Manual Representação do Campo Elétrico-2021 2

3 PREPARAÇÃO 1. Determine o campo elétrico em um anel carregado conforme a Figura 2 desde que z ≫ R. Obtenha as expressões em coordenadas cartesianas e esféricas do campo obtido. Figura 2 Problema 1 2. Considerando um disco carregado conforme a Figura 3, determinar o campo elétrico considerando um anel de raio variável r e espessura dr como o elementeo infinitesimal do disco. Em seguida, determinar as expressões gerais para R → ∞ e z ≫ R. Figura 3 Problema 2 3. Representar graficamente as linhas de campo elétrico em um capacitor de placas paralelas. Para isto, considerar um sistema com 26 cargas elétricas de 1/9 nC, dentre as quais 13 estão carregadas positivamente e localizadas nos pontos q1(−6,5), q2(−5,5), q3(−4,5), ..., q13(6,5) e as outras 13 cargas estão carregadas negativamente e localizadas nos pontos q14(−6, −5), q15(−5, −5), q16(−4, −5), ..., q26(6, −5). Escrever a equação geral do campo resultante produzido pelas cargas q6, q7, q8, q19, q20 e q21 . Considere k = 1 4πs0 = 9 ∙ 109. 4. Se E = 20e–5y(cos 5x ax − sin 5x ay) determine a equação da linha de força que passa por P ( π ; 0,1; 2) e especifique neste ponto e na direção de E um vetor unitário. 6 5. Dado o campo E = 2xy2ax + 2y(x2 + 1)ay, calcular a forma geral da equação das linhas de força que passa pelo ponto P(1,4, −2). 6. Para campos que não variam com z em coordenadas cilíndricas, as equações das linhas de força são obtidas resolvendo-se a equação diferencial Eρ = dρ . Encontre a Eф ρdф equação da linha que passa pelo ponto P(2,30°, 0) para o campo E = ρ cos 2ф aρ − ρ sin 2ф aф. 4 ROTEIRO EXPERIMENTAL Obs. Utilize como auxilo o Guia de Comandos do Mathematica para realização de todo o experimento. 1. Inicialize o programa Mathematica; 2. Instale os pacotes VectorAnalysis e VectorFieldPlots digitando os camandos: ▪ << VectorAnalysis` ▪ << VectorFieldPlots` 3. Redefina as variáveis coordenadas nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, para aquelas utilizadas no curso; 4. Determine algumas representações do campo E determinado no problema 3 da preparação. Para isto, utilize sequencialmente as funções (11), (10) e (12) do Guia de Comandos do Mathematica. Considere os intervalos −10 < x < 10 e −10 < y < 10; 5. Siga as instruções considerando os problemas resolvidos durante a preparação: ▪ Problema 4:  Quando necessário utilize os intervalos −2 < x < 2 e −2 < y < 2;  Plote a linha que passa pelo ponto (13); P (π 6 ; 0,1; 2) utilizando o comando  Aplique o comando (10) à equação geral de linha de força;  Utilize o comando (11) sobre a função do campo. ▪ Problema 5:  Quando necessário utilize os intervalos 0 < x < 20 e −10 < y < 10 e as opções AxesLabel → {X, Y, Z};  Plote a equação geral de linha de força utilizando o comando (16);  Em seguida represente a mesma equação utilizando comando (10);  Utilize o comando (11) sobre a função do campo. ▪ Problema 6:  Quando necessário utilize os intervalos −10 < ρ < 10 e 0 < ф < π e 2 as opções AxesLabel → {ρ, ф, Z} e ViewPoint → {1, π 3 , 2};  Plote a equação geral de linha de força utilizando o comando (16);  Em seguida represente a mesma equação utilizando comando (10). 6. Não é necessário elaborar relatório para este experimento. Toda via, todos os comentários devem ser feitos no próprio programa; 7. Salve o arquivo do Mathematica usando a seguinte denominação: Lab2TnAm em que n é o número da turma e m é o número do aluno nessa turma; 8. Envie o arquivo para labelufcg@gmail.com. 5 BIBLIOGRAFIA HAYT, W.H.(1958). Eletromagnetismo. Sexta Edição. