Mecânica Vetorial para Engenheiros - 9ª Edição

Mecânica Vetorial para Engenheiros 9ª Edição BEEr Johnston CornwEll DInÂMICA Com unidades no Sistema Internacional B415m Beer Ferdinand P Mecânica vetorial para engenheiros recurso eletrônico dinâmica Ferdinand P Beer E Russell Johnston Jr Phillip J Cornwell tradução Antônio Eustáquio de Melo Pertence revisão técnica Antonio Pertence Júnior 9 ed Dados eletrônicos Porto Alegre AMGH 2012 Editado também como livro impresso em 2012 ISBN 9788580551440 1 Engenharia mecânica I Johnston E Russell Jr II Cornwell Phillip J III Título CDU 621 Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB 102052 Tradução Antônio Eustáquio de Melo Pertence Mestre e Doutor em Engenharia Metalúrgica e de Minas pela UFMG Professor do Departamento de Engenharia Mecânica da UFMG Revisão Técnica Antonio Pertence Júnior Mestre em Engenharia Mecânica pela UFMG Professor da Faculdade de Engenharia e Arquitetura FEA da Universidade FUMECMG 2012 FERDINAND P BEER Exprofessor da Lehigh University E RUSSELL JOHNSTON JR University of Connecticut PHILLIP J CORNWELL RoseHulman Institute of Technology Versão impressa desta obra 2012 Mecânica Vetorial para Engenheiros DINÂMICA ª Edição Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à AMGH EDITORA LTDA uma parceria entre GRUPO A EDUCAÇÃO SA e McGRAWHILL EDUCATION Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora Unidade São Paulo Av Embaixador Macedo Soares 10735 Pavilhão 5 Cond Espace Center Vila Anastácio 05095035 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 wwwgrupoacombr IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Obra originalmente publicada sob o título Vector Mechanics for Engineers Dynamics 9th Edition ISBN 007724961X9780077249168 Copyright 2009 The McGrawHill Companies Inc All rights reserved Portugueselanguage translation copyright 2012 AMGH Editora Ltda All rights reserved Capa Maurício Pamplona arte sobre capa original Foto de capa John Peter PhotographyAlamy Leitura final Grace Guimarães Mosquera Gerente editorial CESA Arysinha Jacques Affonso Editora sênior Viviane R Nepomuceno Assistente editorial Kelly Rodrigues dos Santos Projeto e editoração Techbooks BeerIniciaisindd iv BeerIniciaisindd iv 120712 0935 120712 0935 As pessoas se perguntam como Ferd Beer e Russ Johnston puderam es crever em conjunto seus livros uma vez que um estava em Lehigh e ou tro na University of Connecticut A resposta para essa pergunta é simples A primeira nomeação como docente de Russ Johnston foi para o Departamento de Engenharia Civil e Mecânica na Lehigh University Lá ele conheceu Ferd Beer que já trabalhava no departamento há dois anos e era o coordenador dos cursos de mecânica Ferd ficou contente ao descobrir que o seu novo colega contratado principalmente para ministrar cursos de pósgraduação de engenharia estrutural não só se dispunha mas também estava ansioso para ajudá lo a reestruturar os cursos de mecânica Ambos acreditavam que esses cursos deveriam ser ensinados a partir de alguns princípios básicos e que os conceitos envolvidos seriam melhor compreendidos e lembrados pe los alunos se fossem apresentados de maneira gráfica Juntos eles trans creveram anotações de aula em estática e dinâmica e posteriormente acrescentaram problemas motivadores para os futuros engenheiros Logo produziram o original da primeira edição do Mechanics for Engineers publicado em junho de 1956 Na segunda edição de Mechanics for Engineers e na primeira edição de Vector Mechanics for Engineers Russ Johnston já estava no Worcester Polytechnic Institute e nas edições seguintes na University of Connecti cut Enquanto isso tanto Ferd como Russ assumiram responsabilidades administrativas em seus departamentos e se envolveram em pesquisa consultoria e supervisão de estudantes da pósgraduação Ferd na área de processos estocásticos e vibrações aleatórias e Russ na área de estabilida de elástica e análise de projetos estruturais No entanto o interesse deles em aprimorar o ensino das disciplinas básicas de mecânica não diminuiu e ambos ministraram partes desses cursos enquanto continuavam revi sando seus textos e começaram a escrever os originais da primeira edição do livro Mechanics of Materials Essa parceria durou mais de meio século e rendeu várias revisões bemsucedidas de seus livros As contribuições de Ferd e Russ para o ensino da engenharia lhes valeram uma série de homenagens e prêmios Eles foram condecorados com o Western Electric Fund Award da Ame rican Society for Engineering Education pela excelência no ensino de es tudantes de engenharia em suas respectivas regionais Ambos receberam também o Distinguished Educator Award concedido pela Mechanics Division da mesma sociedade Desde 2001 o prêmio New Mechanics Educator Award da Mechanics Division passou a ter este nome em ho menagem aos autores Beer e Johnston Ferdinand P Beer Nascido na França e educado na França e na Suíça é Mestre em Ciências pela Sorbonne e Doutor em Mecânica Teórica pela University of Genebra Radicouse nos Estados Unidos após servir ao exército francês no início da Segunda Grande Guerra e lecionar duran te quatro anos no Williams College no programa conjunto da Williams MIT em artes e engenharia Após trabalhar no Williams College Ferd ingressou no corpo docente da Lehigh University onde lecionou durante 37 anos Ocupou vários cargos incluindo o de Professor Emérito da Uni versidade e chefe do Departamento de Engenharia Mecânica Em 1995 Ferd foi agraciado com o título honorário de Doutor em Engenharia pela Lehigh University SOBRE OS AUTORES BeerIniciaisindd v BeerIniciaisindd v 120712 0935 120712 0935 vi Sobre os autores E Russell Johnston Jr Nascido na Filadélfia Russ recebeu o título de Bacharel em Engenharia Civil da University of Delaware e o títu lo de Doutor em Engenharia Estrutural do Massachusetts Institute of Technology Lecionou na Lehigh University e no Worcester Polytechnic Institute antes de se juntar ao corpo docente da University of Connecti cut onde ocupou o cargo de chefe do Departamento de Engenharia Ci vil e lecionou por 26 anos Em 1991 Russ recebeu o prêmio Outstanding Civil Engineer Award pela Connecticut Section da American Society of Civil Engineers Phillip J Cornwell Phil recebeu o título de Bacharel em Engenharia Mecânica pela Texas Tech University e título de Metre e Doutor em En genharia Mecânica e Aeroespacial pela Princeton University Atualmente é professor de engenharia mecânica no RoseHulman Institute of Tech nology onde ensina desde 1989 Seus interesses atuais incluem dinâmica estrutural monitoramento da saúde estrutural e ensino na graduação de engenharia Phil passa seus verões trabalhando em Los Alamos Natio nal Laboratory onde é o conselheiro da Los Alamos Dynamics Summer School e faz pesquisa na área de monitoramento da saúde estrutural Phil recebeu o prêmio SAE Ralph R Teetor Educational em 1992 o prêmio Deans Outstanding Scholar em RoseHulman em 2000 e o prêmio Board of Trustees Outstanding Scholar em RoseHulman em 2001 BeerIniciaisindd vi BeerIniciaisindd vi 120712 0935 120712 0935 Objetivos O principal objetivo de um primeiro curso de mecânica deve ser desen volver no estudante de engenharia a capacidade de analisar qualquer problema de modo simples e lógico e aplicar à sua solução alguns poucos princípios básicos bem conhecidos Esperase que este texto assim como o volume anterior Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática auxilie o professor a alcançar esse objetivo Abordagem geral A análise vetorial foi introduzida no início do primeiro volume e usada na apresentação dos princípios básicos de estática assim como para a reso lução de muitos problemas em particular de problemas tridimensionais Analogamente o conceito de diferenciação vetorial será introduzido logo no início deste volume e a análise vetorial será usada ao longo de toda a apresentação dos conceitos de dinâmica Essa abordagem leva a deduções mais concisas dos princípios fundamentais da mecânica Também torna possível analisar muitos problemas de cinemática e cinética que não pode riam ser resolvidos por métodos escalares No entanto a ênfase do texto permanece sendo a compreensão correta dos princípios da mecânica e a sua aplicação à solução de problemas de engenharia sendo a análise veto rial apresentada principalmente como uma ferramenta adequada Aplicações práticas são imediatamente apresentadas Uma das características da abordagem adotada neste livro é que a mecânica de partículas é claramente separada da mecânica de corpos rígidos Essa abordagem nos possibilita considerar aplicações práticas e simples já em um estágio inicial e postergar a introdução de conceitos mais complexos Por exemplo No volume de Estática a estática de partículas foi tratada em pri meiro lugar e o princípio de equilíbrio de uma partícula foi ime diatamente aplicado a situações práticas envolvendo apenas forças concorrentes A estática de corpos rígidos foi considerada mais tarde na ocasião em que os produtos escalares e vetoriais de dois vetores foram introduzidos e usados para definir o momento de uma força em relação a um ponto e em relação a um eixo No volume de Dinâmica a mesma divisão foi observada Os conceitos básicos de força massa e aceleração de trabalho e energia e de impul so e quantidade de movimento são introduzidos e aplicados em pri meiro lugar a problemas que envolvem somente partículas Assim os estudantes podem se familiarizar com os três métodos básicos usados em dinâmica e aprender suas respectivas vantagens antes de se defron tar com as dificuldades associadas ao movimento de corpos rígidos Novos conceitos são apresentados em termos simples Consi derando que este texto foi desenvolvido para um primeiro curso de di nâmica os conceitos novos são apresentados em termos simples e cada etapa é explicada em detalhe Por outro lado ao discutir os aspectos mais Em um texto paralelo em inglês Mechanics for Engineers Dynamics 5 a edição o uso de álgebra vetorial fica limitado à adição e subtração de vetores e o diferencial de um vetor é omitido PREFÁCIO BeerIniciaisindd vii BeerIniciaisindd vii 120712 0935 120712 0935 viii Prefácio amplos dos problemas considerados e ao acentuar os métodos de aplica ção geral atingiuse uma maturidade definitiva de abordagem Por exem plo o conceito de energia potencial é discutido no contexto geral de força conservativa Além disso o estudo do movimento plano de corpos rígidos foi projetado para conduzir naturalmente ao estudo de seu movimento mais geral no espaço Isso é verdadeiro tanto em cinemática como em cinética onde o princípio de equivalência de forças efetivas e externas é aplicado diretamente à análise do movimento plano facilitando assim a transição para o estudo do movimento tridimensional Princípios fundamentais são apresentados no contexto de apli cações simples O fato de a mecânica ser essencialmente uma ciên cia dedutiva baseada em poucos princípios fundamentais é acentuado As derivações são apresentadas em sua sequência lógica e com todo o rigor permitido neste nível Entretanto como o processo de aprendiza gem é amplamente indutivo as aplicações simples são consideradas em primeiro lugar Por exemplo A cinemática de partículas Cap 11 precede a cinemática de corpos rígidos Cap 15 Os princípios fundamentais da cinética de corpos rígidos são apli cados primeiro à solução de problemas bidimensionais Caps 16 e 17 que podem ser mais facilmente visualizados pelo estudante enquanto os problemas tridimensionais são abordados somente no Cap 18 A apresentação dos princípios de cinética é unificada A nona edição de Mecânica Vetorial para Engenheiros manteve a apre sentação unificada de cinética que caracterizou as oito edições ante riores Os conceitos de quantidade de movimento linear e angular são introduzidos no Cap 12 de modo que a segunda lei de Newton do movimento possa ser apresentada não apenas em sua forma conven cional F ma mas também como uma lei que relaciona respecti vamente a soma das forças que agem sobre uma partícula e de seus momentos às taxas de variação da quantidade de movimento linear e angular da partícula Isso torna possível introduzir antecipadamente o princípio de conservação da quantidade de movimento angular e discutir de maneira mais significativa o movimento de uma partícula sujeita a uma força central Seção 129 Mais importante ainda essa abordagem pode ser prontamente estendida ao estudo do movimento de um sistema de partículas Cap 14 e leva a um tratamento mais conciso e unificado da cinética de corpos rígidos bi e tridimensionais Caps de 16 a 18 Diagramas de corpo livre são usados tanto para resolver pro blemas de equilíbrio como para expressar a equivalência de sistemas de forças Diagramas de corpo livre foram previamen te introduzidos em estática e sua importância é enfatizada ao longo de todo o livro Eles foram usados não apenas para resolver problemas de equilíbrio mas também para expressar a equivalência de dois sistemas de forças ou de modo geral de dois sistemas de vetores A vantagem dessa abordagem tornase aparente no estudo da dinâmica de corpos rí gidos onde é usada para resolver tanto problemas tridimensionais como bidimensionais Ao dar maior ênfase às equações baseadas no diagrama de corpo livre do que às equações algébricas do movimento é possí BeerIniciaisindd viii BeerIniciaisindd viii 120712 0935 120712 0935 Prefácio ix vel chegar a uma compreensão mais intuitiva e completa dos princípios fundamentais da dinâmica Essa abordagem introduzida pela primeira vez em 1962 na primeira edição de Mecânica Vetorial para Engenheiros tem hoje ampla aceitação entre os professores de mecânica deste país Por essa razão ela é usada preferencialmente ao método do equilíbrio dinâmico e às equações do movimento na apresentação de todos os pro blemas resolvidos deste livro Seções opcionais oferecem tópicos avançados ou especializa dos Um grande número de seções opcionais foi incluído nesta edição Essas seções são indicadas por asteriscos de modo a distinguilas facilmen te daquelas que constituem o núcleo do curso básico de dinâmica Elas podem ser omitidas sem prejuízo à compreensão do restante do texto Os tópicos incluídos nas seções opcionais incluem métodos gráficos para a resolução de problemas de movimento retilíneo a trajetória de uma partícula sujeita a uma força central a deflexão de correntes de flui do problemas que envolvem a propulsão a jato e de foguetes a cinemá tica e a cinética de corpos rígidos tridimensionais vibrações mecânicas amortecidas e analogias elétricas Esses tópicos serão considerados de particular interesse quando a dinâmica for ensinada no curso básico de engenharia O material apresentado no texto e a maioria dos problemas não re querem conhecimento matemático prévio além de álgebra trigonome tria e cálculo elementar e os elementos de álgebra vetorial apresentados nos Caps 2 e 3 do volume de estática Entretanto foram incluídos pro blemas especiais que fazem uso de um conhecimento mais avançado de cálculo e certas seções tais como as Seções 198 e 199 sobre vibrações amortecidas somente devem ser ministradas se os estudantes tiverem embasamento matemático apropriado Nas partes do texto que empre gam o cálculo elementar uma ênfase maior é dada à compreensão e apli cação corretas dos conceitos de diferenciação e integração em relação à manipulação rápida de fórmulas matemáticas Nesse contexto devese mencionar que a determinação dos centroides de áreas compostas prece de o cálculo de centroides por integração tornando possível então esta belecer firmemente o conceito de momento de área antes de introduzir o uso do conceito de integração Organização dos capítulos e aspectos didáticos Introdução do capítulo Cada capítulo começa com uma seção in trodutória estabelecendo o propósito e as metas do capítulo e descreven do em linguagem simples os tópicos a serem analisados e suas aplicações à solução de problemas de engenharia O novo sumário no início dos ca pítulos fornece aos estudantes uma ideia prévia dos tópicos do capítulo Lições do capítulo O corpo do texto é dividido em unidades cada qual constituída por uma ou várias seções teóricas um ou vários pro blemas resolvidos e um grande número de problemas propostos Cada unidade corresponde a um tópico bem definido e geralmente pode ser Para a conveniência do leitor algumas definições e propriedades úteis de álgebra vetorial foram resumidas no Apêndice A no final deste volume Além disso as Seções de 911 a 918 do volume de Estática que tratam de momentos de inércia de massas foram repro duzidas no Apêndice B BeerIniciaisindd ix BeerIniciaisindd ix 120712 0935 120712 0935 x Prefácio coberta em uma aula Em certos casos porém o professor poderá con siderar desejável dedicar mais de uma aula a um dado tópico Em inglês o professor tem à disposição o Instructors and Solutions Manual que contém sugestões de apoio para cada lição Problemas resolvidos Os problemas resolvidos são planejados em grande parte no mesmo formato que o estudante usará para resolver os problemas propostos Logo eles servem a um duplo propósito ampliar o texto e demonstrar o tipo de trabalho claro e ordenado que os estudantes devem desenvolver em suas próprias soluções Metodologia para a resolução de problemas Uma seção intitu lada Metodologia para a Resolução de Problemas está incluída em cada seção entre os problemas resolvidos e os problemas propostos O ob jetivo dessa seção é ajudar os estudantes a organizarem mentalmente a teoria apresentada no texto e os métodos de solução dos problemas re solvidos de modo que possam ser mais bemsucedidos na solução dos problemas propostos Também estão incluídas nessas seções sugestões específicas e estratégias que habilitarão o estudante a uma abordagem mais eficaz de qualquer problema proposto Conjuntos de exercícios propostos A maioria dos problemas é de natureza prática o que deve motivar os estudantes de engenharia No entanto eles foram concebidos sobretudo para ilustrar o material apre sentado no livro e auxiliar os estudantes a compreenderem os princípios da mecânica Os problemas estão agrupados de acordo com as partes do material que ilustram e estão dispostos em ordem crescente de dificul dade Os problemas que requerem atenção especial estão indicados por asteriscos Para 70 dos problemas as respostas são dadas no final do li vro Os problemas para os quais são dadas respostas estão numerados em fonte sem itálico no texto enquanto aqueles que não trazem a resposta estão numerados em itálico Revisão e resumo Cada capítulo termina com uma revisão e um re sumo do material analisado do próprio capítulo Notas de margem são usadas para ajudar os estudantes a organizar seu trabalho de revisão e referências cruzadas foram incluídas para ajudálos a encontrar as partes do material que requerem sua atenção especial Problemas para revisão Um conjunto de problemas de revisão está incluído ao final de cada capítulo Esses problemas fornecem aos estu dantes uma oportunidade adicional de aplicar os conceitos mais impor tantes apresentados no capítulo Problemas com utilização do computador Cada capítulo inclui um conjunto de problemas concebidos para serem resolvidos com pro gramas de computador Muitos desses problemas são relevantes para o desenvolvimento de projetos Por exemplo eles podem envolver a deter minação do movimento de uma partícula sob condições iniciais a análise cinemática ou cinética de mecanismos em posições sucessivas ou a inte gração numérica de várias equações de movimento O desenvolvimento do algoritmo necessário para resolver um dado problema de mecânica ajudará o estudante de duas maneiras 1 irá ajudálo a adquirir uma me BeerIniciaisindd x BeerIniciaisindd x 120712 0935 120712 0935 Prefácio xi lhor compreensão dos princípios de mecânica envolvidos 2 proporcio nará uma oportunidade de aplicar seus conhecimentos de computação para a solução de um problema significativo de engenharia Suplementos Um extenso pacote de suplementos destinado aos professores está dis ponível no site wwwgrupoacombr área do professor sob proteção de senha Lá constam soluções de exercícios em inglês lâminas de Power Point em português entre outros materiais listados a seguir Instructors and Solutions Manual Em inglês o professor tem à disposição o Instructors and Solutions Manual que apresenta a solução de problemas propostos no formato um por página Este manual tam bém apresenta uma série de tabelas destinadas a auxiliar os professores na criação de um cronograma de trabalhos para o seu curso Os vários tó picos abordados no texto estão listados na Tabela I e um número sugeri do de períodos a ser gasto em cada tópico é indicado A Tabela II fornece uma breve descrição de todos os grupos de problemas e uma classificação dos problemas em cada grupo de acordo com as unidades usadas Crono gramas de aulas são mostrados nas Tabelas III IV e V junto a várias listas opcionais de exercícios para resolver Agradecimentos Agradecemos especialmente a Amy Mazurek do Williams Memorial Institute que verificou cuidadosamente as soluções e respostas de to dos os problemas nesta edição e preparou as soluções para o Instructors and solutions manual Yohannes Ketema da Minnesota University David Oglesby da MissouriRolla University e Daniel W Yannitell da Louisiana State University Reconhecemos de bom grado o trabalho de Dennis Ormond da Fine Line Illustrations pelas habilidosas ilustrações que tanto contribuíram para a eficácia do texto Os autores agradecem às várias empresas que forneceram fotografias para esta edição Também gostaríamos de reconhecer os esforços e a pa ciência de nossa pesquisadora de fotos Sabina Dowell Os autores também são gratos à equipe da McGrawHill pelo apoio e dedicação durante a preparação desta nova edição e especialmente pelas contribuições de Stenquist Bill Lora Ncyens e Sheila Frank Finalmente os autores agradecem os muitos comentários e sugestões oferecidas pelos usuários das edições anteriores deste livro E Russell Johnston Jr Phillip J Cornwell N de E Os professores que adotam esta obra estão convidados a se cadastrar no site do Grupo A para conhecer os recursos de apoio disponíveis BeerIniciaisindd xi BeerIniciaisindd xi 120712 0935 120712 0935 A LISTA DE SIMBOLOS aaAceleragdo a Constante raio distancia semieixo maior da elipse aa Aceleragdo do centro de massa a Aceleragdo de B relativa a um referencial em translagao com A a Aceleragdo de P relativa a um referencial rotativo a Aceleragao de Coriolis ABC Reagdes em apoios e conexdes A B C Pontos A Area b Largura distancia semieixo menor da elipse c Constante coeficiente de amortecimento viscoso C Centroide centro instanténeo de rotagdo capaciténcia d Distancia ee Vetor unitdrio ao longo da normal e tangente ee Vetor unitdrio na diregdo radial e transversal e Coeficiente de restituigdo base dos logaritmos naturais E Energia mecnica total voltagem f Fungdo escalar f Frequéncia de vibragdo forgada f Frequéncia natural F Forga forga de atrito g Aceleragéo da gravidade G Centro de gravidade centro de massa constante gravitacional h Quantidade de movimento angular por unidade de massa H Quantidade de movimento angular em relagdo ao ponto O Ho Taxa de variagao da quantidade de movimento angular Hg com relagdo a um referencial de orientagdo fixa Helo Taxa de variagdo da quantidade de movimento angular H com relagdo a um referencial rotativo Gxyz ijk Vetores unitdrios ao longo dos eixos coordenados i Corrente I 1 Momentos de inércia 1 Momento de inércia centroidal Lyre Produtos de inércia J Momento de inércia polar k Constante de mola kk kg Raios de giragéo k Raio de giracéo em relacao ao centroide Comprimento L Quantidade de movimento linear L Comprimento indutdncia m Massa m Massa por unidade de comprimento M Bindrio momento M Momento em relagao ao ponto O MS Momento resultante em relagdo ao ponto O M Intensidade do bindrio ou momento massa da Terra Mo Momento em relagdo ao eixo OL n Diregao normal N Componente normal da reagéo O Origem das coordenadas P Forga vetor xiv Lista de simbolos P Taxa de variagdo do vetor P em relagdo a um referencial de orientagdo fixa q VazGo em massa de um escoamento carga elétrica QForga vetor Q Taxa de variagdo do vetor Q em relagdo a um referencial de orientagdo fixa Qo Taxa de variagdo do vetor Q em relagdo a um referencial Oxyz rVetor posigdo rz Vetor posigdo de B em relagdo a A r Raio distancia coordenada polar R Forga resultante vetor resultante reagdo R Raio da Terra resistncia s Vetor posigdo s Comprimento de arco comprimento de cabo t Tempo espessura diregdo tangencial T Forga T Tragdo energia cinética uVelocidade u Varidvel U Trabalho vv Velocidade vv Velocidade do centro de massa vz Velocidade de B relativa a um referencial em translagao com A Vpjz Velocidade de P relativa a um referencial rotativo VProduto vetorial V Volume energia potencial w Carga por unidade de comprimento W W Peso carga x Z Coordenadas retangulares distdncias x y Z Derivadas temporais das coordenadas x y z x y Z Coordenadas retangulares do centroide do centro de gravidade ou do centro de massa aa Aceleragdo angular a B y Angulos y Peso especifico 5 Alongamento é Excentricidade da segdo cénica ou de érbita A Vetor unitdrio ao longo de uma linha ny Rendimento ou eficiéncia 6 Coordenada angular Angulo de Euler Angulo coordenada polar bh Coeficiente de atrito p Massa especifica raio de curvatura Tt Tempo periddico 7 Periodo de vibragdo livre Angulo de atrito Angulo de Euler Angulo de fase Angulo gy Diferenga de fase Angulo de Euler w Velocidade angular w Frequéncia circular de vibragdo forgada w Frequéncia circular natural Q Velocidade angular do referencial Brasil Portugal Angular de um sistema Momento angular de um sistema Ângulo de tiro Ângulo de disparo Balanceamento Equilibragem Balanceamento de eixos rotativos Equilibragem de veios rotativos Centro do corporal Rolante Centro do espacial Base Componentes retangulares Componentes cartesianas Componentes retangulares escalares Componentes rectangulares Cone corporal Cone de corpo Deslizamento Escorregamento Eficiência global Rendimento global Eficiência de uma máquina Rendimento de uma máquina Eficiência mecânica Rendimento mecânico Eixo centroidal Eixo baricêntrico Empuxo Força de propulsão Esteira transportadora ou rolante Transportadora de correia Fluxo permanente de partículas Fluxo estacionário de partículas Freio Travão Impacto Choque Impacto central de dois corpos Choque central de dois corpos Impacto central direto Choque central directo Impacto central oblíquo Choque central oblíquo Impacto direto Choque directo Impacto oblíquo Choque oblíquo Linha de impacto Normal de choque Momento linear Quantidade de movimento Momentos centroidais de inércia de massa Momentos de inércia de massa Momentos centroidais principais de inércia Momentos centrais de inércia Movimento restrito Movimento restringido Ônibus Autocarro Pino Articulação Produto vetorial Produto externo Produto escalar Produto interno Produtos centroidais de inércia de massa Produtos de inércia de massa Quantidade de movimento angular Momento angular Quantidade de movimento linear Quantidade de movimento Referencial centroidal Referencial baricêntrico Rolamento Transportador rolante Rotação centroidal Rotação baricêntrica Rotação nãocentroidal Rotação nãobaricêntrica Suporte Apoio Trabalho potência produzido Trabalho potência de saída Trabalho potência absorvido Trabalho potência de entrada Trem Combóio Vínculo conexão Ligação EQUIVALÊNCIA DE TERMOS TÉCNICOS BeerIniciaisindd xv BeerIniciaisindd xv 120712 0935 120712 0935 Sumário resumido A disciplina Mecânica vetorial para engenheiros é composta de dois grandes temas que por sua vez dão nome a dois livros clássicos publicados no Brasil pela Bookman Editora Além deste volume sobre dinâmica conheça também o estática ISBN 9788580550477 que contém os 10 capítulos iniciais sobre o tema da mecânica vetorial 1 Introdução 2 Estática de partículas 3 Corpos rígidos sistemas equivalentes de forças 4 Equilíbrio de corpos rígidos 5 Força distribuídas centroides e centros de gravidade 6 Análise de estruturas 7 Forças em vigas e cabos 8 Atrito 9 Forças distribuídas momento de inércia 10 Método de trabalho virtual MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS ESTÁTICA Mecânica Vetorial para Engenheiros 9ª Edição BEER JOHNSTON MAZUREK EISENBERG ESTÁTICA Com unidades no Sistema Internacional BeerIniciaisindd xvi BeerIniciaisindd xvi 020812 1634 020812 1634 SUMÁRIO 11 Cinemática de partículas 605 111 Introdução à dinâmica 606 Movimento retilíneo de partículas 607 112 Posição velocidade e aceleração 607 113 Determinação do movimento de uma partícula 611 114 Movimento retilíneo uniforme 620 115 Movimento retilíneo uniformemente acelerado 621 116 Movimento de muitas partículas 622 117 Solução gráfica de problemas de movimento retilíneo 634 118 Outros métodos gráficos 635 Movimento curvilíneo de partículas 645 119 Vetor posição velocidade e aceleração 645 1110 Derivadas de funções vetoriais 647 1111 Componentes retangulares de velocidade e aceleração 649 1112 Movimento relativo a um sistema de referência em translação 650 1113 Componentes tangencial e normal 669 1114 Componentes radial e transversal 672 Revisão e resumo 686 Problemas de revisão 690 Problemas para resolver no computador 692 12 Cinemática de partículas a segunda lei de Newton 695 121 Introdução 696 122 A segunda lei de Newton do movimento 697 123 Quantidade de movimento linear de uma partícula Taxa de variação da quantidade de movimento linear 698 124 Sistemas de unidades 699 125 Equações de movimento 700 126 Equilíbrio dinâmico 701 127 Quantidade de movimento angular de uma partícula Taxa de variação da quantidade de movimento angular 725 128 Equações do movimento em termos de componentes radial e transversal 726 129 Movimento sujeito a uma força central Conservação da quantidade de movimento angular 727 1210 Lei de Newton da gravitação 728 BeerIniciaisindd xvii BeerIniciaisindd xvii 120712 0935 120712 0935 xviii Sumário 1211 Trajetória de uma partícula sob uma força central 738 1212 Aplicação à mecânica espacial 739 1213 Leis de Kepler do movimento planetário 742 Revisão e resumo 750 Problemas de revisão 754 Problemas para resolver no computador 757 13 Cinética de partículas métodos de energia e quantidade de movimento 759 131 Introdução 760 132 Trabalho de uma força 760 133 Energia cinética de uma partícula Princípio de trabalho e energia 764 134 A aplicação do princípio de trabalho e energia 766 135 Potência e eficiência 767 136 Energia potencial 786 137 Forças conservativas 788 138 Conservação da energia 789 139 Movimento sob uma força central conservativa Aplicação à mecânica espacial 791 1310 Princípio de impulso e quantidade de movimento 810 1311 Movimento impulsivo 813 1312 Impacto 825 1313 Impacto central direto 825 1314 Impacto central oblíquo 828 1315 Problemas envolvendo energia e quantidade de movimento 831 Revisão e resumo 847 Problemas de revisão 853 Problemas para resolver no computador 856 14 Sistemas de partículas 859 141 Introdução 860 142 Aplicação das leis de Newton ao movimento de um sistema de partículas Forças efetivas 860 BeerIniciaisindd xviii BeerIniciaisindd xviii 120712 0935 120712 0935 Sumário xix 143 Quantidade de movimento linear e angular de um sistema de partículas 863 144 Movimento do centro de massa de um sistema de partículas 864 145 Quantidade de movimento angular de um sistema de partículas em relação ao seu centro de massa 866 146 Conservação da quantidade de movimento para um sistema de partículas 868 147 Energia cinética de um sistema de partículas 876 148 Princípio de trabalho e energia Conservação de energia para um sistema de partículas 878 149 Princípio de impulso e quantidade de movimento para um sistema de partículas 878 1410 Sistemas variáveis de partículas 889 1411 Fluxo permanente de partículas 889 1412 Sistemas que ganham ou perdem massa 892 Revisão e resumo 909 Problemas de revisão 913 Problemas para resolver no computador 916 15 Cinemática de corpos rígidos 919 151 Introdução 920 152 Translação 922 153 Rotação em torno de um eixo fixo 923 154 Equações definidoras da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo 926 155 Movimento plano geral 936 156 Velocidade absoluta e velocidade relativa no movimento plano 938 157 Centro instantâneo de rotação no movimento plano 950 158 Aceleração absoluta e aceleração relativa no movimento plano 961 159 Análise do movimento plano em termos de um parâmetro 963 1510 Taxa de variação de um vetor em relação a um sistema de referência rotativo 975 1511 Movimento plano de uma partícula em relação a um sistema de referência rotativo Aceleração de Coriolis 977 1512 Movimento em torno de um ponto fixo 988 1513 Movimento geral 991 BeerIniciaisindd xix BeerIniciaisindd xix 120712 0935 120712 0935 1514 Movimento tridimensional de uma particula em relagdo a um sistema de referéncia rotativo Aceleragdo de Coriolis 1002 1515 Sistema de referncia em movimento geral 1003 Revisdo eresumo 1015 Problemas de revisGdo 1022 Problemas para resolver no computador 1025 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas eaceleragdes 1029 161 Introdugao 1030 162 Equagées de movimento para um corpo rigido 1031 163 Quantidade de movimento angular de um corpo rigido em movimento plano 1032 164 Movimento plano de um corpo rigido Principio de DAlembert 1033 165 Um comentdrio sobre os axiomas da mecdnica de corpos rigidos 1034 166 Solugdo de problemas envolvendo o movimento de um corpo rigido 1035 167 Sistemas de corpos rigidos 1036 168 Movimento plano com restrigdes 1056 Revisdo eresumo 1078 Problemas de revisGo 1080 Problemas para resolver no computador 1083 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1085 171 Introdugao 1086 172 Principio de trabalho e energia para um corpo rigido 1086 173 Trabalho de forgas que agem sobre um corpo rigido 1087 174 Energia cinética de um corpo rigido em movimento plano 1088 175 Sistemas de corpos rigidos 1089 176 Conservagdo de energia 1090 177 Poténcia 1091 178 Principio de impulso e quantidade de movimento para o movimento plano de um corpo rigido 1107 Sumário xxi 179 Sistemas de corpos rígidos 1109 1710 Conservação da quantidade de movimento angular 1110 1711 Movimento impulsivo 1123 1712 Impacto excêntrico 1123 Revisão e resumo 1139 Problemas de revisão 1143 Problemas para resolver no computador 1146 18 Cinética de corpos rígidos tridimensionais 1149 181 Introdução 1150 182 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido tridimensional 1151 183 Aplicação do princípio de impulso e quantidade de movimento ao movimento tridimensional de um corpo rígido 1155 184 Energia cinética de um corpo rígido tridimensional 1156 185 Movimento de um corpo rígido tridimensional 1169 186 Equações de Euler do movimento Extensão do princípio de dAlembert ao movimento de um corpo rígido tridimensional 1170 187 Movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo 1171 188 Rotação de um corpo rígido em torno de um ponto fixo 1172 189 Movimento de um giroscópio Ângulos de Euler 1188 1810 Precessão em regime permanente de um giroscópio 1190 1811 Movimento de um corpo com simetria axial livre de forças 1191 Revisão e resumo 1205 Problemas de revisão 1210 Problemas para resolver no computador 1213 19 Vibrações mecânicas 1217 191 Introdução 1218 Vibrações sem amortecimento 1218 192 Vibrações livres de partículas Movimento harmônico simples 1218 193 Pêndulo simples solução aproximada 1222 194 Pêndulo simples solução exata 1223 195 Vibrações livres de corpos rígidos 1232 BeerIniciaisindd xxi BeerIniciaisindd xxi 120712 0935 120712 0935 xxii Sumário 196 Aplicação do princípio de conservação de energia 1244 197 Vibrações forçadas 1254 Vibrações amortecidas 1264 198 Vibrações livres amortecidas 1264 199 Vibrações forçadas amortecidas 1267 1910 Análogos elétricos 1268 Revisão e resumo 1281 Problemas de revisão 1286 Problemas para resolver no computador 1290 Apêndice A Algumas definições úteis e propriedades de álgebra vetorial 1293 Apêndice B Momentos de inércia de massas 1299 Crédito das fotos 1337 Respostas 1339 Índice 1351 BeerIniciaisindd xxii BeerIniciaisindd xxii 120712 0935 120712 0935 Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica BeerDinamica11indd 603 BeerDinamica11indd 603 230712 1724 230712 1724 O movimento do ônibus espacial pode ser descrito por sua posição velocidade e aceleração Quando aterrissa o piloto do ônibus espacial precisa considerar a velocidade do vento e o movimento relativo do ônibus espacial com relação ao vento O estudo do movimento é conhecido como cinemática o assunto deste capítulo BeerDinamica11indd 604 BeerDinamica11indd 604 230712 1724 230712 1724 Cinemática de partículas C A P Í T U L O BeerDinamica11indd 605 BeerDinamica11indd 605 230712 1724 230712 1724 606 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica l l Cinemdatica de particulas 111 Introdudo a dindmica v a Os Caps de 1 a 10 foram dedicados a estdtica ou seja a anélise de corpos 111 Introdugao 4 dinémica em repouso Agora iniciaremos 0 estudo da dindmica a parte da mecani 112 Posigao velocidade e ca que trata da andlise de corpos em movimento aceleracéo Enquanto o estudo da estdtica remonta a época dos filésofos gre 113 Determinagao do movimento gos a primeira contribuicao significativa a dinamica foi feita por Galileu de uma particula 15641642 Os experimentos de Galil bre c if t 114 Movimento retilineo uniforme pe CHHOS CEM AMCL SOOTE COTPOS uu onmemenre 115 Movimento retilineo acelerados levaram Newton 16421727 a formular suas leis fundamen uniformemente acelerado tais do movimento 116 Movimento de muitas A dinmica inclui particulas 1 A cinemdtica que é 0 estudo da geometria do movimento usada para 117 Solugdo grafica de relacionar deslocamento velocidade aceleragao e tempo sem refe problemas de movimento réncia as causas do movimento retilineo 2 A cinética que é o estudo da relagio existente entre as forgas que 118 Outros métodos graficos atuam sobre um corpo a massa do corpo e seu movimento A cinética é 119 Vetor posigdo velocidade e usada para prever 0 movimento causado por forgas conhecidas ou para aceleracao determinar as forgas necessdrias para produzir um dado movimento 1110 Derivadas de fungdes vetoriais Os Caps de 11 a 14 sao dedicados a dinémica de particulas no 1111 Componentes retangulares Cap 11 a cinemdtica de particulas sera considerada O uso da palavra de velocidade e aceleragdo particula nao significa que nosso estudo estaré limitado a corptisculos 1112 Movimento relativo a um mais propriamente ele indica que nesses primeiros capitulos o movi sistema de referéncia em mento de corpos possivelmente tao grandes quanto automéveis fo translagao guetes ou avides serao considerados sem levar em conta o tamanho 1113 Componentes tangencial e desses corpos Ao afirmar que os corpos sao analisados como particu normal las queremos dizer que apenas seu movimento como um todo sera 1114 Componentes radial e considerado qualquer rotagao em torno do seu centro de massa sera transversal desprezada Ha casos entretanto em que tal rotagao nao é desprezivel 0s corpos entio nao poderio ser considerados como particulas Tais movimentos serao analisados em capitulos posteriores que tratam da dindmica de corpos rigidos Na primeira parte do Cap 11 o movimento retilineo de uma particu la ser analisado ou seja a posicao velocidade e aceleragao de uma parti cula serao determinadas a cada instante medida que ela se move ao lon go de uma linha reta Primeiro métodos gerais de andlise sero usados para estudar o movimento de uma particula em seguida dois casos par ticulares importantes serao considerados a saber o movimento unifor me e o movimento uniformemente acelerado de uma particula Secdes 114 e 115 Na Seco 116 o movimento simultaneo de varias particulas sera estudado e 0 conceito de movimento relativo de uma particula em relagéo a outra sera introduzido A primeira parte deste capitulo termina com um estudo de métodos graficos de anélise e de sua aplicagao para a solugao de varios problemas que envolvem o movimento retilineo de particulas Segdes 117 e 118 Na segunda parte do capitulo sera analisado o movimento de uma particula 4 medida que ela se move ao longo de uma trajet6ria curva Como a posigao a velocidade e a aceleragaéo de uma particula serao definidas como grandezas vetoriais o conceito de derivada de uma fungao vetorial sera introduzido na Secao 1110 e adicionado as nossas Capitulo 11 Cinematica de particulas 607 ferramentas matematicas As aplicagdes em que 0 movimento de uma particula é definido pelos componentes retangulares de sua velocidade e aceleragao serio entéo consideradas nesse momento 0 movimento de um projétil sera estudado Segao 1111 Na Seco 1112 sera con siderado 0 movimento de uma particula relativamente a um sistema de referéncia em translagao Finalmente o movimento curvilineo de uma particula sera analisado em termos de outros componentes que nao os retangulares Os componentes tangencial e normal da velocidade e da aceleracgio de uma particula serao introduzidos na Segao 1113 e os componentes radial e transversal de sua velocidade e aceleragao na Secao 1114 MOVIMENTO RETILINEO DE PARTICULAS 0 Itt 112 Posigdo velocidade e aceleragdo e 4 Dizse que uma particula que se desloca ao longo de uma linha reta esta a rm em movimento retilineo Em qualquer instante dado t essa particula vai ocupar uma certa posicao sobre a linha reta Para definir a posicao P da PO particula escolhemos uma origem fixa O na linha reta e um sentido poe eT sitivo ao longo da reta Medimos a distancia x de O a P e a anotamos com aa um sinal positivo ou negativo de acordo com o fato de P ter sido alcanga b hm do a partir de O movendose no sentido positivo ou no negativo aolongo da linha A distancia x com o sinal adequado define completamente a Figura 111 posicao da particula ela é chamada de coordenada de posigdo da particu la considerada Por exemplo a coordenada de posigao correspondente a P na Fig 11la 6x 5 m e acoordenada correspondente a P na Fig ll1béx 2m Pp Quando a coordenada de posigao x de uma particula é conhecida tay para qualquer valor do tempo t dizemos que 0 movimento da particula é 0 o4 conhecido A tabela hordria do movimento pode ser dada sob a forma t t At de uma equagio em x e t tal como x 6t ou na forma de um gré Figura 112 fico de x em fungao de como mostrado na Fig 116 A unidade usada mais frequentemente para medir a coordenada de posicao x é o metro m no sistema SI de unidades O tempo t é normalmente medido em segundos s Considere a posicgo P ocupada pela particula no instante e a coor denada correspondente x Fig 112 Considere também a posicao P ocupada pela particula em um instante posterior At a coordenada de posigao P pode ser obtida somandose 4 coordenada x de P 0 pequeno deslocamento Ax que sera positivo ou negativo de acordo com o fato de P estar a direita ou 4 esquerda de P A velocidade média da particula no aa intervalo de tempo At é definida como 0 quociente do deslocamento Ax ee pelo intervalo de tempo At a Velocidade média Ax At Foto 111 O movimento do carro solar pode a ser descrito por sua posigdo velocidade e Conforme a Segiio 13 aceleragdo 608 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Se unidades do SI forem utilizadas Ax é expresso em metros e At em se gundos a velocidade média sera ento expressa em metros por segundo ms A velocidade instanténea v da particula no instante t é obtida a partir da velocidade média escolhendose intervalos de tempo At e desloca mentos Ax cada vez menores Ax Velocidade instanténea v lim Aro At A velocidade instanténea também sera expressa em ms Observando que o limite do quociente é igual por definigao 4 derivada de x em relagiio a t escrevemos nus 111 v P v0 A velocidade v é representada por um ntimero algébrico que pode ser positivo ou negativo Um valor positivo de v indica que x aumenta ou OO seja que a particula se move no sentido positivo Fig 113a um valor negativo de v indica que x diminui ou seja que a particula se move no oo sentido negativo Fig 113b A intensidade de v é conhecida como a velocidade escalar da particula e Considere a velocidade v da particula no instante t e também sua b velocidade v Av em um instante posterior t At Fig 114 A ace Figura 113 leracgdo média da particula no intervalo de tempo At é definida como o quociente de Av por At Po P oAv 24 Av b Aceleracio média Ar 3 G at Se unidades do SI forem utilizadas Av é expresso em ms e At em segun Figura 114 dos a aceleragaéo média sera entéo expressa em ms A aceleragdao instantaénea a da particula no instante é obtida a par tir da aceleragaio média escolhendose valores cada vez menores para At e Av Av Aceleragio instantanea a lim AV A aceleracio instanténea também sera expressa em ms O limite do quociente que é por definicao a derivada de v em relacao a t mede a taxa de variacao da velocidade Escrevemos Como vocé vera na Segao 119 a velocidade é realmente uma quantidade vetorial En tretanto como estamos considerando aqui o movimento retilineo de uma particula onde a velocidade da particula tem uma diregdo conhecida e fixa somente precisamos especificar o sentido e a intensidade da velocidade isto pode ser feito convenientemente usandose uma quantidade escalar com um sinal positivo ou negativo O mesmo é verdadeiro para a aceleragao de uma particula em movimento retilineo Capitulo 11 Cinematica de particulas 609 dv a 112 di 112 ou substituindo por v de 111 ax ay 113 dt A aceleracao a é representada por um ntimero algébrico que pode ser positivo ou negativo Um valor positivo para a indica que a velocidade ou seja o ntimero algébrico v aumenta Isso pode significar que a parti cula esté se movendo mais rapidamente no sentido positivo Fig 115a ou que ela esté se deslocando mais lentamente no sentido negativo Fig 115b em ambos os casos Av é positivo Um valor negativo de a indica que a velocidade esta diminuindo ou a particula esta se deslocando mais lentamente no sentido positivo Fig 115c ou ela esté se movendo mais rapidamente no sentido negativo Fig 115d v v v v P p Pp P x a0 a0 a b o v v b P P P P x x a0 a0O c d Figura 115 O termo desaceleragdao é as vezes usado para se referir aa quando a velocidade escalar da particula isto 6 a intensidade de v esta diminuin do a particula esta entao se deslocando mais lentamente Por exemplo a particula da Fig 115 esta desacelerada nas partes b e c e ela esta real mente acelerada ou seja se move mais rapidamente nas partes a e d Uma outra expressio para a aceleragao pode ser obtida eliminandose o diferencial dt nas Eqs 111 e 112 Resolvendo 111 para dt obte mos dt dxv substituindo em 112 escrevemos ae 114 av0 dx Veja a nota de rodapé da pagina 608 610 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica p g EXEMPLO Considere uma particula movendose em uma linha reta e assuma que sua posicao é definida pela equacaio x6 xm 39 L onde t é expresso em segundos e x em metros A velocidade v em qualquer ins tante t é obtida derivandose x em relagao a t 24 dx 16 L v 12t 3h dt 8 A aceleracio a 6 obtida derivandose novamente em relacaio at 0 C 2 4 6 ts dv v ms a 126t dt Whs 4 6 0 A coordenada de posigio a velocidade e a aceleracio foram representadas 2 j ts em um grafico em fungao de na Fig 116 As curvas obtidas séo conhecidas 12 como curvas de movimento Tenha em mente entretanto que a particula nao se movimenta ao longo de nenhuma dessas curvas a particula se movimenta 74 em uma linha reta Como a derivada de uma funcao mede a inclinagao da curva 9 correspondente a inclinagéo da curva xt para qualquer instante dado é igual ao valor de v naquele instante e a inclinagao da curva vt é igual ao valor de a a ms Como a 0 quando t 2s a inclinagao da curva vt deve ser igual a zero para t 2s a velocidade alcanga um maximo nesse instante Além disso como v 12 OemtOeemt4sa tangente a curva xt deve ser horizontal para esses 0 2 4 6 valores de t Es 12 Um estudo das trés curvas de movimento da Fig 116 mostra que o movi o4 mento da particula de t 0 até t pode ser dividido em quatro fases Figura 116 1 A particula parte da origem x 0 sem velocidade mas com uma ace leragio positiva Sob essa aceleragao a particula adquire uma velocidade positiva e se move no sentido positivo De t Oat 2sxv ea sao todos positivos 2 Emt 2s aaceleracio é igual a zero a velocidade atingiu seu valor maxi g g mo Det 2sat 4s v é positivo mas a é negativo a particula ainda se movimenta no sentido positivo mas cada vez mais lentamente a particula esta se desacelerando 3 Emt 4s a velocidade é igual a zero a coordenada dc posicaio x alcancou g posig g seu valor maximo A partir de ento tanto v como a sio negativos a particula esté se acelerando e se move no sentido negativo com velocidade cada vez maior 4 Emt 6s a particula passa pela origem sua coordenada x é entido igual a P P P 8 g zero enquanto a distancia total percorrida desde o inicio do movimento é de 64 m Para valores de t maiores que 6 s x v e a serao todos negativos A particula continua se movendo no sentido negativo afastandose de O cada vez mais rapidamente Hl Capitulo 11 Cinematica de particulas 611 113 Determinagdo do movimento de uma particula Vimos na secao anterior que o movimento de uma particula é tido como conhecido se a posigao dessa particula for conhecida para cada valor do tempo t Na pratica entretanto um movimento é raramente definido por uma relacgdo entre x e t Mais frequentemente as condigdes do movi mento serdo especificadas pelo tipo de aceleragio que a particula possui Por exemplo um corpo em queda livre teré uma aceleragdo constante dirigida para baixo e igual a 981 ms uma massa presa a uma mola que foi estirada teré uma aceleragio proporcional ao alongamento instanta neo da mola medido em relagao a posigo de equilibrio etc Em geral a aceleragao da particula pode ser expressa como uma fungao de uma ou mais das varidveis x v e t Para determinar a coordenada de posigao x em termos de t seré entio necessério efetuar duas integracGes sucessivas Vamos considerar trés classes comuns de movimento 1 a fit A aceleragao é uma dada fungao de t Resolvendo 112 para dv e substituindo a por ft escrevemos dv adt dv fit dt Integrando os membros obtemos a equagiio Jf dv J fit dt que define v em fungao de t Devese notar entretanto que uma constante arbitraria seré introduzida como um resultado da integra cao Isto é devido ao fato de que existem muitos movimentos que correspondem aceleragao dada a ft Para definir de forma uni voca 0 movimento da particula é necessdrio especificar as condiées iniciais do movimento isto é 0 valor vy da velocidade e 0 valor x da coordenada de posigao em t 0 Substituindo as integrais indefini das por integrais definidas com os limites inferiores correspondentes as condigées iniciais t 0 e v vy e com os limites superiores corres pondentes at tev v escrevemos v t dv ft dt Vo 0 t Dv Vo ft dt 0 que fornece v em termos de t A Eq 111 pode agora ser resolvida para dx dx vdt e a expressao obtida anteriormente substituida para v Ambos os mem bros sao entao integrados o membro do lado esquerdo em relacao a x 612 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica dex x atéx x eo membro do lado direito em relagio at de t 0 até t t A coordenada de posigio x é entao obtida em termos de t 0 movimento esté completamente determinado Dois casos particulares importantes serao estudados com mais detalhes nas Segdes 114 e 115 0 caso quando a 0 corresponden te aum movimento uniforme e 0 caso quando a constante corres pondente ao movimento uniformemente acelerado 2 a fx A aceleragdo é uma dada fungdo de x Reordenando a Eq 114 e substituindo a por fx escrevemos vodv adx v dv fix dx Como cada membro contém somente uma varidvel podemos inte grar a equacao Representando novamente por vy Xp respectiva mente os valores iniciais da velocidade e da coordenada de posigao obtemos vo x vo dv fx dx vo 2 x 12 19 30 300 fx dx Xo que fornece v em termos de x Agora resolvemos 111 para dt dx dt v e substituimos para v a expressao obtida anteriormente Ambos os membros podem ser integrados para obter a relagao desejada entre x e t Entretanto na maioria dos casos esta tiltima integragao nao pode ser realizada analiticamente e devemos recorrer a um método numé rico de integragio 3 a flv A aceleragdo é uma dada fungao de v Podemos agora subs tituir a por fv em 112 ou 114 para obter uma das seguintes relacGes dv dv o vo v fle dt KK dx dv v dv dt dx flv flv A integracao da primeira equagio fornecerd uma relagio entre v e t a integracao da segunda equacao forneceré uma relagio entre v e x Qualquer uma dessas relagdes pode ser usada em conjunto com a Eq 111 para obter a relagao entre x e t que caracteriza o movimento da particula PROBLEMA RESOLVIDO 111 A posigao de uma particula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela relagio x t 6 15t 40 onde x é expresso em metros e t em segundos Determine a 0 instante em que a velocidade sera zero b a posigio e a distancia percorrida pela particula nesse instante c a acel eragao da particula nesse instante e d a distancia percorrida pela particula det 4sat6s SOLUCAO xm As equagées do movimento siio xt 6t 15t 40 1 12 dx v3f 12t 15 2 dt 5 ga HG 12 3 0 ts dt a Instante em que v 0 Fazemos v 0 em 2 3 1215 0 tls t5s 60 PH Somente a raizt 5s corresponde aum instante apds o movimento ter se iniciado parat 5sv0O0a particula se move no sentido negativo para t 5sv 0 a particula se desloca no sentido positivo vms b Posigdo e distancia percorrida quando v 0 Levandot 5 s em 1 temos x 5 65 155 40 x 60m 0 5 ts A posigio inicial parat 0 eraxy 40 m Como v 0 durante o intervalo det Oat 5s temos Distancia percorrida x x 60 m 40m 100m Distancia percorrida 100 m no sentido negativo c Aceleragdo quando v 0 Substitufmost 5 s em 3 ams2 a 65 12 a18ms L en 1 d Distancia percorrida det 4sat6s A particula se desloca no sentido negativo de t 4s parat 5s e no sentido positivo de t 5s 0 149 145 ts para t 6 s portanto a distancia percorrida durante cada um desses inter valos de tempo sera calculada separadamente Det 4sat5s x 60m x 4 64 154 40 52m Distancia percorrida x x 60 m 52m 8m 8m no sentido negativo Det 5sat6s x 60m X 6 66 156 40 50m Distancia percorrida Xg 2 50m 60m10m 10 m no sentido positivo A distancia total percorrida det 4sat6sé8m10m 18m 4 PROBLEMA RESOLVIDO 112 Uma bola é arremessada a uma velocidade de 10 ms dirigida ver ticalmente para cima de uma janela de um prédio localizada a 20 m acima do solo Sabendo que a aceleragio da bola é constante e igual a 981 ms para baixo determine a a velocidade v e a elevagao y da bola acima do solo para qualquer instante f b a elevagaio maxima atingida pela bola e o correspondente valor de t e c 0 instante em que a bola atingird o solo e a velocidade correspondente Desenhe as curvas vt e yt SOLUCAO y a Velocidade e elevagdo O eixo y para medir a coordenada de posi cio ou elevagio é escolhido com sua origem O no solo e seu sentido po i t 10 ms sitivo para cima O valor da aceleragio e os valores iniciais de v e y sao os indicados na figura Substituindo a em a dvdt e notando que em t 0 Ley a981 ms VU 10 ms temos d Ses a 981ms ESE yo 20 dt L Yo 40 Mm v t il a 981 dt aaa vo10 0 0 vfo 981tp v 10 981t vms o1098lt 1 4 10 2 y Curva velocidadetempo Substituindo para v em v dydt e notando que para t 0 yy 20 m Nie temos TIN 328 1s dy S v1098lt 25 dt Cy y t I dy 10 9810 de 229 yo20 0 yo 10t 490575 y 20 10t 4905 y m S ay y 20 10t 4905 2 4 b Elevagdo maxima Quando a bola atinge sua elevaco maxima te s S mos v 0 Substituindo em 1 obtemos 251 Some 3 x0 10 981t 0 t1019s 4 3 Levando t 1019 s em 2 temos 42 y 20 101019 49051019 y251m 0 a 328 ts c A bola atinge o solo Quando a bola atinge o solo temos y 0 Substituindo em 2 obtemos 20 10t 4905t 0 t 1243 s e t328s Somente a raizt 328 s corresponde a um instante posterior ao inicio do movimento Levando este valor de t para 1 temos v 10 981328 222 ms v 222 ms 4 Pistdo PROBLEMA RESOLVIDO 113 a O mecanismo de freio usado para reduzir 0 recuo em certos tipos de armas con siste essencialmente em um pistao preso ao cano e que se move em um cilindro fixo cheio de dleo Quando o cano recua com uma velocidade inicial vp 0 pistéio se movimenta e o 6leo é forgado através de orificios em seu interior causando uma desaceleracio do pistao e do cano a uma taxa proporcional 4 velocidade de Oleo ambos isto 6 a kv Expresse a v em termos de b x em termos de t e c v em termos de x Desenhe as curvas de movimento correspondentes SOLUCAO v a vem termos de Substituindo a por kv na f6rmula fundamental v que define a aceleragio a dvdt escrevemos dv dv do kv kdt k dt dt Dv o vo 0 v In kt ue Vo v ve O t b x em termos def Substituindo a relacao obtida anteriormente para x vemv dxdt escrevemos v9 dx Molo pe k dt x t dx vo edt 0 0 vo oO x 2 le Mp Te 1 O t k k vo okt an le vo c vem termos de x Substituindo a por kv ema v dvdx escrevemos dv kv v dx dv kdx vo x dv k dx O vo x vo 0 k Dv vo kx vvkx Verificagaéo A parte c poderia ter sido resolvida eliminandose das res postas obtidas para as partes a e b Esse método alternativo pode ser usado como uma verificagaéo Da parte a obtemos e vv substituindoa na resposta da parte b obtemos v 0 v x e kt 1 2 v vo kx confere k k vo METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N problemas desta segio vocé sera solicitado a determinar a posigdo a velocidade ou a aceleragao de uma particula em movimento retilineo A medida que 1é cada problema é importante que vocé identifique a varidvel independente tipicamente t ou x e também o que é pedido por exemplo a necessidade de expressar v como fungio de x Pode ser titil comegar cada problema escrevendo a informagao dada e um enunciado simples do que deve ser determinado 1 Determinando vt e at para um dado xt Como explicado na Secao 112 a primeira e a segunda derivadas de x em relagao a t sio respectivamente iguais a velocidade e a aceleracgao da particula Eqs 111 e 112 Se a velocidade e a aceleragio tiverem sinais opostos a parti cula podera parar e entéio mover no sentido oposto Problema Resolvido 111 Portanto quando estiver calculando a distancia total percorrida por uma particula vocé deve primeiro determinar se ela vai parar durante o intervalo de tempo especificado Construir um diagrama similar ao do Problema Resolvido 111 que mostra a posigao e a velocidade da particula em cada instante cru cial v 04 0 0 etc vai ajudélo a visualizar o movimento 2 Determinando vt e xt para um dado at A solugado de problemas desse tipo foi dis cutida na primeira parte da Segao 113 Usamos as condigées iniciais t 0 e v vo para os limites inferiores das integrais em t e v mas qualquer outra condigao conhecida por exemplo t t v v poderia ter sido usada Além disso se a fungao dada at contém uma constante desconhe cida por exemplo a constante k se a kt vocé vai ter que determinar primeiro essa constante substituindo um conjunto de valores conhecidos de t e a na equagao que define at 3 Determinando vx e xt para um dado ax Esse é 0 segundo caso considerado na Secio 113 Notamos novamente que os limites inferiores de integragaéo podem ser quaisquer con digdes conhecidas por exemplo x x v v Além disso como v v quando a 0 as posi cdes em que os valores maximos da velocidade ocorrem sao facilmente determinadas escrevendo se ax 0 e resolvendo para x 4 Determinando vx vt e xt para um dado av Esse é 0 ultimo caso tratado na Se cao 113 as técnicas apropriadas de solugao para problemas desse tipo estao ilustradas no Proble ma Resolvido 113 Todos os comentarios gerais para os casos anteriores aplicamse aqui mais uma vez Note que o Problema Resolvido 113 fornece um sumario de como e quando usar as equagdes vo dxdt a dudt ea v dudx 111 O movimento de uma particula é definido pela relagao x L5 30 5t 10 onde x e t so expressos em metros e se gundos respectivamente Determine a posicao a velocidade e a ace leracao da particula quando t 4s 112 O movimento de uma particula é definido pela relacgao x 12 18 2t 5 onde x et sido expressos em metros e segundos respectiva mente Determine a posicao e a velocidade quando a aceleragao for igual a zero 113 O movimento de uma particula é definido pela relagio x 2f 3f 30 8x onde x et sao expressos em metros e segun dos respectivamente Determine o tempo a posigao e a aceleragio quando v 0 114 O movimento de uma particula é definido pela relagao x 6t 8 40 cos Tt onde x e t sao expressos em milfmetros e segundos respecti vamente Determine a posicio a velocidade e a aceleragio quando t 6s 115 O movimento de uma particula é definido pela relagio x 6t 20 19 3t 3 onde x e ft sfio expressos em metros e segundos respectivamente Determine 0 tempo a posiao e a veloci dade quando a 0 116 O movimento de uma particula é definido pela relagio ot 15t 24t 4 onde x e t sfio expressos em metros e segundos respectivamen te Determine a quando a velocidade é zero b a posigio e a distancia total percorrida quando a aceleragio é zero 117 O movimento de uma particula é definido pela relagio x t 6 36t 40 onde x et sio expressos em metros e segundos respectivamente Determine a quando a velocidade é zero b a velocidade a aceleragio e a distncia total percorrida quando x 0 118 O movimento de uma particula é definido pela relagio x pa 9 24t 8 onde x e t sio expressos em milfmetros e segundos respectivamente Determine a quando a velocidade é zero b a posicao e a distancia total percorrida quando a aceleragio é zero 119 A aceleragio de uma particula é definida pela relagio a 8 ms Sabendo que x 20 m quando t 4s ex 4m quando v 16 ms determine a o tempo quando a velocidade é zero b a velocidade e a distancia total percorrida quando t 11s 1110 A aceleracio de uma particula é diretamente proporcional ao qua drado do tempo Quando t 0 a particula esta em x 24 m Sabendo que emt 6s x 96 me v 18 ms expresse x e v em termos de t As respostas para todos os problemas escritos em fonte normal tal como 111 so dadas no final do livro Respostas a problemas cujo ntimero é escrito em itélico tal como 117 nao sao dadas 618 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1111 A aceleragio de uma particula é diretamente proporcional ao tempo t Quando t 0 a velocidade da particula é v 16 ms Sabendo que v 15 ms ex 20 m quandot 1 s determine a velocidade a posicao e a distancia total percorrida quando t 7 s 1112 A aceleragao de uma particula é definida pela relagao a kt a Sa bendo que v 32 ms quandot 0ev 32 ms quandot 4s determine a constante k b Escrever a equagio do movimento sa bendo também que x 0 quandot 4s 1113 A aceleragio do ponto é definida pela relagiio a A 6t onde A é uma constante Quando 0 a particula iniciaem x 8 m com v 0 Sabendo que para t 1s v 30 ms determine a 0 tempo para o qual a velocidade é zero b a distancia total percorrida pela particula quando t 5s 1114 Sabese que det 2s at 10s a aceleragao de uma particula é inversamente proporcional ao cubo do tempo Quando t 2 s v 15 ms e quando t 10s v 036 ms Sabendo que a parti cula esta duas vezes mais distante da origem quando 2 s do que quando t 10 s determine a a posigéo da particula quando t 2 s e quando t 10 s b a distancia total percorrida pela particula de t2set10s 1115 A aceleracéo de uma particula é definida pela relagio a kx Ela foi determinada experimentalmente para v 15 ms quando x 06 me parav 9 ms quando x 12 m Determine a a velo cidade da particula quando x 15 m b a posigao da partfcula em que a velocidade é zero 1116 Uma particula inicialmente em repouso em x 1 m é acelera da até que sua velocidade dobre de intensidade entre x 2 me x 8 m Sabendo que a aceleragao da particula é definida pela re lagio a kx Ax determine os valores da constante A e k se a particula tem velocidade de 29 ms quando x 16 m 1117 Uma particula oscila entre os pontos x 40 mm ex 160 mm com uma aceleragao a k100 x onde a e x sio expressos em mms e mm respectivamente e k é uma constante A velocidade da parti cula é 18 mms quando x 100 mm e é zero para ambos x 40 mm ex 160 mm Determine a 0 valor de k b a velocidade quando x 120 mm 1118 Uma particula inicia em repouso na origem e recebe uma aceleracéo a kx 4 onde aex sio expressos em ms em respectiva mente e k é uma constante Sabendo que a velocidade da particula é 4 ms quando x 8 m determine a 0 valor de k b a posigaio da i iH particula quando v 45 ms c a velocidade maxima da particula t w 1119 Um pedago de um equipamento eletrénico que esta protegido pelo LADO aeeletets mr e Vv material Ga embalagem cai ve modo que ele atinge o solo com uma CIMA GZ velocidade de 4 ms Depois do impacto 0 equipamento experimenta mnt DVOERRS OHO a uma aceleracao de a te onde ké ume constante e é a com pressiio do material da embalagem Se o material da embalagem ex perimenta uma compressao maxima de 20 mm determine a maxima Figura P1119 aceleragao do equipamento Capitulo 11 Cinematica de particulas 619 1120 Baseado em observagées experimentais a aceleragao de uma parti cula é definida pela relagio a 01 sen xb onde a e x sio expressos em ms em respectivamente Sabendo que b 08 me que v 1 ms quando x 0 determinar a a velocidade da particula quando x 1 m b a posigo quando a velocidade é maxima c a velocidade maxima Tap 1121 Partindo de x 0 sem velocidade inicial uma particula sofre uma se aceleragiio a 08 V v2 49 onde a e v siio expressos em ms e ms respectivamente Determine a a posigao da particula quando rs v 24 ms b a velocidade escalar da particula quando x 40 m So 1122 A aceleragio de uma particula é definida pela relagio a kVo ae onde k é uma constante Sabendo que x 0 ev 81 ms emt 0e que v 36 ms quando x 18 m determine a a velocidade da par ticula quando x 20 m b 0 tempo necessério para que a particula atinja 0 repouso 10m 1123 A aceleragaéo de uma particula é definida por uma relagio a 08v onde a é expressa por mms e v em mms Sabendo que emt 0 a velocidade é 40 ms determine a a distancia que a particula percorrera antes de ficar em repouso b 0 tempo necessario para que a particula fique em repouso c o tempo necessario para que a particula possa reduzir sua velocidade em 50 do valor inicial 1124 Uma bola de boliche é solta de um barco até que atinja a superficie de um lago com a velocidade de 8 ms Considerando que a bola ex Figura P1124 perimenta uma desaceleragaio de a 10 090 quando na agua determine a velocidade da bola quando ela atinge o fundo do lago 1125 A aceleragéo de uma particula é definida pela relagéo a 041 kv onde k é uma constante Sabendo que em t 0 a particula parte do repouso em x 4 me que quando t 15s v 4m determine a a cconstante k b a posigéo da particula quando v 6 ms c a velocidade maxima da particula LS 1126 Uma particula é projetada para a direita a partir da posigéo x 0 com uma velocidade inicial de 9 ms Se a aceleragio da particula é LS definida pela relagiéo a 06v onde ae v sao expressas em ms e ms respectivamente determinar a a distancia que a particula ira percorrer se sua velocidade é 4 ms b 0 tempo quando v 1 ms Figura P1127 c o tempo necessario para a particula percorrer 6 m 1127 Com base em observacoes a velocidade de um corredor pode ser aproximada pela relagio v 751 004x onde v e x si0 expres sos em kmh e quilémetros respectivamente Sabendo que x 0 emt 0 determine a a distancia que o corredor percorreu quando t Lh b aaceleracao do corredor em msemt 0eco tempo 0 necessario para 0 corredor percorrer 9 km 1128 Dados experimentais indicam que em uma regido a jusante de uma 0 dada safda de ventilacgao a velocidade do ar posto em circulacio é SNe definida por v 018vx onde v e x siio expressos em ms e metros x respectivamente e v é a velocidade inicial de descarga do ar Para NN Uy 36 ms determine a a aceleracgdo do ar emx 2 m b o tem po necessério para o ar fluir dex 1max 3m Figura P1128 620 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica P 1129 A aceleragio devida a gravidade a uma altitude y acima da superficie da Terra pode ser expressa como 981 2 y 1 637 x 10 onde ae y so expressos em ms e metros respectivamente Usando essa expressao calcule a altura atingida por um projétil disparado ver cp O ticalmente para o alto a partir da superficie terrestre se sua velocida iA de inicial for de a v 540 ms b v 900 ms e c v 12000 ms 1130 A aceleracao devida a gravidade de uma particula caindo em diregio a Terra éa gRr onde r é a distancia a partir do centro da Terra Figura P1129 até a particula R é 0 raio da Terra e g é a aceleragio devida a gravida P de na superficie da Terra Se R 6370 km calcule a velocidade de escape isto é a velocidade minima com que uma particula deve ser langada verticalmente para o alto a partir da superficie da Terra para que nao retorne a Terra Dica v 0 para r 20 r 1131 A velocidade de uma particula é v v1 senmtT Sabendo que a particula parte da origem com uma velocidade inicial vy determine a sua posigio e sua aceleragio em t 3ST b sua velocidade média durante o intervalo t Oat T ae 3 i 1132 A velocidade de um cursor é definida pela relagio v v senwt Representando a velocidade e a posigéo do cursor em t 0 por vy e Xp respectivamente e sabendo que o deslocamento maximo do cur sor é 2x mostre que a v v9 xi72xow b o valor maximo Figura P1130 da velocidade ocorre quando x xo3 voxoV2 114 Movimento retilineo uniforme O movimento retilineo uniforme é um tipo de movimento em linha reta que é frequentemente encontrado em aplicagdes praticas Nesse movi mento a aceleracao a da particula é zero para todo valor de t A velocida de v é portanto constante e a Eq 111 tornase dx v constante dt A coordenada de posigao x é obtida pela integragao desta equagao Re presentando por x 0 valor inicial de x escrevemos x t dv v dt xo 0 xX Xp vt x Xo vt 115 Essa equacao pode ser usada somente se soubermos que a velocidade da particula é constante Capitulo 11 Cinematica de particulas 621 115 Movimento retilineo uniformemente acelerado O movimento retilineo uniformemente acelerado é outro tipo comum de movimento Nesse movimento a aceleragao a da particula é constante e a Eq 112 se torna dv a constante dt A velocidade v da particula é obtida pela integracao desta equagio v t dv a dt vo 0 0 Up at 0 vo at 116 onde v é a velocidade inicial Substituindo v em 111 escrevemos dx at wvwta dt Representando por x 0 valor inicial de x e integrandoo temos x t dx vo at dt Xo 0 12 Xx Xp Vol gat 142 X Xo Lot gat 117 Podemos também usar a Eq 114 e escrever dv v a constante dx vodv adx Integrando ambos os lados obtemos ov x odv a dx vo Xo 12 2 3D vo ax xo 2 9 D v9 ax Xo 118 As trés equagées deduzidas anteriormente fornecem relagées titeis entre a coordenada de posigao a velocidade e 0 tempo para o caso de um movimento uniformemente acelerado assim que os valores apropriados tiverem sido substituidos para a v e x A origem O do eixo x deve ser definida em primeiro lugar e um sentido positivo deve ser escolhido ao 622 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica longo desse eixo esse sentido sera usado para determinar os sinais de a Uy Xp A Eq 116 relaciona v e t e deve ser usada quando o valor de v correspondente a um dado valor de for desejado ou inversamente A Eq 117 relaciona x e t a Eq 118 relaciona v e x Uma aplicagao im portante do movimento uniformemente acelerado é 0 movimento de um corpo em queda livre A aceleracgio de um corpo em queda livre usual mente representada por g é igual a 981 ms E importante ter em mente que as trés equagdes apresentadas anteriormente podem ser usadas somente quando soubermos que a aceleragao da particula é constante Se a aceleracao da particula for varidvel seu movimento deve ser determinado a partir das equagdes fundamentais 111 a 114 de acordo com os métodos delineados na Secao 113 116 Movimento de muitas particulas Quando varias particulas se movem livremente ao longo da mesma li nha equagdes de movimento independentes podem ser escritas para cada particula Sempre que possivel o tempo deve ser contado a partir do mesmo instante inicial para todas as particulas e os deslocamentos devem ser medidos em relagao 4 mesma origem e no mesmo sentido Em outras palavras um tnico relégio e uma tinica fita de medida de Oo 4 UCU vem ser usados ty fe uw su Movimento relativo de duas particulas Considere duas particu Figura 117 las A e B que se deslocam ao longo da mesma linha reta Fig 117 Se as coordenadas de posicao x x sdo medidas a partir da mesma origem a diferenga x x define a coordenada de posigdo relativa de B em relagao a Ae é representada por x Escrevemos Xpa XpXq OU XB X Xpya 119 yh SS ul ee Indiferentemente das posigdes de A e B em relagao a origem um sinal on SCssépossitivo para x significa que B esté a direita de A e um sinal negativo a 7 significa que B esta a esquerda de A a Reda a A taxa de variagao de x denominada velocidade relativa de B em 1 A rs relacdo a A e é representada por U Derivando 119 escrevemos Ry oe Y a ii UpsA Up Va OU Up Va Upya 1110 UY WM ei Um sinal positivo para v significa que B é observado a partir de A des locandose no sentido positivo um sinal negativo significa que ele é ob i servado deslocando no sentido negativo a 5 il A taxa de variagao de v 6 denominada aceleragdo relativa de B em i iL ill relacao a A e é representada por d Derivando 11 10 obtemos el BZ 5 RTE W apa Gp ada OU dp aa Apya 1111 Foto 112 Multiplos cabos e polias sGo Observe que o produto dos subscritos A e BA usados no lado direito das Eqs 119 usados pelo guindaste portudrio 1110 e 1111 é igual ao subscrito B usado no lado esquerdo dessas equagées Capitulo 11 Cinematica de particulas 623 Movimentos dependentes Algumas vezes a posigao de uma particu la vai depender da posigao de outra particula ou de varias outras particulas Os movimentos so entéo chamados de dependentes Por exemplo a posi z cao do bloco B na Fig118 depende da posicao do bloco A Como a corda c G ACDEFG tem comprimento constante e como os comprimentos dos seg mentos de corda CD e EF que envolvem as polias permanecem constan A tes temse que a soma dos comprimentos dos segmentos AC DE e FG é Xp constante Observando que o comprimento do segmento AC difere de x A somente por uma constante e que semelhantemente os comprimentos A dos segmentos DE e FG diferem de x por uma constante escrevemos x 2x constante B Como somente uma das duas coordenadas x x pode ser escolhida ar A bitrariamente dizemos que o sistema ilustrado na Fig 118 tem um grau Figura 118 de liberdade Da relagao entre as coordenadas de posigio x Xp seguese que se em x for dado um incremento Ax isto é se o bloco A for baixado em uma quantidade Ax a coordenada x receberd um incremento Ax 5 Ax Em outras palavras 0 bloco B vai subir a metade do mesmo valor isso pode ser facilmente verificado diretamente a partir da Fig 118 XC tA XB sal iy BI Figura 119 No caso dos trés blocos da Fig 119 podemos novamente observar que o comprimento da corda que passa nas polias é constante e portan to a seguinte relagio deve ser satisfeita pelas coordenadas de posigao dos trés blocos 2x 2x x constante Como duas das coordenadas podem ser escolhidas arbitrariamente dize mos que o sistema mostrado na Fig 119 tem dois graus de liberdade Quando a relagio existente entre as coordenadas de posicao de varias particulas é linear uma relacaio semelhante é valida entre as velocidades e entre as aceleragées dessas particulas No caso dos blocos da Fig 119 por exemplo derivamos duas vezes a equacao obtida e escrevemos ga 4 hs Me 9 Qv 2vpn 0 2 J2 ou v vg Uc dt dt dt AB gta 4 often We 9 Qa Lay ac 0 2 ou a dg dc dt dt dt Ae PROBLEMA RESOLVIDO 114 Uma bola é arremessada verticalmente para o alto a partir do nivel de 12 m de um pogo de elevador com uma velocidade inicial de 18 ms No mesmo instante um elevador de plataforma aberta passa pelo nivel de 5 m subindo com uma velocidade constante de 2 ms Determine a quando e onde a bola vai atingir o elevador e b a velocidade relativa da bola em relagio ao elevador quando a bola o atinge Bee SOLUGAO n 18 ms Movimento da bola Como a bola tem uma aceleragao constante seu movimento é uniformemente acelerado Colocando a origem O do eixo y no nivel do solo e escolhendo seu sentido positivo para o alto verificamos que t0 tw ee Tg Moe es De 5 a posigao inicial 6 y 12 m a velocidade inicial 6 v 18 ms ea a 981 ms 2 ps YB aceleragiio é a 981 ms Substituindo estes valores nas equagées para o movimento uniformemente acelerado escrevemos Og Uo at vg 18 981t 1 yo 12m 12 2 YR Yo vot gat yp 12 18t 4905 2 O Movimento do elevador Como o elevador tem uma velocidade cons tante seu movimento é uniforme Novamente colocando a origem O no nivel do solo e escolhendo o sentido positivo para 0 alto notamos que y 5 m e escrevemos Ug 2 ms 3 caiaieieted tt YE Yo Upt YE 5 Qt 4 A bola atinge o elevador Primeiro notamos que o mesmo tempo f e YE vp2ms a mesma origem O foram usados para escrever as equacgdes do movimento da bola e do elevador Vemos na figura que quando a bola encontra a plata aa 6t0 forma of yo 5m e YE YB 5 Substituindo y e y por 2 e 4 em 5 temos 5 2t 12 18 4905 t 039 s e t365s Somente a raiz t 365 s corresponde a um instante apos oO movimento ter comegado Substituindo esse valor em 4 temos YB YE Yr O 2365 1230 m Elevagao a partir do solo 1230m A velocidade relativa da bola em relagao ao elevador é UpyE Up UF 18 981t 216 981t Quando a bola atinge o elevador no instante t 365 s temos vgn 16 981365 v 198lms 4 O sinal negativo indica que a bola é observada do elevador deslocandose no sentido negativo para baixo PROBLEMA RESOLVIDO 115 th O cursor A 0 bloco B esto ligados por um cabo que passa sobre trés polias ate C De E como mostrado na figura As polias C e E sao fixas enquanto D esta K A i presa a um cursor que é puxado para baixo com uma velocidade constante tS de 75 mms No instante t 0 o cursor A comega a se mover para baixo a 200lmm partir da posigaéo K com uma aceleracio constante e velocidade inicial nula Sabendo que a velocidade do cursor A é de 300 mms ao passar pelo ponto B L determine a variagao na elevacao a velocidade e a aceleragao do bloco B L quando o cursor A passar por L SOLUCAO O Movimento do cursor A Colocamos a origem O na superficie horizon TTF tal superior e escolhemos o sentido positivo para baixo Observamos que xao A iy quando t 0 o cursor A esta na posigdo K e v 0 Como v 300 mms Le EY X X4 200 mm quando o cursor passa por L escrevemos XA K Ys vy 0 o 2axxo 800 0 2a 200 200 mm dy 225 mms O tempo para que o cursor A alcance o ponto L é obtido escrevendose L ri 0 Voat 30004225 t1333 5 v4 300 mms 7 Movimento da polia D Recordando que o sentido positivo é para baixo O 7 escrevemos A rot a0 vyTmms xy xXpy Upt Xpy T5t i o MN Kho My Xpo J SEZ EY Quando o cursor A alcanga L em t 1333 s temos xp Xp Xp y 751333 x 100 ye Portanto Xp Xp y 100 mm e Movimento do bloco B Notamos que o comprimento total do cabo ry ACDEB difere da quantidade x 2x x apenas por uma constan 1 en 75 mms te Como o comprimento do cabo é constante durante 0 movimento essa quantidade também deve permanecer constante Portanto considerando os O instantes t 0 et 1333 s escrevemos o o E Xq 2xp xg xao 2Xpo xpo 1 A YJ B xa Galo 2lxp xpo xz ao 0 2 7 np Mas sabemos que x y 200 mm exp xpy 100 mm substituindo 4 esses valores em 2 encontramos cm iL 200 2100x Xq0 xyXp400 mm Portanto Mudanga em elevacéo de B 400 mmf 4 Derivando 1 duas vezes obtemos equagGes que relacionam as velocidades e as aceleragées de A B e D Substituindo os valores das velocidades e acelera cdes de A e D emt 1333 s temos vt 2vyptv0 3004275v 0 v 450 mms v 450mmst 4 at 2aa0 225 20a0 a 225 mms d 225mms ft METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMA SOLUCAO fo S Ns segio derivamos as equagdes que descrevem 0 movimento retilineo uniforme veloci dade constante e o movimento retilineo uniformemente acelerado aceleragao constante Também introduzimos 0 conceito de movimento relativo As equagdes para movimento relativo Eqs 119 a 1111 podem ser aplicadas aos movimentos independentes ou dependentes de quaisquer duas particulas movimentandose ao longo da mesma linha reta A Movimento independente de uma ou mais particulas A solucao de problemas desse tipo deve ser organizada da seguinte forma 1 Comece sua solugdo listando a informacao dada esbocando o sistema e selecionando a origem e a direcao positiva do eixo coordenado Problema Resolvido 114 E sempre vantajoso ter uma representagio visual de problemas desse tipo 2 Escreva as equacgdes que descrevem os movimentos de varias particulas como também aquelas que descrevem como esses movimentos estado relacionados Eq 5 do Problema Resolvi do 114 3 Defina as condigées iniciais ou seja especifique o estado do sistema correspondente a t 0 Isto é especialmente importante se os movimentos das particulas comecam em tempos dife rentes Em tais casos qualquer uma das duas abordagens a seguir pode ser usada a Sejat 00 instante em que a tiltima particula comega seu movimento Vocé deve entiio determinar a posigao inicial x e a velocidade inicial vy de cada uma das outras particulas b Sejat 0 0 instante em que a primeira particula comeca seu movimento Vocé deve entao em cada uma das equagdes que descrevem o movimento de uma outra particula substituir t port ty onde t é 0 instante em que aquela particula especifica comega seu movimento E im portante reconhecer que as equacgées obtidas dessa maneira sao validas somente para t fo B Movimento dependente de duas ou mais partículas Em problemas desse tipo as partículas do sistema estão unidas umas às outras geralmente por cordas ou cabos O método de solução desses problemas é parecido com aquele do grupo anterior de problemas exceto que ago ra será necessário descrever as ligações físicas entre as partículas Nos problemas a seguir a ligação é estabelecida por um ou mais cabos Para cada cabo você terá que escrever equações similares às três últimas equações da Seção 116 Sugerimos que você use o seguinte procedimento 1 Desenhe um esboço do sistema e selecione um sistema de coordenadas indicando cla ramente um sentido positivo para cada um dos eixos coordenados Por exemplo no Problema Resolvido 115 comprimentos são medidos para baixo a partir do suporte horizontal superior Seguese então que os deslocamentos velocidades e acelerações que tiverem valores positivos serão dirigidos para baixo 2 Escreva a equação que descreve a restrição imposta por cada cabo sobre o movimento das partículas envolvidas Derivando essa equação duas vezes você vai obter as relações corres pondentes entre velocidades e acelerações 3 Se várias direções de movimento estão envolvidas você deve selecionar um eixo co ordenado e um sentido positivo para cada uma dessas direções Você deve também tentar localizar as origens de seus eixos coordenados para que as equações das restrições sejam tão simples quanto possível Por exemplo no Problema Resolvido 115 é mais fácil definir as várias coordenadas medindoas para baixo a partir do suporte superior que as medindo para cima a partir do suporte inferior Finalmente tenha em mente que o método de análise descrito nesta lição e as equações correspondentes podem ser usados somente para partículas que se deslocam com um movimento retilíneo uniforme ou uniformemente acelerado BeerDinamica11indd 627 BeerDinamica11indd 627 230712 1724 230712 1724 vy 45 kinh 1133 Uma motorista entra em uma autoestrada a 45 kmh e acelera uni ee formemente até 99 kmh Pelo hodémetro do carro o motorista sabe ois que percorreu 02 km enquanto acelerava Determine a a acelera y cao do carro b o tempo necessario para chegar a 99 kmh 1134 Um caminhao percorre 220 m em 10 s enquanto esta sendo desacele Figura P1133 2 rado a uma taxa constante de 06 ms Determine a sua velocidade inicial b sua velocidade final c a distancia percorrida durante os primeiros 15 s ifs f 6 ms2 f iS 00m LK ry Figura P1134 1135 Considerando uma aceleragao uniforme de 3 ms e sabendo que a velocidade escalar de um carro que passa por A é 50 kmh determi ne a o tempo necessério para que o carro alcance B b a velocidade do carro ao passar por B v4 50 kinh Tr ae B 50m Figura P1135 896 m 1136 Um grupo dc estudantes langa um modelo de foguete na diregio ver tical Baseandose em dados registrados eles determinam que a alti tude do foguete foi de 896 m ao final da porgio propulsada do voo e que o foguete aterrissou 16 s depois Sabendo que o paraquedas de descida nao se abriu e que o foguete caiu livremente até o chao depois PII de atingir sua altitude maxima e considerando que g 981 ms de Figura 36 termine a a velocidade v do foguete ao final do voo propulsado b a altitude maxima atingida pelo foguete 1137 Um corredor em uma corrida de 100 m acelera uniformemente nos a primeiros 35 m e entéo corre com velocidade constante Se o tempo fd do corredor nos primeiros 35 m é de 54 s determine a sua acelera GP fe Ye 7 p cao b sua velocidade final e c seu tempo para a corrida S 1138 Um pequeno pacote é liberado do repouso em A e move ao longo do transportador de rolete ABCD O pacote tem uma aceleracao unifor Figura P1137 me de 48 ms enquanto se move para baixo pelas segdes AB e CD Capitulo 11 Cinematica de particulas 629 com velocidade constante entre B e C Se a velocidade do pacote em D 72 ms determine a a distancia d entre C e D b 0 tempo requerido para o pacote alcangar D o L ANOS bo 7 oN lo 3 m Q eo eo e e e 3 d oe e x S e e Figura P1138 1139 Um policial em um carro de patrulha estacionado em uma zona de 70 kmh de limite de velocidade observa um automével que passa a uma velocidade lenta e constante Acreditando que 0 motorista desse automével possa estar embriagado o policial liga seu carro acelera uni formemente até 90 kmh em 8 s e mantendo uma velocidade constante de 90 kmh ultrapassa o motorista 42 s depois desse automével ter pas sado por ele Sabendo que 18 s se passaram antes do policial comegar a perseguir o motorista determine a a distncia que o policial percorreu antes de ultrapassar o motorista e b a velocidade do motorista 1140 Quando o corredor de revezamento A entra na zona de troca de 20 m de extensAo com uma velocidade escalar de 129 ms ele comega a diminuir sua velocidade Ele passa o bastio ao corredor B 182 s depois enquanto os dois deixam a zona de troca com a mesma velo cidade Determine a a aceleragao uniforme de cada um dos corre dores b quando o corredor B deve comegar a correr vy 129 ms é vgo 0 9 Figura P1140 vqo 36 kvh vg 54 kmh 1141 Dois automéveis A e B viajam no mesmo sentido em pistas adjacentes ja vB e emt 0 tém suas posigdes e velocidades escalares mostradas na Fomor OO figura Sabendo que o automével A tem uma aceleragao constante de 05 ms e que B tem uma desaceleragio de 03 ms determine a 24m quando e onde A vai ultrapassar B b a velocidade de cada autom6 vel naquele instante Figura P1141 630 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1142 Em uma corrida de barcos 0 barco A esta 36 m a frente do barco B e ambos estado viajando a uma velocidade escalar constante de 168 kmh Em t 0 os barcos aceleram a taxas constantes Sabendo que quando B ultrapassa A t 8s e v 216 kmh determine a a aceleracao de A b a aceleracao de B 36 m ss A VB B Figura P1142 1143 Caixas sAo colocadas em uma calha em intervalos uniformes de tem po t e deslizam para baixo na calha com aceleracio uniforme Saben do que quando uma caixa B qualquer é liberada a caixa precedente A ja deslizou 6 m e que a 1 s depois elas esto a 10 m afastadas deter mine a o valor de tp b a aceleragao das caixas m vgo 9 Figura P1143 1144 Dois automdveis A e B estio se aproximando em pistas adjacentes de uma rodovia Em t 0 A e B estio distanciados em 1 km entre si suas velocidades escalares sao v 108 kmh e vz 63 kmh e eles estio nos pontos P e Q respectivamente Sabendo que A passa pelo ponto Q 40 s depois que B passou por ali e que B passa pelo ponto P 42 s depois que A passou por 1a determine a as aceleragdes unifor mes de A e B b quando os veiculos se cruzam c a velocidade de B naquele instante v 108 kmh vp 63 kinh A cs eal B eh IEEE PL gg Figura P1144 Capitulo 11 Cinematica de particulas 631 1145 Ocarro A esta estacionado ao longo da pista na direcgdo norte de uma rodovia e 0 carro B esta viajando na pista em direcao sul a uma veloci dade constante de 96 kmh Em t 0 A liga o motor e acelera a uma taxa constante ad enquanto emt 5sB comegaa diminuir a veloci dade com uma desaceleragao constante de intensidade a6 Sabendo que quando os carros se cruzam x 88 me v Uz determine a a aceleracao a b quando os vefculos se cruzam c a distancia d entre os vefculos quando t 0 vy 0 vgp 96 kmh A A0 B uo wekla TT oo d Figura P1145 1146 Dois blocos A e B sao colocados em uma inclinagéo como mostrado na figura Em 0 A é projetado para cima na inclinagao com uma velocidade inicial de 8 ms e B é liberado em repouso Os blo cos passam um pelo outro apés s e B alcanga a base da inclinagéo quando t 34 s Sabendo que a distancia maxima alcangada pelo bloco A a partir da base da inclinagao é 6 m e a aceleracao de A e B devido a gravidade e ao atrito sfio constantes e direcionadas para baixo na inclinacao determine a a aceleracdo de A e B b a dis tancia d c a velocidade escalar de A quando os blocos passam um pelo outro vpo 9 B vqo 8 kmh ex eo 4 1 Figura P1146 1147 O bloco deslizante A move para a esquerda com a velocidade cons A tante de 6 ms Determine a a velocidade do bloco B b a velocida de da porgio D do cabo c a velocidade relativa da porcgao C do cabo em relagiio a porcio D 1148 O bloco B parte do repouso e se movimenta com uma aceleracio constante Sabendo que depois do bloco deslizante A ter se deslocado 400 mm sua velocidade é 4 ms determine a a aceleracao de A e B b a velocidade e a variacao de posicao de B apés 2 s Figura P1147 e P1148 632 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 1149 O elevador mostrado na figura se movimenta para baixo com veloci dade constante de 45 ms Determine a a velocidade do cabo C b a velocidade do contra peso W c a velocidade relativa do cabo C em relação ao elevador d a velocidade relativa do contrapeso W em relação ao elevador W E C M Figura P1149 e P1150 1150 O elevador mostrado na figura sai do repouso e se movimenta para cima com aceleração constante Se o contrapeso W se movimenta 10 m em 5 s determine a a aceleração do elevador e do cabo C b a velocidade do elevador após 5 s 1151 O colar A parte do repouso e se movimenta para cima com aceleração constante Sabendo que depois de 8 s a velocidade relativa do colar B em relação ao colar A é 600 mms determine a as acelerações de A e B b a velocidade e a variação da posição de B depois de 6 s 1152 Na posição mostrada na figura o colar B se movimenta para baixo com uma velocidade de 300 mms Determine a a velocidade do colar A b a velocidade da porção C do cabo c a velocidade relativa da porção C do cabo em relação ao colar B 1153 O bloco deslizante B se movimenta para a direita com uma veloci dade constante de 300 mms Determine a a velocidade do bloco deslizante A b a velocidade da porção C do cabo c a velocidade da porção D do cabo e d a velocidade relativa da porção C do cabo em relação ao bloco deslizante A C D B A Figura P1153 e P1154 1154 No instante mostrado na figura o bloco deslizante B está se movendo para a direita com uma aceleração constante e sua velocidade é 150 mms Sabendo que depois que o bloco deslizante A moveu 240 mm para a direita sua velocidade é de 60 mms determine a as acelera ções de A e B b a aceleração da porção D do cabo c a velocidade e a variação de posição do bloco deslizante B depois de 4 s A B C Figura P1151 e P1152 BeerDinamica11indd 632 BeerDinamica11indd 632 230712 1724 230712 1724 Capitulo 11 Cinematica de particulas 633 1155 O bloco B se movimenta para baixo com velocidade constante de 20 mms Em t 0 0 bloco A é movimentado para cima com ace leragdo constante e sua velocidade é 30 mms Sabendo que em t 3s o bloco deslizante C teria se movimentado 57 mm para a direita determine a a velocidade do bloco deslizante C em t 0 b as aceleragées de A e C c a variacao da posigio do bloco A apés 5 s Figura P1155 e P1156 1156 O bloco B inicia em repouso o bloco A se movimenta com aceleragao constante e o bloco deslizante C se movimenta para a direita com ace leragao constante de 75 mms Sabendo que em t 2 s as velocidades de B e C sao de 480 mms para baixo e 280 mms para a direita respecti 8 9 vamente determine a a aceleragao de A e B b as velocidades iniciais B 8 de A e C c a variacao de posigaéo do bloco deslizante C apés 3 s 1157 Ocolar A parte do repouso emt 0e se movimenta para baixo com 4 uma aceleragao constante de 140 mms O colar B se movimenta 8 para cima com uma aceleragiio constante e sua velocidade inicial é E de 160 mms Sabendo que o colar B percorre 400 mm entre t 0 B 8 et 2s determine a a aceleraeses do colar B e do bloco C b o 8 instante em que a velocidade do bloco C é igual a zero e c a distan 8 a 5 cia que o bloco C tera percorrido naquele instante 8 5 BA 8 1158 Os colares A e B partem do repouso e 0 colar A se movimenta para cima com uma aceleragao de 607 mms Sabendo que o colar B se movi Figura P1157 e P1158 menta para baixo com acelerag4o constante e que sua velocidade é de 160 mms depois de ter percorrido 640 mm determine a a aceleragao do bloco C e b a distancia que o bloco C tera percorrido depois de 3 s Y 1159 O sistema mostrado parte do repouso e cada um de seus componen et is tes se move com uma aceleracao constante Se a aceleracao relativa do bloco C em relagiio ao colar B é de 60 mms para cima e a acele ragio relativa do bloco D em relagao ao bloco A é de 110 mms para baixo determine a a velocidade do bloco C depois de 3 s e b a variacio de posicaio do bloco D depois de 5 s F U a 1160 O sistema mostrado parte do repouso e o comprimento da corda su 8 Fe perior esta ajustado para que A B e C estejam inicialmente no mes mo nivel Cada componente se move com uma acelerag4o constante e depois de 2 s a variacio da posicio relativa do bloco C em relagiio ao bloco A é 280 mm para cima Sabendo que quando a velocidade relativa do colar B em relacgao ao bloco A é de 80 mms para baixo e que os deslocamentos de A e B sao de 160 mm para baixo e 320 mm para baixo respectivamente determine a as aceleragées de A e B 5 se dy 