Regra da Cadeia e Diferenciação Implícita

Professora Adriele Aparecida Pereira 1 Regra da cadeia 1º caso Seja 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 uma função diferenciável de x e y 𝑥 𝑔𝑡𝑒 𝑦 ℎ𝑡 funções diferenciáveis de t Então w é uma função diferenciável de t e 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑤 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Ex Seja 𝑤 𝑥2𝑦 3𝑥𝑦4 em que 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑡𝑒 𝑦 cos 𝑡 Determine 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑤 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 2𝑥𝑦 3𝑦42 cos2𝑡 𝑥2 12𝑥𝑦³𝑠𝑒𝑛𝑡 2º caso Seja 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 uma função diferenciável de x y e z 𝑥 𝑎𝑡𝑒 𝑦 𝑏𝑡 𝑒 𝑧 𝑐𝑡 funções diferenciáveis de t Então w é uma função diferenciável de t e 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑤 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑤 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑤 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 Professora Adriele Aparecida Pereira 2 3º caso Seja 𝑤 𝑓𝑥 𝑦 uma função diferenciável de x e y 𝑥 𝑔𝑟 𝑠 𝑒 𝑦 ℎ𝑟 𝑠 funções diferenciáveis de r e s Então w é uma função diferenciável de r e s e 𝑤 𝑟 𝑤 𝑥 𝑥 𝑟 𝑤 𝑦 𝑦 𝑟 𝑤 𝑠 𝑤 𝑥 𝑥 𝑠 𝑤 𝑦 𝑦 𝑠 Caso geral Seja 𝑤 uma função diferenciável n variáveis 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 em que cada 𝑥𝑖 é uma função diferenciável de m variáveis 𝑡1 𝑡2 𝑡𝑚 Então w é uma função de 𝑡1 𝑡2 𝑡𝑚 e 𝑤 𝑡𝑖 𝑤 𝑥1 𝑥1 𝑡𝑖 𝑤 𝑥2 𝑥2 𝑡𝑖 𝑤 𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑡𝑖 𝑖 1 2 𝑚 Ex Seja 𝑤 𝑥4𝑦 𝑦2𝑧3 em que 𝑥 𝑟𝑠𝑒𝑡 𝑦 𝑟𝑠2𝑒𝑡 𝑒 𝑧 𝑟2𝑠 𝑠𝑒𝑛𝑡 Determine 𝑤 𝑠 𝑤 𝑠 𝑤 𝑥 𝑥 𝑠 𝑤 𝑦 𝑦 𝑠 𝑤 𝑧 𝑧 𝑠 𝑤 𝑠 4𝑥3𝑦𝑟𝑒𝑡 𝑥4 2𝑦 𝑧32𝑟𝑠 𝑒𝑡 3𝑦²𝑧²𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝑡 Professora Adriele Aparecida Pereira 3 Diferenciação Implícita Ex 𝑥2 𝑦2 4 𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦² 1 Teorema das funções implícitas Caso 𝑭𝒙 𝒚 𝟎 Se F é definida em uma bola aberta contendo 𝑥0 𝑦0 onde 𝐹𝑥0 𝑦0 0 𝐹𝑥𝑦 𝑥 𝑒 𝐹𝑥𝑦 𝑦 são funções contínuas nessa bola e 𝐹𝑥0𝑦0 𝑦 0 então a equação 𝐹𝑥 𝑦 0 define y como uma função de x 𝑦 𝑔𝑥 numa vizinhança do ponto 𝑥0 𝑦0 e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 Professora Adriele Aparecida Pereira 4 Ex 𝑥2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥 𝑥2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑥 𝐹𝑥𝑦 0 Ponto 00 𝐹00 02 0 𝑠𝑒𝑛0 0 0 𝐹𝑥 𝑦 𝑥 2𝑥𝑦 1 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑥2 cos 𝑦 𝐹00 𝑦 02 cos0 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 2𝑥𝑦 1 𝑥2 cos 𝑦 1 2𝑥𝑦 𝑥2 cos 𝑦 Professora Adriele Aparecida Pereira 5 Teorema das funções implícitas Caso 𝑭𝒙 𝒚 𝒛 𝟎 Se F é definida em uma bola aberta contendo 𝑥0 𝑦0 𝑧0 onde 𝐹𝑥0 𝑦0 𝑧0 0 𝐹𝑥𝑦𝑧 𝑥 𝐹𝑥𝑦𝑧 𝑦 𝑒 𝐹𝑥𝑦𝑧 𝑧 são funções contínuas nessa bola e 𝐹𝑥0𝑦0𝑧0 𝑧 0 então a equação 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 0 define z como uma função de x e y 𝑧 𝑔𝑥 𝑦 numa vizinhança do ponto 𝑥0 𝑦0 𝑧0 e 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 𝑒 𝑧 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 