero em s 01 eles quase se cancelam Assim o efeito desse polo de malha fechada é muito pequeno O polo de malha fechada restante s 38604 não cancela completamente o zero em s 24 O efeito desse zero é causar maior sobressinal na resposta ao degrau do que no caso de um sistema seme lhante mas sem esse zero A Figura 659a mostra as curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado As curvas de resposta à rampa unitária de ambos os sistemas estão representadas na Figura 659b O máximo sobressinal na resposta ao degrau do sistema compensado é aproximadamente 38 Este é bem mais elevado que o máximo sobressinal de 21 do projeto apresentado no Exemplo 68 É possível reduzir o máximo sobressinal de um pequeno valor a partir de 38 mas não para 20 se for requerido g β como neste exemplo Note que por não se exigir g β temos um parâmetro adicional a ser ajustado o que permite reduzir o máximo sobressinal FIGURA 659 t s 1 05 0 35 45 3 4 5 2 15 25 a Saídas 04 08 18 0 12 06 1 02 14 16 Resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 05 0 3 4 25 35 15 1 2 b Saídas 15 25 4 05 0 35 2 3 1 Resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado a Curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b curvas de resposta à rampa unitária para ambos os sistemas 311 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 69 Compensação em paralelo Foram apresentadas até aqui técnicas de compensação em série com a utilização de com pensadores por avanço de fase por atraso de fase ou por atraso e avanço de fase Nesta seção discutiremos as técnicas de compensação em paralelo Como no projeto de compensação em paralelo o controlador ou compensador fica na malha interna o projeto pode parecer mais complicado que no caso da compensação em série Entretanto isso não acontecerá se a equação característica for reescrita de modo que fique com a mesma forma da equação característica do sistema compensado em série Nesta seção será apresentado um problema de projeto simples que envolve compensação em paralelo Princípio básico de projeto de um sistema compensado em paralelo Com base na Figura 660a a função de transferência de malha fechada do sistema com compensação em série é R C G GH G G 1 c c A equação característica é 1 GcGH 0 Dados G e H o problema de projeto vem a ser a determinação do compensador Gc que satisfaça às especificações dadas A função de transferência de malha fechada do sistema com compensação em paralelo Figura 660b é R C G G G G H G G 1 c 2 1 2 1 2 A equação característica é 1 G1G2H G2Gc 0 Dividindo essa equação característica pela soma dos termos que não contêm Gc obtemos 1 0 G G H G G 1 c 1 2 2 625 FIGURA 660 G1s G2s Hs Gcs Gcs Gs Hs a b C R R C a Compensação em série b compensação em paralelo ou por realimentação 312 Engenharia de controle moderno Se definirmos G G G H G 1 f 1 2 2 a Equação 625 tornase 1 GcGf 0 Como Gf é uma função de transferência fixa o projeto de Gc será o mesmo que no caso da com pensação em série Então o mesmo método se aplica ao sistema com compensação em paralelo Sistemas com realimentação de velocidade Um sistema com realimentação de velocidade sistema com realimentação tacométrica é um exemplo de sistema com compensação em paralelo O controlador ou compensador nesse sistema é um elemento de ganho O ganho do componente de realimentação na malha interna deve ser adequadamente determinado para que o sistema como um todo satisfaça às especificações de projeto dadas A característica desse sistema com reali mentação de velocidade é que o parâmetro variável não aparece como fator de multiplicação na função de transferência de malha aberta de maneira que a aplicação direta da técnica de projeto pelo lugar das raízes não é possível Entretanto se a equação característica for reescrita de modo que o parâmetro variável apareça como um fator de multiplicação então o projeto pelo método do lugar das raízes se tornará possível Um exemplo de projeto de sistema de controle que utiliza a técnica de compensação em paralelo é apresentado no Exemplo 610 Exemplo 610 Considere o sistema mostrado na Figura 661 Desenhe o gráfico do lugar das raízes Em segui da determine o valor de k para que o coeficiente de amortecimento do polo dominante de malha fechada seja 04 Aqui o sistema envolve realimentação de velocidade A função de transferência de malha aberta é s s s ks 1 4 20 20 Função de transferência de malha aberta h h Note que a variável ajustável k não aparece como um fator de multiplicação A equação carac terística do sistema é s3 5s2 4s 20ks 20 0 626 Definindo 20k K a Equação 626 tornase s3 5s2 4s Ks 20 0 627 Dividindo ambos os lados da Equação 627 pela soma dos termos que não contêm K obtémse 1 0 s s s Ks 5 4 20 3 2 ou FIGURA 661 Cs Rs 20 s 1 s 4 1 s k Sistema de controle 313 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 1 0 s j s j s Ks 2 2 5 h h h 628 A Equação 628 tem a forma da Equação 611 Vamos esboçar agora o lugar das raízes do sistema dado pela Equação 628 Note que os polos de malha aberta estão localizados em s j2 s j2 e s 5 e o zero de malha aberta está localizado em s 0 O lugar das raízes existe sobre o eixo real entre 0 e 5 Como lim lim s j s j s Ks s K 2 2 5 s s 2 3 3 h h h temos  í 90 ngulos da ass ntota k 2 180 2 1 c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real pode ser encontrada a partir de lim lim lim s s s Ks s s K s K 5 4 20 5 2 5 s s s 3 2 2 2 g 3 3 3 h como s 25 O ângulo de partida ângulo θ do polo em s j2 é obtido como segue θ 180 90 218 90 1582 Portanto o ângulo de partida do polo s j2 é 1582 A Figura 662 mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que dois ramos do lugar das raízes têm origem nos polos em s j2 e terminam nos zeros no infinito O ramo restante tem origem no polo em s 5 e termina no zero em s 0 FIGURA 662 j j6 j5 j4 j3 j2 j1 j6 j5 j4 j3 j2 j1 v 1 1 0 2 3 4 5 6 7 s 21589 j49652 Q P s 10490 j24065 s 29021 6642 Gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 661 314 Engenharia de controle moderno Note que os polos de malha fechada com z 04 devem se situar sobre as retas que passam pela origem e formam os ângulos de 6642º com o semieixo real negativo Nesse caso existem duas intersecções do ramo do lugar das raízes no semiplano superior do plano s e a reta cujo ângulo é 6642º Portanto dois valores de K vão fornecer o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada z 04 No ponto P o valor de K é 89801 K s s j s j s 2 2 5 s j 1 0490 2 4065 h h h Consequentemente 04490 k K P 20 no ponto No ponto Q o valor de K é 28260 K s s j s j s 2 2 5 s j 2 1589 4 9652 h h h Consequentemente 14130 k K Q 20 no ponto Assim temos duas soluções para esse problema Para k 04490 os três polos de malha fechada estão localizados em s 10490 j24065 s 10490 j24065 s 29021 Para k 14130 os três polos de malha fechada estão localizados em s 21589 j49652 s 21589 j49652 s 06823 É importante evidenciar que o zero na origem é o zero de malha aberta mas não o zero de malha fechada Isso fica claro porque o sistema original mostrado na Figura 661 não tem um zero de malha fechada pois R s G s s s s ks 1 4 20 1 20 h h h h h O zero de malha aberta em s 0 foi introduzido no processo de modificação da equação carac terística de modo que a variável ajustável K 20k se apresentasse como fator de multiplicação Foram obtidos dois valores diferentes de k que satisfazem o requisito de ser o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada igual a 04 A função de transferência de malha fechada com k 04490 é dada por R s C s s s s s j s j s 5 12 98 20 20 1 0490 2 4065 1 0490 2 4065 2 9021 20 3 2 h h h h h A função de transferência de malha fechada com k 14130 é dada por R s C s s s s s j s j s 5 32 26 20 20 2 1589 4 9652 2 1589 4 9652 0 6823 20 3 2 h h h h h Note que o sistema no qual k 04490 tem um par de polos complexos conjugados dominantes de malha fechada enquanto no sistema com k 14130 o polo dominante de malha fechada em s 06823 é real e os polos complexos conjugados de malha fechada não são dominantes Nesse caso a resposta característica é determinada essencialmente pelo polo real de malha fechada 315 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Vamos comparar as respostas ao degrau unitário de ambos os sistemas O Programa 614 em MATLAB pode ser utilizado para traçar as curvas de resposta ao degrau unitário no mesmo diagrama A Figura 663 mostra as curvas de resposta ao degrau unitário resultantes c1t para k 04490 e c2t para k 14130 Programa 614 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Digites os numeradores e denominadores dos sistemas com k 04490 e k 14130 respectivamente num1 20 den1 1 5 1298 20 num2 20 den2 1 5 3226 20 t 00110 c1 stepnum1den1t c2 stepnum2den2t plottc1tc2 text25112k 04490 text37085k 14130 grid titleRespostas ao degrau unitário dos dois sistemas xlabelt s ylabelSaídas c1 e c2 Na Figura 663 observamos que a resposta do sistema com k 04490 é oscilatória O efeito do polo de malha fechada em s 29021 sobre a resposta em degrau unitário é pequeno Para o sistema com k 14130 as oscilações devidas aos polos de malha fechada em s 21589 j49652 são atenuadas mais rapidamente do que a resposta puramente exponencial devida somente ao polo de malha fechada em s 06823 O sistema com k 04490 que apresenta uma resposta mais rápida com um máximo sobres sinal relativamente pequeno tem uma característica de resposta bem melhor do que o sistema com k 14130 que apresenta uma resposta superamortecida lenta Portanto podese escolher k 04490 para o sistema em questão FIGURA 663 t s 0 1 10 5 2 3 4 6 7 8 9 Saídas c1 e c2 12 04 0 06 02 1 08 Resposta ao degrau unitário dos dois sistemas k 14130 k 04490 Curvas de resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 661 para um coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada igual a 04 Dois valores possíveis de k resultam em um coeficiente de amortecimento z igual a 04 316 Engenharia de controle moderno Exemplos de problemas com soluções A61 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado da Figura 664a Suponha que o ganho K seja positivo Observe que para valores de K pequenos ou grandes o sistema é superamortecido e para valores médios de K é subamortecido Solução Eis o procedimento para traçar o gráfico do lugar das raízes 1 Localize os polos e zeros de malha aberta no plano complexo Existe o lugar das raízes no eixo real negativo entre 0 e 1 e entre 2 e 3 2 O número de polos de malha aberta e de zeros finitos é o mesmo Isso significa que não há assíntotas na região complexa do plano s 3 Determine os pontos de partida e de chegada ao eixo real A equação característica do sistema é 1 0 s s K s s 1 2 3 h h h ou K s s s s 2 3 1 h h h Os pontos de partida e de chegada são determinados a partir de ds dK s s s s s s s s s s s s 2 3 2 1 2 3 1 2 5 2 3 4 0 634 2 366 0 2 2 h h h h h h h h h h h 6 6 como segue s 0634 s 2366 Note que ambos os pontos estão sobre o lugar das raízes Portanto eles são realmente pontos de partida e de chegada No ponto s 0634 o valor de K é FIGURA 664 a b Rs Cs j v K 00718 K 14 3 2 1 0 1 j1 j2 j1 j2 Ks 2 s 3 ss 1 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 317 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes 00718 K 1 366 2 366 0 634 0 366 h h h h Da mesma maneira em s 2366 14 K 0 366 0 634 2 366 1 366 h h h h Pelo fato de o ponto s 0634 estar entre dois polos ele é um ponto de partida e pelo fato de o ponto s 2366 estar entre dois zeros ele é um ponto de chegada 4 Determine um número suficiente de pontos que satisfaça à condição angular Podese verificar que o lugar das raízes possui um círculo com o centro em 15 que passa pelos pontos de partida e de chegada O gráfico do lugar das raízes para esse sistema é mostrado na Figura 664b Note que o sistema é estável para todos os valores positivos de K já que todo o lugar das raízes se situa no semiplano esquerdo do plano s Pequenos valores de K 0 K 00718 correspondem a um sistema superamortecido Valores intermediários de K 00718 K 14 correspondem a um sistema subamortecido Por fim valores grandes de K 14 K correspondem a um sistema superamortecido Com um valor grande de K o regime permanente pode ser atingido muito mais rapidamente do que com valores pequenos de K O valor de K deve ser ajustado de modo que o desempenho do sistema seja ótimo de acordo com um dado índice de desempenho A62 Desenhe o lugar das raízes do sistema de controle mostrado na Figura 665a Solução Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s 1 e s 36 As assíntotas podem ser determinadas como segue  í 90 90 ngulos das ass ntotas k 3 1 180 2 1 c c c h FIGURA 665 a b j v 4 3 2 0 1 j3 j1 j1 j3 1 j2 j2 Ks 1 s2s 36 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 318 Engenharia de controle moderno A intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por 13 s 3 1 0 0 3 6 1 Como a equação característica é s3 36s2 Ks 1 0 temos K s s s 1 3 6 3 2 Os pontos de partida e de chegada são encontrados por 0 ds dK s s s s s s 1 3 7 2 1 3 6 2 2 3 2 h h h h ou s3 33s2 36 s 0 de onde obtemos s 0 s 165 j09367 s 165 j09367 O ponto s 0 corresponde realmente a um ponto de partida Os pontos s 165 j09367 no entanto não são pontos de partida nem de chegada porque os valores correspondentes de K são números complexos Para testar os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário substituímos s j na equação característica obtendo j3 36 j2 K j K 0 ou K 362 j K 2 0 Note que essa equação somente será satisfeita se 0 K 0 Em virtude da presença de um duplo polo na origem o lugar das raízes é tangente ao eixo j em 0 Os ramos do lugar das raízes não cruzam o eixo j A Figura 665b é o gráfico do lugar das raízes do sistema A63 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 666a Solução Existe um ramo do lugar das raízes entre os pontos s 04 e s 36 Os ângulos das assíntotas podem ser determinados como segue  í 90 90 ngulos das ass ntotas k 3 1 180 2 1 c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é dada por 16 s 3 1 0 0 3 6 0 4 Em seguida encontramos o ponto de partida Como a equação característica é s3 36s2 Ks 04K 0 temos K s s s 0 4 3 6 3 2 Os pontos de partida e de chegada ficam determinados com o auxílio da equação 0 ds dK s s s s s s 0 4 3 7 2 0 4 3 6 2 2 3 2 h h h h 319 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes da qual resulta s3 24s2 144s 0 ou ss 122 0 Então os pontos de partida e de chegada são s 0 e s 12 Note que s 12 é uma raiz dupla Quando uma raiz dupla ocorre em dKds 0 no ponto s 12 d 2Kds2 0 nesse ponto O valor do ganho K no ponto s 12 é 432 K s s s 4 3 6 s 3 2 1 2 Isso significa que com K 432 a equação característica tem uma raiz tripla no ponto s 12 Isso pode ser facilmente verificado como segue s3 36s2 432s 1728 s 123 0 Então os ramos da raiz tripla se encontram no ponto s 12 Os ângulos de partida dos ramos do lugar das raízes no ponto s 12 que tendem às assíntotas são 1803 isto é 60 e 60 Veja o Problema A64 Por fim devemos examinar os ramos do lugar das raízes que cruzam o eixo imaginário Pela substituição de s j na equação característica temos j3 36 j2 Kj 04K 0 ou 04K 362 jK 2 0 Essa equação só é satisfeita se 0 e K 0 No ponto 0 o lugar das raízes é tangente ao eixo j por causa de um polo duplo na origem Não há pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzem o eixo imaginário FIGURA 666 a b j v 4 3 2 0 1 j3 j1 j1 j3 j2 j2 Ks 04 s2s 36 1 60 60 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 320 Engenharia de controle moderno Um gráfico do lugar das raízes para esse sistema é mostrado na Figura 666b A64 Obtenha para o Problema A63 a equação dos ramos do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 666a Mostre que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real no ponto de partida do eixo real com ângulos de 60 Solução As equações dos ramos do lugar das raízes podem ser obtidas a partir da condição angular 180 s s K s k 3 6 0 4 2 1 2 c h h h que pode ser escrita como 2 180 s s s k 0 4 3 6 2 1 c h Substituindo s v j obtemos 2 180 j j j k 0 4 3 6 2 1 c v v v h ou 2 180 tg tg tg k 0 4 3 6 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Rearranjando os termos temos 180 tg tg tg tg k 0 4 3 6 2 1 1 1 1 1 c v v v v c c c c m m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação e notando que 180 tg tg k 3 6 2 1 3 6 1 c v v c m h E obtemos 1 0 4 0 4 1 3 6 3 6 v v v v v v v v que pode ser simplificada como segue 0 4 0 4 3 6 3 6 2 2 v v v v v v v v h h h h ou v3 24v2 144v 162 v2 0 que pode ser ainda mais simplificada como vv 122 v 162 0 Para v 16 podemos escrever essa última equação como 0 1 2 1 6 1 2 1 6 v v v v v v h h G G o que nos fornece as seguintes equações para o lugar das raízes 0 1 2 1 6 1 2 1 6 v v v v v v h h 321 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A equação 0 representa o eixo real O lugar das raízes para 0 K encontrase entre s 04 e s 36 O eixo real além desse segmento linear e da origem s 0 corresponde ao lugar das raízes para K 0 As equações 1 2 1 6 v v v h 629 representam os ramos complexos para 0 K Esses dois ramos situamse entre v 16 e v 0 Veja a Figura 666b As inclinações dos ramos complexos do lugar das raízes no ponto de partida v 12 podem ser obtidas avaliando ddv na Equação 629 no ponto v 12 d d 1 6 0 4 1 2 3 1 2 1 2 v v v v v Como tg1 3 60 os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo real com ângulos de 60 A65 Considere o sistema da Figura 667a Trace o gráfico do lugar das raízes desse sistema Observe que para valores de K pequenos ou grandes o sistema é subamortecido e para valores interme diários de K ele é superamortecido Solução Existe um ramo do lugar das raízes entre a origem e Os ângulos das assíntotas dos ramos do lugar das raízes são obtidos como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real fica localizada no eixo real em 13333 s 3 0 2 2 Os pontos de partida e de chegada ao eixo real são localizados por dKds 0 Como a equação característica é s3 4s2 5s K 0 FIGURA 667 a b K ss2 4s 5 j v 4 3 2 0 1 j3 j2 j1 j2 j1 j3 1 K 2 K 1852 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 322 Engenharia de controle moderno temos K s3 4s2 5s Então impomos ds dK 3s2 8s 5 0 de onde resulta s 1 s 16667 Como esses dois pontos pertencem ao lugar das raízes eles são efetivamente pontos de partida e de chegada No ponto s 1 o valor de K é 2 e no ponto s 16667 o valor de K é 1852 O ângulo de partida do polo complexo no semiplano superior do plano s é obtido com o auxílio da equação θ 180 15343 90 ou θ 6343 O ramo do lugar das raízes que parte do polo complexo no semiplano superior do plano s chega ao eixo real no ponto s 16667 Em seguida determinamos os pontos em que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imagi nário Substituindo s j na equação característica temos j3 4j2 5j K 0 ou K 42 j5 2 0 e a partir dele obtemos 5 K 20 ou 0 K 0 Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário nos pontos 5 e 5 O ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo j em 0 A Figura 667b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que como esse sistema é de terceira ordem existem três polos de malha fechada A natureza da resposta do sistema à determinada entrada depende da localização dos polos de malha fechada Para 0 K 1852 existe um par de polos complexos conjugados e um polo real todos de malha fechada Para 1852 K 2 existem três polos reais de malha fechada Por exemplo os polos de malha fechada estão localizados em s 1667 s 1667 s 0667 para K 1852 s 1 s 1 s 2 para K 2 Para 2 K existe um conjunto de polos de malha fechada formado por um par de polos complexos conjugados e um polo real Assim pequenos valores de K 0 K 1852 correspondem a um sistema subamortecido Como o polo dominante é o polo real de malha fechada apenas uma pequena oscilação pode ser notada na resposta transitória Valores intermediários de K 1852 K 2 correspondem a um sistema subamortecidoValores grandes de K 2 K correspondem a um sistema subamortecido Para valores grandes de K o sistema responde muito mais rapida mente do que para valores pequenos de K A66 Trace o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 668a Solução Os polos de malha aberta estão localizados em s 0 s 1 s 2 j3 e s 2 j3 Existe um ramo do lugar das raízes no eixo real entre os pontos s 0 e s 1 Os ângulos das assíntotas são determinados como 323 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes  í 45 45 135 135 ngulos das ass ntotas k 4 180 2 1 c c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é determinada a partir de 125 s 4 0 1 2 2 Os pontos de partida e de chegada são obtidos a partir de dKds 0 Como K ss 1s2 4s 13 s4 5s3 17s2 13s temos ds dK 4s3 15s2 34s 13 0 do que resulta s 0467 s 1642 j2067 s 1642 j2067 O ponto s 0467 pertence ao lugar das raízes Portanto tratase realmente de um ponto de partida O valor dos ganhos K nos pontos s 1642 j2067 são números complexos Como os valores de ganhos não são reais e positivos esses pontos não são pontos de partida nem de chegada O ângulo de partida do polo complexo situado no semiplano superior do plano s é θ 180 12369 10844 90 ou θ 14213 Em seguida determinamos os pontos em que o lugar das raízes cruza o eixo j A equação característica é s4 5s3 17s2 13s K 0 Substituindo s j na equação característica temos j4 5j3 17j2 13j K 0 ou K 4 172 j13 52 0 FIGURA 668 a b j v 4 3 6 5 3 2 2 0 1 j3 j4 j5 j1 j1 j3 j4 j5 1 j2 j2 K ss 1 s2 4s 13 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 324 Engenharia de controle moderno da qual obtemos 16125 K 3744 ou 0 K 0 Os ramos do lugar das raízes que se estendem para o semiplano direito do plano s cruzam o eixo imaginário em 16125 Além disso o ramo do lugar das raízes sobre o eixo real toca o eixo imaginário em 0 A Figura 668b mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema Note que os ramos do lugar das raízes que se estendem para o semiplano direito do plano s cruzam as respectivas assíntotas A67 Desenhe o lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 669a Determine os valores de K para os quais o sistema é estável Solução Os polos de malha aberta estão localizados em s 1 s 2 j 3 e s 2 j 3 Um ramo do lugar das raízes existe no eixo real entre os pontos s 1 e s As assíntotas dos ramos do lugar das raízes são determinadas como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é obtida por 1 s 3 1 2 2 Os pontos de partida e de chegada ao eixo real podem ser localizados a partir de dKds 0 Como K s 1s2 4s 7 s3 3s2 3s 7 temos ds dK 3s2 6s 3 0 ou seja s 12 0 FIGURA 669 j v j3 j2 j1 a b K s 1 s2 4s 7 j3 j1 4 3 2 0 1 K 7 K 8 K 16 1 j2 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes 325 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Então a equação dKds 0 tem uma raiz dupla em s 1 Isso significa que a equação caracte rística tem uma raiz tripla em s 1 O ponto de encontro está localizado em s 1 Três ramos do lugar das raízes se cruzam nesse ponto de encontro Os ângulos de partida dos ramos nesse ponto de encontro são 1803 isto é 60 e 60 Em seguida vamos determinar os pontos onde os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo ima ginário Notando que a equação característica é s 1s2 4s 7 K 0 ou s3 3s2 3s 7 K 0 substituímos s j nessa equação e obtemos j3 3j2 3j 7 K 0 Reescrevendo essa última equação obtemos K 7 32 j3 2 0 Essa equação é satisfeita quando 3 K 7 32 16 ou 0 K 7 Os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário em 3 onde K 16 e 0 onde K 7 Como o valor de K na origem é 7 o intervalo dos valores do ganho K para estabilidade é 7 K 16 A Figura 669b mostra o gráfico do lugar das raízes para esse sistema Note que todos os ramos são retilíneos O fato de os ramos do lugar das raízes serem retilíneos pode ser verificado como a seguir como a condição angular é 180 s s j s j K k 1 2 3 2 3 2 1 c h h h h temos 180 s s j s j k 1 2 3 2 3 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação 180 j j j j j k 1 2 3 2 3 2 1 c v v v h ou 180 j j j k 2 3 2 3 1 2 1 c v v v h h h que pode ser reescrita como 180 tg tg tg k 2 3 2 3 1 2 1 1 1 1 c v v v e e e o o o h Considerando as tangentes de ambos os lados da última equação obtemos 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 v v v v v e oe o ou 4 4 3 2 2 1 2 2 v v v v h 326 Engenharia de controle moderno que pode ser simplificada para 2v 2v 1 v2 4v 7 2 ou 3v2 6v 3 2 0 A simplificação adicional dessa última equação permite escrever 0 1 3 1 1 3 1 v v c mc m que define três linhas 0 1 0 1 0 3 1 3 1 v v Assim os ramos do lugar das raízes consistem em três linhas retas Note que o lugar das raízes para K 0 consiste nas três semirretas mostradas na Figura 669b Veja que cada semirreta parte dos polos de malha aberta e se estende ao infinito na direção de 180 60 ou 60 medidos a partir do eixo real A parte restante das linhas retas corresponde a K 0 A68 Considere um sistema com realimentação unitária com a seguinte função de transferência do ramo direto G s s s s K 1 2 h h h Desenhe o lugar das raízes e suas assíntotas com o MATLAB Solução Desenharemos o lugar das raízes e as assíntotas em um diagrama Como a função de transferência no ramo direto é dada por G s s s s K s s s K 1 2 3 2 3 2 h h h a equação para as assíntotas pode ser obtida como segue notando que lim lim s s s K s s s K s K 3 2 3 3 1 1 s s 3 2 3 2 3 Z 3 3 h a equação para as assíntotas pode ser dada por G s s K 1 a 3 h h Assim para o sistema temos num 1 den 1 3 2 0 e para as assíntotas numa 1 dena 1 3 3 1 Usando os seguintes comandos de lugar das raízes e plot r rlocusnumden a rlocusnumadena plotr a o número de linhas de r e de a deve ser o mesmo Para garantir isso incluímos a constante de ganho K nos comandos Por exemplo K1 00103 K2 03000505 327 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK y r a ploty O Programa 615 em MATLAB gerará o gráfico do lugar das raízes e suas assíntotas como mostra a Figura 670 Programa 615 em MATLAB Gráficos do lugar das raízes num 1 den 1 3 2 0 numa 1 dena 1 3 3 1 K1 00103 K2 03000505 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK y r a ploty v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntotas xlabelEixo real ylabelEixo imaginário Desenhe manualmente na cópia impressa os polos em malha aberta Podese desenhar dois ou mais gráficos no mesmo diagrama usando o comando hold O Programa 616 em MATLAB utiliza o comando hold A Figura 671 mostra o gráfico do lugar das raízes resultante FIGURA 670 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntotas Eixo imaginário 4 4 0 3 2 1 1 2 3 Eixo real 4 1 3 2 1 0 4 2 3 Gráfico do lugar das raízes 328 Engenharia de controle moderno Programa 616 em MATLAB Gráficos do lugar das raízes num 1 den 1 3 2 0 numa 1 dena 1 3 3 1 K1 00103 K2 03000505 K3 050510 K4 105100 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK a rlocusnumadenaK plotro hold Current plot held plota v 4 4 4 4 axisv grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Kss1s2 e assíntotas xlabelEixo real ylabelEixo imaginário A69 Desenhe e faça o gráfico do lugar das raízes e as assíntotas de um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência no ramo direto é a seguinte G s s s s s K 2 2 2 5 2 2 h h h Determine os pontos exatos onde os lugares das raízes cruzam o eixo j Solução A função de transferência do ramo direto Gs pode ser escrita como G s s s s s K 4 11 14 10 4 3 2 h Observe que à medida que s se aproxima do infinito lim s 3 Gs pode ser escrita como FIGURA 671 Gráfico do lugar das raízes de Gs Kss 1s 2 e assíntota Eixo imaginário 4 4 0 3 2 1 1 2 3 Eixo real 4 1 3 2 1 0 4 2 3 Gráfico do lugar das raízes 329 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes lim lim lim lim G s s s s s K s s s s K s K 4 11 14 10 4 6 4 1 1 s s s s 4 3 2 4 3 2 4 Z 3 3 3 3 h h onde usamos a seguinte fórmula s a4 s4 4as3 6a2s2 4a3s a4 A expressão lim lim G s s K 1 s s 4 3 3 h h fornece a equação para as assíntotas O Programa 617 em MATLAB permite desenhar o gráfico do lugar das raízes de Gs e suas assíntotas Observe que o numerador e o denominador de Gs são num 1 nen 1 4 11 14 10 Para o numerador e o denominador das assíntotas lim s 3 Gs usamos numa 1 dena 1 4 6 4 1 A Figura 672 mostra o gráfico do lugar das raízes e das assíntotas Como a equação característica do sistema é s2 2s 2s2 2s 5 K 0 Programa 617 em MATLAB Gráfico do lugar das raízes num 1 den 1 4 11 14 10 numa 1 dena 1 4 6 4 1 r rlocusnumden plotr hold Current plot held plotro rlocusnumadena v 6 4 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes e assíntota os pontos onde os lugares das raízes cruzam o eixo imaginário podem ser encontrados substituindo se s j com a equação característica como segue j2 2j 2j2 2j 5 K 4 112 10 K j 43 14 0 e igualando a parte imaginária a zero O resultado é 18708 Portanto os pontos exatos onde os lugares das raízes atravessam o eixo j são 18708 Igualando a parte real a zero constatamos que o valor do ganho K no ponto de cruzamento é 1625 330 Engenharia de controle moderno A610 Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto Gs é dada por G s s s s s K s 2 2 2 5 1 2 2 h h h h Desenhe o gráfico do lugar das raízes utilizando o MATLAB Solução A função de transferência do ramo direto Gs pode ser escrita como G s s s s s K s 4 11 14 10 1 4 3 2 h h Uma opção de programa MATLAB para desenhar o gráfico do lugar das raízes está no Programa 618 em MATLAB A Figura 673 mostra o gráfico resultante Programa 618 em MATLAB num 1 1 den 1 4 11 14 10 K1 0012 K2 200225 K3 250510 K4 10150 K K1 K2 K3 K4 r rlocusnumdenK plotr o v 8 2 5 5 axisv axissquare grid titleGráfico do lugar das raízes de Gs Ks1s22s2s22s5 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário FIGURA 672 4 2 0 6 4 2 0 1 5 3 2 4 2 1 5 4 3 Eixo real Eixo imaginário Gráfico do lugar das raízes e assíntotas Gráfico do lugar das raízes e assíntotas 331 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A611 Obtenha a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Figura 674 Suponha que o deslocamento xi seja a entrada e o deslocamento xo seja a saída do sistema Solução Com base no diagrama obtemos as seguintes equações de movimento b2ẋi ẋo b1ẋo ẏ b1ẋo ẏ ky Considerando as transformadas de Laplace dessas duas equações e supondo as condições iniciais nulas e em seguida eliminando Ys obtemos X s X s b b b b b b k b s k b s 1 1 i o 1 2 2 1 2 2 1 1 h h FIGURA 673 3 2 1 0 1 4 5 8 2 7 6 0 1 3 2 4 5 2 1 5 4 3 Eixo real Eixo imaginário Gráfico do lugar das raízes de Gs Ks 1s2 2s 2s2 2s 5 Gráfico do lugar das raízes FIGURA 674 b2 b1 k y xi xo Sistema mecânico 332 Engenharia de controle moderno Esta é a função de transferência entre Xos e Xis Definindo 1 k b T b b b 1 1 2 2 a 1 obtemos X s X s Ts Ts s T s T 1 1 1 1 i o a a a h h Esse sistema é uma estrutura mecânica de avanço de fase A612 Obtenha a função de transferência do sistema mecânico mostrado na Figura 675 Suponha que o deslocamento xi seja a entrada e o deslocamento xo seja a saída Solução As equações do movimento desse sistema são b2ẋi ẋo k2xi xo b1ẋo ẏ b1ẋo ẏ k1 y Considerando as transformadas de Laplace dessas duas equações e supondo condições iniciais nulas obtemos b2sXis sXos k2Xis Xos b1sXos sYs b1sXos sYs k1Ys Se for eliminado Ys das duas últimas equações obteremos a função de transferência XosXis como X s X s k b s k b s k b s k b s k b s 1 1 1 1 i o 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 c c c c h h m m m m Defina T k b T k b 1 1 1 2 2 2 Se k1 k2 b1 e b2 forem escolhidos de forma que haja um β que satisfaça à seguinte equação k b k b k b T T 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 b b b h 630 FIGURA 675 b1 b2 y xi xo k2 k1 Sistema mecânico 333 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Então XosXis pode ser determinada por X s X s T s T s T s T s s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 i o 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b c c c e e h h m h h h m m o o Note que dependendo da escolha de k1 k2 b1 e b2 pode não haver β que satisfaça à Equação 630 Se tal β existir e for um dado s1 onde s s1 é um dos polos de malha fechada dominantes do sistema de controle para o qual desejamos usar esse dispositivo mecânico as seguintes condições são satisfeitas 1 5 0 s T s T s T s T 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b e então o sistema mecânico mostrado na Figura 675 funciona como compensador de atraso e avanço de fase A613 Considere o modelo de sistema de controle de um veículo espacial mostrado na Figura 676 Projete um compensador de avanço de fase Gcs tal que o coeficiente de amortecimento z e a frequência natu ral não amortecida n dos polos dominantes de malha fechada sejam 05 e 2 rads respectivamente Solução Primeira tentativa suponha que o compensador por avanço de fase Gcs seja G s K s T s T 1 1 0 1 c c 1 1 a a J L K K K N P O O O h h A partir das especificações z 05 e n 2 rads os polos dominantes de malha fechada devem estar localizados em s 1 j 3 Devemos calcular primeiro a deficiência angular nesse polo de malha fechada Deficiência angular 120 120 108934 180 708934 Essa deficiência angular deve ser compensada por um compensador de avanço de fase Existem muitas maneiras de determinar a localização dos polos e zeros da rede de avanço de fase Vamos esco lher o zero do compensador em s 1 Então com base na Figura 677 temos a seguinte equação 034641 tg x 1 1 73205 90 70 8934 c c h ou 1 6 x 0 34641 1 73205 FIGURA 676 Rs Cs Compensador de avanço de fase Gcs Veículo espacial Sensor 1 s2 1 01s 1 Sistema de controle de veículo espacial 334 Engenharia de controle moderno Portanto G s K s s 6 1 c c h O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo 1 K s s s s 6 1 1 0 1 1 1 c s j 2 1 3 como segue 112000 K s s s s 1 6 0 1 1 c s j 2 1 3 h h Assim 112 G s s s 6 1 c h Como a função de transferência de malha aberta tornase G s G s H s s s s s s s s s 11 2 6 0 1 1 1 0 1 1 6 6 11 2 1 c 2 4 3 2 h h h h h h um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado pode ser obtido facilmente com o MATLAB digitandose num e den e utilizandose o comando rlocus O resultado é mostrado na Figura 678 A função de transferência de malha fechada do sistema compensado tornase R s C s s s s s s s 6 0 1 1 11 2 1 11 2 1 0 1 1 2 h h h h h h h A Figura 679 mostra a curva de resposta ao degrau unitário Mesmo que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 o valor do sobressinal está muito acima do esperado Uma visão mais detalhada do gráfico do lugar das raízes indica que a presença do zero em s 1 aumenta o valor do máximo sobressinal Em geral se um ou mais zeros de malha fechada um ou mais zeros do compensador ficam à direita do par dominante de polos complexos conjugados então esses polos dominantes já não são mais dominantes Se um máximo sobressinal elevado não puder ser tolerado os zeros do compensador devem ser deslocados o suficiente para a esquerda FIGURA 677 j v 1 0 191066 708934 j173205 x Determinação do polo da rede de avanço de fase 335 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Nesse projeto é desejável modificar o compensador e fazer que o máximo sobressinal seja menor Isso pode ser feito pela modificação do compensador por avanço de fase como será apresentado na segunda tentativa a seguir Segunda tentativa para modificar a forma do lugar das raízes podemos utilizar duas redes por avanço de fase cada uma contribuindo com metade do ângulo de avanço de fase que é 7089342 354467 Vamos escolher a localização dos zeros em s 3 Esta é uma escolha arbitrária Podem ser feitas outras escolhas como s 25 e s 4 Uma vez escolhidos os dois zeros em s 3 a localização necessária dos polos pode ser deter minada como mostra a Figura 680 ou 54466 009535 tg tg y 1 1 73205 40 89334 35 4467 c c c h FIGURA 678 Eixo real 10 5 10 5 0 Eixo imaginário 0 10 5 5 10 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado FIGURA 679 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 Saída 05 15 0 1 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado 336 Engenharia de controle moderno do que resulta 1 191652 y 0 09535 1 73205 Então o compensador por avanço de fase terá a seguinte função de transferência G s K s s 19 1652 3 c c 2 c h m O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo como segue 1 K s s s s 19 1652 3 1 0 1 1 1 c s j 2 2 1 3 c m ou Kc 1743864 Então o compensador por avanço de fase projetado é 1743864 G s s s 19 1652 3 c 2 c h m Assim a função de transferência de malha aberta tornase 1743864 G s G s H s s s s s 19 1652 3 1 0 1 1 1 c 2 2 c h h h m A Figura 681a mostra o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Note que não existe zero de malha fechada próximo à origem Uma visão ampliada do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 681b A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s s 19 1652 0 1 1 174 3864 3 174 3864 3 0 1 1 2 2 2 2 h h h h h h h Os polos de malha fechada encontrados são os seguintes s 1 j173205 s 91847 j74814 s 279606 FIGURA 680 20 16 12 8 4 1 0 j v 354467 4089334 j173205 y Determinação do polo da rede de avanço de fase 337 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As figuras 682a e b mostram as respostas ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado A curva de resposta ao degrau unitário é razoável e a resposta à rampa unitária parece aceitável Observe que na resposta à rampa unitária a saída está um pouco adiantada em relação à entrada Isso ocorre porque o sistema tem uma função de transferência de realimentação igual a 101s 1 Se for construído o gráfico do sinal de realimentação em função de t juntamente com a entrada em rampa unitária notase que em regime permanente o primeiro não estará à frente da entrada em rampa Veja a Figura 682c FIGURA 681 Eixo real 25 30 0 10 5 5 15 20 10 a Eixo imaginário 10 5 15 0 10 15 5 20 20 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Polos de malha fechada Eixo real 4 1 0 2 2 3 1 b Eixo imaginário 2 1 3 1 2 3 0 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo a origem Polos de malha fechada a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 338 Engenharia de controle moderno FIGURA 682 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 1 0 5 4 2 3 b Entrada em rampa unitária e saída 15 25 35 2 3 0 05 1 4 45 5 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Saída t s 1 0 5 4 2 3 c Entrada em rampa unitária e sinal de realimentação 15 25 35 2 3 0 05 1 4 45 5 Sinal de realimentação na resposta à rampa unitária Sinal de realimentação a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado c gráfico do sinal de realimentação em função de t na resposta à rampa unitária 339 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A614 Considere um sistema com uma planta instável como mostra a Figura 683a Utilizando o método do lugar das raízes projete um controlador proporcionalderivativo isto é determine os valores de Kp e de Td para que o coeficiente de amortecimento z do sistema de malha fechada seja 07 e a frequência natural não amortecida n seja 05 rads Solução Note que a função de transferência de malha aberta possui dois polos em s 1085 e s 1085 e um zero em s 1Td que ainda não é conhecido Como os polos de malha fechada desejados devem ter n 05 rads e z 07 eles devem estar situados em 05 s 180 c 45 573 c z 07 corresponde a uma reta cujo ângulo com o eixo real negativo é de 45573 Assim os polos de malha fechada desejados estão em s 035 j0357 Os polos de malha aberta e o polo desejado de malha fechada no semiplano superior estão localizados no diagrama da Figura 683b A deficiência angular no ponto s 035 j0357 é 166026 25913 180 11939 Isso significa que o zero em s 1Td deve contribuir com 11939 o qual por sua vez determina a localização do zero como segue 2039 s T 1 d FIGURA 683 a b Kp1 Tds 1 10000 s2 11772 0 j v 45573 j3 j2 j1 j1 j3 j2 25913 166026 Polo de malha fechada 1085 2 1085 4 3 2039 a Controle PD de uma planta instável b gráfico do lugar das raízes do sistema 340 Engenharia de controle moderno Portanto temse K T s K T T s K T s 1 1 2 039 p d p d d p d e h o h 631 O valor de Td é 04904 T 2 039 1 d O valor do ganho Kp pode ser determinado com base na condição de módulo como segue 1 K T s s 10000 1 1772 2 039 p d s j 2 0 35 0 357 h ou KpTd 69995 Então 14273 K 0 4904 6999 5 p Substituindo os valores numéricos de Td e Kp na Equação 631 obtemos Kp1 Td s 142731 04904s 69995s 2039 que é a função de transferência do controlador proporcionalderivativo desejado A615 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 684 Projete um compensador por atraso de fase Gcs tal que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 sem modificar apreciavelmente a localização original dos polos de malha fechada que estão em s 2 j 6 Solução Suponha que a função de transferência do compensador por atraso de fase seja G s K s T s T 1 1 1 c c 2 b b t h h Como Kυ foi especificado em 50 s1 temse 25 50 lim K sG s s s K 4 10 s c c 0 b y t h h Assim Kcβ 20 Agora escolha K c 1 Então β 20 Escolha T 10 Então o compensador por atraso de fase pode ser dado por G s s s 0 005 0 1 c h A contribuição angular do compensador por atraso de fase no polo s 2 j 6 de malha fechada é FIGURA 684 Gcs Rs Cs 10 ss 4 Sistema de controle 341 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes tg tg G s 1 9 6 1 995 6 1 3616 s j c 2 6 1 1 c h que é pequena O valor de Gcs em s 2 j6 é 0981 Portanto a modificação na posição dos polos dominantes de malha fechada também é muito pequena A função de transferência de malha aberta do sistema tornase G s G s s s 0 005 s s 0 1 4 10 c h h h A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s 4 005 10 02 1 10 1 3 2 h h Para comparar as características da resposta transitória antes e depois da compensação as res postas ao degrau unitário e à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado são mostradas nas figuras 685a e b respectivamente O erro estacionário na resposta à rampa unitária é mostrado na Figura 685c O compensador por atraso de fase projetado é aceitável FIGURA 685 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saídas 04 08 0 12 06 1 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Rampa de entrada e saída 2 4 0 6 3 5 1 7 8 9 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compesando Sistema não compensado com erro estacionário de 04 Sistema compensado com erro estacionário de 002 t s 36 355 35 385 395 38 39 40 37 365 375 c Rampa de entrada e saídas 375 385 40 35 395 38 39 355 37 365 36 Resposta à rampa unitária 35 t 40 Sistema não compensado Sistema compensado a Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b respostas à rampa unitária de ambos os sistemas c respostas à rampa unitária que mostra os erros estacionários 342 Engenharia de controle moderno A616 Considere um sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência do ramo direto é dada por G s s s 2 s 8 10 h h h Projete um compensador que os polos de malha fechada dominantes estejam localizados em s 2 j2 3 e a constante de erro estático de velocidade Kυ seja igual a 80 s1 Solução A constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado é Kυ 16 10 0625 Como desejamos Kυ 80 tornase necessário multiplicar o ganho de malha aberta por 128 Isso significa que necessitamos também de um compensador por atraso de fase O gráfico do lugar das raízes do sistema sem compensação mostra que não é possível trazer os polos domi nantes de malha fechada para 2 j2 3 apenas pelo ajuste do ganho Veja a Figura 686 Isso significa que também é necessário um compensador por avanço de fase Então utilizaremos um compensador por atraso e avanço de fase Vamos supor que a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase seja G s K s T s T s T s T 1 1 1 c 1 1 2 2 b b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h onde Kc 128 Isso porque 80 lim lim K sG s G s sK G s K 16 10 s c s c c 0 0 y h h h e obtemos Kc 128 A deficiência angular no polo desejado de malha fechada s 2 j2 3 é Deficiência angular 120 90 30 180 60 A parte de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase deve contribuir com 60º Para escolhermos T1 podemos utilizar o método gráfico apresentado na Seção 68 A parte relativa ao avanço de fase deve satisfazer às seguintes condições 1 s T s T G s 128 1 s j 1 1 1 1 1 2 2 3 1 b J L K K K N P O O O h FIGURA 686 Eixo real 10 5 10 5 0 Eixo imaginário 10 10 6 6 8 4 0 2 2 8 4 Gráfico do lugar das raízes de Gs 10ss 2s 8 Polo desejado de malha fechada Polo complexo conjugado em malha fechada Gráfico do lugar das raízes de Gs 10ss 2s 8 343 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes e 60 s T s T 1 s j 1 1 1 1 2 2 3 1 c b A primeira condição pode ser simplificada como segue s T s T 1 13 3333 1 s j 1 1 1 1 2 2 3 1 b Utilizando o mesmo método da Seção 68 o zero s 1T1 e o polo s βT1 podem ser deter minados como segue 370 5335 T T 1 1 1 b Veja a Figura 687 O valor de β fica determinado como β 14419 Para a porção de atraso de fase do compensador escolhemos 001 T 1 b 2 Então 01442 T 1 2 Notando que 09837 s s 0 01 0 1442 s j 1 1 2 2 3 1 1697 s s 0 01 0 1442 s j 1 1 2 2 3 1 c a contribuição angular da parte de atraso de fase é 1697 e a contribuição de módulo é 09837 Isso significa que os polos de malha fechada dominantes ficam próximos da localização desejada s 2 j2 3 Assim o compensador projetado FIGURA 687 5335 133333x 370 60 x j v s1 0 Determinação gráfica do zero e do polo da parte de avanço de fase do compensador 344 Engenharia de controle moderno 128 G s s s s s 53 35 3 70 0 01 0 1442 c c c h m m é aceitável A função de transferência do ramo direto do sistema tornase G s G s s s s s s s s 53 35 0 01 2 8 1 280 3 7 0 1442 c h h h h h h h h Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 688a Um gráfico ampliado do lugar das raízes próximo à origem é exposto na Figura 688b Para constatar a melhora do desempenho do sistema compensado veja as respostas ao degrau uni tário e à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado mostrados nas figuras 689a e b respectivamente FIGURA 688 Eixo real 40 60 20 60 40 20 0 a Eixo imaginário 60 60 40 40 0 20 20 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo real 10 5 10 5 0 b Eixo imaginário 10 10 8 6 8 6 0 4 2 2 4 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado próximo à origem Polos desejados de malha fechada a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 345 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A617 Considere o sistema mostrado na Figura 690 Projete um compensador por atraso e avanço de fase de forma que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 e o coeficiente de amor tecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Escolha o zero da porção de avanço de fase do compensador por atraso e avanço de modo que cancele o polo em s 1 da planta Determine todos os polos de malha fechada do sistema compensado FIGURA 689 t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 a Saídas 04 08 14 0 12 06 1 02 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Saídas 3 5 0 9 4 7 1 8 6 2 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado a Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado b respostas à rampa unitária de ambos os sistemas FIGURA 690 1 ss 1 s 5 Gcs Sistema de controle 346 Engenharia de controle moderno Solução Vamos utilizar o compensador por atraso e avanço de fase dado por G s K s T s T s T s T K T s T s T s T s 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 1 2 2 1 2 1 2 b b b b J L K K K J L K K K c N P O O O N P O O O h m h h h onde β 1 Então lim lim K sG s G s s T s T K T s T s s s s K 1 1 1 1 1 5 1 5 s c s c c 0 0 1 2 1 2 b b y c h h m h h h h h A especificação Kυ 50 sec1 determina o valor de Kc ou Kc 250 Escolhemos agora T1 1 para que s 1T1 cancele o termo s 1 da planta A parte de avanço de fase tornase então s s 1 b Para a parte de atraso de fase do compensador é requerido 1 5 s T s T s T s T 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 c c 1 1 Z b b onde s s1 é um dos polos dominantes de malha fechada Observandose esses requisitos para a parte de atraso de fase do compensador para s s1 a função de transferência de malha aberta tornase G s G s K s s s s s K s s s 1 1 5 1 5 1 c c c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Z b b c h h m h h h h Então em s s1 as seguintes condições de módulo e de ângulo devem ser satisfeitas 1 K s s s 5 1 c 1 1 1 b h h 632 180 K s s s k 5 1 2 1 c 1 1 1 c b h h h 633 onde k 0 1 2 Nas equações 632 e 633 β e s1 são desconhecidos Sendo o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada especificado como z 05 o polo de malha fechada s s1 pode ser escrito como s1 x j 3 x onde x ainda é indeterminado Note que a condição de módulo Equação 632 pode ser reescrita como 1 x j x x j x x j x K 3 3 5 3 c b h h h Observando que Kc 250 temos 125 x x x x x 3 5 3 2 2 2 2 b h h 634 347 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes A condição de ângulo Equação 633 pode ser reescrita como 120 180 tg tg K x j x x j x x j x x x x x 3 3 5 3 1 3 5 3 c 1 1 c c b b e e h h h o o ou 60 tg tg x x x x 3 5 3 1 1 c b e e o o 635 Devemos resolver as equações 634 e 635 para β e x Utilizando o método de tentativa e erro é possível obtermos os seguintes resultados β 16025 x 19054 Assim s1 19054 j 3 19054 19054 j33002 A parte de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase pode ser determinada a seguir Notando que o polo e o zero da parte de atraso de fase do compensador devem estar localizados perto da origem podemos escolher 001 T 1 b 2 Ou seja 016025 625 T T 1 ou 2 2 Com a escolha de T2 625 encontramos s T s T j j j j 1 1 1 9054 3 3002 0 01 1 9054 3 3002 0 16025 1 89054 3 3002 1 74515 3 3002 0 98 1 1 2 1 2 Z b 636 e 1937 tg tg s T s T j j 1 1 1 9054 3 3002 0 01 1 9054 3 3002 0 16025 1 74515 3 3002 1 89054 3 3002 1 2 1 2 1 1 c b e e o o 637 Como 5 1937 0 nossa escolha de T2 625 é aceitável Então o compensador por atraso e avanço de fase que acabamos de projetar pode ser escrito como 250 G s s s s s 16 025 1 0 01 0 16025 c c c h m m Consequentemente o sistema compensado tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s G s s s s s s 0 01 5 16 025 250 0 16025 c h h h h h h 348 Engenharia de controle moderno Um gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é apresentado na Figura 691a Uma ampliação do gráfico do lugar das raízes próximo à origem é mostrada na Figura 691b A função de transferência de malha fechada tornase R s C s s s s s s s 0 01 5 16 025 250 0 16025 250 0 16025 h h h h h h h Os polos de malha fechada ficam localizados em s 18308 j32359 s 01684 s 17205 Note que os polos dominantes de malha fechada s 18308 j32359 diferem dos polos domi nantes de malha fechada s s1 admitidos no cálculo de β e T2 Pequenos desvios dos polos dominantes de malha fechada 18308 j32359 em relação a s s1 19054 j33002 são causados pelas aproximações ocorridas na determinação da parte de atraso de fase do compen sador Veja as equações 636 e 637 FIGURA 691 Eixo real 20 5 0 10 10 15 5 a Eixo imaginário 5 5 15 0 10 10 15 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Eixo real 1 05 05 1 0 b Eixo imaginário 06 0 06 02 02 1 1 08 04 08 04 Gráfico do lugar das raízes do sistema próximo à origem a Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado b gráfico do lugar das raízes próximo à origem 349 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes As figuras 692a e b mostram a resposta ao degrau unitário e à rampa unitária respectivamente do sistema projetado Note que o polo de malha fechada em s 01684 quase cancela o zero em s 016025 Entretanto esse par de polo e zero de malha fechada localizado próximo à origem produz uma cauda alongada de pequena amplitude Como o polo de malha fechada em s 17205 está localizado muito longe à esquerda em relação aos polos de malha fechada em s 18308 j32359 o efeito desse polo real na resposta do sistema é muito pequeno Portanto os polos de malha fechada em s 18308 j32359 são na verdade os polos dominantes de malha fechada que determinam as características da resposta do sistema de malha fechada Na resposta à rampa unitária o erro estacionário de acompanhamento à rampa de entrada tornase 1Kυ 50 1 002 A618 A Figura 693a é um diagrama de blocos do modelo de um sistema de controle de variação de posição A função de transferência de malha fechada desse sistema é R s C s s s s s s j s j s s 0 1 6 0 1 2 0 1 0 0417 2 4489 0 0417 2 4489 0 0167 2 0 05 3 2 h h h h h h FIGURA 692 t s 4 2 0 14 12 8 6 10 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 2 1 0 7 9 6 8 10 4 3 5 b Saída 3 7 0 9 4 8 2 6 5 1 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado 350 Engenharia de controle moderno A resposta ao degrau unitário desse sistema é mostrada na Figura 693b A resposta mostra oscilações de alta frequência no início em razão dos polos em s 00417 j24489 A resposta é dominada pelo polo em s 00167 O tempo de acomodação é aproximadamente 240 s É desejável acelerar a resposta e também eliminar o modo oscilatório no início da resposta Projete um compensador adequado que os polos dominantes de malha fechada estejam em s 2 j2 3 Solução A Figura 694 mostra um diagrama de blocos do sistema compensado Note que o zero de malha aberta em s 005 e o polo em s 0 geram um polo de malha fechada entre s 0 e s 005 Esse polo de malha fechada tornase um polo dominante de malha fechada e faz que a resposta seja muito lenta Então é necessário substituir esse zero por um zero que esteja localizado longe do eixo j por exemplo um zero em s 4 Agora escolhemos um compensador da seguinte maneira G s G s s s 2 0 1 4 c c t h h FIGURA 693 Tempo s 50 0 200 300 250 100 150 b Amplitude 03 06 0 1 04 07 01 09 08 05 02 Resposta ao degrau unitário do sistema não compensado Rs Cs 1 Giroscópio de velocidade Servomecanismo hidráulico Aeronave 1 s 2s 01 s2 01s 4 a a Sistema de controle de variação de posição b resposta ao degrau unitário FIGURA 694 Gcs Rs Cs 1 Giroscópio de velocidade Servomecanismo hidráulico Aeronave 1 s 2s 01 s2 01s 4 Sistema de controle de variação de posição 351 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Então a função de transferência de malha fechada do sistema compensado tornase G s G s G s s s s s s s G s s s s s 2 0 1 4 1 0 1 4 2 0 1 0 1 4 4 c c c 2 2 t t h h h h h Para determinar Ĝcs pelo método do lugar das raízes necessitamos encontrar a deficiência angular no polo desejado de malha fechada em s 2 j2 3 A deficiência angular pode ser encontrada como segue Deficiência angular 143088 120 109642 60 180 13273 Portanto o compensador de avanço Ĝcs deve acrescentar 13273 Como a deficiência angular é 13273 são necessários dois compensadores por avanço de fase cada um contribuindo com 66365 Assim Ĝcs terá a seguinte forma G s K s s s s c c p z 2 t e h o Suponha que tenham sido escolhidos dois zeros em s 2 Então os dois polos dos compensa dores podem ser obtidos a partir da relação 04376169 tg s 2 3 4641 90 66 365 p c c h ou s 2 0 4376169 3 4641 9 9158 p Veja a Figura 695 Portanto G s K s s 9 9158 2 c c 2 t c h m O compensador completo Gcs para esse sistema será G s G s s s K s s s s 2 0 1 4 9 9158 2 2 0 1 4 c c c 2 2 t h h h h O valor de Kc pode ser determinado com base na condição de módulo Como a função de trans ferência de malha aberta é FIGURA 695 2 4 6 2 0 4 8 10 12 j4 j2 j4 j2 66365 sp s 2 j2 3 j v Polo e zero de Gˆ cs 352 Engenharia de controle moderno G s G s K s s s s s s 9 9158 0 1 4 2 4 c c 2 2 2 h h h h h h a condição de módulo tornase 1 K s s s s s s 9 9158 0 1 4 2 4 c s j 2 2 2 2 2 3 h h h h Então K s s s s s s 2 4 9 9158 0 1 4 88 0227 c s j 2 2 2 2 2 3 h h h h Assim o compensador Gcs tornase 880227 G s s s s s 9 9158 2 0 1 2 4 c 2 2 h h h h h A função de transferência de malha aberta é dada por G s G s s s s s s s 9 9158 0 1 4 88 0227 2 4 c 2 2 2 h h h h h h O gráfico do lugar das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 696 Os polos de malha fechada desse sistema compensado estão indicados no gráfico Os polos de malha fechada raízes da equação característica s 991582ss2 01s 4 880227s 22s 4 0 são os seguintes s 20000 j34641 s 75224 j65326 s 08868 Agora que o compensador foi projetado vamos examinar as características da resposta transitória utilizando o MATLAB A função de transferência de malha fechada é dada por FIGURA 696 Eixo real 15 10 5 15 5 10 0 Eixo imaginário 10 0 10 5 5 15 15 Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado Polos de malha fechada Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado 353 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes R s C s s s s s s s s s 9 9158 0 1 4 88 0227 2 4 88 0227 2 4 2 2 2 2 h h h h h h h h As figuras 697a e b mostram os gráficos de resposta ao degrau unitário e da resposta à rampa unitária do sistema compensado Essas curvas de resposta mostram que o sistema projetado é aceitável A619 Considere o sistema mostrado na Figura 698a Determine o valor de a de modo que o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Solução A equação característica é 1 0 s s s s a 1 8 10 h h h A variável a não é um fator de multiplicação Então devemos modificar a equação característica Assim a equação característica pode ser escrita como FIGURA 697 t s 1 05 0 35 45 3 4 5 2 15 25 a Saída 04 08 14 0 12 06 1 02 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 0 5 4 6 2 1 3 b Entrada e saída 2 4 6 0 3 5 1 Resposta à rampa unitária do sistema compensado a Resposta ao degrau unitário do sistema compensado b resposta à rampa unitária do sistema compensado 354 Engenharia de controle moderno s3 9s2 18s 10a 0 reescrevemos essa equação de modo que a apareça como um fator de multiplicação como segue 1 0 s s s a 9 18 10 2 h Defina 10a K Então a equação característica tornase 1 0 s s s K 9 18 2 h Note que a forma dessa equação característica é adequada para a construção do lugar das raízes Esse sistema possui três polos e nenhum zero Os três polos estão em s 0 s 3 e s 6 Existe um ramo do lugar das raízes sobre o eixo real entre os pontos s 0 e s 3 Existe também outro ramo entre os pontos s 6 e s As assíntotas do lugar das raízes serão encontradas como segue  í 60 60 180 ngulos das ass ntotas k 3 180 2 1 c c c c h A intersecção das assíntotas com o eixo real é obtida a partir de 3 s 3 0 3 6 Os pontos de partida do eixo real e de chegada no eixo real podem ser determinados a partir de dKds 0 onde K s3 9s2 18s Agora definimos FIGURA 698 a b s a s 8 10 ss 1 j4 j3 j2 j4 j3 j2 j1 0 1 1 3 5 7 2 2 4 6 j v 60 K 28 K 28 j1 j6 j6 j5 j5 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes onde K 10a 355 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes ds dK 3s2 18s 18 0 de onde vem s2 6s 6 0 ou s 1268 s 4732 O ponto s 1268 está sobre um ramo do lugar das raízes Consequentemente o ponto s 1268 é de fato um ponto de partida do eixo real Entretanto o ponto s 4732 não está sobre o lugar das raízes e portanto não é ponto nem de partida nem de chegada Em seguida vamos determinar os pontos em que os ramos do lugar das raízes cruzam o eixo imaginário Substituindo s j na equação característica que é s3 9s2 18s K 0 resulta em j3 9j2 18j K 0 ou K 92 j18 2 0 de onde obtemos 3 2 K 92 162 ou 0 K 0 Os pontos de cruzamento estão em 3 2 e o valor correspondente do ganho K é 162 Um ramo do lugar das raízes também toca o eixo imaginário em 0 A Figura 698b mostra um esboço do lugar das raízes do sistema Como o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada foi especificado como 05 o polo de malha fechada desejado no semiplano superior do plano s fica localizado na intersecção do ramo do lugar das raízes nesse semiplano s com a reta que tem uma inclinação de 60º em relação ao semieixo real negativo Os polos dominantes de malha fechada desejados ficam localizados em s 1 j1732 s 1 j1732 Nesses pontos o valor do ganho K é 28 Então a K 10 28 Como o sistema possui dois ou mais polos do que zeros de fato três polos e nenhum zero o terceiro polo pode ser localizado no eixo real negativo com base no fato de que a soma dos três polos de malha fechada seja 9 Então concluise que o terceiro polo está em s 9 1 j1732 1 j1732 ou s 7 A620 Considere o sistema mostrado na Figura 699a Desenhe o lugar das raízes do sistema com realimentação de velocidade em que o ganho k varia de zero a infinito Determine o valor de k de modo que os polos de malha fechada tenham o coeficiente de amortecimento z igual a 07 Solução A função de transferência de malha aberta é çã ê Fun o de transfer ncia de malha aberta s k s 1 10 10 h Como k não é um fator de multiplicação modificamos a equação de modo que k apareça como tal Sendo a equação característica s2 s 10ks 10 0 356 Engenharia de controle moderno reescrevemos a equação como segue 1 0 s s ks 10 10 2 638 Defina 10k K Então a Equação 638 tornase 1 0 s s Ks 10 2 Observe que o sistema tem um zero em s 0 e dois polos em s 05 j31225 Como esse siste ma possui dois polos e um zero é possível que exista um lugar das raízes circular De fato esse sistema tem um lugar das raízes circular como veremos Como a condição de ângulo é 180 s s Ks k 10 2 1 2 c h temos 180 s s j s j k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 c h Substituindo s v j nessa última equação e reorganizando os termos obtemos 180 j j j k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 c v v v h h h que pode ser reescrita como 180 tg tg tg k 0 5 3 1225 0 5 3 1225 2 1 1 1 1 c v v v c c c m m m h Considerando as tangentes de ambos os lados dessa última equação obtemos 1 0 5 3 1225 0 5 3 1225 0 5 3 1225 0 5 3 1225 v v v v v c mc m FIGURA 699 Rs Cs 1 s k j v a b 10 s 1 j4 j3 j2 j1 j1 j3 j2 j4 0 1 1 4 6 2 3 5 7 2 K 3427 4557 a Sistema de controle b gráfico do lugar das raízes onde K 10k 357 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes que pode ser simplificada para 0 5 3 1225 2 0 5 2 2 2 v v v h h h ou v2 10 2 0 do que resulta 0 ou v2 2 10 Note que 0 corresponde ao eixo real O eixo real negativo entre s 0 e s corresponde a K 0 e o eixo real positivo corresponde a K 0 A equação v2 2 10 é uma equação de uma circunferência com centro em v 0 0 e raio igual a 10 A parte dessa circunferência que está à esquerda dos polos complexos corresponde ao lugar das raízes para K 0 A parte da circunferência que fica à direita dos polos complexos corresponde ao lugar das raízes para K 0 A Figura 699b mostra o gráfico do lugar das raízes para K 0 Como desejamos z 07 para os polos de malha fechada determinamos a intersecção do ramo cir cular do lugar das raízes com uma reta que forma um ângulo de 4557 note que cos 4557 07 com o semieixo real negativo A intersecção está em s 2214 j2258 O ganho K correspondente a esse ponto é 3427 Então o valor desejado do ganho k do ramo de realimentação de velocidade é k K 10 03427 Problemas B61 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s K s H s 1 2 h h h B62 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s s s K H s 1 4 5 2 h h h h B63 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema sendo 1 G s s s s s K H s 0 5 0 6 10 2 h h h h B64 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle sendo 1 G s s s K s s H s 2 10 6 10 2 2 h h h são arcos do círculo cujo centro é a origem e cujo raio é igual a 10 B65 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s K s H s 3 6 0 2 2 h h h h B66 Trace o gráfico do lugar das raízes para um sistema de controle de malha fechada sendo 1 G s s s s K s H s 4 11 9 2 h h h h 358 Engenharia de controle moderno Situe os polos de malha fechada no lugar das raízes cujos polos dominantes tenham coeficiente de amortecimento igual a 05 Determine o valor correspondente ao ganho K B67 Trace o gráfico do lugar das raízes do sistema mostrado na Figura 6100 Determine o intervalo de valores do ganho K que corresponde à estabilidade B68 Considere um sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de trans ferência de ramo direto G s s s s K 4 8 2 h h Desenhe o lugar das raízes do sistema Se o valor do ganho K for igual a 2 onde se situam os polos de malha fechada B69 Considere o sistema no qual a função de transferência de malha aberta é dada por G s H s s s s K s 3 3401 7 0325 0 6667 4 3 2 h h h Mostre que a equação para as assíntotas é dada por G s H s s s s K 4 0068 5 3515 2 3825 a a 3 2 h h Trace o gráfico do lugar das raízes e das assíntotas do sistema utilizando o MATLAB B610 Considere o sistema com realimentação unitária em que a função de transferência de ramo direto é G s s s K 1 h h O lugar de ganho constante do sistema para dado valor de K é definido pela seguinte equação 1 s s K 1 h Mostre que os lugares de ganho constante para 0 K podem ser dados por vv 1 22 2 K2 Esboce os lugares de ganho constante para K 1 2 5 10 e 20 no plano s B611 Considere o sistema mostrado na Figura 6101 Trace o gráfico do lugar das raízes utilizando o MATLAB Situe os polos de malha fechada para o ganho K for igual a 2 FIGURA 6100 2 s2 s 2 s 1 s 5 K Rs Cs Sistema de controle FIGURA 6101 1 s 1 Ks 1 ss2 2s 6 Sistema de controle 359 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes B612 Trace os gráficos do lugar das raízes para os sistemas de fase não mínima mostrados na Figura 6102a e b respectivamente B613 Considere o sistema mecânico mostrado na Figura 6103 que consiste em uma mola e dois amortecedores Obtenha a função de transferência do sistema O deslocamento xi é a entrada e o deslocamento xo é a saída Nesse sistema a estrutura mecânica é de avanço de fase ou de atraso de fase B614 Considere o sistema mostrado na Figura 6104 Desenhe o gráfico do lugar das raízes do sistema Determine o valor de K para que o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Em seguida determine todos os polos de malha fechada Trace o diagrama das curvas de resposta ao degrau unitário usando o MATLAB FIGURA 6102 Ks 1 s 2 s 4 G1s a b K1 s s 2 s 4 G2s a e b Sistema de fase não mínima FIGURA 6103 b2 b1 k xi xo Sistema mecânico FIGURA 6104 K ss2 4s 5 Sistema de controle 360 Engenharia de controle moderno B615 Determine os valores de K T1 e T2 do sistema mostrado na Figura 6105 para que os polos domi nantes de malha fechada tenham coeficiente de amortecimento z 05 e a frequência natural não amortecida n 3 rads B616 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6106 Determine o ganho K e a constante de tempo T do controlador Gcs tal que os polos de malha fechada estejam localizados em s 2 j2 B617 Considere o sistema mostrado na Figura 6107 Projete um compensador de avanço de fase que os polos dominantes estejam localizados em s 2 j2 3 Trace a curva de resposta ao degrau unitário do sistema projetado com o MATLAB B618 Considere o sistema mostrado na Figura 6108 Projete um compensador de modo que os polos dominantes de malha fechada fiquem localizados em s 1 j1 FIGURA 6105 C R T1s 1 K T2s 1 10 ss 1 Sistema de controle FIGURA 6106 1 ss 2 KTs 1 Gcs Gs Sistema de controle FIGURA 6107 Gcs 5 s05s 1 Sistema de controle FIGURA 6108 Gcs 1 s2 Compensador de avanço de fase Veículo espacial Sistema de controle 361 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes B619 Considerando o sistema mostrado na Figura 6109 projete um compensador cuja constante de erro estático Kυ seja 20 s1 sem modificação apreciável da localização original s 2 j2 3 do par de polos complexos conjugados de malha fechada B620 Considere o sistema de posicionamento angular mostrado na Figura 6110 Os polos dominantes de malha fechada estão localizados em s 360 j480 O coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada é 06 A constante de erro estático de velocidade Kυ é 41 s1 o que significa que para uma entrada em rampa de 360s o erro estático de acompanhamento da rampa é 41 360 878 s s e K i c 1 c i y y Desejase diminuir eυ para um décimo do valor atual ou aumentar o valor da constante de erro estático de velocidade Kυ para 41 s1 Desejase também manter o coeficiente de amortecimento z dos polos dominantes de malha fechada em 06 É permitida uma pequena modificação na frequência natural não amortecida n dos polos dominantes de malha fechada Projete um com pensador por atraso de fase apropriado para aumentar a constante de erro estático de velocidade conforme desejado B621 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6111 Projete um compensador de modo que os polos dominantes de malha fechada estejam localizados em s 2 j2 3 e a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 50 s1 FIGURA 6109 Gcs 16 ss 4 Sistema de controle FIGURA 6110 Gcs 820 ss 10 s 20 Sistema de posicionamento angular FIGURA 6111 Gcs 10 ss 2 s 5 Sistema de controle 362 Engenharia de controle moderno B622 Considere o sistema mostrado na Figura 6112 Projete um compensador tal que a curva de resposta ao degrau unitário apresente um máximo sobressinal de 30 ou menos e o tempo de acomodação seja de 3 s ou menos B623 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 6113 Projete um compensador de modo que a curva de resposta ao degrau unitário apresente um máximo sobressinal de 25 ou menos e o tempo de acomodação seja de 5 s ou menos B624 Considere o sistema de controle com realimentação de velocidade mostrado na Figura 6114 Determine os valores do ganho do amplificador K e do ganho da realimentação de velocidade Kh de modo que sejam satisfeitas as seguintes especificações 1 Coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada de 05 2 Tempo de acomodação 2 s 3 Constante de erro estático de velocidade Kυ 50 s1 4 0 Kh 1 B625 Considere o sistema mostrado na Figura 6115 O sistema possui realimentação de velocidade Determine o valor do ganho K de modo que os polos dominantes de malha fechada tenham um coeficiente de amortecimento igual a 05 Utilizando o ganho K assim determinado obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema FIGURA 6112 Gcs 2s 1 ss 1 s 2 Sistema de controle FIGURA 6113 Gcs 1 s2 s 4 Sistema de controle FIGURA 6114 Rs Cs 1 s Kh K 2s 1 Sistema de controle 363 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes B626 Considere o sistema mostrado na Figura 6116 Construa o gráfico do lugar das raízes quando a varia de zero a Determine o valor de a para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 B627 Considere o sistema mostrado na Figura 6117 Desenhe o gráfico do lugar das raízes para valores de k que variem de 0 a Qual é o valor de k para que o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada seja 05 Determine a constante de erro estático de velocidade do sistema para esse valor de k B628 Considere o sistema mostrado na Figura 6118 Supondo que o valor do ganho K varie de 0 a construa o gráfico do lugar das raízes quando Kh 01 03 e 05 Compare as respostas ao degrau unitário do sistema para os três casos a seguir 1 K 10 Kh 01 2 K 10 Kh 03 3 K 10 Kh 05 FIGURA 6115 Rs Cs 1 s 02 K s 1 s 2 Sistema de controle FIGURA 6117 s 14 s 5 10 ss 1 ks s 10 Sistema de controle FIGURA 6116 s a 2 s2 s 2 Sistema de controle 364 Engenharia de controle moderno FIGURA 6118 Rs Cs 1 s Kh K s 1 Sistema de controle 365 Capítulo 6 Análise e projeto de sistemas pelo método do lugar das raízes Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 7 C A P Í T U L O 71 Introdução O termo resposta em frequência significa a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal Nos métodos de resposta em frequência variamos a frequência do sinal de entrada dentro de certo intervalo e estudamos a resposta resultante Neste capítulo apresentamos os métodos de resposta em frequência para análise e projeto de sistemas de controle A informação que obtemos com base nessa análise é diferente da que é obtida na análise com base no lugar das raízes De fato os métodos da resposta em frequência e do lugar das raízes são complementares Uma vantagem do método da resposta em frequência é que podemos utilizar os dados obtidos diretamente a partir das medições feitas nos sistemas físicos sem a necessidade de recorrermos aos respectivos modelos matemáticos Em muitos projetos práticos de sistemas de controle ambos os métodos são empregados Os engenheiros de controle devem estar familiarizados com os dois Os métodos de resposta em frequência foram desenvolvidos entre as décadas de 1930 e 1940 por Nyquist Bode Nichols e muitos outros Os métodos de resposta em frequência são dos mais pode rosos na teoria de controle convencional Também são indispensáveis na teoria de controle robusto O critério de estabilidade de Nyquist nos possibilita pesquisar tanto a estabilidade absoluta como a relativa dos sistemas lineares de malha fechada com base no conhecimento de suas características de resposta em frequência de malha aberta Uma vantagem do método de resposta em frequência é que seus testes são em geral simples e podem ser realizados com exatidão com a utilização de geradores de sinais senoidais facilmente acessíveis e equipamentos de medição precisos Muitas vezes as funções de transferência de componentes complicados podem ser determinadas experimentalmente por meio de testes de resposta em frequência Além disso o enfoque dessa resposta apresenta a vantagem de permitir que se projete um sistema de maneira que os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis e que essa análise e esse projeto possam ser estendidos a certos sistemas de controle não lineares Embora a resposta em frequência de um sistema de controle apresente um quadro qualitati vo da resposta transitória a correlação entre a resposta em frequência e a resposta transitória é indireta exceto para o caso de sistemas de segunda ordem No projeto de um sistema de malha fechada ajustamos as características da resposta em frequência da função de transferência de malha aberta utilizando vários critérios de projeto para obter características aceitáveis da res posta transitória do sistema Obtenção das respostas em regime permanente às entradas senoidais Vamos mostrar que a resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal isto é a função de transferência na qual s é substituído por j onde é a frequência Considere o sistema linear estável e invariante no tempo mostrado na Figura 71 A entrada e a saída do sistema cuja função de transferência é Gs são designadas por xt e yt respec tivamente Se a entrada xt for um sinal senoidal a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma frequência mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes Vamos supor que o sinal de entrada seja dado por xt X sen t Neste livro é sempre medida em rads Quando a frequência é medida em cicloss usamos a notação f Ou seja 2pf Considere que a função de transferência Gs do sistema possa ser escrita como uma relação de dois polinômios em s ou seja G s q s p s s s s s s s p s n 1 2 g h h h h h h h A transformada de Laplace da saída Ys é então Y s G s X s q s p s X s h h h h h h 71 onde Xs é a transformada de Laplace da entrada xt Será mostrado que depois de esperar até que as condições de regime permanente tenham sido alcançadas a resposta em frequência pode ser calculada substituindose s por j na função de transferência Será mostrado também que a resposta em regime permanente pode ser dada por G j Me M j z z h onde M é a relação de amplitude entre a saída e a entrada senoidal e z é a defasagem ou diferença de fase entre a entrada senoidal e a saída senoidal No teste da resposta em frequência variase a frequência de entrada de modo que seja coberto todo o intervalo de frequências de interesse A resposta em regime permanente de um sistema linear estável invariante no tempo a uma entrada senoidal não depende das condições iniciais Assim podemos supor que as condições iniciais sejam nulas Se Ys tiver somente polos distintos então a expansão em frações parciais da Equação 71 quando xt X sen t resulta em Y s G s X s G s s X s j a s j a s s b s s b s s b n n 2 2 1 1 2 2 g r h h h h 72 onde a e bi sendo i 1 2 n são constantes e ā é o complexo conjugado de a A transformada inversa de Laplace da Equação 72 é yt aejt āe jt b1es1t b2es2t bnesnt t 0 73 Para um sistema estável s1 s2 sn têm partes reais negativas Portanto conforme t tende a infinito os termos es1t es2t e esnt tendem a zero Assim todos os termos do lado direito da Equação 73 exceto os dois primeiros se anulam em regime permanente FIGURA 71 Gs Xs xt Ys yt Sistema estável linear invariante no tempo 367 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Se Ys possuir polos múltiplos sj de multiplicidade mj então yt terá termos como t hjesjt hj 0 1 2 mj 1 Para um sistema estável os termos t hjesjt tendem a zero à medida que t tende a infinito Assim independentemente de o sistema ter ou não todos os polos distintos a resposta em regime permanente tornase ysst aejt āe jt 74 onde a constante a pode ser calculada com base na Equação 72 como segue a G s s X s j j XG j 2 s j 2 2 h h h Note que a G s s X s j j XG j 2 s j 2 2 r h h h Como G j é uma grandeza complexa ela pode ser escrita da seguinte maneira G j G je jz onde G j representa o módulo e z representa o ângulo de G j ou seja parte á tg de imagin ria de G j G j G j parte real 1 z h h h G O ângulo z pode ser negativo positivo ou zero Da mesma maneira obtemos a seguinte expres são de Gj Gj Gjejz G j ejz Notando então que a j X G j e a j X G j e 2 2 j j z z r h h a Equação 74 pode ser escrita como sen sen y t X G j j e e X G j t Y t 2 j t j t ss z z z z h h h h h h h 75 onde Y XG jVemos que se um sistema estável linear invariante no tempo for submetido a uma entrada senoidal terá em regime permanente uma saída senoidal com a mesma frequência da entrada No entanto em geral a amplitude e a fase da saída serão diferentes da amplitude e da fase da entrada De fato a amplitude da saída é dada pelo produto da amplitude da entrada por G j enquanto o ângulo de fase da saída difere do ângulo de fase da entrada pelo valor z G j h A Figura 72 mostra um exemplo de sinais senoidais de entrada e de saída FIGURA 72 X Y t Entrada xt X sen t Saída yt Y sen t z Sinais senoidais de entrada e de saída 368 Engenharia de controle moderno Do que acabamos de ver concluímos este importante resultado para entradas senoidais G j X j Y j h h h relação de amplitude entre a saída senoidal e a entrada senoidal G j X j Y j h h h defasagem da saída senoidal em relação à entrada senoidal Em consequência a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal pode ser obtida diretamente a partir de X j Y j G j h h h A função G j é chamada função de transferência senoidal É a relação entre Y j e X j tratase de uma grandeza complexa e pode ser representada pelo módulo e pelo ângulo de fase tendo a frequência como parâmetro A função de transferência senoidal de qualquer sistema linear é obtida pela substituição de s por j na função de transferência do sistema Como já mencionado no Capítulo 6 um ângulo de fase positivo é denominado avanço de fase e um ângulo de fase negativo e conhecido como atraso de fase Uma rede que tenha as carac terísticas de avanço de fase é chamada rede de avanço de fase enquanto uma rede que tenha as características de atraso de fase é denominada rede de atraso de fase Exemplo 71 Considere o sistema mostrado na Figura 73 A função de transferência Gs é G s Ts K 1 h Para a entrada senoidal xt X sen t a saída em regime permanente ysst pode ser encontrada como a seguir Substituindo j por s em Gs temos G j jT K 1 h A relação de amplitude entre a saída e a entrada é G j T K 1 2 2 h enquanto o ângulo de fase z é z G j h tg 1T Assim a resposta em regime permanente ysst à entrada xt X sen t pode ser obtida a partir da Equação 75 como segue tg sen y t T XK t T 1 2 2 1 ss h h 76 Podese ver a partir da Equação 76 que se for pequeno a amplitude da resposta em regime per manente ysst será quase K vezes a amplitude da entrada Se for pequeno a defasagem da saída será pequena Se for grande a amplitude da saída será pequena e quase inversamente proporcional a A defasagem aproximase de 90 à medida que tende ao infinito Esta é uma rede de atraso de fase FIGURA 73 y x Gs K Ts 1 Sistema de primeira ordem 369 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 72 Considere a rede dada por G s s T s T 1 1 2 1 h Determine se esta é uma rede de avanço ou de atraso de fase Para a entrada senoidal xt X sen t a saída em regime permanente ysst pode ser encon trada como segue Como G j j T j T T T j T T j 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 h h h temos G j T T T T 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 h e tg tg G j T T 1 1 1 2 z h Assim a saída em regime permanente é sen tg tg y t T T XT T t T T 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 ss h h Com base nessa expressão concluímos que se T1 T2 então tg 1T1 tg 1T2 0 Assim se T1 T2 então a rede será de avanço de fase Se T1 T2 então a rede será uma rede de atraso de fase Apresentação das características da resposta em frequência na forma gráfica A função de transferência senoidal uma função complexa da frequência é caracterizada por seu módulo e ângulo de fase com a frequência como parâmetro Existem três representações das funções de transferência senoidais utilizadas comumente 1 Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico 2 Diagrama de Nyquist ou diagrama polar 3 Diagrama do logaritmo do módulo versus ângulo de fase carta de Nichols Discutiremos essas representações em detalhes neste capítulo Discutiremos também a obtenção dos diagramas de Bode e de Nyquist e das cartas de Nichols utilizando o MATLAB Visão geral do capítulo A Seção 71 traz uma introdução à resposta em frequência A Seção 72 apresenta diagramas de Bode de funções de transferência de vários sistemas A Seção 73 trata dos diagramas polares de funções de transferência A Seção 74 exibe os diagramas de módulo versus ângulo de fase A Seção 75 fornece em detalhes o critério de estabilidade de Nyquist A Seção 76 discute a análise de estabilidade utilizando o critério de estabilidade de Nyquist A Seção 77 introduz medidas para análise de estabilidade relativa A Seção 78 apresenta um método para a obtenção da resposta em frequência de malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta pelo uso das circunferências M e N Discutese também o uso da carta de Nichols A Seção 79 trata da determinação da função de transferência com base no levantamento experimental A Seção 710 apresenta aspectos introdutórios de projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência As seções 711 712 e 713 abordam em detalhes as técnicas de compensação por avanço de fase compensação por atraso de fase e compensação por atraso e avanço de fase respectivamente 370 Engenharia de controle moderno 72 Diagramas de Bode Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos Um diagrama de Bode é constituído por dois gráficos um é o gráfico do logaritmo do módulo de uma função de transferência senoidal o outro é o gráfico do ângulo de fase Ambos são traçados em relação à frequência em escala logarítmica A representação padrão do logaritmo do módulo de G j é 20 logG j onde a base do logaritmo é 10 A unidade utilizada nessa representação do módulo é o decibel normalmente abreviado como dB Na representação logarítmica as curvas são desenhadas em papel semilog com a utilização da escala logarítmica para a frequência e a escala linear tanto para módulo mas em decibéis como para ângulo em graus O intervalo da frequência de interesse determina o número de ciclos logarítmicos requeridos na abscissa A principal vantagem de utilizar o diagrama de Bode é que a multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma Além disso existe um meio simples de esboçar uma curva aproximada do logaritmo do módulo baseada em aproximações assintóticas Essas aproximações por retas assíntotas são suficientes se forem desejadas apenas informações aproximadas sobre as carac terísticas da resposta em frequência Se for necessária a curva exata as correções poderão ser feitas facilmente nesses gráficos assintóticos básicos A expansão da faixa de baixas frequências pelo uso da escala logarítmica de frequência é muito vantajosa visto que as características dos sistemas em baixas frequências na prática são as mais importantes O fato de não ser possível traçar as curvas até a frequência zero em virtude da escala logarítmica log 0 não cria nenhum problema sério Note que a determinação experimental de uma função de transferência pode ser feita de modo simples se os dados da resposta em frequência forem apresentados sob a forma de um diagrama de Bode Fatores básicos de G jH j Conforme foi afirmado anteriormente a principal vanta gem em utilizar o gráfico logarítmico é a relativa facilidade de traçar as curvas de resposta em frequên cia Os fatores básicos que ocorrem habitualmente em qualquer função de transferência G jH j são 1 Ganho K 2 Fatores integral e derivativo j1 3 Fatores de primeira ordem 1 jT1 4 Fatores quadráticos 1 2ζ jn jn21 Uma vez familiarizados com os gráficos logarítmicos desses fatores básicos é possível utilizá los na construção de um gráfico logarítmico composto para qualquer forma geral de G jH j esboçando as curvas para cada fator e adicionando graficamente as curvas individuais porque a adição do logaritmo dos ganhos corresponde à sua multiplicação O ganho K Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis enquanto um número menor que uma unidade tem valor negativo A curva de módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis O ângulo de fase do ganho K é zero O efeito da variação do ganho K na função de transferência é deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência em um valor constante correspondente mas isso não tem nenhum efeito sobre a curva de ângulo de fase Um gráfico de conversão de um número em decibel está indicado na Figura 74 O valor em decibel de qualquer número pode ser obtido com o auxílio desse gráfico Quando um número aumenta em um fator de 10 o valor correspondente em decibel fica acrescido de 20 Esse resul tado pode ser verificado a partir do seguinte 20 logK 10 20 log K 20 De maneira semelhante 20 logK 10n 20 log K 20n 371 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Observe que quando expresso em decibéis o recíproco de um número difere de seu valor apenas no sinal isto é para o número K 20 20 log log K K 1 Fatores integral e derivativo j1 O valor logarítmico de 1j em decibéis é 20 20 log log j 1 dB O ângulo de fase de 1j é constante e igual a 90 Nos diagramas de Bode as relações de frequência são expressas em termos de oitavas ou de décadas Uma oitava é um intervalo de frequência de 1 a 21 onde 1 é qualquer valor de fre quência Uma década corresponde a um intervalo de frequência de 1 a 101 onde novamente 1 é qualquer valor de frequência Na escala logarítmica do papel semilog qualquer relação de frequência dada pode ser representada pela mesma distância horizontal Por exemplo a distância horizontal entre 1e 10 é igual a distância entre 3 e 30 Se for construído um gráfico de 20 log dB versus em escala logarítmica o resultado será uma reta Para traçar essa reta é necessário localizar um ponto 0 dB 1 sobre ela Como 20 log 10 dB 20 log 20 dB a inclinação da reta será 20 dBdécada ou 6 dBoitava De maneira semelhante o módulo de j em decibéis é 20 log j 20 log dB O ângulo de fase de j é constante e igual a 90º A curva do logaritmo do módulo é uma reta com inclinação de 20 dBdécada As figuras 75a e b mostram as curvas de resposta em fre quência para 1j e j respectivamente Podese ver com clareza que as diferenças nas curvas das respostas em frequência dos fatores 1j e j estão nos sinais das inclinações das curvas do logaritmo do módulo e nos sinais dos ângulos de fase Ambas as grandezas logarítmicas tornam se iguais a 0 dB em 1 Se a função de transferência possuir o fator 1jn ou jn as grandezas logarítmicas se tornarão respectivamente 20 20 20 log log log j n j n 1 dB n h FIGURA 74 Decibéis dB Números 001 002 004 01 02 04 06 1 2 3 4 5 6 8 10 20 10 0 10 20 30 40 Gráfico de conversão de um número em decibel 372 Engenharia de controle moderno ou 20 log jn n 20 log j 20n log dB As inclinações das curvas do módulo em dB para os fatores 1jn e jn são respectivamente 20n dBdécada e 20n dBdécada O ângulo de fase de 1jn é igual a 90 n em toda a faixa de frequência enquanto o de jn é igual a 90 n em toda a faixa de frequência As curvas de módulo passarão pelo ponto 0 dB 1 Fatores de primeira ordem 1 jT1 O módulo em dB do fator de primeira ordem 1 1 jT é 20 20 log log dB j T T 1 1 1 2 2 Para baixas frequências como 1T o módulo em dB pode ser aproximado por 20 20 1 0 log log dB T 1 2 2 Z Assim a curva de módulo em dB em baixas frequências é uma reta de 0 dB constante Para altas frequências como 1T 20 20 log log dB T T 1 2 2 Z Esta é uma expressão aproximada para a faixa de altas frequências Em 1T o valor do módulo é de 0 dB em 10T o módulo é de 20 dB Portanto o valor de 20 log T dB decresce em 20 dB para cada década de Para 1T a curva de módulo em dB é então uma reta com uma inclinação de 20 dBdécada ou 6 dBoitava Nossa análise mostra que a representação logarítmica da curva de resposta em frequência do fator 11 jT pode ser aproximada por duas retas assíntotas uma em 0 dB para a faixa de frequência 0 1T e outra reta com inclinação de 20 dBdécada ou 6 dBoitava para a faixa de frequência 1T A Figura 76 mostra a curva exata do módulo em dB as assín totas e a curva exata vértice do ângulo de fase A frequência na qual as duas assíntotas se encontram é chamada frequência de canto ou fre quência de mudança de inclinação quebra Para o fator 11 jT a frequência 1T é a frequência de canto visto que em 1T as duas assíntotas têm o mesmo valor A expressão FIGURA 75 dB 40 20 0 40 20 01 10 1 100 Inclinação 20 dBdécada Diagrama de Bode de Gj 1j a z 0 180 90 01 10 1 100 dB 40 20 0 40 20 01 10 1 100 Inclinação 20 dBdécada Diagrama de Bode de Gj j b z 180 0 90 01 10 1 100 a Diagrama de Bode de G j 1j b diagrama de Bode de G j j 373 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência assintótica na baixa frequência em 1T é 20 log 1 dB 0 dB e a expressão assintótica na alta frequência em 1T é também 20 log 1 dB 0 dB A frequência de canto divide a resposta em frequência em duas regiões a curva da região de baixa frequência e a curva da região de alta frequência A frequência de canto é muito importante no esboço das curvas logarítmicas de resposta em frequência O ângulo de fase exato z do fator 11 jT é z tg 1T Na frequência zero o ângulo de fase é 0 Na frequência de canto o ângulo de fase é 1 45 tg tg T 1 T 1 c z No infinito o ângulo de fase tornase igual a 90 Como o ângulo de fase é dado pela função arco tangente ele é simétrico em relação ao ponto de inflexão em z 45 O erro na curva de grandeza causado pelo uso das assíntotas pode ser calculado O erro máximo ocorre na frequência de canto e é aproximadamente igual a 3 dB visto que 20 20 1 10 2 303 log log log 1 1 dB O erro em uma oitava abaixo da frequência de canto isto é em 12T é 20 20 1 20 097 log log log dB 4 1 1 2 5 O erro em uma oitava acima da frequência de canto isto é em 2T é 20 20 2 20 097 log log log dB 2 1 2 5 2 Portanto o erro em uma oitava abaixo ou acima da frequência de canto é aproximadamente igual a 1 dB De maneira semelhante o erro em uma década abaixo ou acima da frequência de canto é aproximadamente 004 dB A Figura 77 mostra que o erro em decibéis em decorrência do uso da expressão assintótica da curva de resposta em frequência de 11 jT é simétrico em relação à frequência de canto Como as assíntotas são fáceis de desenhar e estão suficientemente próximas da curva exata o uso dessas aproximações no traçado dos diagramas de Bode é conveniente para determinar com rapidez e um mínimo de cálculo a natureza geral das características da resposta em frequência FIGURA 76 10 0 10 20 0 45 90 z dB 1 20T 1 10T 1 5T 1 T 1 2T 2 T 5 T 10 T 20 T Curva exata Assíntota Assíntota Frequência de canto Curva de módulo em dB com as assíntotas e a curva de ângulo de fase de 11 jT 374 Engenharia de controle moderno e podem ser usadas na maioria dos projetos preliminares Se forem desejadas curvas de resposta em frequência mais precisas podemos fazer correções facilmente com base na curva indicada na Figura 77 Na prática a curva precisa de resposta em frequência pode ser traçada se forem introduzidas uma correção de 3 dB na frequência de canto e uma correção de 1 dB nos pontos uma oitava abaixo e acima da frequência de canto e se em seguida esses pontos forem ligados por uma curva suave Note que uma variação na constante de tempo T desloca a frequência de canto para a esquerda ou para a direita mas a forma das curvas de módulo em dB e do ângulo de fase permanece a mesma A função de transferência 11 jT tem as características de um filtro passabaixa Para as frequências acima de 1T o módulo em dB cai rapidamente em direção a Isso se deve essencialmente à presença da constante de tempo No filtro passabaixa a saída pode seguir com fidelidade a entrada senoidal a baixas frequências Entretanto à medida que a frequência de entrada aumenta a saída não pode seguir mais a entrada porque é necessário certo intervalo de tempo para o sistema atingir uma amplitude elevada Assim em altas frequências a amplitude da saída tende a zero e o ângulo de fase da saída tende a 90 Portanto se a função de entrada contém muitos harmônicos então os componentes de baixa frequência são reproduzidos com fidelidade na saída enquanto os componentes de alta frequência são atenuados na amplitude e defasados na fase Assim um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação exata ou quase exata somente para fenômenos constantes ou lentamente variáveis Uma vantagem do diagrama de Bode é que para fatores recíprocos por exemplo o fator 1 jT as curvas de módulo em dB e do ângulo de fase necessitam trocar apenas o sinal visto que 20 20 log log j T j T 1 1 1 e tg j T T j T 1 1 1 1 A frequência de canto é a mesma para ambos os casos A inclinação da assíntota de alta frequência de 1 jT é 20 dBdécada e o ângulo de fase varia de 0 a 90 conforme a frequência aumenta de zero a infinito A Figura 78 mostra a curva de módulo em dB juntamente com as assíntotas e o ângulo de fase do fator 1 jT Para traçar a curva de ângulo de fase com precisão devem ser localizados vários pontos sobre a curva Os ângulos de fase de 1 jT1 são FIGURA 77 0 1 2 3 4 dB Frequência de canto 1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 3 T 5 T 10 T Erro do módulo em dB na expressão assintótica da curva de resposta em frequência 11 jT 375 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência T T T T T 45 1 26 6 2 1 5 7 10 1 63 4 2 84 3 10 em em em em em c c c c c Para os casos em que dada função de transferência possui termos como 1 jTn pode ser feita uma construção assintótica similar A frequência de canto ainda está em 1T e as assín totas são linhas retas A assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal em 0 dB enquanto a assíntota de alta frequência tem uma inclinação de 20n dBdécada ou 20n dBdécada O erro envolvido nas expressões assintóticas é n vezes o correspondente a 1 jT1 O ângulo de fase é n vezes o correspondente a 1 jT1 em cada ponto de frequência Fatores quadráticos 1 2z jn jn21 Os sistemas de controle frequentemente possuem fatores quadráticos da forma G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m 77 Se z 1 esse fator quadrático pode ser expresso como um produto de dois fatores de primeira ordem com polos reais Se 0 z 1 esse fator quadrático é um produto de dois fatores com plexos conjugados As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em frequência não são precisas para um fator com baixos valores de z pois o módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da frequência de canto como do coeficiente de amortecimento z Podese obter da seguinte forma a curva assintótica de resposta em frequência como 20 20 log log j j 1 2 1 1 2 n n n n 2 2 2 2 2 g g c c c c m m m m FIGURA 78 dB 40 20 0 40 20 z 90 0 45 Curva exata Assíntota 001 T 01 T 1 T 10 T 001 T 01 T 1 T 10 T Assíntota Curva de módulo em dB juntamente com a assíntota e a curva de ângulo de fase de 1 jT 376 Engenharia de controle moderno para baixas frequências como n o módulo em dB passa a ser 20 log 1 0 dB Portanto a assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal em 0 dB Para altas frequências como n o módulo em dB passa a ser 20 40 log log dB n n 2 2 A equação da assíntota de alta frequência é uma reta que possui uma inclinação de 40 dB década desde que 40 40 40 log log 10 n n A assíntota de alta frequência cruza a de baixa frequência em n pois nessa frequência 40 40 1 0 log log dB n n Essa frequência n é a frequência de canto do fator quadrático considerado As duas assíntotas que foram deduzidas são independentes do valor de z Próximo à frequên cia n ocorre um pico de ressonância como pode ser esperado a partir da Equação 77 O coeficiente de amortecimento z determina a amplitude desse pico de ressonância Obviamente existem erros na aproximação através de retas assíntotas A amplitude do erro depende do valor de z Ele será grande para valores pequenos de z A Figura 79 mostra as curvas exatas de módulo em dB juntamente com as retas assíntotas e as curvas exatas do ângulo de fase do fator quadrá FIGURA 79 20 10 10 0 z dB 0 90 180 04 06 08 1 2 4 6 8 10 01 02 n ζ 01 ζ 02 ζ 03 ζ 05 ζ 07 ζ 10 ζ 01 ζ 02 ζ 03 ζ 05 ζ 07 ζ 10 Assíntota Curva de módulo em dB com as assíntotas e as curvas de ângulo de fase da função de transferência quadrática dadas pela Equação 77 377 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência tico dado pela Equação 77 para alguns valores de z Se forem desejadas correções nas curvas assintóticas as correções necessárias em um número suficiente de pontos podem ser obtidas a partir da Figura 79 O ângulo de fase do fator quadrático 1 2z jn jn2 1 é tg j j 1 2 1 1 2 n n n n 2 1 2 z g g c c c m m m R T S S SS V X W W WW 78 O ângulo de fase é uma função tanto de como de z Em 0 o ângulo de fase é igual a 0 Na frequência de canto n o ângulo de fase é 90 independentemente de z dado que 90 tg tg 0 2 1 13 c z g c m Em o ângulo de fase tornase 180º A curva de ângulo é antissimétrica em relação ao ponto de inflexão o ponto onde z 90 Não existem meios simples de traçar essas curvas de ângulo de fase É necessário referirse às curvas de ângulo de fase indicadas na Figura 79 As curvas de resposta em frequência do fator 1 2 j j n n 2 g c c m m podem ser obtidas simplesmente pela inversão do sinal do módulo em dB e das curvas de ângulo de fase do fator j j 1 2 1 n n 2 g c c m m Para obter as curvas de resposta em frequência de dada função quadrática devese inicialmente determinar o valor da frequência de canto n e do coeficiente de amortecimento z Então utili zando a família de curvas dada pela Figura 79 podem ser construídas as curvas de resposta em frequência A frequência de ressonância r e o valor de pico de ressonância Mr O módulo de G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m é G j 1 2 1 n n 2 2 2 2 g e e h o o 79 Se G j apresentar um valor de pico em alguma frequência esta é denominada frequência de ressonância Se o numerador de G j for constante ocorrerá um valor de pico de G jquando g 1 2 n n 2 2 2 2 g e e h o o 710 for um mínimo Como a Equação 710 pode ser escrita como 4 g 1 2 1 n n 2 2 2 2 2 2 2 g g g h h h H 711 o valor mínimo de g ocorre em n 1 2 g2 Portanto a frequência de ressonância r é r n 1 2 g2 para 0 ζ 0707 712 Conforme o coeficiente de amortecimento z tender a zero a frequência de ressonância ten derá a n Para 0 z 0707 a frequência de ressonância r é menor que a frequência natural 378 Engenharia de controle moderno amortecida d n 1 2 g2 que é apresentada na resposta transitória Podese ver na Equação 712 que para z 0707 não existe pico de ressonância O valor de G j decresce monotoni camente com o aumento da frequência A grandeza é menor que 0 dB para todos os valores de 0 Lembrese de que para 07 z 1 a resposta ao degrau é oscilatória mas as oscilações são bastante amortecidas e dificilmente são perceptíveis Para 0 z 0707 o valor do pico de ressonância Mr G jr pode ser determinado substituindose a Equação 712 na Equação 79 Para 0 z 0707 M G j G j 2 1 1 max r r 2 g g h h 713 Para z 0707 Mr 1 714 À medida que z tende a zero Mr tende ao infinito Isso significa que se o sistema não amorte cido for excitado em sua frequência natural o valor de G j se tornará infinito A Figura 710 mostra a relação entre Mr e z O ângulo de fase de G j na frequência em que ocorre o pico de ressonância pode ser obtido substituindose a Equação 712 na Equação 78 Assim na frequência de ressonância r 90 tg sen G j 1 2 1 r 1 2 1 2 c g g g g h Procedimento geral para a construção do diagrama de Bode O MATLAB fornece um meio fácil para a construção dos diagramas de Bode O método do MATLAB é apresentado adiante nesta seção Aqui entretanto consideraremos o caso em que desejamos construir os diagramas de Bode manualmente sem utilizar o MATLAB De início reescrevemos a função de transferência senoidal G jH j como produto de fatores básicos discutidos anteriormente Em seguida identificamos a frequência de canto asso ciada a esses fatores básicos Por fim traçamos as curvas assintóticas de módulo em dB com as inclinações apropriadas entre as frequências de canto A curva exata que fica muito próxima da curva assintótica pode ser obtida fazendose as correções apropriadas A curva de ângulo de fase de G jH j pode ser desenhada adicionandose as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais O uso dos diagramas de Bode com o emprego de aproximações assintóticas requer muito menos tempo do que outros métodos que podem ser utilizados para a determinação da resposta FIGURA 710 14 12 10 8 6 4 2 0 ζ 02 10 08 06 04 Mr em dB Curva Mr versus ζ do sistema de segunda ordem 11 2ζ jn jn2 379 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência em frequência de uma função de transferência A facilidade de construção das curvas de resposta em frequência de dada função de transferência e a facilidade de modificação da curva de resposta em frequência quando for adicionada compensação são as principais razões pelas quais os diagramas de Bode são frequentemente utilizados na prática Exemplo 73 Desenhe o diagrama de Bode da seguinte função de transferência G j j j j j j 2 2 10 3 2 h h h h h 6 Efetue as correções para que a curva de módulo em dB seja precisa Para evitar possíveis erros na construção da curva de módulo em dB é desejável pôr G j na forma normalizada a seguir onde as assíntotas de baixa frequência dos fatores de primeira ordem e do fator de segunda ordem são a reta de 0 dB G j j j j j j 2 1 2 2 1 7 5 3 1 2 c c h h m h m E Essa função é composta pelos seguintes fatores 75 1 j j j j j 3 1 2 1 2 2 1 1 2 1 c h m h G As frequências de canto do terceiro quarto e quinto termos são 3 2 e 2 respec tivamente Note que o último termo tem o coeficiente de amortecimento de 03536 Para construir o diagrama de Bode as curvas assintóticas de cada um dos fatores são mostradas separadamente na Figura 711 A curva composta é então obtida adicionandose algebricamente as curvas individuais também mostradas na Figura 711 Note que quando as curvas assintóticas individuais são adicionadas a cada frequência a inclinação da curva composta é cumulativa Abaixo de 2 o gráfico tem uma inclinação de 20 dBdécada Na primeira frequência de canto 2 a inclinação muda para 60 dBdécada que continua até a próxima frequência de canto 2 onde a inclinação passa a ser 80 dBdécada Na última frequência de canto 3 a inclinação muda para 60 dBdécada Uma vez que essa curva aproximada de módulo em dB tenha sido desenhada a curva real pode ser obtida adicionandose as correções a cada frequência de canto e às frequências uma oitava abaixo e acima das frequências de canto Para os fatores de primeira ordem 1 jT1 as correções são 3 dB na frequência de canto e 1 dB nas frequências uma oitava abaixo e acima da frequência de canto As correções necessárias para o fator quadrático são obtidas a partir da Figura 79 A curva exata de módulo em dB de G j é a curva tracejada mostrada na Figura 711 Note que qualquer modificação na inclinação da curva de módulo é feita apenas nas frequên cias de canto da função de transferência G j Portanto em vez de construir as curvas individuais de módulo e adicionálas como foi mostrado podemos traçar a curva de módulo sem desenhar as curvas individuais Podemos começar por desenhar a porção de menor frequência da reta isto é a reta com a inclinação 20 dBdécada para 2 À medida que a frequência aumenta obtemos o efeito dos polos complexos conjugados termo quadrático na frequência de canto 2 Os polos complexos conjugados fazem que as inclinações da curva de módulo mudem de 20 para 60 dBdécada Na frequência de canto seguinte 2 o efeito do polo é mudar a inclinação para 80 dBdécada Por fim na frequência de canto 3 o efeito do zero é mudar a inclinação de 80 para 60 dBdécada Para a construção da curva completa de ângulo de fase devem ser esboçadas as curvas de ângulo de fase de todos os fatores A soma algébrica de todas as curvas de ângulo de fase fornece a curva completa de ângulo de fase como mostra a Figura 711 380 Engenharia de controle moderno Sistemas de fase mínima e sistemas de fase não mínima As funções de transferência que não possuem polos nem zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase mínima enquanto as que possuem polos e zeros no semiplano direito do plano s são funções de transferência de fase não mínima Os sistemas com funções de transferência de fase mínima são denominados sistemas de fase mínima ao passo que aqueles com funções de transferência de fase não mínima são denominados sistemas de fase não mínima Para os sistemas com as mesmas características de módulo a gama de valores do ângulo de fase da função de transferência de fase mínima é mínima entre todos esses sistemas enquanto a gama de valores do ângulo de fase de qualquer função de transferência de fase não mínima é maior que esse mínimo Note que para um sistema de fase mínima a função de transferência pode ser determinada univocamente apenas a partir da curva de módulo Para um sistema de fase não mínima isso não acontece Multiplicando qualquer função de transferência por filtros passatudo a curva de módulo não se altera mas a curva de ângulo de fase é modificada Considere como exemplo os dois sistemas cujas funções de transferência senoidal são res pectivamente 0 G j j T j T G j j T j T T T 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 h h FIGURA 711 40 20 0 20 dB 40 Curva exata 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 270 180 90 0 90 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 z Gj 2 2 5 5 4 4 3 1 Gj 3 1 Diagrama de Bode do sistema considerado no Exemplo 73 381 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência As configurações de polos e zeros desses sistemas são mostradas na Figura 712 As duas funções de transferência senoidais têm as mesmas características de módulo mas diferentes característi cas de ângulo de fase como mostra a Figura 713 Esses dois sistemas diferem entre si pelo fator G j j T j T 1 1 h O módulo do fator 1 jT1 jT é sempre a unidade O ângulo de fase no entanto é igual 2 tg 1T e varia de 0º a 180º à medida que varia de zero a infinito Conforme já foi dito para um sistema de fase mínima as características de módulo e de ângulo de fase estão relacionadas univocamente Isso quer dizer que se a curva de módulo de um sistema for especificada para toda a gama de valores de frequência de zero a infinito a curva de ângulo de fase será determinada de forma única e viceversa Isso entretanto não ocorre com os sistemas de fase não mínima As situações de fase não mínima podem surgir de duas maneiras diferentes Uma delas é simplesmente quando um sistema inclui um elemento ou elementos de fase não mínima A outra situação pode ocorrer no caso em que se tenha uma malha interna instável Para um sistema de fase mínima o ângulo de fase em tornase 90q p onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência respectivamente No sistema de fase não mínima o ângulo de fase em difere do 90q p Em qualquer dos dois sistemas a inclinação da curva de módulo em dB em é igual a 20q p dBdécada Portanto é possível detectar se o sistema é de fase mínima pelo exame da inclinação tanto da assíntota de alta frequência da curva de módulo em dB quanto pelo ângulo de fase em Se a inclinação da curva de módulo em dB conforme tende ao infinito for 20q p dBdécada e o ângulo de fase em for igual a 90q p então o sistema será de fase mínima Os sistemas de fase não mínima são lentos na resposta em virtude do comportamento incorreto no início da resposta Na maioria dos sistemas de controle práticos o atraso de fase excessivo FIGURA 712 j 1 T 1 T1 1 T1 v G1s 1 Ts 1 T1s j 1 T v G2s 1 Ts 1 T1s 0 0 Configurações de polos e zeros de um sistema de fase mínima G1s e de um sistema de fase não mínima G2s FIGURA 713 z 0º 90º 180º G1j G2j Características do ângulo de fase dos sistemas G1s e G2s mostrados na Figura 712 382 Engenharia de controle moderno deve ser evitado cuidadosamente No projeto de um sistema se a velocidade de resposta for de importância fundamental não se deverá utilizar componentes de fase não mínima Um exemplo comum de elementos de fase não mínima que podem estar presentes em sistemas de controle é o retardo de transporte ou tempo morto Devese notar que as técnicas de análise e projeto de resposta em frequência a serem apre sentadas neste e no próximo capítulo são válidas para sistemas tanto de fase mínima como de fase não mínima Retardo de transporte O retardo de transporte que também é chamado tempo morto tem comportamento de fase não mínima e apresenta um atraso de fase excessivo sem atenuação nas altas frequências Esses retardos de transporte normalmente existem nos sistemas térmicos hidráulicos e pneumáticos Considere o retardo de transporte dado por G j ejT O módulo é sempre igual à unidade pois G j cos T j sen T 1 Portanto o módulo em dB do retardo de transporte ejT é igual a 0 dB O ângulo de fase do retardo de transporte é G j h T radianos 573 T graus O ângulo de fase varia linearmente com a frequência A característica do ângulo de fase do retardo de transporte é mostrada na Figura 714 Exemplo 74 Construa o diagrama de Bode da seguinte função de transferência G j j T e 1 j L h FIGURA 714 0 100 200 300 400 500 600 01 02 04 06 08 1 10 2 4 6 8 T ejT G Gj ejT Gj 0 dB Característica do ângulo de fase do retardo de transporte 383 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência O módulo em dB é log log log log G j e j T j T 20 20 20 1 1 0 20 1 1 j L h O ângulo de fase de G j é tg G j e j T L T 1 1 j L 1 h As curvas de módulo em dB e de ângulo de fase dessa função de transferência com L 05 e T 1 estão indicadas na Figura 715 Relacionamento entre tipo de sistema e curva de módulo em dB Considere o sistema de controle com realimentação unitária As constantes de erro estático de posição de velocidade e de aceleração descrevem o comportamento de baixa frequência dos tipos 0 1 e 2 respectivamente Para dado sistema apenas uma das constantes de erro estático é finita e significativa Quanto maior o valor da constante de erro estático finita maior o ganho de malha quando tende a zero O tipo de sistema determina a inclinação da curva de módulo em dB em baixas frequências Portanto a informação relativa ao erro estático de um sistema de controle para dada entrada pode ser determinada a partir da observação da região de baixas frequências da curva de módulo em dB Determinação das constantes de erro estático de posição Considere o sistema de controle com realimentação unitária indicado na Figura 716 Suponha que a função de transferência de malha aberta seja dada por G s s T s T s T s K T s T s T s 1 1 1 1 1 1 N p a b m 1 2 g g h h h h h h h FIGURA 715 0 20 10 0 10 20 100 200 300 0 90 180 270 01 02 04 06 08 1 10 2 4 6 8 dB e05 j 1 j e05 j 1 1 j e05 j 1 j Diagrama de Bode do sistema ejL1 jT com L 05 e T 1 384 Engenharia de controle moderno ou G j j T j T j T j K T j T j T j 1 1 1 1 1 1 N p a b m 1 2 g g h h h h h h h h A Figura 717 mostra um exemplo do diagrama do módulo em dB de um sistema do tipo 0 Nesse sistema o módulo de G j nas baixas frequências é igual a Kp ou lim 3 G j K Kp O resultado é que a assíntota de baixa frequência é uma reta horizontal de 20 log Kp dB Determinação da constante de erro estático de velocidade Considere o sistema de controle com realimentação unitária mostrado na Figura 716 A Figura 718 mostra um exemplo do diagrama de módulo em dB de um sistema do tipo 1 A intersecção do segmento inicial 20 dBdécada ou sua extensão com a reta 1 vale 20 log Ky Podese ver isso a seguir Em um sistema tipo 1 1 G j j K para y h Então 20 20 log log j K K 1 y y A intersecção do segmento inicial de 20 dBdécada ou sua extensão com o eixo de 0 dB ocorre em uma frequência numericamente igual a Ky Para verificar isso defina a frequência nessa intersecção como 1 então 1 j K 1 y FIGURA 716 Rs Cs Es Gs Sistema de controle com realimentação unitária FIGURA 717 dB 20 log Kp 0 20 dBdécada 40 dBdécada em escala logarítmica Curva de módulo em dB de um sistema tipo 0 385 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência ou Ky 1 Como exemplo considere o sistema do tipo 1 com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s Js F K h h Se definirmos a frequência de canto como 2 e a frequência de intersecção do segmento de 40 dBdécada ou sua extensão com o eixo de 0 dB como 3 então J F J K 2 3 2 Como K F K 1 y seguese que 12 2 3 ou 3 1 2 3 No diagrama de Bode log 1 log 3 log 3 log 2 Então o ponto 3 está justamente no meio entre os pontos 2 e 1O coeficiente de amorteci mento z do sistema é então KJ F 2 2 3 2 g Determinação da constante de erro estático de aceleração Considere o sistema de con trole com realimentação unitária mostrado na Figura 716 A Figura 719 mostra um exemplo do diagrama de módulo em dB de um sistema do tipo 2 A intersecção do segmento inicial 40 dB década ou sua extensão com a reta 1 tem módulo de 20 log Ka Como em baixas frequências 1 G j j K para a 2 h h FIGURA 718 dB 0 20 dBdécada 40 dBdécada em escala logarítmica 20 log Kυ 1 2 3 1 Curva de módulo em dB de um sistema tipo 1 386 Engenharia de controle moderno resulta que 20 20 log log j K K a a 2 1 h A frequência a na intersecção do segmento inicial 40 dBdécada ou sua extensão com a reta 0 dB nos fornece o valor numérico da raiz quadrada de Ka Isso pode ser visto como segue 20 20 1 0 log log j K a a 2 h do que resulta K a a Construção do diagrama de Bode com o MATLAB O comando bode calcula módulos e ângulos de fase da resposta em frequência de sistemas contínuos no tempo lineares e invariantes no tempo Quando o comando bode sem os argumentos do lado esquerdo é digitado no computador o MATLAB gera um diagrama na tela do monitor Os comandos bode utilizados com maior frequência são bodenumden bodenumdenw bodeABCD bodeABCDw bodeABCDiuw bodesys Quando for executado com argumentos do lado esquerdo como magphasew bodenumdenw o comando bode retorna a resposta em frequência do sistema por meio das matrizes mag phase e w Nenhum gráfico é traçado na tela do monitor As matrizes mag e phase contêm os módulos e os ângulos de fase da resposta em frequência do sistema calculados em relação às frequências especificadas pelo usuário Obtémse o ângulo de fase em graus O módulo pode ser convertido em decibéis pelo comando magdB 20log10mag FIGURA 719 dB 0 20 dBdécada 40 dBdécada 60 dBdécada em escala logarítmica 20 log Ka 1 a Ka Curva de módulo em dB de um sistema tipo 2 387 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Outros comandos de Bode com argumentos no lado esquerdo são magphasew bodenumden magphasew bodenumdenw magphasew bodeABCD magphasew bodeABCDw magphasew bodeABCDiuw magphasew bodesys Para especificar a faixa de frequência utilize o comando logspaced1d2 ou logspaced1d2n O comando logspaced1d2 gera um vetor de 50 pontos igualmente espaçados em uma escala logarítmica entre as décadas 10d1 e 10d2 Os 50 pontos incluem ambos os pontos extremos Existem 48 pontos entre os pontos extremos Para gerar 50 pontos entre 01 rads e 100 rads utilize o comando w logspace12 O comando logspaced1d2n gera n pontos igualmente espaçados em uma escala loga rítmica entre as décadas 10d1 e 10d2 os n pontos incluem ambos os extremos Por exemplo para gerar 100 pontos entre 1 rads e 1000 rads digite o seguinte comando w logspace03100 Para incorporar os pontos de frequências especificados pelo usuário no traçado de diagra mas de Bode o comando bode deve incluir o vetor de frequência w como bode numdenw e magphasew bodeABCDw Exemplo 75 Considere a seguinte função de transferência G s s 4s 25 25 2 h Construa o diagrama de Bode para essa função de transferência Quando o sistema estiver definido na forma G s s s den num h h h utilize o comando bodenumden para desenhar o diagrama de Bode Quando numerador e denominador contiverem os coeficientes polinomiais de s em ordem decrescente do expoente o comando bodenumden desenha o diagrama de Bode O Programa 71 em MATLAB traça o diagrama de Bode para esse sistema A Figura 720 apresenta o diagrama de Bode resultante Programa 71 em MATLAB num 25 den 1 4 25 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 25s2 4s 25 388 Engenharia de controle moderno Exemplo 76 Considere o sistema indicado na Figura 721 A função de transferência de malha aberta é G s s s s s s 1 2 9 9 0 2 1 2 2 h h h Trace o diagrama de Bode O Programa 72 em MATLAB gera o diagrama de Bode para esse sistema A Figura 722 mostra o diagrama resultante A faixa de frequências nesse caso é determinada automaticamente como o intervalo entre 001 e 10 rads Programa 72 em MATLAB num 9 18 9 den 1 12 9 0 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 Se for desejável traçar o diagrama de Bode para o intervalo entre 001 e 1000 rads digite o seguinte comando w logspace23100 Esse comando gera 100 pontos espaçados regularmente em escala logarítmica entre 001 e 100 rads Note que esse vetor w especifica as frequências em radianos por segundo nas quais a resposta em frequência será calculada Se utilizarmos o comando bodenumdenw FIGURA 720 Frequência rads Diagrama de Bode Gs 25s2 4s 25 200 50 100 150 0 60 40 20 Fase graus Magnitude dB 20 0 100 101 102 Diagrama de Bode de G s s 4s 25 25 2 h FIGURA 721 9s2 02s 1 ss2 12s 9 Sistema de controle 389 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência então a faixa de frequência será a que foi definida pelo usuário mas a gama de valores do módulo e do ângulo de fase será determinada automaticamente Veja o Programa 73 em MATLAB e o diagrama resultante na Figura 723 Programa 73 em MATLAB num 9 18 9 den 1 12 9 0 w logspace23100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 FIGURA 722 Frequência rads Diagrama de Bode Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 100 0 50 100 50 20 Fase graus Magnitude dB 10 40 0 10 20 30 102 101 100 101 Diagrama de Bode de G s s s s s s 1 2 9 9 0 2 1 2 2 h h h FIGURA 723 Frequência rads Diagrama de Bode Gs 9s2 02s 1ss2 12s 9 100 50 0 50 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 50 102 101 100 101 102 103 Diagrama de Bode de G s s s s s s 1 2 9 9 0 2 1 2 2 h h h 390 Engenharia de controle moderno Obtenção do diagrama de Bode dos sistemas definidos no espaço de estados Consi dere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx Du onde x vetor de estado vetor n y vetor de saída vetor m u vetor de controle vetor r A matriz de estado matriz n n B matriz de controle matriz n r C matriz de saída matriz m n D matriz de transmissão direta matriz m r Podemos obter o diagrama de Bode desse sistema executando o comando bodeABCD ou outros relacionados no início desta seção O comando bode ABCD produz uma série de diagramas de Bode um para cada entrada do sistema com a gama de valores de frequência determinada automaticamente Serão utilizados mais pontos quando a resposta do sistema estiver mudando rapidamente O comando bode ABCDiu onde iu é a iésima entrada no sistema produz os diagra mas de Bode da entrada iu para todas as saídas y1 y2 ym do sistema com o intervalo de valores de frequência determinado automaticamente O escalar iu é um índice nas entradas do sistema e especifica qual entrada deve ser utilizada na construção do diagrama de Bode Se o vetor de controle u tiver três entradas tais que u u u u 1 2 3 H então iu deverá ser definido como 1 2 ou 3 Se o sistema tiver apenas uma entrada u então um dos seguintes comandos pode ser selecionado bodeABCD ou bodeABCD1 Exemplo 77 Considere o seguinte sistema x x x x u y x x 0 25 1 4 0 25 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Esse sistema tem uma entrada u e uma saída y Utilizando o comando bodeABCD e executando no computador o Programa 74 em MATLAB obtemos o diagrama de Bode mos trado na Figura 724 Programa 74 em MATLAB A 0 125 4 B 025 C 1 0 D 0 bodeABCD titleDiagrama de Bode 391 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Se substituirmos o comando bodeABCD no Programa 74 em MATLAB por bodeABCD1 então o MATLAB vai produzir o diagrama de Bode idêntico ao que se vê na Figura 724 73 Diagramas polares O diagrama polar de uma função de transferência senoidal G j é um gráfico do módulo de G j versus o ângulo de fase de G j em coordenadas polares com variando de zero a infinito Assim o diagrama polar é o lugar dos vetores G j G j h com variando de zero ao infinito Note que no diagrama polar um ângulo de fase positivo negativo é medido no sentido antihorário horário a partir do eixo real positivo O diagrama polar é frequentemente chamado diagrama de Nyquist Um exemplo desse tipo de diagrama é apresentado na Figura 725 Cada ponto no diagrama polar de G j representa o ponto terminal de um vetor para determinado FIGURA 724 Frequência rads Diagrama de Bode 200 50 100 150 0 60 40 20 Fase graus Magnitude dB 20 0 100 101 102 Diagrama de Bode do sistema considerado no Exemplo 77 FIGURA 725 Im Re G j 0 1 2 3 G j Im G j Re Gj Diagrama polar 392 Engenharia de controle moderno valor de No diagrama polar é importante indicar os valores da frequência ao longo da curva As projeções de G j nos eixos real e imaginário são seus componentes real e imaginário O MATLAB pode ser utilizado para a obtenção do diagrama polar G j ou para obter G j e G j h com precisão e para vários valores de no intervalo de interesse dos valores de frequência Uma vantagem em utilizar um diagrama polar é que este representa as características da resposta em frequência de um sistema em toda a faixa de frequências em um único gráfico Uma desvantagem é que o diagrama não indica claramente as contribuições de cada fator individual sobre a função de transferência de malha aberta Fatores integral e derivativo j1 O diagrama polar de G j 1j é o eixo imaginário negativo visto que G j j j 1 1 1 90c h O diagrama polar de G j j é o eixo imaginário positivo Fatores de primeira ordem 1 jT1 Para a função de transferência senoidal tg G j j T T T 1 1 1 1 2 2 1 h os valores de G j em 0 e 1T são respectivamente 1 G j G j T 0 0 1 2 1 45 e c c c h m Se tende ao infinito o módulo de G j tende a zero e o ângulo de fase tende a 90 À medi da que a frequência varia de zero ao infinito o diagrama polar dessa função de transferência descreve uma semicircunferência como mostra a Figura 726a O centro fica localizado no ponto 05 do eixo real e o raio é igual a 05 Para comprovar que o diagrama polar do fator de primeira ordem G j 11 jT é uma semicircunferência defina G j X jY onde á parte real de parte imagin ria de X T G j Y T T G j 1 1 1 2 2 2 2 h h FIGURA 726 Im Re 0 0 05 05 a b 1 1 2T 2 1 1 T 1 G j1 T G j1 T 0 Y X 0 T 1 2T 2 a Diagrama polar de 1 1 jT b diagrama de G j no plano XY 393 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Então obtemos X Y T T T T 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c e c c m o m m Assim no plano XY G j é uma circunferência com centro em X 2 1 Y 0 e raio igual a 2 1 como mostra a Figura 726b O semicírculo inferior corresponde a 0 e o semicírculo superior a 0 O diagrama polar da função de transferência 1 jT é simplesmente a metade superior da reta que passa pelo ponto 10 no plano complexo e é paralela ao eixo imaginário como mos tra a Figura 727 O diagrama polar de 1 jT tem uma aparência completamente diferente da aparência de 11 jT Fatores quadráticos 1 2z jn jn21 As porções relativas às baixas e às altas frequências do diagrama polar da seguinte função de transferência senoidal G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m para ζ 0 são dadas respectivamente por lim 0 G j 1 0c e lim 3 G j 0 180c O diagrama polar dessa função de transferência senoidal iniciase em 1 0c e termina em 0 180c à medida que aumenta de zero a infinito Assim a parte relativa à alta frequência de G j é tangente ao eixo real negativo A Figura 728 apresenta exemplos do diagrama polar da função de transferência considerada A forma exata do diagrama polar depende do valor do coeficiente de amortecimento z mas a forma geral do diagrama é a mesma tanto para o caso subamortecido 1 z 0 como para o superamortecido z 1 Para o caso subamortecido em que n temos G jn 1 j2z e o ângulo de fase em que n é 90 Portanto podese observar que a frequência na qual o lugar geométrico de G j cruza o eixo imaginário é a frequência natural não amortecida n No diagrama polar a frequência cujo ponto está mais distante da origem corresponde à frequência de ressonância r O valor de pico de G j é obtido pela relação entre o módulo do vetor na frequência de ressonância r e o módulo do vetor em 0 A frequência de ressonância r está indicada no diagrama polar da Figura 729 Para o caso superamortecido à medida que z aumenta muito além da unidade o lugar geomé trico de G j aproximase de uma semicircunferência Podese observar esse fato nos sistemas muito amortecidos em que as raízes características são reais e uma delas é bem menor que a outra Dado que para z suficientemente grande o efeito da maior raiz maior em valor absoluto na resposta é muito pequeno o sistema se comporta como de primeira ordem A seguir considere a seguinte função de transferência senoidal G j j j j 1 2 1 2 n n n n 2 2 2 g g c c e e h m m o o A porção da curva relativa às baixas frequências é lim 0 G j 1 0c e a porção relativa às altas frequências é lim 3 G j 180c Como a parte imaginária de G j é positiva para 0 e é monotonicamente crescente e a parte real de G j decresce monotonicamente a partir da unidade a forma geral do diagrama polar de G j é a indicada na Figura 730 O ângulo de fase fica entre 0 e 180 394 Engenharia de controle moderno FIGURA 727 Im Re 0 1 0 Diagrama polar de 1 jT FIGURA 729 Im Re 0 Pico de ressonância n r 0 Diagrama polar que indica o pico de ressonância e a frequência de ressonância r FIGURA 730 Im Re 0 0 1 Diagrama polar de 1 2 j j n n 2 g c c m m para z 0 FIGURA 728 0 Im Re 0 1 ζ Grande ζ Pequeno n n n n Diagrama polar de j j 1 2 1 n n 2 g c c m m para z 0 395 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 78 Considere a seguinte função de transferência de segunda ordem G s s Ts 1 1 h h Construa o diagrama polar dessa função de transferência Como a função de transferência senoidal pode ser escrita como segue G j j j T T T j T 1 1 1 1 1 2 2 2 2 h h h a porção relativa à baixa frequência do diagrama polar é lim 0 G j T j e a porção relativa à alta frequência é lim 3 G j 0 j0 A Figura 731 apresenta a forma geral do diagrama polar de G j O diagrama de G j é assintótico em relação à reta vertical que passa pelo ponto T 0 Como essa função de transfe rência possui um integrador 1s a forma geral do diagrama polar difere substancialmente dos diagramas da função de transferência de segunda ordem que não têm um integrador Exemplo 79 Obtenha o diagrama polar da seguinte função de transferência G j j T e 1 j L h Como G j pode ser escrita como G j e j T 1 1 j L c h h m o módulo e o ângulo de fase são respectivamente G j e j T T 1 1 1 1 j L 2 2 h e tg G j e j T L T 1 1 j L 1 h Visto que o módulo decresce monotonicamente a partir da unidade e o ângulo de fase também decresce monotônica e indefinidamente o diagrama polar da função de transferência dada é uma espiral como mostra a Figura 732 FIGURA 731 Im Re 0 0 T Diagrama polar de 1j1 jT 396 Engenharia de controle moderno Formas gerais do diagrama polar Os diagramas polares de uma função de transferência como G j j j T j T K j T j T a j a j b j b j 1 1 1 1 a b n n m m 1 2 1 0 1 1 1 0 g g g g m h h h h h h h h h h onde n m ou o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador terão as seguintes formas gerais 1 Para λ 0 ou sistemas tipo 0 o ponto de início do diagrama polar que corresponde a 0 é finito e está sobre o eixo real positivo A tangente do diagrama polar em 0 é perpendicular ao eixo real O ponto terminal que corresponde a está sobre a origem e a curva é tangente a um dos eixos 2 Para λ 1 ou sistemas tipo 1 o termo j no denominador contribui com 90 do ângulo de fase total de G j para 0 Em 0 o módulo de G j é infinito e o ângulo de fase é 90 Em baixas frequências o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário negativo Em o módulo tornase nulo e a curva converge para a origem tangenciando um dos eixos 3 Para λ 2 ou sistemas tipo 2 o termo j2 no denominador contribui com 180 para o ângulo de fase total de G j para 0 Em 0 o módulo de G j é infinito e o ângulo de fase é igual a 180 Em baixas frequências o diagrama polar pode ser assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo Em o módulo tornase nulo e a curva é tangente a um dos eixos As formas gerais dos ramos de baixa frequência dos diagramas polares dos sistemas dos tipos 0 1 e 2 são apresentadas na Figura 733 Podese observar que se o grau do polinômio do denominador de G j for maior que o do numerador então os lugares geométricos de G j vão convergir para a origem no sentido horário Em os lugares são tangentes a um ou outro eixo como mostra a Figura 734 FIGURA 732 Im Re 1 Diagrama polar de ejL1 jT FIGURA 733 Im Re 0 0 0 0 Sistema tipo 2 Sistema tipo 1 Sistema tipo 0 Diagrama polar de sistemas tipos 0 1 e 2 397 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Note que quaisquer formas complicadas nas curvas do diagrama polar são causadas pela dinâ mica do numerador isto é pelas constantes de tempo no numerador da função de transferência A Figura 735 mostra exemplos de gráficos polares de funções de transferência com dinâmica no numerador Na análise de sistemas de controle o diagrama polar de G j deve ser determinado com precisão na faixa de frequências de interesse A Tabela 71 apresenta traçados de diagramas polares de diversas funções de transferência Construção de diagramas de Nyquist com o MATLAB Os diagramas de Nyquist assim como os diagramas de Bode são comumente utilizados para a representação da resposta em frequência de sistemas de controle com realimentação lineares e invariantes no tempo Os dia gramas de Nyquist são diagramas polares enquanto os diagramas de Bode são retangulares Um dos diagramas pode ser mais conveniente para uma operação em particular mas dada operação sempre pode ser conduzida por qualquer um dos dois diagramas O comando MATLAB nyquist calcula a resposta em frequência de sistemas de tempo con tínuo lineares e invariantes no tempo Quando executado sem argumentos no lado esquerdo o comando nyquist fornece um diagrama de Nyquist na tela do monitor O comando nyquistnumden desenha o diagrama de Nyquist da função de transferência G s s s den num h h h FIGURA 734 Im Re 0 n m 1 n m 2 n m 3 Gj bojm aojn Diagramas polares em alta frequência FIGURA 735 Im Re 0 0 Im Re 0 0 Diagramas polares de funções de transferência com dinâmica no numerador 398 Engenharia de controle moderno onde num e den contêm os coeficientes dos polinômios em ordem decrescente dos expoentes de s Outros comandos nyquist geralmente utilizados são nyquistnumdenw nyquistABCD nyquistABCDw nyquistABCDiuw nyquistsys O comando que contém o vetor frequência w especificado pelo usuário como nyquistnumdenw calcula a resposta em frequência para os vários valores da frequência especificados em radianos por segundo Quando executado com argumentos no lado esquerdo como reimw nyquistnumden reimw nyquistnumdenw TABELA 71 Im Re Im Re 0 0 0 Im Re Im Re 0 0 Im Re Im Re 0 Im Im Im Im Re Re Re Re 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 j 1 1 1 1 jT jT 1 jT jω jT 1 jT 1 a 0 0 0 0 0 1 j2 1 jT 1 jaT a 1 1 1 jT1 1 jT2 1 jT3 n2 jj2 2ζn j n2 1 jT1 j 1 jT2 1 jT3 1 Diagramas polares de funções de transferência simples 399 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência reimw nyquistABCD reimw nyquistABCDw reimw nyquistABCDiuw reimw nyquistsys o MATLAB retorna a resposta em frequência do sistema nas matrizes re im e w Nenhum diagrama é apresentado na tela As matrizes re e im contêm as partes real e imaginária da resposta em frequência do sistema calculadas em pontos de frequências especificados no vetor w Note que re e im têm tantas colunas quantas forem as respostas e uma linha para cada elemento de w Exemplo 710 Considere a seguinte função de transferência de malha aberta G s s 0 8s 1 1 2 h Desenhe um diagrama de Nyquist com o MATLAB Como o sistema é dado na forma da função de transferência o comando nyquistnumden pode ser utilizado para traçar um diagrama de Nyquist O Programa 75 em MATLAB produz o diagrama de Nyquist indicado na Figura 736 Nesse diagrama os intervalos nos eixos real e imaginário são automaticamente determinados Programa 75 em MATLAB num 1 den 1 08 1 nyquistnumden grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Se desejarmos traçar o diagrama de Nyquist utilizando intervalos de valores determinados manualmente por exemplo 2 a 2 sobre o eixo real e 2 a 2 no eixo imaginário digitamos o seguinte comando no computador v 2 2 2 2 axisv FIGURA 736 Eixo real 05 1 15 05 1 0 Eixo imaginário 15 15 05 1 0 05 1 Diagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Diagrama de Nyquist de G s s 0 8s 1 1 2 h 400 Engenharia de controle moderno ou combinando essas duas linhas em apenas uma axis 2 2 2 2 Veja o Programa 76 em MATLAB e o diagrama de Nyquist resultante indicado na Figura 737 Programa 76 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 1 den 1 08 1 nyquistnumden v 2 2 2 2 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Atenção Na construção do diagrama de Nyquist em que uma operação MATLAB apresenta Divide by zero divisão por zero o diagrama de Nyquist resultante pode estar incorreto Por exemplo se a função de transferência de Gs for dada por G s s s 1 1 h h então o comando MATLAB num 1 den 1 1 0 nyquistnumden produzirá um diagrama de Nyquist incorreto Um exemplo de diagrama de Nyquist com erro é apresentado na Figura 738 Se esse diagrama de Nyquist indesejado aparecer na tela do com putador será possível fazer a correção especificandose axisv Por exemplo se executarmos o comando axis v 2 2 5 5 axisv no computador então será possível obter o diagrama de Nyquist corretoVeja o Exemplo 711 FIGURA 737 Eixo real 2 2 15 15 1 05 0 05 1 Eixo imaginário 1 05 2 2 05 15 0 1 15 Diagrama de Nyquist de Gs 1s2 08s 1 Diagrama de Nyquist de G s s 0 8s 1 1 2 h 401 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 711 Desenhe o diagrama de Nyquist da seguinte Gs G s s s 1 1 h h O Programa 77 em MATLAB produzirá um diagrama correto de Nyquist na tela do monitor mesmo que a mensagem Divide by zero possa aparecer na tela A Figura 739 mostra o diagrama de Nyquist resultante Programa 77 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 1 den 1 1 0 nyquistnumden v 2 2 5 5 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1ss 1 FIGURA 738 Eixo real 12 14 0 04 02 08 1 06 Eixo imaginário 150 150 50 100 0 50 100 Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist incorreto FIGURA 739 Eixo real 15 2 1 2 05 15 05 1 0 Eixo imaginário 2 1 5 5 1 2 3 4 0 3 4 Diagrama de Nyquist de Gs 1ss 1 Diagrama de Nyquist de G s s s 1 1 h h 402 Engenharia de controle moderno Note que o diagrama de Nyquist apresentado na Figura 739 inclui os lugares tanto para 0 como para 0 Se desejarmos traçar o diagrama de Nyquist somente para as regiões em que a frequência é positiva 0 então será necessário utilizar o comando reimwnyquistnumdenw O Programa 78 em MATLAB utiliza esse comando nyquist A Figura 740 apresenta o diagrama de Nyquist resultante Programa 78 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 1 den 1 1 0 w 0101100 reimw nyquistnumdenw plotreim v 2 2 5 5 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 1ss 1 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário Desenho de diagramas de Nyquist de um sistema definido no espaço de estados Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx Du onde x vetor de estado vetor n y vetor de saída vetor m u vetor de controle vetor r A matriz de estado matriz n n B matriz de controle matriz n r C matriz de saída matriz m n D matriz de transmissão direta matriz m r FIGURA 740 Eixo real 15 2 1 2 05 15 05 1 0 Eixo imaginário 2 1 5 5 1 2 3 4 0 3 4 Diagrama de Nyquist de Gs 1ss1 Diagrama de Nyquist de G s s s 1 1 h h para 0 403 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Podese obter o diagrama de Nyquist para esse sistema por meio do comando nyquistABCD Esse comando produz uma série de diagramas de Nyquist um para cada combinação de entrada e de saída do sistema O intervalo de valores de frequência é determinado automaticamente O comando nyquistABCDiu produz diagramas de Nyquist a partir da entrada única iu para todas as saídas do sistema com o intervalo de valores de frequência determinado automaticamente O escalar iu é um índice na entrada do sistema e especifica a entrada a ser utilizada para a resposta em frequência O comando nyquistABCDiuw utiliza o vetor w com valores de frequência especificados pelo usuário O vetor w especifica as frequências em radianos por segundo em que a resposta em frequência deve ser calculada Exemplo 712 Considere o sistema definido por x x x x u y x x u 0 25 1 4 0 25 1 0 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 6 G G G G G Desenhe o diagrama de Nyquist Esse sistema possui uma única entrada u e uma única saída y O diagrama de Nyquist pode ser obtido por meio do comando nyquistABCD ou do comando nyquistABCD1 O Programa 79 em MATLAB fornecerá o diagrama de Nyquist Note que se obtém o mesmo resultado utilizando qualquer um dos dois comandos A Figura 741 apresenta o diagrama de Nyquist fornecido pelo Programa 79 em MATLAB FIGURA 741 Eixo real 04 06 06 1 04 08 0 02 02 12 Eixo imaginário 1 0 15 05 05 15 1 Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist do sistema considerado no Exemplo 712 404 Engenharia de controle moderno Programa 79 em MATLAB A 0 125 4 B 025 C 1 0 D 0 nyquistABCD grid titleDiagrama de Nyquist Exemplo 713 Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 1 6 5 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Esse sistema possui duas entradas e duas saídas Existem quatro relações senoidais de entrada saída Y1 jU1 jY2 jU1 j Y1 jU2 j e Y2 jU2 j Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema Quando se considera a entrada u1 presumimos que a entrada u2 seja zero e viceversa Podese obter os quatro diagramas de Nyquist utilizando o comando nyquistABCD O Programa 710 em MATLAB produz os quatro diagramas de Nyquist que são apresentados na Figura 742 Programa 710 em MATLAB A 1 165 0 B 1 11 0 C 1 00 1 D 0 00 0 nyquistABCD FIGURA 742 4 2 0 2 4 1 05 0 05 1 4 2 0 2 4 4 2 0 2 4 1 2 0 1 Eixo real 3 1 2 0 1 3 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 De U1 De U2 De U1 De U2 Eixo real Eixo real Eixo real Para Y2 Eixo imaginário Para Y1 Para Y2 Para Y1 Diagramas de Nyquist Os diagramas de Nyquist considerados no Exemplo 713 405 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 74 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase Outra maneira de representar graficamente as características da resposta em frequência é com a utilização do diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase que é um diagrama do módulo em decibéis versus o ângulo de fase ou a margem de fase para uma gama de valores de frequência de interesse A margem de fase é a diferença entre o próprio ângulo de fase z e 180 isto é z 180 180 z A curva é graduada em termos da frequência Esses diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase normalmente são chamados carta de Nichols No diagrama de Bode as características de resposta em frequência de G j são representadas em papel semilog por duas curvas separadas a curva de módulo em dB e a curva de ângulo de fase enquanto no diagrama do módulo em dB versus ângulo de fase as duas curvas do diagrama de Bode são combinadas em uma única No método manual o diagrama do módulo em dB ver sus fase pode ser construído facilmente pela leitura dos valores do módulo em dB e do ângulo de fase a partir do diagrama de Bode Note que no diagrama de módulo em dB versus fase uma variação na constante de ganho de G j simplesmente desloca a curva para cima para ganhos crescentes ou para baixo para ganhos decrescentes mas a forma da curva permanece a mesma As vantagens do diagrama de módulo em dB versus fase são que a estabilidade relativa do sistema de malha fechada pode ser determinada rapidamente e que a compensação pode ser reali zada com facilidade O diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase da função de transferência senoidal G j e o de 1G j são antissimétricos em relação à origem pois dB dB G j G j 1 em em h h e G j G j 1 h h FIGURA 743 0 5 5 10 0 90 180 G em dB G Mr Mr 02n 05n n 2n r a 0 0 Im Re r n r n Mr b c 12 15 6 3 0 1 6 3 9 90 180 0 G em dB G Três representações da resposta em frequência de j j 1 2 1 n n 2 g c c m m para z 0 a Diagrama de Bode b diagrama polar c diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase 406 Engenharia de controle moderno A Figura 743 compara as curvas de resposta em frequência de G j j j 1 2 1 n n 2 g c c h m m em três diferentes representações No diagrama de módulo em dB versus fase a distância ver tical entre os pontos 0 e r onde é a frequência de ressonância é o valor de pico de G j em decibéis Como as características do módulo em dB e do ângulo de fase das funções de transferência básicas foram discutidas em detalhes nas seções 72 e 73 aqui será suficiente dar exemplos de alguns diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase A Tabela 72 mostra esses exemplos Entretanto na Seção 76 falaremos mais sobre as cartas de Nichols 75 Critério de estabilidade de Nyquist O critério de estabilidade de Nyquist determina a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequência de malha aberta e nos polos de malha aberta TABELA 72 G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G G em dB 20 10 0 10 20 180 0 180 G 0 1 G 1 j G 1 1 jT 0 G j2 2ζnj n2 n2 G 1 jT G ejL G 1 j1 jT 0 0 0 0 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase de funções de transferência simples 407 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Esta seção apresenta as bases matemáticas para o entendimento do critério de estabilidade de Nyquist Considere o sistema de malha fechada da Figura 744 A função de transferência de malha fechada é R s C s G s H s G s 1 h h h h h Para obter estabilidade todas as raízes da equação característica 1 GsHs 0 devem ficar no semiplano esquerdo do plano s Observe que embora os polos e os zeros da função de transferência de malha aberta GsHs possam estar no semiplano direito do plano s o sistema é estável se todos os polos da função de transferência de malha fechada isto é as raízes da equação característica estiverem no semiplano esquerdo do plano s O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequência de malha aberta G jH j ao número de zeros e polos de 1 GsHs que se situam no semiplano direito do plano s Esse critério deduzido por H Nyquist é útil na engenharia de controle porque a estabilidade absoluta do sistema de malha fechada pode ser determinada graficamente a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta e não há necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de malha fecha da As curvas de resposta em frequência de malha aberta obtidas analítica e experimentalmente podem ser utilizadas na análise de estabilidade Isso é conveniente porque no projeto de um sistema de controle expressões matemáticas de alguns dos componentes frequentemente não são conhecidas apenas os dados da resposta em frequência estão disponíveis O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em um teorema a partir da teoria de variáveis complexas Para entender o critério primeiro discutiremos o mapeamento de contornos no plano complexo Vamos supor que a função de transferência de malha aberta GsHs seja representada pela relação de polinômios em s Para um sistema fisicamente realizável o grau do polinômio do denominador da função de transferência de malha fechada deve ser maior ou igual ao do polinô mio do numerador Isso significa que para qualquer sistema realizável fisicamente o limite de GsHs à medida que s tende ao infinito é nulo ou uma constante Estudo preliminar A equação característica do sistema indicado na Figura 744 é Fs 1 GsHs 0 Mostraremos que a dada trajetória contínua e fechada no plano s que não passe por quaisquer pontos singulares corresponde uma curva fechada no plano Fs O número e o sentido dos envolvimentos da origem do plano Fs pela curva fechada desempenham um papel particular mente importante no que segue Posteriormente o número e o sentido dos envolvimentos serão relacionados à estabilidade do sistema Considere por exemplo a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s 1 2 h h FIGURA 744 Rs Cs Gs Hs Sistema de malha fechada 408 Engenharia de controle moderno A equação característica é F s G s H s s s s 1 1 1 2 1 1 0 h h h 715 A função Fs é analítica1 em todos os pontos do plano s exceto em seus pontos singulares Para cada ponto de analiticidade no plano s corresponde um ponto no plano Fs Por exemplo se s 2 j1 então Fs será 2 1 F j j j j 2 1 2 1 1 2 1 1 h Assim o ponto s 2 j1 no plano s é mapeado no ponto 2 j1 no plano Fs Portanto como foi dito anteriormente a dada trajetória contínua e fechada no plano s que não passe por quaisquer pontos singulares corresponde uma curva fechada no plano Fs Para a equação característica Fs dada pela Equação 715 o mapeamento conforme as linhas 0 1 2 e das linhas v 0 1 2 veja a Figura 745a fornece os círculos no plano Fs como mostra a Figura 745b Suponha que o ponto representativo s trace um contorno no sentido horário no plano s Se o contorno no plano s envolver o polo de Fs o lugar geométrico de Fs envolverá uma vez a origem do plano Fs no sentido antihorário Veja a Figura 746a Se o contorno no plano s envolver um zero de Fs haverá um envolvimento da origem do plano Fs pelo lugar geométrico de Fs no sentido horário Veja a Figura 746b Se o contorno no plano s envolver tanto o zero como o polo ou se o contorno não envolver nem o zero nem o polo então não haverá o envolvimento da origem do plano Fs pelo lugar geométrico de Fs Veja as figuras 746 c e d Pela análise precedente podemos ver que o sentido do envolvimento da origem do plano Fs pelo lugar geométrico de Fs depende do fato de o contorno no plano s envolver um polo ou um zero Note que a localização de um polo ou um zero no plano s seja no semiplano direito ou no semiplano esquerdo não faz nenhuma diferença mas o envolvimento de um polo ou um zero faz Se o contorno no plano s envolver igual número de polos e de zeros então a curva fechada correspondente no plano Fs não envolverá a origem do plano Fs A discussão precedente é uma explicação gráfica do teorema do mapeamento que é a base do critério de estabilidade de Nyquist 1 Uma função complexa Fs é dita analítica em uma região se Fs e todas as suas derivadas existirem nessa região FIGURA 745 Plano s Plano Fs 3 2 0 2 2 3 4 2 3 Re Im j 2 v 1 v 2 v 1 v 0 2 1 1 v 2 v 0 2 1 0 1 2 j2 j1 j1 j2 1 1 3 1 a b Mapeamento conforme da grade do plano s no plano Fs onde Fs s 1s 1 409 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Teorema do mapeamento Seja Fs a relação de dois polinômios em s Seja P o número de polos e Z o número de zeros de Fs que estão no interior de um contorno fechado no plano s considerandose a multiplicidade dos polos e dos zeros Esse contorno não deve passar por nenhum dos polos ou zeros de Fs Esse contorno no plano s é então mapeado no plano Fs como uma curva fechada Quando o ponto representativo descreve todo o contorno do plano s no sentido horário o número total N de envolvimentos da origem no sentido horário no plano Fs é igual a Z P Note que por esse teorema do mapeamento o número de zeros e polos não pode ser determinado apenas sua diferença Não apresentaremos aqui a prova formal desse teorema mas deixamos essa prova para o Problema A76 Note que um número positivo N indica um excesso de zeros em relação aos polos na função Fs e um N negativo indica um excesso de polos em relação aos zeros Nas aplicações que envolvem sistemas de controle o número P pode ser facilmente determinado por Fs 1 GsHs a partir da função GsHs Portanto se N for determinado a partir do diagrama FIGURA 746 j Plano s j2 j1 0 j1 j2 3 1 1 2 2 A B C D v j j2 j1 0 j1 j2 3 1 1 2 A B C D v j j2 0 j2 3 1 1 A B C D v j 0 3 1 1 2 2 G H F E C D B A v Im Plano Fs 2 1 0 1 2 1 2 A A D D A C B B C D E F G B C D C B Re Im 2 1 0 1 2 1 2 Re Im 2 1 0 1 2 1 1 2 Re Im 2 1 0 1 2 3 1 1 2 Re 3 1 3 1 2 2 2 j1 j1 j2 j1 j1 j2 3 H A a b c d Contornos fechados no plano s e suas curvas fechadas correspondentes no plano Fs onde Fs s 1 s 1 410 Engenharia de controle moderno de Fs o número de zeros no interior do contorno fechado do plano s poderá ser determinado facilmente Observe que as formas exatas do contorno no plano s e do lugar geométrico de Fs são irrelevantes no que se refere ao envolvimento da origem uma vez que os envolvimentos dependem apenas da inclusão dos polos eou dos zeros de Fs pelo contorno no plano s Aplicações do teorema do mapeamento à análise de estabilidade dos sistemas de malha fechada Para a análise de estabilidade dos sistemas de controle lineares fazemos o contorno no plano s envolver todo o semiplano direito O contorno é constituído por todo o eixo j de a e de um percurso semicircular de raio infinito no semiplano direito do plano s Esse contorno é denominado percurso de Nyquist Esse percurso é feito no sentido horário O percurso de Nyquist envolve todo o semiplano direito do plano s e todos os zeros e polos de 1 GsHs que têm partes reais positivas Se no semiplano direito do plano s não houver zeros de 1 GsHs então também não haverá polos de malha fechada e o sistema será estável É necessário que o contorno fechado ou o percurso de Nyquist não passe sobre zeros e polos de 1 GsHs Se GsHs tiver um polo ou polos na origem do plano s o mapeamento do plano s 0 fica indeterminado Nesses casos a origem é evitada tomandose um desvio ao seu redor Uma discussão detalhada desse caso especial será feita posteriormente Se o teorema do mapeamento for aplicado ao caso especial em que Fs é igual a 1 GsHs então poderemos fazer a seguinte afirmação se o contorno fechado no plano s envolver todo o semiplano direito do plano s como mostra a Figura 747 então o número de zeros no semiplano direito da função Fs 1 GsHs será igual ao número de polos da função Fs 1 GsHs no semiplano direito do plano s mais o número de envolvimentos no sentido horário da origem do plano 1 GsHs pela curva fechada correspondente nesse último plano Tendo sido admitida a condição de lim s 0 1 GsHs constante a função de 1 GsHs permanece constante à medida que s percorre a semicircunferência de raio infinito Por essa razão podese determinar o envolvimento da origem do plano 1 GsHs pelo lugar geométrico de 1 GsHs considerando apenas uma parte do contorno fechado no plano s a saber o eixo j Os envolvimentos da origem se houver algum ocorrerão somente enquanto um ponto representativo se mover de j para j ao longo do eixo j contanto que não haja nenhum zero ou polo no eixo j Note que a parte do contorno de 1 GsHs de a é simplesmente 1 G jH j Como 1 G jH j é a soma vetorial do vetor unitário e do vetor G jH j 1 G jH j é idêntico ao vetor traçado a partir do ponto 1 j0 ao ponto terminal do vetor G jH j como mostra a Figura 748 O envolvimento da origem pelo diagrama de 1 G jH j é exatamente equivalente ao envolvimento do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j Assim a esta bilidade de um sistema de malha fechada pode ser investigada examinandose os envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH jO número de envolvimentos no sentido horário do ponto 1 j0 pode ser encontrado traçandose um vetor com origem no ponto 1 j0 e extremi FIGURA 747 j v 0 Plano s Contorno fechado no plano s 411 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência dade no lugar geométrico de G jH j com início em passando por 0 e terminando em e contandose o número de rotações do vetor no sentido horário A construção do gráfico de G jH j relativo ao percurso de Nyquist é direta O mapea mento do eixo negativo j é a imagem especular em relação ao eixo real do mapeamento do eixo positivo j isto é o diagrama de G jH j e o diagrama de GjHj são simétricos em relação ao eixo real A semicircunferência de raio infinito é mapeada na origem do plano GH ou em um ponto do eixo real do plano GH Na discussão precedente admitiuse que GsHs fosse uma relação de dois polinômios em s Portanto o retardo de transporte eTs foi excluído da discussão Note entretanto que uma discussão similar é aplicável aos sistemas com retardo de transporte embora aqui não seja apre sentada nenhuma comprovação A estabilidade de um sistema com retardo de transporte pode ser determinada a partir das curvas de resposta em frequência de malha aberta examinandose o número de envolvimentos do ponto 1 j0 como no caso de um sistema cuja função de trans ferência de malha aberta é uma relação de dois polinômios em s Critério de estabilidade de Nyquist A análise anterior utilizando o envolvimento do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j é resumida no seguinte critério de estabilidade de Nyquist Critério de estabilidade de Nyquist para um caso especial em que GsHs não possui nem polos nem zeros sobre o eixo j no sistema indicado na Figura 744 se a função de transferência de malha aberta GsHs tiver k polos no semiplano direito do plano s e lim s 0 GsHs constante então por questão de estabilidade o lugar geométrico de G jH j à medida que varia de a deve envolver o ponto 1 j0 k vezes no sentido antihorário Observações sobre o critério de estabilidade de Nyquist 1 Esse critério pode ser expresso como Z N P onde Z número de zeros de 1 GsHs no semiplano direito do plano s N número de envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido horário P número de polos GsHs no semiplano direito do plano s Se P não for zero para um sistema de controle estável devese ter Z 0 ou N P o que significa que se deve ter P envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido antihorário Se GsHs não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s então Z N Portanto para que haja estabilidade não devem existir envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j Nesse caso não é necessário considerar o lugar geométrico para todo o eixo j apenas para a parte relativa à frequência positiva A FIGURA 748 Im Re 0 1 1 Gj Hj Im Re 0 1 1 Gj Hj Gj Hj Plano GH Plano 1 GH Diagrama de 1 G jH j no plano 1 GH e no plano GH 412 Engenharia de controle moderno estabilidade desse sistema pode ser determinada verificandose se o ponto 1 j0 está envolvido pelo diagrama de Nyquist de G jH j A região envolvida pelo diagrama de Nyquist é apresentada pela Figura 749 Para que haja estabilidade o ponto 1 j0 deve estar fora da região sombreada 2 Devemos ser cuidadosos ao testarmos a estabilidade de sistemas de malhas múltiplas visto que eles podem incluir polos no semiplano direito do plano s Note que embora uma malha interna possa ser instável o sistema de malha fechada como um todo pode se tornar estável por meio de um projeto apropriado A verificação simples dos envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de G jH j não é suficiente para detectar a instabilidade em sistemas de múltiplas malhas Nesses casos entretanto podese determinar facilmente a possível existência de polos de 1 GsHs no semiplano direito do plano s aplicandose o critério de estabilidade de Routh ao denominador de GsHs Se funções transcendentais como o retardo de transporte eTs estiverem incluídas em GsHs estas devem ser aproximadas por uma expansão em série antes que o critério de estabilidade de Routh possa ser aplicado 3 Se o lugar geométrico de G jH j passar pelo ponto 1 j0 então os zeros da equação característica ou polos de malha fechada estão localizados sobre o eixo j Isso não é desejável para os sistemas de controle práticos Para um sistema de malha fechada bem projetado nenhuma das raízes da equação característica deve estar sobre o eixo j Caso especial em que GsHs possui polos eou zeros sobre o eixo j Na discussão anterior assumimos que a função de transferência de malha aberta GsHs não tivesse nem polos nem zeros na origem Agora será considerado o caso em que GsHs contém polos eou zeros sobre o eixo j Como o percurso de Nyquist não deve passar pelos polos ou zeros de GsHs se a função GsHs tiver polos ou zeros na origem ou sobre o eixo j em outros pontos que não a origem o contorno no plano s deve ser modificado O modo usual de modificar o contorno próximo à origem é utilizar uma semicircunferência de raio infinitesimal f como está indicado na Figura 750 Observe que essa semicircunferência pode estar no semiplano direito do plano s ou no semi plano esquerdo do plano s Aqui consideramos a semicircunferência no semiplano direito do plano s Um ponto s representativo movese ao longo do eixo negativo j de j a j0 A partir de s j0 a s j0 o ponto movese ao longo da semicircunferência de raio f onde f 1 e depois prossegue ao longo do eixo positivo j desde j0 até j A partir de s j o contorno segue uma semicircunferência de raio infinito e o ponto representativo movese de volta para o ponto de início s j A área que o contorno fechado modificado evita é muito pequena e tende a zero à medida que o raio f tende a zero Portanto todos os polos e zeros eventualmente existentes no semiplano direito do plano s são envolvidos por esse contorno FIGURA 749 Im Re 0 1 Plano GH Região envolvida por um diagrama de Nyquist 413 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere por exemplo um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta seja dada por G s H s s Ts K 1 h h h Os pontos correspondentes a s j0 e s j0 no lugar geométrico de GsHs no plano GsHs são j e j respectivamente No percurso semicircular com raio f onde f 1 a variável complexa s pode ser escrita como s fejθ onde θ varia de 90 a 90 Então GsHs tornase G e H e e K K e j j j j f f f f i i i i h h O valor Kf tende a infinito à medida que f tende a zero e θ varia de 90 a 90 conforme um ponto representativo s se move ao longo da semicircunferência no plano s Portanto os pontos G j0H j0 j e G j0H j0 j são ligados por uma semicircunferência de raio infinito no semiplano direito do plano GH A semicircunferência infinitesimal em torno da origem no plano s mapeia no plano GH uma semicircunferência de raio infinito A Figura 751 mostra o contorno no plano s e o lugar geométrico de GsHs no plano GH Os pontos A B e C no contorno do plano s mapeiam nos respectivos pontos A B e C no lugar geométrico de Gs Hs Como se vê na Figura 751 os pontos D E e F na semicircunferência de raio infinito no plano s são mapeados na origem do plano GH Como não existem polos no semiplano direito do plano s e o lugar geométrico de GsHs não envolve o ponto 1 j0 não há zeros da função 1 GsHs no semiplano direito do plano s Portanto o sistema é estável Para uma função de transferência de malha aberta GsHs que envolve um fator 1sn onde n 2 3 o diagrama de GsHs descreve no sentido horário n semicircunferências de raio infinito em torno da origem à medida que um ponto representativo s se move ao longo do semicírculo de raio f onde f 1 Por exemplo considere a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s Ts K 1 2 h h h Então lim G s H s e K K e s e j j 2 2 2 2 j f f f i i i h h FIGURA 750 j j v v 0 Plano s Plano s j 0 j 0 s є e jθ є Contorno próximo à origem do plano s e contorno fechado no plano s que evita os polos e os zeros na origem 414 Engenharia de controle moderno Conforme θ varia de 90 a 90 no plano s o ângulo de GsHs varia de 180 a 180 como mostra a Figura 752 Uma vez que não há nenhum polo no semiplano direito do plano s e que o lugar geométrico envolve o ponto 1 j0 duas vezes no sentido horário para qualquer valor positivo de K existem dois zeros de 1 GsHs no semiplano direito do plano s Portanto o sistema é sempre instável Note que uma análise similar pode ser feita se GsHs possuir polos eou zeros sobre o eixo j O critério de estabilidade de Nyquist pode agora ser generalizado como segue Critério de estabilidade de Nyquist para um caso geral em que GsHs tem polos eou zeros no eixo j no sistema apresentado na Figura 744 se a função de trans ferência de malha aberta GsHs possuir k polos no semiplano direito do plano s então para que haja estabilidade o lugar geométrico de GsHs à medida que um ponto representativo s descrever o percurso modificado de Nyquist no sentido horário deverá envolver o ponto 1 j0 k vezes no sentido antihorário FIGURA 751 j v Plano s D C A B E F j 0 j 0 j j є 1 0 1 D E F Plano GH Re A B C Im 0 Contorno no plano s e o lugar geométrico de GsHs no plano GH onde GsHs KsTs 1 FIGURA 752 j Plano s v Plano GH Re j 0 j 0 j j є 1 0 0 1 Im Contorno no plano s e o lugar geométrico de GsHs no plano GH onde Gs Hs Ks2Ts 1 415 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 76 Análise de estabilidade Nesta seção apresentaremos vários exemplos ilustrativos da análise de estabilidade de sis temas de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist Se o percurso de Nyquist no plano s envolver Z zeros e P polos de 1 GsHs e não passar por nenhum polo ou zero de 1 GsHs à medida que um ponto representativo s descrever o percurso de Nyquist no sentido horário então o contorno correspondente no plano GsHs envolverá o ponto 1 j0 N Z P vezes no sentido horário Valores negativos de N impli cam envolvimentos no sentido antihorário Examinando a estabilidade de sistemas lineares de controle utilizando o critério de estabilidade de Nyquist vemos que podem ocorrer três possibilidades 1 Não existe nenhum envolvimento do ponto 1 j0 Isso implica que o sistema será estável se não houver polos de GsHs no semiplano direito do plano s caso contrário o sistema será instável 2 Existe um ou mais envolvimentos do ponto 1 j no sentido antihorário Nesse caso o sistema será estável se o número de envolvimentos no sentido antihorário for o mesmo que o número de polos de GsHs no semiplano direito do plano s caso contrário o sistema será instável 3 Existe um ou mais envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido horário Nesse caso o sistema é instável Nos exemplos a seguir vamos supor que os valores do ganho K e das constantes de tempo como T T1 e T2 sejam todos positivos Exemplo 714 Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é dada por G s H s T s T s K 1 1 1 2 h h h h Examine a estabilidade do sistema Um diagrama de G jH j é apresentado na Figura 753 Dado que GsHs não tem nenhum polo no semiplano direito do plano s e que o ponto 1 j0 não é envolvido pelo lugar geométrico de G jH j esse sistema é estável para quaisquer valores positivos de K T1 e T2 Exemplo 715 Considere o sistema com a seguinte função de transferência G s H s s T s T s K 1 1 1 2 h h h h FIGURA 753 Im Re 1 Plano GH Gj Hj 0 Diagrama polar de G jH j considerado no Exemplo 714 416 Engenharia de controle moderno Determine a estabilidade do sistema para dois casos 1 o ganho K é pequeno e 2 K é grande A Figura 754 mostra os diagramas de Nyquist da função de transferência de malha aberta com um pequeno valor de K e com um valor elevado de K O número de polos de GsHs no semiplano direito do plano s é zero Portanto para que esse sistema seja estável é necessário que N Z 0 ou que o lugar geométrico de GsHs não envolva o ponto 1 j0 Para valores pequenos de K não há nenhum envolvimento do ponto 1 j0 Portanto o sistema é estável para valores pequenos de K Para valores elevados de K o lugar geométrico de GsHs envolve o ponto 1 j0 duas vezes no sentido horário indicando dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e o sistema é instável Para que haja boa precisão do sistema K deve ser grande Do ponto de vista da estabilidade entretanto um valor elevado de K causa estabilidade deficiente ou até mesmo instabilidade Para obter uma conciliação entre precisão e estabilidade é necessário inserir uma rede de compensação no sistema As técnicas de compensação no domínio de frequência são discutidas nas seções 711 a 713 Exemplo 716 A estabilidade de um sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s T s K T s 1 1 2 1 2 h h h h depende dos valores relativos de T1 e T2 Construa os diagramas de Nyquist e determine a esta bilidade do sistema A Figura 755 mostra os diagramas do lugar geométrico de GsHs para três casos T1 T2 T1 T2 e T1 T2 Para T1 T2 o lugar geométrico de GsHs não envolve o ponto 1 j0 e o sis tema de malha fechada é estável Para T1 T2 o lugar geométrico de GsHs passa pelo ponto 1 j0 o que indica que os polos de malha fechada estão localizados no eixo j Para T1 T2 o lugar geométrico de GsHs envolve o ponto 1 j0 duas vezes no sentido horário Portanto o sistema de malha fechada tem dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e é instável FIGURA 754 Im Re Re 1 1 Plano GH 0 0 Im Plano GH 0 0 Pequeno valor de K Grande valor de K Estável Instável P 0 P 0 N 0 Z 0 N 2 Z 2 Diagramas polares do sistema considerado no Exemplo 715 417 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 717 Considere o sistema de malha fechada que tem a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s Ts K 1 h h h Determine a estabilidade do sistema A função GsHs tem um polo s 1T no semiplano direito do plano s Portanto P 1 O diagrama de Nyquist apresentado na Figura 756 indica que o gráfico GsHs envolve o ponto 1 j0 uma vez no sentido horário Portanto N 1 Como Z N P determinamos que Z 2 Isso significa que o sistema de malha fechada tem dois polos de malha fechada no semiplano direito do plano s e é instável Exemplo 718 Investigue a estabilidade de um sistema de malha fechada com a seguinte função de transferên cia de malha aberta G s H s s s K s K 1 3 2 1 h h h h h A função de transferência de malha aberta tem um polo s 1 no semiplano direito do plano s ou P 1 O sistema de malha aberta é instável O diagrama de Nyquist mostrado na Figura 757 FIGURA 755 Im Re Plano GH 0 0 Im Re Plano GH 0 0 Im Re Plano GH 0 0 T1 T2 Estável T1 T2 O lugar geométrico de Gj Hj passa pelo ponto 1 j0 T1 T2 Instável Diagramas polares do sistema considerado no Exemplo 716 FIGURA 756 Im Re Plano GH 0 0 1 Diagrama polar do sistema considerado no Exemplo 717 418 Engenharia de controle moderno indica que o ponto 1 j0 é envolvido pelo lugar geométrico de GsHs uma vez no sentido antihorário Portanto N 1 Então Z é encontrado a partir de Z N P a zero o que indica que não há zeros de 1 GsHs no semiplano direito do plano s e o sistema de malha fechada é estável Este é um dos exemplos em que um sistema de malha aberta instável se torna estável quando em malha fechada Sistemas condicionalmente estáveis A Figura 758 mostra um exemplo de um lugar geomé trico de G jH j em que o sistema de malha fechada pode se tornar instável pela variação do ganho de malha aberta Se o ganho de malha aberta aumentar suficientemente o lugar geo métrico de G jH j envolverá o ponto 1 j0 duas vezes e o sistema se tornará instável Se o ganho de malha aberta diminuir suficientemente o lugar geométrico envolverá de novo o ponto 1 j0 duas vezes Para a operação estável do sistema considerado aqui o ponto 1 j0 não deve estar localizado nas regiões OA e BC indicadas na Figura 758 Sistemas como este que são estáveis apenas para intervalos limitados de valores do ganho de malha aberta em que o ponto 1 j0 fica completamente fora do lugar geométrico de G jH j são sistemas condicionalmente estáveis Um sistema condicionalmente estável é estável para valores de ganho de malha aberta que estejam entre valores críticos mas é instável se o ganho de malha aberta for aumentado ou dimi nuído Um sistema como este tornase instável quando é aplicado um sinal de entrada de grande amplitude dado que um grande sinal de entrada pode causar saturação o que por sua vez reduz o ganho de malha aberta do sistema É recomendável evitar essa situação FIGURA 757 Im Re Plano GH 0 0 1 Diagrama polar do sistema considerado no Exemplo 718 FIGURA 758 Im Re Plano GH 0 0 A B C Diagrama polar de um sistema condicionalmente estável 419 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Sistemas de malhas múltiplas Considere o sistema da Figura 759 Este é um sistema de malhas múltiplas A malha interna possui a função de transferência G s G s H s G s 1 2 2 2 h h h h Se Gs for instável os efeitos da instabilidade serão produzidos por um polo ou polos no semi plano direito do plano s Então a equação característica da malha interna 1 G2sH2s 0 possui um zero ou zeros no semiplano direito do plano s Se G2s e H2s tiverem polos aí então o número Z1 de zeros do semiplano direito do plano s de 1 G2sH2s poderá ser determinado a partir de Z1 N1 P1 onde N1 é o número de envolvimentos do ponto 1 j0 no sentido horário pelo lugar geométrico de G2sH2s Como a função de transferência de malha aberta do sistema inteiro é dada por G1sGsH1s a estabilidade desse sistema de malha fechada pode ser determinada pelo diagrama de Nyquist de G1sGsH1s e pelo conhecimento dos polos de G1sGsH1s do semiplano direito do plano s Note que se uma malha de realimentação for eliminada por meio de reduções do diagrama de blocos existe a possibilidade de serem introduzidos polos instáveis se o ramo direto for eliminado por meio de reduções do diagrama de blocos existe uma possibilidade de serem introduzidos zeros no semiplano direito Portanto devem ser observados todos os polos e os zeros do semi plano direito à medida que estes apareçam a partir de reduções de malhas intermediárias Esse conhecimento é necessário para a determinação da estabilidade de sistemas de malhas múltiplas Exemplo 719 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 760 O sistema contém duas malhas Deter mine o intervalo de valores do ganho K para a estabilidade do sistema por meio do critério de estabilidade de Nyquist O ganho K é positivo Para examinar a estabilidade do sistema de controle é necessário esboçar o lugar geométrico de Nyquist de Gs onde Gs G1sG2s FIGURA 759 Rs Cs Gs G1s G2s H1s H2s Sistema de malhas múltiplas FIGURA 760 Rs Cs Ks 05 G1s G2s 1 s2s 1 Sistema de controle 420 Engenharia de controle moderno Entretanto os polos de Gs não são conhecidos nesse ponto Portanto é necessário examinar a malha interna para saber se há polos no semiplano direito do plano s Isso pode ser feito facilmente pela aplicação do critério de estabilidade de Routh Dado que G s s s 1 1 2 3 2 h a tabela de Routh é a seguinte s3 1 0 s2 1 1 s1 1 0 s0 1 Observe que há duas mudanças de sinal na primeira coluna Então existem dois polos de G2s no semiplano direito do plano s Uma vez determinado o número de polos de G2s no semiplano direito do plano s fazemos o esboço do lugar geométrico do diagrama de Nyquist onde G s G s G s s s K s 1 0 5 1 2 3 2 h h h h Nosso problema é determinar o intervalo de valores do ganho K para que haja estabilidade Por essa razão em vez de construir o diagrama dos lugares geométricos de G j para vários valores de K traçamos o diagrama do lugar geométrico de Nyquist de G jK A Figura 761 mostra o diagrama de Nyquist ou diagrama polar de G jK FIGURA 761 Im 08 07 j15 G K Plano 06 09 j1 Gj K 04 1 j05 15 14 3 0 02 01 1 05 0 05 1 Re 2 j05 j1 j15 Diagrama polar de G jK 421 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Como Gs tem dois polos no semiplano direito do plano s temse P 2 Notando que Z N P para que haja estabilidade a condição é Z 0 ou N 2 Ou seja o lugar geométrico de G j deve envolver o ponto 1 j0 duas vezes no sentido antihorário A partir da Figura 761 vêse que se o ponto crítico estiver entre 0 e 05 então o lugar geométrico de G jK envolverá esse ponto duas vezes no sentido antihorário Portanto devemos ter 05K 1 A faixa de valores do ganho K para se ter estabilidade é 2 K Critério de estabilidade de Nyquist aplicado aos diagramas polares inversos Na análise anterior o critério de estabilidade de Nyquist foi aplicado aos diagramas polares da função de transferência de malha aberta GsHs Algumas vezes na análise de sistemas de malhas múltiplas a função de transferência inversa pode ser utilizada para permitir a análise gráfica isso evita grande parte do cálculo numérico O critério de estabilidade de Nyquist pode ser igualmente aplicado aos gráficos polares inversos A dedução matemática do critério de estabilidade de Nyquist dos diagramas polares inversos é a mesma que a dos diagramas polares diretos O diagrama polar inverso de G jH j é um gráfico de 1G jH j como uma função de Por exemplo se G jH j é G j H j j T j T 1 h h então 1 G j H j j T 1 1 h h O diagrama polar inverso para 0 é a metade inferior da reta vertical que tem início no ponto 1 0 sobre o eixo real O critério de estabilidade de Nyquist aplicado ao diagrama polar inverso pode ser expresso como segue para um sistema de malha fechada ser estável o envolvimento do ponto 1 j0 se houver pelo lugar geométrico de 1GsHs à medida que s percorrer o percurso de Nyquist deverá ser no sentido antihorário e o número desses envolvimentos deverá ser igual ao número de polos de 1GsHs isto é os zeros de GsHs que se situam no semiplano direito do plano s O número de zeros de GsHs no semiplano direito do plano s pode ser determinado pelo critério de estabilidade de Routh Se a função de transferência de malha aberta GsHs não tiver zeros no semiplano direito do plano s então para que o sistema de malha fechada seja estável o número de envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de 1GsHs deverá ser zero Note que embora o critério de estabilidade de Nyquist possa ser aplicado aos gráficos polares inversos se dados experimentais da resposta em frequência forem incorporados a contagem dos envolvimentos do lugar geométrico de 1GsHs pode ser difícil porque a mudança de fase correspondente à trajetória semicircular infinita no plano s é difícil de ser medida Por exemplo se a função de transferência de malha aberta GsHs envolver um retardo de transporte tal que G s H s s Ts Ke 1 j L h h h então o número de envolvimentos do ponto 1 j0 pelo lugar geométrico de 1GsHs se tornará infinito e o critério de estabilidade de Nyquist não poderá ser aplicado ao diagrama polar inverso dessa função de transferência de malha aberta Em geral se os dados experimentais da resposta em frequência não puderem ser colocados de maneira analítica tanto o lugar geométrico de G jH j como o de 1G jH j deverão ser construídos graficamente Além disso o número de zeros de GsHs no semiplano 422 Engenharia de controle moderno direito deve ser determinado Ou seja é mais difícil determinar os zeros de GsHs no semi plano direito em outras palavras determinar se dado componente é ou não de fase mínima do que determinar os polos de GsHs no semiplano direito em outras palavras determinar se o componente é ou não estável Dependendo de serem os dados gráficos ou analíticos e de estarem ou não incluídos compo nentes de fase não mínima deve ser utilizado um teste de estabilidade apropriado para sistemas de malhas múltiplas Se os dados forem fornecidos de maneira analítica ou se as expressões matemáticas para todos os componentes forem conhecidas a aplicação do critério de estabilidade de Nyquist aos diagramas polares inversos não causará dificuldade e os sistemas de múltiplas malhas poderão ser analisados e projetados no plano GH inverso Veja o Problema A715 77 Análise de estabilidade relativa Estabilidade relativa No projeto de um sistema de controle exigese que o sistema seja estável Além disso é necessário que o sistema tenha uma estabilidade relativa adequada Nesta seção mostraremos não apenas quando um sistema é estável mas também qual é o grau de estabilidade de um sistema estável O diagrama de Nyquist também fornece informações de como a estabilidade pode ser melhorada se isso for necessário Na discussão a seguir vamos supor que o sistema considerado tenha realimentação unitária Note que é sempre possível reduzir um sistema com elementos de realimentação a um sistema com realimentação unitária como mostra a Figura 762 Portanto é possível estender a análise de estabilidade relativa do sistema com realimentação unitária a sistemas com realimentação não unitária Vamos supor também que a menos que seja dito o contrário os sistemas sejam de fase míni ma isto é a função de transferência de malha aberta não possui polos nem zeros no semiplano direito do plano s Análise da estabilidade relativa pelo mapeamento conforme Um dos problemas impor tantes na análise de um sistema de controle é determinar todos os polos de malha fechada ou pelo menos aqueles mais próximos do eixo j ou o par dominante de polos de malha fechada Se as características da resposta em frequência de um sistema de malha aberta são conhecidas é possível estimar os polos de malha fechada mais próximos do eixo j Devese observar que não é necessário que o lugar geométrico de Nyquist de G j seja uma função analiticamente conhecida de O lugar geométrico de Nyquist como um todo pode ser obtido experimentalmente A técnica apresentada aqui é essencialmente gráfica e está baseada no mapeamento conforme do plano s no do plano Gs FIGURA 762 Rs Cs G H Rs GH Cs 1 H Modificação de um sistema com elementos na realimentação em um sistema com realimentação unitária 423 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere o mapeamento conforme das retas de v constante retas s v j onde v é constante e é variável e retas de constante retas s v j onde é constante e v é variável no plano s A reta v 0 o eixo j no plano s é mapeada no diagrama de Nyquist no plano Gs As retas de v constante no plano s são mapeadas em curvas similares ao diagrama de Nyquist e são de certo modo paralelas ao diagrama de Nyquist como mostra a Figura 763 As retas de constante no plano s são mapeadas em curvas também mostradas na Figura 763 Embora as formas dos lugares geométricos de v constante e constante no plano Gs e a proximidade do lugar geométrico de G j do ponto 1 j0 dependam de um Gs par ticular a aproximação do lugar geométrico de G j ao ponto 1 j0 é uma indicação da estabilidade relativa de um sistema estável Em geral esperase que quanto mais próximo o lugar geométrico de G j esteja do ponto 1 j0 maior será o máximo sobressinal na resposta transitória ao degrau e maior o tempo de acomodação Considere os dois sistemas mostrados nas figuras 764a e b Na Figura 764 os indi cam os polos de malha fechada O sistema a é obviamente mais estável do que o sistema b porque os polos de malha fechada do sistema a estão localizados mais à esquerda do que os do sistema b As figuras 765a e b mostram o mapeamento adequado das grades do plano s no plano Gs Quanto mais próximos do eixo j estiverem localizados os polos de malha fechada mais próximo estará o lugar geométrico de G j do ponto 1 j0 Margens de fase e de ganho A Figura 766 mostra os diagramas polares de G j para três valores diferentes do ganho K de malha aberta Para um valor elevado do ganho K o sistema é instável À medida que o ganho é reduzido a certo valor o lugar geométrico de G j passa pelo ponto 1 j0 Isso significa que com esse valor de ganho o sistema está no limite da instabilidade e apresentará oscilações sustentadas Para um valor pequeno do ganho K o sistema é estável FIGURA 763 Plano s j Gj v 0 j4 j3 j2 j1 v4 v3 v2 v1 Plano G Im Re 1 0 Curvas constantes v Curvas constantes 4 3 2 1 v4 v3v2 v1 Mapeamento conforme de grades do plano s no plano Gs FIGURA 764 Plano s j v 0 a b Plano s j v 0 Dois sistemas com dois polos de malha fechada cada um 424 Engenharia de controle moderno Em geral quanto mais próximo o lugar geométrico de G j chegar do envolvimento do ponto 1 j0 mais oscilatória será a resposta do sistema A proximidade do lugar geométrico G j do ponto 1 j0 pode ser utilizada como uma medida da margem de estabilidade Isso não se aplica entretanto aos sistemas condicionalmente estáveis É prática comum representar a proximidade em termos de margem de fase e margem de ganho Margem de fase a margem de fase é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferência de malha aberta G j é unitário A margem de fase g é 180 mais o ângulo de fase z da função de transferência na frequência de malha aberta de cruzamento de ganho ou g 180 z As figuras 767a b e c ilustram a margem de fase tanto de um sistema estável como de um sistema instável em diagramas de Bode diagramas polares e diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase No diagrama polar podese traçar uma reta a partir da origem até o ponto em que a circunferência unitária cruza o lugar geométrico de G j Se a reta estiver abaixo acima do eixo real negativo então o ângulo g será positivo negativo O ângulo entre o eixo real negativo e essa reta é a margem de fase A margem de fase é positiva para g 0 e negativa para g 0 Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase deve ser positiva Nos diagramas logarítmicos o ponto crítico no plano complexo corresponde às retas 0 dB e 180 Margem de ganho a margem de ganho é o recíproca do módulo G j na fre quência em que o ângulo é 180 Definir a frequência de cruzamento de fase 1 FIGURA 765 Im Re Plano G 0 1 Gj a b Im Re Plano G 0 1 Gj Mapeamento conforme da grade do plano s dos sistemas mostrados na Figura 764 no plano Gs FIGURA 766 Im Re Plano G 0 1 K Grande K Pequeno K Ganho de malha aberta Diagramas polares de j j T j T K j T j T 1 1 1 1 a b 1 2 g g h h h h h 425 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência como a frequência em que o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta é igual a 180 resulta na margem de ganho Kg K G j 1 g 1 h Em termos de decibéis Kg dB 20 log Kg 20 log G j1 A margem de ganho expressa em decibéis será positiva se Kg for maior que a unidade e será negativa se Kg for menor que a unidade Portanto uma margem de ganho positiva em decibéis FIGURA 767 G em dB G em dB 0 0 G em dB G em dB 90 180 270 90 180 270 G G Log Log Log Log Margem de ganho positiva Margem de fase positiva Margem de ganho negativa Margem de fase negativa Sistema estável Im Im Re Re Sistema instável Sistema estável Sistema instável Sistema estável Sistema instável a b c Margem de fase negativa Margem de fase negativa Margem de ganho positiva Margem de ganho positiva Margem de fase positiva Margem de fase positiva Margem de ganho negativa Margem de ganho negativa 1 Kg ϕ γ Gj Plano G Plano G 1 Kg ϕ γ Gj 1 1 1 1 0 0 270 180 90 270 180 90 G G Margens de ganho e de fase de sistemas estáveis e instáveis a Diagramas de Bode b diagramas polares c diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase 426 Engenharia de controle moderno significa que o sistema é estável e uma margem de ganho negativa em decibéis significa que o sistema é instável As figuras 767 a b e c mostram a margem de ganho Para um sistema de fase mínima estável a margem de ganho indica em quanto o ganho pode ser aumentado antes que o sistema se torne instável Para um sistema instável a margem de ganho é indicativa de quanto o ganho deve decrescer para que o sistema se torne estável A margem de ganho de um sistema de primeira ou de segunda ordens é infinita visto que os diagramas polares para esses sistemas não cruzam o eixo real negativo Portanto teoricamente os sistemas de primeira ou segunda ordens não podem ser instáveis Note entretanto que os sistemas ditos de primeira ou de segunda ordens são apenas aproximações no sentido de que pequenas constantes de tempo são desprezíveis na dedução de equações dos sistemas e portanto não são verdadeiramente sistemas de primeira ou de segunda ordens Se essas pequenas constantes de tempo forem levadas em consideração os sistemas denominados de primeira ou de segunda ordens poderão se tornar instáveis Devese observar que para um sistema de fase não mínima em que a malha aberta é instá vel a condição de estabilidade não será satisfeita a menos que o diagrama de G j envolva o ponto 1 j0 Portanto um sistema estável de fase não mínima terá margens de fase e de ganho negativas Também é importante destacar que os sistemas condicionalmente estáveis terão duas ou mais frequências de cruzamento de fase e alguns sistemas de ordem superior com dinâmicas complica das no numerador poderão ter também duas ou mais frequências de cruzamento de ganho como mostra a Figura 768 Para sistemas estáveis que tenham duas ou mais frequências de cruzamento de ganho a margem de fase é medida pela frequência de cruzamento de ganho mais alta Alguns comentários sobre margens de fase e de ganho As margens de fase e de ganho de um sistema de controle são uma medida da proximidade do diagrama polar em relação ao ponto 1 j0 Portanto essas margens podem ser utilizadas como critérios de projeto É importante notar que apenas a margem de ganho ou apenas a margem de fase não fornece indicação suficiente sobre a estabilidade relativa Ambas devem ser fornecidas para determinação da estabilidade relativa Para um sistema de fase mínima as margens de fase e de ganho devem ser positivas para que o sistema seja estável Margens negativas indicam instabilidade Margens de fase e de ganho apropriadas protegem contra variações nos componentes do sistema e são especificadas por valores positivos definidos Os dois valores limitam o FIGURA 768 Im Im Re Re 0 0 ω1 1 2 2 3 3 Frequências de cruzamento de fase 1 2 3 Frequências de cruzamento de ganho 1 2 3 Diagramas polares que indicam mais de duas fases ou frequências de cruzamento de ganho 427 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência comportamento do sistema de malha fechada nas proximidades da frequência de ressonân cia Para obter um desempenho satisfatório a margem de fase deve estar entre 30 e 60 e a margem de ganho deve ser maior que 6 dB Com esses valores um sistema de fase mínima tem estabilidade garantida mesmo que o ganho de malha aberta e as constantes de tempo dos componentes variem dentro de certos limites Embora as margens de fase e de ganho forneçam apenas estimativas aproximadas do coeficiente de amortecimento efetivo do sistema de malha fechada elas oferecem meios convenientes para o projeto de sistemas de controle ou do ajuste de constantes de ganho de sistemas Nos sistemas de fase mínima as características de módulo e de fase da função de transferência de malha aberta estão definitivamente relacionadas O requisito que a margem de fase esteja entre 30 e 60 significa que em um diagrama de Bode a inclinação da curva de módulo em dB na frequência de cruzamento de ganho deve ser menor que 40 dBdécada Na maioria dos casos práticos é desejável uma inclinação de 20 dBdécada na frequência de cruzamento de ganho para ter estabilidade Se a inclinação for de 40 dBdécada o sistema tanto poderá ser estável como instável Mesmo que o sistema seja estável entretanto a margem de fase será pequena Se a inclinação na frequência de cruzamento de ganho for 60 dBdécada ou maior o sistema será provavelmente instável Para sistemas de fase não mínima a interpretação correta da margem de estabilidade requer um estudo cuidadoso A melhor maneira de determinar a estabilidade de sistemas de fase não mínima é utilizar a técnica do diagrama de Nyquist em vez da técnica do diagrama de Bode Exemplo 720 Obtenha as margens de fase e de ganho do sistema da Figura 769 para os dois casos em que K 10 e K 100 As margens de fase e de ganho podem ser obtidas facilmente a partir do diagrama de Bode A Figura 770a mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta dada com K 10 As margens de fase e de ganho para K 10 são Margem de fase 21 Margem de ganho 8 dB Portanto o ganho do sistema pode ser aumentado em 8 dB antes de ocorrer a instabilidade O aumento do ganho de K 10 para K 100 desloca o eixo 0 dB para baixo em 20 dB como mostra a Figura 770b As margens de ganho e de fase são Margem de fase 30 Margem de ganho 12 dB Portanto o sistema é estável para K 10 mas instável para K 100 Observe que um dos aspectos mais convenientes da técnica do diagrama de Bode é a facili dade com que as variações de ganho podem ser avaliadas Note que para obter um desempenho satisfatório a margem de fase deve aumentar para 30 60 Isso pode ser feito pela redução do ganho K Entretanto a diminuição de K não é desejável uma vez que um valor pequeno de K resulta em um grande erro na entrada em rampa Isso sugere que pode ser necessária uma modi ficação na curva de resposta em frequência de malha aberta pela adição de um compensador As técnicas de compensação serão discutidas detalhadamente nas seções 711 a 713 FIGURA 769 Rs Cs K ss 1 s 5 Sistema de controle 428 Engenharia de controle moderno Obtenção da margem de ganho margem de fase frequência de cruzamento de fase e frequência de cruzamento de ganho com o MATLAB A margem de ganho margem de fase frequência de cruzamento de fase e frequência de cruzamento de ganho podem ser obtidas facilmente com o MATLAB O comando a ser utilizado é Gmpmwcpwcg marginsys onde Gm é a margem de ganho pm é a margem de fase wcp é a frequência de cruzamento de fase e wcg é a frequência de cruzamento de ganho Para obter detalhes de como utilizar esse comando veja o Exemplo 721 Exemplo 721 Construa o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs do sistema de malha fechada da Figura 771 Determine a margem de ganho a margem de fase a frequência de cruzamento de fase e a frequência de cruzamento de ganho utilizando o MATLAB O Programa 711 em MATLAB gera o diagrama de Bode e fornece a margem de ganho margem de fase frequência de cruzamento de fase e frequência de cruzamento de ganho O diagrama de Bode de Gs é mostrado na Figura 772 FIGURA 770 30 20 10 0 30 20 10 0 90 180 270 G em dB G em dB G 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 0 90 30 180 270 G 02 04 06 08 1 2 4 6 8 10 a b K 10 K 100 8 dB Margem de fase 21 30 20 10 0 10 50 40 Margem de ganho 12 dB Margem de fase Margem de ganho Diagramas de Bode do sistema mostrado na Figura 769 a com K 10 e b com K 100 FIGURA 771 Gs 20s 1 ss 5s2 2s 10 Sistema de malha fechada 429 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 711 em MATLAB num 20 20 den conv1 5 01 2 10 sys tfnumden w logspace12100 bodesysw Gmpmwcpwcg marginsys GmdB 20log10Gm GmdB pm wcp wcg ans 99293 1036573 40131 04426 Amplitude do pico de ressonância Mr e da frequência de ressonância r Considere o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 A função de transferência de malha fechada é R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h 716 onde z e n são o coeficiente de amortecimento e a frequência natural não amortecida respecti vamente A resposta em frequência de malha fechada é R j C j j Me 1 2 1 n n j 2 2 g a c h h m onde tg M 1 2 1 1 2 n n n n 2 2 2 2 1 2 2 g a g c c m m Como foi visto na Equação 712 para 0 z 0707 o valor máximo de M ocorre na frequência r onde FIGURA 772 Frequência rads Diagrama de Bode 300 100 150 200 250 0 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 40131 04426 102 99293 dB 1036573 Diagrama de Bode de Gs apresentado na Figura 771 430 Engenharia de controle moderno r n 1 2 g2 717 A frequência r é a frequência de ressonância Nessa frequência o valor de M é máximo e é dado pela Equação 713 reescrita como M 2 1 1 r 2 g g 718 onde Mr é definido como a amplitude do pico de ressonância A amplitude do pico de ressonância está relacionada ao amortecimento do sistema A amplitude do pico de ressonância fornece uma indicação da estabilidade relativa do sistema Uma grande amplitude do pico de ressonância indica a presença de um par de polos dominantes de malha fechada com um coeficiente de amortecimento pequeno o que produz uma resposta transitória indesejada Por outro lado uma amplitude do pico de ressonância menor indica a ausência de um par de polos de malha fechada com um pequeno coeficiente de amortecimento significando que o sistema é bem amortecido É necessário lembrar que r é real apenas se z 0707 Portanto não há ressonância de malha fechada se z 0707 O valor de Mr é unitário somente se z 0707 Veja a Equação 714 Como os valores de Mr e r podem ser medidos facilmente em um sistema físico eles são muito úteis para a verificação da concordância entre a análise teórica e a experimental Entretanto devese observar que nos problemas práticos de projeto a margem de fase e a margem de ganho são mais frequentemente especificadas do que a amplitude do pico de resso nância para indicar o coeficiente de amortecimento de um sistema Correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência no sistemapadrão de segunda ordem O máximo sobressinal na resposta ao degrau unitário do sistemapadrão de segunda ordem indicado na Figura 773 pode ser correlacionado de maneira precisa com a amplitude do pico de ressonância da resposta em frequência Assim essencialmente as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema estão tanto na resposta em frequência como na resposta transitória A resposta do sistema indicado na Figura 773 a uma entrada em degrau unitário é dada pela Equação 512 ou 1 0 cos sen c t e t t t 1 para t d d 2 n g g g c h m onde d n 1 g2 719 Por outro lado o máximo sobressinal Mp da resposta ao degrau unitário é dado pela Equação 521 ou M e p 1 2 g g r h 720 Esse máximo sobressinal ocorre na resposta transitória que tem a frequência natural amortecida d n 1 g2 O máximo sobressinal tornase excessivo para valores de z 04 Como o sistema de segunda ordem indicado na Figura 773 tem a função de transferência de malha aberta G s s s 2 n n 2 g h h FIGURA 773 Rs Cs n ss 2ζ n 2 Sistemapadrão de segunda ordem 431 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência para operação senoidal o módulo de G j tornase unitário quando 1 4 2 n 4 2 g g que pode ser obtida igualandose G j à unidade e resolvendose para Nessa frequência o ângulo de fase de G j é 90 tg G j j j 2 2 1 4 2 n 1 4 2 c g g g g h Portanto essa margem de fase g é 90 tg tg G j 180 2 1 4 2 1 4 2 2 1 4 2 1 4 2 c c c g g g g g g h 721 A Equação 721 fornece a relação entre o coeficiente de amortecimento z e a margem de fase g Note que a margem de fase γ é uma função apenas do coeficiente de amortecimento z A seguir vamos resumir a correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência do sistemapadrão de segunda ordem dado pela Equação 716 1 A margem de fase e o coeficiente de amortecimento estão diretamente relacionados A Figura 774 mostra um gráfico da margem de fase g em função do coeficiente de amorte cimento z Note que para o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 a margem de fase g e o coeficiente de amortecimento z estão aproximadamente relacionados por uma reta para 0 z 06 como segue 100c g c Assim a margem de fase de 60 corresponde a um coeficiente de amortecimento de 06 Para os sistemas de ordem superior que tenham um par de polos dominantes de malha fechada esse relacionamento pode ser utilizado como regra prática de proceder na avalia ção da estabilidade relativa da resposta transitória isto é o coeficiente de amortecimento a partir da resposta em frequência FIGURA 774 90 60 30 00 04 08 12 16 20 ζ γ Aproximação em linha reta Curva γ margem de fase versus ζ do sistema da Figura 773 432 Engenharia de controle moderno 2 Considerando as equações 717 e 719 vemos que os valores de r e d são quase iguais para valores pequenos de z Assim para pequenos valores de z o valor de r é indicativo da velocidade da resposta transitória do sistema 3 A partir das equações 718 e 720 notamos que quanto menor é o valor de z maiores são os valores de Mr e Mp A Figura 775 mostra a correlação entre Mr e Mp como função de z Podese ver uma estreita relação entre Mr e Mp para z 04 Para valores muito pequenos de z Mr tornase muito elevado Mr 1 enquanto o valor de Mp não excede 1 Correlação entre a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência nos sistemas genéricos O projeto de sistemas de controle é frequentemente executado com base na resposta em frequência A principal razão para isso é a relativa simplicidade desse método em comparação aos demais Como em muitas aplicações a resposta transitória do sistema a entradas aperiódicas é mais importante do que a resposta em regime permanente a entradas senoidais surge a questão da correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência Para o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 as relações matemáticas que correlacionam a resposta transitória ao degrau e a resposta em frequência podem ser facil mente obtidas A resposta temporal do sistemapadrão de segunda ordem pode ser prevista de modo exato a partir do conhecimento de Mr e r de sua resposta em frequência de malha fechada Para sistemas de segunda ordem não redutíveis à formapadrão e para sistemas de maior ordem a correlação é mais complexa e a resposta transitória não pode ser prevista com facilidade a partir da resposta em frequência Isso acontece porque os zeros eou polos adicionais podem mudar a correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência existente no sistema de segunda ordem Existem técnicas matemáticas disponíveis para a obtenção da correlação exata mas são muito trabalhosas e de pouco valor prático A aplicabilidade da correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência existente para o sistemapadrão de segunda ordem mostrado na Figura 773 aos sistemas de maior ordem depende da presença de um par dominante de polos complexos conjugados na malha fechada desses últimos sistemas Evidentemente se a resposta em frequência de um sistema de maior ordem for dominada por um par de polos complexos conjugados de malha fechada a correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência existente no sistema de segunda ordem poderá ser estendida ao sistema de maior ordem Para sistemas lineares invariantes no tempo e de maior ordem que tenham um par dominante de polos complexos conjugados de malha fechada geralmente existem as seguintes relações entre a resposta transitória ao degrau e à resposta em frequência FIGURA 775 3 Mr 2 1 Mp 0 02 04 06 08 10 ζ Mr 1 2ζ 1 ζ 2 Mp ctp 1 Equação 521 Curvas Mr versus ζ e Mp versus ζ para o sistema apresentado na Figura 773 433 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 1 O valor de Mr é indicativo da estabilidade relativa Normalmente o desempenho transitório satisfatório é obtido se o valor de Mr está dentro do intervalo 10 Mr 14 0 dB Mr 3 dB que corresponde a um coeficiente de amortecimento efetivo de 04 z 07 Para valores de Mr maiores que 15 a resposta transitória ao degrau pode apresentar diversos sobressinais Note que em geral um valor elevado de Mr corresponde a um sobressinal alto na resposta transitória ao degrau Se o sistema for submetido a sinais com ruído cujas frequências estejam próximas da frequência de ressonância r o ruído será ampliado na saída e apresentará sérios problemas 2 A amplitude da frequência de ressonância r é indicativo da velocidade da resposta tran sitória Quanto maior o valor de r mais rápida a resposta temporal Em outras palavras o tempo de subida varia inversamente a r Em termos da resposta em frequência de malha aberta a frequência natural amortecida da resposta transitória está situada entre a frequência de cruzamento de ganho e a frequência de cruzamento de fase 3 A frequência do pico de ressonância r e a frequência natural amortecida d da resposta transitória ao degrau são muito próximas uma da outra nos sistemas pouco amortecidos As três relações mostradas anteriormente são úteis para correlacionar a resposta transitória ao degrau com a resposta em frequência de sistemas de maior ordem desde que estes possam ser aproximados a um sistemapadrão de segunda ordem ou a um par de polos complexos con jugados de malha fechada Se um sistema de maior ordem satisfizer essa condição um conjunto de especificações no domínio do tempo poderá ser traduzido para especificações no domínio de frequência Isso simplifica grandemente o trabalho de projeto ou de compensação de sistemas de maior ordem Além disso para a margem de fase a margem de ganho o pico de ressonância Mr e a frequên cia de ressonância r existem outras grandezas no domínio de frequência comumente utilizadas nas especificações de desempenho São a frequência de corte a banda passante e a taxa de corte Elas serão definidas a seguir Frequência de corte e banda passante Com base na Figura 776 a frequência b na qual a amplitude da resposta em frequência de malha fechada é 3 dB abaixo de seu valor na frequência zero é denominada frequência de corte Assim 3 dB R j C j R j C j 0 0 para b 1 2 h h h h Para os sistemas em que C j0Rj0 0 dB 3 dB R j C j para b 1 2 h h FIGURA 776 dB 0 3 Banda passante b em escala logarítmica Diagrama de uma curva de resposta em frequência de malha fechada que indica a frequência de corte b e a banda passante 434 Engenharia de controle moderno O sistema de malha fechada filtra o sinal dos componentes cujas frequências são maiores que a frequência de corte e transmite o sinal daqueles componentes com frequências menores que a fre quência de corte O intervalo de frequências 0 b no qual a amplitude de C jR j não cai abaixo de 3 dB é chamado banda passante do sistema A banda passante indica a frequência em que o ganho começa a cair a partir de seu valor de baixa frequência Portanto a banda passante mostra até que ponto o sistema seguirá bem uma entrada senoidal Note que para dado n o tempo de subida aumenta com o crescimento do coeficiente de amortecimento z Por outro lado a banda passante decresce com o aumento de z Portanto o tempo de subida e a banda passante são inversamente proporcionais entre si A especificação da banda passante pode ser determinada pelos seguintes fatores 1 A capacidade de reproduzir o sinal de entrada Uma banda passante grande corresponde a um tempo de subida pequeno ou resposta rápida De modo genérico podese dizer que a banda passante é proporcional à velocidade de resposta Por exemplo para reduzir o tempo de subida na resposta ao degrau de um fator 2 a banda passante deve ser aumentada aproximadamente de um fator 2 2 As características de filtragem necessárias de ruídos de alta frequência Para o sistema seguir entradas arbitrárias com precisão deve haver uma grande banda passante Do ponto de vista do ruído entretanto a banda passante não deve ser muito grande Assim existem requisitos conflitantes com relação à banda passante e geralmente é necessário que haja uma conciliação para a realização de um bom projeto Note que um sistema com uma grande banda passante requer componentes de alto desempenho Assim o custo dos componentes geralmente aumenta de acordo com a banda passante Taxa de corte A taxa de corte é a inclinação da curva de módulo em dB próxima à frequência de corte A taxa de corte indica a capacidade de um sistema distinguir o sinal de ruído Podese notar que uma curva de resposta em frequência de malha fechada com característica de corte acentuada pode ter uma amplitude do pico de ressonância muito grande o que implica o sistema ter uma margem de estabilidade pequena Exemplo 722 Considere os dois seguintes sistemas R s C s s R s C s s 1 1 3 1 1 Sistema I Sistema II h h h h Compare as bandas passantes desses dois sistemas Mostre que o sistema com a banda passante maior possui uma velocidade de resposta mais rápida e pode seguir melhor a entrada do que o sistema com a banda passante menor A Figura 777a mostra as curvas de resposta em frequência de malha fechada dos dois sistemas As curvas assintóticas são indicadas pelas linhas tracejadas Verificase que a banda passante do sistema I é 0 1 rads e que a do sistema II é 0 033 rads As figuras 777 b e c mostram respectivamente as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária dos dois sistemas Evidentemente o sistema I cuja banda passante é três vezes mais larga que a do sistema II tem uma velocidade de resposta mais rápida e pode seguir melhor o sinal de entrada 435 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Utilização do MATLAB na obtenção do pico de ressonância frequência de ressonân cia e banda passante O pico de ressonância é o valor da máxima amplitude em decibéis da resposta em frequência de malha fechada A frequência de ressonância é a frequência correspon dente a esse valor de máxima amplitude Os comandos em MATLAB a serem utilizados para a obtenção do pico de ressonância e frequência de ressonância são os seguintes magphasew bodenumdenw ou magphasew bodesysw Mpk maxmag resonantpeak 20log10Mp resonantfrequency wk Podese obter a banda passante inserindo as seguintes linhas no programa n 1 while 20log10magn 3 n n 1 end bandwidth wn Veja no Exemplo 723 um programa em MATLAB detalhado Exemplo 723 Considere o sistema apresentado na Figura 778 Utilizando o MATLAB obtenha o diagrama de Bode para a função de transferência de malha fechada Obtenha também o pico de ressonância a frequência de ressonância e a banda passante O Programa 712 em MATLAB produz um diagrama de Bode do sistema de malha fechada bem como o pico de ressonância a frequência de ressonância e a banda passante A Figura 779 mostra o diagrama de Bode resultante FIGURA 777 dB 0 20 033 I I I II II II 1 1 1 1 em escala logarítmica a b c 0 0 ct rt ct rt rt t t Comparação das características dinâmicas dos dois sistemas considerados no Exemplo 722 a Curvas de resposta em frequência de malha fechada b curvas de resposta ao degrau unitário c curvas de resposta à rampa unitária FIGURA 778 1 s05s 1 s 1 Rs Cs Sistema de malha fechada 436 Engenharia de controle moderno Programa 712 em MATLAB nump 1 denp 05 15 1 0 sysp tfnumpdenp sys feedbacksysp1 w logspace11 bodesysw magphasew bodesysw Mpk maxmag resonantpeak 20log10Mp resonantpeak 52388 resonantfrequency wk resonantfrequency 07906 n 1 while 20logmagn 3 n n 1 end bandwidth wn bandwidth 12649 O pico de ressonância é obtido de 52388 dB A frequência de ressonância é 07906 rads A banda passante é 12649 rads Esses valores podem ser verificados a partir da Figura 778 78 Resposta em frequência de malha fechada de sistemas com realimentação Resposta em frequência de malha fechada Para um sistema estável de malha fechada com realimentação unitária a resposta em frequência de malha fechada pode ser obtida facilmente a FIGURA 779 Frequência rads Diagrama de Bode 300 50 100 150 200 250 0 60 40 20 Fase graus Magnitude dB 20 0 101 100 101 Diagrama de Bode da função de transferência do sistema de malha fechada indicado na Figura 778 437 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência partir da resposta em frequência de malha aberta Considere o sistema com realimentação unitária indicado na Figura 780a A função de transferência de malha fechada é R s C s G s G s 1 h h h h No diagrama de Nyquist ou diagrama polar da Figura 780b o vetor OA representa G j1 onde 1 é a frequência no ponto A O comprimento do vetor OA é G j1 e o ângulo do vetor OA é G j 1 h O vetor PA com início no ponto 1 j0 e extremidade no lugar geométrico de Nyquist representa 1 G j1 Portanto a relação de OA e PA representa a resposta em frequência de malha fechada ou G j G j R j C j 1 PA OA 1 1 1 1 h h h h O módulo da função de transferência de malha fechada em 1 é a relação entre os módulos OA e PA O ângulo de fase da função de transferência em 1 é o ângulo formado pelos vetores OA e PA ou seja z θ mostrado na Figura 780b A curva de resposta em frequência de malha fechada pode ser obtida medindose o módulo e o ângulo de fase em diferentes pontos de frequências Vamos definir o módulo da resposta em frequência de malha fechada como M e o ângulo de fase como a ou R j C j Me j a h h A seguir determinaremos os lugares geométricos de módulo constante e os lugares geométricos de ângulo de fase constante Esses lugares geométricos são convenientes na determinação da resposta em frequência de malha fechada a partir do diagrama polar ou do diagrama de Nyquist Lugares geométricos de módulo constante circunferências M Para obter os lugares geométricos de módulo constante devese observar primeiro que G j é uma grandeza com plexa e pode ser escrita como segue G j X jY onde X e Y são grandezas reais Então M é dado por M X jY X jY 1 FIGURA 780 a b Gs Im Re O P 1 jθ A G jω θ z 1 z θ a Sistema com realimentação unitária b determinação da resposta em frequência de malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta 438 Engenharia de controle moderno e M 2 é M X Y X Y 1 2 2 2 2 2 h Portanto X 21 M 2 2M 2X M 2 1 M 2Y 2 0 722 Se M 1 então a partir da Equação 722 obtémse X 2 1 Esta é a equação de uma reta paralela ao eixo Y e que passa pelo ponto 2 1 0 c m Se M 1 a Equação 722 pode ser escrita como 0 X M M X M M Y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Se o termo M 2M 2 12 for adicionado a ambos os lados dessa equação obteremos X M M Y M M 1 1 2 2 2 2 2 2 2 e o h 723 A Equação 723 é a equação de uma circunferência com centro X M 2M 2 1 Y 0 e raio MM 2 1 Os lugares geométricos de M constante no plano Gs constituem pois uma família de cir cunferências Para dado valor de M o centro e o raio da circunferência correspondente podem ser facilmente calculados Por exemplo para M 13 o centro é em 245 0 e o raio é 188 A Figura 781 mostra a família de circunferências de M constante Podese ver que à medida que M se torna cada vez maior comparado à unidade as circunferências M tornamse cada vez menores e convergem para o ponto 1 j0 Para M 1 o centro das circunferências M fica à esquerda do ponto 1 j0 De maneira semelhante à medida que M se torna cada vez menor em relação à unidade as circunferências M tendem a diminuir e convergem para a origem Para 0 M 1 os centros das circunferências M ficam à direita da origem A condição M 1 cor responde ao lugar geométrico dos pontos equidistantes da origem e do ponto 1 j0 Como foi dito anteriormente esta é uma reta que passa pelo ponto 2 1 0 c m e é paralela ao eixo imaginário FIGURA 781 4 3 2 1 0 1 2 X Y M 12 M 13 M 1 M 14 M 16 M 20 M 30 M 50 1 2 1 2 M 08 M 04 M 06 Uma família de circunferências com M constante 439 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência As circunferências com M constante correspondentes a M 1 ficam à esquerda da reta M 1 e aquelas correspondentes a 0 M 1 ficam à direita da reta M 1 As circunferências M são simétricas em relação à reta correspondente a M 1 e em relação ao eixo real Lugares geométricos de ângulo de fase constante circunferências N Vamos obter o ângulo de fase α em termos de X e Y Como e X jY X jY 1 j a o ângulo de fase α é tg tg X Y X Y 1 1 1 a c c m m Se definirmos tg α N então tg tg tg N X Y X Y 1 1 1 c c m m G Como 1 tg tg tg tg tg A B A B A B h obtemos N X Y X Y X Y X Y X X Y Y 1 1 1 2 2 c m ou 0 X X Y N Y 1 2 2 A adição de 4 1 12N2 a ambos os lados dessa última equação resulta em X Y N N 2 1 2 1 4 1 2 1 2 2 2 c c c m m m 724 Esta é a equação de uma circunferência de centro X 2 1 Y 12N e de raio N 4 1 1 2 2 h Por exemplo se a 30 então N tg a 0577 e o centro e o raio da circunferência corres pondente a a 30 são encontrados em 05 0866 e na unidade respectivamente Como a Equação 724 é satisfeita quando X Y 0 e X 1 Y 0 independentemente do valor de N cada circunferência passa pela origem e pelo ponto 1 j0 Os lugares geométricos de a constante podem ser facilmente construídos desde que o valor de N seja dado Uma família de circunferências N constante é mostrada na Figura 782 tendo a como parâmetro Podese notar que o lugar geométrico de N constante para dado valor de α não é realmente toda a circunferência mas apenas um arco Em outras palavras os arcos relativos a α 30 e α 150 são partes da mesma circunferência Isso acontece porque se o ângulo for acrescido de 180 ou múltiplos destes a tangente do ângulo permanecerá a mesma O uso das circunferências M e N nos possibilita determinar toda a resposta em frequência de malha fechada a partir da resposta em frequência de malha aberta G j sem calcular o módulo e a fase da função de transferência de malha fechada para cada frequência As intersecções do lugar geométrico de G j com as circunferências M e N fornecem os valores de M e N nos pontos do lugar geométrico de G j 440 Engenharia de controle moderno As circunferências N são de valores múltiplos no sentido de que as circunferências relativas a a a1 e a a a1 180n n 1 2 são as mesmas Na utilização das circunferências N para a determinação dos ângulos de sistemas de malha fechada devese interpretar o valor apropriado de a Para evitar qualquer erro devemos iniciar na frequência zero que corresponde a a 0 e continuar nas frequências mais altas A curva de ângulo de fase deve ser contínua Graficamente as intersecções do lugar geométrico de G j com as circunferências M fornecem os valores de M nas frequências indicadas no lugar geométrico de G j Portanto a circunferência com M constante de menor raio que é tangente ao lugar geométrico de G j fornece o valor da amplitude do pico de ressonância Mr Se desejarmos que o pico de ressonância seja inferior a determinado valor então o sistema não deverá envolver o ponto crítico ponto 1 j0 e ao mesmo tempo não deverá haver intersecções da circunferência M específica e do lugar geométrico de G j A Figura 783a mostra o lugar geométrico de G j superposto à família das circunfe rências M A Figura 783b apresenta a curva G j superposta à família de circunferências N A partir desses diagramas é possível obter a resposta em frequência por inspeção Vêse que a circunferência M 11 cruza o lugar geométrico de G j no ponto de frequências 1 Isso significa que nessa frequência o módulo em dB da função de transferência de malha aberta é 11 Na Figura 783a a circunferência M 2 é exatamente tangente ao lugar geométrico de G j Portanto existe apenas um ponto no lugar geométrico de G j para o qual C jR j é igual a 2 A Figura 783c mostra a curva de resposta em frequência de malha fechada do sistema A curva superior é a curva M versus a frequência e a curva inferior é a curva de ângulo de fase α versus a frequência O valor do pico de ressonância é o valor de M correspondente à circunferência M de menor raio que é tangente ao lugar geométrico de G j Portanto no diagrama de Nyquist o valor do pico de ressonância Mr e a frequência de ressonância r podem ser determinados a partir do ponto de tangência da circunferência M com a curva G j No presente exemplo Mr 2 e r 4 FIGURA 782 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 X Y α 20 α 30 α 40 α 100 60 120 80 60 120 80 α 100 α 40 α 30 α 20 Uma família de circunferências de N constante 441 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Carta de Nichols Ao considerar os problemas de projeto achamos conveniente construir os lugares geométricos M e N no plano de módulo em dB versus fase O gráfico que representa os lugares geométricos de M e N no diagrama de módulo em dB versus fase é denominado carta de Nichols O lugar geométrico de G j traçado na carta de Nichols fornece ao mesmo tempo tanto as características de ganho como as características de fase da função de transferência de malha fechada A carta de Nichols é mostrada na Figura 784 para ângulos de fase entre 0 e 240 Note que o ponto crítico ponto 1 j0 é mapeado na carta de Nichols como o ponto 0 dB 180 A carta de Nichols contém curvas de módulo constante e ângulo de fase constante de malha fechada O projetista pode determinar graficamente a margem de fase a margem de ganho a amplitude do pico de ressonância a frequência de ressonância e a banda passante do sistema de malha fechada a partir do lugar geométrico de malha aberta G j A carta de Nichols é simétrica em relação ao eixo de 180 Os lugares geométricos de M e N são repetidos a cada 360 e há simetria para cada intervalo de 180 Os lugares geométricos FIGURA 783 α G 1 G M G 1 G Im Re Im Re 2 0 0 2 2 4 4 2 4 2 2 4 M 12 M 14 M 11 M 11 M 2 M 06 M 12 G j G j 1 a b c 20 60 20 40 10 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 15 1 05 0 0 90 180 270 1 2 3 4 5 a Lugar geométrico de G j superposto à família de circunferências M b lugar geométrico de G j superposto à família de circunferências N c curva de resposta em frequência de malha fechada 442 Engenharia de controle moderno de M estão centrados em torno do ponto crítico 0 dB 180 A carta de Nichols é útil para a determinação da resposta em frequência de malha fechada a partir da malha aberta Se a curva de resposta em frequência de malha aberta for superposta à carta de Nichols as intersecções dessa curva de resposta em frequência de malha aberta G j com os lugares geométricos de M e N fornecerão os valores do módulo M e do ângulo de fase a da resposta em frequência de malha fechada para a frequência correspondente a cada ponto de intersecção Se o lugar geométrico de G j não cruzar o lugar geométrico de M Mr mas for tangente a ele então o valor do pico de ressonância de M da resposta em frequência de malha fechada será dada por Mr A frequência de ressonância é dada pela frequência no ponto de tangência Como exemplo considere o sistema com realimentação unitária que possui a seguinte função de transferência de malha aberta 1 G j s s s K K 1 0 5 1 h h h Para determinar a resposta em frequência de malha fechada utilizando a carta de Nichols o lugar geométrico de G j é construído no plano do módulo em dB versus ângulo de fase com o uso do MATLAB ou do diagrama de Bode A Figura 785a mostra o lugar geométrico de G j juntamente com os lugares geométricos de M e N A curva de resposta em frequência de malha fechada pode ser construída pela leitura dos módulos e dos ângulos de fase para as frequências de vários pontos sobre o lugar geométrico de G j com o auxílio dos lugares geométricos de M e N como mostra a Figura 785b Como o contorno de maior valor tocado por G j é o de 5 dB a amplitude do pico de ressonância Mr é de 5 dB A frequência correspondente de res sonância é 08 rads Observe que o ponto de cruzamento de fase é o ponto onde o lugar geométrico de G j cruza o eixo de 180 para o presente sistema 14 rads e o ponto do cruzamento de ganho é o ponto onde a curva cruza o eixo de 0 dB para o presente sistema 076 rads A margem de fase é a distância horizontal medida em graus entre o ponto do cruzamento de ganho e o ponto crítico 0 dB 180 A margem de ganho é a distância em decibéis entre o ponto da fase de cruzamento e o ponto crítico FIGURA 784 R C G 025 dB 05 dB 1 dB 2 dB 3 dB 4 dB 5 dB 6 dB 9 dB 18 dB 12 dB 6 dB 5 dB 4 dB 3 dB 2 dB 1 dB 05 dB 025 dB 01 dB 01 dB 0 dB 12 dB 120 150 180 150 120 90 60 30 20 10 5 2 90 60 30 20 10 5 2 0 2 5 10 20 30 60 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0 16 12 8 4 240 210 180 150 120 90 60 30 0 GH GH em dB Carta de Nichols 443 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A banda passante do sistema de malha fechada pode ser facilmente determinada a partir do lugar geométrico de G j na carta de Nichols A frequência na intersecção do lugar geométrico de G j com o lugar geométrico de M 3 dB indica a banda passante Se o ganho de malha aberta K variar a forma do lugar geométrico de G j no diagrama de módulo em dB versus fase permanecerá a mesma mas será deslocada para cima se K aumentar ou para baixo se K diminuir ao longo do eixo vertical Portanto o lugar geométrico de G j cruza os lugares geométricos de M e N diferentemente resultando em diferentes curvas de res posta em frequência de malha fechada Para um pequeno valor do ganho K o lugar geométrico de G j não tangencia nenhum lugar geométrico M o que significa que não há ressonância na resposta em frequência de malha fechada Exemplo 724 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G j j j K 1 h h Determine o valor de K tal que Mr 14 O primeiro passo para a determinação do ganho K é esboçar o diagrama polar de K G j j j 1 1 h h A Figura 786 mostra o lugar geométrico Mr 14 e o lugar geométrico de G jK A mudança de ganho não afeta o ângulo de fase mas apenas move a curva verticalmente para cima para K 1 e para baixo para K 1 Na Figura 786 o lugar geométrico de G jK deve aumentar em 4 dB de modo que ele seja tangente ao lugar geométrico de Mr desejado e que todo o lugar geométrico de G jK seja FIGURA 785 20 16 12 8 4 0 16 12 8 4 240 210 180 150 120 90 a b G 1 dB 3 dB 025 dB 5 dB 12 dB G em dB 1 dB 5 dB 12 dB 18 14 12 1 08 06 04 02 30 20 10 60 120 150 90 em rads G 1 G G 1 G em dB 270 180 90 15 10 5 0 5 10 0 01 02 04 06 08 1 2 a Gráfico de G j sobreposto à carta de Nichols b curvas de resposta em frequência de malha fechada 444 Engenharia de controle moderno externo ao lugar geométrico de Mr 14 O valor do deslocamento vertical do lugar geométrico de G jK determina o ganho necessário para conseguir o valor desejado de Mr Assim resol vendo a equação 20 log K 4 obtemos K 159 79 Determinação experimental de funções de transferência O primeiro passo para a análise e o projeto de um sistema de controle é estabelecer um modelo matemático da planta considerada A obtenção analítica do modelo pode ser muito difícil Devemos obtêlo por meio de análise experimental A importância dos métodos de resposta em frequência é que a função de transferência da planta ou de qualquer outro componente do sistema pode ser obtida por medidas simples de resposta em frequência Se forem medidas a relação de amplitudes e a defasagem em um número suficiente de frequên cias dentro do intervalo de frequências de interesse elas podem ser representadas no diagrama de Bode Então a função de transferência pode ser determinada por aproximação assintótica Construímos curvas assintóticas de módulo em dB constituídas por diversos segmentos Com algumas tentativas de localização das frequências de canto geralmente é possível determinar um resultado muito aproximado da curva real Note que se a frequência for indicada em ciclos por segundo em vez de em radianos por segundo as frequências de canto deverão ser convertidas em radianos por segundo antes de serem calculadas as constantes de tempo Geradores de sinais senoidais Ao efetuar testes de resposta em frequência devese ter dis poníveis geradores adequados de sinais senoidais Os sinais devem ser de natureza mecânica elétrica ou pneumática O intervalo de frequências necessárias para o teste é de aproximadamente 0001 a 10 Hertz para sistemas de constante de tempo elevada e de 01 a 1000 Hz para sistemas FIGURA 786 G em dB G 15 10 5 0 5 10 15 90 120 150 180 Mr 14 20 log K 4 G j Gj K Determinação do ganho K com a utilização da carta de Nichols 445 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência de constante de tempo pequena O sinal senoidal deve ser razoavelmente livre de harmônicos e de distorções Para intervalos de frequências muito baixas abaixo de 001 Hz pode ser utilizado um gerador mecânico de sinais juntamente com um transdutor pneumático ou elétrico adequado se necessário Para o intervalo de frequências de 001 a 1000 Hz pode ser utilizado um gerador de sinais elétricos conveniente juntamente com um transdutor adequado Determinação de função de transferência de fase mínima a partir do diagrama de Bode Como afirmamos anteriormente um sistema de fase mínima pode ser determinado pela curva de resposta em frequência examinandose as características de alta frequência Para determinar a função de transferência de início devemos traçar as assíntotas às curvas de módulo em dB obtidas experimentalmente As assíntotas devem ter inclinações múltiplas de 20 dBdécada Se a inclinação da curva de módulo em dB obtida experimentalmente mudar de 20 para 40 dBdécada em 1 ficará evidente que existe um fator 11 j1 na função de transferência Se a inclinação mudar em 40 dBdécada em 2 deverá haver um fator quadrático como segue j j 1 2 1 2 2 2 g c c m m na função de transferência A frequência de ressonância natural não amortecida desse fator qua drático é igual à frequência de canto 2 O coeficiente de amortecimento z pode ser determinado a partir da curva experimental de módulo em dB medindose a amplitude do pico de ressonância próximo à frequência 2 e comparandose esse valor com as curvas mostradas na Figura 79 Uma vez determinados os fatores da função de transferência G j o ganho pode ser obtido a partir da porção de baixa frequência da curva de módulo em dB Como termos como 1 j1 e 1 2z j2 j22 se tornam unitários quando tende a zero para frequências muito baixas a função de transferência senoidal G j pode ser escrita como limG j j K 0 m h h Em muitos casos práticos l é igual a 0 1 ou 2 1 Para l 0 ou sistemas tipo 0 G j K para 1 ou 20 log G j 20 log K para 1 A assíntota de baixa frequência é uma linha horizontal de 20 log K dB O valor de K pode ser obtido dessa assíntota horizontal 2 Para l 1 ou sistemas tipo 1 1 G j j K para h ou 20 log G j 20 log K 20 log para 1 o que indica que a assíntota de baixa frequência tem inclinação de 20 dBdécada A frequência na qual a assíntota de baixa frequência ou sua extensão cruza a linha de 0 dB é numericamente igual a K 3 Para l 2 ou sistemas tipo 2 1 G j j K para 2 h h 446 Engenharia de controle moderno ou 20 log G j 20 log K 40 log para 1 A assíntota de baixa frequência tem inclinação de 40 dBdécada A frequência na qual essa assíntota ou sua extensão cruza a linha de 0 dB é numericamente igual a K Exemplos de curvas de módulo em dB de sistemas tipo 0 tipo 1 e tipo 2 são mostrados na Figura 787 juntamente com a frequência com a qual o ganho K está relacionado A curva de ângulo de fase obtida experimentalmente fornece meios para testar a função de transferência obtida a partir da curva de módulo em dB Para sistemas de fase mínima a curva de ângulo de fase obtida experimentalmente deve coincidir razoavelmente bem com a curva de ângulo de fase obtida teoricamente da função de transferência que acaba de ser determinada As duas curvas de ângulo de fase devem coincidir exatamente tanto para as frequências muito bai xas como para as muito altas Se os ângulos de fase obtidos experimentalmente em frequências muito altas comparadas com as frequências de canto não coincidirem com 90q p onde p e q são respectivamente os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência então a função de transferência deverá ser de fase não mínima Funções de transferência de fase não mínima Se na extremidade de alta frequência o atraso de fase calculado for 180 menor que o obtido experimentalmente então um dos zeros da função de transferência deverá situarse no semiplano direito do plano s em vez de no semiplano esquerdo Se o atraso de fase calculado diferir do atraso de fase determinado experimentalmente em uma taxa constante de variação de fase então haverá um retardo de transporte ou tempo morto Se supormos que a função de transferência seja GseTs onde Gs é uma relação de polinômios em s então FIGURA 787 a 0 20 20 log K 40 40 dB K K em escala logarítmica b c 0 20 20 20 20 40 40 40 40 dB em escala logarítmica 0 dB em escala logarítmica 0 dB em escala logarítmica 0 dB ω em escala logarítmica K K a Curva de módulo em dB de um sistema tipo 0 b curva de módulo em dB de um sistema tipo 1 c curva de módulo em dB de um sistema tipo 2 As inclinações mostradas são em dBdécada 447 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência lim lim lim d d G j e d d G j e d d G j T T T 0 j T j T 3 3 3 h h h 8 8 B B onde utilizamos o fato de que lim 3 G j h constante Assim a partir dessa última equação podemos avaliar a amplitude do atraso de transporte T Algumas observações sobre a determinação experimental das funções de transferência 1 Em geral é mais fácil fazer medições precisas da amplitude do que da defasagem As medições de defasagem podem envolver erros causados pela instrumentação ou pela má interpretação dos resultados experimentais 2 A resposta em frequência do equipamento de medição utilizado para medir a resposta do sistema deve ter uma curva de módulo versus frequência praticamente horizontal Além disso o ângulo de fase deve ser aproximadamente proporcional à frequência 3 Os sistemas físicos podem apresentar diversos tipos de não linearidades Portanto é necessário considerar cuidadosamente a amplitude dos sinais senoidais de entrada Se a amplitude do sinal de entrada for muito grande o sistema saturará e o teste de resposta em frequência apresentará resultados imprecisos Por outro lado um pequeno sinal pro vocará erros causados pela zona morta Então deve ser feita uma escolha cuidadosa da amplitude do sinal senoidal de entrada É necessário fazer uma amostragem da forma de onda do sinal de saída do sistema para ter a certeza de que essa forma de onda é senoidal e o sistema está operando na região linear durante o período de teste A forma de onda da saída do sistema não é senoidal quando o sistema está operando em uma região não linear 4 Se o sistema em consideração estiver operando continuamente por dias ou semanas então a operação normal não precisará ser interrompida para a execução dos testes de resposta em frequência O sinal senoidal de teste pode ser superposto às entradas normais de operação Assim para sistemas lineares a resposta causada pelo sinal senoidal fica superposta à saída normal Para a determinação da função de transferência enquanto o sistema está em operação normal sinais estocásticos sinais de ruído branco são utilizados frequentemente Se forem utilizadas funções de correlação a função de transferência do sistema poderá ser determinada sem interrupção da operação normal de funcionamento Exemplo 725 Determine a função de transferência do sistema cujas curvas de resposta em frequência experi mentais são mostradas na Figura 788 O primeiro passo na determinação da função de transferência é aproximar a curva de módulo em dB por assíntotas com inclinações de 20 dBdécada e seus múltiplos como mostra a Figura 788 Em seguida estimamos as frequências de canto Para o sistema mostrado na Figura 788 foi estimada a seguinte forma da função de transferência G j j j j j K j 1 1 2 8 8 1 0 5 2 g c c h h m m h E O valor do coeficiente de amortecimento z pode ser estimado pelo exame do pico de ressonân cia perto de 6 rads Considerando a Figura 79 z fica determinado como 05 O ganho K é numericamente igual à frequência da intersecção da extensão da assíntota de baixa frequência que tem inclinação de 20 dBdécada e a linha de 0 dB O valor de K fica determinado como 10 Portanto G j fica determinada por tentativa como G j j j j j j 1 1 8 8 10 1 0 5 2 c c h h m m h E 448 Engenharia de controle moderno ou G s s s s s s 1 8 64 320 2 2 h h h h Essa função de transferência é uma primeira tentativa porque não examinamos ainda a curva de ângulo de fase Uma vez anotadas as frequências de canto na curva de módulo em dB a curva de ângulo de fase correspondente a cada fator componente da função de transferência pode ser facilmente obtida A soma dessas curvas componentes do ângulo de fase é a da função de transferência admiti da A curva de ângulo de fase de G j é denotada por G na Figura 788 Nessa figura vemos de modo claro a discrepância entre a curva de ângulo de fase calculada e a curva de ângulo de fase obtida experimentalmente A diferença entre as duas curvas nas frequências muito elevadas parece ter uma taxa de variação constante Assim a discrepância entre as curvas de ângulo de fase deve ser causada por um retardo de transporte Então vamos supor que a função de transferência completa seja GseTs Como a dis crepância entre os ângulos de fase calculados e experimentais é igual a 02 rad para frequências muito elevadas podemos determinar o valor de T como segue 02 lim d d G j e T j T 3 h ou T 02 s Desse modo a presença do atraso de transporte pode ser determinada e a função de transferência completa obtida a partir das curvas experimentais é G s e s s s s s e 1 8 64 320 2 Ts s 2 0 2 h h h h FIGURA 788 40 20 0 20 40 60 dB 80 100 01 02 04 06 1 4 2 6 10 20 40 500 400 300 200 100 0 em rads G Amplitude assintótica K 10 Amplitude experimental Ângulo de fase experimental Diagrama de Bode de um sistema As curvas sólidas foram obtidas experimentalmente 449 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 710 Projeto de sistemas de controle pela resposta em frequência No Capítulo 6 apresentamos a análise e o projeto pelo lugar das raízes Esse método mostrou se muito útil para moldar as características da resposta transitória de sistemas de controle de malha fechada além de nos fornecer a informação direta sobre a resposta transitória do sistema de malha fechada A técnica da resposta em frequência por outro lado nos fornece essa infor mação apenas indiretamente Entretanto como será visto nas últimas três seções deste capítulo o método da resposta em frequência é muito útil no projeto de sistemas de controle Em qualquer problema de projeto o projetista fará bem em utilizar ambos os métodos no projeto e na escolha de um compensador capaz de produzir uma resposta de malha fechada o mais próximo possível da desejada Na maioria dos projetos de sistemas de controle geralmente o desempenho da resposta tran sitória é muito importante No método da resposta em frequência especificamos o desempenho da resposta transitória de maneira indireta Isto é o desempenho da resposta transitória é especi ficado em termos de margem de fase margem de ganho amplitude do pico de ressonância estas dão uma ideia aproximada do amortecimento do sistema frequência de cruzamento de ganho frequência de ressonância a banda passante estas dão uma estimativa da velocidade da resposta transitória e constantes de erro estático que fornecem a precisão do regime permanente Embora a correlação entre a resposta transitória e a resposta em frequência seja indireta as especificações no domínio de frequência podem ser facilmente encontradas pelo método do diagrama de Bode Depois de projetar a malha aberta pela técnica da resposta em frequência os polos e zeros de malha fechada podem ser determinados Então as características da resposta transitória devem ser verificadas para avaliar se o sistema projetado satisfaz aos requisitos no domínio de tempo Se isso não ocorrer devese modificar o compensador e repetir a análise até que seja obtido um resultado satisfatório O projeto no domínio de frequência é simples e direto O diagrama da resposta em frequência indica claramente o modo pelo qual o sistema deve ser modificado embora não possa ser feita uma previsão quantitativa precisa das características da resposta transitória O método da resposta em frequência pode ser aplicado a sistemas ou componentes cujas características dinâmicas são fornecidas na forma de dados de resposta em frequência Note que em virtude da dificuldade na dedução de equações que regem certos componentes como componentes pneumáticos e hidráulicos suas características dinâmicas em geral são determinadas experimentalmente por meio de testes de resposta em frequência Os diagramas de resposta em frequência obtidos expe rimentalmente podem ser combinados entre si quando se utiliza a técnica do diagrama de Bode Observe também que tratandose de ruídos de alta frequência verificamos que o uso da resposta em frequência é mais conveniente que outros métodos Basicamente existem duas técnicas de projeto no domínio da frequência Uma é a técnica do diagrama polar e a outra é a do diagrama de Bode Quando se adiciona um compensador o diagrama polar não mantém a forma original e portanto é necessário traçar um novo diagrama polar o que consome tempo e certamente é inconveniente Por outro lado o diagrama de Bode do compensador pode simplesmente ser acrescentado ao diagrama original e assim fica simples construir o diagrama completo de Bode Além disso se o ganho de malha aberta for alterado a curva de módulo será deslocada para cima ou para baixo sem mudança de inclinação e a curva de ângulo de fase permanecerá a mesma Portanto para fins de projeto é melhor trabalhar com o diagrama de Bode Uma técnica comum utilizada no diagrama de Bode é a de ajustar inicialmente o ganho de malha aberta para atender ao requisito de precisão em regime permanente Em seguida são tra çadas as curvas de módulo e de fase não compensadas de malha aberta com o ganho de malha aberta que foi ajustado Se as especificações de margem de fase e margem de ganho não forem satisfeitas determinase um compensador apropriado que reformule a função de transferência 450 Engenharia de controle moderno de malha aberta Por fim se houver alguns requisitos a serem satisfeitos tentamos satisfazêlos a menos que alguns deles sejam mutuamente contraditórios Informações fornecidas pela resposta em frequência de malha aberta A região de baixa frequência a região bem abaixo da frequência de cruzamento de ganho do lugar geomé trico indica o comportamento em regime permanente do sistema de malha fechada A região de média frequência a região próxima à frequência de cruzamento de ganho do lugar geométrico indica a estabilidade relativa A região de alta frequência a região bem acima da frequência de cruzamento de ganho indica a complexidade do sistema Requisitos da resposta em frequência de malha aberta Podese dizer que em muitos casos práticos a compensação é essencialmente uma conciliação entre a precisão em regime permanente e a estabilidade relativa Para se ter uma constante de erro de velocidade elevada e ainda uma estabilidade relativa satis fatória verificase que é necessário reconfigurar a curva de resposta em frequência de malha aberta O ganho na região de baixa frequência deve ser suficientemente elevado e próximo da frequên cia de cruzamento de ganho e a inclinação da curva de módulo em dB no diagrama de Bode deve ser 20 dBdécada nas vizinhanças da frequência de cruzamento de ganho Essa inclinação deve se estender sobre uma faixa de frequência bastante ampla para assegurar uma margem de fase adequada Na região de alta frequência o ganho deve ser atenuado tão rapidamente quanto possível para que os efeitos de ruído sejam minimizados A Figura 789 indica exemplos de curvas de resposta em frequência de malha aberta e de malha fechada geralmente desejáveis e indesejáveis Considerando a Figura 790 vemos que a reconfiguração da curva de resposta em frequência de malha aberta pode ser feita desde que a parte relativa à alta frequência siga o lugar geomé trico de G1 j e a parte relativa à baixa frequência siga o lugar geométrico de G2 j O lugar geométrico redefinido de Gc jG j deve ter as margens de fase e ganho razoáveis ou deve ser tangente a uma circunferência M adequada como se pode ver na figura Características básicas de compensação por avanço atraso e atrasoavanço de fase A compensação por avanço de fase resulta essencialmente em uma melhoria apreciável na resposta transitória e em uma pequena variação da precisão em regime estacionário Ela pode acentuar os efeitos dos ruídos de alta frequência A compensação por atraso de fase por outro lado produz uma sensível melhora na precisão do regime estacionário à custa de um aumento da duração da resposta transitória A compensação por atraso de fase suprime os efeitos dos sinais de ruído de alta frequência A compensação por atraso e avanço de fase combina as características tanto da compensação por avanço como da compensação por atraso de fase O uso de um compensador por avanço ou atraso de fase aumenta a ordem do sistema de uma unidade a menos que ocorra cancelamento entre o zero do compensador e um polo da função de transferência de malha aberta não compensada O uso de um compensador de atraso e avanço eleva a ordem do sistema em duas unidades a menos que ocorra o cancelamento entre zeros do compensador de atraso e FIGURA 789 Im Re 1 0 Desejável Indesejável Im dB Re Log 1 0 Desejável Indesejável a b Desejável Indesejável a Exemplos de curvas de resposta em frequência de malha aberta desejáveis e indesejáveis b exemplos de curvas de resposta em frequência de malha fechada desejáveis e indesejáveis 451 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência avanço de fase e polos da função de transferência de malha aberta não compensada o que significa que o sistema se torna mais complexo e fica mais difícil controlar o comportamento da resposta transitória Cada situação em particular determina o tipo de compensação a ser utilizada 711 Compensação por avanço de fase Inicialmente estudaremos as características de frequência do compensador por avanço de fase A seguir será apresentada a técnica de projeto do compensador por avanço de fase pelo uso do diagrama de Bode Características dos compensadores por avanço de fase Considere um compensador por avanço de fase que tenha a seguinte função de transferência K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c 1 1 a a a a h onde a é chamado fator de atenuação do compensador por avanço de fase Ele possui um zero em s 1T e um polo em s 1aT Como 0 a 1 vêse que o zero fica sempre localizado à direita do polo no plano complexo Note que para um pequeno valor de a o polo fica localizado distante à esquerda O valor mínimo de a é limitado pela construção física do compensador por avanço de fase Esse valor mínimo de a é geralmente adotado em torno de 005 Isso significa que o valor de avanço de fase máximo que pode ser conseguido é de aproximadamente 65º Veja a Equação 725 A Figura 791 indica o diagrama polar de K j T j T 1 1 0 1 c 1 1 a a a h com Kc 1 Para dado valor de α o ângulo entre o eixo real positivo e a linha tangente traçada a partir da origem até o semicírculo fornece o ângulo máximo de avanço de fase zm A frequência no ponto de tangência será chamada m A partir da Figura 791 o ângulo de fase em m é zm onde sen 2 1 2 1 1 1 zm a a a a 725 A Equação 725 relaciona o ângulo de avanço de fase máximo e o valor de a FIGURA 790 Im Re 1 0 Circunferência M G2j G1j Gc jG j Curva de resposta em frequência de malha aberta reconfigurada 452 Engenharia de controle moderno A Figura 792 apresenta o diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase quan do Kc 1 e a 01 As frequências de canto do compensador por avanço de fase são 1T e 1aT 10T Pelo estudo da Figura 792 vêse que m é a média geométrica das duas frequências de canto ou log log log T T 2 1 1 1 m a c m Portanto T 1 m a 726 Como se vê na Figura 792 o compensador por avanço de fase é basicamente um filtro passa alta As altas frequências passam mas as baixas são atenuadas Técnicas de compensação por avanço de fase baseadas na abordagem por resposta em frequência A principal função do compensador por avanço de fase é reconfigurar a curva de resposta em frequência para conseguir um ângulo de avanço de fase suficiente para compensar o atraso de fase excessivo associado aos componentes de um sistema fixo Considere o sistema da Figura 793 Suponha que as especificações de desempenho sejam dadas em termos de margem de fase margem de ganho constante de erro estático de velocidade etc O procedimento para projetar um compensador por avanço de fase pelo método de resposta em frequência pode ser o seguinte 1 Suponha o seguinte compensador por avanço de fase G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 0 1 c c c 1 1 a a a a h h FIGURA 791 Im Re m 0 1 0 zm 1 2 1 α α 1 2 1 α Diagrama polar de um compensador por avanço de fase α jT 1 jαT 1 onde 0 α 1 FIGURA 792 10 0 em rads 10 20 90 0 dB 01 T 1 T 10 T 100 T 10 T zm Diagrama de Bode de um compensador por avanço de fase α jT 1 jαT 1 onde α 01 453 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Defina Kcα K Então G s K Ts Ts 1 1 c a h A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s K Ts Ts G s Ts Ts KG s Ts Ts G s 1 1 1 1 1 1 c 1 a a a h h h h h onde G1s KGs Determine o ganho K a fim de satisfazer o requisito da constante de erro estático dado 2 Utilizando o ganho K assim determinado construa o diagrama de Bode de G1 j o sistema com o ganho ajustado mas não compensado Avalie a margem de fase 3 Determine o ângulo de avanço de fase necessário que deve ser acrescentado ao sistema Adicione 5º a 12º ao ângulo assim determinado porque a adição do compensador por avanço de fase desloca a frequência de cruzamento de ganho para a direita e diminui a margem de fase 4 Determine o fator de atenuação a utilizando a Equação 725 Defina a frequência em que o módulo do sistema não compensado G1 j seja igual a 20 log 1 a Selecione essa frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho que corresponde a m 1 a T e a defasagem máxima zm ocorre nessa frequência 5 Determine as frequências de canto do compensador por avanço de fase como segue Zero do compensador por avanço de fase T 1 Polo do compensador por avanço de fase T 1 a 6 Utilizando o valor de K determinado na etapa 1 e o de a determinado na etapa 4 calcule a constante Kc a partir de K K c a 7 Verifique a margem de ganho para se certificar de que ela é satisfatória Se não for repita o processo de projeto pela modificação da localização de polo zero do compensador até que um resultado satisfatório seja obtido Exemplo 726 Considere o sistema da Figura 794 A função de transferência de malha aberta é G s s s 2 4 h h FIGURA 793 Gcs Gs Sistema de controle 454 Engenharia de controle moderno Desejase projetar um compensador para o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja 20 s 1 a margem de fase seja pelo menos 50 e a margem de ganho seja pelo menos 10 dB Utilizaremos um compensador por avanço de fase como segue G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c a a a h O sistema compensado terá a função de transferência de malha aberta GcsGs Defina G s KG s s s K 2 4 1 h h h onde K Kca A primeira etapa do projeto é ajustar o ganho K para atender às especificações de desempenho em regime permanente ou propiciar a constante de erro estático de velocidade requerido Como essa constante é especificada em 20 s 1 obtémse 2 20 lim lim lim K sG s G s s Ts Ts G s s s s K K 1 1 2 4 s c s s 0 0 1 0 a y h h h h ou K 10 Com K 10 o sistema compensado satisfará o requisito relativo ao regime permanente A seguir construímos o diagrama de Bode de G j j j j j 2 40 0 5 1 20 1 h h h A Figura 795 apresenta as curvas de módulo e de ângulo de fase de G1 j A partir desse dia grama as margens de ganho e de fase do sistema são 17 e dB respectivamente A margem de fase de 17 implica que o sistema é bastante oscilatório Assim satisfazendo a especificação de regime permanente o resultado é um desempenho da resposta transitória insatisfatório A espe cificação requer uma margem de fase de pelo menos 50 Portanto o avanço de fase adicional necessário para satisfazer o requisito de estabilidade relativa é de 33 Para obter uma margem de fase de 50 sem que haja decréscimo no valor de K o compensador por avanço de fase deve contribuir com o ângulo de fase requerido Notando que a adição de um compensador por avanço de fase modifica a curva de módu lo em dB no diagrama de Bode percebemos que a frequência de cruzamento de ganho será deslocada para a direita Devemos compensar o aumento do atraso de fase de G1 j causado por esse aumento da frequência de cruzamento de ganho Considerandose o deslocamento da frequência de cruzamento de ganho podese supor que zm o avanço de fase máximo requerido seja de aproximadamente 38 Isso significa que foram adicionados 5 ao compensador para o deslocamento da frequência de cruzamento de ganho Como sen 1 1 zm a a FIGURA 794 4 ss 2 Sistema de controle 455 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência zm 38 corresponde a a 024 Uma vez que o fator de atenuação a tenha sido determinado com base no ângulo de avanço de fase requerido a próxima etapa é determinar as frequências de canto 1T e 1aT do compensador por avanço de fase Para isso devese notar primeiro que o ângulo de avanço de fase máximo zm ocorre na média geométrica das duas frequências de canto ou 1 a T Veja a Equação 726 O valor da alteração na curva de módulo em dB em 1 a T em decorrência da inclusão do termo Ts 1aTs 1 é j T j T j j 1 1 1 1 1 1 1 T 1 a a a a a a h Observe que 62 dB 1 0 24 1 0 49 1 a e G1 j 62 dB corresponde a 9 radsVamos selecionar essa frequência para ser a nova frequência de cruzamento de ganho c Notandose que essa frequência corresponde a 1 a T ou c 1 a T obtémse 441 T 1 a c e 184 T 1 c a a O compensador por avanço de fase determinado assim é G s K s s K s s 18 4 4 41 0 054 1 0 227 1 c c ca h onde o valor de Kc é determinado como 417 K K 0 24 10 c a Portanto a função de transferência do compensador é FIGURA 795 1 2 4 8 em rads 40 20 0 20 40 0 90 180 10 20 40 60 100 17 dB Diagrama de Bode de G1 j 10G j 40 j j 2 456 Engenharia de controle moderno 417 10 G s s s s s 18 4 4 41 0 054 1 0 227 1 c h Note que 10 K G s G s G s G s G s G s 10 c c c 1 h h h h h h A Figura 796 mostra a curva de módulo em dB e a curva de ângulo de fase de Gc j10 O sistema compensado tem a seguinte função de transferência 417 G s G s s s 18 4 s s 4 41 2 4 c h h h As curvas sólidas na Figura 796 indicam a curva de módulo e a de ângulo de fase do sistema compensado Note que a banda passante é aproximadamente igual à frequência de cruzamento de ganho O compensador por avanço de fase produz um aumento de 63 para 9 rads na frequência de cruzamento de ganho O aumento nessa frequência significa um aumento da banda passante Isso implica um aumento da velocidade de resposta As margens de fase e de ganho são de apro ximadamente 50 e dB respectivamente O sistema compensado da Figura 797 portanto atende tanto ao requisito de regime permanente como ao de estabilidade relativa Observe que para os sistemas do tipo 1 como o sistema que acabamos de ver o valor da constante de erro estático de velocidade Kυ é simplesmente o valor da frequência correspondente à intersecção da extensão da reta de inclinação de 20 dBdécada e da reta de 0 dB como indica a Figura 796 Observe também que a inclinação da curva de módulo foi alterada próximo à frequência de cruzamento de ganho de 40 dBdécada para 20 dB década FIGURA 796 40 20 0 20 40 0 90 180 Gc 10 Kv 50 1 2 4 6 em rads 10 20 40 60 100 Gc 10 GcG GcG 6 dB G1 10G G1 10G dB Diagrama de Bode do sistema compensado 457 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A Figura 798 mostra os diagramas polares da função de transferência de malha aberta com o ganho ajustado mas não compensado G1 j 10 G j e a função de transferência de malha aberta compensada Gc jG j A partir da Figura 798 vêse que a frequência de ressonância do sistema não compensado é em torno de 6 rads e que a do sistema compensado é de aproxi madamente 7 rads Isso indica também que a banda passante aumentou Com base na Figura 798 constatase que o valor do pico de ressonância Mr do sistema não compensado com K 10 é 3 O valor de Mr do sistema compensado é obtido como 129 Isso mostra claramente que a estabilidade relativa do sistema compensado melhorou Note que se o ângulo de fase de G1 j decrescer rapidamente nas proximidades da frequên cia de cruzamento de ganho a compensação por avanço de fase se torna ineficaz porque o des locamento da frequência de cruzamento de ganho para a direita torna difícil obter um avanço de fase suficiente para a nova frequência de cruzamento de ganho Isso significa que para fornecer a margem de fase desejada devese utilizar um valor muito pequeno para a O valor de a entre tanto não deve ser muito pequeno menor que 005 nem o avanço de fase máximo zm deve ser muito grande superior a 65 porque esses valores vão requerer um ganho adicional de valor excessivo Se for necessário mais que 65 duas ou mais redes por avanço de fase poderão ser utilizadas em série com um amplificador de isolamento Por fim vamos estudar as características da resposta transitória do sistema projetado Serão obtidas as curvas de resposta ao degrau unitário e a rampa unitária dos sistemas compensado e FIGURA 797 4 ss 2 417s 441 s 184 Sistema compensado FIGURA 798 Mr 129 4 3 2 1 1 2 3 4 0 1 Mr 3 Im Re 1 4 4 6 6 10 10 3 3 G1 j GcjG j Diagramas polares da função de transferência de malha aberta com o ganho ajustado mas não compensado G1 e da função de transferência de malha aberta compensada GcG 458 Engenharia de controle moderno não compensado com a utilização do MATLAB Note que as funções de transferência de malha fechada dos sistemas compensado e não compensado são dadas respectivamente por R s C s s 2s 4 4 2 h h e R s C s s s s s 20 4 203 6 735 588 166 8 735 588 3 2 h h Os programas em MATLAB para a obtenção das curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária são dados pelo Programa 713 em MATLAB A Figura 799 indica as curvas de resposta ao degrau unitário antes e depois da compensação Além disso a Figura 7100 representa as curvas de resposta à rampa unitária antes e depois da compensação Essas curvas de resposta indicam que o sistema projetado é satisfatório Devese observar que os polos do sistema de malha fechada para o sistema compensado estão localizados como segue s 69541 j80592 s 64918 Em razão de os polos dominantes de malha fechada estarem situados distantes do eixo j a resposta é rapidamente atenuada Programa 713 em MATLAB Respostas ao degrau unitário num 4 den 1 2 4 numc 1668 735588 denc 1 204 2036 735588 t 00026 c1x1t stepnumdent c2x2t stepnumcdenct plot tc1tc2 grid titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text04131Sistema compensado text155088Sistema não compensado Respostas à rampa unitária num1 4 den1 1 2 4 0 num1c 1668 735588 den1c 1 204 2036 735588 0 t 00025 y1z1t stepnum1den1t y2z2t stepnum1cden1ct plotty1ty2tt grid titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text08937Sistema compensado text22511Sistema não compensado 459 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 712 Compensação por atraso de fase Nesta seção discutiremos inicialmente o diagrama de Nyquist e o diagrama de Bode do compensador por atraso de fase Então serão apresentadas as técnicas de compensação por atraso de fase com enfoque na resposta em frequência Características dos compensadores de atraso de fase Considere um compensador por atraso de fase que tenha a seguinte função de transferência G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 c c c 2 b b b b h h No plano complexo um compensador por atraso de fase tem um zero em s 1T e um polo em s 1βT O polo fica localizado à direita do zero FIGURA 7100 Saídas 5 2 0 35 45 15 05 3 4 25 1 t s 0 1 05 5 35 45 3 4 2 15 25 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado FIGURA 799 Saídas 14 06 0 1 12 04 02 08 t s 0 1 6 4 5 2 3 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado 460 Engenharia de controle moderno A Figura 7101 mostra um diagrama polar do compensador por atraso de fase A Figura 7102 indica o diagrama de Bode do compensador onde Kc 1 e β 10 As frequências de canto do compensador por atraso de fase estão em 1T e 1βT Como se vê na Figura 7102 onde os valores de Kc e β são iguais a 1 e 10 respectivamente o módulo do compensador por atraso de fase fica igual a 10 ou 20 dB em baixas frequências e igual à unidade ou 0 dB em altas frequências Portanto o compensador por atraso de fase é essencialmente um filtro passabaixa Técnicas de compensação por atraso de fase baseadas na resposta em frequência A principal função de um compensador por atraso de fase é produzir atenuação na faixa de altas frequências para fornecer ao sistema uma margem de fase suficiente A característica do atraso de fase é não acarretar consequências na compensação por atraso de fase O procedimento para o projeto de compensadores por atraso de fase para o sistema da Figura 793 com base na resposta em frequência pode ser estabelecido como segue 1 Suponha o seguinte compensador por atraso de fase G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 c c c 2 b b b b h h Defina Kcβ K Então G s K Ts Ts 1 1 c b h FIGURA 7102 30 20 em rads 10 0 0 90 dB 001 T 01 T 1 T 10 T Diagrama de Bode de um compensador por atraso de fase β jT 1 jβT 1 com β 10 FIGURA 7101 Im 0 Re 0 Kc Kcβ Diagrama polar de um compensador por atraso de fase Kcβ jT 1 jβT 1 461 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A função de transferência do sistema compensado de malha aberta é G s G s K Ts Ts G s Ts Ts KG s Ts Ts G s 1 1 1 1 1 1 c 1 b b b h h h h h onde G1s KGs Determine o ganho K para que o requisito relativo à constante de erro estático de veloci dade seja atendido 2 Se o sistema não compensado G1 j KG j com ganho ajustado não satisfizer as especificações de margem de ganho e de fase determine o ponto de frequências onde o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta seja igual a 180 mais a margem de fase requerida A margem de fase requerida é a margem de fase especificada mais 5 a 12 A adição de 5 a 12 compensa o atraso de fase do compensador Selecione essa frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho 3 Para prevenir efeitos nocivos do atraso de fase causados pelo compensador o polo e o zero do compensador devem ficar localizados substancialmente abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho Portanto escolha a frequência de canto 1T correspondente ao zero do compensador por atraso de fase uma oitava ou uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho Se as constantes de tempo do compensador por atraso de fase não se tornarem muito elevadas a frequência de canto 1T poderá ser escolhida uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho Note que foram escolhidos os polos e os zeros do compensador suficientemente pequenos Assim o atraso de fase ocorre em uma região de baixa frequência de modo que não afete a margem de fase 4 Determine a atenuação necessária para baixar a curva de módulo a 0 dB na nova frequên cia de cruzamento de ganho Notandose que essa atenuação é de 20log β determine o valor de β Então a outra frequência de canto correspondente ao polo do compensador por atraso de fase é determinada a partir de 1βT 5 Utilizando o valor de K determinado na etapa 1 e o de β determinado na etapa 4 calcule a constante Kc a partir de K K c b Exemplo 727 Considere o sistema mostrado na Figura 7103 A função de transferência de malha aberta é dada por G s s s 1 0 5s 1 1 h h h É desejável compensar o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade Kυ seja de 5 s 1 a margem de fase seja de pelo menos 40 e a margem de ganho seja de pelo menos 10 dB Vamos utilizar um compensador por atraso de fase do seguinte modo G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 1 c c c 2 b b b b h h Defina Kcβ K Defina também G s KG s s s s K 1 0 5 1 1 h h h h 462 Engenharia de controle moderno A primeira etapa do projeto é ajustar o ganho K para atender à constante de erro estático de velocidade requerido Assim lim lim lim lim K sG s G s s Ts Ts G s sG s s s s sK K 1 1 1 0 5 1 5 s c s s s 0 0 1 0 1 0 b y h h h h h h ou K 5 Com K 5 o sistema compensado satisfaz o requisito de desempenho em regime permanente Em seguida construímos o diagrama de Bode de G j j j 1 0 5j 1 5 1 h h h A Figura 7104 apresenta a curva de módulo e de ângulo de fase de G1 j A partir desse dia grama a margem de fase é determinada como 20 o que significa que o sistema de ganho ajustado mas não compensado é instável Notandose que a inserção de um compensador por atraso de fase modifica a curva de ângulo de fase do diagrama de Bode devese acrescentar de 5 a 12 à margem de fase especificada para compensar a modificação na curva de ângulo de fase Como a frequência correspondente a uma margem de fase de 40 é 07 rads a nova frequência de cruzamento de ganho do sistema com pensado deve ser escolhida próximo desse valor Para evitar constantes de tempo muito altas do compensador por atraso de fase selecionaremos a frequência de canto 1T que corresponde FIGURA 7103 1 ss 1 05s 1 Sistema de controle FIGURA 7104 11 dB 0 dB 0 90 180 270 em rads 002 0004 G1 G1 GcG Gc K Gc 40 20 20 40 40 001 004 01 06 02 04 1 2 4 GcG Diagramas de Bode de G1 função de transferência de malha aberta com o ganho ajustado mas não compensado Gc compensador e GcG função de transferência de malha aberta compensada 463 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência ao zero do compensador por atraso de fase como 01 rads Como essa frequência de canto não fica muito abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho a modificação na curva de ângulo de fase pode não ser pequena Portanto adicionamos em torno de 12 à margem de fase dada como uma tolerância a ser levada em conta no ângulo de atraso de fase introduzido pelo compen sador A margem de fase requerida é agora de 52 O ângulo de fase da função de transferência de malha aberta não compensada é 128 em aproximadamente 05 rads Assim escolhemos a nova frequência de cruzamento de ganho como 05 rads Para trazer a curva de módulo abaixo de 0 dB nessa nova frequência de cruzamento de ganho o compensador por atraso de fase deve fornecer a atenuação necessária que nesse caso é de 20 dB Então 20 20 log 1 b ou β 10 A outra frequência de canto 1βT que corresponde ao polo do compensador por atraso de fase é então determinada como 001 T 1 rads b Portanto a função de transferência do compensador por atraso de fase é G s K s s K s s 10 100 1 10 1 100 1 10 1 c c c h h Tendo sido determinado K 5 e β 10 temos 05 K K 10 5 c b A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s s s s s s 100 1 1 0 5 1 5 10 1 c h h h h h h A Figura 7104 indica as curvas de módulo e de ângulo de fase de Gc jG j A margem de fase do sistema compensado é de aproximadamente 40 que é o valor requerido A margem de ganho é de cerca de 11 dB que é bastante aceitável A constante de erro estático de velocidade é 5 s 1 conforme requerida O sistema compensado dessa maneira atende aos requisitos tanto de regime permanente como de estabilidade relativa Note que a nova frequência de cruzamento de ganho decresce de 1 para 05 rads aproxima damente Isso significa que a banda passante do sistema foi reduzida Para apresentar ainda outros efeitos da compensação por atraso de fase a Figura 7105 traz os diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase do sistema G1 j ajustado mas não compensado e do sistema compensado Gc jG j O diagrama de G1 j mostra claramente que o sistema com ganho ajustado mas não compensado é instável A adição do compensador por atraso de fase estabiliza o sistema O diagrama de Gc jG j é tangente ao lugar geomé trico M 3 dB Portanto o valor do pico de ressonância é de 3 dB ou 14 e esse pico ocorre em 05 rads Compensadores projetados por métodos diferentes ou por projetistas diferentes adotando o mesmo critério podem ter aspecto suficientemente diferente Entretanto qualquer sistema bem projetado vai fornecer um desempenho similar de resposta transitória e de regime permanente Podese escolher entre as muitas alternativas a partir das considerações econômicas de que as constantes de tempo do compensador por atraso de fase não devem ser muito elevadas 464 Engenharia de controle moderno Por fim estudaremos a resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado e do sistema original não compensado sem ajuste de ganho As funções de transferência de malha fechada dos sistemas compensado e não compensado são R s C s s s s s s 50 150 5 101 5 51 5 50 5 4 3 2 h h e R s C s s s s 0 5 1 5 1 1 3 2 h h respectivamente O Programa 714 em MATLAB fornecerá as respostas dos sistemas compensado e não compensado à rampa unitária As figuras 7106 e 7107 apresentam respectivamente as curvas resultantes de resposta ao degrau unitário e de resposta à rampa unitária A partir das cur vas de resposta vemos que o sistema projetado satisfaz as especificações dadas e é satisfatório FIGURA 7105 8 4 0 4 90 24 16 20 12 8 12 16 20 240 210 180 150 120 G1 G1 em dB 06 04 08 1 01 02 2 06 04 08 G1 GcG 3 dB 1 2 4 Diagramas de módulo em dB versus ângulo de fase de G1 função de transferência de malha aberta com ganho ajustado mas não compensada e GcG função de transferência de malha aberta compensada FIGURA 7106 Saídas 14 06 0 1 12 04 02 08 t s 0 10 5 40 30 35 25 15 20 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta ao degrau unitário para os sistemas compensado e não compensado Exemplo 727 465 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 714 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 1 den 05 15 1 1 numc 50 5 denc 50 1505 1015 51 5 t 00140 c1x1t stepnumdent c2x2t stepnumcdenct plottc1tc2 grid titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text127127Sistema compensado text12207Sistema não compensado Resposta à rampa unitária num1 1 den1 05 15 1 1 0 num1c 50 5 den1c 50 1505 1015 51 5 0 t 00120 y1z1t stepnum1den1t y2z2t stepnum1cden1ct plotty1ty2tt grid titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text833Sistema compensado text835Sistema não compensado Note que o zero e os polos do sistema de malha fechada projetado são os seguintes Zero em s 01 Polos em s 02859 j05196 s 01228 s 23155 FIGURA 7107 Saídas 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Curvas de resposta à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Exemplo 727 466 Engenharia de controle moderno Os polos de malha fechada dominantes estão muito próximos do eixo j resultando em uma resposta lenta Além disso o polo de malha fechada em s 01228 e o zero de malha fechada em s 01 produzem uma cauda de pequena amplitude lentamente decrescente Alguns comentários sobre a compensação por atraso de fase 1 Os compensadores por atraso de fase são essencialmente filtros passabaixa Portanto a compensação por atraso de fase permite um ganho elevado em baixas frequências o que melhora o desempenho em regime permanente e reduz o ganho no intervalo de frequências críticas mais altas de modo que melhore a margem de fase Note que na compensação por atraso de fase utilizamos a característica de atenuação desse tipo de compensador nas altas frequências em vez da característica de atraso de fase A característica de atraso de fase não é utilizada com objetivos de compensação 2 Suponha que o zero e o polo de um compensador por atraso de fase estejam localizados em s z e s p respectivamente A localização exata do zero e do polo não é funda mental desde que estejam próximos da origem e que a relação zp seja igual ao fator de multiplicação requerido pela constante de erro estático de velocidade Devese notar entretanto que o zero e o polo do compensador por atraso de fase não devem estar situados desnecessariamente próximos à origem porque o compensador criará um polo de malha fechada adicional na mesma região em que se situam o zero e o polo do compensador O polo de malha fechada localizado perto da origem faz que a atenuação da resposta transitória fique muito lenta embora seu valor seja muito pequeno pois o zero do compen sador por atraso de fase quase cancela os efeitos desse polo Entretanto a resposta transitória decaimento é tão lenta que o tempo de acomodação ficará afetado de forma prejudicial Observase também que no sistema compensado por um compensador por atraso de fase a função de transferência entre o distúrbio da planta e o erro do sistema pode não envolver um zero que esteja próximo desse polo Portanto a resposta transitória a uma entrada de perturbação pode ter uma duração muito longa 3 A atenuação causada pelo compensador por atraso de fase deslocará a frequência de cru zamento de ganho para um ponto de menor frequência onde a margem de fase é aceitável Assim o compensador por atraso de fase reduzirá a banda passante do sistema e resultará em uma resposta transitória mais lenta A curva de ângulo de fase de Gc jG j fica inalterada perto e acima da nova frequência de cruzamento de ganho 4 Como o compensador por atraso de fase tende a integrar o sinal de entrada ele atua apro ximadamente como um controlador proporcionalintegral Em virtude disso um sistema compensado por atraso de fase tende a ser menos estável Para evitar essa característica indesejável a constante de tempo T deve ser suficientemente maior que a maior constante de tempo do sistema 5 A estabilidade condicional pode ocorrer quando um sistema a ser compensado pelo uso de um compensador por atraso de fase apresentar saturação ou limitação Quando ocorrer saturação ou limitação no sistema o ganho de malha efetivo ficará reduzido Então o sistema fica menos estável podendo mesmo resultar em uma operação instável como mostra a Figura 7108 Para que isso seja evitado o sistema deve ser projetado de modo que o efeito da compensação por atraso de fase se torne significativo apenas quando a amplitude da entrada aplicada em elementos dotados de saturação seja pequena Isso pode ser feito por meio de compensação com malha interna de realimentação 467 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 713 Compensação por atraso e avanço de fase Estudaremos inicialmente as características da resposta em frequência do compensador por atraso e avanço de fase Em seguida apresentaremos a técnica de compensação baseada na resposta em frequência Característica do compensador por atraso e avanço de fase Considere o compensador por atraso e avanço de fase dado por G s K s T s T s T s T 1 1 1 c c 1 1 2 2 c b J L K K KK J L K K KK N P O O OO N P O O OO h 727 onde g 1 e β 1 O termo s T s T T s T s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 c c c c f p h produz o efeito de rede de avanço de fase e o termo s T s T T s T s 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 b b b b c m h produz o efeito de rede de atraso de fase No projeto de um compensador por atraso e avanço de fase frequentemente selecionamos g β Isso não é necessário Podese é claro selecionar g β A seguir vamos considerar o caso em que g β O diagrama polar do compensador por atraso e avanço de fase com Kc 1 e g β é o indicado na Figura 7109 Podese ver que para 0 1 o compensador atua como um compensador por atraso de fase enquanto para 1 ele atua como um compensador por avanço de fase A frequência 1 é a frequência em que o ângulo de fase é zero Este é dado por T T 1 1 1 2 Para deduzir essa equação veja o Problema A721 FIGURA 7108 dB 40 30 20 10 0 10 20 90 180 270 07 1 2 4 6 8 10 20 Ganho elevado Ganho reduzido em rads z 0 z 0 Diagrama de Bode de um sistema condicionalmente estável 468 Engenharia de controle moderno A Figura 7110 mostra o diagrama de Bode de um compensador por atraso e avanço de fase quando Kc 1 g β 10 e T2 10T1 Note que a curva de módulo tem o valor de 0 dB nas regiões de baixa e de alta frequência Compensação por atraso e avanço de fase baseada no critério da resposta em frequên cia O projeto de um compensador por atraso e avanço de fase pelo critério da resposta em frequência tem como base a combinação das técnicas de projeto discutidas na compensação por avanço de fase e na compensação por atraso de fase Vamos supor que o compensador por atraso e avanço de fase seja da seguinte maneira G s K T s T s T s T s K s T s T s T s T 1 1 1 1 1 1 1 c c c 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b c c c e e h m h h h m m o o 728 onde β 1 A parte relativa ao avanço de fase do compensador por atraso e avanço de fase a parte que envolve T1 altera a curva de resposta em frequência pela adição de um ângulo de avanço de fase e o aumento da margem de fase na frequência de cruzamento de ganho A parte relativa ao atraso de fase a porção que envolve T2 fornece atenuação perto e acima da frequência de cruzamento de ganho e desse modo permite um aumento de ganho na faixa de baixa frequência para melhorar o desempenho em regime permanente Vamos ilustrar os procedimentos para o projeto de um compensador de atraso e avanço de fase por meio de um exemplo FIGURA 7109 Im Re 0 1 1 0 Diagrama polar de um compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 727 com Kc 1 e γ β FIGURA 7110 10 0 10 20 30 90 0 90 em rads dB 001 T1 1 T1 10 T1 01 T1 0001 T1 100 T1 Diagrama de Bode de um compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 727 com Kc 1 γ β 10 e T2 10T1 469 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Exemplo 728 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é G s s s s K 1 2 h h h Desejase que a constante de erro estático de velocidade seja 10 s 1 a margem de fase seja 50 e a margem de ganho seja 10 dB ou mais Suponha que seja utilizado o compensador por atraso e avanço de fase dado pela Equação 728 Note que a porção de avanço de fase aumenta tanto a margem de fase como a banda passante do sistema o que implica o aumento da velocidade de resposta A porção de atraso de fase mantém o ganho nas baixas frequências A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é GcsGs Como o ganho K da planta é ajustável vamos supor que Kc 1 Então lim s 0 GcsGs 1 A partir do requisito da constante de erro estático de velocidade obtemos 10 lim lim K sG s G s sG s s s s K K 1 2 2 s c s c 0 0 y h h h h h Portanto K 20 A seguir vamos construir o diagrama de Bode do sistema não compensado com K 20 como mostra a Figura 7111 A margem de fase do sistema com ganho ajustado mas não compensado é de 32 o que indica que o sistema com ganho ajustado mas não compensado é instável A próxima etapa no projeto de um compensador por atraso e avanço de fase é escolher uma nova frequência de cruzamento de ganho A partir da curva de ângulo de fase de G j notase que G j h 180 em 15 rads É conveniente escolher a nova frequência de cruzamento de ganho como 15 rads de modo que o ângulo de avanço de fase requerido em 15 rads seja de aproximadamente 50 o que é inteiramente possível utilizandose uma única rede por atraso e avanço de fase FIGURA 7111 em rads dB 60 40 20 0 40 20 90 0 90 180 270 002 001 004 01 02 04 06 G GcG G GcG Gc Gc 16 dB 1 2 4 6 10 32 50 Diagramas de Bode de G função de transferência de malha aberta com ganho ajustado mas não compensado Gc compensador e GcG função de transferência de malha aberta compensada 470 Engenharia de controle moderno Uma vez escolhida a frequência de cruzamento de ganho como 15 rads podese determinar a frequência de canto da porção de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase Vamos escolher a frequência de canto 1T2 que corresponde ao zero da porção de atraso de fase do compensador como uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho ou em 015 rads Lembrese de que para o compensador por avanço de fase o ângulo por avanço de fase máximo zm é dado pela Equação 725 onde a nesse caso é 1β Substituindo a 1β na Equação 725 temse sen 1 1 1 1 2 1 m z b b b b Note que β 10 corresponde a zm 549 Como é necessária uma margem de fase de 50 podese escolher β 10 Observe que será utilizado um valor vários graus menor que o ângulo máximo 549 Assim β 10 Em seguida a frequência de canto 1βT2 o que corresponde ao polo da porção por atraso de fase do compensador tornase 0015 rads A função de transferência da porção de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase tornase 10 s s s s 0 015 0 15 66 7 1 6 67 1 c m A porção de avanço de fase pode ser determinada como segue sendo a nova frequência de cruzamento de ganho 15 rads obtémse G j15 como 13 dB a partir da Figura 7111 Portanto se o compensador por atraso e avanço de fase contribui com 13 dB em 15 rads então a nova frequência de cruzamento de ganho será conforme o desejado A partir desse requi sito é possível traçar uma reta com inclinação de 20 dB por década passando pelo ponto 15 rads 13 dB As intersecções dessa reta com a reta 0 dB e com a linha 20 dB determinam as frequências de canto Assim as frequências de canto da porção por avanço de fase são 07 rads e 7 rads Portanto a função de transferência da porção de avanço de fase do compen sador por atraso e avanço de fase é s s s s 7 0 7 10 1 0 143 1 1 43 1 c m Combinando as funções de transferência das porções de atraso e de avanço de fase do compensador obtémse a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase Como escolhemos Kc 1 temse G s s s s s s s s s 7 0 7 0 015 0 15 0 143 1 1 43 1 66 7 1 6 67 1 c c c c c h m m m m As curvas de módulo em dB e de ângulo de fase do compensador por atraso e avanço de fase que acaba de ser projetado estão representadas na Figura 7111 A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s s s s s s s s s s s s s s s 7 0 015 1 2 0 7 0 15 20 0 143 1 66 7 1 1 0 5 1 10 1 43 1 6 67 1 c h h h h h h h h h h h h h h 729 A Figura 7111 também mostra as curvas de módulo em dB e de ângulo de fase do sistema da Equação 729 A margem de fase do sistema compensado é 50 a margem de ganho é 16 dB e a constante de erro estático de velocidade é 10 s 1 Portanto todos os requisitos foram atendidos e o projeto está completo 471 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A Figura 7112 mostra os diagramas polares de G j função de transferência de malha aberta de ganho ajustado mas não compensado e Gc jG j função de transferência de malha aberta compensada O lugar geométrico de Gc jG j é tangente à circunferência M 12 em aproximadamente 2 rads Isso indica claramente que o sistema compensado tem estabilidade relativa satisfatória A banda passante do sistema compensado é ligeiramente maior que 2 rads A seguir serão estudadas as características da resposta transitória do sistema compensado O sistema de ganho ajustado mas não compensado é instável A função de transferência de malha fechada do sistema compensado é R s C s s s s s s s s 4 7691 47 7287 110 3026 163 724 82 10 95 381 81 10 5 4 3 2 2 h h As figuras 7113 e 7114 apresentam as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária respectivamente obtidas por meio do MATLAB FIGURA 7112 M 12 015 1 Im Re G GcG 02 04 8 7 6 5 4 3 2 1 2 0 1 1 2 2 2 1 4 3 5 8 7 1 2 6 Diagramas polares de G ganho ajustado e GcG FIGURA 7113 Saída 16 06 0 1 14 04 02 12 08 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Exemplo 728 472 Engenharia de controle moderno Observe que o sistema de controle de malha fechada projetado tem os seguintes zeros e polos de malha fechada Zero em s 01499 s 06993 Polos em s 08973 j14439 s 01785 s 05425 s 74923 O polo em s 01785 e o zero em s 01499 estão localizados muito próximos um do outro Esse par de polo e zero produz uma cauda longa e de pequena amplitude na resposta ao degrau como se vê na Figura 7113 Além disso o polo em s 05425 e o zero em s 06993 estão localizados razoavelmente próximos um do outro Esse par acrescenta amplitude ao efeito cauda longa Resumo do projeto de sistemas de controle pelo método da resposta em frequência As últimas três seções apresentaram procedimentos detalhados para projetar compensadores por avanço por atraso e por atraso e avanço de fase por meio de exemplos simples Mostramos que o projeto de um compensador para atender às especificações dadas em termos de margem de fase e margem de ganho pode ser realizado de modo simples e direto pelo diagrama de Bode Deve se notar que não são todos os sistemas que podem ser compensados com um compensador por avanço atraso ou atraso e avanço de fase Em alguns casos podem ser utilizados compensadores com polos e zeros complexos Para sistemas que não podem ser projetados pelo método do lugar das raízes ou da resposta em frequência podese utilizar o método de localização de polos Veja o Capítulo 10 Em dado problema de projeto se tanto os métodos convencionais de projeto como o método de localização de polos puderem ser utilizados os métodos convencionais do lugar das raízes ou da resposta em frequência normalmente resultarão em um compensador estável de menor ordem Note que o projeto satisfatório de um compensador para um sistema complexo pode requerer uma aplicação criativa de todos os métodos disponíveis de projeto Comparação entre compensação por avanço de fase atraso de fase e atraso e avanço de fase 1 A compensação por avanço de fase é comumente utilizada para melhorar as margens de estabilidade A compensação por atraso de fase é usada para melhorar o desempenho em estado permanente A compensação por avanço de fase atinge o resultado desejado pelos méritos de sua contribuição de avanço de fase enquanto a compensação por atraso de fase alcança o resultado pelos méritos de sua propriedade de atenuação nas altas frequências FIGURA 7114 Saída 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Resposta à rampa unitária do sistema compensado Exemplo 728 473 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência 2 Em alguns problemas de projeto tanto a compensação por atraso de fase como a compen sação por avanço de fase podem satisfazer às especificações A compensação por avanço de fase fornece uma frequência de cruzamento de ganho maior que é possível com a compensação por atraso de fase Uma frequência de cruzamento de ganho maior significa uma banda passante maior Uma banda passante maior significa a redução no tempo de acomodação A banda passante de um sistema com compensação por avanço de fase é sempre maior que no caso da compensação por atraso de fase Portanto se for desejada uma banda passante grande ou uma resposta rápida devese empregar a compensação por avanço de fase Entretanto se estiverem presentes sinais de ruído uma banda passante poderá não ser desejável uma vez que ela torna o sistema mais suscetível aos sinais de ruído em virtude do aumento no ganho nas altas frequências Nesse caso devese usar a compensação por atraso de fase 3 A compensação por avanço de fase requer um aumento adicional no ganho para com pensar a atenuação inerente à rede por avanço de fase Isso significa que a compensação por avanço de fase requererá um ganho maior que o necessário para compensação por atraso de fase Um ganho maior na maioria dos casos implica maior espaço maior peso e maior custo 4 A compensação por avanço de fase pode gerar sinais de maior amplitude no sistema Esses sinais maiores não são desejáveis pois podem causar saturação no sistema 5 A compensação por atraso de fase reduz o ganho do sistema nas altas frequências sem reduzir o ganho em baixas frequências Como a banda passante do sistema é pequena a velocidade de resposta é menor Pelo fato de o ganho em alta frequência ser reduzido podese aumentar o ganho total do sistema Desse modo aumentase também o ganho em baixa frequência melhorando a precisão em regime permanente Além disso quaisquer ruídos de alta frequência existentes no sistema podem ser atenuados 6 A compensação por atraso de fase introduz um par de polos zero próximo à origem que vai gerar uma longa cauda de pequena amplitude na resposta transitória 7 Se forem desejáveis tanto respostas rápidas como precisão em regime permanente poderá ser empregado um compensador por atraso e avanço de fase Utilizandose um compensa dor por atraso e avanço de fase o ganho em baixa frequência pode ser aumentado o que significa melhor precisão em regime permanente e ao mesmo tempo podese aumentar a banda passante e as margens de estabilidade 8 Embora um grande número de tarefas práticas possa ser realizado por compensadores por avanço de fase por atraso de fase ou por atraso e avanço de fase para sistemas complica dos a compensação pelo simples uso desses compensadores pode não produzir resultados satisfatórios Então devese empregar outros compensadores tendo configurações de polos e zeros diferentes Comparação gráfica A Figura 7115a mostra a curva de resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária de um sistema não compensado As curvas típicas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária de um sistema compensado que utiliza compensadores por avanço atraso e atraso e avanço de fase respectivamente estão indicadas nas figuras 7115b c e d O sistema com um compensador por avanço de fase apresenta a resposta mais rápida enquanto o sistema com um compensador por atraso de fase exibe a resposta mais lenta mas com melhoras consideráveis na resposta à rampa unitária O sistema com o compensador por atraso e avanço de fase fornece um compromisso melhoramentos consideráveis tanto na resposta transitória como na resposta em regime permanente podem ser esperados As curvas de resposta mostradas representam a natureza dos melhoramentos que podem ser esperados dos diferentes tipos de compensadores Compensação por realimentação Um tacômetro é um dos dispositivos de realimentação de velocidade Outro dispositivo comum de realimentação de velocidade é o giroscópio de 474 Engenharia de controle moderno velocidade Os giroscópios de velocidade normalmente são utilizados em sistemas de pilotagem automática de aeronaves A realimentação de velocidade que emprega tacômetro é muito utilizada em servossistemas posicionadores Note que se um sistema for submetido a sinais de ruído a realimentação de veloci dade pode ocasionar alguma dificuldade caso o esquema específico de realimentação de velocidade produza a diferenciação do sinal de saída O resultado é a acentuação dos efeitos de ruído Cancelamento de polos indesejáveis Como a função de transferência de elementos em cascata é o produto das funções de transferência individuais é possível o cancelamento de alguns polos ou zeros indesejáveis se for utilizado um elemento de compensação em cascata com seus polos e zeros sendo ajustados para cancelar polos ou zeros indesejáveis do sistema original Por exemplo uma constante de tempo elevada T1 pode ser cancelada pelo uso de uma rede por avanço de fase T1s 1T2s 1 como segue T s T s T s T s 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 e oe o Se T2 for muito menor que T1 podemos efetivamente eliminar a constante de tempo elevada T1 A Figura 7116 mostra o efeito do cancelamento de uma constante de tempo elevada na resposta transitória ao degrau Quando o sistema original tiver um polo indesejável situado no semiplano direito do plano s esse esquema de compensação não deve ser utilizado dado que embora seja matematica mente possível cancelar o polo indesejável pela adição de um zero o cancelamento exato é fisicamente impossível em virtude das imprecisões envolvidas na localização de polos e zeros Um polo no semiplano direito do plano s não cancelado exatamente pelo zero do compensador poderá levar a uma operação instável porque a resposta vai conter um termo exponencial que aumenta com o tempo FIGURA 7116 x x y z y z t t t 1 T1s 1 T1s 1 T2s 1 Curvas de resposta ao degrau indicando o efeito do cancelamento de uma constante de tempo elevada FIGURA 7115 ct 1 0 t ct 1 0 t ct 1 0 t ct 1 0 t ct 0 t ct 0 t ct 0 t ct 0 t ess ess ess ess a b c d Curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária a Sistema não compensado b sistema compensado por avanço de fase c sistema compensado por atraso de fase d sistema compensado por atraso e avanço de fase 475 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Note que se um polo no semiplano esquerdo do plano s for quase cancelado mas não preci samente como é quase sempre o caso a combinação polozero não cancelada fará que a resposta tenha um componente de pequena amplitude mas de longa duração na resposta transitória Se o cancelamento não for exato mas razoavelmente bom então esse componente será pequeno Observe que o sistema de controle ideal não é o que tem uma função de transferência unitá ria Fisicamente um sistema de controle como este não pode ser construído uma vez que não é possível transferir instantaneamente energia da entrada para a saída Além disso como o ruído quase sempre está presente sob uma ou outra forma um sistema com uma função de transferência unitária não é desejado Na maioria dos casos práticos um sistema de controle desejável deve possuir um conjunto de polos dominantes de malha fechada complexos conjugados com um coeficiente de amortecimento e frequência natural não amortecida razoáveis A determinação da parte significativa da configuração de polos e zeros de malha fechada como a localização dos polos dominantes de malha fechada é baseada nas especificações que fornecem o desempenho desejado do sistema Cancelamento de polos complexos conjugados indesejáveis Se a função de transferência de uma planta contiver um ou mais pares de polos complexos conjugados então um compensador por avanço por atraso ou por atraso e avanço de fase poderá não produzir resultados satisfatórios Nesse caso uma rede com dois zeros e dois polos poderá ser útil Se forem escolhidos zeros que cancelem os polos complexos conjugados indesejáveis da planta então poderemos essen cialmente substituir os polos indesejáveis por polos aceitáveis Ou seja se os polos complexos conjugados indesejáveis se situarem no semiplano esquerdo do plano s e estiverem sob a forma s s 2 1 2 1 1 1 2 g então a inserção de uma rede de compensação com a função de transferência s s s s 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 g g resulta em uma efetiva mudança dos polos complexos conjugados indesejáveis para polos aceitáveis Note que mesmo que o cancelamento possa não ser exato o sistema compensado apresentará características de resposta melhores Como foi dito anteriormente esse critério não pode ser utilizado se os polos complexos conjugados indesejáveis estiverem no semiplano direito do plano s Redes habituais constituídas apenas por componentes RC cujas funções de transferência possuam dois zeros e dois polos são redes em ponte T Exemplos de redes em ponte T e suas funções de transferência estão indicados na Figura 7117 As deduções das funções de transfe rência de redes em ponte T foram dadas no Problema A35 FIGURA 7117 C2 R R C1 R2 C C R1 ei eo ei eo a b Eos Eis RC1RC2s2 2RC2s 1 RC1RC2s2 RC1 2RC2s 1 Eos Eis R1CR2Cs2 2R1Cs 1 R1CR2Cs2 R2C 2R1Cs 1 Rede em ponte T 476 Engenharia de controle moderno Comentários finais Nos exemplos de projetos apresentados neste capítulo tratamos principal mente das funções de transferência dos compensadores Nos problemas reais de projetos devemos escolher os equipamentos Assim devemos satisfazer as limitações adicionais do projeto como custo tamanho peso e confiabilidade O sistema projetado pode atender às especificações sob condições normais de operação mas pode se desviar consideravelmente das especificações quando as alterações ambientais forem sig nificativas Como as alterações ambientais afetam as constantes de ganho e de tempo do sistema tornase necessário conseguir meios automáticos ou manuais de ajuste de ganho para compensar essas mudanças ambientais e também para compensar os efeitos de não linearidades que não foram levados em conta no projeto bem como as tolerâncias de fabricação de uma unidade para outra na produção de componentes do sistema Os efeitos de tolerância de fabricação ficam suprimidos em um sistema de malha fechada portanto os efeitos podem não ser críticos em operações de malha fechada mas críticos em operações de malha aberta Além disso o projetista deve levar em conta que qualquer sistema está sujeito a pequenas variações causadas principalmente pela deterioração normal do sistema Exemplos de problemas com soluções A71 Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é R s C s s s s 2 5 10 1 h h h h h Evidentemente os polos de malha fechada estão localizados em s 2 e s 5 e o sistema não é oscilatório Mostre que a resposta em frequência de malha fechada desse sistema apresenta um pico de ressonância embora o coeficiente de amortecimento dos polos de malha fechada seja maior que a unidade Solução A Figura 7118 mostra o diagrama de Bode do sistema O valor do pico de ressonância é de aproximadamente 35 dB Note que na ausência do zero o sistema de segunda ordem com z 07 não exibirá o pico de ressonância entretanto a presença de um zero de malha fechada vai causar esse pico FIGURA 7118 15 10 5 0 5 10 15 90 45 0 45 90 02 04 06 1 2 4 6 10 20 40 em rads C j R j C j R j em dB Assíntota Diagrama de Bode de 101 j2 j 5 j 477 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A72 Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x 0 25 1 4 1 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G Obtenha as funções de transferência senoidal Y1 jU1 j Y2 jU1 j Y1 jU2 j e Y2 jU2 j Ao deduzir Y1 jU1 j e Y2 jU1 j vamos supor que U2 j 0 De maneira semelhante ao obtermos Y1 jU2 j e Y2 jU2 j supomos que U1 j 0 Solução A expressão da matriz de transferência para o sistema definido por ẋ Ax Bu ẏ Cx Du é dada por Ys GsUs onde Gs é a matriz de transferência e é dada por Gs CsI A 1B D Para o sistema considerado aqui a matriz de transferência tornase C I A B D s s s s s s s s s s s s s s s s s s 1 0 0 1 25 1 4 1 0 1 1 4 25 1 4 25 1 1 0 1 1 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 2 2 2 2 2 h R T S S SS V X W W WW G G G G G Então Y s Y s s s s s s s s s s s s U s U s 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 2 2 2 2 2 1 2 h h h h R T S S S SS V X W W W WW H H Ao supor que U2 j 0 encontramos Y1 jU1 j e Y2 jU1 j como segue U j Y j j j j U j Y j j j 4 25 4 4 25 25 2 1 2 1 2 2 h h h h h h De maneira semelhante ao supor que U1 j 0 encontramos Y1 jU2 j e Y2 jU2 j como segue U j Y j j j j U j Y j j j j 4 25 5 4 25 25 2 1 2 2 2 2 h h h h h h Note que Y2 jU2 j é uma função de transferência de fase não mínima A73 Considerando o Problema A72 desenhe os diagramas de Bode do sistema utilizando o MATLAB 478 Engenharia de controle moderno Solução O Programa 715 em MATLAB produz os diagramas de Bode do sistema Há quatro conjuntos de diagramas de Bode dois para a entrada 1 e dois para a entrada 2 Esses diagramas de Bode são mostrados na Figura 7119 Programa 715 em MATLAB A 0 125 4 B 1 10 1 C 1 00 1 D 0 00 0 bodeABCD A74 Utilizando o MATLAB construa os diagramas de Bode para o sistema de malha fechada indi cado na Figura 7120 para K 1 K 10 e K 20 Desenhe as três curvas de módulo no mesmo diagrama e as três curvas de ângulo de fase em outro diagrama Solução A função de transferência de malha fechada é dada por R s C s s s s K K s s s K K 1 5 6 5 3 2 h h h h FIGURA 7119 Frequência rads Fase graus Magnitude dB Diagramas de Bode 100 101 102 100 101 102 De U1 De U2 40 20 0 100 0 100 100 0 100 200 0 200 Para Y1 Para Y2 Diagramas de Bode 479 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Então o numerador e o denominador de CsRs são nun K den 1 6 5 K Uma opção do programa em MATLAB é o Programa 716 em MATLAB Os diagramas de Bode resultantes são mostrados nas figuras 7121a e b FIGURA 7120 K ss 1 s 5 Rs Cs Sistema de malha fechada FIGURA 7121 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs Kss 1s 5 onde K 1 K 10 e K 20 140 Magnitude dB 120 100 80 60 40 20 20 0 101 100 101 102 K 10 K 20 K 1 a Frequência rads 300 200 150 100 50 250 0 Fase graus 101 100 101 102 K 10 K 20 K 1 b Diagramas de Bode a curvas de módulo versus frequência b curvas de ângulo de fase versus frequência 480 Engenharia de controle moderno Programa 716 em MATLAB w logspace12200 for i 13 if i 1 K 1magphasew bodeK1 6 5 Kw mag1dB 20log10mag phase1 phase end if i 2 K 10magphasew bodeK1 6 5 Kw mag2dB 20log10mag phase2 phase end if i 3 K 20magphasew bodeK1 6 5 Kw mag3dB 20log10mag phase3 phase end end semilogxwmag1dBwmag2dBwmag3dB grid titleDiagrama de Bode de Gs Kss 1s 5 where K 1 K 10 and K 20 xlabelFrequência rads ylabelGanho dB text1231K 1 text118K 10 text1131K 20 semilogxwphase1wphase2wphase3 grid xlabelFrequência rads ylabelFase graus text0290K 1 text0220K 10 text1620K 20 A75 Prove que o diagrama polar da função senoidal de transferência 0 G j j T j T 1 para 3 h é uma semicircunferência Determine o centro e o raio da circunferência Solução A função senoidal de transferência dada G j pode ser escrita como segue G j X jY onde X T T Y T T 1 1 2 2 2 2 2 2 Então 2 X Y T T T T 2 1 4 1 1 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c m h h h Assim vemos que o diagrama de G j é uma circunferência de centro 05 0 e raio igual a 05 A semicircunferência superior corresponde a 0 e a semicircunferência inferior a 0 A76 Prove o seguinte teorema sobre mapeamento seja Fs uma relação de polinômios em s Seja P o número de polos e Z o número de zeros de Fs situados no interior de um contorno fechado no plano s já considerada a multiplicidade de polos e zeros Suponha que o contorno fechado seja de modo que não passe sobre nenhum dos polos ou zeros de Fs O contorno fechado no plano s fica então mapeado no plano Fs como uma curva fechada O número N de envolvimentos da origem do plano Fs no sentido horário quando o ponto representativo s traça no plano s o contorno completo no sentido horário é igual a Z P Solução Para provar esse teorema utilizamos o teorema de Cauchy e o teorema do resíduo O teorema de Cauchy afirma que a integral de Fs em um contorno fechado no plano s é zero se Fs for analítica2 no interior e no próprio contorno ou 2 Para a definição de função analítica veja a nota de rodapé da página 409 481 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência F s ds 0 h o Suponha que Fs seja dada por F s s p s p s z s z X s m m k k 1 2 1 2 1 2 1 2g g h h h h h h onde Xs é analítico no contorno fechado do plano s e todos os polos e zeros estejam localizados no interior do contorno Então a relação FsFs pode ser escrita como F s F s s z k s z k s p m s p m X s X s 1 1 2 2 1 1 2 2 g g l l c e h h m o h h 730 Isso pode ser visto a partir da seguinte consideração se F s for dado por F s s z1k Xs então F s terá um zero de késima ordem em s z1 Diferenciando Fs em relação a s temos F s ks z1k 1 Xs s z1kXs Então F s F s s z k X s X s 1 l l t t h h h h 731 Vemos que considerando a relação F sF s o zero de késima ordem de F s tornase um polo simples de F sF s Se o último termo do lado direito da Equação 731 não contém nenhum polo ou zero do contorno fechado no plano s FsFs é analítica no interior do contorno com exceção do zero no ponto s z1 Então considerando a Equação 730 e utilizando o teorema do resíduo que diz que a integral de FsFs ao longo de um contorno fechado no sentido horário no plano s é igual a 2pj vezes os resíduos nos polos simples de FsFs ou 2 F s F s ds j resíduos r l c h h m o temos 2 2 F s F s ds j k k m m j Z P 1 2 1 2 g g r r l h h h h h 6 o onde Z k1 k2 número total de zeros de Fs situados no interior do contorno fechado do plano s P m1 m2 número total de polos de Fs situados no interior do contorno fechado do plano s Os k zeros ou polos múltiplos são considerados k zeros ou polos localizados no mesmo ponto Como Fs é uma grandeza complexa ela pode ser escrita como Fs Fejθ e ln Fs lnF jθ Notando que FsFs pode ser escrita como ln F s F s ds d F s l h h h obtemos ln F s F s ds d F j ds di l h h 482 Engenharia de controle moderno Se o contorno fechado no plano s for mapeado no contorno fechado G no plano Fs então ln F s F s ds d F j d j d j P Z 2 i i r C C l h h h o o o A integral Γ F é zero pois o valor de ln F é o mesmo tanto no ponto inicial como no ponto final do contorno Γ Assim obtemos P Z 2 2 1 r i i A diferença angular entre os valores final e inicial de θ é igual à mudança total do ângulo de fase de FsFs à medida que o ponto representativo no plano s se move ao longo do contorno fechado Notando que N é o número de voltas no sentido horário em torno da origem do plano Fs e θ2 θ1 é zero ou um múltiplo de 2p rad obtemos N 2 2 1 r i i Assim temos a relação N Z P Isso prova o teorema Observe que por esse teorema do mapeamento o número exato de zeros e polos não pode ser determinado mas apenas sua diferença Note também que a partir das figuras 7122a e b vemos que se θ não variar em 2p rad então a origem do plano Fs não pode ser envolvida A77 O diagrama polar de Nyquist de resposta em frequência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária é mostrado na Figura 7123a Ao supor que o percurso de Nyquist no plano s englobe todo o semiplano direito do plano s trace o diagrama de Nyquist completo no plano G Em seguida responda às seguintes questões a Se a função de transferência de malha aberta não possui polos no semiplano direito do plano s o sistema de malha fechada é estável b Se a função de transferência de malha aberta possui um polo e nenhum zero no semiplano direito do plano s o sistema de malha fechada é estável c Se a função de transferência de malha aberta possui um zero e nenhum polo no semiplano direito do plano s o sistema de malha fechada é estável Solução A Figura 7123b mostra o diagrama de Nyquist completo no plano G Eis as respostas às três questões FIGURA 7122 Re Im θ1 θ2 θ2 Origem envolvida θ2 θ1 2 Origem não envolvida θ2 θ1 0 Plano Fs Plano Fs 0 a b Re Im 0 θ1 Determinação do envolvimento da origem do plano Fs 483 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência a O sistema de malha fechada é estável porque o ponto crítico 1 j0 não é envolvido pelo diagrama de Nyquist Ou seja como P 0 e N 0 temos Z N P 0 b A função de transferência de malha aberta tem um polo no semiplano direito do plano s Então P 1 O sistema de malha aberta é instável Para que o sistema de malha fechada seja estável o diagrama de Nyquist deve envolver o ponto crítico uma vez no sentido anti horário Entretanto o diagrama de Nyquist não envolve nem uma vez o ponto crítico 1 j0 no sentido antihorário Então N 0 Portanto Z N P 1 O sistema de malha fechada é instável c Como a função de transferência de malha aberta tem um zero mas nenhum polo no semi plano direito do plano s temos Z N P 0 Assim o sistema de malha fechada é estável Note que os zeros da função de transferência de malha aberta não afetam a estabilidade do sistema de malha fechada A78 O sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta é está vel com K 2 G s H s s s s K 1 2 1 h h h h Determine o valor crítico do ganho K para que haja estabilidade Solução A função de transferência de malha aberta é G j H j j j j K j K 1 2 1 3 1 2 2 2 h h h h h Essa função de transferência de malha aberta não tem polos no semiplano direito do plano s Então para que haja estabilidade o ponto crítico 1 j0 não deve ser envolvido Determinemos o ponto em que o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo Façamos a parte imaginária de G jH j ser igual a zero ou 1 22 0 de onde 2 1 Substituindo 1 2 em G jH j obtemos FIGURA 7123 0 Re a Im 1 0 Re Im 1 Plano G 0 0 b a Diagrama de Nyquist b diagrama de Nyquist completo no plano G 484 Engenharia de controle moderno G j H j K 2 1 2 1 3 2 e e o o O valor crítico do ganho K é obtido igualandose 2K3 a 1 ou 1 3 K 2 Então K 2 3 O sistema é estável se 0 K 2 3 Então o sistema com K 2 é instável A79 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 7124 Determine o valor crítico de K para que haja estabilidade utilizando o critério de estabilidade de Nyquist Solução O diagrama polar de fórmula G j j K 1 h é uma circunferência com centro em K2 no eixo real negativo e raio K2 como mostra a Figura 7125a Para variando de a o lugar geométrico de G j faz uma rotação no sentido contrário dos ponteiros do relógio Nesse sistema P 1 porque há um polo de Gs no semiplano direito do plano s Para que o sistema de malha fechada seja estável Z deve ser igual a 0 Portanto N Z P deve ser igual a 1 ou deve haver um envolvimento no sentido antihorário do ponto 1 j0 para que haja estabilidade Se não houver envolvimento do ponto 1 j0 o sistema FIGURA 7125 Re Im Re Re Im Im 1 1 Plano G Plano G Plano G Estável Instável a b 0 0 0 P 1 N 1 Z 0 P 1 N 0 K 1 K 1 Z 1 K 2 K 2 a Diagrama polar de K j 1 b diagramas polares de K j 1 para os casos estável e instável FIGURA 7124 Rs Cs K s 1 Sistema de malha fechada 485 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência será instável Assim para que haja estabilidade K deve ser maior que a unidade e K 1 é o caso limite da estabilidade A Figura 7125b mostra ambos os casos de estabilidade e instabilidade dos diagramas de G j A710 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s Ke 1 s 0 8 h Utilize o diagrama de Nyquist para determinar o valor crítico de K para que haja estabilidade Solução Para esse sistema cos sen cos sen sen cos G j j Ke K j j K j 1 1 0 8 0 8 1 1 0 8 0 8 0 8 0 8 j 0 8 2 2 h h h h h 6 A parte imaginária de G j é igual a zero se sen 08 cos 08 0 Então tg 08 Resolvendo essa equação para o menor valor positivo de obtemos 24482 Substituindo 24482 em G j obtemos 0378 cos sen G j K K 2 4482 1 2 4482 1 9586 2 4482 1 9586 2 h h O valor crítico de K para que haja estabilidade será obtido se fizermos que G j24482 seja igual a 1 Então 0378K 1 ou K 265 A Figura 7126 mostra o diagrama polar ou de Nyquist de 265e 08j1 j e 2651 j O sistema de primeira ordem sem retardo de transporte é estável para todos os valores de K mas com um retardo de transporte de 08 segundo tornase instável para K 265 FIGURA 7126 Re Im 4 3 245 2 15 1 2 1 1 1 2 3 1 0 6 8 9 10 05 265 1 j 265 e08j 1 j Diagramas polares de 265e 08j1 j e 2651 j 486 Engenharia de controle moderno A711 Considere o sistema com realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s 1 10 20 0 5 2 h h h h Trace o diagrama de Nyquist com o MATLAB e examine a estabilidade do sistema de malha fechada Solução O Programa 717 em MATLAB produz o diagrama de Nyquist mostrado na Figura 7127 Essa figura mostra que o diagrama de Nyquist não envolve o ponto 1 j0 Então N 0 no critério de estabilidade de Nyquist Como não há nenhum polo de malha aberta no semiplano direito do plano s P 0 Portanto Z N P 0 O sistema de malha fechada é estável Programa 717 em MATLAB num 20 20 10 den 1 11 10 0 nyquistnumden v 2 3 3 3 axisv grid A712 Considere o mesmo sistema discutido no Problema A711 Desenhe o diagrama de Nyquist somente para a região de frequências positivas Solução O desenho de um diagrama de Nyquist apenas para a região de frequências positivas pode ser feito com o auxílio do seguinte comando reimw nyquistnumdenw A região de frequências pode ser dividida em diversas subregiões utilizandose diferentes incrementos Por exemplo a região de frequências de interesse pode ser dividida em três sub regiões como segue w1 010110 w2 102100 w3 10010500 w w1 w2 w3 FIGURA 7127 Eixo real 1 05 15 2 3 1 15 05 2 25 0 Eixo imaginário 3 3 2 1 2 1 0 Diagrama de Nyquist Diagrama de Nyquist de G s s s s s s 1 10 20 0 5 2 h h h h 487 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência O Programa 718 em MATLAB utiliza essa região de frequências Com esse programa obtemos o diagrama de Nyquist visto na Figura 7128 Programa 718 em MATLAB num 20 20 10 den 1 11 10 0 w1 010110 w2 102100 w3 10010500 w w1 w2 w3 reimw nyquistnumdenw plotreim v 3 3 5 1 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs 20s2 s 05ss 1s 10 xlabelEixo real ylabelEixo imaginário A713 Com referência ao Problema A712 desenhe o diagrama polar de Gs onde G s s s s s s 1 10 20 0 5 2 h h h h Localize no diagrama polar os pontos de frequências onde 02 03 05 1 2 6 10 e 20 rads Determine também os módulos e os ângulos de fase de G j nos pontos de frequências especificados Solução No Programa 719 em MATLAB utilizamos o vetor de frequência w que é constituído por três subvetores de frequência w1 w2 e w3 Em vez desse vetor w podemos utilizar simples mente o vetor de frequências w logscaled1 d2 n O Programa 719 em MATLAB utiliza o seguinte vetor de frequências w logscale12100 Esse programa em MATLAB desenha o diagrama polar e localiza os pontos de frequências especificados no diagrama polar como mostra a Figura 7129 FIGURA 7128 Eixo real 3 3 2 1 0 1 2 Eixo imaginário 3 5 1 1 4 2 0 Diagrama de Nyquist de Gs 20s2 s 05ss 1s 10 Diagrama de Nyquist para a região de frequências positivas 488 Engenharia de controle moderno Programa 719 em MATLAB num 20 20 10 den 1 11 10 0 ww logspace12100 nyquistnumdenww v 2 3 5 0 axisv grid hold Current plot held w 02 03 05 1 2 6 10 20 reimw nyquistnumdenw plotreimo text1148w 02 text113103 text1251705 text137041 text18032 text14116 text0770810 text00370820 Para obter os valores de ganho e fase em graus de Gjw nos valores especificados de w digite o comando magphasew bodenumdenw magphasew bodenumdenw A tabela seguinte mostra os valores especificados da frequência w e os valores correspondentes do módulo e fase em graus w mag phase ans 02000 49176 789571 03000 32426 722244 05000 19975 559925 10000 15733 241455 20000 17678 144898 60000 16918 310946 100000 14072 450285 200000 08933 634385 FIGURA 7129 Eixo real 1 05 15 2 3 1 15 05 2 25 0 Eixo imaginário 5 0 05 1 25 3 35 4 45 2 15 Diagrama de Nyquist w 02 03 05 6 2 1 10 20 Diagrama polar de G j dado no Problema A713 489 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A714 Considere um sistema com realimentação unitária positiva cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s s 5 4 4 6 2 2 h Desenhe o diagrama de Nyquist Solução O diagrama de Nyquist do sistema com realimentação positiva pode ser obtido se num e den forem definidos como num 1 4 6 den 1 5 4 e se for utilizado o comando nyquistnum den O Programa 720 em MATLAB produz o diagrama de Nyquist como mostra a Figura 7130 Esse sistema é instável porque o ponto 1 j0 é envolvido uma vez no sentido horário Note que este é um caso especial em que o diagrama de Nyquist passa pelo ponto 1 j0 e também envolve esse ponto uma vez no sentido horário Isso significa que o sistema de malha fechada é degenerado o sistema se comporta como se fosse um sistema instável de primeira ordem Veja a seguinte função de transferência de malha fechada do sistema com realimentação positiva R s C s s s s s s s s s s 5 4 4 6 4 6 2 4 6 2 2 2 2 h h h Note que o diagrama de Nyquist para o caso de realimentação positiva é a imagem especular em relação ao eixo imaginário do diagrama de Nyquist para o caso da realimentação negativa Isso pode ser visto na Figura 7131 que foi obtida com o auxílio do Programa 721 em MATLAB Note que o caso da realimentação positiva é instável mas o caso da realimentação negativa é estável Programa 720 em MATLAB num 1 4 6 den 1 5 4 nyquistnumden grid titleDiagrama de Nyquist de Gs s2 4s 6s2 5s 4 FIGURA 7130 Eixo real 14 15 09 07 1 08 12 13 11 Eixo imaginário 02 01 05 05 01 02 03 04 0 03 04 Diagrama de Nyquist de Gs s2 4s 6s2 5s 4 Diagrama de Nyquist de um sistema com realimentação positiva 490 Engenharia de controle moderno Programa 721 em MATLAB num1 1 4 6 den1 1 5 4 num2 1 4 6 den2 1 5 4 nyquistnum1den1 hold on nyquistnum2den2 v 2 2 1 1 axisv grid titleDiagrama de Nyquist de Gs e Gs text1005Gs text057048Use este diagrama text057061de Nyquist para o sistema text057073com realimentação negativa text1305Gs text17048Use este diagrama text17061de Nyquist para o sistema text17073com realimentação positiva A715 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 760 Consulte o Exemplo 719 Usando o diagrama polar inverso determine o alcance do ganho de K para estabilidade Solução Como G s s s 1 1 2 3 2 h temos G s G s G s s s K s 1 0 5 1 2 3 2 h h h h Portanto a função de transferência inversa do ramo direto é FIGURA 7131 Eixo real 15 2 1 2 05 15 05 1 0 Eixo imaginário 04 02 1 1 02 04 06 08 0 06 08 Diagramas de Nyquist de Gs e Gs Gs Gs Utilize esse diagrama de Nyquist para o sistema com realimentação positiva Utilize esse diagrama de Nyquist para o sistema com realimentação negativa Diagramas de Nyquist de um sistema com realimentação positiva e de um sistema com realimentação negativa 491 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência G s K s s s 1 0 5 1 3 2 h h Observe que 1Gs tem um polo em s 05 e não tem polo no semiplano direito do plano s Portanto a equação de estabilidade de Nyquist Z N P se reduz a Z N já que P 0 A equação reduzida determina que o número Z de zeros de 1 1Gs no semiplano direito do plano s é igual a N o número de envolvimentos no sentido horário do ponto 1 j0 Para estabilidade N deve ser igual a zero ou não deve haver envolvimento A Figura 7132 mostra o diagrama de Nyquist ou diagrama polar de KG j Note que como G j K j j j j j j 0 5 1 0 5 0 5 0 25 0 5 0 5 1 0 5 3 2 2 2 4 2 e h h h o h H o lugar geométrico de KG j cruza o eixo real negativo em 2 e o ponto de cruzamento no eixo real negativo é 2 A partir da Figura 7132 vemos que se o ponto crítico estiver na região entre 2 e não estará envolvido Portanto para estabilidade é preciso que 1 K 2 1 Assim o alcance de ganho de K para estabilidade é 2 K que é o mesmo resultado que obtivemos no Exemplo 719 FIGURA 7132 Im Re K Plano G K G Lugar geométrico 2 0 2 0 2 Diagrama polar de KG j 492 Engenharia de controle moderno A716 A Figura 7133 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle de um veículo espacial Determine o ganho K tal que a margem de fase seja de 50º Qual é a margem de ganho nesse caso Solução Como G j j K j 2 2 h h h temos 2 180 tg G j j j 2 2 1 c h A condição de que a margem de fase seja de 50º significa que G j c h deve ser igual a 130 onde c é a frequência de cruzamento de ganho ou G j c h 130 Então definimos 50 tg 2 c 1 c a partir do qual obtemos c 23835 rads Como a curva de ângulo de fase nunca cruza a linha de 180 a margem de ganho é dB Notando que o módulo de G j deve ser igual a zero dB em 23835 temos 1 j K j 2 2 2 3835 h h A partir disso obtemos 18259 K 2 2 3835 2 3835 2 2 2 Esse valor de K fornece a margem de fase de 50 A717 Para o sistemapadrão de segunda ordem R s C s s s 2 n n n 2 2 2 g h h mostre que a banda passante b é dada pela fórmula 1 2 4 4 2 b n 2 4 2 1 2 g g g h Note que bn é uma função somente de z Desenhe a curva de bn versus z Solução A banda passante b é determinada a partir de C jbR jb 3 dB Frequen temente em vez de 3 dB utilizamos 301 dB que é igual a 0707 Logo 0707 R j C j j j 2 b b b n b n n 2 2 2 g h h h h FIGURA 7133 Gs Ks 2 1 s2 Sistema de controle de veículo espacial 493 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Então 0707 2 n b n b n 2 2 2 2 2 g h h da qual obtemos 05 4 n n b n b 4 2 2 2 2 2 2 g h 8 B Dividindo ambos os lados da última equação por 4 n obtemos 1 05 1 4 n b n b 2 2 2 2 g e e o o G 3 Resolvendo essa última equação para bn2 temos 2 1 4 4 2 n b 2 2 4 2 g g g e o Como bn2 ficamos com o sinal positivo nessa última equação Então 1 2 4 4 2 b n 2 2 2 4 2 g g g h ou 1 2 4 4 2 b n 2 4 2 1 2 g g g h A Figura 7134 mostra a curva de bn versus z A718 O diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs de um sistema de controle com realimentação unitária é mostrado na Figura 7135 Sabese que a função de transferência de malha aberta é de fase mínima Esse diagrama mostra que existe um par de polos complexos conjugados em 2 rads Determine o coeficiente de amortecimento do termo quadrático desse par de polos complexos conjugados Determine também a função de transferência Gs FIGURA 7134 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 0 0 02 04 06 08 10 ζ b n Curva de b n versus ζ onde b é a banda passante 494 Engenharia de controle moderno Solução Considerando a Figura 79 e examinando o diagrama de Bode da Figura 7135 deter minamos o coeficiente de amortecimento z e a frequência natural não amortecida do sistema n do termo quadrático como ζ 01 n 2 rads Notando que existe outra frequência de canto em 05 rads e que a inclinação da curva de módulo na região de baixa frequência é de 40 dBdécada G j pode ser experimentalmente determinada como G j j j j K j 2 0 1 1 0 5 1 2 2 c c h h m h m E Como a partir da Figura 7135 temos que G j01 40 dB o valor do ganho K pode ser deter minado como igual à unidade Além disso a curva de ângulo de fase calculada G j h versus coincide com a curva dada Então a função de transferência Gs pode ser determinada por tentativa como G s s s s s 0 4 4 4 2 1 2 2 h h h A719 Um sistema de controle de malha fechada pode incluir um elemento instável na malha Quando se quiser aplicar o critério de estabilidade de Nyquist em um sistema como este as curvas de resposta em frequência para o elemento instável deverão ser obtidas Como podemos obter experimentalmente as curvas de resposta em frequência para um elemen to instável Sugira uma possível abordagem para a determinação experimental da resposta em frequência de um elemento linear instável Solução Uma possibilidade é medir a resposta em frequência característica do elemento instável utilizandoo como parte de um sistema estável FIGURA 7135 40 20 20 dB 0 40 60 80 01 02 04 06 1 4 2 6 10 20 40 60 100 270 180 90 0 em rads Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária 495 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere o sistema mostrado na Figura 7136 Suponha que G1s seja instável O sistema completo pode ser definido como estável pela