Mapeamento de Campos Eletrostaticos-2021 2

ELETROMAGNETISMO 2020.3 Prof. Mário de S. Araújo Filho DEE/CEEI/UFCG UNIDADE VI MAPEAMENTO DE CAMPOS ELETROSTATICOS. (a) QUADRADOS CURVILÍNEOS. (b) MÉTODO ITERATIVO: DIFERENÇAS FINITAS. Queremos resolver problemas do tipo: V = 60V V=0 UNIDADE VI CAP. 6 - MAPEAMENTO DE CAMPOS ELETROSTÁTICOS. CAP. 7 - EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE. Importância do campo de potencial. Dado V: E = -∇V D = εE ∇·D = ρ ρs = Dn Φ = ∫ρs ds C = |Q|/V0 No CAP. 7, veremos que: ∇²V = 0 (EQUAÇÃO DE LAPLACE) ∇²V = -ρ/ε (EQUAÇÃO DE POISSON) Seja um caso coaxial: Já vimos que: C = 2πε0L / ln(b/a) (exata!) Soluções exatas ← geometrias simples (em único sistema de coordenadas) Outras técnicas de análise. a) experimentais b) métodos gráficos c) métodos numéricos - método das diferenças finitas - método dos elementos finitos - método dos momentos. (CAP. 14, Sadiku, 5ª edição → aplicações de métodos numéricos). (a) MÉTODO DOS QUADRADOS CURVILÍNEOS - Método simples (lápis e papel). - Boa aproximação (5 a 10% em uma determinação de "C"). - Condição: os campos não variam na direção normal ao plano do esboço. - Trabalhamos no plano do papel (x-y). Baseado em propriedades dos condutores: a) sup. condutora → é equipotencial. b) \(\vec{E}\) e \(\vec{D}\) ⊥ às sup. equipots. c) \(\vec{E}\) e \(\vec{D}\) ⊥ ás sup. dos condutores (\(E_t = D_t = 0\)). d) linhas de fluxo elétrico (linhas de força) começam e terminam nas superfícies dos condutores. ESBOÇOS DE SUP. EQUIPOTS. ENTRE DOIS CONDUTORES fronteira do condutor quadrado curvilíneo ddp constante entre as linhas y \(\Delta\varphi\) \(\Delta L_t\) TUBO DE FLUXO (profundidade de 1m para dentro do papel) Aproximação da intensidade de campo elétrico entre A e B: \(E \approx \frac{D}{\epsilon} \approx \frac{1}{\epsilon} \frac{\Delta\psi}{\Delta L_t \times 1}\) \(E \approx \frac{1}{\epsilon} \frac{\Delta\psi}{\Delta L_t}\) (I) A aproximação melhora quando \(\overline{AB}\) e \(\overline{AA_1}\) forem bem pequenos. Outra forma de encontrar \(E\) por aproximação: \(E \approx \frac{\Delta V}{\Delta L_n}\) (II) Igualando (I) e (II): \[ \frac{1}{\epsilon} \frac{\Delta\psi}{\Delta L_t} = \frac{\Delta V}{\Delta L_n} \] \[ \frac{1}{\epsilon} \Delta V = \frac{\Delta L_t}{\Delta L_n} = c \cdot \tau E \] (III) Relação mais simples: \[ \frac{\Delta L_t}{\Delta L_n} = 1 \] \[ \frac{\Delta\psi}{\Delta V} = \epsilon \] \(-)\) \(+\)\) \(V\) (equipotenciais) \(\vec{E}\) (campo elétrico) EXEMPLO DE MAPEAMENTO DE CAMPO PELO METODO DOS QUADRADOS CURVILÍNEOS. C = |q| / Vo ∴ C = Nφ Δq / Nv ΔV onde: Nφ → nº de tubos de fluxo Nv → nº de incrementos de potencial C = Nφ Δψ / Nv ΔV = Nφ / Nv (εo Δlt / Δln) (εo Δlt / Δln) (de III) Assim, C = εo Nφ / Nv = εo (9 x 3.25 / 4) ∴ C = 6,5 εo ∴ C = 57,6 pF/m (b) MÉTODO ITERATIVO : DIFERENÇAS FINITAS. - Seja um problema em que o potencial é completamente especificado nos contornos, em uma dada região. - Potencial bidimensional Ex. V(x,y). - Resultados com grande precisão. Considere uma porção da região: Na região considerada, ρ = 0 ∇.D = 0 ∇.E = 0 Portanto, ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y = 0 (I) Mas, Ẽ = -∇V = -∂V/∂x x̂ - ∂V/∂y ŷ (II) De (II) em (I): ∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² = 0 (EQUAÇÃO DE LAPLACE EM DUAS DIMENSÕES) [coords: retang.] Aproximando as derivadas parciais, teremos: ∂²V/∂x²|₀ = (∂/∂x (∂V/∂x)|ₐ) (∂V/∂x)|ₐ (V₁ - V₀)/h ∂V/∂x|ₐ ≈ (V₁ - V₀)/h ∂V/∂x|c ≈ (V₀ - V₃)/h Assim, ∂²V/∂x²|₀ ≈ (V₁ - V₀)/h - (V₀ - V₃)/h ∂²V/∂x²|₀ ≈ 1/h² (V₁ - V₀ - V₀ + V₃) ∴ ∂²V/∂x²|₀ ≈ 1/h² (V₁ - 2V₀ + V₃) (III) Analogamente, ∂²V/∂y²|₀ ≈ 1/h² (V₂ - 2V₀ + V₄) (IV) Fazendo (III) + (IV), temos: \(\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}\) = \(\frac{V_1 - 2V_0 + V_3 + V_2 - 2V_0 + V_4}{h^2} = 0\) ... \(V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 4V_0\) ... \(V_0 \approx \frac{V_1 + V_2 + V_3 + V_4}{4}\) (exata quando h\(\to\)0) \(V_0\) é a média dos valores de potencial nos quatro pontos vizinhos. Ex. Região quadrada com contornos condutores. V=100 V=0 V=0 V=0 gap gap 50 50 43,8 53,2 43,8 18,8 25,0 18,8 6,2 9,4 6,2 Calha de seção quadrada. gaps \(\to\) 50 e 50 centro \(\to\) \(\frac{100 + 0 + 0 + 0}{4} = 25,0\) \(\frac{50 + 100 + 25 + 0}{4} = 43,75\) \(\frac{100 + 43,8 + 25 + 43,8}{4} = 53,15\) \(\frac{0 + 25 + 0 + 0}{4} = 6,25\) \(\frac{43,8 + 25 + 6,2 + 0}{4} = 18,75\) \(\frac{25 + 6,2 + 0 + 6,2}{4} = 9,35\) V=100 V=0 V=0 V=0 50 50 43,8 53,2 43,8 18,8 25,0 18,8 6,2 9,4 6,2 \(\frac{100 + 53,2 + 18,8 + 0}{4} = 43,0\) \(\frac{100 + 43 + 25 + 43}{4} = 52,8\) \(\frac{43 + 25 + 6,2 + 0}{4} = 18,6\) \(\frac{18,6 + 9,4 + 0 + 0}{4} = 7,0\) Estimativa Original 53,2 25,0 9,4 Grade 4 x 4 52,6 25,0 9,8 Grade 8 x 8 53,6 25,0 9,7 Grade 16 x 16 53,93 25,0 9,5 Valor exato 54,05 25,0 9,54