Ex 𝑥3 𝑦3 𝑧3 6𝑥𝑦𝑧 1 𝑥3 𝑦3 𝑧3 6𝑥𝑦𝑧 1 𝐹𝑥𝑦𝑧 0 Ponto 001 𝐹001 03 03 13 601 1 0 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3𝑥2 6𝑦𝑧 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 3𝑦2 6𝑥𝑧 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 3𝑧2 6𝑥𝑦 𝐹001 𝑧 312 600 3 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 3𝑥2 6𝑦𝑧 3𝑧2 6𝑥𝑦 𝑧 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 3𝑦2 6𝑥𝑧 3𝑧2 6𝑥𝑦 Professora Adriele Aparecida Pereira 6 Derivada direcional Relembrando Seja 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 uma função real de duas variáveis reais 𝑥0 𝑦0 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 Fixamos y 𝑦 𝑦0 Fonte Adaptado de httpsimagesappgoogl9SbEyqov26DYwoVn8 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0 Inclinação da reta tangente 𝑟1 a curva 𝐶1 no ponto 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Taxa de variação de z em 𝑥0 𝑦0 na direção de x vetor 𝑖 Professora Adriele Aparecida Pereira 7 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Fixamos x 𝑥 𝑥0 Fonte Adaptado de httpsimagesappgooglYz9XD5F55SejQjW39 𝑓 𝑦 𝑥0 𝑦0 Inclinação da reta tangente 𝑟2 a curva 𝐶2 no ponto 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Taxa de variação de z em 𝑥0 𝑦0 na direção de y vetor 𝑗 𝐃𝐞𝐫𝐢𝐯𝐚𝐝𝐚 𝐝𝐢𝐫𝐞𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 Inclinação da reta tangente 𝑇 a curva C no ponto 𝑃 𝑥0 𝑦0 𝑧0 Taxa de variação de z em 𝑥0 𝑦0 na direção do vetor unitário 𝑢 𝑎 𝑏 Professora Adriele Aparecida Pereira 8 A derivada direcional de f em 𝒙𝟎 𝒚𝟎 na direção do vetor unitário 𝒖 𝒂 𝒃 é dada por 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 lim ℎ0 𝑓𝑥0 ℎ𝑎 𝑦0 ℎ𝑏 𝑓𝑥0 𝑦0 ℎ Notação 𝐷𝑢𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓 𝒖 𝑥0 𝑦0 Obs 𝑓 𝑥 𝑒 𝑓 𝑦 são casos particulares da derivada direcional 𝑢 𝑖 10 e 𝑢 𝑗 01 respectivamente Ex 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑢 12 𝑓11 𝑢 𝑢 12 22 5 𝑢 1 5 2 5 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 lim ℎ0 𝑓𝑥0 ℎ𝑎 𝑦0 ℎ𝑏 𝑓𝑥0 𝑦0 ℎ 𝑓11 𝑢 lim ℎ0 𝑓 1 ℎ 5 1 2ℎ 5 𝑓11 ℎ Professora Adriele Aparecida Pereira 9 Seja 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 uma função que admite derivadas parciais em 𝑥0 𝑦0 O vetor 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑓𝑥0𝑦0 𝑥 𝑓𝑥0𝑦0 𝑦 é chamado gradiente de f em 𝑥0 𝑦0 Teorema Se f é uma função diferenciável em 𝑥0 𝑦0 então f tem derivada direcional em 𝑥0 𝑦0 na direção do vetor unitário 𝑢 𝑢 𝑎 𝑏 e 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑢 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑥 𝑎 𝑓𝑥0 𝑦0 𝑦 𝑏 Ex anterior 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑢 12 𝑓11 𝑢 𝑢 12 22 5 𝑢 1 5 2 5 𝑓11 𝑢 lim ℎ0 𝑓 1 ℎ 5 1 2ℎ 5 𝑓11 ℎ OU Professora Adriele Aparecida Pereira 10 𝑓11 𝑢 𝑓11 𝑢 𝑓11 𝑥 𝑎 𝑓11 𝑦 𝑏 𝑓𝑥𝑦 𝑥 2𝑥 e 𝑓𝑥𝑦 𝑦 2𝑦 𝑓11 𝑢 21 1 5 21 2 5 6 5 Fonte das figuras Calculadora Gráfica GeoGebra Disponível em httpswwwgeogebraorggraphinglangpt Stewart J 2017 Cálculo v 2 8 ed São Paulo Cengage Learning Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788522126866