Atividade Resolvida-2022 1

10.55 A componente de campo elétrico de uma EM no ar é E = 50 cos (ωt - βx sen 45º - βz cos 45º) aₓ V/m Se, em z ≥ 0, a onda está incidindo sobre um meio sem perdas (ε = 2,25ε₀, μ = μ₀), determine a componente do campo magnético e o coeficiente de transmissão. 10.63 Por que componentes discretos de circuitos, como resistores, indutores e capacitores, não podem ser usados nas frequências de micro-ondas? 10.2 (a) Obtenha as equações (10.23) e (10.24) a partir das equações (10.18) e (10.20). (b) Usando a equação (10.29) em conjunto com as equações de Maxwell, mostre que η = \( \frac{jωμ}{γ} \) 10.55 Sabemos que o campo magnético é dado por: \( \frac{E₀}{η} \) \( \vec{a_E} \times \vec{a_k} \), onde \( \vec{a_E} \) é a direção do campo elétrico e \( \vec{a_k} \) é a direção de propagação. Como a onda está no ar, η = 120 π. Logo, \( \overrightarrow{H} = \frac{50}{120 π} \) \( \overrightarrow{a_y} \times ( \sin 45º \overrightarrow{a_x} + \cos 45º \overrightarrow{a_z}) \) \cos (\omega t - B_x \sin 45º - B_z \cos 45º) \) = \(-\cos 45º \overrightarrow{a_x} + \sin 45º \overrightarrow{a_z}) \) Portanto, \( \overrightarrow{H} = 93,8 (-\overrightarrow{a_x} + \overrightarrow{a_z}) \cos (\omega t - B_x \sin 45º - B_z \cos 45º) \) mA/m Para o coeficiente de transmissão, temos: \( \Gamma = \frac{2 N_2 \cos \theta_i}{N_2\cos \theta_i + N_1\cos \theta_t} = \frac{2}{1 + \frac{N_1}{N_2} \cos \theta_t / \cos \theta_i} \). Mas, \( \cos \theta_i = \hat{z} \cdot \hat{a_k} \) \( \theta_i = 45º \) \( N_1 = \frac{120 π}{120 π} = 1,5 \) e \( \sin 45º = \sin \theta_t + \cos \theta_t \) ou \( \mu \sqrt{ε_0 μ_0 \frac{\sqrt{2}}{2} = \mu \sqrt{μ_0 ε_0,225 \sin \theta_t = \theta_t = 28,12º} \) \( \Gamma = \frac{2}{1 + 1,5 \cos 28,12º/cos 45º} = 0,69 \) 10.2 a) Vamos partir das seguintes equações: \( γ² = jωμ (σ + jωε) \) e \( γ = α + jβ \) Mas, \( γ² = jωμ (σ + jωε) = -ω²με + jωμσ \) e o módulo quadrado de \( γ² \) é \( |γ²| = \sqrt{α² + β² + 4α²β²} = \sqrt{ (α² + β²)²} = α² + β² \) Comparando com a expressão para \( γ² \), vimos que \( α² + β² = ωμ \sqrt{σ² + ω²ε²} \) e a parte real de \( γ² \) é: \( Re( γ² ) =-ω²με = α² - β² \) Combinando as duas equações temos: \( α = ωμ \sqrt{ \frac{με}{2} \sqrt{1 + \frac{σ²}{ω²ε²} - 1} \) \( β = ωμ \sqrt{ \frac{με}{2} \sqrt{1 + \frac{σ²}{ω²ε²} + 1} \) b) Sabemos que \( \overrightarrow{E} = E₀ \cdot e^{-γz} \overrightarrow{a_x} \), Mas, pela Lei de Faraday, \( \nabla \cdot \overrightarrow{E} = - jωμ \overrightarrow{H} \) ou \( \overrightarrow{\nabla} \times E = j / \eta \rightarrow η = j \frac{ωμ}{γ} \) c) Combinando o resultado do item b) com \( γ \), temos η = \frac{\sqrt{j \omega \mu}}{\sqrt{j \omega (σ + j \omega \epsilon)}} = \frac{\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}}{\sqrt{1 - j \frac{σ}{\omega \epsilon}}}. \quad Logo, |η| = \frac{\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}}{\sqrt{1 + \frac{σ^2}{\omega^2 \epsilon^2}}}, \quad e \quad tg(2θη) = \left(\frac{\omega \mu \epsilon}{\sigma}\right)^{-1} = \frac{σ}{\omega \mu \epsilon} 10.63) Se pegarmos o comprimento de onda na faixa das micro-ondas, por exemplo por volta de 300 GHz temos λ = 1mm. Isso torna impraticável o uso de componentes de circuito como resistores, indutores e capacitores pois essa é a escala de comprimento típica desses elementos. Nessa situação, o fenômeno de interferência aparece e compromete um bom funcionamento.