Cinemática de Corpos Rígidos Tridimensionais - Capítulo 18

Cinetica de Corpos Rigidos tridimensionais cap18 Algumas relacoes foram danutais deduzidas para o movimento plano permanecem validas para o movimento geral de corpos tridimensionais ΣF m aG ΣMG HG Quantidade de movimento angular de um corpo rigido tridimensional HG n2 Σi1 ri x vi Δmi ou seja Hx ωx Σi Δmi yi2 zi2 ωy Σi Δmi xi yi ωz Σi Δmi zi xi trocando Σi Δmi dm temos Hx ωx yi2 zi2 dm ωy xy dm ωz zx dm Note que Ix y2 z2 dm Ixy xy dm J3x zx dm assim Hx Ix ωx Ixy ωy J3x ωz Obs Se os tres momentos centrais principais de inercia forem iguais Ixx Iyy Izz I HG Hx i Hy j Hz k I wx i wy j wz k só neste caso particular HG ω Redução das quantidades de movimento das particulas de um corpo rigido a um vetor quantidade de movimento e a um binario em G L zc Δmi vi A quantidade de movimento angular em relação ao ponto O pode ser obtido da expressão HO rG x m vG HG Quantidade de movimento angular de um corpo rígido restrito a girar em torno de um ponto fixo H0 pode ser determinado através da relação ao lado Mas H0 também pode ser determinados pela relação Σni1 ri x vi Δmi onde ri e vi são o vetor posição e a velocidade da partícula i em relação ao ponto fixo O Movimento de um corpo rígido tridimensional Como dessemos as equações fundamentais do momento são ΣF maG e ΣMG HG HG G x y z x y z eixos rotativos x y z eixos fixos no corpo Corpo gira Não é vantagem saber HG em relação aos eixos x y z pois os momentos e produtos de inércia variam continuamente É mais conveniente escolher um sistema xyz fixo no corpo garantindo que os momentos de inércia e produtos de inércia fiquem constantes A taxa de mudança de HG em relação ao referencial rotativo Gxyz é HGGxyz Hx i Hy j Hz k com v ω e Gxyz escolhidos para compor aos eixos principais de inércia HG HGGxyz v x HG HG em relação a G x y z de orientação fixa HGGxyz taxa de variação de HG em relação ao referencial rotativo Gxyz v velocidade angular de Gxyz v ω De outra forma ΣMG HGGxyz v x HG Equações de Euler do movimento Extensão do princípio de DAlembert ao movimento de um corpo rígido tridimensional Se x y z foram escolhidos de modo a coincidir com os eixos principais de inércia do corpo escrevemos overrightarrowHG Ix omegax hati Iy omegay hatj Iz omegaz hatk rightarrow Mi rightarrow Momentos centrais de Inércia do corpo Ix Iy Iz Então Sigma overrightarrowMG leftoverrightarrowHGrightG imes yz overrightarrowomega imes overrightarrowHG Sigma Mx Ix omegax Iy Iz omegay omegaz Sigma My Iy omegay Iz Ix omegaz omegax Sigma Mz Iz omegaz Ix Iy omegax omegay A equação do movimento de Euler junto com as equações Sigma Fx m Gx Sigma Fy m Gy Sigma Fz m Gz formam um sistema de seis equações diferenciais Que com condições iniciais adequadas possuem uma solução única O que nos leva a concluir que O movimento de um corpo rígido tridimensional é completamente definido pela resultante das forças externas que agem sobre ele e pelo momento resultante dessas forças Aplicase também neste caso o princípio de DAlembert Movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo Equações escritas em relação ao ponto O Sigma overrightarrowM0 overrightarrowH0 overrightarrowH0 taxa de variação de overrightarrowH0 em relação OXYZ Como antes Sigma M0 leftoverrightarrowH0rightOxyz overrightarrowI imes overrightarrowO leftoverrightarrowH0rightbxyz taxa de variação de overrightarrowH0 em relação ao referencial rotativo OXYZ overrightarrowomega velocidade angular de OXYZ se ligado ao corpo overrightarrowomega overrightarroww Rotação de um corpo rígido em relação a um eixo fixo Consideramos o eixo fixo na direção z z Casos particulares 1 Corpo rotativo simétrico em relação a xy PR 183 pag 593 Barra delgada AB 2m m20kg Determinação de vecHG sum vecF sum vecFeff Exemplo PR 187 M Ix α M 213 m k² α α 3M2mh² Exercícios recomendados para fixação da teoria 183 Uma placa fina quadrada e homogênea de massa m e lado a é soldada a um eixo vertical AB formando com ele um ângulo de 45 Sabendo que o eixo gira com uma velocidade angular constante ω determine a quantidade de movimento angular da placa em relação ao ponto A 1855 Determine a taxa de variação dotH da quantidade de movimento angular Hg do conjunto do Problema 181