Lista - Vetor Perpendicular e Projeção Escalar - 2024-1

Capítulo 1 - Análise Vetorial 23 1.6 i Determine o ângulo agudo entre dois vetores A = 2a1 + a2 + 3a3 e B = a1 - 3a2 + 2a3 mediante o uso das seguintes definições: (a) produto escalar; (b) produto vetorial. 1.7 i Dado o campo vetorial E = 4xy2 cos 2xa1 + 2xy sen 2xa2 + y3 sen 2xa3 para a região |x|, |y| e |z| menores que 2, encontre: (a) as superfícies nas quais Ex = 0; (b) a região na qual Ey = Ez; (c) a região na qual E = 0. 1.8 i Demonstre a ambiguidade que surge quando o produto vetorial é utilizado para se calcular o ângulo entre dois vetores, tentando encontrar o ângulo entre A = 3a1 - 2a2 + 4a3 e B = 2a1 + a2 - 2a3. Esta ambiguidade surge quando o produto escalar é usado? 1.9 i Um campo é dado por G = 25/(x2 + y2)^(1/2)(xa1 + ya2). Encontre: (a) um vetor unitário na direção de G em P(3, 4, -2); (b) o ângulo entre G e a, em P; (c) o valor da seguinte integral dupla no plano y = 7: ∫ ∫ G · a1 dzdx 0 0 1.10 i Expressando diagonais como vetores e utilizando a definição de produto escalar, encontre o menor ângulo entre quaisquer duas diagonais de um cubo, no qual cada diagonal conecta vários vértices diametralmente opostos e passa pelo centro do cubo. 1.11 i Dados os pontos M(0,1, -0.2, -0.1), N(-0.2, -0.1, 0.3) e P(0,4, 0.1), encontre: (a) o vetor R_MN; (b) o produto escalar R_MN · R_MP; (c) a projeção escalar de R_MN em R_MP; (d) o ângulo entre R_MN e R_MP. 1.12 i Escreva uma expressão em componentes cartesianas para o vetor que se estende de (x1, y1, z1) até (x2, y2, z2) e determine a intensidade deste vetor. 1.13 i Encontre: (a) o componente vetorial de F = 10a1 - 6a2 + 5a3 que é paralelo a G = 0.1a1 + 0.2a2 + 0.3a3; (b) o componente vetorial de F que é perpendicular a G; (c) o componente vetorial de G que é perpendicular a F. 1.14 i Sabe-se que A + B + C = 0, e que os três vetores representam segmentos de linha e se estendem de uma origem comum. Estes três vetores devem ser coplanares? Se A + B + C + D = 0, os quatro vetores são coplanares? 1.15 i Três vetores que partem da origem são dados como r1 = (7, 3, -2), r2 = (-2, 7, -3) e r3 = (0, 2, 3). Encontre: (a) um vetor unitário perpendicular a ambos os vetores r1 e r2; (b) um vetor unitário perpendicular aos vetores r1 - r2 e r3; (c) a área do triângulo definido por r1 e r2; (d) a área do triângulo definido pelas extremidades de r1, r2 e r3. 1.16 i Se A representa um vetor de comprimento unitário direcionado para o leste, B representa um vetor de intensidade igual a três unidades direcionado para o norte e A + B = XC - D e 2A - B = C + 2D, determine o comprimento e direção de C. 1.17 i O ponto A(-4, 2, 5) e os dois vetores R_MN = (20, 18, -10) e R_MW = (-10, 8, 15) definem um triângulo. Encontre: (a) um vetor unitário perpendicular 4 Eletromagnetismo ao triângulo; (b) um vetor unitário no plano do triângulo e perpendicular a R_MN; (c) um vetor unitário perpendicular a R_MW que divide o ângulo entre R_MN e R_MW ao meio.