Análise da Derivada Direcional e Valores Máximos e Mínimos de Funções

Professora Adriele Aparecida Pereira 1 Relembrando 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 lim ℎ0 𝑓𝑥0 ℎ𝑎 𝑦0 ℎ𝑏 𝑓𝑥0 𝑦0 ℎ 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 Ex 𝑓𝑥 𝑦 Temperatura em cada ponto x y Professora Adriele Aparecida Pereira 2 Direção e valor máximo da taxa de variação derivada direcional 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑓𝑥0𝑦0 𝑢 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 1 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑓𝑥0 𝑦0 O valor máximo de 𝑐𝑜𝑠𝜃 é 1 e ocorre quando 𝜃 0 Assim 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 𝑓𝑥0 𝑦0 Teorema Seja f uma função diferenciável em 𝑥0 𝑦0 O valor máximo da derivada direcional 𝑓𝑥0𝑦0 𝑢 é 𝑓𝑥0 𝑦0 e ocorre quando 𝑢 tem a mesma direção que o vetor 𝑓𝑥0 𝑦0 Obs Os conceitos vistos podem ser estendidos para funções de n variáveis reais Professora Adriele Aparecida Pereira 3 Ex 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 80 1𝑥22𝑦23𝑧² 80 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧²1 T graus Celsius e x y e z metros Em que direção no ponto 1 1 2 a temperatura aumenta mais rapidamente Qual a taxa máxima de aumento Direção 𝑇1 1 2 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑇 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇 𝑧 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 180 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧22 2𝑥 160𝑥 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧22 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 180 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧22 4𝑦 320𝑦 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧22 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 180 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧22 6𝑧 480𝑧 1 𝑥2 2𝑦2 3𝑧22 𝑇1 1 2 𝑓1 1 2 𝑥 𝑓1 1 2 𝑦 𝑓1 1 2 𝑧 𝑇1 1 2 160 256 320 256 960 256 0625 125 375 Taxa máxima 𝑇112 06252 1252 3752 4 𝑚 Professora Adriele Aparecida Pereira 4 Valores máximo e mínimo de uma função Relembrando 𝑦 𝑓𝑥 Máximo local fa e fc Máximo absoluto fc Mínimo local fb e fd Mínimo absoluto fd Fonte Elaborada pela própria autora Professora Adriele Aparecida Pereira 5 Definição Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ 𝑒 𝑥0 𝑦0 𝜖 𝐴 1 O ponto 𝑥0 𝑦0 é chamado ponto de mínimo local de f se existe 𝐵𝑥0 𝑦0 𝑟 tal que 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 para qualquer ponto 𝑥 𝑦 𝐵𝑥0 𝑦0 𝑟 O número 𝑓𝑥0 𝑦0 é chamado valor mínimo local 2 O ponto 𝑥0 𝑦0 é chamado ponto de máximo local de f se existe 𝐵𝑥0 𝑦0 𝑟 tal que 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 para qualquer ponto 𝑥 𝑦 𝐵𝑥0 𝑦0 𝑟 O número 𝑓𝑥0 𝑦0 é chamado valor máximo local Se 𝑥0 𝑦0 é ponto de mínimo ou máximo local então ele é chamado de extremo local Teorema Se f tem um máximo ou mínimo local em 𝑥0 𝑦0 e 𝑓𝑥0𝑦0 𝑥 𝑒 𝑓𝑥0𝑦0 𝑦 existem então 𝑓𝑥0 𝑦0 00 Ou seja 𝑓𝑥0𝑦0 𝑥 0 𝑒 𝑓𝑥0𝑦0 𝑦 0 Um ponto 𝑥0 𝑦0 é chamado ponto crítico de f se 𝑓𝑥0 𝑦0 00 ou se uma das derivadas parciais não existir Um ponto crítico 𝑥0 𝑦0 que não é extremo local é chamado ponto de sela Professora Adriele Aparecida Pereira 6 Critério das derivadas segundas para extremos locais Seja 𝑓𝑥 𝑦 uma função que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas em 𝐵𝑥0 𝑦0 𝑟 e 𝑥0 𝑦0 é um ponto crítico de f Então 1 Se 𝐻𝑥0 𝑦0 0 𝑒 2𝑓𝑥0𝑦0 𝑥² 0 𝑥0 𝑦0 é ponto de mínimo local 2 Se 𝐻𝑥0 𝑦0 0 𝑒 2𝑓𝑥0𝑦0 𝑥² 0 𝑥0 𝑦0 é ponto de máximo local 3 Se 𝐻𝑥0 𝑦0 0 𝑥0 𝑦0 é ponto de sela 4 Se 𝐻𝑥0 𝑦0 0 nada se pode afirmar A função 𝐻𝑥 𝑦 é chamada hessiano de f e é dada por 𝐻𝑥 𝑦 𝑑𝑒𝑡 2𝑓𝑥 𝑦 𝑥² 2𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2𝑓𝑥 𝑦 𝑦𝑥 2𝑓𝑥 𝑦 𝑦² 2𝑓𝑥 𝑦 𝑥² 2𝑓𝑥 𝑦 𝑦² 2𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2 Professora Adriele Aparecida Pereira 7 Ex 𝑓𝑥 𝑦 𝑥4 𝑦4 4𝑥𝑦 1 𝑓𝑥𝑦 𝑥 4𝑥3 4𝑦 e 𝑓𝑥𝑦 𝑦 4𝑦3 4𝑥 4𝑥3 4𝑦 0 𝐼 4𝑦3 4𝑥 0 𝐼𝐼 De I temos 4𝑥3 4𝑦 0 4𝑦 4𝑥3 𝑦 𝑥³ Substituindo em II temos 4𝑥³3 4𝑥 0 4𝑥9 4𝑥 0 4𝑥𝑥8 1 0 4𝑥 0 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑥8 1 0 𝑥8 1 𝑥 1 𝑜𝑢 𝑥 1 Para 𝑥 0 𝑦 03 0 Para 𝑥 1 𝑦 1³ 1 Para 𝑥 1 𝑦 13 1 Pontos críticos 00 11 𝑒 1 1 𝐻𝑥 𝑦 2𝑓𝑥 𝑦 𝑥² 2𝑓𝑥 𝑦 𝑦² 2𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2 12𝑥2 12𝑦2 42 144𝑥2𝑦2 16 Ponto crítico 𝑥0 𝑦0 𝐻𝑥0 𝑦0 2𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥² 12𝑥0 2 Classificação 00 0 0 sela 11 0 0 mínimo local 1 1 0 0 mínimo local 𝑓𝑥 𝑦 𝑥4 𝑦4 4𝑥𝑦 1 𝑓11 1 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑓1 1 1 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 Professora Adriele Aparecida Pereira 8 Fonte das figuras Calculadora Gráfica GeoGebra Disponível em httpswwwgeogebraorggraphinglangpt Stewart J 2017 Cálculo v 2 8 ed São Paulo Cengage Learning Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522126866