Cálculos de Progressão Aritmétrica

lista de exercício 2 Entrega 14052024 1 Determine 4 números em progressão aritmética a1 a2 a3 a4 sabendo que a1 a2 a3 a4 8 e a12 a22 a32 a42 36 2 Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética 2 6 10 3 Se 3x x 9x é uma progressão aritmética determine x 4 Considere a progressão aritmética a1 2 a2 5 a3 8 a4 11 a5 14 Calcule a25 a26 a41 5 Em uma progressão geométrica o quinto termo vale 5 e o oitavo vale 135 Qual é o valor do sétimo termo desta progressão geométrica 6 Determine três números em progressão geométrica conhecendo sua soma que vale 19 e tal que a soma de seus quadrados vale 133 7 Calcule o valor da soma 1 11 111 1111 2024 1s 2024 parcelas Dica me poa dica na próxima aula Resolução 1 Seja n a razão da progressão então os termos podem ser descritos como a1 a a2 a n a3 a 2n a4 a 3n Dessa forma temos a1 a2 a3 a4 8 a a n a 2n a 3n 8 4a 6n 8 I E na soma de quadrados temos a12 a22 a32 a42 36 a2 an2 a2n2 a3n2 36 Expandindo tudo isso temos 4a2 12an 14n2 36 II Montando o sistema de equações com I e II 4a 6n 8 4a2 12an 14n2 36 Podemos resolver isolando a na equação I 4a 6n 8 a 8 6n4 4 3n2 Substituindo a na equação II podemos encontrar n tica determine se e calcule o quinto termo 4 Considere a progressão aritmética a12 a25 a38 a411 a514 Calcule a25 a26 a41 5 Em uma progressão geométrica o quinto termo vale 5 e o oitavo vale 135 Qual é o valor do sétimo termo desta progressão geométrica 6 Determine três números em progressão geométrica conhecendo sua soma que vale 19 e tal que a soma de seus quadrados vale 133 7 Calcule o valor da soma 1 11 111 1111 20241s 2024 parcelas Dica me poça dica na próxima aula μ4 3n²2 124 3n2n 14n² 36 Expandindo tudo isso temos 5n² 16 36 Movendo o 36 p o lado esquerdo 5n² 16 36 0 5n² 20 0 Resolvendo com a fórmula quadrática temos n 0 raiz0² 4520 2 5 n 0 20 10 2 n 0 20 10 2 O n razão pode ser 2 ou 2 porém o 2 não irá seguir o padrão de uma progressão aritmética portanto utilizaremos n 2 Substituindo em a temos a 4 3n2 a 4 322 a 1 Temos agora o valor de a a1 portanto encontraremos os próximos termos a1 1 a2 a n 1 2 1 a3 a 2n 1 2 2 3 a4 a 3n 1 3 2 5 Concluímos então que a progressão aritmética é PA 1 1 3 5 Podemos provar que sua soma é igual a 8 e a soma de seus quadrados igual a 36 1 1 3 5 8 raiz 1² 1² 3² 5² 36 raiz 2 Para encontrarmos a soma dos termos de uma PA utilizamos a seguinte fórmula 5n n2 a1 an Primeiro precisamos encontrar o nésimo termo da progressão A fórmula do termo geral de uma PA é an a1 n 1 n A razão é obtida por a2 a1 6 2 4 razão an 2 n 1 4 an 2 20 1 4 an 2 19 4 an 78 Agora voltamos na fórmula da soma 520 202 2 78 10 80 800 Portanto a soma dos 20 primeiros termos igual a 800 Para uma PA a diferença entre os termos devem ser constantes assim temos x 3 x raiz9 x x x 3 X raiz9 x x 3 raiz9 x x elevando ao quadrado p tirar a raiz temos 3² raiz9 x² x² 9 9 x x² 9 9 x x² x² x 0 xx 1 x 0 ou x 1 Para seguir um modelo de PA x 0 pois segue o padrão constante exigido 3 x 3 a1 x 0 a2 raiz9 x 3 a3 Para calcularmos a razão e descobrir o quinto termo usamos an1 an 0 3 3 razão a4 a3 n 3 3 6 a5 a4 n 6 3 9 Portanto x 0 e a5 9 4 Para encontrar a soma de termos usamos a fórmula Sn n2 a1 an 1 vamos encontrar a razão n a2 a1 5 2 3 Agora podemos encontrar o enésimo termos an a1 n 1n Para n 41 temos a41 2 41 13 a41 2 403 a41 2 120 a41 122 Agora p calcularmos a soma dos termos de a25 a a41 usamos a fórmula S25 252 2 a25 S25 252 2 2 243 950 S41 412 2 a41 S41 412 2 2 403 2542 Por fim para sabermos a soma de a25 a a41 basta fazer a diferença S41 S25 2542 950 1592 A soma é igual a 1592 5 A fórmula do termo geral de uma PG é an a1 nn1 Em A5 e A8 temos A5 a1 n51 5 A8 a1 n81 135 Dividindo a 2 pela 1 temos A8A5 1355 n85 A8A5 27 n3 n ³27 3 razão A7 a1 n71 A7 a1 371 Precisamos determinar a1 Para isso podemos utilizar o quinto termo A5 a1 351 5 a1 34 5 a1 81 5 a1 581 Agora encontramos o sétimo termo A7 581 36 A7 45 O sétimo termo da PG é 45 6 a an an2 19 a2 an2 an22 133 Simplificando a1 n n2 a21 n2 n4 Resolvendo o sistema encontramos que a1 9 e n 23 a1 9 a2 a1n 9 23 6 a3 a2n 6 23 4 Portanto os 3 termos da PG são PG 9 6 4 Pode comprovar pela soma e soma dos quadrados 9 6 4 19 92 62 42 133 7 Para calcular n parcelas iremos observar o comportamento 1 1 11 10 1 111 100 10 1 1111 1000 100 10 1 11111 S1 100 101 102 10n S1 1 10n 1 9 S2 101 102 10n1 S2 1 10n1 1 9 S3 1 10n2 1 9 Observamos que 19 Σ i1m 10i 19 n 19101 10n 1 9 10n1 10 9n 81 Portanto essa é a fórmula geral Sn 10n1 9n 10 81 Portanto p determinar a soma das 2024 parcelas é só substituir S2024 102025 92024 10 81 6 resposta