escolha conveniente do elemento linear G2s Aplicamos um sinal senoidal na entrada Em regime permanente todos os sinais na malha serão senoidais Medimos o sinal et a entrada do elemento instável e xt a saída do elemento ins tável Alterando a frequência e possivelmente a amplitude por conveniência da medida de et e de xt do sinal senoidal de entrada e repetindo esse processo é possível obter a resposta em frequência do elemento linear instável A720 Mostre que uma rede por avanço de fase e uma rede por atraso de fase inseridas em cascata em uma malha aberta atuam como controle proporcionalderivativo na região em que é pequeno e como controle proporcionalintegral na região em que é grande respectivamente Solução Na região em que é pequeno o diagrama polar da estrutura por avanço de fase é aproximadamente o mesmo que o do controlador proporcionalderivativo Isso está indicado na Figura 7137a Da mesma maneira na região em que é grande o diagrama polar da rede por atraso de fase se aproxima do controlador proporcionalintegral como mostra a Figura 7137b A721 Considere o compensador por atraso e avanço de fase Gcs definido por G s K s T s T s T s T 1 1 1 c c 1 2 1 2 b b c c e e h m m o o Mostre que na frequência 1 onde T T 1 1 1 2 FIGURA 7136 G1s G2s r e x c Sistema de controle FIGURA 7137 Im Im Re 0 Controlador PD Rede por avanço de fase α 0 0 a b Controlador PI 1 Re 0 1 Rede por atraso de fase 1 β a Diagramas polares de uma rede por avanço de fase e de um controlador proporcional derivativo b diagramas polares de uma rede por atraso de fase e de um controlador proporcional integral 496 Engenharia de controle moderno o ângulo de fase de Gc j tornase zero Esse compensador atua como um compensador por atraso de fase para 0 1 e atua como um compensador por avanço de fase para 1 Consulte a Figura 7109 Solução O ângulo de Gc j é dado por tg tg tg tg G j j T j T j T j T T T T T 1 1 1 c 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 b b b b h Em 1 1 T T 1 2 temos tg tg tg tg G j T T T T T T T T 1 c 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 b b h Como tg tg tg T T T T T T T T T T T T 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 e o ou 90 tg tg T T T T 1 2 1 1 1 2 c e também 90 tg tg T T T T 1 1 2 1 1 1 2 c b b temos 0 G j c 1 c h Portanto o ângulo de Gc j1 tornase 0 em 1 1 T T 1 2 A722 Considere o sistema de controle indicado na Figura 7138 Determine o valor do ganho K de modo que a margem de fase seja 60 Qual é a margem de ganho para esse valor de ganho K Solução A função de transferência de malha aberta é G s K s s s s s s s K s 0 5 0 1 1 10 1 5 0 5 10 1 3 2 h h h Vamos construir o diagrama de Bode de Gs quando K 1 O Programa 722 em MATLAB pode ser utilizado com essa finalidade A Figura 7139 mostra o diagrama de Bode gerado por esse programa A partir desse diagrama a margem de fase requerida de 60 ocorre na frequência 115 rads O módulo de G j nessa frequência é obtido como 145 dB O ganho K deve satisfazer à seguinte equação 20 log K 145 dB FIGURA 7138 K s 01 s 05 10 ss 1 Sistema de controle 497 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência ou K 0188 Programa 722 em MATLAB num 10 1 den 1 15 05 0 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 10s 1ss 05s 1 Portanto determinamos o valor de K Como a curva do ângulo não cruza a reta 180 a margem de ganho é dB Para verificar os resultados vamos traçar o diagrama de Nyquist de G no intervalo de frequências w 05001115 O ponto final do lugar geométrico 115 rads será sobre uma circunferência no plano de Nyquist Para verificar a margem de fase é conveniente traçar o diagrama de Nyquist em um diagrama polar utilizando reticulado polar Para traçar o diagrama de Nyquist em um diagrama polar inicialmente se define o vetor z por z re iim reiθ onde r e q teta são dados por r absz theta anglez A expressão abs representa a raiz quadrada da soma do quadrado da parte real com o quadrado da parte imaginária angle significa tg 1 parte imagináriaparte real Se utilizarmos o comando polarthetar o MATLAB vai produzir um diagrama em coordenadas polares O uso em seguida do comando grid traça as retas e os círculos do reticulado O Programa 723 em MATLAB gera o diagrama de Nyquist de G j onde está entre 05 e 115 rads O diagrama resultante está indicado na Figura 7140 Note que o ponto G j115 fica sobre o círculo unitário e o ângulo de fase desse ponto é 120 Então a margem de fase é 60 FIGURA 7139 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 10s 1ss 05s 1 200 150 50 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 100 50 103 102 101 100 101 Diagrama de Bode de G s s s s s 0 5 1 10 1 h h h 498 Engenharia de controle moderno O fato de o ponto G j115 estar sobre o círculo unitário confirma que para 115 rads o módulo é igual a 1 ou 0 dB Portanto 115 é a frequência de cruzamento de ganho Assim K 0188 fornece a margem de fase desejada de 60 Programa 723 em MATLAB Diagrama de Nyquist em cordenadas retangulares num 188 0188 den 1 15 05 0 w 05001115 reimw nyquistnumdenw Converter coordenadas retangulares em coordenadas polares definindo z r como z re iim r absz theta anglez Para desenhar o gráfico polar utilize o comando polarthetar polarthetar text13Verificação da margem de fase text0317Diagrama de Nyquist text22075Margem de fase text2211é 60 graus text14507Círculo unitário Note que para inserir texto no diagrama polar se digita o comando text como segue textxy Por exemplo para escrever diagrama de Nyquist com início no ponto 03 17 digitase o seguinte comando text03 17diagrama de Nyquist O texto fica escrito horizontalmente na tela A723 Se a função de transferência de malha aberta Gs contiver polos complexos conjugados ligeira mente amortecidos então mais de um dos lugares geométricos M poderá ser tangente ao lugar geométrico de G j FIGURA 7140 A margem de fase é de 60 graus 270 240 210 180 150 120 90 60 30 0 300 330 2 1 05 Verificação da margem de fase 25 15 Diagrama de Nyquist Círculo unitário Diagrama de Nyquist de G j indicando a margem de fase de 60 499 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s s 0 5 0 6 10 29 h h h 732 Construa o diagrama de Bode dessa função de transferência de malha aberta Construa também o diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase e mostre que dois lugares geométricos de M são tangentes ao lugar geométrico de G j Por fim trace o diagrama de Bode da função de transferência de malha fechada Solução A Figura 7141 mostra o diagrama de Bode de G j A Figura 7142 apresenta o diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase de G j Vêse que o lugar geométrico de G j é tangente ao lugar geométrico de M 8 dB para 097 rads e é tangente ao lugar geométrico de M 4 dB para 28 rads A Figura 7143 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha fechada A curva de módulo em dB da resposta em frequência de malha fechada mostra dois picos de ressonân cia Note que um caso assim ocorre quando a função de transferência de malha fechada inclui FIGURA 7141 40 20 0 dB 20 40 0 90 180 270 360 01 02 04 1 2 4 10 em rads Diagrama de Bode de Gs dado pela Equação 732 FIGURA 7142 30 24 18 12 6 0 18 12 6 360 270 180 90 M 05 dB M 2 dB M 8 dB M 2 dB M 4 dB 01 03 05 1 15 2 25 3 35 G G em dB Diagrama de módulo em dB versus ângulo de fase de Gs dado pela Equação 732 500 Engenharia de controle moderno o produto de dois termos de segunda ordem ligeiramente amortecidos e as duas frequências de ressonância correspondentes estão suficientemente separadas uma da outra De fato a função de transferência de malha fechada desse sistema pode ser escrita como R s C s G s G s s s s s 1 0 487 1 0 613 9 9 2 2 h h h h h h É claro que o denominador da função de transferência de malha fechada é um produto de dois termos de segunda ordem ligeiramente amortecidos os coeficientes de amortecimento são 0243 e 0102 e as duas frequências de ressonância estão suficientemente separadas A724 Considere o sistema da Figura 7144a Projete um compensador de modo que o sistema de malha fechada satisfaça os seguintes requisitos constante de erro estático de velocidade 20 s 1 margem de fase 50 e margem de ganho F 10 dB Solução Para satisfazer os requisitos tentaremos um compensador Gcs como segue G s K Ts Ts K s T s T 1 1 1 1 c c c a a a h Se o compensador por avanço de fase não funcionar tentaremos um compensador de modo diferente O sistema compensado é mostrado na Figura 7144b FIGURA 7143 20 0 20 40 0 90 180 270 360 01 02 04 06 1 2 4 6 10 em rads dB Diagrama de Bode de Gs 1 Gs onde Gs é dado pela Equação 732 FIGURA 7144 Gcs Gs Gs 10 ss 1 b 10 ss 1 a a Sistema de controle b sistema compensado 501 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Defina G s KG s s s K 1 10 1 h h h onde K Kca O primeiro passo no projeto é o ajuste do ganho K para atender às especificações de regime permanente ou fornecer a constante de erro estático de velocidade Como a constante de erro estático de velocidade Kυ é dada como 20 s 1 temse lim lim lim K sG s G s s Ts Ts G s s s s s K K K 1 1 1 10 10 20 2 s c s s 0 0 1 0 a y h h h h ou K 2 Com K 2 o sistema compensado satisfará o requisito em regime permanente A seguir vamos construir o diagrama de Bode de G s s s 1 20 1 h h O Programa 724 em MATLAB produz o diagrama de Bode indicado na Figura 7145 Por esse diagrama vemos que a margem de fase obtida é de 14 A margem de ganho é dB Programa 724 em MATLAB num 20 den 1 1 0 w logspace12100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de G1s 20ss 1 FIGURA 7145 Frequência rads Diagrama de Bode de G1s 20ss 1 200 100 150 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 102 Diagrama de Bode de G1s 502 Engenharia de controle moderno Como a especificação pede que a margem de fase seja de 50 o avanço de fase adicional neces sário para satisfazer o requisito é 36 Um compensador por avanço de fase pode contribuir com esse valor Notando que a adição do compensador por avanço de fase modifica a curva de módulo em dB no diagrama de Bode percebemos que a frequência de cruzamento de ganho será deslocada para a direita Devemos compensar o aumento do atraso de fase de G1 j em virtude desse aumento na frequência de cruzamento de ganho Levandose em consideração o deslocamento da frequência de cruzamento de ganho devemos supor que zm o avanço de fase máximo requerido seja de aproximadamente 41 Isso significa que aproximadamente 5 foram adicionados ao compen sador para deslocar a frequência de cruzamento de ganho Como sen 1 1 zm a a zm 41 corresponde a a 02077 Note que a 021 corresponde a zm 4076 A escolha de zm 41 ou zm 4076 não deve fazer diferença na solução final Portanto vamos escolher a 021 Uma vez que o fator de atenuação a tenha sido determinado com base no requisito do ângulo de fase o próximo passo é determinar as frequências de canto 1T e 1aT do compensador por avanço de fase Note que o ângulo de fase máximo zm ocorre na média geométrica de duas frequências de canto ou 1 a T O resultado da modificação na curva de módulo em dB em 1 a T em razão da inclusão do termo Ts 1aTs 1 é j T j T j j 1 1 1 1 1 1 1 1 T a a a a a a Observe que 67778 dB 1 0 21 1 a Devemos então obter a frequência em que quando for adicionado o compensador por avanço de fase o ganho resultante seja 0 dB A partir da Figura 7145 vemos que o ponto de frequências onde o módulo de G1 j é 67778 dB está entre 1 e 10 rads Portanto construímos um novo diagrama de Bode de G1 j no intervalo de frequência entre 1 e 10 para situar o ponto exato onde G1 j 67778 dB O Programa 725 em MATLAB produz um diagrama de Bode nessa faixa de frequência que está indicado na Figura 7146 Desse diagrama vêse que o ponto de frequências onde G1 j 67778 dB ocorre em 65686 rads Vamos selecionar essa nova frequência de cruzamento de ganho ou c 65686 rads Notando que essa frequência corresponde a 1 a T ou T 1 c a obtemos 65686 30101 T 1 0 21 c a e 143339 T 1 0 21 6 5686 c a a 503 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 725 em MATLAB num 20 den 1 1 0 w logspace01100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de G1s 20ss 1 O compensador por avanço de fase assim determinado é G s K s s K s s 14 3339 3 0101 0 06976 1 0 3322 1 c c ca h onde Kc é determinado como 95238 K K 0 21 2 c a Assim a função de transferência do compensador é 95238 2 G s s s s s 14 3339 3 0101 0 06976 1 0 3322 1 c h O Programa 726 em MATLAB produz o diagrama de Bode desse compensador por avanço de fase que está indicado na Figura 7147 A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é G s G s s s s s s s s s 9 5238 14 3339 3 0101 1 10 15 3339 14 3339 95 238 286 6759 c 3 2 h h h Programa 726 em MATLAB numc 95238 286676 denc 1 143339 w logspace13100 bodenumcdencw titleDiagrama de Bode de Gcs 95238s 30101s 143339 FIGURA 7146 Frequência rads Diagrama de Bode de G1s 20ss 1 180 140 130 150 160 170 120 20 10 0 Fase graus Magnitude dB 40 30 20 10 100 101 Diagrama de Bode de G1s 504 Engenharia de controle moderno O Programa 727 em MATLAB produzirá o diagrama de Bode de GcsGs que está indicado na Figura 7148 A partir do Programa 727 em MATLAB e da Figura 7148 vêse claramente que a margem de fase é aproximadamente 50 e a margem de ganho é dB Como a constante de erro estático de velocidade Kυ é 20 s 1 todas as especificações foram satisfeitas Antes de concluirmos este problema é necessário verificar as características de resposta transitória Resposta ao degrau unitário vamos comparar a resposta ao degrau unitário do sistema compen sado com a do sistema original não compensado A função de transferência de malha fechada do sistema original não compensado é R s C s s s 10 10 2 h h A função de transferência de malha fechada do sistema compensado é R s C s s s s s 15 3339 110 5719 286 6759 95 238 286 6759 3 2 h h O Programa 728 em MATLAB produz as respostas ao degrau unitário dos sistemas compen sado e não compensado A Figura 7149 apresenta as curvas de resposta resultantes O sistema FIGURA 7147 Frequência rads Diagrama de Bode de Gcs 95238s 30101s 143339 0 40 30 20 10 60 50 5 Fase graus Magnitude dB 10 20 15 101 100 101 102 103 Diagrama de Bode de Gcs Programa 727 em MATLAB num 95238 2866759 den 1 153339 143339 0 sys tfnumden w logspace 13100 bodesysw grid titleDiagrama de Bode de GcsGs Gmpmwcpwcg marginsys GmdB 20log10Gm Gmdbpmwcpwcg ans Inf 494164 Inf 65686 505 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência compensado claramente apresenta uma resposta satisfatória Note que o zero e os polos de malha fechada estão localizados da seguinte maneira Zero em s 30101 Polos em s 52880 j56824 s 47579 Resposta à rampa unitária é conveniente verificar a resposta à rampa unitária do sistema compensado Como Kυ 20 s 1 o erro estacionário ao seguir a entrada em rampa unitária será 1Kυ 005 A constante de erro estático de velocidade do sistema não compensado é 10 s 1 Portanto o sistema original não compensado terá um erro estacionário duas vezes maior ao seguir a entrada em rampa unitária O Programa 729 em MATLAB produz as curvas de resposta à rampa unitária Note que a resposta à rampa unitária é obtida como a resposta ao degrau unitário de CssRs As curvas resultantes estão indicadas na Figura 7150 O erro estacionário do sistema compensado é igual à metade daquele do sistema original não compensado Programa 728 em MATLAB Respostas ao degrau unitário num1 10 den1 1 1 10 num2 95238 2866759 den2 1 153339 1105719 2866759 t 00016 c1x1t stepnum1den1t c2x2t stepnum2den2t plottc1tc2 grid titleRespostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text170145Sistema não compensado text1105Sistema compensado FIGURA 7148 Frequência rads Diagrama de Bode de GcsGs 200 100 150 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 102 103 Diagrama de Bode de GcsGs 506 Engenharia de controle moderno Programa 729 em MATLAB Respostas à rampa unitária num1 10 den1 1 1 10 0 num2 95238 2866759 den2 1 153339 1105719 2866759 0 t 00013 c1x1t stepnum1den1t c2x2t stepnum2den2t plottc1tc2tt grid titleRespostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado xlabelt s ylabelSaídas text12065Sistema não compensado text0113Sistema compensado FIGURA 7149 Saídas 18 08 0 12 16 06 02 1 14 04 t s 0 1 6 4 5 2 3 Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado Sistema não compensado Sistema compensado Respostas ao degrau unitário dos sistemas compensado e não compensado FIGURA 7150 Saídas 3 0 2 25 1 05 15 t s 0 05 3 2 25 1 15 Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado Sistema compensado Sistema não compensado Respostas à rampa unitária dos sistemas compensado e não compensado 507 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência A725 Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s K 1 4 h h h Projete um compensador por atraso e avanço de fase Gcs de modo que a constante de erro estático de velocidade seja 10 s 1 a margem de fase seja de 50 e a margem de ganho seja de 10 dB ou mais Solução Vamos projetar um compensador como segue G s K s T s T s T s T 1 1 1 c c 1 2 1 2 b b c c e e h m m o o Então a função de transferência de malha aberta do sistema compensado é GcsGs Como o ganho K da planta é ajustável vamos supor que Kc 1 Então lim s 0 Gcs 1 A partir dos requisitos da constante de erro estático de velocidade obtemos lim lim K sG s G s sG s s s s K K 1 4 4 10 s c s c 0 0 y h h h h h Então K 40 Inicialmente vamos construir o diagrama de Bode do sistema não compensado com K 40 O Programa 730 em MATLAB pode ser utilizado para traçar o diagrama de Bode O diagrama obtido está indicado na Figura 7151 Programa 730 em MATLAB num 40 den 1 5 4 0 w logspace11100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de Gs 40ss 1s 4 FIGURA 7151 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 40ss 1s 4 250 100 150 200 50 40 20 0 Fase graus Magnitude dB 40 20 101 100 101 Diagrama de Bode de Gs 40ss 1s 4 508 Engenharia de controle moderno Vemos pela Figura 7151 que a margem de fase do sistema de ganho ajustado mas não compensa do é 16 o que indica que o sistema é instável O próximo passo no projeto de um compensador por atraso e avanço de fase é escolher uma nova frequência de cruzamento de ganho Com base na curva de ângulo de fase de G j notamos que a frequência de cruzamento de fase é 2 rads Podemos escolher a nova frequência de cruzamento de ganho como 2 rads de modo que o ângulo de avanço de fase requerido em 2 rads seja cerca de 50 Um único compensador por atraso e avanço de fase pode fornecer esse valor de ângulo de avanço de fase muito facilmente Uma vez escolhida a frequência de cruzamento de ganho como 2 rads podemos determinar as frequências de canto da porção de atraso de fase do compensador Vamos escolher a frequência de canto 1T2 que corresponde ao zero da porção de atraso do compensador como uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho ou em 02 rads Para a outra frequência de canto 1βT2 necessitamos do valor de β O valor de β pode ser determinado a partir de considerações sobre a porção de avanço de fase do compensador apresentada a seguir Para o compensador por avanço de fase o ângulo de fase máximo zm é dado por sen 1 1 zm b b Note que β 10 corresponde a zm 549 Como é necessária uma margem de fase de 50 podemos escolher β 10 Observe que utilizaremos vários graus a menos que o ângulo máximo de 549 Portanto β 10 Então a frequência de canto 1βT2 que corresponde ao polo da porção do ângulo de atraso de fase do compensador é 002 A função de transferência da porção de atraso de fase do compensador por atraso e avanço de fase é 10 s s s s 0 02 0 2 50 1 5 1 c m A porção de avanço de fase pode ser determinada como segue sendo a nova frequência de cruzamento de ganho 2 rads de acordo com a Figura 7151 G j2 é 6 dB Assim se o compensador por atraso e avanço de fase contribuir com 6 dB para 2 rads então a nova frequência de cruzamento de ganho será a desejada Com base nesse requisito é possível desenhar uma linha reta com inclinação de 20 dBdécada passando pelo ponto 2 rads 6 dB Uma reta assim foi traçada manualmente na Figura 7151 As intersecções dessa reta com a reta de 0 dB e a reta de 20 dB determinam as frequências de canto A partir dessas considerações as frequências de canto para essa porção por avanço de fase do compensador podem ser determi nadas como 04 rads e 4 rads Portanto a função de transferência do compensador por atraso e avanço de fase é s s s s 4 0 4 10 1 0 25 1 2 5 1 c m Combinando as funções de transferência das porções de atraso e de avanço de fase podese obter a função de transferência Gcs do compensador por atraso e avanço de fase Como foi escolhido Kc 1 temse G s s s s s s s s s 4 0 4 0 02 0 2 0 25 1 50 1 2 5 1 5 1 c h h h h h O diagrama de Bode do compensador por atraso e avanço de fase Gcs pode ser obtido se inserirmos o Programa 731 em MATLAB no computador O diagrama resultante é mostrado na Figura 7152 509 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 731 em MATLAB numc 1 06 008 denc 1 402 008 bodenumcdenc titleDiagrama de Bode do compensador de AvançoAtraso A função de transferência de malha aberta do sistema compensado é G s G s s s s s s s s s s s s s s s 4 0 02 0 4 0 2 1 4 40 9 02 24 18 16 48 0 32 40 24 3 2 c 5 4 3 2 2 h h h h h h h h Utilizando o Programa 732 em MATLAB podemos obter as curvas de ângulo de fase e de módulo em dB da função de transferência de malha aberta projetada GcsGs indicadas na Figura 7153 Note que o polinômio do denominador den1 foi obtido utilizandose o comando conv como segue a 1 402 008 b 1 5 4 0 convab ans 10000 90200 241800 164800 0320000 0 Como a margem de fase do sistema compensado é 50 a margem de ganho é 12 dB e a constante de erro estático de velocidade é 10 s 1 todos os requisitos foram satisfeitos A seguir vamos estudar as características da resposta transitória do sistema projetado Resposta ao degrau unitário notando que Programa 732 em MATLAB num1 40 24 32 den1 1 902 2418 1648 032 0 bodenum1den1 titleDiagrama de Bode de GcsGs FIGURA 7152 Frequência rads Diagrama de Bode de compensador por atraso e avanço de fase 50 0 50 20 15 Fase graus Magnitude dB 10 0 5 103 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode do compensador projetado 510 Engenharia de controle moderno G s G s s s s s s s s 4 0 02 1 4 40 0 4 0 2 c h h h h h h h h temos R s C s G s G s G s G s s s s s s s s s s 1 4 0 02 1 4 40 0 4 0 2 40 0 4 0 2 c c h h h h h h h h h h h h h h Para determinar o polinômio do denominador com o MATLAB podemos proceder da seguinte maneira Defina as s 4s 002 s2 402s 008 bs s 1s 4 s3 5s2 4s cs 40s 04s 02 40s2 24s 32 Então temos a 1 402 008 b 1 5 4 0 c 40 24 32 Utilizando o programa em MATLAB a seguir obtemos o polinômio do denominador a 1 402 008 b 1 5 4 0 c 40 24 32 p convab 0 0 0 c p 10000 90200 241800 564800 243200 32000 Utilizamos o Programa 733 em MATLAB para obter a resposta ao degrau unitário do sistema compensado A Figura 7154 mostra a curva de resposta ao degrau unitário Note que o sistema com ganho ajustado mas não compensado é instável FIGURA 7153 Frequência rads Diagrama de Bode de GcsGs 300 250 200 150 100 50 0 100 Fase graus Magnitude dB 50 0 50 100 104 103 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gcs Gs do sistema compensado 511 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência Programa 733 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 40 24 32 den 1 902 2418 5648 2432 32 t 00240 stepnumdent grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta à rampa unitária a resposta à rampa unitária do sistema pode ser obtida se digitarmos o Programa 734 em MATLAB no computador Convertemos aqui a resposta à rampa unitária de GcG1 GcG na resposta ao degrau unitário de GcGs1 GcG A curva de resposta à rampa unitária obtida por meio desse programa é mostrada na Figura 7155 FIGURA 7154 Amplitude 12 04 0 1 02 06 08 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado t s 0 10 5 40 30 35 25 15 20 Curva de resposta ao degrau unitário do sistema compensado FIGURA 7155 Entrada e saída em rampa unitária ct 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 t s 0 4 2 20 14 18 12 16 8 6 10 Resposta à rampa unitária do sistema compensado Resposta à rampa unitária do sistema compensado 512 Engenharia de controle moderno Programa 734 em MATLAB Resposta à rampa unitária num 40 24 32 den 1 902 2418 5648 2432 32 0 t 000520 c stepnumdent plottctt grid titleResposta à rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada e saída em rampa unitária ct Problemas B71 Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s 1 10 h Obtenha a resposta em regime estacionário desse sistema quando ele for submetido aos seguintes sinais de entrada a rt sent 30 b rt 2 cos2t 45 c rt sent 30 2 cos2t 45 B72 Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é R s C s T s K T s 1 1 1 2 h h h Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada rt R sen t B73 Utilizando o MATLAB desenhe os diagramas de Bode das G1s e G2s dadas a seguir G s s s G s s s 1 2 1 1 2 1 1 2 h h onde G1s é um sistema de fase mínima e G2s é um sistema de fase não mínima B74 Desenhe o diagrama de Bode de G s s s s s s 0 8 9 10 0 4 1 2 2 h h h B75 Dada G s s s 2 n n n 2 2 2 g h mostre que G j 2 1 n g h B76 Considere um sistema de controle com realimentação unitária que tem a seguinte função de transferência de malha aberta 513 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência G s s s s 1 0 5 3 2 h Este é um sistema de fase não mínima Dois dos três polos de malha aberta estão localizados no semiplano direito do plano s como segue Polos de malha aberta em s 14656 s 02328 j07926 s 02328 j07926 Desenhe o diagrama de Bode de Gs com o MATLAB Explique por que a curva de ângulo de fase começa em 0º e se aproxima de 180 B77 Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta G s H s s Ts K T s T s 1 1 1 a b 2 h h h h h para os seguintes dois casos a Ta T 0 Tb T 0 b T Ta 0 T Tb 0 B78 Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s K s 1 1 h h Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist determine a estabilidade do sistema de malha fechada B79 Um sistema com a função de transferência de malha aberta G s H s s T s K 1 2 1 h h h é inerentemente instável Esse sistema pode ser estabilizado pela adição de um controle deriva tivo Esboce os diagramas polares para a função de transferência de malha aberta com e sem o controle derivativo B710 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s s s K s 2 10 10 0 5 2 h h h h h Desenhe os diagramas polares tanto diretos como inversos de GsHs com K 1 e K 10 Aplique o critério de estabilidade de Nyquist a esses diagramas e determine a estabilidade do sistema para esses valores de K B711 Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha aberta G s H s s Ke 2s h h Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável B712 Desenhe o diagrama de Nyquist para a seguinte Gs G s s s 0 8s 1 1 2 h h B713 Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta 514 Engenharia de controle moderno G s s s s 0 2 1 1 3 2 h Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs e examine a estabilidade do sistema B714 Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s s s s 0 2 1 2 1 3 2 2 h Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs e examine a estabilidade do sistema de malha fechada B715 Considere o sistema de controle dotado de realimentação unitária com o seguinte Gs G s s s 1 1 h h Suponha que escolhamos o contorno de Nyquist mostrado na Figura 7156 Desenhe o lugar geométrico correspondente de G j no plano Gs Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist determine a estabilidade do sistema B716 Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 7157 Gs não possui polos no semiplano direito do plano s Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7158a esse sistema será estável Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7158b esse sistema será estável FIGURA 7156 j v ϵ Contorno de Nyquist FIGURA 7157 Gs Sistema de malha fechada 515 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência B717 O diagrama de Nyquist de um sistema dotado de realimentação unitária tem a função de trans ferência Gs no ramo direto mostrada na Figura 7159 Se Gs tiver um polo no semiplano direito do plano s o sistema será estável Se Gs não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s mas tiver um zero nesse semi plano o sistema será estável B718 Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de transfe rência de malha aberta Gs G s s s s K s 1 10 2 h h h h Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs para K 1 10 e 100 B719 Considere um sistema com realimentação negativa com a seguinte função de transferência de malha aberta G s s s 1 s 2 2 h h h FIGURA 7158 0 Re Re Im Im 0 1 1 a b Diagramas de Nyquist FIGURA 7159 0 1 Re Im Gj Diagrama de Nyquist 516 Engenharia de controle moderno Desenhe o diagrama de Nyquist de Gs Se o sistema tivesse realimentação positiva mas com a mesma função de transferência de malha aberta Gs como seria o diagrama de Nyquist B720 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 7160 Desenhe os diagramas de Nyquist de Gs sendo G s s s s k s s k s 1 5 10 10 6 5 10 10 3 2 h h h h 6 para k 03 05 e 07 B721 Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 1 6 5 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Há quatro diagramas de Nyquist distintos nesse sistema Desenhe dois diagramas de Nyquist para a entrada u1 em um gráfico e dois diagramas de Nyquist para a entrada u2 em outro gráfico Escreva um programa em MATLAB para obter esses dois gráficos B722 Com relação ao Problema B721 é desejável traçar apenas Y1 jU1 j para 0 Escreva um programa em MATLAB para gerar esse diagrama Se for desejável traçar Y1 jU1 j para que mudanças devem ser feitas no programa em MATLAB B723 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s as 1 2 h Determine o valor de a de forma que a margem de fase seja 45º B724 Considere o sistema mostrado na Figura 7161 Desenhe o diagrama de Bode da função de trans ferência de malha aberta Gs Determine a margem de fase e a margem de ganho FIGURA 7160 k 1 s 10 s 1 s 5 Sistema de controle FIGURA 7161 Gs 25 ss 1 s 10 Sistema de controle 517 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência B725 Considere o sistema da Figura 7162 Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs Determine a margem de fase e a margem de ganho com o MATLAB B726 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s K 4 2 h h Determine o valor do ganho K tal que a margem de fase seja de 50 Qual é a margem de ganho com esse mesmo valor de K B727 Considere o sistema da Figura 7163 Desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta e determine o valor do ganho K para que a margem de fase seja de 50 Qual é a margem de ganho desse sistema com esse valor de K B728 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G s s s s K 0 5 2 h h Determine o valor de K tal que o valor do pico de ressonância na resposta em frequência seja de 2 dB ou Mr 2 dB B729 A Figura 7164 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs de um sistema de controle com realimentação unitária Sabese que a função de transferência de malha aberta é de fase mínima Pelo diagrama podese ver que há um par de polos complexos conjugados em 2 rads Determine o coeficiente de amortecimento do termo quadrático que envolve os dois polos complexos conjugados Determine também a função de transferência Gs FIGURA 7162 Gs 20s 1 ss2 2s 10 s 5 Sistema de controle FIGURA 7163 10 ss 1 K s 01 s 05 Sistema de controle 518 Engenharia de controle moderno B730 Desenhe os diagramas de Bode para o controlador PI dado por 5 G s s 1 2 1 c c h m e para o controlador PD dado por Gcs 51 05s B731 A Figura 7165 mostra o diagrama de blocos do controle de atitude de um veículo espacial Determine o ganho constante proporcional Kp e o tempo derivativo Td de forma que a banda passante do sistema de malha fechada seja de 04 a 05 rads Note que a banda passante de malha fechada é próxima à frequência de ganho de cruzamento O sistema deve ter uma margem de fase adequada Trace as curvas de resposta em frequência de malha aberta e de malha fechada em diagramas de Bode B732 A partir do sistema de malha fechada mostrado na Figura 7166 desenhe um compensador por avanço de fase Gcs tal que a margem de fase seja de 45º a margem de ganho não seja inferior a 8 dB e o erro estático constante de velocidade Kυ seja de 40 s1 Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado utilizando o MATLAB FIGURA 7164 40 20 20 dB 0 40 60 80 01 02 04 06 1 4 2 6 10 20 40 60 100 270 180 90 0 em rads Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta de um sistema de controle com realimentação unitária FIGURA 7165 Kp1 Tds 1 s2 Diagrama de blocos do sistema de controle de atitude de um veículo espacial 519 Capítulo 7 Análise e projeto de sistemas de controle pelo método de resposta em frequência FIGURA 7168 Gcs 1 ss 1s 5 Sistema de controle B733 Considere o sistema mostrado na Figura 7167 Desejase projetar um compensador com erro estático de velocidade constante de 40 s1 margem de fase de 50º e margem de ganho de 8 dB ou mais Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensando utilizando o MATLAB B734 Considere o sistema mostrado na Figura 7168 Projete um compensador por atraso e por avanço de fase com erro estático de velocidade constante Kv de 20 s1 margem de fase de 60º e margem de ganho de pelo menos 8 dB Trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensando utilizando o MATLAB FIGURA 7166 Gcs K s01s 1s 1 Sistema de malha fechada FIGURA 7167 Gcs 1 Hydraulic servo 1 s Aircraft 2s 01 s2 01s 4 Rate gyro C R Sistema de controle 520 Engenharia de controle moderno Controladores PID e controladores PID modificados 8 C A P Í T U L O 81 Introdução Em capítulos anteriores discutimos brevemente esquemas básicos de controle PID Por exem plo apresentamos controladores PID eletrônicos hidráulicos e pneumáticos Também projetamos sistemas de controle nos quais controladores PID estavam envolvidos É interessante notar que mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente emprega esquemas de controle PID ou PID modificado Como a maioria dos controladores PID é ajustada em campo diferentes tipos de regras de sintonia vêm sendo propostas na literatura Com a utilização dessas regras de sintonia ajustes finos no controlador PID podem ser feitos em campo Além disso métodos de sintonia automá tica vêm sendo desenvolvidos e alguns controladores PID têm a capacidade de fazer sintonia automática online Estruturas PID modificadas como o controle IPD e o controle PID com vários graus de liberdade atualmente estão em uso na indústria Vários métodos práticos de comutação suave de operação manual para operação automática e ganho programado estão comercialmente disponíveis A utilidade dos controles PID está na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de con trole Em particular quando o modelo matemático da planta não é conhecido e portanto métodos de projeto analítico não podem ser utilizados controles PID se mostram os mais úteis Na área dos sistemas de controle de processos sabese que os esquemas básicos de controle PID e os controles PID modificados provaram sua utilidade conferindo um controle satisfatório embora em muitas situações eles possam não proporcionar um controle ótimo Neste capítulo apresentaremos primeiro o projeto de um sistema de controle com um PID utilizando as regras de ajuste de Ziegler e Nichols Depois discutiremos um projeto de controlador PID com o método tradicional de resposta em frequência seguido da abordagem de otimização computacional no projeto de controladores PID Em seguida discutiremos controles PID modi ficados como o controle PID e o controle IPD Em sequência introduziremos o controle com vários graus de liberdade o qual pode satisfazer os requisitos conflitantes que os sistemas de controle com um grau de liberdade não podem Para a definição de sistema de controle com vários graus de liberdade veja a Seção 86 Em casos práticos pode existir um requisito relativo à resposta da entrada de distúrbio e outro requisito relativo à resposta da entrada de referência Muitas vezes esses dois requisitos são conflitantes entre si e não podem ser satisfeitos no caso de um grau de liberdade Aumentando os graus de liberdade somos capazes de satisfazer a ambos Neste capítulo apresentaremos em detalhes sistemas de controle com dois graus de liberdade O método de otimização computacional para o projeto de sistemas de controle apresentado neste capítulo tais como a busca de conjuntos ótimos de valores de parâmetro para satisfazer especificações dadas de resposta transitória pode ser usado tanto no projeto de sistemas de con trole de um grau de liberdade como nos de vários graus de liberdade desde que seja conhecido um modelo matemático razoavelmente preciso da planta Visão geral do capítulo A Seção 81 apresentou o material introdutório do capítulo A Seção 82 lida com o projeto de um controlador PID com as regras de ZieglerNichols A Seção 83 abor da o projeto de um controlador PID pelo método de resposta em frequência A Seção 84 discute uma abordagem computacional para a obtenção dos parâmetros ótimos de controladores PID A Seção 85 trata dos sistemas de controle PID com vários graus de liberdade inclusive os sis temas PID modificados 82 Regras de sintonia de Ziegler Nichols para controladores PID Controle PID de plantas A Figura 81 mostra o controle PID de uma planta Se um modelo matemático da planta pode ser obtido então é possível aplicar várias técnicas de projeto na deter minação dos parâmetros do controlador que atenderão às especificações do regime transitório e do regime permanente do sistema de malha fechada Contudo se a planta for muito complexa de modo que seu modelo matemático não possa ser obtido facilmente então a abordagem analítica do projeto do controlador PID não será possível Temos então de recorrer a abordagens experi mentais de sintonia de controladores PID O processo de selecionar parâmetros do controlador que garantam dada especificação de desempenho é conhecido como sintonia do controlador Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID o que significa ajustar os valores de Kp Ti e Td base adas na resposta experimental ao degrau ou no valor de Kp que resulta em uma estabilidade marginal quando somente uma ação proporcional é utilizada As regras de ZieglerNichols as quais serão brevemente apresentadas a seguir são úteis quando os modelos matemáticos da planta são desconhecidos Essas regras podem é claro ser aplicadas ao projeto de sistemas com modelos matemáticos conhecidos Elas sugerem um conjunto de valores de Kp Ti e Td que vão proporcionar uma operação estável do sistema Contudo o sistema resultante pode exibir um sobressinal máximo grande na resposta do degrau o que é inaceitável Nesse caso precisamos fazer uma série de sintonias finas até que um resultado aceitável seja obtido De fato as regras de sintonia de ZieglerNichols fornecem estimativas dos valores dos parâmetros e proporcionam um ponto de partida na sintonia fina e não os valores definitivos de Kp Ti e Td logo na primeira tentativa Regras de ZieglerNichols para sintonia de controladores PID Ziegler e Nichols propu seram regras para a determinação de valores do ganho proporcional Kp do tempo integral Ti e FIGURA 81 Planta Kp1 Tds 1 Tis Controle PID de uma planta 522 Engenharia de controle moderno do tempo derivativo Td baseadas nas características da resposta transitória de dada planta Essa determinação dos parâmetros dos controladores PID ou de sintonia dos controladores PID pode ser feita por engenheiros de campo por meio de experimentos com a planta Muitas regras de sintonia para controladores PID já foram sugeridas desde a proposta de Ziegler e Nichols Elas estão disponíveis na literatura e com os fabricantes desses controladores Existem dois métodos denominados regras de sintonia de ZieglerNichols o primeiro e o segundo método Fornecemos aqui uma breve apresentação dos dois Primeiro método No primeiro método obtemos experimentalmente a resposta da planta a uma entrada em degrau unitário como mostra a Figura 82 Se a planta não possui integradores ou polos complexos conjugados dominantes então essa curva de resposta ao degrau unitário pode ter o aspecto de um S como se pode ver na Figura 83 Esse método se aplica se a curva de resposta ao degrau de entrada tiver o aspecto de um S Essa curva de resposta ao degrau pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta A curva com o formato em S pode ser caracterizada por duas constantes o atraso L e a cons tante de tempo T O atraso e a constante de tempo são determinados desenhandose uma linha tangente no ponto de inflexão da curva com o formato em S e determinandose a intersecção da linha tangente com o eixo dos tempos e a linha ct K como mostra a Figura 83 A função de transferência CsUs pode ser aproximada por um sistema de primeira ordem com um atraso de transporte como segue U s C s Ts Ke 1 Ls h h Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores de Kp Ti e Td de acordo com a fórmula que aparece na Tabela 81 Note que o controlador PID sintonizado pelo primeiro método das regras de ZieglerNichols fornece FIGURA 82 Planta ut ct 1 Resposta ao degrau unitário de uma planta FIGURA 83 Linha tangente no ponto de inflexão K 0 ct t L T Curva de resposta em forma de S 523 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados G s K Ts T s L T Ls Ls T s s L 1 1 1 2 1 2 1 0 5 0 6 1 c p i d 2 e c c h o m m Portanto o controlador PID tem um polo na origem e zeros duplos em s 1L Segundo método No segundo método definimos primeiro Ti e Td 0 Usando somente a ação de controle proporcional veja a Figura 84 aumente Kp de 0 ao valor crítico Kcr no qual a saída exibe uma oscilação sustentada pela primeira vez Se a saída não exibe uma oscilação sustentada para qualquer valor que Kp pode assumir então esse método não se aplica Portanto o ganho crítico Kcr e o período Pcr correspondente são determinados experimentalmente veja a Figura 85 Ziegler e Nichols sugeriram escolher os valores dos parâmetros Kp Ti e Td de acordo com a fórmula mostrada na Tabela 82 TABELA 81 Tipo de controlador Kp Ti Td P L T 0 PI 09 L T L 0 3 0 PID 12 L T 2L 05L Regra de sintonia de Ziegler Nichols baseada na resposta ao degrau da planta primeiro método FIGURA 84 Kp Planta rt ct ut Sistema de malha fechada com um controlador proporcional FIGURA 85 Pcr 0 t ct Oscilação sustentada com período Pcr Pcr é medido em segundos 524 Engenharia de controle moderno Note que o controlador PID sintonizado pelo segundo método das regras de ZieglerNichols fornece G s K Ts T s K P s P s K P s s P 1 1 0 6 1 0 5 1 0 125 0 075 4 c p i d 2 cr cr cr cr cr cr e c e h o m o Portanto o controlador PID tem um polo na origem e zeros duplos em s 4Pcr Note que se o sistema tem um modelo matemático conhecido como a função de transferên cia então podemos utilizar o método do lugar das raízes para encontrar o ganho crítico Kcr e a frequência de oscilações sustentadas cr onde 2πcr Pcr Esses valores podem ser encontrados a partir dos pontos de cruzamento dos ramos do lugar das raízes com o eixo j Obviamente se os ramos do lugar das raízes não cruzam o eixo j esse método não se aplica Comentários As regras de sintonia de ZieglerNichols e outras regras de sintonia apresenta das na literatura vêm sendo muito utilizadas para sintonizar controladores PID em sistemas de controle de processo em que as dinâmicas da planta não são precisamente conhecidas Por muitos anos essas regras de sintonia provaram ser muito úteis As regras de sintonia de ZieglerNichols podem é claro ser aplicadas às plantas cujas dinâmicas são conhecidas Se as dinâmicas da planta são conhecidas várias abordagens gráficas e analíticas para o projeto de controladores PID estão disponíveis além das regras de ZieglerNichols Exemplo 81 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 86 no qual um controlador PID é utilizado para controlar o sistema O controlador PID tem a função de transferência G s K Ts T s 1 1 c p i d e h o Embora vários métodos analíticos estejam disponíveis para o projeto de um controlador PID para o sistema dado vamos aplicar uma regra de sintonia de ZieglerNichols na determinação dos parâmetros Kp Ti e Td Em seguida obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o TABELA 82 Tipo de controlador Kp Ti Td P 05Kcr 0 PI 045Kcr 1 2 1 Pcr 0 PID 06Kcr 05Pcr 0125Pcr Regra de sintonia de Ziegler Nichols baseada no ganho crítico Kcr e no período crítico Pcr segundo método FIGURA 86 Gcs Controlador PID 1 ss 1s 5 Cs Rs Sistema com controle PID 525 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados sistema projetado exibe aproximadamente 25 de sobressinal máximo Se o sobressinal máximo for excessivo 40 ou mais faça uma sintonia fina e reduza o valor do sobressinal máximo para aproximadamente 25 ou menos Como a planta tem um integrador utilizamos o segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols Fazendo Ti e Td 0 obtemos a função de transferência de malha fechada como segue R s C s s s s K K 1 5 p p h h h h O valor de Kp que torna o sistema marginalmente estável de modo que ocorram oscilações sus tentadas pode ser obtido pelo uso do critério de estabilidade de Routh Uma vez que a equação característica do sistema em malha fechada é s3 6s2 5s Kp 0 o arranjo de Routh fica s3 1 5 s2 6 Kp s1 K 6 30 p s0 Kp Examinando os coeficientes da primeira coluna da tabela de Routh determinamos que oscilações sustentadas existirão se Kp 30 Portanto o valor crítico Kcr é Kcr 30 Com o ganho Kp igual a Kcr 30 a equação característica resulta em s3 6s2 5s 30 0 Para encontrar a frequência da oscilação sustentada substituímos s j na equação característica como segue j3 6j2 5j 30 0 ou 65 2 j5 2 0 a partir da qual determinamos a frequência da oscilação sustentada como 2 5 ou 5 Logo o período de oscilação sustentada é 28099 P 2 5 2 cr r r Referindonos à Tabela 82 determinamos Kp Ti e Td como segue Kp 06Kcr 18 Ti 05Pcr 1405 Td 0125Pcr 035124 A função de transferência do controlador PID é portanto G s K Ts T s s s s s 1 1 18 1 1 405 1 0 35124 6 3223 1 4235 c p i d 2 e c h o m h 526 Engenharia de controle moderno O controlador PID tem um polo na origem e um zero duplo em s 14235 Um diagrama de blocos do sistema de controle com o controlador PID projetado é mostrado na Figura 87 Em seguida vamos examinar a resposta do sistema ao degrau unitário A função de transfe rência CsRs é dada por R s C s s s s s s s 6 11 3223 18 12 811 6 3223 18 12 811 4 3 2 2 h h A resposta ao degrau unitário desse sistema pode ser facilmente obtida com o MATLAB Veja o Programa 81 em MATLAB A curva de resposta ao degrau unitário resultante é mostrada na Figura 88 O sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário é de aproximadamente 62 O valor do sobressinal máximo é excessivo Ele pode ser reduzido fazendose uma sintonia fina dos parâmetros do controlador Essa sintonia fina pode ser feita no computador Obtemos que mantendo Kp 18 e movendo o zero duplo do controlador PID para s 065 ou seja utilizando o controlador PID 18 13846 G s s s s s 1 3 077 1 0 7692 0 65 c 2 e h o h 81 o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário pode ser reduzido para aproximadamente 18 veja a Figura 89 Se o ganho proporcional Kp for aumentado para 3942 sem alterar a localização do zero duplo s 065 ou seja utilizando o controlador PID 3942 30322 G s s s s s 1 3 077 1 0 7692 0 65 c 2 c h m h 82 FIGURA 87 Controlador PID 1 ss 1s 5 63223 s 142352 s Cs Rs Diagrama de blocos do sistema com o controlador PID projetado com o uso da regra de sintonia de ZieglerNichols segundo método FIGURA 88 Resposta ao degrau unitário Tempo s 0 2 14 12 8 10 4 6 Amplitude 0 08 18 12 06 02 14 16 1 04 Curva de resposta ao degrau unitário de um sistema com controlador PID projetado com o uso da regra de sintonia de Ziegler Nichols segundo método 527 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Programa 81 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 63223 18 12811 den 1 6 113223 18 12811 stepnumden grid titleResposta ao degrau unitário então a velocidade de resposta é aumentada porém o sobressinal máximo também é aumentado para aproximadamente 28 como mostra a Figura 810 Uma vez que o sobressinal máximo nesse caso é bem próximo a 25 e a resposta é mais rápida do que a do sistema com Gcs dada pela Equação 81 podemos considerar a Gcs dada pela Equação 82 como aceitável Assim os valores sintonizados de Kp Ti e Td resultam em FIGURA 89 Resposta ao degrau unitário Amplitude 0 06 12 08 04 02 1 Tempo s 0 1 7 6 4 5 2 3 Resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 86 com o controlador PID que tem como parâmetros Kp 18 Ti 3077 e Td 07692 FIGURA 810 Amplitude 14 08 04 0 1 12 06 02 Resposta ao degrau unitário Tempo s 0 05 5 45 3 35 4 1 15 2 25 Resposta ao degrau unitário do sistema mostrado na Figura 86 com o controlador PID que tem como parâmetros Kp 3942 Ti 3077 e Td 07692 528 Engenharia de controle moderno Kp 3942 Ti 3077 Td 07692 É interessante observar que esses valores são de aproximadamente o dobro dos valores sugeri dos pelo segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols O aspecto importante a ser observado aqui é que a regra de sintonia de ZieglerNichols forneceu um ponto de partida para a sintonia fina É instrutivo notar que para o caso em que o zero duplo está localizado em s 14235 aumentar o valor de Kp aumenta a velocidade de resposta Contudo sendo o sobressinal máximo o objetivo a variação do ganho Kp tem pouquíssima influência A razão para isso pode ser vista por meio da análise do lugar das raízes A Figura 811 mostra o gráfico do lugar das raízes para o sistema projetado pelo uso do segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols Uma vez que os ramos dominantes do lugar das raízes estão sobre as linhas z 03 para uma faixa con siderável de K variar o valor de K de 6 a 30 não alterará muito o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada Contudo a variação da localização do zero duplo tem um efeito significativo no sobressinal máximo porque o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes da malha fechada pode ser alterado significativamente Isso também pode ser visto pela análise do lugar das raízes A Figura 812 mostra o gráfico do lugar das raízes para o sistema em que o controlador PID tem o zero duplo em s 065 Observe a alteração na configuração do lugar das raízes Essa alteração na configuração torna possível modificar o coeficiente de amortecimento dos polos dominantes de malha fechada Na Figura 812 note que no caso em que o sistema tiver ganho K 30322 os polos de malha fechada em s 235 j482 agirão como polos dominantes Dois polos adicionais de malha fechada estão muito próximos ao zero duplo em s 065 resultando que esses polos de malha fechada e o zero duplo se cancelam entre si O par dominante de polos de malha fechada determina na verdade a natureza da resposta Por outro lado quando o sistema tem um K 13846 os polos de malha fechada em s 235 j262 não são realmente dominantes porque os outros dois polos de malha fechada que estão próximos ao zero duplo em s 065 têm um efeito considerável na resposta O sobressinal máximo na resposta ao degrau nesse caso FIGURA 811 1 ss 1s 5 j j3 j2 j1 j3 j2 j1 3 2 1 4 5 1 0 v K 632 K 632 K 632 K 632 ζ 03 ζ 03 K s 142352 s Gráfico do lugar das raízes do sistema quando o controlador PID tem um zero duplo em s 14235 529 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados 18 é muito maior que no caso em que o sistema é de segunda ordem possuindo apenas polos dominantes de malha fechada No último caso o sobressinal máximo na resposta ao degrau seria de aproximadamente 6 É possível fazer uma terceira uma quarta e ainda outras tentativas para obter uma resposta melhor No entanto isso requer muitos cálculos gastandose muito tempo Se mais tentativas forem desejadas sugerese o uso da abordagem computacional apresentada na Seção 103 O Problema A812 resolve essa questão com a abordagem computacional por meio do MATLAB Ele determina o conjunto de valores de parâmetros que vão levar o máximo sobressinal a 10 ou menos e o tempo de acomodação a 3 segundos ou menos Uma solução para esse problema obtida no Problema A812 é que para o controlador PID definido por G s K s s a c 2 h h os valores de K e a são K 29 a 025 com o sobressinal máximo igual a 952 e o tempo de acomodação igual a 178 s Outra possível solução obtida naquele problema é K 27 a 02 com 55 de sobressinal máximo e 289 s de tempo de acomodação Veja o Problema A812 para obter detalhes FIGURA 812 1 ss 1s 5 K s 0652 s j j8 j6 j4 j2 j6 j8 j4 j2 6 4 2 8 10 2 0 v K 60 K 30322 K 30322 K 13846 K 13846 K 13846 K 60 ζ 0358 ζ 067 Gráfico do lugar das raízes do sistema em que o controlador PID tem um zero duplo em s 065 K 13846 corresponde à Gcs dada pela Equação 81 e K 30322 corresponde à Gcs dada pela Equação 82 530 Engenharia de controle moderno 83 Projeto de controladores PID pelo método de resposta em frequência Nesta seção apresentamos o projeto de um controlador PID com base no método de resposta em frequência Considere o sistema mostrado na Figura 813 Usando o método de resposta em frequência projete um controlador PID de forma que a constante de erro estático de velocidade seja 4 s1 a margem de fase seja de 50º ou mais e a margem de ganho seja de 10 dB ou mais Obtenha as curvas de resposta ao degrau unitário e de rampa unitária do sistema com controle PID com o MATLAB Digamos que o controlador PID seja G s s K as 1 bs 1 c h h h Como a constante de erro estático de velocidade Kυ está especificada em 4 s 1 temos lim lim K sG s s s s K as bs s K 1 1 1 1 1 1 4 s c s 0 2 0 2 y h h h Portanto G s s as bs 4 1 1 c h h h Em seguida traçamos o diagrama de Bode de G s s s 1 24 h h O Programa 82 em MATLAB produz um diagrama de Bode para Gs A Figura 814 mostra o diagrama de Bode resultante Precisamos de uma margem de fase de pelo menos 50º e de uma margem de ganho de pelo menos 10 dB No diagrama de Bode da Figura 814 vemos que a frequência de cruzamento de ganho é de aproximadamente 18 rads Suponhamos que a frequência de cruzamento de ganho do sistema compensado fique em algum ponto entre 1 e 10 rads Considerando que G s s as bs 4 1 1 c h h h escolhemos a 5 Então as 1 contribuirá com um avanço de fase de até 90º da região das altas frequências O Programa 83 em MATLAB gera o diagrama de Bode de Programa 82 em MATLAB num 4 den 1 000000000001 1 0 w logspace11200 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de 4ss21 FIGURA 813 Gcs 1 s2 1 Sistema de controle 531 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados s s s 1 4 5 1 2 h h A Figura 815 mostra o diagrama de Bode resultante Programa 83 em MATLAB num 20 4 den 1 000000000001 1 0 w logspace21101 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de Gs 45s1ss21 FIGURA 814 Frequência rads Diagrama de Bode de 4ss2 1 300 100 50 150 200 250 0 50 0 Fase graus Magnitude dB 50 101 100 101 Diagrama de Bode de 4ss2 1 FIGURA 815 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 45s 1ss2 1 200 50 100 150 0 20 0 Fase graus Magnitude dB 60 20 40 102 101 100 101 Diagrama de Bode de Gs 45s 1 ss2 1 532 Engenharia de controle moderno Com base no diagrama de Bode da Figura 815 escolhemos o valor de b O termo bs 1 precisa resultar em uma margem de fase de pelo menos 50º Com ensaios simples no MATLAB constatamos que b 025 gera a margem de fase de pelo menos 50º e uma margem de ganho de dB Portanto escolhendo b 025 temos G s s s s 4 5 1 0 25 1 c h h h e a função de transferência de malha aberta do sistema projetado tornase Função de transferência de malha aberta s s s s s s s s 4 5 1 0 25 1 1 1 5 21 4 2 3 2 h h O Programa 84 em MATLAB produz o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta A Figura 816 mostra o diagrama de Bode resultante Nele vemos que a constante de erro estático de velocidade é 4 s1 a margem de fase é 55º e a margem de ganho é de dB Portanto o sistema projetado satisfaz todos os requisitos e consequentemente é aceitável Note que existe uma infinidade de sistemas que satisfazem todos os requisitos o presente sistema é apenas um deles Em seguida vamos obter a resposta em degrau unitário e a resposta em rampa unitária do sistema projetado A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s 5 22 4 5 21 4 3 2 2 h h Observe que os zeros de malha fechada estão localizados em Programa 84 em MATLAB num 5 21 4 den 1 0 1 0 w logspace22100 bodenumdenw titleDiagrama de Bode de 45s1025s1ss21 FIGURA 816 Frequência rads Diagrama de Bode de 45s 1025s 1ss2 1 200 100 50 0 50 150 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 100 50 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode de 45s 1025s 1 ss2 1 533 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados s 4 s 02 Os polos de malha fechada estão localizados em s 24052 j39119 s 24052 j39119 s 01897 Note que os polos conjugados complexos de malha fechada têm um coeficiente de amortecimento de 05237 O Programa 85 em MATLAB produz a resposta em degrau unitário e a resposta em rampa unitária FIGURA 817 Saída ct t s Resposta ao degrau unitário do sistema compensado 14 12 1 08 06 04 02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Curva de resposta ao degrau unitário Programa 85 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 5 21 4 den 1 5 22 4 t 000114 c stepnumdent plottc grid titleResposta ao degrau unitário do sistema compensado xlabelt s ylabelSaída ct Resposta a rampa unitária num1 5 21 4 den1 1 5 22 4 0 t 000220 c stepnum1den1t plottctt titleResposta a rampa unitária do sistema compensado xlabelt s ylabelEntrada e saída em rampa unitária ct text1088Sistema compensado 534 Engenharia de controle moderno As figuras 817 e 818 mostram respectivamente a curva de resposta ao degrau unitário e a curva de resposta à rampa unitária resultantes Observe que o polo de malha fechada em s 01897 e o zero em s 02 produzem uma cauda longa de baixa amplitude na resposta ao degrau unitário Para outro exemplo de projeto de um controlador PID com base no método de resposta em frequência veja o Problema A87 84 Projeto de controladores PID com abordagem de otimização computacional Nesta seção exploraremos como obter um conjunto ótimo ou conjuntos ótimos de valores de parâmetros para controladores PID a fim de satisfazer as especificações da resposta temporal com o uso do MATLAB Apresentaremos dois exemplos para ilustrar a abordagem Exemplo 82 Considere o sistema controlado por PID mostrado na Figura 819 O controlador PID é dado por G s K s s a c 2 h h Desejase encontrar uma combinação de K e a de modo que o sistema de malha fechada seja subamortecido e o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário seja de no máximo 10 Não incluiremos mais nenhuma condição neste problema mas outras condições podem ser incluídas como a de que o tempo de acomodação seja menor do que um valor especificado Veja por exemplo o Exemplo 83 FIGURA 818 Entrada e saída em rampa unitária ct t s Resposta à rampa unitária do sistema compensado 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Sistema compensado Entrada em rampa unitária e a curva de saída FIGURA 819 Rs K Cs Controlador PID 12 036s3 186s2 25s 1 s a2 s Sistema com controle PID 535 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Pode haver mais de um conjunto de parâmetros que satisfaça as especificações Neste exemplo obteremos todos os conjuntos de parâmetros que satisfazem às especificações dadas Para resolver o problema com o MATLAB primeiro especificamos a região onde procurar K e a adequados Em seguida escrevemos um programa de modo que por meio da resposta ao degrau unitário seja encontrada uma combinação de K e a que satisfaça o critério de que o sobressinal máximo seja de 10 ou menor Note que o ganho K não deve ser grande demais para evitar que o sistema exija uma unidade de força desnecessariamente grande Suponha que a região de busca de K e a seja 2 K 3 e 05 a 15 Se não houver uma solução nessa região temos de expandila No entanto em alguns problemas não há solução seja qual for a região de busca No método computacional precisamos determinar o tamanho do passo para cada K e a Em um projeto de fato temos de escolher passos pequenos o bastante No entanto neste exemplo para evitar uma quantidade exagerada de cálculos vamos escolher um valor razoável do tamanho do passo digamos 02 para K e a É possível escrever vários programas diferentes em MATLAB que resolvam esse problema Aqui vamos apresentar um deles o Programa 86 em MATLAB Observe que nesse programa utilizamos dois loops for Começamos o programa com o loop externo para fazer variar os valores de K Então variamos os valores de a no loop interno Continuamos escrevendo o programa em MATLAB de forma que os loops aninhados no programa comecem com o menor valor de K e de a e prossigam em direção aos mais altos Note que dependendo do sistema e das áreas de busca para K e a bem como do tamanho escolhido para os passos pode levar de vários segundos a alguns minutos para que o MATLAB calcule o conjunto desejado de valores Neste programa a sentença solutionK Ki aj m produzirá uma tabela de valores de K a e m No sistema em questão há 15 conjuntos de K e a que exibem m 110 ou seja o sobressinal máximo é menor do que 10 Para ordenar os conjuntos de soluções em função da magnitude do sobressinal máximo começando com o menor valor de m e terminando com o maior valor de m na tabela usamos o comando sortsolution sortrowssolution3 Programa 86 em MATLAB Valores de K e a para teste K 20 22 24 26 28 30 a 05 07 09 11 13 15 Avalia a resposta ao degrau unitário em malha fechada em cada combinação de K e a que fará o máximo sobressinal ser menor que 10 t 00015 g tf12036 186 25 1 k 0 for i 16 for j 16 gc tfKi1 2aj aj2 1 0 controlador G gcg1 gcg Fundação de transferência em malha fechada y stepGt m maxy if m 110 k k1 solutionk Ki aj m end end continua 536 Engenharia de controle moderno end solution Imprime a tabela de solução solution 20000 05000 09002 20000 07000 09807 20000 09000 10614 22000 05000 09114 22000 07000 09837 22000 09000 10772 24000 05000 09207 24000 07000 09859 24000 09000 10923 26000 05000 09283 26000 07000 09877 28000 05000 09348 28000 07000 10024 30000 05000 09402 30000 07000 10177 sortsolution sortrowssolution3 Imprime a tabela de solução ordenada pela coluna 3 sortsolution 20000 05000 09002 22000 05000 09114 24000 05000 09207 26000 05000 09283 28000 05000 09348 30000 05000 09402 20000 07000 09807 22000 07000 09837 24000 07000 09859 26000 07000 09877 28000 07000 10024 30000 07000 10177 20000 09000 10614 22000 09000 10772 24000 09000 10923 Gera o gráfico da resposta com o maior sobressinal que é menor que 10 K sortsolutionk1 K 24000 a sortsolutionk2 a 09000 gc tfK1 2a a2 1 0 G gcg1 gcg stepGt grid Veja Figura 8 20 Se você quiser exibir a resposta com o menor sobressinal que é maior do que 0 digite os seguintes valores de K e a K sortsolution111 K 28000 a sortsolution112 a 07000 continua continuação 537 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados gc tfK1 2a a2 1 0 G gcg1 gcg stepGt grid Veja Figura 8 21 Para traçar o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário do último conjunto de valores de K e a da tabela ordenada digitamos os comandos K sortsolution k1 a sortsolution k2 e usamos o comando step A Figura 820 mostra a curva de resposta ao degrau unitário resul tante Para traçar a curva de resposta ao degrau unitário com o menor sobressinal encontrado na tabela escolhida que seja maior que 0 digite os comandos K sortsolution 111 a sortsolution 112 e use o comando step A Figura 821 mostra a curva de resposta ao degrau unitário resultante Para traçar o gráfico da curva de resposta ao degrau unitário com qualquer conjunto mostrado na tabela escolhida especificamos os valores de K e a digitando o comando sortsolution apropriado Observe que dentro da especificação de sobressinal máximo entre 10 e 5 haveria três conjuntos de soluções K 20000 a 09000 m 10614 K 22000 a 09000 m 10772 K 24000 a 09000 m 10923 Curvas de resposta ao degrau unitário para esses três casos são mostradas na Figura 822 Veja que o sistema com maior ganho K tem o menor tempo de subida e o maior sobressinal máximo Para dizer qual das três alternativas é a melhor dependemos do objetivo do sistema FIGURA 820 Amplitude t s Resposta ao degrau 12 14 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Resposta em degrau unitário do sistema com K 24 e a 09 O sobressinal máximo é 923 continuação 538 Engenharia de controle moderno Exemplo 83 Considere o sistema mostrado na Figura 823 Queremos descobrir todas as combinações de valores de K e a de forma que o sistema em malha fechada tenha um sobressinal máximo inferior a 15 e de no mínimo 10 na resposta ao degrau unitário Além disso o tempo de acomodação deve ser menor que 3 s Neste problema considere que a região de busca seja 3 K 5 e 01 a 3 Determine a melhor escolha dos parâmetros K e a Neste problema escolhemos tamanhos razoáveis para os passos digamos 02 para K e 01 para a O Programa 87 em MATLAB fornece a solução para este problema Pela tabela sortso lution parece que a primeira linha é uma boa escolha A Figura 824 mostra a curva de resposta ao degrau unitário para K 32 e a 09 Como esta alternativa requer um valor de K menor do que a maioria das outras escolhas podemos optar por ela como a melhor FIGURA 821 Amplitude t sec Resposta ao degrau 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Resposta do sistema ao degrau unitário com K 28 e a 07 O sobressinal máximo é 024 FIGURA 822 Amplitude t s Curvas de resposta ao degrau unitário 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 K 24 a 09 K 22 a 09 K 2 a 09 Curvas de resposta ao degrau unitário com K 2 e a 09 K 22 e a 09 K 24 e a 09 539 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Programa 87 em MATLAB t 00018 k 0 for K 3025 for a 01013 num 4K 8Ka 4Ka2 den 1 6 84K 48Ka 4Ka2 y stepnumdent s 801while ys098 ys102 s s 1end ts s 1001 ts tempo de estabilização m maxy if m115 m110 if ts300 k k1 solutionk K a m ts end end end end solution solution 30000 10000 11469 27700 32000 09000 11065 28300 34000 09000 11181 27000 36000 09000 11291 25800 38000 09000 11396 24700 40000 09000 11497 23800 42000 08000 11107 28300 FIGURA 823 Rs Cs Controlador PID 4 s3 6s2 8s 4 Planta s a2 s K Sistema com controle PID com controlador PID simplificado FIGURA 824 0 0 02 04 06 08 1 12 14 2 4 6 8 t s Saída yt Resposta ao degrau unitário Curva de resposta ao degrau unitário do sistema com K 32 e a 09 continua 540 Engenharia de controle moderno 44000 08000 11208 25900 46000 08000 11304 24300 48000 08000 11396 23100 50000 08000 11485 22100 sortsolution sortrowssolution3 sortsolution 32000 09000 11065 28300 42000 08000 11107 28300 34000 09000 11181 27000 44000 08000 11208 25900 36000 09000 11291 25800 46000 08000 11304 24300 48000 08000 11396 23100 38000 09000 11396 24700 30000 10000 11469 27700 50000 08000 11485 22100 40000 09000 11497 23800 Gera gráfico da curva de resposta com o menor sobressinal mostrado na tabela sortsolution K sortsolution11 a sortsolution12 K 32000 a 09000 num 4K 8Ka 4Ka2 den 1 6 84K 48Ka 4Ka2 num num 128000 230400 103680 den den 10000 60000 208000 270400 103680 y stepnumdent plotty Veja a Figura 8 24 grid titleResposta ao degrau unitário xlabelt s ylabelSaída yt 85 Variantes dos esquemas de controle PID Considere o sistema de controle PID básico mostrado na Figura 825a em que o sistema está sujeito a distúrbios e ruídos A Figura 825b é um diagrama de blocos modificado do mesmo sistema No sistema de controle PID básico como aquele mostrado na Figura 825b se a entrada de referência for uma função degrau então por causa da presença do termo derivativo na ação de controle a variável manipulada ut envolverá uma função impulso função delta Em um controlador PID real em vez do termo derivativo puro Tds empregamos T s T s 1 d d c onde o valor de g é algo em torno de 01 Portanto quando uma entrada de referência for uma função degrau a variável manipulada ut não envolverá uma função impulso mas sim uma função pulso estreita Esse fenômeno é denominado salto do valor de referência Controle PID Para evitar o fenômeno salto do valor de referência podemos colocar a ação derivativa somente no ramo de realimentação para que a diferenciação ocorra apenas no sinal de continuação 541 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados realimentação e não no sinal de referência O esquema de controle organizado dessa maneira é denominado controle PID A Figura 826 mostra um sistema com controle PID A partir da Figura 826 pode ser visto que o sinal manipulado Us é dado por U s K Ts R s K Ts T s B s 1 1 1 1 p i p i d e e h o h o h Note que na ausência de distúrbios e ruídos a função de transferência de malha fechada do sistema de controle PID básico mostrado na Figura 825b e o sistema de controle PID mostrado na Figura 826 são dados respectivamente por R s Y s Ts T s Ts T s K G s K G s 1 1 1 1 1 i d i d p p p p e e h h o o h h FIGURA 825 Controlador PID Planta Gps 1 Tis 1 Tds Saída Ys Ruído Ns Entrada de referência Rs a b Distúrbio Ds Gps Ys Ns Rs Es Bs Sinal medido Bs Us Ds Kp a Sistema com controle PID b diagrama de blocos equivalente FIGURA 826 1 Tis 1 Gps Ys Ns Rs Es Bs Us Ds Kp Tds Bs Sistema com controle PID 542 Engenharia de controle moderno e R s Y s Ts Ts T s K G s K G s 1 1 1 1 1 i i d p p p p e e h h o o h h É importante salientar que na ausência de entrada de referência e de ruídos a função de transferência de malha fechada entre o distúrbio Ds e a saída Ys em qualquer caso é a mesma e é dada por D s Y s K G s Ts T s G s 1 1 1 p p i d p e h h h o h Controle IPD Considere novamente o caso em que a entrada de referência seja uma função degrau O controle PID e o controle PID envolvem uma função degrau no sinal manipulado Essa alteração degrau no sinal manipulado pode não ser desejada em muitas ocasiões Portanto pode ser vantajoso mover a ação proporcional e a ação derivativa para o ramo de realimentação para que essas ações afetem somente o sinal de realimentação A Figura 827 mostra esse esquema de controle Ele é chamado controle IPD O sinal manipulado é dado por U s K Ts R s K Ts T s B s 1 1 1 p i p i d e h h o h Note que a entrada de referência de Rs aparece apenas na parte integral do controle Então no controle IPD é imperativo ter a ação de controle integral para uma operação apropriada do sistema de controle A função de transferência de malha fechada YsRs na ausência da entrada de distúrbio e da entrada de ruído é dada por R s Y s Ts K G s Ts T s K G s 1 1 1 1 i p p i d p p e e h h o h o h Observese que na ausência da entrada de referência e de sinais de ruído a função de trans ferência de malha fechada entre a entrada de distúrbio e a saída é dada por D s Y s K G s Ts T s G s 1 1 1 p p i d p e h h h o h Essa expressão é a mesma daquela do controle PID ou do controle PID FIGURA 827 1 Tis Gps Ys Ns Rs Bs Bs Us Ds Kp Tds 1 Sistema com controle por IPD 543 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Controle PID com dois graus de liberdade Mostramos que o controle PID é obtido movendose a ação de controle derivativa para o ramo de realimentação e o controle IPD é obtido movendose a ação de controle proporcional e a ação de controle derivativa para o ramo de realimentação Em vez de mover totalmente a ação de controle derivativa ou a ação de con trole proporcional para o ramo de realimentação é possível mover somente partes dessas ações de controle para o ramo de realimentação mantendo as porções restantes no ramo direto Na lite ratura propõese o controle PIPD As características desse esquema de controle se situam entre o controle PID e o controle IPD Da mesma maneira o controle PIDPD pode ser considerado Nesses esquemas de controle temos um controlador no ramo direto e outro controlador no ramo de realimentação Esses esquemas de controle nos levam a um esquema de controle mais geral com dois graus de liberdade Discutiremos detalhes desse esquema de controle com dois graus de liberdade nas seções subsequentes deste capítulo 86 Controle com dois graus de liberdade Considere o sistema mostrado na Figura 828 em que o sistema está sujeito à entrada de distúrbio Ds e ao ruído de entrada Ns além da entrada de referência Rs Gcs é a função de transferência do controlador e Gps é a função de transferência da plantaVamos supor que Gps seja fixa e inalterável Para esse sistema três funções de transferência de malha fechada YsRs Gyr YsDs Gyd e YsNs Gyn podem ser obtidas São elas G R s Y s G G G G G D s Y s G G G N s Y s G G G G 1 1 1 yr c p c p yd c p p yn c p c p G h h h h h h Obtendo YsRs vamos supor que Ds 0 e Ns 0 Comentários similares se aplicam à obten ção de YsDs e YsNs Os graus de liberdade do sistema de controle se referem a quantas dessas funções de transferência de malha fechada são independentes No caso presente temos G G G G G G G G yr p p yd yn p yd p FIGURA 828 Gps Ys Ns Rs Bs Us Ds Gcs Sistema de controle com um grau de liberdade 544 Engenharia de controle moderno Se uma das três funções de transferência de malha fechada Gyr Gyn e Gyd for dada as duas outras estarão fixadas Isso significa que o sistema mostrado na Figura 828 é um sistema de controle com um grau de liberdade Em seguida considere o sistema mostrado na Figura 829 em que Gps é a função de trans ferência da planta Para esse sistema as funções de transferência de malha fechada Gyr Gyn e Gyd são dadas respectivamente por G R s Y s G G G G G G D s Y s G G G G G N s Y s G G G G G G 1 1 1 yr c c p c p yd c c p p yn c c p c c p 1 2 1 1 2 1 2 1 2 h h h h h h h h h h Logo temos G G G G G G G yr c yd yn p yd p 1 Nesse caso se Gyd é dada então Gyn está fixada mas Gyr não está pois Gc1 é independente de Gyd Então duas entre as três funções de transferência de malha fechada Gyr Gyd e Gyn são inde pendentes Logo este é um sistema de controle com dois graus de liberdade Da mesma maneira o sistema mostrado na Figura 830 também é um sistema de controle com dois graus de liberdade porque para ele FIGURA 830 Gps Gc1s Gc2s Ys Ns Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade FIGURA 829 Gps Gc1s Ys Ns Rs Bs Us Ds Gc2s Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade 545 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados G R s Y s G G G G G G G G G D s Y s G G G G N s Y s G G G G 1 1 1 1 yr c p c p c p c p yd c p p yn c p c p 1 1 1 2 1 1 1 h h h h h h Logo G G G G G G G G G G yr c yd p p yd yn p yd p 2 Claramente se Gyd é dada então Gyn está fixada mas Gyr não está fixada porque Gc2 é indepen dente de Gyd Veremos na Seção 87 que nesse sistema de controle com dois graus de liberdade tanto as características de malha fechada como as características de realimentação podem ser ajustadas independentemente para melhorar o desempenho da resposta do sistema 87 Abordagem por alocação de zeros para a melhoria das características de resposta Mostraremos aqui que com o uso da abordagem de alocação de zeros apresentada adiante nesta seção podemos atingir o seguinte As respostas à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência de acele ração não exibem erros estacionários Em sistemas de controle de alto desempenho é sempre desejado que a saída do sistema acom panhe as alterações da entrada com um mínimo de erro Para entradas do tipo degrau rampa e aceleração é desejado que a saída do sistema não exiba erro estacionário A seguir demonstraremos como projetar sistemas de controle que não exibem erros estacio nários no acompanhamento de entradas do tipo rampa e aceleração e ao mesmo tempo forçam a resposta à entrada de distúrbio a se anular rapidamente Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 831 Suponha que a função de transferência da planta Gps seja uma função de transferência de fase mínima e que seja dada por G s K B s A s p h h h FIGURA 831 Gps Gc1s Ys Rs Ds Gc2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 546 Engenharia de controle moderno onde As s z1s z2 s zm Bs sNs pN1s pN2s pn e N pode ser 0 1 2 com n m Suponha também que Gc1 seja um controlador PID em série com um filtro 1As ou G s s s s A s 1 c1 1 1 1 2 a b c h h e Gc2 seja um controlador PID PI PD I D ou P em série com um filtro 1As Ou seja G s s s s A s 1 c2 2 2 2 2 a b c h h onde alguns dos parâmetros a2 β2 e g2 podem ser nulos Portanto é possível escrever Gc1 Gc2 como G G s s s A s 1 c c 1 2 2 a b c h 83 onde a β e g são constantes Portanto D s Y s G G G G s s s B s K K B s A s sB s s s K sKA s 1 1 c c p p 1 2 2 2 a b c a b c h h h h h h h h h Por causa da presença do s no numerador a resposta yt à entrada de distúrbio do tipo degrau tende a zero à medida que t tende a infinito como é exibido a seguir Como Y s sB s s s K sKA s D s 2 a b c h h h h h se a entrada de distúrbio for uma função degrau de amplitude d ou D s s d h e presumindo que o sistema seja estável então lim lim y s sB s s s K sKA s s d sB K sKA d 0 0 0 s s 0 2 0 3 a b c b h h h h h h G A resposta yt a uma entrada de distúrbio do tipo degrau terá a forma geral mostrada na Figura 832 Note que YsRs e YsDs são dadas por R s Y s G G G G G D s Y s G G G G 1 1 c c p c p c c p p 1 2 1 1 2 h h h h h h Veja que os denominadores de YsRs e YsDs são os mesmos Antes de escolhermos os polos de YsRs necessitamos alocar os zeros de YsRs Alocação de zeros Considere o sistema R s Y s s a s a s a s a s a p s n n n n n 1 1 1 2 2 1 0 g h h h 547 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Se escolhermos ps como ps a2s2 a1s a0 a2s s1s s2 isto é escolhendo os zeros s s1 e s s2 de modo que juntos com a2 o polinômio do numerador ps seja igual à soma dos últimos três termos do polinômio do denominador então o sistema não exibirá erros estacionários na resposta à entrada em degrau rampa e aceleração Requisitos sobre as características da resposta do sistema Suponha que seja desejado que o sobressinal máximo na resposta a uma entrada de referência do tipo degrau unitário esteja entre limites mínimos e máximos selecionados arbitrariamente por exemplo 2 sobressinal máximo 10 em que escolhemos o limite inferior como ligeiramente acima de zero para evitarmos obter siste mas superamortecidos Quanto menor o limite superior mais difícil será determinar os coeficientes a Em alguns casos pode não haver nenhuma combinação de a que satisfaça à especificação Então devemos permitir um limite superior mais elevado para o sobressinal máximo Utilizamos o MATLAB para procurar pelo menos um conjunto de a que satisfaça à especificação Como uma solução prática computacional em vez de buscar pelo a tentamos obter polos de malha fechada aceitáveis buscando uma região razoável no semiplano esquerdo s para cada polo de malha fechada Uma vez determinados todos os polos de malha fechada então todos os coefi cientes an an 1 a1 a0 são determinados Determinação de Gc2 Agora que todos os coeficientes da função de transferência YsRs são conhecidos e YsRs é dada por R s Y s s a s a s a s a s a a s a s a n n n n n 1 1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 g h h 84 temos R s Y s G D s Y s sB s s s K G sKA s s a s a s a s a s a G sKA s c c n n n n n c 1 2 1 1 1 1 2 2 1 0 1 g a b c h h h h h h h h Como Gc1 é um controlador PID e é dado por G s s s A s 1 c1 1 1 1 2 a b c h YsRs pode ser escrita como R s Y s s a s a s a s a s a K s s n n n n n 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 g a b c h h h FIGURA 832 0 t y Curva típica de resposta a uma entrada de distúrbio do tipo degrau 548 Engenharia de controle moderno Portanto escolhemos Kγ1 a2 Kα1 a1 Kβ1 a0 de modo que G Ks a s a a s A s 1 c1 1 0 2 2 h 85 A resposta desse sistema a uma entrada de referência do tipo degrau unitário pode ser obtida de modo que exiba um sobressinal máximo escolhido entre valores máximos e mínimos como 2 sobressinal máximo 10 A resposta do sistema a uma entrada de referência do tipo rampa ou a uma entrada de referência do tipo aceleração pode ser obtida de modo que não exiba erro estacionário A característica do sistema da Equação 84 geralmente exibe um tempo de acomodação pequeno Se desejarmos diminuir ainda mais o tempo de acomodação então precisaremos permitir um sobressinal máximo maior por exemplo 2 sobressinal máximo 20 O controlador Gc2 pode agora ser determinado a partir das equações 83 e 85 Como G G s s s A s 1 c c 1 2 2 a b c h temos G s s s Ks a s a a s A s Ks K a s K a K a s A s 1 1 c2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 a b c a b c h h h h h E 86 Os dois controladores Gc1 e Gc2 são dados pelas equações 85 e 86 respectivamente Exemplo 84 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 833 A função de transferência da planta é dada por G s s s 1 10 p h h Projete os controladores Gc1s e Gc2s de modo que o sobressinal máximo na resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário seja menor que 19 mas superior a 2 e que o tempo de acomodação seja menor que 1 s Desejase que os erros estacionários no acompanhamento à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência do tipo aceleração sejam nulos A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário deve apresentar uma pequena amplitude que vai tender a zero rapidamente Para projetar controladores Gc1s e Gc2s apropriados note primeiro que D s Y s G G G G 1 p c c p 1 2 h h h Para simplificar a notação vamos definir Gc Gc1 Gc2 Então D s Y s G G G s s G s s s s G 1 1 1 10 1 10 1 10 10 p c p c c h h h h h 549 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Em segundo lugar note que R s Y s G G G G s s G G 1 1 10 10 p c p c c c 1 1 h h h Observe que a equação característica de YsDs e a de YsRs são idênticas Podemos ser induzidos a escolher um zero de Gcs em s 1 a fim de cancelar o polo em s 1 da planta Gps Contudo o polo cancelado s 1 tornase um polo de malha fechada do sistema global como vemos a seguir Se definirmos Gcs como um controlador PID tal que G s s K s s 1 c b h h h 87 Então D s Y s s s s K s s s s K s s 1 10 1 10 1 10 10 2 b b h h h h h h h 6 O polo de malha fechada em s 1 é um polo de resposta lenta e se esse polo de malha fechada for incluído no sistema o tempo de acomodação não será menor que 1 s Portanto não devemos escolher Gcs como aquele dado pela Equação 87 O projeto dos controladores Gc1s e Gc2s consiste em duas etapas Etapa 1 do projeto projetamos para satisfazer os requisitos com relação à resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau Ds Nesse estágio do projeto admitimos que a entrada de referência seja zero Suponha que Gcs seja um controlador PID como segue G s s K s s c a b h h h Então a função de malha fechada YsDs resulta em D s Y s s s G s s s K s s s s K s s s 1 10 10 1 10 10 1 10 10 c 2 a b a b h h h h h h h h h Note que a presença de s no numerador de YsDs garante que a resposta estacionária à entrada de distúrbio do tipo degrau seja zero FIGURA 833 Gps Gc1s Ys Rs Us Ds Gc2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 550 Engenharia de controle moderno Vamos supor que os polos dominantes desejados sejam complexos conjugados e sejam dados por s a jb e que o polo remanescente de malha fechada seja real e localizado em s c Note que nesse problema existem três requisitos O primeiro é que a resposta à entrada de distúrbio seja amortecida rapidamente O segundo requisito é que o sobressinal máximo na res posta à entrada ao degrau unitário esteja entre 19 e 2 e o tempo de acomodação seja menor que 1 s O terceiro requisito é que os erros estacionários na resposta de ambas as entradas de referência rampa e aceleração sejam nulos Um conjunto ou conjuntos de valores razoáveis de a b e c deve ser buscado com a utilização de uma abordagem computacional Para satisfazer o primeiro requisito escolhemos a região de busca para a b e c como 2 a 6 2 b 6 6 c 12 Essa região é mostrada na Figura 834 Se os polos dominantes de malha fechada s a jb estiverem localizados em qualquer lugar da região sombreada a resposta à entrada em degrau amortecerá rapidamente O primeiro requisito será atingido Note que o denominador de YsDs pode ser escrito como s2s 1 10Ks α s β s3 1 10Ks2 10Kα βs 10Kαβ s a jbs a jbs c s3 2a cs2 a2 b2 2acs a2 b2c Como os denominadores de YsDs e YsRs são os mesmos o denominador de YsDs determina também as características da resposta à entrada de referência Para satisfazer o terceiro requisito recorremos ao método de alocação de zeros e escolhemos a função de transferência de malha fechada YsRs do seguinte modo FIGURA 834 0 j6 j4 j2 j6 j4 j2 6 4 2 8 10 12 2 v Região para a e b Região para c j Regiões de busca para a b e c 551 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados R s Y s s a c s a b ac s a b c a c s a b ac s a b c 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h h h h que nesse caso faz o terceiro requisito ser automaticamente satisfeito Nosso problema se torna então a busca de um conjunto ou conjuntos dos polos desejados de malha fechada em termos de a b e c na região específica para que o sistema satisfaça os requisitos da resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário de que o sobressinal máximo esteja entre 19 e 2 e o tempo de acomodação seja menor que 1 s Se um conjunto aceitável não puder ser encontrado na região de busca precisamos aumentar a região Na busca com a utilização de recursos computacionais precisamos adotar uma medida de passo razoável Nesse problema admitimos que ele seja 02 O Programa 88 em MATLAB produz uma tabela de conjuntos de valores aceitáveis de a b e c Utilizando esse programa descobrimos que o requisito da resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário é atendido por qualquer um dos 23 conjuntos mostrados na tabela do Programa 88 em MATLAB Note que a última linha na tabela corresponde ao último ponto de busca Esse ponto não satisfaz o requisito e portanto pode simplesmente ser ignorado No programa escrito o último ponto de busca produz a última linha na tabela se ele satisfizer ou não o requisito Programa 88 em MATLAB t 00014 k 0 for i 121 ai 62i02 for j 121 bj 62j02 for h 131 ch 122h02 num 0 2aich ai2bj22aich ai2bj2ch den 1 2aich ai2bj22aich ai2bj2ch y stepnumdent m maxy s 401 while ys 098 ys 102 s s1 end ts s1001 if m 119 m 102 ts 10 k k1 tablek ai bj ch m ts end end end end tablek ai bj ch m ts table 42000 20000 120000 11896 08500 40000 20000 120000 11881 08700 40000 20000 118000 11890 08900 40000 20000 116000 11899 09000 38000 22000 120000 11883 09300 38000 22000 118000 11894 09400 38000 20000 120000 11861 08900 38000 20000 118000 11872 09100 38000 20000 116000 11882 09300 38000 20000 114000 11892 09400 36000 24000 120000 11893 09900 36000 22000 120000 11867 09600 36000 22000 118000 11876 09800 36000 22000 116000 11886 09900 36000 20000 120000 11842 09200 continua 552 Engenharia de controle moderno 36000 20000 118000 11852 09400 36000 20000 116000 11861 09500 36000 20000 114000 11872 09700 36000 20000 112000 11883 09800 34000 20000 120000 11820 09400 34000 20000 118000 11831 09600 34000 20000 116000 11842 09800 32000 20000 120000 11797 09600 20000 20000 60000 12163 18900 Como observamos anteriormente 23 conjuntos das variáveis a b e c satisfazem o requisito As curvas de resposta ao degrau unitário do sistema com qualquer um dos 23 conjuntos são praticamente as mesmas A curva de resposta ao degrau unitário com a 42 b 2 c 12 é mostrada na Figura 835a O sobressinal máximo é 1896 e o tempo de acomodação é 085 s Com a utilização desses valores de a b e c os polos desejados de malha fechada ficam localizados em s 42 j2 s 12 Usando esses polos de malha fechada o denominador de YsDs resulta em s2s 1 10Ks αs β s 42 j2s 42 j2s 12 ou s31 10Ks2 10Kα βs 10Kαβ s3 204s2 12244s 25968 Igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados dessa última equação obtemos 1 10K 204 10Kα β 12244 10Kαβ 25968 Portanto 194 K 19 4 122 44 19 4 259 68 a b ab Então Gcs pode ser escrito como G s K s s s s K s s s s s 1 94 12 244 25 968 c 2 2 a b a b ab h h h h 6 A função de transferência de malha fechada YsDs resulta em D s Y s s s G s s s s s s s s s 1 10 10 1 10 1 94 12 244 25 968 10 20 4 122 44 259 68 10 c 2 3 2 h h h h Utilizando essa expressão a resposta yt à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário pode ser obtida como mostra a Figura 835b continuação 553 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados A Figura 836a traz a resposta do sistema à entrada de referência do tipo degrau unitário quando a b e c são escolhidos como a 32 b 2 c 12 A Figura 836b mostra a resposta desse sistema quando ele está sujeito a uma entrada de distúrbio do tipo degrau unitário Comparando a Figura 835a com a Figura 836a concluímos que elas são praticamente as mesmas Contudo comparando as figuras 835b e 836b concluímos que a primeira é ligeiramente melhor que a última Comparando as respostas dos sistemas de cada conjunto da tabela concluímos que o primeiro conjunto de valores a 42 b 2 c 12 é um dos melhores Portanto como solução para esse problema escolhemos a 42 b 2 c 12 FIGURA 835 Saída t s a Resposta ao degrau unitário a 42 b 2 c 12 06 08 1 12 14 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 b Saída t s Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 002 003 004 005 006 007 001 0 001 0 05 1 15 2 25 3 35 4 a Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário a 42 b 2 c 12 b resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário a 42 b 2 c 12 554 Engenharia de controle moderno Etapa 2 do projeto em seguida determinamos Gc1 Como YsRs pode ser dada por R s Y s G G G G s s s s s s s G s s s sG 1 1 1 10 1 94 12 244 25 968 1 10 20 4 122 44 259 68 10 p c p c c c 1 2 1 3 2 1 h h h h FIGURA 836 a Saída t s Resposta ao degrau unitário a 32 b 2 c 12 06 08 1 12 14 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 b Saída t s Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 002 003 004 005 006 007 008 009 001 0 001 0 05 1 15 2 25 3 35 4 a Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário a 32 b 2 c 12 b resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário a 32 b 2 c 12 555 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados nosso problema se torna projetar Gc1s para satisfazer os requisitos das respostas às entradas do tipo degrau rampa e aceleração Como o numerador envolve um s Gc1s deve incluir um integrador para cancelar esse s Embora desejemos um s no numerador da função de transferência de malha fechada YsDs para obtermos erro estacionário nulo à entrada de distúrbio do tipo degrau não desejamos ter um s no numerador da função de transferência de malha fechada YsRs Para eliminar o erro estacionário na resposta à entrada de referência do tipo degrau e para eliminar erros estacio nários no acompanhamento de entradas de referência do tipo rampa e entradas de referência do tipo aceleração o numerador de YsRs deve ser igual aos últimos três termos do denominador como foi mencionado anteriormente Ou seja 10sGc1s 204s2 12244s 25968 ou 204 12244 G s s s 25 968 c1 h Logo Gc1s é um controlador PID Como Gcs é dado por G s G s G s s s s 1 94 12 244 25 968 c c c 1 2 2 h h h obtemos G s G s G s s s s s s 1 94 12 244 25 968 2 04 12 244 25 968 0 1 c c c 2 1 c c h h h m m Logo Gc2s é um controlador derivativo Um diagrama de blocos do sistema projetado é mos trado na Figura 837 A função de transferência de malha fechada YsRs tornase agora R s Y s s s s s s 20 4 122 44 259 68 20 4 122 44 259 68 3 2 2 h h As respostas à entrada de referência do tipo rampa unitária e à entrada de referência do tipo acele ração unitária são mostradas nas figuras 838a e b respectivamente Os erros estacionários no acompanhamento à entrada em rampa e à entrada em aceleração são nulos Então todos os requi sitos do problema são satisfeitos Logo os controladores projetados Gc1s e Gc2s são aceitáveis FIGURA 837 Ys Rs Ds Gc2s Gc1s 01s 10 ss 1 25968 s 204s 12244 Diagrama de blocos do sistema projetado 556 Engenharia de controle moderno Exemplo 85 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 839 Este é um sistema com dois graus de liberdade No projeto considerado aqui admitimos que o ruído de entrada Ns seja zero Supo nha que a função de transferência da planta Gps seja dada por G s s 1 s 5 5 p h h h Suponha também que o controlador Gc1s seja do tipo PID Ou seja G s K Ts T s 1 1 c p i d 1 e h o O controlador Gc2s é do tipo P ou PD Se Gc2s envolve uma ação de controle integral então ela vai introduzir um componente em rampa no sinal de entrada o que não é desejado Portanto Gc2s não deve incluir a ação de controle integral Então vamos supor que Gc2s Kpt 1 T s dt onde Tdt pode ser zero FIGURA 838 Resposta à rampa unitária t s 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada e saída em rampa unitária 2 0 04 02 06 08 1 12 14 16 18 a Saída Entrada em rampa unitária Resposta à aceleração unitária t s 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada e saída em aceleração unitária 25 0 05 1 15 2 b Entrada em aceleração unitária Saída a Resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária b resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 557 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Vamos projetar os controladores Gc1s e Gc2s para que as respostas à entrada de distúrbio do tipo degrau e à entrada de referência do tipo degrau apresentem características desejáveis no sentido de que 1 A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau tenha um pico pequeno finalmente ten dendo a zero Ou seja não vai existir erro estacionário 2 A resposta à entrada de referência do tipo degrau exibirá menos que 25 de sobressinal com um tempo de acomodação menor que 2 s Os erros estacionários à entrada de refe rência do tipo rampa e à entrada do tipo aceleração devem ser nulos O projeto desse sistema de controle com dois graus de liberdade pode ser conduzido pelas etapas 1 e 2 a seguir 1 Determine Gc1s de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau seja de características desejáveis 2 Projete Gc2s de modo que as respostas às entradas de referência sejam de características desejáveis sem alterar a resposta ao degrau de distúrbio considerado na etapa 1 Projeto de Gc1s primeiro note que admitimos que a entrada de ruído Ns seja nula Para obter a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau vamos supor que a entrada de referência seja nula Então o diagrama de blocos que relaciona Ys e Ds pode ser desenhado como mostra a Figura 840 A função de transferência YsDs é dada por D s Y s G G G 1 c p p 1 h h onde G s K Ts T s 1 1 c p i d 1 e h o Esse controlador possui um polo na origem e dois zeros Se supusermos que os dois zeros estejam localizados no mesmo lugar um zero duplo então Gc1s poderá ser escrito como G s K s s a c1 2 h h FIGURA 839 Gps Gc1s Gc2s Ys Ns Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade FIGURA 840 Ds Ys Gps Gc1s Sistema de controle 558 Engenharia de controle moderno Então a equação característica do sistema tornase 1 1 0 G s G s s K s a s 1 s 5 5 c p 1 2 h h h h h ou ss 1s 5 5Ks a2 0 que pode ser escrita como s3 6 5Ks2 5 10Kas 5Ka2 0 88 Se colocarmos o zero duplo entre s 3 e s 6 então o gráfico do lugar das raízes de Gc1s Gps poderá ficar parecido com aquele mostrado na Figura 841 A velocidade de resposta deve ser grande mas não mais rápida que o necessário porque respostas rápidas em geral implicam componentes maiores ou mais caros Portanto podemos escolher os polos dominantes de malha fechada em s 3 j2 Note que essa escolha não é única Existe uma infinidade de possíveis polos de malha fechada que poderíamos escolher Uma vez que o sistema é de terceira ordem existem três polos de malha fechada O terceiro está localizado no eixo real negativo do lado esquerdo do ponto s 5 Vamos substituir s 3 j2 na Equação 88 3 j23 6 5K 3 j22 5 10Ka 3 j2 5Ka2 0 que pode ser simplificada para 24 25K 30Ka 5Ka2 j 16 60K 20Ka 0 Igualando a parte real e a parte imaginária a zero respectivamente obtemos 24 25K 30Ka 5Ka2 0 89 16 60K 20Ka 0 810 A partir da Equação 810 temos K 5a 15 4 811 FIGURA 841 Gráficos do lugar das raízes s a2s3 6s2 5s com a 3 a 4 a 45 e a 6 Eixo real Eixo imaginário 2 4 6 814 12 10 8 6 4 2 0 2 4 2 0 6 8 a 6 a 45 a 4 a 3 Gráficos do lugar das raízes de 5Ks a2ss 1s 5 onde a 3 a 4 a 45 e a 6 559 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Substituindo a Equação 811 na Equação 89 obtemos a2 13 ou a 36056 ou 36056 Note que os valores de K resultam em K 13210 para a 36056 K 01211 para a 36056 Como Gc1s está no ramo de realimentação o ganho K deve ser positivo Logo escolhemos K 13210 a 36056 Então Gc1s pode ser dado por G s K s s a s s s s s 1 3210 3 6056 1 3210 9 5260 17 1735 c1 2 2 2 h h h Para determinar Kp Ti e Td procedemos como segue G s s s s s s 1 3210 7 2112 13 9 5260 1 0 5547 1 0 1387 c1 2 c h h m 812 Logo Kp 95260 Ti 05547 Td 01387 Para verificar a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário obtemos a função de transferência de malha fechada YsDs D s Y s G G G s s s K s a s s s s s 1 1 5 5 5 12 605 52 63 85 8673 5 c p p 1 2 3 2 h h h h h A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário é mostrada na Figura 842 A curva de resposta parece boa e aceitável Note que os polos de malha fechada estão localizados em s 3 j2 e s 66051 Os polos complexos conjugados de malha fechada agem como polos dominantes de malha fechada Projeto de Gc2s projetamos agora Gc2s para obtermos as respostas desejadas às entradas de referência A função de transferência de malha fechada YsRs pode ser dada por R s Y s G G G G G s s s s s s s s K T s s s s s s K T s K s 1 1 1 321 9 526 17 1735 1 5 5 1 321 9 526 17 1735 1 1 5 5 12 6051 52 63 85 8673 6 6051 5 47 63 5 85 8673 c p c c p p d p d p 1 1 2 2 2 3 2 2 t t t t t h h h h h h h h h h E 560 Engenharia de controle moderno Alocação de zeros alocamos dois zeros juntos com a constante de ganho dc de modo que o numerador seja igual à soma dos últimos três termos do denominador Ou seja 66051 5Kpt Tdt s2 4769 5Kpt s 858673 126051s2 5263s 858673 Igualando os coeficientes dos termos de s2 e dos termos em s nos dois lados dessa última equação 66051 5Kpt Tdt 126051 4763 5Kpt 5263 de onde obtemos Kpt 1 Tdt 12 Portanto Gc2s 1 12s 813 Com esse controlador Gc2s a função de transferência YsRs resulta em R s Y s s s s s s 12 6051 52 63 85 8673 12 6051 52 63 85 8673 3 2 2 h h A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tornase como mostra a Figura 843a A resposta exibe o sobressinal máximo de 21 e o tempo de acomodação de aproximadamente 16 s As figuras 843b e c mostram a resposta à rampa e a resposta à aceleração Os erros estacionários de ambas as respostas são nulos A resposta ao distúrbio do tipo degrau foi satis fatória Portanto os controladores projetados Gc1s e Gc2s dados pelas equações 812 e 813 respectivamente são satisfatórios Se as características da resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário não forem satisfatórias teremos de alterar a localização dos polos dominantes de malha fechada e repetir o procedimento de projeto Os polos dominantes de malha fechada devem ficar em certa região no semiplano esquerdo do plano s tal que 2 a 6 2 b 66 c 12 Se a busca computacional for desejada escreva um programa similar ao Programa 88 em MATLAB e execute o processo de busca Então um conjunto ou conjuntos desejados de valores de a b e c podem ser encontrados de modo que a resposta do sistema à entrada de referência do tipo degrau unitário satisfaça todos os requisitos relativos ao sobressinal máximo e ao tempo de acomodação FIGURA 842 yd t t s Resposta ao degrau unitário de YsDs 003 004 005 006 007 008 009 01 002 001 0 0 05 1 15 2 25 3 Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 561 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados FIGURA 843 a yrt t s Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário 06 08 1 12 14 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 b yrt t s Resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada Saída c yrt t s Resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada Saída a Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário b resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária c resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 562 Engenharia de controle moderno Exemplos de problemas com soluções A81 Descreva brevemente as características dinâmicas do controlador PI do controlador PD e do controlador PID Solução O controlador PI é caracterizado pela função de transferência G s K Ts 1 1 c p i e h o O controlador PI é um compensador de atraso Ele possui um zero em s 1Ti e um polo em s 0 Logo a característica do controlador PI é possuir ganho infinito na frequência nula Isso melhora as características de regime permanente Entretanto a inclusão da ação de controle PI no sistema aumenta em 1 o número que define o tipo do sistema compensado Isso resulta em um sistema compensado menos estável ou até mesmo faz o sistema se tornar instável Portanto os valores de Kp e Ti devem ser escolhidos cuidadosamente para garantir uma resposta temporal apro priada Projetando de maneira adequada o controlador PI é possível fazer a resposta temporal à entrada em degrau exibir um sobressinal relativamente pequeno ou nenhum A velocidade de resposta contudo fica muito lenta Isso ocorre porque o controlador PI sendo um filtro passa baixa atenua os componentes de alta frequência do sinal O controlador PD é uma versão simplificada do compensador de avanço que possui a função de transferência Gcs em que Gc s Kp1 Td s O valor de Kp é normalmente determinado a fim de satisfazer os requisitos de regime estacionário A frequência de canto 1Td é escolhida de modo que o avanço de fase ocorra na vizinhança do ganho de frequência de cruzamento Embora a margem de fase possa ser aumentada o ganho do compensador continua a aumentar na região de frequência 1Td Então o controlador PD é um filtro passaalta Esse aumento contínuo do ganho é indesejável uma vez que ele amplifica os ruídos de alta frequência que podem estar presentes no sistema A compensação em avanço pode proporcionar um avanço de fase suficiente enquanto o aumento do ganho na região de alta frequência é muito menor que o do controlador PD Portanto preferese a compensação em avanço no lugar do controle PD Como a função de transferência do controlador PD envolve um zero mas nenhum polo não é possível realizála somente por meio de elementos RLC passivos A realização do controlador PD com amplificadores operacionais resistores e capacitores é possível mas como o controlador PD é um filtro passaalta como mencionado anteriormente o processo de diferenciação envolvido pode causar sérios problemas de ruído em vários casos Contudo não existem problemas se o controlador PD é realizado por meio de elementos hidráulicos ou pneumáticos O controlador PD assim como no caso do compensador de avanço melhora as características de resposta temporal e a estabilidade do sistema e aumenta a banda passante desse sistema o que implica um tempo de subida rápido O controlador PID é uma combinação dos controladores PI e PD Ele é um compensador do tipo atraso e avanço Note que a ação de controle PI e a ação de controle PD ocorrem em diferentes regiões de frequência A ação de controle PI ocorre na região de baixa frequência e a ação de controle PD ocorre na região de alta frequência O controle PID pode ser utilizado quando o sistema requer melhorias no desempenho transitório e no desempenho em regime estacionário A82 Mostre que a função de transferência UsEs do controlador PID mostrado na Figura 844 é E s U s K T T T T T s T T T T s 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 h h h E Suponha que o ganho K seja muito grande quando comparado com a unidade ou K 1 563 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Solução E s U s K K T s T s T s K K K T s T s T s K T s K T s T s K T s T s K T s T s T T K T T T T T s T T T T s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 Z e e e e h h o o h h o h o h E A83 Considere o circuito com dois amplificadores operacionais mostrado na Figura 845 É um con trolador PID modificado no qual a função de transferência envolve um integrador e um termo de atraso de primeira ordem Obtenha a função de transferência desse controlador PID Solução Como Z R C s R R C s R R R R C s 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 FIGURA 844 K Es Us 1 K0 T1s 1 T1s 1 1 T2s Controlador PID FIGURA 845 Eis Es Eos Z1 Z2 C1 C2 R1 R2 R4 R3 R5 Controlador PID modificado 564 Engenharia de controle moderno e Z R C s 1 2 2 2 temos E s E s Z Z C s R R R R C s R C s 1 R C s 1 i 1 2 2 1 3 1 3 1 2 2 1 1 h h h h h Além disso E s E s R R o 4 5 h h Consequentemente E s E s E s E s E s E s R R R C R s R R R R C s R C s R C s R R R R s s R R C R R s R C s R C 1 1 1 1 1 i o o i 4 1 3 2 5 1 3 1 3 1 1 1 2 2 4 3 5 2 1 3 1 1 3 1 1 2 2 e e e e h h h h h h h o h h o o o Observe que R1C1 e R2C2 determinam as localizações dos zeros do controlador enquanto R1 R3 e C1 afetam a localização do polo no eixo real negativo A razão R5R4 ajusta o ganho do controlador A84 Na prática é impossível realizar um diferenciador puro Logo temos sempre de aproximar o diferenciador puro Td s por alguma coisa como T s T s 1 d d c Uma maneira de realizar esse diferenciador aproximado é com a utilização de um integrador no ramo de realimentação Mostre que a função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 846 é dada pela expressão precedente Nos diferenciadores disponíveis comercialmente o valor de g pode ser ajustado como 01 Solução A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Figura 846 é R s C s T s T s T s 1 1 1 1 d d d c c c h h Note que esse diferenciador com um atraso de primeira ordem reduz a banda passante do sistema de controle de malha fechada e o efeito danoso dos sinais de ruído A85 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 847 É um controle PID de uma planta de segunda ordem Gs Suponha que os distúrbios Ds entrem no sistema como está mostrado no diagrama Suponha ainda que a entrada de referência Rs seja normalmente mantida constante e as características da resposta aos distúrbios sejam muito importantes nesse sistema FIGURA 846 Rs Cs 1 γ 1 Tds Diferenciador aproximado 565 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Projete um sistema de controle de modo que a resposta a qualquer distúrbio do tipo degrau seja rejeitada rapidamente de 2 a 3 s de tempo de acomodação usando o critério de 2 Escolha a configuração dos polos de malha fechada para que exista um par de polos dominantes de malha fechada A partir daí obtenha a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário Obtenha também a resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário Solução O controlador PID possui a função de transferência G s s K as 1 bs 1 c h h h Para a entrada de distúrbio na ausência da entrada de referência a função de transferência de malha fechada resulta em D s C s s s s K as bs s s Kab s Ka Kb s K s 3 6 9 1 1 3 6 9 d 2 3 2 h h h h h h h 814 A especificação requer que a resposta ao distúrbio do tipo degrau unitário seja tal que o tempo de acomodação esteja entre 2 e 3 s e o sistema tenha um amortecimento razoável Podemos inter pretar a especificação como z 05 e n 4 rads para os polos dominantes de malha fechada Podemos escolher o terceiro polo em s 10 para que o efeito desse polo real na resposta seja pequeno Então a equação característica desejada pode ser escrita como s 10s2 2 05 4s 42 s 10s2 4s 16 s3 14s2 56s 160 A equação característica do sistema dado pela Equação 814 é s3 36 Kab s2 9 Ka Kbs K 0 Logo requeremos que 36 Kab 14 9 Ka Kb 56 K 160 o que leva a ab 0065 a b 029375 O controlador PID agora resulta em G s s K abs a b s s s s s s s 1 160 0 065 0 29375 1 10 4 4 5192 15 385 c 2 2 2 h h h h 6 FIGURA 847 Controlador PID Planta Gs Cs Rs Ds Kas 1bs 1 s 1 s2 36s 9 Sistema com controle PID 566 Engenharia de controle moderno Com esse controlador PID a resposta ao distúrbio é dada por C s s s s s D s s s s s D s 14 56 160 10 4 16 d 3 2 2 h h h h h Claramente para uma entrada de distúrbio do tipo degrau unitário a saída em regime estacionário é nula uma vez que 0 lim lim lim c t sC s s s s s s 10 4 16 1 t d t d t 0 0 2 2 3 h h h h A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário pode ser facilmente obtida com o MATLAB O Programa 89 em MATLAB produz uma curva de resposta como mostra a Figura 848a A partir da curva de resposta notamos que o tempo de acomodação é de aproximadamente 27 s A resposta amortece rapidamente Portanto o sistema projetado aqui é aceitável FIGURA 848 Saída da entrada de distúrbio 14 6 2 4 8 12 4 10 0 2 103 Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário t s 0 05 5 45 3 35 4 1 15 2 25 a Saída da entrada de referência 12 06 0 08 10 04 02 Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário t s 0 05 5 45 3 35 4 1 15 2 25 b a Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário b resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário 567 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Programa 89 em MATLAB Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário numd 1 0 dend 1 14 56 160 t 00015 c1x1t stepnumddendt plottc1 grid titleResposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário xlabelt s ylabelSaída da entrada do distúrbio Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário numr 104 47 160 denr 1 14 56 160 c2x2t stepnumrdenrt plottc2 grid titleResposta à entrada de referência do tipo degrau unitário xlabelt s ylabelSaída da entrada de referência Para a entrada de referência rt a função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s s s s s s 14 56 160 10 4 4 5192 15 385 14 56 160 10 4 47 160 r 3 2 2 3 2 2 h h h A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário pode ser obtida com o uso do Pro grama 89 em MATLAB A curva de resposta resultante é mostrada na Figura 848b A curva de resposta mostra que o sobressinal máximo é de 73 e o tempo de acomodação é de 12 s O sistema tem características de resposta bastante aceitáveis A86 Considere o sistema mostrado na Figura 849 Desejase projetar um controlador PID Gcs de modo que os polos dominantes de malha fechada estejam localizados em s 1 j 3 Para o controlador PID escolha a 1 e com isso determine os valores de K e b Esboce o gráfico do lugar das raízes para o sistema projetado Solução Como G s G s K s s s b s 1 1 1 c 2 h h h h a soma dos ângulos em s 1 j 3 que é um dos polos desejados de malha fechada a partir do zero em s 1 e dos polos em s 0 s j e s j é 90 143794 120 110104 283898 FIGURA 849 Rs Cs Controlador PID Planta Gcs Gs s a s b s K 1 s2 1 Sistema com controle PID 568 Engenharia de controle moderno Logo o zero em s b deve contribuir com 103898 Isso requer que o zero esteja localizado em b 05714 A constante de ganho K pode ser determinada pela condição de módulo 1 K s s s s 1 0 5714 1 1 s j 2 1 3 h h ou K 23333 Então o compensador pode ser escrito como 23333 G s s s 1 s 0 5714 c h h h A função de transferência de malha aberta resulta em G s G s s s s s 2 3333 1 0 5714 1 1 c 2 h h h h A partir dessa equação podese traçar o gráfico do lugar das raízes do sistema compensado A Figura 850 é o gráfico do lugar das raízes A função de transferência de malha fechada é dada por R s C s s s s s s s 2 3333 1 0 5714 2 3333 1 0 5714 3 h h h h h h Os polos de malha fechada estão localizados em s 1 j 3 e s 03333 A curva de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 851 O polo de malha fechada em s 03333 e o zero em s 05714 produzem uma cauda longa de pequena amplitude FIGURA 850 Eixo real 5 0 1 1 3 4 2 Eixo imaginário 2 0 3 3 2 1 1 Gráfico do lugar das raízes de GcsGs Gráfico do lugar das raízes do sistema compensado 569 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados A87 Considere o sistema mostrado na Figura 852 Projete um compensador cuja constante de erro estático de velocidade seja 4 s1 a margem de fase seja de 50º e a margem de ganho seja de 10 dB no mínimo Com o MATLAB trace as curvas de resposta ao degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensado Trace também um diagrama de Nyquist do sistema compensado utilizando o MATLAB Usando o critério de estabilidade de Nyquist verifique se o sistema projetado é estável Solução Como a planta não tem um integrador é necessário incluir um integrador no compen sador Determinemos que o compensador seja 1 lim G s s K G s G s c c s c 0 t t h h h onde G s ct h será determinado posteriormente Como a constante de erro estático de velocidade está especificada em 4 s1 temos 01 4 lim lim K sG s s s s s K G s s s K 1 0 1 1 0 1 s c s c 0 2 0 2 y t h h Assim K 40 Portanto G s s G s 40 c c t h h Em seguida traçamos um diagrama de Bode de G s s s s 1 40 0 1 2 h h h O Programa 810 em MATLAB produz um diagrama de Bode para Gs como mostra a Figura 853 FIGURA 851 t s 0 8 12 10 4 2 6 Amplitude 04 08 12 06 1 02 0 Resposta ao degrau unitário do sistema compensado Resposta ao degrau unitário do sistema compensado FIGURA 852 Gcs s 01 s2 1 Sistema de controle 570 Engenharia de controle moderno Programa 810 em MATLAB Diagrama de Bode num 40 4 den 1 0000000001 1 0 bodenumden titleDiagrama de Bode de Gs 40s01ss21 Precisamos de uma margem de fase de 50º e de uma margem de ganho de no mínimo 10 dB Vamos determinar que G s ct h seja G s ct h as 1 a 0 Então Gcs contribuirá com um avanço de fase de até 90 na região de alta frequência Com ensaios simples no MATLAB constatamos que a 01526 nos dá uma margem de fase de 50º e uma margem de ganho de dB Veja o Programa 811 em MATLAB e o diagrama de Bode resultante mostrado na Figura 854 Nesse diagrama de Bode vemos que a constante de erro estático de velocidade é 4 s1 a margem de fase é de 50º e a margem de ganho é de dB Portanto o sistema projetado satisfaz todos os requisitos Programa 811 em MATLAB Diagrama de Bode num conv40 401526 1 den 1 0000000001 1 0 sys tfnumden w logspace22100 bodesysw Gmpmwcpwcg marginsys GmdB 20log10Gm GmdBpmwcpwcg ans Inf 500026 NaN 80114 titleDiagrama de Bode de Gs 40s0101526s1ss21 FIGURA 853 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 40s 01ss2 1 200 50 100 150 0 100 Fase graus Magnitude dB 0 300 200 100 103 102 101 100 101 Diagrama de Bode de Gs 40s 01ss2 1 571 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados O compensador projetado tem a seguinte função de transferência G s s G s s s 40 40 0 1526 1 c c t h h h A função de transferência de malha aberta do sistema projetado é Função de transferência de malha aberta s s s s s s s s 40 0 1526 1 1 0 1 1 6 104 40 6104 4 2 2 2 h h Em seguida verificaremos as respostas do sistema projetado ao degrau unitário à rampa unitária A função de transferência de malha fechada é R s C s s s s s s 6 104 41 6104 4 6 104 40 6104 4 3 2 2 h h Os polos de malha fechada estão localizados em s 30032 j56573 s 30032 j56573 s 00975 O Programa 812 em MATLAB gerará a curva de resposta ao degrau unitário do sistema proje tado A Figura 855 mostra a curva de resposta ao degrau unitário resultante Observe que o polo de malha fechada em s 00975 e o zero da planta em s 01 produzem uma longa cauda de baixa amplitude Programa 812 em MATLAB Resposta ao degrau unitário num 6104 406104 4 den 1 6104 416104 4 t 000110 stepnumdent grid FIGURA 854 Frequência rads Diagrama de Bode de Gs 40s 0101526s 1ss2 1 200 50 50 0 100 150 100 50 Fase graus Magnitude dB 0 100 50 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode de Gs 40s 01 01526s 1 ss2 1 572 Engenharia de controle moderno O Programa 813 em MATLAB gera a curva de resposta à rampa unitária do sistema projetado A Figura 856 mostra a curva de resposta resultante Programa 813 em MATLAB Resposta à rampa unitária num 0 0 6104 406104 4 den 1 6104 416104 4 0 t 000120 c stepnumdent plottctt titleResposta à rampa unitária xlabelts ylabelFunção Entrada em Rampa e Saída text3115Função Entrada em Rampa text138112Saída FIGURA 855 t s 2 1 7 9 6 8 10 0 4 3 5 Amplitude 14 08 0 12 04 02 1 06 Resposta ao degrau Curva de resposta ao degrau unitário em CsRs 6104s 406104s 4 s3 6104s2 416104s 4 FIGURA 856 Saída Função entrada em rampa t s 4 2 14 18 12 16 20 0 8 6 10 Função Entrada em Rampa e Saída 20 8 0 12 18 4 2 16 10 14 6 Resposta à rampa unitária Curva de resposta à rampa unitária em Cs Rs 6104s2 406104s 4 s3 6104s2 416104s 4 573 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Diagrama de Nyquist Constatamos anteriormente que os três polos de malha fechada do sistema projetado estão todos no semiplano esquerdo do plano s Consequentemente o sistema projetado é estável Nesse caso o objetivo de traçar o diagrama de Nyquist não é testar a estabilidade do sistema mas aperfeiçoar nosso entendimento da análise de estabilidade de Nyquist Se o sistema é complicado o diagrama de Nyquist pode ter uma aparência tão complicada que não será fácil contar o número de envolvimentos do ponto 1 j0 Como o sistema projetado inclui três polos de malha aberta no eixo j o diagrama de Nyquist ficará bastante complicado como veremos a seguir Defina a função de transferência de malha aberta do sistema projetado como Gs Então G s G s s s s s s s 1 0 1 1 6 104 40 6104 4 c 2 2 2 h h h Vamos escolher um percurso de Nyquist modificado como mostra a Figura 857a O percurso modificado envolve três polos de malha aberta s 0 s j1 e s j1 Agora defina s1 s v0 Então o percurso de Nyquist no plano s1 tornase aquele mostrado na Figura 857b No plano s1 a função de transferência de malha aberta tem três polos no semiplano direito do plano s1 Digamos que v0 001 Como s s1 v0 temos Gs Gs1 001 Função de transferência de malha aberta no plano s1 s s s s s s s s s s s 0 01 0 02 1 0001 6 104 0 02 0 0001 40 6104 0 01 4 0 03 1 0003 0 010001 6 104 40 48832 3 5945064 1 1 2 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 1 h h h h Um programa em MATLAB para obter o diagrama de Nyquist é mostrado no Programa 814 em MATLAB A Figura 858 mostra o diagrama de Nyquist resultante Programa 814 em MATLAB Diagrama de Nyquist num 6104 4048832 35945064 den 1 003 10003 0010001 nyquistnumden v 1500 1500 2500 2500 axisv FIGURA 857 Plano s Plano s1 j a b 0 v v0 j 0 v a Percurso de Nyquist modificado no plano s b percurso de Nyquist no plano s1 574 Engenharia de controle moderno A partir do diagrama obtido não é fácil determinar os envolvimentos do ponto 1 j0 no lugar geométrico de Nyquist Portanto temos de redesenhar esse diagrama de Nyquist qualitativamen te para mostrar os detalhes próximos do ponto 1 j0 O diagrama de Nyquist redesenhado é mostrado pela Figura 859 A partir do diagrama redesenhado constatamos que o ponto 1 j0 é envolvido três vezes no sentido antihorário Portanto N 3 Como a função de transferência de malha aberta tem três polos no semiplano direito do plano s1 temos P 3 Então temos Z N P 0 Isso significa que não há polos de malha fechada no semiplano direito do plano s1 Portanto o sistema é estável FIGURA 858 1500 1000 500 0 500 1000 1500 Eixo real Diagrama de Nyquest Eixo imaginário 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 Diagrama de Nyquist FIGURA 859 Im Re 0 0 Diagrama de Nyquist redesenhado 575 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados A88 Demonstre que o sistema com controle IPD mostrado na Figura 860a é equivalente ao sistema com controle PID com filtro de entrada mostrado na Figura 860b Solução A função de transferência de malha fechada CsRs do sistema com controle IPD é R s C s K Ts T s G s Ts K G s 1 1 1 p i d p i p p e h h o h h A função de transferência de malha fechada CsRs do sistema com controle PID com filtro de entrada mostrado na Figura 860b é R s C s Ts TT s K Ts T s G s K Ts T s G s K Ts T s G s Ts K G s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i d p i d p p i d p p i d p i p p 2 e e e h h o h o h o h h As funções de transferência de malha fechada de ambos os sistemas são as mesmas Portanto os dois sistemas são equivalentes A89 A ideia básica do controle IPD é evitar sinais de controle elevados que vão causar o fenômeno de saturação no sistema Levando as ações de controle proporcionalderivativo para o ramo de realimentação é possível escolher valores de Kp e Td maiores que aqueles possíveis pelo esquema de controle PID Compare qualitativamente as respostas do sistema com controle PID e IPD em relação à entrada de distúrbio e à entrada de referência Solução Considere primeiro a resposta do sistema com controle IPD à entrada de distúrbio Como no controle IPD de uma planta é possível selecionar valores de Kp e Td maiores que FIGURA 860 a b Kp Tis Gps Cs Rs Kp1 Tds Gps Cs Rs Kp1 Tds 1 Tis 1 1 Tis TiTds2 a Sistema com controle IPD b sistema com controle PID com filtro de entrada 576 Engenharia de controle moderno aqueles do caso com controle PID o sistema com controle IPD vai atenuar o efeito do distúrbio mais rapidamente que no caso do sistema com controle PID Em seguida considere a resposta do sistema com controle IPD à entrada de referência Como o sistema com controle IPD é equivalente ao sistema com controle PID com o filtro de entrada veja o Problema A88 o sistema com controle PID apresentará respostas mais rápidas que o sistema com controle IPD correspondente contanto que um fenômeno de saturação não ocorra no sistema com controle PID A810 Em alguns casos é desejável prover um filtro de entrada como mostra a Figura 861a Observe que o filtro de entrada Gf s está fora da realimentação Portanto ele não afeta a estabilidade da porção de malha fechada do sistema Uma vantagem de ter o filtro de entrada é que os zeros da função de transferência de malha fechada podem ser modificados cancelados ou substituídos por outros para que a resposta de malha fechada seja aceitável Mostre que a configuração da Figura 861a pode ser modificada para ficar como aquela mos trada na Figura 861b onde Gd s Gf s 1Gcs A estrutura de compensação mostrada na Figura 861b é algumas vezes denominada compensação de comando Solução Para o sistema da Figura 861a temos R s C s G s G s G s G s G s 1 f c p c p h h h h h h h 815 Para o sistema da Figura 861b temos Us Gd sRs GcsEs Es Rs Cs Cs GpsUs Logo Cs GpsGd sRs GcsRs Cs ou R s C s G s G s G s G s G s 1 c p d c p h h h h h h h 6 816 FIGURA 861 a b Gcs Cs Rs Gps Gf s Gcs Cs Rs Es Gds Gps Us a Diagrama de blocos do sistema de controle com filtro de entrada b diagrama de blocos modificado 577 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados Substituindo Gd s Gf s 1Gcs na Equação 816 obtemos R s C s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s 1 1 c p f c c c p f c p c p h h h h h h h h h h h h h h 6 que é a mesma da Equação 815 Logo mostramos que os sistemas que aparecem nas figuras 861a e b são equivalentes Veja que o sistema mostrado na Figura 861b tem um controlador de avanço Nesse caso Gd s não afeta a estabilidade da porção de malha fechada do sistema A811 Um sistema de malha fechada tem a característica de que a função de transferência de malha fechada será aproximadamente igual ao inverso da função de transferência da realimentação sempre que o ganho de malha aberta for muito maior que a unidade A característica de malha aberta pode ser modificada adicionandose um ramo interno de rea limentação com uma característica igual à inversa da característica desejada de malha aberta Suponha que dado sistema com realimentação unitária tenha a seguinte função de transferência de malha aberta G s T s T s K 1 1 1 2 h h h Determine a função de transferência Hs do elemento no ramo interno de realimentação para que a malha interna se torne sem efeito tanto em baixas como em altas frequências Solução A Figura 862a mostra o sistema original e a Figura 862b a malha interna de rea limentação adicionada em torno de Gs Como E s C s G s H s G s H s G s H s G s H s 1 1 1 h h h h h h h h h h se o ganho de malha interna for grande se comparado com a unidade então GsHs1 Gs Hs é aproximadamente igual a um e a função de transferência CsEs é aproximadamente igual a 1Hs Por outro lado se o ganho GsHs for muito menor que a unidade a malha interna se tornará sem efeito e CsEs se tornará aproximadamente igual à Gs Para tornar a malha interna sem efeito tanto nas baixas como nas altas faixas de frequência é preciso que GjHj 1 para 1 e 1 FIGURA 862 a b Gs C R Gs Hs C E R GHs 1 Hs C E R a Sistema de controle b adição da malha interna de realimentação para modificar a característica de malha fechada 578 Engenharia de controle moderno Como neste problema G j j T j T K 1 1 1 2 h h h o requisito pode ser satisfeito se Hs for escolhido como Hs ks porque lim lim lim lim G j H j j T j T Kkj G j H j j T j T Kkj 1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 2 3 3 h h h h h h h h Então com Hs ks realimentação de velocidade a malha interna fica sem efeito tanto nas regiões de baixa como nas de alta frequência Ela se torna efetiva apenas na região de frequên cias intermediárias A812 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 863 Este é o mesmo sistema que o consi derado no Exemplo 81 Naquele exemplo projetamos um controlador PID Gcs iniciando pelo segundo método das regras de sintonia de ZieglerNichols Aqui projetaremos um controlador PID utilizando a abordagem computacional com o MATLAB Determinaremos os valores de K e a do controlador PID G s K s s a c 2 h h de forma que a resposta ao degrau unitário apresente o sobressinal máximo entre 10 e 2 102 saída máxima 110 e o tempo de acomodação seja menor que 3 s A região de busca é 2 K 50 005 a 2 Vamos escolher o incremento de K como 1 e o de a como 005 Escreva um programa em MATLAB que permita determinar todos os possíveis conjuntos das variáveis K e a que satisfarão as especificações dadas Obtenha o gráfico das curvas de resposta ao degrau unitário do sistema projetado com os conjuntos escolhidos das variáveis K e a Solução A função de transferência da planta é G s s s s 6 5 1 p 3 2 h A função de transferência de malha fechada CsRs é dada por R s C s s s K s Kas Ka Ks Kas Ka 6 5 2 2 4 3 2 2 2 2 h h h Um possível programa em MATLAB que gerará o primeiro conjunto das variáveis K e a que satisfarão as especificações fornecidas é dado pelo Programa 815 em MATLAB Nesse programa FIGURA 863 Rs Cs Controlador PID 1 ss 1 s 5 Gcs Sistema de controle 579 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados utilizamos dois loops de for A especificação relativa ao tempo de acomodação é interpretada pelas seguintes quatro linhas s 501 while ys 098 and ys 102 s s 1 end ts s 1 001 ts 30 Note que para t 00015 temos 501 instantes temporais de cálculo O último instante temporal corresponde a s 501 A solução obtida por esse programa é K 32 a 02 com o sobressinal máximo igual a 969 e com o tempo de acomodação igual a 264 s A curva resultante de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 864 Programa 815 em MATLAB t 00015 for K 5012 for a 2005005 num K 2Ka Ka2 den 1 6 5K 2Ka Ka2 y stepnumdent m maxy s 501 while ys 098 ys 102 s s1 end ts s1001 if m 110 m 102 ts 30 break end end if m 110 m 102 ts 30 break end end plotty grid titleResposta ao degrau unitário xlabelt s ylabelSaída solution Kamts solution 320000 02000 10969 26400 Em seguida consideramos o caso em que desejamos encontrar todos os conjuntos das variáveis que satisfarão as especificações dadas Um possível programa em MATLAB para esse propósito é o Programa 816 em MATLAB Note que na tabela mostrada no programa a última linha k ou a primeira linha da tabela ordenada pode ser ignorada Estes são os últimos valores de K e a da busca Programa 816 em MATLAB t 00015 k 0 for i 149 Ki 51i1 for j 140 continua 580 Engenharia de controle moderno aj 205j005 num Ki 2Kiaj Kiajaj den 1 6 5Ki 2Kiaj Kiajaj y stepnumdent m maxy s 501 while ys 098 ys 102 s s1 end ts s1001 if m 110 m 102 ts 30 k k1 tablek Ki aj m ts end end end tablek Ki aj m ts table 320000 02000 10969 26400 310000 02000 10890 26900 300000 02000 10809 27300 290000 02500 10952 17800 290000 02000 10726 27800 280000 02000 10639 28300 270000 02000 10550 28900 20000 00500 03781 50000 sorttable sortrowstable3 sorttable 20000 00500 03781 50000 270000 02000 10550 28900 280000 02000 10639 28300 290000 02000 10726 27800 300000 02000 10809 27300 310000 02000 10890 26900 290000 02500 10952 17800 320000 02000 10969 26400 K sorttable71 K FIGURA 864 Saída t s Resposta ao degrau unitário 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 Curva de resposta ao degrau unitário continua continuação 581 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados 29 a sorttable72 a 02500 num K 2Ka Ka2 den 1 6 5K 2Ka Ka2 y stepnumdent plotty grid hold Current plot held K sorttable21 K 27 a sorttable22 a 02000 num K 2Ka Ka2 den 1 6 5K 2Ka Ka2 y stepnumdent plotty titleCurva de Resposta do Degrau Unitário xlabelt sec ylabelOutput text122122K 29 a 025 text122072K 27 a 02 A partir da tabela ordenada percebese que K 29 a 025 sobressinal máximo 952 tempo de acomodação 178 s e K 27 a 02 sobressinal máximo 55 tempo de acomodação 289 s são as duas melhores escolhas As curvas de resposta ao degrau unitário para esses dois casos são mostradas na Figura 865 A partir dessas curvas podemos concluir que a melhor escolha depende FIGURA 865 Saída t s Curvas de resposta ao degrau unitário 14 12 1 08 06 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 K 29 a 025 K 27 a 02 Curvas de resposta ao degrau unitário continuação 582 Engenharia de controle moderno do objetivo do sistema Se desejamos um sobressinal máximo pequeno K 27 a 02 será a melhor escolha Se um tempo de acomodação menor for mais importante que um sobressinal máximo pequeno então K 29 a 025 será a melhor escolha A813 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 866 A planta Gps é dada por G s s s 1 100 p h h Supondo que a entrada de ruído Ns seja nula projete os controladores Gc1s e Gc2s para que o sistema projetado satisfaça o seguinte 1 A resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau tenha uma amplitude pequena e tenda a zero rapidamente na ordem de 1 s a 2 s 2 A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tenha um sobressinal máximo de 25 ou menos e o tempo de acomodação seja de 1 s ou menos 3 Os erros estacionários no acompanhamento à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência do tipo aceleração sejam nulos Solução As funções de transferência de malha fechada da entrada de distúrbio e da entrada de referência são dadas respectivamente por D s Y s G s G s G s R s Y s G s G s G s G s G s 1 1 c p p c p c c p 1 1 1 2 h h h h h h h h h h h h 6 Vamos supor que Gc1s seja um controlador PID e tenha a seguinte forma G s s K s a c1 2 h h A equação característica do sistema é 1 1 G s G s s K s a s s 1 100 c p 1 2 h h h h Note que os polos de malha aberta estão localizados em s 0 um polo duplo e s 1 Os zeros estão localizados em s a um zero duplo A seguir utilizaremos a abordagem do lugar das raízes para determinar os valores de a e K Vamos determinar que os polos dominantes de malha fechada estejam em s 5 j5 Então a deficiência angular no polo de malha fechada em s 5 j5 é 135 135 12866 180 21866 FIGURA 866 Gps Gc1s Gc2s Ys Ns Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade 583 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados O zero duplo em s a deve contribuir com 21866 Cada zero deve contribuir com 10933 Por meio de cálculos simples encontramos a 32460 O controlador Gc1s é então determinado como G s s K s 3 2460 c1 2 h h A constante K deve ser determinada pelo uso da condição do módulo Essa condição é Gc1sGpss 5 j5 1 Como G s G s s K s s s 3 2460 1 100 c p 1 2 h h h h obtemos K s s s 100 3 2460 1 0 11403 s j 2 2 5 5 h h O controlador Gc1s resulta portanto em G s s s s s s s s 0 11403 3 2460 0 11403 0 74028 1 20148 0 74028 1 20148 0 11403 c1 2 2 h h 817 Então a função de transferência de malha fechada YsDs é obtida como segue D s Y s G s G s G s s s s s s s s s s s 1 1 0 11403 3 2460 1 100 1 100 12 403 74 028 120 148 100 c p p 1 2 3 2 h h h h h h h h A curva de resposta quando Ds é um distúrbio do tipo degrau unitário é mostrada na Figura 867 Em seguida consideramos as respostas às entradas de referência A função de transferência de malha fechada YsRs é R s Y s G s G s G s G s G s 1 c p c c p 1 1 2 h h h h h h h 6 Vamos definir Gc1s Gc2s Gcs Então R s Y s G s G s G s G s s s s sG s 1 12 403 74 028 120 148 100 c p c p c 1 3 2 h h h h h h h 584 Engenharia de controle moderno Para satisfazer os requisitos sobre as respostas à entrada de referência do tipo rampa e à entrada de referência do tipo aceleração utilizamos a abordagem por alocação de zeros Ou seja escolhemos o numerador de YsRs como a soma dos últimos três termos do denominador ou 100sGcs 12403s2 74028s 120148 a partir do qual obtemos G s s s s s s 0 12403 0 74028 1 20148 0 74028 1 20148 0 12403 c 2 h 818 Logo a função de transferência de malha fechada YsRs resulta em R s Y s s s s s s 12 403 74 028 120 148 12 403 74 028 120 148 3 2 2 h h As curvas de resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário à entrada de referência do tipo rampa unitária e à entrada de referência do tipo aceleração unitária são mostradas nas figuras 868a b e c respectivamente O sobressinal máximo da resposta ao degrau unitário é aproximadamente 25 e o tempo de acomodação é de aproximadamente 12 s Os erros esta cionários na resposta à rampa e na resposta à aceleração são nulos Portanto o controlador Gcs projetado dado pela Equação 818 é satisfatório Por fim determinamos Gc2s Considerando que Gc2s Gcs Gc1s e a partir da Equação 817 07403 011403 G s s s 1 20148 c1 h FIGURA 867 yd t t s Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 35 4 Resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário 585 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados FIGURA 868 a t s Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário 06 08 1 12 14 04 02 0 0 05 1 15 2 25 3 yr t b t s Resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária 15 2 25 3 1 05 0 0 05 1 15 2 25 3 Entrada Saída yr t c yr t t s Resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 06 08 1 12 14 16 18 2 04 02 0 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Entrada Saída Resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário b resposta à entrada de referência do tipo rampa unitária c resposta à entrada de referência do tipo aceleração unitária 586 Engenharia de controle moderno obtemos G s s s s s s 0 7403 1 20148 0 12403 0 7403 1 20148 0 11403 0 01 c2 e e h o o 819 As equações 817 e 819 fornecem as funções de transferência dos controladores Gc1s e Gc2s respectivamente O diagrama de blocos do sistema projetado é mostrado na Figura 869 Note que se o sobressinal máximo fosse muito maior que 25 eou se o tempo de acomodação fosse maior que 12 s então poderíamos supor uma região de busca como 3 a 6 3 b 6 e 6 c 12 e utilizar o método computacional apresentado no Exemplo 84 para encontrar um conjunto ou conjuntos de variáveis que forneceriam a resposta desejada à entrada de referência do tipo degrau unitário Problemas B81 Considere o controlador PID eletrônico mostrado na Figura 870 Determine os valores de R1 R2 R3 R4 C1 e C2 do controlador para que a função de transferência Gcs EosEi s seja G s s s s s 39 42 1 3 077 1 0 7692 30 3215 0 65 c 2 c h m h FIGURA 869 100 ss 1 001s Ys Ds Rs 120148 s 07403 011403s Diagrama de blocos do sistema projetado FIGURA 870 Eis Es Eos C1 C2 R1 R2 R3 R4 Controlador PID eletrônico 587 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados B82 Considere o sistema mostrado na Figura 871 Suponha que o distúrbio Ds entre no sistema como mostra o diagrama Determine os parâmetros K a e b de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário e a resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário satisfaçam às seguintes especificações a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau deve ser atenuada rapidamente sem erro estacionário e a resposta à entrada de referência do tipo degrau deve exibir um máximo sobressinal de 20 ou menos e um tempo de acomodação de 2 s B83 Prove que o sistema com controle PID mostrado na Figura 872a é equivalente ao sistema com controle IPD com um controle de avanço apresentado na Figura 872b B84 Considere os sistemas mostrados nas figuras 873a e b O sistema exposto na Figura 873a é o sistema projetado no Exemplo 81 A resposta à entrada de referência do tipo degrau uni tário na ausência da entrada de distúrbio é apresentada na Figura 810 O sistema exibido na Figura 873b é um sistema com controle IPD que utiliza os mesmos Kp Ti e Td do sistema mostrado na Figura 873a FIGURA 871 Cs Rs Ds Kas 1bs 1 s 2s 2 s 1s 10 Sistema de controle FIGURA 872 a b Kp Ti s Gps Cs Rs Kp1 Tds Kp1 Tds Gps Cs Rs Kp1 Tds 1 Tis a Sistema com controle PID b sistema com controle IPD com um controle de avanço 588 Engenharia de controle moderno Obtenha a resposta do sistema com controle IPD à entrada de referência do tipo degrau unitário com o MATLAB Compare as curvas de resposta ao degrau unitário dos dois sistemas B85 Referindose ao Problema B84 obtenha a resposta ao sistema controlado por PID mostrado na Figura 873a à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário Mostre que para a entrada de distúrbio as respostas do sistema com controle PID mostrado na Figura 873a e do sistema com controle IPD exposto na Figura 873b são exatamente as mesmas Quando considerar Ds como entrada suponha que a entrada de referência Rs seja nula e viceversa Compare também a função de transferência CsRs de ambos os sistemas B86 Considere o sistema mostrado na Figura 874 Esse sistema está sujeito a três sinais de entrada a entrada de referência a entrada de distúrbio e a entrada de ruído Mostre que a equação carac terística desse sistema é a mesma qualquer que seja o sinal de entrada escolhido como entrada B87 Considere o sistema mostrado na Figura 875 Obtenha a função de transferência de malha fechada da entrada de referência CsRs e a função de transferência de malha fechada da entrada de dis túrbio CsDs Quando considerar Rs como entrada suponha que Ds seja nula e viceversa FIGURA 873 a b Cs Rs Ds Controlador PID 3942 1 1 3077s 07692s 1 ss 1 s 5 Ds Cs Rs 1 07692s 3942 1 ss 1 s 5 1 3077s a Sistema com controle PID b sistema com controle IPD FIGURA 874 G2s Hs Cs Ruído Ns Rs Distúrbio Ds G1s Sistema de controle 589 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados B88 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 876a onde K é um ganho ajustável e Gs e Hs são componentes fixos A função de transferência de malha fechada do distúrbio é D s C s KG s H s 1 1 h h h h Para minimizar o efeito dos distúrbios o ganho K ajustável deve ser escolhido o maior possível Isso é verdade também para o sistema da Figura 876b B89 Prove que os sistemas de controle mostrados nas figuras 877a b e c são sistemas com dois graus de liberdade Nos diagramas Gc1 e Gc2 são controladores e Gp é a planta FIGURA 875 G1s G2s Rs Cs Ds G3s H1s H2s Sistema de controle FIGURA 876 Gs Rs Cs Ds Ds K Hs Gs Rs Cs K Hs a b a Sistema de controle com distúrbio que entra no ramo de avanço b sistema de controle com distúrbio que entra no ramo de realimentação 590 Engenharia de controle moderno B810 Mostre que o sistema de controle exibido na Figura 878 é um sistema de controle com três graus de liberdade As funções de transferência Gc1 Gc2 e Gc3 são controladores A planta consiste nas funções de transferência G1 e G2 FIGURA 877 Ds Rs Ys Gp Gc1 Gc2 a b c Ds Ys Ns Gp Gc1 Gc2 Ds Ys Ns Gp Gc1 Gc2 Rs Rs Ns a b c Sistemas com dois graus de liberdade FIGURA 878 Ds Rs Ys Ns Gc2 Gc1 Gc3 G1 G2 Sistema com três graus de liberdade 591 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados B811 Considere o sistema de controle mostrado na Figura 879 Suponha que o controlador PID seja dado por G s K s s a c 2 h h Desejase que a resposta ao degrau unitário do sistema exiba um sobressinal máximo de menos de 10 porém maior que 2 para evitar um sistema quase superamortecido e o tempo de acomodação seja menor que 2 s Utilizando a abordagem computacional apresentada na Seção 84 escreva um programa em MATLAB para determinar os valores de K e a que satisfarão às especificações dadas Escolha a região de busca como 1 K 4 04 a 4 Escolha o incremento de K e a como 005 Escreva o programa para que os loops aninhados iniciem com o maior valor de K e a e diminuam até o menor valor Usando a primeira solução encontrada desenhe a curva de resposta ao degrau unitário B812 Considere o mesmo sistema de controle tratado no Problema B811 Figura 879 O controlador PID é dado por G s K s s a c 2 h h Desejase determinar os valores de K e a de modo que a resposta do sistema ao degrau unitário exiba o máximo sobressinal menor que 8 porém maior que 3 e o tempo de acomodação de menos de 2 s Escolha a região de busca como 2 K 4 05 a 3 Escolha o incremento de K e a como 005 Primeiro escreva um programa em MATLAB para que os loops aninhados do programa iniciem com o maior valor de K e a e diminuam até o menor valor e que o processamento termine quando um conjunto aceitável de K e a for encontrado pela primeira vez Em seguida escreva um programa em MATLAB que encontre todos os possíveis conjuntos de K e a que satisfarão às especificações dadas Entre os vários conjuntos de K e a que satisfazem às especificações dadas determine a melhor escolha Então desenhe as curvas de resposta ao degrau unitário do sistema utilizando a melhor escolha de K e a B813 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 880 A planta Gps é dada por G s s s s s s 1 4 13 3 5 p 2 h h h h FIGURA 879 Rs Cs Controlador PID 12 03s 1 s 1 12s 1 Gcs Sistema de controle 592 Engenharia de controle moderno Projete os controladores Gc1s e Gc2s de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau unitário tenha uma amplitude pequena e tenda rapidamente a zero em aproximadamente 2 s A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário deve ser tal que o sobressinal máximo seja 25 ou menos e o tempo de acomodação seja 2 s Além disso os erros estacionários da resposta às entradas do tipo rampa e do tipo aceleração devem ser nulos B814 Considere o sistema mostrado na Figura 881 A planta Gps é dada por G s s s s s 3 5 2 1 p h h h h Determine os controladores Gc1s e Gc2s de modo que para a entrada de distúrbio do tipo degrau a resposta exiba uma pequena amplitude e tenda rapidamente a zero em questão de 1 ou 2 s Para a resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário desejase que o máximo sobressinal seja 20 ou menos e o tempo de acomodação seja 1 s ou menos Para a entrada de referência do tipo rampa e entrada de referência do tipo aceleração os erros estacionários devem ser nulos B815 Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado na Figura 882 Projete os controladores Gc1s e Gc2s de modo que a resposta à entrada de distúrbio do tipo degrau exiba uma pequena amplitude e tenda rapidamente a zero de 1 a 2 s e a resposta à entrada de referência do tipo degrau exiba 25 ou menos de sobressinal máximo e o tempo de acomodação seja menor que 1 s O erro estacionário no acompanhamento da entrada de referência do tipo rampa ou da entrada de referência do tipo aceleração deve ser nulo FIGURA 880 Gps Gc1s Gc2s Ys Us Ds Rs Bs Sistema de controle com dois graus de liberdade FIGURA 881 Gps Gc1s Ys Rs Us Ds Gc2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 593 Capítulo 8 Controladores PID e controladores PID modificados FIGURA 882 1 s2 C1s Ys Rs Ds C2s Sistema de controle com dois graus de liberdade 594 Engenharia de controle moderno Análise de sistemas de controle no espaço de estados 9 C A P Í T U L O 91 Introdução1 Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira complexa Para analisar esse sistema é essencial reduzir a com plexidade das expressões matemáticas bem como recorrer aos computadores para a maioria dos processamentos tediosos necessários na análise A abordagem com base no espaço de estados é a mais apropriada para analisar o sistema sob esse ponto de vista Enquanto a teoria de controle convencional é fundamentada na relação entradasaída ou função de transferência a teoria de controle moderno é baseada na descrição de um sistema de equações em termos de n equações diferenciais de primeira ordem as quais podem ser combi nadas em uma equação diferencial vetorialmatricial de primeira ordem O uso de uma notação vetorialmatricial simplifica bastante a representação matemática do sistema de equações O aumento no número das variáveis de estado no número de entradas ou no número de saídas não aumenta a complexidade das equações De fato a análise de sistemas complicados com múltiplas entradas e múltiplas saídas pode ser conduzida por procedimentos que são apenas ligeiramente mais complicados do que os necessários à análise dos sistemas de equações diferenciais escalares de primeira ordem Este capítulo e o próximo abordam a análise por espaço de estados e o projeto de sistemas de controle Materiais básicos da análise por espaço de estados incluindo a representação de sistemas no espaço de estados controlabilidade e observabilidade são apresentados neste capí tulo Métodos úteis de projeto fundamentados no controle por realimentação de estado são fornecidos no Capítulo 10 Visão geral do capítulo A Seção 91 apresentou uma introdução à análise de sistemas de con trole no espaço de estados A Seção 92 trata da representação no espaço de estados de funções de transferência Aqui apresentamos várias formas canônicas de equações no espaço de estados A Seção 93 discute a transformação de modelos de sistema como de função de transferência para modelos no espaço de estados e viceversa com o MATLAB A Seção 94 mostra a solução das equações de estado invariantes no tempo A Seção 95 fornece alguns resultados úteis sobre a análise vetorialmatricial que são necessárias quando se estudam a análise e o controle de 1 Note que neste livro um asterisco utilizado como um sobrescrito da matriz como A implica que ele é o conjugado transposto da matriz A O conjugado transposto é o conjugado do transposto de uma matriz Para uma matriz real uma matriz cujos elementos são todos reais o conjugado transposto A é o mesmo que o transposto AT sistemas no espaço de estados A Seção 96 discute a controlabilidade de sistemas de controle e a Seção 97 trata da observabilidade de sistemas de controle 92 Representação de funções de transferência no espaço de estados Muitas técnicas estão disponíveis para a obtenção da representação no espaço de estados de funções de transferência No Capítulo 2 apresentamos alguns desses métodos Esta seção traz as representações no espaço de estados nas formas controlável observável diagonal ou na forma canônica de Jordan Métodos de obtenção dessas representações no espaço de estados a partir de funções de transferência são discutidos nos problemas A91 a A94 Representação no espaço de estados em formas canônicas Considere um sistema defi nido por y a y a y a y b u b u b u b u n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g o o h h h h 91 onde u é a entrada e y é a saída Essa equação também pode ser escrita como U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h 92 A seguir introduziremos as representações no espaço de estados de sistemas definidos pelas equações 91 ou 92 nas formas canônicas controlável observável e diagonal ou de Jordan Forma canônica controlável A seguinte representação no espaço de estados é denominada forma canônica controlável x x x x a a a a x x x x u 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 h h h h g g g g h h h o o o o R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW 93 y b a b b a b b a b x x x b u n n n n n 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 94 A forma canônica controlável é importante na discussão do projeto de sistemas de controle pela abordagem por alocação de polos Forma canônica observável A seguinte representação no espaço de estados é denominada forma canônica observável x x x a a a x x x b a b b a b b a b u 0 1 0 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n 1 2 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 h h h g g g h h h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 95 y x x x x b u 0 0 0 1 n n 1 2 1 0 g h R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW 96 596 Engenharia de controle moderno Note que a matriz de estado n n da equação de estado dada pela Equação 95 é a transposta daquela equação de estado definida pela Equação 93 Forma canônica diagonal Considere a função de transferência definida pela Equação 92 Consideramos aqui o caso em que o polinômio do denominador envolve somente raízes distintas Para o caso de raízes distintas a Equação 92 pode ser escrita como U s Y s s p s p s p b s b s b s b b s p c s p c s p c n n n n n n n 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 2 g g g h h h h h 97 A forma canônica diagonal da representação no espaço de estados desse sistema é dada por x x x p p p x x x u 0 0 1 1 1 n n n 1 2 1 2 1 2 h j h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 98 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 99 Forma canônica de Jordan Em seguida consideraremos o caso em que o polinômio do denominador da Equação 92 envolve múltiplas raízes Para esse caso a forma canônica diagonal anterior precisa ser modificada para a forma canônica de Jordan Suponha por exemplo que os pi sejam diferentes entre si exceto pelos três primeiros pi que são iguais ou seja que p1 p2 p3 Então a forma fatorada de YsUs resulta em U s Y s s p s p s p s p b s b s b s b n n n n n 1 3 4 5 0 1 1 1 g g h h h h h h A expansão em frações parciais dessa última equação resulta em U s Y s b s p c s p c s p c s p c s p c n n 0 1 3 1 1 2 2 1 3 4 4 g h h h h A representação desse sistema no espaço de estados na forma canônica de Jordan é dada por x x x x x p p p p p x x x x x u 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 n n n 1 2 3 4 1 1 1 4 1 2 3 4 h h g g h h g g j h h h o o o o o R T S S S S S S S S R T S S S S S S SS R T S S S S S S S S R T S S S S S S S S V X W W W W W W W W V X W W W W W W WW V X W W W W W W W W V X W W W W W W W W 910 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 911 Exemplo 91 Considere o sistema dado por U s Y s s s s 3 2 3 2 h h Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável observável e diagonal 597 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Forma canônica controlável x t x t x t x t u t y t x t x t 0 2 1 3 0 1 3 1 1 2 1 2 1 2 o o h h h h h h h h 6 G G G G G Forma canônica observável x t x t x t x t u t y t x t x t 0 1 2 3 3 1 0 1 1 2 1 2 1 2 o o h h h h h h h h 6 G G G G G Forma canônica diagonal x t x t x t x t u t y t x t x t 1 0 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 o o h h h h h h h h 6 G G G G G Autovalores de uma matriz A n n Os autovalores de uma matriz A n n são as raízes da equação característica lI A 0 Os autovalores também são denominados raízes características Considere por exemplo a seguinte matriz A 0 0 6 1 0 11 0 1 6 A H A equação característica é 0 6 1 11 0 1 6 6 11 6 1 2 3 0 I A 3 2 m m m m m m m m m m h h h Os autovalores de A são as raízes da equação característica ou seja 1 2 e 3 Diagonalização de uma matriz n n Note que se uma matriz A n n com autovalores distintos é dada por A a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n 1 2 1 h h h g g g g h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 912 598 Engenharia de controle moderno a transformação x Pz onde 1 1 1 P n n n n n n 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 h h g g g g h m m m m m m m m m R T S S S S S SS V X W W W W W WW λ1 λ2 λn n autovalores distintos de A transformará P 1AP em uma matriz diagonal ou 0 0 P AP n 1 1 2 j m m m R T S S S S SS V X W W W W WW Se a matriz A definida pela Equação 912 envolve múltiplos autovalores então a diagonali zação é impossível Por exemplo se a matriz A 3 3 onde a a a 0 0 1 0 0 1 A 3 2 1 H possui os autovalores l1 l1 l3 então a transformação x Sz onde 1 0 1 2 1 S 1 1 2 1 3 3 2 m m m m m R T S S SS V X W W WW resultará em 0 0 1 0 0 0 S 1 AS 1 1 3 m m m R T S S SS V X W W WW Esta é a forma canônica de Jordan Exemplo 92 Considere a seguinte representação no espaço de estados do sistema x x x x x x u 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 6 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 913 y x x x 1 0 0 1 2 3 6 H 914 As equações 913 e 914 podem ser colocadas em uma formapadrão como ẋ Ax Bu 915 y Cx 916 onde 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 6 1 0 0 A B C 6 H H Os autovalores da matriz A são λ1 1 λ2 2 λ3 3 599 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Logo os três autovalores são distintos Se definirmos um conjunto das novas variáveis de estado z1 z2 e z3 pela transformação x x x z z z 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 2 3 1 2 3 H H H ou x Pz 917 onde 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 3 9 P 1 1 2 2 2 2 3 3 2 m m m m m m H H 918 então substituindo a Equação 917 na Equação 915 obtemos Pż APz Bu Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por P 1 obtemos ż P 1APz P 1Bu 919 ou z z z z z z u 3 3 1 2 5 4 1 5 0 5 1 0 5 0 0 6 1 0 11 0 1 6 1 1 1 1 2 4 1 3 9 3 3 1 2 5 4 1 5 0 5 1 0 5 0 0 6 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H H H H Simplificando temos z z z z z z u 1 0 0 0 2 0 0 0 3 3 6 3 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 920 A Equação 920 também é uma equação de estado que descreve o mesmo sistema definido pela Equação 913 A equação de saída Equação 916 é modificada para y CPz ou y z z z z z z 1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 1 1 1 2 3 1 2 3 6 6 H H H 921 Note que a matriz de transformação P definida pela Equação 918 modifica a matriz de coeficientes de z para a matriz diagonal Como é facilmente visto a partir da Equação 920 as três equações de estado escalares são desacopladas Observe também que os elementos da diagonal da matriz P 1AP na Equação 919 são idênticos aos três autovalores de A É muito importante notar que os autovalores de A e os de P 1AP são idênticos A seguir provaremos isso para um caso geral Invariância dos autovalores Para provar a invariância dos autovalores sob uma transformação linear precisamos mostrar que os polinômios característicos λI A e λI P 1AP são idênticos Como o determinante de um produto é o produto dos determinantes obtemos 600 Engenharia de controle moderno λI P 1AP λP 1P P 1AP P 1λI AP P 1λI AP P 1PλI A Sabendo que o produto dos determinantes P 1 e P é igual ao determinante do produto P 1P obtemos λI P 1AP P 1PλI A λI A Dessa maneira provamos que os autovalores de A são invariantes em uma transformação linear Não unicidade do conjunto de variáveis de estado Um conjunto de variáveis de estado não é único para dado sistema Suponha que x1 x2 xn seja um conjunto de variáveis de estado Então podemos tomar qualquer conjunto de funções como outro conjunto de variáveis de estado x 1 X1x1 x2 xn x 2 X2x1 x2 xn h x n Xnx1 x2 xn desde que para cada conjunto de valores x 1 x 2 x n corresponda um único conjunto de valores x1 x2 xn e viceversa Portanto se x é um vetor de estado então x onde x Px também é um vetor de estado admitindo que P seja não singular Diferentes vetores de estado carregam a mesma informação sobre o comportamento do sistema 93 Transformação de modelos de sistemas com o MATLAB Nesta seção consideraremos a transformação do modelo do sistema de função de transfe rência para espaço de estados e viceversa Começaremos nossa discussão com a transformação de função de transferência para espaço de estados Vamos escrever a função de transferência de malha fechada como em em U s Y s s s denominador polinomial numerador polinomial den num h h Uma vez que temos essa expressão do tipo função de transferência o comando em MATLAB A B C D tf2ssnumden fornecerá uma representação no espaço de estados É importante notar que a representação no espaço de estados de qualquer sistema não é única Existem inúmeras de fato infinitas representações para o mesmo sistema O comando em MATLAB fornece uma dessas possíveis representações no espaço de estados Formulação no espaço de estados de funções de transferência Considere a função de transferência R s Y s s s s s 6 5 10 10 10 3 2 h h 922 601 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Existem inúmeras novamente infinitas representações possíveis no espaço de estados para esse sistema Uma possível representação no espaço de estados é x x x x x x u y x x x u 0 0 10 1 0 5 0 1 6 0 10 50 1 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H Outra possível representação no espaço de estados entre as infinitas alternativas é x x x x x x u 6 1 0 5 0 1 10 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 923 y x x x u 0 10 10 0 1 2 3 6 6 H 924 O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação 922 na representação no espaço de estados dada pelas equações 923 e 924 Para o sistemaexemplo considerado aqui o Programa 91 em MATLAB produzirá as matrizes A B C e D Programa 91 em MATLAB num 10 10 den 1 6 5 10 ABCD tf2ssnumden A 6 5 10 1 0 0 0 1 0 B 1 0 0 C 0 10 10 D 0 Transformação de espaço de estados para função de transferência Para obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados utilize o seguinte comando numden ss2tfABCDiu iu precisa ser especificado para sistemas com mais de uma entrada Por exemplo se o sistema tiver três entradas u1 u2 u3 então iu deve ser 1 2 ou 3 onde 1 implica u1 2 implica u2 e 3 implica u3 Se o sistema tiver apenas uma entrada tanto numden ss2tfABCD como numden ss2tfABCD1 podem ser usadas Veja o Exemplo 93 e o Programa 92 em MATLAB Para o caso em que o sistema tem múltiplas entradas e múltiplas saídas veja o Exemplo 94 602 Engenharia de controle moderno Exemplo 93 Obtenha a função de transferência do sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados x x x x x x u y x x x 0 0 5 008 1 0 25 1026 0 1 5 03247 0 25 04 121 005 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H O Programa 92 em MATLAB produzirá a função de transferência para o sistema dado A função de transferência obtida é dada por U s Y s s s s s 5 0325 25 1026 5 008 25 04 5 008 3 2 h h Programa 92 em MATLAB A 0 1 00 0 15008 251026 503247 B 02504 121005 C 1 0 0 D 0 numden ss2tfABCD num 0 00000 250400 50080 den 10000 50325 251026 50080 O mesmo resultado pode ser obtido introduzindose o seguinte comando numden ss2tfABCD1 num 0 00000 250400 50080 den 10000 50325 251026 50080 Exemplo 94 Considere um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Quando o sistema possui mais de uma saída o comando NUMden ss2tfABCDiu produz funções de transferência para todas as saídas em relação a cada entrada Os coeficientes do numerador são colocados na matriz NUM que possui tantas linhas quanto for o número de saídas Considere o sistema definido por x x x x u u y y x x u u 0 25 1 4 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 o o G G G G G G G G G G Esse sistema possui duas entradas e duas saídas Quatro funções de transferência estão envolvidas Y1sU1s Y2sU1s Y1sU2s e Y2sU2s Considerando a entrada u1 vamos supor que a entrada u2 seja nula e viceversa Veja o resultado do Programa 93 em MATLAB 603 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Programa 93 em MATLAB A 0 125 4 B 1 10 1 C 1 00 1 D 0 00 0 NUMden ss2tfABCD1 NUM 0 1 4 0 0 25 den 1 4 25 NUMden ss2tfABCD2 NUM 0 10000 50000 0 10000 250000 den 1 4 25 Esta é a representação em MATLAB das quatro seguintes funções de transferência U s Y s s s s U s Y s s s U s Y s s s s U s Y s s s s 4 25 4 4 25 25 4 25 5 4 25 25 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 h h h h h h h h 94 Resolvendo a equação de estado invariante no tempo Nesta seção obteremos a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo Primeiro consideraremos o caso homogêneo e depois o caso não homogêneo Solução da equação de estado homogênea Antes de resolver a equação diferencial vetorial matricial vamos rever a solução diferencial escalar ẋ ax 925 Resolvendo essa equação podemos supor uma solução de xt na forma xt b0 b1t b2t 2 bkt k 926 Substituindo a solução nessa forma na Equação 925 obtemos b1 2b2t 3b3t2 kbkt k 1 ab0 b1t b2t 2 bkt k 927 Se a solução presumida for a solução verdadeira então a Equação 927 será válida para qualquer t Portanto igualando os coeficientes de potências iguais em t obtemos b ab b ab a b b ab a b b k a b 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 k k 1 0 2 1 2 0 3 2 3 0 0 h 604 Engenharia de controle moderno O valor de b0 é determinado substituindose t 0 na Equação 926 ou x0 b0 Logo a solução xt pode ser escrita como x t at a t k a t x e x 1 2 1 1 0 0 k k at 2 2 g g c h m h h Agora resolveremos a equação diferencial vetorialmatricial ẋ Ax 928 onde x vetor n A matriz constante n n Por analogia com o caso escalar vamos supor que a solução esteja na forma de uma série vetorial de potências em t ou xt b0 b1t b2t2 bkt k 929 Substituindo a solução nessa forma na Equação 928 obtemos b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1 Ab0 b1t b2t 2 bkt k 930 Se a solução presumida for a solução verdadeira então a Equação 930 será válida para qualquer t Portanto igualando os coeficientes de mesma potência de t em ambos os lados da Equação 930 obtemos k 2 1 2 1 3 1 3 2 1 1 b Ab b Ab A b b Ab A b b A b k k 1 0 2 1 2 0 3 2 3 0 0 h Substituindo t 0 na Equação 929 obtemos x0 b0 Logo a solução xt pode ser escrita como 2 t g t g t k 2 1 1 0 x x k k 2 A t I A A c h m h A expressão dentro dos parênteses no lado direito dessa última equação é uma matriz n n Por causa de sua similaridade com a série infinita de potências de uma exponencial escalar a denominamos matriz exponencial e escrevemos t e g t g A 2 t k 2 1 1 I A A k k t 2 A Em termos da matriz exponencial a solução da Equação 928 pode ser escrita como xt eAtx0 931 Como a matriz exponencial é muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares a seguir examinaremos suas propriedades Matriz exponencial Podese provar que a matriz exponencial de uma matriz A n n kt e k A t k k 0 A 3 605 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados converge absolutamente para todo t finito Portanto o cálculo dos elementos de eAt pelo uso da expansão em série é facilmente realizado pelo computador Por causa da convergência da série infinita S k 0 Aktkk ela pode ser diferenciada termo a termo resultando em dt d e t t k t t t k t e t t k t e 2 1 2 1 2 1 A A A A A I A A A A I A A A A A t k k k k t k k t 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 A A A g g g g g g h h h E E A matriz exponencial possui a propriedade eAt s eAteAs Isso pode ser provado como segue t e e k k s i k i t s k t s e A A A A t s k k k k k k k k i k i i k k k t s 0 0 0 0 0 A A A 3 3 3 3 3 e e e o o h o h h Em particular se s t então eAteAt eAteAt eAt t I Então a inversa de eAt é eAt Uma vez que a inversa de eAt sempre existe eAt é não singular É muito importante lembrar que eA Bt eAteBt se AB BA eA Bt eAteBt se AB BA Para provar isso note que e t t t e e t t t t t t t t t t t t t t 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 I A B A B A B I A A A I B B B I A B A AB B B A B AB B t t t 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 A B A B g g g g c c h h h m m h h Logo 2 2 e e e t t 2 3 BA AB BA ABA B A BAB A B AB t t t 2 2 2 2 2 3 A B A B g h Não existirá diferença entre eABt e eAteBt se A e B comutarem Abordagem pela transformada de Laplace na solução de equações de estado homo gêneas Vamos primeiro considerar o caso escalar 606 Engenharia de controle moderno ẋ ax 932 Considerando a transformada de Laplace da Equação 932 obtemos sXs x0 aXs 933 onde Xs x Resolvendo a Equação 933 para Xs temos X s s a x s a x 0 0 1 h h h h A transformada inversa de Laplace dessa última equação fornece a solução xt eatx0 A abordagem precedente para a solução da equação diferencial escalar homogênea pode ser estendida para a equação de estado homogênea ẋt Axt 934 Considerando a transformada de Laplace dos dois lados da Equação 934 obtemos sXs x0 AXs onde Xs x Portanto sI A Xs x0 Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por sI A 1 obtemos Xs sI A 1x0 A transformada inversa de Laplace de Xs fornece a solução xt Então xt 1sI A 1x0 935 Note que s s s s I A I A A 1 2 3 2 g h Portanto a transformada inversa de Laplace de sI A 1 fornece s t t t e 2 3 I A I A A A t 1 1 2 2 3 3 A g h 6 936 A transformada inversa de Laplace de uma matriz é a matriz obtida pela transformada inversa de Laplace de todos os seus elementos A partir das equações 935 e 936 a solução da Equação 934 é obtida como xt eAtx0 A importância da Equação 936 está no fato de que ela fornece um meio conveniente para a determinação da solução da matriz exponencial na forma fechada Matriz de transição de estado Podemos escrever a solução da equação de estado homogênea ẋ Ax 937 como xt Utx0 938 onde Ut é uma matriz n n que é a solução única de U t AUt U0 I Para verificar isso note que x0 U0x0 x0 e ẋt U tx0 AUtx0 Axt Confirmamos portanto que a Equação 938 é a solução da Equação 937 A partir das equações 931 935 e 938 obtemos 607 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Ut eAt 1sI A 1 Note que U 1t eAt U 1 A partir da Equação 938 notamos que a solução da Equação 937 é simplesmente uma transfor mação de condições iniciais Portanto a matriz Ut é denominada matriz de transição de estado Esta contém toda a informação a respeito da resposta livre do sistema definido pela Equação 937 Se os autovalores l1 l2 ln da matriz A são distintos então Ut contém as n exponenciais eλ1t eλ2t eλnt Em particular se a matriz A é diagonal então diagonal t e e e e 0 0 A t t t t A n 1 2 j U m m m h h R T S S S SS V X W W W WW Se existe uma multiplicidade nos autovalores por exemplo se os autovalores de A forem l1 l1 l1 l4 l5 ln então Ut conterá em adição às exponenciais el1t el4t el5t elnt termos do tipo tel1t e t2ellt Propriedades das matrizes de transição de estado Agora resumiremos as propriedades importantes da matriz de transição de estado Ut Para o sistema invariante no tempo ẋ Ax para o qual Ut eAt temos 1 U0 eA0 I 2 Ut eAt eAt 1 U t 1 ou U 1t Ut 3 Ut1 t2 eAt1 t2 eAt1eAt2 Ut1 Ut2 Ut2 Ut1 4 Utn Unt 5 Ut2 t1 Ut1 t0 Ut2 t0 Ut1 t0 Ut2 t1 Exemplo 95 Obtenha a matriz de transição de estado Ut do seguinte sistema x x x x 0 2 1 3 1 2 1 2 o o G G G Obtenha também a inversa da matriz de transição de estado U 1t Para esse sistema 0 2 1 3 A G A matriz de transição de estado Ut é dada por Ut eAt 1sI A 1 Como s s s s s 0 0 0 2 1 3 2 1 3 I A G G G a inversa de sI A é dada por 608 Engenharia de controle moderno s s s s s s s s s s s s s s s 1 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 I A 1 h h h h h h h h h h h R T S S S SS V X W W W WW H Logo t e s e e e e e e e e 2 2 2 2 I A t t t t t t t t t 1 1 2 2 2 2 A U h h 6 G Sabendo que U 1t Ut obtemos a inversa da matriz de transição de estado como segue t e e e e e e e e e 2 2 2 2 t t t t t t t t t 1 2 2 2 2 A U h G Solução das equações de estado não homogêneas Começaremos considerando o caso escalar ẋ ax bu 939 Vamos reescrever a Equação 939 como ẋ ax bu Multiplicando ambos os lados dessa equação por eat obtemos e x t ax t dt d e x t e bu t at at at o h h h h 6 6 Integrando essa equação entre 0 e t temos e x t x e bu d 0 at a t 0 x x x h h h ou x t e x e e bu d 0 at at a t 0 x x x h h h O primeiro termo do lado direito é a resposta à condição inicial e o segundo termo é a resposta à entrada ut Agora consideraremos a equação de estado não homogênea descrita por ẋ Ax Bu 940 onde x vetor n u vetor r A matriz constante n n B matriz constante n r Escrevendo a Equação 940 como ẋt Axt But e prémultiplicando ambos os lados dessa equação por eAt obtemos e t t dt d e t e t x Ax x Bu t t t A A A o h h h h 6 6 Integrando a equação precedente entre 0 e t temos e t e d 0 x x Bu t t 0 A A x x x h h h 609 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados ou t e e d 0 x x Bu t t t 0 A A x x x h h h h 941 A Equação 941 também pode ser escrita como t t t d 0 x x Bu t 0 x x x U U h h h h h 942 onde Ut eAt A Equação 941 ou a 942 é a solução da Equação 940 A solução xt é clara mente a soma de um termo que consiste na transição do estado inicial e de um termo proveniente do vetor de entrada Abordagem pela transformada de Laplace na solução das equações de estado não homogêneas A solução da equação de estado não homogênea ẋ Ax Bu também pode ser obtida por meio da abordagem pela transformada de Laplace A transformada de Laplace dessa última equação resulta em sXs X0 Axs BUs ou sI AXs x0 BUs Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por sI A 1 obtemos Xs sI A 1x0 sI A 1BUs Utilizando a relação dada pela Equação 936 temos Xs eAtx0 eAtBUs A transformada inversa de Laplace dessa última equação pode ser obtida pelo uso da integral de convolução como segue t e e d 0 x x Bu t t 0 A A t x x x h h h h Solução em termos de xt0 Até agora supusemos que o instante inicial fosse nulo No entanto se o instante inicial for dado por t0 em vez de 0 então a solução da Equação 940 precisará ser modificada para t e t e d x x Bu t t t t 0 0 A A 0 x x x h h h h h 943 Exemplo 96 Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema x x x x u 0 2 1 3 0 1 1 2 1 2 o o G G G G onde ut é a função degrau unitário que ocorre em t 0 ou ut 1t Para esse sistema 0 2 1 3 0 1 A B G G A matriz de transição de estado Ut eAt foi obtida no Exemplo 95 como t e e e e e e e e e 2 2 2 2 t t t t t t t t t 2 2 2 2 A U h G A resposta ao degrau unitário é então obtida como 610 Engenharia de controle moderno t e e e e e e e e e d 0 2 2 2 2 0 1 1 x x t t t t t t t t t t 2 2 2 2 0 A x x x x x x x x x h h h h h h h h h h 6 G G ou x t x t e e e e e e e e x x e e e e 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 t t t t t t t t t t t t 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 h h h h G G G H Se o estado inicial for nulo ou x0 0 então xt poderá ser simplificada para x t x t e e e e 2 1 2 1 t t t t 1 2 2 2 h h G H 95 Alguns resultados úteis na análise vetorialmatricial Nesta seção apresentamos alguns resultados úteis na análise vetorialmatricial que utilizare mos na Seção 96 Especificamente apresentamos o teorema de CayleyHamilton o polinômio mínimo o método de interpolação de Sylvester para o cálculo de eAt e a independência linear de vetores Teorema de CayleyHamilton O teorema de CayleyHamilton é bastante útil na prova de teoremas que envolvem equações matriciais ou soluciona problemas que envolvem equações matriciais Considere uma matriz A n n e sua equação característica λI A λn a1λn 1 an 1λ an 0 O teorema de CayleyHamilton estabelece que a matriz A satisfaz sua própria equação caracte rística ou que An a1An 1 an 1A anI 0 944 Para provar esse teorema note que adjl I A é um polinômio em l de grau n 1 Ou seja adjλI A B1λn 1 B2λn 2 Bn 1λ Bn onde B1 I Como λI A adjλI A adjλI AλI A λI AI obtemos λI AI Iλn a1Iλn 1 an 1Iλ anI λI A B1λn 1 B2λn 2 Bn 1λ Bn B1λn 1 B2λn 2 Bn 1λ BnλI A A partir dessa equação observamos que A e Bi i 1 2 n comutam Logo o produto de lI A e adjlI A se tornará nulo se qualquer um deles for nulo Se A for substituído por l nessa última equação então evidentemente lI A se tornará nulo Portanto obtemos An a1An 1 an 1A anI 0 Isso prova o teorema de CayleyHamilton ou a Equação 944 Polinômio mínimo Referindose ao teorema de CayleyHamilton toda matriz A n n satis faz sua própria equação característica A equação característica não é contudo necessariamente a equação escalar de menor grau satisfeita por A O polinômio de menor grau que tem A como uma raiz é denominado polinômio mínimo Ou seja o polinômio mínimo de uma matriz A n n é definido como o polinômio zl de grau mínimo zλ λm a1λm 1 am 1λ am m n 611 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados tal que zA 0 ou zA Am a1Am 1 am 1A amI 0 O polinômio mínimo tem grande importância no cálculo computacional de polinômios de uma matriz n n Vamos supor que dl um polinômio em l seja o máximo divisor comum de todos os ele mentos de lI A Podemos mostrar que se o coeficiente do termo de maior grau em l de dl for escolhido como 1 então o polinômio mínimo zl é dado por d I A z m m m h h 945 Veja o Problema A98 para a obtenção da Equação 945 Note que o polinômio mínimo zl de uma matriz A n n pode ser determinado pelo seguinte procedimento 1 Forme e escreva os elementos de adjlI A como polinômios fatorados em l 2 Determine dl como o máximo divisor comum de todos os elementos de adjlI A Escolha o coeficiente do termo de maior grau em l de dl como 1 Se não há divisor comum dl 1 3 O polinômio mínimo zl é então dado por lI A dividido por dl Matriz exponencial eAt Na solução de problemas de engenharia de controle normalmente é necessário calcular eAt Se a matriz A for fornecida com todos os seus elementos na forma numé rica o MATLAB fornece uma maneira simples para o cálculo de eAT onde T é uma constante Além dos métodos computacionais inúmeros métodos analíticos estão disponíveis para o cálculo de eAt Apresentaremos três métodos aqui Cálculo de eAt método 1 Se a matriz A pode ser transformada na forma diagonal então eAt pode ser dada por e e e e e 0 0 P P P P t t t t t 1 1 A D n 1 2 j m m m R T S S S SS V X W W W WW 946 onde P é uma matriz que diagonaliza A Para a obtenção da Equação 946 veja o Problema A911 Se a matriz A pode ser transformada na forma canônica de Jordan então eAt pode ser dada por eAt SeJtS 1 onde S é uma matriz de transformação que transforma a matriz A na forma canônica J Como exemplo considere a seguinte matriz A A 0 0 1 1 0 3 0 1 3 H A equação característica é lI A l3 3l2 3l 1 l 13 0 Portanto a matriz A tem um autovalor múltiplo de ordem 3 em l 1 Pode ser mostrado que a matriz A tem um autovetor múltiplo de ordem 3 A matriz de transformação que vai transformar a matriz A na forma canônica de Jordan pode ser dada por S 1 1 1 0 1 2 0 0 1 H A inversa da matriz S é 612 Engenharia de controle moderno S 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 H Então podese verificar que 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 0 3 0 1 3 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 S AS J 1 H H H H Sabendose que e e te e t e te e 0 0 0 2 1 t t t t t t t 2 J R T S S S SS V X W W W WW encontramos e e e te e t e te e e te t e t e te t e te t e e te t e te t e t e te t e e te t e 1 1 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 2 1 S S t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A J R T S S S SS R T S S S S SS V X W W W WW V X W W W W WW H H Cálculo de eAt método 2 O segundo método de cálculo de eAt utiliza a abordagem pela trans formada de Laplace Referindose à Equação 936 eAt pode ser dada como segue eAt 1 sI A 1 Então para obter eAt primeiro inverta a matriz sI A Isso resulta em uma matriz cujos ele mentos são funções racionais em s Então considere a transformada inversa de Laplace de cada elemento da matriz Exemplo 97 Considere a seguinte matriz A A 0 0 1 2 G Calcule eAt pela utilização dos dois métodos analíticos apresentados previamente Método 1 Os autovalores de A são 0 e 2 l1 0 l2 2 Uma matriz de transformação necessária P pode ser obtida como P 1 0 1 2 G Então a partir da Equação 946 eAt é obtida como segue e e e e e 1 0 1 2 0 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 1 At t t t 0 2 2 2 h R T S S SS V X W W WW G G H 613 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Método 2 Como s s s s s 0 0 0 0 1 2 0 1 2 I A G G G obtemos 2 s s s s s 1 0 2 1 1 I A 1 h h R T S S SS V X W W WW Portanto e s e e 1 0 2 1 1 I A t t t 1 1 2 2 A h h 6 H Cálculo de eAt método 3 O terceiro método é fundamentado no método de interpolação de Sylvester Veja o Problema A912 para obter a fórmula de interpolação de Sylvester Conside raremos primeiro o caso em que as raízes do polinômio mínimo zl de A são distintas A partir disso lidaremos com o caso de raízes múltiplas Caso 1 o polinômio mínimo de A envolve apenas raízes distintas Admitiremos que o grau do polinômio mínimo de A é m Utilizando a fórmula de interpolação de Sylvester podese mostrar que eAt pode ser obtida resolvendose o determinante da seguinte equação 2 e e e e 1 1 1 I A A A 0 m m m m m m m t t t t 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 A m 1 2 h h h g g g g h h m m m m m m m m m m m m 947 Resolvendose a Equação 947 para eAt eAt pode ser obtida em termos de Ak k 0 1 2 m 1 e de elit i 1 2 3 m A Equação 947 pode ser expandida por exemplo em relação à última coluna Note que resolver a Equação 947 é o mesmo que escrever eAt α0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1 948 e determinar akt para k 0 1 2 m 1 por meio da solução do seguinte conjunto de m equações para o akt t t t t e t t t t e t t t t e t t m t m m m m m 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 2 2 2 2 1 2 0 1 2 2 1 m m m 1 1 1 m 1 2 g g h g a a m a m a m a a m a m a m a a m a m a m m m m h h h h h h h h h h h h Se A é uma matriz n n e possui autovalores distintos então o número de akt a ser determinado é m n Se A contém autovalores múltiplos mas seu polinômio mínimo possui somente raízes simples então o número m de akt a ser determinado é menor do que n Caso 2 o polinômio mínimo de A envolve raízes múltiplas Como um exemplo considere o caso em que o polinômio mínimo de A possui três raízes iguais l1 l2 l3 e possui outras raízes l4 l5 lm todas elas distintas Aplicando a fórmula de interpolação de Sylvester podese mostrar que eAt pode ser obtida a partir da seguinte equação determinante 614 Engenharia de controle moderno 3 2 m m m t e te e e e e 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1 2 I A A A A 0 m m m m m m m m m m t t t t t t 1 4 1 1 2 4 2 2 1 1 2 1 3 4 3 3 1 3 1 2 1 1 4 1 1 1 2 A m 1 1 1 4 h h h h g g g g g g g h h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h 949 A Equação 949 pode ser resolvida em eAt ao expandila em relação à última coluna Devese notar que exatamente como no caso 1 resolver a Equação 949 em eAt é o mesmo que escrever eAt α0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1 950 e determinar akt para k 0 1 2 m 1 para akt a partir de t t m m t t e t t t m t te t t t t e t t t t e t t t t e 3 2 1 2 2 2 3 1 m m t m m t m m t m m t m m m m m t 2 3 1 1 1 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 2 1 1 1 0 1 4 2 4 2 1 4 1 0 1 2 2 1 1 m 1 1 1 4 g g g g h g a a m a m a a m a m a m a a m a m a m a a m a m a m a a m a m a m m m m m m h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h A extensão é imediata a outros casos em que por exemplo existem dois ou mais conjuntos de raízes múltiplas Note que se o polinômio mínimo de A não for encontrado será possível subs tituir o polinômio característico pelo polinômio mínimo A quantidade de cálculos pode sem dúvida aumentar Exemplo 98 Considere a matriz A 0 0 1 2 G Determine eAt utilizando a fórmula de interpolação de Sylvester A partir da Equação 947 obtemos I A e e e 1 1 0 A t t t 1 2 1 2 m m m m Substituindo 0 para l1 e 2 para l 2 na última equação obtemos I A e e 1 1 0 2 1 0 A t t 2 Expandindo o determinante obtemos 2eAt A 2I Ae 2t 0 615 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados ou 2 e e e e e 2 1 2 1 0 0 1 2 2 0 0 2 0 0 1 2 1 0 2 1 1 A I A t t t t t 2 2 2 2 A h h G G G H 4 Uma abordagem alternativa é utilizar a Equação 948 Determinamos primeiro a0t e a1t a partir de α0t α1tλ1 eλ1t α0t α1tλ2 eλ2t Como l1 0 e l 2 2 as últimas duas equações resultam em α0t 1 α0t 2α1t e 2t Resolvendo para a0t e a1t temos 1 t t e 2 1 1 t 0 1 2 a a h h h Então eAt pode ser escrita como I A I A e t t e e e 2 1 1 1 0 2 1 1 At t t t 0 1 2 2 2 a a h h h h H Vetores linearmente independentes Os vetores x1 x2 xn são ditos linearmente inde pendentes se c1x1 c2x2 cnxn 0 como c1 c2 cn são constantes implica que c1 c2 cn 0 De modo recíproco os vetores x1 x2 xn são ditos linearmente dependentes se e somente se xi puder ser expresso como uma combinação linear de xj j 1 2 n j i ou x c x i j j j i n j 1 para algum conjunto de constantes cj Isso significa que se xi pode ser expresso como uma com binação linear de outros vetores do conjunto ele é linearmente dependente deles ou não é um membro independente do conjunto Exemplo 99 Os vetores x x x 1 2 3 1 0 1 2 2 4 1 2 3 H H H são linearmente dependentes uma vez que x1 x2 x3 0 616 Engenharia de controle moderno Os vetores y y y 1 2 3 1 0 1 2 2 2 1 2 3 H H H são linearmente independentes uma vez que c1y1 c2y2 c3y3 0 implica que c1 c2 c3 0 Note que se uma matriz n n for não singular ou seja que o posto da matriz seja n ou que o determinante seja não nulo então n vetorescoluna ou linha serão linearmente independen tes Se a matriz n n for singular ou seja que o posto da matriz seja menor que n ou que o determinante seja nulo então n vetores coluna ou linha serão linearmente dependentes Para demonstrar isso veja que 1 2 3 1 0 1 2 2 4 1 2 3 1 0 1 2 2 2 singular não singular x x x y y y 1 2 3 1 2 3 6 6 H H 96 Controlabilidade Controlabilidade e observabilidade Um sistema será dito controlável no instante t0 se for possível por meio de um vetor de controle não limitado transferir o sistema de qualquer estado inicial xt0 para qualquer outro estado em um intervalo de tempo finito Um sistema será dito observável no instante t0 se com o sistema no estado xt0 for possível determinar esse estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito Os conceitos de controlabilidade e observabilidade foram introduzidos por Kalman Eles têm papel importante no projeto de sistemas de controle no espaço de estados De fato as con dições de controlabilidade e observabilidade podem ditar a existência de uma solução completa para o problema de projeto do sistema de controle A solução desse problema pode não existir se o sistema considerado é não controlável Embora a maioria dos sistemas físicos seja contro lável e observável os modelos matemáticos correspondentes podem não exibir a propriedade de controlabilidade e observabilidade Então é necessário conhecer as condições nas quais um sistema é controlável e observável Esta seção lida com a controlabilidade e a seção seguinte com observabilidade A seguir determinaremos primeiro a condição para controlabilidade completa de estado A partir disso determinaremos maneiras alternativas da condição para completa controlabilidade de estado seguida por discussões sobre controlabilidade completa da saída Por fim apresentaremos o conceito de estabilizabilidade Controlabilidade completa de estado de sistemas de tempo contínuo Considere o sistema de tempo contínuo ẋ Ax Bu 951 onde x vetor de estado vetor n u sinal de controle escalar A matriz n n B matriz n 1 617 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados O sistema descrito pela Equação 951 será dito de estado controlável em t t0 se for possível construir um sinal de controle não limitado que transfira o sistema de um estado inicial para qualquer estado final em um intervalo de tempo finito t0 t t1 Se todo estado for controlável então o sistema será considerado de estado completamente controlável Determinaremos agora a condição para a controlabilidade completa de estado Sem perda de generalidade podemos supor que o estado final seja a origem do espaço de estados e o instante inicial seja nulo ou t0 0 A solução da Equação 951 é t e e u d 0 x x B t t t 0 A A x x x h h h h Aplicando a definição dada de controlabilidade completa de estado temos t e e u d 0 x 0 x B t t t 1 0 A A 1 1 1 x x x h h h h ou e u d x 0 B t 0 A 1 x x x h h 952 Referindose à Equação 948 ou à Equação 950 eAT pode ser escrita como k e A k k n 0 1 A a x x h 953 Substituindo a Equação 953 na Equação 952 temos k u d x 0 A B k t k n 0 0 1 1 a x x x h h h 954 Vamos colocar u d k t k 0 1 a x x x b h h Então a Equação 954 tornase x 0 A B B AB A B k k k n n n 0 1 1 0 1 1 g h b b b b h R T S S S SS 6 V X W W W WW 955 Se o sistema for de estado completamente controlável então dado qualquer estado inicial x0 a Equação 955 deverá ser satisfeita Isso requer que o posto da matriz n n BABAn 1B seja n A partir dessa análise podemos estabelecer as condições para a controlabilidade completa de estado como segue o sistema dado pela Equação 951 é de estado completamente controlável se e somente se os vetores B AB An 1 B forem linearmente independentes ou a matriz n n BABAn 1B tiver posto n O resultado obtido pode ser estendido ao caso em que o vetor de controle u seja de dimensão r Se o sistema é descrito por ẋ Ax Bu onde u é um vetor de dimensão r então podese provar que a condição para controlabilidade completa de estado é que a matriz n nr 618 Engenharia de controle moderno BABAn 1B tenha posto n ou contenha n vetorescoluna linearmente independentes A matriz BABAn 1B é comumente denominada matriz de controlabilidade Exemplo 910 Considere o sistema dado por x x x x u 1 0 1 1 1 0 1 2 1 2 o o G G G G Como 1 0 1 0 singular B AB 6 G o sistema não é de estado completamente controlável Exemplo 911 Considere o sistema dado por x x x x u 1 2 1 1 0 1 1 2 1 2 o o 6 G G G G Para esse caso 0 1 1 1 não singular B AB 6 G O sistema é portanto de estado completamente controlável Forma alternativa da condição de controlabilidade completa de estado Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu 956 onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r A matriz n n B matriz n r Se os autovetores de A são distintos então é possível encontrar uma matriz de transformação P de modo que 0 0 P AP D n 1 1 2 j m m m R T S S S S SS V X W W W W WW Note que se os autovalores de A são distintos então os autovetores de A são distintos contudo a recíproca não é verdadeira Por exemplo uma matriz real simétrica n n que possui múltiplos autovalores tem n autovetores distintos Note também que cada coluna da matriz P é um autovetor de A associado a li i 1 2 n Vamos definir x Pz 957 Substituindo a Equação 957 na Equação 956 obtemos ż P 1APz P 1Bu 958 Definindo P 1 B F fij 619 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados podemos reescrever a Equação 958 como ż1 λ1z1 f11u1 f12u2 f1r ur ż2 λ2z2 f21u1 f22u2 f2r ur h żn λn zn fn1u1 fn2u2 fnr ur Se os elementos de qualquer linha da matriz F n r são todos nulos então a variável de estado correspondente não pode ser controlada por nenhum dos ui Portanto a condição de controlabili dade completa de estado é que os autovetores de A sejam distintos assim o sistema é de estado completamente controlável se e somente se nenhuma linha de P 1B tiver todos os elementos nulos É importante notar que para aplicar essa condição de controlabilidade completa de estado precisamos colocar a matriz P 1AP da Equação 958 na forma diagonal Se a matriz A na Equação 956 não tiver autovalores distintos então a diagonalização será impossível Nesse caso podemos transformar A na forma canônica de Jordan Se por exemplo A tiver os autovalores l1 l1 l1 l4 l4 l6 ln e tiver n 3 autovalores distintos a forma canônica de Jordan de A será 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 J n 1 1 1 4 4 6 j m m m m m m m R T S S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W W WW As submatrizes quadradas na diagonal principal são chamadas blocos de Jordan Suponha que desejamos encontrar a matriz de transformação S de modo que S 1AS J Se definirmos um novo vetor de estado z por x Sz 959 então a substituição da Equação 959 na Equação 956 resulta em ż S 1ASz S 1Bu Jz S 1Bu 960 A condição para controlabilidade completa de estado do sistema da Equação 956 pode ser esta belecida como segue o sistema é de estado completamente controlável se e somente se 1 não houver dois blocos de Jordan na matriz J da Equação 960 associados ao mesmo autovalor 2 os elementos de qualquer linha de S 1B que correspondem à última linha de cada bloco de Jordan não forem todos nulos e 3 os elementos de cada linha de S 1B que correspondem a autovalores distintos não forem todos nulos 620 Engenharia de controle moderno Exemplo 912 Os seguintes sistemas são de estado completamente controlável x x x x u x x x x x x u x x x x x x x x x x u u 1 0 0 2 2 5 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 4 3 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 5 0 0 1 5 0 0 3 0 2 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW G G G G H H H H G Os seguintes sistemas não são de estado completamente controlável x x x x u x x x x x x u u x x x x x x x x x x u 1 0 0 2 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2 4 0 3 2 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 5 0 0 1 5 4 2 1 3 0 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW G G G G H H H H G Condição de controlabilidade completa de estado no plano s A condição de controla bilidade completa de estado pode ser estabelecida em termos de funções de transferência ou de matrizes de transferência Podese provar que uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade completa de estado é que não ocorram cancelamentos na função de transferência ou matriz de transferência Se ocorrerem cancelamentos o sistema não poderá ser controlado na direção do modo cancelado Exemplo 913 Considere a seguinte função de transferência U s X s s s s 2 5 1 2 5 h h h h Claramente ocorre o cancelamento do fator s 25 no numerador e no denominador dessa função de transferência Assim um grau de liberdade é perdido Por causa desse cancelamento o sistema não é de estado completamente controlável A mesma conclusão pode ser obtida escrevendose essa função de transferência na forma de uma equação de estado Uma representação no espaço de estados é x x x x u 0 2 5 1 1 5 1 1 1 2 1 2 o o G G G G Uma vez que 1 1 1 1 B AB 6 G o posto da matriz BAB é 1 Então chegamos à mesma conclusão o sistema não é de estado completamente controlável 621 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Controlabilidade de saída No projeto prático de um sistema de controle podemos desejar controlar a saída em vez de controlar o estado do sistema A controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para controlar a saída do sistema Por essa razão é desejável definir em separado a controlabilidade de saída Considere o sistema descrito por ẋ Ax Bu 961 y Cx Du 962 onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r y vetor de saída vetor m A matriz n n B matriz n r C matriz m n D matriz m r O sistema descrito pelas equações 961 e 962 será considerado de saída completamente contro lável se for possível construir um vetor de controle ut não limitado que transfira qualquer saída inicial yt0 para qualquer saída final yt1 em um intervalo de tempo finito t0 t t1 Podese provar que a condição de saída é como segue o sistema descrito pelas equações 961 e 962 é de saída completamente controlável se e somente se a matriz m n 1r CBCABCA2BCAn 1BD tiver posto m Para uma prova veja o Problema A916 Note que a presença do termo Du na Equação 962 sempre ajuda a estabelecer a controlabilidade de saída Sistema não controlável Um sistema não controlável possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada Estabilizabilidade Para sistemas parcialmente controláveis se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis o sistema será considerado estabilizável Por exemplo o sistema definido por x x x x u 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 o o G G G G não é de estado controlável O modo estável que corresponde ao autovalor 1 não é controlá vel O modo instável que corresponde ao autovalor 1 é controlável Esse sistema pode ser feito estável pelo uso de uma realimentação apropriada Assim o sistema é estabilizável 97 Observabilidade Nesta seção discutiremos a observabilidade de sistemas lineares Considere o sistema sem excitação descrito pelas seguintes equações ẋ Ax 963 y Cx 964 onde x vetor de controle vetor n y vetor de saída vetor m A matriz n n C matriz m n O sistema será considerado completamente observável se todo estado xt0 puder ser determinado pela observação de yt durante um intervalo de tempo finito t0 t t1 O sistema é portanto 622 Engenharia de controle moderno completamente observável se cada transição do estado puder afetar cada elemento do vetor de saída O conceito de observabilidade é útil na solução de problemas de reconstrução de variá veis de estado não mensuráveis a partir de variáveis mensuráveis no menor intervalo possível de tempo Nesta seção tratamos somente de sistemas lineares e invariantes no tempo Portanto sem perda de generalidade podemos supor que t0 0 O conceito de observabilidade é muito importante porque na prática a dificuldade encon trada com o controle por realimentação de estado é que algumas das variáveis de estado não são acessíveis por medição direta resultando ser necessário estimar a variável de estado não men surável para construir os sinais de controle Será mostrado na Seção 105 que essas estimativas das variáveis de estado são possíveis se e somente se o sistema for completamente observável Na discussão das condições de observabilidade consideramos sistemas sem excitação como mostram as equações 963 e 964 A razão para isso é apresentada a seguir Se um sistema é descrito por ẋ Ax Bu y Cx Du então t e e d 0 x x Bu t t t 0 A A x x x h h h h e yt é t e e d 0 y C x C Bu Du t t t 0 A A x x x h h h h Como as matrizes A B C e D são conhecidas e ut também é conhecido os dois últimos termos do lado direito dessa última equação são quantidades conhecidas Portanto eles podem ser subtraídos do valor observado de yt Consequentemente para investigar uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é suficiente considerar o sistema descrito pelas equações 963 e 964 Observabilidade completa de sistemas de tempo contínuo Considere o sistema descrito pelas equações 963 e 964 O vetor de saída yt é yt CeAtx0 Referindose à Equação 948 ou à Equação 950 temos k e t A t k k n 0 1 A a h onde n é o grau do polinômio característico Observe que as equações 948 e 950 com m subs tituindo n podem ser deduzidas usandose o polinômio característico Logo obtemos k y CA x t t 0 k k n 0 1 a h h h ou yt α0tCx0 α1tCAx0 αn 1tCAn 1x0 965 Se o sistema é completamente observável então dada a saída yt durante um intervalo de tempo 0 t t1 x0 é unicamente determinado pela Equação 965 Podese mostrar que isso requer que o posto da matriz nm n C CA CAn 1 h R T S S S S SS V X W W W W WW 623 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados seja n Veja o Problema A919 para a obtenção dessa condição A partir dessa análise podemos estabelecer a condição de observabilidade completa a seguir O sistema descrito pelas equações 963 e 964 é completamente observável se e somente se o posto da matriz n nm CACAn 1C for n ou tiver n vetorescoluna linearmente independentes Essa matriz é denominada matriz de observabilidade Exemplo 914 Considere o sistema descrito por x x x x u y x x 1 2 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Esse sistema é controlável e observável Uma vez que o posto da matriz 0 1 1 1 B AB 6 G é 2 o sistema é de estado completamente controlável Para a controlabilidade de saída vamos determinar o posto da matriz CB CAB Uma vez que CBCAB 0 1 o posto desta matriz é 1 Consequentemente o sistema é de saída completamente controlável Para testar a condição de observabilidade examine o posto de C AC Visto que 1 0 1 1 C A C 6 G o posto de CAC é 2 Como consequências o sistema é completamente observável Condição de observabilidade completa no plano s As condições de observabilidade completa também podem ser estabelecidas em termos de funções de transferência ou matrizes de transferência A condição necessária e suficiente para observabilidade completa é que não haja cancelamento na função de transferência ou matriz de transferência Se ocorrerem cancelamentos o modo cancelado não poderá ser observado na saída Exemplo 915 Mostre que o seguinte sistema não é completamente observável ẋ Ax Bu y Cx onde x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 4 5 1 x A B C 1 2 3 6 H H H Note que a função de controle u não afeta a observabilidade completa do sistema para examinála podemos simplesmente impor u 0 Para esse sistema temos 4 5 1 6 7 1 6 5 1 C A C A 2 C h R T S S SS 6 V X W W WW 624 Engenharia de controle moderno Note que 0 4 5 1 6 7 1 6 5 1 Logo o posto da matriz CACA2C é menor que 3 Portanto o sistema não é com pletamente observável De fato ocorrem cancelamentos nesse sistema na função de transferência do sistema A função de transferência entre X1s e Us é U s X s s s s 1 2 3 1 1 h h h h h e a função de transferência entre Ys e X1s é X s Y s s 1 s 4 1 h h h h Logo a função de transferência entre a saída Ys e a entrada Us é U s Y s s s s s s 1 2 3 1 4 h h h h h h h Claramente os dois fatores s 1 se cancelam Isso significa que existem estados iniciais x0 não nulos que não podem ser determinados a partir da medição de yt Comentários A função de transferência não possui cancelamentos se e somente se o sistema for de estado completamente controlável e observável Isso significa que a função de transferência que possui cancelamentos não carrega toda a informação que caracteriza a dinâmica do sistema Forma alternativa da condição de observabilidade completa Considere o sistema descrito pelas equações 963 e 964 reescritas como ẋ Ax 966 y Cx 967 Suponha que a matriz de transformação P transforme A em uma matriz diagonal ou P 1AP D onde D é uma matriz diagonalVamos definir x Pz Então as equações 966 e 967 podem ser escritas como ż P 1APz Dz y CPz Logo yt CPeDtz0 ou y CP z CP t e e e e z e z e z 0 0 0 0 0 0 t t t t t t n 1 2 n n 1 2 1 2 j h m m m m m m h h h h h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW O sistema é completamente observável se nenhuma das colunas da matriz CP m n tiver todos os elementos nulos Isso é porque se a iésima coluna de CP tiver todos os elementos nulos então a variável de estado zi0 não vai aparecer na equação de saída e portanto não pode ser determinada pela observação de yt Assim x0 que é relacionado com z0 por meio da matriz 625 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados não singular P não pode ser determinado Lembrese de que esse teste somente se aplica se a matriz P 1AP estiver na forma diagonal Se a matriz A não puder ser transformada em uma matriz diagonal então com o uso de uma matriz de transformação apropriada S podemos transformar A na forma canônica de Jordan ou S 1AS J onde J é a forma canônica de Jordan Vamos definir x Sz Então as equações 966 e 967 podem ser escritas como ż S 1ASz Jz y CSz Logo yt CSeJtz0 O sistema é completamente observável se 1 não houver dois blocos de Jordan na matriz J asso ciados aos mesmos autovalores 2 não houver colunas de CS correspondentes à primeira linha de cada bloco de Jordan que são constituídas por elementos nulos e 3 não houver colunas de CS correspondentes a autovalores distintos que são formados por elementos nulos Para esclarecer a condição 2 no Exemplo 916 circulamos com linhas tracejadas as colunas de CS que correspondem à primeira linha de cada bloco de Jordan Exemplo 916 Os seguintes sistemas são completamente observáveis x x x x y x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x 1 0 0 2 1 3 2 0 0 1 2 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 1 3 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW G G G G H H H G H H G H Os seguintes sistemas não são completamente observáveis x x x x y x x x x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x 1 0 0 2 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 3 4 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 3 0 0 1 3 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 o o o o o o o o o o R T S S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW G G G G H H H G H H G H 626 Engenharia de controle moderno Princípio da dualidade Discutiremos agora a relação entre controlabilidade e observabilidade Introduziremos o princípio da dualidade devido a Kalman para esclarecer aparentes analogias entre controlabilidade e observabilidade Considere o sistema S1 descrito por ẋ Ax Bu y Cx onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r y vetor de saída vetor m A matriz n n B matriz n r C matriz m n e o sistema dual S2 definido por ż Az Cv n Bz onde z vetor de estado vetor n v vetor de controle vetor m n vetor de saída vetor r A transposta conjugada de A B transposta conjugada de B C transposta conjugada de C O princípio da dualidade estabelece que o sistema S1 será de estado completamente controlável observável se e somente se o sistema S2 for completamente observável de estado controlável Para verificar esse princípio vamos escrever as condições necessárias e suficientes da con trolabilidade completa de estado e da observabilidade completa para sistemas S1 e S2 Para o sistema S1 1 Uma condição necessária e suficiente para a controlabilidade completa de estado é que o posto da matriz n nr BABAn 1B seja n 2 Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é que o posto da matriz n nm CACAn 1C seja n Para o sistema S2 1 Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa de estado é que o posto da matriz n nm CACAn 1C seja n 2 Uma condição necessária e suficiente para a observabilidade completa é que o posto da matriz n nr BABAn 1B seja n 627 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Comparando essas condições a veracidade do princípio é aparente Com o uso desse princípio a observabilidade de um sistema dado pode ser verificada testandose a controlabilidade de estado do seu dual Detectabilidade Para um sistema parcialmente observável se os modos não observáveis forem estáveis e os modos observáveis forem instáveis o sistema será considerado detectável Note que o conceito de detectabilidade é dual ao conceito de estabilizabilidade Exemplos de problemas com soluções A91 Considere a função de transferência definida pela Equação 92 reescrita como U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h 968 Obtenha a seguinte forma canônica controlável da representação no espaço de estados desta função de transferência x x x x a a a a x x x x u 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 h h h h g g g g h h h o o o o R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W W WW V X W W W W WW 969 y b a b b a b b a b x x x b u n n n n n 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 970 Solução A Equação 968 pode ser escrita como U s Y s b s a s a s a b a b s b a b s b a b n n n n n n n n n 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 g g h h h h h que pode ser modificada para Ys b0Us Ŷs 971 onde Y s s a s a s a b a b s b a b s b a b U s n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 g g t h h h h h Vamos reescrever essa última equação da seguinte maneira b a b s b a b s b a b Y s s a s a s a U s Q s n n n n n n n n n 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 g g t h h h h h h A partir dessa última equação as duas equações seguintes podem ser obtidas como snQs a1sn 1Qs an 1sQs anQs Us 972 Ŷs b1 a1b0sn 1Qs bn 1 an 1b0sQs bn anb0Qs 973 Agora defina as variáveis de estado como segue 628 Engenharia de controle moderno X1s Qs X2s sQs h Xn 1s sn 2Qs Xns sn 1Qs Então evidentemente sX1s X2s sX2s X3s h s que pode ser reescrita como ẋ1 x2 ẋ2 x3 h 974 ẋn 1 xn Sabendo que snQs sXns podemos reescrever a Equação 972 como sXns a1 Xns an 1 X2s an X1s Us ou ẋn an x1 an 1 x2 a1xn u 975 Além disso a partir das equações 971 e 973 obtemos Ys b0Us b1 a1b0sn 1Qs bn 1 an 1b0sQs bn anb0Qs b0Us b1 a1b0 Xns bn 1 an 1b0 X2s bn anb0 X1s A transformada inversa de Laplace dessa equação de saída resulta em y bn anb0x1 bn 1 an 1b0x2 b1 a1b0xn b0u 976 Combinando as equações 974 e 975 em uma equação diferencial vetorialmatricial obtemos a Equação 969 A Equação 976 pode ser reescrita na forma da Equação 970 As equações 969 e 970 estão na forma canônica controlável A Figura 91 mostra a representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 969 e 970 629 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A92 Considere a seguinte função de transferência U s Y s s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 0 1 1 1 g g h h 977 Obtenha a seguinte forma canônica observável da representação por espaço de estados para esta função de transferência x x x a a a x x x b a b b a b b a b u 0 1 0 0 0 0 0 0 1 n n n n n n n n 1 2 1 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 h h h g g g h h h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 978 y x x x x b u 0 0 0 1 n n 1 2 1 0 g h R T S S S S S SS 6 V X W W W W W WW 979 Solução A Equação 977 pode ser alterada para a seguinte forma snYs b0Us sn 1a1Ys b1Us san 1Ys bn 1Us anYs bnUs 0 Dividindo toda a equação por sn e rearranjando obtemos Y s b U s s b U s a Y s s b U s a Y s s b U s a Y s 1 1 1 n n n n n n 0 1 1 1 1 1 g h h h h h h h h 6 6 6 980 Agora defina as variáveis de estado como segue X s s b U s a Y s X s X s s b U s a Y s X s X s s b U s a Y s X s X s s b U s a Y s 1 1 1 1 n n n n n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 h h h h h h h h h h h h h h h h 6 6 6 6 981 FIGURA 91 b0 y u a1 a2 an1 an xn 1 xn x1 x2 b1 a1b0 b2 a2b0 bn 1 an 1b0 bn anb0 Diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 969 e 970 forma canônica controlável 630 Engenharia de controle moderno A Equação 980 pode ser escrita como Ys b0Us Xns 982 Substituindo a Equação 982 na Equação 981 e multiplicando ambos os lados das equações por s obtemos sXns Xn 1s a1Xns b1 a1b0Us sXn 1s Xn 2s a2Xns b2 a2b0Us h sX2s X1s an 1Xns bn 1 an 1b0Us sX1s an Xns bn an b0Us Considerando a transformada inversa de Laplace das n equações precedentes e escrevendoas na ordem reversa obtemos ẋ1 anxn bn an b0u ẋ2 ẋ1 an 1xn bn 1 an 1b0u h ẋn 1 xn 2 a2xn b2 a2b0u ẋn xn 1 a1xn b1 a1b0u Por sua vez a transformada inversa de Laplace da Equação 982 fornece y xn b0u Se as equações de estado e de saída forem reescritas na forma vetorialmatricial padrão obtêmse as equações 978 e 979 A Figura 92 mostra uma representação de blocos do sistema definido pelas equações 978 e 979 FIGURA 92 y u an1 a1 an xn 1 x1 x2 xn b0 bn anb0 bn 1 an 1b0 b1 a1b0 Representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 978 e 979 forma canônica observável 631 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A93 Considere a função de transferência definida por U s Y s s p s p s p b s b s b s b b s p c s p c s p c n n n n n n n 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 2 g g g h h h h h 983 onde pi pj Obtenha a representação por espaço de estados desse sistema na seguinte forma canônica diagonal x x x p p p x x x u 0 0 1 1 1 n n n 1 2 1 2 1 2 h j h h o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW 984 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 985 Solução A Equação 983 pode ser escrita como Y s b U s s p c U s s p c U s s p c U s n n 0 1 1 2 2 g h h h h h 986 Defina as variáveis de estado como segue X s s p U s X s s p U s X s s p U s 1 1 1 n n 1 1 2 2 h h h h h h h que podem ser reescritas como sX1s p1 X1s Us sX2s p2 X2s Us h sXns pnXns Us A transformada inversa de Laplace dessas equações fornece ẋ1 p1x1 u ẋ2 p2x2 u h 987 ẋn pn xn u Essas n equações compõem uma equação de estado 632 Engenharia de controle moderno Em termos das variáveis de estado X1s X2s Xns a Equação 986 pode ser escrita como Ys b0Us c1 X1s c2 X2s cn Xns A transformada inversa de Laplace dessa última equação é y c1x1 c2x2 cn xn b0u 988 que é a equação de saída A Equação 987 pode ser colocada na forma da equação vetorialmatricial dada pela Equação 984 A Equação 988 pode ser colocada na forma da Equação 985 A Figura 93 mostra uma representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equa ções 984 e 985 Observe que se escolhemos as variáveis de estado como X s s p c U s X s s p c U s X s s p c U s n n n 1 1 1 2 2 2 h t t t h h h h h h então obtemos uma representação por espaço de estados ligeiramente diferente Essa escolha das variáveis de estado fornece sX 1s p1X 1s c1Us sX 2s p2X 2s c2Us h sX ns pn X ns cnUs FIGURA 93 u y xn x2 x1 c2 1 s p2 c1 b0 cn 1 s p1 1 s pn Representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 984 e 985 forma canônica diagonal 633 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados a partir da qual obtemos xto 1 p1x 1 c1u xto 2 p2x 2 c2u h 989 xto n pn x n cn u Com referência à Equação 986 a equação de saída resulta em Ys b0Us X 1s X 2 X ns a partir da qual obtemos y x 1 x 2 x n b0u 990 As equações 989 e 990 fornecem a seguinte representação por espaço de estados para o sistema x x x p p p x x x c c c u y x x x b u 0 0 1 1 1 n n n n n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 h j h h g h to to to t t t t t t R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW A94 Considere o sistema definido por U s Y s s p s p s p s p b s b s b s b n n n n n 1 3 4 5 0 1 1 1 g g h h h h h h 991 e que contém um polo triplo em s p1 Supomos que exceto pelos três primeiros pi que são iguais os outros pi sejam diferentes entre si Obtenha a forma canônica de Jordan da represen tação por espaço de estados desse sistema Solução A expansão em frações parciais da Equação 991 resulta em U s Y s b s p c s p c s p c s p c s p c n n 0 1 3 1 1 2 2 1 3 4 4 g h h h h que pode ser escrita como Y s b U s s p c U s s p c U s s p c U s s p c U s s p c U s n n 0 1 3 1 1 2 2 1 3 4 4 g h h h h h h h h h 992 Defina 634 Engenharia de controle moderno X s s p U s X s s p U s X s s p U s X s s p U s X s s p U s 1 1 1 1 1 n n 1 1 3 2 1 2 3 1 4 4 h h h h h h h h h h h h h Note que existe a seguinte relação entre X1s X2s e X3s X s X s s p X s X s s p 1 1 2 1 1 3 2 1 h h h h Então a partir da definição anterior das variáveis de estado e das relações precedentes obtemos sX1s p1 X1s X2s sX2s p1 X2s X3s sX3s p1 X3s Us sX4s p4 X4s Us h sXns pn Xns Us A transformada inversa de Laplace das n equações precedentes fornece ẋ1 p1x1 x2 ẋ2 p1x2 x3 ẋ3 p1x3 u ẋ4 p4x4 u h ẋn pn xn u A equação de saída Equação 992 pode ser reescrita como Ys b0Us c1 X1s c2 X2s c3 X3s c4 X4s cn Xns A transformada inversa de Laplace dessa equação de saída é y c1x1 c2x2 c3x3 c4x4 cn xn b0u 635 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Desse modo a representação por espaço de estados do sistema para o caso em que o polinômio do denominador envolve uma raiz tripla em p1 pode ser dado como segue x x x x x p p p p p x x x x x u 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 n n n 1 2 3 4 1 1 1 4 1 2 3 4 h h g g h h g g j h h h o o o o o R T S S S S S S SS R T S S S S S S SS R T S S S S S S SS R T S S S S S S SS V X W W W W W W WW V X W W W W W W WW V X W W W W W W WW V X W W W W W W WW 993 y c c c x x x b u n n 1 2 1 2 0 g h R T S S S SS 6 V X W W W WW 994 A representação por espaço de estados no formato dado pelas equações 993 e 994 está na forma canônica de Jordan A Figura 94 mostra uma representação por diagrama de blocos do sistema dado pelas equações 993 e 994 A95 Considere a função de transferência U s Y s s s s s 5 03247 25 1026 5 008 25 04 5 008 3 2 h h Obtenha uma representação por espaço de estados desse sistema com o MATLAB Solução O comando em MATLAB ABCD tf2ssnumden produzirá uma representação por espaço de estados do sistema Veja o Programa 94 em MATLAB FIGURA 94 y u c1 1 s p1 1 s p1 1 s p1 c4 1 s p4 c2 c3 x3 x4 xn x2 x1 b0 cn 1 s pn Representação por diagrama de blocos do sistema definido pelas equações 993 e 994 forma canônica de Jordan 636 Engenharia de controle moderno Programa 94 em MATLAB num 2504 5008 den 1 503247 251026 5008 ABCD tf2ssnumden A 50325 251026 50080 10000 0 0 0 10000 0 B 1 0 0 C 0 250400 50080 D 0 Esta é a representação em MATLAB das seguintes equações de estados x x x x x x u y x x x u 5 0325 1 0 25 1026 0 1 5 008 0 0 1 0 0 0 25 04 5 008 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 6 H H H H H A96 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r A matriz constante n n B matriz constante n r Obtenha a resposta do sistema a cada uma das seguintes entradas a Os r componentes de u são funções impulso de vários valores b Os r componentes de u são funções degrau de vários valores c Os r componentes de u são funções rampa de vários valores Solução a Resposta ao impulso com referência à Equação 943 a solução da equação de estado dada é t e t e d x x Bu t t t t t 0 A A 0 0 x x x h h h h h Substituindo t0 0 dentro dessa solução obtemos t e e d 0 x x Bu t t t A A 0 x x x h h h h Vamos escrever a entrada impulso ut como ut δtw 637 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados onde w é um vetor cujos componentes são os valores das r funções impulso aplicados em t 0 A solução da equação de estado quando a entrada ao impulso dtw é fornecida em t 0 é t e e d e e 0 0 x x B w x Bw t t t t t 0 A A A A d x x x h h h h h 995 b Resposta ao degrau vamos escrever a entrada ao degrau ut como ut k onde k é um vetor cujos componentes são os valores das r funções degrau aplicados em t 0 A solução para a entrada ao degrau em t 0 é dada por t e e d e e d e e t t t 0 0 2 0 2 3 x x Bk x I A A Bk x I A A Bk t t t t t t t t 0 2 2 0 2 2 3 A A A A A A g g x x x x x c c h h h m h m h E Se A é não singular então essa última equação pode ser simplificada resultando em xt eAtx0 eAt A 1eAt I Bk eAtx0 A 1eAt I Bk 996 c Resposta à rampa vamos escrever a entrada em rampa ut como ut tv onde v é um vetor cujos componentes são os valores das funções rampa aplicados em t 0 A solução para a entrada em rampa tv fornecida em t 0 é 2 3 4 t e e d e e e d e e t t t t 0 0 0 2 3 4 5 x x B v x Bv x I A A A Bv t t t t t t t t 0 0 2 3 2 4 3 5 A A A A A A A g x x x x x x c h h h h m h Se A é não singular então essa última equação pode ser simplificada resultando em xt eAtx0 A 2eAt I At Bv eAtx0 A 2eAt I A 1t Bv 997 A97 Obtenha a reposta yt do seguinte sistema x x x x u x x y x x 1 1 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 o o h h 6 G G G G G G G onde ut é uma entrada ao degrau unitário que ocorre em t 0 ou ut 1t Solução Para esse sistema 1 1 0 5 0 0 5 0 A B G G A matriz de transição de estado Ut eAt pode ser obtida como segue 638 Engenharia de controle moderno Ut eAt 1sI A 1 Como s s s s s s s s s s s s s 1 1 0 5 0 5 1 1 0 5 1 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 1 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 I A 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h R T S S S SS V X W W W WW H H temos cos sen sen sen cos sen t e s e t t e t e t e t t 0 5 0 5 2 0 5 0 5 0 5 0 5 I A t t t t t 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5 A U h h h h 6 G Uma vez que x0 0 e k 1 com referência à Equação 996 temos cos sen sen sen cos sen t e e k e e t t e t e t e t t 0 0 2 1 2 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 1 x x A I B A I B t t t t t t t 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5 A A A h h h h h h H G H Logo a saída yt pode ser dada por sen05 y t x x x e t 1 0 t 1 2 1 0 5 h 6 G A98 O teorema de CayleyHamilton estabelece que toda matriz A n n satisfaz sua própria equação característica No entanto a equação característica não é necessariamente a equação escalar de mínimo grau que A satisfaz O polinômio de grau mínimo que tem A como uma raiz é denomi nado polinômio mínimo Ou seja o polinômio mínimo de uma matriz A n n é definido como o polinômio zl de grau mínimo zλ λm a1λm 1 am 1 λ am m n tal que zA 0 ou zA Am a1Am 1 am 1 A am I 0 O polinômio mínimo tem papel importante na solução de polinômios de uma matriz n n Vamos supor que dl um polinômio em l seja o máximo divisor comum de todos os elementos de adjlI A Mostre que se o coeficiente do termo de mais alto grau em l de dl for escolhido como 1 então o polinômio mínimo zl será dado por d I A z m m m h h Solução Por hipótese o máximo divisor comum da matriz adjlI A é dl Consequentemente adjλI A dλ B λ onde o máximo divisor comum dos n2 elementos que são funções de l de Bl é unitário Como λI A adjλI A λI A I 639 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados obtemos dλ λI A Bλ λI A I 998 a partir da qual determinamos que lI A é divisível por dlVamos colocar λI A dλ ψλ 999 Uma vez que o coeficiente do termo de mais alto grau em termos de l do dl foi escolhido como 1 o coeficiente de mais alto grau em termos de l do yl também é 1 A partir das equa ções 998 e 999 temos λI A Bλ ψλI Logo ψA 0 Note que yl pode ser escrita como ψλ gλzλ αλ onde al é de um grau menor que zl Como yA 0 e zA 0 precisamos ter aA 0 Além disso como zl é o polinômio mínimo al precisa ser identicamente nulo ou ψλ gλzλ Note que como zA 0 podemos escrever zλI λI A Cλ Logo ψλI gλzλI gλλI A Cλ Observando que λI A Bλ ψλI obtemos Bλ gλCλ Como o máximo divisor comum dos n2 elementos de Bl é unitário temos gλ 1 Consequentemente ψλ zλ Então a partir dessa última equação e da Equação 999 obtemos d I A z m m m h h A99 Se uma matriz A n n possui n autovalores distintos então o polinômio mínimo de A é idêntico ao polinômio característico Além disso se os autovalores múltiplos de A estão ligados em uma cadeia de Jordan o polinômio mínimo e o polinômio característico são idênticos Entretanto se os autovalores múltiplos de A não forem ligados em uma cadeia de Jordan o polinômio mínimo é de grau menor que o do polinômio característico Usando as seguintes matrizes A e B como exemplos comprove as declarações precedentes com relação ao polinômio mínimo quando autovalores múltiplos estiverem envolvidos 2 0 0 1 2 3 4 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 1 A B H H Solução Primeiro considere a matriz A O polinômio característico é dado por I A 2 0 0 1 2 3 4 0 1 2 1 2 m m m m m m h h H Logo os autovalores de A são 2 2 e 1 Podese mostrar que a forma canônica de Jordan de A é 640 Engenharia de controle moderno 2 0 0 1 2 0 0 0 1 H e que os autovalores múltiplos são ligados em uma cadeia de Jordan como é mostrado Para determinar o polinômio mínimo vamos obter primeiro adjlI A Ela é dada por adj 2 1 0 0 11 2 1 3 2 4 2 0 2 I A 2 m m m m m m m m m h h h h h h h h h H Observe que não existe divisor comum de todos os elementos de adjlI A Consequentemente dl 1 Portanto o polinômio mínimo zl é idêntico ao polinômio característico ou zλ λI A λ 22λ 1 λ3 5λ2 8λ 4 Cálculos simples provam que 5 8 4 8 0 0 72 8 21 28 0 1 5 4 0 0 16 4 9 12 0 1 8 2 0 0 1 2 3 4 0 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A I 0 3 2 H H H H H mas 3 2 4 0 0 16 4 9 12 0 1 3 2 0 0 1 2 3 4 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 13 0 0 0 0 0 A A I 0 2 H H H H Portanto mostramos que o polinômio mínimo e o polinômio característico da matriz A são os mesmos Em seguida considere a matriz B O polinômio característico é dado por 2 0 0 0 2 3 0 0 1 2 1 I B 2 m m m m m m h h Cálculos simples revelam que a matriz B tem três autovetores e que a forma canônica de Jordan de B é dada por 2 0 0 0 2 0 0 0 1 H Portanto os autovalores múltiplos não são ligados Para obter o polinômio mínimo calculamos primeiro adjlI B adj 2 1 0 0 0 2 1 3 2 0 0 2 I B 2 m m m m m m m h h h h h h h H 641 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A partir do qual é evidente que dλ λ 2 Portanto 3 2 d 2 2 1 I B 2 2 z m m m m m m m m h h h h Como uma verificação vamos calcular zB 3 2 3 2 4 0 0 0 4 9 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 B B B I 0 2 z h H H H H Para a matriz B dada o grau do polinômio mínimo é menor em uma unidade que o grau do poli nômio característico Como mostrado aqui se os autovalores múltiplos de uma matriz n n não estão ligados em uma cadeia de Jordan o polinômio mínimo é de grau menor que o do polinômio característico A910 Mostre que com o uso do polinômio mínimo a inversa de uma matriz A não singular pode ser expressa como um polinômio em A com coeficientes escalares como segue a a a a 1 A A A A I m m m m m 1 1 1 2 2 1 g h 9100 onde a1 a2 am são coeficientes do polinômio mínimo zλ λm a1λm 1 am 1λ am Em seguida obtenha a inversa da seguinte matriz A A 1 3 1 2 1 0 0 2 3 H Solução Para uma matriz A não singular seu polinômio mínimo zA pode ser escrito como z A Am a1Am 1 am 1A amI 0 onde am 0 Portanto a a a a 1 I A A A A m m m m m 1 1 2 2 1 g h Prémultiplicando por A 1 obtemos a a a a 1 A A A A I m m m m m 1 1 1 2 2 1 g h que é a Equação 9100 Para a matriz A fornecida adjlI A pode ser dada por adj 4 3 3 7 1 2 6 2 3 2 4 2 2 7 I A 2 2 2 m m m m m m m m m m h H Claramente não há divisor comum dl para todos os elementos de adjlI A Portanto dl 1 Consequentemente o polinômio mínimo zl é dado por d I A I A z m m m m h h Assim o polinômio mínimo zl é o mesmo que o polinômio característico Como o polinômio característico é lI A λ3 3λ2 7λ 17 642 Engenharia de controle moderno obtemos zλ λ3 3λ2 7λ 17 Identificando os coeficientes ai do polinômio mínimo que nesse caso é o mesmo que o poli nômio característico temos a1 3 a2 7 a3 17 A inversa de A pode ser obtida a partir da Equação 9100 como segue a a a 1 17 1 3 7 17 1 7 2 2 0 7 2 4 8 9 3 1 3 1 2 1 0 0 2 3 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 17 1 3 7 1 6 3 2 4 2 7 17 3 17 7 17 1 17 6 17 3 17 2 17 4 17 2 17 7 A A A I A A I 1 3 2 1 2 2 h h R T S S SS R T S S SS R T S S SS R T S S SS R T S S S S S SS V X W W WW V X W W WW V X W W WW V X W W WW V X W W W W W WW Z a bb bb A911 Mostre que se a matriz A pode ser diagonalizada então eAt PeDtP 1 onde P é uma matriz de transformação diagonalizante que transforma A em uma matriz diagonal Ou P 1AP D onde D é a matriz diagonal Mostre também que se a matriz A pode ser transformada na forma canônica de Jordan então eAt SeJtS 1 onde S é a matriz de transformação que transforma A para a forma canônica de Jordan J ou S 1AS J Solução Considere a equação de estado ẋ Ax Se uma matriz quadrada pode ser diagonalizada então existe uma matriz diagonalizante matriz de transformação que pode ser obtida por um métodopadrão Seja P a matriz diagonalizante de A Vamos definir x Px Então xto P 1APx Dx onde D é uma matriz diagonal A solução dessa última equação é x t eDtx 0 Portanto xt Px t PeDtP 1x0 Notando que xt também pode ser dada pela equação xt eAtx0 obtemos eAt PeDtP 1 ou 643 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados e e e e e 0 0 P P P P t t t t t 1 1 A D n 1 2 j m m m R T S S S SS V X W W W WW 9101 Em seguida consideraremos o caso em que a matriz A pode ser transformada na forma canônica de Jordan Considere novamente a equação de estado ẋ Ax Primeiro obtenha uma matriz de transformação S que vai transformar a matriz A na forma canô nica de Jordan de modo que S 1AS J onde J é a matriz na forma canônica de Jordan Agora defina x Sx Então xto S 1ASx Jx A solução dessa última equação é x t eJtx 0 Portanto xt Sx t SeJtS 1x0 Uma vez que a solução xt também pode ser dada pela equação xt eAtx0 obtemos eAt SeJtS 1 Note que eJt é uma matriz triangular o que significa que os elementos abaixo ou acima depen dendo do caso da linha diagonal principal são nulos cujos elementos são elt telt 2 1 t2elt e assim por diante Por exemplo se a matriz J tiver a seguinte forma canônica de Jordan 0 0 1 0 0 1 J 1 1 1 m m m R T S S SS V X W W WW então e e te e t e te e 0 0 0 2 1 Jt t t t t t t 2 1 1 1 1 1 1 m m m m m m R T S S S SS V X W W W WW De maneira semelhante se 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 J 1 1 1 4 4 6 7 m m m m m m m R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW 644 Engenharia de controle moderno então e e te e t e te e e te e e e 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 t t t t t t t t t t t t 2 J 1 1 1 1 1 1 4 4 4 6 7 m m m m m m m m m m m R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW A912 Considere o seguinte polinômio em l de grau m 1 supondo que l1 l2 lm sejam distintos pk k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h onde k 1 2 m Observe que p i k i k 1 0 se se k i m h Então o polinômio fl de grau m 1 f f p f k k m k k k m k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h h h h considera os valores de f lk nos pontos lk Essa última equação é comumente denominada fór mula de interpolação de Lagrange O polinômio f l de grau m 1 é determinado a partir dos m dados independentes f l1 f l2 f lm Ou seja o polinômio f lpassa pelos m pontos f l1 f l2 f lm Como f l é um polinômio de grau m 1 ele é unicamente determinado Quaisquer outras representações do polinômio de grau m 1 podem ser reduzidas ao polinômio f l de Lagrange Ao supor que os autovalores de uma matriz A n n sejam distintos substitua A por l no poli nômio pkl Obtemos então A A I A I A I A I pk k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h Observe que pkA é um polinômio em A de grau m 1Veja também que p i k i k se se I I 0 k i m h Agora defina f f p f A A A I A I A I A I k k m k k k m k k k k k k m k k m 1 1 1 1 1 1 1 1 g g g g m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h h h h 9102 645 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados A Equação 9102 é conhecida como fórmula de interpolação de Sylvester A Equação 9102 é equivalente à seguinte equação f f f f 1 1 1 I A A A A 0 m m m m m m m m 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 h h g g g g g h h m m m m m m m m m m m m h h h h 9103 As equações 9102 e 9103 são frequentemente utilizadas na determinação de funções fA da matriz A por exemplo lI A 1 eAt e assim por diante Note que a Equação 9103 também pode ser escrita como 2 f f f f 1 1 1 I A A A A 0 m m m m m m m m 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 h h h g g g g h h m m m m m m m m m m m m h h h h 9104 Mostre que as equações 9102 e 9103 são equivalentes Para simplificar os argumentos suponha que m 4 Solução A Equação 9103 onde m 4 pode ser expandida como segue 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 f f f f f f f f f f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I A A A A A I A A A I A A A I A A A I A A A 1 1 2 1 3 1 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 4 4 2 4 3 4 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 4 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 4 4 2 4 3 2 1 1 2 1 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 1 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m D h h h h h h h h h h Como 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 4 4 2 4 3 4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h e 2 3 I A A A A I A I A I 1 1 1 i i i j j j k k k k j i k j k i j i 2 3 2 3 2 3 m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h 646 Engenharia de controle moderno obtemos Δ fAλ4 λ3λ4 λ2λ4 λ1λ3 λ2λ3 λ1λ2 λ1 fλ4A λ3IA λ2IA λ1Iλ3 λ2λ3 λ1λ2 λ1 fλ3A λ4IA λ2IA λ1Iλ4 λ2λ4 λ1λ2 λ1 fλ2A λ4IA λ3IA λ1Iλ4 λ3λ4 λ1λ3 λ1 fλ1A λ4IA λ3IA λ2Iλ4 λ3λ4 λ2λ3 λ2 0 Resolvendo essa última equação para fA obtemos f f f f f f A A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I k k m k k k k k k m k k m 1 1 2 1 3 1 4 2 3 4 2 2 1 2 3 2 4 1 3 4 3 3 1 3 2 3 4 1 2 4 4 4 1 4 2 4 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 g g g m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h onde m 4 Dessa maneira mostramos a equivalência das equações 9102 e 9103 Apesar de supormos que m 4 todo o argumento pode ser estendido para um m inteiro positivo e arbitrá rio Para o caso em que a matriz A envolve múltiplos autovalores consulte o Problema A913 A913 Considere a fórmula de interpolação de Sylvester na forma dada pela Equação 9104 2 f f f f 1 1 1 I A A A A 0 m m m m m m m m 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 h h h g g g g h h m m m m m m m m m m m m h h h h Essa fórmula de determinação de fA se aplica ao caso em que o polinômio mínimo de A envolve somente raízes distintas Suponha que o polinômio mínimo de A envolva raízes múltiplas Então as linhas no determi nante que correspondem às raízes múltiplas tornamse idênticas Portanto uma modificação do determinante na Equação 9104 se torna necessária Modifique a maneira da fórmula de interpolação de Sylvester dada pela Equação 9104 para o caso em que o polinômio mínimo de A envolve raízes múltiplas Para obter uma equação deter minante modificada suponha que existam três raízes iguais l1 l2 l3 no polinômio mínimo de A e outras raízes l4 l5 lm que sejam distintas Solução Uma vez que o polinômio mínimo de A envolve três raízes iguais o polinômio mínimo zl pode ser escrito como zλ λm a1λm 1 am 1λ am λ λ13λ λ4λ λ5 λ λ m Uma função arbitrária fA de uma matriz A n n pode ser escrita como fA gAzA αA onde o polinômio mínimo zA é de grau m e aA é um polinômio em A de grau m 1 ou menor Consequentemente temos fλ gλzλ αλ onde al é um polinômio em l de grau m 1 ou menor que pode então ser escrito como αλ α0 α1λ α2λ2 αm 1λm 1 9105 647 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados No presente caso temos f λ gλzλ αλ gλλ λ13λ λ4 λ λm αλ 9106 Substituindo l1 l4 lm por l na Equação 9106 obtemos as seguintes equações m 2 fλ1 αλ1 fλ4 αλ4 h 9107 f λm αλm Diferenciando a Equação 9106 em relação a l obtemos d d f h d d 1 2 m m m m m m a m h h h h 9108 onde h d d g m 1 2 1 3 4 g m m m m m m m m m m m h h h h h h 6 A substituição de l1 por l na Equação 9108 fornece d d f f d d 1 1 1 m m m m a m m m m m l h h h Com relação à Equação 9105 essa última equação resulta em fλ1 α1 2α2λ1 m 1αm 1λ1 m 2 9109 Da mesma maneira diferenciando a Equação 9106 duas vezes em relação a l e substituindo l1 por l obtemos d d f f d d 2 2 1 2 2 1 1 m m m m a m m m m m h h h Essa última equação pode ser escrita como f λ1 2α2 6α3λ1 m 1m 2αm 1λ1 m 3 9110 Reescrevendo as equações 9110 9109 e 9107 obtemos m m f m f f f f 3 2 1 2 2 2 1 m m m m m m m m m m m m m m 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 0 1 4 2 4 2 1 4 1 4 0 1 2 2 1 1 g g g g h g a a m a m m a a m a m m a a m a m a m m a a m a m a m m a a m a m a m m l h h h h h h h h 9111 Essas m equações simultâneas determinam os valores de ak onde k 0 1 2 p m 1 Sabendo que zA 0 por ser um polinômio mínimo chegamos a uma fA como segue f A gAzA αA αA Consequentemente com relação à Equação 9105 temos fA αA α0I α1A α2A2 αm 1Am 1 9112 648 Engenharia de controle moderno onde os valores de ak são dados em termos de fl1 f l1 f l1 fl4 fl5 flm Em termos da equação determinante fA pode ser obtida resolvendose a seguinte equação m m m f f f f f f 0 0 1 1 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1 2 I A A A A A 0 m m m m m m m m m m m 1 4 1 1 2 4 2 2 2 1 1 2 1 3 4 3 3 3 1 3 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 4 h h h h g g g g g g h h m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m l h h h h h h h h h 9113 A Equação 9113 mostra as modificações desejadas na forma do determinante Essa equação forne ce a forma da fórmula de interpolação de Sylvester quando o polinômio mínimo de A envolve três raízes iguais A modificação necessária na forma do determinante para outros casos é imediata A914 Usando a fórmula de interpolação de Sylvester determine eAt onde A 2 0 0 1 2 3 4 0 1 H Solução Com relação ao Problema A99 o polinômio característico e o polinômio mínimo são os mesmos para esta A O polinômio mínimo polinômio característico é dado por zλ λ 22λ 1 Note que l1 l2 2 e l3 1 Com relação à Equação 9112 e sabendose que fA neste problema é eAt temos eAt α0tI α1tA α2tA2 onde a0t a1t e a2t são determinados pelas equações α1t 2α2tλ1 teλ1t α0t α1tλ1 α2tλ2 1 eλ1t α0t α1tλ3 α2tλ2 3 eλ3t Substituindo l1 2 e l3 1 nessas três equações temos α1t 4α2t te2t α0t 2α1t 4α2t e2t α0t α1t α2t et Resolvendo para a0t a1t e a2t obtemos α0t 4et 3e2t 2te2t α1t 4et 4e2t 3te2t α2t et e2t te2t 649 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Portanto e e e te e e te e e te e e e te e e e e e e 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 4 3 2 0 0 1 2 3 4 0 1 4 0 0 16 4 9 12 0 1 0 0 12 12 13 3 3 4 4 0 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A h h h H H H H A915 Mostre que o sistema descrito por ẋ Ax Bu 9114 y Cx 9115 onde x vetor de estado vetor n u vetor de controle vetor r y vetor de saída vetor m m n A matriz n n B matriz n r C matriz m n é de saída completamente controlável se e somente se a matriz composta P m nr onde P CBCABCA2BCAn 1B tiver posto m Observe que a controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para a controlabilidade completa de saída Solução Suponha que o sistema seja de saída controlável e a saída yt partindo de qualquer saída inicial y0 possa ser transferida para a origem do espaço de saída em um intervalo de tempo finito 0 t T Ou seja yT CxT 0 9116 Como a solução da Equação 9114 é t e e d 0 x x Bu t t 0 A A x x x h h h E em t T temos T e e d 0 x x Bu T T 0 A A x x x h h h E 9117 Substituindo a Equação 9117 na Equação 9118 obtemos T T e e d 0 y Cx C x Bu 0 T T 0 A A x x x h h h h E 9118 Por outro lado y0 Cx0 Veja que a controlabilidade completa de saída significa que o vetor Cx0 gera o espaço de saída de dimensão m Como eAT é não singular se Cx0 gera o espaço de saída de dimensão m então CeATx0 também o fará e viceversa A partir da Equação 9120 obtemos e e e d e T d 0 C x C Bu C Bu T T T T 0 0 A A A A x x x x x x h h h 650 Engenharia de controle moderno Note que 0 T eAτBu T τ dτ pode ser expressa como a soma de AiBj ou seja e T d Bu A B T i j i j j r i p 0 1 0 1 A x x c x h onde u T d escalar i j i j T 0 c a x x x h h e ait satisfaz A eA i i p i 0 1 a x x h p grau do polinômio mínimo de A e Bj é jésima coluna de B Portanto podemos escrever CeATx0 como e 0 C x CA B T i j j r i p i j 1 0 1 A c h A partir dessa última equação vemos que CeATx0 é uma combinação linear de CAiBj i 0 1 2 p 1 j 1 2 r Note que se o posto de Q onde Q CBCABCA2BCAp 1B p n for m então o posto de P também será m e viceversa Isso é óbvio se p n Se p n então CAhBj onde p h n 1 são linearmente dependentes de CBj CABj CAp 1Bj Consequentemente o posto de P é igual ao posto de Q Se o posto de P for m então CeATx0 gera o espaço de saída de dimensão m Isso significa que o posto de P é m então Cx0 também gera o espaço de saída de dimensão m e o sistema é de saída completamente controlável Reciprocamente suponha que o sistema seja de saída completamente controlável mas que o posto de P seja k onde k m Então o conjunto de todas as saídas iniciais que podem ser trans feridas para a origem é do espaço de dimensão k Consequentemente a dimensão desse conjunto é menor que m Isso contradiz a hipótese de que o sistema é de saída completamente controlável Isso completa a prova Note que se pode provar imediatamente que no sistema das equações 9114 e 9115 a contro labilidade completa de estado para 0 t T implica a controlabilidade completa de saída para 0 t T se e somente se m linhas de C forem linearmente independentes A916 Discuta a controlabilidade de estado do seguinte sistema x x x x u 3 2 1 1 5 1 4 1 2 1 2 o o G G G G 9119 Solução Para esse sistema 3 2 1 1 5 1 4 A B G G Como 3 2 1 1 5 1 4 1 4 AB G G G vemos que os vetores B e AB não são linearmente independentes e o posto da matriz BAB é 1 Portanto o sistema não é de estado completamente controlável De fato a eliminação de x2 da Equação 9119 ou as seguintes equações simultâneas ẋ1 3x1 x2 u ẋ2 2x1 15x2 4u levam a 651 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados ẍ1 15ẋ1 25x1 u 25u ou na forma de uma função de transferência U s X s s s s 2 5 1 2 5 1 h h h h Note que o cancelamento do fator s 25 ocorre no numerador e no denominador da função de transferência Por causa desse cancelamento esse sistema não é de estado completamente controlável Este é um sistema instável Lembrese de que estabilidade e controlabilidade são coisas bem diferentes Existem muitos sistemas que são instáveis mas que são de estado com pletamente controlável A917 Uma representação no espaço de estados de um sistema na forma canônica controlável é dada por x x x x u 0 0 4 1 1 3 0 1 1 2 1 2 o o G G G G 9120 y x x 0 8 1 1 2 6 G 9121 O mesmo sistema pode ser representado pela seguinte equação no espaço de estados que está na forma canônica observável x x x x u 0 1 0 4 1 3 0 8 1 1 2 1 2 o o G G G G 9122 y x x 0 1 1 2 6 G 9123 Mostre que a representação no espaço de estados dada pelas equações 9120 e 9121 fornece um sistema que é de estado controlável porém não é observável Mostre por outro lado que a representação no espaço de estados definida pelas equações 9122 e 9123 fornece um sistema que não é de estado completamente controlável porém é observável Explique o que causa a aparente diferença na controlabilidade e observabilidade do mesmo sistema Solução Considere o sistema definido pelas equações 9120 e 9121 O posto da matriz de controlabilidade 0 1 1 1 3 B AB 6 G é 2 Portanto o sistema é de estado completamente controlável O posto da matriz de observa bilidade 0 8 1 0 4 0 5 C A C 6 G é 1 Portanto o sistema não é observável Em seguida considere o sistema definido pelas equações 9122 e 9123 O posto da matriz de controlabilidade 0 8 1 0 4 0 5 B AB 6 G é 1 Portanto o sistema não é de estado completamente controlável O posto da matriz de obser vabilidade 0 1 1 1 3 C A C 6 G é 2 Portanto o sistema é observável 652 Engenharia de controle moderno A aparente diferença na controlabilidade e observabilidade do mesmo sistema é causada pelo fato de que o sistema original apresenta cancelamentos de polos e zeros na função de transferência Com relação à Equação 229 para D 0 temos Gs CsI A 1B Se utilizarmos as equações 9120 e 9121 então G s s s s s s s s s s 0 8 1 0 4 1 1 3 0 1 1 3 0 4 1 0 8 1 1 3 0 4 1 0 1 0 8 0 5 0 8 1 2 h h h 6 6 G G G G Note que a mesma função de transferência pode ser obtida por meio das equações 9122 e 9123 Claramente ocorre um cancelamento nessa função de transferência Se um cancelamento de polos e zeros ocorre na função de transferência então a controlabilidade e observabilidade variam dependendo de como as variáveis de estado são escolhidas Lembrese de que para ser de estado completamente controlável e observável a função de transferência não pode ter qualquer cancelamento de polos e zeros A918 Prove que o sistema definido por ẋ Ax y Cx onde x vetor de estado vetor n y vetor de saída vetor m m n A matriz n n C matriz m n é completamente observável se e somente se a matriz composta P mn n onde P C CA CAn 1 h R T S S S SS V X W W W WW tiver posto n Solução Obteremos primeiro a condição necessária Suponha que posto P n Então existe x0 de modo que Px0 0 ou 0 0 0 0 0 Px C CA CA x Cx CAx CA x 0 n n 1 1 h h h h h h h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW Consequentemente obtemos para certo x0 CAix0 0 para i 0 1 2 n 1 Note que a partir da Equação 948 ou 950 temos eAt α0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1 653 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados onde mm n é o grau do polinômio mínimo de A Portanto para certo x0 temos CeAtx0 Cα0tI α1tA α2tA2 αm 1tAm 1x0 0 Consequentemente para certo x0 yt Cxt CeAt x0 0 implicando que para certo x0 x0 não pode ser determinado a partir de yt Consequentemente o posto da matriz P precisa ser igual a n Em seguida obteremos a condição suficiente Suponha que o posto de P n Como yt CeAt x0 prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por eAt C obtemos eAt Cyt eAt CCeAt x0 Se integrarmos essa última equação de 0 a t obtemos e t dt e e 0 dt C y C C x t t t t t 0 0 A A A h h 9124 Note que o lado esquerdo dessa equação é uma quantidade conhecida Defina t e t dt quantidade conhecida Q C y t t 0 A h h 9125 Então a partir das equações 9124 e 9125 temos Qt Wt xt 9126 onde t e e d W C C t 0 A A x x x h Podese mostrar como segue que Wt é uma matriz não singular se Wt fosse igual a 0 então 0 t e dt x W x C t x t 1 2 0 A 1 h significando que CeAt x 0 para 0 t t1 o que implica que o posto P n Consequentemente Wt 0 ou Wt é não singular Então a partir da Equação 9126 obtemos x0 Wt 1 Qt 9127 e x0 pode ser determinado a partir da Equação 9127 Portanto provamos que x0 pode ser determinado a partir de yt se e somente se o posto de P n Note que x0 e yt são relacionados por yt CeAt x0 α0tCx 0 α1tCAx0 αn 1tCAn 1x0 Problemas B91 Considere a seguinte função de transferência U s Y s s s s 5 6 6 2 h h Obtenha a representação no espaço de estados desse sistema na a forma canônica controlável e b forma canônica observável 654 Engenharia de controle moderno B92 Considere o seguinte sistema yq 6ӱ 11ẏ 6y 6u Obtenha a representação no espaço de estados do sistema na forma canônica diagonal B93 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 1 4 2 3 1 2 1 1 6 G G Transforme o sistema de equações para a forma canônica controlável B94 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 1 0 A B C 6 H H Obtenha a função de transferência YsUs B95 Considere a seguinte matriz A 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A R T S S S SS V X W W W WW Obtenha os autovalores l1 l2 l3 e l4 da matriz A Em seguida obtenha a matriz de transforma ção P de modo que P 1AP diagonalλ1 λ2 λ3 λ4 B96 Considere a seguinte matriz A 0 2 1 3 A G Determine eAt por três métodos B97 Dado o sistema de equações x x x x x x 2 0 0 1 2 0 0 1 2 1 2 3 1 2 3 o o o H H H determine a solução em termos das condições iniciais x10 x20 e x30 B98 Determine x1t e x2t do sistema descrito por x x x x 0 3 1 2 1 2 1 2 o o G G G 655 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados onde as condições iniciais são x x 0 0 1 1 1 2 h h G G B99 Considere a seguinte equação de estado e de saída x x x x x x u y x x x 6 11 6 1 0 0 0 1 0 2 6 2 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Mostre que a equação de estado pode ser transformada na seguinte forma pelo uso de uma matriz de transformação apropriada z z z z z z u 0 1 0 0 0 1 6 11 6 1 0 0 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H Então obtenha a saída y em termos de z1 z2 e z3 B910 Obtenha a representação no espaço de estados com o MATLAB do seguinte sistema U s Y s s s s s s 14 56 160 10 4 47 160 3 2 2 h h B911 Obtenha com o MATLAB uma representação por função de transferência do seguinte sistema x x x x x x u y x x x 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H B912 Obtenha com o MATLAB uma representação por função de transferência do seguinte sistema x x x x x x u u y x x x 2 0 0 1 2 1 0 0 3 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 o o o 6 H H H H G H B913 Considere o sistema definido por x x x x x x u y x x x 1 0 1 2 1 0 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H O sistema é de estado completamente controlável e completamente observável 656 Engenharia de controle moderno B914 Considere o sistema dado por x x x x x x u u y y x x x 2 0 0 0 2 3 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 o o o H H H H G G G H O sistema é de estado completamente controlável e completamente observável O sistema é de saída completamente controlável B915 O seguinte sistema é de estado completamente controlável e completamente observável x x x x x x u y x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 20 9 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H B916 Considere o sistema definido por x x x x x x u y c c c x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Exceto por uma escolha óbvia de c1 c2 c3 0 determine um exemplo de um conjunto de c1 c2 c3 que tornará o sistema não observável B917 Considere o sistema x x x x x x 2 0 0 0 2 3 0 0 1 1 2 3 1 2 3 o o o H H H A saída é dada por y x x x 1 1 1 1 2 3 6 H a Mostre que o sistema não é completamente observável b Mostre que o sistema será completamente observável se a saída for dada por y y x x x 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 3 G G H 657 Capítulo 9 Análise de sistemas de controle no espaço de estados Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 10 C A P Í T U L O 101 Introdução Este capítulo discute métodos de projeto no espaço de estados baseados nos métodos da alocação de polos observadores o regulador quadrático ótimo e os aspectos introdutórios dos sistemas de controle robusto O método da alocação de polos é de certa maneira similar ao método do lugar das raízes no qual alocamos os polos de malha fechada nas posições desejadas A diferença básica é que no projeto pelo lugar das raízes alocamos somente os polos dominantes de malha fechada nas posições desejadas enquanto no projeto por alocação de polos alocamos todos os polos de malha fechada nas posições desejadas Começamos apresentando os materiais básicos sobre a alocação de polos em sistemas regu ladores Discutimos então o projeto de observadores de estado seguido pelo projeto de sistemas reguladores e sistemas de controle utilizando a abordagem da alocação de polos com observadores de estado Em seguida apresentamos os sistemas reguladores quadráticos ótimos e por fim uma introdução aos sistemas de controle robusto Visão geral do capítulo A Seção 101 apresenta material introdutório e a Seção 102 dis cute a abordagem da alocação de polos no projeto de sistemas de controle Começamos com a obtenção das condições necessárias e suficientes para uma alocação arbitrária de polos Então calculamos equações da matriz de ganho K de realimentação de estado da alocação de polos A Seção 103 traz a solução do problema de alocação de polos com o MATLAB A Seção 104 discute o projeto de servossistemas usando a abordagem por alocação de polos A Seção 105 mostra os observadores de estado e discute os observadores de ordem plena e os de ordem mínima Obtêmse também as funções de transferência dos controladores por meio de observadores A Seção 106 apresenta o projeto de sistemas reguladores com observadores A Seção 107 trata do projeto de sistemas de controle com observadores A Seção 108 discute os sistemas reguladores quadráticos ótimos Note que a matriz de ganho K de realimentação de estado pode ser obtida tanto pelo método da alocação de polos como pelo método do controle quadrático ótimo Por fim a Seção 109 exibe os sistemas de controle robusto As discussões limitamse apenas a questões introdutórias 102 Alocação de polos Nesta seção apresentaremos um método de projeto comumente denominado alocação de polos ou designação de polos Admitimos que todas as variáveis de estado sejam mensuráveis e que estejam disponíveis para realimentação Será mostrado que se o sistema considerado for de estado completamente controlável então os polos de malha fechada do sistema poderão ser alocados em qualquer posição desejada por meio de uma realimentação de estado empregando uma matriz de ganho apropriada Essa técnica de projeto iniciase com a determinação dos polos de malha fechada desejados com base nas especificações da resposta temporal eou da resposta em frequência como velocidade coe ficiente de amortecimento ou banda passante bem como das especificações de regime permanente Vamos supor que os polos desejados de malha fechada devam estar em s m1 s m2 s mn Escolhendo uma matriz de ganho apropriada de realimentação de estado é possível forçar o sistema a ter polos de malha fechada nas posições desejadas desde que o sistema original seja de estado completamente controlável Neste capítulo limitamos nossa discussão aos sistemas de uma entrada e uma saída Ou seja vamos supor que o sinal de controle ut e o sinal de saída yt sejam escalares No desenvolvimento desta seção vamos supor que o sinal de referência rt seja nulo Na Seção 107 discutiremos o caso em que o sinal de referência rt é não nulo A seguir provaremos que há uma condição necessária e suficiente para que os polos de malha fechada possam ser alocados em posições arbitrárias no plano s o estado do sistema precisa ser completamente controlável Então discutiremos métodos para a determinação da matriz de ganho de realimentação de estado requerida Note que quando o sinal de controle é uma quantidade vetorial os aspectos matemáticos do esquema de alocação de polos se tornam complicados Não discutiremos esse caso neste livro Quando o sinal de controle é uma quantidade vetorial a matriz de ganho de realimentação de estado não é única É possível escolher livremente mais de n parâmetros ou seja além de podermos alocar corretamente n polos de malha fechada temos a liberdade de satisfazer alguns requisitos extras se existirem do sistema de malha fechada Projeto por alocação de polos Na abordagem convencional para projetar o sistema de uma entrada e uma saída projetamos um controlador compensador tal que os polos dominantes de malha fechada tenham um coeficiente de amortecimento z desejado e uma frequência natural não amortecida n Nessa abordagem a ordem do sistema pode ser aumentada em 1 ou 2 a menos que ocorram cancelamentos de polos e zeros Note que nessa abordagem admitimos que os efeitos na resposta dos polos não dominantes de malha fechada sejam desprezíveis Em vez de especificar somente os polos dominantes de malha fechada abordagem pelo projeto convencional a presente abordagem especifica todos os polos de malha fechada Contudo existe um custo associado à alocação de todos os polos de malha fechada porque essa alocação requer que todas as variáveis de estado possam ser medidas com sucesso ou então requer a inclusão de um observador de estado no sistema Também existe uma condição com relação ao sistema para que os polos de malha fechada sejam arbitrariamente alocados em posições escolhidas O requisito é que o sistema seja de estado completamente controlável Provaremos esse fato nesta seção Considere o sistema de controle ẋ Ax Bu 101 y Cx Du onde x vetor de estado vetor n y sinal de saída escalar u sinal de controle escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 659 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados C matriz constante 1 n D constante escalar Escolheremos o sinal de controle como u Kx 102 Isso significa que o sinal de controle u é determinado por um estado instantâneo Esse esquema é denominado realimentação de estado A matriz K 1 n é denominada matriz de ganho de realimentação de estado Vamos supor que todas as variáveis de estado estejam disponíveis para rea limentação Na análise seguinte vamos supor que u seja não limitado Um diagrama de blocos desse sistema é mostrado na Figura 101 Esse sistema de malha fechada não possui entradas Seu objetivo é manter a saída nula Por causa dos distúrbios que podem estar presentes a saída vai se desviar de zero A saída não nula vai retornar para o valor nulo correspondente à entrada de referência nula por causa do esquema de realimentação de estado do sistema Esse sistema em que a entrada de referência é sempre nula é denominado sistema regulador Note que se a referência de entrada do sistema for sempre uma constante não nula o sistema também será denominado sistema regulador A substituição da Equação 102 na Equação 101 resulta em ẋt A BKxt A solução dessa equação é dada por xt eA BKtx0 103 onde x0 é o estado inicial causado pelos distúrbios externos A estabilidade e a característica da resposta temporal são determinadas pelos autovalores da matriz A BK Se a matriz K for esco lhida corretamente a matriz A BK poderá ser assintoticamente estável e para todo x0 0 será possível fazer xt tender a 0 à medida que t tender a infinito Os autovalores da matriz A BK são denominados polos reguladores Se eles forem posicionados no lado esquerdo do plano s então xt tenderá a 0 à medida que t tender a infinito O problema de alocar polos reguladores polos de malha fechada nas posições desejadas é denominado problema de alocação de polos A seguir provaremos que a alocação arbitrária de polos para dado sistema é possível se e somente se o sistema for de estado completamente controlável Condição necessária e suficiente para alocação arbitrária de polos Provaremos que há uma condição necessária e suficiente para uma alocação arbitrária de polos o estado do sistema precisa ser completamente controlável Obteremos primeiro a condição necessária Começamos provando que se o sistema não for de estado completamente controlável então existem autova lores da matriz A BK que não podem ser controlados por realimentação de estado Suponha que o sistema dado pela Equação 101 não seja de estado completamente controlável Então o posto da matriz de controlabilidade será menor que n ou posto BABAn 1B q n FIGURA 101 u A B C K D x x Sistema de controle de malha fechada com u Kx 660 Engenharia de controle moderno Isso significa que existem q vetorescoluna linearmente independentes na matriz de controlabili dade Vamos definir esses vetorescoluna linearmente independentes como f1 f2 fq e escolher também n q vetores adicionais vq 1 vq 2 vn de dimensão n de modo que P f1f2fqvq 1vq 2vn tenha posto n Então podese mostrar que A P AP A 0 A A B P B B 0 1 11 12 22 1 11 t t G G Veja o Problema A101 para a obtenção dessas equações Agora defina K KP k1k2 Então temos B k s s s s s s s s s 0 0 0 I A BK P I A BK P I P AP P BKP I A BK I A 0 A A k k I A B k A B I A I A B k I A q q n q q n q 1 1 1 11 12 22 11 1 2 11 11 1 12 11 2 22 11 11 1 22 t t t h 6 G G onde Iq é uma matrizidentidade de dimensão q e In q é uma matrizidentidade de dimensão n q Note que os autovalores de A22 não dependem de K Assim se o sistema não for de estado completamente controlável então existem autovalores da matriz A que não poderão ser arbitra riamente alocados Por consequência para alocar os autovalores da matriz A BK de maneira aleatória o sistema deve ser de estado completamente controlável condição necessária Em seguida provaremos a condição suficiente ou seja se o sistema for de estado completa mente controlável então todos os autovalores da matriz A poderão ser arbitrariamente alocados Para provar a condição suficiente é conveniente transformar a equação de estado dada pela Equação 101 na forma canônica controlável Defina uma matriz de transformação T por T MW 104 onde M é a matriz de controlabilidade M BABAn 1B 105 e W a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n n n 1 2 1 2 3 1 h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 106 onde os ai são coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Defina um novo vetor de estado x por x Tx Se o posto da matriz M de controlabilidade for n significando que o sistema é de estado completa mente controlável então a inversa da matriz T existe e a Equação 101 poderá ser modificada para 661 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados xto T 1ATx T 1Bu 107 onde a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T AT n n n 1 1 2 1 h h h g g g g h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 108 0 0 0 1 T 1 B h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 109 Veja os problemas A102 e A103 para obter as equações 108 e 109 A Equação 107 está na forma canônica controlável Assim dada uma equação de estado a Equação 101 ela pode ser transformada para a forma canônica controlável se o sistema for de estado completamente con trolável e se transformarmos o vetor de estado x no vetor de estado x com a utilização da matriz de transformação T dada pela Equação 104 Vamos escolher um conjunto de autovalores desejados como m1 m2 mn Então a equação característica desejada resulta em s μ1s μ2 s μn sn α1sn 1 αn 1s αn 0 1010 Vamos escrever KT δn δn 1 δ1 1011 Quando u KTx for utilizada para controlar o sistema dado pela Equação 107 a equação do sistema resultará em xto T 1ATx T 1BKTx A equação característica é sI T 1AT T 1BKT 0 Essa equação característica é igual à equação característica do sistema definido pela Equação 101 quando u Kx for utilizada como sinal de controle Isso pode ser observado como a seguir Como ẋ Ax Bu A BKx a equação característica desse sistema é sI A BK T 1sI A BKT sI T 1AT T 1BKT 0 Vamos agora simplificar a equação característica do sistema na forma canônica controlável Com relação às equações 108 109 e 1011 temos s s a a a s a s a s a s a s a s a 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 I T AT T BKT I n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h h g g g h h g h h g g g h g d d d d d d d d d h h h R T S S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W W WW V X W W W WW 1012 662 Engenharia de controle moderno Esta é a equação característica do sistema com realimentação de estado Consequentemente ela deve ser igual à Equação 1010 a equação característica desejada Igualando os coeficientes de mesma potência em s temos a1 δ1 α1 a2 δ2 α2 an δn αn Resolvendo as equações precedentes para os d e substituindoas na Equação 1011 obtemos K δn δn 1 δ1T 1 αn anαn 1 an 1α2 a2α1 a1T 1 1013 Assim se o sistema for de estado completamente controlável todos os autovalores poderão ser arbitrariamente alocados escolhendose a matriz K de acordo com a Equação 1013 condição suficiente Provamos então a condição necessária e suficiente para uma alocação arbitrária de polos o estado do sistema é completamente controlável Note que se o sistema não for de estado completamente controlável mas for estabilizável então será possível tornar todo o sistema estável alocando os polos de malha fechada nas posições desejadas para os q modos controláveis Os n q modos não controláveis remanescentes são estáveis Logo o sistema completo pode ser feito estável Determinação da matriz K com a utilização da matriz de transformação T Suponha que o sistema seja definido por ẋ Ax Bu e que o sinal de controle seja dado por u Kx A matriz de ganho K de realimentação que força os autovalores de A BK a serem m1 m2 mn valores desejados pode ser determinada pelas seguintes etapas se mi for um autovalor complexo então seu conjugado também precisará ser um autovalor de A BK Etapa 1 verifique a condição de controlabilidade do sistema Se o sistema for de estado com pletamente controlável então utilize os passos seguintes Etapa 2 a partir da equação característica da matriz A ou seja sI A sn a1sn 1 an 1s an determine os valores de a1 a2 an Etapa 3 determine a matriz de transformação T que transforma a equação de estado do sistema na forma canônica controlável Se a equação do sistema dado já estiver na forma canônica con trolável então T I Não é necessário escrever a equação de estado na forma canônica controlável Tudo o que precisamos aqui é encontrar a matriz T A matriz de transformação T é dada pela Equação 104 ou T MW onde M é dada pela Equação 105 e W é dada pela Equação 106 Etapa 4 utilizando os autovalores desejados polos desejados de malha fechada escreva o polinômio característico desejado s μ1s μ2 s μn sn α1sn 1 αn 1s αn e determine os valores de a1 a2 an 663 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Etapa 5 a matriz de ganho K de realimentação de estado requerida pode ser determinada pela Equação 1013 reescrita desta maneira K αn anαn 1 an 1α2 a2α1 a1T 1 Determinação da matriz K com a utilização do método de substituição direta Se o sistema for de ordem baixa n 3 a substituição direta da matriz K no polinômio característico desejado poderá ser mais simples Por exemplo se n 3 então escreva a matriz de ganho K de realimentação de estado como K k1 k2 k3 Substitua essa matriz K no polinômio característico desejado sI A BK e igual a s m1 s m2 s m3 ou sI A BK s μ1s μ2s μ3 Como ambos os lados da equação característica são polinômios em s igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados é possível determinar os valores de k1 k2 e k3 Essa abordagem é conveniente se n 2 ou 3 Para n 4 5 6 essa abordagem pode se tornar muito tediosa Note que se o sistema não for de estado completamente controlável a matriz K não poderá ser determinada não existe solução Determinação da matriz K com a utilização da fórmula de Ackermann Existe uma fórmula bem conhecida denominada fórmula de Ackermann para a determinação da matriz de ganho K de realimentação de estado Apresentaremos esta fórmula a seguir Considere o sistema ẋ Ax Bu onde utilizamos o controle por realimentação de estado u Kx Vamos supor que o sistema seja de estado completamente controlável Vamos supor também que os polos desejados de malha fechada estejam em s m1 s m2 s mn O uso do controle por realimentação de estado u Kx modifica a equação do sistema para ẋ A BKx 1014 Vamos definir à A BK A equação característica desejada é sI A BK sI à s μ1s μ2 s μn sn α1sn 1 αn 1s αn 0 Como o teorema de CayleyHamilton estabelece que à satisfaz sua própria equação caracterís tica temos zà Ãn α1Ãn 1 αn 1à αnI 0 1015 Utilizaremos a Equação 1015 na obtenção da fórmula de Ackermann Para simplificar o pro cedimento consideramos o caso em que n 3 O procedimento pode ser facilmente estendido para qualquer outro n positivo e inteiro Considere as seguintes identidades I I à A BK Ã2 A BK2 A2 ABK BKà Ã3 A BK3 A3 A2BK ABKà BKÃ2 664 Engenharia de controle moderno Multiplicando as equações precedentes na mesma ordem respectivamente por a3 a2 a1 e a0 onde a0 1 e somando os resultados obtemos α3I α2à α1Ã2 Ã3 α3I α2A BK α1A2 ABK BKà A3 A2BK ABKà BKÃ2 α3I α2A α1A2 A3 α2BK α1ABK α1BKà A2BK ABKà BKÃ2 1016 Com relação à Equação 1015 temos α3I α2à α1Ã2 Ã3 zà 0 Temos também que α3I α2A α1A2 A3 zA 0 Substituindo as últimas duas equações na Equação 1016 temos zà zA α2BK α1BKà BKÃ2 α1ABK ABKà A2BK Como zà 0 obtemos A B K KA KA AB K KA A BK B AB A B K KA KA K KA K 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 z a a a a a a u u u u u u h h h R T S S S SS 6 V X W W W WW 1017 Uma vez que o sistema é de estado completamente controlável a inversa da matriz de contro labilidade BABA2B existe Prémultiplicando ambos os lados da Equação 1017 pela inversa da matriz de controla bilidade obtemos B AB A B A K KA KA K KA K 2 1 2 1 2 1 z a a a u u u h 6 H Prémultiplicando ambos os lados dessa última equação por 0 0 1 obtemos 0 0 1 0 0 1 B AB A B A K KA KA K KA K K 2 1 2 1 2 1 z a a a u u u h 6 6 6 H que pode ser reescrita como 0 0 1 K B AB A B A 2 1z h 6 6 Essa última equação fornece a matriz de ganho K de realimentação de estado requerida Para um n inteiro positivo e arbitrário temos K 0 0 0 1BABAn 1B 1zA 1018 A Equação 1018 é conhecida como fórmula de Ackermann para a determinação da matriz de ganho K de realimentação de estado Sistemas reguladores e sistemas de controle Sistemas que incluem controladores podem ser divididos em duas categorias sistemas reguladores onde o sinal de referência é constante incluindo o zero e sistemas de controle onde o sinal de referência varia com o tempo A seguir consideraremos os sistemas reguladores Os sistemas de controle serão considerados na Seção 107 665 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Escolhendo a localização dos polos de malha fechada desejados O primeiro passo na abordagem de projeto por alocação de polos consiste em escolher a localização dos polos de malha fechada desejados A técnica mais frequentemente utilizada está baseada na escolha desses polos com base na experiência do projeto pelo lugar das raízes alocando um par de polos dominantes de malha fechada e escolhendo os outros polos de modo que eles fiquem bem distantes à esquerda dos polos dominantes de malha fechada Observe que se alocarmos os polos dominantes de malha fechada distantes do eixo j de modo que a resposta do sistema se torne muito rápida os sinais no sistema se tornarão muito elevados fazendo que o sistema se torne não linear o que deve ser evitado Outra opção de projeto é baseada na abordagem pelo controle quadrático ótimo Essa abor dagem determinará os polos desejados de malha fechada para que haja uma conciliação entre a resposta aceitável e o total de energia de controle requerida Veja a Seção 108 Note que requerer uma resposta de alta velocidade implica exigir grande quantidade de energia de controle Da mesma maneira em geral um aumento na velocidade de resposta requer um atuador maior e mais pesado que custará mais Exemplo 101 Considere o sistema regulador mostrado na Figura 102 A planta é dada por ẋ Ax Bu onde A B 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 0 1 H H O sistema utiliza o controle por realimentação de estado u Kx Vamos escolher os polos desejados de malha fechada em s 2 j4 s 2 j4 s 10 Fazemos essa escolha porque sabemos por experiência que esse conjunto de polos de malha fechada resultará em uma resposta temporal razoável ou ao menos aceitável Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado Primeiro precisamos verificar a matriz de controlabilidade do sistema Como a matriz de controlabilidade M é dada por 0 0 1 0 1 6 1 6 31 M B AB A B 2 R T S S SS 6 V X W W WW encontramos M 1 e portanto o posto de M 3 Assim o sistema é de estado completamente controlável e a alocação arbitrária de polos é possível FIGURA 102 x u A B K Sistema regulador 666 Engenharia de controle moderno A seguir resolveremos esse problema Demonstraremos cada um dos três métodos apresen tados neste capítulo Método 1 o primeiro método faz uso da Equação 1013 A equação característica do sistema é s s s s s s s s a s a s a 0 1 1 5 0 1 6 6 5 1 0 I A 3 2 3 1 2 2 3 Portanto a1 6 a2 5 a3 1 A equação característica desejada é s 2 j4s 2 j4s 10 s3 14s2 60s 200 s3 α1s2 α 2s α3 0 Portanto α1 14 α2 60 α3 200 Com relação à Equação 1013 temos K α3 a3α2 a2α1 a1T 1 onde para esse problema T I uma vez que a equação de estado é fornecida na forma canônica controlável Então temos K 200 160 514 6 199 55 8 Método 2 definindo a matriz desejada de ganho K de realimentação de estado como K k1 k2 k3 e igualando sI A BK com a equação característica desejada obtemos s s s s k k k s k s k s k s k s k s k s s s 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 0 1 0 1 1 5 0 1 6 6 5 1 14 60 200 I A BK 1 2 3 1 2 3 3 3 2 2 1 3 2 h h 6 H H H Logo 6 k3 14 5 k2 60 1 k1 200 a partir da qual obtemos k1 199 k2 55 k3 8 ou K 199 55 8 Método 3 o terceiro método faz uso da fórmula de Ackermann Com relação à Equação 1018 temos K 0 0 1BABA2B 1zA 667 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Como 14 60 200 0 0 1 1 0 5 0 1 6 14 0 0 1 1 0 5 0 1 6 60 0 0 1 1 0 5 0 1 6 200 1 0 0 1 1 0 0 0 1 199 8 7 55 159 43 8 7 117 A A A A I 3 2 3 2 z h H H H H H e 0 0 1 0 1 6 1 6 31 B AB A B 2 6 H obtemos 0 0 1 0 0 1 0 1 6 1 6 31 199 8 7 55 159 43 8 7 117 0 0 1 5 6 1 6 1 0 1 0 0 199 8 7 55 159 43 8 7 117 199 55 8 K 1 6 6 6 H H H H Como era de esperar as matrizes de ganho K obtidas pelos três métodos são as mesmas Com essa realimentação de estado os polos de malha fechada ficam alocados em s 2 j4 e s 10 como especificado Note que se a ordem n do sistema for 4 ou maior os métodos 1 e 3 serão recomendados uma vez que todas as manipulações matriciais podem ser realizadas pelo computador Se o método 2 for usado os cálculos manuais se tornarão necessários pois o computador pode não ser apro priado para lidar com uma equação característica com parâmetros desconhecidos k1 k2 kn Comentários É importante notar que a matriz K não é única para um sistema dado mas depende da localização desejada dos polos de malha fechada que determinam a velocidade e o amortecimento da resposta selecionados Note que a seleção dos polos de malha fecha da desejados ou da equação característica desejada é um compromisso entre a velocidade de resposta do vetor de erro e a sensibilidade aos distúrbios e aos ruídos de medida Ou seja se aumentarmos a velocidade da resposta do erro em geral os efeitos contrários nos distúrbios e nos ruídos de medida aumentarão Se o sistema for de segunda ordem então as dinâmicas do sistema resposta característica poderão ser precisamente correlacionadas com as localizações dos polos de malha fechada e com os zeros da planta Para sistemas de ordem superior a localização dos polos de malha fechada e as dinâmicas do sistema resposta característica não são tão facilmente correlacionadas Consequentemente para a determinação da matriz de ganho K de realimentação de estado para dado sistema é desejável examinar a resposta característica por meio de simulações computacionais para várias matrizes K distintas com base em várias e distintas equações características desejadas e escolher aquela que confere o melhor desempenho global do sistema 668 Engenharia de controle moderno 103 Resolvendo problemas de alocação de polos com o MATLAB Problemas de alocação de polos podem ser facilmente resolvidos com o MATLAB o qual possui dois comandos acker e place para o cálculo da matriz de ganho K de realimenta ção O comando acker é baseado na fórmula de Ackermann Esse comando se aplica somente a sistemas de uma entrada e uma saída Os polos desejados de malha fechada podem incluir polos múltiplos situados na mesma posição Se o sistema envolver múltiplas entradas para um conjunto especificado de polos de malha fechada a matriz de ganho K de realimentação de estado não será única e teremos um grau de liberdade adicional ou graus de liberdade para escolher K Existem várias abordagens que per mitem utilizar construtivamente essa liberdade adicional na determinação de K Um uso comum é maximizar a margem de estabilidade A alocação de polos baseada nessa abordagem é denominada alocação robusta de polos O comando em MATLAB para a alocação robusta de polos é place Embora o comando place possa ser utilizado tanto para os sistemas de uma entrada como para os de múltiplas entradas ele requer que a multiplicidade dos polos desejados de malha fechada não seja superior ao posto de B Ou seja se a matriz B for uma matriz n 1 o comando place requererá que não haja polos múltiplos no conjunto de polos desejados de malha fechada Para sistemas de uma entrada os comandos acker e place produzem a mesma K Contudo para sistemas de múltiplas entradas devese utilizar o comando place em vez do comando acker Note que quando o sistema de uma entrada é pouco controlável alguns problemas compu tacionais podem ocorrer se o comando acker for utilizado Nesses casos é preferível utilizar o comando place desde que não haja polos múltiplos envolvidos no conjunto desejado dos polos de malha fechada Para utilizar os comandos acker ou place introduzimos primeiro as seguintes matrizes no programa matriz A matriz B matriz J onde a matriz J é a que consiste nos polos desejados de malha fechada de modo que J μ1 μ2 μn A partir disso introduzimos K ackerABJ ou K placeABJ Observe que o comando eig ABK pode ser utilizado para verificar que o K então obtido fornece os autovalores desejados Exemplo 102 Considere o mesmo sistema que foi considerado no Exemplo 101 A equação do sistema é ẋ Ax Bu onde A B 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 0 1 H H Utilizandose o controle por realimentação de estado u Kx desejase obter os polos de malha fechada em s mi i 1 2 3 onde μ1 2 j4 μ2 2 j4 μ3 10 Determine com o MATLAB a matriz de ganho K de realimentação de estado 669 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados O programa em MATLAB que gera a matriz K é mostrado nos programas 101 e 102 O Progra ma 101 em MATLAB utiliza o comando acker e o Programa 102 em MATLAB o comando place Programa 101 em MATLAB A 0 1 00 0 11 5 6 B 001 J 2j4 2j4 10 K ackerABJ K 199 55 8 Programa 102 em MATLAB A 0 1 00 0 11 5 6 B 001 J 2j4 2j4 10 K placeABJ place ndigits 15 K 1990000 550000 80000 Exemplo 103 Considere o mesmo sistema discutido no Exemplo 101 Desejase que esse sistema regulador tenha polos de malha fechada em s 2 j4 s 2 j4 s 10 A matriz necessária de ganho K de realimentação de estado foi obtida no Exemplo 101 como segue K 199 55 8 Utilizando o MATLAB obtemos a resposta do sistema à seguinte condição inicial x 0 1 0 0 h H Resposta à condição inicial para obter a resposta a uma dada condição inicial x0 substituímos u Kx na equação da planta para obter x A BK x x 0 1 0 0 o h h H Para exibir as curvas de resposta x1 versus t x2 versus t e x3 versus t podemos utilizar o comando initial Primeiro definimos as equações do sistema no espaço de estados como segue ẋ A BKx Iu y Ix Iu onde incluímos u um vetor de entrada de dimensão 3 Esse vetor u é considerado 0 no cálculo da resposta à condição inicial Então definimos sys ssA Bk eye3 eye3 eye3 e utilizamos o comando initial como x initialsys 100t onde t é o intervalo de tempo que desejamos utilizar como t 00014 670 Engenharia de controle moderno Então obtemos x1 x2 e x3 como segue x1 1 0 0x x2 0 1 0x x3 0 0 1x e utilizamos o comando plot Esse programa é mostrado no Programa 103 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 103 Programa 103 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 1 00 0 11 5 6 B 001 K 199 55 8 sys ssABK eye3 eye3 eye3 t 00014 x initialsys100t x1 1 0 0x x2 0 1 0x x3 0 0 1x subplot311 plottx1 grid titleResposta à condição inicial ylabelvariável de estado x1 subplot312 plottx2grid ylabelvariável de estado x2 subplot313 plottx3grid xlabelt s ylabelvariável de estado x3 FIGURA 103 Resposta à condição inicial variável de estado x1 05 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 15 2 25 3 35 4 0 05 1 variável de estado x2 3 1 2 0 1 variável de estado x3 10 0 5 5 10 t s Resposta à condição inicial 671 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 104 Projeto de servossistemas Nesta seção discutiremos a abordagem de alocação de polos para servossistemas de tipo 1 Limitaremos aqui nossos sistemas ao caso de um sinal escalar u de controle e um sinal escalar y A seguir discutiremos primeiro o problema de projetar servossistemas do tipo 1 quando a planta envolve um integrador A partir daí discutiremos o projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta não possuir integradores Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Suponha que a planta seja definida por ẋ Ax Bu 1019 y Cx 1020 onde x vetor de estado para a planta vetor n u sinal de controle escalar y sinal de saída escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 C matriz constante 1 n Como foi estabelecido anteriormente vamos supor que o sinal de controle u e de saída y sejam escalares Por meio da escolha apropriada de um conjunto de variáveis de estado é possível escolher a saída igual a uma das variáveis de estado Veja o método apresentado no Capítulo 2 para a obtenção da representação de estado de funções de transferência para os quais a saída y se torna igual a x1 A Figura 104 mostra uma configuração geral de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Vamos supor aqui que y x1 Nesta análise supomos que o sinal de refe rência r seja uma função degrau Nesse sistema utilizamos o seguinte esquema de controle por realimentação de estado u k k k x x x k r x k r 0 Kx n n 2 3 1 2 1 1 1 g h h R T S S S SS 6 V X W W W WW 1021 FIGURA 104 x Ax Bu y Cx x2 x3 xn k2 k1 k3 kn r u x y x1 Servossistema do tipo 1 quando a planta possui um integrador 672 Engenharia de controle moderno onde K k1 k2 kn Suponha que a entrada de referência função degrau seja aplicada em t 0 Então para t 0 as dinâmicas do sistema podem ser descritas pelas equações 1019 e 1021 ou ẋ Ax Bu A BKx Bk1r 1022 Projetaremos servossistemas do tipo 1 de forma que os polos de malha fechada estejam localiza dos nas posições desejadas O sistema projetado será um sistema assintoticamente estável y tenderá ao valor constante r e u tenderá a zero r é uma entrada em degrau Note que no regime permanente temos ẋ A BKx Bk1r 1023 Sabendo que rt é uma entrada em degrau temos r rt rconstante para t 0 Subtraindo a Equação 1023 da Equação 1022 obtemos ẋt ẋ A BKxt x 1024 Defina xt x et Então a Equação 1024 se torna ė A BKe 1025 A Equação 1025 descreve as dinâmicas de erro O projeto de um servossistema do tipo 1 é convertido aqui para o projeto de um sistema regulador assintoticamente estável de maneira que et tende a zero para qualquer condição inicial e0 fornecida Se o sistema definido pela Equação 1019 for de estado completamente controlável então com a especificação dos autovalores desejados m1 m2 mn da matriz A BK a matriz K poderá ser determinada pela técnica de alocação de polos apresentada na Seção 102 Os valores estacionários de xt e ut podem ser encontrados como segue no regime per manente t temos a partir da Equação 1022 ẋ 0 A BKx Bk1r Como os valores desejados dos autovalores de A BK estão todos do lado esquerdo no plano s existe a inversa da matriz A BK Consequentemente x pode ser determinada como x A BK 1Bk1r Da mesma maneira u pode ser obtida como u Kx k1r 0 Veja o Exemplo 104 para verificar essa última equação Exemplo 104 Projete um servossistema do tipo 1 para o caso em que a função de transferência da planta possui um integrador Suponha que a função de transferência da planta seja dada por U s Y s s s 1 s 2 1 h h h h Os polos desejados de malha fechada são s 2 j2 3 e s 10 Suponha que a configuração do sistema seja a mesma mostrada na Figura 104 e que a entrada de referência r seja uma função degrau Obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema projetado Defina as variáveis de estado x1 x2 e x3 como segue x1 y x2 ẋ1 x3 ẋ2 673 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Então a representação no espaço de estados do sistema resulta em ẋ Ax Bu 1026 y Cx 1027 onde A B C 0 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 6 H H Com relação à Figura 104 e sabendo que n 3 o sinal de controle u é dado por u k2 x2 k3 x3 k1 r x1 Kx k1r 1028 onde K k1 k2 k3 A matriz de ganho K de realimentação de estado pode ser obtida facilmente com o MATLAB Veja o Programa 104 em MATLAB A matriz de ganho K de realimentação de estado é portanto K 160 54 11 Resposta ao degrau unitário do sistema projetado a resposta ao degrau unitário do sistema projetado pode ser obtida como demonstrado a seguir Como 0 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 160 54 11 0 0 160 1 0 56 0 1 14 A BK 6 H H H a partir da Equação 1022 a equação de estado do sistema projetado é x x x x x x r 0 0 160 1 0 56 0 1 14 0 0 160 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H 1029 e a equação de saída é y x x x 1 0 0 1 2 3 6 H 1030 Resolvendo as equações 1029 e 1030 para yt onde r é uma função degrau unitário obtémse a curva de resposta ao degrau unitário yt versus t O Programa 105 em MATLAB fornece a curva de resposta ao degrau unitário A curva resultante de resposta ao degrau unitário é mostrada na Figura 105 Programa 104 em MATLAB A 0 1 00 0 10 2 3 B 001 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 10 K ackerABJ K 1600000 540000 110000 674 Engenharia de controle moderno Programa 105 em MATLAB Resposta ao degrau unitário Entre coma matriz de estado a matriz de controle a matriz de saída e a matriz de transição do sistema projetado AA 0 1 00 0 1160 56 14 BB 00160 CC 1 0 0 DD 0 Entre com o comando step e com o comando plot t 00015 y stepAABBCCDD1t plotty grid titleResposta ao degrau unitário xlabelt s ylabelSaída y Note que como u Kx k1r Kx k1r temos u x x x r r r 160 54 11 160 160 54 11 0 0 160 0 1 2 3 3 3 3 3 h h h h 6 6 H H No regime permanente o sinal de controle u se torna nulo FIGURA 105 Resposta ao degrau unitário Saída y 0 06 12 08 04 02 1 t s 0 35 1 05 25 5 4 45 15 2 3 Curva de resposta ao degrau unitário yt versus t para o sistema projetado no Exemplo 104 675 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta não possui integrador Se a planta não tiver integrador planta do tipo 0 o princípio básico do projeto de um servossistema do tipo 1 será inserir um integrador no ramo direto entre o comparador de erro e a planta como mostra a Figura 106 O diagrama de blocos da Figura 106 é uma forma básica do servossistema do tipo 1 onde a planta não possui integrador A partir do diagrama obtemos ẋ Ax Bu 1031 y Cx 1032 u Kx k1p 1033 p r y r Cx 1034 onde x vetor de estado da planta vetor n u sinal de controle escalar y sinal de saída escalar p saída do integrador variável de estado do sistema escalar r sinal de entrada de referência função degrau escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 C matriz constante 1 n Vamos supor que a planta dada pela Equação 1031 seja de estado completamente controlável A função de transferência da planta pode ser dada por Gps CsI A 1B Para evitar a possibilidade de o integrador inserido ser cancelado por um zero na origem da planta vamos supor que Gps não possua zeros na origem Suponha que a entrada de referência função degrau seja aplicada em t 0 Então para t 0 as dinâmicas do sistema podem ser descritas por uma equação que é a combinação das equações 1031 e 1034 t t t t u t r t 0 0 1 x A C 0 x B 0 p p o o h h h h h h G G G G G 1035 Projetaremos um sistema assintoticamente estável tal que x p e u tendam a valores constantes respectivamente Então no regime permanente obtemos y r Note que no regime permanente temos u r 0 0 1 x A C 0 x B 0 3 3 3 3 3 3 p p o o h h h h h h G G G G G 1036 FIGURA 106 y K A B kI C x r ξ ξ u Servossistema do tipo 1 676 Engenharia de controle moderno Sabendo que rt é uma entrada em degrau temos r rt r constante para t 0 Subtraindo a Equação 1036 da Equação 1035 obtemos t t t t u t u 0 0 x x A C 0 x x B 3 3 3 3 3 p p p p o o o o h h h h h h h h h h 6 G G G G 1037 Defina xt x xet pt p p et ut u uet Então a Equação 1037 pode ser escrita como t t t t u t 0 0 x A C 0 x B e e e e e p p o o h h h h h G G G G 1038 onde uet Kxet k1pet 1039 Defina um novo vetor de erro et de ordem n 1 por t t t n 1 vetor e xe e p h h h h G Então a Equação 1038 resulta em ė Âe B ue 1040 onde 0 0 A A C 0 B B t t G G e a Equação 1039 resulta em ue K e 1041 onde K KkI A equação de estado do erro pode ser obtida pela substituição da Equação 1041 na Equação 1040 ė  B K e 1042 Se os autovalores desejados da matriz  B K ou seja os polos desejados de malha fechada forem especificados por m1 m2 mn 1 então a matriz de ganho K de realimentação de estado e a constante de ganho integral kI poderão ser determinadas pela técnica de alocação de polos apresentada na Seção 102 desde que o sistema definido pela Equação 1040 seja de estado completamente controlável Note que se a matriz 0 A C B G tem posto n 1 então o sistema definido pela Equação 1040 é de estado completamente con trolável Veja o Problema A1012 Como geralmente é o caso nem todas as variáveis de estado podem ser medidas diretamente Dessa maneira precisamos utilizar um observador de estado A Figura 107 mostra um diagrama de blocos de um servossistema do tipo 1 com um observador de estado Na figura cada bloco com um símbolo de integral representa um integrador 1s Uma discussão detalhada dos obser vadores de estado é dada na Seção 105 677 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Exemplo 105 Considere o sistema de controle de um pêndulo invertido mostrado na Figura 108 Neste exem plo estamos preocupados com o movimento do pêndulo e com o movimento do carro no plano da página Desejase manter tanto quanto possível o pêndulo invertido na vertical e ainda controlar a posição do carro por exemplo movendo o carro por degraus Para controlar a posição do carro precisamos construir um servossistema do tipo 1 O sistema do pêndulo invertido montado em um carro não possui um integrador Portanto injetamos o sinal de posição y que indica a posição do carro de volta para a entrada e inserimos um integrador no ramo direto como mostra a Figura 109 Vamos supor que o ângulo θ e a velocidade angular io sejam pequenos tal que sen θ Z θ cos θ Z 1 e θio 2 Z 0 Vamos supor também que os valores numéricos de M m e l sejam dados por M 2 kg m 01 kg l 05 m Anteriormente no Exemplo 36 obtivemos as equações para o sistema de pêndulo invertido mostrado na Figura 36 que é o mesmo da Figura 108 Com relação à Figura 36 começamos com as equações de equilíbrio de força e equilíbrio de conjugado e chegamos às equações 320 FIGURA 107 y K A B kI C x r u Observador ξ ξ Servossistema do tipo 1 com observador de estado FIGURA 108 0 M P z u mg m ℓ sen θ x x ℓ cos θ ℓ θ Sistema de controle do pêndulo invertido 678 Engenharia de controle moderno e 321 para a modelagem do sistema de pêndulo invertido Com relação às equações 320 e 321 as equações do sistema de controle do pêndulo invertido mostrado na Figura 108 são Mlip M mgθ u 1043 Mẍ u mgθ 1044 Quando os valores numéricos dados são substituídos as equações 1043 e 1044 resultam em ip 20601θ u 1045 ẍ 05u 04905θ 1046 Vamos definir as variáveis de estado x1 x2 x3 e x4 por x1 θ x2 io x3 x x4 ẋ Então com relação às equações 1045 e 1046 e à Figura 109 considerandose a posição do carro x como a saída do sistema obtemos as equações como segue ẋ Ax Bu 1047 y Cx 1048 u Kx kI p 1049 p r y r Cx 1050 onde A B C 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 R T S S S S SS R T S S S S SS 6 V X W W W W WW V X W W W W WW Para o servossistema do tipo 1 temos que a equação de estado do erro é dada pela Equação 1040 ė Âe B ue 1051 FIGURA 109 x Ax Bu y Cx k1 kI k2 k3 k4 r u x y ξ ξ Sistema de controle do pêndulo invertido Servossistema do tipo 1 quando a planta não possui integrador 679 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados onde A A C B B 0 0 20 601 0 0 4905 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 0 0 t t R T S S S S S SS R T S S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W W WW G G e o sinal de controle é dado pela Equação 1041 ue K e onde K KkI k1 k2 k3 k4 kI Para obter uma velocidade e um amortecimento razoáveis na resposta do sistema projetado por exemplo o tempo de acomodação aproximadamente entre 4 5 s e o máximo sobressinal entre 15 16 na resposta ao degrau do carro vamos escolher os polos desejados de malha fechada em s mi i 1 2 3 4 5 onde μ1 1 j 3 μ2 1 j 3 μ3 5 μ4 5 μ5 5 Determinaremos a matriz de ganho de realimentação de estado necessária com o uso do MATLAB Antes de irmos adiante precisamos examinar o posto da matriz P onde 0 P A C B G A matriz P é dada por 0 0 20 601 0 0 4905 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 P A C B R T S S S S SS V X W W W W WW G 1052 O posto dessa matriz vale 5 Por consequência o sistema definido pela Equação 1051 é de estado completamente controlável e uma alocação arbitrária de polos é portanto possível O Programa 106 em MATLAB produz a matriz K de ganho de realimentação de estado Logo obtemos K k1 k2 k3 k4 1576336 353733 560652 367466 e kI 509684 Programa 106 em MATLAB A 0 1 0 0 20601 0 0 0 0 0 0 1 04905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 Ahat A zeros41 C 0 Bhat B0 J 1jsqrt3 1jsqrt3 5 5 5 Khat ackerAhatBhatJ Khat 1576336 353733 560652 367466 509684 Características da resposta ao degrau unitário do sistema projetado Uma vez determinada a matriz de ganho K de realimentação e a constante kl de ganho da integral podese obter a resposta 680 Engenharia de controle moderno ao degrau da posição do carro resolvendose a seguinte equação que é obtida pela substituição da Equação 1049 na Equação 1035 k r 0 1 0 x A BK C B I x p p oo E G E G 1053 A saída yt do sistema é x3t ou y r 0 0 1 0 0 0 x p 6 6 E 1054 Defina as matrizes de estado de controle de saída e a matriz de transmissão direta do sistema dado pelas equações 1053 e 1054 como AA BB CC e DD respectivamente O Programa 107 em MATLAB pode ser utilizado para obter as curvas de resposta ao degrau do sistema projetado Note que para obter a resposta ao degrau unitário introduzimos o comando yxt stepAABBCCDD1t A Figura 1010 mostra as curvas x1 versus t x2 versus t x3 saída y versus t x4 versus t e x5 p versus t Note que yt x3t tem aproximadamente 15 de sobressinal e um tempo de acomodação de aproximadamente 45 s A variável pt x5t tende a 11 Esse resultado pode ser obtido como a seguir Como ẋ 0 Ax Bu ou r u 0 0 0 0 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 5 3 h R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW FIGURA 1010 0 02 0 6 4 2 t s 0 2 1 1 0 6 4 2 05 15 0 6 4 2 0 1 t s t s 0 05 05 0 6 4 2 t s 0 2 1 1 0 6 4 2 t s x1 x3 x5 x2 x4 x1 versus t x2 versus t x3 versus t x4 versus t x5 versus t Curvas de x1 versus t x2 versus t x3 saída y versus t x4 versus t e x5 p versus t 681 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 107 em MATLAB O seguinte programa obtém a resposta ao degrau do sistema do pêndulo invertido recémprojetado A 0 1 0 020601 0 0 00 0 0 104905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 D 0 K 1576336 353733 560652 367466 KI 509684 AA A BK BKIC 0 BB 00001 CC C 0 DD 0 Para obter separadamente as curvas de resposta x1 versus t x2 versus t x3 versus t x4 versus t e x5 versus t digite o seguinte comando t 00026 yxt stepAABBCCDD1t x1 1 0 0 0 0x x2 0 1 0 0 0x x3 0 0 1 0 0x x4 0 0 0 1 0x x5 0 0 0 0 1x subplot321 plottx1 grid titlex1 versus t xlabelt s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid titlex2 versus t xlabelt s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid titlex3 versus t xlabelt s ylabelx3 subplot324 plottx4 grid titlex4 versus t xlabelt s ylabelx4 subplot325 plottx5 grid titlex5 versus t xlabelt s ylabelx5 obtemos u 0 Como u 0 temos a partir da Equação 1033 u 0 Kx kI p portanto 11 k Kx k k x r r 1 1 50 9684 56 0652 I I 3 3 3 3 3 p h h h 6 Por isso para r 1 temos p 11 Note que como em todo problema de projeto se a velocidade e o amortecimento não forem satisfatórios então precisaremos modificar a equação característica desejada e determinar uma nova matriz K Devemse repetir as simulações computacionais até que um resultado satisfatório seja obtido 682 Engenharia de controle moderno 105 Observadores de estado Na abordagem por alocação de polos no projeto de sistemas de controle vamos supor que todas as variáveis de estado estejam disponíveis para realimentação Na prática contudo nem todas as variáveis estão disponíveis para realimentação Então precisamos estimar as variáveis de estado não disponíveis A estimativa de variáveis de estado não mensuráveis é comumente denominada observação Um dispositivo ou programa de computador que estima ou observa as variáveis de estado é denominado observador de estado ou simplesmente observador Se o observador de estado observa todas as variáveis do sistema independentemente de algumas das variáveis de estado estarem disponíveis para medição direta ele é denominado observador de estado de ordem plena Haverá vezes em que isso não será necessário quando necessitarmos da observação somente das variáveis de estado não mensuráveis e não das variáveis que são direta mente mensuráveis Por exemplo como as variáveis de saída são observáveis e são linearmente relacionadas com as variáveis de estado não precisamos observar todas as variáveis de estado mas somente n m dessas variáveis onde n é a dimensão do vetor de estado e m é a dimensão do vetor de saída Um observador que estima menos que n variáveis de estado onde n é a dimensão do vetor de estado é denominado observador de estado de ordem reduzida ou simplesmente observador de ordem reduzida Se a ordem do observador de estado de ordem reduzida for a menor possível o observador será denominado observador de estado de ordem mínima ou observador de ordem mínima Nesta seção discutiremos tanto os observadores de ordem plena como os observadores de ordem mínima Observador de estado Um observador de estado estima as variáveis de estado baseado nas medidas das variáveis de saída e das variáveis de controle Aqui o conceito de observabilidade discutido na Seção 97 tem um papel importante Como será visto mais tarde observadores de estado podem ser projetados se e somente se a condição de observabilidade for satisfeita Nas discussões seguintes sobre observadores de estado utilizaremos a notação xu para repre sentar o vetor de estado observado Em muitos casos práticos o vetor de estado observado xu é utilizado na realimentação de estado para gerar o vetor de controle desejado Considere a planta definida por ẋ Ax Bu 1055 y Cx 1056 O observador é um subsistema reconstrutor do vetor de estado da planta O modelo matemático do observador é basicamente o mesmo que o da planta exceto por um termo adicional que incor pora o erro de estimação para compensar as incertezas nas matrizes A e B e a ausência do erro inicial O erro de estimação ou erro de observação é a diferença entre a saída medida e a saída estimada O erro inicial é a diferença entre o estado inicial e o estado inicial estimado Portanto definimos o modelo matemático do observador como xuo Axu Bu Key Cxu A KeCxu Bu Key 1057 onde xu é o estado estimado e Cxu é a saída estimada As entradas do observador são a saída y e a entrada de controle u A matriz Ke denominada matriz de ganho do observador é uma matriz de penalização do termo de correção que envolve a diferença entre a saída medida y e a saída estimada Cxu Esse termo corrige continuamente a saída do modelo e aumenta o desem penho do observador A Figura 1011 mostra o diagrama de blocos do sistema e o observador de estado de ordem plena Observador de estado de ordem plena A ordem do observador de estado que será discutida aqui é a mesma da planta Suponha que a planta seja definida pelas equações 1055 e 1056 e que o modelo do observador seja definido pela Equação 1057 683 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Para obter a equação do erro de observação vamos subtrair a Equação 1057 a partir da Equação 1055 ẋ xuo Ax Axu KeCx Cxu A KeCx xu 1058 Defina a diferença entre x e xu como o vetor de erro e ou e x xu Então a Equação 1058 tornase ė A KeCe 1059 A partir da Equação 1059 notamos que o comportamento dinâmico do vetor de erro é deter minado pelos autovalores da matriz A Ke C Se a matriz A Ke C for uma matriz estável o vetor de erro convergirá para zero qualquer que seja o vetor de erro inicial e0 Ou seja xu t convergirá para xt independentemente do valor de x0 e xu 0 Se os autovalores da matriz A Ke C forem escolhidos de tal maneira que o comportamento dinâmico do vetor de erro seja assintoticamente estável e adequadamente rápido então qualquer vetor de erro tenderá a zero a origem com uma velocidade adequada Se a planta for completamente observável então poderá ser provado que é possível escolher a matriz Ke tal que A Ke C tenha seus autovalores arbitrariamente escolhidos Ou seja a matriz de ganho Ke do observador pode ser determinada para fornecer a matriz A Ke C desejada Discutiremos esse assunto a seguir O problema dual O problema de projetar um observador de ordem plena resulta na determinação da matriz de ganho Ke do observador tal que as dinâmicas do erro definido pela Equação 1059 sejam assintoticamente estáveis com uma velocidade suficiente de resposta A estabilidade assintótica e a velocidade de resposta das dinâmicas do erro são determinadas pelos autovalores da matriz A Ke C Consequentemente o projeto do observador de ordem plena resulta na determinação de uma Ke apropriada tal que A Ke C possua os autovalores desejados Assim o problema aqui resulta no mesmo que o problema de alocação de polos que discutimos na Seção 102 De fato os problemas são matematicamente os mesmos Essa propriedade é denominada dualidade Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx FIGURA 1011 u y y Observador de estado de ordem plena A B C Ke A B C x x Diagrama de blocos do sistema e do observador de estado de ordem plena quando a entrada u e a saída y são escalares 684 Engenharia de controle moderno No projeto do observador de estado de ordem plena podemos resolver o problema dual ou seja resolver o problema de alocação de polos para o sistema dual ż Az Cυ n Bz considerando o sinal de controle υ como υ Kz Se o sistema dual for de estado completamente controlável então a matriz de ganho K de rea limentação de estado poderá ser determinada de tal forma que a matriz A CK fornecerá o conjunto dos autovalores desejados Se m1 m2 mn forem os autovalores desejados da matriz do observador de estado então tomandose os mesmos mi como os autovalores desejados da matriz de ganho de realimentação de estado do sistema dual obteremos sI A CK s μ1s μ2 s μn Sabendo que os autovalores de A CK e os de A KC são os mesmos temos sI A CK sI A KC Comparando o polinômio característico sI A KC com o polinômio característico para o sistema observador sI A KeC recorra à Equação 1057 descobrimos que Ke e K são relacionados por Ke K Assim utilizando a matriz K determinada pela abordagem de alocação de polos no sistema dual a matriz de ganho Ke do observador do sistema original pode ser determinada utilizandose a relação Ke K Veja o Problema A1010 para obter detalhes Condição necessária e suficiente para observação de estado Como foi discutido uma condição necessária e suficiente para a determinação da matriz de ganho Ke do observador na determinação dos autovalores de A Ke C mostra que o dual do sistema original ż Az Cυ é de estado completamente controlável A condição de controlabilidade completa de estado para esse sistema com dualidade é que o posto de CACAn 1C seja n Esta é a condição de observabilidade completa do sistema original definido pelas equa ções 1055 e 1056 Isso significa que uma condição necessária e suficiente para a observação do estado do sistema definido pelas equações 1055 e 1056 mostra que o sistema é comple tamente observável Uma vez que tenhamos selecionado os autovalores desejados ou a equação característica desejada o observador de estado de ordem plena poderá ser projetado desde que a planta seja completamente observável Os autovalores desejados da equação característica devem ser esco lhidos de modo que o observador de estado responda pelo menos duas a cinco vezes mais rápido que o sistema de malha fechada considerado Como foi estabelecido anteriormente a equação do observador de estado de ordem plena é xuo A KeCxu Bu Key 1060 Note que até agora estivemos supondo que as matrizes A B e C do observador são exatamente as mesmas da planta física Se existirem discrepâncias entre as matrizes A B e C do observador e da planta as dinâmicas do erro do observador não serão mais governadas pela Equação 1059 Isso significa que o erro pode não tender a zero como esperado Portanto precisamos escolher Ke tal que o observador seja estável e o erro permaneça aceitavelmente pequeno na presença de pequenos erros de modelagem 685 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Técnica da transformação para obtenção da matriz de ganho Ke do observador de estado Seguindo a mesma abordagem que utilizamos na determinação da equação da matriz de ganho K de realimentação de estado podemos obter as seguintes equações a a a a a a K Q WN e n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h h a a a a a a h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW 1061 onde Ke é uma matriz n 1 Q WN 1 e a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 N C A C A C W n n n n n 1 1 2 1 2 3 1 g h h g g g g h h h R T S S S S SS 6 V X W W W W WW Recorra ao Problema A1010 para a obtenção da Equação 1061 Abordagem pela substituição direta para obtenção da matriz de ganho Ke do observa dor de estado Da mesma maneira que o caso de alocação de polos se o sistema for de ordem reduzida então a substituição direta da matriz Ke no polinômio característico desejado poderá ser mais simples Por exemplo se x for um vetor de dimensão 3 então escreva a matriz de ganho Ke do observador como K k k k e e e e 1 2 3 H Substitua essa matriz Ke no polinômio característico desejado sI A KeC s μ1s μ2s μ3 Igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados dessa última equação podemos determinar os valores de ke1 ke2 e ke3 Essa abordagem será conveniente se n 1 2 ou 3 onde n é a dimensão do vetor de estado x Embora essa abordagem possa ser utilizada quando n 4 5 6 os cálculos envolvidos poderão se tornar muito tediosos Outra abordagem para a determinação da matriz de ganho Ke do observador de estado refere se ao uso da fórmula de Ackermann Ela é apresentada a seguir Fórmula de Ackermann Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu 1062 y Cx 1063 Na Seção 102 obtivemos a fórmula de Ackermann para o problema de alocação de polos do sis tema definido pela Equação 1062 O resultado foi dado pela Equação 1018 reescrita deste modo K 0 0 0 1BABAn 1B 1zA Para o dual do sistema definido pelas equações 1062 e 1063 ż Az Cυ n Bz a fórmula de Ackermann precedente para a alocação de polos é modificada para K 0 0 0 1CACAn 1C 1zA 1064 686 Engenharia de controle moderno Como foi estabelecido anteriormente a matriz de ganho Ke do observador de estado é dada por K sendo K dada pela Equação 1064 Assim 0 0 0 1 0 0 0 1 K K A C CA CA CA A C CA CA CA e n n n n 2 1 1 2 1 1 h h h h z z h h R T S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W WW V X W W W W WW 1065 onde zs é o polinômio característico desejado do observador de estado ou zs s μ1s μ2 s μn onde m1 m2 mn são os autovalores desejados A Equação 1065 é denominada fórmula de Ackermann da determinação da matriz de ganho Ke do observador Comentários sobre a seleção da melhor Ke Com relação à Figura 1011 note que o sinal de realimentação que passa pela matriz de ganho Ke do observador serve como um sinal de cor reção do modelo da planta fazendo que incertezas da planta sejam levadas em consideração Se incertezas significativas estiverem envolvidas o sinal de realimentação que passa pela matriz Ke precisará ser relativamente grande Contudo se a saída do sinal estiver significativamente contaminada por distúrbios e ruídos de medida então a saída y não é confiável e o sinal de realimentação que passa pela matriz Ke deverá ser relativamente pequeno Na determinação da matriz Ke devemos examinar cuidadosamente os efeitos dos distúrbios e dos ruídos de medida relacionados com a saída y Lembrese de que a matriz de ganho Ke do observador depende da equação característica desejada s μ1s μ2 s μn 0 A escolha de um conjunto m1 m2 mn em muitos exemplos não é única Como regra contudo os polos do observador devem ser de duas a cinco vezes mais rápidos que os polos do controlador para garantir que o erro de observação erro de estimação convirja rapidamente para zero Isso significa que o erro de estimativa do observador decai de duas a cinco vezes mais rápido que o vetor de estado x Essa redução mais rápida do erro do observador comparada com as dinâmicas desejadas faz os polos do controlador serem dominantes na resposta do sistema É importante notar que se o ruído do sensor for considerável poderemos escolher os polos do observador mais lentos que duas vezes a velocidade dos polos do controlador tal que a banda passante do sistema se torne menor e filtre o ruído Nesse caso a resposta do sistema será forte mente influenciada pelos polos do observador Se estes estiverem localizados à direita dos polos do controlador no lado esquerdo do plano s a resposta do sistema será dominada pelos polos do observador em vez de pelos polos do controle No projeto de observadores de estado é aconselhável determinar várias matrizes de ganho Ke do observador baseadas em diferentes equações características desejadas Para cada uma das diferentes matrizes Ke devese realizar simulações para determinar o desempenho do sistema resultante Selecionamos então a melhor Ke do ponto de vista do desempenho do sistema glo bal Em vários casos práticos a seleção da melhor matriz Ke se resume a um compromisso entre velocidade de resposta e sensibilidade aos distúrbios e ruídos Exemplo 106 Considere o sistema ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 1 20 6 0 0 1 0 1 6 G G 687 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Utilizamos a realimentação por estado observado tal que u Kxu Projete um observador de ordem plena supondo que a configuração do sistema seja idêntica àquela mostrada na Figura 1011 Considere que os autovalores desejados da matriz do observador sejam μ1 10 μ2 10 O projeto do observador de estado se reduz à determinação de uma matriz apropriada de ganho Ke do observador Vamos examinar a matriz de observabilidade O posto de 0 1 1 0 C A C 6 G é 2 Por consequência o sistema é completamente observável e a determinação da matriz de ganho do observador é possível Resolveremos esse problema por três métodos Método 1 determinaremos a matriz de ganho do observador com a utilização da Equação 1061 O sistema dado já está na forma canônica observável Assim a matriz de transformação Q WN 1 é I Como a equação característica do sistema dado é 206 0 I A s s s s s a s a 1 20 6 2 2 1 2 6 G temos a1 0 a2 206 A equação característica desejada é s 102 s2 20s 100 s2 α1s α2 0 Logo α1 20 α2 100 Então a matriz de ganho Ke do observador pode ser obtida a partir da Equação 1061 como segue a a 1 0 0 1 100 20 6 20 0 120 6 20 K WN e 1 2 2 1 1 a a h G G G G Método 2 com relação à Equação 1059 ė A KeCe a equação característica do observador resulta em sI A KeC 0 Defina K k k e e e 1 2 G Então a equação característica resulta em s s k k s k s k s k s k 0 0 0 1 20 6 0 0 1 1 20 6 20 6 0 e e e e e e 1 2 1 2 2 2 1 6 G G G 1066 Como a equação característica desejada é s2 20s 100 0 comparando a Equação 1066 com essa última equação obtemos ke1 1206 ke2 20 688 Engenharia de controle moderno ou K 120 6 e 20 G Método 3 utilizaremos a fórmula de Ackermann dada pela Equação 1065 K A C CA 0 1 e 1 z h G G onde zs s μ1s μ2 s2 20s 100 Logo zA A2 20A 100I e 20 100 0 1 1 0 0 1 120 6 20 412 120 6 0 1 1 0 0 1 120 6 20 K A A I e 2 1 h G G G G G G Como era de esperar obtivemos a mesma Ke independentemente do método empregado A equação do observador de estado de ordem plena é dada pela Equação 1057 xuo A KeCxu Bu Key ou x x x x u y 0 1 100 20 0 1 120 6 20 1 2 1 2 uo uo u u G G G G G Por fim note que similarmente ao caso de alocação de polos se a ordem n do sistema for 4 ou maior os métodos 1 e 3 serão recomendados uma vez que todas as manipulações computa cionais podem ser conduzidas por um computador enquanto o método 2 sempre requer cálculos manuais de uma equação característica que envolve parâmetros desconhecidos ke1 ke2 ken Efeitos da adição do observador em um sistema de malha fechada No processo de projeto por alocação de polos vamos supor que o estado real xt estava disponível para fins de realimen tação Na prática contudo o estado real xt pode não ser mensurável de modo que seja preciso projetar um observador e utilizar o estado observado xu t na realimentação como mostra a Figura 1012 O processo de projeto portanto passa a ter dois estágios sendo o primeiro a determina ção da matriz de ganho K de realimentação que produzirá a equação característica desejada e o segundo consiste na determinação da matriz de ganho Ke do observador que produzirá a equação característica do observador desejada Vamos agora investigar o efeito do uso do estado observado xu t em vez do uso do estado real xt na equação característica de um sistema de controle de malha fechada Considere o sistema de estado completamente controlável e observável definido pelas equações ẋ Ax Bu y Cx Para o controle por realimentação de estado baseado no estado observado xu u Kxu Com esse controle a equação de estado resulta em ẋ Ax BKxu A BKx BK x xu 1067 689 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A diferença entre o estado real xt e o estado observado xu t foi definida como o erro et et xt xu t A substituição do vetor de erro et na Equação 1067 fornece ẋ A BKx BKe 1068 Note que a equação do erro do observador foi dada pela Equação 1059 repetida aqui ė A KeCe 1069 Combinando as equações 1068 e 1069 obtemos x e A BK 0 BK A K C x e e oo G G G 1070 A Equação 1070 descreve as dinâmicas do sistema de controle realimentado por estado obser vado A equação característica do sistema é 0 s s I A BK 0 BK I A K C e G ou sI A BK sI A KeC 0 Note que os polos de malha fechada do sistema de controle realimentado por estado observado consistem nos polos decorrentes do projeto por alocação de polos e dos polos decorrentes do projeto isolado do observador Isso significa que o projeto da alocação de polos e o projeto do observador são independentes entre si Eles podem ser conduzidos separadamente e combi nados para formar o sistema de controle realimentado por estado observado Observe que se a ordem da planta for n então o observador também será de enésima ordem se o observador de estado de ordem plena for usado e a equação característica resultante do sistema de malha fechada global se tornará de ordem 2n Função de transferência do controlador baseado em observador Considere a planta definida por ẋ Ax Bu y Cx FIGURA 1012 u y y A B C Ke K A B C x x Sistema de controle realimentado por estado observado 690 Engenharia de controle moderno Suponha que a planta seja completamente observável Considere que é utilizado um controle do tipo realimentação de estado observado u Kxu Então as equações do observador são dadas por xuo A KeC BKxu Ke y 1071 u Kxu 1072 uma vez que a Equação 1071 é obtida pela substituição de u Kxu na Equação 1057 Considerando a transformada de Laplace da Equação 1071 ao supor uma condição inicial nula e resolvendo para Xs obtemos Xs sI A KeC BK 1KeYs Substituindo este Xs na transformada de Laplace da Equação 1072 obtemos Us KsI A KeC BK 1KeYs 1073 Então a função de transferência UsYs pode ser obtida como K I A K C BK K Y s U s s e e 1 h h h A Figura 1013 mostra a representação por diagrama de blocos do sistema Note que a função de transferência KsI A KeC BK 1Ke age como um controlador do sistema Por isso denominamos a função de transferência Y s U s s den num K I A K C BK K e e 1 h h h 1074 do controlador baseado em observador ou simplesmente função de transferência do controlador observador Note que a matriz do controladorobservador A KeC BK pode ser estável ou não embora A BK e A Ke C sejam escolhidas para serem estáveis De fato em alguns casos a matriz A Ke C BK pode ser pouco estável ou mesmo instável Exemplo 107 Considere o projeto de um sistema regulador para a seguinte planta ẋ Ax Bu 1075 y Cx 1076 onde 0 20 6 1 0 0 1 1 0 A B C 6 G G Suponha que se utilize a abordagem por alocação de polos para projetar o sistema e que os polos desejados de malha fechada para esse sistema estejam em s mi i 1 2 onde m1 18 j24 e m2 18 j24 A matriz de ganho K de realimentação de estado nesse caso resulta em FIGURA 1013 Rs 0 Ys Us Planta Ys KsI A KeC BK1Ke Representação por diagrama de blocos do sistema com um controlador observador 691 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados K 296 36 Utilizando essa matriz de ganho K de realimentação de estado o sinal de controle u fica definido por u x 29 6 3 6 x Kx 1 2 6 G Suponha que se utilize um controle por realimentação do estado observado em vez do controle por realimentação do estado real ou u x 29 6 3 6 x Kx 1 2 u u u 6 G e escolhemos os polos do observador para estar em s 8 s 8 Obtenha a matriz de ganho Ke do observador e desenhe um diagrama de blocos para o sistema de controle realimentado por meio do estado observado Então obtenha a função de transferência UsYs do controladorobservador e desenhe outro diagrama de blocos com o controlador observador como um controlador em série no ramo direto Por fim obtenha a resposta do sistema às seguintes condições iniciais x e x x 0 1 0 0 0 0 0 5 0 u h h h h G G Para o sistema definido pela Equação 1075 o polinômio característico é 206 I A s s s s s a s a 20 6 1 2 2 1 2 Assim a1 0 a2 206 O polinômio característico desejado do observador é s μ1s μ2 s 8s 8 s2 16s 64 s2 α1s α2 Consequentemente α1 16 α2 64 Para a determinação da matriz de ganho do observador utilizamos a Equação 1061 ou K WN a a e 1 2 2 1 1 a a h G onde a 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 N C A C W 1 6 G G G Assim 0 1 1 0 1 0 0 1 64 20 6 16 0 0 1 1 0 84 6 16 16 84 6 Ke 1 G G G G G G 4 1077 A Equação 1077 fornece a matriz de ganho Ke do observador A equação do observador é dada pela Equação 1060 xuo A KeCxu Bu Ke y 1078 692 Engenharia de controle moderno Como u Kxu a Equação 1078 resulta em xuo A KeC BKxu Ke y ou x x x x y x x y 0 20 6 1 0 16 84 6 1 0 0 1 29 6 3 6 16 84 6 16 93 6 1 3 6 16 84 6 1 2 1 2 1 2 uo uo u u u u 6 6 G G G G G G G G G 4 O diagrama de blocos do sistema realimentado por meio do estado observado é mostrado na Figura 1014a Com relação à Equação 1074 a função de transferência do controladorobservador é Y s U s s s s s s s 29 6 3 6 16 93 6 1 3 6 16 84 6 19 6 151 2 778 2 3 690 7 K I A K C BK K e e 1 1 2 h h h 6 G G FIGURA 1014 Rs 0 Ys Us Ys 1 s2 206 b u y x x C A C K B B 0 1 0 1 1 0 1 0 0 206 1 0 0 206 1 0 16 846 296 36 a 7782s 36907 s2 196s 1512 a Diagrama de blocos do sistema realimentado por meio do estado observado b diagrama de blocos da função de transferência do sistema 693 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Logicamente a mesma função de transferência pode ser obtida com o MATLAB Por exemplo o Programa 108 em MATLAB produz a função de transferência do controladorobservador para o caso de um observador de ordem plena A Figura 1014b mostra um diagrama de blocos do sistema A dinâmica do sistema de controle realimentado por meio do estado observado projetado anteriormente pode ser descrita pelas seguintes equações Para a planta x x x x u y x x 0 20 6 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Para o observador x x x x y u x x 16 93 6 1 3 6 16 84 6 29 6 3 6 1 2 1 2 1 2 uo uo u u u u 6 G G G G G O sistema como um todo é de quarta ordem A equação característica do sistema é sI A BKsI A KeC s2 36s 9s2 16s 64 s4 196s3 1306s2 3744s 576 0 A equação característica também pode ser obtida a partir do diagrama de blocos No sistema mostrado na Figura 1014b Uma vez que a função de transferência de malha fechada é R s Y s s s s s s 19 6 151 2 20 6 778 2 3 690 7 778 2 3 690 7 2 2 h h h h a equação característica é s2 196s 1512 s2 206 7782s 36907 s4 196s3 1306s2 3744s 576 0 Naturalmente a equação característica do sistema é a mesma tanto para a representação no espaço de estados como para a representação por função de transferência Por fim obteremos a resposta do sistema à seguinte condição inicial x e 0 1 0 0 0 5 0 h h G G Programa 108 em MATLAB Obtendo a função de transferência de controladorobservador observador de ordem completa A 0 1206 0 B 01 C 1 0 K 296 36 Ke 16846 AA AKeCBK BB Ke CC K DD 0 numden ss2tfAABBCCDD num 10e003 0 07782 36907 den 10000 196000 1512000 694 Engenharia de controle moderno Com relação à Equação 1070 a reposta à condição inicial pode ser determinada a partir de 0 0 1 0 0 5 0 x e A BK 0 BK A K C x e x e e o o h h R T S S S SS V X W W W WW G G G G Um programa em MATLAB que permite obter a resposta é mostrado no Programa 109 em MATLAB As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 1015 Programa 109 em MATLAB A 0 1 206 0 B 01 C 1 0 K 296 36 Ke 16 846 sys ssABK BK zeros22 AKeCeye4eye4eye4 t 00014 z initialsys10050t x1 1 0 0 0z x2 0 1 0 0z e1 0 0 1 0z e2 0 0 0 1z subplot221 plottx1 grid titleResposta à condição inicial ylabelvariável de estado x1 subplot222 plottx2grid titleResposta à condição inicial ylabelvariável de estado x2 subplot223 plotte1grid xlabelt s ylabelvariável de estado de erro e1 subplot224 plotte2grid xlabelt s ylabelvariável de estado de erro e2 FIGURA 1015 Resposta à condição inicial Resposta à condição inicial variável de estado x1 variável de estado x2 variável de estado de erro e1 variável de estado de erro e2 15 1 05 0 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 t s t s 3 4 05 01 0 01 02 03 04 05 06 15 1 05 0 05 0 05 15 1 2 25 Curvas de resposta à condição inicial 695 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Observador de ordem mínima Os observadores discutidos até agora são projetados para reconstruir todas as variáveis de estado Na prática algumas das variáveis de estado podem ser precisamente medidas e não necessitam ser estimadas Suponha que o vetor de estado x seja um vetor de dimensão n e que a saída seja um vetor y de dimensão m que pode ser medido Como as m variáveis de saída são combinações lineares das variáveis de estado então m variáveis de estado não precisam ser estimadas Precisamos estimar apenas n m variáveis de estado Então o observador de ordem reduzida se torna um observa dor de ordem n m Esse observador de ordem n m é um observador de ordem mínima A Figura 1016 mostra o diagrama de blocos de um sistema com um observador de ordem mínima É importante notar contudo que se a medida das variáveis de saída envolve ruídos signifi cativos e é relativamente imprecisa então o uso de observadores de ordem plena poderá resultar em um desempenho melhor Para apresentar a ideia básica do observador de ordem mínima sem complicações matemáticas desnecessárias mostraremos o caso em que a saída é um escalar ou seja m 1 e obteremos as equações de estado do observador de ordem mínima Considere o sistema ẋ Ax Bu 1079 y Cx 1080 onde o vetor de estado x pode ser dividido em duas partes xa um escalar e xb um vetor de dimensão n 1 Aqui a variável de estado xa é igual à saída y e portanto pode ser diretamente medida enquanto xb é a porção não mensurável do vetor de estado Desse modo a equação de estado particionado e a de saída resultam em x A x B u x A A A x B a b aa ba ab bb a b a b o o H H H H 1081 1 y x 0 x a b 6 G 1082 onde Aaa escalar Aab matriz 1 n 1 Aba matriz n 1 1 Abb matriz n 1 n 1 Ba escalar Bb matriz n 1 1 FIGURA 1016 u y x y Planta C A B K x Observador de ordem mínima Transformação Sistema de controle realimentado por estado observado com um