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, 2001. FONTANA E. Eletromagnetismo – Parte 1. Disponível em: < http://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01/mag1cap2.htm #mozTocId856217>. (4) E=20e^-5t [cos(5x)ax - sen(5y)ay] o campo elétrico no ponto P(π/6, 0.1, 2) x=π/6 e y=0.1 t=α; EP=20e^-0.5 [cos(π/6)ax - sen(0.5)ay] = =t0.6ax - 6.1ay o valor de |EP| é: |EP| = √[10.6^2 + 6.1^2] = √[12.12] (5) E=2xy^2ax + 2y(x^2+1)ay \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{Ey}{Ex}\) = \(\frac{x^2+1}{xy}\) => ydy = \(\frac{x^2+1}{x}\) dx => y^2 = x^2 + 2 ln x + C No ponto (1, 4√-2) (4^2) = (1^2) + 2 ln(1) + C C=15 A expressão é satisfeita se C=15, portanto a eq igual das linhas de força é: y^2 = x^2 + 2 ln x (6) \(\frac{EP}{Eɸ}\) = \(\frac{dρ}{Pdɸ}\) = \(\frac{Pcos2ɸ}{Psen2ɸ}\) = -cot2ɸ => \(\frac{dρ}{P}\) = -cot2ɸdɸ Integrando obtemos, 2 lnP = ln sen2ɸ + lnC = ln \(\frac{C}{sen2ɸ}\) => P^2 = \(\frac{C}{sen2ɸ}\) Em determinado ponto, temos u = \(\frac{C}{sen60°}\) => C = 4sen60° = 2√3 então a equação de linha que passa pelo ponto é: P^2 = \(\frac{2√3}{sen2ɸ}\) (* Início do Arquivo no programa Wolfram Mathematica *) (* respondido até o passo 3 *) << VectorAnalysis` << VectorFieldPlots` General::obspkg : VectorFieldPlots is now obsolete. The legacy version being loaded may conflict with current Mathematica functionality. See the Compatibility Guide for updating information. » SetCoordinates[Cartesian[x, y, z]] Cartesian[x, y, z] SetCoordinates[Cylindrical[ρ, θ, ϕ]] Cylindrical[ρ, θ, ϕ] SetCoordinates[Spherical[r, θ, ϕ]] Spherical[r, θ, ϕ] Manipula¸c˜ao de Sistemas de Coordenadas O Mathematica trabalha com quatorze sistemas de coordenadas. Desses, o sistema padra˜o uti- lizado ´e o Cartesiano com as vari´aveis coordenadas Xx, Yy e Zz. Os comandos abaixo relacionados permitem identificar o sistema em uso e as vari´aveis coordenadas a ele associadas, al´em de possibili- tar sua substitui¸c˜ao por um sistema alternativo bem como a redefinic¸˜ao de suas vari´aveis coordenadas. 1. CoordinateSystem Informa o sistema de coordenadas corrente (default). 2. Coordinates[ ] Informa as vari´aveis coordenadas em uso com o sistema corrente. 3. Coordinates[ coordsys ] Informa as vari´aveis coordenadas em uso pelo sistema coordsys. 4. SetCoordinates[ coordsys ] Substitui o sistema corrente pelo sistema coordsys. 5. SetCoordinates[ coordsys [ vars ] ] Substitui o sistema corrente pelo sistema coordsys com vari´aveis coordenadas vars. Transforma¸c˜ao de Coordenadas As transforma¸c˜oes de coordenadas cil´ındrico-circulares, esf´ericas e outras em coordenadas carte- sianas bem como as transforma¸c˜oes inversas podem ser facilmente obtidas utilizando-se os seguintes comandos do Mathematica. 6. CoordinatesToCartesian[ pt ] Determina as coordenadas cartesianas do ponto pt, originalmente expresso em coordenadas do sistema corrente. 7. CoordinatesToCartesian[ pt , coordsys ] Determina as coordenadas cartesianas do ponto pt, originalmente expresso em coordenadas do sistema coordsys. 8. CoordinatesFromCartesian[ pt ] Determina as coordenadas no sistema corrente do ponto pt, originalmente expresso em coorde- nadas cartesianas. 9. CoordinatesFromCartesian[ pt , coordsys ] Determina as coordenadas no sistema coordsys do ponto pt, originalmente expresso em coorde- nadas cartesianas. Esses comandos tamb´em podem ser utilizados para obtenc¸˜ao das f´ormulas gerais de transforma ¸c˜ao de coordenadas. Para tanto, em lugar de expressar numericamente as coordenadas do ponto pt, utilizam-se as vari´aveis coordenadas correspondentes. Utiliza¸c˜ao do Mathematica para visualiza¸c˜ao de campos 10. ContourPlot[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ] Mapeia a fun¸c˜ao escalar f expressa em termos de x e y. Este comando aceita v´arias opc¸˜oes, discutidas durante o curso, que permitem fixar o nu´mero de contornos, as cores, o uso de sombras, o nu´mero de pontos considerados, etc. 11. VectorFieldPlot[ { f x, f y} ,{x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ] Mapeia fun¸c˜oes vetoriais bidimensionais por meio de setas, a partir de suas componentes f x e f y. 12. DensityPlot[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} ] Mapeia a fun¸c˜ao f por meio de sua densidade no espa¸co. 13. Plot[ f , {x, xmin, xmax} ] Gera um gra´fico de f em 2D, entre xmin e xmax Obs. Os comandos (10),(12) e (13) integram o pacote gra´fico padra˜o do Mathematica. J´a o comando (13) ´e parte do pacote VectorFieldPlot, que deve ser previamente carregado. Utiliza¸c˜ao do Mathematica para determina¸c˜ao da divergˆencia Como visto no experimento sobre Sistemas de Coordenadas, o pacote VectorAnalysis possui recursos que possibilitam as transforma¸c˜oes entre os principais sistemas de coordenadas em estudo. Quando utilizado em combina¸c˜ao com os recursos gra´ficos do programa, possibilitara´ a visualizac¸˜ao e a interpreta¸c˜ao de aspectos interessantes relacionados ao conceito de divergˆencia. Os comandos que permitem determinar a divergˆencia de campos vetoriais sa˜o apresentados e descritos a seguir: 14. Div[ { f x, f y, f z } ] Determina a divergˆencia do campo vetorial f, expresso em componentes no sistema de coorde- nadas corrente. 