10 mms b a variacao da posigao do bloco D quando a ve locidade do bloco C é de 600 mms para cima Figura P1159 e P1160 634 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 117 Solucdo grdfica de problemas de movimento retilineo Foi observado na Segao 112 que as formulas fundamentais dx do v e a dt dt possuem um significado geométrico A primeira formula expressa que a velocidade em qualquer instante é igual a inclinagao da curva xt nesse mesmo instante Fig 1110 A segunda férmula expressa que a acelera cao é igual a inclinagao da curva vt Essas duas propriedades podem ser usadas para obterse graficamente as curvas vt e at de um movimento quando a curva xt é conhecida x v a ao oe 2 Z Ss Ry nd dx c do de a x vo a t ty t ty t ty t Figura 1110 Integrando as duas formulas fundamentais de um instante a um instante t escrevemos ty to ty ty i Xg Xy v dt e bg 01 adt 1112 th et b A primeira formula expressa que a érea medida sob a curva vt de t a t igual a variagado de x durante esse intervalo de tempo Fig 1111 Semelhantemente a segunda férmula nos diz que a rea medida sob a bj curva at de t at igual a variagao de v durante o mesmo intervalo Hes a dt de tempo Essas duas propriedades podem ser usadas para determinar oj ty graficamente a curva xt de um movimento quando sua curva vt ou sua curva at 6 conhecida ver Problema Resolvido 116 As solucées graficas so particularmente titeis quando 0 movimento 4 fe considerado é definido a partir de dados experimentais e quando x v e a nao sio fungées analiticas de t Elas também podem ser usadas com x vantagem quando o movimento consiste em partes distintas e quando sua anélise requer que se escreva uma equagio diferente para cada uma dessas partes Quando se usa uma solucao grdafica entretanto devese ter o cuidado de observar que 1 a area sob a curva vt mede a variagao de x e nao x propriamente dito e analogamente que a area sob a curva Xg oe ene i at mede a variagao de v 2 uma area acima do eixo t corresponde a um mt th aumento de x ou v enquanto uma rea localizada abaixo do eixo t mede Y um decréscimo de x ou v Ao desenhar curvas de movimento sera util lembrar que se a ve 4 fe locidade for constante ela sera representada por uma reta horizontal Figura 1111 a coordenada de posico x sera entéo uma funcao linear de t e sera Capitulo 11 Cinematica de particulas 635 representada por uma reta obliqua Se a aceleracao for constante e dife rente de zero ela seré representada por uma reta horizontal v sera en tao uma fungao linear de representada por uma reta obliqua e x sera expresso por um polinémio de segundo grau em t representado por uma parabola Se a aceleragao for uma fungio linear de t a velocidade e a coordenada de posicao serio iguais respectivamente a polindmios do segundo e terceiro graus a sera entio representada por uma reta obliqua v por uma parabola e x por uma ctitbica De um modo geral se a aceleragio for um polinémio de grau n em t a velocidade sera um po lindmio de graun 1 e a coordenada de posigo um polinémio de grau n 2 esses polinémios sao representados por curvas de movimento de grau correspondente 118 Outros métodos grdficos v Uma solugio grdfica alternativa pode ser usada para determinar a posicao ob tt de uma particula em um dado instante diretamente a partir da curva 1 at Representando os valores de x e v emt 0 por x vy seus valores em t t por x e v e observando que a Area sob a curva vt pode ser dv decomposta em um retangulo de rea vpt e elementos diferenciais hori zontais de area t tdv Fig 1112a escrevemos bp v1 Xx Xp Area sob acurva vt Vol t t dv vo O t ot Substituindo du a dt na integral obtemos a ty a X1 Xo Voty t tadt 0 nn t Recorrendo a Fig 1112b notamos que a integral representa o primeiro momento da area sob a curva at em relagio a linha t t que limita a area a direita Esse método de solugao é conhecido entéo como método y do momento de Grea Se a abscissa f do centroide C da area for conheci da a coordenada de posicao x pode ser obtida escrevendo L Xx Xo vot Area sob a curva att f 1113 i to Se a rea sob a curva at for uma drea composta o ultimo termo em 6 1113 pode ser obtido multiplicandose cada érea componente pela dis Figura 1112 tancia a partir de seu centroide a reta t t As dreas acima do eixo t so consideradas positivas e as areas abaixo do eixo t negativas b Um outro tipo de curva do movimento a curva vx é algumas vezes usado Se tal curva tiver sido tragada Fig 1113 a aceleracao a poderia ser obtida para qualquer instante desenhando a normal AC 4a curva e a medindo a subnormal BC De fato observando que o angulo entre AC a e AB é igual ao Angulo 6 entre a horizontal e a reta tangente em A cuja 6 inclinagao é tg 6 dudx escrevemos fn dv BC AB tg 0 v oN 1 B ae e assim recordando a férmula 114 x BC a Figura 1113 PROBLEMA RESOLVIDO 116 ams2 Uma particula movese em linha reta com a aceleracaio mostrada na figura Sabendo que comega na origem com v 36 ms a desenhe as curvas v ie tex tcurves for 0 t 20s b determina sua velocidade posigio e 0 10 5 a distancia total percorrida quando t 12s I ts 10 SOLUCAO ams2 a Curva aceleragdotempo 12 Condig6es iniciais t 0 v 36 ms x 0 06 Mudanga em v 4rea sob a curva at Vy 36 ms 0 ho 12 20 ts 4 0t4s V Vv 06 ms4s 24ms v 12 ms 10 foennnl 1 4s t 10s Vio V 12 ms6s 72ms Vv 6 ms 10st12s VvV 1ms2s2ms vv 4 ms vms 16 NT 12s t20s Vay Vip 1 ms8s Sms Vay 4 ms J Mudanga em x area sob a curva yt x 0 01 1620 Ws 1 LA 3 10 12 0t4s ty 5 36 12496m x 96m 236 7 5 4 1 4s t5s X5 X44 5 L21 06m x 102m 1 xm pes Bst10s ty x 6515m x1 48 m 114871 2 1148 148 1 pL 45 st10s xx 6 4210m x 148m 2 10 12 16 20 ts 296 2 102 1 l6st 12s xx 2 44 8 m Vig 228m 1 20st 16s Xp X46 2 44 8m Xo 148m b Das curvas acima lemos que Parat 12s Vy 4msx 148m Distancia percorrida t 0 tot 12s De t 0s tot 5s Distancia percorrida 102 m Det 5s tot 12s Distancia percorrida 102 148 25 m Distancia total percorrida 352m 4 METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N item Segdes 117 e 118 revisamos e desenvolvemos varias técnicas grdficas para a resolugdo de problemas envolvendo o movimento retilineo Essas técnicas podem ser usa das para solucionar problemas diretamente ou para complementar métodos analiticos de solugao fornecendo uma descrigio visual e assim uma melhor compreensio do movimento de um dado corpo Sugerimos que vocé esboce uma ou mais curvas de movimento para os varios problemas desta seco mesmo se estes problemas nio fagam parte de sua tarefa de casa 1 Desenhando as curvas xt vt e at e aplicando métodos grdficos As seguintes propriedades foram indicadas na Secao 117 e vocé deve télas em mente quando usar um método grafico de solucao a As inclinagdes das curvas xt e vt em um instante sAo respectivamente iguais a velocidade e a aceleracdo nesse instante t b As Greas sob as curvas at e vt entre os instantes t e t sao respectivamente iguais a variacgéo Av na velocidade e a variagaéo Ax na coordenada de posicado durante esse intervalo de tempo c Se uma das curvas de movimento é conhecida as propriedades fundamentais que resumimos nos pardgrafos a e b vaio permitirlhe construir as duas outras curvas Entretanto quando estivermos usando as propriedades do paragrafo b a velocidade e a coordenada de posigao no tempo f devem ser conhecidas para determinar a velocidade e a coordenada de posigio no instante f5 Se vocé estudou anteriormente os diagramas de esforgo cortante e de momento fletor para uma viga deve reconhecer a analogia que existe entre as trés curvas de movimento e os trés diagramas que representam respectivamente a carga distribuida 0 esforgo cortante e o momento fletor na viga Assim quaisquer técnicas que vocé tenha aprendido em relacao 4 construcgao desses diagra mas podem ser aplicadas ao desenhar as curvas de movimento 2 Usando métodos aproximados Quando as curvas at e vt nao estéo representadas por fungoes analiticas ou quando elas sao baseadas em dados experimentais é frequentemente neces sdrio usar métodos aproximados para calcular as areas sob essas curvas Nesses casos a drea dada é aproximada por uma série de retangulos de largura At Quanto menor for o valor de At tanto menor sera 0 erro introduzido pela aproximagio A velocidade e a coordenada de posigao sio ob tidas escrevendo v vo DayeqAt x Xo DomeaAt onde 441 Ungq S40 as alturas de um retangulo de aceleragao e de um retangulo de velocidade respectivamente continua 3 Aplicando o método do momento de area Essa técnica grafica é usada quando a curva at é dada e a variagao da coordenada de posigaio deve ser determinada Verificamos na Segio 118 que a coordenada de posicao x pode ser expressa por X1 Xp vot Area sob a curva att f 1113 Tenha em mente que quando a area sob a curva at for uma area composta o mesmo valor de ft deve ser usado para calcular a contribuigo de cada uma das dreas componentes 4 Determinando a aceleragdo a partir de uma curva vx Vocé viu na Secio 118 que é possivel determinar a aceleragdo a partir de uma curva vx por medigaéo direta E importante notar entretanto que esse método somente é aplicdvel se a mesma escala linear for usada para os eixos v e x por exemplo 1 cm 10 me 1 cm 10 ms Quando esta condigio nao for satisfeita a aceleragio pode ainda ser determinada pela equacgaio dv a v dx onde a inclinagio dvdx é obtida como segue em primeiro lugar desenhe a tangente a curva no ponto de interesse A seguir usando escalas apropriadas mega ao longo dessa tangente os incre mentos correspondentes Ax e Av A inclinagao desejada é igual a razio AvAx 1161 Um vagiio do metré parte da estagio A e ganha velocidade a raziio de A B 2ms por 6s e depois razio de 3 ms até alcangar a velocidade de 24 ms O carro mantém a velocidade até aproximarse da estacao B psseeeeeeet eee os freios sao aplicados dando ao carro uma desaceleragao constante e st levandoo a parar em 6 s O tempo total do percurso de A a B é de 40 x s Desenhes as curvas a t v t ex t e determina a dist4ancia entre d as estacdes A e B Figura P1161 1162 Para a particula e o movimento do Problema Resolvido 116 construa as curvas vt e xt para 0 20s e determine a 0 valor maximo de velocidade da particula b o valor maximo da sua posigio coordenada 1163 Uma particula se move em uma linha reta com a velocidade mostra da na figura Sabendo que x 540 mm em 0 a construa as curvas at e xt para 0 50s e determine b a distancia total percorrida pela particula quando t 50 s e c os dois instantes em que x 0 v mms 26 Al 46 3 100 t s oD Figura P1163 1164 Uma particula se move em uma linha reta com a velocidade mostra da na figura Sabendo que x 540 mm em 0 a construa as curvas at e xt para 0 50s e determine b 0 valor maximo da igi posigio coordenada da particula c os valores de t para os quais a particula esta em x 100 mm 1165 Um paraquedista esté em queda livre a uma taxa de 200 kmh quan do abre seu paraquedas a uma altitude de 600 m Seguindose uma desaceleragio rapida e constante ele ento cai para uma taxa cons tante de 50 kmh de 586 m a 30 m onde manobra 0 paraquedas S em diregdo ao vento para diminuir mais ainda a velocidade de sua descida Sabendo que o paraquedista aterrissa com uma velocida Figura P1165 de descendente desprezivel determine a o tempo necessdrio para esse paraquedista aterrissar depois de abrir seu paraquedas b a desaceleragao inicial 1166 Um componente de maquina é pulverizado com tinta enquanto esta montado em tinica plataforma mével que percorre 4 m em 20 s A plataforma tem uma velocidade escalar inicial de 80 mms e pode ser acelerada a uma taxa maxima de 60 mms Sabendo que 0 processo de pintura requer 15 s para ser completado e que é realizado 4 medi da que a plataforma se move com uma velocidade constante deter mine o menor valor possivel da velocidade maxima da plataforma 640 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica x 1167 Um sensor de temperatura esta acoplado ao cursor AB que se deslo 60 cm ca para frente e para tras ao longo de 60 cm As velocidades maximas do cursor siio 12 cms para a direita e 30 cms para a esquerda Quan A B do o cursor se desloca para a direita ele acera e desacelera a uma taxa constante de 6 cms quando se desloca para a esquerda acelera e Figura P1167 desacelera a uma taxa constante de 20 cms Determine o tempo ne cessario para 0 cursor completar um ciclo inteiro e construa as curvas vt ext de seu movimento 1168 Um trem de passageiros que viaja a 40 kmh esté a 3 km de uma esta cao O trem entao desacelera de modo que a sua velocidade seja de 20 kmh quando estiver a 05 km da estagéo Sabendo que o trem chega na estacio 75 min depois de ter comegado a desacelerar e assumindo desaceleracées constantes determine a o tempo necessario para per correr os primeiros 25 km b a velocidade escalar do trem quando ele chega na estagiio c a desaceleragao constante final do trem 40 kmh 55555 Ee Ee Tee GaGa G66 Gace eens MMT Figura P1168 1169 Dois postos de controle A e B de um rali de estrada estiio localizados na mesma rodovia e separados entre si por 12 km Os limites de velo cidade escalar para os primeiros 8 km e para os tiltimos 4 km sao de 100 kmh e 70 kmh respectivamente Os motoristas devem parar em cada posto de controle e 0 tempo especificado entre os postos A e B é de 8 min 20 s Sabendo que uma motorista acelera e desacelera auma mesma taxa constante determine a intensidade de sua acelera cao se ela viaja tanto quanto possivel no limite da velocidade escalar A C B J gy gt Figura P1169 1170 Em um teste de tanque de Agua que envolve o langamento de um pe queno modelo de barco a velocidade inicial horizontal do modelo é de 6 ms e sua aceleragao horizontal varia linearmente de 12 ms em t 0 até 2 ms quando t t e depois permanece igual a 2 ms até t 14s Sabendo que v 18 ms quando t t determine a 0 valor de t b a velocidade e a posigo do modelo quando t 14 s x vo 6 ms ESS Figura P1170 Capitulo 11 Cinemdatica de particulas 641 1171 Um carro e um caminhio estao viajando numa velocidade constante de 56 kmh o carro esta 12 m atrés do caminhio O motorista do carro quer passar 0 caminhio ou seja ele deseja colocar seu carro em B 12 m4 frente do caminhao e depois reduzir sua velocidade para 56 kmh A aceleracao maxima do carro é 15 ms e a maxima desa celeragio obtida com aplicandose os freios é 6 ms Qual é 0 me nor tempo no qual o motorista do carro pode completar a operagio de ultrapassagem se ele nao pode exceder a velocidade de 80 kmh Construa a curva vt A P B oO 00 Oo a 48m Figura P1171 1172 Resolva o Problema 1171 considerando que o motorista do carro 12m nao presta nenhuma atencao ao limite de velocidade enquanto ultra passa e se concentra em alcangar a posicao B e reduzir a velocidade para 56 kmh no tempo mais curto possivel Qual é a velocidade esca re lar maxima atingida Construa a curva vt al 1173 Umelevador parte do repouso e sobe acelerando a uma taxa de 12 ms a até atingir a velocidade escalar de 78 ms que é entéo mantida Dois segundos depois do elevador ter comegado a subir um homem parado 12 m acima da posigao inicial do topo do elevador joga uma bola para gura P1173 cima com uma velocidade inicial de 20 ms Determine quando a bola vai atingir o elevador 1174 O registro de aceleracao foi obtido para um pequeno aeroplano viajando ao longo de um curso em linha reta Sabendo que x 0 e v 60 ms quando t 0 determine a a velocidade e posigao do aviio emt 20s b a velocidade média durante o intervalo 6s t 14s 2 1175 O carro A esté viajando em uma rodovia a uma velocidade constante ams vy 95 kmh e esté a 115 m da entrada de uma rampa de acesso O75 quando o carro B entra na pista de acelerago naquele ponto com uma 777 eS 5 0 7 velocidade escalar vg 25 kmh O carro B acelera uniformemente e 0 entra na pista principal depois de percorrer 60 m em 5 s Ele entio con l4 20 s tinua a acelerar na mesma taxa até atingir uma velocidade de 95 kmh 075 que é entéo mantida Determine a distancia final entre os dois carros Figura P1174 115 m o Figura P1175 642 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1176 Ocarro A esté viajando a uma velocidade escalar de 64 kmh quando entra em um trecho com limite de velocidade de 48 kmh A moto rista do carro A desacelera a uma taxa de 48 ms até atingir uma ve locidade escalar de 48 kmh que ela entéo mantém Quando o carro B que estava inicialmente 18 m atrds do carro A e viajando a uma ve locidade constante de 72 kmh entra nesse trecho de limite de velo cidade seu motorista desacelera a uma taxa de 6 ms até atingir uma velocidade de 45 kmh Sabendo que a motorista do carro B mantém essa velocidade de 45 kmh determine a a menor distancia a que o carro B chega do carro A b o momento em que 0 carro A esté 21 m a frente do carro B vgy 72 kmh vao 64 kmh B ve omit 22 Pm Pee J gp Figura P1176 1177 Um carro esta viajando em velocidade constante de 54 kmh quando o motorista vé uma crianga correndo na estrada O motorista pisa nos freios até a crianga retornar para a calgada e entao acelera para re tornar a sua velocidade de 54 kmh 0 registro da aceleragio do carro é mostrado na figura Considerando x 0 quando t 0 determine a 0 tempo ft para que a velocidade seja novamente 54 kmh b a posigio do carro nesse instante c a velocidade média do carro du rante o intervalo 1s t St a ms 2 eee ams 0 1 2 ee 2 4 45 t ts ts a a3 t22 mis Figura P1177 1178 Como mostrado na figura de t 0 até t 4 a aceleracio de uma dada particula é representada por uma parabola Sabendo que x 0e jg ee v 8 ms quando t 0 a construa curvas vt e xt para t4s b determine a posigio da particula em t 3 s Dica Use a tabela Figura P1178 das paginas finais do livro 1179 Durante um processo de manufatura uma esteira transportadora parte do repouso e percorre um total de 04 m até voltar tempora riamente ao repouso Sabendo que a taxa de mudanga da aceleragiio esta limitada a 16 ms por segundo determine a 0 tempo mais curto necessério para a esteira percorrer 04 m b os valores maximo e médio da velocidade da esteira durante esse tempo Capitulo 11 Cinematica de particulas 643 1180 Um trem de transporte de um aeroporto trafega entre dois terminais que estio afastados 26 km Para manter o conforto do passageiro a aceleracdo do trem é limitada a 12 ms e a taxa de mudanga da aceleracio é limitada a 02 ms por segundo Se esse trem tem uma velocidade escalar maxima de 32 kmh determine a 0 tempo mais curto para o trem trafegar entre os dois terminais e b a velocidade média correspondente do trem 1181 O registro de aceleragéo mostrado na figura foi obtido durante os testes de velocidade escalar de um carro esportivo Sabendo que o carro parte do repouso determine por meios aproximados a a velocidade do carro quando t 8 s b a distancia que o carro per correu quando 20s a ms hE EEE BCCCCCEECE DALE tS SERRE 30 IN I wot Lm tt ro ee ot TTT tty te 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 t s Figura P1181 1182 Dois segundos sao necessarios para trazer a haste do pistéo de um cilindro de ar ao repouso o registro da aceleracao do pistaéo durante os 2s mostrado na figura Determine por meios aproximados a a velocidade inicial da haste do pistio b a distancia percorrida pela haste do pistaio 4 medida que ela é trazida ao repouso a ms 40 30 20 10 0 0 025 05 075 10 125 15 175 20 t s Figura P1182 644 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1183 Um aviao de treinamento tem velocidade de 378 ms ao pousar em um portaavides Quando o mecanismo de parada traz 0 aviaio ao re pouso a velocidade e a aceleragio do aviiio sdo registradas os resul tados so mostrados curva sélida na figura Determine por meios aproximados a o tempo necessario para 0 avido chegar ao repouso e b a distancia percorrida nesse tempo a ms 18 a Leet oa LE Tres st at itt ji hh so tL tt fi 0 6 12 18 24 30 36 42 wv ms Figura P1183 1184 Na figura é mostrada uma parte da curva vx determinada experi mentalmente para um carrinho de transporte Determine por méto dos aproximados a aceleracgao do carrinho a quando x 025 me b quando v 2 ms v ms 25 20 15 10 05 0 0 025 050 075 100 125 xm 5 Figura P1184 ams 18 1185 Usando 0 método da Segao 118 deduza a formula x x vgt dat para a coordenada de posigao de uma particula em um movimento uniformemente acelerado 1186 Usando o método da Segio 118 determine a posigio da particula do Problema Resolvido 116 quando t 14s ts 1187 Durante o teste de um novo bote salvavidas um acelerémetro fixado 45 ao bote fornece o registro mostrado na figura Se o bote tem uma 075 s velocidade de 2 ms t 0 e fica em repouso no tempo t determine 1 usando o método da Segao 118 a o tempo t D a distancia por Figura P1187 meio da qual o bote se move antes de entrar em repouso 1188 Para a particula do Problema 1163 trace a curva at e determine usando o método da Segio 118 a a posigo da particula quando t 52s b o valor maximo de sua posigéo coordenada Capitulo 11 Cinematica de particulas 645 MOVIMENTO CURVILINEO DE PARTICULAS Yy 119 Vetor posigdo velocidade e aceleragdo pe Quando uma particula se desloca ao longo de uma curva que nfo seja r V As uma linha reta dizemos que a particula esta em movimento curvilineo e Para definir a posigéo P ocupada pela particula em um instante dado t selecionamos um sistema de referéncia fixo tal como os eixos x y Z mos Op x trados na Fig 1114a e desenhamos 0 vetor r unindo a origem O ao ponto P Como 0 vetor r caracterizado por sua intensidade r e sua diregéo em a relagao aos eixos de referéncia ele define completamente a posigao da Ar particula em relagio a esses eixos o vetor r 6 denominado vetor de posi Y At ao da particula no instante t Considere agora 0 vetor r que define a posigao P ocupada pela mes ma particula no instante posterior t At O vetor Ar que une P e P B representa a variacao do vetor de posigao durante o intervalo de tempo r At como podemos facilmente verificar da Fig 1114a 0 vetor r é obtido adicionando os vetores r e Ar de acordo com a regra do triangulo Nota mos que r representa uma variacao na diregdo bem como uma variacao O na intensidade do vetor de posicao r A velocidade média da particula no intervalo de tempo t é definida como 0 quociente de Ar e At Como Ar é b um vetor e At é um escalar o quociente ArAt 6 um vetor ligadoaPde mesma diregao que Ar e de intensidade igual a intensidade de Ar dividi do por At Fig 1114 A velocidade instanténea da particula no instante t é obtida escolhen dose intervalos de tempo At cada vez menores e paralelamente incre mentos vetoriais Ar cada vez menores A velocidade instantanea é entao iN representada pelo vetor Po s O jim 2 1114 v seso At 11 c A medida que At e Ar se tornam menores os pontos P e P se aproxi mam 0 vetor v obtido no limite deve entao ser tangente a trajet6riada Figura 1114 particula Fig 1114c Como o vetor de posigao r depende do instante t podemos nos re ferir a ele como uma fungdo vetorial da varidvel escalar t e representdlo por rt Estendendo o conceito de derivada de uma fungio escalar in troduzido no célculo elementar vamos nos referir ao limite do quociente ArAt como a derivada da funcao vetorial r Escrevemos dr a 1115 A intensidade v do vetor v é chamada de velocidade escalar da particula Ela pode ser obtida substituindose o vetor Ar na formula 1114 pela intensidade desse vetor representada pelo segmento de reta PP Mas 0 comprimento do segmento PP se aproxima do com primento As do arco PP a medida que At decresce Fig 1114a e podemos escrever PP As ds Pe iar aMoae Pde UNO 646 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica y v y Q v Av Q P Vv O O x x a a a b y A velocidade escalar v pode entao ser obtida derivando em relagao a t 0 comprimento s do arco descrito pela particula a Considere a velocidade v da particula no instante e sua velocidade v num instante posterior t At Fig 1115a Desenhemos ambos os vetores v e v a partir da mesma origem O Fig 1115b O vetor Av que une Q e Q representa a variacao na velocidade da particula durante Q o intervalo de tempo At jd que o vetor v pode ser obtido pela adico Hodégrafo dos vetores v e Av Devemos notar que Av representa uma variagao na v diregdo da velocidade bem como uma variagao em velocidade escalar A aceleragado média da particula no intervalo de tempo At é definida como o quociente de Av e At Como Av é um vetor e At é uma escalar 0 quo o ciente Av At é um vetor de mesma diregao que Av A aceleragdo instanténea da particula no instante t é obtida tomando se valores de At e Av cada vez menores A aceleracao instantanea é en a c tio representada pelo vetor Av a lim 1117 Ato At a Notando que a velocidade v é uma fungio vetorial v do tempo t pode Trajetéria se mos referirnos ao limite do quociente Av At como a derivada de v em Vv relagiio a t Escrevemos a 1118 a dt P Observamos que a aceleragaio a é tangente a curva descrita pela O z extremidade Q do vetor v quando este tltimo é desenhado a partir da origem fixa O Fig 1115c e que em geral a aceleragaio ndo é tangente a trajetéria da particula Fig 1115d A curva descrita pela z d extremidade de v e mostrada na Fig 1115c é chamada de hodégrafo Figura 1115 do movimento Capitulo 11 Cinematica de particulas 647 1110 Derivadas de fungées vetoriais Vimos na secao anterior que a velocidade v de uma particula em movi mento curvilineo pode ser representada pela derivada da fungao vetorial rt que caracteriza a posicao da particula Da mesma forma a acelera Ao a di fcula pod ada pela derivada da funca ial AP cao a da particula pode ser representada pela derivada da fungiio vetoria Plu Au vt Nesta seco vamos dar uma definicao formal da derivada de uma fungio vetorial e estabelecer algumas regras que determinam a deriva cao de somas e produtos de fungées vetoriais Seja Pw uma fungao vetorial da variavel escalar u Com isso quere Plu mos dizer que o escalar u define completamente a intensidade e a dire cao do vetor P Se o vetor P for desenhado a partir de uma origem fixa O O ese o escalar u puder variar a extremidade de P vai descrever uma determinada curva no espago Considere os vetores P que correspon dem respectivamente aos valores de u e u Au da variavel escalar Fig a 1116a Seja AP 0 vetor que une as extremidades dos dois vetores dados escrevemos y AP Pu Au Plu ip ar Dividindo os dois lados da equagio por Au e fazendo Au tender a zero du definimos a derivada da fungao vetorial Pu dP AP Pu Au Pu lm kim A H 1119 du duro Au Au0 Au A medida que Au tende para zero a linha de acgio de AP tornase tan gente curva da Fig 1116a Assim a derivada dPdu da fungao ve Plu torial Pu é tangente a curva descrita pela extremidade de Pu Fig 1116D O As regras padrao para a derivagio de somas e produtos de fungées es calares podem ser estendidas as fungdes vetoriais Considere primeiro a adicao de duas fungées vetoriais Pu e Qu da mesma variavel escalaru b De acordo com a definigo dada em 1119 a derivada do vetorP Qé Figura 1116 dP Q AP Q AP AQ lim lim du Au0 Au Auo Au Au ou como 0 limite de uma soma é igual 4 soma dos limites de seus termos dP Q i AP Li AQ lim im du avo Au Awo Au dP dP d du du du O produto de uma fungdo escalar fu por uma fungdo vetorial Pu da mesma variavel escalar u sera considerado agora A derivada do vetor fPé dfP f AfP AP fP Af AP km tH lim P f du Au0 Au Auo Au Au 648 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica ou recordando as propriedades dos limites de somas e produtos dfP d dP afP Gp f 1121 du du du As derivadas do produto escalar e do produto vetorial de duas fungdes vetoriais Pw e Qu podem ser obtidas de modo anélogo Temos dPQ dP d 1122 Q aP QP aQ 1122 du du du dP XQ dP dQ Tian P X 1123 du du Q du As propriedades estabelecidas anteriormente podem ser usadas para determinar os componentes retangulares da derivada de uma fungdao ve torial Pu Decompondo P em componentes ao longo de eixos retangu lares fixos x y e 2 escrevemos P Pit Pjt Pk 1124 onde P P P sdo os componentes retangulares escalares do vetor P e i j k sdo os vetores unitdrios correspondentes respectivamente aos eixos x y ez Seco 212 Pela Eq 1120 a derivada de P é igual soma das derivadas dos termos do lado direito da equagéo Como cada um destes termos é o produto de um escalar por uma fungao vetorial devemos usar a Eq 1121 Mas os vetores unitérios i j k possuem uma intensidade constante igual a 1 e diregdes fixas Suas derivadas sao portanto iguais a zero e escrevemos dp dP Py ab 4 4 SK 1125 dus du dud du Notando que os coeficientes dos vetores unitarios sAo por definicio os componentes escalares do vetor dPdu concluimos que os componentes retangulares escalares da derivada dPdu da fungao vetorial Pu sao ob tidos derivando os componentes escalares correspondentes de P Taxa de variagdo de um vetor Quando o vetor P é uma funcio do tempo t sua derivada dPdt representa a taxa de variagéo de P em relacao ao sistema de referéncia Oxyz Decompondo P em componentes retangulares temos pela Eq 1125 dP aP dP dP Of Ste yp ey Es dt dt dad dt ou usando pontos para indicar derivagdo em relacao at Como 0 produto vetorial nado é comutativo Secao 34 a ordem dos fatores na Eq 1123 deve ser mantida Capitulo 11 Cinematica de particulas 649 Como veremos na Secao 1510 a taxa de variagéo de um vetor y quando observado de um sistema de referéncia em movimento é em a geral diferente da sua taxa de variagio quando observado de um sis y tema de referéncia fixo Entretanto se o sistema Oxyz estiver em translagdo isto é se seus eixos permanecem paralelos aos eixos corres O pondentes do sistema de referéncia fixo Oxyz Fig 1117 os mesmos vetores unitarios i j k so usados em ambos os sistemas e em qualquer 0 instante dado o vetor P tem os mesmos componentes P P P em am x bos os sistemas de referéncia Seguese da equagiio 1125 que a taxa de variacao de P é a mesma em relagio aos sistemas Oxyz e Oxy2 Estabelecemos portanto A taxa de variagdo de um vetor amesmaem Z relagdo a um sistema fixo eaum sistema em translacao Esta proprie Figura 1117 dade vai simplificar muito nosso trabalho j4 que trataremos principal mente de sistemas em translacio 1111 Componentes retangulares de velocidade e aceleragdo Quando a posicao de uma particula P for definida em qualquer instante por suas coordenadas retangulares x y ez 6 conveniente decompor a ve locidade v e a aceleragiio a dessa particula em componentes retangulares Fig 1118 Decompondo 0 vetor de posigio r da particula em componentes re tangulares escrevemos rxi yj zk 1126 4 y onde as coordenadas x y e z séo fungées de t Derivando duas vezes Yo La obtemos a P Vy 7 ve git yp t ck 1127 lv JV dt hf dv aaa shit at zk 1128 Se 4 zk onde x y eX representam respectivamente as primeira e se gunda derivadas de x y e z em relagio a t Seguese de 1127 e 1128 z a que os componentes escalares da velocidade e aceleragao sio ay y 4 vy x vy y v 2 1129 Z ah a X dy Yy a 1130 Um valor positivo para v indica que o componente vetorial v esta dirigi p do para a direita e um valor negativo indica que ele esta dirigido para a a esquerda O sentido de cada um dos outros componentes vetoriais pode Pa ser determinado de modo semelhante a partir do sinal do componente oF v escalar correspondente Se desejado as intensidades e diregdes da ve in 7 locidade e aceleragao podem ser obtidas a partir de seus componentes escalares pelos métodos das Segées 27 e 212 O a O uso de componentes retangulares para descrever a posigao a velo i cidade e a aceleragao de uma particula é particularmente eficaz quando k o componente a da aceleragao depende somente de t x eou v e quan ib do da mesma forma a depende somente de t y eou vb a detze ou v As Eqs 1130 podem entao ser integradas independentemente Figura 1118 650 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica e desta forma também as Eqs 1129 Em outras palavras o movimento da particula na diregao x seu movimento na diregdo y e seu movimento na diregaio z podem ser estudados separadamente No caso do movimento de um projétil por exemplo podese mostrar ver Segao 125 que os componentes da aceleragao sao dXX0 ayYrg a20 eee aire se a resisténcia do ar for desprezada Representando por Xp yp as Stirs 2 beef coordenadas de uma arma e por U Uy v 08s Componentes da a Bs velocidade inicial v do projétil uma bala integramos duas vezes em t Me e obtemos Ree l t ty F O b 2 edo Es x x9 vot Y Yo yot pet z vzot 5 ae ie Se o projétil é disparado no plano xy a partir da origem O temos x yo Ve v 0 e as equacgdes de movimento se reduzem vy vxo vy vyo gt vz 0 Foto 113 O movimento deste praticante x vot y vot Lot z0 de snowboard no ar seré uma pardbola considerando que nos possamos desprezara Frscas equacdes mostram que o projétil permanece no plano xy que resistencia do ar seu movimento na direcao horizontal é uniforme e que seu movimento na direcgao vertical 6 uniformemente acelerado O movimento de um projétil pode entao ser substituido por dois movimentos retilineos inde pendentes que sao facilmente visualizados se assumirmos que o projétil Wok 73 y i é disparado verticalmente com uma velocidade inicial vo a partir de uma plataforma que se desloca com uma velocidade horizontal constan vo te v Fig 1119 A coordenada x do projétil é igual em qualquer ins tante a distancia percorrida pela plataforma e sua coordenada y pode ser calculada como se 0 projétil estivesse se deslocando ao longo de uma linha vertical a Movimento de um projétil Podese observar que as equagées que definem as coordenadas x e y de um projétil em um instante qualquer sao as equagées paramédicas de uma parabola Dessa forma a trajetéria de um projétil é parabédlico Esse resultado entretanto deixa de ser valido quando a resisténcia do ar ou a variagao da aceleracao da gravidade com a altitude forem levadas vyo y em conta sv 1112 Movimento relativo a um sistema oO oO de referéncia em translacado Na secio anterior um tinico sistema de referéncia foi usado para des b Movimentos retilineos equivalentes crever 0 movimento de uma particula Na maioria dos casos esse sis tema estava preso a Terra e era considerado como fixo Situagdes nas Figura 1119 quais é conveniente usar varios sistemas de referéncia simultaneamente serdo agora analisadas Se um desses sistemas estiver preso a Terra ele serd chamado de sistema de referéncia fixo e os demais sistemas serao denominados sistemas dc referéncia méveis Devese entender entre tanto que a selecao de um sistema de referéncia fixo é puramente ar bitraria Qualquer sistema poderé ser designado como fixo todos os demais sistemas nao ligados rigidamente a este sistema serio descritos como méveis Capitulo 11 Cinematica de particulas 651 Considere duas particulas A e B que se movem no espago Fig y 1120 Os vetores r e r definem as suas posigdes em qualquer ins y tante dado com relagao ao sistema de referéncia fixo Oxyz Considere pB agora um sistema de eixos x y ez centrado em A e paralelo aos eixos x y ez Enquanto a origem desses eixos se desloca suas orientagdes J nba permanecem as mesmas 0 sistema de referéncia Axyz estd em trans e x lagdo em relagao 4 Oxyz O vetor r que une A e B define a posigdo de Op B relativa ao sistema mével Axyz ou simplesmente a posigdo de B relativa a A z Notamos a partir da Fig 1120 que o vetor de posigdo r da particula B éasoma do vetor de posicao r da particula A com o vetor de posigao Figura 1120 rz de B relativo a A logo rg Va Vga 1131 Derivando 1131 em relagao at no sistema de referéncia fixo e usando pontos para indicar derivadas em relagao ao tempo temos rp Tr Ips 1132 As derivadas r e r representam respectivamente as velocidades v ul 7 eV das particulas A e B Como Axyz esté em translagao a derivada ee Tz representa a taxa de variacao de r em relaco ao sistema Axy2 GL bem como em relagao ao referencial fixo Secao 1110 Essa deriva bs da portanto define a velocidade v de B em relagao ao referencial Axyz ou resumindo a velocidade v de B em relagao a A Escre Sere Se Va Va Vpn 1133 Foto 114 O piloto do helicéptero deve levar em conta o movimento relativo do Derivando a Eq 1133 em relagao a t e usando a derivada v para quando aterrissar definir a aceleragdo a de B em relagao ao referencial Axyz ou sim plesmente a aceleragdo a de B em relagdo a A escrevemos Te 1134 O movimento de B em relacio ao referencial fixo Oxyz 6 denomina do movimento absoluto de B As equacgées deduzidas nesta segéo mos tram que 0 movimento absoluto de B pode ser obtido pela combinagao do movimento de A e do movimento relativo de B em relagao ao referencial mével preso em A A Eq 1133 por exemplo expressa que a veloci dade absoluta v da particula B pode ser obtida pela adigdo vetorial da velocidade de A com a velocidade de B relativa ao referencial Axyz A Eq 1134 expressa uma propriedade semelhante em termos das acele ragoes Devemos ter em mente entretanto que o sistema Axyz estd em translacao isto é enquanto ele se move com A ele mantém a mesma orientagao Como veremos Secao 1514 relagdes diferentes devem ser usadas no caso de um sistema de referéncia em rotagao Observe que o produto dos subscritos A e BA usados no membro do lado direito das Eqs 1131 a 1134 é igual ao subscrito B usado no membro do lado esquerdo dessas equagoes 180 ms PROBLEMA RESOLVIDO 117 a Um projétil é disparado da extremidade de um rochedo de 150 m de altura com uma velocidade inicial de 180 ms em um Angulo de 30 com a horizontal Desprezando a resisténcia do ar encontre a a distancia hori O zontal da arma até o ponto onde o projétil atinge o solo e b a altura maxima em relacao ao solo alcangada pelo projétil SOLUCAO y O movimento vertical e o horizontal serao considerados separadamente a981 ms I Movimento vertical Movimento uniformemente acelerado Es Woh 180 ms colhendo o sentido positivo do eixo y para cima e colocando a origem O na yo arma temos O 30 vyo 180 ms sen 30 90 ms a 981 ms 150 m F Substituindo nas equagdes de movimento uniformemente acelerado temos Oy Vyo at v 90 981t 1 y vyot gat sy 90t 4900 2 vy vyo 2ay vw 8100 1962y 3 LOW 150 ms Movimento horizontal Movimento uniforme Escolhendo o senti O 30 do positivo do eixo x para a direita temos vxo vo 180 ms cos 30 1559 ms Substituindo na equacao de movimento uniforme obtemos x vot x 1559t 4 a Distancia horizontal Quando o projétil atinge o solo temos y 150m Levando esse valor para a Eq 2 do movimento vertical escrevemos 150 90t 4902 1837 306 0 t 1991 s Levando t 1991 s na Eq 4 do movimento horizontal obtemos x 15591991 x3100m 4 b Maxima elevagdo Quando 0 projétil atinge sua elevacio maxima te mos v 0 levando este valor 4 Eq 3 do movimento vertical escrevemos 0 8100 1962y y 413m Elevacado maxima acima do solo 150m 413m563m 4 240 ms B PROBLEMA RESOLVIDO 118 O A oO 600 m Um projétil é disparado com uma velocidade inicial de 240 ms contra um C 1 alvo B situado a 600 m acima da arma A e a uma distancia horizontal de 3600 m Desprezando a resisténcia do ar determine o valor do angulo de ao disparo a SOLUCAO Vo 240 ms B Os movimentos horizontal e vertical seraio considerados separadamente 0 a Tis 940 cos Movimento horizontal Colocando a origem dos eixos coordenados na arma temos 3600 m Uxo 240 cos a Substituindo na equacaio de movimento horizontal uniforme obtemos x vot x 240 cos at O tempo necessario para que o projétil percorra uma distancia horizontal de 3600 m é obtido fazendo x igual a 3600 m 3600 240 cos at 3600 15 240 cosa cosa y 981 mns2 Movimento vertical a981 ms B eyo 240 sen a981 ms2 coal er r 0 4 Vo 240 ms 600 m Substituindo na equagaio de movimento vertical uniformemente acelerado obtemos vo 240 sena 12 2 y vot gat y 240 senat 4905 O projétil atinge o alvo Quando x 3600 m devemos ter y 600 m Substituindo y e fazendo igual ao valor encontrado anterior mente escrevemos 15 15 600 240sen a 905 2 cos a cos a Como Icos a sec a 1 te a temos 600 24015 tg a 4905151 te a 1104 tg a 3600 tga 1704 0 Resolvendo essa equagio quadratica para tg a temos tga 0575 e tga 269 B AL O alvo sera atingido se qualquer um dos dois Angulos de tiro for utilizado ver figura f PROBLEMA RESOLVIDO 119 12 ms2 O automével A esta trafegando para leste com uma velocidade constante de 35m z 36 kmh Quando ele passa pelo cruzamento mostrado na figura 0 automév el B parte do repouso a 35 m ao norte do cruzamento e se dirige para o sul dp com uma aceleragao constante de 12 ms Determine a posigao velocidade A e aceleragao de B relativas a A 5 s depois de A ter passado pelo cruzamento 36 kmh SOLUCAO y Escolhemos os eixos x e y com origem no cruzamento das duas ruas e com sen tidos positivos dirigidos respectivamente para leste e norte Movimento do automoével A Primeiro a velocidade é expressa em 35 m i B ms 7 km 1000 Lh s ba som Lmem yr 10 ms x h lkm 3600 s Notando que o movimento de A é uniforme escrevemos para qualquer ins tante f a 0 v 10 ms xa xao val O 10t Parat 5s temos a 0 ay 0 v4 10 ms v4 10 ms x4 10 ms5 s 50 m ry 50m Movimento do automével B Notamos que 0 movimento de B é unifor memente acelerado e escrevemos ag 12 ms Og Upo at 0 12t ye Yso vgot gant 35 0 3120 Parat 5s temos dg 12 ms ag 12 ms vg 12 ms5 s 6 ms vp 6 ms J fS TBA f TBA yp 35 312 ms5 ss 20m rg 20 mF TB 20 m Movimento de Bem relagdo aA Desenhamos 0 tridngulo correspon A om dente equagio vetorial r r r e obtemos a intensidade e diregao do VA 10 ms vetor de posigao de B em relacio a A vB 6 ms TRA 539 m a 218 rg 539 mS 218 VBA VBA Procedendo de maneira semelhante encontramos a velocidade e aceleragaio de B em relacio a A 5 Vp Va t Vpa ap apa 12 ms agya vp 1166 ms B310 vg 1166 ms27310 ag ay apa aga L2ms METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMA SOLUCAO fo S N os problemas desta secao vocé vai analisar 0 movimento bi e tridimensional de uma particula Apesar de as interpretacées fisicas da velocidade e da aceleragao serem as mesmas que nas primeiras ligdes deste capitulo vocé deve se lembrar de que essas quantidades so vetores Além do mais vocé deve compreender a partir de suas experiéncias com vetores em estatica que é fre quentemente vantajoso expressar os vetores de posicdo velocidades e aceleracgdes em termos de seus componentes escalares retangulares Eqs 1127 e 1128 Além disso dados dois vetores Ac B recorde que A B 0 se Ae B forem perpendiculares entre si enquanto A X B 0 se A e B forem paralelos A Analisando o movimento de um projétil Varios dos problemas a seguir tratam do mo vimento bidimensional de um projétil em que a resisténcia do ar pode ser desprezada Na Segao 1111 desenvolvemos as equagdes que descrevem esse tipo de movimento e observamos que 0 componente horizontal da velocidade permanecia constante movimento uniforme enquanto o componente vertical da aceleracdo era constante movimento uniformemente acelerado Foi pos sivel considerar separadamente os movimentos vertical e horizontal da particula Assumindo que o projétil é atirado da origem podemos escrever as duas equacdes 142 x 0ot y vot agt 1 Se a velocidade inicial e o Gngulo de tiro sao conhecidos o valor de y corres pondente a qualquer valor dado de x ou o valor de x para qualquer valor de y pode ser obtido resolvendose uma das equagées anteriores para t e substituindo t na outra equagao Problema Resolvido 117 2 Sea velocidade inicial e as coordenadas de um ponto da trajetoria sao conheci das e vocé quer determinar o dngulo de tiro a comece sua solucgao expressando os componentes vo vy da velocidade inicial como fungGes do Angulo a Essas expressdes e os valores conheci dos de x e y sao entio substituidos nas equagées anteriores Finalmente resolva a primeira equa cao para t e substitua esse valor de t na segunda equacao para obter uma equacao trigonométrica em que vocé pode resolver para essa inc6gnita Problema Resolvido 118 continua B Resolvendo problemas de movimento relativo de translação bidimensional Você viu na Seção 1112 que o movimento absoluto de uma partícula B pode ser obtido combinandose o movimento de uma partícula A e o movimento relativo de B em relação a um sistema de referên cia preso a A que está em translação A velocidade e aceleração de B podem então ser expressas como mostrado nas Eqs 1133 e 1134 respectivamente 1 Para visualizar o movimento relativo de B em relação a A imagine que você está preso à partícula A enquanto observa o movimento da partícula B Por exemplo para um passagei ro no automóvel A do Problema Resolvido 119 o automóvel B parece estar andando em uma di reção sudoeste sul deve ser óbvio e oeste é devido ao fato de que o automóvel A está se movendo para o leste o automóvel B parece então estar se deslocando para oeste Note que essa conclusão é consistente com a direção de vBA 2 Para resolver um problema de movimento relativo escreva primeiro as equações vetoriais 1131 1133 e 1134 que se referem aos movimentos das partículas A e B Você pode então usar um dos dois métodos a seguir a Construa os triângulos de vetores correspondentes e os resolva para o vetor de posição velocidade e aceleração desejada Problema Resolvido 119 b Expresse todos os vetores em termos de seus componentes retangulares e resolva os dois conjuntos independentes de equações escalares obtidos dessa maneira Se você es colher este método não se esqueça de selecionar o mesmo sentido positivo para o deslocamento velocidade e aceleração de cada partícula BeerDinamica11indd 656 BeerDinamica11indd 656 230712 1724 230712 1724 1189 O movimento de uma particula é definido pelas equagées y 4 55te y 5 15t ondexe y sao expressos em milime tros e t é expresso em segundos Determine a velocidade e a aceleragio quando a t 1s bt 2s 1190 O movimento de uma particula é definido pelas equagées x 2cos Ttey 1 4cos 2 TH onde x e y sao expressos em metros e t é expresso em segundos Mostre que a trajetéria da particula é parte da parabola mostrada e determine a velocidade e a aceleracio quando a t 0 bt 15s ym y52x2 2 x m 31At0 y Figura P1190 1191 O movimento de uma particula é definido pelas equagées x f 8t 7ey 050 2t 4 onde x e y sio expressos em metros e t em P segundos Determine a a intensidade da menor velocidade atingida y pela particula b os instantes de tempo posigio e diregdo corres pondentes 4 velocidade oO A Po 1192 O movimento de uma particula é definido pelas equagées x 4t 2sentey 4 2 cost onde x e y sio expressos em mi limetros e é expresso em segundos Esboce a trajetéria da particu la e determine a as intensidades da menor e da maior velocidade Figura P1193 atingida pela particula b os instantes de tempo posigiio e diregio correspondentes a velocidade yyy 1193 O movimento de uma particula esta definido pelo vetor de posigéio r Acos t sen ti Asen t cos tj onde t é expresso em 10 segundos Determine os valores de para os quais 0 vetor de posigiio 05 e o vetor de aceleragao sio a perpendiculares e b paralelos 0 7 N oe 02 WF xx 1194 O movimento amortecido de uma particula que vibra é definido pelo XK oY 06 1 vetor de posigéo r x1 It 1i ye cos 2utj onde 95 t é expresso em segundos Para x 30 mme y 20 mm Lo determine a posigdo a velocidade e a aceleragao da particula quando a t 0e bt 15s Figura P1194 658 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica y 1195 O movimento tridimensional de uma particula é definido pelo vetor de posigio r Rt cos wti ctj Rt sen wtk Determine as in tensidades da velocidade e aceleracio da particula A curva espacial LN YP Py descrita pela particula é uma hélice cénica A2 A2 Be SA 1196 O movimento tridimensional de uma particula é definido pelo ve tor de posigio r At cos ti AV e 1j Bt sen tk onde r e t estado expressos em metros e segundos respectivamente Mos e tre que a curva descrita pela particula cai sobre o hiperboloide yAY xAY zBY 1 Para A 3e B 1 determine a as intensidades da velocidade e aceleragéo quando t 0 e b o menor 2 valor de t diferente de zero para o qual o vetor de posigiio e o vetor de velocidade sao perpendiculares entre si Figura P1196 1197 Um aeroplano usado para jogar égua sobre um incéndio florestal esta voando horizontalmente em linha reta a 315 kmh a uma altitude de 80 m Determine a distancia d na qual o piloto deverd liberar a Agua tal que ela atinja o fogo em B Se Vo l A 4 Bee ez 2 ne pa es f i Figura P1197 1198 Trés criangas estio jogando bolas de neve umas nas outras A crianga A joga uma bola de neve com velocidade horizontal vy Se a bola de neve passa sobre a cabega da crianga B e atinge a crianga C determi ne a 0 valor de tp b a distancia d A vo lm B 2m 4 Figura P1198 Capitulo 11 Cinemdatica de particulas 659 1199 Durante a entrega de jornais uma garota joga um jornal com uma velocidade horizontal v Determine o intervalo de valores de v para que o jornal caia entre os pontos B e C I 350 mm 900 mm a A Vo di He Wy 12m 900 mm x jr 200 mm 200 mm B 21 m Figura P1199 11100 Uma maquina que langa bolas de beisebol a uma velocidade horizon tal v Sabendo que a altura h varia entre 08 m e 1 m determine a 0 intervalo de valores de vy b os valores de a correspondentes ah 08meh1m I 2m a Te Sm 2S be yO A Cy n y Figura P11100 11101 Um jogador de vélei langa uma bola com uma velocidade inicial v de intensidade 1340 ms com um Angulo de 20 com a horizontal De termine a se a bola rasparé o topo da rede b quao longe da rede a bola caira Vo s A é 4 9 y 4 a Cf 243m 2 Z gy Figura P11101 660 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 11102 O leite é derramado no copo de vidro com altura de 140 mm e com diâmetro interno de 66 mm Se a velocidade inicial do leite é 12 ms em um ângulo de 40 com a horizontal determine o intervalo de valores de altura h para o qual o leite cairá dentro do copo v0 A 40 B C h 80 mm Figura P11102 11103 Um golfista bate em uma bola de golfe com velocidade inicial de 48 ms a um ângulo de 25 com a horizontal Sabendo que o campo de golfe se inclina para baixo em um ângulo médio de 5 determine a distância d entre o golfista e o ponto B onde a bola cai primeiro A B v0 25 5 d Figura P11103 11104 A água flui de um tubo de drenagem com uma velocidade inicial de 075 ms a um ângulo de 15 com a horizontal Determine o intervalo de valores da distância d para o qual a água entrará na tina BC A C B v0 15 06 m 036 m d 3 m Figura P11104 BeerDinamica11indd 660 BeerDinamica11indd 660 230712 1724 230712 1724 Capitulo 11 Cinematica de particulas 661 11105 A areia é descarregada em A pela correia transportadora e cai no topo vo a de uma pilha em B Sabendo que a correia transportadora forma uma ZZ aT SAN Angulo de 20 com a horizontal determine a velocidade v da correia LEE 54m or eo o BV 11106 Uma jogadora de basquete arremessa a bola a5 m da tabela Sabendo Oy que a bola tem uma velocidade inicial vy em um Angulo de 30 com a ae Re horizontal determine o valor de vy quando d é igual a a 02 me b Zff AN 038 m 9m Figura P11105 5 qy r Tye Vo 30 OA 3 mn 2m 5 id 4 eo Figura P11106 11107 Um grupo de criangas atira bolas através da abertura interna de um pneu com diametro de 072 m que esté pendurado em uma arvore Uma delas atira uma bola com velocidade inicial v e Angulo de 3 com a horizontal Determine o intervalo de valores de v que fara com que a bola atravesse o pneu 20 mm 10 8 vo 6 Wife OT A aly i e 15m H SPV yas P ee a suve co 205 mm a C 30 ba 6m 025 m Figura P11107 200 mm 11108 O bocal em A descarrega agua de refrigeracaéo com uma velocidade 4 inicial v a um Angulo de 6 com a horizontal sobre um esmeril de 350 mm de diametro Determine o intervalo de valores da velocidade inicial para o qual a agua vai cair no esmeril entre os pontos B e C Figura P11108 662 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica s 11109 Enquanto segura uma das extremidades 0 trabalhador langa um rolo eC de corda sobre o galho mais baixo da arvore Se ele joga a corda com 2 uma velocidade inicial v a um Angulo de 65 com a horizontal deter a Ss mine a variagio de valores de v para que a corda passe apenas sobre i YB o galho mais baixo ae 7 Se 09 m x a 11110 Uma bola é solta sobre um degrau no ponto A e quica com uma ve es locidade inicial v a um Angulo de 15 com a vertical Determine o er valor de v sabendo que no instante imediatamente anterior ao da a bola quicar no ponto B sua velocidade v forma um Angulo de 12 I C34 57m com a vertical Vo 65 Y fs vo ee m 15 AG Figura P11109 1 Lb 12 02 m VB yes Figura P11110 11111 Um modelo de foguete é langado do ponto A com uma velocidade inicial v de 75 ms Se o paraquedas de descida do foguete nao se abre e o foguete cai a 120 m de A determine a 0 angulo a que vy forma com a vertical b a altura maxima acima do ponto A c a du racao do voo 4 a 120m NS B Figura P11111 Capitulo 11 Cinematica de particulas 663 11112 A velocidade inicial v de um disco de hockey é de 168 kmh De termine a o maior valor menor que 45 do Angulo a que o disco entrard na rede e b o tempo correspondente necessério para o disco atingir a rede Cc OD S eh YD ee Cy 9 vy gy é a QZ A B E Jing Figura P11112 11113 A langadora de um jogo de softball arremessa uma bola com uma ve locidade inicial v de 72 kmh a um angulo a com a horizontal Se a altura da bola no ponto B é de 068 m determine a 0 Angulo a b 0 Angulo 6 que a velocidade da bola forma com a horizontal no ponto B A 06m ay al a 18m i 068 m s Vo Joy fits etter a 14m Figura P11113 SPR Ror ee aren B 11114 Um alpinista planeja pular de A para B sobre uma fenda Determine BARRO See tis ag o menor valor da velocidade inicial do alpinista vy e o valor correspon ae octal CON aR ae BSR dente do angulo a para que ele caia em B Figura P11114 11115 Umirrigador oscilante de jardim que langa um jato de 4gua com uma velocidade inicial v de 8 ms é usado para irrigar uma horta Deter mine a distancia d para o ponto mais afastado B que sera irrigado e o Angulo correspondente quando a os vegetais estiverem apenas comegando a crescer e b a altura h de um pé de milho for de 18 m 4 U BR op Vo AA SA Rh pS e TX 2 AGS 1 4a Fadl YT why Me Me Me Be 15m d Figura P11115 664 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 11116 Um trabalhador usa Agua sob alta pressio para limpar o interior de uma longa canalizagaio de drenagem Se a agua é descarregada com uma velocidade inicial v de 115 ms determine a a distancia d ao ponto mais remoto B no alto do cano que a dgua pode lavar a partir de sua posicao em A e b o Angulo a correspondente Vo ETN REST 8 a o ASS my m Pr TS a a r r Figura P11116 11117 A medida que o bloco deslizante A se movimenta para baixo a uma velocidade de 05 ms a velocidade em relacgéo a A da porcao da correia B entre as polias esticadoras C e D é Vep 2 ms 26 De termine a velocidade da porgio CD da correia quando a 6 45 b 6 60 65 fe Figura P11117 11118 As velocidades dos esquiadores A e B sfio mostradas na figura Deter mine a velocidade de A com relagao a B 4 10 ms 5 A 10 y iss Figura P11118 Capitulo 11 Cinemdatica de particulas 665 11119 Um radar costeiro indica que uma barca sai de seu atracadouro com uma velocidade v 185 kmh 2770 enquanto instrumentos a bor do da barca indicam velocidade de 19 kmh e direcao 30 a oeste da direcio sul relativa ao rio Determine a velocidade do rio Dica 1 né 1852 kmh 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ar O fm LH a i N Figura P11119 gc 11120 Os avides A e B esto voando a mesma altitude e acompanhando o olho de um furaco C A velocidade relativa de C em relacdo a A é Voy 235 kmh 275 e a velocidade relativa de C em relacao a B é Vojp 260 kmh SS 40 Determine a a velocidade relativa de B em A mz a relacao a A b a velocidade de A se um radar baseado no chao indica A 3 que 0 furaco esta se movendo a uma velocidade escalar de 36 kmh y para o norte c a mudanga na posico de C em relaco a B durante Figura P11120 um intervalo de 15 min 11121 As velocidades dos trens de passageiros A e B so como mostradas na figura Sabendo que a velocidade de cada trem é constante e que B atinge o cruzamento 10 min depois de A ter passado por ele determi ne a a velocidade relativa de B em relagio a A b a distancia entre a frente das maquinas 3 min depois de A ter passado pelo cruzamento 66 kmh t A HL SSS AL b STs TTT PO iL ail 48 kmh B Ky 25 Z yee Ss oO La ce oO CC ex iB Figura P11121 666 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 11122 Sabendo que a velocidade do bloco B com relagio ao bloco A é Vg 56 ms 4 70 determine as velocidades de A e B A Zn LP 9 RSS ea 30 6 e Figura P11122 11123 Sabendo que no instante mostrado na figura o bloco A tem velocida de de 8 cms e aceleragao de 6 cms ambas no sentido de descida da rampa determine a a velocidade do bloco B b a aceleragao do bloco B f B 15 JA 25 y Figura P11123 11124 Sabendo que no instante mostrado na figura a montagem A tem a velocidade de 9 cms e aceleragio de 15 cms ambas direcionadas para baixo determine a a velocidade do bloco B b a aceleragao do bloco B as SS 0 50 X Figura P11124 Capitulo 11 Cinematica de particulas 667 11125 A montagem da barra A com a cunha B sai do repouso e se move para a direita com aceleracaio constante de 2 mms Determine a a ace leragao da cunha C b a velocidade da cunha C quando t 10 s C Sa A 75 B B Figura P11125 J z a ih JA 50 11126 A medida que o caminhao mostrado na figura comega a dar ré com A 7 e A uma aceleracaio constante de 12 ms a seciio exterior B da sua langa a ATA comeca a se retrair com uma aceleragao constante de 05 ms relativa PL Cre ao caminh4o Determine a a aceleracgdo da secio B e b avelocidae OOO de da secio B quando t 2s Figura P11126 11127 A esteira transportadora A que forma um Angulo de 20 com a ho rizontal se move a uma velocidade constante de 12 ms e é usada para carregar um aviaio Sabendo que um trabalhador joga uma bolsa B com uma velocidade inicial de 07 ms a um Angulo de 30 com a horizontal determine a velocidade da bolsa em relacao a esteira ao cair nessa esteira U4 gE a sc Se 20 gE A Ss aT vgo 2 PBS LE gi EE Sr Oe 05m J LSE nN F EE oe oe i oO oO Co po p 7 iN Figura P11127 11128 Determine a velocidade necessaria da correia B se a velocidade re lativa com a qual a areia atinge a correia B é a vertical b a menor possivel v 15 ms 11129 A medida que foi observado um navio se movendo para o leste a 9 Vp GO A kmh 0 vento parecia soprar do sul Depois que o navio mudou de iB im curso e velocidade e este se movia para 0 norte a 6 kmh 0 vento pa recia soprar do sudoeste Considerando que a velocidade do vento é 15 constante durante o periodo de observaciao determine a intensidade e a diregao verdadeiras da velocidade do vento Figura P11128 668 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 11130 Quando um pequeno barco viaja para o norte a5 kmh uma bandeira montada na sua popa forma um Angulo 6 50 com a linha central do barco como mostrado na figura Pouco depois quando o barco esté viajando para leste a 20 kmh o Angulo é novamente de 50 Determine a velocidade escalar e a direcdo do vento 0 Figura P11130 11131 Em uma parte de uma loja de departamento um trem de ferromo delismo D corre em uma leve inclinacao vista entre duas escadas ro lantes de subida e descida Quando o trem e os compradores passam pelo ponto A o trem parece para o cliente que sobe na escada rolan te B que se move para baixo com Angulo de 22 na horizontal e para a cliente que desce a escada rolante C parece que se move para cima com Angulo de 23 na horizontal e viaja para a esquerda Sabendo que a velocidade das escadas rolantes 6 1 ms determine a velocidade escalar e a diregao do trem re c b 30 9 D e A Ss i VB IA B 4 Figura P11131 11132 As trajetérias das gotas de chuva durante uma tempestade parecem formar um angulo de 75 com a vertical e cair para a esquerda quan do observadas pela janela do lado esquerdo de um automével que viaja para o norte a uma velocidade escalar de 40 kmh Quando ob servadas pela janela do lado direito de um automével que vai para o sul a uma velocidade de 30 kmh as gotas de chuva parecem formar um Angulo de 60 com a vertical Se a motorista do automével que vai para o norte parasse em que Angulo e velocidade ela observaria as gotas caindo Capitulo 11 Cinematica de particulas 669 1113 Componentes tangencial e normal y el Vimos na Secao 119 que a velocidade de uma particula é um vetor tan gente a trajetdéria dessa particula mas que em geral a aceleragaéo nao é tangente a essa trajetoria Algumas vezes é conveniente decompor a P aceleracéo em seus componentes dirigidos respectivamente ao longo da tangente e da normal a trajetoria da particula P Movimento plano de uma particula Inicialmente vamos con siderar uma particula que se desloca ao longo de uma curva contida no plano da figura Seja P a posigao da particula num dado instante Fixa O 7 mos em P o vetor e tangente a trajetéria da particula apontando no a sentido do movimento Fig 1121a Seja e 0 vetor unitdério correspon dente a posigao P da particula num instante seguinte Tragando os dois ey ae vetores a partir da mesma origem O definimos o vetor Ae e e iy Fig 1121b Como e e e tém comprimento unitdrio suas extremi x dades estao sobre uma circunferéncia de raio igual a 1 Representando por A o angulo formado por e e e encontramos que a intensidade O de Ae é 2 sen A62 Considerando agora 0 vetor AeA observamos b que a medida que A tende para zero este vetor se torna tangente a Figura 1121 circunferéncia unitdria da Fig 1121D isto 6 perpendicular a e e com intensidade tendendo a i 2senA62 i senA62 I im lim Ae0 A seo 9A02 Portanto o vetor obtido no limite é um vetor unitdrio ao longo da normal a trajetoria da particula apontando na diregao para a qual e gira Repre sentando este vetor por e escrevemos i Ae e lim Aoo0 A ei 1135 e d0 Como a velocidade v da particula é tangente a trajetéria ela pode ser expressa como o produto da velocidade escalar v pelo vetor unitdrio e Temos Vv ve 1136 Para obter a aceleragao da particula derivamos 1136 em relacao a t Aplicando a regra da derivacao do produto de uma fungio escalar por As uma fungao vetorial Secao 1110 escrevemos AO a e dv dv de Cc a e v 1137 XY dt dt dt 1137 rf Mas p Ste de de d ds dt d ds dt Recordando que a partir da Eq 1116 dsdt v a partir da Eq O 1135 ded0 e e 0 calculo elementar d6ds Ip onde p é 0 raio de x curvatura da trajetéria em P Fig 1122 temos Figura 1122 670 MecGnica vetorial para engenheiros dindémica ees ae de ov sbi Scie e 1138 ween ete 4 Substituindo em 1137 obtemos aS aa een oe cee ae e 1139 2h ee an Pee teat See Portanto os componentes escalares da aceleragiio sao Foto 115 Os passageiros no trem dv vw viajando ao longo da curva experimentardo aa dt an 1140 uma aceleragdo normal em diregdo ao pP centro da curvatura do caminho As relagdes obtidas expressam que 0 componente tangencial da ace leracao é igual a taxa de variagao da velocidade escalar da particula en quanto 0 componente normal é igual ao quadrado da velocidade escalar dividido pelo raio de curvatura da trajetéria em P Se a velocidade da particula aumenta a 6 positivo e o componente vetorial a aponta para a direcgao do movimento Se a velocidade da particula diminui a é negativa e a aponta na diregdo contraria 4 do movimento O componente vetorial a por outro lado esta sempre orientado para o centro de curvatura C da trajetoria Fig 1123 y CQ v2 an p en arte do dt P O x Figura 1123 Concluimos a partir do que nos foi apresentado anteriormente que o componente tangencial da aceleracao reflete uma variagao na veloci dade escalar da particula enquanto seu componente normal reflete uma variagao na diregao de movimento da particula A aceleragao de uma par ticula serd zero somente se ambos os componentes forem zero Assim a aceleracéo de uma particula que se desloca com velocidade constante ao longo de uma curva nao sera zero a nao ser que a particula passe por um ponto de inflexao da curva onde o raio de curvatura é infinito ou que a curva seja uma linha reta O fato de que o componente normal da aceleraco depende do raio de curvatura da trajetéria seguida pela particula é levado em conta no projeto de estruturas ou mecanismos tio diferentes entre si como asas de aviao linhas férreas e cames Para evitar variagdes repentinas na ace leragao das particulas de ar que escoam ao redor de uma asa perfis de asas so projetados sem qualquer mudanga brusca de curvatura Uma precaucao similar é tomada no projeto de curvas de ferrovia de forma a evitar variagdes bruscas na aceleracao dos vagées que prejudicariam Capitulo 11 Cinematica de particulas 671 o equipamento e causariam desconforto aos passageiros Uma secaio reta de linha férrea por exemplo nunca é diretamente seguida de uma secao circular Segdes especiais de transigao sfio usadas para suavizar a passagem de um raio de curvatura infinito do trecho reto para o raio finito do trecho circular Da mesma maneira no projeto de cames de alta velocidade mudangas abruptas na aceleragao sao evitadas com o uso de curvas de transigéo que produzem uma variagao continua na aceleragao Movimento de uma particula no espago As relacdes 1139 e 1140 também sio validas para 0 caso de uma particula que se desloca ao longo de uma curva no espago Entretanto como hé um nimero infi nito de retas que sao perpendiculares 4 tangente em um dado ponto P de uma curva no espago é necessdrio definir com mais precisdo a direcao do vetor unitario e Vamos considerar novamente os vetores unitdrios e e e tangentes a trajetéria da particula em dois pontos vizinhos P e P Fig 1124a eo vetor Ae que representa a diferenga entre e e e Fig 1124 Y Y e b Plano osculador P ey y e P e P Ae lL O x On x O x a b c Figura 1124 Vamos supor agora um plano passando por P Fig 1124 paralelo ao plano definido pelos vetores e e e Ae Fig 1124b Este plano con tém a tangente a trajet6ria curva em P e é paralelo a tangente em P Se fizermos P tender a P vamos obter no limite o plano que melhor se ajusta a trajetoria nas redondezas de P Esse plano é chamado de plano osculador em P Seguese desta definigo que o plano osculador contém o vetor unitdério e uma vez que esse vetor representa o limite do vetor Ae 6 A normal definida por e esta contida entao no plano osculador ela chamada a normal principal em P O vetor unitdrio e e X e que completa o triedro positivo de vetores e e e Fig 1124c e define a binormal em P A binormal é portanto perpendicular ao plano oscu lador Concluimos que a aceleragio da particula em P pode ser expressa mediante dois componentes um ao longo da tangente e o outro ao longo da normal principal em P conforme mostrado na Eq 1139 Note que a aceleraco nao tem nenhum componente ao longo da binormal Do latim osculari beijar 672 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1114 Componentes radial e transversal Em certos problemas de movimento no plano a posigao da particula P é definida por suas coordenadas polares r e 6 Fig 1125a E entiio conveniente decompor a velocidade e a aceleracio da particula em com ponentes paralelos e perpendiculares respectivamente a linha OP Esses componentes sao denominados componentes radial e transversal C6 e ZO Pp Aeg ep r rre qv Ae ep e KK f Ao O O O a b c Figura 1125 Fixamos em P dois vetores unitéarios e e e Fig 1125b O vetor e é dirigido ao longo de OP e 0 vetor e é obtido girando e em 90 no sen tido antihorario O vetor unitario e define a direcao radial isto é a dire cao na qual P se deslocaria se r aumentasse e 6 permanecesse constante o vetor unitdrio e define a direcao transversal isto é a diregao pela qual P se deslocaria se 6 fosse aumentado e r fosse mantido constante Uma deducao andloga aquela usada na Secao 1113 para determinar a derivada G 7 do vetor unitario e leva As relagdes Bic de des ee e e 1141 ery a do dé r 4 wa ss ae onde e representa um vetor unitdrio de sentido contrario ao de e Fig al 1125c Usando a regra da cadeia para derivacao expressamos as deriva ee das temporais dos vetores unitérios e e e como segue 7 de ded6 do de dedé do en e dt dodt dt dt do dt dt Foto 116 Os suportes para os pés oa numa bicicleta eliptica esto sujeitos ao ou usando pontos para indicar as derivadas em relacio at movimento curvilineo é be é be 1142 Para obter a velocidade v da particula P expressamos 0 vetor de posi cao r de P como 0 produto do escalar r pelo vetor unitdrio e e derivamos em relacao at d v dt re re re Capitulo 11 Cinematica de particulas 673 ou recordando a primeira das relagées 1142 v re roe 1143 Derivando novamente em relagao at para obter a aceleragio escrevemos dv we ag a dt re re rdeg réeg r0eg ou substituindo e e g de 1142 e fatorando e e e a 7 r6e r6 276e 1144 Os componentes escalares da velocidade e da aceleracao nas direcdes radial e transversal so portanto oO T vp 10 1145 a1r0 a 1r0 270 1146 E importante notar que a ndo é igual A derivada temporal de v e que a nao é igual a derivada temporal de v z No caso de uma particula que se desloca ao longo de uma circun feréncia de centro O temos r constante er 7 0eas formulas 1143 e 1144 se reduzem respectivamente a P v re a rée re 1147 2 y ExtensGo para o movimento de uma particula no espacgo a coordenadas cilindricas A posigao de uma particula P no espaco é algumas vezes definida pelas suas coordenadas cilindricas R 0 e z x Fig 1126a Portanto é conveniente utilizar os vetores unitdrios ep a e e k mostrados na Fig 1126b Decompondo o vetor de posigio r da particula P segundo componentes ao longo desses vetores unitdrios z escrevemos k r Reg zk 1148 Observando que e e e definem respectivamente as diregdes radial e transversal no plano horizontal xy e que o vetor k que define a direcao y eR axial é constante em intensidade e diregao verificamos facilmente que zk 2 y dr 0 v Ren Roe 2k 1149 Rep dt x dv sy a b PROBLEMA RESOLVIDO 1110 vy 96 kmh CO SSF A Um motorista esté percorrendo uma segio curva de rodovia de raio de 750 m a uma velocidade escalar de 90 kmh O motorista de repente aciona os freios fazendo o automével reduzir sua velocidade es calar de forma constante Sabendo que apés 8 s a velocidade escalar foi re 750 m duzida para 72 kmh determine a aceleracio do automével imediatamente apos os freios terem sido aplicados SOLUCAO Componente tangencial da aceleragao Em primeiro lugar as velo cidades escalares sio expressas em ms 90 kmh go k 1000 m f 1h 95 mais h lkm 3600 s 72 kmh 20 ms Uma vez que a velocidade do vefculo diminui a uma taxa constante temos 25 a média a Av 20 ms25 ms 0625 ms At 8s Componente normal da aceleragado Imediatamente apés os freios terem sido acionados a velocidade escalar ainda é de 25 ms e temos 2 2 vo 25 ms 2 695 me2 an 0833 ms a 0625 ms2 p 750 m A Movimento ye Intensidade e diregado da aceleragdo A intensidade e a direcdo da resultante a cujos componentes sio a a S40 5 Pp n t Sa a 0833 ms ay 0833 ms2 tra a531 fy eens 5a 0625 ms 2 qa ln 0833 ms a104lms sena sen 531 PROBLEMA RESOLVIDO 1111 Determine o raio de curvatura minimo da trajetéria descrita pelo projétil considerado no Problema Resolvido 117 SOLUCAO Como a vp temos p va O raio sera pequeno quando v for pequeno VVy Dope aan ou quando a for grande A velocidade v é minima no topo da trajetéria visto que v 0 neste ponto é maxima neste mesmo ponto uma vez que a di recao vertical coincide com a diregao da normal Portanto o raio minimo de curvatura ocorre no topo da trajetoria Nesse ponto temos aa vo v 1559 ms d a 981 ms 2 2 1559 m p 2 11559 mis mis p2480m ay 981 ms fA PROBLEMA RESOLVIDO 1112 Ni A EEE AS A rotagiio do bracgo OA de 09 m de comprimento em torno de O é definida r pela relagiio 6 015 onde 6 esta expresso em radianos e t em segundos ZS O cursor B desliza ao longo do brago de tal maneira que sua disténcia em relacéo a O ér 09 0120 onde r é expresso em metros e t em segundos 8 Apos o braco OA ter girado 30 determine a a velocidade total do cursor aS b a aceleracao total do cursor e c a aceleracao relativa do cursor em re lago ao braco SOLUCGAO e Instante t no qual 6 30 Substituindo 30 0524 rad na ex B pressao para 0 obtemos Sa 6015 0524015 t 1869s e r Equagées de movimento Substituindo t 1869 s nas expressdes para O a r 0 e suas primeiras e segundas derivadas temos v06 4 byes r 09 012 0481 m 6 0151 0524 rad aqae dyey 7 024t 0449 ms 6 0308 0561 rads 024 0240 ms 6 030 0300 rads U v9 0270 miseg a Velocidade de B Usando as Eqs 1145 obtemos os valores de v e Uo a v quando t 1869 s Via BN B v r 0449 ms vg rd 04810561 0270 ms De ge v 0449 mise Resolvendo o triangulo retangulo mostrado na figura obtemos a intensidade o 7 e diregao da velocidade ZO a vo 0524 ms B310 b Aceleragao de B Usando as Eqs 1146 obtemos a 0391 ms2e 0240 04810561 0391 ms a dg 10 270 ZN ea 04810300 204490561 0359 ms foe a 0531 ms2 yy 426 V ag 0359 ms2e a c Aceleragdo de B em relagdo ao brago OA Notamos que 0 movi A mento do cursor em relagiio ao braco é retilineo e definido pela coordenada r Escrevemos B os apoa 0240 ms2e dpon 0240 ms apo 0240 ms no sentido deO O METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS S eré pedido nos problemas a seguir que vocé dé a velocidade e a aceleragio de particulas em termos de seus componentes normais e tangenciais ou em termos de seus componentes ra diais e transversais Embora esses componentes possam nfo ser tao familiares para vocé quanto os componentes retangulares vocé vai descobrir que eles podem simplificar a solugao de muitos problemas e que certos tipos de movimento sao mais facilmente descritos quando sao utilizados 1 Usando componentes normais e tangenciais Esses componentes sao mais frequen temente usados quando a particula de interesse se movimenta ao longo de uma trajetéria circular ou quando o raio de curvatura da trajetéria precisa ser determinado Lembrese de que o vetor unitario e 6 tangente a trajetéria da particula e assim alinhado com a velocidade enquanto 0 ve tor unitdrio e esta dirigido ao longo da normal para a trajetéria e sempre aponta na diregao do seu centro de curvatura Seguese que 4 medida que a particula se movimenta as diregdes dos dois vetores unitarios estao em constante variacao 2 Expressando a aceleracdo em termos de seus componentes tangenciais e nor mais Deduzimos da Segio 1113 a seguinte equagao aplicavel tanto ao movimento bidimensio nal como ao tridimensional de uma particula dv v a di e p e 1139 As seguintes observagées podem ajudalo a resolver os problemas desta segao a O componente tangencial da aceleracao mede a taxa de mudanga da velocidade es calar a dudt Seguese que quando a é constante as equagdes para o movimento uniforme mente acelerado podem ser usadas com a aceleracao igual a a Além disso quando uma particula se movimenta a uma velocidade constante temos a 0 e a aceleracao da particula se reduz a seu componente normal b O componente normal da aceleragio é sempre dirigido para o centro de curvatura da trajetoria da particula e sua intensidade é a vp Portanto o componente normal pode ser facilmente determinado se a velocidade escalar da particula e o raio de curvatura p da trajetéria forem conhecidos Reciprocamente quando a velocidade escalar e a aceleragéo normal da parti cula sao conhecidas o raio de curvatura da trajetéria pode ser obtido resolvendo essa equagao para p Problema Resolvido 1111 c No movimento tridimensional um terceiro vetor unitdrio é usado e e X e que define a direcao da binormal Como esse vetor é perpendicular tanto a velocidade quanto a acele racao ele pode ser obtido escrevendo VvVXa Wy xX al 3 Usando componentes radiais e transversais Esses componentes sio usados para ana lisar o movimento plano de uma particula P quando a posigao de P é definida pelas suas coorde nadas polares r e 8 Como mostrado na Fig 1125 0 vetor unitdrio e que define a direcao radial estd preso a P e aponta em direcgdo oposta ao ponto fixo O enquanto o vetor unitdrio e que define a direcao transversal é obtido girandose e em 90 no sentido antihordario A velocidade e a ace leragao de uma particula foram expressas em termos de seus componentes radiais e transversais nas Eqs 1143 e 1144 respectivamente Vocé vai notar que as expressdes obtidas contém a primeira e a segunda derivadas em relagio a t das coordenadas r e 0 Nos problemas desta segao vocé vai encontrar os seguintes tipos de questdes envolvendo compo nentes radiais e transversais a Tanto r como 6 sdo fungées conhecidas de tf Nesse caso vocé vai calcular a pri meira e a segunda derivadas de r e 6 e substituir as expresses obtidas nas Eqs 1143 e 1144 b Existe uma certa relacdo entre r e 9 Primeiro vocé deve determinar essa relacgaio a partir da geometria do sistema dado e usala para expressar r em funcao de 6 Quando a funcao r f for conhecida vocé podera aplicar a regra da cadeia para determinar r em termos de 0 e 6 er em termos de 9 Oe 6 r f00 7 f00 f00 As expressées obtidas podem entio ser substituidas nas Eqs 1143 e 1144 c O movimento tridimensional de uma particula como indicado no final da Seco 1114 pode muitas vezes ser descrito efetivamente em termos das coordenadas cilindricas R 0 e z Fig 1126 Os vetores unitdérios devem entao consistir de ep e e k Os componentes corres pondentes da velocidade e da aceleragio sao dados nas Eqs 1149 e 1150 Note que a distancia radial R é sempre medida em um plano paralelo ao plano xy e tenha cuidado para nao confundir o vetor de posigao r com seu componente radial Rep 8m 11133 Determinar a velocidade periférica de uma cabine de teste de centri A fugagéo para que a componente normal da aceleragao seja 10g ZINNNSSSS9 11134 Em um teste de desempenho dirigese um automével ao longo de uma pista de teste circular de diémetro d Determine a 0 valor de d quando i a velocidade do automével é 72 kmh e a componente normal da acele ragao 6 32 ms b a velocidade escalar do automével sed 180 mea Figura P11133 componente normal da aceleragiio é calculada para ser 06g 11135 Determine o menor raio que deveria ser usado para a rodovia se a componente normal da aceleracao do carro viajando a 72 kmh nao pudesse exceder 07 ms p Figura P11135 11136 Determine a velocidade escalar maxima que os carros da montanha russa podem atingir ao longo da segao circular AB da pista se 0 com ponente normal de sua aceleragao nao pode exceder 3g 24m CN 6 DDS Maan SRK XD DTATAD IX 90 mm S A Fig P11136 11137 O pino A que esta fixado a haste de conexiio AB tem seu movimento restrito a ranhura circular CD Sabendo que no instante 0 0 pino parte do repouso e se movimenta de tal modo que sua velocidade B escalar aumenta a uma taxa constante de 20 mms determine a in Figura P11137 tensidade da aceleracao total quando a t 0 e b t 2s 11138 Um trem monotrilho parte do repouso em uma curva de raio 400 m e acelera com uma taxa constante a Se a aceleragao maxima total do trem niio deve exceder 15 ms determine a a distancia mais curta em que o trem pode alcangar a velocidade de 72 kmh b a taxa constante da aceleragiio a correspondente Capitulo 11 Cinematica de particulas 679 11139 Uma pista ao ar livre tem 125 m de diametro A corredora aumenta v sua velocidade escalar numa taxa constante de 4 para 7 ms em uma distancia de 28 m Determine a aceleragio total da corredora 2 s de pois dela iniciar o aumento de sua velocidade escalar 11140 Em um dado instante de uma corrida de aeronaves 0 aviilo A esta voando horizontalmente em linha reta e sua velocidade escalar au mentada a uma taxa de 8 ms O avido B esté voando na mesma Fi x igura P11139 altitude que o aviiio A e 4 medida que ele contorna um marco segue uma trajet6ria circular de 300 m de raio Sabendo que em um dado instante a velocidade de B comega a decrescer para uma taxa de 3 ms determine para as posigdes mostradas na figura a a velocidade de B em relagao a A b a aceleracao de B em relagaio aA 400 m A i ei 450 kmh B GD 200 m Se LS Lim 540 kinh Figura P11140 11141 Um motorista que dirige ao longo de um trecho de reta de uma ro dovia diminui a velocidade de seu automével para uma taxa constan te antes de sair da rodovia em diregio a uma rampa de safda circular com um raio de 168 m Ele continua a desaceleragio com a mesma taxa constante de tal forma que 10 s apés ter entrado na rampa sua velocidade escalar diminuiu para 32 kmh uma velocidade escalar que ele entéo mantém Sabendo que a essa velocidade constante a aceleracao total do carro é igual a um quarto de seu valor antes de entrar na rampa determine o valor maximo da aceleragao total do carro wy a 168 m Figura P11141 680 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 11142 Os carros de corrida A e B se deslocam em trechos circulares de um autédromo No instante mostrado na figura a velocidade de A esta decrescendo a uma taxa de 7 ms ea velocidade de B esté aumentan do a uma taxa de 2 ms Para as posigdes mostradas determine a a velocidade de B em relagio a A b a aceleragio de B em relacio a A en 162 kmh ks 4 oO 5 400 m 7 300 m A a 144 kmh Po 700 m Figura P11142 g VA oo Now te 11143 Um jogador de golfe langa uma bola a partir do ponto A com uma PO leeee velocidade inicial de 50 ms e um Angulo de 25 com a horizontal Determine o raio de curvatura da trajetéria descrita pela bola a no Figura P11143 ponto A b no ponto mais alto da trajetéria sc 11144 A partir de uma fotografia do dono de uma casa utilizando um remo iW VA a7 vedor de neve determinase que o raio de curvatura da trajetéria da 7 neve foi de 85 m a partir do momento em que ela deixa o cano de A 40 descarga em A Determine a a velocidade de descarga v da neve yt b o raio de curvatura no ponto mais alto da trajetoria 11145 Uma bola de basquete é solta no chao no ponto A e quica com veloci dade v de intensidade 225 ms como mostrado na figura Determi Figura P11144 A see ne o raio de curvatura da trajetéria descrita pela bola a no ponto A b no ponto mais alto da trajetoria 11146 O carvio é descarregado da carroceria de um caminhiao basculante com uma velocidade inicial de v 2 ms 50 Determine o raio de curvatura da trajetéria descrita pelo carvao a no ponto A b no VA ponto da trajetéria localizado 1 m abaixo do ponto A hs JN A Figura P11145 ne A7 YC S e ry 50 fA WAN vi Figura P11146 Capitulo 11 Cinematica de particulas 681 11147 Uma tubulacao horizontal descarrega no ponto A um jato de agua A VA dentro de um reservatério Determine 0 raio de curvatura do jato no BY ponto B em termos das intensidades das velocidades v e vz 11148 Uma crianga langa uma bola do ponto A com velocidade inicial v de 20 ms com um angulo de 25 em relagio a horizontal Determine a velocidade da bola nos pontos da trajetéria descrita pela bola onde o raio de curvatura é igual a trés quartos de seu valor em A Figura P11147 11149 Um projétil é disparado a partir do ponto A com uma velocidade ini cial vy a Mostre que o raio de curvatura da trajeté6ria do projétil alcanga seu valor minimo no ponto mais alto B da trajetoria b Re A 25 presentando por 6 o angulo formado entre a trajetéria e a horizontal em um dado ponto C mostre que 0 raio de curvatura da trajetéria em C éppcos 0 x B Figura P11148 Vo h Pmin c 9 A e p Figura P11149 e P11150 11150 Um projétil é disparado a partir do ponto A com uma velocidade inicial vy que forma um Angulo a com a horizontal Expresse 0 raio de curva tura da trajetoria do projétil no ponto C em termos de x v9 a e g 11151 Determine o raio de curvatura da trajetéria descrita pela particula do Problema 1195 quando t 0 11152 Determine o raio de curvatura da trajetéria descrita pela particula do Problema 1196 quandot 0A 3eB1 111534 11155 Um satélite vai percorrer indefinidamente uma 6rbita cir cular em torno de um planeta se o componente normal da aceleragio do satélite for igual a gRry onde g é a aceleragio da gravidade na superficie do planeta R é 0 raio do planeta e r é a distancia do centro do planeta até o satélite Determine a velocidade escalar do satélite relativa ao planeta indicado se o satélite deve percorrer indefinida mente uma orbita circular 160 km acima da superficie do planeta 11153 Vénus g 853 ms R 6161 km 11154 Marte g 383 ms R 3332 km 11155 Jupiter g 260 ms R 69893 km 682 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 11156 e 11157 Sabendo que o diémetro do sol é de 1382 x 10 kme quea aceleracio da gravidade na sua superficie é de 270 ms determine o raio da 6rbita do planeta indicado em torno do sol consideran do que a 6rbita é circular Ver informagées dadas nos Problemas 1115311155 11156 Terra U6 ébitg 106 500 kmh 11157 Saturno 024 6pita 34500 Mmh 11158 Sabendo que o raio da Terra é 6370 km determine o tempo que o telesc6pio espacial Hubble leva para percorrer uma 6rbita conside rando que o telescépio percorre uma orbita circular 590 km acima da aan L superficie da Terra Veja as informagées fornecidas nos Problemas Open OR 1115311155 SY AY 7 y 11159 Um satélite percorre uma 6rbita circular em torno de Marte a uma ht rs yy altitude de 300 km Apos a altitude do satélite ter sido ajustada cons i tatouse que o tempo gasto para percorrer uma 6rbita aumentou em oo ee I 10 Sabendo que o raio de Marte é de 3310 km determine a nova Jy aA r a altitude do satélite Veja as informagées fornecidas nos Problemas Oo AS 1115311155 S N 2 7 7 tae uw aye zy SA e7 11160 Dois satélites A e B percorrerem 6rbitas circulares coplanares em TT torno da Terra com altitudes de 190 e 320 km respectivamente Se Figura P11160 em t 0 os satélites estao alinhados como mostrado na figura e sa bendo que o raio da Terra é R 6370 km determine quando os satélites estarao radialmente alinhados de novo Veja as informacées fornecidas nos Problemas 1115311155 2 P 11161 A trajetéria de uma particula P é um caracol de Pascal O movimento da particula é definido pelas relagdes r b2 cos e 6 wt onde te 6 sao expressos em segundos e radianos respectivamente Deter A mine a a velocidade e a aceleracio da particula quando t 2s b 0 valor de 6 para o qual a intensidade da velocidade é maxima 11162 O movimento bidimensional de uma particula é definido pelas rela cdes r 2b cos wt e 0 wt onde b e w sao constantes Determine a a velocidade e a aceleragio da particula em qualquer instante b o raio de curvatura da trajetéria O que se pode concluir em relagao a trajet6ria da particula Figura P11161 11163 A rotagéo da haste OA em torno de O é definida pela relagio 0 n4t 8t onde 6 et sao expressos em radianos e segundos res a O pectivamente O cursor B desliza ao longo da haste de tal modo que sua distancia do ponto O ér 10 6 sen Tt onde re t sdo expressos em metros e segundos respectivamente Quando t 1s determine a a velocidade do cursor b a aceleragao total do cursor c a acele 0 ragao do cursor em relagao a haste 11164 A oscilagéo da haste OA em torno de O é definida pela relagao YW 6 2m sen Tt onde 6 sao expressos em radianos e segundos respectivamente O cursor B desliza ao longo da haste de tal forma que sua distncia do ponto O ér 25t 4 onde re t sfio expressos A em milfmetros e segundos respectivamente Quando t s deter ee mine a a velocidade do cursor b a aceleragio total do cursor c a Figura P11163 e P11164 aceleragao do cursor em relacao haste Capitulo 11 Cinematica de particulas 683 11165 A trajetoria de uma particula P é um elipse definida pelas relagdes r 22 cos 6 e 6 at onde r é expresso em metros t em se gundos e 6 em radianos Determine a velocidade e a aceleragéo da particula quando a t 0 b t 05 s P 11166 O movimento bidimensional de uma particula é definido pelas rela codes r 2a cos 6 e 6 bt2 onde a e b so constantes Determine a as intensidades da velocidade e a aceleracao em qualquer instante b 0 raio de curvatura da trajetéria O que se pode concluir em rela cao a trajetéria da particula 11167 Para o estudo do desempenho de um carro de corrida posicionase uma camera filmadora de alta velocidade no ponto A A camera é Le Figura P11165 montada em um mecanismo que possibilita que ela grave o movimen to do carro 4 medida que ele percorre a trajet6ria reta BC Determi ne a velocidade escalar do carro em termos de b 0 e 6 B ee va r A ye G Figura P11167 11168 Determine a intensidade da aceleragao do carro de corrida do Pro blema 11167 em termos de 0 6 e 6 11169 Apos a decolagem um helicdptero sobe em linha reta em um Angulo constante de rampa B Seu voo é rastreado por um radar localizado no ponto A Determine a velocidade escalar do helicéptero em termos ded B 0c 0 J ee aA Neeoo7 B ean oF IPE d Figura P11169 684 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 11170 O pino P esta ligado a haste BC e desliza livremente ao longo da ra nhura existente na haste AO Determine a taxa de variacao 6 do angu lo 6 sabendo que BC se move com velocidade escalar constante vy Expresse sua resposta em termos de vo h B e 0 B I vo A P ho Bf O 9 C L 6 Figura P11170 11171 Para o carro de corrida do Problema 11167 determinouse que ele levou 05 s para se deslocar da posigéo 6 60 para a posigio 35 Sabendo que b 25 m determine a velocidade escalar média do carro durante o intervalo de 05 s 11172 Para helicéptero do Problema 11169 determinouse que quando ele se encontrava no ponto B a distancia e o 4ngulo de rampa des se helicéptero eram r 900 m e 6 20 respectivamente Quatro segundos depois a estagdo de radar avistou o helicdéptero na posigéio r 996 m e 0 231 Determine a velocidade escalar média e 0 angulo de subida B do helicdptero durante o intervalo de 4 s 11173 e 11174 Umaparticula se move ao longo da espiral mostrada na figu ra Determine a intensidade da velocidade da particula em termos de b 0 0 a b a n e Espiral hiperbélica r 0 b Espiral logaritmica r e Figura P11173 e P11175 Figura P11174 e P11176 11175 e 11176 Uma particula se move ao longo da espiral mostrada na fi gura Sabendo que 6 é constante e representando essa constante por w determine a intensidade da aceleragio da particula em termos de b Oe Capitulo 11 Cinematica de particulas 685 11177 Mostre que 7 hd sen 9 sabendo que para o instante mostrado na figura o degrau AB do aparelho de gindstica esta girando no sentido antihordrio a uma taxa constante x N N S S h yi 7 gr SF fs SSS i B Ss op LY Pid oo Figura P11177 11178 O movimento de uma particula sobre a superficie de um cilindro cir cular reto é definido pelas relagdes R A 0 27t ez At4 onde A é uma constante Determine as intensidades da velocidade e da aceleracio da particula em qualquer instante t 11179 O movimento tridimensional de uma particula é definido por suas Na coordenadas cilindricas veja a Fig 1126 R At 1 0 Bte z Ctt 1 Determine as intensidades da velocidade e da acele racaio quando a t 0 b t J 11180 Para a hélice c6nica do Problema 1195 determine o Angulo que o ee plano de oscilagio forma com 0 eixo y 11181 Determine a diregdo da binormal a trajetéria descrita pela particula y do Problema 1196 quando a t 0 b t w2s Figura P11178 REVISÃO E RESUMO Na primeira metade do capítulo analisamos o movimento retilíneo de uma partícula isto é o movimento de uma partícula ao longo de uma reta Para definir a posição P da partícula sobre essa reta escolhemos uma origem fixa O e um sentido positivo Fig 1127 A distância x de O a P com o sinal apropriado define completamente a posição da par tícula sobre a linha e é chamada de coordenada de posição da partícula Seção 112 Foi mostrado que a velocidade v da partícula é igual à derivada temporal da coordenada de posição x 111 e a aceleração a foi obtida diferenciandose v em relação a t 112 ou 113 Notamos também que a aceleração a pode ser expressa como 114 Observamos que a velocidade v e a aceleração a foram representadas por números algébricos que podem ser positivos ou negativos Um valor positivo para v indica que a partícula se movimenta no sentido positivo e um valor negativo indica que ela se move no sentido negativo Porém um valor positivo de a pode indicar que a partícula está sendo realmente acelerada isto é movendose cada vez mais rápido no sentido positivo ou que ela está sendo desacelerada ou seja movendose cada vez mais devagar no sentido negativo Um valor negativo para a tem uma inter pretação análoga Problema Resolvido 1111 Na maioria dos problemas as condições de movimento de uma partícula são definidas pelo tipo de aceleração que essa partícula possui e pelas condições iniciais Seção 113 A velocidade e a posição da partícula po dem então ser obtidas integrando duas das Eqs de 111 a 114 A es colha de quais dessas equações devem ser selecionadas depende do tipo de aceleração envolvida Problemas Resolvidos 112 e 113 Dois tipos de movimentos são frequentemente encontrados o movimen to retilíneo uniforme Seção 114 no qual a velocidade v da partícula é constante 115 Coordenada de posição de uma partícula em movimento retilíneo Velocidade e aceleração em movimento retilíneo Determinação da velocidade e aceleração por integração Movimento retilíneo uniforme O P x x Figura 1127 BeerDinamica11indd 686 BeerDinamica11indd 686 230712 1724 230712 1724 Capitulo 11 Cinematica de particulas 687 e o movimento retilineo uniformemente acelerado Secao 115 no quala Movimento retilineo aceleracao a da particula é constante e temos uniformemente acelerado D0 Uo at 116 x Xq vot gat 117 2 2 vo v9 2ax Xo 118 Quando duas particulas A e B se movem ao longo da mesma linha reta Movimento relativo de duas podemos querer considerar 0 movimento relativo de B em relagio aA particulas Secao 116 O A B o 7A it x vA BA xg Figura 1128 Representando por x coordenada de posigao relativa de B em relagaio a A Fig 1128 temos Xp Xa Xpya 119 Diferenciando a Eq 119 duas vezes em relagao a t obtemos sucessi vamente Op Va Upa 1110 ap da Apya 1111 onde vg dg representam respectivamente a velocidade relativa ea aceleragdo relativa de B em relagao a A Quando varios blocos estao unidos por cordas inextenstveis 6 possivel es Blocos unidos por cordas crever uma relagdo linear entre as suas coordenadas de posicao Relagdesinextensiveis similares podem entao ser escritas entre suas velocidades e entre suas aceleracdes e podem ser usadas para analisar o movimento desses blocos Problema Resolvido 115 Algumas vezes é conveniente utilizar uma solugdo grdfica para proble Solucées graficas mas que envolvem o movimento retilineo de uma particula Segdes 117 e 118 A solugao grafica de modo geral utilizada envolve as curvas xt vt e at Secdo 117 Problema Resolvido 116 Foi mostrado que para qualquer instante dado f v inclinacao da curva xt a inclinagao da curva vt ao passo que para qualquer intervalo de tempo dado de t até t UV UV area sob a curva at xX X drea sob a curva vt Na segunda metade do capitulo analisamos 0 movimento curvilineo de Vetor posicdo e velocidade uma particula isto 0 movimento de uma particula ao longo de uma em movimento curvilineo trajetoria curvilinea A posicao P da particula num dado instante Segao 119 foi determinada pelo vetor de posigdo r que liga a origem O do sis 688 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica y v tema de coordenadas ao ponto P Fig 1129 A velocidade v da particula foi definida pela relacao dr 1115 v dt P 5 e foi visto ser um vetor tangente a trajetoria da particula com inten