observador de ordem mínima 696 Engenharia de controle moderno A partir da Equação 1081 a equação da porção mensurável do estado resulta em ẋa Aaaxa Aabxb Bau ou ẋa Aaaxa Bau Aabxb 1083 Os termos do lado esquerdo da Equação 1083 podem ser medidos Essa equação age como a equação de saída No projeto de observadores de ordem mínima consideramos o lado esquerdo dessa equação como quantidades conhecidas Assim a equação 1083 relaciona quantidades mensuráveis e não mensuráveis de estado Da Equação 1081 a equação da porção não mensurável do estado resulta em ẋb Aba xb Abbxb Bbu 1084 Sabendo que os termos Abaxa e Bbu são quantidades conhecidas a Equação 1084 descreve as dinâmicas da porção não mensurável do estado A seguir apresentaremos um método para a determinação do observador de ordem mínima O procedimento de projeto pode ser simplificado se utilizarmos a técnica de projeto desenvolvida para o observador de ordem plena Vamos comparar a equação de estado do observador de ordem plena com a do observador de ordem mínima A equação de estado do observador de estado de ordem plena é ẋ Ax Bu e a equação de estado do observador de ordem mínima é ẋb Abb xa Aba xa Bbu A equação de saída do observador de ordem plena é y Cx e a equação de saída do observador de ordem mínima é ẋa Aaaxa Bau Aab xb O projeto do observador de ordem mínima pode ser conduzido como segue primeiro note que a equação do observador de ordem plena é dada pela Equação 1057 que repetimos aqui xuo A KeCxu Bu Ke y 1085 Então fazendo as substituições da Tabela 101 na Equação 1085 obtemos xuo b Abb KeAabxub Aba xa Bbu Ke ẋa Aaa xa Bau 1086 onde a matriz de ganho Ke do observador de estado é uma matriz n 1 1 Na Equação 1086 note que para estimar xub precisamos diferenciar xa Isso representa uma dificuldade pois a dife renciação amplifica ruídos Se xa y for ruidoso o uso de ẋa será inaceitável TABELA 101 Observador de estado de ordem mínima A A bb Bu y A C ab Ke matriz n 1 Ke matriz n 1 1 x a Aaa xa Ba u Aba x a Bb u x b x Observador de estado de ordem plena Lista das substituições necessárias para escrever a equação do observador de estado de ordem mínima 697 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Para evitar essa dificuldade eliminamos ẋa da seguinte maneira Primeiro reescreva a Equação 1086 como xuo b Ke ẋa Abb KeAab xu b Aba KeAaay Bb KeBau Abb KeAabxu b Ke y Abb KeAabKe Aba KeAaa y Bb KeBau 1087 Defina xb Ke y xb Ke xa h e xu b Ke y xu b Ke xa hu 1088 Então a Equação 1087 resulta em huo Abb KeAabhu Abb Ke AabKe Aba KeAaay Bb Ke Bau 1089 Defina  Abb KeAab B ÂKe Aba Ke Aaa F Bb KeBa Então a Equação 1089 resulta em huo Âhu B y F u 1090 Juntas as equações 1090 e 1088 definem o observador de ordem mínima Como 1 y x x y y y 1 0 x x x x 0 I K K x a b a b b n b e e 1 u u u u 6 6 G G G G G onde 0 é um vetorlinha que contém n 1 zeros se definirmos 1 C 0 I D K n e 1 t t G G então poderemos escrever xu em termos de hu e y como segue xu Ĉhu D y 1091 Essa equação fornece a transformação de hu em xu A Figura 1017 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle realimentado por estado observado com o observador de ordem mínima fundamentado nas equações 1079 1080 1090 e 1091 e u Kxu Em seguida obteremos a equação do erro do observador Utilizando a Equação 1083 a Equação 1086 pode ser modificada para xuo b Abb KeAabxub Aba xa Bbu KeAabxb 1092 Subtraindo a Equação 1092 da Equação 1084 obtemos ẋb xuo b Abb KeAabxb xu b 1093 Defina e xb xu b h hu 698 Engenharia de controle moderno Então a Equação 1093 resulta em ė Abb KeAabe 1094 Esta é a equação do erro do observador de ordem mínima Note que e é um vetor de dimensão n 1 As dinâmicas de erro podem ser livremente escolhidas seguindose a técnica desenvolvida para o observador de ordem plena desde que o posto da matriz A A A A A ab ab bb ab bb n 2 h R T S S S S SS V X W W W W WW seja n 1 Esta é a condição de observabilidade completa aplicada ao observador de ordem mínima A equação característica do observador de ordem mínima é obtida a partir da Equação 1094 como segue sI Abb KeAab s μ1s μ2 s μn 1 sn 1 α 1sn 2 α n 2s α n 1 0 1095 onde m1 m2 mn 1 são os autovalores desejados do observador de ordem mínima A matriz de ganho Ke do observador pode ser determinada escolhendose primeiro os autovalores dese jados do observador de ordem mínima ou seja alocandose as raízes da equação característica a Equação 1095 nas posições desejadas e utilizandose o procedimento desenvolvido para o observador de ordem plena com as modificações apropriadas Por exemplo se a fórmula de determinação da matriz de ganho Ke dada pela Equação 1061 for utilizada ela deverá ser modificada para FIGURA 1017 u y x x C B K Observador de ordem mínima Transformação D C F A B x A h h Sistema com realimentação por estado observado onde o observador é de ordem mínima 699 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados a a a a a a K Q WN e n n n n n n n n 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 h h a a a a a a t t t t t t t t t t t t t t t h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW 1096 onde Ke será uma matriz n 1 1 e matriz n n a a a a a a n n 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 matriz N A A A A A W ab bb ab bb n ab n n n n 2 2 3 1 3 4 1 g h h g g g g h h t t t t t t t t h h h h h R T S S S S SS 6 V X W W W W WW Note que â1 â2 ân 2 são os coeficientes na equação característica da equação de estado sI Abb sn 1 â1sn 2 ân 2s ân 1 0 Da mesma maneira se a fórmula de Ackermann dada pela Equação 1065 for usada então ela deverá ser modificada para K A A A A A A A A 0 0 0 1 e bb ab ab bb ab bb n ab bb n 3 2 1 h h z h R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW 1097 onde zAbb Abb n 1 α 1Abb n 2 α n 2Abb α n 1I Sistema de controle realimentado por meio de estado observado com observador de ordem mínima Para o caso do sistema de controle realimentado por estado observado com observador de ordem plena mostramos que os polos de malha fechada consistem nos polos devidos ao projeto isolado da alocação de polos e dos polos devidos ao projeto isolado do observador Consequentemente o projeto da alocação de polos e o projeto do observador de estado de ordem plena são independentes entre si Para o caso do sistema de controle realimentado por estado observado com observador de ordem mínima a mesma conclusão se aplica A equação característica do sistema pode ser obtida como sI A BKsI Abb KeAab 0 1098 Veja o Problema A1011 para obter detalhes Os polos de malha fechada do sistema de contro le realimentado por estado observado com um observador de ordem mínima compreendem os polos de malha fechada da alocação de polos os autovalores da matriz A BK e os polos de malha fechada devidos ao observador de ordem mínima os autovalores da matriz Abb KeAab Portanto o projeto da alocação de polos e o projeto do observador de estado de ordem mínima são independentes entre si Determinação da matriz de ganho Ke do observador com o MATLAB Por causa da dua lidade entre a alocação de polos e o projeto do observador o mesmo algoritmo pode ser aplicado tanto para o problema de alocação de polos como para o problema de projeto do observador Assim os comandos acker e place podem ser usados para a determinação da matriz de ganho Ke do observador Os polos de malha fechada do observador são os autovalores da matriz A Ke C Os polos de malha fechada do problema de alocação de polos são os autovalores da matriz A BK 700 Engenharia de controle moderno Com base na dualidade entre o problema de alocação de polos e o problema de projeto do observador podemos determinar Ke considerando o problema de alocação de polos para o sis tema dual Ou seja determinamos Ke por meio da alocação dos autovalores de A CKe nas posições desejadas Como Ke K para o observador de ordem plena utilizamos o comando Ke ackerACL onde L é o vetor dos autovalores desejados do observador Da mesma maneira podemos utilizar para o observador de ordem plena Ke placeACL desde que L não contenha polos múltiplos Nos comandos anteriores o apóstrofo indica a transposição Para os observadores de ordem mínima ou ordem reduzida use os seguintes comandos Ke ackerAbbAabL ou Ke placeAbbAabL Exemplo 108 Considere o sistema ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 1 0 0 R T S S SS 6 V X W W WW H Vamos supor que desejemos alocar os polos de malha fechada em s1 2 j2 3 s2 2 j2 3 s3 6 Então a matriz de ganho K necessária da realimentação de estado resultará em K 90 29 4 Veja o Programa 1010 em MATLAB para a determinação da matriz K com o MATLAB Em seguida vamos supor que a saída y possa ser medida precisamente tal que a variável de estado x1 que é igual a y não precise ser estimada Vamos projetar um observador de ordem mínima O observador de ordem mínima é de segunda ordem Suponha que escolhemos os polos desejados de malha fechada em s 10 s 10 Com relação à Equação 1095 a equação característica do observador de ordem mínima é sI Abb KeAab s μ1s μ2 s 10s 10 s2 20s 100 0 A seguir utilizaremos a fórmula de Ackermann dada pela Equação 1097 0 1 K A A A A e bb ab ab bb 1 z h G G 1099 onde zAbb Abb 2 α 1Abb α 2I Abb 2 20Abb 100I Como x x x x 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 x x A B a b 1 2 3 u u u u G H H H 701 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados temos 0 0 A B 1 0 0 6 0 11 1 6 0 1 A A A B aa ab ba bb a b 6 H G H A Equação 1099 agora resulta em 0 11 1 6 20 0 11 1 6 100 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 89 154 14 5 0 1 14 5 Ke 2 1 G G G G G G G G 4 A determinação desta Ke com o MATLAB é dada pelo Programa 1010 em MATLAB Com relação às equações 1088 e 1089 a equação do observador de ordem mínima pode ser dada por huo Abb Ke Aabhu Abb Ke AabKe Aba Ke Aaay Bb Ke Bau 10100 onde hu xu b Ke y xu b Ke x1 Sabendo que 0 11 1 6 14 5 1 0 14 16 1 6 A K A bb e ab 6 G G G a equação do observador de ordem mínima Equação 10100 resulta em y u 14 16 1 6 14 16 1 6 14 5 0 6 14 5 0 0 1 14 5 0 2 3 2 3 h h h h uo uo u u G G G G G G G G G 4 4 ou y u 14 16 1 6 191 260 0 1 2 3 2 3 h h h h uo uo u u G G G G G Programa 1010 em MATLAB A 0 1 00 0 16 11 6 B 001 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 6 K ackerABJ K 900000 290000 40000 Abb 0 111 6 Aab 1 0 L 10 10 Ke ackerAbbAabL Ke 14 5 702 Engenharia de controle moderno onde x x Ke y 2 3 2 3 h h u u u u G G ou x x Ke x 2 3 2 3 1 h h u u u u G G Se a realimentação do estado observado for utilizada então o sinal de controle u resultará em Kx K u x x x 1 2 3 u u u H onde K será a matriz de ganho de realimentação de estado A Figura 1018 é um diagrama de blocos que mostra a configuração do sistema com a realimentação do estado observado onde o observador é de ordem mínima Função de transferência do controlador baseado em observador de ordem mínima Na equação do observador de ordem mínima dada pela Equação 1089 huo Abb KeAabhu Abb KeAabKe Aba KeAaay Bb KeBau defina similarmente à determinação da Equação 1090  Abb KeAab B ÂKe Aba Ke Aaa F Bb Ke Ba FIGURA 1018 h h u y x x Planta C A B Observador de ordem mínima Transformação 0 1 0 0 1 0 0 0 1 x1 Kex1 1 Ke 1 14 5 0 6 14 5 14 16 1 6 Bb KeBa Abb KeAab Aba KeAaa Ke 90 29 4 K h Sistema com realimentação por estado observado onde o observador de ordem mínima é projetado conforme o Exemplo 108 703 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Então as três equações seguintes definem o observador de ordem mínima huo Âhu B y F u 10101 hu xu b Ke y 10102 u Kxu 10103 Como a Equação 10103 poda ser reescrita como u K y K y K y Kx K x K x K K K a b b a b b b a b e h u u u u h 6 G 10104 pela substituição da Equação 10104 na Equação 10101 obtemos huo Âhu B y F Kbhu Ka KbKey  F Kbhu B F Ka KbKe y 10105 Defina à  F Kb B B F Ka KbKe C Kb D Ka KbKe Então as equações 10104 e 10105 podem ser escritas como huo Ãhu By 10106 u Chu Dy 10107 As equações 10106 e 10107 definem o controlador baseado em observador de ordem mínima Considerando u como saída e y como entrada Us pode ser escrita como Us CsI à 1B DYs CsI à 1B D Ys Como a entrada do controladorobservador é Ys em vez de Ys a função de transferência do controladorobservador é Y s U s s D den num C I A 1 B u u u u h h h 6 10108 Essa função de transferência pode ser facilmente obtida com o uso da seguinte declaração em MATLAB numden ss2tfAtilde Btilde Ctilde Dtilde 10109 106 Projeto de sistemas reguladores com observadores Nesta seção vamos considerar um problema de projeto de sistemas reguladores utilizando o método de alocação de polos com observador Considere o sistema regulador mostrado na Figura 1019 A entrada de referência é zero A função de transferência da planta é G s s s s s 4 6 10 2 h h h h Utilizando o método de alocação de polos projete um controlador de modo que quando o sistema for submetido à seguinte condição inicial 704 Engenharia de controle moderno 0 1 0 0 0 1 0 x e h h H G onde x é o vetor de estado da planta e e é o vetor de erro do observador o máximo sobressinal de yt seja de 25 a 35 e o tempo de acomodação seja de cerca de 4 s Suponha que estejamos utilizando um observador de ordem mínima Vamos supor que apenas a saída y seja mensurável Utilizaremos o seguinte procedimento de projeto 1 Obtenha um modelo para a planta no espaço de estados 2 Escolha os polos de malha fechada para efeito de alocação de polos e os polos desejados do observador 3 Determine a matriz de ganho de realimentação de estado K e a matriz de ganho Ke do observador 4 Utilizando as matrizes de ganho K e Ke obtidas na etapa 3 obtenha a função de trans ferência do controladorobservador Se for um controlador estável verifique a resposta para dada condição inicial Se a resposta não for aceitável ajuste a alocação de polos de malha fechada eou a alocação de polos do observador até obter uma resposta aceitável Etapa 1 do projeto vamos obter a representação no espaço de estados da planta Como a função de transferência da planta é U s Y s s s s s 4 6 10 2 h h h h h a equação diferencial correspondente é yq 10ӱ 24ẏ 10u 20u Considerando a Seção 25 vamos definir as variáveis de estado x1 x2 e x3 como segue x1 y β0u x2 ẋ1 β1u x3 ẋ2 β2u Além disso ẋ3 é definido por ẋ3 a3x1 a2x2 a1x3 β3u 24x2 10x3 β3u onde β0 0 β1 0 β2 10 e β3 80 Veja a Equação 235 para cálculo dos b Em seguida a equação no espaço de estados e a equação de saída podem ser obtidas como segue x x x x x x u 0 0 0 1 0 24 0 1 10 0 10 80 1 2 3 1 2 3 o o o H H H H FIGURA 1019 r 0 y u Planta y Controlador Sistema regulador 705 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados y x x x u 1 0 0 0 1 2 3 o o o 6 6 H Etapa 2 do projeto como primeira tentativa vamos escolher os polos de malha fechada dese jados em s 1 j2 s 1 j2 s 5 e escolher os polos desejados do observador em s 10 s 10 Etapa 3 do projeto utilizaremos o MATLAB para calcular a matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador O Programa 1011 em MATLAB produz as matrizes K e Ke No programa as matrizes J e L representam os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos e de polos desejados do observador respectivamente As matrizes K e Ke são obtidas como K 1 25 1 25 0 19375 10 24 K e 6 G Etapa 4 do projeto vamos determinar a função de transferência do controladorobservador Considerando a Equação 10108 a função de transferência do controladorobservador pode ser dada por G s Y s U s s D den num C I A B c 1 u u u u h h h h 6 Utilizaremos o MATLAB para calcular a função de transferência do controladorobservador O Programa 1012 em MATLAB produz essa função de transferência O resultado é G s s s s s s s s s 17 30 9 1 73 5 125 18 6119 1 6119 9 1 5 6425 2 4344 c 2 2 h h h h h Defina como Sistema 1 o sistema com esse controladorobservador A Figura 1020 mostra o diagrama de blocos do Sistema 1 Programa 1011 em MATLAB Obtendose a matriz de ganhos de realimentação de estados K A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 C 1 0 0 J 1j2 1j2 5 K ackerABJ K 12500 12500 019375 Obtendose a matriz de ganho do observador Ke Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 124 10Ba 0 Bb 1080 L 10 10 Ke ackerAbbAabL Ke 10 24 706 Engenharia de controle moderno Programa 1012 em MATLAB Determinação de funçáo de transferência do controladorobservador A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 124 10 Ba 0 Bb 1080 Ka 125 Kb 125 019375 Ke 1024 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtilde Btilde Ctilde Dtilde num 91000 735000 1250000 den 10000 170000 300000 O controladorobservador tem um polo no semiplano direito do plano s 16119 A exis tência de um polo de malha aberta no semiplano direito do plano s no controladorobservador significa que o sistema é de malha aberta e instável embora o sistema de malha fechada seja estável Isso pode ser visto a partir da equação característica deste último sistema sI A BK sI Abb KeAab s5 27s4 255s3 1025s2 2000s 2500 s 1 j2s 1 j2s 5s 10s 10 0 Veja o Programa 1013 em MATLAB para o cálculo da equação característica Uma desvantagem de utilizar um controlador instável é que o sistema se torna instável se o ganho do sistema se tornar pequeno Esse sistema de controle não é nem desejado nem aceitável Então para obter um sistema satisfatório é necessário modificar a alocação de polos de malha fechada eou a alocação de polos do observador Programa 1013 em MATLAB Obtendose a equação característica num1den1 ss2tfABKeye3eye3eye31 num2den2 ss2tfAbbKeAabeye2eye2eye21 characteq convden1den2 characteq 10e003 00010 00270 02550 10250 20000 25000 FIGURA 1020 r 0 y u 91s2 735s 125 s2 17s 30 10s 2 ss 4 s 6 Controladorobservador Planta Diagrama de blocos do Sistema 1 707 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Segunda tentativa vamos conservar os polos de malha fechada desejados como antes para efeito de alocação de polos mas vamos modificar a localização dos polos do observador como segue s 45 s 45 Assim L 45 45 Utilizando o MATLAB encontramos a nova matriz Ke como 1 6 25 Ke G A seguir vamos obter a função de transferência do controladorobservador O Programa 1014 em MATLAB produz essa função de transferência como segue G s s s s s s s s s 6 2 1406 1 2109 11 2125 25 3125 5 619 0 381 1 2109 5 3582 3 9012 c 2 2 h h h h h Note que este é um controlador estável Defina como Sistema 2 o sistema com esse controlador observador Para obtermos a resposta do Sistema 2 a dada condição inicial vamos prosseguir 0 1 0 0 0 1 0 x e h h H G Pela substituição de u Kxu na equação no espaço de estados da planta obtemos e x x 0 0 x Ax BKx Ax BK x Ax BK x e Ax BK x e Ax BKx B K K a b a b a b o u u u 6 G G G G 3 10110 A equação do erro do observador de ordem mínima é ė Abb KeAabe 10111 Programa 1014 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 124 10 Ba 0 Bb 1080 Ka 125 Kb 125 019375 Ke 1625 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtildeBtildeCtildeDtilde num 12109 112125 253125 den 10000 60000 21406 708 Engenharia de controle moderno Combinando as equações 10110 e 10111 obtemos x e A BK 0 BK A K A x e b bb e ab oo G G H com a condição inicial 0 0 1 0 0 1 0 x e h h R T S S S S SS V X W W W W WW G O Programa 1015 em MATLAB produz a resposta a dada condição inicial A Figura 1021 mostra as curvas de resposta Elas parecem ser aceitáveis Programa 1015 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 1 00 0 10 24 10 B 01080 K 125 125 019375 Kb 125 019375 Ke 1625 Aab 1 0 Abb 0 124 10 AA ABK BKb zeros23 AbbKeAab sys ssAAeye5eye5eye5 t 00018 x initialsys10010t x1 1 0 0 0 0x x2 0 1 0 0 0x x3 0 0 1 0 0x e1 0 0 0 1 0x e2 0 0 0 0 1x subplot321 plottx1 grid xlabel t s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid xlabel t s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid xlabel t s ylabelx3 subplot324 plotte1 grid xlabelt s ylabele1 subplot325 plotte2 grid xlabelt s ylabele2 Em seguida verificaremos as características da resposta em frequência O diagrama de Bode de malha aberta do sistema projetado está indicado na Figura 1022 A margem de fase é de cerca de 40 e a margem de ganho é dB A Figura 1023 mostra o diagrama de Bode do sistema de malha fechada A banda passante do sistema é de aproximadamente 38 rads Por fim vamos comparar os gráficos do lugar das raízes do primeiro sistema com L 10 10 e o do segundo sistema com L 45 45 O gráfico do primeiro sistema indicado na Figura 1024a mostra que o sistema é instável para pequenos ganhos cc e se torna estável para ganhos cc elevados Por outro lado o gráfico do segundo sistema indicado na Figura 1024b mostra que o sistema é estável para qualquer ganho cc positivo Comentários 1 No projeto de sistemas reguladores note que se os polos dominantes do controlador estiverem situados muito à esquerda do eixo j os elementos da matriz de ganho K de 709 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados FIGURA 1021 x1 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 0 2 4 6 8 t s 05 0 05 1 e2 3 2 1 0 x2 15 05 1 0 05 x3 5 5 0 10 15 e1 0 1 05 15 Resposta à condição inicial x10 1 x20 0 x30 0 e10 1 e20 0 FIGURA 1022 Frequência rads Diagrama de Bode do Sistema 2 malha aberta 200 150 100 50 100 Fase graus Magnitude dB 50 0 50 100 103 102 101 100 101 102 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta do Sistema 2 710 Engenharia de controle moderno realimentação de estado se tornarão grandes Os valores elevados de ganho farão que a saída do atuador seja grande de modo que haja saturações Então o sistema projetado não se comportará conforme o previsto 2 Também pelo posicionamento dos polos do observador bem à esquerda do eixo j o controladorobservador se torna instável embora o sistema de malha fechada seja estável Um controladorobservador instável não é aceitável 3 Se o controladorobservador se tornar instável mova os polos do observador para a direita no semiplano esquerdo do plano s até que o controladorobservador se torne estável Tam bém pode ser necessário modificar as localizações dos polos de malha fechada desejados FIGURA 1023 Frequência rads Diagrama de Bode do Sistema 2 malha fechada 200 50 100 150 0 60 40 Fase graus Magnitude dB 20 20 0 101 100 101 102 Diagrama de Bode da função de transferência de malha fechada do Sistema 2 FIGURA 1024 Gráfico do lugar das raízes de 91s3 917s2 2720s 2500 s5 27s4 164s3 108s2 720s Eixo real Eixo imaginário 2 4 6 814 12 10 8 6 4 2 0 2 4 2 0 6 8 a Gráfico do lugar das raízes de 12109s3 136343s2 477375s 50625 s5 16s4 861406s3 165406s2 513744s Eixo real Eixo imaginário 2 3 4 58 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 5 b a Gráfico do lugar das raízes do sistema com polos do observador em s 10 e s 10 b gráfico do lugar das raízes do sistema com polos do observador em s 45 e s 45 711 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 4 Note que se os polos do observador estiverem situados muito à esquerda do eixo j a banda passante do observador aumentará e causará problemas de ruídos Se houver um problema sério de ruído os polos do observador não poderão ficar alocados muito à esquerda do eixo j O requisito geral é que a banda passante seja suficientemente baixa para que o ruído do sensor não se torne um problema 5 A banda passante do sistema com o observador de ordem mínima é mais alta que a do sistema com o observador de ordem plena uma vez que os polos múltiplos do observador estão situados no mesmo lugar para ambos os observadores Se o ruído do sensor for um problema sério o uso de um observador de ordem plena será recomendável 107 Projeto de sistemas de controle com observadores Na Seção 106 discutimos o projeto de sistemas reguladores com observadores Os siste mas não tinham referência ou entradas de comando Nesta seção vamos considerar o projeto de sistemas de controle com observadores quando os sistemas tiverem entradas de referência ou entradas de comando A saída do sistema de controle deve seguir a entrada que é variável no tempo Ao seguir a entrada de comando o sistema deve apresentar desempenho satisfatório um tempo razoável de subida sobressinal tempo de acomodação e assim por diante Nesta seção vamos considerar sistemas de controle que são projetados utilizandose a alocação de polos com observador Vamos considerar especificamente sistemas utilizando controladoresobservadores Na Seção 106 discutimos os sistemas reguladores cujo diagrama de blocos está indicado na Figura 1025 Esse sistema não tem entrada de referência ou seja r 0 Quando o sistema tem uma entrada de referência são concebíveis várias configurações de diagramas de blocos cada uma tendo um controladorobservador As figuras 1026a e b apresentam duas dessas configurações vamos considerálas nesta seção Configuração 1 considere o sistema indicado na Figura 1027 Nesse sistema a entrada de refe rência é simplesmente adicionada ao somador Gostaríamos de projetar o controladorobservador de modo que na resposta ao degrau unitário o máximo sobressinal seja menor do que 30 e o tempo de acomodação esteja em torno de 5 s A seguir vamos projetar primeiro um sistema regulador Em seguida utilizando o controlador observador projetado vamos simplesmente adicionar a entrada de referência r no somador Antes de projetar o controladorobservador necessitamos obter a representação da planta no espaço de estados Como U s Y s s s 1 21 h h h obtemos yq ẏ u FIGURA 1025 r 0 y u y Controladorobservador Planta Sistema regulador 712 Engenharia de controle moderno Escolhendo as variáveis de estado x1 y x2 ẏ x3 ӱ temos ẋ Ax Bu y Cx onde 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 A B C 6 H H Em seguida escolhemos os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos em s 1 j s 1 j s 8 e os polos desejados do observador em s 4 s 4 A matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador podem ser obtidas como segue 16 17 10 8 15 K Ke 6 G FIGURA 1026 r y Planta r u Controlador observador u r y u Planta r y Controlador observador a b a Sistema de controle com controlador observador no ramo direito b sistema de controle com controlador observador no ramo de realimentação FIGURA 1027 r y u Controlador observador 1 ss2 1 Planta Sistema de controle com controlador observador no ramo direto 713 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Veja o Programa 1016 em MATLAB Programa 1016 em MATLAB A 0 1 00 0 10 1 0 B 001 J 1j 1j 8 K ackerABJ K 16 17 10 Aab 1 0 Abb 0 11 0 L 4 4 Ke ackerAbbAabL Ke 8 15 A função de transferência do controladorobservador é obtida por meio do Programa 1017 em MATLAB O resultado é G s s s s s s j s j s j s j 18 113 302 303 256 9 5 6569 9 5 6569 302 0 5017 0 772 0 5017 0 772 c 2 2 h h h h h Programa 1017 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador A 0 1 00 0 10 1 0 B 001 Aaa 0 Aab 1 0 Aba 00 Abb 0 11 0 Ba 0 Bb 01 Ka 16 Kb17 10 Ke 815 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtildeBtildeCtildeDtilde num 3020000 3030000 2560000 den 1 18 113 A Figura 1028 apresenta o diagrama de blocos do sistema regulador que acabou de ser pro jetado A Figura 1029 mostra o diagrama de blocos de uma configuração possível do sistema de controle baseado no sistema regulador da Figura 1028 A curva de resposta ao degrau unitário desse sistema de controle está indicada na Figura 1030 O máximo sobressinal é de cerca de 28 e o tempo de acomodação é de cerca de 45 s Assim o sistema projetado satisfaz os requisitos do projeto Configuração 2 a Figura 1031 mostra uma configuração diferente do sistema de controle O controladorobservador está situado no ramo de realimentação A entrada r é introduzida no sistema de malha fechada por meio do bloco de ganho N A partir desse diagrama de blocos a função de transferência é obtida como 714 Engenharia de controle moderno FIGURA 1028 y y u 302s2 303s 256 s2 18s 113 Controladorobservador 1 ss2 1 Planta Sistema regulador com controlador observador FIGURA 1029 y r y r u 302s2 303s 256 s2 18s 113 1 ss2 1 Controladorobservador Planta Sistema de controle com controlador observador no ramo direto FIGURA 1030 Saída y t s Resposta ao degrau unitário de 302s2 303s 256s5 18s4 114s3 320s2 416s 256 06 08 1 12 14 04 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta ao degrau unitário do sistema de controle mostrado na Figura 1029 FIGURA 1031 y Nr u u r 302s2 303s 256 s2 18s 113 1 ss2 1 N Sistema de controle com controlador observador no ramo de realimentação 715 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados R s Y s s s s s s s N s s 1 18 113 302 303 256 18 113 2 2 2 2 h h h h h Determinamos o valor da constante N tal que para a entrada r em degrau unitário a saída y se torne unitária à medida que t tende a infinito Assim escolhemos 22655 N 113 256 A Figura 1032 mostra a resposta do sistema ao degrau unitário Note que o máximo sobressinal é muito pequeno aproximadamente 4 O tempo de acomodação é de cerca de 5 s Comentários Consideramos duas configurações possíveis para os sistemas de controle de malha fechada utilizando controladoresobservadores Como foi afirmado anteriormente outras configurações são possíveis A primeira configuração que posiciona o controladorobservador no ramo direto geralmente fornece um sobressinal consideravelmente grande A segunda configuração que posiciona o controladorobservador no ramo de realimentação produz um sobressinal menor Essa curva de resposta é bastante similar à do sistema projetado pelo método de alocação de polos utilizando o controladorobservador Veja a curva de resposta do sistema ao degrau unitário mostrada na Figura 1033 projetada pelo método de alocação de polos sem observador Aqui os polos dese jados de malha fechada utilizados são s 1 j s 1 j s 8 Note que nesses dois sistemas o tempo de subida e o tempo de acomodação são determinados principalmente pelos polos desejados de malha fechada para efeito de alocação de polos Veja as figuras 1032 e 1033 Os diagramas de Bode do sistema 1 de malha fechada indicado na Figura 1029 e do sistema 2 de malha fechada mostrado na Figura 1031 são apresentados na Figura 1034 A partir dessa figura vemos que a banda passante do sistema 1 é 5 rads e a do sistema 2 é 13 rads Resumo do método de projeto no espaço de estados 1 O método de projeto no espaço de estados com base no enfoque de alocação de polos combinado com observador é muito poderoso É um método no domínio do tempo Os FIGURA 1032 Saída y t s Resposta ao degrau unitário de 22655s2 40779s 256s5 18s4 114s3 320s2 416s 256 06 08 1 12 14 04 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta ao degrau unitário do sistema indicado na Figura 1031 Os polos de malha fechada para efeito de alocação de polos são s 1 j s 8 Os polos do observador estão em s 4 s 4 716 Engenharia de controle moderno polos desejados de malha fechada podem ser alocados arbitrariamente desde que a planta seja de estado completamente controlável 2 Se nem todas as variáveis de estado puderem ser medidas devese incorporar um obser vador para estimar as variáveis de estado não mensuráveis 3 No projeto de um sistema utilizando o método de alocação de polos é necessário con siderar vários conjuntos diferentes de polos de malha fechada desejados comparar as características de resposta e escolher a melhor delas 4 A banda passante do controladorobservador geralmente é grande porque escolhemos polos do observador bem à esquerda no plano s Uma banda passante grande transmite ruídos de alta frequência causando problemas de ruído FIGURA 1033 Saída y t s Resposta ao degrau unitário do sistema sem observador 06 08 1 12 14 04 02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Resposta ao degrau unitário do sistema de controle projetado pelo método de alocação de polos sem observador Os polos de malha fechada estão em s 1 j s 8 FIGURA 1034 Frequência rads Diagrama de Bode dos sistemas de malha fechada 300 0 100 200 100 150 100 Fase graus Magnitude dB 50 50 0 101 100 101 102 Sistema 1 Sistema 2 Sistema 1 Sistema 2 Diagramas de Bode do sistema 1 de malha fechada mostrado na Figura 1029 e do sistema 2 de malha fechada mostrado na Figura 1031 717 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 5 Geralmente a adição de um observador ao sistema reduz a margem de estabilidade Em alguns casos um controladorobservador pode ter zeros no semiplano direito do plano s o que significa que o controlador pode ser estável mas de fase não mínima Em outros casos o controlador pode ter polos no semiplano direito do plano s isto é o controlador é instável Então o sistema projetado pode se tornar condicionalmente estável 6 Quando o sistema é projetado pelo método de alocação de polos com observador é reco mendável verificar as margens de estabilidade margem de fase e margem de ganho utilizandose o método da resposta em frequência Se as margens de estabilidade do sis tema projetado forem pequenas é possível que o sistema se torne instável se o modelo matemático envolver incertezas 7 Note que para sistemas de ordem n os métodos clássicos de projeto os métodos do lugar das raízes e de resposta em frequência resultam em compensadores de ordem pequena primeira ou segunda ordens Como os controladores com base em observadores são de ordem n ou de ordem N m se for utilizado o observador de ordem mínima para um sistema de ordem n o sistema projetado se tornará de ordem 2n ou de ordem 2n m Como os compensadores de menor ordem são mais baratos que os de maior ordem o projetista deve aplicar primeiro os métodos clássicos e se não puder ser determinado nenhum compensador adequado então deve tentar o método de projeto de alocação de polos com observador apresentado neste capítulo 108 Sistemas reguladores quadráticos ótimos Uma vantagem do método de controle quadrático ótimo sobre o método de alocação é que o primeiro fornece um modo sistemático de cálculo da matriz de ganho de controle por reali mentação de estado O problema do regulador quadrático ótimo Vamos considerar agora o problema do regu lador quadrático ótimo que dada a equação do sistema ẋ Ax Bu 10112 permite determinar a matriz K do vetor de controle ótimo ut Kxt 10113 para minimizar o índice de desempenho J dt x Qx u Ru 0 3 h 10114 onde Q é uma matriz hermitiana definida positiva ou semidefinida positiva ou real simétrica e R é uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica Note que o segundo termo do lado direito da Equação 10114 representa o consumo de energia dos sinais de controle As matrizes Q e R determinam a importância relativa do erro e o consumo dessa energia Nesse problema vamos supor que o vetor de controle ut não seja limitado Como será visto posteriormente a lei de controle linear dada pela Equação 10113 é a lei de controle ótimo Portanto se os elementos não conhecidos da matriz K forem determinados para minimizar o índice de desempenho então ut Kxt será ótimo para qualquer estado inicial x0 O diagrama de blocos mostrando a configuração ótima está indicado na Figura 1035 Vamos resolver agora o problema de otimização Substituindo a Equação 10113 na Equação 10112 obtemos ẋ Ax BKx A BKx Nas deduções seguintes vamos supor que a matriz A BK seja estável ou que os autovalores de A BK tenham partes reais negativas 718 Engenharia de controle moderno Substituindo a Equação 10113 na Equação 10114 temos J dt dt x Qx x K RKx x Q K RK x 0 0 3 3 h h Fazendo x Q K RK x x Px dt d h h onde P é uma matriz hermitiana definida positiva ou simétrica real Assim obtemos xQ KRKx ẋPx xPẋ xA BKP PA BKx Comparando ambos os lados da última equação e notando que essa deve ser verdadeira qualquer que seja x temos necessariamente A BKP PA BK Q KRK 10115 Podese provar que se A BK for uma matriz estável existirá uma matriz definida positiva P que satisfaça a Equação 10115 Veja o Problema A1015 Portanto o procedimento consiste em determinar os elementos de P a partir da Equação 10115 e verificar se ela é definida positiva Note que mais de uma matriz P pode satisfazer essa equação Se o sistema for estável sempre existirá uma matriz P definida positiva que satisfaça essa equação Isso quer dizer que se resolvermos essa equação e encontrarmos uma matriz definida positiva P o sistema será estável Outras matrizes P que satisfazem essa equação não são definidas positivas e devem ser descartadas O índice de desempenho J pode ser calculado como J dt 0 0 x Q K RK x x Px x Px x Px 0 0 3 3 3 3 h h h h h Como se supõe que todos os autovalores de A BK tenham partes reais negativas temos x 0 Portanto obtemos J x0Px0 10116 Assim o índice de desempenho J pode ser obtido em termos da condição inicial x0 e P Para obter a solução do problema de controle quadrático ótimo procedemos da seguinte maneira ao supor que R seja uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica podese escrever R TT onde T é uma matriz não singular Então a Equação 10115 pode ser escrita como A KBP PA BK Q KTTK 0 que pode ser reescrita como AP PA TK T 1BP TK T 1BP PBR 1 Q 0 FIGURA 1035 x Ax Bu x u K Sistema regulador ótimo 719 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A minimização de J em relação a K requer a minimização de xTK T 1BPTK T 1BPx em relação a K Veja o Problema A1016 Como essa última expressão é não negativa o mínimo ocorre quando ela é zero ou quando TK T 1BP Portanto K T 1T 1BP R 1BP 10117 A Equação 10117 fornece a matriz ótima K Assim a lei de controle ótimo do problema de controle quadrático ótimo quando o índice de desempenho é dado pela Equação 10114 é linear e é dada por ut Kxt R 1BPxt A matriz P na Equação 10117 deve satisfazer a Equação 10115 ou a seguinte equação reduzida AP PA PBR 1BP Q 0 10118 A Equação 10118 é denominada equação matricial reduzida de Riccati As etapas do projeto podem ser expressas como segue 1 Resolva a Equação 10118 equação matricial reduzida de Riccati para a matriz P Se existir uma matriz definida positiva P certos sistemas podem não ter a matriz definida positiva P o sistema será estável ou a matriz A BK será estável 2 Substitua essa matriz P na Equação 10117 A matriz K resultante é a matriz ótima Um exemplo de projeto baseado nesse enfoque é dado no Exemplo 109 Note que se a matriz A BK for estável o método apresentado sempre fornecerá o resultado correto Por fim observe que se o índice de desempenho for dado em termos do vetor de saída em vez do vetor de estado isto é J dt y Qy u Ru 0 3 h então a expressão do índice pode ser modificada utilizandose a equação de saída y Cx para J dt x C QCx u Ru 0 3 h 10119 e as etapas do projeto apresentadas nesta seção podem ser aplicadas para obter a matriz ótima K Exemplo 109 Considere o sistema indicado na Figura 1036 Ao supor que o sinal de controle seja ut Kxt determine a matriz de ganho K ótima de realimentação de ganho ótimo de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado FIGURA 1036 u x1 Planta x2 K Sistema de controle 720 Engenharia de controle moderno J u dt x Qx T 2 0 3 h onde 1 0 0 0 Q n n h G A partir da Figura 1036 vemos que a equação de estado da planta é ẋ Ax Bu onde 0 0 1 0 0 1 A B G G Mostraremos o uso da equação matricial reduzida de Riccati no projeto do sistema de controle ótimo Vamos resolver a Equação 10118 reescrevendoa como AP PA PBR 1BP Q 0 Notando que a matriz A é real e a matriz Q é real simétrica vemos que a matriz P é uma matriz real simétrica Portanto essa última equação pode ser escrita como p p p p p p p p p p p p p p p p 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 11 12 12 22 11 12 12 22 11 12 12 22 11 12 12 22 n 6 6 G G G G G G G G G Essa equação pode ser simplificada para p p p p p p p p p p 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 11 12 11 12 12 2 12 22 12 22 22 2 n G G G G G da qual são obtidas as três equações seguintes 1 p2 12 0 p11 p12p22 0 μ 2p12 p2 22 0 Resolvendo essas três equações simultâneas para p11 p12 e p22 impondo que P seja definida positiva obtemos 2 2 p p p p 1 1 P 11 12 12 22 n n G G Considerando a Equação 10117 a matriz de ganho K ótima de realimentação é obtida como 2 p p p p p p 1 0 1 1 K R B P 1 11 12 12 22 12 22 n 6 6 6 8 G B Assim o sinal de controle ótimo é u x 2 x Kx 1 2 n 10120 Note que a lei de controle dada pela Equação 10120 produz um resultado ótimo para qualquer estado inicial para o índice de desempenho dado A Figura 1037 é o diagrama de blocos desse sistema 721 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Como a equação característica é 2 1 0 I A BK s s s 2 n se m 1 os dois polos de malha fechada se situam em s 0866 j05 s 0866 j05 Estes correspondem aos polos desejados de malha fechada quando m 1 Resolvendo o problema do regulador quadrático ótimo com o MATLAB No MATLAB o comando lqrABQR resolve o problema do regulador quadrático linear de tempo contínuo e a equação de Riccati associada Esse comando calcula a matriz de ganho K ótima de realimentação de modo que a lei de controle de realimentação u Kx minimiza o índice de desempenho J dt x Qx u Ru 0 3 h sujeita à equação de estado ẋ Ax Bu Outro comando KPE lqrABQR retorna a matriz de ganho K o vetor de autovalores E e a matriz P a única solução definida positiva da equação matricial associada de Riccati PA AP PRB 1 BP Q 0 Se a matriz A BK for uma matriz estável essa solução definida positiva P sempre existirá Os autovalores do vetor E fornecem os polos de malha fechada de A BK É importante notar que para certos sistemas a matriz A BK não pode se tornar uma matriz estável qualquer que seja a K escolhida Nesse caso não existe uma matriz P definida positiva para a equação matricial de Riccati Para esse caso os comandos K lqr ABQR KPE lqrABQR não fornecem a solução Veja o Programa 1018 em MATLAB Exemplo 1010 Considere o sistema definido por x x x x u 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 o o G G G G Mostre que o sistema não pode ser estabilizado pelo esquema de controle por realimentação de estado FIGURA 1037 u x1 Planta x2 μ 2 Controle ótimo da planta apresentada na Figura 1036 722 Engenharia de controle moderno u Kx qualquer que seja a matriz K escolhida Note que esse sistema é de estado não controlável Defina K k1 k2 Então k k k k 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 A BK 1 2 1 2 6 G G G Portanto a equação característica tornase s s k k s s k s 1 0 1 2 1 2 0 I A BK 1 2 1 h h Os polos de malha fechada estão localizados em s 1 k1 s 2 Como o polo em s 2 está no semiplano direito do plano s o sistema é instável qualquer que seja a matriz K escolhida Em consequência as técnicas de controle quadrático ótimo não podem ser aplicadas a esse sistema Vamos supor que as matrizes Q e R do índice de desempenho quadrático sejam dadas por R 1 0 0 1 1 Q 6 G e que escrevemos o Programa 1018 em MATLAB A solução resultante pelo MATLAB é K NaN NaN NaN significa not a number ou seja não é um número Quando a solução de um problema de controle quadrático ótimo não existe o MATLAB informa que a matriz K é constituída por NaN Programa 1018 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 1 10 2 B 10 Q 1 00 1 R 1 K lqrABQR Cuidado a matriz é singular no trabalho de precisão K NaN NaN Se digitarmos o comando KPE lqrABQR então KPE lqrABQR Cuidado a matriz é singular no trabalho de precisão K NaN NaN P Inf Inf Inf Inf E 20000 14142 723 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Exemplo 1011 Considere o sistema descrito por ẋ Ax Bu onde 0 0 1 1 0 1 A B G G O índice de desempenho J é dado por J u Ru dt x Qx 0 3 l l h onde Q R 1 0 0 1 1 6 G Suponha que seja utilizado o seguinte controle u u Kx Determine a matriz de ganho K ótima de realimentação Podese obter a matriz de ganho K ótima de realimentação resolvendose a seguinte equação de Riccati para uma matriz definida positiva P AP PA PRB 1 BP Q 0 O resultado é 2 1 1 1 P G Substituindo essa matriz P na equação a seguir temos a matriz ótima K R 1 0 1 2 1 1 1 1 1 K 1 B P l 6 6 6 G Assim o sinal ótimo de controle é dado por u Kx x1 x2 O Programa 1019 em MATLAB também fornece a solução desse problema Programa 1019 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 0 10 1 B 01 Q 1 0 0 1 R 1 K lqrABQR K 10000 10000 Exemplo 1012 Considere o sistema dado por ẋ Ax Bu onde 0 0 35 1 0 27 0 1 9 0 0 1 A B H H 724 Engenharia de controle moderno O índice de desempenho J é dado por J u Ru dt x Qx 0 3 l l h onde Q R 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 6 H Obtenha a matriz definida positiva P de solução da equação de Riccati a matriz de ganho K ótima de realimentação e os autovalores da matriz A BK O Programa 1020 em MATLAB fornecerá a solução desse problema A seguir vamos obter a resposta x do sistema regulador para a condição inicial x0 onde x 0 1 0 0 h H Com realimentação de estado u Kx a equação de estado desse sistema tornase ẋ Ax Bu A BKx Então o sistema ou sys pode ser dado por sys ssABKeye3 eye3 eye3 O Programa 1021 em MATLAB produz a resposta para dada condição inicial A Figura 1038 mostra as curvas de resposta Programa 1020 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 0 1 00 0 135 27 9 B 001 Q 1 0 00 1 00 0 1 R 1 KPE lqrABQR K 00143 01107 00676 P 42625 24957 00143 24957 28150 01107 00143 01107 00676 E 50958 19859 17110i 19859 17110i FIGURA 1038 x1 06 08 1 12 04 02 0 0 2 4 6 8 02 t s x2 0 2 4 6 8 0 02 02 04 08 06 1 12 t s x3 0 2 4 6 8 3 2 1 0 1 2 t s Curvas de resposta à condição inicial 725 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1021 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 1 00 0 135 27 9 B 001 K 00143 01107 00676 sys ssABK eye3eye3eye3 t 00018 x initialsys100t x1 1 0 0x x2 0 1 0x X3 0 0 1x subplot221 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot222 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot223 plottx3 grid xlabelt s ylabelx3 Exemplo 1013 Considere o sistema indicado na Figura 1039 A planta é definida pelas seguintes equações no espaço de estados ẋ Ax Bu y Cx Du onde A B C D 0 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 0 6 6 H H O sinal de controle u é dado por u k1r x1 k2 x2 k3 x3 k1r k1x1 k2 x2 k3 x3 Na determinação da lei de controle ótimo vamos supor que a entrada seja zero ou r 0 Vamos determinar a matriz de ganho K de realimentação de estado onde K k1 k2 k3 de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado J u Ru dt x Qx 0 3 l l h FIGURA 1039 x Ax Bu k2 k3 y Cx k1 r u x x2 x3 y x1 Sistema de controle 726 Engenharia de controle moderno onde 1 q q q R x x x y y y 0 0 0 0 0 0 Q x 11 22 33 1 2 3 o p R T S S SS V X W W WW H H Para obter uma resposta rápida q11 deve ser suficientemente grande comparado a q22 q33 e R Nesse problema escolhemos q11 100 q22 q33 1 R 001 Para resolver esse problema com o MATLAB utilizamos o comando K lqrABQR O Programa 1022 em MATLAB conduz à solução desse problema Programa 1022 em MATLAB Projeto do sistema regulador quadrático ótimo A 0 1 00 0 10 2 3 B 001 Q 100 0 00 1 00 0 1 R 001 K lqrABQR K 1000000 531200 116711 A seguir vamos investigar as características da resposta ao degrau unitário do sistema proje tado utilizando a matriz K já determinada A equação de estado do sistema projetado é ẋ Ax Bu Ax BKx k1r A BKx Bk1r e a equação de saída é y x x x 1 0 0 Cx 1 2 3 6 H Para obter a resposta ao degrau unitário utilize o seguinte comando yxt stepAABBCCDD onde AA A BK BB Bk1 CC C DD D O Programa 1023 em MATLAB produz a resposta ao degrau unitário do sistema projetado A Figura 1040 mostra as curvas de resposta x1 x2 e x3 versus t em um diagrama 727 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1023 em MATLAB Resposta ao degrau unitário do sistema projetado A 0 1 00 0 10 2 3 B 001 C 1 0 0 D 0 K 1000000 531200 116711 k1 K1 k2 K2 k3 K3 Defina matriz de estado matriz de controle matriz de saída e matriz de transmissão direta dos sistemas projetados como BB CC e DD AA A BK BB Bk1 CC C DD D t 00018 yxt step AABBCCDD1t plottx grid titleCurvas de resposta x1 x2 x3 versus t xlabelt s ylabelx1x2x3 text26135x1 text1215x2 text0635x3 Comentários finais sobre sistemas reguladores ótimos 1 Dado um estado inicial xt0 qualquer o problema do regulador ótimo é encontrar um possível vetor de controle ut que transfira o estado para a região do espaço de estados desejada e para o qual o índice de desempenho seja minimizado Para que exista um vetor de controle ótimo ut o sistema deve ser de estado completamente controlável 2 O sistema que minimiza ou maximiza conforme o caso o índice de desempenho sele cionado é por definição ótimo Embora o controlador possa em muitas aplicações prá FIGURA 1040 5 2 1 4 2 0 1 3 t s 0 5 2 3 1 4 8 6 7 Curvas de resposta x1 x2 x3 versus t x1 x2 x3 x1 x2 x3 Curvas de resposta x1 versus t x2 versus t e x3 versus t 728 Engenharia de controle moderno ticas não ter nada a ver com a característica ótima o ponto importante é que o projeto baseado no índice quadrático de desempenho resulte em um sistema de controle estável 3 A característica de uma lei de controle ótimo baseada em um índice quadrático de desem penho é a de ser uma função linear das variáveis de estado o que implica a necessidade de realimentar todas as variáveis de estado Isso requer que todas essas variáveis estejam disponíveis para realimentação Se nem todas as variáveis estiverem disponíveis para realimentação então será necessário empregar um observador de estado para estimar as variáveis de estado não mensuráveis e utilizar os valores estimados para gerar sinais de controle ótimo Note que os polos de malha fechada do sistema projetado por meio do método do regulador quadrático ótimo podem ser encontrados a partir de sI A BK 0 Como esses polos correspondem aos polos de malha fechada desejados no método de alocação as funções de transferência dos controladoresobservadores podem ser obtidas ou da Equação 1074 se o observador for de ordem plena ou da Equação 10108 se o observador for de ordem mínima 4 Se o sistema de controle ótimo for projetado no domínio do tempo será desejável inves tigar as características da resposta em frequência para compensar efeitos de ruído As características da resposta em frequência do sistema devem ser tais que o sistema atenue fortemente na faixa de frequências em que são esperados os ruídos e a ressonância dos componentes Para compensar os efeitos de ruído devemos em alguns casos modificar a configuração ótima e aceitar um desempenho abaixo de ótimo ou alterar o índice de desempenho 5 Se o limite superior de integração no índice de desempenho J dado pela Equação 10114 for finito então se pode mostrar que o vetor de controle ótimo ainda é uma função linear das variáveis de estado mas com coeficientes variantes no tempo Portanto a determinação do vetor de controle ótimo envolve as matrizes ótimas variantes no tempo 109 Sistemas de controle robusto Suponha que para dado determinado objeto de controle por exemplo um sistema com braço flexível queiramos projetar um sistema de controle O primeiro passo no projeto de um sistema de controle é a obtenção de um modelo matemático do objeto de controle com base nas leis da física Frequentemente o modelo pode ser não linear e é possível que tenha parâmetros distribuídos Um modelo assim pode ser difícil de analisar É desejável fazer uma aproximação por meio de uma equação linear de coeficientes constantes que proporcionará uma aproximação bastante boa do objeto real Observe que embora o modelo a ser usado para fins de projeto seja simplificado é necessário que tal modelo inclua todas as características intrínsecas do objeto real Presumindo que podemos obter um modelo que se aproxima satisfatoriamente do sistema real precisamos obter um modelo simplificado com o objetivo de projetar o sistema de controle que requer um compensador da menor ordem possível Portanto o modelo do objeto de controle seja ele qual for provavelmente incluirá um erro no processo de modelagem Observe que no método de resposta em frequência para o projeto de sistemas de controle usamos as margens de fase e de ganho para solucionar os erros de modelagem No entanto no método de espaço de estados que se baseia nas equações diferenciais da dinâmica da planta tais margens não fazem parte do processo de projeto Como a planta real difere do modelo usado no projeto surge a questão quanto ao controlador projetado por meio de um modelo ser capaz de funcionar satisfatoriamente na planta real Para ter certeza de que isso acontecerá a teoria do controle robusto foi desenvolvida por volta de 1980 729 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A teoria do controle robusto parte do pressuposto de que os modelos que usamos para projetar sistemas de controle contêm erros de modelagem Nesta seção vamos apresentar uma introdução a essa teoria Fundamentalmente a teoria presume que existe incerteza ou erro entre a planta real e seu modelo matemático e inclui essa incerteza ou erro no processo de projeto do sistema de controle Sistemas projetados com base na teoria do controle robusto têm as seguintes propriedades 1 Estabilidade robusta O sistema de controle projetável é estável na presença de distúrbios 2 Desempenho robusto O sistema de controle manifesta características de reposta prede terminadas na presença de distúrbios Essa teoria requer considerações baseadas na análise de resposta em frequência e na análise de domínio do tempo Em virtude da complexidade matemática associada à teoria do controle robusto a discussão detalhada dessa teoria está além do escopo do estudante dos últimos anos de engenharia Nesta seção será apresentada apenas uma discussão introdutória à teoria do controle robusto Elementos de incerteza na dinâmica das plantas O termo incerteza referese às diferenças ou erros entre o modelo da planta e a planta em si Elementos de incerteza que podem surgir em sistemas práticos podem ser classificados como incerteza estruturada e incerteza não estruturada Exemplos de incerteza estruturada são todas as variações de parâmetro na dinâmica da planta como variações nos polos e zeros na função de transferência da planta Exemplos de incerteza não estruturada incluem as incertezas dependentes de frequência como modos de alta frequência que normalmente negligenciamos na modelagem da dinâmica das plantas Por exemplo na modelagem de um sistema de braço flexível o modelo pode incluir um número finito de modos de oscilação Os modos de oscilação que não são incluí dos na modelagem comportamse como incerteza do sistema Outro exemplo de incerteza ocorre na linearização de uma planta não linear Se a planta real for não linear e o modelo for linear a diferença atua como incerteza não estruturada Nesta seção consideramos o caso em que a incerteza é não estruturada Além disso presu mimos que a planta tem apenas uma incerteza Algumas plantas podem ter vários elementos de incerteza Na teoria de controle robusto definimos a incerteza não estruturada como Ds Como a descrição exata de Ds é desconhecida fazemos uma estimativa de Ds quanto à magnitude e característica de fase e usamos essa estimativa no projeto do controlador que estabiliza o sistema de controle A estabilidade de um sistema com incerteza não estruturada pode então ser examinada utilizandose o teorema do ganho pequeno que será dado em seguida à definição da norma H Norma H A norma H de um sistema estável com entrada e saídas unitárias é o maior fator de amplificação possível da resposta em estado permanente à excitação senoidal Para um escalar Us U resulta no valor máximo de Uj É a chamada norma H Veja a Figura 1041 FIGURA 1041 Us U Uj em dB z Diagrama de Bode e a norma H U 730 Engenharia de controle moderno Estabilidade robusta Vamos definir que G dinâmica da planta real G dinâmica do modelo da planta Dm incerteza não estruturada multiplicativa Presumimos que Dm seja estável e que seu limite superior seja conhecido Presumimos também que G e G tenham a seguinte relação G GI Δm Considere o sistema mostrado na Figura 1043a Vamos examinar a função de transferência entre o ponto A e o ponto B Observe que a Figura 1043a pode ser redesenhada como mostra a Figura 1043b A função de transferência entre o ponto A e o ponto B pode ser dada por KG KG KG KG 1 1 1 h FIGURA 1043 m T B A K f w u z y P G w u y K WmI e c y z G K m m d y u K G y u B z w A A B G K m a b y u A B a Diagrama de blocos de um sistema com incerteza não estruturada multiplicativa b a d modificações sucessivas no diagrama de blocos de a e diagrama de blocos de planta generalizada com incerteza não estruturada multiplicativa f diagrama da planta generalizada 732 Engenharia de controle moderno Defina 1 KG 1KG T 10121 Usando a Equação 10121 podemos redesenhar a Figura 1043b como a Figura 1043c Aplicando o teorema do ganho pequeno ao sistema que consiste em Dm e T como mostra a Figura 1043c obtemos que a condição de estabilidade é ΔmT 1 10122 Em geral é impossível modelar Dm com precisão Portanto vamos usar uma função de transfe rência escalar Wm j de forma que j W j m m 1 v D h h onde v Dm j é o maior valor singular de Dmj Considere em lugar da Desigualdade 10122 a seguinte desigualdade WmT 1 10123 Se a Desigualdade 10123 for verdadeira a Desigualdade 10122 sempre será satisfeita Tornando a norma H de WmT menor que 1 obtemos o controlador K que tornará o sistema estável Suponha que na Figura 1043a cortemos a reta no ponto A Obteremos então a Figura 1043d Substituindo Dm por WmI obtemos a Figura 1043e Redesenhando a Figura 1043e obtemos a Figura 1043f A Figura 1043f é chamada diagrama de planta generalizada Considerando a Equação 10121 T é dado por T KG KG 1 10124 Então a Desigualdade 10123 pode ser reescrita como 1 K s G s W K s G s 1 m 1 3 h h h h 10125 Obviamente para um modelo estável de planta Gs Ks 0 vai satisfazer a Desigualdade 10125 No entanto Ks 0 não é a função de transferência desejável para o controlador Para encontrar uma função de transferência aceitável para Ks podemos acrescentar outra condição por exemplo que o sistema resultante tenha desempenho robusto de forma que a saída acompanhe a entrada com erro mínimo ou outra condição razoável A seguir obteremos a condição para o desempenho robusto Desempenho robusto Considere o sistema mostrado na Figura 1044 Suponha que queira mos que a saída yt acompanhe a entrada rt tão próximo quanto possível ou seja queremos que 0 lim lim r t y t e t t t 3 3 h h h 6 Como a função de transferência YsRs é R s Y s KG KG 1 h h temos 1 R s E s R s R s Y s R s Y s KG 1 1 h h h h h h h FIGURA 1044 r e y Ks Gs Sistema de malha fechada 733 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Defina KG S 1 1 onde S é normalmente chamado função de sensibilidade e T definido pela Equação 10124 é denominado função complementar de sensibilidade Neste problema de desempenho robusto queremos que a norma H de S seja menor que a função de transferência desejada Ws 1 ou S Ws 1 que pode ser escrita como Ws S 1 10126 Combinando as Desigualdades 10123 e 10126 obtemos 1 W S W T s m 1 3 onde T S 1 ou 1 W s K s G s K s G s W s K s G s 1 1 1 m s 1 3 h h h h h h h h 10127 Nosso problema então se torna encontrar Ks que satisfaça a Desigualdade 10127 Observe que dependendo dos Wms e Wss escolhidos vários Ks poderão satisfazer a Desigualdade 10127 ou pode não haver Ks que satisfaça a Desigualdade 10127 Um problema de controle robusto desse tipo que utiliza a Desigualdade 10127 é chamado problema de sensibilidade mista A Figura 1045a é um diagrama de planta generalizada no qual duas condições estabili dade robusta e desempenho robusto estão especificadas A Figura 1045b mostra uma versão simplificada do diagrama FIGURA 1045 K G b w u w u z y y P K WmI WsI a y z2 z1 z a Diagrama de planta generalizada b versão simplificada do diagrama de planta generalizada mostrado em a 734 Engenharia de controle moderno Encontrando a função de transferência zsws a partir de um diagrama de planta generalizada Considere o diagrama de planta generalizada mostrado na Figura 1046 Nesse diagrama ws é o distúrbio exógeno e us é a variável manipulada zs é a variável controlada e ys é a variável observada Considere o sistema de controle que consiste na planta generalizada Ps e no controlador Ks A equação que estabelece a relação entre as saídas zs e ys e as entradas ws e us da planta generalizada Ps é z s y s P P P P w s u s 11 21 12 22 h h h h G G G A equação que estabelece a relação entre us e ys é dada por us Ksys Defina a função de transferência que relaciona a variável controlada zs ao distúrbio exógeno ws como Us Então zs Usws Observe que Us pode ser determinada como segue como zs P11ws P12us ys P21ws P22us us Ksys obtemos ys P21ws P22Ksys Portanto I P22Ks ys P21ws ou ys I P22Ks 1P21ws Consequentemente zs P11ws P12KsI P22Ks 1P21ws P11 P12KsI P22Ks 1P21ws Logo Us P11 P12KsI P22Ks 1P21 10128 Exemplo 1015 Vamos determinar a matriz P no diagrama de planta generalizada do sistema de controle con siderado no Exemplo 1014 Deduzimos a Desigualdade 10125 para que o sistema de controle tenha estabilidade robusta Reescrevendo a Desigualdade 10125 temos FIGURA 1046 Ks Ps w u z y P11 P21 P12 P22 Diagrama de planta generalizada 735 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 1 KG W KG 1 m 1 3 10129 Se definirmos KG W KG 1 1 m U 10130 então a Desigualdade 10129 pode ser escrita como U1 1 Considerando a Equação 10128 reescrita como U P11 P12KI P22K 1P21 observe que se escolhermos a matriz P da planta generalizada como P I W G G 0 m G 10131 Então obteremos U P11 P12KI P22K 1P21 WmKGI KG 1 que é exatamente o mesmo que U1 na Equação 10130 Deduzimos no Exemplo 1014 que se quisermos que a saída y acompanhe a entrada r o mais perto possível precisamos que a norma H de U2s onde I KG Ws 2 U 10132 seja menor que 1 Veja a Desigualdade 10126 Observe que a variável controlada z está relacionada ao distúrbio exógeno w por z Usw e considerando a Equação 10128 Us P11 P12KI P22K 1P21 Observe que se escolhermos a matriz P como P W I W G G s s H 10133 então obtemos P P K I P K P W W KG I KG W KG KG W KG 1 1 1 1 s s s s 11 12 22 1 21 1 U h h G E que é o mesmo que U2 na Equação 10132 Se ambas as condições de estabilidade robusta e desempenho robusto forem necessárias o sistema de controle deve satisfazer a condição dada pela Desigualdade 10127 reescrita como 1 W KG KG W KG 1 1 1 m s 1 10134 Para a matriz P combinamos as equações 10133 e 10131 e obtemos 736 Engenharia de controle moderno P W I W G W G G 0 s s m R T S S SS V X W W WW 10135 Se construirmos Ps conforme dado pela Equação 10135 então o problema de projetar um sis tema de controle para satisfazer tanto a condição de estabilidade robusta quanto a de desempenho robusto pode ser formulado usandose a planta generalizada representada pela Equação 10135 Conforme mencionado anteriormente esse problema é chamado problema de sensibilidade mista Usandose a planta generalizada dada pela Equação 10135 podemos determinar o controlador Ks que satisfaz a Desigualdade 10134 O diagrama de planta generalizada para o sistema con siderado no Exemplo 1014 tornase como o que é mostrado na Figura 1047 Problema de controle H infinito Para projetar um controlador K de um sistema de controle de forma que ele satisfaça várias especificações de estabilidade e desempenho utilizamos o conceito de planta generalizada Conforme mencionamos anteriormente uma planta generalizada é um modelo linear que consiste em um modelo da planta e funções de ponderação correspondentes às especificações para o desempenho exigido Considerando a planta generalizada mostrada na Figura 1048 o problema de controle H infinito é o problema de projetar um controlador K que torne a norma H da função de transferência entre o distúrbio exógeno w e a variável controlada z menor que um valor especificado O motivo pelo qual empregamos plantas generalizadas em lugar de diagramas de blocos individuais de sistemas de controle é que vários sistemas de controle com elementos de incerteza foram projetados utilizandose plantas generalizadas e consequentemente abordagens de projeto usandose essas plantas estão disponíveis Observe que qualquer função de ponderação como Ws é um parâmetro importante que influenciará o controlador Ks resultante De fato a qualidade do sistema consequentemente projetado depende da escolha da função ou das funções de ponderação utilizadas no projeto FIGURA 1047 K w u z2 y O I WmG G z1 Ws WsG Planta generalizada do sistema discutido no Exemplo 1015 FIGURA 1048 K w u z y Planta generalizada Diagrama de planta generalizada 737 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados O controlador que é a solução para o problema de controle H infinito é normalmente cha mado controlador H infinito Solução de problemas de controle robusto Existem três abordagens estabelecidas para a solução de problemas de controle robusto São elas 1 Resolver o problema de controle robusto deduzindo as equações de Riccati e resolvendoas 2 Resolver o problema de controle robusto utilizando a abordagem de desigualdade da matriz linear 3 Resolver o problema de controle robusto que inclui incertezas estruturais utilizando a abordagem de análise de m e a síntese de m A solução de problemas de controle por meio de qualquer um dos métodos citados requer amplo conhecimento de matemática Nesta seção apresentamos apenas uma introdução à teoria de controle robusto Resolver qualquer problema de controle robusto requer conhecimento matemático além do escopo dos estudantes dos últimos anos de engenharia Portanto o leitor interessado poderá optar por um curso de extensão universitária para estudar o assunto mais detalhadamente Exemplos de problemas com soluções A101 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu Suponha que esse sistema não seja de estado completamente controlável Então o posto da matriz de controlabilidade é menor que n ou posto BABAn 1 B q n 10136 Isso significa que existem q vetorescoluna linearmente independentes na matriz de controlabi lidade Vamos representar esses vetores por f1 f2 fq Vamos escolher também n q vetores de dimensão n adicionais vq 1 vq 2 vn de modo que P f1f2fqvq 1vq 2vn seja de posto n Utilizando a matriz P como matriz de transformação defina P 1AP  P 1B B Mostre que  pode ser dada por A A 0 A A 11 12 22 t G onde A11 é uma matriz q q A12 é uma matriz q n q A22 é uma matriz n q n q e 0 é uma matriz n q q Mostre também que a matriz B pode ser dada por B B 0 11 t G onde B11 é uma matriz q 1 e 0 é uma matriz n q 1 Solução Note que AP P ou Af1Af2AfqAvq 1Avn f1f2fqvq 1vn 10137 738 Engenharia de controle moderno Além disso P PB 10138 Como temos q vetorescoluna linearmente independentes f1 f2 fq podemos usar o teorema de CayleyHamilton para exprimir os vetores Af1 Af2 Afq em termos de q vetores Ou seja Af1 a11f1 a21f2 aq1fq Af2 a12f1 a22f2 aq2fq h Afq a1qf1 a2qf2 aqqfq Então a Equação 10137 pode ser escrita como segue a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 Af Af Af Av Av f f f v v q q n q q n q q q qq q q qq q q nq n n qn q n nn 1 2 1 1 2 1 11 21 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 g g g g h h g g g g g h h h h g g g g g h h R T S S S S S S S S SS 6 6 V X W W W W W W W W WW Defina a a a a a a a a a a a a n q q a a a a 0 0 0 0 matriz zero A A A A q q q qq q q qq n n qn q q nq q n nn 11 21 1 1 2 11 1 1 2 1 1 1 2 12 21 1 1 1 1 22 h g g g h h g g g h h g g h h g g h h R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW H H Então a Equação 10137 pode ser escrita como Af Af Af Av Av f f f v v A 0 A A q q n q q n 1 2 1 1 2 1 11 12 22 g g g g 6 6 G Assim AP P A 0 A A 11 12 22 G 739 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Então P AP A A 0 A A 1 11 12 22 t G Em seguida considerando a Equação 10138 temos B f1f2fqvq 1vnB 10139 Considerando a Equação 10136 observe que o vetor B pode ser escrito em termos de q vetores coluna linearmente independentes f1 f2 fq Assim temos B b11f1 b21f2 bq1fq Em consequência a Equação 10139 pode ser escrita como segue b b b b b b 0 0 f f f f f f v v q q q q n q 11 1 21 2 1 1 2 1 11 21 1 g g g h h R T S S S S S S S S SS 6 V X W W W W W W W W WW Então B B 0 11 t G onde b b b B q 11 11 21 1 h R T S S S SS V X W W W WW A102 Considere o sistema de estado completamente controlável ẋ Ax Bu Defina a matriz de controlabilidade M M BABAn 1B Mostre que M AM a a a a 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n n 1 1 2 1 h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW onde a1 a2 an são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Solução Consideremos o caso em que n 3 Mostraremos que a a a 0 1 0 0 0 1 AM M 3 2 1 R T S S SS V X W W WW 10140 O lado esquerdo da Equação 10140 é AM ABABA2B ABA2BA3B 740 Engenharia de controle moderno O lado direito da Equação 10140 é a a a a a a 0 1 0 0 0 1 B AB A B AB A B B AB A B 2 3 2 1 2 3 2 1 2 R T S S SS 6 6 V X W W WW 10141 O teorema de CayleyHamilton afirma que a matriz A satisfaz sua própria equação característica ou no caso em que n 3 A3 a1A2 a2A a3I 0 10142 Utilizandose a Equação 10142 a terceira coluna do lado direito da Equação 10141 tornase a3B a2AB a1A2B a3I a2A a1A2 B A3B Assim a Equação 10141 tornase a a a 0 1 0 0 0 1 B AB A B AB A B A B 2 3 2 1 2 3 R T S S SS 6 6 V X W W WW Então o lado esquerdo e o lado direito da Equação 10140 são iguais Mostramos assim que a Equação 10140 está correta Consequentemente a a a 0 1 0 0 0 1 M 1 AM 3 2 1 H A demonstração precedente pode ser facilmente estendida ao caso geral para qualquer n inteiro e positivo A103 Considere o sistema de estado completamente controlável ẋ Ax Bu Defina M BABAn 1B e W a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n n n 1 2 1 2 3 1 h h g g g g h h R T S S S S SS V X W W W W WW onde os ai são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Defina também T MW Mostre que a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T AT T B n n n 1 1 2 1 1 h h h g g g g h h R T S S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W W WW V X W W W W WW 741 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Solução Consideremos o caso em que n 3 Mostraremos que a a a 0 0 1 0 0 1 T AT MW A MW W M AM W 1 1 1 1 3 2 1 h h h H 10143 Considerando o Problema A102 temos a a a 0 1 0 0 0 1 M 1 AM 3 2 1 H Então a Equação 10143 pode ser reescrita como a a a a a a 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 W W 1 3 2 1 3 2 1 H H Portanto devemos mostrar que a a a a a a 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 W W 3 2 1 3 2 1 R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW 10144 O lado esquerdo da Equação 10144 é a a a a a a a a 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 2 1 2 1 1 3 1 H H H O lado direito da Equação 10144 é a a a a a a a a 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 2 1 3 1 H H H Evidentemente a Equação 10144 é verdadeira Então mostramos que a a a 0 0 1 0 0 1 T AT 1 3 2 1 H Em seguida devemos mostrar que 0 0 1 T 1 B H 10145 Observe que a Equação 10145 pode ser escrita como 0 0 1 0 0 1 B T MW H H Notando que T B a a a 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 B AB A B B AB A B 2 2 1 1 2 6 6 H H H H temos 0 0 1 T 1 B H 742 Engenharia de controle moderno A demonstração feita aqui pode ser facilmente estendida para o caso geral de qualquer n inteiro e positivo A104 Considere a equação de estado ẋ Ax Bu onde 1 4 1 3 0 2 A B G G O posto da matriz de controlabilidade M 0 2 2 6 M B AB 6 G é 2 Então o sistema é de estado completamente controlável Transforme a equação de estado dada para a forma canônica controlável Solução Como I A s s s s s s s s a s a 1 4 1 3 1 3 4 2 1 2 2 1 2 h h temos a1 2 a2 1 Defina T MW onde 0 2 2 6 2 1 1 0 M W G G Então 0 2 2 6 2 1 1 0 2 2 0 2 T G G G e 0 5 0 5 0 0 5 T 1 G Defina x Tx Então a equação de estado tornase xto T 1ATx T 1Bu Como 0 5 0 5 0 0 5 1 4 1 3 2 2 0 2 0 1 1 2 T 1 AT G G G G e 0 5 0 5 0 0 5 0 2 0 1 T 1 B G G G 743 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados temos x x x x u 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 to to t t G G G G que está na forma canônica controlável A105 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde 0 2 1 3 0 2 1 0 A B C 6 G G A equação característica do sistema é 3 2 0 I A s s s s s s s 2 1 3 1 2 2 h h Os autovalores da matriz A são 1 e 2 Desejase obter os autovalores 3 e 5 utilizando uma realimentação de estado na forma u Kx Determine a matriz de ganho K de realimentação bem como o sinal de controle u Solução O sistema é de estado completamente controlável pois o posto de 0 2 2 6 M B AB 6 G é 2 Então é possível a alocação arbitrária dos polos Como a equação característica do sistema original é s2 3s 2 s2 a1s a2 0 temos a1 3 a2 2 A equação característica desejada é s 3s 5 s2 8s 15 s2 α1s α2 0 Então α1 8 α2 15 É importante mencionar que a equação de estado original não está na forma canônica controlável porque a matriz B não é 0 1 G Então a matriz T de transformação deve ser determinada a 1 1 0 0 2 2 6 3 1 1 0 2 0 0 2 T MW B AB 1 6 G G G G Então T 0 5 0 0 0 5 1 G Considerando a Equação 1013 a matriz de ganho de realimentação é dada por 744 Engenharia de controle moderno a a 15 2 8 3 0 5 0 0 0 5 6 5 2 5 K T 2 2 1 1 1 a a 6 6 6 G Assim o sinal u de controle será u x 6 5 2 5 x Kx 1 2 6 G A106 A planta de um sistema regulador é U s Y s s s s 1 2 3 10 h h h h h Defina as variáveis de estado como x1 y x2 ẋ1 x3 ẋ2 Utilizando o controle por realimentação de estado u Kx desejase alocar os polos de malha fechada em s 2 j2 3 s 2 2j 3 s 10 Obtenha com o auxílio do MATLAB a matriz de ganho K necessária de realimentação de estado Solução A equação de estado desse sistema é x x x x x x u y x x x u 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 10 1 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Então D 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 10 1 0 0 0 A B C 6 6 H H Note que para a alocação de polos as matrizes C e D não afetam a matriz de ganho K de rea limentação de estado Dois programas em MATLAB para a obtenção da matriz de ganho K de realimentação de estado são dados nos programas 1024 e 1025 Programa 1024 em MATLAB A 0 1 00 0 16 11 6 B 0010 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 10 K ackerABJ K 154000 45000 08000 745 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1025 em MATLAB A 0 1 00 0 1 6 11 6 B 0010 J 2j2sqrt3 2J2Sqrt3 10 K placeABJ place ndigits 15 K 154000 45000 08000 A107 Considere o sistema completamente observável ẋ Ax y Cx Defina a matriz de observabilidade N N CACAn 1C Mostre que N A N a a a a 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n 1 1 2 1 h h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW 10146 onde a1 a2 an são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Solução Consideremos o caso em que n 3 Então a Equação 10146 pode ser escrita como N A N a a a 0 0 1 0 0 1 1 3 2 1 h R T S S SS V X W W WW 10147 A Equação 10147 pode ser reescrita como N A N a a a 0 0 1 0 0 1 3 2 1 H 10148 Mostraremos que a Equação 10148 é verdadeira O lado esquerdo dessa equação é 2 2 N A C CA CA A CA CA CA3 H H 10149 O lado direito é 2 2 A a a a a a a a a a 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 N C CA CA C CA C CA CA 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 R T S S SS R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW V X W W WW H 10150 O teorema de CayleyHamilton afirma que a matriz A satisfaz sua própria equação característica ou A3 a1A2 a2A a3I 0 746 Engenharia de controle moderno Então a1CA2 a2CA a3C CA3 Dessa maneira o lado direito da Equação 10150 se torna igual ao lado direito da Equação 10149 Consequentemente N A N a a a 0 0 1 0 0 1 3 2 1 H que é a Equação 10148 Essa última equação pode ser escrita sob a forma N A N a a a 0 0 1 0 0 1 1 3 2 1 h R T S S SS V X W W WW A demonstração apresentada aqui pode ser estendida ao caso geral de qualquer n inteiro e positivo A108 Considere o sistema completamente observável definido por ẋ Ax Bu 10151 y Cx Du 10152 Defina N CACAn 1C e W a a a a a a 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 n n n n 1 2 1 2 3 1 h h g g g g h h R T S S S S S SS V X W W W W W WW onde os a são os coeficientes do polinômio característico sI A sn a1sn 1 an 1s an Defina também Q WN 1 Mostre que a a a a b a b b a b b a b 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Q AQ CQ Q B n n n n n n n 1 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 h h g g g g h h g h R T S S S S S SS R T S S S S SS 6 V X W W W W W WW V X W W W W WW onde os bk k 0 1 2 n são os coeficientes que aparecem no numerador da função de trans ferência quando CsI A 1B D for escrito sob a forma C I A B s D s a s a s a b s b s b s b n n n n n n n n 1 1 1 1 0 1 1 1 g g h 747 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados onde D b0 Solução Consideremos o caso em que n 3 Mostraremos que Q AQ WN A WN a a a 0 1 0 0 0 1 1 1 3 2 1 h h H 10153 Note que considerando o Problema A107 temos WN A WN W N A N W W W a a a 0 0 1 0 0 1 1 1 1 3 2 1 1 h h h 6 H Então devemos mostrar que W W a a a a a a 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3 2 1 1 3 2 1 R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW ou W W a a a a a a 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3 2 1 3 2 1 R T S S SS R T S S SS V X W W WW V X W W WW 10154 O lado esquerdo da Equação 10154 é a a a a a a a a a a a 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 W 3 2 1 2 1 1 3 2 1 3 1 H H H H O lado direito da Equação 10154 é a a a a a a a a a a a 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 W 3 2 1 3 2 1 2 1 1 3 1 H H H H Assim verificamos que a Equação 10154 é verdadeira Então fica provado que a Equação 10153 é verdadeira A seguir vamos mostrar que CQ 0 0 1 ou CWN 1 0 0 1 Note que 2 2 a a a 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 WN C CA CA C CA CA C 2 1 1 h 6 6 6 H H H 748 Engenharia de controle moderno Então mostramos que 0 0 1 CWN 1 CQ Em seguida defina x Qx Então a Equação 10151 tornase xto Q 1AQx Q 1Bu 10155 e a Equação 10152 tornase y CQx Du 10156 Considerando a Equação 10153 a Equação 10155 tornase x x x a a a x x x u 0 1 0 0 0 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 c c c to to to t t t R T S S SS V X W W WW H H H onde Q B 3 2 1 1 c c c H A função de transferência Gs para o sistema definido pelas equações 10155 e 10156 é Gs CQsI Q 1AQ 1Q 1B D Sabendose que CQ 0 0 1 temos G s s s a a s a D 0 0 1 1 0 0 1 3 2 1 1 3 2 1 c c c h 6 H H Note que D b0 Como s s a a s a s a s a s a s a s a s a a s a s s a s a s a s 1 0 0 1 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 2 H H temos G s s a s a s a s s D s a s a s a s s b s a s a s a b s a b s a b s a b s a s a s a b s b s b s b 1 1 3 1 2 2 3 2 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 0 3 1 2 2 3 0 3 1 1 0 2 2 2 0 3 3 0 3 1 2 2 3 0 3 1 2 2 3 c c c c c c c c c h h h 6 H Então γ1 b1 a1b0 γ2 b2 a2b0 γ3 b3 a3b0 749 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Portanto mostramos que b a b b a b b a b Q 1 B 3 2 1 3 3 0 2 2 0 1 1 0 c c c H H Note que a demonstração feita aqui pode ser facilmente estendida para o caso de qualquer valor inteiro e positivo de n A109 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 1 4 1 3 0 2 1 1 6 G G O posto da matriz de observabilidade N 1 1 3 2 N C A C 6 G é 2 Então o sistema é completamente observável Transforme as equações do sistema para a forma canônica observável Solução Como sI A s2 2s 1 s2 a1s a2 temos a1 2 a2 1 Defina Q WN 1 onde a 1 1 3 2 1 1 0 2 1 1 0 N W 1 G G G Então 2 1 1 0 1 3 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 Q 1 1 G G G G 4 e 1 1 0 1 Q 1 G Defina x Qx Então a equação de estado tornase xto Q 1AQx Q 1Bu ou 750 Engenharia de controle moderno x x x x u x x u 1 1 0 1 1 4 1 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 0 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 to to t t t t G G G G G G G G G G 10157 A equação de saída tornase y CQx ou y x x x x 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 1 2 t t t t 6 6 G G G 10158 As equações 10157 e 10158 estão na forma canônica observável A1010 Para o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx considere o problema de projetar um observador de estado tal que os autovalores desejados para a matriz de ganho do observador sejam m1 m2 mn Mostre que a matriz de ganho do observador dada pela Equação 1061 reescrita como K WN a a a e n n n n 1 1 1 1 1 h a a a h R T S S S SS V X W W W WW 10159 pode ser obtida a partir da Equação 1013 considerandose o problema dual Isto é a matriz Ke pode ser determinada considerandose o problema de alocação de polos para o sistema dual obtendose a matriz de ganho K de realimentação de estado e considerandose sua transposta conjugada Ke K Solução O dual do sistema dado é ż Az Cv n Bz 10160 Utilizandose o controle por realimentação de estado υ Kz a Equação 10160 tornase ż A CKz A Equação 1013 reescrita aqui é K αn anαn 1 an 1α2 a2α1 a1T 1 10161 onde T MW CACAn 1CW Para o sistema original a matriz de observabilidade é CACAn 1C N Então a matriz T também pode ser escrita como T NW Como W W temos T WN WN 751 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados e T 1 WN 1 Considerando o conjugado transposto de ambos os termos da Equação 10146 temos K T T WN a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 h h h a a a a a a a a a h h h R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW Como Ke K essa última equação é a mesma Equação 10159 Assim obtivemos a Equação 10159 considerando o problema dual A1011 Considere um sistema de controle com realimentação por estado observado com um observador de ordem mínima descrito pelas seguintes equações ẋ Ax Bu 10162 y Cx u Kxu 10163 onde x x x x x x a b a b u u G G xa é a variável de estado que pode ser diretamente medida e xu b corresponde às variáveis de estado observadas Mostre que os polos de malha fechada do sistema compreendem os polos de malha fechada graças à alocação de polos autovalores da matriz A BK e os polos de malha fechada em virtude do observador de ordem mínima autovalores da matriz Abb Ke Aab Solução A equação do erro do observador de ordem mínima pode ser deduzida como indica a Equação 1094 reescrita como ė Abb KeAabe 10164 onde e xb xu b A partir das equações 10162 e 10163 obtemos x x 0 0 x Ax BKx Ax BK x Ax BK x e Ax BK x e A BK x BK e a b a b o u u h G G G G 3 10165 Combinando as equações 10164 e 10165 e escrevendo K KaKb obtemos x e A BK 0 BK A K A x e b bb e ab oo G G G 10166 A Equação 10166 descreve a dinâmica de um sistema com realimentação por estado observador com um observador de ordem mínima A equação característica desse sistema é s s 0 I A BK 0 BK I A K A b bb e ab 752 Engenharia de controle moderno ou sI A BKsI Abb KeAab 0 Os polos de malha fechada de um sistema de controle com realimentação por estado observador com um observador de ordem mínima consistem nos polos de malha fechada graças à alocação de polos e nos polos de malha fechada em virtude do observador de ordem mínima Portanto o projeto de alocação de polos e o projeto do observador de ordem mínima são independentes entre si A1012 Considere um sistema de estado completamente controlável definido por ẋ Ax Bu 10167 y Cx onde x vetor de estado vetor n u sinal de controle escalar y sinal de saída escalar A matriz constante n n B matriz constante n 1 C matriz constantes 1 n Suponha que o posto da seguinte matriz n 1 n 1 0 A C B G seja n 1 Mostre que o sistema definido por ė Âe B ue 10168 onde u u t u 0 A A C 0 B B 0 e 3 t t h h G G é de estado completamente controlável Solução Defina M BABAn 1B Como o sistema é definido pela Equação 10167 de estado completamente controlável o posto da matriz M é n Então o posto de M 1 0 0 G é n 1 Considere a seguinte equação 0 1 0 A C B M 0 0 AM CM B G G G 10169 Como a matriz 0 A C B G é de posto n 1 o lado esquerdo da Equação 10169 é de posto n 1 Portanto o lado direito da Equação 10169 também é de posto n 1 Como 753 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados 0 0 0 AM CM B A B AB A B C B AB A B B AB CB A B CAB A B CA B B AB A B A B B n n n n n 1 1 2 1 2 g g g g g t t t t t t t 6 6 6 G H G vemos que o posto de B ÂB Â2B ÂnB é n 1 Assim o sistema definido pela Equação 10168 é de estado completamente controlável A1013 Considere o sistema indicado na Figura 1049 Utilizando o método de alocação de polos com observador projete um sistema regulador tal que o sistema mantenha a posição zero y1 0 e y2 0 na presença de distúrbios Adote para os polos de malha fechada a serem alocados o seguinte posicionamento s 2 j2 3 s 2 j2 3 s 10 s 10 sendo os polos desejados do observador de ordem mínima s 15 s 16 Inicialmente determine a matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador Depois obtenha a resposta do sistema a uma condição inicial arbitrária por exemplo y10 01 y2 0 0 ẏ10 0 ẏ20 0 e10 01 e2 0 005 onde e1 e e2 são definidos por e1 y1 ỹ1 e2 y2 ỹ2 Suponha que m1 1 kg m2 2 kg k 36 Nm e b 06 Nsm Solução As equações do sistema são m1ӱ1 k y2 y1 b ẏ2 ẏ1 u m2ӱ2 k y1 y2 b ẏ1 ẏ2 Substituindo m1 m2 k e b pelos valores numéricos dados e simplificando obtemos ӱ1 36y1 36y2 06ẏ1 06ẏ2 u ӱ2 18y1 18y2 03ẏ1 03ẏ2 Vamos escolher as variáveis de estado da seguinte maneira x1 y1 FIGURA 1049 m1 m2 y1 y2 u k b Regulador Sistema mecânico 754 Engenharia de controle moderno x2 y2 x3 ẏ1 x4 ẏ2 Assim temos a seguinte equação de estado x x x x x x x x u y y x x x x 0 0 36 18 0 0 36 18 1 0 0 6 0 3 0 1 0 6 0 3 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 o o o o R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW V X W W W WW G G Defina 0 0 36 18 0 0 36 18 1 0 0 6 0 3 0 1 0 6 0 3 0 0 1 0 A A A A A B B B aa ba ab bb a b R T S S S SS R T S S S SS V X W W W WW V X W W W WW G G A matriz de ganho K de realimentação de estado e a matriz de ganho Ke do observador podem ser facilmente obtidas com auxílio do MATLAB como segue 130 4444 41 5556 23 1000 15 4185 14 4 0 3 0 6 15 7 K Ke 6 G Veja o Programa 1026 em MATLAB Resposta às condições iniciais a seguir obtemos a resposta do sistema projetado às condições iniciais dadas Como u u x Ax B Kx x x x y x a b b o u u u u G G Programa 1026 em MATLAB A 0 0 1 00 0 0 136 36 06 0618 18 03 03 B 0010 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 10 10 K ackerABJ K 1304444 415556 231000 154185 Aab 1 00 1 Abb 06 0603 03 L 15 16 Ke placeAbbAabL place ndigits 15 Ke 144000 06000 03000 157000 755 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados temos ẋ Ax BKxu A BKx BKx xu 10170 Note que x x x x x x 0 x x 0 e 0 I e Fe a b a b b b u u u G G G G G onde F 0 I G Então a Equação 10170 pode ser escrita como ẋ A BKx BKFe 10171 Como a partir da Equação 1094 temos ė Abb KeAabe 10172 combinando as equações 10171 e 10172 em uma única equação temos x e A BK 0 BKF A K A x e bb e ab oo G G G A matriz de estado aqui é uma matriz 6 6 A resposta do sistema às condições iniciais pode ser facilmente obtida com o MATLAB Veja o Programa 1027 em MATLAB As curvas de resposta obtidas estão na Figura 1050 Essas curvas de resposta parecem ser aceitáveis FIGURA 1050 x1 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 0 1 2 3 4 t s 005 0 01 005 015 e1 0 005 01 0 1 2 3 4 t s e2 0 002 004 006 x2 002 002 0 004 006 x3 06 02 04 0 02 x4 02 01 0 01 02 Resposta à condição inicial Resposta à condição inicial Curvas de resposta às condições iniciais 756 Engenharia de controle moderno Programa 1027 em MATLAB Resposta à condição inicial A 0 0 1 00 0 0 136 36 06 0618 18 03 03 B 0010 K 1304444 415556 231000 154185 Ke 144 0603 157 F 0 00 01 00 1 Aab 1 00 1 Abb 06 0603 03 AA ABK BKF zeros24 AbbKeAab sys ssAAeye6eye6eye6 t 00014 y initialsys0100001005t x1 1 0 0 0 0 0y x2 0 1 0 0 0 0y x3 0 0 1 0 0 0y x4 0 0 0 1 0 0y e1 0 0 0 0 1 0y e2 0 0 0 0 0 1y subplot321 plottx1 grid titleResposta à condição inicial xlabelt s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid titleResposta à condição inicial xlabelt s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid xlabelt s ylabelx3 subplot324 plottx4 grid xlabelt s ylabelx4 subplot325 plotte1 grid xlabelt sylabele1 subplot326 plotte2 grid xlabelt s ylabele2 A1014 Considere o sistema mostrado na Figura 1051 Projete observadores de ordem plena e de ordem mínima para a planta Suponha que se deseje que os polos de malha fechada no que se refere aos polos alocados estejam localizados em s 2 j2 3 s 2 j2 3 Suponha também que se deseje que os polos do observador estejam localizados em a s 8 s 8 para o observador de ordem plena b s 8 para o observador de ordem mínima Compare as respostas às condições iniciais especificadas a seguir a para o observador de ordem plena x10 1 x20 0 e10 1 e20 0 b para o observador de ordem mínima x10 1 x20 0 e10 1 Compare também as bandas passantes de ambos os sistemas Solução Determinemos inicialmente a representação no espaço de estados do sistema Definindo as variáveis de estado x1 e x2 como x1 y FIGURA 1051 r 0 y u y Controlador observador 4 ss 2 Planta Sistema regulador 757 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados x2 ẏ obtemos x x x x u y x x 0 0 1 2 0 4 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G Para a parte de alocação de polos determinamos a matriz de ganho K de realimentação de estado Utilizando o MATLAB achamos K como K 4 05 Veja o Programa 1028 em MATLAB Em seguida determinamos a matriz de ganho Ke do observador de ordem plena Utilizando o MATLAB achamos Ke como K 14 e 36 G Veja o Programa 1028 em MATLAB Programa 1028 em MATLAB Obtendose as matrizes K e Ke A 0 10 2 B 04 C 1 0 J 2j2sqrt3 2j2sqrt3 L 8 8 K ackerABJ K 40000 05000 Ke ackerACL Ke 14 36 Agora determinamos a resposta do sistema à condição inicial dada Considerando a Equação 1070 temos x e A BK 0 BK A K C x e e oo G G G Essa equação define a dinâmica do sistema projetado utilizando o observador de ordem plena O Programa 1029 em MATLAB produz a resposta à condição inicial dada As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 1052 758 Engenharia de controle moderno Programa 1029 em MATLAB Resposta à condição inicial Observador de ordem plena A 0 10 2 B 04 C 1 0 K 4 05 Ke 1436 AA ABK BK zeros22 AKeC sys ssAA eye4 eye4 eye4 t 00018 x inicialsys 1010t x1 1 0 0 0x x2 0 1 0 0x e1 0 0 1 0x e2 0 0 0 1x subplot221 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot222 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot223 plotte1 grid xlabelt s ylabele1 subplot224 plotte2 grid xlabelt s ylabele2 Para obter a função de transferência do controladorobservador utilizamos o MATLAB O Programa 1030 em MATLAB produz essa função de transferência O resultado é s s s s j s j s 18 108 74 256 9 5 1962 9 5 1962 74 3 4595 den num 2 h h h FIGURA 1052 x1 x2 e1 e2 04 06 08 1 02 0 02 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 04 06 08 1 12 04 02 0 02 0 1 1 2 05 0 1 15 3 2 t s t s 0 2 4 6 8 t s t s Curvas de resposta à condição inicial 759 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1030 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador Observador de ordem pelna A 0 10 2 B 04 C 1 0 K 4 05 Ke 1436 numden ss2tfAKeCBK KeK0 num 0 740000 2560000 den 1 18 108 Em seguida obtemos a matriz de ganho Ke do observador para o observador de ordem mínima O Programa 1031 em MATLAB produz Ke O resultado é Ke 6 Programa 1031 em MATLAB Obtendo Ke Observador de ordem mínima Aab 1 Abb 2 LL 8 Ke ackerAbbAabLL Ke 6 A resposta do sistema com observador de ordem mínima à condição inicial pode ser obtida como segue substituindo u Kxu na equação da planta dada pela Equação 1079 temos K K e 0 x Ax BKx Ax BKx BK x x A BK x B a b o u u h h 6 G ou ẋ A BKx BKbe A equação do erro é ė Abb Ke Aabe Então a dinâmica do sistema fica definida por e K A K A e 0 x A BK B x b bb e ab oo G G G Com base nessa última equação o Programa 1032 em MATLAB produz a resposta a uma con dição inicial dada As curvas de resposta resultantes são mostradas na Figura 1053 760 Engenharia de controle moderno Programa 1032 em MATLAB Resposta à condição inicial Observador de ordem mínima A 0 10 2 B 04 K 4 05 Kb 05 Ke 6 Aab 1 Abb 2 AA ABK BKb zeros12 AbbKeAab sys ssAAeye3eye3eye3 t 00018 x initialsys101t x1 1 0 0x x2 0 1 0x e 0 0 1x subplot221 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot222 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot223 plotte grid xlabelt s ylabele A função de transferência do controladorobservador quando o sistema utiliza o observador de ordem mínima pode ser obtida pelo uso do Programa 1033 em MATLAB O resultado é s s s s 10 7 32 10 7 4 5714 den num h FIGURA 1053 x1 x2 e 06 08 1 12 04 02 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 02 0 02 04 06 08 1 0 05 05 1 2 15 25 t s t s t s Curvas de resposta à condição inicial 761 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Programa 1033 em MATLAB Determinação da função de transferência do controladorobservador Observador de ordem mínima A 0 10 2 B 04 Aaa 0 Aab 1 Aba 0 Abb 2 Ba 0 Bb 4 Ka 4 Kb 05 Ke 6 Ahat Abb KeAab Bhat AhatKe Aba KeAaa Fhat Bb KeBa Atilde Ahat FhatKb Btilde Bhat FhatKa KbKe Ctilde Kb Dtilde Ka KbKe numden ss2tfAtilde Btilde Ctilde Dtilde num 7 32 den 1 10 O controladorobservador é evidentemente um compensador de avanço de fase Os diagramas de Bode do Sistema 1 sistema de malha fechada com observador de ordem plena e do Sistema 2 sistema de malha fechada com observador de ordem mínima são mostrados na Figura 1054 Evidentemente a banda passante do Sistema 2 é maior que a do Sistema 1 Este tem melhor característica de rejeição a ruído em altas frequências que o Sistema 2 A1015 Considere o sistema ẋ Ax onde x é um vetor de estado vetor de dimensão n e A é uma matriz constante n n Vamos supor que A seja não singular Prove que se o estado x 0 de equilíbrio for assintoticamente FIGURA 1054 Frequência rads Diagramas de Bode dos sistemas 300 100 200 250 50 150 0 100 50 Fase graus Magnitude dB 50 0 101 100 101 102 Sistema 1 Sistema 2 Sistema 1 Sistema 2 Diagramas de Bode do Sistema 1 sistema com observador de ordem plena e Sistema 2 sistema com observador de ordem mínima Sistema 1 296s 1024 s4 20s3 144s2 512s 1024 Sistema 2 28s 128 s3 12s2 48s 128 762 Engenharia de controle moderno estável isto é se A for uma matriz estável então existirá uma matriz hermitiana definida positiva P tal que AP PA Q onde Q será uma matriz hermitiana positiva definida Solução A equação diferencial matricial Ẋ AX XA X0 Q tem a solução X eAtQeAt Integrando ambos os lados dessa equação matricial diferencial de t 0 para t obtemos dt dt 0 X X A X X A 0 0 3 3 3 c c h h m m Sabendo que A é uma matriz estável e portanto X 0 obtemos dt dt X 0 Q A X X A 0 0 3 3 c c h m m Seja dt e e dt P X t Q t 0 0 A A 3 3 Note que os elementos de eAt são somas finitas de termos como elit telit tmi 1 elit onde li são os autovalores de A e mi é a multiplicidade de li Como os li têm partes reais negativas e t Qe dt t 0 A A 3 existe Observe que e e dt P Q P t t 0 A A 3 Assim P é hermitiana ou simétrica se P for uma matriz real Mostramos então que para A estável e para uma matriz Q hermitiana positiva definida existe uma matriz hermitiana P tal que AP PA Q Agora devemos provar que P é positiva definida Considere a seguinte forma hermitiana e e dt e e dt 0 0 para para x Px x Q x Q x x 0 x 0 x t t t t 0 0 A A A A 2 3 3 h h Então P é positiva definida Isso completa a prova A1016 Considere o sistema de controle descrito por ẋ Ax Bu 10173 onde A B 0 0 1 0 0 1 G G Ao supor que a lei de controle linear u Kx k1x1 k2x2 10174 763 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados determine as constantes k1 e k2 de modo que o índice de desempenho a seguir seja minimizado J x xdt T 0 3 Considere apenas o caso em que a condição inicial seja c 0 0 x h G Escolha a frequência natural não amortecida do sistema como 2 rads Solução Substituindo a Equação 10174 na Equação 10173 obtemos ẋ Ax BKx ou x x x x k x k x k k x x 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G G 10175 Portanto k k 0 1 A BK 1 2 G Eliminando x2 da Equação 10175 temos ẍ1 k2ẋ1 k1x1 0 Como a frequência natural não amortecida do sistema foi especificada como 2 rads obtémse k1 4 Assim k 0 4 1 A BK 2 G sendo A BK uma matriz estável para k2 0 Nosso problema agora é determinar o valor de k2 de modo que o índice de desempenho J dt 0 0 0 x x x P x T T 0 3 h h h seja minimizado onde a matriz P é determinada a partir da Equação 10115 reescrita como A BKP PA BK Q KRK Como nesse sistema Q I e R 0 essa última equação pode ser simplificada para A BKP PA BK I 10176 Visto que o sistema contém apenas vetores reais e matrizes reais P se torna uma matriz real simétrica A Equação 10176 pode ser escrita como k p p p p p p p p k 0 1 4 0 4 1 1 0 0 1 2 11 12 12 22 11 12 12 22 2 G G G G G Resolvendo para a matriz P obtemos p p p p k k k 2 5 8 8 1 8 1 8 5 P 11 12 12 22 2 2 2 R T S S S SS V X W W W WW G 764 Engenharia de controle moderno Então o índice de desempenho é J c p p p p c p c k k c 0 0 0 0 2 5 8 x Px T 11 12 12 22 11 2 2 2 2 e h h o 6 G G 10177 Para minimizar J diferenciamos J em relação a k2 e igualamos 2J2k2 a zero como segue 0 k J k c 2 5 8 1 2 2 2 2 2 2 c m Então k2 20 Com esse valor de k2 temos 22J2k2 2 0 Portanto o valor mínimo de J é obtido substituindose k2 20 na Equação 10177 ou J 2 c 5 2 mín O sistema projetado tem a lei de controle u 4x1 20 x2 O sistema projetado é ótimo pois resulta em um valor mínimo do índice de desempenho J para a condição inicial fornecida A1017 Considere o mesmo sistema de pêndulo invertido discutido no Exemplo 105 O sistema é mos trado na Figura 108 onde M 2 kg m 01 kg e l 05 m O diagrama de blocos do sistema está indicado na Figura 109 As equações do sistema são dadas por ẋ Ax Bu y Cx u Kx k1p p r y r Cx onde 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 A B C R T S S S SS R T S S S SS 6 V X W W W WW V X W W W WW Considerando a Equação 1051 a equação de erro do sistema é dada por ė Âe B ue onde 0 0 20 601 0 0 4905 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 0 A A C 0 B B t t R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW G G e o sinal de controle é dado pela Equação 1041 ue K e 765 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados onde k k k k k k t t x x x x x x K K e x x x x I I e e 1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 p p p i i t o o h h h h R T S S S SS R T S S S SS 6 6 V X W W W WW V X W W W WW G G Utilizando o MATLAB determine a matriz de ganho de realimentação de estado K de modo que o índice de desempenho J seja minimizado J u Ru dt e Qe 0 3 h onde 001 R 100 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Q R T S S S S SS V X W W W W WW Obtenha a resposta ao degrau unitário do sistema projetado Solução Um programa em MATLAB para determinar K é dado pelo Programa 1034 em MATLAB O resultado é k1 188079 k2 370738 k3 266767 k4 305824 kI 100000 Reposta ao degrau unitário Uma vez determinada a matriz de ganho K de realimentação e a constante de ganho integral kI podemos determinar a resposta ao degrau unitário do sistema projetado A equação do sistema é u r 0 0 1 x A C 0 x B 0 p p oo E G E G G 10178 Veja a Equação 1035 Como u Kx k1p A Equação 10178 pode ser escrita como segue k r 0 1 x A BK C B x 0 I p p oo E G E G 10179 Programa 1034 em MATLAB Projeto do sistema de controle quadrático ótimo A 0 1 0 020601 0 0 00 0 0 104905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 D 0 Ahat A zeros41C 0 Bhat B0 Q 100 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1 R 001 Khat lqrAhatBhatQR Khat 1880799 370738 266767 305824 100000 766 Engenharia de controle moderno A equação de saída é y r 0 0 C x p 6 6 E O Programa 1035 em MATLAB fornece a resposta ao degrau unitário do sistema dado pela Equação 10179 As curvas de resposta resultantes são apresentadas na Figura 1055 Ela mostra as curvas de resposta θ x1t versus t io x2t versus t y x3t versus t ẏ x4t versus t e p x5t versus t onde a entrada rt para o carro é a função degrau unitário rt 1 m Todas as condições iniciais são nulas A Figura 1056 é uma versão ampliada da posição do carro y x3t versus t O carro se move muito pouco para trás durante o primeiro 06 segundo ou aproximadamente isso Observe que a velocidade do carro é negativa no primeiro 04 segundo Isso é em virtude de o sistema pênduloinvertidosobrecarro ser um sistema de fase não mínima Comparando as características da resposta desse sistema com as do Exemplo 105 notamos que a resposta do presente sistema é menos oscilatória e exibe um máximo sobressinal menor na resposta de posição x3 versus t O sistema projetado pelo método do regulador quadrático ótimo geralmente apresenta estas características menos oscilatória e bem amortecida Programa 1035 em MATLAB Resposta à entrada em degrau unitário A 0 1 0 020601 0 0 00 0 0 104905 0 0 0 B 01005 C 0 0 1 0 D 0 K 1880799 370738 266767 305824 kI 100000 AA ABK BkI C 0 BB 00001 CC C 0 DD D t 000110 yxt stepAABBCCDD1t x1 1 0 0 0 0x x2 0 1 0 0 0x x3 0 0 1 0 0x x4 0 0 0 1 0x x5 0 0 0 0 1x subplot321 plottx1 grid xlabelt s ylabelx1 subplot322 plottx2 grid xlabelt s ylabelx2 subplot323 plottx3 grid xlabelt s ylabelx3 subplot324 plottx4 grid xlabelt s ylabelx4 subplot325 plottx5 grid xlabelt s ylabelx5 767 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados A1018 Considere a estabilidade de um sistema com incerteza não estruturada aditiva como mostra a Figura 1057a Defina G dinâmica da planta real G modelo da dinâmica da planta Da incerteza não estruturada aditiva FIGURA 1055 x1 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 0 2 4 6 8 10 t s 002 0 002 004 x5 0 1 2 3 x2 005 005 0 01 015 x3 05 05 0 1 15 x4 02 02 0 04 06 Curvas de resposta ao degrau unitário FIGURA 1056 Posição do carro x3 versus t Posição do carro x3 t s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 1 08 06 04 02 0 02 Curva da posição do carro versus t 768 Engenharia de controle moderno Então a Figura 1057b pode ser redesenhada como a Figura 1057c Por meio do teorema do ganho pequeno a condição para estabilidade robusta do sistema de malha fechada pode ser obtida como ΔaTa 1 10180 Como é impossível modelar Da com precisão temos de encontrar uma função escalar Wa j tal que v Δa j Wa j para todo e usar essa Waj em vez de Da Então a condição para a estabilidade robusta do sistema de malha fechada pode ser dada por WaTa 1 10181 Se a Desigualdade 10181 for verdadeira é evidente que a Desigualdade 10180 também será verdadeira Portanto esta é a condição para garantir a estabilidade robusta do sistema projetado Na Figura 1057e o Da da Figura 1057d foi substituído por WaI Resumindo se fizermos que a norma H da função de transferência entre w e z seja menor que 1 o controlador K que satisfaz a Desigualdade 10181 poderá ser determinado A Figura 1057e pode ser redesenhada como a Figura 1057f que é o diagrama de planta generalizada para o sistema considerado Observe que para esse problema a matriz U que relaciona a variável controlada z e o distúrbio exógeno w é dada por z Usw WaTaw WaKI GK 1w Considerando que us Ksys e recorrendo à Equação 10128 Us é dada pelos elementos da matriz P como segue Us P11 P12KI P22K 1P21 Para tornar essa Us igual a WaKI GK 1 podemos escolher P11 0 P12 Wa P21 I e P22 G Então a matriz P para esse problema pode ser obtida como P I W G 0 a G Problemas B101 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 1 1 0 R T S S SS R T S S SS 6 V X W W WW V X W W WW Transforme as equações do sistema para a forma canônica controlável e b forma canônica observável B102 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu 770 Engenharia de controle moderno y Cx onde A B C 1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 1 1 1 1 1 R T S S SS R T S S SS 6 V X W W WW V X W W WW Transforme as equações do sistema para a forma canônica observável B103 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B 0 0 1 1 0 5 0 1 6 0 1 1 R T S S SS V X W W WW H Usando o controle de realimentação de estado u Kx desejamos ter os polos de malha fechada em s 2 j4 s 10 Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado B104 Resolva o Problema 103 com o MATLAB B105 Considere o sistema definido por x x x x u 0 0 1 2 1 0 1 2 1 2 o o G G G G Mostre que esse sistema não pode ser estabilizado pelo controle de realimentação de estado u Kx qualquer que seja a matriz K escolhida B106 Um sistema regulador tem a planta U s Y s s s s 1 2 3 10 h h h h h Defina as variáveis de estado como x1 y x2 ẋ1 x3 ẋ2 Usandose o controle de realimentação de estado u Kx desejamos localizar os polos de malha fechada em s 2 j2 3 s 2 j2 3 s 10 Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado necessária B107 Resolva o Problema 106 com o MATLAB B108 Considere o servossistema do tipo 1 indicado na Figura 1058 As matrizes A B e C na Figura 1058 são dadas por A B C 0 0 0 1 0 5 0 1 6 0 0 1 1 0 0 6 H H Determine as constantes de ganho de realimentação k1 k2 e k3 de modo que os polos de malha fechada estejam localizados em s 2 j4 s 2 j4 s 10 771 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Obtenha a resposta ao degrau unitário e trace a curva de saída yt versus t B109 Considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 1059 Suponha que M 2 kg m 05 kg l 1 m Defina as variáveis de estado como x1 θ x2 io x3 x x4 ẋ e as variáveis de saída como y1 θ x1 y2 x x3 Obtenha as equações no espaço de estados desse sistema Desejase ter polos de malha fechada em s 4 j4 s 4 j4 s 20 s 20 Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado Usando a matriz de ganho K de realimentação de estado assim determinada examine o desempe nho do sistema por meio de simulação por computador Escreva um programa em MATLAB para obter a resposta do sistema a uma condição inicial arbitrária Obtenha as curvas de resposta x1t versus t x2t versus t x3t versus t e x4t versus t para o seguinte conjunto de condições iniciais x10 0 x20 0 x30 0 x40 1 ms FIGURA 1058 x Ax Bu y Cx x2 x3 k2 k1 k3 r u x y x1 Servossistema do tipo 1 FIGURA 1059 0 M P z u mg m ℓ sen θ x x ℓ cos θ ℓ θ Sistema de pêndulo invertido 772 Engenharia de controle moderno B1010 Considere o sistema definido por ẋ Ax y Cx onde A C 1 1 1 2 1 0 6 G Projete um observador de estado de ordem plena Os polos desejados do observador são s 5 e s 5 B1011 Considere o sistema definido por ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 0 5 1 0 6 0 1 0 0 0 1 1 0 0 R T S S SS 6 V X W W WW H Projete um observador de estado de ordem plena supondo que os polos do observador estejam localizados em s 10 s 10 s 15 B1012 Considere o sistema definido por x x x x x x u y x x x 0 0 1 244 1 0 0 3956 0 1 3 145 0 0 1 244 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 o o o 6 H H H H H Dado o conjunto de polos desejados do observador como s 5 j5 3 s 5 j5 3 s 10 projete um observador de ordem plena B1013 Considere o sistema duplo integrador definido por ӱ u Se escolhermos as variáveis de estado como x1 y x2 ẏ então a representação do sistema no espaço de estados ficará a seguinte x x x x u y x x 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 2 1 2 o o 6 G G G G G 773 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Desejase projetar um regulador para esse sistema Utilizando o método de alocação de polos com observador projete um controladorobservador Para efeito de alocação escolha os polos de malha fechada desejados em s 07071 j07071 s 07071 j07071 e admitindo que o observador utilizado seja de ordem mínima escolha o polo do observador em s 5 B1014 Considere o sistema ẋ Ax Bu y Cx onde A B C 0 0 6 1 0 11 0 1 6 0 0 1 1 0 0 R T S S SS 6 V X W W WW H Projete um sistema regulador pelo método de alocação de polos com observador Admita que os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos estejam localizados em s 1 j s 1 j s 5 Os polos desejados do observador estão situados em s 6 s 6 s 6 Obtenha também a função de transferência do controladorobservador B1015 Utilizando o método de alocação de polos com observador projete controladoresobservadores um com um observador de ordem plena e outro com um observador de ordem mínima para o sistema mostrado na Figura 1060 Os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos são s 1 j2 s 1 j2 s 5 Os polos desejados do observador são s 10 s 10 s 10 para o observador de ordem plena s 10 s 10 para o observador de ordem mínima Compare as respostas ao degrau unitário dos sistemas projetados Compare também as bandas passantes de ambos os sistemas B1016 Utilizando o método de alocação de polos com observador projete os sistemas de controle mos trados nas figuras 1061 a e b Suponha que os polos desejados de malha fechada para efeito de alocação de polos estejam localizados em s 2 j2 s 2 j2 e que os polos desejados do observador estejam localizados em s 8 s 8 FIGURA 1060 Ys Rs Us Controlador observador s2 2s 50 ss 4 s 6 Sistema de controle com controlador observador no ramo direto 774 Engenharia de controle moderno Obtenha a função de transferência do controladorobservador Compare as respostas ao degrau unitário de ambos os sistemas No sistema b determine a constante N de modo que a resposta em regime permanente y seja unitária quando a entrada for uma entrada em degrau unitário B1017 Considere o sistema definido por ẋ Ax onde A a 0 0 1 1 0 2 0 1 R T S S SS V X W W WW a parâmetro ajustável 0 Determine o valor do parâmetro a para minimizar o índice de desempenho a seguir J x xdt T 0 3 Suponha que o estado inicial x0 seja dado por x c 0 0 0 1 h H B1018 Considere o sistema indicado na Figura 1062 Determine o valor do ganho K de modo que o coeficiente de amortecimento z do sistema de malha fechada seja igual a 05 Em seguida deter mine também a frequência natural não amortecida n do sistema de malha fechada Ao supor que e0 1 e ė0 0 calcule e t dt 2 0 3 h FIGURA 1062 r 0 c u e K 5 s 1 2s 1 Sistema de controle FIGURA 1061 Ys Rs Controlador observador 1 ss 1 1 ss 1 Ys Controlador observador b Rs N a Planta Sistemas de controle com controlador observador a controlador observador no ramo direto b controlador observador no ramo de realimentação 775 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados B1019 Determine o sinal de controle ótimo u do sistema definido por ẋ Ax Bu onde A B 0 0 1 1 0 1 G G de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado J u dt x x T 2 0 3 h B1020 Considere o sistema x x x x u 0 0 1 0 0 1 1 2 1 2 o o G G G G Desejase encontrar o sinal de controle ótimo u de modo que o índice de desempenho J u dt 1 0 0 x Qx Q T 2 0 n 3 h G seja minimizado Determine o sinal ótimo ut B1021 Considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 1059 Desejase projetar um sistema regulador que mantenha o pêndulo invertido na posição vertical na presença de perturbações em termos do ângulo θ eou velocidade angular io O sistema regulador é necessário para retornar o carro à sua posição de referência no final de cada processo Não há entrada de referência para o carro A equação no espaço de estados do sistema é dada por ẋ Ax Bu onde A B x x x 0 20 601 0 0 4905 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 5 i i o o R T S S S S SS R T S S S SS R T S S S SS V X W W W W WW V X W W W WW V X W W W WW Vamos usar o esquema de controle de realimentação de estado u Kx Usando o MATLAB determine a matriz de ganho de realimentação de estado K k1 k2 k3 k4 de modo que o seguinte índice de desempenho J seja minimizado J u Ru dt x Qx 0 3 h onde 1 Q R 100 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R T S S S S SS V X W W W W WW 776 Engenharia de controle moderno Em seguida obtenha a resposta do sistema para a seguinte condição inicial x x x x 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 3 4 h h h h R T S S S S SS R T S S S S SS V X W W W W WW V X W W W W WW Trace as curvas de resposta θ versus t io versus t x versus t e ẋ versus t 777 Capítulo 10 Projeto de sistemas de controle no espaço de estados Tabelas para a transformada de Laplace A A P Ê N D I C E O Apêndice A apresenta inicialmente as variáveis complexas e as funções complexas Em seguida traz tabelas de pares para a transformada de Laplace e as propriedades de transformadas de Laplace Por fim demonstra teoremas da transformada de Laplace usados frequentemente e as transformadas de Laplace de funções de pulso e impulso Variáveis complexas Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária ambas constantes Se a parte real eou a imaginária forem variáveis teremos então o que se denomina variável complexa Na transformada de Laplace utilizase a notação s como variável complexa Ou seja s v j onde v é a parte real e é a parte imaginária Funções complexas Uma função complexa Gs uma função de s que tem uma parte real e uma parte imaginária ou Gs Gx jGy onde Gx e Gy são quantidades reais O módulo de Gs é G G x y 2 2 e o argumento angular q de Gs é tg 1 GyGx O ângulo é medido no sentido antihorário a partir do sentido positivo do eixo real O complexo conjugado de Gs é G s Gx jGy As funções complexas normalmente encontradas na análise de sistemas de controle linear são funções unívocas de s e são determinadas univocamente para dado valor de s Uma função complexa Gs é dita analítica em uma região se Gs e todas as suas derivadas existirem nessa região A derivada de uma função analítica Gs é dada por lim lim ds d G s s G s s G s s G s s 0 0 D D D D D D h h h Como Ds Dv jD Ds pode tender a zero ao longo de um número infinito de diferentes per cursos Isso pode ser demonstrado mas não será provado aqui pois se as derivadas calculadas ao longo de dois percursos específicos ou seja Ds Dv e Ds jD forem iguais a derivada será a mesma para qualquer outro percurso Ds Dv jD e portanto ela existe Para um percurso específico Ds Dv o que significa que o caminho é paralelo ao eixo real lim ds d G s G j G G j G x y x y 0 2 2 2 2 v v v v D D D D Dv e h o Para outro caminho específico Ds jD o que significa que o caminho é paralelo ao eixo ima ginário lim ds d G s j G j j G j G G j x y x y 0 2 2 2 D D D D D D f h p Se essas duas derivadas forem iguais G j G G j G x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 v v ou se as duas condições a seguir G G G G e x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 v v forem satisfeitas então a derivada dGsds será univocamente determinada Essas duas condi ções são conhecidas como condições de CauchyRiemann Se essas condições forem satisfeitas a função Gs será analítica Como exemplo vamos considerar a seguinte Gs G s s 1 1 h Então G j j G jG 1 1 x y v v h onde G G 1 1 1 e x y 2 2 2 2 v v v h h Podese observar que exceto para o ponto s 1 ou seja v 1 0 Gs satisfaz as con dições de CauchyRiemann G G G G 1 1 1 2 1 x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v v v h h h h 6 6 Então Gs 1s 1 é analítica em todo o plano s exceto em s 1 A derivada dGsds exceto em s 1 é dada por ds d G s G j G G j G j s 1 1 1 1 x y y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v h h h Note que a derivada de uma função analítica pode ser obtida simplesmente pela derivação de Gs em relação à s Nesse exemplo ds d s s 1 1 1 1 2 c m h Os pontos do plano s nos quais a função Gs é analítica são conhecidos como pontos ordi nários ao passo que os pontos do plano s nos quais a função Gs não é analítica são denomina dos pontos singulares Os pontos singulares em que a função Gs ou suas derivadas tendem ao infinito são denominados polos Os pontos singulares nos quais Gs é nula são chamados zeros Se Gs tender ao infinito enquanto s tende a p e se a função Gss pn para n 1 2 3 779 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace tiver um valor finito não nulo em s p então s p será chamado polo de ordem n Se n 1 o polo é denominado polo simples Se n 2 3 o polo é chamado polo de segunda ordem de terceira ordem e assim por diante Para ilustrar considere a função complexa G s s s s s K s s 1 5 15 2 10 2 h h h h h h onde Gs tem zeros em s 2 s 10 polos simples em s 0 s 1 e s 5 e um polo duplo polo múltiplo de ordem 2 em s 15 Note que Gs se torna zero em s Como para valores elevados de s G s s K 3 Z h Gs possui um zero triplo zero múltiplo de ordem 3 em s Se pontos no infinito forem incluídos Gs terá o mesmo número de polos e de zeros Em resumo Gs tem cinco zeros s 2 s 10 s s s e cinco polos s 0 s 1 s 5 s 15 s 15 Transformada de Laplace Vamos definir ft uma função de tempo em que ft 0 para t 0 s uma variável complexa um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser transformada por meio da integral de Laplace e dt st 0 3 Fs transformada de Laplace de ft Então a transformada de Laplace de ft é dada por f t F s e dt f t f t e dt st st 0 0 3 3 h h h h 6 6 O processo inverso de determinação da função de tempo ft a partir da transformada de Laplace Fs é chamado transformada inversa de Laplace e a notação utilizada para designála é 1 A transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir de Fs com o auxílio da seguinte integral de inversão 1 0 F s f t j F s e ds t 2 1 para st c j c j 2 r 3 3 h h h 6 onde c a abscissa de convergência é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de Fs Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo j e é deslocado do eixo de um valor de c Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos singulares O cálculo da integral de inversão é aparentemente complicado Na prática raramente uti lizamos essa integral para a obtenção de ft Frequentemente usamos os métodos de expansão em frações parciais dado no Apêndice B A seguir apresentamos a Tabela A1 que traz pares de transformadas de Laplace de funções comumente encontradas e a Tabela A2 que traz propriedades de transformadas de Laplace 780 Engenharia de controle moderno TABELA A1 f t Fs 1 Impulso unitário δt 1 2 Degrau unitário 1t s 1 3 t s 1 2 4 n t 1 n 1 h n 1 2 3 s 1 n 5 t n n 1 2 3 s n n 1 6 eat s a 1 h 7 teat s a 1 2 h 8 n t e 1 1 n at 1 h n 1 2 3 s a 1 n h 9 t neat n 1 2 3 s a n n 1 h 10 sen t s2 2 11 cos t s s 2 2 12 senh t s2 2 13 cosh t s s 2 2 14 a e 1 1 at h s s a 1 h 15 b a e e 1 at bt h s a s b 1 h h 16 b a be ae 1 bt at h s a s b s h h 17 ab a b be ae 1 1 1 at bt h E s s a s b 1 h h 18 a e ate 1 1 at at 2 h s s a 1 2 h 19 a at e 1 1 at 2 h s s a 1 2 h 20 eat sen t s a 2 2 h Pares de transformadas de Laplace continua 781 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace f t Fs 21 eat cos t s a s a 2 2 h 22 sen e t 1 1 0 1 n t n 2 2 n 1 1 g g g g h s s 2 n n n 2 2 2 g 23 tg e t 1 1 1 1 0 1 0 2 t sen n 2 2 1 2 n 1 1 1 1 g g z z g g g z r g h h s s s 2 n n 2 2 g 24 sen tg e t 1 1 1 1 1 0 1 0 2 t n 2 2 1 2 n 1 1 1 1 g g z z g g g z r g h h 2 s s n s n n 2 2 2 g h 25 1 cos t s s2 2 2 h 26 t sen t s s 2 2 2 3 h 27 sen t t cos t s 2 2 2 2 3 h 28 tsen t 2 1 s s 2 2 2 h 29 t cos t s s 2 2 2 2 2 h 30 cos cos t t 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 h h s s s 2 1 2 2 2 2 h h 31 sen cos t t t 2 1 h s s 2 2 2 2 h continuação 782 Engenharia de controle moderno TABELA A2 1 Af t AFs 2 f1t f2t F1s F2s 3 dt d f t sF s f 0 L h h h E 4 dt d f t s F s sf f 0 0 L 2 2 2 o h h h h E 5 dt d f t s F s s f f t dt d f t 0 onde L n n n n k k n k k k k 1 1 1 1 1 h h h h h h h E 6 f t dt s F s s f t dt 1 L n t 0 h h h E E 7 f t dt s F s s f t dt 1 L n n n k k n k t 1 1 0 g g h h h h h E E 8 f t dt s F s L t 0 h h E 9 lim f t dt F s f t dt se existe s 0 0 0 3 3 h 10 eαt f t Fs a 11 f t α1t α eαsFs α 0 12 tf t ds dF s L h h 6 13 t f t ds d F s L 2 2 2 h h 6 14 t f t ds d F s 1 L n n n n h h h 6 n 1 2 3 15 lim t f t F s ds t f t 1 1 se existe L s t 0 3 h h h E 16 f a aF as 1 L c m h E 17 f t f d F s F s L t 0 1 2 x x x 1 2 h h h h E 18 f t g t j F p G s p dp 2 1 L c j c j r 3 3 h h h h 6 Propriedades das transformadas de Laplace 783 Apêndice A Tabelas para a transformada de Laplace Por fim apresentamos dois teoremas frequentemente utilizados juntamente com as trans formadas de Laplace da função pulso e da função impulso Teorema do valor inicial lim lim f f t sF s 0 t s 0 3 h h h Teorema do valor final lim lim f f t sF s t s 0 3 3 h h h Função pulso f t t A t t A t t 1 1 0 0 0 h h h f t t s A t s A e L st 0 0 0 6 h Função impulso lim para para g t t A t t t t t 0 0 0 t 0 0 0 0 0 1 1 1 1 h lim lim g t t s A e dt d t s dt d A e s As A 1 1 t st t st 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h 6 6 G 784 Engenharia de controle moderno Expansão em frações parciais B A P Ê N D I C E Antes de apresentarmos a abordagem do MATLAB para a expansão em frações parciais das funções de transferência vamos discutir o método manual para essa expansão Expansão em frações parciais quando Fs envolve somente polos distintos Conside remos Fs escrito na forma fatorada F s A s B s s p s p s p K s z s z s z m n para n m 1 2 1 2 g g 1 h h h h h h h h h onde p1 p2 pn e z1 z2 zm podem ser quantidades reais ou complexas mas para cada com plexo pi ou zj existe o correspondente complexo conjugado de pi ou zj respectivamente Se Fs possuir somente polos distintos então ela poderá ser expandida em uma soma de frações parciais simples como está indicado a seguir F s A s B s s p a s p a s p a n n 1 1 2 2 g h h h B1 onde ak k 1 2 n são constantes O coeficiente ak é chamado resíduo do polo em s pk O valor de ak pode ser encontrado ao se multiplicar ambos os lados da Equação B1 por s pk e ao fazer s pk o que resulta em s p A s B s s p a s p s p a s p s p a s p s p a s p a k s p k k k k k n n k s p k 1 1 2 2 k k g g h h h h h h h G G Vemos que todos os termos expandidos são eliminados com exceção de ak Assim o resíduo ak é determinado por a s p A s B s k k s pk h h h G Note que como ft é uma função real de tempo se p1 e p2 forem complexos conjugados então os resíduos a1 e a2 também serão complexos conjugados Somente um dos complexos conjugados a1 ou a2 deve ser calculado porque o outro é conhecido automaticamente Como s p a a e k k k p t 1 k G ft é obtido como ft 1Fs a1e p1t a2ep2t anepnt para t 0 Exemplo B1 Determine a transformada inversa de Laplace de F s s s s 1 2 3 h h h A expansão em frações parciais de Fs é F s s s s s a s a 1 2 3 1 2 1 2 h h h onde a1 e a2 são determinadas como a s s s s s s a s s s s s s 1 1 2 3 2 3 2 2 1 2 3 2 3 1 s s s s 1 1 1 2 2 2 h h h h h h E E E E Assim f t F s s s e e t 1 2 2 1 2 0 para t t 1 1 1 2 h h 6 E E Exemplo B2 Obtenha a transformada inversa de Laplace de G s s s s s s 1 2 5 9 7 3 2 h h h Nesse caso como o grau do polinômio do numerador é maior que o do polinômio do denominador devemos dividir o numerador pelo denominador 2 G s s s s s 1 2 3 h h h Observe que a transformada de Laplace da função impulso unitário dt é 1 e que a transformada de Laplace de ddtdt é s O terceiro termo do lado direito da última equação é Fs no Exemplo B1 Assim a transformada inversa de Laplace de Gs é dada por 2 2 0 g t dt d t t e e para t t t2 d d h h h Exemplo B3 Encontre a transformada inversa de Laplace de F s s s s 2 5 2 12 2 h Observe que o polinômio do denominador pode ser fatorado da seguinte maneira s2 2s 5 s 1 j2s 1 j2 Se a função Fs incluir um par de polos complexos conjugados não é conveniente expandir Fs do modo usual em frações parciais mas fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida Observandose que s2 2s 5 s 12 22 e tendo como referência a transformada de Laplace de eat sen t e eat cos t podemos reescrever da seguinte maneira 786 Engenharia de controle moderno sen cos e t s e t s s t t 2 2 2 2 a a a a a h h 6 6 a função Fs pode ser escrita como a função senoidal amortecida e a função cossenoidal amor tecida F s s s s s s s s s 2 5 2 12 1 2 10 2 1 5 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 h h h h h Seguese que 5 2 5 2 2 2 0 sen cos f t F s s s s e t e t t 1 2 2 1 2 1 para 1 1 2 2 1 2 2 1 1 h h h h 6 G G Expansão em frações parciais quando Fs inclui polos múltiplos Em vez de discutirmos um caso genérico utilizaremos um exemplo para mostrar como obter a expansão em frações parciais de Fs Consideremos a seguinte Fs F s s s s 1 2 3 3 2 h h A expansão em frações parciais dessa Fs envolve três termos F s A s B s s b s b s b 1 1 1 1 2 2 3 3 h h h h h onde b3 b2 e b1 são determinados a seguir Por meio da multiplicação de ambos os lados dessa última equação por s 13 teremos s A s B s b s b s b 1 1 1 3 1 2 2 3 h h h h h B2 Se s 1 a Equação B2 dará s A s B s b 1 s 3 1 3 h h h G Além disso a diferenciação de ambos os lados da Equação B2 referente a s resulta em 2 ds d s A s B s b b s 1 1 3 2 1 h h h h G B3 Se definirmos s 1 na Equação B3 então ds d s A s B s b 1 s 3 1 2 h h h G Pela diferenciação de ambos os lados da Equação B3 em relação a s o resultado é 2 ds d s A s B s b 1 2 2 3 1 h h h G Pela análise precedente podese constatar que os valores de b3 b2 e b1 são determinados sistematicamente como 787 Apêndice B Expansão em frações parciais b s A s B s s s b ds d s A s B s ds d s s s b ds d s A s B s ds d s s 1 2 3 2 1 2 3 2 2 0 2 1 1 2 1 2 3 2 1 2 1 s s s s s s s 3 3 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 2 3 1 2 2 2 1 h h h h h h h h h h h h h h G G E G G 3 3 Desse modo obteremos 0 f t F s s s s e t e t e t 1 1 1 0 1 2 0 1 para t t t 1 1 1 2 1 3 2 2 h h h h h 6 E G G Comentários Para as funções de grande complexidade com denominadores que envolvem polinômios de ordem elevada a expansão em frações parciais pode consumir muito tempo Nesses casos o uso do MATLAB é recomendado Expansão em frações parciais com o MATLAB O MATLAB tem um comando para obter a expansão em frações parciais de BsAs Considere a seguinte função BsAs A s B s s a s a b s b s b den num n n n n n n 1 1 0 1 1 g g h h onde alguns dos ai e bj podem ser nulos No MATLAB os vetores linha num e den são formados pelos coeficientes do numerador e do denominador da função de transferência Ou seja num b0 b1 bn den 1 a1 an O comando rpk residuenumden determina os resíduos r os polos p e os termos diretos k da expansão em frações parciais da relação entre dois polinômios Bs e As A expansão em frações parciais de BsAs é dada por A s B s s p r s p r s p n r n k s 1 1 2 2 g h h h h h h h h h B4 788 Engenharia de controle moderno Comparando as equações B1 e B4 notamos que p1 p1 p2 p2 pn pn r1 a1 r2 a2 rn an ks é um termo direto Exemplo B4 Considere a seguinte função de transferência A s B s s s s s s s 6 11 6 2 5 3 6 3 2 3 2 h h Para essa função num 2 5 3 6 den 1 6 11 6 O comando rpk residuenumden apresenta o seguinte resultado rpk residuenumden r 60000 40000 30000 p 30000 20000 10000 k 2 Note que os resíduos retornam na coluna vetor r o lugar dos polos na coluna vetor p e o termo direto na linha vetor k Esta é a representação em MATLAB da seguinte expansão em frações parciais de BsAs A s B s s s s s s s s s s 6 11 6 2 5 3 6 3 6 2 4 1 3 2 3 2 3 2 h h Observe que se p j p j 1 p j m 1 isto é pj pj1 pjm1 o polo p j é um polo de multiplicidade m Nesses casos a expansão inclui termos como segue s p j r j s p j r j s p j r j m 1 1 m 2 g h h h h h h 6 6 Para obter mais detalhes veja o Exemplo B5 Exemplo B5 Expanda a seguinte BsAs em frações parciais com MATLAB A s B s s s s s s s s s 1 2 3 3 3 1 2 3 3 2 3 2 2 h h h Para essa função temos num 1 2 3 den 1 3 3 1 O comando rpk residuenumden apresenta o resultado mostrado a seguir 789 Apêndice B Expansão em frações parciais num 1 2 3 den 1 3 3 1 rpk residuenumden r 10000 00000 20000 p 10000 10000 10000 k Esta é a representação em MATLAB da seguinte expansão em frações parciais de BsAs A s B s s s s 1 1 1 0 1 2 2 3 h h h h Note que o termo direto k é zero 790 Engenharia de controle moderno Álgebra vetorial e matricial C A P Ê N D I C E Neste Apêndice vamos primeiro revisar o determinante de uma matriz e em seguida defini remos matriz adjunta matriz inversa e derivada e integral de uma matriz Determinante de uma matriz Para toda matriz quadrada existe um determinante O determi nante da matriz quadrada A é geralmente escrito A ou det A O determinante tem as seguintes propriedades 1 Se duas linhas ou colunas consecutivas forem intercambiadas o determinante mudará de sinal 2 Se qualquer linha ou coluna consistir apenas em zeros o valor do determinante será zero 3 Se os elementos de qualquer linha ou de qualquer coluna forem exatamente k vezes os de outra linha ou de outra coluna então o valor do determinante será zero 4 Se qualquer múltiplo constante de outra linha ou coluna for somado a qualquer linha ou coluna o valor do determinante permanecerá inalterado 5 Se um determinante for multiplicado por uma constante somente uma linha ou uma coluna será multiplicada por essa constante Observe porém que o determinante de k multiplicado por uma matriz A n n é kn multiplicado pelo determinante de A ou kA knA Isso ocorre porque k ka ka ka ka ka ka ka ka ka A n n m m nm 11 21 1 12 22 2 1 2 h h g g g h R T S S S S SS V X W W W W WW 6 O determinante do produto de duas matrizes quadradas A e B é o produto dos determi nantes ou seja AB A B Se B matriz nm e C matriz mn então detIn BC detIm CB Se A 0 e D matriz mm então det det det A C B D A S G onde S D CA1B Se D 0 então det det det A C B D D T G onde T A BD1C Se B 0 ou C 0 então det det det det det det A C 0 D A D A 0 B D A D G G Posto da matriz Dizse que a matriz A é uma matriz de posto m se houver uma submatriz M mm de A tal que o determinante de M seja não nulo e o determinante de toda submatriz rr onde r m 1 de A seja zero Como exemplo considere a seguinte matriz A 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 4 0 2 2 R T S S S S SS V X W W W W WW Observe que A 0 Uma de várias das maiores submatrizes cujo determinante não é igual a zero é 1 0 1 2 1 0 3 1 1 H Portanto o posto da matriz A é 3 Menor Mij Se a iésima linha e a jésima colunas forem removidas de uma matriz A nn a matriz resultante será uma matriz n 1n 1 O determinante dessa matriz n 1n 1 é chamado menor Mij da matriz A Cofator Aij O cofator Aij do elemento aij da matriz A n n é definido pela equação Aij 1ijMij Ou seja o cofator Aij do elemento aij é 1ij multiplicado pelo determinante da matriz formado removendose iésima linha e a jésima coluna de A Observe que o cofator Aij do ele mento aij é o coeficiente do termo aij na expansão do determinante A já que se demonstra que ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain A Se ai1 ai2 ain forem substituídos por aj1 aj2 ajn então aj1Ai1 aj2Ai2 ajn Ain 0 i j porque o determinante de A nesse caso tem duas linhas idênticas Portanto obtemos jk a A A ik k n ji 1 d Da mesma forma 792 Engenharia de controle moderno a A A ki kj k n ij 1 d Matriz Adjunta A matriz B cujo elemento na iésima linha e jésima coluna é igual a Aji é chamada ajunta de A e é identificada por adj A ou B bij Aji adj A Ou seja a adjunta de A é a transposta da matriz cujos elementos são os cofatores de A ou adj A A A A A A A A A A n n n n nm 11 12 1 21 22 2 1 2 h h g g g h R T S S S SS V X W W W WW Veja que o elemento da jésima linha e iésima coluna do produto Aadj A é jk jk a b a A A ki k n ik k n ji 1 1 d Portanto Aadj A é uma matriz diagonal com elementos diagonais iguais a A ou Aadj A A I Da mesma forma o elemento da jésima linha e da iésima coluna do produto adj A A é b a A a A jk ki k n kj ki k n ij 1 1 d Portanto temos a relação Aadj A adj AA A I C1 Assim adj A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A n n n n nn 1 11 12 1 21 22 2 1 2 h h g g g h R T S S S S S S S SS V X W W W W W W W WW onde Aij é o cofator de aij da matriz A Consequentemente os termos da iésima coluna de A1 são lA multiplicado pelos cofatores da iésima linha da matriz original A Por exemplo se A 1 3 1 2 1 0 0 2 3 H então a adjunta de A e o determinante de A são respectivamente adjA 1 0 2 3 3 1 2 3 3 1 1 0 2 0 0 3 1 1 0 3 1 1 2 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 2 1 3 7 1 6 3 2 4 2 7 R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW H 793 Apêndice C Álgebra vetorial e matricial e A 17 Assim a inversa de A é adj A A A 17 3 17 7 17 1 17 6 17 3 17 2 17 4 17 2 17 7 1 R T S S S S S SS V X W W W W W WW A seguir damos fórmulas para encontrar as matrizes inversas das matrizes 22 e 33 Para as matrizes 22 0 a c b d ad bc A onde G a matriz inversa é dada por ad bc d c b a A 1 1 G Para a matriz 33 0 a d g b e h c f i A onde A H a matriz inversa é dada por e h f i d g f i d g e h b h c i a g c i a g b h b e c f a d c f a d b e A A 1 1 R T S S S S S S S S SS V X W W W W W W W W WW Observe que A11 A A1 A1 A1 A1 Existem várias outras fórmulas disponíveis Presuma que A matriz nn B matriz nm C matriz mn e D matriz mm Então A BC1 A1 A1BIm CA1B1CA1 Se A 0 e D 0 então A B D A A BD D A C D A D CA D 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G G G G Se A 0 S D CA1 B S 0 então A C B D A A BS CA S CA A BS S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G G Se D 0 T A BD1 C T 0 então 794 Engenharia de controle moderno A C B D T D CT T BD D D CT BD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 G G Por fim apresentamos o método do MATLAB para a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada Se todos os elementos da matriz forem dados como valores numéricos este método é o melhor Método do MATLAB para a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada A matriz inversa de uma matriz A pode ser obtida com o comando invA Por exemplo se a matriz A for dada por A 1 3 1 1 4 2 2 0 5 H então a matriz inversa da matriz A será obtida como segue A 1 1 23 4 01 2 5 invA ans 22222 01111 08889 16667 03333 06667 02222 01111 01111 Ou seja A 2 2222 1 6667 0 2222 0 1111 0 3333 0 1111 0 8889 0 6667 0 1111 1 H O MATLAB diferencia entre maiúsculas e minúsculas É importante observar que o MATLAB é case sensitive ou seja distingue entre letras maiúsculas e minúsculas Portanto x e X não são a mesma variável Todos os nomes de função devem estar em letras minúsculas como invA eigA e polyA Diferenciação e integração de matrizes A derivada de uma matriz nm At é por defi nição a matriz nm da qual cada elemento é o derivado do elemento correspondente da matriz original desde que todos os elementos aijt tenham derivados com relação a t Ou seja dt d t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t dt d a t A ij n n m m nm 11 21 1 12 22 2 1 2 h h g g g h c h hm h h h h h h h h h R T S S S S S S S SS V X W W W W W W W WW Da mesma forma a integral de uma matriz nm At é por definição t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt a t dt A ij n n m m nm 11 21 1 12 22 2 1 2 h h g g g h e h h o h h h h h h h h h R T S S S S S S S S V X W W W W W W W W 795 Apêndice C Álgebra vetorial e matricial Diferenciação do produto de duas matrizes Se as matrizes At e Bt podem ser diferen ciadas com relação a t então dt d t t dt d t t t dt d t A B A B A B h h h h h h 8 B Aqui novamente a multiplicação de At e dBtdt ou dAtdt e Bt é em geral não comutativa Diferenciação de A1t Se uma matriz At e sua inversa A1t forem diferenciáveis com relação a t então a derivada de A1t é dada por dt d t t dt d t t A A A A 1 1 1 h h h h A derivada pode ser obtida pela diferenciação de AtA1t com relação a t Como dt d t t dt d t t t dt d t A A A A A A 1 1 1 h h h h h h 8 B e dt d t t dt d A A I 0 1 h h 8 B obtemos t dt d t dt d t t A A A A 1 1 h h h h ou dt d t t dt d t t A A A A 1 1 1 h h h h 796 Engenharia de controle moderno Referências Anderson B D O e J B Moore Linear Optimal Control Upper Saddle River NJ Prentice Hall 1971 Athans M e P L Falb Optimal Control An Introduction to the Theory and Its 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1920 Ação de controle de duas posições 1920 Ação de controle derivativa 10709 201 Ação de controle integral 21 19697 Ação de controle pneumática proporcionalintegral 109 11 Ação de controle pneumática proporcionalintegralderi vativa 11012 Ação de controle proporcional 21 Ação de controle proporcionalderivativa 212 Ação de controle proporcionalintegral 21 Ação de controle proporcionalintegralderivativa 212 Ações básicas de controle de duas posições ou onoff 19 de duas posições 1920 integral 21 proporcional 21 proporcionalderivativo 21 proporcionalintegral 21 proporcionalintegralderivativo 30 Ações de controle 18 Alocação de polo robusto 66869 Alocação de zero 5464856061 abordagem para melhorar as características de res posta 54648 Alocação do polo condições necessárias e suficientes para alocação arbitrária 66061 Amortecedor 57 119 Amortecedor 57 11920 Amplificador diferencial 689 Amplificador do tipo bocalpalheta 100 Amplificador inversor 689 Amplificador não inversor 6970 Amplificador operacional 689 Amplificador pneumático do tipo bocal palheta 100 Amplificadores operacionalis 689 Análise de estabilidade de Nyquist 41523 Análise de estabilidade 41523 no plano complexo 165 Ângulo máximo de avanço de fase 45253 456 Ângulo condição de ângulo 248 de chegada 261 de partida 256 261 Aproximação linear de modelos matemáticos nãolineares 367 Assíntotas de diagrama de Bode 373374 do lugar das raízes 25051 25960 Atenuação 150 Atraso de transporte 383 características do ângulo de fase de 383 Atuador 189 B Bloco funcional 145 Bloco 145 Blocos de Jordan 620 C Cancelamento de polos e zeros 26263 Capacitância térmica 123 Capacitância de sistema de pressão 979 de sistema térmico 123 de tanque de água 94 Carta de Nichols 44245 Circuito de atraso de primeira ordem 70 Circuito LRC 634 Circuitos de amplificador operacional 823 para compensador por avanço ou atraso de fase tabela de 75 Circunferências M 43839 uma família de constantes 439 Circunferências N 44041 uma família de constantes 441 Classificação dos sistemas de controle 203 Coeficiente da válvula 115 Coeficiente de amortecimento 150 linhas de constante 270 Coeficiente de atrito viscoso equivalente 578 211 Cofator 79273 Compensação de atraso e avanço de fase 30102 30506 308 343 46874 Compensação de comando 577 Compensação em série 28182 312 Compensação paralela 28182 31213 Compensação por atraso de fase 293 Compensação por realimentação 28182 312 475 Compensação em série 281 paralela 281 realimentação 281 Compensador de atraso e avanço de fase diagrama de Bode 510 diagrama polar de 46869 eletrônico 30103 projerto pelo método de lugar das raízes 30203 34648 projeto pelo método de resposta em frequência 46974 Compensador de avanço de fase 284 452 diagrama de Bode 45253 diagrama polar 45253 projeto pelo método de lugar das raízes 28490 projeto pelo método de resposta em frequência 45260 Compensador por atraso de fase 284 293 460 diagrama de Bode 461 diagrama polar de 461 projeto pelo método de lugar das raízes 293 295 projeto pelo método de resposta em frequência 46068 Compensador de atraso de fase 295 46162 de avanço de fase 28586 45355 de avanço ou atraso de fase 30305 46870 Compensadores por avanço por atraso e por atraso e avanço de fase comparação entre 47374 Condição de magnitude 24748 Condição inicial resposta a 18391 Condições de CauchyRiemann 77879 Transferência de calor por condução 123 Constante de erro estático de aceleração 206 386 determinação de 38687 Constante de erro estático de posição 20304 38485 Constante de erro estático de velocidade 205 385 Constante de gás 989 para o ar 12728 universal 989 Constante de torque de motor 84 Constante elástica da mola equivalente 57 Constante universal dos gases 989 Controlabilidade completa de estado 61721 no plano s 62122 Controlabilidade completa de saída 650 Controlabilidade de saída 622 Controlabilidade do estado completa 61718 619 621 Controlabilidade 61722 matriz 61819 saída 622 Controlador automático 18 Controlador baseado em observador função de transferência de 691 Controlador de duas posições ou onoff 19 Controlador de duas posições 19 Controlador de pilha 104 Controlador eletrônico 678 73 Controlador hidráulico com bocal de jato 13233 integral 117 proporcional 118 proporcionalderivativo 12122 proporcionalintegral 12021 proporcionalintegralderivativo 12223 Controlador integral 19 Controlador observador no ramo de realimentação do sistema de controle 713 71518 no ramo direto do sistema de controle 71316 Controlador PD 56263 Controlador PI 12 56263 Controlador pneumático de duas posições 104 Controlador pneumático de duas posições ou onoff 104 Controlador pneumático proporcional 10205 tipo forçadistância 10204 tipo forçaequilíbrio 10405 Controlador pneumático proporcionalderivativo 10809 Controlador proporcional 19 Controlador proporcionalderivativo 19 496 Controlador proporcionalintegral 19 110 496 Controlador proporcionalintegralderivativo 19 Controlador 19 Controladores com bocal de jato 13133 Controladores industriais 19 Controladores pneumáticos 12931 14041 Controle de realimentação 23 Controle de sistema de tráfego 7 Controle integral 198 Controle IPD 54344 Controle PD 340 Controle PID 54144 802 Engenharia de controle moderno Controle PIDPD 54344 Controle PIPD 54344 Controle proporcional 197 Controle proporcionalderivativo de sistema com carga de inércia 201 de sistema de segunda ordem 202 Controle robusto sistema 134 72838 teoria12 6 Convolução integral de 134 Critério de estabilidade de Nyquist 40716 aplicado a diagramas polares inversos 42223 Critério de estabilidade de Routh 19197 Curva de resposta em freqüência de malha aberta reconfigurada 452 Curva em forma de S 52223 Curva exponencial de resposta 148 Curvas de resposta a impulso unitário obtenção com o uso do MATLAB 17778 uma família de 16162 Curvas de resposta em frequência em malha fechada formas desejáveis de 451 formas indesejáveis de 451 D Década 372 Decibel 371 Decremento logarítmico 214 Desempenho robusto 6 729 73334 Detectabilidade 62728 Determinante 791 Diagonalização da matriz nn 598 Diagrama de bloco 145 redução 234 412 Diagrama de Bode 371 de fatores de primeira ordem 37374 37576 de fatores quadráticos 37678 de sistema definido em espaço de estado 39192 erro em expressão assintótica de 371 construção com MATLAB 38790 procedimento geral de construção 379 Diagrama de corpo livre 612 Diagrama de Nyquist 371 40203 40506 de sistema com realimentação positiva 48992 de sistema definido no espaço de estados 40306 Diagrama polar inverso 42223 49193 Diagrama polar 371 39293 39596 Diagrama tridimensional 17475 das curvas de resposta ao degrau unitário com MATLAB 17375 Diagramas de Nichols 371 Diferenciação de matriz 79596 de matriz inversa 796 do produto de duas matrizes 79596 Diferenciador aproximado 565 Distúrbios 23 22 Dualidade 68485 E eAt cálculo de 61213 Elemento de medição 18 Entrada de aceleração unitária 223 Entrada de referência 18 Equação característica 598 Equação de erro do observador 68384 Equação de espaço de estados 256 correlação entre função de transferência e 596 601 solução de 604 Equação de estado não homogênea solução da 60910 Equação de estado 267 solução de homogênea 604 solução de nãohomogênea 60910 solução pela transformada de Laplace 60607 Equação de Riccati 720 Equação de saída 267 Equação matricial de Riccati reduzida 72022 Equação matricial de Riccati 722 724 Erro de atuação 7 Erro de estado estacionário 146 20304 em termos de ganho K 207 para entrada em parabólica unitária 20607 para entrada em rampa unitária 206 Erro de velocidade 205 Erro estacionário 234 Espaço de estados 256 Espaço morto 367 Especificações de desempenho 8 Estabilidade absoluta 146 Estabilidade condicional 27374 46768 Estabilidade relativa 146 19596 423 Estabilidade robusta 6 72931 Estabilizabilidade 62728 Estado 25 EvansW R 1 910 246 Expansão em frações parciais 78590 com MATLAB 78890 Expansão em série de Taylor 368 F Fator quadrático 37677 curvas de ângulo de fase de 37778 curvas de magnitude logarítimica de 37778 Filtro de entrada 23637 577 Filtro passaaltas 45354 Força contraeletromotriz 84 constante 84 Forma canônica controlável 596 62728 Forma canônica de Jordan 597 634 64344 Forma canônica diagonal 633 Forma canônica observável 59697 631 803 Índice remissivo Formas canônicas controláveis 596 diagonais 59697 Jordan 597 599 observáveis 59697 Fórmula de Ackermann para alocação de polos 66465 para matriz de ganhos do observador 68687 Fórmula de interpolação de Lagrange 645 Frequencia de corte ou de mudança de inclinação 373 Frequência de canto ou de mudança 373 Frequência de corte 474 Frequência de cruzamento de fase 42730 Frequência de cruzamento de ganho 42730 Frequência de ressonância 395 43031 Frequência natural amortecida 152 Frequência natural não amortecida 150 Função analítica 779 Função complexa 778 Função de transferência de fase mínima 381 Função de transferência de fase não mínima381 447 Função de transferência do observadorcontrolador 691 92 Função de transferência em cascata 17 Função de transferência em malha aberta 16 Função de transferência em malha fechada 167 Função de transferência do ramo direto 16 Função de transferência senoidal 36869 Função de transferência 123 de controlador de ordem mínima baseado em observador 704 de elementos em cascata 645 de elementos sem carga em cascata 678 de malha fechada 17 de sistema de malha fechada 17 de sistema de realimentação 16 de sistemas em cascata 17 de sistemas paralelos 17 determinação experimental de 44849 expressão em termos de ABC e D 29 malha aberta 16 antecipação 16 observadorcontrolador 69192 70608 senoidal 36869 Função impulso 784 Função peso 145 Função pulso 784 G Ganho derivativo 74 Ganho integral 534 Ganho proporcional 212 534 Gerador senoidal de sinais 44546 Gráficos logarítmicos 371 H Hazen 1 910 I Impedância complexa 66 Impedância abordagem para obter função de transferência 667 Incerteza não estruturada aditiva 76869 multiplicativa 731 sistema com 731 Índice de desempenho 718 Integração de matriz 79596 Intervalo diferencial 201 Inversão de matrizes abordagem MATLAB para obter 79495 Inversor de sinal 6970 K Kalman R E 10 617 L Largura de banda 434 493 Lei das correntes de Kirchhoff 634 Lei das malhas de Kirchhoff 634 Lei das tensões de Kirchhoff 634 Lei dos gases ideais 989 Lei dos nós de Kirchhoff 634 Linearização de sistemas não lineares 367 Linha de conversão de um número em decibel 371 Linhas z constantes 272 Lugar das raízes circular 258 Lugar das raízes 24748 método 24647 Lugares geométricos de ganho constante 27678 Lugares das raízes para sistema com realimentação positiva 27780 regras gerais de construção 25862 Lugares geométricos de ângulo de fase constante circun ferências N 44041 Lugares geométricos de magnitude constante circunfe rências M 43839 Lugares geométricos de vn constante 70 Lugares geométricos de z constantes 270 M Magnitude do pico de ressonância 379 43031 Magnitude log de curvas de função de transferência qua drática 37778 Mapeamento conforme 409 42325 Margem de fase 42428 versus curva z 433 Margem de ganho 42428 Margnitude log versus gráfico de fases 371 40507 MATLAB Comandos MATLAB ABCD tf2ssnumden 34 601 63637 Gmpmwcpwcg marginsys 42930 KPE lqrABQR 722 804 Engenharia de controle moderno Kr rlocfindnumden 27778 magphasew bodeABCD 387 magphasew bodeABCDiuw 387 magphasew bodeABCDw 387 magphasew bodenumden 387 magphasew bodenumdenw 387 436 magphasew bodesys 387 magphasew bodesysw 436 Mpk maxmag 436 numden feedbacknum1den1 num2den2 178 numden parallelnum1den1 num2den2 178 numden seriesnum1den1 num2den2 178 numden ss2tfABCD 35 602 numden ss2tfABCDiu 356 50 602 NUMden ss2tfABCDiu 51 60304 rpk residuenumden 216 78889 reimw nyquistABCD 399400 reimw nyquistABCDiuw 399400 reimw nyquistABCDw 399400 reimw nyquistnumden 399400 reimw nyquistnumdenw 399400 reimw nyquistsys 399400 y x t impulseABCD 17677 y x t impulseABCDiu 17677 y x t impulseABCDiut 17677 y x t impulsenumden 17677 y x t impulsenumdent 17677 y x t stepABCDiu 167 y x t stepABCDiut 167 y x t stepnumdent 167 172 bodeABCD 387 391 bodeABCDiu 39192 bodeABCDiuw 387 bodeABCDw 387 bodenumden 387 bodenumdenw 387 390 504 bodesys 387 bodesysw 505 c stepnumdent 172 construção do diagrama de Bode com o 38788 construção do lugar das raízes com o 26566 escrever texto em diagramas com o 17071 expansão em frações parciais com o 78890 for loop 21920 225 536 gtext text 171 impulseABCD 17677 impulsenum den 17677 initialABCDinitial conditiont 189 invA 79495 K ackerABJ 66970 K lqrABQR 722 K placeABJ 66970 Ke ackerACL 700 Ke ackerAbbAabL 700 Ke placeACL 700 Ke placeAbbAabL 700 logspaced1d2 352 logspaced1d2n 38788 lqrABQR 72122 lsimABCDut 18182 lsimnumdenrt 18182 magdB 20log10mag 387 meshy 17475 225 meshy 17475 225 mesh 17475 NaN 723 nyquistABCD 399400 40405 nyquistABCDiu 404 nyquistABCDiuw 399400 404 nyquistABCDw 399400 nyquistnum denw 399400 nyquistnumden 399400 nyquistsys 399400 obtenção de resposta a uma condição inicial com o 242 obtenção de sobressinal máximo com o 176 obtenção de tempo de pico com o 176 polarthetar 499 printsysnumden 1718 171 printsysnumdens 171 r absz 498 residue 785 resonantfrequency wk 436 resonantpeak 20log10Mp 436 rlocfind 27778 rlocusABCD 26970 rlocusABCDK 265 26970 rlocusnumden 26566 rlocusnumdenK 265 sgrid 271 sortsolution 536 stepABCD 16769 stepABCDiu 167 stepnumden 167 stepnumdent 167 stepsys 167 sys ssABCD 167 sys tfnumden 167 text 17071 theta anglez 498 w logspaced2d3100 390 y lsimABCDut 18182 y lsimnumdenrt 18182 z rejim 498 Matriz adjunta793 Matriz de entrada 267 Matriz de ganho de realimentação por estado 660 abordagem MATLAB para determinar 66869 Matriz de ganho do observador de estado abordagem de substituição direta para obtenção de 68687 abordagem de transformação para obtenção de 686 fórmula de Ackermann para obtenção de 68687 Matriz de margem de ganho do observador 686 determinação pelo MATLAB 700 Matriz de saída 267 805 Índice remissivo Matriz de Schwarz 24445 Matriz de transferência 30 Matriz de transição de estado 60708 propriedades da 608 Matriz de transmissão direta 267 Matriz do observadorcontrolador 69192 Matriz exponencial 605 61116 solução fechada para 60607 Matriz de estado 267 Menor complementar 79293 Modelo matemático 11 Modelos matemáticos não lineares aproximação linear de 368 Momento de inércia equivalente 211 N Não linearidade da lei quadrática 37 Nãounicidade de um conjunto de variáveis de estado 600 Nichols 1 910 366 Norma de H infinito 5 730 Nyquist H 1 910 366 O Observabilidade completa 62324 condições para 62425 no plano s 624 Observabilidade 617 62228 completa 62325 matriz 599 Observação de estado condições necessárias e suficientes para 68486 Observação 683 Observador de estado de ordem mínima 683 Observador de estado de ordem plena 68384 Observador de estado de ordem reduzida 683 Observador de estado 681704 projeto com MATLAB 700 servossistema tipo 1 com 678 Observador de ordem mínima 695704 controlador baseado em 704 Observador de ordem reduzida 683 Observador 68384 de ordem mínima 695700 de ordem plena 68384 modelo matemático de 683 projeto de um sistema de controle com 71218 Oitava 372 Ortogonalidade do lugar de raízes e lugar de ganho cons tante 27576 P Palheta 100 válvula 142 Percurso de Nyquist 499 Pico de ressonância 379 395 43031 versus curva z 379 Planta geral 73438 diagrama 73237 76970 Planta 23 Polinômio característico 29 Polinômio de Lagrange 645 Polinômio mínimo 61112 64143 Polinômios auxiliares 195 Polo simples 779 Polo de ordem n 779 simples 779 Polos complexos conjugados cancelamento de indesejáveis 476 Polos de malha fechada dominantes 165 Ponto de chegada ao eixo real 252 257 26061 320 Ponto de partida do eixo real 25152 26061 320 Ponto de ramificação 15 Ponto de soma 15 Ponto ordinário 779 Pontos singulares 779 Posto da matriz 79192 Princípio da dualidade 627 Princípio da superposição 367 Problema de alocação de polo 65969 resolução com MATLAB 66870 Problema de controle de H infinito 737 Problema de controle quadrático ótimo solução com MATLAB para 727 Problema do regulador ótimo 72829 Processo 23 R Raízes características 598 Raízes características 598 invariabilidade das 600 Realimentação de velocidade 16061 313 475 Rede de atraso de fase 72 496 Rede de atraso e avanço de fase eletrônico 30103 mecânica 333 Rede de avanço de fase 496 eletrônica 72 mecânica 332 Rede em ponte T 7980 476 Redes polares 271 Regras de ajuste de ZieglerNichols 910 52231 primeiro método 52224 segundo método 52425 Regulador de velocidade de Watt 3 Relé com escape 101 Relé de ação reversa 102 Relé do tipo sem escape 101 Relé pneumático 101 com atuação reversa 102 do tipo com escape 101 do tipo sem escape 101 806 Engenharia de controle moderno Representação de espaço de estados em formas canônicas 596 em sistemas de enésima ordem 314 Resíduos 785 Resistência de fluxo turbulento 93 Resistência do fluxo laminar 93 Resistência térmica 123 Resistência de sistemas térmicos 123 de fluxo turbulento 93 do fluxo laminar 923 do fluxo de gás 978 de sistemas de pressão 979 Resposta à rampa unitária de sistema de primeira ordem 148 de sistema de segunda ordem 17881 de sistema definido em espaço de estados 18081 Resposta ao degrau unitário de sistema de primeira ordem 147 de sistema de segunda ordem 148 152 154 Resposta ao impulso 148 16163 17678 função 1415 Resposta de impulso unitário de sistema de primeira ordem 148 de sistema de segunda ordem 16162 Resposta do sistema a condição inicial abordagem MATLAB para obtenção de 18391 Resposta em degrau 63738 de sistema de segunda ordem 15054 Resposta em estado estacionário 146 Resposta em frequência em malha fechada 437 Resposta em frequência 366 compensação por atraso baseada na 46068 compensação por atraso e avanço de fase baseada em 46874 compensação por avanço baseada em 45260 correlação entre resposta em degrau e 43134 Resposta em rampa 178 Resposta transitória 146 análise com MATLAB 16691 de sistema de ordem superior 16364 especificações 15455 Resposta a condição inicial 18391 a distúrbio de torque 199200 a entrada arbitrária 18182 S Salto no valoralvo 54142 Segunda lei de Newton 589 Sensor 17 Servomecanismo 12 Servomotor hidráulico 11517 142 Servossistema hidráulico 11213 Servossistema posicionador 846 Servossistema tipo 1 projeto de 67583 projeto de alocação de polos de 67278 Servossistema 84 14850 com realimentação de velocidade 15961 com realimentação por tacômetro 24445 projeto de 67283 Sinais de teste 145 Sinal de controle 23 Sistema com três graus de liberdade 591 Sistema condicionalmente estável 27374 41920 46768 Sistema controlado por IPD 54344 57576 589 com controle antecipativo 588 Sistema criticamente amortecido 152 Sistema de aquecimento de ar 137 Sistema de controle com um grau de liberdade 54445 Sistema de controle de leme profundor de uma aeronave 142 Sistema de controle de malha aberta 7 desvantagens do 8 vantagens do 8 Sistema de controle de malha fechada 7 Sistema de controle de variação de atitude 351 Sistema de controle de nível de líquidos 143 Sistema de controle de pêndulo invertido 67883 Sistema de controle de realimentação 6 Sistema de controle de veículo espacial 334 49293 Sistema de controle de velocidade 34 13334 Sistema de controle PID 52531 53536 56569 575 76 58889 básico 54142 com dois graus de liberdade 54346 com filtro de entrada 576 com uso de amplificadores operacionais 734 controlador PID 521 53031 56264 56768 579 modificado 564 Sistema de controle realimentado por estado observado 691 Sistema de fase mínima 38182 Sistema de malha fechada 17 Sistema de malhas múltiplas 41920 Sistema de pêndulo invertido 604 878 Sistema de pêndulo ligado a molas 878 Sistema de pressão 979 Sistema de primeira ordem 14749 resposta à rampa unitária 148 resposta ao degrau unitário 14748 resposta ao impulso unitário 148 Sistema de realimentação positiva Diagrama de Nyquist para 49092 lugar das raízes para 27780 Sistema de realimentação 17 Sistema de segunda ordem padrão 171 Sistema de segunda ordem 14849 curvas de resposta em degrau unitário de 154 especificação de resposta transitória de 155 forma padrão de 151 resposta ao impulso de 16163 resposta em degrau de 15059 807 Índice remissivo Sistema de suspensão automotiva 76 Sistema de suspensão de motocicleta 77 Sistema de suspensão de automóveis 767 de motocicletas 77 fórmula de interpolação de Sylvester 615 64549 Sistema de tanque de água cônico 13738 Sistema de termômetro de mercúrio 13637 Sistema diferenciador 208 Sistema em cascata 17 Sistema empresarial 45 Sistema fluídos modelagem matemática dos 91 Sistema hidráulico 967 11225 13435 comparado ao sistema pneumático 967 vantagens e desvantagens do 11213 Sistema não controlável 622 Sistema linear invariante no tempo 112 14849 Sistema linear variante no tempo 112 Sistema linear 1112 coeficiente constante 112 Sistema massamolaamortecedor 589 Sistema mecânico de atrasoavanço 333 Sistema mecânico de avanço 332 Sistema mecânico vibratório 213 Sistema não amortecido 15152 Sistema não linear 367 Sistema organizacional de engenharia 46 Sistema pneumático de pressão 12728 Sistema regulador com controlador de observador 704 12 71415 Sistema regulador quadrático ótimo 71820 projeto com MATLAB de 72122 Sistema superamortecido 15354 Sistema termômetro 13638 Sistema tipo 0 203 207 447 curva de magnitude logarítmica para 38485 447 diagrama polar de 397 Sistema tipo 1 385 curva de magnitude logarítmica para 385 447 diagrama polar de 397 Sistema tipo 2 386 curva de magnitude logarítmica para 386 447 diagrama polar de 397 Sistema 23 Sistemas de controle de temperatura 46 Sistemas de fase não mínima 27475 381 383 Sistemas de nível de líquido 92 945 1257 Sistemas de ordem maior 163 critério de estabilidade de Hurwitz 22829 23134 determinantes de Hurwitz 22834 equivalência do critério de estabilidade de Routhe 23133 resposta transitória de 16364 Sistemas pneumáticos 96112 139 comparados aos sistemas hidráulicos 967 Sistemas térmicos 9112325 Sobressinal máximo percentual 15455 Sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário 15456 na resposta ao impulso unitário 163 versus curva z 158 T Tacômetro 16061 realimentação 313 Taxa de corte 435 Técnica de designação ou alocação de polo 659 Tempo de acomodação 15457 obtenção com MATLAB 176 versus curva z 158 Tempo de atraso 15455 Tempo de avanço de fase 45 Tempo de pico 15456 17475 Tempo de subida 15455 obtenção com MATLAB 17476 Tempo derivativo 212 534 Tempo integral 212 534 Teorema de Cauchy 48182 Teorema de CayleyHamilton 611 639 Teorema do ganho pequeno 731 Teorema do mapeamento 41011 Teorema do valor final 784 Teorema do valor inicial 784 Teorema dos resíduos 482 Teoria do controle clássico 12 Teoria do controle convencional 25 Teoria do controle moderno 6 25 versus teoria do controle convencional 25 Texto escrever na tela de gráfico 17071 Tipos de sistema 38485 tipo 0 203 207 38485 397 44647 tipo 1 203 207 385 397 44647 tipo 2 203 207 386 397 44647 Transferência de calor por condução 123 Transformação de espaço de estados para função de transferência 356 602 de função de transferência para espaço de estados 346 601 Transformada de Laplace 780 propriedades da 783 tabela de 78182 Transformada inversa de Laplace 780 Transformada inversa de Laplace método de expansão em frações parciais para obtenção da 78590 Trem de engrenagens 209 sistema 20911 Tsistema de controle com dois graus de liberdade 54446 54963 58287 59293 V Válvula de carretel 808 Engenharia de controle moderno modelo matemático linearizado de 115 Valor de referência 18 Válvula atuadora pneumática 10607 Válvula de carretel subposta 13132 Válvula de sobreposição nula 117 Válvula eletromagnética 20 Válvula piloto 11213 Válvula sobreposta 117 Válvula tipo carretel sobreposta 13132 Válvula de sobreposição nula 117 sobreposta 117 subposta 117 Variável complexa 778 Variável controlada 23 Variável de estado 25 Variável manipulada 23 Vetor de estado 256 Vetores dependência linear de 616 independência linear de 616 Z Zero 779 de ordem m 780 809 Índice remissivo ISBN 9788576058106 svpearsoncombr A Sala Virtual oferece para professores manual de soluções em inglês e apresentações em PowerPoint Engenharia w w w p e a r s o n c o m b r Engenharia de controle moderno chega à quinta edição renovado com uma didática diferenciada que intensifica o processo de ensinoaprendizagem e faz com que passe despercebido o fato de o livro ter quatro décadas de mercado Isso porque a obra que foi totalmente revista e reformulada traz agora novos exercícios e exemplos bem como exibições do MATLAB que facilitam a utilização do programa na aplicação do conteúdo apresentado Ideal para cursos como engenharia automação industrial e eletrotécnica este clássico de Ogata não pode faltar na estante daqueles que como a própria obra querem fazer história Katsuhiko ENGENHARIA DE CONTROLE MODERNO 5a EDIÇÃO OGATA Diagrama de Blocos Parâmetros do Esquema Parâmetro Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 V 10 10 10 n 10 1 1 K K1 100 150 100 a 100 150 100 Ra 8 5 5 Ja 002 005 005 Da 001 001 001 Kce 05 1 1 Kt 05 1 1 N1 25 50 50 N2 250 250 250 N3 250 250 250 Jc 1 5 5 Dc 1 3 3 Parâmetros do Diagrama de Blocos Parâmetro Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 Kpot 0318 K K1 100 a 100 Km 2083 am 171 Kg 01 Observação o leitor deve preencher as colunas Configuração 2 e Configuração 3 depois de completar os problemas de desafio do Estudo de Caso do controle de antena nos Capítulos 2 e 10 respectivamente À minha esposa Ellen filhos Benjamin e Alan e filha Sharon e suas famílias O autor e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços do autor do tradutor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bemvindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de CONTROL SYSTEMS ENGINEERING SIXTH EDITION Copyright 2011 2006 2003 1996 by John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license ISBN 9780470547564 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2012 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem 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FREQUÊNCIA Introdução Revisão da Transformada de Laplace A Função de Transferência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos Translacionais Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos Rotacionais Funções de Transferência para Sistemas com Engrenagens Funções de Transferência de Sistemas Eletromecânicos Circuitos Elétricos Análogos Não Linearidades Linearização Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO Introdução Algumas Observações A Representação Geral no Espaço de Estados Aplicando a Representação no Espaço de Estados 35 36 37 4 41 42 43 44 45 46 47 48 49 410 411 5 51 52 53 54 55 56 57 58 6 61 62 63 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados Convertendo do Espaço de Estados para uma Função de Transferência Linearização Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO Introdução Polos Zeros e a Resposta do Sistema Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de Segunda Ordem Introdução O Sistema de Segunda Ordem Geral Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Resposta do Sistema com Polos Adicionais Resposta do Sistema com Zeros Efeitos de Não Linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo Solução via Transformada de Laplace de Equações de Estado Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia REDUÇÃO DE SUBSISTEMAS MÚLTIPLOS Introdução Diagramas de Blocos Análise e Projeto de Sistemas com Realimentação Diagramas de Fluxo de Sinal Regra de Mason Diagramas de Fluxo de Sinal de Equações de Estado Representações Alternativas no Espaço de Estados Transformações de Similaridade Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia ESTABILIDADE Introdução Critério de RouthHurwitz Critério de RouthHurwitz Casos Especiais 64 65 7 71 72 73 74 75 76 77 78 8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810 9 91 92 93 94 95 Critério de RouthHurwitz Exemplos Adicionais Estabilidade no Espaço de Estados Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia ERROS EM REGIME PERMANENTE Introdução Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentação Unitária Constante de Erro Estático e Tipo do Sistema Especificações de Erro em Regime Permanente Erro em Regime Permanente para Perturbações Erro em Regime Permanente para Sistema com Realimentação Não Unitária Sensibilidade Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia TÉCNICAS DO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES Introdução Definindo o Lugar Geométrico das Raízes Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Esboçando o Lugar Geométrico das Raízes Refinando o Esboço Um Exemplo Projeto da Resposta Transitória através do Ajuste de Ganho Lugar Geométrico das Raízes Generalizado Lugar Geométrico das Raízes para Sistemas com Realimentação Positiva Sensibilidade do Polo Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia PROJETO VIA LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES Introdução Melhorando o Erro em Regime Permanente via Compensação em Cascata Melhorando a Resposta Transitória via Compensação em Cascata Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Compensação de Realimentação 96 10 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 11 111 112 113 114 115 12 121 122 123 124 125 Realização Física da Compensação Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia TÉCNICAS DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA Introdução Aproximações Assintóticas Diagramas de Bode Introdução ao Critério de Nyquist Esboçando o Diagrama de Nyquist Estabilidade via Diagrama de Nyquist Margem de Ganho e Margem de Fase via Diagrama de Nyquist Estabilidade Margem de Ganho e Margem de Fase via Diagramas de Bode Relação entre a Resposta Transitória em Malha Fechada e a Resposta em Frequência em Malha Fechada Relação entre as Respostas em Frequência em Malha Fechada e em Malha Aberta Relação entre a Resposta Transitória em Malha Fechada e a Resposta em Frequência em Malha Aberta Características do Erro em Regime Permanente a partir da Resposta em Frequência Sistemas com Atraso no Tempo Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia PROJETO ATRAVÉS DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA Introdução Resposta Transitória via Ajuste de Ganho Compensação com Atraso de Fase Compensação com Avanço de Fase Compensação com Avanço e Atraso de Fase Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia PROJETO NO ESPAÇO DE ESTADOS Introdução Projeto de Controlador Controlabilidade Abordagens Alternativas para o Projeto do Controlador Projeto de Observador 126 127 128 13 131 132 133 134 135 136 137 138 139 1310 1311 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 D4 Observabilidade Abordagens Alternativas para Projeto de Observador Projeto de Erro em Regime Permanente via Controle Integral Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL Introdução Modelando o Computador Digital A Transformada z Funções de Transferência Redução de Diagrama de Blocos Estabilidade Erros em Regime Permanente Resposta Transitória no Plano z Projeto de Ganho no Plano z Compensação em Cascata via Plano s Implementando o Compensador Digital Resumo Questões de Revisão Problemas Investigando em Laboratório Virtual Bibliografia Apêndice A Lista de Símbolos Apêndice B Tutorial do MATLAB Introdução Exemplos MATLAB Resumo dos Comandos Bibliografia Apêndice C Tutorial do Simulink do MATLAB Introdução Usando o Simulink Exemplos Resumo Bibliografia Apêndice D Tutorial do LabVIEW Introdução Análise Projeto e Simulação de Sistemas de Controle Utilizando o LabVIEW Exemplos de Análise e Projeto D5 APÊNDICE E APÊNDICE F APÊNDICE G APÊNDICE H APÊNDICE I APÊNDICE J APÊNDICE K APÊNDICE L APÊNDICE M Exemplos de Simulação Resumo Bibliografia Glossário Respostas para Problemas Selecionados Créditos Índice Os Apêndices E F G H I J K L e M bem como os textos extras Solução dos Exercícios Investigando em Laboratório Virtual Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle Control Systems Engineering Toolbox encontramse disponíveis em wwwltceditoracombr Tutorial da Ferramenta de Interface Gráfica de Usuário GUI do MATLAB Online Tutorial da Toolbox de Matemática Simbólica do MATLAB Online Matrizes Determinantes e Sistemas de Equações Online Auxílio Computacional em Sistemas de Controle Online Desenvolvimento de um Diagrama Esquemático para um Motor CC Online Dedução da Solução das Equações de Estado no Domínio do Tempo Online Solução das Equações de Estado para t0 0 Online Dedução das Transformações de Similaridade Online Regras do Lugar Geométrico das Raízes Dedução Online Solução dos Exercícios Online Investigando em Laboratório Virtual Online Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle Control Systems Engineering Toolbox Online Material Suplementar Este livro conta com materiais suplementares O acesso é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgeniogrupogencombr Este livro introduz os estudantes à teoria e à prática da engenharia de sistemas de controle O texto enfatiza a aplicabilidade do tema na análise e no projeto de sistemas com realimentação O estudo da engenharia de sistemas de controle é essencial para estudantes buscando formação em engenharia elétrica mecânica aeroespacial biomédica ou química Os sistemas de controle são encontrados em uma ampla variedade de aplicações nessas áreas desde aviões e espaçonaves até robôs e sistemas de controle de processos Engenharia de Sistemas de Controle é uma obra adequada para estudantes de semestres finais de engenharia e aqueles que desejam dominar o assunto como autodidatas O estudante que utilizar este texto deve ter concluído os cursos básicos típicos de primeiros semestres em física e matemática incluindo equações diferenciais O material sobre outros conhecimentos necessários transformadas de Laplace e álgebra linear por exemplo está incorporado ao texto seja ao longo das discussões apresentadas nos capítulos seja separadamente nos apêndices ou ainda no site da LTC Editora Esse material de revisão pode ser omitido sem perda de continuidade caso o estudante não precise dele Características Principais As características principais desta sexta edição são Organização padronizada dos capítulos Explicações qualitativas e quantitativas Exemplos Exercícios e Estudos de Caso ao longo de todo o texto Investigando em Laboratório Virtual Ilustrações em abundância Inúmeros problemas de fim de capítulo Ênfase no projeto Cobertura flexível Ênfase na análise e no projeto assistidos por computador incluindo MATLAB1 e LabVIEW2 Ícones identificando os tópicos principais Vamos considerar cada característica em mais detalhes Organização Padronizada dos Capítulos Cada capítulo começa com uma lista de resultados de aprendizagem seguida de uma lista de resultados de aprendizagem do estudo de caso que estão relacionados com o desempenho específico do estudante na solução de um problema de estudo de caso prático como um sistema de controle de posição de azimute de antena Os tópicos são então divididos em seções claramente numeradas e intituladas contendo explicações exemplos e quando apropriado exercícios com respostas Essas seções numeradas são seguidas por um ou mais estudos de caso como será descrito em alguns parágrafos a seguir Cada capítulo termina com um breve resumo várias questões de revisão que requerem respostas curtas e um conjunto de problemas e experimentos Explicações Qualitativas e Quantitativas As explicações são claras e completas e quando apropriado incluem uma breve revisão do conhecimento prévio necessário Os tópicos são desenvolvidos com base uns nos outros e se apoiam mutuamente de uma forma lógica Os fundamentos para novos conceitos e terminologia são cuidadosamente preparados de modo a evitar sobrecarregar o estudante e facilitar o estudo independente Embora as soluções quantitativas sejam obviamente importantes uma compreensão qualitativa ou intuitiva dos problemas e métodos de solução é vital para permitir a perspicácia necessária para o desenvolvimento de projetos sólidos Portanto sempre que possível novos conceitos são discutidos a partir de uma perspectiva qualitativa antes que a análise e o projeto quantitativos sejam abordados Por exemplo no Capítulo 8 o estudante pode simplesmente examinar o lugar geométrico das raízes e descrever qualitativamente as alterações que irão ocorrer na resposta transitória à medida que um parâmetro do sistema como o ganho é variado Essa habilidade é desenvolvida com o auxílio de algumas equações simples do Capítulo 4 Exemplos Exercícios e Estudos de Caso As explicações são ilustradas com clareza por meio de diversos Exemplos numerados e identificados ao longo de todo o texto Quando apropriado as seções são encerradas com Exercícios Eles são exercícios de cálculo a maioria com respostas os quais testam a compreensão e fornecem retorno imediato As soluções completas podem ser encontradas no site da LTC Editora Exemplos mais abrangentes na forma de Estudos de Caso podem ser encontrados após a última seção numerada de cada capítulo com exceção do Capítulo 1 Esses estudos de caso são problemas de aplicação prática que demonstram os conceitos introduzidos no capítulo Cada estudo de caso termina com um problema Desafio sobre o qual os estudantes podem trabalhar a fim de testar sua compreensão sobre o assunto Um dos estudos de caso um sistema de controle de posição de azimute de antena é desenvolvido ao longo de todo o livro A finalidade é ilustrar a aplicação de novos conhecimentos em cada capítulo ao mesmo sistema físico destacando assim a continuidade do processo de projeto Outro estudo de caso mais desafiador envolvendo um Veículo Submersível Não Tripulado Independente é desenvolvido ao longo de cinco capítulos Investigando em Laboratório Virtual Experimentos computacionais utilizando MATLAB Simulink3 e a Control System Toolbox são encontrados ao final das seções de Problemas designados pelo subtítulo Investigando em Laboratório Virtual Um recurso novo nesta edição é o LabVIEW o qual também é utilizado para experimentos dentro da seção Investigando em Laboratório Virtual dos capítulos Os experimentos permitem que o leitor verifique os conceitos cobertos no capítulo através de simulação O leitor também pode alterar os parâmetros e realizar explorações do tipo o que aconteceria se para ganhar uma maior compreensão do efeito de alterações de parâmetros e configuração Os experimentos são apresentados com declaração de Objetivos e Requisitos Mínimos de Programas bem como com tarefas e questões para antes durante e após a execução dos experimentos Dessa forma os experimentos podem ser utilizados em um curso com laboratório que acompanha as aulas teóricas Ilustrações em Abundância A capacidade de visualizar conceitos e processos é crítica para a compreensão do estudante Por essa razão aproximadamente 800 fotografias diagramas gráficos e tabelas aparecem ao longo do livro para ilustrar os tópicos em discussão Inúmeros Problemas ao Final de Capítulo Cada capítulo termina com uma variedade de problemas que permitem que os estudantes testem sua compreensão sobre o assunto apresentado no capítulo Os problemas variam em grau de dificuldade e em complexidade e a maioria dos capítulos inclui diversos problemas práticos da vida real para ajudar a manter a motivação dos estudantes Além disso alguns são problemas progressivos de análise e de projeto que utilizam os mesmos sistemas práticos para demonstrar os conceitos de cada capítulo Ênfase em Projeto Este livro coloca uma grande ênfase no projeto Os Capítulos 8 9 11 12 e 13 focam principalmente o projeto E mesmo nos capítulos que enfatizam a análise exemplos simples de projeto são incluídos sempre que possível Ao longo do livro exemplos de projeto envolvendo sistemas físicos são identificados pelo ícone mostrado na margem Os problemas de fim de capítulo que envolvem o projeto de sistemas físicos são apresentados sob o título Problemas de Projeto e também nos capítulos que tratam de projeto sob o título Problemas Progressivos de Análise e de Projeto Nesses exemplos e problemas uma resposta desejada é especificada e o estudante deve calcular os valores de certos parâmetros do sistema como o ganho ou especificar uma configuração de sistema em conjunto com valores para os parâmetros Além disso o texto inclui inúmeros exemplos e problemas de projeto não identificados por um ícone que envolvem sistemas puramente matemáticos Como a visualização é de vital importância para a compreensão do projeto este texto relaciona cuidadosamente as especificações indiretas de projeto com as especificações mais conhecidas Por exemplo a especificação menos conhecida e indireta de margem de fase é cuidadosamente relacionada com a mais direta e conhecida ultrapassagem percentual antes de ser utilizada como especificação de projeto Para cada tipo geral de problema de projeto introduzido no texto uma metodologia para resolver o problema é apresentada em muitos casos na forma de um procedimento passo a passo começando com uma declaração dos objetivos de projeto Problemas de exemplo servem para demonstrar a metodologia seguindo o procedimento fazendo hipóteses simplificadoras e apresentando os resultados do projeto em tabelas ou gráficos que comparam o desempenho do sistema original com o do sistema melhorado Essa comparação também serve como uma verificação das hipóteses simplificadoras Tópicos de projeto de resposta transitória são cobertos de forma abrangente no texto Eles incluem Projeto através do ajuste do ganho utilizando o lugar geométrico das raízes Projeto de compensação e de controladores através do lugar geométrico das raízes Projeto através do ajuste do ganho utilizando métodos de resposta em frequência Projeto de compensação através de métodos de resposta em frequência Projeto de controladores no espaço de estados utilizando técnicas de alocação de polos Projeto de observadores no espaço de estados utilizando técnicas de alocação de polos Projeto de sistemas de controle digital através do ajuste de ganho no lugar geométrico das raízes Projeto de compensação de sistemas de controle digital através do projeto no plano s e da transformação de Tustin O projeto do erro em regime permanente é coberto de forma abrangente neste livro e inclui Ajuste do ganho Projeto de compensação através do lugar geométrico das raízes Projeto de compensação através de métodos de resposta em frequência Projeto de controle integral no espaço de estados Finalmente o projeto do ganho para resultar em estabilidade é coberto a partir das seguintes perspectivas Critério de RouthHurwitz Lugar geométrico das raízes Critério de Nyquist Diagramas de Bode Cobertura Flexível O material neste livro pode ser adaptado para um curso de um trimestre ou de um semestre A organização é flexível permitindo que o professor escolha o material que melhor se ajusta aos requisitos e às restrições de tempo da turma Ao longo do livro os métodos do espaço de estados são apresentados em conjunto com a abordagem clássica Os capítulos e as seções bem como exemplos exercícios questões de revisão e problemas que envolvem espaço de estados são marcados pelo ícone mostrado na margem e podem ser omitidos sem nenhuma perda de continuidade Aqueles que desejarem incluir uma introdução básica à modelagem no espaço de estados podem incluir o Capítulo 3 no programa de estudos Em um curso de um semestre as discussões sobre a análise no espaço de estados nos Capítulos 4 5 6 e 7 bem como o projeto no espaço de estados no Capítulo 12 podem ser cobertos em conjunto com a abordagem clássica Outra opção é ensinar espaço de estados separadamente reunindo os capítulos e as seções apropriados marcados com o ícone Espaço de Estados em uma única unidade que se segue à abordagem clássica Em um curso de um trimestre o Capítulo 13 Sistemas de Controle Digital pode ser suprimido Ênfase na Análise e no Projeto Assistidos por Computador Os problemas de sistemas de controle particularmente os problemas de análise e de projeto que utilizam o lugar geométrico das raízes podem ser enfadonhos uma vez que suas soluções envolvem o processo de tentativa e erro Para resolver esses problemas os estudantes devem ter acesso a computadores ou a calculadoras programáveis configurados com programas apropriados Nesta sexta edição o MATLAB continua a ser integrado no texto como um aspecto opcional Além disso e como novidade nesta edição incluímos o LabVIEW como uma alternativa para a análise e o projeto assistidos por computador Muitos problemas neste texto podem ser resolvidos com um computador ou com uma calculadora programável Por exemplo os estudantes podem utilizar uma calculadora programável para 1 determinar se um ponto do plano s faz parte do lugar geométrico das raízes 2 descobrir a resposta em frequência de magnitude e de fase para os diagramas de Nyquist e de Bode e 3 realizar a conversão entre as seguintes representações de um sistema de segunda ordem Posição dos polos em coordenadas polares Posição dos polos em coordenadas cartesianas Polinômio característico Frequência natural e fator de amortecimento Tempo de acomodação e ultrapassagem percentual Instante de pico e ultrapassagem percentual Tempo de acomodação e instante de pico As calculadoras portáteis têm a vantagem da facilidade de acesso para trabalhos de casa e provas Por favor consulte o Apêndice H disponível no site da LTC Editora para uma discussão sobre auxílios computacionais que podem ser adaptados para calculadoras portáteis Os computadores pessoais são mais adequados para aplicações de cálculo mais intenso como o traçado de respostas no domínio do tempo lugares geométricos das raízes e curvas de resposta em frequência bem como a obtenção de matrizes de transição de estados Esses computadores também fornecem ao estudante um ambiente do mundo real no qual ele pode analisar e projetar sistemas de controle Aqueles que não utilizam o MATLAB ou o LabVIEW podem escrever seus próprios programas ou utilizar outros programas como o Program CC Por favor consulte o Apêndice H no site da LTC Editora para uma discussão sobre auxílios computacionais que podem ser adaptados para uso em computadores que não tenham o MATLAB ou o LabVIEW instalados Sem o acesso a computadores ou a calculadoras programáveis os estudantes não podem obter resultados significativos de análise e de projeto e a experiência de aprendizado será limitada Ícones de Identificação dos Tópicos Mais Importantes Diversos ícones identificam os assuntos abordados e o material opcional Os ícones estão resumidos como se segue O ícone MATLAB identifica discussões exemplos exercícios e problemas envolvendo a utilização do MATLAB A utilização do MATLAB é fornecida como um aperfeiçoamento e não é requerida para a compreensão do texto O ícone Simulink identifica discussões exemplos exercícios e problemas envolvendo o Simulink A utilização do Simulink é fornecida como um aperfeiçoamento e não é requerida para a compreensão do texto O ícone Ferramenta GUI identifica discussões exemplos exercícios e problemas envolvendo as Ferramentas GUI do MATLAB As discussões sobre as ferramentas que incluem o LTI Viewer o Simulink LTI Viewer e a SISO Design Tool são fornecidas como um aperfeiçoamento e não são requeridas para a compreensão do texto O ícone de Symbolic Math identifica discussões exemplos exercícios e problemas envolvendo a Symbolic Math Toolbox A utilização da Symbolic Math Toolbox é fornecida como um aperfeiçoamento e não é requerida para a compreensão do texto O ícone LabVIEW identifica discussões exemplos exercícios e problemas envolvendo a utilização do LabVIEW A utilização do LabVIEW é fornecida como um aperfeiçoamento e não é requerida para a compreensão do texto O ícone Espaço de Estados destaca discussões exemplos exercícios e problemas envolvendo espaço de estados O material sobre espaço de estados é opcional e pode ser omitido sem perda de continuidade O ícone Projeto identifica claramente os problemas de projeto envolvendo sistemas físicos Novidades Nesta Edição A seguinte lista descreve as principais mudanças nesta sexta edição Problemas de fim de capítulo Mais de 20 dos problemas de fim de capítulo são novos ou foram revisados Além disso um Problema Progressivo de Análise e Projeto adicional foi acrescentado ao final dos problemas dos capítulos O novo problema progressivo trata da análise e do projeto de um veículo elétrico híbrido MATLAB O uso do MATLAB para análise e projeto assistidos por computador continua a ser integrado nas discussões e nos problemas como um recurso opcional na sexta edição O tutorial do MATLAB foi atualizado para a Versão 79 R 2009b do MATLAB Versão 84 da Control System Toolbox e Versão 53 da Symbolic Math Toolbox Além disso código MATLAB continua estando incorporado nos capítulos na forma de caixas intituladas Experimente Investigando em Laboratório Virtual Experiências usando o LabVIEW foram acrescentadas As experiências do Laboratório Virtual têm um caráter geral e foram elaboradas tendo em vista sua utilização em práticas de laboratório associadas às aulas teóricas Simulink do MATLAB A utilização do Simulink para mostrar os efeitos de não linearidades na resposta no domínio do tempo dos sistemas em malha aberta e em malha fechada aparece novamente nesta sexta edição Também continuamos a utilizar o Simulink para demonstrar como simular sistemas digitais Finalmente o tutorial do Simulink foi atualizado para o Simulink 74 Capítulo 11 O projeto de compensadores de avanço e atraso de fase usando cartas de Nichols foi acrescentado à Seção 115 LabVIEW Novidade nesta edição é o LabVIEW Um tutorial para esta ferramenta é incluído no Apêndice D O LabVIEW é utilizado em experiências de Investigando em Laboratório Virtual e em outros problemas ao longo do livro Organização do Livro por Capítulos Muitas vezes é útil compreender o raciocínio do autor por trás da organização do material do curso Esperase que os parágrafos a seguir esclareçam essa questão O objetivo principal do Capítulo 1 é motivar os estudantes Nesse capítulo os estudantes aprendem sobre as diversas aplicações de sistemas de controle na vida cotidiana e sobre as vantagens dos estudos e de uma carreira nesta área Objetivos de projeto da engenharia de sistemas de controle como resposta transitória erro em regime permanente e estabilidade são introduzidos bem como o caminho para atingir esses objetivos Termos novos e pouco familiares são igualmente incluídos no Glossário Muitos estudantes têm dificuldade com os primeiros passos da sequência de análise e projeto transformar um sistema físico em um esquema Esse passo requer muitas hipóteses simplificadoras baseadas na experiência que um estudante típico ainda não possui A identificação de algumas dessas hipóteses no Capítulo 1 ajuda a compensar essa falta de experiência Os Capítulos 2 3 e 5 abordam a representação de sistemas físicos Os Capítulos 2 e 3 cobrem a modelagem de sistemas em malha aberta utilizando técnicas de resposta em frequência e técnicas do espaço de estados respectivamente O Capítulo 5 discute a representação e a redução de sistemas formados pela interconexão de subsistemas em malha aberta Apenas uma amostra representativa dos sistemas físicos pode ser coberta em um livro deste porte Sistemas elétricos mecânicos ambos translacionais e rotacionais e eletromecânicos são utilizados como exemplos de sistemas físicos que são modelados analisados e projetados A linearização de um sistema não linear uma técnica utilizada pelo engenheiro para simplificar um sistema com a finalidade de representálo matematicamente também é apresentada O Capítulo 4 fornece uma introdução à análise de sistemas isto é a obtenção e a descrição da resposta de saída de um sistema Poderia parecer mais lógico inverter a ordem dos Capítulos 4 e 5 para apresentar o material do Capítulo 4 junto com outros capítulos que cobrem a análise Contudo muitos anos ensinando sistemas de controle me ensinaram que quanto mais cedo os estudantes virem uma aplicação do estudo da representação de sistemas maior será seu nível de motivação Os Capítulos 6 7 8 e 9 retornam à análise e ao projeto de sistemas de controle com o estudo da estabilidade Capítulo 6 do erro em regime permanente Capítulo 7 e da resposta transitória de sistemas de ordem elevada utilizando técnicas do lugar geométrico das raízes Capítulo 8 O Capítulo 9 cobre o projeto de compensadores e de controladores utilizando o lugar geométrico das raízes Os Capítulos 10 e 11 focam a análise e o projeto no domínio da frequência O Capítulo 10 como o Capítulo 8 cobre conceitos básicos para a análise de estabilidade da resposta transitória e do erro em regime permanente Entretanto os métodos de Nyquist e de Bode são utilizados em substituição ao lugar geométrico das raízes O Capítulo 11 como o Capítulo 9 cobre o projeto de compensadores mas do ponto de vista das técnicas de frequência em vez do lugar geométrico das raízes Uma introdução ao projeto no espaço de estados e à análise e ao projeto de sistemas de controle digital completa o texto nos Capítulos 12 e 13 respectivamente Embora esses capítulos possam ser utilizados como introdução para estudantes que prosseguirão seus estudos de engenharia de sistemas de controle eles são úteis por si mesmos e como um suplemento à discussão sobre análise e ao projeto dos capítulos anteriores O assunto não pode ser tratado de modo abrangente em dois capítulos mas a tônica é claramente definida e relacionada logicamente ao restante do livro Agradecimentos O autor gostaria de agradecer a contribuição de professores e estudantes tanto da California State Polytechnic University Pomona quanto de outras partes dos Estados Unidos cujas sugestões ao longo de todas as edições tiveram um impacto positivo nesta nova edição Estou profundamente grato aos meus colegas Elhami T Ibrahim Salomon Oldak e Norali Pernalete da California State Polytechnic University Pomona pela autoria dos criativos novos problemas que você encontrará ao final de cada capítulo A Dra Pernalete criou as experiências e os problemas com o LabVIEW que você irá encontrar nesta nova edição O novo problema progressivo veículo híbrido que está no final de cada capítulo é criação do Dr Ibrahim Em acréscimo à sua movimentada agenda como Chefe do Departamento de Engenharia Elétrica e Computação e autor de muitos dos novos problemas o Professor Oldak também revisou as novas adições ao livro e impediu que pequenas falhas chegassem a você o leitor Gostaria de expressar meu reconhecimento aos colaboradores desta sexta edição que participaram na revisão verificação de exatidão pesquisas ou grupos de discussão Eles são Jorge Aravena Louisiana State University Kurt Behpour Cal Poly San Luis Obispo Bill Diong Texas Christian University Sam Guccione Eastern Illinois University Pushkin Kachroo Virginia Tech Dmitriy Kalantarov Cal State San Diego Kamran Iqbal University of Arkansas Little Rock Kevin Lynch Northwestern University Tesfay Meressi University of Massachusetts Dartmouth Luai Najim University of Alabama em Birmingham Dalton Nelson University of Alabama em Birmingham Marcio S de Queiroz Louisiana State University John Ridgely Cal Poly San Luis Obispo John Schmitt Oregon State University Lili Tabrizi California State University Los Angeles Raman Unnikrishnan Cal State Fullerton Stephen Williams Milwaukee School of Engineering JiannShiou Yang University of Minnesota Duluth e Ryan Zurakowski University of Delaware Também gostaria de agradecer a John Wiley Sons Inc e a sua equipe por mais uma vez fornecer o apoio profissional para este projeto em todas as fases de seu desenvolvimento Especificamente as seguintes pessoas fazem jus a um reconhecimento especial pelas suas contribuições Don Fowler VicePresidente e Editor que deu total suporte corporativo ao projeto Daniel Sayre Editor com o qual trabalhei de perto e que proporcionou orientação e liderança durante todo o desenvolvimento desta sexta edição e Katie Singleton Assistente Editorial Sênior que sempre estava lá para sanar minhas dúvidas e responder às minhas preocupações de modo profissional Há muitos outros que trabalharam em segundo plano e que também merecem um agradecimento Em vez de ficar repetindo seus nomes e suas funções aqui eu remeto o leitor à página de direitos autorais deste livro onde eles são listados e o crédito lhes é atribuído Sou muito grato pela sua contribuição Em seguida quero agradecer a Integra Software Services Inc e sua equipe por transformar o manuscrito da sexta edição no produto finalizado que você tem em mãos Especificamente créditos para Heather Johnson Gerente de Edição que mais uma vez sempre esteve lá para resolver minhas preocupações de forma oportuna e profissional Meus sinceros agradecimentos são estendidos para Erik Luther da National Instruments Corporation e Paul Gilbert e Michel Levis da Quanser Finalmente por último mas certamente não menos importante desejo expressar minha gratidão à minha esposa Ellen por seu apoio de tantas maneiras que não dá para mencionar durante a redação das últimas seis edições Concretamente graças à sua verificação das páginas finais para esta sexta edição você leitor deverá encontrar compreensão e não apreensão nas páginas que se seguem Norman S Nise 1MATLAB é uma marca registrada da The MathWorks Inc 2LabVIEW é uma marca registrada da National Instruments Corporation 3Simulink é uma marca registrada da The MathWorks Inc O autor referese aos membros pertencentes à equipe editorial da obra original em inglês NE Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Definir um sistema de controle e descrever algumas aplicações Seção 11 Descrever os desenvolvimentos históricos que levaram à teoria de controle moderna Seção 12 Descrever as características e configurações básicas dos sistemas de controle Seção 13 Descrever os objetivos da análise e do projeto de sistemas de controle Seção 14 Descrever o processo de projeto de um sistema de controle Seções 1516 Descrever os benefícios de se estudar os sistemas de controle Seção 17 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será apresentado a um estudo de caso continuado um sistema de controle de posição do azimute de uma antena que servirá para ilustrar os princípios utilizados em cada um dos capítulos subsequentes Neste capítulo o sistema é utilizado para demonstrar qualitativamente como um sistema de controle funciona bem como para definir os critérios de desempenho que são a base para a análise e o projeto de sistemas de controle 11 Introdução Os sistemas de controle são uma parte integrante da sociedade moderna Inúmeras aplicações estão à nossa volta os foguetes são acionados e o ônibus espacial decola para orbitar a Terra envolta em jatos de água de resfriamento uma peça metálica é usinada automaticamente um veículo autônomo distribuindo materiais para estações de trabalho em uma oficina de montagem aeroespacial desliza ao longo do piso buscando seu destino Estes são apenas alguns exemplos dos sistemas controlados automaticamente que podemos criar Mas não somos os únicos criadores de sistemas controlados automaticamente estes sistemas também existem na natureza No interior de nossos próprios corpos existem inúmeros sistemas de controle como o pâncreas que regula o nosso nível de açúcar do sangue Em situações de estresse agudo nossa adrenalina aumenta junto com a frequência cardíaca fazendo com que mais oxigênio seja levado às nossas células Nossos olhos seguem um objeto em movimento para mantêlo no campo visual nossas mãos seguram um objeto e o colocam precisamente em um local predeterminado Mesmo o mundo não físico parece ser regulado automaticamente Alguns modelos foram sugeridos mostrando o controle automático do desempenho de um estudante A entrada do modelo é o tempo que o estudante tem disponível para o estudo e a saída é a nota O modelo pode ser utilizado para predizer o tempo necessário para melhorar a nota se um aumento súbito no tempo de estudo estiver disponível Utilizando este modelo você pode determinar se vale a pena se esforçar e aumentar os estudos durante a última semana do período Definição de Sistema de Controle Um sistema de controle consiste em subsistemas e processos ou plantas construídos com o objetivo de se obter uma saída desejada com um desempenho desejado dada uma entrada especificada A Figura 11 mostra um sistema de controle em sua forma mais simples na qual a entrada representa uma saída desejada Por exemplo considere um elevador Quando o botão do quarto andar é pressionado no primeiro andar o elevador sobe até o quarto andar com uma velocidade e uma exatidão de nivelamento projetadas para o conforto do passageiro A pressão no botão do quarto andar é uma entrada que representa a saída desejada mostrada como uma função degrau na Figura 12 O desempenho do elevador pode ser verificado a partir da curva de resposta do elevador na figura Duas das principais medidas de desempenho são evidentes 1 a resposta transitória e 2 o erro em regime permanente Neste exemplo o conforto e a paciência do passageiro dependem da resposta transitória Se esta resposta for muito rápida o conforto do passageiro é sacrificado se for muito lenta a paciência do passageiro é sacrificada O erro em regime permanente é outra especificação de desempenho importante uma vez que a segurança do passageiro e a conveniência podem ser sacrificadas se o elevador não nivelar apropriadamente FIGURA 11 Descrição simplificada de um sistema de controle Vantagens dos Sistemas de Controle Com os sistemas de controle podemos mover equipamento pesado com uma precisão que de outra 1 2 3 4 forma seria impossível Podemos apontar grandes antenas para os confins do universo para captar sinais de rádio muito fracos controlar estas antenas manualmente seria impossível Por causa dos sistemas de controle os elevadores nos transportam rapidamente ao nosso destino parando automaticamente no andar correto Figura 13 Sozinhos não poderíamos fornecer a potência necessária para a carga e a velocidade motores fornecem a potência e sistemas de controle regulam a posição e a velocidade Construímos sistemas de controle por quatro razões principais Amplificação de potência Controle remoto Conveniência da forma da entrada Compensação de perturbações FIGURA 12 Resposta do elevador Por exemplo uma antena de radar posicionada pela rotação de baixa potência de um botão de girar na entrada requer uma grande quantidade de potência para a rotação de sua saída Um sistema de controle pode produzir a amplificação de potência ou ganho de potência necessária Robôs projetados pelos princípios de sistemas de controle podem compensar a falta de habilidade humana Os sistemas de controle também são úteis em locais remotos ou perigosos Por exemplo um braço robótico controlado remotamente pode ser utilizado para coletar material em um ambiente radioativo A Figura 14 mostra um braço robótico projetado para trabalhar em ambientes contaminados Os sistemas de controle também podem ser utilizados para propiciar conveniência alterando a forma da entrada Por exemplo em um sistema de controle de temperatura a entrada é uma posição em um termostato A saída é o calor Assim uma entrada de posição conveniente produz uma saída térmica desejada FIGURA 13 a Os elevadores antigos eram controlados por cordas manualmente ou por um ascensorista Aqui uma corda é cortada para demonstrar o freio de segurança uma inovação nos elevadores antigos BettmanCorbis b Um dos dois elevadores de sustentação dupla modernos segue seu caminho para cima no Grande Arco em Paris Dois elevadores são acionados por um único motor com cada cabine servindo de contrapeso para a outra Atualmente os elevadores são totalmente automáticos utilizando sistemas de controle para regular posição e velocidade Outra vantagem de um sistema de controle é a habilidade de compensar perturbações Tipicamente controlamos variáveis tais como a temperatura em sistemas térmicos posição e velocidade em sistemas mecânicos e tensão corrente ou frequência em sistemas elétricos O sistema deve ser capaz de fornecer a saída correta mesmo com uma perturbação Por exemplo considere um sistema de antena que aponta em uma direção comandada Se o vento desviar a antena de sua posição comandada ou se houver ruído interno o sistema deve ser capaz de detectar a perturbação e corrigir a posição da antena Obviamente a entrada do sistema não mudará para realizar a correção Consequentemente o próprio sistema deve avaliar o quanto a perturbação reposicionou a antena e então retornála à posição comandada pela entrada FIGURA 14 O Rover foi construído para trabalhar em áreas contaminadas em Three Mile Island em Middletown Pensilvânia onde um acidente nuclear ocorreu em 1979 O longo braço do robô controlado remotamente pode ser visto na frente do veículo 12 A História dos Sistemas de Controle Os sistemas de controle com realimentação são mais antigos que a humanidade Diversos sistemas de controle biológicos foram formados nos primeiros habitantes de nosso planeta Vamos agora contemplar uma breve história dos sistemas de controle projetados pelos seres humanos1 Controle de Nível de Líquido Os gregos começaram a engenharia de sistemas com realimentação por volta de 300 aC Um relógio de água inventado por Ktesibios funcionava através do gotejamento de água a uma taxa constante em um recipiente de medição O nível de água no recipiente de medição podia ser usado para informar o tempo decorrido Para que a água gotejasse a uma taxa constante o nível do reservatório de alimentação tinha de ser mantido constante Isto foi conseguido usandose uma válvula de boia semelhante à do controle de nível de água da caixa de descarga dos vasos sanitários atuais Logo depois de Ktesibios a ideia do controle de nível de líquido foi aplicada a uma lâmpada a óleo por Philon de Bizâncio A lâmpada consistia em dois reservatórios de óleo posicionados verticalmente A bandeja inferior era aberta no topo e fornecia o combustível para a chama A taça superior fechada era o reservatório de combustível para a bandeja inferior Os reservatórios eram interconectados por dois tubos capilares e mais outro tubo chamado transportador vertical que era inserido dentro do óleo na bandeja inferior imediatamente abaixo da superfície À medida que o óleo queimava a base do transportador vertical era exposta ao ar o que forçava o óleo do reservatório superior a fluir através dos tubos capilares para a bandeja A transferência de combustível do reservatório superior para a bandeja parava quando o nível anterior de óleo na bandeja era reestabelecido impedindo assim o ar de entrar no transportador vertical Consequentemente o sistema mantinha o nível de líquido no reservatório inferior constante Controles de Pressão do Vapor e de Temperatura A regulação da pressão do vapor começou por volta de 1681 com a invenção da válvula de segurança por Denis Papin O conceito foi aprimorado aumentandose o peso do topo da válvula Se a pressão ascendente oriunda da caldeira excedesse o peso o vapor era liberado e a pressão diminuía Caso ela não excedesse o peso a válvula não abria e a pressão no interior da caldeira aumentava Assim o peso no topo da válvula determinava a pressão interna na caldeira Também no século XVII Cornelis Drebbel na Holanda inventou um sistema de controle de temperatura puramente mecânico para a incubação de ovos O dispositivo utilizava um frasco com álcool e mercúrio com uma boia em seu interior A boia estava conectada a um registro que controlava uma chama Uma parte do frasco era inserida na incubadora para medir o calor gerado pela chama À medida que o calor aumentava o álcool e o mercúrio se expandiam elevando a boia fechando o registro e reduzindo a chama Temperaturas mais baixas faziam com que a boia descesse abrindo o registro e aumentando a chama Controle de Velocidade Em 1745 o controle de velocidade foi aplicado a um moinho de vento por Edmund Lee Ventos mais fortes fletiam as pás mais para trás de modo que uma área menor ficava disponível À medida que o vento diminuía uma área de pás maior ficava disponível William Cubitt aperfeiçoou a ideia em 1809 dividindo as velas do moinho em abas móveis Também no século XVIII James Watt inventou o regulador de velocidade de esferas para controlar a velocidade de motores a vapor Neste dispositivo duas esferas giratórias se elevam à medida que a velocidade de rotação aumenta Uma válvula de vapor conectada ao mecanismo das esferas fecha com o movimento ascendente das esferas e abre com o movimento descendente das mesmas regulando assim a velocidade Estabilidade Estabilização e Direção A teoria de sistemas de controle como conhecida atualmente começou a se sedimentar na segunda metade do século XIX Em 1868 James Clerk Maxwell publicou o critério de estabilidade para um sistema de terceira ordem baseado nos coeficientes da equação diferencial Em 1874 Edward John Routh utilizando uma sugestão de William Kingdon Clifford que tinha sido ignorada anteriormente por Maxwell foi capaz de estender o critério de estabilidade para os sistemas de quinta ordem Em 1877 o tema para o prêmio Adams foi O Critério da Estabilidade Dinâmica Em resposta Routh submeteu um trabalho intitulado Um Tratado sobre a Estabilidade de um Determinado Estado de Movimento e venceu o prêmio Este trabalho contém o que é conhecido atualmente como o critério de estabilidade de RouthHurwitz que será estudado no Capítulo 6 Alexandr Michailovich Lyapunov também contribuiu para o desenvolvimento e a formulação das teorias e práticas atuais da estabilidade dos sistemas de controle Aluno de P L Chebyshev na Universidade de St Petersburg na Rússia Lyapunov estendeu o trabalho de Routh para sistemas não lineares em sua tese de doutorado em 1892 intitulada O Problema Geral da Estabilidade do Movimento Durante a segunda metade do século XIX o desenvolvimento de sistemas de controle se concentrou na direção e na estabilização de navios Em 1874 Henry Bessemer utilizando um giroscópio para medir o movimento de um navio e aplicando a potência gerada pelo sistema hidráulico do mesmo deslocava o salão do navio para mantêlo nivelado se isso fez alguma diferença para os passageiros é incerto Outros esforços foram feitos para estabilizar plataformas de armas bem como para estabilizar navios inteiros utilizando pêndulos como sensores de movimento Desenvolvimentos do Século XX Foi apenas no início do século XX que a condução automática de navios foi alcançada Em 1922 a Sperry Gyroscope Company instalou um sistema automático de direção que utilizava elementos de compensação e controle adaptativo para melhorar o desempenho Entretanto boa parte da teoria geral utilizada atualmente para melhorar o desempenho dos sistemas de controle automático é atribuída a Nicholas Minorsky um russo nascido em 1885 Foi seu desenvolvimento teórico aplicado à condução automática de navios que levou ao que hoje chamamos de controladores proporcional integral e derivado PID ou controladores de três modos os quais serão estudados nos Capítulos 9 e 11 No final da década de 1920 e início da década de 1930 H W Bode e H Nyquist da Bell Telephone Laboratories desenvolveram a análise de amplificadores com realimentação Essas contribuições evoluíram para as técnicas de análise e projeto em frequência atualmente utilizadas para os sistemas de controle com realimentação apresentadas nos Capítulos 10 e 11 Em 1948 Walter R Evans trabalhando na indústria aeronáutica desenvolveu uma técnica gráfica para representar as raízes de uma equação característica de um sistema com realimentação cujos parâmetros variavam sobre uma faixa específica de valores Esta técnica atualmente conhecida como lugar geométrico das raízes junto com o trabalho de Bode e Nyquist forma a base da teoria da análise e de projeto de sistemas de controle lineares A técnica do lugar geométrico das raízes será estudada nos Capítulos 8 9 e 13 Aplicações Contemporâneas Atualmente os sistemas de controle encontram um vasto campo de aplicação na orientação navegação e controle de mísseis e veículos espaciais bem como em aviões e navios Por exemplo os navios modernos utilizam uma combinação de componentes elétricos mecânicos e hidráulicos para gerar comandos de leme em resposta a comandos de rumo desejado Os comandos de leme por sua vez resultam em um ângulo do leme que orienta o navio Encontramos sistemas de controle por toda a indústria de controle de processos regulando o nível de líquidos em reservatórios concentrações químicas em tanques e a espessura do material fabricado Por exemplo considere um sistema de controle de espessura para uma laminadora de acabamento de chapas de aço O aço entra na laminadora de acabamento e passa por rolos Na laminadora de acabamento raios X medem a espessura real e a comparam com a espessura desejada Qualquer diferença é ajustada por um controle de posição de um parafuso que altera a distância entre os rolos através dos quais passa a peça de aço Esta alteração na distância entre os rolos regula a espessura Os desenvolvimentos modernos têm presenciado uma utilização generalizada de computadores digitais como parte dos sistemas de controle Por exemplo computadores são utilizados em sistemas de controle de robôs industriais veículos espaciais e na indústria de controle de processos É difícil imaginar um sistema de controle moderno que não utilize um computador digital O ônibus espacial contém inúmeros sistemas de controle operados por um computador de bordo em regime de tempo compartilhado Sem sistemas de controle seria impossível orientar a nave para e da órbita terrestre ou ajustar a órbita propriamente dita e manter o suporte à vida a bordo Funções de navegação programadas nos computadores da nave utilizam dados do hardware da nave para estimar a posição e velocidade do veículo Essa informação é passada para as equações de guiamento que calculam os comandos para os sistemas de controle de voo da nave os quais manobram a espaçonave No espaço o sistema de controle de voo gira os motores do sistema de manobra orbital OMS orbital maneuvering system para uma posição que fornece um impulso na direção comandada para manobrar a nave Na atmosfera terrestre a nave é manobrada por comandos enviados do sistema de controle de voo às superfícies de controle como por exemplo os elevons Neste grande sistema de controle representado pela navegação orientação e controle existem inúmeros subsistemas para controlar as funções do veículo Por exemplo os elevons requerem um sistema de controle para assegurar que a posição deles é de fato aquela que foi comandada uma vez que perturbações como o vento poderiam girar os elevons afastandoos de sua posição comandada De modo análogo no espaço o giro dos motores de manobra orbital requer um sistema de controle similar para assegurar que o motor de giro possa realizar sua função com velocidade e exatidão Sistemas de controle também são utilizados para controlar e estabilizar o veículo durante sua descida ao sair de órbita Diversos pequenos jatos que compõem o sistema de controle de reação RCS reaction control system são utilizados inicialmente na exosfera onde as superfícies de controle são ineficazes O controle é passado para as superfícies de controle à medida que a órbita decai e a nave entra na atmosfera No interior da nave diversos sistemas de controle são necessários para a geração de energia e para o suporte à vida Por exemplo o veículo orbital possui três geradores de energia de célula de combustível que convertem hidrogênio e oxigênio reagentes em eletricidade e água que são utilizadas pela tripulação As células de combustível envolvem o uso de sistemas de controle para regular a temperatura e a pressão Os reservatórios de reagentes são mantidos à pressão constante à medida que a quantidade dos reagentes diminui Sensores nos reservatórios enviam sinais para os sistemas de controle para ligar ou desligar os aquecedores para manter a pressão dos reservatórios constante Rockwell International 1984 Os sistemas de controle não estão limitados à ciência e à indústria Por exemplo um sistema de aquecimento de uma residência é um sistema de controle simples que consiste em um termostato que contém um material bimetálico que se expande ou se contrai com a variação da temperatura Essa expansão ou contração move um frasco de mercúrio que atua como interruptor ligando ou desligando o aquecedor A quantidade de expansão ou contração necessária para mover o interruptor de mercúrio é determinada pela regulagem de temperatura Sistemas de entretenimento domésticos também têm sistemas de controle embutidos Por exemplo em um sistema de gravação de disco óptico cavidades microscópicas representando as informações são gravadas no disco por um laser durante o processo de gravação Durante a reprodução um feixe de laser refletido focado nas cavidades muda de intensidade Figura 15 As mudanças de intensidade da luz são convertidas em um sinal elétrico e processadas como som ou imagem Um sistema de controle mantém o feixe de laser posicionado nas cavidades que são cortadas na forma de círculos concêntricos FIGURA 15 Sistema de reprodução óptico a lente objetiva lendo as cavidades em um disco óptico b trajetória do raio óptico para a reprodução mostrando o espelho de rastreamento que é girado por um sistema de controle para manter o feixe de laser posicionado nas cavidades Pioneer Electronics USA Inc Existem inúmeros outros exemplos de sistemas de controle do cotidiano ao extraordinário À medida que inicia seus estudos sobre a engenharia de sistemas de controle você ficará mais consciente da grande variedade de aplicações 13 Configurações de Sistemas Nesta seção examinamos as duas principais configurações dos sistemas de controle malha aberta e malha fechada Podemos considerar essas configurações como sendo a arquitetura interna do sistema total mostrado na Figura 11 Por fim mostramos como um computador digital se torna parte da configuração de um sistema de controle Sistemas em Malha Aberta Um sistema em malha aberta genérico é mostrado na Figura 16a Ele começa com um subsistema chamado de transdutor de entrada o qual converte a forma da entrada para aquela utilizada pelo controlador O controlador aciona um processo ou uma planta A entrada algumas vezes é chamada de referência enquanto a saída pode ser chamada de variável controlada Outros sinais como as perturbações são mostrados adicionados às saídas do controlador e do processo através de junções de soma as quais fornecem a soma algébrica dos seus sinais de entrada utilizando os sinais associados Por exemplo a planta pode ser uma fornalha ou um sistema de ar condicionado no qual a variável de saída é a temperatura O controlador em um sistema de aquecimento consiste em válvulas de combustível e no sistema elétrico que opera as válvulas A característica distintiva de um sistema em malha aberta é que ele não pode realizar compensações para quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao sinal de acionamento do controlador Perturbação 1 na Figura 16a Por exemplo se o controlador for um amplificador eletrônico e a Perturbação 1 for um ruído então qualquer ruído aditivo do amplificador na primeira junção de soma também acionará o processo corrompendo a saída com o efeito do ruído A saída de um sistema em malha aberta é corrompida não apenas por sinais que são adicionados aos comandos do controlador mas também por perturbações na saída Perturbação 2 na Figura 16a O sistema também não pode realizar correções para essas perturbações Sistemas em malha aberta então não efetuam correções por causa das perturbações e são comandados simplesmente pela entrada Por exemplo torradeiras são sistemas em malha aberta como qualquer pessoa com uma torrada queimada pode confirmar A variável controlada saída de uma torradeira é a cor da torrada O aparelho é projetado com a hipótese de que quanto maior o tempo de exposição da torrada ao calor mais escura ela ficará A torradeira não mede a cor da torrada ela não efetua correções pelo fato de a torrada ser de pão de centeio pão branco ou pão sourdough e nem efetua correções pelo fato de as torradas terem espessuras diferentes FIGURA 16 Diagramas de blocos de sistemas de controle a sistema em malha aberta b sistema em malha fechada Outros exemplos de sistemas em malha aberta são sistemas mecânicos constituídos de uma massa mola e amortecedor com uma força constante posicionando a massa Quanto maior a força maior o deslocamento Novamente a posição do sistema será alterada por uma perturbação como uma força adicional e o sistema não irá detectar e nem efetuar correções para essa perturbação Ou admita que você calcule o tempo de estudo necessário para obter o conceito A em uma prova que abrange três capítulos de um livro Se o professor adiciona um quarto capítulo uma perturbação você seria um sistema em malha aberta se não percebesse a perturbação e não aumentasse seu tempo de estudo em relação ao calculado anteriormente O resultado desse descuido seria uma nota inferior à esperada Sistemas em Malha Fechada Controle com Realimentação As desvantagens dos sistemas em malha aberta como a sensibilidade às perturbações e a falta de habilidade para corrigir seus efeitos podem ser superadas nos sistemas em malha fechada A arquitetura genérica de um sistema em malha fechada é mostrada na Figura 16b O transdutor de entrada converte a forma da entrada para a forma utilizada pelo controlador Um transdutor de saída ou sensor mede a resposta da saída e a converte para a forma utilizada pelo controlador Por exemplo se o controlador utiliza sinais elétricos para operar as válvulas de um sistema de controle de temperatura a posição de entrada e a temperatura de saída são convertidas em sinais elétricos A posição de entrada pode ser convertida em uma tensão por meio de um potenciômetro um resistor regulável e a temperatura de saída pode ser convertida em uma tensão por meio de um termistor um dispositivo cuja resistência elétrica varia com a temperatura A primeira junção de soma adiciona algebricamente o sinal de entrada ao sinal de saída que chega através da malha de realimentação o caminho de retorno da saída para a junção de soma Na Figura 16b o sinal de saída é subtraído do sinal de entrada O resultado geralmente é chamado de sinal de atuação Entretanto nos sistemas em que ambos os transdutores de entrada e da saída possuem ganho unitário isto é o transdutor amplifica sua entrada por um fator igual a 1 o valor do sinal de atuação é igual à diferença real entre a entrada e a saída Nessas condições o sinal de atuação é chamado de erro O sistema em malha fechada compensa o efeito das perturbações medindo a resposta da saída realimentando essa medida através da malha de realimentação e comparando essa resposta com a entrada na junção de soma Se existir qualquer diferença entre as duas respostas o sistema aciona a planta através do sinal de atuação para fazer uma correção Se não há diferença o sistema não aciona a planta uma vez que a resposta da planta já é a resposta desejada Assim os sistemas em malha fechada possuem a vantagem óbvia de apresentar uma exatidão maior que os sistemas em malha aberta Eles são menos sensíveis a ruídos perturbações e alterações do ambiente A resposta transitória e os erros em regime permanente podem ser controlados de modo mais conveniente e com maior flexibilidade nos sistemas em malha fechada frequentemente pelo simples ajuste de um ganho amplificação na malha e algumas vezes ajustandose o projeto do controlador Referimonos ao ajuste de projeto como compensação do sistema e ao dispositivo resultante como um compensador Por outro lado os sistemas em malha fechada são mais complexos e mais caros que sistemas em malha aberta Uma torradeira em malha aberta padrão serve como exemplo ela é simples e barata Uma torradeira de forno em malha fechada é mais complexa e mais cara uma vez que ela tem que medir tanto a cor por meio da reflexão de luz quanto a umidade em seu interior Assim o engenheiro de sistemas de controle deve considerar a relação custobenefício entre a simplicidade e o baixo custo de um sistema em malha aberta e a exatidão e o custo mais elevado de um sistema em malha fechada Em resumo sistemas que realizam as medições e correções descritas anteriormente são chamados de sistemas em malha fechada ou sistemas de controle com realimentação Sistemas que não possuem essas propriedades de medição e correção são chamados de sistemas em malha aberta Sistemas Controlados por Computador Em muitos sistemas modernos o controlador ou compensador é um computador digital A vantagem da utilização de um computador é que muitas malhas podem ser controladas ou compensadas pela mesma máquina através do compartilhamento de tempo Além disso quaisquer ajustes dos parâmetros do compensador necessários para fornecer uma resposta desejada podem ser realizados através de alterações no programa ao invés de mudanças no equipamento O computador também pode realizar funções de supervisão como agendar muitas aplicações necessárias Por exemplo o controlador do motor principal do ônibus espacial SSME space shuttle main engine que contém dois computadores digitais controla sozinho várias funções do motor Ele monitora os sensores do motor que fornecem pressões temperaturas vazões a velocidade da turbobomba posições das válvulas e posições dos atuadores das servoválvulas do motor O controlador realiza ainda o controle em malha fechada do empuxo e da relação da mistura do propelente da excitação dos sensores dos atuadores das válvulas e da ignição bem como de outras funções Rockwell International 1984 14 Objetivos de Análise e de Projeto Na Seção 11 mencionamos brevemente algumas especificações de desempenho de sistemas de controle como a resposta transitória e o erro em regime permanente Expandimos agora sobre o tópico de desempenho e colocamolo em perspectiva à medida que definirmos nossos objetivos de análise e de projeto A análise é o processo através do qual o desempenho de um sistema é determinado Por exemplo a resposta transitória e o erro em regime permanente são avaliados para determinar se eles atendem as especificações desejadas O projeto é o processo pelo qual o desempenho de um sistema é criado ou alterado Por exemplo se a resposta transitória e o erro em regime permanente de um sistema forem analisados e descobrirmos que eles não atendem as especificações então mudamos os parâmetros ou adicionamos componentes para atender as especificações Um sistema de controle é dinâmico ele responde a uma entrada apresentando uma resposta transitória antes de atingir uma resposta em regime permanente que geralmente se parece com a entrada Nós já identificamos essas duas respostas e citamos um sistema de controle de posição um elevador como exemplo Nesta seção discutimos três objetivos principais da análise e do projeto de sistemas produzir a resposta transitória desejada reduzir o erro em regime permanente e alcançar a estabilidade Abordamos também outros aspectos do projeto como o custo e a sensibilidade do desempenho do sistema a variações nos parâmetros Resposta Transitória A resposta transitória é importante No caso de um elevador uma resposta transitória lenta deixa os passageiros impacientes enquanto uma resposta excessivamente rápida os deixa desconfortáveis Caso o elevador oscile em torno do andar desejado por mais de um segundo podese ter uma sensação desconcertante A resposta transitória também é importante por razões estruturais uma resposta transitória muito rápida pode causar danos físicos permanentes Em um computador a resposta transitória contribui para o tempo necessário para a leitura ou gravação no disco de armazenamento do computador ver a Figura 17 Como a leitura e a gravação não podem ocorrer até que a cabeça pare a velocidade do movimento da cabeça de leituragravação de uma trilha do disco para outra influencia a velocidade total do computador Neste livro estabelecemos definições quantitativas para a resposta transitória Então analisamos o sistema e sua resposta transitória existente Finalmente ajustamos os parâmetros ou componentes de projeto para produzir uma resposta transitória desejada nosso primeiro objetivo de análise e de projeto FIGURA 17 Acionador de disco rígido de computador mostrando o disco e a cabeça de leituragravação Resposta em Regime Permanente Outro objetivo de análise e de projeto está focado na resposta em regime permanente Como vimos esta resposta se assemelha à entrada e é geralmente o que permanece depois que os transitórios tenham decaído a zero Por exemplo esta resposta pode ser um elevador parado próximo ao quarto andar ou a cabeça de um acionador de disco finalmente parada na trilha correta Nós estamos interessados na exatidão da resposta em regime permanente Um elevador deve ficar suficientemente nivelado com o andar para que os passageiros possam sair e uma cabeça de leituragravação não posicionada sobre a trilha comandada resulta em erros do computador Uma antena rastreando um satélite deve manter o satélite bem dentro de seu campo de visão para não perder o rastreamento Neste texto definimos os erros em regime permanente quantitativamente analisamos o erro em regime permanente de um sistema e então projetamos uma ação corretiva para reduzilo nosso segundo objetivo de análise e de projeto Estabilidade A discussão da resposta transitória e do erro em regime permanente é irrelevante se o sistema não tiver estabilidade Para explicar a estabilidade partimos do fato de que a resposta total de um sistema é a soma da resposta natural com a resposta forçada Quando você estudou as equações diferenciais lineares você provavelmente se referia a essas respostas como as soluções homogênea e particular respectivamente A resposta natural descreve o modo como o sistema dissipa ou obtém energia A forma ou a natureza dessa resposta é dependente apenas do sistema e não da entrada Por outro lado a forma ou a natureza da resposta forçada é dependente da entrada Assim para um sistema linear podemos escrever Para um sistema de controle ser útil a resposta natural deve 1 eventualmente tender a zero deixando assim apenas a resposta forçada ou 2 oscilar Em alguns sistemas entretanto a resposta natural aumenta sem limites ao invés de diminuir até chegar a zero ou oscilar Eventualmente a resposta natural é tão maior que a resposta forçada que o sistema não é mais controlado Esta condição chamada de instabilidade poderia levar à autodestruição do dispositivo físico caso limitadores não façam parte do projeto Por exemplo o elevador poderia colidir com o piso ou sair pelo telhado um avião poderia entrar em uma rolagem incontrolável ou uma antena comandada para apontar para um alvo poderia girar alinhandose com o alvo mas em seguida começar a oscilar em torno do alvo com oscilações crescentes e a velocidade aumentada até que o motor ou os amplificadores atingissem seus limites de saída ou até que a antena sofresse um dano estrutural Um gráfico em função do tempo de um sistema instável mostraria uma resposta transitória que cresce sem limite e sem qualquer evidência de uma resposta em regime permanente Os sistemas de controle devem ser projetados para ser estáveis Isto é suas respostas naturais devem decair para zero à medida que o tempo tende a infinito ou oscilar Em muitos sistemas a resposta transitória observada em um gráfico da resposta em função do tempo pode ser diretamente relacionada à resposta natural Assim se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito a resposta transitória também desaparecerá deixando apenas a resposta forçada Caso o sistema seja estável as características de resposta transitória e erro em regime permanente adequadas podem ser projetadas A estabilidade é nosso terceiro objetivo de análise e de projeto Outras Considerações Os três objetivos principais da análise e do projeto de sistemas de controle já foram enumerados Entretanto outras considerações importantes devem ser levadas em conta Por exemplo fatores que afetam a escolha do equipamento como o dimensionamento do motor para atender os requisitos de potência e a escolha dos sensores para se obter exatidão devem ser considerados no início do projeto Os aspectos financeiros também devem ser considerados Os projetistas de sistemas de controle não podem criar projetos sem considerar seus impactos econômicos Essas considerações como a alocação de orçamento e preços competitivos devem orientar o engenheiro Por exemplo se seu produto é único você pode ser capaz de criar um projeto que utilize componentes mais caros sem aumentar significativamente o custo total Entretanto caso o seu projeto venha a ser utilizado para muitos exemplares pequenos aumentos no custo por unidade podem representar um gasto muito maior para sua companhia propor no oferecimento de contratos e para desembolsar antes das vendas Outra consideração é o projeto robusto Os parâmetros do sistema considerados constantes durante o projeto para a resposta transitória para os erros em regime permanente e para a estabilidade variam ao longo do tempo quando o sistema real é construído Assim o desempenho do sistema também muda ao longo do tempo e não será consistente com o seu projeto Infelizmente a relação entre as variações de parâmetros e seus efeitos no desempenho não é linear Em alguns casos até no mesmo sistema variações nos valores dos parâmetros podem levar a pequenas ou grandes mudanças no desempenho dependendo do ponto de operação nominal do sistema e do tipo de projeto utilizado Assim o engenheiro deseja criar um projeto robusto de modo que o sistema não seja sensível a variações dos parâmetros Discutiremos o conceito da sensibilidade do sistema a variações dos parâmetros nos Capítulos 7 e 8 Este conceito então poderá ser utilizado para testar a robustez de um projeto Estudo de Caso Introdução a um Estudo de Caso Agora que nossos objetivos foram declarados como atingilos Nesta seção analisaremos um exemplo de um sistema de controle com realimentação O sistema aqui introduzido será utilizado em capítulos subsequentes como um estudo de caso continuado para demonstrar os objetivos desses capítulos Um fundo cinza como este identificará a seção de estudo de caso ao final de cada capítulo A Seção 15 que se segue a este primeiro estudo de caso explora o processo de projeto que nos auxiliará a construir nosso sistema Azimute de Antena Uma Introdução aos Sistemas de Controle de Posição Um sistema de controle de posição converte um comando de entrada de posição em uma resposta de saída de posição Os sistemas de controle de posição encontram uma vasta variedade de aplicações em antenas braços robóticos e acionadores de discos de computador A antena de rádio telescópica na Figura 18 é um exemplo de um sistema que utiliza sistemas de controle de posição Nesta seção analisaremos em detalhe um sistema de controle de posição de azimute de antena que poderia ser utilizada para posicionar uma antena de rádio telescópica Veremos como o sistema funciona e como podemos efetuar alterações em seu desempenho A discussão aqui ocorrerá em um nível qualitativo com o objetivo de se obter um sentimento intuitivo para os sistemas com os quais estaremos lidando FIGURA 18 A procura por vida extraterrestre está sendo realizada com antenas de rádio como a mostrada nesta foto Uma antena de rádio é um exemplo de sistema com controles de posição Um sistema de controle de posição de azimute de antena é mostrado na Figura 19a com uma representação e um esquema mais detalhados nas Figuras 19b e 19c respectivamente A Figura 19d mostra um diagrama de blocos funcional do sistema As funções são mostradas acima dos blocos e os dispositivos requeridos são indicados no interior dos blocos Partes da Figura 19 são repetidas nas guardas dianteiras para referência futura FIGURA 19 Sistema de controle de posição de azimute de antena a concepção do sistema b representação detalhada c esquema d diagrama de blocos funcional O objetivo deste sistema é fazer com que a saída do ângulo de azimute da antena θst siga o ângulo de entrada do potenciômetro θet Vamos observar a Figura 19d e descrever como este sistema funciona O comando de entrada é um deslocamento angular O potenciômetro converte o deslocamento angular em uma tensão Analogamente o deslocamento angular da saída é convertido em uma tensão pelo potenciômetro na malha de realimentação Os amplificadores de sinal e de potência ressaltam a diferença entre as tensões de entrada e de saída Este sinal de atuação amplificado aciona a planta O sistema normalmente opera para levar o erro a zero Quando a entrada e a saída se igualam o erro será nulo e o motor não irá girar Assim o motor é acionado apenas quando a saída e a entrada são diferentes Quanto maior a diferença entre a entrada e a saída maior será a tensão de entrada do motor e mais rápido ele irá girar Caso aumentemos o ganho do amplificador de sinal haverá um aumento no valor da saída em regime permanente Se o ganho for aumentado então para um dado sinal de atuação o motor será acionado mais intensamente Entretanto o motor ainda irá parar quando o sinal de atuação for igual a zero isto é quando a saída se igualar à entrada A diferença na resposta entretanto estará no transitório uma vez que o motor é acionado mais intensamente ele gira mais rapidamente em direção à sua posição final Além disso por causa da velocidade maior a maior quantidade de movimento angular poderia fazer com que o motor ultrapassasse o valor final e fosse forçado pelo sistema a voltar à posição comandada Portanto existe a possibilidade de uma resposta transitória que consista em oscilações amortecidas isto é uma resposta senoidal cuja amplitude diminui com o tempo em torno do valor de regime permanente se o ganho for elevado As respostas para ganho baixo e para ganho elevado são mostradas na Figura 110 Nós examinamos a resposta transitória do sistema de controle de posição Vamos agora dirigir nossa atenção à posição em regime permanente para verificar quão de perto a saída se aproxima da entrada depois que os transitórios desaparecem Definimos o erro em regime permanente como a diferença entre a entrada e a saída depois que os transitórios tiverem efetivamente desaparecido A definição se adéqua igualmente bem para entradas em degrau em rampa e outros tipos de entrada Tipicamente o erro em regime permanente diminui com um aumento no ganho e aumenta com uma diminuição no ganho A Figura 110 mostra erro nulo na resposta em regime permanente isto é depois que os transitórios desapareceram a posição de saída se iguala à posição de entrada comandada Em alguns sistemas o erro em regime permanente não será nulo para esses sistemas um simples ajuste de ganho para regular a resposta transitória ou é ineficiente ou leva a uma solução de compromisso entre a resposta transitória desejada e a exatidão em regime permanente desejada Para resolver este problema um controlador com uma resposta dinâmica como um filtro elétrico é utilizado em conjunto com um amplificador Com este tipo de controlador é possível projetar ambas a resposta transitória requerida e a exatidão em regime permanente requerida sem a solução de compromisso imposta pelo simples ajuste de ganho Entretanto o controlador agora é mais complexo O filtro neste caso é chamado de compensador Muitos sistemas também utilizam elementos dinâmicos na malha de realimentação em conjunto com os transdutores da saída para melhorar o desempenho do sistema Em resumo nossos objetivos de projeto e o desempenho do sistema giram em torno da resposta transitória do erro em regime permanente e da estabilidade Ajustes de ganho podem afetar o desempenho e algumas vezes levar a soluções de compromisso entre os critérios de desempenho Compensadores podem frequentemente ser projetados para atender às especificações de desempenho sem a necessidade de soluções de compromisso Agora que estabelecemos nossos objetivos e alguns dos métodos disponíveis para alcançálos descrevemos o procedimento ordenado que nos leva ao projeto de sistema final FIGURA 110 Resposta de um sistema de controle de posição mostrando o efeito do ganho do controlador elevado e baixo na resposta de saída 15 O Processo de Projeto Nesta seção estabelecemos uma sequência ordenada para o projeto de sistemas de controle com realimentação que será seguida à medida que progredimos ao longo do livro A Figura 111 mostra o processo descrito bem como os capítulos nos quais os passos são discutidos O sistema de controle de posição de azimute de antena examinado na seção anterior é representativo dos sistemas de controle que devem ser analisados e projetados A realimentação e a comunicação durante cada fase da Figura 111 são inerentes Por exemplo se os testes Passo 6 mostrarem que os requisitos não foram atendidos o sistema deve ser reprojetado e retestado Algumas vezes os requisitos são conflitantes e o projeto não pode ser alcançado Nesses casos os requisitos devem ser reespecificados e o processo de projeto repetido Vamos agora detalhar cada bloco da Figura 111 Passo 1 Transformar Requisitos em um Sistema Físico Começamos transformando os requisitos em um sistema físico Por exemplo no sistema de controle de posição de azimute de antena os requisitos poderiam estabelecer o desejo de posicionar a antena a partir de um local remoto e descrever características como peso e dimensões físicas Utilizando os requisitos especificações do projeto tais como resposta transitória e exatidão em regime permanente desejadas são determinadas Talvez o resultado seja um conceito geral como o mostrado na Figura 19a Passo 2 Desenhar um Diagrama de Blocos Funcional O projetista agora traduz uma descrição qualitativa do sistema em um diagrama de blocos funcional que descreve as partes constituintes do sistema isto é função eou dispositivo e mostra suas interconexões A Figura 19d é um exemplo de um diagrama de blocos funcional para o sistema de controle de posição de azimute de antena Ele indica funções como transdutor de entrada e controlador bem como descrições de possíveis dispositivos como amplificadores e motores Neste ponto o projetista pode produzir uma representação detalhada do sistema como a mostrada na Figura 19b a partir da qual a próxima etapa na sequência de análise e de projeto desenvolver um diagrama esquemático pode ser iniciada Figura 111 O processo de projeto de sistema de controle Passo 3 Criar um Esquema Conforme vimos os sistemas de controle de posição consistem em componentes elétricos mecânicos e eletromecânicos Após produzir a descrição de um sistema físico o engenheiro de sistemas de controle transforma o sistema físico em um diagrama esquemático O projetista de sistema de controle pode começar pela descrição física como a contida na Figura 19a para deduzir um esquema O engenheiro deve fazer aproximações acerca do sistema e desprezar determinados fenômenos caso contrário o esquema ficará muito complexo tornando difícil extrair um modelo matemático útil durante a próxima etapa da sequência de análise e projeto O projetista começa com uma representação esquemática simples e em etapas subsequentes da sequência de análise e projeto verifica as hipóteses adotadas em relação ao sistema físico através de análise e de simulações computacionais Se o esquema for simples demais e não descrever adequadamente o comportamento observado o engenheiro de sistemas de controle adiciona ao esquema fenômenos que foram anteriormente supostos desprezíveis Um diagrama esquemático para o sistema de controle de posição de azimute de antena é mostrado na Figura 19c Quando representamos os potenciômetros fazemos nossa primeira hipótese simplificadora desprezando seu atrito e sua inércia Essas características mecânicas resultam em uma resposta dinâmica ao invés de uma resposta instantânea na tensão de saída Admitidos que esses efeitos mecânicos são desprezíveis e que a tensão sobre um potenciômetro varia instantaneamente à medida que seu eixo gira Um amplificador diferencial e um amplificador de potência são utilizados como controlador para produzir um ganho e uma amplificação de potência respectivamente para acionar o motor Novamente admitimos que a dinâmica dos amplificadores é rápida comparada ao tempo de resposta do motor assim os modelamos como um ganho puro K Um motor cc e uma carga equivalente produzem o deslocamento angular de saída A velocidade do motor é proporcional à tensão aplicada ao circuito da armadura do motor Tanto indutância quanto resistência fazem parte do circuito da armadura Ao mostrar apenas a resistência da armadura na Figura 19c admitimos que o efeito da indutância da armadura é desprezível para um motor cc O projetista faz mais suposições sobre a carga A carga consiste em uma massa em rotação e em um atrito de rolamento Portanto o modelo consiste em inércia e em amortecimento viscoso cujo torque resistivo aumenta com a velocidade como em um amortecedor de automóvel ou em um amortecedor de porta As decisões tomadas no desenvolvimento do esquema se baseiam no conhecimento do sistema físico nas leis físicas que governam o comportamento do sistema e na experiência prática Essas decisões não são fáceis entretanto à medida que adquire mais experiência de projeto você ganhará o entendimento necessário para esta difícil tarefa Passo 4 Desenvolver um Modelo Matemático Diagrama de Blocos Uma vez que o esquema esteja pronto o projetista utiliza leis físicas como as leis de Kirchhoff para circuitos elétricos e a lei de Newton para sistemas mecânicos em conjunto com hipóteses simplificadoras para modelar o sistema matematicamente Essas leis são Lei de Kirchhoff das tensões A soma das tensões ao longo de um caminho fechado é igual a zero Lei de Kirchhoff das correntes A soma das correntes elétricas que fluem a partir de um nó é igual a zero Leis de Newton A soma das forças atuantes em um corpo é igual a zero3 a soma dos momentos atuantes em um corpo é igual a zero As leis de Kirchhoff e de Newton conduzem a modelos matemáticos que descrevem o relacionamento entre a entrada e a saída de sistemas dinâmicos Um desses modelos é a equação diferencial linear invariante no tempo Eq 12 Muitos sistemas podem ser descritos aproximadamente por esta equação que relaciona a saída ct com a entrada rt por meio dos parâmetros do sistema ai e bj Admitimos que o leitor esteja familiarizado com as equações diferenciais São fornecidos problemas e uma bibliografia ao final do capítulo para que você faça uma revisão deste assunto As hipóteses simplificadoras adotadas no processo de obtenção de um modelo matemático normalmente conduzem a uma forma de baixa ordem da Eq 12 Sem as hipóteses o modelo do sistema poderia ser de ordem elevada ou poderia ser descrito por equações diferenciais não lineares variantes no tempo ou parciais Essas equações complicam o processo de projeto e reduzem o discernimento do projetista Naturalmente todas as hipóteses devem ser verificadas e todas as simplificações devem ser justificadas por meio de análises ou testes Se as hipóteses adotadas para a simplificação não puderem ser justificadas então o modelo não poderá ser simplificado Examinaremos algumas dessas hipóteses simplificadoras no Capítulo 2 Além da equação diferencial a função de transferência é outra maneira de se modelar matematicamente um sistema O modelo é obtido a partir da equação diferencial linear invariante no tempo utilizandose a chamada transformada de Laplace Embora a função de transferência possa ser utilizada apenas para sistemas lineares ela fornece uma informação mais intuitiva do que a equação diferencial Nós seremos capazes de alterar parâmetros de um sistema e rapidamente perceber o efeito dessas mudanças na resposta do sistema A função de transferência também é útil na modelagem da interligação de subsistemas pela formação de um diagrama de blocos similar ao da Figura 19d porém com uma função matemática no interior de cada bloco Outro modelo é a representação no espaço de estados Uma vantagem dos métodos do espaço de estados é que eles também podem ser utilizados para sistemas que não podem ser descritos por equações diferenciais lineares Além disso os métodos do espaço de estados são utilizados para modelar sistemas para simulação em computadores digitais Basicamente esta representação transforma uma equação diferencial de ordem n em um sistema de n equações diferenciais simultâneas de primeira ordem Por enquanto esta descrição é suficiente descreveremos esta abordagem mais detalhadamente no Capítulo 3 Finalmente devemos mencionar que para se produzir o modelo matemático para um sistema é necessário o conhecimento dos valores dos parâmetros como resistência equivalente indutância massa e amortecimento os quais frequentemente não são fáceis de obter Análises medições ou especificações de fabricantes são fontes que o engenheiro de sistemas de controle pode utilizar para obter os parâmetros Passo 5 Reduzir o Diagrama de Blocos Modelos de subsistemas são interconectados para formar diagramas de blocos de sistemas maiores como na Figura 19d em que cada bloco possui uma descrição matemática Observe que muitos sinais como tensões proporcionais e o erro são internos ao sistema Há ainda dois sinais entrada angular e saída angular que são externos ao sistema Para avaliar a resposta do sistema neste exemplo precisamos reduzir este grande diagrama de blocos do sistema a um único bloco com uma descrição matemática que represente o sistema da sua entrada para sua saída como mostrado na Figura 112 Uma vez que o diagrama de blocos seja reduzido estamos prontos para analisar e projetar o sistema FIGURA 112 Diagrama de blocos equivalente para o sistema de controle de posição de azimute de antena Passo 6 Analisar e Projetar A próxima etapa do processo que se segue à redução do diagrama de blocos é a análise e o projeto Caso você esteja interessado apenas no desempenho de um subsistema individual pode pular a redução do diagrama de blocos e partir imediatamente para a análise e o projeto Nesta etapa o engenheiro analisa o sistema para verificar se as especificações de resposta e os requisitos de desempenho podem ser atendidos por simples ajustes nos parâmetros do sistema Caso as especificações não possam ser atendidas o projetista então projeta componentes adicionais de modo a conseguir o desempenho desejado Sinais de entrada de teste são utilizados tanto analiticamente quanto durante os testes para verificar o projeto Não é nem necessariamente prático nem esclarecedor escolher sinais de entrada complexos para analisar o desempenho de um sistema Assim o engenheiro usualmente escolhe entradas de teste padronizadas Essas entradas são impulsos degraus rampas parábolas e senoides como mostrado na Tabela 11 Um impulso é infinito em t 0 e zero em qualquer outro instante de tempo A área sob o impulso unitário vale 1 Uma aproximação deste tipo de forma de onda é utilizada para aplicar uma energia inicial a um sistema de modo que a resposta devido a esta energia inicial seja apenas a resposta transitória do sistema Com base nesta resposta o projetista pode obter um modelo matemático do sistema Uma entrada em degrau representa um comando constante como posição velocidade ou aceleração Tipicamente o comando de entrada em degrau possui a mesma forma que a saída Por exemplo se a saída do sistema é uma posição como é o caso do sistema de controle de posição de azimute de antena a entrada em degrau representa uma posição desejada e a saída representa a posição real Caso a saída do sistema seja uma velocidade como a velocidade de rotação para um leitor de discos de vídeo a entrada em degrau representa uma velocidade constante desejada e a saída representa a velocidade real O projetista utiliza entradas em degrau porque ambas as respostas transitória e em regime permanente são claramente visíveis e podem ser avaliadas A entrada em rampa representa um comando linearmente crescente Por exemplo se a saída do sistema é uma posição a entrada em rampa representa uma posição linearmente crescente como a encontrada quando se rastreia um satélite que se move através do céu a uma velocidade constante Caso a saída do sistema seja uma velocidade a entrada em rampa representa uma velocidade linearmente crescente A resposta a um sinal de teste de entrada em rampa fornece informações adicionais sobre o erro em regime permanente A discussão anterior pode ser estendida a entradas em parábola que também são utilizadas para avaliar o erro do regime permanente de um sistema TABELA 11 Formas de onda de teste utilizadas em sistemas de controle Entradas senoidais também podem ser utilizadas para testar um sistema físico e obter um modelo matemático Discutiremos o uso dessa forma de onda em detalhes nos Capítulos 10 e 11 Concluímos que um dos requisitos básicos da análise e do projeto é avaliar a resposta temporal de um sistema para uma determinada entrada Ao longo deste livro você aprenderá diversos métodos para alcançar esse objetivo O engenheiro de sistemas de controle deve levar em consideração outras características dos sistemas de controle com realimentação Por exemplo o comportamento do sistema de controle é alterado por flutuações nos valores dos componentes ou nos parâmetros do sistema Essas variações podem ser causadas pela temperatura pressão ou outras mudanças nas condições ambientais Os sistemas devem ser construídos de modo que as flutuações esperadas não degradem o desempenho além dos limites especificados Uma análise de sensibilidade pode fornecer o percentual de variação de uma especificação em função da variação em um parâmetro do sistema Um dos objetivos do projetista então é construir um sistema com a menor sensibilidade possível sobre uma faixa esperada de variações ambientais Nesta seção examinamos algumas considerações sobre a análise e o projeto de sistemas de controle Vimos que o projetista está preocupado com a resposta transitória o erro em regime permanente a estabilidade e a sensibilidade O texto salientou que embora a base da avaliação do desempenho de um sistema seja a equação diferencial outros métodos como as funções de transferência e o espaço de estados serão utilizados As vantagens dessas novas técnicas em relação às equações diferenciais se tornarão evidentes quando as examinarmos em capítulos posteriores 16 Projeto Assistido por Computador Agora que já examinamos a sequência de análise e de projeto vamos examinar o uso do computador como uma ferramenta computacional nesta sequência O computador desempenha um papel importante no projeto dos sistemas de controle modernos No passado o projeto de sistemas de controle era trabalhoso Muitas das ferramentas que utilizamos hoje eram aplicadas através de cálculos manuais ou na melhor das hipóteses utilizando o auxílio de ferramentas gráficas de plástico O processo era lento e os resultados nem sempre exatos Computadores centrais de grande porte eram então utilizados para simular os projetos Atualmente somos afortunados por termos computadores e programas que eliminam o trabalho pesado da tarefa Nos nossos próprios computadores de mesa podemos realizar a análise o projeto e a simulação com um único programa Com a capacidade de simular um projeto rapidamente podemos facilmente realizar alterações e testar imediatamente um novo projeto Podemos brincar de o que aconteceria se e tentar soluções alternativas para verificar se elas produzem resultados melhores como uma sensibilidade reduzida à variação de parâmetros Podemos incluir não linearidades e outros efeitos e testar a exatidão dos nossos modelos MATLAB O computador é parte integrante do projeto de sistemas de controle modernos e muitas ferramentas computacionais estão disponíveis para o seu uso Neste livro utilizamos o MATLAB e o MATLAB Control System Toolbox que expande o MATLAB para incluir comandos específicos de sistemas de controle Além disso são apresentados diversos recursos adicionais do MATLAB que dão mais funcionalidades ao MATLAB e ao Control System Toolbox Estão incluídos 1 o Simulink que utiliza uma interface gráfica de usuário GUI graphical user interface 2 o LTI Viewer o qual permite que medidas sejam feitas diretamente das curvas de resposta no domínio do tempo e no domínio da frequência 3 a SISO Design Tool uma ferramenta de análise e de projeto prática e intuitiva e 4 o Symbolic Math Toolbox que poupa trabalho ao fazer cálculos simbólicos requeridos na análise e no projeto de sistemas de controle Alguns desses recursos podem necessitar de programas adicionais disponibilizados pela The Math Works Inc O MATLAB é apresentado como um método alternativo para a solução de problemas de sistemas de controle Você é encorajado a resolver os problemas primeiro manualmente e então através do MATLAB de modo que a compreensão não seja perdida pelo uso mecanizado de programas de computador Para tanto muitos exemplos ao longo do livro são resolvidos manualmente seguidos por uma sugestão de uso do MATLAB Como um incentivo para começar a usar o MATLAB instruções de programa simples que você pode tentar são sugeridas ao longo dos capítulos em locais apropriados Ao longo do livro vários ícones aparecem nas margens para identificar referências ao MATLAB que direcionam você ao programa apropriado no apêndice adequado e informam o que você irá aprender Problemas de fim de capítulo escolhidos e Desafios do Estudo de Caso a serem resolvidos utilizando o MATLAB também são identificados com ícones apropriados A lista a seguir discrimina os componentes específicos do MATLAB utilizados neste livro o ícone utilizado para identificar cada um deles e o apêndice no qual uma descrição pode ser encontrada Tutoriais e código do MATLABControl System Toolbox são encontrados no Apêndice B e são identificados no texto com o ícone MATLAB mostrado na margem Tutoriais e diagramas do Simulink são encontrados no Apêndice C e são identificados no texto com o ícone Simulink mostrado na margem Ferramentas tutoriais e exemplos MATLAB GUI estão no Apêndice E no site da LTC Editora e são identificados no texto com o ícone Ferramenta Gui mostrado na margem Essas ferramentas consistem no LTI Viewer e na SISO Design Tool Tutoriais e códigos da Symbolic Math Toolbox são encontrados no Apêndice F no site da LTC Editora e são identificados no texto com o ícone Symbolic Math mostrado na margem O código MATLAB em si não é específico de uma plataforma O mesmo código pode ser executado em computadores pessoais e estações de trabalho que suportam o MATLAB Embora existam diferenças na instalação e no gerenciamento de arquivos do MATLAB elas não são abordadas neste livro Além disso existem muito mais comandos no MATLAB e nas MATLAB toolboxes que os cobertos nos apêndices Por favor explore as bibliografias ao final dos apêndices apropriados para descobrir mais sobre o gerenciamento de arquivos do MATLAB e sobre instruções MATLAB que não são cobertas neste livro LabVIEW O LabVIEW é um ambiente de programação apresentado como uma alternativa ao MATLAB Esta alternativa gráfica produz painéis frontais de instrumentos virtuais no seu computador que são reproduções pictóricas de instrumentos como geradores de sinais ou osciloscópios Por trás dos painéis frontais estão diagramas de blocos Os blocos contêm código subjacente para os controles e indicadores no painel frontal Assim um conhecimento de codificação não é necessário Além disso os parâmetros podem ser facilmente passados ou visualizados a partir do painel frontal Um tutorial do LabVIEW está no Apêndice D e todo o material referente ao LabVIEW é identificado como o ícone LabVIEW mostrado na margem Você é encorajado a utilizar auxílios computacionais ao longo deste livro Aqueles que não utilizam MATLAB ou LabVIEW devem consultar o Apêndice H no site da LTC Editora para uma discussão sobre outras alternativas Agora que fizemos uma introdução aos sistemas de controle e estabelecemos uma necessidade de auxílios computacionais para realizar a análise e o projeto concluímos com uma discussão sobre a carreira de engenheiro de sistemas de controle e contemplamos as oportunidades e desafios que o esperam 17 O Engenheiro de Sistemas de Controle A engenharia de sistemas de controle é uma área estimulante na qual você pode aplicar seus talentos de engenharia uma vez que ela permeia diversas disciplinas e inúmeras funções dentro delas O engenheiro de controle pode ser encontrado no nível mais alto de grandes projetos envolvido na fase conceitual na determinação ou implementação de requisitos gerais de sistema Esses requisitos incluem especificações de desempenho total do sistema funções dos subsistemas e a interconexão dessas funções incluindo requisitos de interface projeto de equipamentos projeto de software e planejamento e procedimento de testes Muitos engenheiros estão envolvidos em apenas uma área como projeto de circuitos ou desenvolvimento de software Entretanto como um engenheiro de sistemas de controle você pode trabalhar em uma área mais ampla e interagir com pessoas de diversos ramos da engenharia e da ciência Por exemplo caso você esteja trabalhando em um sistema biológico precisará interagir com colaboradores das ciências biológicas engenharia mecânica engenharia elétrica e engenharia da computação sem falar da matemática e da física Você irá trabalhar com esses engenheiros em todos os níveis do desenvolvimento do projeto desde a concepção passando pelo projeto e finalmente chegando aos testes No nível de projeto o engenheiro de sistemas de controle pode efetuar a escolha o projeto e a interface de equipamentos incluindo o projeto total dos subsistemas para atender requisitos especificados O engenheiro de controle pode trabalhar com sensores e motores bem como com circuitos e dispositivos eletrônicos pneumáticos e hidráulicos O ônibus espacial é outro exemplo da diversidade requerida do engenheiro de sistemas Na seção anterior mostramos que os sistemas de controle do ônibus espacial abrangem muitos ramos da ciência mecânica orbital e propulsão aerodinâmica engenharia elétrica e engenharia mecânica Esteja você trabalhando ou não em um programa espacial como engenheiro de sistemas de controle você vai aplicar uma ampla base de conhecimentos na solução de problemas de engenharia de controle Você terá a oportunidade de expandir seus horizontes de engenharia além do seu currículo acadêmico Agora você está ciente das futuras oportunidades Porém por enquanto que vantagens este curso oferece a um estudante de sistemas de controle além do fato de você precisar dele para se graduar Os currículos de engenharia tendem a enfatizar o projeto ascendente Isto é você começa pelos componentes desenvolve circuitos e em seguida monta um produto No projeto descendente primeiro é formulada uma visão de alto nível dos requisitos em seguida as funções e os componentes necessários para implementar o sistema são determinados Você será capaz de adotar uma abordagem de sistemas descendente como resultado deste curso Um dos principais motivos para não se ensinar o projeto descendente durante todo o currículo é o alto nível de matemática requerido inicialmente para a abordagem dos sistemas Por exemplo a teoria de sistemas de controle que requer equações diferenciais não poderia ser ensinada como um curso dos primeiros semestres Entretanto durante a progressão pelos cursos que utilizam projeto ascendente fica difícil perceber como esse tipo de projeto se encaixa de modo lógico no grande cenário do ciclo de desenvolvimento de produto Depois de concluir este curso de sistemas de controle você será capaz de olhar para trás e perceber como seus estudos anteriores se encaixam no grande cenário Seu curso sobre amplificadores ou sobre vibrações terá um novo sentido à medida que você começar a perceber o papel que o trabalho de projeto desempenha como parte do desenvolvimento de produto Por exemplo como engenheiros desejamos descrever o mundo físico matematicamente de modo que possamos criar sistemas que beneficiarão a humanidade Você descobrirá que de fato adquiriu através de seus cursos anteriores a habilidade de modelar matematicamente os sistemas físicos embora naquele momento você possa não ter entendido onde no ciclo de desenvolvimento de produto a modelagem se encaixasse Este curso irá esclarecer os procedimentos de análise e de projeto e mostrará como o conhecimento que você adquiriu se encaixa no cenário geral de projeto de sistemas A compreensão dos sistemas de controle habilita os estudantes de todos os ramos da engenharia a falarem uma linguagem comum e a desenvolverem uma valorização e um conhecimento prático dos outros ramos Você descobrirá que na realidade não existe muita diferença entre os ramos da engenharia pelo menos no que diz respeito aos objetivos e aplicações À medida que você estudar os sistemas de controle notará essas semelhanças Resumo Os sistemas de controle contribuem para todos os aspectos da sociedade moderna Em nossos lares os encontramos em tudo desde torradeiras e sistemas de aquecimento até os aparelhos de vídeo Os sistemas de controle também têm ampla aplicação na ciência e na indústria desde a condução de embarcações e aviões até o guiamento de mísseis e o ônibus espacial Os sistemas de controle também existem naturalmente nossos corpos contêm diversos sistemas de controle Até mesmo representações de sistemas econômicos e psicológicos baseadas na teoria de sistemas de controle foram propostas Os sistemas de controle são utilizados onde ganho de potência controle remoto ou conversão da forma de entrada são necessários Um sistema de controle possui uma entrada um processo e uma saída Os sistemas de controle podem estar em malha aberta ou em malha fechada Os sistemas em malha aberta não monitoram ou corrigem a saída devido a perturbações entretanto eles são mais simples e mais 1 2 3 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Passo 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 baratos que os sistemas em malha fechada Os sistemas em malha fechada monitoram a saída e a comparam com a entrada Caso um erro seja detectado o sistema corrige a saída e assim corrige os efeitos das perturbações A análise e o projeto de sistemas de controle focam três objetivos principais Produzir a resposta transitória desejada Reduzir os erros em regime permanente Alcançar estabilidade Um sistema precisa ser estável para produzir as respostas transitória e em regime permanente apropriadas A resposta transitória é importante porque afeta a velocidade do sistema e influencia a paciência e o conforto dos seres humanos para não mencionar o esforço mecânico A resposta em regime permanente determina a exatidão do sistema de controle ela determina quão de perto a saída se aproxima da resposta desejada O projeto de um sistema de controle segue os seguintes passos Determinar um sistema físico e especificações a partir de requisitos Desenhar um diagrama de blocos funcional Representar o sistema físico como um esquema Utilizar o esquema para obter um modelo matemático como um diagrama de blocos Reduzir o diagrama de blocos Analisar e projetar o sistema para atender os requisitos e as especificações que incluem estabilidade resposta transitória e desempenho em regime permanente No próximo capítulo continuaremos a sequência de análise e projeto e aprenderemos como utilizar o esquema para obter um modelo matemático Questões de Revisão Cite três aplicações de sistemas de controle com realimentação Cite três razões para a utilização de sistemas de controle com realimentação e pelo menos uma razão para não utilizálos Dê três exemplos de sistemas em malha aberta Funcionalmente como os sistemas em malha fechada diferem dos sistemas em malha aberta Relate uma condição na qual o sinal do erro de um sistema de controle com realimentação não seria a diferença entre a entrada e a saída Caso o sinal do erro não seja a diferença entre a entrada e a saída por qual denominação geral podemos nos referir ao sinal do erro Cite duas vantagens de se utilizar um computador na malha Cite os três principais critérios de projeto para os sistemas de controle Cite as duas partes da resposta de um sistema Fisicamente o que acontece com um sistema instável 11 12 13 14 15 16 1 2 3 A instabilidade é atribuída a qual parte da resposta total Descreva uma tarefa típica da análise de sistemas de controle Descreva uma tarefa típica do projeto de sistemas de controle Ajustes no ganho do caminho direto à frente podem causar alterações na resposta transitória Verdadeiro ou falso Cite três abordagens para a modelagem matemática de sistemas de controle Descreva sucintamente cada uma de suas respostas para a Questão 15 Problemas Um resistor variável chamado de potenciômetro é mostrado na Figura P11 A resistência é alterada movendose um cursor de contato ao longo de uma resistência fixa A resistência de A a C é constante mas a resistência de B a C varia com a posição do cursor Considerando se que são necessárias 10 voltas para mover o cursor de contato de A a C desenhe um diagrama de blocos do potenciômetro mostrando a variável de entrada a variável de saída e no interior do bloco o ganho que é uma constante e representa o valor pelo qual a entrada é multiplicada para se obter a saída Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso FIGURA P11 Potenciômetro Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a diferença entre o ajuste do termostato e a temperatura real e então abrindo uma válvula de combustível por uma quantidade proporcional a esta diferença Desenhe um diagrama de blocos funcional em malha fechada similar ao mostrado na Figura 19d identificando os transdutores de entrada e da saída o controlador e a planta Além disso identifique os sinais de entrada e de saída de todos os subsistemas descritos anteriormente Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso A atitude de uma aeronave varia em rolagem arfagem e guinagem conforme definido na Figura P12 Desenhe um diagrama de blocos funcional para um sistema em malha fechada que estabilize a rolagem da seguinte forma o sistema mede o ângulo de rolagem real com um giroscópio e o compara o ângulo de rolagem real com o ângulo desejado Os ailerons respondem ao erro do ângulo de rolagem efetuando um deslocamento angular A aeronave responde a este deslocamento angular produzindo uma velocidade angular de rolagem Identifique os transdutores de entrada e da saída o controlador e a planta Além disso identifique a natureza de cada sinal Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso 4 5 FIGURA P12 Definição de atitude de aeronave Muitos processos operam sobre materiais em rolo que se movem a partir de um rolo alimentador para um rolo bobinador Tipicamente estes sistemas chamados de bobinadeiras controlam o material de modo que ele se desloque a uma velocidade constante Além da velocidade bobinadeiras mais complexas também controlam a tensão mecânica compensam a inércia dos rolos durante as fases de aceleração ou desaceleração e regulam a aceleração decorrente de mudanças bruscas Uma bobinadeira é mostrada na Figura P13 O transdutor de força mede a tensão mecânica a bobinadeira puxa o material contra os cilindros de prensagem que fornecem uma força oposta e o retentor fornece deslizamento Com o intuito de compensar mudanças na velocidade o material é enrolado em torno de um bailarino O laço evita que variações rápidas causem folga excessiva ou danos ao material Se a posição do bailarino for sentida por um potenciômetro ou outro dispositivo variações de velocidade decorrentes do acúmulo de material no rolo bobinador ou de outras causas podem ser controladas comparandose a tensão elétrica do potenciômetro com a velocidade comandada O sistema então corrige a velocidade e reajusta o bailarino para a posição desejada Ayers 1988 Desenhe um diagrama de blocos funcional para o sistema de controle de velocidade mostrando cada componente e cada sinal Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso FIGURA P13 Bobinadeira Em uma usina geradora de energia nuclear o calor proveniente de um reator é utilizado para gerar vapor para as turbinas A taxa da reação de fissão determina a quantidade de calor gerada e esta taxa é controlada por barras inseridas dentro do núcleo radioativo As barras regulam o fluxo de nêutrons Se as barras forem baixadas para dentro do núcleo a taxa de fissão diminuirá se as barras forem levantadas a taxa de fissão aumentará Através do controle automático da posição das barras a quantidade de calor gerada pelo reator pode ser regulada Desenhe um diagrama de blocos funcional para o sistema de controle de reator nuclear mostrado na Figura P14 Mostre todos os blocos e sinais Seção 14 Introdução a 6 7 8 a um Estudo de Caso FIGURA P14 controle de um reator nuclear Uma universidade deseja estabelecer um modelo de sistema de controle que represente a população estudantil como uma saída com a população estudantil desejada como uma entrada A administração determina a taxa de admissões comparando as populações estudantis atual e desejada O serviço de admissões utiliza então esta taxa para admitir estudantes Desenhe um diagrama de blocos funcional mostrando a administração e o serviço de admissões como blocos do sistema Mostre também os seguintes sinais a população estudantil desejada a população estudantil real a taxa de estudantes desejada determinada pela administração a taxa real de estudantes gerada pelo serviço de admissões a taxa de evasão e a taxa líquida de aumento da população estudantil Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso Podemos construir um sistema de controle que irá ajustar automaticamente o volume do rádio de uma motocicleta de acordo com as mudanças no ruído gerado por ela O ruído gerado pela motocicleta aumenta com a velocidade À medida que o ruído aumenta o sistema aumenta o volume do rádio Admita que a quantidade de ruído possa ser representada por uma tensão gerada pelo cabo do velocímetro e que o volume do rádio seja controlado por uma tensão cc Hogan 1988 Se a tensão cc representa o volume desejado perturbado pelo ruído da motocicleta desenhe o diagrama de blocos funcional do sistema de controle automático de volume mostrando o transdutor de entrada o circuito de controle do volume e o transdutor de velocidade como blocos Mostre também os seguintes sinais o volume desejado como uma entrada o volume real como uma saída e as tensões representando velocidade volume desejado e volume real Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso A banheira em sua casa é um sistema de controle que mantém o nível de água constante Uma vazão constante da torneira resulta em um nível de água constante uma vez que a vazão através do ralo aumenta à medida que o nível de água aumenta e diminui à medida que o nível de água diminui Após o equilíbrio ter sido alcançado o nível pode ser controlado controlandose a vazão de entrada Uma vazão de entrada baixa resulta em um nível mais baixo enquanto uma vazão de entrada maior resulta em um nível mais elevado Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso Esboce um sistema de controle que utilize este princípio para controlar precisamente o nível de líquido em um reservatório Mostre as válvulas de entrada e de drenagem o reservatório todos os sensores e transdutores e a interconexão de todos os componentes b 9 10 11 Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema identificando os sinais de entrada e de saída de cada bloco Um dinamômetro é um dispositivo utilizado para medir torque e velocidade e para variar a carga em dispositivos rotativos O dinamômetro opera como descrito a seguir para controlar o torque um atuador hidráulico fixado ao eixo pressiona um pneu contra um volante rotativo Quanto maior o deslocamento do atuador maior a força aplicada ao volante rotativo Uma célula de carga de um extensômetro sente a força O deslocamento do atuador é controlado por uma válvula operada eletricamente cujo deslocamento regula o fluxo de fluido para dentro do atuador DSouza 1988 Desenhe um diagrama de blocos funcional de um sistema em malha fechada que utiliza o dinamômetro descrito para regular a força contra o pneu durante um teste Mostre todos os sinais e sistemas Inclua amplificadores que forneçam energia para a válvula a válvula o atuador com a carga e o pneu Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso Durante uma operação médica um anestesista controla o nível de inconsciência de um paciente controlando a concentração de isoflurano em uma mistura vaporizada com oxigênio e óxido nitroso O nível de anestesia é medido pela pressão sanguínea do paciente O anestesista também regula a ventilação o equilíbrio dos fluidos e a administração de outros medicamentos Com o intuito de liberar o anestesista para dedicar mais tempo às últimas tarefas e no interesse da segurança do paciente desejamos automatizar o nível de anestesia automatizando o controle da concentração de isoflurano Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema mostrando os sinais e os subsistemas pertinentes Meier 1992 Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso A posição vertical xt do rebolo mostrado na Figura P15 é controlada por um sistema em malha fechada A entrada do sistema é a profundidade de corte desejada e a saída é a profundidade de corte real A diferença entre a profundidade desejada e a profundidade real aciona o motor resultando em uma força aplicada ao trabalho Esta força resulta em uma velocidade de alimentação para o rebolo Jenkins 1997 Desenhe um diagrama de blocos funcional em malha fechada para o processo de esmerilhar mostrando a entrada a saída a força e a taxa de alimentação da esmerilhadeira Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso FIGURA P15 Sistema de esmeril reproduzido com permissão da ASME 12 13 a b c Uma válvula solenoide proporcional de alta velocidade é mostrada na Figura P16 Uma tensão proporcional à posição desejada do êmbolo é aplicada à bobina O campo magnético resultante produzido pela corrente na bobina faz com que a armadura se mova Um pino impulsor conectado à armadura move o êmbolo Um transformador diferencial de tensão linear LVDT linear voltage differential transformer que gera uma tensão de saída proporcional ao deslocamento sente a posição do êmbolo Esta tensão pode ser utilizada em uma malha de realimentação para implementar a operação em malha fechada Vaughan 1996 Desenhe um diagrama de blocos funcional da válvula mostrando as posições de entrada e de saída a tensão da bobina a corrente na bobina e a força no êmbolo Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso FIGURA P16 Válvula solenoide proporcional de alta velocidade reproduzido com a permissão da ASME O olho humano possui um sistema de controle biológico que varia o diâmetro da pupila para manter uma intensidade de luz constante na retina À medida que a intensidade da luz aumenta o nervo óptico envia um sinal ao cérebro que comanda os músculos internos do olho para diminuir o diâmetro da pupila Quando a intensidade da luz diminui o diâmetro da pupila aumenta Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema luzpupila indicando a entrada a saída e os sinais intermediários o sensor o controlador e o atuador Seção 14 Introdução a um Estudo de Caso Em condições normais a luz incidente cobrirá uma área maior do que a pupila conforme mostrado na Figura P17a Se a área da luz incidente for menor do que o diâmetro da pupila conforme mostrado na Figura P17b o caminho de realimentação será interrompido Bechhoefer 2005 Modifique seu diagrama de blocos do Item a para mostrar onde a malha é interrompida O que ocorrerá se o feixe estreito de luz variar sua intensidade por exemplo de forma senoidal Já foi constatado Bechhoefer 2005 que são necessários cerca de 300 milissegundos para que a pupila reaja à uma variação da luz incidente Caso a luz incida fora do centro da retina como mostrado na Figura P17c descreva a resposta da pupila com o atraso e sem o atraso 14 15 FIGURA P17 A pupila é mostrada em preto o feixe de luz é mostrado em branco a O diâmetro do feixe de luz é maior que o diâmetro da pupila b O diâmetro do feixe de luz é menor que o diâmetro da pupila c Um feixe estreito de luz ilumina a borda da pupila O Transportador Pessoal Segway5 PT Personal Transporter Figura P18 é um veículo de duas rodas no qual um operador humano fica em pé verticalmente sobre uma plataforma À medida que o piloto se inclina para a esquerda para a direita para a frente ou para trás um conjunto de sensores giroscópicos de alta sensibilidade sente a entrada desejada Esses sinais são alimentados em um computador que os amplifica e comanda os motores para impulsionar o veículo na direção desejada Uma característica muito importante do PT é sua segurança o sistema manterá sua posição vertical dentro de um ângulo específico independentemente das irregularidades da via como subidas e descidas ou mesmo se o operador se inclinar demais em qualquer direção Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema do PT que mantenha o sistema na posição vertical Indique os sinais de entrada e saída os sinais intermediários e os subsistemas principais httpsegwaycom FIGURA P18 O Transportador Pessoal Segway PT Nos humanos os níveis hormonais o nível de atenção e a temperatura do corpo são sincronizados através de um ciclo circadiano de 24 horas O nível de atenção durante o dia está em seu melhor estado quando os ciclos de sono e vigília estão em sincronismo com o ciclo circadiano Assim o nível de atenção pode ser facilmente afetado por uma escala de trabalhos distribuída como à que os astronautas estão sujeitos Foi mostrado que o ciclo circadiano humano pode ser atrasado ou adiantado através de estímulos luminosos Para assegurar um nível de atenção ótimo é projetado um sistema para monitorar os ciclos circadianos dos astronautas e aumentar a qualidade do sono durante as missões A temperatura corporal pode ser utilizada como um indicador do ciclo circadiano Um modelo de computador com as variações ótimas de temperatura do corpo pode ser comparado com as temperaturas corporais de um astronauta Sempre que uma diferença for detectada o astronauta é submetido a um estímulo luminoso para adiantar ou atrasar seu ciclo circadiano Mott 2003 Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema Indique os sinais de entrada e de saída sinais intermediários e subsistemas principais 16 17 a b c 18 19 A realimentação tátil é um componente importante na aprendizagem de habilidades motoras como dança esportes e reabilitação física Uma roupa com pontos brancos reconhecidos por um sistema de visão para determinar as posições das articulações dos braços foi desenvolvida Esta roupa é vestida tanto pelo professor quanto pelo aluno para fornecer informações de posição Lieberman 2007 Se existir uma diferença entre as posições do professor e do estudante realimentação de vibração é fornecida ao aluno através de oito atuadores vibrotáteis estrategicamente posicionados no pulso e braço os quais se aproveitam de um efeito sensorial conhecido como coelho cutâneo que induz a pessoa a sentir estímulos uniformemente espaçados nos locais onde não há atuadores Estes estímulos ajudam o estudante a se ajustar para corrigir o movimento Em resumo o sistema consiste em um instrutor e em um estudante tendo seus movimentos seguidos pelo sistema de visão Seus movimentos são alimentados em um computador que encontra as diferenças entre as posições de suas articulações e fornece realimentação de força vibracional proporcional ao estudante Desenhe um diagrama de blocos descrevendo o projeto do sistema Dado o circuito elétrico mostrado na Figura P19 Revisão Escreva a equação diferencial do circuito para vt ut um degrau unitário Resolva a equação diferencial para a corrente it considerando que não haja energia inicial no circuito Faça um gráfico de sua solução para RL 1 FIGURA P19 Circuito RL Repita o Problema 17 utilizando o circuito mostrado na Figura P110 Admita que R 2 Ω L 1 H e 1LC 25 Revisão FIGURA P110 Circuito RLC Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando métodos clássicos Admita condições iniciais nulas Revisão 20 21 22 Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando métodos clássicos e as condições iniciais fornecidas Revisão PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade Alguns sistemas ferroviários de alta velocidade são energizados por eletricidade fornecida a um pantógrafo no teto do trem a partir de uma catenária suspensa como mostrado na Figura P111 A força aplicada pelo pantógrafo à catenária é regulada para evitar a perda de contato devido a um movimento transitório excessivo Um método proposto para regular a força utiliza um sistema com realimentação em malha fechada no qual uma força Fcima é aplicada à parte inferior do pantógrafo resultando em uma força de saída aplicada à catenária no topo O contato entre a cabeça do pantógrafo e a catenária é representado por uma mola A força de saída é proporcional ao deslocamento desta mola que por sua vez é a diferença entre as posições verticais da catenária e da cabeça do pantógrafo OConnor 1997 Desenhe um diagrama de blocos funcional mostrando os seguintes sinais a força de saída desejada como a entrada a força Fcima aplicada à parte inferior do pantógrafo a diferença de posição entre a catenária e a cabeça do pantógrafo e a força de contato de saída Além disso mostre os blocos representando o transdutor de entrada o controlador o atuador gerando Fcima a dinâmica do pantógrafo a mola descrita acima e o sensor de saída Todas as forças e deslocamentos são medidos a partir do equilíbrio Controle de HIVAIDS Em 2005 o número de pessoas no mundo com Vírus da Imunodeficiência HumanaSíndrome da Imunodeficiência Adquirida HIVAIDS Human Immunodeficiency VirusAcquired Immune Deficiency Syndrome foi estimado em 40 milhões com 5 milhões de novos infectados por ano e 3 milhões de mortes pela doença UNAIDS 2005 Atualmente não existe cura conhecida para a doença e o HIV não pode ser completamente eliminado em um indivíduo infectado Coquetéis de medicamentos podem ser utilizados para manter a quantidade de vírus em níveis baixos o que ajuda a prevenir o desenvolvimento da AIDS Um tratamento comum para o HIV é a administração de dois tipos de medicamentos os inibidores de transcriptase reversa RTIs reverse transcriptase inhibitors e os inibidores de protease PIs protease inhibitors A quantidade na qual 23 cada um desses medicamentos é administrado varia de acordo com a quantidade de vírus HIV presentes no corpo Craig 2004 Desenhe um diagrama de blocos de um sistema com realimentação projetado para controlar a quantidade de vírus HIV em uma pessoa infectada As variáveis de entrada da planta são as quantidades de RTIs e PIs administradas Mostre os blocos representando o controlador o sistema sendo controlado e os transdutores Nomeie as variáveis correspondentes na entrada e na saída de cada bloco FIGURA P111 Sistema ferroviário de alta velocidade mostrando o pantógrafo e a catenária reproduzido com a permissão da ASME Veículo híbrido A utilização de carros híbridos está se tornando cada vez mais popular Um veículo elétrico híbrido HEV hybrid electric vehicle combina máquinas elétricas com um motor de combustão interna ICE internal combustion engine tornando possível em conjunto com outras medidas de redução de consumo de combustível como parar o ICE em semáforos a utilização de motores a gasolina menores e mais eficientes Assim as vantagens da eficiência da transmissão elétrica são obtidas enquanto a energia necessária para alimentar o motor elétrico é armazenada em um tanque de combustível embarcado e não em um grande e pesado conjunto de baterias Há várias maneiras de se organizar o fluxo de energia em um carro híbrido Em um HEV serial Figura P112 o ICE não está conectado ao eixo de tração Ele aciona apenas o gerador que recarrega as baterias eou alimenta o motor elétrico através de um inversor ou conversor FIGURA P112 Veículo elétrico híbrido serial Os HEVs comercializados atualmente são principalmente do tipo paralelo ou misto de potência dividida Se o motor de combustão pode acionar as rodas bem como o gerador então o veículo é chamado de um híbrido paralelo porque ambos um motor elétrico e o ICE podem acionar o veículo Um carro híbrido paralelo Figura P113 inclui um conjunto de baterias armazenamento elétrico relativamente pequeno para fornecer potência extra para o motor elétrico quando uma aceleração rápida é necessária Ver Bosch 5th ed 2007 a Bosch 7th ed 2007 Edelson 2008 Anderson 2009 para informações mais detalhadas sobre HEV Como mostrado na Figura P114 carros híbridos mistos utilizam uma combinação dos acionamentos em série e em paralelo Bosch 5th ed 2007 Esses carros utilizam uma engrenagem planetária 3 como uma transmissão de potência dividida para permitir que parte da potência do ICE seja aplicada mecanicamente ao eixo das rodas A outra parte é convertida em energia elétrica através do alternador 7 e do inversor 5 para alimentar o motor elétrico à frente da transmissão eou para carregar a bateria de alta tensão 6 Dependendo das condições de condução o ICE o motor elétrico ou ambos propulsionam o veículo FIGURA P113 Acionamento híbrido paralelo FIGURA P114 Veículo elétrico híbrido misto Desenhe um diagrama de blocos funcional para o sistema de controle de cruzeiro velocidade de Um veículo híbrido serial mostrando seus componentes principais incluindo o sensor de velocidade a unidade de controle eletrônica ECU electronic control unit o inversor o motor elétrico e a dinâmica do veículo bem como todos os sinais incluindo a velocidade do veículo desejada a velocidade real comando de controle saída da ECU tensão controlada saída do inversor a força motriz produzida pelo motor elétrico e a b c 1 2 1 2 3 4 5 1 força de resistência ao movimento6 Um veículo híbrido paralelo mostrando seus componentes principais que deve incluir também um bloco que representa o acelerador o motor a combustão e o motor elétrico bem como os sinais incluindo a posição do acelerador e a força motriz combinada dos motores Um HEV misto mostrando seus componentes principais e sinais incluindo além dos listados nos itens a e b um bloco representando a engrenagem planetária e seu controle o qual dependendo das condições de condução pode permitir que o ICE o motor elétrico ou ambos propulsionem o veículo isto é forneçam a força motriz total necessária Investigando em Laboratório Virtual Experimento 11 Objetivo Verificar o comportamento de sistemas em malha fechada como descrito no Estudo de Caso do Capítulo 1 Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW e o LabVIEW Control Design and Simulation Module Observação embora nenhum conhecimento de LabVIEW seja necessário para esta experiência veja o Apêndice D para aprender mais sobre o LabVIEW que será abordado em mais detalhes em capítulos posteriores PréEnsaio A partir da discussão no Estudo de Caso descreva o efeito do ganho de um sistema em malha fechada sobre a resposta transitória A partir da discussão no Estudo de Caso sobre o erro em regime permanente esboce um gráfico de uma entrada em degrau superposta com uma saída de resposta ao degrau e mostre o erro em regime permanente Admita uma resposta transitória qualquer Repita para uma entrada rampa e uma saída de resposta à rampa Descreva o efeito do ganho sobre o erro em regime permanente Ensaio Execute o LabVIEW e abra Find Examples Na janela NI Example Finder abra CDEx Effect of Controller Typevi encontrado navegandose até ele através de Toolkits and ModulesControl and SimulationControl DesignTime AnalysisCDEx Effect of Controller Type vi Na barra de ferramentas clique circulando nas setas localizadas ao lado da seta sólida na esquerda O programa está rodando Mova o cursor Controller Gain e observe o efeito de ganhos elevados e baixos Mude o controlador clicando nas setas de Controller Type e repita o Passo 4 PósEnsaio Correlacione as respostas vistas na experiência com as descritas no seu PréEnsaio Explore outros exemplos fornecidos nas pastas de exemplos do LabVIEW Bibliografia Alternative Drivetrains July 2005 Available at wwwaltfuelsorgbackgrndaltdrivehtml Accessed October 13 2009 Anderson S Field Guide Hybrid Electric Powertrains part 4 of 5 Automotive Design Production Gardner Publication Inc Available at httpwwwautofieldguidecomarticles020904html Accessed October 13 2009 Ayers 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Systems Measurements and Control vol 118 March 1996 pp 120125 1Ver Bennett 1979 e Mayr 1970 para obras definitivas sobre a história dos sistemas de controle 2Você pode estar confuso com os termos transitória vs natural e regime permanente vs forçada Se você olhar a Figura 12 poderá ver as partes transitória e em regime permanente da resposta total como indicadas A resposta transitória é a soma das respostas natural e forçada enquanto a resposta natural é grande Se representássemos graficamente a resposta natural sozinha obteríamos uma curva que é diferente da parte transitória da Figura 12 A resposta em regime permanente da Figura 12 é também a soma da resposta natural e da resposta forçada mas a resposta natural é pequena Assim as respostas transitória e em regime permanente são o que você realmente vê no gráfico as respostas natural e forçada são as componentes matemáticas subjacentes destas respostas 3Alternativamente forças Ma Neste texto a força Ma será levada para o lado esquerdo da equação para resultar em forças 0 princípio de DAlembert Podemos então ter uma analogia consistente entre força e tensão e as leis de Kirchhoff e de Newton isto é forças 0 tensões 0 4O lado direito da Eq 12 indica a diferenciação da entrada rt Em sistemas físicos a diferenciação da entrada introduz ruído Nos Capítulos 3 e 5 mostramos implementações e interpretações da Eq 12 que não requerem a diferenciação da entrada 5Segway é uma marca registrada da Segway Inc nos Estados Unidos eou outros países 6Isto inclui o arrasto aerodinâmico a resistência à rolagem dos pneus e a resistência a subidas O arrasto aerodinâmico é uma função da velocidade do carro enquanto as outras duas são proporcionais ao peso do carro Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Encontrar a transformada de Laplace de funções no domínio do tempo e a transformada de Laplace inversa Seções 21 e 22 Encontrar a função de transferência a partir de uma equação diferencial e resolver a equação diferencial usando a função de transferência Seção 23 Encontrar a função de transferência de circuitos elétricos lineares invariantes no tempo Seção 24 Encontrar a função de transferência de sistemas mecânicos translacionais lineares invariantes no tempo Seção 25 Encontrar a função de transferência de sistemas mecânicos rotacionais lineares invariantes no tempo Seção 26 Encontrar a função de transferência de sistemas de engrenagens sem perda e de sistemas de engrenagens com perdas Seção 27 Encontrar a função de transferência de sistemas eletromecânicos lineares invariantes no tempo Seção 28 Produzir circuitos elétricos e sistemas mecânicos análogos Seção 29 Linearizar um sistema não linear para obter a função de transferência Seções 210 e 211 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas frontais você será capaz de determinar a função de transferência de cada subsistema Dado um modelo de uma perna humana ou um circuito elétrico não linear você será capaz de linearizar o modelo e em seguida obter a função de transferência 21 Introdução No Capítulo 1 examinamos a sequência de análise e projeto que inclui a obtenção de um esquema do sistema e demonstramos esse passo para um sistema de controle de posição Para obter um esquema o engenheiro de sistemas de controle deve frequentemente adotar diversas hipóteses simplificadoras de modo a manter o modelo resultante tratável e ainda aproximar a realidade física O próximo passo é desenvolver modelos matemáticos a partir de esquemas de sistemas físicos Discutiremos dois métodos 1 funções de transferência no domínio da frequência e 2 equações de estado no domínio do tempo Esses tópicos são cobertos neste capítulo e no Capítulo 3 respectivamente À medida que prosseguirmos vamos observar que em ambos os casos o primeiro passo do desenvolvimento de um modelo matemático é a aplicação das leis básicas da física utilizadas na ciência e na engenharia Por exemplo quando modelarmos circuitos elétricos a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff que são as leis básicas dos circuitos elétricos serão aplicadas inicialmente Somaremos tensões em uma malha ou correntes em um nó Quando estudarmos sistemas mecânicos usaremos as leis de Newton como princípios orientadores fundamentais Nesse caso somaremos forças ou torques A partir dessas equações obteremos a relação entre a saída e a entrada do sistema No Capítulo 1 verificamos que uma equação diferencial pode descrever a relação entre a entrada e a saída de um sistema A forma da equação diferencial e seus coeficientes são uma formulação ou descrição do sistema Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída ela não é uma representação satisfatória da perspectiva do sistema Analisando a Eq 12 uma equação diferencial geral de ordem n linear e invariante no tempo observamos que os parâmetros do sistema que são os coeficientes bem como a saída ct e a entrada rt aparecem por toda a equação Seria preferível uma representação matemática como a mostrada na Figura 21a em que a entrada a saída e o sistema são partes distintas e separadas Além disso gostaríamos de representar de modo conveniente a interconexão de diversos subsistemas Por exemplo gostaríamos de representar interconexões em cascata como mostrado na Figura 21b em que uma função matemática chamada função de transferência está no interior de cada bloco e as funções em blocos podem ser facilmente combinadas para produzir a Figura 21a facilitando assim a análise e o projeto Esta conveniência não pode ser obtida com a equação diferencial 22 Revisão da Transformada de Laplace É difícil modelar um sistema representado por uma equação diferencial na forma de um diagrama de blocos Assim preparamos o terreno para a transformada de Laplace com a qual podemos representar a entrada a saída e o sistema como entidades separadas Além disso seu inter relacionamento será simplesmente algébrico Vamos primeiro definir a transformada de Laplace e em seguida mostrar como ela simplifica a representação de sistemas físicos Nilsson 1996 A transformada de Laplace é definida como em que s σ jω é uma variável complexa Desse modo conhecendose ft e sabendose que a integral na Eq 21 existe podemos obter uma função Fs chamada de transformada de Laplace de ft1 FIGURA 21 a Representação em diagrama de blocos de um sistema b representação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas A notação para o limite inferior significa que mesmo que ft seja descontínua em t 0 podemos iniciar a integração antes da descontinuidade desde que a integral convirja Assim podemos obter a transformada de Laplace de funções impulso Esta propriedade tem nítidas vantagens quando aplicamos a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais nas quais as condições iniciais são descontínuas em t 0 Utilizando equações diferenciais precisamos resolvêlas para as condições iniciais após a descontinuidade conhecendose as condições iniciais antes da descontinuidade Utilizando a transformada de Laplace precisamos conhecer apenas as condições iniciais antes da descontinuidade Ver Kailath 1980 para uma discussão mais detalhada TABELA 21 Tabela de transformadas de Laplace Item no ft Fs 1 δt 1 2 ut 3 tut 4 tnut 5 eatut 6 sen ωtut 7 cos ωtut A transformada inversa de Laplace a qual nos permite obter ft a partir de Fs é em que ut 1 t 0 0 t 0 é a função degrau unitário A multiplicação de ft por ut produz uma função do tempo que é igual a zero para t 0 Utilizando a Eq 21 é possível obter uma tabela relacionando ft com Fs para casos específicos A Tabela 21 mostra os resultados para uma amostra representativa de funções Caso utilizemos a tabela não precisamos usar a Eq 22 a qual requer uma integração complexa para obter ft a partir de Fs No exemplo a seguir demonstramos a utilização da Eq 21 para obter a transformada de Laplace de uma função do tempo Exemplo 21 Transformada de Laplace de uma função do tempo PROBLEMA Obter a transformada de Laplace de ft Aeatut SOLUÇÃO Como a função do tempo não contém uma função impulso podemos substituir o limite inferior da Eq 21 por 0 Assim Além da tabela de transformadas de Laplace Tabela 21 podemos utilizar os teoremas da transformada de Laplace listados na Tabela 22 para auxiliar na transformação entre ft e Fs No exemplo a seguir demonstramos a utilização dos teoremas da transformada de Laplace mostrados na Tabela 22 para obter ft a partir de Fs Exemplo 22 Transformada Inversa de Laplace PROBLEMA Obter a transformada inversa de Laplace de F1s 1s 32 SOLUÇÃO Para este exemplo utilizamos o teorema do deslocamento em frequência Item 4 da Tabela 22 e a transformada de Laplace de ft tut Item 3 da Tabela 21 Se a transformada inversa de Fs 1s2 é tut a transformada inversa de Fs a 1s a2 é eattut Assim f1t e3ttut Expansão em Frações Parciais Para obter a transformada inversa de Laplace de uma função com elevado grau de complexidade podemos converter a função em uma soma de termos mais simples para os quais conhecemos a transformada de Laplace O resultado é chamado de expansão em frações parciais Se F1s NsDs em que a ordem de Ns é menor do que a ordem de Ds então uma expansão em frações parciais pode ser realizada Se a ordem de Ns for maior ou igual à ordem de Ds então Ns deve ser dividido por Ds sucessivamente até que o resultado tenha um resto cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do denominador Por exemplo se TABELA 22 Teoremas da transformada de Laplace 1Para que este teorema leve a resultados finitos corretos todas as raízes do denominador de Fs devem ter parte real negativa e não que um pode estar na origem 2Para que este teorema seja válido ft deve ser contínua ou ter uma descontinuidade em degrau em t 0 isto é sem impulsos ou suas derivadas em t 0 devemos realizar a divisão indicada até obtermos um resto cuja ordem do numerador seja inferior à ordem de seu denominador Assim Fazendo a transformada inversa de Laplace utilizando o Item 1 da Tabela 21 em conjunto com o teorema da diferenciação Item 7 e o teorema da linearidade Item 3 da Tabela 22 obtemos Utilizando a expansão em frações parciais seremos capazes de expandir funções como Fs 2s2 s 5 em uma soma de termos e em seguida obter a transformada inversa de Laplace para cada termo Iremos agora considerar três casos e mostrar em cada caso como Fs pode ser expandida em frações parciais Caso 1 As Raízes do Denominador de Fs São Reais e Distintas Um exemplo de Fs com raízes reais e distintas no denominador é As raízes do denominador são distintas uma vez que cada fator é elevado apenas à primeira potência Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador original forma o denominador de cada termo e constantes chamadas de resíduos formam os numeradores Assim Para obter K1 primeiro multiplicamos a Eq 28 por s 1 o que isola K1 Assim Fazendo s tender a 1 eliminase o último termo e resulta K1 2 Analogamente K2 pode ser obtida multiplicandose a Eq 28 por s 2 e em seguida fazendo s tender a 2 assim K2 2 Cada parte constituinte da Eq 28 corresponde a uma Fs na Tabela 21 Portanto ft é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada um dos termos isto é Então em geral dada uma Fs cujo denominador possui raízes reais e distintas uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor do que a ordem de Ds Para calcular cada resíduo Ki multiplicamos a Eq 211 pelo denominador da fração parcial correspondente Assim se desejamos obter Km multiplicamos a Eq 211 por s pm e obtemos Se fazemos s tender a pm todos os termos do lado direito da Eq 212 tendem a zero exceto o termo Km restando O exemplo a seguir demonstra a utilização da expansão em frações parciais na solução de uma equação diferencial Observaremos que a transformada de Laplace reduz a tarefa de encontrar a solução à álgebra simples Exemplo 23 Solução via Transformada de Laplace de uma Equação Diferencial PROBLEMA Dada a equação diferencial a seguir obter a solução para yt considerando que todas as condições iniciais são iguais a zero Utilize a transformada de Laplace SOLUÇÃO Substitua a Fs correspondente a cada termo na Eq 214 utilizando o Item 2 da Tabela 21 os Itens 7 e 8 da Tabela 22 e as condições iniciais de yt e de dytdt dadas por y0 0 e 0 0 respectivamente Assim a transformada de Laplace da Eq 214 é Resolvendo para a resposta Ys resulta Para resolver para yt observamos que a Eq 216 não corresponde a nenhum dos termos da Tabela 21 Assim realizamos a expansão em frações parciais do termo do lado direito da equação e fazemos a correspondência de cada um dos termos resultantes com as funções Fs da Tabela 21 Assim em que pela Eq 213 Portanto Como cada uma das três partes constituintes da Eq 219 é representada como uma função Fs na Tabela 21 yt é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada termo Consequentemente Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar os arquivos ch2p1 até ch2p8 do Apêndice B Este é o seu primeiro exercício de MATLAB Você aprenderá como utilizar o MATLAB para 1 representar polinômios 2 obter as raízes de polinômios 3 multiplicar polinômios e 4 obter expansões em frações parciais Finalmente o Exemplo 23 será resolvido utilizando o MATLAB A função ut na Eq 220 mostra que a resposta é igual a zero até t 0 A menos que seja especificado de forma diferente todas as entradas dos sistemas neste texto não começarão antes de t 0 Assim as respostas de saída também serão iguais a zero antes de t 0 Por conveniência vamos omitir a notação ut a partir de agora Portanto escrevemos a resposta de saída como Caso 2 As Raízes do Denominador de Fs São Reais e Repetidas Um exemplo de uma função Fs com raízes reais e repetidas no denominador é As raízes de s 22 no denominador são repetidas uma vez que este fator está elevado a uma potência inteira maior que 1 Nesse caso a raiz do denominador em 2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2 Experimente 21 Use a seguinte instrução MATLAB e Control System Toolbox para criar a função de transferência linear invariante no tempo LTI linear timeinvariant da Eq 222 Fzpk1 2 22 Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em que cada fator do denominador forma o denominador de cada termo Além disso cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores do denominador de multiplicidade reduzida Por exemplo se então K1 2 o que pode ser obtido conforme descrito anteriormente K2 pode ser isolado multiplicandose a Eq 223 por s 22 resultando Fazendo s tender a 2 K2 2 Para obter K3 observamos que se derivarmos a Eq 224 em relação a s K3 é isolado e pode ser obtido se fizermos s tender a 2 Consequentemente K3 2 Cada termo constituinte da Eq 223 é uma função Fs na Tabela 21 logo ft é a soma das transformadas inversas de Laplace de cada um dos termos ou Experimente 22 Use as seguintes instruções MATLAB para ajudálo a obter a Eq 226 numf2 denfpoly1 2 2 rpkresidue numfdenf Se a raiz do denominador fosse de multiplicidade maior que 2 derivações sucessivas isolariam cada resíduo na expansão da raiz múltipla Assim em geral dada uma Fs cujo denominador tenha raízes reais e repetidas uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor do que a ordem de Ds e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em p1 Para obter K1 até Kr para as raízes com multiplicidade maior que a unidade multiplicase inicialmente a Eq 227 por s p1r obtendose F1s que é Imediatamente podemos determinar K1 fazendo s tender a p1 Podemos determinar K2 derivando a Eq 228 em relação a s e em seguida fazendo s tender a p1 Derivações sucessivas permitirão que determinemos K3 até Kr A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é Caso 3 As Raízes no Denominador de Fs São Complexas ou Imaginárias Um exemplo de Fs com raízes complexas no denominador é Experimente 23 Use a seguinte instrução MATLAB e Control System Toolbox para criar a função de transferência LTI da Eq 230 Ftf31 2 5 0 Esta função pode ser expandida da seguinte forma K1 é obtida da forma usual como K2 e K3 podem ser determinadas multiplicandose inicialmente a Eq 231 pelo mínimo múltiplo comum do denominador ss2 2s 5 e cancelandose os termos comuns das frações Após a simplificação com K1 obtemos Igualando os coeficientes temos K2 0 e K3 0 Assim K2 e K3 Portanto Podese mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um cosseno amortecidos exponencialmente Utilizando o Item 7 da Tabela 21 e os Itens 2 e 4 da Tabela 22 obtemos Analogamente Somando as Eqs 234 e 235 obtemos Agora convertemos o último termo da Eq 233 para a forma sugerida pela Eq 236 completando os quadrados no denominador e ajustando os termos do numerador sem alterar seu valor Assim Comparando a Eq 237 com as funções da Tabela 21 e a Eq 236 encontramos Experimente 24 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para obter a Eq 238 a partir da Eq 230 syms s filaplace 3ss22s5 prettyf Para se visualizar a solução uma forma alternativa de ft obtida por identidades trigonométricas é preferível Utilizando as amplitudes dos termos em cos e sen colocamos em evidência a partir do termo entre parênteses e obtemos ou em que arctan 05 2657 Assim ft é igual a uma constante somada a uma senoide amortecida exponencialmente Assim em geral dada uma função Fs cujo denominador possua raízes complexas ou puramente imaginárias uma expansão em frações parciais pode ser realizada se a ordem de Ns for menor que a ordem de Ds p1 for real e s2 as b tiver raízes complexas ou puramente imaginárias As raízes complexas ou imaginárias são expandidas com termos K2s K3 no numerador em vez de simplesmente K1 como no caso de raízes reais Os Ki na Eq 242 são obtidos igualandose os coeficientes da equação depois da simplificação das frações Depois de se completar os quadrados em s2 as b e se ajustar o numerador K2s K3s2 as b pode ser colocada na forma do lado direito da Eq 236 Finalmente ocorrerá o caso de raízes puramente imaginárias se a 0 na Eq 242 Os cálculos são os mesmos Outro método que segue a técnica utilizada para a expansão em frações parciais de Fs com raízes reais no denominador pode ser utilizado para raízes complexas e imaginárias Entretanto os resíduos das raízes complexas e imaginárias são conjugados complexos Então após a obtenção da transformada inversa de Laplace os termos resultantes podem ser identificados como e Por exemplo a função Fs anterior também pode ser expandida em frações parciais como Encontrando K2 Experimente 25 Use as seguintes instruções MATLAB para ajudálo a obter a Eq 247 numf3 denf1 2 5 0 rpkresidue numfdenf De modo análogo K3 é obtida como o conjugado complexo de K2 e K1 é determinada conforme descrito anteriormente Assim de que Utilizando as Eqs 243 e 244 temos em que arctan 05 2657 Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar os arquivos ch2sp1 e ch2sp2 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como construir objetos simbólicos e em seguida obter as transformadas inversas de Laplace e as transformadas de Laplace de funções no domínio da frequência e no domínio do tempo respectivamente Os exemplos do Caso 2 e do Caso 3 desta seção serão resolvidos utilizando a Symbolic Math Toolbox Exercício 21 PROBLEMA Obtenha a transformada de Laplace de ft te5t RESPOSTA Fs 1s 52 A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 22 PROBLEMA Obtenha a transformada de Laplace inversa de Fs 10ss 2s 32 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 23 A Função de Transferência Na seção anterior definimos a transformada de Laplace e sua inversa Apresentamos a ideia da expansão em frações parciais e aplicamos esses conceitos na solução de equações diferenciais Estamos agora preparados para elaborar a representação de sistema mostrada na Figura 21 estabelecendo uma definição viável para uma função que relacione algebricamente a saída de um sistema à sua entrada Esta função permitirá a separação da entrada do sistema e da saída em três partes separadas e distintas diferentemente do que ocorre com a equação diferencial A função também nos permitirá combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para produzir uma representação do sistema como um todo Vamos começar escrevendo uma equação diferencial geral de ordem n linear e invariante no tempo em que ct é a saída rt é a entrada e os coeficientes ai e bi e a forma da equação diferencial representam o sistema Aplicandose a transformada de Laplace a ambos os lados da equação A Eq 251 é uma expressão puramente algébrica Se admitirmos que todas as condições iniciais são nulas a Eq 251 reduzse a Agora formando a razão da transformada da saída Cs dividida pela transformada da entrada Rs Observe que a Eq 253 separa a saída Cs a entrada Rs e o sistema a razão entre polinômios em s no lado direito da igualdade Chamamos essa razão Gs de função de transferência e a calculamos com condições iniciais nulas A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de blocos como mostrado na Figura 22 com a entrada à esquerda e a saída à direita e a função de transferência do sistema no interior do bloco Observe que o denominador da função de transferência é idêntico ao polinômio característico da equação diferencial Além disso podemos obter a saída Cs utilizando Vamos aplicar o conceito da função de transferência a um exemplo e em seguida utilizar o resultado para obter a resposta do sistema FIGURA 22 Diagrama de blocos de uma função de transferência Exemplo 24 Função de Transferência de uma Equação Diferencial PROBLEMA Obtenha a função de transferência representada por SOLUÇÃO Aplicandose a transformada de Laplace a ambos os lados da equação admitindo condições iniciais nulas temos A função de transferência Gs é Estudantes que estão utilizando o MATLAB devem agora executar os arquivos ch2p9 até ch2p12 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para criar funções de transferência com numeradores e denominadores na forma polinomial ou fatorada Você também aprenderá como converter entre as formas polinomial e fatorada Finalmente você aprenderá como utilizar o MATLAB para construir gráficos de funções temporais Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch2sp3 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como utilizar a Symbolic Math Toolbox para simplificar a entrada de funções de transferência de maior complexidade bem como a melhorar o aspecto das funções Você aprenderá como entrar com uma função de transferência simbólica e convertêla em um objeto linear e invariante no tempo LTI linear timeinvariant como apresentado no Apêndice B ch2p9 Exemplo 25 Resposta do Sistema a Partir da Função de Transferência PROBLEMA Utilize o resultado do Exemplo 24 para obter a resposta ct para uma entrada rt ut um degrau unitário admitindo condições iniciais nulas SOLUÇÃO Para resolver o problema utilizamos a Eq 254 em que Gs 1s 2 conforme obtido no Exemplo 24 Uma vez que rt ut Rs 1s a partir da Tabela 21 Como as condições iniciais são nulas Expandindo em frações parciais obtemos Finalmente fazendose a transformada de Laplace inversa de cada um dos termos resulta Experimente 26 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para ajudálo a obter a Eq 260 syms s c1ss2 CilaplaceC Experimente 27 Use as seguintes instruções MATLAB para representar graficamente a Eq 260 para t variando de 0 a 1 em intervalos de 001 s t00011 plot t1212exp2t Exercício 23 Exercício 23 PROBLEMA Obtenha a função de transferência Gs CsRs correspondente à equação diferencial RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 24 PROBLEMA Obtenha a equação diferencial correspondente à função de transferência RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 25 PROBLEMA Obtenha a resposta à rampa para um sistema cuja função de transferência é RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Em geral um sistema físico que pode ser representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo pode ser modelado como uma função de transferência O restante deste capítulo será dedicado à tarefa de modelagem dos subsistemas individuais Aprenderemos como representar circuitos elétricos sistemas mecânicos translacionais sistemas mecânicos rotacionais e sistemas eletromecânicos como funções de transferência À medida que a necessidade surgir o leitor pode consultar a Bibliografia no final do capítulo para discussões sobre outros tipos de sistemas como sistemas pneumáticos hidráulicos e de transferência de calor Cannon 1967 24 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Nesta seção aplicamos formalmente a função de transferência na modelagem matemática de circuitos elétricos incluindo circuitos passivos e circuitos com amplificadores operacionais Seções subsequentes cobrem sistemas mecânicos e eletromecânicos Circuitos equivalentes para os circuitos elétricos com os quais trabalharemos inicialmente consistem em três componentes lineares passivos resistores capacitores e indutores2 A Tabela 23 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga para condições iniciais nulas Combinamos agora os componentes elétricos em circuitos decidimos sobre a entrada e a saída e obtemos a função de transferência Nossos princípios orientadores são as leis de Kirchhoff Somamos tensões ao longo de malhas ou somamos correntes em nós dependendo de qual técnica envolve o menor esforço de manipulação algébrica e em seguida igualamos o resultado a zero A partir dessas relações podemos escrever as equações diferenciais para o circuito Em seguida tomamos a transformada de Laplace das equações diferenciais e finalmente resolvemos para obter a função de transferência TABELA 23 Relações tensãocorrente tensãocarga e impedância para capacitores resistores e indutores Observação o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro vt V volts it A ampères qt Q coulombs C F farads R Ω ohms G S siemens L H henrys Circuitos Simples Através da Análise das Malhas As funções de transferência podem ser obtidas utilizandose a lei de Kirchhoff das tensões e somandose as tensões ao longo dos laços ou malhas Chamamos este método de análise das malhas ou dos laços e o demonstramos no exemplo a seguir Exemplo 26 Função de Transferência Malha Única Através da Equação Diferencial PROBLEMA Determine a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor VCs à tensão de entrada Vs na Figura 23 SOLUÇÃO Em qualquer problema o projetista deve primeiro decidir quais devem ser as variáveis de entrada e de saída Neste circuito diversas variáveis poderiam ter sido escolhidas como a saída por exemplo a tensão no indutor a tensão no capacitor a tensão ou a corrente no resistor O enunciado do problema entretanto é claro neste caso devemos tratar a tensão no capacitor como a saída e a tensão de alimentação como a entrada FIGURA 23 Circuito RLC Somando as tensões ao longo da malha admitindo condições iniciais nulas produzse a equação íntegrodiferencial para este circuito como Trocandose as variáveis de corrente para carga utilizando it dqtdt resulta Da relação tensãocarga para um capacitor da Tabela 23 Substituindo a Eq 263 na Eq 262 resulta Aplicando a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas reorganizando os termos e simplificando resulta Resolvendo para a função de transferência VCsVs obtemos como mostrado na Figura 24 FIGURA 24 Diagrama de blocos de circuito elétrico RLC em série Vamos agora desenvolver uma técnica para simplificar a solução para futuros problemas Inicialmente aplicamos a transformada de Laplace às equações na coluna tensãocorrente da Tabela 23 admitindo condições iniciais nulas Para o capacitor Para o resistor Para o indutor FIGURA 25 Circuito Laplacetransformado Agora definimos a seguinte função de transferência Observe que esta função é similar à definição de resistência isto é a razão entre tensão e corrente Entretanto diferentemente da resistência esta função é aplicável a capacitores e indutores e incorpora informações sobre o comportamento dinâmico do componente uma vez que ela representa uma equação diferencial equivalente Chamamos esta função de transferência particular de impedância A impedância para cada um dos elementos elétricos é mostrada na Tabela 23 Vamos agora demonstrar como o conceito de impedância simplifica a solução para a função de 1 2 transferência A transformada de Laplace da Eq 261 admitindo condições iniciais nulas é Observe que a Eq 271 que está na forma sugere o circuito em série mostrado na Figura 25 Observe também que o circuito da Figura 25 poderia ter sido obtido imediatamente a partir do circuito da Figura 23 simplesmente substituindose cada elemento por sua impedância Chamamos este circuito alterado de circuito transformado Finalmente observe que o circuito transformado leva imediatamente à Eq 271 se somarmos as impedâncias em série como somamos resistores em série Assim em vez de primeiro escrever a equação diferencial