Derivadas Parciais e Regras de Derivação

Professora Adriele Aparecida Pereira 1 Derivadas parciais Relembrando Def Seja f uma função de uma variável real e 𝑥0 𝐷𝑜𝑚𝑓 Elaborada em httpswwwgeogebraorggraphinglangpt e adaptada pela autora 𝑓𝑥0 lim 𝑥𝑥0 𝑓𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 𝑥0 lim ℎ0 𝑓𝑥0ℎ𝑓𝑥0 ℎ ℎ 𝑥 𝑥0 desde que esses limites existam Notações 𝑓𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 Professora Adriele Aparecida Pereira 2 Regras de derivação 1 𝑓𝑥 𝑘 𝑘 ℝ 𝑓𝑥 0 2 Seja n um número natural n 0 a 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑓𝑥 𝑛𝑥𝑛1 b 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑓𝑥 𝑛𝑥𝑛1 x 0 c 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑛 𝑓𝑥 1 𝑛 𝑥 1 𝑛 1 onde x 0 se n for par e x 0 se n for ímpar n 2 3 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑎 0 𝑒 𝑎 1 𝑓𝑥 𝑎𝑥ln 𝑎 Ex 𝑓𝑥 𝑒𝑥 𝑓𝑥 𝑒𝑥 ln 𝑒 log𝑒 𝑒 𝑒𝑥 4 𝑓𝑥 log𝑎 𝑥 𝑎 0 𝑒 𝑎 1 𝑓𝑥 1 𝑥 log𝑎 𝑒 Ex 𝑓𝑥 𝑙𝑛 𝑥 log𝑒 𝑥 𝑓𝑥 1 𝑥 log𝑒 𝑒 1 𝑥 5 𝑓𝑥 𝑐𝑔𝑥 𝑐 ℝ 𝑒 𝑔𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑓𝑥 𝑐𝑔𝑥 6 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑠𝑒 𝑔𝑥 𝑒 ℎ𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 Professora Adriele Aparecida Pereira 3 7 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 𝑠𝑒 𝑔𝑥 𝑒 ℎ𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑓𝑥 𝑔𝑥ℎ𝑥 ℎ𝑥𝑔𝑥 8 𝑓𝑥 𝑔𝑥 ℎ𝑥 ℎ𝑥 0 𝑠𝑒 𝑔𝑥 𝑒 ℎ𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑓𝑥 𝑔𝑥ℎ𝑥ℎ𝑥𝑔𝑥 ℎ𝑥² 9 Regra da cadeia 𝑦 𝑓𝑔𝑥 𝑦𝑥 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥 Exs a 𝑦 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 b 𝑦 3𝑥2 1 𝑥4 3𝑥2 𝑥4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 32 𝑥21 4 𝑥41 6𝑥 4𝑥5 6𝑥 4 𝑥4 c 𝑦 𝑒5𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒5𝑥 5 5𝑒5𝑥 d 𝑦 𝑒6𝑥² 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒6𝑥2 62𝑥 12𝑥𝑒6𝑥² e 𝑦 ln𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥3 3𝑥2 3 𝑥 f 𝑦 𝑥3 𝑒𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥2 𝑒𝑥2 𝑒𝑥22𝑥 𝑥3 3𝑥2 𝑒𝑥2 2𝑥4𝑒𝑥2 g 𝑦 𝑥1 𝑥5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 2𝑥1𝑥55𝑥4𝑥1 𝑥5² 𝑥5 2𝑥1 5𝑥4𝑥1 𝑥10 Professora Adriele Aparecida Pereira 4 Derivada de 2ª ordem 𝑓 𝑓 segunda derivada ou derivada de ordem 2 Notação 𝑓𝑥 𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Ex 𝑦 3𝑥4 𝑥2 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 34𝑥3 2𝑥 0 12𝑥3 2𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 312 𝑥2 2 36𝑥2 2 Professora Adriele Aparecida Pereira 5 Derivadas parciais Seja 𝑓𝑥 𝑦 uma função real de duas variáveis reais e 𝑥0 𝑦0 𝐷𝑜𝑚𝑓 A derivada parcial de 1ª ordem de f com relação a x no ponto 𝒙𝟎 𝒚𝟎 denotada por 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 é obtida considerando y constante 𝑦 𝑦0 Fixamos 𝑦 𝑦0 