15. Div[ { f x, f y, f z }, coordsys ] Determina a divergˆencia do campo vetorial f, expresso em componentes no sistema de coorde- nadas coordsys. Obs. 1 Para problemas em duas dimenso˜es, a componenete ausente deve ser substitu´ıda por zero nos comandos acima. Obs. 2 E´ u´til, nesse contexto, o uso do comando VectorFieldPlot, apresentado no experimento anterior, acompanhado das seguintes op¸c˜oes: • ColorFunction → Hue • Axes → True, AxesLabel → {X, Y} • BackGround → RGBColor[a, b, c], em que a,b,c ≤ 1 • Frame → True • PlotLabel → Nome do Gra´fico 16. Plot3D[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, op¸c˜ao → valor ] Gera um gra´fico, em trˆes dimenso˜es, de uma fun¸c˜ao f (x, y). Algumas op¸c˜oes que podem ser usadas com esse comando, para uma melhor visualizac¸˜ao dos resultados, sa˜o: • Axes → True. AxesLabel → {X, Y, Z} • BackGround → RGBColor[a, b, c], em que a,b,c ≤ 1 • ColorFunction → Hue • Mesh → False • PlotLabel → Nome do Gra´fico • PlotPoints → K, o valor padra˜o de K ´e 15 • ViewPoint → {X, Y, Z} Utiliza¸c˜ao do Mathematica para a determina¸c˜ao do Gradiente Os pacotes VectorAnalysis e ... permitem a ana´lise do gradiente de uma fun¸c˜ao escalar expressa nos diversos sistemas de coordenadas, bem como sua visualizac¸˜ao em coordenadas cartesianas. Possibilitam ainda a representac¸˜ao, em duas dimenso˜es, das linhas de campo e das curvas equipo- tenciais de um dipolo. 17. f=Expr Define a fun¸c˜ao f na linguagem do Mathematica 18. f[x , y ]:=Expr Define a fun¸c˜ao f(x,y) na linguagem do Mathematica 19. Grad[f] Calcula o gradiente da fun¸c˜ao escalar f no sistema de coordenadas corrente 20. Grad[f, coordsys] Calcula o gradiente da fun¸c˜ao escalar f no sistema de coordenadas coordsys 21. GradientFieldPlot[ f , {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, op¸c˜ao → valor] Trac¸a o gra´fico do gradiente fun¸c˜oes escalares bidimensionais, f, em coordenadas cartesianas 22. Table[Expr, {i, imin, imax, di}] Gera uma lista de valores de Expr quando i varia de imin a imax, com intervalo di 23. PolarPlot[{ f 1, f 2, ..., f n}, {θ, θmin, θmax}] Desenha o gra´fico polar da fun¸c˜ao fem termos do ˆangulo θ, para θ ∈ (θmin, θmax) 24. Show[g1, g2, ... , gn, op¸c˜ao → valor] Combina os gra´ficos g1, g2, ..., gn em uma mesma figura, sendo g1, g2, ..., gn sa˜o seus identifi- cadores. Obs. Para identificar um gra´fico como g1 basta digitar g1= `a esquerda do comando que o gera, isto ´e, g1=comando gerador do gra´fico. Utiliza¸c˜ao do Mathematica no Mapeamento de Campo Relacionam-se, a seguir, alguns comandos que nos permitem visualizar superf´ıcies equipotenciais a partir de um arquivo de dados. 25. ReadList[”nome do arquivo”, Number, RecordList → True] Lˆe o arquivo nome do arquivo, criando uma u´nica lista de dados. O termo Number indica que os dados do arquivo sa˜o nu´meros. A op¸c˜ao RecordList → True estabelece que a lista criada pelo comando ´e formada por um conjunto de sublista, umapara cada linha do arquivo. 26. ListPlot3D[lista] Gera o gra´fico tridimensional de uma superf´ıcie a partir de uma lista de dados num´ericos. 27. ListContourPlot[lista, op¸c˜ao → valor] Gera ogra´fico de contorno a partir de uma lista de dados num´ericos. Este Manual tem apenas a pretens˜ao de apresentar as formas b´asicas de alguns dos co- mandos do Mathematica. Sua utiliza¸c˜ao eficiente requer consultas frequentes `a documen- ta¸c˜ao que acompanha o programa, particularmente no que tange `as opc¸o˜es dispon´ıveis para cada comando, bem como ao uso de comandos alternativos.