e em seguida aplicar a transformada de Laplace podemos desenhar o circuito transformado e obter a transformada de Laplace da equação diferencial simplesmente aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao circuito transformado Resumimos os passos como se segue Redesenhe o circuito original mostrando todas as variáveis temporais como vt it e vCt como transformadas de Laplace Vs Is e VCs respectivamente Substitua os valores dos componentes pelos valores de suas impedâncias Esta substituição é análoga ao caso de circuitos cc nos quais representamos os resistores pelos valores de suas resistências Refaremos agora o Exemplo 26 utilizando o método da transformada que acabamos de descrever e evitando escrever a equação diferencial Exemplo 27 Função de Transferência Malha Única Através do Método da Transformada PROBLEMA Repita o Exemplo 26 utilizando a análise das malhas e o método da transformada sem escrever a equação diferencial SOLUÇÃO Utilizando a Figura 25 e escrevendo uma equação de malha usando as impedâncias como usaríamos valores de resistências em um circuito puramente resistivo obtemos Resolvendo para IsVs Entretanto a tensão sobre o capacitor VCs é o produto da corrente pela impedância do capacitor Assim Resolvendo a Eq 275 para Is substituindo Is na Eq 274 e simplificando obtemos o mesmo resultado que o expresso pela Eq 266 Circuitos Simples Através da Análise Nodal Funções de transferência também podem ser obtidas utilizandose a lei de Kirchhoff das correntes e somandose as correntes que fluem dos nós Chamamos esse método de análise nodal Demonstramos agora este princípio refazendo o Exemplo 26 utilizando a lei de Kirchhoff das correntes e o método da transformada descrito anteriormente para evitar escrever a equação diferencial Exemplo 28 Função de Transferência Nó Único Através do Método da Transformada PROBLEMA Repita o Exemplo 26 utilizando a análise nodal e sem escrever a equação diferencial SOLUÇÃO A função de transferência pode ser obtida somandose as correntes que saem do nó cuja tensão é VCs na Figura 25 Admitimos que as correntes que saem do nó são positivas e que as correntes que entram no nó são negativas As correntes consistem na corrente através do capacitor e na corrente que flui através do resistor e do indutor em série Da Eq 270 cada Is VsZs Portanto em que VCs1Cs é a corrente que sai do nó fluindo através do capacitor e VCs VsR Ls é a corrente que sai do nó fluindo através do resistor e indutor em série Resolvendo a Eq 276 para a função de transferência VCsVs chegamos ao mesmo resultado da Eq 266 Circuitos Simples Através da Divisão de Tensão O Exemplo 26 pode ser resolvido diretamente utilizandose uma divisão de tensão no circuito transformado Demonstramos agora essa técnica 1 2 3 4 5 6 Exemplo 29 Função de Transferência Malha Única Através da Divisão de Tensão PROBLEMA Repita o Exemplo 26 utilizando divisão de tensão e o circuito transformado SOLUÇÃO A tensão sobre o capacitor é uma fração da tensão de entrada nomeadamente a impedância do capacitor dividida pela soma das impedâncias Assim Resolvendo para a função de transferência VCsVs produzse o mesmo resultado que a Eq 266 Reveja os Exemplos 26 a 29 Qual método você julga ser o mais fácil para este circuito Os exemplos anteriores envolveram um circuito elétrico simples com uma única malha Muitos circuitos elétricos consistem em múltiplas malhas e nós e para esses circuitos devemos escrever e resolver equações diferenciais simultâneas de modo a obter a função de transferência ou resolver para a saída Circuitos Complexos Através da Análise das Malhas Para se resolver circuitos elétricos complexos aqueles com múltiplas malhas e nós utilizando a análise das malhas podemos executar os seguintes passos Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias Substituir todas as fontes e variáveis temporais por suas transformadas de Laplace Admitir uma corrente transformada e um sentido de corrente em cada malha Escrever a lei de Kirchhoff das tensões para cada malha Resolver as equações simultâneas para a saída Formar a função de transferência Vamos ver um exemplo Exemplo 210 Função de Transferência Múltiplas Malhas PROBLEMA Dado o circuito mostrado na Figura 26a determine a função de transferência I2sVs SOLUÇÃO O primeiro passo para a solução é converter o circuito em transformadas de Laplace para impedâncias e variáveis do circuito admitindo condições iniciais nulas O resultado é mostrado na Figura 26b O circuito com o qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para obtermos a função de transferência Essas equações podem ser obtidas somandose as tensões ao longo de cada malha através das quais admitimos que circulem correntes I1s e I2s Para a Malha 1 em que circula I1s Para a Malha 2 em que circula I2s Combinando os termos as Eqs 278 e 279 se tornam equações simultâneas em I1s e I2s Podemos utilizar a regra de Cramer ou qualquer outro método para resolver equações simultâneas para resolver as Eqs 280 para I2s3 Assim em que Formando a função de transferência Gs resulta como mostrado na Figura 26c Tivemos sucesso em modelar um sistema físico como uma função de transferência o circuito da Figura 26a é agora modelado através da função de transferência da Figura 26c Antes de concluir o exemplo observamos um padrão ilustrado inicialmente pela Eq 272 A forma assumida pelas Eqs 280 é O reconhecimento da forma nos ajudará a escrever essas equações rapidamente por exemplo as equações de movimento para sistemas mecânicos abordadas nas Seções 25 e 26 possuem a mesma forma FIGURA 26 a Circuito elétrico com duas malhas b circuito elétrico com duas malhas transformado c diagrama de blocos Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch2sp4 do Apêndice F no site da LTC Editora onde o Exemplo 210 é resolvido Você aprenderá a utilizar a Symbolic Math Toolbox para resolver equações simultâneas utilizando a regra de Cramer Especificamente a Symbolic Math Toolbox será utilizada para obter a função de transferência da Eq282 utilizando as Eqs280 Circuitos Complexos Através da Análise Nodal Frequentemente a maneira mais fácil para se obter a função de transferência é utilizar a análise nodal em vez da análise das malhas O número de equações diferenciais simultâneas que devem ser escritas é igual ao número de nós para os quais a tensão é desconhecida No exemplo anterior escrevemos equações simultâneas das malhas utilizando a lei de Kirchhoff das tensões Para múltiplos nós utilizamos a lei de Kirchhoff das correntes e somamos as correntes que saem de cada nó Novamente como convenção as correntes saindo do nó são admitidas como positivas e correntes entrando no nó são admitidas como negativas Antes de seguir para um exemplo vamos primeiro definir a admitância Ys como o inverso da impedância ou Ao se escrever as equações dos nós pode ser mais conveniente representar os elementos do circuito por suas admitâncias As admitâncias para os componentes elétricos básicos são mostradas na Tabela 23 Vamos ver um exemplo Exemplo 211 Função de Transferência Múltiplos Nós PROBLEMA Determine a função de transferência VC sVs para o circuito mostrado na Figura 26b Utilize a análise nodal SOLUÇÃO Para este problema somamos as correntes nos nós em vez de somar as tensões das malhas A partir da Figura 26b as somas das correntes que saem dos nós marcados como VLs e VC s são respectivamente Reorganizando e expressando as resistências como condutâncias4 G1 1R1 e G2 1R2 obtemos Resolvendo para a função de transferência VCsVs resulta como mostrado na Figura 27 FIGURA 27 Diagrama de blocos do circuito da Figura 26 1 2 3 4 5 6 Outra forma de se escrever as equações dos nós é substituir as fontes de tensão por fontes de corrente Uma fonte de tensão apresenta uma tensão constante para qualquer carga reciprocamente uma fonte de corrente fornece uma corrente constante para qualquer carga Na prática uma fonte de corrente pode ser construída a partir de uma fonte de tensão colocandose uma resistência de alto valor em série com a fonte de tensão Dessa forma variações na carga não alterariam significativamente a corrente uma vez que esta seria determinada aproximadamente pelo resistor de resistência elevada em série e pela fonte de tensão Teoricamente somos amparados pelo teorema de Norton o qual declara que uma fonte de tensão Vs em série com uma impedância Zss pode ser substituída por uma fonte de corrente Is VsZss em paralelo com Zss Para lidar com circuitos elétricos com múltiplos nós podemos executar os seguintes passos Substitua os valores dos elementos passivos por suas admitâncias Substitua todas as fontes e variáveis temporais por suas transformadas de Laplace Substitua as fontes de tensão transformadas por fontes de corrente transformadas Escreva a lei de Kirchhoff das correntes para cada nó Resolva as equações simultâneas para a saída Forme a função de transferência Vamos ver um exemplo Exemplo 212 Função de Transferência Múltiplos Nós com Fontes de Corrente FIGURA 28 Circuito transformado pronto para a análise nodal PROBLEMA Para o circuito da Figura 26 determine a função de transferência VC sVs utilizando análise nodal e um circuito transformado com fontes de corrente SOLUÇÃO Converta todas as impedâncias em admitâncias e todas as fontes de tensão em série com uma impedância em fontes de corrente em paralelo com uma admitância utilizando o teorema de Norton Redesenhando a Figura 26b para refletir as alterações obtemos a Figura 28 na qual G1 1R1 G2 1R2 e as tensões dos nós as tensões sobre o indutor e do capacitor foram identificadas como VLs e VCs respectivamente Utilizando a relação geral Is YsVs e somando as correntes no nó VLs Somando as correntes no nó VC s resulta Combinando os termos as Eqs 288 e 289 se tornam equações simultâneas em VC s e VLs as quais são idênticas às Eqs 286 e conduzem à mesma solução que a Eq 287 Uma vantagem de se desenhar esse circuito está na forma das Eqs 286 e sua relação direta com a Figura 28 isto é Uma Técnica de Solução de Problemas Em todos os exemplos anteriores vimos um padrão repetido nas equações que podemos utilizar em nosso benefício Caso reconheçamos esse padrão não precisamos escrever as equações componente por componente podemos somar as impedâncias ao longo da malha no caso das equações das malhas ou somar as admitâncias em um nó no caso das equações dos nós Vamos agora analisar um circuito elétrico com três malhas e escrever as equações das malhas por inspeção para demonstrar o processo Exemplo 213 Equações das Malhas por Inspeção PROBLEMA Escreva sem resolver as equações das malhas para o circuito mostrado na Figura 29 FIGURA 29 Circuito elétrico com três malhas SOLUÇÃO Cada um dos problemas anteriores ilustrou que as equações das malhas e as equações dos nós apresentam uma forma previsível Utilizamos esse conhecimento para resolver este problema de três malhas A equação para a Malha 1 terá a seguinte forma Analogamente as equações para as Malhas 2 e 3 respectivamente são e Experimente 28 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para ajudálo a resolver para as correntes elétricas nas Eqs 294 syms s I1 12 I3 V A2s2 2s1 1 2s1 9s1 4s 1 4s 4s11s BI1I2I3 CV00 BinvAC prettyB Substituindo os valores da Figura 29 nas Eqs 291 até 293 resulta as quais podem ser resolvidas simultaneamente para qualquer função de transferência desejada por exemplo I3sVs Os circuitos elétricos passivos foram objeto de discussão até este ponto Examinamos agora uma classe de circuitos ativos que podem ser utilizados para implementar funções de transferência Esses circuitos são construídos com a utilização de amplificadores operacionais 1 2 3 4 Amplificadores Operacionais Um amplificador operacional retratado na Figura 210a é um amplificador eletrônico utilizado como um bloco de construção básico para implementar funções de transferência Ele apresenta as seguintes características Entrada diferencial v2t v1t Alta impedância de entrada Ze ideal Baixa impedância de saída Zs 0 ideal Alta constante de ganho de amplificação A ideal A saída vst é dada por Amplificador Operacional Inversor Caso v2t seja aterrado o amplificador é chamado amplificador operacional inversor como mostrado na Figura 210b Para o amplificador operacional inversor temos Caso duas impedâncias sejam conectadas ao amplificador operacional inversor como mostrado na Figura 210c podemos deduzir um resultado interessante se o amplificador tiver as características mencionadas no início desta subseção Se a impedância de entrada do amplificador é alta então pela lei de Kirchhoff das correntes Iama vez que o ganho s 0 e I1s I2s Além disso uma vez que o ganho A é elevado v1t 0 Assim I1s VesZ1s e I2s VssZ2s Igualandose as duas correntes VssZ2s VesZ1s ou a função de transferência do amplificador operacional inversor configurado como mostrado na Figura 210c é FIGURA 210 a Amplificador operacional b esquema para um amplificador operacional inversor c amplificador operacional inversor configurado para a realização de uma função de transferência Tipicamente o ganho do amplificador A é omitido Exemplo 214 Função de Transferência Circuito com Amplificador Operacional Inversor PROBLEMA Determine a função de transferência VssVes para o circuito dado na Figura 211 SOLUÇÃO A função de transferência do circuito com amplificador operacional é dada pela Eq 297 Uma vez que as admitâncias de componentes em paralelo se somam Z1s é o inverso da soma das admitâncias ou Para Z2s as impedâncias se somam ou FIGURA 211 Circuito com amplificador operacional inversor para o Exemplo 214 Substituindo as Eqs 298 e 299 na Eq 297 e simplificando temos O circuito resultante é chamado de controlador PID e pode ser utilizado para melhorar o desempenho de um sistema de controle Exploraremos essa possibilidade mais adiante no Capítulo 9 Amplificador Operacional Não Inversor Outro circuito que pode ser analisado para obtermos sua função de transferência é o circuito com amplificador operacional não inversor mostrado na Figura 212 Deduzimos agora a função de transferência Observamos que Porém utilizando divisão de tensão Substituindo a Eq 2102 na Eq 2101 reorganizando e simplificando obtemos Para um A suficientemente grande desprezamos a unidade no denominador e a Eq 2103 se torna Vamos agora ver um exemplo FIGURA 212 Circuito genérico com amplificador operacional não inversor Exemplo 215 Função de Transferência Circuito com Amplificador Operacional Não Inversor PROBLEMA Determine a função de transferência VssVes para o circuito dado na Figura 213 SOLUÇÃO Determinamos cada uma das funções de impedância Z1s e Z2s e em seguida as substituímos na Eq 2104 Assim e Substituindo as Eqs 2105 e 2106 na Eq 2104 resulta FIGURA 213 Circuito com amplificador operacional não inversor para o Exemplo 215 Exercício 26 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs VLsVs para o circuito dado na Figura 214 Resolva o problema de duas maneiras análise das malhas e análise nodal Mostre que os dois métodos fornecem o mesmo resultado FIGURA 214 Circuito elétrico para o Exercício 26 RESPOSTA VLsVs s2 2s 1s2 5s 2 A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 27 PROBLEMA Se Z1s é a impedância de um capacitor de 10 μF e Z2s é a impedância de um resistor de 100 kΩ determine a função de transferência Gs VssVes caso esses componentes sejam utilizados com a um amplificador operacional inversor e b um amplificador não inversor como mostrado nas Figuras 210c e 212 respectivamente RESPOSTA Gs s para um amplificador operacional inversor e Gs s 1 para um amplificador operacional não inversor A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção determinamos funções de transferência para circuitos elétricos com múltiplas malhas e múltiplos nós bem como para circuitos com amplificadores operacionais Desenvolvemos equações de malhas e de nós observamos sua forma e as escrevemos por inspeção Na próxima seção iniciaremos nosso trabalho com sistemas mecânicos Veremos que muitos dos conceitos aplicados aos circuitos elétricos também podem ser aplicados a sistemas mecânicos através de analogias dos conceitos básicos até escrever as equações descritivas por inspeção Essa constatação lhe dará a confiança para ir além deste livro e estudar sistemas não abordados aqui como os sistemas hidráulicos ou pneumáticos 25 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos Translacionais Mostramos que circuitos elétricos podem ser modelados por uma função de transferência Gs que relaciona algebricamente a transformada de Laplace da saída com a transformada de Laplace da entrada Agora iremos fazer o mesmo para os sistemas mecânicos Nesta seção nos concentramos nos sistemas mecânicos translacionais Na seção seguinte estendemos os conceitos aos sistemas mecânicos rotacionais Observe que o resultado final mostrado na Figura 22 será matematicamente indistinguível daquele referente a um circuito elétrico Portanto um circuito elétrico pode ser interfaceado com um sistema mecânico colocandose suas funções de transferência em cascata desde que um sistema não seja carregado pelo outro5 Os sistemas mecânicos se assemelham tanto aos circuitos elétricos que existem analogias entre componentes e variáveis elétricos e mecânicos Os sistemas mecânicos da mesma forma que os circuitos elétricos possuem três componentes lineares passivos Dois deles a mola e a massa são elementos armazenadores de energia e o outro o amortecedor viscoso dissipa energia Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos o indutor e o capacitor O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica Vamos examinar esses elementos mecânicos que são mostrados na Tabela 24 Na tabela K fv e M são chamados de constante de mola coeficiente de atrito viscoso e massa respectivamente Agora fazemos as analogias entre os sistemas elétricos e mecânicos comparando as Tabelas 23 e 24 Comparando a coluna forçavelocidade da Tabela 24 com a coluna tensãocorrente da Tabela 23 observamos que a força mecânica é análoga à tensão elétrica e que a velocidade mecânica é análoga à corrente elétrica Comparando a coluna forçadeslocamento da Tabela 24 com a coluna tensãocarga da Tabela 23 chegamos a uma analogia entre o deslocamento mecânico e a carga elétrica Observamos também que a mola é análoga ao capacitor que o amortecedor viscoso é análogo ao resistor e que a massa é análoga ao indutor Assim somar as forças escritas em função da velocidade é análogo a somar as tensões escritas em função das correntes e as equações diferenciais mecânicas resultantes são análogas às equações das malhas Se as forças forem escritas em função do deslocamento as equações mecânicas resultantes serão semelhantes mas não análogas às equações das malhas Contudo utilizaremos esse modelo para sistemas mecânicos de modo que possamos escrever as equações diretamente em função do deslocamento Outra analogia pode ser feita comparandose a coluna forçavelocidade da Tabela 24 com a coluna correntetensão da Tabela 23 em ordem inversa Nesse caso a analogia é entre a força e a corrente e entre a velocidade e a tensão Além disso a mola é análoga ao indutor o amortecedor viscoso é análogo ao resistor e a massa é análoga ao capacitor Assim somar as forças escritas em função da velocidade é análogo a somar as correntes escritas em função da tensão e as equações diferenciais mecânicas resultantes serão análogas às equações dos nós Discutiremos essas analogias mais detalhadamente na Seção 29 Agora estamos prontos para determinar funções de transferência para sistemas mecânicos translacionais Nosso primeiro exemplo mostrado na Figura 215a é similar ao circuito RLC simples do Exemplo 26 ver a Figura 23 O sistema mecânico requer apenas uma equação diferencial chamada de equação de movimento para descrevêlo Inicialmente admitiremos um sentido positivo para o movimento por exemplo para a direita Esse sentido positivo de movimento adotado é similar a admitir um sentido para a corrente em uma malha elétrica Utilizando o sentido adotado para o movimento positivo desenhamos inicialmente um diagrama de corpo livre colocando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele tanto no sentido do movimento quanto no sentido oposto Em seguida utilizamos a lei de Newton para produzir uma equação diferencial de movimento somando as forças e igualando a soma a zero Finalmente admitindo condições iniciais nulas aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial separamos as variáveis e chegamos à função de transferência Segue um exemplo TABELA 24 Relações forçavelocidade forçadeslocamento e impedância translacional para molas amortecedores viscosos e massa Observação o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro ft N newtons xt m metros vt ms metrossegundo K Nm newtonsmetro fv Nsm newtonsegundosmetro M kg quilogramas newtonsegundos2metro Exemplo 216 Função de Transferência Uma Equação de Movimento PROBLEMA Determine a função de transferência XsFs para o sistema da Figura 215a FIGURA 215 a Sistema massa mola e amortecedor b diagrama de blocos SOLUÇÃO Comece a solução desenhando o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 216a Coloque sobre a massa todas as forças exercidas sobre ela Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita Assim apenas a força aplicada é orientada para a direita todas as demais forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ele Assim as forças da mola do amortecedor viscoso e a decorrente da aceleração são orientadas para a esquerda FIGURA 216 a Diagrama de corpo livre do sistema massa mola e amortecedor b Diagrama de corpo livre transformado Escrevemos agora a equação diferencial de movimento utilizando a lei de Newton para igualar a zero a soma de todas as forças mostradas atuando sobre a massa na Figura 216a Aplicando a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas ou Resolvendo para a função de transferência resulta que está representada na Figura 215b Agora será que podemos fazer um paralelo de nosso trabalho com circuitos elétricos evitando escrever as equações diferenciais e definindo impedâncias para componentes mecânicos Caso afirmativo podemos aplicar aos sistemas mecânicos a técnica de solução de problemas aprendida na seção anterior Aplicando a transformada de Laplace à coluna força deslocamento da Tabela 24 obtemos para a mola para o amortecedor viscoso e para a massa Se definirmos a impedância para componentes mecânicos como e aplicarmos essa definição nas Eqs 2112 até 2114 chegamos às impedâncias de cada componente como resumido na Tabela 24 Raven 19956 Substituindo cada força na Figura 216a por sua transformada de Laplace a qual está no formato obtemos a Figura 216b a partir da qual poderíamos ter obtido a Eq 2109 imediatamente sem escrever a equação diferencial A partir de agora utilizaremos essa abordagem Finalmente observe que a Eq 2110 é da forma a qual é similar mas não análoga a uma equação de malha ver a nota de rodapé 6 Muitos sistemas mecânicos são similares a circuitos elétricos com múltiplas malhas e múltiplos nós no quais mais de uma equação diferencial simultânea é necessária para descrever o sistema Nos sistemas mecânicos o número de equações de movimento necessárias é igual ao número de movimentos linearmente independentes A independência linear significa que um ponto de movimento em um sistema ainda pode se mover mesmo que todos os demais pontos de movimento permaneçam imóveis Outro nome para o número de movimentos linearmente independentes é o número de graus de liberdade Essa argumentação não pretende dar a entender que esses movimentos não sejam acoplados uns com os outros em geral eles são Por exemplo em um circuito elétrico com duas malhas a corrente em cada malha depende da corrente na outra malha porém se abrirmos o circuito de apenas uma das malhas a corrente na outra malha ainda poderá existir se houver uma fonte de tensão nesta malha De modo análogo em um sistema mecânico com dois graus de liberdade um ponto de movimento pode ser mantido imóvel enquanto o outro ponto de movimento se move sob a influência de uma força aplicada Para tratar tal tipo de problema desenhamos o diagrama de corpo livre para cada ponto de movimento e em seguida utilizamos o princípio da superposição Para cada diagrama de corpo livre começamos mantendo todos os demais pontos de movimento imóveis e determinando as forças atuantes no corpo decorrentes apenas de seu próprio movimento Em seguida mantemos o corpo imóvel e ativamos os demais pontos de movimento um de cada vez colocando no corpo original as forças geradas pelo movimento adjacente Utilizando a lei de Newton somamos as forças sobre cada corpo e igualamos a soma a zero O resultado é um sistema de equações de movimento simultâneas Na forma de transformadas de Laplace essas equações são então resolvidas para a variável de saída de interesse em função da variável de entrada a partir do que a função de transferência é obtida O Exemplo 217 ilustra essa técnica de solução de problemas Exemplo 217 Função de Transferência Dois Graus de Liberdade PROBLEMA Determine a função de transferência X2sFs para o sistema da Figura 217a SOLUÇÃO O sistema possui dois graus de liberdade uma vez que cada uma das massas pode ser movida na direção horizontal enquanto a outra é mantida imóvel Assim duas equações de movimento simultâneas serão necessárias para descrever o sistema As duas equações são obtidas a partir de diagramas de corpo livre de cada uma das massas O princípio da superposição é utilizado para se desenhar os diagramas de corpo livre Por exemplo as forças sobre M1 são decorrentes 1 de seu próprio movimento e 2 do movimento de M2 transmitido para M1 através do sistema Consideraremos essas duas fontes separadamente Se mantivermos M2 imóvel e movermos M1 para a direita consideramos as forças mostradas na Figura 218a Se mantivermos M1 imóvel e movermos M2 para a direita consideramos as forças mostradas na Figura 218b A força total sobre M1 é a superposição ou soma das forças anteriormente discutidas Este resultado é mostrado na Figura 218c Para M2 procedemos de maneira análoga primeiro movemos M2 para a direita enquanto mantemos M1 imóvel em seguida movemos M1 para a direita e mantemos M2 imóvel Para cada um dos casos calculamos as forças sobre M2 Os resultados são apresentados na Figura 219 FIGURA 217 a Sistema mecânico translacional com dois graus de liberdade7 b diagrama de blocos FIGURA 218 a Forças sobre M1 decorrentes apenas de movimento de M1 b forças sobre M1 decorrentes apenas de movimento de M2 c todas as forças sobre M1 FIGURA 219 a Forças sobre M2 decorrentes apenas de movimento de M2 b forças sobre M2 decorrentes apenas de movimento de M1 c todas as forças sobre M2 A transformada de Laplace das equações de movimento pode agora ser escrita a partir das Figuras 218c e 219c como Disto a função de transferência X2sFs é como mostrado na Figura 217b em que Observe novamente nas Eqs 218 que a forma das equações é similar às equações das malhas elétricas O padrão mostrado nas Eqs 2120 deve agora nos ser familiar Vamos utilizar o conceito para escrever as equações de movimento de um sistema mecânico com três graus de liberdade por inspeção sem desenhar o diagrama de corpo livre Exemplo 218 Equações de Movimento por Inspeção PROBLEMA Escreva sem resolver as equações de movimento para o sistema mecânico da Figura 220 FIGURA 220 Sistema mecânico translacional com três graus de liberdade SOLUÇÃO O sistema possui três graus de liberdade uma vez que cada uma das três massas pode ser movida independentemente enquanto as demais são mantidas imóveis A forma das equações será similar à das equações das malhas elétricas Para M1 Analogamente para M2 e M3 respectivamente M1 tem duas molas dois amortecedores viscosos e sua massa associados ao seu movimento Existe uma mola entre M1 e M2 e um amortecedor viscoso entre M1 e M3 Assim utilizando a Eq 2121 Analogamente utilizando a Eq 2122 para M2 e utilizando a Eq 2123 para M3 As Equações de 2124 a 2126 são as equações de movimento Podemos resolvêlas para qualquer deslocamento X1s X2s ou X3s ou função de transferência Exercício 28 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 221 FIGURA 221 Sistema mecânico translacional para o Exercício 28 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC editora 26 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos Rotacionais Tendo coberto os sistemas elétricos e os sistemas mecânicos translacionais passamos agora a considerar os sistemas mecânicos rotacionais Os sistemas mecânicos rotacionais são tratados da mesma maneira que os sistemas mecânicos translacionais com exceção de que o torque substitui a força e o deslocamento angular substitui o deslocamento translacional Os componentes mecânicos para os sistemas rotacionais são os mesmos que para os sistemas translacionais com exceção de que os componentes ficam sujeitos à rotação ao invés de translação A Tabela 25 mostra os componentes junto com as relações entre torque e velocidade angular bem como deslocamento angular Observe que a representação dos componentes é a mesma que a dos sistemas translacionais porém eles estão sujeitos à rotação e não à translação Observe também que o termo associado com a massa é substituído por inércia Os valores de K D e J são chamados de constante de mola coeficiente de atrito viscoso e momento de inércia respectivamente As impedâncias dos componentes mecânicos também estão resumidas na última coluna da Tabela 25 Os valores podem ser obtidos aplicandose a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas à coluna torquedeslocamento angular da Tabela 25 O conceito de graus de liberdade se estende aos sistemas rotacionais com exceção de que testamos um ponto de movimento colocandoo em rotação enquanto mantemos todos os demais pontos de movimento imóveis O número de pontos de movimento que podem ser colocados em rotação enquanto todos os demais são mantidos imóveis é igual ao número de equações de movimento necessárias para descrever o sistema Escrever as equações de movimento para sistemas rotacionais é similar a escrevêlas para os sistemas translacionais a única diferença é que o diagrama de corpo livre consiste em torques ao invés de forças Obtemos esses torques utilizando o princípio da superposição Inicialmente colocamos um corpo em rotação enquanto mantemos todos os demais pontos imóveis e colocamos em seu diagrama de corpo livre todos os torques decorrentes do movimento do próprio corpo Em seguida mantendo o corpo imóvel colocamos em rotação os pontos de movimento adjacentes um de cada vez e adicionamos os torques decorrentes dos movimentos adjacentes ao diagrama de corpo livre O processo é repetido para cada ponto de movimento Para cada diagrama de corpo livre esses torques são somados e igualados a zero para formar a equação de movimento TABELA 25 Relações rotacionais torquevelocidade angular torquedeslocamento angular e impedância para molas amortecedores viscosos e inércia Observação o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro Tt Nm newtonmetro θt rad radianos ωt rads radianosegundo K Nmrad newtonmetroradiano D Nmsrad newtonmetrosegundoradiano J kgm2 quilogramametro2 newtonmetrosegundo2radiano Dois exemplos demonstrarão a solução dos sistemas rotacionais O primeiro utiliza diagramas de corpo livre o segundo utiliza o conceito de impedâncias para escrever as equações de movimento por inspeção Exemplo 219 Função de Transferência Duas Equações de Movimento PROBLEMA Determine a função de transferência θ2sTs para o sistema rotacional mostrado na Figura 222a A barra é suportada por mancais em ambas as extremidades e é submetida à torção Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento é medido à direita FIGURA 222 a Sistema físico b esquema c diagrama de blocos SOLUÇÃO Primeiro obtenha um esquema a partir do sistema físico Embora a torção ocorra ao longo da barra na Figura 222a8 fazemos uma aproximação do sistema admitindo que a torção atue como uma mola concentrada em um ponto particular da barra com uma inércia J1 à esquerda e uma inércia J2 à direita9 Também admitimos que o amortecimento dentro da barra flexível seja desprezível O esquema é mostrado na Figura 222b O sistema possui dois graus de liberdade uma vez que cada uma das inércias pode ser colocada em rotação enquanto a outra é mantida imóvel Assim são necessárias duas equações simultâneas para solucionar o sistema FIGURA 223 a Torques em J1 decorrentes apenas do movimento de J1 b torques em J1 decorrentes apenas do movimento de J2 c diagrama de corpo livre final para J1 FIGURA 224 a Torques em J2 decorrentes apenas do movimento de J2 b torques em J2 decorrentes apenas do movimento de J1 c diagrama de corpo livre final para J2 Experimente 29 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para ajudálo a obter a Eq 2128 syms s J1 D1 K T J2 D2 thetal theta2 AJ1s2D1sK K K J2s2D2sK Bthetal theta 2 CT 0 BinvAC theta2B2 theta2 prettytheta2 Em seguida desenhe um diagrama de corpo livre de J1 utilizando o princípio da superposição A Figura 223a mostra os torques em J1 se J2 é mantida imóvel e J1 é colocado em rotação A Figura 223b mostra os torques em J1 se J1 é mantida imóvel e J2 é colocada em rotação Finalmente a soma das Figuras 223a e 223b é mostrada na Figura 223c o diagrama de corpo livre final para J1 O mesmo procedimento é repetido na Figura 224 para J2 Somandose os torques respectivamente a partir das Figuras 223c e 224c obtemos as equações de movimento a partir das quais a função de transferência requerida é determinada como como mostrado na Figura 222c em que Observe que as Eqs 2127 possuem a agora bem conhecida forma Exemplo 220 Equações de Movimento por Inspeção PROBLEMA Escreva sem resolver a transformada de Laplace das equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 225 FIGURA 225 Sistema rotacional com três graus de liberdade SOLUÇÃO As equações terão a seguinte forma similar às equações de malhas elétricas Consequentemente Exercício 29 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura 226 FIGURA 226 Sistema mecânico rotacional para o Exercício 29 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 27 Funções de Transferência para Sistemas com Engrenagens Agora que somos capazes de determinar a função de transferência para sistemas rotacionais percebemos que esses sistemas especialmente aqueles acionados por motores raramente são encontrados sem trens de engrenagens associadas acionando a carga Esta seção trata deste importante tópico As engrenagens oferecem vantagens mecânicas aos sistemas rotacionais Qualquer pessoa que tenha andado em uma bicicleta de 10 marchas conhece o efeito das engrenagens Nas subidas você muda de marcha para ter mais torque e menos velocidade Em uma reta você muda de marcha para obter mais velocidade e menos torque Desse modo as engrenagens permitem que você case o sistema de acionamento e a carga uma solução de compromisso entre velocidade e torque Em muitas aplicações as engrenagens apresentam folgas que ocorrem por causa do encaixe solto entre duas engrenagens conectadas A engrenagem de acionamento gira de um pequeno ângulo antes de entrar em contato com a engrenagem acionada O resultado é que a rotação angular da engrenagem de saída não acontece até que uma pequena rotação da engrenagem de entrada tenha ocorrido Nesta seção idealizamos o comportamento das engrenagens e admitimos que não existam folgas A interação linearizada entre duas engrenagens é representada na Figura 227 Uma engrenagem de entrada com raio r1 e N1 dentes é girada de um ângulo θ1t devido a um torque T1t Uma engrenagem de saída com raio r2 e N2 dentes responde girando de um ângulo θ2t e fornecendo um torque T2t Vamos agora determinar a relação entre as rotações da Engrenagem 1 θ1t e da Engrenagem 2 θ2t FIGURA 227 Um sistema de engrenagens Conforme a Figura 227 à medida que as engrenagens giram a distância percorrida ao longo da circunferência de cada engrenagem é a mesma Assim ou uma vez que a razão entre os números de dentes ao longo das circunferências está na mesma proporção que a razão entre os raios Concluímos que a razão entre os deslocamentos angulares das engrenagens é inversamente proporcional à razão entre os números de dentes Qual a relação entre o torque de entrada T1 e o torque fornecido T2 Se admitirmos que as engrenagens sejam sem perdas isto é elas não absorvem e nem armazenam energia a energia que entra na Engrenagem 1 é igual à energia que sai na Engrenagem 210 Uma vez que a energia translacional de força vezes deslocamento se torna a energia rotacional de torque vezes deslocamento angular Resolvendo a Eq 2134 para a razão entre torques e utilizando a Eq 2133 obtemos Assim os torques são diretamente proporcionais à razão entre os números de dentes Todos os resultados estão resumidos na Figura 228 FIGURA 228 Funções de transferência para a deslocamento angular em engrenagens sem perdas e b torque em engrenagens sem perdas Vamos verificar o que ocorre com impedâncias mecânicas que são acionadas por engrenagens A Figura 229a mostra engrenagens acionando uma inércia rotacional mola e amortecedor viscoso Para maior clareza as engrenagens são mostradas por uma vista de extremidade simplificada Desejamos representar a Figura 229a como um sistema equivalente em relação a θ1 sem as engrenagens Em outras palavras as impedâncias mecânicas podem ser refletidas da saída para a entrada eliminando assim as engrenagens Conforme a Figura 228b T1 pode ser refletido para a saída multiplicandoo por N2N1 O resultado é mostrado na Figura 229b a partir da qual escrevemos a equação de movimento como Agora converta θ2s em um θ1s equivalente de modo que a Eq 2136 apareça como se tivesse sido escrita em relação à entrada Utilizando a Figura 228a para obter θ2s em função de θ1s obtemos Após uma simplificação que sugere o sistema equivalente com relação à entrada sem engrenagens mostrado na Figura 229c Assim a carga pode ser considerada como tendo sido refletida da saída para a entrada Generalizando os resultados podemos fazer a seguinte afirmação impedâncias mecânicas rotacionais podem ser refletidas através de trens de engrenagens multiplicandose a impedância mecânica pela razão em que a impedância a ser refletida está conectada ao eixo de origem e está sendo refletida para o eixo de destino O próximo exemplo demonstra a aplicação do conceito de impedâncias refletidas ao determinarmos a função de transferência de um sistema mecânico rotacional com engrenagens FIGURA 229 a Sistema rotacional acionado por engrenagens b sistema equivalente com relação à saída após reflexão do torque de entrada c sistema equivalente com relação à entrada após reflexão das impedâncias Exemplo 221 Função de Transferência Sistema com Engrenagens sem Perdas PROBLEMA Determine a função de transferência θ2sT1s para o sistema da Figura 230a FIGURA 230 a Sistema mecânico rotacional com engrenagens b sistema após reflexão dos torques e impedâncias para o eixo de saída c diagrama de blocos SOLUÇÃO Pode ser tentador neste momento procurar por duas equações simultâneas correspondentes a cada uma das inércias As inércias entretanto não estão sujeitas a movimentos linearmente independentes uma vez que estão ligadas pelas engrenagens Assim existe apenas um grau de liberdade e consequentemente uma equação de movimento Vamos inicialmente refletir as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de entrada para a saída como mostrado na Figura 230b onde as impedâncias são refletidas por N2N12 e o torque é refletido por N2N1 A equação de movimento pode agora ser escrita como em que Resolvendo para θ2sT1s a função de transferência é determinada como como mostrado na Figura 230c A fim de suprimir engrenagens com raios grandes um trem de engrenagens é utilizado para implementar relações de transmissão elevadas colocando relações de transmissão menores em cascata11 Um diagrama esquemático de um trem de engrenagens é mostrado na Figura 231 Seguindo cada rotação o deslocamento angular relativo a θ1 foi calculado A partir da Figura 231 Concluímos que para os trens de engrenagens a relação de transmissão equivalente é o produto das relações de transmissão individuais Aplicamos agora este resultado para determinar a função de transferência de um sistema que tem engrenagens com perdas FIGURA 231 Trem de engrenagens Exemplo 222 Função de Transferência Engrenagens com Perdas PROBLEMA Determine a função de transferência θ1tT1t para o sistema da Figura 232a FIGURA 232 a Sistema usando um trem de engrenagens b sistema equivalente com relação à entrada c diagrama de blocos SOLUÇÃO Este sistema que utiliza um trem de engrenagens tem engrenagens com perdas Todas as engrenagens possuem inércia e em alguns eixos há atrito viscoso Para resolver o problema precisamos refletir todas as impedâncias para o eixo de entrada θ1 As relações de transmissão não são iguais para todas as impedâncias Por exemplo D2 é refletido apenas através de uma relação de transmissão como D2N1N22 enquanto J4 mais J5 são refletidas através de duas relações de transmissão como J4 J5N3N4N1N22 O resultado da reflexão de todas as impedâncias para θ1 é mostrado na Figura 232b a partir da qual a equação de movimento é em que e A partir da Eq 2142 a função de transferência é como mostrado na Figura 232c Exercício 210 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico em rotacional com engrenagens mostrado na Figura 233 FIGURA 233 Sistema mecânico rotacional com engrenagens para o Exercício 210 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 28 Funções de Transferência de Sistemas Eletromecânicos Na última seção abordamos os sistemas rotacionais com engrenagens os quais completaram nossa discussão sobre os sistemas puramente mecânicos Agora passamos para os sistemas que são híbridos com variáveis elétricas e mecânicas os sistemas eletromecânicos Vimos uma aplicação de um sistema eletromecânico no Capítulo 1 o sistema de controle da posição de azimute de antena Outras aplicações de sistemas com componentes eletromecânicos são os controles dos robôs os rastreadores do Sol e de estrelas e os controles de posição dos acionamentos de fitas e discos de computadores Um exemplo de um sistema de controle que utiliza componentes eletromecânicos é mostrado na Figura 234 Um motor é um componente eletromecânico que produz uma saída de deslocamento para uma entrada de tensão isto é uma saída mecânica gerada por uma entrada elétrica Iremos deduzir a função de transferência para um tipo particular de sistema eletromecânico o servomotor cc controlado pela armadura Mablekos 1980 O esquema do motor é mostrado na Figura 235a e a função de transferência que iremos deduzir aparece na Figura 235b Na Figura 235a um campo magnético chamado campo constante é gerado por ímãs permanentes estacionários ou por um eletroímã estacionário Um circuito rotativo chamado de armadura através do qual circula a corrente iat passa ortogonalmente através desse campo magnético e é submetido a uma força F Bliat em que B é a intensidade do campo magnético e l é o comprimento do condutor O torque resultante gira o rotor o elemento rotativo do motor Existe outro fenômeno que ocorre no motor um condutor movendose ortogonalmente a um campo magnético gera uma diferença de tensão entre os terminais do condutor igual a e Blv em que e é a diferença de tensão e v é a velocidade do condutor perpendicular ao campo magnético Uma vez que a armadura que conduz a corrente está girando em um campo magnético sua tensão é proporcional à velocidade Assim Chamamos essa tensão vcet de força contraeletromotriz fcem Kce é uma constante de proporcionalidade chamada constante de fcem e dθmtdt ωmt é a velocidade angular do motor Aplicando a transformada de Laplace obtemos A relação entre a corrente da armadura iat a tensão aplicada à armadura eat e a fcem vcet é obtida escrevendose uma equação de malha ao longo do circuito da armadura transformado por Laplace ver a Figura 35a O torque desenvolvido pelo motor é proporcional à corrente de armadura assim FIGURA 234 Braço robótico de simulador de voo da NASA com componentes eletromecânicos no sistema de controle FIGURA 235 Motor cc a esquema12 b diagrama de blocos em que Tm é o torque desenvolvido pelo motor e Kt é uma constante de proporcionalidade chamada de constante de torque do motor a qual depende das características do motor e do campo magnético Em um conjunto consistente de unidades o valor de Kt é igual ao valor de Kce Reorganizando a Eq 2147 resulta Para determinar a função de transferência do motor primeiro substituímos as Eqs 2145 e 2148 na Eq 2146 resultando Agora devemos determinar Tms em função de θms para separar as variáveis de entrada e de saída e obter a função de transferência θmsEas FIGURA 236 Carregamento mecânico equivalente típico em um motor A Figura 236 mostra um carregamento mecânico equivalente típico em um motor Jm é a inércia equivalente na armadura e inclui tanto a inércia da armadura quanto como veremos adiante a inércia da carga refletida para a armadura Dm é o amortecimento viscoso equivalente na armadura e inclui tanto o amortecimento viscoso da armadura quanto como veremos adiante o amortecimento viscoso da carga refletido para a armadura A partir da Figura 236 Substituindo a Eq 2150 na Eq 2149 resulta Se admitirmos que a indutância da armadura La seja pequena quando comparada à sua resistência Ra o que é usual para um motor cc a Eq 2151 fica Após uma simplificação a função de transferência desejada θmsEas é determinada como Embora a forma da Eq 2153 seja relativamente simples a saber o leitor pode estar preocupado em como calcular as constantes Vamos primeiro discutir as constantes mecânicas Jm e Dm Considere a Figura 237 que mostra um motor com inércia Ja e amortecimento Da na armadura acionando uma carga que consiste em uma inércia JC e um amortecimento DC Admitindose que todos os valores de inércia e amortecimento mostrados sejam conhecidos JC e DC podem ser refletidos para a armadura como inércia e amortecimento equivalentes a serem adicionados a Ja e Da respectivamente Assim a inércia equivalente Jm e o amortecimento equivalente Dm na armadura são FIGURA 237 Motor cc acionando uma carga mecânica rotacional Agora que calculamos as constantes mecânicas Jm e Dm o que se pode afirmar sobre as constantes elétricas na função de transferência da Eq 2153 Veremos que essas constantes podem ser obtidas por meio de um ensaio do motor com um dinamômetro em que um dinamômetro mede o torque e a velocidade de um motor sob a condição de uma tensão aplicada constante Vamos inicialmente desenvolver as relações que orientam a utilização de um dinamômetro Substituindo as Eqs 2145 e 2148 na Eq 2146 com La 0 resulta Aplicandose a transformada inversa de Laplace obtemos em que a transformada inversa de Laplace de sθms é dθmtdt ou alternativamente ωmt Se uma tensão cc ea for aplicada o motor irá girar a uma velocidade angular constante ωm com um torque constante Tm Portanto desconsiderandose o relacionamento funcional baseado no tempo da Eq 2157 a relação a seguir é válida quando o motor estiver operando em regime permanente com uma tensão cc de entrada Resolvendo para Tm resulta A Equação 2159 representa uma linha reta Tm versus ωm e é mostrada na Figura 238 Este gráfico é chamado de curva torquevelocidade O eixo do torque é interceptado quando a velocidade angular é zero Este valor de torque é denominado torque com rotor bloqueado Tbloqueado Assim A velocidade angular que ocorre quando o torque é nulo é chamada de velocidade em vazio ωvazio Portanto As constantes elétricas da função de transferência do motor podem agora ser determinadas a partir das Eqs 2160 e 2161 como e As constantes elétricas KtRa e Kce podem ser determinadas a partir de um ensaio do motor com um dinamômetro o qual forneceria Tbloqueado e ωvazio para um determinado ea FIGURA 238 Curvas torquevelocidade com a tensão da armadura ea como parâmetro Exemplo 223 Função de Transferência Motor cc e Carga PROBLEMA Dado o sistema e a curva torquevelocidade da Figura 239a e b determine a função de transferência θCsEas FIGURA 239 a Motor cc e carga b curva torquevelocidade c diagrama de blocos SOLUÇÃO Comece determinando as constantes mecânicas Jm e Dm na Eq 2153 A partir das Eqs 2155 a inércia total na armadura do motor é e o amortecimento total na armadura do motor é Agora determinaremos as constantes elétricas KtRa e Kce A partir da curva torquevelocidade da Figura 239b Portanto as constantes elétricas são e Substituindo as Eqs 2164 2165 2169 e 2170 na Eq 2153 resulta Para determinar θC sEas utilizamos a relação de transmissão N1N2 110 e obtemos como mostrado na Figura 239c Exercício 211 PROBLEMA Determine a função de transferência Gs ωCsEas para o motor e carga mostrados na Figura 240 A curva torquevelocidade é dada por Tm 8ωm 200 quando a tensão de entrada é de 100 volts FIGURA 240 Sistema eletromecânico para o Exercício 211 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC editora 29 Circuitos Elétricos Análogos Nesta seção mostramos os aspectos comuns aos sistemas de diferentes campos de conhecimento demonstrando que os sistemas mecânicos com os quais trabalhamos podem ser representados por circuitos elétricos equivalentes Nós destacamos a similaridade entre as equações resultantes das leis de Kirchhoff para sistemas elétricos e as equações de movimento dos sistemas mecânicos Mostramos agora essa semelhança de modo bem mais convincente apresentando circuitos elétricos equivalentes para sistemas mecânicos As variáveis dos circuitos elétricos se comportam exatamente como as variáveis análogas dos sistemas mecânicos Na realidade converter sistemas mecânicos para circuitos elétricos antes de escrever as equações que descrevem o sistema é uma abordagem de solução de problemas que você pode querer adotar Um circuito elétrico que é análogo a um sistema de outro campo de conhecimento é chamado de circuito elétrico análogo Os análogos podem ser obtidos pela comparação das equações que descrevem o sistema como as equações de movimento de um sistema mecânico tanto com as equações elétricas de malhas quanto com as equações dos nós Quando a comparação é realizada com as equações das malhas o circuito elétrico resultante é chamado de análogo em série Quando a comparação é com as equações dos nós o circuito elétrico resultante é chamado de análogo em paralelo Análogo em Série Considere o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 241a cuja equação de movimento é A equação de malha de Kirchhoff para o circuito RLC em série simples mostrado na Figura 241b é Conforme destacamos anteriormente a Eq 2173 não é diretamente análoga à Eq 2174 porque o deslocamento e a corrente não são análogos Podemos criar uma analogia direta manipulando a Eq 2173 para converter o deslocamento em velocidade dividindo e multiplicando o lado esquerdo da equação por s resultando Comparando as Eqs 2174 e 2175 reconhecemos a soma de impedâncias e desenhamos o circuito mostrado na Figura 241c As conversões são resumidas na Figura 241d Quando temos mais de um grau de liberdade as impedâncias associadas a um movimento aparecem como elementos elétricos em série em uma malha porém as impedâncias entre movimentos adjacentes são desenhadas como impedâncias elétricas em série entre as duas malhas correspondentes Demonstramos isso com um exemplo FIGURA 241 Desenvolvimento de um análogo em série a sistema mecânico b representação elétrica desejada c análogo em série d parâmetros para o análogo em série Exemplo 224 Convertendo um Sistema Mecânico em um Análogo em Série PROBLEMA Desenhe um análogo em série para o sistema mecânico da Figura 217a SOLUÇÃO As Eqs 2118 são análogas às equações de malhas elétricas após serem convertidas para velocidade Assim Os coeficientes representam somas de impedâncias elétricas As impedâncias mecânicas associadas a M1 formam a primeira malha na qual as impedâncias entre as duas massas são comuns às duas malhas As impedâncias associadas a M2 formam a segunda malha O resultado é mostrado na Figura 242 em que v1t e v2t são as velocidades de M1 e M2 respectivamente FIGURA 242 Análogo em série do sistema mecânico da Figura 217a Análogo em Paralelo Um sistema também pode ser convertido em um equivalente análogo em paralelo Considere o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 243a cuja equação de movimento é dada pela Eq 2175 A equação nodal de Kirchhoff para o circuito RLC paralelo simples na Figura 243b é Comparando as Eqs 2175 e 2177 identificamos a soma das admitâncias e desenhamos o circuito mostrado na Figura 243c As conversões são resumidas na Figura 243d FIGURA 243 Desenvolvimento de um análogo em paralelo a sistema mecânico b representação elétrica desejada c análogo em paralelo d parâmetros para o análogo em paralelo Quando temos mais de um grau de liberdade os componentes associados a um movimento aparecem como elementos elétricos em paralelo conectados a um nó porém os componentes de movimentos adjacentes são desenhados como elementos elétricos em paralelo entre dois nós correspondentes Demonstramos isso com um exemplo Exemplo 225 Convertendo um Sistema Mecânico em um Análogo em Paralelo PROBLEMA Desenhe um análogo em paralelo para o sistema mecânico da Figura 217a SOLUÇÃO As Eqs 2176 também são análogas às equações elétricas dos nós Os coeficientes representam a soma de admitâncias elétricas As admitâncias associadas a M1 formam os elementos conectados ao primeiro nó onde as admitâncias mecânicas entre as duas massas são comuns aos dois nós As admitâncias mecânicas associadas a M2 formam os elementos conectados ao segundo nó O resultado é mostrado na Figura 244 em que v1t e v2t são as velocidades de M1 e M2 respectivamente FIGURA 244 Análogo em paralelo do sistema mecânico da Figura 217a Exercício 212 PROBLEMA Desenhe um análogo em série e um análogo em paralelo para o sistema mecânico rotacional da Figura 222 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 210 Não Linearidades Os modelos até agora foram desenvolvidos a partir de sistemas que podem ser descritos aproximadamente por equações diferenciais lineares e invariantes no tempo Uma hipótese de linearidade estava implícita no desenvolvimento desses modelos Nesta seção definimos formalmente os termos linear e não linear e mostramos como fazer a distinção entre eles Na Seção 211 mostramos como aproximar um sistema não linear por um sistema linear de modo que possamos utilizar as técnicas de modelagem apresentadas anteriormente neste capítulo Hsu 1968 FIGURA 245 a Sistema linear b sistema não linear Um sistema linear possui duas propriedades superposição e homogeneidade A propriedade de superposição significa que a resposta de saída de um sistema à soma de entradas é a soma das respostas às entradas individuais Assim se uma entrada r1t produz uma saída c1t e uma entrada r2t produz uma saída c2t então uma entrada r1t r2t produz uma saída c1t c2t A propriedade de homogeneidade descreve a resposta do sistema para uma multiplicação da entrada por um escalar Especificamente em um sistema linear a propriedade de homogeneidade é demonstrada se para uma entrada r1t que produz uma saída c1t uma entrada Ar1t produz uma saída Ac1t isto é a multiplicação de uma entrada por um escalar produz uma resposta que é multiplicada pelo mesmo escalar Podemos visualizar a linearidade como mostrado na Figura 245 A Figura 245a é um sistema linear cuja saída é sempre da entrada ou fx 05x independentemente do valor de x Assim cada uma das duas propriedades dos sistemas lineares se aplica Por exemplo uma entrada de valor 1 produz uma saída de e uma entrada de 2 produz uma saída de 1 Utilizando a superposição uma entrada que é a soma das duas entradas originais isto é 3 deve produzir uma saída que é a soma das saídas individuais isto é 15 Pela Figura 245a uma entrada de 3 realmente produz uma saída de 15 Para testar a propriedade de homogeneidade admita uma entrada de 2 a qual produz uma saída de 1 A multiplicação dessa entrada por 2 deveria produzir uma saída duas vezes maior isto é 2 Pela Figura 245a uma entrada de 4 produz realmente uma saída de 2 O leitor pode verificar que as propriedades da linearidade certamente não se aplicam à relação mostrada na Figura 245b A Figura 246 mostra alguns exemplos de não linearidades físicas Um amplificador eletrônico é linear sobre uma faixa específica de valores porém apresenta a não linearidade denominada saturação para tensões de entrada elevadas Um motor que não responde a tensões de entrada muito baixas devido às forças de atrito apresenta uma não linearidade denominada zona morta Engrenagens que não se ajustam firmemente apresentam uma não linearidade denominada folga a entrada se move sobre uma pequena faixa sem que a saída responda O leitor pode verificar que as curvas mostradas na Figura 246 não atendem às definições de linearidade ao longo de toda a faixa de valores Outro exemplo de subsistema não linear é um detector de fase utilizado em uma malha de captura de fase phaselocked loop em um receptor de rádio FM cuja resposta de saída é o seno do sinal de entrada Um projetista pode frequentemente fazer uma aproximação linear de um sistema não linear As aproximações lineares simplificam a análise e o projeto de um sistema e são utilizadas desde que os resultados forneçam uma boa aproximação da realidade Por exemplo uma relação linear pode ser estabelecida em um ponto da curva não linear se a faixa de variação dos valores de entrada em torno desse ponto for pequena e se a origem for transladada para esse ponto Os amplificadores eletrônicos são um exemplo de dispositivos físicos que realizam uma amplificação linear com pequenas excursões em torno de um ponto 211 Linearização Os sistemas elétricos e mecânicos cobertos até agora foram admitidos como lineares Entretanto caso algum componente não linear esteja presente devemos linearizar o sistema antes que possamos determinar a função de transferência Na última seção definimos e discutimos não linearidades nesta seção mostramos como obter as aproximações lineares de sistemas não lineares com a finalidade de determinar funções de transferência O primeiro passo é identificar o componente não linear e escrever a equação diferencial não linear Quando linearizamos uma equação diferencial não linear nós a linearizamos para pequenas variações do sinal de entrada em torno da solução em regime permanente quando a variação do sinal de entrada é igual a zero Esta solução em regime permanente é chamada de equilíbrio e é escolhida como o segundo passo do processo de linearização Por exemplo quando um pêndulo está em repouso ele está em equilíbrio O deslocamento angular é descrito por uma equação diferencial não linear porém ele pode ser expresso por uma equação diferencial linear para pequenas variações em torno deste ponto de equilíbrio FIGURA 246 Algumas não linearidades físicas FIGURA 247 Linearização em torno do ponto A Em seguida linearizamos a equação diferencial não linear e então aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial linearizada admitindo condições iniciais nulas Finalmente separamos as variáveis de entrada e de saída e formamos a função de transferência Vamos primeiro ver como linearizar uma função depois aplicaremos o método na linearização de uma equação diferencial Caso admitamos um sistema não linear operando em um ponto A x0 fx0 na Figura 247 pequenas variações na entrada podem ser relacionadas às variações na saída em torno do ponto através da inclinação da curva neste ponto A Assim se a inclinação da curva no ponto A é ma então pequenas variações da entrada em torno do ponto A δx produzem pequenas variações na saída δfx relacionadas pela inclinação no ponto A Assim de que e Esta relação é mostrada graficamente na Figura 247 em que um novo conjunto de eixos δx e δfx é criado com a origem no ponto A e fx é aproximadamente igual a fx0 a ordenada da nova origem somada a pequenas excursões ma δx a partir do ponto A Vamos ver um exemplo Exemplo 226 Linearizando uma Função PROBLEMA Linearize fx 5 cos x em torno de x π2 SOLUÇÃO Primeiro determinamos que a derivada de fx é dfdx 5 sen x Em x π2 a derivada vale 5 Além disso fx0 fπ2 5 cos π2 0 Assim a partir da Eq 2180 o sistema pode ser representado como fx 5 δx para pequenas variações de x em torno de π2 O processo é mostrado graficamente na Figura 248 onde a curva do cosseno de fato aparenta ser uma linha reta de inclinação igual a 5 nas proximidades de π2 FIGURA 248 Linearização de 5 cos x em torno de x π2 A discussão anterior pode ser formalizada utilizandose a expansão em série de Taylor a qual expressa o valor de uma função em termos do valor dessa função em um ponto particular da variação em torno desse ponto e das derivadas calculadas nesse ponto A série de Taylor é mostrada na Eq 2181 Para pequenas variações de x em torno de x0 podemos desprezar os termos de ordem superior A aproximação resultante fornece uma relação na forma de uma reta entre a variação em fx e as variações em torno de x0 Desprezando os termos de ordem superior na Eq 2181 obtemos ou que é uma relação linear entre δfx e δx para pequenas variações em torno de x0 É interessante observar que as Eqs 2182 e 2183 são idênticas às Eqs 2178 e 2179 que foram deduzidas intuitivamente Os exemplos a seguir ilustram a linearização O primeiro exemplo demonstra a linearização de uma equação diferencial e o segundo exemplo aplica a linearização para determinar uma função de transferência Exemplo 227 Linearizando uma Equação Diferencial PROBLEMA Linearize a Eq 2184 para pequenas variações em torno de x π4 SOLUÇÃO A presença do termo cos x torna esta equação não linear Uma vez que desejamos linearizar a equação em torno de x π4 fazemos x δx π4 onde δx é a pequena variação em torno de π4 e substituímos x na Eq 2184 Porém e Finalmente o termo cosδx π4 pode ser linearizado com a série de Taylor truncada Substituindo fx cosδx π4 fx0 fπ4 cos π4 e x x0 dx na Eq 2182 resulta Resolvendo a Eq 2188 para cos δx 1π4 obtemos Substituindo as Eqs 2186 2187 e 2189 na Eq 2185 resulta a seguinte equação diferencial linearizada Esta equação pode agora ser resolvida para δx de onde podemos obter x δx π4 Embora a Eq 2184 não linear seja homogênea a Eq 2190 linearizada não é homogênea A Eq 2190 possui uma função forçante do lado direito da igualdade Este termo adicional pode ser considerado como uma entrada para um sistema representado pela Eq 2184 Outra observação sobre a Eq 2190 é o sinal negativo no lado esquerdo da igualdade O estudo das equações diferenciais nos indica que uma vez que as raízes da equação característica são positivas a solução homogênea crescerá indefinidamente em vez de tender para zero Assim este sistema linearizado em torno de x π4 não é estável Exemplo 228 Função de Transferência Circuito Elétrico Não Linear PROBLEMA Determine a função de transferência VLsVs para o circuito elétrico mostrado na Figura 249 que contém um resistor não linear cuja relação tensãocorrente é definida por ir em que ir e vr são a corrente e a tensão no resistor respectivamente Além disso vt na Figura 249 é uma fonte de pequenos sinais SOLUÇÃO Utilizaremos a lei de Kirchhoff das tensões para somar as tensões na malha para obter a equação diferencial não linear mas primeiro devemos obter a expressão da tensão sobre o resistor não linear Aplicando o logaritmo natural na relação tensãocorrente do resistor obtemos vr 10 Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao longo da malha em que ir i resulta FIGURA 249 Circuito elétrico não linear Em seguida vamos calcular a solução de equilíbrio Inicialmente faça a fonte de pequenos sinais vt igual a zero Agora calcule a corrente em regime permanente Com vt 0 o circuito consiste em uma bateria de 20 V em série com o indutor e o resistor não linear No regime permanente a tensão sobre o indutor será nula uma vez que vLt Ldidt e didt é zero em regime permanente dada uma bateria de tensão constante Assim a tensão no resistor vr é 20 V Utilizando a característica do resistor ir determinamos que ir i 1478 ampères Esta corrente i0 é o valor de equilíbrio da corrente do circuito Consequentemente i i0 δi Substituindo essa corrente na Eq 2191 resulta Utilizando a Eq 2182 para linearizar ln i0 δi obtemos ou Substituindo na Eq 2192 a equação linearizada se torna Fazendo L 1 e i0 1478 a equação diferencial linearizada final é Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas e resolvendo para δis obtemos Mas a tensão sobre o indutor em torno do ponto de equilíbrio é Aplicando a transformada de Laplace Substituindo a Eq 2197 na Eq 2199 resulta a partir da qual a função de transferência final é para pequenas variações em torno de i 1478 ou de modo equivalente em torno de vt 0 Exercício 213 PROBLEMA Determine a função de transferência linearizada Gs VsIs para o circuito elétrico mostrado na Figura 250 O circuito contém um resistor não linear cuja relação tensãocorrente é definida por ir A fonte de corrente it é um gerador de pequenos sinais RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora FIGURA 250 Circuito elétrico não linear para o Exercício 213 Estudos de Caso Controle de Antena Funções de Transferência Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matematicamente através de funções de transferência Tipicamente os sistemas são constituídos de subsistemas de diferentes tipos como elétrico mecânico e eletromecânico O primeiro estudo de caso utiliza o exemplo continuado do sistema de controle de posição de azimute de antena para mostrar como representar cada subsistema através de uma função de transferência PROBLEMA Determine a função de transferência para cada subsistema do esquema do sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Utilize a Configuração 1 SOLUÇÃO Primeiro identificamos os subsistemas individuais para os quais devemos determinar as funções de transferência eles estão resumidos na Tabela 26 Em seguida determinamos a função de transferência para cada subsistema Potenciômetro de Entrada Potenciômetro de Saída Como os potenciômetros de entrada e de saída são configurados do mesmo modo suas funções de transferência serão idênticas Desprezamos a dinâmica dos potenciômetros e determinamos simplesmente a relação entre a tensão de saída e o deslocamento angular de entrada Na posição central a tensão de saída é zero Cinco voltas tanto no sentido dos 10 volts positivos quanto no sentido dos 10 volts negativos resultam em uma variação de tensão de 10 volts Assim a função de transferência Vensθens para os potenciômetros é determinada dividindose a variação da tensão pelo deslocamento angular TABELA 26 Subsistemas do sistema de controle de posição de azimute de antena Subsistema Entrada Saída Potenciômetro de entrada Deslocamento angular a partir do usuário θent Tensão para o préamplificador vent Préamplificador Tensão dos potenciômetros vet vent vst Tensão para o amplificador de potência vpt Amplificador de potência Tensão do préamplificador vpt Tensão para o motor eat Motor Tensão do amplificador de potência eat Deslocamento angular para a carga θst Potenciômetro de saída Deslocamento angular da carga θst Tensão para o préamplificador vst Préamplificador Amplificador de Potência As funções de transferência dos amplificadores são fornecidas no enunciado do problema Dois fenômenos são desprezados Primeiro admitimos que a saturação nunca seja alcançada Segundo a dinâmica do préamplificador é desprezada uma vez que sua velocidade de resposta é tipicamente muito maior do que a do amplificador de potência As funções de transferência de ambos os amplificadores são dadas no enunciado do problema e são as razões obtidas pela divisão das transformadas de Laplace das tensões de entrada pelas transformadas de Laplace das tensões de saída Assim para o pré amplificador e para o amplificador de potência Motor e Carga O motor e sua carga são os seguintes A função de transferência relacionando o deslocamento da armadura à tensão na armadura é dada na Eq 2153 A inércia equivalente Jm é em que JC 1 é a inércia da carga em θs O amortecimento viscoso equivalente Dm na armadura é em que DC é o amortecimento viscoso da carga em θs A partir do enunciado do problema Kt 05 NmA Kce 05 Vsrad e a resistência da armadura Ra 8 ohms Esses valores juntamente com Jm e Dm são substituídos na Eq 2153 resultando na função de transferência do motor da tensão na armadura para o deslocamento da armadura ou Para completar a função de transferência do motor multiplicamos a expressão pela relação de transmissão para chegarmos à função de transferência que relaciona o deslocamento da carga à tensão na armadura Os resultados são resumidos no diagrama de blocos e na tabela de parâmetros do diagrama de blocos Configuração 1 mostrados na guarda dianteira DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo em relação ao esquema do sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado na guarda dianteira determine a função de transferência de cada subsistema Utilize a Configuração 2 Registre seus resultados na tabela dos parâmetros do diagrama de blocos mostrada na guarda dianteira para utilização nos desafios dos estudos de caso de capítulos subsequentes a b Função de Transferência de uma Perna Humana FIGURA 251 Modelo cilíndrico de uma perna humana Neste estudo de caso determinamos a função de transferência de um sistema biológico O sistema é uma perna humana que gira em torno da articulação do quadril Neste problema a componente do peso é não linear de modo que o sistema requer uma linearização antes da determinação da função de transferência PROBLEMA A função de transferência de uma perna humana relaciona o deslocamento angular de saída em torno da articulação do quadril ao torque de entrada fornecido pelos músculos da perna Um modelo simplificado para a perna é mostrado na Figura 251 O modelo admite um torque muscular aplicado Tmt e um amortecimento viscoso D na articulação do quadril e uma inércia J em torno dela15 Além disso uma componente do peso da perna Mg em que M é a massa da perna e g é a aceleração da gravidade cria um torque não linear Se admitirmos que a perna tenha densidade uniforme o peso pode ser aplicado em L2 em que L é o comprimento da perna Milsum 1966 Faça o seguinte Calcule o torque não linear Determine a função de transferência θsTms para pequenos ângulos de rotação em que θs é o deslocamento angular da perna em torno da articulação no quadril FIGURA 252 Diagrama de corpo livre do modelo da perna SOLUÇÃO Primeiro calcule o torque devido ao peso O peso total da perna é Mg atuando verticalmente A componente do peso na direção da rotação é Mg sen θ Esta força é aplicada a uma distância L2 da articulação do quadril Assim o torque na direção da rotação TPt é MgL2 sen θ Em seguida desenhe um diagrama de corpo livre da perna mostrando o torque aplicado Tmt o torque devido ao peso TPt e os torques contrários decorrentes da inércia e do amortecimento viscoso ver a Figura 252 Somando os torques obtemos Linearizamos o sistema em torno do ponto de equilíbrio θ 0 a posição vertical da perna Utilizando a Eq 2182 obtemos da qual sen θ δθ Além disso J d2θdt2 J d2θdt2 e D dθdt D dθdt Assim a Eq 2209 fica Observe que o torque devido ao peso se aproxima do torque de uma mola sobre a perna Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas resulta a partir do que a função de transferência é para pequenas variações em torno do ponto de equilíbrio θ 0 DESAFIO Agora apresentamos um desafio de estudo de caso para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo Embora o sistema físico seja diferente de uma perna humana o problema utiliza os mesmos princípios linearização seguida pela determinação da função de transferência Dado o circuito elétrico não linear mostrado na Figura 253 determine a função de transferência que relaciona a saída que é a tensão do resistor não linear Vrs à entrada que é a tensão da fonte Vs FIGURA 253 Circuito elétrico não linear 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Resumo Neste capítulo discutimos como determinar um modelo matemático chamado de função de transferência para sistemas elétricos mecânicos e eletromecânicos lineares e invariantes com o tempo A função de transferência é definida como Gs CsRs ou a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada Esta relação é algébrica e também se adapta à modelagem de subsistemas interconectados Temos consciência de que o mundo físico consiste em mais sistemas do que os que ilustramos neste capítulo Por exemplo poderíamos aplicar a modelagem em função de transferência aos sistemas hidráulicos pneumáticos térmicos e até mesmo econômicos Naturalmente devemos admitir que esses sistemas sejam lineares ou fazer aproximações lineares para utilizarmos esta técnica de modelagem Agora que nós temos a função de transferência podemos avaliar sua resposta para uma entrada específica A resposta do sistema será coberta no Capítulo 4 Para aqueles interessados na abordagem de espaço de estados continuamos nossa discussão sobre modelagem no Capítulo 3 no qual utilizamos o domínio do tempo em vez do domínio da frequência Questões de Revisão Que modelo matemático permite a fácil interconexão de sistemas físicos A que classe de sistemas a função de transferência pode ser melhor aplicada Que transformação muda a solução de equações diferenciais em manipulações algébricas Defina a função de transferência Qual hipótese é feita em relação às condições iniciais quando lidamos com funções de transferência Como chamamos as equações mecânicas escritas para se determinar a função de transferência Caso compreendamos a forma que as equações mecânicas tomam que passo evitamos na determinação da função de transferência Por que as funções de transferência para sistemas mecânicos parecem idênticas às funções de transferência para circuitos elétricos Que função as engrenagens desempenham Quais são as partes componentes das constantes mecânicas da função de transferência de um motor A função de transferência de um motor relaciona o deslocamento da armadura à tensão da armadura Como a função de transferência que relaciona o deslocamento da carga à tensão da armadura pode ser determinada Resuma os passos executados para linearizar um sistema não linear Problemas Deduza a transformada de Laplace para as seguintes funções do tempo Seção 22 a b c d 2 a b c 3 4 5 a b 6 7 8 ut tut sen ωt ut cos ωt ut Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 21 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 22 deduza as transformadas de Laplace para as seguintes funções do tempo Seção 22 eat sen ωt ut eat cos ωt ut t3 ut Repita o Problema 18 do Capítulo 1 utilizando transformadas de Laplace Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de t 0 Seção 22 Repita o Problema 19 do Capítulo 1 utilizando transformadas de Laplace Utilize as seguintes condições iniciais para cada item a x0 4 x0 4 b x0 4 x0 1 c x0 2 x0 3 em que x0 Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de t 0 Seção 22 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções do tempo Seção 22 ft 8t2cos3t 45 ft 3te2tsen4t 60 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para obter a transformada inversa de Laplace das seguintes funções no domínio da frequência Seção 22 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial Determine a expressão para a função de transferência do sistema YsXs Seção 23 Para cada uma das funções de transferência a seguir escreva equação diferencial correspondente Seção 23 9 10 11 12 a b 13 Escreva a equação diferencial para o sistema mostrado na Figura P21 Seção 23 FIGURA P21 Escreva a equação diferencial que é matematicamente equivalente ao diagrama de blocos mostrado na Figura P22 Admita que rt 3t3 Seção 23 FIGURA P22 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial Seção 23 com as condições iniciais x0 1 e 0 1 Mostre um diagrama de blocos do sistema dando sua função de transferência e todas as entradas e saídas pertinentes Sugestão as condições iniciais aparecerão como entradas adicionais para um sistema efetivo com condições iniciais nulas Utilize o MATLAB para gerar a função de transferência Seção 23 das seguintes maneiras pela razão de fatores pela razão de polinômios Repita o Problema 12 para a seguinte função de transferência Seção 23 14 15 16 17 18 Utilize o MATLAB para gerar a expansão em frações parciais da seguinte função Seção 23 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para entrar e construir objetos LTI na forma polinomial e fatorada para as seguintes funções no domínio da frequência Seção 23 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito mostrado na Figura P23 Seção 24 FIGURA P23 Determine a função de transferência Gs VLsVs para cada circuito mostrado na Figura P24 Seção 24 FIGURA P24 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito mostrado na Figura P25 Resolva o problema utilizando a análise das malhas Seção 24 19 20 a b 21 FIGURA P25 Repita o Problema 18 utilizando equações nodais Seção 24 Escreva mas não resolva as equações das malhas e dos nós para o circuito mostrado na Figura P26 Seção 24 Utilize o MATLAB a Symbolic Math Toolbox e as equações obtidas no item a para determinar a função de transferência Gs VssVs Utilize ambas as equações das malhas e dos nós e mostre que os dois conjuntos levam à mesma função de transferência Seção 24 FIGURA P26 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito com amplificador operacional mostrado na Figura P27 Seção 24 22 23 FIGURA P27 Determine a função de transferência Gs VssVes para cada circuito com amplificador operacional mostrado na Figura P28 Seção 24 FIGURA P28 Determine a função de transferência Gs X1sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P29 Seção 25 24 25 26 27 FIGURA P29 Determine a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P210 Seção 25 FIGURA P210 Determine a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P211 Sugestão coloque uma massa nula em x2t Seção 25 FIGURA P211 Para o sistema da Figura P212 determine a função de transferência Gs X1sFs Seção 25 FIGURA P212 Determine a função de transferência Gs X3sFs para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P213 Seção 25 28 29 FIGURA P213 Determine a função de transferência X3sFs para cada sistema mostrado na Figura P214 Seção 25 FIGURA P214 Escreva mas não resolva as equações de movimento para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P215 Seção 25 30 31 32 33 FIGURA P215 Para cada um dos sistemas mecânicos rotacionais mostrados na Figura P216 escreva mas não resolva as equações de movimento Seção 26 FIGURA P216 Para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P217 determine a função de transferência Gs θ2sTs Seção 26 FIGURA P217 Para o sistema mecânico rotacional com engrenagens mostrado na Figura P218 determine a função de transferência Gs θ3sTs As engrenagens possuem inércia e atrito conforme indicado Seção 27 FIGURA P218 Para o sistema rotacional mostrado na Figura P219 determine a função de transferência Gs θ2sTs Seção 27 34 35 36 FIGURA P219 Determine a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P220 Seção 27 FIGURA P220 Determine a função de transferência Gs θ4sTs para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P221 Seção 27 FIGURA P221 Para o sistema rotacional mostrado na Figura P222 determine a função de transferência Gs θCsTs Seção 27 37 38 39 40 FIGURA P222 Para o sistema rotacional mostrado na Figura P223 escreva as equações de movimento a partir das quais a função de transferência Gs θ1sTs pode ser obtida Seção 27 FIGURA P223 Dado o sistema rotacional mostrado na Figura P224 determine a função de transferência Gs θ6sθ1s Seção 27 FIGURA P224 No sistema mostrado na Figura P225 a inércia J de raio r está limitada a moverse apenas girando em torno do eixo estacionário A Existe uma força de amortecimento viscoso FIGURA P225 de valor translacional fv entre os corpos J e M Caso uma força externa ft seja aplicada à massa determine a função de transferência Gs θsFs Seções 25 26 Para o sistema translacional e rotacional combinado mostrado na Figura P226 determine a 41 42 função de transferência Gs XsTs Seções 25 26 27 FIGURA P226 Dado o sistema translacional e rotacional combinado mostrado na Figura P227 determine a função de transferência Gs XsTs Seções 25 26 FIGURA P227 Para o motor a carga e a curva torquevelocidade mostrados na Figura P228 determine a função de transferência Gs θCsEas Seção 28 43 44 45 46 FIGURA P228 O motor cujas características torquevelocidade são mostradas na Figura P229 aciona a carga mostrada no diagrama Algumas das engrenagens possuem inércia Determine a função de transferência Gs θ2sEas Seção 28 FIGURA P229 Um motor cc desenvolve 50 Nm de torque a uma velocidade de 600 rads quando 12 volts são aplicados Ele para com esta tensão com 100 Nm de torque Se a inércia e o amortecimento da armadura são de 7 kgm2 e 3 Nmsrad respectivamente determine a função de transferência Gs θCsEas desse motor caso ele acione uma carga de inércia 105 kgm2 através de um trem de engrenagens como mostrado na Figura P230 Seção 28 FIGURA P230 Neste capítulo deduzimos a função de transferência de um motor cc relacionando a saída de deslocamento angular com a entrada de tensão da armadura Frequentemente desejamos controlar o torque de saída ao invés do deslocamento Deduza a função de transferência do motor que relaciona o torque de saída à tensão de entrada da armadura Seção 28 Determine a função de transferência Gs XsEas para o sistema mostrado na Figura P231 Seções 2528 47 48 49 50 a b 51 52 FIGURA P231 Determine os análogos em série e em paralelo para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 220 do texto Seção 29 Determine os análogos em série e em paralelo para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P216b dos problemas Seção 29 A saída de um sistema c está relacionada com a entrada r pela relação em reta c 5r 7 O sistema é linear Seção 210 Considere a equação diferencial em que fx é a entrada e é uma função da saída x Se fx sen x linearize a equação diferencial para pequenas variações Seção 210 x 0 x π Considere a equação diferencial em que fx é a entrada e é uma função da saída x Se fx ex linearize a equação diferencial para x próximo de 0 Seção 210 Muitos sistemas são lineares por partes Isto é para uma grande faixa de valores das variáveis o sistema pode ser descrito linearmente Um sistema com saturação de amplificador é um exemplo desse tipo Dada a equação diferencial a b c 53 54 admita que fx é como mostrado na Figura P232 Escreva a equação diferencial para cada uma das seguintes faixas de variação de x Seção 210 x 3 3 x 3 3 x FIGURA P232 Para o sistema mecânico translacional com uma mola não linear mostrado na Figura P233 determine a função de transferência Gs XsFs para pequenas variações em torno de ft 1 A mola é definida por xmt 1 em que xmt é a deformação da mola e fmt é a força da mola Seção 210 FIGURA P233 Considere o dispensador de pratos de restaurante mostrado na Figura P234 que consiste em uma pilha vertical de pratos suportada por uma mola comprimida À medida que cada prato é removido o peso reduzido no dispensador faz com que os pratos restantes subam Admita que a massa do sistema menos o prato de cima seja M que o atrito viscoso entre o êmbolo e as laterais do cilindro seja fv que a constante de mola seja K e que o peso de um único prato seja PP Determine a função de transferência YsFs em que Fs é a redução em degrau na força sentida quando o prato de cima é removido e Ys é o deslocamento vertical do dispensador para cima 55 56 FIGURA P234 Dispensador de pratos Cada ouvido interno de um ser humano possui um conjunto de três canais semicirculares aproximadamente perpendiculares com diâmetro de cerca de 028 mm preenchidos com um fluido Transdutores de células capilares que se curvam com os movimentos da cabeça e cujo objetivo principal é trabalhar como sensores de atitude bem como nos auxiliar a manter nosso senso de direção e equilíbrio são ligados a esses canais Quando as células capilares se movem elas curvam uma aba à prova dágua chamada cúpula Foi mostrado que os movimentos da cabeça e da cúpula estão relacionados pela seguinte equação Milsum 1966 em que J momento de inércia do fluido no interior do tubo fino constante b torque por unidade de velocidade angular relativa constante k torque por unidade de deslocamento angular relativo constante a constante t deflexão angular da cúpula saída aceleração angular da cabeça entrada Determine a função de transferência O diabetes é uma doença que aumentou para proporções epidêmicas afetando cerca de 3 de toda a população mundial em 2003 Um modelo em equação diferencial que descreve o tamanho da população total de diabéticos é a b 57 a b com as condições iniciais C0 C0 e N0 N0 e It a entrada do sistema o número de novos casos de diabetes Ct número de diabéticos com complicações Nt a saída do sistema o número total de diabéticos com e sem complicações μ taxa de mortalidade natural constante λ probabilidade de desenvolvimento de uma complicação constante δ taxa de mortalidade decorrente de complicações constante v taxa na qual os pacientes com complicações se tornam gravemente incapacitados constante γ taxa com a qual as complicações são curadas constante Admita os seguintes valores para os parâmetros v δ 005ano μ 002ano γ 008ano λ 07 com condições iniciais C0 47000500 e N0 61100500 Admita também que a incidência de diabéticos seja constante It I 6 106 Boutayeb 2004 Desenhe um diagrama de blocos do sistema mostrando a saída Ns a entrada Is a função de transferência e as condições iniciais Utilize qualquer método para obter a expressão analítica para Nt para t 0 O circuito mostrado na Figura P235a é excitado com o pulso mostrado na Figura P235b FIGURA P235 A transformada de Laplace pode ser utilizada para calcular vst de dois modos diferentes o método exato é executado escrevendose vent 3ut ut 0005 a partir de onde utilizamos a transformada de Laplace para obter Sugestão veja o Item 5 da Tabela 22 o teorema do deslocamento no tempo Na segunda abordagem o pulso é aproximado por uma entrada em impulso que tem a mesma área energia da entrada original Pela Figura P235b vent 3 V5 ms δt 0015 δt Neste caso Vens 0015 Esta aproximação pode ser utilizada desde que a largura do pulso da Figura P235b seja muito menor que a menor constante de tempo do circuito Neste caso τ RC 2Ω4 F 8 s 5 ms Admitindo que o capacitor esteja inicialmente descarregado obtenha uma expressão analítica para vst utilizando ambos os métodos Represente graficamente os resultados para ambos os métodos utilizando qualquer meio disponível e compare ambas as saídas Discuta as diferenças 58 a b 59 Em uma experiência de levitação magnética um objeto metálico é mantido no ar suspenso sob um eletroímã O deslocamento vertical do objeto pode ser descrito pela seguinte equação diferencial não linear Galvão 2003 em que m massa do objeto metálico g constante de aceleração da gravidade k uma constante positiva H distância entre o eletroímã e o objeto metálico sinal de saída I corrente no eletroímã sinal de entrada Mostre que o equilíbrio do sistema será atingido quando Linearize a equação em torno do ponto de equilíbrio encontrado no Item a e mostre que a função de transferência resultante obtida a partir da equação diferencial linearizada pode ser expressa como com a 0 Sugestão para realizar a linearização defina δH Ht H0 e δI It I0 substitua na equação original Isso resultará Agora obtenha uma aproximação em série de Taylor de primeira ordem para o lado direito da equação Isto é calcule A Figura P236 mostra um modelo de um quarto de carro comumente utilizado para a análise de sistemas de suspensão Considerase que o pneu do carro atue como uma mola sem amortecimento como mostrado Os parâmetros do modelo são Lin 1997 60 FIGURA P236 Modelo de um quarto de carro utilizado para projeto de suspensão 1997 IEEE Mc massa da carroceria Mr massa da roda Ka constante de mola da suspensão Kp constante de mola do pneu fv coeficiente de amortecimento da suspensão r perturbação da estrada entrada xs deslocamento vertical do carro xr deslocamento vertical da roda Obtenha a função de transferência da perturbação da estrada para o deslocamento vertical do carro As enzimas são grandes proteínas utilizadas pelos sistemas biológicos para aumentar a taxa com a qual ocorrem as reações Por exemplo os alimentos geralmente são compostos de grandes moléculas de difícil digestão as enzimas quebram as grandes moléculas em pequenos nutrientes como parte do processo digestivo Uma dessas enzimas é a amilase encontrada na saliva humana Sabese que se você colocar um pedaço de massa crua na boca seu sabor irá mudar de algo que lembra papel para doce à medida que a amilase quebra os carboidratos em açúcares A quebra enzimática é frequentemente expressa pela seguinte relação Nesta expressão um substrato S interage com uma enzima E para formar um produto combinado C a uma taxa k1 O composto intermediário é reversível e se dissocia a uma taxa k1 Simultaneamente parte do composto é transformada no produto final P a uma taxa k2 A cinética que descreve essa reação é conhecida como equações de MichaelisMenten e consiste em quatro equações diferenciais não lineares Entretanto em algumas condições essas equações podem ser simplificadas Sejam E0 e S0 as concentrações iniciais da enzima e substrato respectivamente É geralmente aceito que sob algumas condições energéticas ou a b 61 quando a concentração de enzimas é muito alta E0 S0 a cinética dessa reação seja dada por em que os termos constantes a seguir são utilizados Schnell 2004 e Admitindo que as condições iniciais para a reação são S0 S0 E0 E0 e C0 P0 0 obtenha as expressões da transformada de Laplace para S C e P S C e P respectivamente Utilize o teorema do valor final para determinar S C e P Os seres humanos são capazes de ficar de pé sobre duas pernas devido a um sistema complexo de realimentação que inclui diversas entradas sensoriais de equilíbrio e visuais em conjunto com atuação muscular Com a finalidade de conseguir uma melhor compreensão do funcionamento do mecanismo de realimentação de postura um indivíduo é solicitado a se colocar de pé sobre uma plataforma na qual são fixados sensores na base Atuadores de vibração são fixados com correias às panturrilhas do indivíduo Quando os atuadores são estimulados o indivíduo balança e os movimentos são registrados Foi levantada a hipótese de que a dinâmica postural humana é análoga à de um carro com uma haste equilibrada na vertical a ele vinculada pêndulo invertido Nesse caso a dinâmica pode ser descrita pelas duas equações seguintes em que m é a massa do indivíduo l é a altura do centro de gravidade do indivíduo g é a constante gravitacional J é o momento de inércia equivalente do indivíduo η ρ e k são 62 a b c d 63 constantes dadas pelo sistema de controle postural do corpo θt é o ângulo do indivíduo em relação à vertical Teqt é o torque gerado pelos músculos do corpo para manter o equilíbrio e Tpt é a entrada de perturbação de torque externo Determine a função de transferência Johansson 1988 A Figura P237 mostra um guindaste içando uma carga Embora o modelo do sistema real seja altamente não linear se o cabo for considerado como rígido com um comprimento fixo L o sistema pode ser modelado utilizando as seguintes equações FIGURA P237 1990 IEEE em que mC é a massa da carga mT é a massa do carro xT e xC são deslocamentos como definidos na figura é o ângulo do cabo em relação à vertical e fT é a força aplicada ao carro Marttinen 1990 Obtenha a função de transferência da velocidade do carro para o ângulo do cabo Admita que o carro é conduzido a uma velocidade constante V0 e obtenha uma expressão para o t resultante Mostre que nessa condição a carga oscilará com uma frequência Determine a função de transferência da força aplicada para a posição do carro Mostre que se uma força constante for aplicada ao carro sua velocidade aumentará sem limite quando t Em 1978 Malthus desenvolveu um modelo para o crescimento populacional humano que também é comumente utilizado para se modelar o crescimento de bactérias como se segue Seja Nt a densidade populacional observada no tempo t Seja K a taxa de reprodução por unidade de tempo Desprezandose as mortes da população a densidade populacional em um instante t t para t pequeno é dada por a b 64 que também pode ser escrita como Uma vez que Nt pode ser considerada como um número muito grande fazendo t 0 chegase à seguinte equação diferencial EdelsteinKeshet 2005 Admitindo uma população inicial N0 N0 resolva a equação diferencial obtendo Nt Determine o instante no qual a população é o dobro da população inicial A obstrução dos vasos sanguíneos pode em alguns casos ser diagnosticada através de técnicas não invasivas como o uso de microfones sensíveis para detectar anomalias acústicas de fluxo Com a finalidade de predizer as propriedades sonoras da artéria coronária esquerda foi desenvolvido um modelo que divide a artéria em 14 segmentos como mostrado na Figura P238a Cada segmento é então modelado pelo circuito elétrico análogo da Figura P238b resultando no mo a b c 65 66 a b c FIGURA P238 1990 IEEE delo completo mostrado na Figura P238c no qual oito resistências terminais Z foram adicionadas No modelo elétrico a pressão é análoga à tensão e o fluxo sanguíneo é análogo à corrente Como exemplo para o Segmento 3 foi verificado experimentalmente que R3 4176 Ω C3 098 μ F L3 1406 H e Z3 308163 Ω Wang 1990 Para o Segmento 3 determine a função de transferência da pressão de entrada para o fluxo sanguíneo através de É um fato conhecido na análise de circuitos que se uma entrada constante é aplicada a um circuito como o mostrado na Figura P238b o capacitor pode ser substituído por um circuito aberto e o indutor pode ser substituído por um curtocircuito quando o tempo tende a infinito Utilize este fato para calcular o fluxo através de Z3 após um pulso de pressão unitária constante ser aplicado e o tempo tender a infinito Verifique o resultado obtido no Item b utilizando a função de transferência obtida no Item a e aplicando o teorema do valor final Com a finalidade de projetar um veículo subaquático que tenha as características tanto de um veículo de longo alcance como um torpedo quanto de um veículo de baixa velocidade e grande manobrabilidade tipo caixa pesquisadores desenvolveram um propulsor que imita o jato de locomoção das lulas Krieg 2008 Foi demonstrado que o impulso médio normalizado devido a uma entrada de comando em degrau é dado por Tt Tref1 eλt a sen2πft em que Tref é a referência ou impulso desejado λ é a constante de amortecimento do sistema a é a amplitude da oscilação causada pela ação de bombeamento do atuador f é a frequência do atuador e Tt é o impulso médio normalizado resultante Determine a função de transferência do propulsor Mostre todos os passos O modelo de crescimento de Gompertz é comumente utilizado para modelar o crescimento de tumores Seja vt o volume do tumor então em que λ e α são duas constantes apropriadas EdelsteinKeshet 2005 Verifique que a solução para essa equação é dada por vt em que v0 é o volume inicial do tumor Este modelo considera o fato de que quando nutrientes e oxigênio se tornam escassos no núcleo do tumor seu crescimento é comprometido Determine o volume final previsto para o tumor faça t Para um tumor específico em ratos foi determinado experimentalmente que λ 25 dias e α 01 dia com v0 50 103 mm3 Chignola 2005 Utilize qualquer método disponível para representar graficamente vt por t d 67 a b c 68 Compare o resultado obtido no Item b com os resultados do gráfico do Item c PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 do Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade O diagrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária é mostrado na Figura P239a Admita o modelo simplificado mostrado na Figura P239b onde a catenária é representada pela mola Kméd OConnor 1997 FIGURA P239 a Acoplamento de pantógrafo e catenária b representação simplificada mostrando a força de controle ativo Reproduzido com permissão da ASME Determine a função de transferência G1s YcatsFcimas em que ycatt é o deslocamento da catenária e fcimat é a força orientada para cima aplicada ao pantógrafo sob controle ativo Determine a função de transferência G2s YhsFcimas em que yht é o deslocamento da cabeça do pantógrafo Determine a função de transferência Gs Yhs YcatsFcimas Controle de HIVAIDS O HIV causa seu dano infectando células T CD41 um tipo de a b glóbulo branco saudáveis que são necessárias no combate a infecções Quando o vírus entra em uma célula T e o sistema imunológico aumenta a produção dessas células para combater a infecção o vírus se propaga de modo oportunista Desenvolvemos agora um modelo simples do HIV consulte a Figura P240 Normalmente as células T são produzidas a uma taxa s e morrem a uma taxa d O vírus HIV está presente na corrente sanguínea de um indivíduo infectado Esses vírus na corrente sanguínea chamados de vírus livres infectam células T saudáveis a uma taxa β Além disso os vírus se reproduzem através do processo de multiplicação das células T ou de outra forma a uma taxa k Os vírus livres morrem a uma taxa c As células T infectadas morrem a uma taxa μ FIGURA P240 2004 IEEE Um modelo matemático simples que ilustra essas interações é dado pelas seguintes equações Craig 2004 em que T número de células T saudáveis T número de células T infectadas v número de vírus livres O sistema é não linear assim é necessária uma linearização para se obter as funções de transferência conforme você fará nos capítulos subsequentes A natureza não linear desse modelo pode ser constatada a partir das equações anteriores Determine quais dessas equações são lineares quais são não lineares e justifique O sistema possui dois pontos de equilíbrio Mostre que eles são dados por 69 e Veículo híbrido O Problema 23 do Capítulo 1 discutiu o controle de cruzeiro de veículos elétricos híbridos HEVs em série em paralelo e mistos Os diagramas de blocos funcionais desenvolvidos para esses HEVs indicam que a velocidade de um veículo depende do balanço entre as forças propulsoras desenvolvidas pelo motor a gasolina eou pelo motor elétrico e as forças de resistência ao movimento As forças de resistência incluem o arrasto aerodinâmico a resistência à rolagem e a resistência a subidas A Figura P241 ilustra as resistências ao movimento para um carro se movendo em uma subida Bosch 2007 FIGURA P241 Resistências ao movimento A resistência ao movimento total Fw é calculada como Fw FRo FL FEs em que FRo é a resistência à rolagem FL é o arrasto aerodinâmico e FEs é a resistência a subida O arrasto aerodinâmico é proporcional ao quadrado da soma da velocidade do carro v e da velocidade do vento frontal vvf ou v vvf As outras duas resistências são funções do peso do carro G e do declive da via dado pelo ângulo de inclinação α como pode ser observado nas seguintes equações FR0 fG cos α fmg cos α em que f coeficiente de resistência à rolagem m massa do carro em kg a b c g aceleração da gravidade em ms2 FL 05ρCwAv vvf2 em que ρ densidade do ar em kgm3 Cw coeficiente de arrasto aerodinâmico A maior seção transversal do carro em m2 FEs G sen α mg sen α A força propulsora F disponível nas rodas de tração é em que T torque propulsor P potência propulsora itot relação de transmissão total r raio do pneu ηtot eficiência total do trem de engrenagens O saldo de força F F w acelera o veículo ou o freia quando F w F Fazendo a onde a é a aceleração e km é um coeficiente que compensa o aparente aumento de massa do veículo devido às massas rotativas rodas volante virabrequim etc Mostre que a aceleração do carro16 a pode ser determinada a partir da equação F fmg cos α mg sen α 05ρCwAv vvf2 km ma Admitindo aceleração constante e usando o valor médio para a velocidade determine a força propulsora média Fméd em N e a potência média Pméd em kW necessárias para acelerar o carro de 40 a 60 kmh em 4 segundos em uma via plana α 0 em condições sem vento em que vvf 0 São dados os seguintes parâmetros m 1590 kg A 2 m2 f 0011 ρ 12 kgm3 Cw 03 ηtot 09 km 12 Além disso calcule a potência adicional Padi necessária para que o carro após alcançar 60 kmh mantenha sua velocidade enquanto sobe uma ladeira com uma inclinação α 5 A equação deduzida no Item a descreve a dinâmica de movimento não linear do carro onde Ft é a entrada do sistema e vt a saída resultante Dado que o arrasto aerodinâmico é proporcional a v2 em condições sem vento linearize a equação de movimento resultante em torno de uma velocidade média v0 50 kmh quando o carro trafega em uma via plana17 em que α 0 Sugestão Expanda v2 v0 2 em uma série de Taylor truncada Escreva esta equação de movimento e a represente com um diagrama de blocos no qual o bloco Gv representa a dinâmica do veículo A saída deste bloco é a velocidade do carro vt e a entrada é a força propulsora excedente Fet definida como Fe F FEs FRo F0 em queF0 é a componente constante do arrasto aerodinâmico linearizado d 1 a b c 2 3 c 4 Utilize a equação do Item c para determinar a função de transferência do veículo Gvs VsFes Investigando em Laboratório Virtual Experimento 21 Objetivos Aprender a utilizar o MATLAB para 1 criar polinômios 2 manipular polinômios 3 criar funções de transferência 4 manipular funções de transferência e 5 realizar expansões em frações parciais Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio Realize os seguintes cálculos manualmente ou com uma calculadora As raízes de P1 s6 7s5 2s4 9s3 10s2 12s 15 As raízes deP2 s6 9s5 8s4 9s3 12s2 15s 20 P3 P1 P2 P4 P1 P2 P5 P1P2 Calcule manualmente ou com uma calculadora o polinômio P6 s 7s 8s 3s 5s 9s 10 Calcule manualmente ou com uma calculadora as seguintes funções de transferência representadas por um polinômio no numerador dividido por um polinômio no denominador expressas como fatores no numerador divididos por fatores no denominador similar à forma de G1s no Item 3a do PréEnsaio G3s G1s G2s G4s G1s G2s G5s G1sG2s expressas como fatores divididos por fatores e expressas como polinômios divididos por polinômios Calcule manualmente ou com uma calculadora a expansão em frações parciais das seguintes funções de transferência 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2 3 Ensaio Utilize o MATLAB para determinar P3 P4 e P5 do Item 1 do PréEnsaio Utilize apenas um comando do MATLAB para determinar P6 do Item 2 do PréEnsaio Utilize apenas dois comandos do MATLAB para obter G1s do Item 3a do PréEnsaio representada como um polinômio dividido por outro polinômio Utilize apenas dois comandos do MATLAB para obter G2s expressa como fatores no numerador divididos por fatores no denominador Utilizando várias combinações de G1s e G2s obtenha G3s G4s e G5s Utilizar várias combinações significa misturar e combinar G1s e G2s expressas como fatores e polinômios Por exemplo para obter G3s G1s pode ser expressa na forma fatorada e G2s pode ser expressa na forma polinomial Outra combinação seria expressar tanto G1s quanto G2s como polinômios Ainda outra combinação seriam G1s e G2s ambas expressas na forma fatorada Utilize o MATLAB para determinar as expansões em frações parciais mostradas no Item 4 do PréEnsaio PósEnsaio Discuta os resultados obtidos no Item 5 do Ensaio O que você pode concluir Discuta o uso do MATLAB para manipular funções de transferência e polinômios Discuta eventuais deficiências na utilização do MATLAB para realizar expansões em frações parciais Experimento 22 Objetivos Aprender a utilizar o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para 1 obter transformadas de Laplace de funções temporais 2 obter funções temporais a partir de transformadas de Laplace 3 criar funções de transferência LTI a partir de funções de transferência simbólicas e 4 obter soluções de equações simbólicas simultâneas Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Symbolic Math Toolbox e Control System Toolbox PréEnsaio Utilizando cálculos manuais obtenha a transformada de Laplace de ft 00075 000034e25t cos22t 0087e25t sen22t 00072e8t Utilizando cálculos manuais obtenha a transformada inversa de Laplace de Utilize cálculos manuais para determinar a solução para as correntes das malhas do circuito mostrado na Figura P242 1 a b c d e f 1 2 3 4 1 2 FIGURA P242 Ensaio Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para Gerar simbolicamente a função do tempo ft mostrada no Item 1 do PréEnsaio Gerar simbolicamente Fs mostrada no Item 2 do PréEnsaio Obtenha seu resultado simbolicamente tanto na forma fatorada quanto na forma polinomial Obter a transformada de Laplace da função ft mostrada no Item 1 do PréEnsaio Obter a transformada inversa de Laplace de Fs mostrada no Item 2 do PréEnsaio Gerar uma função de transferência LTI para a representação simbólica de Fs do Item 2 do PréEnsaio tanto na forma polinomial quanto na forma fatorada Comece com a Fs que você gerou simbolicamente Resolver o circuito do Item 3 do PréEnsaio para as correntes das malhas PósEnsaio Discuta as vantagens e desvantagens entre a Symbolic Math Toolbox e apenas o MATLAB para converter uma função de transferência da forma fatorada para a forma polinomial e vice versa Discuta as vantagens e desvantagens de se utilizar a Symbolic Math Toolbox para gerar funções de transferência LTI Discuta as vantagens de se utilizar a Symbolic Math Toolbox para resolver equações simultâneas do tipo gerado pelo circuito elétrico do Item 3 do PréEnsaio É possível resolver as equações utilizando apenas o MATLAB Explique Discuta quaisquer outras observações que você tenha sobre a utilização da Symbolic Math Toolbox Experimento 23 Objetivo Aprender a utilizar o LabVIEW para criar e manipular polinômios e funções de transferência Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW e o LabVIEW Control Design and Simulation Module PréEnsaio Estude o Apêndice D Seções D1 até D4 Exemplo D1 Realize manualmente os cálculos enunciados no Item 1 do PréEnsaio do Experimento 21 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Determine manualmente o polinômio cujas raízes são 7 8 3 5 9 e 10 Realize manualmente a expansão em frações parciais de Gs Obtenha manualmente G1s G2s G1s G2s e G1sG2s em que Ensaio Abra a paleta de funções do LabVIEW e selecione a paleta MathematicsPolynomial Crie os polinômios enumerados nos Itens 1a e 1b do PréEnsaio do Experimento 21 Crie as operações polinomiais enunciadas no Item 1c do PréEnsaio do Experimento 21 Crie um polinômio cujas raízes sejam as enunciadas no Item 3 do PréEnsaio deste experimento Obtenha a expansão em frações parciais da função de transferência dada no Item 4 do Pré Ensaio deste experimento Utilizando a paleta Control Design and SimulationControl DesignModel Construction construa as duas funções de transferência enumeradas no Item 5 do PréEnsaio Utilizando a paleta Control Design and SimulationControl DesignModel Interconnection mostre os resultados das operações matemáticas enumeradas no Item 5 do PréEnsaio deste Experimento PósEnsaio Compare as operações polinomiais obtidas no Item 3 do Ensaio com as obtidas no Item 2 do PréEnsaio Compare o polinômio apresentado no Item 4 do Ensaio com o calculado no Item 3 do Pré Ensaio Compare a expansão em frações parciais obtida no Item 5 do Ensaio com a calculada no Item 4 do PréEnsaio Compare os resultados das operações matemáticas obtidos no Item 7 do Ensaio com aqueles calculados no Item 5 do PréEnsaio Bibliografia Aggarwal J K Notes on Nonlinear Systems Van Nostrand Reinhold New York 1972 Bosch R GmbH Bosch Automotive Handbook 7th ed John Wiley Sons Ltd UK 2007 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o denominador da Eq 2115 é o deslocamento Uma analogia direta poderia ser obtida definindose a impedância mecânica em função da velocidade como FsVs Escolhemos a Eq 2115 como uma definição conveniente para escrever as equações de movimento em função do deslocamento em vez da velocidade A alternativa entretanto está disponível 7O atrito mostrado aqui e em todo o livro salvo indicação em contrário é atrito viscoso Assim fv1 e fv2 não são atritos de Coulomb mas surgem por causa de uma interface viscosa 8Neste caso o parâmetro é referenciado como um parâmetro distribuído 9O parâmetro é agora referenciado como um parâmetro concentrado 10Isto é equivalente a dizer que as engrenagens possuem inércia e amortecimento desprezíveis 11Relações de transmissão são as razões entre os números de dentes das engrenagens NT 12Ver o Apêndice I no site da LTC Editora para uma dedução deste esquema e parâmetros 13As unidades para as constantes elétricas são Kt NmA newtonmetroampère e Kce Vsrad voltsegundoradiano 14Caso os valores das constantes mecânicas não sejam conhecidos as constantes do motor podem ser determinadas por meio de ensaios laboratoriais utilizando dados da resposta transitória ou da resposta em frequência O conceito de resposta transitória é coberto no Capítulo 4 a resposta em frequência é coberta no Capítulo 10 15Para dar ênfase J não está em torno do centro de massa como admitimos anteriormente para a inércia em rotação mecânica 16Outras grandezas tais como velocidade máxima capacidade de subida etc também podem ser calculadas através de manipulações a partir desta equação 17Observe que em uma via plana a resistência a subida é FEs 0 uma vez que sen α sen 0 0 Este capítulo cobre apenas métodos do espaço de estados Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Obter um modelo matemático denominado representação no espaço de estados para um sistema linear e invariante no tempo Seções 3133 Modelar sistemas elétricos e mecânicos no espaço de estados Seção 34 Converter uma função de transferência para o espaço de estados Seção 35 Converter uma representação no espaço de estados para uma função de transferência Seção 36 Linearizar uma representação no espaço de estados Seção 37 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de obter a representação em espaço de estados de cada subsistema Dada uma descrição do modo com que um medicamento flui através do corpo humano você será capaz de obter a representação no espaço de estados para determinar as concentrações do medicamento em blocos compartimentados específicos do processo e do corpo humano Você também será capaz de aplicar os mesmos conceitos a um aquífero para determinar o nível de água 31 Introdução Duas abordagens estão disponíveis para a análise e o projeto dos sistemas de controle com realimentação A primeira que começamos a estudar no Capítulo 2 é conhecida como abordagem clássica ou técnica do domínio da frequência Esta abordagem é baseada na conversão da equação diferencial do sistema em uma função de transferência gerando assim um modelo matemático do sistema que relaciona algebricamente uma representação da saída com uma representação da entrada Substituir uma equação diferencial por uma equação algébrica não apenas simplifica a representação de subsistemas individuais mas também simplifica a modelagem de subsistemas interconectados A principal desvantagem da abordagem clássica é sua aplicabilidade limitada ela pode ser aplicada apenas a sistemas lineares e invariantes no tempo ou sistemas que assim podem ser aproximados Uma grande vantagem das técnicas do domínio da frequência é que elas fornecem rapidamente informações sobre a estabilidade e a resposta transitória Assim podemos observar imediatamente os efeitos da variação de parâmetros do sistema até que um projeto aceitável seja encontrado Com o advento da exploração espacial os requisitos para os sistemas de controle aumentaram em escopo Modelar sistemas através de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo e subsequentemente através de funções de transferência se tornou inadequado A abordagem do espaço de estados também conhecida como abordagem moderna ou no domínio do tempo é um método unificado para modelar analisar e projetar uma vasta variedade de sistemas Por exemplo a abordagem do espaço de estados pode ser utilizada para representar sistemas não lineares que possuam folgas saturação e zona morta Além disso ela pode tratar convenientemente sistemas com condições iniciais não nulas Sistemas variantes no tempo por exemplo mísseis com variação do nível de combustível ou a sustentação de uma aeronave voando através de uma grande faixa de altitudes podem ser representados no espaço de estados Diversos sistemas não possuem apenas uma única entrada e uma única saída Sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas como um veículo com entrada de direção e entrada de velocidade produzindo uma saída de direção e uma saída de velocidade podem ser representados de forma compacta no espaço de estados através de um modelo similar em forma e complexidade àquele utilizado para sistemas com uma única entrada e uma única saída A abordagem no domínio do tempo pode ser utilizada para representar sistemas com um computador digital na malha ou para modelar sistemas para simulação digital Com um modelo simulado a resposta do sistema pode ser obtida para variações em seus parâmetros uma importante ferramenta de projeto A abordagem no espaço de estados também é atrativa devido à disponibilidade de vários pacotes de programas que trabalham com o espaço de estados para computadores pessoais A abordagem no domínio do tempo também pode ser utilizada para a mesma classe de sistemas modelados pela abordagem clássica Este modelo alternativo dá ao projetista de sistemas 1 2 3 4 5 de controle uma outra perspectiva a partir da qual ele pode criar um projeto Embora a abordagem do espaço de estados possa ser aplicada a uma vasta variedade de sistemas ela não é tão intuitiva quanto a abordagem clássica O projetista deve realizar diversos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente enquanto no controle clássico uns poucos cálculos ou uma representação gráfica dos dados fornecem rapidamente uma interpretação física Neste livro a cobertura das técnicas de espaço de estados deve ser considerada como uma introdução ao assunto um ponto de partida para estudos mais avançados e uma abordagem alternativa para as técnicas do domínio da frequência Limitaremos a abordagem no espaço de estados a sistemas lineares invariantes no tempo ou a sistemas que possam ser linearizados pelos métodos do Capítulo 2 O estudo de outras classes de sistemas está além do escopo deste livro Uma vez que a análise e o projeto no espaço de estados se baseiam em matrizes e operações matriciais você pode querer revisar este tópico no Apêndice G disponível no site da LTC Editora antes de continuar 32 Algumas Observações Prosseguimos agora para estabelecer a abordagem do espaço de estados como um método alternativo para representar sistemas físicos Esta seção prepara o cenário para a definição formal da representação no espaço de estados apresentando algumas observações sobre os sistemas e suas variáveis Na discussão que se segue parte do desenvolvimento foi colocada em notas de rodapé para evitar o obscurecimento das questões principais com equações em excesso e para garantir que o conceito seja claro Embora utilizemos dois circuitos elétricos para ilustrar os conceitos poderíamos também perfeitamente ter utilizado um sistema mecânico ou outro sistema físico Demonstramos agora que para um sistema com muitas variáveis como tensão sobre o indutor tensão sobre o resistor e carga no capacitor precisamos utilizar equações diferenciais apenas para encontrar a solução para um determinado subconjunto das variáveis do sistema uma vez que todas as demais variáveis do sistema podem ser calculadas algebricamente a partir das variáveis do subconjunto Nossos exemplos adotam a seguinte abordagem Escolhemos um subconjunto particular de todas as possíveis variáveis do sistema e chamamos as variáveis deste subconjunto de variáveis de estado Para um sistema de ordem n escrevemos n equações diferenciais simultâneas de primeira ordem em função das variáveis de estado Chamamos este sistema de equações diferenciais simultâneas de equações de estado Caso conheçamos a condição inicial de todas as variáveis de estado em t0 bem como a entrada do sistema para t t0 podemos resolver as equações diferenciais simultâneas para as variáveis de estado para t t0 Combinamos algebricamente as variáveis de estado com a entrada do sistema e determinamos todas as demais variáveis do sistema para t t0 Chamamos esta equação algébrica de equação de saída Consideramos as equações de estado e as equações de saída uma representação viável do sistema Chamamos esta representação do sistema de representação no espaço de estados Vamos agora seguir esses passos em um exemplo Considere o circuito RL mostrado na Figura 31 1 2 3 4 com uma corrente inicial i0 FIGURA 31 Circuito RL Escolhemos a corrente it para a qual iremos escrever e resolver uma equação diferencial utilizando transformadas de Laplace Escrevemos a equação de malha Aplicando a transformada de Laplace utilizando a Tabela 22 Item 7 e incluindo as condições iniciais resulta Admitindo que a entrada vt seja um degrau unitário ut cuja transformada de Laplace é Vs 1s resolvemos para Is e obtemos a partir da qual A função it é um subconjunto de todas as possíveis variáveis do circuito que somos capazes de determinar a partir da Eq 34 caso conheçamos sua condição inicial i0 e a entrada vt Assim it é uma variável de estado e a equação diferencial 31 é uma equação de estado Podemos agora obter a solução para todas as demais variáveis do circuito algebricamente em função de it e da tensão aplicada vt Por exemplo a tensão sobre o resistor é A tensão sobre o indutor é 5 1 2 A derivada da corrente é Portanto conhecendo a variável de estado it e a entrada vt podemos obter o valor ou o estado de qualquer variável do circuito em qualquer tempo t t0 Assim as equações algébricas Eqs 35 a 37 são equações de saída Uma vez que as variáveis de interesse são descritas completamente pela Eq 31 e pelas Eqs 35 a 37 dizemos que a combinação da equação de estado 31 com as equações de saída 35 a 37 forma uma representação viável do circuito a qual chamamos representação no espaço de estados A Eq 31 que descreve a dinâmica do circuito não é única Esta equação poderia ser escrita em função de qualquer outra variável do circuito Por exemplo substituindo i νRR na Eq 31 resulta que pode ser resolvida sabendose que a condição inicial νR0 Ri0 e conhecendose νt Nesse caso a variável de estado é νRt Analogamente todas as outras variáveis do circuito podem agora ser escritas em função da variável de estado νRt e da entrada νt Vamos agora estender nossas observações a um sistema de segunda ordem como o mostrado na Figura 32 FIGURA 32 Circuito RLC Como o circuito é de segunda ordem duas equações diferenciais de primeira ordem simultâneas são necessárias para achar a solução para duas variáveis de estado Escolhemos it e qt a carga no capacitor como as duas variáveis de estado Escrevendo a equação da malha resulta Convertendo para carga usando it dqdt obtemos 3 4 5 Mas uma equação diferencial de ordem n pode ser convertida em n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas com cada uma das equações da forma em que cada xi é uma variável de estado e os aij e bi são constantes para sistemas lineares invariantes no tempo Dizemos que o lado direito da Eq 311 é uma combinação linear das variáveis de estado e de entrada ft Podemos converter a Eq 310 em duas equações diferenciais de primeira ordem simultâneas em função de it e qt A primeira equação pode ser dqdt i A segunda equação pode ser formada substituindo i dt q na Eq 39 e resolvendo para didt Juntando as duas equações resultantes obtemos Estas equações são as equações de estado e podem ser resolvidas simultaneamente para as variáveis de estado qt e it com a utilização da transformada de Laplace e dos métodos do Capítulo 2 se conhecemos as condições iniciais para qt e it e se conhecemos νt a entrada A partir dessas duas variáveis de estado podemos obter a solução para todas as demais variáveis do circuito Por exemplo a tensão sobre o indutor pode ser escrita em função das variáveis de estado resolvidas e da entrada como A Eq 313 é uma equação de saída dizemos que νLt é uma combinação linear das variáveis de estado qt e it e da entrada νt A combinação das equações de estado 312 com a equação de saída 313 forma uma representação viável do circuito a qual chamamos representação no espaço de estados Outra escolha das duas variáveis de estado pode ser feita por exemplo vRt e vCt as tensões sobre o resistor e sobre o capacitor respectivamente O conjunto resultante de equações diferenciais de primeira ordem simultâneas é Novamente essas equações diferenciais podem ser resolvidas para as variáveis de estado se conhecemos as condições iniciais e também νt Além disso todas as demais variáveis do circuito podem ser obtidas como combinação linear dessas variáveis de estado Existe alguma restrição na escolha das variáveis de estado Sim Tipicamente o número mínimo de variáveis de estado necessário para descrever um sistema é igual à ordem da equação diferencial Assim um sistema de segunda ordem requer um mínimo de duas variáveis de estado para descrevêlo Podemos definir mais variáveis de estado do que o conjunto mínimo todavia dentro deste conjunto mínimo as variáveis de estado devem ser linearmente independentes Por exemplo caso νRt seja escolhida como variável de estado então it não pode ser escolhida porque νRt pode ser escrita como uma combinação linear de it mais especificamente νRt Rit Nessas circunstâncias dizemos que as variáveis de estado são linearmente dependentes As variáveis de estado devem ser linearmente independentes isto é nenhuma variável de estado pode ser escrita como uma combinação linear das demais variáveis de estado caso contrário poderemos não ter informações suficientes para achar a solução para todas as outras variáveis do sistema e podemos até mesmo ter problemas para escrever as próprias equações simultâneas As equações de estado e de saída podem ser escritas na forma vetorialmatricial se o sistema for linear Assim as Eqs 312 as equações de estado podem ser escritas como em que A Eq 313 equação de saída pode ser escrita como em que Chamamos a combinação das Eqs 315 e 316 de uma representação no espaço de estados do circuito da Figura 32 Uma representação no espaço de estados portanto consiste 1 nas equações diferenciais de primeira ordem simultâneas a partir das quais pode ser obtida a solução para as variáveis de estado e 2 na equação algébrica de saída a partir da qual todas as demais variáveis do sistema podem ser obtidas Uma representação no espaço de estados não é única uma vez que uma escolha diferente das variáveis de estado leva a uma representação diferente do mesmo sistema Nesta seção utilizamos dois circuitos elétricos para demonstrar alguns princípios que são a base da representação no espaço de estados As representações desenvolvidas nesta seção foram de sistemas de entrada única e saída única em que y D e u nas Eqs 315 e 316 são grandezas escalares Em geral os sistemas possuem múltiplas entradas e múltiplas saídas Para esses casos y e u se tornam grandezas vetoriais e D se torna uma matriz Na Seção 33 iremos generalizar a representação para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas e sintetizaremos o conceito da representação no espaço de estados 33 A Representação Geral no Espaço de Estados Agora que representamos um sistema físico no espaço de estados e temos uma boa ideia da terminologia e do conceito vamos sintetizar e generalizar a representação das equações diferenciais lineares Primeiro formalizamos algumas das definições com as quais nos deparamos na última seção Combinação linear Uma combinação linear de n variáveis xi para i 1 até n é dada pela seguinte soma S em que cada Ki é uma constante Independência linear Um conjunto de variáveis é dito ser linearmente independente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combinação linear das demais Por exemplo dados x1 x2 e x3 se x2 5x1 6x3 então as variáveis não são linearmente independentes uma vez que uma delas pode ser escrita como uma combinação linear das outras duas Agora o que deve acontecer para que uma variável não possa ser escrita como uma combinação linear das outras variáveis Considere o exemplo K2x2 K1x1 K3x3 Se nenhum xi 0 então qualquer xi pode ser escrito como uma combinação linear das outras variáveis a menos que todos Ki 0 Formalmente então as variáveis xi para i 1 até n são ditas ser linearmente independentes se sua combinação linear S for igual a zero somente se todos Ki 0 e nenhum xi 0 para todo t 0 Variável do sistema Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema FIGURA 33 Representação gráfica do espaço de estados e de um vetor de estado Variáveis de estado O menor conjunto de variáveis do sistema linearmente independentes tal que os valores dos elementos do conjunto no instante t0 em conjunto com funções forçantes conhecidas determinam completamente o valor de todas as variáveis do sistema para todo t t0 Vetor de estado Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado Espaço de estados O espaço ndimensional cujos eixos são as variáveis de estado Este é um termo novo e é ilustrado na Figura 33 na qual as variáveis de estado são admitidas como uma tensão sobre um resistor νR e uma tensão sobre um capacitor νC Essas variáveis formam os eixos do espaço de estados Podese considerar que uma trajetória seja mapeada pelo vetor de estado xt para uma determinada faixa de variação de t A figura mostra também o vetor de estado em um instante particular t 4 Equações de estado Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas com n variáveis em que as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado Equação de saída A equação algébrica que expressa as variáveis de saída de um sistema como combinações lineares das variáveis de estado e das entradas Agora que as definições foram formalmente declaradas definimos a representação no espaço de estados de um sistema Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações para t t0 e condições iniciais xt0 em que x vetor de estado derivada do vetor de estado em relação ao tempo y vetor de saída u vetor de entrada ou vetor de controle A matriz do sistema B matriz de entrada C matriz de saída D matriz de transmissão direta A Eq 318 é chamada de equação de estado e o vetor x o vetor de estado contém as variáveis de estado A Eq 318 pode ser resolvida para as variáveis de estado o que demonstramos no Capítulo 4 A Eq 319 é chamada de equação de saída Esta equação é utilizada para calcular quaisquer outras variáveis do sistema Esta representação de um sistema fornece o conhecimento completo de todas as variáveis do sistema em qualquer tempo t t0 Por exemplo para um sistema linear de segunda ordem invariante no tempo com uma única entrada νt as equações de estado podem ter a seguinte forma 1 2 em que x1 e x2 são as variáveis de estado Caso haja uma única saída a equação de saída poderia ter a seguinte forma A escolha das variáveis de estado para um sistema específico não é única O requisito para a escolha das variáveis de estado é que elas sejam linearmente independentes e que um número mínimo de variáveis seja escolhido 34 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Nesta seção aplicamos a formulação no espaço de estados à representação de sistemas físicos mais complexos O primeiro passo na representação de um sistema é escolher o vetor de estado o qual deve ser escolhido de acordo com as seguintes considerações Um número mínimo de variáveis de estado deve ser escolhido para compor o vetor de estado Este número mínimo de variáveis de estado é suficiente para descrever completamente o estado do sistema As componentes do vetor de estado isto é este número mínimo de variáveis de estado devem ser linearmente independentes Vamos rever e esclarecer essas afirmações Variáveis de Estado Linearmente Independentes As componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes Por exemplo pela definição de independência linear apresentada na Seção 33 se x1 x2 e x3 forem escolhidas como variáveis de estado porém x3 5x1 4x2 então x3 não é linearmente independente de x1 e x2 uma vez que conhecidos os valores de x1 e x2 o valor de x3 pode ser obtido As variáveis e suas derivadas sucessivas são linearmente independentes Por exemplo a tensão sobre um indutor νL é linearmente independente da corrente através do indutor iL uma vez que νL LdiLdt Assim νL não pode ser expressa como uma combinação linear da corrente iL Número Mínimo de Variáveis de Estado Como sabemos o número mínimo de variáveis de estado a serem escolhidas Tipicamente o número mínimo necessário é igual à ordem da equação diferencial que descreve o sistema Por exemplo se uma equação diferencial de terceira ordem descreve o sistema então três equações diferenciais de primeira ordem simultâneas são necessárias em conjunto com três variáveis de estado Da perspectiva das funções de transferência a ordem da equação diferencial é a ordem do denominador da função de transferência após o cancelamento dos fatores comuns ao numerador e ao denominador Na maioria dos casos outra forma de se determinar o número de variáveis de estado é contar o número de elementos armazenadores de energia independentes presentes no sistema5 O número desses elementos armazenadores de energia é igual à ordem da equação diferencial e ao número de variáveis de estado Na Figura 32 existem dois elementos armazenadores de energia o capacitor e o indutor Portanto duas variáveis de estado e duas equações de estado são requeridas para o sistema Caso poucas variáveis de estado sejam escolhidas pode ser impossível escrever certas equações de saída uma vez que algumas variáveis do sistema não podem ser escritas como uma combinação linear do número reduzido de variáveis de estado Em muitos casos pode ser impossível até mesmo completar a escrita das equações de estado uma vez que as derivadas das variáveis de estado não podem ser expressas como combinações lineares do número reduzido de variáveis de estado Caso você escolha o número mínimo de variáveis de estado mas elas não sejam linearmente independentes na melhor das hipóteses você não conseguirá encontrar a solução para todas as demais variáveis do sistema No pior caso você poderá não ser capaz de completar a escrita das equações de estado Frequentemente o vetor de estado inclui mais do que o número mínimo de variáveis de estado necessárias Duas situações podem ocorrer Frequentemente as variáveis de estado são escolhidas como variáveis físicas de um sistema como posição e velocidade em um sistema mecânico Existem casos em que essas variáveis embora linearmente independentes são também desacopladas Isto é algumas das variáveis linearmente independentes não são necessárias para se obter a solução para quaisquer outras variáveis linearmente independentes ou qualquer outra variável dependente do sistema Considere o caso de uma massa e um amortecedor viscoso cuja equação diferencial é M dvdt Dv ft em que ν é a velocidade da massa Como esta é uma equação de primeira ordem uma equação de estado é tudo o que é necessário para definir este sistema no espaço de estados com a velocidade como a variável de estado Além disso como existe apenas um elemento armazenador de energia a massa apenas uma variável de estado é necessária para representar esse sistema no espaço de estados Entretanto a massa também possui uma posição associada a qual é linearmente independente da velocidade Caso desejemos incluir a posição no vetor de estado em conjunto com a velocidade então adicionamos a posição como uma variável de estado que é linearmente independente da outra variável de estado a velocidade A Figura 34 ilustra o que está ocorrendo O primeiro bloco é a função de transferência equivalente a M dvdt Dv ft O segundo bloco mostra que integramos a velocidade de saída para produzir o deslocamento de saída ver a Tabela 22 Item 10 Assim caso desejemos o deslocamento como uma saída o denominador ou a equação característica tem a ordem aumentada para 2 o produto de duas funções de transferência Muitas vezes a escrita das equações de estado é simplificada pela inclusão de variáveis de estado adicionais Outro caso que aumenta o tamanho do vetor de estado ocorre quando a variável adicionada não é linearmente independente das outras componentes do vetor de estado Isso geralmente ocorre quando uma variável é escolhida como variável de estado mas sua dependência das demais variáveis de estado não é imediatamente aparente Por exemplo os elementos armazenadores de energia podem ser utilizados para escolher as variáveis de estado e a dependência da variável associada a um elemento armazenador de energia das variáveis dos outros elementos armazenadores de energia pode não ser reconhecida Assim a dimensão da matriz do sistema é aumentada desnecessariamente e a solução para o vetor de estado a qual cobrimos no Capítulo 4 fica mais difícil Além disso o acréscimo de variáveis de estado dependentes afeta a capacidade do projetista de utilizar métodos do espaço de estados para projeto6 Passo 1 Passo 2 FIGURA 34 Diagrama de blocos de uma massa e amortecedor Vimos na Seção 32 que a representação no espaço de estados não é única O exemplo a seguir demonstra uma técnica para escolher as variáveis de estado e representar um sistema no espaço de estados Nossa abordagem é escrever a equação da derivada simples para cada elemento armazenador de energia e expressar cada termo de derivada como uma combinação linear de quaisquer das variáveis do sistema e da entrada que estejam presentes na equação Em seguida escolhemos cada variável derivada como uma variável de estado Então expressamos todas as demais variáveis do sistema nas equações em função das variáveis de estado e da entrada Finalmente escrevemos as variáveis de saída como combinações lineares das variáveis de estado e da entrada Exemplo 31 Representando um Circuito Elétrico PROBLEMA Dado o circuito elétrico da Figura 35 obtenha uma representação no espaço de estados caso a saída seja a corrente através do resistor FIGURA 35 Circuito elétrico para representação no espaço de estados SOLUÇÃO Os seguintes passos resultarão em uma representação viável do circuito no espaço de estados Nomeie todas as correntes dos ramos do circuito Isso abrange iL iR e iC como mostrado na Figura 35 Escolha as variáveis de estado escrevendo as equações diferenciais para todos os elementos armazenadores de energia isto é o indutor e o capacitor Assim A partir das Eqs 322 e 323 escolha as variáveis de estado como as grandezas que são derivadas isto é νC e iL Utilizando a Eq 320 como referência observamos que a representação no espaço de estados está completa se os lados Passo 3 Passo 4 Passo 5 direitos das Eqs 322 e 323 puderem ser escritos como combinações lineares das variáveis de estado e da entrada Uma vez que iC e νL não são variáveis de estado o nosso próximo passo é expressar iC e νL como combinações lineares das variáveis de estado νC e iL e da entrada νt Aplique a teoria de circuitos como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes para obter iC e νL em função das variáveis de estado νC e iL No Nó 1 que fornece iC em função das variáveis de estado νC e iL Ao longo da malha externa que fornece νL em função da variável de estado νC e da fonte νt Substitua os resultados das Eqs 324 e 325 nas Eqs 322 e 323 para obter as seguintes equações de estado ou Obtenha a equação de saída Como a saída é iRt O resultado final para a representação no espaço de estados é obtido representando as Eqs 327 e 328 na forma vetorialmatricial como a seguir Passo 1 Passo 2 Passo 3 em que o ponto indica derivação em relação ao tempo Com a finalidade de tornar a representação de sistemas físicos no espaço de estados mais clara vamos examinar mais dois exemplos O primeiro é um circuito elétrico com uma fonte controlada Embora sigamos o mesmo procedimento do problema anterior este problema apresentará uma maior complexidade na aplicação da análise de circuitos para obter as equações de estado Para o segundo exemplo obtemos a representação no espaço de estados de um sistema mecânico Exemplo 32 Representando um Circuito Elétrico com uma Fonte Controlada PROBLEMA Obtenha as equações de estado e de saída para o circuito elétrico mostrado na Figura 36 caso o vetor de saída seja y em que T significa transposta7 FIGURA 36 Circuito elétrico para o Exemplo 32 SOLUÇÃO Observe de imediato que este circuito possui uma fonte de corrente controlada por tensão Nomeie todas as correntes dos ramos do circuito como mostrado na Figura 36 Escolha as variáveis de estado listando as relações tensãocorrente para todos os elementos armazenadores de energia A partir das Eqs 330 escolha as variáveis de estado como as variáveis derivadas Assim as variáveis de estado x1 e x2 são Lembrando que a forma da equação de estado é observamos que a tarefa que resta é transformar o lado direito das Eqs 330 em combinações lineares das variáveis de estado e da fonte de corrente de entrada Utilizando as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes obtemos νL e iC em função das variáveis de estado e da fonte de corrente de entrada Ao longo da malha que contém L e C Porém no Nó 2 iC 4νL Substituindo esta relação para na Eq 333 resulta Resolvendo para νL obtemos Observe que uma vez que νC é uma variável de estado precisamos apenas determinar iC em função das variáveis de estado Teremos então obtido νL em função das variáveis de estado Assim no Nó 1 podemos escrever a soma das correntes como em que νL As Eqs 335 e 336 são duas equações que relacionam νL e iC em função das variáveis de estado iL e νC Reescrevendo as Eqs 335 e 336 obtemos duas equações simultâneas fornecendo νL e iC como combinações lineares das variáveis de estado iL e νC Resolvendo as Eqs 337 simultaneamente para νL e iC resulta e Passo 4 em que Substituindo as Eqs 338 e 339 na 330 simplificando e escrevendo o resultado na forma vetorialmatricial resulta a seguinte equação de estado Deduza a equação de saída Uma vez que as variáveis de saída especificadas são e observamos que ao longo da malha que contém C L e R2 Substituindo as Eqs 338 e 339 nas Eqs 342 e são obtidas como combinações lineares das variáveis de estado iL e νC Na forma vetorialmatricial a equação é No próximo exemplo obtemos a representação no espaço de estados para um sistema mecânico Quando se trabalha com sistemas mecânicos é mais conveniente obter as equações de estado diretamente das equações de movimento do que a partir dos elementos armazenadores de energia Por exemplo considere um elemento armazenador de energia como uma mola em que F Kx Esta relação não contém a derivada de uma variável física como no caso dos circuitos elétricos nos quais i C dvdt para os capacitores e ν L didt para os indutores Assim nos sistemas mecânicos mudamos nossa escolha de variáveis de estado para a posição e a velocidade de cada ponto de movimento linearmente independente No exemplo veremos que embora existam três elementos armazenadores de energia existirão quatro variáveis de estado uma variável de estado linearmente independente adicional é incluída para a comodidade da escrita das equações de estado É deixada ao leitor a tarefa de mostrar que este sistema resulta em uma função de transferência de quarta ordem caso relacionemos o deslocamento de qualquer das massas à força aplicada e em uma função de transferência de terceira ordem caso relacionemos a velocidade de qualquer das massas à força aplicada Exemplo 33 Representando um Sistema Mecânico Translacional PROBLEMA Obtenha as equações de estado para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 37 FIGURA 37 Sistema mecânico translacional SOLUÇÃO Primeiro escreva as equações diferenciais para o sistema da Figura 37 utilizando os métodos do Capítulo 2 para determinar a transformada de Laplace das equações de movimento Em seguida aplique a transformada de Laplace inversa a essas equações admitindo condições iniciais nulas e obtenha Agora faça d2x1dt2 dν1dt e d2x2dt2 dv2dt e escolha x1 ν1 x2 e ν2 como variáveis de estado Em seguida forme duas das equações de estado resolvendo a Eq 344 para dv1dt e a Eq 345 para dv2dt Finalmente acrescente dx1dt ν1 e dx2dt ν2 para completar o conjunto de equações de estado Assim Na forma vetorialmatricial em que o ponto indica derivada em relação ao tempo Qual é a equação de saída caso a saída seja xt Exercício 31 PROBLEMA Obtenha a representação no espaço de estados do circuito elétrico mostrado na Figura 38 A saída é vst FIGURA 38 Circuito elétrico para o Exercício 31 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 32 PROBLEMA Represente o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 39 no espaço de estados em que x3t é a saída FIGURA 39 Sistema mecânico translacional para o Exercício 32 RESPOSTA em que A solução completa está no site da LTC Editora 35 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados Na última seção aplicamos a representação no espaço de estados a sistemas elétricos e mecânicos Nesta seção aprendemos como converter uma representação em função de transferência para uma representação no espaço de estados Uma das vantagens da representação no espaço de estados é que ela pode ser utilizada para a simulação de sistemas físicos em computadores digitais Assim caso desejemos simular um sistema que é representado por uma função de transferência devemos primeiro converter a representação em função de transferência para o espaço de estados Inicialmente escolhemos um conjunto de variáveis de estado chamadas variáveis de fase no qual cada variável de estado subsequente é definida como a derivada da variável de estado anterior No Capítulo 5 mostramos como realizar outras escolhas para as variáveis de estado Vamos começar mostrando como representar uma equação diferencial linear de ordem n genérica com coeficientes constantes no espaço de estados na forma de variáveis de fase Mostraremos então como aplicar essa representação às funções de transferência Considere a equação diferencial Um modo conveniente de escolher as variáveis de estado é escolher a saída yt e suas n 1 derivadas como as variáveis de estado Esta escolha é chamada de escolha de variáveis de fase Escolhendo as variáveis de estado xi obtemos e derivando ambos os lados resulta em que o ponto acima do x indica derivada em relação ao tempo Substituindo as definições das Eqs 349 nas Eqs 350 as equações de estado são obtidas como em que a Eq 351d foi obtida a partir da Eq 348 resolvendose para dnydtn e utilizandose as Eqs 349 Na forma vetorialmatricial as Eqs 351 se tornam A Eq 352 é a forma de variáveis de fase das equações de estado Esta forma é facilmente Passo 1 reconhecida pelo padrão único de 1s e 0s e pelo valor negativo dos coeficientes da equação diferencial escritos em ordem inversa na última linha da matriz do sistema Finalmente como a solução da equação diferencial é yt ou x1 a equação de saída é Em resumo para converter uma função de transferência em equações de estado na forma de variáveis de fase primeiro convertemos a função de transferência em uma equação diferencial pela multiplicação cruzada e aplicando a transformada de Laplace inversa admitindo condições iniciais nulas Então representamos a equação diferencial no espaço de estados na forma de variáveis de fase Um exemplo ilustra o processo Exemplo 34 Convertendo uma Função de Transferência com Termo Constante no Numerador PROBLEMA Obtenha a representação no espaço de estados na forma de variáveis de fase para a função de transferência mostrada na Figura 310a SOLUÇÃO Determine a equação diferencial associada Como Passo 2 FIGURA 310 a Função de transferência b diagrama de blocos equivalente mostrando as variáveis de fase Observação yt ct o produto cruzado fornece A equação diferencial correspondente é obtida aplicandose a transformada inversa de Laplace admitindose condições iniciais nulas Escolha as variáveis de estado Escolhendo as variáveis de estado como derivadas sucessivas obtemos Derivando ambos os lados e utilizando as Eqs 357 para obter 1 e 2 e a Eq 356 para determinar 3 obtemos as equações de estado Uma vez que a saída é c x1 as equações de estado e de saída combinadas são Na forma vetorialmatricial Observe que a terceira linha da matriz do sistema possui os mesmos coeficientes do denominador da função de transferência porém com sinal negativo e na ordem inversa Neste ponto podemos criar um diagrama de blocos equivalente do sistema da Figura 310a para auxiliar na visualização das variáveis de estado Desenhamos três blocos de integração como mostrado na Figura 310b e nomeamos cada saída como uma das variáveis de estado xit como mostrado Uma vez que a entrada de cada integrador é it utilize as Eqs 358a 358b e 358c para determinar a combinação de sinais de entrada para cada integrador Forme e nomeie cada entrada Finalmente utilize a Eq 358d para formar e nomear a saída yt ct O resultado final da Figura 310b é um sistema equivalente ao da Figura 310a que mostra explicitamente as variáveis de estado e fornece uma imagem nítida da representação no espaço de estados Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar os arquivos ch3p1 até ch3p4 do Apêndice B Você aprenderá como representar a matriz do sistema A a matriz de entrada B e a matriz de saída C utilizando o MATLAB Você aprenderá como converter uma função de transferência em uma representação no espaço de estados na forma de variáveis de fase Finalmente o Exemplo 34 será resolvido utilizando o MATLAB A função de transferência do Exemplo 34 possui um termo constante no numerador Se uma função de transferência possuir um polinômio em s no numerador que seja de ordem inferior ao polinômio do denominador como mostrado na Figura 311a o numerador e o denominador podem ser tratados separadamente Inicialmente decomponha a função de transferência em duas funções de transferência em cascata como mostrado na Figura 311b a primeira é o denominador e a segunda é apenas o numerador A primeira função de transferência apenas com o denominador é convertida em uma representação de variáveis de fase no espaço de estados como mostrado no último exemplo Assim a variável de fase x1 é a saída e as demais variáveis de fase são as variáveis internas do primeiro bloco como mostrado na Figura 311b A segunda função de transferência apenas com o numerador fornece em que após aplicar a transformada inversa de Laplace com condições iniciais nulas Porém os termos em derivadas são as definições das variáveis de fase obtidas no primeiro bloco Assim escrevendo os termos em ordem inversa para se ajustar a equação de saída Portanto o segundo bloco simplesmente estabelece uma combinação linear específica das variáveis de estado desenvolvidas no primeiro bloco De outra perspectiva o denominador da função de transferência fornece as equações de estado enquanto o numerador fornece a equação de saída O próximo exemplo demonstra o processo Passo 1 FIGURA 311 Decompondo uma função de transferência Exemplo 35 Convertendo uma Função de Transferência com Polinômio no Numerador PROBLEMA Obtenha a representação no espaço de estados da função de transferência mostrada na Figura 312a SOLUÇÃO Este problema difere do Exemplo 34 uma vez que o numerador possui um polinômio em s ao invés de apenas um termo constante Separe o sistema em dois blocos em cascata como mostrado na Figura 312b O primeiro bloco contém o denominador e o segundo bloco contém o numerador Passo 2 Passo 3 FIGURA 312 a Função de transferência b função de transferência decomposta c diagrama de blocos equivalente Observação yt ct Obtenha as equações de estado para o bloco que contém o denominador Notamos que o numerador do primeiro bloco é 124 do numerador do Exemplo 34 Assim as equações de estado são as mesmas exceto que a matriz de entrada deste sistema é igual a 124 da matriz do Exemplo 34 Portanto a equação de estado é Introduza o efeito do bloco com o numerador O segundo bloco da Figura 312b em que b2 1 b1 7 e b0 2 estabelece que Aplicando a transformada inversa de Laplace com condições iniciais nulas obtemos Mas Portanto Experimente 31 Use as seguintes instruções MATLAB para criar uma representação LTI no espaço de estados a partir da função de transferência mostrada na Figura 312a A matriz A e o vetor B são mostrados na Eq 363 O vetor C é mostrado na Eq 367 num1 7 2 den1 9 26 24 ABCDtf2ss numden P0 0 10 1 01 0 0 AinvPAP BinvPB CCP Assim o último bloco da Figura 311b reúne os estados e gera a equação de saída A partir da Eq 366 Embora o segundo bloco da Figura 312b apresente derivações este bloco foi implementado sem derivações devido à separação em duas partes que foi aplicada à função de transferência O último bloco simplesmente reuniu as derivadas que já haviam sido formadas pelo primeiro bloco Mais uma vez podemos produzir um diagrama de blocos equivalente que representa vividamente nosso modelo no espaço de estados O primeiro bloco da Figura 312b é o mesmo da Figura 310a exceto pela constante diferente no numerador Assim na Figura 312c reproduzimos a Figura 310b exceto pela alteração da constante no numerador que aparece como uma alteração no fator multiplicador da entrada O segundo bloco da Figura 312b é representado utilizando a Eq 366 que forma a saída a partir de uma combinação linear das variáveis de estado como mostrado na Figura 312c Exercício 33 PROBLEMA Obtenha as equações de estado e a equação de saída para a representação em variáveis de fase da função de transferência RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 36 Convertendo do Espaço de Estados para uma Função de Transferência Nos Capítulos 2 e 3 exploramos dois métodos de representação de sistemas a representação em função de transferência e a representação no espaço de estados Na última seção unimos as duas representações convertendo funções de transferência em representações no espaço de estados Agora nos movemos no sentido oposto e convertemos a representação no espaço de estados em uma função de transferência Dadas as equações de estado e de saída aplique a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas8 Resolvendo para Xs na Eq 369a ou em que I é a matriz identidade Substituindo a Eq 371 na Eq 369b resulta Chamamos a matriz CsI A1B D de matriz de função de transferência uma vez que ela relaciona o vetor de saída Ys com vetor de entrada Us Entretanto se Us Us e Ys Ys são escalares podemos obter a função de transferência Vamos ver um exemplo Exemplo 36 Representação no Espaço de Estados para Função de Transferência PROBLEMA Dado o sistema definido pelas Eqs 374 obtenha a função de transferência Ts YsUs em que Us é a entrada e Ys é a saída SOLUÇÃO A solução gira em torno de se obter o termo sI A1 da Eq 3739 Todos os outros termos já estão definidos Assim primeiro obtenha sI A Agora obtenha sI A1 Substituindo sI A1 B C e D na Eq 373 em que obtemos o resultado final para a função de transferência Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch3p5 do Apêndice B Você aprenderá como converter uma representação no espaço de estados em uma função de transferência utilizando o MATLAB Você pode praticar escrevendo um programa MATLAB para resolver o Exemplo 36 Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch3sp1 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como utilizar a Symbolic Math Toolbox para escrever matrizes e vetores Você verá que a Symbolic Math Toolbox oferece um modo alternativo de utilizar o MATLAB para resolver o Exemplo 36 Exercício 34 Experimente 32 Use as seguintes instruções MATLAB e Control System Toolbox para obter a função de transferência mostrada no Exercício 34 a partir da representação no espaço de estados das Eqs 378 A4 154 0 B2 0 C15 0625 D0 TssABCD TtfT PROBLEMA Converta as equações de estado e de saída mostradas nas Eqs 378 em uma função de transferência RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora No Exemplo 36 as equações de estado na forma de variáveis de fase foram convertidas em funções de transferência No Capítulo 5 veremos que outras formas além da forma de variáveis de fase podem ser utilizadas para representar um sistema no espaço de estados O método de obtenção da representação em função de transferência para essas outras formas é o mesmo que foi apresentado nesta seção 37 Linearização Uma vantagem primordial da representação no espaço de estados em relação à representação em função de transferência é a capacidade de representar sistemas com não linearidades como o sistema mostrado na Figura 313 A capacidade de representar sistemas não lineares não implica na capacidade de resolver suas equações de estado para as variáveis de estado e a saída Existem técnicas para a solução de alguns tipos de equações de estado não lineares porém este estudo está além do escopo deste livro Entretanto no Apêndice H encontrado no site da LTC Editora você pode descobrir como utilizar o computador digital para resolver equações de estado Este método também pode ser utilizado para equações de estado não lineares Caso estejamos interessados em pequenas perturbações em torno de um ponto de equilíbrio como estávamos quando estudamos a linearização no Capítulo 2 também podemos linearizar as equações de estado em torno de um ponto de equilíbrio A chave para a linearização em torno de um ponto de equilíbrio é mais uma vez a série de Taylor No exemplo a seguir escrevemos as equações de estado para um pêndulo simples mostrando que podemos representar um sistema não linear no espaço de estados em seguida linearizamos o pêndulo em torno de seu ponto de equilíbrio a posição vertical com velocidade nula FIGURA 313 Robôs andarilhos como o Hannibal mostrado aqui podem ser utilizados para explorar ambientes hostis e terreno acidentado como os encontrados em outros planetas ou dentro de vulcões Exemplo 37 Representando um Sistema Não Linear PROBLEMA Inicialmente represente o pêndulo simples mostrado na Figura 314a que poderia ser um modelo simples para a perna do robô mostrado na Figura 313 no espaço de estados Mg é o peso T é um torque aplicado no sentido de θ e L é o comprimento do pêndulo Admita que a massa seja uniformemente distribuída com o centro de massa em L2 Em seguida linearize as equações de estado em torno do ponto de equilíbrio do pêndulo a posição vertical com velocidade angular igual a zero FIGURA 314 a Pêndulo simples b componentes de força de Mg c diagrama de corpo livre SOLUÇÃO Inicialmente desenhe um diagrama de corpo livre como o mostrado na Figura 314c Somando os torques obtemos em que J é o momento de inércia do pêndulo em torno do ponto de rotação Escolha as variáveis de estado x1 e x2 como variáveis de fase Fazendo x1 θ e x2 dθdt escrevemos as equações de estado como em que 2 d2θdt2 é obtida a partir da Eq 379 Assim representamos um sistema não linear no espaço de estados É interessante observar que as Eqs 380 não lineares representam um modelo válido e completo do pêndulo no espaço de estados mesmo que as condições iniciais não sejam nulas e mesmo que os parâmetros sejam variantes no tempo Entretanto caso desejemos aplicar técnicas clássicas e converter essas equações de estado em uma função de transferência devemos linearizálas Vamos prosseguir agora linearizando a equação em torno do ponto de equilíbrio x1 0 e x2 0 isto é θ 0 e dθdt 0 Sejam x1 e x2 perturbadas em torno do ponto de equilíbrio ou Utilizando a Eq 2182 obtemos da qual Substituindo as Eqs 381 e 383 na Eq 380 resultam as seguintes equações de estado as quais são lineares e uma boa aproximação das Eqs 380 para pequenas variações a partir do ponto de equilíbrio Qual é a equação de saída Exercício 35 PROBLEMA Represente o sistema mecânico translacional mostrado na Figura 315 no espaço de estados em torno do deslocamento de equilíbrio A mola é não linear em que a relação entre força da mola fmt e deslocamento da mola xmt é fmt 2xm 2t A força aplicada é ft 10 δft onde δft é uma pequena força em torno do valor constante de 10 N Admita que a saída seja o deslocamento da massa xt FIGURA 315 Sistema mecânico translacional não linear para o Exercício 35 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Estudos de Caso Controle de Antena Representação no Espaço de Estados Cobrimos a representação em espaço de estados de subsistemas físicos individuais neste capítulo No Capítulo 5 iremos reunir subsistemas individuais em sistemas de controle com realimentação e representaremos o sistema realimentado como um todo no espaço de estados O Capítulo 5 também mostra como a representação no espaço de estados através de diagramas de fluxo de sinal pode ser utilizada para interconectar esses subsistemas e permitir a representação no espaço de estados de todo o sistema em malha fechada No estudo de caso a seguir examinamos o sistema de controle de posição de azimute de antena e demonstramos os conceitos deste capítulo representando cada subsistema no espaço de estados PROBLEMA Obtenha a representação no espaço de estados na forma de variáveis de fase para cada subsistema dinâmico no sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 Com dinâmico queremos dizer que o sistema não atinge o regime permanente instantaneamente Por exemplo um sistema descrito por uma equação diferencial de primeira ordem ou de ordem superior é um sistema dinâmico Um ganho puro por outro lado é um exemplo de sistema que não é dinâmico uma vez que o regime permanente é atingido instantaneamente SOLUÇÃO No problema de estudo de caso do Capítulo 2 cada subsistema do sistema de controle de posição de azimute de antena foi identificado Verificamos que o amplificador de potência e o motor com a carga são sistemas dinâmicos O pré amplificador e os potenciômetros são ganhos puros e assim respondem instantaneamente Assim vamos obter as representações no espaço de estados apenas para o amplificador de potência e para o motor com a carga Amplificador de Potência A função de transferência do amplificador de potência é fornecida nas guardas dianteiras como Gs 100s 100 Iremos converter essa função de transferência para sua representação no espaço de estados Fazendo νpt representar a entrada do amplificador de potência e eat representar a saída do amplificador de potência Realizando a multiplicação cruzada s 100Eas 100Vps a partir do que a equação diferencial poder ser escrita como Reorganizando a Eq 386 resulta a equação de estado com ea como a variável de estado Uma vez que a saída do amplificador de potência é eat a equação de saída é Motor com a Carga Agora obtemos a representação no espaço de estados para o motor com a carga Naturalmente poderíamos utilizar o bloco do motor com a carga mostrado no diagrama de blocos nas guardas dianteiras para obter o resultado Entretanto é mais elucidativo deduzir a representação no espaço de estados diretamente da física do motor sem primeiro deduzir a função de transferência Os elementos da dedução foram cobertos na Seção 28 mas são repetidos aqui para continuidade Começando com a equação de Kirchhoff das tensões ao longo do circuito de armadura obtemos em que eat é a tensão de entrada da armadura iat é a corrente da armadura Ra é a resistência da armadura Kce é a constante da armadura e θm é o deslocamento angular da armadura O torque Tmt desenvolvido pelo motor está relacionado separadamente com a corrente da armadura e com a carga vista pela armadura Da Seção 28 em que Jm é a inércia equivalente como vista pela armadura e Dm é o amortecimento viscoso equivalente como visto pela armadura Resolvendo a Eq 390 para iat e substituindo o resultado na Eq 389 resulta Definindo as variáveis de estado x1 e x2 como e substituindo na Eq 391 obtemos Resolvendo para dx2dt resulta Utilizando as Eqs 392 e 394 as equações de estado são escritas como A saída θst é 110 do deslocamento da armadura que é x1 Assim a equação de saída é Na forma vetorialmatricial Entretanto do problema de estudo de caso do Capítulo 2 Jm 003 e Dm 002 Além disso KtRa 00625 e Kce 05 Substituindo esses valores na Eq 397a obtemos a representação final no espaço de estados DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo Em relação ao sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras obtenha a representação no espaço de estados de cada subsistema dinâmico Utilize a Configuração 2 Absorção de Medicamento Uma vantagem da representação no espaço de estados sobre a representação em função de transferência é a possibilidade de manter o foco sobre as partes constituintes de um sistema e escrever n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas ao invés de tentar representar o sistema como uma única equação diferencial de ordem n como fizemos com a função de transferência Além disso sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas podem ser representados de modo conveniente no espaço de estados Este estudo de caso demonstra esses dois conceitos PROBLEMA Na indústria farmacêutica desejamos descrever a distribuição de um medicamento no corpo humano Um modelo simples divide o processo em compartimentos a dosagem o local de absorção o sangue o compartimento periférico e a urina A taxa de variação da quantidade de um medicamento em um compartimento é igual à vazão de entrada menos a vazão de saída A Figura 316 sintetiza o sistema Neste caso cada xi é a quantidade de medicamento em um compartimento em particular Lordi 1972 Represente o sistema no espaço de estados em que as saídas são as quantidades de medicamento em cada compartimento SOLUÇÃO A vazão de entrada de medicamento em qualquer compartimento é proporcional à concentração do medicamento no compartimento anterior e a vazão de saída de um determinado compartimento é proporcional à concentração do medicamento no próprio compartimento Escrevemos agora a vazão para cada compartimento A dosagem é liberada para o local de absorção a uma taxa proporcional à concentração da dosagem ou FIGURA 316 Concentração de nível de medicamento em um ser humano A vazão de entrada do local de absorção é proporcional à concentração do medicamento na dosagem A vazão de saída do local de absorção para o sangue é proporcional à concentração do medicamento no local de absorção Portanto Analogamente a vazão líquida de entrada no sangue e no compartimento periférico são em que K4x4 K5x3 é a vazão líquida que entra no sangue vinda do compartimento periférico Finalmente a quantidade de medicamento na urina aumenta à medida que o sangue libera o medicamento para a urina a uma taxa proporcional à concentração do medicamento no sangue Assim As Eqs 399 a 3103 são as equações de estado A equação de saída é um vetor que contém cada uma das quantidades xi Assim na forma vetorialmatricial Talvez você esteja intrigado em saber como pode existir uma solução para essas equações se não existe uma entrada No Capítulo 4 quando estudarmos como resolver as equações de estado veremos que condições iniciais fornecerão soluções sem funções forçantes Para este problema uma condição inicial de quantidade de dosagem x1 irá gerar as quantidades do medicamento em todos os demais compartimentos DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento sobre os objetivos deste capítulo O problema diz respeito ao armazenamento de água em aquíferos Os princípios são semelhantes aos utilizados para modelar a absorção de medicamento Reservatórios subterrâneos de água chamados aquíferos são utilizados em muitas regiões para propósitos agrícolas industriais e residenciais Um sistema aquífero consiste em um determinado número de reservatórios naturais interconectados A água natural flui através da areia e do arenito do sistema aquífero alterando os níveis de água dos reservatórios em seu caminho para o mar Uma política de conservação de água pode ser estabelecida segundo a qual a água é bombeada entre reservatórios para evitar sua perda para o mar Um modelo para o sistema aquífero é mostrado na Figura 317 Nesse modelo o aquífero é representado por três reservatórios com nível de água hi chamado de altura de carga Cada qn é a vazão de água natural fluindo para o mar e é proporcional à diferença de alturas de carga entre dois reservatórios contíguos ou qn Gnhn hn 1 em que Gn é uma constante de proporcionalidade e as unidades de qn são m3ano FIGURA 317 Modelo de sistema aquífero A vazão projetada consiste em três componentes também medidos em m3ano 1 a vazão que sai dos reservatórios para irrigação indústrias e residências qsn 2 o reabastecimento dos reservatórios a partir de poços qen e 3 a vazão q21 criada pela política de conservação de água para evitar a perda para o mar Neste modelo a água para irrigação e para a indústria será retirada somente dos Reservatórios 2 e 3 A conservação de água ocorrerá apenas entre os Reservatórios 1 e 2 conforme estabelecido a seguir Seja H1 uma altura de carga de referência para o Reservatório 1 Caso o nível de água do Reservatório 1 fique abaixo de H1 a água será bombeada do Reservatório 2 para o Reservatório 1 para restabelecer a altura de carga Caso h1 seja maior que H1 a água será bombeada de volta para o Reservatório 2 para evitar a perda para o mar Chamando essa de vazão para conservação de q21 podemos dizer que ela é proporcional à diferença entre a altura de carga do Reservatório 1 h1 e a altura de carga de referência H1 ou q21 G21H1 h1 A vazão líquida em um reservatório é proporcional à taxa de variação da altura de carga em cada reservatório Portanto Kandel 1973 Represente o sistema aquífero no espaço de estados no qual as variáveis de estado e de saída são as alturas de carga de cada reservatório Resumo Este capítulo abordou a representação no espaço de estados dos sistemas físicos que toma a forma de uma equação de estado e uma equação de saída para t t0 e condições iniciais xt0 O vetor x é chamado de vetor de estado e contém variáveis chamadas de variáveis de estado As variáveis de estado podem ser combinadas algebricamente com a entrada para formar a equação de saída Eq 3106 a partir das quais quaisquer outras variáveis do sistema podem ser obtidas As variáveis de estado que podem representar grandezas físicas como uma corrente ou uma tensão são escolhidas como linearmente independentes A escolha das variáveis de estado não é única e afeta os elementos das matrizes A B C e D Resolveremos as equações de estado e de saída para x e y no Capítulo 4 Neste capítulo funções de transferência foram representadas no espaço de estados A forma escolhida foi a forma de variáveis de fase que consiste em variáveis de estado que são derivadas sucessivas uma da outra No espaço de estados tridimensional a matriz do sistema resultante A para a representação em variáveis tem a forma em que os ais são os coeficientes do polinômio característico ou denominador da função de transferência do sistema Também discutimos como converter de uma representação no espaço de estados para uma função de transferência Concluindo então para sistemas lineares e invariantes no tempo a representação no espaço de estados é simplesmente outra maneira de se modelálos matematicamente Uma das principais vantagens da aplicação da representação no espaço de estados a esses sistemas lineares é que ela permite a simulação computacional Programar o sistema no computador digital e observar a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 resposta do sistema é uma ferramenta inestimável de análise e projeto A simulação é coberta no Apêndice H encontrado no site da LTC Editora Questões de Revisão Dê duas razões para modelar sistemas no espaço de estados Declare uma vantagem da abordagem da função de transferência sobre a abordagem do espaço de estados Defina variáveis de estado Defina estado Defina vetor de estado Defina espaço de estados O que é necessário para representar um sistema no espaço de estados Um sistema de oitava ordem deve ser representado no espaço de estados com quantas equações de estado Se as equações de estado são um sistema de equações diferenciais de primeira ordem cuja solução fornece as variáveis de estado então qual é a função da equação de saída O que significa independência linear Que fatores influenciam a escolha das variáveis de estado em qualquer sistema Qual é uma escolha conveniente de variáveis de estado para circuitos elétricos Se um circuito elétrico possui três elementos armazenadores de energia é possível ter uma representação no espaço de estados com mais de três variáveis de estado Explique O que significa a forma em variáveis de fase da equação de estado Problemas Represente o circuito elétrico mostrado na Figura P31 no espaço de estados em que vst é a saída Seção 34 FIGURA P31 Represente o circuito elétrico mostrado na Figura P32 no espaço de estados em que iRt é a saída Seção 34 3 4 5 FIGURA P32 Obtenha a representação no espaço de estados do circuito mostrado na Figura P33 caso a saída seja vst Seção 34 FIGURA P33 Represente o sistema mostrado na Figura P34 no espaço de estados em que a saída é x3t Seção 34 FIGURA P34 Represente o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P35 no espaço de estados em que x1t é a saída Seção 34 6 7 FIGURA P35 Represente o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P36 no espaço de estados em que θ1t é a saída Seção 34 FIGURA P36 Represente o sistema mostrado na Figura P37 no espaço de estados em que a saída é θCt Seção 34 8 9 10 11 12 13 FIGURA P37 Mostre que o sistema da Figura 37 do texto resulta em uma função de transferência de quarta ordem caso relacionemos o deslocamento de qualquer das massas com a força aplicada e de terceira ordem caso relacionemos a velocidade de qualquer das massas com a força aplicada Seção 34 Obtenha a representação no espaço de estados na forma de variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Figura P38 Seção 35 FIGURA P38 Repita o Problema 9 utilizando o MATLAB Seção 35 Para cada sistema mostrado na Figura P39 escreva as equações de estado e a equação de saída para a representação em variáveis de fase Seção 35 FIGURA P39 Repita o Problema 11 utilizando o MATLAB Seção 35 Represente a função de transferência a seguir no espaço de estados Forneça sua resposta na 14 15 16 forma vetorialmatricial Seção 35 Obtenha a função de transferência Gs YsRs para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados Seção 36 Utilize o MATLAB para obter a função de transferência Gs YsRs para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados Seção 36 Repita o Problema 15 utilizando o MATLAB a Symbolic Math Toolbox e a Eq 373 Seção 36 17 18 Os giroscópios são utilizados em veículos espaciais aeronaves e navios para navegação inercial O giroscópio mostrado na Figura P310 é um giroscópio de velocidade cujo movimento é restringido por molas fixadas entre os cardans interno e externo quadro como mostrado Uma velocidade angular em torno do eixo z faz com que o disco girante execute uma precessão em torno do eixo x Assim a entrada é uma velocidade angular em torno do eixo z e a saída é um deslocamento angular em torno do eixo x Como o cardan externo é preso ao veículo o deslocamento angular em torno do eixo x é uma medida da velocidade angular do veículo em torno do eixo z A equação de movimento é FIGURA P310 Sistema de giroscópio Represente o giroscópio no espaço de estados Seção 34 Um míssil em voo como mostrado na Figura P311 está sujeito a diversas forças empuxo sustentação arrasto e gravidade O míssil voa com um ângulo de ataque α em relação ao seu eixo longitudinal gerando a sustentação Para manobrar o ângulo do corpo com relação à vertical é controlado girando o motor na cauda A função de transferência relacionando o ângulo do corpo ao deslocamento angular δ do motor é da forma 19 20 FIGURA P311 Míssil Represente o controle de manobra do míssil no espaço de estados Seção 35 Dados o servomotor cc e a carga mostrados na Figura P312 represente o sistema no espaço de estados em que as variáveis de estado são a corrente da armadura ia o deslocamento da carga θC e a velocidade angular da carga ωC Admita que a saída seja o deslocamento angular da armadura Não despreze a indutância da armadura Seção 34 FIGURA P312 Motor e carga Considere o sistema mecânico da Figura P313 Se a mola é não linear e a força Fm necessária para distendêla é Fm represente o sistema no espaço de estado linearizado em torno de x1 1 se a saída é x2 Seção 37 21 22 FIGURA P313 Sistema mecânico não linear O guiamento baseado em imagens para robôs pode ser implementado gerandose comandos de entrada de direcionamento para um sistema de manobra baseado no algoritmo de orientação a seguir Admita que o robô mostrado na Figura P314a deva ir do ponto R até um objetivo ponto T como mostrado na Figura P314b Caso Rx Ry e Rz sejam vetores do robô a cada marco de referência X Y e Z respectivamente e Tx Ty e Tx sejam vetores do objetivo para cada marco de referência respectivamente então os comandos de direção devem mover o robô para minimizar Rx Tx Ry Ty e Rz Tz simultaneamente uma vez que as diferenças serão zero quando o robô alcançar o objetivo Hong 1992 Considerando que a Figura P314c representa o sistema de controle que manobra o robô represente cada bloco o controlador as rodas e o veículo no espaço de estados Seção 35 FIGURA P314 a Robô com sistema de imagem por televisão b diagrama de vetores mostrando o conceito por trás do guiamento baseado em imagem c sistema de controle de direcionamento 1992 IEEE Dada a aeronave militar F4E mostrada na Figura P315a em que a aceleração normal an e a velocidade de arfagem q são controladas pela deflexão do profundor δe nos estabilizadores horizontais e pela deflexão das canards δc Uma deflexão comandada δcom como mostrada na Figura P315b é utilizada para efetuar uma alteração em ambas as deflexões δe e δc As relações são Essas deflexões afetam através da dinâmica longitudinal da aeronave an e q As equações de estado que descrevem o efeito de δcom sobre an e q são dadas por Cavallo 1992 FIGURA P315 a F4E com canards b sistema de controle de voo em malha aberta Obtenha as seguintes funções de transferência Seção 35 23 a b 24 x1 x2 Manipuladores robóticos modernos que atuam diretamente sobre o ambiente devem ser controlados de modo que as forças de impacto bem como as forças em regime permanente não danifiquem os objetos Ao mesmo tempo o manipulador deve fornecer uma força suficiente para executar a tarefa Para desenvolver um sistema de controle para regular essas forças o manipulador robótico e o ambiente devem ser modelados Admitindo o modelo mostrado na Figura P316 represente no espaço de estados o manipulador e o ambiente sob as seguintes condições Chiu 1997 Seção 35 O manipulador não está em contato com o ambiente O manipulador está em contato permanente com o ambiente FIGURA P316 Manipulador robótico e ambiente 1997 IEEE No passado pacientes com diabetes Tipo 1 tinham que injetar em si próprios a insulina três a quatro vezes por dia Novos análogos de insulina de ação retardada como a insulina Glargina requerem uma única dose diária Um procedimento similar ao descrito no estudo de caso de Absorção de Medicamento deste capítulo é utilizado para se obter um modelo para a evolução temporal da concentração no plasma para a insulina Glargina Para um paciente específico as matrizes do modelo no espaço de estados são dadas por Tarín 2007 em que o vetor de estado é dado por As variáveis de estado são quantidade de insulina no compartimento de plasma quantidade de insulina no compartimento do fígado x3 a b 25 x0 x1 x2 x3 x4 d0 26 quantidade de insulina no compartimento intersticial tecido do corpo A entrada do sistema é u fluxo de insulina externo A saída do sistema é y concentração de insulina no plasma Obtenha a função de transferência do sistema Verifique seu resultado utilizando o MATLAB Um modelo linear invariante no tempo do eixo hipotálamopituitáriaadrenal do sistema endócrino com cinco variáveis de estado foi proposto como se segue Kyrylov 2005 em que cada uma das variáveis de estado representa uma concentração circulatória como a seguir hormônio de liberação de corticotropina corticotropina cortisol livre cortisol ligado à albumina globulina ligadora de corticosteroide um fator de geração externo Expresse o sistema na forma Ax Bu Neste capítulo descrevemos a representação no espaço de estados de sistemas com uma única entrada e uma única saída Em geral os sistemas podem ter múltiplas entradas e múltiplas saídas Um piloto automático está para ser projetado para um submarino como mostrado na Figura P317 para manter uma profundidade constante sob perturbações de ondas graves Veremos que este sistema tem duas entradas e duas saídas e assim o escalar u se torna um vetor u e o escalar y se torna um vetor y nas equações de estado w FIGURA P317 1995 IEEE Foi mostrado que a dinâmica linearizada do sistema na condição de flutuação neutra e a uma dada velocidade constante é dada por LiceagaCastro 2009 em que e em que velocidade de elevação q z θ δB δS a b 27 28 velocidade de arfagem profundidade do submarino ângulo de arfagem ângulo do hidroplano de proa ângulo do hidroplano de popa Como esse sistema tem duas entradas e duas saídas quatro funções de transferência podem ser determinadas Utilize o MATLAB para calcular a matriz de funções de transferência do sistema Utilizando os resultados do Item a escreva as funções de transferência Experimentos destinados a identificar a dinâmica da precisão do aperto entre o dedo indicador e o polegar foram realizados utilizando um experimento envolvendo a queda de uma bola Um indivíduo segura um dispositivo com um pequeno receptáculo no qual um objeto é solto e a resposta é medida Fagergren 2000 Admitindo uma entrada em degrau foi determinado que a resposta do subsistema motor em conjunto com o sistema sensorial é da forma Converta essa função de transferência em uma representação no espaço de estados Em geral as representações no espaço de estados não são únicas Um sistema pode ser representado de diversas formas possíveis Por exemplo considere os sistemas a seguir Mostre que esses sistemas resultarão na mesma função de transferência Exploraremos esta característica em mais detalhes no Capítulo 5 29 a b 30 31 A Figura P318 mostra uma descrição esquemática do ciclo global do carbono Li 2009 Na Figura mAt representa a quantidade de carbono em giga toneladas GtC presente na atmosfera terrestre mVt a quantidade na vegetação mSt a quantidade no solo mSOt a quantidade na superfície dos oceanos e mOPIt a quantidade no oceano profundo e intermediário E uEt representa as emissões de CO2 geradas pela humanidade GtCano A partir da figura o balanço de massa de carbono na atmosfera pode ser expresso como em que os ks são coeficientes de troca ano1 Escreva os balanços de massa dos reservatórios restantes Ou seja escreva equações para Expresse o sistema na forma de espaço de estados FIGURA P318 Ciclo global de carbono PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade Um modelo de sistema mecânico translacional para um pantógrafo de ferrovia de alta velocidade utilizado para fornecer energia elétrica a um trem a partir de uma catenária suspensa é mostrado na Figura P239b OConnor 1997 Represente o pantógrafo no espaço de estados em que a saída é o deslocamento do topo do pantógrafo yht ycatt Controle de HIVAIDS O Problema 68 do Capítulo 2 introduziu um modelo para a infecção do HIV Caso medicamentos retrovirais RTIs e PIs como discutido no Problema 22 do a b c Capítulo 1 sejam utilizados o modelo é modificado como a seguir Craig 2004 em que 0 u1 1 e 0 u2 1 representam a efetividade da medicação RTI e PI respectivamente Obtenha uma representação no espaço de estados do modelo HIVAIDS linearizando as equações em torno do equilíbrio com u10 u20 0 Esse equilíbrio representa o paciente assintomático infectado pelo HIV Observe que cada uma das equações anteriores está na forma fixi u1 u2 i 1 2 3 Caso as matrizes A e B sejam dadas por e estejamos interessados no número de vírus HIV livres como saída do sistema mostre que Valores típicos dos parâmetros e descrições para o modelo HIVAIDS são mostrados na tabela a seguir t Tempo dias d Mortalidade de células T não infectadas 002dia 32 k Taxa de vírus livres produzidos por célula T infectada 100 víruscélula s Termo referente à fonte de células T não infectadas 10mm3dia β Taxa de infecção de partículas de vírus livres 24 3 105mm3dia c Taxa de mortalidade dos vírus 24dia μ Taxa de mortalidade de células T infectadas 024dia 2004 IEEE Substitua os valores da tabela em seu modelo e escreva como Veículo híbrido Para o Problema 23 do Capítulo 1 desenvolvemos os diagramas de blocos funcionais para o controle de cruzeiro de veículos elétricos híbridos HEV em série em paralelo e mistos Esses diagramas mostraram que o motor a combustão ou o motor elétrico ou ambos podem propulsionar o veículo Quando os motores elétricos são a única fonte da força motriz os caminhos à frente de todas as topologias HEV são similares Em geral esse caminho à frente pode ser representado Preitl 2007 por um diagrama de blocos similar ao da Figura P319 Admita que o motor seja um motor cc controlado pela armadura Neste diagrama KA é o ganho do amplificador de potência Ges é a função de transferência do circuito elétrico do motor e consiste em um indutor e um resistor em série La e Ra respectivamente Kt é a constante de torque do motor Jtot é a soma da inércia do motor Jm das inércias do veículo Jveí e das duas rodas com tração Jr ambas refletidas para o eixo do motor kf é o coeficiente de atrito viscoso e Kce é constante de força contraeletromotriz As variáveis de entrada são uct a tensão comandada a partir da unidade de controle eletrônico e Tct o torque na carga As variáveis de saída neste diagrama de blocos são a velocidade angular do motor ωt e sua corrente de armadura Iat a b 1 2 1 2 FIGURA P319 Representação em diagrama de blocos de um caminho à frente de HEV 2007 IEEE Escreva as equações básicas no domínio do tempo que caracterizam as relações entre as variáveis de estado de entrada e de saída para o diagrama de blocos da Figura P319 dado que as variáveis de estado são a corrente da armadura do motor Iat e a velocidade angular ωt Escreva as equações de estado resultantes e em seguida representeas na forma matricial Considere o torque na carga Tct como uma entrada extra para o sistema Assim em sua representação no espaço de estados resultante o sistema terá duas entradas e duas saídas Investigando em Laboratório Virtual Experimento 31 Objetivos Aprender a utilizar o MATLAB para 1 criar uma representação de um sistema LTI no espaço de estados e 2 converter uma representação no espaço de estados de um sistema LTI em uma função de transferência LTI Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio Deduza a representação no espaço de estados do sistema mecânico translacional mostrado no Exercício 32 caso ainda não o tenha feito Considere a saída como x3t Deduza a função de transferência a partir das equações de movimento para o sistema mecânico translacional mostrado no Exercício 32 Ensaio Utilize o MATLAB para gerar a representação LTI no espaço de estados deduzida no Item 1 do PréEnsaio Utilize o MATLAB para converter a representação LTI no espaço de estados obtida no Item 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 do Ensaio na função de transferência LTI obtida no Item 2 do PréEnsaio PósEnsaio Compare suas funções de transferência obtidas no Item 2 do PréEnsaio e no Item 2 do Ensaio Discuta a utilização do MATLAB para criar representações LTI no espaço de estados e o uso do MATLAB para converter essas representações em funções de transferência Experimento 32 Objetivos Aprender a utilizar o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para 1 obter uma função de transferência simbólica a partir da representação no espaço de estados e 2 obter uma representação no espaço de estados a partir das equações de movimento Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Symbolic Math Toolbox e Control System Toolbox PréEnsaio Realize os Itens 1 e 2 do PréEnsaio do Experimento 31 caso você ainda não o tenha feito Utilizando a equação Ts CsI A1B para obter uma função de transferência a partir de uma representação no espaço de estados escreva um programa em MATLAB utilizando a Symbolic Math Toolbox para obter a função de transferência simbólica a partir da representação no espaço de estados do sistema mecânico translacional mostrado no Exercício 32 e obtida como um dos passos do Item 1 do PréEnsaio Utilizando as equações de movimento do sistema mecânico translacional mostrado no Exercício 32 obtidas no Item 1 do PréEnsaio escreva um programa MATLAB simbólico para obter a função de transferência para este sistema Ensaio Execute os programas desenvolvidos nos Itens 2 e 3 do PréEnsaio e obtenha as funções de transferência simbólicas utilizando os dois métodos PósEnsaio Compare a função de transferência simbólica obtida a partir de Ts CsI A1B com a função de transferência simbólica obtida a partir das equações de movimento Discuta as vantagens e desvantagens dos dois métodos Descreva como você poderia obter uma representação LTI no espaço de estados e uma função de transferência LTI a partir de sua função de transferência simbólica Experimento 33 Objetivos Aprender como utilizar o LabVIEW para 1 criar representações no espaço de estados de funções de transferência 2 criar funções de transferência a partir de representações no espaço de estados e 3 verificar que existem múltiplas representações no espaço de estados para uma função de transferência Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW LabVIEW Control Design and Simulation Module e MathScript RT Module PréEnsaio 1 2 3 1 2 1 2 3 Estude o Apêndice D Seções D1 até Seção D4 Exemplo D1 Resolva o Exercício 33 do Capítulo 3 Utilize sua solução para o Item 2 do PréEnsaio e converta de volta para uma função de transferência Ensaio Utilize o LabVIEW para converter a função de transferência Gs em uma representação no espaço de estados usando tanto a abordagem gráfica quanto a abordagem com MathScript O front panel conterá controles para a entrada da função de transferência e indicadores da função de transferência e dos dois resultados no espaço de estados As funções para essa experiência podem ser encontradas nas seguintes paletas 1 Control Design and SimulationControl DesignModel Construction 2 Control Design and SimulationControl DesignModel Conversion e 3 ProgrammingStructures Aviso Os coeficientes são entrados na ordem inversa quando se utiliza o MathScript com o MATLAB Utilize o LabVIEW para converter todas as representações no espaço de estados obtidas no Item 1 do Ensaio em uma função de transferência Todas as conversões do espaço de estados devem produzir a função de transferência dada no Item 1 do Ensaio O front panel conterá controles para entrar representações no espaço de estados e indicadores da função de transferência resultante bem como das equações de estado utilizadas PósEnsaio Descreva quaisquer correlações encontradas entre os resultados do Item 1 do Ensaio e os cálculos realizados no PréEnsaio Descreva e explique quaisquer diferenças entre os resultados do Item 1 do Ensaio e os cálculos realizados no PréEnsaio Explique os resultados do Item 2 do Ensaio e teça conclusões a partir dos resultados Bibliografia Carlson L E and Griggs G E Aluminum Catenary System Quarterly Report Technical Report Contract Number DOTFR9154 US Department of Transportation 1980 Cavallo A De Maria G and Verde L Robust Flight Control Systems A Parameter Space Design Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 5 SeptemberOctober 1992 pp 12071215 Cereijo M R State Variable Formulations Instruments and Control Systems December 1969 pp 8788 Chiu D K and Lee S Design and Experimentation of a Jump Impact Controller IEEE Control Systems June 1997 pp 99106 Cochin I Analysis and Design of Dynamic 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νRt resulta dνRdt Rdidt RLνL RLνt νR νC e derivando νCt resulta dνCdt 1Ci 1RCvR 5Algumas vezes não é aparente no esquema quantos elementos armazenadores de energia independentes existem É possível que mais do que o número mínimo de elementos armazenadores de energia sejam selecionados levando a um vetor de estado cujos componentes excedem o mínimo necessário e não são linearmente independentes A escolha de elementos armazenadores de energia dependentes adicionais resulta em uma matriz de sistema de ordem mais elevada e em maior complexidade do que a necessária para a solução da equação de estado 6Ver o Capítulo 12 para técnicas de projeto no espaço de estados 7Ver o Apêndice G para uma discussão sobre a transposta O Apêndice G está no site da LTC Editora 8A transformada de Laplace de um vetor é obtida aplicandose a transformada de Laplace a cada um de seus elementos Uma vez que consiste nas derivadas das variáveis de estado a transformada de Laplace de com condições iniciais nulas resulta em cada elemento com a forma sXis em que Xis é a transformada de Laplace da variável de estado Colocandose em evidência a variável complexa s de cada elemento resulta na transformada de Laplace de como sXs em que Xs é um vetor coluna com elementos Xis 9Ver o Apêndice G Ele está no site da LTC Editora e aborda o cálculo da matriz inversa Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Utilizar os polos e zeros das funções de transferência para determinar a resposta no tempo de um sistema de controle Seções 4142 Descrever quantitativamente a resposta transitória de sistemas de primeira ordem Seção 43 Escrever a resposta geral de sistemas de segunda ordem dada a posição dos polos Seção 44 Determinar o fator de amortecimento e a frequência natural de um sistema de segunda ordem Seção 45 Determinar o tempo de acomodação o instante de pico a ultrapassagem percentual e o tempo de subida para um sistema de segunda ordem subamortecido Seção 46 Aproximar sistemas de ordem mais elevada e sistemas como zeros por sistemas de primeira ou segunda ordem Seções 4748 Descrever os efeitos de não linearidades na resposta no tempo do sistema Seção 49 Obter a resposta no domínio do tempo a partir da representação no espaço de estados Seções 410411 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de 1 predizer por inspeção a forma da resposta em malha aberta da velocidade angular da carga para uma entrada de tensão em degrau no amplificador de potência 2 descrever quantitativamente a resposta transitória do sistema em malha aberta 3 deduzir a expressão para a saída de velocidade angular em malha aberta para uma entrada de tensão em degrau 4 obter a representação em malha aberta no espaço de estados 5 representar graficamente a resposta de velocidade em malha aberta ao degrau utilizando simulação computacional Dado o diagrama de blocos do sistema de controle de arfagem do Veículo Submersível Não Tripulado Independente UFSS Unmanned FreeSwimming Submersible mostrado nas guardas traseiras você será capaz de predizer determinar e representar graficamente a resposta da dinâmica do veículo a um comando de entrada em degrau Além disso você será capaz de calcular o efeito dos zeros e dos polos de ordem superior do sistema sobre a resposta Você também será capaz de calcular a resposta de rolagem de um navio no mar 41 Introdução No Capítulo 2 vimos como as funções de transferência podem representar sistemas lineares invariantes no tempo No Capítulo 3 os sistemas foram representados diretamente no domínio do tempo através das equações de estado e de saída Depois que o engenheiro obtém uma representação matemática de um subsistema o subsistema é analisado quanto às suas respostas transitória e em regime permanente para verificar se essas características fornecem o comportamento desejado Este capítulo é dedicado à análise da resposta transitória do sistema Pode parecer mais lógico continuar com o Capítulo 5 que trata da modelagem de sistemas em malha fechada ao invés de interromper a sequência de modelagem com a análise apresentada aqui no Capítulo 4 Entretanto o estudante não deve progredir muito à frente na representação de sistemas sem conhecer as aplicações para o esforço despendido Assim este capítulo demonstra aplicações da representação de sistemas calculando a resposta transitória a partir do modelo do sistema Naturalmente essa abordagem não está distante da realidade uma vez que o engenheiro pode realmente desejar calcular a resposta de um subsistema antes de inserilo no sistema em malha fechada Após descrevermos uma valiosa ferramenta de análise e projeto os polos e zeros começamos analisando nossos modelos para obter a resposta ao degrau de sistemas de primeira e segunda ordens A ordem se refere à ordem da equação diferencial equivalente que representa o sistema a ordem do denominador da função de transferência após o cancelamento de fatores comuns no numerador ou o número de equações de primeira ordem simultâneas necessárias para a representação no espaço de estados 42 Polos Zeros e a Resposta do Sistema A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas a resposta forçada e a resposta natural1 Embora muitas técnicas como a solução de uma equação diferencial ou a aplicação da transformada inversa de Laplace permitam que calculemos essa resposta de saída essas técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo A produtividade é auxiliada por técnicas de análise e projeto que fornecem resultados em um tempo mínimo Se a técnica for tão rápida que sentimos que deduzimos os resultados desejados por inspeção algumas vezes utilizamos o atributo qualitativo para descrever o método A utilização dos polos e zeros e de sua relação com a resposta no domínio do tempo de um sistema é uma técnica deste tipo O aprendizado dessa relação nos dá uma visão qualitativa dos problemas O conceito de polos e zeros fundamental para análise e projeto de sistemas de controle simplifica o cálculo da resposta de um sistema O leitor é encorajado a dominar os conceitos de polos e zeros e suas aplicações nos problemas ao longo deste livro Vamos começar com duas definições Polos de uma Função de Transferência Os polos de uma função de transferência são 1 os valores da variável da transformada de Laplace s que fazem com que a função de transferência se torne infinita ou 2 quaisquer raízes do denominador da função de transferência que são comuns às raízes do numerador Estritamente falando os polos de uma função de transferência satisfazem a parte 1 da definição Por exemplo as raízes do polinômio característico no denominador são os valores de s que tornam a função de transferência infinita portanto são polos Entretanto se um fator do denominador pode ser cancelado com o mesmo fator no numerador a raiz deste fator não faz mais com que a função de transferência se torne infinita Em sistemas de controle geralmente nos referimos à raiz do fator cancelado no denominador como um polo mesmo que a função de transferência não seja infinita neste valor Portanto incluímos a parte 2 da definição Zeros de uma Função de Transferência Os zeros de uma função de transferência são 1 os valores da variável da transformada de Laplace s que fazem com que a função de transferência se torne zero ou 2 quaisquer raízes do numerador da função de transferência que são comuns às raízes do denominador Estritamente falando os zeros de uma função de transferência satisfazem a parte 1 desta definição Por exemplo as raízes do numerador são valores de s que anulam a função de transferência e portanto são zeros Entretanto se um fator do numerador pode ser cancelado com o mesmo fator no denominador a raiz desse fator não mais fará com que a função de transferência se torne zero Em sistemas de controle frequentemente nos referimos à raiz do fator cancelado no numerador como um zero mesmo que a função de transferência não seja zero neste valor Assim incluímos a parte 2 da definição FIGURA 41 a Sistema mostrando a entrada e a saída b diagrama de polos e zeros do sistema c cálculo da resposta de um sistema Siga as setas em tom cinza para ver o cálculo da componente da resposta gerada pelo polo ou pelo zero Polos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem um Exemplo Dada a função de transferência Gs na Figura 41a existe um polo em s 5 e um zero em s 2 Esses valores são representados graficamente no plano s complexo na Figura 41b utilizando se um para o polo e um para o zero Para mostrar as propriedades dos polos e dos zeros vamos determinar a resposta ao degrau unitário do sistema Multiplicando a função de transferência da Figura 41a por uma função degrau resulta em que 1 2 3 4 Assim A partir do desenvolvimento resumido na Figura 41c tiramos as seguintes conclusões Um polo da função de entrada gera a forma da resposta forçada isto é o polo na origem gerou uma função degrau na saída Um polo da função de transferência gera a forma da resposta natural isto é o polo em 5 gerou e5t Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial da forma eαt em que α é a posição do polo no eixo real Assim quanto mais à esquerda um polo estiver no eixo real negativo mais rápido a resposta transitória exponencial decairá para zero novamente o polo em 5 gerou e 5t veja a Figura 42 para o caso geral Os zeros e os polos geram as amplitudes para ambas as respostas forçada e natural isso pode ser observado a partir dos cálculos de A e B na Eq 41 FIGURA 42 Efeito de um polo no eixo real sobre a resposta transitória Vamos agora ver um exemplo que demonstra a técnica de utilização dos polos para obter a forma da resposta do sistema Iremos aprender a escrever a forma da resposta por inspeção Cada polo da função de transferência do sistema que está no eixo real gera uma resposta exponencial que é uma componente da resposta natural O polo da entrada gera a resposta forçada Exemplo 41 Calculando a Resposta Utilizando Polos PROBLEMA Dado o sistema da Figura 43 escreva a saída ct em termos gerais Especifique as partes forçada e natural da solução SOLUÇÃO Por inspeção cada polo do sistema gera uma exponencial como parte da resposta natural O polo da entrada gera a resposta forçada Assim FIGURA 43 Sistema para o Exemplo 41 Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos Exercício 41 PROBLEMA Um sistema possui uma função de transferência Escreva por inspeção a saída ct em termos gerais caso a entrada seja um degrau unitário RESPOSTA Nesta seção aprendemos que os polos determinam a natureza da resposta no domínio do tempo os polos da função de entrada determinam a forma da resposta forçada e os polos da função de transferência determinam a forma da resposta natural Os zeros e polos da entrada ou da função de transferência contribuem com as amplitudes das partes componentes da resposta total Finalmente os polos no eixo real geram respostas exponenciais 43 Sistemas de Primeira Ordem Discutimos agora os sistemas de primeira ordem sem zeros para definir uma especificação de desempenho para tal sistema Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência mostrada na Figura 44a Caso a entrada seja um degrau unitário em que Rs 1s a transformada de Laplace da resposta ao degrau é Cs em que FIGURA 44 a Sistema de primeira ordem b diagrama do polo Aplicando a transformada inversa a resposta ao degrau é dada por em que o polo da entrada na origem gerou a resposta forçada cft 1 e o polo do sistema em a como mostrado na Figura 44b gerou a resposta natural cnt eat A Eq 46 é representada graficamente na Figura 45 Vamos examinar o significado do parâmetro a o único parâmetro necessário para descrever a resposta transitória Quando t 1a ou Utilizamos agora as Eqs 46 47 e 48 para definir três especificações de desempenho da resposta transitória Constante de Tempo Chamamos 1a de constante de tempo da resposta A partir da Eq 47 a constante de tempo pode ser descrita como o tempo para eat decair para 37 de seu valor inicial Alternativamente a partir da Eq 48 a constante de tempo é o tempo necessário para a resposta ao degrau atingir 63 de seu valor final ver a Figura 45 O inverso da constante de tempo tem a unidade 1segundos ou frequência Assim podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial Uma vez que a derivada de eat é a quando t 0 a é a taxa inicial de variação da exponencial em t 0 Assim a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória para um sistema de primeira ordem uma vez que ela está relacionada à velocidade com a qual o sistema responde a uma entrada em degrau A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama do polo ver a Figura 44b Uma vez que o polo da função de transferência está em a podemos dizer que o polo está localizado no inverso da constante de tempo e quanto mais afastado o polo estiver do eixo imaginário mais rápida será a resposta transitória Vamos considerar outras especificações da resposta transitória como o tempo de subida Tr e o tempo de acomodação Ts como mostrado na Figura 45 FIGURA 45 Resposta de sistema de primeira ordem a um degrau unitário FIGURA 46 Resultados laboratoriais de um ensaio de resposta ao degrau de um sistema Tempo de Subida Tr O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 01 a 09 de seu valor final O tempo de subida é obtido resolvendose a Eq 46 para a diferença de tempo entre ct 09 e ct 01 Portanto Tempo de Acomodação Ts O tempo de acomodação é definido como o tempo para que a resposta alcance e fique em uma faixa 2 em torno de seu valor final2 Fazendo ct 098 na Eq 46 e resolvendo para o tempo t determinamos o tempo de acomodação como sendo Funções de Transferência de Primeira Ordem a Partir de Ensaios Frequentemente não é possível ou prático obter a função de transferência de um sistema analiticamente Talvez o sistema seja fechado e suas partes constituintes não sejam facilmente identificáveis Uma vez que a função de transferência é uma representação do sistema da entrada para a saída a resposta ao degrau do sistema pode conduzir a uma representação mesmo que a construção interna não seja conhecida Com uma entrada em degrau podemos medir a constante de tempo e o valor em regime permanente a partir dos quais a função de transferência pode ser calculada Considere um sistema de primeira ordem simples Gs Ks a cuja resposta ao degrau é Caso possamos identificar K e a a partir de ensaios laboratoriais podemos obter a função de transferência do sistema Por exemplo considere a resposta ao degrau unitário na Figura 46 Determinamos que ela possui as características de primeira ordem que vimos até o momento como a ausência de ultrapassagem e uma inclinação inicial não nula A partir da resposta medimos a constante de tempo isto é o tempo para a amplitude atingir 63 de seu valor final Como o valor final é cerca de 072 a constante de tempo é determinada onde a curva atinge 063 072 045 ou cerca de 013 s Assim a 1013 77 Para obter K verificamos a partir da Eq 411 que a resposta forçada atinge um valor em regime permanente de Ka 072 Substituindo o valor de a obtemos K 554 Assim a função de transferência para o sistema é Gs 554s 77 É interessante observar que a resposta mostrada na Figura 46 foi gerada utilizando a função de transferência Gs 5s 7 Exercício 42 PROBLEMA Um sistema possui uma função de transferência Determine a constante de tempo T c o tempo de acomodação Ts e o tempo de subida Tr RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 44 Sistemas de Segunda Ordem Introdução Vamos agora estender os conceitos de polos zeros e resposta transitória aos sistemas de segunda ordem Comparado à simplicidade de um sistema de primeira ordem um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas que devem ser analisadas e descritas Enquanto a variação de um parâmetro de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta as variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta Por exemplo um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito parecidas com as de um sistema de primeira ordem ou dependendo dos valores dos componentes apresentar oscilações amortecidas ou puras na resposta transitória Para nos familiarizarmos com a ampla variedade de respostas antes de formalizar nossa discussão na próxima seção observamos alguns exemplos numéricos de respostas de sistemas de segunda ordem mostradas na Figura 47 Todos os exemplos são derivados da Figura 47a o caso geral que possui dois polos finitos e nenhum zero O termo no numerador é simplesmente uma escala ou um fator de multiplicação da entrada que pode assumir qualquer valor sem afetar a forma dos resultados deduzidos Atribuindo valores apropriados aos parâmetros a e b podemos mostrar todas as respostas transitórias de segunda ordem possíveis A resposta ao degrau unitário pode então ser obtida utilizando Cs RsGs em que Rs 1s seguido de uma expansão em frações parciais e da transformada inversa de Laplace Os detalhes são deixados como um problema de fim de capítulo para o qual você pode querer rever a Seção 22 Explicamos agora cada resposta e mostramos como podemos utilizar os polos para determinar a natureza da resposta sem passar pelo procedimento da expansão em frações parciais seguido da transformada inversa de Laplace Resposta Superamortecida Figura 47b Para esta resposta Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos reais provenientes do sistema O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante cada um dos dois polos do sistema no eixo real gera uma resposta natural exponencial cuja frequência exponencial é igual à posição do polo Assim a resposta inicialmente poderia ter sido escrita como ct K1 K2e7854t K3e1146t Esta resposta mostrada na Figura 47b é chamada de superamortecida3 Observamos que os polos nos dizem a forma da resposta sem o cálculo tedioso da transformada inversa de Laplace Resposta Subamortecida Figura 47c Para esta resposta Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos complexos provenientes do sistema Comparamos agora a resposta do sistema de segunda ordem com os polos que a geraram Inicialmente compararemos a posição do polo com a função no domínio do tempo e em seguida compararemos a posição do polo com o gráfico A partir da Figura 47c os polos que geram a resposta natural estão em Comparando esses valores a ct na mesma figura observamos que a parte real do polo corresponde à frequência de decaimento exponencial da amplitude da senoide enquanto a parte imaginária do polo corresponde à frequência da oscilação senoidal FIGURA 47 Sistemas de segunda ordem diagramas de polos e respostas ao degrau FIGURA 48 Componentes da resposta de segunda ordem ao degrau gerada por polos complexos Vamos agora comparar a posição do polo com o gráfico A Figura 48 mostra uma resposta senoidal amortecida geral de um sistema de segunda ordem A resposta transitória consiste de uma amplitude exponencialmente decrescente gerada pela parte real do polo do sistema multiplicada por uma forma de onda senoidal gerada pela parte imaginária do polo do sistema A constante de tempo do decaimento exponencial é igual ao inverso da parte real do polo do sistema O valor da parte imaginária é a frequência real da senoide como ilustrado na Figura 48 A esta frequência senoidal é dado o nome de frequência de oscilação amortecida ωd Finalmente a resposta em regime permanente degrau unitário foi gerada pelo polo da entrada localizado na origem Chamamos o tipo de resposta mostrado na Figura 48 de resposta subamortecida a qual se aproxima do valor em regime permanente através de uma resposta transitória que é uma oscilação amortecida O exemplo a seguir demonstra como o conhecimento da relação entre a posição do polo e a resposta transitória pode conduzir rapidamente à forma da resposta sem o cálculo da transformada inversa de Laplace Exemplo 42 Forma da Resposta Subamortecida Utilizando os Polos PROBLEMA Por inspeção escreva a forma da resposta ao degrau do sistema na Figura 49 SOLUÇÃO Primeiro determinamos que a forma da resposta forçada é um degrau Em seguida obtemos a forma da resposta natural Fatorando o denominador da função de transferência da Figura 49 determinamos os polos como sendo s 5 j1323 A parte real 5 é a frequência exponencial do amortecimento Este valor também é o inverso da constante de tempo do decaimento das oscilações A parte imaginária 1323 é a frequência em radianos da oscilação senoidal Utilizando nossas discussões anteriores e a Figura 47c como guia obtemos ct K1 e5tK2 cos 1323t K3 sen 1323t K1 K4e 5tcos 1323t em que e ct é uma constante somada a uma senoide amortecida exponencialmente 1 FIGURA 49 Sistema para o Exemplo 42 Iremos revisitar a resposta subamortecida de segunda ordem nas Seções 45 e 46 em que generalizamos a discussão e deduzimos alguns resultados que relacionam a posição do polo a outros parâmetros da resposta Resposta Não Amortecida Figura 47d Para esta resposta Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos imaginários provenientes do sistema O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante e os dois polos do sistema no eixo imaginário em j3 geram uma resposta natural senoidal cuja frequência é igual à posição dos polos imaginários Assim a saída pode ser estimada como ct K1 K4 cos 3t Este tipo de resposta mostrada na Figura 47d é chamada de não amortecida Observe que a ausência de uma parte real no par de polos corresponde a uma exponencial que não apresenta decaimento Matematicamente a exponencial é e0t 1 Resposta Criticamente Amortecida Figura 47e Para esta resposta Esta função possui um polo na origem proveniente da entrada em degrau unitário e dois polos reais iguais provenientes do sistema O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante e os dois polos no eixo real em 3 geram uma resposta natural que consiste de uma exponencial e de uma exponencial multiplicada pelo tempo em que a frequência exponencial é igual à posição dos polos reais Assim a saída pode ser estimada como ct K1 K2e3t K3te 3t Este tipo de resposta mostrada na Figura 47e é chamada de criticamente amortecida As respostas criticamente amortecidas são as mais rápidas possíveis sem ultrapassagem que é uma característica da resposta subamortecida Resumimos agora as nossas observações Nesta seção definimos as seguintes respostas naturais e determinamos suas características Respostas superamortecidas Polos dois reais em σ1 e σ2 Resposta natural duas exponenciais com constantes de tempo iguais ao inverso das posições dos polos ou 2 3 4 Respostas subamortecidas Polos dois complexos em σd jωd Resposta natural senoide amortecida com uma envoltória exponencial cuja constante de tempo é igual ao inverso da parte real do polo A frequência em radianos da senoide a frequência de oscilação amortecida é igual à parte imaginária dos polos ou Respostas não amortecidas Polos dois imaginários em jω1 Resposta natural senoide não amortecida com frequência em radianos igual à parte imaginária dos polos ou Respostas criticamente amortecidas Polos dois reais em σ1 Resposta natural um termo é uma exponencial cuja constante de tempo é igual ao inverso da posição do polo O outro termo é o produto do tempo t por uma exponencial com constante de tempo igual ao inverso da posição do polo ou As respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento discutidos nesta seção são superpostas na Figura 410 Observe que o caso criticamente amortecido é o divisor entre os casos superamortecidos e os casos subamortecidos e é a resposta mais rápida sem ultrapassagem FIGURA 410 Respostas ao degrau para os casos de amortecimento de sistemas de segunda ordem Exercício 43 Exercício 43 PROBLEMA Para cada uma das funções de transferência a seguir escreva por inspeção a forma geral da resposta ao degrau RESPOSTAS A solução completa está no site da LTC Editora Na próxima seção iremos formalizar e generalizar nossa discussão sobre respostas de segunda ordem e definir duas especificações utilizadas para a análise e o projeto de sistemas de segunda ordem Na Seção 46 iremos nos concentrar no caso subamortecido e deduziremos algumas especificações únicas para esta resposta que utilizaremos posteriormente para análise e projeto 45 O Sistema de Segunda Ordem Geral Agora que ficamos familiarizados com os sistemas de segunda ordem e suas respostas generalizamos a discussão e estabelecemos especificações quantitativas definidas de modo que a resposta de um sistema de segunda ordem possa ser descrita a um projetista sem a necessidade de esboçar essa resposta Nesta seção definimos duas especificações com significado físico para os sistemas de segunda ordem Essas grandezas podem ser utilizadas para descrever as características da resposta transitória de segunda ordem da mesma forma que as constantes de tempo descrevem a resposta dos sistemas de primeira ordem Essas duas grandezas são denominadas frequência natural e fator de amortecimento Vamos definilas formalmente Frequência Natural ωn A frequência natural de um sistema de segunda ordem é a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento Por exemplo a frequência de oscilação de um circuito RLC em série com a resistência em curtocircuito seria a frequência natural Fator de Amortecimento ζ Antes de declararmos nossa próxima definição alguns esclarecimentos são necessários Já vimos que a resposta ao degrau subamortecida de um sistema de segunda ordem é caracterizada por oscilações amortecidas Nossa definição é fruto da necessidade de descrever quantitativamente essa oscilação amortecida independentemente da escala de tempo Assim um sistema cuja resposta transitória passa por três ciclos em um milissegundo antes de alcançar o regime permanente deve ter a mesma medida que um sistema que passa por três ciclos em um milênio antes de alcançar o regime permanente Por exemplo a curva subamortecida na Figura 410 tem uma medida associada que define sua forma Esta medida permanece inalterada mesmo que mudemos a base de tempo de segundos para microssegundos ou para milênios Uma definição viável para essa grandeza é aquela que considera a razão entre a frequência de decaimento exponencial da envoltória e a frequência natural Esta razão é constante independentemente da escala de tempo da resposta Além disso o inverso que é proporcional à razão entre período natural e a constante de tempo exponencial permanece o mesmo independentemente da base de tempo Definimos o fator de amortecimento ζ como Vamos agora revisar nossa descrição do sistema de segunda ordem para refletir as novas definições O sistema de segunda ordem geral mostrado na Figura 47a pode ser transformado para mostrar as grandezas ζ e ωn Considere o sistema geral Sem amortecimento os polos estariam no eixo jω e a resposta seria uma senoide não amortecida Para que os polos sejam imaginários puros a 0 Portanto Por definição a frequência natural ωn é a frequência de oscilação desse sistema Uma vez que os polos desse sistema estão no eixo jω em Portanto Agora o que é o termo a na Eq 416 Admitindo um sistema subamortecido os polos complexos possuem uma parte real σ igual a a2 A magnitude desse valor é então a frequência de decaimento exponencial descrita na Seção 44 Portanto a partir do que Nossa função de transferência de segunda ordem geral finalmente apresenta a forma No exemplo a seguir obtemos valores numéricos para ζ e ωn igualando a função de transferência à Eq 422 Exemplo 43 Determinando ζ e ωn para um Sistema de Segunda Ordem PROBLEMA Dada a função de transferência da Eq 423 determine ζ e ωn SOLUÇÃO Comparando a Eq 423 à Eq 422 a partir do que ωn 6 Além disso 2ζωn 42 Substituindo o valor de ωn ζ 035 Agora que definimos ζ e ωn vamos relacionar essas grandezas à posição do polo Calculando os polos da função de transferência na Eq 422 resulta A partir da Eq 424 observamos que os diversos casos de resposta de segunda ordem são uma função de ζ eles são resumidos na Figura 4114 FIGURA 411 Resposta de segunda ordem em função do fator de amortecimento No exemplo a seguir determinamos o valor numérico de ζ e determinamos a natureza da resposta transitória Exemplo 44 Caracterizando a Resposta a Partir do Valor de ζ PROBLEMA Para cada um dos sistemas mostrados na Figura 412 determine o valor de ζ e descreva o tipo de resposta esperado a b c d FIGURA 412 Sistemas para o Exemplo 44 SOLUÇÃO Primeiro iguale a forma desses sistemas com as formas mostradas nas Eqs 416 e 422 Uma vez que a 2ζωn e Utilizando os valores de a e b de cada um dos sistemas da Figura 412 obtemos ζ 1155 para o sistema a que é portanto superamortecido uma vez que ζ 1 ζ 1 para o sistema b que é portanto criticamente amortecido e ζ 0894 para o sistema c que é portanto subamortecido uma vez que ζ 1 Exercício 44 PROBLEMA Para cada uma das funções de transferência do Exercício 43 faça o seguinte 1 determine os valores de ζ e ωn 2 caracterize a natureza da resposta RESPOSTAS ζ 03 ωn 20 o sistema é subamortecido ζ 15 ωn 30 o sistema é superamortecido ζ 1 ωn 15 o sistema é criticamente amortecido ζ 0 ωn 25 o sistema é não amortecido A solução completa está no site da LTC Editora Esta seção definiu duas especificações ou parâmetros dos sistemas de segunda ordem a frequência natural ωn e o fator de amortecimento ζ Vimos que a natureza da resposta obtida está relacionada com valor de ζ Variações apenas do fator de amortecimento produzem a variedade completa de respostas superamortecida criticamente amortecida subamortecida e não amortecida 46 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Agora que generalizamos a função de transferência de segunda ordem em função de ζ e ωn vamos analisar a resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido Não apenas essa resposta será obtida em função de ζ e ωn mas mais especificações naturais do caso subamortecido serão definidas O sistema de segunda ordem subamortecido um modelo comum para problemas físicos apresenta um comportamento único que deve ser pormenorizado uma descrição detalhada da resposta subamortecida é necessária tanto para a análise quanto para o projeto Nosso primeiro objetivo é definir especificações transitórias associadas às respostas subamortecidas Em seguida relacionamos essas especificações com a posição do polo extraindo uma associação entre a posição do polo e a forma da resposta de segunda ordem subamortecida Finalmente vinculamos a posição do polo aos parâmetros do sistema fechando assim o laço a resposta desejada define os componentes requeridos do sistema Vamos começar determinando a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem geral da Eq 422 A transformada da resposta Cs é a transformada da entrada multiplicada pela função de transferência ou em que se admite que ζ 1 caso subamortecido Expandir em frações parciais utilizando os métodos descritos na Seção 22 Caso 3 resulta em Aplicando a transformada inversa de Laplace o que é deixado como exercício para o estudante resulta em em que Um gráfico dessa resposta é mostrado na Figura 413 para diversos valores de ζ no qual o eixo do tempo é normalizado com relação à frequência natural Observamos agora a relação entre o valor de ζ e o tipo de resposta obtido quanto menor o valor de ζ mais oscilatória é a resposta A frequência natural é um fator de escala do eixo do tempo e não afeta a natureza da resposta a não ser pelo fato de mudar sua escala de tempo Definimos dois parâmetros associados aos sistemas de segunda ordem ζ e ωn Outros parâmetros associados à resposta subamortecida são o tempo de subida o instante de pico a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação Essas especificações são definidas como se segue ver também a Figura 414 1 2 3 4 Tempo de subida Tr O tempo necessário para que a forma de onda vá de 01 do valor final até 09 do valor final Instante de pico Tp O tempo necessário para alcançar o primeiro pico ou pico máximo Ultrapassagem percentual UP O valor pelo qual a forma de onda ultrapassa o valor em regime permanente ou valor final no instante de pico expresso como uma percentagem do valor em regime permanente Tempo de acomodação Ts O tempo necessário para que as oscilações amortecidas transitórias alcancem e permaneçam dentro de uma faixa de 2 em torno do valor em regime permanente Observe que as definições para tempo de acomodação e tempo de subida são basicamente as mesmas que as definições para a resposta de primeira ordem Todas as definições também são válidas para sistemas de ordem superior a 2 embora expressões analíticas para esses parâmetros não possam ser obtidas a menos que a resposta do sistema de ordem mais elevada possa ser aproximada pela resposta de um sistema de segunda ordem o que fazemos nas Seções 47 e 48 O tempo de subida o instante de pico e o tempo de acomodação fornecem informações sobre a velocidade da resposta transitória Essas informações podem auxiliar um projetista a determinar se a velocidade e a natureza da resposta degradam ou não o desempenho do sistema Por exemplo a velocidade de um sistema computacional como um todo depende do tempo que a cabeça do acionador de disco leva para alcançar o regime permanente e ler os dados o conforto do passageiro depende em parte do sistema de suspensão do automóvel e do número de oscilações por que ele passa após um solavanco FIGURA 413 Respostas de segunda ordem subamortecidas para diferentes valores de fator de amortecimento FIGURA 414 Especificações da resposta subamortecida de segunda ordem Calculamos agora Tp UP e Ts como funções de ζ e ωn Mais adiante neste capítulo relacionamos essas especificações com a posição dos polos do sistema Uma expressão analítica precisa para o tempo de subida não pode ser obtida assim apresentamos um gráfico e uma tabela mostrando a relação entre ζ e o tempo de subida Cálculo de Tp Tp é determinado derivandose ct na Eq 428 e obtendose o primeiro cruzamento de zero após t 0 Esta tarefa é simplificada através da derivação no domínio da frequência utilizando se o Item 7 da Tabela 22 Admitindo condições iniciais nulas e utilizando a Eq 426 obtemos Completando os quadrados no denominador temos Portanto Igualando a derivada a zero resulta ou Cada valor de n fornece o instante para um máximo ou mínimo local Fazendo n 0 resulta t 0 o primeiro ponto da curva na Figura 414 que possui uma inclinação igual a zero O primeiro pico que ocorre no instante de pico Tp é determinado fazendo n 1 na Eq 433 Cálculo de UP A partir da Figura 414 a ultrapassagem percentual UP é dada por O termo cmáx é obtido calculandose ct no instante de pico cTp Utilizando a Eq 434 para Tp e substituindo na Eq 428 resulta Para o degrau unitário utilizado para a Eq 428 Substituindo as Eqs 436 e 437 na Eq 435 obtemos finalmente Observe que a ultrapassagem percentual é uma função apenas do fator de amortecimento ζ Enquanto a Eq 438 permite encontrar UP dado ζ a inversa da equação permite calcular ζ dado UP A inversa é dada por A dedução da Eq 439 é deixada como exercício para o estudante A Eq 438 ou de modo equivalente a Eq 439 é representada graficamente na Figura 415 Cálculo de Ts Para determinar o tempo de acomodação precisamos determinar o instante para o qual ct na Eq 428 alcança e permanece dentro da faixa de 2 em torno do valor em regime permanente cfinal Utilizando nossa definição o tempo de acomodação é o tempo necessário para que a amplitude da senoide amortecida na Eq 428 chegue a 002 ou Esta equação é uma estimativa conservadora uma vez que estamos admitindo que no instante referente ao tempo de acomodação Resolvendo a Eq 440 para t o tempo de acomodação é FIGURA 415 Ultrapassagem percentual versus fator de amortecimento FIGURA 416 Tempo de subida normalizado versus fator de amortecimento para uma resposta subamortecida de segunda ordem Você pode verificar que o numerador da Eq 441 varia de 391 até 474 à medida que ζ varia de 0 até 09 Vamos adotar uma aproximação para o tempo de acomodação que será utilizada para todos os valores de ζ a qual é Cálculo de Tr Uma relação analítica precisa entre o tempo de subida e o fator de amortecimento ζ não pode ser obtida Contudo utilizando um computador e a Eq 428 o tempo de subida pode ser determinado Primeiro definimos ωnt como a variável tempo normalizada e escolhemos um valor para ζ Utilizando o computador obtemos os valores de ωnt que resultam em ct 09 e ct 01 Subtraindo os dois valores de ωnt resulta o tempo de subida normalizado ωnTr para aquele valor de ζ Procedendo da mesma forma com outros valores de ζ obtemos os resultados representados graficamente na Figura 4165 Vamos ver um exemplo Exemplo 45 Determinando Tp UP Ts e Tr a Partir de uma Função de Transferência PROBLEMA Dada a função de transferência determine Tp UP Ts e Tr SOLUÇÃO ωn e ζ são calculados como 10 e 075 respectivamente Agora substitua ζ e ωn nas Eqs 434 438 e 442 e determine respectivamente que Tp 0475 segundo UP 2838 e Ts 0533 segundo Utilizando a tabela da Figura 416 o tempo de subida normalizado é de aproximadamente 23 segundos Dividindo por ωn resulta Tr 023 segundo Este problema demonstra que podemos determinar Tp UP Ts e Tr sem a tarefa tediosa de aplicar a transformada inversa de Laplace representar graficamente a resposta de saída e realizar as medições a partir do gráfico Agora temos expressões que relacionam o instante de pico a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação com a frequência natural e o fator de amortecimento Vamos agora relacionar essas grandezas com a posição dos polos que geram essas características FIGURA 417 Diagrama de polos para um sistema de segunda ordem subamortecido O diagrama de polos para um sistema de segunda ordem subamortecido geral mostrado anteriormente na Figura 411 é reproduzido e expandido na Figura 417 para enfatizálo Observamos a partir do teorema de Pitágoras que a distância radial da origem até o polo é a frequência natural ωn e que cos θ ζ Agora comparando as Eqs 434 e 442 com a posição do polo calculamos o instante de pico e o tempo de acomodação em função da posição do polo Assim em que ωd é a parte imaginária do polo e é chamada de frequência de oscilação amortecida e σd é a magnitude da parte real do polo e é a frequência de amortecimento exponencial A Equação 444 mostra que Tp é inversamente proporcional à parte imaginária do polo Uma vez que as linhas horizontais no plano s são linhas de valor imaginário constante elas também são linhas de instante de pico constante De modo similar a Eq 445 nos diz que o tempo de acomodação é inversamente proporcional à parte real do polo Uma vez que as linhas verticais no plano s são linhas de valor real constante elas também são linhas de tempo de acomodação constante Finalmente como ζ cos θ linhas radiais são linhas de ζ constante Uma vez que a ultrapassagem percentual é uma função apenas de ζ as linhas radiais são linhas de ultrapassagem percentual constante UP Esses conceitos são retratados na Figura 418 em que linhas de Tp Ts e UP constantes são rotuladas no plano s Neste ponto podemos compreender o significado da Figura 418 examinando a resposta real ao degrau de sistemas para comparação Retratadas na Figura 419a estão as respostas ao degrau à medida que os polos são movimentados na direção vertical mantendo a parte real inalterada À medida que os polos se movem na direção vertical a frequência aumenta porém a envoltória permanece a mesma uma vez que a parte real do polo não está mudando A figura mostra uma envoltória exponencial constante mesmo que a resposta senoidal esteja mudando de frequência Uma vez que todas as curvas se ajustam sob a mesma curva de decaimento exponencial o tempo de acomodação é praticamente o mesmo para todas as formas de onda Observe que à medida que a ultrapassagem aumenta o tempo de subida diminui Vamos mover os polos para a direita ou para a esquerda Uma vez que a parte imaginária agora é constante o movimento dos polos produz as respostas da Figura 419b Nesse caso a frequência é constante ao longo da faixa de variação da parte real À medida que os polos se movem para a esquerda a resposta amortece mais rapidamente enquanto a frequência permanece a mesma Observe que o instante de pico é o mesmo para todas as formas de onda porque a parte imaginária permanece inalterada Movendo os polos ao longo de uma linha radial constante produzse as respostas mostradas na Figura 419c Nesse caso a ultrapassagem percentual permanece a mesma Observe também que as respostas são muito parecidas exceto pelas suas velocidades Quanto mais afastados os polos estiverem da origem mais rápida será a resposta Concluímos essa seção com alguns exemplos que demonstram a relação entre a posição do polo e as especificações da resposta subamortecida de segunda ordem O primeiro exemplo cobre a análise O segundo exemplo é um problema de projeto simples que consiste de um sistema físico cujos valores dos componentes desejamos projetar para atender uma especificação de resposta transitória FIGURA 418 Linhas de instante de pico Tp tempo de acomodação Ts e ultrapassagem percentual UP constantes Observação FIGURA 419 Respostas ao degrau de sistemas subamortecidos de segunda ordem à medida que os polos se movem a com parte real constante b com parte imaginária constante c com fator de amortecimento constante Exemplo 46 Determinando Tp UP e Ts a Partir da Posição do Polo PROBLEMA Dado o diagrama de polos mostrado na Figura 420 determine ζ ωn Tp UP e Ts SOLUÇÃO O fator de amortecimento é dado por ζ cos θ cosarctg 73 0394 A frequência natural ωn é a distância radial da origem ao polo ou O instante de pico é A ultrapassagem percentual é O tempo de acomodação aproximado é FIGURA 420 Diagrama de polos para o Exemplo 46 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch4p1 do Apêndice B Você aprenderá como criar um polinômio de segunda ordem a partir de dois polos complexos bem como extrair e utilizar os coeficientes do polinômio para calcular Tp UP e Ts Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o problema no Exemplo 46 Exemplo 47 Resposta Transitória Através do Projeto de Componentes PROBLEMA Dado o sistema mostrado na Figura 421 determine J e D para resultar em uma ultrapassagem de 20 e em um tempo de acomodação de 2 segundos para uma entrada em degrau do torque Tt FIGURA 421 Sistema mecânico rotacional para o Exemplo 47 SOLUÇÃO Primeiro a função de transferência para o sistema é A partir da função de transferência e Mas do enunciado do problema ou ζωn 2 Portanto Além disso a partir das Eqs 450 e 452 A partir da Eq 439 uma ultrapassagem de 20 implica ζ 0456 Portanto a partir da Eq 454 Assim Pelo enunciado do problema K 5 Nmrad Combinando este valor com as Eqs 453 e 456 D 104 Nmsrad e J 026 kgm2 Funções de Transferência de Segunda Ordem a Partir de Ensaios Assim como obtivemos a função de transferência de um sistema de primeira ordem experimentalmente podemos fazer o mesmo para um sistema que apresenta uma resposta de segunda ordem subamortecida típica Novamente podemos utilizar a curva de resposta experimental e medir a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação a partir dos quais podemos determinar os polos e assim o denominador O numerador pode ser obtido como para o sistema de primeira ordem a partir do conhecimento dos valores em regime permanente medido e esperado Um problema no fim do capítulo ilustra a estimação de uma função de transferência de segunda ordem a partir da resposta ao degrau Exercício 45 PROBLEMA Determine ζ ω n T s T p T r e UP para um sistema cuja função de transferência é RESPOSTAS A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 41 Use as seguintes instruções MATLAB para calcular as respostas do Exercício 45 As reticências significam que o código continua na linha seguinte numg361 deng1 16 361 omegansqrtdeng3deng1 zetadeng2deng12omegan Ts4zetaomegan Tppiomegansqrt1zeta2 pos100expzetapisqrt1zeta2 Tr1768zeta30417zeta21039zeta1omegan Agora que analisamos os sistemas com dois polos como a inclusão de outro polo afeta a resposta Respondemos essa questão na próxima seção 47 Resposta do Sistema com Polos Adicionais Na última seção analisamos sistemas com um ou dois polos Deve ser ressaltado que as expressões que descrevem a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico foram deduzidas apenas para um sistema com dois polos complexos e nenhum zero Caso um sistema como o mostrado na Figura 422 possua mais de dois polos ou possua zeros não podemos utilizar as expressões para calcular as especificações de desempenho que deduzimos Entretanto em certas condições um sistema com mais de dois polos ou com zeros pode ser aproximado por um sistema de segunda ordem que possui apenas dois polos dominantes complexos Uma vez justificada essa aproximação as expressões para ultrapassagem percentual tempo de acomodação e instante de pico podem ser aplicadas a esses sistemas de ordem mais elevada através da utilização da posição dos polos dominantes Nesta seção investigamos o efeito de um polo adicional na resposta de segunda ordem Na próxima seção analisamos o efeito da adição de um zero a um sistema com dois polos Vamos agora verificar as condições que devem ser atendidas para aproximarmos o comportamento de um sistema com três polos pelo comportamento de um sistema com dois polos Considere um sistema com três polos com polos complexos e um terceiro polo no eixo real Admitindo que os polos complexos estejam em e que o polo real esteja em αr a resposta ao degrau do sistema pode ser determinada a partir da expansão em frações parciais Assim a transformada da saída é ou no domínio do tempo As partes constituintes de ct são mostradas na Figura 423 para três casos de αr Para o Caso I αr e não é muito maior que ζωn para o Caso II αr αr2 e é muito maior que ζωn e para o Caso III αr FIGURA 422 O robô segue comandos de entrada de um treinador humano FIGURA 423 Componentes das respostas de um sistema com três polos a diagrama de polos b componentes das respostas o polo não dominante está próximo do par de segunda ordem dominante Caso I longe do par Caso II e no infinito Caso III Vamos dirigir nossa atenção para a Eq 458 e a Figura 423 Se αr ζωn Caso II a exponencial pura desaparecerá muito mais rápido do que a resposta ao degrau subamortecida de segunda ordem Se o termo da exponencial pura decai para um valor insignificante no instante da primeira ultrapassagem os parâmetros como a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico serão gerados pela componente da resposta ao degrau subamortecida de segunda ordem Assim a resposta total se aproximará da resposta de um sistema de segunda ordem puro Caso III Caso αr não seja muito maior que ζωn Caso I a resposta transitória do polo real não decairá até um valor insignificante no instante de pico ou no tempo de acomodação gerado pelo par de segunda ordem Nesse caso o decaimento exponencial é significativo e o sistema não pode ser representado como um sistema de segunda ordem A próxima questão é quão afastado dos polos dominantes o terceiro polo precisa estar para que seu efeito na resposta de segunda ordem seja desprezível A resposta naturalmente depende da exatidão que você está querendo Entretanto este livro admite que o decaimento exponencial seja desprezível depois de cinco constantes de tempo Assim caso o polo real esteja cinco vezes mais afastado à esquerda que os polos dominantes admitimos que o sistema possa ser representado por seu par de polos de segunda ordem dominantes E quanto à magnitude do decaimento exponencial Ela pode ser tão grande que sua contribuição no instante de pico não seja desprezível Podemos mostrar através de uma expansão em frações parciais que o resíduo do terceiro polo em um sistema com três polos com polos de segunda ordem dominantes e sem zeros irá efetivamente diminuir em magnitude à medida que o terceiro polo for movido para mais longe no semiplano esquerdo Admita uma seguinte resposta ao degrau Cs de um sistema com três polos em que admitimos que o polo não dominante está localizado em c no eixo real e que a resposta em regime permanente tenda à unidade Calculando as constantes no numerador de cada termo Quando o polo não dominante tende a Assim neste exemplo D o resíduo do polo não dominante e sua resposta se tornam iguais a zero quando o polo não dominante tende a infinito O projetista também pode optar por se abster de uma análise de resíduo extensiva uma vez que todos os projetos de sistemas devem ser simulados para se determinar sua aceitação final Nesse caso o engenheiro de sistemas de controle pode utilizar a regra prática das cinco vezes como uma condição necessária mas não suficiente para aumentar a confiança na aproximação de segunda ordem durante o projeto simulando em seguida o projeto completado Vamos agora examinar um exemplo que compara as respostas de dois sistemas com três polos distintos com a resposta de um sistema de segunda ordem Exemplo 48 Comparando Respostas de Sistemas com Três Polos PROBLEMA Obtenha a resposta ao degrau de cada uma das funções de transferência apresentadas nas Eqs 462 até 464 e compareas SOLUÇÃO A resposta ao degrau Cis para a função de transferência Tis pode ser obtida multiplicando a função de transferência por 1s uma entrada em degrau e utilizando expansão em frações parciais seguida pela transformada inversa de Laplace podemos obter a resposta cit Com os detalhes deixados como exercício para o estudante os resultados são As três respostas são representadas graficamente na Figura 424 Observe que c2t com seu terceiro polo em 10 e mais afastado dos polos dominantes é a melhor aproximação de c1t a resposta do sistema de segunda ordem puro c3t com um terceiro polo mais próximo dos polos dominantes resulta no maior erro FIGURA 424 Respostas ao degrau do sistema T1s do sistema T2s e do sistema T3s Os estudantes que estiverem utilizando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch4p2 do Apêndice B Você aprenderá como gerar uma resposta ao degrau para uma função de transferência e como representar graficamente a resposta diretamente ou armazenar os pontos para utilização futura O exemplo mostra como armazenar os pontos e em seguida utilizálos para criar uma figura com múltiplos gráficos atribuir um título ao gráfico e rotular os eixos e curvas para produzir o gráfico da Figura 424 para resolver o Exemplo 48 As respostas de sistemas podem alternativamente ser obtidas utilizando o Simulink O Simulink é um pacote de programas integrado com o MATLAB para fornecer uma interface gráfica com o usuário GUI para a definição de sistemas e a geração de respostas O leitor é encorajado a estudar o Apêndice C que contém um tutorial do Simulink bem como alguns exemplos Um dos exemplos ilustrativos o Exemplo C1 resolve o Exemplo 48 utilizando o Simulink Outro método para se obter respostas de sistemas é através da utilização do LTI Viewer do MATLAB Uma vantagem do LTI Viewer é que ele mostra os valores do tempo de acomodação do instante de pico do tempo de subida da resposta máxima e do a b valor final no gráfico da resposta ao degrau O leitor é encorajado a estudar o Apêndice E no site da LTC Editora que contém um tutorial do LTI Viewer bem como alguns exemplos O Exemplo E1 resolve o Exemplo 48 utilizando o LTI Viewer Exercício 46 PROBLEMA Determine a validade de uma aproximação de segunda ordem para cada uma dessas duas funções de transferência RESPOSTAS A aproximação de segunda ordem é válida A aproximação de segunda ordem não é válida A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 42 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para investigar os efeitos do polo adicional no Exercício 46a Mova o polo de ordem superior originalmente em 15 para outros valores alterando a no código a15 numga100 a dengaconv 1 a 1 4 100 Tatf numgadenga numg100 deng1 4 100 Ttf numgdeng step Ta T 48 Resposta do Sistema com Zeros Agora que examinamos os efeitos de um polo adicional vamos acrescentar um zero ao sistema de segunda ordem Na Seção 42 constatamos que os zeros de uma resposta afetam o resíduo ou a amplitude de uma componente da resposta mas não afetam sua natureza exponencial senoide amortecida e assim por diante Nesta seção acrescentamos um zero no eixo real a um sistema com dois polos O zero será acrescentado primeiro no semiplano esquerdo e em seguida no semiplano direito e seus efeitos serão observados e analisados Concluímos a seção falando sobre o cancelamento de polos e zeros Começando com um sistema com dois polos localizados em 1 j2828 acrescentamos zeros consecutivamente em 3 5 e 10 Os resultados normalizados pelo valor em regime permanente são representados graficamente na Figura 425 Podemos observar que quanto mais próximo o zero está dos polos dominantes maior é seu efeito na resposta transitória À medida que o zero se afasta dos polos dominantes a resposta se aproxima daquela do sistema com dois polos Esta análise pode ser fundamentada através da expansão em frações parciais Se admitirmos um grupo de polos e um zero afastado dos polos o resíduo de cada polo será afetado FIGURA 425 Efeito do acréscimo de um zero a um sistema com dois polos da mesma forma pelo zero Assim as amplitudes relativas permanecem basicamente as mesmas Por exemplo admita a expansão em frações parciais mostrada na Eq 468 Experimente 43 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para gerar a Figura 425 deng1 2 9 Tatf1 393deng Tbtf1 595deng Tctf1 10910deng Ttf9deng stepTTaTbTc text0506sem zero text 04 07 zero em 10 text03508 zero em 5 text0309zero em 3 Se o zero estiver afastado dos polos então a será muito maior que b e c e Portanto o zero se comporta como um simples fator de ganho e não altera as amplitudes relativas das componentes da resposta Outra maneira de se interpretar o efeito de um zero que é mais geral é a seguinte Franklin 1991 seja Cs a resposta de um sistema Ts com a unidade no numerador Caso acrescentemos um zero à função de transferência resultando em s aTs a transformada de Laplace da resposta será Assim a resposta de um sistema com um zero consiste de duas partes a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta original Caso a o negativo do zero seja muito grande a transformada de Laplace da resposta é aproximadamente aCs ou uma versão em escala da resposta original Caso a não seja muito grande a resposta possui uma componente adicional consistindo da derivada da resposta original À medida que a se torna menor o termo derivativo contribui mais para a resposta e tem um efeito maior Para as respostas ao degrau a derivada é tipicamente positiva no início da resposta Assim para pequenos valores de a podemos esperar uma ultrapassagem maior em sistemas de segunda ordem uma vez que o termo derivativo será aditivo em torno da primeira ultrapassagem Esse raciocínio pode ser confirmado pela Figura 425 Um fenômeno interessante ocorre caso a seja negativo posicionando o zero no semiplano direito A partir da Eq 470 observamos que o termo derivativo tipicamente positivo nos a b instantes iniciais terá o sinal contrário ao termo da resposta em escala Assim caso o termo derivativo sCs seja maior do que a resposta em escala aCs a resposta irá inicialmente seguir a derivada no sentido oposto ao da resposta em escala O resultado para um sistema de segunda ordem é mostrado na Figura 426 em que o sinal de entrada foi invertido para resultar em um valor positivo em regime permanente Observe que a resposta começa indo no sentido negativo embora o valor final seja positivo Um sistema que exibe esse fenômeno é conhecido como sistema de fase não mínima Caso uma motocicleta ou um avião fosse um sistema de fase não mínima ele iria inicialmente se inclinar para a esquerda quando comandado a virar para a direita FIGURA 426 Resposta ao degrau de um sistema de fase não mínima Vamos agora examinar um exemplo de um circuito elétrico de fase não mínima Exemplo 49 Função de Transferência de um Sistema de Fase Não Mínima PROBLEMA Determine a função de transferência VssVes para o circuito com amplificador operacional mostrado na Figura 427 FIGURA 427 Circuito elétrico de fase não mínima Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc Caso R1 R2 esse circuito é conhecido como um filtro passa todas uma vez que ele deixa passar ondas senoidais de a b uma ampla faixa de frequências sem atenuar ou amplificar suas magnitudes Dorf 1993 Aprenderemos mais sobre a resposta em frequência no Capítulo 10 Por agora seja R1 R2 R3C 110 e determine a resposta ao degrau do filtro Mostre que as partes constituintes da resposta podem ser identificadas com aquelas da Eq 470 SOLUÇÃO Lembrando do Capítulo 2 que o amplificador operacional possui uma alta impedância de entrada a corrente Is através de R1 e R2 é a mesma e é igual a Além disso Mas Substituindo a Eq 471 na Eq 473 Utilizando divisão de tensão Substituindo as Eqs 474 e 475 na Eq 472 e simplificando resulta Uma vez que o amplificador operacional possui um ganho alto A faça A tender a infinito Assim após simplificação Fazendo R1 R2 e R3C 110 Para uma entrada em degrau calculamos a resposta como sugerido pela Eq 470 em que é a transformada de Laplace da resposta sem um zero Expandindo a Eq 479 em frações parciais ou a resposta com um zero é Além disso a partir da Eq 480 ou a resposta sem um zero é As respostas normalizadas são representadas graficamente na Figura 428 Observe a inversão imediata da resposta de fase não mínima ct FIGURA 428 Resposta ao degrau do circuito de fase não mínima da Figura 427 ct e a resposta ao degrau normalizada de um circuito equivalente sem o zero 10cot Concluímos essa seção falando sobre o cancelamento de polos e zeros e seu efeito em nossa capacidade de realizar aproximações de segunda ordem para um sistema Admita um sistema com três polos com um zero como mostrado na Eq 485 Caso o termo do polo s p3 e o termo do zero s z se cancelem ficamos com como uma função de transferência de segunda ordem De outra perspectiva caso o zero em z esteja muito próximo do polo em p3 então uma expansão em frações parciais da Eq 485 mostrará que o resíduo do decaimento exponencial será muito menor que a amplitude da resposta de segunda ordem Vamos ver um exemplo Exemplo 410 Avaliando o Cancelamento de Polos e Zeros Utilizando Resíduos PROBLEMA Para cada uma das funções de resposta nas Eqs 486 e 487 determine se há cancelamento entre o zero e o polo mais próximo do zero Para qualquer função para qual o cancelamento de polo e zero seja válido obtenha a resposta aproximada SOLUÇÃO A expansão em frações parciais da Eq 486 é O resíduo do polo em 35 o mais próximo do zero em 4 é igual a 1 e não é desprezível comparado aos outros resíduos Portanto uma aproximação de segunda ordem da resposta ao degrau não pode ser feita para C1s A expansão em frações parciais para C2s é O resíduo do polo em 401 o mais próximo do zero em 4 é igual a 0033 cerca de duas ordens de grandeza menor do que qualquer um dos demais resíduos Assim fazemos uma aproximação de segunda ordem desprezando a resposta gerada pelo polo em 401 e a resposta c2t é aproximadamente Experimente 44 Use as seguintes instruções de MATLAB e Symbolic Math Toolbox para calcular o efeito dos polos de ordem superior determinando as partes constituintes da resposta no domínio do tempo c1t e c2t no Exemplo 410 syms s Cl2625s4 ss35 s5s6 C22625s4 ss401 s5s6 clilaplaceC1 clvpac13 cl prettycl c2ilaplaceC2 c2vpac23 c2 prettyc2 Exercício 47 PROBLEMA Determine a validade de uma aproximação de resposta ao degrau de segunda ordem para cada uma das funções de transferência apresentadas a seguir a b RESPOSTAS Uma aproximação de segunda ordem não é válida Uma aproximação de segunda ordem é válida A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção examinamos os efeitos de polos e zeros adicionais da função de transferência na resposta Na próxima seção acrescentamos não linearidades dos tipos discutidos na Seção 210 e examinamos que efeitos elas têm na resposta do sistema 49 Efeitos de Não Linearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo Nesta seção examinamos qualitativamente os efeitos de não linearidades sobre a resposta no domínio do tempo de sistemas físicos Nos exemplos a seguir inserimos não linearidades como saturação zona morta e folga como mostrado na Figura 246 em um sistema para mostrar os efeitos dessas não linearidades sobre as respostas lineares As respostas foram obtidas utilizando o Simulink um pacote de programas de simulação que é integrado ao MATLAB para fornecer uma interface gráfica com o usuário GUI Os leitores interessados em aprender como utilizar o Simulink para gerar respostas não lineares devem consultar o tutorial do Simulink no Apêndice C Os diagramas de blocos do Simulink são incluídos com todas as respostas que se seguem Vamos considerar o motor e a carga do Estudo de Caso de Controle de Antena do Capítulo 2 e examinar a velocidade angular da carga ωss em que ωss 01 sθms 02083 Eass 171 a partir da Eq 2208 Caso acionemos o motor com uma entrada em degrau através de um amplificador de ganho unitário que satura em 5 volts a Figura 429 mostra que o efeito da saturação do amplificador é limitar a velocidade obtida O efeito da zona morta sobre o eixo de saída acionado por um motor e engrenagens é mostrado na Figura 430 Aqui novamente consideramos o motor carga e engrenagens do Estudo de Caso do Controle de Antena do Capítulo 2 A zona morta está presente quando o motor não é capaz de responder a pequenas tensões A entrada do motor é uma forma de onda senoidal escolhida para permitir que observemos claramente os efeitos da zona morta A resposta começa quando a tensão de entrada no motor excede um limiar Observamos uma amplitude menor quando a zona morta está presente FIGURA 429 a Efeito da saturação do amplificador na resposta de velocidade angular da carga b diagrama de blocos do Simulink FIGURA 430 a Efeito da zona morta na resposta de deslocamento angular da carga b diagrama de blocos do Simulink O efeito de folgas no eixo de saída acionado por motor e engrenagens é mostrado na Figura 431 Novamente consideramos motor carga e engrenagens do Estudo de Caso do Controle de Antena do Capítulo 2 A entrada no motor é novamente uma forma de onda senoidal que é escolhida para permitir que observemos claramente os efeitos da folga nas engrenagens acionadas pelo motor Quando o motor inverte a direção o eixo de saída permanece parado durante o início da inversão do motor Quando as engrenagens finalmente se conectam o eixo de saída começa a girar no sentido inverso A resposta resultante é bastante diferente da resposta linear sem a folga Exercício 48 PROBLEMA Utilize o Simulink do MATLAB para reproduzir a Figura 431 RESPOSTA Ver Figura 431 Agora que examinamos os efeitos das não linearidades na resposta no domínio do tempo vamos retornar aos sistemas lineares Nossa cobertura até o momento dos sistemas lineares abordou a obtenção da resposta no domínio do tempo utilizando a transformada de Laplace no domínio da frequência Uma outra maneira de se obter a resposta é utilizar as técnicas do espaço de estados no domínio do tempo Este tópico é o tema das duas próximas seções FIGURA 431 a Efeito da folga na resposta de deslocamento angular da carga b diagrama de blocos do Simulink 410 Solução via Transformada de Laplace de Equações de Estado No Capítulo 3 os sistemas foram modelados no espaço de estados onde a representação no espaço de estados consistiu de uma equação de estado e de uma equação de saída Nesta seção utilizamos a transformada de Laplace para resolver as equações de estado para os vetores de estado e de saída Considere a equação de estado e a equação de saída Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da equação de estado resulta Para isolar Xs substitua sXs por sIXs em que I é uma matriz identidade n n e n é a ordem do sistema Combinando todos os termos em Xs obtemos Resolvendo para Xs multiplicando à esquerda ambos os lados da Eq 495 por sI A1 a solução final para Xs é Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída resulta Autovalores e Polos da Função de Transferência Constatamos que os polos da função de transferência determinam a natureza da resposta transitória do sistema Existe uma grandeza equivalente na representação no espaço de estados que forneça a mesma informação A Seção 58 define formalmente as raízes de det sI A 0 ver o denominador da Eq 496 como sendo os autovalores da matriz do sistema A6 Vamos mostrar que os autovalores são iguais aos polos da função de transferência do sistema Sejam a saída Ys e a entrada Us grandezas escalares Ys e Us respectivamente Além disso por adequação à definição de uma função de transferência seja x0 o vetor de estado inicial igual a 0 o vetor nulo Substituindo a Eq 496 na Eq 497 e resolvendo para a função de transferência YsUs resulta As raízes do denominador da Eq 498 são os polos do sistema Uma vez que os denominadores das Eqs 496 e 498 são idênticos os polos do sistema são iguais aos autovalores Assim se a b a um sistema é representado no espaço de estados podemos determinar os polos a partir de detsI A 0 Seremos mais formais com esse fato quando discutirmos estabilidade no Capítulo 6 O exemplo a seguir demonstra a solução das equações de estado utilizando a transformada de Laplace bem como a determinação dos autovalores e dos polos do sistema Exemplo 411 Solução via Transformada de Laplace Autovalores e Polos PROBLEMA Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs 499 faça o seguinte Resolva a equação de estado precedente e obtenha a saída para a entrada exponencial fornecida Determine os autovalores e os polos do sistema SOLUÇÃO Iremos resolver o problema obtendo as partes constituintes da Eq 496 substituindo em seguida na Eq 497 Primeiro determine A e B comparando a Eq 499a com a Eq 492 Uma vez que então e b Uma vez que Us a transformada de Laplace de et é 1s 1 Xs pode ser calculado Reescrevendo a Eq 496 como e utilizando B e x0 das Eqs 499a e 499c respectivamente obtemos A equação de saída é obtida a partir da Eq 499b Realizando as somas indicadas resulta ou em que o polo em 1 é cancelado com um zero em 1 Aplicando a transformada inversa de Laplace O denominador da Eq 4102 que é detsI A é também o denominador da função de transferência do sistema Assim detsI A 0 fornece tanto os polos do sistema quanto os autovalores 2 3 e 4 Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e a b a b desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch4sp1 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como resolver equações de estado para a resposta de saída utilizando a transformada de Laplace O Exemplo 411 será resolvido utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox Exercício 49 PROBLEMA Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs 4108 faça o seguinte Resolva para yt utilizando as técnicas do espaço de estados e da transformada de Laplace Determine os autovalores e os polos do sistema RESPOSTAS yt 05et 12et 175e3t 2 3 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 45 Use as seguintes instruções MATLAB e Symbolic Math Toolbox para resolver o Exercício 49 Syms s A0 23 5B01 C1 3X021 U1s1 I1 00 1 Xs IA1 X0BU YCXYsimplifyY yilaplaceY prettyY eigA 411 Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado Examinamos agora uma outra técnica para a solução de equações de estado Ao invés de utilizar a transformada de Laplace resolvemos as equações diretamente no domínio do tempo utilizando um método muito parecido com a solução clássica de equações diferenciais Verificaremos que a solução final consiste de duas partes que são diferentes das respostas forçada e natural A solução no domínio do tempo é dada diretamente por em que Φt eAt por definição e é chamada de matriz de transição de estado A Eq 4109 é deduzida no Apêndice J disponível no site da LTC Editora Os leitores que não estejam familiarizados com essa equação ou que desejem refrescar a memória devem consultar o Apêndice J antes de prosseguir Observe que o primeiro termo do lado direito da equação é a resposta devida ao vetor de estado inicial x0 Observe também que ele é o único termo dependente do vetor de estado inicial e não da entrada Chamamos essa parte da resposta de resposta para entrada zero uma vez que ela é a resposta total caso a entrada seja zero O segundo termo chamado de integral de convolução é dependente apenas da entrada u e da matriz de entrada B e não do vetor de estado inicial Chamamos essa parte da resposta de resposta para estado zero uma vez que ela é a resposta total caso o vetor de estado inicial seja zero Assim existe uma separação em partes da resposta diferente da resposta forçadanatural que vimos quando obtivemos a solução de equações diferenciais Nas equações diferenciais as constantes arbitrárias da resposta natural são calculadas com base nas condições iniciais e nos valores iniciais da resposta forçada e de suas derivadas Assim as amplitudes da resposta natural são uma função das condições iniciais da saída e da entrada Na Eq 4109 a resposta para entrada zero não é dependente dos valores iniciais da entrada e de suas derivadas Ela é dependente apenas das condições iniciais do vetor de estado O próximo exemplo mostra claramente a diferença na separação Preste muita atenção no fato de que no resultado final a resposta para estado zero contém não apenas a solução forçada mas também partes daquela que chamamos anteriormente de resposta natural Veremos na solução que a resposta natural é distribuída entre a resposta para entrada zero e a resposta para estado zero Antes de prosseguir com o exemplo vamos examinar a forma que os elementos de Φt tomam para sistemas lineares invariantes no tempo O primeiro termo da Eq 496 a transformada de Laplace da resposta para sistemas não forçados é a transformada de Φtx0 a resposta para entrada zero da Eq 4109 Assim para o sistema não forçado de onde podemos observar que sI A1 é a transformada de Laplace da matriz de transição de estado Φt Já vimos que o denominador de sI A1 é um polinômio em s cujas raízes são os polos do sistema Esse polinômio é obtido a partir da equação detsI A 0 Uma vez que cada termo de Φt deve ser a soma de exponenciais geradas pelos polos do sistema Vamos resumir os conceitos através de dois exemplos numéricos O primeiro exemplo resolve as equações de estado diretamente no domínio do tempo O segundo exemplo utiliza a transformada de Laplace para resolver para a matriz de transição de estado obtendo a transformada inversa de Laplace de sI A1 Exemplo 412 Solução no Domínio do Tempo PROBLEMA Para a equação de estado e vetor de estado inicial apresentados nas Eqs 4112 em que ut é um degrau unitário obtenha a matriz de transição de estado e em seguida resolva para xt SOLUÇÃO Uma vez que a equação de estado está na forma determine os autovalores utilizando detsI A 0 Assim s2 6s 8 0 de onde s1 2 e s2 4 Uma vez que cada termo da matriz de transição de estado é a soma das respostas geradas pelos polos autovalores admitimos uma matriz de transição de estado da forma Para obter os valores das constantes utilizamos as propriedades da matriz de transição de estado deduzidas no Apêndice J disponível no site da LTC Editora e como Segue que As constantes são resolvidas tomandose duas equações simultâneas quatro vezes Por exemplo a Eq 4116a pode ser resolvida simultaneamente com a Eq 4118a para fornecer os valores de K1 e K2 Procedendo de modo semelhante todas as constantes podem ser obtidas Portanto Além disso Portanto o primeiro termo da Eq 4109 é O último termo da Eq 4109 é Observe que conforme afirmado anteriormente a Eq 4122 a resposta para estado zero contém não apenas a resposta forçada 18 mas também termos da forma Ae2t e Be4t que são parte daquela que anteriormente chamamos de resposta natural Porém os coeficientes A e B não são dependentes das condições iniciais O resultado final é obtido somando as Eqs 4121 e 4122 Portanto Exemplo 413 Matriz de Transição de Estado via Transformada de Laplace PROBLEMA Determine a matriz de transição de estado do Exemplo 412 utilizando sI A1 SOLUÇÃO Utilizamos o fato de que Φt é a transformada inversa de Laplace de sI A1 Assim primeiro obtenha sI A como a partir do que Expandindo cada termo da matriz do lado direito em frações parciais resulta Finalmente aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo obtemos Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch4sp2 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como resolver equações de estado para a resposta de saída utilizando a integral de convolução Os Exemplos 412 e 413 serão resolvidos utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox Os sistemas representados no espaço de estados podem ser simulados em computadores digitais Programas como o MATLAB podem ser utilizados para este propósito Alternativamente o usuário pode escrever programas específicos como discutido no Apêndice H1 no site da LTC Editora Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch4p3 do Apêndice B Este exercício utiliza o MATLAB para simular a resposta ao degrau de sistemas representados no espaço de estados Além disso para gerar a resposta ao degrau você aprenderá como especificar a faixa de valores para o eixo do tempo para o gráfico Exercício 410 PROBLEMA Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs 4128 a b c a b faça o seguinte Resolva para a matriz de transição de estado Resolva para o vetor de estado utilizando a integral de convolução Obtenha a saída yt RESPOSTAS A solução completa está no site da LTC Editora Estudos de Caso Controle de Antena Resposta em Malha Aberta Neste capítulo utilizamos as funções de transferência deduzidas no Capítulo 2 e as equações de estado deduzidas no Capítulo 3 para obter a resposta de saída de um sistema em malha aberta Também mostramos a importância dos polos de um sistema na determinação da resposta transitória O estudo de caso a seguir utiliza esses conceitos para analisar uma parte do sistema de controle de posição de azimute de antena em malha aberta A função em malha aberta com a qual lidaremos consiste de um amplificador de potência e de um motor com carga PROBLEMA Para o esquema do sistema de controle de posição de azimute mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 admita um sistema em malha aberta caminho de realimentação desconectado Prediga por inspeção a forma da resposta de velocidade angular da carga em malha aberta para uma entrada de tensão em degrau no amplificador de potência Determine o fator de amortecimento e a frequência natural do sistema em malha aberta c d e a b Deduza a expressão analítica completa para a resposta de velocidade angular da carga em malha aberta para uma entrada de tensão em degrau no amplificador de potência utilizando funções de transferência Obtenha as equações de estado e de saída em malha aberta Utilize o MATLAB para obter um gráfico da resposta de velocidade angular em malha aberta para uma entrada de tensão em degrau SOLUÇÃO As funções de transferência do amplificador de potência motor e carga como mostradas nas guardas dianteiras Configuração 1 foram discutidas no estudo de caso do Capítulo 2 Os dois subsistemas são mostrados interconectados na Figura 432a Derivando a posição angular da saída do motor e carga multiplicando por s obtemos a velocidade angular de saída ωs como mostrado na Figura 432a A função de transferência equivalente representando os três blocos na Figura 432a é o produto das funções de transferência individuais e é mostrada na Figura 432b7 FIGURA 432 Sistema de Controle de Posição de azimute de antena para velocidade angular a caminho à frente b caminho à frente equivalente Utilizando a função de transferência mostrada na Figura 432b podemos predizer a natureza da resposta ao degrau A resposta ao degrau consiste da resposta em regime permanente gerada pela entrada em degrau e da resposta transitória a qual é a soma de duas exponenciais geradas por cada polo da função de transferência Assim a forma da resposta é O fator de amortecimento e a frequência natural do sistema em malha aberta podem ser obtidos expandindo o denominador da função de transferência Como a função de transferência em malha aberta é ωn 1308 e ζ 389 superamortecido c d Para deduzir a resposta de velocidade angular para uma entrada em degrau multiplicamos a função de transferência da Eq 4130 por uma entrada em degrau 1s e obtemos Expandindo em frações parciais temos Transformando para o domínio do tempo resulta Primeiro converta a função de transferência em uma representação no espaço de estados Utilizando a Eq 4130 temos Fazendo a multiplicação cruzada e aplicando a transformada inversa de Laplace com condições iniciais nulas temos Definindo as variáveis de fase como e utilizando a Eq 4135 as equações de estado são escritas como em que vp 1 um degrau unitário Uma vez que x1 ωs é a saída a equação de saída é As Equações 4137 e 4138 podem ser programadas para obter a resposta ao degrau utilizando o MATLAB ou os métodos alternativos descritos no Apêndice H1 no site da LTC Editora e a b c d e Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch4p4 do Apêndice B Esse exercício utiliza o MATLAB para representar graficamente a resposta ao degrau DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Em relação ao sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 Admita um sistema em malha aberta caminho de realimentação desconectado e faça o seguinte Prediga a resposta de velocidade angular em malha aberta do amplificador de potência motor e carga para um degrau de tensão na entrada do amplificador de potência Determine o fator de amortecimento e a frequência natural do sistema em malha aberta Deduza a resposta de velocidade angular em malha aberta do amplificador de potência motor e carga para uma entrada de tensão em degrau utilizando funções de transferência Obtenha as equações de estado e de saída em malha aberta Utilize o MATLAB para obter um gráfico da resposta de velocidade angular em malha aberta para uma entrada de tensão em degrau Veículo Submersível Não Tripulado Independente Resposta de Arfagem em Malha Aberta Um Veículo Submersível Não Tripulado Independente UFSS é mostrado na Figura 433 A profundidade do veículo é controlada como descrito a seguir Durante o movimento à frente a superfície de um leme de profundidade no veículo é defletida por um valor escolhido Essa deflexão faz com que o veículo gire em torno do eixo de arfagem A arfagem do veículo cria uma força vertical que faz com que o veículo afunde ou suba O sistema de controle de arfagem do veículo é utilizado aqui e em capítulos subsequentes como um estudo de caso para demonstrar os conceitos cobertos O diagrama de blocos para o sistema de controle de arfagem é mostrado na Figura 434 e nas guardas traseiras para futura referência Johnson 1980 Neste estudo de caso investigamos a resposta no domínio do tempo da dinâmica do veículo que relaciona a saída de ângulo de arfagem com a entrada de deflexão do leme de profundidade PROBLEMA A função de transferência que relaciona o ângulo de arfagem θs ao ângulo da superfície do leme de profundidade δes para o veículo UFSS é a b c d a b Utilizando apenas os polos de segunda ordem mostrados na função de transferência prediga a ultrapassagem percentual o tempo de subida o instante de pico e o tempo de acomodação Utilizando transformadas de Laplace obtenha a expressão analítica para a resposta de ângulo de arfagem para uma entrada em degrau na deflexão da superfície do leme de profundidade Avalie o efeito do polo e do zero adicionais sobre a validade da aproximação de segunda ordem Represente graficamente a resposta ao degrau da dinâmica do veículo e verifique suas conclusões obtidas no Item c FIGURA 433 Veículo Submersível Não Tripulado Independente UFSS FIGURA 434 Malha de controle de arfagem para o veículo UFSS SOLUÇÃO Utilizando o polinômio s2 0226s 00169 determinamos que ωn 2 00169 e 2ζωn 0226 Assim ωn 013 rads e ζ 0869 Portanto A partir da Figura 416 ωnTr 275 ou Tr 212 s Para determinar o instante de pico utilizamos Finalmente o tempo de acomodação é Ts 4ζωn 354 s Com a finalidade de apresentar um valor final positivo no Item d determinamos a resposta do sistema a um degrau unitário negativo compensando o sinal negativo na função de transferência Utilizando expansão em frações parciais a transformada de Laplace da resposta θs é c d Aplicando a transformada inversa de Laplace Observando as amplitudes relativas entre o coeficiente do termo e123t e do termo do cosseno na Eq 4141 verificamos que há um cancelamento de polo e zero entre o polo em 123 e o zero em 0435 Além disso o polo em 123 está mais de cinco vezes mais afastado do eixo jω que os polos dominantes de segunda ordem em 0113 j00643 Concluímos que a resposta será próxima da que foi predita Representando graficamente a Eq 4141 ou utilizando uma simulação computacional obtemos a resposta ao degrau mostrada na Figura 435 Realmente observamos uma resposta próxima da predita Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch4p5 do Apêndice B Esse exercício utiliza o MATLAB para determinar ζ ωn Ts Tp e r e representar graficamente uma resposta ao degrau Uma tabela é utilizada para determinar Tr O exercício aplica os conceitos ao problema anterior DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Este problema utiliza os mesmos princípios que foram aplicados ao Veículo Submersível Não Tripulado Independente os navios no mar são submetidos a movimentos em torno de seu eixo de rolagem como mostrado na Figura 436 Aletas chamadas de estabilizadores são utilizadas para reduzir esse movimento de rolagem Os estabilizadores podem ser posicionados por um sistema de controle de rolagem em malha fechada que consiste de componentes como atuadores e sensores das aletas bem como da dinâmica de rolagem do navio a b c FIGURA 435 Resposta ao degrau negativo do controle de arfagem do veículo UFSS Admita que a dinâmica de rolagem que relaciona a saída de ângulo de rolagem θs com a entrada de perturbação de torque TPs seja Faça o seguinte Determine a frequência natural o fator de amortecimento o instante de pico o tempo de acomodação o tempo de subida e a ultrapassagem percentual Obtenha a expressão analítica para a resposta de saída para uma entrada de perturbação em degrau unitário Utilize o MATLAB para resolver os itens a e b e representar graficamente a resposta obtida no item b FIGURA 436 Um navio no mar mostrando o eixo de rolagem 1 2 3 4 Resumo Neste capítulo utilizamos os modelos de sistemas desenvolvidos nos Capítulos 2 e 3 e obtivemos a resposta da saída para uma entrada especificada geralmente um degrau A resposta ao degrau fornece uma imagem clara da resposta transitória do sistema Realizamos essa análise para dois tipos de sistemas de primeira ordem e de segunda ordem os quais são representativos de muitos sistemas físicos Formalizamos então nossas descobertas e chegamos a especificações numéricas que descrevem as respostas Para sistemas de primeira ordem que possuem um único polo no eixo real a especificação da resposta transitória que deduzimos foi a constante de tempo que é o inverso da posição do polo no eixo real Essa especificação nos dá uma indicação da velocidade da resposta transitória Em particular a constante de tempo é o tempo para que a resposta ao degrau alcance 63 de seu valor final Os sistemas de segunda ordem são mais complexos Dependendo dos valores dos componentes do sistema um sistema de segunda ordem pode apresentar quatro tipos de comportamento Superamortecido Subamortecido Não amortecido Criticamente amortecido Verificamos que os polos da entrada geram a resposta forçada enquanto os polos do sistema geram a resposta transitória Caso os polos do sistema sejam reais o sistema apresentará um comportamento superamortecido Essas respostas exponenciais possuem constantes de tempo iguais ao inverso das posições dos polos Polos imaginários puros produzem oscilações senoidais não amortecidas cuja frequência em radianos é igual à magnitude do polo imaginário Os sistemas com polos complexos apresentam respostas subamortecidas A parte real do polo complexo determina a envoltória de decaimento exponencial e a parte imaginária determina a frequência senoidal em radianos A envoltória de decaimento exponencial possui uma constante de tempo igual ao inverso da parte real do polo e a senoide possui uma frequência em radianos igual à parte imaginária do polo Para todos os casos de segunda ordem desenvolvemos especificações denominadas fator de amortecimento ζ e frequência natural ωn O fator de amortecimento nos dá uma ideia da natureza da resposta transitória e de quanta ultrapassagem e oscilação ela apresentará independentemente da escala de tempo A frequência natural dá uma indicação da velocidade da resposta Verificamos que o valor de ζ determina a forma da resposta natural de segunda ordem Se ζ 0 a resposta é não amortecida Se ζ 1 a resposta é subamortecida Se ζ 1 a resposta é criticamente amortecida Se ζ 1 a resposta é superamortecida 1 2 3 4 5 6 7 8 A frequência natural é a frequência de oscilação caso todo o amortecimento seja removido Ela atua como um fator de escala da resposta como pode ser observado a partir da Eq 428 na qual a variável independente pode ser considerada como sendo ωnt Para o caso subamortecido definimos várias especificações para a resposta transitória incluindo Ultrapassagem percentual UP Instante de pico Tp Tempo de acomodação Ts Tempo de subida Tr O instante de pico é inversamente proporcional à parte imaginária do polo complexo Assim linhas horizontais no plano s são linhas de instante de pico constante A ultrapassagem percentual é uma função apenas do fator de amortecimento Consequentemente linhas radiais são linhas de ultrapassagem percentual constante Finalmente o tempo de acomodação é inversamente proporcional à parte real do polo complexo Assim linhas verticais no plano s são linhas de tempo de acomodação constante Verificamos que o instante de pico a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação estão relacionados com a posição do polo Assim podemos projetar respostas transitórias relacionando uma resposta desejada com uma posição de polo e em seguida relacionando essa posição do polo com uma função de transferência e os componentes do sistema Os efeitos de não linearidades como saturação zona morta e folga foram explorados utilizando o Simulink do MATLAB Neste capítulo também avaliamos a resposta no domínio do tempo utilizando a abordagem do espaço de estados A resposta obtida desse modo foi separada em resposta para entrada zero e resposta para estado zero enquanto o método da resposta no domínio da frequência resultou em uma resposta total dividida em componentes de resposta natural e resposta forçada No próximo capítulo utilizaremos as especificações da resposta transitória desenvolvidas neste capítulo para analisar e projetar sistemas que consistem da interconexão de múltiplos subsistemas Veremos como reduzir esses sistemas a uma única função de transferência com a finalidade de aplicar os conceitos desenvolvidos no Capítulo 4 Questões de Revisão Cite a especificação de desempenho para sistemas de primeira ordem O que a especificação de desempenho para um sistema de primeira ordem nos diz Em um sistema com uma entrada e uma saída quais polos geram a resposta em regime permanente Em um sistema com uma entrada e uma saída quais polos geram a resposta transitória A parte imaginária de um polo gera qual parte de uma resposta A parte real de um polo gera qual parte de uma resposta Qual é a diferença entre a frequência natural e a frequência de oscilação amortecida Se um polo é movido com uma parte imaginária constante o que as respostas terão em 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 comum Se um polo é movido com uma parte real constante o que as respostas terão em comum Se um polo é movido ao longo de uma linha radial que se estende a partir da origem o que as respostas terão em comum Liste cinco especificações para um sistema de segunda ordem subamortecido Para a Questão 11 quantas especificações determinam completamente a resposta Que posições de polos caracterizam 1 o sistema subamortecido 2 o sistema superamortecido e 3 o sistema criticamente amortecido Cite duas condições sob as quais a resposta gerada por um polo pode ser desprezada Como você pode justificar o cancelamento de polos e zeros A solução da equação de estado fornece a resposta de saída do sistema Explique Qual é a relação entre sI A que apareceu durante a solução das equações de estado através da transformada de Laplace e a matriz de transição de estado que apareceu durante a solução clássica da equação de estado Cite uma vantagem primordial da utilização de técnicas do domínio do tempo para a obtenção da resposta Cite uma vantagem primordial da utilização de técnicas do domínio da frequência para a obtenção da resposta Quais as três informações que devem ser dadas com a finalidade de se obter a resposta de saída de um sistema utilizando técnicas do espaço de estados Como os polos de um sistema podem ser determinados a partir das equações de estado Problemas Deduza as respostas de saída para todos os itens da Figura 47 Seção 44 2 3 4 5 6 Obtenha a resposta de saída ct para cada um dos sistemas mostrados na Figura P41 Além disso obtenha a constante de tempo o tempo de subida e o tempo de acomodação para cada caso Seções 42 43 FIGURA P41 Represente graficamente as respostas ao degrau para o Problema 2 utilizando o MATLAB Determine a tensão do capacitor no circuito mostrado na Figura P42 caso a chave feche em t 0 Admita condições iniciais nulas Obtenha também a constante de tempo o tempo de subida e o tempo de acomodação para a tensão do capacitor Seções 42 43 FIGURA P42 Represente graficamente a resposta ao degrau para o Problema 4 utilizando o MATLAB A partir de seus gráficos obtenha a constante de tempo o tempo de subida e o tempo de acomodação Para o sistema mostrado na Figura P43 a obtenha uma equação que relacione o tempo de acomodação da velocidade da massa com M b obtenha uma equação que relacione o tempo 7 8 9 10 de subida da velocidade da massa com M Seções 42 43 FIGURA P43 Represente graficamente a resposta ao degrau para o Problema 6 utilizando o MATLAB A partir de seus gráficos obtenha a constante de tempo o tempo de subida e o tempo de acomodação Utilize M 1 e M 2 Para cada uma das funções de transferência mostradas a seguir determine as posições dos polos e dos zeros representeos graficamente no plano s e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau sem resolver para a transformada inversa de Laplace Declare a natureza de cada resposta superamortecida subamortecida e assim por diante Seções 43 44 Utilize o MATLAB para determinar os polos de Seção 42 Determine a função de transferência e os polos do sistema representado no espaço de estados onde Seção 410 11 12 13 14 15 Repita o Problema 10 utilizando o MATLAB Seção 410 Escreva a forma geral da tensão do capacitor para o circuito elétrico mostrado na Figura P44 Seção 44 FIGURA P44 Utilize o MATLAB para representar graficamente a tensão do capacitor no Problema 12 Seção 44 Resolva para xt no sistema mostrado na Figura P45 caso ft seja um degrau unitário Seção 44 FIGURA P45 O sistema mostrado na Figura P46 tem uma entrada em degrau unitário Obtenha a resposta de saída como uma função do tempo Admita que o sistema seja subamortecido Observe que o resultado será a Eq 428 Seção 46 16 17 18 19 20 21 22 23 a b FIGURA P46 Deduza a relação para o fator de amortecimento em função da ultrapassagem percentual Eq 439 Seção 46 Calcule a resposta exata de cada um dos sistemas do Problema 8 utilizando técnicas da transformada de Laplace e compare os resultados com os obtidos naquele problema Seções 43 e 44 Determine o fator de amortecimento e a frequência natural para cada um dos sistemas de segunda ordem do Problema 8 e mostre que o valor do fator de amortecimento está de acordo com tipo de resposta subamortecido superamortecido e assim por diante predito naquele problema Seção 45 Um sistema possui um fator de amortecimento de 05 uma frequência natural de 100 rads e um ganho cc de 1 Obtenha a resposta do sistema para uma entrada em degrau unitário Seção 46 Para cada um dos sistemas de segunda ordem a seguir determine ζ ωn Ts Tp Tr e UP Seção 46 Repita o Problema 20 utilizando o MATLAB Faça com que o programa de computador estime as especificações dadas e represente graficamente as respostas ao degrau Estime o tempo de subida a partir dos gráficos Seção 46 Utilize o MATLAB LTI Viewer e obtenha o tempo de acomodação o instante de pico o tempo de subida e a ultrapassagem percentual para cada um dos sistemas no Problema 20 Seção 46 Para cada par de especificações de sistema de segunda ordem a seguir determine a posição do par de polos de segunda ordem Seção 46 UP 12 Ts 06 segundo UP 10 Tp 5 segundos c 24 25 a b 26 a b 27 28 29 Ts 7 segundos Tp 3 segundos Determine a função de transferência de um sistema de segunda ordem que resulta em uma ultrapassagem de 123 e um tempo de acomodação de 1 segundo Seção 46 Para o sistema mostrado na Figura P47 faça o seguinte Seção 46 Obtenha a função de transferência Gs XsFs Determine ζ ωn UP Ts Tp e Tr FIGURA P47 Para o sistema mostrado na Figura P48 um torque em degrau é aplicado em θ1t Determine A função de transferência Gs θ2sTs A ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico para θ2t Seção 46 FIGURA P48 Deduza a resposta ao degrau unitário para cada uma das funções de transferência do Exemplo 48 Seção 47 Determine a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o tempo de subida e o instante de pico para Para cada uma das respostas ao degrau unitário mostradas na Figura P49 obtenha a função de transferência do sistema Seções 43 46 30 FIGURA P49 Para as seguintes funções de resposta determine se pode haver uma aproximação de cancelamento de polos e zeros Caso seja possível obtenha a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o tempo de subida e o instante de pico Seção 48 31 32 33 Utilizando o MATLAB represente graficamente a resposta no tempo do Problema 30a e a partir do gráfico determine a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico Seção 48 Determine o instante de pico o tempo de acomodação e a ultrapassagem percentual apenas para as respostas a seguir que podem ser aproximadas por respostas de segunda ordem Seção 48 Para cada uma das seguintes funções de transferência com zeros obtenha as partes constituintes da resposta ao degrau unitário 1 a derivada da resposta sem um zero e 2 a resposta sem um zero multiplicada pelo oposto do valor do zero Além disso obtenha e represente graficamente a resposta total Descreva qualquer comportamento de fase não mínima Seção 48 34 a b c 35 36 a b Utilize o Simulink do MATLAB para obter a resposta ao degrau de um sistema sujeito às seguintes condições Seção 49 O sistema é linear e acionado por um amplificador cujo ganho é 10 Um amplificador cujo ganho é 10 aciona o sistema O amplificador satura em 025 volt Descreva o efeito da saturação sobre a saída do sistema Um amplificador cujo ganho é 10 aciona o sistema O amplificador satura em 025 volt O sistema aciona um trem de engrenagens 11 que possui folga A largura da faixa inativa da folga é 002 rad Descreva o efeito da saturação e da folga sobre a saída do sistema Um sistema é representado pelas equações de estado e de saída a seguir Sem resolver a equação de estado determine os polos do sistema Seção 410 Um sistema é representado pelas equações de estado e de saída a seguir Sem resolver a equação de estado obtenha Seção 410 a equação característica os polos do sistema 37 38 39 40 Dada a seguinte representação no espaço de estados de um sistema determine Ys Seção 410 Dado o seguinte sistema representado no espaço de estados resolva para Ys utilizando o método da transformada de Laplace para a solução da equação de estado Seção 410 Resolva a seguinte equação de estado e equação de saída para yt em que ut é o degrau unitário Utilize o método da transformada de Laplace Seção 410 Resolva yt para o sistema a seguir representado no espaço de estados em que ut é o degrau unitário Utilize a abordagem da transformada de Laplace para resolver a equação de estado Seção 410 41 42 43 44 45 Utilize o MATLAB para representar graficamente a resposta ao degrau do Problema 40 Seção 410 Repita o Problema 40 utilizando a Symbolic Math Toolbox do MATLAB e a Eq 496 Adicionalmente execute seu programa com uma condição inicial Utilizando apenas métodos clássicos e não Laplace resolva para a matriz de transição de estado o vetor de estado e a saída do sistema representado por Seção 411 Utilizando apenas os métodos clássicos e não Laplace resolva para a matriz de transição de estado o vetor de estado e a saída do sistema representado a seguir em que ut é o degrau unitário Seção 411 Resolva yt para o sistema a seguir representado no espaço de estados em que ut é o degrau unitário Utilize a abordagem clássica para resolver a equação de estado Seção 46 47 48 49 411 Repita o Problema 45 utilizando a Symbolic Math Toolbox do MATLAB e a Eq 4109 Adicionalmente execute seu programa com uma condição inicial Utilizando métodos descritos no Apêndice H1 disponível no site da LTC Editora simule o sistema a seguir e represente graficamente a resposta ao degrau Verifique os valores esperados de ultrapassagem percentual instante de pico e tempo de acomodação Utilizando os métodos descritos no Apêndice H1 disponível no site da LTC Editora simule o sistema a seguir e represente graficamente a resposta yt para uma entrada em degrau Um ser humano responde a um estímulo visual com uma resposta física como mostrado na Figura P410 A função de transferência que relaciona a resposta física de saída Fs ao comando visual de entrada Vs é a b c 50 Stefani 1973 Faça o seguinte Calcule a resposta de saída para um degrau unitário utilizando a transformada de Laplace Represente a função de transferência no espaço de estados Utilize o MATLAB para simular o sistema e obter um gráfico da resposta ao degrau FIGURA P410 Passos para a determinação da função de transferência que relaciona a resposta física de saída ao comando visual de entrada Os robôs industriais são utilizados em um grande número de aplicações A Figura P411 mostra um robô utilizado para movimentar sacas de 55 libras de sal grosso um cabeçote a vácuo suspende as sacas antes de posicionálas O robô é capaz de movimentar até 12 sacas por minuto Schneider 1992 Admita um modelo em malha aberta para o controlador do suporte giratório e planta a b c 51 FIGURA P411 Um robô com atuação a vácuo suspende duas sacas de sal em que ωss é a transformada de Laplace da velocidade angular do suporte giratório do robô e Ves é a tensão aplicada ao controlador Calcule a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida da resposta em malha aberta da velocidade angular do suporte giratório para uma entrada de tensão em degrau Justifique todas as hipóteses de segunda ordem Represente o sistema em malha aberta no espaço de estados Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema e compare seus resultados aos obtidos no item a A anestesia induz relaxamento muscular paralisia e inconsciência no paciente O relaxamento muscular pode ser monitorado utilizandose os sinais de um eletromiograma dos nervos da mão a inconsciência pode ser monitorada utilizandose a pressão arterial média do sistema cardiovascular O medicamento anestésico é uma mistura de isoflurano e a b c d 52 a b c d 53 54 atracúrio Um modelo aproximado que relaciona o relaxamento muscular à porcentagem de isoflurano na mistura é em que Ps é o relaxamento muscular medido como uma fração da paralisia total normalizada para a unidade e Us é o percentual de isoflurano na mistura Linkens 1992 Seção 46 Determine o fator de amortecimento e a frequência natural da resposta transitória da paralisia Determine o percentual máximo possível da paralisia caso uma mistura com 2 de isoflurano seja utilizada Represente graficamente a resposta ao degrau da paralisia caso uma mistura com 1 de isoflurano seja utilizada Qual percentual de isoflurano deveria ser utilizado para uma paralisia de 100 Para se tratar a asma aguda injetase por via intravenosa o medicamento teofilina A taxa de variação da concentração do medicamento no sangue é igual à diferença entre a concentração injetada e a concentração eliminada A concentração injetada é itVd em que it é a vazão do medicamento por peso e Vd é o volume aparente e depende do paciente A concentração eliminada é dada por k10ct em que ct é a concentração atual do medicamento no sangue e k10 é a constante de taxa de eliminação A concentração de teofilina no sangue é crítica se for muito baixa o medicamento é ineficaz se for muito alta o medicamento é tóxico Jannett 1992 Você ajudará o médico com seus cálculos Deduza uma equação relacionando a concentração desejada no sangue CD com a vazão do medicamento por peso requerida IR Deduza uma equação que dirá por quanto tempo o medicamento deve ser administrado para alcançar a concentração desejada no sangue Utilize ambos o tempo de subida e o tempo de acomodação Determine a taxa de injeção de teofilina caso VD 600 mL k10 007 h1 e o nível requerido de medicamento no sangue seja 12 mcgmL mcg significa microgramas Ver Jannett 1992 para uma descrição dos valores dos parâmetros Determine o tempo de subida e o tempo de acomodação para as constantes no Item c Os pacientes com desordens neurológicas no sistema motor superior podem se beneficiar e recuperar funções úteis através do uso de neuropróteses funcionais O projeto requer um bom entendimento da dinâmica dos músculos Em um experimento para determinar as respostas de um músculo a função de transferência identificada foi Zhou 1995 Determine a resposta ao degrau unitário dessa função de transferência Quando eletrodos são fixados aos ossos mastoides imediatamente atrás das orelhas e pulsos de corrente são aplicados uma pessoa se inclinará para frente e para trás Foi a b 55 56 57 determinado que a função de transferência da corrente para o ângulo em graus do indivíduo em relação à vertical é dada por Nashner 1974 Determine se uma aproximação de polos dominantes pode ser aplicada a esta função de transferência Obtenha a inclinação do corpo causada por um pulso de 250 μA de 150 ms de duração Um MOEMS MEMS óptico é um sistema microeletromecânico MEMS micro electromechanical system com um canal de fibra óptica que conduz luz gerada por um diodo laser Ele também possui um fotodetector que mede as variações de intensidade luminosa e produz uma saída de tensão cujas variações são proporcionais a pequenas deflexões do dispositivo mecânico Adicionalmente uma entrada de tensão é capaz de produzir uma deflexão no dispositivo O aparato pode ser utilizado como uma chave óptica ou como um atenuador óptico variável e ele não passa de 2000 μm em nenhuma dimensão A Figura P412 mostra um par de sinais de entrada e de saída utilizados para identificar os parâmetros do sistema Admita uma função de transferência de segunda ordem e obtenha a função de transferência do sistema Borovic 2005 FIGURA P412 A resposta da deflexão em um cateter cheio de fluido para variações na pressão pode ser modelada utilizandose um modelo de segunda ordem O conhecimento dos parâmetros do modelo é importante porque em aplicações cardiovasculares a frequência natural não amortecida deve ser próxima a cinco vezes a taxa do batimento cardíaco Entretanto devido à esterilidade e outras considerações as medições dos parâmetros são difíceis Um método para se obter funções de transferência utilizando as medidas das amplitudes de dois picos sucessivos da resposta e seus tempos foi desenvolvido Glantz 1979 Admita que a Figura P413 tenha sido obtida a partir de medições do cateter Utilizando as informações mostradas e admitindo um modelo de segunda ordem excitado por uma entrada em degrau unitário obtenha a função de transferência correspondente Diversos fatores afetam o funcionamento dos rins Por exemplo a Figura P414 mostra como a b uma variação em degrau na pressão do fluxo arterial afeta o fluxo sanguíneo renal em ratos Na parte do experimento denominada rabo quente a estimulação dos receptores térmicos periféricos é realizada inserindose o rabo do rato em água quente Variações entre cobaias diferentes são indicadas pelas linhas verticais Foi argumentado que as respostas de controle e de rabo quente são idênticas exceto pelos seus valores em regime permanente DiBona 2005 Utilizando a Figura P414 obtenha as funções de transferência normalizadas cfinal 1 para ambas as respostas Utilize o MATLAB para provar ou contradizer a afirmação sobre as respostas de controle e do rabo quente FIGURA P413 58 59 FIGURA P414 A função de transferência de um dispositivo de posicionamento nanométrico capaz de mover amostras biológicas dentro de poucos μm utiliza um atuador piezoelétrico e um transformador diferencial variável linear LVDT linear variable differential transformer como um sensor de deslocamento A função de transferência da entrada para o deslocamento foi obtida como sendo Salapaka 2002 Utilize um argumento de polos dominantes para obter uma função de transferência equivalente com o mesmo numerador mas apenas três polos Utilize o MATLAB para obter as respostas ao degrau dos sistemas real e aproximado apresentando as respostas no mesmo gráfico Explique a diferença entre as respostas considerando que os pares de polos estão bem afastados Em algum instante de suas vidas a maioria das pessoas sofrerá com pelo menos um ataque de dor na coluna lombar Essa desordem pode desencadear sofrimento extenso e provocar uma incapacidade temporária mas sua causa é de difícil diagnóstico Sabese que a dor na coluna lombar altera os padrões motores principais assim há interesse em se estudar as causas dessas alterações e suas extensões Devido às diferentes causas possíveis desse tipo de dor é difícil obter um grupo de pessoas de controle para estudos em laboratório Entretanto a dor pode ser estimulada em pessoas saudáveis e as faixas de movimento muscular podem ser comparadas Dor controlada na coluna pode ser induzida injetandose uma solução salina diretamente em músculos ou ligamentos relacionados A função de transferência da taxa de infusão para a resposta de dor foi obtida experimentalmente injetandose 5 de solução salina a seis diferentes taxas de injeção por um período de 12 minutos Os indivíduos 60 61 a b c avaliavam verbalmente sua dor a cada 15 segundos em uma escala de 0 a 10 com 0 indicando ausência de dor e o 10 uma dor insuportável Foi utilizada a média de diversos ensaios e os dados foram ajustados à seguinte função de transferência Para efeito de experimentação desejase construir um sistema de infusão automática para manter o nível de dor constante como mostrado na Figura P415 Seguese que idealmente a função de transferência do sistema de injeção deveria ser para se obter uma função de transferência global MsGs 1 Entretanto para propósitos de implementação Ms deve possuir no mínimo um polo a mais do que zeros Zedka 1999 Obtenha uma função de transferência apropriada Ms invertendo Gs e adicionando polos que estejam afastados do eixo imaginário FIGURA P415 Um coração artificial funciona em malha fechada variando sua taxa de bombeamento de acordo com variações em sinais a partir do sistema nervoso receptor Para o projeto de compensação por realimentação é importante conhecer a função de transferência em malha aberta do coração Para identificar essa função de transferência um coração artificial é implantado em um bezerro enquanto as principais partes do coração original são deixadas no lugar Então a taxa de bombeamento atrial no coração original é medida enquanto variações de entrada em degrau são efetuadas no coração artificial Foi determinado que em geral a resposta obtida é muito semelhante à de um sistema de segunda ordem Em um desses experimentos determinouse que a resposta ao degrau possui uma UP 30 e um instante de primeiro pico Tp 127 s Nakamura 2002 Determine a função de transferência correspondente Uma função de transferência observada do potencial de tensão para a força em músculos esqueléticos é dada por Ionescu 2005 Obtenha a resposta ao impulso do sistema Integre a resposta ao impulso para obter a resposta ao degrau Verifique o resultado do Item b obtendo a resposta ao degrau utilizando técnicas da 62 a b c 63 a b transformada de Laplace Em aeronaves convencionais típicas a linearização do modelo de voo longitudinal resulta em funções de transferência com dois pares de polos complexos conjugados Consequentemente a resposta natural para esses aviões possui dois modos O modo de período curto é relativamente bem amortecido e possui uma oscilação de alta frequência O modo fugoide é levemente amortecido e sua frequência de oscilação é relativamente baixa Por exemplo em uma aeronave específica a função de transferência da deflexão do profundor da asa para o ângulo do nariz ângulo de ataque é McRuer 1973 Determine quais dos polos correspondem ao modo de período curto e quais correspondem ao modo fugoide Realize uma aproximação fugoide aproximação por polos dominantes mantendo os dois polos e o zero mais próximos ao eixo ω Utilize o MATLAB para comparar as respostas ao degrau da função de transferência original e da aproximação Uma crosslapper é uma máquina que tem como entrada um tecido de fibra leve e produz um tecido mais pesado colocando o tecido original em camadas giradas de 90 graus Um sistema com realimentação é requerido com a finalidade de manter a largura e a espessura do produto consistentes controlando a velocidade da esteira A função de transferência do torque do servomotor Tms para a velocidade da esteira Ys foi desenvolvida para tal máquina Kuo 2008 Admita que a função de transferência seja Utilize o MATLAB para determinar os resíduos das frações parciais e polos de Gs Obtenha uma aproximação de Gs desprezando os termos de segunda ordem encontrados no Item a c 64 65 a Utilize o MATLAB para apresentar no mesmo gráfico a resposta ao degrau da função de transferência dada e da aproximação obtida no Item b Explique a diferença entre as duas respostas Embora a utilização de cálculo fracionário em sistemas de controle não seja novidade na última década houve um interesse crescente em sua utilização por várias razões As mais relevantes são que equações diferenciais de cálculo fracionário podem modelar certos sistemas com maior exatidão que equações diferenciais inteiras e que compensadores de cálculo fracionário podem apresentar propriedades vantajosas para o projeto de sistemas de controle Um exemplo de uma função de transferência obtida através de cálculo fracionário é Esta função pode ser aproximada por uma função de transferência racional inteira potências inteiras de s utilizandose o método de Oustaloup Xue 2005 Pedimos agora que você faça uma pequena pesquisa e consulte a referência anteriormente mencionada para obter e executar um arquivo m que irá calcular a aproximação em função de transferência racional inteira de Gs e representar graficamente sua resposta A modelagem matemática e o controle de processos de pH são bastante desafiadores uma vez que os processos são altamente não lineares devido à relação logarítmica entre a concentração dos íons de hidrogênio H e o nível de pH A função de transferência da entrada de pH para a saída de em que G a s é um modelo para o processo anaeróbico em um sistema de tratamento de esgoto no qual bactérias produtoras de metano precisam que o pH seja mantido em sua faixa ótima de 68 a 72 Jiayu 2009 Semelhantemente Elarafi 2008 utilizou técnicas empíricas para modelar uma planta de neutralização de pH como um sistema de segunda ordem com um atraso puro produzindo a seguinte função de transferência relacionando o pH de saída com o pH de entrada Obtenha expressões analíticas para as respostas ao degrau unitário yat e ypt para os b 66 a b 67 dois processos Gas e Gps Sugestão utilize o teorema do deslocamento no tempo da Tabela 22 Utilize o Simulink para apresentar yat e ypt em um mesmo gráfico Utilizando testes em túnel de vento a dinâmica de voo de insetos pode ser estudada de forma muito similar àquela utilizada para os aviões construídos pelo homem As equações de voo longitudinal linearizadas para um abelhão foram obtidas para o caso não forçado como sendo em que u velocidade para a frente w velocidade vertical q velocidade angular de arfagem em relação ao centro de massa e θ ângulo de arfagem entre a direção de voo e a horizontal Sun 2005 Utilize o MATLAB para obter os autovalores do sistema Escreva a forma geral da matriz de transição de estado Quantas constantes devem ser obtidas Um conversor cccc é um aparelho que tem como entrada uma tensão cc não regulada e fornece uma tensão cc regulada como saída A tensão de saída pode ser mais baixa conversor abaixador buck mais alta conversor elevador boost ou igual à tensão de entrada Conversores cccc chaveados possuem uma chave semicondutora ativa BJT ou FET que é fechada periodicamente com um ciclo ativo d na forma de uma largura de pulso modulada PWM pulse width modulated Para um conversor elevador técnicas de médias podem ser utilizadas para se chegar às seguintes equações de estado Van Dijk 1995 em que L e C são respectivamente os valores da indutância e da capacitância internas iL é a corrente através do indutor interno R é a carga resistiva conectada ao conversor Es é a tensão cc de entrada e a tensão do capacitor uC é a saída do conversor a b 68 a b c Escreva as equações do conversor na forma admitindo que d é uma constante Utilizando as matrizes A B e C do Item a obtenha a função de transferência do conversor Um compósito metalpolímero iônico IPMC ionic polymermetal composite é uma folha de Nafion revestida de ouro em ambos os lados Um IPMC se curva quando um campo elétrico é aplicado através de sua espessura Os IPMCs são utilizados como atuadores robóticos em diversas aplicações e como cateteres ativos em aplicações biomédicas Com o objetivo de melhorar os tempos de acomodação dos atuadores um modelo no espaço de estados foi desenvolvido para uma amostra de polímero de 20 mm 10 mm 02 mm Mallavarapu 2001 em que u é a tensão de entrada aplicada e y é a deflexão em uma das extremidades do material quando a amostra é testada em uma configuração de braço de suporte Obtenha a matriz de transição de estado para o sistema A partir da Eq 4109 do texto seguese que se um sistema tem condições iniciais nulas a saída do sistema para qualquer entrada pode ser calculada diretamente a partir da representação no espaço de estados e da matriz de transição de estado utilizando Utilize esta equação para obter a resposta ao degrau unitário com condição inicial nula para a amostra do material IPMC Utilize o MATLAB para verificar que seu cálculo da resposta ao degrau no Item b está correto PROBLEMAS DE PROJETO 69 70 71 72 73 Obtenha uma equação que relacione o tempo de acomodação de 2 ao valor de ƒv para o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P416 Despreze a massa de todos os componentes Seção 46 FIGURA P416 Considere o sistema mecânico translacional mostrado na Figura P417 Uma força de 1 libra ft é aplicada em t 0 Se ƒv 1 determine K e M de modo que a resposta seja caracterizada por um tempo de acomodação de 4 segundos e um instante de pico de 1 segundo Determine também a ultrapassagem percentual resultante Seção 46 FIGURA P417 Dado o sistema mecânico translacional da Figura P417 em que K 1 e ƒt é um degrau unitário determine os valores de M e ƒv para produzir uma resposta com uma ultrapassagem de 17 e um tempo de acomodação de dez segundos Seção 46 Determine J e K para o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P418 para produzir uma ultrapassagem de 30 e um tempo de acomodação de três segundos para uma entrada em degrau no torque Seção 46 FIGURA P418 Dado o sistema mostrado na Figura P419 determine o amortecimento D para produzir uma ultrapassagem de 30 no deslocamento angular de saída para uma entrada em degrau no torque Seção 46 74 75 FIGURA P419 Para o sistema mostrado na Figura P420 determine N1N2 de modo que o tempo de acomodação para uma entrada de torque em degrau seja de 16 segundos Seção 46 FIGURA P420 Determine M e K mostrados no sistema da Figura P421 para produzir xt com 10 de ultrapassagem e 15 segundos de tempo de acomodação para uma entrada em degrau no torque do motor Tmt Seção 46 FIGURA P421 76 77 78 79 80 Caso vet seja uma tensão em degrau no circuito mostrado na Figura P422 determine o valor do resistor tal que uma ultrapassagem de 20 em tensão seja vista sobre o capacitor se C 106 F e L 1 H Seção 46 FIGURA P422 Caso vet seja uma tensão em degrau no circuito mostrado na Figura P422 determine os valores de R e C para produzir uma ultrapassagem de 20 e um tempo de acomodação de 1 ms para vct se L 1 H Seção 46 Dado o circuito da Figura P422 em que C 10 μF determine R e L para produzir 15 de ultrapassagem com um tempo de acomodação de 7 ms para a tensão do capacitor A entrada vet é um degrau unitário Seção 46 Para o circuito mostrado na Figura P423 determine os valores de R2 e C para produzir 8 de ultrapassagem com um tempo de acomodação de 1 ms para a tensão sobre o capacitor com vet sendo uma entrada em degrau Seção 46 FIGURA P423 As bombas hidráulicas são utilizadas como entradas de circuitos hidráulicos para fornecer pressão exatamente como as fontes de tensão suprem potencial para os circuitos elétricos Aplicações para circuitos hidráulicos podem ser encontradas nas indústrias de robótica e aeronáutica em que atuadores hidráulicos são utilizados para movimentar partes constituintes A Figura P424 mostra as partes internas de uma bomba Um tambor contendo pistões igualmente espaçados gira em torno do eixo i Um prato rotativo ajustado segundo um determinado ângulo faz com que as sapatas nas extremidades dos pistões os desloquem para dentro e para fora Quando os pistões estão se movendo através da porta de admissão eles estão se estendendo e quando se movem através da porta de descarga eles estão se retraindo e impelindo fluido através da porta O atuador grande e o atuador pequeno nas 81 a b partes superior e inferior respectivamente controlam o ângulo do prato rotativo α O ângulo do prato rotativo afeta o comprimento do curso do pistão Assim controlando o ângulo do prato rotativo a vazão de descarga da bomba pode ser regulada Admita que a equação de estado para a bomba hidráulica seja e que Pd seja a pressão de descarga da bomba Manring 1996 Determine o valor do ganho do controlador de vazão Kc de modo que o fator de amortecimento dos polos do sistema seja 09 FIGURA P424 Diagrama da bomba Reproduzido com permissão da ASME PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 67c no Capítulo 2 pediu que você determinasse Gs Yhs YcatsFcimas OConnor 1997 Utilize os polos dominantes desta função de transferência e estime a ultrapassagem percentual o fator de amortecimento a frequência natural o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida Determine se a aproximação de segunda ordem é válida c 82 a b c 83 a Obtenha a resposta ao degrau de Gs e compare os resultados com os do Item a Controle de HIVAIDS No Capítulo 3 Problema 31 desenvolvemos um modelo linearizado no espaço de estados da infecção do HIV O modelo supôs que dois medicamentos diferentes estavam sendo utilizados para combater a propagação do vírus HIV Como este livro se dedica aos sistemas de entrada única e saída única apenas um dos dois medicamentos será considerado Admitiremos que apenas os RTIs sejam utilizados como entrada Assim nas equações do Capítulo 3 Problema 31 u2 0 Craig 2004 Mostre que quando apenas os RTIs são utilizados no sistema linearizado do Problema 31 e substituindo os valores típicos dos parâmetros dados na tabela do Problema 31c a representação no espaço de estados resultante para o sistema é dada por Obtenha a função de transferência da eficiência do RTI para a quantidade de vírus isto é obtenha Admitindo que os RTIs sejam 100 efetivos qual será a variação em regime permanente da quantidade de vírus em um paciente infectado específico Expresse sua resposta em cópias de vírus por mL de plasma Aproximadamente quanto tempo o medicamento levará para alcançar sua máxima efetividade possível Veículo híbrido Admita que a dinâmica motriz para um veículo elétrico híbrido HEV possa ser descrita pela função de transferência em que ΔV é a variação da velocidade em mseg e ΔFe é a variação força propulsora excedente em N necessária para propulsionar o veículo Obtenha uma expressão analítica para Δvt para uma variação em degrau na força b 1 2 a b c 3 a b 4 a b propulsora excedente ΔFe 2650 N Simule o sistema usando o MATLAB Represente graficamente a expressão obtida no Item a junto com o resultado de sua simulação Investigando em Laboratório Virtual Experimento 41 Objetivo Avaliar o efeito da posição de polos e zeros sobre a resposta no tempo de sistemas de primeira e de segunda ordens Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox PréEnsaio Dada a função de transferência calcule o tempo de acomodação e o tempo de subida para os seguintes valores de a 1 2 3 e 4 Além disso represente graficamente os polos Dada a função de transferência Calcule a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida para os seguintes valores a 4 b 25 Além disso represente graficamente os polos Calcule os valores de a e b de modo que a parte imaginária dos polos permaneça a mesma porém a parte real seja o dobro em relação ao PréEnsaio 2a e repita o Pré Ensaio 2a Calcule os valores de a e b de modo que a parte imaginária dos polos permaneça a mesma porém a parte real seja reduzida à metade em relação ao PréEnsaio 2a e repita o PréEnsaio 2a Para o sistema do PréEnsaio 2a calcule os valores de a e b de modo que a parte real dos polos permaneça a mesma porém a parte imaginária seja dobrada em relação ao Pré Ensaio 2a e repita o PréEnsaio 2a Para o sistema do PréEnsaio 2a calcule os valores de a e b de modo que a parte real dos polos permaneça a mesma porém a parte imaginária seja quadruplicada em relação ao PréEnsaio 2a e repita o PréEnsaio 2a Para o sistema do PréEnsaio 2a calcule os valores de a e b de modo que o fator de amortecimento permaneça o mesmo porém a frequência natural seja dobrada em relação ao PréEnsaio 2a e repita o PréEnsaio 2a Para o sistema do PréEnsaio 2a calcule os valores de a e b de modo que o fator de amortecimento permaneça o mesmo porém a frequência natural seja quadruplicada em relação ao PréEnsaio 2a e repita o PréEnsaio 2a 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Descreva brevemente os efeitos na resposta no tempo à medida que os polos são alterados em cada um dos PréEnsaios 2 3 e 4 Ensaio Utilizando o Simulink prepare os sistemas do PréEnsaio 1 e apresente a resposta ao degrau de cada uma das quatro funções de transferência em um único gráfico utilizando o Simulink LTI Viewer Além disso registre os valores do tempo de acomodação e do tempo de subida para cada resposta ao degrau Utilizando o Simulink prepare os sistemas do PréEnsaio 2 Utilizando o Simulink LTI Viewer apresente a resposta ao degrau de cada uma das três funções de transferência em um único gráfico Além disso registre os valores da ultrapassagem percentual do tempo de acomodação do instante de pico e do tempo de subida para cada resposta ao degrau Utilizando o Simulink prepare os sistemas do PréEnsaio 2a e do PréEnsaio 3 Utilizando o Simulink LTI Viewer apresente a resposta ao degrau de cada uma das três funções de transferência em um único gráfico Além disso registre os valores da ultrapassagem percentual do tempo de acomodação do instante de pico e do tempo de subida para cada resposta ao degrau Utilizando o Simulink prepare os sistemas do PréEnsaio 2a e do PréEnsaio 4 Utilizando o Simulink LTI Viewer apresente a resposta ao degrau de cada uma das três funções de transferência em um único gráfico Além disso registre os valores da ultrapassagem percentual do tempo de acomodação do instante de pico e do tempo de subida para cada resposta ao degrau PósEnsaio Para os sistemas de primeira ordem construa uma tabela de valores calculados e experimentais do tempo de acomodação tempo de subida e posição do polo Para os sistemas de segunda ordem do PréEnsaio 2 construa uma tabela de valores calculados e experimentais da ultrapassagem percentual tempo de acomodação instante de pico tempo de subida e posição dos polos Para os sistemas de segunda ordem do PréEnsaio 2a e do PréEnsaio 3 construa uma tabela de valores calculados e experimentais da ultrapassagem percentual tempo de acomodação instante de pico tempo de subida e posição dos polos Para os sistemas de segunda ordem do PréEnsaio 2a e do PréEnsaio 4 construa uma tabela de valores calculados e experimentais da ultrapassagem percentual tempo de acomodação instante de pico tempo de subida e posição dos polos Discuta os efeitos da posição dos polos sobre a resposta no tempo tanto para os sistemas de primeira ordem quando para os sistemas de segunda ordem Discuta quaisquer discrepâncias entre seus valores calculados e experimentais Experimento 42 Objetivo Avaliar o efeito de polos e zeros adicionais sobre a resposta no tempo de sistemas de segunda ordem Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox a b c 2 3 4 1 2 3 4 1 PréEnsaio Dada a função de transferência calcule a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida Além disso represente graficamente os polos Adicione um polo em 200 ao sistema do PréEnsaio 1a Estime se a resposta transitória no PréEnsaio 1a será afetada significativamente Repita o PréEnsaio 1b com o polo colocado sucessivamente em 20 10 e 2 Um zero é adicionado ao sistema do PréEnsaio 1a em 200 e em seguida movimentado para 50 20 10 5 e 2 Liste os valores da posição do zero na ordem do maior para o menor efeito sobre a resposta transitória de segunda ordem pura Dada a função de transferência seja a 3 e b 301 31 33 35 e 40 Quais os valores de b terão um efeito mínimo sobre a resposta transitória de segunda ordem pura Dada a função de transferência seja a 30 e b 3001 301 305 31 35 e 40 Quais os valores de b terão um efeito mínimo na resposta transitória de segunda ordem pura Ensaio Utilizando o Simulink adicione um polo ao sistema de segunda ordem do Préensaio 1a e apresente as respostas ao degrau do sistema quando o polo de ordem superior não existe e quando ele está em 200 20 10 e 2 Apresente os resultados em um único gráfico utilizando o Simulink LTI Viewer Normalize todas as respostas para um valor em regime permanente unitário Registre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida para cada resposta Utilizando o Simulink adicione um zero ao sistema de segunda ordem do PréEnsaio 1a e apresente as respostas ao degrau do sistema quando o zero não existe e quando ele está em 200 50 20 10 5 e 2 Apresente seus resultados em um único gráfico utilizando o Simulink LTI Viewer Normalize todas as respostas para um valor em regime permanente unitário Registre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida para cada resposta Utilizando o Simulink e a função de transferência do PréEnsaio 3 com a 3 apresente as respostas ao degrau do sistema quando o valor de b for 3 301 31 33 35 e 40 Apresente os resultados em um único gráfico utilizando o Simulink LTI Viewer Registre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida para cada resposta Utilizando o Simulink e a função de transferência do PréEnsaio 4 com a 30 apresente as respostas ao degrau do sistema quando o valor de b for 30 3001 301 305 31 35 e 40 Apresente seus resultados em um único gráfico utilizando o Simulink LTI Viewer Registre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida para cada resposta 1 2 3 1 2 3 PósEnsaio Discuta o efeito sobre a resposta transitória da proximidade de um polo de ordem superior do par de polos dominantes de segunda ordem Discuta o efeito sobre a resposta transitória da proximidade de um zero do par de polos dominantes de segunda ordem Explore a relação entre o comprimento do vetor de zero até o polo dominante e o efeito do zero sobre a resposta ao degrau de segunda ordem pura Discuta o efeito do cancelamento de polo e zero sobre a resposta transitória de um par de polos dominantes de segunda ordem Faça uma alusão sobre quão próximos o polo e o zero sendo cancelados devem estar e a relação entre 1 a distância entre eles e 2 a distância entre o zero e os polos dominantes de segunda ordem Experimento 43 Objetivo Utilizar o LabVIEW Control Design and Simulation Module para a análise do desempenho de sistemas no domínio do tempo Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module PréEnsaio Um dos braços robóticos de acionamento direto experimentais construído no Laboratório de Inteligência Artificial do MTT e no Instituto de Robótica da CMU pode ser representado como um sistema de controle com realimentação com uma entrada de posição angular desejada para a posição da articulação do robô e uma saída de posição angular representando a posição real da articulação do robô O caminho à frente consiste em três funções de transferência em cascata 1 um compensador Gcs para melhorar o desempenho 2 um amplificador de potência de ganho Ka 1 e 3 a função de transferência do motor e da carga Gs 2292ss 756 Admita um sistema com realimentação unitária Inicialmente o sistema será controlado com Gcs 06234 chamado de controlador proporcional McKerrow 1991 Obtenha a função de transferência do sistema em malha fechada e utilize o MATLAB para representar graficamente a resposta ao degrau unitário resultante Repita com Gcs 305 004s que é chamado de controlador PD Compare ambas as respostas e teça conclusões a respeito de suas especificações no domínio do tempo Ensaio Crie uma VI no LABVIEW que utilize um laço de simulação para implementar ambos os controladores definidos no PréEnsaio Apresente as respostas no mesmo gráfico para facilitar a comparação PósEnsaio Compare as respostas obtidas usando sua VI no LABVIEW com as obtidas no Pré Ensaio Experimento 44 Objetivo Utilizar o LabVIEW Control Design and Simulation Module para avaliar o efeito da posição do polo sobre a resposta no tempo de sistemas de segunda ordem Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module PréEnsaio Realize o Item 2 do PréEnsaio do Experimento 41 de Investigando em Laboratório Virtual Ensaio Construa uma VI no LABVIEW para implementar as funções estudadas no Item 2 do Pré Ensaio de Investigando em Laboratório Virtual 41 Especificamente para o Item a do PréEnsaio seu front panel terá os coeficientes da função de transferência de segunda ordem como entrada O front panel também terá os seguintes indicadores 1 a função de transferência 2 a representação no espaço de estados 3 as posições dos polos 4 o gráfico da resposta ao degrau 5 a resposta no tempo dos dois estados no mesmo gráfico 6 os dados paramétricos da resposta no tempo incluindo o tempo de subida o instante de pico o tempo de acomodação a ultrapassagem percentual o valor de pico e o valor final Para o Item b do PréEnsaio o front panel também terá os seguintes indicadores 1 o gráfico da resposta ao degrau e 2 os dados paramétricos listados anteriormente para o Item a do Pré Ensaio mas específicos para o Item b Para o Item c do PréEnsaio o front panel também terá os seguintes indicadores 1 o gráfico da resposta ao degrau e 2 os dados paramétricos listados anteriormente para o Item a do Pré Ensaio mas específicos para o Item c Execute a VI para obter os dados dos indicadores PósEnsaio Utilize os resultados para discutir o efeito da posição do polo sobre a resposta ao degrau Bibliografia Borovic B Liu A Q Popa D and Lewis F L OpenLoop versus ClosedLoop Control of MEMS Devices Choices and Issues Journal of Micromechanics Microengineering vol 15 2005 pp 19171924 Craig I K Xia X and Venter J W Introducing HIVAIDS Education into the Electrical Engineering Curriculum at the University of Pretoria IEEE Transactions on Education vol 47 no 1 February 2004 pp 6573 DiBona G F Physiology in Perspective The Wisdom of the Body Neural Control of the Kidney American Journal of PhysiologyRegulatory Integrative and Comparative Physiology vol 289 2005 pp R633 R641 Dorf R C Introduction to Electric Circuits 2d ed Wiley New York 1993 Elarafi M G M K and Hisham S B Modeling and Control of pH Neutralization Using Neural Network Predictive Controller International Conference on Control Automation and Systems 2008 Seoul Korea Oct 1417 2008 Franklin G 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D The Dynamic Response of the Cat Ankle Joint During LoadMoving Contractions IEEE Transactions on Biomedical Engineering vol 42 no 4 1995 pp 386393 1A resposta forçada é também chamada de resposta em regime permanente ou solução particular A resposta natural é também chamada de solução homogênea 2Estritamente falando esta é a definição do tempo de acomodação de 2 Outros percentuais por exemplo 5 também podem ser utilizados Utilizaremos tempo de acomodação em todo o livro com o significado de tempo de acomodação de 2 3Denominada dessa forma porque superamortecido se refere a uma grande absorção de energia no sistema o que evita que a resposta transitória apresente ultrapassagem e oscile em torno do valor em regime permanente para uma entrada em degrau À medida que a absorção de energia é reduzida um sistema superamortecido se tornará subamortecido e apresentará ultrapassagem 4O estudante deve verificar a Figura 411 como exercício 5A Figura 416 pode ser aproximada pelos seguintes polinômios ωnTr 176ζ3 0417ζ2 1039ζ 1 erro máximo menor que para 0 ζ 09 e ζ 0115ωnTr3 0883 ωnTr2 2504ωnTr 1738 erro máximo menor que 5 para 01 ζ 09 Os polinômios foram obtidos com a utilização da função polyfit do MATLAB 6Algumas vezes o símbolo λ é utilizado no lugar da variável complexa s na solução das equações de estado sem a utilização da transformada de Laplace Assim é comum encontrar a equação característica também escrita como det λI A 0 7Esta relação de produto será deduzida no Capítulo 5 Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Reduzir um diagrama de blocos de subsistemas múltiplos a um único bloco representando a função de transferência da entrada para a saída Seções 5152 Analisar e projetar a resposta transitória para um sistema consistindo em subsistemas múltiplos Seção 53 Converter diagramas de blocos em diagramas de fluxo de sinal Seção 54 Obter a função de transferência de subsistemas múltiplos usando a regra de Mason Seção 55 Representar equações de estado como diagramas de fluxo de sinal Seção 56 Representar subsistemas múltiplos no espaço de estados na forma em cascata paralela canônica controlável e canônica observável Seção 57 Realizar transformações entre sistemas similares usando matrizes de transformação e diagonalizar uma matriz de sistema Seção 58 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de a obter a função de transferência em malha fechada que representa o sistema da entrada para a saída b obter uma representação no espaço de estados para o sistema em malha fechada c predizer para um modelo simplificado do sistema a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico do sistema em malha fechada para uma entrada em degrau d calcular a resposta ao degrau para o sistema em malha fechada e e para o modelo simplificado projetar o ganho do sistema para atender um requisito de resposta transitória Dados os diagramas de blocos dos sistemas de controle de arfagem e de rumo do Veículo Submersível Não Tripulado Independente UFSS nas guardas traseiras você será capaz de representar cada sistema de controle no espaço de estados 51 Introdução Estivemos trabalhando com subsistemas individuais representados por um bloco com sua entrada e sua saída Entretanto sistemas mais complexos são representados pela interconexão de diversos subsistemas Uma vez que a resposta de uma única função de transferência pode ser calculada desejamos representar subsistemas múltiplos através de uma única função de transferência Assim podemos aplicar as técnicas analíticas dos capítulos anteriores e obter as informações da resposta transitória relativa ao sistema como um todo Neste capítulo os subsistemas múltiplos são representados de duas maneiras como diagramas de blocos e como diagramas de fluxo de sinal Embora nenhuma dessas representações seja restrita a uma técnica específica de análise ou projeto os diagramas de blocos geralmente são utilizados para análise e projeto no domínio da frequência e os diagramas de fluxo de sinal para análise no espaço de estados Os diagramas de fluxo de sinal representam as funções de transferência como linhas e os sinais como pequenos nós circulares A soma fica implícita Para mostrar por que é conveniente utilizar diagramas de fluxo de sinal para análise e projeto no espaço de estados considere a Figura 310 Uma representação gráfica da função de transferência do sistema é tão simples quanto a Figura 310a Entretanto uma representação gráfica de um sistema no espaço de estados requer a representação de cada variável de estado como na Figura 310b Neste exemplo uma função de transferência de um único bloco requer sete blocos e uma junção de soma para mostrar as variáveis de estado explicitamente Assim os diagramas de fluxo de sinal possuem vantagens sobre os diagramas de bloco como o da Figura 310b eles podem ser desenhados mais rapidamente são mais compactos e destacam as variáveis de estado Desenvolveremos técnicas para reduzir cada representação a uma única função de transferência A álgebra de diagramas de blocos será utilizada para reduzir os diagramas de blocos e a regra de Mason para reduzir os diagramas de fluxo de sinal Novamente deve ser enfatizado que esses métodos são tipicamente utilizados como descrito Entretanto poderemos ver que ambos os métodos podem ser utilizados para análise e projeto no domínio da frequência ou no espaço de estados 52 Diagramas de Blocos Como você já sabe um subsistema é representado como um bloco com uma entrada uma saída e uma função de transferência Muitos sistemas são constituídos de subsistemas múltiplos como na Figura 51 Quando subsistemas múltiplos são conectados alguns elementos esquemáticos adicionais devem ser acrescentados ao diagrama de blocos Esses novos elementos são as junções de soma e os pontos de ramificação Todas as partes constituintes de um diagrama de blocos para um sistema linear invariante no tempo são mostradas na Figura 52 A característica da junção de soma mostrada na Figura 52c é que o sinal de saída Cs é a soma algébrica dos sinais de entrada R1s R2s e R3s A figura mostra três entradas porém qualquer número de entradas pode estar presente Um ponto de ramificação como mostrado na Figura 52d distribui o sinal de entrada Rs inalterado para vários pontos de saída FIGURA 51 O ônibus espacial consiste em subsistemas múltiplos Você pode identificar aqueles que são sistemas de controle ou partes de sistemas de controle FIGURA 52 Componentes de um diagrama de blocos para um sistema linear invariante no tempo Examinaremos agora algumas topologias comuns para interconectar subsistemas e deduziremos a representação em função de transferência única para cada uma delas Essas topologias comuns formarão a base para a redução de sistemas mais complexos a um único bloco Forma em Cascata A Figura 53a mostra um exemplo de subsistemas em cascata Valores de sinais intermediários são mostrados na saída de cada subsistema Cada sinal é obtido pelo produto da entrada pela função de transferência A função de transferência equivalente Ges mostrada na Figura 53b é a transformada de Laplace da saída dividida pela transformada de Laplace da entrada da Figura 53a ou que é o produto das funções de transferência dos subsistemas A Equação 51 foi obtida considerando a hipótese de que os subsistemas interconectados não carregam os subsistemas adjacentes Isto é a saída de um subsistema permanece a mesma estando ou não o subsistema subsequente conectado Caso ocorra uma alteração na saída o subsistema subsequente carrega o subsistema anterior e a função de transferência equivalente não é o produto das funções de transferência individuais O circuito da Figura 54a ilustra este conceito Sua função de transferência é Analogamente o circuito da Figura 54b possui a seguinte função de transferência FIGURA 53 a Subsistemas em cascata b função de transferência equivalente FIGURA 54 Carregamento em sistemas em cascata Se os circuitos forem colocados em cascata como na Figura 54c você pode verificar que a função de transferência obtida usando equações das malhas ou dos nós é Mas utilizando a Eq 51 As Eqs 54 e 55 não são iguais a Eq 54 possui um termo a mais no coeficiente de s no denominador e está correta Uma forma de se evitar o carregamento é utilizar um amplificador entre os dois circuitos como mostrado na Figura 54d O amplificador possui uma entrada com impedância elevada de modo que ele não carrega o circuito anterior Ao mesmo tempo possui uma saída com baixa impedância de modo que ele aparenta ser uma fonte de tensão pura para o circuito subsequente Com a inclusão do amplificador a função de transferência equivalente é o produto das funções de transferências e do ganho K do amplificador Forma Paralela A Figura 55 mostra um exemplo de subsistemas em paralelo Novamente escrevendo a saída de cada subsistema podemos obter a função de transferência equivalente Os subsistemas em paralelo possuem uma entrada comum e uma saída formada pela soma algébrica das saídas de todos os subsistemas A função de transferência equivalente Ges é a transformada da saída dividida pela transformada da entrada da Figura 55a ou que é a soma algébrica das funções de transferência dos subsistemas este resultado aparece na Figura 55b Forma com Realimentação A terceira topologia é a forma com realimentação a qual será vista repetidamente nos capítulos subsequentes O sistema com realimentação forma a base para nosso estudo da engenharia de sistemas de controle No Capítulo 1 definimos sistemas em malha aberta e em malha fechada e destacamos a vantagem dos sistemas em malha fechada ou sistemas de controle com realimentação sobre os sistemas em malha aberta À medida que avançamos iremos nos focar na análise e no projeto de sistemas com realimentação FIGURA 55 a Subsistemas em paralelo b função de transferência equivalente FIGURA 56 a Sistema de controle com realimentação b modelo simplificado c função de transferência equivalente Vamos deduzir a função de transferência que representa o sistema de sua entrada para sua saída O sistema com realimentação típico descrito em detalhes no Capítulo 1 é mostrado na Figura 56a um modelo simplificado é mostrado na Figura 56b1 Dirigindo nossa atenção para o modelo simplificado Mas uma vez que Cs EsGs Substituindo a Eq 58 na Eq 57 e resolvendo para a função de transferência CsRs Ges obtemos a função de transferência equivalente ou em malha fechada mostrada na Figura 56c O produto GsHs na Eq 59 é chamado de função de transferência em malha aberta ou ganho de malha Até agora exploramos três configurações diferentes para subsistemas múltiplos Para cada um deles determinamos a função de transferência equivalente Uma vez que essas três formas são combinadas em arranjos complexos nos sistemas físicos reconhecer essas topologias é um pré requisito para obter a função de transferência equivalente de um sistema complexo Nesta seção iremos reduzir sistemas complexos constituídos de subsistemas múltiplos a funções de transferências únicas Movendo Blocos para Criar Formas Familiares Antes de iniciarmos a redução dos diagramas de blocos devese esclarecer que as formas familiares em cascata paralela e com realimentação nem sempre ficam aparentes em um diagrama de blocos Por exemplo se na forma com realimentação houver um ponto de ramificação depois da junção de soma você não pode utilizar a fórmula de realimentação para reduzir o sistema com realimentação a um único bloco O sinal desaparece e não há local para se restabelecer o ponto de ramificação Esta subseção discutirá movimentos básicos de blocos que podem ser feitos com a finalidade de estabelecer formas familiares quando elas quase existirem Em particular será explicado como mover os blocos para a esquerda e para a direita passando por junções de soma e pontos de ramificação A Figura 57 mostra diagramas de blocos equivalentes formados quando funções de transferência são movidas para a esquerda ou para a direita passando uma junção de soma e a Figura 58 mostra diagramas de blocos equivalentes formados quando funções de transferência são movimentadas para a esquerda ou para a direita passando um ponto de ramificação Nos diagramas o símbolo significa equivalente a Essas equivalências junto com as formas estudadas anteriormente nesta seção podem ser utilizadas para reduzir um diagrama de blocos a uma única função de transferência Em cada caso das Figuras 57 e 58 a equivalência pode ser verificada seguindose os sinais da entrada até a saída e reconhecendose que os sinais de saída são idênticos Por exemplo na Figura 57a os sinais Rs e Xs são multiplicados por Gs antes de chegarem à saída Assim os dois diagramas de blocos são equivalentes com Cs RsGs XsGs Na Figura 57b Rs é multiplicado por Gs antes de chegar à saída mas Xs não Portanto os dois diagramas de blocos na Figura 57b são equivalentes com Cs RsGs Xs Para os pontos de ramificação um raciocínio similar conduz a resultados similares para os diagramas de blocos das Figuras 58a e b Vamos agora juntar tudo com exemplos de redução de diagramas de blocos FIGURA 57 Álgebra de diagramas de blocos para junções de soma formas equivalentes para o movimento de um bloco a para a esquerda passando uma junção de soma b para a direita passando uma junção de soma FIGURA 58 Álgebra de diagramas de blocos para pontos de ramificação formas equivalentes para o movimento de um bloco a para a esquerda passando por um ponto de ramificação b para a direita passando por um ponto de ramificação Exemplo 51 Redução de Diagrama de Blocos através de Formas Familiares PROBLEMA Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura 59 a uma única função de transferência FIGURA 59 Diagrama de blocos para o Exemplo 51 SOLUÇÃO Resolvemos o problema seguindo as etapas na Figura 510 Primeiro as três junções de soma podem ser combinadas em uma única junção de soma como mostrado na Figura 510a Segundo perceba que as três funções de realimentação H1s H2s e H3s estão conectadas em paralelo Elas são alimentadas a partir de uma fonte de sinal comum e suas saídas são somadas A função equivalente é H1s H2s H3s Perceba também que G2s e G3s estão conectadas em cascata Assim a função de transferência equivalente é o produto G3sG2s Os resultados dessas etapas são mostrados na Figura 510b Finalmente o sistema com realimentação é reduzido e multiplicado por G1s para fornecer a função de transferência equivalente mostrada na Figura 510c FIGURA 510 Etapas para a solução do Exemplo 51 a Combine as junções de soma b forme o equivalente ao sistema em cascata no caminho à frente e o equivalente ao sistema paralelo no caminho de realimentação c forme o equivalente ao sistema com realimentação e multiplique por G1s em cascata Exemplo 52 Redução de Diagrama de Blocos através da Movimentação de Blocos PROBLEMA Reduza o sistema mostrado na Figura 511 a uma única função de transferência FIGURA 511 Diagrama de blocos para o Exemplo 52 SOLUÇÃO Neste exemplo fazemos uso das formas equivalentes mostradas nas Figuras 57 e 58 Primeiro mova G2s para a esquerda passando o ponto de ramificação para criar subsistemas paralelos e reduzir o sistema com realimentação consistindo em G3s e H3s Esse resultado é mostrado na Figura 512a Segundo reduza o par paralelo consistindo em 1G2s e a unidade e mova G1s para a direita passando a junção de soma criando subsistemas paralelos na realimentação Esses resultados são mostrados na Figura 512b FIGURA 512 Etapas da redução de diagrama de blocos do Exemplo 52 Terceiro combine as junções de soma some os dois elementos de realimentação e combine os dois últimos blocos em cascata A Figura 512c mostra esses resultados Quarto utilize a fórmula da realimentação para obter a Figura 512d Finalmente multiplique os dois blocos em cascata e obtenha o resultado final mostrado na Figura 512e Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch5p1 do Apêndice B para realizar a redução de diagrama de blocos Exercício 51 PROBLEMA Obtenha a função de transferência equivalente Ts CsRs para o sistema mostrado na Figura 513 FIGURA 513 Diagrama de blocos para o Exercício 51 Experimente 51 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para obter a função de transferência em malha fechada do sistema no Exemplo 52 caso todas as Gis 1s 1 e todas as His 1s G1tf11 1 G2G1G3G1 H1tf11 0 H2H1 H3H1 Systemappend G1G2G3H1H2H3 input1output3 Q1 4 0 0 0 2 1 5 0 0 3 2 1 5 6 4 2 0 0 0 5 2 0 0 0 6 3 0 0 0 Tconnect System Q input output TtfT TminrealT RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção examinamos a equivalência entre diversas configurações de diagramas de blocos contendo sinais sistemas junções de soma e pontos de ramificação Essas configurações formam as formas em cascata paralela e com realimentação Durante a redução do diagrama de blocos tentamos produzir essas formas facilmente reconhecidas e em seguida reduzimos o diagrama de blocos a uma única função de transferência Na próxima seção iremos examinar algumas aplicações da redução de diagramas de blocos 53 Análise e Projeto de Sistemas com Realimentação Uma aplicação imediata dos princípios da Seção 52 é a análise e o projeto de sistemas com realimentação que possam ser reduzidos a sistemas de segunda ordem A ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e tempo de subida podem então ser obtidos a partir da função de transferência equivalente Considere o sistema mostrado na Figura 514 o qual pode ser o modelo de um sistema de controle como o sistema de controle de posição de azimute de antena Por exemplo a função de transferência Kss a pode modelar os amplificadores o motor a carga e as engrenagens A partir da Eq 59 a função de transferência em malha fechada Ts para este sistema é FIGURA 514 Sistema de controle de segunda ordem com realimentação em que K representa o ganho do amplificador isto é a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada À medida que K varia os polos se movem através das três faixas de operação de um sistema de segunda ordem superamortecido criticamente amortecido e subamortecido Por exemplo para K entre 0 e a24 os polos do sistema são reais e estão localizados em À medida que K aumenta os polos se movem ao longo do eixo real e o sistema permanece superamortecido até K a24 Neste ganho ou amplificação ambos os polos são reais e iguais e o sistema é criticamente amortecido Para ganhos acima de a24 o sistema é subamortecido com polos complexos localizados em Agora à medida que K aumenta a parte real permanece constante e a parte imaginária aumenta Assim o instante de pico diminui e a ultrapassagem percentual aumenta enquanto o tempo de acomodação permanece constante Vamos ver dois exemplos que aplicam esses conceitos a sistemas de controle com realimentação No primeiro exemplo determinamos a resposta transitória de um sistema No segundo exemplo projetamos o ganho para atender um requisito de resposta transitória Exemplo 53 Obtendo a Resposta Transitória PROBLEMA Para o sistema mostrado na Figura 515 obtenha o instante de pico a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação FIGURA 515 Sistema com realimentação para o Exemplo 53 SOLUÇÃO A função de transferência em malha fechada obtida a partir da Eq 59 é A partir da Eq 418 A partir da Eq 421 Substituindo a Eq 514 na Eq 515 e resolvendo para ζ resulta Utilizando os valores de ζ e ωn junto com as Eqs 434 438 e 442 obtemos respectivamente Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch5p2 do Apêndice B Você aprenderá como realizar a redução de diagramas de blocos seguida pela avaliação da resposta transitória de um sistema em malha fechada obtendo Tp UP e Ts Finalmente você aprenderá como utilizar o MATLAB para gerar uma resposta ao degrau em malha fechada Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o Exemplo 53 O Simulink do MATLAB fornece um método alternativo de simulação de sistemas com realimentação para obter a resposta no tempo Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional do Simulink do MATLAB devem agora consultar o Apêndice C O Exemplo C3 inclui uma discussão e um exemplo sobre o uso do Simulink para simular sistemas com realimentação com não linearidades Exemplo 54 Projeto do Ganho para Resposta Transitória PROBLEMA Determine o valor do ganho K para o sistema de controle com realimentação da Figura 516 de modo que o sistema responderá com uma ultrapassagem de 10 FIGURA 516 Sistema com realimentação para o Exemplo 54 SOLUÇÃO A função de transferência em malha fechada do sistema é A partir da Eq 520 e Assim Uma vez que a ultrapassagem é função apenas de ζ a Eq 523 mostra que a ultrapassagem percentual é uma função apenas de K Uma ultrapassagem de 10 implica que ζ 0591 Substituindo este valor para o fator de amortecimento na Eq 523 e resolvendo para K resulta Embora sejamos capazes de projetar para a ultrapassagem percentual neste problema não poderíamos ter escolhido o tempo de acomodação como critério de projeto porque independentemente do valor de K as partes reais 25 dos polos da Eq 520 permanecem as mesmas Exercício 52 PROBLEMA Para um sistema de controle com realimentação unitária com uma função de transferência do caminho à frente projete o valor de a para produzir uma resposta ao degrau em malha fechada que tenha 5 de ultrapassagem RESPOSTA a 552 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 52 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para determinar ζ ωn UP Ts Tp e Tr para o sistema com realimentação unitária em malha fechada descrito no Exercício 52 Comece com a 2 e tente alguns outros valores Uma resposta ao degrau para o sistema em malha fechada também será apresentada a2 numg16 dengploy0 a Gtfnumgdeng TfeedbackG1 numtdent tfdataTv wnsqrtdent3 zdent 22wn Ts4zwn Tppiwn sqrtl z2 posexpzpi sqrtl z2100 Tr176z3 0417z21039 z1wn stepT 54 Diagramas de Fluxo de Sinal Os diagramas de fluxo de sinal são uma alternativa aos diagramas de blocos Diferentemente dos diagramas de blocos que consistem em blocos sinais junções de soma e pontos de ramificação um diagrama de fluxo de sinal consiste apenas em ramos os quais representam sistemas e nós os quais representam sinais Esses elementos são mostrados na Figura 517a e b respectivamente Um sistema é representado por uma linha com uma seta indicando o sentido do fluxo do sinal através do sistema Adjacente à linha escrevemos a função de transferência Um sinal é um nó com o nome do sinal escrito adjacente ao nó A Figura 517c mostra a interconexão de sistemas e de sinais Cada sinal é a soma dos sinais que fluem para ele Por exemplo o sinal Vs R1sG1s R2sG2s R3sG3s O sinal C2s VsG5s R1s G1sG5s R2sG2sG5s R3sG3sG5s O sinal C3s 2VsG6s R1sG1sG6s R2sG2s G6s R3sG3sG6s Observe que na soma de sinais negativos associamos o sinal negativo ao sistema e não à junção de soma como no caso dos diagramas de blocos Para mostrar o paralelismo entre os diagramas de blocos e os diagramas de fluxo de sinal tomaremos algumas das formas de diagramas de blocos da Seção 52 e os converteremos em diagramas de fluxo de sinal no Exemplo 55 Em cada caso iremos primeiro converter os sinais em nós e em seguida interconectaremos os nós com ramos de sistemas No Exemplo 56 iremos converter um diagrama de blocos intrincado em um diagrama de fluxo de sinal FIGURA 517 Componentes do diagrama de fluxo de sinal a sistema b sinal c interconexão de sistemas e sinais Exemplo 55 Convertendo Diagramas de Blocos Comuns em Diagramas de Fluxo de Sinal PROBLEMA Converta as formas em cascata paralela e com realimentação dos diagramas de blocos mostrados nas Figuras 53a 55a e 56b respectivamente em diagramas de fluxo de sinal SOLUÇÃO Em cada caso começamos desenhando os nós dos sinais do sistema A seguir interconectamos os nós de sinais com ramos de sistemas Os nós de sinais para as formas em cascata paralela e com realimentação são mostrados na Figura 518a c e e respectivamente A interconexão dos nós com os ramos que representam os subsistemas é mostrada na Figura 518b d e f para as formas em cascata paralela e com realimentação respectivamente FIGURA 518 Construindo diagramas de fluxo de sinal a nós do sistema em cascata a partir da Figura 53a b diagrama de fluxo de sinal do sistema em cascata c nós do sistema paralelo a partir da Figura 55a d diagrama de fluxo de sinal do sistema paralelo e nós do sistema com realimentação a partir da Figura 56b f diagrama de fluxo de sinal do sistema com realimentação Exemplo 56 Convertendo um Diagrama de Blocos em um Diagrama de Fluxo de Sinal PROBLEMA Converta o diagrama de blocos da Figura 511 em um diagrama de fluxo de sinal SOLUÇÃO Comece desenhando os nós de sinais como mostrado na Figura 519a Em seguida interconecte os nós mostrando o sentido do fluxo de sinal e identificando cada função de transferência O resultado é mostrado na Figura 519b Observe que os sinais negativos nas junções de soma do diagrama de blocos são representados pelas funções de transferência negativas do diagrama de fluxo de sinal Finalmente se desejado simplifique o diagrama de fluxo de sinal para o mostrado na Figura 519c eliminando os sinais que possuem um único fluxo de entrada e um único fluxo de saída como V2s V6s V7s e V8s FIGURA 519 Desenvolvimento de diagrama de fluxo de sinal a nós de sinais b diagrama de fluxo de sinal c diagrama de fluxo de sinal simplificado Exercício 53 PROBLEMA Converta o diagrama de blocos da Figura 513 em um diagrama de fluxo de sinal RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 55 Regra de Mason Anteriormente neste capítulo discutimos como reduzir diagramas de blocos a uma única função de transferência Agora estamos prontos para discutir uma técnica para reduzir diagramas de fluxo de sinal a uma única função de transferência que relacione a saída de um sistema com a sua entrada A técnica de redução de diagramas de blocos estudada na Seção 52 requer a aplicação sucessiva de relações básicas de modo a se chegar à função de transferência do sistema Por outro lado a regra de Mason para a redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência requer a aplicação de uma fórmula A fórmula foi deduzida por S J Mason quando ele relacionou o diagrama de fluxo de sinal com as equações simultâneas que podem ser escritas a partir do diagrama Mason 1953 Em geral pode ser complicado implementar a fórmula sem cometer erros Especificamente a existência do que chamaremos adiante de laços que não se tocam aumenta a complexidade da fórmula Entretanto muitos sistemas não possuem laços que não se tocam Para esses sistemas você pode achar a regra de Mason mais fácil de ser utilizada do que a redução de diagrama de blocos A fórmula de Mason possui várias componentes a serem calculadas Primeiro precisamos estar certos de que as definições das componentes estão bem compreendidas Em seguida devemos ser cuidadosos no cálculo das componentes Para este fim discutimos algumas definições básicas aplicáveis aos diagramas de fluxo de sinal em seguida declaramos a regra de Mason e fazemos um exemplo Definições Ganho de laço O produto dos ganhos dos ramos encontrados ao percorrer um caminho que começa em um nó e termina no mesmo nó seguindo o sentido do fluxo do sinal sem passar por nenhum outro nó mais de uma vez Para exemplos de ganhos de laço veja a Figura 520 Existem quatro ganhos de laço FIGURA 520 Diagrama de fluxo de sinal para a demonstração da regra de Mason 1 2 3 4 Ganho do caminho à frente O produto dos ganhos encontrados ao se percorrer um caminho no sentido do fluxo do sinal a partir do nó de entrada até o nó de saída do diagrama de fluxo de sinal Exemplos de ganhos do caminho à frente também são mostrados na Figura 520 Existem dois ganhos do caminho à frente 1 2 Laços que não se tocam Laços que não possuem nenhum nó em comum Na Figura 520 o laço G2sH1s não toca os laços G4sH2s G4sG5sH3s e G4sG6sH3s Ganho de laços que não se tocam O produto dos ganhos de laço dos laços que não se tocam tomados dois a dois três a três quatro a quatro e assim por diante de cada vez Na Figura 520 o produto do ganho de laço G2sH1s e do ganho de laço G4sH2s é um ganho de laços que não se tocam tomados dois a dois Em resumo os três ganhos de laços que não se tocam tomados dois a dois de cada vez são 1 2 3 O produto dos ganhos de malha G4sG5sH3sG4sG6sH3s não é um ganho de laços que não se tocam uma vez que esse dois laços possuem nós em comum Em nosso exemplo não existem ganhos de laços que não se tocam tomados três a três uma vez que não existem três laços que não se tocam no exemplo Agora estamos prontos para declarar a regra de Mason Regra de Mason A função de transferência CsRs de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é em que k número de caminhos à frente Tk ganho do késimo caminho à frente Δ 1 Σ ganhos de laço Σ ganhos de laços que não se tocam tomados dois a dois de cada vez Σ ganhos de laços que não se tocam tomados três a três de cada vez Σ ganhos de laços que não se tocam tomados quatro a quatro de cada vez Δk Δ Σ termos de ganhos de laços em Δ que tocam o késimo caminho à frente Em outras palavras Δk é formado eliminandose de Δ os ganhos de laço que tocam o késimo caminho à frente Observe a alternância dos sinais dos componentes de Δ O exemplo a seguir ajudará a esclarecer a regra de Mason Exemplo 57 Função de Transferência Via Regra de Mason PROBLEMA Obtenha a função de transferência CsRs para o diagrama de fluxo de sinal na Figura 521 FIGURA 521 Diagrama de fluxo de sinal para o Exemplo 57 SOLUÇÃO Primeiro identifique os ganhos do caminho à frente Neste exemplo há somente um Segundo identifique os ganhos de laço Existem quatro a seguir 1 2 3 4 Terceiro identifique os laços que não se tocam tomados dois a dois de cada vez A partir das Eqs 530 e da Figura 521 podemos verificar que o laço 1 não toca o laço 2 o laço 1 não toca o laço 3 e o laço 2 não toca o laço 3 Observe que os laços 1 2 e 3 tocam todos eles o laço 4 Portanto as combinações dos laços que não se tocam tomados dois a dois de cada vez são as seguintes Finalmente os laços que não se tocam tomados três a três de cada vez são Agora a partir da Eq 528 e de suas definições formamos Δ e Δk Assim Formamos Δk eliminando de Δ os ganhos de laço que tocam o késimo caminho à frente As expressões 529 533 e 534 são agora substituídas na Eq 528 resultando na função de transferência Uma vez que existe apenas um caminho à frente Gs consiste em apenas um termo em vez de um somatório de termos cada um proveniente de um caminho à frente Exercício 54 PROBLEMA Utilize a regra de Mason para obter a função de transferência do diagrama de fluxo de sinal mostrado na Figura 519c Observe que este é o mesmo sistema utilizado no Exemplo 52 para obter a função de transferência através da redução de diagrama de blocos RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 56 Diagramas de Fluxo de Sinal de Equações de Estado Nesta seção desenhamos diagramas de fluxo de sinal a partir de equações de estado Inicialmente este processo nos ajudará a visualizar as variáveis de estado Posteriormente iremos desenhar diagramas de fluxo de sinal e em seguida escrever representações alternativas de um sistema no espaço de estados Considere as seguintes equações de estado e de saída Primeiro identifique três nós que serão as variáveis de estado x1 x2 e x3 além disso identifique três nós posicionados à esquerda de cada respectiva variável de estado como as derivadas das variáveis de estado como na Figura 522a Identifique também um nó como a entrada r e outro nó como a saída y Em seguida interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração 1s como mostrado na Figura 522b Então usando as Eqs 536 alimente os sinais indicados para cada nó Por exemplo a partir da Eq 536a recebe 2x1 5x2 3x3 2r como mostrado na Figura 522c De modo similar recebe 6x1 2x2 2x3 5r como mostrado na Figura 522d e recebe x1 3x2 4x3 7r como mostrado na Figura 522e Finalmente utilizando a Eq 536d a saída y recebe 4x1 6x2 9x3 como mostrado na Figura 519f a representação final em variáveis de fase em que as variáveis de estado são as saídas dos integradores FIGURA 522 Estágios do desenvolvimento de um diagrama de fluxo de sinal para o sistema das Eqs 536 a Identificar os nós b interconectar as variáveis de estado e suas derivadas c formar dx1dt d formar dx2dt e Formar dx3dt f formar a saída Exercício 55 PROBLEMA Desenhe um diagrama de fluxo de sinal para as seguintes equações de estado e de saída RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Na próxima seção o modelo em diagrama de fluxo de sinal nos ajudará a visualizar o processo de determinação de representações alternativas de um mesmo sistema no espaço de estados Veremos que embora um sistema possa ser o mesmo com relação aos seus terminais de entrada e de saída as representações no espaço de estados podem ser muitas e variadas 57 Representações Alternativas no Espaço de Estados No Capítulo 3 os sistemas foram representados no espaço de estados na forma em variáveis de fase Entretanto a modelagem de sistemas no espaço de estados pode assumir muitas representações além da forma em variáveis de fase Embora cada um desses modelos produza a mesma saída para uma dada entrada um engenheiro pode preferir uma representação em particular por diversas razões Por exemplo um conjunto de variáveis de estado com sua representação exclusiva pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema como as saídas de amplificadores e filtros Outro motivo para se escolher um conjunto particular de variáveis de estado e um determinado modelo no espaço de estados é a facilidade de solução Como veremos uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas Neste caso cada equação é escrita em função de uma única variável de estado e a solução é obtida através da solução individual de n equações diferenciais de primeira ordem A facilidade de modelagem é outra razão para uma escolha particular de variáveis de estado Certas escolhas podem facilitar a conversão do subsistema para a representação no espaço de estados através da utilização de características reconhecíveis do modelo O engenheiro aprende rapidamente como escrever as equações de estado e de saída e desenhar o diagrama de fluxo de sinal ambos por inspeção Esses subsistemas convertidos geram a definição das variáveis de estado Iremos agora analisar algumas formas representativas e mostrar como gerar a representação no espaço de estados para cada uma delas Forma em Cascata Já vimos que os sistemas podem ser representados no espaço de estados com as variáveis de estado escolhidas como as variáveis de fase isto é variáveis que são derivadas sucessivas uma da outra Esta não é de forma alguma a única escolha Retornando ao sistema da Figura 310a a função de transferência pode ser representada alternativamente como A Figura 523 mostra uma representação em diagrama de blocos desse sistema formada pela associação em cascata dos termos da Eq 537 A saída de cada bloco de sistema de primeira ordem foi rotulada como uma variável de estado Essas variáveis de estado não são variáveis de fase FIGURA 523 Representação do sistema da Figura 310 como sistemas de primeira ordem em cascata Mostraremos agora como o diagrama de fluxo de sinal pode ser utilizado para se obter uma representação no espaço de estados desse sistema Para escrever as equações de estado com nosso novo conjunto de variáveis de estado é útil esboçar um diagrama de fluxo de sinal primeiro utilizando a Figura 523 como guia O fluxo de sinal para cada sistema de primeira ordem da Figura 523 pode ser obtido transformandose cada bloco em uma equação diferencial equivalente Cada bloco de primeira ordem tem a forma Fazendo a multiplicação cruzada obtemos Após a aplicação da transformada inversa de Laplace temos Resolvendo para dcitdt resulta A Figura 524a mostra a implementação da Eq 541 como um diagrama de fluxo de sinal Aqui mais uma vez foi suposto um nó para cit na saída de um integrador e sua derivada foi formada na entrada FIGURA 524 a Subsistema de primeira ordem b diagrama de fluxo de sinal para o sistema da Figura 523 Colocando as funções de transferência mostradas na Figura 524a em cascata chegamos à representação de sistema mostrada na Figura 524b2 Agora escreva as equações de estado para a nova representação do sistema Lembrese de que a derivada de uma variável de estado estará na entrada de cada integrador A equação de saída é escrita por inspeção a partir da Figura 524b A representação no espaço de estados é concluída reescrevendose as Eqs 542 e 543 na forma matricial vetorial Comparando as Eqs 544 com a Figura 524b você pode formar uma imagem nítida do significado de alguns componentes da equação de estado Para a discussão a seguir consulte novamente a forma geral das equações de estado e de saída Eqs 318 e 319 Por exemplo a matriz B é a matriz de entrada uma vez que ela contém os termos que acoplam a entrada rt ao sistema Em particular a constante 24 aparece tanto no diagrama de fluxo de sinal em sua entrada como mostrado na Figura 524b quanto na matriz de entrada nas Eqs 544 A matriz C é a matriz de saída uma vez que ela contém a constante que acopla a variável de estado x1 à saída ct Finalmente a matriz A é a matriz de sistema uma vez que ela contém os termos relativos ao sistema interno propriamente dito Na forma das Eqs 544 a matriz de sistema contém os polos do sistema ao longo da diagonal Compare as Eqs 544 com a representação em variáveis de fase nas Eqs 359 Nessa representação os coeficientes do polinômio característico do sistema apareceram ao longo da última linha enquanto na representação atual as raízes da equação característica os polos do sistema aparecem ao longo da diagonal Forma Paralela Outra forma que pode ser utilizada para representar um sistema é a forma paralela Esta forma leva a uma matriz A que é puramente diagonal desde que nenhum polo do sistema seja uma raiz repetida da equação característica Enquanto a forma anterior foi obtida colocandose os subsistemas individuais de primeira ordem em cascata a forma paralela é deduzida a partir de uma expansão em frações parciais da função de transferência do sistema Efetuandose uma expansão em frações parciais no nosso sistema de exemplo obtemos FIGURA 525 Representação em diagrama de fluxo de sinal da Eq 545 A Eq 545 representa a soma dos subsistemas de primeira ordem individuais Para chegar a um diagrama de fluxo de sinal primeiro resolva para Cs e observe que Cs é a soma de três termos Cada termo é um subsistema de primeira ordem com Rs como entrada Formulando essa ideia como um diagrama de fluxo de sinal desenvolvese a representação mostrada na Figura 525 Mais uma vez utilizamos o diagrama de fluxo de sinal como um auxílio para obter as equações de estado Por inspeção as variáveis de estado são as saídas de cada integrador em que as derivadas das variáveis de estado são as entradas dos integradores Escrevemos as equações de estado somando os sinais nas entradas dos integradores A equação de saída é obtida somandose os sinais que fornecem ct Na forma vetorial matricial as Eqs 547 e 548 ficam e Assim nossa terceira representação do sistema da Figura 310a produz uma matriz de sistema diagonal Qual é a vantagem desta representação Cada uma das equações é uma equação diferencial de primeira ordem em apenas uma variável Assim poderíamos resolver essas equações independentemente Essas equações são chamadas de desacopladas Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch5p3 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para converter uma função de transferência para o espaço de estados em uma forma especificada O exercício resolve o exemplo anterior representando a função de transferência da Eq 545 pela representação no espaço de estados na forma paralela da Eq 549 Se o denominador da função de transferência possuir raízes reais repetidas a forma paralela ainda pode ser deduzida a partir da expansão em frações parciais Entretanto a matriz de sistema não será diagonal Por exemplo considere o sistema que pode ser expandido em frações parciais Procedendo como anteriormente o diagrama de fluxo de sinal para a Eq 552 é mostrado na Figura 526 O termo 1s 1 foi formado criandose o fluxo de sinal de X2s para Cs Agora as equações de estado e de saída podem ser escritas por inspeção a partir da Figura 526 como a seguir ou na forma vetorial matricial FIGURA 526 Representação em diagrama de fluxo de sinal da Eq 552 Esta matriz de sistema embora não seja diagonal possui os polos do sistema ao longo da diagonal Observe o 1 fora da diagonal para o caso da raiz repetida A forma dessa matriz de sistema é conhecida como forma canônica de Jordan Forma Canônica Controlável Outra representação que utiliza variáveis de fase é a forma canônica controlável assim denominada devido ao seu uso no projeto de controladores o que é coberto no Capítulo 12 Esta forma é obtida a partir da forma em variáveis de fase simplesmente pela ordenação das variáveis de fase na ordem inversa Por exemplo considere a função de transferência A forma em variáveis de fase foi deduzida no Exemplo 35 como em que y ct Renumerando as variáveis de fase em ordem inversa resulta Finalmente rearranjando as Eqs 557 em ordem numérica crescente resulta a forma canônica controlável3 como A Figura 527 mostra os passos que realizamos em um diagrama de fluxo de sinal Observe que a forma canônica controlável é obtida simplesmente pela renumeração das variáveis de fase em ordem inversa As Eqs 556 podem ser obtidas a partir da Figura 527a e as Eqs 558 a partir da Figura 527b Experimente 53 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para converter a função de transferência da Eq 555 para a representação canônica controlável no espaço de estados das Eqs 558 numg1 7 2 deng1 9 26 24 AccBccCccDcc tf2ssnumgdeng FIGURA 527 Diagramas de fluxo de sinal para obtenção de formas para Gs CsRs s2 7s 2s3 9s2 26s 24 a forma em variáveis de fase b forma canônica controlável Observe que a forma em variáveis de fase e a forma canônica controlável contêm os coeficientes do polinômio característico na linha inferior e na linha superior respectivamente As matrizes de sistema que contêm os coeficientes do polinômio característico são chamadas de matrizes companheiras do polinômio característico A forma em variáveis de fase e a forma canônica controlável resultam em uma matriz de sistema companheira inferior e superior respectivamente As matrizes companheiras também podem ter os coeficientes do polinômio característico na coluna da esquerda ou da direita Na próxima subseção discutimos uma dessas representações Forma Canônica Observável A forma canônica observável assim denominada por seu uso no projeto de observadores coberto no Capítulo 12 é uma representação que produz uma matriz de sistema companheira esquerda Como exemplo o sistema modelado pela Eq 555 será representado nessa forma Comece dividindo todos os termos do numerador e do denominador pela maior potência de s s3 e obtenha A multiplicação cruzada produz Combinandose os termos de mesma potência de integração resulta ou A Equação 561 ou 562 pode ser utilizada para desenhar o diagrama de fluxo de sinal Comece com três integrações como mostrado na Figura 528a Utilizando a Eq 561 o primeiro termo nos diz que a saída Cs é formada em parte pela integração de Rs 9Cs Formamos assim Rs 9Cs na entrada do integrador mais próximo da saída Cs como mostrado na Figura 528b O segundo termo nos diz que o termo 7Rs 26Cs deve ser integrado duas vezes Forme agora 7Rs 26Cs na entrada do segundo integrador Finalmente o último termo da Eq 561 diz que 2Rs 24Cs deve ser integrado três vezes Forme 2Rs 24Cs na entrada do primeiro integrador Identificando as variáveis de estado como as saídas dos integradores escrevemos as seguintes equações de estado FIGURA 528 Diagrama de fluxo de sinal para as variáveis da forma canônica observável a planejamento b implementação A equação de saída a partir da Figura 528b é Na forma vetorial matricial as Eqs 563 e 564 se tornam Observe que a forma das Eqs 565 é similar à forma em variáveis de fase exceto que os coeficientes do denominador da função de transferência estão na primeira coluna e os coeficientes do numerador formam a matriz de entrada B Observe também que a forma canônica observável possui uma matriz A que é a transposta da forma canônica controlável um vetor B que é o transposto do vetor C da forma canônica controlável e um vetor C que é o transposto do vetor B da forma canônica controlável Por esse motivo dizemos que essas duas formas são duais Assim se um sistema é descrito por A B e C seu dual é descrito por AD AT BD CT e CD BT Você pode verificar o significado da dualidade comparando os diagramas de fluxo de sinal de um sistema e de seu dual Figuras 527b e 528b respectivamente O diagrama de fluxo de sinal do dual pode ser obtido a partir do diagrama de fluxo original invertendose todas as setas trocando se as variáveis de estado por suas derivadas e viceversa e intercambiando Cs e Rs invertendo assim os papéis de entrada e de saída Concluímos esta seção com um exemplo que mostra a aplicação das formas discutidas anteriormente a um sistema de controle com realimentação Experimente 54 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para converter a função de transferência da Eq 555 para a representação canônica observável no espaço de estados das Eqs 565 numg1 7 2 deng1 9 26 24 AccBccCccDcc tf2ssnumgdeng AoctransposeAcc BoctransposeCcc CoctransposeBcc Exemplo 58 Representação no Espaço de Estados de Sistemas com Realimentação PROBLEMA Represente o sistema de controle com realimentação mostrado na Figura 529 no espaço de estados Modele a função de transferência à frente na forma em cascata FIGURA 529 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 58 FIGURA 530 Criando um diagrama de fluxo de sinal para o sistema da Figura 529 a função de transferência à frente b sistema completo SOLUÇÃO Primeiro modelamos a função de transferência à frente na forma em cascata O ganho de 100 o polo em 2 e o polo em 3 são mostrados em cascata na Figura 530a O zero em 5 foi obtido utilizando o método para implementação de zeros para um sistema representado na forma de variáveis de fase como discutido na Seção 35 Em seguida adicione a malha de realimentação e a entrada como mostrado na Figura 530b Agora por inspeção escreva as equações de estado Mas a partir da Figura 530b Substituindo a Eq 567 na Eq 566b obtemos as equações de estado para o sistema A equação de saída é a mesma da Eq 567 ou Na forma vetorial matricial Exercício 56 PROBLEMA Represente o sistema de controle com realimentação mostrado na Figura 529 no espaço de estados Modele a função de transferência à frente na forma canônica controlável RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora FIGURA 531 Formas no espaço de estados para CsRs s 3s 4s 6 Observação y ct Nesta seção utilizamos funções de transferência e diagramas de fluxo de sinal para representar sistemas na forma paralela em cascata canônica controlável e canônica observável além da forma em variáveis de fase Utilizando a função de transferência CsRs s 3s 4s 6 como exemplo a Figura 531 compara as formas mencionadas anteriormente Observe a dualidade das formas canônicas controlável e observável como demonstrado pelos seus respectivos diagramas de fluxo de sinal e equações de estado Na próxima seção iremos explorar a possibilidade de transformação entre representações sem o uso de funções de transferência e diagramas de fluxo de sinal 58 Transformações de Similaridade Na Seção 57 vimos que os sistemas podem ser representados através de diferentes variáveis de estado mesmo que a função de transferência que relaciona a saída com a entrada permaneça a mesma As diversas formas das equações de estado foram obtidas manipulandose a função de transferência desenhandose um diagrama de fluxo de sinal e em seguida escrevendose as equações de estado a partir do diagrama de fluxo de sinal Esses sistemas são chamados de sistemas similares Embora suas representações no espaço de estados sejam diferentes os sistemas similares possuem a mesma função de transferência e portanto os mesmos polos e autovalores Podemos fazer transformações entre sistemas similares de um conjunto de equações de estado para outro sem utilizar a função de transferência e os diagramas de fluxo de sinal Os resultados são apresentados nesta seção junto com exemplos Os estudantes que não tiverem abordado esse assunto ainda ou que desejem refrescar a memória são encorajados a estudar o Apêndice L no site da LTC Editora para a dedução O resultado da dedução estabelece que um sistema representado no espaço de estados como pode ser transformado em um sistema similar em que para espaços de duas dimensões e Assim P é uma matriz de transformação cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base do espaço z1z2 expressas como combinações lineares do espaço x1x2 Vamos ver um exemplo Exemplo 59 Transformações de Similaridade de Equações de Estado PROBLEMA Dado o sistema representado no espaço de estados pelas Eqs 573 transforme o sistema para um novo conjunto de variáveis de estado z em que as novas variáveis de estado estejam relacionadas com as variáveis de estado originais x como se segue SOLUÇÃO Expressando as Eqs 574 na forma vetorial matricial Utilizando as Eqs 572 como guia Portanto o sistema transformado é Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch5p4 do Apêndice B Você aprenderá como realizar transformações de similaridade Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o Exemplo 59 Até aqui falamos sobre a transformação de sistemas entre vetores da base em um espaço de estados diferente Uma grande vantagem da obtenção desses sistemas similares se torna evidente na transformação para um sistema que tenha uma matriz diagonal Diagonalizando uma Matriz de Sistema Na Seção 57 vimos que a forma paralela de um diagrama de fluxo de sinal pode produzir uma matriz de sistema diagonal Uma matriz de sistema diagonal tem a vantagem de que cada equação de estado é uma função de apenas uma variável de estado Assim cada equação diferencial pode ser resolvida independentemente das demais equações Dizemos que as equações estão desacopladas Em vez de utilizar expansão em frações parciais e diagramas de fluxo de sinal podemos desacoplar um sistema utilizando transformações matriciais Se encontrarmos a matriz correta P a matriz de sistema transformada P1AP será uma matriz diagonal Assim estamos procurando uma transformação para outro espaço de estados que produza uma matriz de sistema diagonal neste espaço Este novo espaço de estados também possui vetores da base que estão alinhados com suas variáveis de estado Damos um nome especial a todos os vetores que são colineares com os vetores da base do novo sistema que produz uma matriz de sistema diagonal eles são chamados de autovetores Assim as coordenadas dos autovetores formam as colunas da matriz de transformação P conforme demonstrado na Eq L7 do Apêndice L no site da LTC Editora Primeiro vamos definir formalmente os autovetores a partir de outra perspectiva e então mostraremos que eles possuem a propriedade que acaba de ser descrita A seguir definiremos os autovalores Finalmente mostraremos como diagonalizar uma matriz Definições Autovetor Os autovetores da matriz A são todos os vetores xi 0 que através da transformação A se tornam múltiplos deles próprios isto é em que os λi são constantes FIGURA 532 Para ser um autovetor a transformação Ax deve ser colinear com x assim em a x não é um autovetor em b ele é A Figura 532 mostra esta definição de autovetores Se Ax não é colinear com x depois da transformação como na Figura 532a x não é um autovetor Se Ax é colinear com x depois da transformação como na Figura 532b x é um autovetor Autovalor Os autovalores da matriz A são os valores de λi que satisfazem à Eq 580 para xi 0 Para obter os autovetores rearranjamos a Eq 580 Os autovetores xi satisfazem Resolvendo para xi prémultiplicando ambos os lados por λiI A1 resulta Uma vez que xi 0 uma solução diferente de zero existirá se a partir do que λi os autovalores podem ser obtidos Agora estamos prontos para mostrar como obter os autovetores xi Primeiro obtemos os autovalores λi usando detλiI A1 0 e em seguida usamos a Eq 580 para obter os autovetores Exemplo 510 Obtendo Autovetores PROBLEMA Obtenha os autovetores da matriz SOLUÇÃO Os autovetores xi satisfazem a Eq 581 Primeiro use detλiI A 0 para obter os autovalores λi para a Eq 581 a partir do que os autovalores são λ 2 e 4 Usando a Eq 580 sucessivamente com cada autovalor temos ou a partir do que x1 x2 Assim Utilizando o outro autovalor 4 temos Usando as Eqs 588 e 589 uma escolha de autovetores é Mostramos agora que se os autovetores da matriz A forem escolhidos como os vetores da base de uma transformação P a matriz de sistema resultante será diagonal Seja a matriz de transformação P constituída pelos autovetores de A xi Uma vez que xi são autovetores Axi λixi o que pode ser escrito equivalentemente como um sistema de equações expressas por em que D é uma matriz diagonal consistindo nos autovalores λi ao longo da diagonal e P é como definida na Eq 591 Resolvendo a Eq 592 para D prémultiplicando por P1 obtemos que é a matriz de sistema da Eq 572 Em resumo através da transformação P consistindo nos autovetores da matriz de sistema o sistema transformado é diagonal com os autovalores do sistema ao longo da diagonal O sistema transformado é idêntico ao obtido utilizandose a expansão em frações parciais da função de transferência com raízes reais distintas No Exemplo 510 obtivemos os autovetores de um sistema de segunda ordem Vamos continuar com esse problema e diagonalizar a matriz de sistema Exemplo 511 Diagonalizando um Sistema no Espaço de Estados PROBLEMA Dado o sistema das Eqs 594 obtenha o sistema diagonal que é similar SOLUÇÃO Primeiro obtenha os autovalores e autovetores Esta etapa foi realizada no Exemplo 510 Em seguida forme a matriz de transformação P cujas colunas consistem nos autovetores Finalmente forme as matrizes de sistema de entrada e de saída do sistema similar respectivamente Substituindo as Eqs 596 nas Eqs 572 obtemos Observe que a matriz de sistema é diagonal com os autovalores ao longo da diagonal Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch5p5 do Apêndice B Este problema que utiliza o MATLAB para diagonalizar um sistema é similar mas não idêntico ao Exemplo 511 Exercício 57 PROBLEMA Para o sistema representado no espaço de estados como se segue converta o sistema de modo que o novo vetor de estado z seja RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 58 PROBLEMA Para o sistema original do Exercício 57 obtenha o sistema diagonal que é similar RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 55 Use as seguintes instruções de MATLAB e Control System Toolbox para resolver o Exercício 58 A1 34 6 B13 C1 4 D0SssABCD SdcanonSModal Nesta seção aprendemos como obter diferentes representações do mesmo sistema no espaço de estados através de transformações matriciais ao invés da manipulação da função de transferência e dos diagramas de fluxo de sinal Essas diferentes representações são ditas similares As características dos sistemas similares são que as funções de transferência relacionando a saída com a entrada são as mesmas bem como os autovalores e os polos Uma transformação particular foi a conversão de um sistema com autovalores reais e distintos para uma matriz de sistema diagonal FIGURA 533 Alvin um submersível tripulado explorou os destroços do Titanic com um robô com umbilical Jason Junior a b c d e f Resumiremos agora os conceitos de representação de sistemas em diagramas de blocos e em diagramas de fluxo de sinal primeiro através de problemas de estudo de caso e em seguida por meio de um resumo escrito Nossos estudos de caso incluem o sistema de controle de posição de azimute de antena e o Veículo Submersível Não Tripulado Independente UFSS A redução do diagrama de blocos é importante para a análise e o projeto desses sistemas bem como dos sistemas de controle a bordo do Alvin Figura 533 utilizado para explorar os destroços do Titanic a 13000 pés de profundidade no oceano Atlântico em julho de 1986 Ballard 1987 Estudos de Caso Controle de Antena Projetando uma Resposta em Malha Fechada Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matematicamente com funções de transferência e em seguida interconectados para formar um sistema com realimentação Os modelos matemáticos interconectados podem ser reduzidos a uma única função de transferência representando o sistema da entrada para a saída Esta função de transferência a função de transferência em malha fechada é então utilizada para determinar a resposta do sistema O estudo de caso a seguir mostra como reduzir os subsistemas do sistema de controle de posição de azimute de antena a uma única função de transferência em malha fechada com o objetivo de analisar e projetar as características da resposta transitória PROBLEMA Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 faça o seguinte Obtenha a função de transferência em malha fechada utilizando redução de diagrama de blocos Represente cada subsistema com um diagrama de fluxo de sinal e obtenha a representação no espaço de estados do sistema em malha fechada a partir do diagrama de fluxo de sinal Utilize o diagrama de fluxo de sinal obtido no Item b e a regra de Mason para obter a função de transferência em malha fechada Substitua o amplificador de potência por uma função de transferência unitária e calcule o instante de pico a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação em malha fechada para K 1000 Para o sistema do Item d deduza a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada do sistema Para o modelo simplificado do Item d determine o valor de K que resulta em 10 de ultrapassagem a b FIGURA 534 Redução de diagrama de blocos para o sistema de controle de posição de azimute de antena a diagrama original b movendo o potenciômetro da entrada para a direita passando a junção de soma c mostrando a função de transferência à frente equivalente d função de transferência em malha fechada final SOLUÇÃO Cada função de transferência de subsistema foi obtida no estudo de caso no Capítulo 2 Primeiro as combinamos no diagrama de blocos do sistema de controle com realimentação em malha fechada mostrado na Figura 534a Os passos realizados para reduzir o diagrama de blocos a uma única função de transferência em malha fechada relacionando o deslocamento angular de saída com o deslocamento angular de entrada são mostrados na Figura 534ad Na Figura 534b o potenciômetro de entrada foi deslocado para a direita passando a junção de soma criando um sistema com realimentação unitária Na Figura 534c todos os blocos da função de transferência à frente foram multiplicados formando a função de transferência à frente equivalente Finalmente a fórmula da realimentação é aplicada resultando na função de transferência em malha fechada na Figura 534d Para obter o diagrama de fluxo de sinal de cada subsistema usamos as equações de estado deduzidas no estudo de caso do Capítulo 3 O diagrama de fluxo de sinal do amplificador de potência é desenhado a partir das equações de estado das Eqs 387 e 388 e o diagrama de fluxo de sinal do motor e da carga é desenhado a partir da equação de estado da Eq 398 Os demais subsistemas são ganhos puros O diagrama de fluxo de sinal da Figura 534a é mostrado na Figura 535 e consiste nos subsistemas interconectados c As equações de estado são escritas a partir da Figura 535 Primeiro defina as variáveis de estado como as saídas dos integradores Assim o vetor de estado é FIGURA 535 Diagrama de fluxo de sinal para o sistema de controle de posição de azimute de antena Utilizando a Figura 535 escrevemos as equações de estado por inspeção junto com a equação de saída em que 1π 0318 Na forma vetorial matricial Aplicamos agora a regra de Mason à Figura 535 para deduzir a função de transferência em malha fechada do sistema de controle de posição de azimute de antena Obtenha primeiro os ganhos do caminho à frente A partir da Figura 535 existe apenas um ganho de caminho à frente Em seguida identifique os ganhos dos laços Existem três o laço do amplificador de potência GL1s com ea na saída o laço do motor GL2s com x2 na saída e o laço do sistema como um todo GL3s com θs na saída d e Apenas GL1s e GL2s são laços que não se tocam Portanto o ganho dos laços que não se tocam é Formando Δ e Δk na Eq 528 temos e Substituindo as Eqs 5102 5105 e 5106 na Eq 528 obtemos a função de transferência em malha fechada como Substituindo o amplificador de potência por um ganho unitário e fazendo o ganho do préamplificador K na Figura 534b igual a 1000 resulta uma função de transferência à frente Gs de Utilizando a fórmula de realimentação para calcular a função de transferência em malha fechada obtemos A partir do denominador ωn 814 e ζ 0105 Utilizando as Eqs 434 438 e 442 o instante de pico 0388 segundo a ultrapassagem percentual 7177 e o tempo de acomodação 468 segundos A transformada de Laplace da resposta ao degrau é obtida multiplicandose a Eq 5109 por 1s uma entrada em degrau unitário e em seguida expandindo em frações parciais f a b c d e f Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos Para o modelo simplificado temos a partir do que a função de transferência em malha fechada é calculada como A partir da Eq 439 uma ultrapassagem de 10 fornece ζ 0591 Utilizando o denominador da Eq 5113 ωn 2ζωn 171 Portanto a partir do que K 316 DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Em relação ao sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 faça o seguinte Obtenha a função de transferência em malha fechada utilizando redução de diagrama de blocos Represente cada subsistema com um diagrama de fluxo de sinal e obtenha a representação no espaço de estados do sistema em malha fechada a partir do diagrama de fluxo de sinal Utilize o diagrama de fluxo de sinal obtido no Item b e a regra de Mason para obter a função de transferência em malha fechada Substitua o amplificador de potência por uma função de transferência unitária e calcule a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico em malha fechada para K 5 Para o sistema utilizado no Item d deduza a expressão para a resposta ao degrau em malha fechada Para o modelo simplificado do Item d obtenha o valor do ganho do préamplificador K para resultar em 15 de ultrapassagem Veículo UFSS Representação do Controle de Ângulo de Arfagem a b a Retornamos ao Veículo Submersível Não Tripulado Independente UFSS introduzido nos estudos de caso no Capítulo 4 Johnson 1980 Iremos representar o sistema de controle de ângulo de arfagem que é utilizado para o controle de profundidade no espaço de estados PROBLEMA Considere o diagrama de blocos da malha de controle de arfagem do veículo UFSS mostrado nas guardas traseiras O ângulo de arfagem θ é controlado por um ângulo de arfagem comandado θc o qual juntamente com a realimentação do ângulo de arfagem e da velocidade de arfagem determina a deflexão do leme de profundidade δe o qual atua sobre a dinâmica do veículo para determinar o ângulo de arfagem Seja K1 K2 1 e faça o seguinte Desenhe o diagrama de fluxo de sinal para cada um dos subsistemas assegurandose de que o ângulo de arfagem a velocidade de arfagem e a deflexão do leme de profundidade sejam representados como variáveis de estado Em seguida interconecte os subsistemas Utilize o diagrama de fluxo de sinal obtido no Item a para representar a malha de controle de arfagem no espaço de estados SOLUÇÃO A dinâmica do veículo é dividida em duas funções de transferência a partir das quais o diagrama de fluxo de sinal é desenhado A Figura 536 mostra a divisão juntamente com o atuador do leme de profundidade Cada bloco é desenhado na forma de variáveis de fase para atender o requisito de que certas variáveis do sistema sejam variáveis de estado Este resultado é mostrado na Figura 537a Os caminhos de realimentação são então adicionados para completar o diagrama de fluxo de sinal o qual é mostrado na Figura 537b FIGURA 536 Diagrama de blocos do leme de profundidade e da dinâmica do veículo UFSS a partir do qual o diagrama de fluxo de sinal pode ser desenhado b FIGURA 537 Representação em diagrama de fluxo de sinal do sistema de controle de arfagem do veículo UFSS a sem realimentação de posição e de velocidade b com realimentação de posição e de velocidade Observação as variáveis explicitamente requeridas são x1 θ x2 dθdt e x4 δe Por inspeção as derivadas das variáveis de estado x1 até x4 são escritas como Finalmente a saída y x1 Na forma vetorial matricial as equações de estado e de saída são a b c DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo O veículo UFSS é manobrado através do sistema de controle de rumo mostrado na Figura 538 e repetido nas guardas traseiras Um comando de rumo é a entrada A entrada e a realimentação do rumo e da velocidade de guinagem do submersível são utilizadas para gerar um comando para o leme que manobra o submersível Johnson 1980 Seja K1 K2 1 e faça o seguinte Desenhe o diagrama de fluxo de sinal para cada subsistema certificandose de que o ângulo de rumo a velocidade de guinagem e a deflexão do leme sejam representados como variáveis de estado Em seguida interconecte os subsistemas Utilize o diagrama de fluxo de sinal obtido no Item a para representar a malha de controle de rumo no espaço de estados Utilize o MATLAB para representar o sistema de controle de rumo em malha fechada do UFSS no espaço de estados na forma canônica controlável FIGURA 538 Diagrama de blocos do sistema de controle de rumo do veículo UFSS Resumo Um dos objetivos deste capítulo foi que você aprendesse como representar subsistemas múltiplos através de diagramas de blocos e de diagramas de fluxo de sinal Outro objetivo foi capacitálo a reduzir tanto a representação em diagrama de blocos quanto a representação em diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência Vimos que o diagrama de blocos de um sistema linear invariante no tempo consiste em quatro elementos sinais sistemas junções de soma e pontos de ramificação Esses elementos foram combinados em três formas básicas em cascata paralela e com realimentação Algumas operações básicas foram então deduzidas mover sistemas passando junções de soma e passando pontos de ramificação Uma vez que reconheçamos as formas e operações básicas podemos reduzir um diagrama de blocos complexo a uma única função de transferência relacionando entrada e saída Em seguida 1 2 3 4 5 6 7 8 aplicamos os métodos do Capítulo 4 para analisar e projetar o comportamento transitório de um sistema de segunda ordem Vimos que ajustando o ganho de um sistema de controle com realimentação temos controle parcial sobre a resposta transitória A representação em fluxo de sinal de sistemas lineares invariantes no tempo consiste em dois elementos nós que representam sinais e linhas com setas que representam subsistemas As junções de soma e os pontos de ramificação estão implícitos nos diagramas de fluxo de sinal Esses diagramas são úteis na visualização do significado das variáveis de estado Além disso eles podem ser desenhados inicialmente como um auxílio na obtenção das equações de estado para um sistema A regra de Mason foi utilizada para deduzir a função de transferência do sistema a partir do diagrama de fluxo de sinal Esta fórmula substituiu as técnicas de redução de diagrama de blocos A regra de Mason parece complicada mas seu uso é simplificado caso não existam laços que não se tocam Em muitos desses casos a função de transferência pode ser escrita por inspeção com menos trabalho que na técnica de redução de diagrama de blocos Finalmente vimos que os sistemas podem ser representados no espaço de estados utilizando diferentes conjuntos de variáveis Nos três últimos capítulos cobrimos as formas em variáveis de fase em cascata paralela canônica controlável e canônica observável Uma representação específica pode ser escolhida porque um conjunto de variáveis de estado possui um significado físico diferente de outro ou por causa da facilidade com a qual equações de estado específicas podem ser resolvidas No próximo capítulo discutiremos a estabilidade de sistemas Sem estabilidade não podemos iniciar o projeto de um sistema para a resposta transitória desejada Descobriremos como dizer se um sistema é estável e qual efeito os valores dos parâmetros têm sobre a estabilidade de um sistema Questões de Revisão Cite os quatro componentes de um diagrama de blocos de um sistema linear invariante no tempo Cite três formas básicas para a interconexão de subsistemas Para cada uma das formas na Questão 2 declare respectivamente como a função de transferência equivalente é obtida Além de conhecer as formas básicas discutidas nas Questões 2 e 3 que outras equivalências você deve conhecer para efetuar a redução de diagramas de blocos Para um sistema de controle com realimentação de segunda ordem simples do tipo mostrado na Figura 514 descreva o efeito que as variações do ganho do caminho à frente K tem sobre a resposta transitória Para um sistema de controle com realimentação de segunda ordem simples do tipo mostrado na Figura 514 descreva as alterações no fator de amortecimento à medida que o ganho K é aumentado dentro da região subamortecida Cite os dois componentes de um diagrama de fluxo de sinal Como as junções de soma são mostradas nos diagramas de fluxo de sinal 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Caso um caminho à frente tocasse todos os laços qual seria o valor de Δk Cite cinco representações de sistemas no espaço de estados Quais são as duas formas de representação no espaço de estados que são encontradas utilizando o mesmo método Qual forma de representação no espaço de estados conduz a uma matriz diagonal Quando a matriz de sistema é diagonal quais as grandezas estão ao longo da diagonal Que termos ficam ao longo da diagonal para um sistema representado na forma canônica de Jordan Qual é a vantagem de se ter um sistema representado em uma forma que tenha uma matriz de sistema diagonal Apresente duas razões para quererse representar um sistema por meio de formas alternativas Para que tipo de sistema você utilizaria a forma canônica observável Descreva as transformações do vetor de estado da perspectiva de bases diferentes 19 20 21 1 a b 2 Qual é a definição de um autovetor Com base na sua definição de um autovetor o que é um autovalor Qual é o significado de se utilizar autovetores como vetores da base para uma transformação de um sistema Problemas Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura P51 a uma única função de transferência Ts CsRs Utilize os seguintes métodos Redução de diagrama de blocos Seção 52 MATLAB FIGURA P51 Obtenha a função de transferência em malha fechada Ts CsRs para o sistema mostrado na Figura P52 utilizando redução de diagrama de blocos Seção 52 3 4 FIGURA P52 Obtenha a função de transferência equivalente Ts CsRs para o sistema mostrado na Figura P53 Seção 52 FIGURA P53 Reduza o sistema mostrado na Figura P54 a uma única função de transferência Ts CsRs Seção 52 5 a b 6 FIGURA P54 Obtenha a função de transferência Ts CsRs para o sistema mostrado na Figura P55 Utilize os seguintes métodos Redução de diagrama de blocos Seção 52 MATLAB Utilize as seguintes funções de transferência Sugestão Utilize os comandos append e connect do Control System Toolbox do MATLAB FIGURA P55 Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura P56 a um único bloco Ts CsRs Seção 52 7 8 9 FIGURA P56 Obtenha o sistema com realimentação unitária que é equivalente ao sistema mostrado na Figura P57 Seção 52 FIGURA P57 Dado o diagrama de blocos de um sistema mostrado na Figura P58 obtenha a função de transferência Gs θ22sθ11s Seção 52 FIGURA P58 Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura P59 a uma única função de transferência Ts CsRs Seção 52 10 11 FIGURA P59 Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura P510 a um único bloco representando a função de transferência Ts CsRs Seção 52 FIGURA P510 Para o sistema mostrado na Figura P511 determine a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico para uma entrada em degrau caso a resposta do sistema seja subamortecida Ela é Por quê Seção 53 12 13 14 15 FIGURA P511 Para o sistema mostrado na Figura P512 obtenha a saída ct caso a entrada rt seja um degrau unitário Seção 53 FIGURA P512 Para o sistema mostrado na Figura P513 obtenha os polos da função de transferência em malha fechada Ts CsRs Seção 53 FIGURA P513 Para o sistema da Figura P514 determine o valor de K que produz 10 de ultrapassagem para uma entrada em degrau Seção 53 FIGURA P514 Para o sistema mostrado na Figura P515 determine K e α que resultam em um tempo de acomodação de 015 segundo e em 30 de ultrapassagem Seção 53 FIGURA P515 16 17 a b 18 19 Para o sistema mostrado na Figura P516 determine os valores de K1 e K2 que resultam em um instante de pico de 15 segundo e em um tempo de acomodação de 32 segundos para a resposta ao degrau do sistema em malha fechada Seção 53 FIGURA P516 Obtenha o seguinte para o sistema mostrado na Figura P517 Seção 53 O bloco único equivalente que representa a função de transferência Ts CsRs O fator de amortecimento a frequência natural a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico o tempo de subida e a frequência amortecida de oscilação FIGURA P517 Para o sistema mostrado na Figura P518 determine ζ ωn a ultrapassagem percentual o instante de pico o tempo de subida e o tempo de acomodação Seção 53 FIGURA P518 Um motor e um gerador são configurados para acionar uma carga como mostrado na Figura P519 Se a tensão de saída do gerador é egt Kcict em que ict é a corrente de campo do gerador determine a função de transferência Gs θssEes Para o gerador Kc 2 Ω Para o motor Kt 1 NmA e Kce 1 Vsrad 20 21 FIGURA P519 Obtenha Gs E0sTs para o sistema mostrado na Figura P520 FIGURA P520 Obtenha a função de transferência Gs EssTs para o sistema mostrado na Figura P521 FIGURA P521 22 a b c 23 24 a b 25 Nomeie os sinais e desenhe um diagrama de fluxo de sinal para cada um dos diagramas de blocos mostrados nos seguintes problemas Seção 54 Problema 1 Problema 3 Problema 5 Desenhe um diagrama de fluxo de sinal para cada uma das seguintes equações de estado Seção 56 Dado o sistema a seguir desenhe um diagrama de fluxo de sinal e represente o sistema no espaço de estados nas seguintes formas Seção 57 Forma em variáveis de fase Forma em cascata Repita o Problema 24 para Seção 57 26 27 28 29 30 a b c 31 Utilizando a regra de Mason obtenha a função de transferência Ts CsRs para o sistema representado na Figura P522 Seção 55 FIGURA P522 Utilizando a regra de Mason obtenha a função de transferência Ts CsRs para o sistema representado pela Figura P523 Seção 55 FIGURA P523 Utilize a regra de Mason para obter a função de transferência da Figura 513 do texto Seção 55 Utilize redução de diagrama de blocos para obter a função de transferência da Figura 521 do texto e compare sua resposta com a obtida através da regra de Mason Seção 55 Represente os sistemas a seguir no espaço de estados na forma canônica de Jordan Desenhe os diagramas de fluxo de sinal Seção 57 Represente os sistemas a seguir no espaço de estados na forma em variáveis de fase Desenhe os diagramas de fluxo de sinal Seção 57 a b c 32 33 34 a b Repita o Problema 31 e represente cada sistema nas formas canônica controlável e canônica observável Seção 57 Represente os sistemas de controle com realimentação mostrados na Figura P524 no espaço de estados Quando possível represente as funções de transferência em malha aberta separadamente em cascata e complete a malha de realimentação com o caminho do sinal da saída para a entrada Desenhe diagramas de fluxo de sinal que tenham uma correspondência total com os diagramas de blocos o mais próximo possível Seção 57 Dado o sistema mostrado na Figura P525 Seção 57 Represente o sistema no espaço de estados na forma em variáveis de fase Represente o sistema no espaço de estados em qualquer outra forma além de variáveis de fase 35 FIGURA P524 FIGURA P525 Repita o Problema 34 para o sistema mostrado na Figura P526 Seção 57 36 37 38 a b FIGURA P526 Utilize o MATLAB para resolver o Problema 35 Represente o sistema mostrado na Figura P527 no espaço de estados em que como mostrado x1t x3t e x4t estão entre as variáveis de estado ct é a saída e x2t é interna a X1sX3s Seção 57 FIGURA P527 Considere o sistema mecânico rotacional mostrado na Figura P528 Represente o sistema como um diagrama de fluxo de sinal Represente o sistema no espaço de estados caso a saída seja θ2t FIGURA P528 39 a b 40 41 Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do caminho à frente utilize o MATLAB para representar o sistema em malha fechada no espaço de estados na forma em variáveis de fase forma paralela Considere os subsistemas em cascata mostrados na Figura P529 Caso G1s seja representada no espaço de estados como e G2s seja representada no espaço de estados como mostre que o sistema como um todo pode ser representado no espaço de estados como FIGURA P529 Considere os subsistemas paralelos mostrados na Figura P530 Caso G1s seja representada no espaço de estados como 42 e G2s seja representada no espaço de estados como mostre que o sistema como um todo pode ser representado no espaço de estados como FIGURA P530 Considere os subsistemas mostrados na Figura P531 e conectados para formar um sistema com realimentação Caso Gs seja representada no espaço de estados como e H2s seja representada no espaço de estados como mostre que o sistema em malha fechada pode ser representado no espaço de estados como 43 44 FIGURA P531 Dado o sistema representado no espaço de estados como a seguir Seção 58 converta o sistema em outro no qual o novo vetor de estado z é Repita o Problema 43 para o seguinte sistema Seção 58 e a seguinte transformação de vetor de estado 45 46 47 48 a b c Diagonalize o seguinte sistema Seção 58 Repita o Problema 45 para o seguinte sistema Seção 58 Diagonalize o sistema no Problema 46 utilizando o MATLAB Durante a subida o ônibus espacial é manobrado através de comandos gerados pelos cálculos de orientação do computador Esses comandos estão na forma de atitude velocidades de atitude e acelerações de atitude do veículo obtidas através de medidas realizadas respectivamente pela unidade de medição inercial pelo conjunto de giroscópios de velocidade e pelo conjunto de acelerômetros do veículo O piloto automático digital de subida utiliza os erros entre atitude velocidades e acelerações reais e comandadas para balancear os motores principais do ônibus espacial o que é chamado de vetorização do impulso e os foguetes de propelente sólido para conseguir a atitude desejada do veículo O sistema de controle de atitude do ônibus espacial emprega o mesmo método nos sistemas de controle de arfagem rolagem e guinagem Um modelo simplificado do sistema de controle de arfagem é mostrado na Figura P5324 Obtenha a função de transferência em malha fechada relacionando a arfagem real à arfagem comandada Admita que todas as demais entradas sejam nulas Obtenha a função de transferência em malha fechada relacionando a velocidade de arfagem real à velocidade de arfagem comandada Admita que todas as demais entradas sejam nulas Obtenha a função de transferência em malha fechada relacionando a aceleração de arfagem real à aceleração de arfagem comandada Admita que todas as demais entradas sejam nulas 49 50 FIGURA P532 Sistema de controle de arfagem do ônibus espacial simplificado Um modulador de rádio AM gera o produto de uma forma de onda portadora e de uma forma de onda de mensagem como mostrado na Figura P533 Kurland 1971 Represente o sistema no espaço de estados caso a portadora seja uma senoide de frequência ω a e a mensagem seja uma senoide de frequência ω b Observe que este sistema é não linear por causa do multiplicador FIGURA P533 Modulador AM Um modelo para o movimento do olho humano consiste no sistema em malha fechada mostrado na Figura P534 em que a posição de um objeto é a entrada e a posição do olho é a saída O cérebro envia sinais aos músculos que movimentam o olho Esses sinais consistem na diferença entre a posição do objeto e as informações de posição e velocidade do olho enviadas pelos fusos musculares O movimento do olho é modelado como uma inércia e um amortecimento viscoso e admitese que não haja elasticidade efeito de mola Milhorn 1966 Supondo que os atrasos no cérebro e no sistema nervoso sejam desprezíveis obtenha a função de transferência em malha fechada para o controle de posição do olho 51 a b c FIGURA P534 Sistema de controle com realimentação representando o movimento do olho humano Um robô transportador HelpMate mostrado na Figura P535a é utilizado para distribuir produtos em um ambiente hospitalar O robô pode distribuir alimentos medicamentos materiais de laboratório e prontuários dos pacientes Evans 1992 Dado o diagrama de blocos simplificado do sistema de controle do ângulo de direção do robô como mostrado na Figura P535b faça o seguinte Obtenha a função de transferência em malha fechada Represente o sistema no espaço de estados em que a entrada é o ângulo de direção desejado a saída é o ângulo de direção real e a posição real da roda e o ângulo real de direção estão entre as variáveis de estado Simule o sistema em malha fechada utilizando o MATLAB Obtenha a resposta ao degrau unitário para diferentes valores de K que produzam respostas indo do superamortecido para subamortecido e instável 52 FIGURA P535 a Robô HelpMate utilizado para distribuição de produtos em hospitais b diagrama de blocos simplificado para o controle do ângulo de direção Máquinas de ensaio de carga controladas automaticamente podem ser utilizadas para testar a confiabilidade de produtos em condições de uso real A máquina de ensaio consiste em uma estrutura de carregamento e da amostra como mostrado na Figura P536a O carregamento desejado é inserido através de uma tensão eet aplicada a um amplificador de corrente O carregamento de saída é medido através de uma tensão eet proveniente de uma célula de carga que mede o carregamento na amostra A Figura P536b mostra um modelo aproximado de um sistema de ensaio de carregamento sem compensação Bailey 1992 a b 53 a Modele o sistema no espaço de estados Simule a resposta ao degrau utilizando o MATLAB A resposta predominante é de primeira ou de segunda ordem Descreva as características da resposta que necessitam de correção FIGURA P536 a Máquina de ensaio de carga 1992 IEEE b diagrama de blocos aproximado Considere a aeronave F4E do Problema 22 Capítulo 3 Caso a função de transferência em malha aberta relacionando a aceleração normal Ans com o comando de deflexão de entrada δcs seja aproximada por Cavallo 1992 obtenha a representação no espaço de estados na Forma em variáveis de fase b c d e 54 55 56 57 a b c Forma canônica controlável Forma canônica observável Forma em cascata Forma paralela Obtenha a função de transferência em malha fechada do sistema de controle de arfagem do Veículo Submersível não Tripulado Independente mostrado nas guardas traseiras Johnson 1980 Repita o Problema 54 utilizando o MATLAB Utilize o Simulink para representar graficamente os efeitos de não linearidades sobre a resposta ao degrau em malha fechada do sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 Em particular considere isoladamente cada uma das seguintes não linearidades saturação 5 V folga faixa inativa de 015 zona morta 2 a 2 bem como a resposta linear Admita que o ganho do préamplificador seja 100 e que a entrada em degrau tenha 2 radianos O Problema 12 no Capítulo 1 descreve uma válvula solenoide proporcional de alta velocidade Um subsistema da válvula é a bobina solenoide mostrada na Figura P537 A corrente através da bobina L gera um campo magnético que produz uma força para operar a válvula A Figura P537 pode ser representada como um diagrama de blocos Vaughan 1996 Desenvolva um diagrama de blocos de um sistema com realimentação que represente o circuito da bobina no qual a tensão aplicada vgt seja a entrada a tensão da bobina vLt seja a tensão de erro e a corrente it seja a saída Para o diagrama de blocos obtido no Item a obtenha a transformada de Laplace da corrente de saída Is Resolva o circuito da Figura P537 para Is e compare com o resultado obtido no Item b 58 a b c d e FIGURA P537 Circuito de bobina solenoide O relógio de água de Ktesibios ver Seção 12 é provavelmente o primeiro sistema desenvolvido pelo homem em que a realimentação foi utilizada de modo deliberado Sua operação é mostrada na Figura P538a O relógio indica progressivamente o tempo na escala D à medida que a água cai a partir do orifício A para o reservatório B A exatidão do relógio depende basicamente da altura da água hf no reservatório G a qual deve ser mantida a um nível constante hr através da boia cônica F que se move para cima ou para baixo para controlar o fluxo de entrada de água A Figura P538b mostra um diagrama de blocos que descreve o sistema Lepschy 1992 Sejam qet e qst a vazão de entrada e de saída de água respectivamente e hm a altura da água no reservatório B Utilize a regra de Mason para obter as funções de transferência a seguir admitindo que α e β sejam constantes Utilizando as funções de transferência anteriores mostre que caso hrt constante então qst constante e hmt aumentará a uma velocidade constante 59 a b c FIGURA P538 a Relógio de água de Ktesibios b diagrama de blocos do relógio de água 1992 IEEE Algumas aplicações robóticas podem se beneficiar de atuadores nos quais tanto a posição da carga quanto a força exercida são controladas A Figura P539 mostra o diagrama de blocos desse tipo de atuador em que u1 e u2 são entradas de tensão para duas bobinas com cada bobina controlando um pistão pneumático e y representa o deslocamento da carga A saída do sistema é u a pressão diferencial atuando sobre a carga O sistema também possui uma entrada de perturbação fext a qual representa forças externas que não são geradas pelo sistema mas atuam sobre a carga A é uma constante BenDov 1995 Utilize qualquer método para obter Uma expressão para a saída do sistema em função das entradas u1 e u2 admita fext 0 Uma expressão para o efeito de fext sobre a saída u admita u1 e u2 0 Qual condição para as entradas u1 e u2 resultará em u 0 60 a b c d 61 FIGURA P539 Diagrama de blocos de um atuador 1995 IEEE A Figura P540 mostra um amplificador operacional não inversor FIGURA P540 a Amplificador não inversor b diagrama de blocos Admitindo que o amplificador operacional seja ideal Verifique que o sistema pode ser descrito pelas duas equações seguintes Verifique que essas equações podem ser descritas pelo diagrama de blocos da Figura P540b Utilize a regra de Mason para obter a função de transferência em malha fechada Mostre que quando A Figura P541 mostra o diagrama de um amplificador operacional inversor a b c 62 a b c 63 FIGURA P541 Amplificador operacional inversor Admitindo um amplificador operacional ideal utilize um procedimento similar ao descrito no Problema 60 para obter as equações do sistema Desenhe um diagrama de blocos correspondente e obtenha a função de transferência Mostre que quando A Figura P542a mostra um circuito seguidor de emissor com MOSFET tipo intensificação e canal do tipo n A Figura P542b mostra seu equivalente para pequenos sinais em que Re R1 R2 Neamen 2001 Verifique que as equações de governo desse circuito são Desenhe um diagrama de blocos mostrando as relações entre as equações Utilize o diagrama de blocos do Item b para obter FIGURA P542 a Circuito seguidor de emissor com MOSFET tipo intensificação e canal do tipo n b equivalente para pequenos sinais O sistema de suspensão ativa de um carro acrescenta um atuador hidráulico ativo em paralelo ao amortecedor e mola passivos para criar uma impedância dinâmica que responda às irregularidades da pista O diagrama de blocos da Figura P543 ilustra esse tipo de atuador com controle em malha fechada a b 64 FIGURA P543 1997 IEEE Na figura Kt é a constante de mola do pneu MUS é a massa da roda r é a irregularidade da pista x 1 é o deslocamento vertical do carro x 3 é o deslocamento vertical da roda é a frequência natural do sistema sem suspensão e ε é um parâmetro de filtragem a ser escolhido criteriosamente Lin 1997 Obtenha as duas funções de transferência de interesse A unidade básica das células dos músculos esqueléticos e cardíacos é o sarcômero que é o que dá a essas células uma aparência estriada linhas paralelas Por exemplo uma célula do bíceps possui cerca de 105 sarcômeros Por sua vez os sarcômeros são compostos por proteínas complexas Os mecanismos de realimentação desempenham um papel importante nos sarcômeros e portanto na contração dos músculos Especificamente a lei de Fenn estabelece que a energia liberada durante a contração muscular depende das condições iniciais e da carga encontrada O seguinte modelo linearizado descrevendo a contração dos sarcômeros foi desenvolvido para o músculo cardíaco em que A densidade de unidades regulatórias com cálcio ligado e pontes cruzadas fracas adjacentes μM T densidade de unidades regulatórias com cálcio ligado e pontes cruzadas fortes adjacentes M U a densidade de unidades regulatórias sem cálcio ligado e com pontes cruzadas fortes adjacentes M SL comprimento do sarcômero m a b c d 65 a A entrada do sistema é ut velocidade de encurtamento muscular em metrossegundo e a saída é yt saída de força muscular em Newtons Yaniv 2006 Faça o seguinte Utilize o MATLAB para obter a função de transferência Utilize o programa MATLAB para obter uma expansão por frações parciais para Desenhe um diagrama de fluxo de sinal do sistema na forma paralela Utilize o diagrama do Item c para expressar o sistema na forma de variáveis de estado com equações desacopladas Um dispositivo de assistência ventricular elétrico EVAD electric ventricular assist device foi projetado para ajudar pacientes com ação de bombeamento do coração reduzida mas ainda funcional trabalhando em paralelo com o coração natural O dispositivo consiste em um motor elétrico cc sem escovas que atua sobre uma placa de pressão Os movimentos da placa auxiliam a ejeção do sangue na sístole e o enchimento do coração na diástole A dinâmica do sistema durante a sístole foi determinada como As variáveis de estado neste modelo são x a posição da placa de pressão v a velocidade da placa de pressão e Pao a pressão sanguínea na aorta A entrada do sistema é em a tensão do motor Tasch 1990 Utilize o MATLAB para obter uma transformação de similaridade para diagonalizar o sistema b 66 a b Utilize o MATLAB e a transformação de similaridade obtida no Item a para obter uma expressão diagonalizada para o sistema Em um experimento para medir e identificar reflexos posturais do braço indivíduos seguram com suas mãos um manipulador hidráulico linear Uma célula de carga é fixada ao segurador do atuador para medir as forças resultantes Com a aplicação de uma força os indivíduos tentam manter uma postura fixa A Figura P544 mostra um diagrama de blocos para o sistema combinado braçoambiente FIGURA P544 Nesse diagrama Hrs representa a dinâmica do comprimento reflexivo e da realimentação de velocidade Hatis a dinâmica de ativação His a dinâmica de atuação intrínseca Hms a dinâmica da mão Has a dinâmica do ambiente Xbs a posição do braço Xms a posição medida da mão Fms a força de interação medida aplicada pela mão Fints a força intrínseca Frefs a força reflexiva As a ativação reflexiva e Ds a perturbação de força externa de Vlugt 2002 Obtenha um diagrama de fluxo de sinal a partir do diagrama de blocos Obtenha 67 68 a b 69 Utilize o Control Design and Simulation Module do LabVIEW para obter as formas canônicas controlável e observável para Um simulador de realidade virtual com realimentação háptica tátil foi desenvolvido para simular o controle de um submarino acionado através de uma entrada proveniente de um joystick A realimentação háptica para o operador é fornecida através de restrições para a posição do joystick e movimentos do simulador Karkoub 2010 A Figura P545 mostra o diagrama de blocos do sistema de realimentação háptico no qual a entrada uh é a força exercida pelo músculo do braço humano e as saídas são ys a posição do simulador e yj a posição do joystick Obtenha a função de transferência Obtenha a função de transferência FIGURA P545 Direitos autorais 2010 Cambridge University Press Reproduzido com permissão Alguns procedimentos médicos requerem a inserção de uma agulha por baixo da pele do paciente usando tomografia computadorizada para o monitoramento de direção para dar maior precisão Os tomógrafos computadorizados emitem radiação o que implica riscos cumulativos para a equipe médica Para evitar esse problema um robô controlado remotamente foi desenvolvido Piccin 2009 O robô controla a posição e o ângulo da agulha no espaço limitado por um tomógrafo computadorizado e também fornece ao cirurgião uma realimentação de força proporcional à resistência à inserção encontrada devido ao tipo de tecido no qual a agulha é inserida O robô possui outras características que dão ao operador sensações e manobrabilidade similares como se a agulha fosse inserida diretamente A Figura P546 mostra o diagrama de blocos do mecanismo de força de inserção em que Fh é a força de entrada e Xh é o deslocamento de saída As entradas das junções de soma são positivas a não ser que indicadas com um sinal negativo A título de a b 70 a b informação Z impedância G função de transferência Ci funções de transferência de canais de comunicação F força X posição Os subscritos h e m se referem ao manipulador mestre Os subscritos s e e se referem ao manipulador escravo Admitindo Zh 0 C1 Cs C2 1 C6 e C4 Cm utilize a regra de Mason para mostrar que a função de transferência da entrada de força do operador Fh para o deslocamento da agulha Xh é dada por FIGURA P546 Agora com Z h 0 mostre que Um sistema de distribuição de energia híbrido com células solares e diesel foi proposto e testado Lee 2007 O sistema mostrou ter um suprimento de energia muito bom sem interrupções bem como capacidade de regulação de tensão em linha A Figura P547 mostra um diagrama de fluxo de sinal do sistema A saída VCarga é a tensão sobre a carga As duas entradas são ICf a corrente de referência e IPert a perturbação representando variações de corrente no fornecimento Com base na Figura P547 obtenha a função de transferência Obtenha a função de transferência 71 FIGURA P547 O lingotamento contínuo na produção de aço é essencialmente um processo de solidificação pelo qual aço fundido é solidificado em uma placa de aço após passar através de um molde como mostrado na Figura P548a As dimensões do produto final dependem principalmente da velocidade de lingotamento Vp em mmin e da posição do batente X em que controla o fluxo do material fundido no molde Kong 1993 Um modelo simplificado de um sistema de lingotamento é mostrado na Figura P548b Kong 1993 e Graebe 1995 No modelo Hm nível do molde em mm Ht altura do aço fundido no vertedor admitida constante Dz espessura do molde profundidade do bocal submerso em aço fundido e Wt peso do aço fundido no vertedor FIGURA P548 Processo de moldagem de aço a processo 1993 IEEE b diagrama de blocos Para um ajuste específico seja Am 05 e Admita também que a malha de posicionamento da válvula pode ser modelada pela seguinte função de transferência de segunda ordem e o controlador é modelado pela seguinte função de transferência A sensibilidade do sensor de nível do molde é β 05 e os valores iniciais das variáveis do a b 72 a b c 73 sistema em t 0 são R0 0 YC0 X0 412 ΔHm0 0 Hm0 75 ΔVp0 0 e Vp0 0 Faça o seguinte Admitindo que vpt seja constante Δvp 0 obtenha a função de transferência em malha fechada Ts ΔHmsRs Para rt 5 ut vpt 097 ut e Hm0 75 mm utilize o Simulink para simular o sistema Armazene o tempo e o nível do molde na forma de vetor conectandoos a sinks Workspace cada um dos quais deve carregar o nome da respectiva variável Após o término da simulação utilize os comandos para representação gráfica do MATLAB para obter e editar o gráfico de hmt de t 0 a 80 segundos Um modelo simplificado em função de transferência de segunda ordem para a dinâmica de uma bicicleta é dado por A entrada é δs o ângulo de manobra e a saída é φs o ângulo de inclinação entre o chão e o plano longitudinal da bicicleta No modelo o parâmetro a é a distância horizontal do centro da roda traseira até o centro de massa da bicicleta b é a distância horizontal entre os centros das duas rodas h é a distância vertical do centro de massa até o chão V é a velocidade da roda traseira admitida constante e g é a constante gravitacional Admitese também que o ciclista se mantém em uma posição fixa em relação à bicicleta de modo que o eixo de manobra seja vertical e que todos os desvios angulares sejam pequenos Åstrom 2005 Obtenha uma representação no espaço de estados para o modelo da bicicleta na forma em variáveis de fase Obtenha os autovalores e autovetores do sistema Obtenha uma matriz de transformação de similaridade apropriada para diagonalizar o sistema e obter a representação diagonal do sistema no espaço de estados Na Figura 56c é mostrado que quando realimentação negativa é utilizada a função de transferência global para o sistema da Figura 56b é 74 75 a b Desenvolva o diagrama de blocos de um sistema com realimentação alternativo que resultará na mesma função de transferência em malha fechada CsRs com Gs inalterado e mantido no mesmo lugar Além disso seu novo diagrama de blocos deve ter ganho unitário no caminho de realimentação Você pode adicionar transdutores de entrada eou controladores no caminho principal à frente como necessário PROBLEMAS DE PROJETO O motor e a carga mostrados na Figura P549a são utilizados como parte do sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P549b Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso DC que deve ser utilizado com o objetivo de se obter uma resposta transitória em malha fechada com 20 de ultrapassagem Admita que o motor cuja função de transferência é mostrada na Figura P550a seja utilizado como o caminho à frente de um sistema com realimentação unitária em malha fechada Calcule a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação que devem ser esperados Você deseja melhorar a resposta obtida no Item a Uma vez que o motor e suas constantes não podem ser alterados um amplificador e um tacômetro gerador de tensão são inseridos na malha como mostrado na Figura P550b Determine os valores de K1 e K2 para resultar em uma ultrapassagem de 16 e um tempo de acomodação de 02 segundo FIGURA P549 Controle de posição a motor e carga b diagrama de blocos 76 77 FIGURA P550 a Controle de posição b Controle de posição com tacômetro O sistema mostrado na Figura P551 terá sua resposta transitória modificada pela inclusão de um tacômetro Projete K e K2 no sistema para resultar em um fator de amortecimento de 069 A frequência natural do sistema antes da inclusão do tacômetro é de 10 rads FIGURA P551 Controle de posição O sistema mecânico mostrado na Figura P552a é utilizado como parte do sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P552b Determine os valores de M e D para resultar em uma ultrapassagem de 20 e em um tempo de acomodação de 2 segundos 78 a b c d FIGURA P552 a Motor e carga b motor e carga no sistema com realimentação Admita amplificadores operacionais ideais no circuito da Figura P553 FIGURA P553 Mostre que o amplificador operacional mais à esquerda opera como um amplificador subtrator Isto é v1 vs ven Desenhe um diagrama de blocos do sistema com o amplificador subtrator representado como uma junção de soma e o circuito do amplificador operacional mais à direita como uma função de transferência no caminho à frente Mantenha R como uma variável Obtenha a função de transferência em malha fechada do sistema Para uma entrada em degrau unitário obtenha o valor de R que resultará em um tempo de e 79 a b c 80 a acomodação Ts 1 ms Utilizando o valor de R calculado no Item d faça um esboço da resposta ao degrau unitário resultante PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade Nesse problema você obteve um diagrama de blocos funcional relacionando a força de saída real à força de entrada saída desejada No Problema 67 Capítulo 2 você obteve a função de transferência para a dinâmica do pantógrafo isto é a função de transferência relacionando o deslocamento da mola que modela a cabeça com a força aplicada ou Gs Yhs YcatsFcimas OConnor 1997 Criamos agora uma malha de controle ativo do pantógrafo acrescentando os seguintes componentes e seguindo seu diagrama de blocos funcional obtido no Problema 21 Capítulo 1 transdutor de entrada Ges 1100 controlador Gcs K atuador Gas 11000 mola do pantógrafo Km 823 103 Nm e sensor Hss 1100 Utilizando o diagrama de blocos funcional de sua solução para o Problema 21 no Capítulo 1 e a dinâmica do pantógrafo Gs obtida no Problema 67 Capítulo 2 construa um diagrama de blocos do sistema de controle ativo do pantógrafo Obtenha a função de transferência em malha fechada para o diagrama de blocos obtido no Item a caso K 1000 Represente a dinâmica do pantógrafo na forma em variáveis de fase e obtenha uma representação no espaço de estados para o sistema em malha fechada caso K 1000 Controle de HIVAIDS Dado o sistema HIV do Problema 82 no Capítulo 4 e repetido aqui por conveniência Craig 2004 Expresse o sistema nas seguintes formas Forma em variáveis de fase b c d 81 a b Forma canônica controlável Forma canônica observável Finalmente Utilize o MATLAB para obter a representação diagonalizada do sistema Veículo híbrido A Figura P554 mostra o diagrama de blocos de um possível esquema de controle em cascata para um HEV acionado por um motor cc Preitl 2007 Seja o controlador de velocidade o controlador de torque e amplificador de potência a sensibilidade do sensor de corrente KSC 05 e a sensibilidade do sensor de velocidade KSV 00433 Além disso seguindo o desenvolvimento nos capítulos anteriores Substitua estes valores no diagrama de blocos e obtenha a função de transferência Ts VsRvs usando as regras da redução de diagramas de blocos Sugestão comece movendo o último bloco para a direita passando o ponto de ramificação Desenvolva um modelo Simulink para o sistema original na Figura P554 Ajuste o sinal de entrada de referência para rvt 4 ut uma entrada em degrau com valor inicial nulo um instante do degrau 0 segundo e um valor final de 4 volts Utilize gráficos XY para apresentar para o período de 0 a 8 segundos a resposta das seguintes variáveis à entrada em degrau 1 variação na velocidade do carro ms 2 aceleração do carro ms2 e 3 corrente da armadura do motor A Para armazenar o tempo e as três variáveis citadas anteriormente no formato de vetor conecteos a quatro sinks Workspace cada um dos quais deve carregar o nome da respectiva variável Após o término da simulação utilize os comandos para representação gráfica do MATLAB para obter e editar os três gráficos de interesse 1 2 3 4 FIGURA P554 Investigando em Laboratório Virtual Experimento 51 Objetivos Verificar a equivalência das formas básicas incluindo as formas em cascata paralela e com realimentação Verificar a equivalência das movimentações básicas incluindo a movimentação de blocos passando junções de soma e a movimentação de blocos passando pontos de ramificação Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox PréEnsaio Obtenha a função de transferência equivalente de três blocos em cascata e Obtenha a função de transferência equivalente de três blocos paralelos e Obtenha a função de transferência equivalente do sistema com realimentação negativa da Figura P555 caso FIGURA P555 Para o sistema do PréEnsaio 3 movimente Hs para a esquerda passando a junção de soma e desenhe o sistema equivalente 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Para o sistema do PréEnsaio 3 movimente Hs para a direita passando o ponto de ramificação e desenhe o sistema equivalente Ensaio Utilizando o Simulink prepare o sistema em cascata do PréEnsaio 1 e o bloco único equivalente Represente em gráficos separados a resposta ao degrau do sistema em cascata e de seu bloco único equivalente Registre os valores do tempo de acomodação e do tempo de subida para cada resposta ao degrau Utilizando o Simulink prepare o sistema em paralelo do PréEnsaio 2 e o bloco único equivalente Represente em gráficos separados a resposta ao degrau do sistema paralelo e de seu bloco único equivalente Registre os valores do tempo de acomodação e do tempo de subida para cada resposta ao degrau Utilizando o Simulink prepare o sistema com realimentação negativa do PréEnsaio 3 e o bloco único equivalente Represente em gráficos separados a resposta ao degrau do sistema com realimentação negativa e de seu bloco único equivalente Registre os valores do tempo de acomodação e do tempo de subida para cada resposta ao degrau Utilizando o Simulink prepare os sistemas com realimentação negativa dos PréEnsaios 3 4 e 5 Represente em gráficos separados a resposta ao degrau de cada um dos sistemas Registre os valores do tempo de acomodação e do tempo de subida para cada resposta ao degrau PósEnsaio Utilizando os dados de seu laboratório verifique a função de transferência equivalente de blocos em cascata Utilizando os dados de seu laboratório verifique a função de transferência equivalente de blocos em paralelo Utilizando os dados de seu laboratório verifique a função de transferência equivalente de sistemas com realimentação negativa Utilizando os dados de seu laboratório verifique a movimentação de blocos passando junções de soma e pontos de ramificação Discuta seus resultados As equivalências foram verificadas Experimento 52 Objetivo Utilizar as várias funções do LabVIEW Control Design and Simulation Module para implementar a redução de diagramas de blocos Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module PréEnsaio Dado o diagrama de blocos do Exemplo 52 substitua G1 G2 G3 H1 H2 e H3 pelas seguintes funções de transferência e obtenha uma função de transferência equivalente Ensaio Utilize o LABVIEW para implementar o diagrama de blocos do Exemplo 52 usando as funções de transferência dadas no PréEnsaio PósEnsaio Verifique seus cálculos do PréEnsaio com a função de transferência equivalente obtida com o LabVIEW Experimento 53 Objetivo Utilizar as várias funções do LabVIEW Control Design and Simulation Module e a paleta MathematicsPolynomial para implementar a regra de Mason para a redução de diagramas de blocos Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module Math Script RT Module e a paleta MathematicsPolynomial PréEnsaio Dado o diagrama de blocos criado no PréEnsaio de Investigando Laboratório Virtual 52 utilize a regra de Mason para obter uma função de transferência equivalente Ensaio Utilize o LabVIEW com Control Design and Simulation Module bem como as funções MathematicsPolynomial para implementar a redução de diagramas de blocos usando a regra de Mason PósEnsaio Verifique seus cálculos do PréEnsaio com a função de transferência equivalente obtida com o LabVIEW Bibliografia Åstrom K Klein R E and Lennartsson A Bicycle Dynamics and Control IEEE Control Systems August 2005 pp 2647 Bailey F N Cockburn J C and Dee A Robust Control for HighPerformance Materials Testing IEEE Control Systems April 1992 pp 6370 Ballard R D The Discovery of the Titanic Warner Books New York 1987 BenDov D and Salcudean S E A ForceControlled Pneumatic Actuator IEEE Transactions on Robotics and Automation vol 11 1995 pp 906911 Cavallo A De Maria G and Verde L Robust Flight Control Systems A Parameter Space Design Journal of Guidance Control and Dynamics vol 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apresenta os resultados na forma canônica controlável 4Fonte de informações para este problema Rockwell International Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Construir e interpretar uma tabela de Routh básica para determinar a estabilidade de um sistema Seções 6162 Construir e interpretar uma tabela de Routh onde o primeiro elemento de uma linha é nulo ou uma linha inteira é nula Seções 6364 Utilizar uma tabela de Routh para determinar a estabilidade de um sistema representado no espaço de estados Seção 65 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de obter a faixa de ganho do préamplificador que mantém o sistema estável Dados os diagramas de blocos dos sistemas de controle de arfagem e de rumo do veículo UFSS nas guardas traseiras você será capaz de determinar a faixa de ganho para a estabilidade do sistema de controle de arfagem ou de rumo 61 Introdução No Capítulo 1 vimos que três requisitos fazem parte do projeto de um sistema de controle resposta transitória estabilidade e erros em regime permanente Até agora cobrimos a resposta transitória sobre a qual falaremos novamente no Capítulo 8 Estamos agora prontos para discutir o requisito seguinte a estabilidade A estabilidade é a especificação de sistema mais importante Caso um sistema seja instável a resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante Um sistema instável não pode ser projetado para ter uma resposta transitória específica ou para atender um requisito de erro em regime permanente O que então é estabilidade Existem muitas definições de estabilidade dependendo do tipo de sistema ou do ponto de vista Nesta seção nos limitamos a sistemas lineares e invariantes no tempo Na Seção 15 verificamos que podemos controlar a saída de um sistema se a resposta em regime permanente consistir apenas na resposta forçada Porém a resposta total de um sistema é a soma das respostas forçada e natural ou Utilizando esses conceitos apresentamos as seguintes definições de estabilidade instabilidade e estabilidade marginal Um sistema linear invariante no tempo é estável se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito Um sistema linear invariante no tempo é instável se a resposta natural aumenta sem limites à medida que o tempo tende a infinito Um sistema linear invariante no tempo é marginalmente estável caso a resposta natural não decaia nem aumente mas permaneça constante ou oscile à medida que o tempo tende a infinito Dessa forma a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural tende a zero Essas definições se baseiam em uma descrição da resposta natural Quando se está observando a resposta total pode ser difícil separar a resposta natural da resposta forçada Entretanto percebemos que se a entrada for limitada e a resposta total não estiver tendendo a infinito à medida que o tempo tende a infinito então a resposta natural obviamente não estará tendendo a infinito Se a entrada for ilimitada temos uma resposta total ilimitada e não podemos chegar a nenhuma conclusão sobre a estabilidade do sistema não podemos dizer se a resposta total é ilimitada porque a resposta forçada é ilimitada ou porque a resposta natural é ilimitada Assim nossa definição alternativa de estabilidade que diz respeito à resposta total e implica a primeira definição baseada na resposta natural é Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada Chamamos esta declaração de definição de estabilidade entradalimitada saídalimitada boundedinput boundedoutput BIBO Vamos agora produzir uma definição alternativa para instabilidade baseada na resposta total 1 2 3 1 2 em vez da resposta natural Percebemos que se a entrada for limitada mas a resposta total for ilimitada o sistema é instável uma vez que podemos concluir que a resposta natural tende a infinito à medida que o tempo tende a infinito Caso a entrada seja ilimitada veremos uma resposta total ilimitada e não poderemos tirar nenhuma conclusão a respeito da estabilidade do sistema não podemos dizer se a resposta total é ilimitada porque a resposta forçada é ilimitada ou porque a resposta natural é ilimitada Assim nossa definição alternativa de instabilidade que diz respeito à resposta total é Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada Essas definições ajudam a esclarecer nossa definição anterior de estabilidade marginal a qual na verdade quer dizer que o sistema é estável para algumas entradas limitadas e instável para outras Por exemplo mostraremos que se a resposta natural for não amortecida uma entrada senoidal limitada de mesma frequência produzirá uma resposta natural com oscilações crescentes Assim o sistema parece ser estável para todas as entradas limitadas exceto para esta senoide Portanto os sistemas marginalmente estáveis segundo as definições da resposta natural são considerados como sistemas instáveis segundo as definições BIBO Vamos resumir nossas definições de estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo Usando a resposta natural Um sistema é estável se a resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a infinito Um sistema é instável se a resposta natural tende a infinito à medida que o tempo tende a infinito Um sistema é marginalmente estável se a resposta natural não decair nem crescer mas permanecer constante ou oscilar Usando a resposta total BIBO Um sistema é estável se toda entrada limitada gerar uma saída limitada Um sistema é instável se alguma entrada limitada gerar uma saída ilimitada Fisicamente um sistema instável cuja resposta natural aumente sem limites pode causar danos ao sistema às instalações adjacentes ou à vida humana Muitas vezes os sistemas são projetados com limites de parada para evitar uma perda total de controle Da perspectiva do gráfico da resposta no tempo de um sistema físico a instabilidade é apresentada por transitórios que crescem sem limites e consequentemente a resposta total não tende a um valor em regime permanente ou a outra resposta forçada1 Como determinamos se um sistema é estável Vamos nos focar nas definições de estabilidade da resposta natural Recorde de nosso estudo sobre polos do sistema que polos no semiplano da esquerda spe produzem respostas naturais de decaimento exponencial puro ou senoides amortecidas Essas respostas naturais tendem a zero à medida que o tempo tende a infinito Assim se os polos do sistema em malha fechada estiverem na metade esquerda do plano s e consequentemente tiverem parte real negativa o sistema será estável Isto é os sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semiplano da esquerda Os polos no semiplano da direita spd produzem respostas naturais de exponenciais crescentes puras ou senoides exponencialmente crescentes Essas respostas naturais tendem a infinito à medida que o tempo tende a infinito Assim se os polos do sistema em malha fechada estiverem na metade direita do plano s e consequentemente tiverem parte real positiva o sistema será instável Além disso polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam à soma de respostas da forma Atn cosωt φ em que n 1 2 que também tende a infinito à medida que o tempo tende a infinito Portanto os sistemas instáveis possuem funções de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semiplano da direita eou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário Finalmente um sistema que possui polos com multiplicidade 1 no eixo imaginário produz oscilações senoidais puras como uma resposta natural Essas respostas não aumentam nem diminuem em amplitude Portanto os sistemas marginalmente estáveis possuem funções de transferência em malha fechada apenas com polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semiplano da esquerda Como exemplo a resposta ao degrau unitário do sistema estável da Figura 61a é comparada com a do sistema instável da Figura 61b As respostas também mostradas na Figura 61 mostram que enquanto as oscilações para o sistema estável diminuem as do sistema instável aumentam sem limite Além disso observe que neste caso a resposta do sistema estável tende à unidade em regime permanente Nem sempre é simples determinar se um sistema de controle com realimentação é estável Infelizmente um problema típico que surge é mostrado na Figura 62 Embora conheçamos os polos da função de transferência à frente na Figura 62a não sabemos a posição dos polos do sistema em malha fechada equivalente da Figura 62b sem fatorar ou calcular explicitamente as raízes do denominador FIGURA 61 Polos em malha fechada e resposta a sistema estável b sistema instável Contudo em certas condições podemos tirar algumas conclusões sobre a estabilidade do sistema Primeiro se a função de transferência em malha fechada possuir apenas polos no semiplano da esquerda então os fatores do denominador da função de transferência em malha fechada consistirão em produtos de termos como s ai em que ai é real e positivo ou complexo com parte real positiva O produto desses termos é um polinômio com todos os coeficientes positivos2 Nenhum termo do polinômio pode estar faltando uma vez que isso implicaria o cancelamento entre coeficientes positivos e negativos ou fatores de raízes sobre o eixo imaginário o que não é o caso Portanto uma condição suficiente para que um sistema seja instável é que nem todos os sinais dos coeficientes do denominador da função de transferência em malha fechada sejam iguais Se potências de s estiverem faltando o sistema é instável ou na melhor das hipóteses marginalmente estável Infelizmente se todos os coeficientes do denominador estiverem presentes e forem positivos não temos informações definitivas sobre as posições dos polos do sistema FIGURA 62 Causa comum de problemas na obtenção dos polos em malha fechada a sistema original b sistema equivalente Se o método descrito no parágrafo anterior não for suficiente então um computador pode ser utilizado para determinar a estabilidade calculandose as posições das raízes do denominador da função de transferência em malha fechada Atualmente algumas calculadoras portáteis podem calcular as raízes de um polinômio Há contudo outro método para testar a estabilidade sem a necessidade de se calcular as raízes do denominador Discutimos este método na próxima seção 62 Critério de RouthHurwitz Nesta seção estudamos um método que fornece informações sobre a estabilidade sem a necessidade de se calcular os polos do sistema em malha fechada Utilizando este método podemos dizer quantos polos do sistema em malha fechada estão no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω Observe que foi dito quantos e não onde Podemos obter o número de polos em cada seção de plano s porém não podemos obter suas coordenadas O método é chamado de critério de RouthHurwitz para a estabilidade Routh 1905 O método requer dois passos 1 gerar uma tabela de dados chamada de tabela de Routh e 2 interpretar a tabela de Routh para dizer quantos polos de sistema em malha fechada estão no semiplano esquerdo no semiplano direito e sobre o eixo jω Você pode querer saber por que estudamos o critério de RouthHurwitz quando calculadoras e computadores modernos podem nos dizer a posição exata dos polos do sistema O poder do método está no projeto e não na análise Por exemplo se você tem um parâmetro desconhecido no denominador de uma função de transferência é difícil determinar por meio de uma calculadora a faixa de valores deste parâmetro que resulta em estabilidade Você provavelmente dependeria de um processo de tentativa e erro para responder sobre a questão da estabilidade Veremos mais adiante que o critério de Routh Hurwitz pode fornecer uma expressão fechada para a faixa de valores do parâmetro desconhecido Nesta seção construímos e interpretamos uma tabela de Routh básica Na próxima seção consideramos dois casos especiais que podem ocorrer quando se gera esta tabela de dados Construindo uma Tabela de Routh Básica Observe a função de transferência em malha fechada equivalente mostrada na Figura 63 Uma vez que estamos interessados nos polos do sistema focamos nossa atenção no denominador Primeiro construímos a tabela de Routh mostrada na Tabela 61 Comece rotulando as linhas com potências de s indo da potência mais alta do denominador da função de transferência em malha fechada até s0 Em seguida inicie com o coeficiente da potência mais alta de s no denominador e liste horizontalmente na primeira linha os demais coeficientes mas sempre pulando um coeficiente Na segunda linha liste horizontalmente começando com a segunda potência mais alta de s todos os coeficientes que foram pulados na primeira linha Os elementos remanescentes são preenchidos da seguinte forma cada elemento é o negativo do determinante de elementos das duas linhas anteriores dividido pelo elemento na primeira coluna diretamente acima da linha que está sendo calculada A coluna da esquerda do determinante é sempre a primeira coluna das duas linhas anteriores e a coluna da direita é constituída dos elementos da coluna acima e à direita A tabela está completa quando todas as linhas estiverem completas até s0 A Tabela 62 é a tabela de Routh completa Vamos ver um exemplo FIGURA 63 Função de transferência em malha fechada equivalente TABELA 61 Aparência inicial da tabela de Routh s4 a4 a2 a0 s3 a3 a1 a0 s2 s1 s0 TABELA 62 Tabela de Routh completa Exemplo 61 Criando uma Tabela de Routh PROBLEMA Construa a tabela de Routh para o sistema mostrado na Figura 64a FIGURA 64 a Sistema com realimentação para o Exemplo 61 b sistema em malha fechada equivalente SOlUÇÃO O primeiro passo é obter o sistema em malha fechada equivalente porque queremos testar o denominador desta função e não o da função de transferência à frente fornecida Utilizando a fórmula da realimentação obtemos o sistema equivalente da Figura 64b O critério de RouthHurwitz será aplicado a este denominador Primeiro rotule as linhas com potências de s indo de s3 a s0 em uma coluna vertical como mostrado na Tabela 63 Em seguida forme a primeira linha da tabela utilizando os coeficientes do denominador da função de transferência em malha fechada Comece com o coeficiente de mais alta potência e pule uma potência de s de cada vez Agora forme a segunda linha com os coeficientes do denominador pulados no passo anterior As linhas subsequentes são formadas com determinantes como mostrado na Tabela 62 Por conveniência qualquer linha da tabela de Routh pode ser multiplicada por uma constante positiva sem alterar os valores das linhas abaixo Isso pode ser provado examinando as expressões para os elementos e verificando que qualquer constante multiplicativa de uma linha anterior é cancelada Na segunda linha da Tabela 63 por exemplo a linha foi multiplicada por 110 Vemos adiante que é necessário ter cuidado para não multiplicar a linha por uma constante negativa TABELA 63 Tabela de Routh completa para o Exemplo 61 Interpretando a Tabela Básica de Routh Agora que sabemos como construir a tabela de Routh vamos ver como interpretála A tabela de Routh básica se aplica a sistemas com polos nos semiplanos esquerdo e direito Os sistemas com polos imaginários e o tipo de tabela de Routh resultante serão discutidos na próxima seção Enunciado de forma simples o critério de RouthHurwitz estabelece que o número de raízes do polinômio que estão no semiplano direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna Se a função de transferência em malha fechada possui todos os polos na metade esquerda do plano s o sistema é estável Assim um sistema é estável se não houver mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh Por exemplo a Tabela 63 tem duas mudanças de sinal na primeira coluna A primeira mudança de sinal ocorre de 1 na linha s2 para 72 na linha s1 A segunda ocorre de 72 na linha s1 para 103 na linha s0 Portanto o sistema da Figura 64 é instável uma vez que existem dois polos no semiplano da direita Exercício 61 PROBLEMA Construa uma tabela de Routh e diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita e no semiplano da esquerda Ps 3s7 9s6 6s5 4s4 7s3 8s2 2s 6 RESPOSTA Quatro no semiplano da direita spd e três no semiplano da esquerda spe A solução completa está no site da LTC Editora Agora que descrevemos como construir e interpretar uma tabela de Routh básica vamos estudar dois casos especiais que podem ocorrer 63 Critério de RouthHurwitz Casos Especiais Dois casos especiais podem ocorrer 1 a tabela de Routh algumas vezes terá um zero apenas na primeira coluna de uma linha ou 2 a tabela de Routh algumas vezes terá uma linha inteira que consiste em zeros Vamos examinar o primeiro caso Zero Apenas na Primeira Coluna Caso o primeiro elemento de uma linha seja zero uma divisão por zero seria necessária para formar a próxima linha Para evitar esse fenômeno um épsilon e é designado para substituir o zero na primeira coluna O valor e é então feito tender a zero pelo lado positivo ou pelo lado negativo após o que os sinais dos elementos na primeira coluna podem ser determinados Vamos ver um exemplo Exemplo 62 Estabilidade via Método do Épsilon PROBLEMA Determine a estabilidade da função de transferência em malha fechada SOlUÇÃO A solução é mostrada na Tabela 64 Formamos a tabela de Routh utilizando o denominador da Eq 62 Comece construindo a tabela de Routh até a linha onde um zero aparece apenas na primeira coluna a linha s3 Em seguida substitua o zero por um número pequeno e e complete a tabela Para começar a interpretação devemos primeiro admitir um sinal positivo ou negativo para a grandeza e A Tabela 65 mostra a primeira coluna da Tabela 64 junto com os sinais resultantes para escolhas de e positivo e e negativo Experimente 61 Use as seguintes instruções MATLAB para obter os polos da função de transferência em malha fechada na Eq 62 roots1 2 3 6 5 3 TABELA 64 Tabela de Routh completa para o Exemplo 62 s5 1 3 5 s4 2 6 3 s3 0 s2 3 0 s1 0 0 s0 3 0 0 TABELA 65 Determinando sinais na primeira coluna de uma tabela de Routh com zero como primeiro elemento em uma linha Rótulo Primeira coluna s5 1 s4 2 s3 s2 s1 s0 3 Caso seja escolhido positivo a Tabela 65 mostrará uma mudança de sinal da linha s3 para a linha s2 e haverá outra mudança de sinal da linha s2 para a linha s1 Assim o sistema é instável e possui dois polos no semiplano da direita Alternativamente poderíamos escolher e negativo A Tabela 65 mostraria então uma mudança de sinal da linha s4 para a linha s3 Outra mudança de sinal ocorreria da linha s3 para a linha s2 Nosso resultado seria exatamente o mesmo que para uma escolha de positivo Portanto o sistema é instável com dois polos no semiplano da direita Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch6sp1 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como utilizar a Symbolic Math Toolbox para calcular os valores dos elementos em uma tabela de Routh mesmo que a tabela contenha objetos simbólicos como Você verá que a Symbolic Math Toolbox e o MATLAB fornecem um caminho alternativo para gerar a tabela de Routh para o Exemplo 62 Outro método que pode ser utilizado quando um zero aparece apenas na primeira coluna de uma linha é deduzido a partir do fato de que um polinômio que tenha raízes recíprocas das raízes do polinômio original possui suas raízes distribuídas da mesma forma semiplano da direita semiplano da esquerda ou eixo imaginário porque o recíproco do valor de uma raiz está na mesma região da raiz Assim caso possamos obter o polinômio que possui as raízes recíprocas das do polinômio original é possível que a tabela de Routh para o novo polinômio não tenha um zero na primeira coluna Este método é geralmente mais fácil do ponto de vista computacional do que o método do épsilon que acabamos de descrever Mostramos agora que o polinômio que procuramos aquele com as raízes recíprocas é simplesmente o polinômio original com seus coeficientes escritos na ordem inversa Phillips 1991 Admita a equação Caso s seja substituído por 1d então d terá raízes que são as recíprocas de s Fazendo essa substituição na Eq 63 Colocando 1dn em evidência Assim o polinômio com raízes recíprocas é um polinômio com os coeficientes escritos na ordem inversa Vamos refazer o exemplo anterior para mostrar a vantagem computacional deste método Exemplo 63 Estabilidade via Coeficientes em Ordem Inversa PROBLEMA Determine a estabilidade da função de transferência em malha fechada SOlUÇÃO Primeiro escreva um polinômio que tenha as raízes recíprocas do denominador da Eq 66 A partir de nossa discussão este polinômio é formado escrevendose o denominador da Eq 66 em ordem inversa Assim Construímos a tabela de Routh como mostrado na Tabela 66 utilizando a Eq 67 Uma vez que existem duas mudanças de sinal o sistema é instável e possui dois polos no semiplano da direita Este é o mesmo resultado obtido no Exemplo 62 Observe que a Tabela 66 não possui um zero na primeira coluna TABELA 66 Tabela de Routh para o Exemplo 63 s5 3 6 2 s4 5 3 1 s3 42 14 s2 133 1 s1 175 s0 1 Uma Linha Inteira de Zeros Examinamos agora o segundo caso especial Algumas vezes ao se construir uma tabela de Routh verificamos que uma linha inteira é constituída de zeros porque há um polinômio par que é um fator do polinômio original Este caso deve ser tratado de modo diferente do caso de um zero apenas na primeira coluna de uma linha Vamos ver um exemplo que mostra como construir e interpretar a tabela de Routh quando uma linha inteira de zeros estiver presente Exemplo 64 Estabilidade via Tabela de Routh com Linha de Zeros PROBLEMA Determine o número de polos no semiplano da direita da função de transferência em malha fechada SOlUÇÃO Comece construindo a tabela de Routh para o denominador da Eq 68 ver Tabela 67 Na segunda linha multiplicamos por 17 por conveniência Paramos na terceira linha uma vez que a linha inteira consiste em zeros e utilizamos o procedimento descrito a seguir Primeiro retornamos à linha imediatamente acima da linha de zeros e construímos um polinômio auxiliar utilizando os elementos desta linha como coeficientes O polinômio começará com a potência de s da coluna de rótulo correspondente e continuará pulando sempre uma potência de s Assim o polinômio construído para este exemplo é TABELA 67 Tabela de Routh para o Exemplo 64 s5 1 6 8 s4 1 6 8 s3 1 3 0 s2 3 8 0 s1 0 0 s0 8 0 0 Em seguida derivamos o polinômio em relação a s e obtemos Finalmente usamos os coeficientes da Eq 610 para substituir a linha de zeros Novamente por conveniência a terceira linha é multiplicada por 14 após a substituição dos zeros O restante da tabela é construído de modo direto seguindo a formapadrão mostrada na Tabela 62 A Tabela 67 mostra que todos os elementos na primeira coluna são positivos Assim não existem polos no semiplano da direita Vamos examinar melhor o caso que resulta em uma linha inteira de zeros Uma linha inteira de zeros aparecerá na tabela de Routh quando um polinômio estritamente par ou estritamente ímpar for um fator do polinômio original Por exemplo s4 5s2 7 é um polinômio par ele possui apenas potências pares de s Os polinômios pares só possuem raízes que são simétricas com relação à origem3 Esta simetria pode ocorrer sob três condições de posições das raízes 1 As raízes são simétricas e reais 2 as raízes são simétricas e imaginárias ou 3 as raízes são quadrantais A Figura 65 mostra exemplos desses casos Cada caso ou combinação desses casos gera um polinômio par FIGURA 65 Posições das raízes para se gerar polinômios pares A B C ou qualquer combinação É este polinômio par que faz com que a linha de zeros apareça Assim a linha de zeros indica a existência de um polinômio par cujas raízes são simétricas em relação à origem Algumas das raízes poderiam estar sobre o eixo jω Por outro lado uma vez que raízes jω são simétricas em relação à origem se não tivermos uma linha de zeros não será possível termos raízes jω Outra característica da tabela de Routh para o caso em questão é que a linha anterior à linha de zeros contém o polinômio par que é um fator do polinômio original Finalmente tudo a partir da linha que contém o polinômio par até o final da tabela de Routh é um teste apenas do polinômio par Vamos juntar esses fatos em um exemplo Exemplo 65 Distribuição de Polos via Tabela de Routh com Linha de Zeros PROBLEMA Para a função de transferência diga quantos polos estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω SOlUÇÃO Utilize o denominador da Eq 611 e construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 68 Por conveniência a linha s6 é multiplicada por 110 e a linha s5 é multiplicada por 120 Na linha s3 obtemos uma linha de zeros Voltando uma linha para s4 extraímos o polinômio par Ps como TABELA 68 Tabela de Routh para o Exemplo 65 s8 1 12 39 48 20 s7 1 22 59 38 0 s6 1 2 1 2 0 s5 1 3 2 0 0 s4 1 3 2 0 0 s3 2 3 0 0 0 s2 3 4 0 0 0 s1 0 0 0 0 s0 4 0 0 0 0 Este polinômio dividirá o denominador da Eq 611 e consequentemente é um fator Derivando em relação a s para obter os coeficientes que substituem a linha de zeros na linha s3 obtemos Substitua a linha de zeros com 4 6 e 0 e multiplique a linha por 12 por conveniência Finalmente continue a tabela até a linha s0 utilizando o procedimentopadrão Como interpretamos agora a tabela de Routh Uma vez que todos os elementos a partir do polinômio par na linha s4 até a linha s0 são um teste do polinômio par começamos a tirar algumas conclusões sobre as raízes do polinômio par Não existe mudança de sinal da linha s4 até a linha s0 Assim o polinômio par não possui polos no semiplano da direita Uma vez que não há polos no semiplano da direita não existem polos no semiplano da esquerda devido ao requisito de simetria Portanto o polinômio par Eq 612 deve ter todos os seus quatro polos sobre o eixo jω4 Esses resultados são resumidos na primeira coluna da Tabela 69 As raízes remanescentes do polinômio total são avaliadas a partir da linha s8 até a linha s4 Observamos duas mudanças de sinal uma da linha s7 para a linha s6 e outra da linha s6 para a linha s5 Portanto o outro polinômio deve ter duas raízes no semiplano da direita Esses resultados são incluídos na Tabela 69 na coluna Outro A contagem final é a soma das raízes de cada componente o polinômio par e o outro polinômio como mostrado na coluna Total na Tabela 69 Assim o sistema tem dois polos no semiplano da direita dois polos no semiplano da esquerda e quatro polos sobre o eixo jω ele é instável devido aos polos no semiplano da direita TABELA 69 Resumo das posições dos polos para o Exemplo 65 Polinômio Posição Par quarta ordem Outro quarta ordem Total oitava ordem Semiplano da direita 0 2 2 Semiplano da esquerda 0 2 2 jω 4 0 4 Resumimos agora o que aprendemos sobre os polinômios que geram linhas inteiras de zeros na tabela de Routh Esses polinômios possuem um fator puramente par com raízes que são simétricas em relação à origem O polinômio par aparece na tabela de Routh na linha imediatamente acima da linha de zeros Todos os elementos na tabela a partir da linha do polinômio par até o final da tabela se aplicam apenas ao polinômio par Portanto o número de mudanças de sinal a partir do polinômio par até o final da tabela é igual ao número de raízes no semiplano da direita do polinômio par Por causa da simetria das raízes em relação à origem o polinômio par deve ter o mesmo número de raízes no semiplano da esquerda e no semiplano da direita Tendo contabilizado as raízes nos semiplanos da direita e da esquerda sabemos que as demais raízes devem estar sobre o eixo jω Todas as linhas da tabela de Routh do início da tabela até a linha contendo o polinômio par se aplicam apenas ao outro fator do polinômio original Para este fator o número de mudanças de sinal do começo da tabela até o polinômio par é igual ao número de raízes no semiplano da direita As demais raízes estão no semiplano da esquerda Não pode haver raízes jω contidas no outro polinômio Exercício 62 PROBLEMA Utilize o critério de RouthHurwitz para descobrir quantos polos do sistema em malha fechada a seguir Ts estão no spd no spe e sobre o eixo jω RESPOSTA Dois no spd dois no spe e dois sobre o eixo jω A solução completa está no site da LTC Editora Vamos demonstrar a utilidade do critério de RouthHurwitz com alguns exemplos adicionais 64 Critério de RouthHurwitz Exemplos Adicionais As duas seções anteriores apresentaram o critério de RouthHurwitz Agora precisamos mostrar a aplicação do método a alguns problemas de análise e de projeto Exemplo 66 RouthHurwitz Padrão PROBLEMA Determine o número de polos no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da Figura 66 FIGURA 66 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 66 SOlUÇÃO Primeiro obtenha a função de transferência em malha fechada como A tabela de Routh para o denominador da Eq 614 é mostrada na Tabela 610 Para maior clareza deixamos as células com zero em branco Na linha s1 há um coeficiente negativo assim existem duas mudanças de sinal O sistema é instável uma vez que ele possui dois polos no semiplano da direita e dois polos no semiplano da esquerda O sistema não pode possuir polos sobre o eixo jω uma vez que não apareceu uma linha de zeros na tabela de Routh TABELA 610 Tabela de Routh para o Exemplo 66 s4 1 11 200 s3 1 1 s2 1 20 s0 19 s0 20 O próximo exemplo mostra a ocorrência de um zero apenas na primeira coluna de uma linha Exemplo 67 RouthHurwitz com Zero na Primeira Coluna PROBLEMA Determine o número de polos no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da Figura 67 FIGURA 67 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 67 SOlUÇÃO A função de transferência em malha fechada é Construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 611 utilizando o denominador da Eq 615 Um zero aparece na primeira coluna da linha s3 Uma vez que a linha toda não é nula simplesmente substitua o zero por um valor pequeno e e continue a tabela Fazendo que e seja um valor pequeno e positivo verificamos que o primeiro elemento da linha s2 é negativo Assim há duas mudanças de sinal e o sistema é instável com dois polos no semiplano da direita Os demais polos estão no semiplano da esquerda TABELA 611 Tabela de Routh para o Exemplo 67 s5 2 2 2 s4 3 3 1 s3 s2 1 s1 s0 1 Também podemos usar a abordagem alternativa onde produzimos um polinômio cujas raízes são as recíprocas das do original Utilizando o denominador da Eq 615 construímos um polinômio escrevendo os coeficientes em ordem inversa A tabela de Routh para este polinômio é mostrada na Tabela 612 Infelizmente neste caso também temos um zero apenas na primeira coluna da linha s2 Contudo é mais fácil trabalhar com ela do que com a Tabela 611 A Tabela 612 fornece os mesmos resultados que a Tabela 611 três polos no semiplano da esquerda e dois polos no semiplano da direita O sistema é instável TABELA 612 Tabela de Routh alternativa para o Exemplo 67 s5 1 3 3 s4 2 2 2 s3 2 2 s2 2 s1 s0 2 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch6p1 do Apêndice B Você aprenderá como realizar a redução de diagrama de blocos para obter Ts seguida da avaliação dos polos do sistema em malha fechada para determinar a estabilidade Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o Exemplo 67 No próximo exemplo vemos uma linha inteira de zeros aparecer juntamente com a possibilidade de raízes imaginárias Exemplo 68 RouthHurwitz com Linha de Zeros PROBLEMA Determine o número de polos no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω para o sistema da Figura 68 Tire conclusões a respeito da estabilidade do sistema em malha fechada FIGURA 68 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 68 SOlUÇÃO A função de transferência em malha fechada para o sistema da Figura 68 é Experimente 62 Use as seguintes instruções MATLAB e Control System Toolbox para obter a função de transferência em malha fechada Ts para a Figura 68 e os polos em malha fechada numg128 deng1 3 10 24 48 96 128 192 0 Gtf numgdeng TfeedbackG1 polespoleT Utilizando o denominador construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 613 Uma linha de zeros aparece na linha s5 Portanto o denominador da função de transferência em malha fechada deve ter um polinômio par como fator Retorne à linha s6 e construa o polinômio par Derive este polinômio com relação a s para obter os coeficientes que substituirão a linha de zeros Substitua a linha de zeros na linha s5 pelos coeficientes da Eq 619 e multiplique por 12 por conveniência Em seguida complete a tabela Observamos que há duas mudanças de sinal do polinômio par na linha s6 até o final da tabela Portanto o polinômio par possui dois polos no semiplano da direita Por causa da simetria em relação à origem o polinômio par deve ter o mesmo número de polos no semiplano da esquerda Portanto o polinômio par tem dois polos no semiplano da esquerda Uma vez que o polinômio par é de sexta ordem os dois polos restantes devem estar sobre o eixo jω TABELA 613 Tabela de Routh para o Exemplo 68 s8 1 10 48 128 128 s7 1 8 32 64 s6 1 8 32 64 s5 3 16 32 0 s4 1 8 24 s3 1 5 s2 1 8 s1 3 s0 8 Não há mudanças do início da tabela até o polinômio par na linha s6 Portanto o resto do polinômio não tem polos no semiplano da direita Os resultados são resumidos na Tabela 614 O sistema tem dois polos no semiplano da direita quatro polos no semiplano da esquerda e dois polos sobre o eixo jω os quais são de multiplicidade unitária O sistema em malha fechada é instável por causa dos polos no semiplano da direita TABELA 614 Resumo das posições dos polos para o Exemplo 68 Polinômio Posição Par sexta ordem Outro segunda ordem Total oitava ordem Semiplano da direita 2 0 2 Semiplano da esquerda 2 2 4 jω 2 0 2 O critério de RouthHurwitz oferece uma prova nítida de que mudanças no ganho de um sistema de controle com realimentação resultam em diferenças na resposta transitória em decorrência de mudanças nas posições dos polos em malha fechada O próximo exemplo demonstra este conceito Veremos que para sistemas de controle como os mostrados na Figura 69 variações de ganho podem mover os polos de regiões estáveis do plano s para o eixo jω e em seguida para o semiplano da direita FIGURA 69 Jason é um veículo subaquático controlado remotamente que foi utilizado para explorar os destroços do Lusitania O manipulador e a câmara abrangem alguns dos sistemas de controle do veículo Exemplo 69 Projeto de Estabilidade via RouthHurwitz PROBLEMA Determine a faixa de valores de ganho K para o sistema da Figura 610 que fará com que o sistema seja estável instável e marginalmente estável Admita K 0 FIGURA 610 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 69 SOlUÇÃO Primeiro obtenha a função de transferência em malha fechada como Em seguida construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 615 TABELA 615 Tabela de Routh para o Exemplo 69 s3 1 77 s2 18 K s1 s0 K Uma vez que K é admitido positivo vemos que todos os elementos na primeira coluna são sempre positivos exceto o da linha s1 Este elemento pode ser positivo zero ou negativo dependendo do valor de K Se K 1386 todos os termos na primeira coluna serão positivos e como não há mudanças de sinal o sistema terá três polos no semiplano da esquerda e será estável Se K 1386 o termo s1 na primeira coluna será negativo Há duas mudanças de sinal indicando que o sistema tem dois polos no semiplano da direita e um polo no semiplano da esquerda o que faz com que o sistema seja instável Se K 1386 temos uma linha inteira de zeros o que poderia significar polos jω Retornando à linha s2 e substituindo K por 1386 construímos o polinômio par Derivando em relação a s temos TABELA 616 Tabela de Routh para o Exemplo 69 com K 1386 s3 1 77 s2 18 1386 s1 36 s0 1386 Substituindo a linha de zeros com os coeficientes da Eq 622 obtemos a tabela de RouthHurwitz mostrada na Tabela 616 para o caso de K 1386 Como não há mudanças de sinal a partir do polinômio par linha s2 até o final da tabela o polinômio par tem suas duas raízes sobre o eixo jω com multiplicidade unitária Como não há mudanças de sinal acima do polinômio par a raiz remanescente está no semiplano da esquerda Portanto o sistema é marginalmente estável Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch6p2 do Apêndice B Você aprenderá como preparar um laço para procurar pela faixa de valores de ganho para resultar em estabilidade Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o Exemplo 69 Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch6sp2 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como utilizar a Symbolic Math Toolbox para calcular os valores dos elementos em uma tabela de Routh mesmo se a tabela contiver objetos simbólicos como um ganho variável K Você verá que a Symbolic Math Toolbox e o MATLAB fornecem um caminho alternativo para resolver o Exemplo 69 O critério de RouthHurwitz é frequentemente utilizado em aplicações limitadas para fatorar polinômios contendo fatores pares Vamos ver um exemplo Exemplo 610 Fatorando via RouthHurwitz PROBLEMA Fatore o polinômio SOlUÇÃO Construa a tabela de Routh da Tabela 617 Verificamos que a linha s1 é uma linha de zeros Construa agora o polinômio par na linha s2 TABELA 617 Tabela de Routh para o Exemplo 610 s4 1 30 200 s3 1 10 s2 1 10 s1 2 0 s0 10 Este polinômio é derivado em relação a s para completar a tabela de Routh Entretanto como este polinômio é um fator do polinômio original na Eq 623 dividindo a Eq 623 pela Eq 624 resulta s2 3s 20 como o outro fator Portanto Exercício 63 PROBLEMA Para um sistema com realimentação unitária com a função de transferência à frente determine a faixa de valores de K que torna o sistema estável RESPOSTA 0 K 2 A solução completa está no site da LTC Editora 65 Estabilidade no Espaço de Estados Até agora examinamos a estabilidade do ponto de vista do plano s Agora analisamos a estabilidade pela perspectiva do espaço de estados Na Seção 410 mencionamos que os valores dos polos do sistema são iguais aos autovalores da matriz de sistema A Declaramos que os autovalores da matriz A eram soluções da equação detsI A 0 que também resultava nos polos da função de transferência Os autovalores apareceram novamente na Seção 58 onde foram formalmente definidos e utilizados para diagonalizar uma matriz Vamos agora mostrar formalmente que os autovalores e os polos do sistema têm os mesmos valores Revendo a Seção 58 os autovalores de uma matriz A são os valores de λ que propiciam uma solução não trivial diferente de 0 para x na equação Para obter os valores de λ que de fato permitem a solução para x reorganizamos a Eq 626 como a seguir ou Resolvendo para x resulta ou Verificamos que todas as soluções serão o vetor nulo exceto quando ocorrer um zero no denominador Como esta é a única condição em que os elementos de x serão 00 ou indeterminados este é o único caso em que uma solução não nula é possível Os valores de λ são calculados igualandose o denominador a zero Esta equação determina os valores de λ para os quais existe uma solução não nula para x na Eq 626 Na Seção 58 definimos x como autovetores e os valores de λ como autovalores da matriz A Vamos agora relacionar os autovalores da matriz de sistema A aos polos do sistema No Capítulo 3 deduzimos a equação da função de transferência do sistema Eq 373 a partir das equações de estado A função de transferência do sistema tem detsI A no denominador por causa da presença de sI A1 Assim é a equação característica do sistema a partir da qual os polos do sistema podem ser obtidos Como as Eqs 631 e 632 são idênticas com exceção de uma mudança no nome da variável concluímos que os autovalores da matriz A são idênticos aos polos do sistema antes do cancelamento de polos e zeros comuns na função de transferência Portanto podemos determinar a estabilidade de um sistema representado no espaço de estados obtendo os autovalores da matriz de sistema A e determinando suas posições no plano s Exemplo 611 Estabilidade no Espaço de Estados PROBLEMA Dado o sistema determine quantos polos estão no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω SOlUÇÃO Primeiro construa sI A Agora obtenha o detsI A Utilizando este polinômio forme a tabela de Routh da Tabela 618 Como há uma mudança de sinal na primeira coluna o sistema tem um polo no semiplano da direita e dois polos no semiplano da esquerda Ele é portanto instável Contudo você pode questionar a possibilidade de que se um zero de fase não mínima cancelar o polo instável o sistema será estável Entretanto na prática o zero de fase não mínima ou o polo instável se deslocará devido a pequenas variações nos parâmetros do sistema Estas variações farão com que o sistema fique instável TABELA 618 Tabela de Routh para o Exemplo 611 s3 1 7 s2 3 26 s1 1 0 s0 26 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch6p3 do Apêndice B Você aprenderá como determinar a estabilidade de um sistema representado no espaço de estados obtendo os autovalores da matriz de sistema Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o Exemplo 611 Exercício 64 PROBLEMA Para o sistema a seguir representado no espaço de estados determine quantos polos estão no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω Experimente 63 Use as seguintes instruções MATLAB para obter os autovalores do sistema descrito no Exercício 64 RESPOSTA Dois no spd e um no spe A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção avaliamos a estabilidade de sistemas de controle com realimentação da perspectiva do espaço de estados Como os polos em malha fechada e os autovalores de um sistema são os mesmos o requisito de estabilidade de um sistema representado no espaço de estados impõe que os autovalores não podem estar na metade da direita do plano s ou serem múltiplos sobre o eixo jω Podemos obter os autovalores a partir das equações de estado sem ter que primeiro converter para uma função de transferência para assim obter os polos a equação detsI A 0 fornece os autovalores diretamente Se detsI A um polinômio em s não puder ser fatorado facilmente podemos aplicar o critério de RouthHurwitz a ele para verificar quantos autovalores estão em cada região do plano s Resumimos agora este capítulo primeiro com estudos de caso e em seguida com um resumo escrito Nossos estudos de caso incluem o sistema de controle de posição de azimute de antena e o UFSS A estabilidade é tão importante para esses sistemas quanto para o sistema mostrado na Figura 611 FIGURA 611 O FANUC M410iB tem quatro eixos de movimento Ele é visto aqui movendo e empilhando sacas de chocolate Estudos de Caso Controle de Antena Projeto de Estabilidade via Ganho Este capítulo cobriu os elementos da estabilidade Mostramos que os sistemas estáveis possuem seus polos em malha fechada na metade esquerda do plano s À medida que o ganho de malha é alterado as posições dos polos também são alteradas criando a possibilidade de que os polos possam se mover para a metade direita do plano s o que resultaria em instabilidade Ajustes de ganho adequados são essenciais para a estabilidade de sistemas em malha fechada O estudo de caso a seguir demonstra o ajuste adequado do ganho de malha para assegurar a estabilidade PROBLEMA Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 obtenha a faixa de ganhos do préamplificador necessária para manter o sistema em malha fechada estável SOlUÇÃO A função de transferência em malha fechada foi deduzida nos estudos de caso no Capítulo 5 como Utilizando o denominador construa a tabela de Routh mostrada na Tabela 619 A terceira linha da tabela mostra que uma linha de zeros ocorre se K 2623 Este valor de K torna o sistema marginalmente estável Portanto não haverá mudanças de sinal na primeira coluna se 0 K 2623 Concluímos que para estabilidade 0 K 2623 DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Em relação ao sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 obtenha a faixa de ganhos do préamplificador necessária para manter o sistema em malha fechada estável TABELA 619 Tabela de Routh para o estudo de caso do controle de antena s3 1 171 s2 10171 663K s1 1739241663K 0 s0 663K Veículo UFSS Projeto de Estabilidade via Ganho Para este estudo de caso retornamos ao veículo UFSS e estudamos a estabilidade do sistema de controle de arfagem que é utilizado para controlar a profundidade Especificamente obtemos a faixa de ganhos de arfagem que mantém a malha de controle de arfagem estável PROBLEMA A malha de controle de arfagem para o veículo UFSS Johnson 1980 é mostrada nas guardas traseiras Faça K2 1 e determine a faixa de K1 que garanta que o sistema de controle de arfagem em malha fechada seja estável SOlUÇÃO O primeiro passo é reduzir o sistema de controle de arfagem a uma única função de transferência em malha fechada A função de transferência do caminho à frente equivalente Ges é Com realimentação unitária a função de transferência em malha fechada Ts é a b O denominador da Eq 638 é agora utilizado para construir a tabela de Routh mostrada na Tabela 620 TABELA 620 Tabela de Routh para o estudo de caso do UFSS s4 1 3457 00416 0109K1 s3 3456 0719 025K1 s2 11228 025K1 0144 0377K1 s1 s0 0144 0377K1 Observação algumas linhas foram multiplicadas por uma constante positiva por conveniência Observando a primeira coluna as linhas s4 e s3 são positivas Portanto todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos para termos estabilidade Para que a primeira coluna da linha s2 seja positiva K1 4491 Para que a primeira coluna da linha s1 seja positiva o numerador deve ser positivo uma vez que o denominador é positivo devido ao passo anterior A solução para o termo quadrático no numerador fornece raízes de K1 4685 e 2587 Assim para um numerador positivo 4685 K1 2587 Finalmente para que a primeira coluna da linha s0 seja positiva 0382 K1 Usando todas as três condições a estabilidade será garantida se 0382 K1 2587 DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Para o sistema de controle de rumo do veículo UFSS Johnson 1980 mostrado nas guardas traseiras e apresentado no desafio do estudo de caso do UFSS no Capítulo 5 faça o seguinte Obtenha a faixa de ganhos de rumo que assegure a estabilidade do veículo Faça K2 1 Repita o Item a utilizando o MATLAB Nos nossos estudos de caso calculamos as faixas de ganho para garantir a estabilidade O estudante deve estar ciente de que embora essas faixas resultem em estabilidade o ajuste do ganho dentro desses limites pode não fornecer as características desejadas de resposta transitória ou erro em regime permanente Nos Capítulos 9 e 11 exploraremos técnicas de projeto além do simples ajuste de ganho que fornecerão maior flexibilidade na obtenção das características desejadas Resumo Neste capítulo exploramos o conceito de estabilidade de sistema tanto do ponto de vista clássico quanto da perspectiva do espaço de estados Descobrimos que para sistemas lineares a estabilidade é baseada em uma resposta natural que decai para zero à medida que o tempo tende a infinito Por outro lado se a resposta natural aumenta sem limite a resposta forçada é dominada 1 2 3 4 5 6 7 pela resposta natural e perdemos o controle Esta condição é conhecida como instabilidade Existe uma terceira possibilidade a resposta natural pode não decair nem aumentar sem limites mas oscilar Neste caso o sistema é marginalmente estável Também usamos uma definição alternativa de estabilidade para o caso em que a resposta natural não está disponível explicitamente Esta definição é baseada na resposta total e diz que um sistema é estável se toda entrada limitada produzir uma saída limitada BIBO e instável se alguma entrada limitada produzir uma saída ilimitada Matematicamente a estabilidade para sistemas lineares invariantes no tempo pode ser determinada a partir da posição dos polos em malha fechada Caso os polos estejam apenas no semiplano da esquerda o sistema é estável Caso algum polo esteja no semiplano da direita o sistema é instável Caso os polos estejam sobre o eixo jω e no semiplano da esquerda o sistema é marginalmente estável desde que os polos sobre o eixo jω sejam de multiplicidade unitária ele é instável se existir algum polo jω múltiplo Infelizmente embora os polos em malha aberta possam ser conhecidos verificamos que em sistemas de ordem elevada é difícil determinar os polos em malha fechada sem um programa de computador O critério de RouthHurwitz nos permite descobrir quantos polos estão em cada uma das seções do plano s sem nos fornecer as coordenadas dos polos O simples conhecimento da existência de polos no semiplano da direita é suficiente para concluir que um sistema é instável Sob certas condições limitadas quando um polinômio par está presente a tabela de Routh pode ser utilizada para fatorar a equação característica do sistema A obtenção da estabilidade a partir da representação no espaço de estados de um sistema é baseada no mesmo conceito a posição das raízes da equação característica Essas raízes são equivalentes aos autovalores da matriz de sistema e podem ser determinadas resolvendose a equação detsI A 0 Novamente o critério de RouthHurwitz pode ser aplicado a este polinômio O ponto importante é que a representação no espaço de estados de um sistema não precisa ser convertida em uma função de transferência para se investigar a estabilidade No próximo capítulo analisaremos os erros em regime permanente o último dos três requisitos de sistema de controle importantes que enfatizamos Questões de Revisão Que parte da resposta de saída é responsável pela determinação da estabilidade de um sistema linear O que acontece com a resposta mencionada na Questão 1 que gera a instabilidade O que poderia acontecer a um sistema físico que se torne instável Por que os sistemas marginalmente estáveis são considerados instáveis segundo a definição BIBO de estabilidade Onde os polos de um sistema devem estar para assegurar que o sistema não seja instável O que o critério de RouthHurwitz nos diz Sob que condições o critério de RouthHurwitz poderia nos dizer facilmente a posição real 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 dos polos em malha fechada do sistema O que faz um zero aparecer apenas na primeira coluna da tabela de Routh O que faz aparecer uma linha inteira de zeros na tabela de Routh Por que algumas vezes multiplicamos uma linha de uma tabela de Routh por uma constante positiva Por que não multiplicamos uma linha de uma tabela de Routh por uma constante negativa Se a tabela de Routh tem duas mudanças de sinal acima do polinômio par e cinco mudanças de sinal abaixo do polinômio par quantos polos no semiplano da direita o sistema tem A presença de uma linha inteira de zeros sempre significa que o sistema tem polos jω Se um sistema de sétima ordem tiver uma linha de zeros na linha s3 e duas mudanças de sinal abaixo da linha s4 quantos polos jω o sistema tem É verdade que os autovalores da matriz de sistema são iguais aos polos em malha fechada Como determinamos os autovalores Problemas Diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 62 Ps s5 3s4 5s3 4s2 s 3 Diga quantas raízes do polinômio a seguir estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 63 Ps s5 6s3 5s2 8s 20 Utilizando a tabela de Routh diga quantos polos da função a seguir estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 63 A função de transferência em malha fechada de um sistema é Seção 63 5 6 7 8 9 10 Determine quantos polos em malha fechada estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Quantos polos estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω para o sistema em malha aberta da Figura P61 Seção 63 FIGURA P61 Quantos polos estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω para o sistema em malha aberta da Figura P62 Seção 63 FIGURA P62 Utilize o MATLAB para determinar as posições dos polos para o sistema do Problema 6 Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para gerar uma tabela de Routh para resolver o Problema 3 Determine se o sistema com realimentação unitária da Figura P63 é estável se Seção 62 FIGURA P63 Utilize o MATLAB para determinar as posições dos polos para o 11 12 13 14 15 16 17 sistema do Problema 9 Considere o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Utilizando o critério de RouthHurwitz determine a região do plano s onde os polos do sistema em malha fechada estão localizados Seção 63 No sistema da Figura P63 faça Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada Seção 64 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 63 diga quantos polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 63 Utilizando o critério de RouthHurwitz e o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com diga se o sistema em malha fechada é estável ou não Seção 62 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com diga quantos polos em malha fechada estão localizados no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 63 Repita o Problema 15 utilizando o MATLAB Considere a tabela de Routh a seguir Observe que a linha s5 era originalmente toda de zeros Diga quantas raízes do polinômio original estavam no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 63 18 19 20 s7 1 2 1 2 s6 1 2 1 2 s5 3 4 1 0 s4 1 1 3 0 s3 7 8 0 0 s2 15 21 0 0 s1 9 0 0 0 s0 21 0 0 0 Para o sistema da Figura P64 diga quantos polos em malha fechada estão localizados no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Observe que existe uma realimentação positiva Seção 63 FIGURA P64 Utilizando o critério de RouthHurwitz diga quantos polos em malha fechada do sistema mostrado na Figura P65 estão no semiplano da esquerda no semiplano da direita e sobre o eixo jω Seção 63 FIGURA P65 Determine se o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com 21 22 a b c d 23 24 25 26 27 pode ser instável Seção 64 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com determine a faixa de K para assegurar estabilidade Seção 64 No sistema mostrado na Figura P63 faça Obtenha a faixa de K para estabilidade em malha fechada quando Seção 64 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com determine a faixa de K para estabilidade Seção 64 Repita o Problema 23 utilizando o MATLAB Utilize o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox para gerar uma tabela de Routh em função de K para resolver o Problema 23 Obtenha a faixa de K para estabilidade para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com 28 29 30 31 32 33 obtenha a faixa de K para estabilidade Seção 64 Obtenha a faixa de valores de ganho K para assegurar estabilidade no sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Obtenha a faixa de valores de ganho K para assegurar estabilidade no sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Utilizando o critério de RouthHurwitz obtenha o valor de K que produzirá oscilações para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Utilize o critério de RouthHurwitz para determinar a faixa de K para a qual o sistema da Figura P66 é estável Seção 64 FIGURA P66 Repita o Problema 31 para o sistema da Figura P67 Seção 64 FIGURA P67 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com a b c 34 35 36 a b 37 38 39 determine o seguinte Seção 64 A faixa de K que mantém o sistema estável O valor de K que faz o sistema oscilar A frequência de oscilação quando K é ajustado para o valor que faz o sistema oscilar Repita o Problema 33 para Seção 64 Para o sistema mostrado na Figura P68 obtenha o valor de ganho K que fará o sistema oscilar Além disso determine a frequência de oscilação Seção 64 FIGURA P68 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Obtenha a faixa de K para estabilidade Obtenha a frequência de oscilação quando o sistema é marginalmente estável Repita o Problema 36 utilizando o MATLAB Para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com obtenha a faixa de K para a qual existirão apenas dois polos no semiplano da direita em malha fechada Seção 64 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 a b 40 a b 41 a b c 42 43 Obtenha a faixa de K para estabilidade Obtenha a frequência de oscilação quando o sistema é marginalmente estável Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Obtenha a faixa de K para estabilidade Obtenha a frequência de oscilação quando o sistema é marginalmente estável Utilizando o critério de RouthHurwitz e o sistema com realimentação unitária da Figura P63 com Seção 64 Obtenha a faixa de K para estabilidade Obtenha o valor de K para estabilidade marginal Determine as posições reais dos polos em malha fechada quando o sistema é marginalmente estável Obtenha a faixa de K que mantém o sistema mostrado na Figura P69 estável Seção 64 FIGURA P69 Obtenha o valor de K no sistema da Figura P610 que posicionará os polos em malha fechada conforme mostrado Seção 64 44 45 46 a FIGURA P610 Sistema em malha fechada com diagrama de polos A função de transferência em malha fechada de um sistema é Determine a faixa de K1 para que o sistema seja estável Qual é a relação entre K1 e K2 para a estabilidade Seção 64 Para a função de transferência a seguir obtenha as restrições sobre K1 e K2 tal que a função tenha apenas dois polos jω Seção 64 A função de transferência relacionando a saída que é a velocidade da turbina do motor rpm com a entrada que é o fluxo de combustível para a câmara de combustão principal lbh para um avião de caça de decolagem e pouso curtos STOL short takeoff and landing ignorando o acoplamento entre a velocidade da turbina do motor e o comando de controle de arfagem é Schierman 1992 Seção 64 Determine quantos polos estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω b 47 48 49 O sistema em malha aberta é estável Um polinômio intervalar tem a forma Ps a0 a1s a2s2 a3s3 a4s4 a5s5 com seus coeficientes pertencendo a intervalos xi ai yi em que xi e yi são constantes prescritas O teorema de Kharitonov diz que um polinômio intervalar tem todas as suas raízes no semiplano da esquerda se cada um dos quatro polinômios a seguir tiver suas raízes no semiplano da esquerda Minichelli 1989 K1s x0 x1s y2s2 y3s3 x4s4 x5s5 y6s6 K2s x0 y1s y2s2 x3s3 x4s4 y5s5 y6s6 K3s y0 x1s x2s2 y3s3 y4s4 x5s5 x6s6 K4s y0 y1s x2s2 x3s3 y4s4 y5s5 x6s6 Utilize o teorema de Kharitonov e o critério de RouthHurwitz para determinar se o polinômio a seguir tem algum zero no semiplano da direita Ps a0 a1 a2s2 a3s3 2 a0 4 1 a1 2 4 a2 6 a3 1 Um modelo linearizado de um guindaste controlado por torque içando uma carga com um comprimento de cabo constante é em que L comprimento do cabo m T massa do carro a massa combinada do carro e do cabo fT a entrada de força aplicada ao carro e xT deslocamento resultante do cabo Marttinen 1990 Se o sistema é controlado em uma configuração com realimentação colocandoo em uma malha como mostrado na Figura P611 com K 0 em que os polos em malha fechada estarão posicionados FIGURA P611 O conjunto de braço e cabeça de leituragravação de um acionador de disco rígido de computador HDD hard disk drive pode ser modelado como um corpo rígido em rotação com inércia Ib Sua dinâmica pode ser descrita com a função de transferência 50 51 52 em que Xs é o deslocamento da cabeça de leituragravação e Fs é a força aplicada Yan 2003 Mostre que se o HDD é controlado na configuração mostrada na Figura P611 o braço oscilará e não poderá ser posicionado com precisão sobre uma trilha do HDD Obtenha a frequência de oscilação Um sistema é representado no espaço de estados como Determine quantos autovalores estão no semiplano da direita no semiplano da esquerda e sobre o eixo jω Seção 65 Utilize o MATLAB para obter os autovalores do seguinte sistema O sistema no espaço de estados a seguir representa o caminho à frente de um sistema com realimentação unitária Utilize o critério de RouthHurwitz para determinar se o sistema em malha fechada é estável Seção 65 53 54 a b 55 56 Repita o Problema 52 utilizando o MATLAB Um polinômio Butterworth tem a forma Utilize o critério de RouthHurwitz para obter os zeros de um polinômio Butterworth para n 1 n 2 PROBLEMAS DE PROJETO Um modelo para a malha de arfagem de um avião é mostrado na Figura P612 Determine a faixa de ganho K que manterá o sistema estável O sistema pode ser instável para valores positivos de K FIGURA P612 Modelo da malha de arfagem de uma aeronave Uma aplicação comum de sistemas de controle é a regulação da temperatura de um processo químico Figura P613 A vazão de um reagente químico para um processo é controlada por um atuador e uma válvula O reagente faz com que a temperatura na cuba se modifique Essa temperatura é medida e comparada a uma temperatura de referência desejada em uma malha fechada onde a vazão do reagente é ajustada para resultar na temperatura desejada No Capítulo 9 aprenderemos como um controlador PID é usado para melhorar o desempenho desses sistemas de controle de processos A Figura P613 mostra o sistema de controle antes da inclusão do controlador PID O controlador PID é substituído por um ganho unitário Para este sistema antes do projeto do controlador PID determine a faixa do ganho do amplificador K para manter o sistema estável 57 FIGURA P613 Diagrama de blocos de um sistema de controle de processo químico Um braço robótico chamado ISAC Intelligent Soft Arm Control Controle de braço suave inteligente pode ser utilizado como parte de um sistema para alimentar pessoas com necessidades especiais ver Figura P614a O sistema de controle guia a colher até a comida e em seguida para uma posição próxima à boca da pessoa O braço utiliza um atuador controlado pneumaticamente especial chamado de rubbertuator Este tipo de atuador consiste em tubos de borracha cobertos com cabos de fibra O atuador se contrai em comprimento quando a pressão pneumática aumenta e se expande quando a pressão diminui Estas expansões e contrações podem acionar uma polia ou outro dispositivo Uma câmera de vídeo fornece a visão para o robô e para a malha de rastreamento Kara 1992 Considere o diagrama de blocos simplificado mostrado na Figura P614b para regular a colher a uma certa distância da boca Obtenha a faixa de K para estabilidade A utilização de um programa com capacidade simbólica é recomendada 58 59 FIGURA P614 a ISAC utilizado para alimentar pessoas Cortesia de Kazuhiko Kawamura Vanderbilt University b diagrama de blocos simplificado Frequentemente requerse que um avião reboque outro veículo como um alvo de treinamento ou um planador Para estabilizar o veículo rebocado e evitar que ele role arfe ou guine um piloto automático é construído no veículo rebocado Admita que o diagrama de blocos mostrado na Figura P615 representa o sistema de controle de rolagem do piloto automático Cochran 1992 Determine a faixa de K para manter o ângulo de rolagem estável FIGURA P615 Controle de rolagem de um veículo rebocado As forças de corte devem ser mantidas constantes durante as operações de usinagem para 60 evitar variações na velocidade do eixo ou na posição de trabalho Essas variações deteriorariam a exatidão das dimensões da peça É proposto um sistema de controle para controlar a força de corte A planta é difícil de ser modelada uma vez que os fatores que afetam a força de corte são variantes no tempo e não podem ser previstos facilmente Entretanto admitindo o modelo de controle de força simplificado mostrado na Figura P616 utilize o critério de RouthHurwitz para determinar a faixa de K para manter o sistema estável Rober 1997 FIGURA P616 Sistema de controle de força de corte Reproduzido com permissão da ASME Os sistemas de transporte que utilizam a levitação magnética podem atingir velocidades muito elevadas uma vez que o atrito de contato com os trilhos é eliminado ver Figura P617a Eletroímãs podem produzir a força necessária para suspender o veículo A Figura P617b é um modelo de simulação do sistema de controle que pode ser utilizado para regular o vão magnético Na figura Zvens representa uma tensão proporcional à quantidade de levitação desejada ou ao vão desejado Zvsais representa uma tensão proporcional à quantidade de levitação real A planta modela a resposta dinâmica do veículo aos sinais do controlador Bittar 1998 Utilize o critério de RouthHurwitz para determinar a faixa de ganho K para manter o sistema em malha fechada estável 61 62 FIGURA P617 a Um sistema de transporte com levitação magnética Japan Air LinesPhoto Researchers b diagrama de blocos simplificado 1998 IEEE Uma função de transferência da potência de um irradiador para interiores para a temperatura da sala Ts em uma sala de 11 m2 é em que está em watts e T em C Thomas 2005 A temperatura da sala será controlada incorporandoa em uma malha fechada como a da Figura P611 Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada Durante a retificação de superfície com fuso vertical ajustes são feitos em uma máquina de controle numérico CNC computer numerical control de múltiplos eixos medindose a força aplicada com um dinamômetro e aplicandose correções apropriadas Esse controle de força com realimentação resulta em uma maior homogeneidade e melhores tolerâncias no produto final resultante Em um experimento específico com uma velocidade de alimentação extremamente elevada a função de transferência da profundidade de corte desejada DOC desired depth of cut para a força aplicada foi 63 a b c 64 em que k 21 104 Nm b 078 Nsm m 12 104 kg KC 15 104 Nmm e T 0444 s Kf é um parâmetro que é alterado para ajustar o sistema Determine a faixa de Kf na qual o sistema é estável Hekman 1999 A Figura P618 representa o diagrama esquemático de um oscilador de deslocamento de fase FIGURA P618 Oscilador de deslocamento de fase O circuito oscilará se ele for projetado para ter polos sobre o eixo jω Mostre que a função de transferência para a parte passiva do circuito é dada por Mostre que a equação característica do oscilador é dada por em que Utilize o critério de RouthHurwitz para obter a condição de oscilação e a frequência de oscilação Com o objetivo de se obter um carregador de baterias de íon lítio de baixo custo a malha com realimentação da Figura P63 é utilizada onde Gs GcsPs As funções de 65 transferência a seguir foram deduzidas para Gs Tsang 2009 Caso R1 015 Ω R2 044 Ω C1 7200 F e C2 170 F utilize o critério de Routh Hurwitz para determinar a faixa de KP e KI positivos para a qual o sistema é estável em malha fechada A Figura P619 é um diagrama de blocos simplificado e linearizado de um sistema de controle em cascata usado para controlar o nível de água em um gerador de vapor de uma usina nuclear Wang 2009 Nesse sistema o controlador de nível GCNs é o controlador mestre e o controlador de fluxo de entrada de água GCFs é o controlador escravo Utilizando equações de balanço de massa o nível de água poderia ser normalmente considerado um simples processo de integração do fluxo de água Em um gerador de vapor entretanto o fluxo de vapor e o efeito de resfriamento da entrada de água alteram a dinâmica desse processo Levando o último em consideração e ignorando o impacto muito menos pronunciado de variações no fluxo de vapor uma dinâmica de primeira ordem mais um atraso de transporte são introduzidos na função de transferência Gaas que relaciona o nível controlado Cs com o fluxo de alimentação da água Qas como se segue em que K1 2 é o ganho do processo τ1 2 é o atraso de transporte puro e T1 25 é a constante de tempo do gerador de vapor A expressão eτ 1s representa um atraso de transporte Esta função pode ser representada pelo que é conhecido como aproximação de Pade Esta aproximação pode tomar diversas formas de complexidade crescente dependendo do grau de exatidão requerido Aqui utilizamos a aproximação de Pade e valores numéricos específicos para o gerador de vapor considerado 66 67 FIGURA P619 As características dinâmicas da válvula de controle são aproximadas pela função de transferência em que K v é o ganho da válvula e T v é sua constante de tempo Dado que GCFs KPCF KDCFs 05 2s e GCNs KPCN KDCNs 05 Ks utilize o critério de RouthHurwitz para determinar a faixa de ganho derivativo do controlador de nível KDCN K 0 que manterá o sistema estável Informações de antecipação podem ser usadas para manobrar automaticamente uma bicicleta em uma configuração em malha fechada Uma linha é desenhada no meio de uma pista para ser seguida e um ponto arbitrário é escolhido sobre o eixo longitudinal do veículo Um desvio de antecipação é calculado medindose a distância entre o ponto antecipado e a linha de referência e é utilizado pelo sistema para corrigir a trajetória do veículo Um modelo linearizado de uma bicicleta específica movendose em uma trajetória em linha reta a uma velocidade longitudinal constante é Neste modelo V velocidade lateral da bicicleta r velocidade de rolagem da bicicleta ψ aceleração de rolagem da bicicleta e Yg coordenada do centro de gravidade da bicicleta no eixo y K é um parâmetro do controlador a ser escolhido pelo projetista Özgüner 1995 Utilize o critério de RouthHurwitz para determinar a faixa de K para a qual o sistema é estável em malha fechada PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade No Problema 79a Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo Utilizando sua solução para o Problema 79a no Capítulo 5 e o critério de RouthHurwitz determine a faixa de ganho do controlador K que manterá o sistema estável OConnor 1997 68 69 Controle de HIVAIDS Podese mostrar que o modelo linearizado da infecção pelo HIV desenvolvido no Problema 82 Capítulo 4 possui a função de transferência Desejase desenvolver uma política para a administração de medicamentos para manter a contagem de vírus em níveis prescritos Com o objetivo de se obter um u1t adequado será utilizada uma realimentação como mostrado na Figura P620 Craig 2004 Como uma primeira aproximação considere Gs K uma constante a ser escolhida Utilize o critério de RouthHurwitz para determinar a faixa de K para a qual o sistema é estável em malha fechada FIGURA P620 Veículo híbrido A Figura P621 mostra o sistema HEV apresentado no Capítulo 5 onde valores de parâmetros foram substituídos Admitese aqui que o controlador de velocidade tem um ganho proporcional Kp a ser ajustado Utilize o método de estabilidade de Routh Hurwitz para obter a faixa de Kp positivo para a qual o sistema é estável em malha fechada Graebe 1995 FIGURA P621 1 2 3 4 5 1 2 3 Investigando em Laboratório Virtual Experimento 61 Objetivos Verificar o efeito da posição dos polos sobre a estabilidade Verificar o efeito sobre a estabilidade do ganho de malha em um sistema com realimentação negativa Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox PréEnsaio Obtenha a função de transferência equivalente do sistema com realimentação negativa da Figura P622 caso Para o sistema do PréEnsaio 1 obtenha dois valores de ganho que resultarão em polos de segunda ordem superamortecidos em malha fechada Repita para polos subamortecidos Para o sistema do PréEnsaio 1 determine o valor do ganho K que tornará o sistema criticamente amortecido FIGURA P622 Para o sistema do PréEnsaio 1 determine o valor do ganho K que tornará o sistema marginalmente estável Além disso obtenha a frequência de oscilação para este valor de K que torna o sistema marginalmente estável Para cada um dos PréEnsaios de 2 até 4 represente graficamente em um diagrama as posições dos polos para cada caso e escreva o valor do ganho K correspondente em cada polo Ensaio Utilizando o Simulink prepare o sistema com realimentação negativa do PréEnsaio 1 Represente graficamente a resposta ao degrau do sistema para cada valor de ganho calculado para produzir respostas superamortecida subamortecida criticamente amortecida e marginalmente estável Represente graficamente as respostas ao degrau para dois valores do ganho K acima do que foi calculado para resultar em estabilidade marginal Na saída do sistema com realimentação negativa coloque em cascata a função de transferência 1 2 Ajuste o ganho K para um valor abaixo do que foi calculado para estabilidade marginal e represente graficamente a resposta ao degrau Repita para K calculado para resultar em estabilidade marginal PósEnsaio A partir de seus gráficos discuta as condições que levam a respostas instáveis Discuta o efeito do ganho sobre a natureza da resposta ao degrau de um sistema em malha fechada Experimento 62 Objetivo Utilizar o LabVIEW Control Design and Simulation Module para análise de estabilidade Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module PréEnsaio Escolha seis funções de transferência de diversas ordens e utilize RouthHurwitz para determinar se elas são estáveis Ensaio Crie uma VI no LABVIEW que receba a ordem e os coeficientes da equação característica e gere as posições dos polos e informações sobre a estabilidade PósEnsaio Verifique a estabilidade dos sistemas do seu PréEnsaio Bibliografia Ballard R D The Riddle of the Lusitania National Geographic April 1994 National Geographic Society Washington DC 1994 pp 6885 Bittar A and Sales R M H2 and H2 Control for MagLev Vehicles IEEE Control Systems vol 18 no 4 August 1998 pp 1825 Cochran J E Innocenti M No T S and Thukral A Dynamics and Control of Maneuverable Towed Flight Vehicles Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 5 SeptemberOctober 1992 pp 1245 1252 Craig I K Xia X and Venter J W Introducing HIVAIDS Education into the Electrical Engineering Curriculum at the University of Pretoria IEEE Transactions on Education vol 47 no 1 February 2004 pp 6573 DAzzo J and Houpis C H Linear Control System Analysis and Design 3d ed McGrawHill New York 1988 Dorf R C Modern Control Systems 5th ed 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resposta forçada como uma rampa ou um crescimento exponencial que também crescem sem limites Um sistema cuja resposta forçada tenda a infinito é estável desde que a resposta natural tenda a zero 2Os coeficientes também podem ser feitos todos negativos multiplicandose o polinômio por 1 Esta operação não altera as posições das raízes 3O polinômio s5 5s3 7s é um exemplo de polinômio ímpar ele possui apenas potências ímpares de s Os polinômios ímpares são o produto de um polinômio par e uma potência ímpar de s Assim o termo constante de um polinômio ímpar é sempre nulo 4Uma condição necessária para a estabilidade é que as raízes jω possuam multiplicidade unitária O polinômio par deve ser verificado para raízes jω múltiplas Neste caso a existência de raízes jω múltiplas levaria a um polinômio de quarta ordem na forma de um quadrado perfeito Uma vez que a Eq 612 não é um quadrado perfeito as quatro raízes jω são distintas Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Determinar o erro em regime permanente para um sistema com realimentação unitária Seções 71 e 72 Especificar o desempenho de erro em regime permanente de um sistema Seção 73 Projetar o ganho de um sistema em malha fechada para atender a uma especificação de erro em regime permanente Seção 74 Determinar o erro em regime permanente para entradas de perturbação Seção 75 Determinar o erro em regime permanente para sistemas com realimentação não unitária Seção 76 Determinar a sensibilidade do erro em regime permanente para variações paramétricas Seção 77 Determinar o erro em regime permanente para sistemas representados no espaço de estados Seção 78 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de determinar o ganho do préamplificador para atender às especificações de desempenho de erro em regime permanente Dado um gravador de Laserdisc você será capaz de determinar o ganho necessário para permitir que o sistema grave em um disco deformado 71 Introdução No Capítulo 1 vimos que a análise e o projeto de sistemas de controle estão focados em três especificações 1 resposta transitória 2 estabilidade e 3 erros em regime permanente levando em consideração a robustez do projeto juntamente com aspectos econômicos e sociais Elementos da análise transitória foram deduzidos no Capítulo 4 para sistemas de primeira e de segunda ordens Esses conceitos são revisitados no Capítulo 8 no qual são estendidos para sistemas de ordem mais elevada A estabilidade foi coberta no Capítulo 6 no qual vimos que respostas forçadas eram dominadas por respostas naturais que aumentavam sem limites caso o sistema fosse instável Agora estamos prontos para examinar os erros em regime permanente Definimos os erros e obtemos métodos para controlálos À medida que avançamos verificamos que o projeto de sistemas de controle envolve soluções de compromisso entre a resposta transitória desejada o erro em regime permanente e o requisito de que o sistema seja estável Definição e Entradas de Teste O erro em regime permanente é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste prescrita quando t As entradas de teste utilizadas para a análise e projeto do erro em regime permanente estão resumidas na Tabela 71 Com o intuito de explicar como esses sinais de teste são utilizados vamos admitir um sistema de controle de posição em que a posição de saída segue a posição comandada de entrada As entradas em degrau representam posições constantes e assim são úteis na determinação da capacidade do sistema de controle se posicionar em relação a um alvo estacionário como um satélite em órbita geoestacionária ver Figura 71 O controle de posicionamento de uma antena é um exemplo de um sistema que pode ter a exatidão testada com a utilização de entradas em degrau As entradas em rampa representam entradas de velocidade constante para um sistema de controle de posição por meio de sua amplitude linearmente crescente Essas formas de onda podem ser utilizadas para testar a capacidade de um sistema de seguir uma entrada linearmente crescente ou equivalentemente de rastrear um alvo com velocidade constante Por exemplo um sistema de controle de posição que rastreia um satélite que se move através do firmamento com velocidade angular constante como mostrado na Figura 71 poderia ser testado com uma entrada em rampa para se avaliar o erro em regime permanente entre a posição angular do satélite e a posição angular do sistema de controle Finalmente as parábolas cujas segundas derivadas são constantes representam entradas de aceleração constante para sistemas de controle de posição e podem ser utilizadas para representar alvos acelerando como o míssil na Figura 71 para determinar o desempenho do erro em regime permanente TABELA 71 Formas de onda de teste para a avaliação dos erros em regime permanente de sistemas de controle de posição Forma de onda Nome Interpretação física Função no domínio do tempo Transformada de Laplace Degrau Posição constante 1 Rampa Velocidade constante t Parábola Aceleração constante FIGURA 71 As entradas de teste para análise e projeto do erro em regime permanente variam com o tipo de alvo Aplicação a Sistemas Estáveis Uma vez que estamos interessados na diferença entre a entrada e a saída de um sistema de controle com realimentação depois que o regime permanente tenha sido alcançado nossa discussão é limitada aos sistemas estáveis nos quais a resposta natural tende a zero à medida que t Os sistemas instáveis representam perda de controle em regime permanente e são absolutamente inaceitáveis para utilização As expressões que deduzimos para calcular o erro em regime permanente podem ser aplicadas erroneamente a um sistema instável Assim o engenheiro deve verificar a estabilidade do sistema ao realizar a análise e o projeto do erro em regime permanente Entretanto com o objetivo de nos concentrarmos no tópico admitimos que todos os sistemas nos exemplos e problemas deste capítulo são estáveis Para praticar você pode querer testar a estabilidade de alguns desses sistemas Calculando Erros em Regime Permanente Vamos examinar o conceito de erros em regime permanente Na Figura 72a uma entrada em degrau e duas possíveis saídas são mostradas A saída 1 tem erro em regime permanente nulo e a saída 2 tem um erro em regime permanente finito e2 Um exemplo análogo é mostrado na Figura 72b na qual uma entrada em rampa é comparada com a saída 1 que tem erro em regime permanente nulo e a saída 2 que tem um erro em regime permanente finito e2 conforme medido verticalmente entre a entrada e a saída 2 após os transitórios terem desaparecido Para a entrada em rampa existe outra possibilidade Se a inclinação da saída for diferente da inclinação da entrada então temos a saída 3 mostrada na Figura 72b Neste caso o erro em regime permanente é infinito conforme medido verticalmente entre a entrada e a saída 3 após os transitórios terem desaparecido e t tender a infinito Vamos agora examinar o erro pela perspectiva de um diagrama de blocos mais geral Como o erro é a diferença entre a entrada e a saída de um sistema admitimos uma função de transferência em malha fechada Ts e formamos o erro Es tomando a diferença entre a entrada e a saída como mostrado na Figura 73a Neste caso estamos interessados no valor em regime permanente ou valor final de et Para sistemas com realimentação unitária Es aparece como mostrado na Figura 73b Neste capítulo primeiro estudamos e deduzimos expressões para o erro em regime permanente para sistemas com realimentação unitária e em seguida expandimos nossos estudos aos sistemas com realimentação não unitária Antes de iniciarmos nosso estudo dos erros em regime permanente para sistemas com realimentação unitária vamos examinar as fontes de erro com as quais lidamos FIGURA 72 Erro em regime permanente a entrada em degrau b entrada em rampa FIGURA 73 Erro de sistema de controle em malha fechada a representação geral b representação para sistemas com realimentação unitária Fontes de Erro em Regime Permanente Muitos erros em regime permanente em sistemas de controle originamse de fontes não lineares como folgas em engrenagens ou um motor que não se moverá a não ser que a tensão de entrada exceda um limiar O comportamento não linear como fonte de erros em regime permanente embora seja um tópico viável para o estudo está além do escopo de um texto sobre sistemas de controle lineares Os erros em regime permanente que estudamos neste texto são erros originados da configuração do sistema em si e do tipo de entrada aplicada Por exemplo observe o sistema mostrado na Figura 74a na qual Rs é a entrada Cs é a saída e Es Rs Cs é o erro Considere uma entrada em degrau No regime permanente se ct for igual a rt et será nulo Mas com um ganho puro K o erro et não pode ser nulo se ct deve ser finito e diferente de zero Assim devido à configuração do sistema um ganho puro de K no caminho à frente um erro deve existir Se chamarmos o valor em regime permanente da saída de cregime permanente e o valor em regime permanente do erro de eregime permanente então cregime permanente Keregime permanente ou Assim quanto maior o valor de K menor o valor de eregime permanente terá que ser para resultar em um valor similar de cregime permanente A conclusão a que podemos chegar é que com um ganho puro no caminho à frente sempre haverá um erro em regime permanente para uma entrada em degrau Este erro diminui à medida que o valor de K aumenta Caso o ganho do caminho à frente seja substituído por um integrador como mostrado na Figura 74b haverá erro nulo em regime permanente para uma entrada em degrau O raciocínio é o seguinte à medida que ct aumenta et irá diminuir uma vez que et rt ct Essa diminuição continuará até que haja erro zero mas ainda existirá um valor para ct uma vez que um integrador pode ter uma saída constante sem qualquer entrada Por exemplo um motor pode ser representado simplesmente como um integrador Uma tensão aplicada ao motor causará sua rotação Quando a tensão aplicada for removida o motor irá parar e permanecerá na sua posição de saída atual Como ele não retorna à sua posição inicial temos uma saída de deslocamento angular sem uma entrada para o motor Portanto um sistema similar ao da Figura 74b que utiliza um motor no caminho à frente pode ter erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau Examinamos dois casos qualitativamente para mostrar que se pode esperar que um sistema apresente diferentes características de erro em regime permanente dependendo da configuração do sistema Formalizamos agora os conceitos e deduzimos as relações entre os erros em regime permanente e a configuração de sistema que gera esses erros FIGURA 74 Sistema com a erro em regime permanente finito para uma entrada em degrau b erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau 72 Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentação Unitária O erro em regime permanente pode ser calculado a partir da função de transferência em malha fechada de um sistema Ts ou da função de transferência em malha aberta Gs para sistemas com realimentação unitária Começamos deduzindo o erro em regime permanente do sistema em termos da função de transferência em malha fechada Ts para introduzir o assunto e as definições Em seguida obtemos uma maior compreensão dos fatores que afetam o erro em regime permanente utilizando a função de transferência em malha aberta Gs em sistemas com realimentação unitária para nossos cálculos Mais adiante no capítulo generalizamos esta discussão para sistemas com realimentação não unitária Erro em Regime Permanente em Função de Ts Considere a Figura 73a Para determinar Es o erro entre a entrada Rs e a saída Cs escrevemos Substituindo a Eq 73 na Eq 72 simplificando e resolvendo para Es resulta Mas Substituindo a Eq73 na Eq72 simplificando e resolvendo para Es resulta Embora a Eq 74 nos permita obter et para qualquer instante de tempo t estamos interessados no valor final do erro e Aplicando o teorema do valor final1 o qual nos permite obter o valor final de et sem ter que aplicar a transformada inversa de Laplace a Es e em seguida fazer t tender a infinito obtemos Substituindo a Eq 74 na Eq 75 resulta Vamos ver um exemplo Exemplo 71 Erro em Regime Permanente em Função de Ts PROBLEMA Determine o erro em regime permanente para o sistema da Figura 73a caso Ts 5s2 7s 10 e a entrada seja um degrau unitário SOLUÇÃO A partir do enunciado do problema Rs 1s e Ts 5s2 7s 10 Substituindo na Eq 74 resulta Uma vez que Ts é estável e subsequentemente Es não tem polos no semiplano da direita nem polos jω que não estejam na origem podemos aplicar o teorema do valor final Substituindo a Eq 77 na Eq 75 temos e 12 Erro em Regime Permanente em Função de Gs Muitas vezes temos o sistema configurado como um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência do caminho à frente Gs Embora possamos obter a função de transferência em malha fechada Ts e então proceder como na subseção anterior obtemos uma maior compreensão para a análise e o projeto expressando o erro em regime permanente em função de Gs ao invés de Ts Considere o sistema de controle com realimentação mostrado na Figura 73b Uma vez que a realimentação Hs é igual a 1 o sistema possui realimentação unitária A consequência é que Es é na realidade o erro entre a entrada Rs e a saída Cs Portanto se resolvermos para Es teremos uma expressão para o erro Aplicaremos então o teorema do valor final Item 11 da Tabela 22 para calcular o erro em regime permanente Escrevendo Es a partir da Figura 73b obtemos Mas Finalmente substituindo a Eq 79 na Eq 78 e resolvendo para Es resulta Aplicamos agora o teorema do valor final Eq 75 Neste ponto em um cálculo numérico devemos verificar se o sistema em malha fechada é estável utilizando por exemplo o critério de RouthHurwitz Por agora contudo admita que o sistema em malha fechada seja estável e substitua a Eq 710 na Eq 75 obtendo A Eq 711 nos permite calcular o erro em regime permanente e dados a entrada Rs e o sistema Gs Substituímos agora diversas entradas para Rs e então tiramos conclusões sobre as relações que existem entre o sistema em malha aberta Gs e a natureza do erro em regime permanente e Os três sinais de teste que utilizamos para estabelecer especificações para as características de erro em regime permanente de sistemas de controle são mostrados na Tabela 71 Vamos tomar cada uma das entradas e avaliar seu efeito no erro em regime permanente utilizando a Eq 711 Entrada em Degrau Utilizando a Eq 711 com Rs 1s obtemos O termo é o ganho estático da função de transferência do caminho à frente uma vez que s a variável da frequência está tendendo a zero Para termos erro em regime permanente nulo Portanto para satisfazer a Eq 713 Gs deve ter a seguinte forma e para que o limite seja infinito o denominador deve tender a zero quando s tende a zero Portanto n 1 isto é pelo menos um polo deve estar na origem Uma vez que a divisão por s no domínio da frequência corresponde à integração no domínio do tempo ver Tabela 22 Item 10 também estamos dizendo que pelo menos uma integração pura deve estar presente no caminho à frente A resposta em regime permanente para este caso de erro em regime permanente nulo é semelhante à mostrada na Figura 72a saída 1 Caso não existam integrações então n 0 Utilizando a Eq 714 temos que é finito e conduz a um erro finito com base na Eq 712 A Figura 712a saída 2 é um exemplo deste caso de erro finito em regime permanente Em resumo para uma entrada em degrau aplicada a um sistema com realimentação unitária o erro em regime permanente será nulo se existir pelo menos uma integração pura no caminho à frente Se não houver integrações então haverá um erro finito diferente de zero Este resultado é compatível com nossa discussão qualitativa na Seção 71 na qual verificamos que um ganho puro leva a um erro constante em regime permanente para uma entrada em degrau porém um integrador resulta em um erro nulo para o mesmo tipo de entrada Repetimos agora o desenvolvimento para uma entrada em rampa Entrada em Rampa Utilizando a Eq 711 com Rs 1s2 obtemos Para termos erro nulo em regime permanente para uma entrada em rampa devemos ter Para satisfazer a Eq 717 Gs deve ter a mesma forma da Eq 714 exceto que n 2 Em outras palavras devem existir pelo menos duas integrações no caminho à frente Um exemplo de erro nulo em regime permanente para uma entrada em rampa é mostrado na Figura 72b saída 1 Caso haja apenas uma integração no caminho à frente então considerando a Eq 714 que é finito e não infinito Utilizando a Eq 716 verificamos que esta configuração conduz a um erro constante como mostrado na Figura 72b saída 2 Caso não ocorram integrações no caminho à frente então e o erro em regime permanente seria infinito resultando em rampas divergentes como mostrado na Figura 72b saída 3 Finalmente repetimos o desenvolvimento para uma entrada em parábola Entrada em Parábola Utilizando a Eq 711 com Rs 1s3 obtemos Para termos erro nulo em regime permanente para uma entrada em parábola devemos ter Para satisfazer a Eq 721 Gs deve ter a mesma forma da Eq 714 exceto que n 3 Em outras palavras devem existir pelo menos três integrações no caminho à frente Caso existam apenas duas integrações no caminho à frente então é finito e não infinito Utilizando a Eq 720 verificamos que esta configuração leva a um erro constante Caso exista apenas uma ou nenhuma integração no caminho à frente então e o erro em regime permanente será infinito Dois exemplos demonstram esses conceitos Exemplo 72 Erros em Regime Permanente para Sistemas sem Integração PROBLEMA Determine os erros em regime permanente para entradas de 5ut 5tut e 5t2ut para o sistema mostrado na Figura 75 A função ut é o degrau unitário FIGURA 75 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 72 SOLUÇÃO Primeiro verificamos que o sistema em malha fechada é realmente estável Para este exemplo omitimos os detalhes Em seguida para a entrada 5ut cuja transformada de Laplace é 5s o erro em regime permanente será cinco vezes maior que o dado pela Eq 712 ou o que implica em uma resposta semelhante à saída 2 da Figura 72a Para a entrada 5tut cuja transformada de Laplace é 5s2 o erro em regime permanente será cinco vezes maior que o dado pela Eq 716 ou o que implica em uma resposta semelhante à saída 3 da Figura 72b Para a entrada 5t2ut cuja transformada de Laplace é 10s3 o erro em regime permanente será 10 vezes maior que o dado pela Eq 720 ou Exemplo 73 Erros em Regime Permanente para Sistemas com Uma Integração PROBLEMA Determine os erros em regime permanente para entradas de 5ut 5tut e 5t2ut para o sistema mostrado na Figura 76 A função ut é o degrau unitário FIGURA 76 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 73 SOLUÇÃO Primeiro verifique que o sistema em malha fechada é realmente estável Para este exemplo omitimos os detalhes Em seguida observe que uma vez que há uma integração no caminho à frente os erros em regime permanente para algumas das formas de onda de entrada serão menores que os obtidos no Exemplo 72 Para a entrada 5ut cuja transformada de Laplace é 5s o erro em regime permanente será cinco vezes maior que o dado pela Eq 712 ou o que implica em uma resposta semelhante à saída 1 da Figura 72a Observe que a integração no caminho à frente leva a um erro nulo para uma entrada em degrau ao invés do erro finito obtido no Exemplo 72 Para a entrada 5tut cuja transformada de Laplace é 5s2 o erro em regime permanente será cinco vezes maior que o dado pela Eq 716 ou o que implica em uma resposta semelhante à saída 2 da Figura 72b Observe que a integração no caminho à frente leva a um erro finito para uma entrada em rampa ao invés do erro infinito obtido no Exemplo 72 Para a entrada 5t2ut cuja transformada de Laplace é 10s3 o erro em regime permanente será 10 vezes maior que o dado pela Eq 720 ou Observe que a integração no caminho à frente não resulta em qualquer melhoria no erro em regime permanente em relação ao obtido no Exemplo 72 para uma entrada em parábola Exercício 71 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente a b a b Determine o erro em regime permanente para as seguintes entradas 15ut 15tut e 15t2ut Repita para RESPOSTAS O sistema em malha fechada é estável Para 15ut edegrau 0 para 15tut erampa 21875 para 15t2ut eparábola O sistema em malha fechada é instável Os cálculos não podem ser realizados A solução completa está no site da LTC Editora 73 Constante de Erro Estático e Tipo do Sistema Continuamos concentrados em sistemas com realimentação unitária negativa e definimos parâmetros que podemos utilizar como especificações de desempenho de erro em regime permanente da mesma forma que definimos fator de amortecimento frequência natural tempo de acomodação ultrapassagem percentual e assim por diante como especificações de desempenho para a resposta transitória Essas especificações de desempenho de erro em regime permanente são chamadas de constantes de erro estático Vamos ver como elas são definidas como calculá las e na próxima seção como usálas para o projeto Constantes de Erro Estático Na seção anterior deduzimos as seguintes relações para o erro em regime permanente Para uma entrada em degrau ut Para uma entrada em rampa tut Para uma entrada em parábola t2ut Os três termos no denominador para os quais se calcula o limite determinam o erro em regime permanente Chamamos esses limites de constantes de erro estático Individualmente seus nomes são constante de posição Kp em que constante de velocidade Kv em que constante de aceleração Ka em que Como vimos essas grandezas dependendo da forma de Gs podem assumir um valor nulo uma constante finita ou infinito Uma vez que a constante de erro estático aparece no denominador do erro em regime permanente Eqs 730 até 732 o valor do erro em regime permanente diminui à medida que a constante de erro estático aumenta Na Seção 72 avaliamos o erro em regime permanente utilizando o teorema do valor final Um método alternativo utiliza as constantes de erro estático Seguemse alguns exemplos Exemplo 74 Erro em Regime Permanente via Constantes de Erro Estático PROBLEMA Para cada um dos sistemas da Figura 77 calcule as constantes de erro estático e obtenha o erro esperado para as entradas padronizadas em degrau em rampa e em parábola FIGURA 77 Sistemas de controle com realimentação para o Exemplo 74 SOLUÇÃO Primeiro verifique que todos os sistemas em malha fechada mostrados são realmente estáveis Para este exemplo omitimos os detalhes Em seguida para a Figura 77a Assim para uma entrada em degrau Para uma entrada em rampa Para uma entrada em parábola Agora para a Figura 77b e Assim para uma entrada em degrau Para uma entrada em rampa Para uma entrada em parábola Finalmente para a Figura 77c e Assim para uma entrada em degrau Para uma entrada em rampa Para uma entrada em parábola Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch7p1 do Apêndice B Você aprenderá como testar a estabilidade do sistema calcular as constantes de erro estático e os erros em regime permanente utilizando o MATLAB Este exercício utiliza o MATLAB para resolver o Exemplo 74 com o sistema b Tipo do Sistema Vamos continuar concentrados em um sistema com realimentação unitária negativa Os valores das constantes de erro estático novamente dependem da forma de Gs especialmente do número de integrações puras no caminho à frente Uma vez que os erros em regime permanente dependem do número de integrações no caminho à frente damos um nome a este atributo do sistema Dado o sistema na Figura 78 definimos o tipo do sistema como sendo o valor de n no denominador ou equivalentemente o número de integrações puras no caminho à frente Portanto um sistema com n 0 é um sistema do Tipo 0 Se n 1 ou n 2 o sistema correspondente é um sistema do Tipo 1 ou do Tipo 2 respectivamente FIGURA 78 Sistema de controle com realimentação para definição do tipo do sistema TABELA 72 Relações entre entrada tipo do sistema constantes de erro estático e erros em regime permanente Entrada Fórmula do erro em regime permanente Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Constante de erro estático Erro Constante de erro estático Erro Constante de erro estático Erro Degrau ut Kp Constante Kp 0 Kp 0 Rampa tut Kv 0 Kv Constante Kv 0 Parábola t 2ut Ka 0 Ka 0 Ka Constante a b a b A Tabela 72 reúne os conceitos de erro em regime permanente constantes de erro estático e tipo do sistema A tabela mostra as constantes de erro estático e os erros em regime permanente como funções da forma de onda da entrada e do tipo do sistema Exercício 72 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente Determine o tipo do sistema Kp Kv e Ka Utilize suas respostas do Item a para determinar os erros em regime permanente para as entradaspadrão em degrau em rampa e em parábola RESPOSTAS O sistema em malha fechada é estável Tipo do sistema Tipo 0 Kp 127 Kv 0 e Ka 0 edegrau 78 103 erampa eparábola A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 71 Use as seguintes instruções MATLAB e Control System Toolbox para determinar Kp edegrau e os polos em malha fechada para verificar a estabilidade do sistema do Exercício 72 numg10001 8 dengpoly7 9 Gtfnumgdeng KpdcgainG estep11kp TfeedbackG1 polespoleT Nesta seção definidos os erros em regime permanente as constantes de erro estático e o tipo do sistema Serão agora formuladas as especificações para os erros em regime permanente de um sistema de controle seguidas de alguns exemplos 74 Especificações de Erro em Regime Permanente As constantes de erro estático podem ser utilizadas para especificar as características de erro em regime permanente de sistemas de controle como o mostrado na Figura 79 Assim como o fator de amortecimento ζ o tempo de acomodação Ts o instante de pico Tp e a ultrapassagem 1 2 3 4 percentual UP são utilizados como especificações para a resposta transitória de um sistema de controle a constante de posição Kp a constante de velocidade Kv e a constante de aceleração Ka podem ser utilizadas como especificações para os erros em regime permanente de um sistema de controle Veremos a seguir que informações valiosas estão contidas na especificação de uma constante de erro estático Por exemplo se um sistema de controle possui a especificação Kv 1000 podemos tirar diversas conclusões O sistema é estável FIGURA 79 Um robô utilizado na fabricação de memórias de acesso aleatório RAMs de semicondutor semelhantes às utilizadas em computadores pessoais O erro em regime permanente é um aspecto de projeto importante para robôs de linha de montagem O sistema é do Tipo 1 uma vez que apenas os sistemas do Tipo 1 possuem Kv com um valor constante finito Recorde que Kv 0 para sistemas do Tipo 0 enquanto Kv para sistemas do Tipo 2 Uma entrada em rampa é o sinal de teste Como Kv é especificado como uma constante finita e o erro em regime permanente para uma entrada em rampa é inversamente proporcional a Kv sabemos que o sinal de teste é uma rampa O erro em regime permanente entre a rampa de entrada e a rampa de saída é 1Kv por unidade de inclinação da rampa de entrada Vamos ver dois exemplos que demonstram a análise e o projeto utilizando constantes de erro estático Exemplo 75 Interpretando a Especificação de Erro em Regime Permanente PROBLEMA Que informações estão contidas na especificação Kp 1000 SOLUÇÃO O sistema é estável O sistema é do Tipo 0 uma vez que apenas um sistema do Tipo 0 possui um Kp finito Os sistemas do Tipo 1 e Tipo 2 têm Kp O sinal de teste de entrada é um degrau uma vez que Kp foi especificado Finalmente o erro por unidade do degrau é Exemplo 76 Projeto de Ganho para Atender a uma Especificação de Erro em Regime Permanente PROBLEMA Dado o sistema de controle na Figura 710 determine o valor de K de modo que haja um erro de 10 em regime permanente SOLUÇÃO Como o sistema é do Tipo 1 o erro declarado no problema deve se aplicar a uma entrada em rampa apenas uma rampa leva a um erro finito em um sistema do Tipo 1 Assim FIGURA 710 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 76 Portanto o que resulta Aplicando o critério de RouthHurwitz verificamos que o sistema é estável com este ganho Embora este ganho atenda aos critérios de erro em regime permanente e estabilidade ele pode não resultar em uma resposta transitória desejável No Capítulo 9 iremos projetar sistemas de controle com realimentação para atender a todas as três especificações Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch7p2 do Apêndice B Você aprenderá como determinar o ganho para atender a uma especificação de erro em regime permanente utilizando o MATLAB Este exercício resolve o Exemplo 76 utilizando o MATLAB Exercício 73 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente Determine o valor de K para resultar em um erro de 10 em regime permanente RESPOSTA K 189 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 72 Use as seguintes instruções MATLAB e Control System Toolbox para resolver o Exercício 73 e verificar a estabilidade do sistema resultante numg1 12 dengpoly14 18 Gtfnumgdeng KpdkdcgainG estep01 K1estep1Kpdk TfeedbackG1 polespoleT Este exemplo e exercício completam nossa discussão sobre sistemas com realimentação unitária Nas seções restantes trataremos dos erros em regime permanente para perturbações e dos erros em regime permanente para sistemas de controle com realimentação nos quais a realimentação não é unitária 75 Erro em Regime Permanente para Perturbações Os sistemas de controle com realimentação são utilizados para compensar perturbações ou entradas indesejadas que atuam sobre um sistema A vantagem da utilização da realimentação é que independentemente dessas perturbações o sistema pode ser projetado para seguir a entrada com erro pequeno ou nulo como mostramos agora A Figura 711 mostra um sistema de controle com realimentação com uma perturbação Ds inserida entre o controlador e a planta Agora deduzimos novamente a expressão para o erro em regime permanente com a perturbação incluída A transformada da saída é dada por FIGURA 711 Sistema de controle com realimentação mostrando a perturbação Mas Substituindo a Eq 759 na Eq 758 e resolvendo para Es obtemos em que podemos pensar em 11 G1sG2s como uma função de transferência relacionando Es com Rs e em G2s1 G1sG2s como uma função de transferência relacionando Es com Ds Para obter o valor em regime permanente do erro aplicamos o teorema do valor final3 à Eq 760 e obtemos em que e O primeiro termo eR é o erro em regime permanente devido a Rs o qual já foi obtido O segundo termo eD é o erro em regime permanente devido à perturbação Vamos explorar as condições que devem ser atendidas por eD para reduzir o erro devido à perturbação Neste ponto devemos fazer algumas suposições sobre Ds o controlador e a planta Primeiro admitimos uma perturbação em degrau Ds 1s Substituindo este valor no segundo termo da Eq 761 eD a componente do erro em regime permanente devido à perturbação em degrau é determinada como Esta equação mostra que o erro em regime permanente produzido por uma perturbação em degrau pode ser reduzido aumentandose o ganho estático de G1s ou diminuindose o ganho estático de G2s Este conceito é mostrado na Figura 712 na qual o sistema da Figura 711 foi reorganizado de modo que a perturbação Ds é representada como a entrada e o erro Es como a saída com Rs igual a zero Caso desejemos minimizar o valor em regime permanente de Es mostrado como a saída na Figura 712 devemos aumentar o ganho estático de G1s de modo que um valor menor de Es seja realimentado para igualar o valor em regime permanente de Ds ou diminuir o ganho estático de G2s o que resulta em um valor menor de e como predito pela fórmula da realimentação Vamos ver um exemplo e calcular o valor numérico do erro em regime permanente resultante a partir de uma perturbação FIGURA 712 Sistema da Figura 711 reorganizado para mostrar a perturbação como entrada e o erro como saída com Rs 0 Exemplo 77 Erro em Regime Permanente Devido a Perturbação em Degrau PROBLEMA Determine a componente do erro em regime permanente devido a uma perturbação em degrau para o sistema da Figura 713 SOLUÇÃO O sistema é estável Usando a Figura 712 e a Eq 762 obtemos FIGURA 713 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 77 O resultado mostra que o erro em regime permanente produzido pela perturbação em degrau é inversamente proporcional ao ganho estático de G1s O ganho estático de G2s é infinito neste exemplo Exercício 74 PROBLEMA Calcule a componente do erro em regime permanente devido a uma perturbação em degrau para o sistema da Figura 714 FIGURA 714 Sistema para o Exercício 74 RESPOSTA eD 998 104 A solução completa está no site da LTC Editora 76 Erro em Regime Permanente para Sistema com Realimentação Não Unitária Os sistemas de controle frequentemente não possuem realimentação unitária por causa da compensação utilizada para melhorar o desempenho ou por causa do modelo físico do sistema O caminho de realimentação pode ser um ganho puro com valor diferente da unidade ou possuir alguma representação dinâmica Um sistema com realimentação geral mostrando o transdutor de entrada G1s o controlador e a planta G2s e a realimentação H1s é mostrado na Figura 715a Movendo o transdutor de entrada para a direita passando a junção de soma gerase o sistema com realimentação não unitária geral mostrado na Figura 715b em que Gs G1sG2s e Hs H1sG1s Observe que diferentemente de um sistema com realimentação unitária no qual Hs 1 o erro não é a diferença entre a entrada e a saída Neste caso chamamos o sinal de saída da junção de soma de sinal de atuação Eas Se rt e ct tiverem as mesmas unidades podemos determinar o erro em regime permanente e r c O primeiro passo é mostrar explicitamente Es Rs Cs no diagrama de blocos A partir do sistema de controle com realimentação não unitária mostrado na Figura 715b construa um sistema com realimentação unitária somando e subtraindo caminhos de realimentação unitária como mostrado na Figura 715c Esse passo requer que as unidades da entrada e da saída sejam iguais Em seguida combine Hs com a realimentação unitária negativa como mostrado na Figura 715d Finalmente combine o sistema com realimentação consistindo em Gs e Hs 1 deixando um caminho à frente equivalente e uma realimentação unitária como mostrado na Figura 715e Observe que a figura final mostra Es Rs Cs explicitamente O exemplo a seguir resume os conceitos de erro em regime permanente tipo do sistema e constantes de erro estático para sistemas com realimentação não unitária FIGURA 715 Construindo um sistema com realimentação unitária equivalente a partir de um sistema com realimentação não unitária geral Exemplo 78 Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentação Não Unitária PROBLEMA Para o sistema mostrado na Figura 716 determine o tipo do sistema a constante de erro apropriada associada ao tipo do sistema e o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário Admita que as unidades de entrada e de saída sejam iguais SOLUÇÃO Após verificar que o sistema é realmente estável podese impulsivamente declarar que o sistema é do Tipo 1 Este pode não ser o caso uma vez que há um elemento de realimentação não unitária e o sinal de atuação da planta não é a diferença entre a entrada e a saída O primeiro passo na solução do problema é converter o sistema da Figura 716 em um sistema com realimentação unitária equivalente Utilizando a função de transferência à frente equivalente da Figura 715e juntamente com e obtemos FIGURA 716 Sistema de controle com realimentação não unitária para o Exemplo 78 Experimente 73 Use as seguintes instruções MATLAB e Control System Toolbox para determinar Ges no Exemplo 78 Gzpk0 10100 Hzpk51 Gefeedback GH1 Ges GetfGe TfeedbackGe1 Polos de T s poleT Assim o sistema é do Tipo 0 uma vez que não há integrações puras na Eq 766 A constante de erro estático apropriada é então Kp cujo valor é O erro em regime permanente e é O valor negativo para o erro em regime permanente implica que o degrau de saída é maior do que o degrau de entrada FIGURA 717 Sistema de controle com realimentação não unitária com perturbação Para continuar nossa discussão sobre o erro em regime permanente para sistemas com realimentação não unitária vamos observar o sistema geral da Figura 717 o qual tem tanto uma perturbação quanto uma realimentação não unitária Deduziremos uma equação geral para o erro em regime permanente e em seguida determinaremos os parâmetros do sistema com o objetivo de levar o erro para zero para entradas em degrau e perturbações em degrau4 O erro em regime permanente para esse sistema e r c é Agora limitando a discussão a entradas em degrau e perturbações em degrau em que Rs Ds 1s a Eq 769 se torna Para erro nulo As duas equações na Eq 771 podem sempre ser satisfeitas se 1 o sistema for estável 2 G1s for um sistema do Tipo 1 3 G2s for um sistema do Tipo 0 e 4 Hs for um sistema do Tipo 0 com um ganho estático unitário Para concluir esta seção discutimos a determinação do valor em regime permanente do sinal de atuação Ea1s na Figura 715a Para esta tarefa não há a restrição de que as unidades da entrada e da saída sejam iguais uma vez que estamos determinando a diferença em regime permanente entre sinais na junção de soma os quais têm a mesma unidade5 O sinal de atuação em regime permanente para a Figura 715a é a b A dedução é deixada para o estudante no conjunto de problemas no final deste capítulo Exemplo 79 Sinal de Atuação em Regime Permanente para Sistemas com Realimentação Não Unitária PROBLEMA Determine o sinal de atuação em regime permanente para o sistema da Figura 716 para uma entrada em degrau unitário Repita para uma entrada em rampa unitária SOLUÇÃO Utilize a Eq 772 com Rs 1s uma entrada em degrau unitário G1s 1 G2s 100ss 10 e H1s 1s 5 Além disso perceba que ea1 ea uma vez que G1s 1 Assim Agora utilize a Eq 772 com Rs 1s2 uma entrada em rampa unitária e obtenha Exercício 75 PROBLEMA Determine o erro em regime permanente e r c para uma entrada em degrau unitário dado o sistema com realimentação não unitária da Figura 718 Repita para uma entrada em rampa unitária Admita que as unidades da entrada e da saída são iguais Determine o sinal de atuação em regime permanente ea para uma entrada em degrau unitário dado o sistema com realimentação não unitária da Figura 718 Repita para uma entrada em rampa unitária a b FIGURA 718 Sistema de controle com realimentação não unitária para o Exercício 75 RESPOSTAS edegrau 3846 3 102 erampa Para uma entrada em degrau unitário ea 3846 102 para uma entrada em rampa unitária ea A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção aplicamos a análise do erro em regime permanente a sistemas com realimentação não unitária Quando uma realimentação não unitária está presente o sinal de atuação da planta não é o erro real ou a diferença entre a entrada e a saída Com realimentação não unitária podemos optar por 1 determinar o erro em regime permanente para sistemas onde as unidades da entrada e da saída são iguais ou 2 determinar o sinal de atuação em regime permanente Também deduzimos uma expressão geral para o erro em regime permanente de um sistema com realimentação não unitária com uma perturbação Utilizamos esta equação para determinar os atributos dos subsistemas de modo a termos erro zero para entradas em degrau e perturbações em degrau Antes de concluir este capítulo discutiremos um tópico que não é apenas significativo para os erros em regime permanente mas de utilidade geral em todo o processo de projeto de sistemas de controle 77 Sensibilidade Durante o processo de projeto o engenheiro pode querer considerar a extensão dos efeitos de variações nos parâmetros do sistema sobre o comportamento do sistema Idealmente variações de parâmetros devido à temperatura ou outras causas não deveriam afetar significativamente o desempenho de um sistema O grau segundo o qual variações nos parâmetros do sistema afetam as funções de transferência de um sistema e consequentemente o desempenho é chamado de sensibilidade Um sistema com sensibilidade zero isto é variações nos parâmetros do sistema não tem efeito sobre a função de transferência é o ideal Quanto maior a sensibilidade menos desejável é o efeito da variação de um parâmetro Por exemplo considere a função F KK a Se K 10 e a 100 então F 0091 Se o parâmetro a for triplicado para 300 então F 0032 Verificamos que uma variação relativa no parâmetro a de 300 100100 2 uma variação de 200 resulta em uma variação na função F de 0032 00910091 065 variação de 65 Portanto a função F possui uma sensibilidade reduzida a variações no parâmetro a À medida que prosseguirmos veremos que outra vantagem da realimentação é que em geral ela confere sensibilidade reduzida a variações de parâmetros Com base na discussão anterior vamos formalizar a definição de sensibilidade sensibilidade é a razão entre a variação relativa da função e a variação relativa do parâmetro quando a variação relativa do parâmetro tende a zero Isto é que se reduz a Vamos agora aplicar a definição primeiro a uma função de transferência em malha fechada e em seguida ao erro em regime permanente Exemplo 710 Sensibilidade de uma Função de Transferência em Malha Fechada PROBLEMA Dado o sistema da Figura 719 calcule a sensibilidade da função de transferência em malha fechada a variações no parâmetro a Como você poderia reduzir a sensibilidade FIGURA 719 Sistema de controle com realimentação para os Exemplos 710 e 711 SOLUÇÃO A função de transferência em malha fechada é Utilizando a Eq 775 a sensibilidade é dada por que é em parte uma função do valor de s Entretanto para qualquer valor de s um aumento em K reduz a sensibilidade da função de transferência em malha fechada a variações do parâmetro a Exemplo 711 Sensibilidade do Erro em Regime Permanente com Entrada em Rampa PROBLEMA Para o sistema da Figura 719 determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações do parâmetro K e do parâmetro a com entradas em rampa SOLUÇÃO O erro em regime permanente para o sistema é A sensibilidade de e a variações do parâmetro a é A sensibilidade de e a variações do parâmetro K é Assim variações tanto no parâmetro a quanto no parâmetro K são refletidas diretamente em e e não há redução nem aumento da sensibilidade O sinal negativo na Eq 780 indica uma diminuição em e para um aumento em K Ambos os resultados poderiam ter sido obtidos diretamente da Eq 778 uma vez que e é diretamente proporcional ao parâmetro a e inversamente proporcional ao parâmetro K Exemplo 712 Sensibilidade do Erro em Regime Permanente com Entrada em Degrau PROBLEMA Determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações do parâmetro K e do parâmetro a para o sistema mostrado na Figura 720 com uma entrada em degrau SOLUÇÃO O erro em regime permanente para este sistema do Tipo 0 é A sensibilidade de e a variações do parâmetro a é A sensibilidade de e a variações do parâmetro K é As Equações 782 e 783 mostram que a sensibilidade a variações dos parâmetros K e a são menores que a unidade para a e b positivos Assim a realimentação neste caso resulta em sensibilidade reduzida a variações em ambos os parâmetros FIGURA 720 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 712 Experimente 74 Use o MATLAB a Symbolic Math Toolbox e as instruções a seguir para determinar Sea no Exemplo 712 syms K a b s GKsasb KpsubsGso e11Kp Seaaediffea SeasimpleSea Sea prettySea Exercício 76 PROBLEMA Determine a sensibilidade do erro em regime permanente a variações de K para o sistema mostrado na Figura 721 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora FIGURA 721 Sistema para o Exercício 76 Nesta seção definimos sensibilidade e mostramos que em alguns casos a realimentação reduz a sensibilidade do erro em regime permanente de um sistema a variações nos parâmetros do sistema O conceito de sensibilidade também pode ser aplicado a outras medidas do desempenho de sistemas de controle ele não é limitado à sensibilidade do desempenho do erro em regime permanente 78 Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados Até aqui avaliamos o erro em regime permanente para sistemas modelados como funções de transferência Nesta seção discutiremos como calcular o erro em regime permanente para sistemas representados no espaço de estados Dois métodos para calcular o erro em regime permanente serão cobertos 1 análise através do teorema do valor final e 2 análise através da substituição da entrada Vamos considerar esses métodos individualmente Análise através do Teorema do Valor Final O erro em regime permanente de um sistema de entrada única e saída única representado no espaço de estados pode ser analisado com a utilização do teorema do valor final e da função de transferência em malha fechada Eq 373 deduzida em função da representação no espaço de estados Considere o sistema em malha fechada representado no espaço de estados A transformada de Laplace do erro é Mas em que Ts é a função de transferência em malha fechada Substituindo a Eq 786 na Eq 785 obtemos Utilizando a Eq 373 para Ts obtemos Aplicando o teorema do valor final temos Vamos aplicar o resultado a um exemplo Exemplo 713 Erro em Regime Permanente utilizando o Teorema do Valor Final PROBLEMA Calcule o erro em regime permanente para o sistema descrito pelas Eqs 790 para entradas em degrau unitário e em rampa unitária Utilize o teorema do valor final Experimente 75 Use o MATLAB a Symbolic Math Toolbox e as instruções a seguir para determinar o erro em regime permanente para uma entrada em degrau para o sistema do Exemplo 713 syms s A5 1 0 0 2 1 20 10 1 B001 C1 1 0 I1 0 0 0 1 0 0 0 1 E1s1C sIA1B Novo Comando subs X velho novo Substitui velho em X velho com novo errorsubssEs0 SOLUÇÃO Substituindo as Eqs 790 na Eq 789 obtemos Para um degrau unitário Rs 1s e e 45 Para uma rampa unitária Rs 1s2 e e Observe que o sistema se comporta como um sistema do Tipo 0 Análise através da Substituição da Entrada Um outro método para a análise do regime permanente evita a obtenção da inversa de sI A e pode ser expandido para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas ele substitui a entrada juntamente com uma suposta solução nas equações de estado Hostetter 1989 Deduziremos os resultados para entradas em degrau unitário e em rampa unitária Entradas em Degrau Dadas as equações de estado Eqs 784 se a entrada for um degrau unitário em que r 1 uma solução em regime permanente xrp para x é em que Vi é constante Além disso Substituindo r 1 um degrau unitário junto com as Eqs 792 e 793 nas Eqs 784 resulta em que yrp é a saída em regime permanente Resolvendo para V resulta Mas o erro em regime permanente é a diferença entre a entrada em regime permanente e a saída em regime permanente O resultado final para o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário em um sistema representado no espaço de estados é Entradas em Rampa Para entradas em rampa unitária r t uma solução em regime permanente para x é em que Vi e Wi são constantes Portanto Substituindo r t junto com as Eqs 797 e 798 nas Eqs 784 resulta Para equilibrar a Eq 799a igualamos os coeficientes matriciais de t AV B ou Igualando os termos constantes na Eq 799a temos AW V ou Substituindo as Eqs 7100 e 7101 na Eq 799b resulta O erro em regime permanente é portanto Observe que para se utilizar este método a matriz A1 deve existir Isto é detA 0 Mostramos agora a utilização das Eqs 796 e 7103 para determinar o erro em regime permanente para entradas em degrau e em rampa Exemplo 714 Erro em Regime Permanente Utilizando Substituição da Entrada PROBLEMA Calcule o erro em regime permanente para o sistema descrito pelas três equações na Eq 790 para entradas em degrau unitário e em rampa unitária Utilize substituição da entrada SOLUÇÃO Para uma entrada em degrau unitário o erro em regime permanente dado pela Eq 796 é em que C A e B são as seguintes Para uma entrada em rampa usando a Eq 7103 temos Exercício 77 PROBLEMA Determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau dado o sistema representado no espaço de estados a seguir Calcule o erro em regime permanente utilizando tanto o método do teorema do valor final quanto o método da substituição da entrada RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Neste capítulo cobrimos a avaliação do erro em regime permanente para sistemas representados por funções de transferência bem como sistemas representados no espaço de estados Para os sistemas representados no espaço de estados dois métodos foram apresentados 1 teorema do valor final e 2 substituição da entrada Estudos de Caso a b a b Estudos de Caso Controle de Antena Projeto de Erro em Regime Permanente via Ganho Este capítulo mostrou como determinar os erros em regime permanente para entradas em degrau em rampa e em parábola para sistemas de controle com realimentação em malha fechada Também aprendemos como calcular o ganho para atender a um requisito de erro em regime permanente Este estudo de caso continuado utiliza nosso sistema de controle de posição de azimute de antena para resumir os conceitos PROBLEMA Para o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 Determine o erro em regime permanente em função do ganho K para entradas em degrau em rampa e em parábola Determine o valor do ganho K que resulta em um erro de 10 em regime permanente SOLUÇÃO O diagrama de blocos simplificado do sistema é mostrado nas guardas dianteiras O erro em regime permanente é dado por A partir do diagrama de blocos depois de movimentar o potenciômetro para a direita passando a junção de soma a função de transferência à frente equivalente é Para determinar o erro em regime permanente para uma entrada em degrau use Rs 1s juntamente com a Eq 7108 e substituaos na Eq 7107 O resultado é e 0 Para determinar o erro em regime permanente para uma entrada em rampa use Rs 1s2 juntamente com a Eq 7108 e substituaos na Eq 7107 O resultado é e 2579K Para determinar o erro em regime permanente para uma entrada em parábola use Rs 1s3 juntamente com a Eq 7108 e substituaos na Eq 7107 O resultado é e Como o sistema é do Tipo 1 um erro de 10 em regime permanente deve se referir a uma entrada em rampa Esta é a única entrada que resulta em um erro finito diferente de zero Assim para uma entrada em rampa unitária de onde K 2579 Você deve verificar se o valor de K está dentro da faixa de ganhos que assegura a estabilidade do sistema No estudo de caso do controle de antena no capítulo anterior a faixa de ganho para estabilidade foi obtida como sendo 0 K 262329 Assim o sistema é estável para um ganho de 2579 a b DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Em relação ao sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 faça o seguinte Determine o erro em regime permanente em função do ganho K para entradas em degrau em rampa e em parábola Determine o valor do ganho K que resulta em um erro de 20 em regime permanente Gravador de Laserdisc Projeto de Erro em Regime Permanente via Ganho Como um segundo estudo de caso vamos examinar um sistema de foco para gravação em Laserdisc PROBLEMA Para gravar em um Laserdisc um feixe de laser de 05 μm deve ser focalizado sobre a mídia de gravação para queimar fendas que representem o material do programa O feixe estreito de laser requer que a lente de focagem seja posicionada com uma exatidão de 1 μm Um modelo do sistema de controle com realimentação para a lente de focagem é mostrado na Figura 722 FIGURA 722 Gravação em Laserdisc sistema de controle para focagem do feixe de gravação FIGURA 723 Gravação em Laserdisc a óptica do detector de foco b função de transferência linearizada para o detector de foco O detector detecta a distância entre a lente de focagem e o disco medindo o grau de focalização como mostrado na Figura 723a O feixe de laser refletido pelo disco D é dividido por separadores de feixe B1 e B2 e focalizado atrás do diafragma A O restante é refletido pelo espelho e focalizado na frente do diafragma A A quantidade de luz de cada feixe que passa através do diafragma depende de quão longe o ponto focal do feixe está do diafragma Cada um dos lados do fotodiodo divisor P mede a intensidade de um dos feixes Portanto à medida que a distância entre o disco e a lente objetiva de gravação varia o mesmo ocorre com o ponto focal de cada um dos feixes Como resultado a tensão relativa detectada por cada parte do fotodiodo divisor se altera Quando o feixe está fora de foco um dos lados do fotodiodo fornece a b c uma tensão maior Quando o feixe está em foco as saídas de tensão de ambos os lados do fotodiodo são iguais Um modelo simplificado para o detector é uma linha reta relacionando a saída de tensão diferencial entre os dois elementos a distância do Laserdisc do foco nominal Um gráfico linearizado da relação entradasaída do detector é mostrado na Figura 723b Isailović 1985 Admita que uma deformação no disco produza uma perturbação de pior caso no foco de 10τ2μm Determine o valor de K1K2K3 de modo a atender à exatidão de focalização requerida pelo sistema SOLUÇÃO Como o sistema é do Tipo 2 ele pode responder a entradas em parábola com erro finito Podemos admitir que a perturbação tem o mesmo efeito de uma entrada de 10t2μm A transformada de Laplace de 10t2 é 20s3 ou 20 unidades maior que a aceleração unitária utilizada para deduzir a equação geral do erro para uma entrada em parábola Portanto e 20Ka Mas A partir da Figura 722 Ka 00024K1K2K3 Além disso do enunciado do problema o erro não deve ser maior que 01μm Assim e 833333K1K2K3 01 Portanto K1K2K3 833333 e o sistema é estável DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de gravação de Laserdisc cujo diagrama de blocos é mostrado na Figura 724 faça o seguinte Se a lente de foco precisa ser posicionada com uma exatidão de 0005 μm determine o valor de K1K2K3 caso a deformação no disco produza uma perturbação de pior caso no foco de 15t2 μm FIGURA 724 Sistema de focagem para gravação em Laserdisc Utilize o critério de RouthHurwitz para mostrar que o sistema é estável quando as condições do Item a forem atendidas Utilize o MATLAB para mostrar que o sistema é estável quando as condições do Item a forem atendidas Resumo Este capítulo cobriu a análise e o projeto de sistemas de controle com realimentação para os erros em regime permanente Os erros em regime permanente estudados resultaram exclusivamente da configuração do sistema Com base na configuração de um sistema e em um grupo de sinais de teste escolhidos a saber degraus rampas e parábolas podemos analisar ou projetar o desempenho do erro em regime permanente do sistema Quanto maior o número de integrações puras que um sistema tem no caminho à frente maior o grau de exatidão admitindo que o sistema seja estável Os erros em regime permanente dependem do tipo de entrada de teste Aplicando o teorema do valor final a sistemas estáveis o erro em regime permanente para entradas em degrau unitário é O erro em regime permanente para entradas em rampa com velocidade unitária é e para entradas em parábola com aceleração unitária ele é Os termos conduzidos ao limite nas Eqs 7110 até 7112 são chamados de constantes de erro estático Começando com a Eq 7110 os termos no denominador conduzidos ao limite são chamados de constante de posição constante de velocidade e constante de aceleração respectivamente As constantes de erro estático são as especificações de erro em regime permanente para sistemas de controle Ao se especificar uma constante de erro estático está se declarando o número de integrações puras no caminho à frente o sinal de teste utilizado e o erro em regime permanente esperado Outra definição coberta neste capítulo foi a de tipo do sistema O tipo do sistema é o número de integrações puras no caminho à frente admitindo um sistema com realimentação unitária Aumentandose o tipo do sistema diminuise o erro em regime permanente desde que o sistema permaneça estável Uma vez que o erro em regime permanente é em sua maior parte inversamente proporcional à constante de erro estático quanto maior a constante de erro estático menor o erro em regime permanente Aumentandose o ganho do sistema aumentase a constante de erro estático Assim em geral aumentandose o ganho do sistema diminuise o erro em regime permanente desde que o sistema permaneça estável Os sistemas com realimentação não unitária foram tratados deduzindose um sistema com realimentação unitária equivalente cujas características de erro em regime permanente seguiam todos os desenvolvimentos anteriores O método foi restrito a sistemas em que as unidades da entrada e da saída são iguais Também vimos como a realimentação reduz o erro em regime permanente causado por perturbações Com a realimentação o efeito de uma perturbação pode ser reduzido através de ajustes do ganho do sistema Finalmente para sistemas representados no espaço de estados calculamos o erro em regime permanente utilizando métodos do teorema do valor final e da substituição da entrada No próximo capítulo examinaremos o lugar geométrico das raízes uma ferramenta poderosa para a análise e o projeto de sistemas de controle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 Questões de Revisão Cite duas fontes de erro em regime permanente Um controle de posição rastreando com uma diferença constante em velocidade resultaria em que erro de posição em regime permanente Cite os sinais de teste utilizados para avaliar o erro em regime permanente Quantas integrações no caminho à frente são necessárias para que haja erro nulo em regime permanente para cada uma das entradas de teste listadas na Questão 3 O aumento do ganho do sistema tem qual efeito sobre o erro em regime permanente Para uma entrada em degrau o erro em regime permanente é aproximadamente o inverso da constante de erro estático se qual condição for verdadeira Qual é a relação exata entre as constantes de erro estático e os erros em regime permanente para entradas em rampa e em parábola Quais informações estão contidas na especificação Kp 10000 Defina tipo do sistema A função de transferência à frente de um sistema de controle possui três polos em 1 2 e 3 Qual é o tipo do sistema Que efeito a realimentação tem sobre as perturbações Para uma entrada de perturbação em degrau na entrada de uma planta descreva o efeito do ganho do controlador e do ganho da planta sobre a minimização do efeito da perturbação O sinal de atuação do caminho à frente é o erro do sistema se o sistema possuir realimentação não unitária Como os sistemas com realimentação não unitária são analisados e projetados para os erros em regime permanente Defina em palavras a sensibilidade e descreva o objetivo da engenharia de sistemas de controle com realimentação no que se aplica à sensibilidade Cite dois métodos para calcular o erro em regime permanente para sistemas representados no espaço de estados Problemas Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P71 em que determine os erros em regime permanente para as seguintes entradas de teste 25ut 37tut 47t2ut Seção 72 2 a b 3 4 5 FIGURA P71 A Figura P72 mostra a entrada em rampa rt e a saída ct de um sistema Admitindo que o regime permanente da saída possa ser aproximado por uma rampa determine Seção 71 o erro em regime permanente o erro em regime permanente se a entrada for rt tut FIGURA P72 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P71 em que determine o erro em regime permanente caso a entrada seja 80t2ut Seção 72 Para o sistema mostrado na Figura P73 que erro em regime permanente pode ser esperado para as seguintes entradas de teste 15ut 15tut e 15t2ut Seção 72 FIGURA P73 Para o sistema com realimentação mostrado na Figura P71 em que 6 7 8 9 10 a b c d e 11 determine o erro em regime permanente para entradas de 30ut 70tut e 81t2ut Seção 73 Uma entrada de 12t3ut é aplicada à entrada de um sistema com realimentação unitária do Tipo 3 como mostrado na Figura P71 em que Determine o erro de posição em regime permanente Seção 73 O erro de velocidade em regime permanente de um sistema é definido como em que r é a entrada do sistema e c é a saída do sistema Determine o erro de velocidade em regime permanente para uma entrada de t3ut para um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência à frente de Seção 72 Qual é o erro em regime permanente para uma entrada em degrau de 15 unidades aplicada ao sistema com realimentação unitária da Figura P71 em que Seção 73 Um sistema possui Kp 4 Que erro em regime permanente pode ser esperado para entradas de 70ut e 70tut Seção 73 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P71 em que Seção 73 Qual é a ultrapassagem percentual esperada para uma entrada em degrau unitário Qual é o tempo de acomodação para uma entrada em degrau unitário Qual é o erro em regime permanente para uma entrada de 5ut Qual é o erro em regime permanente para uma entrada de 5tut Qual é o erro em regime permanente para uma entrada de 5t2ut Dado o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P71 em que 12 13 a b c 14 15 determine o valor de α para resultar em Kv 25000 Seção 74 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P71 em que determine o valor de K para resultar em uma constante de erro estático de 10000 Seção 74 Para o sistema mostrado na Figura P74 Seção 73 Determine Kp Kv e Ka Determine o erro em regime permanente para uma entrada de 50ut 50tut e 50t2ut Declare o tipo do sistema FIGURA P74 Um sistema do Tipo 3 com realimentação unitária tem rt 10t3 aplicado a sua entrada Determine o erro de posição em regime permanente para essa entrada caso a função de transferência à frente seja Seção 73 Determine o tipo do sistema para o sistema da Figura P75 Seção 73 FIGURA P75 16 a b c 17 18 a b c Quais são as restrições sobre a função de transferência de alimentação à frente G2s no sistema da Figura P76 para se obter erro nulo em regime permanente para entradas em degrau se Seção 73 G1s é uma função de transferência do Tipo 0 G1s é uma função de transferência do Tipo 1 G1s é uma função de transferência do Tipo 2 FIGURA P76 O erro em regime permanente é definido como sendo a diferença em posição entre a entrada e a saída quando o tempo tende a infinito Vamos definir um erro de velocidade em regime permanente que é a diferença em velocidade entre a entrada e a saída Deduza uma expressão para o erro em velocidade e complete a Tabela P71 para o erro em velocidade Seções 72 73 TABELA P71 Para o sistema mostrado na Figura P77 Seção 74 Qual valor de K resultará em um erro de posição em regime permanente de 001 para uma entrada de 110t Qual é o Kv para o valor de K obtido no Item a Qual é o menor erro de posição em regime permanente possível para a entrada dada no Item a 19 20 21 22 a b FIGURA P77 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P71 em que determine o valor de Ka de modo que uma entrada em rampa com inclinação 40 resultará em um erro de 0006 em regime permanente quando comparada com a saída Seção 74 Dado o sistema da Figura P78 projete o valor de K de modo que para uma entrada 100tut haverá um erro de 001 em regime permanente Seção 74 FIGURA P78 Determine o valor de K para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P71 em que caso a entrada seja 10t2ut e o erro em regime permanente desejado seja 0061 para esta entrada Seção 74 O sistema com realimentação unitária da Figura P71 em que deve ter um erro de 16000 entre uma entrada de 10tut e a saída em regime permanente Seção 74 Determine K e n para atender à especificação Quais são os valores de Kp Kv e Ka 23 a b c 24 25 26 27 28 a b c Para o sistema com realimentação unitária da Figura P71 no qual Seção 73 Determine o tipo do sistema Que erro pode ser esperado para uma entrada de 12ut Que erro pode ser esperado para uma entrada de 12tut Para o sistema com realimentação unitária da Figura P71 no qual determine o valor de K para resultar em um erro em regime permanente de 04 para uma entrada em rampa de 27tut Seção 74 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P71 no qual determine o valor de K para resultar em um erro em regime permanente de 8 Seção 74 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P71 no qual determine o menor erro de posição em regime permanente possível caso uma rampa unitária seja aplicada O que impõe a restrição sobre o erro O sistema com realimentação unitária da Figura P71 no qual deve ser projetado para atender às seguintes especificações erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário 01 fator de amortecimento 05 frequência natural Determine K α e β Seção 74 Um sistema de segunda ordem com realimentação unitária deve seguir uma entrada em rampa com as seguintes especificações a posição de saída em regime permanente deve diferir da posição de entrada por 001 da velocidade de entrada a frequência natural do sistema em malha fechada deve ser de 10 rads Determine o seguinte O tipo do sistema A expressão exata da função de transferência do caminho à frente O fator de amortecimento do sistema em malha fechada 29 30 31 a b 32 a b c d e 33 O sistema com realimentação unitária da Figura P71 em que deve ser projetado para atender aos seguintes requisitos erro de posição em regime permanente para uma entrada em rampa unitária igual a 110 polos em malha fechada localizados em 1 j1 Determine K α e β de modo a atender às especificações Seção 74 Dado o sistema de controle com realimentação unitária da Figura P71 no qual determine os valores de n K e a de modo a atender às especificações de 12 de ultrapassagem e Kv 110 Seção 74 Dado o sistema de controle com realimentação unitária da Figura P71 no qual Determine o seguinte Seção 74 K e a para resultar em Kv 1000 e em 20 de ultrapassagem K e a para resultar em um erro de 1 em regime permanente e em 10 de ultrapassagem Dado o sistema na Figura P79 determine o seguinte Seção 73 A função de transferência em malha fechada O tipo do sistema O erro em regime permanente para uma entrada de 5ut O erro em regime permanente para uma entrada de 5tut Discuta a validade de suas respostas para os Itens c e d FIGURA P79 Repita o Problema 32 para o sistema mostrado na Figura P710 Seção 73 34 a b c 35 FIGURA P710 Para o sistema mostrado na Figura P711 utilize o MATLAB para determinar o seguinte Seção 73 O tipo do sistema Kp Kv e Ka O erro em regime permanente para entradas de 100ut 100tut e 100t2ut FIGURA P711 O sistema da Figura P712 deve atender às seguintes especificações Kv 10 ζ 05 Determine os valores de K1 e Kf necessários para que as especificações do sistema sejam atendidas Seção 74 36 37 a b 38 FIGURA P712 A função de transferência da deflexão do profundor para a variação de altitude em um Veículo Aéreo Não Tripulado Tower Trainer 60 é Um piloto automático é instalado na aeronave como mostrado na Figura P713 com Fs Hs 1 e Barkana 2005 O erro em regime permanente para uma entrada em rampa nesse sistema é erp 25 Determine a inclinação da rampa de entrada FIGURA P713 Um diagrama de blocos representando o relógio de água de Ktesibios discutido na Seção 12 é mostrado no Capítulo 5 Problema 58 Figura P538b Lepschy 1992 Determine o tipo do sistema Para hrt ut determine o valor em regime permanente de et hrt hft Determine o erro em regime permanente total devido a uma entrada em degrau unitário e a uma perturbação em degrau unitário no sistema da Figura P714 Seção 75 FIGURA P714 39 40 a b c d e f Projete os valores de K1 e K2 no sistema da Figura P715 para atender às seguintes especificações componente do erro em regime permanente devido a uma perturbação em degrau unitário igual a 0000012 componente do erro em regime permanente devido a uma entrada em rampa unitária igual a 0003 Seção 75 FIGURA P715 Na Figura P716 seja Gs 5 e Calcule o erro em regime permanente devido a uma entrada de comando com Ds 0 Verifique o resultado do Item a utilizando o Simulink Calcule o erro em regime permanente devido a uma entrada de perturbação com Rs 0 Verifique o resultado do Item c utilizando o Simulink Calcule o erro em regime permanente total devido a uma entrada de comando e a uma perturbação aplicados simultaneamente Verifique o resultado do Item e utilizando o Simulink 41 42 a b c d e 43 FIGURA P716 Deduza a Eq 772 do texto o valor final do sinal de atuação para sistemas com realimentação não unitária Seção 76 Para cada um dos sistemas mostrados na Figura P717 determine o seguinte Seção 76 O tipo do sistema A constante de erro estático apropriada A forma de onda de entrada que resulta em um erro constante O erro em regime permanente para uma entrada unitária da forma de onda obtida no Item c O valor em regime permanente do sinal de atuação FIGURA P717 Sistemas em malha fechada com realimentação não unitária Para cada um dos sistemas mostrados na Figura P718 determine a constante de erro estático apropriada bem como o erro em regime permanente r c para entradas em degrau unitário rampa unitária e parábola unitária Seção 76 44 a b 45 a b c d FIGURA P718 Dado o sistema mostrado na Figura P719 determine o seguinte Seção 76 O tipo do sistema O valor de K que resulta em um erro de 01 em regime permanente FIGURA P719 Para o sistema mostrado na Figura P720 Seção 76 Qual é o tipo do sistema Qual é a constante de erro estático apropriada Qual é o valor da constante de erro estático apropriada Qual é o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário 46 a b c 47 a FIGURA P720 Para o sistema mostrado na Figura P721 utilize o MATLAB para determinar o seguinte para K 10 e K 106 Seção 76 O tipo do sistema Kp Kv e Ka O erro em regime permanente para entradas de 30ut 30tut e 30t2ut FIGURA P721 Um restaurador dinâmico de tensão DVR dynamic voltage restorer é um dispositivo conectado em série com uma fonte de alimentação Ele monitora continuamente a tensão fornecida à carga e compensa quedas de tensão aplicando a tensão adicional necessária para manter a tensão na carga constante No modelo mostrado na Figura P722 ur representa a tensão de referência desejada us é a tensão de saída e ZC é a impedância da carga Todos os demais parâmetros são internos ao DVR Lam 2004 Admitindo determine o tipo do sistema b 48 49 a b c 50 51 FIGURA P722 Modelo do DVR Determine o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário como uma função de β Deduza a Eq 769 do texto Seção 76 Dado o sistema mostrado na Figura P723 faça o seguinte Seção 76 Deduza a expressão para o erro Es Rs Cs em função de Rs e Ds Deduza o erro em regime permanente e caso Rs e Ds sejam funções degrau unitário Determine os atributos de G1s G2s e Hs necessários para que o erro em regime permanente seja nulo FIGURA P723 Sistema com entrada e perturbação Dado o sistema mostrando na Figura P724 determine a sensibilidade do erro em regime permanente ao parâmetro a Admita uma entrada em degrau Represente graficamente a sensibilidade como uma função do parâmetro a Seção 77 FIGURA P724 a Mostre que a sensibilidade a variações da planta no sistema da Figura P713 é b 52 a b 53 54 a b c onde Ls GsPsHs e Mostre que para todos os valores de s Na Figura P713 e Obtenha Fs e Gs Determine o valor de K que resultará em um erro nulo em regime permanente para uma entrada em degrau unitário Para o sistema mostrado na Figura P725 obtenha a sensibilidade do erro em regime permanente para variações em K1 e em K2 quando K1 100 e K2 01 Admita entradas em degrau tanto para a entrada quanto para a perturbação Seção 77 FIGURA P725 Sistema com entrada e perturbação Dado o diagrama de blocos do sistema de suspensão ativa mostrado na Figura P543 Lin 1997 Obtenha a função de transferência de uma perturbação na pista r para o sinal de erro e Utilize a função de transferência do Item a para determinar o valor em regime permanente de e para uma perturbação na pista em degrau unitário Utilize a função de transferência do Item a para determinar o valor em regime permanente d 55 56 de e para uma perturbação na pista em rampa unitária A partir de seus resultados nos Itens b e c qual é o tipo do sistema para e Para cada um dos sistemas em malha fechada a seguir determine o erro em regime permanente para entradas em degrau unitário e em rampa unitária Utilize tanto o método do teorema do valor final quanto o método da substituição da entrada Seção 78 O sistema de condução de um automóvel fornece uma distância real de saída Xs para uma distância de entrada desejada Xcs como mostrado na Figura P726a Qualquer diferença Xcs entre a distância comandada e a distância real é convertida em um comando de velocidade Vcs pelo controlador e aplicada ao acelerador do veículo O veículo responde ao comando de velocidade com uma velocidade Vs e um deslocamento Xs é realizado O controle de velocidade G2s é por si só um sistema em malha fechada como mostrado na Figura P726b Neste caso a diferença Ves entre a velocidade comandada Vcs e a velocidade real do veículo Vs aciona um motor que desloca o acelerador do veículo de Ycs Stefani 1978 Determine o erro em regime permanente para a malha de controle de velocidade caso a função de transferência do motor e amplificador G3s Kss 1 Admita que G4s seja um sistema de primeira ordem onde um deslocamento máximo possível de 1 ft do acoplamento do acelerador resulta em uma velocidade em regime permanente de 100 milhashora com o automóvel atingindo 60 milhashora em 10 segundos 57 58 FIGURA P726 Sistema de condução de um automóvel a sistema de controle de deslocamento b malha de controle de velocidade Um diagrama de blocos simplificado de um instrumento utilizado para medir a concentração de oxigênio é mostrado na Figura P727 O instrumento utiliza as propriedades paramagnéticas de um fluxo de oxigênio Um pequeno corpo é colocado em um fluxo de oxigênio cuja concentração é Rs e é submetido a um campo magnético O torque sobre o corpo K1Rs devido ao campo magnético é uma função da concentração de oxigênio O deslocamento do corpo θs é detectado e uma tensão Cs proporcional ao deslocamento é produzida Esta tensão é utilizada para produzir um campo eletrostático que aplica um torque K3Cs ao corpo em oposição ao produzido pelo campo magnético Quando o corpo fica em repouso a tensão de saída representa a força do torque magnético o qual por sua vez está relacionado com a concentração de oxigênio Chesmond 1982 Determine o erro em regime permanente entre a tensão de saída representando a concentração de oxigênio e a concentração de oxigênio de entrada Como você poderia reduzir o erro a zero FIGURA P727 Diagrama de blocos de um analisador de oxigênio paramagnético Uma estação espacial mostrada na Figura P728a manterá seus painéis solares apontados na direção do Sol Admita que o diagrama de blocos simplificado da Figura P728b a b c d representa o sistema de controle de rastreamento solar que será utilizado para girar o painel através de juntas rotativas chamadas de juntas rotativas solares alfa Figura P728c Determine Kumar 1992 O erro em regime permanente para comandos em degrau O erro em regime permanente para comandos em rampa O erro em regime permanente para comandos em parábola A faixa de KcJ para tornar o sistema estável 59 a b 60 FIGURA P728 Uma estação espacial a configuração 1992 AIAA b diagrama de blocos simplificado c trem de acionamento e sistema de controle da junta alfa 1992 AIAA Um modelo simplificado do sistema de manobra de um veículo com tração nas quatro rodas é mostrado na Figura P729 FIGURA P729 Modelo do sistema de manobra para um veículo com tração nas quatro rodas 2007 IEEE No diagrama de blocos a saída r é a velocidade de guinagem do veículo enquanto δd e δt são os ângulos de manobra dos pneus dianteiros e traseiros respectivamente Neste modelo e Ks é um controlador a ser projetado Yin 2007 Admitindo uma entrada em degrau para δd determine o tipo do sistema mínimo do controlador Ks necessário para que em regime permanente o erro como definido pelo sinal e na Figura P729 seja zero se possível Admitindo uma entrada em degrau para δd determine o tipo do sistema do controlador Ks necessário para que em regime permanente o erro definido por δd r seja zero se possível PROBLEMAS DE PROJETO A especificação a seguir se aplica a um controle de posição Kv 10 Dispõese de um amplificador com ganho variável K2 com o qual se aciona um motor Dois potenciômetros de uma volta sobre os quais são aplicados 3π volts também estão disponíveis para converter a posição do eixo em tensão Um motor está disponível cuja função de transferência é 61 em que θms é a posição da armadura motor e Eas é a tensão da armadura Os componentes estão interconectados como mostrado na Figura P730 FIGURA P730 Sistema de controle de posição A função de transferência do motor é obtida experimentalmente como se segue O motor e a carga são acionados separadamente aplicandose uma onda quadrada de curta duração e grande amplitude um impulso unitário à armadura Um gráfico da resposta obtido com um osciloscópio mostra que o motor atingiu 63 do seu valor final de saída 05 segundo depois da aplicação do impulso Além disso com 10 volts cc aplicados à armadura a velocidade de saída constante foi de 100 rads Desenhe o diagrama de blocos completo do sistema especificando a função de transferência de cada um dos componentes do diagrama de blocos Um barco está circundando um navio que está utilizando um radar de rastreamento A velocidade do barco é de 20 nós e ele está circundando o navio a uma distância de 1 milha náutica como mostrado na Figura P731a Um modelo simplificado do sistema de rastreamento é mostrado na Figura P731b Determine o valor de K de modo que o barco seja mantido no centro do feixe do radar com um erro inferior a 01 grau 62 FIGURA P731 Barco rastreado pelo radar de um navio a disposição física b diagrama de blocos do sistema de rastreamento A Figura P732 mostra um diagrama de blocos simplificado de um piloto em uma malha para controlar a atitude de rolagem de um helicóptero bimotor Black Hawk UH60A do Exército americano com um único rotor principal Hess 1993 FIGURA P732 Diagrama de blocos simplificado de um piloto em uma malha 1992 AIAA a b c 63 Determine o tipo do sistema A resposta do piloto determina K1 Determine o valor de K1 caso um valor de 700 para a constante de erro estático apropriada seja requerido Um piloto cujo K1 fosse o valor encontrado no Item b poderia ser contratado para pilotar o helicóptero Observação No diagrama de blocos GDs é um atraso de cerca de 0154 segundo e pode ser representado por uma aproximação de Pade de GDs s 13s 13 O controle de movimento que inclui o controle de posição ou o controle de força é utilizado em robótica e em usinagem O controle de força requer que o projetista considere duas fases movimentos com contato e sem contato A Figura P733a é um diagrama de um sistema mecânico para controle de força durante o movimento com contato Um comando de força Fcmds é a entrada do sistema enquanto a saída Fs é a força de contato controlada Na figura um motor é utilizado como atuador de força A saída de força do atuador é aplicada ao objeto através de um sensor de força Uma representação em diagrama de blocos do sistema é mostrada na Figura P733b K2 é a realimentação de velocidade utilizada para melhorar a resposta transitória A malha é na verdade implementada por uma malha elétrica não representada que controla a corrente da armadura do motor para produzir o torque desejado na saída Recorde que Tm Ktia Ohnishi 1996 Obtenha uma expressão para a faixa de K2 para manter um erro de força em regime permanente abaixo de 10 para entradas em rampa de força comandada 64 a b c 65 FIGURA P733 a Malha mecânica de controle de força durante movimento com contato 1996 IEEE b diagrama de blocos 1996 IEEE O Problema 50 no Capítulo 4 descreve um controlador de suporte giratório e planta em malha aberta para um robô industrial A função de transferência para o controlador e a planta é em que ωss é a transformada de Laplace da velocidade angular do suporte giratório do robô e Ves é a tensão de entrada para o controlador Admita que Ges seja a função de transferência à frente de uma malha de controle de velocidade com um transdutor de entrada e um sensor cada um representado por um ganho constante de 3 Schneider 1992 Determine o valor do ganho K para minimizar o erro em regime permanente entre a velocidade angular do suporte giratório comandada na entrada e a velocidade angular real do suporte giratório na saída Qual é o erro em regime permanente para o valor de K obtido no Item a Para que tipo de entrada o projeto do Item a se aplica O fluxo de pacotes de informações em um roteador trabalhando com o protocolo TCPIP pode ser modelado utilizando a função de transferência linearizada em que C capacidade da conexão pacotessegundo N fator de carga número de sessões TCP Q comprimento esperado da fila R tempo de resposta segundos p probabilidade de descarte de um pacote O objetivo de um algoritmo de gerenciamento ativo de fila AQM active queue management é escolher automaticamente uma probabilidade de descarte de pacote p de modo que o comprimento da fila seja mantido em um nível desejado Este sistema pode ser representado pelo diagrama de blocos da Figura P713 com o modelo da planta no bloco Ps o algoritmo AQM no bloco Gs e Fs Hs 1 Diversos algoritmos AQM estão disponíveis porém um que tem recebido especial atenção na literatura é o algoritmo de detecção antecipada aleatória RED random early detection Este algoritmo pode ser aproximado com onde L e K são constantes Hollot 2001 Determine o valor de L necessário para obter um erro em regime permanente de 10 para uma entrada em degrau unitário quando C 3750 pacotess N 50 sessões TCP R 01 s e K 0005 66 a b c d 67 a b c 68 a b c 69 Na Figura P716 a planta representa a dinâmica da junta de um manipulador robótico A saída do sistema Cs é a posição angular da junta Low 2005 O sistema é controlado em uma configuração em malha fechada como mostrado com um controlador proporcional e integral PI a ser discutido no Capítulo 9 Rs é a posição angular desejada da junta Ds é uma perturbação externa possivelmente causada por modelagem inadequada da dinâmica atrito de Coulomb ou outras forças externas atuantes na junta Determine o tipo do sistema Mostre que para uma entrada de perturbação em degrau erp 0 quando KI 0 Determine o valor de KI que resultará em erp 5 para uma entrada em parábola Utilizando o valor de KI obtido no Item c determine a faixa de KP para estabilidade em malha fechada PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade No Problema 79a Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo Utilize sua solução para o Problema 79a no Capítulo para realizar a análise e o projeto do erro em regime permanente como se segue OConnor 1997 Determine o tipo do sistema Determine o valor do ganho do controlador K que minimiza o erro de força em regime permanente Qual é o mínimo erro de força em regime permanente Controle de HIVAIDS Considere o modelo de infecção pelo HIV do Problema 68 no Capítulo 6 e seu diagrama de blocos na Figura P620 Craig 2004 Determine o tipo do sistema caso Gs seja uma constante Foi mostrado no Problema 68 Capítulo 6 que quando Gs K o sistema será estável quando K 204 104 Qual valor de K resultará em um erro em regime permanente de 10 para uma entrada em degrau unitário É sugerido que para reduzir o erro em regime permanente o tipo do sistema deveria ser aumentado fazendose Esta é uma escolha sensata Qual é a faixa de estabilidade resultante para K Veículo híbrido A Figura P734 mostra o diagrama de blocos do controle de velocidade de um HEV construído a partir da Figura P554 e reorganizado como um sistema com realimentação unitária Preitl 2007 Aqui a saída do sistema é Cs KSV Vs a tensão de saída do sensortransdutor de velocidade a b c FIGURA P734 Admita que o controlador de velocidade seja dado como GCVs KPCV Determine o ganho KPCV que resulta em um erro em regime permanente edegrau 1 Admita agora que para reduzir o erro em regime permanente para entradas em degrau uma integração é adicionada ao controlador resultando em GCVs KPCV KICVs 100 KICVs Determine o valor do ganho integral KICV que resulta em um erro em regime permanente erampa 25 Nos Itens a e b o HEV foi admitido como sendo conduzido em terreno plano Considere o caso em que após alcançar uma velocidade em regime permanente com um controlador dado por o carro comece a subir uma ladeira com um ângulo de inclinação α 5 Para ângulos pequenos sen α α em radianos e portanto quando refletido para o eixo do motor o torque de subida é O diagrama de blocos na Figura P735 representa o sistema de controle do HEV reorganizado para o Item c FIGURA P735 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 Neste diagrama a entrada é TEst 837ut correspondendo a α 5 e a saída é o erro negativo et ct KSV vt proporcional à variação na velocidade do carro vt Determine o erro em regime permanente e devido a uma variação em degrau na perturbação por exemplo o torque de subida TEst 837ut Investigando em Laboratório Virtual Experimento 71 Objetivo Verificar o efeito da forma de onda de entrada do ganho de malha e do tipo do sistema sobre os erros em regime permanente Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox PréEnsaio Que tipos de sistema fornecerão erro em regime permanente nulo para entradas em degrau Que tipos de sistema fornecerão erro em regime permanente nulo para entradas em rampa Que tipos de sistema fornecerão erro em regime permanente infinito para entradas em rampa Que tipos de sistema fornecerão erro em regime permanente nulo para entradas em parábola Que tipos de sistema fornecerão erro em regime permanente infinito para entradas em parábola Para o sistema com realimentação negativa da Figura P736 onde e Hs 1 calcule o erro em regime permanente em função de K para as seguintes entradas 5ut 5tut e 5t2ut Repita o PréEnsaio 6 para FIGURA P736 Repita o PréEnsaio 6 para Ensaio Utilizando o Simulink prepare o sistema com realimentação negativa do PréEnsaio 6 Represente em um gráfico o sinal de erro do sistema para uma entrada de 5ut e K 50 500 1000 e 5000 Repita para entradas de 5tut e 5t2ut Utilizando o Simulink prepare o sistema com realimentação negativa do PréEnsaio 7 Represente em um gráfico o sinal de erro do sistema para uma entrada de 5ut e K 50 500 1000 e 5000 Repita para entradas de 5tut e 5t2ut 3 1 2 3 1 2 Utilizando o Simulink prepare o sistema com realimentação negativa do PréEnsaio 8 Represente em um gráfico o sinal de erro do sistema para uma entrada de 5ut e K 200 400 800 e 1000 Repita para entradas de 5tut e 5t2ut PósEnsaio Utilize seus gráficos do Ensaio 1 e compare os erros em regime permanente esperados com os calculados no PréEnsaio Explique as razões para quaisquer discrepâncias Utilize seus gráficos do Ensaio 2 e compare os erros em regime permanente esperados com os calculados no PréEnsaio Explique as razões para quaisquer discrepâncias Utilize seus gráficos do Ensaio 3 e compare os erros em regime permanente esperados com os calculados no PréEnsaio Explique as razões para quaisquer discrepâncias Experimento 72 Objetivo Utilizar o LabVIEW Control Design and Simulation Module para a análise do desempenho em regime permanente para entradas em degrau e em rampa Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module PréEnsaio Dado o modelo de uma única junta de um manipulador robótico mostrado na Figura P737 Spong 2005 no qual B é o coeficiente de atrito viscoso θds é o ângulo desejado θs é o ângulo de saída e Ds é a perturbação Desejamos rastrear o ângulo da junta usando um controlador PD que estudaremos no Capítulo 9 Admita J B 1 Obtenha as respostas ao degrau e à rampa deste sistema para as seguintes combinações de ganhos do PD KP KD 16 7 64 15 e 144 23 FIGURA P737 Ensaio Crie uma VI no LABVIEW para simular a resposta deste sistema para uma entrada em degrau e uma entrada em rampa em condições sem perturbação Utilize as funções disponíveis na paleta Control Design and SimulationControl Design Crie uma VI no LABVIEW utilizando as funções disponíveis na paleta Control Design and SimulationControl Design para rastrear um ponto de ajuste de entrada de 10 com uma perturbação de D 40 PósEnsaio Compare seus resultados com os do PréEnsaio Que conclusões você pode tirar a partir das várias respostas deste sistema a diferentes entradas e com diferentes parâmetros do PD Qual é o tipo do sistema O comportamento em regime permanente corrobora a teoria que você aprendeu relativamente ao tipo do sistema e o erro em regime permanente para várias entradas Explique sua resposta Bibliografia Barkana I Classical and Simple Adaptive Control of Nonminimum Phase Autopilot Design Journal of Guidance Control and Dynamics vol 28 2005 pp 631638 Chesmond C J Control System Technology E Arnold London 1982 Craig I K Xia X and Venter J W Introducing HIVAIDS Education into the Electrical Engineering Curriculum at the University of Pretoria IEEE Transactions on Education vol 47 no 1 February 2004 pp 6573 DAzzo J J and Houpis C H Feedback Control System Analysis and Design Conventional and Modern 3d ed McGrawHill New York 1988 Hess R A Malsbury T and Atencio A Jr Flight Simulator Fidelity Assessment in a Rotorcraft Lateral Translation Maneuver Journal of Guidance Control and Dynamics vol 16 no 1 JanuaryFebruary 1993 pp 7985 Hollot C V Misra V Towsley D and Gong W A Control Theoretic Analysis of RED Proceedings of IEEE INFOCOM 2001 pp 15101519 Hostetter G H Savant C J Jr and Stefani R T Design of Feedback Control Systems 2d ed Saunders College Publishing New York 1989 Isailovic J Videodisc and Optical Memory Systems Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1985 Kumar R R Cooper P A and Lim T W Sensitivity of Space Station Alpha Joint Robust Controller to Structural Modal Parameter Variations Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 6 November December 1992 pp 14271433 Lam C S Wong M C and Han Y D Stability Study on Dynamic Voltage Restorer DVR Power Electronics Systems and Applications 2004 Proceedings First International Conference on Power Electronics 2004 pp 6671 Lepschy A M Mian G A and Viaro U Feedback Control in Ancient Water and Mechanical Clocks IEEE Transactions on Education vol 35 1992 pp 310 Lin JS and Kanellakopoulos I Nonlinear Design of Active Suspensions IEEE Control Systems vol 17 issue 3 June 1997 pp 4559 Low K H Wang H Liew K M and Cai Y Modeling and Motion Control of Robotic Hand for Telemanipulation Application International Journal of Software Engineering and Knowledge Engineering vol 15 2005 pp 147152 OConnor D N Eppinger S D Seering W P and Wormly D N Active Control of a HighSpeed Pantograph Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 119 March 1997 pp 14 Ohnishi K Shibata M and Murakami T Motion Control for Advanced Mechatronics IEEEASME Transactions on Mechatronics vol 1 no 1 March 1996 pp 5667 Preitl Z Bauer P and Bokor J A Simple Control Solution for Traction Motor Used in Hybrid Vehicles Fourth International Symposium on Applied Computational Intelligence and Informatics IEEE 2007 Schneider R T Pneumatic Robots Continue to Improve Hydraulics Pneumatics October 1992 pp 3839 Spong M Hutchinson S and Vidyasagar M Robot Modeling and Control John Wiley Sons Hoboken NJ 2006 Stefani R T Design and Simulation of an Automobile Guidance and Control System Transactions Computers in Education Division of ASEE January 1978 pp 19 Yin G Chen N and Li P Improving Handling Stability Performance of FourWheel Steering Vehicle via m Synthesis Robust Control Ieee Transactions on Vehicular Technology vol 56 no 5 2007 pp 24322439 1O teorema do valor final é deduzido a partir da transformada de Laplace da derivada Assim Quando s 0 ou Para erros finitos em regime permanente o teorema do valor final é válido somente se Fs possuir polos apenas no semiplano da esquerda e no máximo um polo na origem Entretanto resultados corretos que conduzem a erros infinitos em regime permanente podem ser obtidos caso Fs possua mais de um polo na origem ver DAzzo e Houpis 1988 Caso Fs possua polos no semiplano da direita ou polos sobre o eixo imaginário que não na origem o teorema do valor final não será válido 2Válido somente se 1 Es possuir polos apenas no semiplano da esquerda e na origem e 2 a função de transferência em malha fechada Ts for estável Observe que utilizando a Eq 75 resultados numéricos podem ser obtidos para sistemas instáveis Esses resultados contudo não têm significado 3Lembrese de que o teorema do valor final pode ser aplicado apenas se o sistema for estável com as raízes de 11 G1sG2s no semiplano da esquerda 4Os detalhes da dedução são incluídos como um problema no final deste capítulo 5Para maior clareza o erro em regime permanente é a diferença em regime permanente entre a entrada e a saída O sinal de atuação em regime permanente é a diferença em regime permanente na saída da junção de soma Em questões solicitando o erro em regime permanente nos problemas exemplos e exercícios será admitido que as unidades da entrada e da saída são iguais Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Definir um lugar geométrico das raízes Seções 8182 Declarar as propriedades de um lugar geométrico das raízes Seção 83 Esboçar um lugar geométrico das raízes Seção 84 Determinar as coordenadas dos pontos sobre o lugar geométrico das raízes e seus ganhos associados Seções 8586 Utilizar o lugar geométrico das raízes para projetar o valor de um parâmetro para atender uma especificação de resposta transitória para sistemas de ordem 2 ou superior Seções 8788 Esboçar o lugar geométrico das raízes para sistemas com realimentação positiva Seção 89 Determinar a sensibilidade da raiz para pontos ao longo do lugar geométrico das raízes Seção 810 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de determinar o ganho do préamplificador para atender uma especificação de resposta transitória Dado o sistema de controle de arfagem ou de rumo do veículo Submersível Não Tripulado Independente mostrado nas guardas traseiras você será capaz de traçar o lugar geométrico das raízes e projetar o ganho para atender uma especificação de resposta transitória Você vai então ser capaz de avaliar outras características de desempenho 81 Introdução O lugar geométrico das raízes uma representação gráfica dos polos em malha fechada à medida que um parâmetro do sistema é variado é um método poderoso de análise e projeto para a estabilidade e a resposta transitória Evans 1948 1950 Os sistemas de controle com realimentação são difíceis de compreender de um ponto de vista qualitativo e portanto dependem fortemente da matemática O lugar geométrico das raízes coberto neste capítulo é uma técnica gráfica que nos dá a descrição qualitativa do desempenho de um sistema de controle que estamos buscando e que também serve como uma ferramenta qualitativa poderosa que fornece mais informações do que os métodos já discutidos Até aqui os ganhos e outros parâmetros do sistema foram projetados para resultar em uma resposta transitória desejada apenas para sistemas de primeira e segunda ordens Embora o lugar geométrico das raízes possa ser utilizado para resolver o mesmo tipo de problema seu verdadeiro poder está na sua capacidade de fornecer soluções para sistemas de ordem superior a 2 Por exemplo em condições adequadas os parâmetros de um sistema de quarta ordem podem ser projetados para resultar em uma determinada ultrapassagem percentual e em um determinado tempo de acomodação utilizandose os conceitos aprendidos no Capítulo 4 O lugar geométrico das raízes pode ser utilizado para descrever qualitativamente o desempenho de um sistema à medida que diversos parâmetros são alterados Por exemplo o efeito da variação do ganho sobre a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico pode ser mostrado vividamente A descrição qualitativa pode então ser verificada através de uma análise quantitativa Além da resposta transitória o lugar geométrico das raízes também fornece uma representação gráfica da estabilidade do sistema Podemos ver claramente faixas de estabilidade faixas de instabilidade e as condições que fazem com que um sistema entre em oscilação Antes de apresentar o lugar geométrico das raízes vamos rever dois conceitos que precisamos para a discussão subsequente 1 o problema do sistema de controle e 2 os números complexos e sua representação como vetores O Problema do Sistema de Controle Encontramos anteriormente o problema do sistema de controle no Capítulo 6 enquanto os polos da função de transferência em malha aberta são facilmente obtidos tipicamente eles são identificados por inspeção e não mudam com variações no ganho do sistema os polos da função de transferência em malha fechada são mais difíceis de obter tipicamente eles não podem ser obtidos sem se fatorar o polinômio característico do sistema em malha fechada o denominador da função de transferência em malha fechada e além disso os polos em malha fechada variam com variações no ganho do sistema Um sistema de controle com realimentação em malha fechada típico é mostrado na Figura 81a A função de transferência em malha aberta foi definida no Capítulo 5 como KGsHs Normalmente podemos determinar os polos de KGsHs uma vez que eles se originam de subsistemas de primeira ou de segunda ordem simplesmente em cascata Além disso variações em K não afetam a posição de qualquer polo dessa função Por outro lado não podemos determinar os polos de Ts KGs 1 KGsHs a menos que fatoremos o denominador Além disso os polos de Ts variam com K Vamos demonstrar Fazendo e FIGURA 81 a Sistema em malha fechada b função de transferência equivalente Então em que N e D são polinômios fatorados e correspondem aos termos do numerador e do denominador respectivamente Observamos o seguinte normalmente conhecemos os fatores dos numeradores e dos denominadores de Gs e Hs Além disso os zeros de Ts consistem nos zeros de Gs e dos polos de Hs Os polos de Ts não são conhecidos imediatamente e de fato podem mudar com K Por exemplo se Gs s 1ss 2 e Hs s 3s 4 os polos de KGsHs são 0 2 e 4 Os zeros de KGsHs são 1 e 3 Agora Ts Ks 1s 4s3 6 Ks2 8 4Ks 3K Assim os zeros de Ts consistem nos zeros de Gs e nos polos de Hs Os polos de Ts não são conhecidos imediatamente sem se fatorar o denominador e eles são uma função de K Uma vez que a resposta transitória e a estabilidade do sistema dependem dos polos de Ts não temos conhecimento do desempenho do sistema a menos que fatoremos o denominador para valores específicos de K O lugar geométrico das raízes será utilizado para nos dar uma representação vívida dos polos de Ts à medida que K varia Representação Vetorial de Números Complexos Qualquer número complexo σ jω descrito em coordenadas cartesianas pode ser representado graficamente por um vetor como mostrado na Figura 82a O número complexo também pode ser descrito na forma polar com magnitude M e ângulo θ como M θ Caso o número complexo seja substituído em uma função complexa Fs outro número complexo resultará Por exemplo se Fs s a então substituindo o número complexo s σ jω resulta Fs σ a jω outro número complexo Este número é mostrado na Figura 82b Observe que Fs possui um zero em a Caso translademos o vetor a unidades para a esquerda como na Figura 82c temos uma representação alternativa do número complexo que se origina no zero de Fs e termina no ponto s σ jω Concluímos que s a é um número complexo e pode ser representado por um vetor traçado a partir do zero da função até o ponto s Por exemplo s 7s5j2 é um número complexo traçado a partir do zero da função 7 até o ponto s que é 5 j2 como mostrado na Figura 82d Vamos agora aplicar os conceitos a uma função mais elaborada Admita uma função em que o símbolo Π significa produto m número de zeros e n número de polos Cada fator do numerador e cada fator do denominador é um número complexo que pode ser representado como um vetor A função define a aritmética complexa a ser realizada para se calcular Fs em qualquer ponto s Como cada fator complexo pode ser interpretado como um vetor a magnitude M de Fs em qualquer ponto s é FIGURA 82 Representação vetorial de números complexos a s σ jω b s a c representação alternativa de s a d s 7s5j2 em que uma distância até um zero s zi é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de Fs em zi até o ponto s e uma distância até um polo s pj é a magnitude do vetor traçado a partir do polo de Fs em pj até o ponto s O ângulo θ de Fs em qualquer ponto s é em que um ângulo até um zero é o ângulo medido a partir da extensão positiva do eixo real do vetor traçado do zero de Fs em zi até o ponto s e o ângulo até um polo é o ângulo medido a partir da extensão positiva do eixo real do vetor traçado do polo de Fs em pi até o ponto s Como uma demonstração do conceito anterior considere o exemplo a seguir Exemplo 81 Cálculo de uma Função Complexa através de Vetores PROBLEMA Dado determine Fs no ponto s 3 j4 SOLUÇÃO O problema é representado graficamente na Figura 83 na qual cada vetor s a da função é mostrado terminando no ponto escolhido s 3 j4 O vetor com origem no zero em 1 é O vetor com origem no polo na origem é O vetor com origem no polo em 2 é Substituindo as Eqs 88 até 810 nas Eqs 85 e 86 resulta como o resultado do cálculo de Fs no ponto 3 j4 FIGURA 83 Representação vetorial da Eq 87 a b Exercício 81 PROBLEMA Dado determine Fs no ponto s 7 j9 das seguintes formas Substituindo diretamente o ponto em Fs Calculando o resultado utilizando vetores RESPOSTA 00339 j00899 0096 1107 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 81 Use as seguintes instruções MATLAB para resolver o problema dado no Exercício 81 s79j Gs2s4 ss3s6 Theta180pi angleG MabsG Estamos agora prontos para iniciar nossa discussão sobre o lugar geométrico das raízes 82 Definindo o Lugar Geométrico das Raízes Um sistema de câmera de segurança semelhante ao mostrado na Figura 84a pode seguir automaticamente um indivíduo O sistema de rastreamento monitora variações de pixels e posiciona a câmera para centralizar as variações A técnica do lugar geométrico das raízes pode ser utilizada para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transitória e a estabilidade do sistema Admita a representação em diagrama de blocos de um sistema de rastreamento como mostrado na Figura 84b em que os polos em malha fechada do sistema mudam de posição à medida que o ganho K é variado A Tabela 81 que foi construída aplicandose a fórmula quadrática ao denominador da função de transferência na Figura 84c mostra a variação da posição do polo para diferentes valores de ganho K Os dados da Tabela 81 são apresentados graficamente na Figura 85a a qual mostra cada polo e seu ganho À medida que o ganho K aumenta na Tabela 81 e na Figura 85a o polo em malha fechada que está em 10 para K 0 se move para a direita e o polo em malha fechada que está em 0 para K 0 se move para a esquerda Eles se encontram em 5 saem do eixo real e se movem no plano complexo Um dos polos em malha fechada se move para cima enquanto o outro se move para baixo Não podemos dizer qual polo se move para cima ou qual se move para baixo Na Figura 85b as posições individuais dos polos em malha fechada são removidas e seus caminhos são representados por linhas contínuas É esta representação dos caminhos dos polos em malha fechada à medida que o ganho é variado que chamamos de lugar geométrico das raízes Para a maior parte de nosso trabalho a discussão será limitada a ganho positivo ou K 0 FIGURA 84 a Câmeras de segurança com rastreamento automático podem ser utilizadas para seguir automaticamente objetos em movimento b diagrama de blocos c função de transferência em malha fechada TABELA 81 Posição do polo em função do ganho para o sistema da Figura 84 K Polo 1 Polo 2 0 10 0 5 947 053 10 887 113 15 816 184 20 724 276 25 5 5 30 5 j224 5j224 35 5 j316 5j316 40 5 j387 5j387 45 5 j447 5j447 50 5j5 5j5 FIGURA 85 a Diagrama de polos da Tabela 81 b lugar geométrico das raízes O lugar geométrico das raízes mostra as variações na resposta transitória à medida que o ganho K varia Em primeiro lugar os polos são reais para ganhos inferiores a 25 Assim o sistema é superamortecido Com um ganho de 25 os polos são reais e múltiplos e portanto criticamente amortecidos Para ganhos superiores a 25 o sistema é subamortecido Embora essas conclusões possam ser tiradas através das técnicas analíticas cobertas no Capítulo 4 as conclusões a seguir são demonstradas graficamente pelo lugar geométrico das raízes Dirigindo nossa atenção para a parcela subamortecida do lugar geométrico das raízes observamos que independentemente do valor do ganho as partes reais dos polos complexos são sempre as mesmas Como o tempo de acomodação é inversamente proporcional à parte real dos polos complexos para esse sistema de segunda ordem a conclusão é que independentemente do valor do ganho o tempo de acomodação para o sistema permanece o mesmo para todas as situações de respostas subamortecidas Além disso à medida que aumentamos o ganho a fator de amortecimento diminui e a ultrapassagem percentual aumenta A frequência amortecida de oscilação que é igual à parte imaginária do polo também aumenta com um aumento do ganho resultando em uma redução do instante de pico Finalmente como o lugar geométrico das raízes nunca passa para o semiplano da direita o sistema será sempre estável independentemente do valor do ganho e nunca entrará em oscilação senoidal Essas conclusões para um sistema simples como este podem parecer triviais O que estamos para ver é que a análise é aplicável a sistemas de ordem superior a 2 Para esses sistemas é difícil relacionar as características da resposta transitória à posição dos polos O lugar geométrico das raízes nos permitirá fazer esta associação e se tornará uma técnica importante na análise e no projeto de sistemas de ordem mais elevada 83 Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Na Seção 82 chegamos ao lugar geométrico das raízes fatorando o polinômio de segunda ordem no denominador da função de transferência Considere o que aconteceria se aquele polinômio fosse de quinta ou décima ordem Sem um computador fatorar o polinômio seria um grande problema para inúmeros valores do ganho Estamos prestes a examinar as propriedades do lugar geométrico das raízes A partir dessas propriedades seremos capazes de fazer um esboço rápido do lugar geométrico das raízes para sistemas de ordem elevada sem ter que fatorar o denominador da função de transferência em malha fechada As propriedades do lugar geométrico das raízes podem ser deduzidas a partir do sistema de controle geral da Figura 81a A função de transferência em malha fechada para o sistema é A partir da Eq 812 um polo s existe quando o polinômio característico no denominador se anula ou em que 1 é representado na forma polar como 12k 1180 Alternativamente um valor de s é um polo em malha fechada se e A Eq 813 estabelece que se um valor de s for substituído na função KGsHs um número complexo resulta Se o ângulo do número complexo for um múltiplo ímpar de 180 este valor de s é um polo do sistema para algum valor específico de K Que valor de K Uma vez que o critério de ângulo da Eq 815 é satisfeito só resta satisfazer o critério de magnitude Eq 814 Portanto Acabamos de descobrir que um polo do sistema em malha fechada faz com que o ângulo de KGsHs ou simplesmente GsHs uma vez que K é um escalar seja múltiplo ímpar de 180 Além disso a magnitude de KGsHs deve ser unitária implicando que o valor de K é o inverso da magnitude de GsHs quando o valor do polo é substituído no lugar de s Vamos demonstrar essa relação para o sistema de segunda ordem da Figura 84 O fato de existirem polos em malha fechada em 947 e 053 quando o ganho é 5 já foi estabelecido na Tabela 81 Para esse sistema Substituindo o polo em 947 no lugar de s e 5 no lugar de K resulta KGsHs 1 O estudante pode repetir o exercício para outros pontos na Tabela 81 e mostrar que cada caso resulta em KGsHs 1 É útil visualizar graficamente o significado da Eq 815 Vamos aplicar os conceitos de números complexos revisados na Seção 81 ao lugar geométrico das raízes do sistema mostrado na Figura 86 Para este sistema a função de transferência em malha aberta é FIGURA 86 a Sistema de exemplo b diagrama de polos e zeros de Gs A função de transferência em malha fechada Ts é Se o ponto s é um polo do sistema em malha fechada para algum valor de ganho K então s deve satisfazer às Eqs 814 e 815 Considere o ponto 2 j3 Se este ponto é um polo em malha fechada para algum valor de ganho então os ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos devem ser iguais a um múltiplo ímpar de 180 A partir da Figura 87 Portanto 2 j3 não é um ponto do lugar geométrico das raízes ou alternativamente 2 j3 não é um polo em malha fechada para algum ganho Caso esses cálculos sejam repetidos para o ponto a soma dos ângulos será 180 Isto é é um ponto do lugar geométrico das raízes para algum valor de ganho Prosseguimos agora para calcular este valor de ganho A partir das Eqs 85 e 816 Observando a Figura 87 com o ponto 2 j3 substituído por o ganho K é calculado como a b c Assim o ponto é um ponto sobre o lugar geométrico das raízes para um ganho de 033 Resumimos o que descobrimos como se segue dados os polos e zeros da função de transferência em malha aberta KGsHs um ponto no plano s estará sobre o lugar geométrico das raízes para um valor particular de ganho K se os ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos todos traçados até o ponto escolhido no plano s totalizarem 2k 1180 Além disso o ganho K neste ponto para o qual os ângulos totalizam 2k 1180 é encontrado dividindose o produto das distâncias até os polos pelo produto das distâncias até os zeros FIGURA 87 Representação vetorial de Gs a partir da Figura 86a em 2 j3 Exercício 82 PROBLEMA Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência à frente faça o seguinte Calcule o ângulo de Gs no ponto 3 j0 determinando a soma algébrica dos ângulos dos vetores traçados a partir dos zeros e dos polos de Gs até o ponto dado Determine se o ponto especificado em a está sobre o lugar geométrico das raízes Se o ponto especificado em a estiver sobre o lugar geométrico das raízes determine o ganho K utilizando os a b c 1 comprimentos dos vetores RESPOSTAS Soma dos ângulos 180 O ponto está sobre o lugar geométrico das raízes K 10 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 82 Utilize o MATLAB e as instruções a seguir para resolver o Exercício 82 s30j Gs2s24s13 Theta180pi angleG MabsG K1M 84 Esboçando o Lugar Geométrico das Raízes Decorre de nossa discussão anterior que o lugar geométrico das raízes pode ser obtido varrendo se todos os pontos do plano s para localizar aqueles para os quais a soma dos ângulos como descrito anteriormente resulta em um múltiplo ímpar de 180 Embora esta tarefa seja enfadonha sem o auxílio de um computador seu conceito pode ser utilizado para desenvolver regras que podem ser utilizadas para se esboçar o lugar geométrico das raízes sem o esforço exigido para traçar com exatidão o lugar geométrico Uma vez que um esboço tenha sido obtido é possível representar com exatidão apenas os pontos que são de interesse para um problema particular As cinco regras a seguir nos permitem esboçar o lugar geométrico das raízes utilizando um mínimo de cálculos As regras resultam em um esboço que fornece uma compreensão intuitiva do comportamento de um sistema de controle Na próxima seção refinamos o esboço determinando pontos ou ângulos reais sobre o lugar geométrico das raízes Esses refinamentos contudo requerem alguns cálculos ou o uso de programas de computador como o MATLAB Número de ramos Cada polo em malha fechada se desloca à medida que o ganho é variado Se definirmos um ramo como o caminho que um polo percorre então haverá um ramo para cada polo em malha fechada Nossa primeira regra então define o número de ramos do lugar geométrico das raízes O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de polos em malha fechada 2 3 4 Como exemplo observe a Figura 85b na qual os dois ramos são mostrados Um começa na origem e o outro em 10 Simetria Caso os polos complexos em malha fechada não ocorressem em pares conjugados o polinômio resultante formado pela multiplicação dos fatores contendo os polos em malha fechada teria coeficientes complexos Os sistemas fisicamente realizáveis não podem ter coeficientes complexos em suas funções de transferência Assim concluímos que O lugar geométrico das raízes é simétrico em relação ao eixo real Um exemplo de simetria em relação ao eixo real é mostrado na Figura 85b FIGURA 88 Polos e zeros de um sistema em malha aberta geral com pontos de teste Pi sobre o eixo real Segmentos do eixo real Vamos utilizar a propriedade do ângulo Eq 815 dos pontos do lugar geométrico das raízes para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar geométrico das raízes A Figura 88 mostra os polos e zeros de um sistema em malha aberta geral Ao se tentar calcular a contribuição angular dos polos e zeros em cada ponto P1 P2 P3 e P4 sobre o eixo real observamos o seguinte 1 em cada ponto a contribuição angular de um par de polos ou de zeros complexos em malha aberta é nula e 2 a contribuição dos polos e zeros em malha aberta à esquerda do ponto respectivo é nula A conclusão é que a única contribuição para o ângulo em qualquer dos pontos vem dos polos e zeros em malha aberta sobre o eixo real que existem à direita do ponto respectivo Caso calculemos o ângulo em cada ponto utilizando apenas os polos e zeros em malha aberta sobre o eixo real à direita de cada ponto observamos o seguinte 1 os ângulos sobre o eixo real se alternam entre 0 e 180 e 2 o ângulo é de 180 para regiões do eixo real que estão à esquerda de um número ímpar de polos eou zeros A regra a seguir resume os resultados No eixo real para K 0 o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos eou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real Examine a Figura 86b De acordo com a regra que acabamos de desenvolver os segmentos do eixo real do lugar geométrico das raízes estão entre 1 e 2 e entre 3 e 4 como mostrado na Figura 89 Pontos de início e de término Onde o lugar geométrico das raízes se inicia ganho zero e onde ele termina ganho infinito A resposta a esta questão nos permitirá expandir o esboço do lugar geométrico das raízes para além dos segmentos do eixo real Considere a função de transferência em malha fechada Ts descrita pela Eq 83 Ts pode agora ser calculada para valores grandes e pequenos do ganho K À medida que K tende a zero ganho pequeno A partir da Eq 823 observamos que os polos do sistema em malha fechada para ganhos pequenos tendem aos polos combinados de Gs e Hs Concluímos que o lugar geométrico das raízes se inicia nos polos de GsHs a função de transferência em malha aberta Para ganhos elevados em que K tende a infinito A partir da Eq 824 observamos que os polos do sistema em malha fechada para ganhos elevados tendem aos zeros combinados de Gs e Hs Concluímos agora que o lugar geométrico das raízes termina nos zeros de GsHs a função de transferência em malha aberta Resumindo o que descobrimos O lugar geométrico das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos de GsHs e termina nos zeros finitos e infinitos de GsHs Lembrese de que esses polos e zeros são os polos e zeros em malha aberta Para demonstrar esta regra observe o sistema da Figura 86a cujos segmentos do eixo real foram esboçados na Figura 89 Utilizando a regra que acabamos de deduzir descobrimos que o lugar geométrico das raízes se inicia nos polos em 1 e 2 e termina nos zeros em 3 e 4 ver Figura 810 Assim os polos saem de 1 e 2 e se movem ao longo do trecho de eixo real entre eles Eles se encontram em algum lugar entre os dois polos e saem para o plano complexo se movendo como complexos conjugados Os polos retornam ao eixo real em algum lugar entre os zeros em 3 e 4 onde seus caminhos são completados à medida que se afastam um do outro e terminam respectivamente nos dois zeros do sistema em malha aberta em 3 e 4 FIGURA 89 Segmentos do eixo real do lugar geométrico das raízes para o sistema da Figura 86 5 FIGURA 810 Lugar geométrico das raízes completo para o sistema da Figura 86 Comportamento no infinito Considere a aplicação da Regra 4 à seguinte função de transferência em malha aberta Existem três polos finitos em s 0 1 e 2 e nenhum zero finito Uma função também pode possuir polos e zeros infinitos Se a função tende a infinito quando s tende a infinito então a função possui um polo no infinito Se a função tende a zero quando s tende a infinito então a função possui um zero no infinito Por exemplo a função Gs s possui um polo no infinito uma vez que Gs tende a infinito quando s tende a infinito Por outro lado Gs 1s possui um zero no infinito uma vez que Gs tende a zero quando s tende a infinito Toda função de s possui um número igual de polos e zeros se incluirmos os polos e os zeros infinitos bem como os polos e zeros finitos Neste exemplo a Eq 825 possui três polos finitos e três zeros infinitos Para ilustrar faça s tender a infinito A função de transferência em malha aberta fica Cada s no denominador faz com que a função em malha aberta KGsHs se torne zero quando s tende a infinito Portanto a Eq 826 possui três zeros no infinito Assim para a Eq 825 o lugar geométrico das raízes se inicia nos polos finitos de KGsHs e termina nos zeros infinitos A questão permanece onde estão os zeros infinitos Precisamos saber onde estes zeros estão para mostrar o lugar geométrico se movendo dos três polos finitos para os três zeros infinitos A Regra 5 nos ajuda a localizar esses zeros no infinito A Regra 5 também nos ajuda a localizar os polos no infinito para funções contendo mais zeros finitos do que polos finitos1 Declaramos agora a Regra 5 que nos dirá a aparência do lugar geométrico das raízes quando ele se aproxima dos zeros no infinito ou quando ele se move a partir dos polos no infinito A dedução pode ser encontrada no Apêndice M1 no site da LTC Editora O lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar geométrico tende a infinito Além disso a equação das assíntotas é dada pela interseção com o eixo real σa e o ângulo θa como se segue em que k 0 1 2 3 e o ângulo é expresso em radianos em relação à extensão positiva do eixo real Observe que o índice k na Eq 828 resulta em múltiplas retas que representam os diversos ramos de um lugar geométrico das raízes que tende a infinito Vamos demonstrar os conceitos com um exemplo Exemplo 82 Esboçando um Lugar Geométrico das Raízes com Assíntotas PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema mostrado na Figura 811 FIGURA 811 Sistema para o Exemplo 82 SOLUÇÃO Vamos começar calculando as assíntotas Utilizando a Eq 827 a interseção com o eixo real é calculada como Os ângulos das retas que se cruzam em 43 dados pela Eq 828 são Se o valor de k continuar aumentando os ângulos começarão a se repetir O número de retas obtidas é igual à diferença entre o número de polos finitos e o número de zeros finitos A Regra 4 estabelece que o lugar geométrico se inicia nos polos em malha aberta e termina nos zeros em malha aberta Para o exemplo existem mais polos em malha aberta do que zeros em malha aberta Assim devem existir zeros no infinito As assíntotas nos dizem como chegar a esses zeros no infinito A Figura 812 mostra o lugar geométrico das raízes completo bem como as assíntotas que acabaram de ser calculadas Observe que utilizamos todas as regras aprendidas até aqui Os segmentos do eixo real estão à esquerda de um número ímpar de polos eou zeros O lugar geométrico começa nos polos em malha aberta e termina nos zeros em malha aberta Para o exemplo existe apenas um zero finito em malha aberta e três zeros no infinito A Regra 5 então nos diz que os três zeros no infinito estão no final das assíntotas FIGURA 812 Lugar geométrico das raízes e assíntotas para o sistema da Figura 811 Exercício 83 PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes e suas assíntotas para um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência à frente RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 85 Refinando o Esboço As regras cobertas na seção anterior nos permitem esboçar rapidamente um lugar geométrico das raízes Caso desejemos mais detalhes precisamos ser capazes de determinar com exatidão pontos importantes sobre o lugar geométrico das raízes junto com seus respectivos ganhos Pontos sobre o eixo real onde o lugar geométrico das raízes entra ou sai do plano complexo pontos de saída e de entrada sobre o eixo real e os cruzamentos do eixo jω são candidatos naturais Também podemos obter um esboço melhor do lugar geométrico das raízes determinando os ângulos de partida e de chegada de polos e zeros complexos respectivamente Nesta seção discutimos os cálculos necessários para obter pontos específicos do lugar geométrico das raízes Alguns desses cálculos podem ser realizados utilizando a relação básica do lugar geométrico das raízes de que a soma dos ângulos dos zeros menos a soma dos ângulos dos polos é igual a um múltiplo ímpar de 180 e o ganho em um ponto do lugar geométrico das raízes é obtido como a razão entre 1 o produto das distâncias dos polos até o ponto e 2 o produto das distâncias dos zeros até o ponto Ainda temos que tratar de como implementar esta tarefa No passado um instrumento barato chamado de Spirule adicionava os ângulos rapidamente e em seguida multiplicava e dividia prontamente as distâncias para obter o ganho Atualmente podemos contar com calculadoras portáteis ou programáveis bem como com computadores pessoais Os estudantes que utilizam o MATLAB aprenderão como aplicálo ao lugar geométrico das raízes ao final da Seção 86 Outras alternativas são discutidas no Apêndice H2 no site da LTC Editora A discussão pode ser adaptada para calculadoras portáteis programáveis Todos os leitores são encorajados a escolher um auxílio computacional neste ponto Os cálculos do lugar geométrico das raízes podem ser muito trabalhosos se realizados manualmente Discutimos agora como refinar nosso esboço do lugar geométrico das raízes calculando os pontos de saída e de entrada sobre o eixo real os cruzamentos do eixo jω os ângulos de partida dos polos complexos e os ângulos de chegada dos zeros complexos Concluímos mostrando como determinar com exatidão qualquer ponto do lugar geométrico das raízes e calcular o ganho Pontos de Saída e de Entrada sobre o Eixo Real Inúmeros lugares geométricos das raízes parecem sair do eixo real quando os polos do sistema se movem do eixo real para o plano complexo Outras vezes os lugares geométricos parecem retornar ao eixo real quando um par de polos complexos se torna real Ilustramos isso na Figura 813 Este lugar geométrico é esboçado utilizando as quatro primeiras regras 1 número de ramos 2 simetria 3 segmentos sobre o eixo real e 4 pontos de início e de término A figura mostra um lugar geométrico das raízes deixando o eixo real entre 1 e 2 e retornando ao eixo real entre 3 e 5 O ponto em que o lugar geométrico deixa o eixo real σ1 é chamado de ponto de saída e o ponto em que o lugar geométrico retorna ao eixo real σ2 é chamado de ponto de entrada No ponto de saída ou no ponto de entrada os ramos do lugar geométrico das raízes formam um ângulo de 180n com o eixo real onde n é o número de polos em malha fechada chegando ou saindo do ponto de saída ou de entrada sobre eixo real Kuo 1991 Assim para os dois polos mostrados na Figura 813 os ramos no ponto de saída formam ângulos de 90 com o eixo real Mostramos agora como determinar os pontos de saída e de entrada Quando os dois polos em malha fechada que estão em 1 e 2 para K 0 se movem um em direção ao outro o ganho aumenta a partir do valor zero Concluímos que o ganho deve ser máximo sobre o eixo real no ponto onde ocorre a saída em algum lugar entre 1 e 2 Naturalmente o ganho aumenta além desse valor quando os polos se movem para o plano complexo Concluímos que o ponto de saída ocorre em um ponto de ganho máximo sobre o eixo real entre os polos em malha aberta Agora vamos dirigir nossa atenção para o ponto de entrada em algum lugar entre 3 e 5 sobre o eixo real Quando o par complexo em malha fechada retorna ao eixo real o ganho continuará a aumentar até infinito à medida que os polos em malha fechada se movem em direção aos zeros em malha aberta Deve ser verdade então que o ganho no ponto de entrada é o ganho mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros O esboço na Figura 814 mostra a variação do ganho sobre o eixo real O ponto de saída é obtido no ganho máximo entre 1 e 2 e o ponto de entrada é obtido no ganho mínimo entre 3 e 5 FIGURA 813 Exemplo de lugar geométrico das raízes mostrando pontos de saída σ1 e de entrada σ2 sobre o eixo real FIGURA 814 Variação do ganho ao longo do eixo real para o lugar geométrico das raízes da Figura 813 Existem três métodos para se determinar os pontos nos quais o lugar geométrico das raízes sai e entra no eixo real O primeiro método é maximizar e minimizar o ganho K utilizando cálculo diferencial Para todos os pontos do lugar geométrico das raízes a Eq 813 fornece Para pontos ao longo dos segmentos do eixo real do lugar geométrico das raízes onde pontos de saída e de entrada podem existir s σ Portanto sobre o eixo real a Eq 831 se torna Esta equação representa então uma curva de K versus σ semelhante à mostrada na Figura 814 Portanto se derivarmos a Eq 832 em relação a σ e igualarmos a derivada a zero podemos determinar os pontos de ganho máximo e mínimo e assim os pontos de saída e de entrada Vamos demonstrar Exemplo 83 Pontos de Saída e de Entrada via Derivação PROBLEMA Determine os pontos de saída e de entrada para o lugar geométrico das raízes da Figura 813 utilizando cálculo diferencial SOLUÇÃO Utilizando os polos e zeros em malha aberta representamos o sistema em malha aberta cujo lugar geométrico das raízes é mostrado na Figura 813 como se segue Mas para todos os pontos sobre o lugar geométrico das raízes KGsHs 1 e sobre o eixo real s σ Portanto Resolvendo para K obtemos Derivando K em relação a σ e igualando a derivada a zero resulta Resolvendo para σ obtemos σ 145 e 382 que são os pontos de saída e de entrada O segundo método é uma variação do método do cálculo diferencial Chamado de método de transição ele elimina a etapa da derivação Franklin 1991 Este método deduzido no Apêndice M2 no site da LTC Editora é agora enunciado Os pontos de saída e de entrada satisfazem à relação em que zi e pi são os negativos dos valores dos zeros e dos polos respectivamente de GsHs Resolvendo a Eq 837 para σ os valores do eixo real que minimizam ou maximizam K chega se aos pontos de saída e de entrada sem derivação Vamos ver um exemplo Exemplo 84 Pontos de Saída e de Entrada sem Derivação PROBLEMA Repita o Exemplo 83 sem derivar SOLUÇÃO Utilizando a Eq 837 Simplificando Portanto σ 145 e 382 que estão de acordo com o Exemplo 83 Para o terceiro método o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora pode ser utilizado para se obter os pontos de saída e de entrada Simplesmente utilize o programa para procurar pelo ponto de ganho máximo entre 1 e 2 e para procurar pelo ponto de ganho mínimo entre 3 e 5 A Tabela 82 mostra os resultados da busca O lugar geométrico deixa o eixo em 145 o ponto de ganho máximo entre 1 e 2 e volta ao eixo real em 38 o ponto de ganho mínimo entre 3 e 5 Esses resultados são os mesmos que os obtidos utilizando os dois primeiros métodos O MATLAB também possui a capacidade de determinar os pontos de saída e de entrada TABELA 82 Dados para os pontos de saída e de entrada para o lugar geométrico das raízes da Figura 813 Valor no eixo real Ganho Comentário 141 0008557 142 0008585 143 0008605 144 0008617 145 0008623 Ganho máximo ponto de saída 146 0008622 33 44686 37125 34 35 33000 36 30667 37 29440 38 29000 Ganho mínimo ponto de entrada 39 29202 Os Cruzamentos do Eixo jω Agora refinamos ainda mais o lugar geométrico das raízes determinando os cruzamentos do eixo imaginário A importância dos cruzamentos do eixo jω deve ser facilmente percebida Observando a Figura 812 vemos que os polos do sistema estão no semiplano da esquerda até um valor particular de ganho Acima deste valor de ganho dois dos polos do sistema em malha fechada movemse no semiplano da direita o que significa que o sistema é instável O cruzamento do eixo jω é um ponto do lugar geométrico das raízes que separa a operação estável do sistema da operação instável O valor de ω no cruzamento do eixo fornece a frequência de oscilação enquanto o ganho no cruzamento do eixo jω fornece neste exemplo o ganho positivo máximo para a estabilidade do sistema Devemos fazer uma observação neste ponto de que outros exemplos ilustram a instabilidade com valores pequenos de ganho e a estabilidade com valores grandes de ganho Esses sistemas possuem um lugar geométrico das raízes começando no semiplano da direita instável para valores pequenos de ganho e terminando no semiplano da esquerda estável para valores grandes de ganho Para determinar o cruzamento do eixo jω podemos utilizar o critério de RouthHurwitz coberto no Capítulo 6 como se segue forçando uma linha de zeros na tabela de Routh obtémse o ganho retornando uma linha para a equação do polinômio par e resolvendo para as raízes obtém se a frequência no cruzamento do eixo imaginário Exemplo 85 Frequência e Ganho no Cruzamento do Eixo Imaginário PROBLEMA Para o sistema da Figura 811 determine a frequência e o ganho K para o qual o lugar geométrico das raízes cruza o eixo imaginário Para que faixa de K o sistema é estável SOLUÇÃO A função de transferência em malha fechada para o sistema da Figura 811 é Utilizando o denominador e simplificando alguns dos elementos multiplicando qualquer linha por uma constante obtemos a tabela de Routh mostrada na Tabela 83 TABELA 83 Tabela de Routh para a Eq 840 Uma linha completa de zeros fornece a possibilidade de raízes sobre o eixo imaginário