O NW sidade v chamada de velocidade escalar da particula igual 4 derivada temporal do comprimento s do arco descrito pela particula Figura 1129 as 1116 v dt Aceleragao em movimento A aceleragdo a da particula foi definida pela relagao curvilineo dv ais a dt e notamos que em geral a aceleragdo ndo é tangente a trajet6ria da par ticula Derivada de uma funcdo Antes de prosseguirmos com 0 estudo dos componentes de velocidade e vetorial aceleragao recapitulamos a definigao formal da derivada de uma fungao vetorial e estabelecemos algumas regras que determinam a diferenciagao de somas e produtos de fungGes vetoriais Mostramos entéo que a taxa de variacao de um vetor é a mesma em relacao a um referencial fixo e a um referencial em translagao Seco 1110 Componentes retangulares Representando por x y e z as coordenadas retangulares de uma particula de velocidade e aceleracéo encontramos que os componentes retangulares da velocidade e acele racao de P saio iguais respectivamente as primeiras e segundas derivadas em relacao at das coordenadas correspondentes v x vy y v0 2 1129 dy X dy y a2 1130 Movimentos componentes Quando o componente a da aceleragao depende apenas de t x eou v e quando analogamente a depende de t y eou v e a de t z eou v as Eqs 1130 podem ser integradas independentemente Nesse caso a andlise do movimento curvilineo dado se reduz a andlise de trés movi mentos componentes retilineos independentes Secao 111 Esse proce dimento é particularmente eficaz no estudo do movimento de projéteis Problemas Resolvidos 117 e 118 Movimento relativo de duas Para duas particulas A e B que se movem no espago Fig 1130 conside particulas amos o movimento relativo de B em relagio a A ou mais precisamente yl em relacdo a um sistema mével de coordenadas fixado em A e em trans y on lago com A Segao 11 12 Representando por r 0 vetor de posigao Y OB relativa de B em relacao a A Fig 1130 obtivemos 8g J me Fa Y Toya 1131 os A x Representando por v ag respectivamente a velocidade relativa e a x aceleragdao relativa de B em relagio a A mostramos também que Va Va Vaya 1133 e Figura 1130 ag ay apya 1134 Capitulo 11 Cinematica de particulas 689 Em alguns casos 6 conveniente decompor a velocidade e a aceleragiéo de Componentes tangencial uma particula P em termos de outros componentes que nio os componen e normal tes retangulares x y ez Para uma particula P que se move ao longo de uma trajetoria plana fixamos a P os vetores unitarios e tangente a trajetoria e e normal a trajet6ria e apontamos para o centro de curvatura dessa tra jet6ria Segao 1113 Expressamos entio a velocidade e a aceleragéo da particula em termos de seus componentes tangencial e normal Escrevemos y Ca v ve 1136 a me e p dv 4 v 1139 A dv aee e dt t p n 1139 dt P onde v é a velocidade escalar da particula e p o raio de curvatura de sua trajetoria Problemas Resolvidos 1110 e 1111 Observamos que enquanto a velocidade v é sempre dirigida ao longo da tangente para a O trajet6ria a aceleragdo a consiste em um componente tangencial a diri gido ao longo da tangente para a trajet6ria e um componente normal a Figura 1131 apontando para o centro de curvatura da trajetoria Fig 1131 Para uma particula P que se desloca ao longo de uma curva no espago Movimento ao longo definimos como plano osculador o plano que melhor se ajusta a trajetéria de yuma curva no espaco nas redondezas de P Esse plano contém os vetores unitérios e e e que definem respectivamente a tangente ea normal principal a curva O ve tor unitdrio e que é perpendicular ao plano osculador define a binormal Quando a posigao de uma particula P que se move em um plano é defini Componentes radial da por suas coordenadas polares r e 0 6 conveniente usar as componen e rqnsversal tes radial e transversal dirigidas respectivamente ao longo do vetor de posigao r da particula e na direcao obtida pela rotacao do vetor r de 90 no sentido antihorario Seao 1114 Fixamos em P os vetores unitarios ep e e e dirigidos respectivamente nas direcées radial e transversal Fig 1132 Expressamos entio a velocidade e aceleracao da particula em e termos dos componentes radial e transversal P vvre réeg 1143 rre a rée r0 270e 1144 onde os pontos sao usados para indicar derivagdo em relagao ao tempo 4 g Os componentes escalares da velocidade e aceleracio nas diregées radial Figura 1132 e transversal sao portanto op Sr vg 710 1145 a 10 dg r0 2r0 1146 E importante notar que a ndo é igual A derivada temporal de v e que a ndo é igual a derivada temporal de v Problema Resolvido 1112 O capitulo se encerra com uma discussio sobre 0 uso de coordenadas cilindricas para definir a posigo e o movimento de uma particula no espago e 11182 O movimento de uma particula é definida pela relagao x 2 15 24 4 onde x et sao expressos em metros e segun Vv dos respectivamente Determine a quando a velocidade é zero b a posiciio e a distancia total percorrida quando a aceleragio é zero 11183 A aceleracaio de uma particula é definida pela relagio a 60x 1 onde a ex so expressos em ms e metros respectivamente Sabendo que a particula parte sem velocidade inicial em x 4 m determine a Figura P11184 velocidade da particula quando a x 2 m b x 1m cx 100 m 11184 Um projétil entra em um meio resistente em x 0 com uma velo cidade inicial v 270 ms e percorre 100 mm antes de entrar em repouso Considerando que a velocidade do projétil é definida pela relagio v vy kx onde v é expressa em ms e x é em metros deter mine a a aceleragio inicial do projétil b o tempo requerido para B que o projétil penetre 975 mm no meio resistente 11185 Um elevador de carga subindo com velocidade constante de 18 ms E passa por um elevador de passageiros que esta parado Quatro se gundos depois o elevador de passageiros comega a subir com uma aceleracao constante de 072 ms Determine a quando e onde os elevadores estario na mesma altura D a velocidade escalar do eleva Figura P11186 dor de passageiros naquele instante 11186 O bloco C parte do repouso em t 0 e movese para cima com ace Et leragdo constante de 25 mms Sabendo que o bloco A movese para baixo com velocidade constante de 75 mms determine a 0 instante 2 no qual a velocidade do bloco B é zero b a posigao do bloco B cor D respondente 11187 Os trés blocos mostrados na figura movemse com velocidades cons tantes Encontre a velocidade de cada bloco sabendo que a veloci 4 h h dade relativa de A com relagio a C é 300 mms para cima e que a 4 Fc velocidade relativa de B com relacao a A é 200 mms para baixo Figura P11187 11188 Um irrigador de 4gua oscilante é colocado no ponto A de uma incli nagio que forma um Angulo a com a horizontal O irrigador libera Agua com uma velocidade v em um Angulo com a vertical que varia se d até Sabendo que v 9 ms gy 40 e a 10 determine a distancia horizontal entre o irrigador e os pontos B e C 9 que definem a area molhada Vnbo bog Vo 11189 Como o motorista de um automével viaja para o norte a 25 kmh TY B em um estacionamento ele observa um caminhao aproximando pelo A a noroeste Depois ele reduz sua velocidade escalar para 15 kmh e C y assim que gira viajando na diregdo noroeste o caminhao parece es tar se aproximando pelo oeste Considerando que a velocidade do d dz caminhiao é constante durante o perfodo de observagio determine a intensidade e a diregao da velocidade do caminhao Figura P11188 Capitulo 11 Cinematica de particulas 691 11190 O motorista de um automével diminui sua velocidade escalar numa taxa constante de 72 kmh para 48 kmh em uma distancia de 225 m ao longo de uma curva de raio 450 m Determine a intensidade da aceleracio total do automével depois que o automével tiver percorri do 150 m ao longo da curva 11191 Um morador usa 0 removedor de neve para limpar a entrada de sua garagem Sabendo que a neve é langada a um Angulo médio de 40 com a horizontal determine a velocidade inicial v da neve Yo po Sse Fe Sens Ll a PA im I 1 ee 06 gm 4 Mm Figura P11191 B e 11192 A partir de medigées de uma fotografia verificouse que o fluxo de Z Agua mostrado na figura deixa o bocal em A e tem raio de curvatura A 3 de 25 m Determine a a velocidade inicial v do fluxo b 0 raio da 7 curvatura do fluxo se ele alcanga sua altura maxima em B a 11193 Na parte baixa do loop em um plano vertical um aeroplano tem velo Figura P11192 cidade de 150 ms e estd acelerando a uma taxa de 25 ms O raio de curvatura do loop é 2000 m O aeroplano esta sendo controlado pelo radar em O Qual é 0 valor registrado de r7 0 e 6 para esse instante aN TTS aL 150 ms r 600 m A x 800 m Figura P11193 PROBLEMAS PARA RESOLVER NO COMPUTADOR D 11C1 O mecanismo mostrado na figura é conhecido como um mecanismo Whitworth de retorno rapido A haste motora input AP gira com uma taxa constante e o pino P pode deslizar livremente ao longo da ranhura da haste P movida output BD Usando um programa de computador calcule e trace versus b e d versus para uma rotagio da haste AP Considere 1 rads Gi 1 100 mm a b 625 mm b h 75 mm c b 875 mm B LS N Te a EY 11C2 Uma bola é jogada com velocidade v a um Angulo a com a vertical no h degrau mais alto de um lance de escadas de 8 degraus A bola quica e salta nos p 1 degraus abaixo como mostrado na figura A cada instante que a bola quica nos joa K pontos A B C a componente horizontal de sua velocidade permanece cons a tante e a intensidade da componente vertical de sua velocidade é reduzida em k Ny por cento Usando um programa de computador determine a se a bola quica nos degraus abaixo sem saltar qualquer degrau b se a bola quica nos degraus Figura P11C1 abaixo sem quicar duas vezes no mesmo degrau c o primeiro degrau no qual a bola quica duas vezes Use valores de v de 18 ms até 30 ms com 06 ms de incremento valores de a de 18 até 26 fazer com 4 de incremento e valores de k iguais de 40 a 50 015 m Qa C 4 015 m 015 m Cc 015 m Y 03 m 03 m 03 m Figura P11C2 11C3 Num brinquedo de um parque de diversdes 0 aviio A esté unido Io A ao elemento rigido OB de 10 m de comprimento Para operar esse brinquedo O o aviado e OB sao girados de modo que 70 6 130 e entao soltos para oscilar livremente em torno de O O aviao esta sujeito 4 aceleragao da gra B 3 vidade e 4 desaceleragao devida resisténcia do ar kv que atua em uma direcgio oposta aquela de sua velocidade v Desprezando a massa o arrasto aerodinamico de OB e 0 atrito no mancal O use um programa de computador para determinar a velocidade escalar do aviao para dados valores de 6 e 6 e 0 valor de 6 em que 0 aviiio chega primeiro ao repouso depois de ser solto Use i valores de 0 de 70 a 130 em incrementos de 30 e determine a velocidade escalar maxima do aviao e os dois primeiros valores de 6 em que v 0 Para f cada valor de 6 faga a k 0 bk 2X 104 m ck 40 X 107 m Dica Expresse aaceleragio tangencial do aviio em termos de g k e 6 Re Figura P11C3 corde que vs r6 Capitulo 11 Cinematica de particulas 693 11C4 Um motorista viajando por uma rodovia a uma velocidade escalar de 90 kmh sai para uma rampa coberta de gelo Desejando parar ele aplica os freios até seu automével ficar em repouso Sabendo que a intensidade da ace lerago total do automével nao pode exceder a 3 ms usando um programa de computador determine o tempo minimo necessario para 0 automével ficar em repouso e a distancia percorrida por ele na rampa durante esse tempo se a rampa a é reta b tem um raio de curvatura constante de 240 m Resolva cada parte considerando que o motorista aplica os freios assim dudt durante cada interva lo de tempo 1 permanece constante 2 varia linearmente 11C5 Um irrigador de jardim oscilatério libera 4gua com uma velocidade vy de 10 ms a Sabendo que os lados mas nao o topo do caramanchiio BCDE sao abertos usando um programa de computador calcule a distancia d até 0 ponto F que seré molhada para valores de a de 20 a 80 e b determine o valor maximo de d e 0 valor de a correspondente 18m Vo A Ae B E F 22 m a 32m d Figura P11C5 A força experimentada pelos passageiros em um carro de montanharussa dependerá se o carro está subindo ou descendo uma colina em linha reta ou ao longo de uma trajetória curvilínea horizontal ou vertical A relação existente entre força massa e aceleração será estudada neste capítulo BeerDinamica12indd 694 BeerDinamica12indd 694 050712 1405 050712 1405 Cinemática de partículas a segunda lei de Newton C A P Í T U L O BeerDinamica12indd 695 BeerDinamica12indd 695 050712 1405 050712 1405 696 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica ny Cinematica de particulas a 121 Introducao segunda lei de Newton i oe A primeira e a terceira leis de Newton do movimento foram extensiva v mente empregadas na Estatica para estudar corpos em repouso e as for 121 Introdugdo cas que atuam sobre eles Essas duas leis também so usadas em Diné 122 Asegunda lei de Newtondo mica de fato elas sao suficientes para o estudo do movimento de corpos movimento que nao tém aceleracgdo Entretanto quando os corpos sfo acelerados 123 Quantidade de movimento isto é quando a intensidade ou a diregao de suas velocidades mudam é linear de yma particula Taxa necessdrio utilizar a segunda lei de Newton do movimento para relacio de variagao da quantidade nar o movimento do corpo as forgas que atuam sobre ele de movimento linear Nest ftulo discutiremos a segunda lei de Newton e a aplicare 124 Sistemas de unidades ves lice d me d ml ee 125 Equacées de movimento mos andlise do movimento de particulas Como enunciaremos na Secao 126 Equilibrio dinémico 122 sea resultante das forgas que atuam sobre uma particula nao for 127 Quantidade de movimento ZeYO a particula terd uma aceleragao proporcional a intensidade da re angular de uma pariicula sultante ena diregao e sentido dessa fora resultante Mais ainda a razdo Toxa de variagdo da entre as intensidades da forga resultante e da aceleragio pode ser usada quantidade de movimento para definir a massa da particula angular Na Secio 123 a quantidade de movimento linear de uma particula 128 Equacgées do movimento é definida como o produto L mv da massa m pela velocidade v da em termos de componentes particula Também é demonstrado que a segunda lei de Newton pode ser radial e transversal expressa de forma alternativa relacionando a taxa de variagao da quan 129 Movimento sujeito a uma tidade de movimento linear com a resultante das forgas que atuam nessa forga central Conservagdo particula da quantidade de A Secao 124 enfatiza a necessidade de um sistema consistente de movimento angular unidades para a solugao de problemas de Dinamica e fornece uma revi 1210 Lei de Newton da gravitagao so do Sistema Internacional de Unidades unidades do SI 1211 Trajetéria de uma particula Nas Segdes 125 e 126 e nos Problemas Resolvidos subsequentes a sob uma forga central segunda lei de Newton é aplicada a solugao de problemas de engenha 1212 Aplicagdo a mecGnica ria empregando tanto componentes retangulares quanto componentes espacial tangencial e normal das forgas e aceleragdes envolvidas Recordamos 1213 Leis de Kepler do movimento que um corpo real incluindo corpos tao grandes quanto um carro um planetério foguete ou um aviaio pode ser considerado como uma particula para a 5 finalidade de analisarse 0 seu movimento contanto que o efeito de uma rotagio do corpo em torno de seu centro de massa possa ser ignorado A segunda parte deste capitulo é dedicada a soluco de problemas em termos dos componentes radial e transversal com énfase especial no movimento de uma particula sob a agdo de uma forga central Na Segio 127 a quantidade de movimento angular H de uma particula em rela cao a um ponto O é definida como 0 momento em relagao a O da quan tidade de movimento linear da particula H r X mv Seguese entio da segunda lei de Newton que a taxa de variagaio temporal da quantidade de movimento angular H de uma particula é igual 4 soma dos momentos em relacao a O das forcas que atuam sobre essa particula A Segio 129 trata do movimento de uma particula sob a ago de uma forca central isto é sob a agao de uma forga direcionada para ou afastan dose de um ponto fixo O Como tal forga tem momento igual a zero em relaco ao ponto O seguese que a quantidade de movimento angular da particula em relagao a O se mantém Essa propriedade simplifica muito a andlise do movimento de uma particula sob a agdo de uma forga central na Segio 1210 ela é aplicada a solugaio de problemas que envolvem o movimento orbital de corpos sob atraco gravitacional As Segées de 1211 a 1213 sao opcionais Elas apresentam uma dis cussio mais ampla do movimento orbital e contém um certo nimero de problemas relacionados 4 mecAnica espacial Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 697 122 A segunda lei de Newton do movimento ay A segunda lei de Newton pode ser enunciada como se segue Se a forga resultante que atua sobre uma particula nao for nula a Fy particula tera uma aceleragdao proporcional a intensidade da resultante e a na mesma diregdo dessa forga resultante A segunda lei de Newton do movimento é mais bem compreendida se imaginarmos o seguinte experimento uma particula esta sujeita a uma S forga F de diregao e intensidade constantes F Sob a agao dessa forga a particula se desloca em uma linha reta e na diregdao e sentido da forga Fig 121la Determinando a posigao da particula em varios instantes b verificamos que sua aceleragao tem uma intensidade constante a Se o experimento for repetido com forgas F F de diferentes intensidades a ou diregées Fig 121b e c constatamos que para cada caso a particula Vo se move na direcao e sentido da forga que atua sobre ela e que as intensi Fs dades a ay a a das aceleracGes so proporcionais as intensidades F F F das forgas correspondentes c Pi Fe Ps 8 constante Figura 121 a dg 43 O valor constante obtido para a relacao entre as intensidades das for a cas e aceleragdes é uma caracteristica da particula que esta sendo con siderada ele 6 chamado de massa da particula e é representado por m Pema Quando uma forga F atua sobre uma particula de massa m a forca F e a aceleracao a dessa particula devem portanto satisfazer a relagio m Figura 122 Fma 121 Essa relagio fornece uma formulagéo completa da segunda lei de mse 8s CITC Newton ela expressa nao somente que as intensidades de F e a sao pro a es porcionais mas também como m é um escalar positivo que os vetores 4 F ea tém a mesma direcio e sentido Fig 122 Devemos notar que a 6 ea bs TEXA Eq 121 permanece valida quando F nao for constante mas variacom uae o tempo em intensidade ou diregao As intensidades de Fe a permane A ae I cem proporcionais e os dois vetores tém a mesma diregio e sentido em a RES ad qualquer instante dado Entretanto esses vetores nfo serao em geral Coe tangentes a trajetéria da particula Pe TOVOTA oo Quando uma particula estiver sujeita simultaneamente a varias for ps Lig a a Oe ee a cas a Eq 121 deve ser substituida por enh ie a 7 f 2Fma 122 onde F representa a soma ou resultante de todas as forgas que atuam sobre a particula Devese observar que o sistema de eixos de referéncia em relacio ao qual a aceleracio a é determinada nao é arbitrario Esses eixos de vem ter uma orientacdo constante em relacao As estrelas e sua origem deve estar fixa no Sol ou se deslocar com uma velocidade constante em relacao a ele Tal sistema de eixos é chamado de sistema de referéncia Feto 121 Quando o carro de corrida acelera para frente os pneus traseiros sofrem uma forga de atrito atuando na diregdo em que o carro estd se Mais precisamente no centro de massa do sistema solar movimentando 698 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica newtoniano Um sistema de eixos fixos na Terra ndo constitui um siste ma de referéncia newtoniano pois a Terra gira em relagio As estrelas e esta acelerada em relacao ao Sol Entretanto na maioria das aplicagdes da engenharia a aceleragio a pode ser determinada em relagao a eixos ligados a Terra e as Eqs 121 e 122 podem ser usadas sem qualquer erro aprecidvel Por outro lado essas equacées nao valem se a represen ta uma aceleracao relativa medida em relagdo a eixos em movimento tais como eixos ligados a um carro acelerado ou a uma pega rotativa de uma maquina Observamos que se a resultante XF das forgas que atuam sobre a particula for zero seguese da Eq 122 que a aceleracio a dessa parti cula também é zero Se a particula esta inicialmente em repouso v 0 em relagao ao sistema de referéncia newtoniano usado ela permanece rd entéio em repouso v 0 Se a particula estiver originalmente com uma velocidade vy ela mantera uma velocidade constante v vp ou seja ela se moverd com velocidade escalar constante v em uma linha reta Lembrando essa é a expressio da primeira lei de Newton Segao 210 Portanto a primeira lei de Newton é um caso particular da segunda lei de Newton e pode ser omitida dos principios fundamentais da mecAnica 123 Quantidade de movimento linear de uma particula Taxa de variagdo da quantidade de movimento linear Substituindo a aceleragao a pela derivada dvdt na Eq 122 escrevemos dv XF m dt ou uma vez que a massa m da particula é constante sr4 mv 123 mv dt O vetor mv é chamado de quantidade de movimento linear da par ticula Ele tem a mesma diregao e sentido que a velocidade da particula e sua intensidade é igual ao produto da massa m pela velocidade esca Cy lar v dessa particula Fig 123 A Eq 123 expressa que a resultante mn das forgas que atuam sobre uma particula é igual a taxa de variagdo da quantidade de movimento linear dessa particula Foi sob essa forma que ra a segunda lei do movimento foi originalmente enunciada por Newton Figura 123 Representando por L a quantidade de movimento linear da particula Lmv 124 e por L sua derivada em relagio a t podemos escrever a Eq 123 na forma alternativa SF L 125 Como as estrelas na realidade nao sAo fixas uma definigao mais rigorosa de um sistema de referéncia newtoniano também chamado de sistema inercial 6 um sistema em relagdo ao qual a Eq 122 é valida Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 699 Devese notar que a massa m da particula foi assumida como sendo constante nas Eqs 123 a 125 As Eqs 123 ou 125 portanto nao devem ser utilizadas para resolver problemas envolvendo o movimento de corpos tais como foguetes que ganham ou perdem massa Problemas desse tipo serao considerados na Secao 1412 Decorre da Eq 123 que a taxa de variagao da quantidade de mo vimento linear mv é zero quando F 0 Portanto se a forga resultante que atua sobre a particula é zero a quantidade de movimento linear dessa particula permanece constante tanto em intensidade quanto em diregao e sentido Esse é 0 principio da conservagdao da quantidade de movimento linear para uma particula que pode ser reconhecido como um enunciado alternativo da primeira lei de Newton Segiio 210 124 Sistemas de unidades Usandose a equacgao fundamental F ma as unidades de forga massa comprimento e tempo nao podem ser escolhidas de maneira arbitraria Se forem a intensidade da forga F necessdria para dar uma aceleragao a A massa m ndo sera numericamente igual ao produto ma ela seria somente proporcional a esse produto Portanto podemos escolher trés das qua tro unidades arbitrariamente mas devemos escolher a quarta unidade de modo que a equaciaio F ma seja satisfeita Dizemos entiao que as unida des formam um sistema de unidades cinéticas consistentes Um sistema de unidades cinéticas consistentes 6 comumente usado por engenheiros 0 Sistema Internacional de Unidades unidades SI Tal sistema foi discutido em detalhe na Secao 13 e esta brevemente descrito nesta secao Sistema Internacional de Unidades Unidades Sl Nesse siste ma as unidades de base sio as unidades de comprimento massa e tempo chamadas respectivamente de metro m quilograma kg e segundo cele s Todas as trés sdo arbitrariamente definidas Secdo 13 A unidade de forca é uma unidade derivada Ela 6 chamada de newton N e é definida como a forga que produz uma aceleracao de 1 ms em uma massa de 1 kg Fig 124 Da Eq 121 escrevemos Figura 124 1N kg ms 1kg ms Dizse que as unidades SI formam um sistema absoluto de unidades Isto significa que as trés unidades de base escolhidas so independentes do local onde as medidas sao feitas O metro o quilograma e 0 segundo po dem ser usados em qualquer lugar na Terra até em outro planeta Terao sempre 0 mesmo significado O peso W de um corpo ou a forga da gravidade exercida sobre esse corpo deve como qualquer outra forga ser expresso em newtons Como um corpo sujeito a seu peso proprio adquire uma aceleragiio igual ace leraco da gravidade g seguese da segunda lei de Newton que a intensi dade W do peso de um corpo de massa m é W me 126 Por outro lado as Eqs 123 e 125 valem em mecdnica relativistica onde a massa m da particula é assumida como varidvel de acordo com a velocidade escalar dessa particula 700 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Recordando que g 981 ms verificamos que o peso de um corpo de massa de kg Fig 125 é a 981 ms W 1 kg981 ms 981 N W981N Miltiplos e submiiltiplos das unidades de comprimento massa e for ca sio usados frequentemente na pratica de engenharia Eles sao res pectivamente quilémetro km e milimetro mm megagrama Mg e Figura 125 grama g e quilonewton kN Por definicao lkm1000m Ilmm0001m 1 Mg 1000 kg 1g 0001 kg 1kN 1000 N A conversio dessas unidades em metros quilogramas e newtons respec tivamente pode ser efetivada simplesmente movendose o ponto deci mal trés casas para a direita ou para a esquerda Outras unidades além das unidades de massa comprimento e tem po podem ser expressas em termos dessas trés unidades de base Por exemplo a unidade da quantidade de movimento linear pode ser obtida recordando a definigao de quantidade de movimento linear e escrevendo mo kgms kg ms 125 Equagdes de movimento Considere uma particula de massa m sob a agiio de diversas forgas Re cordamos da Seco 122 que a segunda lei de Newton pode ser expressa Fe ma Pela equagao Fma 122 que relaciona as forgas que atuam sobre a particula e o vetor ma Fig S Fy 126 Entretanto para resolver problemas que envolvem o movimento de uma particula veremos que é mais conveniente substituir a Eq 122 Figura 126 por equagGes equivalentes que incluem quantidades escalares Componentes retangulares Decompondo cada forga F e a acele racao a em componentes retangulares escrevemos Fa Fyj Fk mai aj ak da qual se segue que F ma F ma XF ma 127 Relembrando a partir da Secdo 1111 que os componentes da aceleragao sao iguais as derivadas segundas das coordenadas da particula temos F mx F my YF mz 127 Considere como exemplo 0 movimento de um projétil Se a resis téncia do ar for desprezada a tinica forga que atua no projétil apés ele ter sido disparado é seu peso W Wj As equagées que definem 0 movi mento do projétil sao portanto mx 0 my W mz 0 Também conhecido como tonelada métrica Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 701 e os componentes da aceleragao do projétil sao W 4 0 gg 0 Yy m 8 ot onde g 981 ms As equagdes obtidas podem ser integradas indepen pam onal dentemente como mostrado na Segio 1111 para se obter a velocidade e o deslocamento do projétil em qualquer instante i Quando um problema envolve dois ou mais corpos equagdes de mo vimento devem ser escritas para cada um dos corpos ver os Problemas Resolvidos 123 e 124 Vocé vai se recordar da Secgao 122 que todas j A Foto 122 O piloto de um avido de caga as aceleragdes devem ser medidas em relagao a um sistema de referén oo Loe experimentard forgas normais grandes ao cia newtoniano Na maioria das aplicagdes de engenharia as aceleragdes gyecutar uma curva acentuada podem ser determinadas em relagio a eixos presos a Terra mas as acele racoes relativas medidas com respeito a eixos em movimento tais como eixos presos a um corpo acelerado nao podem ser usadas para substituir a nas equagdes de movimento Componentes normal e tangencial Decompondo as forgas e a aceleracdo da particula em componentes ao longo da tangente a trajet6 n F Man a 4 ma LF m m Figura 127 ria na direco e sentido do movimento e da normal apontando para o interior da trajet6ria Fig 127 e substituindoas na Eq 122 obtemos duas equacoes escalares F ma F ma 128 Substituindo as expressées de a e a das Eqs 1140 temos dv vo LFm XF m dt p 128 As equagoes obtidas podem ser resolvidas para duas incégnitas 126 Equilibrio dinadmico Retornando a Eq 122 e transpondo o membro do lado direito escre vemos a segunda lei de Newton na forma alternativa F F ma 0 129 a qual expressa que se adicionarmos 0 vetorma as forgas que atuam so bre a particula obtemos um sistema de vetores equivalente a zero m Fig 128 O vetor ma de intensidade ma e de mesma diregdo e senti Z os 1 do oposto ao da aceleragio é chamado de um vetor de inércia A particula pode portanto ser considerada em equilibrio sob a agao das forcas dadas e do vetor de inércia Dizse que a particula esta em equilibrio dindmico ma Figura 128 702 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica e o problema em consideragao pode ser resolvido pelos métodos desen volvidos anteriormente em Estitica No caso de forgas coplanares todos os vetores mostrados na Fig 128 incluindo o vetor de inércia podem ser tragados no padrao pontaacau da para formar um poligono de vetores fechado Ou entao as somas dos componentes de todos os vetores da Fig 128 incluindo novamente o vetor de inércia podem ser igualadas a zero Usando componentes retan gulares escrevemos portanto F 0 F 0 incluindo vetor de inércia 129 Quando os componentes tangencial e normal sao utilizados é mais con veniente representar o vetor de inércia por seus dois componentes n F mae ma no proprio esbogo Fig 129 O componente tangencial 1 do vetor de inércia fornece uma medida da resisténcia que a particula F oferece a uma mudanga na velocidade escalar enquanto seu compo F nente normal também chamado de forga centrifuga representa a ten dencia da particula de abandonar sua trajetoria curvilinea Devemos notar que qualquer destes dois componentes pode ser zero sob condi ma Ges especiais 1 se a particula parte do repouso sua velocidade inicial ma é zero e o componente normal do vetor de inércia é zero em t 0 2 Figura 129 se a particula se move com velocidade escalar constante ao longo de sua trajetéria o componente tangencial do vetor de inércia é zero e somen te seu componente normal precisa ser considerado Como eles medem a resisténcia que as particulas oferecem quando tentamos colocélas em movimento ou quando tentamos mudar as condi cdes de seus movimentos os vetores de inércia sio frequentemente cha mados forgas de inércia As forcas de inércia entretanto nao sao forgas como aquelas encontradas na Estatica que sao forgas de contato ou for 7 a as gravitacionais pesos Muitas pessoas por essa razao fazem objegaio a utilizagao da palavra forga em referéncia ao vetor ma ou mesmo a evitam completamente o conceito de equilibrio dinamico Outros cha E A Pa mam a atencao para o fato de que forgas de inércia e forgas reais como ri is as forgas gravitacionais afetam nossos sentidos da mesma maneira e nao J Ch Say podem ser distinguidas por medidas fisicas Um homem em um elevador 5 Ce que esta acelerado para cima terd a sensagio de que seu peso aumentou a 7 de repente e nenhuma medida realizada dentro do elevador pode esta eS belecer se ele esté verdadeiramente acelerado ou se a forga de atracao Le exercida pela Terra aumentou subitamente Foto 123 angulo que cada passageiro tem Os problemas resolvidos foram feitos neste texto pela aplicacao direta com relacdo horizontal dependeré do pesodo da segunda lei de Newton como ilustrado nas Figs 126 e 127 em vez passageiro e da velocidade de rotagao de pelo método do equilibrio dinamico Pp PROBLEMA RESOLVIDO 121 30 EEE 1 Um bloco de 80kg esté em repouso sobre um plano horizontal Encontre a intensidade da forga P necessdria para dar ao bloco uma aceleracaio de 25 ms para a direita O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é pw 025 SOLUCAO O peso do bloco é W mg 80 kg981 ms 785 N W 785 N P 30 F m 80 kg N Notamos que F pN 025N e que a 25 ms Expressando que as forgas que atuam no bloco so equivalentes ao vetor ma escrevemos SY E ma P cos 30 025N 80 kg25 ms P cos 30 025N 200 N 1 TXF 0 NP sen 30 785 N 0 2 Resolvendo 2 para N e substituindo o resultado em 1 obtemos N Psen 30 785 N P cos 30 025P sen 30 785 N200N P535N 4 A D PROBLEMA RESOLVIDO 122 itis Os dois blocos mostrados na figura partem do repouso Nao ha atrito no y plano horizontal nem na roldana e a roldana é assumida como tendo massa desprezivel Determine a aceleragiio de cada bloco e a tragao em cada corda Cc SOLUCAO Cinemdtica Notamos que se o bloco A se move de x para a direita o bloco B se move para baixo por meio de XB aX WwW Diferenciando duas vezes em relagao at temos T Nae an has a ma 100 kg Cinética Aplicamos a segunda lei de Newton sucessivamente ao bloco A N ao bloco B e a roldana C Bloco A Representando por T a tragdo na corda ACD escrevemos Ts mp 300 kg F Mada T 100a4 2 2 Bloco B Observando que o peso do bloco B é W mgg 300 kg981 ms 2940 N W 2940 N mpa os e representando por T a tragiio na corda BC escrevemos T T 2F Mpap 2940 To 300az C 0 ou substituindo para a de 1 te 2940 T 300a Ts 2940 150a 3 Roldana C Ja que m é assumida como sendo zero temos F Mcag 0 T 2T 0 4 Substituindo os valores de T e T em 2 e 3 respectivamente em 4 escrevemos 2940 150a 2100a 0 2940 350a 0 a840ms Substituindo o valor obtido para a em 1 e 2 temos dp 3d 3840 ms gg 420ms T 100a 100 kg840 ms 7 s40N Recordando 4 escrevemos T2T T2840N 71680N Notamos que o valor obtido para T ndo é igual ao peso do bloco B PROBLEMA RESOLVIDO 123 B EE Um bloco B de 6kg parte do repouso e desliza sobre uma cunha A de 15kg que é suportada por uma superficie horizontal Desprezando 0 atrito deter mine a a aceleragao da cunha e b a aceleracao do bloco relativa 4 cunha SOLUCAO aa Cinemdatica Primeiramente examinamos a aceleragao da cunha e a ace leragio do bloco Cunha A Como a cunha esta restrita a se mover sobre a superficie ho ay rizontal sua aceleragao a é horizontal Assumiremos que ela esta dirigida para a direita 30 Bloco B A aceleragio de a do bloco B pode ser expressa como a soma da BIA aceleragao de A e da aceleragio de B relativa a A Temos N ay ay apy onde ag é dirigida ao longo da superficie inclinada da cunha 30 Cinética Desenhamos os diagramas de corpo livre da cunha e do bloco e maa aplicamos a segunda lei de Newton Cunha A Representamos as forgas exercidas pelo bloco e pela superficie No 2 horizontal sobre a cunha A por N e N respectivamente Y 30 Wa y SDF maa N sen 30 mad 05N mya 1 7 S0 JON Ada Mpag Bloco B Usando o sistema de eixos coordenados mostrado na figura e nny decompondo a em seus componentes a ag escrevemos Ny AXF mga mpg sen 30 mga cos 30 mgdpya mpg sen 30 mgaq cos 30 agya api aa cos 30 g sen 30 2 NF Mpy N mpg cos 30 mpa sen 30 a Aceleragao da cunha A Substituindo para N da Eq 1 na Eq 3 temos 2md Mpg cos 30 mza sen 30 Resolvendo para a e substituindo os dados numéricos escrevemos0 a mpg cos 30 6 kg 981 ms cos 30 A 2m m sen 30 6 215 kg 6 kg sen 30 a 1545 ms a1545m b Aceleragdo do bloco B em relagao a A Substituindo o valor obti do para a na Eq 2 temos dy 1545 ms cos 30 981 ms sen 30 py 624 ms Ap 624 ms 27 30 PROBLEMA RESOLVIDO 124 O A extremidade de um péndulo de 2 m de comprimento descreve um arco de circunferéncia em um plano vertical Se a tragio na corda é 25 vezes o 2m peso do péndulo para a posigao mostrada na figura encontre a velocidade e 30 a aceleracao do péndulo nessa posicao ee SOLUCAO O peso do péndulo é W mg a tragao na corda 6 portanto 25 mg Recor dando que a é dirigido para O e assumindo a como mostrado na figura aplicamos a segunda lei de Newton e obtemos T 25 mg 5 mg mia YF ma mg sen 30 ma a gsen30 490ms a 490ms NF may 25 mg mg cos 30 ma a A a 1634g 1603 ms a 1603ms W mg t gt Como a vp temos v pa 2m1603 ms v566ms v566ms para cima ou para baixo 4 PROBLEMA RESOLVIDO 125 Determine a velocidade de seguranga calculada para uma curva de rodovia de raio p 120 m inclinada a um Angulo 18 A velocidade de segu rana calculada de uma curva de uma rodovia com declive é a velocidade escalar na qual um carro deve trafegar sem que nenhuma forga de atrito lateral seja exercida em suas rodas SOLUCAO O carro percorre uma trajetéria circular horizontal de raio p O compo nente normal a da aceleragio é dirigido para o centro da trajetéria sua intensidade é a vp onde v é a velocidade escalar do carro em ms A massa m do carro é Wg onde W é 0 peso do carro Como nenhuma y forga de atrito lateral deve ser exercida sobre 0 carro a reagao R da estra da é mostrada perpendicularmente a estrada Aplicando a segunda lei de Ww Newton escrevemos SP Wl 1 Cx f3SF 0 ReosW0 R 1 W YF ma Rsen a 2 0 18 90 8 ne R Substituindo para R de 1 em 2 e recordando que a vp 0 18 Wong Vey te 6 sen v gptg sna cas cos 0 g Pp t Substituindo p 120 me 6 18 nesta equagdo obtemos we v 981 ms120 m tg 18 v 1956 ms o704kmh A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N os problemas desta lico vocé vai aplicar a segunda lei de Newton do movimento YF ma para relacionar as forgas que atuam sobre uma particula durante seu movimento 1 Escrevendo as equacgées de movimento Quando estiver aplicando a segunda lei de Newton aos tipos de movimento discutidos nesta ligo vocé vai achar mais conveniente expressar os vetores F e a em termos de seus componentes retangulares ou de seus componentes tangencial e normal a Ao usar componentes retangulares e recordando da Seco 1111 as expressées encontradas para d a e a vocé vai escrever P mx LF my XF mz b Ao usar componentes tangencial e normal e recordando da Segio 1113 as ex pressGes encontradas para a e a vocé vai escrever dv v F m YF m dt p 2 Desenhando um diagrama de corpo livre que mostre as forcas aplicadas e um dia grama equivalente mostrando o vetor ma ou seus componentes vocé obteré uma representacgdo ilustrada da segunda lei de Newton Problemas Resolvidos de 121 a 125 Esses diagramas lhe serao de grande utilidade quando for escrever as equagdes de movimento Note que quando um problema envolve dois ou mais corpos em geral é melhor considerar cada corpo separadamente 3 Aplicando a segunda lei de Newton Como observamos na Secao 122 a aceleracdo usada na equagaio SF ma deve ser sempre a aceleragdo absoluta da particula ou seja ela deve ser medida em relacdo a um sistema de referéncia newtoniano Além disso se o sentido da ace leragdo a for desconhecido ou nao for facilmente deduzido assuma um sentido arbitrério para a normalmente a diregdo positiva de um eixo coordenado e deixe entio a solucao lhe fornecer o sentido correto Finalmente note como as solucdes dos Problemas Resolvidos 122 e 123 foram divididas em uma parte cinemdtica e uma parte cinética e como no Problema Resolvido 123 usa mos dois sistemas de eixos coordenados para simplificar as equagdes de movimento 4 Quando um problema envolve atrito seco lembrese de revisar as secdes relevantes de Estdatica SecGes de 81 a 83 antes de tentar soluciondlo Em particular vocé deve saber quan do cada uma das equagées F wN e F pN podem ser usadas Vocé também deve reconhecer que se o movimento de um sistema no esta especificado é primeiramente necessario assumir um movimento possivel e entio verificar a validade daquela suposigao 5 Resolvendo problemas que envolvem movimento relativo Quando um corpo B se movimenta em relacdéo a um corpo A como no Problema Resolvido 123 muitas vezes é conve niente expressar a aceleracao de B como ag ay apy onde a a aceleracao de B relativa a A ou seja a aceleracao de B como observada de um sistema de referéncia preso a A e em translagao Se B for observado movendose em uma linha reta ag sera dirigida ao longo dessa linha Por outro lado se B é observado movendose ao longo de uma trajet6ria circular a aceleragio relativa a deve ser decomposta em componentes tangencial e normal aquela trajet6ria 6 Finalmente sempre considere as implicagées de todas as hipdteses que vocé fizer Assim em um problema envolvendo duas cordas se vocé assumir que a tragdéo em uma delas é igual ao seu valor maximo admissivel verifique se todos os requisitos estabelecidos para a outra corda estaraio entiio satisfeitos Por exemplo a tragaio T naquela corda vai satisfazer a rela cio 0 T S T Ou seja a corda permanecera esticada e sua tragao sera menor que seu valor maximo admissivel 121 O valor da aceleragao da gravidade g em qualquer latitude pode ser dado pela f6rmula g 970871 00053 sen ms onde o efeito da rotagaio da Terra e também o fato de que a Terra nao ser esférica foram levados em conta Determine até quatro casas significativas a 0 peso em newtons b a massa em quilogramas nas latitudes 0 45 e 90 de uma barra de prata cuja massa foi oficial mente definida como 5 kg 122 Aaceleragio devida a gravidade na Lua é de 162 ms Determine a 0 peso em newtons b a massa em quilograma na Lua de uma barra de ouro cuja massa foi oficialmente definida como 2 kg 123 Um satélite artificial de 200 kg est em G6rbita circular de 1500 km sobre a superficie de Vénus A aceleracio devido a atracao gravitacio nal em Vénus nesta altitude 6 552 ms Determine a intensidade da quantidade de movimento linear do satélite sabendo que sua veloci dade escalar orbital 6 de 234 X 10 kmh 124 Uma balanga de mola A e uma balanga de alavanca B com bragos de alavanca iguais estéio presas ao teto de um elevador e pacotes idénti cos estio sendo segurados por elas tal como mostra a figura Sabendo 2 que quando o elevador desce com uma aceleragao de 12 ms a ba langa de mola indica uma carga de 3 kg determine a 0 peso dos pa cotes e b a carga indicada pela balanga de mola e a massa necesséria para equilibrar a balanga de alavanca quando o elevador se move para cima com uma aceleracio de 12 ms ca al T oe eS B i Ag Figura P124 710 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 125 Um jogador de hockey bate no disco de maneira que este chega ao repouso 9 s depois de ter escorregado 30 m sobre o gelo Determine a a velocidade inicial do disco e b o coeficiente de atrito entre o disco e o gelo 126 Determine a velocidade escalar teórica máxima que um automóvel partindo do repouso pode atingir após ter percorrido 400 m Assuma que o coeficiente de atrito estático é de 080 entre os pneus e o pavi mento e que a o automóvel tem tração nas rodas dianteiras e essas rodas dianteiras suportam 62 do peso do automóvel e b o auto móvel tem tração nas rodas traseiras e essas rodas traseiras suportam 43 do peso do automóvel 127 Em antecipação a um aclive de 7 um motorista de ônibus acelera a uma taxa constante de 1 ms 2 enquanto ainda está na seção nivelada da rodovia Sabendo que a velocidade escalar do ônibus é 90 kmh no inicio da subida e que o motorista não altera a posição do acelerador nem troca de marcha determine a distância percorrida pelo ônibus na subida até sua velocidade escalar ter decrescido para 80 kmh 128 Se a distância de frenagem de um automóvel a 96 kmh é de 45 m em um piso nivelado determine a distância de frenagem desse automó vel a 96 kmh quando ele está a subindo um plano inclinado de 5 e b descendo um plano com inclinação de 3 Considere que a força de frenagem é independente da situação 129 Um pacote de 20 kg está em repouso sobre um plano inclinado quan do uma força P é aplicada sobre ele Determine a intensidade de P no caso de serem necessários 10 s para o pacote percorrer 5 m subindo no plano inclinado Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o pacote e o plano inclinado são ambos iguais a 030 1210 A aceleração de um pacote deslizando no ponto A é 3 ms 2 Conside rando que o coeficiente de atrito cinético é o mesmo em cada seção determine a aceleração do pacote no ponto B 15º A B 30º Figura P1210 30º 20º P Figura P129 BeerDinamica12indd 710 BeerDinamica12indd 710 050712 1406 050712 1406 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 711 1211 Os dois blocos mostrados na figura esto originalmente em repou so Desprezando as massas das roldanas e 0 efeito do atrito nessas C roldanas e entre o bloco A e a superficie horizontal determine a a 30 k aceleragio de cada bloco b a tragao no cabo i a 1212 Os dois blocos mostrados na figura estao originalmente em repouso A Desprezando as massas das roldanas e 0 efeito do atrito nessas rolda nas e considerando que os coeficientes de atrito entre ambos o bloco Ae a superficie horizontal sio w 025 e p 020 determine a a aceleragio de cada bloco e b a traco no cabo a 1213 Os coeficientes de atrito entre a carga e o reboque de piso plano mos A trado na figura sio pw 040 e uw 030 Sabendo que velocidade rr B escalar do equipamento é 72 kmh determine a a menor distancia 25 kg na qual o equipamento pode ser parado se a carga nao pode se movi mentar 3m cal NT ere Figura P1211 e P1212 iii oy L Figura P1213 1214 Um caminhaobati esté viajando a 96 kmh quando o motorista acio na os freios Sabendo que as forgas de frenagem do caminhao e do bati sao de 18 KN e 68 KN respectivamente determine a a distancia percorrida pelo caminhaobat antes de ele chegar ao repouso e b 0 componente horizontal da forca no acoplamento entre 0 caminhdo e o bati enquanto eles estao diminuindo a velocidade 8700 ke ns 7500 ke Ida a ly Figura P1214 712 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1215 O bloco A tem a massa de 40 kg e 0 bloco B tem a massa de 8 kg Os coeficientes de atrito entre todas as superficies de contato siio B 020 e pw 015 Se P 0 determine a a aceleragdo do bloco B e b atracao na corda 3 el may 1216 O bloco A tem a massa de 40 kg e 0 bloco B tem a massa de 8 kg 7 Os coeficientes de atrito entre todas as superficies de contato sio v A LL 020 e py 015 Se P 40 N determine a a aceleragdo do P bloco B e b a tragdo na corda 25 1217 As caixas A e B esto em repouso sobre uma esteira transportadora ue esta inicialmente em repouso A esteira é ligada de repente num que P gada de rep Figura P1215 e P1216 sentido de movimento para cima de modo que ocorre escorregamen to entre a esteira e as caixas Sabendo que os coeficientes de atrito cinético entre a esteira e as caixas sAo de u 030 e uy 032 determine a aceleragio inicial de cada caixa vo 40 kg a 50 kg ES SOS EE TBP OES Figura P1217 1218 Sabendo que o sistema mostrado na figura esta inicialmente em re pouso encontre a velocidade em t 12 s de a colar A b colar B Despreze as massas das roldanas e 0 efeito do atrito 10 kg a AA Ct Ci yy ag tiCSCSTCS a FB 15 kg Figura P1218 1219 Cada um dos sistemas mostrados na figura a seguir estd inicialmente em repouso Desprezando 0 atrito nos eixos e as massas das rolda nas determine para cada sistema a a aceleragao do bloco A b a velocidade do bloco A depois de ele ter se movido 3 m c 0 tempo necessario para o bloco A atingir uma velocidade de 6 ms 50 kg 500 N i 1050 kg 100 kg 100 kg 1100 kg 1 2 3 Figura P1219 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 713 1220 Um homem em pé em um elevador que esté movendo com ace leragao constante mantém um bloco B de 3 kg entre dois outros de modo que o movimento relativo de B entre A e C é iminente Sabendo que os coeficientes de atrito entre todas as superficies so pw 030 e pw 025 determine a a aceleracao do elevador se este esta se movendo para cima e cada uma das forgas exercidas pelo homem nos blocos A e C tem um componente igual ao dobro SS do peso de B b as componentes horizontais das forgas exercidas Z 2 pelo homem nos blocos A e C se a aceleragio do elevador é 2 ms para baixo 1221 Um pacote esta em repouso numa esteira transportadora que esta inicialmente em repouso A esteira é ligada e se move para a direita Cio i por 13 s com uma aceleragio constante de 2 ms A esteira entio se 7 move com uma desaceleracio constante a e chega ao repouso depois de um deslocamento total de 22 m Sabendo que os coeficientes de atrito entre o pacote e a esteira sfio pw 035 e py 025 determine i a a desaceleracao a da esteira b o deslocamento do pacote relati H vo a esteira quando essa esteira caminha para 0 repouso 1222 Para transportar uma série de pacotes de telhas A para um telhado um empreiteiro usa um elevador movido a motor que consiste de uma plataforma horizontal BC que se desloca sobre trilhos presos aos lados de uma escada O elevador parte do repouso e se move Figura P1220 inicialmente com uma aceleracgao constante a tal como mostra a figura a seguir O elevador entio desacelera a uma taxa constante a e chega ao repouso em D perto do topo da escada Sabendo que o coeficiente de atrito estético entre o pacote de telhas e a plata forma horizontal é de 030 determine a maior aceleragio possivel a e a maior desaceleragao possivel a para que 0 pacote néio escor mOmOEOaOaOat regue sobre a plataforma OOEOOOO Figura P1221 SSS bf i e TT 0 TT i TT 44 m A eS fs ay o 65 ee 5 r B Ve Ld as 08m Jo as Figura P1222 714 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 9 20 1223 Para cescarregar uma pilha amarrada de madena compensatla de um a AY a caminhao 0 motorista primeiro inclina a cagamba do caminhao e en a i tao acelera a partir do repouso Sabendo que os coeficientes de atrito Ana entre a camada inferior da madeira compensada e 0 piso da cagamba DO wig sfo wu 040 e pw 030 determine a a menor aceleragao do cami nhao que faré a pilha de madeira compensada deslizar e b a acelera Figura P1223 cao do caminhao que faz o canto A da pilha de madeira compensada atingir a extremidade da cagamba em 09 s 1224 As hélices de um navio de peso W podem produzir uma forca pro pulsiva F eles produzem uma forga de mesma intensidade mas de direcao oposta quando os motores sio revertidos Sabendo que o na vio estava se movendo para frente na sua velocidade escalar maxima vy quando os motores foram revertidos determine a distncia que o navio percorre antes de parar Considere que a resisténcia do atrito da Agua varia diretamente com o quadrado da velocidade 1225 Uma forga constante P é aplicada a um pistao e a uma haste de massa Pp total m para fazélos se moverem em um cilindro cheio de dleo A medida que 0 pistéo se move o dleo é forgado por meio de orificios no pistéo e exerce nesse pistéo uma forga de intensidade kv numa Figura P71225 diregao oposta a movimento do pistao Sabendo que o pistao parte do repouso emt 0 ex 0 mostre que a equagio que relaciona x v e t onde x é a distancia percorrida pelo pistio e v é a velocidade escalar do pistao é linear em cada uma das varidveis 1226 Uma mola AB de constante k é presa a um suporte A e a um colar de massa m O comprimento nio deformado da mola é I Sabendo que o colar é liberado do repouso quando x x e desprezando 0 atrito entre o colar e a haste horizontal determine a intensidade da veloci dade do colar ao passar pelo ponto C Ly L l C AB o Figura P1226 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 715 1227 Determine a velocidade escalar te6rica maxima que um automével de 1200 kg partindo do repouso pode alcangar depois de ter percor rido 400 m se a resisténcia do ar for considerada Assuma que 0 co eficiente de atrito estatico entre os pheus e 0 pavimento é 070 que o automével tem tracio nas rodas dianteiras que as rodas dianteiras suportam 62 do peso do automével e que o arrasto aerodinamico D tem uma intensidade D 0012 v onde D e v sao expressos em newtons e ms respectivamente 1228 Os coeficientes de atrito entre os blocos A e C e as superficies hori zontais so 024 e 020 Sabendo que m 5kg my 10 kg e mc 10 kg determine a a tracdo da corda b a aceleragio de cada bloco Chess UE O Figura P1228 1229 Revolva o Problema 1228 considerando m 5 kg m 10 kg e e e Me 20kg ran 1230 Os blocos A e B tém massa de 20 kg cada 0 bloco C de 14 kg e 0 blo co D de 16 kg Sabendo a forga para baixo de intensidade de 24 kg é aplicado no bloco D determine a a aceleragiio de cada bloco b a tracio na corda ABC Desprezar o peso das polias e 0 efeito do atrito U 1231 Os blocos A e B tém massa de 20 kg cada o bloco C de 14 kg e 0 blo co D de 16 kg Sabendo a forga para baixo de intensidade de 10 g é aplicado no bloco B e que sistema inicia em repouso determine em t 3savelocidade a de D em relacao a A b de C em relacao a D Desprezar o peso das polias 0 efeito do atrito Figura P1230 e P1231 716 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1232 O bloco B de 15 kg é sustentado pelo bloco A de 25 kg e esté preso a uma corda a qual é aplicada uma forga horizontal de 225 N tal como mostra a figura Desprezando 0 atrito determine a a aceleragdo do bloco A b a aceleragao do bloco B em relagao a A 225 N A 252 x 25 kg Figura P1232 1233 O bloco B de massa 10 kg repousa na superficie superior de uma cunha de 22 kg como mostra na figura Sabendo que o sistema é libe 20 f rado do repouso e desprezando o atrito determine a a aceleragéio i de B b a velocidade de B em relagio a A emt 05 s 1234 Um painel deslizante de 40 kg é suportado pelos roletes em B e 30 C Um contrapeso A de 25 kg é fixado por cabo como mostrado na i figura e nos casos a e c estio em contato com a borda vertical do g painel Desprezando o atrito determine em cada caso mostrado a aceleracio do painel e a tragdo na corda imediatamente depois do Figura P1233 sistema sair do repouso B C B Cc B Cc Pp es A A J A a b c Figura P1234 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 717 1235 Um caixote B de 500 kg esta suspenso por um cabo preso a um carri nho A de 40 kg que corre por uma viga I inclinada tal como mostra a figura Sabendo que no instante mostrado 0 carrinho tem uma acele ragao de 12 ms para cima e para direita determine a a aceleragao de B relativa a A b a tragao no cabo CD Be T ZB 1236 Durante um treinamento de impulso de um langador de martelo a cabeca A de 7 kg do martelo roda a uma velocidade escalar constante 25 A v em um circulo horizontal tal como mostra a figura Se p 09 me 6 60 determine a a tracdo no fio BC e b a velocidade escalar da cabega do martelo AN J fi i L2 Figura P1235 AP Nd fj C y Fj 6 gt Yo A jS Figura P1236 1237 Uma bola presa a uma corda se move ao longo de uma trajetéria cir cular a uma velocidade escalar constante de 4 ms Determine a 0 Angulo 6 que a corda forma com o poste BC b a tracao na corda I 18m 6 J A a C Figura P1237 718 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1238 Um fio tinico ACB de 80 cm de comprimento passa por um anel em C que esta preso a uma esfera que roda com uma velocidade escalar constante v no circulo horizontal mostrado na figura Sabendo que 0 60 6 30 e que a tragao é a mesma em ambas as partes do fio determine a velocidade escalar v oS A d B 05 aT e7 7 I 77Nuec a a 4 Figura P1238 P1239 e P1240 1239 Um fio tnico ACB passa por um anel em C que esta preso a uma es fera de 1 kg que roda com uma velocidade escalar constante v no cir culo horizontal mostrado na figura Sabendo que 6 50 d 08 m e que a tragéo em ambas as partes do cabo é de 6 N determine a 0 Angulo e b a velocidade escalar v 1240 Dois fios AC e BC estaio amarrados a uma esfera de 7 kg que roda com uma velocidade escalar v no circulo horizontal mostrado na fi gura Sabendo que 0 55 e 0 30 e que d 14 m determine o intervalo de valores de v para os quais ambos os fios permanecem tracionados 1241 Uma esfera D de 100 g esté em repouso em relagao a um tambor que gira a uma taxa constante Desprezando o atrito determine o intervalo admissivel da velocidade v da esfera se nenhuma das for cas exercidas pela esfera na superficie inclinada do tambor deve ex ceder 11 N 02 m A Cc We J 30 Figura P1241 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 719 1242 Como parte de uma exposicao ao ar livre um modelo C da Terra de 6 kg est preso aos fios AC e BC e gira a uma velocidade escalar constante v no circulo horizontal mostrado na figura Determine o intervalo de valores admissiveis de v para que ambos os fios permanegam esticados e para que a trago em cada um dos dois fios nao ultrapasse 120 N Sf A O rans 40 C 13 ee La 1 Las a B 20 7 7 AN 05kg 18 pois 05 kg Figura P1242 C OQ Oo E 1243 As esferas de 05 kg de um regulador centrifugo giram a uma veloci 3 dade escalar constante v no circulo horizontal de 015 m de raio tal li como mostra a figura Desprezando a massa das hastes AB BC AD la e DE e exigindo que as hastes suportem somente forgas de tragao determine o intervalo de valores admissiveis de v de modo que as intensidades das forgas nas hastes nio ultrapassem 75 N Figura P1243 1244 Uma crianga de massa 22 kg esté sentada em um balanco e sendo mantida na posigio mostrada na figura por uma segunda crianga Desprezando o peso do balango determine a tragao no cabo AB a enquanto a segunda crianga segura o balango com seus bragos estica dos horizontalmente para a frente e b imediatamente apos o balan co ser solto A f WN Figura P1244 720 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica QA 1245 Uma bola de demoligio B de 60 kg esté presa a um cabo de ago AB de 15 m de comprimento e oscila no arco vertical mostrado na figura Determine a tragio no cabo a no ponto mais alto C da oscilagiio b no ponto mais baixo D da oscilagio onde a velocidade escalar de B é i de 42 ms 2G a ZY C 20 B 00 EE G go 1246 Durante uma corrida de alta velocidade um carro esportivo de 1200 kg D que viaja a uma velocidade escalar de 160 kmh perde por um instan te o contato com a estrada quando ele atinge o cume A de um morro Figura P1245 a Determine 0 raio de curvatura p do perfil vertical da estrada em A b Usando o valor de p encontrado no item a determine a fora exer cida sobre um motorista de 80 kg pelo assento de seu carro de 1500 kg quando o carro deslocandose a uma velocidade escalar constante de 80 kmh passa por A A en i P Vy 1 WV Figura P1246 1247 Um trecho de uma pista de toboga mostrada na figura esta contido em um plano vertical As segdes AB e CD tém raios de curvatura com indicado e a secaio BC é uma linha reta e forma um Angulo de 20 com a horizontal Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o trend ea pista é 010 e que a velocidade escalar do trené é 7 ms em B deter mine a componente tangencial da aceleragio do trené a exatamente antes dele alcangar B b exatamente depois dele passar por C A 18m 12 m a s C D 40 m Figura P1247 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 721 1248 Uma série de pequenos pacotes cada um com a massa de 05 kg é 1 ms 9 descarregada de uma correia transportadora como mostrado na fi A y gura Sabendo que o coeficiente de atrito estatico entre cada pacote B e a correia transportadora é 04 determine a a forga exercida pela esteira no pacote exatamente depois que ele tenha passado no ponto y a v A b 0 Angulo 6 definindo o ponto B onde os pacotes tém o primeiro 950 mm LI a escorregamento relativo na correia 1249 Um piloto de 54 kg pilota um jato de treinamento em um meio loop de 1200 m de raio de modo que a velocidade escalar do jato diminui a Figura P1248 uma taxa constante Sabendo que o peso aparente do piloto no ponto Ae C sio 1680 N e 350 N respectivamente determine a forga exerci da no piloto pelo assento do jato quando este jato esté no ponto B C a ae N 1200 m Yo Co B A 7 uo dhe Le A Figura P1249 1250 Um bloco B de 250 g se encaixa dentro de uma pequena cavidade aberta no braco OA que gira no plano vertical a uma taxa constante tal que v 3 ms Sabendo que a mola exerce no bloco B uma forga de intensidade P 15 N e desprezando 0 efeito do atrito determine a intervalo de valores de para os quais 0 bloco B faz contato com a face da cavidade fechada para 0 eixo de rotagio O Vv A QE 900 mm C2 B 0 oe Figura P1250 a s 1251 Acurvaem um circuito de velocidade tem raio de 300 m e velocidade SX de seguranga de 192 kmh Ver no Problema Resolvido 125 para a Q definigao da velocidade de seguranga Sabendo que o carro de cor SS S rida comega a derrapar na curva quando viaja a uma velocidade de er 288 kmh determine a 0 angulo de inclinacao 6 b 0 coeficiente 0 de atrito estatico entre os pneus e a estrada sob as condigées preva 1 lentes c a velocidade escalar minima para a qual 0 mesmo carro poderia fazer a curva Figura P1251 722 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1252 Umcarro esta viajando em uma estrada com inclinacgao lateral a uma velocidade constante v Determine o intervalo de valores de v para os quais 0 carro nao derrapa Expresse sua resposta em termos do raio r da curva do Angulo de inclinagio da estrada e do Angulo de atrito estatico entre os pneus e 0 pavimento 1253 Trens pendulares como 0 American Flyer que viaja entre Washington Nova York e Boston so projetados para viajar com seguranga a altas velocidades em seg6es curvas de linhas férreas que foram construfdas para trens convencionais mais lentos Quando entra em uma curva cada carro é inclinado por amadores hidraulicos montados em seus va goées Essa caracteristica de inclinacgio dos vagées também aumenta o conforto dos passageiros por eliminar ou reduzir muito a forga lateral F paralela ao piso do vagiio 4 qual os passageiros estado sujeitos Para um trem que viaja a 160 kmh em uma seco curva de trilho inclinada lateralmente a um Angulo de 6 e com uma velocidade de segu ranga de 96 kmh determine a a intensidade da forga lateral sentida por um passageiro de peso W em um vagao normal sem inclinagao 0 b 0 Angulo de inclinacao necessdrio para que o passageiro nao sinta nenhuma forga lateral Ver Problema Resolvido 125 para a definigao de velocidade de seguranga a AA a ke Cam Tn a ae y x ps a K GAN k Na 0l meee ee eli ean Tyee AY a A See we a I 6 POW TAL Dees Sac Coe Figura P1253 e P1254 1254 Testes feitos com os trens pendulares descritos no Problema 1253 revelam que os passageiros se sentem desconfortaveis quando veem pela janela do vagao que o trem esta fazendo uma curva em alta velocidade ainda que eles nao sintam nenhuma forga lateral Os projetistas portanto preferem reduzir mas nao eliminar essa forca Para o trem do Problema 1253 determine o Angulo de in clinacio necessario para os passageiros sentirem forgas laterais iguais a 10 de seu peso Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 723 1255 Um pequeno colar D de 300 g pode deslizar sobre a parte AB de uma haste que é curvada tal como mostra a figura Sabendo que a 40 7 e que a haste gira em torno da vertical AC a uma taxa constante de 5 rads determine o valor r para o qual o colar nao deslizara sobre a haste se o efeito do atrito entre a haste e o colar for desprezado C 1256 Um pequeno colar D de 200 g pode deslizar sobre a parte AB de uma haste que é curvada tal como mostra a figura Sabendo que a haste B gira em torno da vertical AC a uma taxa constante e que a 30 e 2 r 600 mm determine o intervalo de valores da velocidade v para co qual o colar nao deslizara sobre a haste se 0 coeficiente de atrito esta D vi tico entre a haste e o colar é 030 q 1257 Um pequeno colar D de 300 g pode deslizar sobre a parte AB de uma haste que é curvada tal como mostra a figura Sabendo que r 200 mm e que a haste gira em torno da vertical AC a uma taxa constante de A 10 rads determine o menor valor admissfvel do coeficiente de atrito a estatico entre o colar e a haste se o colar nao desliza quando a a 15 b a 45 Indique em cada caso a dirego do movimento iminente Figura P1255 P1256 e P1257 1258 Uma ranhura semicircular de 250 mm de raio é cortada em uma pla ca plana que gira sobre o eixo vertical AD a uma taxa constante de 14 rads Um pequeno bloco E com 04 kg é projetado para deslizar na ranhura conforme a placa gira Sabendo que os coeficientes de 650 mm atrito sfio ww 035 e w 025 determine se o bloco ira deslizar na 4 ranhura se for liberado na posigo correspondente de a 6 80 b 40 Determine também a intensidade e a diregao da fora de C D atrito exercida no bloco imediatamente depois dele ser liberado 1259 Trés segundos depois que um polidor é colocado em funcionamento a partir do repouso pequenos tufos de 14 ao longo da circunferéncia do disco de polimento de 225 mm de diametro sao vistos voando li vremente para fora deste disco Se o polidor é ligado de modo que a 1a ao longo da circunferéncia seja submetida a uma aceleracao tan gencial constante de 4 ms determine a a velocidade escalar v de x um rufo medida que ele deixa o disco b a intensidade da forga E necessaria para liberar o tufo se o peso médio de um tufo é 16 mg A B 4 Sy Figura P1258 a Figura P1259 1260 Uma mesa rotativa A é construida em um palco para uso em uma pro duciio teatral Observase durante um ensaio que um batt B comegaa B deslizar sobre a mesa 10 s depois que ela comega a girar Sabendo que ee a o bati é submetido a uma aceleracao tangencial constante de 024 ms determine 0 coeficiente de atrito estatico entre o bati ea mesa rotativa Figura P1260 724 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1261 O mecanismo ABCD de hastes paralelas é usado para transportar um componente I entre processos de produgio nas estagées E F e G pegandoo em uma estagio quando 6 0 e depositandoo na estagaio seguinte quando 180 Sabendo que o elemento BC permane ce horizontal ao longo de seu movimento e que as hastes AB e CD giram a uma taxa constante em um plano vertical de tal modo que Uz 066 ms determine a o valor minimo do coeficiente de atrito estatico entre o componente e BC seo componente nao deve deslizar sobre BC enquanto esta sendo transferido b os valores de 6 para os quais a ocorréncia do escorregamento é iminente ri VB I 4B leic OA D 250 mm 250 a 500 mm 500 mm 250 mm 250 mm Figura P1261 1262 Sabendo que os coeficientes de atrito entre o componente I e o elemen to BC do mecanismo do Problema 1261 sao pr 035 e fy 025 de termine a a maxima velocidade escalar admissivel vz se o componente nao deve deslizar sobre BC enquanto esta sendo transferido b os valo res de 0 para os quais a ocorréncia do escorregamento é iminente Anodo 1263 No tubo de raios catédicos mostrado na figura os elétrons emitidos pelo Vv 1 Tela catodo e atraidos pelo 4nodo passam por meio de um pequeno fino no Cétodo 2 nodo e entao se movem em linha reta com uma velocidade escalar v a B até atingirem a tela em A Entretanto se uma diferenga de potencial V A fo é estabelecida entre as duas placas paralelas os elétrons ficaro sujeitos i x a uma forga F perpendicular as placas enquanto se movem entre essas Se eae placas e vao atingir a tela no ponto B que esté a uma distancia 6 de A d A intensidade da forga F é F eVd onde e é a carga de um elétron ed a distancia entre as placas Desprezando os efeitos da gravidade L deduza uma expressiio para a deflexio d em termos de V v a carga e Figura P1263 ea massa m de um elétron e as dimensoes d e L 1264 No Problema 1263 determine o menor valor admissfvel da razio dl em termos de e m v e V se em x a distancia minima admissivel entre a trajetdria dos elétrons e a placa positiva for de 005d 1265 O modelo atual de tubo de raio catédico pode ser modificado tal que o comprimento do tubo e o espaco entre as placas sao reduzidas em 40 e 20 respectivamente Se o tamanho da tela permanece a mesma determine 0 novo comprimento das placas considerando que todas outras caracterfsticas do tubo permanecem inalteradas Ver Problema 1263 para descricao do tubo de raios catédicos Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 725 127 Quantidade de movimento angular de uma particula Taxa de variagdo da quantidade de movimento angular Considere uma particula P de massa m que se move em relagao a um sistema de referéncia newtoniano Oxyz Como vimos na Segio 123 a quantidade de movimento linear da particula em um dado instante é de finida como o vetor mv obtido multiplicandose a velocidade v da parti cula por sua massa m O momento em relacao a O do vetor mv é chamado de momento da quantidade de movimento ou quantidade de movimento angular da particula em relaco a O naquele instante representado por H Recordando a definigéo de momento de um vetor Segio 36 e re presentando por r o vetor de posigao de P escrevemos Ho r X mv 1212 y e notamos que H é um vetor perpendicular ao plano que contém r e mv e de intensidade Ho mv Ho rmv sen b 1213 sh P onde é 0 angulo entre r e mv Fig 1210 O sentido de Hy pode ser 0 T determinado a partir do sentido de mv aplicandose a regra da mio di x reita A unidade da quantidade de movimento angular é obtida pela mul tiplicagao das unidades de comprimento e de quantidade de movimento linear Sedo 124 Com unidades do sistema SI temos Figura 1212 mkg ms kg ms Decompondo os vetores r e mv em componentes e aplicando a fér mula 310 escrevemos i j k Ho x y Zz 1214 mv Mv mv Os componentes de Hy que também representam os momentos da quantidade de movimento linear mv em relagio aos eixos coordenados podem ser obtidos expandindo o determinante em 1213 Temos H myv vy H mzo xv 1215 H mxvy yoy No caso de uma particula que se move no plano xy temos z v 0 e os componentes H e H se reduzem a zero A quantidade de movimen to angular é entéo perpendicular ao plano xy ele é assim completamen te definido pelo escalar Ho Hz mxv yv 1216 726 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica RN que vai ser positivo ou negativo de acordo com o sentido em que a par oa ticula se mover em relagdo a O Se forem usadas coordenadas polares Mg decompomos a quantidade de movimento linear da particula em compo my nentes radial e transversal Fig 1213 e escrevemos P Ho rmv send rmv 1217 ou recordando de 1145 que 09 r O 2 Figura 1213 Ho mré 1218 Vamos agora calcular a derivada em relacao at da quantidade de mo vimento angular H de uma particula P que se move no espago Dife renciando ambos os membros da Eq 1212 e recordando a regra para a diferenciagao de um produto vetorial Segéo 1110 escrevemos Ho i X mvrX mvvX mvtrX ma Como os vetores v e mv sao colineares 0 primeiro termo da expressio obtida é zero e pela segunda lei de Newton ma é igual soma 2F das forgas que atuam sobre P Observando que r X XF representa a soma M dos momentos em relagiio a O dessas forgas escrevemos YMo Ho 1219 A Eq 1219 que resulta diretamente da segunda lei de Newton afirma que a soma dos momentos em relagéo a O das forgas que atuam sobre a particula é igual a taxa de variagéo do momento da quantidade de movimento ou quantidade de movimento angular da particula em relagdo a O 128 Equagédes do movimento em termos de V ee S NB componentes radial e transversal Vy oF Considere uma partfcula P de coordenadas polares r e 6 que se move Pp P q 7 e em um plano sob a aco de varias forgas Decompondo as forgas e a ace 9 lerago da particula em componentes radial e transversal Fig 1214 e 4 s woe a substituindoas na Eq 122 obtemos as duas equacoes escalares a 4 F ma xFy mag 1220 mt 4 ue aes Substituindo para a e a das Eqs 1146 temos F m 6 1221 Foto 124 As forgas aplicadas nas amostras wf da centrifuga de alta velocidade podem ser F mrd 276 1222 descritas em termos de componentes radial As equagoes obtidas podem ser resolvidas para duas incégnitas transversal Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 727 Mag LF F ma r r O u O u Figura 1212 A Eq 1222 poderia ter sido obtida da Eq 1219 Recordando 12 18 e notando que XM rF a Eq 1219 fornece d DF mr6 ral dt mr mr6 2rré apos dividir ambos os membros por r YF mr6 276 1222 129 Movimento sujeito a uma forca central Conservacdo da quantidade de movimento angular Quando a tinica forga que atua sobre uma particula P é uma forga F diri gida para ou afastandose de um ponto fixo O dizse que essa particula se move sob a agdo de uma forga central e o ponto O é chamado de centro y de forga Fig 1215 Como a linha de agao de F passa por O devemos ter 2M 0 em qualquer instante dado Substituindo na Eq 1219 obtemos portanto P Ho 0 F para todos os valores de e integrando em t O Ho constante 1223 Concluimos ento que a quantidade de movimento angular deumapar ticula que se move sob a agdo de uma forga central é constante tantoem se Figura 1215 intensidade como em direcdo e sentido Recordando a definico de quantidade de movimento angular de uma particula Segao 127 escrevemos r X mv Ho constante 1224 da qual seguese que o vetor de posigio r da particula P deve ser perpen dicular ao vetor constante H Portanto uma particula sob a agaio de uma 728 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica my forga central se move em um plano fixo perpendicular a Hy O vetor Hy e o plano fixo sao definidos pelo vetor de posigio inicial r e pela veloci dade inicial v da particula Por conveniéncia vamos assumir que o plano P da figura coincide com o plano fixo do movimento Fig 1216 Como a intensidade H da quantidade de movimento angular da par myo ticula P é constante o membro do lado direito da Eq 1213 deve ser bo constante Escrevemos assim To Po rmv send romvy sendy 1225 Esta relagio se aplica ao movimento de qualquer particula sob a agio de Figura 1216 uma forga central Como a forga gravitacional exercida pelo Sol sobre um planeta é uma forga central dirigida para o centro do Sol a Eq 1225 é fundamental para o estudo do movimento planetario Por uma razio similar ela é também fundamental para 0 estudo do movimento de vei culos espaciais em 6rbita ao redor da Terra Alternativamente recordando a Eq 1218 podemos expressar 0 fato de que a intensidade H da quantidade de movimento angular da particula P é constante escrevendo mro Ho constante 1226 ou dividindo por m e representando por h a quantidade de movimento angular por unidade de massa Hm ro h 1227 Uma interpretagio geométrica interessante pode ser dada a Eq 1227 Observando a partir da Fig 1217 que o raio vetor OP varre uma area rdé infinitesimal dA dé quando ele gira de um Angulo dé e definindo dA a velocidade areolar da particula como 0 quociente dA dt constatamos do P que o membro do lado esquerdo da Eq 1227 representa o dobro da F velocidade areolar da particula Concluimos entéio que quando uma particula se move sob a agao de uma fora central sua velocidade areolar 0 9 é constante Figura 1217 1210 Lei de Newton da gravitacao Como vimos na seco anterior a forga gravitacional exercida pelo Sol so bre um planeta ou pela Terra sobre um satélite em érbita é um exemplo importante de uma forca central Nesta secdo vocé vai aprender como determinar a intensidade de uma forga gravitacional LD m Em sua lei de gravitagéo universal Newton estabeleceu que duas SL particulas de massas M e ma uma distancia r uma da outra se atraem com J Be forgas iguais e opostas F e F dirigidas ao longo da linha que as une Fig if 1218 A intensidade comum F das duas forgas é M F om 1228 Figura 1218 r Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 729 onde G é uma constante universal chamada constante de gravitagdo Ex perimentos mostram que o valor de G é 6673 003 x 10 m kg s em unidades SI As forgas gravitacionais existem entre qualquer par de corpos mas seus efeitos so aprecidveis somente quando um dos corpos tem uma massa muito grande O efeito das forgas gravitacionais é evidente nos casos de movimento de um planeta ao redor do Sol de satélites em 6r bita ao redor da Terra ou de corpos que caem sobre a superficie da Terra Como a forga exercida pela Terra sobre um corpo de massa m locali zado sobre ou préximo a sua superficie é definida como 0 peso W do corpo podemos substituir F pela intensidade W mg do peso e r pelo raio R da Terra na Eq 1228 Obtemos Wmg on ou g cM 1229 R R onde M é a massa da Terra Como a Terra nao é realmente esférica a distancia R do centro da Terra depende do ponto escolhido na sua superficie e os valores de W e g irao dessa maneira variar conforme a altitude e latitude do ponto considerado Outra razio para a variagao de W e g com a latitude é que um sistema de eixos fixo 4 Terra nfo constitui um sistema de referéncia newtoniano ver Secao 122 Uma definigo mais precisa do peso de um corpo deve portanto incluir um componente que represente a forca centrifuga devida a rotagao da Ter ra Os valores de g ao nivel do mar variam de 9781 ms no Equador a 9833 ms nos polos A forca exercida pela Terra sobre um corpo de massa m localizado no espacgo a uma distancia r do centro da Terra pode ser encontrada a partir da Eq 1228 Os calculos seréo um pouco simplificados se notarmos que de acordo com a Eq 1229 o produto da constante de gravitagao G e da massa M da Terra pode ser expresso como GM gR 1230 onde g e o raio R da Terra sao substituidos por seus valores médios g981 ms e R 637 X 10 m em unidades do SI A descoberta da lei da gravitagao universal tem sido frequentemen te atribuida 4 crenga de que apds observar uma maca caindo de uma drvore Newton refletiu que a Terra deveria atrair uma mac e a Lua da mesma forma Embora seja duvidoso que esse incidente realmente tenha ocorrido podese dizer que Newton nao teria formulado sua lei se ele nao tivesse primeiro percebido que a aceleragao de um corpo em queda deve ter a mesma causa que a aceleraco que mantém a Lua em sua 6r bita Esse conceito basico de continuidade da atragao gravitacional é bem mais facilmente entendido hoje quando o espago entre a mag e a Lua esta sendo preenchido com satélites artificiais da Terra Uma formula que expressa g em termos da latitude foi dada no Problema 121 O valor de R é facilmente encontrado se recordarmos que a circunferéncia da Terra é 2mR 40 X 10 m SA PROBLEMA RESOLVIDO 126 B A Um bloco B de massa m pode deslizar livremente sobre um brago OA sem D atrito que gira em um plano horizontal com uma taxa constante 09 Saben r Ao do que B é liberado a uma distancia r de O expresse como uma fungao de r a o componente v da velocidade de B ao longo de OA e b a intensida de da forga horizontal F exercida sobre B pelo brago OA X 0 a 4 6y SOLUCAO Como todas as outras forgas sio perpendiculares ao plano da figura a tinica forga mostrada na figura atuando sobre B é a forga F perpendicular a OA Equagoes de movimento Usando componentes radial e transversal ma 7 F ma 0 mi 16 1 ol 6 oe 7 F SF map F mré 276 2 L mr Componente vr da velocidade Como v 7 temos Uc dv dwvdr dv a r 6b 0 9 dt dr dt dr O Substituindo para 7 em 1 recordando que 8 6 e separando as varidveis e v dv 6er dr Multiplicando por 2 e integrando de 0 av e der ar ee ee er b Forga horizontal F Fazendo 60 6 00r v na Eq 2 e substituindo para v a expressao obtida na parte a F 2mOr r276o F 2mr 13 30000 kmh PROBLEMA RESOLVIDO 127 Terra Um satélite é langado em uma diregio paralela 4 superficie da Terra com uma pe a A velocidade de 30000 kmh de uma altitude de 400 km Determine a veloci dade do satélite quando atinge sua altitude maxima de 4000 km Recordese 4000 km de que o raio da Terra é de 6370 kn 400 km SOLUCAO Como o satélite esta se movendo sob a agio de uma forga central dirigida o mV para o centro O da Terra seu momento angular Hy é constante Da Eq my 1213 temos B 8 mot rmv sen Hy constante que mostra que v é minima em B onde re sen so maximos Expressando a conservagio da quantidade de movimento angular entre A e B m B rM0 TaMv UpVq Ta 30000 Janh 030 kn 400 kn Tp 6370 km 4000 km v 19590kmh Nota Observe que r é a distancia do centro da Terra e é expressa como r Ryo altitude N esta ligo continuamos nosso estudo da segunda lei de Newton expressando a forga e a ace leragao em termos de seus componentes radial e transversal onde as correspondentes equa cdes de movimento sio F ma SF mir 6 Fy mag F mré 2rd Introduzimos 0 momento da quantidade de movimento ou a quantidade de movimento angular H de uma particula em relagao a O Ho r X mv 1212 e encontramos que H é constante quando a particula se move sob a acao de uma fora central com seu centro localizado em O 1 Usando componentes radial e transversal Os componentes radial e transversal fo ram introduzidos na tltima ligéo do Cap 11 Segao 1114 vocé deve revisar aquele material antes de tentar resolver os problemas a seguir Além disso nossos comentarios na ligo anterior em re lacdo a aplicagaio da segunda lei de Newton desenhar um diagrama de corpo livre e um diagrama ma etc ainda se aplicam Problema Resolvido 126 Finalmente observe que a solugio desse problema resolvido depende da aplicacao de técnicas desenvolvidas no Cap 11 vocé vai precisar empregar técnicas semelhantes para resolver alguns dos problemas desta licao 2 Resolvendo problemas que envolvem o movimento de uma particula sujeita a uma forca central Em problemas deste tipo a quantidade de movimento angular Hy da par ticula em relaco ao centro de forga O se mantém Vocé vai achar conveniente introduzir a cons tante h Hm que representa a quantidade de movimento angular por unidade de massa A conservagaéo da quantidade de movimento angular da particula P em relagaio a O pode entio ser expressa por uma das equagées seguintes rv send h ou réh onde r e 6 sao as coordenadas polares de P e é 0 angulo que a velocidade v da particula faz com a linha OP Fig 1216 A constante h pode ser determinada a partir das condicGes iniciais e qual quer uma das equacGes anteriores pode ser resolvida para uma inc6gnita continua 3 Em problemas de mecdnica espacial que envolvem o movimento orbital de um pla neta em torno do Sol ou de um satélite em torno da Terra da Lua ou de algum outro planeta a forca central F é a forga de atragdo gravitacional ela é dirigida para 0 centro de forga O e tem a intensidade Mm FG 1228 r Observe que no caso particular da forga gravitacional exercida pela Terra 0 produto GM pode ser substituido por eR onde R é 0 raio da Terra Eq 1230 Os dois casos de movimento orbital a seguir sio encontrados frequentemente a Para um satélite em uma orbita circular a forga F é normal a érbita e pode ser ops 2 Z escrita como F ma substituindo o valor de F da Eq 1228 e observando que a vp vr vocé obtera Mm v o GM G m ou Do r r r b Para um satélite em uma Orbita eliptica 0 raio vetor r e a velocidade v do satélite sio perpendiculares entre si nos pontos A e B que sao respectivamente 0 mais afastado e 0 mais proximo do centro de forga O Problema Resolvido 127 Portanto a conservagio da quantidade de movimento angular do satélite entre esses dois pontos pode ser expressa como TaAmMv RNB 1266 Ahaste OA gira em torno de O em um plano horizontal O movimento NN do colar B de 300 g é definido pelas relagdes r 300 100 cos 057 B DO A e6 t 3t onde ré expresso em milimetros t em segundos e 0 em radianos Determine as componentes radial e transversal da forga r exercida sobre o colar quando a t 0e b t 05 s 1267 Para o movimento definido no Problema 1266 determine as com ponentes radial e transversal da forga exercida sobre o colar quando of t15s 1268 A haste OA oscila em torno de O em um plano horizontal O movi Figura P1266 e P1268 mento do colar B de 2 kg é definido pelas relagdes r 3t 4 e 6 27 sen wt onde r é expresso em metros t em segundos e 6 em radianos Determine as componentes radial e transversal da forga exercida sobre o colar quando a t 1s bt 6s 1269 Ocolar B de massa m desliza sobre o brago sem atrito AA O bracgo é preso ao tambor D e roda em torno de O em um plano horizontal a uma taxa ct onde c é uma constante A medida que o conjunto bragotambor gira um mecanismo dentro do tambor solta a corda de modo que o colar se move para fora a partir de O com uma veloci dade escalar constante k Sabendo que em t 0 r rp expresse em fungao de m c k ry e t a a tragao T na corda b a intensidade da forga horizontal Q exercida sobre B pelo brago AA A A me en ss D Figura P1269 e P1270 1270 O colar B de 3 kg desliza sobre 0 brago sem atrito AA O brago é preso ao tambor D e roda em torno de O em um plano horizontal auma taxa 6 075t onde 6 e t sio expressos em rads e segundos respectivamente A medida que o conjunto bragotambor gira um mecanismo dentro do tambor solta a corda de modo que o colar se D move para fora a partir de O com uma velocidade escalar constante C de 05 ms Sabendo que em t 0 r 0 determine o instante em r B que a tragio na corda é igual a intensidade da forga horizontal exerci 6 da sobre B pelo bracgo AA j 1271 O pino B de 100 g desliza ao longo da fenda no brago giratério OC O L r e ao longo da fenda DE que foi aberta em um plano horizontal fixo Desprezando 0 atrito e sabendo que o brago OC gira a uma taxa cons E tante 6 12 rads determine para qualquer valor dado de a os componentes radial e transversal da forga resultante F exercida sobre 02 o pino B b as forgas P e Q exercidas sobre o pino B pelo brago OC am e pela parede da fenda DE respectivamente Figura P1271 734 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica r 1272 Ocursor C pesa 230 g e pode moverse na fenda aberta no brago AB O C que gira a uma taxa constante 6 10 rads no plano horizontal O A amma B cursor preso a uma mola de constante k 36 Nm que nao esta de Ee formada quando r 0 Sabendo que o cursor é liberado em repouso com velocidade radial nula na posigao r 450 mm e desprezando o 6 10 rads atrito determine para a posicgao r 300 mm a as componentes ra dial e transversal da velocidade do cursor b as componentes radial e I transversal de sua aceleragio c a forga horizontal exercida no cursor pelo brago AB Figura P1272 1273 Resolver o Problema 1272 considerando que a mola nao esta defor mada quando o cursor C é posicionado a 50 mm para a esquerda do ponto médio O no brago AB r 50 mm 1274 Uma particula de massa m é langada do ponto A com uma velocidade inicial v perpendicular a linha OA e se movimenta sob a agao de uma forga central F ao longo de uma trajetéria semicircular de diametro OA Observando que r r cos 6 e usando a Eq 1227 mostre que a velocidade escalar da particula é v v cos 0 r VV i Q Avo O VA J Figura P1274 Vv 4 1275 Para a particula do Problema 1274 determine a componente tan m gencial F da forga central F ao longo da tangente da trajetéria da r 7 particula para a 6 0 b 6 45 1276 Uma particula de massa m é langada do ponto A com uma velocidade O A inicial v perpendicular a linha OA e se move sob a acao da forga central F dirigida para fora do centro de forga O Sabendo que a par Figura P1276 ticula segue uma trajetéria definida pela equagio r rVcos 20 e usando a Eq 1227 expresse os componentes radiais e transversais da velocidade v da particula em fungao de 6 1277 Para a particula do Problema 1276 mostre a que a velocidade da particula e a forga central F sao proporcionais a distancia r da parti cula ao centro de forga O b que o raio de curvatura da trajetoria é proporcional a r 1278 O raio da 6rbita da lua de um dado planeta é trés vezes o tamanho do raio deste planeta Representando por p a densidade média do planeta mostre que o tempo necessario para a lua fazer uma volta completa em torno dele é 2421Gp onde G é a constante de gravitagiio Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 735 1279 Mostre que o raio r da 6rbita da lua de um dado planeta pode ser determinado a partir do raio R deste planeta da aceleracao da gravidade na superficie do planeta e do tempo 7 necessdrio para a lua fazer uma volta completa em torno do planeta Determine a aceleragio da gravidade na superficie do planeta Japiter sabendo que R 71492 km 7 3551 dias e r 6709 X 10 km para sua lua Europa 1280 Satélites de comunicagio sio colocados em uma 6rbita geossincro na isto é em uma 6rbita circular tal que eles realizam uma volta completa em torno da Terra em um dia sideral 23934 horas e entio aparentam estar estaciondrios em relagao ao solo Determine a a altitude desses satélites acima da superficie da Terra b a ve locidade com que eles descrevem suas 6rbitas 1281 Determine a massa da Terra sabendo que o raio médio da 6rbita da Lua em torno da Terra é de 382250 km e que a Lua precisa de 2732 dias para completar uma volta inteira em torno da Terra 1282 Uma espagonave é colocada em uma 6rbita polar sobre o planeta Marte a uma altitude de 380 km Sabendo que a massa especifica mé dia de Marte é de 394 Mgm e que o raio de Marte é de 3397 km determine a 0 tempo 7 necessério para a espagonave realizar uma volta completa em torno de Marte b a velocidade com que a espa conave descreve sua 6rbita 1283 Um satélite é colocado em uma 6rbita circular em torno do planeta Saturno a uma altitude de 3360 km O satélite descreve sua 6rbita com velocidade de 875 X 10 kmh Sabendo que o raio da 6rbita sobre Saturno e o perfodo de Atlas uma das luas de Saturno séio 1369 X 10 km e 06017 dias respectivamente determine a 0 raio de Saturno b a massa de Saturno O periodo de um satélite é o tempo requerido para ele concluir uma volta completa em tor no do planeta 1284 Os periodos ver Problema 1283 das luas do planeta Urano Julie ta e Titania foram observados como sendo de 04931 dias e 8706 dias respectivamente Sabendo que o raio da 6rbita de Julieta é 64360 km determine a a massa de Urano b 0 raio da 6rbita de Titania 1285 Uma espaconave de 600 kg é colocada primeiramente em uma 6r bita circular em torno da Terra a uma altitude de 4500 km e en tao transferida para uma 6rbita circular em torno da Lua Sabendo que a massa da Lua é 001230 vezes a massa da Terra e que o raio da Lua é de 1700 km determine a a forga gravitacional exercida sobre a espagonave enquanto ela orbitava a Terra b 0 raio neces sdrio da érbita da espagonave em torno da Lua ver Prob 1283 para que os periodos das duas érbitas sejam iguais c a aceleragaio da gravidade na superficie da Lua 1286 Para colocar um satélite de comunicagdes em uma G6rbita geossincro na ver Problema 1280 a uma altitude de 35580 km acima da super ficie da Terra o satélite primeiro é liberado do 6nibus espacial cuja érbita circular estd na altitude de 296 km e entiio é propelido por um estégio superior de foguete auxiliar para sua altitude final Quando 736 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica o satélite passa por A o motor do foguete é acionado para inserir 0 satélite em uma orbita elfptica de transferéncia O foguete auxiliar é novamente acionado em B para inserir o satélite em uma 6rbita geossincrona Sabendo que o segundo impulso aumenta a velocidade escalar do satélite em 1400 ms determine a a velocidade escalar do satélite quando ele se aproxima de B na 6rbita de transferéncia eliptica b o aumento em velocidade escalar resultante da primeira propulsio em A km 296 km A oe B av R 6370 km Figura P1286 1287 Um veiculo espacial esta em uma orbita circular de 2200 km de 2080 km rae raio ao redor da Lua Para ser transferido para uma 6rbita menor de 2080 km de raio o veiculo é posto primeiro em uma trajetéria elfp A has S tica AB reduzindose sua velocidade escalar em 263 ms ao passar rl por A Sabendo que a massa da Lua é de 7349 X 10 kg determine a a velocidade escalar do veiculo quando ele se aproxima de B pela trajet6ria elfptica b em quanto sua velocidade deve ser reduzida 2200 km quando ele se aproxima de B para que ele seja inserido na 6rbita cir cular menor Figura P1287 1288 Planos para a missio de um pouso nao tripulado ao planeta Marte Segunda érbita de transferéncia indica que o veiculo de retorno a Terra primeiro descreve uma 6r bita circular a uma altitude d 2200 km acima da superficie do AS planeta com a velocidade 2771 ms Ao passar pelo ponto A 0 ve iculo foi posto em uma 6rbita de transferéncia eliptica pela acao de Otbita circular seus foguetes aumentando sua velocidade escalar de Av 1046 Jy ms Ao passar por meio do ponto B na altitude d 100000 km A B foi posto em uma segunda Grbita de transferéncia localizada em um we plano ligeiramente diferente mudando a diregio de sua velocidade e reduzindo sua velocidade escalar de Av 220 ms Finalmente ao passar por meio do ponto C a uma altitude d 1000 km sua velocidade escalar foi incrementada de Av 660 ms para inserilo Primeira 6rbita de transferéncia na trajetoria de retorno Sabendo que o raio do planeta Marte é R Trajetéria de retorno 3400 km determine a velocidade do veiculo depois de completar a Figura P1288 tiltima manobra Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 737 1289 Um Gnibus espacial S e um satélite A estao nas 6rbitas circulares mostra das na figura Para poder recuperar 0 satélite o Gnibus espacial é primei ro colocado em uma trajetéria elfptica BC aumentandose sua veloci dade escalar em Av 84 ms quando ele passa por B Quando o énibus A se aproxima de C sua velocidade escalar 6 aumentada em Av 78 ms sor para inserilo em uma segunda 6rbita de transferéncia elfptica CD Sa bendo que a distancia de O a C é de 6860 km determine o valor em 608 km que a velocidade escalar do 6nibus deve ser aumentada quando ele se S be aproxima de D para que seja inserido na 6rbita circular do satélite if 1290 Umcolar de 15 kg pode deslizar em uma haste horizontal que é livre pr at poe para girar sobre um eixo vertical O colar é inicialmente mantido pre so ao eixo em A por uma corda A mola de constante 35 Nm é fixada 288 km ao colar e ao eixo e nao esta deformada quando o colar esta em A No momento em que a haste gira a uma taxa 0 16 rads a corda é cortada e o colar movese ao longo da haste Desprezando 0 atrito e a massa da haste determine a as componentes radial e transversal da aceleragio do colar em A b a componente transversal da velocidade do colar em B Figura P1289 1291 Para o colar do Problema 1290 considerando que a haste inicial mente gira a uma taxa de 6 12 rads determine para a posigio B do colar a a componente transversal da velocidade do colar b as componentes radial e transversal de sua aceleracio c a aceleragio 450 mm do colar relativa a haste 150 mm a 1292 Uma bola A de 200 g e uma bola B de 400 g sfio montadas em uma at r barra horizontal que gira livremente sobre um eixo vertical As bolas sio mantidas nas posigdes mostradas na figura por pinos O pino que segura B é repentinamente removido ea bola se move para a posiao da C enquanto a barra gira Desprezando 0 atrito e a massa da barra e SY sabendo que a velocidade escalar inicial de A é v 25 ms deter mine a os componentes radial e transversal da aceleracao da bola B Figura P1290 imediatamente ap6s 0 pino ser retirado b a aceleragao da bola B re lativa 4 barra nesse instante c a velocidade escalar da bola A depois da bola B ter atingido o batente em C 04 m 04 m yu VB 025 m 02 m C A B U VA Figura P1292 t O 1293 Uma pequena bola balanga em um circulo horizontal na extremi I dade de uma corda de comprimento que forma um Angulo 6 ly 65 com a vertical A corda é entéo puxada lentamente pelo suporte yoc7 TTF 7 em O até que o comprimento da ponta livre seja de a Deduza KL or ee Ss uma relagao entre 1 1 0 e 8 b Se a bola é posta em movimen Z ann to de modo que inicialmente 08 m e 6 35 determine o SL Ee Angulo 6 quando 06 m Figura P1293 738 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1211 Trajetoria de uma particula sob uma forca central Considere uma particula P que se move sob a agao de uma forga central F Nossa proposta é obter a