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑦0 𝑔𝑥0 lim 𝑥𝑥0 𝑔𝑥 𝑔𝑥0 𝑥 𝑥0 lim 𝑥𝑥0 𝑓𝑥 𝑦0𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥𝑥0 ℎ 𝑥 𝑥0 lim ℎ0 𝑓𝑥0ℎ 𝑦0𝑓𝑥0 𝑦0 ℎ 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 E a derivada parcial de 1ª ordem de f com relação a y no ponto 𝒙𝟎 𝒚𝟎 denotada por 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 é obtida considerando x constante 𝑥 𝑥0 Fixamos 𝑥 𝑥0 𝑔𝑦 𝑓𝑥0 𝑦 𝑔𝑦0 lim 𝑦𝑦0 𝑔𝑦 𝑔𝑦0 𝑦 𝑦0 lim 𝑦𝑦0 𝑓𝑥0 𝑦𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦𝑦0 𝑘 𝑦 𝑦0 lim 𝑘0 𝑓𝑥0 𝑦0𝑘 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑘 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Notação 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝑓 𝑦 𝑓𝑦 Professora Adriele Aparecida Pereira 6 Ex1 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 2𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 lim ℎ0 𝑓𝑥 ℎ 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 ℎ lim ℎ0 𝑥ℎ22𝑦𝑥22𝑦 ℎ lim ℎ0 𝑥22𝑥ℎℎ² 2𝑦𝑥22𝑦 ℎ lim ℎ0 ℎ2𝑥ℎ ℎ lim ℎ0 2𝑥 ℎ 2𝑥 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 lim 𝑘0 𝑥2 2𝑦 𝑘 𝑥2 2𝑦 𝑘 lim 𝑘0 𝑥2 2𝑦 2𝑘 𝑥2 2𝑦 𝑘 lim 𝑘0 2 2 Alternativamente 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 2𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑥 0 2𝑥 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 0 2 2 Professora Adriele Aparecida Pereira 7 Ex2 𝑓𝑥 𝑦 3𝑥4 4𝑦² 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 12𝑥³ 0 12𝑥³ 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 0 8𝑦 8𝑦 𝑓 𝑥 11 121³ 12 𝑓 𝑦 11 81 8 Ex3 𝑓𝑥 𝑦 𝑥3𝑦2 2𝑥𝑦 6𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 3𝑥2𝑦2 21 𝑦 0 3𝑥2𝑦2 2𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥32𝑦 2𝑥 1 6 2𝑥3𝑦 2𝑥 6 Ex4 𝑓𝑥 𝑦 𝑒3𝑥2𝑦² 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑒3𝑥2𝑦2 6𝑥 0 6𝑥 𝑒3𝑥2𝑦2 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑒3𝑥2𝑦2 0 2𝑦 2𝑦 𝑒3𝑥2𝑦2 Professora Adriele Aparecida Pereira 8 Ex5 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 2 ln 𝑥2 4𝑦² 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 1 2𝑥𝑦 2 1 𝑦 0 1 𝑥2 4𝑦2 2𝑥 0 𝑦 2𝑥𝑦 2 2𝑥 𝑥2 4𝑦2 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 1 2𝑥𝑦 2 𝑥 0 1 𝑥2 4𝑦2 0 8𝑦 𝑥 2𝑥𝑦 2 8𝑦 𝑥2 4𝑦2 Ex6 𝑓𝑥 𝑦 2𝑥3 𝑦2 𝑒𝑥2𝑦² 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 6𝑥2 0𝑒𝑥2𝑦2 𝑒𝑥2𝑦22𝑥 0 2𝑥3 𝑦2 6𝑥2𝑒𝑥2𝑦2 2𝑥2𝑥3 𝑦2𝑒𝑥2𝑦2 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 0 2𝑦𝑒𝑥2𝑦2 𝑒𝑥2𝑦20 2𝑦 2𝑥3 𝑦2 2𝑦𝑒𝑥2𝑦2 2𝑦2𝑥3 𝑦2𝑒𝑥2𝑦2 Ex7 𝑓𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 𝑦 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑦 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 𝑦 01 𝑦 1 𝑥 1 𝑦² 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 𝑦 𝑥 1 𝑦² Professora Adriele Aparecida Pereira 9 Interpretação geométrica das derivadas parciais 