Para valores positivos do ganho para os quais o lugar geométrico das raízes é traçado somente a linha s1 pode resultar em uma linha de zeros Assim A partir desta equação K é calculado como Formando o polinômio par utilizando a linha s2 com K 965 obtemos e s é determinado sendo igual a j159 Portanto o lugar geométrico das raízes cruza o eixo jω em j159 com um ganho de 965 Concluímos que o sistema é estável para 0 K 965 Outro método para determinar o cruzamento do eixo jω ou qualquer ponto do lugar geométrico das raízes utiliza o fato de que no cruzamento do eixo jω a soma dos ângulos a partir dos polos e zeros finitos em malha aberta deve totalizar 2k 1180 Assim podemos procurar no eixo jω até encontrarmos o ponto que atende essa condição de ângulo Um programa de computador como o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora ou o MATLAB pode ser utilizado para este propósito Os exemplos subsequentes neste capítulo utilizam este método para determinar o cruzamento do eixo jω Ângulos de Partida e de Chegada Nesta subseção refinamos ainda mais nosso esboço do lugar geométrico das raízes determinando os ângulos de partida e de chegada de polos e zeros complexos Considere a Figura 815 que mostra os polos e zeros em malha aberta alguns dos quais são complexos O lugar geométrico das raízes se inicia nos polos em malha aberta e termina nos zeros em malha aberta Com o objetivo de esboçar o lugar geométrico das raízes de modo mais exato desejamos calcular o ângulo de partida do lugar geométrico das raízes dos polos complexos e o ângulo de chegada dos zeros complexos Caso consideremos um ponto no lugar geométrico das raízes a uma distância pequena de um polo complexo a soma dos ângulos traçados a partir de todos os polos e zeros finitos até este ponto é um múltiplo ímpar de 180 Exceto para o polo que está a uma distância do ponto admitimos que todos os ângulos traçados a partir de todos os demais polos e zeros são traçados diretamente até o polo que está próximo do ponto Assim o único ângulo desconhecido na soma é o ângulo traçado a partir do polo que está a uma distância Podemos resolver para esse ângulo desconhecido o qual é também o ângulo de partida desse polo complexo Portanto a partir da Figura 815a ou FIGURA 815 Polos e zeros em malha aberta e cálculo do a ângulo de partida b ângulo de chegada Caso consideremos um ponto do lugar geométrico das raízes a uma distância pequena de um zero complexo a soma dos ângulos traçados a partir de todos os polos e zeros finitos até este ponto é um múltiplo ímpar de 180 Exceto para o zero que está a uma distância do ponto podemos admitir que todos os ângulos traçados a partir de todos os demais polos e zeros são traçados diretamente até o zero que está próximo do ponto Assim o único ângulo desconhecido na soma é o ângulo traçado a partir do zero que está a uma distância Podemos resolver para esse ângulo desconhecido o qual é também o ângulo de chegada a esse zero complexo Portanto a partir da Figura 815b ou Vamos ver um exemplo Exemplo 86 Ângulo de Partida de um Polo Complexo PROBLEMA Dado o sistema com realimentação unitária da Figura 816 determine o ângulo de partida dos polos complexos e esboce o lugar geométrico das raízes FIGURA 816 Sistema com realimentação unitária com polos complexos SOLUÇÃO Utilizando os polos e zeros de Gs s 2s 3s2 2s 2 como representados graficamente na Figura 817 calculamos a soma dos ângulos traçados até um ponto a uma distância e do polo complexo 1 j1 no segundo quadrante Assim a partir do que θ 2516 1084 Um esboço do lugar geométrico das raízes é mostrado na Figura 817 Observe como o ângulo de partida dos polos complexos nos ajuda a refinar a forma do lugar geométrico das raízes FIGURA 817 Lugar geométrico das raízes para o sistema da Figura 816 mostrando o ângulo de partida Traçando e Calibrando o Lugar Geométrico das Raízes Uma vez que tenhamos esboçado o lugar geométrico das raízes utilizando as regras da Seção 84 podemos querer localizar com exatidão pontos sobre o lugar geométrico das raízes bem como determinar seus ganhos associados Por exemplo poderíamos querer saber as coordenadas exatas do lugar geométrico das raízes quando ele cruza a reta radial que representa 20 de ultrapassagem Além disso também poderíamos querer saber o valor do ganho neste ponto Considere o lugar geométrico das raízes mostrado na Figura 812 Vamos admitir que quiséssemos determinar o ponto exato em que o lugar geométrico cruza a reta de fator de amortecimento 045 e o ganho neste ponto A Figura 818 mostra os polos e zeros em malha aberta do sistema juntamente com a reta de ζ 045 Caso alguns pontos de teste ao longo da reta ζ 045 sejam escolhidos podemos calcular suas somas angulares e localizar o ponto onde os ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180 É neste ponto que existe o lugar geométrico das raízes A Eq 821 pode então ser utilizada para calcular o ganho K neste ponto Escolhendo o ponto de raio 2 r 2 sobre a reta ζ 045 somamos os ângulos dos zeros e subtraímos os ângulos dos polos obtendo a b c d e Como a soma não é igual a um múltiplo ímpar de 180 o ponto de raio 2 não está sobre o lugar geométrico das raízes Procedendo de forma semelhante para os pontos de raios 15 1 0747 e 05 obtemos a tabela mostrada na Figura 818 Esta tabela lista os pontos dando seus raios r e a soma dos ângulos indicada pelo símbolo A partir da tabela vemos que o ponto de raio 0747 está sobre o lugar geométrico das raízes uma vez os ângulos totalizam 180 Utilizando a Eq 821 o ganho K neste ponto é Em resumo procuramos ao longo de uma reta dada pelo ponto que resulta em uma soma de ângulos ângulos dos zerosângulos dos polos igual a um múltiplo ímpar de180 Concluímos que o ponto está sobre o lugar geométrico das raízes O ganho neste ponto é então determinado multiplicandose as distâncias dos polos até o ponto e dividindose pelo produto das distâncias dos zeros até o ponto Um programa de computador como o discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora ou o MATLAB pode ser utilizado FIGURA 818 Determinando e calibrando pontos exatos sobre o lugar geométrico das raízes da Figura 812 Exercício 84 PROBLEMA Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência à frente faça o seguinte Esboce o lugar geométrico das raízes Determine o cruzamento do eixo imaginário Determine o ganho K no cruzamento do eixo jω Determine o ponto de entrada Determine o ângulo de partida dos polos complexos a c d e b RESPOSTAS Ver a solução no site da LTC Editora K 4 Ponto de entrada 7 Ângulo de partida 2331 A solução completa está no site da LTC Editora 86 Um Exemplo Revisamos agora as regras para esboçar e determinar pontos sobre o lugar geométrico das raízes bem como apresentamos um exemplo O lugar geométrico das raízes é o caminho dos polos em malha fechada de um sistema à medida que um parâmetro do sistema é variado Cada ponto do lugar geométrico das raízes satisfaz à condição de ângulo GsHs 2k 1180 Utilizando essa relação regras para esboçar e determinar pontos sobre o lugar geométrico das raízes foram desenvolvidas e são agora resumidas Regras Básicas para Esboçar o Lugar Geométrico das Raízes Número de ramos O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de polos em malha fechada Simetria O lugar geométrico das raízes é simétrico em relação ao eixo real Segmentos do eixo real No eixo real para K 0 o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos eou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real Pontos de início e término O lugar geométrico das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos de GsHs e termina nos zeros finitos e infinitos de GsHs Comportamento no infinito O lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar geométrico tende a infinito Além disso as equações das assíntotas são dadas pela interseção com o eixo real e o ângulo em radianos como se segue onde k 0 1 2 3 Regras Adicionais para Refinar o Esboço Pontos de entrada e de saída do eixo real O lugar geométrico das raízes sai do eixo real em um a b c d a ponto onde o ganho é máximo e entra no eixo real em um ponto onde o ganho é mínimo Cálculo dos cruzamentos do eixo jω O lugar geométrico das raízes cruza o eixo jω no ponto onde GsHs 2k 1180 RouthHurwitz ou uma busca ao longo do eixo jω por 2k 1180 podem ser utilizados para determinar o cruzamento do eixo jω Ângulos de partida e de chegada O lugar geométrico das raízes parte dos polos complexos em malha aberta e chega aos zeros complexos em malha aberta segundo ângulos que podem ser calculados como se segue Admita um ponto a uma distância pequena e do polo ou zero complexo Some todos os ângulos traçados a partir de todos os polos e zeros em malha aberta até este ponto A soma deve ser igual a 2k 1180 O único ângulo desconhecido é aquele traçado a partir do polo ou zero a uma distância e uma vez que os vetores traçados a partir de todos os demais polos e zeros podem ser considerados como tendo sido traçados até o polo ou o zero complexo que está a uma distância e do ponto Resolvendo para o ângulo desconhecido obtémse o ângulo de partida ou chegada Traçando e calibrando o lugar geométrico das raízes Todos os pontos do lugar geométrico das raízes satisfazem à relação GsHs 2k 1180 O ganho K em qualquer ponto do lugar geométrico das raízes é dado por Vamos agora ver um exemplo de resumo Exemplo 87 Esboçando um Lugar Geométrico das Raízes e Determinando Pontos Críticos PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema mostrado na Figura 819a e determine o seguinte O ponto exato e o ganho onde o lugar geométrico cruza a reta de fator de amortecimento 045 O ponto exato e o ganho onde o lugar geométrico cruza o eixo jω O ponto de saída do eixo real A faixa de K na qual o sistema é estável SOLUÇÃO A solução do problema é mostrada em parte na Figura 819b Primeiro esboce o lugar geométrico das raízes Utilizando a Regra 3 o segmento do eixo real é determinado estando entre 2 e 4 A Regra 4 nos diz que o lugar geométrico das raízes se inicia nos polos em malha aberta e termina nos zeros em malha aberta Essas duas regras sozinhas nos dão a forma geral do lugar geométrico das raízes Para determinar o ponto exato onde o lugar geométrico cruza a reta ζ 045 podemos utilizar o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora para procurar ao longo da reta b c d pelo ponto onde os ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180 Procurando em coordenadas polares descobrimos que o lugar geométrico das raízes cruza a reta ζ 045 em 341167 com um ganho K de 0417 Para determinar o ponto exato onde o lugar geométrico das raízes cruza o eixo jω utilize o programa para o lugar geométrico das raízes para procurar ao longo da reta pelo ponto onde os ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180 Procurando em coordenadas polares descobrimos que o lugar geométrico das raízes cruza o eixo jω em j39 com um ganho de K 15 Para determinar o ponto de saída utilize o programa para o lugar geométrico das raízes para procurar sobre o eixo real entre 2 e 4 pelo ponto que resulta em ganho máximo Naturalmente todos os pontos terão a soma de seus ângulos igual a um múltiplo ímpar de 180 Um ganho máximo de 00248 é encontrado no ponto 288 Portanto o ponto de saída está entre os polos em malha aberta sobre o eixo real em 288 A partir da resposta para o Item b o sistema é estável para K entre 0 e 15 FIGURA 819 a Sistema para o Exemplo 87 b esboço do lugar geométrico das raízes a b c d e f g a b c d e f g Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch8p1 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para representar graficamente e atribuir um título a um lugar geométrico das raízes sobrepor curvas de ζ e ωn constantes ampliar e reduzir a visualização de um lugar geométrico das raízes e interagir com o lugar geométrico das raízes para determinar pontos críticos bem como os ganhos nesses pontos Este exercício resolve o Exemplo 87 utilizando o MATLAB Exercício 85 PROBLEMA Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência à frente faça o seguinte Esboce o lugar geométrico das raízes Determine o cruzamento do eixo imaginário Determine o ganho K no cruzamento do eixo jω Determine o ponto de entrada Determine o ponto onde o lugar geométrico cruza a reta de fator de amortecimento 05 Determine o ganho no ponto onde o lugar geométrico cruza a reta de fator de amortecimento 05 Determine a faixa de ganho K para a qual o sistema é estável RESPOSTAS Ver a solução no site da LTC Editora s j406 K 1 Ponto de entrada 289 s 242 j418 K 0108 K 1 A solução completa está no site da LTC Editora 1 2 3 Experimente 83 Use o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para representar graficamente o lugar geométrico das raízes para o Exercício 85 Resolva os demais itens do problema clicando nos pontos apropriados no gráfico do lugar geométrico das raízes numgpoly2 4 deng1 6 25 Gtfnumgdeng rlocusG z05 sgridz0 87 Projeto da Resposta Transitória através do Ajuste de Ganho Agora que sabemos como esboçar um lugar geométrico das raízes mostramos como utilizálo para o projeto da resposta transitória Na seção anterior descobrimos que o lugar geométrico das raízes cruzava a reta de fator de amortecimento 045 com um ganho de 0417 Isso significa que o sistema responderá com uma ultrapassagem de 205 o equivalente a um fator de amortecimento de 045 Deve ser enfatizado que as fórmulas descrevendo a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico foram deduzidas apenas para um sistema com dois polos complexos em malha fechada e sem zeros em malha fechada O efeito de polos e zeros adicionais e as condições para justificar uma aproximação por um sistema de dois polos foram discutidos nas Seções 47 e 48 e são aplicadas aqui para sistemas em malha fechada e seus lugares geométricos das raízes As condições que justificam uma aproximação de segunda ordem são declaradas aqui novamente Os polos de ordem superior estão muito mais afastados no semiplano esquerdo do plano s que o par de polos de segunda ordem dominante A resposta que resulta de um polo de ordem superior não altera significativamente a resposta transitória esperada para os polos de segunda ordem dominantes Os zeros em malha fechada próximos do par de polos de segunda ordem em malha fechada são aproximadamente cancelados pela estreita proximidade de polos de ordem superior em malha fechada Os zeros em malha fechada não cancelados pela estreita proximidade de polos de ordem superior em malha fechada estão muito afastados do par de polos de segunda ordem em malha fechada A aplicação da primeira condição ao lugar geométrico das raízes é mostrada graficamente na Figura 820a e b A Figura 820b resultaria em uma aproximação de segunda ordem muito melhor que a Figura 820a uma vez que o polo em malha fechada p3 está mais distante do par de segunda ordem dominante em malha fechada p1 e p2 A segunda condição é mostrada graficamente na Figura 820c e d A Figura 820d resultaria em uma aproximação de segunda ordem bem melhor que a Figura 820c uma vez que o 1 2 3 4 polo em malha fechada p3 está mais perto de cancelar o zero em malha fechada Resumindo o procedimento de projeto para sistemas de ordem mais elevada chegamos ao seguinte Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema dado Admita que o sistema seja de segunda ordem sem zeros e determine o ganho para atender à especificação de resposta transitória FIGURA 820 Fazendo aproximações de segunda ordem Justifique sua hipótese de segunda ordem determinando a posição de todos os polos de ordem superior e avaliando o fato de que eles estão muito mais afastados do eixo jω do que o par de segunda ordem dominante Como regra prática este livro considera um fator de cinco vezes mais afastado Além disso verifique que zeros em malha fechada são aproximadamente cancelados por polos de ordem superior Se zeros em malha fechada não forem cancelados por polos de ordem superior em malha fechada assegurese de que o zero está muito afastado do par de polos de segunda ordem dominante para resultar aproximadamente na mesma resposta obtida sem o zero finito Se as hipóteses não puderem ser justificadas sua solução terá que ser simulada para se ter certeza de que ela atende à especificação da resposta transitória É uma boa ideia em qualquer caso simular todas as soluções Examinamos agora um exemplo de projeto para mostrar como fazer uma aproximação de segunda ordem e então verificar se a aproximação é válida ou não Exemplo 88 Projeto de Ganho de Sistema de Terceira Ordem PROBLEMA Considere o sistema mostrado na Figura 821 Projete o valor do ganho K para resultar em 152 de ultrapassagem Além disso estime o tempo de acomodação o instante de pico e o erro em regime permanente FIGURA 821 Sistema para o Exemplo 88 SOLUÇÃO O lugar geométrico das raízes é mostrado na Figura 822 Observe que este é um sistema de terceira ordem com um zero Pontos de saída do eixo real podem ocorrer entre 0 e 1 e entre 15 e 10 onde o ganho alcança um pico Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes e procurando nessas regiões pelos picos de ganho pontos de saída são encontrados em 062 com um ganho de 2511 e em 44 com um ganho de 2889 Um ponto de entrada no eixo real pode ocorrer entre 15 e 10 onde o ganho alcança um mínimo local Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes e procurando nessa região pelo ganho mínimo local um ponto de entrada é encontrado em 28 com um ganho de 2791 Em seguida admita que o sistema possa ser aproximado por um sistema subamortecido de segunda ordem sem zeros Uma ultrapassagem de 152 corresponde a um fator de amortecimento de 08 Esboce esta reta de fator de amortecimento no lugar geométrico das raízes como mostrado na Figura 822 Utilize o programa para o lugar geométrico das raízes para procurar ao longo da reta de fator de amortecimento 08 pelo ponto onde os ângulos a partir dos polos e zeros em malha aberta totalizam um múltiplo ímpar de 180 Este é o ponto onde o lugar geométrico das raízes cruza a reta de fator de amortecimento 08 ou a reta de 153 de ultrapassagem percentual Três pontos satisfazem a esse critério 087 j066 119 j090 e 46 j345 com ganhos respectivos de 736 1279 e 3964 Para cada ponto o tempo de acomodação e o instante de pico são calculados utilizando FIGURA 822 Lugar geométrico das raízes para o Exemplo 88 em que ζn é a parte real do polo em malha fechada e utilizando também em que é a parte imaginária do polo em malha fechada Para testar nossa hipótese de um sistema de segunda ordem devemos calcular a posição do terceiro polo Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes procure ao longo da extensão negativa do eixo real entre o zero em 15 e o polo em 10 pelos pontos que correspondem ao valor de ganho encontrado para os polos dominantes de segunda ordem Para cada um dos três cruzamentos da reta de fator de amortecimento 08 o terceiro polo em malha fechada está em 925 86 e 18 respectivamente Os resultados estão resumidos na Tabela 84 Finalmente vamos examinar o erro em regime permanente produzido em cada caso Observe que temos pouco controle sobre o erro em regime permanente neste ponto Quando o ganho é ajustado para atender a resposta transitória também projetamos o erro em regime permanente Para o exemplo a especificação de erro em regime permanente é dada por Kv e é calculada como Os resultados para cada caso são mostrados na Tabela 84 TABELA 84 Características do sistema do Exemplo 88 Caso Polos em malha fechada Zero em malha fechada Ganho Terceiro polo em malha fechada Tempo de acomodação Instante de pico Kv 1 087 j066 15 j0 736 925 460 476 11 2 119 j090 15 j0 1279 861 336 349 19 3 460 j345 15 j0 3964 180 087 091 59 Quão válidas são as hipóteses de segunda ordem A partir da Tabela 84 os Casos 1 e 2 resultam em terceiros polos em malha fechada que estão relativamente distantes do zero em malha fechada Para esses dois casos não há cancelamento de polo e zero e uma aproximação de sistema de segunda ordem não é válida No Caso 3 o terceiro polo em malha fechada e o zero em malha fechada estão relativamente próximos um do outro e uma aproximação de sistema de segunda ordem pode ser considerada válida Para mostrar isso vamos fazer uma expansão em frações parciais da resposta ao degrau em malha fechada do Caso 3 e ver que a amplitude do decaimento exponencial é muito menor que a amplitude da senoide subamortecida A resposta ao degrau em malha fechada C3s formada a partir dos polos e zeros em malha fechada do Caso 3 é FIGURA 823 Respostas de segunda e terceira ordens para o Exemplo 88 a Caso 2 b Caso 3 Portanto a amplitude do decaimento exponencial decorrente do terceiro polo é de 03 e a amplitude da resposta subamortecida decorrente dos polos dominantes é Assim a resposta do polo dominante é 69 vezes maior que a resposta exponencial não dominante e consideramos que uma aproximação de segunda ordem é válida Utilizando um programa de simulação obtemos a Figura 823 que mostra comparações de respostas ao degrau para o problema que acabamos de resolver Os Casos 2 e 3 são representados graficamente para ambas as respostas de terceira e de segunda ordens admitindo apenas o par de polos dominantes calculados no problema de projeto Novamente a aproximação de segunda ordem foi justificada para o Caso 3 onde existe uma pequena diferença na ultrapassagem percentual A aproximação de segunda ordem não é válida para o Caso 2 A menos da ultrapassagem em excesso as respostas do Caso 3 são parecidas Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch8p2 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para entrar com um valor de ultrapassagem percentual a partir do teclado O MATLAB irá então desenhar o lugar geométrico das raízes e irá superpor a reta de ultrapassagem percentual requerida Você irá então interagir com o MATLAB e selecionar o ponto de interseção do lugar geométrico das raízes com a reta de ultrapassagem percentual requerida O MATLAB responderá com o valor do ganho com a b c d a b c d todos os polos em malha fechada com esse ganho e com um gráfico da resposta ao degrau em malha fechada correspondente ao ponto escolhido Este exercício resolve o Exemplo 88 usando o MATLAB Os estudantes que estão utilizando o MATLAB podem querer explorar a SISO Design Tool descrita no Apêndice E no site da LTC Editora A SISO Design Tool é uma forma conveniente e intuitiva de obter visualizar e interagir com o lugar geométrico das raízes de um sistema A Seção E7 descreve as vantagens de se utilizar a ferramenta enquanto a Seção E8 descreve como utilizála Para praticar você pode querer aplicar a SISO Design Tool a alguns dos problemas ao final deste capítulo Exercício 86 PROBLEMA Dado um sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência do caminho à frente faça o seguinte Esboce o lugar geométrico das raízes Utilizando uma aproximação de segunda ordem projete o valor de K para resultar em 10 de ultrapassagem para uma entrada em degrau unitário Estime o tempo de acomodação o instante de pico o tempo de subida e o erro em regime permanente para o valor de K projetado no Item b Determine a validade de sua aproximação de segunda ordem RESPOSTAS Ver a solução no site da LTC Editora K 4555 Ts 197 s Tp 113 s Tr 053s e edegrau 051 A aproximação de segunda ordem não é válida A solução completa está no site da LTC Editora 88 Lugar Geométrico das Raízes Generalizado FIGURA 824 Sistema requerendo um lugar geométrico das raízes calibrado com p1 como um parâmetro Até agora sempre desenhamos o lugar geométrico das raízes como uma função do ganho do caminho à frente K O projetista de sistemas de controle frequentemente deve saber como os polos em malha fechada variam em função de outro parâmetro Por exemplo na Figura 824 o parâmetro de interesse é o polo em malha aberta em p1 Como podemos obter um lugar geométrico das raízes para variações do valor de p1 Caso a função KGsHs seja formada como o problema é que p1 não é um fator multiplicativo da função como o ganho K foi em todos os problemas anteriores A solução para este dilema é criar um sistema equivalente onde p1 apareça como o ganho do caminho à frente Como o denominador da função de transferência em malha fechada é 1 KGsHs desejamos efetivamente criar um sistema equivalente cujo denominador é 1 p1GsHs Para o sistema da Figura 824 a função de transferência em malha fechada é Isolando p1 temos Convertendo o denominador para a forma 1 p1GsHs dividindo o numerador e o denominador pelo termo não incluído com p1 s2 2s 10 obtemos Conceitualmente a Eq 861 implica que temos um sistema para o qual O lugar geométrico das raízes pode agora ser esboçado como uma função de p1 admitindo o sistema em malha aberta da Eq 862 O resultado final é mostrado na Figura 825 FIGURA 825 Lugar geométrico das raízes para o sistema da Figura 824 com p1 como um parâmetro Exercício 87 PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes para variações no valor de p1 para um sistema com realimentação unitária que possui a seguinte função de transferência à frente RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção aprendemos a traçar o lugar geométrico das raízes em função de qualquer parâmetro do sistema Na próxima seção aprenderemos como traçar lugares geométricos das raízes para sistemas com realimentação positiva 89 Lugar Geométrico das Raízes para Sistemas com Realimentação Positiva As propriedades do lugar geométrico das raízes foram deduzidas a partir do sistema da Figura 81 Este é um sistema com realimentação negativa por causa da soma negativa do sinal de realimentação ao sinal de entrada As propriedades do lugar geométrico das raízes mudam consideravelmente se o sinal de realimentação for adicionado ao de entrada ao invés de subtraído 1 2 3 4 Um sistema com realimentação positiva pode ser considerado como um sistema com realimentação negativa com um valor negativo de Hs Utilizando este conceito verificamos que a função de transferência para o sistema com realimentação positiva mostrado na Figura 826 é Fazemos agora o desenvolvimento do lugar geométrico das raízes para o denominador da Eq 863 Obviamente um polo s existe quando Portanto o lugar geométrico das raízes para sistemas com realimentação positiva consiste em todos os pontos do plano s onde o ângulo de KGsHs k360 Como esta relação altera as regras para esboçar o lugar geométrico das raízes apresentadas na Seção 84 FIGURA 826 Sistema com realimentação positiva Número de ramos Os mesmos argumentos da realimentação negativa se aplicam a esta regra Não há alteração Simetria Os mesmos argumentos da realimentação negativa se aplicam a esta regra Não há alteração Segmentos do eixo real O desenvolvimento na Seção 84 para os segmentos do eixo real levou ao fato de que os ângulos de GsHs ao longo do eixo real totalizam um múltiplo ímpar de 180 ou um múltiplo de 360 Assim para sistemas com realimentação positiva o lugar geométrico das raízes existe no eixo real sobre seções onde o lugar geométrico para sistemas com realimentação negativa não existe A regra é a seguinte Segmentos do eixo real No eixo real o lugar geométrico das raízes para sistemas com realimentação positiva existe à esquerda de um número par de polos eou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real A alteração na regra é a palavra par para sistemas com realimentação negativa o lugar geométrico existia à esquerda de um número ímpar de polos eou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real Pontos de início e de término Você não vai encontrar alterações no desenvolvimento na Seção 84 caso a Eq 863 seja utilizada no lugar da Eq 812 Portanto temos a seguinte regra Pontos de início e de término o lugar geométrico das raízes para sistemas com realimentação positiva se inicia nos polos finitos e infinitos de GsHs e termina nos zeros 5 finitos e infinitos de GsHs Comportamento no infinito As alterações no desenvolvimento das assíntotas começam na Eq M4 do Apêndice M no site da LTC Editora uma vez que os sistemas com realimentação positiva seguem a relação na Eq 864 Essa mudança resulta em uma inclinação diferente para as assíntotas O valor da interseção com o eixo real para as assíntotas permanece inalterado O estudante é encorajado a realizar o desenvolvimento em detalhes e mostrar que o comportamento no infinito para sistemas com realimentação positiva é dado pela seguinte regra O lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar geométrico tende a infinito Além disso as equações das assíntotas para sistemas com realimentação positiva são dadas pela interseção com o eixo real σa e o ângulo θa como se segue em que k 0 1 2 3 e o ângulo é expresso em radianos em relação à extensão positiva do eixo real A alteração que vemos é que o numerador da Eq 866 é k2π ao invés de 2k 1π E sobre os demais cálculos O cruzamento do eixo imaginário pode ser encontrado com a utilização do programa para o lugar geométrico das raízes Em uma busca sobre o eixo jω você estará procurando pelo ponto onde os ângulos totalizam um múltiplo de 360 ao invés de um múltiplo ímpar de 180 Os pontos de saída são determinados procurandose pelo valor máximo de K Os pontos de entrada são determinados procurandose pelo valor mínimo de K Quando estávamos discutindo os sistemas com realimentação negativa sempre construímos o lugar geométrico das raízes para valores positivos de ganho Uma vez que os sistemas com realimentação positiva também podem ser considerados como sistemas com realimentação negativa com ganho negativo as regras desenvolvidas nesta seção se aplicam igualmente a sistemas com realimentação negativa com ganho negativo Vamos ver um exemplo Exemplo 89 Lugar Geométrico das Raízes para um Sistema com Realimentação Positiva PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes em função do ganho negativo K para o sistema mostrado na Figura 811 SOLUÇÃO O sistema com realimentação positiva equivalente obtido movendo 1 associado ao ganho K para a direita passando o ponto de ramificação é mostrado na Figura 827a Portanto à medida que o ganho do sistema equivalente percorre valores positivos de K o lugar geométrico das raízes será equivalente ao gerado pelo ganho K do sistema original na Figura 811 à medida que ele percorre valores negativos FIGURA 827 a Sistema com realimentação positiva equivalente para o Exemplo 89 b lugar geométrico das raízes O lugar geométrico das raízes existe no eixo real à esquerda de um número par de polos eou zeros finitos reais em malha aberta Portanto o lugar existe em toda a extensão positiva do eixo real entre 1 e 2 e entre 3 e 4 Utilizando a Eq 827 a interseção σa é determinada como Os ângulos das retas que se interceptam em 43 são dados por O esboço final do lugar geométrico das raízes é mostrado na Figura 827b Exercício 88 PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação positiva cuja função de transferência à frente é O sistema possui realimentação unitária RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 810 Sensibilidade do Polo O lugar geométrico das raízes é um gráfico dos polos em malha fechada à medida que um parâmetro do sistema é variado Tipicamente este parâmetro do sistema é um ganho Qualquer variação no parâmetro altera os polos em malha fechada e subsequentemente o desempenho do sistema Muitas vezes o parâmetro varia contra nossa vontade devido à temperatura ou outras condições ambientais Gostaríamos de descobrir em que extensão variações nos valores de um parâmetro afetam o desempenho de nosso sistema O lugar geométrico das raízes apresenta uma relação não linear entre o ganho e a posição do polo Em algumas partes do lugar geométrico das raízes 1 variações muito pequenas no ganho produzem alterações muito grandes na posição do polo e consequentemente no desempenho em outras partes do lugar geométrico das raízes 2 variações muito grandes no ganho produzem alterações muito pequenas na posição do polo No primeiro caso dizemos que o sistema tem uma sensibilidade elevada a variações no ganho No segundo caso o sistema possui uma sensibilidade reduzida a variações no ganho Preferimos sistemas com sensibilidade reduzida a variações no ganho Na Seção 77 definimos a sensibilidade como a razão entre a variação relativa em uma função e a variação relativa em um parâmetro quando a variação no parâmetro tende a zero Aplicando a mesma definição aos polos em malha fechada de um sistema que variam com um parâmetro definimos a sensibilidade da raiz como a razão entre a variação relativa em um polo em malha fechada e a variação relativa em um parâmetro do sistema como o ganho Utilizando a Eq 775 calculamos a sensibilidade de um polo em malha fechada s com relação ao ganho K em que s é a posição atual do polo e K é o ganho atual Utilizando a Eq 869 e convertendo a derivada parcial em incrementos finitos a alteração real nos polos em malha fechada pode ser aproximada por em que Δs é a alteração na posição do polo e ΔKK é a variação relativa no ganho K Vamos demonstrar com um exemplo Começamos com a equação característica a partir da qual δsδK pode ser determinada Em seguida utilizando a Eq 869 com o polo em malha fechada atual s e seu ganho associado K podemos determinar a sensibilidade Exemplo 810 Sensibilidade da Raiz de um Sistema em Malha Fechada a Variações do Ganho PROBLEMA Determine a sensibilidade da raiz do sistema na Figura 84 em s 947 e 5 j5 Calcule também a alteração na posição do polo para uma variação de 10 em K SOLUÇÃO A equação característica do sistema determinada a partir do denominador da função de transferência em malha fechada é s2 10s K 0 Derivando em relação a K temos a partir do que Substituindo a Eq 872 na Eq 869 a expressão da sensibilidade é determinada como Para s 947 a Tabela 81 mostra que K 5 Substituindo esses valores na Eq 873 resulta SsK 0059 A alteração na posição do polo para uma variação de 10 em K pode ser determinada utilizando a Eq 870 com s 947 ΔKK 01 e SsK 0059 Portanto Δs 0056 ou o polo se moverá para a direita por 0056 unidade para uma variação de 10 em K Para s 5 j5 a Tabela 81 mostra que K 50 Substituindo esses valores na Eq 873 resulta SsK 11 j1 A alteração na posição do polo para uma variação de 10 em K pode ser determinada utilizando a Eq 870 com s 5 j5 ΔKK 01 e SsK Portanto Δs j05 ou o polo se moverá verticalmente por 05 unidade para uma variação de 10 em K Em resumo então para K 5 SsK 0059 Para K 50 SsK Comparando as magnitudes concluímos que o lugar geométrico das raízes é menos sensível a variações no ganho para o valor mais baixo de K Observe que a sensibilidade da raiz é uma grandeza complexa possuindo tanto a informação de magnitude quanto a de direção a partir das quais a alteração nos polos pode ser calculada Exercício 89 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária negativa possui a função de transferência à frente Se K é ajustado para 20 determine as alterações na posição dos polos em malha fechada para uma variação de 5 em K RESPOSTA Para o polo em malha fechada em 2105 Δs 09975 para o polo em malha fechada em 095 Δs 00025 A solução completa está no site da LTC Editora Estudos de Caso Controle de Antena Projeto do Transitório via Ganho O objetivo principal deste capítulo é demonstrar o projeto de sistemas de ordem elevada maior que dois através do ajuste do ganho Especificamente estamos interessados em determinar o valor de ganho necessário para atender requisitos de resposta transitória como ultrapassagem percentual tempo de acomodação e instante de pico O estudo de caso a seguir enfatiza este procedimento de projeto utilizando o lugar geométrico das raízes FIGURA 828 Parte do lugar geométrico das raízes para o sistema de controle de antena a FIGURA 829 Resposta ao degrau do sistema de controle de antena com ganho ajustado PROBLEMA Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 determine o ganho do préamplificador necessário para 25 de ultrapassagem SOLUÇÃO O diagrama de blocos para o sistema foi deduzido na Seção de Estudos de Caso no Capítulo 5 e é mostrado na Figura 534c em que Gs 663Kss 171s 100 Primeiro um esboço do lugar geométrico das raízes é feito para orientar o projetista Os segmentos do eixo real estão entre a origem e 171 e a partir de 100 até infinito O lugar geométrico se inicia nos polos em malha aberta os quais estão todos sobre o eixo real na origem em 171 e em 100 O lugar geométrico então se move em direção aos zeros no infinito seguindo assíntotas que a partir das Eqs 827 e 828 interceptam o eixo real em 339 em ângulos de 60 180 e 60 Uma parte do lugar geométrico das raízes é mostrada na Figura 828 A partir da Eq 439 25 de ultrapassagem correspondem a um fator de amortecimento de 0404 Agora trace uma reta radial a partir da origem com ângulo de cos1 ζ 1138 A interseção desta reta com o lugar geométrico das raízes localiza os polos em malha fechada de segunda ordem dominantes do sistema Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora para procurar na reta radial por 180 resulta nos polos dominantes em malha fechada como 20631138 0833 j1888 O valor do ganho fornece 663K 4257 a partir do que K 6421 Verificando nossa hipótese de segunda ordem o terceiro polo deve estar à esquerda do polo em malha aberta em 100 e está portanto mais que cinco vezes mais afastado que a parte real do par de polos dominantes que é 0833 A aproximação de segunda ordem é portanto válida A simulação computacional da resposta ao degrau do sistema em malha fechada na Figura 829 mostra que o requisito do projeto de 25 de ultrapassagem é atendido DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Em relação ao sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 faça o seguinte Determine o ganho do préamplificador K necessário para um tempo de acomodação de 8 segundos b a b a b Repita usando o MATLAB Veículo UFSS Projeto do Transitório através do Ganho Neste estudo de caso aplicamos o lugar geométrico das raízes à malha de controle de arfagem do veículo UFSS A malha de controle de arfagem é mostrada com ambas as realimentações de velocidade e de posição nas guardas traseiras No exemplo que se segue traçamos o lugar geométrico das raízes sem a realimentação de velocidade e em seguida com a realimentação de velocidade Veremos o efeito estabilizante que a realimentação de velocidade tem sobre o sistema PROBLEMA Considere o diagrama de blocos da malha de controle de arfagem do veículo UFSS mostrado nas guardas traseiras Johnson 1980 Caso K2 0 sem realimentação de velocidade trace o lugar geométrico das raízes para o sistema em função do ganho de arfagem K1 e estime o tempo de acomodação e o instante de pico da resposta em malha fechada com 20 de ultrapassagem Faça K2 K1 acrescente a realimentação de velocidade e repita o Item a SOLUÇÃO Fazendo K2 0 a função de transferência em malha aberta é a partir da qual o lugar geométrico das raízes é traçado na Figura 830 Procurando ao longo da reta de 20 de ultrapassagem calculada a partir da Eq 439 encontramos os polos de segunda ordem dominantes como 0202 j0394 com um ganho de K 025K1 0706 ou K1 2824 Com base na parte real do polo dominante o tempo de acomodação é estimado como Ts 40202 198 segundos Com base na parte imaginária do polo dominante o instante de pico é estimado como Tp π0394 797 segundos Uma vez que nossas estimativas estão baseadas em uma hipótese de segunda ordem testamos agora nossa hipótese determinando a posição do terceiro polo em malha fechada entre 0435 e 123 e a posição do quarto polo em malha fechada entre 2 e infinito Procurando em cada uma dessas regiões por um ganho de K 0706 determinamos o terceiro e o quarto polos em 0784 e 227 respectivamente O terceiro polo em 0784 pode não estar suficientemente próximo do zero em 0435 e portanto o sistema deve ser simulado O quarto polo em 227 está 11 vezes mais afastado do eixo imaginário que os polos dominantes e assim atende o requisito de no mínimo cinco vezes a parte real dos polos dominantes Uma simulação computacional da resposta ao degrau para o sistema a qual é mostrada na Figura 831 mostra uma ultrapassagem de 29 acima de um valor final de 088 aproximadamente 20 segundos de tempo de acomodação e um instante de pico de aproximadamente 75 segundos Acrescentando a realimentação de velocidade fazendo K2 K1 no sistema de controle de arfagem mostrado nas guardas traseiras prosseguimos para determinar a nova função de transferência em malha aberta Movendo K1 para a direita passando a junção de soma dividindo o sensor de velocidade de arfagem por K1 e combinando os dois caminhos de realimentação resultantes obtendo s 1 temos a seguinte função de transferência em malha aberta FIGURA 830 Lugar geométrico das raízes da malha de controle de arfagem sem realimentação de velocidade veículo UFSS FIGURA 831 Simulação computacional da resposta ao degrau da malha de controle de arfagem sem realimentação de velocidade veículo UFSS Observe que o acréscimo da realimentação de velocidade adiciona um zero à função de transferência em malha aberta O lugar geométrico das raízes resultante é mostrado na Figura 832 Observe que este lugar geométrico das raízes diferente do lugar geométrico das raízes no Item a é estável para todos os valores de ganho uma vez que o lugar geométrico não passa para a metade direita do plano s para nenhum valor de ganho positivo K 025K1 Observe também que a interseção com a reta de 20 de ultrapassagem está muito mais afastada do eixo imaginário que no caso sem realimentação de velocidade resultando em um tempo de resposta mais rápido para o sistema O lugar geométrico das raízes intercepta a reta de 20 de ultrapassagem em 1024 j1998 com um ganho de K 025K1 517 ou K1 2068 Utilizando as partes real e imaginária da posição do polo dominante o tempo de acomodação é predito como Ts 41024 39 segundos e o instante de pico é estimado como Tp π1998 157 segundos As novas estimativas mostram uma melhora considerável na resposta transitória quando comparada com a do sistema sem realimentação de velocidade Testamos agora nossa aproximação de segunda ordem determinando a posição do terceiro e do quarto polos entre 0435 e 1 Procurando nesta região por um ganho de K 517 localizamos o terceiro e o quarto polos em aproximadamente 05 e 091 Uma vez que o zero em 1 é um zero de Hs o estudante pode verificar que este zero não é um zero da função de transferência em malha fechada Assim embora possa existir um cancelamento de polo e zero entre o polo em malha fechada em 05 e o zero em malha fechada em 0435 não existe zero em malha fechada para cancelar o polo em malha fechada em 0912 Nossa aproximação de segunda ordem não é válida Uma simulação computacional do sistema com realimentação de velocidade é mostrada na Figura 833 Embora a resposta mostre que nossa aproximação de segunda ordem é inválida ela ainda representa uma melhora considerável no desempenho em relação ao sistema sem realimentação de velocidade a ultrapassagem percentual é pequena e o tempo a b de acomodação é de cerca de 6 segundos ao invés de cerca de 20 segundos DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Para o sistema de controle de rumo do veículo UFSS Johnson 1980 mostrado nas guardas traseiras e introduzido no desafio do estudo de caso no Capítulo 5 faça o seguinte Faça K2 K1 e determine o valor de K1 que resulta em 10 de ultrapassagem Repita usando o MATLAB FIGURA 832 Lugar geométrico das raízes da malha de controle de arfagem com realimentação de velocidade veículo UFSS FIGURA 833 Simulação computacional da resposta ao degrau da malha de controle de arfagem com realimentação de velocidade veículo UFSS Concluímos o capítulo com dois estudos de caso mostrando o uso e a aplicação do lugar geométrico das raízes Vimos como traçar um lugar geométrico das raízes e estimar a resposta transitória fazendo uma aproximação de segunda ordem Vimos que a aproximação de segunda ordem era válida quando a realimentação de velocidade não foi utilizada para o UFSS Quando a realimentação de velocidade foi utilizada um zero em malha aberta de Hs foi introduzido Uma vez que ele não era um zero em malha fechada não houve cancelamento de polo e zero e uma aproximação de segunda ordem não pôde ser justificada Neste caso contudo o sistema com realimentação de velocidade apresentou uma melhora na resposta transitória em relação ao sistema sem realimentação de velocidade Em capítulos subsequentes veremos por que a realimentação de velocidade produz uma melhoria Veremos também outros métodos para melhorar a resposta transitória Resumo Neste capítulo examinamos o lugar geométrico das raízes uma ferramenta poderosa para a análise e o projeto de sistemas de controle O lugar geométrico das raízes nos capacita com informações qualitativas e quantitativas sobre a estabilidade e a resposta transitória de sistemas de controle com realimentação O lugar geométrico das raízes nos permite determinar os polos do sistema em malha fechada partindo dos polos e zeros do sistema em malha aberta Ele é basicamente uma técnica gráfica de determinação de raízes Vimos maneiras de esboçar o lugar geométrico das raízes rapidamente mesmo para os casos 1 2 3 4 5 6 7 de sistemas de ordem elevada O esboço nos dá informações qualitativas sobre mudanças na resposta transitória à medida que parâmetros são variados A partir do lugar geométrico fomos capazes de determinar se um sistema era instável para qualquer faixa de ganho Em seguida desenvolvemos o critério para determinar se um ponto no plano s estava sobre o lugar geométrico das raízes os ângulos a partir dos zeros em malha aberta menos os ângulos a partir dos polos em malha aberta traçados até o ponto no plano s totalizam um múltiplo ímpar de 180 O programa de computador discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora nos ajuda a procurar rapidamente por pontos sobre o lugar geométrico das raízes Este programa nos permite encontrar pontos e ganhos para atender certas especificações da resposta transitória desde que sejamos capazes de justificar uma aproximação de segunda ordem para sistemas de ordem superior Outros programas de computador como o MATLAB traçam o lugar geométrico das raízes e permitem que o usuário interaja com o gráfico para determinar especificações da resposta transitória e parâmetros do sistema Nosso método de projeto neste capítulo é o ajuste de ganho Estamos limitados a respostas transitórias regidas pelos polos sobre o lugar geométrico das raízes Respostas transitórias representadas por posições de polos fora do lugar geométrico das raízes não podem ser obtidas através de um simples ajuste de ganho Além disso uma vez que a resposta transitória tenha sido estabelecida o ganho é definido e também o desempenho do erro em regime permanente Em outras palavras através de um simples ajuste de ganho temos que estabelecer uma solução de compromisso entre uma resposta transitória especificada e um erro em regime permanente especificado A resposta transitória e o erro em regime permanente não podem ser projetados independentemente com um simples ajuste de ganho Também aprendemos como traçar o lugar geométrico das raízes em função de parâmetros do sistema diferentes do ganho Para traçar este gráfico do lugar geométrico das raízes devemos primeiro converter a função de transferência em malha fechada em uma função de transferência equivalente que tenha o parâmetro desejado do sistema na mesma posição do ganho A discussão do capítulo foi concluída com sistemas com realimentação positiva e como traçar os lugares geométricos das raízes para esses sistemas O próximo capítulo estende o conceito do lugar geométrico das raízes para o projeto de estruturas de compensação Essas estruturas apresentam como vantagem o projeto separado do desempenho transitório e do desempenho do erro em regime permanente Questões de Revisão O que é um lugar geométrico das raízes Descreva duas maneiras de se obter o lugar geométrico das raízes Se KGsHs 5180 para qual valor de ganho s é um ponto no lugar geométrico das raízes Os zeros de um sistema mudam com uma variação no ganho Onde estão os zeros da função de transferência em malha fechada Quais são as duas maneiras de se determinar onde o lugar geométrico das raízes cruza o eixo imaginário Como você pode dizer a partir do lugar geométrico das raízes se um sistema é instável 8 9 10 11 12 13 1 Como você pode dizer a partir do lugar geométrico das raízes se o tempo de acomodação não varia para uma região de ganho Como você pode dizer a partir do lugar geométrico das raízes que a frequência natural não varia para uma região de ganho Como você determinaria se um gráfico do lugar geométrico das raízes cruzou ou não o eixo real Descreva as condições que devem ocorrer para todos os polos e zeros em malha fechada para que se possa fazer uma aproximação de segunda ordem Quais regras para traçar o lugar geométrico das raízes são as mesmas se um sistema é um sistema com realimentação positiva ou um sistema com realimentação negativa Descreva brevemente como os zeros do sistema em malha aberta afetam o lugar geométrico das raízes e a resposta transitória Problemas Para cada um dos lugares geométricos das raízes mostrados na Figura P81 diga se o esboço pode ou não ser um lugar geométrico das raízes Se o esboço não pode ser um lugar geométrico das raízes explique por quê Dê todas as razões Seção 84 2 FIGURA P81 Esboce a forma geral do lugar geométrico das raízes para cada um dos diagramas de polos e zeros em malha aberta mostrados na Figura P82 Seção 84 3 a FIGURA P82 Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 para as seguintes funções de transferência Seção 84 b c d 4 a b 5 a b c 6 FIGURA P83 Seja na Figura P83 Seção 85 Trace o lugar geométrico das raízes Escreva uma expressão para a função de transferência em malha fechada no ponto onde os três polos em malha fechada se encontram Seja com K 0 na Figura P83 Seções 85 89 Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada Esboce o lugar geométrico das raízes do sistema Determine a posição dos polos em malha fechada quando K 1 e K 2 Para o diagrama de polos e zeros em malha aberta mostrado na Figura P84 esboce o lugar geométrico das raízes e determine o ponto de entrada Seção 85 7 8 9 FIGURA P84 Esboce o lugar geométrico das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 em que e determine os pontos de entrada e de saída Seção 85 O polinômio característico de um sistema de controle com realimentação o qual é o denominador da função de transferência em malha fechada é dado por s3 2s2 20K 7s 100K Esboce o lugar geométrico das raízes para esse sistema Seção 88 A Figura P85 mostra polos e zeros em malha aberta Existem duas possibilidades para o esboço do lugar geométrico das raízes Esboce cada uma das duas possibilidades Esteja ciente de que apenas um pode ser o lugar geométrico real para valores específicos de polos e zeros em malha aberta Seção 84 10 11 12 13 a b c d FIGURA P85 Trace o lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 em que Para que faixa de K os polos estarão no semiplano da direita Seção 85 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 na qual esboce o lugar geométrico das raízes e diga para que valores de K o sistema é estável e instável Seção 85 Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 onde Dê os valores para todos os pontos críticos de interesse O sistema é alguma vez instável Se sim para que faixa de K Seção 85 Para cada sistema mostrado na Figura P86 faça um gráfico exato do lugar geométrico das raízes e determine o seguinte Seção 85 Os pontos de saída e de entrada A faixa de K para manter o sistema estável O valor de K que resulta em um sistema estável com polos de segunda ordem criticamente amortecidos O valor de K que resulta em um sistema estável com um par de polos de segunda ordem com um fator de amortecimento de 0707 14 a b 15 16 17 a b 18 FIGURA P86 Esboce o lugar geométrico das raízes e determine a faixa de K para estabilidade para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 para as seguintes condições Seção 85 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P83 onde esboce o lugar geométrico das raízes e determine a faixa de K tal que haverão apenas dois polos no semiplano da direita para o sistema em malha fechada Seção 85 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P83 onde trace o lugar geométrico das raízes e calibre seu gráfico para o ganho Determine todos os pontos críticos como saída assíntotas cruzamento do eixo jω e assim por diante Seção 85 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P83 faça um gráfico exato do lugar geométrico das raízes para o seguinte Calibre o ganho para pelo menos quatro pontos para cada caso Além disso determine os pontos de saída o cruzamento do eixo jω e a faixa de ganho para estabilidade para cada caso Determine os ângulos de chegada para o Item a Seção 85 Dado o lugar geométrico das raízes mostrado na Figura P87 Seção 85 a b 19 a b c d 20 21 FIGURA P87 Determine o valor de ganho que deixará o sistema marginalmente estável Determine o valor de ganho para o qual a função de transferência em malha fechada terá um polo sobre o eixo real em 5 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 85 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine as assíntotas Determine o valor de ganho que tornará o sistema marginalmente estável Determine o valor de ganho para o qual a função de transferência em malha fechada terá um polo sobre o eixo real em 05 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P83 onde determine os valores de a e K que resultarão em um par de polos de segunda ordem em malha fechada em 1 j100 Seção 85 Para o sistema com realimentação unitária da Figura P83 no qual esboce o lugar geométrico das raízes e determine o seguinte Seção 85 a b c d 22 a b c d 23 a b c d Os pontos de saída e de entrada O cruzamento do eixo jω A faixa de ganho para manter o sistema estável O valor de K para resultar em um sistema estável com polos complexos de segunda ordem com um fator de amortecimento de 05 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 87 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine a faixa de ganho K que torna o sistema estável Determine o valor de K que resulta em um fator de amortecimento de 0707 para os polos dominantes do sistema em malha fechada Determine o valor de K que resulta em polos dominantes criticamente amortecidos em malha fechada Para o sistema da Figura P88a esboce o lugar geométrico das raízes e determine o seguinte Seção 87 As assíntotas Os pontos de saída A faixa de K para estabilidade O valor de K para resultar em um fator de amortecimento de 07 para o par dominante de segunda ordem FIGURA P88 Para melhorar a estabilidade desejamos que o lugar geométrico das raízes cruze o eixo jω em j55 Para conseguir isso a função em malha aberta é colocada em cascata com um zero e f g 24 25 26 a b c d e 27 como mostrado na Figura P88b Determine o valor de a e esboce o novo lugar geométrico das raízes Repita o Item c para o novo lugar geométrico Compare os resultados do Item c e do Item f Que melhoria na resposta transitória você observa Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema com realimentação positiva mostrado na Figura P89 Seção 89 FIGURA P89 Os lugares geométricos das raízes são normalmente traçados para variações no ganho Algumas vezes estamos interessados na variação dos polos em malha fechada à medida que outros parâmetros são modificados Para o sistema mostrado na Figura P810 esboce o lugar geométrico das raízes à medida que a é variado Seção 88 FIGURA P810 Dado o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 realize os seguintes Itens do problema fazendo primeiro uma aproximação de segunda ordem Após terminar todos os Itens justifique sua aproximação de segunda ordem Seção 87 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine K para 20 de ultrapassagem Para K obtido no Item b qual é o tempo de acomodação e qual é o instante de pico Determine as posições dos polos de ordem superior para K obtido no Item b Determine a faixa de K para estabilidade Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual a b c d e f g h 28 a b c d e 29 30 faça o seguinte Seção 87 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine as assíntotas Determine a faixa de ganho K que torna o sistema estável Determine os pontos de saída Determine o valor de K que resulta em uma resposta ao degrau em malha fechada com 25 de ultrapassagem Determine a posição de polos de ordem superior em malha fechada quando o sistema está operando com 25 de ultrapassagem Discuta a validade de sua aproximação de segunda ordem Utilize o MATLAB para obter a resposta ao degrau em malha fechada para validar ou refutar sua aproximação de segunda ordem O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura 83 no qual deve ser projetado para fator de amortecimento mínimo Determine o seguinte Seção 87 O valor de K que resultará em fator de amortecimento mínimo A ultrapassagem percentual estimada para este caso O tempo de acomodação e o instante de pico estimados para este caso A justificativa de uma aproximação de segunda ordem discuta O erro em regime permanente esperado para uma entrada em rampa unitária para o caso de fator de amortecimento mínimo Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual determine K para resultar em polos complexos em malha fechada com um fator de amortecimento de 055 Sua solução requer uma justificativa para a aproximação de segunda ordem Explique Seção 87 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual 31 32 a b c d 33 a b c d e 34 determine o valor de a de modo que o sistema tenha um tempo de acomodação de 4 segundos para valores grandes de K Esboce o lugar geométrico das raízes resultante Seção 88 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual projete K e a de modo que os polos complexos dominantes da função em malha fechada tenham um fator de amortecimento de 045 e uma frequência natural de 98 rads Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 87 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine o valor de K que resultará em 10 de ultrapassagem Localize todos os polos não dominantes O que você pode dizer sobre a aproximação de segunda ordem que levou a sua resposta no Item b Determine a faixa de K que resulta em um sistema estável Repita o Problema 32 utilizando o MATLAB Utilize um programa para fazer o seguinte Exibir o lugar geométrico das raízes e realizar uma pausa Traçar uma vista ampliada do lugar geométrico das raízes onde os eixos vão de 2 a 0 no eixo real e de 2 a 2 no eixo imaginário Sobrepor a reta de 10 de ultrapassagem no lugar geométrico das raízes ampliado Selecionar interativamente o ponto onde o lugar geométrico das raízes cruza a reta de 10 de ultrapassagem e responder com o ganho nesse ponto bem como com todos os polos em malha fechada com esse ganho Gerar a resposta ao degrau com o ganho para 10 de ultrapassagem Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 87 a b 35 a b c d e 36 37 a b c d 38 a b c d e f Determine o ganho K para resultar em um instante de pico de 1 segundo caso seja admitida uma aproximação de segunda ordem Verifique a exatidão da aproximação de segunda ordem utilizando o MATLAB para simular o sistema Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 87 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine o cruzamento do eixo jω e o ganho K no cruzamento Determine todos os pontos de saída e de entrada Determine os ângulos de partida dos polos complexos Determine o ganho K para resultar em um fator de amortecimento de 03 para os polos dominantes em malha fechada Repita os Itens a até c e e do Problema 35 para Seção 87 Para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 87 Determine a posição dos polos dominantes em malha fechada caso o sistema esteja operando com 15 de ultrapassagem Determine o ganho para o Item a Determine todos demais polos em malha fechada Avalie a exatidão de sua aproximação de segunda ordem Para o sistema mostrado na Figura P811 faça o seguinte Seção 87 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine o cruzamento do eixo jω e o ganho K no cruzamento Determine o ponto de saída do eixo real com uma precisão de duas casas decimais Determine os ângulos de chegada dos zeros complexos Determine os zeros em malha fechada Determine o ganho K para uma resposta ao degrau em malha fechada com 30 de ultrapassagem g 39 a b c 40 a b c d Discuta a validade de sua aproximação de segunda ordem FIGURA P811 Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema mostrado na Figura P812 e determine o seguinte Seção 87 A faixa de ganho para resultar em estabilidade O valor de ganho que resultará em um fator de amortecimento de 0707 para os polos dominantes do sistema O valor de ganho que resultará em polos em malha fechada que são criticamente amortecidos FIGURA P812 Repita o Problema 39 utilizando o MATLAB O programa deverá fazer o seguinte Exibir o lugar geométrico das raízes e realizar uma pausa Exibir uma vista ampliada do lugar geométrico das raízes onde os eixos vão de 2 a 2 no eixo real e de 2 a 2 no eixo imaginário Sobrepor a reta de fator de amortecimento 0707 no lugar geométrico das raízes ampliado Permitir que você selecione interativamente o ponto onde o e 41 a b c 42 a b 43 a b c d e lugar geométrico das raízes cruza a reta de fator de amortecimento 0707 e responder apresentando o ganho neste ponto bem como com todos os polos em malha fechada com este ganho O programa permitirá então que você selecione interativamente o cruzamento do eixo imaginário e responderá exibindo o ganho neste ponto bem como com todos os polos em malha fechada com este ganho Finalmente o programa repetirá o cálculo para polos dominantes criticamente amortecidos em malha fechada Gerar a resposta ao degrau com o ganho para fator de amortecimento 0707 Dado o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual faça o seguinte Seção 87 Caso z 6 determine K de modo que a frequência de oscilação amortecida da resposta transitória seja 10 rads Para o sistema do Item a qual constante de erro estático finita pode ser especificada Qual é o seu valor O sistema deve ser reprojetado alterandose os valores de z e K Caso as novas especificações sejam UP 432 e Ts 04 s determine os novos valores de z e K Dado o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual determine o seguinte Seção 87 O valor de ganho K que resultará em um tempo de acomodação de 4 segundos O valor de ganho K que resultará em um sistema criticamente amortecido Seja na Figura P83 Seção 87 Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada Trace o lugar geométrico das raízes para K 0 Trace o lugar geométrico das raízes para K 0 Admitindo uma entrada em degrau qual valor de K resultará no menor tempo de acomodação possível Calcule o erp do sistema para uma entrada em degrau unitário admitindo o valor de K obtido no Item d f 44 a b c 45 a Faça manualmente um esboço aproximado da resposta ao degrau unitário do sistema caso K tenha o valor obtido no Item d Dado o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P83 no qual calcule a sensibilidade do polo do sistema em malha fechada caso os polos subamortecidos de segunda ordem em malha fechada sejam ajustados para Seção 810 ζ 0591 ζ 0456 Qual dos dois casos anteriores possui a sensibilidade mais desejável A Figura P813a mostra um robô equipado para executar soldagem a arco Um dispositivo semelhante pode ser configurado como um robô industrial de seis graus de liberdade que pode transferir objetos de acordo com uma programação desejada Admita o diagrama de blocos do sistema de movimento de giro mostrado na Figura 813b Caso K 64510 faça uma aproximação de segunda ordem e estime o seguinte Hardy 1967 O fator de amortecimento b c d e 46 a b c FIGURA P813 a Robô equipado para executar soldagem a arco b diagrama de blocos para o sistema de movimento de giro A ultrapassagem percentual A frequência natural O tempo de acomodação O instante de pico O que você pode dizer sobre sua aproximação de segunda ordem original Durante a subida o programa de manobra automática a bordo do ônibus espacial proporciona a interface entre o processamento de baixa velocidade da orientação comandos e o processamento de alta velocidade do controle de voo manobras em resposta aos comandos A função desempenhada é basicamente a de suavização Uma representação simplificada de um suavizador de manobras linearizado para manobras coplanares é mostrada na Figura P814 Aqui θCCs é ângulo do corpo comandado como calculado pelo sistema de orientação e θCDs é o ângulo do corpo desejado enviado ao controle de voo após a suavização3 Utilizando os métodos da Seção 88 faça o seguinte Esboce um lugar geométrico das raízes onde as raízes variam em função de K3 Localize os zeros em malha fechada Repita os Itens a e b para um lugar geométrico das raízes esboçado em função de K2 47 48 a b c FIGURA P814 Diagrama de blocos do suavizador Repita o Problema 3 mas esboce seus lugares geométricos das raízes para valores negativos de K Seção 89 Grandes estruturas no espaço como a estação espacial precisam ser estabilizadas contra vibrações indesejadas Um método é utilizar um absorvedor de vibração ativo para controlar a estrutura como mostrado na Figura P815a Bruner 1992 Admitindo que todos os valores exceto a massa do absorvedor de vibração ativo são conhecidos e iguais à unidade faça o seguinte Obtenha Gs e Hs H1sH2s na representação em diagrama de blocos do sistema da Figura 815b que mostra que o absorvedor de vibração ativo atua como um elemento de realimentação para controlar a estrutura Sugestão imagine que Kc e Dc produzem entradas para a estrutura Determine a posição em regime permanente da estrutura para uma entrada de força de perturbação Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema em função da massa do absorvedor de vibração ativo Mc 49 a FIGURA P815 a Absorvedor de vibração ativo 1992 AIAA b diagrama de blocos do sistema de controle A Figura P816 mostra o diagrama de blocos do controle em malha fechada do sistema de levitação magnética linearizado descrito no Capítulo 2 Problema 58 Galvão 2003 FIGURA P816 Diagrama de blocos do sistema de levitação magnética linearizado Admitindo A 1300 e η 860 trace o lugar geométrico das raízes e determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada quando Gs K b 50 a b c 51 a b c O modelo simplificado em função de transferência do ângulo de manobra δs para o ângulo de inclinação φs em uma bicicleta é dado por Neste modelo h representa a distância vertical do centro de massa até o chão de modo que pode ser rapidamente verificado que o modelo é instável em malha aberta Åström 2005 Admita que para uma bicicleta específica a 06 m b 15 m h 08 m e g 98 ms2 Para estabilizar a bicicleta é admitido que a bicicleta é colocada na configuração em malha fechada mostrada na Figura P83 e que a única variável de controle disponível é V a velocidade da roda traseira Determine a faixa de V para estabilidade em malha fechada Explique por que os métodos apresentados neste capítulo não podem ser utilizados para obter o lugar geométrico das raízes Utilize o MATLAB para obter o lugar geométrico das raízes do sistema Uma técnica para controlar a direção de um veículo que segue uma linha localizada no meio de uma pista é definir um ponto de observação à frente e medir os desvios do veículo em relação a este ponto Um modelo linearizado para um veículo desse tipo é em que V velocidade lateral do veículo r velocidade de guinagem do veículo ψ ângulo de guinagem do veículo e Yg coordenada no eixo y do centro de gravidade do veículo K é um parâmetro a ser alterado dependendo das variações na trajetória Em um veículo específico trafegando a uma velocidade de U 10 ms os parâmetros são a11 116842 a12 67632 b1 615789 a21 35143 a22 240257 e b2 668571 d 5 m é a distância de observação à frente Ünyelioğlu 1997 Admitindo que o veículo será controlado em malha fechada Determine a equação característica do sistema em função de K Determine o lugar geométrico das raízes do sistema à medida que K é variado Utilizando o lugar geométrico das raízes obtido no Item b mostre que o sistema será 52 a b 53 54 a b 55 instável para todos os valores de K Sabese que os mamíferos possuem mecanismos de regulação hormonal que ajudam a manter níveis praticamente constantes de cálcio no plasma 00801 gL em vacas leiteiras Esse controle é necessário para manter funções saudáveis uma vez que o cálcio é o responsável por diversas funções fisiológicas como formação dos ossos comunicação intracelular e coagulação do sangue Foi postulado que o mecanismo de controle de cálcio é semelhante ao de um controlador PI proporcional e integral Os controladores PI discutidos em detalhes no Capítulo 9 são colocados em cascata com a planta e utilizados para melhorar o erro em regime permanente Admita que o controlador PI tenha a forma em que K P e K I são constantes Admita também que o sistema dos mamíferos acumula cálcio de forma similar a um integrador isto é onde V é o volume de plasma O modelo em malha fechada é similar ao da Figura P83 na qual Gs GcsPs Khammash 2004 Esboce o lugar geométrico das raízes do sistema em função de KP admitindo que KI 0 é constante Esboce o lugar geométrico das raízes do sistema em função de KI admitindo que KP 0 é constante O Problema 65 no Capítulo 7 introduziu o modelo de um roteador TCPIP cuja probabilidade de descarte de um pacote é controlada pela utilização de um algoritmo de detecção antecipada aleatória RED Hollot 2001 Utilizando a Figura P83 como modelo a função de transferência em malha aberta da fila de um roteador específico é A função e02s representa um atraso Para aplicar o método do lugar geométrico das raízes a função de atraso precisa ser substituída por uma aproximação em função racional Uma aproximação de Padé de primeira ordem pode ser utilizada para este propósito Seja esD 1 Ds Utilizando esta aproximação trace o lugar geométrico das raízes do sistema em função de L Para o restaurador dinâmico de tensão DVR discutido no Problema 47 Capítulo 7 faça o seguinte Quando uma capacitância pura o sistema está mais propenso à instabilidade Determine a equação característica do sistema para este caso Utilizando a equação característica obtida no Item a esboce o lugar geométrico das raízes do sistema em função de CC Faça L 76 mH C 11 μF a 264 β 1 Km 25 Kv 15 KT 009565 e τ 2 ms Lam 2004 A resposta do veículo em malha fechada na frenagem de um trem depende da dinâmica do trem e do condutor que é uma parte integrante da malha de realimentação Na Figura P83 seja a entrada Rs vr a velocidade de referência e a saída Cs v a velocidade real do veículo Yamazaki 2008 mostra que tal dinâmica pode ser modelada por Gs GcsGts a b 56 a b onde representa a dinâmica do condutor com h K e L sendo parâmetros específicos para cada condutor Admitimos aqui que h 0003 e L 1 A dinâmica do trem é dada por em que M 8000 kg a massa do veículo ke 01 o coeficiente de inércia kb 1425 o ganho do freio Kp 475 o ganho de pressão τ 12 s uma constante de tempo e f 024 o coeficiente de atrito normal Trace um gráfico do lugar geométrico das raízes do sistema em função do parâmetro K do condutor Discuta por que este modelo pode não ser uma descrição exata de uma situação de condutor e trem real Controle de declive de tensão é uma técnica na qual cargas são acionadas com tensões mais baixas que as fornecidas pela fonte Em geral a tensão diminui quando a demanda de corrente aumenta na carga A vantagem do declive de tensão é que ele resulta em sensibilidade menor a variações na corrente da carga Declive de tensão pode ser aplicado à distribuição de energia de vários geradores e cargas ligadas através de um barramento cc Em Karlsson 2003 geradores e cargas são acionados por alimentação ca trifásica de modo que eles estão interfaceados com o barramento através de conversores cacc Uma vez que cada uma das cargas trabalha de modo independente um sistema com realimentação mostrado na Figura P817 é usado em cada uma para responder igualmente a variações da tensão do barramento Dado que Cs Cr 8000 μF Lcabo 50 μH Rcabo 006 Ω Zr Rr 5 Ω ωlp 200 rads Gconvs 1 Vccref 750 V e Prefext 0 faça o seguinte Caso Zreq seja a combinação em paralelo de Rr e Cr e Gconvs 1 determine Escreva um arquivo m do MATLAB para traçar e copiar o lugar geométrico das raízes completo para este sistema então amplie a apresentação do lugar geométrico ajustando os limites do eixo x eixo real para 150 a 0 e os limites do eixo y eixo imaginário para 150 a 150 Copie este gráfico também e determine e registre o seguinte 1 2 3 4 c 1 2 3 57 a b FIGURA P817 2003 IEEE O ganho K para o qual o sistema teria polos dominantes complexos conjugados em malha fechada com um fator de amortecimento ζ 0707 As coordenadas do ponto correspondente selecionado no lugar geométrico das raízes Os valores de todos os polos em malha fechada com este ganho A tensão de saída vst para uma tensão de entrada em degrau vccreft 750 ut volts Represente graficamente esta resposta ao degrau e utilize a ferramenta Characteristics do MATLAB na janela gráfica para observar na curva os seguintes parâmetros A ultrapassagem percentual real e o instante de pico correspondente Tp O tempo de subida Tr e o tempo de acomodação Ts O valor final em regime permanente em volts PROBLEMAS DE PROJETO Um acionador de disco é um sistema de controle de posição no qual uma cabeça de leituragravação é posicionada sobre um disco magnético O sistema responde a um comando de um computador para se posicionar em uma trilha particular no disco Uma representação física do sistema e um diagrama de blocos são mostrados na Figura P818 Determine K para resultar em um tempo de acomodação de 01 segundo Qual é a ultrapassagem percentual resultante c 58 Qual é a faixa de K que mantém o sistema estável FIGURA P818 Acionador de disco a representação física b diagrama de blocos Um diagrama de blocos simplificado do servomecanismo de uma pupila humana é mostrado na Figura P819 O termo e018s representa um atraso no tempo Esta função pode ser aproximada pelo que é conhecido como aproximação de Padé Esta aproximação pode assumir muitas formas de complexidade crescente dependendo do grau de exatidão exigido Caso utilizemos a aproximação de Padé então Uma vez que o fluxo de luz na retina é uma função da abertura da íris oscilações no fluxo de luz na retina implicam em oscilações da íris Guy 1976 Determine o seguinte a b c 59 O valor de K que resultará em oscilações A frequência dessas oscilações O tempo de acomodação para a íris se K é tal que o olho está operando com 20 de ultrapassagem FIGURA P819 Diagrama de blocos simplificado do servomecanismo da pupila Um sistema de suspensão ativa foi proposto para trens AMTRAK O sistema utiliza um atuador pneumático em paralelo com o sistema de suspensão passiva como mostrado na Figura P820 A força do atuador é subtraída da força aplicada pelo solo como representado pelo deslocamento ygt A aceleração é medida por um acelerômetro e sinais proporcionais à aceleração e à velocidade são realimentados para o atuador de força A função de transferência relacionando a aceleração ao deslocamento do solo é FIGURA P820 Sistema de suspensão ativa reproduzido com permissão da ASME a b 60 a b c d e Admitindo que M 1 e D K Cv 2 faça o seguinte Cho 1985 Esboce um lugar geométrico das raízes para este sistema à medida que Ca varia de zero a infinito Determine o valor de Ca que resultaria em um fator de amortecimento de 069 para os polos em malha fechada A malha de estabilização de arfagem para uma aeronave militar F4E é mostrada na Figura P821 δcom é o comando de deflexão de entrada do profundor e da canard para criar uma velocidade de arfagem ver Problema 22 Capítulo 3 Caso faça o seguinte Cavallo 1992 Esboce o lugar geométrico das raízes da malha interna Determine a faixa de K2 para manter a malha interna estável apenas com realimentação de velocidade de arfagem Determine o valor de K2 que posiciona os polos da malha interna para resultar em um fator de amortecimento de 05 Para sua resposta ao Item c determine a faixa de K1 que mantém o sistema estável Determine o valor de K1 que resulta em polos em malha fechada com um fator de amortecimento de 045 FIGURA P821 Malha de estabilização de arfagem do F4E FIGURA 822 Sistema de controle de atitude do eixo de arfagem utilizando roda de momento 61 a b c 62 Apontamento exato de espaçonaves é requerido para comunicação e mapeamento O controle de atitude pode ser implementado através da troca de momento angular entre o corpo da espaçonave e uma roda de momento O diagrama de blocos para o controle de atitude do eixo de arfagem é mostrado na Figura P822 na qual θcs é um ângulo de arfagem comandado e θs é o ângulo de arfagem real da espaçonave O compensador que melhora a exatidão do apontamento fornece um momento comandado Hcs ao conjunto da roda de momento O momento da espaçonave Hsiss é uma entrada adicional para a roda de momento Este momento do corpo é dado por em que I2s é o momento de inércia da espaçonave em torno do eixo de arfagem e hws é o momento da roda O torque total de saída da roda de momento Tw como mostrado na Figura P822 é Caso τ 23 segundos e I2 9631 inlbs2 faça o seguinte Piper 1992 Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema de controle do eixo de arfagem Determine o valor de K para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 25 de ultrapassagem Avalie a exatidão de quaisquer aproximações de segunda ordem que tenham sido feitas Durante a combustão em dispositivos como turbinas a gás e motores a jato ondas acústicas são geradas Essas ondas de pressão podem levar a ruído excessivo bem como falhas mecânicas O controle ativo é proposto para reduzir esse efeito termoacústico Especificamente um microfone é utilizado como sensor para captar as ondas sonoras enquanto um altofalante é utilizado como atuador para produzir ondas de pressão opostas para reduzir o efeito Um diagrama proposto mostrando o microfone e o altofalante posicionados na câmara de combustão é mostrado na Figura P823a Um diagrama de blocos simplificado do sistema de controle ativo é mostrado na Figura P823b As funções de transferência são dependentes da posição e dos parâmetros do microfone e do altofalante bem como da posição e parâmetros da chama A função de transferência do caminho à frente tem a forma FIGURA P823 a Combustor com microfone e altofalante 1995 IEEE b diagrama de blocos 1995 IEEE em que os valores para três configurações A B e C são dados na tabela a seguir para o Item b Annaswamy 1995 A B C zf 1500 1500 1500 Pf 1000 1000 1000 ζz 045 045 045 ωz 4500 4500 4500 ζ1 05 05 05 a b 63 ω1 995 995 995 ζ2 03 03 03 ω2 3500 3500 3500 Trace o lugar geométrico das raízes para cada configuração Para as configurações onde regiões de operação estável são possíveis calcule a faixa de ganho K para estabilidade Turbinas eólicas como as mostradas na Figura P824a estão se tornando populares como uma forma de geração de eletricidade Malhas de controle com realimentação são projetadas para controlar a potência de saída da turbina dada uma demanda de potência como entrada O controle de inclinação das pás pode ser utilizado como parte da malha de controle para uma turbina eólica de velocidade constante controlada por inclinação como mostrado na Figura P824b O trem de acionamento consistindo no rotor das pás sistema de transmissão e gerador elétrico ver Figura P824c é parte da malha de controle O torque produzido pelo vento aciona o rotor O rotor das pás é conectado ao gerador através de um sistema de transmissão A função de transferência do trem de acionamento é em que Pos é a transformada de Laplace da potência de saída do gerador e TRs é a transformada de Laplace do torque de entrada no rotor Substituindo valores numéricos típicos na função de transferência resulta a b 64 FIGURA P824 a Turbinas eólicas produzindo eletricidade próximo a Palm Springs Califórnia b malha de controle para uma turbina eólica de velocidade constante controlada por inclinação 1998 IEEE c trem de acionamento 1998 IEEE Anderson 1998 Faça o seguinte para a dinâmica do trem de acionamento utilizando qualquer auxílio computacional de que disponha Esboce um lugar geométrico das raízes que mostre a posição dos polos de Gdts para diferentes valores de relação de engrenagens N Determine o valor de N que resulta em um par de polos complexos de Gdts com um fator de amortecimento de 05 O braço de um acionador de disco rígido HDD hard disk drive possui uma função de transferência instável em malha aberta em que Xs é o deslocamento do braço e Fs é a força aplicada Yan 2003 Admita que o braço tenha uma inércia Ib 3 105 kgm2 e que um controlador de avanço de fase Gcs utilizado para melhorar a resposta transitória e discutido no Capítulo 9 é colocado em cascata para resultar a b 65 a b c 66 como na Figura P83 Trace o lugar geométrico das raízes do sistema em função de K Determine o valor de K que resultará em polos conjugados complexos dominantes com um fator de amortecimento ζ 07 Um manipulador robótico junto com um controlador PI utilizado para melhorar a resposta em regime permanente e discutido no Capítulo 9 em cascata possui uma função de transferência Low 2005 Admita que a junta do robô será controlada na configuração mostrada na Figura P83 Determine o valor de KI que resultará em erp 2 para uma entrada em parábola Utilizando o valor de KI obtido no Item a trace o lugar geométrico das raízes do sistema em função de KP Determine o valor de KP que resultará em um polo real em 1 Determine a posição dos outros dois polos Um sistema ativo para a eliminação de vibrações no piso devido à presença humana é apresentado em Nyawako 2009 O sistema consiste em um sensor que mede a aceleração vertical do piso e de um atuador que modifica as características do piso A transmissão em malha aberta de uma configuração específica utilizada pode ser descrita por Gs KGas Fs Gms em que a função de transferência do atuador é As características dinâmicas do piso podem ser modeladas por A função de transferência do sensor é a b c 67 a b 68 e K é o ganho do controlador A operação do sistema pode ser descrita pela malha de realimentação com ganho unitário da Figura P83 Utilize a SISO Design Tool do MATLAB para obter o lugar geométrico das raízes do sistema em função de K Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada Determine se possível um valor de K que resultará em uma resposta superamortecida em malha fechada Muitos dispositivos médicos implantáveis como marcapassos implantes de retina estimuladores cerebrais e estimuladores de medula espinhal são alimentados por uma bateria dentro do corpo que pode ser recarregada através de um dispositivo indutivo transcutâneo Carregamento ótimo da bateria pode ser obtido quando o circuito de carregamento fora do corpo está em ressonância com o circuito de carregamento implantado Baker 2007 Em certas condições o acoplamento dos circuitos ressonantes pode ser modelado pelo sistema com realimentação na Figura P83 em que O ganho K está relacionado com o acoplamento magnético entre os circuitos externo e dentro do corpo K pode variar devido ao posicionamento condições da pele e outras variações Para este problema seja ζ 05 e ωn 1 Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada Trace o lugar geométrico das raízes correspondente É importante controlar precisamente a quantidade de fertilizante orgânico aplicada a uma área de plantio específica com o objetivo de fornecer quantidades específicas de nutrientes e evitar poluição ambiental desnecessária Uma máquina de aplicação de adubo líquido precisa foi desenvolvida para este propósito Saeys 2008 O sistema consiste em um tanque pressurizado uma válvula e um sensor de fluxo reológico Após simplificação o sistema pode ser modelado como um sistema em malha fechada com realimentação negativa com uma função de transferência do caminho à frente a b c d e 69 consistindo em um sistema eletrohidráulico em cascata com o ganho da válvula de fluxo de adubo e um ganho variável K O caminho de realimentação é composto de Utilize a SISO Design Tool do MATLAB para obter o lugar geométrico das raízes do sistema Utilize a SISO Design Tool para determinar a faixa de K para estabilidade em malha fechada Determine o valor de K que resultará no menor tempo de acomodação para este sistema Calcule o tempo de acomodação esperado para uma entrada em degrau com o valor de K obtido no Item c Verifique seu resultado através de uma simulação da resposta ao degrau Acionadores harmônicos são muito populares para a utilização em manipuladores robóticos devido à sua pequena folga alta transmissão de torque e tamanho compacto Spong 2006 O problema de flexibilidade da junta é algumas vezes um fator limitante na obtenção de um bom desempenho Considere que o modelo idealizado representando a flexibilidade da junta é mostrado na Figura P825 A entrada do acionador vem de um atuador e é aplicada em θm A saída é conectada a uma carga em θ1 A mola representa a flexibilidade da junta e Bm e B1 representam o amortecimento viscoso do atuador e da carga respectivamente Agora inserimos o dispositivo na malha com realimentação mostrada na Figura P826 O primeiro bloco no caminho à frente é um controlador PD o qual iremos estudar no próximo capítulo O controlador PD é usado para melhorar o desempenho da resposta transitória 70 FIGURA P825 Modelo idealizado representando a flexibilidade da junta reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc FIGURA P826 Modelo da flexibilidade da junta inserido em uma malha com realimentação reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc Utilize o MATLAB para determinar o ganho KD para resultar em aproximadamente 5 de ultrapassagem na resposta ao degrau dados os seguintes parâmetros J1 10 B1 1 k 100 Jm 2 B m 05 p 1s J 1s 2 B 1s k e p m s J ms 2 Bms k Utilizando o LabVIEW o Control Design and Simulation Module e o MathScript RT Module abra e customize a Interactive Root Locus VI em Examples para implementar o sistema do Problema 69 Selecione o parâmetro KD para atender o requisito do Problema 69 variando a posição dos polos em malha fechada no lugar geométrico das raízes Se assegure de que seu front panel mostre o seguinte 1 função de transferência em malha aberta 2 função de transferência em malha fechada 3 lugar geométrico das raízes 4 lista dos polos em malha fechada e 5 resposta ao degrau 71 a b c d Um regulador automático é usado para controlar a corrente de campo de uma máquina síncrona trifásica com enrolamentos de armadura simétricos idênticos Stapleton 1964 O propósito do regulador é manter a tensão do sistema constante dentro de certos limites A função de transferência da máquina síncrona é que relaciona a variação do ângulo do rotor Δδs com a variação na potência do eixo da máquina síncrona ΔPm s O sistema em malha fechada é mostrado na Figura P83 onde Gs KGc s Gsm s e K é um ganho a ser ajustado A função de transferência do regulador Gc s é dada por Admita os seguintes valores dos parâmetros μ 4 M 0117 Te 05 z12 0071 j625 p1 0047 e p23 0262 j51 e faça o seguinte Escreva um arquivo M em MATLAB para traçar o lugar geométrico das raízes para o sistema e obter o seguinte O ganho K para o qual o sistema se torna marginalmente estável Os polos em malha fechada p e a função de transferência Ts correspondendo a 16 de ultrapassagem As coordenadas do ponto selecionado no lugar geométrico das raízes correspondendo a 16 de ultrapassagem Uma simulação da resposta ao degrau unitário do sistema em malha fechada correspondendo ao seu projeto de 16 de ultrapassagem Observe em sua simulação os seguintes valores 1 ultrapassagem percentual real 2 instante de pico correspondente Tp 3 tempo de subida Tr 4 tempo de acomodação Ts e 5 valor final em regime permanente PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO 72 a b c d e 73 a b 74 Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade No Problema 79 Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo Utilize seu diagrama de blocos para fazer o seguinte OConnor 1997 Esboce o lugar geométrico das raízes Admita uma aproximação de segunda ordem e determine o ganho K para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada que tenha 38 de ultrapassagem Estime o tempo de acomodação e o instante de pico para a resposta projetada no Item b Discuta a validade de sua aproximação de segunda ordem Utilize o MATLAB para representar graficamente a resposta ao degrau em malha fechada para o valor de K obtido no Item b Compare o gráfico com os valores preditos obtidos nos Itens b e c Controle de HIVAIDS No modelo linearizado do Capítulo 6 Problema 68 onde o nível de vírus é controlado por meio de RTIs a função de transferência da planta em malha aberta foi apresentada como A quantidade de RTIs administrada ao paciente será calculada automaticamente através da inserção do paciente na malha de controle com Gs mostrada na Figura P620 Craig 2004 No caso mais simples Gs K com K 0 Observe que isso efetivamente cria uma malha com realimentação positiva porque o sinal negativo no numerador de Ps se cancela com o sinal da realimentação negativa na junção de soma Utilize as regras da realimentação positiva para traçar o lugar geométrico das raízes do sistema Admita agora Gs K com K 0 O sistema agora é um sistema com realimentação negativa Utilize as regras da realimentação negativa para traçar o lugar geométrico das raízes Mostre que neste caso o sistema será estável em malha fechada para todo K 0 Veículo híbrido No Capítulo 7 a Figura P734 mostra o diagrama de blocos do controle de velocidade de um HEV reorganizado como um sistema com realimentação unitária Preitl 2007 Seja a função de transferência do controlador de velocidade a b 1 2 1 Admita primeiro que o controlador de velocidade é configurado como um controlador proporcional KICV 0 e GCVs KPCV Calcule os polos em malha aberta do caminho à frente Agora utilize o MATLAB para traçar o lugar geométrico das raízes do sistema e determinar o ganho KPCV que resulta em uma resposta em malha fechada criticamente amortecida Finalmente represente graficamente a resposta no domínio do tempo ct para uma entrada em degrau unitário utilizando o MATLAB Observe na curva o tempo de subida Tr e o tempo de acomodação Ts Adicione agora um ganho integral KICV ao controlador tal que KICVKPCV 04 Utilize o MATLAB para traçar o lugar geométrico das raízes e determinar o ganho proporcional KPCV que pode levar a uma resposta ao degrau unitário em malha fechada com 10 de ultrapassagem Represente graficamente ct usando o MATLAB e observe na curva o instante de pico Tp e o tempo de acomodação Ts A resposta obtida parece uma resposta subamortecida de segunda ordem Investigando em Laboratório Virtual Experimento 81 Objetivo Verificar o efeito de polos e zeros em malha aberta sobre a forma do lugar geométrico das raízes Verificar a utilização do lugar geométrico das raízes como uma ferramenta para estimar o efeito do ganho em malha aberta sobre a resposta transitória de sistemas em malha fechada Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio Esboce duas possibilidades para o lugar geométrico das raízes de um sistema com realimentação negativa unitária com a configuração de polos e zeros em malha aberta mostrada na Figura P827 Caso o sistema em malha aberta do PréEnsaio 1 seja estime a ultrapassagem percentual para os seguintes valores de ganho K 20 50 85 200 e 700 Ensaio Utilizando a SISO Design Tool do MATLAB prepare um sistema com realimentação negativa com para gerar um lugar geométrico das raízes Por conveniência ajuste o zero em 6 utilizando a função compensador da SISO Design Tool simplesmente arrastando um zero até 6 no lugar geométrico das raízes resultante Armazene o lugar geométrico das raízes para o zero em 6 Mova o zero para as seguintes posições e armazene um lugar geométrico das raízes para cada posição 2 15 137 e 12 2 1 2 Utilizando a SISO Design Tool do MATLAB prepare um sistema com realimentação negativa unitária com para gerar um lugar geométrico das raízes Abra o LTI Viewer para SISO Design Tool para mostrar as respostas ao degrau Utilizando os valores de K especificados no PréEnsaio 2 registre a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação e grave o lugar geométrico das raízes e a resposta ao degrau para cada valor de K FIGURA P827 PósEnsaio Discuta os resultados obtidos no PréEnsaio 1 e no Ensaio 1 Que conclusões você pode tirar Construa uma tabela comparando a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação de seus cálculos no PréEnsaio 2 e seus valores experimentais obtidos no Ensaio 2 Discuta as razões de quaisquer discrepâncias Que conclusões você pode tirar Experimento 82 Objetivo Utilizar o MATLAB para projetar o ganho de um controlador via lugar geométrico das raízes Requisitos Mínimos de Programas MATLAB com Control System Toolbox PréEnsaio O modelo da dinâmica do sistema em malha aberta para a ligação da junta eletromecânica do ombro do Manipulador de Pesquisa Avançada II ARM II Advanced Research Manipulator II de oito eixos da NASA atuado através de um servomotor cc controlado pela armadura é mostrado na Figura P828 a b 1 2 FIGURA P828 Modelo em malha aberta para o ARM II Os parâmetros constantes da junta do ombro do ARM II são Ka 12 L 0006 H R 14 Ω Kce 000867 n 200 Km 4375 J Jm JCn2 D Dm DCn2 JC 1 DC 05 Jm 000844 e Dm 000013 Craig 2005 Nyzen 1999 Williams 1994 Obtenha função de transferência em malha aberta equivalente A malha deve ser fechada colocandose um controlador Gcs KDs KP em cascata com Gs no caminho à frente formando uma função de transferência equivalente Ges GcsGs Os parâmetros de Gcs serão usados para projetar um desempenho transitório desejado A entrada para o sistema em malha fechada é uma tensão VIs representando o deslocamento angular desejado da junta robótica com uma relação de 1 volt igual a 1 radiano A saída do sistema em malha fechada é o deslocamento angular real da junta θCs Um encoder no caminho de realimentação Ke converte o deslocamento real da junta em uma tensão com uma relação de 1 radiano igual a 1 volt Desenhe o sistema em malha fechada mostrando todas as funções de transferência c Obtenha a função de transferência em malha fechada Ensaio Faça e utilize o MATLAB para projetar o valor de K D para resultar em uma resposta ao degrau com uma ultrapassagem percentual máxima de 02 PósEnsaio Discuta o sucesso de seu projeto O erro em regime permanente é o que você esperava Dê razões para sua resposta Experimento 83 Objetivo Utilizar o LabVIEW para projetar o ganho de um controlador via lugar geométrico das raízes Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module e MathScropt RT Module PréEnsaio Complete o PréEnsaio do Experimento 82 caso ainda não o tenha feito Ensaio Faça Utilize o LabVIEW para abrir e customizar a Interactive Root Locus VI em Examples com o objetivo de implementar um projeto de KD para resultar em uma resposta ao 1 2 degrau com uma ultrapassagem percentual máxima de 02 Utilize uma abordagem híbrida gráficaMathScript PósEnsaio Discuta o sucesso de seu projeto O erro em regime permanente é o que você esperava Dê razões para sua resposta Bibliografia Anderson C G Richon JB and Campbell T J An Aerodynamic MomentControlled Surface for Gust Load Alleviation on Wind Turbine Rotors IEEE Transactions on Control System Technology vol 6 no 5 September 1998 pp 577595 Annaswamy A M and Ghonien A F Active Control in Combustion Systems IEEE Control Systems December 1995 pp 4963 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para funções de entrada descontínuas como entradas em degrau 2O zero em 1 mostrado no gráfico do lugar geométrico das raízes da Figura 832 é um zero em malha aberta uma vez que ele vem do numerador de Hs 3Fonte Rockwell International Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Utilizar o lugar geométrico das raízes para projetar compensadores em cascata para melhorar o erro em regime permanente Seções 9192 Utilizar o lugar geométrico das raízes para projetar compensadores em cascata para melhorar a resposta transitória Seção 93 Utilizar o lugar geométrico das raízes para projetar compensadores em cascata para melhorar ambos o erro em regime permanente e a resposta transitória Seção 94 Utilizar o lugar geométrico das raízes para projetar compensadores de realimentação para melhorar a resposta transitória Seção 95 Implementar fisicamente os compensadores projetados Seção 96 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de projetar um compensador em cascata para atender especificações de resposta transitória e de erro em regime permanente Dado o sistema de controle de arfagem ou rumo para o veículo UFSS mostrado nas guardas traseiras você será capaz de projetar um compensador em cascata ou de realimentação para atender especificações de resposta transitória 91 Introdução No Capítulo 8 vimos que o lugar geométrico das raízes mostrava graficamente tanto informações sobre a resposta transitória quanto informações sobre a estabilidade O lugar geométrico pode ser esboçado rapidamente para obterse uma ideia geral das mudanças na resposta transitória geradas por variações no ganho Pontos específicos do lugar geométrico também podem ser determinados com exatidão para fornecer informações quantitativas de projeto O lugar geométrico das raízes tipicamente nos permite escolher o ganho de malha adequado para atender uma especificação de resposta transitória À medida que o ganho é variado nos movemos através de diferentes regiões de resposta Ajustando o ganho em um valor particular produzse a resposta transitória ditada pelos polos no ponto sobre o lugar geométrico das raízes Assim estamos limitados às respostas que existem ao longo do lugar geométrico das raízes Melhorando a Resposta Transitória A flexibilidade no projeto de uma resposta transitória desejada pode ser aumentada se pudermos projetar para respostas transitórias que não estão sobre o lugar geométrico das raízes A Figura 91a ilustra esse conceito Admita que a resposta transitória desejada definida pela ultrapassagem percentual e pelo tempo de acomodação seja representada pelo ponto B Infelizmente no lugar geométrico das raízes atual para a ultrapassagem percentual especificada só podemos obter o tempo de acomodação representado pelo ponto A após um simples ajuste de ganho Assim nosso objetivo é aumentar a velocidade da resposta em A para a em B sem afetar a ultrapassagem percentual Esse aumento de velocidade não pode ser realizado por um simples ajuste de ganho uma vez que o ponto B não está sobre o lugar geométrico das raízes A Figura 91b ilustra a melhoria na resposta transitória que buscamos a resposta mais rápida possui a mesma ultrapassagem percentual da resposta mais lenta Uma maneira de resolver nosso problema é substituir o sistema existente por um sistema cujo lugar geométrico das raízes intercepte o ponto de projeto desejado B Infelizmente essa substituição é dispendiosa e contraproducente A maioria dos sistemas é escolhida por outras características que não estão relacionadas com a resposta transitória Por exemplo a cabine e o motor de um elevador são escolhidos com base na velocidade e na potência Componentes escolhidos por suas respostas transitórias podem não atender necessariamente por exemplo requisitos de potência Ao invés de alterar o sistema existente aumentamos ou compensamos o sistema com polos e zeros adicionais de modo que o sistema compensado tenha um lugar geométrico das raízes que passe pela posição desejada do polo para algum valor de ganho Uma das vantagens de se compensar um sistema dessa forma é que os polos e zeros adicionais podem ser acrescentados na extremidade de baixa potência do sistema antes da planta O acréscimo de polos e zeros de compensação não precisa interferir nos requisitos de potência de saída do sistema ou apresentar problemas adicionais de carregamento ou de projeto Os polos e zeros de compensação podem ser gerados com um circuito passivo ou com um circuito ativo FIGURA 91 a Lugar geométrico das raízes mostrando um ponto de projeto possível através de ajuste de ganho A e um ponto de projeto desejado que não pode ser atingido através de um simples ajuste de ganho B b respostas de polos em A e B Uma possível desvantagem de compensar um sistema com polos e zeros adicionais em malha aberta é que a ordem do sistema pode aumentar com um efeito subsequente na resposta desejada Nos Capítulos 4 e 8 discutimos o efeito de polos e zeros adicionais em malha fechada sobre a resposta transitória No início do processo de projeto discutido neste capítulo determinamos a posição adequada de polos e zeros adicionais em malha aberta para resultar nos polos desejados de segunda ordem em malha fechada Entretanto não sabemos a posição dos polos em malha fechada de ordem superior até o final do projeto Assim devemos avaliar a resposta transitória através de simulação depois que o projeto esteja completo para nos certificarmos de que os requisitos foram atendidos No Capítulo 12 quando discutimos o projeto no espaço de estados a desvantagem de se determinar a posição dos polos de ordem superior em malha fechada depois do projeto será eliminada através de técnicas que permitem o projetista especificar e projetar a posição de todos os polos em malha fechada no início do processo de projeto Um método de compensação para resposta transitória que será discutido posteriormente é inserir um derivador no caminho à frente em paralelo com o ganho Podemos visualizar a operação do derivador com o exemplo a seguir Admitindo um controle de posição com entrada em degrau observamos que o erro sofre uma grande variação inicial Derivando essa variação rápida produzse um grande sinal que aciona a planta A saída do derivador é muito maior que a saída do ganho puro Essa grande entrada inicial para a planta produz uma resposta mais rápida À medida que o erro se aproxima de seu valor final sua derivada tende a zero e a saída do derivador se torna desprezível comparada com a saída do ganho Melhorando o Erro em Regime Permanente Os compensadores não são utilizados apenas para melhorar a resposta transitória de um sistema eles também são utilizados independentemente para melhorar as características de erro em regime permanente Anteriormente quando o ganho do sistema foi ajustado para atender à especificação de resposta transitória o desempenho do erro em regime permanente se deteriorou uma vez que tanto a resposta transitória quanto a constante de erro estático estavam relacionadas com o ganho Quanto maior o ganho menor o erro em regime permanente porém maior a ultrapassagem percentual Por outro lado reduzindo o ganho para diminuir a ultrapassagem percentual aumenta se o erro em regime permanente Caso utilizemos compensadores dinâmicos estruturas de compensação que nos permitirão atender às especificações de transitório e de erro em regime permanente simultaneamente podem ser projetadas1 Não precisamos mais de uma solução de compromisso entre resposta transitória e erro em regime permanente desde que o sistema opere em sua faixa linear No Capítulo 7 aprendemos que o erro em regime permanente pode ser melhorado adicionado se um polo em malha aberta na origem no caminho à frente aumentando assim o tipo do sistema e conduzindo o erro em regime permanente associado a zero Este polo adicional na origem requer um integrador para sua realização Em resumo então a resposta transitória é melhorada com o acréscimo de derivação e o erro em regime permanente é melhorado com o acréscimo de integração no caminho à frente Configurações Duas configurações de compensação são cobertas neste capítulo compensação em cascata e compensação de realimentação Esses métodos são modelados na Figura 92 Com compensação em cascata a estrutura de compensação G1s é colocada na extremidade de baixa potência do caminho à frente em cascata com a planta Caso a compensação de realimentação seja utilizada o compensador H1s é colocado no caminho de realimentação Ambos os métodos alteram os polos e zeros em malha aberta criando dessa forma um novo lugar geométrico das raízes que passa pela posição desejada do polo em malha fechada FIGURA 92 Técnicas de compensação a cascata b realimentação Compensadores Os compensadores que utilizam integração pura para melhorar o erro em regime permanente ou derivação pura para melhorar a resposta transitória são definidos como compensadores ideais Os compensadores ideais devem ser implementados com estruturas ativas as quais no caso de circuitos elétricos requerem o uso de amplificadores ativos e possivelmente de fontes de alimentação adicionais Uma vantagem dos compensadores com integrador ideal é que o erro em regime permanente é reduzido a zero Os compensadores eletromecânicos ideais como os tacômetros são frequentemente utilizados para melhorar a resposta transitória uma vez que eles podem ser interfaceados de forma conveniente com a planta Outras técnicas de projeto que evitam o uso de dispositivos ativos para compensação podem ser adotadas Esses compensadores que podem ser implementados com elementos passivos como resistores e capacitores não utilizam integração pura nem derivação pura e não são compensadores ideais As estruturas passivas têm as vantagens de serem menos dispendiosas e de não requererem fontes de alimentação adicionais para o seu funcionamento Sua desvantagem é que o erro em regime permanente não é levado a zero nos casos em que os compensadores ideais produziriam erro nulo Assim a escolha entre um compensador ativo e um compensador passivo gira em torno de custo peso desempenho desejado função de transferência e interface entre o compensador e outros equipamentos Nas Seções 92 93 e 94 primeiro discutimos o projeto de compensadores em cascata utilizando compensação ideal e em seguida a compensação em cascata utilizando compensadores que não são implementados com integração ou derivação pura 92 Melhorando o Erro em Regime Permanente via Compensação em Cascata Nesta seção discutimos duas maneiras de melhorar o erro em regime permanente de um sistema de controle com realimentação utilizando compensação em cascata Um objetivo deste projeto é melhorar o erro em regime permanente sem afetar de forma apreciável a resposta transitória A primeira técnica é a compensação integral ideal a qual utiliza um integrador puro para adicionar um polo na origem no caminho à frente em malha aberta aumentando assim o tipo do sistema e reduzindo o erro a zero A segunda técnica não utiliza integração pura Esta técnica de compensação adiciona o polo perto da origem e embora não leve o erro em regime permanente a zero resulta em uma redução considerável do erro em regime permanente Embora a primeira técnica reduza o erro em regime permanente a zero o compensador precisa ser implementado com estruturas ativas como amplificadores A segunda técnica embora não reduza o erro a zero tem a vantagem de poder ser implementada com uma estrutura passiva menos dispendiosa que não requer fontes de alimentação adicionais Os nomes associados aos compensadores proveem do método de implementação do compensador ou das características do compensador Os sistemas que alimentam o erro adiante para a planta são chamados de sistemas de controle proporcional Os sistemas que alimentam a integral do erro para a planta são chamados de sistemas de controle integral Finalmente os sistemas que alimentam a derivada do erro para a planta são chamados de sistemas de controle derivativo Assim nesta seção chamamos o compensador integral ideal de controlador proporcional e integral PI uma vez que sua implementação como veremos consiste em alimentar o erro proporcional mais a integral do erro adiante para a planta A segunda técnica utiliza o que chamamos de compensador de atraso de fase O nome desse compensador vem de suas características de resposta em frequência as quais serão discutidas no Capítulo 11 Portanto utilizamos o nome controlador PI para o compensador integral ideal e utilizamos o nome compensador de atraso de fase quando o compensador em cascata não emprega integração pura Compensação Integral Ideal PI O erro em regime permanente pode ser melhorado acrescentandose um polo em malha aberta na origem uma vez que isso aumenta o tipo do sistema por um Por exemplo um sistema do Tipo 0 respondendo a uma entrada em degrau com um erro finito responderá com erro nulo se o tipo do sistema for aumentado por um Os circuitos ativos podem ser utilizados para acrescentar polos na origem Mais adiante neste capítulo mostramos como construir um integrador com circuitos eletrônicos ativos Para ver como melhorar o erro em regime permanente sem afetar a resposta transitória observe a Figura 93a Aqui temos um sistema operando com uma resposta transitória desejável gerada pelos polos em malha fechada em A Caso adicionemos um polo na origem para aumentar o tipo do sistema a contribuição angular dos polos em malha aberta no ponto A não é mais 180 e o lugar geométrico das raízes não passará mais pelo ponto A como mostrado na Figura 93b Para resolver o problema adicionamos também um zero próximo ao polo na origem como mostrado na Figura 93c Agora as contribuições angulares do zero do compensador e do polo do compensador se cancelam o ponto A ainda está sobre o lugar geométrico das raízes e o tipo do sistema foi aumentado Além disso o ganho requerido no polo dominante é aproximadamente o mesmo que antes da compensação uma vez que a razão entre os comprimentos a partir do polo do compensador e do zero do compensador é aproximadamente unitária Dessa forma melhoramos o erro em regime permanente sem afetar apreciavelmente a resposta transitória Um compensador com um polo na origem e um zero próximo ao polo é chamado de compensador integral ideal FIGURA 93 O polo em A a está sobre o lugar geométrico das raízes sem compensador b não está sobre o lugar geométrico das raízes com o polo do compensador adicionado c está aproximadamente sobre o lugar geométrico das raízes com o polo e o zero do compensador adicionados No exemplo a seguir demonstramos o efeito da compensação integral ideal Um polo em malha aberta será colocado na origem para aumentar o tipo do sistema e levar o erro em regime permanente a zero Um zero em malha aberta será colocado bastante próximo do polo em malha aberta na origem de modo que os polos originais em malha fechada sobre o lugar geométrico das raízes original permaneçam aproximadamente nos mesmos pontos sobre o lugar geométrico das raízes compensado Exemplo 91 O Efeito de um Compensador Integral Ideal PROBLEMA Dado o sistema da Figura 94a operando com um fator de amortecimento de 0174 mostre que a adição do compensador integral ideal mostrado na Figura 94b reduz o erro em regime permanente a zero para uma entrada em degrau sem afetar significativamente a resposta transitória A estrutura de compensação é escolhida com um polo na origem para aumentar o tipo do sistema e um zero em 01 próximo ao polo do compensador de modo que a contribuição angular do compensador avaliada nos polos de segunda ordem dominantes originais seja aproximadamente zero Assim os polos de segunda ordem dominantes em malha fechada originais estão aproximadamente sobre o novo lugar geométrico das raízes FIGURA 94 Sistema em malha fechada para o Exemplo 91 a antes da compensação b após a compensação integral ideal FIGURA 95 Lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação da Figura 94a SOLUÇÃO Primeiro analisamos o sistema sem compensação e determinamos a posição dos polos de segunda ordem dominantes Em seguida calculamos o erro em regime permanente sem compensação para uma entrada em degrau unitário O lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação é mostrado na Figura 95 Um fator de amortecimento de 0174 é representado por uma reta radial traçada no plano s a 10002 Procurando ao longo dessa reta com o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H no site da LTC Editora constatamos que os polos dominantes são 0694 j3926 para um ganho K de 1646 Agora procure pelo terceiro polo no lugar geométrico das raízes além de 10 sobre o eixo real Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes e procurando pelo mesmo ganho do par dominante K 5 1646 constatamos que o terceiro polo está em aproximadamente 1161 Este ganho resulta em Kp 823 Portanto o erro em regime permanente é Adicionando um compensador integral ideal com um zero em 01 como mostrado na Figura 94b obtemos o lugar geométrico das raízes mostrado na Figura 96 Os polos dominantes de segunda ordem o terceiro polo além de 10 e o ganho são aproximadamente os mesmos do sistema sem compensação Outra seção do lugar geométrico das raízes compensado está entre a origem e 01 Procurando nessa região pelo mesmo ganho do par dominante K 1582 o quarto polo em malha fechada é localizado em 00902 perto o suficiente do zero para propiciar o cancelamento de polo e zero Assim os polos em malha fechada e o ganho do sistema compensado são aproximadamente os mesmos que os polos em malha fechada e o ganho do sistema sem compensação o que indica que a resposta transitória do sistema compensado é aproximadamente a mesma do sistema sem compensação Entretanto o sistema compensado com seu polo na origem é um sistema do Tipo 1 diferentemente do sistema sem compensação ele responderá a uma entrada em degrau com erro nulo FIGURA 96 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado da Figura 94b A Figura 97 compara a resposta sem compensação com a resposta compensada com integração ideal A resposta ao degrau do sistema com compensação integral ideal tende à unidade em regime permanente enquanto o sistema sem compensação tende a 0892 Portanto o sistema com compensação integral ideal responde com erro em regime permanente nulo A resposta transitória do sistema sem compensação e do sistema com compensação integral ideal é a mesma até aproximadamente 3 segundos Após esse instante o integrador no compensador mostrado na Figura 94b compensa lentamente o erro até que o erro nulo seja finalmente alcançado A simulação mostra que são necessários 18 segundos para que o sistema compensado fique dentro da faixa de 2 do valor final unitário enquanto o sistema sem compensação leva cerca de 6 segundos para se acomodar na faixa de 2 de seu valor final de 0892 A compensação a princípio pode parecer ter resultado em uma deterioração do tempo de acomodação Entretanto observe que o sistema compensado alcança o valor final do sistema sem compensação aproximadamente ao mesmo tempo O tempo restante é utilizado para melhorar o erro em regime permanente em relação ao do sistema sem compensação FIGURA 97 Resposta do sistema com compensador integral ideal e resposta do sistema sem compensação do Exemplo 91 Um método para implementar um compensador integral ideal é mostrado na Figura 98 A estrutura de compensação precede Gs e é um compensador integral ideal uma vez que O valor do zero pode ser ajustado pela variação de K2K1 Nesta implementação o erro e a integral do erro são alimentados adiante para a planta Gs Como a Figura 98 possui ambos controle proporcional e controle integral o controlador integral ideal ou compensador recebe o nome alternativo de controlador PI Mais adiante neste capítulo veremos como implementar cada bloco K1 e K2s FIGURA 98 Controlador PI Compensação de Atraso de Fase A compensação integral ideal com seu polo na origem requer um integrador ativo Caso utilizemos estruturas passivas o polo e o zero são movidos para a esquerda nas proximidades da origem como mostrado na Figura 99c Podese imaginar que esse posicionamento do polo embora não aumente o tipo do sistema resulte em melhoria na constante de erro estático em relação a um sistema sem compensação Sem perda de generalidade demonstramos que essa melhoria é de fato realizada para um sistema do Tipo 1 Admita o sistema sem compensação mostrado na Figura 99a A constante de erro estático KvO para o sistema é Admitindo o compensador de atraso de fase mostrado na Figura 99b e c a nova constante de erro estático é Qual é o efeito sobre a resposta transitória A Figura 910 mostra os efeitos da adição do compensador de atraso de fase sobre o lugar geométrico das raízes O lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação é mostrado na Figura 910a na qual o ponto P é admitido como polo dominante Caso o polo e o zero do compensador de atraso de fase estejam próximos um do outro a contribuição angular do compensador no ponto P é de aproximadamente zero grau Assim na Figura 910b na qual o compensador foi adicionado o ponto P está aproximadamente na mesma posição sobre o lugar geométrico das raízes compensado FIGURA 99 a Sistema do Tipo 1 sem compensação b sistema do Tipo 1 compensado c diagrama de polos e zeros do compensador FIGURA 910 Lugar geométrico das raízes a antes da compensação de atraso de fase b depois da compensação de atraso de fase Qual é o efeito sobre o ganho requerido K Após inserir o compensador constatamos que K é virtualmente o mesmo para os sistemas sem compensação e compensado uma vez que os comprimentos dos vetores traçados a partir do compensador de atraso de fase são aproximadamente iguais e todos os demais vetores não se alteraram significativamente Agora que melhoria pode ser esperada no erro em regime permanente Uma vez que estabelecemos que o ganho K é aproximadamente o mesmo para os sistemas sem compensação e compensado podemos substituir a Eq 93 na Eq 94 e obter A Eq 95 mostra que a melhoria no Kv do sistema compensado em relação ao Kv do sistema sem compensação é igual à razão entre as magnitudes do zero do compensador e do polo do compensador Para manter a resposta transitória inalterada sabemos que o polo e o zero do compensador devem estar próximos um do outro A única forma de a razão entre zc e pc poder ser grande para resultar em uma melhoria apreciável no erro em regime permanente e simultaneamente ter o polo e o zero do compensador próximos um do outro para minimizar a contribuição angular é posicionar o par de polo e zero do compensador próximo da origem Por exemplo a razão entre zc e pc pode ser igual a 10 se o polo estiver em 0001 e o zero em 001 Assim a razão é 10 mas o polo e o zero estão bastante próximos e a contribuição angular do compensador é pequena Conclusão embora o compensador ideal leve o erro em regime permanente para zero o compensador de atraso de fase com um polo que não está na origem irá melhorar a constante de erro estático por um fator igual a zcpc Haverá também um efeito mínimo sobre a resposta transitória se o polo e o zero do compensador forem posicionados próximos à origem Mais adiante neste capítulo mostramos configurações de circuitos para o compensador de atraso de fase Essas configurações de circuito podem ser obtidas com estruturas passivas e portanto não requerem os amplificadores ativos e possíveis fontes adicionais de alimentação que são requeridas pelo compensador integral ideal PI No exemplo a seguir projetamos um compensador de atraso de fase para resultar em uma melhoria especificada no erro em regime permanente Exemplo 92 Projeto de Compensador de Atraso de Fase PROBLEMA Compense o sistema da Figura 94a cujo lugar geométrico das raízes é mostrado na Figura 95 para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 10 caso o sistema esteja operando com um fator de amortecimento de 0174 SOLUÇÃO O erro do sistema sem compensação do Exemplo 91 foi 0108 com Kp 823 Uma melhoria de dez vezes corresponde a um erro em regime permanente de Como reorganizando e resolvendo para o Kp requerido resulta A melhoria em Kp do sistema sem compensação para o sistema compensado é a razão requerida entre o zero do compensador e o polo do compensador ou Escolhendo arbitrariamente utilizamos a Eq 99 e obtemos Vamos agora comparar o sistema compensado mostrado na Figura 911 com o sistema sem compensação Primeiro esboce o lugar geométrico das raízes do sistema compensado como mostrado na Figura 912 Em seguida procure ao longo da reta ζ 0174 por um múltiplo de 180 e constate que os polos dominantes de segunda ordem estão em 0678 j3836 com um ganho K de 1581 O terceiro e o quarto polos em malha fechada estão em 1155 e 0101 respectivamente e são encontrados procurandose no eixo real por um ganho igual ao dos polos dominantes Todos os resultados transitórios e em regime permanente para ambos os sistemas sem compensação e compensado são mostrados na Tabela 91 FIGURA 911 Sistema compensado para o Exemplo 92 FIGURA 912 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado da Figura 911 TABELA 91 Características preditas dos sistemas sem compensação e compensado com atraso de fase para o Exemplo 92 Parâmetro Sem compensação Compensado com atraso de fase Planta e compensador K 1646 1581 KP 823 8775 e 0108 0011 Poios de segunda ordem dominantes 0694 j3926 0678 j3836 Terceiro polo 1161 1155 Quarto polo Nenhum 0101 Zero Nenhum 0111 O quarto polo do sistema compensado cancela seu zero Isso deixa os três polos restantes em malha fechada do sistema compensado muito próximos em valor aos três polos em malha fechada do sistema sem compensação Assim a resposta transitória de ambos os sistemas é aproximadamente a mesma bem como o ganho do sistema mas observe que o erro em regime permanente do sistema compensado é 19818 do erro do sistema sem compensação e está próximo da especificação de projeto de uma melhoria de dez vezes Experimente 91 Use as seguintes instruções MATLAB e Control System Toolbox para reproduzir a Figura 913 Guzpk 1 2 101646 Gczpk0111 0011 GceGuGc TufeedbackGu1 TcfeedbackGce1 stepTu hold stepTc A Figura 913 mostra o efeito do compensador de atraso de fase no domínio do tempo Embora as respostas transitórias dos sistemas sem compensação e compensado com atraso de fase sejam iguais o sistema compensado com atraso de fase apresenta um erro em regime permanente menor aproximandose mais da unidade do que o sistema sem compensação Examinamos agora outra possibilidade de projeto para o compensador de atraso de fase e comparamos a resposta com a da Figura 913 Vamos admitir um compensador de atraso de fase cujo polo e zero estejam 10 vezes mais perto da origem do que no projeto anterior Os resultados são comparados na Figura 914 Embora ambas as respostas talvez alcancem aproximadamente o mesmo valor em regime permanente o compensador de atraso de fase projetado antes Gcs s 0111s 001 tende ao valor final mais rápido que o controlador de atraso de fase proposto Gcs s 00111s 0001 Podemos explicar esse fenômeno como a seguir A partir da Tabela 91 o compensador de atraso de fase projetado anteriormente possui um quarto polo em malha fechada em 0101 Utilizando a mesma análise para o novo compensador de atraso de fase com seu polo em malha aberta 10 vezes mais próximo do eixo imaginário encontramos seu quarto polo em malha fechada em 001 Assim o novo compensador de atraso de fase possui um polo em malha fechada mais próximo do eixo imaginário que o compensador de atraso de fase original Este polo em 001 produzirá uma resposta transitória mais longa que o polo original em 0101 e o valor de regime permanente não será alcançado tão rapidamente FIGURA 913 Respostas ao degrau dos sistemas sem compensação e compensado com atraso de fase para o Exemplo 92 FIGURA 914 Respostas ao degrau do sistema para o Exemplo 92 utilizando diferentes compensadores de atraso de fase Exercício 91 a b c d a b c d Exercício 91 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária com a função de transferência à frente está operando com uma resposta ao degrau em malha fechada que tem 15 de ultrapassagem Faça o seguinte Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária Projete um compensador de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 20 Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária para seu sistema compensado Calcule a melhoria obtida no erro em regime permanente RESPOSTAS erampa 01527 erampa 00078 Melhoria de 1958 vezes A solução completa está no site da LTC Editora 93 Melhorando a Resposta Transitória via Compensação em Cascata Uma vez que resolvemos o problema da melhoria do erro em regime permanente sem afetar a resposta transitória vamos agora melhorar a própria resposta transitória Nesta seção discutimos duas formas de melhorar a resposta transitória de um sistema de controle com realimentação utilizando compensação em cascata Tipicamente o objetivo é projetar uma resposta que tenha uma ultrapassagem percentual desejada e um tempo de acomodação menor que o sistema sem compensação A primeira técnica que discutiremos é a compensação derivativa ideal Com a compensação derivativa ideal um derivador puro é adicionado ao caminho à frente do sistema de controle com realimentação Veremos que o resultado de adicionar a derivação é o acréscimo de um zero à função de transferência do caminho à frente Esse tipo de compensação requer uma estrutura ativa para sua realização Além disso a derivação é um processo ruidoso embora o nível de ruído seja baixo a frequência do ruído é alta comparada com o sinal Assim a derivação do ruído de alta frequência resulta em um grande sinal indesejado A segunda técnica não utiliza derivação pura Ao invés disso ela aproxima a derivação com uma estrutura passiva adicionando à função de transferência do caminho à frente um zero e um polo mais distante O zero aproxima a derivação pura como descrito anteriormente Como na compensação para melhorar o erro em regime permanente introduzimos nomes associados com a implementação dos compensadores Chamamos um compensador derivativo ideal de controlador proporcional e derivativo PD uma vez que a implementação como veremos consiste em alimentar o erro proporcional mais a derivada do erro adiante para a planta A segunda técnica utiliza uma estrutura passiva chamada de compensador de avanço de fase Como no caso do compensador de atraso de fase o nome vem de sua resposta em frequência discutida no Capítulo 11 Assim utilizamos o nome controlador PD para o compensador derivativo ideal e utilizamos o nome compensador de avanço de fase quando o compensador em cascata não emprega derivação pura Compensação Derivativa Ideal PD A resposta transitória de um sistema pode ser ajustada através da escolha apropriada da posição do polo em malha fechada no plano s Caso este ponto esteja sobre o lugar geométrico das raízes então um simples ajuste de ganho é tudo o que é requerido para atender à especificação de resposta transitória Caso a posição do polo em malha fechada não esteja sobre o lugar geométrico das raízes então o lugar geométrico das raízes deve ser remodelado de modo que o lugar geométrico das raízes compensado novo passe pela posição escolhida para o polo em malha fechada Para realizar a última tarefa polos e zeros podem ser adicionados no caminho à frente para produzir uma nova função em malha aberta cujo lugar geométrico das raízes passe pelo ponto de projeto no plano s Uma forma de aumentar a velocidade do sistema original que geralmente funciona é adicionar um único zero ao caminho à frente Esse zero pode ser representado por um compensador cuja função de transferência é Essa função a soma de um derivador e de um ganho puro é chamada de controlador derivativo ideal ou controlador PD Uma escolha sensata da posição do zero do compensador pode acelerar a resposta do sistema sem compensação Em resumo respostas transitórias inatingíveis através de um simples ajuste de ganho podem ser obtidas aumentandose os polos e zeros do sistema com um compensador derivativo ideal Mostramos agora que a compensação derivativa ideal aumenta a velocidade da resposta de um sistema Alguns exemplos simples são mostrados na Figura 915 onde o sistema sem compensação da Figura 915a operando com um fator de amortecimento de 04 se torna um sistema compensado pela adição de um zero de compensação em 2 3 e 4 nas Figuras 915b c e d respectivamente Em cada projeto o zero é deslocado para uma posição diferente e o lugar geométrico das raízes é mostrado Para cada caso compensado os polos dominantes de segunda ordem estão mais distantes ao longo da reta de fator de amortecimento 04 do que para o sistema sem compensação FIGURA 915 Usando compensação derivativa ideal a sem compensação b zero do compensador em 2 c zero do compensador em 3 d zero compensador em 4 TABELA 92 Características preditas para os sistemas da Figura 915 Sem compensação Compensação b Compensação c Compensação d Planta e compensador Poios dominantes 0939 j2151 3 j6874 2437 j5583 1869 j4282 K 2372 5125 3534 2076 ζ 04 04 04 04 ωn 2347 75 6091 4673 UP 2538 2538 2538 2538 Ts 426 133 164 214 TP 146 046 056 0733 KP 2372 1025 106 8304 e 0297 0089 0086 0107 Terceiro polo 6123 Nenhum 3127 4262 Zero Nenhum Nenhum 3 4 Comentários Aproximação de segunda ordem OK Segunda ordem pura Aproximação de segunda ordem OK Aproximação de segunda ordem OK Cada um dos casos compensados possui polos dominantes com o mesmo fator de amortecimento do caso sem compensação Portanto predizemos que a ultrapassagem percentual será a mesma para cada caso Além disso os polos dominantes em malha fechada compensados possuem parte real mais negativa que os polos dominantes em malha fechada sem compensação Assim predizemos que os tempos de acomodação para os casos compensados serão menores que para o caso sem compensação Os polos dominantes em malha fechada compensados com as partes reais mais negativas terão os menores tempos de acomodação O sistema na Figura 915b terá o menor tempo de acomodação Todos os sistemas compensados terão instantes de pico menores que o do sistema sem compensação uma vez que as partes imaginárias dos sistemas compensados são maiores O sistema da Figura 915b terá o menor instante de pico Observe também que à medida que o zero é posicionado mais longe dos polos dominantes os polos dominantes compensados em malha fechada se movem mais próximos da origem e dos polos dominantes em malha fechada do sistema sem compensação A Tabela 92 resume os resultados obtidos a partir do lugar geométrico das raízes de cada um dos casos de projeto mostrados na Figura 915 Em resumo embora os métodos de compensação c e d resultem em respostas mais lentas que o método b a adição da compensação derivativa ideal diminuiu o tempo de resposta em cada caso enquanto manteve a mesma ultrapassagem percentual Essa mudança pode ser melhor percebida no tempo de acomodação e no instante de pico onde existe pelo menos uma duplicação da velocidade em todos os casos de compensação Um benefício adicional é a melhoria no erro em regime permanente embora uma compensação de atraso de fase não tenha sido utilizada Neste caso o erro em regime permanente do sistema compensado é pelo menos um terço do erro do sistema sem compensação como pode ser visto por e e Kp Todos os sistemas na Tabela 92 são do Tipo 0 e algum erro em regime permanente é esperado O leitor não deve admitir que em geral uma melhoria na resposta transitória sempre resulte em uma melhoria no erro em regime permanente A resposta no tempo de cada caso na Tabela 92 é mostrada na Figura 916 Observamos que as respostas compensadas são mais rápidas e apresentam menos erros que a resposta sem compensação Agora que vimos o que a compensação derivativa ideal pode fazer estamos prontos para projetar nosso próprio compensador derivativo ideal para atender a uma especificação de resposta transitória Basicamente iremos calcular a soma dos ângulos a partir dos polos e zeros em malha aberta até um ponto de projeto que é o polo em malha fechada que resulta na resposta transitória desejada A diferença entre 180 e o ângulo calculado deve ser a contribuição angular do zero do compensador A trigonometria é então utilizada para determinar a posição do zero que fornece a diferença angular requerida FIGURA 916 Sistema sem compensação e soluções de compensação derivativa ideal da Tabela 92 Exemplo 93 Projeto de Compensador Derivativo Ideal PROBLEMA Dado o sistema da Figura 917 projete um compensador derivativo ideal para resultar em 16 de ultrapassagem com uma redução de três vezes no tempo de acomodação SOLUÇÃO Vamos primeiro avaliar o desempenho do sistema sem compensação operando com 16 de ultrapassagem O lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação é mostrado na Figura 918 Como 16 de ultrapassagem é equivalente a ζ 0504 procuramos ao longo da reta com esse fator de amortecimento por um múltiplo ímpar de 180 e constatamos que o par de polos dominantes de segunda ordem está em 1205 j2064 Assim o tempo de acomodação do sistema sem compensação é FIGURA 917 Sistema de controle com realimentação para o Exemplo 93 Como nosso cálculo da ultrapassagem percentual e do tempo de acomodação é baseado em uma aproximação de segunda ordem devemos verificar a hipótese determinando o terceiro polo e justificando a aproximação de segunda ordem Procurando além de 6 sobre o eixo real por um ganho igual ao ganho do par de segunda ordem dominante 4335 encontramos um terceiro polo em 759 o qual está mais de seis vezes afastado do eixo jω que o par dominante de segunda ordem Concluímos que nossa aproximação é válida As características transitórias e do erro em regime permanente do sistema sem compensação estão resumidas na Tabela 93 Prosseguimos agora com a compensação do sistema Primeiro determinamos a posição dos polos dominantes do sistema compensado Para termos uma redução de três vezes no tempo de acomodação o tempo de acomodação do sistema compensado será igual a um terço da Eq 913 O novo tempo de acomodação será 1107 Portanto a parte real do polo dominante de segunda ordem do sistema compensado é FIGURA 918 Lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação mostrado na Figura 917 TABELA 93 Características dos sistemas sem compensação e compensado do Exemplo 93 Sem compensação Simulação Compensado Simulação Planta e compensador Poios dominantes 1205 j2064 3613 j6193 K 4335 4745 ζ 0504 0504 ωn 239 717 UP 16 148 16 118 Ts 3320 36 1107 12 Tp 1522 17 0507 05 Kv 1806 594 e 0554 0168 Terceiro polo 7591 2775 Zero Nenhum 3006 Comentários Aproximação de segunda ordem OK Polo e zero não se cancelam FIGURA 919 Polo dominante compensado sobreposto ao lugar geométrico das raízes sem compensação para o Exemplo 93 A Figura 919 mostra o polo dominante de segunda ordem projetado com uma parte real igual a 3613 e uma parte imaginária de Em seguida projetamos a posição do zero do compensador Entre com os polos e zeros do sistema sem compensação no programa para o lugar geométrico das raízes bem como com o ponto de projeto 3613 j6193 como ponto de teste O resultado é a soma dos ângulos até o ponto de projeto de todos os polos e zeros do sistema compensado exceto o zero do próprio compensador A diferença entre o resultado obtido e 180 é a contribuição angular requerida do zero do compensador Utilizando os polos em malha aberta na Figura 919 e o ponto de teste 3613 j6193 que é o polo dominante de segunda ordem desejado obtemos a soma de ângulos como 2756 Portanto a contribuição angular requerida do zero do compensador para que o ponto de teste esteja sobre o lugar geométrico das raízes é 2756 180 956 A geometria é mostrada na Figura 920 onde agora devemos resolver para σ a posição do zero do compensador A partir da figura Portanto σ 3006 O lugar geométrico das raízes completo para o sistema compensado é mostrado na Figura 921 FIGURA 920 Determinando a posição do zero do compensador para o Exemplo 93 FIGURA 921 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado do Exemplo 93 FIGURA 922 Respostas ao degrau do sistema sem compensação e do sistema compensado do Exemplo 93 A Tabela 93 resume os resultados para ambos os sistemas sem compensação e compensado Para o sistema sem compensação a estimativa da resposta transitória é exata uma vez que o terceiro polo é pelo menos cinco vezes a parte real do par dominante de segunda ordem A aproximação de segunda ordem para o sistema compensado entretanto pode ser inválida porque não há cancelamento aproximado de polo de terceira ordem e zero entre o polo em malha fechada em 2775 e o zero em malha fechada em 3006 Uma simulação ou uma expansão em frações parciais da resposta em malha fechada para comparar o resíduo do polo em 2775 com os resíduos dos polos dominantes em 3613 j6193 é necessária Os resultados de uma simulação são mostrados na segunda coluna da tabela para o sistema sem compensação e na quarta coluna para o sistema compensado Os resultados da simulação podem ser obtidos utilizando o MATLAB discutido no final deste exemplo ou um programa como aquele para resposta ao degrau no espaço de estados descrito no Apêndice H1 no site da LTC Editora A ultrapassagem percentual difere por 3 entre os sistemas sem compensação e compensado enquanto há uma melhoria de aproximadamente três vezes na velocidade avaliada a partir do tempo de acomodação Os resultados finais são mostrados na Figura 922 que compara o sistema sem compensação e o sistema compensado mais rápido Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch9p1 do Apêndice B O MATLAB será utilizado para projetar um controlador PD Você entrará a ultrapassagem percentual desejada a partir do teclado O MATLAB irá traçar o lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação e a reta de ultrapassagem percentual Você selecionará interativamente o ganho após o que o MATLAB apresentará as características de desempenho do sistema sem compensação e representará graficamente sua resposta ao degrau Utilizando essas características você entrará o tempo de acomodação desejado O MATLAB irá projetar o controlador PD enumerar suas características de desempenho e representar graficamente uma resposta ao degrau Este exercício resolve o Exemplo 93 utilizando o MATLAB Uma vez que tenhamos decidido a posição do zero de compensação como implementamos o controlador derivativo ideal ou controlador PD O compensador integral ideal que melhorou o erro em regime permanente foi implementado com um controlador proporcional e integral PI O compensador derivativo ideal utilizado para melhorar a resposta transitória é implementado com um controlador proporcional e derivativo PD Por exemplo na Figura 923 a função de transferência do controlador é Portanto K1K2 é escolhida igual ao negativo do zero do compensador e K2 é escolhido para contribuir para o valor de ganho de malha requerido Mais adiante neste capítulo estudaremos circuitos que podem ser utilizados para aproximar a derivação e produzir ganho FIGURA 923 Controlador PD Embora o compensador derivativo ideal possa melhorar a resposta transitória do sistema ele tem duas desvantagens Primeiro ele requer um circuito ativo para realizar a derivação Segundo como mencionado anteriormente a derivação é um processo ruidoso o nível do ruído é baixo mas a frequência do ruído é alta comparada com o sinal A derivação de altas frequências pode 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 levar a grandes sinais indesejados ou à saturação de amplificadores e outros componentes O compensador de avanço de fase é uma estrutura passiva utilizada para superar as desvantagens da derivação ideal e ainda conservar a capacidade de melhorar a resposta transitória Experimente 92 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e os seguintes passos para utilizar a SISOTOOL para realizar o projeto do Exemplo 93 Digite SISOTOOL na Janela de Comando do MATLAB Selecione Import no menu File da Janela SISO Design for SISO Design Task No campo Data para G digite zpk0 4 6 1 e tecle ENTER no teclado Clique em OK No menu Edit escolha SISO Tool Preferences e selecione Zeropolegain na aba Option Clique em OK Clique com o botão direito no espaço branco do lugar geométrico das raízes e escolha Design RequirementsNew Escolha Percent overshoot e digite 16 Clique em OK Clique com o botão direito no espaço branco do lugar geométrico das raízes e escolha Design RequirementsNew Escolha Settling time e clique em OK Arraste a linha vertical de tempo de acomodação até a interseção do lugar geométrico das raízes e da reta radial de 16 de ultrapassagem Leia o tempo de acomodação na parte inferior da janela Arraste a linha vertical de tempo de acomodação para um tempo de acomodação que é 13 do valor obtido no Passo 9 Clique no ícone de zero vermelho na barra de menu Coloque o zero sobre o eixo real do lugar geométrico das raízes clicando novamente sobre o eixo real Clique com o botão esquerdo no zero no eixo real e arrasteo ao longo do eixo real até que o lugar geométrico das raízes intercepte as retas de tempo de acomodação e ultrapassagem percentual Arraste um quadrado vermelho ao longo do lugar geométrico das raízes até que ele esteja na interseção do lugar geométrico das raízes da reta de tempo de acomodação e da reta de ultrapassagem percentual Clique na aba Compensator Editor da janela Control and Estimation Tools Manager para ver o compensador resultante incluindo o ganho Compensação de Avanço de Fase Assim como o compensador integral ideal ativo pode ser aproximado por uma estrutura de atraso de fase passiva um compensador derivativo ideal ativo pode ser aproximado por um compensador de avanço de fase passivo Quando estruturas passivas são utilizadas um único zero não pode ser produzido ao invés disso um zero e um polo do compensador são produzidos Entretanto se o polo está mais afastado do eixo imaginário que o zero a contribuição angular do compensador ainda é positiva e assim pode ser aproximada por um único zero equivalente Em outras palavras a contribuição angular do polo do compensador é subtraída da contribuição angular do zero mas não impossibilita a utilização do compensador para melhorar a resposta transitória uma vez que o saldo da contribuição angular é positivo exatamente como para um controlador PD com um único zero As vantagens de uma estrutura de avanço de fase passiva em relação a um controlador PD ativo são que 1 fontes de alimentação adicionais não são requeridas e 2 o ruído devido à derivação é reduzido A desvantagem é que o polo adicional não reduz o número de ramos do lugar geométrico das raízes que cruzam o eixo imaginário para o semiplano da direita enquanto a adição do zero único do controlador PD tende a reduzir o número de ramos do lugar geométrico das raízes que passam para o semiplano da direita Vamos primeiro examinar o conceito por trás da compensação de avanço de fase Caso escolhamos um polo dominante de segunda ordem desejado no plano s a soma dos ângulos a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação até o ponto de projeto pode ser obtida A diferença entre 180 e a soma dos ângulos deve ser a contribuição angular requerida do compensador Por exemplo observando a Figura 924 constatamos que onde θ2 θ1 θc é a contribuição angular do compensador de avanço de fase A partir da Figura 924 percebemos que θc é o ângulo de um feixe que parte do ponto de projeto e intercepta o eixo real nos valores do polo do zero do compensador Agora visualize este feixe girando em torno da posição do polo em malha fechada desejado e interceptando o eixo real no polo e no zero do compensador como ilustrado na Figura 925 Percebemos que um número infinito de compensadores de avanço de fase poderia ser usado para atender ao requisito de resposta transitória Como os possíveis compensadores de avanço de fase diferem um do outro As diferenças estão nos valores das constantes de erro estático no ganho requerido para alcançar o ponto de projeto no lugar geométrico das raízes compensado na dificuldade de se justificar uma aproximação de segunda ordem quando o projeto está completo e na resposta transitória subsequente FIGURA 924 Geometria da compensação de avanço de fase FIGURA 925 Três das infinitas soluções possíveis para o compensador de avanço de fase Para o projeto escolhemos arbitrariamente o polo ou o zero do compensador de avanço de fase e determinamos a contribuição angular no ponto de projeto desse polo ou zero junto com os polos e zeros do sistema em malha aberta A diferença entre esse ângulo e 180 é a contribuição requerida do polo ou zero remanescente do compensador Vamos ver um exemplo Exemplo 94 Projeto de Compensador de Avanço de Fase PROBLEMA Projete três compensadores de avanço de fase para o sistema da Figura 917 que irão reduzir o tempo de acomodação por um fator de 2 enquanto mantém 30 de ultrapassagem Compare as características do sistema entre os três projetos SOLUÇÃO Primeiro determine as características do sistema sem compensação operando com 30 de ultrapassagem para obter o tempo de acomodação sem compensação Como 30 de ultrapassagem é equivalente a um fator de amortecimento de 0358 procuramos ao longo da reta ζ 0358 pelos polos dominantes sem compensação no lugar geométrico das raízes como mostrado na Figura 926 A partir da parte real do polo calculamos o tempo de acomodação sem compensação como Ts 41007 3972 segundos As demais características do sistema sem compensação estão resumidas na Tabela 94 FIGURA 926 Projeto de compensador de avanço de fase mostrando o cálculo dos polos dominantes sem compensação e compensados para o Exemplo 94 Em seguida determinamos o ponto de projeto Uma redução por um fator de dois no tempo de acomodação resulta em Ts 39722 1986 segundo a partir do que a parte real da posição desejada do polo é ζωn 4Ts 2014 A parte imaginária é ωd 2014 tan11098 5 5252 Continuamos projetando o compensador de avanço de fase Admita arbitrariamente um zero do compensador em 5 no eixo real como uma possível solução Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes some os ângulos desse zero e dos polos e zeros do sistema sem compensação usando o ponto de projeto como ponto de teste O ângulo resultante é de 17269 A diferença entre este ângulo e 180 é a contribuição angular requerida para o polo do compensador de modo a posicionar o ponto de projeto sobre o lugar geométrico das raízes Portanto uma contribuição angular de 731 é requerida para o polo do compensador TABELA 94 Comparação de projetos de compensação de avanço de fase para o Exemplo 94 Sem compensação Compensação a Compensação b Compensação c Planta e compensador Poios dominantes 1007 j2627 2014 j5252 2014 j5252 2014 j5252 K 6321 1423 6981 3456 ζ 0358 0358 0358 0358 ωn 2813 5625 5625 5625 UP 30 28 30 307 30 282 30 145 Ts 3972 4 1986 2 1986 2 1986 17 Tp 1196 13 0598 06 0598 06 0598 07 Kv 2634 69 5791 321 e 0380 0145 0173 0312 Outros poios 7986 438 5134 2206 133 1642 Zero Nenhum 5 Nenhum 2 Comentários Aproximação de segunda ordem OK Aproximação de segunda ordem OK Aproximação de segunda ordem OK Polo e zero não se cancelam Resultados de simulação são mostrados entre parênteses FIGURA 927 Diagrama no plano s utilizado para calcular a posição do polo do compensador para o Exemplo 94 A geometria mostrada na Figura 927 é utilizada para calcular a posição do polo do compensador A partir da figura temos a partir da qual o polo compensador é obtido como O lugar geométrico das raízes do sistema compensado é esboçado na Figura 928 Para justificar nossas estimativas de ultrapassagem percentual e de tempo de acomodação devemos mostrar que a aproximação de segunda ordem é válida Para realizar essa verificação de validade procuramos pelo terceiro e pelo quarto polos em malha fechada que estão além de 4296 e entre 5 e 6 na Figura 928 Procurando nessas regiões pelo ganho igual ao do polo dominante compensado 1423 constatamos que o terceiro e quarto polos estão em 438 e 5134 respectivamente Uma vez que 438 é mais que 20 vezes a parte real do polo dominante o efeito do terceiro polo em malha fechada é desprezível Como o polo em malha fechada em 5134 está próximo do zero em 5 temos cancelamento de polo e zero e a aproximação de segunda ordem é válida FIGURA 928 Lugar geométrico das raízes do sistema compensado 1 2 3 4 FIGURA 929 Respostas dos sistemas não compensado e com compensação de avanço de fase para o Exemplo 94 Todos os resultados para este projeto e outros dois projetos os quais posicionam o zero do compensador arbitrariamente em 2 e em 4 e seguem técnicas de projeto semelhantes estão resumidos na Tabela 94 Cada projeto deve ser verificado através de uma simulação que pode consistir no uso do MATLAB discutido no final deste exemplo ou do modelo no espaço de estados e do programa de resposta ao degrau discutido no Apêndice H1 no site da LTC Editora Realizamos uma simulação para esse problema de projeto e os resultados são mostrados por elementos entre parênteses ao lado dos valores estimados na tabela O único projeto em desacordo com a simulação é o caso no qual o zero do compensador está em 2 Para este caso o polo e o zero em malha fechada não se cancelam Um esboço do lugar geométrico das raízes o qual você deve gerar mostra por que o efeito do zero é pronunciado fazendo com que a resposta seja diferente da predita Colocando o zero à direita do polo em 4 criase um trecho do lugar geométrico das raízes que está entre a origem e o zero Em outras palavras existe um polo em malha fechada mais próximo da origem que os polos dominantes com pequena chance de cancelamento de polo e zero exceto para ganho elevado Assim um esboço rápido do lugar geométrico das raízes nos fornece informações a partir das quais podemos tomar melhores decisões de projeto Para este exemplo desejamos colocar o zero sobre ou à esquerda do polo em 4 o que dá uma possibilidade melhor para o cancelamento de polo e zero e para um polo de ordem superior que está à esquerda dos polos dominantes e é subsequentemente mais rápido Isto é verificado pelo fato de nossos resultados mostrarem boas aproximações de segunda ordem para os casos em que o zero foi posicionado em 4 e em 5 Uma vez mais as decisões sobre onde posicionar o zero são baseadas em regras práticas simples e devem ser verificadas através de simulação ao final do projeto Vamos agora resumir os resultados mostrados na Tabela 94 Primeiro observamos diferenças no seguinte A posição do zero escolhido arbitrariamente A melhoria no erro em regime permanente O valor de ganho requerido K A posição do terceiro e quarto polos e seus efeitos relativos sobre a aproximação de segunda ordem Este efeito é medido pelas suas distâncias dos polos dominantes ou pelo grau de cancelamento com o zero em malha fechada Uma vez que o desempenho desejado seja verificado através de uma simulação a escolha da compensação pode ser baseada no valor de ganho requerido ou na melhoria no erro em regime permanente que pode ser obtida sem um compensador de atraso de fase Os resultados da Tabela 94 são amparados por simulações da resposta ao degrau mostradas na Figura 929 para o sistema sem compensação e para as três soluções de compensação de avanço de fase a b a b Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch9p2 do Apêndice B O MATLAB será utilizado para projetar um compensador de avanço de fase Você entrará na ultrapassagem percentual desejada a partir do teclado O MATLAB irá traçar o lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação e a reta de ultrapassagem percentual Você selecionará interativamente o ganho após o que o MATLAB irá apresentar as características de desempenho do sistema sem compensação e apresentará sua resposta ao degrau Utilizando essas características você entrará com o tempo de acomodação desejado e com um valor para o zero do compensador de avanço de fase Você irá então selecionar interativamente um valor para o polo do compensador O MATLAB irá responder com um lugar geométrico das raízes Você pode então continuar selecionando valores para o polo até que o lugar geométrico das raízes passe pelo ponto desejado O MATLAB irá exibir o compensador de avanço de fase enumerar suas características de desempenho e representar graficamente uma resposta ao degrau Este exercício resolve o Exemplo 94 utilizando o MATLAB Exercício 92 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária com a função de transferência à frente está operando com uma resposta ao degrau em malha fechada que tem 15 de ultrapassagem Faça o seguinte Calcule o tempo de acomodação Projete um compensador de avanço de fase para reduzir o tempo de acomodação por um fator de três Escolha o zero do compensador em 10 RESPOSTAS Ts 1143s A solução completa está no site da LTC Editora 1 2 3 4 5 94 Melhorando o Erro em Regime Permanente e a Resposta Transitória Combinamos agora as técnicas de projeto cobertas nas Seções 92 e 93 para obter uma melhoria no erro em regime permanente e na resposta transitória independentemente Basicamente primeiro melhoramos a resposta transitória utilizando os métodos da Seção 93 Então melhoramos o erro em regime permanente desse sistema compensado aplicando os métodos da Seção 92 Uma desvantagem desta abordagem é a pequena redução na velocidade da resposta quando o erro em regime permanente é melhorado Como alternativa podemos melhorar o erro em regime permanente primeiro e então seguir com o projeto para melhorar a resposta transitória Uma desvantagem dessa abordagem é que a melhoria na resposta transitória em alguns casos resulta em deterioração da melhoria do erro em regime permanente que foi projetado primeiro Em outros casos a melhoria na resposta transitória resulta em melhoria adicional nos erros em regime permanente Assim um sistema pode ser projetado em excesso com relação aos erros em regime permanente O projeto em excesso usualmente não é um problema a menos que ele afete o custo ou gere outros problemas de projeto Neste livro primeiro projetamos para a resposta transitória e então projetamos para o erro em regime permanente O projeto pode utilizar compensadores ativos ou compensadores passivos como descrito anteriormente Caso projetemos um controlador PD ativo seguido de um controlador PI ativo o compensador resultante é chamado de controlador proporcional integral e derivativo PID Caso projetemos primeiro um compensador de avanço de fase passivo e em seguida projetemos um compensador de atraso de fase passivo o compensador resultante é chamado de compensador de avanço e atraso de fase Projeto de Controlador PID Um controlador PID é mostrado na Figura 930 Sua função de transferência é a qual possui dois zeros mais um polo na origem Um zero e o polo na origem podem ser projetados como o compensador integral ideal o outro zero pode ser projetado como o compensador derivativo ideal A técnica de projeto demonstrada no Exemplo 95 consiste nos seguintes passos Avalie o desempenho do sistema sem compensação para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida Projete o controlador PD para atender às especificações de resposta transitória O projeto inclui a posição do zero e o ganho de malha Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos Projete o controlador PI para resultar no erro em regime permanente desejado 6 7 8 Passo 1 FIGURA 930 Controlador PID Determine os ganhos K1 K2 e K3 na Figura 930 Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos Exemplo 95 Projeto de Controlador PID PROBLEMA Dado o sistema da Figura 931 projete um controlador PID de modo que o sistema possa operar com um instante de pico que é dois terços do instante de pico do sistema sem compensação com 20 de ultrapassagem e com erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau SOLUÇÃO Observe que nossa solução segue o procedimento de oito passos descrito anteriormente FIGURA 931 Sistema de controle com realimentação sem compensação para o Exemplo 95 Vamos primeiro avaliar o sistema sem compensação operando com 20 de ultrapassagem Procurando ao longo da reta de 20 de ultrapassagem Ζ 0456 na Figura 932 obtemos os polos dominantes como 5415 j1057 com um ganho de 1215 Um terceiro polo que está em 8169 é encontrado procurandose na região entre 8 e 10 para um ganho equivalente ao dos polos dominantes O desempenho completo do sistema sem compensação é mostrado na primeira coluna da Tabela 95 onde comparamos os valores calculados com os obtidos através de simulação Figura 935 Estimamos que o sistema sem compensação tem um instante de pico de 0297 segundo com 20 de ultrapassagem FIGURA 932 Lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação do Exemplo 95 TABELA 95 Características preditas dos sistemas sem compensação compensado com PD e compensado com PID do Exemplo 95 Sem compensação Compensado com DP Compensado com PID Planta e compensador Poios dominantes 5415 jl057 813 jl587 7516 jl467 K 1215 534 46 ζ 0456 0456 0456 ωn 1188 1783 1649 UP 20 20 20 Ts 0739 0492 0532 TP 0297 0198 0214 Passo 2 KP 54 1327 e 0156 0070 0 Outros poios 8169 8079 8099 0468 Zeros 8 8 5592 8 5592 05 Comentários Aproximação de segunda ordem OK Aproximação de segunda ordem OK Zeros em 5592 e 05 não cancelados Para compensar o sistema para reduzir o instante de pico a dois terços do sistema sem compensação precisamos primeiro determinar a posição dos polos dominantes do sistema compensado A parte imaginária do polo dominante compensado é Portanto a parte real do polo dominante compensado é Em seguida projetamos o compensador Utilizando a geometria mostrada na Figura 933 calculamos a posição do zero de compensação Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes obtemos a soma dos ângulos a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação até o polo dominante compensado desejado como 19837 Assim a contribuição requerida a partir do zero do compensador é 19837 180 1837 Admita que o zero do compensador esteja posicionado em zc como mostrado na Figura 933 Uma vez que então Assim o controlador PD é O lugar geométrico das raízes completo para o sistema compensado com PD é esboçado na Figura 934 Utilizando um programa para o lugar geométrico das raízes o ganho no ponto de projeto é de 534 Especificações completas para a compensação derivativa ideal são mostradas na terceira coluna da Tabela 95 FIGURA 933 Calculando o zero do compensador PD para o Exemplo 95 FIGURA 934 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PD do Exemplo 95 Passos 3 e 4 Passo 5 Passo 6 FIGURA 935 Respostas ao degrau para os sistemas sem compensação compensado com PD e compensado com PID do Exemplo 95 Simulamos o sistema compensado com PD como mostrado na Figura 935 Observamos a redução do instante de pico e a melhoria no erro em regime permanente em relação ao sistema sem compensação Depois de projetarmos o controlador PD projetamos o compensador integral ideal para reduzir o erro em regime permanente para uma entrada em degrau a zero Qualquer zero do compensador integral ideal irá funcionar desde que o zero seja posicionado próximo da origem Escolhendo o compensador integral ideal como esboçamos o lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PID como mostrado na Figura 936 Procurando na reta de fator de amortecimento 0456 obtemos os polos dominantes de segunda ordem como 7516 j1467 com um ganho associado de 46 As demais características do sistema compensado com PID são resumidas na quarta coluna da Tabela 95 Agora determinados os ganhos K1 K2 e K3 na Figura 930 A partir das Eqs 926 e 927 o produto do ganho e do controlador PID é Combinando as Eqs 921 e 928 K1 2595 K2 1286 e K3 46 Passos 7 e 8 FIGURA 936 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com PID do Exemplo 95 Retornando à Figura 935 resumimos os resultados de nosso projeto A compensação PD melhorou a resposta transitória reduzindo o tempo necessário para alcançar o primeiro pico e também resultou em alguma melhoria no erro em regime permanente O controlador PID completo melhorou ainda mais o erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória projetada com o controlador PD Como mencionamos anteriormente o controlador PID apresenta uma resposta mais lenta alcançando o valor final unitário em aproximadamente 3 segundos Caso isso seja indesejável a velocidade do sistema deve ser aumentada projetandose novamente o compensador derivativo ideal ou movendose o zero do controlador PI para mais longe da origem A simulação desempenha um papel importante nesse tipo de projeto uma vez que a equação deduzida para o tempo de acomodação não é aplicável a essa parte da resposta onde existe uma lenta correção do erro em regime permanente Projeto de Compensador de Avanço e Atraso de Fase No exemplo anterior combinados serialmente os conceitos de compensação derivativa ideal e integral ideal para chegar ao projeto de um controlador PID que melhorou ambos os desempenhos da resposta transitória e do erro em regime permanente No próximo exemplo melhoramos a resposta transitória e o erro em regime permanente utilizando um compensador de avanço de fase e um compensador de atraso de fase em vez do PID ideal Nosso compensador é chamado de compensador de avanço e atraso de fase Primeiro projetamos o compensador de avanço de fase para melhorar a resposta transitória Em seguida avaliamos a melhoria no erro em regime permanente que ainda é requerida 1 2 3 4 5 6 7 8 Passo 1 Passo 2 Finalmente projetamos o compensador de atraso de fase para atender ao requisito de erro em regime permanente Mais adiante neste capítulo mostramos projetos de circuitos para a estrutura passiva Os passos a seguir resumem o procedimento de projeto Avalie o desempenho do sistema sem compensação para determinar a melhoria necessária na resposta transitória Projete o compensador de avanço de fase para atender às especificações de resposta transitória O projeto inclui a posição do zero a posição do polo e o ganho de malha Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos Avalie o desempenho do erro em regime permanente do sistema compensado com avanço de fase para determinar a melhoria adicional requerida no erro em regime permanente Projete o compensador de atraso de fase para resultar no erro em regime permanente requerido Simule o sistema para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos Projete novamente se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos Exemplo 96 Projeto de Compensador de Avanço e Atraso de Fase PROBLEMA Projete um compensador de avanço e atraso de fase para o sistema da Figura 937 de modo que o sistema opere com 20 de ultrapassagem e uma redução de duas vezes no tempo de acomodação Além disso o sistema compensado deve apresentar melhoria de dez vezes no erro em regime permanente para uma entrada em rampa SOLUÇÃO Novamente nossa solução segue os passos que acabaram de ser descritos FIGURA 937 Sistema sem compensação para o Exemplo 96 Primeiro avaliamos o desempenho do sistema sem compensação Procurando ao longo da reta de 20 de ultrapassagem ζ 0456 na Figura 938 encontramos os polos dominantes em 1794 j3501 com um ganho de 1921 O desempenho do sistema sem compensação está resumido na Tabela 96 Em seguida começamos o projeto do compensador de avanço de fase selecionando a posição dos polos dominantes do sistema compensado Para realizar uma redução de duas vezes no tempo de acomodação a parte real do polo dominante deve ser aumentada por um fator 2 uma vez que o tempo de acomodação é inversamente proporcional à parte real Assim FIGURA 938 Lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação do Exemplo 96 TABELA 96 Características preditas dos sistemas sem compensação compensado com avanço de fase e compensado com avanço e atraso de fase do Exemplo 96 Sem compensação Compensado com avanço de fase Compensado com avanço e atraso de fase Planta e compensador Poios dominantes 1794 j3501 3588 j7003 3574 j6976 K 1921 1977 1971 ζ 0456 0456 0456 ωn 3934 7869 7838 UP 20 20 20 Ts 2230 1115 1119 TP 0897 0449 0450 Kv 3202 6794 3192 e 0312 0147 00313 Terceiro polo 1241 3192 3191 00474 Zero Nenhum Nenhum 004713 Passos 3 e 4 Passo 5 Comentários Aproximação de segunda ordem OK Aproximação de segunda ordem OK Aproximação de segunda ordem OK A parte imaginária do ponto de projeto é Agora projetamos o compensador de avanço de fase Escolha arbitrariamente uma posição para o zero do compensador de avanço de fase Para este exemplo escolhemos a posição do zero do compensador coincidente com o polo em malha aberta em 6 Essa escolha eliminará um zero e deixará o sistema compensado com avanço de fase com três polos a mesma quantidade que o sistema sem compensação tem Completamos o projeto determinando a posição do polo do compensador Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes some os ângulos até o ponto de projeto a partir dos polos e zeros do sistema sem compensação e do zero do compensador e obtenha 16465 A diferença entre 180 e este valor é a contribuição angular requerida a partir do polo do compensador ou 1535 Utilizando a geometria mostrada na Figura 939 a partir do que a posição do polo do compensador pc é determinada como 291 O lugar geométrico das raízes completo para o sistema compensado com avanço de fase é esboçado na Figura 940 O valor do ganho no ponto de projeto é determinado como 1977 Verifique o projeto com uma simulação O resultado para o sistema compensado com avanço de fase é mostrado na Figura 942 e é satisfatório Continue projetando o compensador de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente Uma vez que a função de transferência em malha aberta do sistema sem compensação é Passo 6 FIGURA 939 Calculando o polo do compensador para o Exemplo 96 FIGURA 940 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com avanço de fase do Exemplo 96 a constante de erro estático Kv que é inversamente proporcional ao erro em regime permanente é 3201 Como a função de transferência em malha aberta do sistema compensado com avanço de fase é a constante de erro estático Kv que é inversamente proporcional ao erro em regime permanente é 6794 Assim a adição da compensação de avanço de fase melhorou o erro em regime permanente por um fator de 2122 Como os requisitos do problema especificaram uma melhoria de dez vezes o compensador de atraso de fase deve ser projetado para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 4713 102122 4713 em relação ao sistema compensado com avanço de fase Escolhemos arbitrariamente o polo do compensador de atraso de fase em 001 o que então posiciona o zero do compensador de atraso de fase em 004713 resultando como o compensador de atraso de fase A função de transferência em malha aberta do sistema compensado com avanço e atraso de fase é Passo 7 onde o polo do sistema sem compensação em 6 foi cancelado com o zero do compensador de avanço de fase em 6 Traçando o lugar geométrico das raízes completo para o sistema compensado com avanço e atraso de fase e procurando ao longo da reta de fator de amortecimento 0456 determinamos os polos dominantes em malha fechada estando em 3574 j6976 com um ganho de 1971 O lugar geométrico das raízes compensado com avanço e atraso de fase é mostrado na Figura 941 Um resumo de nosso projeto é mostrado na Tabela 96 Observe que a compensação com avanço e atraso de fase realmente aumentou a velocidade do sistema como pode ser verificado pelo tempo de acomodação ou pelo instante de pico O erro em regime permanente para uma entrada em rampa também diminuiu cerca de 10 vezes como pode ser visto de e A prova final de nossos projetos é mostrada pelas simulações das Figuras 942 e 943 A melhoria na resposta transitória é mostrada na Figura 942 na qual vemos o instante de pico ocorrendo mais cedo no sistema compensado com avanço e atraso de fase A melhoria no erro em regime permanente para uma entrada em rampa é observada na Figura 943 na qual cada parte de nosso projeto resultou em melhoria adicional A melhoria para o sistema compensado com avanço de fase é mostrada na Figura 943a e a melhoria final decorrente da adição do atraso de fase é mostrada na Figura 943b FIGURA 941 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com avanço e atraso de fase do Exemplo 96 FIGURA 942 Melhoria na resposta ao degrau para o sistema compensado com avanço e atraso de fase do Exemplo 96 FIGURA 943 Melhoria no erro da resposta à rampa para o sistema do Exemplo 96 a compensado com avanço de fase b compensado com avanço e atraso de fase No exemplo anterior cancelamos o polo do sistema em 6 com o zero do compensador de avanço de fase A técnica de projeto é a mesma se você colocar o zero do compensador de avanço de fase em uma posição diferente Colocar o zero em uma posição diferente e não cancelar o polo em malha aberta resulta em um sistema com um polo a mais que no exemplo Este aumento de complexidade pode tornar mais difícil justificar uma aproximação de segunda ordem De qualquer forma simulações devem ser utilizadas a cada etapa para verificar o desempenho Filtro Notch Se uma planta como um sistema mecânico tem modos de vibração de alta frequência então uma resposta desejada em malha fechada pode ser difícil de obter Esses modos de vibração de alta frequência podem ser modelados como parte da função de transferência da planta através de pares de polos complexos próximos ao eixo imaginário Em uma configuração em malha fechada esses polos podem se mover para mais perto do eixo imaginário ou até mesmo passar para o semiplano da direita como mostrado na Figura 944a Isso pode resultar em instabilidade ou em oscilações de alta frequência sobrepostas à resposta desejada ver Figura 944b Uma forma de eliminar as oscilações de alta frequência é inserir um filtro notch2 em cascata com a planta Kuo 1995 como mostrado na Figura 944c O filtro notch possui zeros próximos aos polos da planta com baixo fator de amortecimento bem como dois polos reais A Figura 944d mostra que o ramo do lugar geométrico das raízes que se inicia nos polo de alta frequência percorre agora uma pequena distância do polo de alta frequência até o zero do filtro notch A resposta de alta frequência será agora desprezível por causa do cancelamento de polo e zero ver Figura 944e Outros compensadores em cascata podem agora ser projetados para resultar em uma resposta desejada O filtro notch será aplicado ao Problema Progressivo de Análise e Projeto 55 ao final deste capítulo FIGURA 944 a Lugar geométrico das raízes antes da inserção de um filtro notch em cascata b resposta ao degrau em malha fechada típica antes da inserção de um filtro notch em cascata c diagrama de polos e zeros de a b c a b c um filtro notch d lugar geométrico das raízes após a inserção de um filtro notch em cascata e resposta ao degrau em malha fechada após a inserção de um filtro notch em cascata Exercício 93 PROBLEMA Um sistema com realimentação unitária com função de transferência à frente está operando com uma resposta ao degrau em malha fechada que tem 20 de ultrapassagem Faça o seguinte Calcule o tempo de acomodação Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária Projete um compensador de avanço e atraso de fase para reduzir o tempo de acomodação em 2 vezes e diminuir o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária em 10 vezes Coloque o zero do avanço de fase em 3 RESPOSTAS Ts 1143s erampa 01189 A solução completa está no site da LTC Editora Antes de concluir esta seção vamos resumir brevemente nossa discussão sobre compensação em cascata Nas Seções 92 93 e 94 utilizamos compensadores em cascata para melhorar a resposta transitória e o erro em regime permanente A Tabela 97 relaciona os tipos as funções e as características desses compensadores 95 Compensação de Realimentação Na Seção 94 utilizamos a compensação em cascata como uma maneira de melhorar a resposta transitória e a resposta em regime permanente independentemente Inserir um compensador em cascata com a planta não é a única maneira de modificar a forma do lugar geométrico das raízes para que ele intercepte os polos no plano s em malha fechada que resultam em uma resposta transitória desejada Funções de transferência projetadas para serem colocadas em um caminho de realimentação também podem alterar a forma do lugar geométrico das raízes A Figura 945 é uma configuração geral mostrando um compensador Hcs colocado na malha secundária de um sistema de controle com realimentação Outras configurações surgem caso consideremos K unitário G2s unitária ou ambos unitários Os procedimentos para o projeto da compensação de realimentação podem ser mais complexos que os da compensação em cascata Por outro lado a compensação de realimentação pode resultar em respostas mais rápidas Assim o engenheiro pode se dar ao luxo de projetar respostas mais rápidas em partes de uma malha de controle com o objetivo de fornecer isolamento Por exemplo a resposta transitória dos sistemas de controle dos ailerons e do leme de uma aeronave pode ser projetada separadamente para ser rápida com o objetivo de reduzir o efeito de sua resposta dinâmica sobre malha de controle de manobra A compensação de realimentação pode ser utilizada em casos nos quais problemas de ruído impedem o uso da compensação em cascata Além disso a compensação de realimentação pode não requerer amplificação adicional uma vez que o sinal que passa através do compensador se origina na saída de alta potência do caminho à frente e é entregue à entrada de baixa potência no caminho à frente Por exemplo sejam K e G2s na Figura 945 unitários A entrada para o compensador de realimentação KrHcs vem da saída de alta potência de G1s enquanto a saída de KrHcs é uma das entradas de baixa potência para K1 Portanto há uma redução de potência através de KrHcs e uma amplificação não é usualmente necessária FIGURA 945 Sistema de controle geral com compensação de realimentação FIGURA 97 Resposta do sistema com compensador integral ideal e resposta do sistema sem compensação do Exemplo 91 Um compensador de realimentação popular é um sensor de velocidade que atua como um derivador Nas aplicações em aeronaves e em embarcações o sensor de velocidade pode ser um giroscópio de velocidade que responde com uma tensão de saída proporcional à velocidade angular de entrada Em vários outros sistemas esse sensor de velocidade é implementado com um tacômetro Um tacômetro é um gerador de tensão que produz uma tensão de saída proporcional à velocidade de rotação de entrada Esse compensador pode ser facilmente acoplado à saída de posição de um sistema A Figura 946 retrata um sistema de controle de posição mostrando o acoplamento do tacômetro com o motor Você pode observar os potenciômetros de entrada e de saída bem como o motor e a carga de inércia A representação em diagrama de blocos de um tacômetro é mostrada na Figura 947a e sua posição típica dentro de uma malha de controle é mostrada na Figura 947b FIGURA 946 Um sistema de controle de posição que utiliza um tacômetro como derivador no caminho de realimentação Você consegue ver a semelhança entre este sistema e o esquema nas guardas dianteiras FIGURA 947 a Função de transferência de um tacômetro b compensação de realimentação com tacômetro Esta seção além de mostrar métodos para o projeto de sistemas utilizando realimentação de velocidade também prepara o cenário para as técnicas de compensação do Capítulo 12 onde não apenas a velocidade mas todos os estados incluindo posição serão realimentados para se obter um desempenho apropriado do sistema de controle Discutimos agora os procedimentos de projeto Tipicamente o projeto da compensação de realimentação consiste em se obter os ganhos como K K1 e Kr na Figura 945 após o estabelecimento de uma forma dinâmica para Hcs Existem duas abordagens A primeira é semelhante à compensação em cascata Admita um sistema com realimentação típico onde Gs é o caminho à frente e Hs é a realimentação Suponha agora que um lugar geométrico das raízes seja traçado com base em GsHs Na compensação em cascata adicionamos polos e zeros a Gs Na compensação de realimentação polos e zeros são adicionados através de Hs Na segunda abordagem projetamos um desempenho especificado para a malha secundária mostrada na Figura 945 seguida do projeto da malha principal Assim a malha secundária como os ailerons em uma aeronave pode ser projetada com suas próprias especificações de desempenho e operar dentro da malha principal Abordagem 1 A primeira abordagem consiste em se reduzir a Figura 945 à Figura 948 movendose K para a direita passando a junção de soma movendose G2s para a esquerda passando o ponto de ramificação e em seguida somandose os dois caminhos de realimentação A Figura 948 mostra que o ganho de malha GsHs é Sem a realimentação KrHcs o ganho de malha é Assim o efeito do acréscimo da realimentação é substituir os polos e zeros de G2s pelos polos e zeros de KrHcs KG2s Portanto esse método é semelhante à compensação em cascata no que diz respeito a adicionar novos polos e zeros através de Hs para alterar a forma do lugar geométrico das raízes de modo que ele passe pelo ponto de projeto Contudo é preciso lembrar que os zeros da realimentação equivalente mostrada na Figura 948 Hs KrHcs KG2sKG2s não são zeros em malha fechada FIGURA 948 Diagrama de blocos equivalente da Figura 945 Por exemplo caso G2s 1 e a realimentação da malha secundária KrHcs for um sensor de velocidade KrHcs Krs então a partir da Eq 936 o ganho de malha é Assim um zero em KKr é adicionado aos polos e zeros existentes em malha aberta Esse zero modifica a forma do lugar geométrico das raízes para fazêlo passar pelo ponto de projeto desejado Um ajuste final do ganho K1 resulta na resposta desejada Mais uma vez você deve verificar que este zero não é um zero em malha fechada Vamos ver um exemplo numérico Exemplo 97 Zero de Compensação via Realimentação de Velocidade PROBLEMA Dado o sistema da Figura 949a projete uma compensação de realimentação de velocidade como mostrado na Figura 949b para reduzir o tempo de acomodação por um fator de 4 enquanto continua a operar o sistema com 20 de ultrapassagem SOLUÇÃO Primeiro projete um compensador PD Para o sistema sem compensação procure ao longo da reta de 20 de ultrapassagem ζ 0456 e constate que os polos dominantes estão em 1809 j3531 como mostrado na Figura 950 As especificações estimadas para o sistema sem compensação são mostradas na Tabela 98 e a resposta ao degrau é mostrada na Figura 951 O tempo de acomodação é de 221 segundos e deve ser reduzido por um fator de 4 para 055 segundo FIGURA 949 a Sistema para o Exemplo 97 b sistema com compensação de realimentação de velocidade c sistema compensado equivalente d sistema compensado equivalente mostrando realimentação unitária FIGURA 950 Lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação do Exemplo 97 TABELA 98 Características preditas dos sistemas sem compensação e compensado do Exemplo 97 Sem compensação Compensado Planta e compensador Realimentação 1 0185s 542 Poios dominantes 1809 j3531 7236 j1412 K1 2578 1388 ζ 0456 0456 ωn 397 1587 UP 20 20 Ts 221 055 TP 089 022 Kv 344 418 e rampa 029 024 Outros poios 164 553 Zero Nenhum Nenhum Comentários Aproximação de segunda ordem OK Simular Em seguida determine a posição dos polos dominantes para o sistema compensado Para alcançar uma redução de quatro vezes no tempo de acomodação a parte real do polo deve ser aumentada por um fator de 4 Assim o polo compensado possui uma parte real de 41809 7236 A parte imaginária é então onde 11713 é o ângulo da reta de 20 de ultrapassagem Utilizando a posição do polo dominante compensado 7236 j1412 somamos os ângulos a partir dos polos do sistema sem compensação e obtemos 22733 Este ângulo requer uma contribuição do zero do compensador de 9733 para resultar em 180 no ponto de projeto A geometria mostrada na Figura 952 leva ao cálculo da posição do zero do compensador Portanto a partir do que zc 542 FIGURA 951 Resposta ao degrau para o sistema sem compensação do Exemplo 97 FIGURA 952 Determinando o zero do compensador no Exemplo 97 FIGURA 953 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado do Exemplo 97 O lugar geométrico das raízes para o sistema compensado equivalente da Figura 949c é mostrado na Figura 953 O ganho no ponto de projeto que é K1Kr a partir da Figura 949c é obtido como 2567 Uma vez que Kr é o inverso do zero do compensador Kr 0185 Portanto K1 1388 Para calcular a característica de erro em regime permanente Kv é obtido a partir da Figura 949d como O desempenho predito para o sistema compensado é mostrado na Tabela 98 Observe que o polo de ordem superior não está suficientemente distante dos polos dominantes e assim não pode ser desprezado Além disso a partir da Figura 949d verificamos que a função de transferência em malha fechada é Portanto como predito o zero em malha aberta não é um zero em malha fechada e não há cancelamento de polo e zero Assim o projeto deve ser verificado através de uma simulação Os resultados da simulação são mostrados na Figura 954 e apresentam uma resposta superamortecida com um tempo de acomodação de 075 segundo comparado com o tempo de acomodação do sistema sem compensação de aproximadamente 22 segundos Embora não atenda aos requisitos de projeto a resposta ainda representa melhoria em relação ao sistema sem compensação da Figura 951 Tipicamente menos ultrapassagem é aceitável O sistema deve ser reprojetado para maior redução no tempo de acomodação Você pode querer resolver o Problema 8 no final deste capítulo no qual você pode repetir este exemplo utilizando compensação PD em cascata Você verá que o zero do compensador para a compensação em cascata é um zero em malha fechada resultando na possibilidade de cancelamento de polo e zero Entretanto a compensação PD usualmente é ruidosa e nem sempre prática FIGURA 954 Resposta ao degrau para o sistema compensado do Exemplo 97 Abordagem 2 A segunda abordagem nos permite utilizar a compensação de realimentação para projetar a resposta transitória de uma malha secundária separadamente da resposta do sistema em malha fechada No caso de uma aeronave a malha secundária pode controlar a posição das superfícies aerodinâmicas enquanto o sistema em malha fechada como um todo pode controlar o ângulo de arfagem total da aeronave Veremos que a malha secundária da Figura 945 representa basicamente uma função de transferência do caminho à frente cujos polos podem ser ajustados com o ganho da malha secundária Esses polos então se tornam os polos em malha aberta para o sistema de controle como um todo Em outras palavras ao invés de alterar a forma do lugar geométrico das raízes com polos e zeros adicionais como na compensação em cascata podemos realmente alterar os polos da planta através de um ajuste de ganho Finalmente os polos em malha fechada são ajustados pelo ganho de malha como na compensação em cascata Exemplo 98 Compensação de Realimentação da Malha Secundária PROBLEMA Para o sistema da Figura 955a projete uma compensação de realimentação da malha secundária como mostrado na Figura 955b para resultar em um fator de amortecimento de 08 para a malha secundária e um fator de amortecimento de 06 para o sistema em malha fechada FIGURA 955 a Sistema sem compensação e b sistema compensado na realimentação para o Exemplo 98 FIGURA 956 Lugar geométrico das raízes para a malha secundária do Exemplo 98 SOLUÇÃO A malha secundária é definida como a malha que contém a planta 1ss 5s 15 e o compensador de realimentação Krs O valor de Kr será ajustado para definir a posição dos polos da malha secundária e em seguida K será ajustado para resultar na resposta em malha fechada desejada A função de transferência da malha secundária GMSs é Os polos de GMSs podem ser obtidos analiticamente ou através do lugar geométrico das raízes O lugar geométrico das raízes para a malha secundária onde Krsss 5s 15 é a função de transferência em malha aberta é mostrado na Figura 956 Uma vez que o zero na origem vem da função de transferência de realimentação da malha secundária este zero não é um zero em malha fechada da função de transferência da malha secundária Portanto o polo na origem permanece parado e não há cancelamento de polo e zero na origem A Eq 943 também mostra esse fenômeno Vemos um polo parado na origem e dois polos complexos que variam com o ganho Observe que o ganho do compensador Kr varia a frequência natural ωn dos polos da malha secundária como pode ser visto a partir da Eq 943 Uma vez que as partes reais dos polos complexos são constantes em ζωn 10 o fator de amortecimento também deve estar variando para manter 2ζωn 20 uma constante Traçando a reta ζ 08 na Figura 956 obtemos os polos complexos em 10 j75 O ganho Kr que é igual a 8125 posiciona os polos da malha secundária de modo a atender às especificações Os polos que acabamos de determinar 10 j75 bem como o polo na origem Eq 943 atuam como polos em malha aberta que geram um lugar geométrico das raízes para variações do ganho K FIGURA 957 Lugar geométrico das raízes para o sistema em malha fechada do Exemplo 98 FIGURA 958 Simulação da resposta ao degrau para o Exemplo 98 O lugar geométrico das raízes final para o sistema é mostrado na Figura 957 A reta de fator de amortecimento ζ 06 está traçada e é feita uma busca sobre ela Os polos complexos em malha fechada são determinados como 4535 j6046 com um ganho requerido de 6243 Um terceiro polo está em 1093 Os resultados são resumidos na Tabela 99 Observamos que o sistema compensado embora tenha o mesmo fator de amortecimento do sistema sem compensação é muito mais rápido e também possui um erro em regime permanente menor Os resultados entretanto são resultados preditos e devem ser simulados para se verificar a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico uma vez que o terceiro polo não está distante o suficiente dos polos dominantes A resposta ao degrau é mostrada na Figura 958 e está muito próxima do desempenho predito TABELA 99 Características preditas para os sistemas sem compensação e compensado do Exemplo 98 Sem compensação Compensado Planta e compensador Realimentação 1 1 Poios dominantes 1997 j2662 4535 j6046 K 1773 6243 ζ 06 06 ωn 3328 7558 UP 948 948 Ts 2 0882 TP 118 052 Kv 2364 3996 e rampa 0423 025 Outros poios 16 1093 Zero Nenhum Nenhum Comentários Aproximação de segunda ordem OK Simular Exercício 94 PROBLEMA Para o sistema da Figura 959 projete uma compensação de realimentação de velocidade da malha secundária para resultar em um fator de amortecimento de 07 para os polos dominantes da malha secundária e um fator de amortecimento de 05 para os polos dominantes do sistema em malha fechada FIGURA 959 Sistema para o Exercício 94 RESPOSTA O sistema é configurado de modo semelhante ao da Figura 955b com Kr 7742 e K 6263 A solução completa está no site da LTC Editora Nossa discussão sobre métodos de compensação agora está completa Estudamos a compensação em cascata e a compensação de realimentação e as comparamos e contrastamos Estamos agora prontos para mostrar como realizar fisicamente os controladores e compensadores que projetamos 96 Realização Física da Compensação Neste capítulo deduzimos a compensação para melhorar a resposta transitória e o erro em regime permanente em sistemas de controle com realimentação Funções de transferência de compensadores utilizados em cascata com a planta ou no caminho de realimentação foram deduzidas Esses compensadores foram definidos por suas configurações de polos e zeros Eles eram controladores ativos PI PD ou PID ou compensadores passivos de atraso de fase de avanço de fase ou de avanço e de atraso de fase Nesta seção mostramos como implementar os controladores ativos e os compensadores passivos Realização de Circuito Ativo No Capítulo 2 deduzimos como a função de transferência de um amplificador operacional inversor cuja configuração é repetida aqui na Figura 960 Por meio de uma escolha criteriosa de Z1s e de Z2s este circuito pode ser utilizado como um bloco de construção para implementar os compensadores e os controladores como os controladores PID discutidos neste capítulo A Tabela 910 resume a realização de controladores PI PD e PID bem como de compensadores de atraso de fase de avanço de fase e de avanço e atraso de fase utilizando amplificadores operacionais Você pode verificar a tabela aplicando os métodos do Capítulo 2 para obter as impedâncias Outros compensadores podem ser realizados colocandose os compensadores mostrados na tabela em cascata Por exemplo um compensador de avanço e atraso de fase pode ser construído colocandose o compensador de atraso de fase em cascata com o compensador de avanço de fase como mostrado na Figura 961 Como exemplo vamos implementar um dos controladores que projetamos anteriormente neste capítulo FIGURA 960 Amplificador operacional configurado para realização de função de transferência TABELA 910 Realização ativa de controladores e compensadores utilizando um amplificador operacional FIGURA 961 Compensador de avanço e atraso de fase implementado com amplificadores operacionais Exemplo 99 Implementando um Controlador PID PROBLEMA Implemente o controlador PID do Exemplo 95 SOLUÇÃO A função de transferência do controlador PID é que pode ser colocada na forma Comparando o controlador PID na Tabela 910 com a Eq 946 obtemos as três relações seguintes e Uma vez que existem quatro variáveis e três equações escolhemos arbitrariamente um valor prático para um dos componentes Escolhendo C2 01 μF os demais valores são obtidos como R1 35765 kΩ R2 178891 kΩ e C1 559 μF O circuito completo é mostrado na Figura 962 na qual os valores dos componentes foram arredondados FIGURA 962 Controlador PID Realização de Circuito Passivo Os compensadores de atraso de fase de avanço de fase e de avanço e atraso de fase também podem ser implementados com circuitos passivos A Tabela 911 resume os circuitos e suas funções de transferência As funções de transferência podem ser deduzidas com os métodos do Capítulo 2 A função de transferência de avanço e atraso de fase pode ser colocada na seguinte forma onde α 1 Assim os termos com T1 formam o compensador de avanço de fase e os termos com T2 formam o compensador de atraso de fase A Eq 950 mostra uma restrição inerente ao uso desta realização passiva Observamos que a razão entre o zero do compensador de avanço de fase e o polo do compensador de avanço de fase deve ser igual à razão entre o polo do compensador de atraso de fase e o zero do compensador de atraso de fase No Capítulo 11 projetamos um compensador de avanço e atraso de fase com essa restrição Um compensador de avanço e atraso de fase sem essa restrição pode ser realizado com um circuito ativo como mostrado anteriormente ou com circuitos passivos colocandose os circuitos de avanço de fase e de atraso de fase mostrados na Tabela 911 em cascata Lembre contudo que os dois circuitos devem ser isolados para garantir que um circuito não carregue o outro Caso os circuitos carreguem um ao outro a função de transferência não será o produto das funções de transferência individuais Uma possível realização utilizando os circuitos passivos utiliza um amplificador operacional para proporcionar o isolamento O circuito é mostrado na Figura 963 O Exemplo 910 demonstra o projeto de um compensador passivo TABELA 911 Realização passiva de compensadores a FIGURA 963 Compensador de avanço e atraso de fase implementado com circuitos de atraso de fase e de avanço de fase em cascata com isolamento Exemplo 910 Realizando um Compensador de Avanço de Fase PROBLEMA Realize o compensador de avanço de fase projetado no Exemplo 94 Compensador b SOLUÇÃO A função de transferência do compensador de avanço de fase é Comparando a função de transferência de um circuito de avanço de fase mostrada na Tabela 911 com a Eq 951 obtemos as duas relações a seguir e Portanto R1C 025 e R2C 00622 Uma vez que existem três componentes no circuito e duas equações podemos escolher o valor de um dos componentes arbitrariamente Fazendo C 1 μF segue que R1 250 kΩ e R2 622 kΩ Exercício 95 PROBLEMA Implemente os compensadores mostrados em a e b a seguir Escolha uma realização passiva se possível b a b RESPOSTAS Gcs é um controlador PID e portanto requer uma realização ativa Utilize a Figura 960 com os circuitos do controlador PID mostrados na Tabela 910 Um possível conjunto de valores aproximados de componentes é Gcs é um compensador de avanço e atraso de fase que pode ser implementado com um circuito passivo porque a razão entre o polo e o zero de avanço de fase é o inverso da relação entre o polo e o zero de atraso de fase Utilize o circuito do compensador de avanço e atraso de fase mostrado na Tabela 911 Um possível conjunto de valores aproximados de componentes é A solução completa está no site da LTC Editora Estudos de Caso Controle de Antena Compensação de Avanço e Atraso de Fase Para o estudo de caso do sistema de controle de posição de azimute de antena no Capítulo 8 obtivemos 25 de ultrapassagem utilizando um simples ajuste de ganho Uma vez obtida essa ultrapassagem percentual o tempo de acomodação foi determinado Se tentarmos melhorar o tempo de acomodação aumentando o ganho a ultrapassagem percentual também aumenta Nesta seção continuamos com o controle de posição de azimute de antena projetando um compensador em cascata que resulta em 25 de ultrapassagem com um tempo de acomodação reduzido Além disso realizamos melhoria no desempenho do erro em regime permanente do sistema PROBLEMA Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 projete uma compensação em cascata para atender aos seguintes requisitos 1 25 de ultrapassagem 2 tempo de acomodação de 2 segundos e 3 Kv 20 SOLUÇÃO Para o estudo de caso no Capítulo 8 um ganho do préamplificador de 6421 resultou em 25 de ultrapassagem com os polos dominantes de segunda ordem em 0833 j1888 O tempo de acomodação é portanto 4 ζωn 40833 48 segundos A função em malha aberta do sistema como deduzida no estudo de caso no Capítulo 5 é Gs 663Kss 171s 100 Portanto Kv 663K171 100 249 Comparando esses valores com o enunciado do problema deste exemplo queremos melhorar o tempo de acomodação por um fator de 24 e queremos uma melhoria de aproximadamente oito vezes em Kv Projeto de compensador de avanço de fase para melhorar a resposta transitória Primeiro localize o polo dominante de segunda ordem Para obter um tempo de acomodação Ts de 2 segundos e uma ultrapassagem percentual de 25 a parte real do polo dominante de segunda ordem deve estar em 4Ts 2 Posicionando o polo sobre a reta de 11383 ζ 0404 correspondendo a 25 de ultrapassagem resulta uma parte imaginária de 4529 ver Figura 964 Segundo admita um zero do compensador de avanço de fase e determine o polo do compensador Admitindo um zero do compensador em 2 junto com os polos e zeros em malha aberta do sistema sem compensação utilize o programa para o lugar geométrico das raízes apresentado no Apêndice H2 no site da LTC Editora para determinar que a contribuição angular é de 12014 no ponto de projeto em 2 j4529 Portanto o polo do compensador deve contribuir com 12014 180 25986 para que o ponto de projeto esteja sobre o lugar geométrico das raízes do sistema compensado A geometria é mostrada na Figura 964 Para calcular o polo do compensador utilizamos 4529pc 2 tan 5986 ou pc 463 FIGURA 964 Posicionando o polo do compensador Agora determine o ganho Utilizando a função em malha aberta do sistema compensado com avanço de fase e o ponto de projeto 2 j4529 como o ponto de teste no programa para o lugar geométrico das raízes o ganho 663K é determinado como 2549 Projeto do compensador de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente Kv para o sistema compensado com avanço de fase é obtido utilizando a Eq 954 Portanto Como desejamos Kv 20 a melhoria requerida em relação ao sistema compensado com avanço de fase é 20644 31 Escolha pc 001 e calcule zc 0031 que é 31 vezes maior Determinação do ganho A função em malha aberta compensada com avanço e atraso de fase completa GCAAs é Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes no Apêndice H2 no site da LTC Editora e os polos e zeros da Eq 956 procure ao longo da reta de 25 de ultrapassagem 11383 pelo ponto de projeto Este ponto se deslocou ligeiramente com a inclusão do compensador de atraso de fase para 199 j451 O ganho neste ponto é igual a 2533 que é 663K Resolvendo para K resulta K 3821 Realização do compensador Uma realização do compensador de avanço e atraso de fase é mostrada na Figura 963 A partir da Tabela 911 a parcela de atraso de fase possui a seguinte função de transferência Escolhendo C 10 μF obtemos R2 32 MΩ e R1 68 MΩ A partir da Tabela 911 a parcela de avanço de fase do compensador possui a seguinte função de transferência Escolhendo C 10 μF obtemos R1 50 kΩ e R2 38 kΩ FIGURA 965 Realização de compensador de avanço e atraso de fase O ganho de malha total requerido pelo sistema é 2533 Portanto onde K é o ganho do préamplificador e R2R1 R2 é o ganho da parcela de atraso de fase Utilizando os valores de R1 e R2 obtidos durante a realização da parcela de atraso de fase obtemos K 1194 a b c O circuito final é mostrado na Figura 965 onde o préamplificador é implementado com um amplificador operacional cuja razão entre o resistor de realimentação e o resistor de entrada é aproximadamente 1194 o ganho requerido do pré amplificador O préamplificador isola as parcelas de atraso fase e de avanço de fase do compensador Resumo dos resultados do projeto Utilizando a Eq 956 junto com K 3821 obtemos o valor compensado de Kv Assim o que é uma melhoria em relação ao sistema compensado com ganho no estudo de caso do Capítulo 8 onde Kv 249 Este valor é calculado a partir de Gs sem compensação fazendo K 6421 como obtido no Estudo de Caso do Capítulo 8 Finalmente verificando a aproximação de segunda ordem através de simulação observamos na Figura 966 a resposta transitória real Comparea com a resposta do sistema compensado com ganho da Figura 829 para constatar a melhoria conseguida pela compensação em cascata em relação ao simples ajuste de ganho O sistema compensado com ganho resultou em 25 de ultrapassagem com um tempo de acomodação de aproximadamente 4 segundos O sistema compensado com avanço e atraso de fase resultou em 28 de ultrapassagem com um tempo de acomodação de cerca de 2 segundos Caso os resultados não sejam adequados para a aplicação o sistema deve ser reprojetado para reduzir a ultrapassagem percentual DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 No desafio no Capítulo 8 foi solicitado que você projetasse usando ajuste de ganho um tempo de acomodação de 8 segundos Para sua solução para o desafio no Capítulo 8 calcule a ultrapassagem percentual e o valor da constante de erro estático apropriada Projete um compensador em cascata para reduzir a ultrapassagem percentual por um fator de 4 e o tempo de acomodação por um fator de 2 Além disso melhore a constante de erro estático apropriada por um fator de 2 Repita o Item b utilizando o MATLAB FIGURA 966 Resposta ao degrau do controle de antena compensado com avanço e atraso de fase Veículo UFSS Compensação de Avanço de Fase e de Realimentação Como arremate final para este estudo de caso reprojetamos a malha de controle de arfagem do veículo UFSS Para o estudo de caso no Capítulo 8 vimos que a realimentação de velocidade melhorou a resposta transitória No estudo de caso deste capítulo substituímos a realimentação de velocidade por um compensador em cascata PROBLEMA Dada a malha de controle de arfagem sem realimentação de velocidade K2 0 para o veículo UFSS mostrada nas guardas traseiras projete um compensador para resultar em 20 de ultrapassagem e em um tempo de acomodação de 4 segundos Johnson 1980 SOLUÇÃO Primeiro determine a posição dos polos dominantes em malha fechada Utilizando os 20 de ultrapassagem e o tempo de acomodação de 4 segundos requeridos uma aproximação de segunda ordem mostra que os polos dominantes em malha fechada estão localizados em 1 j1951 A partir do sistema sem compensação analisado no estudo de caso do Capítulo 8 o tempo de acomodação estimado foi de 198 segundos para polos dominantes em malha fechada em 0202 j0394 Portanto um compensador de avanço de fase é requerido para aumentar a velocidade do sistema FIGURA 967 Localizando o polo do compensador Admita arbitrariamente um zero do compensador de avanço de fase em 1 Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes no Apêndice H2 no site da LTC Editora verificamos que este zero do compensador junto com os polos e zeros em malha aberta do sistema resulta em uma contribuição angular no ponto de projeto 1 j1951 de 17892 A diferença entre este ângulo e 180 ou 108 é a contribuição angular requerida a partir do polo do compensador Utilizando a geometria mostrada na Figura 967 onde pc é a posição do polo do compensador verificamos que a partir do que pc 1045 A função de transferência em malha aberta compensada é portanto onde o compensador é Utilizando todos os polos e zeros mostrados na Eq 962 o programa para o lugar geométrico das raízes mostra que um ganho de 5165 é requerido no ponto de projeto 1 j1951 O lugar geométrico das raízes do sistema compensado é mostrado na Figura 968 Um teste da aproximação de segunda ordem mostra mais três polos em malha fechada em 05 09 e 1045 Como os zeros em malha aberta estão em 0435 e 1 uma simulação é requerida para verificar se ocorre efetivamente um cancelamento de polos e zeros em malha fechada com polos em malha fechada em 05 e 09 respectivamente Além disso o polo em malha fechada em 1045 é mais que cinco vezes a parte real do polo dominante em malha fechada 1 j1951 e seu efeito sobre a resposta transitória é portanto desprezível a b FIGURA 968 Lugar geométrico das raízes para o sistema compensado com avanço de fase A resposta ao degrau do sistema em malha fechada é mostrada na Figura 969 na qual observamos uma ultrapassagem de 26 e um tempo de acomodação de aproximadamente 45 segundos Comparando essa resposta com a Figura 831 a resposta do sistema sem compensação constatamos uma melhoria considerável no tempo de acomodação e no erro em regime permanente Contudo o desempenho da resposta transitória não atende aos requisitos do projeto Assim um reprojeto do sistema para reduzir a ultrapassagem percentual é sugerido caso exigido pela aplicação DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo O sistema de controle de rumo do veículo UFSS é mostrado nas guardas traseiras A malha secundária contém a dinâmica do leme e do veículo e a malha principal relaciona o rumo de saída com o rumo de entrada Johnson 1980 Determine os valores de K1 e K2 de modo que os polos dominantes da malha secundária tenham um fator de amortecimento de 06 e os polos dominantes da malha principal tenham um fator de amortecimento de 05 Repita utilizando o MATLAB FIGURA 969 Resposta ao degrau do veículo UFSS compensado com avanço de fase Resumo Neste capítulo aprendemos como projetar um sistema para atender especificações de transitório e de regime permanente Essas técnicas de projeto superaram as limitações da metodologia coberta no Capítulo 8 na qual uma resposta transitória só poderia ser gerada se os polos capazes de produzila estivessem sobre o lugar geométrico das raízes O subsequente ajuste de ganho resultava na resposta desejada Uma vez que esse valor de ganho determina o valor do erro em regime permanente da resposta uma solução de compromisso era necessária entre a resposta transitória desejada e o erro em regime permanente desejado A compensação em cascata ou a compensação de realimentação é utilizada para superar as desvantagens do ajuste de ganho como técnica de compensação Neste capítulo vimos que a resposta transitória e o erro em regime permanente podem ser projetados separadamente um do outro Uma solução de compromisso entre esses dois requisitos não é mais necessária Além disso fomos capazes de projetar para uma resposta transitória que não estava representada no lugar geométrico das raízes original A técnica de projeto de resposta transitória coberta neste capítulo se baseia na alteração da forma do lugar geométrico das raízes para fazêlo passar por um ponto de resposta transitória desejada seguida de um ajuste de ganho Tipicamente o ganho resultante é muito maior que o original se a resposta do sistema compensado for mais rápida que a do sistema sem compensação O lugar geométrico das raízes é alterado pelo acréscimo de polos e zeros adicionais através de um compensador em cascata ou na realimentação Os polos e zeros adicionais devem ser verificados para confirmar se as aproximações de segunda ordem utilizadas no projeto são válidas Todos os polos além do par dominante de segunda ordem devem produzir uma resposta que seja muito mais rápida que a resposta projetada Assim os polos não dominantes devem estar 1 2 3 pelo menos cinco vezes mais afastados do eixo imaginário que o par dominante Além disso todo zero do sistema deve estar próximo de um polo não dominante para que ocorra um cancelamento de polo e zero ou longe do par de polos dominantes O sistema resultante pode então ser aproximado por dois polos dominantes A técnica de projeto da resposta em regime permanente se baseia na inserção de um polo na ou próximo da origem com a finalidade de aumentar o tipo do sistema ou ter um efeito próximo do aumento do tipo do sistema seguida da inserção de um zero perto desse polo de modo que o efeito sobre a resposta transitória seja desprezível Todavia a redução final do erro em regime permanente ocorre com uma constante de tempo elevada Os mesmos argumentos a respeito dos outros polos produzindo respostas rápidas e sobre os zeros sendo cancelados para validar uma aproximação de segunda ordem se mantêm verdadeiros para esta técnica Se as aproximações de segunda ordem não puderem ser justificadas então uma simulação é requerida para se ter certeza de que o projeto está dentro das tolerâncias Os compensadores do projeto de regime permanente são implementados através de controladores PI ou compensadores de atraso de fase Os controladores PI adicionam um polo na origem aumentando assim o tipo do sistema Os compensadores de atraso de fase usualmente implementados com estruturas passivas posicionam o polo fora da origem porém próximo a ela Ambos os métodos adicionam um zero muito próximo do polo para não afetar a resposta transitória Os compensadores do projeto da resposta transitória são implementado através de controladores PD ou compensadores de avanço de fase Os controladores PD adicionam um zero para compensar a resposta transitória eles são considerados ideais Os compensadores de atraso de fase por outro lado não são ideais uma vez que adicionam um polo junto com o zero Os compensadores de atraso de fase são usualmente estruturas passivas Podemos corrigir a resposta transitória e o erro em regime permanente com um PID ou com um compensador de avanço e atraso de fase Ambos são combinações simples dos compensadores descritos anteriormente A Tabela 97 resume os tipos de compensadores em cascata A compensação de realimentação também pode ser utilizada para melhorar a resposta transitória Nesse caso o compensador é colocado no caminho de realimentação O ganho de realimentação é utilizado para alterar o zero do compensador ou os polos do sistema em malha aberta dando ao projetista uma escolha ampla de vários lugares geométricos das raízes O ganho do sistema é então variado sobre o lugar geométrico das raízes escolhido até o ponto de projeto Uma vantagem da compensação de realimentação é a capacidade de se projetar uma resposta rápida em um subsistema independentemente da resposta total do sistema No próximo capítulo examinamos outro método de projeto a resposta em frequência que é um método alternativo ao método do lugar geométrico das raízes Questões de Revisão Faça uma breve distinção entre as técnicas de projeto do Capítulo 8 e do Capítulo 9 Cite duas grandes vantagens das técnicas de projeto do Capítulo 9 em relação às técnicas de projeto do Capítulo 8 Que tipo de compensação melhora o erro em regime permanente 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 Que tipo de compensação melhora a resposta transitória Que tipo de compensação melhora tanto o erro em regime permanente quanto a resposta transitória A compensação em cascata para melhorar o erro em regime permanente é baseada em que posicionamento do polo e do zero do compensador Além disso declare as razões para esse posicionamento A compensação em cascata para melhorar a resposta transitória é baseada em que posicionamento do polo e do zero do compensador Além disso declare as razões para esse posicionamento Que diferença no plano s é observada entre a utilização de um controlador PD e a utilização de uma estrutura de avanço de fase para melhorar a resposta transitória Para aumentar a velocidade de um sistema sem alterar a ultrapassagem percentual na qual os polos do sistema compensado devem estar no plano s em comparação com os polos do sistema sem compensação Por que há uma melhoria maior no erro em regime permanente se for utilizado um controlador PI ao invés de uma estrutura de atraso de fase Ao compensar o erro em regime permanente que efeito é algumas vezes observado na resposta transitória Um compensador de atraso de fase com o zero 25 vezes mais afastado do eixo imaginário que o polo do compensador resultará aproximadamente em quanta melhoria no erro em regime permanente Se o zero de um compensador de realimentação estiver em 3 e um polo do sistema em malha fechada estiver em 3001 você pode afirmar que haverá cancelamento de polo e zero Por quê Cite duas vantagens da compensação de realimentação Problemas Projete um controlador PI para conduzir o erro da resposta ao degrau a zero para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 onde O sistema opera com um fator de amortecimento de 05 Compare as especificações dos sistemas sem compensação e compensado Seção 92 FIGURA P91 2 a b 3 a b c 4 5 a b Considere o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 onde Projete um controlador PI para conduzir o erro da resposta à rampa a zero para qualquer K que resulte em estabilidade Seção 92 Utilize o MATLAB para simular seu projeto para K 1 Mostre a rampa de entrada e a resposta do sistema no mesmo gráfico O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com está operando com 10 de ultrapassagem Seção 92 Qual é o valor da constante de erro estático apropriada Obtenha a função de transferência de uma estrutura de atraso de fase de modo que a constante de erro estático apropriada seja igual a 4 sem alterar significativamente os polos dominantes do sistema sem compensação Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema e observar o efeito de seu compensador Repita o Problema 3 para Seção 92 Considere o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com Projete um compensador que resultará em Kp 20 sem alterar significativamente a posição dos polos dominantes que resultam em 10 de ultrapassagem para o sistema sem compensação Seção 92 Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador c 6 7 a b c d e para simular os sistemas sem compensação e compensado Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para determinar quanto tempo a resposta lenta do compensador de atraso de fase leva para fazer a saída ficar no interior da faixa de 2 do valor final compensado O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com está operando com um fator de amortecimento do polo dominante de 0707 Projete um controlador PD de modo que o tempo de acomodação seja reduzido por um fator de 2 Compare o desempenho transitório e em regime permanente dos sistemas sem compensação e compensado Descreva qualquer problema com seu projeto Seção 93 Refaça o Problema 6 utilizando o MATLAB da seguinte forma O MATLAB irá gerar o lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação juntamente com a reta de fator de amortecimento de 0707 Você irá selecionar interativamente o ponto de operação O MATLAB irá então informar a você as coordenadas do ponto de operação e o ganho no ponto de operação bem como UP Ts Tp ζ ωn e Kp estimados por uma representação aproximada de segunda ordem no ponto de operação O MATLAB irá apresentar a resposta ao degrau do sistema sem compensação Sem dados de entrada adicionais o MATLAB irá calcular o ponto de projeto compensado e irá em seguida pedir que você entre com um valor para o zero do compensador PD a partir do teclado O MATLAB irá responder com um gráfico do lugar geométrico das raízes mostrando o ponto de projeto compensado O MATLAB irá então permitir que você continue a alterar o valor do compensador PD a partir do teclado até que seja traçado um lugar geométrico das raízes que passe pelo ponto de projeto Para o sistema compensado o MATLAB irá informar a você as coordenadas do ponto de operação e o ganho no ponto de operação bem como UP Ts Tp ζ ωn e Kp estimados por uma representação aproximada de segunda ordem no ponto de operação O MATLAB irá então apresentar a resposta ao degrau do sistema compensado 8 9 a b c d e f g 10 a b c d e f Projete um controlador PD para o sistema mostrado na Figura P92 para reduzir o tempo de acomodação por um fator de 4 enquanto continua a operar o sistema com 20 de ultrapassagem Compare o desempenho com o obtido no Exemplo 97 FIGURA P92 Considere o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com Seção 93 Determine a posição dos polos dominantes para resultar em um tempo de acomodação de 16 segundo e em uma ultrapassagem de 25 Se um compensador com um zero em 1 for utilizado para alcançar as condições do Item a qual deve ser a contribuição angular do polo do compensador Determine a posição do polo do compensador Determine o ganho necessário para atender aos requisitos declarados no Item a Determine a posição dos demais polos em malha fechada do sistema compensado Discuta a validade de sua aproximação de segunda ordem Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema compensado para verificar seu projeto O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com deve ser projetado para um tempo de acomodação de 1667 segundos e 163 de ultrapassagem Caso o zero do compensador seja posicionado em 1 faça o seguinte Seção 93 Determine as coordenadas dos polos dominantes Determine o polo do compensador Determine o ganho do sistema Determine a posição de todos os polos não dominantes Estime a exatidão de sua aproximação de segunda ordem Calcule as características do erro em regime permanente g 11 a b c d e f 12 a b c Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema e avaliar as características reais da resposta transitória para uma entrada em degrau Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P91 com faça o seguinte Seção 93 Esboce o lugar geométrico das raízes Determine as coordenadas dos polos dominantes para os quais ζ 08 Determine o ganho para o qual ζ 08 Se o sistema deve ser compensado em cascata de modo que Ts 1 segundo e ζ 08 determine o polo do compensador caso o zero do compensador esteja em 45 Discuta a validade de sua aproximação de segunda ordem Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular os sistemas compensado e sem compensação e compare os resultados com os esperados Refaça o Problema 11 utilizando o MATLAB da seguinte forma O MATLAB irá gerar o lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação juntamente com a reta de fator de amortecimento 08 Você selecionará interativamente o ponto de operação O MATLAB irá então informar a você as coordenadas do ponto de operação e o ganho no ponto de operação bem como UP Ts Tp ζ ωn e Kp estimados por uma representação aproximada de segunda ordem no ponto de operação O MATLAB irá apresentar a resposta ao degrau do sistema sem compensação Sem dados de entrada adicionais o MATLAB irá calcular o ponto de projeto compensado e irá em seguida pedir que você entre com um valor para polo do compensador de avanço de fase a partir do teclado O MATLAB irá responder com um gráfico do lugar geométrico das raízes mostrando o ponto d e f 13 a b c d 14 a b de projeto compensado O MATLAB irá então permitir que você continue a alterar o valor do polo do compensador de avanço de fase a partir do teclado até que seja traçado um lugar geométrico das raízes que passe pelo ponto de projeto Para o sistema compensado o MATLAB irá informar a você as coordenadas do ponto de operação e o ganho no ponto de operação bem como UP Ts Tp ζ ωn e Kp estimados por uma representação aproximada de segunda ordem no ponto de operação O MATLAB irá então apresentar a resposta ao degrau do sistema compensado Altere a posição do zero do compensador algumas vezes e colete dados sobre o sistema compensado para verificar se outras escolhas do zero do compensador apresentam vantagens em relação ao projeto original Considere o sistema com realimentação unitária mostrado da Figura P91 com O sistema está operando com 20 de ultrapassagem Projete um compensador para reduzir o tempo de acomodação por um fator de 2 sem afetar a ultrapassagem percentual e faça o seguinte Seção 93 Determine os polos dominantes o ganho e o tempo de acomodação do sistema sem compensação Determine os polos dominantes e o tempo de acomodação do sistema compensado Determine o polo e o zero do compensador Obtenha o ganho requerido Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular a resposta ao degrau dos sistemas compensado e sem compensação O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com está operando com 30 de ultrapassagem Seção 93 Obtenha a função de transferência de um compensador em cascata o ganho do sistema e a posição do polo dominante que irão reduzir à metade o tempo de acomodação se o zero do compensador estiver em 7 Determine os demais polos e zeros e discuta sua aproximação de segunda ordem c 15 a b c 16 a b c 17 Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular ambos os sistemas sem compensação e compensado para verificar o efeito de seu compensador Para o sistema com realimentação unitária da Figura P91 com faça o seguinte Seção 93 Determine o tempo de acomodação do sistema caso que ele esteja operando com 15 de ultrapassagem Determine o zero de um compensador e o ganho K de modo que o tempo de acomodação seja de 7 segundos Admita que o polo do compensador esteja localizado em 15 Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular a resposta ao degrau do sistema para testar o compensador Um sistema de controle com realimentação unitária possui a seguinte função de transferência à frente Seção 93 Projete um compensador de avanço de fase para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 205 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 3 segundos Não deixe de especificar o valor de K Sua aproximação de segunda ordem é válida Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular e comparar a resposta transitória do sistema compensado com a resposta transitória predita Para o sistema com realimentação unitária da Figura P91 com o fator de amortecimento para os polos dominantes deve ser 04 e o tempo de acomodação a b c d e 18 a b 19 20 a deve ser de 05 segundo Seção 93 Determine as coordenadas dos polos dominantes Determine a posição do zero do compensador caso o polo do compensador esteja em 15 Determine o ganho do sistema requerido Compare os desempenhos dos sistemas sem compensação e compensado Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema para verificar seu projeto Reprojete caso seja necessário Considere o sistema com realimentação unitária da Figura P91 com Mostre que o sistema não pode operar com um tempo de acomodação de 23 segundo e uma ultrapassagem percentual de 15 com um simples ajuste de ganho Projete um compensador de avanço de fase de modo que o sistema atenda às características da resposta transitória do Item a Especifique o polo e o zero do compensador e o ganho requerido Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P91 com Determine a função de transferência de um compensador de avanço e atraso de fase que resultará em um tempo de acomodação 05 segundo menor do que o do sistema sem compensação com um fator de amortecimento de 05 e melhorará o erro em regime permanente por um fator de 30 O zero do compensador está em 5 Determine também o ganho do sistema compensado Justifique qualquer aproximação de segunda ordem ou verifique o projeto através de simulação Seção 94 Refaça o Problema 19 utilizando um compensador de avanço e atraso de fase e o MATLAB da seguinte forma O MATLAB irá gerar o lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação juntamente com a reta de fator de amortecimento 05 Você selecionará interativamente o ponto de operação O MATLAB irá então informar a você as coordenadas do ponto de operação e o ganho no ponto de b c d e f g 21 a operação bem como UP Ts Tp ζ ωn e Kp estimados por uma representação aproximada de segunda ordem no ponto de operação O MATLAB irá apresentar a resposta ao degrau do sistema sem compensação Sem dados de entrada adicionais o MATLAB irá calcular o ponto de projeto compensado e irá em seguida pedir que você entre com um valor para polo do compensador de avanço de fase a partir do teclado O MATLAB irá responder com um gráfico do lugar geométrico das raízes mostrando o ponto de projeto compensado O MATLAB irá então permitir que você continue a alterar o valor do polo do compensador de avanço de fase a partir do teclado até que seja traçado um lugar geométrico das raízes que passe pelo ponto de projeto Para o sistema compensado o MATLAB irá informar a você as coordenadas do ponto de operação e o ganho no ponto de operação bem como UP Ts Tp ζ ωn e Kp estimados por uma representação aproximada de segunda ordem no ponto de operação O MATLAB irá então apresentar a resposta ao degrau do sistema compensado Altere a posição do zero do compensador algumas vezes e colete dados sobre o sistema compensado para verificar se outras escolhas do zero do compensador apresentam vantagens em relação ao projeto original Utilizando o erro em regime permanente do sistema sem compensação acrescente um compensador de atraso de fase para resultar em uma melhoria de 30 vezes em relação ao erro em regime permanente do sistema sem compensação com um efeito mínimo sobre a resposta transitória projetada Faça com que o MATLAB apresente a resposta ao degrau Experimente diversos valores para o polo do compensador de atraso de fase e verifique o efeito sobre a resposta ao degrau Dado o sistema com realimentação unitária sem compensação da Figura P91 com faça o seguinte Seção 94 Projete um compensador para resultar nas seguintes especificações tempo de acomodação 286 segundos ultrapassagem percentual 432 o erro em regime permanente deve ser melhorado por um fator 2 em relação ao do sistema sem compensação b c d e 22 a b c 23 a b c 24 Compare as especificações do transitório e do erro em regime permanente dos sistemas sem compensação e compensado Compare os ganhos dos sistemas sem compensação e compensado Discuta a validade de sua aproximação de segunda ordem Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular os sistemas sem compensação e compensado e verifique as especificações Para o sistema com realimentação unitária dado na Figura P91 com faça o seguinte Seção 94 Determine o ganho K para que o sistema sem compensação opere com 30 de ultrapassagem Determine o instante de pico e Kv para o sistema sem compensação Projete um compensador de avanço e atraso de fase para reduzir o instante de pico por um fator de 2 reduzir a ultrapassagem percentual por um fator de 2 e melhorar o erro em regime permanente por um fator de 30 Especifique todos os polos zeros e ganhos O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P91 com deve ser projetado para atender às seguintes especificações Ultrapassagem inferior a 25 Tempo de acomodação inferior a 1 segundo Kp 10 Faça o seguinte Seção 94 Avalie o desempenho do sistema sem compensação operando com 10 de ultrapassagem Projete um compensador passivo para atender às especificações desejadas Utilize o MATLAB para simular o sistema compensado Compare a resposta com as especificações desejadas Considere o sistema com realimentação unitária na Figura P91 com a b c d e f 25 26 a O sistema está operando com 432 de ultrapassagem Para melhorar o erro em regime permanente Kp deve ser aumentado por um fator de no mínimo 5 Um compensador de atraso de fase da forma deve ser utilizado Seção 94 Determine o ganho requerido para ambos os sistemas compensado e sem compensação Determine o valor de Kp para ambos os sistemas compensado e sem compensação Estime a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação para ambos os sistemas compensado e sem compensação Discuta a validade da aproximação de segunda ordem utilizada na obtenção de seus resultados para o Item c Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular a resposta ao degrau dos sistemas sem compensação e compensado O que você observa na resposta do sistema compensado Projete um compensador de avanço de fase que irá corrigir o problema que você observou no Item e Para o sistema com realimentação unitária na Figura P91 com projete um controlador PID que resultará em um instante de pico de 1047 segundos e em um fator de amortecimento de 08 com erro nulo para uma entrada em degrau Seção 94 Para o sistema com realimentação unitária na Figura P91 com faça o seguinte Projete um controlador que irá resultar em não mais que 25 de ultrapassagem em não mais que 2 segundos de tempo de acomodação para uma entrada em degrau e em um erro em regime permanente nulo para entradas em degrau e em rampa b 27 a b c d e f g 28 29 a Utilize o MATLAB e verifique seu projeto Refaça o Problema 26 utilizando o MATLAB da seguinte forma O MATLAB irá solicitar a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o zero do compensador PI desejados O MATLAB irá projetar o zero do controlador PD O MATLAB irá apresentar o lugar geométrico das raízes do sistema compensado com PID com a reta de ultrapassagem percentual desejada O usuário irá selecionar interativamente a interseção do lugar geométrico das raízes com a reta de ultrapassagem percentual desejada O MATLAB irá apresentar as características de ganho e resposta transitória do sistema compensado com PID O MATLAB irá apresentar a resposta ao degrau do sistema compensado com PID O MATLAB irá apresentar a resposta à rampa do sistema compensado com PID Se o sistema da Figura P93 opera com um fator de amortecimento de 0517 para os polos dominantes de segunda ordem determine a posição de todos os polos e zeros em malha fechada FIGURA P93 Para o sistema com realimentação unitária na Figura P91 com faça o seguinte Seção 95 Projete uma realimentação de velocidade para resultar em uma resposta ao degrau com não mais que 15 de ultrapassagem e tempo de acomodação inferior a 3 segundos Utilize a Abordagem 1 b 30 a b c d 31 a b 32 a b c 33 Utilize o MATLAB e simule seu sistema compensado Dado o sistema da Figura P94 Seção 95 FIGURA P94 Projete o valor de K1 bem como a no caminho de realimentação da malha secundária para resultar em um tempo de acomodação de 1 segundo com 5 de ultrapassagem para a resposta ao degrau Projete o valor de K para resultar em uma resposta da malha principal com 10 de ultrapassagem para uma entrada em degrau Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular a resposta ao degrau do sistema completo em malha fechada Acrescente um compensador PI para reduzir o erro em regime permanente da malha principal a zero e simule a resposta ao degrau utilizando o MATLAB ou qualquer outro programa de computador Identifique e realize os controladores a seguir com amplificadores operacionais Seção 96 s 2 Identifique e realize os compensadores a seguir com circuitos passivos Seção 96 Repita o Problema 32 utilizando amplificadores operacionais Seção 96 PROBLEMAS DE PROJETO 34 a b c d 35 A temperatura de uma sala de 11 m2 deve ser controlada variandose a potência de um irradiador para interiores Para esta sala específica a função de transferência em malha aberta da potência do irradiador para a temperatura Ts é Thomas 2005 Admitese que o sistema esteja na configuração em malha fechada mostrada na Figura P91 Para uma entrada em degrau unitário calcule o erro em regime permanente do sistema Tente utilizar o procedimento da Seção 92 para projetar um controlador PI para obter erro nulo em regime permanente para entradas em degrau sem alterar significativamente a resposta transitória Em seguida explique por que não é possível fazer isso Projete um controlador PI da forma que irá reduzir o erro da resposta ao degrau a zero sem alterar significativamente a resposta transitória Sugestão coloque o zero do compensador em uma posição onde os polos em malha fechada do lugar geométrico das raízes sem compensação não serão afetados significativamente Utilize o Simulink para simular os sistemas dos Itens b e c e para verificar a exatidão de seu projeto no Item c A Figura P95 mostra um sistema de dois tanques A vazão de entrada de líquido para o tanque superior pode ser controlada por intermédio de uma válvula e é representada por F0 A vazão de saída do tanque superior é igual à vazão de entrada do tanque inferior e é representada por F1 A vazão de saída do tanque inferior é F2 O objetivo do projeto é controlar o nível de líquido yt no tanque inferior A transmissão em malha aberta para este sistema Romagnoli 2006 O sistema será controlado em uma malha análoga à da Figura P91 na qual o nível do líquido no tanque inferior será medido e comparado com um ponto de ajuste O erro resultante será alimentado para um controlador o qual por sua vez abrirá ou fechará a válvula de alimentação do tanque superior a b 36 FIGURA P95 Admitindo a1 004 a2 00187 a3 1 e a4 0227 projete um compensador de atraso de fase para obter um erro em regime permanente para a resposta ao degrau de 10 sem alterar significativamente a resposta transitória do sistema Verifique seu projeto através de simulações em MATLAB A Figura P96a mostra um processo de troca de calor cujo propósito é manter a temperatura de um líquido em uma temperatura prescrita a b c 37 FIGURA P96 a Processo de troca de calor reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc b diagrama de blocos A temperatura é medida através de um sensor e um transmissor TT 22 que envia o valor medido para um controlador correspondente TC 22 que compara a temperatura real com um ponto de operação desejado para a temperatura SP O controlador abre ou fecha automaticamente uma válvula para permitir ou evitar que o fluxo de vapor altere a temperatura no reservatório O diagrama de blocos correspondente para esse sistema é mostrado na Figura P96b Smith 2002 Admita as seguintes funções de transferência Admitindo Gcs K determine o valor de K que resultará em um polo dominante com ζ 07 Obtenha o Ts correspondente Projete um controlador PD para obter o mesmo fator de amortecimento do Item a mas com um tempo de acomodação 20 menor Verifique seus resultados através de simulação em MATLAB Repita o Problema 36 Itens b e c utilizando um compensador de avanço de fase 38 b c 39 a a Obtenha a função de transferência de um motor cuja curva torquevelocidade e a carga são dadas na Figura P97 FIGURA P97 Projete um compensador com tacômetro para resultar em um fator de amortecimento de 05 para o controle de posição empregando um amplificador de potência de ganho 1 e um préamplificador de ganho 5000 Compare as características do transitório e em regime permanente dos sistemas sem compensação e compensado Dado o motor cuja função de transferência é mostrada na Figura P98a Caso esse motor seja a função de transferência à frente de um sistema com realimentação unitária calcule a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação que devem ser esperados b c 40 a b c d FIGURA P98 Você deseja melhorar a resposta em malha fechada Como as constantes do motor não podem ser alteradas e você não pode utilizar um motor diferente um amplificador e um tacômetro são inseridos na malha como mostrado na Figura P98b Determine os valores de K1 e Kr para resultar em uma ultrapassagem percentual de 25 e em um tempo de acomodação de 02 segundo Calcule as especificações de erro em regime permanente para ambos os sistemas sem compensação e compensado Um controle de posição deve ser projetado com 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 2 segundos Você tem à disposição um amplificador e um amplificador de potência cuja função de transferência em cascata é K1s 20 e com o qual o motor deve ser acionado Dois potenciômetros de 10 voltas estão disponíveis para converter posição de eixo em tensão Uma tensão de 5π volts é aplicada aos terminais dos potenciômetros Um motor cc cuja função de transferência é da forma também está disponível A função de transferência do motor é determinada experimentalmente como se segue O motor e a carga a ele acoplada são acionados em malha aberta aplicandose um pulso retangular de grande amplitude e pequena duração à armadura Um gráfico da resposta obtido com um osciloscópio mostra que o motor atingiu 63 do seu valor final de saída 12 segundo após a aplicação do pulso Além disso com uma tensão constante de 10 V aplicada à armadura a velocidade de saída constante foi de 100 rads Desenhe um diagrama de blocos completo do sistema especificando a função de transferência de cada componente quando o sistema está operando com 20 de ultrapassagem Qual será o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária Determine as características da resposta transitória Se for utilizada uma realimentação tacométrica em torno do motor como mostrado na 41 a b c d 42 Figura P99 determine os ganhos do tacômetro e do amplificador para atender às especificações originais Resuma as características do transitório e em regime permanente FIGURA P99 Um controle de posição deve ser projetado com 10 de ultrapassagem tempo de acomodação de 1 segundo e Kv 1000 Você tem à disposição um amplificador e um amplificador de potência cuja função de transferência em cascata é K1s 40 e com o qual o motor deve ser acionado Dois potenciômetros de 10 voltas estão disponíveis para converter posição de eixo em tensão Uma tensão de 20π volts é aplicada aos terminais dos potenciômetros Um motor cc cuja função de transferência é da forma também está disponível Os dados a seguir foram obtidos a partir de um teste com dinamômetro a 50 V Com 25 Nm de torque o motor gira a 1433 rpm Com 75 Nm de torque o motor gira a 478 rpm A velocidade medida na carga é 01 da velocidade do motor A inércia equivalente incluindo a carga na armadura do motor é de 100 kgm2 e o amortecimento viscoso equivalente incluindo a carga na armadura do motor é de 50 Nmsrad Desenhe um diagrama de blocos completo do sistema especificando a função de transferência de cada componente Projete um compensador passivo para atender aos requisitos no enunciado do problema Desenhe o esquema do compensador mostrando os valores de todos os componentes Utilize um amplificador operacional para isolamento onde for necessário Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular seu sistema e mostrar que todos os requisitos foram atendidos Dado o sistema mostrado na Figura P910 determine os valores de K e de Kr de modo que os 43 44 45 polos dominantes em malha fechada tenham um fator de amortecimento de 05 e que os polos subamortecidos da malha secundária tenham um fator de amortecimento de 08 FIGURA P910 Dado o sistema na Figura P911 determine os valores de K e de Kr de modo que o sistema em malha fechada terá 432 de ultrapassagem e a mala secundária terá um fator de amortecimento de 08 Compare o desempenho esperado do sistema sem a compensação tacométrica com o desempenho esperado com a compensação tacométrica FIGURA P911 No Problema 57 do Capítulo 8 um sistema de controle de posição da cabeça de um acionador de disco flexível foi projetado para resultar em um tempo de acomodação de 01 segundo exclusivamente através de ajuste de ganho Projete um compensador de avanço de fase para reduzir o tempo de acomodação para 005 segundo sem alterar a ultrapassagem percentual Determine também o ganho de malha requerido Considere o sistema de controle de temperatura para um processo químico mostrado na Figura P912 O sistema sem compensação está operando com um tempo de subida aproximadamente igual ao de um sistema de segunda ordem com um instante de pico de 16 segundos e 5 de ultrapassagem Há também um erro em regime permanente considerável Projete um controlador PID de modo que o sistema compensado tenha um tempo de subida aproximadamente equivalente ao de um sistema de segunda ordem com instante de pico de 8 segundos e 5 de ultrapassagem e um erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau 46 a b c 47 48 Os geradores de energia movidos a vapor giram a uma velocidade constante utilizando reguladores que mantêm a pressão do vapor na turbina constante Adicionalmente controle de geração automática AGC automatic generation control ou controle de frequência de carga LFC load frequency control é acrescentado para assegurar confiabilidade e consistência a despeito de variações da carga ou outras perturbações que podem afetar a frequência de saída da linha de distribuição Um sistema regulador de turbina específico pode ser descrito utilizandose apenas o diagrama de blocos da Figura P91 no qual Gs GcsGgsGts Gms onde Khodabakhshian 2005 FIGURA P912 Sistema de controle de temperatura de processo químico é a função de transferência do regulador é a função de transferência da turbina representa as funções de transferência da máquina e da carga Gcs é a compensação de LFC a ser projetada Admitindo Gcs K determine o valor de K que resultará em um polo dominante com ζ 07 Obtenha o Ts correspondente Projete um controlador PID para obter o mesmo fator de amortecimento do Item a mas com um tempo de acomodação de 2 segundos e erro em regime permanente nulo para comandos de entrada em degrau Verifique seus resultados utilizando uma simulação em MATLAB Repita o Problema 46 utilizando um compensador de avanço e atraso de fase ao invés de um controlador PID Projete para um erro em regime permanente de 1 para um comando de entrada em degrau Os leitores de DVD digital versatile disc incorporam diversos sistemas de controle para suas operações As tarefas de controle incluem 1 a manutenção do feixe de laser focado na a b c d e f g 49 superfície do disco 2 a seleção rápida de trilhas 3 o controle da velocidade de rotação do disco e 4 o acompanhamento exato de uma trilha Para seguir uma trilha a posição radial da cabeça de captação é controlada através de uma tensão que aciona uma bobina de voz embutida em uma configuração de imã Para um leitor de DVD específico a função de transferência é dada por em que xt posição radial da captação e vt tensão de entrada da bobina Bittanti 2002 Admita que o sistema será controlado em uma configuração em malha fechada como a mostrada na Figura P91 Considerando que a planta Ps esteja em cascata com um compensador proporcional Gcs K trace o lugar geométrico das raízes do sistema Repita o Item a utilizando o MATLAB caso seu lugar geométrico das raízes tenha sido gerado por qualquer outra ferramenta Determine a faixa de K para estabilidade em malha fechada a faixa resultante de fator de amortecimento e o menor tempo de acomodação Projete um compensador de filtro notch de modo que os polos dominantes do sistema tenham um fator de amortecimento de ζ 07 com um tempo de acomodação em malha fechada de 01 segundo Simule a resposta ao degrau do sistema para o Item c utilizando o MATLAB Acrescente um compensador PI ao sistema para obter erro nulo em regime permanente para uma entrada em degrau sem afetar significativamente a resposta obtida no Item b Simule a resposta ao degrau do sistema para o Item e utilizando o MATLAB Uma máquina de medição de coordenadas CMM coordinate measure machine mede as coordenadas em objetos tridimensionais A exatidão das CMMs é afetada por variações de temperatura bem como por ressonâncias mecânicas decorrentes de elasticidade das juntas a b c 50 a b Essas ressonâncias são mais pronunciadas quando a máquina precisa passar por variações bruscas de dimensão como cantos pontiagudos a alta velocidade Cada uma das articulações da máquina pode ser controlada em uma configuração em malha fechada como a mostrada na Figura P913 para uma máquina específica com articulações prismáticas deslizantes Na figura Xrefs é a posição comandada e Xs é a posição real A malha secundária utiliza um gerador tacométrico para obter a velocidade da junta enquanto a malha principal controla a posição da junta Özel 2003 Determine o valor de K que resultará em uma malha secundária com ζ 05 Utilize um compensador de filtro notch Gcs para a malha externa de modo que ele resulte em um fator de amortecimento em malha fechada de ζ 07 com Ts 4 segundos FIGURA P913 Utilize o MATLAB para simular a resposta ao degrau em malha fechada do sistema compensado Os sistemas de levitação magnética são utilizados atualmente para suspender e propulsionar trens ao longo de trilhos Um diagrama de um sistema de demonstração de levitação magnética é mostrado na Figura P914a A ação entre um ímã permanente colado à bola de pinguepongue o objeto a ser levitado e um eletroímã fornece a sustentação A quantidade de elevação pode ser controlada através de Va aplicada ao eletroímã como mostrado na Figura P914a A elevação é controlada com a utilização de um par fotodetector para detectar a elevação da bola de pinguepongue Admita que o sistema de controle de elevação seja representado pela Figura P914b e faça o seguinte Cho 1993 Projete um compensador Gcs para resultar em um tempo de acomodação de 01 segundo ou menos caso a resposta ao degrau não deva ter mais que 1 de ultrapassagem Especifique os polos os zeros e o ganho do compensador Insira outro compensador em cascata para minimizar o erro em regime permanente e ter o tempo total de acomodação inferior a 05 segundo Esse compensador não deve afetar consideravelmente a resposta transitória projetada no Item a Especifique os polos e c 51 zeros desse compensador Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema para verificar seu projeto A função de transferência de uma aeronave AFTIF16 relacionando o ângulo de ataque αt com a deflexão do profundor δet é dada por FIGURA P914 a Sistema de levitação magnética 1993 IEEE b diagrama de blocos a b c d 52 53 FIGURA P915 Diagrama de blocos simplificado para o controle do ângulo de ataque Admita o diagrama de blocos mostrado na Figura P915 para controlar o ângulo de ataque α e faça o seguinte Monahemi 1992 Determine a faixa de K para estabilidade Trace com exatidão ou esboce o lugar geométrico das raízes Projete um compensador em cascata para resultar em erro nulo em regime permanente em um tempo de acomodação de cerca de 005 segundo e em uma ultrapassagem percentual menor ou igual a 20 Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para simular o sistema para verificar seu projeto A Figura P916 é um diagrama de blocos simplificado do controle do ângulo de rumo de um veículo guiado autonomamente Projete um compensador de avanço de fase para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 10 de ultrapassagem e em um tempo de acomodação de 15 segundo O dispositivo voador com quatro rotores X4 é projetado como um pequeno veículo autônomo não tripulado UAV unmanned autonomous vehicle que voa principalmente em locais fechados e pode ajudar em missões de busca e reconhecimento Para minimizar problemas mecânicos e por simplicidade esta aeronave utiliza rotores de arfagem fixos com hélices especialmente projetadas Em consequência para a impulsão é necessário o acréscimo de um quinto propulsor Um projeto simplificado do controle de impulsão pode ser modelado como na Figura 91 com Gs GcsPs onde representa a dinâmica do ganho do rotor de impulsão do motor e da bateria Inicialmente o sistema é projetado utilizandose um compensador proporcional dado por Gcs 3 Pounds 2009 a b c 54 FIGURA P916 Diagrama de blocos simplificado do controle do ângulo de rumo de um veículo guiado autonomamente Calcule o erro em regime permanente resultante para uma entrada em degrau unitário Projete um compensador de atraso de fase para resultar em metade do erro em regime permanente do controlador proporcional sem afetar significativamente a resposta transitória do sistema Utilize o MATLAB para simular o projeto original e o projeto compensado com atraso de fase Verifique seus resultados O Problema 856 descreveu um sistema de conversão cacc e distribuição de energia para o qual controle de declive é implementado através da utilização de um controlador proporcional para estabilizar a tensão do barramento cc Para simplificação um sistema com apenas um conversor de fonte e um conversor de carga foi considerado Os parâmetros e considerações de projeto apresentados naquele problema junto com alguns resultados da solução nos permitem representar o diagrama de blocos daquele sistema como mostrado na Figura P917 FIGURA P917 Aqui Gcs é a função de transferência do controlador Gps representa o caminho à frente da planta controlada uma unidade de conversão e distribuição de energia e Hs é a função de transferência do filtro passabaixas de realimentação Karlsson 2003 Prepare uma tabela como a Tabela 95 onde a primeira coluna com cabeçalho Sem compensação seja preenchida com seus resultados a partir do projeto proporcional do Problema 856 admitindo um degrau de entrada Vccreft 750 ut Siga os passos 28 como descrito na Seção 94 Exemplo 95 para projetar um 55 a b c 56 a controlador proporcional integral e derivativo PID de modo que o sistema possa operar com uma ultrapassagem percentual 44 um instante de pico 20 menor que o do sistema sem compensação e erro em regime permanente nulo eVdegrau 0 Preencha as duas colunas restantes de sua tabela Compensado com PD e Compensado com PID PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade No Problema 79b Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo No Capítulo 8 Problema 72 você projetou o ganho para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 38 de ultrapassagem Um gráfico da resposta ao degrau deve ter mostrado um tempo de acomodação superior a 05 segundo bem como uma oscilação de alta frequência sobreposta à resposta ao degrau OConnor 1997 Queremos reduzir o tempo de acomodação para cerca de 03 segundo reduzir o erro em regime permanente da resposta ao degrau a zero e eliminar a oscilação de alta frequência Uma maneira de eliminar a oscilação de alta frequência é inserir um filtro notch em cascata com a planta Utilizando o filtro notch Faça o seguinte Projete um controlador PD para resultar em um tempo de acomodação de aproximadamente 03 segundo com não mais que 60 de ultrapassagem Acrescente um controlador PI para resultar em erro nulo em regime permanente para entradas em degrau Utilize o MATLAB para representar graficamente a resposta ao degrau em malha fechada compensada com PID e notch Controle de HIVAIDS Foi mostrado no Capítulo 6 Problema 68 que quando o nível de vírus em um paciente com HIVAIDS é controlado por meio de RTIs o modelo linearizado da planta é Admita que o sistema esteja incorporado em uma configuração como a mostrada na Figura P91 em que Gs Gcs Ps Aqui Gcs é um compensador em cascata Para simplificar este problema escolha o ganho estático de Gcs menor que zero para obter um sistema com realimentação negativa os sinais negativos de Gcs e Ps se cancelam Craig I K 2004 Considere o sistema sem compensação com Gcs K Determine o valor de K que irá b c d 57 a b posicionar todos os polos em malha fechada sobre o eixo real Utilize o MATLAB para simular a resposta ao degrau unitário do sistema compensado com ganho Observe a UP e o Ts da simulação Projete um compensador PI de modo que o erro em regime permanente para entradas em degrau seja zero Escolha um valor de ganho que faça com que todos os polos sejam reais Utilize o MATLAB para simular o projeto no Item c para uma entrada em degrau unitário Compare a simulação com o Item b Veículo híbrido No capítulo anterior utilizamos o lugar geométrico das raízes para projetar um controlador proporcional para o controle de velocidade de um HEV Reorganizamos o diagrama de blocos para ser um sistema com realimentação unitária como mostrado no diagrama de blocos da Figura P734 Preitl 2007 A planta e o compensador resultaram em e verificamos que K 078 resultou em um sistema criticamente amortecido Utilize esse projeto para listar as especificações de desempenho preenchendo em uma tabela parecida com a Tabela 95 a coluna Sem compensação Aproveite os resultados do Capítulo 8 ou utilize o MATLAB para obter os elementos da tabela Representa graficamente ct para rt 4 ut volts Admita agora que as especificações do sistema requerem erro em regime permanente nulo para entradas em degrau um erro em regime permanente para entradas em rampa 2 uma UP 432 e um tempo de acomodação 4 s Deve ser evidente que isso não pode ser conseguido com um controlador proporcional Assim comece projetando um controlador PI para atender aos requisitos Caso seja necessário acrescente um modo PD para obter um controlador PID Simule seu projeto final utilizando o MATLAB Preencha os resultados deste projeto na segunda coluna de sua tabela com o cabeçalho Compensado c 1 2 i ii iii iv Agora observe as seguintes limitações da modelagem de sistemas de controle lineares Nenhum limite é imposto para as variáveis do sistema Por exemplo a aceleração do veículo bem como a corrente do motor e do amplificador de potência o torque ou a potência não têm limites superiores É admitido que para melhor a velocidade de resposta no Item b podemos colocar o zero do controlador PI sobre o polo mais próximo da origem Realisticamente não é sempre possível realizar esse cancelamento de polo e zero Se você não estender seu modelo além das limitações descritas caso requerido para ter exatidão podem resultar características de resposta irrealistas como tempos de subida e acomodação Examine os resultados de seu projeto incluindo as curvas de resposta Elas são realistas Se não revise seu modelo Simulink que você desenvolveu para o Problema 581 como se segue Represente a armadura do motor como um sistema de primeira ordem com um ganho unitário em regime permanente e uma constante de tempo de 50 ms o que evita a criação de malhas fechadas algébricas internas e deve ter um efeito desprezível sobre a resposta do sistema Acrescente um elemento de saturação na saída da armadura do motor e ajusteo para um limite superior de 250 A Utilize as configurações PI a seguir As configurações PI do controlador de velocidade são P 61 e I 0795 As configurações PI do controlador de torque são P 10 e I 6 Execute o modelo modificado e comente sobre os gráficos obtidos para corrente do motor aceleração do carro e velocidade Investigando em Laboratório Virtual Experimento 91 Objetivos Realizar um estudo de solução de compromisso para a compensação com avanço de fase Projetar um controlador PI e verificar seu efeito sobre o erro em regime permanente Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 1 2 3 1 Quantos projetos de compensadores de avanço de fase atenderão às especificações de resposta transitória de um sistema Que diferenças os compensadores de avanço de fase do PréEnsaio 1 produzem Projete um compensador de avanço de fase para um sistema com realimentação negativa unitária com uma função de transferência à frente para atender às seguintes especificações ultrapassagem percentual 20 tempo de acomodação 2 segundos Especifique o ganho requerido K Estime a validade da aproximação de segunda ordem Qual é a contribuição angular total do compensador de avanço de fase do PréEnsaio 3 Determine o polo e o zero de mais dois compensadores de avanço de fase que atenderão aos requisitos do PréEnsaio 3 Qual é o erro em regime permanente esperado para uma entrada em degrau para cada um dos sistemas compensados com avanço de fase Qual é o erro em regime permanente esperado para uma entrada em rampa para cada um dos sistemas compensados com avanço de fase Escolha um dos projetos de compensador de avanço de fase e especifique um controlador PI que possa ser inserido em cascata com o compensador de avanço de fase para produzir um sistema com erro em regime permanente nulo para ambas as entradas em degrau e em rampa Ensaio Utilizando a SISO Design Tool crie o projeto do PréEnsaio 3 e apresente o lugar geométrico das raízes a resposta ao degrau e a resposta à rampa Utilize os dados para determinar a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e os erros em regime permanente para degrau e rampa Registre o ganho K Repita o Ensaio 1 para cada um dos projetos do PréEnsaio 5 Para o projeto escolhido no PréEnsaio 8 utilize a SISO Design Tool e insira o controlador PI Apresente a resposta ao degrau e meça a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o erro em regime permanente Apresente também a resposta à rampa para o projeto e meça o erro em regime permanente Apresente as respostas ao degrau e à rampa para mais dois valores do zero do controlador PI PósEnsaio Construa uma tabela mostrando valores calculados e reais para a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o ganho K o erro em regime permanente para entradas em degrau e o erro em regime permanente para entradas em rampa Utilize os três sistemas sem o controlador PI e o único sistema com o controlador PI do Ensaio 3 Liste os benefícios de cada sistema sem o controlador PI Escolha um projeto final e discuta as razões de sua escolha Experimento 92 Objetivo Projetar um controlador PID através do LabVIEW Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module PréEnsaio Realize o Experimento 83 de Investigando Laboratório Virtual 2 3 4 Utilize o sistema descrito no Experimento 83 de Investigando em Laboratório Virtual e substitua o controlador ali descrito Gcs KDs KP por um controlador PID Projete o controlador para atender os seguintes requisitos 1 reduzir o tempo de acomodação obtido no projeto do Experimento 83 de Investigando em Laboratório Virtual para menos de 1 s e 2 limitar a ultrapassagem percentual para não mais que 5 Projete uma VI LabVIEW para testar seu projeto As entradas do front panel serão os ganhos do PID e o numerador e denominador da planta Os indicadores serão as funções de transferência da planta do controlador PID e do sistema em malha fechada Finalmente providencie um indicador para o gráfico da resposta ao degrau Ensaio Execute sua VI LabVIEW e obtenha a resposta ao degrau de sistema em malha fechada PósEnsaio Compare o desempenho do transitório e do erro em regime permanente entre as respostas ao degrau em malha fechada do Experimento 83 de Investigando em Laboratório Virtual desta experiência Bibliografia Bittanti S DellOrto F Di Carlo A and Savaresi S M Notch Filtering and Multirate Control for Radial Tracking in High Speed DVDPlayers IEEE Transactions on Consumer Electronics vol 48 2002 pp 5662 Budak A Passive and Active Network Analysis and Synthesis Houghton Mifflin Boston MA 1974 Cho D Kato Y and Spilman D Sliding Mode and Classical Controllers in Magnetic Levitation Systems IEEE Control Systems February 1993 pp 4248 Craig I K Xia X and Venter J W 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graficamente a resposta em frequência de um sistema Seção 101 Traçar aproximações assintóticas da resposta em frequência de um sistema Seção 102 Esboçar um diagrama de Nyquist Seções 103104 Utilizar o critério de Nyquist para analisar a estabilidade de um sistema Seção 105 Determinar a estabilidade e obter as margens de ganho e de fase utilizando diagramas de Nyquist e diagramas de Bode Seções 106107 Determinar a faixa de passagem a magnitude de pico e a frequência de pico de uma resposta em frequência em malha fechada dados os parâmetros da resposta no tempo em malha fechada de instante de pico tempo de acomodação e ultrapassagem percentual Seção 108 Determinar a resposta em frequência em malha fechada a partir da resposta em frequência em malha aberta Seção 109 Determinar os parâmetros da resposta no tempo em malha fechada de instante de pico tempo de acomodação e ultrapassagem percentual a partir da resposta em frequência em malha aberta Seção 1010 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com um 1 2 3 4 estudo de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras e utilizando métodos de resposta em frequência você será capaz de determinar a faixa de ganho K para estabilidade Você também será capaz de determinar a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida dado K 101 Introdução O método do lugar geométrico das raízes para o projeto do transitório o projeto do regime permanente e a análise da estabilidade foi coberto nos Capítulos 8 e 9 No Capítulo 8 cobrimos o caso simples de projeto através do ajuste de ganho onde foi realizada uma solução de compromisso entre uma resposta transitória desejada e um erro em regime permanente desejado No Capítulo 9 a necessidade dessa solução de compromisso foi eliminada pelo uso de estruturas de compensação de modo que os erros do transitório e em regime permanente puderam ser especificados e projetados separadamente Além disso uma resposta transitória desejada não precisava mais estar sobre o lugar geométrico das raízes original do sistema Este capítulo e o Capítulo 11 apresentam o projeto de sistemas de controle com realimentação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir de outra perspectiva a da resposta em frequência Os resultados das técnicas de compensação de resposta em frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas do lugar geométrico das raízes Os métodos de resposta em frequência desenvolvidos por Nyquist e Bode na década de 1930 são mais antigos que o método do lugar geométrico das raízes descoberto por Evans em 1948 Nyquist 1932 Bode 1945 O método mais antigo que é coberto neste capítulo não é tão intuitivo quanto o do lugar geométrico das raízes Contudo a resposta em frequência fornece uma nova perspectiva a partir da qual podemos examinar com certas vantagens os sistemas de controle com realimentação Esta técnica possui vantagens claras nas seguintes situações Quando as funções de transferência são modeladas a partir de dados físicos como mostrado na Figura 101 Quando os compensadores de avanço de fase são projetados para atender a um requisito de erro em regime permanente e a um requisito de resposta transitória Quando a estabilidade de sistemas não lineares é estudada Na solução de ambiguidades quando um lugar geométrico das raízes é esboçado Primeiro discutimos o conceito de resposta em frequência definimos a resposta em frequência deduzimos expressões analíticas para a resposta em frequência representamos graficamente a resposta em frequência e desenvolvemos formas de esboçar a resposta em frequência e em seguida aplicamos o conceito à análise e ao projeto de sistemas de controle O Conceito de Resposta em Frequência No regime permanente entradas senoidais aplicadas a sistemas lineares geram respostas senoidais de mesma frequência Embora essas respostas tenham a mesma frequência das entradas elas diferem em amplitude e em fase Essas diferenças são funções da frequência Antes de definirmos a resposta em frequência vamos examinar uma representação conveniente de senoides As senoides podem ser representadas por números complexos chamados fasores A magnitude do número complexo é a amplitude da senoide e o ângulo do número complexo é a fase da senoide Assim M1 cos ωt ɸ1 pode ser representada como M1ɸ1 onde a frequência ω está implícita FIGURA 101 As plataformas National Instruments PXI Compact RIO Compact DAQ e o dispositivo USB mostrados da esquerda para a direita se unem ao programa NI LabVIEW para fornecer estímulos e adquirir sinais de sistemas físicos O NI LabVIEW pode então ser utilizado para analisar os dados determinar o modelo matemático e criar um protótipo e implementar um controlador para o sistema físico cortesia de National Instruments 2010 FIGURA 102 Resposta em frequência senoidal a sistema b função de transferência c formas de onda de entrada e de saída Uma vez que o sistema faz com que tanto a amplitude quanto a fase da entrada sejam alteradas podemos pensar no próprio sistema representado por um número complexo definido de modo que o produto do fasor de entrada pela função do sistema resulte na representação do fasor de saída Considere o sistema mecânico da Figura 102a Caso a força de entrada ƒt seja senoidal a resposta de saída em regime permanente xt do sistema também será senoidal e com a mesma frequência da entrada Na Figura 102b as senoides de entrada e de saída são representadas por números complexos ou fasores Meωɸeω e Msωɸsω respectivamente Neste caso os Ms são as amplitudes das senoides e os ɸs são as fases das senoides como mostrado na Figura 102c Admita que o sistema seja representado pelo número complexo Mωɸω A saída senoidal em regime permanente é obtida multiplicandose a representação em número complexo da entrada pela representação em número complexo do sistema Assim a saída senoidal em regime permanente é A partir da Eq 101 observamos que a função do sistema é dada por e As Eqs 102 e 103 formam nossa definição de resposta em frequência Chamamos Mω de magnitude da resposta em frequência e ɸω de fase da resposta em frequência A combinação da magnitude e da fase da resposta em frequência é chamada de resposta em frequência e é Mωɸω Em outras palavras definimos a magnitude da resposta em frequência como a razão entre a magnitude da senoide de saída e a magnitude da senoide de entrada Definimos a fase da resposta como a diferença entre os ângulos das senoides de saída e de entrada Ambas as respostas são funções da frequência e se aplicam apenas à resposta senoidal em regime permanente do sistema Expressões Analíticas para a Resposta em Frequência FIGURA 103 Sistema com entrada senoidal Agora que definimos a resposta em frequência vamos obter a expressão analítica para ela Nilsson 1990 Mais adiante neste capítulo utilizaremos essa expressão analítica para determinar a estabilidade a resposta transitória e o erro em regime permanente A Figura 103 mostra um sistema Gs com a transformada de Laplace de uma senoide genérica rt A cos ωt B sen como entrada Podemos representar a entrada como um fasor de três maneiras 1 na forma polar Meɸe em que 2 na forma retangular A jB e 3 utilizando a fórmula de Euler Resolveremos agora para a parcela de resposta forçada de Cs a partir do que avaliamos a resposta em frequência A partir da Figura 103 Separamos a solução forçada da solução transitória realizando uma expansão em frações parciais da Eq 104 Assim em que Para as Eqs 106 é o conjugado complexo de K1 e A resposta em regime permanente é a parcela da expansão em frações parciais proveniente dos polos da forma de onda de entrada ou apenas os dois primeiros termos da Eq 105 Portanto a saída senoidal em regime permanente Crps é Substituindo as Eqs 106 na Eq 109 obtemos Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos que pode ser representada na forma de fasor como Msɸs Meɸe MGɸG em que MGɸG é a função de resposta em frequência Mas a partir das Eqs 107 e 108 MGɸG Gjω Em outras palavras a resposta em frequência de um sistema cuja função de transferência é Gs é Representando Graficamente a Resposta em Frequência Gjω MGωɸGω pode ser representada graficamente de diversas formas duas delas são 1 como uma função da frequência com os gráficos separados de magnitude e fase e 2 como um diagrama polar onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase Ao se representar gráficos separados de magnitude e fase a curva de magnitude pode ser traçada em decibéis dB em função de log ω em que dB 20 log M1 A curva de fase é traçada como fase em função de log ω A motivação para esses gráficos é mostrada na Seção 102 Utilizando os conceitos cobertos na Seção 81 os dados para os gráficos também podem ser obtidos por meio de vetores no plano s traçados a partir dos polos e dos zeros de Gs até o eixo imaginário Neste caso a magnitude da resposta em uma frequência específica é o produto dos comprimentos dos vetores a partir dos zeros de Gs dividido pelo produto dos comprimentos dos vetores a partir dos polos de Gs traçados até pontos sobre o eixo imaginário A fase da resposta é a soma dos ângulos a partir dos zeros de Gs menos a soma dos ângulos a partir dos polos de Gs traçados até pontos sobre o eixo imaginário Realizando essas operações para pontos sucessivos ao longo do eixo imaginário obtêmse os dados da resposta em frequência Lembrese de que essa operação em cada ponto equivale à substituição do ponto s jω1 em Gs e do cálculo de seu valor Os gráficos também podem ser obtidos por meio de um programa de computador que calcula a resposta em frequência Por exemplo o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H no site da LTC Editora pode ser utilizado com pontos de teste que estão sobre o eixo imaginário O valor calculado de K em cada frequência é o inverso da magnitude da resposta e o ângulo calculado é diretamente a fase da resposta naquela frequência O exemplo a seguir demonstra como obter uma expressão analítica para a resposta em frequência e representar graficamente o resultado Exemplo 101 Exemplo 101 Resposta em Frequência a partir da Função de Transferência PROBLEMA Determine a expressão analítica da magnitude da resposta em frequência e da fase da resposta em frequência para um sistema Gs 1s 2 Além disso represente graficamente tanto os diagramas de magnitude e fase separados quanto o diagrama polar SOLUÇÃO Primeiro substitua s jω na função do sistema e obtenha Gjω 1jω 2 2 jωω2 4 A magnitude deste número complexo é a magnitude da resposta em frequência O ângulo de Gjω ɸω tan1ω2 é a fase da resposta em frequência Gjω pode ser representada graficamente de duas maneiras 1 em diagramas separados de magnitude e de fase e 2 em um diagrama polar A Figura 104 mostra os diagramas de magnitude e de fase separados onde o diagrama de magnitude é 20 log em função de log ω e o diagrama de fase é ɸω tan1ω2 em função de log ω O diagrama polar mostrado na Figura 105 é um gráfico de para diferentes valores de ω FIGURA 104 Diagramas de resposta em frequência para Gs 1s 2 diagramas de magnitude e fase separados a b c FIGURA 105 Diagrama de resposta em frequência para Gs 1s 2 diagrama polar No exemplo anterior representamos graficamente a magnitude e a fase da resposta separadas bem como o diagrama polar utilizando a expressão matemática para a resposta em frequência Uma dessas representações da resposta em frequência também pode ser obtida a partir da outra Você deve praticar essa conversão observando a Figura 104 e obtendo a Figura 105 utilizando pontos sucessivos Por exemplo em uma frequência de 1 rads na Figura 104 a magnitude é aproximadamente 7 dB ou 10720 0447 O diagrama da fase em 1 rads indica que a fase é aproximadamente 26 Assim no diagrama polar um ponto de raio 0447 com um ângulo de 26 é representado e identificado como 1 rads Continuando da mesma forma para outras frequências na Figura 104 você pode obter a Figura 105 De modo similar a Figura 104 pode ser obtida a partir da Figura 105 selecionandose uma sequência de pontos na Figura 105 e convertendoos em valores separados de magnitude e fase Por exemplo traçando um vetor a partir da origem até o ponto de 2 rads na Figura 105 observamos que a magnitude é 20 log 035 912 dB e a fase é cerca de 45 A magnitude e a fase são então representados em 2 rads na Figura 104 nas curvas separadas de magnitude e fase Exercício 101 PROBLEMA Determine expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta de Construa diagramas de logaritmo da magnitude e de fase utilizando o logaritmo da frequência em rads como abscissa Construa um diagrama polar da resposta em frequência a b c RESPOSTAS Ver a resposta no site da LTC Editora Ver a resposta no site da LTC Editora A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção definimos a resposta em frequência e vimos como obter uma expressão analítica para a resposta em frequência de um sistema simplesmente substituindo s jω em Gs Também vimos como construir uma representação gráfica de Gjω A próxima seção mostra como aproximar os diagramas de magnitude e de fase com o objetivo de esboçálos rapidamente 102 Aproximações Assintóticas Diagramas de Bode As curvas de logaritmo da magnitude e de fase da resposta em frequência em função de log ω são chamadas de diagramas de Bode ou curvas de Bode O esboço dos diagramas de Bode pode ser simplificado porque eles podem ser aproximados por uma sequência de segmentos de retas A aproximação através de segmentos de retas simplifica a avaliação da magnitude e da fase da resposta em frequência Considere a seguinte função de transferência A magnitude da resposta em frequência é o produto da magnitude da resposta em frequência de cada termo ou Portanto caso conheçamos a magnitude da resposta de cada termo de polo e zero podemos determinar a magnitude total da resposta O processo pode ser simplificado trabalhandose com o logaritmo da magnitude uma vez que as magnitudes das respostas dos termos de zeros devem ser somadas e as magnitudes das respostas dos termos dos polos subtraídas em vez de respectivamente multiplicadas ou divididas para resultar no logaritmo da magnitude total da resposta Convertendo a magnitude da resposta em dB obtemos Assim caso conhecêssemos a resposta de cada termo a soma algébrica resultaria na resposta total em dB Além disso caso pudéssemos fazer uma aproximação de cada termo que consistisse somente em segmentos de retas a soma gráfica dos termos seria grandemente simplificada Antes de prosseguir vamos examinar a fase da resposta A partir da Eq 1013 a fase da resposta em frequência é a soma das curvas de fase da resposta em frequência dos termos de zeros menos a soma das curvas de fase da resposta em frequência dos termos de polos Novamente uma vez que a fase da resposta é a soma de termos individuais aproximações em segmentos de reta dessas respostas individuais simplificam a soma gráfica Vamos mostrar agora como aproximar a resposta em frequência de termos de polos e zeros simples através de segmentos de reta Posteriormente mostramos como combinar essas respostas para esboçar a resposta em frequência de funções mais complexas Em seções subsequentes após uma discussão do critério de estabilidade de Nyquist aprendemos a utilizar os diagramas de Bode para a análise e o projeto da estabilidade e da resposta transitória Diagramas de Bode para Gs s a Considere uma função Gs s a para a qual desejamos esboçar diagramas de logaritmo da magnitude e de fase da resposta separados Fazendo s jω temos Em baixas frequências quando ω tende a zero A magnitude da resposta em dB é em que M Gjω e é uma constante A Eq 1018 é mostrada graficamente na Figura 106a de ω 001a até a Em altas frequências em que ω a a Eq 1016 se torna A magnitude da resposta em dB é em que a ω Observe a partir do termo intermediário que a aproximação de alta frequência é igual à aproximação de baixa frequência quando ω a e aumenta para ω a FIGURA 106 Diagramas de Bode de s a a diagrama de magnitude b diagrama de fase Caso tracemos em dB 20 log M em função de log ω a Eq 1020 se torna uma reta em que y 20 log M e x log ω A reta possui uma inclinação de 20 quando traçada como dB em função de log ω Uma vez que cada duplicação da frequência faz com que 20 log ω aumente por 6 dB a reta cresce com uma inclinação equivalente de 6 dBoitava Onde uma oitava corresponde a uma duplicação da frequência Este aumento começa em ω a onde a aproximação de baixa frequência se iguala à aproximação de alta frequência Chamamos as aproximações em segmentos de retas de assíntotas A aproximação de baixa frequência é chamada de assíntota de baixa frequência e a aproximação de alta frequência é chamada de assíntota de alta frequência A frequência a é chamada de frequência de quebra porque nela ocorre uma quebra entre as assíntotas de baixa e alta frequências Muitas vezes é conveniente desenhar a reta sobre uma década em vez de sobre uma oitava onde uma década é 10 vezes a frequência inicial Sobre uma década 20 log ω aumenta de 20 dB Portanto uma inclinação de 6 dBoitava é equivalente a uma inclinação de 20 dBdécada O diagrama é mostrado na Figura 106a com ω variando de 001a a 100a Vamos agora examinar a fase da resposta que pode ser traçada como a seguir Na frequência de quebra a a Eq 1016 mostra a fase como 45 Em baixas frequências a Eq 1017 mostra 1 2 que a fase é 0 Em altas frequências a Eq 1019 mostra que a fase é 90 Para traçar a curva comece uma década 110 abaixo da frequência de quebra 01a com 0 de fase e trace uma reta de inclinação 45década passando por 45 na frequência de quebra e continuando até 90 uma década acima da frequência de quebra 10a O diagrama de fase resultante é mostrado na Figura 106b Frequentemente é conveniente normalizar a magnitude e escalonar a frequência de modo que o diagrama de logaritmo da magnitude passe por 0 dB em uma frequência de quebra unitária A normalização e o escalonamento ajudam nas seguintes aplicações Ao se comparar diferentes diagramas de resposta em frequência de sistemas de primeira ou de segunda ordem todos os diagramas terão a mesma assíntota de baixa frequência depois da normalização e a mesma frequência de quebra depois do escalonamento Ao se esboçar a resposta em frequência de uma função como a Eq 1013 cada fator no numerador e no denominador terá a mesma assíntota de baixa frequência depois da normalização Esta assíntota comum de baixa frequência torna mais fácil adicionar os componentes para obter o diagrama de Bode TABELA 101 Dados da resposta em frequência assintótica e real normalizadas e escalonadas para s a Fase graus rads Assintótica Real Assintótica Real 001 0 000 000 057 002 0 000 000 115 004 0 001 000 229 006 0 002 000 343 008 0 003 000 457 01 004 000 571 02 0 017 1355 1131 04 0 064 2709 2180 06 0 134 3502 3096 08 0 215 4064 3866 1 0 301 4500 4500 2 6 699 5855 6343 4 12 1230 7209 7596 6 1556 1568 8002 8054 8 18 1813 8564 8287 10 20 2004 9000 8429 20 2602 2603 9000 8714 40 3204 3204 9000 8857 60 3556 3556 9000 8905 80 3806 3806 9000 8928 100 40 Para normalizar s a colocamos a grandeza a em evidência e formamos asa 1 A frequência é escalonada definindose uma nova variável de frequência s1 sa Em seguida a magnitude é dividida pela grandeza a para resultar em 0 dB na frequência de quebra Portanto a função normalizada e escalonada é s1 1 Para obter a resposta em frequência original a magnitude e a frequência são multiplicadas pela grandeza a Usamos agora os conceitos de normalização e escalonamento para comparar a aproximação assintótica com os diagramas reais de magnitude e de fase para s a A Tabela 101 mostra a comparação para a resposta em frequência normalizada e escalonada de s a Observe que a curva de magnitude real está no máximo 301 dB acima das assíntotas Esta diferença máxima ocorre na frequência de quebra A diferença máxima para a curva de fase é de 571 o que ocorre uma década acima e uma década abaixo da frequência de quebra Por conveniência os dados da Tabela 101 são representados graficamente nas Figuras 107 e 108 Determinamos agora os diagramas de Bode para outras funções de transferência comuns FIGURA 107 Magnitudes assintótica e real normalizadas e escalonadas da resposta de s a FIGURA 108 Fases assintótica e real normalizadas e escalonadas da resposta de s a Diagramas de Bode para Gs 1s a Vamos determinar os diagramas de Bode para a função de transferência Esta função possui uma assíntota de baixa frequência de 20 log 1a que é obtida fazendo a frequência s tender a zero O diagrama de Bode é constante até que a frequência de quebra a rads seja atingida O diagrama é então aproximado pela assíntota de alta frequência obtida fazendo s tender a Portanto em altas frequências ou em dB Observe a partir do termo intermediário que a aproximação de alta frequência é igual à aproximação de baixa frequência quando ω a e decresce para ω a Este resultado é semelhante ao da Eq 1020 exceto que a inclinação é negativa em vez de positiva O diagrama de Bode do logaritmo da magnitude diminuirá a uma taxa de 20 dBdécada em vez de aumentar a uma taxa de 20 dBdécada depois da frequência de quebra O diagrama de fase é o negativo do exemplo anterior uma vez que a função é a oposta A fase começa em 0 e alcança 90 em altas frequências passando por 45 na frequência de quebra Ambos os diagramas de logaritmo da magnitude e de fase normalizados e escalonados são mostrados na Figura 109d Diagramas de Bode para Gs s Nossa próxima função Gs s possui apenas uma assíntota de alta frequência Fazendo s jω a magnitude é 20 log ω que é a mesma da Eq 1020 Portanto o diagrama de Bode de magnitude é uma reta traçada com uma inclinação de 20 dBdécada passando por zero dB quando ω 1 O diagrama de fase que é constante em 90 é mostrado com o diagrama de magnitude na Figura 109a Diagramas de Bode para Gs 1s A resposta em frequência da inversa da função precedente Gs 1s é mostrada na Figura 109b e é uma reta com uma inclinação de 20 dBdécada passando por zero dB em ω 1 O diagrama de Bode de fase é igual a 90 Cobrimos quatro funções que possuem polinômios de primeira ordem em s no numerador ou no denominador Antes de prosseguir para polinômios de segunda ordem vamos ver um exemplo de traçado dos diagramas de Bode de uma função que consiste no produto de polinômios de primeira ordem no numerador e no denominador Os diagramas serão construídos somandose as curvas de resposta em frequência individuais FIGURA 109 Diagramas de Bode normalizados e escalonados para a Gs s b Gs 1s c Gs s a d Gs 1s a Exemplo 102 Diagramas de Bode para Razão de Fatores de Primeira Ordem PROBLEMA Esboce os diagramas de Bode para o sistema mostrado na Figura 1010 em que Gs Ks 3ss 1 s 2 FIGURA 1010 Sistema com realimentação unitária em malha fechada SOLUÇÃO Iremos construir um diagrama de Bode para a função em malha aberta Gs Ks 3ss 1 s 2 O diagrama de Bode é a soma dos diagramas de Bode de cada termo de primeira ordem Portanto é conveniente utilizar o diagrama normalizado de cada um desses termos de modo que a assíntota de baixa frequência de cada termo exceto do polo na origem esteja em 0 dB tornando mais fácil somar as componentes do diagrama de Bode Reescrevemos Gs mostrando cada termo normalizado para um ganho unitário em baixa frequência Portanto Constate agora que as frequências de quebra ocorrem em 1 2 e 3 O diagrama de magnitude deve começar uma década abaixo da menor frequência de quebra e se estender até uma década acima da maior frequência de quebra Assim escolhemos o intervalo de 01 radiano a 100 radianos ou três décadas como a extensão de nosso diagrama Em ω 01 o valor de baixa frequência da função é obtido a partir da Eq 1025 utilizando os valores de baixa frequência para todos os termos sa 1 isto é s 0 e o valor real para o termo s no denominador Assim Gj01 K01 15 K O efeito de K é mover a curva de magnitude para cima aumentando K ou para baixo diminuindo K por um valor de 20 log K K não tem efeito sobre a curva de fase Caso escolhamos K 1 a curva de magnitude pode ser desnormalizada posteriormente para qualquer valor de K calculado ou conhecido FIGURA 1011 Diagrama de Bode do logaritmo da magnitude para o Exemplo 102 a componentes b combinação A Figura 1011a mostra cada um dos componentes do diagrama de Bode do logaritmo da magnitude da resposta em frequência Somando os componentes produzse o diagrama composto mostrado na Figura 1011b Os resultados são resumidos na Tabela 102 que pode ser utilizada para obter as inclinações Os polos e o zero são listados na primeira coluna A tabela mostra as contribuições dos polos e do zero em cada frequência A última linha é a soma das inclinações e se correlaciona com a Figura 1011b O diagrama de Bode de magnitude para K 1 começa em ω 01 com um valor de 20 log 15 2352 dB e diminui imediatamente a uma taxa de 20 dBdécada devido ao termo s no denominador Em ω 1 o termo s 1 no denominador começa sua inclinação descendente de 20 dBdécada e provoca uma inclinação negativa adicional de 20 dBdécada ou uma inclinação total de 40 dBdécada Em ω 2 o termo s2 1 começa sua inclinação de 20 dBdécada adicionando novamente 20 dBdécada ao diagrama resultante ou uma inclinação total de 60 dBdécada que continua até ω 3 Nesta frequência o termo s3 1 no numerador começa sua inclinação positiva de 20 dBdécada O diagrama de magnitude resultante portanto muda de uma inclinação de 60 dBdécada para 40 dBdécada em ω 3 e continua com esta inclinação uma vez que não existem outras frequências de quebra As inclinações são facilmente traçadas esboçandose segmentos de reta que decrescem 20 dB por década Por exemplo a inclinação inicial de 20 dBdécada é traçada a partir de 2352 dB em ω 01 até 352 dB um decréscimo de 20 dB em ω 1 A inclinação de 40 dBdécada começando em ω 1 é desenhada esboçandose um segmento de reta a partir de 352 dB em ω 1 até 3648 dB um decréscimo de 40 dB em ω 10 e utilizandose apenas o trecho entre ω 1 e ω 2 A próxima inclinação de 60 dBdécada é traçada primeiro esboçandose um segmento de reta a partir de ω 2 a ω 20 uma década caindo 60 dB e utilizandose apenas o segmento da reta entre ω 2 e ω 3 A inclinação final é traçada esboçandose um segmento de reta entre ω 3 e ω 30 uma década que cai 40 dB Esta inclinação continua até o final do diagrama A fase é tratada de modo semelhante Entretanto a existência de quebras uma década abaixo e uma década acima da frequência de quebra faz com que seja requerido um pouco mais de cálculo A Tabela 103 mostra as frequências de início e fim da inclinação de 45década para cada um dos polos e zeros Por exemplo observando a linha para o polo em 2 verificamos que a inclinação de 45 começa em uma frequência de 02 e termina em 20 Preenchendo as linhas para cada polo e em seguida somando as colunas obtemos o perfil de inclinação do diagrama de fase resultante Examinando a linha assinalada com Inclinação total observamos que o diagrama de fase terá uma inclinação de 45década de uma frequência de 01 a 02 A inclinação aumentará então para 90década de 02 a 03 A inclinação retornará para 45década de 03 a 10 rads Uma inclinação de 0década ocorre de 10 a 20 rads seguida de uma inclinação de 45década de 20 a 30 rads Finalmente de 30 rads até o infinito a inclinação é de 0década TABELA 102 Diagrama de Bode de magnitude contribuição em inclinação de cada polo e zero no Exemplo 102 Frequência rads Descrição 01 Início Polo em 0 1 Início Polo em 1 2 Início Polo em 2 3 Início Zero em 3 Polo em 0 20 20 20 20 Polo em 1 0 20 20 20 Polo em 2 0 0 20 20 Zero em 3 0 0 0 20 Inclinação total dBdéc 20 40 60 40 TABELA 103 Diagrama de Bode de fase contribuição em inclinação de cada polo e zero no Exemplo 102 Frequência rads Descrição 01 Início Polo em 1 02 Início Polo em 2 03 Início Zero em 3 10 Fim Polo em 1 20 Fim Polo em 2 30 FimZero em 3 Polo em 1 45 45 45 0 Polo em 2 45 45 45 0 Zero em 3 45 45 45 0 Inclinação total grausdéc 45 90 45 0 45 0 FIGURA 1012 Diagrama de Bode de fase para o Exemplo 102 a componentes b combinação Os diagramas de fase resultantes dos componentes e da composição são mostrados na Figura 1012 Uma vez que o polo na origem produz uma defasagem constante de 90 o diagrama começa em 90 e segue o perfil de inclinação que acaba de ser descrito Diagramas de Bode para Agora que cobrimos os diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem nos voltamos para os diagramas de Bode de logaritmo da magnitude e de fase para polinômios de segunda ordem em s O polinômio de segunda ordem é da forma Diferente da aproximação da resposta em frequência de primeira ordem a diferença entre a aproximação assintótica e a resposta em frequência real pode ser grande para alguns valores de ζ Uma correção dos diagramas de Bode pode ser realizada para melhorar a exatidão Primeiro deduzimos a aproximação assintótica e em seguida mostramos a diferença entre as curvas de resposta em frequência da aproximação assintótica e real Em baixas frequências a Eq 1026 se torna A magnitude M em dB em baixas frequências é portanto Em altas frequências ou O logaritmo da magnitude é A Eq 1031 é uma reta com o dobro da inclinação de um termo de primeira ordem Eq 1020 Sua inclinação é de 12 dBoitava ou 40 dBdécada A assíntota de baixa frequência Eq 1027 e a assíntota de alta frequência Eq 1031 são iguais quando ω ωn Assim ωn é a frequência de quebra para o polinômio de segunda ordem Por conveniência ao se representar sistemas com ωn diferentes normalizamos e escalonamos nossos resultados antes de traçar as assíntotas Utilizando o termo normalizado e escalonado da Eq 1026 normalizamos a magnitude dividindo por e escalonamos a frequência dividindo por ωn Dessa forma representamos graficamente possui uma assíntota de baixa frequência de 0 dB e uma frequência de quebra de 1 rads A Figura 1013a mostra as assíntotas do diagrama de magnitude normalizado e escalonado Traçamos agora o diagrama de fase Ele é 0 em baixas frequências Eq 1027 e 180 em altas frequências Eq 1030 Para determinar a fase na frequência natural primeiro obtemos Gjω Em seguida determinamos o valor da função na frequência natural substituindo ω ωn Uma vez que o resultado é a fase na frequência natural é 90 A Figura 1013b mostra a fase traçada com a frequência escalonada por ωn O diagrama de fase aumenta a uma taxa de 90década de 01 a 10 e passa por 90 em 1 FIGURA 1013 Assíntotas de Bode para normalizada e escalonada a magnitude b fase Correções para os Diagramas de Bode de Segunda Ordem Vamos agora examinar o erro entre a resposta real e a aproximação assintótica do polinômio de segunda ordem Enquanto o polinômio de primeira ordem possui uma disparidade de não mais que 301 dB em magnitude e 571 em fase a função de segunda ordem pode apresentar uma disparidade maior que depende do valor de ζ A partir da Eq 1032 a magnitude e a fase reais para são respectivamente Essas relações estão tabeladas na Tabela 104 para uma faixa de valores de ζ e representadas graficamente nas Figuras 1014 e 1015 junto com as aproximações assintóticas para magnitude normalizada e frequência escalonada Na Figura 1014 que está normalizada em relação ao quadrado da frequência natural o logaritmo da magnitude normalizada na frequência natural escalonada é 20 log 2ζ O estudante deve verificar que a magnitude real na frequência natural não escalonada é A Tabela 104 e as Figuras 1014 e 1015 podem ser utilizadas para melhorar a exatidão ao se traçar diagramas de Bode Por exemplo uma correção de magnitude de 20 log 2ζ pode ser feita na frequência natural ou de quebra no diagrama assintótico de Bode TABELA 104 Dados para diagramas de logaritmo de magnitude e de fase normalizados e escalonados para Mag Mag dB ζ 01 Fase graus ζ 01 Mag dB ζ 02 Fase graus ζ 02 Mag dB ζ 03 Fase graus ζ 03 Mag dB ζ 05 Fase graus ζ 05 Mag dB ζ 07 Fase graus ζ 07 Mag dB ζ 01 Fase graus ζ 01 010 009 116 008 231 007 347 004 577 000 805 009 1142 020 035 239 032 476 029 713 017 1177 000 1626 034 2262 030 080 377 074 751 065 1119 037 1825 002 2478 075 3340 040 148 544 136 1078 117 1595 063 2546 008 3369 129 4360 050 242 759 220 1493 185 2180 090 3369 022 4303 194 5313 060 373 1062 330 2056 268 2936 114 4315 047 5270 267 6193 070 553 1535 470 2877 360 3947 125 5392 087 6251 346 6998 080 809 2396 635 4163 444 5313 114 6577 141 7218 430 7732 090 1164 4345 781 6218 485 7062 073 7808 211 8142 515 8397 100 1398 9000 796 9000 444 9000 000 9000 292 9000 602 9000 110 1034 13367 624 11551 319 10765 098 10081 383 9777 689 9545 120 600 15139 373 13251 148 12143 213 11014 479 10468 775 10039 130 265 15935 127 14300 035 13150 336 11796 578 11076 860 10486 140 000 16374 092 14974 211 13881 460 12444 678 11610 10892 943 150 218 16650 284 15436 375 14425 581 12981 776 12076 1024 11262 160 404 16841 454 15769 526 14839 698 13427 872 12485 1103 11599 170 567 16980 606 16021 664 15165 810 13803 966 12845 1180 11907 180 712 17087 743 16218 791 15426 917 14122 1056 13163 1255 12189 190 842 17172 869 16377 909 15641 1018 14395 1143 13446 1327 12448 200 962 17241 984 16507 1019 15820 1114 14631 1226 13697 1398 12687 300 1809 17571 1816 17147 1828 16732 1863 15944 1912 15230 2000 14313 400 2353 17695 2357 17391 2363 17091 2382 16507 2409 15953 2461 15193 500 2761 17761 2763 17524 2767 17287 2779 16823 2796 16374 2830 15738 600 3089 17804 3090 17608 3093 17413 3101 17027 3112 16650 3136 16108 700 3363 17833 3364 17666 3366 17500 3372 17170 3380 16846 3398 16374 800 3599 17855 3600 17709 3601 17564 3606 17276 3612 16992 3626 16575 900 3806 17871 3807 17742 3808 17614 3812 17358 3817 17105 3828 16732 1000 3991 17884 3992 17769 3993 17653 3996 17423 4000 17195 4009 16858 FIGURA 1014 Logaritmo da magnitude da resposta normalizada e escalonada para FIGURA 1015 Fase da resposta escalonada para Diagramas de Bode para Os diagramas de Bode para podem ser deduzidos de modo semelhante aos de Determinamos que a curva de magnitude quebra na frequência natural e diminui a uma taxa de 40 dBdécada O diagrama de fase é 0 em baixas frequências Em 01ωn ele começa a diminuir de 90década e continua até ω 10ωn onde ele nivela em 180 A resposta em frequência exata também segue a mesma dedução que a de Os resultados estão resumidos na Tabela 105 bem como nas Figuras 1016 e 1017 A magnitude exata é o inverso da Eq 1033 e a fase exata é o oposto da Eq 1034 A magnitude normalizada na frequência natural escalonada é 20 log 2ζ o que pode ser utilizado como uma correção na frequência de quebra no diagrama de Bode assintótico Vamos agora ver um exemplo de como traçar diagramas de Bode para funções de transferência que contêm fatores de segunda ordem FIGURA 1016 Logaritmo da magnitude da resposta normalizada e escalonada para TABELA 105 Dados para os diagramas de logaritmo da magnitude e de fase normalizados e escalonados para Mag Mag dB ζ 01 Fase graus ζ 01 Mag dB ζ 02 Fase graus ζ 02 Mag dB ζ 03 Fase graus ζ 03 Mag dB ζ 05 Fase graus ζ 05 Mag dB ζ 07 Fase graus ζ 07 Mag dB ζ 01 Fase graus ζ 01 010 009 116 008 231 007 347 004 577 000 805 009 1142 020 035 239 032 476 029 713 017 1177 000 1626 034 2262 030 080 377 074 751 065 1119 037 1825 002 2478 075 3340 040 148 544 136 1078 117 1595 063 2546 008 3369 129 4360 050 242 759 220 1493 185 2180 090 3369 022 4303 194 5313 060 373 1062 330 2056 268 2936 114 4315 047 5270 267 6193 070 553 1535 470 2877 360 3947 125 5392 087 6251 346 6998 080 809 2396 635 4163 444 5313 114 6577 141 7218 430 7732 090 1164 4345 781 6218 485 7062 073 7808 211 8142 515 8397 100 1398 9000 796 9000 444 9000 000 9000 292 9000 602 9000 110 1034 13367 624 11551 319 10765 098 10081 393 9777 689 9545 120 600 15139 373 13251 148 12143 213 11014 479 10468 775 10039 130 265 15935 127 14300 035 13150 336 11796 578 11076 860 10486 140 000 16374 092 14974 211 13881 460 12444 678 11610 943 10892 150 218 16650 284 15436 375 14425 581 12981 776 12076 1024 11262 160 404 16841 454 15769 526 14839 698 13427 872 12485 1103 11599 170 567 16980 606 16021 664 15165 810 13803 966 12845 1180 11907 180 712 17087 743 16218 791 15426 917 14122 1056 13163 1255 12189 190 842 17172 869 16377 909 15641 1018 14395 1143 13446 1327 12448 200 962 17241 984 16507 1019 15820 1114 14631 1226 13697 1398 12687 300 1809 17571 1816 17147 1828 16732 1863 15944 1912 15230 2000 14313 400 2353 17695 2357 17391 2363 17091 2382 16507 2409 15953 2461 15193 500 2761 17761 2763 17524 2767 17287 2779 16823 2796 16374 2830 15738 600 3089 17804 3090 17608 3093 17413 3101 17027 3112 16650 3136 16108 700 3363 17833 3364 17666 3366 17500 3372 17170 3380 16846 3398 16374 800 3599 17855 3600 17709 3601 17564 3606 17276 3612 16992 3626 16575 900 3806 17871 3807 17742 3808 17614 3812 17358 3817 17105 3828 16732 1000 3991 17884 3992 17769 3993 17653 3996 17423 4000 17195 4009 16858 FIGURA 1017 Fase da resposta escalonada para Exemplo 103 Diagramas de Bode para Razão de Fatores de Primeira e Segunda Ordens PROBLEMA Trace os diagramas de Bode de logaritmo da magnitude e de fase de Gs para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura 1010 onde Gs s 3s 2 s2 2s 25 SOLUÇÃO Primeiro convertemos Gs para mostrar os componentes normalizados que possuem ganho unitário em baixas frequências O termo de segunda ordem é normalizado colocandose em evidência Assim FIGURA 1018 Diagrama de Bode da magnitude para Gs s 3s 2 s2 2s 25 a componentes b combinação TABELA 106 Inclinações do diagrama de magnitude para o Exemplo 103 Frequência rads Descrição 01 Início Diagrama 2 Início Polo em 2 3 Início Zero em 3 5 Início ωn 5 Polo em 2 0 20 20 20 Zero em 3 0 0 20 20 ωn 5 0 0 0 40 Inclinação total dBdéc 0 20 40 Inclinação total dBdéc 0 20 0 40 O diagrama de Bode de logaritmo da magnitude é mostrado na Figura 1018b e é a soma dos termos individuais de primeira e segunda ordens de Gs mostrados na Figura 1018a Resolvemos este problema somando as inclinações dessas partes constituintes começando e terminando nas frequências apropriadas Os resultados estão resumidos na Tabela 106 que pode ser utilizada para obter as inclinações O valor de baixa frequência para Gs determinado fazendo s 0 é 350 ou 2444 dB O diagrama de Bode de magnitude começa neste valor e continua até a primeira frequência de quebra em 2 rads Nesse ponto o polo em 2 produz uma inclinação decrescente de 20 dBdécada até a próxima quebra em 3 rads O zero em 3 provoca uma elevação da inclinação de 20 dBdécada a qual ao ser somada à curva anterior de 20 dBdécada resulta em uma inclinação líquida de 0 Na frequência de 5 rads o termo de segunda ordem inicia uma inclinação decrescente de 40 dBdécada que continua até o infinito A correção da curva de logaritmo da magnitude decorrente do termo de segunda ordem subamortecido pode ser determinada representando graficamente um ponto 20 log 2ζ acima das assíntotas na frequência natural Como ζ 02 para o termo de segunda ordem no denominador de Gs a correção é de 769 dB Pontos próximos da frequência natural podem ser corrigidos tomandose os valores a partir das curvas da Figura 1016 Dirigimos nossa atenção agora para o diagrama de fase A Tabela 107 é criada para determinar a progressão das inclinações no diagrama de fase O polo de primeira ordem em 2 resulta em uma fase que começa em 0 e termina em 90 por meio de uma inclinação de 45década que começa uma década abaixo de sua frequência de quebra e termina uma década acima de sua frequência de quebra O zero de primeira ordem resulta em uma fase que começa em 0 e termina em 90 por meio de uma inclinação de 45década que começa uma década abaixo e termina uma década acima de sua frequência de quebra Os polos de segunda ordem resultam em uma fase que começa em 0 e termina em 180 por meio de uma inclinação de 90década que começa uma década abaixo de sua frequência natural ωn 5 e termina uma década acima de sua frequência natural As inclinações mostradas na Figura 1019a são somadas sobre cada faixa de frequência e o diagrama de Bode de fase final é mostrado na Figura 1019b TABELA 107 Inclinações do diagrama de fase para o Exemplo 103 Frequência rads Descrição 02 Início Polo em 2 03 Início Zero em 3 05 Início ωn 5 20 Fim Polo em 2 30 Fim Zero em 3 50 Fim ωn 5 Polo em 2 45 45 45 0 Zero em 3 45 45 45 0 ωn 5 90 90 90 0 Inclinação total grausdéc 45 0 90 45 90 0 FIGURA 1019 Diagrama de Bode de fase para Gs s 3s 2 s2 2s 25 a componentes b combinação Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p1 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para traçar diagramas de Bode e listar os pontos dos diagramas Este exercício resolve o Exemplo 103 utilizando o MATLAB Exercício 102 Exercício 102 PROBLEMA Trace os diagramas de Bode de logaritmo da magnitude e de fase para o sistema mostrado na Figura 1010 em que RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 101 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para obter os diagramas de Bode para o sistema do Exercício de Avaliação de Competência 102 Gzpk2017 501 bodeGgrid on Depois que os diagramas de Bode aparecerem clique sobre a curva e arraste para ler as coordenadas Nesta seção aprendemos como construir os diagramas Bode de logaritmo da magnitude e de fase Os diagramas de Bode são curvas separadas de magnitude e de fase da resposta em frequência de um sistema Gs Na próxima seção desenvolvemos o critério de Nyquist para estabilidade que utiliza a resposta em frequência de um sistema Os diagramas de Bode podem então ser utilizados para determinar a estabilidade de um sistema 103 Introdução ao Critério de Nyquist O critério de Nyquist relaciona a estabilidade de um sistema em malha fechada com a resposta em frequência em malha aberta e a posição dos polos em malha aberta Dessa forma o conhecimento da resposta em frequência do sistema em malha aberta fornece informações sobre a estabilidade do sistema em malha fechada Este conceito é semelhante ao do lugar geométrico das raízes onde começamos com informações sobre o sistema em malha aberta seus polos e zeros e desenvolvemos informações sobre o transitório e a estabilidade do sistema em malha fechada Embora a princípio o critério de Nyquist forneça informações sobre a estabilidade estendemos o conceito para a resposta transitória e para os erros em regime permanente Assim as técnicas de resposta em frequência são uma abordagem alternativa ao lugar geométrico das raízes Dedução do Critério de Nyquist Considere o sistema da Figura 1020 O critério de Nyquist pode nos dizer quantos polos em malha fechada estão no semiplano da direita Antes de deduzir o critério vamos estabelecer quatro conceitos importantes que serão utilizados durante a dedução 1 a relação entre os polos de 1 GsHs e os polos de GsHs 2 a relação entre os zeros de 1 GsHs e os polos da função de transferência em malha fechada Ts 3 o conceito de mapeamento de pontos e o conceito de mapeamento de contornos Fazendo obtemos A partir das Eqs 1038 concluímos que 1 os polos de 1 GsHs são os mesmos que os polos de GsHs o sistema em malha aberta e 2 os zeros de 1 GsHs são os mesmos que os polos de Ts o sistema em malha fechada FIGURA 1020 Sistema de controle em malha fechada FIGURA 1021 Mapeando o contorno A no contorno B através da função Fs Em seguida vamos definir o termo mapeamento Se tomarmos um número complexo no plano s e o substituirmos em uma função Fs o resultado é outro número complexo Este processo é chamado de mapeamento Por exemplo substituindo s 4 j3 na função s2 2s 1 resulta 16 j30 Dizemos que 4 j3 é mapeado em 16 j30 através da função s2 2s 1 Finalmente discutimos o conceito de mapeamento de contornos Considere o conjunto de pontos chamado de contorno mostrado na Figura 1021 como contorno A Além disso admita que O contorno A pode ser mapeado através de Fs no contorno B substituindose cada ponto do contorno A na função Fs e representandose graficamente os números complexos resultantes Por exemplo o ponto Q na Figura 1021 é mapeado no ponto Q através da função Fs A abordagem vetorial para a realização dos cálculos coberta na Seção 81 pode ser utilizada como alternativa Alguns exemplos de mapeamento de contorno são mostrados na Figura 1022 para algumas Fs simples O mapeamento de cada ponto é definido pela aritmética de números complexos onde o número complexo resultante R é calculado a partir dos números complexos representados por V como mostrado na última coluna da Figura 1022 Você deve verificar que caso admitamos um sentido horário para o mapeamento dos pontos do contorno A então o contorno B é mapeado no sentido horário se Fs na Figura 1022 possuir apenas zeros ou possuir apenas polos que não são envolvidos pelo contorno O contorno B é mapeado no sentido antihorário se Fs possuir apenas polos que são envolvidos pelo contorno Além disso você deve verificar que se o polo ou o zero de Fs é envolvido pelo contorno A o mapeamento envolve a origem No último caso da Figura 1022 a rotação decorrente do polo e a rotação decorrente do zero se cancelam e o mapeamento não envolve a origem Vamos agora começar a dedução do critério de Nyquist para estabilidade Primeiro mostramos que existe uma relação única entre o número de polos de Fs contidos no interior de um contorno A o número de zeros de Fs contidos no interior do contorno A e o número de voltas que o contorno mapeado B dá em torno da origem no sentido antihorário Em seguida mostramos como esse interrelacionamento pode ser utilizado para determinar a estabilidade de sistemas em malha fechada Esse método de determinação da estabilidade é chamado de critério de Nyquist FIGURA 1022 Exemplos de mapeamento de contornos Vamos primeiro admitir que Fs 1 GsHs com o esboço de polos e zeros de 1 GsHs como mostrado na Figura 1023 próximos do contorno A Assim R V1V2V3V4V5 À medida que cada ponto Q do contorno A é substituído em 1 GsHs um ponto mapeado resulta no contorno B Admitindo que Fs 1 GsHs possua dois zeros e três polos cada termo entre parênteses da Eq 1039 é um vetor na Figura 1023 À medida que nos movemos no sentido horário ao longo do contorno A cada vetor da Eq 1039 que se encontra no interior do contorno A aparentará ter passado por uma rotação completa ou por uma mudança em ângulo de 360 Por outro lado cada vetor traçado a partir dos polos e dos zeros de 1 GsHs que existem fora do contorno A parecerá oscilar e retornar à sua posição anterior passando por uma variação angular líquida de 0 FIGURA 1023 Representação vetorial do mapeamento Cada fator de polo ou zero de 1 GsHs cujo vetor passe por uma rotação completa ao redor do contorno A deve resultar em uma alteração de 360 no resultado R ou em uma rotação completa do contorno mapeado B Caso nos movamos no sentido horário ao longo do contorno A cada zero dentro do contorno A produz uma rotação no sentido horário enquanto cada polo dentro do contorno A produz uma rotação no sentido antihorário uma vez que os polos estão no denominador da Eq 1039 Assim N P Z em que N é igual ao número de voltas no sentido antihorário do contorno B ao redor da origem P é igual ao número de polos de 1 GsHs no interior do contorno A e Z é igual ao número de zeros de 1 GsHs no interior do contorno A Como os polos mostrados na Figura 1023 são polos de 1 GsHs sabemos com base nas Eqs 1038 que eles também são polos de GsHs e são conhecidos Mas uma vez que os zeros mostrados na Figura 1023 são os zeros de 1 GsHs sabemos com base nas Eqs 1038 que eles também são polos do sistema em malha fechada e não são conhecidos Portanto P é igual ao número de polos em malha aberta envolvidos e Z é igual ao número de polos em malha fechada envolvidos Assim N P Z ou alternativamente Z P N nos diz que o número de polos em malha fechada no interior do contorno que é o mesmo que o número de zeros dentro do contorno é igual ao número de polos em malha aberta de GsHs no interior do contorno menos o número de voltas no sentido antihorário do mapeamento em torno da origem Caso estendamos o contorno para incluir todo o semiplano da direita como mostrado na Figura 1024 podemos contar o número de polos em malha fechada no interior do contorno A no semiplano da direita e determinar a estabilidade de um sistema Uma vez que podemos contar o número de polos em malha aberta P dentro do contorno que são os mesmos que os polos de GsHs no semiplano da direita o único problema que resta é como obter o mapeamento e determinar N Como todos os polos e zeros de GsHs são conhecidos o que acontece se mapearmos através de GsHs em vez de através de 1 GsHs O contorno resultante é o mesmo que o de um mapeamento através de 1 GsHs exceto que ele é transladado uma unidade para a esquerda assim contamos as voltas em torno de 1 ao invés das voltas em torno da origem Assim o enunciado final do critério de estabilidade de Nyquist é o seguinte Se um contorno A que envolve todo o semiplano da direita for mapeado através de GsHs então o número de polos em malha fechada Z no semiplano da direita é igual ao número de polos em malha aberta P que estão no semiplano da direita menos o número de voltas do mapeamento no sentido antihorário N em torno de 1 isto é Z P N O mapeamento é chamado de diagrama de Nyquist ou curva de Nyquist de GsHs Agora podemos ver porque esse método é classificado como uma técnica de resposta em frequência Ao longo do contorno A na Figura 1024 o mapeamento dos pontos sobre o eixo jω através da função GsHs é o mesmo que substituir s jω em GsHs para formar a função de resposta em frequência GjωHjω Estamos portanto determinando a resposta em frequência de GsHs sobre esta parte do contorno A que corresponde à parte positiva do eixo jω Em outras palavras parte do diagrama de Nyquist é o diagrama polar da resposta em frequência de GsHs FIGURA 1024 Contorno envolvendo o semiplano da direita para determinar a estabilidade FIGURA 1025 Exemplos de mapeamento a o contorno não envolve polos em malha fechada b o contorno envolve polos em malha fechada Aplicando o Critério de Nyquist para Determinar a Estabilidade Antes de descrever como esboçar um diagrama de Nyquist vamos ver alguns exemplos típicos que utilizam o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema Esses exemplos nos dão uma visão geral antes de nos preocuparmos com os detalhes do mapeamento A Figura 1025a mostra um contorno A que não envolve polos em malha fechada isto é os zeros de 1 GsHs O contorno desse modo é mapeado através de GsHs em um diagrama de Nyquist que não envolve 1 Assim P 0 N 0 e Z P N 0 Uma vez que Z é o número de polos em malha fechada no interior do contorno A que envolve o semiplano da direita este sistema não possui polos no semiplano da direita e é estável Por outro lado a Figura 1025b mostra um contorno A que embora não envolva polos em malha aberta gera duas voltas no sentido horário em torno de 1 Assim P 0 N 2 e o sistema é instável ele possui dois polos em malha fechada no semiplano da direita uma vez que Z P N 2 Os dois polos em malha fechada são mostrados no interior do contorno A na Figura 1025b como zeros de 1 GsHs Você deve ter em mente que a existência desses polos não é conhecida a priori Neste exemplo observe que voltas no sentido horário implicam um valor negativo para N O número de voltas pode ser determinado traçandose um raio de teste a partir de 1 em qualquer direção conveniente e contandose o número de vezes que o diagrama de Nyquist cruza o raio de teste Os cruzamentos no sentido antihorário são positivos e os cruzamentos no sentido horário são negativos Por exemplo na Figura 1025b o contorno B cruza o raio de teste duas vezes no sentido horário Portanto há 2 voltas em torno do ponto 1 Antes de aplicar o critério de Nyquist a outros exemplos para determinar a estabilidade de um sistema devemos primeiro ganhar experiência no esboço de diagramas de Nyquist A próxima seção cobre o desenvolvimento dessa habilidade 104 Esboçando o Diagrama de Nyquist O contorno que envolve o semiplano da direita pode ser mapeado através da função GsHs pela substituição de pontos ao longo do contorno em GsHs Os pontos ao longo da extensão positiva do eixo imaginário resultam na resposta em frequência polar de GsHs Aproximações podem ser feitas para GsHs para pontos ao longo do semicírculo infinito admitindose que os vetores comecem na origem Assim seu módulo é infinito e seus ângulos são facilmente calculados Entretanto na maioria das vezes um esboço simples do diagrama de Nyquist é tudo o que é necessário Um esboço pode ser obtido rapidamente observando os vetores de GsHs e seus movimentos ao longo do contorno Nos exemplos a seguir enfatizamos esse método rápido para esboçar o diagrama de Nyquist Contudo os exemplos também incluem expressões analíticas para GsHs para cada trecho do contorno para ajudálo a determinar a forma do diagrama de Nyquist Exemplo 104 Esboçando um Diagrama de Nyquist PROBLEMA Os controles de velocidade encontram uma ampla aplicação nos setores industrial e doméstico A Figura 1026a mostra uma aplicação controle de frequência de saída de energia elétrica de um par de turbina e gerador Regulando a velocidade o sistema de controle assegura que a frequência gerada permaneça dentro da tolerância Os desvios a partir da velocidade desejada são medidos e uma válvula de vapor é alterada para compensar o erro de velocidade O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Figura 1026b Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema da Figura 1026 FIGURA 1026 a Turbina e gerador b diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade para o Exemplo 104 SOLUÇÃO Conceitualmente o diagrama de Nyquist é traçado substituindose os pontos do contorno mostrado na Figura 1027a em Gs 500s 1s 3s 10 Esse processo é equivalente a efetuar aritmética de números complexos utilizando os vetores de Gs traçados até os pontos do contorno como mostrado na Figura 1027a e b Cada termo de polo e zero de Gs mostrado na Figura 1026b é um vetor na Figura 1027a e b O vetor resultante R obtido em qualquer ponto ao longo do contorno é em geral o produto dos vetores de zeros dividido pelo produto dos vetores de polos ver Figura 1027c Assim a magnitude do resultado é o produto das distâncias até os zeros dividido pelo produto das distâncias até os polos e o ângulo do resultado é a soma dos ângulos dos zeros menos a soma dos ângulos dos polos À medida que nos movemos no sentido horário ao longo do contorno do ponto A até o ponto C na Figura 1027a o ângulo resultante vai de 0 a 3 90 270 ou de A a C na Figura 1027c Uma vez que os ângulos emanam de polos no denominador de Gs a rotação ou o aumento no ângulo é na verdade uma diminuição no ângulo da função Gs os polos ganham 270 no sentido antihorário o que explica porque a função perde 270 Enquanto o resultado se move de A para C na Figura 1027c sua magnitude varia de acordo com o produto das distâncias até os zeros dividido pelo produto das distâncias até os polos Assim a resultado vai de um valor finito em frequência zero no ponto A da Figura 1027a existem três distâncias finitas até os polos até uma magnitude zero na frequência infinita no ponto C no ponto C da Figura 1027a existem três distâncias infinitas até os polos O mapeamento do ponto A até o ponto C também pode ser explicado analiticamente De A a C o conjunto de pontos ao longo do contorno é imaginário Portanto de A até C Gs Gjω ou a partir da Figura 1026b Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador obtemos Na frequência zero Gjω 50030 503 Portanto o diagrama de Nyquist começa em 503 com um ângulo de 0 À medida que ω aumenta a parte real permanece positiva e a parte imaginária permanece negativa Em a parte real se torna negativa Em o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo uma vez que o termo imaginário se anula O valor real no cruzamento do eixo ponto Q na Figura 1027c encontrado substituindose na Eq 1041 é 0874 Continuando para ω a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva Em frequência infinita Gjω 500jω3 ou aproximadamente zero a 90 FIGURA 1027 Cálculo vetorial do diagrama de Nyquist para o Exemplo 104 a vetores no contorno em uma frequência baixa b vetores no contorno ao longo do infinito c diagrama de Nyquist Ao longo do semicírculo infinito do ponto C ao ponto D mostrados na Figura 1027b os vetores giram no sentido horário cada um por 180 Portanto o resultado passa por uma rotação no sentido antihorário de 3 180 começando no ponto C e terminando no ponto D da Figura 1027c Analiticamente podemos ver isso admitindo que ao longo do semicírculo infinito os vetores começam aproximadamente na origem e possuem módulos infinitos Para qualquer ponto no plano s o valor de Gs pode ser obtido representando cada número complexo na forma polar como a seguir em que Ri é a magnitude do número complexo s i e θi é o ângulo do número complexo s i Ao longo do semicírculo infinito todos os Ri são infinitos e podemos usar nossa hipótese para aproximar os ângulos como se os vetores começassem na origem Assim ao longo do semicírculo infinito No ponto C na Figura 1027b os ângulos são todos 90 Portanto o resultado é 0270 mostrado como ponto C na Figura 1027c De modo análogo no ponto D Gs 0270 que é mapeado no ponto D Você pode escolher pontos intermediários para verificar a espiral cujo vetor de raio tende a zero na origem como mostrado na Figura 1027c O eixo imaginário negativo pode ser mapeado percebendose que a parte real de GjωHjω é sempre uma função par enquanto a parte imaginária de GjωHjω é uma função ímpar Isto é a parte real não mudará de sinal quando valores negativos de ω são utilizados enquanto a parte imaginária mudará de sinal Portanto o mapeamento do eixo imaginário negativo é uma imagem refletida do mapeamento do eixo imaginário positivo O mapeamento do trecho do contorno do ponto D até A é traçado como uma imagem refletida em relação ao eixo real do mapeamento do ponto A até C FIGURA 1028 Desviando ao redor de polos em malha aberta a polos no contorno b desvio pela direita c desvio pela esquerda No exemplo anterior não havia polos em malha aberta situados ao longo do contorno envolvendo o semiplano da direita Caso esses polos existam então um desvio ao redor dos polos sobre o contorno é necessário caso contrário o mapeamento iria para infinito de uma forma indeterminada sem informação angular Consequentemente um esboço completo do diagrama de Nyquist não poderia ser feito e o número de voltas em torno de 1 não poderia ser determinado Vamos admitir uma GsHs NssDs em que Ds possui raízes imaginárias O termo s no denominador e as raízes imaginárias de Ds são polos de GsHs que estão no contorno como mostrado na Figura 1028a Para esboçar o diagrama de Nyquist o contorno deve desviar ao redor de cada polo em malha aberta que está em seu caminho O desvio pode ser à direita do polo como mostrado na Figura 1028b que deixa claro que o vetor de cada polo gira de 180 quando nos movemos ao longo do contorno próximo deste polo Este conhecimento da rotação angular dos polos no contorno nos permite completar o diagrama de Nyquist Naturalmente nosso desvio deve nos levar apenas a uma distância infinitesimal no semiplano da direita caso contrário alguns polos em malha fechada no semiplano da direita serão excluídos da contagem Podemos também desviar para a esquerda dos polos em malha aberta Nesse caso cada polo gira de um ângulo de 180 quando desviamos ao redor dele Novamente o desvio deve ser infinitesimalmente pequeno caso contrário poderíamos incluir alguns polo no semiplano da esquerda na contagem Vamos ver um exemplo Exemplo 105 Diagrama de Nyquist para Função em Malha Aberta com Polos no Contorno PROBLEMA Esboce o diagrama de Nyquist do sistema com realimentação unitária da Figura 1010 em que Gs s 2s2 SOLUÇÃO Os dois polos do sistema na origem estão sobre o contorno e devem ser contornados como mostrado na Figura 1029a O mapeamento começa no ponto A e continua no sentido horário Os pontos A B C D E e F da Figura 1029a são mapeados respectivamente nos pontos A B C D E e F da Figura 1029b FIGURA 1029 a Contorno para o Exemplo 105 b diagrama de Nyquist para o Exemplo 105 No ponto A os dois polos em malha aberta na origem contribuem com 2 90 180 e o zero contribui com 0 O ângulo total no ponto A é portanto 180 Perto da origem a função é infinita em magnitude por causa da estreita proximidade com os dois polos em malha aberta Assim o ponto A é mapeado no ponto A localizado no infinito com um ângulo de 180 Movendo do ponto A até o ponto B ao longo do contorno resulta uma variação líquida no ângulo de 90 decorrente unicamente do zero Os ângulos dos polos permanecem os mesmos Assim o mapeamento muda por 90 no sentido anti horário O vetor mapeado vai de 180 em A para 90 em B Ao mesmo tempo a magnitude varia de infinito a zero uma vez que no ponto B há uma distância infinita a partir do zero dividida por duas distâncias infinitas a partir dos polos Alternativamente a resposta em frequência pode ser determinada analiticamente a partir de Gjω 2 jωω2 considerando ω variando de 0 a Em baixas frequências Gjω 2ω2 ou 180 Em altas frequências Gjω jω ou 090 Além disso as partes real e imaginária são sempre negativas À medida que