equagao diferencial que defina sua trajetoria Considerando que a forga F é dirigida para o centro de forga O no tamos que SF e XF se reduzem respectivamente a F e zero nas Eqs 1221 e 1222 Escrevemos portanto m 6 F 1231 mré 270 0 1232 Essas equagdes definem o movimento de P Vamos entretanto substituir a Eq 1232 pela Eq 1227 que é equivalente 4 Eq 1232 como se pode facilmente verificar diferenciandoa em relagio at mas que é de utilizagio mais conveniente Escrevemos 10 r6h ow rPh 1233 dt A Eq 1233 pode ser usada para eliminar a variavel independente t da Eq 1231 Resolvendo a Eq 1233 para 6 ou d6dt temos p20 h 1234 dt r da qual se segue que dr drdéd hdr itl 1235 r TF SE rh di dedi de dor 1235 dr drdd hdr rT SOC De aC dt dédt fr do ou substituindo para r da 1235 hd d 2 v Za hasl r dé dor h d 6 p 1236 r der Substituindo para 6 e de 1234 e 1236 respectivamente na Eq 1231 e introduzindo a fungao u 1r obtemos apds simplificagdes du 1 F of by do mhu 1237 Na dedugao da Eq 1237 a forga F foi considerada como estando di rigida para O A intensidade F deve ser portanto positiva se F estiver realmente dirigida para O forga de atraco e negativa se F estiver se afastando de O forga repulsiva Se F é uma fungao conhecida de r e portanto de u a Eq 1237 é uma equagiio diferencial em u e 0 Essa equagio diferencial define a trajet6ria seguida pela particula sob a acio da forga central F A equacao da trajetéria pode ser obtida resolvendose a equagao diferencial 1237 para u como uma fungao de 6 e determi nando as constantes de integracao a partir das condic6es iniciais Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 739 1212 Aplicagao a mecdnica espacial Apés os ultimos estagios de seus foguetes lancadores terem queimado seus combustiveis os satélites da Terra e outros veiculos espaciais estao sujeitos apenas a atraco gravitacional da Terra Seu movimento pode portanto ser determinado a partir das Eqs 1233 e 1237 que go a F J vernam 0 movimento de uma particula sob a aco de uma forga central depois que F tiver sido substituido pela expresso obtida para a forgade atraco gravitacional Fazendo isso na Eq 1237 yp GMm 3 ae F GMmu r a a onde M massa da Terra y a m massa do veiculo espacial e a r distancia do centro da Terra ao veiculo uUu lr vs ra obtemos a equagio diferencial y ee ye fs 4 fu oM 1238 Ag To tt UF TD F de he aa Z s t J onde se observa que o membro do lado direito da equagao é uma cons tante Foto125 O telescdépio Hubble foi A solugao da equacao diferencial 1238 é obtida somandose a solu colocado em orbita pelo énibus espacial em cio particular u GMh A solugao geral u C cos 8 daequagao 1990 primeiro geoestaciondrio da NASA homogénea correspondente isto é a equagao obtida tomando 0 mem bro do lado direito igual a zero Escolhendo o eixo polar de modo que 6 0 escrevemos CM C 0 1239 u cos r h A Eq 1239 é a equacao de uma segdo cénica elipse parabola ou hipérbole nas coordenadas polares r e 8 A origem O das coordenadas que esta localizada no centro da Terra é um foco dessa secao cénica e 0 eixo polar é um de seus eixos de simetria Fig 1219 A razao entre as constantes C e GMh define a excentricidade da secao cOnica fazendo 6 oO c Ch 1240 é 7 GMh GM podemos escrever a Eq 1239 sob a forma 1 GM r h2 1 COS 9 12 39 Figura 1219 Essa equagao representa trés trajetérias possiveis 1 louC GMh existem dois valores 6 e 0 do angulo polar definido por cos 6 GMCh para os quais o membro do lado di Considerese que os veiculos espaciais aqui estudados s4o atraidos unicamente pela Ter Ta que suas Massas sao despreziveis comparadas com a massa da Terra Se um veiculo se desloca para muito longe da Terra sua trajetéria pode ser afetada pela atragao do Sol da Lua ou de outro planeta 740 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica reito da Eq 1239 se toma zero Para ambos os valores o raio vetor r se torna infinito a segao cénica é uma hipérbole Fig 1220 e1 2 e louC GMh 0 raio vetor se torna infinito para 9 180 a segao cOnica é uma parabola 3 e 1 ouC GMh 0 raio vetor permanece finito para todo va el lor de 0 a segdo cénica é uma elipse No caso particular quando é C 0 0 comprimento do raio vetor é constante a segao conica é um circulo Vejamos agora como as constantes C e GMh que caracterizam a trajetéria de um veiculo espacial podem ser determinadas a partir da el posigdo e velocidade do veiculo no inicio de seu voo livre Consideremos 6 que como é geralmente o caso a fase propulsada de seu voo tenha sido programada de tal modo que quando o tiltimo estégio do foguete de lan zT gamento se extinguir o veiculo terd uma velocidade paralela a superficie da Terra Fig 1221 Em outras palavras vamos considerar que 0 vefculo yO espacial inicie seu voo livre no vértice A de sua trajetéria Representando 0 raio vetor e a velocidade escalar do veiculo no inicio de seu voo livre por r Up respectivamente observamos que a velocidade se reduz a seu componente transversal e portanto que v9 ro Recor dando a Eq 1227 expressamos a quantidade de movimento angular por L unidade de massa h como y 24 h TA Too 1241 O valor obtido parah pode ser usado para determinar a constante GMh Observamos também que o cdlculo dessa constante sera simplificado se usarmos a relacdo obtida na Secao 1210 Figura 1220 CM oR 1230 onde R 0 raio da Terra R 637 X 10m e g aaceleracao da gravi Voo livre dade na superficie da Terra Vo A constante C é obtida fazendo 6 0 r r em 1239 o AA c ou 1249 see ea Fim da queima de ro hh ws combustivel e Voo propulsado Substituindo para h de 1241 podemos facilmente expressar C em ter Langamento mos de r CUo Figura 1221 Vamos agora determinar as condicGes iniciais correspondentes a cada uma das trés trajetérias fundamentais indicadas anteriormente Consi derando em primeiro lugar a trajet6ria parabélica colocamos C igual a GMN na Eq 1242 e eliminamos h nas Eqs 1241 e 1242 Resol vendo para v obtemos 2GM Vo Y0 Podemos facilmente verificar que um valor maior da velocidade inicial corresponde a uma trajet6ria hiperbdlica e um valor menor corresponde a uma Orbita elfptica Como o valor de v obtido para a trajetéria para bolica é o menor valor para o qual o veiculo espacial nao retorna ao seu Problemas envolvendo langamentos obliquos serio considerados na Secao 139 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 741 ponto de partida ele é denominado velocidade de escape Escrevemos portanto 2 Bese 4 2GM OU Vese 1 Pek 1243 0 ro se fizermos uso da Eq 1230 Observamos que a trajet6ria sera 1 hi perbélica se v v 2 parabdlica se vy v e 3 eliptica se vy v Entre as varias 6rbitas elipticas possiveis aquela obtida quando C 0 a 6rbita circular é de especial interesse O valor da velocidade inicial cor Peire S POS Pese respondente a uma 6rbita circular é facilmente encontrado como sendo v9 Vere CM oR CoN Veire a ou Veire 1244 ro Yo ir oe 3 Be se a Eq 1230 for levada em conta Verificamos a partir da Fig 1222 d i et a que para valores de v maiores que vy mas menores que v0 ponto A m 9 oH 5 onde 0 voo livre se inicia é 0 ponto da é6rbita mais proximo da Terra esse Qe ponto é denominado perigeu enquanto o ponto A que estd mais afasta B do da Terra é conhecido como apogeu Para valores de vy menores que SA A Ucires ponto A é 0 apogeu enquanto o ponto A no outro lado da érbita 7 é o perigeu Para valores de v muito menores que v a trajetéria do 9 Peire veiculo espacial intercepta a superficie da Terra em tal caso 0 vefculo Figura 1222 nao entra em 6rbita Misseis balisticos que sio projetados para atingir a superficie da Terra também se deslocam ao longo de trajetérias elipticas De fato devemos ago ra compreender que qualquer objeto langado no vacuo com uma velocidade inicial v menor que v vai se deslocar ao longo de uma trajetoria elfptica Somente quando as distancias envolvidas sao pequenas é que o campo gravi tacional da Terra pode ser considerado uniforme e a trajetéria eliptica pode nesse caso ser aproximada por uma trajetéria parabdlica como foi feito an teriormente Segio 1111 no caso de projéteis convencionais Periodo Uma caracteristica importante do movimento de um satélite da Terra é 0 tempo requerido pelo satélite para descrever sua 6rbita Esse tempo conhecido como 0 pertodo do satélite é representado por T Observamos em primeiro lugar tendo em vista a definicao de velocidade areolar Segao 129 que 7 pode ser obtido dividindose a rea interior da 6rbita pela velocidade areolar Considerando que a érea de uma elipse é igual a tab ondeaeb representam Os semieixos maior e menor respec tivamente e que a velocidade areolar é igual a h2 escrevemos T amie 1245 B a Enquanto h pode ser facilmente determinado a partir de ry e vy b no caso de um satélite langado em uma diregio paralela a superficie da Terra os semieixos a e b nado estao diretamente relacionados as A ep TA condicGes iniciais Como por outro lado os valores r e r de r corres pondentes ao perigeu e apogeu da 6rbita podem ser facilmente deter minados a partir da Eq 1239 vamos expressar os semieixos a e b em termos de r e r Considere a 6rbita elfptica mostrada na Fig 1223 O centro da Terra r ro est localizado em O e coincide com um dos dois focos da elipse enquan Figura 1223 742 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica a to os pontos A e A representam respectivamente 0 perigeu e 0 apogeu BI da 6rbita Podemos facilmente verificar que i ro r 2a e portanto A 1 y aor yA a aro r1 1246 Recordando que a soma das distancias de cada um dos focos a qualquer ponto da elipse é constante escrevemos ry ry OB BO OA OA 2a ou BOa Figura 1223 repetida Por outro lado temos que COa To Podemos portanto escrever b BC BOY COP a 1 b ro2a ro ror e portanto b Vrori 1247 As férmulas 1246 e 12467 indicam que os semieixos maior e menor da 6rbita sao iguais respectivamente ds médias aritmética e geométrica dos valores méximo e minimo do raio vetor Uma vez que ry e 7 tenham sido determinados os comprimentos dos semieixos podem ser facilmen te calculados e substituidos para a e b na formula 1245 1213 Leis de Kepler do movimento planetdrio As equagdes que governam o movimento de um satélite da Terra podem ser usadas para descrever 0 movimento da Lua ao redor da Terra Nesse caso entretanto a massa da Lua nao é desprezivel quando comparada a massa da Terra e os resultados obtidos no so totalmente exatos A teoria desenvolvida nas segées precedentes também pode ser aplicada ao estudo do movimento dos planetas ao redor do Sol Apesar de outro erro ser introduzido ao se desprezar as forgas exercidas pelos planetas uns sobre os outros a aproximacao obtida é excelente De fato mesmo antes de Newton ter formulado sua teoria fundamental as pro priedades expressas pela Eq 1239 onde m agora representa a massa do Sol e pela Eq 1233 foram descobertas pelo astr6nomo alemao Johann Kepler 15711630 a partir de observagées astronémicas do movimento dos planetas As trés leis do movimento planetdrio de Kepler podem ser enuncia das como se segue 1 Cada planeta descreve uma elipse com o Sol localizado em um de seus focos 2 O raio vetor tragado do Sol a um planeta varre areas iguais em tem pos iguais 3 Os quadrados dos perfodos dos planetas so proporcionais aos cubos dos semieixos maiores de suas érbitas A primeira lei enuncia um caso particular do resultado estabelecido na Secgio 1212 e a segunda expressa que a velocidade areolar de cada planeta é constante ver Seco 129 A terceira lei de Kepler também pode ser deduzida dos resultados obtidos na Segao 1212 Ver Problema 12121 Terra Um satélite é langado em uma direcao paralela a superficie da Terra com ve Altitude maxima Se locidade de 36900 kmh de uma altitude de 500 km Determine a a maxima ns 7 G altitude alcangada pelo satélite e b o periodo do satélite 500 km SOLUCGAO a Altitude maxima Apés 0 satélite ter sido langado ele esta sujeito somente a atragao gravitacional da Terra seu movimento 6 portanto gover nado pela Eq 1238 1 GM PRE C cos 6 1 e Como o componente radial da velocidade é zero no ponto de langamento A te Yo mos h rv Recordando que para a Terra R 6370 kin calculamos r 0 EN ro 6370 km 500 km 6870km 687 X 10m o es 369 X 10 m A RFe VN A vo 36900 kmh 1025 X 10 ms 36 X 10 s 0 h rovy 687 X 10m1025 X 10 ms 704 X 10 ms h 496 X 107 ms Como GM oR onde R é 0 raio da Terra temos GM gR 981 ms 637 X 10m 398 x 10 ms GM 398 X 10 ms 9 a OS 803 X 10 me h 496 X 10 ms Substituindo esse valor em 1 obtemos 1 9 803 X 10 m Ccos 2 r Considerando que no ponto A temos 0 0 e r ry 687 X 10 m caleu lamos a constante C 1 803 X 10 m Ccos0 C 653 X 10 m 687 X 10 m Em A o ponto da 6rbita mais afastado da Terra temos 180 Utilizando 2 calculamos a distancia correspondente r 1 803 X 10 m 653 X 10 m cos 180 ry r 667 X 10 m 66700 km Altitude mdéxima 66700 km 6370 km 60300km 4 Br b Periodo Como A eA sao respectivamente o perigeu e 0 apogeu da 6rbita elfptica usamos as Eqs 1246 e 1247 e calculamos os semieixos maior e menor da 6rbita 4 a iro 71 4687 66710 m 368 X 10 m b Vror V687667 X 10m 214 X 10m Qmab 277 368 X 10m214 X 10m 7 SS OOOO eae h 704 X 10 ms ro tT 703 X 10 s 1171min 19h3lmin N esta ligéo continuamos nosso estudo do movimento de uma particula sob a agao de uma forga central e aplicamos os resultados a problemas de mecanica espacial Verificamos que a traje toria de uma particula sob a acado de uma forga central é definida pela equagao diferencial du F aT u 1237 dé mhu onde wu 0 inverso da distancia r da particula até o centro de forga u Ir F é a intensidade da forca central F e h é uma constante igual 4 quantidade de movimento angular por unidade de mas sa da particula Em problemas de mecanica espacial F é a forca da atracado gravitacional exercida sobre o satélite ou nave espacial pelo Sol a Terra ou outro planeta em torno do qual ele viaja Substituindo F GMmr GMmu na Eq 1237 obtemos para esse caso du 1 GM 1238 ys u 4 der he onde o membro do lado direito é uma constante 1 Analisando o movimento de satélites e espagonaves A solucio da equacao dife rencial 1238 define a trajetéria de um satélite ou espagonave Ela foi obtida na Segao 1212 e foi dada nas formas alternativas 42M Lo cos 0 22 My 8 1239 1239 ro Re cos ou re COS 639 12 Lembrese de que ao aplicarem essas equagées 8 0 corresponde sempre ao perigeu 0 ponto de aproximacéo mais proximo da trajet6ria Fig 1219 e que h é uma constante para uma dada trajet6ria Dependendo do valor da excentricidade a trajetéria sera uma hipérbole uma para bola ou uma elipse a 1 A trajetoria é uma hipérbole de modo que para este caso a espagonave nunca retorna ao seu ponto de partida b 1 A trajetoria é uma pardbola Este é 0 caso limite entre trajetérias abertas hiperbélicas e fechadas elipticas Tinhamos observado para este caso que a velocidade v no perigeu é igual a velocidade de escape v 2GM Vo Vese 1243 0 Observe que a velocidade de escape é a menor velocidade para a qual a espagonave nao retoma ao seu ponto de partida c 1 A trajetoria é uma orbita eliptica Para problemas que envolvem érbitas elipticas vocé pode achar que a relacgéo deduzida no Problema 12102 1 1 2GM rm TY h vai ser til para a solucao de problemas subsequentes Quando aplicar esta equagao lembrese de que ry 7 sao as distancias do centro de forga ao perigeu 6 0 e ao apogeu 6 180 respec tivamente que h rjv rv e que para um satélite orbitando a Terra GM gR onde R é o raio da Terra Recorde também que a trajetéria é um circulo quanto 0 2 Determinando o ponto de impacto de uma espacgonave em descida Para proble mas deste tipo vocé pode considerar que a trajetéria é eliptica e que o ponto inicial da trajetéria de descida é 0 apogeu do percurso Fig 1222 Observe que no ponto de impacto a distancia r nas Eqs 1239 e 1239 é igual ao raio R do corpo no qual a espagonave pousa ou colide Além disso temos h Rv sen onde v é a velocidade escalar da espagonave no impacto e é 0 an gulo que sua trajet6ria forma com a vertical no ponto de impacto 3 Calculando o tempo para viajar entre dois pontos de uma trajetoria Para um movimento sob a acao de forga central o tempo t necessdrio para particula percorrer uma parte de sua trajetoria pode ser determinado recordando da Secao 129 que a taxa na qual area é varrida por unidade de tempo pelo vetor de posicao r é igual 4 metade da quantidade de movimento an gular por unidade de massa h da particula dAdt h2 Como h é uma constante para uma dada trajet6ria seguese que a 2A h onde A é a area total varrida no tempo t a No caso de uma trajetoria eliptica o tempo necessério para completar uma 6érbita é chamado de periodo e é expresso como 2aab r 1245 h onde a e b sao os semieixos maior e menor respectivamente da elipse e estio relacionados as distancias ry e 7 por 1 a 3 1 e b Vrori 1246 1247 b A terceira lei de Kepler fornece uma relacao conveniente entre os periodos de dois satélites que descrevem 6rbitas elipticas em torno do mesmo corpo Segao 1213 Representando os semieixos maiores por a d5 respectivamente e os correspondentes periodos por 7 T temos na 7 3 c No caso de uma trajetoria parabolica vocé podera usar a expressio dada na parte interna da capa frontal do livro para uma area parabdlica ou semiparabdlica para calcular o tempo necessdrio para viajar entre dois pontos da trajet6ria OXY 1294 Uma particula de massa m descreve uma cardioide r 11 cos 62 sob uma forga central F voltada para 0 centro de forga O Usando a r Vv Eq 1237 mostre que F é inversamente proporcional ao quadrado m da distancia r da particula ao centro de forga O 7 1295 Uma particula de massa m é langada do ponto A com uma veloci dade inicial v perpendicular a OA e se move sob a agao de uma forga central F ao longo de uma trajet6ria eliptica definida pela equacio r r2 cos 6 Usando a Eq 1237 mostre que F é inversamente proporcional ao quadrado da distancia r da particula ao centro de forga O 1296 Umaparticula de massa m descreve uma trajet6ria definida pela equa Figura P1294 cao r ry sen 6 sob uma forga central F voltada para o centro de forga O Usando a Eq 1237 mostre que F é inversamente proporcional a quinta poténcia da distancia r da particula ao centro de forga O r my 1297 Para o Problema 1276 e usando a Eq 1237 mostre que F é pro v porcional a distancia r da particula ao centro de forga O a pvp 1298 Foi observado que durante o primeiro sobrevoo da Terra feito pela A mm espaconave Galileu sua altitude minima foi de 960 km acima da su o F perficie da Terra Considerando que a trajetéria da espagonave era é parabélica determine a velocidade maxima da Galileu durante esse A seu primeiro sobrevoo da Terra 1299 Quando uma sonda espacial que se aproxima do planeta Vénus em uma trajet6ria parabdlica atinge o ponto A mais préximo do planeta rp sua velocidade é diminuida para que ela seja inserida em uma orbita circular Sabendo que a massa e o raio de Vénus siio 487 X 10 kg Figura P1295 e 6052 km respectivamente determine a a velocidade da sonda quando ela se aproxima de A b a diminuicao da velocidade necess B ria para inserila em uma 6rbita circular 12100 Foi observado que durante o seu segundo sobrevoo da Terra a espa conave Galileu tinha uma velocidade de 14 X 10 ms quando atingiu sua altitude minima de 300 km acima da superficie da Terra Deter LE mine a excentricidade da trajet6ria da espagonave durante essa parte a de seu voo A 12101 Foi observado que quando a espaconave Galileu atingiu o ponto de sua trajetéria mais proximo de Io uma lua do planeta Jupiter ela es tava a uma distancia de 2800 km do centro de Io e tinha uma veloci a dade de 15 X 10 ms Sabendo que a massa de Io é 001496 vezes a massa da Terra determine a excentricidade da trajet6ria da espago se nave quando ela se aproximou de Io 280 km s Figura P1299 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 747 12102 Um satélite descreve uma trajetéria eliptica em torno de um planeta de massa M Representando por r r respectivamente os valores minimo e maximo da distancia r do satélite ao centro do planeta de duza a relacao a 1 1 2GM 4 To ry h2 O A B onde h é a quantidade de movimento angular por unidade de massa do satélite 12103 No momento do corte do motor principal em seu décimo terceiro voo 0 6nibus espacial Discovery estava em uma Orbita eliptica de altitude minima de 64 km e altitude maxima de 538 km acima da su l perficie da Terra Sabendo que no ponto A 0 6nibus tinha uma veloci Figura P12102 dade v paralela 4 superficie da Terra e que foi transferido para uma 6rbita circular quando passou pelo ponto B determine a a veloci dade escalar v do 6nibus em A b 0 aumento em velocidade escalar y necessaria em B para inserir o 6nibus na 6rbita circular Vs y R 6370 km 12104 Uma sonda espacial descreve uma 6rbita circular em torno de uma Pee 1 planeta de raio R A altitude da sonda acima da superficie do planeta WEF B é aR e sua velocidade escalar é vy Para inserir a sonda em uma orbita 5 eliptica que a trara mais préximo do planeta sua velocidade escalar IS iY foi reduzida v para Buy onde B 1 disparando seus motores porum 64 kn 538 km curto intervalo de tempo Determine o menor valor admissivel de B se a sonda nao se choca com a superficie do planeta Figura P12103 12105 A medida que descreve uma 6rbita eliptica ao redor do Sol uma espago nave alcanga uma distancia maxima de 323 X 10 km do centro do Sol no ponto A chamado de afélio e uma distancia minima de 147 X 10 km no ponto B chamado de periélio Para inserir a espagonave em uma érbita elfptica menor com afélio A e periélio B onde A e B esto localizados a 263 X 10 km e 137 X 10 km respectivamente do centro do Sol a velocidade escalar da espagonave é em primeiro lugar redu zida quando ela passa por A e a seguir reduzida ainda mais quando ela passa por B Sabendo que a massa do Sol é 3328 X 10 vezes a massa da Terra determine a a velocidade escalar da espagonave em A b as quantidades em que a velocidade escalar da espagonave deve ser reduzi da em A e B para que ela seja inserida na 6rbita eliptica desejada 6 147 X 10km 323 X 10km Se 263 X 10km i 137 X 10km Figura P12105 748 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Trajet6ria de aproximagao 12106 Uma sonda espacial esta em uma 6rbita circular de 8960 km de raio ao redor do planeta Vénus em um plano especificado Quando a son da alcanga A 0 ponto de sua trajetéria inicial mais préximo de Vénus ela é inserida em uma primeira 6rbita elfptica de transferéncia redu da orbit zindo sua velocidade escalar em Av Essa 6rbita leva a sonda ao pon egunda orbita de c B locidade muito reduzida Ali a sonda é inserida em transferéncia g 969 km to B com uma velocidade muito reduzida Ali a sonda é inserida e Bee i AL uma segunda 6rbita de transferéncia localizada no plano especifica oe do mudando a diregao de sua velocidade e reduzindo ainda mais sua oD velocidade escalar em Av Finalmente quando a sonda atinge 0 pon to C ela é inserida na 6rbita circular desejada reduzindose sua velo cidade escalar em Av Sabendo que a massa de Vénus é 082 vezes a massa da Terra que r 149 X 10kme r 304 X 10 km e que a Primeira 6rbita de transferéncia sonda se aproxima de A em uma trajetoria parabdlica determine em rR 1 quanto a velocidade escalar da sonda deve ser reduzida a em A b Figura P12106 em B c emC 12107 Paraa sonda do Problema 12106 sabese que r 149 X 10 kme que sua velocidade escalar é reduzida em 6000 ms quando ela passa por A Determine a a distancia do centro de Vénus ao ponto B e b as quantidades em que a velocidade escalar da sonda deve ser reduzi da em B e C respectivamente Ag ha Jy hB3B 12108 Determine o tempo necessario para a sonda espacial do Problema 12106 viajar de A para B em sua primeira 6rbita de transferéncia 12109 A espaconave Clementine descreveu uma 6rbita eliptica de altitude minima h 400 km e de altitude maxima de h 2940 km acima da superficie da Lua Sabendo que o raio da Lua é de 1737 km e que Figura P12109 sua massa é 001230 vezes a massa da Terra determine 0 perfodo da espagonave 12110 Uma sonda espacial em uma 6rbita baixa na Terra é inserida numa ry 1075 X 10km Venus no momento 6rbita de transferéncia eliptica para o planeta Vénus Sabendo que dachegada a massa do sol é 3328 X 10 vezes a massa da Terra e consideran 5 do que a sonda é submetida apenas a atracgio gravitacional do Sol re 1468 x 10 km determi alor de que define a posiao relativa de Vénus com ens no etermine 0 v q posig momento relagdo 4 Terra no momento que a sonda é inserida na 6rbita de da inserga transferéncia i Sol VW 12111 Com base em observagées feitas durante a aparigio de 1996 do co meta Hyakutake concluiuse que a trajetéria desse cometa é uma elipse muito alongada para a qual a excentricidade é de aproxima 7 Jay damente 0999887 Sabendo que para essa aparigaio de 1996 a Terra no momento da insergao distancia minima entre 0 cometa e o Sol era de 0230R onde R 6a Figura P12110 distancia média do Sol a Terra determine o perfodo do cometa 12112 Ocometa Halley viaja em uma orbita elfptica alongada cuja distancia minima do Sol é aproximadamente 4r onde r 150 X 10 km éa distancia média do Sol 4 Terra Sabendo que o periodo do cometa Halley é cerca de 76 anos determine a maxima distancia do Sol al cangada pelo cometa 12113 Determine o tempo necessario para uma sonda espacial do Problema 1299 viajar de B para C 12114 Uma sonda espacial esta descrevendo uma 6rbita circular de raio nR com uma velocidade escalar v ao redor de um planeta de raio R e Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 749 centro O Quando ela passa pelo ponto A sua velocidade escalar é reduzida de vy para Buy onde B 1 para ser inserida em uma traje KQa 1737 km t6ria de impacto Expresse em termos de n e B 0 Angulo AOB onde B representa o ponto de impacto da sonda sobre o planeta A Ja B J 12115 Antes das missGes Apollo para a Lua vérias espacgonaves Lunar ee Orbiter foram utilizadas para fotografar a superficie lunar a fim XS de obter informagées a respeito de possiveis locais para pouso Na conclusao de cada missio a trajetéria da espagonave era ajustada de modo que a espagonave colidisse com a Lua para estudar ainda 170k 3600 km mais as caracteristicas da superficie lunar A 6rbita elfptica do Lu m nar Orbiter 2 é mostrada na figura Sabendo que a massada Luaé Figura P12115 001230 vezes a massa da Terra determine em quanto a velocidade escalar dessa espaconave deve ser reduzida no ponto B de modo que ela colida na superficie lunar no ponto C Dica O ponto B é 0 apogeu da trajetéria elfptica de impacto 4 YB 12116 Ao aproximarse do planeta Jupiter uma nave espacial libera uma sonda SS que entra na atmosfera do planeta no ponto B a uma altitude de 450 km YA acima da superficie do planeta A trajetéria da sonda é uma hipérbole OY see de excentricidade 1031 Sabendo que 0 raio e a massa de Jupiter ie A sio 71492 X 10 km e 19 X 10 kg respectivamente e que a veloci 7 a dade v da sonda em B forma um Angulo de 829 com a direcgao AO in le determine a 0 Angulo AOB b a velocidade escalar v da sonda em B 12117 Um 6nibus espacial esta descrevendo uma 6rbita circular a uma al titude de 560 km acima da superficie da Terra Quando passa pelo 708 x 10 km ponto A ele aciona seu motor por um curto intervalo de tempo para Figura P12116 reduzir em 150 ms sua velocidade escalar e comega sua descida para a Terra Determine o Angulo AOB de modo que a altitude do 6nibus 560 km espacial no ponto B seja de 120 km Dica O ponto A é 0 apogeu da érbita elfptica de descida ms 12118 Um satélite descreve uma 6rbita elfptica em torno de um planeta Representando por ry e r as distancias correspondentes respectiva yen A mente ao perigeu ao apogeu da 6rbita mostre que a curvatura da 380 s yy 6rbita em cada um desses pontos pode ser expressa como er R 11 1 4d p 2ro 17 12119 a Expresse a excentricidade da érbita eliptica descrita por um sa R 6370 km télite em torno de um planeta em termos das distancias r er cor Figura P12117 respondentes respectivamente ao perigeu e ao apogeu da 6rbita D Use o resultado obtido na parte a e os dados fornecidos no Problema 7 12111 onde R 1496 X 10 km para determinar a distancia maxi ma aproximada do Sol atingida pelo cometa Hyakutake 12120 Mostre que o momento angular por unidade de massa h de um satéli O te que descreve uma 6rbita elfptica de semieixo maior a e excentrici A B dade e em torno de um planeta de massa M pode ser expresso como h VGMa1 12121 Deduza a terceira lei do movimento planetario de Kepler das Eqs o 1239 e 1245 Figura P12118 e P12119 Este capitulo foi dedicado a segunda lei de Newton e a sua aplicagéo na andlise do movimento de particulas Segunda lei de Newton Representando por m a massa de uma particula por F a soma ou re sultante das forgas que atuam sobre a particula e por a a aceleragao da particula relativa a um sistema de referéncia newtoniano Secao 122 escrevemos 2F ma 122 Quantidade de Introduzindo a quantidade de movimento linear de uma particula movimento linear L mv Secao 123 vimos que a segunda lei de Newton também pode ser escrita sob a forma SF L 125 que expressa que a resultante das forgas que atuam sobre uma particula é igual a taxa de variagdo da quantidade de movimento linear dessa particula Sistema consistente de A Eq 122 é valida somente se um sistema consistente de unidades é unidades usado Com unidades do SI as forgas devem ser expressas em newtons as massas em quilogramas e as aceleragdes em ms Seao 124 Equacées do movimento Para resolver um problema envolvendo 0 movimento de uma particula para uma particula 2 Eq 122 pode ser substituida por equagdes que contenham quantida des escalares Segao 125 Usando componentes retangulares de F e a escrevemos F ma F ma F ma 128 Usando componentes tangencial e normal temos dv v YF m F m 129 Equilibrio dindmico Verificamos também Segao 126 que as equagdes de movimento de uma particula podem ser substituidas por equacdes semelhantes as equagdes de equilibrio usadas na estatica se um vetor ma de intensidade ma mas de sentido oposto ao da aceleracao for adicionado as forgas aplicadas a particula dizse entao que a particula esté em equilibrio dindmico Para manter a uniformidade entretanto todos os Problemas Resolvidos foram solucionados usando as equagées de movimento em primeiro lu gar com componentes retangulares Problemas Resolvidos 121 a 123 e em seguida com componentes tangencial e normal Problemas Resol vidos 124 e 125 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 751 Na segunda parte do capitulo definimos a quantidade de movimento an gular H de uma particula em relagao a um ponto O como 0 momento em relagaio a O da quantidade de movimento linear mv dessa particula Segao 127 Escrevemos Quantidade de movimento angular Ho r X mv 1212 y e verificamos que H é um vetor perpendicular ao plano que contém r e mv Fig 1222 e de intensidade Ho mv Ho rmv send 1213 é P Decompondo os vetores r e mv em componentes retangulares expres O T samos a quantidade de movimento angular H sob a forma de um deter x minante ij ek Ho x y z 1214 Figura 1224 mv mv mov No caso de uma particula movendose no plano xy temos z v 0 A quantidade de movimento angular é perpendicular ao plano xy e é intei ramente definida por sua intensidade Escrevemos Ho Hz mxvy yrx 1216 Calculando a taxa de variagao Ho da quantidade de movimento linear H Taxa de variacao da e aplicando a segunda lei de Newton escrevemos a equagiao quantidade de movimento angular Mo Ho 1219 que estabelece que a soma dos momentos em relagdao a O das forgas que atuam sobre uma particula é igual a taxa de variagao da quantidade de movimento angular dessa particula em relagao a O Em muitos problemas que envolvem o movimento plano de uma particu Componentes radial e la verificase que é conveniente empregar os componentes radial e trans transversal versal Secao 128 e Problema Resolvido 127 e escrever as equacdes F mii ré 1221 Fy mrO 276 1222 Quando a tinica forga que atua sobre uma particula P é uma forga F diri Movimento sujeito a uma gida para ou afastandose de um ponto fixo O dizse que a particula est forea central se movendo sob a agdo de uma forga central Segao 129 Como XM 0 em qualquer instante dado seguese da Eq 1219 que Ho 0 para to dos os valores de t e portanto que Ho constante 1223 Concluimos que a quantidade de movimento angular de uma particula que se mova sob a agdo de uma forga central é constante tanto em inten sidade como em diregao e sentido e que a particula se move em um plano perpendicular ao vetor Ho 752 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica mv Recordando a Eq 1213 escrevemos a relagiio b rmv sen rymvy sen do 1225 P para o movimento de qualquer particula sob a agao de uma forga central r mvo Fig 1225 Usando coordenadas polares e recordando a Eq 1218 b obtivemos também 0 O o Po réh 1227 onde h é uma constante que representa a quantidade de movimento an Figura 1225 gular por unidade de massa Hm da particula Observamos Fig 1226 que a area infinitesimal dA varrida pelo raio vetor OP quando este gira 2 em dé é igual a jrd6 e portanto que o membro do lado esquerdo da Eq 1227 representa 0 dobro da velocidade areolar dAdt da particula Portanto a velocidade areolar de uma particula que se move sob a agao de uma fora central é constante rdé dA P dé F b O Figura 1226 Lei de Newton da Uma aplicagaio importante do movimento sob a aco de uma fora cen gravitacdo universal tral é dada pelo movimento orbital de corpos sob a agao da atragao gra vitacional Seaio 1210 De acordo com a lei de Newton da gravitagao universal duas particulas a uma distancia r uma da outra e de massas M e m respectivamente atraemse mutuamente com forgas iguais e opostas F e F dirigidas ao longo da linha que une essas particulas Fig 1227 A intensidade comum F das duas foras é Mm YD Fc 1227 m r r if onde G é a constante de gravitagaéo No caso de um corpo de massa m So sujeito atraco gravitacional da Terra o produto GM onde M é a massa 4 F da Terra pode ser expresso como p2 M GM gR 1229 Figura 1227 onde g 981 ms e R éo raio da Terra Movimento orbita Foi mostrado na Segao 1211 que uma particula que se move sob a agao de uma forca central descreve uma trajetoria definida pela equagao diferencial Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 753 du F aT u 1237 de mhu onde F 0 corresponde a uma forga de atragao e u Ir No caso de uma particula movendose sob a aco de uma forga de atragio gravita m s cional Segao 1212 substituimos F pela expressdo dada na Eq 1228 G0 Be 4 Medindo 6 a partir do eixo OA que liga 0 ponto focal O ao ponto A da wa t ee x oO Gy Ta trajetéria mais proximo de O Fig 1228 encontramos que a solugao da oe Eq 1237 é we CM C 0 1239 u cos r h Esta é a equagao de uma cénica de excentricidade ChGM A conica Figure 1228 é uma elipse se e 1 uma parabola se e 1 e uma hipérbole se e 1 As constantes C e h podem ser determinadas a partir das condigGes iniciais se a particula for langada do ponto A 6 0 r ry com uma velocidade inicial v perpendicular a OA temos h ryv Problema Resolvido 128 Também foi mostrado que os valores da velocidade inicial que corres Welocidade de escape pondem respectivamente a uma trajetéria parabolica e a uma trajetéria circular sao 2GM Vese 4f 7 1243 Y0 GM Vcire a 1244 Yo e que o primeiro desses valores chamado de velocidade de escape é 0 menor valor de v para o qual a particula nao vai retornar ao seu ponto de partida O pertodo de um planeta ou satélite foi definido como 0 tempo neces Periodo sdrio para o corpo descrever sua 6rbita Foi mostrado que 2Qarab T 1245 h onde h rjvye onde a e b representam os semieixos maior e menor da orbita Foi mostrado além disso que esses semieixos sao respectivamen te iguais 4s médias aritmética e geométrica dos valores minimo e maxi mo do raio vetor r A tltima segao do capitulo Segao 1213 apresentou as leis de Keplerde Leis de Kepler movimento planetdrio e mostrou que essas leis empiricas obtidas por antigas observagGes astrondmicas confirmam as leis de Newton do movi mento assim como sua lei da gravitagio 12122 Um automédvel de 1500 kg esta descendo a uma inclinacao de 5 com velocidade de 80 kmh quando os freios sao aplicados gerando uma A 3 oY forga total de frenagem de 6 kN a ser aplicado no automével Deter mine a distancia percorrida pelo automével até ele parar a 12123 Um bloco B de 6 kg descansa em um suporte A como mostrado na figura Os coeficientes de atrito sio pw 030 e uw 025 entre o g S k bloco B e o suporte A e nao ha atrito na roldana ou entre o suporte e Figura P12123 a superficie horizontal 2 Determine a maior massa do bloco C se o bloco B nao desliza sobre 0 suporte A b Se a massa do bloco C é 10 maior que a resposta encontrada em a determine a aceleracao de A BeC 12124 Obloco A tem massa de 10 kg e os blocos B e C de 5 kg cada Sabendo que os blocos est4o inicialmente em repouso e que B percorre uma distancia de 24 m em 2 s determine a a intensidade da forga P b a sD tragéio na corda AD Despreze as massas das roldanas e 0 atrito no eixo 12125 Um bloco B de 6 kg repousa tal como mostra a figura sobre a su perficie superior de uma cunha A de 15 kg Desprezando o atrito determine imediatamente depois que o sistema é solto a partir do A a repouso a a aceleracio de A e b a aceleragio de B relativa a A 12126 A pista de montanharussa mostrada na figura esta contida em um P plano vertical A parte da pista entre A e B é reta e horizontal en quanto as partes 4 esquerda de A e a direita de B tém raios de cur Figura P12124 vatura como indicado na figura O carro A esté se movendo a uma velocidade escalar de 72 kmh quando os freios sio repentinamente acionados fazendo com que as rodas do carro deslizem sobre a pista wu 025 Determine a desaceleragio inicial do carro se os freios so acionados quando ele a esta quase chegando em A b esta se movendo entre A e B c acabou de passar por B A S p 30m B r 15 kg As A B 30 Figura P12125 p45m Figura P12126 Capitulo 12 Cinemdtica de particulas a segunda lei de Newton 755 12127 Um pequeno colar C de 200 g desliza em uma haste semicircular aim que é colocada para girar sobre a vertical AB a uma taxa constante an de 6 rads Determine o valor minimo requerido do coeficiente de B atrito estatico entre o colar e a haste se o colar nao desliza quando a 6 90 b 8 75 c 45 Indique em cada caso a diregao do movimento iminente r 600 mm Lf 12128 Opino B de 110 g desliza ao longo da fenda no brago giratério OC e OF ao longo da fenda DE de raio b 500 mm que foi aberta em um pla eA C no horizontal fixo Desprezando o atrito e considerando 15 rads 200 g e 250 rads para a posicaio 6 20 determine para esta posigéo a os componentes radial e transversal da forga resultante exercida sobre o pino B b as forgas P e Q exercidas sobre 0 pino B respecti A vamente pelo brago OC e pela parede da fenda DE rr a Figura P12127 Se 6 e a Wi ie 5 DG E Figura P12128 12129 Uma particula de massa m é langada do ponto A com uma veloci dade inicial v perpendicular 4 linha OA e se move sob a agiio da forga central F dirigida para fora do centro de forga O Sabendo que a particula segue uma trajetoria definida pela equacao r rcos 20 e usando a Eq 1227 expresse os componentes radiais e transversais da velocidade v da partfcula em fungao do Angulo 0 Vv A xe A Figura P12129 12130 Mostre que o raio r da 6rbita da Lua pode ser determinado pelo raio R da Terra a aceleragio da gravidade g na superficie da Terra e o tempo T necessario para lua completar um volta em torno da Terra Calcule r sabendo que tT 273 dias dando a resposta no sistema internacional SI 756 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 12131 Odisco A gira em um plano horizontal em torno de um eixo vertical a uma taxa constante 9 12 rads O cursor B tem uma massa de 230 g e se movimenta em uma fenda sem atrito aberta no disco O cursor é preso a uma mola de constante k que nao esté deformada quando r 0 Sabendo que o cursor é liberado sem velocidade radial na posi cao r 380 mm determine a posigao do cursor e da forga horizontal exercida sobre ele pelo disco em t 01 s para a k 33 Nm b k 48 Nm ZA O So A E es Mola 9 U Figura P12131 12132 Foi observado que quando a nave espacial Voyager I alcanga o ponto mais proximo do planeta Saturno sua distancia do centro do planeta foi de 185 X 10 kme que tinha uma velocidade de 21 kms Sabendo que Tethys uma das luas de Saturno descreve uma 6rbita circular de raio 295 X 10 km a uma velocidade escalar de 1135 kms determine a ex centricidade da trajetéria da Voyager I em sua aproximagio de Saturno 12133 No momento do corte do motor principal o 6nibus tinha alcangado o ponto A numa altitude de 64 km acima da superficie da Terra e tinha uma velocidade horizontal v Sabendo que sua primeira 6rbita foi elfptica e que o 6nibus foi transferido para uma 6rbita circular quando passou pelo ponto B numa altitude de 270 km determine a o tempo necessdrio para o 6nibus viajar de A para B em sua 6rbita elfptica original b 0 periodo do 6nibus em sua 6rbita circular final Vo A R 6370 km Vs I C4 4 80 km 270 km Figura P12133 PROBLEMAS PARA RESOLVER NO COMPUTADOR 12C1 Obloco B de massa 10 kg esta inicialmente em repouso tal como mos tra a figura sobre a superficie superior de uma cunha A de 20 kg que esta apoia da sobre uma superficie horizontal Um bloco C de 2 kg esta preso ao bloco B S por uma corda que passa por uma roldana de massa desprezivel Usando um 30 programa de computador e representando por po coeficiente de atrito em todas as superficies calcule a aceleracio inicial da cunha e a aceleragio inicial do bloco Ee B relativa 4 cunha paia valores de yw 0 Use incrementos de 001 para mw até A que a cunha nao se mova mais e entéo use incrementos de 01 até que nenhum A movimento ocorra 12C2 Um pequeno bloco de 500 g esté em repouso no ponto mais alto de uma superficie cilindrica E dada ao bloco uma velocidade inicial v de intensida Figura P12C1 de de 3 ms que faz com que ele escorregue sobre a superficie cilindrica Usando um programa de computador calcule e trace um grafico dos valores de 6 para os quais o bloco deixa a superficie em fungio de valores de jx coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superficie de 0 a 04 12C3 Um bloco de massa m é preso a uma mola de constante k O bloco é solto a partir do repouso quando a mola esta em uma posicao horizontal e nao deformada Use um programa de computador para determinar por varios valo 9 res selecionados de km e rp a o comprimento da mola e a intensidade diregiao vy e sentido da velocidade do bloco quando ele passa diretamente sob 0 ponto por om onde a mola esta suspensa b 0 valor de km quando r 1 m para o qual essa velocidade é horizontal a CVWW r Figura P12C2 Figura P12C3 12C4 Use um programa de computador para determinar os intervalos dos valores de para os quais o bloco E do Problema 1258 nao deslize na fenda semicircular da placa plana Considerando um coeficiente de atrito de 035 de termine os intervalos dos valores quando a taxa de rotacao constante da placa é a 14 rads b 2 rads 12C5 Use um programa de computador para determinar o tempo requerido por uma nave espacial para viajar entre dois pontos em sua trajetéria tanto para 0 apogeu quanto para o perigeu da trajetéria e a velocidade escalar da nave espa cial nesse ponto Use esse programa para determinar a o tempo necessério para o Lunar Orbiter 2 no Problema 12115 para viajar entre os pontos B e C em sua trajetoria de impacto sabendo que a velocidade escalar do orbitador é 8694 ms quando inicia sua descida em B b 0 tempo necessario para 0 6nibus espacial no Problema 12117 viajar entre os pontos B e C na sua trajetéria de pouso sabendo que a velocidade escalar do 6nibus é 7310 ms quando inicia sua descida em A Uma bola de golfe irá se deformar com o impacto como mostrado por esta fotografia de alta velocidade A máxima deformação ocorrerá quando a velocidade da cabeça do taco e a velocidade da bola forem as mesmas Neste capítulo os impactos serão analisados usando o coeficiente de restituição e conservação da quantidade de movimento linear A cinética de partículas usando os métodos de energia e quantidade de movimento é o assunto deste capítulo BeerDinamica13indd 758 BeerDinamica13indd 758 050712 1419 050712 1419 Cinética de partículas métodos de energia e quantidade de movimento C A P Í T U L O BeerDinamica13indd 759 BeerDinamica13indd 759 050712 1419 050712 1419 760 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica V3 Cinética de particulas 131 Introducao métodos de energia e No capitulo anterior a maioria dos problemas que tratavam do movi quantidade de movimento mento de particulas foi resolvida com o uso da equagio fundamental do v movimento F ma Dada uma particula submetida a agao de uma forca 131 Introdugdo F pudemos resolver essa equagiio para a aceleraciao a entio aplicando 132 Trabalho de uma forga os principios da Cinematica pudemos determinar a partir de a a veloci 133 Energia cinética de uma dade e a posigao da particula em qualquer instante particula Principio de O emprego da equacao F ma em conjunto com os principios da ci trabalho e energia nematica permitenos obter dois métodos adicionais de anélise 0 método 134 A aplicagao do principio de trabalho e energia e 0 método de impulso e quantidade de movimento de trabalho energia A vantagem desses métodos reside no fato de que eles tornam desne 135 Poténcia e eficiéncia cessdria a determinacao da aceleragio De fato o método de trabalho e 136 Energia potencial ia relaciona diretamente forga massa velocidade e deslocamento 137 Forgas conservativas cnenga Terenas vd ane 1 a id d laci 138 Conservagéo da energia ao passo que o método de impulso e quantidade de movimento relaciona 139 Movimento sob uma forga massa velocidade e tempo forca central conservativa O método de trabalho e energia sera considerado em primeiro lugar Aplicagéo mecdnica Nas Segdes de 132 a 134 0 trabalho de wma forea e aenergia cinética de espacial uma particula sao discutidos e o principio de trabalho e energia é apli 1310 Principio de impulso e cado solugao de problemas de engenharia Os conceitos de poténcia e quantidade de movimento eficiéncia de uma maquina sao introduzidos na Segao 135 1311 Movimento impulsivo As Secées de 136 a 138 sao dedicadas ao conceito de energia poten 1312 Impacto cial de uma forga conservativa e a aplicagao do principio de conservagao 1313 Impacto central direto da energia a diversos problemas de interesse pratico Na Segao 139 os 1314 Impacto central obliquo princfpios de conservacao da energia e de conservacao da quantidade de 1315 Problemas envolvendo movimento angular sao usados em conjunto para resolver problemas de energia e quantidade mecAnica espacial de movimento A segunda parte do capitulo é dedicada ao princfpio de impulso e 5 quantidade de movimento e suas aplicagdes ao estudo do movimento de uma particula Como vocé vera na Segio 1311 0 principio é particular mente eficaz no estudo do movimento impulsivo de uma particula onde grandes forcas sao aplicadas durante um intervalo de tempo muito curto Nas Segées de 1312 a 1314 0 impacto central de dois corpos sera considerado Mostrarse que existe uma certa relacao entre as velocida des relativas dos dois corpos em colisao antes e depois do impacto Essa relaco juntamente com o fato de que a quantidade de movimento total dos dois corpos se conserva pode ser usada para resolver varios proble mas de interesse pratico Finalmente na Segao 1315 vocé aprendera a selecionar dentre os trés métodos essenciais apresentados nos Caps 12 e 13 o mais adequado a solugao de um dado problema Vocé também vera como 0 principio de conservagio da energia e o método de impulso e quantidade de movi mento podem ser combinados para a soluco de problemas que envolvem apenas forcas conservativas exceto por uma fase de impacto curta em que as forgas impulsivas também precisam ser levadas em consideracao 132 Trabalho de uma forca Definiremos em primeiro lugar os termos deslocamento e trabalho da maneira como sfio usados em Mec4nica Considere uma particula que A definicdo de trabalho foi dada na Segdo 102 e as propriedades basicas do trabalho de uma forca foram delineadas nas Segdes 102 e 106 Por conveniéncia repetimos aqui as partes daquele material relacionadas a cinética de particulas Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 761 F dr Nt f QA A rdr O Figura 131 se move de um ponto A em direcado a um ponto vizinho A Fig 131 Se r representa 0 vetor posigaéo correspondente ao ponto A 0 pequeno vetor que liga A e A pode ser representado pela diferencial dr 0 vetor dr é denominado deslocamento da particula Vamos agora admitir que uma forga F esteja atuando sobre a particula O trabalho da forga F cor respondente ao deslocamento dr é definido pela grandeza dU F dr 131 obtida efetuandose o produto escalar entre a forga F e o deslocamento dr Representando por F e ds respectivamente os médulos da forga e do deslocamento e por a o Angulo formado por F e dr e relembrando a definico do produto escalar de dois vetores Segao 39 escrevemos dU F ds cosa 131 Usando a Eq 330 podemos também expressar o trabalho dU em ter mos dos componentes retangulares da forga e do deslocamento dU F dx F dy F dz 131 Por ser uma grandeza escalar 0 trabalho tem uma intensidade e um sinal mas nfo uma direaio Notemos também que ele pode ser expresso em unidades obtidas do produto das unidades de comprimento pelas unida des de forga No SI 0 trabalho deve ser expresso em N m A unidade de trabalho N m é chamada de joule J Resulta de 131 que o trabalho dU é positivo se 0 Angulo a for agudo e negativo se a for obtuso Trés casos particulares sio de especial interesse Se a forga F possui o mesmo sentido que dr o trabalho dU reduzse a F ds Se F tem um sentido oposto ao de dr 0 trabalho é dU F ds Final mente se F é perpendicular a dr 0 trabalho dU é nulo O trabalho de F durante um deslocamento finito da particula de A até A Fig 132a é obtido por integragao da Eq 131 ao longo da tra jet6ria descrita pela particula Esse trabalho representado por U é O joule J é a unidade de energia do SI seja na forma mecfnica trabalho energia po tencial energia cinética ou nas formas quimica elétrica ou térmica Devemos notar que embora N m J o momento de uma forga deve ser expresso em N m e nao em joules pois o momento de uma forca nao é uma forma de energia 762 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica dr Ag U1 42 F dr 132 4 So d i Ze A x a Usando a equagio alternativa 131 para o trabalho elementar dU e ta observando que F cos a representa o componente tangencial F da forga re F podemos também expressar o trabalho U como Sy So So Uy 2 F cos a ds F ds 132 O a S Sy onde a variavel de integraco s mede a distancia percorrida pela particula i ao longo da trajetoria O trabalho U 6 representado pela dérea sob a curva obtida plotando F F cos a em fungao de s Fig 132b Quando a forga F é definida pelos seus componentes retangulares a Eq 131 pode ser usada para o trabalho elementar Escrevemos entao O Sy Sg Ss Ui F dx F dy F dz 132 Figura 132 Ay sendo a integracao efetuada ao longo da trajetoria descrita pela particula Trabalho de uma forga constante em movimento retili neo Quando uma particula movendose em linha reta é submetida a acio por uma forga F de intensidade e direcao constantes Fig 133 a Eq 132 fornece Ay x Ui F cos a Ax 133 Q onde a angulo entre a forga e a diregaio do movimento A 4 Me Ax deslocamento de A até A O Trabalho da forca da gravidade O trabalho do peso W de um Figura 133 corpo isto 6 da forga da gravidade exercida sobre aquele corpo é obtido substituindose os componentes de W em 131 e 132 Escolhendo o eixo y vertical para cima Fig 134 temos F 0 Fy WeF0 e podemos escrever Ww ae dU W dy A Yo wa Uj W dy Wy Wys 134 fe dy yy Lon Ay i 4 T y Uy2 Wy2 yi W Ay 134 a onde Ay é 0 deslocamento vertical de A até A Logo o trabalho do peso W é igual ao produto de W e do deslocamento vertical do centro de gra vidade do corpo O trabalho é positivo quando Ay 0 isto é quando o Figura 134 corpo movese para baixo Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 763 Trabalho da forga exercida por uma mola Considere um corpo A conectado a um ponto fixo B por meio de uma mola admitese que a mola nao esteja deformada quando o corpo esta em Ay Fig 135a fqJA Mola indeformada Evidéncias experimentais mostram que a magnitude da forca F exercida pela mola sobre 0 corpo A é proporcional a deflexao x da mola medida B VAY em relagiio a posicao Ay Temos VA Ly F kx 135 2 www onde k a constante de mola expressa em Nm ou kNm em unidades L x Ay do SI O trabalho da forga F exercida pela mola durante um deslocamento r finito do corpo de A x x até A x x obtido escrevendose L 4 d U F dx kx dx B J4ff444V V J4f4444N LJ X92 2 A U2 kx dx kx kx3 136 n42 Devese ter cuidado ao expressar k e x em unidades consistentes Ob servemos que o trabalho da forga F exercida pela mola sobre 0 corpo F é positivo quando x x isto é quando a mola esté retornando a sua B kx N posicdo indeformada F K Como a Eq 135 é a equagio de uma linha reta de coeficiente an gular k passando pela origem o trabalho U da forga F durante o des locamento de A até A pode ser obtido pelo calculo da area do trapézio mostrado na Fig 135b Isso é feito calculandose F e F e multiplicando FL a base Ax do trapézio pela sua altura média F F J que o trabalho da forcga F exercida pela mola é positivo para um valor negativo de Ax escrevemos Uy oo 3F Fs Ax 136 x X5 x Em geral a Eq 136 é de uso mais conveniente que a 136 e propicia vx menor chance de confusao das unidades envolvidas b oe Figura 135 Trabalho de uma forca gravitacional Vimos na Seco 1210 que 9 duas particulas de massas M e m a uma distancia r entre ambas atraemse mutuamente com forcas iguais e opostas F e F direcionadas ao longo da linha que as une cuja intensidade é Mm FG 2 A relacio F kx correta apenas sob condigées estaticas Sob condigdes dindmicas a formula 135 deve ser modificada para levar em consideracao a inércia da mola Todavia o erro introduzido ao usarse a relacio F kx para a solugdo de problemas cinéticos é pequeno se a massa da mola for pequena em comparagao com as outras Massas em Mo vimento 764 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Consideremos que a particula M ocupe uma posigio O fixa enquanto a RAs particula m se move ao longo da trajetéria mostrada na Fig 136 O tra balho da forga F exercida sobre a particula m durante um deslocamento infinitesimal da particula de A até A pode ser obtido multiplicandose dr YA a intensidade F da forga pelo componente radial dr do deslocamento ry m Como F é orientada para O 0 trabalho é negativo e escrevemos A dU Fdr Getar dé r F A a JA O trabalho da forga gravitacional F durante um deslocamento finito des J ih de A r r até A r r 6 portanto M Za GMm GMm GMm O U 2 dr 137 r 3 ry Figura 136 onde M é a massa da Terra Essa equagio pode ser usada para deter minar o trabalho da forga exercida pela Terra sobre um corpo de massa ma uma distancia r do centro da Terra quando r é maior que o raio R da Terra Retomando a primeira das relagdes 1229 podemos substi tuir o produto GMm da Eq 137 por WR onde R 0 raio da Terra R 637 X 10meWéo peso do corpo na superficie da Terra Diversas forgas frequentemente encontradas em problemas de Ciné tica ndo realizam trabalho Sao forgas aplicadas a pontos fixos ds 0 ou que agem em uma diregao perpendicular ao deslocamento cos a 0 Entre as foras que nao realizam trabalho estado as seguintes a reagdo em um pino sem atrito quando o corpo apoiado gira em torno dele a reagao de uma superficie sem atrito quando 0 corpo em contato movese ao longo da superficie a reagéo de um rolamento que se move ao longo de sua pista e o peso de um corpo quando seu centro de gravidade se move horizontalmente 133 Energia cinética de uma particula Principio de trabalho e energia Considere uma particula de massa m submetida a acdo de uma forga F Ay e que se move ao longo de uma trajetéria que tanto pode ser retilinea F e como curva Fig 137 Expressando a segunda lei de Newton em termos K dos componentes tangenciais da forga e da aceleragio ver Segao 125 m o escrevemos F ma ou F mo Za A Uo onde v a velocidade da particula Relembrando da Segio 119 que ye F v dsdt obtemos du ds dv Figura 137 FP 1s dt MO ds F ds mv dv Integrando desde A onde s s ev U até A onde s sev v escrevemos So vo Fds m v dv mv3 smvji 138 Sy v1 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 765 O primeiro membro do lado esquerdo da Eq 138 representa 0 traba lho U da forga F exercida sobre a particula durante o seu deslocamen to de A até A conforme indicado na Segiio 132 0 trabalho U 6 uma grandeza escalar A expressao dmv também 6 uma grandeza escalar ela é definida como a energia cinética da particula sendo representada por T Escrevemos T 3mv 139 Substituindo em 138 temos Ujg Tz Ty 1310 que expressa 0 seguinte quando uma particula movese de A até A sob a agéo de uma forga F 0 trabalho da forca F é igual 4 variagdo da energia cinética da particula Isso é conhecido como o principio de trabalho e energia Reordenando os termos em 1310 escrevemos T Ul 59 To 1311 Logo a energia cinética da particula em A pode ser obtida adicionando se d sua energia cinética em A o trabalho realizado durante o desloca mento de A até A pela forga F exercida sobre a particula Assim como a segunda lei de Newton da qual foi deduzido o principio de trabalho e energia aplicase somente em relacéo a um referencial newtoniano Segao 122 A velocidade v usada para determinar a energia cinética T deve portanto ser medida em relagdo a um referencial newtoniano Uma vez que tanto o trabalho como a energia cinética sio grandezas escalares sua soma pode ser calculada como uma soma algébrica usual com o trabalho U sendo considerado positivo ou negativo de acordo com o sentido de F Quando diversas forgas agem sobre a particula a expresso U representa o trabalho total das forgas que agem sobre a particula ele é obtido adicionandose algebricamente o trabalho das va rias forgas Conforme observado anteriormente a energia cinética de uma par ticula 6 uma grandeza escalar Além disso da definigao T 4mv resulta que a energia cinética é sempre positiva nio importando o sentido do movimento da particula Considerando o caso particular em que v 0 e U v e fazendo T 0 e T T na Eq 1310 observamos que o trabalho realizado pelas forgas que agem sobre a particula é igual a T Logo a energia cinética de uma particula que se move com velocidade v representa o trabalho que deve ser realizado para levar a particula do repouso até a velocidade v Fazendo T T e T 0 na Eq 1310 no tamos também que quando uma particula que se move com velocidade v é levada ao repouso o trabalho realizado pelas forgas que agem sobre a particula é T Admitindo que nenhuma energia seja dissipada em calor concluimos que o trabalho realizado pelas forcas exercidas pela particu la sobre os corpos que a levam ao repouso é igual a T Logo a energia cinética de uma particula também representa a capacidade de realizar trabalho associada a velocidade da particula A energia cinética 6 medida nas mesmas unidades que o trabalho isto é em joules no SI No SI verificamos que T 5mv kgms kg msm N m J 766 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica oy Ae 5 134 A aplicacdo do principio de trabalho e energia 1 A aplicagio do principio de trabalho e energia simplifica bastante a so lugao de muitos problemas que envolvem forgas deslocamentos e velo AQ cidades Considere por exemplo 0 péndulo OA que consiste em um Aw corpo A de peso W preso a corda de comprimento Fig 1382 O pén Ay Ww dulo é liberado do repouso em uma posigao horizontal OA e posto para a tb oscilar em um plano vertical Queremos determinar a velocidade escalar do corpo quando ele passar por A exatamente abaixo de O Figura 138 Em primeiro lugar determinamos o trabalho realizado durante o deslocamento de A até A pelas forgas que agem sobre o corpo do pén dulo Desenhamos um diagrama de objeto livre do corpo mostrando to das as forgas reais que agem sobre ele isto 6 o peso W e a forga P exer cida pela corda Fig 138b Um vetor de inércia nao é uma forga real e ndo deve ser incluido no diagrama de corpo livre Observamos que a forga P nao realiza trabalho pois é normal a trajetéria logo a tinica forga que realiza trabalho é 0 peso W O trabalho de W é obtido pelo produto da sua intensidade W pelo deslocamento vertical Segao 132 como o deslocamento é para baixo o trabalho é positivo Escrevemos portanto que U WI Considerando agora a energia cinética do corpo do péndulo encon tramos T 0 em A e T Wgv em A Podemos entao aplicar o principio de trabalho e energia relembrando a Eq 1311 escrevemos TUj2T O0We iW 28 Resolvendo para v encontramos 0 V2l Notemos que a velocidade escalar obtida é a mesma de um corpo em queda livre de uma altura l O exemplo que acabamos de considerar ilustra as seguintes vanta gens do método de trabalho e energia 1 A fim de encontrarse a velocidade escalar em A nao ha necessidade de determinar a aceleracéo em uma posiao intermediaria A e inte grar a expressao obtida de A até Ag 2 Todas as grandezas envolvidas sio escalares e podem ser adicionadas diretamente sem o emprego de componentes x e y 3 Forgas que nao realizam trabalho sao eliminadas da solugao do pro blema Entretanto o que é vantagem para um problema pode ser desvan tagem para outro E evidente por exemplo que o método de trabalho e energia nao pode ser usado para determinar diretamente uma acele racio Também é evidente que na determinagao de uma forca que é normal a trajet6ria da particula forga esta que nao realiza trabalho o mé na todo de trabalho e energia deve ser suplementado pela aplicagao direta da segunda lei de Newton Suponha por exemplo que queiramos deter KN LN minar a tracao na corda do péndulo da Fig 138a quando 0 corpo passar AS AS a por A Desenhamos um diagrama de corpo livre do péndulo naquela posigdo Fig 139 e expressamos a segunda lei de Newton em termos de w componentes tangencial e normal As equagdes XF ma e XF ma Figura 139 conduzem respectivamente a Oe W v3 PWma gil Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 767 Mas a velocidade escalar em A foi determinada anteriormente pelo mé todo de trabalho e energia Substituindo v 2l e resolvendo para P escrevemos W 2el PW3W gil Quando um problema envolve duas ou mais particulas 0 principio de trabalho e energia pode ser aplicado a cada particula separadamente Adicionando as energias cinéticas das varias particulas e considerando o trabalho de todas as forgas que agem sobre elas podemos também es crever uma equacao tinica de trabalho e energia para todas as particulas envolvidas Temos T Ujsg To 1311 onde T representa a soma aritmética das energias cinéticas das particulas envolvidas todos os termos sio positivos e U 0 trabalho de todas as forgas que agem sobre as particulas incluindo as forgas de agdo e reagao exercidas pelas particulas entre si Em problemas que envolvem corpos ligados por cordas ou conex6es inextensiveis porém o trabalho das forgas exercidas por uma certa corda ou conexiio sobre os dois corpos ligados por ela se anula pois os pontos de aplicagao dessas forgas se movem por distancias iguais ver Problema Resolvido 132 Como as forgas de atrito tém sentido oposto ao do deslocamento do corpo em que atuam o trabalho das forgas de atrito é sempre negativo Esse trabalho representa a energia dissipada em calor e sempre resulta em um decréscimo da energia cinética do corpo envolvido ver Problema Resolvido 133 135 Poténcia e eficiéncia A poténcia é definida como a taxa temporal de realizacao de trabalho Na selecaéo de uma maquina ou um motor a poténcia é um critério muito mais importante que a quantidade real de trabalho a ser realizado Tanto um pequeno motor como uma grande usina de poténcia podem ser usa dos para fornecer uma dada quantidade de trabalho mas 0 pequeno mo tor pode levar um més para realizar o trabalho feito pela usina em poucos minutos Se AU é 0 trabalho realizado durante o intervalo de tempo At entéo a poténcia média durante aquele intervalo é AU Poténcia média At Fazendo At tender a zero obtemos no limite rrencia oténcia 1312 A aplicacao do método de trabalho e energia a um sistema de particulas é analisada no Cap 14 768 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Substituindo o produto escalar F dr para dU podemos escrever tam bém Poténci dU Fdr oténcia dt dt e relembrando que drdt representa a velocidade v do ponto de aplica cio de F Poténcia F v 1313 Como a poténcia foi definida como a taxa temporal de realizagio de trabalho ela deve ser expressa em unidades obtidas dividindose as uni dades de trabalho pela unidade de tempo Logo no SI a poténcia deve ser expressa em Js essa unidade é denominada watt W Temos IW1Js1Nms Lembrando que se utiliza comumente a unidade hp cavalopoténcia para representar poténcia temse que 1 hp 550 ft lbs Recordando da Sec 132 que 1ft lb 1356 J verificamos que 1 ft Ibs 1356 Js 1356 W 1 hp 5501356 W 746 W 0746 kW A eficiéncia mecanica de uma maquina foi definida na Seco 105 como sendo a razAo entre o trabalho de safda e 0 trabalho de entrada trabalho de saida 1314 1 trabalho de entrada Essa definigao baseiase na hipétese de que o trabalho é realizado a uma taxa constante Logo a razdo entre os trabalhos de safda e de entrada é igual a razio das taxas de realizacao dos trabalhos de safda e de entrada e temos poténcia de saida q poténcia de entrada 1315 Por causa das perdas de energia devidas ao atrito o trabalho de saida é sempre menor que o trabalho de entrada e consequentemente a potén cia de saida é sempre menor que a poténcia de entrada Logo a eficién cia mecanica de uma maquina é sempre menor que 1 Quando uma maquina é usada para transformar energia mecanica em energia elétrica ou energia térmica em energia mecAnica sua efi ciéncia global pode ser obtida a partir da Eq 1315 A eficiéncia global de uma maquina é sempre menor que 1 ela fornece uma medida das diversas perdas de energia envolvidas perdas de energia elétrica ou tér mica assim como perdas por atrito Observe que é necessdrio expressar a poténcia de saida e a poténcia de entrada nas mesmas unidades antes de aplicar a Eq 1315 PROBLEMA RESOLVIDO 131 TH eee ra Um automével de massa 1000 kg é conduzido em um declive de 5 a uma ve f Pe locidade de 72 kmh quando os freios so usados causando uma forga total de frenagem constante de 5000 N aplicada pela estrada sobre os pneus Determine a distancia percorrida pelo automével até ele parar v 72 kmh vo 0 a Freie cae a Energia cinética x km 1000m 1h Posicao 1 v 72 20 ms 9810 N gao f h 1km 3600 s T mv 1000 kg20 ms 20000 J 5 tao De Posicdo 2 vg 0 T20 Trabalho U 5000x 1000 kg981 mssen 5x 4145x 5000 N t Principio de trabalho e energia T Uys T N 200000 4145x 0 x4825m 200 kg PROBLEMA RESOLVIDO 132 A Dois blocos estéo conectados por um cabo inextensivel como mostrado na figura Se o sistema é liberado do repouso determine a velocidade do bloco B A depois que ele se desloca 2 m Admita que 0 coeficiente de atrito cinético 2 entre o bloco A e o plano seja de 025 e que a roldana nao tenha nem r 300 kg peso nem atrito SOLUCAO Wa eS 9 Trabalho e energia para o bloco A Representamos a forga de atrito Fo a por F ea forga exercida pelo cabo por F e escrevemos Ln Jott ma 200kg Wy 200 kg981 ms 1962 N wf Fy wN4 pW 0251962 N 490 N on T Ujs2 T2 0 Fe2m Fy2m myv Fc2m 490 N2m 200kgv 1 v of Trabalho e energia para o bloco B Escrevemos RE mg 300 kg Wz 300 kg981 ms 2940 N T Ujsg To 0 Wz 2m Fe2 m mpv way 2m 2940 N2m Fe2m 3300kg0 a oo Adicionando os primeiro e segundo membros de 1 e 2 observamos que o v2 trabalho das forgas exercidas pelo cabo sobre A e B se anula ms 2940 N2 m 490 N2 m 4200 kg 300 kgv 4900 J 3500 kgv v443ms 25 ms Cabo PROBLEMA RESOLVIDO 133 othe AWW Uma mola é usada para parar um pacote de 60 kg que desliza sobre uma su 1 perficie horizontal A mola tem uma constante k 20 kNm e é contida por 600 meio de cabos de modo tal que inicialmente ela esté comprimida em 120 mm mm Sabendo que o pacote tem uma velocidade de 25 ms na posigéio mos trada na figura e que a deflexiio maxima adicional da mola é de 40 mm de termine a 0 coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a superficie e b a velocidade do pacote quando ele passar novamente pela posicao mostrada SOLUCAO a Movimento da posigdo 1 para a posigdo 2 V1 Vo 0 ee Energia cinética Posido I v 25 ms jz Sinn T 1 21l 60k 5 2 75 75 ai a WAVY 1 9mvy 35 g25 ms 1875 N m 1875 600 mm i 40 mm Posido 2 maxima deflexao da mola v0 T0 Trabalho Forca de atrito F Temos WwW F N pW pang p60 kg981 ms 5886 N py O trabalho de F é negativo e igual a N x oe Up Fx 5886 Nj10600 m 0040 m 377 J P Forca da mola P A forga varidvel P exercida pela mola realiza uma quanti dade de trabalho negativo igual 4 area sob a curva forgadeflexaio da mola P Pring Temos Pam P kxy 20 kNm120 mm 20000 Nm0120 m 2400 N J P P k Ax 2400 N 20 kNm40 mm 3200 N Ar 40mm Uy 42 4 Phin Pag Av 42400 N 3200 N0040 m1120 J Logo o trabalho total é U1 9 U9p U5 377 in 1120 Principio de trabalho e energia T Ui To 1875 377 Ju 11207 0 p020 V3 vo 0 b Movimento da posigdo 2 para a posicdo 3 Energia cinética Posigdo 2 v0 T0 3 Sei Ja ae Posicdo 3 T3 Imv3 360 kgv3 640 mm Trabalho Umavez que as distancias envolvidas so as mesmas os valores numéricos do trabalho da forga de atrito F e da forga da mola P sao os mes Ww mos calculados anteriormente Todavia enquanto o trabalho de F ainda é P negativo o trabalho de P é agora positivo U5 377 J 1120 755 1120 365 PO HEN N Principio de trabalho e energia Tz Uz3 T3 0 365 J 360 kgv3 v3 1103 ms v3 1103 ms mr PROBLEMA RESOLVIDO 134 be Um carrinho de montanharussa de 1000 kg parte do repouso no ponto J e m 3 T movese pista abaixo sem atrito 2 Determine a forga exercida pela pista P2 6m sobre o carrinho no ponto 2 onde o raio de curvatura da pista é de 6 m b 45m Pp P y Determine o valor minimo de seguranga do raio de curvatura no ponto 3 2 SOLUCAO a Forga exercida pela pista no ponto 2 O principio de trabalho e energia é usado para determinar a velocidade do carrinho quando ele passa pelo ponto 2 Energia cinética T 0 Ts 5mv3 Trabalho A tinica forga que realiza trabalho é 0 peso W Como o deslo camento vertical do ponto J ao ponto 2 é de 12 m para baixo o trabalho do peso é U W12 m mg 12 m Principio de trabalho e energia ls Ty Uj2 Ts 0 mg 12m 9 02 v 24 24 m981 ms v 1534 ms W mg Segunda lei de Newton no ponto 2 A aceleracao a do carrinho no pon may to 2 tem intensidade a vp e orientada para cima Como as forgas externas que agem sobre o carrinho sao W e N escrevemos 7 F may WNma 2 mv2 mp mask 4mg 4W N 6 N 5W 51000 kg 981 ms N4905kNT b Valor minimo de p no ponto 3 Principio de trabalho e ener gia Aplicando o principio de trabalho e energia entre o ponto 1 e o ponto 3 obtemos 1 T Ui3 Ts 0 mg 75 m 5 03 v3 15g 15m 981 ms vs 1213 ms Segunda lei de Newton no ponto 3 O valor minimo de seguranga de p ocorre quando N 0 Nesse caso a aceleragio a de intensidade a vp Wmg é orientada para baixo e escrevemos ve Ly F ma mg m 2 o 15 N0 ma g g See PROBLEMA RESOLVIDO 135 Q Q O elevador D e sua carga tém uma massa combinada de 300 kg enquanto 0 contrapeso C tem massa de 400 kg Determine a poténcia liberada pelo motor elétrico M quando o elevador a se move para cima com uma veloci I dade constante de 25 ms e b se move com uma velocidade instantanea de 4 25 ms e aceleragao de 1 ms ambas orientadas para cima S TA SOLUCAO 22 te Como a forga F exercida pelo cabo do motor tem 0 mesmo sentido da veloci dade v do elevador a poténcia é igual a Fup sendo vp 25 ms Para obter a poténcia devemos antes determinar F em cada uma das duas situagdes Cc D dadas a Movimento uniforme Temos a a 0 ambos os corpos estéo em equilibrio 41008 3008 Corpo livreC 3F0 27400g0 T200g1962N Corpo livre D T2F0 FT300g0 27 F 300g T 300 g 200 g 100 g 981 N Fvp 981 N25 ms 2452 W Poténcia 2450 W c C b Movimento acelerado Temos ap 1ms ac sap 05 ms 400 meac As equagées de movimento so Corpo livre C 2F mcac 400 g 2T 400 05 TF 400981 400 05 T 1 869 N Mp ap 2 D D Corpo livre D 72F mpap F T 300g 300 1 F 1862 300 981 300 F1381N Fo 1381 N25 ms 3452 W 300 Poténcia 3450 W N o capitulo anterior vocé resolveu problemas que tratam do movimento de uma particula usan do a equagio fundamental F ma para determinar a aceleracao a Aplicando os principios da cinematica vocé foi entéo capaz de determinar a partir de a a velocidade e 0 deslocamento da particula em um instante qualquer Nesta ligéo combinamos F ma e os principios da cinematica para obter um método adicional de andlise denominado método de trabalho e energia Esse méto do elimina a necessidade de calcular a aceleragao e possibilitara que vocé relacione as velocidades da particula em dois pontos ao longo de sua trajetéria Para resolver um problema pelo método de trabalho e energia vocé devera seguir os seguintes passos 1 Calcular o trabalho de cada forca O trabalho U de uma forga dada F durante um deslocamento finito da particula de A até A é definido como Ui90 Fdr ou Ui F cos a ds 132 132 onde a é 0 Angulo entre F e 0 deslocamento dr O trabalho U uma grandeza escalar e é ex presso em N m ou joules J no SI Observe que o trabalho realizado é nulo para uma forga per pendicular ao deslocamento a 90 O trabalho realizado é negativo para 90 a 180 e em particular para uma forga de atrito que sempre é oposta a diregdo do deslocamento a 180 O trabalho U pode ser facilmente avaliado nos seguintes casos que vocé encontrara a Trabalho de uma forga constante em movimento retilineo U2 F cos a Ax 133 onde a Angulo entre a forga e a diregaio do movimento Ax deslocamento de A até A Fig 133 b Trabalho da forga da gravidade Uis2 W Ay 134 onde Ay é 0 deslocamento vertical do centro de gravidade do corpo cujo peso é W Observe que o trabalho é positivo quando Ay é negativo isto é quando o corpo movese para baixo Fig 134 c Trabalho da forca exercida por uma mola Uy9 gkxi gkx3 136 onde k é a constante da mola e x e x sio as elongagées da mola correspondentes as posigdes A e A Fig 135 continua d Trabalho de uma forcga gravitacional GMm GMm Uj 137 r ry para um deslocamento do corpo de Ar 1 até Ar r Fig 136 2 Calcular a energia cinética em A e A A energia cinética T é T hmv 139 onde m é a massa da particula e v é a intensidade da velocidade As unidades de energia cinética sao iguais as unidades de trabalho isto é N m ou joules J no SI 3 Substituir os valores do trabalho realizado U e das energias cinéticas T e T na equacio T Uy T2 1311 Vocé tera agora uma equagdo que pode resolver para uma incégnita Observe que essa equacdo nao fornece diretamente o tempo de percurso ou a aceleragio Todavia se vocé conhece o raio de curvatura p da trajetoria da particula em um ponto onde tenha obtido a velocidade v vocé pode expressar 0 componente normal da aceleragaio como a vp e obter 0 componente normal da forca exercida sobre a particula escrevendo F mvp 4 A poténcia foi introduzida nesta ligao como sendo a taxa temporal de realizacao de trabalho P dUdt A poténcia é medida em Js ou watts W no SI Utilizase comumen te como alternativa o hp cavalopoténcia Para calcular a poténcia vocé pode aplicar a formula equivalente PFv 1313 onde F e v representam respectivamente a forcga e a velocidade em um certo instante Problema Resolvido 135 Em alguns problemas ver por exemplo 0 Problema 1350 sera solicitado que vocé calcule a poténcia média que pode ser obtida dividindose o trabalho total pelo intervalo de tempo durante o qual o trabalho é realizado 131 Um pequeno carro hibrido de 1300 kg esta viajando a 108 kmh Determine a a energia cinética do veiculo b a velocidade escalar para um caminhiao de 9000 kg que tem a mesma energia cinética que 0 carro 132 Um satélite de 450 kg é posto em uma orbita circular a 6360 km aci ma da superficie da Terra Nessa elevagao a aceleragio da gravidade é de 24 ms Determine a energia cinética do satélite sabendo que sua velocidade orbital 6 de 20000 kmh 133 Partindo do repouso uma pedra de 1 kg cai de uma altura h e bate no chao com uma velocidade de 15 ms a Encontre a energia cinética da pedra quando ela bate no chao e a altura h da queda b Resolva o item a admitindo que a mesma pedra caia na Lua Aceleragéo da gravidade na Lua 162 ms 134 Partindo do repouso uma pedra de 4 kg cai de uma altura h e bate no chao com uma velocidade de 25 ms a Encontre a energia cinética da pedra quando ela bate no chao e a altura h da queda b Resolva o item a admitindo que a mesma pedra caia na Lua Aceleragio da gravidade na Lua 162 ms 135 Determine a maxima velocidade escalar te6rica que pode ser alcan cada em uma distancia de 360 m por um carro inicialmente em re co pouso considerando que nao ha deslizamento O coeficiente de atrito 2 a 3 6 OOS estatico entre os pneus e o pavimento é 075 60 do peso do carro bg Nye esta distribuido sobre as rodas dianteiras e 40 nas rodas traseiras SQ Considere a tragdo dianteira b tracdo traseira a 136 Marcas de derrapagem em uma pista de disputa de arrancadas indi Figura P136 cam que as rodas traseiras de tragao de um carro derrapam durante os primeiros 18 m da pista de 400 m a Sabendo que o coeficiente e atrito cinético é 060 determine a velocidade escalar do carro ao final da primeira parte de 18 m da pista se ele parte do repouso e as rodas dianteiras perdem contato com o solo b Qual é a maxima velocidade escalar teérica do carro na linha de chegada se apés der rapar por 18 m ele é guiado sem que as rodas deslizem no restante da corrida Considere que enquanto o carro rola sem deslizar 60 do seu peso recaem sobre as rodas traseiras e que 0 coeficiente de atrito estatico é 085 Ignore as resisténcias do ar e de rolamento PA PO 137 Em uma operagiio de mineragiio uma cagamba cheia de minério é te lees suspensa por um guindaste mével que se desloca lentamente ao lon a go de uma ponte estaciondria A cagamba nfo deveré oscilar mais que 4 m horizontalmente quando o guindaste sofrer uma parada re pentina Determine a velocidade escalar horizontal maxima v admis 10m sivel do guindaste Lope Ph 138 Em uma operacao de mineragao uma cagamba cheia de minério é AN suspensa por um guindaste mével que se desloca lentamente ao longo ty B de uma ponte estaciondria O guindaste deslocase a uma velocidade de 3 ms quando sofre uma parada repentina Determine a distancia Figura P137 e P138 horizontal maxima de oscilagao da cagamba 776 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 139 Um pacote é langado 10 m para cima num aclive de 15 de forma que alcanga o topo da inclinacgo com velocidade nula Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a inclinacio é 012 determine a a velocidade inicial do pacote em A b a velocidade do pacote quando este retornar a sua posicao original 10m B eo Figura P139 e P1310 1310 Um pacote é langado para cima num aclive de 15 em A com veloci dade de 8 ms Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e a inclinacao é 012 determine a a maxima distancia d que o pacote se movera para cima na inclinacao b a velocidade do pacote quando este retornar a sua posigao original 1311 As caixas sao transportadas por uma esteira com uma velocidade v até o inicio de um plano inclinado fixo em A onde elas deslizam e finalmente caem em B Sabendo que jy 040 determine a velo cidade da esteira transportadora para que as caixas deixem o plano inclinado em B com uma velocidade de 24 ms x 6m a aA oo gee Se 15 Figura P1311 e P1312 1312 As caixas sfo transportadas por uma esteira com uma velocidade v até o inicio de um plano inclinado fixo em A onde elas deslizam e finalmente caem em B Sabendo que py 040 determine a veloci dade da esteira transportadora para que as caixas tenham velocidade nula em B 1313 Os pacotes sio descarregados em um declive em A com velocidade de 1 ms Eles deslizam ao longo da superficie ABC para a esteira transportadora que se move com velocidade de 2 ms Sabendo que by 025 entre os pacotes e a superficie ABC determine a distancia Lk ms d se os pacotes alcangam C com velocidade de 2 ms d A 2 ms 1314 Os pacotes sfio descarregados em um declive em A com velocidade de c 30 1 ms Eles deslizam ao longo da superficie ABC para a esteira trans portadora que se move com velocidade de 2 ms Sabendo que d 75 SSS B m e 025 entre os pacotes e todas as superficies determine a a IK 7m velocidade do pacote em C b a distancia que um pacote deslizara na Figura P1313 e P1314 esteira transportadora antes de ficar em repouso com relagio a esteira Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 777 1315 Um trem de metré esta viajando numa velocidade escalar de 48 kmh quando os freios séo plenamente aplicados nas rodas dos carros B e C causando entio o deslizamento nos trilhos mas nao sao aplicados nas rodas do carro A Sabendo que o coeficiente de atrito cinético é 035 entre as rodas e o trilho determine a a distAncia necessaria para produzir a parada do trem b a forga em cada engate 48 kmh j 40000 kg 50000 kg 40000 kg A B C CS a Oo nnn On ul A Figura P1315 1316 Resolver o Problema 1315 considerando que os freios so aplicados apenas nas rodas do carro A 1317 Um caminhaobati entra em um declive com 2 de inclinacgao des locandose a 108 kmh e deve reduzir para 72 kmh em 300 m O cavalo mecanico tem uma massa de 1800 kg e o bati 5400 kg Deter mine a a forga média de frenagem que deve ser aplicada b a forga média exercida no engate entre o cavalo mecAnico e o bati se 70 da forga de frenagem é suportada pelo bati e 30 pelo cavalo mecanico 108 kmh 72 kmh PSIG fk 2 de incl b x iF i de at S Nene im e inchnagao para alXO SMIELINES JU pen IU ee e O 0 0O 0 J 300 m Figura P1317 1318 Um caminhaobat entra em um aclive com 2 de inclinagao deslo candose a 72 kmh e atinge uma velocidade de 108 kmh em 300 m O cavalo mecanico tem uma massa de 1800 kg e o bat 5400 kg Determine a a forga média nas rodas do cavalo mecAnico b a forca média no engate entre o cavalo mecanico e o bat 108 kmh 72 kmh SS e u TINES 2 de inclinagao paracima NU As S CROSS COUNTRY MOVERS SL OO 00 OOnnd OO Jo 300 m Figura P1318 778 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1319 Dois blocos idénticos sao liberados em repouso Desprezando a mas sa das roldanas e o efeito do atrito determine a a velocidade do bloco B depois deste ter movimentado 2 m b a tragdo no cabo A 2 kg p Gy in Figura P1319 e P1320 1320 Dois blocos idénticos sao liberados em repouso Desprezando a mas sa das roldanas e sabendo que os coeficientes de atrito estatico e ciné tico so wu 030 e fy 020 determine a a velocidade do bloco B depois deste ter movimentado 2 m b a tracao no cabo 1321 O sistema mostrado na figura estd em repouso quando uma forga cons tante de 150 N é aplicada em um colar B a Se a forga atua por meio de todo movimento determine a velocidade do colar B que atinge o suporte em C b Depois de qual distancia d a forga de 150 N deveria ser retirada se o colar alcanga 0 suporte C com velocidade nula 600 iT o A fe eM 5 Figura P1321 y 1322 Os blocos A e B tém massas de 11 kg e 5 kg respectivamente e estao h a uma altura h 2 m acima do chao quando o sistema é liberado do repouso Exatamente antes de atingir o chio o bloco A esta se movendo com a velocidade de 3 ms Determine a a quantidade de energia dissipada no atrito das roldanas b a tragéo em cada porgiio Figura P1322 da corda durante o movimento Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 779 1323 O sistema mostrado na figura consiste de um colar A de 20 kg e um contrapeso B de 10 kg e esta em repouso quando uma forga constan te de 450 N é aplicada ao colar A a Determine a velocidade de A exatamente antes que ele atinja o suporte em C b Resolva o item a considerando que o contrapeso B seja substituido por uma forca de 100 N para baixo Ignore o atrito e a massa das roldanas 5 W a 500 N 20kg A fe 10 kg 06 m a Figura P1323 1324 Quatro pacotes de 3 kg sio mantidos no lugar por atrito sobre uma correia transportadora que esté desengatada de seu motor de aciona mento Quando o sistema é liberado do repouso 0 pacote J deixa a esteira em A justamente enquanto o pacote 4 vem para a parte incli nada da esteira em B Determine a a velocidade do pacote 2 quando ele deixa a esteira em A b a velocidade do pacote 3 quando ele deixa a esteira em A Despreze a massa da esteira e dos roletes ma 18 BsO TTTTTS 15m 5 6 G GU 18m a te SO lJ 50 6 Figura P1324 06 m D 1325 Dois blocos A e B de massa de 4 kg e 5 kg respectivamente estao co Y nectados por uma corda que passa pelas roldanas do modo mostrado na figura Um colar C de 3 kg é colocado sobre 0 bloco A 0 sistema é Im liberado do repouso Depois que os blocos se deslocam 09 m o colar B C é removido e os blocos A e B continuam a se mover Determine a velocidade do bloco A exatamente antes que ele bata no chio Figura P1325 780 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1326 Um bloco de 5 kg é fixado a uma mola indeformada de constante k 2100 Nmm Os coeficientes de atrito estatico e cinético entre o bloco e o plano sao 060 e 040 respectivamente Se a forcga F é lentamente aplicada no bloco até a tragao na mola alcangar 100 N e entao subitamente retirada determine a a velocidade do bloco quando este volta a sua posico inicial b a maxima velocidade al cangada pelo bloco k 2100 Nmm P PANN Figura P1326 e P1327 1327 Um bloco de 5 kg é fixado a uma mola indeformada de constante k 2100 Nmm Os coeficientes de atrito estatico e cinético entre o bloco e o plano sao 060 e 040 respectivamente Se a forcga F é 3kg lentamente aplicada no bloco até a tragéo na mola alcangar 100 N e a entio subitamente retirada determine a a que distancia o bloco ira 2ke se mover para a esquerda antes de parar b se o bloco ira entio se mover para a direita 1328 Um bloco de 3 kg repousa sobre um bloco de 2 kg que esta apoia do mas nao preso a uma mola de constante 40 Nm O bloco su Figura P1328 perior é subitamente removido Determine a a velocidade ma xima alcangada pelo bloco de 2 kg b a altura maxima alcangada pelo bloco de 2 kg 1329 Resolva o Problema 1328 considerando que o bloco de 2 kg esteja preso mola 1330 Umcolar C de 4 kg desliza sobre uma barra horizontal entre as molas Ae B Se o colar é empurrado para a direita até que a mola B seja comprimida 50 mm e em seguida liberada determine a distancia que o colar percorrera admitindo a que nao haja atrito entre o colar e a Y barra b um coeficiente de atrito py 035 400 mm A 150 mm B ee k 3150 Nmm k 2100 Nmm S Figura P1330 S 1331 Um bloco de 3 kg esta preso a um cabo e uma mola como mostrado na figura A constante da mola é k 1400 Nmm e a tragio no cabo é Figura P1331 15 N Se o cabo é cortado determine a o maximo deslocamento do bloco b a maxima velocidade do bloco Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 781 1332 Um automdvel desgovernado deslocandose a 100 kmh bate de fren te com um sistema rodovidrio de absorgio de impacto amortecedor do tipo mostrado na figura no qual o automével é levado ao repouso pelo esmagamento sucessivo de tambores de ago A intensidade F da forga necessdria para esmagar os tambores é mostrada como uma funcao da distancia x de deslocamento do automével dentro do amor tecedor Sabendo que a massa do automével é 1100 kg e despre zando o efeito do atrito determine a a distancia que 0 automével percorrera dentro do amortecedor antes de atingir o repouso e b a desaceleragio maxima do automével y FkN Vo MOTOR ROO 20 1g9 He KK KX XK KXLY Kx xX XK XA 135 aa a 15 4 xm Figura P1332 1333 Um pistao de massa m e secio transversal de area A esté em equilibrio sob a pressio p no centro de um cilindro fechado em ambas as extre midades Admitindo que o cilindro seja empurrado para a esquerda a uma distancia a2 e liberado e sabendo que a presso em cada lado do pisto varia inversamente com o volume determine a velocidade do pisto quando ele alcangar novamente o centro do cilindro Despreze 0 atrito entre o pistao e 0 cilindro e expresse sua resposta em termos dem apeA Figura P1333 1334 Expresse a aceleracao da gravidade g a uma altitude h acima da su perficie da Terra em termos da aceleracio da gravidade g na super ficie da Terra da altitude h e do raio R da Terra Determine o erro percentual se o peso que um objeto possui sobre a superficie da Terra for usado como o seu peso a uma altitude de a 1 km e b 1000 km 1335 Um foguete é langado verticalmente da superficie da Lua com uma ve locidade vy Deduza uma formula para a raziio hh das alturas alcanga das a uma velocidade v se a lei da gravitagio de Newton for usada para calcular h e se um campo gravitacional uniforme for usado para calcular h Expresse sua resposta em termos da aceleragiio da gravidade g sobre a superficie da Lua do raio R da Lua e das velocidades v e v 782 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1336 Uma bola de golfe golpeada na terra alcanga uma altura maxima de 60 m e atinge o chao uma distancia de 200 m A que distancia a mesma bola de golfe se desloca na Lua se a intensidade e diregao de sua velo cidade forem as mesmas que ela teria na Terra imediatamente depois de bola foi atingida Considere que a bola é atingida e aterrissa com a mesma elevacaio em ambos os casos e que o efeito da atmosfera na Terra é negligenciado de modo que a trajetéria em ambos os casos é uma parabola A aceleragado da gravidade na Lua é 0165 vezes daquela da Terra Trajetéria na Lua oo XN h 3 Aciamann en m ly Trajetéria na Terra Ve 60m A Rn Figura P1336 nit i x 1337 Um bloco de bronze A nio magnético de 300 g e um ima de ago C B de 200 g estéo em equilibrio em um tubo de bronze sob a forga magnética repulsiva de um outro ima de ago C localizado a uma 7 7 q distancia x 4 mm de B A forga é inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre B e C Se o bloco A for subitamente Figura P1337 removido determine a a velocidade maxima de B e b a acelera cao maxima de B Considere que a resisténcia do ar e 0 atrito sejam despreziveis 1338 Molas nao lineares sao classificadas como duras ou macias dependen do da curvatura de sua curva forgadeflexio ver a figura Se um ins trumento delicado com massa de 5 kg é colocado sobre uma mola de comprimento de modo a que sua base esteja apenas tocando a mola indeformada sendo entao liberado do repouso inadvertidamente de termine a maxima deflexao x da mola e a maxima forga F exerci da pela mola considerando a mola linear de constante k 3 kNm b mola dura nao linear para a qual F 3 kNmx 160x FN Mola dura iQ Mola linear f 7 i Z Yo 7 Mola macia coo xmm Figura P1338 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 783 1339 A esfera em A é empurrada para baixo com velocidade vy e oscila BOTN em um circulo vertical de raio e centro O Determine a menor ve locidade v para que a esfera atinja o ponto B oscilando em torno do ponto O a se AO for uma corda b se AO for uma barra delgada de massa desprezivel A l O 1340 A esfera em A é empurrada para baixo com velocidade vy de inten sidade 5 ms e oscila em um plano vertical na extremidade de uma q 6 corda de comprimento l12m presa a um apoio em O Determine o Angulo 6 no qual a corda ird romperse sabendo que ela pode resistir vo a uma tragéo maxima igual ao dobro do peso da esfera g N Za 1341 Um trecho da pista de uma montanharussa consiste de dois arcos de oO circulo AB e CD unidos por um trecho reto BC O raiode AB é27m Figura P1339 e P1340 e o raio de CD é 72 m O carrinho e seus ocupantes de massa total de 280 kg alcangam o ponto A praticamente sem velocidade e entao caem livremente ao longo da pista Determine a forga normal exerci da pela pista sobre 0 carro quando este alcanga 0 ponto B Ignore as resisténcias do ar e de rolamento A 1 B 72 27 m MAN me NYN C 27m A NI Ne SWINE Figura 1341 e P1342 1342 Um trecho da pista de uma montanharussa consiste de dois arcos de circulo AB e CD unidos por um trecho reto BC O raio de AB é 27 m 08 m e o raio de CD é 72 m O carrinho e seus ocupantes de massa total de 280 kg alcangam o ponto A praticamente sem velocidade e entao O B caem livremente ao longo da pista Determine os valores maximo e A 30 I minimo da forga normal exercida pela pista sobre o carro durante o Ae 04m A percurso de A até D Ignore as resisténcias do ar e de rolamento NY Th 6 1343 Uma pequena esfera B de massa m é liberada do repouso na posigao mostrada na figura e oscila livremente em um plano vertical primei ro em torno do ponto O e em seguida em torno do pino A depois que ra a corda entra em contato com o pino Determine a tragdo na corda eo a logo antes dela entrar em contato com o pino b logo apés dela 7 entrar em contato com 0 pino Figura P1343 784 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Vv 1344 Um pequeno bloco desliza com uma velocidade v 24 ms sobre P os B uma superficie horizontal a uma altura h 09 m acima do chao Determine a 0 Angulo 6 em que ele deixara a superficie cilindrica C BCD b a distancia x em que ele bateré no chao Despreze o atrito e 8 a resisténcia do ar E 1345 Um pequeno bloco desliza com uma velocidade v sobre uma super ficie horizontal Sabendo que h 25 m determine a velocidade necessdria para que ele deixe a superficie cilindrica BCD quando Figura P1344 e P1345 6 40 Despreze 0 atrito e a resisténcia do ar 1346 a Uma mulher de 60 kg pedala uma bicicleta de 8 kg subindo uma ladeira com 3 de inclinagao a uma velocidade constante de 15 ms Quanta poténcia precisa ser desenvolvida pela mulher b Um ho mem de 90 kg em uma bicicleta de 9 kg comega a descer a mesma ladeira mantendo com os freios uma velocidade constante de 6 ms Qual é a poténcia dissipada pelos freios Ignore as resisténcias do ar e de rolamento 15 ms 6 ms La Geax ir wy r ye o SAN fy x 3 inclinagao Ey C PLY IN a b Figura P1346 1347 Uma formula para especificagio de poténcia deve ser deduzida para os motores elétricos que acionam esteiras transportadoras que deslo cam material sélido a diferentes taxas ao longo de alturas e disténcias diferentes Representando por 77 a eficiéncia dos motores e despre zando a poténcia necessdria para acionar a propria esteira deduza uma f6rmula para a poténcia P em kW em termos da vazo em massa mem kgh da altura b e da distancia horizontal em metros leceresemee org ee Zz Vs ate ae oF Leptes BS ye hie tnteas bch aog 0 we ne Peer oee eo h ee soe ee Coe fT Figura P1347 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 785 1348 Um teleférico é projetado para transportar 900 esquiadores por B hora da base A até 0 topo B A massa média de cada esquiador é 80 Tt kg e a velocidade média do teleférico é 125 ms Determine a a 300 m poténcia média necesséria