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 Fixamos y 𝑦 𝑦0 Fonte Adaptado de httpsimagesappgoogl9SbEyqov26DYwoVn8 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 𝑡𝑔𝛼 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Fixamos x 𝑥 𝑥0 Fonte Adaptado de httpsimagesappgooglYz9XD5F55SejQjW39 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑡𝑔𝛽 Professora Adriele Aparecida Pereira 10 Taxas de variação Seja 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 uma função real de duas variáveis reais 𝑧 𝑥 representa a taxa de variação de z com relação a x quando y é mantido fixo e 𝑧 𝑦 representa a taxa de variação de z com relação a y quando x é mantido fixo Ex Função de produção de CobbDouglas 𝑃 𝑃𝐿 𝐾 P produção total L quantidade de trabalho K capital investido 𝑃 𝐿 é a taxa de variação da produção em relação à quantidade de trabalho produtividade marginal do trabalho 𝑃 𝐾 é a taxa de variação da produção em relação ao capital investido produtividade marginal do capital Professora Adriele Aparecida Pereira 11 Derivadas parciais de ordens superiores Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ 𝑓 𝑥 𝑒 𝑓 𝑦 derivadas parciais de 1ª ordem também são funções 1 𝑥 𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥2 𝑓𝑥𝑥 2 𝑦 𝑓 𝑥 ²𝑓 𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑥 3 𝑦 𝑓 𝑦 ²𝑓 𝑦² 𝑓𝑦𝑦 4 𝑥 𝑓 𝑦 ²𝑓 𝑥𝑦 𝑓𝑥𝑦 1 2 3 e 4 são chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f 2 e 4 também são chamadas de derivadas mistas Professora Adriele Aparecida Pereira 12 Ex1 𝑓𝑥 𝑦 𝑥3 𝑥2𝑦3 2𝑦² 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 3𝑥2 2𝑥𝑦3 0 3𝑥2 2𝑥𝑦³ 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 0 𝑥2 3𝑦2 4𝑦 3𝑥2𝑦2 4𝑦 2𝑓 𝑥2 𝑥 𝑦 𝑥 3𝑥2 2𝑥𝑦³ 6𝑥 2𝑦³ 2𝑓 𝑦2 𝑥 𝑦 𝑦 3𝑥2𝑦2 4𝑦 6𝑥2𝑦 4 ²𝑓 𝑦𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 3𝑥2 2𝑥𝑦³ 0 6𝑥𝑦2 6𝑥𝑦² ²𝑓 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 3𝑥2𝑦2 4𝑦 6𝑥𝑦2 0 6𝑥𝑦² Teorema de Schwarz Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ2 ℝ A aberto Se as derivadas parciais de 2ª ordem forem contínuas em A então ²𝑓 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 ²𝑓 𝑦𝑥 𝑥 𝑦 para todo 𝑥 𝑦 𝐴 Professora Adriele Aparecida Pereira 13 Derivadas parciais para funções de três ou mais variáveis Seja 𝑓 𝐴 𝐶 ℝ𝑛 ℝ 𝑒 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑓 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 pode ser encontrada considerando as outras variáveis como constantes e derivando f com relação a 𝑥𝑖 𝑖 1 2 𝑛 Ex 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦 𝑦𝑧3 2𝑥𝑦𝑧 𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥𝑦 0 2𝑦𝑧 2𝑥𝑦 2𝑦𝑧 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑧3 2𝑥𝑧 𝑓 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 0 3𝑦𝑧2 2𝑥𝑦 3𝑦𝑧2 2𝑥𝑦