Diferenciabilidade e Aplicações: Teoremas e Exemplos

Professora Adriele Aparecida Pereira 1 Diferenciabilidade Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ A um conjunto aberto e 𝑥0 𝑦0 𝐴 Dizemos que f é diferenciável em 𝑥0 𝑦0 se as derivadas parciais 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑒 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 existem e se lim 𝑥𝑦𝑥0𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 0 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥02 𝑦 𝑦0² Dizemos que f é diferenciável em um conjunto se for diferenciável em todo ponto desse conjunto Ex1 𝑓𝑥 𝑦 𝑥² 3𝑦 é diferenciável em 13 Professora Adriele Aparecida Pereira 2 Critério de diferenciabilidade Teorema Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ A um conjunto aberto e 𝑥0 𝑦0 𝐴 Se as derivadas parciais 𝑓 𝑥 𝑒 𝑓 𝑦 existirem em A e forem contínuas em 𝑥0 𝑦0 então f será diferenciável em 𝑥0 𝑦0 Cont ex 𝑓𝑥 𝑦 𝑥² 3𝑦 é diferenciável em 13 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑓 𝑥 13 2 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 3 𝑓 𝑦 13 3 Portanto f é diferenciável em 13 Ex2 𝑓𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥2 𝑦² é diferenciável no ℝ2 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 cos𝑥2 𝑦2 2𝑥 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 cos𝑥2 𝑦2 2𝑦 Portanto f é diferenciável no ℝ2 Teorema Se f for diferenciável em 𝑥0 𝑦0 então f será contínua em 𝑥0 𝑦0 Professora Adriele Aparecida Pereira 3 Plano tangente Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 é dada por 𝑧 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 Ex Determine a equação do plano tangente à função 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥2 𝑦² no ponto 11 𝑓11 𝑓11 212 1² 3 113 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 4𝑥 𝑓 𝑥 11 4 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑦 𝑓 𝑦 11 2 𝑧 𝑓11 𝑓11 𝑥 𝑥 1 𝑓11 𝑦 𝑦 1 𝑧 3 4𝑥 1 2𝑦 1 𝑧 4𝑥 2𝑦 3 Professora Adriele Aparecida Pereira 4 Aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ diferenciável no ponto 𝑥0 𝑦0 A aproximação 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 é denominada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em 𝑥0 𝑦0 Professora Adriele Aparecida Pereira 5 Temos que 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 𝑇𝑥𝑦𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑐𝑢𝑗𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 é 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑓𝑥 𝑦 𝑇𝑥 𝑦 A função f é diferenciável em 𝑥0 𝑦0 então lim 𝑥𝑦𝑥0𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 𝑥 𝑦 𝑥0 𝑦0 0 lim 𝑥𝑦𝑥0𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 0 Ou seja lim 𝑥𝑦𝑥0𝑦0 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑥𝑥0𝑦𝑦0 0 Obs 𝑇𝑥 𝑦 é a única função afim que aproxima 𝑓𝑥 𝑦 com erro que tende a zero mais rapidamente que 𝑥 𝑥0 𝑦 𝑦0 quando 𝑥 𝑦 tende a 𝑥0 𝑦0 Professora Adriele Aparecida Pereira 6 Diferencial Para uma função de duas variáveis reais a valores reais 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 definimos as diferenciais como dx e dy como variáveis independentes Assim a diferencial de f é dada por 𝑑𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 Ao tomar 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥0 e 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑦0 então 𝑑𝑧 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 Considere a aproximação pelo plano tangente 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑧 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑦0 𝑑𝑧 De forma equivalente temos 𝑓𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑧 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑥 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑦 𝑑𝑧 𝑧 𝑑𝑧 Interpretação geométrica dz representa a alteração da altura do plano tangente enquanto 𝑧 representa a alteração da altura da superfície 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 ambos quando 𝑥 𝑦 varia de 𝑥0 𝑦0 para 𝑥0 𝑥 𝑦0 𝑦 Professora Adriele Aparecida Pereira 7 Ex1 Seja 𝑓𝑥 𝑦 𝑥²𝑦 a Determine a diferencial dz b Calcule os valores 𝑧 𝑒 𝑑𝑧 quando se passa do ponto 1 2 para o ponto 102 201 e compareos a 𝑑𝑧 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑓𝑥𝑦 𝑥 2𝑥𝑦 e 𝑓𝑥𝑦 𝑦 𝑥² 𝑑𝑧 2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑥²𝑑𝑦 b 𝑧 𝑓102 201 𝑓12 𝑧 1022 201 12 2 𝑧 2091204 2 𝑧 0091204 𝑑𝑧 2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑥²𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥0 102 1 002 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 𝑦0 201 2 001 𝑑𝑧 𝑓12 𝑥 002 𝑓12 𝑦 001 𝑑𝑧 212002 1²001 𝑑𝑧 009 Observe que 𝑧 𝑑𝑧 mas dz é mais simples de calcular Professora Adriele Aparecida Pereira 8 Fonte das figuras Stewart J 2017 Cálculo v 2 8 ed São Paulo Cengage Learning Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522126866