b a capacidade necessdria do motor se 4 a eficiéncia mecdnica é de 85 e se é permitida uma sobrecarga de 300 750 m Figura P1348 1349 Em um automovel de corrida de arrancadas as rodas traseiras de g tragao de 1000 kg do carro derrapam durante os primeiros 20 m e rolam com deslizamento iminente durante os 380 m restantes As rodas dianteiras do carro perdem contato com o solo durante os 20 m iniciais e no restante da corrida 80 do peso do carro recaem sobre as rodas traseiras Sabendo que os coeficientes de atrito yw 090 e py 068 determine a poténcia desenvolvida pelo carro nas rodas motrizes a no final da poro de 20 m da corrida b no final da corrida Indique sua resposta em kW Ignore o efeito da resisténcia do ar e atrito de rolamento ZY p 9 Figura P1349 1350 Sao necessdrios 15 s para erguer um carro de 1200 kg e a plataforma de apoio de 300 kg de um elevador hidraulico de carros a uma altura de 28 m Determine a a poténcia média de safda fornecida pela bomba hidrdulica para erguer o sistema b a poténcia elétrica média necessaria sabendo que a eficiéncia global de conversao de poténcia elétrica em mecAnica do sistema é de 82 Ch SU UN Vv Figura P1350 1351 A velocidade do elevador hidréulico do Problema 1350 cresce uni formemente de zero até seu valor maximo a meia altura em 75 s e entaéo decresce uniformemente até zero em 75 s Sabendo que a maior poténcia de safda da bomba hidraulica é de 6 kW quando sua velocidade 6 maxima determine a forca maxima de elevacao forneci da pela bomba 786 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1352 Um trem de 100000 kg viaja em uma linha horizontal necessitando de 300 kW para manter constante a velocidade de 80 kmh Determi ne a a forga total necessdria para vencer 0 atrito no eixo das rodas na resisténcia ao rolamento e na resisténcia do ar b a poténcia adi cional necessdria se o trem manter a mesma velocidade subindo uma inclinagao de 1 f y 1353 A resisténcia ao atrito de um navio é conhecida por variar diretamen te com 175 da capacidade da velocidade v do navio Um tnico re bocador a toda poténcia pode rebocar um navio a uma velocidade constante de 45 kmh exercendo uma forga constante de 300 kN 4 Determine a a poténcia desenvolvida pelo rebocador b a maxima a fw velocidade na qual dois rebocadores capazes de entregar a mesma 9 poténcia podem rebocar o navio ie C 1354 O elevador E tem uma massa de 3000 kg quando totalmente carre gado e esta ligado pelo modo mostrado na figura a um contrapeso Ho W de massa 1000 kg Determine a poténcia em kW entregue pelo motor a quando o elevador estiver movendose para baixo a uma velocidade constante de 3 ms e b quando ele tiver uma velocidade Figura P1354 de 3 ms para cima e uma desaceleragao de 05 ms 136 Energia potencial Vamos considerar novamente um corpo de peso W que se move ao longo de uma trajetéria curva de um ponto A de elevagao y até um ponto A de elevacio y Fig 134 Recordemos da Segao 132 que o trabalho da forga da gravidade W durante esse deslocamento é Uy2 Wy Wye 134 A O trabalho de W pode entao ser obtido subtraindose o valor da fungao w Wy correspondente segunda posigio do corpo do seu valor correspon aN dente primeira posigao O trabalho de W é independente da trajetéria real percorrida ele depende apenas dos valores inicial e final da fungao A yo fey Wy Essa funcgao é denominada energia potencial do corpo em relagao a Yo forga da gravidade W e é representada por V Escrevemos Ai y Uy2 Vz Vgo com V Wy 1316 yy Notemos que se V3 V1 isto é se a energia potencial aumenta du rante o deslocamento como no caso aqui considerado o trabalho U é Figura 134 repetida negativo Se por outro lado o trabalho de W é positivo a energia poten cial diminui Logo a energia potencial V do corpo fornece uma medida do trabalho que pode ser realizado pelo seu peso W Uma vez que apenas a variagdo da energia potencial e nao o valor real de V esta envolvido na Eq 136 uma constante arbitraria pode ser adicionada a expresso obtida para V Em outras palavras o nivel de referéncia a partir do qual a elevacéo y é medida pode ser escolhido arbitrariamente Observe que a energia potencial é expressa nas mesmas unidades que o trabalho isto é em joules Parte do material desta segao ja foi analisada na Segao 107 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 787 Devese notar que a expresso que acabamos de obter para a energia IN potencial de um corpo em relagio a gravidade é valida apenas enquanto Re o peso W do corpo puder ser considerado constante ou seja enquanto os deslocamentos do corpo forem pequenos em comparacao com o raio da Terra No caso de um veiculo espacial porém devemos levar em conta dr yA a variacio da forca da gravidade com a distancia r do centro da Terra ry m Usando a expressao obtida na Segao 132 para o trabalho de uma forca aa A gravitacional escrevemos Fig 136 ao GMm GMm F ro ry F 7 A ae Logo o trabalho da forga da gravidade pode ser obtido subtraindose 0 48 valor da fungio GMmr correspondente a segunda posico do corpo O do seu valor correspondente 4 primeira posigao Assim a expressd0 qUC Figura 136 repetida deve ser usada para a energia potencial V quando a variagao da forga da gravidade nao puder ser desprezadaé GMm Vz 1317 Considerando a primeira das relagGes 1229 escrevemos V de forma alternativa WR Vv 1317 f 1317 onde R é 0 raio da Terra e W 6 0 valor do peso do corpo sobre a superficie da Terra Quando qualquer das relagdes 1317 ou 1317 for usada para expressar V a distancia r devera ser medida obviamente a partir do centro da Terra Note que V sempre negativa e tende a zero para valores muito grandes der Mola indeformada Considere agora um corpo preso a uma mola e movendose de uma cae Z cn posico A correspondente a uma deflexao x da mola até uma posigao 8 VIII YY L A correspondente a uma deflexao x da mola Fig 135 Relembremos jo da Segao 132 que o trabalho realizado pela forga F exercida pela mola sobre 0 corpo é B WV i Ay Usag beat Hd 4136 a soba A gan rf O trabalho da forga eldstica é entao obtido subtraindose o valor da fun 4 2 Xx so cao kx correspondente segunda posicao do corpo do seu valor cor respondente primeira posico Essa funcao é representada por V e é ADR DAD DIMA RADY nw denominada energia potencial do corpo em relagiio a forga eldstica F 9B YY VV VV VV Y VY VV VY Escrevemos W 2 lo Figura 135 repetida Uj2 Ve Vo com Ve okx 1318 e observamos que durante o deslocamento considerado o trabalho da forga F exercido pela mola sobre 0 corpo é negativo e que a energia po tencial V aumenta Vocé deve notar que a expressio obtida para V é As expressdes dadas para V em 1317 e 1317 sao validas apenas quando r R isto 6 quando o corpo considerado estiver acima da superficie da Terra 788 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica valida apenas se a deflexéo da mola for medida em relagiio a sua posigao indeformada Por outro lado a Eq 1318 pode ser usada mesmo quan do a mola foi girada em torno de sua extremidade fixa Fig 1310a O trabalho da forga eladstica depende somente das deflexGes inicial e final da mola Fig 1310b F Comprimento indeformado Fkx L Vo kx ZY y 2 ZY nN Voo 5kex3 Z Fy Z la Z A Y L 2 we AE Xy 4 YL F 1 x A Ag a a b Figura 1310 O conceito de energia potencial pode ser usado para outras forgas en volvidas além das forgas gravitacionais e eldsticas De fato ele permane ce valido sempre que o trabalho da forga considerado for independente da trajetéria percorrida pelo seu ponto de aplicagao 4 medida que esse ponto se desloca de uma dada posicgo A para uma dada posicao A Tais forgas so denominadas forgas conservativas as propriedades gerais das forgas conservativas sio estudadas na secaio seguinte 137 Forgas conservativas y Aolts Yor 2 29272 Conforme indicado na secao anterior a forca F que age sobre uma parti cula A é dita conservativa se o seu trabalho U é independente da traje toria percorrida pela particula A a medida que ela se desloca de A até A Fig 1311a Podemos entao escrever Ax y 7 7 0 Ax y1 4 Uyse Vx Y1 21 Vx Y2 9 1319 x w ou de modo resumido a z Uj2 Vi Vo 1319 y F A fungio Vx y z denominada energia potencial ou fungao potencial de F d Notemos que se A é escolhida de modo a coincidir com A isto é se a particula descreve uma trajetéria fechada Fig 1311b temos V V e 0 trabalho é nulo Logo para qualquer forga conservativa F podemos o escrever Ax Yi 21 O x Fdr0 1320 b Figura 1311 onde o circulo no sinal de integral indica que a trajetéria é fechada Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 789 Vamos aplicar agora a Eq 1319 entre dois pontos proximos A x y 2 e Ax dx y dy z dz O trabalho elementar dU correspondente ao deslocamento dr de A até A é dU Vx y z Vix dx y dy z dz ou dU dVx y 2 1321 Logo o trabalho elementar de uma forga conservativa é um diferencial exato Substituindo a expressio obtida para dU da Eq 131 na Eq 1321 e relembrando a definicao de diferencial de uma fungao de varias varia veis escrevemos av oV oV F dx F dy F dz Max dy wa ox oy 0z da qual resulta que oV oV oV F F F 1322 ox oy 0z Fica claro que os componentes de F devem ser fungées das coordenadas x y Assim uma condico necessdria para que uma forga seja conser vativa é que ela dependa apenas do seu ponto de aplicagao As relagdes 1322 podem ser expressas de modo mais conciso se escrevermos av av av F Fit Fj Fk i jk s ox oy 0z O vetor entre parénteses é conhecido como a gradiente de uma fungdo escalar V e é representado por grad V Para qualquer forga conservativa escrevemos entio F grad V 1323 As relagGes de 1319 até 1323 mostraram ser satisfeitas para qual quer forga conservativa E também possivel mostrar que se uma forca F satisfaz uma dessas relagdes F deve ser uma forca conservativa 138 Conservagdo da energia Vimos nas duas segées anteriores que o trabalho de uma forca conserva tiva tal como o peso de uma particula ou a forga exercida por uma mola pode ser expresso como uma variagao da energia potencial Quando a particula se deslocar sob a agdo de forgas conservativas o principio de trabalho e energia estabelecido na Secao 133 pode ser expresso de uma forma modificada Substituindo U da Eq 1319 na Eq 1310 escrevemos Vi Vn TT Ty T Vj Ty Vo 1324 790 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica a A equagiio 1324 indica que quando uma particula se desloca sob a A A 4 acao de forgas conservativas a soma da energia cinética e da energia po tencial da particula permanece constante A soma T V é denominada energia mecénica total da particula e é representada por E Nh Considere por exemplo 0 péndulo analisado na Segao 134 que é A ar liberado com velocidade nula em A para oscilar em um plano vertical Ay Nivel de Fig 1312 Medindo a energia potencial em relagao ao nivel de A te referéncia mos em A Figura 1312 T0 VWl 7VWi Relembrando que em A a velocidade do péndulo é v V2gl temos T 3mv3 1 set Wl vV0 28 T Vo WI Verificamos assim que a energia mecanica total E T V do péndulo é a mesma em A e em A Enquanto a energia é inteiramente potencial em A ela tornase inteiramente cinética em A e 4 medida que o péndulo permanece oscilando para a direita a energia cinética é transformada em energia potencial de novo Em A T 0 e V WI Como a energia mecanica total do péndulo permanece constante e como sua energia potencial depende apenas de sua elevagio a energia cinética do péndulo terd o mesmo valor em dois pontos quaisquer loca lizados no mesmo nivel Logo a velocidade do péndulo é a mesma em Aeem A Fig 1312 Esse resultado pode ser estendido ao caso de uma particula que se move ao longo de uma trajetéria dada qualquer independentemente de sua forma desde que as tinicas forgas que atuem sobre a particula sejam o seu peso e a reacio normal da trajetéria A Inicio particula da Fig 1313 por exemplo que desliza em um plano vertical ao longo de uma pista sem atrito tera a mesma velocidade em A A e A A AW A Enquanto o peso de uma particula e a forga exercida por uma mola We es Aye sao forcas conservativas as forgas de atrito sdo forgas ndo conservativas We Em outras palavras o trabalho de uma fora de atrito nao pode ser ex presso como uma variagdo de energia potencial O trabalho de uma forga de atrito depende da trajetéria percorrida pelo seu ponto de aplicagao e Figura 1313 enquanto o trabalho U definido por 1319 é positivo ou negativo de acordo com o sentido do movimento o trabalho de uma forga de atrito é sempre negativo como discutimos na Segdo 134 Logo concluise que a energia mecAnica total de um sistema mecanico que envolve atrito nao permanece constante mas diminui A energia do sistema porém nao é perdida ela é transformada em calor e a soma da energia mecéanica e da energia térmica do sistema permanece constante Outras formas de energia também podem estar envolvidas em um sistema Por exemplo um gerador converte energia mecnica em energia elétrica um motor a gasolina converte energia quimica em energia me canica um reator nuclear converte massa em energia térmica Se todas as formas de energia forem levadas em conta a energia do sistema pode ser considerada como constante e o principio de conservagio da energia permanece vilido sob todas as condigées Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 791 139 Movimento sob uma forga central conservativa Aplicagado a mecdnica espacial Vimos na Secao 129 que quando uma particula P movese sob uma forga central F a quantidade de movimento angular Hy da particula em rela cao ao centro da forga O é constante Se a forga F também é conservativa existe uma energia potencial V associada a F e a energia total E T V da particula é constante Segao 138 Assim quando uma particula se move sob uma forca central conservativa tanto o principio de conserva v cao da quantidade de movimento angular como o principio da conserva cao da energia podem ser usados para estudar seu movimento Considere por exemplo um veiculo espacial de massa m movendo se sob a forga gravitacional da Terra Vamos admitir que ele inicie seu voo livre no ponto P a uma distancia r do centro da Terra com uma SY velocidade v que faz um Angulo com o raio vetor OP Fig 1314 Sendo P um ponto da trajetéria descrita pelo veiculo representamos por ra distancia de O a P por va velocidade do veiculo em P e por 0 angulo entre v e o raio vetor OP Aplicando o principio de conservacao da quan ry 7 EO 0 tidade de movimento angular em relacao a O entre P e P Segao 129 25 i ry escrevemos P 5 Ww rymvy sen dy rmv sen 1325 Figura 1314 Retomando a expressdo 1317 obtida para a energia potencial devida a uma forga gravitacional aplicamos o principio de conservagio da energia entre P e P e escrevemos TytVTtV 5mve GMm jmv GMm 1326 To r onde M é a massa da Terra A Eq 1326 pode ser resolvida para a intensidade v da velocidade do veiculo em P quando a distancia r de O a P é conhecida a Eq 1325 pode entao ser visada para determinar o Angulo que o vetor veloci dade faz com o raio vetor OP As Eqs 1325 e 1326 também podem ser usadas para determinar s0 NA os valores madximo e minimo de r no caso de um satélite langado de P em uma diregdo que forma um Angulo com a vertical OP Fig 1315Os valores desejados de r so obtidos fazendo com que 90 em 1325 e eliminando v entre as Eqs 1325 e 1326 o Devese observar que a aplicacgao dos principios de conservagao da energia e de conservagio da quantidade de movimento angular conduz a i Ye uma formulagao dos problemas de mecAnica espacial mais fundamental Cot Bn Ps que a do método indicado na Secao 1212 Em todos os casos que envol WZ 7 vem lancamentos obliquos ela também resultard em calculos bem mais simples E embora 0 método da Segao 1212 deva ser usado quando a a Jor trajetoria real ou o periodo orbital de um veiculo espacial tiverem que 2 os p oer gura 1315 ser calculados os calculos serao simplificados se os princfpios de conser vacaio forem antes aplicados ao calculo dos valores maximo e minimo do raio vetor r PROBLEMA RESOLVIDO 136 NAW NV i NV Um colar de 15 kg est preso a uma mola e desliza sem atrito ao longo de SWS Sto uma haste circular em um plano horizontal A mola tem um comprimento C 125 min 0 A indeformado de 150 mm e uma constante k 400 Nm Sabendo que o colar nm esté em equilfbrio em A e recebe um leve impulso para moverse determine a velocidade do colar a quando passa por B b quando passa por C iB SOLUCAO a Velocidade em B v0 T0 AL sp Lyn Lo AL yp 425 mm150 mm AL ap 275 mm0275 m Vy 2KAL gp 2 V 5 400 Nm 0275 m 15125 loos 15 2 2 Tz gies 12k los 075 vg Lyp 3007 mm125 mm 325 mm Agp Lgp Lo 825 mm150 mm 175 mm 0175 m V Shp 400 Nm0175 m 6125 J Ty VTV 0415125 075v 6125 Up 15125 6125 1200 m2s2 075 vz 346ms b Velocidade em C T 0 V 15125 J see Part a Te since sls kg ve 075 ve ALoc Lo Loc 150 mm175 m 25 mm Vo Sh Aboc 400 Nm0025 m 0125 J TV T Vo 015125 075ve 0125 ve 15075 20 vo 447ms 4 D PROBLEMA RESOLVIDO 137 Um bloco de 250 g é empurrado contra a mola em A e liberado do repouso Desprezando o atrito determine a menor deflexao da mola para que o bloco k 600 Nm dé a volta em torno do lago ABCDE e permanega 0 tempo todo em contato Cc E com ele m 250 pw a A SOLUCAO Velocidade requerida no ponito D Quando 0 bloco passar pelo ponto D mais alto sua energia potencial em relagdo a gravidade sera maxima e portanto sua energia cinética e velocidade serio minimas Como o bloco deve permanecer em contato com 0 lago a forga N exercida pelo lago sobre o bloco deve ser igual ou maior que zero Fazendo N 0 calculamos a me nor velocidade possivel vp LF ma WwW ma mg ma a g 2 a 2p vp ra rg 05 m981 ms 4905 ms W May Posigao 1 Energia potencial Representando por x a deflexao da mola e notando que k 600 Nm escrevemos V1k 4600 Nénx 300x7 Posigao 2 Escolhendo o nivel de referéncia em A temos V 0 logo V V V 300x 12mC E Energia cinética Como o bloco é liberado do repouso v 0 e temos T 0 va 0 Posigdo 2 Energia potencial Agora a mola esta indeformada logo PY V 0 Como 0 bloco esta a 1 m acima do nivel de referéncia temos Nivel de referéncia B A Posigao 1 V megy 025 kg 981 ms 1 m 245 J VVV 245 Energia cinética Usando 0 valor de wv obtido acima escrevemos 1 T mv 3 025 kg 4905 ms 0613 J Conservagdo da energia Aplicando o principio de conservagao da energia entre as posides 1 e 2 escrevemos TVTV 0 300x 245 J 0613 J x 0101 m x10lm PROBLEMA RESOLVIDO 138 VA Uma esfera de massa m 06 kg esté presa a uma corda eladstica de cons O 60 tante k 100 Nm que esta indeformada quando a esfera encontrase na I A origem O Sabendo que a esfera pode deslizar sem atrito sobre a superficie 05 m horizontal e que na posig4o mostrada na figura sua velocidade v tem inten I sidade de 20 ms determine a as distancias maxima e minima da esfera em a relacio 4 origem O e b os valores correspondentes de sua velocidade SOLUCAO A forga exercida pela corda sobre a esfera passa pelo ponto fixo O e seu traba lho pode ser expresso como uma variagio de energia potencial Logo tratase de uma forga central conservativa e tanto a energia total da esfera como sua quantidade de movimento angular em relagao a O so conservadas Conservagdo da quantidade de movimento angular em relagdo ve 90 aO Noponto B onde a distancia de O é maxima a velocidade da esfera x é perpendicular a OB e a quantidade de movimento angular é rmv Uma 2B oe Ae pes C propriedade similar vale no ponto C onde a distancia de O é minima Ex gor pe pressando a conservacio de quantidade de movimento angular entre A e B v ff d 60 escrevemos m A rymv sen 60 rmv 05 m06 kg20 ms sen 60 r06 kgu b 866 1 Cn Conservacdo da energia No ponto A T ymv 506 kg20 ms 120 J V tkr 100 Nm05 m 125 No ponto B T M 3 06 kgo 030 V tkr 4100 NAnr 507 Aplicando o principio de conservagio da energia entre os pontos A e B escrevemos T V Ty Ve 120 125 03u 50r 2 a Valores maximo e minimo de distancia Substituindo v da Eq 1 na Eq 2 e resolvendo para r obtemos r 2468 ou 01824 r 1571mr 0427m 4 b Valores correspondentes de velocidade Substituindo os valores obtidos para r er na Eq 1 temos 8 66 v L371 v 55l1ms 4 8 66 v0 v 203 ms 4 0427 Nota Podese mostrar que a trajetéria da esfera é uma elipse de centro O 36900 kmh PROBLEMA RESOLVIDO 139 aon Um satélite é langado em uma diregio paralela a superficie da Terra com uma Altitude maxima Se m velocidade de 36900 kmh de uma altitude de 500 km Determine a a alti em 7 tude maxima alcangada pelo satélite e b o erro maximo admissivel na diregio de langamento do satélite para que ele entre em 6rbita e néo se aproxime em até 200 km da superficie da Terra 500 km SOLUCAO vy a Altitude maxima Representamos por A o ponto da 6rbita mais afas tado da Terra e por r a distancia correspondente do centro da Terra Como o satélite esté em voo livre entre A e A aplicamos o principio de conserva ard ry I cao da energia eo ny ee TV Ty Vy v1 0 2 GMm GMm bmvj mv 1 Como a tinica forga que age sobre o satélite é a forga da gravidade que é uma forga central a quantidade de movimento angular do satélite em relagao a O é conservada Considerando os pontos A e A escrevemos r rymvy ryMNv v1 vo 2 ry Substituindo essa expressio para v na Eq 1 dividindo cada termo pela massa m e reordenando os termos obtemos 2 r GM r r 2GM pa12 4 2 12 3 2 2 2 ry 9 ry ry ToU0 Relembrando que o raio da Terra é R 6370 km calculamos r 6370 km 500 km 6870 km 687 X 10m Vy 36900 kmh 369 X 10 m36 X 10 s 1025 X 10 ms GM gR 981 ms637 X 10 m 398 x 10 ms Substituindo esses valores em 3 obtemos r 668 X 10 m Altitude maxima 668 X 10 m 637 X 10 m 604 X 10m 60400km b Erro admissivel na diregao de langcamento O satélite é lancado Al de P em uma diregio que faz um Angulo com a vertical OP O valor de correspondente a r 6370 km 200 km 6570 km é obtido pela aplicacao dos principios de conservagiio da energia e de conservacio da quantidade de movimento angular entre P e A GM GM gmvy Sve 4 Yo Tin Vo FyMWy SEN Hy Myf MO is 5 rw bo Resolvendo 5 para v e entao substituindo v na Eq 4 podemos re F Y solver 4 para sen y Usando os valores de vy e GM calculados no item a e a Vinix observando que 191 68706570 10457 encontramos A d 90 min sen dy 09801 ob 90 115 Erro admissivel 115 N esta segaio vocé aprendeu que quando o trabalho realizado por uma forga F que age sobre uma particula A é independente da trajetoria percorrida pela particula quando ela se move de uma posigéo dada A para uma posigio dada A Fig 1311a entéo é possivel definir uma funcgio V denominada energia potencial para a forga F Tais forgas sao designadas como forgas conservativas e vocé pode escrever Uyg Vx yi 21 Vx2 Yo 2 1319 ou de modo resumido Ui2 Vi Vo 1319 Note que o trabalho é negativo quando a variacado da energia potencial é positiva isto é quando VV Substituindo a expresso acima na equagao para trabalho e energia vocé pode escrever que mostra que quando uma particula se desloca sob a agao de uma forga conservativa a soma das energias cinética e potencial da particula permanece constante Sua resolucao de problemas ao usar a formula acima consistiré dos seguintes passos 1 Determinar se todas as forgas envolvidas sao conservativas Se alguma fora nao for conservativa como por exemplo se o atrito estiver envolvido vocé deveraé empregar 0 método de trabalho e energia da ligdo anterior pois 0 trabalho realizado por tais forgas depende da trajet6 ria percorrida pela particula nfo existindo uma fungao potencial Se nao houver atrito e se todas as forcas forem conservativas vocé podera prosseguir como indicado 2 Determinar a energia cinética T ymv em cada extremidade da trajetoria 3 Calcular a energia potencial de todas as forcas envolvidas em cada extremida de da trajetoria Vocé relembrara que as seguintes expressGes para a energia potencial foram deduzidas nesta licdo a Aenergia potencial de um peso W préximo 4 superficie da Terra e a uma altura y acima de um dado nivel de referéncia V Wy 1316 b A energia potencial de uma massa m localizada a uma distancia r do centro da Terra grande o suficiente para que a variacao da forga da gravidade deva ser levada em conta GMm VV g r 1317 onde a distancia r 6 medida do centro da Terra e V é igual a zero para r c Aenergia potencial de um corpo em relagdo a uma forca eldstica F kx V kx 1318 onde a distancia x é a deflexdo da mola eldstica medida em relagao a sua posigaio indeformada e k é a constante da mola Note que V depende apenas da deflexdo x e nao da trajetéria do corpo preso a mola Além disso V 6 sempre positivo esteja a mola comprimida ou esticada 4 Substituir suas expressdes para as energias cinética e potencial na Eq 1324 Vocé estard apto a resolver essa equacao para uma incégnita para a velocidade por exemplo Pro blema Resolvido 136 Se mais de uma incégnita estiver envolvida vocé tera de procurar uma outra condico ou equagio tal como a velocidade minima Problema Resolvido 137 ou a energia potencial minima da particula Para problemas envolvendo uma forga central uma segunda equa cao pode ser obtida usandose a conservagao da quantidade de movimento angular Problema Resolvido 138 Isso é especialmente titil em aplicagdes 4 mecfnica espacial Segao 139 1355 Uma forga P é lentamente aplicada a uma placa que esta presa a duas molas causando uma deflexao xj Para cada um dos casos mostrados na figura deduza uma expresso para constante k em termos k e k de uma mola tinica equivalente para o sistema dado isto 6 da mola tinica que sofrerd a mesma deflexo x quando submetida 4 mesma forga P ky ky ky 4 he ve LL NN WN i a P P UNUM A Le YT AAI WOON a b Figura P1355 1356 Um bloco de massa m é fixado a duas molas como mostra a figura Sabendo que em cada caso o bloco é puxado por uma distancia x de sua posigio de equilibrio e liberado determine a maxima velocidade do bloco em seu movimento subsequente Cc Na A he ALAA Re ww ww 2B mm NMAUAN Be NN wy S vers A NS D B a a 150 mm150 mm a b Figura P1357 Figura P1356 300 mm 1357 Um colar C de 12 kg pode deslizar sem atrito ao longo da has te horizontal Ele esta preso a trés molas cada uma de constante SN k 400 Nm e 150 mm de comprimento indeformado Sabendo om wn que o colar é liberado do repouso na posicgo mostrada determine a k 280 Nim maxima velocidade que ele iré alcangar no movimento subsequente 300 mm a 1358 Umcolar B de 5 kg pode deslizar sem atrito ao longo da haste hori Ss zontal e esta em equilibrio em A quando ele é puxado 125 mm para 7 a direita e liberado O comprimento indeformado de cada mola é é 300 mm e a constante de cada mola é k 280 Nm Determine a a maxima velocidade do colar b a maxima aceleracao do colar Figura P1358 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 799 1359 Uma corda elastica é esticada entre dois pontos A e B separados de 16 cm no mesmo plano horizontal Quando esticada diretamente en A tre A e B a tracao na corda é de 10 N A corda é entao esticada como mostra a figura até o seu ponto médio C ser movido de 6 cm para C uma forca de 60 N é necessdria para manter a corda em C Uma Sem bolinha de 100 g é colocada em C e acorda é liberada Determinea 60 N velocidade que a bolinha passa por C C Cc 1360 Um colar de 10 kg deslocase sem friccao ao longo de uma barra ver om tical como mostra a figura A mola presa ao colar tem um comprimen to indeformado de 100 mm e uma constante de 600 Nm Se o colar é liberado do repouso na posicao 1 determine sua velocidade depois B de moverse 150 mm em diregao a posigio 2 6 cm Figura P1359 200 mm 150 mm ewww c 150 mm 100 mm ie fol A 4 E Figura P1360 200 mm 1361 Umcolar de 500 g pode deslizar sem atrito sobre uma barra curva BC em um plano horizontal Sabendo que o comprimento indeformado da mola é de 80 mm e que k 400 kNm determine a a velocidade que o colar deve receber em A para atingir B com velocidade nula b B a velocidade do colar quando ele finalmente atingir C Figura P1361 1362 Um colar de 3 kg pode deslizar sem atrito sobre uma barra vertical e ficar em repouso equilibrandose sobre uma mola Ele é empurrado para baixo comprimindo a mola 150 mm e é liberado Sabendo que aconstante da mola é k 26 kNm determine a a altura maxima h alcancada pelo colar acima de sua posigao de equilibrio b a veloci dade maxima do colar h k 26kNm f Figura P1362 800 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1363 E mostrado na mecanica dos materiais que quando uma viga elasti ca AB suporta um bloco de peso W em um ponto B a deflexdo y f chamada de deflexio estatica é proporcional a W Mostre que se h o mesmo bloco cai de uma altura h na extremidade B da viga em A B balancgo AB e nao ricocheteia a maxima deflexao y no movimento SS Ym subsequente pode ser expressa como y Y41 V1 2hy f Note que essa f6rmula é aproximada j4 que esté baseada no pressu Figura P1363 posto que nao ha energia dissipada no impacto e que o peso da viga é pequeno comparado com o peso do bloco 1364 Uma barra circular delgada é sustentada em um plano vertical por um suporte em A Uma mola de constante k 45 Nm e compri D mento indeformado igual ao arco de circulo AB esta presa ao suporte e enrolada frouxamente em volta da barra Um colar C de 220 g nio ligado 4 mola pode deslizar sem atrito ao longo da barra Sabendo que o colar é liberado do repouso quando 6 30 determine a aal 300 mm oe tura maxima acima do ponto B alcangada pelo colar b a velocidade ly maxima do colar A yO i 1365 Uma barra circular delgada é sustentada em um plano vertical por Be um suporte em A Uma mola de constante k 45 Nm e compri Oey mento indeformado igual ao arco de circulo AB esta presa ao suporte o e enrolada frouxamente em volta da barra Um colar C de 220 g nio C E ligado 4 mola pode deslizar sem atrito ao longo da barra Sabendo que o colar é liberado do repouso a um Angulo 6 em relagiio a vertical Figura P1364 e P1365 determine a o menor valor de para que o colar passe por D e atinja o ponto A b a velocidade do colar quando ele atingir 0 ponto A 1366 Um colar de 13 kg pode deslizar ao longo da barra mostrada na fi gura Ele esté preso a uma corda elastica fixada em F que tem um comprimento indeformado de 09 m e uma constante de mola de 60 Nm Sabendo que 0 colar é liberado do repouso em A e desprezando o atrito determine a velocidade do colar a em B b em E y J 16m B A oh C 14m 7 lim F fr yy Figura P1366 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 801 1367 O sistema mostrado na figura esta em equilibrio quando 0 Sa bendo que inicialmente 90 e que o bloco C esta em movimento suave e muito lento quando o sistema esta naquela posigéo determi ne a velocidade do bloco quando ele passar pela posigiao de equilibrio 0 Despreze o peso da barra d D 11m 3 k 600 Nm A o i Ps c 255 ke 21m 03 m Figura P1367 1368 Uma mola é usada para parar um pacote de 50 kg que esta se movendo 2 ms para baixo numa inclinagao de 20 A mola tem constante k 30 kNm sok e é mantida por cabos de modo que esta comprimida inicialmente de 8 cabo 50 mm Sabendo que a velocidade do pacote é 2 ms quando ele esta a 8 m da mola e desprezando o atrito determine a maxima deformagiio hs adicional na mola para levar o pacote ao repouso A d Wiygp 8m 1369 Resolva o Problema 1368 considerando o coeficiente de atrito ciné oy tico entre o pacote e a inclinagio é 02 Figura P1368 1370 Um bloco de 300 g é liberado do repouso em A e desliza com atrito ao longo da superficie mostrada na figura Determine a forga exercida sobre o bloco pela superficie a justamente antes de o bloco alcangar y A B b imediatamente apos ele passar por B D L r6cm A r08m B QZ B Sm C NY C 5 Figura P1370 e P1371 i z lL 1371 Um bloco de 300 g é liberado do repouso em A e desliza sem atrito ao em 30 Ny longo da superficie mostrada na figura Determine a forga exercida NRE sobre o bloco pela superficie a justamente antes de o bloco alcangar C e b imediatamente apos ele passar por C Figura P1372 802 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1372 Um colar de 06 kg pode deslizar sem atrito ao longo da barra semi circular BCD A mola tem constante 900 Nm e comprimento inde AN formado de 8 cm Sabendo que o colar é liberado do repouso em B ay N WW vv er determine a a velocidade do colar quando ele passar por C b a Be a s49 Ja forga exercida pela barra sobre o colar em C Sem Tom 1373 Um colar de 05 kg esté preso a uma mola e desliza sem atrito ao longo de uma barra circular em um plano vertical A mola tem um B comprimento indeformado de 5 cm e uma constante k 400 Nm Fi P1373 Sabendo que o colar esta em equilibrio em A e que recebe um leve gura impulso para se movimentar determine a velocidade do colar e forga normal entre o colar e a barra quando ele passar por B 1374 Um pacote de 200 g é langado para cima com uma velocidade v por uma mola em A ele se move em torno de uma estrutura sem atrito e é depositado em C Para cada uma das estruturas mostradas nas figuras determine a a menor velocidade v para que o pacote atinja pop C b a forca correspondente exercida pelo pacote sobre a estrutura TE justamente antes do pacote deixar a estrutura em C 4p B B r05m r05m i Cc Cc l 25m 25m J f a ABT ABE yy A ee a Figura P1374 Vo Figura P13761377 1375 Seo pacote do Problema 1374 nao puder atingir a superficie hori zontal em C com velocidade superior a 35 ms a mostre que esse requisito s6 pode ser atendido pela segunda estrutura b determine a maior velocidade inicial admissivel v quando a segunda estrutura for usada y 1376 Uma bola de 1 kg em A é suspensa por uma corda inextensivel e tem velocidade inicial de 48 ms Se 1 06 m e x 0 determine y de modo que a bola entre no cesto R2m a 1377 Uma bola de 1 kg em A é suspensa por uma corda inextensivel e tem A velocidade inicial de v Se 1 06 m e xz 009 e yz 012 m de termine a velocidade inicial v de modo que a bola entre no cesto 1378 Pacotes sio movidos do ponto A no piso superior de uma casa co ae mercial para o ponto B no piso inferior 3 m abaixo de A por meio de h3m oO uma calha cuja linha central é formada por uma hélice de eixo ver tical y e raio R 2 m A secao transversal da calha é montada de tal 4 forma que cada pacote depois de ser liberado em A com velocidade nula deslizaré ao longo da linha central da calha sem nunca tocar z as bordas Desprezando 0 atrito a expresse como uma funcao da Figura P1378 elevagio y de um dado ponto P da linha central 0 angulo formado Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 803 pela normal da superficie da calha em P e anormal principal dalinha central naquele ponto b determine a intensidade e direcao da forga exercida pela calha em um pacote 10 kg quando este alcanga 0 ponto B Dica A normal principal da hélice em qualquer ponto P é horizon B tal e dirigida na direcao do eixo y e o raio de curvatura da hélice é p R1 h27R 1379 Prove que uma forca Fx y z é conservativa se e somente se as seguintes relagdes forem satisfeitas dF OF OF aF aK oF C oy ox 0z oy ox Oz A 1380 A forga F yzi zxj xykxyz age sobre uma particula Px yz Figura P1381 que se move no espaco a Usando a relacao deduzida no Problema 1379 mostre que essa forga é uma forga conservativa b Determine a funcao potencial associada a F 1381 Uma forca F age sobre uma particula Px y que se move no plano xy Determine se a forga F é uma forga conservativa e calcule o traba Tho de F quando P descreve a trajetéria no sentido hordrio ABCA de acordo com o quarto de circulo e y a se a F kyi b F kyi xj y 1382 A funcao potencial associada com a forga P no espago é conhecida JA E por ser Vx y 2 x y 2 a Determine os componentes a x y ez de P b Calcule o trabalho feito por P de O para D por inte gragao ao longo do caminho OABD e mostre que este valor é igual ao negativo da variacio no potencial de O a D 1383 a Calcule o trabalho feito de D a O para a forga P do Problema oe Je 1382 por integracao ao longo da diagonal do cubo b Usando o re a sultado obtido na resposta da parte b do Problema 1382 verifique ao Ae que o trabalho feito pela forga conservativa ao longo da trajetéria fe a A B chada OABDO 6 zero z 1384 A forga F xi yj zkx y 7 age sobre uma particula Figura P1382 Px y que se move no espago a Usando a relagio deduzida no Problema 1379 mostre que essa forga é uma forga conservativa b Determine a funcao potencial associada a F 1385 Enquanto descreve uma 6rbita circular a 300 km acima da Terra um veiculo espacial langa um satélite de comunicagio de 3600 kg Determine a a energia adicional necessdria para pdr o satélite em uma 6rbita geoestaciondria a uma altitude de 35770 km acima da superficie da Terra b a energia necessdria para pér o satélite na mesma 6rbita langandoo da superficie da Terra excluindo a energia necessaria para vencer a resisténcia do ar Uma 6rbita geoestacio ndria é uma 6rbita circular em que o satélite parece estacionério em relagao ao solo Tt 1386 Um satélite é posto em uma 6rbita elfptica em torno da Terra Sa YP bendose que a razao vv entre as velocidades no apogeu A e no A re perigeu P é igual 4 razio rr entre as disténcias de Pe A ao centro pT da Terra e que a distancia entre A e P é de 80000 km determine a energia por unidade de massa necesséria para colocar o satélite va nessa 6rbita langandoo da superficie da Terra Exclua a energia ne cessdria para vencer o peso do foguete propulsor a resisténcia do ar 80000 kn e as manobras Figura P1386 804 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica ha 4320 km 1387 Sabendo que a velocidade de uma sonda espacial experimental lan Com A cada da Terra tem intensidade v 3232 X 10 kmh no ponto A oN ON determine a velocidade da sonda quando ela passar pelo ponto B 5 VA a 1388 Um médulo de excursio lunar foi usado nas missdes Apollo de des R 6 370 En cida na Lua para poupar combustivel tornando desnecessario langar hy 12640 k m toda a espagonave da superficie da Lua na viagem de retorno a Terra ee Verifique a eficdcia dessa abordagem calculando a energia por quilo B grama necessdria para uma espagonave escapar do campo gravitacio nal da Lua caso a espaconave parta a da superficie da Lua b de VB uma 6rbita circular a 80 km acima da superficie da Lua Despreze o Fi efeito do campo gravitacional da Terra O raio da Lua é de 1730 km igura P1387 2 e sua massa é 00123 vezes a massa da Terra 1389 Um satélite de massa m descreve uma Orbita circular de raio r em torno da Terra Expresse em fungio de r a a energia potencial do satélite b sua energia cinética e c sua energia total Represente o raio da Terra por R e a aceleragiio da gravidade na superficie da Terra por g e admita que a energia potencial do satélite seja nula em sua plataforma de langamento 1390 Quanta energia por quilograma deve ser fornecida a um satélite a fim de colocaélo em uma 6rbita circular a uma altitude de a 600 km e b 6000 km 1391 a Fazendo r R y no segundo membro a direita da Eq 1317 e expandindoo em uma série de poténcias de yR mostre que a ex pressiio na Eq 1316 para a energia potencial V devido a gravidade é uma aproximagio de primeira ordem para a expressio dada na Eq 1317 b Usando a mesma expansio deduza uma aproximagio de segunda ordem para V 1392 Observagdes mostram que um corpo celeste que viaja a 19 X 10 kmh parece estar descrevendo um circulo em torno do ponto B de raio igual a 60 anosluz Suspeitase que o ponto B seja uma concentrago de massa muito densa conhecida como buraco negro Determine a raziio MM entre a massa de B e a massa do Sol A massa do Sol é 330000 vezes a massa da Terra e um anoluz é a distancia percorrida pela luz em um ano a velocidade de 298000 kms Vv 1393 Uma bola de 200 g que pode deslizar sobre uma superficie hori a zontal sem atrito esté presa ao ponto fixo O por meio de uma corda d 600 mm VA elastica de constante k 150 Nm e comprimento indeformado de O A 600 mm A bola é posta no ponto A a 900 mm de O e recebe uma 900 mm velocidade inicial vy perpendicular a OA Sabendo que a distancia d 100 m de O determine a a velocidade inicial v da bola b sua Figura P1393 velocidade v depois da corda se tornar frouxa 1394 Paraa bola do Problema 1393 determine a o menor valor admis sivel da velocidade inicial v para que a corda permanega esticada todo tempo b a velocidade maxima correspondente alcangada pela bola Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 805 1395 Um colar A de 5 kg esta preso a uma mola de constante 800 Nm e comprimento indeformado de 450 mm O sistema é posto em movi mento com r 300 mm vu 5 ms e v 0 Desprezando a mas sa da barra e o efeito de atrito determine os componentes radial e transversal da velocidade do colar quando r 520 mm De 50 mm 1396 Para o movimento descrito no Problema 1395 determine a a mAaxi lA ma distancia entre a origem e o colar b a velocidade corresponden Oe Ce B te Dica Resolva por tentativa e erro a equagao obtida para r A Vv 1397 Resolva o Problema 138 considerando que a corda elastica é substi tufda por uma forga central F de intensidade 80r N voltada paraO 1398 Um colar A de 18 kg e um colar B de 07 kg podem deslizar sem atrito sobre uma estrutura que consiste da barra horizontal OE e da barra ver Figura P1395 tical CD livre para girar em torno de CD Os dois colares estio conec tados por uma corda que passa por uma roldana presa a estrutura em O No instante mostrado na figura a velocidade v do colar A tem intensi dade 21 ms e uma trava impede o movimento do colar B Se a trava for removida subitamente determine a a velocidade do colar A quando ele estiver a 02 m de O b a velocidade do colar A quando o colar B chegar ao repouso Admita que o colar B nao atinja O que o colar A nao saia da barra OE e que a massa da estrutura seja desprezivel p 4 of NA Bos D 350 X 10km 100 X 102 km Figura P1398 1399 Usando os principios de conservagao da energia e da quantidade de movimento angular resolva o item a do Problema Resolvido 128 13100 Uma espaconave navega ao longo de uma trajetéria parabdlica em direcio ao planeta Jupiter e a expectativa é de que atinja o ponto A com uma velocidade v de intensidade 269 kms Seus motores se A B rao entéo acionados para desacelerala colocandoa em uma 6rbita eliptica que a levard para até 100 X 10 km de Japiter Determine o Japiter decréscimo de velocidade Av no ponto A que colocara a espagonave na 6rbita requerida A massa de Jtipiter é 319 vezes a massa da Terra A Figura P13100 806 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 140 km 13101 Ap6s completar sua missiio de exploragiio na Lua os dois astronautas da tripulagaio de um médulo de excursao lunar Apollo iriam preparar RN me o retorno ao médulo de comando que orbitava na Lua a uma altitude 1740 km de 140 km Eles acionariam o motor do médulo lunar levariamno BLke a ao longo de uma trajetéria curva até o ponto A a 8 km acima da su Ri ae O perficie da Lua e desligariam o motor Sabendo que o médulo lunar ier moviase naquele instante em uma diregio paralela 4 superficie da Lua e que ento seguiria livre ao longo de uma trajet6ria eliptica para reencontrar o médulo de comando em B determine a a veloci dade do médulo lunar apés o desligamento do motor b a velocidade Figura P13101 relativa com a qual o médulo de comando se aproximaria do médulo lunar em B O raio da Lua é de 1740 km e sua massa é 00123 vezes a massa da Terra 13102 A melhor maneira de transferir um veiculo espacial de uma 6rbita circular mais interna para uma outra orbita coplanar mais externa é acionando seus motores quando ele passar por A a fim de aumentar sua velocidade e pélo em uma 6rbita elfptica de transferéncia Um outro aumento de velocidade quando ele passar por B ira colocdlo na 6rbita circular desejada Para um veiculo em uma 6rbita circular em torno da Terra a uma altitude h 320 km que deve ser transferido para uma 6rbita circular a uma altitude h 800 km determine a o aumento de velocidade requerido em A e B b a energia total por unidade de massa necessaria para executar a transferéncia An 13103 Uma espaconave aproximase do planeta Saturno atingindo 0 ponto A com uma velocidade V de intensidade de 21 10 ms Ela é posta em uma 6rbita elfptica em torno de Saturno de modo que estara apta a examinar periodicamente Tétis uma das luas de Saturno Tétis esta BO ho em uma orbita circular de raio 293 X 10 km em torno do centro de A B Saturno viajando a uma velocidade de 11 X 10 ms Determine a o decréscimo de velocidade da espagonave em A necessario para que ela atinja a 6rbita desejada b a velocidade da espagonave quando ela alcangar a 6rbita de Tétis em B 3 Figura P13102 1Stx V km oe i im er Saturno VA N Tétis O f Figura P13103 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 807 13104 Uma espagonave descreve uma 6rbita eliptica de altitude minima h 2400 km e altitude méxima h 9600 km acima da superficie da Terra Determine a velocidade da espagonave em A ha Sina vs iA ca A oO hz 4B 6370 km vA Figura P13104 e P13105 13105 Uma espagonave descreve uma 6rbita elfptica em torno da Terra com uma velocidade maxima v 263 X 10 kmh em A e uma veloci yy C 140 km9 dade minima v 185 X 10 kmh em B Determine a altitude da Vo B espagonave em 1740 13106 Apés o retorno do médulo lunar ao médulo de comando a espago B fey ea nave Apollo foi girada em torno de si mesma de modo que o médulo pe lunar ficou voltado para trés O médulo lunar foi entao ejetado a de riva com uma velocidade de 200 ms relativa ao mé6dulo de comando Vz Determine a intensidade e a direcao Angulo formado com a verti cal OC da velocidade v do médulo justamente antes de ele colidir com a superficie da Lua em C Figura P13106 13107 Um satélite é langado ao espago com uma velocidade v a uma distan cia ry do centro da Terra pelo tltimo estagio de seu foguete langador A velocidade v foi calculada para enviar o satélite para uma 6rbita circular de raio r Entretanto devido a uma falha de controle 0 sa télite nao é langado horizontalmente mas a um Angulo a com a ho rizontal e como resultado é propulsionado para uma 6rbita eliptica Determine os valores maximo e minimo da distancia entre 0 centro da Terra e o satélite Vo CoA XN N ey row 4 NC L Figura P13107 808 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 13108 Uma plataforma espacial encontrase em uma 6rbita circular ao redor da Terra a uma altitude de 300 km Quando a plataforma passa por A um foguete carregando um satélite de comunicaciao é langado da pla R6370km taforma com uma velocidade relativa de intensidade de 344 kms em 42140 km 300 kan uma diregao tangente a érbita da plataforma A intengdo era colocar o foguete em uma 6rbita de transferéncia eliptica levandoo ao ponto Trajetoria ry B onde o foguete seria novamente acionado a fim de pdr o satélite B pretendidal os A em uma 6rbita geoestacionaria de raio de 42140 km Apos o langa J 4 mento descobriuse que a velocidade relativa fornecida ao foguete Ne a IG havia sido grande demais Determine o Angulo y no qual o foguete at Trajetoria cruzara a 6rbita pretendida no ponto C atual 13109 Um veiculo espacial encontrase em uma 6rbita circular a uma altitu Y de de 360 km acima da Terra Para retornar 4 Terra ele diminui sua velocidade quando passa por A acionando seu motor por um curto Figura P13108 intervalo de tempo em sentido oposto ao de seu movimento Sabendo que a velocidade do veiculo espacial deve formar um angulo 60 com a vertical quando ele atingir o ponto B a uma altitude de 65 km determine a a velocidade necesséria para que 0 vefculo deixe sua 6rbita circular em A b sua velocidade no ponto B 360 km separ A Vv oy Ss gs B Bf ia l 4 A bp R 6370 km Figura P13109 13110 No Problema 13109 a velocidade do veiculo espacial foi diminufda quando ele passava por A acionando seu motor em um sentido opos to ao do movimento Uma estratégia alternativa para tirar o veiculo espacial de sua 6rbita circular seria girélo de modo a que o motor apontasse para longe da Terra e entéo fornecer uma velocidade in cremental Av em dirego ao centro O da Terra Isso provavelmente exigiria um menor consumo de energia para acionar 0 motor em A mas poderia resultar em uma descida muito répida para B Conside Boas rando o uso dessa estratégia com apenas 50 do consumo de energia do Problema 13109 determine os valores resultantes de U fs wal A gl 13111 Quando o médulo lunar foi deixado 4 deriva apés o retorno de dois al dos astronautas da Apollo ao médulo de comando que orbitava a Lua al am a uma altitude de 140 km sua velocidade foi reduzida para deixé lo colidir com a superficie da Lua Determine a a menor redugiio de velocidade do médulo lunar para garantir que ele colida com a superficie da Lua b a redugiio de velocidade que o fara atingir a R 1740 km superficie da Lua a um Angulo de 45 Dica 0 ponto A esta no apogeu Fi de uma trajetoria elfptica de colisio Considere também que a massa gura P13111 da Lua é 00123 vezes a massa da Terra Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 809 13112 Uma sonda espacial descreve uma 6rbita circular de raio nR com ve locidade vy em torno de uma planeta de raio R e centro O Mostre que a para que a sonda espacial deixar sua 6rbita e atingir o planeta com um Angulo 6 com a vertical sua velocidade deve ser reduzida a av onde 2n 1 a sen6z n sern 0 b a sonda nfo atingird o planeta se a for maior que 21 n 13113 Mostre que os valores v e vp da velocidade de um satélite da Terra no apogeu A e no perigeu P de uma 6rbita elfptica estao definidos pelas relacdes 2 2GM rp 2 2GM ra vo vp ra rp Ta ra rp Tp onde M é a massa da Terra r er representam respectivamente as vp distancias maxima e minima da 6rbita ao centro da Terra 13114 Mostre que a energia total E de um satélite da Terra de massam que 4 ry EY rp p descreve uma orbita elfptica é E GMmir r onde M é a massa ay da Terra e r rp representam respectivamente as distancias maxima e minima da 6rbita ao centro da Terra Considere que a energia po Ya tencial gravitacional de um satélite foi definida de modo a se anular a Figura P13113 e P13114 uma distAncia infinita da Terra 13115 Uma espagonave de massa m descreve uma 6rbita circular de raio r ao redor da Terra a Mostre que a energia adicional AE que deve ser fornecida a espaconave para transferila a uma 6rbita circular de raio maior 1 é GMmrs r AE oat Trg onde M éa massa da Terra b Mostre ainda que se a transferéncia de uma orbita circular para outra é executada colocandose a espagonave em uma trajetéria de transicio semieliptica AB as quantidades de energia AE e AE que devem ser fornecidas em A e B sao respecti A EY ryo B vamente proporcionais ar 1 QP 1 ry AE 2AE AE 1AE ry 1 Tr 1 13116 Um missil é disparado do chao com uma velocidade inicial v que faz um Angulo com a vertical Se o missil tiver que alcangar uma altitude maxima igual a R onde R 0 raio da Terra a mostre que A 2 oe Figura P13115 o Angulo requerido esta definido pela relagao 2 Qa Vese sen dy 1 a 41 bo lta Uo onde v a velocidade de escape b determine a faixa de valores admissiveis para U9 13117 Usando as respostas obtidas no Problema 13107 mostre que a 6rbita circular pretendida e a 6rbita elfptica resultante interceptamse nas extremidades do eixo menor da 6rbita elfptica 810 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 13118 a Expresse em termos de r U4 2 quantidade de momento an gular por unidade de massa h e a energia total por unidade de massa Em do veiculo espacial movendo sob a atracao de planeta de massa M Fig 1315 b Eliminando v na equagio derive a f6rmula 1 GM F h 414 f1 Tinin ho m GM c Mostre que a excentricidade eé da trajetéria do vefculo pode ser expressa como F h e1 mGM d Mostre ainda que a trajetoria do veiculo é uma hipérbole uma elipse ou uma parabola dependendo se E é positivo negativo ou zero 1310 Principio de impulso e quantidade de movimento Um terceiro método basico para a soluco de problemas que tratam do movimento de particulas sera considerado agora Esse método baseiase no principio de impulso e quantidade de movimento e pode ser usado On para resolver problemas que envolvem forga massa velocidade e tempo os 4 Ele é de particular interesse para a solucio de problemas que incluem y AL movimento impulsivo e impacto Secées 1311 e 1312 eS fC Considere uma particula de massa m sujeita a uma forga F Como NZ I vimos na Segao 123 a segunda lei de Newton pode ser expressa na forma a of K a eee s F mv 1327 dt onde mv é a quantidade de movimento linear da particula Multiplicando ambos os membros da Eq 1327 por dt e integrando a partir de um tempo t até um tempo f escrevemos Foto 131 bo dt dmv F dt mvz mv al me yj S i ou transpondo o ultimo termo 5 5 a to Sih mv F dt mvp 1328 oo Py ty un Ga A integral na Eq 1328 é um vetor conhecido como impulso linear os a ou simplesmente impulso da forga F durante o intervalo de tempo consi derado Decompondo F em componentes retangulares escrevemos ts Imp F dt Foto 132 Este teste de impacto de um F4 Phanton e um alvo rigido reforgado foi para determinar a forga de impacto em fungdo do i Fdt J Fy dt k Fdt 1329 tempo oh oh q Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 811 notamos que os componentes do impulso da forga F sao respectiva mente iguais as reas sob as curvas obtidas plotando os componentes F F Fem fungao de t Fig 1316 No caso de uma forga F de intensidade e sentido constantes o impulso é representado pelo vetor Ft t que tem o mesmo sentido de F Em unidades do SI a intensidade do impulso de uma forga é expres saem N s Mas relembrando a definigao de Newton temos 3 ty ty t Nskgmés kg ms que é a unidade obtida na Seco 124 para a quantidade de movimento linear de uma particula Logo verificamos que a Eq 1328 édimensio F nalmente correta A Eq 1328 expressa que quando uma particula esta sujeita a uma forga F durante um dado intervalo de tempo a quantidade de movimen to final mv da particula pode ser obtida adicionandose vetorialmente sua quantidade de movimento inicial mv e o impulso da forga F durante o intervalo de tempo considerado Fig 1317 Ot ty i ts F Imp Fdt ty MVo e ow Figura 1317 Ot ty t Figura 1316 Escrevemos mv Imp mv 1330 Observamos que enquanto a energia cinética e o trabalho sao grandezas escalares a quantidade de movimento e 0 impulso sao grandezas veto riais Para obter uma solucao analftica 6 necessdrio entao substituir a Eq 1330 pelas equagdes componentes correspondentes ty mv F dt mvs th ty mo1 F dt mvs ty to mvz Fdt mv 1331 ty Quando diversas forgas agem sobre uma particula o impulso de cada uma das forcas deve ser considerado Temos mv X Imp mvp 1332 812 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Novamente a equacao obtida representa uma relacao entre grandezas vetoriais na solugdo real de um problema ela deve ser substituida pelas equagdes componentes correspondentes Quando um problema envolve duas ou mais particulas cada particu la pode ser considerada separadamente e a Eq 1332 pode ser escrita para cada particula Podemos também somar vetorialmente as quantida des de movimento de todas as particulas e os impulsos de todas as forgas envolvidas Escrevemos entao Xmv X Imp Umve 1333 Como as forgas de agio e reagao exercidas pelas particulas entre si for mam pares de forgas iguais e opostas e como o intervalo de tempo de at comum a todas as foras envolvidas os impulsos das forgas de agao e reacao se cancelam e apenas os impulsos das forcas externas precisam ser considerados Se nenhuma forga externa é exercida sobre as particulas ou de modo mais geral se a soma das forgas externas é nula o segundo termo da Eq 1333 desaparece e essa equacao reduzse a Imv dmMve 1334 que expressa que a quantidade de movimento total das particulas se conserva Considere por exemplo dois barcos de massa m mg ini cialmente em repouso sendo puxados juntos Fig 1318 Se a resistén cia da Agua for desprezada as tinicas forcas externas que agem sobre os barcos so seus pesos e as forgas de empuxo exercidas sobre eles MAVA MpVB mava 0 mpvp 0 g Figura 1318 Como essas forgas estéo contrabalangadas escrevemos xXmv Unvze 0 Mavi MpVRB onde v e v representam as velocidades dos barcos apés um intervalo de tempo finito As equacées obtidas indicam que os barcos se movem em sentido oposto um em direco ao outro com velocidade inversa mente proporcionais a suas massas Devemos observar a diferenca entre essa afirmagio e a afirmagao correspondente feita na Seco 134 com respeito ao trabalho das forgas de ago e reagao entre diversas particu las Enquanto a soma dos impulsos dessas forgas 6 sempre nula a soma de seus trabalhos é nula apenas sob condigées especiais por exemplo quando os varios corpos envolvidos estiverem conectados por cordas ou vinculos inextensiveis de modo a estarem obrigados a se mover por distAncias iguais Sinais de igualdade em verde sao usados na Fig 1318 e no restante de todo este capi tulo para expressar que dois sistemas de vetores sio0 equipolentes isto é que eles tém a mesma resultante e o mesmo momento resultante cf Segao 319 Sinais de igualdade em preto continuarao a ser usados para indicar que dois sistemas de vetores sao equivalentes isto 6 que eles tém o mesmo efeito Este e 0 conceito de conservacaio de quantidade de movimento para um sistema de particulas serao discutidos em mais detalhes no Cap 14 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 813 1311 Movimento impulsivo Uma forga que age sobre uma particula durante um intervalo de tempo muito curto e que seja grande o suficiente para produzir uma variacao de quantidade de movimento definida é denominada movimento impulsivo Por exemplo quando uma bola de beisebol é golpeada 0 contato entre nw FAt ny bastao e bola ocorre durante um intervalo de tempo At muito curto Mas OS o valor médio da forga F exercida pelo bastao sobre a bola é muito gran i de e o impulso resultante F At é grande o bastante para alterar o sentido Ww vo 0 de movimento da bola Fig 1319 Quando forcas impulsivas agem sobre a particula a Eq 1332 Figura 1319 tornase mv F At mvs 1335 Qualquer forga que nao seja uma forca impulsiva pode ser desprezada pois o impulso correspondente F At é muito pequeno As forgas ndo impulsivas incluem o peso do corpo a forga exercida por uma mola ou qualquer outra fora conhecida que seja pequena comparada com uma forca impulsiva Reagdes desconhecidas podem ser ou nao impulsivas logo seus impulsos devem ser incluidos na Eq 1335 enquanto elas nao se demonstrarem despreziveis O impulso do peso da bola de beisebol considerado anteriormente por exemplo pode ser desprezado Se 0 mo vimento do bastiio é analisado 0 impulso do peso do bastao também pode ser desprezado Entretanto os impulsos das reagdes das maos do jogador sobre o bastao devem ser inclufdos esses impulsos nao serao despreziveis se a bola for golpeada incorretamente Notemos que o método de impulso e quantidade de movimento é particularmente eficaz na andlise do movimento impulsivo de uma par ticula pois envolve apenas as velocidades inicial e final da particula e os impulsos das forcas exercidas sobre a particula A aplicagao direta da segunda lei por outro lado exigiria a determinagao das forgas como fun cdes do tempo e a integracao das equagoes de movimento sobre o inter valo de tempo At No caso do movimento impulsivo de diversas particulas a Eq 1333 pode ser usada Ela se reduz a xXmv UF At Ymve 1336 onde o segundo termo envolve apenas as forcas impulsivas externas Se todas as forcas externas que agem sobre as varias particulas so nao impulsivas o segundo termo da Eq 1336 desaparece e essa equacio reduzse a Eq 1334 Escrevemos mv DmMve 1334 o qual expressa que a quantidade de movimento total das particulas se conserva Essa situaco ocorre por exemplo quando duas particulas que se movem livremente colidem uma com a outra Todavia devemos ob servar que embora a quantidade de movimento total das particulas seja conservada sua energia total geralmente ndo se conserva Problemas envolvendo a coliséo ou impacto de duas particulas serao discutidos em detalhe nas Secdes de 1312 a 1314 aa ames PROBLEMA RESOLVIDO 1310 y C Um automével de massa 1800 kg é conduzido em um declive de 5 a uma velocidade de 100 kmh quando os freios so aplicados causando uma forga total de frenagem de 7000 N aplicada pela estrada nos pneus Determine o tempo transcorrido até o automovel parar SOLUCAO Aplicamos 0 principio de impulso e quantidade de movimento Como cada forga é constante em intensidade diregio e sentido cada impulso correspondente é igual ao produto da forga e do intervalo de tempo t t mg ps MVz 0 Ft Nt mv Imp mv componentes mv mg sen 5t Ft 0 100 kmh 100 X 1000 m x 3600 s 1 km 1 h 2778 m 1800 kg 2778 ms 17660 sen 5 Nt 7000 Nt 0 t946s 4 15 PROBLEMA RESOLVIDO 1311 BA ms SSSSTTss Uma bola de beisebol de 120 g é arremessada com uma velocidade de 7 24 ms em direcao a um batedor Depois que a bola é golpeada pelo bastio B ela passa a ter uma velocidade de 36 ms na diregaio mostrada na figura Oi oe Se a bola e o bastao ficam em contato por 0015 s determine a forga impul SY siva média exercida sobre a bola durante o impacto B 24 ms MVo oo KL soLucAo mw r i it SOLUGAO F At Aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimento a bola Como o peso da bola é uma forga nao impulsiva ele pode ser desconsiderado F At mv Imp mv componentes em x mv F At mv cos 40 012 kg 24 ms F0015 s012 kg 36 ms cos 40 F 4126N 7 componentes em y 0 F At mv sen 40 F 0015 s 012 kg 36 ms sen 40 BF 1851N Conhecidos seus componentes F e F determinamos a intensidade e a di recao da forga F F 452N 47 242 PROBLEMA RESOLVIDO 1312 3 ms LS 30 Um pacote de 10 kg cai de uma rampa dentro de um carrinho de LE 25 kg com uma velocidade de 3 ms Sabendo que o carrinho esta inicialmente em repouso e que pode rolar livremente determine a a velocidade final do carrinho b o impulso exercido pelo carrinho sobre o pacote e c a fragdo da energia inicial perdida no impacto SOLUCAO Em primeiro lugar aplicamos o principio de impulso e quantidade de movi mento ao sistema pacotecarrinho para determinar a velocidade v do carri nho e do pacote Em seguida aplicamos 0 mesmo principio s6 ao pacote para determinar 0 impulso F At exercido sobre ele a Principio de impulso e quantidade de movimento pacote e carrinho MpVy el l al McVo RAt mpv Imp mp mevo s componentes emx mpv cos 30 0 mp mevy 10 kg3 ms cos 30 10 kg 25 kgu9 v 0742ms 4 Observamos que a equacao usada expressa a conservacgéo da quantidade de movimento na diregio x b Principio de impulso e quantidade de movimento pacote Mpv 30f a S 4 Ae inp F At F At MpVv 2 Imps MpVo2 componentes em x 10 kg3 ms cos 30 F At 10 kg0742 ms F At 1856Ns fcomponentes em y mpv sen 30 F At 0 10 kg3 ms sen 30 F At 0 F At 15 Ns O impulso exercido sobre o pacote é F At 239Ns389 4 c Fragdo de energia perdida As energias inicial e final sao T xmpvj 310 kg3 ms 45 J Ts 5mp mev5 310 kg 25 kg 0742 ms 963 J T T 45 963 A fracio de energia perdida é a PI 965 0786 T 45 N esta secaio integramos a segunda lei de Newton para deduzir 0 principio de impulso e quanti dade de movimento para uma particula Relembrando que a quantidade de movimento linear de uma particula foi definida como o produto de sua massa m e de sua velocidade v Secao 123 escrevemos mv Imp mv 1332 Essa equagio expressa que a quantidade de movimento linear mv de uma particula no instante t pode ser obtida adicionandose 4 sua quantidade de movimento mv no instante t os impulsos das forgas exercidas sobre a particula durante o intervalo de tempo de t a t Para fins de calculo as quantidades de movimento e os impulsos podem ser expressos em termos de seus componentes retangulares e a Eq 1332 pode ser substituida pelas equagGes escalares equivalentes As unida des de quantidade de movimento e impulso sao N s no SI Para resolver problemas usando essa equacio vocé deve seguir os seguintes passos 1 Desenhar um diagrama mostrando a particula suas quantidades de movimento em t et e os impulsos das forgas exercidas pela particula durante o intervalo de tempo de a fy 2 Calcular o impulso de cada forga expressandoo em termos de seus componentes re tangulares se mais do que uma direcao estiver envolvida Vocé pode encontrar os seguintes casos a O intervalo de tempo é finito e a forcga é constante Imp Ft t b O intervalo de tempo é finito e a forga é uma fungdo de ft te Imp Ft dt ty c O intervalo de tempo é muito pequeno e a forca é muito grande A forca é chamada de forga impulsiva e o seu impulso durante o intervalo de tempo t t At é Observase que esse impulso é nulo para uma forga ndo impulsiva tal como o peso de um corpo a forga exercida por uma mola e qualquer outra forga que seja conhecida como pequena em com paracao com as forgas impulsivas Reagdes desconhecidas porém ndo podem ser admitidas como nao impulsivas e seus impulsos devem ser levados em conta 3 Substituir os valores obtidos para os impulsos na Eq 1332 ou nas equagdes escalares equivalentes Vocé verd que as forgas e as velocidades dos problemas desta ligao estao contidas em um plano Logo vocé escrevera duas equagées escalares e resolvera essas equacgdes para duas incégnitas Essas incégnitas podem ser um tempo Problema Resolvido 1310 uma velocidade e um impulso Problema Resolvido 1312 ou uma forga impulsiva média Problema Resolvido 1311 4 Quando diversas particulas estao envolvidas devese desenhar um diagrama separa do para cada particula mostrando as quantidades de movimento inicial e final da particula bem como os impulsos das forgas exercidas sobre a particula a Entretanto é usualmente conveniente considerar em primeiro lugar um diagrama incluindo todas as particulas Esse diagrama conduz a equagao Ymv X Imp Zmve 1333 onde os impulsos de somente forgas externas ao sistema precisam ser considerados Logo as duas equagées escalares equivalentes néo conterao nenhum dos impulsos das forgas internas desconhecidas b Seasoma dos impulsos das forgas externas for nula a Eq 1333 reduzse a mv Uv 1334 o qual expressa que a quantidade de movimento total das particulas se conserva Isso ocorre se a resultante das forcas externas é nula ou quando o intervalo de tempo At é muito curto movi mento impulsivo se todas as forgas externas nao sao impulsivas Todavia tenha em mente que a quantidade de movimento total pode se conservar em wma diregdo mas no necessariamente em outra Problema Resolvido 1312 13119 Um automével de 1200 kg esté movendo a uma velocidade 90 kmh quando os freios sio totalmente aplicados causando o escorregamen to de todas as quatro rodas Determine o tempo necessario para parar o automével a no pavimento seco ty 075 b na rodovia gelada 1 010 v0 13120 Um transatlintico de 40 Mg toneladas tinha sua velocidade inicial de 4 kmh Desprezando a resisténcia ao atrito da agua determine o tempo necessario para trazer o transatlAntico para 0 repouso usando B um tinico rebocador que exerce uma forga de 140 kN A A 13121 A velocidade inicial do bloco na posigo A é 9 ms Sabendo que o A 6 coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é py 030 de termine o tempo que o bloco leva para atingir B com velocidade zero se a 6 0 b 0 20 Figura P13121 13122 Uma particula de 2 kg esta sujeita a uma forga expressa em newtons F 8 6tit 4 ej 4 tk Sabendo que a velocidade da particula 6 v 150 msi 100 msj 250 msk em t 0 de termine a o tempo em que a velocidade é paralela ao plano yz b a velocidade correspondente da particula 1 a SS 13123 Marcas de derrapagem em uma pista de disputa de arrancadas indi a 7 cam que as rodas traseiras de tragao de um carro derrapam durante 1G in el os primeiros 18 m da pista de 400 m a Sabendo que o coeficiente e oye atrito cinético é 060 determine o menor tempo possivel para 0 carro percorrer a primeira parte de 18 m da pista se ele parte do repouso com as rodas dianteiras sem contato com o solo b Determine o Figura P13123 tempo minimo para o carro fazer toda a corrida se ap6s derrapar por 18 m as rodas deslizam pelo restante da corrida Considere para a parte de deslizamento da corrida que 60 do peso do carro recaem sobre as rodas traseiras e que o coeficiente de atrito estatico é de 085 Ignore as resisténcias do ar e de rolamento 13124 Um caminhao viaja em uma estrada nivelada a uma velocidade de 90 kmh quando seus freios séo aplicados para desaceleralo até 30 kmh Um sistema de freios antiderrapantes limita a forga de fre nagem a um valor no qual as rodas do caminhao ficam na iminéncia de deslizar Sabendo que o coeficiente de atrito estatico entre a es trada e as rodas é 065 determine o menor tempo necessério para 0 caminhio reduzir a velocidade 13125 Um caminhao desce uma ladeira com 4 de inclinagao a uma velo cidade de 90 kmh quando os freios sAo aplicados para desacelerélo até 30 kmh Um sistema de freios antiderrapantes limita a forga de frenagem a um valor no qual as rodas do caminhio ficam na iminén cia de deslizar Sabendo que o coeficiente de atrito estatico entre a estrada e as rodas é de 060 determine 0 menor tempo necessério para o caminhao reduzir a velocidade 13126 A bagagem no piso de um vagiiobagageiro de um trem de alta veloci dade nao esta impedida de se movimentar exceto pelo atrito Deter mine o menor valor admissivel do coeficiente de atrito estatico entre uma Caixa e o piso do vagio para que a caixa nio deslize quando o trem diminuir sua velocidade a uma taxa constante de 200 kmh para 90 kmh em um intervalo de tempo de 12 s Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 819 13127 Resolva o Problema 13126 considerando que o trem esta descendo aA uma inclinagao de 5 13128 Um veleiro de 500 kg com seus tripulantes veleja a favor do vento a 12 kmh quando sua velabalao é igada para aumentar a velocidade vs do veleiro Determine a fora resultante fornecida pela vela durante n o intervalo de 10 s que o veleiro leva para atingir uma velocidade de S oe 18 kmh aa Gea Ja eS Swe 13129 Um trem leve composto de dois vagées viaja a 70 kmh A massa do Fi P13128 vagio A é 18000 kg e a massa do vagao B é 13000 kg Quando os igura hs freios séo acionados repentinamente uma forga de frenagem cons tante de 20 kN é aplicada a cada vagiio Determine a 0 tempo ne 70 kmh cessdrio para o trem parar aps 0 acionamento dos freios b a forga A 18000 kg B 13000 ke no engate entre os vagdes durante a desaceleragao do trem 13130 Resolva o Problema 13129 considerando que a forga de frenagem Se eee constante de 20 kN é aplicada no carro B mas que os freios no carro A nao sao aplicados Figura P13129 13131 Um caminhaobati com um cavalo mecanico de 2000 kg um bat 90 kinh 8000 kg viaja em uma estrada nivelada a 90 kmh Os freios da carre ta do bat traseiro falham e o sistema antiderrapagem do cavalomecé 8000 kg nico fornece a maior fora possivel para evitar que as rodas deslizem 2000 kg RAIFELINES Sabendo que o coeficiente de atrito estatico é 065 determine a o pL 9 Zs JL UC menor tempo necessario para o caminhao parar b a forga no engate durante esse tempo Figura P13131 13132 Um cilindro C de 8 kg repousa sobre uma plataforma A de 4 kg sus tentada por uma corda que passa sobre as roldanas D e E e é presa aum bloco B de 4 kg Sabendo que o sistema é liberado do repouso determine a a velocidade do bloco B apés 08 s b a forga exercida pelo cilindro sobre a plataforma D E s U omy J AY 4kg 15 kg Figura P13132 13133 O sistema mostrado na figura é liberado do repouso Determine o 1a tempo necessario para a velocidade de A atingir 1 ms Despreze o atrito e a massa das roldanas Figura P13133 820 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica PN 13134 Um colar de 2 kg pode deslizar sobre uma barra vertical sem atrito e p esté sujeito a uma forca P cuja intensidade varia como mostrado na figura Sabendo que o colar esta inicialmente em repouso determine sua velocidade em at 2sebt 3s 50 1962 N 13135 Um colar de 2 kg pode deslizar sobre uma barra vertical sem atrito e esté sujeito a uma forga P cuja intensidade varia como mostrado 0 1 2 3 ts na figura Sabendo que o colar esta inicialmente em repouso de termine a a maxima velocidade do colar b 0 tempo em que a Figura P13134 e P13135 velocidade é zero 13136 Um bloco de 1274 kg em repouso é acionado por uma forga P que varia como mostrado na figura Sabendo que os coeficientes de atrito P entre o bloco e a superficie sao 050 w 040 determine a o 1274 ka 2 aos q tempo no qual o bloco comegaré a se mover b a velocidade maxima alcangada do bloco c o tempo no qual 0 bloco vai parar de se mover PN 13137 Resolva o Problema 13136 considerando que o peso do bloco é 1784 100 F kg 13138 Um modelo simplificado baseado em uma linha reta deve ser obtido para a variacao de pressdo dentro do cano de um rifle de 10 mm de diametro durante o disparo de uma bala de 20 g Sabendo que leva 16 ms para a bala percorrer 0 comprimento do cano e que a veloci t s dade da bala na saida é de 700 ms determine o valor de py 0 8 16 Figura P13136 e P13137 p MPa Po r 16 t ms Figura P13138 13139 O seguinte modelo matematico foi sugerido para a variagao na pressaio dentro do diémetro de 10 mm do cano de um rifle quando uma bala de 25 g é disparada pt 950 MPae 18 onde t é expresso em ms Sabendo que leva 144 ms para a bala per correr 0 comprimento do cano e que a velocidade da bala na saida é de 520 ms determine o erro percentual introduzido se a equagiio 12 ms Zs 0 acima é usado para calcular a velocidade no bocal do rifle 10 ms es LAOS 13140 O salto triplo é uma prova do atletismo em que o atleta faz uma cor ya rida de arrancada e tenta se projetar o mais longe possivel com um Linha ra salto inicial dois passos e um salto final A figura mostra o salto inicial de salto do atleta Admitindo que ele se aproxime da linha de salto vindo da LA esquerda com uma velocidade horizontal de 10 ms que permanega em contato com o solo por 018 s e salte com um Angulo de 50 a uma velocidade de 12 ms determine o componente vertical da forga Figura P13140 impulsiva média exercida pelo solo sobre seu pé Dé sua resposta em termos do peso W do atleta Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 821 13141 A dltima parte da prova de salto triplo do atletismo é o salto final em que o atleta faz o tltimo salto e aterrissa em uma caixa de areia Con 9 mS siderando que a velocidade de um atleta de 90 kg justamente antes de A aterrissar é de 9 ms a um Angulo de 35 com a horizontal e que o atleta para por completo em 022 s apés a aterrissagem determine 0 com e ponente horizontal da forga impulsiva média exercida sobre seus pés Oa durante a aterrissagem oN 13142 Uma estimativa da carga esperada sobre cintos de seguranga é feita Caixa de areia antes de se desenhar protétipos de cintos que serio avaliados em tes tes de impacto com automéveis Admitindo que um automével que Figura P13141 roda a 70 kmh seja parado em 110 ms determine a a forca impul siva média exercida por um homem de 100 kg sobre o cinto e b a forga maxima F exercida sobre o cinto caso o diagrama forgatempo tenha a forma mostrada na figura go a F N ff hh AA Ss F Oo 5 ap tk se ll eo iy OL re La 4 4 s ms 0 110 Figura P13142 13143 Uma bola de golfe de 46 g é golpeada com um taco de golfe e 0 deixa auma velocidade de 50 ms Consideramos que para 0 t ty onde yy t a duracao do impacto a intensidade F da forga exercida na bola pode ser expressa como F F sen att Sabendo que t 05 ms determine o maximo valor de F da forga exercida na bola f 13144 Oprojeto para uma nova protese de quadril esta sendo estudado usan do um instrumento de insercdo e um fémur fixo falso Considerando que o pungao aplica uma forca média de 2 kN durante um tempo de 2 ms sobre a protese de 200 g determine a a velocidade da prétese Figura P13144 imediatamente depois do impacto b a resisténcia média da protese para penetragao se esta move mm antes de entrar em repouso 13145 Um vagio ferrovidrio de 20 Mg movendo a 4 kinh é acoplado a um vagiio ferrovidrio de 40 Mg que esté em repouso com as rodas travadas uy 930 Determine a a velocidade dos carros depois que acopla mento for completado b 0 tempo que os carros levam para ficar em repouso 4kmh 40 Mg a ee o1 S Gag ees GD BS OG oD Figura P13145 822 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica N 13146 Em um cruzamento o carro B ia para o sul e 0 carro A viajava 30 para nordeste quando se envolveram em uma colisao Pela investiga rl v cao soubese que apés a batida os dois carros se engataram e derra 10 param em um Angulo de 10 para nordeste Cada motorista declarou P que dirigia 4 velocidade limite de 50 kmh e que tentou reduzir a Gy velocidade mas que nao péde evitar a batida porque o outro moto VA PH rista vinha muito mais rapido Sabendo que as massas dos carros A e Aw B eram de 1500 kg e 1200 kg respectivamente determine a que carro andava mais rapido b a velocidade do carro mais rapido se o Vp carro mais lento se deslocava na velocidade limite Fi P1314 igura P13146 13147 Uma mie e seu filho estéo esquiando juntos com a me segurando a ponta de uma corda amarrada na cintura do filho Eles estado se movendo a uma velocidade de 72 kmh na parte plana de uma trilha de esqui quando a mie observa que eles esto se aproximando de um trecho de descida Ela decide puxar a corda para reduzir a velocidade do filho Sabendo que essa manobra causa a redugao da velocidade da crianga pela metade em 3 s e desprezando o atrito determine a a velocidade da mie no final do intervalo de 3 s b 0 valor médio da tracao na corda durante o intervalo de tempo 55 kg ww 20 ke zr S XZ at Figura P13147 13148 A bala B tem massa de 15 ge os blocos A e C de 15 kg O coeficiente de atrito entre os blocos e o plano 4 025 Inicialmente a bala esta se movendo em t os blocos A e C esto em repouso Figura 1 De pois que a bala passa por meio de A ela penetra em C e todos os trés objetos param na posico mostrada na figura Figura 2 Determine a velocidade inicial da bala v Vo Bo 150 mm 1 100 mm se SF A 2 Figura P13148 13149 Duas esferas idénticas A e B cada uma com massa m esto conec tadas por uma corda inextensivel e nao elastica de comprimento L e em repouso a uma distancia a uma da outra sobre uma superficie horizontal sem atrito A esfera B recebe uma velocidade v em uma diregéo perpendicular a linha AB e se move sem atrito até atingir a posigao B quando a corda fica tensionada Determine a a intensi Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 823 dade da velocidade de cada esfera imediatamente depois que a corda fica tensionada b a energia perdida quando a corda fica tensionada w 9 B i Onr0 Figura P13149 13150 Dois nadadores A e B com massas de 76 kg e 50 kg respectivamente estaio em cantos diagonalmente opostos de um flutuador quando per cebem que o flutuador soltouse de seu ancoradouro O nadador A imediatamente comega a andar em direcao a B com velocidade de 06 ms em relagao ao flutuador Sabendo que o flutuador tem massa de 120 kg determine a a velocidade do flutuador caso B no se mova b a velocidade com que B deve andar em diregio a A para que o flutuador no se mova x B Gh i 6 A iN a s A i YY Figura P13150 13151 Uma bola de 125 g que se move a uma velocidade de 3 ms atinge uma placa de 250 g sustentada por molas Admitindo que nao haja perda de energia no impacto determine a a velocidade da bola ime diatamente apés 0 impacto b o impulso da forga exercida pela placa sobre a bola 195 a ms Figura P13151 824 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 13152 Uma bala de massa m é atirada com velocidade v formando um 4n gulo 6 com a horizontal e se aloja em um bloco de madeira de massa M O bloco pode rolar sem atrito no piso duro e é impedido por molas de atingir a parede Determine os componentes horizontal e vertical do impulso da forga exercida pelo bloco na bala vi 6 AANA yor 4 HANIA M AF ANAL NIA O000 Figura P13152 13153 A fim de testar a resisténcia ao impacto de uma corrente ela é suspensa por uma viga rigida de 120 kg apoiada em duas colunas Uma barra pre sa no tltimo elo é ento golpeada por um bloco de 30 kg que cai a uma altura de 15 m Determine o impulso inicial exercido sobre a corrente e a energia absorvida pela corrente considerando que o bloco nao da rebote na barra e que as colunas de apoio da viga so a perfeitamente rigidas e b equivalentes a duas molas perfeitamente elasticas T Q 15m d a Figura P13153 13154 Um jogador de beisebol ao pegar uma bola pode amortecer 0 impac to levando sua mio para tras Considerando que uma bola de 140 g atinge sua luva a 140 kmh e que o jogador puxa sua mao para tras du rante o impacto a uma velocidade média de 9 ms por uma distncia de 150 mm fazendo a bola parar determine a forga impulsiva média exercida sobre a mio do jogador ay oy 150 mm SR se 140 kmh ia a oe ee Diet Figura P13154 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 825 1312 Impacto Uma colisao entre dois corpos que ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno e durante o qual os dois corpos exercem forgas relativa mente grandes um sobre o outro é denominada impacto A normal co mum as superficies em contato durante o impacto é denominada linha de impacto Se os centros de massa dos dois corpos em colisao esto loca lizados sobre essa linha o impacto é chamado de impacto central Caso contrario o impacto é dito excéntrico Nosso estudo se limitaré aqui ao impacto central de duas particulas A anélise do impacto excéntrico de dois corpos rigidos sera considerada posteriormente na Seco 1712 we se ae s 7 Se VE Ua 7 a Impacto central direto b Impacto central obliquo Figura 1320 Se as velocidades das duas particulas sao orientadas ao longo da linha de impacto o impacto é denominado impacto direto Fig 1320a se uma ou ambas as particulas se inovem ao longo de outra linha que nao a linha de impacto é denominado impacto obliquo Fig 1320b 1313 Impacto central direto Considere duas particulas A e B de massas m e m que se movem na mesma linha reta e a direita com velocidades conhecidas v e v Fig 1321a Se v é maior que v a particula A finalmente atingiré a par ticula B Sob o impacto as duas particulas se deformardo e ao final do periodo de deformacio elas teraio a mesma velocidade u Fig 1321b Tem inicio entéo um periodo de restituigao ao final do qual dependen 7 do da intensidade das forgas de impacto e dos materiais envolvidos as duas particulas retomarao a sua forma original ou ficaraio permanente a Antes do impacto mente deformadas Nosso propésito aqui é determinar as velocidades vj e v das particulas ao final do periodo de restituigao Fig 1321c Considerando primeiro as duas particulas como um tinico sistema notamos que nao ha forca externa impulsiva Logo a quantidade de mo ay il pW vimento total das duas particulas se conserva e escrevemos b Na deformagio maxima MaVa MgVg Mav MpgvzZ v Vv Como todas as velocidades consideradas esto orientadas ao longo do mesmo eixo podemos substituir a equacao obtida pela seguinte relagiao envolvendo apenas componentes escalares Mav Mpgbg mav 4 Mp 1337 c Apés o impacto Figura 1321 826 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Um valor positivo para qualquer das grandezas escalares v4 Up U4 OU Uz significa que o vetor correspondente é direcionado para a direita um valor negativo indica que o vetor correspondente é direcionado para a esquerda Para obter as velocidades v e v é necessdrio estabelecer uma segunda relagdo entre os escalares uv vz Com esse objetivo consideremos 0 mo vimento da particula A durante o perfodo de deformacao e apliquemos o principio de impulso e quantidade de movimento Desde que a tinica forga impulsiva que age sobre A durante esse periodo é a forga P exercida por B Fig 1322a escrevemos usando de novo componentes escalares mava J P dt mau 1338 onde a integral se estende sobre o periodo de deformagao Considerando agora 0 movimento de A durante o periodo de restituicao e represen tando por R a forga exercida por B sobre A durante esse periodo Fig 1322b escrevemos mau J Rdt mgvh 1339 onde a integral se estende sobre o periodo de restituigio 4 TA 2 I Pdt mau YAY A A a Perfodo de deformacao mau JR dt fr MaVa A A Ay b Perfodo de restituicao Figura 1322 Em geral a forca R exercida sobre A durante o periodo de restitui cao é diferente da forga P exercida durante o perfodo de deformagao e a intensidade f P dt do seu impulso é menor que a intensidade fP dt do im pulso de P A razio entre as intensidades dos impulsos correspondentes respectivamente ao periodo de restituigao e ao periodo de deformacao é denominada coeficiente de restituigao e é representada por e Escrevemos fRdt 1340 e 134 fPdt O valor do coeficiente de restituigao e esté sempre entre 0 e 1 Ele de pende em grande parte dos dois materiais envolvidos mas também varia significativamente com a velocidade de impacto e com o formato e tama nho dos dois corpos em colisao Resolvendo as Eqs1338 e 1339 para os dois impulsos e substi tuindo na Eq 1340 escrevemos u v4 e 1341 va U Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 827 Uma andlise semelhante da particula B conduz a relagao Up U e 1342 uU UB Como os quocientes em 1341 e 1342 sao iguais eles também sao iguais ao quociente obtido somandose respectivamente seus numera dores e seus denominadores Temos entao e u v4 vg U OB VA C x v4 u u vg Va Vp bs e an 2 e Ce ee ee v U e04 Uz 1343 PD ro e ns C3 Uma vez que vz v4 representa a velocidade relativa das duas particu S las apés 0 impacto e v vz representa sua velocidade relativa antes do Foto 133 A altura que a bola de ténis quica impacto a Eq 1343 expressa que a velocidade relativa das duas par decresce depois de cada impacto porque seu ticulas apés 0 impacto pode ser obtida multiplicandose sua velocidade Coeficiente de restituigao é menor que um e a relativa antes do impacto pelo coeficiente de restituigdo Essa proprieda 9ia perdida a cada pulo de é usada para determinar experimentalmente o valor do coeficiente de restituigao de dois materiais dados As velocidades de duas particulas apdés 0 impacto podem agora ser obtidas resolvendo as Eqs 1337 e 1343 simultaneamente para v e v Relembremos que a dedugao das Eqs 1337 e 1343 baseouse na consideragio de que a particula B esta localizada a direita de A e que ambas as particulas estéo se movendo inicialmente para a direita Se a particula B se move inicialmente para a esquerda o escalar v deve ser considerado negativo A mesma convengao de sinais vale para as veloci dades ap6s 0 impacto um sinal positivo para v indicara que a particula A movese para a direita apds o impacto e um sinal negativo indicaré que ela se move para a esquerda Dois casos particulares de impacto so de especial interesse 1 e 0 Impacto perfeitamente plastico Quando e 0 a Eq 1343 fornece v v4 Nao ha periodo de restituigéo e ambas as particu las ficam juntas apds o impacto Substituindo v v4 v na Eq 1337 que expressa a conservacaio da quantidade de movimento to tal das particulas escrevemos MU Mg My Mv 1344 Essa equagio pode ser resolvida para a velocidade comum v das duas particulas apdés o impacto 2 e 1 Impacto perfeitamente eldstico Quando e 1 a Eq 1343 reduzse a Vz Uy Vy Vz 1345 que expressa que as velocidades relativas antes e depois do impac to so iguais Os impulsos recebidos pelas particulas durante o pe riodo de deformagao e durante o periodo de restituigdo sdo iguais As particulas movemse para longe uma da outra apés 0 impacto com 828 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica a mesma velocidade relativa com que elas se aproximaram antes do impacto As velocidades v e vu podem ser obtidas resolvendo as Eqs 1337 e 1345 simultaneamente Vale a pena notar que no caso de um impacto perfeitamente eldstico a energia total das duas particulas se conserva bem como sua quanti dade de movimento total As Eqs 1337 e 1345 podem ser escritas como M0 04 M0z Vz 1337 V tv 1345 Multiplicando 1337 e 1345 membro a membro temos malva VAO4 04 Mplvg Opvp vp mv Mgvh mpvp Mpo Reordenando os termos da equacao obtida e multiplicando por 5 escre vemos 1 2 4d 9 1 241 2 IM4Va ZMpvB gMvA zmpvp 1346 que expressa que a energia cinética das particulas se conserva Todavia devese notar que no caso geral de impacto isto é quando e é diferente de 1 a energia total das particulas nao se conserva Isso pode ser ve rificado em qualquer caso comparandose as energias cinéticas antes e depois do impacto A perda de energia cinética é em parte transformada em calor e em parte gasta na geracao de ondas elasticas dentro dos dois corpos em colisao 1314 Impacto central obliquo Consideremos agora 0 caso em que as velocidades das duas particulas em colisio ndo esto orientadas ao longo da linha de impacto Fig 1323 Conforme indicado na Seco 1312 o impacto é dito obliquo Como as velocidades vi e v das particulas apds 0 impacto sao desconhecidas tanto em diregao quanto em intensidade sua determinagio requereré 0 uso de quatro equagdes independentes Vi B NA t WP Ks 6k re od on s Mf x S Figura 1323 Foto 134 Quando uma bola de bilhar Escolhemos como eixos de coordenadas 0 eixo n ao longo da linha de atinge outra hé uma transferéncia de impacto isto é ao longo da normal comum as superficies em contato e quantidade de movimento o eixo ao longo de sua tangente comum Admitindo que as particulas Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 829 n Mpv t 1 UBY B MpYB 4 Ca er MAVA MAVA Figura 1324 sejam perfeitamente lisas e sem atrito observamos que os tinicos impul sos exercidos sobre as particulas durante o impacto devemse as forgas internas orientadas ao longo da linha de impacto isto é ao longo do eixo n Fig 1324 Seguese que 1 o componente ao longo do eixo t da quantidade de movimento de cada particula considerada separadamente conservase portanto o componente t da velocidade de cada particula permanece inalterado Escrevemos vale WA vp UB 1347 2 O componente ao longo do eixo n da quantidade de movimento total das duas particulas conservase Escrevemos MaOan MpUpn MaVAn mpUBn 1348 3 O componente ao longo do eixo n da velocidade relativa das duas particulas apés o impacto é obtido multiplicandose 0 componente n de sua velocidade relativa antes do impacto pelo coeficiente de resti tuigaio De fato uma dedugao semelhante a dada na Segao 1313 para o impacto central direto fornece UBn O4n elvan vpn 1349 Logo obtivemos quatro equagées independentes que podem ser resolvidas para os componentes de velocidade de A e B apés o impac to Esse método de solugao esté exemplificado no Problema Resolvido 1315 Nossa anélise do impacto central obliquo de duas particulas baseouse até agora na hipotese de que ambas as particulas moviamse livremente antes e depois do impacto Examinemos ento 0 caso em que uma ou am bas as particulas em colisao estejam restringidas em seu movimento Con of sidere por exemplo a colisao entre o bloco A que é obrigado a moverse Gk sobre uma superficie horizontal e a bola B que é livre para moverse no XK plano da figura Fig 1325 Considerando que nao ha atrito entre o bloco Ne e a bola ou entre o bloco e a superficie horizontal notamos que os impul sos exercidos sobre o sistema consistem dos impulsos das forgas internas Figura 1325 F e F orientados ao longo da linha de impacto isto 6 ao longo do eixo n e do impulso da forga externa F exercida pela superficie horizontal sobre o bloco A e orientada ao longo da vertical Fig 1326 As velocidades do bloco A e da bola B imediatamente apés 0 impacto sio representadas por trés incégnitas a intensidade da velocidade v do bloco A que é conhecida como horizontal e a intensidade e direcao da 830 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica MpvVB y t t t n FAt ZO n MaAVA B 4 y B y y n I iN 4 aL AVA ww ih Foy At Figura 1326 velocidade v da bola B Devemos portanto escrever trés equacdes para expressar que 1 O componente ao longo do eixo da quantidade de movimento da bola B conservase logo o componente da velocidade da bola B permanece inalterado Escrevemos ugh op 1350 2 O componente ao longo do eixo horizontal x da quantidade de movi mento total do bloco A e da bola B conservase Escrevemos Mav mpvgy MAv4 MpvBx 1351 3 O componente ao longo do eixo n da velocidade relativa do bloco A e bola B apés o impacto é obtido multiplicandose o componente n de sua velocidade relativa antes do impacto pelo coeficiente de restitui cao Novamente escrevemos UBn OAn elv4n vgnl 1349 Devemos notar entretanto que no caso aqui considerado a validade da Eq 1349 nao pode ser estabelecida por mera extensio da dedugao apresentada na Secao 1313 para o impacto central direto de duas particu las movendose em linha reta De fato essas particulas nfo estavam sujei tas a nenhum impulso externo ao passo que o bloco A da presente anélise esta sujeito ao impulso exercido pela superficie horizontal Para demonstrar que a Eq 1349 ainda é valida aplicaremos antes 0 principio de impulso e quantidade de movimento ao bloco A durante o perfodo de deformagao Fig 1327 Considerando apenas Os componentes horizontais escrevemos maby f P dt cos 6 mau 1352 onde a integral estendese sobre o periodo de deformagio e onde u re presenta a velocidade do bloco A ao final daquele periodo Considerando agora o periodo de restituigao escrevemos de modo semelhante Si Pdt 40 MaVa 6 mau x I Pot dt Figura 1327 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 831 mau f R dt cos 8 myvh 1353 onde a integral estendese sobre 0 periodo de restituicao Relembrando da Secao 1313 a definigdo do coeficiente de restitui ao escrevemos Rat 1340 fPdt Resolvendo as Eqs 1352 e 1353 para as integrais P dt e JR dt e substituindo na Eq 1340 obtemos apds reduces uv e4 Ca U ou multiplicando todas as velocidades por cos 6 para obter suas proje 6es sobre a linha de impacto af p ta in 1354 van Un Observamos que a Eq 1354 é idéntica a Eq 1341 da Secgdo 1313 exceto pelos subscritos n que foram usados aqui para indicar que estamos considerando componentes de velocidade ao longo da linha de impac to Como o movimento da bola B é irrestrito a demonstragdo da Eq 1349 pode ser completada da mesma maneira que na dedugao da Eq 1343 da Segao 1313 Logo concluimos que a relacao 1349 entre os componentes ao longo da linha de impacto das velocidades relativas de duas particulas em coliséo permanece valida quando uma das particulas é restringida em seu movimento A validade dessa relacao é facilmente estendida ao caso em que ambas as particulas estéo restringidas em seu movimento 1315 Problemas envolvendo energia e quantidade de movimento Temos agora a nossa disposigao trés métodos diferentes para a solucao de problemas de Cinética a aplicacgao direta da segunda lei de Newton XF ma o método de trabalho e energia e o método de impulso e quantidade de movimento Para tirar o méximo proveito desses trés mé todos vocé deve estar apto a escolher o mais adequado a solugao de um dado problema Vocé também deve estar preparado para usar diferentes métodos para a solucao das varias partes de um problema quando tal procedimento parecer apropriado Vocé jA observou que o método de trabalho e energia é em muitos casos mais rapido que a aplicagao direta da segunda lei de Newton To davia conforme