percorremos o contorno BCD a magnitude da função permanece em zero uma distância infinita do zero dividida por duas distâncias infinitas dos polos À medida que os vetores se movem através de BCD o vetor do zero e os dois vetores dos polos passam por variações de 180 cada Assim o vetor mapeado passa por uma variação líquida de 180 que é a variação angular do zero menos a soma das variações angulares dos polos 180 2180 180 O mapeamento é mostrado como B C D em que o vetor resultante varia de 180 com uma magnitude ϵ que tende a zero Do ponto de vista analítico para todo plano s em que R2θ2 é o vetor a partir do zero em 2 até qualquer ponto do plano s e R0θ0 é o vetor a partir de um polo na origem até qualquer ponto do plano s Ao longo do semicírculo infinito todos os Ri e todos os ângulos podem ser aproximados como se os vetores começassem na origem Assim no ponto B Gs 090 uma vez que todos os θi 90 na Eq 1044 No ponto C todos os Ri e todos os θi 0 na Eq 1044 Portanto Gs 00 No ponto D todos os Ri e todos os θi 90 na Eq 1044 Assim Gs 090 O mapeamento do trecho do contorno de D a E é uma imagem refletida do mapeamento de A a B O resultado é D a E Finalmente no trecho EFA a magnitude do resultado tende a infinito O ângulo do zero não muda porém cada polo muda de 180 Essa variação resulta em uma alteração na função de 2 180 360 Portanto o mapeamento de E a A é mostrado com comprimento infinito e girando 360 Analiticamente podemos utilizar a Eq 1044 para os pontos ao longo do contorno EFA Em E Gs 20ϵ90 ϵ90 180 Em F Gs 20ϵ0 ϵ0 0 Em A Gs 20ϵ90 ϵ90 180 O diagrama de Nyquist está agora completo e o raio de teste traçado a partir de 1 na Figura 1029b mostra uma volta no sentido antihorário e uma volta no sentido horário resultando em zero voltas Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p2 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para construir um diagrama de Nyquist e listar os pontos no diagrama Você também aprenderá como especificar uma faixa de valores para a frequência Este exercício resolve o Exemplo 105 utilizando o MATLAB Exercício 103 PROBLEMA Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema mostrado na Figura 1010 em que Compare seu esboço com o diagrama polar obtido no Exercício de Avaliação de Competência 101c RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção aprendemos como esboçar um diagrama de Nyquist Vimos como calcular o valor da interseção do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo Esta interseção é importante na determinação do número de voltas em torno de 1 Além disso mostramos como esboçar o diagrama de Nyquist quando existem polos em malha aberta sobre o contorno este caso requer desvios ao redor dos polos Na próxima seção aplicamos o critério de Nyquist para determinar a estabilidade de sistemas de controle com realimentação 105 Estabilidade via Diagrama de Nyquist Utilizamos agora o diagrama de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema empregando a equação simples Z P N Os valores de P o número de polos em malha aberta de GsHs envolvidos pelo contorno e de N o número de voltas que o diagrama de Nyquist dá em torno de 1 são utilizados para determinar Z o número de polos no semiplano da direita do sistema em malha fechada Caso o sistema em malha fechada possua um ganho variável na malha uma questão que gostaríamos de levantar é Para que faixa de ganho o sistema é estável Esta questão respondida anteriormente pelo método do lugar geométrico das raízes e pelo critério de Routh Hurwitz é agora respondida através do critério de Nyquist A abordagem geral é ajustar o ganho de malha com valor unitário e traçar o diagrama de Nyquist Uma vez que o ganho é simplesmente um fator multiplicativo seu efeito é o de multiplicar o resultado por uma constante em qualquer ponto do diagrama de Nyquist FIGURA 1030 Demonstrando a estabilidade via Nyquist a sistema b contorno c diagrama de Nyquist Experimente 102 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para representar graficamente o diagrama de Nyquist do sistema mostrado na Figura 1030a Gzpk35 2 4 1 nyquistG Depois que o diagrama de Nyquist aparecer clique sobre a curva e arraste para ler as coordenadas Por exemplo considere a Figura 1030 que resume a abordagem de Nyquist para um sistema com ganho variável K À medida que o ganho é variado podemos visualizar o diagrama de Nyquist na Figura 1030c expandindo ganho maior ou encolhendo ganho menor como um balão Essa alteração poderia mover o diagrama de Nyquist para além de 1 alterando o quadro da estabilidade Para esse sistema uma vez que P 2 o ponto crítico deve ser envolvido pelo diagrama de Nyquist para resultar em N 2 e em um sistema estável Uma redução no ganho colocaria o ponto crítico fora do diagrama de Nyquist em que N 0 resultando em Z 2 um sistema instável A partir de outra perspectiva podemos pensar no diagrama de Nyquist como permanecendo estacionário e no ponto 1 se movendo ao longo do eixo real Para isso ajustamos o ganho como unitário e posicionamos o ponto crítico em 1K em vez de em 1 Assim o ponto crítico parece se mover para mais perto da origem à medida que K aumenta Finalmente se o diagrama de Nyquist cruza o eixo real em 1 então GjωHjω 1 A partir dos conceitos do lugar geométrico das raízes quando GsHs 1 a variável s é um polo em malha fechada do sistema Portanto a frequência na qual o diagrama de Nyquist passa por 1 é a mesma frequência na qual o lugar geométrico das raízes cruza o eixo jω Assim o sistema é marginalmente estável se o diagrama de Nyquist interceptar o eixo real em 1 Em resumo se o sistema em malha aberta contém um ganho variável K faça K 1 e esboce o diagrama de Nyquist Considere o ponto crítico como 1K em vez de 1 Ajuste o valor de K para resultar em estabilidade com base no critério de Nyquist Exemplo 106 Faixa do Ganho para Estabilidade via Critério de Nyquist PROBLEMA Para o sistema com realimentação unitária da Figura 1010 em que Gs Kss 3s 5 determine a faixa de ganho K para estabilidade e instabilidade e o valor do ganho para a estabilidade marginal Para a estabilidade marginal determine também a frequência de oscilação Utilize o critério de Nyquist SOLUÇÃO Primeiro faça K 1 e esboce o diagrama de Nyquist do sistema utilizando o contorno mostrado na Figura 1031a Para todos os pontos do eixo imaginário Em ω 0 GjωHjω 00356 j FIGURA 1031 a Contorno para o Exemplo 106 b diagrama de Nyquist Em seguida determine o ponto onde o diagrama de Nyquist intercepta o eixo real negativo Fazendo a parte imaginária da Eq 1045 igual a zero obtemos Substituindo este valor de ω de volta na Eq 1045 obtemos uma parte real de 00083 Finalmente em ω GjωHjω GsHssjω 1j3 0270 A partir do contorno da Figura 1031a P 0 para estabilidade N deve então ser igual a zero A partir da Figura 1031b o sistema é estável se o ponto crítico estiver fora do contorno N 0 de modo que Z P N 0 Portanto K pode ser aumentado de 100083 1205 antes do diagrama de Nyquist envolver o 1 Assim para estabilidade K 1205 Para estabilidade marginal K 1205 Para este ganho o diagrama de Nyquist intercepta 1 e a frequência de oscilação é rads Agora que utilizamos o diagrama de Nyquist para determinar a estabilidade podemos desenvolver uma abordagem simplificada que utiliza apenas o mapeamento do eixo jω positivo Estabilidade via Mapeamento Apenas do Eixo jω Positivo Uma vez que a estabilidade de um sistema seja determinada pelo critério de Nyquist a avaliação continuada do sistema pode ser simplificada pela utilização apenas do mapeamento do eixo jω positivo Esse conceito desempenha um papel principal nas duas próximas seções onde discutimos a margem de estabilidade e a implementação do critério de Nyquist com diagramas de Bode Considere o sistema mostrado na Figura 1032 estável para valores baixos de ganho e instável para valores altos de ganho Como o contorno não envolve polos em malha aberta o critério de Nyquist nos diz que não devemos ter qualquer envolvimento de 1 para que o sistema seja estável Podemos ver a partir do diagrama de Nyquist que as voltas em torno do ponto crítico podem ser determinadas a partir apenas do mapeamento do eixo jω positivo Caso o ganho seja pequeno o mapeamento passará à direita de 1 e o sistema será estável Caso o ganho seja elevado o mapeamento passará à esquerda de 1 e o sistema será instável Portanto esse sistema é estável para a faixa de ganho de malha K que garante que a magnitude em malha aberta é menor que a unidade na frequência em que a fase é 180 ou equivalentemente 180 Esta declaração é portanto uma alternativa ao critério de Nyquist para esse sistema Considere agora o sistema mostrado na Figura 1033 instável para valores baixos de ganho e estável para valores elevados de ganho Como o contorno envolve dois polos em malha aberta duas voltas no sentido antihorário em torno do ponto crítico são requeridas para a estabilidade Assim nesse caso o sistema é estável se a magnitude em malha aberta é maior que a unidade na frequência em que a fase é 180 ou equivalentemente 180 FIGURA 1032 a Contorno e lugar geométrico das raízes de um sistema estável para ganho pequeno e instável para ganho elevado b diagrama de Nyquist FIGURA 1033 a Contorno e lugar geométrico das raízes de um sistema instável para ganho pequeno e estável para ganho elevado b diagrama de Nyquist Em resumo primeiro determine a estabilidade com base no critério de Nyquist e no diagrama de Nyquist Em seguida interprete o critério de Nyquist e determine se o mapeamento apenas do eixo imaginário positivo deve ter um ganho menor ou maior que a unidade em 180 Se o diagrama de Nyquist cruzar 180 em múltiplas frequências faça a interpretação com base no critério de Nyquist Exemplo 107 Projeto de Estabilidade via Mapeamento do Eixo jω Positivo PROBLEMA Determine a faixa de ganho para estabilidade e instabilidade e o ganho para estabilidade marginal para o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura 1010 em que Gs Ks2 2s 2s 2 Para a estabilidade marginal determine a frequência de oscilação em radianos Utilize o critério de Nyquist e o mapeamento apenas do eixo imaginário positivo SOLUÇÃO Como os polos em malha aberta estão apenas no semiplano da esquerda o critério de Nyquist nos diz que não desejamos qualquer envolvimento de 1 para estabilidade Assim um ganho menor que a unidade em 180 é requerido Comece fazendo K 1 e trace o trecho do contorno ao longo do eixo imaginário positivo como mostrado na Figura 1034a Na Figura 1034b a interseção com o eixo real negativo é obtida fazendo s jω em GsHs igualando a parte imaginária a zero para determinar a frequência e então substituindo a frequência na parte real de GjωHjω Assim para qualquer ponto no eixo imaginário positivo Igualando a parte imaginária a zero obtemos ω Substituindo este valor de volta na Eq 1046 resulta a parte real a b a b 120 120180 Este sistema em malha fechada é estável se a magnitude da resposta em frequência é menor que a unidade em 180 Portanto o sistema é estável para K 20 instável para K 20 e marginalmente estável para K 20 Quando o sistema é marginalmente estável a frequência oscilação em radianos é FIGURA 1034 a Trecho do contorno a ser mapeado para o Exemplo 107 b diagrama de Nyquist do mapeamento do eixo imaginário positivo Exercício 104 PROBLEMA Para o sistema mostrado na Figura 1010 em que faça o seguinte Trace o diagrama de Nyquist Utilize seu diagrama de Nyquist para determinar a faixa de ganho K para estabilidade RESPOSTAS Ver a resposta no site da LTC Editora Estável para K 480 A solução completa está no site da LTC Editora 106 Margem de Ganho e Margem de Fase via Diagrama de Nyquist Agora que sabemos como esboçar e interpretar um diagrama de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema em malha fechada vamos estender nossa discussão a conceitos que irão eventualmente nos levar ao projeto de características da resposta transitória através de técnicas de resposta em frequência Utilizando o diagrama de Nyquist definimos duas medidas quantitativas de quão estável um sistema é Essas grandezas são chamadas de margem de ganho e margem de fase Os sistemas com margens de ganho e de fase maiores podem suportar variações maiores nos seus parâmetros antes de se tornarem instáveis De certo modo as margens de ganho e de fase podem ser qualitativamente relacionadas com o lugar geométrico das raízes no sentido em que sistemas cujos polos estão mais afastados do eixo imaginário possuem um maior grau de estabilidade Na última seção discutimos a estabilidade do ponto de vista do ganho a 180 de defasagem Este conceito leva às seguintes definições de margem de ganho e margem de fase Margem de ganho GM A margem de ganho é a variação no ganho em malha aberta expressa em decibéis dB requerida a 180 de defasagem para tornar o sistema em malha fechada instável Margem de fase ΦM A margem de fase é a variação na defasagem em malha aberta requerida no ganho unitário para tornar o sistema em malha fechada instável Essas duas definições são mostradas graficamente no diagrama de Nyquist na Figura 1035 Considere um sistema que é estável caso não ocorra envolvimento de 1 Utilizando a Figura 1035 vamos nos concentrar na definição de margem de ganho Nesse caso uma diferença de ganho entre a intersessão do diagrama de Nyquist e do eixo real em 1a e o ponto crítico 1 determina a proximidade do sistema da instabilidade Portanto se o ganho do sistema fosse multiplicado por a unidades o diagrama de Nyquist interceptaria o ponto crítico Então dizemos que a margem de ganho é a unidades ou expressa em dB GM 20 log a Observe que a margem de ganho é o inverso do cruzamento do eixo real expresso em dB FIGURA 1035 Diagrama de Nyquist mostrando margens de ganho e de fase Na Figura 1035 também vemos a margem de fase representada graficamente No ponto Q em que o ganho é unitário α representa a proximidade do sistema da instabilidade Isto é com ganho unitário caso uma defasagem de α graus ocorra o sistema se torna instável Portanto o valor da margem de fase é α Mais adiante neste capítulo mostramos que a margem de fase pode ser relacionada com o fator de amortecimento Dessa forma seremos capazes de relacionar características da resposta em frequência com características da resposta transitória bem como com a estabilidade Também mostraremos que os cálculos das margens de ganho e de fase são mais convenientes se os diagramas de Bode forem utilizados no lugar de um diagrama de Nyquist como mostrado na Figura 1035 Por enquanto vamos ver um exemplo que mostra os cálculos das margens de ganho e de fase Exemplo 108 Determinando Margens de Ganho e de Fase PROBLEMA Determine as margens de ganho e de fase do sistema do Exemplo 107 caso K 6 SOLUÇÃO Para obter a margem de ganho primeiro determine a frequência na qual o diagrama de Nyquist cruza o eixo real negativo Obtendo GjωHjω temos O diagrama de Nyquist cruza o eixo real em uma frequência de rads A parte real é calculada como 03 Portanto o ganho pode ser aumentado por 103 333 antes que a parte real se torne 1 Assim a margem de ganho é Para obter a margem de fase determine a frequência na Eq 1047 para a qual a magnitude é unitária No estágio atual este cálculo requer ferramentas computacionais como um solucionador de funções ou o programa descrito no Apêndice H2 Mais adiante neste capítulo simplificaremos o processo utilizando os diagramas de Bode A Eq 1047 tem ganho unitário em uma frequência de 1253 rads Nesta frequência a fase é 1123 A diferença entre este ângulo e 180 é 677 que é a margem de fase Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p3 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para determinar a margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 Este exercício resolve o Exemplo 108 utilizando o MATLAB O LTI Viewer do MATLAB com o diagrama de Nyquist 1 2 3 4 selecionado é outro método que pode ser utilizado para determinar a margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 Você é encorajado a estudar o Apêndice E no site da LTC Editora o qual contém um tutorial sobre o LTI Viewer bem como alguns exemplos O Exemplo E2 resolve o Exemplo 108 utilizando o LTI Viewer Exercício 105 PROBLEMA Determine a margem de ganho e a frequência de 180 para o problema no Exercício 104 caso K 100 RESPOSTAS Margem de ganho 1362 Frequência de 180 663 rads A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 103 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para obter as margens de ganho e de fase de GsHs 100s 2s 4s 6 utilizando o diagrama de Nyquist Gzpk 246100 nyquistG Depois que o diagrama de Nyquist aparecer Clique com o botão direito na área do gráfico Selecione Characteristics Selecione All Stability Margins Posicione o cursor sobre os pontos de margem para ler as margens de ganho e de fase Nesta seção definimos a margem de ganho e a margem de fase e as calculamos através do diagrama de Nyquist Na próxima seção mostramos como utilizar os diagramas de Bode para implementar os cálculos de estabilidade realizados nas Seções 105 e 106 utilizando o diagrama de Nyquist Veremos que os diagramas de Bode reduzem o tempo e simplificam os cálculos necessários para obter os resultados 107 Estabilidade Margem de Ganho e Margem de Fase via Diagramas de Bode Nesta seção determinamos a estabilidade a margem de ganho a margem de fase e a faixa de ganho requerida para estabilidade Todos esses tópicos foram cobertos anteriormente neste capítulo utilizando diagramas de Nyquist como ferramenta Agora utilizados diagramas de Bode para determinar essas características Os diagramas de Bode são subconjuntos do diagrama de Nyquist completo mas em outra forma Eles são uma alternativa viável aos diagramas de Nyquist uma vez que são facilmente traçados sem o auxílio de dispositivos computacionais ou os longos cálculos requeridos para o diagrama de Nyquist e o lugar geométrico das raízes Você deve lembrar que todos os cálculos aplicados à estabilidade foram deduzidos do e baseados no critério de estabilidade de Nyquist Os diagramas de Bode são uma forma alternativa de visualizar e implementar os conceitos teóricos Determinando a Estabilidade Vamos ver um exemplo e determinar a estabilidade de um sistema implementando o critério de estabilidade de Nyquist utilizando diagramas de Bode Iremos traçar um diagrama de Bode de logaritmo da magnitude e então determinaremos o valor de ganho que garante que a magnitude seja menor que 0 dB ganho unitário na frequência em que a fase é 180 Exemplo 109 Faixa de Ganho para Estabilidade via Diagramas de Bode PROBLEMA Utilize diagramas de Bode para determinar a faixa de K para a qual o sistema com realimentação unitária mostrado na Figura 1010 é estável Faça Gs Ks 2s 4s 5 SOLUÇÃO Uma vez que esse sistema possui todos os seus polos em malha aberta no semiplano da esquerda o sistema em malha aberta é estável Portanto a partir da discussão da Seção 105 o sistema em malha fechada será estável se a resposta em frequência tiver um ganho menor que a unidade quando a fase for 180 Comece esboçando os diagramas de Bode de magnitude e de fase mostrados na Figura 1036 Na Seção 102 somamos diagramas normalizados de cada fator de Gs para criar o diagrama de Bode Vimos que em cada frequência de quebra a inclinação do diagrama de Bode resultante mudou por uma quantidade igual à nova inclinação que foi somada A Tabela 106 demonstra essa observação Neste exemplo utilizamos esse fato para traçar os diagramas de Bode mais rapidamente evitando o esboço da resposta de cada termo O ganho em baixa frequência de GsHs é obtido fazendo s igual a zero Assim o diagrama de Bode de magnitude começa em K40 Por conveniência faça K 40 de modo que o diagrama de logaritmo da magnitude comece em 0 dB Em cada frequência de quebra 2 4 e 5 um incremento de 20 dBdécada de inclinação negativa é traçado resultando no diagrama de logaritmo da magnitude mostrado na Figura 1036 O diagrama de fase começa em 0 até uma década abaixo da primeira frequência de quebra de 2 rads Em 02 rads a curva diminui a uma taxa de 45década diminuindo um adicional de 45década a cada frequência subsequente 04 e 05 rads uma década abaixo de cada quebra Uma década acima de cada frequência de quebra as inclinações são reduzidas de 45década em cada frequência O critério de Nyquist para este exemplo nos diz que não queremos voltas ao redor de 1 para estabilidade Portanto reconhecemos que o diagrama de Bode de logaritmo da magnitude deve ser menor que a unidade quando o diagrama de Bode de fase for 180 Consequentemente verificamos que na frequência de 7 rads onde o diagrama de fase é 180 o diagrama de magnitude é 20 dB Portanto um aumento no ganho de 20 dB é possível antes que o sistema se torne instável Uma vez que o diagrama de ganho foi escalonado para um ganho de 40 20 dB um ganho de 10 representa o aumento requerido de ganho acima de 40 Assim o ganho para instabilidade é 40 10 400 O resultado final é 0 K 400 para estabilidade Este resultado obtido aproximandose a resposta em frequência por assíntotas de Bode pode ser comparado com o resultado obtido a partir da resposta em frequência real que resulta um ganho de 378 em uma frequência de 616 rads FIGURA 1036 Diagramas de Bode de logaritmo da magnitude e de fase para o sistema do Exemplo 109 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p4 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para determinar a faixa de ganho para estabilidade via métodos de resposta em frequência Este exercício resolve o Exemplo 109 utilizando o MATLAB Calculando Margens de Ganho e de Fase A seguir mostramos como calcular as margens de ganho e de fase utilizando diagramas de Bode Figura 1037 A margem de ganho é obtida utilizando o diagrama de fase para determinar a frequência ωGM onde a fase é 180 Nesta frequência olhamos para o diagrama de magnitude para determinar a margem de ganho GM a qual é o ganho requerido para elevar a curva de magnitude até 0 dB Para ilustrar no exemplo anterior com K 40 a margem de ganho foi obtida como 20 dB A margem de fase é obtida utilizando a curva de magnitude para determinar a frequência onde o ganho é 0 dB Na curva de fase nesta frequência a margem de fase ΦM é a diferença entre o valor da fase e 180 FIGURA 1037 Margens de ganho e de fase nos diagramas de Bode Exemplo 1010 Margens de Ganho e de Fase a partir dos Diagramas de Bode PROBLEMA Caso K 200 no sistema do Exemplo 109 determine a margem de ganho e a margem de fase SOLUÇÃO O diagrama de Bode na Figura 1036 está escalonado para um ganho de 40 Caso K 200 5 vezes maior o diagrama de magnitude será 20 log 5 1398 dB mais alto Para obter a margem de ganho olhe para o diagrama de fase e determine a frequência onde a fase é 180 Nessa frequência determine a partir do diagrama de magnitude quanto o ganho pode ser aumentado antes de alcançar 0 dB Na Figura 1036 a fase é 180 em aproximadamente 7 rads No diagrama de magnitude o ganho é de 20 1398 602 dB Portanto a margem de ganho é de 602 dB Para obter a margem de fase procuramos no diagrama de magnitude pela frequência onde o ganho é 0 dB Nesta frequência olhamos o diagrama de fase para obter a diferença entre a fase e 180 Esta diferença é a margem de fase Novamente lembrando que o diagrama de magnitude da Figura 1036 é 1398 dB mais baixo que o diagrama real o cruzamento de 0 dB 1398 dB para o diagrama normalizado mostrado na Figura 1036 ocorre em 55 rads Nessa frequência a fase é 165 Portanto a margem de fase é 165 180 15 O LTI Viewer do MATLAB com diagramas de Bode selecionados é outro método que pode ser utilizado para determinar a margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 Você é encorajado a estudar o Apêndice E no site da LTC Editora que contém um tutorial sobre o LTI a b c a b c 1 2 3 4 Viewer bem como alguns exemplos O Exemplo E3 resolve o Exemplo 1010 utilizando o LTI Viewer Exercício 106 PROBLEMA Para o sistema mostrado na Figura 1010 em que faça o seguinte Desenhe os diagramas de Bode de logaritmo da magnitude e de fase Determine a faixa de K para a estabilidade a partir de seus diagramas de Bode Calcule a margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 a partir de seus diagramas de Bode para K 10000 RESPOSTAS Ver a resposta no site da LTC Editora K 96270 Margem de ganho 1997 dB margem de fase 929 frequência de zero dB 774 rads e frequência de 180 367 rads A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 104 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício de Avaliação de Competência 106c utilizando diagramas de Bode Gzpk 520501000 bodeG grid on Depois que os diagramas de Bode aparecerem Clique com o botão direito na área do gráfico Selecione Characteristics Selecione All Stability Margins Posicione o cursor sobre os pontos de margem para ler as margens de ganho e de fase Vimos que as curvas de resposta em frequência em malha aberta podem ser utilizadas não apenas para determinar se um sistema é estável mas também para calcular a faixa de ganho de malha que assegura estabilidade Também vimos como calcular a margem de ganho e a margem de fase a partir dos diagramas de Bode É então possível estabelecer um paralelo com a técnica do lugar geométrico das raízes e analisar e projetar a resposta transitória de sistemas utilizando métodos de resposta em frequência Começaremos a explorar a resposta na próxima seção 108 Relação entre a Resposta Transitória em Malha Fechada e a Resposta em Frequência em Malha Fechada Fator de Amortecimento e Resposta em Frequência em Malha Fechada FIGURA 1038 Sistema em malha fechada de segunda ordem Nesta seção mostraremos que existe uma relação entre a resposta transitória de um sistema e sua resposta em frequência em malha fechada Em particular considere o sistema de controle com realimentação de segunda ordem da Figura 1038 que temos utilizado desde o Capítulo 4 onde deduzimos relações entre a resposta transitória em malha fechada e os polos da função de transferência em malha fechada Deduzimos agora relações entre a resposta transitória da Eq 1049 e características de sua resposta em frequência Definimos essas características e as relacionamos com o fator de amortecimento a frequência natural o tempo de acomodação o instante de pico e o tempo de subida Na Seção 1010 mostraremos como utilizar a resposta em frequência da função de transferência em malha aberta mostrada na Figura 1038 para obter as mesmas características da resposta transitória Vamos agora determinar a resposta em frequência da Eq 1049 definir características dessa resposta e relacionar essas características com a resposta transitória Substituindo s jω na Eq 1049 calculamos a magnitude da resposta em frequência em malha fechada como Um esboço representativo do diagrama logarítmico da Eq 1051 é mostrado na Figura 1039 Mostramos agora que existe uma relação entre o valor de pico da magnitude da resposta em malha fechada e o fator de amortecimento Elevando a Eq 1051 ao quadrado derivando em relação a ω2 e igualando a derivada a zero temos o valor máximo de M Mp em que em uma frequência ωp de Uma vez que ζ está relacionado com a ultrapassagem percentual podemos representar graficamente Mp em função da ultrapassagem percentual O resultado é mostrado na Figura 1040 A Eq 1052 mostra que a magnitude máxima da curva de resposta em frequência está diretamente relacionada com o fator de amortecimento e portanto com a ultrapassagem percentual Observe também a partir da Eq 1053 que a frequência de pico ωp não é a frequência natural Entretanto para valores pequenos de fator de amortecimento podemos admitir que o pico ocorre na frequência natural Finalmente observe que não haverá um pico em frequências maiores que zero se ζ 0707 Este valor limitante de ζ para a existência de um pico na curva de magnitude da resposta não deve ser confundido com a ultrapassagem da resposta ao degrau onde existe ultrapassagem para 0 ζ 1 FIGURA 1039 Diagrama de logaritmo da magnitude representativo da Eq 1051 FIGURA 1040 Pico da resposta em frequência em malha fechada em função da ultrapassagem percentual para um sistema com dois polos Velocidade da Resposta e Resposta em Frequência em Malha Fechada Outra relação entre a resposta em frequência e a resposta no tempo ocorre entre a velocidade da resposta no tempo medida pelo tempo de acomodação instante de pico e tempo de subida e a faixa de passagem da resposta em frequência em malha fechada a qual é definida como a frequência ωBW na qual a curva de magnitude da resposta é 3 dB inferior ao seu valor na frequência zero ver Figura 1039 A faixa de passagem de um sistema com dois polos pode ser obtida determinando a frequência em que M 1 isto é 3 dB na Eq 1051 A dedução é deixada como um exercício para o estudante O resultado é Para relacionar ωBW ao tempo de acomodação substituímos ωn 4Tsζ na Eq 1054 e obtivemos De modo similar como Para relacionar a faixa de passagem com tempo de subida Tr utilizamos a Figura 416 conhecendo ζ e Tr desejados Por exemplo admita que ζ 04 e Tr 02 segundo Utilizando a Figura 416 a ordenada Tr ωn 1463 a partir do que ωn 146302 7315 rads Utilizando a Eq 1054 ωBW 1005 rads Gráficos normalizados das Eqs 1055 e 1056 e da relação entre a faixa de passagem normalizada pelo tempo de subida e o fator de amortecimento são mostrados na Figura 1041 FIGURA 1041 Faixa de passagem normalizada vs fator de amortecimento para a tempo de acomodação b instante de pico c tempo de subida Exercício 107 PROBLEMA Determine a faixa de passagem em malha fechada requerida para 20 de ultrapassagem e 2 segundos de tempo de acomodação RESPOSTA ωBW 579 rads A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção relacionamos a resposta transitória em malha fechada com a resposta em frequência em malha fechada através da faixa de passagem Continuamos nosso desenvolvimento relacionando a resposta em frequência em malha fechada com a resposta em frequência em malha aberta e explicando a motivação 109 Relação entre as Respostas em Frequência em Malha Fechada e em Malha Aberta Neste momento não temos um modo fácil de determinar a resposta em frequência em malha fechada a partir da qual poderíamos determinar Mp e assim a resposta transitória2 Como vimos estamos preparados para esboçar rapidamente a resposta em frequência em malha aberta mas não a resposta em frequência em malha fechada Contudo caso a resposta em malha aberta esteja relacionada com a resposta em malha fechada podemos combinar a facilidade de esboço da resposta em malha aberta com as informações da resposta transitória contidas na resposta em malha fechada Círculos de M Constante e Círculos de N Constante Considere um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência em malha fechada é A resposta em frequência desta função em malha fechada é Como Gjω é um número complexo faça Gjω Pω jQω na Eq 1058 o que resulta Portanto A Eq 1060 pode ser colocada na forma que é a equação de um círculo de raio MM2 1 com centro em M2M2 1 0 Esses círculos mostrados na Figura 1042 para diversos valores de M são chamados de círculos de M constante e são o lugar geométrico da magnitude da resposta em frequência em malha fechada para sistemas com realimentação unitária Assim se a resposta em frequência polar de uma função em malha aberta Gs for traçada e sobreposta aos círculos de M constante a magnitude da resposta em frequência em malha fechada é determinada por interseção desse diagrama polar com os círculos de M constante FIGURA 1042 Círculos de M constante Antes de demonstrar o uso dos círculos de M constante com um exemplo vamos realizar um desenvolvimento parecido para o diagrama de fase em malha fechada os círculos de N constante A partir da Eq 1059 a fase φ da resposta em malha fechada é depois de utilizar tanα β tan α tan β1 tan α tan β Omitindo a notação de função A Eq 1063 pode ser colocada na forma de um círculo que é mostrado na Figura 1043 para diversos valores de N Os círculos desse diagrama são chamados de círculos de N constante Sobrepondo uma resposta em frequência em malha aberta de um sistema com realimentação unitária aos círculos de N constante obtemos a fase da resposta em malha fechada do sistema Vamos ver um exemplo da utilização dos círculos de M e N constante FIGURA 1043 Círculos de N constante Exemplo 1011 Exemplo 1011 Resposta em Frequência em Malha Fechada a partir da Resposta em Frequência em Malha Aberta PROBLEMA Obtenha a resposta em frequência em malha fechada do sistema com realimentação unitária mostrado na Figura 1010 em que Gs 50ss 3s 6 utilizando os círculos de M constante os círculos de N constante e a curva polar da resposta em frequência em malha aberta SOLUÇÃO Primeiro obtenha a função de frequência em malha aberta e construa um diagrama polar da resposta em frequência sobreposto aos círculos de M e N constante A função de frequência em malha aberta é a partir da qual a magnitude Gjω e a fase Gjω podem ser determinadas e representadas graficamente O diagrama polar da resposta em frequência em malha aberta diagrama de Nyquist é mostrado sobreposto aos círculos M e N na Figura 1044 A magnitude da resposta em frequência em malha fechada pode agora ser obtida determinandose a interseção de cada ponto do diagrama de Nyquist com os círculos M enquanto a fase da resposta em malha fechada pode ser obtida determinandose a interseção de cada ponto do diagrama de Nyquist com os círculos N O resultado é mostrado na Figura 10453 FIGURA 1044 Diagrama de Nyquist para o Exemplo 1011 e círculos de M e de N constante FIGURA 1045 Resposta em frequência em malha fechada para o Exemplo 1011 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p5 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para obter a resposta em frequência em malha fechada Este exercício resolve o Exemplo 1011 utilizando o MATLAB Cartas de Nichols Uma desvantagem da utilização dos círculos M e N é que alterações do ganho na função de transferência em malha aberta Gs não podem ser tratadas facilmente Por exemplo no diagrama de Bode uma alteração de ganho é tratada movendose a curva de Bode de magnitude para cima ou para baixo por um valor igual à alteração do ganho em dB Como os círculos M e N não são diagramas em dB alterações no ganho requerem que cada ponto de Gjω tenha seu comprimento multiplicado pelo aumento ou diminuição do ganho Outra apresentação dos círculos M e N chamada de carta de Nichols apresenta os círculos de M constante em dB de modo que mudanças no ganho sejam tão simples de tratar quanto no diagrama de Bode Uma carta de Nichols é mostrada na Figura 1046 A carta é um gráfico da magnitude em malha aberta em dB versus a fase em malha aberta em graus Todos os pontos dos círculos M podem ser transferidos para a carta de Nichols Cada ponto dos círculos de M constante é representado por magnitude e fase coordenadas polares Convertendo a magnitude em dB podemos transferir o ponto para a carta de Nichols utilizando as coordenadas polares com magnitude em dB como ordenada e a fase como abscissa De modo similar os círculos N também podem ser transferidos para a carta de Nichols FIGURA 1046 Carta de Nichols Por exemplo considere a função Sobrepondo a resposta em frequência de Gs na carta de Nichols traçando a magnitude em dB versus a fase para uma faixa de frequências de 01 a 1 rads obtemos o gráfico na Figura 1047 para K 1 Caso o ganho seja aumentado em 10 dB simplesmente eleve a curva para K 1 em 10 dB e obtenha a curva para K 316 10 dB A interseção dos gráficos de Gjω com a carta de Nichols fornece a resposta em frequência do sistema em malha fechada Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p6 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para construir um diagrama de Nichols Este exercício constrói um diagrama de Nichols de Gs 1ss 1s 2 utilizando o MATLAB O LTI Viewer do MATLAB é um método alternativo de obtenção da carta de Nichols Você é encorajado a estudar o Apêndice E no site da LTC Editora que contém um tutorial sobre o LTI Viewer bem como alguns exemplos O Exemplo E4 mostra como obter a Figura 1047 utilizando o LTI Viewer a b FIGURA 1047 Carta de Nichols com resposta em frequência para Gs Kss 1s 2 sobreposta Valores para K 1 e K 316 são mostrados Exercício 108 PROBLEMA Dado o sistema mostrado na Figura 1010 em que represente graficamente os diagramas de logaritmo da magnitude e de fase da resposta em frequência em malha fechada utilizando os seguintes métodos Círculos M e N Carta de Nichols RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 105 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para construir uma carta de Nichols do sistema dado no Exercício de Avaliação de Competência 108 Gzpk 520508000 nicholsG grid on 1010 Relação entre a Resposta Transitória em Malha Fechada e a Resposta em Frequência em Malha Aberta Fator de Amortecimento a partir de Círculos M Podemos usar os resultados do Exemplo 1011 para estimar as características da resposta transitória do sistema Podemos determinar o pico da resposta em frequência em malha fechada encontrando a curva de M máximo tangente à resposta em frequência em malha aberta Então podemos determinar o fator de amortecimento ζ e subsequentemente a ultrapassagem percentual através da Eq 1052 O exemplo a seguir demonstra o uso da resposta em frequência em malha aberta e dos círculos M para determinar o fator de amortecimento ou equivalentemente a ultrapassagem percentual Exemplo 1012 Ultrapassagem Percentual a partir da Resposta em Frequência em Malha Aberta PROBLEMA Determine o fator de amortecimento e a ultrapassagem percentual esperados para o sistema do Exemplo 1011 utilizando a resposta em frequência em malha aberta e os círculos M SOLUÇÃO A Eq 1052 mostra que existe uma relação única entre o fator de amortecimento do sistema em malha fechada e o valor de pico MP do diagrama de magnitude em frequência do sistema em malha fechada A partir da Figura 1044 vemos que o diagrama de Nyquist é tangente ao círculo M de 18 Verificamos que este é o valor máximo para a resposta em frequência em malha fechada Portanto MP 18 Podemos resolver para ζ reorganizando a Eq 1052 na seguinte forma Como MP 18 então ζ 029 e 096 A partir da Eq 1053 um fator de amortecimento maior que 0707 resulta na inexistência de um pico acima da frequência zero Dessa forma escolhemos ζ 029 que é equivalente a 386 de ultrapassagem Devese tomar cuidado contudo para termos certeza de que podemos fazer uma aproximação de segunda ordem ao associar o valor de ultrapassagem percentual com o valor de ζ Uma simulação computacional da resposta ao degrau mostra 36 de ultrapassagem Até agora nesta seção vinculamos a resposta transitória do sistema com o valor de pico da resposta em frequência em malha fechada obtida a partir da resposta em frequência em malha aberta Utilizamos os diagramas de Nyquist e os círculos M e N para obter a resposta transitória em malha fechada Existe outra associação entre a resposta em frequência em malha aberta e a resposta transitória em malha fechada que é facilmente implementada com os diagramas de Bode os quais são mais fáceis de desenhar que os diagramas de Nyquist Fator de Amortecimento a partir da Margem de Fase Vamos agora deduzir a relação entre a margem de fase e o fator de amortecimento Esta relação nos habilitará a calcular a ultrapassagem percentual a partir da margem de fase obtida a partir da resposta em frequência em malha aberta Considere um sistema com realimentação unitária cuja função em malha aberta resulta na função de transferência em malha fechada de segunda ordem típica Para calcular a margem de fase primeiro determinamos a frequência para a qual Gjω 1 Portanto A frequência ω1 que satisfaz à Eq 1070 é A fase de Gjω nesta frequência é A diferença entre o ângulo da Eq 1072 e 2180 é a margem de fase ΘM Assim A Eq 1073 representada graficamente na Figura 1048 mostra a relação entre a margem de fase e o fator de amortecimento Como exemplo a Eq 1053 nos diz que não há frequência de pico se ζ 0707 Portanto não existe pico na curva de magnitude da resposta em frequência em malha fechada para esse valor do fator de amortecimento e para valores maiores Assim a partir da Figura 1048 uma margem de fase de 6552 ζ 0707 ou maior é requerida da resposta em frequência em malha aberta para garantir que não haja pico na resposta em frequência em malha fechada FIGURA 1048 Margem de fase vs fator de amortecimento FIGURA 1049 Ganho em malha aberta vs fase em malha aberta para ganho em malha fechada de 3 dB Velocidade da Resposta a partir da Resposta em Frequência em Malha Aberta As Eqs 1055 e 1056 relacionam a faixa de passagem em malha fechada com o tempo de acomodação ou o instante de pico e o fator de amortecimento desejados Mostramos agora que a faixa de passagem em malha fechada pode ser estimada a partir da resposta em frequência em malha aberta A partir da carta de Nichols na Figura 1046 observamos a relação entre o ganho em malha aberta e o ganho em malha fechada A curva de M 0707 23 dB representada novamente na Figura 1049 para maior clareza mostra o ganho em malha aberta quando o ganho em malha fechada é 3 dB o que tipicamente ocorre em ωBW se o ganho em baixa frequência em malha fechada é 0 dB Podemos aproximar a Figura 1049 considerando que a faixa de passagem em malha fechada ωBW a frequência na qual a magnitude da resposta em malha fechada é 3 dB é igual à frequência na qual a magnitude da resposta em malha aberta está entre 6 e 75 dB caso a fase da resposta em malha aberta esteja entre 135 e 225 Então utilizando uma aproximação de segunda ordem as Eqs 1055 e 1056 podem ser utilizadas em conjunto com o fator de amortecimento desejado ζ para determinar o tempo de acomodação e o instante de pico respectivamente Vamos ver um exemplo Exemplo 1013 Tempo de Acomodação e Instante de Pico a partir da Resposta em Frequência em Malha Aberta PROBLEMA Dado o sistema da Figura 1050a e os diagramas de Bode da Figura 1050b estime o tempo de acomodação e o instante de pico SOLUÇÃO Utilizando a Figura 1050b estimamos a faixa de passagem em malha fechada determinando a frequência onde a magnitude da resposta em malha aberta está na faixa de 6 a 75 dB caso a fase da resposta esteja na faixa de 135 a 225 Uma vez que a Figura 1050b mostra de 6 a 75 dB em aproximadamente 37 rads com uma fase da resposta na região especificada ωBW 37 rads Em seguida determine ζ através da margem de fase A partir da Figura 1050b a margem de fase é obtida determinando primeiro a frequência na qual o diagrama de magnitude é 0 dB Nessa frequência 22 rads a fase é cerca de 145 Portanto a margem de fase é de aproximadamente 145 2 180 35 Utilizando a Figura 1048 ζ 032 Finalmente utilizando as Eqs 1055 e 1056 com os valores de ωBW e ζ que acabaram de ser determinados Ts 486 segundos e Tp 129 segundo A verificação da análise com uma simulação computacional mostra Ts 55 segundos e Tp 143 segundo FIGURA 1050 a Diagrama de blocos b Diagramas de Bode para o sistema do Exemplo 1013 Exercício 109 PROBLEMA Utilizando a resposta em frequência em malha aberta do sistema na Figura 1010 em que estime a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico da resposta ao degrau em malha fechada RESPOSTA UP 44 Ts 164 s e Tp 033 s A solução completa está no site da LTC Editora 1011 Características do Erro em Regime Permanente a partir da Resposta em Frequência Nesta seção mostramos como utilizar diagramas de Bode para obter os valores das constantes de erro estático para sistemas equivalentes com realimentação unitária Kp para um sistema do Tipo 0 Kv para um sistema do Tipo 1 e Ka para um sistema do Tipo 2 Os resultados serão obtidos a partir de diagramas de Bode de logaritmo da magnitude não normalizados e não escalonados Constante de Posição Para determinar Kp considere o seguinte sistema do tipo 0 Um diagrama de Bode de logaritmo da magnitude não normalizado e não escalonado típico é mostrado na Figura 1051a O valor inicial é Mas para esse sistema que é o mesmo valor do eixo de baixa frequência Assim para um diagrama de Bode de logaritmo da magnitude não normalizado e não escalonado a magnitude de baixa frequência é 20 log Kp para um sistema do Tipo 0 Constante de Velocidade Para determinar Kv para um sistema do Tipo 1 considere a seguinte função de transferência em malha aberta de um sistema do Tipo 1 Um diagrama de Bode de logaritmo da magnitude não normalizado e não escalonado típico é mostrado na Figura 1051b para esse sistema do Tipo 1 O diagrama de Bode começa em FIGURA 1051 Diagramas de Bode de logaritmo da magnitude não normalizados e não escalonados típicos mostrando o valor das constantes de erro estático a Tipo 0 b Tipo 1 c Tipo 2 A inclinação inicial de 20 dBdécada pode ser considerada como tendo sido originada de uma função Gs cruza o eixo da frequência quando Mas para o sistema original Eq 1077 que é igual à interseção do eixo da frequência Eq 1080 Portanto podemos determinar Kv estendendo a inclinação inicial 20 dBdécada até o eixo da frequência em um diagrama de Bode não normalizado e não escalonado A interseção com o eixo da frequência é Kv Constante de Aceleração Para determinar Ka para um sistema do Tipo 2 considere o seguinte Um diagrama de Bode não normalizado e não escalonado típico para um sistema do Tipo 2 é mostrado na Figura 1051c O diagrama de Bode começa em A inclinação inicial de 40 dBdécada pode ser considerada como vindo de uma função Gs cruza o eixo das frequências quando a b Mas para o sistema original Eq 1082 Portanto a inclinação inicial de 40 dBdécada intercepta o eixo da frequência em Exemplo 1014 Constantes do Erro Estático a partir de Diagramas de Bode PROBLEMA Para cada diagrama de Bode de logaritmo da magnitude não normalizado e não escalonado mostrado na Figura 1052 Determine o tipo do sistema Determine o valor da constante de erro estático apropriada SOLUÇÃO A Figura 1052a é de um sistema do Tipo 0 uma vez que a inclinação inicial é nula O valor de Kp é dado pelo valor da assíntota de baixa frequência Assim 20 log Kp 25 ou Kp 1778 A Figura 1052b é de um sistema do Tipo 1 uma vez que a inclinação inicial é 20 dBdécada O valor de Kv é o valor da frequência em que a inclinação inicial cruza o eixo da frequência em zero dB Portanto Kv 055 A Figura 1052c é de um sistema do Tipo 2 uma vez que a inclinação inicial é 40 dBdécada O valor de é o valor da frequência em que a inclinação inicial cruza o eixo da frequência em zero dB Portanto Ka 32 9 FIGURA 1052 Diagramas de Bode de logaritmo da magnitude para o Exemplo 1014 Exercício 1010 PROBLEMA Determine as constantes de erro estático de um sistema com realimentação unitária estável cuja função de transferência em malha aberta possui o diagrama de Bode de magnitude mostrado na Figura 1053 FIGURA 1053 Diagrama de Bode de logaritmo da magnitude para o Exercício de Avaliação de Competência 1010 RESPOSTAS Kp Kv e Ka 9025 A solução completa está no site da LTC Editora 1012 Sistemas com Atraso no Tempo O atraso no tempo ocorre em sistemas de controle quando há um atraso entre a resposta comandada e o início da resposta de saída Por exemplo considere um sistema de aquecimento que opera aquecendo água para distribuição por tubulação para irradiadores em locais distantes Como a água quente tem que fluir através da tubulação os irradiadores não começarão a esquentar até depois de decorrido um atraso de tempo específico Em outras palavras o tempo entre o comando para mais calor e o início da elevação da temperatura em um local distante ao longo da tubulação é o atraso no tempo Observe que isso não é o mesmo que a resposta transitória ou o tempo que a temperatura leva para subir até o nível desejado Durante o atraso no tempo nada está acontecendo na saída Modelando o Atraso no Tempo Admita que uma entrada Rs para um sistema Gs resulte em uma saída Cs Caso outro sistema Gs atrase a saída por T segundos a resposta de saída é ct T A partir da Tabela 22 Item 5 a transformada de Laplace de ct T é esTCs Assim para o sistema sem atraso Cs RsGs e para o sistema com atraso esTCs RsGs Dividindo essas duas equações GsGs esT Portanto um sistema com atraso no tempo T pode ser representado em função de um sistema equivalente sem atraso no tempo como se segue O efeito da introdução do atraso no tempo em um sistema também pode ser visto a partir da perspectiva da resposta em frequência substituindo s jω na Eq 1087 Consequentemente Em outras palavras o atraso no tempo não afeta a curva de magnitude da resposta em frequência de Gjω porém ele subtrai uma defasagem linearmente crescente ωT do diagrama de fase da resposta em frequência de Gjω O efeito típico do acréscimo de um atraso no tempo pode ser visto na Figura 1054 Admita que as margens de ganho e de fase bem como as frequências de margem de ganho e de fase mostradas na figura se aplicam ao sistema sem atraso no tempo A partir da figura observamos que a redução da fase causada pelo atraso reduz a margem de fase Utilizando uma aproximação de segunda ordem essa redução na margem de fase resulta em um fator de amortecimento menor para o sistema em malha fechada e em uma resposta mais oscilatória A redução da fase também leva a uma frequência de margem de ganho menor A partir da curva de magnitude podemos observar que uma frequência de margem de ganho menor leva a uma margem de ganho menor aproximando dessa forma o sistema da instabilidade Seguese um exemplo do traçado de diagramas de resposta em frequência para sistemas com atraso FIGURA 1054 Efeito do atraso sobre a resposta em frequência Exemplo 1015 Diagramas de Resposta em Frequência de um Sistema com Atraso no Tempo PROBLEMA Trace a resposta em frequência para o sistema Gs Kss 1s 10 caso haja um atraso no tempo de 1 segundo através do sistema Utilize diagramas de Bode SOLUÇÃO Como a curva de magnitude não é afetada pelo atraso ela pode ser traçada através dos métodos cobertos anteriormente neste capítulo e é mostrada na Figura 1055a para K 1 O diagrama de fase entretanto é afetado pelo atraso A Figura 1055b mostra o resultado Primeiro trace o diagrama de fase para o atraso ejωT 1 ωT 1 ω uma vez que T 1 a partir do enunciado do problema Em seguida trace o diagrama de fase do sistema Gjω utilizando os métodos cobertos anteriormente Finalmente some as duas curvas de fase para obter a fase total da resposta para ejωTGjω Assegurese de utilizar unidades consistentes para as fases de Gjω e para o atraso ambos em graus ou em radianos Observe que o atraso resulta em uma margem de fase menor uma vez que em qualquer frequência a fase é mais negativa Utilizando uma aproximação de segunda ordem este decréscimo na margem de fase implica um fator de amortecimento menor e uma resposta mais oscilatória para o sistema em malha fechada FIGURA 1055 Diagramas de resposta em frequência para Gs Kss 1s 10 com um retardo de 1 segundo e K 1 a diagrama de magnitude b diagrama de fase Além disso há uma diminuição na frequência de margem de ganho Na curva de magnitude observe que uma redução na frequência de margem de ganho se reflete em uma margem de ganho menor dessa forma levando o sistema para mais próximo da instabilidade Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p7 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para incluir um atraso no tempo nos diagramas de Bode Você também utilizará o MATLAB para traçar múltiplos diagramas em um único gráfico e rotular os diagramas Este exercício resolve o Exemplo 1015 utilizando o MATLAB Vamos agora utilizar os resultados do Exemplo 1015 para projetar a estabilidade analisar a resposta transitória e comparar os resultados com os do sistema sem atraso no tempo a b a b a b a b Exemplo 1016 Faixa de Ganho para Estabilidade para Sistema com Atraso no Tempo PROBLEMA O sistema em malha aberta com atraso no tempo do Exemplo 1015 é utilizado em uma configuração com realimentação unitária Faça o seguinte Determine a faixa de ganho K para resultar em estabilidade Utilize os diagramas de Bode e as técnicas de resposta em frequência Repita o Item a para o sistema sem atraso no tempo SOLUÇÃO A partir da Figura 1055 a fase é180 em uma frequência de 081 rads para o sistema com atraso no tempo marcado como Total no diagrama de fase Nessa frequência a curva de magnitude está em 2039 dB Assim K pode ser aumentado a partir de seu valor unitário atual até 10203920 1046 Portanto o sistema é estável para 0 K 1046 Caso utilizemos a curva de fase sem atraso no tempo marcada como Sistema 180 ocorre em uma frequência de 316 rads e K pode ser aumentado em 4084 dB ou 1102 Portanto sem atraso o sistema é estável para 0 K 1102 uma ordem de grandeza a mais Exemplo 1017 Ultrapassagem Percentual para Sistema com Atraso no Tempo PROBLEMA O sistema em malha aberta com atraso no tempo do Exemplo 1015 é utilizado em uma configuração com realimentação unitária Faça o seguinte Estime a ultrapassagem percentual caso K 5 Utilize os diagramas de Bode e as técnicas de resposta em frequência Repita o Item a para o sistema sem atraso no tempo SOLUÇÃO Como K 5 a curva de magnitude da Figura 1055 é levantada por 1398 dB O cruzamento de zero dB ocorre então em uma frequência de 047 rads com uma fase de 145 como pode ser observado a partir do diagrama de fase marcado como Total Portanto a margem de fase é 145 180 35 Admitindo uma aproximação de segunda ordem e utilizando a Eq 1073 ou a Figura 1048 obtemos ζ 033 A partir da Eq 438 UP 33 A resposta no tempo Figura 1056a mostra uma ultrapassagem de 38 em vez dos 33 preditos Observe o atraso no tempo no início da curva O cruzamento de zero dB ocorre em uma frequência de 047 rads com uma fase de 118 como pode ser observado a partir do diagrama de fase marcado como Sistema Portanto a margem de fase é 118 180 62 Admitindo uma aproximação de segunda ordem e utilizando a Eq 1073 ou a Figura 1048 obtemos ζ 064 A partir da Eq 438 UP 73 A resposta no tempo é mostrada na Figura 1056b Observe que o sistema sem atraso tem menos ultrapassagem e um tempo de acomodação menor FIGURA 1056 Resposta ao degrau para o sistema em malha fechada com Gs 5ss 1s 10 a com 1 segundo de atraso no tempo b sem atraso Exercício 1011 PROBLEMA Para o sistema mostrado na Figura 1010 em que Experimente 106 1 2 3 4 a b c a b c Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício de Avaliação de Competência 1011 Para cada item do problema faça d atraso especificado Gzpk0110 d0 numGddenGdpade d12 GdtfnumGddenGd GeGGd bodeGe grid on Depois que os diagramas de Bode aparecerem Clique com o botão direito na área do gráfico Selecione Characteristics Selecione All Stability Margins Posicione o cursor sobre o ponto de margem no diagrama de fase para ler a margem de fase determine a margem de fase caso haja um atraso no caminho à frente de 0 s 01 s 3 s RESPOSTAS 180 035 15141 A solução completa está no site da LTC Editora Em resumo os sistemas com atraso no tempo podem ser tratados utilizandose as técnicas de resposta em frequência descritas anteriormente caso a fase da resposta seja ajustada para refletir o atraso no tempo Normalmente o atraso no tempo reduz as margens de ganho e de fase resultando em uma ultrapassagem percentual maior ou na instabilidade da resposta em malha fechada 1013 Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente No Capítulo 4 discutimos como obter a função de transferência de um sistema através do teste da resposta ao degrau Nesta seção mostramos como obter a função de transferência utilizando dados 1 2 3 4 5 da resposta em frequência senoidal A determinação analítica da função de transferência de um sistema pode ser difícil Os valores dos componentes individuais podem não ser conhecidos ou a configuração interna do sistema pode não estar acessível Nesses casos a resposta em frequência do sistema da entrada para a saída pode ser obtida experimentalmente e utilizada para determinar a função de transferência Para obter um diagrama de resposta em frequência experimentalmente utilizamos uma força senoidal ou um gerador de sinais senoidais na entrada do sistema e medimos a amplitude e a fase da saída senoidal em regime permanente ver Figura 102 Repetindo esse processo para várias frequências obtemos dados para um diagrama de resposta em frequência Com base na Figura 102b a amplitude da resposta é Mω MsωMeω e a fase da resposta é φω φsω φeω Uma vez que a resposta em frequência tenha sido obtida a função de transferência do sistema pode ser estimada a partir das frequências de quebra e das inclinações Os métodos de resposta em frequência podem resultar em uma estimativa mais refinada da função de transferência do que as técnicas de resposta transitória cobertas no Capítulo 4 Os diagramas de Bode são uma representação conveniente dos dados da resposta em frequência para o propósito de estimar a função de transferência Esses diagramas permitem que partes da função de transferência sejam determinadas e extraídas abrindo caminho para refinamentos adicionais para determinar as partes restantes da função de transferência Embora a experiência e a intuição sejam de valor inestimável nesse processo os passos a seguir são oferecidos como orientação Examine os diagramas de Bode de magnitude e de fase e estime a configuração de polos e zeros do sistema Examine a inclinação inicial no diagrama de magnitude para determinar o tipo do sistema Examine as excursões de fase para ter uma ideia da diferença entre o número de polos e o número de zeros Verifique se trechos das curvas de magnitude e de fase representam curvas óbvias de resposta em frequência de polos ou zeros de primeira ou de segunda ordem Verifique se existe algum indício de picos ou depressões no diagrama de magnitude da resposta que indique um polo ou de um zero de segunda ordem subamortecido respectivamente Caso qualquer resposta de polo ou zero possa ser identificada sobreponha retas apropriadas de 20 ou 40 dBdécada na curva de magnitude ou 45década na curva de fase e estime as frequências de quebra Para polos ou zeros de segunda ordem estime o fator de amortecimento e a frequência natural a partir das curvas padronizadas dadas na Seção 102 Crie uma função de transferência de ganho unitário utilizando os polos e os zeros obtidos Obtenha a resposta em frequência dessa função de transferência e subtraia essa resposta da resposta em frequência anterior Franklin 1991 Agora você tem uma resposta em frequência de complexidade menor a partir da qual pode recomeçar o processo para extrair mais polos e zeros do sistema Um programa de computador como o MATLAB é de ajuda inestimável para esse passo Vamos demonstrar Exemplo 1018 Função de Transferência a partir de Diagramas de Bode PROBLEMA Determine a função de transferência do subsistema cujos diagramas de Bode são mostrados na Figura 1057 FIGURA 1057 Diagramas de Bode para subsistema com função de transferência indeterminada SOLUÇÃO Vamos primeiro extrair os polos subamortecidos de que suspeitamos com base no pico na curva da magnitude Estimamos que a frequência natural esteja próxima da frequência de pico em aproximadamente 5 rads A partir da Figura 1057 vemos um pico de cerca de 65 dB que se traduz em um fator de amortecimento de cerca de ζ 024 através da Eq 1052 A função de segunda ordem com ganho unitário é portanto G1s ωn 2s2 2ζωns ωn 2 25s2 24s 25 O diagrama da resposta em frequência dessa função é construído e subtraído dos diagramas de Bode anteriores para resultar na resposta da Figura 1058 FIGURA 1058 Diagramas de Bode originais menos a resposta de G1s 25s2 24s 25 FIGURA 1059 Diagramas de Bode originais menos a resposta de G1sG2s 25s2 24s 25 90s 90 Sobrepondo uma reta de 20 dBdécada na magnitude da resposta e uma reta de 45década na fase da resposta encontramos um polo final A partir da fase da resposta estimamos a frequência de quebra em 90 rads Subtraindo a resposta de G2s 90s 90 da resposta anterior resulta a resposta na Figura 1059 A Figura 1059 tem curvas de magnitude e de fase semelhantes às geradas por uma função de atraso de fase Traçamos uma reta de 20 dBdécada e a ajustamos às curvas As frequências de quebra são lidas a partir da figura como 9 e 30 rads Uma função de transferência de ganho unitário contendo um polo em 9 e um zero em 30 é G3s 03s 30s 9 Após a subtração de G1sG2sG3s obtemos uma magnitude da resposta em frequência praticamente constante com uma variação de 61 dB e uma fase da resposta praticamente constante em 3 5 Concluímos assim que terminamos a extração de funções de transferência dinâmicas O valor de baixa frequência ou valor estático da curva original é 19 dB ou 011 Nossa estimativa da função de transferência do subsistema é Gs 011G1sG2sG3s ou É interessante observar que a curva original foi obtida a partir da função Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch10p8 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para subtrair diagramas de Bode com o objetivo de estimar funções de transferência através de teste senoidal Este exercício resolve uma parte do Exemplo 1018 utilizando o MATLAB Exercício 1012 PROBLEMA Estime Gs cujos diagramas de Bode de logaritmo da magnitude e de fase são mostrados na Figura 1060 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora a FIGURA 1060 Diagramas de Bode para o Exercício de Avaliação de Competência 1012 Neste capítulo deduzimos as relações entre o desempenho da resposta no tempo e as respostas em frequência dos sistemas em malha aberta e em malha fechada Os métodos deduzidos embora forneçam uma perspectiva diferente são simplesmente alternativas para o lugar geométrico das raízes e a análise do erro em regime permanente cobertos anteriormente Estudo de Caso Controle de Antena Projeto de Estabilidade e Desempenho do Transitório Nosso sistema de controle de posição de antena serve agora como um exemplo que resume os principais objetivos deste capítulo O estudo de caso demonstra o uso dos métodos de resposta em frequência para determinar a faixa de ganho para estabilidade e para projetar um valor de ganho para atender a um requisito de ultrapassagem percentual para a resposta ao degrau em malha fechada PROBLEMA Dado o sistema de controle de posicionamento de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 utilize técnicas de resposta em frequência para obter o seguinte A faixa de ganho do préamplificador K requerida para estabilidade b c d e a b A ultrapassagem percentual caso o ganho do préamplificador seja ajustado em 30 O tempo de acomodação estimado O instante de pico estimado O tempo de subida estimado SOLUÇÃO Utilizando o diagrama de blocos Configuração 1 mostrado nas guardas dianteiras e realizando redução de diagrama de blocos obtemos o ganho de malha GsHs como Fazendo K 1 temos os diagramas de magnitude e de fase da resposta em frequência mostrados na Figura 1061 Para encontrar a faixa de K para estabilidade observamos a partir da Figura 1061 que a fase da resposta é 180 em ω 131 rads Nessa frequência o diagrama de magnitude é 6841 dB O ganho K pode ser aumentado por 6841 dB Portanto K 2633 fará com que o sistema se torne marginalmente estável Assim o sistema é estável se 0 K 2633 FIGURA 1061 Diagramas da resposta em frequência em malha aberta para o sistema de controle de antena K 1 Para determinar a ultrapassagem percentual caso K 30 primeiro fazemos uma aproximação de segunda ordem e admitimos que as equações da resposta transitória de segunda ordem relacionando a ultrapassagem percentual o fator de amortecimento e a margem de fase são verdadeiros para este sistema Em outras palavras admitimos que a c d e a b c Eq 1073 que relaciona o fator de amortecimento com a margem de fase é válida Caso K 30 a curva de magnitude da Figura 1061 é deslocada para cima por 20 log 30 2954 dB Portanto a curva de magnitude ajustada passa por zero dB em ω 1 Nessa frequência a fase é 1209 resultando em uma margem de fase de 591 Utilizando a Eq 1073 ou a Figura 1048 ω 06 e a ultrapassagem é 948 Uma simulação computacional mostra 10 Para estimar o tempo de acomodação fazemos uma aproximação de segunda ordem e utilizamos a Eq 1055 Como K 30 2954 dB a magnitude da resposta em malha aberta é 7 dB quando a magnitude da resposta normalizada da Figura 1061 é 3654 dB Assim a faixa de passagem estimada é 18 rads Utilizando a Eq 1055 Ts 425 segundos Uma simulação computacional mostra um tempo de acomodação de cerca de 44 segundos Utilizando a faixa de passagem estimada obtida em c junto com a Eq 1056 e o fator de amortecimento obtido em a estimamos o instante de pico como 25 segundos Uma simulação computacional mostra um instante de pico de 28 segundos Para estimar o tempo de subida utilizamos a Figura 416 e determinamos que o tempo de subida normalizado para um fator de amortecimento de 06 é 1854 Utilizando a Eq 1054 a faixa de passagem estimada obtida em c e ω 06 obtemos ωn 157 Utilizando o tempo de subida normalizado e ωn obtemos Tr 1854157 118 segundo Uma simulação mostra um tempo de subida de 12 segundo DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 3 Registre os parâmetros do diagrama de blocos na tabela mostrada nas guardas dianteiras para a Configuração 3 para utilização em problemas de desafio de estudo de caso subsequentes Utilizando métodos de resposta em frequência faça o seguinte Determine a faixa de ganho para estabilidade Determine a ultrapassagem percentual para uma entrada em degrau caso o ganho K seja igual a 3 Repita os Itens a e b utilizando o MATLAB Resumo Os métodos de resposta em frequência são uma alternativa ao lugar geométrico das raízes para analisar e projetar sistemas de controle com realimentação As técnicas de resposta em frequência podem ser utilizadas de modo mais eficaz que a resposta transitória para modelar sistemas físicos em laboratório Por outro lado o lugar geométrico das raízes está relacionado mais diretamente com a resposta no tempo A entrada para um sistema físico pode ser variada de forma senoidal com frequência amplitude e fase conhecidas A saída do sistema que também é senoidal em regime permanente pode então ser medida em amplitude e em fase em diferentes frequências A partir desses dados a magnitude da resposta em frequência do sistema que é a razão entre a amplitude de saída e a amplitude de entrada pode ser representada graficamente e utilizada no lugar de uma magnitude da resposta em frequência obtida analiticamente De modo similar podemos obter a fase da resposta determinando a diferença entre a fase da saída e a fase da entrada em frequências diferentes A resposta em frequência de um sistema pode ser representada tanto como um diagrama polar quanto como diagramas separados de magnitude e de fase Como um diagrama polar a magnitude da resposta é o comprimento de um vetor traçado a partir da origem até um ponto na curva enquanto a fase da resposta é o ângulo desse vetor No diagrama polar a frequência está implícita e é representada por cada ponto da curva polar O diagrama polar de GsHs é conhecido como diagrama de Nyquist Os diagramas separados de magnitude e de fase algumas vezes chamados de diagramas de Bode apresentam os dados com a frequência explicitamente enumerada ao longo da abscissa A curva de magnitude pode ser um gráfico do logaritmo da magnitude em função do logaritmo da frequência A outra curva é um gráfico da fase em função do logaritmo da frequência Uma vantagem dos diagramas de Bode sobre o diagrama de Nyquist é que eles podem ser desenhados facilmente com a utilização de aproximações assintóticas da curva real O critério de Nyquist estabelece a fundamentação teórica a partir da qual a resposta em frequência pode ser utilizada para determinar a estabilidade de um sistema Utilizando o critério de Nyquist e o diagrama de Nyquist ou o critério de Nyquist e os diagramas de Bode podemos determinar a estabilidade de um sistema Os métodos de resposta em frequência nos dão não apenas informações sobre a estabilidade mas também informações sobre a resposta transitória Definindo grandezas da resposta em frequência como margem de ganho e margem de fase a resposta transitória pode ser analisada ou projetada A margem de ganho é o valor pelo qual o ganho de um sistema pode ser aumentado antes que ocorra instabilidade caso a fase seja constante em 180 A margem de fase é o valor pelo qual a fase pode ser alterada antes que ocorra instabilidade caso o ganho seja mantido unitário Enquanto a resposta em frequência em malha aberta leva aos resultados sobre a estabilidade e a resposta transitória que acabaram de ser descritos outras ferramentas de projeto relacionam o pico e a faixa de passagem da resposta em frequência em malha fechada com a resposta transitória Como a resposta em malha fechada não é tão fácil de obter como a resposta em malha aberta por causa da indisponibilidade dos polos em malha fechada utilizamos auxílios gráficos com o objetivo de obter a resposta em frequência em malha fechada a partir da resposta em frequência em malha aberta Esses auxílios gráficos são os círculos M e N e a carta de Nichols Sobrepondo a resposta em frequência em malha aberta aos círculos M e N ou à carta de Nichols somos capazes de obter a resposta em frequência em malha fechada e então analisar e projetar a resposta transitória Atualmente com a disponibilidade de computadores e de programas apropriados os diagramas de resposta em frequência podem ser obtidos sem depender das técnicas gráficas descritas neste capítulo O programa utilizado para os cálculos do lugar geométrico das raízes e descrito no Apêndice H2 é um desses programas O MATLAB é outro Concluímos a discussão do capítulo mostrando como obter uma estimativa razoável de uma função de transferência utilizando sua resposta em frequência que pode ser obtida experimentalmente A obtenção de funções de transferência dessa maneira resulta em mais exatidão do que testes da resposta transitória Este capítulo tratou essencialmente da análise de sistemas de controle com realimentação através de técnicas de resposta em frequência Desenvolvemos as relações entre a resposta em 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 frequência a estabilidade e a resposta transitória No próximo capítulo aplicamos os conceitos ao projeto de sistemas de controle com realimentação utilizando os diagramas de Bode Questões de Revisão Cite quatro vantagens das técnicas de resposta em frequência sobre o lugar geométrico das raízes Defina resposta em frequência como aplicada a um sistema físico Cite duas maneiras de representar graficamente a resposta em frequência Descreva brevemente como obter a resposta em frequência analiticamente Defina diagramas de Bode Cada polo de um sistema contribui com quanto de inclinação para o diagrama de Bode de magnitude Um sistema com apenas quatro polos e nenhum zero exibiria que valor de inclinação em altas frequências em um diagrama de Bode de magnitude Um sistema com quatro polos e dois zeros exibiria que valor de inclinação em altas frequências em um diagrama de Bode de magnitude Descreva a fase assintótica da resposta de um sistema com um único polo em 2 Qual é a principal diferença entre os diagramas de Bode de magnitude para sistemas de primeira ordem e para sistemas de segunda ordem Para um sistema com três polos em 4 qual é a diferença máxima entre a aproximação assintótica e a magnitude real da resposta Enuncie resumidamente o critério de Nyquist O que o critério de Nyquist nos diz O que é um diagrama de Nyquist Por que o critério de Nyquist é chamado de método de resposta em frequência Ao se esboçar um diagrama de Nyquist o que deve ser feito com polos em malha aberta no eixo imaginário Que simplificação geralmente podemos fazer no critério de Nyquist para sistemas que são estáveis em malha aberta Que simplificação geralmente podemos fazer no critério de Nyquist para sistemas que são instáveis em malha aberta Defina margem de ganho Defina margem de fase Cite duas características diferentes da resposta em frequência que podem ser utilizadas para determinar a resposta transitória de um sistema Cite três métodos diferentes de se obter a resposta em frequência em malha fechada a partir da função de transferência em malha aberta Explique brevemente como determinar a constante de erro estático a partir do diagrama de Bode de magnitude Descreva a mudança no diagrama de magnitude da resposta em frequência em malha aberta caso um atraso no tempo seja adicionado à planta Caso a fase da resposta de um atraso no tempo puro fosse traçada em um gráfico de fase 26 1 2 3 4 5 6 linear versus frequência linear qual seria a forma da curva Ao extrair sucessivamente funções de transferência constituintes a partir de dados experimentais de resposta em frequência como você sabe que você terminou Problemas Obtenha expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta para cada Gs a seguir Seção 101 Para cada função no Problema 1 construa um diagrama do logaritmo da magnitude e da fase utilizando o logaritmo da frequência em rads como a abscissa Não utilize aproximações assintóticas Seção 101 Para cada função no Problema 1 construa um diagrama polar da resposta em frequência Seção 101 Para cada função no Problema 1 esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase Compare seus resultados com suas respostas para o Problema 1 Seção 102 Esboce o diagrama de Nyquist para cada um dos sistemas na Figura P101 Seção 104 Trace o diagrama polar a partir das curvas separadas de magnitude e de fase mostradas na Figura P102 Seção 101 7 FIGURA P101 FIGURA P102 Trace as curvas separadas de magnitude e de fase a partir do diagrama polar mostrado na 8 a b 9 10 Figura P103 Seção 101 FIGURA P103 Escreva um programa em MATLAB que fará o seguinte Traçará o diagrama de Nyquist de um sistema Mostrará o valor e a frequência do cruzamento com o eixo real Utilize seu programa com um sistema com realimentação unitária em que Utilizando o critério de Nyquist verifique se cada sistema do Problema 5 é estável Seção 103 Utilizando o critério de Nyquist determine a faixa de K para estabilidade para cada um dos sistemas na Figura P104 Seção 103 11 a b c 12 a b c FIGURA P104 Para cada sistema do Problema 10 determine a margem de ganho e a margem de fase caso o valor de K para cada item do Problema 10 seja Seção 106 K 1000 K 100 K 01 Escreva um programa em MATLAB que fará o seguinte Permitirá que um valor de ganho K seja entrado a partir do teclado Mostrará os diagramas de Bode de um sistema para o valor fornecido de K Calculará e mostrará as margens de ganho e de fase para o valor fornecido de K Teste o seu programa em um sistema com realimentação unitária com Gs 5 Ks s 3s 12 13 a b 14 15 a b c d 16 17 18 19 a b c 20 a Utilize o LTI Viewer do MATLAB para obter a margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 para um sistema com realimentação unitária com Utilize os seguintes métodos O diagrama de Nyquist Diagramas de Bode Deduza a Eq 1054 a faixa de passagem em malha fechada em função de ζ e ωn para um sistema com dois polos Seção 108 Para cada sistema em malha fechada com as características de desempenho a seguir obtenha a faixa de passagem em malha fechada Seção 108 ζ 02 e Ts 3 segundos ζ 02 e Tp 3 segundos Ts 4 segundos e Tp 2 segundos ζ 03 e Tr 4 segundos Considere o sistema com realimentação unitária da Figura 1010 Para cada Gs a seguir utilize os círculos M e N para construir um diagrama de resposta em frequência em malha fechada Seção 109 Repita o Problema 16 utilizando a carta de Nichols no lugar dos círculos M e N Seção 109 Utilizando os resultados do Problema 16 estime a ultrapassagem percentual que pode ser esperada na resposta ao degrau para cada sistema mostrado Seção 1010 Utilize os resultados do Problema 17 para estimar a ultrapassagem percentual caso o termo de ganho no numerador do caminho à frente de cada item do problema seja alterado respectivamente como a seguir Seção 1010 De 10 para 30 De 1000 para 2500 De 50 para 75 Escreva um programa em MATLAB que fará o seguinte Permitirá que um valor do ganho K seja entrado a partir b c 21 22 a b c d e do teclado Mostrará os diagramas de magnitude e de fase da resposta em frequência em malha fechada de um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência em malha aberta KGs Calculará e mostrará o pico de magnitude a frequência do pico de magnitude e a faixa de passagem para a resposta em frequência em malha fechada e o valor de K fornecido Teste seu programa com o sistema da Figura P105 para K 40 FIGURA P105 Utilize o LTI Viewer do MATLAB com o diagrama de Nichols para determinar a margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 para um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do caminho à frente Escreva um programa em MATLAB que fará o seguinte Construirá uma diagrama de Nichols de uma função de transferência em malha aberta Permitirá que o usuário leia o diagrama de Nichols e entre o valor de Mp Construirá diagramas de magnitude e de fase em malha fechada Mostrará os valores esperados de ultrapassagem percentual tempo de acomodação e instante de pico Apresentará a resposta ao degrau em malha fechada Teste seu programa em um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do caminho à frente 23 24 a b c 25 a b 26 a b c 27 e explique quaisquer discrepâncias FIGURA P106 Utilizando diagramas de Bode estime a resposta transitória dos sistemas na Figura P106 Seção 1010 Para o sistema da Figura P105 faça o seguinte Seção 1010 Trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase Admitindo uma aproximação de segunda ordem estime a resposta transitória do sistema caso K 40 Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa para verificar suas hipóteses simulando a resposta ao degrau do sistema Os diagramas de Bode para uma planta Gs utilizada em um sistema com realimentação unitária são mostrados na Figura P107 Faça o seguinte Determine a margem de ganho a margem de fase a frequência de 0 dB a frequência de 180 e a faixa de passagem em malha fechada Utilize seus resultados do Item a para estimar o fator de amortecimento a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico Escreva um programa em MATLAB que irá usar uma função de transferência em malha aberta Gs para fazer o seguinte Construir um diagrama de Bode Utilizar métodos de resposta em frequência para estimar a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico Apresentar a resposta ao degrau em malha fechada Teste seu programa comparando os resultados com os obtidos para os sistemas do Problema 23 A resposta em frequência em malha aberta mostrada na Figura P108 foi obtida experimentalmente a partir de um sistema com realimentação unitária Estime a ultrapassagem percentual e o erro em regime permanente do sistema em malha fechada Seções 1010 e 1011 FIGURA P107 28 a b c d 29 30 31 32 33 FIGURA P108 Considere o sistema na Figura P109 Seção 1012 FIGURA P109 Determine a margem de fase caso o sistema seja estável para atrasos no tempo de 0 01 02 05 e 1 segundo Determine a margem de ganho caso o sistema seja estável para cada um dos atrasos no tempo dados no Item a Para que atrasos no tempo mencionados no Item a o sistema é estável Para cada atraso no tempo que torna o sistema instável quanta redução no ganho é requerida para que o sistema seja estável Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do caminho à frente e um atraso 05 segundo determine a faixa de ganho K para resultar em estabilidade Utilize diagramas de Bode e técnicas de resposta em frequência Seção 1012 Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do caminho à frente e um atraso de 05 segundo faça uma aproximação de segunda ordem e estime a ultrapassagem percentual caso K 40 Utilize diagramas de Bode e técnicas de resposta em frequência Seção 1012 Utilize a função padeTn do MATLAB para modelar o atraso no Problema 30 Obtenha a resposta ao degrau unitário e avalie sua aproximação de segunda ordem no Problema 30 Para os diagramas de Bode mostrados na Figura P1010 determine a função de transferência manualmente ou através do MATLAB Seção 1013 Repita o Problema 32 para os diagramas de Bode mostrados na Figura P1011 Seção 1013 34 35 a b c Um guindaste suspenso consiste em um carrinho com movimento horizontal de massa mT arrastando uma carga de massa mL que pende a partir de sua superfície inferior na extremidade de um cabo de comprimento fixo L A posição do carrinho é controlada na configuração com realimentação mostrada na Figura 1020 Para este problema G s KPs H 1 e A entrada é ƒTt a força de entrada aplicada ao carrinho A saída é xTt o deslocamento do carrinho Além disso Marttinen 1990 Construa um diagrama de Bode qualitativo do sistema admitindo a 1 A temperatura de uma sala pode ser controlada variandose a potência de um irradiador Em uma sala específica a função de transferência da potência do irradiador de interiores para a temperatura da sala T em C é Thomas 2005 O sistema é controlado na configuração em malha fechada mostrada na Figura 1020 com Gs KPs e H 1 Trace o diagrama de Nyquist correspondente para K 1 Obtenha as margens de ganho e de fase Determine a faixa de K para a estabilidade em malha fechada Compare seu resultado com o do Problema 61 Capítulo 6 36 FIGURA P1010 FIGURA P1011 A dinâmica em malha aberta da tensão cc da armadura para a posição angular da junta de um manipulador robótico é a b 37 c 38 39 Trace manualmente um diagrama de Bode utilizando aproximações assintóticas para magnitude e fase Utilize o MATLAB para traçar o diagrama de Bode exato e compare com seu esboço do Item a O Problema 49 Capítulo 8 discute um sistema levitação magnética com uma função de transferência da planta Ps Galvão 2003 Admita que a planta esteja em cascata com uma Ms e que o sistema será controlado pela malha mostrada na Figura 1020 em que Gs Ms Ps e H 1 Para cada Ms a seguir trace o diagrama de Nyquist quando K 1 e determine a faixa de estabilidade em malha fechada para K 0 Compare seus resultados com os obtidos no Problema 49 Capítulo 8 O modelo simplificado e linearizado para a função de transferência de uma determinada bicicleta do ângulo de manobra δ para o ângulo de inclinação φ é dado por Åstrom 2005 Admita que o ciclista possa ser representado por um ganho K e que o sistema em malha fechada seja o mostrado na Figura 1020 com Gs KPs e H 1 Utilize o critério de estabilidade de Nyquist para determinar a faixa de K para estabilidade em malha fechada O controle da posição radial da cabeça de captação de um DVD digital versatile disc foi discutido no Problema 48 Capítulo 9 Naquele problema a função de transferência em malha aberta da tensão de entrada da bobina para a posição radial da captação foi dada como Bittanti 2002 Admita que a planta esteja em cascata com um controlador e na configuração em malha fechada mostrada na Figura 1020 em que Gs MsPs e H 1 Faça o seguinte a b c 40 a b 41 a b c 42 Trace a resposta em frequência em malha fechada em uma carta Nichols Prediga a resposta do sistema para uma entrada em degrau unitário Calcule a UP cfinal e Ts Verifique os resultados do Item b utilizando simulações em MATLAB O Soft Arm utilizado para alimentar pessoas com necessidades especiais foi discutido no Problema 57 no Capítulo 6 Admitindo o diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura P1012 utilize técnicas de resposta em frequência para determinar o seguinte Kara 1992 A margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB e a frequência de 180 O sistema é estável Por quê Um acionador de disco flexível foi discutido no Problema 57 no Capítulo 8 Admitindo o diagrama de blocos do sistema mostrado na Figura P1013 utilize técnicas de resposta em frequência para determinar o seguinte A margem de ganho a margem de fase a frequência de zero dB a frequência de 180 e a faixa de passagem em malha fechada A ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico Utilize o MATLAB para simular a resposta ao degrau em malha fechada e compare os resultados com os obtidos no Item b Robôs industriais como o mostrado na Figura P1014 requerem modelos exatos para o projeto de alto desempenho Muitos modelos em função de transferência para robôs industriais consideram corpos rígidos interconectados com a fonte de torque de acionamento modelada como um ganho puro ou um sistema de primeira ordem Uma vez que os movimentos associados ao robô são conectados aos acionadores através de ligações flexíveis em vez de ligações rígidas a modelagem anterior não explica as ressonâncias observadas Um modelo exato linearizado para pequenos movimentos foi desenvolvido levandose em consideração o acionamento flexível A função de transferência relaciona a velocidade angular da base do robô com comandos de corrente elétrica Good 1985 Construa um diagrama de Bode da resposta em frequência e identifique as frequências de ressonância 43 FIGURA P1012 Diagrama de blocos do sistema de controle de posição do Soft Arm FIGURA P1013 Diagrama de blocos do acionador de disco flexível FIGURA P1014 Robô fabricando unidades de memória de computador Michael RosenfieldScience Faction Corbis O dispositivo de carga acoplada CCD chargecoupled device que é utilizado em câmeras de vídeo para converter imagens em sinais elétricos pode ser usado como parte de um sistema de focalização automática em câmeras A focalização automática pode ser implementada focalizandose o centro da imagem em uma matriz de dispositivo de carga acoplada através de duas lentes A separação das duas imagens no CCD está relacionada com o foco A câmera sente a separação e um computador aciona a lente e focaliza a imagem O sistema de focalização automática é um controle de posição em que a posição desejada da lente é uma entrada selecionada apontandose a câmera para o objeto A saída é a posição real da lente A câmera na Figura 1015a utiliza um sistema de focalização 44 45 automática CCD A Figura P1015b mostra o recurso de focalização automática representado como um sistema de controle de posição Admitindo o modelo simplificado mostrado na Figura P1015c trace os diagramas de Bode e estime a ultrapassagem percentual para uma entrada em degrau FIGURA P1015 a Vista em corte de uma câmera digital mostrando partes do sistema de focalização automática CCD Stephen SweetiStockphoto b diagrama de blocos funcional c diagrama de blocos FIGURA P1016 Diagrama de blocos do sistema de estabilização de rolagem de um navio A rolagem de um navio pode ser estabilizada com um sistema de controle Uma tensão aplicada aos atuadores dos lemes de inclinação cria um torque de rolagem que é aplicado ao navio O navio em resposta ao torque de rolagem produz um ângulo de rolagem Admitindo o diagrama de blocos para o sistema de controle de rolagem mostrado na Figura P1016 determine as margens de ganho e de fase do sistema O modelo linearizado de um elo de rede específico trabalhando com TCPIP e controlado usando um algoritmo de detecção antecipada aleatória RED random early detection pode ser descrito pela Figura 1020 em que Gs MsPs H 1 e Hollot 2001 a b c d 46 a b 47 a b 48 Trace a carta de Nichols para L 1 O sistema é estável em malha fechada Determine a faixa de L para estabilidade em malha fechada Utilize a carta de Nichols para predizer UP e Ts para L 095 Faça um esboço manual da resposta ao degrau unitário esperada Verifique o Item c com uma simulação da resposta ao degrau unitário em Simulink No elo de rede TCPIP do Problema 45 faça L 08 mas admita que o atraso seja uma variável desconhecida Trace o diagrama de Nyquist do sistema para atraso nulo e obtenha a margem de fase Determine o atraso máximo permitido para estabilidade em malha fechada Flutuações térmicas do Telescópio Espacial Hubble TEH produzem erros para o sistema de controle de apontamento A flutuação térmica dos painéis solares ocorre quando a espaçonave passa da luz solar para a escuridão e quando a espaçonave está exposta à luz do dia Ao passar da luz do dia para a escuridão uma oscilação de flexão de ponta a ponta de frequência ƒ1 rads é sofrida Essas oscilações interferem com o sistema de controle de apontamento do TEH Um filtro com a função de transferência é proposto para ser colocado em cascata com o controlador PID para reduzir a flexão Wie 1992 Obtenha a resposta em frequência do filtro e estime as frequências de flexão que serão reduzidas Explique por que esse filtro irá reduzir as oscilações de flexão caso essas oscilações sejam consideradas como perturbações na saída do sistema de controle Um sistema de armazenamento de mídia holográfica experimental utiliza um disco de fotopolímero flexível Durante a rotação o disco se inclina tornando a recuperação de informação difícil Um sistema que compensa a inclinação foi desenvolvido Para isso um feixe de laser é focado na superfície do disco e variações no disco são medidas através da reflexão Um espelho por sua vez é ajustado para se alinhar com o disco e tornar a recuperação de informação possível O sistema pode ser representado por um sistema com realimentação unitária no qual um controlador com função de transferência e uma planta a b c d 49 a b c formam uma transmissão em malha aberta Ls GcsPs Kim 2009 Utilize o MATLAB para obter o diagrama de Nyquist do sistema Descubra se o sistema é estável Determine a margem de fase do sistema Utilize o valor da margem de fase obtido em b para calcular a ultrapassagem esperada do sistema para uma entrada em degrau Simule a resposta do sistema para uma entrada em degrau unitário e verifique a UP calculada em c O projeto de sistemas de controle de cruzeiro em veículos pesados como as carretas é especialmente desafiador devido às variações extremas na carga transportada Uma resposta em frequência típica para a função de transferência da vazão de massa de combustível para a velocidade do veículo é mostrada na Figura P1017 Esta resposta inclui a dinâmica do motor a caixa de transmissão o eixo de propulsão o diferencial os eixos de transmissão o chassi a carga e a dinâmica do pneu Admita que o sistema seja controlado em uma malha fechada com realimentação unitária usando um compensador proporcional van der Zalm 2008 Construa um gráfico do diagrama de Nyquist que corresponde ao diagrama de Bode da Figura P1017 Admitindo que não haja polos em malha aberta no semiplano da direita determine se o sistema é estável em malha fechada quando o ganho proporcional K 1 FIGURA P1017 Determine a faixa de K positivo para a qual o sistema em malha fechada é estável 50 51 52 Utilize o LabVIEW com o Control Design and Simulation Module e o MathScript RT Module e modifique a CDEx Nyquist Analysysvi para obter a faixa de K para estabilidade usando o diagrama de Nyquist para qualquer sistema com o qual você entre Adicionalmente projete uma VI LabVIEW que irá aceitar como entradas o polinômio do numerador e o polinômio do denominador de uma função de transferência em malha aberta e obterá um diagrama de Nyquist para um valor de K 10000 Sua VI também deverá mostrar o seguinte obtido a partir do diagrama de Nyquist 1 margem de ganho 2 margem de fase 3 frequência de zero dB 4 frequência de 180 graus Utilize o sistema e os resultados do Exercício 106 para testar suas VIs Utilize o LabVIEW com o Control Design and Simulation Module e o MathScript RT Module para construir uma VI que irá aceitar uma função de transferência em malha aberta e irá mostrar o diagrama de Bode e o gráfico da resposta ao degrau em malha fechada Sua VI também irá usar a CDParametric TimeResponsevi para mostrar 1 tempo de subida 2 instante de pico 3 tempo de acomodação 4 ultrapassagem percentual 5 valor em regime permanente e 6 valor de pico Use o sistema do Exercício de Avaliação de Competência 109 para testar sua VI Compare os resultados obtidos a partir de sua VI com os obtidos no Exercício 109 O diagrama de blocos de um sistema em cascata usado para controlar o nível de água em um gerador de vapor de uma usina nuclear Wang 2009 foi apresentado na Figura P619 Neste sistema o controlador de nível GCNs é o controlador mestre e o controlador de fluxo de entrada de água GCFs é o controlador escravo Considere que a malha de realimentação interna é substituída por sua função de transferência equivalente GAXs Usando valores numéricos de Wang 2009 e Bhambhani 2008 as funções de transferência com um atraso puro de 1 segundo são a b c 53 a b c 54 Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa para Obter os diagramas de Bode de magnitude e de fase para esse sistema usando uma aproximação de Padé de quinta ordem disponível no MATLAB Observe nesses diagramas se aplicável as margens de ganho e de fase Apresentar a resposta do sistema ct para uma entrada em degrau unitário rt ut Observe na curva de ct o tempo de subida Tr o tempo de acomodação Ts o valor final da saída e se aplicável a ultrapassagem percentual UP e o instante de pico Tp Repetir os dois itens anteriores para um atraso puro de 15 segundo PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade No Problema 79a Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo No Capítulo 8 Problema 72 você projetou o ganho para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 38 de ultrapassagem Um gráfico da resposta ao degrau deve ter mostrado um tempo de acomodação superior a 05 segundo bem como uma oscilação de alta frequência sobreposta à resposta ao degrau No Capítulo 9 Problema 55 reduzimos o tempo de acomodação para cerca de 03 segundo reduzimos o erro em regime permanente da resposta ao degrau a zero e eliminamos as oscilações de alta frequência utilizando um filtro notch OConnor 1997 Utilizando a função de transferência à frente equivalente obtida no Capítulo 5 em cascata com o filtro notch especificado no Capítulo 9 faça o seguinte utilizando técnicas de resposta em frequência Trace os diagramas de Bode para um ganho total equivalente de 1 e determine a margem de ganho a margem de fase e a frequência de 180 Determine a faixa de K para estabilidade Compare sua resposta para o Item b com sua resposta para o Problema 65 Capítulo 6 Explique quaisquer diferenças Controle de HIVAIDS O modelo linearizado para um paciente com HIVAIDS tratado com RTIs foi obtido no Capítulo 6 como Craig 2004 a b 55 a i ii b i ii Considere essa planta na configuração com realimentação na Figura 1020 com Gs Ps e Hs 1 Obtenha o diagrama de Nyquist Avalie o sistema quanto à estabilidade em malha fechada Considere essa planta na configuração com realimentação na Figura 1020 com Gs Ps e Hs 1 Obtenha o diagrama de Nyquist Avalie o sistema quanto à estabilidade em malha fechada Obtenha as margens de ganho e de fase Veículo híbrido No Problema 874 usamos o MATLAB para traçar o lugar geométrico das raízes para o controle de velocidade de um HEV rearranjado como um sistema com realimentação unitária como mostrado na Figura P734 Preitl 2007 A planta e o compensador foram dados por e verificamos que K 078 resultou em um sistema criticamente amortecido Use o MATLAB ou qualquer outro programa para mostrar Os diagramas de Bode de magnitude e de fase para este sistema e A resposta do sistema ct para uma entrada em degrau rt 4 ut Observe na curva de ct o tempo de subida Tr e o tempo de acomodação Ts bem como o valor final da saída Adicione agora um ganho integral ao controlador de modo que a função de transferência da planta e do compensador se torne em que K 1 078 e Z c 04 Use o MATLAB ou qualquer outro programa para fazer o seguinte Representar graficamente os diagramas de Bode de magnitude e de fase para este caso Obter a resposta do sistema para uma entrada em degrau rt 4 ut Represente graficamente ct e observe na curva o tempo de subida Tr a ultrapassagem percentual UP o instante de pico Tp e o tempo de acomodação Ts c 1 2 1 2 3 1 As respostas obtidas em a ou b se parecem com a resposta de um sistema de segunda ordem superamortecido criticamente amortecido ou subamortecido Explique Investigando em Laboratório Virtual Experimento 101 Objetivo Examinar as relações entre resposta em frequência em malha aberta e estabilidade e entre resposta em frequência em malha aberta e resposta transitória em malha fechada e o efeito de polos e zeros adicionais em malha fechada sobre a capacidade de predizer a resposta transitória em malha fechada Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio Esboce o diagrama de Nyquist para um sistema com realimentação unitária negativa com uma função de transferência à frente de A partir de seu diagrama de Nyquist determine a faixa de ganho K para estabilidade Determine as margens de fase requeridas para respostas ao degrau em malha fechada de segunda ordem com as seguintes ultrapassagens percentuais 5 10 20 e 30 Ensaio Utilizando a SISO Design Tool gere os seguintes gráficos simultaneamente para o sistema do PréEnsaio 1 lugar geométrico das raízes diagrama de Nyquist e resposta ao degrau Faça gráficos para os seguintes valores de K 50 100 o valor para a estabilidade marginal obtido no PréEnsaio 1 e um valor acima do obtido para a estabilidade marginal Utilize as ferramentas de ampliação e redução da imagem quando necessário para gerar um gráfico ilustrativo Finalmente altere o ganho segurando e movendo os polos em malha fechada ao longo do lugar geométrico das raízes e observe as mudanças no diagrama de Nyquist e na resposta ao degrau Utilizando a SISO Design Tool gere diagramas de Bode e respostas ao degrau em malha fechada para um sistema com realimentação negativa unitária com uma função de transferência à frente de Gere esses diagramas para cada valor de margem de fase obtida no PréEnsaio 2 Ajuste o ganho para chegar à margem de fase desejada segurando a curva de Bode de magnitude e movendoa para cima ou para baixo Observe os efeitos se houver algum sobre o diagrama de Bode de fase Para cada caso registre o valor do ganho e a posição dos polos em malha fechada Repita o Ensaio 2 para PósEnsaio Construa uma tabela mostrando os valores calculados e reais para a faixa de ganho para estabilidade como obtido no PréEnsaio 1 e no Ensaio 1 2 3 4 1 2 Construa uma tabela a partir dos dados obtidos no Ensaio 2 listando margem de fase ultrapassagem percentual e posição dos polos em malha fechada Construa uma tabela a partir dos dados obtidos no Ensaio 3 listando margem de fase ultrapassagem percentual e posição dos polos em malha fechada Para cada tarefa dos PósEnsaios 1 até 3 explique quaisquer discrepâncias entre os valores reais obtidos e os esperados Experimento 102 Objetivo Utilizar o LabVIEW e as cartas de Nichols para determinar o desempenho da resposta no tempo em malha fechada Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW Control Design and Simulation Module MathScript RT Module e MATLAB PréEnsaio Considere um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência do caminho à frente Utilize o MATLAB ou qualquer método para determinar as margens de ganho e de fase Adicionalmente obtenha a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico da resposta ao degrau em malha fechada Projete uma VI LabVIEW que irá criar uma carta de Nichols Ajuste a escala da carta de Nichols para as margens de ganho e de fase estimadas Então solicite ao usuário que entre os valores de margens de ganho e de fase obtidos a partir da carta de Nichols Em resposta sua VI irá produzir a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico da resposta ao degrau em malha fechada Ensaio Execute sua VI para o sistema dado no PréEnsaio Teste sua VI com outros sistemas à sua escolha PósEnsaio Compare o desempenho em malha fechada calculado no PréEnsaio com o produzido pela sua VI Bibliografia Åstrom K Klein R E and Lennartsson A Bicycle Dynamics and Control IEEE Control System August 2005 pp 2647 Bhambhani V and Chen Yq Experimental Study of Fractional Order Proportional Integral FOPI Controller for Water Level Control 47th IEEE Conference on Decision and Control 2008 pp 17911796 Bittanti S DellOrto F 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para atender a uma especificação de resposta transitória Seções 111112 Utilizar técnicas de resposta em frequência para projetar compensadores em cascata para melhorar o erro em regime permanente Seção 113 Utilizar técnicas de resposta em frequência para projetar compensadores em cascata para melhorar a resposta transitória Seção 114 Utilizar técnicas de resposta em frequência para projetar compensadores em cascata para melhorar ambos o erro em regime permanente e a resposta transitória Seção 115 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de utilizar técnicas de resposta em frequência para projetar o ganho para atender a uma especificação de resposta transitória Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de utilizar técnicas de resposta em frequência para projetar um compensador em cascata para atender especificações de transitório e de erro em regime permanente 111 Introdução No Capítulo 8 projetamos a resposta transitória de um sistema de controle ajustando o ganho ao longo do lugar geométrico das raízes O processo de projeto consistiu em encontrar a especificação da resposta transitória sobre o lugar geométrico das raízes ajustar o ganho adequadamente e determinar o erro em regime permanente resultante A desvantagem do projeto através do ajuste de ganho é que apenas as respostas transitórias e os erros em regime permanente representados por pontos ao longo do lugar geométrico das raízes estão disponíveis Para atender especificações de resposta transitória representadas por pontos fora do lugar geométrico das raízes e independentemente requisitos de erro em regime permanente projetamos compensadores em cascata no Capítulo 9 Neste capítulo utilizamos diagramas de Bode para estabelecer um paralelo com o processo de projeto via lugar geométrico das raízes dos Capítulos 8 e 9 Vamos começar realizando algumas comparações gerais entre o projeto via lugar geométrico das raízes e o projeto via resposta em frequência Projeto de estabilidade e da resposta transitória via ajuste de ganho Os métodos de projeto da resposta em frequência diferentemente dos métodos do lugar geométrico das raízes podem ser implementados convenientemente sem um computador ou outra ferramenta exceto para testar o projeto Podemos facilmente desenhar diagramas de Bode utilizando aproximações assintóticas e ler o ganho a partir dos diagramas O lugar geométrico das raízes requer tentativas repetidas para determinar o ponto de projeto desejado a partir do qual o ganho pode ser obtido Por exemplo ao se projetar o ganho para atender a um requisito de ultrapassagem percentual o lugar geométrico das raízes requer a busca em uma reta radial pelo ponto onde a função de transferência em malha aberta resulta em um ângulo de 180 Para calcular a faixa de ganho para estabilidade o lugar geométrico das raízes requer uma busca no eixo jω por 180 Naturalmente ao se utilizar um programa de computador como o MATLAB a desvantagem computacional do lugar geométrico das raízes desaparece Projeto da resposta transitória via compensação em cascata Os métodos de resposta em frequência não são tão intuitivos quanto o lugar geométrico das raízes e tem algo de arte no projeto da compensação em cascata com os métodos deste capítulo Com o lugar geométrico das raízes podemos identificar um ponto específico que tenha uma característica de resposta transitória desejada Podemos então projetar uma compensação em cascata para operar neste ponto e atender às especificações de resposta transitória No Capítulo 10 aprendemos que a margem de fase está relacionada com a ultrapassagem percentual Eq 1073 e que a faixa de passagem está relacionada tanto com o fator de amortecimento quanto com o tempo de acomodação ou o instante de pico Eqs 1055 e 1056 Essas equações são bastante complexas Ao projetarmos uma compensação em cascata utilizando métodos de resposta em frequência para melhorar a resposta transitória nos esforçamos para alterar a forma da resposta em frequência da função de transferência em malha aberta para atender tanto ao requisito de margem de fase ultrapassagem percentual quanto ao requisito de faixa de passagem tempo de acomodação ou instante de pico Não há um modo fácil de relacionar todos os requisitos antes da tarefa de alterar a forma da resposta em frequência Portanto a alteração da forma da resposta em frequência da função de transferência em malha aberta pode levar a diversas tentativas até que todos os requisitos de resposta transitória sejam atendidos Projeto do erro em regime permanente via compensação em cascata Uma vantagem da utilização de técnicas de projeto em frequência é a capacidade de projetar uma compensação derivativa como a compensação de avanço de fase para aumentar a velocidade do sistema e ao mesmo tempo criar um requisito de erro em regime permanente desejado que pode ser atendido pelo compensador de avanço de fase sozinho Lembrese de que ao utilizar o lugar geométrico das raízes há um número infinito de possíveis soluções para o projeto de um compensador de avanço de fase Uma das diferenças entre essas soluções é o erro em regime permanente Temos que fazer várias tentativas para chegar à solução que resulta no desempenho do erro em regime permanente requerido Com técnicas de resposta em frequência criamos o requisito de erro em regime permanente diretamente no projeto do compensador de avanço de fase Você é encorajado a refletir sobre as vantagens e desvantagens das técnicas do lugar geométrico das raízes e de resposta em frequência à medida que avança através deste capítulo Vamos examinar mais de perto o projeto via resposta em frequência Ao projetarmos através de métodos de resposta em frequência utilizamos os conceitos de estabilidade resposta transitória e erro em regime permanente que aprendemos no Capítulo 10 Primeiro o critério de Nyquist nos diz como determinar se um sistema é estável Normalmente um sistema estável em malha aberta é estável em malha fechada se a magnitude da resposta em frequência em malha aberta tiver um ganho menor que 0 dB na frequência onde a fase da resposta em frequência é 180 Segundo a ultrapassagem percentual é reduzida aumentandose a margem de fase e a velocidade da resposta é aumentada aumentandose a faixa de passagem Finalmente o erro em regime permanente é melhorado aumentandose a magnitude das respostas em baixas frequências mesmo se a magnitude da resposta em altas frequências for atenuada Estes então são os fatos básicos que fundamentam nosso projeto para estabilidade resposta transitória e erro em regime permanente utilizando métodos de resposta em frequência onde o critério de Nyquist e o diagrama de Nyquist compõem a teoria fundamental por trás do processo de projeto Assim embora usemos diagramas de Bode pela facilidade de obtenção da resposta em frequência o processo de projeto pode ser verificado com o diagrama de Nyquist quando surgem dúvidas sobre a interpretação dos diagramas de Bode Em particular quando a estrutura do sistema é modificada com polos e zeros adicionais do compensador o diagrama de Nyquist pode oferecer uma perspectiva valiosa A ênfase neste capítulo está no projeto de compensação com atraso de fase avanço de fase e avanço e atraso de fase Conceitos gerais de projeto são apresentados primeiro seguidos de procedimentos passo a passo Esses procedimentos são apenas sugestões e você é encorajado a desenvolver outros procedimentos para alcançar os mesmos objetivos Embora os conceitos em geral se apliquem ao projeto de controladores PI PD e PID por questões de brevidade procedimentos detalhados e exemplos não serão apresentados Você é encorajado a extrapolar os conceitos e projetos cobertos e a aplicálos aos problemas envolvendo compensação PI PD e PID apresentados ao final deste capítulo Finalmente os compensadores desenvolvidos neste capítulo podem ser implementados com as realizações discutidas na Seção 96 112 Resposta Transitória via Ajuste de Ganho Vamos começar nossa discussão do projeto através de métodos de resposta em frequência discutindo o vínculo existente entre margem de fase resposta transitória e ganho Na Seção 1010 1 2 3 4 a relação entre fator de amortecimento equivalentemente ultrapassagem percentual e margem de fase foi deduzida para Gs ωn2ss 2ζωn Assim caso possamos variar a margem de fase podemos variar a ultrapassagem percentual Examinando a Figura 111 observamos que caso desejemos uma margem de fase ΦM representada por CD teremos que subir a curva de magnitude por AB Desse modo um simples ajuste de ganho pode ser utilizado para projetar a margem de fase e portanto a ultrapassagem percentual Descrevemos agora um procedimento pelo qual podemos determinar o ganho para atender a um requisito de ultrapassagem utilizando a resposta em frequência em malha aberta e admitindo polos dominantes de segunda ordem em malha fechada FIGURA 111 Diagramas de Bode mostrando o ajuste de ganho para uma margem de fase desejada Procedimento de Projeto Trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase para um valor conveniente de ganho Utilizando as Eqs 439 e 1073 determine a margem de fase requerida a partir da ultrapassagem percentual Determine a frequência ωΦM no diagrama de Bode de fase que resulta na margem de fase desejada CD como mostrado na Figura 111 Altere o ganho por um valor AB para forçar a curva de magnitude a passar por 0 dB em ωΦM O valor de ajuste de ganho é o ganho adicional necessário para produzir a margem de fase requerida Examinamos agora um exemplo de projeto do ganho de um sistema de terceira ordem para ultrapassagem percentual Exemplo 111 1 2 3 Projeto de Resposta Transitória via Ajuste de Ganho PROBLEMA Para o sistema de controle de posição mostrado na Figura 112 determine o valor do ganho do pré amplificador K para resultar em 95 de ultrapassagem na resposta transitória para uma entrada em degrau Utilize apenas métodos de resposta em frequência SOLUÇÃO Seguiremos agora o procedimento de projeto de ajuste de ganho descrito anteriormente Escolha K 36 para começar o diagrama de magnitude em 0 dB em ω 01 na Figura 113 Utilizando a Eq 439 uma ultrapassagem de 95 implica ζ 06 para os polos dominantes em malha fechada A Eq 1073 fornece uma margem de fase de 592 para um fator de amortecimento de 06 Localize no diagrama de fase a frequência que resulta em uma margem de fase de 592 Esta frequência é obtida onde a fase é a diferença entre 2180 e 592 ou 21208 O valor da frequência de margem de fase é 148 rads FIGURA 112 Sistema para o Exemplo 111 4 FIGURA 113 Diagramas de Bode de magnitude e de fase para o Exemplo 111 Na frequência de 148 rads no diagrama de magnitude o ganho é determinado como 2442 dB Esta magnitude deve ser aumentada para 0 dB para resultar na margem de fase requerida Como o diagrama de logaritmo da magnitude foi traçado para K 36 um aumento de 442 dB ou K 36 1622 5839 resulta na margem de fase requerida para 95 de ultrapassagem A função de transferência em malha aberta com o ganho ajustado é A Tabela 111 resume uma simulação em computador do sistema compensado com ganho TABELA 111 Características do sistema compensado com ganho do Exemplo 111 Parâmetro Especificação proposta Valor real Kv 1622 Margem de fase 592 592 Frequência de margem de fase 148 rads Ultrapassagem percentual 95 10 Instante de pico 018 segundo Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch11p1 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um ganho para atender a uma especificação de ultrapassagem percentual utilizando diagramas de Bode Este exercício resolve o Exemplo 111 utilizando o MATLAB Exercício 111 PROBLEMA Para um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência à frente utilize técnicas de resposta em frequência para determinar o valor de ganho K para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 20 de ultrapassagem RESPOSTA K 194200 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 111 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício de Avaliação de Competência 111 pos20 zlogpos100 sqrtpi2 logpos1002 Pmatan2z 1 2 3 4 5 6 7 sqrt2z2 sqrt14z4 180pi Gzpk 0501201 sisotool Na janela da SISOTOOL Selecione Import no menu File Clique em G na janela System Data e clique em Browse Na janela Model Import selecione a opção Workspace e selecione G em Available Models Clique em Import e então em Close Clique em Ok na janela System Data Clique com o botão direito na área do diagrama de Bode e certifiquese de que todas as opções em Show estão marcadas Arraste o ponto de margem de estabilidade no diagrama de magnitude e eleve a curva de magnitude até que a curva de fase mostre a margem de fase calculada pelo programa e mostrada na Command Window do MATLAB como Pm Clique com o botão direito na área do diagrama de Bode selecione Edit Compensator e leia o ganho abaixo de Compensator na janela resultante Nesta seção fizemos um paralelo de nosso trabalho no Capítulo 8 com uma discussão do projeto da resposta transitória através do ajuste de ganho Nas próximas três seções fazemos um paralelo do projeto de compensadores via lugar geométrico das raízes do Capítulo 9 e discutimos o projeto de compensação com atraso de fase com avanço de fase e com avanço e atraso de fase via diagramas de Bode 113 Compensação com Atraso de Fase No Capítulo 9 utilizamos o lugar geométrico das raízes para projetar estruturas de atraso de fase e controladores PI Lembrese de que esses compensadores nos permitiram projetar o erro em regime permanente sem afetar significativamente a resposta transitória Nesta seção propiciamos um desenvolvimento paralelo utilizando os diagramas de Bode 1 2 3 Visualizando a Compensação com Atraso de Fase A função do compensador de atraso de fase como pode ser observado nos diagramas de Bode é 1 melhorar a constante de erro estático aumentando apenas o ganho em baixa frequência sem resultar em instabilidade e 2 aumentar a margem de fase do sistema para resultar em uma resposta transitória desejada Estes conceitos estão ilustrados na Figura 114 O sistema sem compensação é instável uma vez que o ganho em 180 é maior que 0 dB O compensador de atraso de fase reduz o ganho de alta frequência sem alterar o ganho de baixa frequência1 Assim o ganho de baixa frequência do sistema pode ser elevado para resultar em um Kv grande sem gerar instabilidade Este efeito estabilizador da estrutura de atraso de fase ocorre porque o ganho em 180 de fase é reduzido para menos de 0 dB Através de um projeto sensato a curva de magnitude pode ser alterada como mostrado na Figura 114 para passar por 0 dB na margem de fase desejada Assim tanto Kv quanto a resposta transitória desejada podem ser obtidas Apresentamos agora um procedimento de projeto FIGURA 114 Visualizando a compensação com atraso de fase Procedimento de Projeto Ajuste o ganho K para o valor que satisfaz à especificação de erro em regime permanente e trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase para este valor de ganho Determine a frequência onde a margem de fase é 5 a 12 maior do que a margem de fase que resulta na resposta transitória desejada Ogata 1990 Esse passo compensa o fato de que o compensador de atraso de fase pode contribuir com uma fase de 25 a 212 na frequência de margem de fase Escolha um compensador de atraso de fase cuja magnitude da resposta resulte em um diagrama de Bode de magnitude combinado que passe por 0 dB na frequência determinada no Passo 2 como se segue trace a assíntota de alta frequência do compensador para resultar em 0 dB para o sistema compensado na frequência determinada no Passo 2 Assim se o ganho na frequência 4 determinada no Passo 2 for de 20 log KMF então a assíntota de alta frequência do compensador será ajustada em 220 log KMF escolha a frequência de quebra superior estando uma década abaixo da frequência determinada no Passo 22 escolha a assíntota de baixa frequência estando em 0 dB conecte as assíntotas de alta e de baixa frequências do compensador com uma reta de 220 dBdécada para localizar a frequência de quebra inferior Reajuste o ganho do sistema K para compensar qualquer atenuação na estrutura de atraso de fase para manter a constante de erro estático com o mesmo valor obtido no Passo 1 A partir desses passos você observa que estamos contanto com o ajuste inicial do ganho para atender aos requisitos de regime permanente e então contando com a inclinação de 220 dBdécada do compensador de atraso de fase para atender ao requisito de resposta transitória ajustando o cruzamento de 0 dB do diagrama de magnitude A função de transferência do compensador de atraso de fase é em que α 1 A Figura 115 mostra as curvas de resposta em frequência do compensador de atraso de fase A faixa de altas frequências mostrada no diagrama de fase é onde projetaremos nossa margem de fase Esta região está depois da segunda frequência de quebra do compensador de atraso de fase onde podemos contar com as características de atenuação da estrutura de atraso de fase para reduzir o ganho total em malha aberta à unidade na frequência de margem de fase Além disso nesta região a fase da resposta do compensador terá um efeito mínimo sobre nosso projeto da margem de fase Como ainda há algum efeito aproximadamente 5 a 12 adicionaremos este valor à nossa margem de fase para compensar a fase da resposta do compensador de atraso de fase ver o Passo 2 1 2 FIGURA 115 Diagramas da resposta em frequência de um compensador de atraso de fase Gcs s 01s 001 Exemplo 112 Projeto de Compensação com Atraso de Fase PROBLEMA Dado o sistema da Figura 112 utilize diagramas de Bode para projetar um compensador de atraso de fase para resultar em uma melhoria de dez vezes no erro em regime permanente com relação ao sistema compensado com ganho enquanto mantém a ultrapassagem percentual em 95 SOLUÇÃO Seguiremos o procedimento de projeto de compensação com atraso de fase descrito anteriormente A partir do Exemplo 111 um ganho K de 5839 resulta em 95 de ultrapassagem Assim para este sistema Kv 1622 Para uma melhoria de dez vezes no erro em regime permanente Kv deve ser aumentado por um fator de 10 ou Kv 1622 Portanto o valor de K na Figura 112 é igual a 5839 e a função de transferência em malha fechada é Os diagramas de Bode para K 5839 são mostrados na Figura 116 A margem de fase requerida para uma ultrapassagem de 95 ζ 06 é determinada a partir da Eq 1073 como 592 Aumentamos este valor de margem de fase por 10 para 692 para compensar a contribuição em fase do compensador de atraso de fase Agora determine a frequência onde a margem de fase é 692 Esta frequência ocorre em 3 uma fase de 2180 692 21108 e é 98 rads Nesta frequência o diagrama de magnitude deve passar por 0 dB A magnitude em 98 rads é agora 124 dB exatamente isto é não assintótico Portanto o compensador de atraso de fase deve fornecer 224 dB de atenuação em 98 rads e 4 Projetamos agora o compensador Primeiro trace a assíntota de alta frequência em 224 dB Escolha arbitrariamente a frequência de quebra superior como cerca de uma década menor que a frequência de margem de fase ou 098 rads Começando na interseção desta frequência com a assíntota de alta frequência do compensador de atraso de fase trace uma reta de 220 dBdécada até alcançar 0 dB O compensador deve ter um ganho estático unitário para manter o valor de Kv que já projetamos fazendo K 5839 A frequência de quebra inferior é determinada como 0062 rads Assim a função de transferência do compensador de atraso de fase é onde o ganho do compensador é 0063 para resultar em um ganho estático unitário A função de transferência à frente do sistema compensado é portanto FIGURA 116 Diagramas de Bode para o Exemplo 112 As características do sistema compensado obtidas a partir de uma simulação e de diagramas de resposta em frequência exatos estão resumidas na Tabela 112 TABELA 112 Características do sistema compensado com atraso de fase do Exemplo 112 Parâmetro Especificação proposta Valor real Kv 1622 1615 Margem de fase 592 62 Frequência de margem de fase 11 rads Ultrapassagem percentual 95 10 Instante de pico 025 segundo Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch11p2 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um compensador de atraso de fase Você fornecerá o valor do ganho para atender ao requisito de erro em regime permanente bem como a ultrapassagem percentual desejada O MATLAB então irá projetar um compensador de atraso de fase utilizando diagramas de Bode calcular Kv e gerar uma resposta ao degrau em malha fechada Este exercício resolve o Exemplo 112 utilizando o MATLAB Exercício 112 PROBLEMA Projete um compensador de atraso de fase para o sistema no Exercício 111 que irá melhorar o erro em regime permanente em dez vezes enquanto continua operando com 20 de ultrapassagem RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 112 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício de Avaliação de Competência 112 pos20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ts02 zlogpos100sqrtpi2logpos1002 Pmatan2zsqrt2z2sqrt14z4180pi Wbw4Tszsqrt12z2sqrt4z44z22 K1942000 Gzpk050120K sisotoolG1 Quando a janela SISO Design for SISO Design Task aparecer Clique com o botão direito na área do diagrama de Bode e selecione Grid Observe a margem de fase mostrada na Command Window do MATLAB Utilizando o diagrama de Bode de fase estime a frequência na qual a margem de fase do Passo 2 ocorre Na barra de ferramentas da janela SISO Design for SISO Design Task clique no zero vermelho Posicione o zero do compensador clicando no diagrama de ganho em uma frequência que é 110 da obtida no Passo 3 Na barra de ferramentas da janela SISO Design for SISO Design Task clique no polo vermelho Posicione o polo do compensador clicando no diagrama de ganho à esquerda do zero do compensador Arraste o polo com o mouse até que o diagrama de fase mostre uma PM igual à obtida no Passo 2 Clique com o botão direito na área do diagrama de Bode e selecione Edit Compensator Leia o compensador de atraso de fase na janela Control and Estimation Tools Manager Nesta seção mostramos como projetar um compensador de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente mantendo a resposta transitória relativamente inalterada Discutimos a seguir como melhorar a resposta transitória utilizando métodos de resposta em frequência 114 Compensação com Avanço de Fase Para sistemas de segunda ordem deduzimos a relação entre margem de fase e ultrapassagem percentual bem como a relação entre faixa de passagem em malha fechada e outras especificações do domínio do tempo como tempo de acomodação instante de pico e tempo de subida Quando projetamos a estrutura de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente desejamos um efeito mínimo sobre o diagrama de fase para resultar em uma alteração imperceptível na resposta transitória Entretanto ao projetarmos compensadores de avanço de fase através de diagramas de Bode desejamos alterar o diagrama de fase aumentando a margem de fase para reduzir a ultrapassagem percentual e aumentando o cruzamento de ganho para obter uma resposta transitória mais rápida Visualizando a Compensação com Avanço de Fase O compensador de avanço de fase aumenta a faixa de passagem aumentando a frequência de cruzamento de ganho Ao mesmo tempo o diagrama de fase é levantado em altas frequências O resultado é uma margem de fase maior e uma frequência de margem de fase mais elevada No domínio do tempo os resultados são ultrapassagens percentuais menores margens de fase maiores com instantes de pico menores frequências de margem de fase mais elevadas Esses conceitos são mostrados na Figura 117 O sistema sem compensação possui uma margem de fase pequena B e uma frequência de margem de fase baixa A Com a utilização de um compensador de avanço de fase o diagrama de fase sistema compensado é levantado para frequências mais altas3 Simultaneamente a frequência de cruzamento de ganho no diagrama de magnitude é aumentada de A rads para C rads Esses efeitos resultam em uma margem de fase maior D uma frequência de margem de fase mais elevada C e uma faixa de passagem maior Uma vantagem da técnica de resposta em frequência em relação ao lugar geométrico das raízes é que podemos implementar um requisito de erro em regime permanente e em seguida projetar uma resposta transitória Esta especificação de resposta transitória com a restrição de um erro em regime permanente é mais fácil de implementar com a técnica de resposta em frequência do que com a técnica do lugar geométrico das raízes Observe que a inclinação inicial que determina o erro em regime permanente não é afetada pelo projeto da resposta transitória FIGURA 117 Visualizando a compensação com avanço de fase Resposta em Frequência do Compensador de Avanço de Fase Vamos primeiro examinar as características da resposta em frequência de uma estrutura de avanço de fase e deduzir algumas relações valiosas que nos auxiliarão no processo de projeto A Figura 118 mostra diagramas da estrutura de avanço de fase para diferentes valores de β em que β 1 Observe que os picos da curva de fase variam em ângulo máximo e na frequência onde o máximo ocorre O ganho estático do compensador é ajustado para a unidade com o coeficiente 1β para não alterar o ganho estático projetado para a constante de erro estático quando o compensador é inserido no sistema Para projetar um compensador de avanço de fase e alterar tanto a margem de fase quanto a frequência de margem de fase é útil dispor de uma expressão analítica para o valor máximo de fase e para a frequência na qual o valor máximo de fase ocorre como mostrado na Figura 118 A partir da Eq 116 a fase do compensador de avanço de fase φc é Derivando em relação a ω obtemos Igualando a Eq 118 a zero determinamos que a frequência ωmáx na qual a fase máxima φmáx ocorre é Substituindo a Eq 119 na Eq 116 com s jωmáx 1 2 3 FIGURA 118 Resposta em frequência de um compensador de avanço de fase Gcs 1βs 1Ts 1 βT Fazendo uso de tanφ1 φ2 tan φ1 tan φ21 tan φ1 tan φ2 a variação de fase máxima do compensador φmáx é e a magnitude do compensador em ωmáx é Estamos agora prontos para enunciar um procedimento de projeto Procedimento de Projeto Determine a faixa de passagem em malha fechada requerida para atender ao requisito de tempo de acomodação instante de pico ou tempo de subida ver Eqs 1054 a 1056 Uma vez que o compensador de avanço de fase tem efeito desprezível em baixas frequências ajuste o ganho K do sistema sem compensação para o valor que satisfaz o requisito de erro em regime permanente Trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase para este valor de ganho e determine a 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 margem de fase do sistema sem compensação Determine a margem de fase para atender ao requisito de fator de amortecimento ou de ultrapassagem percentual Calcule então a contribuição adicional de fase requerida do compensador4 Determine o valor de β ver Eqs 116 e 1111 a partir da contribuição de fase requerida do compensador de avanço de fase Determine a magnitude do compensador no pico da curva de fase Eq 1112 Determine a nova frequência de margem de fase descobrindo onde a curva de magnitude do sistema sem compensação é o negativo da magnitude do compensador de avanço de fase no pico da curva de fase do compensador Projete as frequências de quebra do compensador de avanço de fase utilizando as Eqs 116 e 119 para obter T e as frequências de quebra Reajuste o ganho do sistema para compensar o ganho do compensador de avanço de fase Verifique a faixa de passagem para ter certeza de que o requisito de velocidade no Passo 1 foi atendido Simule para ter certeza de que todos os requisitos foram atendidos Reprojete se necessário para atender aos requisitos A partir desses passos observamos que estamos aumentando tanto a margem de fase melhorando a ultrapassagem percentual quanto a frequência de cruzamento de ganho aumentando a velocidade Agora que enunciamos um procedimento com o qual podemos projetar um compensador de avanço de fase para melhorar a resposta transitória vamos demonstrar sua utilização Exemplo 113 Projeto de Compensação com Avanço de Fase PROBLEMA Dado o sistema da Figura 112 projete um compensador de avanço de fase para resultar em 20 de ultrapassagem e Kv 40 com um instante de pico de 01 segundo SOLUÇÃO O sistema sem compensação é Gs 100Kss 36s 100 Seguiremos o procedimento delineado Primeiro examinamos a faixa de passagem em malha fechada necessária para atender ao requisito de velocidade imposto por Tp 01 segundo A partir da Eq 1056 com Tp 01 segundo e ζ 0456 20 de ultrapassagem uma faixa de passagem em malha fechada de 466 rads é requerida Para atender à especificação de Kv 40 K deve ser ajustado em 1440 resultando em Gs 144000ss 36 s 100 3 4 5 6 7 8 9 FIGURA 119 Diagrama de Bode para a compensação com avanço de fase no Exemplo 113 Os diagramas de resposta em frequência do sistema sem compensação para K 1440 são mostrados na Figura 119 Uma ultrapassagem de 20 implica uma margem de fase de 481 O sistema sem compensação com K 1440 possui uma margem de fase de 34 em uma frequência de margem de fase de 296 Para aumentar a margem de fase inserimos uma estrutura de avanço de fase que adiciona fase suficiente para resultar em uma margem de fase de 481 Uma vez que sabemos que a estrutura de avanço de fase também irá aumentar a frequência de margem de fase acrescentamos um fator de correção para compensar a fase menor do sistema sem compensação nesta frequência de margem de fase maior Como não conhecemos a frequência de margem de fase maior admitimos um fator de correção de 10 Assim a contribuição de fase total requerida do compensador é 481 34 10 241 Em resumo nosso sistema compensado deve ter uma margem de fase de 481 com uma faixa de passagem de 466 rads Se as características do sistema não forem aceitáveis após o projeto então um reprojeto com um fator de correção diferente pode ser necessário Usando a Eq 1111 β 042 para φmáx 241 A partir da Eq 1112 a magnitude do compensador de avanço de fase é 376 dB em ωmáx Caso escolhamos ωmáx como a nova frequência de margem de fase a magnitude do sistema sem compensação nesta frequência deve ser 2376 dB para resultar em um cruzamento de 0 dB em ωmáx para o sistema compensado O sistema sem compensação passa por 2376 em ωmáx 39 rads Esta frequência é portanto a nova frequência de margem de fase Determinamos agora as frequências de quebra do compensador de avanço de fase A partir da Eq 119 1T 253 e 1 βT 602 Portanto o compensador é dado por 10 11 em que 238 é o ganho requerido para manter o ganho estático do compensador unitário de modo que Kv 40 após a inserção do compensador A função de transferência compensada em malha aberta final é então A partir da Figura 119 a magnitude da resposta compensada com avanço de fase em malha aberta é 27 dB em aproximadamente 688 rads Assim estimamos a faixa de passagem em malha fechada como 688 rads Uma vez que essa faixa de passagem excede o requisito de 466 rads admitimos que a especificação de instante de pico é atendida Esta conclusão sobre o instante de pico é baseada em uma aproximação assintótica e de segunda ordem que será verificada através de simulação A Figura 119 resume o projeto e mostra o efeito da compensação Os resultados finais obtidos a partir de uma simulação e a resposta em frequência real não assintótica são mostrados na Tabela 113 Observe o aumento na margem de fase na frequência de margem de fase e na faixa de passagem em malha fechada após a inserção do compensador de avanço de fase no sistema com ganho ajustado Os requisitos de instante de pico e de erro em regime permanente foram atendidos embora a margem de fase seja menor do que a proposta e a ultrapassagem percentual seja 26 maior que a proposta Finalmente se o desempenho não for aceitável um reprojeto é necessário TABELA 113 Características do sistema compensado com avanço de fase do Exemplo 113 Parâmetro Especificação proposta Valor real compensado com ganho Valor real compensado com avanço de fase Kv 40 40 40 Margem de fase 481 34 455 Frequência de margem de fase 296 rads 39 rads Faixa de passagem em malha fechada 466 rads 50 rads 688 rads Ultrapassagem percentual 20 37 226 Instante de pico 01 segundo 01 segundo 0075 segundo 1 2 3 4 5 6 7 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch11p3 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um compensador de avanço de fase Você fornecerá a ultrapassagem percentual o instante de pico e Kv desejados O MATLAB então irá projetar um compensador de avanço de fase utilizando diagramas de Bode calcular Kv e gerar uma resposta ao degrau em malha fechada Este exercício resolve o Exemplo 113 utilizando o MATLAB Exercício 113 PROBLEMA Projete um compensador de avanço de fase para o sistema no Exercício 111 para atender às seguintes especificações UP 20 Ts 02 s e Kv 50 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 113 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício 113 pos20 Ts02 zlogpos100sqrtpi2logpos1002 Pmatan2zsqrt2z2sqrt14z4180pi Wbw4Tszsqrt12z2sqrt4z44z22 K5050120 Gzpk050120K sisotoolG1 Quando a janela SISO Design for SISO Design Task aparecer Clique com o botão direito na área do diagrama de Bode e selecione Grid Observe a margem de fase e a faixa de passagem mostradas na Command Window do MATLAB Na barra de ferramentas da janela SISO Design for SISO Design Task clique no polo vermelho Posicione o polo do compensador clicando no diagrama de ganho em uma frequência que está à direita da faixa de passagem desejada obtida no Passo 2 Na barra de ferramentas da janela SISO Design for SISO Design Task clique no zero vermelho Posicione o zero do compensador clicando no diagrama de ganho à esquerda da faixa de passagem desejada Altere a forma dos diagramas de Bode alternadamente arraste o polo e o zero com o mouse ao longo do diagrama de fase até que o diagrama de fase mostre uma PM igual à obtida no Passo 2 e uma frequência de margem de fase próxima à faixa de passagem obtida no Passo 2 8 9 1 Clique com o botão direito na área do diagrama de Bode e selecione Edit Compensator Leia o compensador de avanço de fase na janela Control and Estimation Tools Manager Tenha em mente que os exemplos anteriores foram projetos para sistemas de terceira ordem e devem ser simulados para assegurar os resultados desejados do transitório Na próxima seção examinamos a compensação com avanço e atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente e a resposta transitória 115 Compensação com Avanço e Atraso de Fase Na Seção 94 usando o lugar geométrico das raízes projetamos uma compensação com avanço e atraso de fase para melhorar a resposta transitória e o erro em regime permanente A Figura 1110 é um exemplo de um sistema para o qual a compensação com avanço e atraso de fase pode ser aplicada Nesta seção repetimos o projeto utilizando técnicas de resposta em frequência Um método é projetar a compensação com atraso de fase para reduzir o ganho em alta frequência estabilizar o sistema e melhorar o erro em regime permanente e então projetar um compensador de avanço de fase para atender aos requisitos de margem de fase Vamos ver um método diferente A Seção 96 descreve uma estrutura de avanço e atraso de fase passiva que pode ser utilizada no lugar de estruturas separadas de avanço e de atraso de fase Pode ser mais econômico utilizar uma única estrutura passiva para executar ambas as tarefas uma vez que o amplificador para isolamento que separa a estrutura de avanço de fase da estrutura de atraso de fase pode ser eliminado Nesta seção enfatizamos o projeto de avanço e atraso de fase utilizando uma única estrutura passiva de avanço e atraso de fase A função de transferência de uma única estrutura passiva de avanço e atraso de fase é em que γ 1 O primeiro termo entre parênteses produz a compensação com avanço de fase e o segundo termo entre parênteses produz a compensação com atraso de fase A restrição que devemos obedecer aqui é que um único valor γ substitui o parâmetro α da estrutura de atraso de fase na Eq 112 e o parâmetro β da estrutura de avanço de fase na Eq 116 Para nosso projeto α e β devem ser o inverso um do outro Um exemplo da resposta em frequência da estrutura de avanço e atraso de fase passiva é mostrado na Figura 1111 Estamos agora prontos para enunciar um procedimento de projeto Procedimento de Projeto Utilizando uma aproximação de segunda ordem determine a faixa de passagem em malha fechada requerida para atender ao requisito de tempo de acomodação instante de pico ou tempo de subida ver Eqs 1055 e 1056 2 3 4 Ajuste o ganho K para o valor requerido pela especificação de erro em regime permanente Trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase para este valor de ganho Utilizando uma aproximação de segunda ordem calcule a margem de fase para atender ao requisito de fator de amortecimento ou ultrapassagem percentual usando a Eq 1073 FIGURA 1110 a O National Advanced Driving Simulator na Universidade de Iowa b teste de condução no simulador com seus gráficos realistas Katharina BosselaifRedux Pictures FIGURA 1111 Exemplos de curvas de resposta em frequência para um compensador de avanço e atraso de fase 5 6 7 8 9 10 1 Escolha uma nova frequência de margem de fase próxima a ωBW Na nova frequência de margem de fase determine o valor adicional de avanço de fase necessário para atender ao requisito de margem de fase Acrescente uma pequena contribuição que será necessária após a inclusão do compensador de atraso de fase Projete o compensador de atraso de fase escolhendo a frequência de quebra superior uma década abaixo da nova frequência de margem de fase O projeto do compensador de atraso de fase não é crítico e qualquer projeto para a margem de fase adequada será deixado para o compensador de avanço de fase O compensador de atraso de fase simplesmente fornece a estabilização do sistema com o ganho requerido para a especificação de erro em regime permanente Determine o valor de γ a partir dos requisitos do compensador de avanço de fase Utilizando a fase requerida do compensador de avanço de fase a curva de fase da resposta da Figura 118 pode ser usada para determinar o valor de γ 1β Este valor junto com a frequência de quebra superior do atraso de fase encontrada anteriormente nos permite determinar a frequência de quebra inferior do atraso de fase Projete o compensador de avanço de fase Utilizando o valor de γ do projeto do compensador de atraso de fase e o valor admitido para a nova frequência de margem de fase determine as frequências de quebra inferior e superior do compensador de avanço de fase utilizando a Eq 119 e resolvendo para T Verifique a faixa de passagem para ter certeza de que o requisito de velocidade no Passo 1 foi atendido Reprojete se as especificações de margem de fase ou transitório não forem atendidas como mostrado através de análise ou simulação Vamos demonstrar o procedimento com um exemplo Exemplo 114 Projeto de Compensação com Avanço e Atraso de Fase PROBLEMA Dado um sistema com realimentação unitária em que Gs Kss 1s 4 projete um compensador de avanço e atraso de fase passivo utilizando diagramas de Bode para resultar em uma ultrapassagem de 1325 um instante de pico de 2 segundos e Kv 12 SOLUÇÃO Seguiremos os passos mencionados anteriormente nesta seção para o projeto de avanço e atraso de fase A faixa de passagem requerida para um instante de pico de 2 segundos é 229 rads 2 3 4 5 6 7 FIGURA 1112 Diagramas de Bode para a compensação com avanço e atraso de fase no Exemplo 114 Para atender ao requisito de erro em regime permanente Kv 12 o valor de K é 48 Os diagramas de Bode do sistema sem compensação para K 48 são mostrados na Figura 1112 Podemos ver que o sistema é instável A margem de fase requerida para resultar em 1325 de ultrapassagem é 55 Vamos escolher ω 18 rads como a nova frequência de margem de fase Nesta frequência a fase sem compensação é 2176 e exigiria caso acrescentemos uma contribuição de 25 do compensador de atraso de fase uma contribuição de 56 da parcela de avanço de fase do compensador É a vez do projeto do compensador de atraso de fase O compensador de atraso de fase nos permite manter o ganho de 48 requerido para Kv 12 e não ter que reduzir o ganho para estabilizar o sistema Desde que o compensador de atraso de fase estabilize o sistema os parâmetros de projeto não são críticos uma vez que a margem de fase será projetada com o compensador de avanço de fase Assim escolha o compensador de atraso de fase de modo que a fase de sua resposta tenha efeito mínimo na nova frequência de margem de fase Vamos escolher a frequência de quebra superior do compensador de atraso de fase uma década abaixo da nova frequência de margem de fase em 018 rads Uma vez que precisamos adicionar 56 de variação de fase com o compensador de avanço de fase em ω 18 rads estimamos a partir da Figura 118 que se γ 106 uma vez que γ 1β β 0094 podemos obter cerca de 56 de variação de fase a partir do compensador de avanço de fase Portanto com γ 106 e uma nova frequência de margem de fase de ω 18 rads a função de transferência do compensador de atraso de fase é 8 9 em que o termo de ganho 1γ mantém o ganho estático do compensador de atraso de fase em 0 dB A função de transferência em malha aberta do sistema compensado com atraso de fase é Projetamos agora o compensador de avanço de fase Em ω 18 o sistema compensado com atraso de fase tem uma fase de 180 Utilizando os valores de ωmáx 18 rads e β 0094 a Eq 119 fornece a frequência de quebra inferior 1T1 056 rads A quebra superior é então 1βT1 596 rads O compensador de avanço de fase é A função de transferência em malha aberta do sistema compensado com avanço e atraso de fase é Verifique agora a faixa de passagem A faixa de passagem em malha fechada é igual à frequência onde a magnitude da resposta em malha aberta é aproximadamente 27 dB A partir da Figura 1112 a magnitude é de 27 dB em aproximadamente 3 rads Esta faixa de passagem excede a requerida para atender ao requisito de instante de pico O projeto é agora verificado com uma simulação para obter os valores reais de desempenho A Tabela 114 resume as características do sistema O requisito de instante de pico também é atendido Uma vez mais se os requisitos não forem atendidos um reprojeto seria necessário TABELA 114 Características do sistema compensado com avanço e atraso de fase do Exemplo 114 Parâmetro Especificação proposta Valor real Kv 12 12 Margem de fase 55 593 Frequência de margem de fase 163 rads Faixa de passagem em malha fechada 229 rads 3 rads Ultrapassagem percentual 1325 102 Instante de pico 20 segundos 161 segundo 1 2 3 4 5 6 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch11p4 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um compensador de avanço e atraso de fase Você fornecerá a ultrapassagem percentual o instante de pico e Kv desejados O MATLAB então irá projetar um compensador de avanço e atraso de fase utilizando diagramas de Bode calcular Kv e gerar uma resposta ao degrau em malha fechada Este exercício resolve o Exemplo 114 utilizando o MATLAB Como exemplo final incluímos o projeto de um compensador de avanço e atraso de fase usando a carta de Nichols Lembrese do Capítulo 10 de que a carta de Nichols é uma representação de ambas as respostas em frequência em malha aberta e em malha fechada Os eixos da carta de Nichols são a magnitude e a fase em malha aberta eixos x e y respectivamente A resposta em frequência em malha aberta é traçada usando as coordenadas da carta de Nichols em cada frequência O diagrama de malha aberta é sobreposto a uma grade que fornece a magnitude e a fase em malha fechada Assim temos uma representação de ambas as respostas em malha aberta e em malha fechada Portanto pode ser implementado um projeto que altera a forma do diagrama de Nichols para atender especificações de resposta em frequência em malha aberta e em malha fechada ao mesmo tempo A partir da carta de Nichols podemos ver simultaneamente as seguintes especificações de resposta em frequência que são usadas para projetar uma resposta no tempo desejado 1 margem de fase 2 margem de ganho 3 faixa de passagem em malha fechada e 4 amplitude de pico em malha fechada No exemplo a seguir primeiro especificamos o seguinte 1 máxima ultrapassagem percentual admissível 2 máximo instante de pico admissível e 3 mínima constante de erro estático admissível Primeiro projetamos o compensador de avanço de fase para atender aos requisitos de transitório seguido do projeto do compensador de atraso de fase para atender ao requisito de erro em regime permanente Embora os cálculos possam ser feitos manualmente utilizaremos o MATLAB e a SISOTOOL para traçar e modificar a forma do diagrama de Nichols Vamos primeiro enunciar os passos que serão adotados no exemplo Calcule o fator de amortecimento a partir do requisito de ultrapassagem percentual usando a Eq 439 Calcule a amplitude de pico Mp da resposta em malha fechada usando a Eq 1052 e o fator de amortecimento obtido em 1 Calcule a mínima faixa de passagem em malha fechada para atender ao requisto de instante de pico usando a Eq 1056 com o instante de pico e o fator de amortecimento de 1 Trace a resposta em malha aberta na carta de Nichols Aumente o ganho em malha aberta até que a curva em malha aberta seja tangente à curva de magnitude em malha fechada requerida resultando na Mp apropriada Posicione o zero do avanço de fase neste ponto de tangência e o polo do avanço de fase em uma frequência mais alta Zeros e polos são acrescentados na SISOTOOL clicandose neles na barra de ferramentas e então clicando na posição na curva de resposta em frequência em malha 7 8 9 10 1 2 3 4 5 aberta onde você deseja acrescentar o zero ou polo Ajuste as posições do zero e do polo de avanço de fase até que a curva de resposta em frequência em malha aberta seja tangente à mesma curva de Mp mas aproximadamente na frequência obtida em 3 Isso resulta no pico em malha fechada apropriado e na faixa de passagem apropriada para resultar na ultrapassagem percentual e no instante de pico desejados respectivamente Obtenha a função de transferência em malha aberta que é o produto da planta e do compensador de avanço de fase e determine a constante de erro estático Caso a constante de erro estático seja menor que a requerida um compensador de atraso de fase deve agora ser projetado Determine qual é o aumento requerido para a constante de erro estático Lembrando que o polo de atraso de fase está em uma frequência mais baixa que a do zero de atraso de fase posicione um polo e um zero de atraso em frequências abaixo da do compensador de avanço de fase e ajusteos para resultar no aumento desejado na constante de erro estático Para o exemplo lembre com base na Eq 95 que o aumento na constante de erro estático para um sistema do Tipo 1 é igual à razão entre os valores do zero de atraso de fase e do polo de atraso de fase Reajuste o ganho caso necessário Exemplo 115 Projeto de Avanço e Atraso de Fase Usando a Carta de Nichols MATLAB e SISOTOOL PROBLEMA Projete um compensador de avanço e atraso de fase para a planta para atender aos seguintes requisitos 1 um máximo de 20 de ultrapassagem 2 um instante de pico de não mais que 05 segundo e 3 uma constante de erro estático de não menos que 6 SOLUÇÃO Seguimos os passos que acabaram de ser enunciados Utilizando a Eq 439 ζ 0456 para 20 de ultrapassagem Utilizando a Eq 1052 Mp 123 181 dB para ζ 0456 Utilizando a Eq 1056 ωBW 93 rads para ζ 0456 e Tp 05 Trace a curva de resposta em frequência em malha aberta na carta de Nichols para K 1 Suba a curva de resposta em frequência em malha aberta até que ela tangencie a curva de pico de 181 dB em malha fechada como mostrado na Figura 1113 A frequência no ponto de tangência é aproximadamente 3 rads o que pode ser verificado deixando o mouse sobre o ponto de tangência Na barra de menu selecione DesignsEdit Compensator e descubra o ganho adicionado à planta Assim a planta é agora A 6 7 8 9 10 resposta ao degrau em malha fechada ajustada com ganho é mostrada na Figura 1114 Observe que o instante de pico é cerca de 1 segundo e precisa ser reduzido FIGURA 1113 Carta de Nichols após ajuste de ganho Posicione o zero de avanço de fase neste ponto de tangência e o polo de avanço de fase em uma frequência mais elevada Ajuste as posições do zero e do polo de avanço de fase até que a curva de resposta em frequência em malha aberta seja tangente à mesma curva de Mp mas aproximadamente na frequência obtida em 3 A verificação de DesignsEdit Compensator mostra Acrescentamos agora uma compensação com atraso de fase para melhorar a constante de erro estático por pelo menos 2 Agora acrescente um polo de atraso de fase em 20004 e um zero de atraso de fase em 20008 Reajuste o ganho para resultar na mesma tangência de depois da inserção do avanço de fase O caminho à frente final é determinado como A carta de Nichols final é mostrada na Figura 1115 e a resposta no tempo compensada é mostrada na Figura 1116 Observe que a resposta no tempo possui a lenta subida para o valor final que é típica da compensação com atraso de fase Se seus requisitos de projeto exigem uma subida mais rápida para a resposta final então reprojete o sistema com uma faixa de passagem maior ou tente um projeto apenas com compensação com avanço de fase Um problema ao final do capítulo propicia a oportunidade para praticar FIGURA 1114 Resposta ao degrau em malha fechada ajustada com ganho FIGURA 1115 Carta de Nichols após compensação com avanço e atraso de fase FIGURA 1116 Resposta ao degrau em malha fechada compensada com avanço e atraso de fase Exercício 114 PROBLEMA Projete um compensador de avanço e atraso de fase para um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do caminho à frente para atender às seguintes especificações UP 10 Tp 06 s e Kv 10 Utilize técnicas de resposta em frequência RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Estudos de Caso Nosso sistema de controle de posição de azimute de antena serve agora como um exemplo que resume os principais objetivos deste capítulo Os casos a seguir demonstram a utilização de métodos de resposta em frequência para 1 projetar um valor de ganho para atender a um requisito de ultrapassagem percentual da resposta ao degrau em malha fechada e 2 projetar uma compensação em cascata que atenda requisitos tanto da resposta transitória quanto do erro em regime a b a b a b permanente Controle de Antena Projeto de Ganho PROBLEMA Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 utilize técnicas de resposta em frequência para fazer o seguinte Determinar o ganho do préamplificador requerido para uma resposta em malha fechada com 20 de ultrapassagem para uma entrada em degrau Estimar o tempo de acomodação SOLUÇÃO O diagrama de blocos do sistema de controle é mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 O ganho de malha após a redução do diagrama de blocos é Fazendo K 1 os diagramas de magnitude e de fase da resposta em frequência são mostrados na Figura 1061 Para determinar K para resultar em 20 de ultrapassagem primeiro fazemos uma aproximação de segunda ordem e admitimos que as equações da resposta transitória de segunda ordem que relacionam a ultrapassagem percentual o fator de amortecimento e margem de fase são verdadeiras para este sistema Assim uma ultrapassagem de 20 implica um fator de amortecimento de 0456 Utilizando a Eq 1073 este fator de amortecimento implica uma margem de fase de 481 A fase portanto deve ser 180 481 21319 A fase é 21319 em ω 149 rads onde o ganho é 2341 dB Assim K 341 dB 507 para uma ultrapassagem de 20 Como o sistema é de terceira ordem a aproximação de segunda ordem deve ser verificada Uma simulação computacional mostra uma ultrapassagem de 20 para a resposta ao degrau Ajustando o diagrama de magnitude da Figura 1061 para K 507 encontramos 27 dB em ω 25 rads o que resulta em uma faixa de passagem em malha fechada de 25 rads Utilizando a Eq 1055 com ζ 0456 e ωBW 25 rads obtemos Ts 463 segundos Uma simulação computacional mostra um tempo de acomodação de aproximadamente 5 segundos DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 3 Utilizando métodos de resposta em frequência faça o seguinte Determine o valor de K para resultar em 25 de ultrapassagem para uma entrada em degrau Repita o Item a utilizando o MATLAB Controle de Antena Projeto de Compensação em Cascata 1 2 3 4 5 6 7 8 PROBLEMA Dado o diagrama de blocos do sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 utilize técnicas de resposta em frequência e projete uma compensação em cascata para uma resposta em malha fechada com 20 de ultrapassagem para uma entrada em degrau uma melhoria de cinco vezes no erro em regime permanente em relação ao sistema compensado com ganho operando com 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 35 segundos SOLUÇÃO Seguindo o procedimento de projeto de avanço e atraso de fase primeiro determinamos o valor do ganho K requerido para atender ao requisito de erro em regime permanente Utilizando a Eq 1055 com ζ 0456 e Ts 35 segundos a faixa de passagem requerida é 33 rads A partir do estudo de caso anterior a função de transferência em malha aberta do sistema compensado com ganho era para K 507 Esta função resulta em Kv 197 Se K 254 então Kv 985 uma melhoria de cinco vezes As curvas de resposta em frequência da Figura 1061 que são traçadas para K 1 serão utilizadas para a solução Utilizando uma aproximação de segunda ordem uma ultrapassagem de 20 requer uma margem de fase de 481 Escolha ω 3 rads para ser a nova frequência de margem de fase A fase na frequência de margem de fase escolhida é 2152 Isso corresponde a uma margem de fase de 28 Considerando uma contribuição de 5 do compensador de atraso de fase o compensador de avanço de fase deve contribuir com 481 28 5 251 Seguese agora o projeto do compensador de atraso de fase Escolha a quebra superior do compensador de atraso de fase uma década abaixo da nova frequência de margem de fase ou 03 rads A Figura 118 mostra que podemos obter 251 de variação de fase a partir do avanço de fase se β 04 ou γ 1β 25 Portanto a quebra inferior para o atraso de fase está em 1γT 0325 012 rads Portanto Finalmente projete o compensador de avanço de fase Utilizando a Eq 119 temos Portanto a frequência de quebra inferior do compensador de avanço de fase é 1T 19 rads e a frequência de quebra superior é 1βT 475 rads Assim o caminho à frente compensado com avanço e atraso de fase é 9 a b Um diagrama da resposta em frequência em malha aberta do sistema compensado com avanço e atraso de fase mostra 27 dB em 53 rads Assim a faixa de passagem atende aos requisitos de projeto para o tempo de acomodação Uma simulação do sistema compensado mostra uma ultrapassagem de 20 e um tempo de acomodação de aproximadamente 32 segundos em comparação com uma ultrapassagem de 20 para o sistema sem compensação e um tempo de acomodação de aproximadamente 5 segundos Kv para o sistema compensado é 985 em comparação com o valor do sistema sem compensação de 197 DESAFIO Agora apresentamos um problema para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 3 Utilizando métodos de resposta em frequência faça o seguinte Projete um compensador de avanço e atraso de fase para resultar em uma ultrapassagem de 15 e Kv 20 Para aumentar a velocidade do sistema a frequência de margem de fase do sistema compensado será ajustada em 46 vezes a frequência de margem de fase do sistema sem compensação Repita o Item a utilizando o MATLAB Resumo Este capítulo cobriu o projeto de sistemas de controle com realimentação utilizando técnicas de resposta em frequência Aprendemos como projetar com ajuste de ganho bem como com compensação com atraso de fase com avanço de fase e com avanço e atraso de fase em cascata Características da resposta no tempo foram relacionadas com a margem de fase frequência de margem de fase e faixa de passagem O projeto com ajuste de ganho consistiu em ajustar o ganho para atender a uma especificação de margem de fase Determinamos a frequência de margem de fase e ajustamos o ganho para 0 dB Um compensador de atraso de fase é basicamente um filtro passa baixa O ganho de baixa frequência pode ser aumentado para melhorar o erro em regime permanente e o ganho de alta frequência é reduzido para resultar em estabilidade A compensação com atraso de fase consiste em ajustar o ganho para atender ao requisito de erro em regime permanente e então reduzir o ganho de alta frequência para criar estabilidade e atender ao requisito de margem de fase para a resposta transitória Um compensador de avanço de fase é basicamente um filtro passa alta O compensador de avanço de fase aumenta o ganho de alta frequência mantendo o ganho de baixa frequência inalterado Portanto o erro em regime permanente pode ser projetado primeiro Ao mesmo tempo o compensador de avanço de fase aumenta a fase em altas frequências O efeito é produzir um sistema estável que é mais rápido uma vez que a margem de fase sem compensação ocorre agora em uma frequência mais alta Um compensador de avanço e atraso de fase combina as vantagens de ambos os compensadores de avanço de fase e de atraso de fase Primeiro o compensador de atraso de fase é projetado para resultar no erro em regime permanente apropriado com estabilidade melhorada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Em seguida o compensador de avanço de fase é projetado para aumentar a velocidade da resposta transitória Se uma única estrutura é utilizada para o avanço e o atraso de fase considerações adicionais de projeto são aplicadas de modo que a razão entre o zero do atraso e o polo do atraso seja igual à razão entre o polo do avanço e o zero do avanço No próximo capítulo retornamos ao espaço de estados e desenvolvemos métodos para projetar características desejadas do transitório e do erro em regime permanente Questões de Revisão Qual é a maior vantagem que o projeto de compensadores através da resposta em frequência tem em relação ao projeto através do lugar geométrico das raízes Como o ajuste de ganho está relacionado com a resposta transitória nos diagramas de Bode Explique brevemente como uma estrutura de atraso de fase permite que o ganho de baixa frequência seja aumentado para melhorar o erro em regime permanente sem que o sistema se torne instável A partir da perspectiva do diagrama de Bode explique brevemente como a estrutura de atraso de fase não afeta significativamente a velocidade da resposta transitória Por que a margem de fase é aumentada acima da desejada ao se projetar um compensador de atraso de fase Compare o seguinte para sistemas sem compensação e compensado com atraso de fase projetados para resultar na mesma resposta transitória ganho de baixa frequência frequência de margem de fase valor da curva de ganho próximo à frequência de margem de fase e valores da curva de fase próximo à frequência de margem de fase Do ponto de vista do diagrama de Bode explique brevemente como uma estrutura de avanço de fase aumenta a velocidade da resposta transitória Baseado na sua resposta para a Questão 7 explique por que estruturas de avanço de fase não causam instabilidade Por que um fator de correção é acrescentado à margem de fase requerida para atender à resposta transitória Ao projetar uma estrutura de avanço e atraso de fase que diferença existe no projeto da parcela de atraso de fase em comparação com um compensador de atraso de fase isolado Problemas Projete o valor de ganho K para uma margem de ganho de 10 dB no sistema com realimentação unitária da Figura P111 se Seção 112 2 3 4 a b 5 6 FIGURA P111 Para cada um dos sistemas no Problema 1 projete o ganho K para uma margem de fase de 40 Seção 112 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P111 utilize métodos de resposta em frequência para determinar o valor de ganho K para resultar em uma resposta ao degrau com 20 de ultrapassagem se Seção 112 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P111 com faça o seguinte Seção 112 Utilize métodos de resposta em frequência para determinar o valor de ganho K para resultar em uma resposta ao degrau com uma ultrapassagem de 15 Faça as aproximações de segunda ordem necessárias Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para testar sua aproximação de segunda ordem simulando o sistema para seu valor projetado de K O sistema com realimentação unitária da Figura P111 com está operando com 15 de ultrapassagem Utilizando técnicas de resposta em frequência projete um compensador para resultar em Kv 50 com a frequência de margem de fase e a margem de fase permanecendo aproximadamente as mesmas do sistema sem compensação Seção 113 Dado o sistema com realimentação unitária da Figura P111 com a b 7 8 9 10 a b c faça o seguinte Seção 113 Utilize métodos de resposta em frequência para projetar um compensador de atraso de fase para resultar em Kv 1000 e 15 de ultrapassagem para a resposta ao degrau Faça as aproximações de segunda ordem necessárias Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para testar sua aproximação de segunda ordem simulando o sistema para o valor de K e o compensador de atraso de fase projetados O sistema com realimentação unitária mostrado na Figura P111 com está operando com 15 de ultrapassagem Utilizando métodos de resposta em frequência projete um compensador para resultar em uma melhoria de 5 vezes no erro em regime permanente sem alterar significativamente a resposta transitória Seção 113 Projete um compensador de atraso de fase de modo que o sistema da Figura P111 em que opere com uma margem de fase de 45 e uma constante de erro estático de 100 Seção 113 Projete um controlador PI para o sistema da Figura 112 que irá resultar em um erro em regime permanente nulo para uma entrada em rampa e uma ultrapassagem de 948 para uma entrada em degrau Seção 113 Para o sistema do Problema 6 faça o seguinte Seção 113 Utilize métodos de resposta em frequência para determinar o ganho K requerido para resultar em cerca de 15 de ultrapassagem Faça as aproximações de segunda ordem necessárias Utilize métodos de resposta em frequência para projetar um compensador PI para resultar em um erro em regime permanente nulo para uma entrada em rampa sem alterar significativamente as características de resposta transitória projetadas no Item a Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador 11 a b c 12 13 a b para testar sua aproximação de segunda ordem simulando o sistema para o valor de K e o compensador PI projetados Escreva um programa MATLAB que irá projetar um controlador PI admitindo uma aproximação de segunda ordem da seguinte forma Permita que o usuário entre a partir do teclado a ultrapassagem percentual desejada Projete um controlador PI e o ganho para resultar em um erro em regime permanente nulo para uma resposta ao degrau em malha fechada bem como atender a especificação de ultrapassagem percentual Mostre a resposta ao degrau em malha fechada compensada Teste seu programa com e 25 de ultrapassagem Projete um compensador para o sistema com realimentação unitária da Figura P111 com para resultar em Kv 4 e uma margem de fase de 40 Seção 114 Considere o sistema com realimentação unitária da Figura P111 com O sistema sem compensação tem cerca de 55 de ultrapassagem e um instante de pico de 05 segundo quando Kv 10 Faça o seguinte Seção 114 Utilize métodos de resposta em frequência para projetar um compensador de avanço de fase para reduzir a ultrapassagem percentual para 10 mantendo o instante de pico e o erro em regime permanente aproximadamente os mesmos ou menores Faça as aproximações de segunda ordem necessárias Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para testar sua aproximação de segunda ordem simulando o sistema para o valor de K e o compensador de avanço de fase 14 a b c d 15 16 17 a b c d e f projetados O sistema com realimentação unitária da Figura P111 com está operando com 20 de ultrapassagem Seção 114 Determine o tempo de acomodação Determine Kp Determine a margem de fase e a frequência de margem de fase Utilizando técnicas de resposta em frequência projete um compensador que resultará em uma melhoria de três vezes em Kp e uma redução de duas vezes no tempo de acomodação mantendo a ultrapassagem em 20 Repita o projeto do Exemplo 113 do texto utilizando um controlador PD Seção 114 Repita o Problema 13 utilizando um controlador PD Seção 114 Escreva um programa MATLAB que irá projetar um compensador de avanço de fase admitindo aproximações de segunda ordem como se segue Permita que o usuário entre a partir do teclado a ultrapassagem percentual desejada o instante de pico desejado e o ganho requerido para atender a uma especificação de erro em regime permanente Mostre o diagrama de Bode compensado com ganho Calcule a margem de fase e a faixa de passagem requeridas Mostre o polo o zero e o ganho do compensador de avanço de fase Mostre o diagrama de Bode compensado Apresente a resposta ao degrau do sistema compensado com avanço de fase para testar sua aproximação de segunda ordem Teste seu programa com um sistema com realimentação unitária em que e as seguintes especificações devem ser atendidas ultrapassagem percentual 10 instante de pico 01 segundo e Kv 30 18 19 20 a b c d e f 21 22 Repita o Problema 17 para um controlador PI Utilize métodos de resposta em frequência para projetar um compensador de avanço e atraso de fase para um sistema com realimentação unitária em que Seção 114 e as seguintes especificações devem ser atendidas ultrapassagem percentual 15 tempo de acomodação 01 segundo e Kv 1000 Escreva um programa MATLAB que irá projetar um compensador de avanço e atraso de fase admitindo aproximações de segunda ordem como se segue Seção 115 Permita que o usuário entre a partir do teclado a ultrapassagem percentual desejada o tempo de acomodação desejado e o ganho requerido para atender a uma especificação de erro em regime permanente Mostre o diagrama de Bode compensado com ganho Calcule a margem de fase e a faixa de passagem requeridas Mostre os polos os zeros e o ganho do compensador de avanço e atraso de fase Mostre o diagrama de Bode compensado com avanço e atraso de fase Mostre a resposta ao degrau do sistema compensado com avanço e atraso de fase para testar sua aproximação de segunda ordem Utilize seu programa para resolver o Problema 19 Dado um sistema com realimentação unitária com projete um controlador PID para resultar em um erro em regime permanente nulo para uma entrada em rampa bem como uma ultrapassagem de 20 e um instante de pico menor que 2 segundos para uma entrada em degrau Utilize apenas métodos de resposta em frequência Seção 115 Um sistema com realimentação unitária possui a b c d 23 a b c 24 Caso esse sistema possua um atraso de 05 segundo associado utilize o MATLAB para projetar o valor de K para 20 de ultrapassagem Faça as aproximações de segunda ordem necessárias mas teste suas hipóteses simulando seu projeto O atraso pode ser representado colocandose a função pade Tn do MATLAB em cascata com Gs em que T é o atraso em segundos e n é a ordem da aproximação de Padé use n 5 Escreva um programa para fazer o seguinte Aceitar seu valor de ultrapassagem percentual a partir do teclado Mostrar o diagrama de Bode para K 1 Calcular a margem de fase requerida e determinar a frequência de margem de fase e a magnitude na frequência de margem de fase Calcular e mostrar o valor de K PROBLEMAS DE PROJETO Aeronaves são algumas vezes utilizadas para rebocar outros veículos Um sistema de controle de rolagem para uma aeronave desse tipo foi discutido no Problema 58 no Capítulo 6 Caso a Figura P112 represente o sistema de controle de rolagem utilize apenas técnicas de resposta de frequência para fazer o seguinte Cochran 1992 Determine o valor de ganho K para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 10 de ultrapassagem Estime o instante de pico e o tempo de acomodação utilizando a resposta em frequência compensada com ganho Utilize o MATLAB para simular seu sistema Compare os resultados da simulação com os requisitos no Item a e sua estimativa de desempenho no Item b O modelo linearizado para uma fila de rede de computadores TCPIP específica usando um algoritmo de detecção a b 25 a b FIGURA P112 Controle de rolagem de veículo rebocado antecipada aleatória RED random early detection pode ser representado com a utilização do diagrama de blocos da Figura P111 em que Gs MsPs com e e L é um parâmetro a ser variado Hollot 2001 Ajuste L para obter uma ultrapassagem de 15 na resposta transitória para entradas em degrau Verifique o Item a com uma simulação da resposta a entrada em degrau em Simulink Um dispositivo de assistência ventricular elétrico EVAD Electric Ventricular Assist Device que auxilia no bombeamento de sangue concomitantemente com um coração natural fraco em pacientes enfermos pode ser representado pela função de transferência A entrada Ems é a tensão da armadura do motor e a saída Paos é a pressão sanguínea na aorta Tasch 1990 O EVAD será controlado na configuração em malha fechada mostrada na Figura P111 Projete um compensador de atraso de fase para alcançar uma melhoria de dez vezes no erro em regime permanente para entradas em degrau sem afetar significativamente a resposta transitória do sistema sem compensação Utilize o MATLAB para simular os sistemas sem compensação e 26 a b c d e 27 28 29 compensado para uma entrada em degrau unitário Um Veículo Aéreo Não Tripulado Tower Trainer 60 possui uma função de transferência em que δes é o ângulo do profundor e hs é a variação na altitude Barkana 2005 Admitindo que o aeroplano seja controlado na configuração em malha fechada da Figura P111 com Gs KPs determine o valor de K que resultará em uma margem de fase de 30 Para o valor de K calculado no Item a obtenha a margem de ganho correspondente Obtenha estimativas para a UP e o tempo de acomodação Ts do sistema para entradas em degrau Simule a resposta ao degrau do sistema utilizando o MATLAB Explique os resultados da simulação e discuta quaisquer inexatidões nas estimativas obtida no Item c Veículos autônomos como o mostrado na Figura P113a são utilizados em fábricas para transportar produtos de uma estação de trabalho para outra Um método de construção é embutir um condutor no piso para fornecer orientação Outro método é utilizar um computador embarcado e um dispositivo de varredura laser Dispositivos refletores com códigos de barras em posições conhecidas permitem que o sistema determine a posição angular do veículo Este sistema permite que o veículo trafegue em qualquer lugar inclusive entre edifícios Stefanides 1987 A Figura P113b mostra um diagrama de blocos simplificado do sistema de controle de manobra do veículo Para 11 de ultrapassagem K é ajustado igual a 2 Projete um compensador de atraso de fase utilizando técnicas de resposta em frequência para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 30 em relação ao do sistema sem compensação O sistema de controle de rolagem de uma aeronave é mostrado na Figura P114 O torque no aileron gera uma velocidade rolagem O ângulo de rolagem resultante é então controlado através de um sistema de realimentação como mostrado Projete um compensador de avanço de fase para uma margem de fase de 60 e Kv 5 A função de transferência da força aplicada para o deslocamento do braço de um acionador de disco rígido foi identificada como A posição do braço será controlada utilizando a malha de realimentação mostrada na Figura a b 30 a b 31 P111 Yan 2003 Projete um compensador de avanço de fase para obter a estabilidade do sistema em malha fechada com uma resposta transitória com 16 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 2 ms para uma entrada em degrau Verifique seu projeto através de simulações em MATLAB Um sistema de controle de atitude do eixo de arfagem que utiliza uma roda de momento foi o assunto do Problema 61 no Capítulo 8 Naquele problema o compensador foi mostrado como um compensador PI Desejamos substituir o compensador PI por um compensador de avanço e atraso de fase para melhorar tanto o desempenho do transitório quanto o do erro em regime permanente O diagrama de blocos do controle de atitude do eixo de arfagem é mostrado na Figura P115 em que θcs é um ângulo de arfagem comandado e θs é o ângulo de arfagem real da espaçonave Caso τ 23 segundos e Iz 9631 inlbs2 faça o seguinte Piper 1992 Projete um compensador de avanço e atraso de fase e determine Gcs e K para resultar em um sistema com as seguintes especificações de desempenho ultrapassagem percentual 20 tempo de acomodação 10 segundos e Kv 200 Faças as aproximações de segunda ordem necessárias Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador para testar sua aproximação de segunda ordem simulando o sistema para o valor de K e o compensador de avanço e atraso de fase projetados Para o sistema de troca de calor descrito no Problema 36 Capítulo 9 Smith 2002 FIGURA P113 a Carrinhos guiados autônomos na área final de montagem de baterias de lítioíon para veículos elétricos Chevrolet Volt Rebecca CookReutersCorbis b diagrama de blocos simplificado de um carrinho guiado FIGURA P114 a b 32 a b c 33 FIGURA P115 Projete um compensador de avanço e atraso de fase passivo para obter 5 de erro em regime permanente com uma resposta transitória com 10 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 60 segundos para entradas em degrau Utilize o MATLAB para simular e verificar seu projeto Direção dianteira ativa é utilizada em carros com quatro rodas e direção dianteira para controlar a velocidade de guinagem do veículo como uma função de mudanças nos comandos de direção das rodas Para um veículo específico e em determinadas condições foi mostrado que a função de transferência do ângulo de direção da roda para a velocidade de guinagem é dada por Zhang 2008 O sistema é controlado em uma configuração com realimentação unitária Utilize a carta de Nichols e siga o procedimento do Exemplo 115 para projetar um compensador de avanço e atraso de fase tal que o sistema tenha erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau A faixa de passagem do sistema em malha fechada deve ser ωBW 10 rads Faça com que o pico da magnitude da resposta em malha aberta seja menor que 1 dB e que a constante de erro em regime permanente seja Kv 20 Relaxe o requisito de faixa de passagem para ωBW 10 rads Projete o sistema para um erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau Faça com que o pico da magnitude da resposta em malha aberta seja menor que 1 dB e Kv 20 usando apenas um compensador de avanço de fase Simule a resposta ao degrau de ambos os projetos usando o MATLAB PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade No Problema 79a Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo No Capítulo 8 Problema 72 você projetou o ganho para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 38 de ultrapassagem Um gráfico da resposta ao degrau deve ter mostrado um tempo de acomodação superior a 05 segundo bem como uma oscilação de alta frequência sobreposta à resposta ao degrau No Capítulo 9 a b c 34 a b c Problema 55 reduzimos o tempo de acomodação para cerca de 03 segundo reduzimos o erro em regime permanente da resposta ao degrau a zero e eliminamos as oscilações de alta frequência utilizando um filtro notch OConnor 1997 Utilizando a função de transferência à frente equivalente obtida no Capítulo 5 em cascata com o filtro notch especificado no Capítulo 9 projete utilizando técnicas de resposta em frequência um compensador de avanço e atraso de fase para atender às seguintes especificações Pelo menos 35 de margem de fase No máximo 10 de erro em regime permanente para a resposta ao degrau em malha fechada Pelo menos 35 rads de faixa de passagem Controle de HIVAIDS No Capítulo 6 o modelo para um paciente com HIVAIDS tratado com RTIs foi linearizado e mostrado como Admitese aqui que o paciente será tratado e monitorado utilizandose a configuração em malha fechada mostrada na Figura P111 Como a planta possui um ganho estático negativo admita por simplicidade que Gs Gcs Ps e Gc0 0 Admita também que as especificações para o projeto são 1 erro em regime permanente nulo para entradas em degrau 2 resposta no domínio do tempo superamortecida e 3 tempo de acomodação Ts 100 dias Craig 2004 A especificação de sistema superamortecido requer uma ΦM 90 Determine a faixa de passagem correspondente requerida para satisfazer ao requisito de tempo de acomodação A especificação de erro em regime permanente nulo implica que a função de transferência em malha aberta deve ser aumentada para Tipo 1 O zero da planta em 2002 adiciona um avanço de fase excessivo em baixas frequências e os polos conjugados complexos se deixados sem compensação na malha resultam em oscilações indesejadas no domínio do tempo Assim como uma abordagem inicial para a compensação deste sistema podemos tentar Para K 1 construa um diagrama de Bode do sistema resultante Obtenha o valor de K necessário para atender às demandas de projeto Verifique a estabilidade em malha fechada Simule a resposta ao degrau unitário do sistema utilizando o MATLAB Ajuste K para alcançar a resposta desejada 35 a i ii b Veículo híbrido No Item b do Problema 1055 usamos um controlador de velocidade proporcional e integral PI que resultou em uma ultrapassagem de 20 e um tempo de acomodação Ts 392 segundos Preitl 2007 Admita agora que as especificações do sistema requerem um erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau um erro em regime permanente para entrada em rampa 2 uma UP 432 e um tempo de acomodação 4 segundos Uma maneira de atender a esses requisitos é cancelar o zero do controlador PI ZI com o polo real do sistema sem compensação mais próximo da origem localizado em 200163 Admitindo que o cancelamento exato seja possível a função de transferência da planta e do controlador se torna Projete o sistema para atender aos requisitos Você pode usar os seguintes passos Ajuste o ganho K para o valor requerido pelas especificações de erro em regime permanente Trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase Calcule a margem de fase requerida para atender ao requisito de fator de amortecimento ou equivalentemente de UP utilizando a Eq 1073 Caso a margem de fase obtida a partir do diagrama de Bode obtido no Passo i seja maior que o valor requerido simule o sistema para verificar se o tempo de acomodação é menor que 4 segundos e se o requisito de uma UP 432 foi atendido Reprojete se a simulação mostrar que os requisitos de UP eou erro em regime permanente não foram atendidos Se todos os requisitos forem atendidos você completou o projeto Na maior parte dos casos o cancelamento perfeito de polo e zero não é possível Considere que você quer verificar o que acontece se o zero do controlador PI variar por 620 isto é se ZI se mover para ou para A função de transferência da planta e do controlador nesses casos será respectivamente Ajuste K em cada caso para o valor requerido pelas especificações de erro em regime permanente e trace os diagramas de Bode de magnitude e de fase Simule a resposta ao 1 2 3 4 5 1 2 3 4 degrau em malha fechada para cada uma das três posições de ZI dadas no problema cancelamento de polo e zero Caso 1 e Caso 2 As respostas obtidas se parecem com uma resposta de segunda ordem superamortecida criticamente amortecida ou subamortecida Existe a necessidade de se acrescentar um modo derivativo Investigando em Laboratório Virtual Experimento 111 Objetivos Projetar um controlador PID utilizando a SISO Design Tool do MATLAB Observar o efeito de um controlador PI e de um controlador PD na magnitude e fase das respostas a cada passo do projeto de um controlador PID Requisitos Mínimos de Programas MATLAB e Control System Toolbox PréEnsaio Qual é a margem de fase requerida para 12 de ultrapassagem Qual é a faixa de passagem requerida para 12 de ultrapassagem e um instante de pico de 2 segundos Dado um sistema com realimentação unitária com qual é o ganho K requerido para resultar na margem de fase obtida no PréEnsaio 1 Qual é a frequência de margem de fase Projete um controlador PI para resultar em uma margem de fase 5 acima da obtida no Pré Ensaio 1 Complete o projeto de um controlador PID para o sistema do PréEnsaio 3 Ensaio Utilizando a SISO Design Tool do MATLAB prepare o sistema do PréEnsaio 3 e mostre os diagramas de Bode em malha aberta e a resposta ao degrau em malha fechada Arraste o diagrama de Bode de magnitude na direção vertical até que a margem de fase obtida no PréEnsaio 1 seja obtida Registre o ganho K a margem de fase a frequência de margem de fase a ultrapassagem percentual e o instante de pico Mova a curva de magnitude para cima e para baixo e observe o efeito sobre a curva de fase a margem de fase e a frequência de margem de fase Projete o controlador PI adicionando um polo na origem e um zero uma década abaixo da frequência de margem de fase obtida no Ensaio 2 Reajuste o ganho para resultar em uma margem de fase 5 acima da obtida no PréEnsaio 1 Registre o ganho K a margem de fase a frequência de margem de fase a ultrapassagem percentual e o instante de pico Mova o zero de um lado para outro na vizinhança de sua posição atual e observe o efeito sobre as curvas de magnitude e de fase Mova a curva de magnitude para cima e para baixo e observe seus efeitos sobre a curva de fase a margem de fase e a frequência de margem de fase Projete a parcela PD do controlador PID ajustando primeiro a curva de magnitude para resultar em uma frequência da margem de fase ligeiramente inferior à faixa de passagem calculada no PréEnsaio 2 Adicione um zero ao sistema e movao até obter a margem de fase 1 2 3 4 calculada no PréEnsaio 1 Mova o zero e observe seu efeito Mova a curva de magnitude e observe seu efeito PósEnsaio Compare o projeto do PID do PréEnsaio com o obtido através da SISO Design Tool Em particular compare o ganho K a margem de fase a frequência de margem de fase a ultrapassagem percentual e o instante de pico Para o sistema sem compensação descreva o efeito da variação do ganho sobre a curva de fase a margem de fase e a frequência de margem de fase Para o sistema compensado com PI descreva o efeito da variação do ganho sobre a curva de fase a margem de fase e a frequência de margem de fase Repita para variações na posição do zero Para o sistema compensado com PID descreva o efeito da variação do ganho sobre a curva de fase a margem de fase e a frequência de margem de fase Repita para variações na posição do zero do PD Bibliografia Barkana I Classical and Simple Adaptive Control of Nonminimum Phase Autopilot Design Journal of Guidance Control and Dynamics vol 28 2005 pp 631638 Cochran J E Innocenti M No T S and Thukral A Dynamics and Control of Maneuverable Towed Flight Vehicles Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 5 SeptemberOctober 1992 pp 1245 1252 Craig I K Xia X and Venter J W 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uma fase adicional deve ser acrescida àquela fornecida pelo compensador de avanço de fase para corrigir a redução de fase causada pelo sistema original Este capítulo aborda apenas os métodos que envolvem o espaço de estados Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Projetar um controlador de realimentação de estado utilizando alocação de polos para sistemas representados na forma de variáveis de fase para atender especificações de resposta transitória Seções 121 e 122 Determinar se um sistema é controlável Seção 123 Projetar um controlador de realimentação de estado utilizando alocação de polos para sistemas que não estão representados na forma de variáveis de fase para atender especificações de resposta transitória Seção 124 Projetar um observador de estado utilizando alocação de polos para sistemas representados na forma canônica observável Seção 125 Determinar se um sistema é observável Seção 126 Projetar um observador de estado utilizando alocação de polos para sistemas que não estão representados na forma canônica observável Seção 127 Projetar características de erro em regime permanente para sistemas representados no espaço de estados Seção 128 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de especificar todos os polos em malha fechada e em seguida projetar um controlador de realimentação de estado para atender às especificações da resposta transitória Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de projetar um observador para estimar os estados Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras você será capaz de combinar os projetos do controlador e do observador em um compensador viável para o sistema 121 Introdução O Capítulo 3 introduziu os conceitos de análise e de modelagem de sistemas no espaço de estados Mostramos que os métodos do espaço de estados como os métodos da transformada são ferramentas simples para analisar e projetar sistemas de controle com realimentação Entretanto as técnicas do espaço de estados podem ser aplicadas a uma classe mais ampla de sistemas do que os métodos da transformada Sistemas com não linearidades como o mostrado na Figura 121 e sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas constituem apenas dois dos candidatos à abordagem no espaço de estados Neste livro no entanto aplicamos essa abordagem apenas a sistemas lineares Nos Capítulos 9 e 11 aplicamos métodos do domínio da frequência ao projeto de sistemas A técnica básica de projeto é criar um compensador em cascata com a planta ou no caminho de realimentação que tenha os polos e zeros adicionais corretos para resultar em uma resposta transitória e em um erro em regime permanente desejados Um dos inconvenientes dos métodos de projeto do domínio da frequência utilizando tanto o lugar geométrico das raízes quanto técnicas de resposta em frequência é que após o projeto da posição do par de polos dominantes de segunda ordem ficamos torcendo na esperança de que os polos de ordem superior não afetem a aproximação de segunda ordem O que gostaríamos de ser capazes de fazer é especificar todos os polos em malha fechada do sistema de ordem mais elevada Os métodos de projeto do domínio da frequência não nos permitem especificar todos os polos em sistemas de ordem maior que 2 porque eles não admitem um número suficiente de parâmetros desconhecidos para posicionar todos os polos em malha fechada de modo único Um ganho a ser ajustado ou o polo e o zero do compensador a serem escolhidos não resultam em um número suficiente de parâmetros para alocar todos os polos em malha fechada em posições desejadas Lembre que para alocar n grandezas desconhecidas você precisa de n parâmetros ajustáveis Os métodos do espaço de estados resolvem esse problema introduzindo no sistema 1 outros parâmetros ajustáveis e 2 a técnica para obter os valores desses parâmetros de modo que possamos alocar adequadamente todos os polos do sistema em malha fechada1 Por outro lado os métodos do espaço de estados não permitem a especificação de posições de zeros em malha fechada o que os métodos do domínio da frequência permitem através do posicionamento do zero do compensador de avanço de fase Esta é uma desvantagem dos métodos do espaço de estados uma vez que a posição do zero afeta a resposta transitória Além disso um projeto no espaço de estados pode se mostrar muito sensível à variação de parâmetros Finalmente há uma ampla variedade de suporte computacional para métodos do espaço de estados diversos pacotes de programas suportam a álgebra matricial requerida pelo processo de projeto Contudo como mencionado anteriormente as vantagens do suporte computacional são equilibradas pela perda da visão gráfica do problema de projeto que os métodos do domínio da frequência fornecem FIGURA 121 Um robô em uma farmácia hospitalar seleciona medicamentos através de código de barras Este capítulo deve ser considerado apenas uma introdução ao projeto no espaço de estados introduzimos uma técnica de projeto no espaço de estados e a aplicamos apenas a sistemas lineares Estudos avançados são necessários para aplicar técnicas do espaço de estados no projeto de sistemas além do escopo deste livro 122 Projeto de Controlador Esta seção mostra como introduzir parâmetros adicionais em um sistema de modo que possamos controlar a posição de todos os polos em malha fechada Um sistema de controle com realimentação de ordem n possui uma equação característica em malha fechada de ordem n da forma Uma vez que o coeficiente da maior potência de s é unitário há n coeficientes cujos valores determinam as posições dos polos do sistema em malha fechada Portanto caso possamos introduzir n parâmetros ajustáveis no sistema e relacionálos com os coeficientes na Eq 121 todos os polos do sistema em malha fechada poderão ser ajustados para quaisquer posições desejadas Topologia para Alocação de Polos Com o objetivo de estabelecer a fundamentação para a abordagem considere uma planta representada no espaço de estados por e mostrada graficamente na Figura 122a em que as linhas finas são escalares e as linhas grossas são vetores Em um sistema de controle com realimentação típico a saída y é realimentada para a junção de soma É agora que a topologia do projeto muda Em vez de realimentar y o que ocorreria se realimentássemos todas as variáveis de estado Se cada variável de estado fosse realimentada para o controle u através de um ganho ki haveriam n ganhos ki que poderiam ser ajustados para resultar nos valores desejados dos polos em malha fechada A realimentação através dos ganhos ki está representada na Figura 122b pelo vetor de realimentação K As equações de estado do sistema em malha fechada da Figura 122b podem ser escritas por inspeção como Antes de continuar você deve ter uma boa noção de como o sistema com realimentação da Figura 122b é efetivamente implementado Como exemplo considere o diagrama de fluxo de sinal na forma de variáveis de fase de uma planta mostrado na Figura 123a Cada variável de estado é então realimentada para a entrada da planta u através de um ganho ki como mostrado na Figura 123b Embora iremos cobrir outras representações mais adiante neste capítulo a forma de variáveis de fase com sua matriz de sistema companheira inferior típica ou a forma canônica controlável com sua matriz de sistema companheira superior típica proporcionam o cálculo mais simples dos ganhos de realimentação Na discussão que se segue utilizamos a forma de variáveis de fase para desenvolver e demonstrar os conceitos Os problemas de fim de capítulo lhe darão uma oportunidade para desenvolver e testar os conceitos para a forma canônica controlável FIGURA 122 a Representação no espaço de estados de uma planta b planta com realimentação de variáveis de estado FIGURA 123 a Representação em variáveis de fase para planta b planta com realimentação de variáveis de estado O projeto de realimentação de variáveis de estado para a alocação de polos em malha fechada consiste em igualar a equação característica do sistema em malha fechada como o sistema mostrado na Figura 123b a uma equação característica desejada e então determinar os valores dos ganhos de realimentação ki Se uma planta como a mostrada na Figura 123a é de ordem elevada e não está representada na forma de variáveis de fase ou na forma canônica controlável a solução para os ki pode ser complicada Assim é aconselhável transformar o sistema para uma dessas formas projetar os ki e em seguida transformar o sistema de volta para a sua representação original Realizamos esta conversão na Seção 124 onde desenvolvemos um método para efetuar as transformações Até lá vamos dirigir nossa atenção para plantas representadas na forma de variáveis de fase Alocação de Polos para Plantas na Forma de Variáveis de Fase Para aplicar a metodologia de alocação de polos a plantas representadas na forma de variáveis de fase realizamos os passos a seguir 1 2 3 4 5 Represente a planta na forma de variáveis de fase Realimente cada variável de fase para a entrada da planta através de um ganho ki Determine a equação característica do sistema em malha fechada representado no Passo 2 Decida sobre a posição de todos os polos em malha fechada e determine uma equação característica equivalente Iguale os coeficientes de mesma ordem das equações características dos Passos 3 e 4 e resolva para ki Seguindo esses passos a representação em variáveis de fase da planta é dada pela Eq 122 com A equação característica da planta é portanto Agora construa o sistema em malha fechada realimentando cada variável de estado para u formando em que Os ki são os ganhos de realimentação das variáveis de fase Utilizando a Eq 123a com as Eqs 124 e 127 a matriz de sistema A BK do sistema em malha fechada é Como a Eq 128 está na forma de variáveis de fase a equação característica do sistema em malha fechada pode ser escrita por inspeção como Observe a relação entre as Eqs 125 e 129 Para plantas representadas na forma de variáveis de fase podemos escrever por inspeção a equação característica em malha fechada a partir da equação característica em malha aberta adicionando o ki apropriado a cada coeficiente Admita agora que a equação característica desejada para a alocação de polos adequada é onde os di são os coeficientes desejados Igualando as Eqs 129 e 1210 obtemos a partir do que Agora que determinamos o denominador da função de transferência em malha fechada vamos obter o numerador Para sistemas representados na forma de variáveis de fase aprendemos que o polinômio do numerador é formado a partir dos coeficientes da matriz de saída C Como as Figuras 123a e b estão ambas na forma de variáveis de fase e possuem a mesma matriz de saída concluímos que os numeradores de suas funções de transferência são iguais Vamos examinar um exemplo de projeto Exemplo 121 Projeto de Controlador para Forma de Variáveis de Fase PROBLEMA Dada a planta FIGURA 124 a Representação em variáveis de fase da planta do Exemplo 121 b planta com realimentação de variáveis de estado projete os ganhos de realimentação das variáveis de fase para resultar em 95 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 074 segundo SOLUÇÃO Começamos calculando a equação característica em malha fechada desejada Utilizando os requisitos de resposta transitória os polos em malha fechada são 54 j72 Como o sistema é de terceira ordem devemos escolher outro polo em malha fechada O sistema em malha fechada terá um zero em 5 o mesmo que o sistema em malha aberta Poderíamos escolher o terceiro polo em malha fechada para cancelar o zero em malha fechada Contudo para demonstrar o efeito do terceiro polo e o processo de projeto incluindo a necessidade de simulação vamos escolher 51 como a posição do terceiro polo em malha fechada Agora desenhe o diagrama de fluxo de sinal da planta O resultado é mostrado na Figura 124a Em seguida realimente todas as variáveis de estado para o controle u através de ganhos ki como mostrado na Figura 124b Escrevendo as equações de estado do sistema em malha fechada a partir da Figura 124b temos Comparando as Eqs 1214 com as Eqs 123 identificamos a matriz de sistema em malha fechada como Para obter a equação característica do sistema em malha fechada forme Esta equação deve corresponder à equação característica desejada formada a partir dos polos 54 j72 54 j72 e 51 que determinamos anteriormente FIGURA 125 Simulação do sistema em malha fechada do Exemplo 121 Igualando os coeficientes das Eqs 1216 e 1217 obtemos Finalmente o termo de zero da função de transferência em malha fechada é igual ao termo de zero do sistema em malha aberta ou s 5 Utilizando as Eqs 1214 obtemos a seguinte representação no espaço de estados do sistema em malha fechada A função de transferência é A Figura 125 uma simulação do sistema em malha fechada mostra 115 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 08 segundo Um reprojeto com o terceiro polo cancelando o zero em 5 irá resultar em um desempenho igual aos requisitos Como a resposta em regime permanente tende a 024 em vez da unidade há um grande erro em regime permanente Técnicas de projeto para reduzir este erro são discutidas na Seção 128 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch12p1 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um controlador para variáveis de fase utilizando alocação de polos O MATLAB irá apresentar o gráfico da resposta ao degrau do sistema projetado Este exercício resolve o Exemplo 121 utilizando o MATLAB Exercício 121 PROBLEMA Para a planta Experimente 121 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para obter os ganhos de realimentação das variáveis de fase para alocar os polos do sistema do Exercício 121 em 3 j5 3 j5 e 10 A0 1 0 0 0 1 0 36 15 B001 poles35j 35j10 KackerABpoles representada no espaço de estados na forma de variáveis de fase por projete os ganhos de realimentação das variáveis de fase para resultar em 5 de ultrapassagem e um instante de pico de 03 segundo RESPOSTA K 2094 3731 1497 A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção mostramos como projetar ganhos de realimentação para plantas representadas na forma de variáveis de fase com o objetivo de alocar todos os polos do sistema em malha fechada em posições desejadas no plano s A princípio parece que o método deve sempre funcionar para qualquer sistema Entretanto este não é o caso As condições que devem existir para ser possível alocar unicamente os polos em malha fechada nas posições desejadas são o tópico da próxima seção 123 Controlabilidade Considere a forma paralela mostrada na Figura 126a Para controlar a posição dos polos do sistema em malha fechada estamos dizendo implicitamente que o sinal de controle u pode controlar o comportamento de cada variável de estado em x Se qualquer uma das variáveis de estado não puder ser controlada pelo controle u então não poderemos alocar os polos do sistema onde desejamos Por exemplo na Figura 126b se x1 não fosse controlável através do sinal de controle e se x1 além disso apresentasse uma resposta instável decorrente de uma condição inicial diferente de zero não haveria uma maneira de realizar um projeto de realimentação de estado para estabilizar x1 x1 seguiria de seu próprio modo independentemente do sinal de controle u Portanto em alguns sistemas um projeto de realimentação de estados não é possível Estabelecemos agora a seguinte definição com base na discussão anterior Se para um sistema for possível obter uma entrada capaz de transferir todas as variáveis de estado de um estado inicial desejado para um estado final desejado o sistema é dito controlável caso contrário o sistema énão controlável A alocação de polos é uma técnica de projeto viável apenas para sistemas que são controláveis Esta seção mostra como determinar a priori se a técnica de alocação de polos é uma técnica de projeto viável para um controlador FIGURA 126 Comparação entre sistemas a controlável e b não controlável Controlabilidade por Inspeção Podemos explorar a controlabilidade a partir de outro ponto de vista o da própria equação de estado Quando a matriz de sistema é diagonal como para a forma paralela fica evidente se o sistema é ou não controlável Por exemplo a equação de estado para a Figura 126a é ou Uma vez que cada uma das Eqs 1222 é independente e desacoplada das demais o controle u afeta cada uma das variáveis de estado Isso é controlabilidade a partir de outra perspectiva Vamos agora examinar as equações de estado para o sistema da Figura 126b ou A partir das equações de estado em 1223 ou 1224 observamos que a variável de estado x1 não é controlada pelo controle u Portanto o sistema é dito não controlável Em resumo um sistema com autovalores distintos e uma matriz de sistema diagonal é controlável se a matriz de entrada B não tiver nenhuma linha nula A Matriz de Controlabilidade Os testes de controlabilidade que exploramos até aqui não podem ser utilizados para representações do sistema que não sejam a forma diagonal ou paralela com autovalores distintos O problema de visualizar a controlabilidade se torna mais complexo se o sistema possuir polos múltiplos mesmo que ele esteja representado na forma paralela Além disso não se pode sempre determinar a controlabilidade por inspeção para sistemas que não estão representados na forma paralela Nas demais formas a existência de caminhos a partir da entrada até as variáveis de estado não é um critério de controlabilidade uma vez que as equações não estão desacopladas Para sermos capazes de determinar a controlabilidade ou alternativamente projetar a realimentação de estado para uma planta em qualquer representação ou para qualquer escolha de variáveis de estado uma matriz que deve ter uma propriedade particular caso todas as variáveis de estado devam ser controladas pela entrada da planta u pode ser deduzida Declaramos agora o requisito para controlabilidade incluindo a forma a propriedade e o nome dessa matriz2 Uma planta de ordem n cuja equação de estado é é completamente controlável3 se a matriz for de posto n na qual CM é chamada de matriz de controlabilidade4 Como exemplo vamos escolher um sistema representado na forma paralela com raízes múltiplas Exemplo 122 Controlabilidade via Matriz de Controlabilidade PROBLEMA Dado o sistema da Figura 127 representado por um diagrama de fluxo de sinal determine sua controlabilidade FIGURA 127 Sistema para o Exemplo 122 SOLUÇÃO A equação de estado do sistema escrita a partir do diagrama de fluxo de sinal é A princípio pode parecer que o sistema é não controlável por causa do zero na matriz B Lembre contudo que esta configuração leva à não controlabilidade apenas se os polos são reais e distintos Neste caso temos polos múltiplos em 1 A matriz de controlabilidade é O posto de CM é igual ao número de linhas ou colunas linearmente independentes O posto pode ser obtido determinandose a submatriz quadrada de maior ordem que é não singular O determinante de CM é 1 Como o determinante é diferente de zero a matriz 3 3 é não singular e o posto de CM é 3 Concluímos que o sistema é controlável uma vez que o posto de CM é igual à ordem do sistema Portanto os polos do sistema podem ser alocados com a utilização de projeto de realimentação de variáveis de estado Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch12p2 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para testar a controlabilidade de um sistema Este exercício resolve o Exemplo 122 utilizando o MATLAB No exemplo anterior verificamos que apesar de um elemento da matriz de entrada ser zero o sistema era controlável Se observarmos a Figura 127 podemos ver o motivo Nessa figura todas as variáveis de estado são acionadas pela entrada u Por outro lado caso desconectemos a entrada de dx1dt dx2dt ou dx3dt pelo menos uma das variáveis de estado não seria controlável Para observar esse efeito vamos desconectar a entrada de dx2dt Isso faz com que a matriz B se torne Podemos observar que o sistema é agora não controlável uma vez que x1 e x2 não são mais controladas pela entrada Essa conclusão é confirmada pela matriz de controlabilidade que agora é Não apenas o determinante dessa matriz é igual a zero mas também o determinante de qualquer submatriz 2 2 Portanto o posto da Eq 1230 é 1 O sistema é não controlável porque o posto de CM é 1 menor que a ordem 3 do sistema Exercício 122 PROBLEMA Determine se o sistema é controlável RESPOSTA Controlável A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 122 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício 122 A1 1 2 0 1 5 0 3 4 B211 CmctrbAB RankrankCm Em resumo então o projeto de alocação de polos através de realimentação de variáveis de estado é simplificado utilizandose a forma de variáveis de fase para as equações de estado da planta Todavia a controlabilidade a condição para que o projeto de alocação de polos tenha êxito pode ser mais bem visualizada na forma paralela onde a matriz de sistema é diagonal com raízes distintas Em todos os casos a matriz de controlabilidade sempre dirá ao projetista se é viável a implementação do projeto de realimentação de estado A próxima seção mostra como projetar a realimentação de variáveis de estado para sistemas que não estão representados na forma de variáveis de fase Utilizamos a matriz de controlabilidade como uma ferramenta para transformar um sistema para a forma de variáveis de fase para o projeto de realimentação de variáveis de estado 124 Abordagens Alternativas para o Projeto do Controlador A Seção 122 mostrou como projetar a realimentação de variáveis de estado para resultar em polos em malha fechada desejados Demonstramos esse método utilizando sistemas representados na forma de variáveis de fase e vimos quão simples foi calcular os ganhos de realimentação Muitas vezes a física do problema requer a realimentação de variáveis de estado que não são variáveis de fase Para esses sistemas temos algumas opções para uma metodologia de projeto O primeiro método consiste em fazer a correspondência entre os coeficientes de detsI A BK e os coeficientes da equação característica desejada que é o mesmo método que utilizamos para sistemas representados em variáveis de fase Essa técnica em geral conduz a cálculos complexos dos ganhos de realimentação especialmente para sistemas de ordem elevada não representados em variáveis de fase Vamos ilustrar essa técnica com um exemplo Exemplo 123 Projeto de Controlador através de Correspondência de Coeficientes PROBLEMA Dada uma planta YsUs 10s 1s 2 projete uma realimentação de estado para a planta representada na forma em cascata para resultar em uma ultrapassagem de 15 com um tempo de acomodação de 05 segundo SOLUÇÃO O diagrama de fluxo de sinal para a planta na forma em cascata é mostrado na Figura 1218a A Figura 1218b mostra o sistema com a realimentação de estado incluída Escrevendo as equações de estado a partir da Figura 1218b temos FIGURA 128 a Diagrama de fluxo de sinal em cascata para Gs 10s 1s 2 b sistema com realimentação de estado incluída onde a equação característica é Utilizando os requisitos de resposta transitória declarados no problema obtemos a equação característica desejada Igualando os coeficientes do meio das Eqs 1232 e 1233 obtemos k2 13 Igualando os últimos coeficientes dessas equações junto com o resultado para k2 resulta k1 2115 O segundo método consiste em transformar o sistema para variáveis de fase projetar os ganhos de realimentação e transformar o sistema projetado de volta para sua representação no espaço de estados original5 Este método requer que desenvolvamos primeiro a transformação entre um sistema e sua representação na forma de variáveis de fase Considere uma planta que não está representada na forma de variáveis de fase cuja matriz de controlabilidade é Admita que o sistema possa ser transformado para a representação em variáveis de fase x com a transformação Substituindo esta transformação nas Eqs 1234 obtemos cuja matriz de controlabilidade é Substituindo a Eq 1235 na Eq 1238 e resolvendo para P obtemos Portanto a matriz de transformação P pode ser obtida a partir das duas matrizes de controlabilidade Após transformar o sistema para variáveis de fase projetamos os ganhos de realimentação como na Seção 122 Assim incluindo tanto a realimentação quanto a entrada u Kxx r as Eqs 1237 se tornam Como esta equação está na forma de variáveis de fase os zeros deste sistema em malha fechada são determinados a partir do polinômio formado a partir dos elementos de CP como explicado na Seção 122 Utilizando x P1z transformamos as Eqs 1240 de variáveis de fase de volta à representação original e obtemos Comparando as Eqs 1241 com as Eqs 123 o ganho de realimentação de variáveis de estado Kz para o sistema original é A função de transferência desse sistema em malha fechada é igual à função de transferência para as Eqs 1240 uma vez que as Eqs 1240 e 1241 representam o mesmo sistema Assim com base no desenvolvimento da Seção 122 os zeros da função de transferência em malha fechada são iguais aos zeros da planta sem compensação Vamos demonstrar com um exemplo de projeto Exemplo 124 Projeto de Controlador através de Transformação PROBLEMA Projete um controlador de realimentação de variáveis de estado para resultar em uma ultrapassagem de 208 e um tempo de acomodação de 4 segundos para a planta que é representada na forma em cascata como mostrado na Figura 129 FIGURA 129 Diagrama de fluxo de sinal para a planta do Exemplo 124 SOLUÇÃO Primeiro obtenha as equações de estado e a matriz de controlabilidade As equações de estado escritas a partir da Figura 129 são a partir do que a matriz de controlabilidade é obtida como Como o determinante de CMz é 1 o sistema é controlável Agora convertemos o sistema para variáveis de fase determinando a equação característica e utilizando essa equação para escrever a forma de variáveis de fase A equação característica detsI Az é Usando os coeficientes da Eq 1246 e nosso conhecimento da forma de variáveis de fase escrevemos a representação em variáveis de fase do sistema como A equação de saída foi escrita utilizando os coeficientes do numerador da Eq 1243 uma vez que a função de transferência deve ser a mesma para as duas representações A matriz de controlabilidade CMx para o sistema em variáveis de fase é Utilizando a Eq 1239 podemos agora calcular a matriz de transformação entre os dois sistemas como Projetamos agora o controlador utilizando a representação em variáveis de fase e em seguida utilizamos a Eq 1249 para transformar o projeto de volta para a representação original Para uma ultrapassagem de 208 e um tempo de acomodação de 4 segundos um fator da equação característica do sistema em malha fechada projetado é s2 2s 5 Como o zero em malha fechada estará em s 4 escolhemos o terceiro polo em malha fechada para cancelar o zero em malha fechada Assim a equação característica total do sistema em malha fechada desejado é As equações de estado para a forma de variáveis de fase com realimentação de variáveis de estado são A equação característica para as Eqs 1251 é Comparando a Eq 1250 com a Eq 1252 verificamos que FIGURA 1210 Sistema projetado com realimentação de variáveis de estado para o Exemplo 124 Utilizando as Eqs 1242 e 1249 podemos transformar o controlador de volta para o sistema original como O sistema em malha fechada final com realimentação de variáveis de estado é mostrado na Figura 1210 com a entrada aplicada como mostrado Vamos agora verificar nosso projeto As equações de estado para o sistema projetado mostrado na Figura 1210 com entrada r são Utilizando a Eq 373 para obter a função de transferência em malha fechada obtemos Os requisitos para nosso projeto foram atendidos Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch12p3 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um controlador para uma planta não representada na forma de variáveis de fase Você verá que o MATLAB não requer uma transformação para a forma de variáveis de fase Este exercício resolve o Exemplo 124 utilizando o MATLAB Exercício 123 PROBLEMA Projete um controlador de realimentação de estado linear para resultar em 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 2 segundos para a planta que está representada no espaço de estados na forma em cascata por RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção vimos como projetar a realimentação de variáveis de estado para plantas não representadas na forma de variáveis de fase Utilizando matrizes de controlabilidade fomos capazes de transformar uma planta para a forma de variáveis de fase projetar o controlador e finalmente transformar o projeto de controlador de volta para a representação original da planta O projeto do controlador depende da disponibilidade dos estados para realimentação Na próxima seção discutimos o projeto de realimentação de variáveis de estado quando algumas ou todas as variáveis de estado não estão disponíveis 125 Projeto de Observador O projeto do controlador depende do acesso às variáveis de estado para a realimentação através de ganhos ajustáveis Este acesso pode ser fornecido através de equipamentos Por exemplo giroscópios podem medir posição e velocidade em um veículo espacial Algumas vezes é impraticável utilizar esse equipamento por questões de custo exatidão ou disponibilidade Por exemplo no voo propulsionado de veículos espaciais unidades de medição inercial podem ser utilizadas para calcular a aceleração Entretanto seu alinhamento se deteriora com o tempo assim outras formas de medir a aceleração podem ser desejáveis Rockwell International 1984 Em outras aplicações algumas variáveis de estado podem realmente não estar disponíveis ou pode ser muito dispendioso medilas ou enviálas ao controlador Caso as variáveis de estado não estejam disponíveis por causa da configuração do sistema ou do custo é possível estimar os estados Os estados estimados em vez dos estados reais são então alimentados para o controlador Um esquema é mostrado na Figura 1211a Um observador algumas vezes chamado de estimador é utilizado para calcular as variáveis de estado que não estão acessíveis a partir da planta Nesse caso o observador é um modelo da planta Vamos examinar as desvantagens de tal configuração Considere uma planta e um observador FIGURA 1211 Projeto de realimentação de estado utilizando um observador para estimar variáveis de estado indisponíveis a observador em malha aberta b observador em malha fechada c vista detalhada de um observador em malha fechada mostrando a estrutura de realimentação para reduzir o erro de estimação das variáveis de estado Subtraindo as Eqs 1258 das Eqs 1257 obtemos Assim a dinâmica da diferença entre o estado real e o estado estimado está livre e se a planta é estável essa diferença decorrente de diferenças iniciais nos vetores de estado tende a zero Entretanto a velocidade de convergência entre o estado real e o estado estimado é a mesma da resposta transitória da planta uma vez que a equação característica para a Eq 1259a é a mesma que para a Eq 1257a Como a convergência é muito lenta procuramos por uma forma de aumentar a velocidade do observador e fazer com que seu tempo de resposta seja muito mais rápido que o do sistema controlado em malha fechada de modo que efetivamente o controlador receba os estados estimados instantaneamente Para aumentar a velocidade de convergência entre o estado real e o estado estimado utilizamos a realimentação mostrada conceitualmente na Figura 1211b e em mais detalhes na Figura 1211c O erro entre as saídas da planta e do observador é realimentado para as derivadas dos estados do observador O sistema efetua as correções para levar esse erro a zero Com a realimentação podemos projetar uma resposta transitória desejada para o observador que é muito mais rápida que a da planta ou a do sistema controlado em malha fechada Quando implementamos o controlador constatamos que as formas de variáveis de fase ou a forma canônica controlável propiciavam uma solução fácil para os ganhos do controlador No projeto de um observador é a forma canônica observável que propicia a solução fácil para os ganhos do observador A Figura 1212a mostra um exemplo de uma planta de terceira ordem representada na forma canônica observável Na Figura 1212b a planta é configurada como um observador com a inclusão da realimentação como descrito anteriormente O projeto do observador é separado do projeto do controlador De modo semelhante ao do projeto do vetor do controlador K o projeto do observador consiste em calcular o vetor constante L de modo que a resposta transitória do observador seja mais rápida que a resposta da malha controlada a fim de resultar em uma estimação atualizada rapidamente do vetor de estado Deduzimos agora a metodologia de projeto FIGURA 1212 Observador de terceira ordem na forma canônica observável a antes da inclusão da realimentação b após a inclusão da realimentação Iremos primeiro determinar as equações de estado do erro entre o vetor de estado real e o vetor de estado estimado x Em seguida iremos determinar a equação característica para o erro do sistema e calcular o L requerido para conseguir uma resposta transitória rápida para o observador Escrevendo as equações de estado do observador a partir da Figura 1211c temos Mas as equações de estado da planta são Subtraindo as Eqs 1260 das Eqs 1261 obtemos onde x é o erro entre o vetor de estado real e o vetor de estado estimado e y ŷ é o erro entre a saída real e a saída estimada Substituindo a equação de saída na equação de estado obtemos a equação de estado para o erro entre o vetor de estado estimado e o vetor de estado real Fazendo ex x temos A Eq 1264a é livre Caso os autovalores sejam todos negativos o erro do vetor de estado estimado ex decairá a zero O projeto então consiste em resolver para os valores de L para resultar em uma equação característica desejada ou resposta desejada para as Eqs 1264 A equação característica é determinada a partir das Eqs 1264 como Agora escolhemos os autovalores do observador para resultar em estabilidade e uma resposta transitória desejada que é mais rápida que a resposta controlada em malha fechada Esses autovalores determinam uma equação característica que igualamos à Eq 1265 para resolver para L Vamos demonstrar o procedimento para uma planta de ordem n representada na forma canônica observável Primeiro obtemos A LC As formas de A L e C podem ser deduzidas extrapolandose as formas dessas matrizes a partir de uma planta de terceira ordem que você pode deduzir a partir da Figura 1212 Portanto A equação característica para A LC é Observe a relação entre a Eq 1267 e a equação característica detsI A 0 para a planta que é Portanto se desejado a Eq 1267 pode ser escrita por inspeção se a planta está representada na forma canônica observável Agora igualamos a Eq 1267 à equação característica do observador em malha fechada desejada a qual é escolhida com base em uma resposta transitória desejada Admita que a equação característica desejada seja Podemos agora resolver para os li igualando os coeficientes das Eqs 1267 e 1269 Vamos demonstrar o projeto de um observador utilizando a forma canônica observável Em seções subsequentes mostraremos como projetar o observador para outras formas diferentes da canônica 1 2 3 4 observável Exemplo 125 Projeto de Observador para Forma Canônica Observável PROBLEMA Projete um observador para a planta que está representada na forma canônica observável O observador irá responder 10 vezes mais rápido que a malha controlada projetada no Exemplo 124 SOLUÇÃO Primeiro represente a planta estimada na forma canônica observável O resultado é mostrado na Figura 1213a Agora forme a diferença entre a saída real da planta y e a saída estimada do observador ŷ e acrescente os caminhos de realimentação a partir dessa diferença até a derivada de cada variável de estado O resultado é mostrado na Figura 1213b A seguir obtenha o polinômio característico As equações de estado para a planta estimada mostrada na Figura 1213a são A partir das Eqs 1264 e 1266 o erro do observador é Utilizando a Eq 1265 obtemos o polinômio característico Agora obtenha o polinômio desejado iguale os coeficientes aos da Eq 1274 e resolva para os ganhos li A partir da Eq 1250 o sistema controlado em malha fechada possui polos dominantes de segunda ordem em 1 j2 Para fazer nosso observador 10 vezes mais rápido projetamos os polos do observador como 10 j20 Escolhemos o terceiro polo como 10 vezes a parte real dos polos dominantes de segunda ordem ou 100 Assim o polinômio característico desejado é FIGURA 1213 a Diagrama de fluxo de sinal de um sistema utilizando variáveis da forma canônica observável b realimentação adicional para criar o observador Igualando as Eqs 1274 e 1275 obtemos l1 112 l2 2483 e l3 49990 Uma simulação do observador com uma entrada rt 100t é mostrada na Figura 1214 As condições iniciais da planta eram todas nulas e a condição inicial de 1 foi 05 Como os polos dominantes do observador são 10 j20 o tempo de acomodação esperado deve ser de cerca de 04 segundo É interessante observar a resposta mais lenta na Figura 1214b onde os ganhos do observador foram desconectados e o observador é simplesmente uma cópia da planta com uma condição inicial diferente Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch12p4 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um observador utilizando alocação de polos Este exercício resolve o Exemplo 125 utilizando o MATLAB FIGURA 1214 Simulação mostrando a resposta do observador a em malha fechada b em malha aberta com os ganhos do observador desconectados Exercício 124 PROBLEMA Projete um observador para a planta cuja planta estimada é representada no espaço de estados na forma canônica observável como O observador irá responder 10 vezes mais rápido que a malha controlada projetada no Exercício 123 RESPOSTA L 216 9730 383 696T onde T indica vetor transposto A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 123 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício 124 A24 1 0 191 0 1 504 0 0 C1 0 0 pos20 Ts2 zlogpos100 sqrt pi2 logpos1002 wn4zTs rroots p1 2zwn wn2 poles10r 10 real r1 lacker A C poles Nesta seção projetamos um observador na forma canônica observável que utiliza a saída de um sistema para estimar as variáveis de estado Na próxima seção examinamos as condições nas quais um observador não pode ser projetado 126 Observabilidade Recorde que a capacidade de controlar todas as variáveis de estado é um requisito para o projeto de um controlador Os ganhos de realimentação das variáveis de estado não podem ser projetados se alguma variável de estado for não controlável A não controlabilidade pode ser mais bem visualizada em sistemas diagonalizados O diagrama de fluxo de sinal mostrou claramente que a variável de estado não controlável não estava conectada ao sinal de controle do sistema Um conceito semelhante rege nossa capacidade de criar um projeto de observador Especificamente estamos utilizando a saída de um sistema para estimar as variáveis de estado Se alguma variável de estado não tiver efeito sobre a saída então não podemos estimar essa variável de estado observando a saída A capacidade de observar uma variável de estado a partir da saída é mais bem visualizada em sistemas diagonalizados A Figura 1215a mostra um sistema onde cada variável de estado pode ser observada na saída uma vez que cada uma delas está conectada à saída A Figura 1215b é um exemplo de sistema onde nem todas as variáveis de estado podem ser observadas na saída Nesse caso x1 não está conectada à saída e não poderia ser estimada a partir de uma medida da saída Declaramos agora a seguinte definição baseada na discussão anterior FIGURA 1215 Comparação entre sistemas a observável b não observável Se o vetor de estado inicial xt0 puder ser obtido a partir de ut e yt medidos durante um intervalo de tempo finito a partir de t0 o sistema é dito observável caso contrário o sistema é dito não observável Enunciando de forma simples a observabilidade é a capacidade de estimar as variáveis de estado a partir do conhecimento da entrada ut e da saída yt A alocação de polos de um observador é uma técnica de projeto viável apenas para sistemas observáveis Esta seção mostra como determinar a priori se a alocação de polos é ou não uma técnica de projeto viável para um observador Observabilidade por Inspeção Também podemos explorar a observabilidade a partir da equação de saída de um sistema diagonalizado A equação de saída do sistema diagonalizado da Figura 1215a é Por outro lado a equação de saída do sistema não observável da Figura 1215b é Observe que a primeira coluna da Eq 1277 é zero Nos sistemas representados na forma paralela com autovalores distintos se alguma coluna da matriz de saída for zero o sistema diagonal não é observável A Matriz de Observabilidade Novamente como para a controlabilidade os sistemas representados em outras formas que não a diagonalizada não podem ser avaliados de forma confiável quanto à observabilidade por inspeção Para determinar a observabilidade dos sistemas em qualquer representação ou escolha de variáveis de estado uma matriz que deve possuir uma propriedade particular se todas as variáveis de estado devem ser observadas na saída pode ser deduzida Declaramos agora os requisitos para observabilidade incluindo a forma a propriedade e o nome dessa matriz Uma planta de ordem n cujas equações de estado e de saída são respectivamente é completamente observável6 se a matriz tiver posto n em que OM é a chamada de matriz de observabilidade7 Os dois exemplos a seguir ilustram a utilização da matriz de observabilidade Exemplo 126 Observabilidade via Matriz de Observabilidade PROBLEMA Determine se o sistema da Figura 1216 é observável SOLUÇÃO As equações de estado e de saída do sistema são FIGURA 1216 Sistema do Exemplo 126 Portanto a matriz de observabilidade OM é Como o determinante de OM é igual a 2344 OM é de posto completo igual a 3 O sistema é portanto observável Você pode ter sido induzido a um erro e concluído por inspeção que o sistema é não observável porque a variável de estado x1 não é alimentada diretamente para a saída Lembrese de que conclusões sobre a observabilidade por inspeção são válidas somente para sistemas diagonalizados que possuam autovalores distintos Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch12p5 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para testar a observabilidade de um sistema Este exercício resolve o Exemplo 126 utilizando o MATLAB Exemplo 127 Não Observabilidade via Matriz de Observabilidade PROBLEMA Determine se o sistema da Figura 1217 é observável FIGURA 1217 Sistema do Exemplo 127 SOLUÇÃO As equações de estado e de saída do sistema são A matriz de observabilidade OM para esse sistema é O determinante dessa matriz de observabilidade é igual a zero Assim a matriz de observabilidade não possui posto completo e o sistema não é observável Novamente você pode concluir por inspeção que o sistema é observável porque todos os estados alimentam a saída Lembrese de que a observabilidade por inspeção é válida apenas para uma representação diagonalizada de um sistema com autovalores distintos Exercício 125 PROBLEMA Determine se o sistema é observável RESPOSTA Observável A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 124 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício 125 A2 1 3 0 2 1 7 8 9 C4 6 8 Omobsv A C Rankrank Om Agora que discutimos a observabilidade e a matriz de observabilidade estamos prontos para falar sobre o projeto de um observador para uma planta não representada na forma canônica observável 127 Abordagens Alternativas para Projeto de Observador Anteriormente neste capítulo discutimos como projetar controladores para sistemas não representados na forma de variáveis de fase Um dos métodos é igualar os coeficientes de detsI A BK aos coeficientes do polinômio característico desejado Esse método pode resultar em cálculos complexos para os sistemas de ordem elevada Outro método é transformar a planta para a forma de variáveis de fase projetar o controlador e transformar o projeto de volta para a representação original da planta As transformações foram deduzidas a partir da matriz de controlabilidade Nesta seção utilizamos uma ideia parecida para o projeto de observadores não representados na forma canônica observável Um método é igualar os coeficientes de detsI A LC aos coeficientes do polinômio característico desejado Novamente esse método pode resultar em cálculos complexos para sistemas de ordem elevada Outro método é primeiro transformar a planta para a forma canônica observável de modo que as equações de projeto sejam simples em seguida realizar o projeto na forma canônica observável e finalmente transformar o projeto de volta para a representação original Vamos seguir esse segundo método Primeiro iremos deduzir a transformação entre uma representação de sistema e sua representação na forma canônica observável Considere uma planta não representada na forma canônica observável cuja matriz de observabilidade é Agora admita que o sistema possa ser transformado para a forma canônica observável x com a transformação Substituindo a Eq 1286 nas Eqs 1284 e multiplicando a equação de estado à esquerda por P 1 constatamos que as equações de estado na forma canônica observável são cuja matriz de observabilidade OMx é Substituindo a Eq 1285 na Eq 1288 e resolvendo para P obtemos Portanto a transformação P pode ser obtida a partir das duas matrizes de observabilidade Após transformar a planta para a forma canônica observável projetamos os ganhos de realimentação Lx como na Seção 125 Utilizando as matrizes das Eqs 1287 e a forma sugerida pelas Eqs 1264 temos Como Substituindo ex P1ez nas Eqs 1290 as transformamos de volta para a representação original O resultado é Comparando a Eq 1291a com a Eq 1264a observamos que o vetor de ganho do observador é Demonstramos agora o projeto de um observador para uma planta não representada na forma canônica observável O primeiro exemplo utiliza transformações para e de volta da forma canônica observável O segundo exemplo iguala coeficientes sem a transformação Esse método contudo pode se tornar difícil se a ordem do sistema for elevada Exemplo 128 Projeto de Observador via Transformação PROBLEMA Projete um observador para a planta representada na forma em cascata O desempenho em malha fechada do observador é regido pelo polinômio característico utilizado no Exemplo 125 s3 120s2 2500s 50000 SOLUÇÃO Primeiro represente a planta na sua forma original em cascata A matriz de observabilidade OMz é cujo determinante é igual a 1 Portanto a planta é observável A equação característica da planta é Podemos utilizar os coeficientes desse polinômio característico para obter a forma canônica observável em que A matriz de observabilidade para a forma canônica observável é Projetamos agora o observador para a forma canônica observável Primeiro construa Ax LxCx cujo polinômio característico é Igualando esse polinômio à equação característica do observador em malha fechada desejada s3 120s2 2500s 50000 obtemos Agora transforme o projeto de volta para a representação original Utilizando a Eq 1289 a matriz de transformação é Transformando Lx para a representação original obtemos A configuração final é mostrada na Figura 1218 Uma simulação do observador é mostrada na Figura 1219a Para demonstrar o efeito do projeto do observador a Figura 1219b mostra a velocidade reduzida se o observador for simplesmente uma cópia da planta e todos os caminhos de realimentação forem desconectados FIGURA 1218 Projeto de observador FIGURA 1219 Simulação da resposta ao degrau do projeto de observador a observador em malha fechada b observador em malha aberta com os ganhos do observador desconectados Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch12p6 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um observador para uma planta não representada na forma canônica observável Você verá que o MATLAB não requer a transformação para a forma canônica observável Este exercício resolve o Exemplo 128 utilizando o MATLAB Exemplo 129 Projeto de Observador Igualando Coeficientes PROBLEMA Um modelo escalonado no tempo para o nível de glicose no sangue é mostrado na Eq 12105 A saída é o desvio da concentração de glicose a partir de seu valor médio em mg100 ml e a entrada é a taxa de injeção intravenosa de glicose em gkgh Milhorn 1966 Projete um observador para variáveis de fase com uma resposta transitória descrita por ζ 07 e ωn 100 SOLUÇÃO Podemos primeiro modelar a planta na forma de variáveis de fase O resultado é mostrado na Figura 1220a Para a planta O cálculo da matriz de observabilidade OM C CAT mostra que a planta é observável e podemos prosseguir com o projeto Em seguida determine a equação característica do observador Primeiro temos FIGURA 1220 a Planta b observador projetado para o Exemplo 129 Agora calcule det λI A LC 0 para obter a equação característica A partir do enunciado do problema desejamos ζ 07 e ωn 100 Portanto Comparando os coeficientes das Eqs 12108 e 12109 obtemos os valores de l1 e l2 como 38397 e 35506 respectivamente Utilizando a Eq 1260 em que o observador é implementado e mostrado na Figura 1220b Exercício 126 PROBLEMA Projete um observador para a planta cuja planta estimada é representada no espaço de estados na forma em cascata como A resposta ao degrau em malha fechada do observador deve ter 10 de ultrapassagem com um tempo de acomodação de 0 1 segundo RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Agora que exploramos o projeto da resposta transitória utilizando técnicas do espaço de estados vamos voltar nossa atenção para o projeto de características de erro em regime permanente 128 Projeto de Erro em Regime Permanente via Controle Integral Na Seção 78 discutimos como analisar sistemas representados no espaço de estados quanto ao erro em regime permanente Nesta seção discutimos como projetar sistemas representados no espaço de estados com relação ao erro em regime permanente FIGURA 1221 Controle integral para projeto de erro em regime permanente Considere a Figura 1221 O controlador projetado anteriormente discutido na Seção 122 é mostrado no interior do retângulo tracejado Um caminho de realimentação a partir da saída foi acrescentado para formar o erro e o qual é alimentado à frente para a planta controlada através de um integrador O integrador aumenta o tipo do sistema e reduz o erro finito anterior a zero Iremos agora deduzir a forma das equações de estado para o sistema da Figura 1221 e em seguida usaremos essa forma para projetar um controlador Assim seremos capazes de projetar um sistema para erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau bem como projetar a resposta transitória desejada Uma variável de estado adicional xN foi acrescentada na saída do integrador mais à esquerda O erro é a derivada desta variável Agora a partir da Figura 1221 Escrevendo as equações de estado a partir da Figura 1221 temos As Eqs 12112 podem ser escritas como vetores e matrizes aumentados Assim Mas a b a Substituindo a Eq 12114 na Eq 12113a e simplificando obtemos Portanto o tipo do sistema foi aumentado e podemos utilizar a equação característica associada à Eq 12115a para projetar K e Ke para resultar na resposta transitória desejada Perceba que agora temos um polo adicional para alocar O efeito sobre a resposta transitória de quaisquer zeros em malha fechada no projeto final também deve ser levado em consideração Uma hipótese possível é que os zeros em malha fechada serão os mesmos da planta em malha aberta Esta hipótese que naturalmente deve ser verificada sugere a alocação de polos de ordem superior nas posições dos zeros em malha fechada Vamos demonstrar com um exemplo Exemplo 1210 Projeto de Controle Integral PROBLEMA Considere a planta das Eqs 12116 Projete um controlador sem controle integral para resultar em uma ultrapassagem de 10 e um tempo de acomodação de 05 segundo Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário Repita o projeto de a utilizando controle integral Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário SOLUÇÃO Utilizando os requisitos de tempo de acomodação e ultrapassagem percentual determinamos que o polinômio característico desejado é Como a planta está representada na forma de variáveis de fase o polinômio característico para a planta controlada com realimentação de variáveis de estado é b Igualando os coeficientes das Eqs 12117 e 12118 temos A partir das Eqs 123 a planta controlada com realimentação de variáveis de estado na forma de variáveis de fase é Utilizando a Eq 796 determinamos que o erro em regime permanente para uma entrada em degrau é Utilizamos agora as Eqs 12115 para representar a planta controlada com integração como a seguir Utilizando a Eq 373 e a planta das Eqs 12116 constatamos que a função de transferência da planta é Gs 1s2 5s 3 O polinômio característico desejado para o sistema controlado com integração em malha fechada é mostrado na Eq 12117 Como a planta não possui zeros admitimos que não existam zeros no sistema em malha fechada e aumentamos a Eq 12117 com um terceiro polo s 100 que possui uma parte real maior que cinco vezes a dos polos dominantes de segunda ordem O polinômio característico desejado do sistema de terceira ordem em malha fechada é O polinômio característico para o sistema das Eqs 12112 é Igualando os coeficientes das Eqs 12123 e 12124 obtemos Substituindo esses valores nas Eqs 12122 resulta o sistema controlado com integração em malha fechada Para verificar nossa hipótese quanto aos zeros aplicamos agora a Eq 373 às Eqs 12126 e obtemos a função de transferência em malha fechada como Como a função de transferência corresponde ao nosso projeto temos a resposta transitória desejada Agora vamos determinar o erro em regime permanente para uma entrada em degrau unitário Aplicando a Eq 796 às Eqs 12126 obtemos Portanto o sistema se comporta como um sistema do Tipo 1 Exercício 127 PROBLEMA Projete um controlador integral para a planta para resultar em uma resposta ao degrau com 10 de ultrapassagem um instante de pico de 2 segundos e erro em regime permanente nulo RESPOSTA K 221 27 Ke 379 A solução completa está no site da LTC Editora Agora que projetamos controladores e observadores para resposta transitória e para erro em regime permanente resumimos o capítulo com um estudo de caso demonstrando o processo de projeto Estudo de Caso Controle de Antena Projeto de Controlador e Observador Neste estudo de caso utilizamos nosso sistema de controle de posição de azimute de antena para demonstrar o projeto combinado de um controlador e de um observador Admitiremos que os estados não estejam disponíveis e devem ser estimados a partir da saída O diagrama de blocos do sistema original é mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 Ajustando arbitrariamente o ganho do préamplificador em 200 e removendo a realimentação existente a função de transferência à frente é simplificada para a mostrada na Figura 1222 FIGURA 1222 Diagrama de blocos simplificado do sistema de controle de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 1 com K 200 O estudo de caso especificará uma resposta transitória para o sistema e uma resposta transitória mais rápida para o observador A configuração final de projeto consistirá na planta no observador e no controlador como mostrado conceitualmente na Figura 1223 Os projetos do observador e do controlador serão separados PROBLEMA Utilizando o diagrama de blocos simplificado da planta para o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado na Figura 1222 projete um controlador para resultar em uma ultrapassagem de 10 e um tempo de acomodação de 1 segundo Aloque o terceiro polo 10 vezes mais longe do eixo imaginário que o par de polos dominantes de segunda ordem Admita que as variáveis de estado da planta não estejam acessíveis e projete um observador para estimar os estados A resposta transitória desejada para o observador é uma ultrapassagem de 10 e uma frequência natural 10 vezes maior que a da resposta do sistema especificada anteriormente Como no caso do controlador aloque o terceiro polo 10 vezes mais longe do eixo imaginário que o par de polos dominantes de segunda ordem do observador SOLUÇÃO Projeto do Controlador Primeiro projetamos o controlador determinando a equação característica desejada Uma ultrapassagem de 10 e um tempo de acomodação de 1 segundo resultam em ζ 0591 e ωn 677 Assim a equação característica para os polos dominantes é s2 8s 458 0 em que os polos dominantes estão situados em 4 j546 O terceiro polo estará 10 vezes mais longe do eixo imaginário ou em 40 Portanto a equação característica desejada para o sistema em malha fechada é FIGURA 1223 Configuração conceitual de projeto no espaço de estados mostrando a planta o observador e o controlador FIGURA 1224 Diagrama de fluxo de sinal para Gs 1325ss2 10171s 171 Em seguida determinamos a equação característica real do sistema em malha fechada O primeiro passo é modelar o sistema em malha fechada no espaço de estados e então obter sua equação característica A partir da Figura 1222 a função de transferência da planta é Utilizando variáveis de fase essa função de transferência é convertida no diagrama de fluxo de sinal mostrado na Figura 1224 e as equações de estado são escritas como se segue Fazemos agora uma pausa em nosso projeto para verificar a controlabilidade do sistema A matriz de controlabilidade CM é O determinante de CM é 1 portanto o sistema é controlável Continuando com o projeto do controlador mostramos a configuração do controlador com a realimentação a partir de todas as variáveis de estado na Figura 1225 Determinamos agora a equação característica do sistema da Figura 1225 A partir da Eq 127 e da Eq 12131a a matriz de sistema A BK é Portanto a equação característica do sistema em malha fechada é FIGURA 1225 Planta com realimentação de variáveis de estado para o projeto do controlador Igualando os coeficientes da Eq 12129 com os da Eq 12134 calculamos os ki como se segue Projeto do Observador Antes de projetar o observador testamos a observabilidade do sistema Utilizando as matrizes A e C das Eqs 12131 a matriz de observabilidade OMé O determinante de OM é 13253 Portanto OM tem posto 3 e o sistema é observável Prosseguimos agora com o projeto do observador Como a ordem do sistema não é elevada projetaremos o observador diretamente sem converter primeiro para a forma canônica observável A partir da Eq 1264a precisamos primeiro obter A LC A e C das Eqs 12131 junto com são utilizadas para obter A LC como a seguir a A equação característica para o observador é agora determinada como A partir do enunciado do problema os polos do observador devem ser alocados para resultar em uma ultrapassagem de 10 e uma frequência natural de 10 vezes a do par de polos dominantes do sistema Portanto os polos dominantes do observador resultam em s2 2 0591 677s 6772 s2 80s 4583 A parte real das raízes desse polinômio é 40 O terceiro polo é então alocado 10 vezes mais longe do eixo imaginário em 400 A equação característica composta para o observador é Igualando os coeficientes das Eqs 12139 e 12140 resolvemos para os ganhos do observador A Figura 1226 que segue a configuração geral da Figura 1223 mostra o projeto completo incluindo o controlador e o observador Os resultados do projeto são mostrados na Figura 1227 A Figura 1227a mostra a resposta ao impulso do sistema em malha fechada sem qualquer diferença entre a planta e sua modelagem como um observador A ultrapassagem e o tempo de acomodação atendem aproximadamente aos requisitos estabelecidos no enunciado do problema de 10 e 1 segundo respectivamente Na Figura 1227b observamos a resposta projetada no observador Uma condição inicial de 0006 foi dada para x1 na planta para fazer a modelagem da planta e do observador ficarem diferentes Observe que a resposta do observador segue a resposta da planta quando o tempo de 0006 segundo é alcançado DESAFIO Agora apresentamos um estudo de caso para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 3 Se o ganho do pré amplificador for K 20 faça o seguinte Projete um controlador para resultar em 15 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 2 segundos Aloque o terceiro polo 10 vezes mais longe do eixo imaginário que o par de polos dominantes de segunda ordem Utilize as b seguintes variáveis físicas saída do amplificador de potência velocidade angular do motor e deslocamento do motor FIGURA 1226 Projeto completo no espaço de estados para o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrando o controlador e o observador FIGURA 1227 Resposta projetada do sistema de controle de posição de azimute de antena a resposta ao impulso 2 planta e observador com as mesmas condições iniciais b parte da resposta ao impulso 2 planta e observador com condições iniciais diferentes x10 0006 para a planta e para o observador Refaça o esquema mostrado nas guardas dianteiras mostrando um tacômetro que fornece realimentação de c d e velocidade junto com quaisquer ganhos ou atenuadores adicionais necessários para implementar os ganhos de realimentação de variáveis de estado Admita que o tacômetro não esteja disponível para fornecer realimentação de velocidade Projete um observador para estimar os estados das variáveis físicas O observador responderá com 10 de ultrapassagem e uma frequência natural 10 vezes maior que a da resposta do sistema Aloque o terceiro polo do observador 10 vezes mais afastado do eixo imaginário que o par de polos dominantes de segunda ordem do observador Refaça o esquema das guardas dianteiras mostrando a implementação do controlador e do observador Repita os Itens a e c utilizando o MATLAB Resumo Este capítulo seguiu o caminho estabelecido pelos Capítulos 9 e 11 projeto de sistemas de controle O Capítulo 9 utilizou técnicas do lugar geométrico das raízes para projetar um sistema de controle com uma resposta transitória desejada Técnicas de resposta em frequência senoidal para o projeto foram cobertas no Capítulo 11 e neste capítulo utilizamos técnicas de projeto do espaço de estados O projeto no espaço de estados consiste em especificar as posições desejadas dos polos do sistema e em seguida projetar um controlador consistindo em ganhos de realimentação das variáveis de estado para atender esses requisitos Caso as variáveis de estado não estejam disponíveis um observador é projetado para emular a planta e fornecer variáveis de estado estimadas O projeto do controlador consiste em realimentar as variáveis de estado para a entrada u do sistema através de ganhos especificados Os valores desses ganhos são obtidos igualandose os coeficientes da equação característica do sistema aos coeficientes da equação característica desejada Em alguns casos o sinal de controle u não pode afetar uma ou mais variáveis de estado Chamamos esse tipo de sistema de não controlável Para esse sistema um projeto completo não é possível Utilizando a matriz de controlabilidade o projetista pode dizer se o sistema é ou não controlável antes do projeto O projeto do observador consiste em realimentar o erro entre a saída real e a saída estimada Esse erro é realimentado através de ganhos especificados para as derivadas das variáveis de estado estimadas Os valores desses ganhos também são obtidos igualandose os coeficientes da equação característica do observador aos coeficientes da equação característica desejada A resposta do observador é projetada para ser mais rápida que a do controlador de modo que as variáveis de estado estimadas efetivamente apareçam instantaneamente no controlador Em alguns sistemas as variáveis de estado não podem ser deduzidas a partir da saída do sistema como é necessário para o observador Chamamos tais sistemas de não observáveis Utilizando a matriz de observabilidade o projetista pode dizer se o sistema é ou não observável Os observadores podem ser projetados apenas para sistemas observáveis 1 2 3 4 5 6 Finalmente discutimos formas de melhorar o desempenho do erro em regime permanente de sistemas representados no espaço de estados A inclusão de uma integração antes da planta controlada resulta em uma melhoria no erro em regime permanente Neste capítulo essa integração adicional foi incorporada no projeto do controlador Três vantagens do projeto no espaço de estados são evidentes Primeiro em contraste com o método do lugar geométrico das raízes as posições de todos os polos podem ser especificadas para assegurar um efeito desprezível dos polos não dominantes sobre a resposta transitória Com o lugar geométrico das raízes éramos forçados a justificar uma hipótese de que os polos não dominantes não afetavam consideravelmente a resposta transitória Nem sempre éramos capazes de fazer isso Segundo com a utilização de um observador não somos mais forçados a obter as variáveis reais do sistema para a realimentação A vantagem aqui é que algumas vezes as variáveis não podem ser acessadas fisicamente ou pode se tornar muito dispendioso proporcionar esse acesso Finalmente os métodos mostrados se prestam à automação de projeto usando um computador digital Uma desvantagem dos métodos de projeto cobertos neste capítulo é a incapacidade de projetar a posição de zeros em malha aberta ou em malha fechada que podem afetar a resposta transitória No projeto através do lugar geométrico das raízes ou da resposta em frequência os zeros do compensador de atraso de fase ou de avanço de fase podem ser especificados Outra desvantagem dos métodos do espaço de estados diz respeito à capacidade do projetista de relacionar as posições de todos os polos com a resposta desejada essa relação nem sempre é evidente Além disso uma vez concluído o projeto podemos não ficar satisfeitos com a sensibilidade a variações de parâmetros Finalmente como discutido anteriormente as técnicas do espaço de estados não satisfazem nossa intuição tanto quanto as técnicas do lugar geométrico das raízes onde o efeito de variações de parâmetros pode ser observado imediatamente na forma de mudanças nas posições dos polos em malha fechada No próximo capítulo retornamos ao domínio da frequência e projetamos sistemas digitais utilizando ajuste de ganho e compensação em cascata Questões de Revisão Descreva brevemente uma vantagem que as técnicas do espaço de estados têm em relação às técnicas do lugar geométrico das raízes na alocação de polos em malha fechada para o projeto da resposta transitória Descreva brevemente o procedimento de projeto para um controlador Diagramas de fluxo de sinal diferentes podem representar o mesmo sistema Qual forma facilita o cálculo dos ganhos das variáveis durante o projeto do controlador Para realizar um projeto de controlador completo um sistema deve ser controlável Descreva o significado físico de controlabilidade Sob que condições a inspeção do diagrama de fluxo de sinal de um sistema pode resultar na determinação imediata da controlabilidade Para determinar a controlabilidade matematicamente a matriz de controlabilidade é construída e seu posto é verificado Qual é o passo final na determinação da controlabilidade 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 a b c se a matriz de controlabilidade for uma matriz quadrada O que é um observador Sob que condições você utilizaria um observador no seu projeto de um sistema de controle no espaço de estados Descreva brevemente a configuração de um observador Que representação da planta prestase para um projeto mais fácil de um observador Descreva brevemente a técnica de projeto para um observador dada a configuração que você descreveu na Pergunta 9 Compare a principal diferença entre a resposta transitória de um observador e de um controlador Por que existe essa diferença A partir de que equação obtemos a equação característica do sistema compensado com controlador A partir de que equação obtemos a equação característica do observador Para realizar um projeto de observador completo um sistema deve ser observável Descreva o significado físico de observabilidade Sob que condições a inspeção do diagrama de fluxo de sinal de um sistema pode resultar na determinação imediata da observabilidade Para determinar a observabilidade matematicamente a matriz de observabilidade é construída e seu posto é verificado Qual é o passo final na determinação da observabilidade se a matriz de observabilidade for uma matriz quadrada Problemas Considere as seguintes funções de transferência em malha aberta onde Gs YsUs Ys é a transformada de Laplace da saída e Us é a transformada de Laplace do sinal de controle de entrada Para cada uma dessas funções de transferência faça o seguinte Seção 122 Desenhe o diagrama de fluxo de sinal na forma de variáveis de fase Acrescente realimentação de variáveis de estado ao diagrama de fluxo de sinal Para cada diagrama de fluxo de sinal em malha fechada escreva as equações de estado d e 2 a b 3 a b 4 5 a b Escreva por inspeção a função de transferência em malha fechada Ts para seus diagramas de fluxo de sinal em malha fechada Verifique suas respostas para Ts determinando as funções de transferência em malha fechada a partir das equações de estado e da Eq 373 As seguintes funções de transferência em malha aberta podem ser representadas por diagramas de fluxo de sinal na forma em cascata Para cada uma faça o seguinte Seção 124 Desenhe o diagrama de fluxo de sinal e mostre a realimentação de variáveis de estado Determine a função de transferência em malha fechada com realimentação de variáveis de estado As seguintes funções de transferência em malha aberta podem ser representadas pelos diagramas de fluxo de sinal na forma paralela Para cada uma faça o seguinte Seção 124 Desenhe o diagrama de fluxo de sinal e mostre a realimentação de variáveis de estado Determine a função de transferência em malha fechada com realimentação de variáveis de estado Dada a seguinte planta em malha aberta Seção 122 projete um controlador para resultar em uma ultrapassagem de 15 e um tempo de acomodação de 075 segundo Aloque o terceiro polo 10 vezes mais afastado do eixo imaginário que o par de polos dominantes Utilize as variáveis de fase para a realimentação de variáveis de estado A Seção 122 mostrou que o projeto do controlador é mais fácil de ser implementado se o sistema sem compensação estiver representado na forma de variáveis de fase com sua matriz companheira inferior típica Mencionamos o fato de que o projeto também pode progredir facilmente com a utilização da forma canônica controlável com sua matriz companheira superior Seção 122 Refaça o projeto de controlador geral coberto na Seção 122 admitindo que a planta esteja representada na forma canônica controlável em vez da forma de variáveis de fase Aplique sua dedução ao Exemplo 121 caso o processo sem compensação esteja representado na forma canônica controlável 6 7 8 9 10 11 Dada a seguinte planta em malha aberta Seção 122 projete um controlador para resultar em uma ultrapassagem de 15 com um instante de pico de 05 segundo Utilize a forma canônica controlável para a realimentação de variáveis de estado Dado a seguinte planta em malha aberta Seção 122 projete um controlador para resultar em uma ultrapassagem de 10 e um tempo de acomodação de 2 segundos Aloque o terceiro polo 10 vezes mais distante do eixo imaginário que o par de polos dominantes Utilize variáveis de fase para a realimentação de variáveis de estado Repita o Problema 4 admitindo que a planta esteja representada na forma em cascata Não converta para a forma de variáveis de fase Seção 124 Repita o Problema 7 admitindo que a planta esteja representada na forma paralela Não converta para a forma de variáveis de fase Seção 124 Dada a planta mostrada na Figura P121 que relação deve existir entre b1 e b2 para tornar o sistema não controlável Seção 123 Para cada planta representada pelos diagramas de fluxo de sinal na Figura P122 determine a controlabilidade Se a controlabilidade puder ser determinada por inspeção faça isso e então verifique suas conclusões utilizando a matriz de controlabilidade Seção 123 FIGURA P121 12 13 14 15 16 17 Utilize o MATLAB para determinar a controlabilidade dos sistemas da Figura P122d e f Na Seção 124 discutimos como projetar um controlador para sistemas não representados na forma de variáveis de fase com sua matriz companheira inferior típica Descrevemos como converter o sistema para a forma de variáveis de fase projetar o controlador e converter de volta para a representação original Essa técnica pode ser aplicada de modo igualmente fácil caso a representação original seja convertida para a forma canônica controlável com sua matriz companheira superior típica Refaça o Exemplo 124 do texto projetando o controlador após converter a planta sem compensação para a forma canônica controlável Seção 124 Considere a seguinte função de transferência Caso o sistema esteja representado na forma em cascata como mostrado na Figura P123 projete um controlador para resultar em uma resposta em malha fechada com 10 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 1 segundo Projete o controlador transformando primeiro a planta para variáveis de fase Seção 124 Utilize o MATLAB para projetar os ganhos do controlador para o sistema dado no Problema 14 Repita o Problema 14 admitindo que a planta esteja representada na forma paralela Seção 124 O sistema em malha aberta do Problema 14 é representado como mostrado na Figura P124 Caso a saída de cada bloco seja designada como uma variável de estado projete os ganhos do controlador para realimentação a partir dessas variáveis de estado Seção 124 18 FIGURA P122 FIGURA P123 FIGURA P124 Caso uma planta em malha aberta 19 a b 20 21 esteja representada na forma paralela projete um controlador para resultar em uma resposta em malha fechada com 15 de ultrapassagem e um instante de pico de 02 segundo Projete o controlador transformando primeiro a planta para a forma canônica controlável Seção 124 Para um indivíduo específico o modelo linear invariante no tempo do eixo hipotálamopituitáriaadrenal do sistema endócrino com cinco variáveis de estado foi obtido como Kyrylov 2005 As definições das variáveis de estado foram dadas no Problema 25 Capítulo 3 Utilize o MATLAB para determinar se o sistema é controlável Utilize o MATLAB para expressar as matrizes A e B na forma de variáveis de fase Considere a planta cujas variáveis de estado não estão disponíveis Projete um observador para as variáveis canônicas observáveis para resultar em uma resposta transitória descrita por ζ 04 e ωn 75 Aloque o terceiro polo 10 vezes mais distante do eixo imaginário que os polos dominantes Seção 125 Projete um observador para a planta 22 23 24 25 26 27 operando com 10 de ultrapassagem e 2 segundos de instante de pico Projete o observador para responder 10 vezes mais rápido que a planta Aloque o terceiro polo do observador 20 vezes mais distante do eixo imaginário que os polos dominantes do observador Admita que a planta esteja representada na forma canônica observável Seção 125 Repita o Problema 20 admitindo que a planta esteja representada na forma de variáveis de fase Não converta para a forma canônica observável Seção 127 Considere a planta cujas variáveis de fase não estão disponíveis Projete um observador para as variáveis de fase com uma resposta transitória descrita por ζ 06 e ωn 120 Não converta para a forma canônica observável Seção 127 Determine se cada sistema mostrado na Figura P122 é ou não observável Seção 126 Utilize o MATLAB para determinar a observabilidade dos sistemas da Figura P122a e f Dada a planta da Figura P125 qual relação deve existir entre c1 e c2 para que o sistema seja não observável Seção 126 FIGURA P125 Projete um observador para a planta 28 29 30 31 a b 32 representada na forma em cascata Transforme a planta para a forma canônica observável para o projeto Em seguida transforme o projeto de volta para a forma em cascata O polinômio característico para o observador deve ser s3 600s2 40000s 1500000 Utilize o MATLAB para projetar os ganhos do observador para o sistema dado no Problema 27 Repita o Problema 27 admitindo que a planta esteja representada na forma paralela Seção 127 Projete um observador para representada na forma de variáveis de fase com um desempenho desejado de 10 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 05 segundo O observador será 10 vezes mais rápido que a planta e o polo não dominante do observador estará 10 vezes mais distante do eixo imaginário do que os polos dominantes do observador Projete o observador convertendo primeiro para a forma canônica observável Seção 127 As propriedades de observabilidade e controlabilidade dependem da representação no espaço de estados escolhida para um dado sistema Em geral a observabilidade e a controlabilidade são afetadas quando cancelamentos de polos e zeros estão presentes na função de transferência Considere os dois sistemas a seguir com representações Mostre que ambos os sistemas possuem a mesma função de transferência após o cancelamento de polos e zeros Verifique a observabilidade de ambos os sistemas Dada a planta projete um controlador integral para resultar em uma ultrapassagem de 10 05 segundo de tempo de acomodação e erro nulo em regime permanente para uma entrada em degrau Seção 33 34 35 a b 36 128 Repita o Problema 32 para a seguinte planta Seção 128 PROBLEMAS DE PROJETO Um sistema de levitação magnética é descrito no Problema 50 no Capítulo 9 Cho 1993 Remova a fotocélula na Figura P914b e projete um controlador para variáveis de fase para resultar em uma resposta ao degrau com 5 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 05 segundo O Problema 24 no Capítulo 3 introduziu o modelo para pacientes tratados com um esquema de uma única dose diária de insulina Glargina Tarín 2005 O modelo para determinar a resposta de um paciente específico à medicação pode ser expresso na forma de variáveis de fase com As variáveis de estado assumirão significados diferentes nesta expressão mas a entrada e a saída permanecem as mesmas Lembrese de que u fluxo de insulina externo e y concentração de insulina no plasma Obtenha uma matriz de ganhos de realimentação de estado de modo que o sistema em malha fechada tenha dois de seus polos alocados em 2115 e o terceiro polo em 212 Utilize o MATLAB para verificar que os polos estão nas posições especificadas no Item a A Figura P126 mostra um reator tanque agitado contínuo no qual uma solução aquosa de acetato de sódio CH3COONa é neutralizada no tanque de mistura com ácido clorídrico HCl para manter um pH específico no tanque de mistura A quantidade de ácido na mistura é controlada variandose a velocidade rotacional de uma bomba peristáltica de alimentação Uma função de transferência linearizada nominal do fluxo de HCl para o pH foi determinada como Tadeo 2000 a b c 37 a b c d Escreva o sistema no espaço de estados na forma de variáveis de fase Utilize métodos de realimentação de estado para projetar uma matriz K que resultará em uma resposta de saída de pH superamortecida com um tempo de acomodação Ts 5 min para uma entrada em degrau para a variação de pH Simule a resposta ao degrau do sistema em malha fechada resultante utilizando o MATLAB Para o conversor cccc do Problema 67 Capítulo 4 Van Dijk 1995 com L 6 mH C 1 mF R 100 Ω um ciclo ativo de PWM de 50 e admitindo que a saída do sistema seja a tensão sobre o capacitor o modelo pode ser expresso como FIGURA P126 2000 IEEE Obtenha a função de transferência do sistema Expresse as equações de estado do sistema na forma de variáveis de fase Determine um conjunto de ganhos de realimentação de estado para obter 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 05 segundo com o sistema em variáveis de fase Obtenha o conjunto correspondente de ganhos de realimentação de estado para o sistema e f 38 a b 39 a b 40 original Verifique que o conjunto de ganhos no Item d aloca os polos em malha fechada nas posições desejadas Simule a resposta ao degrau unitário do sistema utilizando o MATLAB Projete um observador para o conversor cccc do Problema 37 O observador deve ter constantes de tempo 10 vezes menores que as do sistema original Simule seu sistema e observador para uma entrada em degrau unitário utilizando o Simulink Admita que as condições iniciais do sistema original sejam O observador deve ter condições iniciais Projete um observador para o sistema de neutralização utilizando o reator tanque agitado contínuo do Problema 36 O observador deve ter constantes de tempo 10 vezes menores que as do sistema original Admita que as variáveis de estado originais sejam as obtidas na representação em variáveis de fase Simule seu sistema e observador para uma entrada em degrau unitário utilizando o Simulink Admita que as condições iniciais do sistema original sejam O observador deve ter condições iniciais O diagrama de blocos conceitual de um aquecedor a gás é mostrado na Figura P127 A pressão de combustível comandada é proporcional à temperatura desejada A diferença entre a pressão de combustível comandada e uma pressão medida relacionada com a temperatura de saída é utilizada para acionar uma válvula e liberar combustível para o aquecedor A vazão de combustível determina a temperatura Quando a temperatura de saída se iguala à temperatura equivalente comandada como determinado pela pressão de combustível comandada o fluxo de combustível é interrompido e o aquecedor é desligado Tyner 1968 Caso a função de transferência do aquecedor GHs seja 41 a b 42 a b e a função de transferência da válvula de combustível Gvs seja substitua o caminho de realimentação da temperatura por um controlador em variáveis de fase que resulte em uma ultrapassagem de 5 e um tempo de acomodação de 10 minutos Além disso projete um observador que irá responder 10 vezes mais rápido que o sistema mas com a mesma ultrapassagem Reprojeto o sistema conversor cccc do Problema 37 para incluir controle integral Simule seu sistema para uma entrada em degrau utilizando o Simulink e verifique que as especificações são atendidas Em particular verifique que o sistema possui erro em regime permanente nulo O acionador de disco flexível do Problema 57 no Capítulo 8 deve ser reprojetado usando realimentação de variáveis de estado O controlador é substituído por um amplificador de ganho estático unitário Gas 800s 800 A planta Gps 20000ss 100 está em cascata com o amplificador Projete um controlador para resultar em 10 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 005 segundo Admita que as variáveis de estado sejam a posição de saída a velocidade de saída e a saída do amplificador Calcule o erro em regime permanente e reprojete o sistema com um controlador integral para reduzir o erro em regime permanente a zero A utilização de um programa com capacidade de processamento simbólico é altamente recomendada FIGURA P127 Diagrama de blocos de um aquecedor a gás c 43 44 45 a b 46 Simule a resposta ao degrau de ambos os sistemas o compensado com controlador e o compensado com integrador e controlador Utilize o MATLAB ou qualquer outro programa de computador Dado o sistema de controle do ângulo de ataque da aeronave AFTIF16 mostrado na Figura P915 Monahemi 1992 utilize o MATLAB para projetar um controlador para a planta para resultar em 10 de ultrapassagem com um tempo de acomodação de 05 segundo Admita que as variáveis de fase estejam acessíveis Faça o programa apresentar a resposta ao degrau do sistema compensado Para o sistema de controle do ângulo de ataque do Problema 43 utilize o MATLAB para projetar um observador para as variáveis de fase que seja 15 vezes mais rápido que o sistema projetado com o controlador Para o sistema de controle do ângulo de ataque do Problema 43 faça o seguinte Projete um controle integral utilizando variáveis de fase para reduzir o erro em regime permanente a zero A utilização de um programa com capacidade de processamento simbólico é altamente recomendada Utilize o MATLAB para obter a resposta ao degrau A utilização de controle com realimentação para variar o ângulo de inclinação das pás de uma turbina eólica de velocidade variável permite a otimização da geração de energia em condições de vento variável Liu 2008 Em um ponto de operação específico é possível linearizar o modelo da turbina Por exemplo o modelo de uma turbina com três pás com um raio de 15 m trabalhando com velocidade do vento de 12 ms e gerando 220 V pode ser expresso como a b 47 a b 48 em que o vetor de variáveis de estado é dado por Em que β ângulo de inclinação das pás da turbina eólica ξ ângulo relativo do eixo secundário ωg velocidade do gerador ωgm medida da velocidade do gerador A entrada do sistema é u a referência de ângulo de inclinação e a saída é y a potência ativa gerada Obtenha um vetor de ganho de realimentação de estado tal que o sistema responda com uma ultrapassagem de 10 e um tempo de acomodação de 2 segundos para uma entrada em degrau Utilize o MATLAB para verificar a operação do sistema com realimentação de estado PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade OConnor 1997 No Problema 79a Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo Para a parcela em malha aberta do sistema de pantógrafo modelado no Capítulo 5 faça o seguinte Projete um controlador para resultar em 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 1 segundo Repita o Item a com um erro em regime permanente nulo Controle de HIVAIDS O modelo linearizado da infecção por HIV quando RTIs são utilizados no tratamento foi introduzido no Capítulo 4 e é repetido aqui por conveniência Craig 2004 a 1 2 3 b 49 T representa a quantidade de células T saudáveis T a quantidade de células infectadas e v a quantidade de vírus livres Projete um esquema de realimentação de estado para obter erro em regime permanente nulo para entradas em degrau 10 de ultrapassagem um tempo de acomodação de aproximadamente 100 dias Sugestão a função de transferência do sistema possui um zero em malha aberta em aproximadamente 2002 Utilize um dos polos do polinômio de polos em malha fechada desejado para eliminar esse zero Aloque o polo de ordem superior 625 vezes mais afastado que o par dominante Simule a resposta ao degrau unitário de seu projeto utilizando o Simulink Veículo híbrido No Problema 332 introduzimos a ideia de que quando um motor elétrico é a única fonte da força motriz para um veículo elétrico híbrido HEV os caminhos à frente de todas as topologias HEV são similares Foi observado que em geral o caminho à frente de um sistema de controle de cruzeiro de um HEV pode ser representado por um diagrama de blocos semelhante ao da Figura P319 Preitl 2007 O Diagrama é mostrado na Figura P128 com os parâmetros substituídos pelos valores numéricos do Problema 669 a armadura do motor representada como um sistema de primeira ordem com um ganho em regime permanente unitário e uma constante de tempo de 50 ms e o ganho do amplificador de potência ajustado para 50 Enquanto as variáveis de estado continuam sendo a velocidade angular do motor ωt e a corrente da armadura Iat admitimos agora que temos apenas uma variável de entrada uct a tensão comandada a partir da unidade de controle eletrônico e uma variável de saída a velocidade do carro v rωitot 006154ω A variação do torque na carga Tct é representada como uma realimentação interna proporcional a ωt a b 1 2 FIGURA P128 Examinando o diagrama as equações de estado podem ser escritas como Projete um controlador integral para UP 432 um tempo de acomodação Ts 44 s e um erro em regime permanente nulo para uma entrada em degrau Sugestão para levar em conta o efeito do controlador integral sobre a resposta transitória use Ts 4 segundos no seu cálculo do valor da frequência natural ωn dos polos dominantes requeridos Utilize o MATLAB para verificar que os requisitos de projeto são atendidos Investigando em Laboratório Virtual Experimento 121 Objetivo Simular um sistema que foi projetado para resposta transitória através de um controlador e de um observador no espaço de estados Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox PréEnsaio Este experimento é baseado no seu projeto de controlador e de observador como especificado no problema de Desafio do Estudo de Caso no Capítulo 12 Uma vez que você tenha concluído o projeto do controlador e do observador deste problema prossiga para o PréEnsaio 2 Qual é o vetor de ganho do controlador para seu projeto do sistema especificado no problema 3 4 1 2 3 1 2 3 de Desafio do Estudo de Caso no Capítulo 12 Qual é o vetor de ganho do observador para seu projeto do sistema especificado no problema de Desafio do Estudo de Caso no Capítulo 12 Desenhe um diagrama para Simulink para simular o sistema Mostre o sistema o controlador e o observador utilizando as variáveis físicas especificadas no problema de Desafio do Estudo de Caso no Capítulo 12 Ensaio Utilizando o Simulink e o seu diagrama do PréEnsaio 4 crie o diagrama Simulink a partir do qual você pode simular a resposta Crie gráficos de resposta do sistema e do observador para uma entrada em degrau Meça a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação para ambos os gráficos PósEnsaio Construa uma tabela mostrando as especificações de projeto e os resultados da simulação para ultrapassagem percentual e tempo de acomodação Compare as especificações de projeto com os resultados da simulação para ambas as respostas do sistema e do observador Explique quaisquer discrepâncias Descreva quaisquer problemas que você tenha tido implementando seu projeto Experimento 122 Objetivo Utilizar o LabVIEW para projetar um controlador e um observador Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW Control Design and Simulation Module e MathScropt RT Module PréEnsaio Projete uma VI LabVIEW que irá projetar o controlador e o observador para o Estudo de Caso de Controle de Antena deste capítulo Sua VI terá as seguintes entradas forma de variáveis de fase da planta os polos do controlador e os polos do observador para atender aos requisitos Seus indicadores mostrarão o seguinte a equação em variáveis de fase da planta se o sistema é ou não é controlável a equação canônica observável do observador se o sistema é ou não é observável os ganhos do controlador e os ganhos do observador Além disso apresente as curvas de resposta a impulso e resposta inicial mostradas na Figura 1227 Adicionalmente apresente curvas de resposta semelhantes para as variáveis de estado Ensaio Execute sua VI e colete dados a partir dos quais seja possível comparar os resultados do estudo de caso com os obtidos a partir de sua VI PósEnsaio Compare e resuma os resultados obtidos a partir de sua VI com os do Estudo de Caso de Controle de Antena do Capítulo 12 Bibliografia Cho D Kato Y and Spilman D Sliding Mode and Classical Controllers in Magnetic Levitation Systems IEEE Control Systems February 1993 pp 4248 Craig IK Xia X and Venter JW Introducing HIVAIDS Education into the Electrical Engineering Curriculum at the University of Pretoria IEEE Transactions on Education vol 47 no 1 February 2004 pp 6573 DAzzo JJ and Houpis CH Linear Control System Analysis and Design Conventional and Modern 3d ed McGrawHill New York 1988 Franklin G F Powell J D and EmamiNaeini A Feedback Control of Dynamic Systems 3d ed Addison Wesley Reading MA 1994 Hostetter G H Savant C J Jr and Stefani R T Designof Feedback Control Systems 2d ed Saunders College Publishing New York 1989 Kailath T Linear Systems Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1980 Kyrylov V Severyanova L A and Vieira A Modeling Robust Oscillatory Behavior of the Hypothalamic PituitaryAdrenal Axis IEEE Transactions on Biomedical Engineering vol 52 no 12 2005 pp 19771983 Liu JH Xu DP and Yang XY MultiObjective Power Control of a Variable Speed Wind Turbine Based on Theory Proceedings of the Seventh International Conference on Machine Learning and Cybernetics July 2008 pp 20362041 Luenberger D G Observing the State of a Linear System IEEE Transactions on Military Electronics vol MIL8 April 1964 pp 7480 Milhorn H T Jr The Application of Control Theory to Physiological SystemsW B Saunders Philadelphia 1966 Monahemi M M Barlow J B and OLeary D P Design of ReducedOrder Observers with Precise LoopTransfer Recovery Journal of GuidanceControl and Dynamics vol 15 no6 NovemberDecember 1992 pp 1320 1326 O Connor D N Eppinger S D Seering W P and Wormly D N Active Controlofa HighSpeed Pantograph Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 119 March 1997 pp 14 Ogata K Modern Control Engineering 2d ed Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1990 Ogata K State Space Analysis of Control Systems Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1967 Preitl Z Bauer P and Bokor J A Simple Control Solution for Traction Motor Used in Hybrid Vehicles Fourth International Symposium on Applied Computational Intelligence and Informatics IEEE 2007 Rockwell International Space Shuttle Transportation System 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ordem superior bem longe dos polos dominantes de segunda ordem ou próximos de um zero em malha fechada para manter o projeto do sistema de segunda ordem válido Outra abordagem é utilizar conceitos de controle ótimo o que está além do escopo deste texto 2Ver o trabalho de Ogata 1990 699702 listado na Bibliografia para a dedução 3Completamente controlável significa que todas as variáveis de estado são controláveis Este livro utiliza controlável com o significado de completamente controlável 4Ver o Apêndice G no site da LTC Editora para a definição de posto Para sistemas com uma única entrada em vez de especificar posto n podemos dizer que CM deve ser não singular possuir inversa ou ter linhas e colunas linearmente independentes 5Ver as discussões sobre a fórmula de Ackermann em Franklin 1994 e Ogata 1990 listados na Bibliografia 6Completamente observável significa que todas as variáveis de estado são observáveis Este livro utiliza observável com o significado de completamente observável 7Ver Ogata 1990 706708 para uma dedução Resultados de Aprendizagem do Capítulo Após completar este capítulo o estudante estará apto a Modelar o computador digital em um sistema com realimentação Seções 131 e 132 Obter a transformada z e a transformada z inversa de funções do tempo e da variável de Laplace Seção 133 Obter funções de transferência com dados amostrados Seção 134 Reduzir uma interconexão de funções de transferência com dados amostrados a uma única função de transferência com dados amostrados Seção 135 Determinar se um sistema com dados amostrados é estável e determinar taxas de amostragem para a estabilidade Seção 136 Projetar sistemas digitais para atender especificações de erro em regime permanente Seção 137 Projetar sistemas digitais para atender especificações de resposta transitória utilizando ajuste de ganho Seções 138 e 139 Projetar a compensação em cascata para sistemas digitais Seções 1310 e 1311 Resultados de Aprendizagem do Estudo de Caso Você será capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os estudos de caso como se segue Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena analógico mostrado nas guardas dianteiras e na Figura 131a você será capaz de converter o sistema para um sistema digital como mostrado na Figura 131b e em seguida projetar o ganho para atender uma especificação de resposta transitória Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena digital mostrado na Figura 131b você será capaz de projetar um compensador digital em cascata para melhorar a resposta transitória FIGURA 131 Conversão do sistema de controle de posição de azimute de antena de a controle analógico para b controle digital 131 Introdução Este capítulo é uma introdução aos sistemas de controle digital e cobrirá apenas a análise e o projeto no domínio da frequência Você é encorajado a prosseguir o estudo de técnicas do espaço de estados em um curso avançado sobre sistemas de controle com dados amostrados Neste capítulo introduzimos a análise e o projeto de estabilidade erro em regime permanente e resposta transitória para sistemas controlados por computador Com o desenvolvimento do minicomputador nos meados de 1960 e do microcomputador nos meados de 1970 os sistemas físicos não precisam mais ser controlados por dispendiosos computadores de grande porte Por exemplo operações de fresagem que requeriam computadores de grande porte no passado agora podem ser controladas por um computador pessoal O computador digital pode executar duas funções 1 supervisão externa à malha de realimentação e 2 controle interno à malha de realimentação Exemplos de funções supervisórias consistem de escalonamento de tarefas monitoramento de parâmetros e variáveis com relação a valores fora de faixa ou inicialização do desligamento de segurança As funções de controle são de nosso principal interesse uma vez que um computador operando dentro da malha de realimentação substitui os métodos de compensação discutidos até agora Exemplos de funções de controle são as compensações com avanço e com atraso de fase As funções de transferência representando compensadores construídos com componentes analógicos são agora substituídas por um computador digital que executa cálculos que emulam o compensador físico Quais são as vantagens de substituir componentes analógicos por um computador digital Vantagens dos Computadores Digitais A utilização de computadores digitais na malha resulta nas seguintes vantagens com relação aos sistemas analógicos 1 custo reduzido 2 flexibilidade na resposta a alterações de projeto e 3 imunidade a ruído Os sistemas de controle modernos requerem o controle simultâneo de várias malhas pressão posição velocidade e tração por exemplo Na indústria siderúrgica um único computador digital pode substituir vários controladores analógicos com uma redução subsequente no custo Onde os controladores analógicos implicavam em vários ajustes e equipamentos resultantes os sistemas digitais estão agora instalados Conjuntos de equipamentos medidores e botões são substituídos por terminais de computador onde as informações sobre configurações e desempenho são obtidas através de menus e de telas de apresentação Computadores digitais na malha podem resultar em um grau de flexibilidade na resposta a mudanças no projeto Quaisquer mudanças ou modificações que sejam requeridas no futuro podem ser implementadas com simples alterações no programa ao invés de modificações dispendiosas de equipamento Finalmente os sistemas digitais exibem uma maior imunidade a ruído do que os sistemas analógicos em virtude dos métodos de implementação Onde então o computador é colocado na malha Lembre de que o computador digital está controlando várias malhas assim sua posição na malha depende da função que ele desempenha Tipicamente o computador substitui o compensador em cascata e assim é posicionado no local mostrado na Figura 132a FIGURA 132 a Posicionamento do computador digital dentro da malha b diagrama de blocos detalhado mostrando o posicionamento de conversores AD e DA Os sinais r e f e c mostrados na Figura 132a podem assumir duas formas digital ou analógica Até aqui utilizamos exclusivamente sinais analógicos Os sinais digitais que consistem de uma sequência de números binários podem ser encontrados em malhas contendo computadores digitais As malhas contendo ambos os sinais analógicos e digitais devem fornecer um meio para a conversão de uma forma para a outra como requerido por cada subsistema Um dispositivo que converte sinais analógicos em sinais digitais é chamado de conversor analógicodigital AD Reciprocamente um dispositivo que converte sinais digitais em sinais analógicos é chamado de conversor digitalanalógico DA Por exemplo na Figura 132b se a saída da planta c e a entrada do sistema r são sinais analógicos então um conversor analógicodigital deve ser colocado na entrada do computador digital Além disso se a entrada da planta f é um sinal analógico então um conversor digitalanalógico deve ser colocado na saída do computador digital Conversão DigitalAnalógica A conversão digitalanalógica é simples e realizada instantaneamente Tensões adequadamente ponderadas são somadas para resultar na saída analógica Por exemplo na Figura 133 três tensões ponderadas são somadas O código binário de três bits é representado pelas chaves Assim se o número binário é 1102 as chaves do centro e inferior estão ligadas e a saída analógica é 6 volts Na utilização real as chaves são eletrônicas e são acionadas pelo código binário de entrada Conversão AnalógicaDigital A conversão analógicadigital por outro lado é um processo de dois passos e não é instantânea Existe um atraso entre a tensão analógica de entrada e a palavra digital de saída Em um conversor analógicodigital o sinal analógico é primeiro convertido em um sinal amostrado e então convertido em uma sequência de números binários o sinal digital A taxa de amostragem deve ser pelo menos o dobro da faixa de passagem do sinal caso contrário haverá distorção Essa frequência mínima de amostragem é chamada de taxa de amostragem de Nyquist1 FIGURA 133 Conversor digitalanalógico FIGURA 134 Passos da conversão analógicadigital a sinal analógico b sinal analógico após o amostrador e segurador c conversão das amostras em números digitais Na Figura 134a começamos com o sinal analógico Na Figura 134b observamos o sinal analógico amostrado em intervalos periódicos e mantido durante o intervalo de amostragem por um dispositivo chamado de amostrador e segurador de ordem zero zoh zeroorder sample andhold que produz uma aproximação em degraus do sinal analógico Seguradores de ordem mais elevada como o segurador de primeira ordem geram formas de onda mais complexas e mais exatas entre as amostras Por exemplo um segurador de primeira ordem gera uma rampa entre as amostras As amostras são mantidas antes de serem digitalizadas porque o conversor analógico digital converte a tensão em um número digital através de um contador digital o qual leva algum tempo para chegar ao número digital correto Assim uma tensão analógica constante deve estar presente durante o processo de conversão Após a amostragem e manutenção o conversor analógicodigital converte a amostrada em um número digital como mostrado na Figura 134c o qual é obtido da maneira a seguir A faixa de variação da tensão do sinal analógico é dividida em níveis discretos e a cada nível é atribuído um número digital Por exemplo na Figura 134b o sinal analógico está dividido em oito níveis Um número digital de três bits pode representar cada um dos oito níveis como mostrado na figura Assim a diferença entre níveis de quantização é M8 volts onde M é a máxima tensão analógica Em geral para qualquer sistema essa diferença é M2n volts em que n é o número de bits binários utilizados para a conversão analógicadigital Examinando a Figura 134b podemos observar que haverá um erro associado para cada valor analógico digitalizado exceto para as tensões nos limites como M8 e 2M8 Chamamos este erro de erro de quantização Admitindo que o processo de quantização arredonde a tensão analógica para o nível superior ou inferior mais próximo o valor máximo do erro de quantização é igual 12 da diferença entre níveis de quantização na faixa de tensões analógicas de 0 a 15M16 Em geral para qualquer sistema utilizando arredondamento o erro de quantização será 12 M2n M2n1 Cobrimos então os conceitos básicos de sistemas digitais Descobrimos porque eles são utilizados onde o computador digital é colocado na malha e como converter entre sinais analógicos e digitais Uma vez que o computador pode substituir o compensador devemos ter consciência de que o computador está trabalhando com uma representação de amplitude quantizada do sinal analógico formada a partir de valores do sinal analógico em intervalos discretos de tempo Ignorando o erro de quantização verificamos que o computador opera exatamente como o compensador exceto que os sinais passam pelo computador apenas nos instantes de amostragem Descobriremos que a amostragem de dados tem um efeito incomum sobre o desempenho de um sistema com realimentação em malha fechada uma vez que a estabilidade e a resposta transitória são agora dependentes da taxa de amostragem se esta for muito lenta o sistema pode ser instável uma vez que os valores não estão sendo atualizados suficientemente rápido Se vamos analisar e projetar sistemas de controle com realimentação com computadores digitais na malha devemos ser capazes de modelar o computador digital e os conversores digital analógico e analógicodigital associados A modelagem do computador digital junto com os conversores associados é coberta na próxima seção 132 Modelando o Computador Digital Se pensarmos sobre o assunto a forma dos sinais em uma malha não é tão importante quanto o que acontece com eles Por exemplo se a conversão analógicadigital pudesse ocorrer instantaneamente e a amostragem ocorresse em intervalos de tempo que tendessem a zero não haveria necessidade de fazer uma distinção entre os sinais digitais e os sinais analógicos Assim as técnicas anteriores de análise e de projeto seriam válidas independentemente da presença do computador digital O fato de que os sinais são amostrados em intervalos especificados e mantidos faz com que o desempenho do sistema varie com variações da taxa de amostragem Basicamente então o efeito do computador sobre o sinal vem dessa amostragem e manutenção do sinal Portanto para modelar sistemas de controle digital devemos obter uma representação matemática desse processo do amostrador e segurador Modelando o Amostrador Nosso objetivo neste momento é deduzir um modelo matemático para o computador digital representado por um amostrador e segurador de ordem zero Nossa meta é representar o computador como uma função de transferência semelhante à de qualquer subsistema Quando sinais são amostrados contudo a transformada de Laplace com a qual temos lidado se torna um tanto intratável A transformada de Laplace pode ser substituída por outra transformada relacionada chamada de transformada z A transformada z surgirá naturalmente a partir de nosso desenvolvimento da representação matemática do computador Considere os modelos para a amostragem mostrados na Figura 135 O modelo na Figura 135a é uma chave ligando e desligando a uma taxa de amostragem uniforme Na Figura 135b a amostragem também pode ser considerada como sendo o produto da forma de onda no domínio do tempo a ser amostrada ft com uma função de amostragem st Se st é uma sequência de pulsos de largura TW amplitude constante e taxa uniforme como mostrado a saída amostrada consistirá de uma sequência de porções de ft em intervalos regulares Essa visão é equivalente ao modelo de chave da Figura 135a Podemos agora escrever a equação em função do tempo da forma de onda amostrada Utilizando o modelo mostrado na Figura 135b temos em que k é um inteiro entre e T é o período do trem de pulsos e TW é a largura de pulso FIGURA 135 Duas visões da amostragem com taxa uniforme a chave abrindo e fechando b produto da forma de onda no domínio do tempo com a forma de onda de amostragem Como a Eq 131 é o produto de duas funções do tempo aplicar a transformada de Laplace para obter uma função de transferência não é simples Uma simplificação pode ser feita se admitirmos que a largura de pulso TW é pequena em comparação com o período T tal que ft pode ser considerada constante durante o intervalo de amostragem Durante o intervalo de amostragem então ft fkT Portanto para TW pequena A Equação 132 pode ser simplificada ainda mais através da visão fornecida pela transformada de Laplace Aplicando a transformada de Laplace à Eq 132 temos Substituindo por sua expansão em série obtemos Para TW pequena a Eq 134 se torna Finalmente convertendo de volta para o domínio do tempo temos em que δt kT são funções delta de Dirac Assim o resultado da amostragem com pulsos retangulares pode ser considerado como uma série de funções delta cujas áreas são o produto da largura do pulso retangular com a amplitude da forma de onda amostrada ou TWfkT A Equação 136 é retratada na Figura 136 O amostrador é dividido em duas partes 1 um amostrador ideal descrito pela parcela da Eq 136 que não é dependente das características da forma de onda de amostragem e 2 a parcela dependente das características da forma de onda de amostragem TW FIGURA 136 Modelo da amostragem com um trem de pulsos retangulares uniformes FIGURA 137 Amostragem ideal e o segurador de ordem zero Modelando o Segurador de Ordem Zero O passo final na modelagem do computador digital é modelar o segurador de ordem zero que segue o amostrador A Figura 137 resume a função do segurador de ordem zero que é manter o último valor amostrado de ft Se admitirmos um amostrador ideal equivalente a fazer TW 1 então ft é representada por uma sequência de funções delta O segurador de ordem zero produz uma aproximação em degraus para ft Portanto a saída do segurador é uma sequência de funções degrau cuja amplitude é ft no instante de amostragem ou fkT Vimos anteriormente que a função de transferência de qualquer sistema linear é igual à transformada de Laplace da resposta ao impulso uma vez que a transformada de Laplace de uma entrada em impulso unitário ou função delta é unitária Como um único impulso a partir do amostrador produz um degrau durante o intervalo de amostragem a transformada de Laplace deste degrau Ghs que é a resposta ao impulso do segurador de ordem zero é a função de transferência do segurador de ordem zero Utilizando um impulso no instante zero a transformada do degrau resultante que começa em t 0 e termina em t T é Em um sistema físico as amostras da forma de onda de entrada em função do tempo fkT são mantidas durante o intervalo de amostragem Podemos verificar a partir da Eq 138 que o circuito segurador integra a entrada e mantém seu valor durante o intervalo de amostragem Como a área da função delta vinda do amostrador ideal é fkT podemos então integrar a forma de onda amostrada ideal e obter o mesmo resultado que para o sistema físico Em outras palavras se o sinal amostrado ideal ft for seguido de um segurador podemos utilizar a forma de onda amostrada ideal como entrada ao invés de Nesta seção modelamos o computador digital colocando dois elementos em cascata 1 um amostrador ideal e 2 um segurador de ordem zero Juntos o modelo é conhecido como amostrador e segurador de ordem zero O amostrador ideal é modelado pela Eq 137 e o segurador de ordem zero é modelado pela Eq 138 Na próxima seção começamos a criar uma abordagem de transformada para sistemas digitais introduzindo a transformada z 133 A Transformada z O efeito da amostragem dentro de um sistema é nítido Enquanto a estabilidade e a resposta transitória de sistemas analógicos dependem dos valores de ganho e dos componentes a estabilidade e a resposta transitória de sistemas com dados amostrados dependem também da taxa de amostragem Nosso objetivo é desenvolver uma transformada que contém a informação da amostragem a partir da qual sistemas com dados amostrados podem ser modelados com funções de transferência analisados e projetados com a facilidade e com a compreensão que desfrutamos com a transformada de Laplace Desenvolvemos agora tal transformada e usamos as informações da última seção para obter funções de transferência com dados amostrados para sistemas físicos A Equação 137 é a forma de onda amostrada ideal Aplicando a transformada de Laplace a essa forma de onda amostrada no tempo obtemos Agora fazendo z eTs a Eq 139 pode ser escrita como A Eq 1310 define a transformada z Isto é uma Fz pode ser transformada em fkT ou uma fkT pode ser transformada em Fz Alternativamente podemos escrever Fazendo um paralelo com o desenvolvimento da transformada de Laplace podemos construir uma tabela relacionando fkT o valor da função amostrada no tempo nos instantes de amostragem com Fz Vamos ver um exemplo Exemplo 131 Transformada z de uma Função do Tempo PROBLEMA Obtenha a transformada z de uma rampa unitária amostrada SOLUÇÃO Para uma rampa unitária fkT kT Portanto o passo da amostragem ideal pode ser escrito a partir da Eq 137 como Aplicando a transformada de Laplace obtemos Convertendo para a transformada z fazendo ekTs zk temos A Eq 1314 pode ser convertida para uma forma fechada formando a série de zFz e subtraindo Fz Multiplicando a Eq 1314 por z obtemos Subtraindo a Eq 1314 da Eq 1315 obtemos Mas o que pode ser verificado realizandose a divisão indicada Substituindo a Eq 1317 na Eq 1316 e resolvendo para Fz resulta como a transformada z de fkT kT Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch13sp1 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como obter a transformada z de funções do tempo O Exemplo 131 será resolvido utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox O exemplo demonstra que qualquer função de s Fs que representa uma forma de onda amostrada no tempo pode ser transformada em uma função de z Fz O resultado final Fz Tzz 12 está em uma forma fechada diferente de Fs Se este é o caso para várias outras formas de ondas amostradas no tempo então temos a transformada conveniente que estávamos procurando De modo semelhante transformadas z de outras formas de onda podem ser obtidas fazendo um paralelo com a tabela de transformadas de Laplace no Capítulo 2 Uma tabela parcial de transformadas z é mostrada na Tabela 131 e uma tabela parcial de teoremas da transformada z é mostrada na Tabela 132 Para funções que não estão na tabela devemos realizar um cálculo da transformada z inversa semelhante ao da transformada inversa de Laplace através de expansão em frações parciais Vamos ver agora como podemos trabalhar no sentido contrário e obter a função do tempo a partir de sua transformada z A Transformada z Inversa Dois métodos para obter a transformada z inversa a função do tempo amostrada a partir de sua transformada z serão descritos 1 expansão em frações parciais e 2 o método da série de potências Independentemente do método utilizado lembre que como a transformada z foi obtida a partir de uma forma de onda amostrada a transformada z inversa fornecerá apenas os valores da função do tempo nos instantes de amostragem Mantenha isso em mente à medida que prosseguimos porque mesmo que obtenhamos funções do tempo na forma fechada como resultado elas são válidas apenas nos instantes de amostragem Transformada z Inversa via Expansão em Frações Parciais Lembre que a transformada de Laplace consiste de uma expansão em frações parciais que resulta em uma soma de termos que conduzem a exponenciais isto é As a Seguindo esse exemplo e examinando a Tabela 131 constatamos que funções exponenciais do tempo amostradas estão relacionadas com suas transformadas z da seguinte forma TABELA 131 Tabela parcial de transformadas z e s TABELA 132 Teoremas da transformada z Teorema Nome 1 zaft aFz Teorema da linearidade 2 zf1t f2t F1z F2z Teorema da linearidade 3 zeaTft FeaTz Derivação complexa 4 zft nT znFz Translação real 5 Derivação complexa 6 Teorema da valor inicial 7 Teorema da valor final Observação kT pode ser substituído por t na tabela Predizemos portanto que uma expansão em frações parciais deve ter a seguinte forma Como nossa expansão em frações parciais de Fs não contém termos com s no numerador das frações parciais formamos primeiro Fzz para eliminar os termos z no numerador realizamos uma expansão em frações parciais de Fzz e finalmente multiplicamos o resultado por z para repor os zs no numerador Segue um exemplo Exemplo 132 Transformada z Inversa via Expansão em Frações Parciais PROBLEMA Dada a função na Eq 1321 obtenha a função do tempo amostrada SOLUÇÃO Comece dividindo a Eq 1321 por z e realizando uma expansão em frações parciais Em seguida multiplique tudo por z Utilizando a Tabela 131 obtemos a transformada z inversa de cada fração parcial Assim o valor da função do tempo nos instantes de amostragem é Além disso a partir das Eqs 137 e 1324 a função do tempo amostrada ideal é Se substituirmos k 0 1 2 e 3 podemos obter as quatro primeiras amostras da forma de onda no domínio do tempo amostrada ideal Assim Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch13sp2 do Apêndice F no site da LTC Editora Você aprenderá como obter a transformada z inversa de funções do tempo amostradas O Exemplo 132 será resolvido utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox Transformada z inversa via Método da Série de Potências Os valores da forma de onda amostrada também podem ser obtidos diretamente a partir de Fz Embora esse método não produza expressões na forma fechada para fkT ele pode ser utilizado para representações gráficas O método consiste da realização da divisão indicada que resulta em uma série de potências para Fz A série de potências pode então ser facilmente transformada em Fs e ft Exemplo 133 Transformada z Inversa via Série de Potências PROBLEMA Dada a função na Eq 1321 determine a função do tempo amostrada SOLUÇÃO Comece convertendo o numerador e o denominador de Fz em polinômios em z Agora realize a divisão indicada Utilizando o numerador e a definição de z obtemos a partir do que Você deve comparar a Eq 1330 com a Eq 1326 o resultado obtido via expansão em frações parciais Exercício 131 PROBLEMA Deduza a transformada z para ft sen ωt ut RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 132 PROBLEMA RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora 134 Funções de Transferência Agora que estabelecemos a transformada z vamos aplicála a sistemas físicos determinando funções de transferência de sistemas com dados amostrados Considere o sistema contínuo mostrado na Figura 138a Se a entrada é amostrada como mostrado na Figura 138b a saída ainda é um sinal contínuo Se contudo estivermos satisfeitos em obter apenas a saída nos instantes de amostragem e não entre eles a representação do sistema com dados amostrados pode ser muito simplificada Nossa hipótese é descrita visualmente na Figura 138c na qual a saída é conceitualmente amostrada em sincronismo com a entrada por um amostrador fantasma Utilizando o conceito descrito na Figura 138c deduzimos a função de transferência pulsada de Gs FIGURA 138 Sistema com dados amostrados a contínuo b entrada amostrada c entrada e saída amostradas Dedução da Função de Transferência Pulsada Utilizando a Eq 137 verificamos que a entrada amostrada rt do sistema da Figura 138c é que é uma soma de impulsos Como a resposta ao impulso de um sistema Gs é gt podemos escrever a saída no tempo de Gs como a soma das respostas aos impulsos gerados pela entrada Eq 1331 Assim A partir da Eq 1310 Utilizando a Eq 1332 com t kT obtemos Substituindo a Eq 1334 na Eq 1333 obtemos Fazendo m k n chegamos a onde o limite inferior m n foi alterado para m O raciocínio é que m n 0 resulta em valores negativos de m para todo n 0 Mas uma vez que gmT 0 para todo m 0 m não é menor que zero Alternativamente gt 0 para t 0 Assim n 0 no limite inferior do primeiro somatório Utilizando a definição da transformada z a Eq 1336 se torna A Eq 1337 é um resultado muito importante uma vez que ela mostra que a transformada da saída amostrada é o produto da transformada da entrada amostrada com a função de transferência pulsada do sistema Lembre que embora a saída do sistema seja uma função contínua tivemos que supor uma saída amostrada amostrador fantasma para chegar ao resultado compacto da Eq 1337 Uma forma de obter a função de transferência pulsada Gz é começar com Gs determinar gt e em seguida utilizar a Tabela 131 para determinar Gz Vamos ver um exemplo Exemplo 134 Convertendo G1s em Cascata com zoh em Gz PROBLEMA Dado um zoh em cascata com G1s s 2s 1 ou determine a função de transferência com dados amostrados Gz caso o período de amostragem T seja 05 segundo SOLUÇÃO A Eq 1338 representa uma ocorrência comum em sistemas de controle digital isto é uma função de transferência em cascata com um segurador de ordem zero Especificamente G1s s 2s 1 está em cascata com um segurador de ordem zero 1 eTss Podemos formular uma solução geral para esse tipo de problema deslocando o s no denominador do segurador de ordem zero para G1s resultando a partir do que Assim comece a solução obtendo a resposta ao impulso transformada inversa de Laplace de G1ss Portanto Aplicando a transformada inversa de Laplace obtemos a partir do que Utilizando a Tabela 131 obtemos Substituindo T 05 resulta A partir da Eq 1340 Experimente 131 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para obter G1s no Exemplo 134 dado Gz na Eq 1346 num0213 den0607 k1 T05 Gzzpk numdenKT Gsd2c Gzzoh Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p1 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para converter G1s em cascata com um segurador de ordem zero em Gz Este exercício resolve o Exemplo 134 utilizando o MATLAB Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional da Symbolic Math Toolbox do MATLAB devem agora executar o arquivo ch13sp3 do Apêndice F no site da LTC Editora A Symbolic Math Toolbox do MATLAB fornece um método alternativo de obtenção da transformada z de uma função de transferência em cascata com um segurador de ordem zero O Exemplo 134 será resolvido utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox com um método que segue de perto o cálculo manual mostrado no exemplo Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p2 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para converter Gs em Gz quando Gs não está em cascata com um segurador de ordem zero Isto é o mesmo que obter a transformada z de Gs Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p3 do Apêndice B Você aprenderá como criar funções de transferência digitais diretamente Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p4 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para converter Gz em Gs quando Gs não está em cascata com um segurador de ordem zero Isso é o mesmo que obter a transformada de Laplace de Gz Exercício 133 PROBLEMA Determine Gz para Gs 8s 4 em cascata com um amostrador e segurador de ordem zero O período de amostragem é 025 segundo RESPOSTA Gz 1264z 03679 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 132 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício 133 Gszpk 4 8 Gzc2d Gs 025zoh A principal descoberta desta seção é que uma vez que a função de transferência pulsada de um sistema Gz tenha sido obtida a transformada da resposta de saída amostrada Cz para uma dada entrada amostrada pode ser calculada utilizando a relação Cz GzRz Finalmente a função do tempo pode ser obtida aplicando a transformada z inversa como coberto na Seção 133 Na próxima seção vemos a redução de diagrama de blocos para sistemas digitais 135 Redução de Diagrama de Blocos Até este ponto definimos a transformada z e a função de transferência do sistema com dados amostrados e mostramos como obter a resposta amostrada Basicamente estamos fazendo um paralelo com nossa discussão da transformada de Laplace nos Capítulos 2 e 4 Agora traçamos um paralelo com alguns dos objetivos do Capítulo 5 especificamente a redução de diagrama de blocos Nosso objetivo agora é sermos capazes de determinar a função de transferência com dados amostrados em malha fechada de uma combinação de subsistemas com um computador na malha Ao manipular diagramas de blocos de sistemas com dados amostrados você deve ter o cuidado de lembrarse da definição da função de transferência do sistema com dados amostrados deduzida na última seção para evitar erros Por exemplo zG1sG2s G1zG2z em que zG1sG2s denota a transformada z As funções no domínio s devem ser multiplicadas antes da aplicação da transformada z Na discussão subsequente utilizamos a notação G1G2s para denotar uma função única que é G1sG2s após o cálculo do produto Consequentemente zG1sG2s zG1G2s G1G2z G1zG2z Vamos examinar os sistemas com dados amostrados mostrados na Figura 139 Os sistemas com dados amostrados são mostrados na coluna marcada s Suas transformadas z são mostradas na coluna marcada z O sistemapadrão que deduzimos anteriormente é mostrado na Figura 139a na qual a transformada da saída Cz é igual a GzRz Esse sistema forma a base para os outros elementos na Figura 139 Na Figura 139b não existe amostrador entre G1s e G2s Assim podemos considerar uma função única G1sG2s denotada G1G2s existindo entre os dois amostradores e resultando em uma função de transferência única como mostrado na Figura 139a Consequentemente a função de transferência pulsada é zG1G2s G1G2z A transformada da saída Cz RzG1G2z FIGURA 139 Sistemas com dados amostrados e suas transformadas z Na Figura 139c temos dois subsistemas do tipo mostrado na Figura 139a em cascata Nesse caso então a transformada z é o produto das duas transformadas z ou G2zG1z Consequentemente a transformada da saída Cz RzG2zG1z Finalmente na Figura 139d verificamos que o sinal contínuo que entra no amostrador é RsG1s Assim o modelo é o mesmo da Figura 139a com Rs substituído por RsG1s e G2s na Figura 139d substituindo Gs na Figura 139a A transformada z de entrada de G2s é zRsG1s zRG1s RG1z A função de transferência pulsada do sistema G2s é G2z Consequentemente a saída Cz RG1zG2z Utilizando as formas básicas mostradas na Figura 139 podemos agora obter a transformada z de sistemas de controle com realimentação Mostramos que qualquer sistema Gs com entrada amostrada e saída amostrada como o mostrado na Figura 139a pode ser representado como uma função de transferência com dados amostrados Gz Portanto queremos realizar manipulações de diagramas de blocos que resultem em subsistemas bem como no sistema com realimentação completo com entradas amostradas e saídas amostradas Em seguida podemos fazer a transformação em funções de transferência com dados amostrados Segue um exemplo Exemplo 135 Função de Transferência Pulsada de um Sistema com Realimentação PROBLEMA Obtenha a transformada z do sistema mostrado na Figura 1310a SOLUÇÃO O objetivo do problema é proceder de forma ordenada começando com o diagrama de blocos da Figura 1310a e reduzilo ao mostrado na Figura 1310f FIGURA 1310 Passos da redução de diagrama de blocos de um sistema com dados amostrados Uma operação que sempre podemos realizar é colocar um amostrador fantasma na saída de qualquer subsistema que tenha uma entrada amostrada desde que a natureza do sinal enviado para qualquer outro subsistema não seja alterada Por exemplo na Figura 1310b o amostrador fantasma S4 pode ser acrescentado A justificativa para isso naturalmente é que a saída de um sistema com dados amostrados só pode ser obtida nos instantes de amostragem e o sinal não é uma entrada para nenhum outro bloco Outra operação que pode ser realizada é adicionar amostradores fantasmas S2 e S3 na entrada de uma junção de soma cuja saída é amostrada A justificativa para essa operação é que a soma amostrada é equivalente à soma das entradas amostradas desde que naturalmente todos os amostradores estejam sincronizados Em seguida mova o amostrador S1 e Gs para a direita passando o ponto de ramificação como mostrado na Figura 1310c A motivação para essa alteração é resultar em um amostrador na entrada de GsHs para corresponder à Figura 139b Além disso Gs com o amostrador S1 na entrada e o amostrador S4 na saída corresponde à Figura 139a O sistema em malha fechada possui agora uma entrada amostrada e uma saída amostrada GsHs com os amostradores S1 e S2 se torna GHz e Gs com os amostradores S1 e S4 se torna Gz como mostrado na Figura 1310d Além disso convertendo Rs em Rz e Cs em Cz temos agora o sistema representado totalmente no domínio z As equações deduzidas no Capítulo 5 para funções de transferência representadas com a transformada de Laplace podem ser usadas para funções de transferência com dados amostrados apenas mudando a variável de s para z Assim utilizando a fórmula da realimentação obtemos o primeiro bloco da Figura 1310e Finalmente a multiplicação de sistemas com dados amostrados em cascata produz o resultado final mostrado na Figura 1310f Exercício 134 PROBLEMA Determine Tz CzRz para o sistema mostrado na Figura 1311 FIGURA 1311 Sistema digital para o Exercício 134 RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Esta seção estabeleceu um paralelo com o Capítulo 5 mostrando como obter a função de transferência com dados amostrados em malha fechada de um conjunto de subsistemas A próxima seção estabelece um paralelo com a discussão de estabilidade do Capítulo 6 136 Estabilidade A diferença evidente entre sistemas de controle com realimentação analógicos e sistemas de controle com realimentação digitais como o mostrado na Figura 1312 é o efeito que a taxa de amostragem tem sobre a resposta transitória Alterações na taxa de amostragem não apenas alteram a natureza da resposta de superamortecida para subamortecida mas também podem fazer que um sistema estável fique instável À medida que prosseguimos com nossa discussão esses efeitos ficarão evidentes Você é incentivado a ficar atento a essa questão Discutimos agora a estabilidade de sistemas digitais a partir de duas perspectivas 1 plano z e 2 plano s Veremos que o critério de RouthHurwitz pode ser utilizado apenas se realizarmos nossa análise e projeto no plano s Estabilidade de Sistema Digital via Plano z No plano s a região de estabilidade é o semiplano esquerdo Se a função de transferência Gs for transformada em uma função de transferência com dados amostrados Gz a região da estabilidade no plano z pode ser determinada a partir da definição z eTs Fazendo s α jω obtemos FIGURA 1312 Um torno usando controle numérico digital David J Green IndustryAlamy uma vez que cos ωT j sen ωT 1ωT Cada região do plano s pode ser mapeada em uma região correspondente no plano z ver a Figura 1313 Os pontos que possuem valores positivos de α estão no semiplano da direita do plano s região C A partir da Eq 1347 as magnitudes dos pontos mapeados são eαT 1 Portanto pontos na metade direita do plano s são mapeados em pontos fora do círculo unitário no plano z Os pontos sobre o eixo jω região B possuem valores nulos de α e resultam em pontos no plano z com magnitude 1 o círculo unitário Portanto os pontos sobre o eixo jω no plano s são mapeados em pontos sobre o círculo unitário no plano z Finalmente os pontos do plano s que possuem valores negativos de α raízes no semiplano da esquerda região A são mapeados no interior do círculo unitário no plano z Dessa forma um sistema de controle digital é 1 estável se todos os polos da função de transferência em malha fechada Tz estão dentro do círculo unitário no plano z 2 instável se algum polo está fora do círculo unitário eou se existem polos de multiplicidade maior que um sobre o círculo unitário e 3 marginalmente estável se polos de multiplicidade um estão sobre o círculo unitário e todos os demais polos estão dentro do círculo unitário Vamos ver um exemplo FIGURA 1313 Mapeando regiões do plano s para o plano z Exemplo 136 Modelagem e Estabilidade PROBLEMA O míssil mostrado na Figura 1314a pode ser controlado aerodinamicamente através de torques gerados pela deflexão de superfícies de controle no corpo do míssil Os comandos para defletir essas superfícies de controle vêm de um computador que utiliza dados de rastreamento em conjunto com equações de guiamento programadas para determinar se o míssil segue a trajetória As informações provenientes das equações de guiamento são utilizadas para desenvolver comandos de controle de voo para o míssil Um modelo simplificado é mostrado na Figura 1314b Nesse caso o computador executa a função de controlador utilizando as informações de rastreamento para desenvolver comandos de entrada para o míssil Um acelerômetro no míssil detecta a aceleração real a qual é realimentada para o computador Obtenha a função de transferência digital em malha fechada para esse sistema e determine se o sistema é estável para K 20 e para K 100 com um período de amostragem T 01 segundo SOLUÇÃO A entrada do sistema de controle é um comando de aceleração desenvolvido pelo computador O computador pode ser modelado por um amostrador e segurador O modelo no plano s é mostrado na Figura 1314c O primeiro passo na determinação do modelo no plano z é obter Gz a função de transferência do caminho à frente A partir da Figura 1314c ou d em que a 27 A transformada z Gz é 1 z1zKas2s a FIGURA 1314 Determinando a estabilidade do sistema de controle de um míssil a míssil b diagrama de blocos conceitual c diagrama de blocos d diagrama de blocos com amostrador único equivalente O termo Kas2s a é primeiro expandido em frações parciais depois do que determinamos a transformada z de cada um dos termos a partir da Tabela 131 Consequentemente Portanto Fazendo T 01 e a 27 temos Finalmente determinamos a função de transferência em malha fechada Tz para um sistema com realimentação unitária A estabilidade do sistema é determinada através da obtenção das raízes do denominador Para K 20 as raízes do denominador são 012 j078 O sistema é portanto estável para K 20 uma vez que os polos estão dentro do círculo unitário Para K 100 os polos estão em 058 e 49 Como um dos polos está fora do círculo unitário o sistema é instável para K 100 