indicado na Seao 134 o método de trabalho e ener gia tem limitagdes e deve ser frequentemente suplementado pelo uso de XF ma Esse é 0 caso por exemplo quando vocé deseja determinar uma aceleracao ou forga normal Para a solugao de problemas que nao envolvam forgas impulsivas usualmente se concluira que a equagao SF ma fornece uma solucao tao rapidamente quanto o método de impulso e quantidade de movi mento e que o método de trabalho e energia se aplicdvel é mais rapi do e mais conveniente Em problemas de impacto porém o método de impulso e quantidade de movimento é 0 tinico praticavel Uma solucao 832 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica baseada na aplicagao direta de YF ma seria dificil e o método de tra balho e energia nao pode ser usado pois o impacto com excegiio do per feitamente eldstico ocasiona uma perda de energia mecAnica Muitos problemas envolvem apenas forgas conservativas exceto por uma curta fase de impacto durante a qual forgas impulsivas atuam A resolugao de tais problemas pode ser dividida em varias partes A parte correspondente a fase de impacto pede o uso do método de impulso e quantidade de movimento e das relagGes entre velocidades relativas e as demais partes podem normalmente ser resolvidas pelo método de traba lho e energia Todavia se os problemas envolvem a determinagiao de uma forca normal 0 uso de F ma é necessario Considere por exemplo um péndulo A de massa m e comprimen to 1 que é liberado sem velocidade de uma posicao A Fig 1328a O péndulo oscila livremente em um plano vertical e bate em um segundo péndulo B de massa m e mesmo comprimento I que esta inicialmente em repouso Apés o impacto com coeficiente de restituigio e o péndu lo B oscila de um Angulo 6 que desejamos determinar A solucao do problema pode ser dividida em trés partes 1 Balango do péndulo A de A até A O principio de conservacio de energia pode ser usado para determinar a velocidade v do péndu lo em A Fig 1328 2 Batida do péndulo A no péndulo B Usando o fato de que a quanti dade de movimento total dos dois péndulos se conserva e da relagao entre suas velocidades relativas determinamos as velocidades v e v3 dois péndulos apés 0 impacto Fig 1328c 3 Balango do péndulo B de B até B Aplicando o principio de conser vacao da energia ao péndulo B determinamos a elevaco maxima y alcangada por aquele péndulo Fig 1328d O Angulo 6 pode ento ser determinado por trigonometria Impacto Conservagaio Conservacio da quantidade de movimento Conservagaio de energia Velocidades relativas de energia I SS SL Ay l v4 0 l I 1 l 1 l J Y4 vao vgo 0 vas vp3 By Ag Bs A3 Bs As a b c d Figura 1328 Observamos que caso as tensdes nas cordas que seguram os péndu los tenham que ser determinadas 0 método de solugao descrito anterior mente deverd ser suplementado pelo uso de YF ma PROBLEMA RESOLVIDO 1313 Um vagio ferrovidrio de 20 Mg movese a uma velocidade de 05 ms para a direita quando colide com um vagiio de 35 Mg que esté em repouso Se apds a colisio o vagiio de 35 Mg é observado movendose para a direita a uma ve locidade de 03 ms determine o coeficiente de restituigéo entre os vagées SOLUCAO Expressamos que a quantidade de movimento total dos dois vagGes se conserva va 05 ms vz 0 vA vz 03 ms os P P j MaAVa MVR MAVA MpVR MV MgVz MV MzyVe 20 Mg05 ms 35 Mg0 20 Mgo 35 Mg03 ms v 0025 ms vi 0025 ms O coeficiente de restituigao é obtido escrevendose OR U 03 0025 0325 o PBA 03 0025 0825 gos Da UB 05 0 05 PROBLEMA RESOLVIDO 1314 Uma bola é arremessada contra uma parede vertical sem atrito Logo antes que a bola atinja a parede sua velocidade tem uma intensidade v e faz um Angulo de 30 com a horizontal Sabendose que e 090 determine a in tensidade e a diregao da velocidade da bola apés 0 rebote na parede SOLUCAO Decompomos a velocidade inicial da bola em componentes perpendicular e paralelo 4 parede respectivamente U v cos 30 0866v vo v sen 30 0500v aN Movimento paralelo 4 parede Como aparede é sem atrito o impulso A que ela exerce sobre a bola é perpendicular a parede Logo o componente N paralelo 4 parede da quantidade de movimento da bola se conserva e temos Vn oo an v v 0500v 7 A 30 he Movimento perpendicular G parede Como a massa da parede e da 05000 Terra é essencialmente infinita a expressio de que a quantidade de movi Wee mento total da bola e da parede se conserva nao fornecera informacao ttil we Usando a relacao 1349 entre as velocidades relativas escrevemos 327 et 0 vo ev 0 07790 SS v 0900866v 07790 vi 07790 Uo Movimento resultante Somando vetorialmente os componentes v e v v 09260 SW 327 A B PROBLEMA RESOLVIDO 1315 A intensidade e a direcao das velocidades de duas bolas idénticas sem atri 30 60 to antes de se chocarem estéo mostradas na figura Admitindo que e X 090 determine a intensidade e a diregio da velocidade de cada bola apés 9ms VA vp 12 ms o impacto SOLUCAO t As forgas impulsivas que as bolas exercem entre si durante o impacto estio A B orientadas ao longo da linha que liga os centros das bolas denominada linha i i de impacto Decompondo as velocidades em componentes orientados res Pon pectivamente ao longo da linha de impacto e ao longo da tangente comum 30 60 as superficies em contato escrevemos v 9ms X v4 V cos 30 779 ms vg 12 ms o U4 UV sen 30 45 ms vg U cos 60 6 ms Ug Oz sen 60 1039 ms Principio de impulso e quantidade de movimento Nos esbocos ad jacentes mostramos em sequéncia as quantidades iniciais de movimento os impulsos e as quantidades de movimento finais Movimento ao longo da tangente comum Considerando apenas os componentes em aplicamos o principio de impulso e quantidade de mo vimento a cada bola separadamente Como as forgas impulsivas estéo orien tadas ao longo da linha de impacto o componente t da quantidade de movi mento e portanto o componente da velocidade de cada bola permanece inalterado Temos vi 45 ms F v 1039 ms t Movimento ao longo da linha de impacto Na direcdo n con sideramos as duas bolas como um sistema tinico e notamos pela ter ceira lei de Newton que os impulsos internos sao respectivamente F Ate F Ate se cancelam Escrevemos entéo que a quantidade de movi mento total das bolas se conserva Maly MpUpn MaOAn MpOp m779 m6 mv mvp v4 vg 79 1 Vp 1258 ms Usando a relacao 1349 entre velocidades relativas escrevemos 1os9p Ng op Dy elle p Up On 090779 6 v 1241 2 vi 696 ms Cp Wah 2 fp Resolvendo as Eqs 1 e 2 simultaneamente obtemos 45 t v 7531 vz 71 ee P 556 vi 531 ms vp 71 ms 531 71 Movimento resultante Somando vetorialmente os componentes de ve locidade de cada bola obtemos v 696 ms S 403 v 1258 ms 47556 4 PROBLEMA RESOLVIDO 1316 C a A bola B esta pendurada por uma corda inextensivel BC Uma bola idéntica A A é liberada do repouso quando apenas toca na corda e adquire uma veloci dade v antes de atingir a bola B Considerando um impacto perfeitamente eldstico e 1 sem atrito determine a velocidade de cada bola imediata A mente apés o impacto B SOLUCAO r Como a bola B esté obrigada a se mover em um circulo de centro C sua velocidade v apds 0 impacto deve ser horizontal Logo o problema envolve A sen 05 trés incégnitas a intensidade v da velocidade de B a intensidade e a dire WwW 4 he cao da velocidade vide A apds o impacto 2r B Principio de impulso e quantidade de movimento bola A n Mvo mv F At mv 309 MV n A N componentes emt mv sen 30 0 mw Ae A v1 05v 1 t t mVAh Qbservamos que a equacio usada expressa a conservagaéo da quantidade de tn FAt movimento da bola A ao longo da tangente comum as bolas A e B Principio de impulso e quantidade de movimento bolas A e B mv T At mv mvp componentes em x 0 mv cos 30 mv sen 30 mvp mo TAt mvn Observamos que a equagao obtida expressa a conservagio da quantidade de t movimento total na diregao x Substituindo v da Eq 1 e reordenando os A A 4 J 30 termos escrevemos B B sB nv mvp mvar 05v vf 04330 2 Velocidades relativas ao longo da linha de impacto Comoe 1 a Eq 1349 fornece UBn WAn Wan UBn Vv Vo 30 vn vp sen 30 v4 Vo cos 30 0 3 sh 0504 vk 0866vp A Pa vay Resolvendo as Eqs 2 e 3 simultaneamente obtemos VB Jo v4 0520v vg 0693v5 B 0693 vA 0520v9 VB Lo A VA Retomando a Eq 1 desenhamos 0 esbogo adjacente e obtemos por trigo V foo nometria n B t oh 0721vo B 461 a 461 30 161 v4 050 vi 072lvy 2 161 30 kg PROBLEMA RESOLVIDO 1317 A ee Um bloco de 30 kg é solto de uma altura de 2 m sobre o prato de 10 kg B10kg t 2m de uma balanga de mola Considerando que o impacto seja perfeitamente plastico determine a maxima deflexio do prato A constante da mola é k 20kNm SOLUCAO O impacto entre o bloco e o prato precisa ser tratado separadamente logo dividimos a solugiio em trés partes Conservagao Impacto quantidade de Conservagao de energia movimento total conservada de energia ae de YA Nenhuma TO re feréncia etormagao da mola 2m Ace a2 Gott ttttt BEY 0 2 0 0 oe ont tt meh 17 2 3 i Conservagdo da energia Bloco W 30 kg981 ms 294N T 4mv 0 V Wyy 294N2 m 588 J T FM 04 530 kgv3 V 0 TV TV 0588 J430kgv5 0 v 626 ms v 626 ms L Impacto conservacgdo da quantidade de movimento Como 0 im pacto é perfeitamente plastico e 0 0 bloco e o prato movemse juntos apos 0 impacto MU4o Mp Ug M Mg 30 kg626 ms 0 30 kg 10 kg v470 ms v 470 ms L Conservagdo da energia Inicialmente a mola sustenta 0 peso W do prato logo a deflexao inicial da mola é 10 kg981 ms x We DORBMOSI mis 9BIN 4 91 105 m k 20 x 10 Nm 20 x 10 Nm Representando por x a deflexfio maxima total da mola escrevemos T 4m m03 430 kg 10 kg470 ms 442 VV V 05kx 20x 10491 x 10 0241 T 0 V V V W W h bkx 392h 4 20 10x Notando que o deslocamento do prato 6 h x x3 escrevemos TVTV 442 0241 0392x 491 x 10 420 x 10 x x 0230 m hxx 0230m491x 107 m h0225 m h225mm 4 pst ligaio trata do impacto de dois corpos isto é da colisio que ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno Vocé resolvera diversos problemas sobre impacto expressando que a quantidade de movimento total dos dois corpos se conserva e observando a relagao que existe entre as velocidades relativas dos dois corpos antes e depois do impacto 1 Como primeiro passo em sua resolucdo vocé deve selecionar e desenhar os seguintes eixos de coordenadas 0 eixo t tangente as superficies de contato dos dois corpos em colisio e o eixo n normal as superficies de contato e que define a linha de impacto Em todos os problemas desta ligao a linha de impacto passa pelo centro de massa dos corpos em coliséo e 0 impacto é referido como um impacto central 2 Em seguida vocé desenharad um diagrama mostrando as quantidades de movimento dos corpos antes do impacto os impulsos exercidos sobre os corpos durante 0 impacto e as quan tidades de movimento finais dos corpos apés o impacto Fig 1324 Vocé observara entiio se o impacto é um impacto central direto ou um impacto central obliquo 3 Impacto central direto Ocorre quando as velocidades dos corpos A e B antes do impacto esto ambas orientadas ao longo da linha de impacto Fig 1320a a Conservagdo da quantidade de movimento Como as forcas impulsivas sio in ternas ao sistema vocé pode escrever que a quantidade de movimento total de A e B se conserva MV Mgv Mv MyVv 1337 onde v e v representam as velocidades dos corpos A e B antes do impacto e v e vz representam suas velocidades ap6s 0 impacto b Coeficiente de restituigado Vocé também pode escrever a seguinte relagio entre as velocidades relativas dos dois corpos antes e depois do impacto UB UA ev4 Up 1343 onde e representa 0 coeficiente de restituigaio entre os dois corpos Note que as Eqs 1337 e 1343 sao equagdes escalares que podem ser resolvidas para duas incdgnitas Além disso preste atengdo para adotar uma convencio de sinais que seja consistente para todas as velocidades 4 Impacto central obliquo Ocorre quando uma ou ambas as velocidades iniciais dos dois corpos ndo estéo orientadas ao longo da linha de impacto Fig 1320b Para resolver problemas deste tipo vocé deve primeiro obter os componentes ao longo do eixo t e do eixo n das quantidades de movimento e impulsos mostrados em seu diagrama continua a Conservacdo da quantidade de movimento Como as forcas impulsivas agem ao longo da linha de impacto isto é ao longo do eixo n os componentes ao longo do eixo da quanti dade de movimento de cada corpo se conserva Logo vocé pode escrever para cada corpo que os componentes em de sua velocidade antes e depois do impacto sfo iguais vale UA OB UB 1347 Do mesmo modo 0 componente ao longo do eixo n da quantidade de movimento total do sistema se conserva MaAn MpOpn MaVAn mMpOBn 1348 b Coeficiente de restituigao A relacio entre as velocidades relativas dos dois corpos antes e depois do impacto pode ser escrita apenas na diregao n UBn VAn ean vpn 1349 Vocé tem agora quatro equagGdes que pode resolver para quatro incégnitas Note que apds encon trar todas as velocidades vocé pode determinar o impulso exercido pelo corpo A sobre 0 corpo B desenhando um diagrama de impulso e quantidade de movimento para B sozinho e equacionando os componentes na diregao n c Quando o movimento de um dos corpos em colisdo é restringido vocé deve incluir os impulsos das forgas externas em seu diagrama Vocé entao observara que algumas das relagdes anteriores nfo valem Entretanto no exemplo mostrado na Fig 1326 a quantidade de movimento total do sistema conservase em uma direcdo perpendicular ao impulso externo Vocé deve notar também que quando um corpo A dé um rebote em uma superficie fixa B a inica equa cao de conservacaio de quantidade de movimento que pode ser usada é a primeira das Eqs 1347 Problema Resolvido 1314 5 Lembrese de que ha perda de energia durante a maioria dos impactos A unica excecao é para os impactos perfeitamente eldsticos e 1 onde a energia se conserva Portanto no caso geral de impacto ondee la energia nado se conserva Logo preste atengdo para ndo aplicar o principio de conservagio da energia em uma situagao de impacto Em vez disso aplique o principio separadamente dos movimentos que precedem e seguem o impacto Problema Resol vido 1317 13155 O coeficiente de restituigado entre dois colares é 080 determine a 2 ms 15 ms suas velocidades apés 0 impacto D a energia perdida durante o im pacto 13156 Os colares A e B de mesma massa m movemse um em direcao ao 5 kg 3kg outro com as velocidades mostradas na figura Sabendo que o coefi Figura P13155 ciente de restituico entre os colares é 0 impacto plastico mostre que apés 0 impacto a a velocidade comum dos colares é igual me VA vB tade diferenga entre suas velocidades antes do impacto b a perda de energia cinética é imv at Up 13157 Dois blocos de ago estao deslizando em uma superficie horizontal Figura P13156 sem atrito com as velocidades mostradas na figura Sabendo que apés o impacto a velocidade de B observada é de 31 ms para a direita 3ms 2ms determine o coeficiente de restituicao entre os dois blocos 13158 Doi ye L7kg lkg ois blocos de ago estio deslizando em uma superficie horizontal sem atrito com as velocidades mostradas na figura Sabendo que o coeficiente de restituicgado entre os dois blocos é 075 determine a A B a velocidade de cada bloco apés cada impacto D a energia cinética Figura P13157 e P13158 perdida devida ao impacto 13159 Dois carros idénticos A e B estfio em repouso em um patio portudrio de carga com os freios livres Um carro C de estilo um pouco dife rente mas de mesma massa foi empurrado por estivadores e bate no carro B com uma velocidade de 15 ms Sabendo que o coeficiente de restituigao é de 08 entre B e C e de 05 entre A e B determine a velocidade de cada carro apés a ocorréncia de todas as colisées 15 ms A 4a B 4D C ZR Figura P13159 13160 Trés esferas de ago de massas iguais esto suspensas no teto por cor das de comprimentos iguais colocadas a uma distancia ligeiramente superior ao diametro das esferas Apés ser puxada para tras e libera da a esfera A bate na esfera B que por sua vez bate na esfera C Re ff presentando por e o coeficiente de restituigéo entre as esferas e por Vv a velocidade de A imediatamente antes de bater em B determine a as velocidades de A e B imediatamente apés a primeira colisao b as velocidades de B e C imediatamente apds a segunda colisiio a f c Considerando agora que n esferas estéio suspensas no teto e que a primeira esfera é puxada para tras e liberada como descrito anterior QO QO QO mente determine a velocidade da ultima esfera apds sofrer a primei TT A BC ra batida d Use o resultado da parte c para obter a velocidade da ultima esfera quando n 6 e e 095 Figura P13160 840 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Vo Vo 13161 Dois discos deslizam sobre um plano horizontal sem atrito com ve locidades de sentidos opostos e de mesma intensidade v e batem de frente Sabese que o disco A tem uma massa de 3 kg e observase A OC C B que ele tem velocidade nula apds 0 impacto Determine a a massa do disco B sabendo que o coeficiente de restituigao entre os dois discos é 05 e b a faixa de valores possiveis da massa de B se 0 coefi p ciente de restituicgdo entre os dois discos é desconhecido A B C C 13162 Em uma fornecedora de pegas de automdvel pacotes so transpor Figura P13161 tados para o terminal de carga sendo empurrados ao longo de uma esteira de roletes com muito pouco atrito No instante mostrado na figura os pacotes B eC estaéo em repouso e o pacote A tem uma ve locidade de 2 ms Sabendo que o coeficiente de restituigo entre os pacotes é de 03 determine a a velocidade do pacote C depois que A bate em B e B bate em C b a velocidade de A depois que ele bate em B pela segunda vez 2ms Bis 5 6060 6060 A B Cc Figura P13162 13163 Um dos requisitos para as bolas de ténis serem usadas em competi oes oficiais é que quando caem em uma superficie rigida de uma Vv altura de 25 m a altura do primeiro rebote da bola deve estar na faixa de 1325 m h 145 m Determine a faixa do coeficiente de t restituigéo da bola de ténis para satisfazer esse requisito a 13164 Mostre que para a bola que atinge uma superficie fixa sem atrito a Mostre que a percentagem perdida da energia cinética devido 6 ao impacto é 1001 e cos 6 7 13165 Uma bola A de 600 g movese com velocidade de 6 ms de intensida Vv de quando atingida por uma bola B de 1 kg que tem velocidade de 4 ms de intensidade Sabendo que o coeficiente de restituigo é 08 e desprezando 0 atrito determine a velocidade de cada bola apés o Figura P13164 impacto 50 vg 4ms va 6ms A B 40 Figura P13165 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 841 13166 Dois discos de héquei idénticos movemse sobre uma pista de héquei a uma mesma velocidade de 3 ms em sentidos paralelos e opostos quando se chocam do modo que é mostrado na figura Admitindo um B coeficiente de restituigao e 1 determine a intensidade e a direcao 20 da velocidade de cada disco apéds 0 impacto VB VA 13167 Duas bolas de bilhar idénticas de 474 mm de diametro podem mo A verse livremente em uma mesa de bilhar A bola B esta em repouso e a bola A tem uma velocidade inicial v vgi 2 Sabendo que b 40 mm ee 07 determine a velocidade de cada bola apés 0 impacto Figura P13166 b Mostre que se e 1 as velocidades finais das bolas formam um Angulo reto para todos os valores de b y B OF b Vv x Figura P13167 13168 O coeficiente de restituico é 09 entre as duas bolas de bilhar A e B de 60 mm de diametro A bola A movese na diregio mostrada na figura com velocidade de 1 ms quando bate na bola B que esté em repouso Sabendo que apds 0 impacto a bola B movese na diregao x determine a o Angulo 6 b a velocidade de B apés 0 impacto y Vp B 250 mm VA 6 eo R 150 mm x aN Figura P13168 SA 45 3 Ng 13169 Um rapaz localizado no ponto A na metade da distancia entre o cen y B tro O da parede semicircular e a prépria parede joga uma bola na pa rede em uma diregdo que forma um Angulo de 45 com OA Sabendo que depois de atingir a parede a bola ricocheteia em uma diregiao paralela a OA determine 0 coeficiente de restituigo entre abolae a Figura P13169 parede 842 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 13170 Uma garota arremessa uma bola contra uma parede inclinada a uma altura de 12 m A bola bate na parede em A com uma velocidade horizontal v de intensidade 15 ms Sabendo que o coeficiente de restituigao entre a bola e a parede é de 09 e desprezando 0 atrito determine a distancia d da base da parede ao ponto B no chao onde a bola quicara depois do rebote na parede vo y y J e a 7 12m 60 B f C Figura P13170 13171 Uma bola bate no chao em A com uma velocidade v de 16 ms aum Angulo de 60 com a horizontal Sabendo que e 06 entre a bola e o chao e que apés o rebote a bola alcanga 0 ponto B com uma veloci dade horizontal determine a as distAncias h e d b a velocidade da bola quando ela alcanga B VB a B 7 S NL vy 16 ms N h a XN 60 A 1 Figura P13171 13172 Uma esfera da o rebote mostrado na figura apés atingir um plano inclinado com uma velocidade vertical v de intensidade vy 15 ms Sabendo que a 30 ee 08 entre a esfera e o plano determine a altura h alcangada pela esfera Vo a7 pS ees Uo B hooS 13173 Umaesfera ricocheteia como mostrado na figura apos atingir um a plano inclinado com uma velocidade vertical v de intensidade vp A Determine o valor de a que maximize a distancia horizontal que a bola viaja antes de alcangar sua maxima altura h considerando que o coeficiente de restituicdo entre a bola e o chao é a e 1 b e Figura P13172 e P13173 08 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 843 13174 Um bloco B de 1 kg movese com velocidade v de intensidade Uy 2ms quando bate na esfera A de 05 kg que esté em repouso e Jo pendurada por uma corda presa em O Sabendo que px 06 entre o bloco e a superficie horizontal e que e 08 entre o bloco e a esfera determine apds 0 impacto a a altura maxima h alcangada pela esfe ra b a distancia x percorrida pelo bloco 72 13175 Um bloco B de 15 kg esta preso a uma mola indeformada de constante h A vo k 80 Nme repousa sobre uma superficie horizontal sem atrito quan on B do é atingido por um bloco A idéntico movendose a uma velocidade de 5 ms Considerando sucessivamente os casos em que 0 coeficiente de x restituigdo entre os dois blocos é 1 e 1 2 e 0 determine a a deflexiio maéxima da mola b a velocidade final do bloco A Figura P13174 13176 O bloco A é liberado do repouso e desliza para baixo na superficie de B sem atrito até atingir um batente na extremidade direita de B s O bloco A tem uma massa de 10 kg e 0 objeto B de massa de 30 kg k80Nn pode correr livremente no solo Determine as velocidades de A e B By is imediatamente apdés 0 impacto quando a e 0 b e 07 Figura P13175 a4 02m B Figura P13176 13177 Uma bola de 90 g arremessada com uma velocidade horizontal vy atinge uma placa de 720 g alojada em uma parede vertical a uma altura de 900 mm acima do chao Observase que apés 0 rebote a bola bate no chao a uma disténcia de 480 mm da parede quando a placa esta rigidamente alojada na parede Fig 1 e a uma distancia de 220 mm quando uma camada de borracha é colocada entre a placa e a parede Fig 2 Determine a 0 coeficiente de restituigao entre a bola e a placa b a velocidade inicial v da bola 720 720 g Vo Vo a pP P he o Z 90 g 90 i 900 mm 480 mm 220 mm 1 2 Figura P13177 844 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 13178 Uma esfera A de 1 kg é solta de uma altura de 5909 m sobre uma placa B de 2 kg que é suportada por um conjunto acondicionado de molas e que inicialmente esta em repouso Sabendo que o coeficiente de restituigdo entre a esfera e a placa é e 08 determine a a altura h alcangada pela esfera apds 0 rebote b a constante k de uma tinica mola equivalente ao dado conjunto se a maxima deflexao observada da placa é igual a 3h 5909 m 4 eB z A Figura P13178 e P13179 13179 Umaesfera A de 1 kg é solta de uma altura de 5909 m sobre uma placa B de 2 kg que é suportada por um conjunto acondicionado de molas e que inicialmente esté em repouso Sabendo que o conjunto de molas é equivalente a uma tinica mola de k 150 Nm determine a o valor do coeficiente de restituigo entre a esfera e a placa para que a altura h alcangada pela esfera apés o rebote seja maxima b o valor correspon dente de h c 0 valor correspondente da deflexéo maxima da placa 13180 Dois carros de mesma massa batem de frente em C Apés a colisao os carros derrapam com os freios travados e param na posigao mostrada na parte inferior da figura Sabendo que a velocidade do carro A logo antes do impacto era de 8 kmh e que 0 coeficiente de atrito cinético entre o pavimento e os pneus de ambos os carros é de 030 determi ne a a velocidade do carro B logo apés 0 impacto b o coeficiente de restituigao efetivo entre os dois carros VA VB A ao BO aE O A B ZN Cu 2m 8 nh Cc Figura P13180 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 845 13181 Os blocos A e B tém massa de 05 kg cada e o bloco C de 15 kg O coeficiente de atrito entre os blocos e o plano é py 030 Inicial mente o bloco A movese a uma velocidade v 4 ms e os blocos B e C esto em repouso Fig 1 Depois que A bate em B e B bate em C todos os trés blocos param nas posigdes mostradas Fig 2 Deter mine a os coeficientes de restituicdo entre A e B e entre B e C b 0 deslocamento x do bloco C 80 mm 80 mm bh 0 mee mm Pv J 7 80 mm 320 mm x Gj Vv 2 va 3 ms Figura P131817 aT a B 13182 Os trés blocos mostrados na figura sao idénticos Os blocos Be C Figura P13182 estéo em repouso quando o bloco B é atingido pelo bloco A que se move com uma velocidade v de 3 ms Apés o impacto considerado perfeitamente plastico e 0 a velocidade dos blocos A e B diminui 5 ms devido ao atrito enquanto o bloco C adquire velocidade até que os ra B trés blocos acabam se movendo com a mesma velocidade v Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre todas as superficies é u 020 determine a 0 tempo necessario para os trés blocos alcanga a sa rem a mesma velocidade b a distancia total que cada bloco percorre durante esse tempo Figura P13183 13183 Depois de ser empurrado pelo funciondrio de uma companhia aérea um carrinho de bagagem A vazio de 40 kg bate com uma velocidade de 5 ms em um carrinho idéntico B contendo uma mala de 15 kg vA YB equipada com rodas O impacto faz com que a mala role para a pare 115m de esquerda do carrinho B Sabendo que o coeficiente de restituigao a Ex 600 ms entre os dois carrinhos é de 080 e que o coeficiente de restituigio entre a mala e a parede do carrinho é de 030 determine a a ve 70 2 locidade do carrinho B depois que a mala bate na sua parede pela To Ch ADS primeira vez b a energia total perdida no impacto h yo 13184 Uma bala de 20 g disparada contra um bloco de madeira de 4 kg Figura P13184 suspenso pelas cordas AC e BD penetra no bloco no ponto E a meio caminho entre C e D sem atingir a corda BD Determine a a altura maxima h até onde o bloco e a bala alojada irao oscilar apds 0 impacto B e b o impulso total exercido sobre os blocos pelas duas cordas du rante o impacto aN 13185 Uma bola B de 70 g é largada de uma altura hy 15 me alcanga uma ho altura h 025 m apos dois quiques em placas idénticas de 210 g fot A placa A repousa diretamente no chao duro ao passo que a placa C al Th repousa sobre uma camada de borracha Determine a 0 coeficiente Cee 2 de restituigo entre a bola e as placas b a altura h do primeiro qui Ss que da bola Figura P13185 846 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 13186 A bola B é suspensa por uma corda inextensivel Uma bola A idéntica é liberada do repouso quando esta justamente tocando a corda e cai A de uma distancia vertical h 200 mm antes de bater na bola B Considerando e 09 e nenhum atrito determine o deslocamento vertical resultante h da bola B ha 13187 Uma esfera A de 700 g movendose com velocidade vy paralela ao ws chao atinge a face inclinada de uma cunha B de 21 kg inicialmente pa he em repouso que pode rolar livremente sobre o chao Apés 0 impac jee to observado que a esfera esté se movendo do chao diretamente B para cima Sabendo que o coeficiente de restituigdo entre a esfera e Figura P13186 acunha é e 06 determine a 0 Angulo 6 entre a face inclinada da cunha e a horizontal b a perda de energia devido ao impacto 13188 Quando a corda esté a um Angulo de a 30 a esfera A de 1 kg tem a uma velocidade v 06 ms O coeficiente de restituigdo entre A e B 4 vo cunha B de 2 kg é 08 e o comprimento da cordal 1 m A constante da mola tem um valor 1500 Nm e 6 20 Determine a velocidade de A e B imediatamente apés 0 impacto Figura P13187 J Z o en A ss B 6 Vo QO Oo Figura P13188 13189 Quando a corda esté a um Angulo de a 30 a esfera A de 05 kg tem uma velocidade v 12 ms O coeficiente de restituigo entre Ae cunha B de 09 kg é 07 e o comprimento da corda 08 m A constante da mola tem um valor 500 Nm e 6 20 Determine a velocidade de A e B imediatamente apos o impacto J ZL QO Oo A S 47 vo oe Figura P13189 Este capitulo foi dedicado ao método de trabalho e energia e ao método de impulso e quantidade de movimento Na primeira parte do capitulo estudamos o método de trabalho e energia e suas aplicagdes a anélise do movimento de particulas Consideramos primeiro uma forga F agindo sobre uma particula Ae de Trabalho de uma forca finimos o trabalho de F correspondente ao pequeno deslocamento dr Se cao 132 como sendo a grandeza dU Fdr 131 ou relembrando da definigao do produto escalar de dois vetores i Ay ss 7N dU F ds cos a 131 A y a onde a é 0 angulo entre F e dr Fig 1329 O trabalho de F durante um A a deslocamento finito de A até A representado por U foi obtido por F integracao da Eq 131 ao longo da trajetéria descrita pela particula Ag O Uj 2 Fdr 132 Figura 1329 Ay Para uma forga definida por seus componentes retangulares escrevemos Ap U42 F dx F dy F dz 132 A O trabalho do peso W de um corpo quando seu centro de gravidade Trabalho de um peso movese da elevacao y até y Fig 1330 foi obtido substituindo de FL F0eF Wna Eq 132 e integrandoos Encontramos Y2 Yi w ie A vty Yo Ai t y yy Figura 1330 848 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Mola indeformada s nnn a Ao sw Im 44 ri A 4 a a a a a a a a a a a A awww wv 42 Figura 1331 Trabalho da forgca O trabalho de uma forga F exercida por uma mola sobre um corpo A du exercida por uma mola rante um deslocamento finito do corpo Fig 1331 desde Ax x até Ax x foi obtido escrevendo dU F dx kx dx Uj2 kx dx 5kxt kx3 136 Portanto o trabalho de F é positivo quando a mola esté retornando a sua posicdo indeformada As dr sy A ro m A dé OA F fA Ue nl fo 0 M Oo Figura 1332 Trabalho da forga O trabalho da forga gravitacional F exercida por uma particula de massa gravitacional localizada em O sobre uma particula de massa m quando a tltima se desloca de A até A Fig 1332 foi obtido retomando da Segao 1210 a expressao para a intensidade de F e escrevendo GMm GMm GMmn Uig 3dr 137 rT Yr ry Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 849 A energia cinética de uma particula de massa m movendose com veloci Energia cinética dade v Secao 133 foi definida como sendo a grandeza escalar de uma particula T 5mo 139 Da segunda lei de Newton deduzimos 0 principio de trabalho e energia Principio de que afirma que a energia cinética da particula em A pode ser obtida trabalho e energia adicionandose a sua energia cinética em A o trabalho realizado durante o deslocamento de A até A pela forga F exercida sobre a particula T Ujs2 Te 1311 O método de trabalho e energia simplifica a solugo de muitos problemas Método de que lidam com forgas deslocamentos e velocidades pois nao requer a trabalho e energia determinagio de aceleragées Secao 134 Observamos também que ele envolve apenas grandezas escalares e que as forgas que nao realizam tra balho nao precisam ser consideradas Problemas Resolvidos 131 e 133 Todavia esse método precisa ser suplementado pela aplicacao direta da segunda lei de Newton para determinarse a forga normal a trajetéria da particula Problema Resolvido 134 A poténcia desenvolvida por uma maquina e sua eficiéncia mecanica fo Potncia e eficincia ram discutidas na Segao 135 A poténcia foi definida como sendo a taxa mecnica temporal de realizagao de trabalho dU Poténcia dh Fv 1312 e 1313 G onde F é a forga exercida sobre a particula e v a velocidade da particula Problema Resolvido 135 A eficiéncia mecdnica representada por 7 foi expressa como trabalho de saida 7 1315 trabalho de entrada Quando o trabalho de uma forga F é independente da trajet6ria percorri Forca conservativa da Segdes 136 e 137 a forga F é denominada fora conservativa e seu Energia potencial trabalho é igual a menos a variagao da energia potencial V associada a F Uj2 Vi Vo 1319 As seguintes expresses foram obtidas para a energia potencial associada a cada uma das forcas consideradas anteriormente Forca da gravidade peso V Wy 1316 Forga gravitacional V GMm 1317 r Forca elastica exercida por uma mola V kx 1318 850 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Substituindo U da Eq 1319 na Eq 1311 e reordenando os ter mos Secao 138 obtivemos T Vi Tz V2 1324 Principio de Este 6 0 princfpio de conservagdo da energia que afirma que quando conservacdo de energia uma particula se desloca sob a agao de forgas conservativas a soma de suas energias cinética e potencial permanece constante A aplicagao des se principio facilita a solugaéo de problemas que envolvem apenas forgas conservativas Problemas Resolvidos 136 e 137 Movimento sob Relembrando da Segio 129 que quando uma particula se desloca sob uma forca gravitacional uma forga central F sua quantidade de movimento angular em torno do centro da forca O permanece constante observamos Segdo 139 que se a forca central F também é conservativa os principios de conserva y cao da quantidade de movimento angular e de conservagao da energia podem ser usados em conjunto para analisar o movimento da particula b Problema Resolvido 138 Uma vez que a forga gravitacional exercida pela Terra sobre um veiculo espacial é tanto central como conservativa P essa abordagem foi usada no estudo do movimento de tais vefculos Pro blema Resolvido 139 e verificouse que ela é particularmente efetiva no caso de um langamento obliquo Considerando a posigao inicial P e uma r vo posicio arbitraria P do veiculo Fig 1333 escrevemos pa Hoy Ho rpmv sen by rmv sen d 1325 Om by GMm GMm c a nyd1 iT 4 V THV mv tmv 1326 Po r SD Figura 1333 onde m era a massa do veiculo e M a massa da Terra Principio de impulso e A segunda parte do capitulo foi dedicada ao método de impulso e quan quantidade de movimento tidade de movimento e sua aplicagao a solugao de varios tipos de proble de uma particula as envolvendo 0 movimento de particulas A quantidade de movimento linear de uma particula foi definida Se cao 1310 como o produto mv da massa m da particula e de sua veloci dade v Da segunda lei de Newton F ma deduzimos a relacao by mv J F dt mv 1328 onde mv e mv representam a quantidade de movimento da particula em um tempo f e em um tempo respectivamente e onde a integral define 0 impulso linear da forga F durante o intervalo de tempo corres pondente Escrevemos portanto mv Imp mv2 1330 que expressa o principio de impulso e de quantidade de movimento para uma particula Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 851 Quando a particula considerada esta sujeita a diversas forgas a soma dos impulsos dessas forgas deve ser usada obtivemos mv X Imp mv 1332 Como as Eqs 1330 e 1332 envolvem grandezas vetoriais é ne cessdrio considerar seus componentes x e y separadamente ao aplicdlas a solugao de um dado problema Problemas Resolvidos 1310 e 1311 O método de impulso e de quantidade de movimento é particularmente Movimento impulsivo efetivo no estudo do movimento impulsivo de uma particula quando for cas muito grandes chamadas forgas impulsivas sio aplicadas durante um intervalo de tempo muito pequeno At pois o método envolve os impul sos F At das forgas em lugar das préprias forgas Segao 1311 Despre zando o impulso de qualquer forga nao impulsiva escrevemos mv XF At mv 1335 No caso do movimento impulsivo de diversas particulas obtivemos Xmv LF At Xmv 1336 onde o segundo termo envolve apenas foras impulsivas externas Pro blema Resolvido 1312 No caso particular em que a soma dos impulsos das forgas externas é nula a Eq 1336 reduzse a Xmv Ymv ou seja a quantidade de movimento total das particulas se conserva Nas Segdes de 1312 a 1314 consideramos 0 impacto central de Impacto central direto dois corpos em coliséo No caso de um impacto central direto Segao 1313 os dois corpos em coliséo A e B moviamse ao longo da linha de impacto com velocidades v e vz respectivamente Fig 1334 Duas equacgées podiam ser usadas para determinar suas velocidades vi e v apos o impacto 4 wr oe A VB a ss VA Zz Zz Figura 1334 852 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica A primeira expressava a conservacéo da quantidade de movimento dos dois corpos Mav Mpbg Mavs MpvZ 1337 onde um sinal positivo indica que a velocidade correspondente esta orientada para a direita ao passo que a segunda relacionava as velocida des relativas dos dois corpos antes e depois do impacto vp 04 eld Up 1343 A constante e é conhecida como coeficiente de restituigdo seu valor fica entre 0 e 1 e depende em grande parte dos materiais envolvidos Quando e 0 o impacto é dito perfeitamente plastico quando e 1 é dito per feitamente eldstico Problema Resolvido 1313 Impacto central obliquo No caso de um impacto central obliquo Segao 1314 as velocidades dos dois corpos em colisao antes e depois do impacto foram decompostas em componentes n ao longo da linha de impacto e em componentes ft ao longo da tangente comum as superficies em contato Fig 1335 Obser vamos que 0 componente da velocidade em t de cada corpo permanecia inalterado ao passo que os componentes em n satisfaziam equacoes si milares as Eqs 1337 e 1343 Problemas Resolvidos 1314 e 1315 Mostrouse que embora esse método tenha sido desenvolvido para cor pos que se move livremente antes e depois do impacto ele poderia ser estendido ao caso em que um ou ambos os corpos em colisio estao restri tos em seu movimento Problema Resolvido 1316 VR wrsn wre t wy wl Yes vA ff VA Figura 1335 Uso dos trés métodos Na Segiio 1315 discutimos as vantagens relativas dos trés métodos fun fundamentais de damentais apresentados neste capitulo e no capitulo anterior a saber a andlise cinética Segunda lei de Newton trabalho e energia e impulso e quantidade de movimento Observamos que 0 método de trabalho e energia e 0 méto do de impulso e quantidade de movimento podem ser combinados para resolver problemas que envolvem uma fase curta de impacto durante a qual as forgas impulsivas devem ser levadas em consideracao Problema Resolvido 1317 13190 Uma bolinha de 50 g atirada verticalmente por uma pistola de mola na superficie da Terra atinge a altura de 100 m A mesma bolinha be atirada pela mesma pistola na superficie da Lua atinge a altura de 680 m Determine a energia dissipada pelo arraste aerodinamico quando 4 a bolinha é atirada na superficie da Terra A aceleracio da gravidade FRIRINIRNI WI na superficie da Lua é 0165 vezes daquela na superficie da Terra Ee NUINN 13191 Um cabo elastico é projetado para bungee jumping em uma torre de t 40 m As especificagdes indicam que o cabo deve ter 25 m quando ees estiver indeformado e esticar até um comprimento total de 30 m Ss quando um peso de 3 kN é preso nele e cai da torre Determine a a constante da mola k do cabo necessaria b 0 quao préximo do chao um homem de 90 kg ficara se ele usar 0 cabo e pular da torre 13192 Umaesfera de ago de 50 g é presa a uma corda de 200 mm que pode balangar em volta do ponto O no plano vertical Ela esta sujeita a seu SJ proprio peso e a uma forga F exercida por um pequeno ima incorpo rado ao chao A intensidade dessa forga expressa em newtons é F Y 000024r onde r é a distancia entre o ima e a esfera expressaem Figura P13191 milimetros Sabendo que a esfera é liberada do repouso em A deter mine sua velocidade quando ela passa pelo ponto B OX 200 mm ey y 4 100 mm 12mm a Po BL eee Fe a Figura P13192 13193 Um satélite descreve uma 6rbita elfptica sobre um planeta de massa M Os valores minimos e maximos da distancia r do centro do satélite a ao planeta sao respectivamente ry e r Use os principios de conser vacao de energia e conservagio da quantidade de movimento angular para deduzir a relacao O A B 1 1 2GM 4 Tm Ty h onde h é a quantidade de movimento angular por unidade de massa do satélite e G é a constante de gravidade ry hy Figura P13193 854 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 400 km 13194 Um 6nibus espacial esta indo de encontro a uma estacao espacial que esta em O6rbita circular a uma altitude de 400 km acima da Terra O OH QD A énibus deve alcangar uma altitude de 60 km quando seus motores 7 AWN vo sao desligados no ponto B Sabendo que nesse instante a velocidade A ain Wve v do vefculo espacial forma um Angulo 55 com a vertical de termine a a intensidade da velocidade v necessaria se a trajetéria if do 6nibus deve ser tangente a 6rbita da estagio espacial em A LR a 13195 Uma bala de aco de 25 g revestida é atirada horizontalmente com uma velocidade de 600 ms e ricocheteia em uma placa de ago seguindo a trajetoria CD com velocidade 400 ms Sabendo que a bala deixa um R 6370 km risco de 10 mm na placa e considerando que sua velocidade média é Figura P13194 500 ms enquanto ela esté em contato com a placa determine a inten sidade e direcao da forca média impulsiva exercida pela bala na placa D 10 mm a Mice irks fe 15 Figura P13195 13196 Um martelo de 650 kg de um bateestaca cai de uma altura de 12 m sobre o topo de uma estaca de construgao de 140 kg movendose 110 650 kg mm no chao Considerando um impacto plastico perfeito e 0 determine a resisténcia média 4 penetragao do chao 13197 Uma pequena esfera B de massa m é presa em uma corda inextensivel fie m de comprimento 2a que passa em torno da cavilha A e é presa no su porte fixo O A esfera é mantida préxima ao suporte O e liberada com velocidade inicial nula Ela cai livremente até 0 ponto C onde a corda 140 kg fica esticada e gira em um plano vertical primeiro sobre A e depois sobre O Determine a distancia vertical da linha OD até 0 ponto mais A N alto C que a esfera alcangara 7 N O D 7 t XN B 45 lo Figura P13196 A Pe A 4 Ca NL Cc Figura P13197 Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 855 13198 Os discos A e B com massas m mz respectivamente podem des an B Yn lizar livremente em uma superficie horizontal sem atrito O disco B ON esté em repouso quando é atingido pelo disco A que esta em movi a mento com a velocidade v em uma diregao que forma um Angulo 6 y Va com a linha de impacto Representa por 0 coeficiente de restitui A ea cao entre os dois discos mostre que a componente n da velocidade 4 de A depois do impacto é a positiva se m emg b negativa se o Mm emg c zero se M eEMsg No vo 13199 Dois blocos A e B estaio conectados por uma corda que passa pelas roldanas e por meio de um colar C O sistema é liberado do repouso Figura P13198 quando x 17 m Como 0 bloco A sobe ele bate no colar C com im pacto plastico perfeito e 0 Apds o impacto os dois blocos e 0 co lar se mantém movendo até que param e revertem seus movimentos Como A e C se movem para baixo C atinge o ressalto e os blocos A e B se mantém em movimento até que param novamente Determine a a velocidade dos blocos e do colar imediatamente apés A atingir C b a distancia que os blocos e colar se movem apés 0 impacto an tes de parar c o valor de x no final de um ciclo completo LY d W A 4 x a XC OP a WD 5 ke S64 lz Figura P13199 J a 13200 Uma pequena esfera A presa a uma corda AC é liberada do repouso NL D na posicao mostrada na figura e atinge uma esfera idéntica B suspen By 7 sa pela corda vertical BD Se o maximo Angulo 6 formado pela corda BD com a vertical no movimento subsequente da esfera B deve ser Figura P13200 igual ao Angulo 6 determine o valor necessdrio da razio 1 dos comprimentos das duas cordas em termos do coeficiente de restitui co e entre as duas esferas 13201 Um bloco A de 2 kg é empurrado contra uma mola comprimindo a na distancia x 01 m O bloco é entao liberado do repouso e Wi L Oo desliza num declive de 20 até atingir uma esfera B de 1 kg que esta eg 7 suspensa por uma corda inextensivel de 1 m A constante da mola 20 B k 800 Nm 0 coeficiente de atrito entre A e o chao é de 02 a dis LP tt tancia que A desliza apés 0 comprimento indeformado da mola é d xl 15 m e 0 coeficiente entre A e B é 08 Quando a 40 determine a a velocidade de B b a tragdo na corda Figura P13201 PROBLEMAS PARA RESOLVER NO COMPUTADOR 13C1 Um colar de 6 kg esté preso a uma mola fixada no ponto C e pode deslizar sobre uma barra sem atrito que faz um Angulo de 30 com a vertical A mola tem constante k e néio esté deformada quando o colar encontrase em A Sabendo que o colar é liberado do repouso em A use um programa de compu tador para calcular a velocidade do colar no ponto B para valores de k entre 20 e 400 Nm 500 mm A C WW 500 mm L 30 7 Figura P13C1 13C2 Marcas de derrapagem em uma pista de disputa de arrancadas indi cam que as rodas traseiras de tragio de um carro de 1000 kg derrapam du rante os primeiros 20 m dos 500 m da trilha O carro é guiado com deslizamen to iminente de 60 de seu peso nas rodas traseiras pelos 480 m restantes da corrida Sabendo que o coeficiente de atrito cinético e estatico sfio 060 e 085 24m respectivamente e que a forga devido ao arrasto aerodinamico é F 0544v A c onde a velocidade v é expressa em ms e a forga F em N use um programa de computador para determinar o tempo decorrido e a velocidade do carro ao lon 6 go de varios pontos da trilha a considerando a forga F b ignorando a forga F Use um programa de computador com incrementos de Ax 0025 m nos h cilculos e estabelega seus resultados a cada 2 m para os primeiros 20 m e a cada 20 m para os 480 m Dica O tempo At necessério para 0 carro moverse por 13 3m meio do incremento de distancia Ax pode ser obtido dividindo Ax pela veloci dade média 3v do carro sobre Ax se a aceleragao do carro permanecer constante sobre Ax 13C3 Umsaco de 5 kg é empurrado suavemente do topo de um muro e oscila em um plano vertical na extremidade de uma corda de 24 m que pode resistir a uma tracio maxima F antes de se romper Para F entre 40 N a 140 N usando Figura P13C3 um programa de computador determine a a diferenca de elevacio h entre o ponto A e o ponto B onde a corda ira se romper b a distancia d do muro ao ponto onde o saco atingira o piso 13C4 Usando um programa da computador determine a 0 tempo neces sdrio para o sistema do Problema 13199 completar dez ciclos sucessivos de mo vimento descritos neste problema iniciando com x 17 m b 0 valor de x no final do décimo ciclo Capitulo 13 Cinética de particulas métodos de energia e quantidade de movimento 857 13C5 Uma bola B de 700 g esta pendurada por uma corda inextensivel presa a um suporte C Uma bola A de 350 g atinge B com uma velocidade v a um angulo de 6 com a vertical Considerando que nao ha atrito e representando e como 0 coeficiente de restituigéio usando um programa de computador de termine as intensidades wv e vz das velocidades das bolas imediatamente apés o impacto e a percentagem de energia perdida com a colisio para v 6 ms e para 6 de 20 a 150 considerando a e 1 b e 075 c e 0 Cc K y p Figura P13C5 13C6 No Problema 13109 um veiculo espacial encontrase em 6rbita cir cular a uma altitude de 360 km acima da Terra Para retornar a Terra ele di minui sua velocidade quando passa por A acionando seu motor por um curto intervalo de tempo em sentido oposto ao de seu movimento Sua velocidade resultante é alcanada no ponto B a uma altitude de 60 km formando um angulo 60 com a vertical Uma estratégia alternativa para tirar 0 veiculo espacial fora de sua 6rbita circular seria dar a volta de modo que seu motor fosse apontado para longe da Terra e ento dar um incremento de velocidade Av dirigida para 0 centro O da Terra Isso provavelmente exigira um melhor consumo de energia quando o motor for acionado em A mas poderé resultar numa descida mais rapida em B Considerando que a estratégia é aplicada use um programa de computador para determinar os valores de e v para um consumo variando de 5 a 100 do necessario no Problema 13109 360 km OEM a A vz x oA 3 ca l y R 6370 km Figura P13C6 O impulso para o motor deste protótipo XR5M15 é produzido por partículas de gás ejetadas em alta velocidade A determinação das forças na bancada de teste é baseada na análise do movimento de um sistema variável de partículas ou seja o movimento de um grande número de partículas de ar em conjunto e não separadamente BeerDinamica14indd 858 BeerDinamica14indd 858 050712 1337 050712 1337 Sistemas de partículas C A P Í T U L O BeerDinamica14indd 859 BeerDinamica14indd 859 050712 1337 050712 1337 860 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Al Sistemas de particulas 141 Introducao v Neste capitulo vocé vai estudar o movimento de sistemas de particulas 141 Introdugao isto é o movimento de um grande ntimero de particulas consideradas em 142 Aplicagéo das leis de Newton conjunto A primeira parte do capitulo é dedicada a sistemas constituidos de movimento de ym fone de particulas bem definidas a segunda parte considera 0 movimento de particu as Forgas etivas sistemas variaveis isto é sistemas que estao continuamente ganhando ou 143 Quantidade de movimento perdendo particulas ou fazendo ambas as coisas ao mesmo tempo linear e angular de um ds ot Na Secao 142 a segunda lei de Newton serd aplicada primeiramente sistema de particulas a cada particula do sistema Definindo a forga efetiva de uma particula 144 Movimento do centro de como o produto ma de sua massa m por sua aceleragao a vamos mostrar massa de um sistema de a i a oe particulas que as forgas externas que atuam sobre as varias particulas formam um 145 Quantidade de movimento sistema equipolente ao sistema de forgas efetivas ou seja ambos os siste angular de um sistema de mas tém a mesma resultante e oO mesmo momento resultante em relacdo particulas em relagéo ao seu qualquer ponto dado Além disso na Segao 143 sera mostrado que a centro de massa resultante e o momento resultante das forgas externas sAo iguais respec 146 Conservagéo da quantidade tivamente 4 taxa de variagado da quantidade de movimento linear total e de movimento para um da quantidade de movimento angular total das particulas do sistema sistema de particulas Na Segiio 144 0 centro de massa de um sistema de particulas é de 147 Energia cinética de um finido e o movimento desse ponto é descrito enquanto na Segio 145 0 sistema de particulas movimento das partfculas em torno de seu centro de massa é analisado 148 Principio de trabalho e As condigées nas quais a quantidade de movimento linear e a quantidade energia Conservacdo de de movimento angular de um sistema de particulas se conservam so dis energia para um sistema de cutidas na Segao 146 e os resultados obtidos nessa segao sio aplicados particulas solucao de varios problemas 149 Principio de impulso e As Segées 147 e 148 tratam da aplicacao do principio de trabalho e quantidade de movimento energia a um sistema de particulas e a Segao 149 da aplicagao do prin para ole sistema de cipio de impulso e quantidade de movimento Essas segdes contém tam 1410 ee So 4 bém diversos problemas de interesse pratico 10 sistemas variavels de Devese observar que embora as derivagées dadas na primeira parte particulas P 7 deste capitulo tenham sido feitas para um sistema de particulas indepen 1411 Fluxo permanente de 4 articulas dentes elas permanecem vilidas quando as particulas do sistema esto Rr rigidamente ligadas entre si isto é quando elas formam um corpo rigido 1412 Sistemas que ganham ou a De fato os resultados aqui obtidos vio formar a base de nossa discussio perdem massa aes ee 2 da cinética de corpos rigidos nos Capitulos 16 a 18 A segunda parte deste capitulo é dedicada ao estudo de sistemas variaveis de particulas Na Segao 1411 vocé vai considerar fluxos per manentes de particulas tais como uma corrente de dgua desviada por uma pa fixa ou o escoamento de ar por meio de um motor a jato e vai aprender a determinar a forca exercida pelo fluxo sobre a pé e o empuxo desenvolvido pelo motor Finalmente na Segao 1412 vocé vai aprender como analisar sistemas que ganham massa pela absorcao continua de par ticulas ou que perdem massa pela expulsao continua de particulas Entre as varias aplicacGes praticas dessa andlise esta a determinacao da forga de propulso desenvolvida por um motor de foguete 142 Aplicagado das leis de Newton ao movimento de um sistema de particulas Forcas efetivas Para deduzir as equacdes de movimento de um sistema de n particulas vamos comegar escrevendo a segunda lei de Newton para cada particula individual do sistema Considere a particula P onde 1 i n Sejama massa de P e a sua aceleracao em relagio ao sistema de referéncia newto nia Oxyz A forga exercida sobre P por uma outra particula P do sistema Capitulo 14 Sistemas de particulas 861 Fig 141 chamada de forga interna serd representada por f A resul y y tante das forgas internas exercidas sobre P por todas as outras particulas P an n do sistema 6 entZo S f onde f nao tem significado fisico e é considera x ma jl Op do nulo Por outro lado considerando F a resultante de todas as forgas J externas que atuam sobre P escrevemos a segunda lei de Newton para a particula P como se segue O x O x n F f ma 141 jal Zz z Representado por r 0 vetor de posigao de P e tomando os momentos em Figura 141 relaco a O dos varios termos da Eq 141 também escrevemos rXFE x f1 xX ma 142 jl Repetindo esse procedimento para cada particula P do sistema ob temos n equacgoes do tipo 141 en equagées do tipo 142 onde i toma sucessivamente os valores 1 2 n Os vetores ma sio chamados de forcas efetivas das particulas Portanto as equagdes obtidas expressam o fato de que as forgas externas F e as forgas internas f que atuam so bre as varias particulas formam um sistema equivalente ao sistema das forcas efetivas ma isto 6 um sistema pode ser substituido pelo outro Fig 142 yy y P 7 on mam ma n fi Yj J fii MLy Pi O x 0 x z z Figura 142 Antes de prosseguirmos com nossa derivagio examinaremos as forgas internas f Notamos que essas forgas ocorrem em pares f f onde f representa a forga exercida pela particula P sobre a particula Pe f representa a forga exercida por P sobre P Fig 142 Agora de acordo com a terceira lei de Newton Secao 61 quando estendida pela sua lei de gravitagdo para particulas que atuam distancia Secao 1210 as forgas f e f sao iguais e opostas e tém a mesma linha de agéo Sua soma é portanto f f 0 e a soma de seus momentos em relacio a O é r Xf 4 x fi 1 fj fi Gj 1 x fi 0 Como esses vetores representam as resultantes das forgas que atuam sobre as varias par ticulas do sistema eles podem realmente ser considerados como forgas 862 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica pois os vetores r r e f no ultimo termo sao colineares Adicionando todas as forcas internas do sistema e somando seus momentos em relacao a O obtemos as equagdes n n n n SSF 0 SS yx 0 143 il jl i1 jl que expressam o fato de que a resultante e o momento resultante das forgas internas do sistema sfo iguais a zero Retomando agora as n equacoes 141 onde i 1 2 n somamos seus membros do lado esquerdo e seus membros do lado direito Levan do em conta a primeira das Eqs 143 obtemos n n SF ma 144 i1 i1 Procedendo do mesmo modo com as Eqs 142 e levando em conta a segunda das Eqs 143 temos n n Ss x X F 1 X mja 145 i1 i1 As Eqs 144 e 145 expressam o fato de que o sistema de forgas externas F e 0 sistema de forcas efetivas ma t4m a mesma resultante e o mesmo momento resultante Referindo a definicdo dada na Secao 319 para dois sistemas equipolentes de vetores podemos portanto afirmar que o sistema de forgas externas que atuam sobre as particulas e o sistema de forgas efetivas dessas particulas sdo equipolentes Fig 143 y S y yen Prey Py m heal A Fo P 0 x O x z z Figura 143 O resultado que acabamos de obter é muitas vezes chamado de principio de dAlembert em homenagem ao matemiatico francés Jean le Rond dAlembert 17171783 No entan to o enunciado original de dAlembert se refere ao movimento de um sistema de corpos ligados com f representando forgas de vinculos que se aplicadas por si mesmas nado produzirio movimento no sistema Como conforme seré mostrado agora este nado é 0 caso geral de forcas internas que atuam sobre um sistema de particulas livres adiaremos 0 exame do principio de d Alembert para quando estivermos considerando 0 movimento de corpos rigidos Capitulo 16 Capitulo 14 Sistemas de particulas 863 As Eqs 143 expressam o fato de que o sistema das forgas internas f é equipolente a zero Observe entretanto que ndo resulta disso que as forgas internas nao tenham efeito sobre as particulas em consideragao De fato as forgas gravitacionais que o Sol e os planetas exercem uns so bre os outros sdo internas ao Sistema Solar e equipolentes a zero Contu do essas forgas sozinhas sao responsaveis pelo movimento dos planetas em torno do Sol Analogamente nao resulta das Eqs 144 e 145 que dois sistemas de forgas externas de mesma resultante e o mesmo momento resultante produziraio o mesmo efeito sobre um dado sistema de particulas Cla ramente os sistemas mostrados nas Figs 144a e 144b tém a mesma resultante e o mesmo momento resultante contudo o primeiro sistema acelera a particula A e nao afeta a particula B enquanto o segundo ace lera B e nao afeta A E importante recordar que quando estabelecemos na Secao 319 que dois sistemas equipolentes de forgas que atuam sobre um corpo rigido também sao equivalentes observamos especificamente que esta propriedade ndo poderia ser estendida a um sistema de forgas que atuam sobre um conjunto de particulas independentes tais como as consideradas neste capitulo F A Ae Lo a vy OB B a Sf b Figura 144 A fim de evitar qualquer confusio sinais de igualdade verde sao usa dos para ligar sistemas de vetores equipolentes como os mostrados nas Figs 143 e 144 Esses sinais indicam que os dois sistemas de vetores tém a mesma resultante e o mesmo momento resultante Os sinais de igualdade em preto continuarao a ser usados para indicar que dois siste mas de vetores so equivalentes isto 6 que um sistema pode verdadeira mente ser substituido pelo outro Fig 142 143 Quantidade de movimento linear e angular de um sistema de particulas As Eqs 144 e 145 obtidas na seco precedente para o movimento de um sistema de particulas podem ser expressas de forma mais conden sada se introduzirmos a quantidade de movimento linear e a angular do sistema de particulas Definindo a quantidade de movimento linear L do sistema de particulas como a soma das quantidades de movimento linear das varias particulas do sistema Segio 123 escrevemos n L S mV 146 i 864 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica Definindo a quantidade de movimento angular HO em relação a O do sistema de partículas de um modo similar Seção 127 temos 147 Diferenciando ambos os membros das Eqs 146 e 147 em rela ção a t escrevemos 148 e que se reduz a 149 visto que os vetores vi e mivi são colineares Observamos que os membros do lado direito das Eqs 14S e 149 são respectivamente idênticos aos membros do lado direito das Eqs 144 e 145 Seguese que os membros do lado esquerdo dessas equa ções são respectivamente iguais Recordando que o membro do lado es querdo da Eq 145 representa a soma dos momentos MO em relação a O das forças externas que atuam sobre as partículas do sistema e omitin do o índice i das somas escrevemos 1411 Essas equações expressam que a resultante e o momento resultante em relação ao ponto fixo O das forças externas são respectivamente iguais às taxas de variação da quantidade de movimento linear e da quantidade de movimento angular em relação a O do sistema de partículas 144 Movimento do centro de massa de um sistema de partículas A Eq 1410 pode ser escrita de forma alternativa se o centro de massa do sistema de partículas for considerado O centro de massa do sistema é o ponto G definido pelo vetor de posição que satisfaz a relação 1410 BeerDinamica14indd 864 BeerDinamica14indd 864 050712 1337 050712 1337 Capitulo 14 Sistemas de particulas 865 n mr mia 1412 i1 n onde m representa a massa total m das particulas Decompondo os i1 vetores de posigdo r e r em coordenadas retangulares obtemos as trés equagées escalares seguintes que podem ser usadas para determinar as coordenadas x y z do centro de massa n n n mx Ss MX my S Mi mz S mz 1412 il il il Como mg representa o peso da particula P e mg o peso total das particulas G é também o centro de gravidade do sistema de particulas Entretanto para evitar qualquer confusio G seré chamado de centro de massa do sistema de particulas quando propriedades associadas mas sa das particulas forem discutidas e de centro de gravidade do sistema quando propriedades associadas ao peso das particulas forem conside radas Particulas localizadas fora do campo gravitacional da Terra por exemplo tém uma determinada massa mas nenhum peso Podemos en tio nos referir propriamente a seus centros de massa mas obviamente nao a seus centros de gravidade Diferenciando ambos os membros da Eq 1412 em relagao a t es crevemos n mr S mF il ou n mv S mV 1413 il onde v representa a velocidade do centro de massa G do sistema de par ticulas Mas o membro do lado direito da Eq 1413 é por definigao a quantidade de movimento linear L do sistema Secao 143 Temos portanto L mv 1414 e diferenciando ambos os membros em relagao a t Lma 1415 Também podese argumentar que o centro de massa e o centro de gravidade de um sistema de particulas nao coincidem exatamente pois os pesos das particulas sao dirigidos para o centro da Terra e portanto nao formam verdadeiramente um sistema de forcas paralelas 866 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica onde a representa a aceleracéo do centro de massa G Substituindo o valor de L da 1415 na 1410 escrevemos a equacgaio F ma 1416 que define o movimento do centro de massa G do sistema de particulas Notamos que a Eq 1416 é idéntica 4 equagiio que terfamos obtido para uma particula de massa m igual 4 massa total das particulas do siste ma sobre a qual atuam todas as forgas externas Dizemos portanto que o centro de massa de um sistema de particulas se move como se a massa total do sistema e todas as forgas externas estivessem concentradas nesse ponto Esse principio é mais bem ilustrado pelo movimento de uma granada ao explodir Sabemos que se a resisténcia do ar for desprezada podese assumir que a granada descrevera uma trajetéria parabdélica Apos sua explosio o centro de massa G dos fragmentos dessa granada continuara a percorrer a mesma trajetéria Na verdade 0 ponto G deve se mover como se a massa e 0 peso de todos os fragmentos estivessem concentra dos em G ele deve portanto se mover como se a granada nio tivesse explodido Devese notar que a dedugao precedente nao envolve os momentos das forgas externas Portanto seria errado assumir que as forcas externas sao equipolentes a um vetor ma ligado ao centro de massa G Esse nao é geralmente 0 caso pois como vocé vera na proxima seao a soma dos mo mentos em relacao a G das forgas externas nao é geralmente igual a zero 145 Quantidade de movimento angular de um sistema de particulas em relacdo ao y seu centro de massa mvj Em algumas aplicagées por exemplo na anélise do movimento de um corpo rigido 6 conveniente considerar o movimento das particulas do Y sistema em relacao a um sistema de referéncia ligado ao centro de massa P Gxyz que se move em translagéo em relagio ao sistema de referéncia G y newtoniano Oxyz Fig 145 Embora um sistema ligado ao centro de massa nao seja usualmente um sistema de referéncia newtoniana sera 0 kt visto que a relaco fundamental 1411 permanece valida quando o sis tema de referéncia Oxyz é substituido por Gxyz Representando respectivamente por r e v 0 vetor de posiado ea velocidade da particula P em relaco ao sistema de referéncia mével Figura 145 Gxyz definimos a quantidade de movimento angular Hj do sistema de particulas em relagdo ao centro de massa G como segue n He r x my 1417 il Agora diferenciamos ambos os membros da Eq 1417 em relagio a t Essa operacao é similar aquela efetuada na Segdo 143 para a Eq 147 portanto escrevemos n Ho S x X ma 1418 i Capitulo 14 Sistemas de particulas 867 onde aj representa a aceleracao de P relativa ao sistema moével de refe réncia Referindo 4 Seco 1112 escrevemos ajartas onde ae a representam respectivamente as acelerag6es de Pie G relati vas ao sistema Oxyz Resolvendo para a e substituindo em 1418 temos n n He x X mja mat xa 1419 il il Mas pela Eq 1412 a segunda soma da Eq 1419 é igual a mr e portanto igual a zero pois o vetor de posigao r de G em relagao ao sis tema Gxyz é claramente zero Por outro lado como a representa a aceleracio de P em relaco a um sistema newtoniano podemos usar a Eq 141 e substituir ma pela soma das forgas internas f e da resultante F das forgas externas que atuam sobre P Mas um argumento semelhante aquele usado na Segao 142 mostra que o momento resultante em relagao a G das forgas internas f de todo 0 sistema é zero A primeira soma da Eq 1419 se reduz portanto ao momento resultante em relagdo a G das forgas externas que atuam sobre as particulas do sistema e escrevemos Mc He 1420 que expressa que 0 momento resultante em relagdo a G das forgas exter nas é igual a taxa de variagdo da quantidade de movimento angular em relagao a G do sistema de particulas Devese notar que na Eq 1417 definimos a quantidade de movi mento angular H como a soma dos momentos em relago a G das quan now tidades de movimento das particulas mv em seus movimentos em relacdo Y aum sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxyz Podemos querer algumas vezes calcular a soma H dos momentos em relacao a G das quantidades de movimento das particulas mv em seus movimentos L P absolutos isto 6 em seus movimentos como observados a partir do siste G x ma de referéncia newtoniano Oxyz Fig 146 n O He r x my 1421 il Em particular as quantidades de movimento angulares Hj e Hg sao exa tamente iguais Isso pode ser verificado recorrendose 4 Segdo 1112 e Figura 146 escrevendo vyiavtv 1422 Substituindo o valor de v da Eq 1422 na Eq 1421 temos n n Hoc S me xvt S r X mv il il Mas como observado anteriormente a primeira soma é igual a zero Portanto H se reduz a segunda soma que por definicao é igual a H Note que esta propriedade é caracterfstica do sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxyz mas que em geral nao é valida para outros sistemas de referéncia ver Problema 1429 868 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Levando em conta a propriedade que acabamos de estabelecer sim plificamos nossa notagio retirando o apostrofo da Eq 1420 e escre vemos IM He 1423 onde se entende que a quantidade de movimento angular H pode ser calculada tomandose os momentos em relagdo a G das quantidades de movimento das particulas em seus movimentos seja em relagao ao siste ma de referéncia newtoniana Oxyz ou ao sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxyz n n He 1 X miv x X miv 1424 146 Conservagdo da quantidade de movimento para um sistema de particulas Se nenhuma forga externa atua sobre as particulas de um sistema os membros do lado esquerdo das Eqs 1410 e 1411 sdo iguais a zero e essas equagées se reduzem a L 0 e Ho 0 Concluimos que L constante Ho constante 1425 As equagoes obtidas expressam que a quantidade de movimento linear do sistema de particulas e sua quantidade de movimento angular em relagao ao ponto fixo O se conservam Em algumas aplicagdes como os problemas que envolvem forgas centrais o momento em relagio a um ponto fixo O de cada uma das for le cas externas pode ser zero sem que nenhuma delas seja zero Em tais aa casos a segunda das Eqs 1425 ainda é verdadeira a quantidade de i movimento angular do sistema de particulas em relagao a O se conserva a O conceito de conservagaio da quantidade de movimento também Fa i pode ser aplicado a anélise do movimento do centro de massa G de um oi Fm sistema de particulas e 4 andlise do movimento do sistema em relagiao a wan G Por exemplo se a soma das forgas externas é zero a primeira da Eq 25 se aplica Recordando a Eq 1414 escrevemos Foto 141 Se nao existirem forgas externas atuando nos dois estagios deste foguete as v constante 1426 quantidades de movimento linear e angular serdo conservadas que expressa que o centro de massa G do sistema se move em uma linha reta e a uma velocidade constante Por outro lado se a soma dos momen tos em relacio a G das forcas externas é zero seguese da Eq 1423 que a quantidade de movimento angular do sistema em relacao a seu centro de massa é conservada Hc constante 1427 PROBLEMA RESOLVIDO 141 Um veiculo espacial de 200 kg 6 observado em t 0 ao passar pela origem de um sistema de referéncia newtoniano Oxyz com velocidade v 150 msi em relagiio ao sistema Como resultado da detonagio de cargas explosivas o veiculo se separa em trés partes A B e C de massas de 100 kg 60 kg e 40 kg respectivamente Sabendo que emt 25 s as posigdes das partes A e B observadas sa0 A555 180 240 e B255 0 120 sendo as coordenadas expressas em metros determine a posicao da parte C nesse instante SOLUCAO Como nfo ha forga externa o centro de massa G do sistema se move com velocidade constante v 150 msi Em t 25 s sua posicio é v t 150 msi25 s 375 mi Recordando a Eq 1412 escrevemos MY Mj Mg MeXe 200 kg375 mi 100 kg555 mi 180 mj 240 mk 60 kg255 mi 120 mk 40 kgr rc 105 mi 450 mj 420 mk J PROBLEMA RESOLVIDO 142 30 mms 25 kee A Um projétil de 10 kg se move com uma velocidade de 30 ms quando ex adr 164 plode em dois fragmentos A e B de massas 25 kg e 75 kg respectivamente 10kg a Sabendo que imediatamente apos a explosio os fragmentos A e B se movem Oop B em direcées definidas respectivamente por 6 45 e 6 30 determine 75 kg a velocidade de cada fragmento SOLUCAO MAV eee LK ff Como nao ha forgas externas a quantidade de movimento linear do sistema yo se conserva e escrevemos 7 45 MvVo MV MpVR MV 2 ay S30 25v 75v 10v mye componentes em x 25v cos 45 750 cos 30 1030 T componentes em y 25v sen 45 75v sen 30 0 Resolvendo simultaneamente as duas equagGes para Uv Ug temos v 622 ms UO 293 ms vy 622ms2 45 vp 293 mhS30 E ste capítulo trata do movimento de sistemas de partículas isto é de movimento de um grande número de partículas consideradas em conjunto em vez de separadamente Nesta primeira lição você aprendeu a calcular a quantidade de movimento linear e a quantidade de movimento an gular de um sistema de partículas Definimos a quantidade de movimento linear L de um sistema de partículas como a soma das quantidades de movimentos lineares das partículas e definimos a quantidade de movimento angular HO do sistema como a soma das quantidades de movimentos angulares das partículas em relação a O 146 147 Nesta lição você vai resolver uma série de problemas práticos seja observando que a quantidade de movimento linear de um sistema de partículas se conserva ou considerando o movimento do centro de massa de um sistema de partículas 1 Conservação da quantidade de movimento linear de um sistema de partícu las Isso ocorre quando a resultante das forças externas que agem sobre as partículas do sistema é igual a zero Você pode encontrar tal situação nos seguintes tipos de problema a Problemas envolvendo o movimento retilíneo de objetos como automóveis e va gões ferroviários que colidem entre si Depois de verificar que a resultante das forças externas é igual a zero iguale as somas algébricas das quantidades de movimento iniciais e finais para obter uma equação que possa ser resolvida para uma incógnita b Problemas envolvendo o movimento bidimensional ou tridimensional de ob jetos como granadas explosivas ou de aviões automóveis e bolas de bilhar que colidem entre si Depois de verificar que a resultante das forças externas é igual a zero some vetorialmente as quantidades de movimento iniciais dos objetos faça o mesmo com suas quantidades de movimen to finais e iguale as duas somas para obter uma equação vetorial que expresse a conservação da quantidade de movimento linear do sistema No caso de um movimento bidimensional essa equação pode ser substituída por duas equa ções escalares que podem ser resolvidas para duas incógnitas enquanto no caso de um movimento tridimensional ela pode ser substituída por três equações escalares que podem ser resolvidas para três incógnitas 2 Movimento do centro de massa de um sistema de partículas Você observou na Seção 144 que o centro de massa de um sistema de partículas se move como se toda a massa do sistema e todas as forças externas estivessem concentradas nesse ponto a No caso de um corpo que explode em movimento seguese que o centro de massa dos fragmentos resultantes se movimenta como o corpo propriamente dito se moveria se a explosão não tivesse ocorrido Problemas desse tipo podem ser resolvidos escrevendose a equação de movimento do centro de massa do sistema em forma vetorial e expressando o vetor de posição do centro de massa em termos dos vetores de posição dos vários fragmentos Eq 1412 Você pode então reescrever a equação vetorial como duas ou três equações escalares e resolver essas equações para um número equivalente de incógnitas b No caso da colisão de vários corpos em movimento seguese que o movimento do centro de massa dos vários corpos não é afetado pela colisão Problemas desse tipo podem ser resolvidos escrevendose a equação de movimento do centro de massa do sistema em forma veto rial e expressando seu vetor de posição antes e depois da colisão em termos dos vetores de posição dos corpos relevantes Eq 1412 Você pode então reescrever a equação vetorial como duas ou três equações escalares e solucionar essas equações para um número equivalente de incógnitas METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS BeerDinamica14indd 870 BeerDinamica14indd 870 050712 1337 050712 1337 PROBLEMAS 141 Um empregado de companhia aérea coloca rapidamente duas malas de viagem de massas iguais a 15 kg e 20 kg respectivamente sobre um carrinho de transporte de bagagem cuja massa é 25 kg Saben do que o carrinho está inicialmente em repouso e que o empregado imprime uma velocidade horizontal de 3 ms à mala de 15 kg e uma velocidade horizontal de 2 ms à mala de 20 kg determine a veloci dade final do carrinho de bagagem se a primeira mala posta sobre o carrinho é a a mala de 15 kg e b a mala de 20 kg 142 Um empregado de companhia aérea arruma rapidamente duas malas de viagem com uma velocidade horizontal de 24 ms sobre um car rinho de transporte de bagagem cuja massa é 25 kg e que está inicial mente em repouso a Sabendo que a velocidade final do carrinho de bagagem é 12 ms e que a primeira mala posta pelo empregado sobre o carrinho possui peso igual a 15 kg determine o peso da outra mala b Qual seria a velocidade final do carrinho se o funcionário tivesse invertido a ordem de colocação das malas 143 Um homem de 90 kg e uma mulher de 60 kg estão lado a lado na mesma extremidade de um barco de 150 kg prontos para mergulhar cada um com uma velocidade de 5 ms em relação ao barco Deter mine a velocidade do barco após os dois terem mergulhado se a a mulher mergulha primeiro e b o homem mergulha primeiro Figura P143 144 Um homem de 90 kg e uma mulher de 60 kg estão em extremida des opostas de um barco de 150 kg prontos para mergulhar cada um com uma velocidade de 5 ms em relação ao barco Determine a velocidade do barco após os dois terem mergulhado se a a mulher mergulha primeiro e b o homem mergulha primeiro 145 Um projétil é disparado com uma velocidade horizontal de 450 ms por meio de um bloco A de 3 kg de massa e fica incrustado em um bloco B de 25 kg Sabendo que os blocos A e B iniciam seus movi mentos com velocidades de 15 ms e 27 ms respectivamente de termine a a massa do projétil e b sua velocidade ao se deslocar do bloco A para o bloco B 146 Um vagão A de massa de 45000 kg movese em um pátio de manobras ferroviário com uma velocidade de 10 kmh em direção aos vagões B e C ambos em repouso com os freios liberados e a curta distância um do outro O vagão prancha B é de 25000 kg e transporta um contêi ner de 30000 kg e o vagão C é de 40000 kg À medida que os vagões batem um no outro eles são automaticamente e firmemente acopla dos Determine a velocidade do vagão A imediatamente após os dois acoplamentos considerando que o contêiner a não desliza sobre o Figura P141 e P142 Figura P144 A B 450 ms 3 kg 25 kg Figura P145 BeerDinamica14indd 871 BeerDinamica14indd 871 050712 1337 050712 1337 872 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica vagiio prancha b desliza apds o primeiro acoplamento mas atinge o repouso antes que o segundo acoplamento ocorra c desliza e atinge 0 repouso apenas aps 0 segundo acoplamento ter ocorrido 10 kmh E A Cc eee B eee YUE IA UTE TTT Ga SS cae Gag S cse 3 Gags Gs Figura P146 147 Em um parque de diversées ha carros batebate A B e C de 200 kg com pilotos com massas de 40 kg 60 kg e 35 kg respectivamente O carro A esta se movendo para a direita com a velocidade v 2 ms e o carro C tem a velocidade v 15 ms para a esquerda mas 0 carro B esta inicialmente em repouso O coeficiente de restituigo entre cada carro é 08 Determine a velocidade final de cada carro apés to dos os impactos considerando que a 0 carro A e o carro C atingem o carro B ao mesmo tempo b 0 carro A atinge o carro B antes do carro C atingir o carro B 148 Em um parque de diversées ha carros batebate A B e C de 200 kg com pilotos com massas de 40 kg 60 kg e 35 kg respectiva mente O carro A esta se movendo para a direita com velocidade v 2 ms quando atinge o carro B parado O coeficiente de resti tuigdo entre cada carro é 08 Determine a velocidade do carro C de modo que apés 0 carro B colidir com o carro C a velocidade do carro B é nula VA Vo Re ws A Dy B 9 ze Cc Cc Set ees y a oe a Figura P147 e P148 18m 149 Um sistema consiste de trés particulas A B e C Sabemos que m 3kg mg 4kg em 5 kg e que as velocidades das parti oo culas expressas em ms sao respectivamente v 4i 4j 6k Vo 09 m v Gi 8j 4ke v 2i 6j 4k Determine a quantidade 4 de movimento angular H do sistema em relagiio a O VB 1410 Para o sistema de particulas do Problema 149 determine a 0 ve 24m tor de posigao r do centro de massa G do sistema b a quantidade B 12m de movimento linear mv do sistema c a quantidade de movimento angular H do sistema em relagao a G Verifique também que as res postas encontradas para este problema e para o Problema 149 satis 4 fazem a equagao dada no Problema 1427 x 15 2 Zz Lom S On m 1411 Um sistema consiste de trés particulas A B e C Sabemos que m NAA 3kgm 4kg em 5 kg e que as velocidades das particu las expressas em ms sao respectivamente v 4i 4j 6k Figura P149 e P1411 Vv vd oj 4k ev 2i 6j 4k Determine a os compo Capitulo 14 Sistemas de particulas 873 nentes v e v da velocidade da particula B para a qual a quantidade de movimento angular H do sistema em relagiio a O é paralelo ao eixo Z b o valor correspondente de Ho 1412 Para o sistema de particulas do Problema 1411 determine a os componentes v ev da velocidade da particula B para a qual a quanti dade de movimento angular H do sistema em relagio a O é paralelo ao eixo y b o valor correspondente de Ho 1413 Um sistema consiste de trés particulas A B e C Sabemos que y m 25 kg m 2kg em 15 kg e que as velocidades das 2m particulas expressas em ms sao respectivamente v i 15j vm kv vijvkev 15i j 05k Determine a A G os componentes v e v da velocidade da particula B para a qual a vole 7 quantidade de movimento angular H do sistema em relagio a O é a B BI paralelo ao eixo x b 0 valor de Ho 25 m 2m oa 1414 Para o sistema de particulas do Problema 1413 determine a os 7 2m 5m componentes v e v da velocidade da particula B para a qual a quanti dade de movimento angular H do sistema em relagio a O é paralelo ao eixo Z b o valor de H 1415 Um veiculo espacial de 450 kg esta viajando com uma velocidade Figura P1413 Vv 360 msi passa pela origem O no instante t 0 Cargas explo sivas separam 0 veiculo em trés partes A B e C de 225 kg 150 kg e 75 kg respectivamente Sabendo que no instante t 4 s as posigdes observadas das partes A e B so A 1200 m 300 m 600 m e B 1300 m 350 m 800 m determine a correspondente posigao da parte C Despreze o efeito da gravidade 1416 Um projétil de 15 kg passa pela origem O com uma velocidade Vv 40 msi quando explode em dois fragmentos A e B de 6 kg e 9 kg respectivamente Sabendo que 3 s depois a posigao do fragmento A é 100 m 10 m 20 m determine a posigio do fragmento B no mesmo instante Considere a g 981 ms e despreze a resis téncia do ar 1417 Observase um pequeno aviaio de 1500 kg de peso e um helicdptero de 3000 kg de peso voando a uma altitude de 1200 m preste a colidir dire tamente acima de uma torre localizada em O em uma Area arborizada Quatro minutos antes o helicéptero tinha sido visto 84 km diretamente a oeste da torre e 0 avido 16 km a oeste e 12 km ao norte da torre Como resultado da colisio 0 helicéptero se dividiu em duas partes H e H com massa m 1000 kg e m 2000 kg respectivamente o y aviaio permaneceu em uma pega tinica até cair no solo Sabendo que os dois fragmentos do helicéptero foram localizados nos pontos H 500 Wf m 100 m e H 600 m 500 m respectivamente e considerando FN op que todas as partes atingiram o solo no mesmo instante determine as 8 coordenadas do ponto A onde os destrogos do aviiio serio encontrados SO gs g s g 1418 No Problema 1417 sabendo que os destrogos do pequeno aviio 7s 9 Hee ee foram encontrados no ponto A 1200 m 80 m e o fragmento de 2 2 o 8B i 1000 kg do helicéptero no ponto H 400 m 200 m e consideran a g Hye Gey do que todas as partes atingiram o solo no mesmo instante determine ge as coordenadas do ponto H onde o outro fragmento do helicéptero sera encontrado Fi igura P1417 874 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1419e 1420 O carro A estava viajando para o leste em alta velocidade quando colidiu no ponto O com o carro B que estava viajando para o norte a 72 kmh O carro C que estava viajando para o oeste a 90 kmh quando estava a 10 m a leste e 3 m ao norte do ponto O houve a coliséo Devido ao pavimento estar molhado o motorista do carro C niio pode impedir que seu carro deslizasse na diregao dos outros dois carros e os trés carros presos continuaram deslizando até que eles atingissem o poste P Sabendo que as massas dos carros A B e C sao respectivamente 1500 kg 1300 kg e 1200 kg e desprezan do as forgas nos carros pelo pavimento molhado resolva os problemas indicados 1419 Sabendo que as coordenadas do poste sao x 18 me Y 139 m determine a o tempo decorrido desde a pri meira colisio até a parada em P b a velocidade do carro A 1420 Sabendo que a velocidade do carro A era de 1296 kmh e que o tempo decorrido desde a primeira colisio até a parada em P foi 24 s determine as coordenadas do poste P N 4 Y 7 P 4 ol a vA i 6 i c A 90 kmh O x VA VC 43 ah Cc Pre A kanh 45 B Vo 374 VB Figura P1419 P1420 Figura P1421 1421 e 1422 Em um jogo de bilhar a bola A se move com uma veloci dade v quando ela atinge as bolas B e C que esto em repouso e alinhadas conforme mostrado na figura Sabendo que apés a colisio VA vo as trés bolas se movem nas diregées indicadas e que v 4 ms e C 45 U 2 ms determine a intensidade da velocidade a da bola A e 7 o i b da bola B B A 1423 Um arqueiro demonstra sua habilidade em atingir uma bola de ténis 30 jogada por seu assistente A bola de ténis de 58 g tem velocidade de 10 msi 2 msj e esté a 10 m do chao quando é atingida por uma Yo 9 VB flecha de 40 g viajando com a velocidade de 50 msj 70 msk onde j é dirigida para cima Determine a posigio P onde a bola e a flecha atingiram o chao em relacao ao ponto O localizado diretamen Figura P1422 te abaixo do ponto de impacto Capitulo 14 Sistemas de particulas 875 1424 Em um experimento de dispersao de particulas uma particula alfa A é y Vo projetada com velocidade uy 600 msi 750 msj 800 msk no interior de uma corrente de mticleos de aétomos de oxigénio que se C 2 2 movem com uma velocidade comum v 600 msj Apés colidir su C cessivamente com os niicleos B e C observase que a particula A se vB of VA move ao longo da trajetéria definida pelos pontos A 280 240 120 e A 42 A 360 320 160 enquanto os niicleos B e C se movem ao longo das BS Vo trajetérias definidas respectivamente por B 147 220 130 e B 114 By 290 120 e por C 240 232 90 e C 240 280 75 Todas as trajetérias 0 OC formam segmentos de reta e todas as coordenadas estéo expressas em 0 Vo A milimetros Sabendo que a massa de um niicleo de oxigénio é quatro ve B x zes a massa de uma particula alfa determine a velocidade de cada uma Bo A das trés particulas apds as colisdes Zz 1425 Uma ogiva de 6 kg que se move a uma velocidade v 12 msi 10 Figura P1424 msj 400 msk explode no ponto D em trés fragmentos A B e C que tém massa de respectivamente 25 kg 2 kg e 15 kg Sabendo que os fragmentos atingem a parede vertical nos pontos indicados determine a velocidade de cada fragmento imediatamente apés a ex plosao y Ss 8 25m s ow 6 m nm i i i I X De a 3m a Cia Y Sie x SRR a N C i 45m 6m i Figura P1425 e P1426 1426 Uma ogiva de 6 kg que se move a uma velocidade v 12 msi 10 msj 400 msk explode no ponto D em trés fragmentos A B e C que tém massa de respectivamente 2 kg 15 kg e 25 kg Sabendo que os fragmentos atingem a parede vertical nos pontos indicados deter mine a velocidade de cada fragmento imediatamente apés a explosao 876 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1427 Deduzaa relagaio Ho Yr x mv He entre as quantidades de movimento angulares H e H definidas nas equagées 147 e 1424 respectivamente Os vetores r e v definem respectivamente a posicao e a velocidade do centro de massa G do sistema de particulas em relacao ao sistema de referéncia newtoniano Oxyz em representa a massa total do sistema 1428 Mostre que a Eq 1423 pode ser derivada diretamente da Eq 1411 substituindo por Hy a expressio dada no Problema 1427 y my 1429 Considere o sistema de referéncia Axyz em translagio em relacio y mv ao sistema de referéncia newtoniano Oxyz Definimos a quantidade de movimento angular H de um sistema de n particulas em relagéio a A como a soma rj P n A Hi r X my 1 x il O fo x or dos momentos em relagiio a A das quantidades de movimento my das particulas em seus movimentos relativos ao sistema de referéncia 2 Axyz Representando por H a soma Figura P1429 n H s r X MV 2 il dos momentos em relagio a A das quantidades de movimento my das particulas em seu movimento relativo ao sistema de referéncia newtoniano Oxyz mostre que H H em um dado instante se e somente se uma das seguintes condigées for satisfeita nesse instante a A tem velocidade nula em relacio ao sistema de referéncia Oxyz b A coincide com o centro de massa G do sistema e c a velocidade v relativa a Oxyz esta dirigida ao longo da linha AG 1430 Mostre que a relacio 2M H onde H é definido pela Eq 1 do Problema 1429 e XM representa a soma dos momentos em relagao a A das forgas externas que atuam sobre o sistema de particulas é valida se e somente se uma das seguintes condigées for satisfeita 2 0 sistema de referéncia Axyz ele proprio um sistema newtoniano de referéncia b A coincide com 0 centro de massa G e c a aceleragiio a de A relati va a Oxyz esta dirigida ao longo da linha AG 147 Energia cinética de um sistema de particulas A energia cinética T de um sistema de particulas é definida como a soma das energias cinéticas das varias particulas do sistema Referindonos Segao 133 escrevemos portanto 1 F Peo mie 1428 jz Usando um sistema de referéncia ligado ao centro de mas sa E frequentemente conveniente ao calcular a energia cinética de um sistema com um grande nimero de particulas como no caso de um Capitulo 14 Sistemas de particulas 877 corpo rigido considerar separadamente 0 movimento do centro de mas sa G do sistema e 0 movimento do sistema em relacdo a um sistema de referéncia mével ligado a G Vj y 4 a 20 X Vi v y P Vv G x O x Zz Figura 147 Seja P uma particula do sistema v sua velocidade relativa ao sistema de referéncia newtoniano Oxyz e v sua velocidade relativa ao sistema de referéncia mével Gxyz que esta em translacdo em relagao a Oxyz Fig 147 Recordamos da segio precedente que onde v representa a velocidade do centro de massa G em relagao ao siste A 25 ma de referéncia newtoniano Oxyz Observando que v é igual ao produ to escalar v v expressamos a energia cinética T do sistema em relagao ao sistema newtoniano Oxyz como segue 1 n 1 n 2 T 2 S Mo 2 my vi il il ou substituindo o valor de v da Eq 1422 1 n T 3 S mv vj v v i1 1 n n 1 n 2 12 3 me v S mvt 9 Ss MV il il i1 A primeira soma representa a massa total m do sistema Recordando a Eq 1413 notamos que a segunda soma é igual a mv e portanto igual a zero pois v que representa a velocidade de G relativa ao sistema de referéncia Gxyz é claramente igual a zero Portanto escrevemos 121 2 T5m0 3 Ss mv 1429 il Esta equagao mostra que a energia cinética T de um sistema de particu las pode ser obtida pela adigao da energia cinética do centro de massa G considerando toda a massa concentrada em G a energia cinética do sistema em seu movimento relativo ao sistema Gxy2 878 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 148 Princípio de trabalho e energia Conservação de energia para um sistema de partículas O princípio de trabalho e energia pode ser aplicado para cada partícula Pi de um sistema de partículas Escrevemos 1430 para cada partícula Pi onde U1n2 representa o trabalho realizado pelas forças internas fij e pela força resultante externa Fi que atua sobre Pi Adicionando as energias cinéticas das várias partículas do sistema e considerando o traba lho de todas as forças envolvidas podemos aplicar a Eq 1430 para todo o sistema As quantidades T1 e T2 representam agora a energia cinética de todo o sistema e podem ser calculadas seja pela Eq 1428 ou pela Eq 1429 A quantidade U1n2 representa o trabalho de todas as forças que atuam sobre as partículas do sistema Observe que apesar das forças internas fij e fji serem iguais e opostas o trabalho delas não vai em geral se cancelar visto que as partículas Pi e Pj sobre as quais elas atuam sofrem em geral deslocamentos diferentes Portanto no cálculo de U1n2 devemos considerar o trabalho das forças internas fij bem como o trabalho das forças externas Fi Se todas as forças que atuam sobre as partículas do sistema são conserva tivas a Eq 1430 pode ser substituída por 1431 onde V representa a energia potencial associada às forças internas e ex ternas que atuam sobre as partículas do sistema A Eq 1431 expressa o princípio de conservação de energia para o sistema de partículas 149 Princípio de impulso e quantidade de movimento para um sistema de partículas Integrando as Eqs 1410 e 1411 em t de t1 a t2 escrevemos 1432 1433 Recordando a definição do impulso linear de uma força dada na Seção 1310 observamos que as integrais da Eq 1432 representam os im pulsos lineares das forças externas que atuam sobre as partículas do sis tema Devemos nos referir de modo semelhante às integrais da Eq 1433 como impulsos angulares em relação a O das forças externas Portanto a Eq 1432 expressa que a soma dos impulsos lineares das forças externas que atuam sobre o sistema é igual à variação da quan tidade de movimento linear do sistema Analogamente a Eq 1433 expressa que a soma dos impulsos angulares em relação a O das forças externas é igual à variação da quantidade de movimento angular do sis tema em relação a O Para tornar claro o significado físico das Eqs 1432 e 1433 reor denamos os termos dessas equações e escrevemos Foto 142 Quando uma bola de golfe é atirada para fora da caixa de areia parte da quantidade de movimento do taco é transferida para a bola de golfe e parte para a areia que é atingida BeerDinamica14indd 878 BeerDinamica14indd 878 050712 1337 050712 1337 Capitulo 14 Sistemas de particulas 879 ty F dt L 1434 ty tg Ho Mo dt Ho 1435 qh Nas partes a ec da Fig 148 esbogamos as quantidades de movimento das particulas do sistema nos tempos t e t respectivamente Na parte b mostramos um vetor igual 4 soma dos impulsos lineares das forgas exter nas e um bindrio de momento igual 4 soma dos impulsos angulares em relacgao a O das forgas externas Para maior simplicidade assumimos que as particulas se movem no plano da figura mas a presente discussaéo permanece valida no caso de particulas que se movem no espaco Recordando da Eq 146 que L por definigao é a resultante das quantidades de movimento my observamos que a Eq 1434 expressa que a resultante dos vetores mostrados nas par tes a e b da Fig 148 é igual a resultante dos vetores mostrados na parte c da mesma figura Recordando da Eq 147 que H é o momento resul tante das quantidades de movimento my observamos que a Eq 1435 expressa analogamente que o momento resultante dos vetores nas partes a eb da Fig 148 é igual ao momento resultante dos vetores na parte c Jun tas as Eqs 1434 e 1435 expressam portanto que as quantidades de movimento das particulas no instante t e os impulsos das forgas externas det at formam um sistema de vetores equipolentes ao sistema das quanti dades de movimento das particulas no instante ts Isto foi indicado na Fig 148 pela utilizagao da cor verde nos sinais de adigao e igualdade y y Yy mava y MV o mpvgs a 4 Fat oo 4 mpgvp1 4 O x O x O x Y 2 meves meve t Mo dt a b c Figura 148 Se nenhuma fora externa age sobre as particulas do sistema as inte grais nas Eqs 1434 e 1435 siio zero e essas equagdes se reduzem a L L 1436 Ho Hos 1437 Verificamos portanto o resultado obtido na Secdo 146 se nenhuma forga externa atua sobre as particulas de um sistema a quantidade de movimento linear e a quantidade de movimento angular em relagéo a O do sistema de particulas se conservam O sistema das quantidades de mo vimento inicial é equipolente ao sistema das quantidades de movimento final e seguese que a quantidade de movimento angular do sistema de particulas em relagao a qualquer ponto fixo se conserva PROBLEMA RESOLVIDO 143 Para o veiculo espacial de 200 kg considerado no Problema Resolvido 141 sabese que em t 25 s a velocidade da parte A é v 270 msi 120 msj 160 msk e a velocidade da parte B é paralela ao plano xz Determine a velocidade da parte C y SOLUCAO Como nao ha forga externa a quantidade de movimento inicial mv é equi polente ao sistema das quantidades finais de movimento Igualando primei ramente as somas dos vetores em ambas as partes da figura ao lado e em mvp seguida as somas de seus momentos em relagio a O escrevemos O x L L MV MaVy MgVzyMEVe 1 H Hs Or XMyV XMgV X XMeVe 2 Recordando do Problema Resolvido 141 que v 150 msi oY m100kg m60kg me 40 kg oo r 555 mi180mj 240 mk A r 255 mi120 mk r 105 mi 450 mj 420 mk O e usando a informagao dada no enunciado deste problema reescrevemos as Eqs 1 e 2 como se segue Bf NN 200150i 100270i 120j 160k 60viv K z MCV 400 i 0 Cc k 1 BYB ijk ij k 0100555 180 24060255 0 120 270 120 160 v 0 v ij k 40105 450 420 2 ve ey We Igualando a zero o coeficiente de j em 1 e os coeficientes de ie k em 2 obtemos apos simplificagdes as trés equagGdes escalares v 3000 450ve 420v 0 103v 450ve 45000 0 que resultam respectivamente em ve 300 ve 280 Ue 30 A velocidade da parte C é portanto Vc 30 msi 300 msj 280 msk A lp PROBLEMA RESOLVIDO 144 On ee A bola B de massa mg esta suspensa por uma corda de comprimento presa ao carrinho A de massa m que pode rolar livremente sobre uma pista hori zontal sem atrito Se é dada 4 bola B uma velocidade inicial horizontal v en vo quanto o carrinho esta em repouso determine a a velocidade de B quando B QO ela atinge sua elevagéo maxima e b a distncia vertical maxima h que B vai subir Considerase que vu 2g SOLUCAO Posicao 1 Posigaio 2 O principio de impulso e quantidade de movimento e o principio de conser A A vao vaciio da energia serao aplicados ao sistema de carrinhobola entre sua posigaio v4 0 inicial 1 e a posigio 2 quando B atinge sua elevagiio maxima palo 0 Velocidades Posicdéo 1 v 0 Va Vo 1 Posiaéo 2 Quando a bola B atinge sua elevagio maxima sua velocidade B Vp relativa a seu suporte A é zero Portanto nesse instante sua velocida B vgo vao Bir P vp Vo de absoluta é Vp o Valo Vaya lo Vao 2 Ww Oa Principio de impulso e quantidade de movimento Observando A A A malvao que os impulsos externos consistem de Wt Wyt e Rt onde R é a reagao da pista sobre o carrinho e com as equagées 1 e 2 desenhamos o diagrama Ri de impulso e quantidade de movimento e escrevemos mplVao mv X Ext Imp Umv 2 B B t componentes em x MgVy M MgzO4o MpV pe que expressa que a quantidade de movimento linear do sistema se conserva Wat na direcao horizontal Resolvendo para v ada on m m eet oie vao vo vgpo vao vy 4 vao TN mB ma mB Conservacdo de energia Posigdo 1 Energia potencial V1 magl 5 Energia cinética T ympgvo B vo oh B vpo vaa Posigao 2 Energia potencial V magl mpgh 5 Referéncia Energia cinética Tz 9ma mgv42 T Vi Ts Vo 5Mpvo magl 3m mg v3 magl mepgh Resolvendo para h temos 2 2 py 20 Ma tmp va2 22 Mg 22 ou substituindo para v a expressio obtida anteriormente va Mp Uo Ma vo h h 4 2g ma mp 2 Ms Mp 2 Comentarios 1 Recordando que ve 2el seguese da tiltima equacio que h 1 verificamos portanto que B permanece abaixo de A como con siderado em nossa solucao 2 Para m mMz as respostas obtidas se reduzem a v v4 0 eh v2g B oscila como um péndulo simples com A fixo Param mzg elas se reduzem a vx V4 Vy eh 0 A e B se movem com a mesma velocidade constante vy PROBLEMA RESOLVIDO 145 AN 6 Em um jogo de bilhar foi dada 4 bola A uma velocidade inicial v de in 24 m tensidade vy 3 ms ao longo da linha DA paralela ao eixo da mesa Ela atinge a bola B e em seguida a bola C ambas em repouso Sabendo que sf A e C atingem os lados da mesa perpendicularmente nos pontos A e C 09 m poe C respectivamente que B atinge o lado obliquamente em B e considerando pA mo UE as superficies sem atrito e impactos perfeitamente elasticos determine as 4 B 9 locidad bol i lados d Obser 06m 09m velocidades vy vz V com que as bolas atingem os lados da mesa Obser Xs vacdo neste e em varios dos problemas que se seguem assumese que as i bolas de bilhar so particulas que se movem livremente em um plano hori 21m B zontal em vez das esferas que rolam e deslizam o que elas realmente sido SOLUCAO Conservagdo da quantidade de movimento Como nao ha forga externa a quantidade de movimento inicial mv é equipolente ao sistema D A navy m3 ms das quantidades de movimento apés as duas colisées e antes que qualquer 7 Oyo rE ns uma das bolas atinja o lado da mesa Referindonos ao esbogo adjacente om escrevemos O t componentes em x m3 ms mvz MLe 1 24m componentes em ye Omv Mvp 2 momentos em relagio a O 06 mm3 ms 24 mmv Mv oy se 21 mmvg 09 mmv 3 B C Ff Resolvendo as trés equagées para v Ug vp em termos de tg Q pmvely 08m by Uyy 306 Wp 3 4 Vp ft y O a dim Conservagao de energia Como as superficies sao sem atri to e os impactos sao perfeitamente eldsticos a energia cinética inicial 1 mv é igual a energia cinética final do sistema TMV TMAv z Mpv ZMeUe v 0 vg 2 3 ms 5 Substituindo as expressdes de v vg vp de 4 em 5 temos 23v 6 3v 02 9 20vZ 780g 72 0 Resolvendo para v encontramos v 15 ms e vc 24 ms Como so mente a segunda raiz fornece um valor positivo para v depois da substitui cio na Eq 4 concluimos que vu 24 mse 0 v 324612 ms v 32406 ms vy 12 mst vz 1342 ms SG 634 vo24ms7 N a seção anterior definimos a quantidade de movimento linear e a quantidade de movimento angular de um sistema de partículas Nesta lição definimos a energia cinética T de um siste ma de partículas 1428 As soluções dos problemas da seção anterior foram baseadas na conservação da quantidade de mo vimento linear de um sistema de partículas ou na observação do movimento do centro de massa dc um sistema de partículas Nesta seção você vai resolver problemas envolvendo o seguinte 1 Cálculo da energia cinética perdida em colisões A energia cinética T1 do sistema de partículas antes das colisões e sua energia cinética T2 depois das colisões são calculadas a partir da Eq 1428 e são subtraídas uma da outra Tenha em mente que enquanto a quantidade de mo vimento linear e a quantidade de movimento angular são quantidades vetoriais a energia cinética é uma quantidade escalar 2 Conservação da quantidade de movimento linear e conservação de ener gia Como você viu na lição anterior quando a resultante das forças externas que atuam em um sistema de partículas é igual a zero a quantidade de movimento linear do sistema é conservada Em problemas que envolvem movimento bidimensional e expressam que a quantidade de movi mento linear inicial e a quantidade de movimento linear final do sistema são equipolentes temos duas equações algébricas Igualando a energia inicial total do sistema de partículas incluindo a energia potencial e também a energia cinética à sua energia total final temos uma equação adi cional Portanto você pode escrever três equações que podem ser resolvidas para três incógnitas Problema Resolvido 145 Observe que se a resultante das forças externas não é igual a zero mas tem uma direção fixa o componente da quantidade de movimento linear em uma direção perpendicular à da resultante é conservado o número de equações que podem ser usadas é então reduzido para duas Problema Resolvido 144 3 Conservação da quantidade de movimento linear e angular Quando não há forças externas atuando em um sistema de partículas tanto a quantidade de movimento linear do sistema como sua quantidade de movimento angular em relação a algum ponto arbitrário são conservadas No caso de movimento tridimensional isso lhe permitirá escrever até seis equações apesar de você poder resolver apenas algumas delas para obter as respostas desejadas Problema Resolvido 143 No caso de movimento bidimensional você poderá escrever três equações que podem ser resolvidas para três incógnitas 4 Conservação da quantidade de movimento linear e angular e conservação de energia No caso do movimento bidimensional de um sistema de partículas que não estão sujei tas a quaisquer forças externas você vai obter duas equações algébricas expressando que a quanti dade de movimento linear do sistema é conservada uma equação descrevendo que a quantidade de movimento angular do sistema em relação a algum ponto arbitrário é conservada e uma quarta equação expressando que a energia total do sistema é conservada Essas equações podem ser re solvidas para quatro incógnitas METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS BeerDinamica14indd 883 BeerDinamica14indd 883 050712 1337 050712 1337 1431 Assumindo que o empregado da companhia aérea no Problema 141 primeiro coloca rapidamente a mala de 15 kg no carro de transporte de bagagem determine a energia perdida a quando a primeira mala atinge o carro b quando a segunda mala atinge o carro 1432 Determine a energia perdida devido ao resultado da série de colisées descritas no Problema 147 1433 No Problema 143 determine o trabalho realizado pela mulher e pelo homem quando cada um mergulha do barco considerando que a mu Iher mergulha primeiro 1434 No Problema 145 determine a energia perdida quando 0 projétil a passa por meio do bloco A b fica incrustado no bloco B 1435 Dois automéveis A e B de massa m e mz respectivamente se deslocavam em sentidos opostos quando colidem frontalmente Considerase que o choque é perfeitamente plastico e também que a energia absorvida por cada automével é igual 4 sua perda de energia cinética em relagao a um sistema de referéncia mével liga do ao centro de massa do sistema de dois veiculos Representando por E e E respectivamente a energia absorvida pelo automével Ae pelo automével B a mostre que EE mmg ou seja que a quantidade de energia absorvida por cada veiculo é inversamen te proporcional a sua massa e b calcule e E e Ez sabendo que m 1600 kg e mg 900 kg e que as velocidades de A e B sao respectivamente de 90 kmh e 60 kmh VA VB B A i SoD TORO es Quine J Nd 6am Figura P1435 1436 Considerase que cada um dos dois automéveis envolvidos na colisio descrita no Problema 1435 foi projetado para resistir com seguranga aum teste de impacto em que 0 veiculo bate em uma parede rigida fixa a uma velocidade v O grau de gravidade da colisaio do Proble ma 1435 pode entao ser avaliado para cada veiculo pela relagao en tre a energia absorvida na colisio e a energia absolvida no teste Com base nessa informagao mostre que a colisaio descrita no Problema 1435 6 mm vezes mais grave para 0 automével B que para o automovel A 1437 Resolva o Problema Resolvido 144 considerando que o carrinho A tem uma velocidade horizontal inicial v enquanto a bola B se encon tra em repouso Capitulo 14 Sistemas de particulas 885 1438 Em um jogo de bilhar a bola A se desloca com uma velocidade v vi quando ela atinge as bolas B e C que esto em repouso uma ao lado da outra Considerando as superficies sem atrito e um choque perfeitamen A te elastico ou seja conservacio de energia determine a velocidade fi Vo e nal de cada bola considerando que a trajetoria de A a é perfeitamente centrada e que A atinge B e C simultaneamente b nao é perfeitamente war centrada e que A atinge B um pouco antes de atingir C 1439 e 1440 Emum jogo de bilhar a bola A se desloca com uma velocidade v de intensidade v 5 ms quando ela atinge as bolas Be C que se Figura P1438 encontram em repouso e alinhadas como mostrado na figura Saben do que apés a colisio as trés bolas se movem nas diregées indicadas e considerando as superficies sem atrito e os choques perfeitamente elasticos isto é conservagao de energia determine as intensidades das velocidades v vz Ve VA Vo VA Gi C G 45 B 30 A A 45 30 Vo vo 30 Qvz 45 NVB Figura P1439 P1440 1441 Dois hemisférios sio mantidos unidos por uma corda que mantém a 25 kg uma mola comprimida a mola néo esté presa aos hemisférios A A i ial 1 imida é de 120 t t vo energia potencial da mo a comprimida éde Ii J ea montagem tem 4 uma velocidade inicial v de intensidade v 8 ms Sabendo que a Ke corda se parte quando 30 causando a separacio dos hemisfé Xe rios determine a velocidade resultante de cada hemisfério 4 15 kg 1442 Resolva 0 Problema 1441 sabendo que a corda é partida quando Figura P1441 6 120 1443 Um bloco B de 20 kg é suspenso por uma corda de 2 m fixada em um carrinho A de 30 kg que pode rolar livremente sem atrito no caminho horizontal Se o sistema é liberado do repouso na posigéo mostrada na figura determine as velocidades de A e B quando B pas sa diretamente embaixo de A 30 kg A d 25 20 kg Figura P1443 886 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1444 Trés esferas cada uma de massa m podem deslizar livremente sobre uma superficie horizontal sem atrito As esferas A e B estio ligadas por um fio inextensivel e inelastico de comprimento e em repouso na posigio mostrada na figura quando a esfera B é atingida perpen dicularmente pela esfera C que se move para direita com uma ve locidade v Sabendo que o fio nao esta esticado quando a esfera B é atingida pela esfera C e considerando que o choque entre B e C é perfeitamente elastico determine a a velocidade de cada esfera imediatamente ap6s 0 fio ficar esticado e b a fragio da energia ciné tica inicial do sistema que é dissipada quando 0 fio é esticado 12 B Vo Cc i 1 1 A Figura P1444 1445 Um veiculo espacial de 360 kg deslocandose com velocidade vy 450 msk passa pela origem O Cargas explosivas dividem en tao o veiculo em trés partes A B e C com massas de 60 kg 120 kg e 180 kg respectivamente Sabendo que logo depois as posicées das trés partes siio A 72 72 648 B 180 396 972 e C 144 288 576 onde as coordenadas siio expressas em metros que a velocidade de B é vz 150 msi 330 msj 660 msk e que o componente x da velocidade de C é 120 ms determine a velocidade da parte A 1446 No experimento de dispersio de particulas feito no Problema 1424 sabese que a particula alfa é langada a partir de Ay 300 0 300 e vo que ela colide com o niicleo de oxigénio C em Q 240 200 100 A onde todas as coordenadas so expressas em milfmetros Determine as coordenadas do ponto B onde a trajetéria original do micleo B in tercepta o plano zx Dica expresse que a quantidade de movimento angular das trés particulas em relacao a Q é conservada 200 mm 1447 Duas pequenas esferas A e B de massas 25 kg e 1 kg respectivamen te estéo unidas por uma barra rigida de massa desprezivel As duas esferas estéo em repouso sobre uma superficie horizontal sem atrito quando A é subitamente impulsionada com velocidade v 3 msi B Determine a a quantidade de movimento linear do sistema e sua Figura P1447 quantidade de movimento angular em relagiio a seu centro de massa G b as velocidades de A e B apés a barra AB ter girado 180 1448 Resolva o Problema 1447 considerando que B é a esfera que é subi tamente impulsionada com velocidade v 3 msi Capitulo 14 Sistemas de particulas 887 1449 Trés esferas idénticas A B e C que podem deslizar livremente so Vo bre uma superficie horizontal sem atrito estao ligadas por meios de cordas inelasticas e inextensiveis a um pequeno anel D localizados no centro de massa das trés esferas l 21 cos 6 Inicialmente as es feras giram em torno do anel D que esta em repouso a velocidades proporcionais as suas distancias de D Indicamos v como a velocidade Cc original de A e B e consideramos que 6 30 Repentinamente a cor da CD se parte fazendo com que a esfera C deslize para longe Con 180 0 siderando 0 movimento das esferas A e C e do anel D apos as outras duas cordas ficarem outra vez esticadas determine a a velocidade do anel D b a velocidade relativa com a qual a esfera A e a B rodam l D te A em torno de D c a percentagem de energia do sistema original que 26 180 6 é dissipada quando as cordas AD e BD ficam esticadas outra vez l 1450 Resolver o Problema 1449 considerando que 6 45 VA 1451 Dois pequenos discos A e B de massas de 3 kg e 15 kg respectiva B Vp mente podem deslizar livremente sobre uma superficie horizontal sem atrito Os discos estao unidos por uma corda de 600 mm de com Figura P1449 primento e giram no sentido antihordrio em torno do seu centro de massa G a uma taxa de 10 rads No instante t 0 as coordenadas de G sio x 0 y 2 m e sua velocidade é v 12 msi 096 msj Pouco depois o fio se rompe observase entéo que o disco A se move ao longo de uma trajetéria paralela ao eixo y e o disco B ao longo de uma trajetéria que intercepta o eixo x a uma distancia b 75 m de O Determine a as velocidades de A e B apés 0 fio se romper b a distancia a entre o eixo y e a trajetéria de A y vA 4 SA A G a B To BO RB O x oo Figura P1451 e P1452 1452 Dois pequenos discos A e B de massas de 2 kg e 1 kg respectiva mente podem deslizar livremente sobre uma superficie horizontal sem atrito Os discos estéo unidos por um fio de massa desprezivel e giram em torno do seu centro de massa G No instante t 0 G se move com velocidade v e suas coordenadas sao x 0 yy 189 m Logo depois o fio se rompe observase ento que o disco A se move com uma velocidade v 5 msj em linha reta e a uma distancia a 256 m do eixo y enquanto B se move com uma velocidade v 72 msi 46 msj ao longo de uma trajetoria que intercepta 888 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica o eixo x a uma distancia b 748 m da origem O Determine a a velocidade inicial v do centro de massa G dos dois discos b 0 com primento do fio que inicialmente os unia c a taxa em rads com que os discos giravam em torno de G B 1453 Em um jogo de bilhar a bola A tem velocidade inicial v ao longo da 1800 mm 1200 mm direcao do eixo longitudinal da mesa Ela atinge a bola B e a seguir a Vy bola C que estéo ambas em repouso Observase que as bolas A e C 750 mm pI atingem as laterais da mesa perpendicularmente nos pontos A e C oS respectivamente enquanto a bola B atinge a lateral da mesa obliqua 50 mm A Give mente em B Sabendo que vy 4 ms v 2 ms ea 1600 mm v Cc determine a as velocidades v v das bolas B e C b 0 ponto C Pp aN onde a bola C atinge a lateral da mesa Considere as superficies como a A sendo sem atrito e os choques como perfeitamente elasticos isto 6é Figura P1453 conservagao de energia 1454 Para o jogo de bilhar do Problema 1453 considere agora que v 5 ms ve 3 ms ec 1200 mm Determine a as veloci dades v e v das bolas A e B b 0 ponto A onde a bola A atinge a lateral da mesa 1455 Trés pequenas esferas idénticas A B e C que podem destlizar livre mente sobre uma superficie horizontal sem atrito estao ligadas por trés fios de comprimento 200 mm que esto amarrados a um anel G Inicialmente as esferas giram no sentido hordario em torno do anel com uma velocidade relativa de 08 ms e o anel se desloca ao longo do eixo x com uma velocidade v 04 msi Repentinamente o anel se parte e as trés esferas passam a se mover livremente no plano xy com A e B seguindo trajetérias paralelas ao eixo y a uma distancia a 346 mm uma da outra e C seguindo uma trajetoria paralela ao eixo x Determine a a velocidade de cada esfera b a distancia d y A VA c ay 7 120 a d JA Vv x BO 120 Cc vp Figuras P1455 e P1456 1456 Trés pequenas esferas idénticas A B e C que podem deslizar livre mente sobre uma superficie horizontal sem atrito esto ligadas por trés fios de comprimento que estio amarrados a um anel G Inicial mente as esferas giram em torno do anel que se desloca ao longo do eixo x com velocidade v Repentinamente o anel se parte e as trés esferas passam a se mover livremente no plano xy Sabendo que v 1039 msj v 1800 msi a 416 mm e d 240 mm determine a a velocidade inicial do anel b o comprimento dos fios c a taxa em rads com que as esferas giram em torno de G Capitulo 14 Sistemas de particulas 889 1410 Sistemas varidveis de particulas Todos os sistemas de particulas considerados até agora consistiam em par ticulas bem definidas Esses sistemas néo ganhavam nem perdiam quais quer particulas durante seu movimento Em um grande ntimero de apli cagdes de engenharia entretanto é necessério levar em consideracao os sistemas varidveis de particulas isto é sistemas que estao continuamente ganhando ou perdendo particulas ou fazendo ambas as coisas ao mesmo tempo Considere por exemplo uma turbina hidrdulica Sua andlise envol ve a determinacio das forcgas exercidas por um escoamento de agua sobre as pas em rotacao e observamos que as particulas de agua em contato com as pds formam um sistema em constante mudanga que continuamente adquire ou perde particulas Os foguetes fornecem outro exemplo de sis temas variaveis j4 que sua propulsao depende da ejecao continua de par ticulas de combustivel Lembramos que todos os princfpios da cinética estabelecidos até agora foram deduzidos para sistemas constantes de particulas que nao ganham nem perdem particulas Devemos portanto descobrir uma maneira de reduzir a andlise de um sistema varidvel de particulas 4 de um sistema auxi liar constante O procedimento a ser seguido é indicado nas Segées 1411 e 1412 para duas amplas categorias de aplicagdes um fluxo permanente de particulas e um sistema que esté ganhando ou perdendo massa 1411 Fluxo permanente de particulas Considere um fluxo permanente de particulas tal como um fluxo de agua desviado por uma pa fixa ou um jato de ar por meio de um duto ou ventila dor Para determinar a resultante das forgas exercidas nas particulas em con tato com a pa duto ou ventilador isolamos essas particulas e representamos a por S o sistema assim definido Fig 149 Observamos que S é um sistema varidvel de particulas j4 que ele ganha continuamente particulas que estéo fluindo para dentro e perde um ntimero igual de particulas que estao fluin do para fora Portanto os princfpios da cinética que foram estabelecidos US anteriormente nao podem ser aplicados diretamente a S A NS Entretanto podemos facilmente definir um sistema auxiliar de parti y culas que permanega constante durante um curto intervalo de tempo At Considere no instante t 0 sistema S mais as particulas que vao entrar em S durante o intervalo de tempo At Fig 1410a A seguir considere no Figura 149 instante t At o sistema S mais as particulas que deixaram S durante o in tervalo At Fig 1410c Claramente as mesmas particulas estado envolvi das em ambos os casos e podemos aplicar a essas particulas 0 principio de impulso e quantidade de movimento Como a massa total m do sistema S permanece constante as particulas que entram no sistema e aquelas que deixam o sistema no intervalo At devem ter a mesma massa Am Repre sentando por v Vz respectivamente as velocidades das particulas que entram em S por meio de A e que deixam S por meio de B representamos a quantidade de movimento das partfculas que entram em S por Amv Fig 1410a e a quantidade de movimento das particulas que deixam S por Amv Fig 1410c Também representamos por vetores apropria dos as quantidades de movimento my das particulas que formam S e os impulsos das forgas exercidas sobre S e indicamos por sinais de adicao e igualdade de cor verde que o sistema das quantidades de movimento e impulsos nas partes a e b da Fig 1410 é equipolente ao sistema das quan tidades de movimento na parte c da mesma figura 890 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Amvp i I ry B B y YO NS M At Yo L oO A oO o A Amv 7 7 7 a b c Figura 1410 A resultante 2my das quantidades de movimento das particulas de S esté presente em ambos os lados do sinal de igualdade e pode portanto ser omitida Concluimos que o sistema formado pela quantidade de mo vimento Amv das particulas que entram em S no intervalo At e os im pulsos das forgas exercidas sobre S durante esse intervalo é equipolente a quantidade de movimento Amv das particulas que deixam S no mesmo intervalo At Podemos portanto escrever Amv 2F At Amvez 1438 Uma equagio semelhante pode ser obtida tomando os momentos dos vetores envolvidos Problema Resolvido 145 Dividindo todos os termos da Eq 1438 por At e fazendo At tender a zero obtemos no limite dm F vp Va 1439 dt onde v v representa a diferenca entre 0 vetor v 0 vetor Vy No SI dmdt é expresso em kgs e as velocidades em ms verifica mos que ambos os membros da Eq 1439 sao expressos nas mesmas unidades newtons O principio que acabamos de estabelecer pode ser usado para anali sar um grande ntimero de aplicagdes em engenharia Algumas das aplica des mais comuns serao consideradas a seguir Fluxo de fluido desviado por uma pa Sea pa é fixa o método de andlise apresentado anteriormente pode ser aplicado diretamente para Muitas vezes é conveniente expressar a taxa de variago do fluxo de massa dmdt como o produto pQ onde p é a massa especffica da corrente massa por unidade de volume e Q é sua vaziio em volume volume por unidade de tempo No SI p é expresso em kgm por exemplo p 1000 kgm para a Agua e Q em ms Capitulo 14 Sistemas de particulas 891 encontrar a forga F exercida pela pa sobre o fluxo Observamos que F é a tinica fora que precisa ser considerada jA que a pressio no fluxo é constante pressio atmosférica A forga exercida pelo fluxo sobre a pa sera igual e oposta a F Se a pé se move com uma velocidade constante o fluxo nao é constante Entretanto ele parecera ser constante para um observador que se move com a pa Temos portanto que escolher um sistema de eixos que se desloque com a pé Como esse sistema de eixos nao esta acelerado a Eq 1438 ainda pode ser usada mas v e v de vem ser substituidas pelas velocidades relativas do fluxo em relagiio a pa Problema Resolvido 147 Fluido que escoa por meio de um tubo A forca exercida pelo fluido sobre a regio de transigao de um tubo tal como uma curva ou uma redugao pode ser determinada considerandose o sistema de par ticulas S em contato com a transicéo Como a pressdo no escoamento é em geral variavel as forcas exercidas sobre S pelas porgdes adjacentes do fluido também devem ser consideradas Motor a jato Em um motor a jato o ar entra com velocidade inicial nula pela frente do motor e sai pela parte posterior com alta velocida de A energia necessdria para acelerar as particulas de ar é obtida pela queima de combustivel A massa do combustivel queimado nos gases de exaustao serd em geral suficientemente pequena quando comparada com a massa do ar que flui pelo motor que pode ser desprezada Portan to a andlise de um motor a jato se reduz a andlise de um fluxo de ar Esse fluxo pode ser considerado como um fluxo permanente se todas as veloci dades forem medidas em relacao a aeronave Consideraremos portanto que o fluxo de ar entra no motor com uma velocidade v de intensidade igual 4 velocidade do aviaio e sai com uma velocidade u igual 4 velocidade relativa dos gases de exaustao Fig 1411 Como as pressdes de entrada e saida so quase atmosféricas a tinica forga externa que precisa ser con siderada é a forca exercida pelo motor sobre o fluxo de ar Essa forga é igual e inversa ao empuxo al Vv u Figura 1411 Note que se o avido for acelerado ele nao podera ser usado como um sistema de refe réncia newtoniano Contudo o mesmo resultado sera obtido para o empuxo pelo uso de um sistema de referéncia em repouso em relagiio a atmosfera j4 que se observa que as particulas de ar entraraio no motor com velocidade nula e sairdio dele com uma velocidade de intensidade u v 892 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica wv Ventilador Consideremos o sistema de particulas mostrado na Fig Corrente de vento 1412 Admitese que a velocidade v das particulas que entram no sis Wst tema igual a zero e que a velocidade v das particulas que saem do S od 2 0 i SS FF Sistemaéa velocidade da corrente de ar produzida A vazio de ar pode SS SS Cs ser obtida multiplicandose v pela area da segao transversal da corrente Xx 1 Como a pressio ao redor de S é atmosférica a tinica forga externa que C atua em S é o empuxo do ventilador Helicoéptero A determinagio do empuxo criado pelas pas rotativas de Figura 1412 um helicéptero que paira é similar 4 determinagao do empuxo de um ventilador A velocidade v das particulas de ar que se aproximam das pas é considerada nula e a vazao de ar é obtida multiplicandose a intensida de da velocidade v da corrente de ar produzida pela sua area da secao transversal 1412 Sistemas que ganham ou perdem massa Analisemos agora um tipo diferente de sistema varidvel de particulas a saber um sistema que ganha massa pela absorcao continua de particulas ou que perde massa pela expulsdo continua de particulas Considere o sistema S mostrado na Fig 1413 Sua massa igual a m no instante f au menta em Am no intervalo de tempo At Para poder aplicar o principio de impulso e quantidade de movimento andlise desse sistema devemos considerar no instante t o sistema S mais as particulas de massa Am que S absorve durante o intervalo de tempo At A velocidade de S no instante é representada por v a velocidade de S no instante At é re presentada por v Av e a velocidade absoluta das particulas absorvidas é representada por v Aplicando o principio de impulso e quantidade de movimento escrevemos j mv Amv F At m Amv Av 1440 1 a a ee i m Am ce F oat ee y 7 Sa fs 7 ein ee kal XF At Bee a S au ne ae Foto 143 A medida que os foguetes Pee propulsores do dnibus espacial sGo acionados as particulas de gds ejetadas m deles fornecem o impulso para a decolagem Figura 1413 Capitulo 14 Sistemas de particulas 893 Resolvendo para a soma F At dos impulsos das forgas externas que atuam em S excluindo as forgas exercidas pelas particulas que sao ab sorvidas temos F At mAv Amv v AmAv 1441 Introduzindo a velocidade relativa u em relagio a S das particulas que sio absorvidas escrevemos u v ve verificamos que como v v a velocidade relativa u esta dirigida para a esquerda como mostrado na Fig 1413 Desprezando o tiltimo termo da Eq 1441 que é de segun da ordem escrevemos F At m Av Amu Dividindo ambos os membros por Aft e fazendo At tender a zero temos no limite dv dm F m u 1442 dt dt Reordenando os termos e recordando que dvdt a onde a é a acelera cao do sistema S escrevemos dm F u ma 1443 dt que mostra que a agao sobre S das particulas que estéo sendo absorvidas é equivalente a um empuxo dm P u 1444 dt que tende a retardar 0 movimento de S ja que a velocidade relativa u das particulas esta dirigida para a esquerda dmdt é expresso em kgs a velocidade relativa u em ms e o empuxo correspondente em newtons As equacoées obtidas também podem ser usadas para determinar o movimento de um sistema S que perde massa Nesse caso a taxa de va riagao de massa é negativa e a aco sobre S das particulas que estaio sendo expelidas é equivalente a um empuxo na direcao e sentido de u isto é no sentido oposto aquele no qual as particulas estéo sendo expelidas Um foguete representa um caso tipico de sistema com perda continua de massa Problema Resolvido 148 Quando a velocidade absoluta v das particulas absorvidas é zero u v e a Eq 1442 se torna F al Comparando a f6rmula obtida com a Eq 123 da Seco 123 observamos que a segunda lei de Newton pode ser aplicada a um sistema que ganha massa contanto que as particulas absorvidas se encontrem inicialmente em repouso Ela também pode ser aplica da a um sistema que perde massa contanto que a velocidade das particulas expelidas seja zero em relaco ao sistema de referéncia escolhido Ver a nota de rodapé da pagina 890 PROBLEMA RESOLVIDO 146 h me Griios caem de um funil em uma calha CB 8 raziio de 120 kgs Eles atingem a vA calha em A com uma velocidade de 10 ms e saem da calha em B com uma velo 1 c cidade de 75 ms formando um angulo de 10 com a horizontal Sabendo que o 3 peso combinado da calha e dos graos que ela suporta é uma forga W com intensi m A G 10 dade de 3000 N aplicada em G determine a reagio no suporte de roletes B e os B componentes da reaciio na articulagao C 35 m w YB oT 6m SOLUCAO Aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimento no intervalo de tempo At para o sistema formado pela calha os graos que ela suporta e a quantidade de graos que atingem a calha no intervalo de tempo At Como a calha nao se move ela nao tem quantidade de movimento Observamos tam bém que a soma mv das quantidades de movimentos lineares das particu las suportadas pela calha 6 a mesma emt e emt At e que pode portanto ser omitida 15m js Essn b8 i 6m Amv 35 C CA NN I a YL 3m 10 Ss C At a Amvg W At BAt Como o sistema formado pela quantidade de movimento Amv e pelos impulsos é equipolente 4 quantidade de movimento Amv escrevemos componentes em x C At Amv cos 10 1 T componentes em y AmoC AtW AtB At Amv sen 10 2 momentos em relacio a C 15Amv 35W At 6B At 3Amv cos 10 6Amv sen 10 Usando os dados fornecidos W 3000 N v 10 ms v 75 ms e AmAt 120 kgs e resolvendo a Eq 3 para B e a Eq 1 para C 6B 353000 1512010 312075cos 10 2 sen 10 B2340 N B2340NT 4 C 12075 cos 10 886 N C886N Substituindo o valor de B e resolvendo a Eq 2 para C C 3000 2340 12010 75 sen 10 1704 N C1704NT PROBLEMA RESOLVIDO 147 B Um bocal descarrega um jato de agua com area de seco transversal A e com uma velocidade v O jato é desviado por uma tinica pa que se desloca para a VA direita com uma velocidade constante V Considerando que a agua escoa ao longo da pé com uma velocidade constante determine a os componentes da a fora F exercida pela pa sobre o jato de agua e b a velocidade V para a qual Vv se obtém a poténcia maxima SOLUCAO up a Componentes da forca exercida sobre o escoamento Es colhemos um sistema de coordenadas que se desloca com a pé a uma ve YY locidade constante V As particulas de agua atingem a pa com uma velocidade uy vaV relativa u v V e deixam a pd com uma velocidade relativa u Como as particulas de agua se deslocam ao longo da pa com uma velocidade constante as velocidades relativas u e u tém a mesma intensidade uw Representando a densidade da agua por p a massa das particulas da 4gua que atingem a pa durante o intervalo de tempo At é Am Apv VAt uma massa igual de particulas deixa a pa no mesmo intervalo de tempo At Aplicamos o principio de impulso e da quantidade de movimento ao sistema formado pelas parti culas em contato com a pa e pelas particulas que atingem a pa no tempo At Amu 6 Am uy F At F At Recordando que u e u tém a mesma intensidade u e omitindo as quan tidades de movimento 2mv que aparecem em ambos os lados escrevemos componentes em x AmuF At Amu cos 6 7 componentes em y F At Amu sen 0 Substituindo Am Apv VAt eu v V obtemos F Apv V1 cos 0 F Apv vy senét b Velocidade da pa para poténcia maxima A poténcia é obtida multiplicandose a velocidade V da pa pela componente F da forga exercida pelo escoamento sobre a pa Poténcia FV Apv VY1 cos 0V Diferenciando a poténcia em relacio a V e fazendo a derivada igual a zero obtemos dpoténcia Upotencia 2 4vV 3V21cos 6 0 dV Vv Vhv Para poténcia maxima VFu4 Nota Esses resultados sao validos somente quando uma tinica pa desvia o jato Resultados diferentes sio obtidos quando uma série de pas desvia o jato como no caso de uma turbina Pelton Problema 1481 PROBLEMA RESOLVIDO 148 Um foguete com massa inicial m incluindo a estrutura e o combustivel é lan cado verticalmente no instante t 0 O combustivel é consumido a uma taxa constante q dmdt e expelido com uma velocidade constante u relativa ao f foguete Deduza uma expressio para a intensidade da velocidade do foguete no instante t desprezando a resisténcia do ar SOLUCAO No instante f a massa da estrutura do foguete e do combustivel nao queimado remanescente 6 m m qt e sua velocidade é v Durante o intervalo de tempo Aft a massa de combustivel Am q At é expelida com uma velocidade u em relacao ao foguete Representando por v a velocidade absoluta do com bustivel expelido aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimen to entre os instantest et At i wat h WAt gmg qt At 1 Amve Amv qAtu v Escrevemos mo qtv gimp gt At mp qt gq At Av q Attu v Dividindo por At e tomando o limite quando At tende a zero obtemos dv glm qt mo qe qu t Separando as variaveis e integrando de t 0 v 0 atét tv v u e t u to Ja fan 2a mo qt 0 o mo gt u In t gt In2 t vo u Inm vo uln g 4 Sto mo gt Comentario A massa remanescente no tempo tapos todo o combustivel ter sido expelido é igual massa da estrutura do foguete m my qt ea velocidade maxima atingida pelo foguete é v u In mm gt Conside rando que o combustivel é expelido em um intervalo relativamente curto de tempo o termo gté pequeno e temos v u In mm Para poder escapar do campo gravitacional da Terra um foguete deve alcangar uma velocidade de 1118 kms Considerando u 2200 ms e v 1118 kms obtemos mm 161 Portanto para langar cada quilograma da estrutura do foguete no espago é necessdrio consumir mais de 161 kg de combustivel se for usado um propelente que produza u 2200 ms METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS E sta secaio é dedicada ao estudo do movimento de sistemas varidveis de particulas isto é siste mas que estao continuamente ganhando ou perdendo particulas ou fazendo ambas as coisas ao mesmo tempo Os problemas a serem resolvidos envolvem 1 fluxo permanente de particulas e 2 sistemas que ganham ou perdem massa 1 Para resolver problemas que envolvem um fluxo permanente de particulas vocé vai considerar uma parte S do fluxo e expressar que o sistema formado pela quantidade de mo vimento das particulas que entram em S por meio de A no tempo At e os impulsos das forgas exercidas em S durante esse tempo é equipolente 4 quantidade de movimento das particulas que deixam S por meio de B no mesmo tempo At Fig 1410 Considerando somente as resultantes dos sistemas vetoriais envolvidos vocé pode escrever a equagio vetorial Amv F At Amvz 1438 Vocé também pode querer considerar os momentos em relago a um dado ponto dos sistemas vetoriais envolvidos para obter uma equagio adicional Problema Resolvido 146 mas muitos problemas podem ser solucionados usando a Eq 1438 ou a equagiio obtida dividindose todos os termos por At e fazendo At tender a zero dm op iy v4 01499 dt onde v v representa uma subtragdo vetorial e onde a vazio massica dmdt pode ser expressa como o produto pQ da massa especifica p massa por unidade de volume e da vazio volumétrica Q volume por unidade de tempo Problemas tipicos envolvendo um fluxo permanente de particulas foram descritos na Secao 1411 Vocé podera ser solicitado a determinar o seguinte a Empuxo causado por um fluxo desviado A Eq 1439 é aplicdvel mas vocé tera uma melhor compreensio do problema se usar uma solugio baseada na Eq 1438 b Reagdes nos apoios de pds ou de correias transportadoras Primeiramente desenhe um diagrama mostrando em um lado da igualdade a quantidade de movimento Amv das particulas que atingem a pa ou a correia no tempo At assim como os impulsos das cargas e reacGes nos apoios durante esse tempo e mostrando no outro lado da igualdade a quantidade de movimento Amv das particulas que saem da pa ou correia no tempo At Problema Resolvido 146 Igualando os componentes em x os componentes em y e os momentos das quantidades em ambos os lados da equagiio vocé tera trés equagées escalares que podem ser resolvidas para trés incégnitas c Empuxo desenvolvido por um motor a jato uma hélice ou um ventilador Na maioria dos casos apenas uma inc6gnita esta envolvida e esta pode ser obtida resolvendose a equagiio escalar derivada da Eq1438 ou da Eq 1439 continua 2 Para resolver problemas que envolvem sistemas que ganham massa vocé vai considerar 0 sistema S que tem uma massa m e estd se movimentando com uma velocidade v no instante t e as particulas de massa Am com velocidade v que S vai absorver no intervalo de tempo At Fig 1413 Vocé vai entéo expressar que a quantidade de movimento total de S e das parti culas que serao absorvidas mais o impulso das forgas externas exercida em S sio equipolentes a quantidade de movimento de S no instante t At Observando que a massa de S e sua velocidade naquele instante sao respectivamente m Amev Av vocé tera a equagao vetorial mv Amv F At m Amv Av 1440 Como foi mostrado na Segiio 1412 se vocé introduzir a velocidade relativa u v v das parti culas que esto sendo absorvidas obtera a seguinte expressao para a resultante das forgas externas aplicadas em S dv dm F m u 1442 dt dt Além disso foi mostrado que a acgao em S das particulas que so absorvidas é equivalente a um empuxo P dm 1444 u dt ee exercido na diregao e sentido da velocidade relativa das particulas que sao absorvidas Exemplos de sistemas que ganham massa sao as correias transportadoras os vagdes de trens em movimento sendo carregados com pedras ou areia e correntes sendo puxadas para fora de uma pilha 3 Para resolver problemas que envolvem sistemas que perdem massa tais como foguetes e motores de foguetes vocé pode usar as Eqs de 1440 a 1444 contanto que atribua valores negativos ao aumento de massa Am e a razio de troca de massa dmdt Seguese que 0 em puxo definido pela Eq 1444 sera exercido em um sentido oposto aquele da velocidade relativa das particulas em processo de ejecao 1457 Um jato de dgua de secio transversal A e velocidade v atinge uma placa que é mantida pela forga P Determine a intensidade de P sa bendo que A 500 mm v 25 ms e V 0 P pP a 1458 Um jato de Agua de secio transversal A e velocidade v atinge uma vj placa que se move com velocidade V Determine a velocidade V sa bendo que A 600 mm v 30 mseP 400N Vv 1459 Arbustos e galhos so colocados a uma taxa de 5 kgs no ponto Ade Figura P1457 e P1458 um triturador que elimina os resfduos de madeira resultantes em C com uma velocidade de 20 ms Determine 0 componente horizontal da forga exercida pelo triturador sobre o engate do caminhio em D C A AKO I Zag rey A Oe Saas 25 see a E a c ae D B Figura P1459 1460 Uma ferramenta rotativa é utilizada para remover a neve de uma se cao em nivel de uma linha férrea O vagaio removedor de neve é posi cionado a frente de uma locomotiva que o empurra com uma veloci dade constante de 20 kmh O vagiio remove 18 X 10 kg de neve por minuto projetandoa na direco mostrada na figura a uma velocidade de 12 ms em relacao ao vagio Desprezando o atrito determine a a forga exercida pela locomotiva sobre o vagio removedor de neve b a forga lateral exercida pelo trilho sobre o vagaio removedor de neve oe iy S at fh I at Le a 1 z x Figura P1460 900 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1461 A Agua escoa continuamente entre duas placas A e B com uma ve locidade v de intensidade 30 ms O jato é dividido em duas partes por uma placa lisa horizontal C Sabendo que as vazGes em cada uma das correntes resultantes sio respectivamente Q 100 Lmin e Q 500 Lmin determine a 0 Angulo 6 b a forga total exercida pelo jato sobre a placa horizontal Vv B Vv v 1 2 C Figura P1461 e P1462 1462 A agua escoa continuamente entre duas placas A e B com uma velo cidade v de intensidade 40 ms O jato é dividido em duas partes por uma placa lisa horizontal C Determine as vazGes Q e Q em cada uma das correntes resultantes sabendo que 0 30 e que a forga total exercida pelo jato sobre a placa horizontal é igual a 500 N na direcao vertical 1463 O bocal mostrado na figura descarrega 4gua a uma vazio de 13 mmin Sabendo que tanto em A quanto em B o jato de d4gua se move com velocidade de intensidade de 20 ms e desprezando o peso do defletor determine os componentes das reagdes em C e D d A 1 Vv on 500 mm B 75 mm D 750 so Figura P1463 1464 Sabendo que a pd AB do Problema Resolvido 147 tem uma forma de arco de circulo mostre que a resultante da forga F exercida pela pa no jato é aplicada no ponto médio C do arco AB Dica primeiro mostre que a linha de acao da forca F deve passar por meio do centro O do circulo Capitulo 14 Sistemas de particulas 901 1465 O jato de 4gua mostrado na figura escoa com uma vaziio de 600 Lmin 30 mm e se move a uma velocidade de intensidade de 20 ms tanto em A Z 100 m quanto em B O defletor é sustentado por um pino e um suporte em C e por uma célula de carga em D que pode exercer apenas uma A forga horizontal Desprezando o peso do defletor determine os com ponentes das reages em C e D Cc T 1466 Obocal mostrado na figura descarrega agua aumavazio de 750 Lmin 120mm WA 160 mm Sabendo que tanto em B como em C 0 jato de dgua se move com uma CE se velocidade de intensidade de 30 ms e desprezando o peso do defle fF BY tor determine o sistema forcabindrio que deve ser aplicado no ponto A para manter 0 defletor em posicao Figura P1465 60 mm 120 mm 300 rl t Figura P1466 1467 Um jato de ar de alta velocidade sai do bocal A com a velocidade v e vazio de 036 kgs O ar colide em um catavento causando sua rota co para a posicao mostrada na figura O catavento tem uma massa de 6 kg Sabendo que a intensidade da velocidade é igual em A e B determine a a intensidade da velocidade em A b as componentes das reagdes em O O 190mm 200 mm Ap VA 500 mm VB fa B y 50 150 mm 250 mm Figura P1467 902 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1468 Uma correia transportadora descarrega carvao a taxa de 120 kgs O carvio descarregado é recebido no ponto A de uma segunda cor reia rolante que o descarrega novamente no ponto B Sabendo que v 3 ms ev 425 ms e que a massa total da segunda correia juntamente com o carvao que ela transporta é de 472 kg determine os componentes das reagGes em C e D 075 m 395 25 m Ve NR Vv Vo ge 0545 m O mE Sa lA eI we on go 3 VION 12m eC C r rl D 18 m 12m Figura P1468 1469 Durante um voo de cruzeiro nivelado a uma velocidade de 900 kmh um aviio a jato admite ar a uma taxa de 90 kgs e o descarrega com uma velocidade de 660 ms em relacao ao avidio Determine o arrasto total devido ao atrito do ar com 0 aviio 1470 Oarrasto total devido ao atrito com o ar de um aviiio a jato que se des loca em voo de cruzeiro nivelado a uma velocidade de 900 kmh é de 40 kN Sabendo que a velocidade de exaustio é de 660 ms em relagao ao avido determine a taxa em Ns com que 0 ar deve atravessar 0 motor 1471 O motor a jato mostrado na figura admite ar em A a uma taxa de 100 kgs e o descarrega em B a uma velocidade de 600 ms em re lacio ao aviio Determine a intensidade e a diregaio do empuxo de propulsio desenvolvido pelo motor quando a velocidade do aviiio é de a 500 kmh b 1000 kmh S A 4m 20 eo ae B 270 kmh ar Figura P1471 1472 Visando a diminuir a distancia necessdria para a aterrissagem um aviaio a jato esté equipado com defletores méveis que permitem fazer a reversao parcial da diregao do ar descarregado por cada um dos mo tores Cada motor admite ar a uma razéio de 120 kgs e o descarrega com uma velocidade de 600 ms em relagéo ao motor No momento 20 em que a velocidade do aviiio é de 270 kmh determine qual o em Figura P1472 puxo de reversio fornecido por cada um dos motores Capitulo 14 Sistemas de particulas 903 1473 Um ventilador de base desenvolvido para soprar ar a uma velocida hie de maxima de 6 ms em um fluxo de diametro 400 mm é suportado ie f por uma base circular de diametro de 200 m Sabendo que o peso Co yeas 400 mm total do equipamento é 60 N e que o centro de gravidade é loca a Le s lizado diretamente acima do centro da placa de base determinar VE a maxima altura h que o ventilador pode ser operado sem que ele tombe Considere p 121 kgm para o ar e despreze a velocidade ab de aproximagio do ar i 1474 O helicdptero mostrado na figura consegue produzir uma velocidade de ar descendente maxima de 25 ms em uma corrente de ar de 10 m de diémetro Sabendo que o peso do helicédptero e da tripulagio é de 18 kN e considerando p 121 kgm para o ar determine a carga maxima que o helicéptero pode erguer quando paira PS j Figura P1473 SOS NINN ee eee eee 4 BASE PRR EE REIT SN WULEE LY We AA are q ah VV Maleate Ley Vee a fo h TITY aT 10m Figura P1474 1475 Um aviao a jato comercial voa a uma velocidade de 1000 kmh com cada um de seus motores descarregando ar a uma velocidade de 600 ms em relagio ao aviaiio Determine a velocidade do aviio apés ele perder o uso de a um de seus motores e b dois de seus moto res Considere que o arrasto devido a resisténcia do ar é proporcional ao quadrado da velocidade e que os motores remanescentes conti nuam operando mesma taxa sS 4 Jeccocceoec00e00efJooe000000 Lp a Figura P1475 1476 Um aviao a jato de 16 Mg mantém uma velocidade constante de a 774 kmh enquanto sobe com um Angulo de rampa de a 18 A aeronave admite ar a uma razio de 300 kgs e 0 descarrega com uma velocidade de 665 ms em relaco 4 aeronave Se o piloto ZA muda para um voo horizontal enquanto mantém o mesmo ajuste Figura P1476 de motor determine a a aceleracAo inicial do aviao b a veloci dade horizontal maxima obtida Considere que o arrasto devido ao atrito com 0 ar é proporcional ao quadrado da velocidade 904 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica rooN 1477 A turbina edlica mostrada na figura tem uma poténcia de safda es timada em 5 kW para uma velocidade do vento de 30 kmh Para a dada velocidade do vento determine a a energia cinética das par ticulas de ar que entram no circulo de 75 m de diametro por segun do b a eficiéncia deste sistema de conversio de energia Considere p121 kgm para o ar 75m I 1478 Para uma certa velocidade do vento a turbina edlica mostrada na fi gura produz 28 kW de eletricidade e tem uma eficiéncia de 035 no sistema de conversao de energia Considerando p 121 kgm para o ar determine a a energia cinética das particulas de ar que entram no J circulo de 75 m de diémetro por segundo b a velocidade do vento 1479 Ao voar nivelado com uma velocidade de cruzeiro de 900 kmh um aviaio a jato admite entrada de ar no motor a uma raziio de 120 kgs e Figura P1477 e P1478 descarrega Os gases de exaustdo a uma velocidade de 650 ms relativa ao aviaio Determine a a poténcia realmente usada para propelir o aviao b a poténcia total desenvolvida pelo motor c a eficiéncia mecanica do aviiio 1480 A hélice de um pequeno aviaio tem uma corrente de ar produzida de 2 m de didmetro gerando um empuxo de 4000 N quando o aviiio esta parado no solo Considerando y 121 kgm para o ar determi ne a a velocidade do ar na corrente produzida b o volume de ar que passa pela hélice por segundo c a energia cinética transmitida por segundo para o ar na corrente produzida 1481 Em uma roda de turbina Pelton 0 jato de agua é defletido por uma série de pas de modo que a taxa com a qual a dgua é defletida pelas pas é igual taxa com a qual a Agua sai do bocal AmAt Apv VA ran 6 Usando a mesma notagao do Problema Resolvido 147 a determine J avelocidade V das pas para que a poténcia maxima seja desenvolvida L V b deduza a expresso para a maxima poténcia c deduza uma ex Y pressao para a eficiéncia mecAnica we J 1482 Um orificio circular reentrante também denominado bocal de Bor da de diametro D é posicionado a uma profundidade h abaixo da su pp perficie de um tanque Sabendo que a velocidade do escoamento no orificio 6 v V2h e considerando que a velocidade de aproximagio LNs v zero mostre que o didmetro do jato é d DIN3 Dica considere X XK a seciio de agua indicada e observe que P é igual a pressio a uma pro fundidade h multiplicada pela érea do orificio Figura P1481 42 2 p ny Figura P1482 vi d dy 1483 A profundidade da agua que escoa do um canal de segao transversal l i retangular de largura b a uma velocidade v e a uma profundidade d aumenta para uma profundidade d em um ressalto hidrdulico Ex Figura P1483 presse a vaziio O em termos de b d e dy Capitulo 14 Sistemas de particulas 905 1484 Determine a vazio Q no canal do Problema 1483 sabendo que b 36md 12med15 m 1485 O cascalho cai com velocidade zero em um transportador de correia com a taxa q dmdt constante a Determine a intensidade da for ca P necesséria para manter a velocidade da correia v constante b Mostre que a energia cinética adquirida pelo cascalho em um dado intervalo de tempo é igual 4 metade do trabalho realizado no inter valo pela forcga P Explique o que acontece com a outra metade do trabalho feito pela forga P lhsserssrmezspeoens Fee pe apeg Vv EERE TORT EE ORE A RS P See L Figura P1485 1486 Uma corrente de comprimento e massa m cai por meio de um pe queno buraco existente em uma placa Inicialmente quando y é mui to pequeno a corrente esté em repouso Em cada um dos casos apre sentados determine a a aceleragao do primeiro elo A em fungiio de y b a velocidade da corrente quando o tiltimo elo dessa corrente passa por meio do furo No caso 1 considere que os elos individuais permanecem em repouso até cafrem por meio do buraco no caso 2 considere que em qualquer instante todos os elos tém a mesma velo cidade Despreze o atrito bees ee all wl 1 2 Figura P1486 1487 Uma corrente de comprimento e massa m esta apoiada sobre o solo Se sua extremidade A é erguida verticalmente a uma velocidade constante v expresse em termos do comprimento y da porgao de corrente que esta fora do chao em qualquer instante dado a a in tensidade da fora P aplicada em A b a reacao do solo P A y Figura P1487 906 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1488 Resolva o Problema 1487 considerando que a corrente é abaixada até o solo com uma velocidade constante v 1489 Um carro de brinquedo é propelido por agua que esguicha de um tan que interno a uma velocidade constante de 2 ms em relagiio ao carro O peso do carro vazio é de 200 g e este contém 1 kg de agua Despre zando outras forgas tangenciais determine sua velocidade maxima a 7 3 20 1 Figuras P1489 e P1490 1490 Um carro de brinquedo é propelido por dgua que esguicha de um tanque interno O peso do carro vazio é de 200 g e este contém 1 kg de agua Sabendo que a velocidade maxima do carro é 25 ms deter mine a velocidade relativa da agua que esta sendo ejetada 1491 O principal sistema de propulsao de um 6nibus espacial é composto de trés motores de foguete idénticos sendo que cada um deles quei ma a mistura propelente a base de hidrogénio e oxigénio a uma taxa de 340 kgs e ejeta a uma velocidade relativa de 3750 ms Determi ne o empuxo total fornecido pelos trés motores al LS oneal Cz Figura P1491 e P1492 1492 O principal sistema de propulsao de um 6nibus espacial 6 composto de trés motores de foguete idénticos que fornecem um empuxo to tal de 6 MN Determine a taxa em que a mistura propelente a base de hidrogénio e oxigénio é queimada por cada um dos trés motores sabendo que a mistura é ejetada com uma velocidade relativa de 3750 ms 1493 Uma espagonave que descreve uma 6rbita circular em torno da Terra a a uma velocidade de 24 X 10 kmh libera sua cépsula frontal de sa 600 kg de massa bruta que inclui 400 kg de combustivel Sabendo que Cholli LD a yo a i el o combustivel é consumido taxa de 18 kgs e ejetado com uma ve locidade relativa de 3000 ms determine a a aceleragio tangencial Figura P1493 da cépsula quando seu motor é acionado b a velocidade maxima atingida pela capsula 1494 Um foguete tem 1200 kg de massa incluindo 1000 kg de combustivel que é consumido a taxa de 125 kgs e ejetado com uma velocidade relativa de 4000 ms Sabendo que o foguete é langado na vertical a partir do solo determine sua aceleracao a assim que ele é langado b quando a tiltima particula de combustivel estiver sendo consumida Capitulo 14 Sistemas de particulas 907 1495 Um satélite de comunicagio de 50 kN incluindo o combustivel foi eje tado do 6nibus espacial descrevendo uma 6rbita circular de baixa altitu h de em torno da terra Depois que o satélite foi lentamente impelido a y uma distancia segura do 6nibus espacial seus motores foram acionados Ae I F Ly para aumentar sua velocidade para 2500 ms como o primeiro passo Gee J para sua transferéncia para uma 6rbita geossincronizada Sabendo que BY seu combustivel é ejetado com a velocidade relativa de 4000 ms deter V7 mine 0 peso do combustivel consumido em sua manobra D 1496 Determine o aumento da velocidade do satélite de comunicaao do Problema 1495 apés 125 kN de combustivel tenha sido consumido H 1497 Uma espaconave de 540 kg é montada no topo de um foguete de mas as sa 19 Mg incluindo 178 Mg de combustivel Sabendo que o com US bustivel é consumido a uma taxa de 225 kgs e que a exaustio se da NS com uma velocidade relativa de 3600 ms determine a velocidade yx maxima alcangada pela espagonave quando o foguete é langado verti calmente a partir do solo Figura P1495 B A Figura P1497 Figura P1498 1498 O foguete utilizado para langar a espaconave de 540 kg do Problema 1497 reprojetado para incluir dois estdgios A e B cada um com massa 95 Mg incluindo 89 Mg de combustivel O combustivel é no vamente consumido a uma taxa de 225 kgs e ejetado com uma velo cidade relativa de 3600 ms Sabendo que quando o estagio A expele sua ultima particula de combustivel sua carcaga é liberada e alijada determine a a velocidade do foguete nesse instante b a velocidade maxima alcangada pela espagonave 1499 Determine a altitude alcangada pela espagonave do Problema 1497 quando todo o combustivel de seu foguete de langamento tiver sido consumido 14100 Para a espagonave e o foguete de lancamento de dois estagios do Pro blema 1498 determine a altitude em que a 0 estagio A do foguete é liberado b o combustivel de ambos os estagios tera sido consumido 14101 Determine a distancia percorrida pelo satélite de comunicagao do Problema 1495 do 6nibus espacial 60 s apés seu motor ter sido acio nado sabendo que o combustivel é consumido a uma taxa de 20 kgs 908 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 14102 Para o foguete do Problema 1494 determine a a altitude em que todo combustivel tera sido consumido b a velocidade do foguete nesse instante 14103 Em um aviio a jato a energia cinética transmitida aos gases de exaus tio é perdida no que concerne propulsdo do aviaio A poténcia titil é igual ao produto da forga disponivel para impulsionar o avido pela velocidade do aviido Se v é a velocidade do avido e u é a velocida de relativa dos gases expelidos mostre que a eficiéncia mecanica do aviaio é 1 2vu v Explique por que 7 1 quando u v 14104 Em um foguete a energia cinética transmitida ao combustivel consu mido e ejetado é perdida no que concerne a propulsio do foguete A poténcia titil é igual ao produto da forga disponivel para impulsionar o foguete pela velocidade desse foguete Se v é a velocidade do foguete e u a velocidade relativa do combustivel expelido mostre que a efi ciéncia mecanica do foguete é n Queue v Explique por que 7 1 quando u v REVISÃO E RESUMO Neste capítulo analisamos o movimento de sistemas de partículas isto é o movimento de um grande número de partículas consideradas em con junto Na primeira parte do capítulo consideramos sistemas que consis tem de partículas bem definidas enquanto na segunda parte analisamos sistemas que estão continuamente ganhando ou perdendo partículas ou fazendo ambas as coisas ao mesmo tempo Definimos primeiro a força efetiva de uma partícula Pi de um dado sis tema como o produto miai sendo sua massa mi e sua aceleração ai em relação a um sistema de referência newtoniano centrado em O Seção 142 Mostramos então que o sistema de forças externas e o sistema de forças efetivas que atuam nas partículas são equipolentes isto é ambos os sistemas têm a mesma resultante e o mesmo momento resultante em relação a O 144 145 Definimos a quantidade de movimento linear L e a quantidade de movi mento angular HO em relação ao ponto O do sistema de partículas Se ção 143 como 146 147 Mostramos que as Eqs 144 e 145 podem ser substituídas pelas equa ções O 1410 1411 que expressam que a resultante e o momento resultante em relação a O das forças externas são respectivamente iguais às taxas de variação da quantidade de movimento linear e da quantidade de movimento angular em relação a O do sistema de partículas Na Seção 144 definimos o centro de massa de um sistema de partículas como o ponto G cujo vetor de posição satisfaz à equação 1412 Forças efetivas Quantidade de movimento linear e angular de um sistema de partículas Movimento do centro de massa de um sistema de partículas BeerDinamica14indd 909 BeerDinamica14indd 909 050712 1338 050712 1338 910 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica n onde m representa a massa total m das particulas Diferenciando am il bos os membros da Eq 1412 duas vezes em relagao a t obtivemos as relagdes Lmv Lma 1414 1415 onde v e a representam respectivamente a velocidade e a aceleracio do centro de massa G Substituindo o valor de L de 1415 em 1410 obtivemos a equagéo SF ma 1416 da qual concluimos que o centro de massa de um sistema de particulas se move como se toda a massa do sistema e todas as forgas externas estives sem concentradas nesse ponto Problema Resolvido 141 Quantidade de movimento Na Seco 145 consideramos 0 movimento das particulas de um sistema angular de um sistema de em relacdo a um sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxy2 particulas em relagdo ao Com origem no centro de massa G do sistema e em translagdo em relagao seu centro de massa20 Sistema newtoniano Oxyz Fig 1414 Definimos a quantidade de mo vimento angular do sistema em relagdo a seu centro de massa G como a soma dos momentos em relagao a G das quantidades de movimento mv das particulas em seu movimento em relaco ao sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxyz Observamos também que o mesmo y resultado pode ser obtido se considerarmos os momentos em relacao a G das quantidades de movimento my das particulas em seu movimento y Ni absoluto Escrevemos portanto Y P n n 4 He 4 X my ri X my 1424 G ru i1 il O fo e deduzimos a relacao x 2 Mc He 1423 z que expressa que 0 momento resultante em relagao a G das forgas exter Figura 1414 nas é igual a taxa de variagao da quantidade de movimento angular em relacao a G do sistema de particulas Como sera visto adiante essa rela cao é fundamental para o estudo do movimento de corpos rigidos Conservacdo da quantidade Quando nenhuma forga externa age sobre o sistema de particulas Segao de movimento 146 seguese das Eqs 1410 e 1411 que a quantidade de movimen to linear L e a quantidade de movimento angular H do sistema se con servam Problemas Resolvidos 142 e 143 Em problemas envolvendo forgas centrais a quantidade de movimento angular do sistema em rela cio ao centro de forga O também se conserva Energia cinética de um A energia cinética T de um sistema de particulas foi definida como a sistema de particulas soma das energias cinéticas das particulas Segao 147 1 9 T 5d mei 1428 il Usando o sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxyz da Fig 1414 verificamos que a energia cinética do sistema também pode Capitulo 14 Sistemas de particulas 911 ser obtida somandose a energia cinética 5mb associada ao movimento do centro de massa G e a energia cinética do sistema em seu movimento relativo ao sistema de referéncia Gxyz 1 n T 3mv 3m my 1429 il O princtpio de trabalho e energia pode ser aplicado a um sistema de parti Princ pio de culas bem como a cada particula individualmente Secao 148 Escrevemos trabalho e energia T Uj Te 1430 e verificamos que U representa o trabalho de todas as forgas que atuam sobre as particulas do sistema tanto internas quanto externas Se todas as forgas que atuam sobre as particulas do sistema sAo conser Conservacao de energia vativas podemos determinar a energia potencial V do sistema e escrever T Vj Tz Vs 1431 que expressa 0 principio de conservagdo de energia para um sistema de par ticulas Vimos na Segao 149 que o principio de impulso e quantidade de mo Principio do impulso e vimento para um sistema de particulas pode ser expresso graficamente quantidade de movimento como mostrado na Fig 1415 De acordo com esse principio as quanti dades de movimento das particulas no instante t e os impulsos das forgas externas de t at formam um sistema de vetores equipolentes ao sistema das quantidades de movimento das particulas no instante t Yy Yy y mavai s mavao mpvpo St yee 7 mpvp O 2 O O x mevet I Mo dt a b c Figura 1415 Se nenhuma forga externa age sobre as particulas do sistema os sis temas de quantidades de movimento mostrados nas partes a e c da Fig 1415 sao equipolentes e temos L L Ho Ho2 1436 1437 Muitos problemas que envolvem o movimento de sistemas de particu Uso de principios de las podem ser resolvidos aplicandose simultaneamente 0 principio de cnservacdo na solucdo de impulso e quantidade de movimento e o principio de conservagio de problemas que envolvem energia Problema Resolvido 144 ou expressandose que a quantidade sistemas de particulas de movimento linear a quantidade de movimento angular e a energia do sistema se conservam Problema Resolvido 145 912 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica Sistemas varidveis de Na segunda parte do capitulo consideramos sistemas varidveis de par particulas Fluxo ticulas Primeiro consideramos um fluxo permanente de particulas tal permanente de particulas Como um jato de agua desviado por uma pa fixa ou 0 escoamento de ar em um motor a jato Segao 1411 Aplicando o principio de impulso e quantidade de movimento a um sistema S de particulas durante um in tervalo At e incluindo as particulas que entram no sistema em A duran te esse intervalo de tempo e as que deixam o sistema em B de mesma massa Am concluimos que o sistema formado pela quantidade de mo vimento Amv das particulas que entram em S no intervalo de tempo At e os impulsos das forgas exercidas sobre S durante esse intervalo de tempo é equipolente a quantidade de movimento Amv das particulas que deixam S no mesmo intervalo de tempo At Fig 1416 Igualando os Amvg Ty C B B NS ZMAt 4 NS 7 7 Amv 7 7 a b c Figura 1416 componentes em x os componentes em y os momentos em relacao a um ponto fixo dos vetores envolvidos poderfamos obter até trés equa c6es resolvidas para as incdégnitas desejadas Problemas Resolvidos 146 e 147 A partir desse resultado pudemos também deduzir a seguinte expressao para a resultante SF das forgas exercidas em S dm xF vp Va 1439 dt onde v v representa a diferenca entre os vetores v ev e onde dmdt é a vazio massica do escoamento ver nota de rodapé da pagina 890 Sistemas que ganham ou Considerando a seguir um sistema de particulas que ganha massa pela queg g P que P perdem massa absorgao continua de particulas ou que perde massa pela expulsao conti nua de particulas Seao 1412 como no caso de um foguete aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimento ao sistema durante o intervalo de tempo At tomando 0 cuidado de incluir as particulas ganhas ou perdidas durante esse intervalo de tempo Problema Resolvido 148 Observamos também que a agio sobre um sistema S das particulas ab sorvidas por S era equivalente a um empuxo pim 1444 u dt onde dmdt a taxa na qual a massa esté sendo absorvida e u a ve locidade das particulas relativamente a S No caso de particulas sendo expelidas por S a taxa dmdt é negativa e o empuxo P é exercido em um sentido oposto Aquele em que as particulas esto sendo expelidas 14105 Um projétil de 30 g é disparado com uma velocidade horizontal de 480 ms no bloco A de massa 5 kg O coeficiente de atrito cinético 480 ms entre o bloco A e o carrinho BC é 050 Sabendo que o carro tem uma massa de 4 kg e pode rolar livremente determine a a velocidade B C final do carrinho e do bloco b a posigao final do bloco no carrinho 5 f 14106 Uma locomotiva A de massa 80 Mg movendose a uma velocidade Figura P14105 de 65 kmh atinge um vagio prancha C de 20 Mg que transporta gure uma carga B de 30 Mg possivel de deslizar sobre 0 piso do vagiio wy 025 Sabendo que o vagiio estava em repouso com os freios liberados e que se engata automaticamente a locomotiva apés o im pacto determine a velocidade do vagiio a imediatamente apds o impacto e b apés a carga ter deslizado para uma nova posigio de repouso em relacao ao vagiio 30 Mg 65 kmh B J 20 Mg mo Co Figura P14106 14107 Trés vagoes de carga idénticos tém as velocidades indicadas na figura Considerando que o vagio B é primeiramente atingido pelo vagiio A determine a velocidade de cada vagiio apés todas as colisées terem acontecido se a todos os trés vagdes forem automaticamente enga tados b os vagées A e B forem automaticamente engatados enquan to os vagdes Be C ricochetearem um ao outro com 0 coeficiente de restituigao de 08 v4 10 kmh vg 0 Vo 8kmh A B C ee ee TTT TTT TTT Gag ox Gr SS os ft CCG So Figura P14107 14108 Um helicdptero A de 4500 kg estava viajando para o leste em voo nivelado a uma velocidade de 120 kmh e uma altitude de 750 m quando foi atingido por um helicéptero B de 6000 kg Como resul tado da colisio ambos os helicépteros perderam suas sustentagdes e seus destrocgos cafram emaranhados no solo apés 12 s em um ponto localizado a 450 m a leste e 1152 m ao sul do ponto de impacto Des prezando a resisténcia do ar determine as componentes da velocida de do helicéptero B exatamente antes da colisao 914 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 14109 Um bloco B de 75 kg esté em repouso e uma mola de constante k 15000 Nm é mantida comprimida em 75 mm por um cordao Em seguida o bloco A de 25 kg é colocado defronte a extremidade da mola e cordio é cortado causando 0 movimento de A e B Desprezan do 0 atrito determine as velocidades de A e B imediatamente apds A deixar B k ANY A 150 mm OOOO EEE Figura P14109 A 14110 Um bloco de 9 kg parte do repouso e desce deslizando sobre a super ar ficie inclinada de uma cunha A de 15 kg que esta apoiada sobre uma SSSSSTSEE superficie horizontal Desprezando o atrito determine a a velocida de do bloco B em relagio 4 cunha A apés ele ter deslizado 06 m sobre Figura P14110 a superficie da cunha b a velocidade correspondente da cunha 14111 Uma massa q de areia é descarregada por unidade de tempo por um transportador de correia movendose com velocidade vy A areia é desviada por uma placa em A de tal forma que cai em um fluxo ver vo tical Apos cair uma distancia h a areia é outra vez desviada por uma sree pee placa curva em B Desprezando 0 atrito entre a areia e as placas de e termine a forga necesséria para manter na posicao indicada a a placa a A A b a placa B ah ie 14112 A extremidade final de uma correia transportadora recebe areia Bi em A a uma taxa de 100 kgs e a descarrega em B A areia se deslo mH ot ca horizontalmente em A e B com uma velocidade de intensidade sy v0 v 45 ms Sabendo que o peso combinado da correia e da ct B A B q P 30 he areia que ela suporta é W 4 kN determine as reagdes em C e D pe PR Figura P14111 vB a B 1 VA 3 oid BB ae A a gi 075 m Spt teen aphts wegeina iS eee Mb ees Loca So 6 O 0 00 ao 09 m c ei W 00666 18m 12m Figura P14112 Capitulo 14 Sistemas de particulas 915 14113 Um irrigador de jardim tem quatro bragos rotativos e cada um de les consiste em duas segées horizontais retas de tubos formando um Angulo de 120 entre si Cada brago descarrega Agua a uma vaziio de 20 Lmin com uma velocidade de 18 ms relativa ao brago Sabendo que 0 atrito entre as partes méveis e estacionarias do irrigador é equi valente a um bindrio de intensidade M 0375 N m determine a taxa constante que o irrigador gira 100 150 mm 120 B gm ey j j 0 v i Figura P14113 fh i Age Y 14114 As extremidades de uma corrente esto apoiadas em A e C Quando c Ah recebe uma velocidade inicial v a corrente continua se movimentan Gz do livremente com essa velocidade sobre a polia em B Desprezando o atrito determine o valor de h Figura P14114 14115 Um vagio de trem de comprimento L e massa m quando vazio se mo vimenta livremente em um trilho horizontal enquanto esta sendo carre ee gado com areia a partir de uma calha estaciondria a uma vaziio dmdt q Sabendo que o vagio estava se aproximando da calha com uma veloci con dade v determine a a massa do vagiio e sua carga apés esse vagiio ter a passado pela calha e b a velocidade do vagiio nesse instante 14116 Um possivel método para reduzir a velocidade de um aviao de trei ot 1 namento ao aterrissar em um portaavides consiste em enganchar na OOD ee cauda do aviao uma pesada corrente de comprimento que se encon Figura P14115 tra presa embaixo do convés Adotando m a massa do aviaio e vy sua velocidade de toque no convés e considerando que nao ha nenhuma outra forga retardadora determine a a massa necessaria para a cor rente se a velocidade do aviaio é reduzida de Buy onde B 1 b 0 maximo valor da forga exercida pela corrente no aviiio a Figura P14116 e 14C1 Um homem e uma mulher de pesos W e W esto em extremidades opostas de um barco parado de peso W prontos para mergulhar com velocida des relativas ao barco v e v respectivamente Usando um programa de com Y putador determine a velocidade do barco apés ambos os nadadores terem mer F P gulhado se a a mulher mergulha primeiro b o homem mergulha primeiro Use esse programa primeiro para resolver o Problema 144 como originalmente apresentado e entao resolva o problema considerando que as velocidades da mulher e do homem em relagio ao barco sao respectivamente a 4 ms e 6 ms b 6 mse 4 ms Figura P14C1 14C2 Um sistema de particulas consiste de n particulas A de massa m e co ordenadas x y e que tém velocidades v v e v Deduza as expressdes para os componentes da quantidade de movimento angular do sistema em rela cao a origem O das coordenadas Use um programa de computador para resolver os Problemas 149 e 1413 14C3 Uma ogiva que voa a uma velocidade de componentes conhecidos v v e v explode em trés fragmentos de pesos W W e W no ponto Ay a uma distancia d da parede vertical Usando um programa de computador determine a velocidade de cada fragmento imediatamente apés a explosaio conhecendo as coordenadas x e y dos pontos A i 1 2 3 onde os fragmentos atingem a pa rede Use um programa de computador para resolver a 0 Problema 1425 e b o Problema 1426 y Ss S SS SSS Rng SS ss Xi S i i i i mw a bh i nw hk bh XD wi rr i i i i i i i ni i i i SSR Se x Yi um i I NC a uy i i Z i x i x x a Tt ee d i Figura P14C3 Capitulo 14 Sistemas de particulas 917 14C4 Quando um aviaio de treinamento de 6000 kg pousa em um porta avides a uma velocidade de 180 kmh sua cauda engancha na extremidade de uma corrente de 80 m de comprimento que se encontra presa embaixo do convés Sabendo que a corrente tem uma massa por unidade de comprimen to de 50 kgm e nao hé nenhuma outra fora retardadora use um programa de computador para determinar a distancia percorrida pelo aviaéo enquanto a corrente é puxada e os valores correspondentes de tempo e da velocidade e desaceleracao do aviao Figura P14C4 14C5 Um aviao a jato de 16 Mg mantém uma velocidade constante de 774 kmh enquanto sobe com um Angulo a 18 O aviaio admite entrada de ar em seu motor a uma razfo de 300 kgs e o descarrega a uma veloci dade de 665 ms em relagio ao aviaio Sabendo que o piloto muda o Angulo de subida a enquanto mantém o mesmo ajuste de motor use um progra ma de computador para calcular e tragar um grafico para valores a de 0a 20 a da aceleracio inicial do aviao b da velocidade maxima que sera atingida Considere que o arrasto devido ao atrito com 0 ar é proporcional ao quadrado da velocidade 14C6 Um foguete tem massa de 1200 kg incluindo 1000 kg de combus tivel que é consumido a taxa de 125 kgs e ejetado com a velocidade relativa de 3600 ms Sabendo que o foguete é langado na vertical a partir do solo considerando um valor constante para a aceleragiéo da gravidade e tomando intervalos de tempo de 4 s use um programa de computador para calcular e tracgar em um gréfico do intervalo de tempo da ignigao até quando a ultima particula de combustivel é consumida a a aceleragao a do foguete em ms b sua velocidade t em ms c sua elevagao h acima do solo em km Dica use para v a expressaio deduzida no Problema Resolvido 148 e integre essa expressio analiticamente para obter h a Qa Ser a Figura P14C5 Este enorme virabrequim pertence ao motor a diesel de dois tempos turbinado WartsilaSulzer RTA96C Neste capítulo você aprenderá a fazer a análise cinemática de corpos rígidos que sofrem translação rotação de eixo fixo e movimento plano geral BeerDinamica15indd 918 BeerDinamica15indd 918 050712 1542 050712 1542 Cinemática de corpos rígidos C A P Í T U L O BeerDinamica15indd 919 BeerDinamica15indd 919 050712 1542 050712 1542 920 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 15 Cinematica de corpos 151 Introdugao rigidos Neste capitulo analisaremos a cinemiatica de corpos rigidos Vocé investi v gara as relagdes existentes entre o tempo as posigdes as velocidades e as 151 Introdugaéo aceleracées das varias particulas que constituem um corpo rigido Como 152 Translagao veremos os diversos tipos de movimento de corpos rigidos podem ser 153 polacco em torno de um exo convenientemente agrupados da seguinte maneira IXO 154 Equagées definidoras da rotagdo de um corpo rigido em torno de um eixo fixo A 155 Movimento plano geral 156 Velocidade absoluta e 3 velocidade relativa no 4 movimento plano aN Be 157 Centro instantdéneo de AY rotagado no movimento plano 4 158 Aceleracgdo absoluta e a4 aceleragéo relativa no 3 movimento plano p 159 Andlise do movimento plano em termos de um pardmetro Figura 151 1510 Taxa de variagdo de um vetor om relacdo o um sistema de 1 Translagéo Um movimento é denominado uma translagao se qual 1511 Movimento plano de uma quer linha reta dentro do corpo mantiver a mesma diregao durante o particula em relacéo a um movimento Podese observar também que em uma translagdo todas sistema de referéncia rotativo as particulas que constituem o corpo movemse ao longo de trajet6 Aceleracao de Coriolis rias paralelas Se essas trajetérias sao linhas retas o movimento é de 1512 Movimento em torno de um nominado translagdo retilinea Fig 151 se as trajet6rias sao linhas ponto fixo curvas 0 movimento é uma translacdo curvilinea Fig 152 1513 Movimento geral 2 Rotagao em torno de um eixo fixo Nesse movimento as particulas 1514 Movimento tridimensional que constituem 0 corpo rigido movemse em planos paralelos ao de uma particula em relagdo longo de circulos centrados em um mesmo eixo fixo Fig 153 Se a um sistema de referéncia esse eixo denominado eixo de rotagdo intercepta 0 corpo rigido rotativo Aceleragdo de as particulas localizadas sobre o eixo tém velocidade e aceleracao Coriolis nulas 1515 Sistema de referéncia em A rotaco nao deve ser confundida com certos tipos de trans movimento geral laco curvilinea Por exemplo a placa mostrada na Fig 154a esta 5 em translagao curvilinea com todas as suas particulas movendose ao longo de circulos paralelos ao passo que a placa mostrada na Fig 154b esté em rotagio com todas as suas particulas movendose ao as longo de circulos concéntricos N No primeiro caso qualquer linha reta desenhada sobre a placa mantera a mesma direcao enquanto no segundo caso 0 ponto O permanecera fixo By Uma vez que cada particula movese em um dado plano a rota Ay cao de um corpo em torno de um eixo fixo 6 denominada um movi mento plano 4 3 Movimento plano geral Existem muitos outros tipos de movimen to plano isto é movimentos em que todas as particulas do corpo Bi movemse em planos paralelos Todo movimento plano que nao seja nem uma rotagado nem uma translagao é referido como um movimen Figura 152 to plano geral Dois exemplos de movimento plano geral estao ilus trados na Fig 155 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 921 le ie ol Bo a SS LS 1 WOAs It Bs A H Id UY B tsb ao a SX Ay By Ag YL A I Cp oScocto 5 Figura 153 Cylp 1 1 Cy a Translagado curvilinea b Rotagao Figura 154 4 oa a Roda rolante b Barra deslizante Figura 155 4 Movimento em torno de um ponto fixo O movimento tridimensional de um corpo rigido ligado a um ponto fixo O como por exemplo o movimento de um pido sobre um piso aspero Fig 156 conhecido como movimento em torno de um ponto fixo 5 Movimento geral Qualquer movimento que nao se enquadre em al guma das categorias anteriores é referido como movimento geral O Apés uma breve discussio do movimento de translagao na Segao 152 a rotagao de um corpo rigido em torno de um eixo fixo é conside rada na Seco 153 A velocidade angular e a aceleragdo angular de um Figura 156 corpo rigido em torno de um eixo fixo sero definidas e vocé aprendera a expressar a velocidade e a aceleragao de um dado ponto do corpo em termos de seu vetor de posicao e da velocidade angular e aceleragao an gular desse corpo As sees seguintes sao dedicadas ao estudo do movimento plano ge ral de um corpo rigido e sua aplicacao 4 andlise de mecanismos tais como engrenagens barras de conexdo e articulagdes conectadas por pinos De compondo o movimento plano de uma placa em uma translagao e uma rotacao Secdes 155 e 156 expressaremos entao a velocidade de um ponto B da placa como a soma da velocidade de um ponto de referéncia A e da velocidade de B em relacado a um sistema de referéncia em transla cao com A isto 6 movendose com A mas sem rotacdo A mesma abor dagem sera usada mais tarde na Seco 158 para expressar a aceleracao de B em termos da aceleragio de A e da aceleragao de B em relacdo ao sistema de referéncia em translagaio com A 922 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica Um método alternativo para análise de velocidades no movimento plano baseado no conceito de centro de rotação instantâneo é dado na Seção 157 e ainda outro método de análise baseado no uso de expres sões paramétricas para as coordenadas de um dado ponto é apresentado na Seção 159 O movimento de uma partícula em relação a um sistema de refe rência rotativo e o conceito de aceleração de Coriolis são discutidos nas Seções 1510 e 1511 e os resultados obtidos são aplicados à análise do movimento plano de mecanismos contendo partes que deslizam umas sobre as outras A parte restante do capítulo é dedicada à análise do movimento tri dimensional de um corpo rígido a saber o movimento de um corpo rígido com um ponto fixo e o movimento geral de um corpo rígido Nas Seções 1512 e 1513 um sistema de referência fixo ou um sistema de referência em translação será usado para desenvolver essa análise nas Seções 1514 e 1515 o movimento do corpo em relação a um sistema de referência rotativo ou a um sistema de referência em movimento ge ral será considerado e o conceito de aceleração de Coriolis será usado novamente 152 Translação Considere um corpo rígido em translação retilínea ou curvilínea sen do A e B qualquer uma de suas partículas Fig 157a Representando respectivamente por rA e rB os vetores de posição de A e B em relação a um sistema de referência fixo e por rBA o vetor que liga A e B escre vemos 151 Vamos então diferenciar essa expressão em relação a t Notamos que a partir da primeira definição de uma translação o vetor rBA deve manter uma direção constante sua intensidade também deve ser constante pois Foto 151 Esta réplica de um aríete em Château des Baux França sofre translação curvilínea y x z O a rB rBA rA v v y x z O b a y x z O c A B B A B a A Figura 157 BeerDinamica15indd 922 BeerDinamica15indd 922 050712 1542 050712 1542 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 923 A e B pertencem ao mesmo corpo rigido Logo a derivada de r é nula e temos Vp VA 152 Diferenciando uma vez mais obtemos agp ay 153 Logo quando um corpo rigido esta em translagao todos os pontos do corpo tém a mesma velocidade e a mesma aceleragdo em qualquer instan te dado Fig 157b ec No caso de translagao curvilinea a velocidade e a aceleracao variam tanto em diredo como em intensidade a todo instante No caso de translagao retilinea todas as particulas do corpo movemse ao longo de linhas retas paralelas e suas velocidade e aceleragéo mantém a mesma diregao durante todo o movimento 153 Rotacdo em torno de um eixo fixo z Considere um corpo rigido que gira em torno de um eixo fixo AA Seja P um ponto do corpo e r seu vetor de posigao em relacao a um sistema de SS referéncia fixo Por conveniéncia vamos assumir que o sistema de refe f réncia esteja centrado no ponto O sobre AA e que 0 eixo z coincida com AA Fig 158 Seja B a projegao de P sobre AA Como P precisa perma B necer a uma distancia constante de B ele descrevera um circulo de centro P B ede raio r sen onde representa 0 angulo formado entre re AA Wp A posigao de P e de todo o corpo fica totalmente definida pelo angulo of 6 que a linha BP forma com 0 plano zx O angulo 6 é denominado coorde a Z ee eye x nada angular do corpo e é definido como positivo quando visto no sentido antihorario a partir de A A coordenada angular sera expressa em radianos rad ou ocasionalmente em graus ou revolucées rev Recordemos que NN A lrev 27 rad 360 Figura 158 Relembremos da Segio 119 que a velocidade v drdt de uma par ticula P é um vetor tangente A trajetéria de P e de intensidade v dsdt Observando que o comprimento As do arco descrito por P quando o cor po gira de um Angulo Aé é nc e i As BP A r send AO ny 2 e dividindo ambos os membros por At obtemos no limite com At ten Qe dendo a zero ae an i 5 ic ds ig ob 154 vo rOsen dt onde 6 representa a derivada temporal de 6 Observe que 0 Angulo de Fete 152 Para a engrenagem central que a te hae gira em torno de um eixo fixo a velocidade pende da posigao de P dentro do corpo mas que a taxa de variagiio 0 é in e a aceleragdo angulares daquela dependente de P Concluimos que a velocidade v de P 6 um vetor perpen engrenagem sdo vetores orientados ao dicular ao plano contendo AA e r e de intensidade v definida por 154 jongo do eixo vertical de rotacao 924 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica A Mas esse é precisamente o resultado que obteriamos se desenhassemos ao longo de AA um vetor 0k se efetudssemos o produto vetorial w X r w 6k Fig 159 Escrevemos entéo B ide we v vy r 155 Oo 2 O vetor j ok 6k 156 orientado ao longo do eixo de rotagao é denominado velocidade angular do corpo sendo igual em intensidade taxa de variagio da coordenada angular seu sentido pode ser obtido pela regra da mao direita Segao Figura 159 36 considerando 0 sentido de rotagao do corpo A aceleracao a da particula P seré determinada agora Diferenciando 155 e relembrando a regra de diferenciagaéo de um produto vetorial Secaio 1110 escrevemos dv ad X x dt dt dw vertex dr r Qo dt dt dw xXrtxv 157 dt O vetor dwdt é representado por a e é denominado aceleragdo angular do corpo Considerando também a expresso para v em 155 temos aaXrto X Xr 158 Diferenciando 156 e lembrando que k é constante em intensidade e diregao temos a ak ok 6k 159 Logo a aceleragado angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é um vetor orientado ao longo do eixo de rotagio de intensidade igual a taxa w de variagao da velocidade angular Retornando a 158 notamos que a aceleracdo de P é a soma de dois vetores O primeiro vetor é igual ao produto vetorial X r ele é tangente ao circulo des crito por P e assim representa 0 componente tangencial da acelera cao O segundo vetor é igual ao produto vetorial triplo w X w X r obtido efetuandose o produto vetorial de w e w X r como w X ré tangente ao circulo descrito por P o produto vetorial triplo é orien tado para o centro B do circulo e portanto representa o componente normal da aceleracio Ser mostrado na Segio 1512 no caso mais geral de um corpo rigido que gira simulta neamente em torno de eixos de diferentes diregdes que as velocidades angulares obede cem 4 lei de adigo do paralelogramo e que portanto sio realmente grandezas vetoriais Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 925 Rotacdo de uma placa representativa A rotagao de um corpo rigido em torno de um eixo fixo pode ser definida pelo movimento de uma placa representativa em um plano de referéncia perpendicular ao eixo de rotagaio Vamos escolher o plano xy como plano de referéncia e admitir que ele coincide com o plano da figura com 0 eixo z apontando para fora do papel Fig 1510 Relembrando a partir da Eq 156 que y vok Xr x Figura 1510 w ok verificamos que um valor positivo do escalar w corresponde a uma rotagio antihordria da placa representativa e um valor negativo a uma rotagao horaria Substituindo wk por w na Eq 155 expressamos a velocidade de qualquer ponto P da placa como vokxXr 1510 Sendo os vetores k e r perpendiculares entre si a intensidade da veloci dade v é vo rTo 1510 e seu sentido pode ser obtido girando r 90 no sentido de rotagao da placa Substituindo w wk e a ak na Eq 158 e observando que o pro duto vetorial de r por k duas vezes resulta em um giro de 180 do vetor r expressamos a aceleragao do ponto P como aakXror 1511 y Decompondo a em componentes tangencial e normal Fig 1511 escre Cakes vemos ee a ak Xr a Ta 1511 p b 0r ay 10 ie x O componente tangencial a aponta para o sentido antihordrio se o es o ok calar a é positivo e para o sentido hordrio se a é negativo O compo a ak nente normal a sempre aponta para o sentido oposto ao de r ou seja para O Figura 1511 926 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 154 Equacées definidoras da rotagdo de um corpo rigido em torno de um eixo fixo a c O movimento de um corpo rigido que gira em torno de um eixo fixo i AA é considerado conhecido quando sua coordenada angular 6 pode ser F expressa como uma fungao conhecida de t Na pratica porém a rotacio de um corpo rigido raramente é definida por uma relagio entre 0 e t he Mais frequentemente as condigdes de movimento serio especificadas ae pelo tipo de aceleragdo angular do corpo Por exemplo a pode ser dada como uma fungao de t como uma funcao de 6 ou como uma fungao de w i Retomando as relagdes 156 e 159 escrevemos Po a do oO ait i 1512 dw d0 a7 1513 do de ou resolvendo 1512 para dt e substituindo em 1513 Foto 153 Seo rolo interior tem uma velocidade angular constante a velocidade dw do papel que esta sendo enrolado nele a wo 1514 aumenta 4 medida que o raio do rolo dé cresce Como essas equacées so semelhantes aquelas obtidas no Cap 11 para o movimento retilineo de uma particula sua integragao pode ser efetuada seguindose o procedimento delineado na Segao 113 Dois casos particulares de rotagio sao encontrados frequentemente 1 Rotagdo Uniforme Este caso é caracterizado pelo fato de que a ace leragdo angular é nula Logo a velocidade angular é constante e a coordenada angular é dada pela equagao 6 0 ot 1515 2 Rotagdo Uniformemente Acelerada Neste caso a aceleragao angular é constante As seguintes Eqs que relacionam a velocidade angular a coordenada angular e o tempo podem ser deduzidas de um modo similar Aquele descrito na Secao 115 Fica claro a similaridade entre as f6rmulas deduzidas aqui e aquelas obtidas para o movimento reti Ifneo uniformemente acelerado W at 0 0 wot gat 1516 wo a 2a0 A Devese enfatizar que a Eq 1515 s6 pode ser usada quando a 0 e que a Eq 156 pode ser usada apenas quando a constante Em qual quer outro caso as Eqs 1512 a 1514 devem ser usadas C PROBLEMA RESOLVIDO 151 C ee A carga B esta conectada a uma polia dupla por um dos dois cabos inexten rN siveis mostrados na figura O movimento da polia é controlado pelo cabo C Fl que tem uma aceleragao constante de 225 mms e uma velocidade inicial de 300 mms ambas orientadas para a direita Determine a o ntimero de revolucées executadas pela polia em 2 s b a velocidade e a variagiio na po sicgao da carga B apos 2 s e c a aceleracgio do ponto D sobre o aro da polia interna em t 0 SOLUCAO a Movimento da polia Como o cabo é inextensfvel a velocidade do D ay ponto D é igual a velocidade do ponto C e o componente tangencial da ace C leragéo de D é igual a aceleragao de C Cas V5 o Vey 300mms ay ag 225mms Notando que a distancia de D ao centro da polia é de 75 mm escrevemos Up T 300 mms75mma w 4 rads dy ra 225 mins 75 mma a3rads O 2 f Usando as equagdes do movimento uniformemente acelerado obtemos parat 2s lap at 4 rads 3 rads 2 s 10 rads apt apn ac 10 rads So 6 at ttat 4 rads2s 43 rads2 8 14 rad a 014rad 1 A Numero de revolugdes 14 rad 223rey 4 27 rad b Movimento da carga B Usando as seguintes relagdes entre movi A mento linear e angular com r 125 mm escrevemos 3 a t OU rw 125 mm10 rads 1250 mms v 125mst 4 Ay r 125 14 1750 Ay 175 i p ap 225 mms Y 70 125 mm14 rad mm Ay 175cm para cima c Aceleragdo do ponto D emt 0 O componente tangencial de Ss aceleragio é ap ao 225mms ap 1200 mms Como em t 0 4 rads o componente normal da aceleragiio é dy pw 75mm4 rads 1200 mms ap 1200 mms ap A intensidade e diregao da aceleracio total pode ser obtida escrevendose tg 1200 mms 225 mms 794 dp sen 79 4 1200 mms dp 1220 mms a 122 mms G 794 4 N esta segio iniciamos o estudo do movimento de corpos rigidos considerando dois tipos parti culares de movimento de corpos rigidos translagdo e rotagdo em torno de um eixo fixo 1 Corpo rigido em translagao Em um dado instante qualquer todos os pontos de um cor po rigido em translagao tém a mesma velocidade e a mesma aceleragdo Fig 157 2 Corpo rigido que gira em torno de um eixo fixo A posico de um corpo rigido que gira em torno de um eixo fixo foi definida em um dado instante qualquer pela coordenada angular 8 usualmente medida em radianos Selecionando o vetor unitario k ao longo do eixo fixo e de tal modo que a rotagéo do corpo aparece no sentido antihordrio vista da ponta de k definimos a velocidade angular e a aceleragdo angular do corpo wo6k a 6k 156 159 Para a resolugio de problemas tenha em mente que os vetores e estéo ambos orientados ao longo do eixo de rotagio fixo e que seu sentido pode ser obtido pela regra da mio direita a Avelocidade de um ponto P de um corpo que gira em torno de um eixo fixo foi de terminada como sendo voxXr 155 onde é a aceleragio angular do corpo e r é 0 vetor de posigao desenhado a partir de qualquer ponto sobre o eixo de rotagao do ponto P Fig 159 b A aceleracdo do ponto P foi determinada como sendo aaxXrta X a X r 158 Como os produtos vetoriais nio sio comutativos certifiquese de escrever os vetores na ordem indicada ao usar qualquer uma das duas equagoes anteriores 3 Rotagao de uma placa representativa Em muitos problemas vocé serd capaz de redu zir a andlise da rotagao de um corpo tridimensional em torno de um eixo fixo ao estudo da rotacao de uma placa representativa em um plano perpendicular ao eixo fixo O eixo z deve ser orientado ao longo do eixo de rotagdo e apontar para fora do papel Logo a placa representativa ira girar no plano xy em torno da origem O do sistema de coordenadas Fig 1510 Para resolver problemas desse tipo vocé deve fazer 0 seguinte a Desenhar um diagrama da placa representativa mostrando suas dimensGes sua velocidade e aceleragio angulares bem como os vetores que representam as velocidades e acele racdes dos pontos da placa para os quais vocé tem ou procura informagées b Relacionar a rotagdo da placa e o movimento dos pontos da placa escrevendo as equagoes vTo 1510 2 Gra a ro 1511 Lembrese de que a velocidade v e a componente a da aceleragéo de um ponto P da placa sao tan gentes a trajetoria circular descrita por P As direcdes e os sentidos de v e a sio encontrados pelo giro de 90 do vetor de posicao r no sentido indicado por w e a respectivamente O componente normal a da aceleragio de P é sempre orientado para 0 eixo de rotacao 4 Equacoes definidoras da rotagdo de um corpo rigido Vocé deve ter ficado satisfeito ao observar a semelhanga existente entre as equagdes que definem a rotagao de um corpo rigido em torno de um eixo fixo Eqs 1512 a 1516 e aquelas do Cap 11 