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p5 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para determinar a faixa de K para a estabilidade em um sistema digital Este exercício resolve o Exemplo 136 utilizando o MATLAB No caso de sistemas contínuos a determinação da estabilidade depende de nossa capacidade em determinar se as raízes do denominador da função de transferência em malha fechada estão na região estável do plano s O problema para sistemas de ordem elevada é complicado pelo fato de que o denominador da função de transferência em malha fechada está na forma polinomial e não na forma fatorada O mesmo problema ocorre com funções de transferência com dados amostrados em malha fechada Existem métodos tabulares para a determinação da estabilidade para sistemas com dados amostrados como o método de RouthHurwitz utilizado para sistemas contínuos de ordem elevada Esses métodos que não são cobertos neste capítulo introdutório aos sistemas de controle digital podem ser utilizados para determinar a estabilidade em sistemas digitais de ordem elevada Caso você deseje se aprofundar na área de estabilidade de sistemas digitais você é encorajado a estudar o método tabular de Raible ou o teste de estabilidade de Jury para determinar o número de polos em malha fechada de um sistema com dados amostrados fora do círculo unitário e assim indicar a instabilidade2 O exemplo a seguir demonstra o efeito da taxa de amostragem sobre a estabilidade de um sistema de controle com realimentação em malha fechada Todos os parâmetros são constantes exceto o período de amostragem T Veremos que a variação de T nos conduzirá pelas regiões de estabilidade e instabilidade como se estivéssemos variando o ganho do caminho à frente K Exemplo 137 Faixa de T para Estabilidade PROBLEMA Determine a faixa de período de amostragem T que tornará o sistema mostrado na Figura 1315 estável e a faixa que o tornará instável FIGURA 1315 Sistema digital para o Exemplo 137 SOLUÇÃO Como Hs 1 a transformada z do sistema em malha fechada Tz é determinada a partir da Figura 1310 como Para determinar Gz obtenha primeiro a expansão em frações parciais de Gs Aplicando a transformada z obtemos Substituindo a Eq 1355 na Eq 1353 resulta O polo da Eq 1356 11eT 10 decresce monotonicamente de 1 para 1 para 0 T 02 Para 02 T 11eT 10 decresce monotonicamente de 1 para 10 Assim o polo de Tz estará no interior do círculo unitário e o sistema será estável se 0 T 02 Em termos de frequência em que f 1T o sistema será estável desde que a frequência de amostragem seja 102 5 Hz ou maior Descobrimos através do plano z que sistemas com dados amostrados são estáveis se seus polos estão no interior do círculo unitário Infelizmente esse critério de estabilidade impede a utilização do critério de RouthHurwitz que detecta raízes no semiplano da direita ao invés de fora do círculo unitário Todavia existe outro método que nos permite utilizar o familiar plano s e o critério de RouthHurwitz para determinar a estabilidade de um sistema amostrado Vamos introduzir esse tópico Transformações Bilineares As transformações bilineares nos dão a capacidade de aplicar nossas técnicas de análise e projeto no plano s a sistemas digitais Podemos analisar e projetar no plano s como fizemos nos Capítulos 8 e 9 e em seguida utilizando essas transformações converter os resultados para um sistema digital que possui as mesmas propriedades Vamos examinar este tópico em mais detalhes Podemos considerar z eTs e sua inversa s 1T ln z como a transformação exata entre z e s Assim se temos Gz e substituímos z eTs obtemos GeTs como o resultado da conversão para s Analogamente se temos Gs e substituímos s 1T ln z obtemos G1T ln z como o resultado da conversão para z Infelizmente ambas as transformações resultam em funções transcendentais as quais naturalmente evitamos por causa da já complicada transformada z O que gostaríamos de ter é uma transformação simples que resultasse em argumentos lineares ao se fazer a transformação em ambos os sentidos bilinear através de substituição direta e sem a complicada transformada z Transformações bilineares da forma e sua inversa foram deduzidas para resultar em variáveis lineares em s e z Diferentes valores de a b c e d foram deduzidos para aplicações particulares e resultam em vários graus de exatidão ao se comparar propriedades de funções contínuas e amostradas Por exemplo na próxima subseção veremos que uma escolha particular de coeficientes tomará pontos sobre o círculo unitário e os mapeará em pontos sobre o eixo jω Os pontos fora do círculo unitário serão mapeados no semiplano da direita e os pontos dentro do círculo unitário serão mapeados no semiplano da esquerda Assim seremos capazes de realizar uma transformação simples do plano z para o plano s e obter informações sobre a estabilidade de um sistema digital trabalhando no plano s Como as transformações não são exatas apenas a propriedade para a qual elas foram projetadas merece confiança Para a transformação de estabilidade que acaba de ser discutida não podemos esperar que a Gs resultante tenha a mesma resposta transitória que Gz Uma outra transformação que manterá essa propriedade será coberta Estabilidade de Sistema Digital via Plano s Nesta subseção examinamos uma transformação bilinear que mapeia os pontos sobre eixo jω no plano s em pontos sobre o círculo unitário no plano z Além disso a transformação mapeia pontos do semiplano da direita no plano s em pontos fora do círculo unitário no plano z Finalmente a transformação mapeia pontos do semiplano da esquerda no plano s em pontos dentro do círculo unitário no plano z Portanto somos capazes de transformar o denominador da função de transferência pulsada Dz no denominador de uma função de transferência contínua Ds e utilizar o critério de RouthHurwitz para determinar a estabilidade A transformação bilinear e sua inversa realizam a transformação requerida Kuo 1995 Podemos mostrar esse fato como se segue fazendo s α jω e substituindo na Eq 1360 a partir do que Portanto e Vamos ver um exemplo que mostra como a estabilidade de sistemas amostrados pode ser determinada utilizando essa transformação bilinear e o critério de RouthHurwitz Exemplo 138 Estabilidade via RouthHurwitz PROBLEMA Dado Tz NzDz em que Dz z3 z2 02z 01 utilize o critério de RouthHurwitz para determinar o número de polos de Tz dentro fora e sobre o círculo unitário no plano z O sistema é estável SOLUÇÃO Substitua a Eq 1360 em Dz 0 e obtenha3 A tabela de Routh para a Eq 1364 Tabela 133 mostra uma raiz no semiplano da direita e duas raízes no semiplano da esquerda Consequentemente Tz possui um polo fora do círculo unitário nenhum polo sobre o círculo unitário e dois polos dentro do círculo unitário O sistema é instável por causa do polo fora do círculo unitário TABELA 133 Tabela de Routh para o Exemplo 138 s3 1 45 s2 19 17 s1 4589 0 s0 17 0 Exercício 135 PROBLEMA Determine a faixa de período de amostragem T que fará com que o sistema mostrado na Figura 1316 seja estável FIGURA 1316 Sistema digital para o Exercício 135 RESPOSTA 0 T 01022 segundo A solução completa está no site da LTC Editora Exercício 136 PROBLEMA Dado Tz NzDz em que Dz z3 z2 05z 03 utilize o critério de RouthHurwitz para determinar o número de polos de Tz dentro fora e sobre o círculo unitário no plano z O sistema é estável RESPOSTA Tz possui um polo fora do círculo unitário nenhum polo sobre o círculo unitário e dois polos dentro do círculo unitário O sistema é instável A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção cobrimos os conceitos de estabilidade para sistemas digitais Ambas as perspectivas do plano s e do plano z foram discutidas Utilizando uma transformação bilinear somos capazes de utilizar o critério de RouthHurwitz para determinar a estabilidade O destaque da seção é que a taxa de amostragem junto com os parâmetros do sistema como os valores do ganho e dos componentes ajuda a determinar ou a destruir a estabilidade de um sistema digital Em geral se a taxa de amostragem for muito lenta o sistema digital em malha fechada será instável Passamos agora da estabilidade para os erros em regime permanente fazendo um paralelo com nossa discussão anterior sobre erros em regime permanente em sistemas analógicos 137 Erros em Regime Permanente Examinamos agora o efeito da amostragem sobre o erro em regime permanente de sistemas digitais Qualquer conclusão geral sobre o erro em regime permanente é difícil por causa da dependência dessas conclusões com relação ao posicionamento do amostrador na malha Lembre que a posição do amostrador pode alterar a função de transferência em malha aberta Na discussão sobre sistemas analógicos havia apenas uma função de transferência em malha aberta Gs sobre a qual a teoria geral do erro em regime permanente foi baseada e a partir da qual vieram as definiçõespadrão de constantes de erro estático Para sistemas digitais contudo o posicionamento do amostrador altera a função de transferência em malha aberta e portanto impede quaisquer conclusões gerais Nesta seção admitimos o posicionamento típico do amostrador depois do erro e na posição do controlador em cascata e deduzimos nossas conclusões adequadamente sobre o erro em regime permanente de sistemas digitais Considere o sistema digital na Figura 1317a na qual o computador digital é representado pelo amostrador e segurador de ordem zero A função de transferência da planta é representada por G1s e a função de transferência do zoh por 1 eTss Fazendo Gs igual ao produto do zoh e G1s e utilizando as técnicas de redução de diagrama de blocos para sistemas com dados amostrados podemos obter o erro amostrado Es Ez Acrescentando amostradores sincronizados na entrada e na realimentação obtemos a Figura 1317b Movendo Gs e o amostrador de sua entrada para a direita passando o ponto de ramificação chegase à Figura 1317c Utilizando a Figura 139a podemos converter cada bloco em sua transformada z resultando na Figura 1317d A partir dessa figura Ez Rz EzGz ou O teorema do valor final para sinais discretos estabelece que em que e é o valor amostrado final de et ou alternativamente o valor final de ekT4 FIGURA 1317 a Sistema de controle com realimentação digital para obtenção dos erros em regime permanente b amostradores fantasmas acrescentados c movendo Gs e seu amostrador para a direita passando o ponto de ramificação d sistema equivalente em transformada z Utilizando o teorema do valor final na Eq 1365 constatamos que o erro em regime permanente amostrado e para sistemas com realimentação negativa unitária é A Eq 1367 deve agora ser avaliada para cada entrada em degrau em rampa e em parábola Entrada em Degrau Unitário Para uma entrada em degrau unitário Rs 1s A partir da Tabela 131 Substituindo a Eq 1368 na Eq 1367 temos Definindo a constante de erro estático Kp como reescrevemos a Eq 1369 como Entrada em Rampa Unitária Para uma entrada em rampa unitária Rz Tzz 12 Seguindo o procedimento para a entrada em degrau você pode deduzir que em que Entrada em Parábola Unitária Para uma entrada em parábola unitária Rz T2zz 12z 13 Analogamente em que Resumo dos Erros em Regime Permanente As equações desenvolvidas anteriormente para e Kp Kv e Ka são parecidas com as equações desenvolvidas para sistemas analógicos Enquanto a alocação de polos múltiplos na origem do plano s reduz os erros em regime permanente a zero no caso analógico podemos ver que a alocação de polos múltiplos em z 1 reduz o erro em regime permanente a zero em sistemas digitais do tipo discutido nesta seção Essa conclusão faz sentido quando se considera que s 0 é mapeado em z 1 por z eTs Por exemplo para uma entrada em degrau vemos que se Gz na Eq 1369 possui um polo em z 1 o limite se tornará infinito e o erro em regime permanente se reduzirá a zero Para uma entrada em rampa se Gz na Eq 1373 possui dois polos em z 1 o limite se tornará infinito e o erro se reduzirá a zero Conclusões semelhantes podem ser tiradas para a entrada em parábola e a Eq 1375 Nesse caso Gz precisa de três polos em z 1 para que o erro em regime permanente seja zero Vamos ver um exemplo Exemplo 139 Obtendo o Erro em Regime Permanente PROBLEMA Para entradas em degrau em rampa e em parábola obtenha o erro em regime permanente do sistema de controle com realimentação mostrado na Figura 1317a se SOLUÇÃO Primeiro obtenha Gs o produto do zoh e da planta A transformada z é então Para uma entrada em degrau Para uma entrada em rampa Para uma entrada em parábola Você observará que as respostas obtidas são as mesmas que os resultados obtidos para o sistema analógico Entretanto uma vez que a estabilidade depende do período de amostragem não deixe de verificar a estabilidade do sistema depois que um período de amostragem for estabelecido e antes de efetuar cálculos do erro em regime permanente Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p6 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para determinar Kp Kv e Ka em um sistema digital bem como para verificar a estabilidade Este exercício resolve o Exemplo 139 utilizando o MATLAB Exercício 137 PROBLEMA Para entradas em degrau em rampa e em parábola obtenha o erro em regime permanente do sistema de controle com realimentação mostrado na Figura 1317a se Faça T 01 segundo Repita para T 05 segundo RESPOSTA Para T 01 segundo Kp 3 Kv 0 e Ka 0 para T 05 segundo o sistema é instável A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção discutimos e calculamos o erro em regime permanente de sistemas digitais para entradas em degrau em rampa e em parábola As equações para o erro em regime permanente assemelhamse às dos sistemas analógicos Até mesmo as definições das constantes de erro estático foram semelhantes Polos na origem do plano s para sistemas analógicos foram substituídos por polos em 1 no plano z para melhorar o erro em regime permanente Continuamos nossa discussão comparativa passando para uma discussão da resposta transitória e do lugar geométrico das raízes para sistemas digitais 138 Resposta Transitória no Plano z Lembre que para os sistemas analógicos um requisito de resposta transitória era especificado pela escolha de um polo em malha fechada no plano s No Capítulo 8 o polo em malha fechada estava sobre o lugar geométrico das raízes existente e o projeto consistia em um simples ajuste de ganho Se o polo em malha fechada não estivesse sobre o lugar geométrico das raízes existente então um compensador em cascata era projetado para alterar a forma do lugar das raízes original para passar pelo polo em malha fechada desejado Um ajuste de ganho então completava o projeto Nas duas próximas seções desejamos fazer um paralelo com os métodos analógicos descritos e aplicar técnicas semelhantes a sistemas digitais Neste capítulo introdutório faremos um paralelo da discussão do projeto através de ajuste de ganho O projeto de compensação é deixado para um curso avançado O Capítulo 4 estabeleceu as relações entre a resposta transitória e o plano s Vimos que retas verticais no plano s eram retas de tempo de acomodação constante retas horizontais eram retas de instante de pico constante e retas radiais eram retas de ultrapassagem percentual constante Para tirar conclusões equivalentes no plano z mapeamos agora essas linhas através de z esT As retas verticais no plano s são retas de tempo de acomodação constante e são caracterizadas pela equação s σ1 jω onde a parte real σ1 4Ts é constante e está no semiplano da esquerda para estabilidade Substituindo em z esT obtemos A Eq 1382 representa círculos concêntricos de raio r1 Se σ1 for positivo o círculo terá um raio maior que o do círculo unitário Por outro lado se σ1 for negativo o círculo terá um raio menor que o do círculo unitário Os círculos de tempo de acomodação constante normalizados em relação ao período de amostragem são mostrados na Figura 1318 com raio Além disso TsT 4lnr em que r é o raio do círculo de tempo de acomodação constante As retas horizontais são retas de instante de pico constante As retas são caracterizadas pela equação s σ jω1 onde a parte imaginária ω1 πTp é constante Substituindo em z esT obtemos A Eq 1383 representa retas radiais com um ângulo θ1 Se σ for negativo esse segmento da reta radial estará dentro do círculo unitário Se σ for positivo esse segmento da reta radial estará fora do círculo unitário As retas de instante de pico constante normalizadas em relação ao período de amostragem são mostradas na Figura 1318 O ângulo de cada reta radial é ω1T θ1 πTpT a partir do que TpT πθ1 Finalmente mapeamos as retas radiais do plano s para o plano z Lembre que essas retas radiais são retas de ultrapassagem percentual constante no plano s A partir da Figura 1319 essas retas radiais são representadas por Consequentemente Transformando a Eq 1385 para o plano z resulta FIGURA 1318 Curvas de fator de amortecimento tempo de acomodação normalizado e instante de pico normalizado constantes no plano z FIGURA 1319 Esboço no plano s de reta de ultrapassagem percentual constante Assim dado um fator de amortecimento desejado ζ a Eq 1386 pode ser traçada no plano z para uma faixa de ωT como mostrado na Figura 1318 Essas curvas podem ser utilizadas como curvas de ultrapassagem percentual constante no plano z Esta seção preparou o cenário para a análise e o projeto da resposta transitória de sistemas digitais Na próxima seção aplicamos os resultados a sistemas digitais utilizando o lugar geométrico das raízes 139 Projeto de Ganho no Plano z Nesta seção traçamos lugares geométricos das raízes e determinamos o ganho requerido para estabilidade bem como o ganho requerido para atender a um requisito de resposta transitória Uma vez que as funções de transferência em malha aberta e em malha fechada do sistema digital genérico mostrado na Figura 1320 são idênticas às do sistema contínuo exceto por uma mudança de variáveis de s para z podemos utilizar as mesmas regras para traçar um lugar geométrico das raízes FIGURA 1320 Sistema de controle com realimentação digital genérico Entretanto a partir de nossa discussão anterior a região de estabilidade no plano z está dentro do círculo unitário e não no semiplano da esquerda Assim para determinar a estabilidade devemos procurar pela interseção do lugar geométrico das raízes com o círculo unitário ao invés de com o eixo imaginário Na seção anterior deduzimos as curvas de tempo de acomodação instante de pico e fator de amortecimento constantes Para projetar a resposta transitória de um sistema digital determinamos a interseção do lugar geométrico das raízes com as curvas apropriadas mostradas no plano z na Figura 1318 Vamos examinar o exemplo a seguir Exemplo 1310 Projeto de Estabilidade via Lugar Geométrico das Raízes PROBLEMA Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema mostrado na Figura 1321 Além disso determine a faixa de ganho K para estabilidade a partir do gráfico do lugar geométrico das raízes SOLUÇÃO Trate o sistema como se z fosse s e esboce o lugar geométrico das raízes O resultado é mostrado na Figura 1322 Utilizando o programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora procure ao longo do círculo unitário por 180 A identificação do ganho K nesse ponto resulta na faixa de ganho para estabilidade Utilizando o programa constatamos que a interseção do lugar geométrico das raízes com o círculo unitário é 160 O ganho nesse ponto é 05 Consequentemente a faixa de ganho para estabilidade é 0 K 05 FIGURA 1321 Controle com realimentação digital para o Exemplo 1310 FIGURA 1322 Lugar geométrico das raízes para o sistema da Figura 1321 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p7 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para traçar um lugar geométrico das raízes no plano z bem como sobrepor o círculo unitário Você aprenderá como selecionar interativamente a interseção do lugar geométrico das raízes com o círculo unitário para obter o valor de ganho para estabilidade Este exercício resolve o Exemplo 1310 utilizando o MATLAB No próximo exemplo projetamos o valor do ganho K na Figura 1321 para atender a uma especificação de resposta transitória O problema é tratado de modo semelhante ao projeto do sistema analógico onde obtivemos o ganho no ponto em que o lugar geométrico das raízes cruzava a curva de fator de amortecimento tempo de acomodação ou instante de pico especificado Nos sistemas digitais essas curvas são como as mostradas na Figura 1318 Resumindo então trace o lugar geométrico das raízes do sistema digital e sobreponha as curvas da Figura 1318 Em seguida determine onde o lugar geométrico das raízes intercepta a curva de fator de amortecimento tempo de acomodação ou instante de pico desejado e calcule o ganho neste ponto Para simplificar os cálculos e obter resultados mais exatos trace uma reta radial passando pelo ponto onde o lugar geométrico das raízes intercepta a curva apropriada Meça o ângulo dessa reta e utilize o programa para o lugar geométrico das raízes do Apêndice H2 no site da LTC Editora para procurar ao longo dessa reta radial pelo ponto de interseção com o lugar geométrico das raízes Exemplo 1311 Projeto da Resposta Transitória via Ajuste de Ganho PROBLEMA Para o sistema da Figura 1321 determine o valor de ganho K que resulta em um fator de amortecimento de 07 SOLUÇÃO A Figura 1323 mostra a curva de fator de amortecimento constante sobreposta ao lugar geométrico das raízes do sistema como determinado no exemplo anterior Desenhe uma linha radial da origem até a interseção do lugar geométrico das raízes com a curva de fator de amortecimento de 07 uma reta a 1662 O programa para o lugar geométrico das raízes discutido no Apêndice H2 no site da LTC Editora pode agora ser utilizado para obter o ganho procurando ao longo da reta a 1662 por 180 a interseção com o lugar geométrico das raízes Os resultados do programa mostram que o ganho K é 00627 em 0719 j0215 o ponto em que a curva de fator de amortecimento 07 intercepta o lugar geométrico das raízes FIGURA 1323 Lugar geométrico das raízes para o sistema da Figura 1321 com curva de fator de amortecimento constante de 07 Podemos agora verificar nosso projeto obtendo a resposta ao degrau unitário amostrado do sistema da Figura 1321 Utilizando nosso projeto K 00627 juntamente com Rz zz 1 uma entrada em degrau amostrada obtemos a saída amostrada como sendo Realizando a divisão indicada obtemos a saída válida nos instantes de amostragem como mostrado na Figura 1324 Uma vez que a ultrapassagem é aproximadamente 5 o requisito de um fator de amortecimento de 07 foi atendido Você deve lembrar contudo que o gráfico é válido apenas em valores inteiros de instante de amostragem FIGURA 1324 Resposta ao degrau amostrado do sistema da Figura 1321 com K 00627 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p8 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para traçar um lugar geométrico das raízes no plano z bem como sobrepor uma grade de curvas de fator de amortecimento Você aprenderá como obter o ganho e uma resposta ao degrau em malha fechada de um sistema digital depois de selecionar interativamente o ponto de operação no lugar geométrico das raízes Este exercício resolve o Exemplo 1311 utilizando o MATLAB Exercício 138 PROBLEMA Para o sistema da Figura 1320 no qual Hz 1 e determine o valor de ganho K para resultar em um fator de amortecimento de 05 RESPOSTA K 031 A solução completa está no site da LTC Editora Experimente 133 Utilize o MATLAB a Control System Toolbox e as instruções a seguir para resolver o Exercício 138 Gzzpk05 025 075 1 rlocusGz zgrid05 KprlocfindGz Observação quando o lugar geométrico das raízes aparecer clique na interseção da curva de fator de amortecimento 05 com o lugar geométrico das raízes para calcular o ganho O Simulink do MATLAB fornece um método alternativo de simulação de sistemas digitais para obter a resposta no tempo Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional do Simulink devem agora consultar o Apêndice C Tutorial do Simulink do MATLAB O Exemplo C4 do Tutorial mostra como utilizar o Simulink para simular sistemas digitais O LTI Viewer do MATLAB fornece outro método de simulação de sistemas digitais para obter a resposta no tempo Estudantes que estão realizando os exercícios de MATLAB e desejam explorar a capacidade adicional do LTI Viewer do MATLAB devem agora consultar o Apêndice E no site da LTC Editora o qual contém um tutorial sobre o LTI Viewer bem como alguns exemplos Um dos exemplos ilustrativos o Exemplo E5 obtém a resposta ao degrau em malha fechada de um sistema digital utilizando o LTI Viewer Nesta seção utilizamos o lugar geométrico das raízes e o ajuste de ganho para projetar a resposta transitória de um sistema digital Este método apresenta as mesmas desvantagens de quando aplicado a sistemas analógicos isto é se o lugar geométrico das raízes não interceptar um ponto de projeto desejado então um simples ajuste de ganho não cumprirá o objetivo do projeto Técnicas para projetar compensação para sistemas digitais podem então ser aplicadas 1310 Compensação em Cascata via Plano s Nas seções anteriores deste capítulo analisamos e projetamos sistemas digitais diretamente no domínio z até e incluindo o projeto via ajuste de ganho Estamos agora prontos para projetar compensadores digitais como os cobertos nos Capítulos 9 e 11 Ao invés de continuar nessa direção do projeto diretamente no domínio z nos desviamos para cobrir técnicas de análise e de projeto que nos permitem fazer uso dos capítulos anteriores projetando no plano s e em seguida transformando nosso projeto no plano s em uma implementação digital Cobrimos um aspecto da análise no plano s na Seção 136 na qual utilizamos uma transformação bilinear para analisar a estabilidade Continuamos agora com a análise e o projeto no plano s aplicandoa ao projeto de um compensador em cascata O projeto direto de compensadores no plano z é deixado para um curso específico sobre sistemas de controle digital Compensação em Cascata Para realizar o projeto no plano s e então converter o compensador contínuo em um compensador digital precisamos de uma transformação bilinear que preserve nos instantes de amostragem a resposta do compensador contínuo A transformação bilinear coberta na Seção 136 não atende a esse requisito Uma transformação bilinear que pode ser realizada com cálculos manuais e resulta em uma função de transferência digital cuja resposta de saída nos instantes de amostragem é aproximadamente a mesma da função de transferência analógica equivalente é chamada de transformação de Tustin Esta transformação é utilizada para transformar o compensador contínuo Gcs no compensador digital Gcz A transformação de Tustin é dada por5 e sua inversa por À medida que o período de amostragem T se torna menor taxa de amostragem maior a saída do compensador digital projetado se aproxima mais da saída do compensador analógico Caso a taxa de amostragem não seja suficientemente alta há uma discrepância em altas frequências entre as respostas em frequência dos filtros digital e analógico Existem métodos para corrigir a discrepância mas eles estão além do escopo de nossa discussão O leitor interessado deve investigar o tópico sobre prewarping coberto em livros dedicados ao controle digital e listados na Bibliografia no final deste capítulo Astrom e Wittenmark 1984 desenvolveram uma diretriz para a escolha do período de amostragem T Sua conclusão é que o valor de T em segundos deve estar na faixa de é a frequência rads de zero dB da curva de magnitude da resposta em frequência do compensador analógico em cascata com a planta No exemplo a seguir iremos projetar um compensador Gcs para atender às especificações de desempenho requeridas Então utilizaremos a transformação de Tustin para obter o modelo de um controlador digital equivalente Na próxima seção mostraremos como implementar o controlador digital Exemplo 1312 Projeto de Compensador Digital em Cascata PROBLEMA Para o sistema digital da Figura 1325a em que projete um compensador digital de avanço de fase Gcz como mostrado na Figura 1325c de modo que o sistema opere com 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 11 segundo Crie seu projeto no domínio s e transforme o compensador para o domínio z SOLUÇÃO Utilizando a Figura 1325b projete um compensador de avanço de fase utilizando as técnicas descritas no Capítulo 9 ou 11 O projeto foi criado como parte do Exemplo 96 onde determinamos que o compensador de avanço de fase era Utilizando as Eqs 1390 e 1391 determinamos que a frequência de zero dB para GpsGcs é 58 rads Utilizando a diretriz descrita por Astrom e Wittenmark 1984 o valor de T deve estar na faixa de segundo Vamos usar T 001 segundo Substituindo a Eq 1388 na Eq 1391 com T 001 segundo resulta FIGURA 1325 a Sistema de controle digital mostrando o computador digital realizando a compensação b sistema contínuo utilizado para projeto c sistema digital transformado A transformada z da planta e do segurador de ordem zero obtida pelo método discutido na Seção 134 com T 001 segundo é A resposta no tempo na Figura 1326 T 001 s mostra que o sistema compensado em malha fechada atende aos requisitos de resposta transitória A figura mostra também a resposta para um compensador projetado com períodos de amostragem nos extremos da diretriz de Astrom e Wittenmark FIGURA 1326 Resposta em malha fechada do sistema compensado do Exemplo 1312 mostrando o efeito de três frequências de amostragem diferentes Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem agora executar o arquivo ch13p9 do Apêndice B Você aprenderá como utilizar o MATLAB para projetar um compensador digital de avanço de fase utilizando a transformação de Tustin Este exercício resolve o Exemplo 1312 utilizando o MATLAB Exercício 139 PROBLEMA No Exemplo 113 um compensador de avanço de fase foi projetado para um sistema com realimentação unitária cuja planta era As especificações de projeto foram as seguintes ultrapassagem percentual 20 instante de pico 01 segundo e Kv 40 Para atender aos requisitos o projeto resultou em K 1440 e em um compensador de avanço de fase Caso o sistema deva ser controlado por computador obtenha o controlador digital Gcz RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Agora que aprendemos como projetar um compensador digital em cascata Gcz a próxima seção nos ensinará como utilizar o computador digital para implementálo 1311 Implementando o Compensador Digital O controlador Gcz pode ser implementado diretamente por meio de cálculos no computador digital no caminho à frente como mostrado na Figura 1327 Vamos agora deduzir um algoritmo numérico que o computador pode utilizar para emular o compensador Obteremos uma expressão para a saída amostrada do computador xt cuja transformada é mostrada na Figura 1327 como Xz Veremos que essa expressão pode ser utilizada para programar o computador digital para emular o compensador Considere o compensador de segunda ordem Gcz Realizando a multiplicação cruzada Resolvendo para o termo com a maior potência de z operando sobre a saída Xz Dividindo pelo coeficiente de Xz no lado esquerdo da Eq 1396 resulta FIGURA 1327 Diagrama de blocos mostrando a emulação computacional de um compensador digital FIGURA 1328 Fluxograma de um compensador digital de segunda ordem Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc Finalmente aplicando a transformada z inversa Podemos constatar a partir desta equação que a amostra atual da saída do compensador xt é uma função de amostras futura et T presente et e passadas et T e et 2T de et em conjunto com valores passados da saída xt T e xt 2T Obviamente se vamos realizar fisicamente esse compensador a amostra da saída não pode depender de valores futuros da entrada Portanto para ser fisicamente realizável a3 deve ser igual a zero para que o valor futuro de et não seja necessário Concluímos que o numerador da função de transferência do compensador deve ser de ordem igual ou inferior à do denominador para que o compensador seja fisicamente realizável Admita agora que a3 seja de fato igual a zero A Eq 1398 agora se torna Portanto a amostra da saída é uma função de amostras corrente e passadas da entrada bem como de amostras passadas da saída A Figura 1328 mostra o fluxograma do compensador a partir do qual um programa pode ser escrito para o computador digital6 A figura mostra que o compensador pode ser implementado armazenandose alguns valores sucessivos de entrada e de saída A saída é então formada por uma combinação linear ponderada dessas variáveis armazenadas Vamos agora ver um exemplo numérico Exemplo 1313 Implementação de Compensador Digital em Cascata PROBLEMA Desenvolva um fluxograma para o compensador digital definido pela Eq 13100 SOLUÇÃO Faça a multiplicação cruzada e obtenha Resolva para a maior potência de z operando sobre a saída Xz FIGURA 1329 Fluxograma para implementar Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc Resolva para Xz do lado esquerdo da equação A implementação da Eq 13103 com o fluxograma da Figura 1329 completa o projeto Exercício 1310 PROBLEMA Desenhe um fluxograma a partir do qual o compensador pode ser programado se o período de amostragem é 01 segundo RESPOSTA A solução completa está no site da LTC Editora Nesta seção aprendemos como implementar um compensador digital O fluxograma resultante pode servir como o projeto de um programa de computador digital para o computador na malha O projeto consiste de atrasos que podem ser considerados como armazenadores para cada valor amostrado de entrada e de saída Os valores armazenados são ponderados e somados O engenheiro pode então implementar o projeto com um programa de computador Na próxima seção uniremos os conceitos deste capítulo ao aplicarmos os princípios de projeto de sistemas de controle digital ao nosso sistema de controle de azimute de antena Estudos de Caso Controle de Antena Projeto do Transitório via Ganho Demonstramos agora os objetivos deste capítulo voltando ao nosso sistema de controle de posição de azimute de antena Mostraremos onde o computador é inserido na malha modelaremos o sistema e projetaremos o ganho para atender a um requisito de resposta transitória Posteriormente projetaremos um compensador digital em cascata O computador irá desempenhar duas funções na malha Primeiro o computador será utilizado como dispositivo de entrada Ele receberá sinais digitais do teclado na forma de comandos e sinais digitais da saída para controle em malha fechada O teclado substituirá o potenciômetro de entrada e um conversor analógicodigital AD juntamente com um transdutor de realimentação com ganho unitário substituirá o potenciômetro de saída FIGURA 1330 Sistema de controle de antena a implementação analógica b implementação digital A Figura 1330a mostra o sistema analógico original e a Figura 1330b mostra o sistema com o computador na malha Nesse caso o computador está recebendo sinais digitais de duas fontes 1 a entrada através do teclado ou outros comandos de rastreamento e 2 a saída através de um conversor AD A planta está recebendo sinais do computador digital através de um conversor digitalanalógico DA e do amostrador e segurador A Figura 1330b mostra algumas hipóteses simplificadoras que adotamos O polo do amplificador de potência é admitido como estando distante o suficiente do polo do motor de modo que podemos representar o amplificador de potência como um ganho puro igual ao seu ganho estático unitário Além disso incorporamos quaisquer ganhos do pré amplificador e do potenciômetro ao computador e seu conversor DA associado PROBLEMA Projete o ganho para o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado na Figura 1330b para resultar em um fator de amortecimento em malha fechada de 05 Admita um período de amostragem de T 01 segundo SOLUÇÃO Modelando o Sistema Nosso primeiro objetivo é modelar o sistema no domínio z A função de transferência à frente Gs que inclui o amostrador e segurador o amplificador de potência o motor e a carga e as engrenagens é em que a 171 e T 01 Como a transformada z de 1 eTs é 1 z1 e a partir do Exemplo 136 a transformada z de as2s a é a transformada z da planta Gz é Substituindo os valores de a e T obtemos FIGURA 1331 Sistema de controle de posição de azimute de antena analógico convertido em um sistema digital A Figura 1331 mostra o computador e a planta como parte do sistema de controle digital com realimentação Projetando a Resposta Transitória Agora que a modelagem no domínio z está completa podemos começar a projetar o sistema para a resposta transitória requerida Sobrepomos o lugar geométrico das raízes à curva de fator de amortecimento constante no plano z como mostrado na Figura 1332 Uma reta traçada da origem até a interseção forma um ângulo de 858 Procurando ao longo dessa reta por 180 obtemos a interseção como 0915 j0138 com um ganho de malha 9846 104K de 00135 Portanto K 1371 FIGURA 1332 Lugar geométrico das raízes sobreposto à curva de fator de amortecimento constante FIGURA 1333 Resposta ao degrau amostrado do sistema de controle de posição de azimute de antena a b c d Verificando o projeto através da determinação da resposta ao degrau unitário amostrado do sistema em malha fechada produzse o gráfico da Figura 1333 que apresenta uma ultrapassagem de 20 ζ 0456 DESAFIO Agora apresentamos um estudo de caso para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 Faça o seguinte Converta o sistema em um sistema digital com T 01 segundo Para fins de conversão admita que os potenciômetros sejam substituídos por transdutores com ganho unitário Despreze a dinâmica do amplificador de potência Projete o ganho K para 163 de ultrapassagem Para seu valor de ganho projetado determine o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária Repita o Item b utilizando o MATLAB Controle de Antena Projeto de Compensador Digital em Cascata PROBLEMA Projete um compensador digital de avanço de fase para reduzir o tempo de acomodação por um fator de 25 em relação ao obtido para o sistema de controle de posição de azimute de antena no problema de Estudo de Caso anterior neste capítulo SOLUÇÃO A Figura 1334 mostra um diagrama de blocos simplificado do sistema contínuo desprezando a dinâmica do amplificador de potência e admitindo que os potenciômetros sejam substituídos por transdutores com ganho unitário como explicado anteriormente Começamos com um projeto no plano s A partir da Figura 1333 o tempo de acomodação é cerca de 5 segundos Assim nossos requisitos de projeto são um tempo de acomodação de 2 segundos e um fator de amortecimento de 05 A frequência natural é ωn 4ζTs 4 rads Os polos dominantes compensados estão localizados em Projetando o zero do compensador de avanço de fase para cancelar o polo da planta no plano s em 171 resulta em um polo do compensador de avanço de fase em 4 Assim o compensador de avanço de fase é dado por FIGURA 1334 Diagrama de blocos simplificado do sistema de controle de azimute de antena Utilizando o lugar geométrico das raízes para calcular o ganho K no ponto de projeto resulta em 02083K 16 ou K 7681 Escolhemos agora uma frequência de amostragem apropriada como descrito na Seção 1310 Utilizando o compensador em cascata e a planta a função de transferência do caminho à frente equivalente Ges KGcsGps é A magnitude da resposta em frequência da Eq 13111 é 0 dB em 31 rads Assim com base na Seção 1310 o valor do período de amostragem T deve ficar na faixa de segundo Vamos escolher um valor menor digamos T 0025 segundo Substituindo a Eq 1388 na Eq 13111 em que T 0025 resulta no compensador digital Para simular o sistema digital calculamos a transformada z da planta na Figura 1334 em cascata com um amostrador e segurador de ordem zero A transformada z da planta amostrada é calculada pelo método discutido na Seção 134 utilizando T 0025 O resultado é A resposta ao degrau na Figura 1335 mostra aproximadamente 20 de ultrapassagem e um tempo de acomodação de 21 segundos para o sistema digital em malha fechada Concluímos o projeto obtendo o fluxograma do compensador digital Utilizando a Eq 13112 na qual definimos KGcz XzEz e fazendo a multiplicação cruzada resulta Resolvendo para a maior potência de z operando em Xz Resolvendo para Xz FIGURA 1335 Resposta ao degrau em malha fechada digital do sistema de controle de antena com um compensador de avanço de fase FIGURA 1336 Fluxograma para compensador digital de avanço de fase Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc Implementando a Eq 13116 como um fluxograma resulta na Figura 1336 DESAFIO Agora apresentamos um estudo de caso para testar seu conhecimento dos objetivos deste capítulo Dado o sistema de controle de posição de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras Configuração 2 Substitua os potenciômetros por transdutores com ganho unitário despreze a dinâmica do amplificador de potência e faça o seguinte a b c Projete um compensador digital de avanço de fase para resultar em 10 de ultrapassagem com um instante de pico de 1 segundo Projete no plano s e utilize a transformação de Tustin para especificar e implementar um compensador digital Escolha um período de amostragem apropriado Desenhe um fluxograma para seu compensador digital de avanço de fase Repita o Item a utilizando o MATLAB Resumo Neste capítulo cobrimos o projeto de sistemas digitais utilizando métodos clássicos As técnicas do espaço de estados não foram cobertas Contudo você é encorajado a estudar esse tópico em um curso dedicado a sistemas de controle com dados amostrados Examinamos as vantagens dos sistemas de controle digital Esses sistemas podem controlar várias malhas a custo reduzido Modificações no sistema podem ser implementadas com alterações do programa de computador ao invés de alterações de equipamentos Normalmente o computador digital é colocado no caminho à frente precedendo a planta Conversões digitalanalógica e analógicadigital são requeridas no sistema para assegurar a compatibilidade dos sinais analógicos e digitais ao longo do sistema O computador digital na malha é modelado como uma estrutura amostrador e segurador juntamente com qualquer compensação que ele execute Ao longo do capítulo vimos comparações diretas com os métodos utilizados para a análise no plano s de transitórios erros em regime permanente e estabilidade de sistemas analógicos A comparação é possibilitada pela transformada z que substitui a transformada de Laplace como a transformada escolhida para analisar sistemas com dados amostrados A transformada z nos permite representar formas de onda amostradas nos instantes de amostragem Podemos tratar os sistemas amostrados tão facilmente quanto os sistemas contínuos incluindo a redução de diagrama de blocos uma vez que tanto sinais quanto sistemas podem ser representados no domínio z e manipulados algebricamente Sistemas complexos podem ser reduzidos a um único bloco através de técnicas que fazem um paralelo com as técnicas utilizadas com o plano s Respostas no tempo podem ser obtidas através da divisão do numerador pelo denominador sem a expansão em frações parciais requerida no domínio s A análise de sistemas digitais faz um paralelo com as técnicas do plano s na área de estabilidade O círculo unitário se torna a fronteira de estabilidade substituindo o eixo imaginário Constatamos também que os conceitos do lugar geométrico das raízes e da resposta transitória são facilmente transportados para o plano z As regras para esboçar o lugar geométrico das raízes não mudam Podemos mapear pontos no plano s em pontos no plano z e vincular características de resposta transitória aos pontos A avaliação de um sistema com dados amostrados mostra que a taxa de amostragem em acréscimo ao ganho e a carga determina a resposta transitória Compensadores em cascata também podem ser projetados para sistemas digitais Um método é 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 primeiro projetar o compensador no plano s ou através das técnicas de resposta em frequência descritas nos Capítulos 9 e 11 respectivamente Em seguida o projeto resultante é transformado em um compensador digital utilizando a transformação de Tustin O projeto de compensadores em cascata diretamente no plano z é um método alternativo que pode ser utilizado Entretanto essas técnicas estão além do escopo deste livro Este curso introdutório de sistemas de controle está agora completo Você aprendeu como analisar e projetar sistemas de controle lineares utilizando técnicas do domínio da frequência e do espaço de estados Este curso é apenas um começo Você deve considerar prosseguir seus estudos sobre sistemas de controle através de cursos avançados sobre controle digital controle não linear e controle ótimo nos quais aprenderá novas técnicas para analisar e projetar classes de sistemas não cobertas neste livro Esperamos ter despertado seu interesse para continuar seus estudos sobre engenharia de sistemas de controle Questões de Revisão Cite duas funções que o computador digital pode realizar quando utilizado com sistemas de controle com realimentação Cite três vantagens da utilização de computadores digitais na malha Cite duas considerações importantes na conversão analógicadigital que resultam em erros De que consiste o modelo em diagrama de blocos de um computador digital O que é a transformada z O que a transformada z inversa de uma forma de onda no tempo realmente produz Cite dois métodos de obtenção da transformada z inversa Qual método de obtenção da transformada z inversa resulta em uma expressão na forma fechada para a função do tempo Qual método de obtenção da transformada z inversa produz diretamente os valores da forma de onda no tempo nos instantes de amostragem Para obter a transformada z de uma Gs o que deve ser verdadeiro em relação à entrada e à saída Se uma entrada Rz para o sistema Gz resulta em uma saída Cz qual é a natureza de ct Se uma forma de onda no tempo ct na saída de um sistema Gz for representada graficamente utilizando a transformada z inversa e uma resposta de segunda ordem típica com fator de amortecimento 05 resultar podemos afirmar que o sistema é estável O que deve existir para que sistemas com dados amostrados em cascata sejam representados pelo produto de suas funções de transferência pulsadas Gz Onde está a região de estabilidade no plano z Que métodos para a determinação da estabilidade de sistemas digitais podem substituir o critério de RouthHurwitz para sistemas analógicos Para levar os erros em regime permanente em sistemas analógicos a zero um polo pode ser alocado na origem do plano s Onde no plano z um polo deve ser alocado para levar o erro em regime permanente de um sistema amostrado a zero Como as regras para esboçar o lugar geométrico das raízes no plano z diferem das regras para esboçar o lugar geométrico das raízes no plano s 18 19 20 21 1 a b c d 2 3 4 5 a b 6 Dado um ponto do plano z como se pode determinar a ultrapassagem percentual o tempo de acomodação e o instante de pico associados Dados uma ultrapassagem percentual e um tempo de acomodação desejados como se pode determinar qual ponto no plano z é o ponto de projeto Descreva como compensadores digitais podem ser projetados no plano s Qual característica é comum entre um compensador em cascata projetado no plano s e o compensador digital para o qual ele é convertido Problemas Deduza as transformadas z das funções do tempo listadas a seguir Não utilize nenhuma tabela de transformadas z Utilize o esquema ft ft Fs Fz seguindo da conversão de Fz para a forma fechada fazendo uso de que 11 z1 1 z1 z2 z3 Admita amostragem ideal Seção 133 eatut ut t2eatut cos ωt ut Repita todos os itens do Problema 1 utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox do MATLAB Para cada Fz obtenha fkT utilizando expansão em frações parciais Seção 133 Repita todos os itens do Problema 3 utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox do MATLAB Para cada Fz no Problema 3 faça o seguinte Seção 133 Obtenha fkT utilizando a expansão em séries de potência Verifique seus resultados com suas respostas para o Problema 3 Utilizando expansão em frações parciais e a Tabela 131 obtenha a transformada z de cada Gs mostrada a seguir caso T 05 segundo Seção 133 7 8 9 10 Repita todos os itens do Problema 6 utilizando o MATLAB e a Symbolic Math Toolbox do MATLAB Obtenha Gz CzRz para cada um dos diagramas de blocos mostrados na Figura P131 caso T 03 segundo Seção 134 Obtenha Tz CzRz para cada um dos sistemas mostrados na Figura P132 Seção 135 Obtenha Cz em termos gerais para o sistema digital mostrado na Figura P133 Seção 135 FIGURA P131 FIGURA P132 11 12 13 a b FIGURA P133 FIGURA P134 Obtenha a função de transferência em malha fechada Tz CzRz para o sistema mostrado na Figura P134 Seção 135 Dado o sistema na Figura P135 determine a faixa de período de amostragem T que manterá o sistema estável Seção 136 FIGURA P135 Escreva um programa MATLAB que pode ser utilizado para determinar a faixa de período de amostragem T para estabilidade O programa será utilizado para sistemas do tipo representado na Figura P136 e deve atender aos seguintes requisitos O MATLAB irá converter G1s em cascata com um amostrador e segurador em Gz O programa irá calcular as raízes no plano z do sistema em malha fechada para uma faixa de T e determinar o valor de T se houver abaixo do qual o sistema será estável O MATLAB irá mostrar este valor de T juntamente com os polos no plano z da função de transferência em malha fechada 14 15 a b FIGURA P136 Teste o programa com Determine a faixa de ganho K para tornar o sistema mostrado na Figura P137 estável Seção 136 FIGURA P137 Obtenha as constantes de erro estático e o erro em regime permanente para cada um dos sistemas digitais mostrados na Figura P138 caso as entradas sejam Seção 137 ut tut 16 17 18 FIGURA P138 Escreva um programa MATLAB que pode ser utilizado para obter Kp Kv e Ka para sistemas digitais O programa será utilizado para sistemas do tipo representado na Figura P136 Teste seu programa com em que Gz é a função de transferência pulsada de G1s em cascata com o zoh e T 01 segundo Para o sistema digital mostrado na Figura P136 no qual G1s Ks 1s 4 determine o valor de K para resultar em uma ultrapassagem de 163 Determine também a faixa de K para estabilidade Faça T 01 segundo Seção 139 Utilize o Simulink para simular a resposta ao degrau do sistema do Problema 17 Ajuste o valor do ganho K para o projetado no Problema 17 para 163 de ultrapassagem 19 20 a b c d 21 22 23 24 Utilize o LTI Viewer do MATLAB para determinar o instante de pico e o tempo de acomodação da resposta ao degrau em malha fechada do Sistema 4 na Figura P138 Escreva um programa MATLAB que pode ser utilizado para projetar o ganho de um sistema de controle digital para atender a um requisito de ultrapassagem percentual O programa será utilizado para sistemas do tipo representado na Figura P136 e deve atender aos seguintes requisitos O usuário entrará com o valor desejado de ultrapassagem percentual O MATLAB irá converter G1s em cascata com o amostrador e segurador em Gz O MATLAB irá mostrar o lugar geométrico das raízes no plano z junto com uma sobreposição da curva de ultrapassagem percentual O usuário clicará com o mouse na interseção do lugar geométrico das raízes com a curva de ultrapassagem percentual e o MATLAB irá responder com o valor de ganho seguido da exibição da resposta ao degrau do sistema em malha fechada Utilize seu programa para o Problema 17 e compare os resultados Para o sistema digital mostrado na Figura P136 no qual G1s Kss 1 determine o valor de K para resultar em um instante de pico de 2 segundos caso o período de amostragem T seja 01 segundo Além disso determine a faixa de K para estabilidade Seção 139 Para o sistema digital mostrado na Figura P136 no qual G1s Kss 1s 3 determine o valor de K para resultar em uma ultrapassagem de 20 caso o período de amostragem T seja 01 segundo Além disso determine a faixa de K para estabilidade Seção 139 Para o sistema digital mostrado na Figura P136 no qual G1s Ks 2ss 1s 3 determine o valor de K para resultar em um tempo de acomodação de 15 segundos caso o período de amostragem T seja 1 segundo Além disso determine a faixa de K para estabilidade Seção 139 Um controlador PID foi projetado no Exemplo 95 para um sistema contínuo com realimentação unitária A planta do sistema era 25 26 27 a b c O controlador PID projetado foi Obtenha a função de transferência digital Gcz do controlador PID para que o sistema seja controlado por computador caso o período de amostragem T seja 001 segundo Seção 1310 Um sistema com realimentação unitária contínuo possui uma função de transferência à frente O sistema deve ser controlado por computador com as seguintes especificações Ultrapassagem percentual 10 Tempo de acomodação 2 segundos Período de amostragem 001 segundo Projete um compensador de avanço de fase para o sistema digital para atender às especificações Seção 1310 Repita o Problema 25 utilizando o MATLAB PROBLEMAS DE PROJETO Converta o controle de rumo do veículo UFFS mostrado nas guardas traseiras Johnson 1980 em um sistema controlado digitalmente Obtenha a função de transferência pulsada em malha fechada Tz caso T 01 segundo Determine a faixa de ganho de rumo para manter o sistema digital estável 28 a b c d 29 a b c d 30 Um robô equipado para executar soldagem a arco foi discutido no Problema 45 Capítulo 8 O robô foi compensado através da realimentação dos sinais de pressão e de velocidade como mostrado na Figura P813b A eliminação desses caminhos de realimentação resulta no diagrama de blocos mostrado na Figura P139 Hardy 1967 FIGURA P139 Diagrama de blocos simplificado para movimento de giro de robô Converta o robô em um sistema de controle digital Utilize um período de amostragem de 01 segundo Esboce o lugar geométrico das raízes Determine a faixa de K para manter o sistema digital estável Repita todos os itens anteriores utilizando o MATLAB O acionador de disco flexível do Problema 57 Capítulo 8 deve ser controlado digitalmente Caso o sistema analógico seja como mostrado na Figura P1310 faça o seguinte FIGURA P1310 Diagrama de blocos simplificado de um acionador de disco flexível Converta o acionador de disco em um sistema digital Utilize um período de amostragem de 001 segundo Determine a faixa de ganho do controlador digital para manter o sistema estável Determine o valor de ganho do controlador digital para resultar em 15 de ultrapassagem para a resposta a um degrau digital Repita todos os itens anteriores e obtenha a resposta ao degrau para o Item c utilizando o MATLAB Microscópicos de varredura por sonda são utilizados para visualizar amostras com dimensões na faixa de submícron Eles tipicamente utilizam uma sonda à base de silício para acompanhar fisicamente a topografia da amostra para gerar uma imagem em boas condições Entretanto esses dispositivos são muito sensíveis a perturbações e vibrações externas Uma abordagem chamada de supressão de perturbações inerentes tenta aliviar o problema das 31 32 a b c d e perturbações através da adição de um interferômetro laser utilizado para medir a interação entre a sonda e a amostra e compensar movimentos indesejados da sonda Essa técnica foi implementada em um microscópio de força atômica de modo de contato intermitente medindo moléculas individuais de DNA Foi mostrado que para uma faixa significativa de frequências a transmissão em malha aberta da tensão de entrada da sonda para o deslocamento da sonda é Sparks 2006 Admitindo que a sonda seja controlada digitalmente em uma malha como a mostrada na Figura P136 calcule a faixa de período de amostragem que resultará em um sistema estável em malha fechada O Problema 35 Capítulo 9 descreveu um sistema de dois tanques onde o objetivo era manter um nível de líquido constante em um dos tanques através do controle de uma válvula de fluxo de entrada Admita que para esse problema a função de transferência relacionando a saída de nível de líquido Ys com a vazão de entrada Fθs para o tanque inferior seja Romagnoli 2006 Admita que o sistema será controlado em malha fechada por meio de um sistema com computador digital com um período de amostragem T 1 segundo como mostrado na Figura P136 com G1s kGs Utilize a transformação bilinear e o método de RouthHurwitz para determinar a faixa de K que resultará em um sistema estável em malha fechada Admita que o sistema de dois tanques do Problema 31 seja controlado por um computador digital na configuração da Figura P136 na qual G1s kGs Caso um período de amostragem de T 1 segundo seja utilizado faça o seguinte Romagnoli 2006 Utilize o MATLAB para traçar o lugar geométrico das raízes Determine o valor de K que resultará em um sistema estável com um fator de amortecimento de ζ 07 Utilize o lugar geométrico das raízes do Item b para predizer o tempo de acomodação Ts e o instante de pico Tp da resposta ao degrau Calcule o valor final do sistema em malha fechada para uma entrada em degrau unitário Obtenha a resposta ao degrau do sistema utilizando o Simulink Verifique as predições que você fez nos Itens c e d 33 a b c 34 a b No Problema 48 Capítulo 9 e no Problema 39 Capítulo 10 consideramos o controle de posição radial da cabeça de captação de um leitor de DVD Um controlador foi projetado e colocado em cascata com a planta em uma configuração com realimentação unitária para estabilizar o sistema O controlador foi dado por e a planta por Bittanti 2002 Desejase substituir o sistema contínuo por um sistema discreto equivalente sem afetar significativamente o desempenho do sistema Determine uma frequência de amostragem apropriada para a discretização Utilizando a frequência de amostragem escolhida transforme o compensador contínuo em um compensador discreto Utilize o Simulink para simular os sistemas contínuo e discreto no mesmo gráfico Admita uma entrada em degrau unitário Existem diferenças significativas no desempenho do sistema No Problema 25 Capítulo 11 discutimos sobre um EVAD um dispositivo que trabalha em paralelo com o coração humano para auxiliar no bombeamento de sangue em pacientes com doenças cardíacas O dispositivo tem uma função de transferência em que Ems é a tensão da armadura do motor e Paos é a pressão sanguínea na aorta Tasch 1990 Utilizando técnicas contínuas um compensador em cascata é projetado para uma configuração com realimentação unitária com uma função de transferência Com a escolha de um microcontrolador para controlar o dispositivo um equivalente discreto para Gcs deve ser obtido Faça o seguinte Determine uma frequência de amostragem apropriada para a discretização Transforme o compensador contínuo em um compensador discreto utilizando a frequência c 35 a b c d e f 36 37 de amostragem obtida no Item a Utilize o Simulink para simular os sistemas contínuo e discreto no mesmo gráfico para uma entrada em degrau unitário Deve haver uma pequena diferença entre os sistemas compensados contínuo e discreto No Problema 46 Capítulo 9 um sistema regulador de turbina a vapor foi implementado por um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência do caminho à frente Khodabakhshian 2005 Utilize um período de amostragem de T 05 s e obtenha um equivalente discreto para esse sistema Utilize o MATLAB para traçar o lugar geométrico das raízes Determine o valor de K que resultará em um sistema estável com um fator de amortecimento de ζ 07 Utilize o lugar geométrico das raízes obtido no Item c para predizer o tempo de acomodação Ts e o instante de pico Tp da resposta ao degrau Calcule o valor final da resposta ao degrau unitário do sistema em malha fechada Obtenha a resposta ao degrau do sistema utilizando o Simulink Verifique as predições que você fez nos Itens d e e Se você ainda não tiver resolvido resolva o Problema 45 no Capítulo 9 Nesse problema você projeta um controlador PID para um sistema de controle de temperatura Digitalize seu projeto do PID e desenhe um fluxograma a partir do qual o controlador PID pode ser implementado Sistemas controlados em tempo discreto podem apresentar características únicas não disponíveis em controladores contínuos Por exemplo admitindo uma entrada específica e algumas condições é possível projetar um sistema para chegar ao regime permanente em apenas um período de amostragem sem ultrapassagem Esse esquema é bem conhecido e é chamado de controle deadbeat Ilustramos o projeto de controle deadbeat com um exemplo simples Para um tratamento mais abrangente ver Ogata 1987 a b c 38 Admita na Figura 1325a que O propósito do projeto será obter um compensador Gcz tal que para uma entrada em degrau o sistema chegue ao regime permanente em uma amostra Começamos transformando o sistema para o domínio discreto para obter o equivalente da Figura 1325c A função de transferência pulsada é obtida usando a Eq 1340 uma vez que é admitido que o compensador será seguido de um segurador de ordem zero Na Figura 1325c a função de transferência em malha fechada é dada por ou resolvendo para o compensador obtemos A saída desejada do sistema é um degrau unitário atrasado por uma única amostra Assim Como a entrada é um degrau unitário a função de transferência em malha fechada desejada é e o compensador resultante obtido por substituição direta é dado por Admita agora que a planta seja dada por e um período de amostragem de T 005 segundo seja usado Projete um compensador deadbeat para chegar ao regime permanente em um período de amostragem para uma entrada em degrau Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em rampa de inclinação unitária Simule seu sistema utilizando o Simulink Sugestão seguindo a Figura 1325 o caminho à frente consistirá de Gcz em cascata com um segurador de ordem zero e Gps Mostre que o sistema chega ao regime permanente após uma amostra Verifique também seu resultado para o erro em regime permanente para rampa Dado Utilize o Control Design and Simulation Module do LabVIEW para 1 converter Gs em uma função de transferência digital usando uma taxa de amostragem de 025 segundo e 2 apresentar o gráfico das respostas ao degrau das funções de transferência discreta e contínua 39 40 a b c 41 Dado Utilize o Control Design and Simulation Module do LabVIEW e o MathScript RT Module para 1 obter o valor de K que irá resultar em um fator de amortecimento de 05 para o sistema em malha fechada na Figura 1320 no qual Hz 1 e 2 apresente a resposta ao degrau do sistema em malha fechada na Figura 1320 no qual Hz 1 Compare seus resultados com os do Exercício 138 PROBLEMAS PROGRESSIVOS DE ANÁLISE E PROJETO Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade O Problema 21 no Capítulo 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade OConnor 1997 No Problema 79a Capítulo 5 você obteve o diagrama de blocos para o sistema de controle ativo do pantógrafo No Capítulo 9 você projetou um controlador PID para resultar em um tempo de acomodação de 03 segundo com erro em regime permanente nulo Admitindo que o sistema de controle ativo deva ser controlado por computador faça o seguinte Converta o controlador PID projetado no Problema 53 Capítulo 9 em um controlador digital especificando sua função de transferência amostrada Gcz Admita que os potenciômetros sejam substituídos por um teclado conversores AD e transdutores com ganho unitário Desenhe um fluxograma a partir do qual o controlador PID pode ser implementado Utilize o MATLAB para simular a resposta ao degrau do sistema de controle digital ativo Controle de HIVAIDS No Capítulo 11 um compensador contínuo em cascata para um sistema com realimentação unitária foi projetado para o tratamento do paciente infectado por HIV tratado com RTIs Craig 2004 A função de transferência do compensador projetado foi A planta linearizado foi dada por a b c 42 a 1 2 O sistema compensado é superamortecido com um tempo de acomodação de aproximadamente 100 dias Esse sistema deve ser discretizado por razões práticas 1 um paciente com HIV não pode ser monitorado continuamente e 2 a dosagem de medicamento não pode ser ajustada continuamente Mostre que um período de amostragem razoável para esse sistema é T 8 dias a dosagem de medicamento será atualizada semanalmente Utilize o método de Tustin e T 8 dias para obter uma discreta equivalente para Gcs Utilize o Simulink para simular os sistemas compensados contínuo e discreto para uma entrada em degrau unitário Apresente ambas as respostas em um mesmo gráfico Veículo híbrido No Problema 769 Figura P734 o diagrama de blocos de um esquema em cascata para o controle de velocidade de um HEV Preitl 2007 foi representado como um sistema com realimentação unitária Naquele diagrama a saída do sistema é a tensão de saída do transdutor de velocidade Cs KSV Vs No Item b do Problema 1135 no qual um compensador foi projetado para esse problema discutimos a viabilidade de realizar um cancelamento pleno de polo e zero ao posicionarmos o zero do controlador de velocidade PI ZI sobre o polo real do sistema sem compensação mais próximo da origem localizado em 00163 Observando que o cancelamento perfeito de polo e zero não pode ser mantido estudamos um caso no qual o zero do controlador PI variava por 120 mudando para 001304 Neste caso a função de transferência da planta com um controlador de velocidade PI que tem um ganho proporcional K era dada por Admitindo que G1s na Figura P136 é igual à função de transferência Gs que acabou de ser dada para o veículo com o controlador de velocidade Desenvolva uma arquivo m em MATLAB que permitirá que você faça o seguinte Sugestão consulte os arquivos m que você desenvolveu para os Problemas 13 e 20 desse capítulo Converta G1s em cascata com um amostrador e segurador em Gz Procure na faixa de 0 T 5 segundos pelo maior período de amostragem Tmáx abaixo do qual o sistema é 3 4 b c d e 1 2 estável Calcule as raízes no plano z do sistema em malha fechada para toda a faixa de período de amostragem T Subsequentemente faça T 075Tmáx Projete o ganho de um sistema de controle digital para atender a um requisito de ultrapassagem percentual UP permitindo que o usuário entre com o valor da UP desejada e o valor do ganho proporcional do controlador de velocidade PI K Apresente a resposta ao degrau do sistema digital em por unidade pu em função do tempo em segundos Execute o arquivo m que você desenvolveu no Item a e entre os valores desejados da ultrapassagem percentual UP 0 e do ganho proporcional do controlador de velocidade PI K 61 Escolha um ponto na janela gráfica mostrando o lugar geométrico das raízes tal que todos os polos da função de transferência em malha fechada Tz estejam dentro do círculo unitário Escreva as funções de transferência com dados amostrados obtidas Gz e Tz indicando o valor correspondente de período de amostragem T e todos os polos r da função de transferência em malha fechada Tz Represente graficamente a resposta ao degrau deste sistema digital em por unidade pu em função do tempo em segundos observando as seguintes características valor final tempo de subida e tempo de acomodação Investigando em Laboratório Virtual Experimento 131 Objetivo Projetar o ganho de um sistema de controle digital para atender a um requisito de resposta transitória simular um sistema de controle digital para testar um projeto observar o efeito da taxa de amostragem sobre a resposta no tempo de um sistema digital Requisitos Mínimos de Programas MATLAB Simulink e Control System Toolbox PréEnsaio Dado o sistema de controle de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras utilize a Configuração 2 para obter a função de transferência discreta da planta Despreze a dinâmica do amplificador de potência e inclua o préamplificador o motor as engrenagens e a carga Admita um segurador de ordem zero e um período de amostragem de 001 segundo Utilizando a planta digital obtida no PréEnsaio 1 determine o ganho do préamplificador requerido para um resposta do sistema digital em malha fechada com 10 de ultrapassagem e 3 1 2 3 4 1 2 3 4 um período de amostragem de 001 segundo Qual é o instante de pico Dado o sistema de controle de azimute de antena mostrado nas guardas dianteiras utilize a Configuração 2 para determinar o ganho do préamplificador requerido para o sistema contínuo para resultar em uma resposta ao degrau em malha fechada com 10 de ultrapassagem Considere o sistema em malha aberta como sendo o préamplificador o motor as engrenagens e a carga Despreze a dinâmica do amplificador de potência Ensaio Verifique seu valor de ganho do préamplificador determinado no PréEnsaio 2 utilizando a SISO Design Tool para gerar o lugar geométrico das raízes da função de transferência digital em malha aberta obtida no PréEnsaio 1 Utilize o recurso de Design Requirements para gerar a curva de 10 de ultrapassagem e posicione seus polos em malha fechada nesse limite Obtenha um gráfico do lugar geométrico das raízes e do limite de projeto Registre o valor de ganho para 10 de ultrapassagem Além disso obtenha um gráfico da resposta ao degrau em malha fechada utilizando o LTI Viewer e registre os valores de ultrapassagem percentual e instante de pico Utilize essa mesma ferramenta para determinar a faixa de ganho para estabilidade Utilizando o Simulink prepare o sistema digital em malha fechada cuja planta foi obtida no PréEnsaio 1 Construa dois diagramas um com a função de transferência digital da planta e outro utilizando a função de transferência contínua da planta precedida de um amostrador e segurador de ordem zero Utilize a mesma entrada em degrau para ambos os diagramas e obtenha a resposta ao degrau de cada um deles Meça a ultrapassagem percentual e o instante de pico Utilizando o Simulink prepare ambos os sistemas digital e contínuo calculados nos Pré Ensaios 2 e 3 respectivamente para resultar em 10 de ultrapassagem Construa o sistema digital com um amostrador e segurador ao invés de uma função da transformada z Represente graficamente a resposta ao degrau de cada sistema e registre a ultrapassagem percentual e o instante de pico Para um dos sistemas digitais construídos no Ensaio 2 varie o período de amostragem e registre as respostas para alguns valores de período de amostragem acima de 001 segundo Registre o período de amostragem a ultrapassagem percentual e o instante de pico Além disso determine o valor do período de amostragem que torna o sistema instável PósEnsaio Construa uma tabela contendo a ultrapassagem percentual o instante de pico e o ganho para cada uma das respostas em malha fechada a seguir sistema digital utilizando a SISO Design Tool sistema digital utilizando o Simulink e as funções de transferência digitais sistema digital utilizando o Simulink e as funções de transferência contínuas com o amostrador e segurador de ordem zero e sistema contínuo utilizando o Simulink Utilizando os dados do Ensaio 4 construa uma tabela contendo o período de amostragem a ultrapassagem percentual e o instante de pico Além disso declare o período de amostragem que torna o sistema instável Compare as respostas de todos os sistemas digitais com um período de amostragem de 001 segundo e do sistema contínuo Explique quaisquer discrepâncias Compare as respostas do sistema digital com períodos de amostragem diferentes com o 5 1 2 sistema contínuo Explique as diferenças Tire algumas conclusões sobre o efeito da amostragem Experimento 132 Objetivo Utilizar as várias funções do Control Design and Simulation Module do LabVIEW para a análise de sistemas de controle digital Requisitos Mínimos de Programas LabVIEW com Control Design and Simulation Module e MathScript RT Module MATLAB com Control System Toolbox PréEnsaio Dados a Figura P828 e os parâmetros listados no PréEnsaio do Experimento 82 do Investigando em Laboratório Virtual para a ligação da junta eletromecânica do ombro do ARM II Manipulador de Pesquisa Avançada II de oito eixos da NASA atuado através de um servomotor cc controlado pela armadura Obtenha a função de transferência em malha aberta da ligação da junta do ombro ou use seus cálculos do Experimento 82 do Investigando em Laboratório Virtual Utilize o MATLAB e projete um compensador digital para resultar em uma resposta em malha fechada com erro em regime permanente nulo e um fator de amortecimento de 07 Se você já tiver realizado o Experimento 82 do Investigando em Laboratório Virtual modifique seu arquivo m desse experimento Teste seu projeto usando o MATLAB Ensaio Simule seu projeto do PréEnsaio utilizando um Simulation Loop do Control Design and Simulation Module do LabVIEW Represente graficamente a resposta ao degrau de duas malhas como a seguir 1 uma realimentação unitária com o caminho à frente consistindo da função de transferência contínua precedida de um segurador de ordem zero e 2 uma realimentação unitária como o caminho à frente consistindo da função de transferência discreta equivalente de seu compensador em cascata com a planta em malha aberta PósEnsaio Compare os resultados obtidos com os de seu programa MATLAB do PréEnsaio Comente sobre as especificações de desempenho no domínio do tempo Bibliografia Astrom K J and Wittenmark B Computer Controlled Systems Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1984 Bittanti S DellOrto F Di Carlo A and Savaresi S M Notch Filtering and Multirate Control for Radial Tracking in High Speed DVDPlayers IEEE Transactions on Consumer Electronics vol 48 2002 pp 5662 Boyd M and Yingst J C PCBased Operator Control Station Simplifies Process Saves Time Chiltons I CS September 1988 pp 99101 Chassaing R Digital Signal Processing Wiley New York 1999 Craig I K Xia X and Venter J W Introducing HIVAIDS Education into the Electrical Engineering Curriculum at the University of Pretoria IEEE Transactions on Education vol 47 no 1 February 2004 pp 6573 Craig J J Introduction to Robotics Mechanics and Control 3d ed Prentice Hall Upper Saddle River NJ 2005 Hardy H L MultiLoop Servo Controls Programmed Robot Instruments and Control Systems June 1967 pp 105111 Hostetter G H Digital Control System Design Holt Rinehart 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Phillips C L and Nagle H T Jr Digital Control System Analysis and Design Prentice Hall Upper Saddle River NJ 1984 Preitl Z Bauer P and Bokor J A Simple Control Solution for Traction Motor Used in Hybrid Vehicles 4th International Symposium on Applied Computational Intelligence and Informatics IEEE 2007 Romagnoli J A and Palazoglu A Introduction to Process Control CRC Press Boca Raton FL 2006 Smith C L Digital Computer Process Control Intext Educational Publishers NY 1972 Sparks A W and Manalis S R Atomic Force Microscopy with Inherent Disturbance Suppression for Nanostructure Imaging Nanotechnology vol 17 2006 pp 15741579 Tasch U Koontz J W Ignatoski M A and Geselowitz D B An Adaptive Aortic Pressure Observer for the Penn State Electric Ventricular Assist Device IEEE Transactions on Biomedical Engineering vol 37 1990 pp 374383 Tou J Digital and SampledData Control Systems McGrawHill New York 1959 Williams R L II Local Performance Optimization for a Class of Redundant EightDegree ofFreedom Manipulators NASA Technical Paper 3417 NASA Langley Research Center Hampton VA March 1994 1Ver Ogata 1987 170177 para uma discussão detalhada 2Uma discussão sobre o método tabular de Raible e o teste de estabilidade de Jury pode ser encontrada em Kuo 1980 278286 3Um software de matemática simbólica como a Symbolic Math Toolbox do MATLAB é recomendado para reduzir o trabalho necessário para realizar a transformação 4Ver Ogata 1987 59 para uma dedução 5Ver Ogata 1987 315318 para uma dedução 6Para uma excelente discussão sobre fluxogramas básicos para representar compensadores digitais incluindo a representação mostrada na Figura 1328 e fluxogramas alternativos com a metade dos atrasos ver Chassaing 1999 pp 135143 UP Ultrapassagem percentual A Ampère unidade de corrente elétrica A Matriz de sistema da representação no espaço de estados am Constante de tempo do motor B Coeficiente de atrito viscoso mecânico rotacional em Nmsrad B Matriz de entrada da representação no espaço de estados C Coulomb unidade de carga elétrica C Capacitância elétrica em farads C Matriz de saída da representação no espaço de estados Cs Transformada de Laplace da saída de um sistema ct Saída de um sistema CM Matriz de controlabilidade D Coeficiente de atrito viscoso de mecânico rotacional em Nmsrad D Matriz de transmissão à frente da representação no espaço de estados Da Coeficiente de amortecimento viscoso da armadura de um motor em Nmsrad Dm Coeficiente de atrito viscoso total na armadura de um motor incluindo o coeficiente de atrito viscoso da armadura e o coeficiente de atrito viscoso da carga refletido em Nmsrad E Energia Es Transformada de Laplace do erro et Erro tensão elétrica Eas Transformada de Laplace da tensão de entrada da armadura do motor transformada de Laplace do sinal de atuação eat Tensão de entrada da armadura do motor sinal de atuação F Farad unidade de capacitância elétrica Fs Transformada de Laplace de ft ft Força mecânica em newtons função genérica no domínio do tempo fv Coeficiente de atrito viscoso mecânico translacional g Aceleração da gravidade G Condutância elétrica em siemens Gs Função de transferência do caminho à frente Gcs Função de transferência do compensador Gcz Função de transferência amostrada de um compensador GM Margem de ganho Gpz Função de transferência amostrada de uma planta H Henry unidade de indutância elétrica Hs Função de transferência do caminho de realimentação I Matriz identidade it Corrente elétrica em ampères J Momento de inércia de massa em kgm2 Ja Momento de inércia da armadura do motor em kgm2 Jm Momento de inércia total na armadura de um motor incluindo o momento de inércia da armadura e o momento de inércia da carga refletido em kgm2 K Matriz de ganho do controlador K Constante de mola mecânica translacional em Nm ou constante de mola rotacional em Nmrad ganho do amplificador resíduo k Ganho de realimentação do controlador índice Ka Constante de aceleração Kce Constante de força contraeletromotriz em Vrads kg Quilograma newtonsegundo2metro unidade de massa kgm2 Quilogramametro2 newtonmetrosegundo2radiano unidade de momento de inércia Km Ganho do motor Kp Constante de posição Kr Ganho de realimentação Kt Constante de torque do motor relacionando o torque desenvolvido com a corrente da armadura em NmA Kv Constante de velocidade L Indutância elétrica em henry L Matriz de ganho do observador l Ganho de realimentação do observador M Massa em quilogramas inclinação das assíntotas do lugar geométrico das raízes m Metro unidade de deslocamento mecânico de translacional Mω Magnitude de uma resposta senoidal ms Metrosegundo unidade de velocidade mecânica translacional MP Magnitude de pico da magnitude da resposta senoidal N Newton unidade de força mecânica translacional em quilogramasmetrosegundo2 Nsm Newtonsegundometro unidade de coeficiente de atrito viscoso mecânico translacional n Tipo do sistema Nm Newtonmetro unidade de constante de mola mecânica de translacional Nm Newtonmetro unidade de torque mecânico Nmsrad Newtonmetrosegundoradiano unidade de coeficiente de atrito viscoso mecânico rotacional NmA Newtonmetroampère unidade da constante de torque do motor Nmrad Newtonmetroradiano unidade de constante de mola mecânica rotacional OM Matriz de observabilidade P Matriz de transformação de similaridade pc Polo do compensador qt Carga elétrica em coulombs R Resistência elétrica em ohms Rs Transformada de Laplace da entrada de um sistema r Resistência elétrica não linear rt Entrada de um sistema Ra Resistência da armadura do motor em ohms rad Radiano unidade de deslocamento angular rads Radianosegundo unidade de velocidade angular S siemen unidade de condutância elétrica s Segundo unidade de tempo s Variável complexa da transformada de Laplace SFP Sensibilidade de F a uma variação relativa em P T Constante de tempo intervalo de amostragem para sinais digitais Ts Função de transferência em malha fechada transformada de Laplace de torque mecânico Tt Torque mecânico em Nm Tmt Torque desenvolvido por um motor na armadura em Nm Tms Transformada de Laplace do torque desenvolvido por um motor na armadura Tp Instante de pico em segundos Tr Tempo de subida em segundos Ts Tempo de acomodação em segundos Tw Largura de pulso em segundos u Vetor de entrada ou de controle da representação no espaço de estados u Sinal de entrada de controle da representação no espaço de estados ut Entrada em degrau unitário Vsrad Voltsegundoradiano unidade da constante de força contraeletromotriz do motor vt Velocidade mecânica translacional em ms tensão elétrica vcet Força contraeletromotriz do motor em volts vet Tensão de erro vpt Entrada do amplificador de potência em volts x Vetor de estado da representação no espaço de estados xt Deslocamento mecânico translacional em metros variável de estado Derivada temporal de uma variável de estado Derivada temporal do vetor de estado y Vetor de saída da representação no espaço de estados yt Saída escalar da representação no espaço de estados z Variável complexa da transformada z zc Zero do compensador α Fator de escala do polo para um compensador de atraso de fase onde a α 1 ângulo de ataque β Fator de escala do polo para um compensador de avanço de fase onde β 1 γ Fator de escala do polo para um compensador de avanço e atraso de fase onde γ 1 δ Ângulo de empuxo ζ Fator de amortecimento θ Ângulo de um vetor em relação à extensão positiva do eixo real θt Deslocamento angular θa Ângulo de uma assíntota do lugar geométrico das raízes em relação à extensão positiva do eixo real θc Contribuição angular de um compensador no plano s θmt Deslocamento angular da armadura de um motor λ Autovalor de uma matriz quadrada σ Parte real da variável da transformada de Laplace s σa Ponto de interseção das assíntotas do lugar geométrico das raízes com o eixo real ΦM Margem de fase Φt Matriz de transição de estado φ Fase ângulo do corpo φc Fase de um compensador φmáx Fase máxima Ω Ohm unidade de resistência elétrica ω Parte imaginária da variável da transformada de Laplace s ωt Velocidade angular em rads ωBW Faixa de passagem em rads ωd Frequência amortecida de oscilação em rads ωΦM Frequência da margem de fase em rads ωGM Frequência da margem de ganho em rads ωn Frequência natural em rads ωp Frequência da magnitude de pico da magnitude da resposta em frequência em rads B1 Introdução O MATLAB é um ambiente computacional técnico de alto nível apropriado para resolver problemas científicos e de engenharia Quando utilizado com rotinas de seu programa associado a Control System Toolbox o MATLAB pode ser utilizado para analisar e projetar problemas de sistemas de controle como os cobertos neste livro O MATLAB e a Control System Toolbox são programas comerciais disponibilizados pela The MathWorks Inc 3 Apple Hill Drive Natick MA 017602098 Telefone 1 508 6477000 Email infomathworkscom URL wwwmathworkscom Os exemplos MATLAB neste tutorial consistem em problemas resolvidos que demonstram a aplicação do MATLAB na análise e projeto de sistemas de controle Muitos dos problemas foram retirados de exemplos do texto identificados com um ícone MATLAB que foram resolvidos sem o MATLAB Um Resumo dos Comandos ao final deste apêndice lista instruções básicas do MATLAB e suas descrições O código neste tutorial também está disponível na pasta Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle no site da LTC Editora Você precisa ter a Versão 79 R2009b do MATLAB e a Versão 84 da Control System Toolbox instaladas na sua máquina para executar o código deste apêndice na Versão 6 da Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle Para executar os arquivos m primeiro certifiquese de que os arquivos foram adicionados ao caminho de procura em Set Path no menu File ou apareçam na janela Current Folder que é parte da janela MATLAB Para ver as respostas do computador depois de instalar os arquivos m execute cada problema digitando o nome do arquivo m como ch2p1 depois do comando de prontidão na Command Window Você também pode executar os arquivos clicando com o botão direito sobre o nome do arquivo caso ele apareça na janela Current Folder e selecionando Run File Para ver todo ou parte do arquivo m na Command Window entre type nome do arquivo ou help nome do arquivo respectivamente após o comando de prontidão Você também pode ver e fazer alterações nos arquivos m dando um duplo clique sobre o arquivo na janela Current Folder Esta ação exibirá o editor Depois de editar certifiquese de salvar o arquivo revisado antes de executálo Caso você não tenha os arquivos m da Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle você pode criar seus próprios arquivos m digitando o código para cada problema deste apêndice em um arquivo m separado não há necessidade de digitar a instrução pause final ou os comentários e nomeando cada arquivo m com uma extensão m como em ch2p1m Você também pode digitar o código para mais de um problema em um arquivo m incluindo o comando pause e nomear o arquivo m com a extensão m Você pode então chamar o arquivo a partir da Command Window e continuar para o problema seguinte passando as instruções pause pressionando qualquer tecla Por sua natureza este apêndice não pode cobrir todo o conhecimento e detalhes necessários para uma compreensão completa do MATLAB Para mais detalhes você deve consultar outras fontes incluindo os manuais de referência do MATLAB e instruções específicas para seu computador em particular A bibliografia no final deste apêndice fornece uma lista parcial de referências Este apêndice deve te dar informações suficientes para que você seja capaz de aplicar o MATLAB aos problemas de análise e de projeto cobertos neste livro O código contido neste apêndice e na Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle foi desenvolvido em um PC utilizando a Versão 79 do MATLAB e a Versão 84 da Control System Toolbox O código também poderá ser executado em estações de trabalho que suportem o MATLAB Consulte o Guia de Instalação Installation Guide do MATLAB para sua plataforma para saber os requisitos mínimos do sistema B2 Exemplos MATLAB Capítulo 2 Modelagem no Domínio da Frequência ch2p1 Cadeias de caracteres serão utilizadas para identificar partes deste tutorial na saída do computador As cadeias de caracteres são representadas pelo texto entre apóstrofos como ab Os comentários começam com e são ignorados pelo MATLAB Os números são digitados sem quaisquer outros caracteres As operações aritméticas podem ser executadas com a utilização dos operadores aritméticos adequados Os números podem ser atribuídos utilizando um argumento do lado esquerdo e um sinal de igual Finalmente podemos determinar a magnitude e o ângulo de um número complexo Q utilizando abs Q e angle Q respectivamente ch2p1 Exibe o título Como vai você Exibe uma cadeia de caracteres 396 Exibe o número escalar 396 47i Exibe o número completo 47i 56j Exibe o número complexo 56j 47i56i Adiciona dois números complexos e exibe a soma 47j56j Multiplica dois números complexos e exibe o produto M5 Atribui 5 a M e exibe N6 Atribui 6 a N e exibe PMN Atribui MN a P e exibe Q34j Define o número complexo Q MagQabsQ Determina a magnitude de Q ThetaQ180piangleQ Determina o ângulo de Q em graus pause ch2p2 Polinômios em s podem ser representados como vetores linha contendo os coeficientes Assim P1 s3 7s2 3s 23 pode ser representado pelo vetor mostrado a seguir com elementos separados por um espaço ou vírgula Cadeias de caracteres podem ser utilizadas para identificar cada seção deste tutorial ch2p2 Exibe o título P11 7 3 23 Armazena o polinômio s37s23s23 como P1 e exibe pause ch2p3 A execução das instruções anteriores faz com que o MATLAB apresente os resultados A finalização de um comando com um ponto e vírgula suprime a apresentação A digitação de uma expressão sem atribuição do lado esquerdo e sem um ponto e vírgula faz com que a expressão seja calculada e o resultado apresentado Entre P2 na Command Window do MATLAB após a execução ch2p3 Exibe o título P23 5 7 8 Atribui 3s35s27s8 a P2 sem exibir 35 Calcula 35 e exibe o resultado pause ch2p4 Uma Fs na forma fatorada pode ser representada na forma polinomial Assim P3 s 2s 5s 6 pode ser transformado em um polinômio utilizando polyV onde V é um vetor linha contendo as raízes do polinômio e polyV produz os coeficientes do polinômio ch2p4 Exibe o título P3poly2 5 6 Armazena o polinômio s2s5s6 como P3 e exibe os coeficientes pause ch2p5 Podemos obter raízes de polinômios utilizando o comando rootsV As raízes são retornadas como um vetor coluna Por exemplo obtenha as raízes de 5s4 7s3 9s2 3s 2 0 ch2p5 Exibe o título P45 7 9 3 2 Forma 5s47s39s23s2 e exibe raizesP4rootsP4 Obtém as raízes de 5s47s39s23s2 atribui a raizesP4 e exibe pause ch2p6 Os polinômios podem ser multiplicados uns pelos outros utilizando o comando convab significando realizar a convolução Assim P5 s3 7s2 10s 9s4 3s3 6s2 2s 1 é gerado como se segue ch2p6 Exibe o título P5conv1 7 10 91 3 6 2 1 Forma s37s210s9s4 3s36s22s1 atribui a P5 e exibe pause ch2p7 A expansão em frações parciais de Fs bsas pode ser obtida utilizando o comando K p k residue b a K resíduos p raízes do denominador k coeficiente direto o qual é obtido dividindose os polinômios antes de efetuar a expansão em frações parciais Expandimos Fs 7s2 9s 12 ss 7 s2 10s 100 como exemplo Utilizando os resultados do MATLAB temos Fs 02554 03382i s 50000 86603i 02554 03382i s 50000 86603i 05280 s 7 00171 s ch2p7 Exibe o título numf7 9 12 Define o numerador de Fs denfconvpoly0 71 10 100 Define o denominador de Fs Kpkresiduenumfdenf Obtém os resíduos e atribui a K obtém as raízes do denominador e atribui a p obtém constante e atribui a k pause ch2p8 Exemplo 23 Vamos resolver o Exemplo 23 do livro utilizando o MATLAB ch2p8 Exemplo 23 Exibe o título numy32 Define o numerador denypoly0 4 8 Define o denominador rpk residuenumydeny Calcula resíduos polos e coeficiente direto pause ch2p9 Criando Funções de Transferência Método Vetorial Forma Polinomial Uma função de transferência pode ser expressa como um polinômio do numerador dividido por um polinômio do denominador isto é Fs NsDs O numerador Ns é representado por um vetor linha numf que contém os coeficientes de Ns Analogamente o denominador Ds é representado por um vetor linha denf que contém os coeficientes de Ds Criamos Fs com o comando Ftf numf denf F é chamada de objeto linear invariante no tempo LTI linear timeinvariant Este objeto ou função de transferência pode ser utilizado como uma entidade em outras operações como adição ou multiplicação Demonstramos com Fs 150s2 2s 7ss2 5s 4 Observe após executar o comando tf que o MATLAB exibe a função de transferência Método Vetorial Forma Fatorada Também podemos criar funções de transferência LTI caso o numerador e o denominador sejam expressos na forma fatorada Fazemos isso utilizando vetores linha contendo as raízes do numerador e do denominador Assim Gs KNsDs pode ser expressa como um objeto LTI utilizando o comando Gzpk numg deng K onde numg é um vetor linha contendo as raízes de Ns e deng é um vetor linha contendo as raízes de Ds A expressão zpk significa zeros raízes do numerador polos raízes do denominador e ganho K Demonstramos com Gs 20s 2s 4s 7s 8s 9 Observe após executar o comando zpk que o MATLAB exibe a função de transferência Método da Expressão Racional em s Forma Polinomial Requer a Control System Toolbox 84 Este método permite que você digite a função de transferência como você a escreveria normalmente A instrução stf s deve preceder a função de transferência caso você deseje criar uma função de transferência LTI na forma polinomial equivalente a utilizar Ftf numf denf Método da Expressão Racional em s Forma Fatorada Requer a Control System Toolbox 84 Este método permite que você digite a função de transferência como você a escreveria normalmente A instrução szpk s deve preceder a função de transferência caso você deseje criar uma função de transferência LTI na forma fatorada equivalente a utilizar Gzpk numg deng K Para ambos os métodos da expressão racional a função de transferência pode ser digitada em qualquer forma independentemente da utilização de stf s ou szpk s A diferença está na função de transferência LTI criada Utilizados os mesmos exemplos anteriores para demonstrar os métodos da expressão racional em s ch2p9 Exibe o título Método Vetorial Forma Polinomial Exibe o título numf1501 2 7 Armazena 150s22s7 em numf e exibe denf1 5 4 0 Armazena ss1s4 em denf e exibe Fs Exibe o título Ftfnumfdenf Forma Fs e exibe clear Apaga as variáveis anteriores do workspace Método Vetorial Forma Fatorada Exibe o título numg2 4 Armazena s2s4 em numg e exibe deng7 8 9 Armazena s7s8s9 em deng e exibe K20 Define K Gs Exibe o título Gzpknumg deng K Forma Gs e exibe clear Apaga as variáveis anteriores do workspace Método da Expressão Racional Forma Polinomial Exibe o título stf s Define s como um objeto LTI na forma polinomial F150s22s7ss2 Forma Fs como uma função de 5s4 transferência LTI na forma polinomial G20s2s4s7 Forma Gs como uma função de s8s9 transferência LTI na forma polinomial clear Apaga as variáveis anteriores do workspace Método da Expressão Racional Forma Fatorada Exibe o título szpks Define s como um objeto LTI na forma fatorada F150s22s7ss25s4 Forma Fs como uma função de transferência LTI na forma fatorada G20s2s4s7s8s9 Forma Gs como uma função de transferência LTI na forma fatorada pause ch2p10 Os vetores do numerador e do denominador da função de transferência podem ser convertidos entre a forma polinomial contendo os coeficientes e a forma fatorada contendo as raízes A função MATLAB tf2zp numtf dentf converte o numerador e o denominador de coeficientes para raízes Os resultados estão na forma de vetores coluna Demonstramos isso com Fs 10s2 40s 60s3 4s2 5s 7 A função MATLAB zp2tf numzp denzp K converte o numerador e o denominador de raízes para coeficientes Os argumentos numzp e denzp devem ser vetores coluna Na demonstração que se segue apóstrofos significam transposição Demonstramos a conversão de raízes para coeficientes com Gs 10s 2s 4ss 3s 5 ch2p10 Exibe o título Coeficientes de Fs Exibe o título numftf10 40 60 Forma o numerador de Fs 10s240s60s34s25s7 denftf1 4 5 7 Forma o denominador de Fs 10s240s60s34s25s7 Raízes de Fs Exibe o título numfzpdenfzptf2zp numftfdenftf Converte Fs para a forma fatorada Raízes de Gs Exibe o título numgzp2 4 Forma o numerador de K10 Gs 10s2s4ss3s5 dengzp0 3 5 Forma o denominador de Gs 10s2s4ss3s5 Coeficientes de Gs Exibe o título numgtf dengtfzp2tf numgzp dengzp K Converte Gs para a forma polinomial pause ch2p11 Modelos LTI também podem ser convertidos entre formas polinomial e fatorada Os comandos MATLAB tf e zpk também são utilizados para a conversão entre modelos LTI Se uma função de transferência Fzpks é expressa como fatores no numerador e no denominador então tfFzpk converte Fzpks em uma função de transferência expressa como coeficientes no numerador e no denominador Analogamente se uma função de transferência Ftfs é expressa como coeficientes no numerador e no denominador então zpkFtf converte Ftfs em uma função de transferência expressa como fatores no numerador e no denominador O exemplo a seguir demonstra os conceitos ch2p11 Exibe o título Fzpk1s Exibe o título Fzpk1zpk2 40 3 510 Forma Fzpk1s 10s2s4ss3s5 Ftf1 Exibe o título Ftf1tf Fzpk1 Converte Fzpk1s para a forma de coeficientes Ftf2 Exibe o título Ftf2tf 10 40 60 1 4 5 7 Forma Fzpk2s 10s240s60s34s25s7 Fzpk2 Exibe o título Fzpk2zpk Ftf2 Converte Ftf2s para a forma fatorada pause ch2p12 Funções do tempo podem ser facilmente representadas graficamente utilizando plot X Y S onde X é a variável independente Y é a variável dependente e S é uma cadeia de caracteres descrevendo a cor o marcador e a característica da linha do gráfico Digite HELP PLOT na Command Window para ver a lista de opções para S Múltiplos gráficos também podem ser obtidos utilizando plot X1 Y1 S1 X2 Y2 S2 X3 Y3 S3 No exemplo a seguir representamos no mesmo gráfico sen5t em vermelho e cos5t em verde para t 0 até 10 segundos em incrementos de 001 segundo O tempo é especificado como t inicialincrementofinal ch2p12 Exibe o título t000110 Especifica faixa de tempo e incremento f1cos 5t Especifica f1 como cos 5t f2sin 5t Especifica f2 como sen 5t plot tf1rtf2g Apresenta f1 em vermelho e f2 em verde pause Capítulo 3 Modelagem no Domínio do Tempo ch3p1 A matriz de sistema quadrada é escrita com um espaço ou vírgula separando os elementos de cada linha A linha seguinte é indicada com um ponto e vírgula ou retorno de carro nova linha A matriz inteira é delimitada por um par de colchetes ch3p1 Exibe o título A0 1 00 0 19 8 7 Representa A ou A0 1 0 Representa A 0 0 1 9 8 7 pause ch3p2 Um vetor linha como a matriz de saída C pode ser representado com elementos separados por espaços ou vírgulas e envolvidos por colchetes Um vetor coluna como a matriz de entrada B pode ser escrito como elementos separados por pontos e vírgulas ou retornos de carro ou como a transposta de um vetor linha ch3p2 Exibe o título C2 3 4 Representa o vetor linha C B789 Representa o vetor coluna B ou B7 Representa o vetor coluna B 8 9 ou B7 8 9 Representa o vetor coluna B pause ch3p3 A representação no espaço de estados consiste na especificação das matrizes A B C e D seguida da criação de um objeto espaço de estados LTI utilizando o comando MATLAB SS A B C D Assim para as matrizes em ch3p1 e ch3p2 a representação no espaço de estados seria ch3p3 Exibe o título A0 1 00 0 19 8 7 Representa A B789 Representa o vetor coluna B C2 3 4 Representa o vetor linha C D0 Representa D Fss ABCD Cria um objeto LTI e exibe ch3p4 Exemplo 34 Funções de transferência representadas por numerador e denominador ou por um objeto LTI podem ser convertidas para o espaço de estados Para a representação numerador e denominador a conversão pode ser implementada utilizando A B C Dtf2ss num den A matriz A é retornada em uma forma chamada de forma canônica controlável que é explicada no Capítulo 5 do texto Para obter a forma de variáveis de fase Af Bf Cf Df realizamos as seguintes operações Afinv PAP Bfinv PB CfCP DfD onde P é uma matriz quadrada com elementos 1 ao longo da diagonal secundária e o restante dos elementos nulos Essas transformações são explicadas no Capítulo 5 O comando inv X fornece a inversa de uma matriz quadrada O símbolo significa multiplicação Para sistemas representados como objetos LTI o comando SS F onde F é um objeto função de transferência LTI pode ser utilizado para converter F em um objeto espaço de estados Vamos examinar o Exemplo 34 do texto Para a representação numerador e denominador observe que a resposta do MATLAB associa o ganho 24 com o vetor C ao invés de com o vetor B como no exemplo do texto Ambas as representações são equivalentes Para o objeto função de transferência LTI a conversão para o espaço de estados não produz a forma de variáveis de fase O resultado é o modelo balanceado que melhora a exatidão do cálculo dos autovalores que são cobertos no Capítulo 4 Uma vez que ss F não produz formas familiares das equações de estado nem é possível converter facilmente para formas familiares temos no momento um uso limitado para essa transformação ch3p4 Exemplo 34 Exibe o título Conversão da representação numeradordenominador Exibe o título Forma canônica controlável Exibe o título num24 Define o numerador de GsCsRs den1 9 26 24 Define o denominador de Gs ABCDtf2ssnumden Converte Gs para a forma canônica controlável armazena as matrizes A B C e D e exibe Forma de variáveis de fase Exibe o título P0 0 10 1 01 0 0 Cria a matriz de transformação Afinv PAP Cria a matriz A na forma de variáveis de fase Bfinv PB Cria o vetor B na forma de variáveis de fase CfCP Cria o vetor C na forma de variáveis de fase DfD Cria D na forma de variáveis de fase Representação de objeto LTI Exibe o título Ttf numden Representa Ts24s39s226s24 como um objeto função de transferência LTI Tssss T Converte Ts para o espaço de estados pause ch3p5 Representações no espaço de estados podem ser convertidas em funções de transferência representadas por um numerador e um denominador utilizando num denss2tf A B C D iu onde iu é o número da entrada para sistemas com múltiplas entradas Para sistemas com entrada única e saída única iu1 Para um sistema LTI no espaço de estados Tss a conversão pode ser implementada utilizando Ttfft Tss para produzir a função de transferência na forma polinomial ou utilizando Tzpkzpk Tss para produzir a função de transferência na forma fatorada Por exemplo a função de transferência representada pelas matrizes descritas em ch3p3 pode ser obtida como se segue ch3p5 Exibe o título Não objeto LTI Exibe o título A0 1 00 0 19 8 7 Representa A B789 Representa B C2 3 4 Representa C D0 Representa D Ttfs Exibe o título numdenss2tfABCD1 Converte a representação no espaço de estados para uma função de transferência representada como numerador e denominador na forma polinomial Gsnumden e exibe num e den Objeto LTI Exibe o título Tssss ABCD Cria o modelo espaço de estados LTI Forma polinomial Ttfs Exibe o título TtftfTss Transforma do espaço de estados para função de transferência na forma polinomial Forma fatorada Tzpks Exibe o título TzpkzpkTss Transforma do espaço de estados para função de transferência na forma fatorada pause Capítulo 4 Resposta no Domínio do Tempo ch4p1 Exemplo 46 Podemos usar o MATLAB para calcular características de um sistema de segunda ordem como fator de amortecimento ζ frequência natural ωn ultrapassagem percentual UP tempo de acomodação Ts e instante de pico Tp Vamos examinar o Exemplo 46 do texto ch4p1 Exemplo 46 Exibe o título p11 37i Define o polinômio contendo o primeiro polo p21 37i Define o polinômio contendo o segundo polo dengconvp1p2 Multiplica os dois polinômios para obter o polinômio de segunda ordem as2bsc omegansqrt deng3deng1 Calcula a frequência natural sqrt ca zetadeng2deng 12omegan Calcula o fator de amortecimento ba2wn Ts4zetaomegan Calcula o tempo de acomodação 4zwn Tppiomegansqrt 1zeta2 Calcula o instante de pico piwnsqrt 1z2 up100exp zetapisqrt1zeta2 Calcula a ultrapassagem percentual 100e zpisqrt1z2 pause ch4p2 Exemplo 48 Podemos usar o MATLAB para obter respostas ao degrau de sistemas Essas respostas são particularmente valiosas quando o sistema não é um sistema com dois polos puro e possui polos ou zeros adicionais Podemos obter um gráfico da resposta ao degrau de uma função de transferência Ts numden usando o comando step T onde T é um objeto função de transferência LTI Múltiplos gráficos também podem ser obtidos usando step T1 T2 Informações sobre as curvas geradas com step T podem ser obtidas clicando com o botão esquerdo do mouse sobre a curva Você pode obter o rótulo da curva bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido A partir desse menu você pode escolher 1 respostas dos sistemas a serem apresentadas 2 características da resposta a serem apresentadas como o pico da resposta Quando selecionado um ponto aparece sobre a curva na posição apropriada Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica Você também pode selecionar 3 opção de grade ativada ou desativada 4 opção para normalizar a curva e 5 propriedades como rótulos limites unidades estilo e características Caso acrescentemos o lado esquerdo y tstep T criamos vetores contendo os pontos do gráfico onde y é o vetor de saída e t é o vetor de tempo Neste caso um gráfico não é criado até que o comando plot t y seja dado onde admitimos que desejamos representar graficamente a saída y em função do tempo t Podemos rotular o gráfico o eixo x e o eixo y com title ab xlabel ab e ylabel ab respectivamente O comando clf limpa o gráfico antes de traçar a curva Finalmente texto pode ser colocado em qualquer lugar no gráfico utilizando o comando text X Y text onde X Y são as coordenadas do gráfico onde text será apresentado Vamos examinar o Exemplo 48 do texto ch4p2 Exemplo 48 Exibe o título Execução de um teste Exibe o título clf Apaga o gráfico numt124542 Define o numerador de T1 dent11 4 24542 Define o denominador de T1 T1s Exibe o título T1tf numt1dent1 Cria e exibe T1s step T1 Executa uma demonstração do gráfico de resposta ao degrau title Execução do teste de T1s Adiciona um título ao gráfico pause Execução completa Exibe o título y1t1stepT1 Executa a resposta ao degrau de T1 e coleta pontos numt224542 Define o numerador de T2 p11 10 Define s10 no denominador de T2 p21 4 24542 Define s24s24542 no denominador de T2 dent2convp1p2 Multiplica s10s24s24542 para o denominador de T2 T2s Exibe o título T2tf numt2dent2 Cria e exibe T2 y2t2step T2 Executa a resposta ao degrau de T2 e coleta pontos numt373626 Define o numerador de T3 p31 3 Define s3 no denominador de T3 dent3conv p3p2 Multiplica s3s24s24542 para o denominador de T3 T3s Exibe o título T3tf numt3dent3 Cria e exibe T3 y3t3step T3 Executa a resposta ao degrau de T3 e coleta pontos clf Apaga o gráfico Plot t1y1t2y2t3y3 Apresenta os pontos coletados com as três curvas em um único gráfico title Respostas ao degrau de T1s T2s e T3s Adiciona um título ao gráfico xlabel Tempo s Adiciona um título ao eixo do tempo ylabel Resposta Normalizada Adiciona um título ao eixo da resposta text0707c3 t Rotula a resposta ao degrau de T1 text0711c2 t Rotula a resposta ao degrau de T2 text0513c1 t Rotula a resposta ao degrau de T3 pause step T1T2T3 Utiliza método alternativo de apresentação das respostas ao degrau title Respostas ao degrau de T1s T2s e T3s Adiciona um título ao gráfico pause ch4p3 Também podemos representar graficamente a resposta ao degrau de sistemas representados no espaço de estados usando o comando step T t Neste caso T é qualquer objeto LTI e t abc é a faixa do eixo do tempo onde a é o instante inicial b é o incremento de tempo e c é o instante final Por exemplo t 0110 significa tempo de 0 a 10 segundos em incrementos de 1 segundo O campo t é opcional Finalmente neste exemplo introduzimos o comando grid on que sobrepõe uma grade à resposta ao degrau Coloque o comando grid on depois do comando step T t ch4p3 Exibe o título clf Apaga o gráfico A0 1 00 0 124 26 9 Gera a matriz A B001 Gera o vetor B C2 7 1 Gera o vetor C D0 Gera D TssABCD Gera o objeto LIT T no espaço de estados e exibe t00110 Define a faixa de tempo para o gráfico stepTt Representa graficamente a resposta ao degrau para a dada faixa de tempo dada grid on Ativa a grade do gráfico pause ch4p4 Estudo de Caso do Controle de Antena Utilizamos agora o MATLAB para representar graficamente a resposta ao degrau solicitada no Estudo de Caso do Controle de Antena ch4p4 Estudo de Caso do Controle de Antena Exibe o título clf Apaga o gráfico numg2083 Define o numerador de Gs deng1 10171 171 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe a função de transferência Gs step G Gera a resposta ao degrau title Resposta da Velocidade Angular Adiciona um título ao gráfico pause ch4p5 Estudo de Caso do UFSS Como exemplo final vamos usar o MATLAB para realizar o Estudo de Caso do UFSS do texto Johnson 1980 Introduzimos a busca em tabela para determinar o tempo de subida Utilizando o comando interp1 y t y1 preparamos uma tabela de valores de amplitude y e tempo t da resposta ao degrau e procuramos pelos valores de tempo para os quais a amplitude é y1 01 e 09 Também geramos dados da resposta no tempo sobre uma faixa definida de tempo utilizando tabc seguido de y tstep G t Neste caso G é um objeto função de transferência LTI e t é a faixa para o eixo do tempo onde a é o instante inicial b é o incremento de tempo e c é o instante final y é a saída ch4p5 Estudo de Caso do UFSS Exibe o título clf Apaga o gráfico a Exibe o título numg00169 Define o numerador da aproximação de 2a ordem de Gs deng1 0226 00169 Define o termo de 2a ordem do denominador of Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs omegansqrt deng3 Obtém a frequência natural zetadeng 22omegan Obtém o fator de amortecimento Ts4zetaomegan Obtém o tempo de acomodação Tppiomegansqrt1zeta2 Obtém o instante de pico posexp zetapisqrt1zeta2100 Obtém a ultrapassagem percentual t00135 Limita o tempo para obter o tempo de subida t 0 a 35 em incrementos de 01 ytstep Gt Gera e armazena pontos da resposta ao degrau para uma faixa definida de t Tlowinterp1 yt01 Busca na tabela pelo tempo para o qual y01valor final Thiinterp1yt09 Busca na tabela por tempo09valor final TrThiTlow Calcula o tempo de subida b Exibe o título numc01251 0435 Define o denominador de Cs dencconv poly 0 1231 0226 00169 Define o denominador of Cs 1 2 3 Kpkresidue numcdenc Obtém a expansão em frações parciais d Exibe o título numg01251 0435 Define o numerador de Gs dengconv 1 1231 0226 00169 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs ytstep G Gera a resposta ao degrau completa e coleta pontos plot ty Apresenta os pontos title Resposta do Ângulo de Arfagem Adiciona um título xlabel Tempo s Rotula o eixo do tempo ylabel Ângulo de Arfagem rad Rotula o eixo y pause Capítulo 5 Redução de Subsistemas Múltiplos Ch5p1 Sistema de Controle de Arfagem do UFSS O MATLAB pode ser utilizado para a redução de diagramas de blocos Três métodos estão disponíveis 1 Solução através dos Comandos Series série Parallel paralelo e Feedback realimentação 2 Solução através de Operações Algébricas e 3 Solução através dos Comandos Append juntar e Connect ligar Vamos examinar cada um desses métodos Solução através dos Comandos Series Parallel e Feedback A função de transferência em malha fechada é obtida utilizando os seguintes comandos sucessivamente onde os argumentos são objetos LTI series G1 G2 para uma conexão em cascata de G1s e G2s parallel G1 G2 para uma conexão em paralelo de G1s e G2s feedback G H sinal para uma conexão em malha fechada com Gs como o caminho à frente Hs como a realimentação e sinal é 1 para sistemas com realimentação negativa ou 1 para sistemas com realimentação positiva O sinal é opcional para sistemas com realimentação negativa Solução através de Operações Algébricas Outra abordagem é utilizar operações aritméticas sucessivamente sobre as funções de transferência LTI como a seguir G2G1 para uma conexão em cascata de G1s e G2s G2G1 para uma conexão em paralelo de G1s e G2s G1GH para uma conexão com realimentação negativa em malha fechada com Gs como o caminho à frente e Hs como a realimentação G1GH para sistemas com realimentação positiva Ao utilizar a divisão utilizamos a seguir a função minreal sys para cancelar fatores comuns ao numerador e ao denominador Solução através dos Comandos Append e Connect O último método que define a topologia do sistema pode ser utilizado eficazmente para sistemas complexos Primeiro os subsistemas são definidos Segundo os subsistemas são juntados ou reunidos em um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas Pense nesse sistema como um único sistema com uma entrada para cada um dos subsistemas e uma saída para cada um dos subsistemas A seguir as entradas e as saídas externas são especificadas Finalmente os subsistemas são interconectados Vamos trabalhar cada um desses passos Os subsistemas são definidos criandose funções de transferência LTI para cada um Os subsistemas são reunidos usando o comando Gappend G1 G2 G3 G4 Gn onde os Gi são as funções de transferência LTI dos subsistemas e G é o sistema reunido Cada subsistema é agora identificado por um número baseado em sua posição nos argumentos de append Por exemplo G3 é 3 baseado no fato de que ele é o terceiro subsistema nos argumentos de append e não no fato de seu nome ser G3 Agora que criamos um sistema reunido criamos os argumentos requeridos para interconectar suas entradas e saídas para formar o nosso sistema O primeiro passo identifica quais subsistemas possuem o sinal de entrada externo e quais subsistemas possuem o sinal de saída externo Por exemplo utilizamos inputs1 5 6 e outputs3 4 para definir as entradas inputs externas como as entradas dos subsistemas 1 5 e 6 e as saídas outputs externas como as saídas dos subsistemas 3 e 4 Para sistemas de entrada única e saída única essas definições utilizam grandezas escalares Assim inputs5 outputs8 definem a entrada do subsistema 5 como a entrada externa e a saída do subsistema 8 como a saída externa Neste ponto dizemos ao programa como todos os subsistemas são interconectados Construímos uma matriz Q que tem uma linha para cada subsistema cuja entrada vem da saída de outro subsistema A primeira coluna contém o número do subsistema As colunas subsequentes contêm os números dos subsistemas a partir dos quais as entradas são provenientes Assim uma linha típica poderia ser 3 6 7 ou a entrada do sistema 3 é formada pela soma da saída do subsistema 6 com o negativo da saída do subsistema 7 Finalmente todos os argumentos de interconexão são utilizados no comando connect G Q inputs outputs onde todos os argumentos foram previamente definidos Vamos demonstrar os três métodos para a obtenção da função de transferência total examinando as guardas traseiras e obtendo a função de transferência em malha fechada da malha de controle de arfagem do UFSS com K1 K2 1 Johnson 1980 O último método que utiliza append e connect requer que todos os subsistemas sejam próprios a ordem do numerador não pode ser maior que a ordem do denominador O sensor de velocidade de arfagem viola esse requisito Assim para o terceiro método realizamos algumas manobras no diagrama de blocos movendo o sensor de velocidade de arfagem para a esquerda passando a junção de soma e combinando os blocos resultantes com o ganho de arfagem e o atuador do profundor Essas mudanças estão refletidas no programa Você pode verificar todos os resultados computacionais com cálculos manuais ch5p1 Sistema de Controle de Arfagem do UFSS e Comandos de Realimentação Solução através de Series Parallel Exibe o título numg11 Define o numerador de G1s deng11 Define o denominador de G1s numg20 2 Define o numerador de G2s deng21 2 Define o denominador de G2s numg301251 0435 Define o numerador de G3s deng3conv1 1231 0226 00169 Define o denominador de G3s numh11 0 Define o numerador de H1s denh10 1 Define o denominador de H1s G1tf numg1deng1 Cria a função de transferência LTI G1s G2tf numg2deng2 Cria a função de transferência LTI G2s G3tf numg3deng3 Cria a função de transferência LTI G3s H1tf numh1denh1 Cria a função de transferência LTI H1s G4series G2G3 Calcula o produto das dinâmicas do profundor e do veículo G5feedback G4H1 Calcula a função de transferência em malha fechada da malha interna Geseries G1G5 Multiplica a função de transferência da malha interna pelo ganho de arfagem Ts via comandos Series Parallel e Feedback Exibe o título Tfeedback Ge1 Obtém a função de transferência em malha fechada Solução via Operações Algébricas Exibe o título clear Apaga as variáveis da sessão numg11 Define o numerador de G1s deng11 Define o denominador of G1s numg20 2 Define o numerador de G2s deng21 2 Define o denominador of G2s numg301251 0435 Define o numerador de G3s deng3conv 1 1231 0226 00169 Define o denominador de G3s numh11 0 Define o numerador de H1s denh10 1 Define o denominador de H1s G1tf numg1deng1 Cria a função de transferência LTI G1s G2tf numg2deng2 Cria a função de transferência LTI G2s G3tf numg3deng3 Cria a função de transferência LTI G3s H1tf numh1denh1 Cria a função de transferência LTI H1s G4G3G2 Calcula o produto das dinâmicas do profundor e do veículo G5G41G4H1 Calcula a função de transferência em malha fechada da malha interna G5 minrealG5 Cancela termos comuns GeG5G1 Multiplica as funções de transferência da malha interna Ts via Operações Algébricas Exibe o título TGe1Ge Determina a função de transferencia em malha fechada Tminreal T Cancela termos comuns Solução via Comandos Append e Connect Exibe o título G1s K11K2s 1s Exibe o título numg11 Define o numerador de G1s deng11 0 Define o denominador de G1s G1tfnumg1deng1 Cria a função de transferência LTI G1s ganho de arfagem 1sensor de velocidade de arfagem G2s K2s2s2 Exibe o título numg22 0 Define o numerador de G2s deng21 2 Define o denominador de G2s G2tfnumg2deng2 Cria a função de transferência LTI G2s sensor de velocidade de arfagemdinâmica do veículo G3s 0125s0435s123s20226s00169 Exibe o título numg301251 0435 Define o numerador de G3s deng3conv1 1231 0226 00169 Define o denominador de G3s G3tf numg3deng3 Cria a função de transferência LTI G3s dinâmica do veículo SistemaappendG1G2G3 Reúne todos os subsistemas Entrada1 A entrada está no primeiro subsistema G1s saida3 A saída é a saída do terceiro subsistema G3s Q1 3 0 O subsistema 1 G1s obtém sua entrada do negativo da saída do subsistema 3 G3s 2 1 3 O subsistema 2 G2s obtém sua entrada do subsistema 1 G1s e do negativo da saída do subsistema 3 G3s 3 2 0 O subsistema 3 G3s obtém sua entrada do subsistema 2 G2s Tconnect SistemaQentradasaida Conecta os subsistemas Ts via Comandos Append e Connect Exibe o título TtfT Cria função de transferência em malha fechada LTI TminrealT Cancela termos comuns pause ch5p2 Exemplo 53 Podemos usar o MATLAB para calcular as características em malha fechada de um sistema de segunda ordem como fator de amortecimento ζ frequência natural ωn ultrapassagem percentual UP tempo de acomodação Ts e instante de pico TP O comando numt denttfdata T v extrai o numerador e o denominador de Ts para um sistema de entrada única e saída única a partir do que os cálculos estão baseados O argumento v retorna o numerador e o denominador como vetores linha simples Omitindo v o numerador e o denominador seriam retornados como arranjos de células requerendo mais passos para obter os vetores linha Concluímos gerando um gráfico da resposta ao degrau em malha fechada Vamos examinar o Exemplo 53 do texto ch5p2 Exemplo 53 Exibe o título numg25 Define o numerador de Gs dengpoly 0 5 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs Ts Exibe o título Tfeedback G1 Obtém Ts numtdenttfdataTv Extrai o numerador e o denominador de Ts wnsqrt dent3 Obtém a frequência natural zdent 22wn Obtém o fator de amortecimento Ts4zwn Obtém o tempo de acomodação Tppiwnsqrt1z2 Obtém o instante de pico upexpzpisqrt1z2100 Obtém a ultrapassagem percentual stepT Gera a resposta ao degrau pause ch5p3 O MATLAB pode ser usado para converter funções de transferência para o espaço de estados em uma forma especificada O comando Acc Bcc Ccc Dcctf2ss num den pode ser utilizado para converter Tsnumden na forma canônica controlável com matrizes e vetores Acc Bcc Ccc e Dcc Podemos então construir um objeto espaço de estados LTI utilizando Sccss Acc Bcc Ccc Dcc Este objeto pode então ser convertido para a forma paralela usando SpCanon Scc tipo onde tipomodal resulta na forma paralela Outra escolha não utilizada neste caso é tipocompanion que resulta em uma matriz de sistema companheira direta Matrizes de transformação podem ser utilizadas para converter para outras representações Como exemplo vamos converter CsRs 24s 2s 3s 4 em uma representação paralela no espaço de estados como é feito na Seção 57 Forma Paralela Observe que o produto dos valores nos vetores B e C resulta no mesmo produto que os resultados nas Eqs 549 e 550 Assim as duas soluções são iguais porém as variáveis de estado são ordenadas de modo diferente e os ganhos são divididos entre os vetores B e C Também podemos extrair as matrizes do sistema do objeto LTI usando A B C Dssdata S onde S é um objeto espaço de estados LTI e A B C e D são suas matrizes e vetores associados ch5p3 Exibe o título numt24 Define o numerador de Ts dentpoly2 3 4 Define o denominador de Ts Ts Exibe o título Ttf numtdent Cria e exibe Ts Acc Bcc Ccc Dcctf2ssnumtdent Converte Ts para a forma canônica controlável Sccss AccBccCccDcc Cria objeto espaço de estados LIT canônico controlável Spcanon Sccmodal Converte a forma canônica controlável para a forma paralela Forma Canônica Controlável Exibe o título AccBccCccDccssdata Scc Extrai e exibe as matrizes da forma canônica controlável Forma paralela Exibe o título ApBpCpDpssdata Sp Extrai e exibe as matrizes da forma paralela pause ch5p4 Exemplo 59 Podemos usar o MATLAB para realizar transformações de similaridade para obter outras formas Vamos examinar o Exemplo 59 do texto ch5p4 Exemplo 59 Exibe o título Pinv2 0 03 2 01 4 5 Define a inversa de P PinvPinv Calcula P Sistema Original Exibe o título Ax0 1 00 0 12 5 7 Define A original Bx0 0 1 Define B original Cx1 0 0 Define C original Sistema Transformado Exibe o título AzPinvAxP Calcula novo A BzPinvBx Calcula novo B CzCxP Calcula novo C pause ch5p5 Utilizando o comando MATLAB P deig A onde as colunas de P são os autovetores de A e os elementos da diagonal de d são os autovalores de A podemos determinar os autovetores da matriz de sistema e então prosseguir para diagonalizar o sistema Também podemos usar canon S modal para diagonalizar um objeto LTI S representado no espaço de estados ch5p5 Exibe o título A3 1 54 2 72 3 1 Define A original B123 Define B original C2 4 6 Define C original Pdeig A Gera a matriz de transformação P e os autovalores d Via Transformação Exibe o título AdtinvPAP Calcula A do sistema diagonal BdtinvPB Calcula B do sistema diagonal CdtCP Calcula C do sistema diagonal Via Comando Canon Exibe o título SssABC0 Cria o objeto espaço de estados LTI para o sistema original SpcanonSmodal Calcula o sistema diagonal através do comando canon pause Capítulo 6 Estabilidade ch6p1 Exemplo 67 O MATLAB pode calcular os polos de uma função de transferência para determinar a estabilidade Para resolver para os polos de Ts use o comando pole T Vamos examinar o Exemplo 67 do texto ch6p1 Exemplo 67 Exibe o título numg1 Define o numerador de Gs dengconv1 02 3 2 3 2 Define o denominador de Gs Gtf numgdeng Cria o objeto Gs Ts Exibe o título Tfeedback G1 Calcula o objeto em malha fechada Ts Realimentação negativa é assumida como padrão quando o parâmetro sinal é omitido polospoleT Obtém os polos de Ts pause ch6p2 Exemplo 69 Podemos usar o MATLAB para determinar a faixa de ganho para estabilidade criando um laço variando o ganho e determinando para que ganho obtemos polos no semiplano da direita ch6p2 Exemplo 69 Exibe o título K112000 Define a faixa para K de 1 a 2000 em incrementos de 1 for n1length K Ajusta a duração do LAÇO para ser igual ao número de valores de K a serem testados dent1 18 77 Kn Define o denominador de Ts para o enésimo valor de K polosroots dent Obtém os polos para o enésimo valor de K rreal polos Cria um vetor contendo as partes reais dos polos para Kn if maxr0 Testa os polos obtidos para o enésimo valor de K para um valor real 0 polos Exibe os valores dos primeiros polos para os quais existe uma parte real 0 KKn Exibe o valor correspondente de K break Para o laço se polos no spd são encontrados Final do if end end Final do for pause ch6p3 Exemplo 611 Podemos usar o MATLAB para determinar a estabilidade de um sistema representado no espaço de estados usando o comando eig A para obter os autovalores da matriz de sistema A Vamos aplicar o conceito ao Exemplo 611 do texto ch6p3 Exemplo 611 Exibe o título A0 3 12 8 110 5 2 Define a matriz de sistema A autovaloreseig A Obtém os autovalores pause Capítulo 7 Erros em Regime Permanente ch7p1 Exemplo 74 sistema b As constantes de erro estático são obtidas utilizando lim snGs quando s 0 Uma vez que a constante de erro estático seja obtida podemos calcular o erro de regime permanente Para calcular a constante de erro estático podemos usar o comando dcgain G o qual calcula Gs em s 0 Vamos examinar o Exemplo 74 sistema b do texto ch7p1 Exemplo 74 sistema b Exibe o título numg500poly 2 5 6 Define o numerador de Gs dengpoly 0 8 10 12 Define o denominador de Gs Gtf numgdeng Cria Gs Verifica a Estabilidade Exibe o título Tfeedback G1 Cria Ts polospoleT Exibe os polos em malha fechada Entrada em Degrau Exibe o título KpdcgainG Calcula Kpnumgdeng para s0 erp11Kp Calcula erp para entrada em degrau Entrada em Rampa Exibe o título numsgconv 1 0numg Define o numerador de sGs densgpoly 0 8 10 12 Define o denominador de sGs sGtf numsgdensg Cria sGs sGminreal sG Cancela s em comum no numerador numsg e no denominador densg KvdcgainsG Calcula KvsGs para s0 erp1Kv Calcula o erro em regime permanente para uma entrada em rampa Entrada em Parábola Exibe o título nums2gconv 1 0 0numg Define o numerador de s2Gs dens2gpoly8 10 12 Define o denominador de s2Gs s2Gtf nums2gdens2g Cria s2Gs s2Gminreal s2G Cancela s em comum no numerador nums2g e no denominador dens2g Kadcgains2G Calcula Kas2Gs para s0 erp1Ka Calcula o erro em regime permanente para uma entrada em parábola pause ch7p2 Exemplo 76 Podemos usar o MATLAB para calcular o ganho K requerido para atender a uma especificação de erro em regime permanente Vamos examinar o Exemplo 76 do texto ch7p2 Exemplo 76 Exibe o título numgdK1 5 Define o numerador de GsK dengdKpoly0 6 7 8 Define o denominador de GsK GdKtf numgdKdengdK Cria GsK numgkvconv 1 0numgdK Define o numerador de sGsK dengkvdengdK Define o denominador de sGsK GKvtf numgkvdengkv Cria sGsK GKvminrealGKv Cancela s em comum no numerador e no denominador de de sGsK KvdKdcgain GKv Calcula KvKnumgkvdengkv para s0 erp01 Define o erro em regime permanente K1erpKvdK Resolve para K Verifica a Estabilidade Exibe o título Tfeedback KGdK1 Cria Ts polospoleT Exibe os polos em malha fechada pause Capítulo 8 Técnicas do Lugar Geométrico das Raízes ch8p1 Exemplo 87 O MATLAB permite que lugares geométricos das raízes sejam traçados com o comando rlocus GH onde GsHs numghdengh e GH é um objeto função de transferência LTI Pontos sobre o lugar geométrico das raízes podem ser selecionados interativamente usando o comando K prlocfind GH O MATLAB então fornece o ganho K neste ponto bem como todos os outros polos p com esse ganho Podemos ampliar ou reduzir o lugar geométrico das raízes modificando a faixa de valores dos eixos usando o comando axis xmin xmax ymin ymax O lugar geométrico das raízes pode ser traçado sobre uma grade que mostra curvas de fator de amortecimento constante ζ e frequência natural constante ωn usando o comando sgrid zwn Para representar graficamente várias curvas de ζ e ωn use z zminzincrementozmax e wn wnminwincrementownmax para especificar faixas de valores ch8p1 Exemplo 87 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numgh1 4 20 Define o numerador de GsHs denghpoly2 4 Define o denominador de GsHs GsHs Exibe o título GHtf numghdengh Cria GsHs e exibe rlocus GH Traça o lugar geométrico das raízes z0200505 Define valores da fator de amortecimento 02 a 05 em incrementos de 005 wn0110 Define valores de frequência natural de 0 a 10 em incrementos de 1 sgrid zwn Gera grade de retas de fator de amortecimento e de frequência natural para o lugar geométrico das raízes title Lugar Geométrico das Raízes Define título para o lugar geométrico das raízes pause rlocusGH Traça o lugar geométrico das raízes axis3 1 4 4 Define faixas para os eixos do lugar geométrico das raízes para visualização ampliada titleVista ampliada Define título para o lugar geométrico das raízes ampliado z045 Define a reta de fator de amortecimento para sobrepor ao lugar geométrico das raízes ampliado wn0 Suprime curvas sobrepostas de frequência natural sgrid zwn Sobrepõe curva de fator de amortecimento ao lugar geométrico das raízes ampliado for k13 O laço permite que 3 pontos sejam selecionados conforme Exemplo 87 z 045 cruzamento do eixo jw ponto de saída do eixo real KprlocfindGH Gera o ganho K e os polos em malha fechada p para o ponto selecionado interativamente sobre o lugar geométrico das raízes end Fim do laço pause ch8p2 Exemplo 88 Podemos unir o projeto de ganho no lugar geométrico das raízes com uma simulação da resposta ao degrau para o ganho selecionado Introduzimos o comando rlocus G K que nos permite especificar a faixa de ganho K para o traçado do lugar geométrico das raízes Este comando nos ajudará a suavizar o gráfico usual do lugar geométrico das raízes através da especificação de um número maior de pontos através do argumento K Observe que o primeiro lugar geométrico das raízes traçado sem o argumento K não é suave Introduzimos também o comando xinput prompt que permite a entrada via teclado de um valor para x em resposta a uma mensagem na linha de comando Utilizamos este comando para entrar a ultrapassagem percentual desejada Também acrescentamos o valor de uma variável ao título dos gráficos do lugar geométrico das raízes e da resposta ao degrau inserindo outro campo no comando title e usando num2str valor para converter valor de um número para uma cadeia de caracteres para apresentação Vamos aplicar os conceitos ao Exemplo 88 do texto ch8p2 Exemplo 88 Exibe o título clear Apaga as variáveis do workspace clf Apaga o gráfico na tela numg1 15 Define o numerador de Gs dengpoly0 1 10 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs rlocusG Traça o lugar geométrico das raízes Hs1 title Lugar Geométrico das Raízes Original Adiciona um título pause K0000550 Especifica faixa de ganho para suavizar o lugar geométrico das raízes rlocusGK Traça o lugar geométrico das raízes suavizado H s1 title Lugar Geométrico das Raízes Suavizado Adiciona um título pupinputDigite UP Entra ultrapassagem percentual desejada a partir do teclado zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento sgrid z0 Sobrepõe a reta de fator de amortecimento desejado ao lugar geométrico das raízes title LGR com reta de ultrapassagem denum2strpup Define o título para o lugar geométrico das raízes mostrando a ultrapassagem percentual utilizada KprlocfindG Gera o ganho K e os polos em malha fechada p para o ponto selecionado interativamente sobre o lugar geométrico das raízes pause Ts Exibe o título TfeedbackKG1 Obtém e exibe a função de transferência em malha fechada com o K selecionado step T Gera a resposta ao degrau em malha fechada para o ponto selecionado sobre o lugar geométrico das raízes title Resposta ao Degrau para Knum2str K Dá um título à resposta ao degrau que inclui o valor de K pause Capítulo 9 Projeto via Lugar Geométrico das Raízes ch9p1 Exemplo 93 Podemos usar o MATLAB para projetar controladores PD O programa nos permite entrar uma ultrapassagem percentual desejada através do teclado O MATLAB então cria um lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação com uma sobreposição da reta de ultrapassagem percentual Selecionamos interativamente a interseção do lugar geométrico das raízes com a reta de ultrapassagem percentual desejada para ajustar o ganho O MATLAB apresenta uma estimativa das especificações de desempenho do sistema sem compensação e uma resposta ao degrau do sistema sem compensação para que determinemos o tempo de acomodação requerido Depois de entrarmos o tempo de acomodação através do teclado o MATLAB projeta o controlador PD e cria um lugar geométrico das raízes do sistema compensado com PD a partir do qual podemos selecionar o ganho interativamente Finalmente o MATLAB produz uma estimativa das especificações de desempenho do sistema compensado com PD e uma resposta ao degrau do sistema compensado com PD ch9p1 Exemplo 93 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela Sistema sem compensação Exibe o título numg1 Gera o numerador de Gs dengpoly 0 4 6 Gera o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs pupinput Entre a ultrapassagem percentual desejada Entra ultrapassagem percentual desejada zlog pup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento rlocus G Traça o lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação sgrid z0 Sobrepõe a reta de ultrapassagem percentual desejada title LGR do Sistema sem compensação com num2strpup de Ultrapassagem Intitula o lugar geométrico das raízes sem compensação KprlocfindG Gera o ganho K e os polos em malha fechada p para o ponto selecionado interativamente sobre o lugar geométrico das raízes Polos em malha fechada Exibe o título p Exibe os polos em malha fechada finputEntre o número do polo que é o ponto de operação Escolhe o polo dominante do sistema sem compensação Resumo das especificações estimadas para o ponto selecionado no lugar geométrico das raízes sem compensação Exibe o título pontodeoperacaopf Exibe o polo dominante sem compensação ganhoK Exibe o ganho sem compensação tempodeacomodacaoestimado4absrealpf Exibe o tempo de acomodação sem compensação instantedepicoestimadopiabsimagpf Exibe o instante de pico sem compensação ultrapassagempercentualestimadapup Exibe a ultrapassagem percentual sem compensação fatordeamortecimentoestimadoz Exibe o fator de amortecimento sem compensação frequencianaturalestimadasqrtrealpf2imagpf2 Exibe a frequência natural sem compensação numkvconv1 0numg Configura o numerador para calcular Kv denkvdeng Configura o denominador para calcular Kv sGtf numkvdenkv Cria sGs sGminreal sG Cancela polos e zeros comuns Kvdcgain KsG Exibe Kv sem compensação erp1Kv Exibe o erro de regime permanente sem compensação para uma entrada em rampa unitária Ts Exibe o título Tfeedback KG1 Determina Ts sem compensação stepT Apresenta a resposta ao degrau do sistema sem compensação title Resposta ao Degrau do Sistema sem Compensação com num2strpup de Ultrapassagem Adiciona um título à resposta ao sem compensação Pressione qualquer tecla para passar para a compensação PD Exibe o título pause Sistema compensado Exibe o título Tsinput Entre o tempo de acomodação desejado Entra o tempo de acomodação desejado através do teclado wn4Tsz Calcula a frequência natural polodesejadozwnwnsqrt1z2i Calcula a posição do polo dominante desejado angulonopolodesejado180pi angle polyvalnumgpolodesejadopolyvaldengpolodesejado Calcula a contribuição angular no polo desejado sem o compensador PD angulodoPD180 angulonopolodesejado Calcula a contribuição angular requerida para o compensador PD zcimagpolodesejadotanangulodoPDpi180 real polodesejado Calcula a posição do zero do compensador PD Compensador PD Exibe o título numc1 zc Calcula o numerador de Gcs denc0 1 Calcula o denominador de Gcs Gcs Exibe o título Gctf numcdenc Cria e exibe Gcs GsGcs Exibe o título GeGGc Conecta Gs e Gcs em cascata rlocus Ge00005100 Traça o lugar geométrico das raízes do sistema compensado com PD sgridz0 Sobrepõe a reta de ultrapassagem percentual desejada title LGRaízes Compensado com PD com reta de num2strpup de Ultrapassagem Adiciona um título ao lugar geométrico das raízes compensado com PD KprlocfindGe Gera o ganho K e os polos em malha fechada p para o ponto selecionado interativamente no lugar geométrico das raízes Polos em malha fechada Exibe o título p Exibe os polos em malha fechada do sistema compensado com PD finput Entre o número do polo que é o ponto de operação Escolhe o polo dominante do sistema compensado com PD Resumo das especificações estimadas para o ponto selecionado no lugar geométrico das raízes compensado com PD Exibe o título pontodeoperacaopf Exibe o polo dominante compensado com PD ganhoK Exibe o ganho compensado com PD tempodeacomodacaoestimado4absrealpf Exibe o tempo de acomodação compensado com PD instantedepicoestimadopiabsimagpf Exibe o instante de pico compensado compensado com PD ultrapassagempercentualestimadapup Exibe a ultrapassagem percentual compensada com PD fatordeamortecimentoestimadoz Exibe o fator de amortecimento compensado com PD frequencianaturalestimadasqrtrealpf2imagpf2 Exibe a frequência natural compensada com PD stf 1 01 Cria a função de transferência s sGesGe Cria sGes sGeminrealsGe Cancela polos e zeros comuns KvdcgainKsGe Exibe o valor de Kv compensado erp1Kv Exibe o erro em regime permanente compensado para uma entrada em rampa unitária Ts Exibe o título Tfeedback KGe1 Cria e exibe Ts compensada com PD Pressione qualquer tecla para continuar e obter a resposta ao degrau do sistema compensado com PD Exibe o título pause step T Apresenta a resposta ao degrau do sistema compensado com PD title Resposta ao Degrau do Sistema Compensado com PD com num2str pup de Ultrapassagem Adiciona um título à resposta ao degrau do sistema compensado com PD pause ch9p2 Exemplo 94 Podemos usar o MATLAB para projetar um compensador de avanço de fase O programa nos permite entrar uma ultrapassagem percentual desejada através do teclado O MATLAB então produz um lugar geométrico das raízes para o sistema sem compensação com uma sobreposição da reta de ultrapassagem percentual Selecionamos interativamente a interseção do lugar geométrico das raízes com a reta de ultrapassagem percentual desejada para ajustar o ganho O MATLAB apresenta uma estimativa das especificações de desempenho do sistema sem compensação e a resposta ao degrau do sistema sem compensação para que determinemos o tempo de acomodação requerido Em seguida entramos o tempo de acomodação e o zero do compensador de avanço de fase através do teclado Nesse ponto adotamos uma abordagem diferente da do exemplo anterior Ao invés de deixar o MATLAB calcular o polo do compensador de avanço de fase diretamente o MATLAB produz um lugar geométrico das raízes para cada hipótese interativa de um polo do compensador de avanço de fase Cada lugar geométrico das raízes contém as curvas de fator de amortecimento e de frequência natural desejados Quando sua hipótese estiver correta o lugar geométrico das raízes a reta de fator de amortecimento e a curva de frequência natural se interceptarão Então selecionamos interativamente esse ponto de interseção para obter o ganho Finalmente o MATLAB produz uma estimativa das especificações de desempenho do sistema compensado com avanço de fase e uma resposta ao degrau do sistema compensado com avanço de fase ch9p2 Exemplo 94 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela Sistema sem compensação Exibe o título numg1 Gera o numerador de Gs dengpoly0 4 6 Gera o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs pupinput Entre com a ultrapassagem percentual desejada Entra ultrapassagem percentual desejada zlog pup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento rlocus G Traça o lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação sgrid z0 Sobrepõe a reta de ultrapassagem percentual desejada title LGR sem compensação com reta de num2strpup de Ultrapassagem Adiciona um título ao lugar geométrico das raízes do sistema sem compensação KprlocfindG Gera o ganho K e os polos em malha fechada p para o ponto selecionado interativamente sobre o lugar geométrico das raízes Polos em malha fechada Exibe o título p Exibe os polos em malha fechada finput Entre o número do polo que é o ponto de operação Escolhe o polo dominante do sistema sem compensação Resumo das especificações estimadas para o ponto selecionado no lugar geométrico das raízes sem compensação Exibe o título pontodeoperacaopf Exibe o polo dominante sem sem compensação ganhoK Exibe o ganho sem compensação tempodeacomodacaoestimado4absrealpf Exibe o tempo de acomodação sem compensação instantedepicoestimadopiabsimagpf Exibe o instante de pico sem compensação ultrapassagempercentualestimadapup Exibe a ultrapassagem percentual sem compensação fatordeamortecimentoestimadoz Exibe o fator de amortecimento sem compensação frequencianaturalestimadasqrtrealpf2imagpf2 Exibe a frequência natural sem sem compensação numkvconv 1 0numg Configura o numerador para calcular Kv denkvdeng Configura o denominador para calcular Kv sGtf numkvdenkv Cria sGs sGminrealsG Cancela polos e zeros comuns Kvdcgain KsG Exibe Kv sem compensação erp1Kv Exibe o erro em regime permanente sem compensação para uma entrada em rampa unitária Ts Exibe o título Tfeedback KG1 Cria e Exibe Ts stepT Apresenta a resposta ao degrau do sistema sem compensação title Resposta ao Degrau do Sistema sem Compensação com num2str pup de Ultrapassagem Adiciona um título à resposta ao degrau sem compensação Pressione qualquer tecla para passar para a compensação de avanço de fase Exibe o título pause Tsinput Entre o Tempo de Acomodação Desejado Entra o tempo de acomodação desejado msg Entre o Zero do Compensador de Avanço de Fase sbb Armazena cadeia longa em variável binputmsg Entra o zero do compensador de avanço de fase done1 Inicializa o contador do laço while done1 Começa o laço para obter o polo do compensador de avanço de fase msg Entre um Polo de Teste para o Compensador de Avanço de Fase saa Armazena cadeia longa em variável ainput msg Entra um polo de teste do para o compensador numgeconv numg1 b Gera o numerador de GcsGs dengeconv 1 adeng Gera o denominador de GcsGs Getfnumgedenge Cria Ges GcsGs wn4Tsz Calcula a frequência natural desejada clf Apaga o gráfico na tela rlocusGe Traça o lugar geométrico das raízes compensado com o polo de teste do compensador de avanço de fase axis 10101010 Altera os eixos do lugar geométrico das raízes compensado com avanço de fase sgrid zwn Sobrepõe uma grade ao lugar geométrico das raízes compensado com avanço de fase title LGR Compensado com Avanço de Fase com reta de num2str pup de Ultrapassagem Polo de Avanço de Fase em num2str ae Wn Requerido Adiciona título ao lugar geométrico das raízes compensado com avanço de fase doneinput Você terminou s0n1 Configura o contador do laço end Fim do laço para obter o polo do compensador KprlocfindGe Gera o ganho K e os polos em malha fechada p para o ponto selecionado interativamente sobre o lugar geométrico das raízes Gcs Exibe o título Gctf 1 b1 a Exibe o compensador de avanço de fase GcsGs Exibe o título Ge Exibe GcsGs Polos em malha fechada Exibe o título p Exibe os polos em malha fechada do sistema compensado com avanço de fase finput Entre o número do polo que é o ponto de operação Escolhe o polo dominante do sistema compensado com avanço de fase Resumo das especificações estimadas para o ponto selecionado no lugar geométrico das raízes compensado com avanço de fase Exibe o título pontodeoperacaopf Exibe o polo dominante compensado com avanço de fase ganhoK Exibe o ganho compensado com avanço de fase tempodeacomodacaoestimado4absrealpf Exibe o tempo de acomodação compensado com avanço de fase instantedepicoestimadopiabsimagpf Exibe o instante de pico compensado com avanço de fase ultrapassagempercentualestimadapup Exibe a ultrapassagem percentual compensada com avanço de fase fatordeamortecimentoestimadoz Exibe o fator de amortecimento compensado com avanço de fase frequencianaturalestimadasqrtrealpf2imagpf2 Exibe a frequência natural compensada com avanço de fase stf 1 01 Cria a função de transferência s sGesGe Cria sGes para calcular Kv sGeminrealsGe Cancela polos e zeros comuns Kvdcgain KsGe Exibe o valor de Kv compensado com avanço de fase erp1Kv Exibe o erro em regime permanente compensado com avanço de fase para para uma entrada em rampa unitária Ts Exibe o título Tfeedback KGe1 Cria e exibe Ts compensada com avanço de fase Pressione qualquer tecla para continuar e obter a resposta ao degrau compensada com avanço de fase Exibe o título pause step T Apresenta a resposta ao degrau do sistema compensado com avanço de fase title Resposta ao Degrau Compensada com Avanço de Fase com num2strpup de Ultrapassagem Adiciona um título à resposta ao degrau do sistema compensado com avanço de fase pause Capítulo 10 Técnicas de Resposta em Frequência ch10p1 Exemplo 103 Podemos usar o MATLAB para construir diagramas de Bode usando bode G em que Gs numgdeng e G é um objeto função de transferência LTI Informações sobre os diagramas criados com bode G podem ser obtidas clicandose com o botão esquerdo do mouse sobre a curva Você pode obter o rótulo da curva bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido caso os ícones da barra de menu não estejam selecionados A partir deste menu você pode selecionar 1 respostas dos sistemas a serem apresentadas e 2 características como o pico da resposta Quando selecionado um ponto aparece na curva na posição apropriada Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica Você também pode selecionar 3 quais curvas visualizar 4 opção de grade ativada ou desativada 5 retornar para vista total depois de ampliar e 6 propriedades como rótulos limites unidades estilo e características Podemos obter pontos do diagrama usando mag fase wbode G onde magnitude fase e frequência são armazenadas em mag fase e w respectivamente A magnitude e a fase são armazenadas como arranjos 3D Utilizamos mag e fase para converter os arranjos em vetores coluna onde os apóstrofos significam transposição matricial Vamos examinar o Exemplo 103 do texto ch10p1 Exemplo 103 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg1 3 Define o numerador de Gs dengconv1 21 2 25 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs bodeG Constrói um diagrama de Bode grid on Ativa a grade para o diagrama de Bode title Resposta em Frequência em Malha Aberta Adiciona um título ao diagrama de Bode magfasewbodeG Armazena pontos do diagrama de Bode pontos20log10magfasew Lista pontos do diagrama de Bode com magnitude em dB pause ch10p2 Exemplo 105 Podemos usar o MATLAB para construir diagramas de Nyquist usando nyquist G onde Gs numgdeng e G é um objeto função de transferência LTI Informações sobre os diagramas construídos com nyquist G podem ser obtidas clicandose com o botão esquerdo do mouse sobre a curva Você pode obter o rótulo da curva bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou e a frequência Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido caso os ícones da barra de menu não estejam selecionados A partir deste menu você pode selecionar 1 respostas dos sistemas a serem apresentadas e 2 características como o pico da resposta Quando selecionado um ponto aparece na curva na posição apropriada Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica Você também pode selecionar 3 mostrar ou não mostrar frequências negativas 4 opção de grade ativada ou desativada 5 opção para ampliar para visualizar a região próxima de 1 0 6 retornar para vista total depois de ampliar e 7 propriedades como rótulos limites unidades estilo e características Podemos obter pontos do diagrama usando re im wnyquist G onde parte real parte imaginária e frequência são armazenadas em re im e w respectivamente e re e im são arranjos 3D Podemos especificar uma faixa para w usando re imnyquist Gw Usamos re e im para converter os arranjos em vetores coluna Vamos examinar o Exemplo 105 do texto ch10p2 Exemplo 105 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg1 2 Define o numerador de Gs deng1 0 0 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs nyquistG Constrói um diagrama de Nyquist grid on Ativa a grade para o diagrama de Nyquist title Resposta em Frequência em Malha Aberta Adiciona um título ao diagrama de Nyquist w00510 Faz 0 w 10 em incrementos de 05 reimnyquist Gw Obtém pontos do diagrama de Nyquist para uma faixa de w pontosreimw Lista os pontos do diagrama de Nyquist da faixa especificada pause ch10p3 Exemplo 108 Podemos usar o MATLAB para obter a margem de ganho Gm a margem de fase Pm a frequência de margem de ganho onde o diagrama de fase passa por 180 graus Wcg e a frequência de margem de fase onde o diagrama de magnitude passa por zero dB Wcp Para obter esses valores usamos Gm Pm Wcg Wcpmargin G onde Gsnumgdeng e G é um objeto função de transferência LTI Vamos examinar o Exemplo 108 do texto ch10p3 Exemplo 108 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg6 Define o numerador de Gs dengconv1 21 2 2 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs nyquistG Constrói o diagrama de Nyquist grid on Ativa a grade para o diagrama de Nyquist title Resposta em Frequência em Malha Aberta Atribui um título ao diagrama de Nyquist GmPmWcgWcpmarginG Obtém margens e frequências de margens GMdB PMgraus freq 180 grausrs freq de 0 dBrs Exibe o título margens20log10 GmPmWcgWcp Exibe os dados de margens pause ch10p4 Exemplo 109 Podemos usar o MATLAB para determinar a faixa de K para estabilidade usando métodos de resposta em frequência Vamos examinar o Exemplo 109 do texto ch10p4 Exemplo 109 Exibe o título numg1 Define o numerador de Gs dengpoly2 4 5 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs GmPmWcgWcpmarginG Obtém margens e frequências das margens KGm Exibe K para estabilidade pause ch10p5 Exemplo 1011 Podemos usar o MATLAB para obter a resposta em frequência em malha fechada Vamos examinar o Exemplo 1011 do texto ch10p5 Exemplo 1011 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg50 Define o numerador de Gs dengpoly 0 3 6 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs Ts Exibe o título Tfeedback G1 Determina e exibe a função de transferência em malha fechada bode T Constrói um diagrama de Bode grid on Ativa a grade para os diagramas titleResposta em Frequência em Malha Fechada Adiciona um título ao diagrama de Bode pause nyquist T Constrói um diagrama de Nyquist title Resposta em Frequência em Malha Fechada Adiciona um título ao diagrama de Nyquist pause ch10p6 Podemos usar o MATLAB para traçar cartas de Nichols usando nichols G em que Gs numgdeng e G é um objeto função de transferência LTI A grade de Nichols pode ser acrescentada usando o comando ngrid após o comando nichols G Informações sobre as curvas criadas com nichols G podem ser obtidas clicandose com o botão esquerdo do mouse sobre a curva Você pode obter o rótulo da curva bem como as coordenadas do ponto sobre o qual você clicou e a frequência Clicando com o botão direito do mouse fora da curva um menu é exibido caso os ícones da barra de menu não estejam selecionados A partir deste menu você pode selecionar 1 respostas dos sistemas a serem apresentadas e 2 características como o pico da resposta Quando selecionado um ponto aparece na curva na posição apropriada Deixe o mouse sobre o ponto para ler o valor da característica Você também pode selecionar 3 opção de grade ativada ou desativada 4 retornar para vista total depois de ampliar e 5 propriedades como rótulos limites unidades estilo e características Vamos construir uma carta de Nichols de Gs 1ss 1s 2 ch10p6 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg1 Define o numerador de Gs dengpoly0 1 2 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs nichols G Constrói um diagrama de Nichols ngrid Adiciona grade de Nichols pause ch10p7 Exemplo 1015 Podemos usar o MATLAB e métodos de resposta em frequência para incluir atraso de tempo na malha O atraso de tempo é representado por numd dendpade T n onde T é o atraso de tempo em segundos e n é a ordem Valores maiores de n resultam em aproximações melhores para o atraso Gdsnumddend Como estamos traçando diversos gráficos primeiro coletamos os dados dos diagramas de Bode usando mag fasebode G w onde w é especificada como uma faixa de frequências Então usamos o comando genérico de geração de gráficos Observe também os comandos utilizados para rotular os eixos e as curvas no diagrama de Bode ver o manual de instruções do MATLAB para detalhes Vamos examinar o Exemplo 1015 do texto ch10p7 Exemplo 1015 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela hold off Desativa a persistência do gráfico numg1 Define o numerador de Gs dengpoly 0 1 10 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs w0010110 Faz 001 w 10 em incrementos de 01 maggfasegbodeGw Coleta dados de Bode de Gs numddendpade16 Representa o atraso Gdtf numddend Cria e exibe o atraso Gds magdfasedbodeGdw Coleta dados de Bode de Gds fased fasedroundfased1360360 Ajusta fase do atraso se necessário para visualização GeGdG Cria GdsGs magefaseebodeGew Coleta dados de Bode de GdsGs fasee faseeroundfasee1360360 Ajusta fase do sistema com atraso se necessário para visualização subplot211 Subdivide a área gráfica para o gráfico 1 semilogxw20log10mage Apresenta a magnitude da resposta grid on Ativa a grade para o gráfico de magnitude axis001108020 Limita os eixos do diagrama de Bode titleMagnitude da Resposta com Atraso Adiciona um título à magnitude da resposta xlabelFrequência rads Rotula o eixo x da magnitude da resposta ylabel20log M Rotula o eixo y da magnitude da resposta subplot 212 Subdivide a área gráfica para o gráfico 2 semilogxwfasegwfasedwfasee Apresenta a fase da resposta para Gs Gds e GsGds em um único gráfico grid on Ativa a grade para o gráfico de fase axis00110 9000 Limita os eixos do diagrama de Bode titleFase da Resposta com Atraso Adiciona um título à fase da resposta xlabel Frequência rads Rotula o eixo x da fase da resposta ylabel Fase graus Rotula o eixo y da fase da resposta text 1550Atraso no Tempo Rotula a curva de atraso no tempo text 4150Sistema Rotula a curva do sistema text 27300Total Rotula a curva total pause ch10p8 Exemplo 1018 Podemos usar o MATLAB e métodos de resposta em frequência para determinar experimentalmente uma função de transferência a partir de dados de resposta em frequência Determinando funções de transferência componentes simples e em seguida subtraindo sucessivamente suas respostas em frequência podemos aproximar a função de transferência completa Vamos examinar o Exemplo 1018 do texto e usar o MATLAB para parte do problema Você pode completar o programa para praticar Para esse problema geramos o diagrama original da resposta em frequência através de uma função de transferência Normalmente os dados do diagrama de resposta em frequência original seriam tabulares e o programa começaria no passo M0 P0bode G0 w onde os dados tabulares são gerados Em outras palavras em uma aplicação real os dados consistiriam em vetores coluna M0 P0 e w ch10p8 Exemplo 1018 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela hold off Desativa a persistência do gráfico Gera as curvas de Bode experimentais para G0snumg0deng0 isto é M0 e P0 numg0701 20 Define o numerador de G0s deng0conv 1 71 2 25 Define parcialmente o denominador de G0s deng0convdeng01 70 Completa o denominador de G0s G0tf numg0deng0 Cria G0s w1051000 Faz 1 w 1000 em incrementos de 05 M0P0bodeG0w Gera os dados tabulares 20log10M0P0w Converte dados de magnitude para dB bodeG0w Gera um diagrama de Bode grid on Ativa a grade para o diagrama de Bode titleExperimental Adiciona um título pause clf Apaga o gráfico Estima uma parte constituinte da função de transferência como G1s25s220225s52 e a subtrai da resposta em frequência experimental numg152 Define o numerador de G1s deng11 20225 52 Define o denominador de G1s Primeira estimativa Exibe o título G1tf numg1deng1 Cria e exibe G1s M1P1bodeG1w Gera os dados de Bode para G1s M220log10M020log10M1 Subtrai os dados de magnitude de Bode de G1 dos dados originais de magnitude P2P0P1 Subtrai os dados de fase de Bode de G1 dos dados originais de fase subplot 211 Divide a área do gráfico em duas para o diagrama de magnitude semilogxwM2 Apresenta a magnitude da resposta após a subtração grid on Ativa a grade do gráfico de magnitude xlabel Frequência rads Adiciona rótulo do eixo x ylabel Ganho dB Adiciona rótulo do eixo y subplot 212 Divide a área do gráfico em duas para o diagrama de fase semilogx wP2 Apresenta a fase da resposta após a subtração grid on Ativa a grade do gráfico de fase title Experimental Menos 25s220225s52 Adiciona um título xlabel Frequência rads Adiciona rótulo do eixo x ylabel Fase graus Adiciona rótulo do eixo y Isso completa uma parte do Exemplo 1018 O estudante deve continuar o programa para praticar pause Capítulo 11 Projeto através da Resposta em Frequência ch11p1 Exemplo 111 Podemos projetar através de ajuste de ganho no diagrama de Bode usando o MATLAB Você entrará a ultrapassagem percentual desejada a partir do teclado O MATLAB irá calcular a margem de fase requerida e em seguida procurará no diagrama de Bode por essa margem de fase A magnitude na frequência de margem de fase é o inverso do ganho requerido O MATLAB irá então apresentar uma resposta ao degrau para este ganho Vamos examinar o Exemplo 111 do texto ch11p1 Exemplo 111 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg100 Define o numerador de Gs dengpoly 0 36 100 Define o denominador de Gs Gtfnumgdeng Cria e exibe Gs pupinput Digite UP Entra a ultrapassagem percentual desejada zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento requerido Pmatan2zsqrt2z2sqrt14z4180pi Calcula a margem de fase requerida w0010011000 Cria faixa de frequências de 001 a 1000 em incrementos de 001 MPbodeGw Obtém dados de Bode Ph180Pm Calcula a fase requerida for k11lengthP Busca pela fase requerida nos dados de Bode if PkPh0 Se a fase requerida for encontrada obtém o valor da magnitude na MMk mesma frequência Valor requerido de K Exibe o título K1M Calcula o ganho requerido Break Para o laço end Fim do if end Fim do for Tfeedback KG1 Obtém Ts usando o K calculado stepT Gera uma resposta ao degrau title Resposta ao Degrau em Malha Fechada para K num2strK Atribui um título à resposta ao degrau pause ch11p2 Exemplo 112 Vamos usar o MATLAB para projetar um compensador de atraso de fase O programa resolve o Exemplo 112 do texto e segue a mesma técnica de projeto demonstrada no exemplo Você irá entrar o valor de ganho para atender ao requisito de erro em regime permanente seguido da ultrapassagem percentual desejada O MATLAB então projeta um compensador de atraso de fase calcula Kv e gera uma resposta ao degrau em malha fechada ch11p2 Exemplo 112 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela Kinput Entre K para atender ao requisito de erro em regime permanente Entra K pupinput Entre UP Entra a ultrapassagem percentual desejada numg100K Define o numerador de Gs dengpoly 0 36 100 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento requerido Pmatan2zsqrt2z2sqrt14z4180pi10 Calcula a margem de fase requerida w001001100 Cria a faixa de frequências de 001 a 1000 em incrementos de 001 MPbodeGw Obtém os dados de Bode Ph180Pm Calcula a fase requerida for k11lengthP Busca pela fase requerida nos dados de Bode if PkPh0 Se a fase requerida for encontrada obtém o valor da MMk magnitude na mesma frequência wfwk Nesta frequência o diagrama de magnitude deve cruzar 0 dB break Para o laço end Fim do if end Fim do for whwf10 Calcula a quebra de alta frequência do compensador de atraso de fase wlwhM Calcula a quebra de baixa frequência do compensador de atraso de fase obtido a partir dos requisitos de ganho de alta e baixa frequência do compensador de atraso de fase Gcs Kcswhswl Em w baixo ganho 1 Assim Kcwhwl1 Em w alto ganho 1M Assim Kc1M Logo Kcwlwh1M ou wlwhM numc1 wh Gera o numerador do compensador de atraso de fase Gcs denc1 wl Gera o denominador do compensador de atraso de fase Gcs Kcwlwh Gera K para Gcs Compensador de atraso de fase Exibe o título Kc Exibe K do compensador de atraso de fase Gcs Exibe o título Gctf Kcnumcdenc Cria e exibe Gcs GcsGs Exibe o título GcGGcG Cria e exibe GcsGs stf1 01 Cria a função de transferência s sGcGsGcG Cria sGcsGs sGcGminrealsGcG Cancela termos comuns KvdcgainsGcG Calcula Kv Tfeedback GcG1 Cria Ts step T Gera uma resposta ao degrau em malha fechada compensada com atraso de fase title Resposta ao Degrau em Malha Fechada Compensada com Atraso de Fase Adiciona um título à resposta ao degrau pause ch11p3 Exemplo 113 Vamos usar o MATLAB para projetar um compensador de avanço de fase O programa resolve o Exemplo 113 do texto e segue a mesma técnica de projeto demonstrada no exemplo Você irá entrar a ultrapassagem percentual o instante de pico e o Kv desejados O MATLAB então projeta o controlador de avanço de fase utilizando diagramas de Bode calcula Kv e apresenta uma resposta ao degrau em malha fechada ch11p3 Exemplo 113 Exibe o título pupinputDigite UP Entra a ultrapassagem percentual desejada Tpinput Digite o instante de pico Entra o instante de pico desejado Kvinput Digite o valor de Kv Entra Kv numg100 Define o numerador de Gs dengpoly 0 36 100 Define o denominador de Gs Gtf numgdeng Cria Gs stf 1 01 Cria a função de transferência s sGsG Cria sGs sGminrealsG Cancela fatores comuns Kdcgain KvsG Resolve para K Gs Exibe o título Gzpk KG Substitui K em Gs converte para a forma fatorada e exibe zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento requerido Pmatan 2zsqrt2z2sqrt14z4180pi Calcula a margem de fase requerida wnpiTpsqrt 1z2 Calcula a frequência natural requerida wBWwnsqrt 12z2sqrt4z44z22 Determina a faixa de passagem requerida w001051000 Cria faixa de frequência de 001 a 1000 em incrementos de 05 MPbodeGw Obtém dados de Bode GmPmWcgWcpmarginG Obtém a margem de fase atual Pmreqatan2zsqrt2z2sqrt14z4180pi Calcula a margem de fase requerida PmreqcPmreq10 Adiciona um fator de correção de 10 graus PcPmreqcPm Calcula a contribuição de fase requerida do compensador de avanço de fase Projeta o compensador de avanço de fase beta1sinPcpi1801sinPcpi180 Determina o beta do compensador magpc1sqrtbeta Determina a magnitude de pico do compensador for k11lengthM Encontra a frequência na qual o sistema sem compensação tem uma magnitude de 1magpc Esta frequência será a nova frequência de margem de fase if Mk1magpc0 Procura pelo pico de magnitude wmaxwk Esta é a frequência do pico de magnitude break Para o laço end Fim do if end Fim do for Calcula o zero o polo e do ganho do compensador de avanço de fase zcwmaxsqrtbeta Calcula a frequência de quebra inferior do compensador de avanço de fase pczcbeta Calcula a frequência de quebra superior do compensador de avanço de fase Kc1beta Calcula o ganho do compensador de avanço de fase Gcs Exibe o título GctfKc1 zc1 pc Cria Gcs GczpkGc Converte Gcs para a forma fatorada e exibe GesGsGcs Exibe o título GeGGc Cria GesGcsGs sGesGe Cria sGes sGeminreal sGe Cancela fatores comuns Kvdcgain sGe Calcula Kv Tfeedback Ge1 Obtém Ts stepT Gera a resposta ao degrau compensada com avanço de fase em malha fechada titleResposta ao Degrau Compensada com Avanço de Fase Adiciona um título à resposta ao degrau compensada com avanço de fase pause ch11p4 Exemplo 114 Vamos usar o MATLAB para projetar um compensador de avanço e atraso de fase O programa resolve o Exemplo 114 do texto e segue a mesma técnica de projeto demonstrada no exemplo Você irá entrar a ultrapassagem percentual o instante de pico e o Kv desejados O MATLAB então projeta o compensador de avanço e atraso de fase utilizando diagramas de Bode calcula Kv e apresenta uma resposta ao degrau em malha fechada ch11p4 Exemplo 114 Exibe o título pupinput Digite UP Entra a ultrapassagem percentual desejada Tpinput Digite o instante de pico Entra o instante de pico desejado Kvinput Digite o valor de Kv Entra Kv desejado numg1 Define o numerador de Gs dengpoly0 1 4 Define o denominador de Gs Gtfnumgdeng Cria Gs sem K stf1 01 Cria a função de transferência s sGsG Cria sGs sGminreal sG Cancela fatores comuns Kdcgain KvsG Resolve para K Gs Exibe o título GtfKnumgdeng Substitui K em Gs GzpkG Converte Gs para a forma fatorada e exibe zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento requerido Pmreqatan2zsqrt2z2sqrt14z4180pi Calcula a margem de fase requerida wnpiTpsqrt1z2 Calcula a frequência natural requerida wBWwnsqrt12z2sqrt4z44z22 Determina a faixa de passagem requerida wpm08wBW Escolhe nova frequência de margem de fase MPbodeGwpm Obtém dados de Bode PmreqcPmreq180P5 Obtém a contribuição de fase requerida do compensador de avanço de fase com 5 graus adicionais beta1sinPmreqcpi1801sinPmreqcpi180 Obtém beta Projeta o zero o polo e o ganho do compensador de atraso de fase zcatrwpm10 Calcula o zero do compensador de atraso de fase pcatrzcatrbeta Calcula o polo do compensador de atraso de fase Kcatrbeta Calcula o ganho do compensador de atraso de fase Compensador de atraso de fase Gatrs Exibe o título Gatrtf Kcatr1 zcatr1 pcatr Cria o compensador de atraso de fase Gatrzpk Gatr Converte Gatrs para a forma fatorada e exibe Projeta o zero o polo e o ganho do compensador de avanço de fase zcavanwpmsqrtbeta Calcula o zero do compensador de avanço de fase pcavanzcavanbeta Calcula o polo do compensador de avanço de fase Kcavan1beta Calcula o ganho do compensador de avanço de fase Compensador de avanço de fase Exibe o título GavantfKcavan1 zcavan1 pcavan Cria o compensador de avanço de fase GavanzpkGavan Converte Gavans para a forma fatorada e exibe Ges Compensada com Avanço e Atraso de Fase Exibe o título GeGGatrGavan Cria o sistema compensado GesGsGatrsGavans sGesGe Cria sGes sGeminreal sGe Cancela fatores comuns Kvdcgain sGe Calcula Kv Tfeedback Ge1 Obtém Ts stepT Gera a resposta ao degrau compensada com avanço e atraso de fase em malha fechada title Resposta ao Degrau Compensada com Avanço e Atraso de Fase Adiciona um título à resposta ao degrau do sistema compensado com avanço e atraso de fase pause Capítulo 12 Projeto no Espaço de Estados ch12p1 Exemplo 121 Podemos usar o MATLAB para projetar ganhos do controlador usando alocação de polos Você irá entrar a ultrapassagem percentual e o tempo de acomodação desejados Introduzimos os seguintes comandos num denord2 wnz que produz um sistema de segunda ordem dados a frequência natural wn e o fator de amortecimento z Em seguida utilizamos o denominador den para especificar os polos dominantes e KackerAB polos que calcula os ganhos do controlador a partir da matriz de sistema A da matriz de entrada B e dos polos desejados polos Vamos examinar o Exemplo 121 do texto ch12p1 Exemplo 121 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numg201 5 Define o numerador de Gs dengpoly0 1 4 Define o denominador de Gs Gs sem compensação Exibe o título Gtf numgdeng Cria e exibe Gs pupinput Digite UP desejada Entra a ultrapassagem percentual desejada TsinputDigite o tempo de acomodação desejado Entra o tempo de acomodação desejado zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento requerido wn4zTs Calcula a frequência natural requerida numdenord2wnz Produz um sistema de segunda ordem que atende aos requisitos de resposta transitória rrootsden Usa o denominador para especificar os polos dominantes polosr1 r2 51 Especifica a posição de todos os polos eqcaracteristicadesejadapolypolos Cria o polinômio característico desejado para exibir na tela Ac Bc Cc Dctf2ssnumgdeng Obtém a forma canônica controlável da representação no espaço de estados de Gs P0 0 10 1 01 0 0 Matriz de transformação da forma canônica controlável para a forma de variáveis de fase Apinv PAcP Transforma Ac para a forma de variáveis de fase Bpinv PBc Transforma Bc para a forma de variáveis de fase CpCcP Transforma Cc para a forma de variáveis de fase DpDc Transforma Dc para a forma de variáveis de fase KpackerApBppolos Calcula os ganhos do controlador na forma de variáveis de fase ApnewApBpKp Cria a matriz A compensada BpnewBp Cria a matriz B compensada CpnewCp Cria a matriz C compensada DpnewDp Cria a matriz D compensada numtdentss2tf ApnewBpnewCpnewDpnew Cria o numerador e o denominador de Ts Ts Exibe o título Ttf numtdent Cria e exibe Ts polosroots dent Exibe os polos de Ts Teess ApnewBpnewCpnewDpnew Cria e exibe Tee um objeto espaço de estados LTI stepTee Produz a resposta ao degrau compensada titleResposta ao Degrau Compensada Adiciona um título à resposta ao degrau compensada pause ch12p2 Exemplo 122 Podemos testar a controlabilidade usando o comando MATLAB Cmctrb A B para obter a matriz de controlabilidade dadas a matriz de sistema A e a matriz de entrada B Este comando é seguido por rankCm para testar o posto da matriz de controlabilidade Cm Vamos aplicar os comandos ao Exemplo 122 ch12p2 Exemplo 122 Exibe o título A1 1 00 1 00 0 2 Define a matriz A compensada B011 Define a matriz B compensada CmctrbAB Calcula a matriz de controlabilidade RankrankCm Determina o posto da matriz de controlabilidade pause ch12p3 Exemplo 124 Caso projetemos os ganhos do controlador utilizando o MATLAB não precisamos converter para a forma de variáveis de fase O MATLAB nos dará os ganhos do controlador para qualquer representação no espaço de estados que entremos Vamos examinar o Exemplo 124 do texto ch12p3 Exemplo 124 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela A5 1 00 2 10 0 1 Define a matriz de sistema A B001 Define a matriz de entrada B C1 1 0 Define a matriz de saída C D0 Define a matriz D pupinput Digite UP desejada Entra a ultrapassagem percentual desejada TsinputDigite o tempo de acomodação desejado Entra o tempo de acomodação desejado zlogpup100sqrtpi2logpup1002 Calcula o fator de amortecimento requerido wn4zTs Calcula a frequência natural requerida numdenord2wnz Produz um sistema de segunda ordem que atende aos requisitos do transitório rrootsden Usa o denominador para especificar os polos dominantes polosr1 r2 4 Especifica a posição de todos os polos KackerABpolos Calcula os ganhos do controlador AnewABK Cria a matriz A compensada BnewB Cria a matriz B compensada CnewC Cria a matriz C compensada DnewD Cria a matriz D compensada TeessAnewBnewCnewDnew Cria um objeto espaço de estados LTI Ts Exibe o título Ttf Tee Cria Ts Tminreal T Cancela termos comuns e exibe Ts polospole T Exibe os polos de Ts step Tee Produz a resposta ao degrau compensada title Resposta ao Degrau Compensada Adiciona um título à resposta ao degrau compensada pause ch12p4 Exemplo 125 Podemos projetar os ganhos do observador usando o comando lacker A C polos Observe que utilizamos as transpostas da matriz de sistema A e da matriz de saída C juntamente com os polos desejados polos Vamos examinar o Exemplo 125 do texto ch12p4 Exemplo 125 Exibe o título numg1 4 Define o numerador de Gs dengpoly1 2 5 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gtfnumgdeng Cria e exibe Gs AcBcCcDctf2ssnumgdeng Transforma Gs para a forma canônica controlável no espaço de estados AoAc Transforma Ac para a forma canônica observável BoCc Transforma Bc para a forma canônica observável CoBc Transforma Cc para a forma canônica observável DoDc Transforma Dc para a forma canônica observável rroots1 2 5 Obtém os polos do sistema compensado com controlador polos10r 10realr1 Faz os polos do observador 10x maiores lpackerAoCopolos Obtém os ganhos do observador na forma canônica observável pause ch12p5 Exemplo 126 Podemos testar a observabilidade usando o comando MATLAB Omobsv A C para obter a matriz de observabilidade dadas a matriz de sistema A e a matriz de saída C Este comando é seguido de rankOm para testar o posto da matriz de observabilidade Om Vamos aplicar os comandos ao Exemplo 126 ch12p5 Exemplo 126 Exibe o título A0 1 00 0 14 3 2 Define a matriz A compensada C0 5 1 Define a matriz C compensada Omobsv AC Cria a matriz de observabilidade Postorank Om Determina o posto da matriz de observabilidade pause ch12p6 Exemplo 128 Podemos projetar os ganhos do observador usando o comando lackerA C polos sem converter para a forma canônica observável Vamos examinar o Exemplo 128 do texto ch12p6 Exemplo 128 Exibe o título A5 1 00 2 10 0 1 Define a matriz de sistema A B001 Define a matriz de entrada B C1 0 0 Define a matriz de saída C D0 Define a matriz D polosroots 1 120 2500 50000 Especifica a posição de todos os polos lackerACpolos Calcula os ganhos do observador pause Capítulo 13 Sistemas de Controle Digital ch13p1 Exemplo 134 Podemos converter G1s em cascata com um segurador de ordem zero zoh zeroorder hold em Gz usando o comando MATLAB Gc2d G1 T zoh onde G1 é um objeto sistema contínuo LTI e G é um objeto sistema amostrado LTI T é o período de amostragem e zoh é um método de transformação que considera G1s em cascata com um zoh Simplesmente colocamos G1s no comando o zoh é tratado automaticamente e o comando retorna Gz Vamos aplicar o conceito ao Exemplo 134 Você irá entrar T através do teclado ch13p1 Exemplo 134 Exibe o título Tinput Digite T Entra o período de amostragem numg1s1 2 Define o numerador de G1s deng1s1 1 Define o denominador de G1s G1s Exibe o título G1tf numg1sdeng1s Cria G1s e exibe Gz Exibe o título Gc2dG1Tzoh Converte G1s em cascata com zoh em G1z e exibe pause ch13p2 Também podemos usar o MATLAB para converter Gs em Gz quando Gs não está em cascata com um zoh O comando Hc2d F T zoh transforma Fs em cascata com um zoh em Hz onde Hz z 1zzFss Se fizermos Fs sGs o comando resolve para Hz onde Hz z 1zzGs Portanto zGs zz 1Hz Em resumo entre Fs sGs e multiplique o resultado de Hc2dFT zoh por zz 1 Este processo é equivalente a obter a transformada z Convertemos Gs s 3s2 6s 13 em Gz Você irá entrar T o período de amostragem através do teclado T é usado para gerar Hz Utilizamos um período de amostragem não especificado T para gerar zz 1 ch13p2 Exibe o título Tinput Digite T Entra o período de amostragem numgs1 3 Define o numerador de Gs dengs1 6 13 Define o denominador de Gs Gs Exibe o título Gstf numgsdengs Cria e exibe Gs FsGstf 1 01 Cria FssGs Fsminreal Fs Cancela polos e zeros comuns Hzc2dFsTzoh Converte Fs em Hz admitindo zoh GzHztf1 01 1 Cria GzHzzz1 Gz Exibe o título GzminrealGz Cancela polos e zeros comuns pause ch13p3 Criando Funções de Transferência Digitais Diretamente Método Vetorial Forma Polinomial Uma função de transferência digital pode ser expressa como um polinômio do numerador dividido por um polinômio do denominador isto é Fz NzDz O numerador Nz é representado por um vetor numf que contém os coeficientes de Nz Analogamente o denominador Dz é representado por um vetor denf que contém os coeficientes de Dz Criamos Fz com o comando Ftf numf denf T onde T é o período de amostragem F é chamada de objeto linear invariante no tempo LTI Este objeto ou função de transferência pode ser utilizado como uma entidade em outras operações como adição ou multiplicação Demonstramos com Fz 150z2 2z 7z2 03z 002 Utilizamos um período de amostragem não especificado T Observe após executar o comando tf que o MATLAB exibe a função de transferência Método Vetorial Forma Fatorada Também podemos criar funções de transferência LTI digitais caso o numerador e o denominador sejam expressos na forma fatorada Fazemos isso usando vetores contendo as raízes do numerador e do denominador Assim Gz KNzDz pode ser expressa como um objeto LTI usando o comando Gzpk numg deng K T onde numg é um vetor contendo as raízes de Nz e deng é um vetor contendo as raízes de Dz K é o ganho e T é o período de amostragem A expressão zpk significa zeros raízes do numerador polos raízes do denominador e ganho K Demonstramos com Gz 20z 2z 4z 05s 07z 08 e um período de amostragem não especificado Observe após executar o comando zpk que o MATLAB exibe a função de transferência Método da Expressão Racional em z Forma Polinomial Requer a Control System Toolbox 84 Este método permite que você digite a função de transferência como você a escreveria normalmente A instrução ztf z deve preceder a função de transferência caso você deseje criar uma função de transferência LTI digital na forma polinomial equivalente a utilizar GtfnumgdengT Método da Expressão Racional em z Forma Fatorada Requer a Control System Toolbox 84 Este método permite que você digite a função de transferência como você a escreveria normalmente A instrução zzpk z deve preceder a função de transferência caso você deseje criar uma função de transferência LTI digital na forma fatorada equivalente a utilizar Gzpk numg deng K T Para ambos os métodos da expressão racional a função de transferência pode ser digitada em qualquer forma independentemente da utilização de ztf z ou zzpk z A diferença está na função de transferência LTI digital criada Utilizados os mesmos exemplos anteriores para demonstrar os métodos da expressão racional em z ch13p3 Exibe o título Método Vetorial Forma Polinomial Exibe o título numf1501 2 7 Armazena 150z22z7 em numf e exibe denf1 03 002 Armazena z203z002 em denf e exibe Fz Exibe o título Ftfnumfdenf Cria Fz e exibe clear Apaga variáveis anteriores do workspace Método Vetorial Forma Fatorada Exibe o título numg2 4 Armazena s2s4 em numg e exibe deng05 07 08 Armazena s05s07s08 em deng e exibe K20 Define K Gz Exibe o título GzpknumgdengK Cria Gz e exibe clear Apaga variáveis anteriores do workspace Método da Expressão Racional Forma Polinomial Exibe o título ztfz Define z como um objeto LTI na forma polinomial F150z22z7z203z002 Cria Fz como uma função de transferência LTI na forma polinomial G20z2z4z05z07z08 Cria Gz como uma função de transferência LTI na forma polinomial clear Apaga variáveis anteriores do workspace Método da Expressão Racional Forma Fatorada Exibe o título zzpkz Define z como um objeto LTI na forma fatorada F150z22z7z203z002 Cria Fz como uma função de transferência LTI na forma fatorada G20z2z4z05z07z08 Cria Gz como uma função de transferência LTI na forma fatorada pause ch13p4 Também podemos usar o MATLAB para converter Gz em Gs quando Gs não está em cascata com um zoh Primeiro criamos uma função de transferência LTI amostrada como discutido em ch13p3 O comando Fd2c H zoh transforma Hz em Fs em cascata com um zoh onde Hz z 1z zFss Se considerarmos Fs sGs o comando resolve para sGs dado Hz Finalmente sGss Gs produz o resultado final Em resumo crie Hz onde Hz z 1zGz Use Fd2c Hzoh para obter Fs sGs Divida o resultado por s e obtenha Gs Convertemos Gz zz 03 em Gs Você entrará T o período de amostragem através do teclado ch13p4 Exibe o título Tinput Digite T Entra o período de amostragem numgz1 0 Define o numerador de Gz dengz1 3 Define o denominador de Gz Gz Exibe o título Gztf numgzdengzT Cria e exibe Gz HzGztf 1 0T Cria Hzz1zGz Hzminreal Hz Cancela polos e zeros comuns Fsd2c Hzzoh Converte Hz em FssGs GsFstf 1 1 0 Cria GsFs1s Gs Exibe o título Gsminreal Gs Cancela polos e zeros comuns pause ch13p5 Exemplo 136 Podemos usar o MATLAB para determinar o ganho para estabilidade Vamos examinar o Exemplo 136 do texto ch13p5 Exemplo 136 Exibe o título numgas27 Define o numerador de Gas dengas1 27 0 Define o denominador de Gas Gas Exibe o título Gatf numgasdengas Cria e exibe Gas Gz Exibe o título Gzc2d Ga01zoh Obtém Gz admitindo Gas em cascata com zoh e exibe for K10150 Cria faixa de K para investigar a estabilidade Tzfeedback KGz1 Obtém Tz rpoleTz Obtém os polos para este valor de K rmmaxabsr Obtém o polo com maior valor absoluto para esse valor de K if rm1 Verifica se o polo está fora do círculo unitário break Para se for encontrado um polo fora do círculo unitário end Fim do if end Fim do for K Exibe o valor de K r Exibe os polos em malha fechada para esse valor de K rm Exibe o valor absoluto do polo pause ch13p6 Exemplo 139 Podemos usar o comando MATLAB dcgain Gz para determinar erros em regime permanente O comando calcula o ganho estático de Gz um objeto função de transferência LTI digital calculando Gz em z 1 Utilizamos o ganho estático para calcular Kp Kv e Ka Vamos examinar o Exemplo 139 do texto Você entrará T o período de amostragem através do teclado para testar a estabilidade ch13p6 Exemplo 139 Exibe o título Tinput Digite T Entra o período de amostragem numg1s10 Define o numerador de G1s deng1spoly 0 1 Define o denominador de G1s G1s Exibe o título G1stf numg1sdeng1s Cria e exibe G1s Gz Exibe o título Gzc2dG1sTzoh Converte G1s e zoh em Gz e exibe Tz Exibe o título Tzfeedback Gz1 Cria e exibe Tz Polos em malha fechada no Plano z Exibe o título rpoleTz Verifica a estabilidade Mabsr Exibe a magnitude das raízes pause KpdcgainGz Calcula Kp GzKvGz1Ttf1 11 0T Multiplica Gz por 1Tz1 Também divide Gz por z o que torna a função de transferência própria e resulta no mesmo Kv GzKvminrealGzKv000001 Cancela polos e zeros comuns KvdcgainGzKv Calcula Kv GzKaGz1T2tf1 2 11 0 0T Multiplica Gz por 1T2z12 Também divide Gz por z2 o que torna a função de transferência própria e fornece o mesmo Ka GzKaminreal GzKa000001 Cancela polos e zeros comuns Kadcgain GzKa Calcula Ka pause ch13p7 Exemplo 1310 Agora usamos o lugar geométrico das raízes para determinar o ganho para estabilidade Primeiro criamos um objeto função de transferência LTI digital para Gz NzDz com um período de amostragem não especificado O objeto LTI é criado usando tf numgz dengz onde numgz representa Nz dengz representa Dz e indica um período de amostragem não especificado O MATLAB produz um lugar geométrico das raízes no plano z junto com o círculo unitário sobreposto usando o comando zgrid Então selecionamos interativamente a interseção do lugar geométrico das raízes com o círculo unitário O MATLAB responde com o valor do ganho e os polos em malha fechada Vamos examinar o Exemplo 1310 ch13p7 Exemplo 1310 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numgz1 1 Define o numerador de Gz dengzpoly1 05 Define o denominador de Gz Gz Exibe o título Gztf numgzdengz Cria e exibe Gz rlocusGz Traça o lugar geométrico das raízes zgrid Adiciona o círculo unitário ao lugar geométrico das raízes titleLugar Geométrico das Raízes no Plano z Adiciona um título ao lugar geométrico das raízes KprlocfindGz Permite obter K selecionando um ponto no gráfico pause ch13p8 Exemplo 1311 Agora usamos o lugar geométrico das raízes para determinar o ganho para atender a um requisito da resposta transitória Depois que o MATLAB produzir um lugar geométrico das raízes no plano z juntamente com curvas de fator de amortecimento sobrepostas usando o comando zgrid selecionamos interativamente o ponto de operação desejado com um fator de amortecimento de 07 determinando assim o ganho O MATLAB responde com um valor de ganho bem como com a resposta ao degrau do sistema amostrado em malha fechada usando step Tz onde Tz é um objeto função de transferência LTI digital Vamos examinar o Exemplo 1311 ch13p8 Exemplo 1311 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela numgz1 1 Define o numerador de Gz dengzpoly 1 05 Define o denominador de Gz Gz Exibe o título Gztf numgzdengz Cria e exibe Gz rlocus Gz Traça o lugar geométrico das raízes axis 0111 Cria uma vista ampliada zgrid Adiciona curvas de fator de amortecimento ao lugar geométrico das raízes title Lugar Geométrico das Raízes no Plano z Adiciona um título ao lugar geométrico das raízes Kprlocfind Gz Permite obter K selecionando um ponto no gráfico Tz Exibe o título Tzfeedback KGz1 Obtém Tz stepTz Obtém a resposta ao degrau do sistema compensado com ganho title Resposta ao Degrau Compensada com Ganho Adiciona um título à resposta ao degrau do sistema compensado com ganho pause ch13p9 Exemplo 1312 Vamos agora usar o MATLAB para projetar um compensador digital de avanço de fase O projeto no plano s foi realizado no Exemplo 96 Aqui convertemos o projeto para o plano z e realizamos uma simulação digital da resposta ao degrau A conversão do compensador de avanço de fase no plano s Gcsnumgcsdengcs para o compensador no plano z Gcznumgczdengcz é realizada usando o comando Gczc2d numgcs dengcs T tustin para efetuar uma transformação de Tustin onde T período de amostragem que para este exemplo é 1300 Este exercício resolve o Exemplo 1312 usando o MATLAB ch13p9 Exemplo 1312 Exibe o título clf Apaga o gráfico na tela T001 Define o período de amostragem numgcs19771 6 Define o numerador de Gcs dengcs1 291 Define o denominador de Gcs Gcs na forma polinomial Exibe o título Gcstfnumgcsdengcs Cria Gcs na forma polinomial e exibe Gcs na forma fatorada Exibe o título GcszpkzpkGcs Cria Gcs na forma fatorada e exibe Gcz na forma polinomial via Transformação de Tustin Exibe o título Gczc2dGcsTtustin Cria Gcz via transformação de Tustin Gcz na forma fatorada via Transformação de Tustin Exibe o título GczzpkzpkGcz Mostra Gcz na forma fatorada numgps1 Define o numerador de Gps dengpspoly0 6 10 Define o denominador de Gps Gps na forma polinomial Exibe o título Gpstf numgpsdengps Cria Gps na forma polinomial e exibe Gps na forma fatorada Exibe o título GpszpkzpkGps Cria Gps na forma fatorada e exibe Gpz na forma polinomial Exibe o título Gpzc2dGpsTzoh Cria Gpz via transformação zoh Gpz na forma fatorada Exibe o título GpzzpkzpkGpz Cria Gpz na forma fatorada GezGczGpz Cria Gez GczGpz GezGczGpz na forma fatorada Exibe o título GezzpkzpkGez Cria Gez na forma fatorada e exibe z1 Exibe o título zm1tf1 11T Cria z1 zm1Gezminreal zm1Gez000001 Cancela fatores comuns z1Gez para obter o erro em regime permanente Exibe o título zm1Gezzpkzpkzm1Gez Cria e exibe z1Gez na forma fatorada Kv1Tdcgainzm1Gez Obtém Kv Tz Gez1Gez Exibe o título Tzfeedback Gez1 Obtém a função de transferência em malha fechada Tz step Tz0T2 Obtém a resposta ao degrau title Resposta ao Degrau em Malha Fechada com Avanço de Fase Digital Adiciona um título à resposta ao degrau B3 Resumo dos Comandos abs x Obtém o valor absoluto magnitude de x acker A B polos Determina os ganhos para a alocação de polos angle x Calcula o ângulo de x em radianos atan x Calcula arctgx axis xmin xmax ymin ymax Define a faixa dos eixos de um gráfico bode G w Traça um diagrama de Bode da função de transferência Gs para uma faixa de frequências ω O campo ω é opcional break Sai de um laço c2d G T tustin Converte Gs em Gz usando a transformação de Tustin T é o período de amostragem c2d G T zoh Converte Gs em cascata com um segurador de ordem zero em Gz T é o período de amostragem canon S modal Converte um objeto espaço de estados LTI S para a forma paralela clear Apaga as variáveis do workspace clf Apaga a figura atual conv a b c d e f g h Multiplica as3 bs2 cs d por es3 fs2 gs h ctrb A B Obtém a matriz de controlabilidade d2c G zoh Converte Gz em Gs em cascata com um segurador de ordem zero dcgain G Determina o ganho estático de Gs isto é s 0 ou de Gz isto é z 1 eig A Determina os autovalores da matriz A end Finaliza o laço exp a Obtém ea feedback G H sinal Obtém Ts Gs1 GsHs Sinal 1 ou é opcional para sistemas com realimentação negativa Sinal 1 para sistemas com realimentação positiva grid on Coloca uma grade reticulada em um gráfico hold off Desabita a persistência do gráfico começa um novo gráfico imag P Cria uma matriz com as partes imaginárias dos componentes da matriz P input str Permite que valores de variáveis entrem através do teclado depois de apresentar str na linha de comandos interp1 x y x1 Realiza busca em tabela encontrando o valor de y correspondente a x x1 inv P Obtém a inversa da matriz P length P Obtém o tamanho do vetor P log x Calcula o logaritmo natural de x log10 x Calcula o logaritmo na base 10 de x margin G Obtém margens de ganho e de fase e as frequências de margens de ganho e de fase da função de transferência G margin G Obtém margens de ganho e de fase e as frequências de margens de ganho e de fase da função de transferência Gs Retorna Margem de ganho Margem de fase Frequência de 180 Frequência de 0 dB max P Determina a componente máxima de P minreal G tol Cancela fatores comuns da função de transferência Gs com tolerância tol Caso o campo tol seja omitido um valorpadrão é utilizado ngrid Sobrepõe uma grade a um diagrama de Nichols nichols G w Traça um diagrama de Nichols da função de transferência Gs para uma faixa de frequências ω O campo ω é opcional nyquist G w Traça um diagrama de Nyquist da função de transferência Gs para uma faixa de frequências ω O campo ω é opcional obsv A C Obtém a matriz de observabilidade ord2 wn z Cria um sistema de segunda ordem Gs 1s2 2ζωns ωn2 pade T n Obtém a aproximação de Padé de ordem n para o atraso T pause Pausa a execução de um programa até que qualquer tecla seja pressionada plot t1 y1 t2 y2 t3 y3 Apresenta y1 versus t1 y2 versus t2 e y3 versus t3 no mesmo gráfico pole G Determina os polos de um objeto função de transferência LTI Gs poly a b c Cria o polinômio s as bs c polyval P a Obtém o valor do polinômio Ps calculado em a isto é Pa rank A Obtém o posto da matriz A real P Cria uma matriz com as partes reais dos componentes da matriz P residue numf denf Obtém os resíduos de Fs numfdenf rlocfind GH Permite a seleção interativa de pontos em um lugar geométrico das raízes para o ganho de malha GsHs Retorna o valor de K e todos os polos em malha fechada para este K rlocus GH K Traça o lugar geométrico das raízes para o ganho de malha GsHs para uma faixa de ganho K O campo K é opcional roots P Determina as raízes do polinômio P semilogx w P1 Traça um gráfico semilogarítmico de P1 versus log10ω series G1 G2 Obtém G1sG2s sgrid zwn Sobrepõe grades de retas de zζ e wnω em um lugar geométrico das raízes sin x Calcula senx sqrt a Calcula ss2tf A B C D 1 Converte uma representação no espaço de estados em uma função de transferência Retorna num den ss A B C D Cria um objeto espaço de estados LTI S ss G Converte um objeto função de transferência LTI Gs em um objeto espaço de estados LTI ssdata S Extrai as matrizes A B C e D do objeto espaço de estados LTI S step G1 G2 Gn t Traça respostas ao degrau de G1s a Gns em um gráfico para uma faixa de tempo t O campo t é opcional assim como os campos G2 a Gn subplot x y z Divide a área do gráfico em uma grade de x por y com z sendo o número da janela para o gráfico atual tan x Determina a tangente de x radianos text a b str Coloca str em um gráfico nas coordenadas x a e y b tf2ss numg deng Converte Gs numgdeng para o espaço de estados na forma canônica controlável Retorna A B C D tf2zp numg deng Converte Gs numgdeng na forma polinomial para a forma fatorada Retorna zeros polos ganhos tf numg deng T Cria uma função de transferência LTI Gs numgdeng na forma polinomial T é o período de amostragem e deve ser utilizado somente se G for uma função de transferência amostrada tf G Converte uma função de transferência LTI Gs para a forma polinomial tfdata G v Extrai o numerador e o denominador de uma função de transferência LTI Gs e converte os valores em um vetor Retorna num den title str Atribui o título str ao gráfico xlabel str Atribui o rótulo str ao eixo x do gráfico ylabel str Atribui o rótulo str ao eixo y do gráfico zgrid Sobrepõe grade de curvas zζ e wn ωn em um lugar geométrico das raízes no plano z zgrid Sobrepõe o círculo unitário em um lugar geométrico das raízes no plano z Converte Fs Ks as bs cs d para a forma polinomial Retorna num den zpk numg deng K T Cria uma função de transferência LTI Gs numgdeng na forma fatorada T é o período de amostragem e deve ser usado somente se G for uma função de transferência amostrada zpk G Converte uma função de transferência LTI Gs para a forma fatorada Bibliografia Johnson H et al Unmanned FreeSwimming Submersible UFFS System Description NRL Memorandum Report 4393 Naval Research Laboratory Washington DC 1980 The MathWorks Control System ToolboxTM 8 Getting Started Guide The MathWorks Natick MA 20002009 The MathWorks Control System ToolboxTM 8 Users Guide The MathWorks Natick MA 20012009 The MathWorks MATLAB 7 Graphics The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks MATLAB 7 Getting Started Guide The MathWorks Natick MA 1984 2009 The MathWorks MATLAB 7 Mathematics The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks MATLAB 7 Programming Fundamentals The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks Simulink 7 Getting Started Guide The MathWorks Natick MA 1990 2009 The MathWorks Simulink 7 Users Guide The MathWorks Natick MA 19902009 1 C1 Introdução Os leitores que estão estudando o MATLAB podem querer explorar a funcionalidade e a conveniência do Simulink do MATLAB Antes de prosseguir o leitor deve ter estudado o Apêndice B Tutorial do MATLAB incluindo a Seção B1 que é aplicável a este apêndice O Simulink do MATLAB Versão 74 e o MATLAB Versão 79R2009b são requeridos para usar o Simulink Os modelos descritos neste apêndice que estão disponíveis no site da LTC Editora foram desenvolvidos em um PC usando o MATLAB Versão 79 e o Simulink Versão 74 O código também pode ser executado em estações de trabalho que suportem o MATLAB Consulte o Guia de Instalação Installation Guide do MATLAB para sua plataforma para saber os requisitos mínimos do sistema O Simulink é usado para simular sistemas Ele usa uma interface gráfica de usuário graphical user interface GUI para você interagir com blocos que representam subsistemas Você pode posicionar os blocos alterar o tamanho dos blocos rotular os blocos especificar parâmetros dos blocos e interconectar blocos para formar sistemas completos a partir dos quais podem ser executadas simulações O Simulink possui bibliotecas de blocos a partir das quais subsistemas fontes sources isto é geradores de função e sorvedouros sinks isto é osciloscópios podem ser copiados Estão disponíveis blocos de subsistemas para representar sistemas lineares não lineares e discretos Objetos LTI podem ser gerados caso a Control System Toolbox esteja instalada A ajuda help está disponível na barra de menu da janela MATLAB Em Help selecione Product Help Quando a tela de ajuda estiver disponível escolha Simulink na aba Contents A ajuda também está disponível para cada bloco na biblioteca de blocos e é acessada clicando com o botão direito sobre o ícone de um bloco na Simulink Library Browser e selecionando Help for ou com um duplo clique sobre o ícone do bloco e em seguida clicando no botão Help Finalmente dicas de tela estão disponíveis para alguns botões da barra de ferramentas Deixe o cursor do mouse parado sobre o botão durante alguns segundos para ver a explicação C2 Usando o Simulink A seguir resumimos os passos adotados para usar o Simulink A Seção C3 irá apresentar quatro exemplos que mostram e esclarecem esses passos Acesse o Simulink A Simulink Library Browser a partir da qual inicializamos o Simulink é 2 acessada digitando simulink na Command Window do MATLAB ou clicando no botão Simulink Library Browser na barra de ferramentas mostrado circulado na Figura C1 Em resposta o MATLAB exibe a Simulink Library Browser mostrada na Figura C2a Agora criamos uma janela untitled sem nome Figura C2b clicando no botão Create a new model mostrado circulado na Figura C2a na barra de ferramentas da Simulink Library Browser Você irá construir seu sistema nessa janela Modelos existentes podem ser abertos clicando no botão Open a model na barra de ferramentas da Simulink Library Browser Esse botão está imediatamente à direita do botão Create a new model Modelos existentes também podem ser abertos selecionando Current Folder a partir do menu Start da Command Window ou da aba do lado esquerdo da Command Window como mostrado na Figura C1 selecionando os nome de seus arquivos e então arrastandoos para a Command Window do MATLAB Selecione os blocos A Figura C2a mostra a Simulink Library Browser a partir da qual todos os blocos podem ser acessados O lado esquerdo da janela mostra as bibliotecas principais como Simulink bem como as bibliotecas de blocos básicos como Continuous O lado direito da Figura C2a também mostra as bibliotecas de blocos básicos Para revelar os blocos básicos de uma biblioteca de blocos selecione a biblioteca de blocos no lado esquerdo ou dê um duplo clique na biblioteca de blocos no lado direito Como exemplo os blocos da biblioteca Continuous Contínuos da biblioteca principal Simulink são mostrados expostos na Figura C3a As Figuras C3b e C3c mostram alguns blocos das bibliotecas Sources Fontes e Sinks Sorvedouros respectivamente FIGURA C1 Janela MATLAB mostrando como acessar o Simulink O botão Simulink Library Browser é mostrado circulado FIGURA C2 a Janela Simulink Library Browser mostrando o botão Create a new model circulado b janela de modelo untitled resultante 3 4 FIGURA C3 Bibliotecas de blocos Simulink a Sistemas contínuos b Fontes c Sorvedouros Outra abordagem para exibir a biblioteca de blocos Simulink é digitar opensystem simulinkmdl na Command Window do MATLAB A janela mostrada na Figura C4 é o resultado Com um duplo clique em qualquer das bibliotecas da Figura C4 uma janela individual contendo os blocos da respectiva biblioteca é revelada esta janela é equivalente ao lado direito da Simulink Library Browser mostrado nos exemplos da Figura C3 Reúna e rotule os subsistemas Arraste os subsistemas blocos requeridos para sua janela de modelo a partir da Library Browser como os blocos mostrados na Figura C3 Você também pode acessar os blocos com um duplo clique nas bibliotecas mostradas na Figura C4 Você pode posicionar alterar o tamanho e renomear os blocos Para posicionar arraste o bloco com o mouse para alterar o tamanho clique sobre o subsistema e arraste as alças que aparecem nos cantos para renomear clique sobre o nome existente selecione o texto existente e digite o novo nome O texto também pode ser reposicionado para o topo do bloco mantendo o botão do mouse pressionado e arrastando o texto Interconecte os subsistemas e rotule os sinais Posicione o ponteiro sobre a pequena seta na lateral de um subsistema pressione o botão do mouse e arraste o ponteiro em forma de mira resultante para a pequena seta do próximo subsistema Uma linha será desenhada entre os dois subsistemas Os blocos também podem ser interconectados com um clique simples no primeiro bloco seguido de um clique simples no segundo bloco enquanto se mantém a tecla Ctrl pressionada Você pode mover segmentos de linhas posicionando o ponteiro sobre a linha pressionando o botão do mouse e arrastando o ponteiro de quatro setas resultante Ramificações de segmentos de linhas podem ser criadas posicionando o ponteiro onde você deseja criar um segmento de linha mantendo o botão direito do mouse pressionado e 5 6 7 8 arrastando o ponteiro de mira resultante Um novo segmento de linha será criado Os sinais podem ser rotulados com um duplo clique na linha e digitando o rótulo na caixa resultante Finalmente rótulos podem ser colocados em qualquer lugar com um duplo clique e digitando na caixa resultante FIGURA C4 Janela Biblioteca de Blocos Simulink Escolha parâmetros para os subsistemas Dê um duplo clique sobre um subsistema na sua janela de modelo e digite os parâmetros desejados Algumas explicações são fornecidas na janela Block Parameters Pressione o botão Help na janela Block Parameters para obter mais detalhes Os parâmetros podem ser lidos posteriormente sem abrir o bloco Deixe o ponteiro do mouse sobre o bloco por alguns segundos e uma dica de tela vai aparecer identificando o bloco e listando os parâmetros As informações exibidas na dica de tela devem primeiro ser selecionadas na Block Data Tips Options no menu View da janela de modelo Explore outras opções clicando com o botão direito sobre um bloco Escolha os parâmetros para a simulação Selecione Configuration parameters no menu Simulation da janela de modelo para configurar parâmetros adicionais como tempo de simulação Pressione o botão Help na janela Configuration parameters para obter mais detalhes Comece a simulação Torne a janela de modelo ativa Dê um duplo clique sobre o bloco Scope normalmente o scope osciloscópio é usado para visualizar os resultados de simulação para exibir a janela Scope Selecione Start no menu Simulation da janela de modelo ou clique no ícone Start simulation na barra de ferramentas da janela de modelo como mostrado na Figura C2b Clicando no ícone Stop simulation a simulação irá parar antes de chegar ao fim Interaja com o gráfico Na janela Scope usando os botões da barra de ferramentas você pode ampliar e reduzir a visualização modificar as faixas dos eixos salvar a configuração dos eixos e imprimir o gráfico Clicando com o botão direito sobre a janela Scope outras opções são exibidas 9 Salve seu modelo Salvando seu modelo escolhendo Save no menu File é criado um arquivo com extensão mdl a qual é requerida C3 Exemplos Esta seção irá apresentar quatro exemplos de utilização do Simulink para simular sistemas lineares não lineares e digitais Os exemplos irão mostrar os diagramas de blocos Simulink bem como explicar as configurações dos parâmetros dos blocos Finalmente os resultados das simulações serão mostrados Exemplo C1 Simulação de Sistemas Lineares Nosso primeiro exemplo desenvolve uma simulação de três sistemas lineares para comparar suas respostas ao degrau Em particular resolvemos o Exemplo 48 e reproduzimos as respostas mostradas na Figura 424 A Figura C5 mostra um diagrama de blocos Simulink construído seguindose os Passos 1 até 5 na Seção C2 como a seguir Acesse o Simulink selecione reúna e rotule os subsistemas A fonte source é uma entrada em degrau de 1 volt obtida arrastando o bloco Step da Simulink Library Browser em Sources para a janela de modelo O primeiro sistema T1 consiste em dois blocos Gain Ganho e Transfer Fcn Função de Transferência O ganho é obtido arrastando o bloco Gain da Simulink Library Browser em Math Operations para a janela de modelo A função de transferência T1 é obtida arrastando o bloco Transfer Fcn da Simulink Library Browser em Continuous para a janela de modelo Os sistemas T2 e T3 são criados de modo análogo Os três sinais de saída C1 C2 e C3 são multiplexados na entrada única de um osciloscópio para apresentação O Mux multiplexador é obtido arrastando o bloco Mux da Simulink Library Browser em Signal Routing para a janela de modelo O sorvedouro é um osciloscópio obtido arrastando o bloco Scope da Simulink Library Browser em Sinks para a janela de modelo Alternativamente todos os blocos podem ser arrastados a partir da janela Library simulink mostrada na Figura C4 O Mux pode ser encontrado em Signal Routing na janela Library simulink Os rótulos dos blocos podem ser alterados para os mostrados na Figura C5 seguindo o Passo 3 na Seção C2 Interconecte os subsistemas e rotule os sinais Siga o Passo 4 para interconectar os subsistemas e rotular os sinais Você deve configurar os parâmetros do mux antes que a interconexão possa ser completada Ver o próximo parágrafo FIGURA C5 Diagrama de blocos Simulink para o Exemplo C1 Escolha parâmetros para os subsistemas Vamos agora configurar os parâmetros de cada bloco utilizando o Passo 5 A janela Block Parameters de cada bloco é acessada com um duplo clique sobre o bloco na janela de modelo A Figura C6 mostra as janelas Block Parameters para a entrada em degrau de 1 volt ganho função de transferência 1 e mux Configure os parâmetros para os valores requeridos como mostrado O osciloscópio requer uma explicação adicional Com um duplo clique sobre o bloco Scope na janela de modelo se tem acesso à tela do osciloscópio Figura C7a Clicando no ícone Parameters na barra de ferramentas da janela Scope mostrado na Figura C7a acessase a janela Scope parameters como mostrado na Figura C7b A janela Scope Parameters contém duas abas General e Data history como mostrado na Figura C7b e c respectivamente Finalmente clicando com o botão direito na área do gráfico na janela Scope e selecionando Axis properties revela se a janela Scope properties axis 1 Figura C7d Podemos agora configurar os parâmetros de apresentação como a faixa de amplitude Escolha os parâmetros para a simulação Siga o Passo 6 para configurar os parâmetros de simulação A Figura C8 mostra a janela Configuration Parameters resultante Entre outros parâmetros os instantes de início e de término da simulação podem ser configurados Comece a simulação Agora execute a simulação seguindo o Passo 7 A Figura C9 mostra o resultado na janela Scope Os Botão 1 Botão 2 Botão 3 Botão 4 Botão 5 gráficos são codificados em cores segundo a ordem em que aparecem na entrada do mux como se segue amarelo magenta ciano vermelho verde e azulescuro Caso o mux tenha mais entradas as cores se repetem na mesma ordem Interaja com o gráfico A barra de ferramentas da janela Scope mostrada na Figura C9 possui vários botões que podem ser utilizados para interagir com o gráfico Vamos resumir a função e a operação de cada um deles começando com o botão mais à esquerda executa uma impressão do gráfico já foi explicado e é utilizado para configurar os parâmetros do osciloscópio permite ampliar o gráfico nas direções x e y Pressione o botão e arraste um retângulo sobre a parte da curva que você deseja ampliar permite ampliar apenas na direção x Arraste uma linha horizontal sobre o gráfico cobrindo a extensão de x que você deseja ampliar permite ampliar apenas na direção y Arraste uma linha vertical sobre o gráfico cobrindo a extensão de y que você deseja ampliar FIGURA C6 Janelas Block Parameters para a fonte de degrau de 1 volt b ganho c função de transferência 1 d mux FIGURA C7 Janelas do osciloscópio a Scope b Scope parameters aba General c Scope parameters aba Data history d Scope properties axis 1 Botão 6 FIGURA C8 Janela Configuration Parameters para a aba Solver FIGURA C9 Janela Scope depois que a simulação do Exemplo C1 para ajusta automaticamente as escalas dos eixos para utilização após ampliação Botão 7 Botão 8 Botão 9 Botão 10 Botão 11 salva as configurações atuais dos eixos restaura as configurações dos eixos salvas alterna para osciloscópio livre floating scope Deve ser desativado para habilitar a ampliação Ver a documentação para o uso de osciloscópios livres alterna o bloqueio da seleção atual dos eixos permite a seleção dos sinais para visualização quando se está usando o osciloscópio livre Exemplo C2 Efeito da Saturação do Amplificador sobre a Velocidade Angular da Carga do Motor Este exemplo que gerou a Figura 429 do texto mostra a utilização do Simulink para simular o efeito da não linearidade de saturação em um sistema em malha aberta A Figura C10 mostra um diagrama de blocos Simulink construído seguindo os Passos 1 a 5 na Seção C2 anterior A não linearidade de saturação é um bloco adicional que não utilizamos anteriormente A saturação é obtida arrastando para a janela de modelo o bloco Saturation da janela Simulink Library Browser em Discontinuities como mostrado na Figura C11a e configurando seus parâmetros para os mostrados na Figura C11b Agora execute a simulação tornando a janela de modelo ativa e selecionando Start no menu Simulation da janela de modelo ou clicando no botão Start simulation na barra de ferramentas da janela de modelo A Figura C12 mostra o resultado na janela Scope FIGURA C10 Diagrama de blocos Simulink para o Exemplo C2 FIGURA C11 a Biblioteca Simulink para não linearidades b configuração de parâmetros para a saturação FIGURA C12 Janela Scope depois que a simulação do Exemplo C2 para A curva inferior é a saída com saturação Exemplo C3 Simulando Sistemas com Realimentação O Simulink pode ser utilizado para a simulação de sistemas com realimentação A Figura C13a é um exemplo de um sistema com realimentação com saturação Neste exemplo adicionamos um caminho de realimentação ver o Passo 4 na Seção C2 e uma junção de soma a qual é obtida arrastando o bloco Sum da Simulink Library Browser contido na biblioteca Math Operations para a janela de modelo A janela Function Block Parameters Sum Figura C13b mostra as configurações dos parâmetros para o somador Você pode configurar a forma bem como configurar as entradas positivas e negativas Na lista de sinais List of signs o símbolo significa um espaço Colocamos ele no início para começar os sinais em nove horas em conformidade com nosso símbolopadrão ao invés de em 12 horas O resultado da simulação é mostrado na Figura C14 FIGURA C13 a Diagrama de blocos de simulação para um sistema com realimentação com saturação b janela de parâmetros do bloco para o somador FIGURA C14 Saída da simulação para o Exemplo C3 Exemplo C4 Simulando Sistemas Digitais Este exemplo demonstra dois métodos de geração de sistemas digitais através do Simulink para propósitos de simulação como mostrado na Figura C15 A primeira abordagem utiliza uma função de transferência linear em cascata com um bloco ZeroOrder Hold Segurador de Ordem Zero obtido a partir da Simulink Library Browser na biblioteca de blocos Discrete mostrada no lado direito da Figura C16 O segundo método utiliza uma função de transferência discreta também obtida a partir da Simulink Library Browser na biblioteca de blocos Discrete O restante do diagrama de blocos foi obtido através de métodos descritos anteriormente Os parâmetros dos blocos ZeroOrder Hold e Discrete Transfer Fcn são configurados como mostrado nas Figuras C17a e b respectivamente Selecione Configurations parameters no menu Simulation na janela de modelo e configure o instante de término stop time da simulação para 4 segundos o tipo type para fixedstep e o solver para ode4 RungeKutta O resultado da simulação é mostrado na Figura C18 FIGURA C15 Diagrama de blocos Simulink para a simulação de sistemas digitais de duas formas FIGURA C16 Biblioteca Simulink de blocos discretos FIGURA C17 Janelas Function Block Parameters do a bloco ZeroOrder Hold b bloco Discrete Transfer Fcn FIGURA C18 Saídas dos sistemas digitais Resumo Este apêndice explicou o Simulink suas vantagens e como utilizálo Exemplos foram retirados dos Capítulos 4 5 e 13 e demonstraram o uso do Simulink na simulação de sistemas lineares não lineares e digitais O objetivo deste apêndice foi familiarizálo com o assunto e ajudálo a começar a usar o Simulink Existem muitos blocos parâmetros e preferências que não puderam ser cobertos neste curto apêndice Você é encorajado a explorar e expandir sua utilização do Simulink usando a ajuda de tela que foi explicada anteriormente As referências na Bibliografia deste apêndice também fornecem uma oportunidade de aprender mais sobre o Simulink Bibliografia The MathWorks Control System ToolboxTM 8 Getting Started Guide The MathWorks Natick MA 20002009 The MathWorks Control System ToolboxTM 8 Users Guide The MathWorks Natick MA 20012009 The MathWorks MATLAB7 Getting Started Guide The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks MATLAB7 Graphics The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks MATLAB7 Mathematics The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks MATLAB7 Programming Fundamentals The MathWorks Natick MA 19842009 The MathWorks Simulink7 Getting Started Guide The MathWorks Natick MA 19902009 The MathWorks Simulink7 Users Guide The MathWorks Natick MA 19902009 D1 Introdução O LabVIEW é um ambiente de programação que é apresentado aqui como uma alternativa ao MATLAB Embora não seja necessário o leitor é encorajado a se familiarizar com o MATLAB antes de prosseguir uma vez que a familiaridade com o MATLAB pode melhorar o entendimento da relação entre linguagens de programação textual MATLAB e gráfica LabVIEW e estender a funcionalidade do LabVIEW Neste tutorial iremos mostrar como utilizar o LabVIEW para 1 analisar e projetar sistemas de controle e 2 simular sistemas de controle Este apêndice foi desenvolvido usando o LabVIEW 2009 O LabVIEW é um ambiente de programação gráfica que produz instrumentos virtuais VIs virtual intruments Uma VI é uma reprodução pictográfica de um equipamento na tela de seu computador como um osciloscópio ou um gerador de sinais A VI pode consistir em vários controles e indicadores os quais se tornam entradas e saídas respectivamente para seu programa Por trás de cada controlador e indicador está um bloco de código associado que define seu funcionamento O modelo LabVIEW consiste assim em duas janelas 1 Front Panel painel frontal o qual é uma réplica do painel frontal do equipamento mostrando os controles e indicadores e 2 Block Diagram diagrama de blocos o qual contém o código por trás dos controles e indicadores no Front Panel Uma janela de paleta Controls contendo vários ícones representando controles e indicadores está associada à janela Front Panel Os ícones podem ser arrastados para a janela Front Panel para criar o controle ou indicador correspondente Simultaneamente o bloco de código associado é criado na janela Block Diagram Alternativamente o diagrama de blocos pode ser criado primeiro e então o painel frontal é criado a partir do diagrama de blocos Uma janela de paleta Functions contendo vários ícones representando uma vasta variedade de funções está associada à janela Block Diagram Os ícones podem ser arrastados para a janela Block Diagram para criar o bloco de código correspondente Por exemplo a Figura D1a é o painel frontal de um gerador de sinais O gerador consiste em um controle para escolher o tipo de sinal e de um gráfico de forma de onda que mostra a forma de onda da saída A Figura D1b mostra o código subjacente que está contido nos blocos de código Aqui o seletor de tipo de sinal é um controle enquanto o gráfico de forma de onda é um indicador Mais adiante iremos mostrar como fazer conexões para outras VIs As janelas de paleta para o painel frontal e para o diagrama de blocos são mostradas respectivamente nas Figuras D1c e d D2 Análise Projeto e Simulação de Sistemas de Controle O LabVIEW pode ser utilizado com uma alternativa ou em conjunto com o MATLAB para analisar projetar simular construir e implantar sistemas de controle Além do LabVIEW você precisará do Control Design and Simulation Module do LabVIEW Finalmente como uma opção que será explicada mais adiante você pode querer instalar o MathScript RT Module A análise e o projeto podem ser considerados como análogos a escrever código MATLAB enquanto a simulação pode ser considerada análoga ao Simulink No LabVIEW a análise e o projeto e a simulação são tratados a partir de subpaletas diferentes da paleta Control Design Simulation da janela Functions Ver Figura D1d Análise e projeto e a simulação irão começar tipicamente com a janela Block Diagram onde ícones representando blocos de código serão interconectados Os parâmetros utilizados pelo código podem ser convenientemente selecionados alterados e passados para o código através de controles VI criados a partir dos ícones de código na janela Front Panel Quaisquer resultados como a resposta no tempo podem ser apresentados através de indicadores VI criados a partir de ícones de código na janela Front Panel 1 2 FIGURA D1 Uma VI LabVIEW de gerador de função a janela Front Panel b janela Block Diagram c paleta Controls d paleta Functions D3 Utilizando o LabVIEW Os passos a seguir iniciam você em sua jornada para utilizar o LabVIEW para a análise projeto e simulação de sistemas de controle Esses passos serão ilustrados nos exemplos que se seguem Execute o LabVIEW O LabVIEW é iniciado com a janela Getting Started mostrada na Figura D2 onde você escolhe criar um novo arquivo em New ou abrir um arquivo existente em Open Você também pode escolher vários recursos Selecionando Blank VI abaixo de New ou New VI a partir do menu File as janelas Front Panel e Block Diagram mostradas na Figura D1 são exibidas Caso necessário uma janela pode ser aberta a partir da aba Window na barra de menu do Front Panel e do Block Diagram Clique com o botão direito na janela Block Diagram para exibir a paleta Functions e clique no ícone de pino no canto superior esquerdo para ancorar a janela Repita para a janela Front Panel para acessar a paleta Controls Escolha os blocos Torne a janela Block Diagram ativa ou acessea a partir de Window na barra de menu Clique com o botão direito na janela Block Diagram ou use o menu View para exibir a paleta Functions Expanda a janela da paleta clicando na seta dupla na parte de baixo da janela Na parte de cima da janela da paleta clique em View e selecione View This Palette 3 4 AsCategory Icons and Text para adicionar uma descrição textual abaixo de cada ícone Para a análise projeto e simulação de sistemas de controle expanda Control Design Simulation na paleta Functions clicando na seta à esquerda dessa categoria Se você estiver realizando uma simulação clique na subpaleta Simulation Se você está realizando a análise ou o projeto de um sistema de controle clique na subpaleta Control Design Uma seta no canto superior direito de uma subpaleta indica paletas ou blocos adicionais ocultos FIGURA D2 Janela Getting Started do LabVIEW Caso o nome do ícone esteja incompleto deixe o mouse sobre o ícone para exibir sua identificação completa Para obter ajuda detalhada sobre um ícone clique com o botão direito sobre o ícone e selecione Help Mova os blocos para a janela de diagrama de blocos Para mover o ícone para o Block Diagram clique com o botão esquerdo do mouse para vincular o ícone alguns ícones demoram um pouco para completar esta operação Quando o ponteiro se transformar em uma mão clique no local no Block Diagram onde você quer posicionar o ícone Obtenha informação sobre o bloco Você irá agora querer obter informações sobre como interconectar o bloco com outros blocos e passar parâmetros para o bloco bem como sobre outras características do bloco Selecione o ponto de interrogação amarelo na direita da barra de ferramentas do Block Diagram para ativar a janela Context Help Ajuda de Contexto Esta janela irá fornecer ajuda sobre um ícone específico se você deixar o mouse sobre este ícone Ajuda adicional está disponível através do menu Help na barra de menu do Block 5 6 7 8 Diagram Finalmente clique com o botão direito sobre o ícone para exibir um menu com escolhas adicionais como Properties se houver Em particular você irá utilizar esse menu para criar os controles e indicadores do painel frontal do bloco Este painel frontal será sua interface com o bloco para escolher parâmetros e ver respostas Interconecte e rotule os blocos Uma vez que os blocos tenham sido posicionados no Block Diagram eles podem ser movimentados clicandose sobre eles ou arrastando o mouse sobre vários deles para criar uma matriz de seleção Depois que a matriz de seleção tiver sido criada clique com o botão esquerdo e arraste para uma nova posição Para excluir um bloco selecione o bloco e pressione a tecla Delete A ajuda de contexto para o bloco inclui uma descrição dos terminais do bloco Deixe o mouse sobre um terminal até que o ponteiro do mouse se transforme em um carretel de fios Clique sobre o terminal e então mova o mouse para o terminal do próximo ícone onde você deseja fazer a conexão Clique no terminal de destino para completar a conexão Observe que o terminal na janela Context Help pisca quando o mouse está sobre esse terminal garantindo que você está no terminal correto Se você cometer um erro ao fazer as conexões clique na conexão e pressione a tecla Delete ou clique com o botão direito na conexão e selecione Delete Wire Branch Os rótulos dos blocos podem ser mostrados ou ocultados Clique com o botão direito sobre o bloco para exibir o menu suspenso e assinale ou desmarque Visible ItemsLabel para mostrar ou ocultar respectivamente o rótulo Um duplo clique no rótulo acima de alguns blocos permitirá que você selecione e altere o texto Um clique do mouse sobre o rótulo criará uma matriz de seleção ao redor do rótulo e permitirá que você segure o botão esquerdo do mouse e movimente o rótulo para uma posição diferente Crie a interface para seu bloco Você vai querer criar agora a interface para seu bloco para controlar ou selecionar funções parâmetros específicos ou ver respostas Essa interface será acessada através da janela Front Panel Clique com o botão direito sobre um terminal de um bloco para o qual você deseja criar uma interface No menu suspenso escolha CreateControl para ser capaz de interagir com o bloco ou CreateIndicator para ver uma resposta ou ajuste Ajuste os controles Mude para a janela Front Panel e ajuste seus controles Por exemplo entre valores de parâmetros selecione funções etc Caso você deseje alterar valores e no futuro retornar aos valores atuais clique em Edit na barra de menu do Block Diagram e selecione Make Current Values Default Para retornar para os valores padrão no futuro clique em Edit na barra de menu do Block Diagram e selecione Reinitialize Values to Default Execute o programa Clique na seta na esquerda da barra de ferramentas da janela Block Diagram ou da janela Front Panel para executar o programa O programa pode ser executado repetidamente clicandose no botão com setas curvas o segundo a partir da direita na barra de ferramentas A execução repetida de seu programa permite a alteração de funções e valores de parâmetros durante a execução Para identificar os botões deixe o mouse sobre um botão para exibir um rótulo de contexto Pare sua simulação pressionando o botão com ponto vermelho o terceiro a partir da esquerda Caso você esteja realizando análise e projeto de sistemas de controle outra maneira de executar repetidamente o programa é colocar um While Loop Laço Enquanto ao redor de seu diagrama de blocos O laço está disponível na paleta Functions em ExpressExecution 1 2 ControlWhile Loop Esse laço também coloca um botão Stop no Front Panel O programa é executado até que você pressione o botão Stop Em substituição ao botão Stop qualquer booleano verdadeirofalso pode ser conectado ao bloco de condição ponto vermelho criado dentro do While Loop Caso você esteja realizando uma simulação você pode usar um Simulation Loop disponível na paleta Functions em Control Design SimulationSimulationSimulation Loop Coloque o Simulation Loop ao redor de seu diagrama de blocos de simulação arrastando o mouse Clique com o botão direito sobre o contorno do Simulation Loop e escolha Configure Simulation Parameters para determinar os parâmetros para executar a simulação Os indicadores e controles do Front Panel também são configuráveis Clique com o botão direito sobre o indicador ou controle e selecione Properties D4 Exemplos de Análise e Projeto Nesta seção iremos apresentar alguns exemplos mostrando a utilização do LabVIEW para a análise e projeto de sistemas de controle Na próxima seção exemplos da utilização do LabVIEW para simulação serão apresentados Os exemplos de análise e projeto utilizam ícones selecionados a partir da subpaleta Control Design da paleta Control Design Simulation Na próxima seção que mostra exemplos de simulação utilizaremos ícones da subpaleta Simulation da paleta Control Design Simulation Exemplo D1 Resposta ao Degrau em Malha Aberta A análise e o projeto usualmente começam selecionandose ícones a partir da subpaleta Control Design e arrastandoos para a janela Block Diagram Os ícones representam blocos de código e a associação de blocos de código em cascata pode ser considerada como uma sequência de linhas de código Assim uma vantagem do LabVIEW em relação ao MATLAB é que o programador não precisa memorizar a linguagem do código Por exemplo considere o código MATLAB mostrado no Experimente D1 que produz a resposta ao degrau de Gs 100s2 2s 100 Esta resposta ao degrau pode ser produzida em LabVIEW sem o conhecimento de nenhuma linguagem de código Demonstramos isso seguindo cada passo da Seção D3 Execute o LabVIEW Execute o LabVIEW e selecione New VI a partir da janela mostrada na Figura D2 Escolha os blocos A partir da paleta Functions selecione os blocos mostrados na Figura D3a e b Experimente D1 numg100 deng1 2 100 Gs Gtfnumgdeng stepG titleAngular Velocity FIGURA D3 Selecionando a CD Construct e CD Draw b CD Step Response 3 4 5 FIGURA D4 Janela Block Diagram Mova os blocos para a janela de diagrama de blocos Arraste seus ícones um de cada vez para a janela Block Diagram Figura D4 Obtenha informação sobre o bloco Clique com o botão direito sobre cada um dos blocos e certifiquese de que os dois primeiros itens em Visible Items estão assinalados Observe a CD Construct Transfer Function Modelvi Um Polymorphic VI Selector Seletor VI Polimórfico é mostrado na parte de baixo deste bloco Clique no seletor para exibir o menu Selecione SISO Este bloco cria efetivamente a função de transferência mostrada nos quatro primeiros passos do código MATLAB mostrado no Experimente D1 Repita para a CD Draw Transfer Function Equationvi e selecione TF a partir do Polymorphic VI Selector Este bloco vai escrever a função de transferência simbolicamente na tela Sua seleção a partir do polymorphic vi selector deve corresponder ao formato da função de transferência criada pela CD Construct Transfer Function Modelvi Repita para a CD Step Responsevi e selecifone TF a partir do Polymorphic VI Selector Este bloco irá coletar os dados para a resposta ao degrau e permitir que eles sejam representados graficamente Este bloco cria efetivamente os dois últimos comandos do código MATLAB mostrado no Experimente D1 Interconecte e rotule os blocos Você deve ter a janela Block Diagram mostrada na Figura D4 Interconecte os blocos de código Clique no ponto de interrogação no lado direito da barra de ferramentas para exibir a ajuda de contexto Quando o mouse passa sobre um ícone sua ajuda de contexto aparece mostrando os terminais Ver Figura D5 Interconecte os terminais deixando o mouse sobre um terminal até que ele se transforme em um carretel de fios Clique sobre o terminal e então clique no terminal de destino Os dois terminais aparecerão conectados Continue conectando terminais até que você tenha a janela Block Diagram mostrada na Figura D6 Conexões ramificadas como a mostrada podem ser feitas deixando o mouse sobre um ponto de uma conexão existente até que ele se transforme em um carretel de fios 6 FIGURA D5 Context Help para a CD Construct Transfer Function Modelvi Crie a interface para seu bloco Você irá agora querer criar a interface para parâmetros específicos e para ver respostas Este passo irá criar a interface que será acessada através da janela Front Panel As interfaces que criaremos são Controles de parâmetros de entrada da CD Construct Transfer Function Modelvi Clique com o botão direito sobre o terminal do numerador Numerator mostrado na Figura D5 e selecione CreateControl Repita para o denominador Denominator Indicador do gráfico da resposta da CD Step Response vi Clique com o botão direito sobre o terminal Step Response Graph e selecione CreateIndicator Indicador da função de transferência simbólica da CD Draw Transfer Function Equationvi Clique com o botão direito sobre o terminal Equation e selecione CreateIndicator Seu Block Diagram deve agora parecer com o da Figura D7a FIGURA D6 Blocos interconectados FIGURA D7 Janela Block Diagram a com blocos e interfaces Control Design b com bloco MathScript Opcionalmente você pode criar funções de transferência utilizando um bloco MathScript caso o MathScript RT Module esteja instalado Esta opção geralmente é compatível com os comandos de código de um arquivo m MATLAB para a criação de sua função de transferência As interfaces são então criadas para passar parâmetros e receber parâmetros do código do arquivo m Você deve estar familiarizado com o MATLAB para utilizar essa opção O bloco MathScript é encontrado na paleta ProgrammingStructuresMathScript Você cria código de arquivo m dentro do bloco MathScript Interfaces de entrada e de saída são criadas e nomeadas identicamente às do código do arquivo M Entretanto quanto estiver utilizando o MathScript você deve criar os controles primeiro no Front Panel ao invés de no Block Diagram Por exemplo para criar as interfaces numéricas para K a e b clique com o botão direito no Front Panel para exibir a paleta Controls A partir desta paleta crie o controle para cada valor numérico a partir de ModernNumericNumeric Control Os controles resultantes são mostrados na Figura D8b Essas interfaces são 7 então conectadas aos terminais apropriados no Block Diagram Seu Block Diagram agora deve se parecer com o da Figura D7b Na barra de menu da janela Block Diagram selecione WindowShow Front Panel Você verá o Front Panel mostrado na Figura D8 criado pelas suas interfaces Você pode dar um duplo clique sobre os rótulos acima de suas interfaces tanto na janela Front Panel quanto na janela Block Diagram para alterar o rótulo para ser mais descritivo para seu projeto Ajuste os controles Utilizando a janela Front Panel entre coeficientes para o polinômio do numerador e do denominador em ordem crescente do menor para o maior O seletor à esquerda do numerador e do denominador mostra a potência de s para o coeficiente mais à esquerda O aumento do contador permite a entrada de coeficientes de ordem mais elevada não visíveis originalmente Para tornar todos os coeficientes do polinômio visíveis mova o mouse para o canto direito do indicador do polinômio até que o ponteiro se transforme em uma seta dupla e pontos azuis apareçam nos cantos da esquerda e da direita de todo o indicador polinomial Você pode então arrastar o ponto azul da direita para expor mais células 8 FIGURA D8 Front Panel a para o Block Diagram mostrado na Figura D7a b para o Block Diagram mostrado na Figura D7b Se familiarize com as opções na barra de menu bem como com as dos menus suspensos exibidos quando você clica com o botão direito em qualquer indicador ou controle Por exemplo no menu Edit entre outras opções você pode tornar os valores atuais padrão Make Current Values Default ou reinicializar os valores para o padrão Reinitialize Values to Default Clicando com o botão direito sobre os indicadores ou controles é exibido um menu a partir do qual entre outras opções você pode selecionar Properties para configurar o indicador ou controle como desejado Execute o programa A Figura D9 mostra o Exemplo D1 após a execução A figura mostra os valores entrados a equação e a resposta ao degrau A execução foi iniciada clicandose na seta na esquerda da barra de ferramentas O programa pode ser executado repetidamente clicandose nas setas curvas na barra de ferramentas Agora altere os valores pressione a tecla Enter e veja os resultados imediatamente Pare a execução do programa clicando no hexágono vermelho na barra de ferramentas Outra maneira de executar repetidamente o programa é colocar um While Loop ao redor do diagrama de blocos como mostrado na Figura D10a O laço é acessado a partir de FunctionsExpressExecution Control como mostrado na Figura D10b Após selecionar o While Loop arraste o cursor através do diagrama de blocos e crie o laço contínuo Um botão Stop aparecerá no diagrama de blocos bem como no Front Panel Na parte inferior direita está um ícone de Interação com o Laço que pode ser utilizado para controlar o While Loop O leitor deve consultar a documentação online para obter mais informações FIGURA D9 Front Panel após a execução a para o diagrama de blocos na Figura D7a b para o diagrama de blocos na Figura D7b FIGURA D10 a Diagrama de blocos com While Loop b Paleta Functions mostrando a localização do While Loop Exemplo D2 Resposta ao Degrau em Malha Fechada 1 2 Neste exemplo mostramos como apresentar a resposta ao degrau de um sistema com realimentação unitária Para diversificar representamos o sistema em malha aberta como uma razão entre zeros e polos com um ganho multiplicador de modo análogo à função zpk do MATLAB No exemplo anterior representamos o sistema como uma razão entre polinômios de modo análogo à função tf do MATLAB Escolha os blocos A função de transferência zeropologanho zeropolegain é obtida a partir da paleta Functions como mostrado na Figura D11a Colocamos essa função de transferência no caminho à frente de um sistema com realimentação unitária seguindo esse bloco de um bloco Feedback realimentação obtido a partir da paleta Functions como mostrado na Figura D11b Caso a entrada Model 2 do bloco Feedback seja deixada desconectada então uma interconexão com realimentação unitária é adotada Outras opções para a interconexão como paralelo parallel e série series são mostradas na paleta da Figura D11b Interconecte e rotule os blocos Produzir a resposta ao degrau em malha fechada é semelhante ao Exemplo D1 exceto que o bloco da resposta ao degrau step response é posicionado na saída do bloco Feedback O bloco que vai escrever a equação é conectado à saída do sistema como no Exemplo D1 Todos os tipos de dados devem ser compatíveis e são mostrados selecionados no menu pendente na parte inferior dos blocos Caso você selecione Automatic no menu pendente o LabVIEW irá selecionar a forma correta à medida que você conecta os blocos O Block Diagram e o Front Panel finais para este exemplo são mostrados na Figura D12a e b respectivamente Observe que você entra polos zeros e ganho em malha aberta no Front Panel no lugar de coeficientes do numerador e do denominador em malha aberta FIGURA D11 a Obtendo função de transferência zeropologanho a partir da paleta Functions b Obtendo a interconexão Feedback a partir da paleta Functions FIGURA D12 a Block Diagram para o Exemplo D2 b Front Panel para o Exemplo D2 Exemplo D3 Análise e Projeto via Lugar Geométrico das Raízes Podemos obter gráficos do lugar geométrico das raízes adicionando o bloco Root Locus obtido a partir da paleta Functions como mostrado na Figura D13 O bloco Root Locus é conectado à saída do sistema em malha aberta e um indicador Root Locus Graph é criado na saída do bloco Root Locus O Block Diagram e o Front Panel resultantes são mostrados na Figura D14a e b respectivamente A Figura D13 mostra blocos de outras características que podem ser acrescentados Por exemplo polos e zeros em malha fechada bem como fator de amortecimento e frequência natural podem ser apresentados FIGURA D13 Paleta Functions mostrando a localização do bloco Root Locus FIGURA D14 Janelas mostrando a análise via lugar geométrico das raízes a Block Diagram b Front Panel Exemplo D4 Exemplo D4 Análise e Projeto em Frequência Senoidal em Malha Aberta e em Malha Fechada Podemos obter curvas de resposta em frequência em malha aberta e em malha fechada substituindo o bloco Root Locus pelo bloco Bode para produzir a resposta em frequência em malha aberta Uma cópia do bloco Bode pode ser acrescentada na saída do bloco Feedback para obter a resposta em frequência em malha fechada A Figura D15 mostra onde obter o bloco Bode A Figura D16 mostra o Block Diagram e o Front Panel com a análise de Bode em malha aberta e em malha fechada Para apresentar os diagramas os indicadores mostrados nas saídas dos blocos Bode foram criados A Figura D15 mostra outras alternativas para a análise da resposta em frequência Por exemplo além dos diagramas de Bode você pode criar um indicador dizendo as margens de ganho e de fase utilizando o bloco Gain and Phase Margin A Figura D17 mostra o resultado Finalmente caso você precise utilizar diagramas de Nyquist ou cartas de Nichols os blocos associados são mostrados na Figura D15 e podem substituir os blocos Bode FIGURA D15 Janela Functions mostrando blocos de resposta em frequência como os blocos Bode Nyquist Nichols e Gain and Phase Margin Margens de Ganho e de Fase FIGURA D16 Análise de Bode via LabVIEW a Block Diagram b Front Panel 1 2 3 4 5 FIGURA D17 Análise de Bode com margens de ganho e de fase a Block Diagram b Front Panel D5 Exemplos de Simulação Enquanto a sequência de blocos para o projeto e a análise em LabVIEW é análoga a seguir a sequência de declarações de código em um arquivo M MATLAB a sequência de blocos para a simulação em LabVIEW é análoga a seguir a sequência de blocos de um diagrama Simulink Nesta seção mostramos exemplos de simulação utilizando o LabVIEW Para a simulação de sistemas de controle ícones para o diagrama de blocos são escolhidos a partir da subpaleta Simulation da paleta Control Design Simulation Nossos exemplos farão um paralelo com os exemplos mostrados no Apêndice C que utiliza o Simulink Exemplo D5 Simulação de Sistemas Lineares Crie o Block Diagram e o Front Panel A Figura D18 mostra o Block Diagram e o Front Panel para a simulação de um sistema linear A simulação reproduz o Exemplo C1 do Apêndice C que utiliza o Simulink Os blocos são selecionados a partir da subpaleta Simulation da paleta Control Design Simulation e devem ser colocados dentro do Simulation Loop obtido a partir de FunctionsControl Design SimulationSimulationSimulation Loop Enumeramos agora os passos detalhados para criar o Block Diagram e o Front Panel Funções de transferência transfer function são obtidas a partir de FunctionsControl Design SimulationSimulationContinuous Linear SystemsTransfer Function Clique com o botão direito sobre cada uma das funções de transferência e selecione Configuration para entrar os valores de parâmetros mostrados na Figura D18a ou equivalentemente na Figura C5 O bloco de ganho gain é obtido a partir de FunctionsControl Design SimulationSimulationSignal ArithmeticGain Clique com o botão direito sobre o bloco de ganho e selecione Configuration para entrar o valor do parâmetro O bloco de entrada em degrau stepinput é obtido a partir de FunctionsControl Design SimulationSimulationSignal GenerationStep Signal Clique com o botão direito sobre o bloco do degrau e selecione Configuration para entrar o valor do parâmetro Para apresentar as três curvas de resposta ao degrau simultaneamente utilizamos um bloco Build Array obtido a partir de FunctionsProgrammingArrayBuild Array Arraste a parte de baixo do ícone para expor o número correto de entradas três para este caso Para criar o gráfico usamos o bloco Simulation Time Waveform obtido a partir de FunctionsControl Design SimulationSimulationGraph UtilitiesSimtime Waveform Clique com o botão direito na saída do bloco Simtime Waveform e selecione CreateIndicator para criar o ícone Waveform Chart e o gráfico no Front Panel Configure o laço de simulação Finalmente ajuste os parâmetros da simulação clicando com o botão direito sobre o Simulation Loop e selecionando Configure Simulation Parameters ajuste os parâmetros como mostrado na Figura D19 Configure os parâmetros do gráfico No Front Panel clique com o botão direito no gráfico e selecione Properties para configurar os parâmetros do gráfico se necessário Selecione a legenda e expandaa verticalmente para expor as identificações de todas as três curvas Os títulos na legenda podem ser alterados para refletir rótulos significativos para as curvas FIGURA D18 Simulação de sistemas lineares a Block Diagram b Front Panel Execute a simulação Realize a simulação clicando na seta na extrema esquerda da barra de ferramentas na janela Front Panel Você pode apagar as curvas entre ensaios clicando com o botão direito no gráfico e selecionando Data OperationsClear Chart FIGURA D19 Configurando os parâmetros do Simulation Loop a parâmetros de simulação b parâmetros de tempo Exemplo D6 Efeito da Saturação do Amplificador sobre a Velocidade Angular da Carga do Motor Crie o Block Diagram e o Front Panel O Block Diagram e o Front Panel para a simulação de um motor cc com e sem saturação são mostrados na Figura D20 O bloco Saturation Saturação é obtido a partir de Control Design SimulationSimulationNonlinear SystemsSaturation Configure o laço de simulação Configure o laço de simulação como mostrado na Figura D19 mas modifique o Final Time s na Figura D19a para 10 Configure os parâmetros do gráfico No Front Panel clique com o botão direito no gráfico e selecione Properties para configurar os parâmetros do gráfico Selecione a aba Scales e entre 10 na caixa Maximum como mostrado na Figura D21 Selecione a legenda e expandaa verticalmente para expor as identificações de ambas as curvas Os títulos na legenda podem ser alterados para refletir rótulos significativos para as curvas Execute a simulação Realize a simulação clicando na seta na extrema esquerda da barra de ferramentas na janela Front Panel Você pode apagar as curvas entre ensaios clicando com o botão direito no gráfico e selecionando Data OperationsClear Chart FIGURA D20 Simulação de um motor cc com e sem saturação a Block Diagram b Front Panel FIGURA D21 Janela Chart Properties Waveform Chart Exemplo D7 Simulando Sistemas com Realimentação Crie o Block Diagram e o Front Panel O Block Diagram e o Front Panel para simular sistemas com realimentação são mostrados na Figura D22 O bloco Summation Soma é obtido a partir de Control Design SimulationSimulationSignal ArithmeticSummation FIGURA D22 Simulação de sistemas com realimentação a Block Diagram b Front Panel Configure o bloco Summation e outros blocos Clique com o botão direito sobre o bloco Summation e selecione Configuration Repita para os outros blocos Configure o laço de simulação Configure o laço de simulação como mostrado na Figura D19 mas modifique o Final Time s na Figura D19a para 10 Configure os parâmetros do gráfico No Front Panel clique com o botão direito no gráfico e selecione Properties para configurar os parâmetros do gráfico Selecione a aba Scales e entre 10 na caixa Maximum como mostrado na Figura D21 Execute a simulação Realize a simulação clicando na seta na extrema esquerda da barra de ferramentas na janela Front Panel Você pode apagar as curvas entre ensaios clicando com o botão direito no gráfico e selecionando Data OperationsClear Chart Exemplo D8 Simulando Sistemas Digitais com a Paleta Simulação Sistemas digitais com o Exemplo C4 do Apêndice C podem ser simulados usando o LabVIEW Entretanto existem restrições sobre as funções de transferência usadas na simulação O LabVIEW requer que todas as entradas para as funções de transferência estejam presentes no início da simulação ou então um erro de ciclo cycle error ocorrerá Infelizmente este requisito limita o uso de funções de transferência àquelas com um denominador de ordem maior que a do numerador Nessas condições o leitor é aconselhado a utilizar o MATLAB ou a paleta Control Design ao invés da paleta Simulation da janela Controle Design Simulation Nosso primeiro exemplo digital irá simular um sistema digital com realimentação usando a paleta Simulation com funções de transferência adequadas O próximo exemplo irá simular o Exemplo C4 do Apêndice C que não tem funções de transferência adequadas usando a paleta Control Design do LabVIEW Crie o Block Diagram e o Front Panel O Block Diagram e o Front Panel para simular sistemas digitais são mostrados na Figura D23 O bloco Discrete ZeroOrder Hold Segurador de Ordem Zero Discreto é obtido a partir de Control Design SimulationSimulationDiscrete Linear SystemsDiscrete ZeroOrder Hold A Discrete Transfer Function Função de Transferência Discreta é obtida a partir de Control Design SimulationSimulationDiscrete Linear SystemsDiscrete Transfer Function Configure o Discrete ZeroOrder Hold e outros blocos Clique com o botão direito sobre o bloco Discrete ZeroOrder Hold e selecione Configuration Ajuste o período de amostragem sample period para 05 05 segundo Configure as funções de transferência como mostrado no Block Diagram Configure o Step Signal para ser um degrau unitário FIGURA D23 Simulação de sistemas digitais com a paleta Simulation a Block Diagram b Front Panel Configure o laço de simulação Configure o laço de simulação como mostrado na Figura D19 Configure os parâmetros do gráfico No Front Panel clique com o botão direito no gráfico e selecione Properties para configurar os parâmetros do gráfico Selecione a aba Scales e entre três na caixa Maximum para ambos os eixos x e y como mostrado na Figura D21 Selecione a legenda e expandaa verticalmente para expor as identificações de ambas as curvas Os títulos na legenda podem ser alterados para refletir rótulos significativos para as curvas Execute a simulação Realize a simulação clicando na seta na extrema esquerda da barra de ferramentas na janela Front Panel Você pode apagar as curvas entre ensaios clicando com o botão direito no gráfico e selecionando Data OperationsClear Chart A simulação mostra a diferença entre as respostas obtidas 1 modelando o sistema digital como um segurador de ordem zero em cascata com um sistema linear Plot 0 e 2 modelando o sistema com uma função de transferência digital Plot 1 Exemplo D9 Simulando Sistemas Digitais com a Paleta Control Design Para evitar erros de ciclo no LabVIEW utilizamos a paleta Control Design quando temos funções de transferência para as quais o numerador e o denominador são da mesma ordem Este exemplo reproduz o Exemplo C4 do Simulink Crie o Block Diagram e o Front Panel O Block Diagram e o Front Panel para este exemplo são mostrados na Figura D24 Conecte os blocos como mostrado A maior parte dos blocos foi discutida anteriormente nos Exemplos D1 e D2 Funções de transferência digitais são criadas utilizando os mesmos blocos que para os sistemas contínuos mas com uma entrada Sampling Times Período de Amostragem diferente de zero A CD Convert Continuous to Discretevi é obtida a partir de FunctionsControl Design SimulationControl DesignModel ConversionCD Convert Continuous to Discretevi O Build Array é obtido a partir de FunctionsProgrammingArrayBuild Array Expanda o bloco Build Array para mostrar duas entradas Configure os parâmetros do Build Array Clique com o botão direito sobre o Build Array e selecione Concatenate Inputs Clique com o botão direito novamente sobre o Build Array e selecione CreateIndicator Clique com o botão direito sobre o indicador no painel frontal e selecione Replace Utilizando as paletas exibidas como mostrado na Figura D25 selecione XY Graph No painel frontal expanda a legenda para mostrar dois gráficos Altere os títulos das legendas como mostrado Altere os pontos de início e fim dos eixos x e y como desejar clicando com o botão direito no gráfico e selecionando Properties Na janela Properties selecione Scales e entre a informação desejada Clique com o botão direito no gráfico no painel frontal e selecione Data Operations e torne seus valores atuais padrão Além disso clique com botão direito novamente e escolha reinicializar para seus valorespadrão Você também pode optar por limpar o gráfico atual Configure os parâmetros da CD Convert Continuous to Discretevi Clique com o botão direito e crie um controle para Sample Times Numerator e Denominator como descrito no Exemplo D1 Ajuste os valores como mostrado no Front Panel Configure os parâmetros da CD Construct Transfer Function Modelvi as a discrete model Clique com o botão direito e crie um controle para Sample Times Numerator e Denominator como descrito no Exemplo D1 Ajuste os valores como mostrado no Front Panel Configure os parâmetros de todas as CD Draw Transfer Function Equationvi Clique com o botão direito e crie um controle para Equation como descrito no Exemplo D1 Ajuste os valores como mostrado no Front Panel Execute a simulação Ver Exemplo D1 para uma descrição Os resultados são mostrados na Figura D24b FIGURA D24 Simulação de sistemas digitais com a paleta Control Design a Block Diagram b Front Panel FIGURA D25 Escolhendo XY Graph Resumo Este apêndice apresentou o LabVIEW com uma alternativa ao MATLAB para a análise projeto e simulação Nossa discussão foi dividida em análise e projeto e simulação A análise e o projeto são realizados através da interconexão de blocos de código o que é análogo a escrever código para arquivos M MATLAB Como os blocos de código LabVIEW são representados por ícones uma vantagem da utilização do LabVIEW é que você não precisa conhecer declarações de código específicas A simulação é realizada através da interconexão de blocos de código e é análoga aos diagramas de fluxo do Simulink O LabVIEW tem aplicações mais amplas que as cobertas aqui Você pode criar instrumentos virtuais no monitor de seu computador que podem operar equipamentos externos e transmitir e receber dados de telemetria É deixado para o leitor interessado buscar por esses tópicos avançados Bibliografia National Instruments Getting Started with LabVIEW National Instruments Austin TX 20032007 National Instruments LabVIEW Fundamentals National Instruments Austin TX 20032007 National Instruments LabVIEWTM Control Design User Manual National Instruments Austin TX 20042008 National Instruments Introduction to LabVIEW in 3 Hours for Control Design and Simulation National Instruments Course Notes Austin TX 1LabVIEW é uma marca registrada da National Instruments Corporation Abordagem clássica para sistemas de controle Ver técnicas do domínio da frequência Abordagem moderna para sistemas de controle Ver representação no espaço de estados Admitância elétrica O inverso da impedância elétrica A razão entre a transformada de Laplace da corrente e transformada de Laplace da tensão Amostrador e segurador de ordem zero zoh zeroorder sampleandhold Um dispositivo que produz uma aproximação em degraus para um sinal analógico Amplificador operacional Um amplificador caracterizado por uma impedância de entrada muito alta uma impedância de saída muito baixa e um ganho elevado que pode ser utilizado para implementar a função de transferência de um compensador Aproximação de Euler Um método de integração no qual a área a ser integrada é aproximada por uma sequência de retângulos Armadura O componente rotativo de um motor cc através do qual circula uma corrente Autovalores Qualquer valor λi que satisfaça Axi λixi para xi 0 Portanto qualquer valor λi que torne xi um autovetor da transformação A Autovetor Qualquer vetor que seja colinear com um novo vetor de base após uma transformação de similaridade para um sistema diagonal Base Vetores linearmente independentes que definem um espaço Carta de Nichols O lugar geométrico da magnitude constante e da fase constante da resposta em frequência em malha fechada para sistemas com realimentação unitária traçado no plano de magnitude em malha aberta em dB versus a fase em malha aberta Ele permite que a resposta em frequência em malha fechada seja determinada a partir da resposta em frequência em malha aberta Circuito elétrico análogo Um circuito elétrico cujas variáveis e parâmetros são análogos aos de outro sistema físico O circuito elétrico análogo pode ser utilizado na obtenção da solução das variáveis do outro sistema físico Círculos de M constante O lugar geométrico de magnitude constante da resposta em frequência em malha fechada para sistemas com realimentação unitária Os círculos permitem que a magnitude da resposta em frequência em malha fechada seja determinada a partir da magnitude da resposta em frequência em malha aberta Círculos de N constante O lugar geométrico de fase constante da resposta em frequência em malha fechada para sistemas com realimentação unitária Os círculos permitem que a fase da resposta em frequência em malha fechada seja determinada a partir da fase da resposta em frequência em malha aberta Combinação linear Uma combinação linear de n variáveis Xi para i 1 até n dada pela seguinte soma S S KnXn Kn1Xn1 K1X1 onde cada Ki é uma constante Compensação A inclusão de uma função de transferência no caminho à frente ou no caminho de realimentação com a finalidade de melhorar o desempenho transitório ou em regime permanente de um sistema de controle Compensação da malha principal Um método de compensação com realimentação que adiciona um zero de compensação à função de transferência em malha aberta com a finalidade de melhorar a resposta transitória do sistema em malha fechada Compensação da malha secundária Um método de compensação com realimentação que altera os polos da função de transferência do caminho à frente com a finalidade de melhorar a resposta transitória do sistema em malha fechada Compensador Um subsistema inserido no caminho à frente ou no caminho de realimentação com a finalidade de melhorar a resposta transitória ou o erro em regime permanente Compensador de atraso de fase Uma função de transferência caracterizada por um polo no eixo real negativo próximo da origem e um zero próximo e à esquerda do polo que é utilizada com a finalidade de melhorar o erro em regime permanente de um sistema em malha fechada Compensador de avanço de fase Uma função de transferência caracterizada por um zero no eixo real negativo e por um polo à esquerda do zero que é utilizada com a finalidade de melhorar a resposta transitória de um sistema em malha fechada Compensador de avanço e atraso de fase Uma função de transferência caracterizada por uma configuração de polos e zeros que é uma combinação de um compensador de avanço de fase e de um compensador de atraso de fase utilizada com a finalidade de melhorar tanto a resposta transitória quanto o erro em regime permanente de um sistema em malha fechada Compensador de realimentação Um subsistema colocado no caminho de realimentação com a finalidade de melhorar o desempenho de um sistema em malha fechada Compensador derivativo ideal Ver Controlador proporcional derivativo Compensador digital Uma função de transferência amostrada utilizada para melhorar a resposta de sistemas com realimentação controlados por computador A função de transferência pode ser emulada por um computador digital na malha Compensador integral ideal Ver Controlador proporcional integral Constante de aceleração Constante de posição Constante de tempo O tempo para eat decair para 37 de seu valor inicial em t 0 Constante de velocidade Constantes de erro estático O conjunto formado pela constante de posição pela constante de velocidade e pela constante de aceleração Controlabilidade Uma propriedade de um sistema pela qual é possível determinar uma entrada que conduza todas as variáveis de estado de um estado inicial desejado a um estado final desejado em tempo finito Controlador O subsistema que gera a entrada para a planta ou processo Controlador proporcional derivativo PD Um controlador que alimenta a planta à frente com um sinal proporcional ao sinal de atuação mais sua derivada com a finalidade de melhorar a resposta transitória de um sistema em malha fechada Controlador proporcional integral PI Um controlador que alimenta a planta à frente com um sinal proporcional ao sinal de atuação mais sua integral com a finalidade de melhorar o erro em regime permanente de um sistema em malha fechada Controlador proporcional integral e derivativo PID Um controlador que alimenta a planta à frente com um sinal proporcional ao sinal de atuação mais sua integral mais sua derivada com a finalidade de melhorar a resposta transitória e o erro em regime permanente de um sistema em malha fechada Conversor analógicodigital Um dispositivo que converte sinais analógicos em sinais digitais Conversor digitalanalógico Um dispositivo que converte sinais digitais em sinais analógicos Critério de Nyquist Se um contorno A que envolve todo o semiplano da direita é mapeado através de GsHs então o número de polos em malha fechada Z no semiplano da direita é igual ao número de polos em malha aberta P situados no semiplano da direita menos o número de voltas N que o mapeamento dá no sentido anti horário em torno de 1 isto é Z P N O mapeamento é chamado de diagrama de Nyquist de GsHs Critério de RouthHurwitz Um método para determinar quantas raízes de um polinômio em s estão no semiplano direito do plano s no semiplano esquerdo do plano s e sobre o eixo imaginário Exceto em alguns casos especiais o critério de RouthHurwitz não fornece as coordenadas das raízes Curva torquevelocidade O gráfico que relaciona o torque de um motor com a sua velocidade para uma tensão de entrada constante Década Frequências que estão separadas por um fator de 10 Decibel dB O decibel é definido como 10 log PG onde PG é o ganho em potência de um sinal Equivalentemente o decibel também é 20 log VG onde VG é o ganho em tensão de um sinal Diagrama de blocos Uma representação da interconexão de subsistemas que formam um sistema Em um sistema linear o diagrama de blocos consiste em blocos representando subsistemas setas representando sinais junções de soma e pontos de ramificação Diagrama de Bode gráfico de Bode Um gráfico da resposta em frequência no qual a resposta em magnitude é representada separadamente da resposta em fase A resposta em magnitude é traçada em dB versus log ω e a resposta em fase é traçada em ângulo versus log ω Nos sistemas de controle o diagrama de Bode geralmente é traçado para a função de transferência em malha aberta Os diagramas de Bode também podem ser traçados como aproximações por segmentos de reta Diagrama de fluxo de sinal Uma representação da interconexão de subsistemas que formam um sistema Consiste em nós representando os sinais e em linhas representando subsistemas Diagrama de Nyquist gráfico de Nyquist Um gráfico polar da resposta em frequência construído para a função de transferência em malha aberta Equação característica Equação formada igualandose o polinômio característico a zero Equação de saída Para sistemas lineares a equação que expressa as variáveis de saída de um sistema como combinações lineares das variáveis de estado Equações de estado Um sistema de n equações diferenciais simultâneas de primeira ordem com n variáveis em que as n variáveis a serem determinadas são as variáveis de estado Equilíbrio A solução em regime permanente caracterizada por uma posição constante ou por uma oscilação com amplitude e frequência constantes Erro A diferença entre a entrada e a saída de um sistema Erro de quantização Para sistemas lineares o erro associado com a digitalização de sinais decorrente da diferença finita entre os níveis de quantização Erro em regime permanente A diferença entre a entrada e a saída de um sistema depois que a resposta natural tenha decaído a zero Espaço de estados O espaço ndimensional cujos eixos são as variáveis de estado Estabilidade A característica de um sistema definida por uma resposta natural que decai para zero à medida que o tempo tende a infinito Estabilidade marginal A característica de um sistema definida por uma resposta natural que nem decai nem cresce mas permanece constante ou oscila à medida que o tempo tende a infinito desde que a entrada não tenha a mesma forma que a resposta natural do sistema Expansão em frações parciais Uma equação matemática na qual uma fração com n fatores no denominador é representada como uma soma de frações mais simples Faixa de passagem A frequência na qual a magnitude da resposta em frequência está 3 dB abaixo da magnitude na frequência zero Fasor Um vetor rotativo que representa uma senoide da forma A cosωt Fator de amortecimento A razão entre a frequência de decaimento exponencial e a frequência natural Filtro notch Um filtro cuja magnitude da resposta em frequência apresenta uma grande redução em uma frequência particular No plano s ele é caracterizado por um par de zeros complexos próximos ao eixo imaginário Força contraeletromotriz A tensão sobre a armadura de um motor Frequência de margem de fase A frequência na qual o gráfico da magnitude da resposta em frequência é igual a zero dB É a frequência na qual a margem de fase é medida Frequência de margem de ganho A frequência na qual o gráfico de fase da resposta em frequência é igual a 180 É a frequência na qual a margem de ganho é medida Frequência de oscilação amortecida A frequência senoidal de oscilação de uma resposta subamortecida Frequência de quebra Uma frequência na qual o gráfico de magnitude de Bode muda de inclinação Frequência natural A frequência de oscilação de um sistema caso todo o amortecimento seja removido Função de transferência A razão entre a transformada de Laplace da saída de um sistema e a transformada de Laplace da entrada Função de transferência em malha aberta Para um sistema com realimentação genérico com Gs no caminho à frente e Hs no caminho de realimentação a função de transferência em malha aberta é o produto da função de transferência do caminho à frente pela função de transferência da realimentação ou seja GsHs Função de transferência em malha fechada Para um sistema com realimentação genérico com Gs no caminho à frente e Hs no caminho de realimentação a função de transferência em malha fechada Ts é Gs1 GsHs onde o é para realimentação negativa e o é para realimentação positiva Ganho A razão entre a saída e a entrada geralmente utilizado para descrever a amplificação em regime permanente da magnitude de sinais de entrada senoidais incluindo os sinais cc Ganho de laço Para um diagrama de fluxo de sinal o produto dos ganhos dos ramos encontrados ao percorrer seguindo o sentido do fluxo do sinal um caminho que começa em um nó e termina no mesmo nó sem passar por nenhum outro nó mais de uma vez Ganho de laços que não se tocam O produto dos ganhos de laço dos laços que não se tocam tomados dois a dois três a três quatro a quatro e assim por diante de cada vez Ganho do caminho à frente O produto dos ganhos encontrados ao se percorrer um caminho no sentido do fluxo do sinal a partir do nó de entrada até o nó de saída de um diagrama de fluxo de sinal Giroscópio de velocidade Um dispositivo que responde a uma entrada de posição angular com uma tensão de saída proporcional à velocidade angular Impedância elétrica A razão entre a transformada de Laplace da tensão e a transformada de Laplace da corrente Impedância mecânica rotacional A razão entre a transformada de Laplace do torque e a transformada de Laplace do deslocamento angular Impedância mecânica translacional A razão entre a transformada de Laplace da força e a transformada de Laplace do deslocamento linear Independência linear As variáveis xi para i 1 até n são ditas linearmente independentes caso sua combinação linear S seja igual a zero apenas se todo Ki 0 e nenhum xi 0 Alternativamente caso as variáveis xi sejam linearmente independentes então Knxn Kn1xn1 K1x1 0 não pode ser solucionado para nenhum xk Assim nenhum xk pode ser expresso como uma combinação linear dos demais xi Instabilidade A característica de um sistema definida por uma resposta natural que cresce sem limites à medida que o tempo tende a infinito Instante de pico Tp O tempo necessário para que a resposta ao degrau subamortecida alcance o primeiro pico ou pico máximo Junção de soma Um símbolo no diagrama de blocos que mostra a soma algébrica de dois ou mais sinais Laços que não se tocam Laços que não possuem nenhum nó em comum Lei de Newton A soma das forças é igual a zero Alternativamente depois de passar a força ma para o outro lado da equação a soma das forças é igual ao produto da massa pela aceleração Lei de Ohm Para circuitos cc a razão entre a tensão e a corrente é uma constante chamada resistência Lei de Kirchhoff A soma das tensões ao longo de uma malha fechada é igual a zero Além disso a soma das correntes em um nó é igual a zero Linearização O processo de aproximar uma equação diferencial não linear por uma equação diferencial linear válida para pequenas variações em torno do equilíbrio Lugar geométrico das raízes O lugar geométrico dos polos em malha fechada à medida que um parâmetro do sistema é variado Tipicamente o parâmetro é o ganho O lugar geométrico é obtido a partir dos polos e zeros em malha aberta Margem de fase A quantidade de defasagem adicional em malha aberta necessária no ganho unitário para tornar o sistema em malha fechada instável Margem de ganho A quantidade adicional de ganho em malha aberta expressa em decibéis dB necessária na defasagem de 180 para tornar o sistema em malha fechada instável Matriz de transição de estados A matriz que realiza uma transformação sobre x0 levando x do estado inicial x0 para o estado xt para qualquer instante de tempo t 0 Método tabular de Raible Um método tabular para determinar a estabilidade de sistemas digitais que se assemelha ao método de RouthHurwitz para sinais analógicos Nós Pontos em um diagrama de fluxo de sinal que representam sinais Observabilidade Uma propriedade de um sistema pela qual um vetor de estado inicial xt0 pode ser determinado a partir das medidas de ut e yt em um intervalo finito de tempo a partir de t0 De forma simples a observabilidade é a propriedade pela qual as variáveis de estado podem ser estimadas a partir do conhecimento da entrada ut e da saída yt Observador Uma configuração de sistema a partir da qual estados inacessíveis podem ser estimados Oitava Frequências que são separadas por um fator de dois Perturbação Um sinal indesejado que corrompe a entrada ou a saída de uma planta ou processo Planta ou processo O subsistema cuja saída está sendo controlada pelo sistema Polinômio característico O denominador de uma função de transferência Equivalentemente a equação diferencial livre onde os operadores diferenciais são substituídos por s ou λ Polos 1 Os valores da variável da transformada de Laplace s que fazem com que a função de transferência se torne infinita e 2 quaisquer raízes dos fatores da equação característica no denominador que são comuns ao numerador da função de transferência Polos dominantes Os polos que geram predominantemente a resposta transitória Ponto de ramificação Um símbolo no diagrama de blocos que mostra a distribuição de um sinal para múltiplos subsistemas Ponto de entrada Um ponto sobre o eixo real do plano s onde o lugar geométrico das raízes entra no eixo real a partir do plano complexo Ponto de saída Um ponto sobre o eixo real do plano s onde o lugar geométrico das raízes deixa o eixo real e entra no plano complexo Ramos Linhas que representam subsistemas em um diagrama de fluxo de sinal Realimentação Um caminho pelo qual um sinal retorna para ser adicionado ou subtraído de um sinal anterior no caminho direto Realimentação negativa O caso em que um sinal de realimentação é subtraído de um sinal anterior no caminho à frente Realimentação positiva O caso em que um sinal de realimentação é adicionado a um sinal anterior no caminho à frente Regra de Mason Uma fórmula matemática a partir da qual a função de transferência de um sistema formado pela interconexão de diversos subsistemas pode ser determinada Representação no domínio do tempo Ver Representação no espaço de estados Representação no espaço de estados Um modelo matemático para um sistema que consiste em equações diferenciais de primeira ordem simultâneas e em uma equação de saída Resíduo As constantes nos numeradores dos termos de uma expansão em frações parciais Resposta criticamente amortecida A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem com uma determinada frequência natural que é caracterizada por não apresentar ultrapassagem e por ter um tempo de subida mais rápido que qualquer resposta superamortecida com a mesma frequência natural Resposta em regime permanente Ver Resposta forçada Resposta forçada Para sistemas lineares a parte da função de resposta total decorrente da entrada Ela é tipicamente da mesma forma que a entrada e suas derivadas Resposta não amortecida A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem caracterizada por uma oscilação pura Resposta natural A parte da função de resposta total decorrente do sistema e da maneira como o sistema armazena ou dissipa energia Resposta para entrada zero A parte da resposta que depende apenas do vetor de estado inicial e não da entrada Resposta para estado zero A parte da resposta que depende apenas da entrada e não do vetor de estado inicial Resposta subamortecida A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem caracterizada por apresentar ultrapassagem Resposta superamortecida Uma resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem caracterizada por não apresentar ultrapassagem Resposta transitória A parte da curva de resposta decorrente do sistema e da forma como este obtém ou dissipa energia Em sistemas estáveis é a parte do gráfico da resposta anterior ao regime permanente Sensibilidade A variação relativa de uma característica do sistema para uma variação relativa em um parâmetro do sistema Sinal de atuação O sinal que aciona o controlador Caso este sinal seja a diferença entre a entrada e a saída ele é chamado de erro Sistema de fase não mínima Um sistema cuja função de transferência possui zeros no semiplano da direita A resposta ao degrau é caracterizada por uma inversão inicial de sentido Sistema desacoplado Uma representação no espaço de estados na qual cada equação de estado é função de apenas uma variável de estado Portanto cada equação diferencial pode ser resolvida independentemente das demais equações Sistema em malha aberta Um sistema que não monitora sua saída e também não a corrige para perturbações Sistema em malha fechada Um sistema que monitora sua saída e a corrige para perturbações É caracterizado por caminhos de realimentação a partir da saída Sistema linear Um sistema que possui as propriedades de superposição e homogeneidade Sistema passivo Um sistema físico que somente armazena ou dissipa energia Nenhuma energia é produzida pelo sistema Solução homogênea Ver Resposta natural Solução particular Ver Resposta forçada Subsistema Um sistema que é uma parte de um sistema maior Tacômetro Um gerador de tensão que produz uma tensão de saída proporcional à entrada de velocidade de rotação Taxa de amostragem de Nyquist A frequência mínima na qual um sinal analógico deve ser amostrado para correta reconstrução Esta frequência é o dobro da faixa de passagem do sinal analógico Técnicas de resposta em frequência Métodos de análise e projeto de sistemas de controle que utilizam as características da resposta em frequência de um sistema Técnicas do domínio da frequência Métodos de análise e projeto de sistemas de controle lineares que utilizam funções de transferência e a transformada de Laplace bem como as técnicas de resposta em frequência Tempo de acomodação Ts O tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance e permaneça dentro de uma faixa de 2 em torno do valor em regime permanente A rigor esta é a definição do tempo de acomodação para 2 Outros percentuais por exemplo 5 também podem ser utilizados Este livro utiliza o tempo de acomodação para 2 Tempo de subida Tr O tempo necessário para que a resposta ao degrau vá de 01 do valor final até 09 do valor final Tipo Ver Tipo do sistema Tipo do sistema O número de integrações puras no caminho à frente de um sistema com realimentação unitária Torque com rotor bloqueado O torque produzido na armadura quando a velocidade de um motor é reduzida a zero sob uma condição de tensão de entrada constante Transdutor Um dispositivo que converte uma forma de sinal em outra por exemplo um deslocamento mecânico em tensão elétrica Transformação bilinear Um mapeamento do plano complexo no qual um ponto s é mapeado em outro ponto z através da relação z as bcs d Transformação de Laplace Uma transformação que transforma equações diferenciais lineares em expressões algébricas A transformação é especialmente útil para modelar analisar e projetar sistemas de controle bem como para resolver equações diferenciais lineares Transformação de similaridade Uma transformação de uma representação no espaço de estados para outra representação no espaço de estados Embora as variáveis de estado sejam diferentes cada uma das representações é uma descrição válida do mesmo sistema e do mesmo relacionamento entre a entrada e a saída Transformação de Tustin Uma transformação bilinear que converte funções de transferência contínuas em amostradas e viceversa A característica importante da transformação de Tustin é que ambas as funções de transferência produzem a mesma resposta de saída nos instantes de amostragem Transformação z Uma transformação relacionada com a transformação de Laplace utilizada para a representação análise e projeto de sinais e sistemas amostrados Ultrapassagem percentual UP O valor pelo qual a resposta ao degrau subamortecida ultrapassa o valor em regime permanente ou valor final no instante de pico expresso como uma percentagem do valor em regime permanente Variáveis de estado O menor conjunto de variáveis de sistema linearmente independentes tal que os valores dos elementos do conjunto no instante t0 mais o conhecimento das funções forçantes determinam completamente o valor de todas as variáveis do sistema para todo t t0 Variáveis de fase Variáveis de estado tal que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior Variáveis de sistema Qualquer variável que responde a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema Variável controlada A saída de uma planta ou processo que o sistema está controlando com a finalidade de obter uma resposta transitória desejada estabilidade e características de erro em regime permanente Velocidade em vazio A velocidade alcançada por um motor com tensão de entrada constante quando o torque na armadura é reduzido a zero Vetor de estado Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado Zeros 1 Os valores da variável da transformada de Laplace s que fazem com que a função de transferência se torne zero e 2 quaisquer raízes de fatores do numerador que são comuns à equação característica no denominador da função de transferência 19 c 20 b 3 b 8 c 16 a 18 b Capítulo 1 xt et 9tet 5e2t t 2 Capítulo 2 7 33 34 43 Capítulo 3 1 11 a 14 a 20 a 23 a 36 a Observação L1 é o indutor mais à esquerda na Figura P31 do texto ct 10 8 0 0x 19 Capítulo 4 14 ζ 0375 ωn 4 rads Ts 267 s Tp 0847 s UP 2806 s 667 j988 35 s 579 121 s3 8s2 11s 8 0 b s 911 0534 164 40 43 73 D 0143 Nmsrad 76 R 912 Ω Capítulo 5 2 30 b 39 a 41 a 4 6 9 26 27 28 37 73 DL 3560 Nmsrad Capítulo 6 1 2 spd 3 spe 0 jω 3 3 spd 2 spe 0 jω 4 1 spd 0 spe 4 jω 5 0 spd 2 spe 2 jω 9 Instável 17 1 spd 2 spe 4 jω 23 4 K 2041 b 136 rads 0 K 1969 b K 1969 13 a 31 a 41 a 17 b 23 a 26 b c s j1118 45 35 42 Capítulo 7 4 edegrau 0 erampa 1275 eparábola 7 ė 09 10 a UP 1401 b Ts 0107 s c edegrau 0 d erampa 0075 e eparábola K υ 0 K a 0 b e 375 respectivamente c Tipo 0 20 K 110000 27 β 1 K 116 α 776 ou β 1 K 516 α 174 K 831 744 a 831744 35 K1 125000 K2 0016 Degrau e 1098 rampa e Capítulo 8 16 Ponto de quebra 2333 assíntotas σa 5 cruzamento do eixo jω j735 Assíntotas c K 1408 d K 1312 20 K 9997 α 7 b s 138 362 c 0 K 126 d K 103 K 94 c Ts 462s Tp 186s 39 a 42 a 10 a 14 a 24 a d s 427 e 0 K 60 30 α 9 0 K 4366 b K 8272 c K 5276 K 1701 b K 1695 Capítulo 9 1 K 7223 para ambos os casos K po 244 K pc UPo UPc 163 Tso Tsc 265s 9 a s 25 j567 b Ângulao 5927 c s 587 d K 22579 e s 1159 136 s 24 j416 b s 606 c K 2912 d s 1263 f Ka 48 K 5452 polos dominantes 413 j1078 Knc 10 Kc 995 b Kpnc 125 Kpc 622 c UPnc UPc 432 d Sem compensação sistema de segunda ordem exato aproximação OK compensado polo em malha fechada em 03 zero em malha fechada em 05 simular e Tendência ao valor final mais lenta que o tempo de acomodação do sistema sem compensação f resulta em uma melhoria na velocidade de aproximadamente 5 vezes 11 a 15 c 1 a 2 a 3 a 1 d 3 b 11 a 25 K 308 28 Polos 0747 j1237 251 zerosnenhum Capítulo 10 10 Sistema 1 0 K 4902 Sistema 2 0 K 14 Sistema 3 1 K As soluções são para a resposta em frequência exata Sistema 1 GM 638 dB ΦM 203 As soluções são para a resposta em frequência exata ωBW 229 rads 23 Sistema 2 Ts 223 s Tp 0476 s UP 4262 As soluções são para a resposta em frequência exata 44 GM 117 dB ΦM 601 As soluções são para a resposta em frequência exata Capítulo 11 K 2113 Solução para a resposta em frequência exata K 2365 Solução para a resposta em frequência exata K 575 Solução para a resposta em frequência exata 12 K 7936 Solução para a resposta em frequência exata 21 K 25189 Solução para a resposta em frequência exata Capítulo 12 Para a função i Para a função i em que a 25k3 110k2 285k1 120 b 750k3 2200k2 2850k1 800 c 5000k3 e C 1 1 1 B 7125 275 625T foi usado Não controlável b Controlável c Controlável 14 K 9235 3678 7 para um polinómio característico 23 L 3 a 6 c 8 b 9 a 15 a s 6s2 8s 4578 s3 14s2 9378s 2747 67119 14724T para um polinómio característico s2 144s 14400 Capítulo 13 fkT 229504k 50406k 275508k 14 0 K 1576 K υ 0 e K a 0 e 17 K 1418 para 163 de ultrapassagem 0 K 10928 para estabilidade Créditos das Figuras e das Fotos Figuras fotos Estudos de Caso Exemplos e Problemas nos Capítulos 4 5 6 8 9 13 Apêndice B e guardas traseiras adaptados de Johnson H et al Unmanned FreeSwimming Submersible UFSS System Description NRL Memorandum Report 4393 Washington DC Naval Research Laboratory 1980 As telas do MATLAB nos Apêndices C e E foram reproduzidas com a permissão da The MathWorks Capítulo 1 13 a BettmanCorbis b ARTonFILE Corbis 14 Hank MorganRainbowPNI 15b Pioneer 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P617b Adaptado de Bittar A e Sales R M H2 and H Control for MagLev Vehicles IEEE Control Systems vol 18 no 4 Agosto 1998 Equações 7 8 e Tabela 2 na pp 2021 1998 IEEE Reproduzido com permissão Capítulo 7 79 Chuck ORearWestlightCorbis Images 723a Isailovic J Videodisc and Optical Memory Technologies 1985 p 77 Reproduzido com permissão da Pearson Education Inc Upper Saddle River NJ P722 Lam C S Wong M C Han Y D Stability Study on Dynamic Voltage Restorer DVR Power Electronics Systems and Applications 2004 Proceedings First International Conference on Power Electronics 2004 Fig 7 p 68 P728a c De Kumar R R Cooper P A e Lim TW Sensitivity of Space Station Alpha Joint Robust Controller to Structural Modal Parameter Variations Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 6 NovDez 1992 pp 14271428 1992 AIAA Reproduzido com permissão da American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc P729 Yin G Chen N Li P Improving Handling Stability Performance of FourWheel Steering Vehicle via μSynthesis Robust Control IEEE Transactions on Vehicular Technology vol 56 no 5 2007 Fig 2 p 2434 pp 24322439 2007 IEEE Reproduzido com permissão P732 Hess R A Malsbury T e Atencio A Jr Flight Simulator Fidelity Assessment in a Rotorcraft Lateral Translation Maneuver Journal of Guidance Control and Dynamics vol 16 no 1 JanFev 1993 p 801992 AIAA Reproduzido com permissão da American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc P733a b Ohnishi K Shibata M e Murakami T Motion Control for Advanced Mechatronics IEEEASME Transactions on Mechatronics vol 1 no 1 Março 1996 a Fig 14 p 62 b Fig 16 p 62 1996 IEEE Reproduzido com permissão Capítulo 8 84a Largeformat 45iStockphoto P813 Tony DejakAPWide World Photos North America Inc P813b Adaptado de Hardy H L MultiLoop Servo Controls Programmed Robot Instruments and Control Systems Junho 1967 p 105 P814 GNC FSSR FC Ascent vol 1 30 de Junho 1985 Downey CA Rockwell International P815a Bruner A M Belvin W K Horta L G e Juang J Active Vibration Absorber for the CSI Evolutionary Model Design and Experimental Results Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 5 SetOut 1992 p 1254 1992 AIAA Reproduzido com permissão da American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc P817 Karlsson P e Svensson J DC Bus Voltage Control for a Distributed Power System IEEE Trans Power Electronics vol 18 no 6 2003 Fig 4 p 1406 pp 14051412 c 2003 IEEE P820 Cho D e Hedrick J K Pneumatic Actuators for Vehicle Active Suspension Applications ASME Journal of Dynamic Systems Measurement and Control Março 1985 p 68 Fig 4 Reproduzido com permissão da ASME P823a b Adaptado de Annaswamy A M e Ghonien A F Active Control in Combustion Systems IEEE Control Systems Dezembro 1995 p 50 51 e 59 1995 IEEE Reproduzido com permissão P824a HammondoviiStockphoto P824b c Adaptado de Anderson C G Richon JB e Campbell T J An Aerodynamic MomentControlled Surface for Gust Load Alleviation on Wind Turbine Rotors IEEE Transactions on Control System Technology vol 6 no 5 Setembro 1998 pp 577595 1998 IEEE P825 Reproduzido com permissão de M Spong et al Robot Modeling and Control John Wiley Sons Hoboken NJ 2006 Fig 620 p 221 Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc P826 Reproduzido com permissão de M Spong et al Robot Modeling and Control John Wiley Sons Hoboken NJ 2006 Fig 622 p 223 Capítulo 9 946 Foto de Mark E Van Dusen P95 Romagnoli J A e Palazoglu A Introduction to Process Control CRC Press Boca Raton 2006 p 44 Fig 34 P96 Smith C A Automated Continuous Process Control John Wiley Sons New York NY 2002 p128 Fig 611 P914a Cho D Kato Y e Spilman D Sliding Mode and Classical Controllers in Magnetic Levitation Systems IEEE Control Systems Fev 1993 p 43 Fig 1 1993 IEEE Reproduzido com permissão Capítulo 10 101 Cortesia de National Instruments Corporation 2010 P1014 Michael RosenfieldScience FactionCorbis P1015a Stephen SweetiStockphoto P1017 Van der Zalm G Huisman G Steinbuch M Veldpaus F Frequency Doman Approach for the Design of HeavyDuty Vehicle Speed Controllers International Journal of Heavy Vehicle Systems vol 15 no 1 Capítulo 11 1110a b Katharina BosselaifRedux Pictures P113a Rebecca CookRuetersCorbis Capítulo 12 121 Robin NelsonZuma Press P126 Tadeo F Pérez Loépez O e Alvarez T Control of Neutralization Processes by Robust Loopsharing IEEE Trans on Cont Syst Tech vol 8 no 2 2000 Fig 2 p 239 Capítulo 13 1312 David J GreenIndustryAlamy 1328 Adaptado de Chassaing R Digital Signal Processing New York John Wiley Sons Inc 1999 p 137 1999 John Wiley Sons Inc Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc 1329 Adaptado de Chassaing R Digital Signal Processing New York John Wiley Sons Inc 1999 p 137 1999 John Wiley Sons Inc Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc 1336 Adaptado de Chassaing R Digital Signal Processing New York John Wiley Sons Inc 1999 p 137 1999 John Wiley Sons Inc Reproduzido com permissão de John Wiley Sons Inc Fontes das Legendas das Figuras Contracapa legenda da foto da capa de Dennis HongVirginia Polytechnic Institute 13b The World of Otis 1991 p 2 e Tell Me About Elevators 1991 pp 2025 United Technologies Otis Elevator Company 1991 Otis Elevator Company 18 Overbye D The Big Ear OMNI Dez 1990 pp 4148 533 Ballard R D The Discovery of the Titanic New York Warner Books Inc 1987 69 Ballard R D The Riddle of the Lusitania National Geographic Abril 1994 pp 6885 611 FANUC Robotics North America Inc 79 Bylinski G Silicon Valley High Tech Window to the Future Hong Kong Intercontinental Publishing Corp Ltd 1985 101 National Instruments Corporation Marcas Comerciais AMTRAK é uma marca registrada de National Railroad Passenger Corporation Adobe e Acrobat são marcas comerciais da Adobe Systems Inc as quais podem estar registradas em algumas jurisdições FANUC é uma marca registrada de FANUC Ltd Microsoft Visual Basic e PowerPoint são marcas registradas da Microsoft Corporation QuickBasic é uma marca comercial da Microsoft Corporation MATLAB e SIMULINK são marcas registradas da The MathWorks Inc The Control System Toolbox LTIViewer Root Locus Design GUI Symbolic MathToolbox e MathWorks são marcas comerciais da MathWorks Inc Intelligent SoftArm Control ISAC é uma marca comercial do Intelligent Robotics Lab Vanderbilt University HelpMate é uma marca comercial de HelpMate Robotics Inc LabVIEW é uma marca registrada da National Instruments Corporation Segway é uma marca registrada da Segway Inc nos Estados Unidos da América eou outros países Chevrolet Volt é uma marca comercial da General Motors LLC A Absorção de medicamento 116 Aceleração constante de 282 477 Acetato de sódio 574 Acionadores de disco 355 flexível 421 495 575 harmônicos 360 Ackermann fórmula de 546 Admitância 43 Aeronaves 527 AFTIF16 423 576 F4E 121 AGC automatic generation control 421 Ailerons 19 Alocação de polos 535 Amortecedor 7 Amortecimento 13 exponencial 146 fator de 139 a partir da margem de fase 474 a partir de círculos M 473 e resposta em frequência em malha fechada 466 Amostrador 583 segurador de ordem zero 584 Amplificação de potência 2 Amplificadores de potência 13 75 114 diferencial 13 operacionalis 46 inversor 46 não inversor 47 Amplitudes 132 Análise 8 através da substituição da entrada 295 através do teorema do valor final 294 das malhas 39 41 e projeto 195 nodal 41 Análogo em paralelo 68 em série 67 Anestesia 20 176 Ângulo de partida de um polo complexo 330 Antecipação 268 Antena controle de 10 74 114 compensação de avanço e atraso de fase 408 projetando uma resposta em malha fechada 218 projeto de compensação em cascata 523 compensador digital em cascata 615 controlador e observador 565 erro em regime permanente via ganho 297 estabilidade e desempenho do transitório 486 via ganho 260 ganho 522 projeto do transitório via ganho 342 613 resposta em malha aberta 166 Apontamento exato de espaçonaves 357 Arfagem 19 em malha aberta resposta de 168 Armadura 63 Asma aguda 177 Assíntotas de alta frequência 436 esboçando um lugar geométrico das raízes com 323 Atraso de fase 368 372 382 Atributo qualitativo 130 Atrito viscoso 49 55 Automóvel sistema de condução de um 306 Autovalores 215 e polos da função de transferência 160 Autovetor 214 Azimute de antena 10 B Barco 308 Bell Telephone Laboratories 4 Blocos diagramas de 188 592 através da movimentação de blocos 194 através de formas familiares 193 forma com realimentação 190 em cascata 189 paralela 190 funcional 10 12 14 movendo blocos para criar formas familiares 192 Blocos para criar formas familiares movendo 192 Bobinadeiras 19 Bode diagramas de 435 calculando margens de ganho e de fase 464 correções para os 443 estabilidade 463 HW 4 para razão de fatores de primeira 439 e segunda ordens 447 Bombas hidráulicas 181 Braço de um acionador de disco rígido 359 robótico 266 C Cálculo de uma função complexa através de vetores 316 Calor 3 Caminho à frente 200 Campo constante 63 Cancelamento de polos e zeros utilizando resíduos 156 Captura de fase 70 Carga 66 75 Cartas de Nichols 471 CCD chargecoupled device 496 Circuitos com amplificador operacional inversor 47 não inversor 48 complexos análogos 67 em paralelo 68 em série 67 através da análise das malhas 41 complexos através da análise nodal 41 de armadura 13 elétrico 38 100 fonte controlada 101 não linear 73 simples através da análise das malhas 39 nodal 41 da divisão da tensão 41 transformado 40 Círculos de M 473 constante 46 de N constante 468 Clifford William Kingdon 4 CMM coordinate measure machine 422 Coeficientes de atrito viscoso 49 55 em ordem inversa estabilidade via 249 Coelho cutâneo 21 Comando constante 14 linearmente crescente 14 Combinação linear 96 97 Combustão 357 Compensação 7 avanço e atraso de fase 516 procedimento de projeto 516 com atraso de fase 507 509 511 procedimento de projeto 508 513 resposta em frequência 512 visualizando a 507 511 de atraso de fase 372 382 de perturbações 2 de realimentação 396 da malha secundária 402 derivativa ideal PD 376 em cascata via plano s 608 609 projeto de compensador digital em cascata 609 integral ideal PI 368 Compensadores 7 8 367 de atraso de fase 368 digital implementando o 611 ideais 367 integral ideal 368 efeito de um 369 Comportamento no infinito 323 332 330 Compósito metalpolímero iônico 180 Computadores 8 digitais 580 modelando o 583 amostrador 583 segurador de ordem zero 584 Concentração de oxigênio 306 Condições iniciais nulas 36 Configurações 367 Constantes de aceleração 282 477 de erro estático 281283 a partir de diagramas de Bode 478 de mola 49 55 de posição 281 476 de tempo 133 de velocidade 281 Controlabilidade 540 573 matriz de 541 542 por inspeção 541 Controladores 6 do motor principal do ônibus espacial 8 escravo 268 mestre 268 PID 405 proporcional e integral PI 368 integral e derivado PID 4 Controles com realimentação 7 da posição radial da cabeça de captação de um DVD digital versatile disc 495 de antena 74 114 compensação de avanço e atraso de fase 408 projetando uma resposta em malha fechada 218 projeto de compensação em cascata 523 de compensador digital em cascata 615 de controlador e observador 565 de erro em regime permanente via ganho 297 de estabilidade e desempenho do transitório 486 via ganho 260 de ganho 522 do transitório via ganho 342 613 resposta em malha aberta 166 de atitude 357 de braço suave inteligente 266 de frequência de carga 421 de geração automática 421 de HIVAIDS 22 87 124 182 238 269 309 361 425 499 530 576 624 de pressão do vapor e de temperatura 4 de reação 5 de velocidade 4 deadbeat 623 do nível de líquido 3 numérico 267 remoto 2 Conveniência da forma de entrada 2 Conversão analógicadigital 581 digitalanalógica 581 Convertendo diagramas de blocos comuns em diagramas de fluxo de sinal 198 199 do espaço de estados para uma função de transferência 110 uma função de transferência com polinômio no numerador 108 uma função de transferência com termo constante no numerador 106 uma função de transferência para o espaço de estados 105 Coração artificial 179 Critério de Nyquist 450 aplicando para determinar a estabilidade 453 dedução do 450 de RouthHurwitz 246 248 252 construindo uma tabela de Routh básica 246 interpretando a tabela básica de Routh 247 uma linha inteira de zeros 250 zero na primeira coluna 246 Crosslapper 179 Cruzamentos do eixo jw 328 Cubitt William 4 Curva torquevelocidade 65 D Deflexão resposta de 177 Degrau 14 274 295 unitário 602 Desempenho 2 Desordens neurológicas 177 Diabetes tipo 1 122 Diagramas de blocos 188 592 através da movimentação de blocos 194 através de formas familiares 193 forma com realimentação 190 forma em cascata 189 forma paralela 190 funcional 10 12 14 movendo blocos para criar formas familiares 192 de Bode 435 calculando margens de ganho e de fase 464 correções para os 443 estabilidade 463 para razão de fatores de primeira e segunda ordens 439 447 de fluxo de sinal 198 de equações de estado 203 de Nyquist 453 esboçando um 454 estabilidade via 457 faixa do ganho para estabilidade via 458 margem de ganho e margem de fase via 461 para função em malha aberta com polos no contorno 456 Dinâmico 8 Dinamômetro 20 65 Direção 4 dianteira ativa 530 Dispensador de pratos 83 Dispositivo de assistência ventricular elétrico 234 528 de carga acoplada 496 indutivo transcutâneo 360 Divisão de tensão 41 Domínio da frequência 94 circuitos elétricos análogos 67 em paralelo 68 em série 67 função da transferência 36 de circuitos elétricos 38 amplificadores operacionalis 46 inversor 46 não inversor 47 circuitos complexos através da análise das malhas 41 nodal 41 circuitos simples através da análise das malhas 39 nodal 41 circuitos simples através da divisão da tensão 41 técnica de solução de problemas 45 de sistemas eletromecânicos 63 mecânicos rotacionais 55 translacionais 49 para sistemas de engrenagens 59 linearização 70 não linearidades 69 revisão da transformada de Laplace 28 expansão em frações parciais 29 Domínio do tempo 94 162 Drebbel Cornelis 4 E Efeitos de não linearidades 157 de um compensador integral ideal 369 Eixo hipotálamopituitáriaadrenal do sistema endócrino 573 Engenheiro de sistemas de controle 17 Engrenagens 59 com perdas 62 sem perdas 59 Entradas em degrau 295 unitário 602 em parábola unitária 602 em rampa 295 unitária 602 em teste 274 senoidais 15 Enzimas 84 Equaçãoões das malhas por inspeção 45 de estado 94 95 98 de movimento 50 por inspeção 53 de saída 94 95 98 desacopladas 214 diferenciais simultâneas 94 linear invariante no tempo 13 Equilíbrio 70 Erros em regime permanente 601 a partir da resposta em frequência características do 476 constantes de aceleração 477 de posição 476 do erro estático a partir de diagramas de Bode 478 aplicação a sistemas estáveis 275 calculando erros em regime permanente 275 constante de erro estático 281 283 definição e entradas de teste 274 devido a perturbação em degrau 287 em função de Ts 277 entrada em degrau unitário 602 em parábola unitária 602 em rampa unitária 602 especificações de erro em regime permanente 284 fontes de erro em regime permanente 276 obtendo o 603 para perturbações 286 para sistemas com realimentação não unitária 288 unitária 276 com uma integração 280 no espaço de estados 294 análise através da substituição da entrada 295 análise através do teorema do valor final 294 sem integração 279 sensibilidade 291 sistema com realimentação não unitária 288 289 unitária 276 tipo do sistema 281 utilizando o teorema do valor final 294 utilizando substituição da entrada 296 via constantes de erro estático 282 estático a partir de diagramas de Bode constante de 478 constante de 281 283 Esboço 319 Espaço de dados 94 representação no 14 9597 aplicando a 98 função de transferência 111 de estados 98 estabilidade 258 para função de transferência 111 Esquema 13 Estabilidade 4 9 463 594 critério de RouthHurwitz 246 248 252 construindo uma tabela de Routh básica 246 interpretando a tabela básica de Routh 247 uma linha inteira de zeros 250 zero na primeira coluna 246 de sistema digital via plano s 599 z 594 marginal 244 no espaço de estados 257 transformações bilineares 598 via coeficientes em ordem inversa 249 via mapeamento 459 460 via método de Épsilon 248 via RouthHurwitz 599 via tabela de Routh com linha de zeros 250 Estabilização 4 Estimuladores cerebrais 360 de medula espinhal 360 EVAD Electric Ventricular Assist Device 528 Evans Walter R 4 Expansão em frações parciais 29 Experiência prática 13 F Faixa do ganho para estabilidade via critério de Nyquist 458 Fase da resposta em frequência 431 Fasores 430 Fator de amortecimento 139 a partir a margem de fase 474 de círculos M 473 e resposta em frequência em malha fechada 466 Ferrovia de alta velocidade pantógrafo de 22 86 124 182 237 268 309 361 425 498 530 576 624 Fertilizante orgânico 360 Filtro Notch 394 Fissão taxa da reação de 19 Fluxo de sinal diagramas de 198 de equações de estado 203 Folgas 59 70 Fontes controlada 101 de corrente 44 de erro em regime permanente 276 de luz 176 Formas canônica controlável 208 de Jordan 208 observável 209 com realimentação 190 da resposta 134 de onda de teste 274 em cascata 189 205 paralela 190 206 Fórmula de Ackermann 546 de Mason 200 Frequência de amortecimento exponencial 146 de oscilação amortecida 136 146 de quebra 436 domínio da 94 exponencial 133 natural 139 no cruzamento do eixo imaginário 328 resposta em a partir da função de transferência 433 aproximações assintóticas 435 características do erro em regime permanente a partir da 476 constantes de aceleração 477 de posição 476 do erro estático a partir de diagramas de Bode 478 conceito de 430 critério de Nyquist 450 aplicando o critério de Nyquist para determinar a estabilidade 453 dedução do 450 diagrama de Nyquist 453 esboçando um 454 estabilidade via 457 faixa do ganho para estabilidade via 458 margem de ganho e margem de fase via 461 para função em malha aberta com polos no contorno 456 diagramas de Bode 435 calculando margens de ganho e de fase 464 correções para os 443 estabilidade 463 para razão de fatores de primeira 439 e segunda ordens 439 447 em malha fechada e em malha aberta 468 cartas de Nichols 471 círculos de M constante 468 círculos de N constante 468 em malha fechada a partir da resposta em frequência em malha aberta 470 expressões analíticas para a 431 funções de transferência 483 a partir de diagramas de bode 484 relação entre a resposta transitória em malha fechada e a resposta em frequência em malha fechada 466 fator de amortecimento e resposta em frequência em malha fechada 466 velocidade da resposta e resposta em frequência em malha fechada 467 representando graficamente a 432 resposta transitória em malha fechada e a resposta em frequência em malha aberta 473 fator de amortecimento a partir da margem de fase 474 de círculos M 473 tempo de acomodação e instante de pico a partir 475 ultrapassagem percentual a partir da resposta em frequência em malha aberta 473 velocidade da resposta a partir da resposta em frequência em malha aberta 475 sistemas com atraso no tempo 479 diagramas de resposta em frequência de um 480 faixa de ganho para estabilidade para 481 modelando o 479 ultrapassagem percentual para 481 Funçãoões de Ts 277 de transferência 14 36 111 483 589 a partir de diagramas de Bode 484 com polinômio no numerador 108 com termo constante no numerador 106 de circuitos elétricos 38 de primeira ordem a partir de ensaios 134 de segunda ordem a partir de ensaios 148 de sistemas mecânicos rotacionais 55 mecânicos translacionais 49 sistemas de engrenagens 59 sistemas eletromecânicos 63 de uma equação diferencial 36 dedução da função de transferência pulsada 590 do motor 307 em malha aberta 192 G Ganho caminho à frente 200 cruzamento do eixo imaginário de laços 200 202 que não se tocam 201 malha 192 potência 2 unitário 7 Geradores de energia movidos a vapor 421 Giroscópios 120 Graus de liberdade 52 Gravador de Laserdisc projeto de erro em regime permanente via ganho 297 Guinagem 19 Guindaste controlado por torque 265 H HDD hard disk drive 359 HelpMate 231 HIVAIDS controle de 22 87 124 182 238 269 309 361 425 499 530 576 624 Homogeneidade 70 I Impedância 40 mecânica 60 Implantes de retina 360 Implementando um controlador PID 405 Impulso 14 Independência linear 97 Inércia 13 momento de 55 Instabilidade 9 244 instante de pico 142 Insulina Glargina 574 Integral de convolução 162 Interface gráfica de usuário 16 Interpretando a especificação de erro em regime permanente 285 IPMC ionic polymermetal composite 180 ISAC Intelligent Soft Arm Control 266 J Junções de soma 6 188 Juntas rotativas solares alfa 306 K Kirchhoff leis de das correntes 13 das tensões 13 Ktesibios 3 relógio de água 232 L LabVIEW 16 Laços 39 200 202 que não se tocam 201 Laplace transformada de 14 28 da matriz de transição de estado 163 164 de equações de estado 159 de uma equação diferencial 31 de uma função de tempo 29 inversa de 29 revisão da 28 Laserdisc gravador de projeto de erro em regime permanente via ganho 297 Lee Edmund 4 Leis de Kirchhoff das correntes 13 das tensões 13 de Newton 13 51 Leitores de DVD 422 Levitação magnética sistemas de 423 LFC load frequency control 421 Liberdade graus de 52 Linear 69 Linearidade 69 Linearização 70 112 Lingotamento contínuo 235 Líquido controle do nível de 3 LTI Viewer 16 Lugar geométrico das raízes definindo o 317 esboçando o 321 generalizado 338 introdução 314 problema do sistema de controle 314 representação vetorial de números complexos 315 para sistemas com realimentação positiva 339 projeto da resposta transitória através do ajuste de ganho 334 propriedades do 319 refinando o esboço 325 ângulos de partida e de chegada 329 cruzamentos do eixo jw 328 pontos de saída e de entrada sobre o eixo real 325 traçando e calibrando o lugar geométrico das raízes 331 regras básicas para esboçar o 332 sensibilidade do polo 341 Luz fonte de 176 LVDT linear voltage differential transformer 20 M Magnitude da resposta em frequência 431 Malha 192 aberta 6 367 de retroalimentação 7 fechada 7 367 secundária 396 única através da equação diferencial 39 através do método da transformada 40 Manipuladores robóticos 122 359 Máquina de medição de coordenadas 422 síncrona trifásica com enrolamentos de armadura simétricos idênticos 361 Marcapassos 360 Margemns de fase 474 de ganho e de fase 461 464 determinando 462 Mason fórmula de 200 SJ 200 Massa 7 49 55 MATLAB 16 Matrizes companheiras 209 de sistema diagonalizando uma 214 de transição de estado 162 Maxwell James Clerk 4 Medicamento absorção de 116 Melhorando a resposta transitória 366 via compensação em cascata 376 o erro em regime permanente 367 e a resposta transitória 386 via compensação em cascata 368 MEMS óptico 177 Método de Épsilon estabilidade via 248 Microscópicos de varredura por sonda 622 Mídia holográfica sistema de armazenamento de 497 Minorsky Nicholas 4 Mísseis 5 Modelagem no domínio da frequência circuitos elétricos análogos 67 em paralelo 68 em série 67 função da transferência 36 de circuitos elétricos 38 amplificadores operacionalis 46 inversor 46 não inversor 47 circuitos complexos através da análise das malhas 41 circuitos complexos através da análise nodal 41 circuitos simples através da análise das malhas 39 circuitos simples através da análise nodal 41 circuitos simples através da divisão da tensão 41 técnica de solução de problemas 45 de sistemas eletromecânicos 63 de sistemas mecânicos rotacionais 55 de sistemas mecânicos translacionais 49 para sistemas de engrenagens 59 linearização 70 não linearidades 69 revisão da transformada de Laplace 28 expansão em frações parciais 29 Modelagem no domínio do tempo aplicando a 98 número mínimo de variáveis de estado 99 variáveis de estado linearmente independentes 99 convertendo do espaço de estados para uma função de transferência 110 convertendo uma função de transferência para o espaço de estados 105 linearização 112 observações 94 representação geral no espaço de dados 97 Modelo matemático 13 MOEMS 177 Mola 7 constante de 49 55 Momento de inércia 55 Motor 13 75 cc 66 com a carga 115 função de transferência do 307 Movendo blocos para criar formas familiares 192 Movimentos linearmente independentes 52 Múltiplas malhas 42 Múltiplos nós 43 com fontes de corrente 44 N Não linear 69 Não linearidades 69 Newton leis de 13 51 Nichols cartas de 471 Nívelis de líquido controle do 3 hormonais 21 Nós 198 único 41 Norton Teorema de 44 Notch Filtro 394 Numerador 106 108 Número complexo 315 de ramos 321 332 339 mínimo de variáveis de estado 99 Nyquist critério de 450 aplicando para determinar a estabilidade 453 dedução do 450 diagrama de 453 esboçando um 454 estabilidade via 457 faixa do ganho para estabilidade via 458 margem de ganho e margem de fase via 461 para função em malha aberta com polos no contorno 456 H 4 O Observabilidade 553 573 matriz de 554 por inspeção 554 Observador projeto de 548 abordagens alternativas para 556 igualando coeficientes 560 para forma canônica observável 551 projeto de controlador 535 alocação de polos para plantas na forma de variáveis de fase 536 via transformação 557 Obstrução dos vasos sanguíneos 85 Olho humano 21 movimento do 230 Ondas acústicas 357 sonoras 357 Ônibus espacial 5 Oscilações amortecidas 11 136 146 crescentes 9 Ossos mastoides 177 Ouvido interno 83 Oxigênio concentração de 306 P Pantógrafo de ferrovia de alta velocidade 22 86 124 182 237 268 309 361 425 498 530 576 624 Papin Denis 4 Parábola 15 274 unitária 602 Perdas 59 62 Perturbações 2 3 6 286 em degrau 287 Philon de Bizâncio 3 Plano s sistema digital via 599 z sistema digital via 594 Plantas 2 6 Polinômios pares 251 Polos 130 adicionais 366 complexo 330 da função de transferência 160 dominantes 149 Pontos críticos 333 de início e de término 322 332 339 de ramificação 188 de saída e de entrada sem derivação 327 sobre o eixo real 325 via derivação 326 Posição 3 constante de 281 476 Potência 2 Potenciômetro 7 19 de entrada 74 de saída 74 Préamplificador 75 Pressão de vapor 4 Problema do sistema de controle 314 Processos 2 6 Profundidade de corte desejada 267 Projeto 8 ascendente 17 assistido por computador 16 através da resposta em frequência compensação com atraso de fase 507 509 procedimento de projeto 508 visualizando a 507 compensação com avanço de fase 511 procedimento de projeto 513 resposta em frequência 512 visualizando a 511 compensação com avanço e atraso de fase 516 procedimento de projeto 516 resposta transitória via ajuste de ganho 505 procedimento de projeto 505 da resposta transitória via ajuste de ganho 607 de compensador de atraso de fase 373 383 de avanço 390 391 derivativo ideal 379 digital em cascata 609 de controlador 535 abordagens alternativas para o 543 através de transformação 545 alocação de polos para plantas na forma de variáveis de fase 536 PID 387 de erro em regime permanente via controle integral 561 563 de estabilidade via lugar geométrico das raízes 606 de ganho de sistema de terceira ordem 335 no plano z 605 projeto da resposta transitória via ajuste de ganho 607 projeto de estabilidade via lugar geométrico das raízes 606 para atender a uma especificação de erro em regime permanente 285 de observador 548 abordagens alternativas para 556 igualando coeficientes 560 para forma canônica observável 551 projeto de controlador 535 alocação de polos para plantas na forma de variáveis de fase 536 via transformação 557 descendente 17 no espaço de estados abordagens alternativas para o projeto do controlador 543 556 projeto de controlador através de transformação 545 controlabilidade 540 matriz de 541 542 por inspeção 541 observabilidade 553 matriz de 554 por inspeção 554 processo de analisar e projetar 14 criar um esquema 13 desenhar um diagrama de blocos funcional 12 desenvolver um modelo matemático 13 reduzir o diagrama de blocos 14 transformar requisitos em um sistema físico 12 robusto 9 via lugar geométrico das raízes compensação de realimentação 396 compensadores 367 configurações 367 melhorando a resposta transitória 366 melhorando o erro em regime permanente e a resposta transitória 386 filtro Notch 394 projeto de compensador de avanço e atraso de fase 390 melhorando o erro em regime permanente via compensação em cascata 368 compensação de atraso de fase 372 compensação integral ideal PI 368 melhorando a resposta transitória via compensação em cascata 376 Pupila humana 356 Q Quebra 436 R Rádio AM 230 Raizízes do denominador 30 lugar geométrico das das raízes generalizado 338 definindo o 317 esboçando o 321 introdução 314 problema do sistema de controle 314 representação vetorial de números complexos 315 para sistemas com realimentação positiva 339 projeto da resposta transitória através do ajuste de ganho 334 propriedades do 319 refinando o esboço 325 ângulos de partida e de chegada 329 cruzamentos do eixo jw 328 pontos de saída e de entrada sobre o eixo real 325 traçando e calibrando o lugar geométrico das raízes 331 regras básicas para esboçar o 332 sensibilidade do polo 341 múltipla de multiplicidade 32 Ramos 198 Rampa 14 274 295 unitária 602 623 Razão de fatores de primeira ordem 439 e segunda ordens 447 Realidade virtual simulador de 235 Realimentação 396 tátil 21 Realização de circuito ativo 404 física da compensação 404 Realizando um compensador de avanço de fase 407 Redução de diagrama de blocos 592 através da movimentação de blocos 194 através de formas familiares 19 de subsistemas múltiplos análise e projeto 195 diagramas de blocos 188 forma com realimentação 190 forma em cascata 189 forma paralela 190 movendo blocos para criar formas familiares 192 diagramas de fluxo de sinal 198 de equações de estado 203 regra de Mason 200 201 definições 200 função de transferência 201 representações alternativas no espaço de estados 205 forma canônica controlável 208 observável 209 forma paralela 206 formas em cascata 205 transformações de similaridade 212 Referência 6 Regime permanente 275 Regra de Mason 200 201 definições 200 função de transferência 201 Regulador automático 361 Relaxamento muscular 176 Relógio de água Ktesibios 232 Representaçãoões alternativas no espaço de estados 205 formas canônica controlável 208 canônica observável 209 em cascata 205 paralela 206 no espaço de dados 14 9597 aplicando a 98 função de transferência 111 vetorial de números complexos 315 Representando um circuito elétrico 100 com uma fonte controlada 101 um sistema mecânico translacional 103 não linear 113 Requisitos em um sistema físico 12 Resistor variável 19 Resposta criticamente amortecida 137 de arfagem em malha aberta 168 de deflexão 177 de sistema 130 com polos adicionais 149 com zeros 152 em frequência a partir da função de transferência 433 aproximações assintóticas 435 características do erro em regime permanente a partir da 476 constantes de aceleração 477 de posição 476 do erro estático a partir de diagramas de Bode 478 conceito de 430 critério de Nyquist 450 aplicando o critério de Nyquist para determinar a estabilidade 453 dedução do 450 diagrama de Nyquist 453 esboçando um 454 estabilidade via 457 faixa do ganho para estabilidade via 458 margem de ganho e margem de fase via 461 para função em malha aberta com polos no contorno 456 diagramas de Bode 435 calculando margens de ganho e de fase 464 correções para os 443 estabilidade 463 para razão de fatores de primeira 439 e segunda ordens 447 em malha fechada e em malha aberta 468 cartas de Nichols 471 círculos de M constante 468 círculos de N constante 468 em malha fechada a partir da resposta em frequência em malha aberta 470 expressões analíticas para a 431 funções de transferência 483 a partir de diagramas de Bode 484 relação entre a resposta transitória em malha fechada e a resposta em frequência em malha fechada 466 fator de amortecimento e resposta em frequência em malha fechada 466 velocidade da resposta e resposta em frequência em malha fechada 467 representando graficamente a 432 resposta transitória em malha fechada e a resposta em frequência em malha aberta 473 fator de amortecimento a partir da margem de fase 474 fator de amortecimento a partir de círculos M 473 tempo de acomodação e instante de pico a partir 475 ultrapassagem percentual a partir da resposta em frequência em malha aberta 473 velocidade da resposta a partir da resposta em frequência em malha aberta 475 sistemas com atraso no tempo 479 diagramas de resposta em frequência de um 480 faixa de ganho para estabilidade para 481 modelando o 479 ultrapassagem percentual para 481 em frequência em malha fechada e em malha aberta 468 cartas de Nichols 471 círculos de M constante 468 círculos de N constante 468 em malha fechada a partir da resposta em frequência em malha aberta 470 em malha aberta 166 em malha fechada 218 em regime permanente 8 forçada 9 130 131 não amortecida 137 natural 9 130 131 no domínio do tempo autovalores e polos da função de transferência 160 efeitos de não linearidades 157 polos 130 resposta de sistema 130 resposta do sistema com polos adicionais 149 resposta do sistema com zeros 152 sistema de primeira ordem 132 constante de tempo 133 funções de transferência de primeira ordem a partir de ensaios 134 tempo de acomodação 134 tempo de subida 134 sistema de segunda ordem 135 resposta criticamente amortecida 137 resposta não amortecida 137 resposta subamortecida 135 resposta superamortecida 135 sistema de segunda ordem geral 139 fator de amortecimento 139 frequência natural 139 sistema de segunda ordem subamortecidos 141 função de transferência de segunda ordem a partir de ensaios 148 solução no domínio do tempo de equações de estado 162 solução via transformada de Laplace de equações de estado 159 zeros 130 para entrada zero 162 para estado zero 162 subamortecida 135 superamortecida 135 transitória 8 196 através do projeto de componentes 148 em malha fechada e a resposta em frequência em malha aberta 473 fator de amortecimento a partir da margem de fase 474 fator de amortecimento a partir de círculos M 473 tempo de acomodação e instante de pico a partir da resposta em frequência em malha aberta 475 ultrapassagem percentual a partir da resposta em frequência em malha aberta 473 velocidade da resposta a partir da resposta em frequência em malha aberta 475 desejada 8 existente 8 fator de amortecimento e resposta em frequência em malha fechada 466 no plano z 604 procedimento de projeto 505 transitória em malha fechada e a resposta em frequência em malha fechada 466 velocidade da resposta e resposta em frequência em malha fechada 467 via ajuste de ganho 505 Rins 177 Robôs industriais 176 495 transportador HelpMate 231 Rolagem 19 de um navio 497 RouthHurwitz com linha de zeros 254 com zero na primeira coluna 253 critério de 246 248 252 construindo uma tabela de Routh básica 246 interpretando a tabela básica de Routh 247 uma linha inteira de zeros 250 zero na primeira coluna 246 fatorando via 257 padrão 253 projeto de estabilidade via 256 Routh John 4 S Saída 2 Sarcômetro 234 Saturação 70 Segmentos do eixo real 321 332 339 Sensibilidade 15 291 da raiz de um sistema em malha fechada a variações do ganho 342 de uma função de transferência em malha fechada 292 do erro em regime permanente com entrada em degrau 293 do erro em regime permanente com entrada em rampa 292 do polo 341 Sensor 7 Simetria 321 332 339 Similaridade transformações de 212 Simulador de realidade virtual 235 Simulink 16 157 Sinal de atuação 7 288 em regime permanente para sistemas com realimentação não unitária 291 SISO Design 16 Sistemas com atraso no tempo 479 diagramas de resposta em frequência de um 480 faixa de ganho para estabilidade para 481 modelando o 479 ultrapassagem percentual para 481 com realimentação 210 não unitária 288 289 positiva lugar geométrico das raízes para um 339 340 unitária 276 284 erro em regime permanente para 276 com três polos 151 controlados por computador de armazenamento de mídia holográfica 497 de aquecimento 5 de controle configurações 6 sistema de malha aberta 6 sistema de malha fechada 7 definição 2 de posição 10 de temperatura 418 421 derivativo 368 digital compensação em cascata via plano s 608 609 projeto de compensador digital em cascata 609 conversão analógicadigital 581 conversão digitalanalógica 581 erros em regime permanente 601 entrada em degrau unitário 602 entrada em parábola unitária 602 entrada em rampa unitária 602 obtendo o 603 engenheiro de 17 estabilidade 594 de sistema digital via plano s 599 de sistema digital via plano z 594 transformações bilineares 598 via RouthHurwitz 599 funções de transferência 589 dedução da função de transferência pulsada 590 história 3 implementando o compensador digital 611 integral 368 modelando o computador digital 583 modelando o amostrador 583 modelando o segurador de ordem zero 584 objetivos de análise e projeto 8 processo de projeto 12 projeto assistido por computador 16 projeto da resposta transitória via ajuste de ganho 607 projeto de estabilidade via lugar geométrico das raízes 606 projeto de ganho no plano z 605 proporcional 368 redução de diagrama de blocos 592 resposta transitória no plano z 604 transformada z 585 de uma função do tempo 585 inversa 586 via expansão em frações parciais 587 via série de potências 588 vantagens dos computadores digitais 580 de dois tanques 419 de engrenagens sem perdas 61 de entretenimento doméstico 5 de fase não mínima 153 154 de levitação magnética 423 574 de malha fechada 7 de manobra orbital 5 de primeira ordem 132 constante de tempo 133 funções de transferência de primeira ordem a partir de ensaios 134 tempo de acomodação 134 tempo de subida 134 de segunda ordem 135 geral 139 fator de amortecimento 139 frequência natural 139 função de transferência de segunda ordem a partir de ensaios 148 resposta do sistema com polos adicionais 149 subamortecidos 141 resposta criticamente amortecida 137 resposta não amortecida 137 resposta subamortecida 135 resposta superamortecida 135 digital via plano s 599 digital via plano z 594 eletromecânicos 63 em malha aberta 6 estáveis 275 físico 12 linear 9 marginalmente estável 256 mecânico translacional 103 microeletromecânico 177 não linear 113 no espaço de estados 294 similares 212 Soft Arm 495 Solução homogênea 9 no domínio do tempo de equações de estado 162 constante de tempo 133 funções de transferência de primeira ordem a partir de ensaios 134 tempo de acomodação 134 tempo de subida 134 particular 9 via transformada de Laplace de equações de estado 159 Soma junções de 6 188 Sperry Gyroscope Company 4 STOL short takeoff and landing 265 Subconjunto 94 Subsistemas múltiplos redução de análise e projeto 195 diagramas de blocos 188 forma com realimentação 190 forma em cascata 189 forma paralela 190 movendo blocos para criar formas familiares 192 diagramas de fluxo de sinal 198 de equações de estado 203 regra de Mason 200 201 definições 200 função de transferência 201 representações alternativas no espaço de estados 205 forma canônica controlável 208 observável 209 forma paralela 206 formas em cascata 205 transformações de similaridade 212 diagonalizando uma matriz de sistema 214 Substituição da entrada 295 296 Superposição 70 Supressão de perturbações inerentes 622 Symbolic Math Toolbox 16 T Tabela de Routh 246 247 com linha de zeros 250 distribuição de polos 251 estabilidade via 250 criando 247 interpretando 247 Técnica de solução de problemas 45 Telescópio Espacial Hubble TEH 497 Temperatura 4 sistema de controle de 418 421 Tempo constante de 133 de acomodação 134 142 e instante de pico a partir da resposta em frequência em malha aberta 475 de subida 134 142 domínio do 94 162 Tensão divisão de 41 Teorema de Norton 44 Teorema do Valor Final 294 Termistor 7 Teste 274 Tipo do Sistema 281 Topologia para alocação de polos 535 Torquevelocidade 65 Transdutor de entrada 6 de saída 7 Transferência de uma perna humana 76 Transformações bilineares 598 de similaridade 212 diagonalizando uma matriz de sistema 214 Transformada de Laplace 14 28 da matriz de transição de estado 163 164 de equações de estado 159 de uma equação diferencial 31 de uma função de tempo 29 inversa de 29 revisão da 28 Transformada z 585 de uma função do tempo 585 inversa 586 via expansão em frações parciais 587 via série de potências 588 Transformador diferencial de tensão linear 20 Transportador Pessoal Segway 21 vertical 4 Tremns AMTRAK 356 de acionamento 359 de engrenagens 61 Túnel de vento 180 Turbinas eólicas 358 U UAV unmanned autonomous vehicle 424 Ultrapassagem percentual 142 a partir da resposta em frequência em malha aberta 473 Uma linha inteira de zeros 250 Usina geradora de energia nuclear 19 V Valor final teorema do 294 Válvula solenoide 20 Variávelis controlada 6 de estado 94 98 linearmente independentes 99 número mínimo de 99 de fase 105 desacopladas 99 do sistema 97 Veículos autônomo não tripulado 424 espaciais 5 híbrido 22 87 124 182 238 269 309 361 425 499 530 577 624 subaquático 86 submersível não tripulado independente 168 compensação de avanço de fase e de realimentação 411 projeto de estabilidade via ganho 260 projeto do transitório através do ganho 343 representação do controle de ângulo de arfagem 221 Velocidade 4 aumentada 9 constante de 281 da resposta a partir da resposta em frequência em malha aberta 475 e resposta em frequência em malha fechada 467 da turbina do motor rpm 265 em vazio 65 Vetor de estado 98 Vibrações no piso devido à presença humana 359 W Watt James 4 Z z transformada 585 de uma função do tempo 585 inversa 586 via expansão em frações parciais 587 via série de potências 588 Zeros 130 152 adicionais 366 de compensação via realimentação de velocidade 399 na primeira coluna 246 Zona morta 70