que definem o movimento retilineo de uma particula Eqs 111 até 118 Tudo o que vocé deve fazer para obter 0 novo conjunto de equagées é substituir 6 w e a por x v e a nas equagées do Cap 11 151 O movimento de um came é definido pela relagao 6 9 15t sendo 6 expresso em radianos e t em segundos Determine a coorde nada a velocidade e a aceleragiio angulares do came quando a t 0 bt 3s 152 Parao came do Problema 151 determine o tempo a coordenada e a aceleragao angulares quando a velocidade angular é nula 153 O movimento de um volante oscilante é definido pela relagaio 6 6 sen ttT 050 sen 21tT sendo 6 expresso em radianos e t em segundos Sabendo que 6 6 rad e T 4s determine a coordenada a velocidade e a aceleragio angulares do volante quando a t 0 b t 2s 154 Resolva o Problema 153 quando t 1s 155 O movimento de um disco rotativo em banho de dleo é definido pela relacgaio 0 01 e sendo expresso em radianos e em segun dos Sabendo que 6 040 rad determine a coordenada a velocida de e a aceleragio angulares do disco quando a t 0 b t 3s c to 156 A aceleragio angular de um disco oscilante é definida pela relagio a k Determine a 0 valor de k para 0 qual w 8 rads quando 6 0 e 8 4 rad quando w 0 b a velocidade angular do disco quando 3 rad 157 Quando um motor elétrico é ligado ele alcanga sua velocidade nomi nal de 3300 rpm em 6 s e quando é desligado 0 motor livre atinge o repouso em 40 s Admitindo um movimento uniformemente acelera do determine o ntimero de revolugées que o motor executa a para c alcangar sua velocidade nominal b para atingir o repouso oo oe Fi 158 O rotor de uma turbina a gas esta girando a uma velocidade de igura P157 6900 rpm quando a turbina é desligada Observase que sao ne cessarios 4 min para que o rotor livre atinja 0 repouso Admitindo um movimento uniformemente acelerado determine a a acele ragéo angular b o nimero de revolugées executadas pelo rotor antes de atingir 0 repouso 159 Aaceleragao angular de um eixo é definida pela relagaio a 025a sendo expresso em rads e w em rads Sabendo queemt 0a velocidade angular do eixo é 20 rads determine a 0 ntimero de revolugdes que o eixo executaré antes de chegar ao repouso b o tempo necessdrio para que o eixo chegue ao repouso c 0 tempo necessério para que a velocidade angular do eixo seja reduzida a 1 de seu valor inicial Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 931 1510 Oconjunto mostrado na figura consiste uma haste reta ABC que pas sa através de uma placa retangular DEFH e esta soldada O conjunto gira em torno do eixo AC com uma velocidade angular constante de 9 rads Sabendo que a rotagao é no sentido antihordrio quando vista de C determine a velocidade e a aceleragao do canto F 175 mm 175 mm e iN D 100 mm E A 100 mm x F 100 mm N H 1 JL 100 mm Figura P1510 1511 No Problema 1510 determine a velocidade e a aceleracgio do canto H admitindo que a velocidade angular é de 9 rads e decresce a uma taxa de 18 rads 1512 A barra dobrada ABCDE gira em torno de uma linha que liga os pon tos A e E com uma velocidade angular constante de 9 rads Sabendo que a rotagio é hordria a partir de E determine a velocidade e a ace leragao do canto C y 200 mm A C 250 mm fo D 150 mm 150 mm 400 OU a x Figura P1512 1513 No Problema 1512 determine a velocidade e a aceleracgio do canto B admitindo que a velocidade angular seja de 9 rads crescendo a uma taxa de 45 rads 932 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1514 Uma placa triangular e duas placas retangulares esto soldadas entre sie a barra reta AB A unidade soldada gira como um todo em torno do eixo AB com uma velocidade angular constante de 5 rads Sa bendo que no instante considerado na figura a velocidade do canto E esta dirigida para baixo determine a velocidade e a aceleragao do canto D y 4 A ee y 400 mm L B ee Zl F mm x Z ij 350 mm 4 nil SJ Figura P1514 1515 No Problema 1514 determine a aceleragao do canto D consideran do que a velocidade angular é 5 rads e decresce a uma taxa de 20 rads 1516 A Terra realiza uma revolugio completa em torno de seu eixo em 23h56 min Sabendo que o raio médio da Terra é de 6370 km deter mine a velocidade linear e a aceleracgaio de um ponto sobre a superfi cie da Terra a no Equador b na Filadélfia a 40 de latitude norte c no Polo Norte 1517 A Terra realiza uma revolucio completa em torno do Sol em 36524 dias Admitindo que a 6rbita da Terra seja circular e que tenha um raio de 15 X 10 km determine a velocidade e a aceleragao do planeta 1518 Uma placa circular mostrada na figura esta inicialmente em repouso Sabendo que r 200 mm e que a placa tem uma aceleragao angular constante de 03 rads determine a intensidade da aceleracao total do ponto B quando a t 0 b t 2s et 4s A 2 B 6 1519 A aceleragio angular de uma placa circular de 600 mm de raio mos aN oe t CA SS trada na figura é definida pela relagaio a aye Sabendo que a placa e esta em repouso quando t 0 e que a 10 rads determine a z intensidade da aceleragio total do ponto B quando a t 0 b t SS 05 s ct k eS J SS 1520 Uma placa circular de raio 250 mm mostrada na figura esta inicial mw SQ mente em repouso e tem a aceleracao angular definida pela relagao a s a acosttT Sabendo que T 15 e a 10 rads determine aintensidade da aceleracao total do ponto B quando a t 0 b t Figura P1518 P1519 e P1520 05 s ct 075s Capitulo 15 Cinemdatica de corpos rigidos 933 1521 Uma série de pequenos componentes de maquina movidos por uma correia transportadora passa sobre uma polia esticadora de 150 mm de raio No instante mostrado na figura a velocidade do ponto A éde 400 mms para a esquerda e sua aceleracio é de 250 mms para a direi ta Determine a a velocidade angular e a aceleragao angular da polia esticadora e b a aceleragao total do componente de méquina em B SS BS SS Lal o A 150mm Figura P1521 e P1522 1522 Uma série de pequenos componentes de maquina movidos por uma correia transportadora passa sobre uma polia esticadora de 150 mm de raio No instante mostrado na figura a velocidade angular da polia esticadora é de 4 rads no sentido horaério Determine a aceleracao angular da polia para a qual a intensidade da aceleracao total do com ponente de maquina em B é de 3 ms 1523 A lixadeira mostrada na figura esta inicialmente em repouso Se o tambor de acionamento B tem uma acelerag4o angular constante de 120 rads no sentido antihorario determine a intensidade da acele ragao da correia no ponto C quando a t 05s e b t 2s P SD i a 7 SSS a 25 mm Figura P1523 e P1524 1524 A velocidade nominal do tambor B da lixadeira mostrada na figura é de 2400 rpm Quando a lixadeira é desligada observase que o tam bor entio livre alcanga o repouso em 10 s Admitindose um movi mento uniformemente acelerado determine a velocidade e a acele racgio do ponto C da correia a imediatamente antes de desligar a lixadeira e b 9 s mais tarde 934 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica A a 1525 Oanel C tem uma raio interno de 55 mm e um raio externo de 60 mm 5 e posicionado entre duas rodas A e B cada uma com raio externo 24 mm ved de 24 mm Sabendo que a roda A gira com uma velocidade angular 7 constante de 300 rpm e que nao ocorre deslizamento determine a a ve velocidade angular do anel C e na roda B b a aceleragéo dos pontos a deAeB que estaéo em contato com C 5mm 1526 Oanel B tem um raio interno r e esta suspenso por um eixo horizon c tal A do modo mostrado na figura Sabendo que o eixo A gira com ve locidade angular constante w e que nao ocorre deslizamento deduza Figura P1525 uma relagiio em termos de ry 1 7 para a a velocidade angular do anel B b a aceleragao dos pontos do eixo A e do anel B que estao em contato y x a UU Figura P1526 e P1527 1527 Oanel B tem um raio interno r e esté suspenso por um eixo horizon tal A do modo mostrado na figura O eixo A gira com velocidade an gular constante de 25 rads e nao ocorre deslizamento Sabendo que r 12mmr 30 mmer 40 mm determine a a velocidade angular do anel B b a aceleracao dos pontos do eixo A e do anel B u que estao em contato c a intensidade da aceleragaéo de um ponto et sobre a superficie externa do anel B 1528 Ocilindro A movese para baixo com uma velocidade de 3 ms quan a do o freio é subitamente aplicado ao tambor Sabendo que o cilindro o deslocase 6 m para baixo antes de chegar ao repouso e admitindo um movimento uniformemente acelerado determine a a aceleracio 250 mm zs 1 angular do tambor b o tempo necessario para o cilindro chegar ao repouso 1529 O sistema mostrado na figura é mantido em repouso pelo conjunto 1 freiotambor mostrado na figura Depois que o freio é parcialmente A liberado em t 0 observase que o cilindro se desloca 5 mem 5 s Admitindo um movimento uniformemente acelerado determine Figura P1528 e P1529 a a aceleragao angular do tambor b a velocidade angular do tam boremt 4s Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 935 1530 Uma polia e dois blocos estéo conectados por cabos inextensiveis como mostra a figura O bloco A tem uma aceleracao constante de 300 mms e uma velocidade inicial de 240 mms ambas direcionadas para baixo Determine a o ntimero de revolugées executadas pela polia em 3 s b a velocidade e posicao do bloco B apés 3 s c a ace 190 mm 180 mm leragdo do ponto D na borda da polia em t 0 D ae 1531 Uma polia e dois blocos estéo conectados por cabos inextensiveis como mostra a figura A polia inicia em repouso emt Oe é acelera da a uma taxa uniforme de 24 rads no sentido horario Em t 4s determine a velocidade e posigiio a do bloco A b do bloco B A B 1532 O disco B encontrase em repouso quando é posto em contato com o disco A que esta girando livremente a 450 rpm no sentido horario Apos 6 s de deslizamento periodo em que cada disco assume uma aceleragio angular constante o disco A atinge uma velocidade an Figura P1530 e P1531 gular final de 140 rpm no sentido hordrio Determine a aceleragio angular de cada disco durante o periodo de deslizamento eee St freee a ob A i Figura P1532 e P1533 1533 e 1534 Um dispositivo simples de acionamento por atrito consiste em dois discos A e B Inicialmente 0 disco A tem uma velocidade angular de 500 rpm e o disco B encontrase em repouso Sabese que o disco A chegara livremente ao repouso em 60 s Entretanto em vez de esperar até que ambos os discos estejam em repouso para p6los em contato uma aceleracio angular constante de 25 rads é aplicada ao disco B no sentido antihorario Determine a em que instante os discos podem se postos em contato para nao haver desli zamento b a velocidade angular de cada disco quando 0 contato é estabelecido A 80 mm 60 mm 1535 Dois discos de atrito A e B ambos rodando livremente a 240 rpm no BG sentido antihorario sfio postos em contato Apos 8 s de deslizamen to durante o qual cada disco tem uma aceleragio angular constante 0 disco A alcanga a velocidade angular final de 60 rpm no sentido anti horario Determine a a aceleracio angular de cada disco durante o r P periodo de deslizamento b o tempo na qual a velocidade angular do disco B é igual a zero Figura P1534 e P1535 936 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1536 Em um processo continuo de impressio 0 papel é puxado para den tro das prensas a uma velocidade constante v Representando por r o raio do rolo de papel em um instante dado qualquer e por b a es pessura do papel deduza uma expresso para a aceleracgéo angular do rolo de papel b Vv 1 by EE 6 WY WS HA AI cu my SS tz SS f Ow Figura P1536 lt 9 O NM 1537 Uma fita de video esta sendo rebobinada em um carretel VCR que WwW gira a uma velocidade constante de w Representando por r o raio oC do carretel em um dado instante qualquer e por D a espessura da fita deduza uma expressio para a aceleracao da fita ao se aproximar do Figura P1537 carretel 155 Movimento plano geral Conforme indicado na Seco 151 entendemos por movimento plano geral um movimento plano que nao é uma translacéo nem uma rotagio Todavia como vocé vera a seguir um movimento plano geral pode ser sempre considerado como a soma de uma translagao e de uma rotagao Considere por exemplo uma roda que rola sobre uma pista reta Fig 1512 Durante um certo intervalo de tempo dois pontos dados A e B se moverao de A até A e de B até B respectivamente O mesmo resultado poderia ser obtido por meio de uma translagio que levaria A e B para A e B com a linha AB permanecendo na vertical seguida de uma rotacao em torno de A para trazer B até B Embora o movimento original de rolamento difira da combinacao de translagao e rotagao quan do esses movimentos sio0 considerados em sucessio 0 movimento origi nal pode ser duplicado exatamente por uma combinagio de translagiio e rotagao simultaneas By B By Bi I o O O 7 7 N or UG 4 4 J A dt Ay U 2 UV By Movimento plano Translacdo com A Rotagao com A Figura 1512 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 937 bili Hak ny Aaa I h XN 2 3 A As A A Ag ih 2 2 Movimento plano Translagao com A Rotagao em torno de A a B Bi yl T T By oy On 5 Ay Ay se A Ag At Aj Movimento plano Translagéo com B Rotacio em torno de B b Figura 1513 Outro exemplo de movimento plano é dado na Fig 1513 que re presenta uma barra cujas extremidades deslizam ao longo de uma pista horizontal e de uma vertical respectivamente Esse movimento pode ser substituido por uma translaco em uma direcao horizontal e uma rotagao em torno de A Fig 1513a ou por uma translacio em uma diregio ver tical e uma rotagao em torno de B Fig 1513b No caso geral de movimento plano consideraremos um pequeno A deslocamento que leva duas particulas A e B de uma placa represen Lr tativa de A e B até A e B respectivamente Fig 1514 Esse deslo q p Be camento pode ser dividido em duas partes em uma delas as particulas S movemse até A e B com a linha AB mantendo a mesma direcao na Bi 7 Z a outra B movese até B enquanto A permanece fixo A primeira parte Si do movimento é claramente uma translagao e a segunda é uma rotagao em torno de A Figura 1514 Recordando a partir da definico dada na Segao 1112 para o movi mento relativo de uma particula com respeito a um sistema de referéncia mével em oposigao ao seu movimento absoluto em relaco a um siste ma de referéncia fixo podemos reafirmar o resultado obtido anterior mente do seguinte modo dadas duas particulas A e B de uma placa rigi da em movimento plano 0 movimento relativo de B com respeito a um sistema de referéncia ligado a A de orientacao fixa é uma rotacao Para um observador movendose com A mas sem girar a particula B parecera descrever um arco de circulo centrado em A 938 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica A ian PS 156 Velocidade absoluta e velocidade 1 l oe relativa no movimento plano 2 ty Vimos na seco precedente que qualquer movimento plano de uma placa rit aod an ao p que qualq P P IC ge pode ser substituido por uma translagao definida pelo movimento de um a iy od 3 SS 5 onto de referéncia arbitrario A e por uma rotacao simultanea em torno a 2 F de A A velocidade absoluta v de uma particula B da placa é obtida a Re a partir da formula de velocidade relativa deduzida na Segao 1112 uN cn 5 é Ve Va Vpva 1517 onde o segundo membro representa uma soma vetorial A velocidade v rete ps Os ae de wee sanoee corresponde translagao da placa junto com A enquanto a velocidade Heese ee ses are anes TaZOes relativa v esté associada a rotagao da placa em torno de A e é medida de redugdo com espago e peso minimo As BIA on engrenagens pequenas sofrem movimento em relacao aos eixos centrados em A de orientacao fixa Fig 1515 Re plano presentando por r 0 vetor de posicao de B relativo a A e por wk a velo cidade angular da placa em relagio aos eixos de orientagio fixa temos a partir das Eqs 1510 e 1510 Vea Ok X rpya Opa TO 1518 VA VA y as G Y VBA A VA VB VBA G B Movimento plano Translagao com A Rotagio em torno de A Vg Vat Vea Figura 1515 onde r é a distancia de A a B Substituindo v da Eq 1518 na Eq 1517 também podemos escrever vp va ok X rpgya 1517 Como exemplo examinaremos novamente a barra AB da Fig 1513 Considerando que a velocidade v da extremidade A é conhecida nos propomos encontrar a velocidade v da extremidade B e a velocidade angular w da barra em termos da velocidade v do comprimento I e do angulo 6 Escolhendo A como ponto de referéncia estabelecemos que o movimento dado é equivalente a uma translacao junto com A e a uma rotacio simulténea em torno de A Fig 1516 A velocidade absoluta de B deve portanto ser igual 4 soma vetorial ve Va t Vpva 1517 Observamos que enquanto a diregao de vz é conhecida sua intensi dade lw é desconhecida Todavia isso 6 compensado pelo fato de que a direcao de v é conhecida Logo podemos completar o diagrama da Fig 1516 Resolvendo para as intensidades v e w escrevemos Og va tg 0 BA TA 1519 B Als l lL cos 0 1519 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 939 B B B VA VBA YB a A VA VA A A fixo Movimento plano Translagiocom A Rotagao em torno de A Vg Va Vaya Figura 1516 O mesmo resultado pode ser obtido usandose B como ponto de referéncia Decompondo 0 movimento dado em uma translacao junto com B e em uma rotacao simultanea em torno de B Fig 1517 escre vemos a equacao Va VB t Vap 1520 que esta representada graficamente na Fig 1517 Notamos que vz Vz tém a mesma intensidade Jw mas sentidos opostos Logo o sentido da velocidade relativa depende do ponto de referéncia que tenha sido se lecionado e deve ser cuidadosamente determinado a partir do diagrama apropriado Fig 1516 ou 1517 B fixo B B 0 mY ve I o Te 4 A A VAB VA A VB Movimento plano Translagéo com B Rotacdo em torno de B Va Vg Vayp Figura 1517 Finalmente observamos que a velocidade angular w da barra em sua rotacao em torno de B é igual a da sua rotagao em torno de A Em ambos os casos ela é medida pela taxa de variago do Angulo 6 Esse resultado é bastante geral devemos entio ter em mente que a velo cidade angular w de um corpo rigido em movimento plano é indepen dente do ponto de referéncia A maioria dos mecanismos consiste nao s6 de uma mas de muitas partes moveis Quando as diversas partes de um mecanismo estio conectadas por pinos a andlise do mecanismo pode ser efetuada considerandose cada par te como um corpo rigido atentando para o fato de que os pontos onde duas partes estéo conectadas devem ter a mesma velocidade absoluta ver Pro blema Resolvido 153 Uma andlise similar pode ser usada quando engre nagens estiverem envolvidas pois os dentes em contato também devem ter a mesma velocidade absoluta Entretanto quando um mecanismo contém partes que deslizam umas sobre as outras a velocidade relativa das partes em contato deve ser levada em consideracio ver as Secdes 1510 e 1511 oS eee R PROBLEMA RESOLVIDO 152 19 A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira inferior va 12 ms D fica sendo a velocidade de seu centro A de 12 ms paraa direita Determine ar a a velocidade angular da engrenagem e b as velocidades da cremalheira X 4 superior R e do ponto D da engrenagem r 150 no ra 100 mm P P 6 8 SOLUCAO a Velocidade angular da engrenagem Uma vez que a en grenagem rola sobre a cremalheira inferior seu centro A deslocase por meio de uma distancia igual ao perimetro da circunferéncia exter na 2qr a cada revolucgéo completa da engrenagem Lembrando que 1 rev 27 rad e que quando A deslocase para a direita x 0 a engrena gem gira no sentido hordario 0 escrevemos 0 ta X r0 277 Qr Diferenciando em relagio ao tempo e substituindo os valores conhecidos v 12mser 150 mm 0150 m obtemos vo rw 12ms0150mo w8rads wk 8radskk onde k é um vetor unitdrio que aponta para fora do papel b Velocidades O movimento de rolamento é decomposto em dois mo vimentos componentes uma translacgao junto com o centro A e uma rotagiio em torno do centro A Na translacio todos os pontos da engrenagem deslo camse com a mesma velocidade v Na rotacao cada ponto P da engrena gem deslocase em torno de A com uma velocidade relativa v wk X rp sendo rp 0 vetor de posicao de P relativo a A VBA 2 YDIA i xB 8k y A A Do DS D iH VA VA fixo C y VA VoiA Translacao Rotagaio Movimento de rolamento Velocidade da cremalheira superior A velocidade da cremalheira superior é igual 4 velocidade do ponto B escrevemos Vr Vp Va t Vp Vq OK X Fp 12 msi 8 radsk x 0100 mj 12 msi 08 msi 2 msi vz 2ms oe Velocidade do ponto D YDA P Vp Va t Vp V tok Xrp 12 msi 8 radsk x 0150 mi 12 msi 12 msj vp 1697 ms 245 PROBLEMA RESOLVIDO 153 eV Pequenas rodas estiao fixadas nas extremidades das barras AB e giram livre 60 mente ao longo da superficie mostrada na figura Sabendo que a roda A se desloca para a direita com velocidade constante de 15 ms determina a 20f 3 B a velocidade da extremidade B da barra b a velocidade angular da barra oy SOLUCAO Movimento da parte B A velocidade do ponto A é horizontal para a esquerda a velocidade da parte B é ascendente na inclinacao a um dngulo de 60 do plano horizontal Resolvendo a reacgao de AB em uma translagao com A e uma rotacao em torno de A obtemos fixed v4 15 mss DA A fixe ar Op UBIA Sp Poy B vp Ybo AB 075 m 70 Expressando a relagio entre velocidades vp v Vgyq Vp Va Vga vp SNS 60 15 ms vpya a 70 We draw a vector diagram corresponding to this equation veiaf 50 Ve 20 wy 39 Be wX S va15 ms Lei dos senos Ug Up 15 ms sen70 sen60 sen50 a Vz1840 ms SS 60 Vp1696 ms 2 70 b Opa ABoxs 1696 ms 075 mw4 Vag 2261 rads 226 rads 4 A RESOLUGAO DE PROBLEMAS N esta secdo vocé aprendeu a analisar a velocidade de corpos em movimento plano geral Ve rificou que um movimento plano geral pode ser sempre considerado como a soma dos dois movimentos que estudou na secao anterior a saber wma translagdo e uma rotagao Para resolver um problema que envolve a velocidade de um corpo em movimento plano vocé deve percorrer os seguintes passos 1 Sempre que possivel determine a velocidade dos pontos do corpo onde o corpo esteja conectado a outro corpo cujo movimento seja conhecido Esse outro corpo pode ser um brago ou manivela que gira a uma dada velocidade angular Problema Resolvido 153 2 Em seguida comece a desenhar uma equagdo de diagramas para usar em sua resolucao Figs 1515 e 1516 Essa equagio consistiraé nos seguintes diagramas a Diagrama do movimento plano Desenhe um diagrama do corpo incluindo todas as dimensées e mostrando os pontos que vocé conhece ou procura a velocidade b Diagrama de translagdo Selecione um ponto de referéncia A que vocé conhega a diregdo eou a intensidade da velocidade e desenhe um segundo diagrama mostrando 0 corpo em translagéo com todos os seus pontos movendose com a mesma velocidade v c Diagrama de rotagao Considere 0 ponto A como um ponto fixo e desenhe um diagra ma mostrando o corpo em rotagao em torno de A Mostre a velocidade angular wk do corpo e as velocidades relativas dos outros pontos com respeito a A tais como a velocidade v de B em relacio a A 3 Escreva a formula da velocidade relativa vB Va t YBa Embora vocé possa resolver esta equagio vetorial analiticamente escrevendo as equagées escala res correspondentes vocé verificara que em geral é mais facil resolvéla usando um triangulo de vetores Fig 1516 4 Um ponto de referéncia diferente pode ser usado para obterse uma equacdo equivalente Por exemplo se 0 ponto B for selecionado como ponto de referéncia a velocidade do ponto A é expressa como Va Vp t Varp Note que as velocidades relativas v V tém a mesma intensidade mas sentidos opostos Logo as velocidades relativas dependem do ponto de referéncia selecionado Entretanto a velocidade angular é independente da escolha do ponto de referéncia 1538 O movimento da barra AB é guiado por pinos presos em A e B os quais deslizam nas fendas mostradas na figura No instante mostrado na figura 8 40 e o pino em B deslocase para cima e para a esquer da a uma velocidade constante de 150 mms Determine a a veloci A dade angular da barra b a velocidade do pino na extremidade A 1539 O movimento da barra AB é guiado por pinos presos em A e B os 6 500 mm quais deslizam nas fendas mostradas na figura No instante mostrado na figura 30 e o pino em A deslocase para baixo com veloci dade constante de 250 mms Determine a a velocidade angular da barra b a velocidade do pino na extremidade B 15 SS 1540 No sistema bielamanivela do motor mostrado na figura a manivela BS AB tem uma velocidade angular hordria constante de 15ms Para a posigao indicada da manivela determine a a velocidade angular da barra de conexao BD e b a velocidade do pistao P Figura P1538 e P1539 1541 Ocolar A deslocase para cima com velocidade de 12 ms No ins tante mostrado na figura quando 25 determine a a velocidade angular da barra AB b a velocidade do colar B 900 mm r75 an B x Aw PS A40 BY P 2 Efall P B Zp 7 Figura P1540 IG Q 9 500 mm A f I Figura P1541 e P1542 1542 O colar A deslocase para baixo com velocidade de 16 ms No ins tante mostrado na figura quando 40 determine a a velocidade angular da barra AB b a velocidade do colar A 944 MecAnica vetorial para engenheiros dindmica 1543 A barra AB movimentase sobre um rolete em C enquanto a extre B midade A deslocase para a direita com velocidade constante de 500 mms No instante mostrado na figura determine a a veloci ZY dade angular da barra b a velocidade de sua extremidade B 400 mm e 1544 A placa mostrada na figura deslocase no plano xy Sabendo que gy v4 300 mms vg 100 mms e vc 600 mms deter py mine a a velocidade angular da placa b a velocidade do ponto B Yo 140 mm AF Va Wahi Wayij 900 mm Al Figura P1543 y 100 mm Vp Ugyi Upyj o vo vyi celyj 50 mm 1 5 150 mm Figura P1544 1545 No Problema 1544 determine a a velocidade do ponto A b 0 ponto da placa com velocidade nula 1546 A placa mostrada na figura deslocase no plano xy Sabendo que v4 120 mms Up 300 mms e Woy 60 mms determine a a velocidade angular da placa b a velocidade do ponto A y Vo eri t veyj Ic 180 mm Va 0gei Wgyj d e A x 180 mm vg vp i vpyi B 180 mm 180 mm Figura P1546 1547 No Problema 1546 determine a a velocidade do ponto B b o ponto da placa com velocidade nula Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 945 1548 No sistema de engrenagens planetérias mostrado na figura o raio das engrenagens A B C e D é 100 mm e 0 raio da engrenagem externa E 300 mm Sabendo que a engrenagem E tem uma velocidade an gular de 120 rpm no sentido horario e que a engrenagem central tem uma velocidade angular de 150 rpm no sentido horario determine a a velocidade angular de cada engrenagem planetiaria b a veloci dade angular do suporte de conexiio das engrenagens planetirias wS on J Ny s ay Se P soo fe e nd I p SS x C BS SSS ARS E Figura P1548 e P1549 1549 No sistema de engrenagens planetdrias mostrado na figura 0 raio da engrenagem central A é a 0 raio das engrenagens planetirias é b e o raio da engrenagem externa E é a 2b A velocidade angular da engrenagem A é w no sentido horario e a engrenagem externa é es taciondria Se a velocidade angular do suporte BCD deve ser w5 no sentido hordrio determine a o valor requerido da razio ba b a velocidade angular correspondente de cada engrenagem planetiaria 1550 A engrenagem A gira com uma velocidade angular de 120 rpm no sentido horario Sabendo que a velocidade angular do brago AB é 90 rpm no sentido hordrio determine a velocidade angular corres pondente da engrenagem B 2 x P 120 mm D Figura P1550 e P1551 So 1551 O brago AB gira a uma velocidade angular de 42 rpm no sentido ho A rario Determine a velocidade angular requerida da engrenagem A SS S para que a a velocidade angular da engrenagem B seja de 20 rpm no sentido antihordrio b o movimento da engrenagem B seja uma Qa translagao curvilfnea ve 1552 O braco AB gira com uma velocidade angular de 20 rads no sentido antihordrio Sabendo que a engrenagem C é estaciondria determine C a a velocidade angular da engrenagem B b a velocidade do dente da engrenagem no ponto D Figura 1552 946 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1553 e 1554 O braco ACB gira em torno do ponto C com velocidade an gular de 40 rads no sentido antihordrio Dois discos de atrito A e B esto presos por pinos em seus centros ao brago ACB do modo mostrado na figura Sabendo que os discos rolam sem escorregar nas superficies de contato determine a velocidade angular a do disco A b do disco B I 200 mm 200 mm 100 mm 75 mm 25 mm 150 mm gn rile ef pj Gs Figura P1553 Figura P1554 1555 Sabendo que a manivela AB tem uma velocidade angular constante de 160 rpm no sentido antihorario determine a velocidade angular da barra BD e a velocidade do colar D quando a 0 b 6 90 a D 500 mm ea 300 mm 150 mm L 9 Ale Figura P1555 e P1556 1556 Sabendo que a manivela AB tem uma velocidade angular constante de 160 rpm no sentido antihorario determine a velocidade angular da barra BD e a velocidade do colar D quando a 6 60 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 947 1557 No sistema bielamanivela de motor mostrado na figura 1 160 mm e b 60 mm Sabendo que a manivela AB gira com uma velocidade P angular constante de 1000 rpm no sentido horario determine a velo cidade do pistao P e a velocidade angular da biela quando a 0 D b 6 90 Q e 1558 No sistema bielamanivela de motor mostrado na Fig P1557 e P1558 160 mm e b 60 mm Sabendo que a manivela AB gira 1 com uma velocidade angular constante de 1000 rpm no sentido ho rario determine a velocidade do pistio P e a velocidade angular da biela quando 6 60 Le 1559 Uma cremalheira reta repousa sobre uma engrenagem de raio r e esta A eS 3 presa ao bloco B como mostra a figura Representando por w a veloci dade angular hordria da engrenagem D e por 0 Angulo formado pela e b cremalheira e a horizontal deduza expressGes para a velocidade do blo co B e para a velocidade angular da cremalheira em termos der 8p Figura P1557 e P1558 A AVA Vy 4 GY b if Figura P1559 P1560 e P1561 1560 Uma cremalheira reta repousa sobre uma engrenagem de raio r 75 mm e esta presa ao bloco B como mostra a figura Saben do que nesse instante a velocidade angular da engrenagem D é de 15 rpm no sentido antihorario e 8 20 determine a a velocidade do bloco B b a velocidade angular da cremalheira 1561 Uma cremalheira reta repousa sobre uma engrenagem de raio r 60 mm e esta presa ao bloco B como mostra a figura Sabendo que nesse instante a velocidade do bloco B é de 200 mms para a direita e 6 25 determine a a velocidade angular da engrenagem D b a velocidade angular da cremalheira 1562 No excéntrico mostrado na figura um disco de 40 mm de raio gira em torno do eixo O que esta localizado a 10 mm do centro A do disco A distancia entre o centro A do disco e 0 pino em B é de 160 mm Sabendo que a velocidade angular do disco é de 900 rpm no sentido horario determine a velocidade do bloco quando 6 30 0 I id cee NS 40 mm a 10mm 160 mm Figura P1562 948 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 00 m 15634 1565 Nas posigdes mostradas nas figuras a barra AB tem uma velo mm cidade angular de 4 rads no sentido horario Determine as velocida B des angulares das barras BD e DE A 200 mm 250 mm 150 mm B D A 100 mm 75 mm D T E 60 mm Figura P1563 Figura P1564 A fe 300 mm mm i i ll 400 mm oe 400 mm Figura P1565 1566 Na posico mostrada na figura a barra DE tem uma velocidade angular de 10 rads no sentido horario Sabendo que h 500 mm determine a a velocidade angular da barra FBD b a velocidade do ponto F F a B 100 mm D 200 mm E eS 120 mm A h ie 300 mm 100 mm Figura P1566 e P1567 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 949 1567 Naposigao mostrada na figura a barra DE tem uma velocidade angu lar de 10 rads no sentido hordrio Determine a a distancia h para que a velocidade do ponto F seja vertical b a velocidade correspon dente do ponto F 1568 Na posicaio mostrada na figura a barra AB tem uma aceleragdo angu lar nula e uma velocidade angular de 20 rads no sentido antihorario Determine a a velocidade angular da barra BDH b a velocidade do ponto G mm 125 mm 125 mm 75 mme lax Vey A E ae B G D 250 mm H Figura P1568 e P1569 1569 Na posicaio mostrada na figura a barra AB tem uma aceleragdo angu lar nula e uma velocidade angular de 20 rads no sentido antihorario Determine a a velocidade angular da barra BDH b a velocidade do ponto H 1570 Um automével deslocase para a direita com uma velocidade cons tante de 80 kmh Se o didmetro da roda é de 500 mm determine as velocidades dos pontos B C D e E sobre 0 aro da roda B D a iO i wal G ay E Figura P1570 950 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1571 A roda de 80 mm de raio mostrada na figura rola para a esquerda com uma velocidade de 900 mms Sabendo que a distancia AD é 50 mm determine a velocidade do cursor e a velocidade angular da barra AB quando a B 0e b B 90 B Soya A Figura P1571 1572 Para as engrenagens mostradas na figura deduza uma expressio para a velocidade angular w para a engrenagem C e mostre que Ww é in dependente do raio da engrenagem B Considere que o ponto A é fixo e deduza a velocidade angular da barra ABC e a da engrenagem A por Mago W respectivamente Pax Zo nie is rp Ly OK Figura P1572 157 Centro instantdneo de rotacdo no movimento plano Considere o movimento plano geral de uma placa Nos propomos a mos Ss trar que em um dado instante qualquer as velocidades das varias parti culas da placa so as mesmas caso a placa estivesse girando em torno de um certo eixo perpendicular ao seu plano denominado eixo instantdneo de rotagao Esse eixo intercepta o plano da placa em um ponto C deno es minado centro instantaneo de rotagdao da placa a5 Em primeiro lugar recordemos que o movimento plano de uma placa ae Oe sempre pode ser substituido por uma translacao definida pelo movimento See Mee de um ponto de referéncia arbitrario A a rotaga de A ponto de referencia arbitrario A e por uma rotagao em torno de A No que concerne Aas velocidades a translacdo é caracterizada pela velo cidade v do ponto de referéncia A e a rotagiio pela velocidade angular Foto 155 Se os pneus deste carro w da placa que é independente da escolha de A Logo a velocidade v estao rolando sem deslizamento o centro do ponto A e a velocidade angular w da placa define completamente as instanténeo de rotagao do pneu é o ponto velocidades de todas as outras particulas da placa Fig 1518 Vamos ad de contato entre a estrada e 0 pneu Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 951 we jr yo Q Q VA V4 a b Figura 1518 mitir agora que v e w sao conhecidas e que ambas sdo diferentes de zero Se v 0 o ponto A é ele préprio o centro instantaneo de rotagio e se w 0 todas as particulas tém a mesma velocidade v Essas velocidades poderiam ser obtidas deixandose a placa girar com a velocidade angular w em torno de um ponto C localizado sobre a perpendicular a v a uma distancia r vw de A conforme mostrado na Fig 1518b Verificamos que a velocidade de A seria perpendicular a AC e que sua intensidade se riarw vww v Assim as velocidades de todas as outras particulas da placa seriam as mesmas definidas originalmente Portanto no que con cerne as velocidades a placa parece girar em torno do centro instanténeo C no instante considerado A posigao do centro instanténeo pode ser definida de duas outras maneiras Se as diregdes das velocidades de duas particulas A e B da placa sao conhecidas e se elas sao diferentes o centro instanténeo C é obtido tracgandose a perpendicular a v por A e a perpendicular a v por B e determinando o ponto em que essas duas linhas se interceptam Fig 1519a Se as velocidades v e v de duas particulas A e B sao perpendi culares A linha AB e se suas intensidades sao conhecidas o centro instan taneo pode ser encontrado interceptandose a linha AB com a linha que une as extremidades dos vetores v e v Fig 1519b Note que se v Vz fossem paralelas na Fig 1519a ou se v e v tivessem a mesma intensida C C iy i i VB Ls 7 Q AQ VA VA a b Figura 1519 952 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica de na Fig 1519b o centro instantaneo C estaria a uma distancia infinita e w seria zero todos os pontos da placa teriam a mesma velocidade Para observar como 0 conceito de centro instantaneo de rotagao pode ser aplicado vamos considerar novamente a barra da Segio 156 Tragan do a perpendicular a v a partir de A e a perpendicular a v por B Fig IC B 3 I 4 VB 1 0 jes A Figura 1520 1520 obtemos o centro instantaneo C Entio no instante considerado se a barra girasse em torno de C as velocidades de todas as particulas da barra seriam as mesmas Agora se a intensidade v da velocidade de A é conhecida a intensidade w da velocidade angular da barra pode ser obtida escrevendose Va Va AC lcos 6 A intensidade da velocidade de B pode entao ser obtida escrevendose Va vg BCw sen6d v tg 6 l cos 0 Note que apenas velocidades absolutas esto envolvidas no célculo O centro instanténeo de uma placa no movimento plano pode estar localizado sobre a placa ou fora dela Se estiver localizado sobre a placa a particula C coincidente com o centro instantaéneo em um dado instante t devera ter velocidade nula naquele instante No entanto devese obser var que o centro instantaneo de rotagio é valido apenas em um dado ins tante Assim a particula C da placa coincidente com o centro instantaneo no tempo t em geral nao coincidiré com o centro instanténeo no tempo t At embora sua velocidade seja zero no tempo t ela provavelmente sera diferente de zero no tempo t At Isso significa que em geral a particula C ndo possui aceleragdo nula e portanto as aceleragées das a varias particulas da placa ndo podem ser determinadas como se a placa estivesse girando em torno de C A medida que o movimento da placa continua 0 centro instantaéneo Nc Centrodo deslocase no espago Além disso a posigao do centro instanténeo sobre espacial a placa também varia Logo o centro instanténeo descreve uma curva Centrodo no espago denominada centrodo espacial e uma outra curva sobre a Gi placa denominada centrodo corporal Fig 1521 Podese demonstrar que a qualquer instante essas duas curvas sfio tangentes em C e que a Figura 1521 medida que a placa se desloca 0 centrodo corporal parece rolar sobre o centrodo espacial PROBLEMA RESOLVIDO 154 Solucione 0 Problema Resolvido 152 usando o método do centro instant4 neo de rotagio SOLUCAO a Velocidade angular da engrenagem Uma vez que a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior fixa o ponto de contato C da engrenagem B com a cremalheira nao tem velocidade logo 0 ponto C o centro instanta Vp vB neo de rotacao Escrevemos Dé i rg 250 mm v 12 ms0150 mw VA wmS8rads ra 150mm 1B SS b Velocidades No que concerne as velocidades todos os pontos da en D Sy grenagem parecem girar em torno do centro instantaneo de rotagio Cc Velocidade da cremalheira superior Relembrando que v v escrevemos Op 0p 1O Up 0250 m8 rads 2 ms Ve 2ms Velocidade do ponto D Comor 0150 m V2 02121 m escre vemos Up TpW Vp 02121 m8 rads 1697 ms Vp 1697 ms 2 45 PROBLEMA RESOLVIDO 155 Resolva 0 Problema Resolvido 153 usando o método do centro instantaneo de rotacao SOLUCAO A geometria da barra AB é conhecida e a velocidade de A é 1500 mms para a esquerda Para o corpo rigido AB a direcao da velocidade de A e a v4 1500 mms velocidade de B sao conhecidos Assim desenhamos perpendiculares a essas diregGes que interceptam em C 0 centro instantaneo Uma vez que a magni O tude de VA é também conhecida podemos encontrar w uma vez que 0 corpo vp rigido AB nesse instante movese de maneira circular em torno de C mm t A partir da geometria dada observamos que ZACB 60 e ZABC 20 a SY 30 50 Assim ZBAC 70 Usando a lei dos senos para A ABC A aa AC 750 BC oe sin50 sin60 sin 70 AC 6634 mm BC 8138 mm Vv 1500 Vv AC o4 Wy Cc 6634mm 226 rads V BO 8138mm226 rad4 1839 mms 184ms60N 4 METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N esta secio introduzimos o centro instantaneo de rotacdo no movimento plano Esse conceito nos fornece uma alternativa para resolver problemas envolvendo as velocidades dos varios pontos de um corpo em movimento plano Como seu nome sugere 0 centro instantdneo de rotagdo é 0 ponto em torno do qual podese con siderar que um corpo esteja girando em um dado instante ao determinar as velocidades dos pontos do corpo naquele instante A Para determinar o centro instantdneo de rotagdo de um corpo em movimento plano vocé deve usar um dos seguintes procedimentos 1 Sea velocidade v de um ponto A e a velocidade angular w do corpo sao ambas conhecidas Fig 1518 a Desenhe um esboco do corpo mostrando o ponto A sua velocidade v e a velocidade angular w do corpo b Partindo de A trace uma linha perpendicular a v do lado de v pelo qual a velo cidade é vista como tendo 0 mesmo sentido de w c Localize o centro instantdneo C sobre essa linha a uma distancia r v w do ponto A 2 Seas diregoes das velocidades de dois pontos A e B sdo conhecidas e sdo dife rentes Fig 1519a a Desenhe um esboco do corpo mostrando os pontos A e B e suas velocidades v e vz b Partindo de A eB trace linhas perpendiculares a v e v respectivamente O centro instantaneo C é localizado no ponto em que as duas linhas se interceptam c Sea velocidade de um dos pontos é conhecida vocé pode determinar a veloci dade angular do corpo Por exemplo se vocé conhece v pode escrever w vAC sendo AC a distancia do ponto A ao centro instantaneo C 3 Seas velocidades de dois pontos A e B sGo conhecidas e perpendiculares a linha AB Fig 1519b a Desenhe um esbogo do corpo mostrando os pontos A e B com suas velocidades v e v representadas em escala b Desenhe uma linha pelos pontos A e B e uma outra linha pelas pontas dos veto res v vz O centro instantaneo C fica no ponto onde as duas linhas se interceptam c Avelocidade angular do corpo é obtida dividindose v por AC ou v por BC d Seas velocidades v ev téma mesma intensidade as duas linhas tragadas na parte b nao se interceptam o centro instant4neo C esté a uma distancia infinita A velocidade angular w é nula e o corpo esta em translagdo B Uma vez que vocé tenha determinado o centro instantdneo e a velocidade an gular de um corpo podera determinar a velocidade v de qualquer ponto P do corpo da seguinte maneira 1 Desenhe um esbogo do corpo mostrando o ponto P o centro instantaneo de rotacao C e a velocidade angular w 2 Trace uma linha de P ao centro instantdneo C e meca ou calcule a distancia de P a C 3 Avelocidade v é um vetor perpendicular a linha PC de mesmo sentido que w e de intensidade v PC Finalmente lembrese de que o centro instantaneo de rotagdo pode ser usado apenas para determinar velocidades Ele néo pode ser usado para determinar aceleragées 1573 A viga AE de 25 m esta sendo baixada por dois guindastes No ins tante mostrado na figura sabese que a velocidade do ponto D é de 600 mms para baixo e que a velocidade do ponto E é de 900 mms para baixo Determine a 0 centro instantaneo de rotagao da viga b a velocidade do ponto A i of A B D E EN oe Sei eee 05 m 1m 075 aes N ms Figura P1573 1574 Um helicéptero deslocase horizontalmente na direco x a uma ve locidade de 200 kmh Sabendo que as laminas principais giram no sentido hordrio com uma velocidade angular de 180 rpm determine Figura P1574 o eixo instanténeo de rotagio das laminas principais 1575 Ocarretel de fita e sua estrutura de apoio sfio puxados para cima com uma velocidade v 750 mms Sabendo que o carretel de 80 mm de raio tem uma velocidade angular de 15 rads no sentido horario e que no instante mostrado na figura a espessura total da fita no car retel é de 20 mm determine a 0 centro instantaneo de rotagao do carretel b as velocidades dos pontos B e D ata f B Figura P1575 e P1576 1576 Ocarretel de fita e sua estrutura de apoio sfio puxados para cima com uma velocidade v 100 mms Sabendo que a extremidade B da fita é puxada para baixo com velocidade de 300 mms e que no instante mostrado na figura a espessura total da fita no carretel é de 20 mm determine a 0 centro instantaneo de rotacao do carretel b a velo cidade do ponto D do carretel 1577 Resolva o Problema Resolvido 152 considerando que a cremalheira inferior nao é fixa mas se desloca para a esquerda com velocidade de 06 ms Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 957 1578 Uma polia dupla esta presa a um bloco deslizante por um pino em A A polia interna de 30 mm de raio esté rigidamente presa a polia ex terna de raio de 60 mm Sabendo que cada uma das cordas é puxada com velocidade constante do modo mostrado na figura determine 200 mms a o centro instantaneo de rotagao da polia dupla b a velocidade do E bloco deslizante e c o ntimero de milfmetros de corda enrolada ou desenrolada sobre cada polia por segundo 1579 Resolva o Problema 1578 admitindo que a corda E seja puxada para cima a uma velocidade de 160 mms e que a corda F seja puxada para a baixo a uma velocidade de 200 mms Ae B D 1580 e 1581 Um tambor de 75 mm de raio esta rigidamente preso a um tam Q bor de 125 mm de raio como ilustra a figura Um dos tambores rola sem deslizar sobre a superficie mostrada e uma corda é enrolada ao redor do outro tambor Sabendo que a extremidade E da corda é puxada para a esquerda com uma velocidade de 150 mms determine a a veloci dade angular dos tambores b a velocidade do centro dos tambores e c o comprimento de corda enrolada ou desenrolada por segundo F mms Figura P1578 75 ai me i95 mm N A 75 mm eo B 8 E B q B z ns BE Np 4 Figura P1580 Figura P1581 1582 Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade angular da barra AB é de 15 rads no sentido hordario determine a a velocidade angular da barra BD b a velocidade do ponto médio da barra BD po A 02 m Js 025m a D E 02m 06 m Figura P1582 e P1583 1583 Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade do ponto D é 24 ms para cima determine a a velocidade angular da barra AB b a velocidade do ponto médio da barra BD 958 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 1584 A barra ABD é guiada por roletes em A e B que rolam em uma pis D ta horizontal e uma vertical Sabendo que no instante mostrado na B figura B 60 e a velocidade do rolete B é de 1000 mms para B 6 baixo determine a a velocidade angular da barra b a velocidade ai do ponto D A 400 mm 1585 Uma porta basculante é guiada por roletes em A e B que rolam em 400 mm uma pista horizontal e uma vertical Sabendo que quando 40 a velocidade do rolete B é de 05 ms para cima determine a a veloci Figura P1584 dade angular da porta D a velocidade da extremidade D da porta A 5 2 Ve o I 2m D Ele A NI L Figura P1585 B 240 mm 30 NN D 1586 Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade angular da 360 mm y barra BE é de 4 rads no sentido antihorario determine a a veloci dade angular da barra AD b a velocidade do colar D c a velocida de do ponto A 1587 Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade do colar D é de 16 ms para cima determine a a velocidade angular da barra Figura P1586 e P1587 AD b a velocidade do ponto B c a velocidade do ponto A 1588 A barra AB desliza livremente ao longo do chao e no plano inclinado Deduza por v a velocidade do ponto A obtenha uma expresso para a velocidade angular da barra b a velocidade da extremidade B a 2 l Figura P1588 P1589 1589 A barra AB desliza livremente ao longo do chao e no plano inclinado Sabendo que 6 20 B 50 1 06 m v 3 ms determine a velocidade angular da barra b a velocidade da extremidade B Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 959 1590 O bracgo ABD esta conectado por pinos ao colar em B e a manivela DE Sabendo que a velocidade do colar B é de 400 mms para cima determi ne a a velocidade angular do brago ABD e b a velocidade do ponto A 125 mm a 90 mm Vs Dy 300 mm 160 mm i 450 mm 200 mn 100 mm ee 320 mm A B 180 mm 175 mm V Figura P1590 e P1591 Js 150 mm L 60 1591 O brago ABD esta conectado por pinos ao colar em B e a manivela i DE Sabendo que a velocidade angular da manivela DE 6 de 12 rads 409 pan no sentido antihordrio determine a a velocidade angular do brago t ABD b a velocidade do ponto A E D 1592 Dois rasgos foram abertos na placa FG e a placa foi posicionada de tal Ey forma que 0s rasgos sao ajustados a dois pinos fixos A e B Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade angular da manivela Figura P1592 DE é de 6 rads no sentido hordrio determine a a velocidade do ponto F b a velocidade do ponto G 1593 Duas barras idénticas ABF e DBE estio conectadas por um pino em A B Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade no pon Kc E to D é de 250 mms para cima determine a velocidade a do ponto a 15 p E b do ponto F 15 1594 A barra AB é fixada ao colar em A e é equipada com uma pequena G F roda em B Sabendo que quando 6 60 a velocidade do colar é 150m 250 mms para cima determine a a velocidade angular da barra 9295 m AB b a velocidade do ponto B Figura P1593 cl 300 mm i oe oN 200 mm 7 7 7 SS J yo B Figura P1594 960 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 1595 Dois colares C e D movem ao longo da barra vertical mostrada na figu ra Sabendo que a velocidade do colar C é 660 mms para baixo deter mine a a velocidade do colar D b a velocidade angular na barra AB 1596 Duas barras de 500 mm estão conectados pelo pino D mostrado na figura Sabendo que B se desloca para a esquerda com uma veloci dade constante de 360 mms determine no instante mostrado a a velocidade angular de cada barra b a velocidade de E A D B E 200 200 150 150 250 Dimensões em mm 500 Figura P1596 1597 Duas barras AB e DE estão conectadas como mostra a figura Saben do que o ponto D deslocase para a esquerda a uma velocidade de 1 ms determine no instante mostrado a a velocidade angular de cada barra b a velocidade do ponto A 1598 Duas barras AB e DE estão conectadas como mostra a figura Sa bendo que o ponto B deslocase para baixo com uma velocidade de 15 ms determine no instante mostrado a a velocidade angular de cada barra e b a velocidade do ponto E A D E B 200 mm 200 mm 375 mm 225 mm 150 mm Figura P1598 1599 Descreva o centrodo espacial e o centrodo corporal da barra ABD do Problema 1584 Dica o centrodo corporal não precisa estar sobre uma parte física da barra 15100 Descreva o centrodo espacial e o centrodo corporal da engrenagem do Problema Resolvido 152 à medida que a engrenagem rola sobre a cremalheira horizontal fixa 15101 Usando o método da Seção 157 resolva o Problema 1562 15102 Usando o método da Seção 157 resolva o Problema 1564 15103 Usando o método da Seção 157 resolva o Problema 1565 15104 Usando o método da Seção 157 resolva o Problema 1570 320 mm 100 mm 100 mm 240 mm D C B A Figura P1595 A B D E 200 mm 200 mm 225 mm 200 mm 200 mm Figura P1597 BeerDinamica15indd 960 BeerDinamica15indd 960 050712 1542 050712 1542 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 961 158 Aceleracgao absoluta e aceleracdo relativa no movimento plano Vimos na Segio 155 que qualquer movimento plano pode ser substituido Pr por uma translacao definida pelo movimento de um ponto A de referén i cia arbitrario e por uma rotacao simulténea em torno de A Essa proprie El dade foi usada na Seco 156 para determinar a velocidade dos varios mado Pa pontos de uma placa mével A mesma propriedade sera agora usada para ye determinar a aceleragao dos pontos da placa oi I Primeiro recordemos que a aceleragio absoluta a de uma particula a da placa pode ser obtida a partir da f6rmula da aceleragio relativa dedu St zida na Secao 1112 agp a ABA 1521 Foto 156 Aengrenagem central gira em torno d d b ial A x de um eixo fixo e est conectada por pinos a trés onde o segundo membro representa uma soma vetorial A acelerago a Karras que esiéo em movimento plano geral corresponde 4 translacao da placa junto com A enquanto a aceleracao relativa a esté associada a rotagio da placa em torno de A e é medida em relacao aos eixos centrados em A e de orientagao fixa Recordemos da Seco 153 que a aceleracao relativa a pode ser decomposta em dois componentes um componente tangencial ag perpendicular a li nha AB e um componente normal a orientado para A Fig 1522 Representando por rg 0 vetor de posigao de B relativo aA e respectiva mente por wk e ak a velocidade angular e a aceleragio angular da placa em relacao aos eixos de orientacao fixa temos apa ak X rpyq dpa TO 1522 apan Y Ba 4Bn TO onde r é a distancia de A a B Substituindo na Eq 1521 as expresses obtidas para os componentes tangencial e normal de a podemos es crever também 2 az ay ak X rp rp 1521 y KC aio g g Q ay ay DA ak apa r a BA B apan VK aes ABA a ap é Pe B alg aah ay LT s aA Movimento plano Translagao com A Rotagao em torno de A Figura 1522 962 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica ap B B only aa YB I ye I g apyan b i KY p Qt NC js js ime a aa A fixo Movimento plano Translago com A Rotagao em torno de A Figura 1523 A I Como exemplo vamos considerar novamente a barra AB cujas extre 19M ay4 midades deslizam respectivamente ao longo de uma pista horizontal e e de uma vertical Fig 1523 Admitindo que a velocidade e a aceleracgio v de A sao conhecidas nos propomos a determinar a aceleragio a de aval B e a aceleracao angular da barra Escolhendo A como um ponto de a referéncia estabelecemos que 0 movimento dado é equivalente a uma translacao junto com A e a uma rotagdo em torno de A A aceleragio ab aan soluta de B deve ser igual soma aBAln ay ap A a Tt Ag 1523 apy a apy Aga 1528 BAt 3 o onde ag wn tem intensidade lo e orientada para A enquanto az tem intensidade la e é perpendicular a AB Os estudantes devem notar que nao ha um meio de afirmar se 0 componente tangencial a esta aA orientado para a esquerda ou para a direita e que portanto ambas as possiveis orientagdes para esse componente estio indicadas na Fig 6 Anan 1523 De modo andlogo ambos os sentidos possiveis para a esto indicados pois nao se sabe se o ponto B esta acelerado para cima ou apa para baixo c A Eq 1523 esta representada geometricamente na Fig 1524 aa Quatro poligonos vetoriais diferentes podem ser obtidos dependendo do sentido de a e da intensidade relativa de a e d Se tivermos de determinar a e a a partir de um desses diagramas devemos co 6 nhecer nfo apenas a e 6 mas também w Logo a velocidade angular da barra deve ser determinada separadamente por um dos métodos indicados nas SegGdes 156 e 157 Os valores de a e a podem entiao aB ser obtidos considerandose sucessivamente os componentes em x e Bia em y dos vetores mostrados na Fig 1524 No caso do poligono a por exemplo escrevemos componentes de x 0a lw sen 6la cos 0 d componentes de y a lw cos 0la sen 0 fe e resolvemos para a e a As duas incdégnitas também podem ser obtidas Figura 1524 por medigao direta sobre o polfgono vetorial Nesse caso devese ter 0 cuidado de desenhar primeiro os vetores conhecidos a e ag Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 963 Fica bastante evidente que a determinagao de aceleragées é consi deravelmente mais intrincada que a determinagao de velocidades Ainda no exemplo aqui considerado as extremidades A e B da barra estavam deslocandose ao longo de pistas retas e os diagramas desenhados eram relativamente simples Se A e B estivessem movendose ao longo de pis tas curvas teria sido necessdrio decompor as aceleragGes a a em com ponentes normal e tangencial e a solugao do problema teria envolvido seis vetores diferentes Quando um mecanismo consiste em diversas partes méveis conecta das por pinos a andlise do mecanismo pode ser efetuada considerando se cada parte como um corpo rigido atentando para o fato de que os pontos onde duas partes estéo conectadas devem ter a mesma velocidade absoluta ver Problema Resolvido 157 No caso de engrenamentos os componentes tangenciais da aceleragado dos dentes em contato siio iguais mas seus componentes normais sao diferentes 159 Andlise do movimento plano em termos de um pardmetro No caso de certos mecanismos é possivel expressar as coordenadasxey p fh de todos os pontos significativos do mecanismo por meio de expressdes analiticas simples contendo um tinico parémetro Em casos assim as ve zes é vantajoso determinar a velocidade absoluta e a aceleragao absoluta 0 dos varios pontos do mecanismo diretamente pois os componentes da y l velocidade e da aceleragao de um dado ponto podem ser obtidos por diferenciacio das coordenadas x e y daquele ponto Vamos considerar outra vez a barra AB cujas extremidades deslizam respectivamente em uma pista horizontal e em uma vertical Fig 1525 a8 As coordenadas x e yz das extremidades da barra podem ser expressas x4 la em termos do Angulo 6 que a barra faz com a vertical Figura 1525 xtlsen yl cos 0 1524 Diferenciando as Eqs 1524 duas vezes em relacao a t escrevemos v x 16 cos 0 a I sen 0 16 cos 0 Up H IO sen 0 ay Y I6 cos 016 sen 0 Relembrando que 6ae 6 a obtemos v lw cos 0 v lw sen 0 1525 alw sen6lacos a lw cos 0lasen 0 1526 Observamos que um sinal positivo para v ou a indica que a velocidade v ou a aceleracao a esta orientada para a direita um sinal positivo para U OU 4 indica que v ou a esta orientada para cima As Eqs 1525 podem ser usadas por exemplo para determinar v e w quando v e 6 so conhecidos Substituindo w na Eq 1526 podemos determinar a e a se a conhecido Bn R PROBLEMA RESOLVIDO 156 vy 12m O centro da engrenagem dupla do Problema Resolvido 152 tem uma 4 12 ms os 2 D velocidade de 12 ms para a direita e uma aceleracio de 3 ms para a GF a 3ms2 direita Relembrando que a cremalheira inferior é fixa determine a a 150 ene ry 100 mm aceleragio angular da engrenagem e b a aceleragio dos pontos B C e D 1 a Oo as da engrenagem ee eLLE SOLUCAO a Aceleragdo angular da engrenagem No Problema Resolvido 152 verificamos que x 1r6 ev rw Diferenciando esta tltima em relagio ao tempo obtemos a ra 0 o 12 ms 0150 mw 8 rads a1a 3 ms 0150 ma a 20 rads a ak 20 radsk b Aceleragées O movimento de rolamento da engrenagem é decom posto em uma translacao junto com A e em uma rotagao em torno de A apyat ae 4 apan 2D oy Dé A a a Jo p e aa a4 apyan fixo A 4A Cc agian MA a4 acjah Translagao Rotacio Movimento de rolamento A ania Aceleragdo do ponto B Somando vetorialmente as aceleragées corres apyan pondentes a translagao e a rotagao obtemos a a a tag a Aga Apa a akxr Or 3 msi20 rads k x 0100 mj8 rads 0100 mj 3 msi 2 ms i 640 ms j az 812 ms GB 520 acian Aceleragdo do ponto C a social ag a Agcy a FAK XI WTo a4 3 msi 20 rads k x 0150 mj 8 rads0150 mj 3 msi3 msi 960 nsj ac 960 ms Aceleragdo do ponto D ay a tay a ak Xr 0r ap t 3 msi 20 rads k x 0150 mi 8 rads 0150 mi a 3 msi 3 msj 960 msi 3A apyan ap 1295 ms 2 134 PROBLEMA RESOLVIDO 157 aA 1 200 mm r 75 mm 5B C A manivela AB do sistema bielamanivela de motor do Problema 1540 tem X l uma velocidade angular constante no sentido hordrio de 2000 rpm Para a Al p posigéo mostrada da manivela determine a aceleragio angular da barra de conexio BD e a aceleracio do ponto D D SOLUCAO AA B Primeiro determinamos o Angulo B e wUsando a lei dos senos r75cem X Ba 200 75mm Le et ang B 1395 ACW sin40 sinB J 9 oan 20002 Lm f 224 909 sacs min 60 s 1 rev p v AB 75mm2094 rads 15705 mms 15705 ms Aye 7605A v 15705 ms SS 50 B Observamos que v deve ser horizontal Expressando vp vg Upp bp 15705 mms5395 Y Yop 15705 mms v 12400mms opB sin5395 sin 50 sin 7605 DIB v 12400 Upp 10 5 Den a 300 620 rads l 2D 9 Movimento da manivela AB Uma vez que a manivela gira em torno 40 de A com uma constante w temos a 0 A aceleragao de B é assim em oY i app diregaio a A e tem uma magnitude I 75 i apyp dp rwxp F900 2094 rads 3289 mk i ag 3289 ms 2 40 awa Movimento dabarradeconexaoBD sp 620 rads B 1395 1395 B B BD Opp QpBn app ag G 1395 Dp D G D ag ap ap ag app Movimento plano Translacao Rotagao O movimento de BD é decomposto em uma translagio com B e uma rotacao em torno de B A aceleragio relativa ap é decomposta em componentes normais e tangenciais appn BD 3p oo 620 rads 7688m4 app 7688ms2 Ss 1395 200 dpe BD agp 00 app 02 agp App 02 agp 7605 Ainda que apg seja perpendicular a BD seu sentido nao é conhecido Notando que a aceleragiio ap deve ser horizontal escrevemos Ap ay App Ag App Apyp ap 3289 40 7688 Sx 1395 02agp 2 7605 Igualando os componentes x e y obtemos as seguintes equagées escalares 3x componentes d 3289 cos 40 7688 cos 1395 02a sen 1395 thy componentes 0 3289 sen 40 7688 sen 1395 02a cos 1395 Resolvendo as equagées de forma simultanea temos que a 9940 rads e a 2790 m Os sinais positivos indi cam que os sentidos mostrados no poligono vetorial so corretos Escrevemos App 9937rads 4 ap 2787mss 4 60 mm a PROBLEMA RESOLVIDO 158 A articulagéo ABDE movimentase no plano vertical Sabendo que na posicaio 280 mm 340 mm mostrada na figura a manivela AB tem uma velocidade constante de 20 rads a no sentido antihorario determine as velocidades angulares e as aceleragdes an sa E gulares da barra de conexiio BD e da manivela DE 160mm 240 mm 340 mm SOLUCAO Este problema poderia ser resolvido pelo método usado no Problema Resolvido 157 Neste caso no entanto seré usado 0 método vetorial Os vetores de posigaio Yg Vp Npjz SA0 escolhidos do modo mostrado no esbogo y Velocidades Como o movimento de cada elemento da articulacao esta B p contido no plano da figura temos DB Ip Wap Wapk 20 radsk Mgp gpk ODE prk B onde k é um vetor unitario que aponta para fora do papel Escrevemos agora A x Vp Vg Vop rp 160i 280j oprk X rp agk X rg ppk X rpp rp 340i 340 wppk X 340i 340j 20k X 160i 280j wapk X 240i 60j tpyp 240i 60j Dividindo cada termo por 20 obtemos 17j 17ep pi 160j 2801 120p 30gpi Igualando os coeficientes dos vetores unitérios i e j obtemos as duas equa Goes escalares seguintes l7apr 280 3gp Opp 2933 radsk pr 1129 radsk q Aceleragées Notando que no instante considerado a manivela AB tem uma velocidade angular constante escrevemos Gap 0 App Appk App Apek 1 ap ag app Expressando r em m temos ry 0161 028 rp 034i 0345 Yrpp 0241 006 Cada termo da Eq 1 é avaliado separadamente ap Apk X rp Opp apk X 034i 034 1129034i 034 0340 034eyp4 43331 4333 ay aagk X rv 4r 0 20 16i 028 64i 119j 2 App AgpKk X Lp Cpl pvp 3 Agpk X 0241 006j 2933024i 006j 0240r4nj 006ci 20641 5161j Substituindo na Eq 1 e igualando os coeficientes de i e j obtemos 034apr 006agp 3137 034epp 024ap 12028 Qpp 645 radsk pr 809 radsk q A RESOLUCAO DE PROBLEMAS sta secio foi dedicada 4 determinagio das aceleragées dos pontos de um corpo rigido em mo vimento plano Como vocé fez anteriormente para as velocidades ira considerar novamente o movimento plano de um corpo rigido como a soma de dois movimentos a saber wma translagdo e uma rotado Para resolver um problema envolvendo aceleragdes no movimento plano vocé deve percorrer os seguintes passos 1 Determine a velocidade angular do corpo Para encontrar w vocé pode proceder de duas maneiras a Considerar 0 movimento do corpo como a soma de uma translagéo e de uma rotagao como vocé fez na Seco 156 ou entao b Usar o centro instantaneo de rotagao do corpo como na Segao 157 Entretanto atente para o fato de que vocé ndo pode usar o centro instantaneo para determinar aceleragées 2 Comece desenhando uma equacdo de diagramas para usar em sua resolucao Essa equagao envolvera os seguintes diagramas Fig 1544 a Diagrama do movimento plano Desenhe um esboco do corpo incluindo todas as dimensGes bem como a velocidade angular w Mostre a aceleragao angular com sua intensidade e sentido caso vocé os conhega Mostre também os pontos para os quais vocé conhega ou procure as aceleragées indicando tudo o que souber a respeito delas b Diagrama de translagdo Selecione um ponto de referéncia A do qual vocé conhega a direcao intensidade ou um componente da aceleracao a Desenhe um segundo diagrama mos trando 0 corpo em translagao com cada ponto tendo a mesma aceleragio que o ponto A c Diagrama de rotagdo Considerando o ponto A como um ponto de referéncia fixo desenhe um terceiro diagrama mostrando o corpo em rotagao em torno de A Indique os compo nentes normal e tangencial das aceleragées relativas de outros pontos tais como os componentes ag4 Agi da aceleragaio do ponto B em relagiio ao ponto A 3 Escreva a formula da aceleragdo relativa ag ay t aga OU ag ay Apyan Apyas Os problemas resolvidos ilustram trés maneiras diferentes de usar essa equagiio vetorial a Se a é dado ou pode ser facilmente determinado vocé pode usar essa equagdo para determinar as aceleracGes dos varios pontos do corpo Problema Resolvido 156 continua b Se a nao pode ser determinado facilmente selecione para o ponto B um ponto do qual vocé conhega a diregiio a intensidade ou um componente da aceleracado a e desenhe um diagrama vetorial da equacao Partindo do mesmo ponto desenhe todos os componentes de acele racao conhecidos seguindo o padrao de pontaacauda para cada membro da equagao Complete o diagrama desenhando os dois vetores remanescentes nos sentidos apropriados e de forma que as duas somas de vetores terminem em um ponto comum As intensidades dos dois vetores remanescentes podem ser encontradas graficamente ou analitica mente Em geral uma resolugio analitica requerera a solugaéo de duas equagées simultaneas Pro blema Resolvido 157 Entretanto considerando em primeiro lugar os componentes dos varios vetores em uma direcéo perpendicular a um dos vetores desconhecidos vocé sera capaz de obter uma equaao com uma tnica incdgnita Um dos vetores obtidos pelo método que acabamos de descrever sera ag a partir do qual vocé pode calcular a Uma vez determinado a a equacao vetorial pode ser usada para estabelecer a aceleracio de qualquer outro ponto do corpo c Uma abordagem totalmente vetorial pode ser usada para resolver a equacao veto rial Isso esta ilustrado no Problema Resolvido 158 4 Aandlise do movimento plano em termos de um pardmetro completa esta licdo Esse método deve ser usado somente se for possivel expressar as coordenadas x e y de todos os pontos significativos do corpo em termos de um tinico parametro Secao 159 Diferenciando duas vezes as coordenadas x e y de um dado ponto em relagiio a t vocé podera determinar os com ponentes retangulares da velocidade absoluta e da aceleragao absoluta daquele ponto 15105 Uma barra de 900 mm repousa em uma mesa horizontal A forga P aplicada como mostrado na figura produz as seguintes aceleragGes a 36 ms para a direita a 6 rads no sentido antihorario se visto de cima Determine a aceleracao a do ponto G b do ponto B B G 045 Pp i 045 in A Figura P15105 e P15106 15106 No Problema 15105 determine o ponto da barra que a nao tem aceleracio b tem uma aceleragio de 24 ms para a direita 15107 Uma viga de ago de 5 m esta sendo baixada por meio de dois cabos que se desenrolam de guindastes 4 mesma velocidade Assim que a viga aproximase do solo os operadores dos guindastes aplicam freios para desacelerar a descida No instante considerado a desaceleragiao do cabo preso em A é de 6 ms enquanto a do cabo preso em B é de A BAC 10 ms Determine a a aceleragio angular da viga e b a aceleragao 15108 A aceleragio do ponto C é de 05 ms para baixo e a aceleracao an 45m gular da viga é de 08 rads no sentido antihorario Sabendo que no 05 m instante considerado a velocidade angular da viga é nula determine Figura P15107 e P15108 a aceleragio de cada cabo 15109 e 15110 A barra BDE esta presa a duas hastes AB e CD Sabendo que no instante mostrado na figura a haste AB gira com uma velo cidade angular constante de 3 rads no sentido hordrio determine a aceleragio a do ponto D e b do ponto E 40 mm 40 mm A L A L T we B T ae B 150 mm 150 mm c D C re D C ee 150 mm 150 mm E fo E 180 mm 180 mm Figura P15109 Figura P15110 970 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 15111 Um automével deslocase para a esquerda a uma velocidade constante de 80 kmh Sabendo que o diametro da roda é de 500 mm determi ne a aceleragiio a do ponto B b do ponto C c do ponto D B D 30 mm 6 500 mm C Figura P15111 15112 Um carro C é suportado por um rodizio A e um cilindro B cada of um com 50 mm de diametro Sabendo que no instante mostrado na A e figura o carro tem uma aceleragio de 24 ms e uma velocidade de 15 ms ambas orientadas para a esquerda determine a a acelera Figura P15112 Gao do rodizio e do cilindro b as aceleragdes dos centros do rodizio e do cilindro 15113 O movimento do cilindro de 75 mm de raio é controlado pela corda mostrada na figura Sabendo que a extremidade E da corda tem ve locidade de 300 mms e aceleracao de 480 mms ambas orientadas E para cima determine a aceleracao a do ponto A b do ponto B B 15114 O movimento do cilindro de 75 mm de raio é controlado pela corda mostrada na figura Sabendo que a extremidade E da corda tem velocidade de 300 mms e aceleracaio de 480 mms ambas orien tadas para cima determine as aceleracgées dos pontos C e D do cilindro 75 mm 15115 e15116 Um tambor de 75 mm de raio esta preso rigidamente a y um tambor de 125 mm de raio como mostra a figura Um dos tambo D res rola sem deslizar sobre a superficie mostrada e uma corda é enro lada ao redor do outro tambor Sabendo que no instante mostrado a Figura P15113 e P15114 extremidade D da corda tem velocidade de 200 mms e aceleragao de 750 mms ambas orientadas para a esquerda determine as acelera des dos pontos A B e C dos tambores 125 mm Q 75 mm ce 125 mm C 75 4 ce 8 Cc 8 D A A q a SE Figura P15115 Figura P15116 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 971 15117 Otambor de 150 mm de raio gira sem escorregar sobre uma correia que se move para a esquerda com uma velocidade constante de 300 mms No instante em que a velocidade e a aceleragao do centro D do tambor esto indicadas determine as aceleragées A B e C do tambor A 750 mms 150 mm D B 900 mms Cc 300 mms 7 A Figura P15117 15118 O volante de 500 mm de raio esté rigidamente preso a um eixo de 599 mm 40 mm de raio que pode rolar ao longo de trilhos paralelos Sabendo que no instante mostrado na figura 0 centro do eixo tem velocidade de 32 mms e aceleragao de 10 mms ambas orientadas para baixo e para a esquerda determine a aceleracio a do ponto A b do ponto B 20 B 15119 No sistema de engrenagens planetdrias mostrado na figura 0 raio das Figura P15118 engrenagens A B C e D é 100 mm 0 raio da engrenagem externa E 300 mm Sabendo que a engrenagem A tem uma velocidade angular constante de 150 rpm de sentido horario e que a engrenagem externa E é fixa determine a intensidade da aceleracao do dente da engrena Le 6 w gem D que faz contato com a a engrenagem A b a engrenagem E of x ce NS 15120 O disco mostrado na figura tem uma velocidade angular constante Se wr de 500 rpm no sentido antihordrio Sabendo que a barra BD tem o 3 250 mm de comprimento determine a aceleragao do colar D quando iy 7x a 0 90 b 8 180 aly S i 0 oS YURSSS B E 0mm Figura P15119 mo Lo D 2 VY J I 150 mm sh x S y Figura P15120 ae 50 mm x a i 15121 Em um compressor de dois cilindros mostrado na figura estéo conec A tadas as barras BD e BE cada uma com o comprimento de 190 mm e a manivela AB que gira em torno do ponto fixo A com velocidade Figura P15121 972 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica angular constante de 1500 rpm no sentido horario Determine a ace leracgao de cada pistéio quando 6 0 15122 O brago AB tem uma velocidade angular constante de 16 rads no sentido antihordrio No instante em que 6 0 determine a acelera cao a do colar D b do ponto médio G da barra BD D 250 mm wee oe 150 mm 75 mm L 9 Ale Figura P15122 P15123 e P15124 Pp 15123 O brago AB tem uma velocidade angular constante de 16 rads no sentido antihordrio No instante em que 6 90 determine a acele Py racao a do colar D b do ponto médio G da barra BD 15124 O brago AB tem uma velocidade angular constante de 16 rads no sentido antihordrio No instante em que 6 60 determine a acele 150 mm ragao do colar D 15125 Sabendo que a manivela AB gira em torno do ponto A com uma velo cidade angular constante de 900 rpm no sentido horario determine a A I 9 Ke aceleragao do pistaio P quando 60 es 15126 Sabendo que a manivela AB gira em torno do ponto A com uma velo cidade angular constante de 900 rpm no sentido horario determine a 50 mm a aceleragao do pistaio P quando 120 Figura P15125 e P15126 15127 Sabendo que no instante mostrado a barra AB tem aceleragio angular nula e velocidade angular de 15 rads no sentido antihordrio determi ne a a aceleracao angular do brago DE b a aceleracao do ponto D 20 mm125 mm125 mm100 mm a A A E B G D 75 mm rT E oT l 90 mm Figura P15127 e P15128 yo t D 90 mm 15128 Sabendo que no instante mostrado na figura a barra AB tem acele 6 racao angular nula e velocidade angular de 15 rads no sentido anti 90 mm B hordrio determine a a aceleragdo angular do brago BD b a acele leha C racaio do ponto G 15129 Sabendo que no instante mostrado na figura a barra AB tem uma ve 225 mm 225 mm locidade angular constante de 6 rads no sentido horario determine Figura P15129 e P15130 a aceleragao do ponto D Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 973 15130 Sabendo que no instante mostrado na figura a barra AB tem uma l velocidade angular constante de 6 rads no sentido horario determine B E a aaceleragaio angular do membro BDE b a aceleracao do ponto E Cc l 15131 Sabendo que no instante mostrado na figura a barra AB tem uma aceleracgéo angular nula e uma velocidade angular constante de no 1 A D sentido hordrio determine a a aceleragdo angular do brago DE b a aceleracio do ponto D Figura P15131 e P15132 15132 No instante mostrado na figura a barra AB tem uma aceleragao an gular nula e uma velocidade angular constante de 8 rads no sentido hordrio Sabendo que 03 m determine a aceleragao do ponto médio C do membro BD 15133 e 15134 Sabendo que nos instantes mostrados nas figuras a barra AB tem uma velocidade angular constante de 4 rads no sentido hora rio determine a aceleracao angular a da barra BD b da barra DE A fe 300 mm 175 mm 0m B A 500 mm 200 mm 75 oe 1 EEE D E 400 mm 400 mm Figura P15134 e P15136 Figura P15133 e P15135 15135 e 15136 Sabendo que nos instantes mostrados nas figuras a barra AB tem uma velocidade angular constante de 4 rads e uma acelera 2 sos cao angular de 2 rads ambas no sentido horario determine a acele ragao angular a da barra BD b da barra DE usando a aproximagao do vetor como foi feito no Problema Resolvido 158 15137 Representando por r 0 vetor de posigdo do ponto A de uma placa ri gida que esta em movimento plano mostre que a 0 vetor de posigao r do centro instantaneo de rotacao é OXv Yo Ya VA onde w é a velocidade angular da placa e v é a velocidade do ponto A A b a aceleragio do centro de rotagao instantaneo é nula se e so r4 ca mente se Qa O y ay vat X va Yo C onde a ak é a aceleracao angular da placa Figura P15137 974 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 15138 As rodas fixadas as extremidades da barra AB rola ao longo das superfi cies mostradas na figura Usando 0 método da Segio 159 deduza uma expressio para a velocidade angular da barra em termos de vg 61 e B A d B B 9 D fo F B VB Figura P15138 e P15139 15139 As rodas fixadas as extremidades da barra AB rolam ao longo das su SOS 6 perficies mostradas na figura Usando 0 método da Segiio 159 e sa 7 5 bendo que a aceleracio da roda B é zero deduza uma expressiio para Nn a velocidade angular da barra em termos de vz 61 e B wr 15140 O disco de acionamento do mecanismo de cruzeta escocesa mostrado b na figura tem uma velocidade angular w e uma aceleragao angular a ambas no sentido antihorério Usando 0 método da Secao 159 Figura P15140 deduza expressées para a velocidade e a aceleracao do ponto B 15141 A barra AB deslocase sobre um rolete em C enquanto a extremidade A se move para a direita com uma velocidade constante v Usando o método da Secao 159 deduza expresses para a velocidade angular e para a aceleracao angular da barra A B l C b NA x Figura P15141 e P15142 15142 A barra AB deslocase sobre um rolete em C enquanto a extremidade A se move para a direita com uma velocidade constante v Usando o método da Segio 159 deduza expressées para os componentes hori zontal e vertical da velocidade do ponto B 15143 Um disco de raio r rola para a direita com uma velocidade constan te v Representando por Po ponto do aro em contato com o solo em t 0 deduza expressdes para os componentes horizontal e vertical da velocidade do ponto P em um instante qualquer t Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 975 15144 No instante mostrado na figura a barra AB gira com uma velocidade angular constante w e uma aceleracéo angular a ambas no sentido hordrio Usando 0 método da Segao 159 deduza expressdes para a velocidade e a aceleragio do ponto C D lela A Ce a 4 i Sa l B l l 0 Figura P15144 e P15145 ac e B 15145 No instante mostrado na figura a barra AB gira com uma velocidade angular constante w e uma aceleracéo angular a ambas no sentido 5 EB hordrio Usando 0 método da Segao 159 deduza expressées para os componentes horizontal e vertical da velocidade e da aceleragaio do i ponto D D 15146 A posigio da barra AB é controlada por um disco de raio r que esta preso no balancim CD Sabendo que o balancim se desloca vertical Figura P15146 mente para cima com velocidade constante v deduza uma expressio para a aceleragio angular da barra AB y 15147 No Problema 15146 deduza uma expressio para a aceleracio angu lar da barra AB 15148 Uma roda de raio r rola sem escorregar ao longo do interior de um cilindro fixo de raio R com uma velocidade angular constante w Re presentando por P o ponto da roda em contato com o cilindro em t Za 0 deduza expresses para os componentes horizontal e vertical da iN aw W velocidade de P em qualquer instante t A curva descrita pelo ponto goon 2 We Sy P é uma hipocicloide N2 Hy 4 x 15149 No Problema 15148 mostre que a trajetéria de P é uma linha reta vertical quando r R2 Deduza expressGes para a velocidade e ace Figura P15148 leragio de P correspondentes em qualquer instante t 1510 Taxa de variacdo de um vetor em relagdo a um sistema de referéncia rotativo c eI ae e all m1 Vimos na Segio 1110 que a taxa de variagéo de um vetor é a mesma em re aad i relagaéo a um sistema de referéncia fixo e em relacéo a um sistema de Lene referéncia em translacao Nesta seco serao consideradas as taxas de va 2 riagdo de um vetor Q em relacdo a um sistema de referéncia fixoeaum Ff si sistema de referéncia rotativo Vocé aprendera a determinar a taxa de a g variacao de Q em relacao a um sistema de referéncia quando Q estiver definido por seus componentes em outro sistema de referéncia t ae Lembrese de que a escolha de um sistema de referéncia fixo é arbitraria Qualquer Foto 157 O mecanismo de Genebra é sistema de referéncia pode ser designado como fixo todos os outros serao entéo con usado para converter movimento rotativo siderados méveis em movimento intermitente 976 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Y Considere dois sistemas de referéncia centrados em O um sistema de A referéncia fixo OXYZ e um sistema de referéncia Oxyz que gira em torno y do eixo fixo OA seja 0 a velocidade angular do sistema de referéncia Oxyz Q em um dado instante Fig 1526 Considere agora uma fungiio vetorial j es Qt representada pelo vetor Q ligado a O com a variacao do tempo t tan 5 to a diregao como a intensidade de Q variam Uma vez que a variagao de O x Q vista de modo diferente por um observador que usa OXYZ como um sistema de referéncia e por outro que utiliza Oxyz devemos esperar que a K taxa de variagao de Q dependa do sistema de referéncia escolhido Logo a z taxa de variagio de Q em relagio ao sistema de referéncia fixo OXYZ sera Zz representada por Qoxyz a taxa de variacaio de Q em relacio ao sistema de referéncia rotativo Oxyz ser4 representada por Qo Propomos de Figura 1526 terminar a relagdo existente entre essas duas taxas de variacio Vamos em primeiro lugar decompor o vetor Q em componentes ao longo dos eixos x y e z do sistema de referéncia rotativo Representando por i j e k os vetores unitdrios correspondentes escrevemos Q Qi Qj Ok 1527 Diferenciando 1527 em relacao at e considerando os vetores unitdrios i je k como fixos obtemos a taxa de variagao de Q em relagao ao sistema de referéncia rotativo Oxyz Qhoxyz Qui Qj Ok 1528 Para obter a taxa de variagao de Q em relagdo ao sistema de refe réncia fixo OXYZ devemos considerar os vetores unitdrios i j e k como variaveis ao diferenciar 1527 Portanto escrevemos di dj dk 7 OW j Ok O O 1529 Qoxz QO Qj Q Ory Ou Q dt Retomando 1528 observamos que a soma dos trés primeiros termos do segundo membro de 1529 representa a taxa de variacao Qoxy Por outro lado observamos que a taxa de variacgdo Qoxyz se reduziria aos trés ultimos termos em 1529 caso o vetor Q estivesse fixo no siste ma de referéncia Oxyz pois assim Qoxy seja nula Mas nesse caso Qoxyz representaria a velocidade de uma particula localizada na ponta de Q e pertencente a um corpo rigidamente ligado ao sistema de re feréncia Oxyz Logo os trés tltimos termos em 1529 representam a velocidade daquela particula como o sistema de referéncia Oxyz tem uma velocidade angular em relagaio a OXYZ no instante considerado escrevemos usando a Eq 155 ofi 05 0Maxe 1530 dt Y dt dt 1530 Considerando as Eqs 1528 e 1530 na Eq 1529 obtemos a relagao fundamental Qioxz Qoxyz Q x Q 1531 Concluimos que a taxa de variagao do vetor Q em relagao a um sistema de referéncia fixo OXYZ é composta de duas partes a primeira represen ta a taxa de variacio de Q em relacao ao sistema de referéncia rotativo Oxyz a segunda parte X Q é induzida pela rotagdo do sistema de referéncia Oxyz Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 977 O uso da relaco 1531 simplifica a determinacao da taxa de va riagado de um vetor Q em relacdo a um sistema de referéncia fixo OXYZ quando o vetor Q é definido por seus componentes ao longo de eixos de um sistema de referéncia rotativo Oxyz ja que essa relacaio nao requer oO célculo em separado das derivadas dos vetores unitdérios que definem a orientacao do sistema de referéncia rotativo 1511 Movimento plano de uma particula em relagdo a um sistema de referéncia rotativo Aceleragdo de Coriolis Considere dois sistemas de referéncia ambos centrados em O e ambos no plano da figura um sistema de referéncia fixo OXY e um sistema de referén cia rotativo Oxy Fig 1527 Seja P uma particula que se move no plano da figura O vetor de posigio r de P 6 o mesmo em ambos os sistemas de refe P réncia mas sua taxa de variagaio depende do sistema de referéncia escolhido A velocidade absoluta v da particula é definida como a velocidade Y observada do sistema de referéncia fixo OXY e é igual a taxa de variacao Foxy de r em relagiio aquele sistema de referéncia Podemos porém 0 X expressar vp em termos da taxa de variagao Toy observada a partir do sistema de referéncia rotativo se fizermos uso da Eq 1531 Represen gura 1527 tando por a velocidade angular do sistema de referéncia Oxy em rela cio a OXY no instante considerado escrevemos Vp roxy QXxrt Tony 1532 Mas 1oy define a velocidade da particula P relativa ao sistema de re feréncia rotativo Oxy Representando de modo abreviado o sistema de y referéncia rotativo por expressamos a velocidade ox de P relativa ao ves Moxy sistema de referéncia rotativo como Vp Imaginemos que uma placa rigi Ore da tenha sido fixada ao sistema de referéncia rotativo Entao pg repre N senta a velocidade da particula P ao longo da trajetoria que ela descreve P sobre a placa Fig 1528 e o termo X r em 1532 representa a velo y cidade v do ponto P sobre a placa ou sistema de referéncia rotativo que coincide com P no instante considerado Logo temos Vp Ver Vpyx 1533 Ne x onde v velocidade absoluta da particula P Fi ae gura 1528 v velocidade do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P Vpg Velocidade de P relativa ao sistema de referéncia mével F A aceleracio absoluta a da particula é definida como a taxa de varia cao de v em relagao ao sistema de referéncia fixo OXY Calculando as ta xas de variacao relativamente a OXY dos termos em 1532 escrevemos ad apwQOxXrQxrt Turow 1534 onde todas as derivadas sao definidas em relagaio a OXY exceto quando indicago em contrario Em referéncia a Eq 1531 notamos que o tlti mo termo em 1534 pode ser expresso como qt ou oxy Q x 1 oxy 978 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica Por outro lado r representa a velocidade v e pode ser substitufdo pelo segundo membro da Eq 1532 Apés completarmos essas duas substi tuigdes na Eq 1534 escrevemos ap Q X r Q x OX xr 20 X Poy Foxy 1535 Com relagio a expressiio 158 obtida na Segao 153 para a aceleracao de uma particula em um corpo rigido que gira em torno de um eixo fixo ve rificamos que a soma dos dois primeiros termos representa a aceleracao a do ponto P do sistema de referéncia rotativo que coincide com P no instante considerado Por outro lado o tiltimo termo define a aceleracao a da particula P relativa ao sistema de referéncia rotativo Se nao fosse pelo terceiro termo que nao foi levado em conta no caso uma relagao semelhante a 1533 poderia ter sido escrita para as aceleragées e ap poderia ter sido expressa como a soma de ap apg Todavia é claro que tal relagao seria incorreta e que devemos incluir 0 termo adicional Esse termo que sera representado por a é denominado aceleragdo comple mentar ou aceleragdao de Coriolis em homenagem ao matemiatico fran cés de Coriolis 17921843 Escrevemos ap ap apg a 1536 onde a aceleragio absoluta da particula P a aceleragao do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P Apg aceleracao de P relativa ao sistema de referéncia movel a 20 X row 2Q X veg aceleragio complementar ou de Coriolis Como 0 ponto P movese em um circulo em torno da origem O sua aceleragao ap tem em geral dois componentes um componente a tangente ao circulo e um componente ap orientado para O De modo andlogo a aceleragao ap tem em geral dois componentes um compo Y vyis nente a tangente a trajetoria descrita por P sobre a placa rotativa e um a 29 X vg T componente a orientado paia o centro de curvatura da trajetéria No tamos ainda que como o vetor Q é perpendicular ao plano do movimento e portanto a vp a intensidade da aceleraciaio de Coriolis a 20 X vp é ly igual a 2Qv e sua diregio pode ser obtida girandose 90 0 vetor vp no sentido de rotacao do sistema de referéncia mével Fig 1529 A aceleracao 7 i de Coriolis se reduz a zero quando 2 ou vp sao zero Oo Si Figura 1529 E importante observar a diferenca entre a Eq 1536 e a Eq 1521 da Secio 158 Quando escrevemos ap a Agy 1521 na Segao 158 estavamos expressando a aceleragio absoluta do ponto B como a soma de sua aceleragio a relativamente a um sistema de referéncia em translagdao e da aceleragao a de um ponto daquele sistema de referéncia Agora tentamos relacionar a aceleragéo absoluta do ponto P da particula a sua aceleragao ag relativa a um sistema de referéncia rotativo e a aceleracio ap do ponto P daquele sistema de referéncia que coincide com P A Eq 1536 mostra que pelo fato de o sistema de referéncia ser rotativo 6 necessario incluir um termo adicional representando a aceleragio de Coriolis a Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 979 O exemplo seguinte ajudaré na compreensio do significado fisico da B aceleracao de Coriolis Considere um colar P que é posto para deslizar a uma velocidade relativa constante u ao longo de uma barra OB que gira um u a uma velocidade angular constante w em torno de O Fig 1530a De NN acordo com a Eq 1536 a aceleraco absoluta de P pode ser obtida a P pela soma vetorial da aceleraco do ponto A da barra coincidente com P da aceleragao relativa a5 de P em relagao a barra e da aceleracado ag rer de Coriolis a Como a velocidade angular w da barra é constante a se r reduz ao seu componente normal a de intensidade rw e como u é w constante a aceleracao relativa apo 6 nula De acordo com a definigaio x dada anteriormente a aceleragao de Coriolis é um vetor perpendicular O a a OB de intensidade 2wu e orientado pelo modo mostrado na figura Logo a aceleracao do colar P consiste dos dois vetores mostrados na Fig 1530a Note que o resultado obtido pode ser verificado aplicandose a relagao 1144 vy r Arjo Para uma melhor compreensio do significado da aceleragaio de Co i riolis consideremos a velocidade absoluta de P nos instantes t e t At vy re fi Fig 1530b A velocidade no instante t pode ser decomposta em seus componentes u e v a velocidade no instante t At pode ser decom ay Ar posta em seus componentes u e v Desenhando esses componentes p 7 a partir da mesma origem Fig 1530c verificamos que a variagao da A velocidade durante 9 intervalo At pode ser representada pela soma de r trés vetores RR TT e TTO vetor TT mede a variagao na diregao da velocidade v e o quociente TTAt representaa aceleragao a quando At tende a zero Verificamos que a direcao de TT é aquela de a quando At b tende a zero e que w R Tr MO a Him ap Aim vagy 7 ee re a bod VA O vetor RR mede a variagao na direcdo de u devido a rotagao da barra o ro Ao vetor TT mede a variagao da intensidade de v decorrente do movimen Ao 0 to de P sobre a barra Os vetores RR e TT resultam do efeito combinado da velocidade relativa de P e da rotagao da barra eles desapareceriam se 0 qualquer um desses dois movimentos cessasse E facil verificar queasoma Figura 1530 desses dois vetores define a aceleracao de Coriolis Sua diregao é aquela de a quando At tende a zero e como RR u AO e TT v4 v4 r Aro ro o Ar verificamos que a é igual a jn FR LT tim 4 98 4 AP Jim Ar At Jim UAT Oa uwo ou 2w0u As férmulas 1533 e 1536 podem ser usadas para analisar 0 mo vimento de mecanismos que contém partes que deslizam umas sobre as outras Elas tornam possivel por exemplo relacionar os movimentos ab soluto e relativo de pinos e colares deslizantes ver Problemas Resolvidos 159 e 1510 O conceito de aceleracao de Coriolis também é muito util no estudo de projéteis de longo alcance e de outros corpos cujos movi mentos sao muito afetados pela rotagao da Terra Conforme salientado na Secio 122 um sistema de eixos ligado 4 Terra nao constitui verda deiramente um sistema de referéncia newtoniano de fato tal sistema de eixos deve ser considerado como rotativo Assim as f6rmulas deduzidas nesta secio facilitaraéo o estudo do movimento de corpos em relagio a eixos ligados a Terra Disco S PROBLEMA RESOLVIDO 159 R50mm ee P O mecanismo de Genebra como mostra a figura é usado em muitos instrumen A tos de contagem e em outras aplicagdes onde um movimento rotatério intermi V pb 135 tente é necessdrio O disco D gira a uma velocidade angular constante de 10 rads no sentido antihorario Um pino é preso ao disco D e desliza ao longo de B uma das varias ranhuras cortadas no disco S E desejavel que a velocidade angu lar do disco S seja nula nos instantes em que o pino entra e sai de cada ranhura no caso de quatro ranhuras isso aconteceré se a distancia entre os centros dos Disco D discos for V2 R J2R l No instante em que 150 determine a a velocidade angular do disco S e b a velocidade do pino P relativa ao disco S SOLUCAO Resolvemos 0 triangulo OPB que corresponde a posigaio 150 Usando a Disco S P Me D lei dos cossenos escrevemos 7 Ys R rR 0 2RIcos300551R r0742R371mm r b ay Da lei dos senos BI senB sen 30 sen 30 or at5 Senp Sen senBS gp 494 v R r 0742 Como o pino P esta preso ao disco D e como o disco D gira em torno do ponto B a intensidade da velocidade absoluta de P é v Rw 50 mm10 rads 500 mms v 500 mms 2 60 Consideremos agora 0 movimento do pino P ao longo da ranhura no disco S Representando por P o ponto do disco que coincide com P no instante considerado e escolhendo um sistema de referéncia rotativo S ligado ao dis co S escrevemos Vp Vp Vive Observando que v é perpendicular ao raio OP e que vg esta dirigido ao Vpr longo da ranhura desenhamos 0 triangulo de velocidades correspondente a equagio anterior Do triaéngulo calculamos Vp 7 90 42 4 30 176 Up Up sen y 500 mms sen 176 30 VPS vp 1512 mms MN 42 4 B 424 Upe Up COS Y 500 mms cos 176 Vps Velie A77 mms a 424 Como v é perpendicular ao raio OP escrevemos Up 1TW 1512 mms 371 mmw 408 rads q PROBLEMA RESOLVIDO 1510 No mecanismo de Genebra do Problema Resolvido 159 0 disco D gira com velocidade angular constante de 10 rads de intensidade no sen tido antihordrio No instante em que 150 determine a aceleracgéo angular do disco S SOLUCAO Reportandonos ao Problema Resolvido 159 obtemos a velocidade angular do sistema de referéncia S ligado ao disco S e a velocidade do pino relativa a S Disco S P Disco D w 408 rads R B424 vz 477 mms 424 r t Como o pino P movese em relagiio ao sistema de referéncia rotativo S 2 ob 1507 escrevemos AB SYN B Aap Ap T Ap Ta 1 Cada termo dessa equagio vetorial é tratado separadamente Aceleragao absoluta a Como o disco D gira com velocidade angular constante a aceleraciio absoluta a é orientada para B Temos dp Ra 500 mm10 rads 5000 mms a 5000 mms G30 Aceleragdo a do ponto coincidente P A aceleracio ap do ponto P do sistema de referéncia S coincidente com P no instante considerado é decomposta em componentes normal e tangencial Recordemos do Proble ma Resolvido 159 que r 371 mm dp rz 371 mm408 rads 618 mms a 618 mms 7 424 a ra87la ap 37la K 424 Aceleracao relativa a Como o pino P movese em uma ranhura reta do disco S a aceleragio relativa a precisa ser paralela 4 ranhura ou seja sua diregaio deve ser 4 424 Aceleragdo de Coriolis a Girando a velocidade relativa v em 90 no sentido de we obtemos a diregao da aceleragaio de Coriolis 424 Escrevemos ap 618 mms d 2Wp 2408 rads477 mms 3890 mms Pn a 3890 mm2 a 3890 mms 42 4 94 VERY Vf 424 Rescrevemos a Eq 1 e substituimos as aceleragdes encontradas anterior 494 ap 5000 mm2 mente a 30 ap ap ap Hays a wo 5000 6 30 618 7 42 4 371a 42 4 ap 37las 424 dy ef 42 4 3890 W 42 4 Igualando os componentes de acordo com a diregio perpendicular 4 ranhura 5000 cos 176 37 la 3890 Qs ae 233 rads A RESOLUGAO DE PROBLEMAS N esta secao vocé estudou a taxa de variacaio de um vetor em relacdo a um sistema de referén cia rotativo e em seguida aplicou seu conhecimento a analise do movimento plano de uma particula em relagao a um sistema de referéncia rotativo 1 Taxa de variagdo de um vetor em relacdo a um sistema de referéncia fixo e em relagdo a um sistema de referéncia rotativo Representando por Qoxyz a taxa de variagiio de um vetor Q em relagao a um sistema de referéncia fixo OXYZ e por Qoxy Sua taxa de variagao em relagao a um sistema de referéncia rotativo Oxyz obtivemos a relacao fundamental Qorz low A xX Q 1531 onde Q é a velocidade angular do sistema de referéncia rotativo Essa relagao fundamental sera aplicada agora a solucao de problemas bidimensionais 2 Movimento plano de uma particula em relagdo a um sistema de referéncia ro tativo Usando a relagaéo fundamental anterior e representando por o sistema de referéncia rotativo obtivemos as seguintes expressGes para a velocidade e para a aceleragao da particula P Vp Vp Vp 1533 ap ap apg a 1536 Nessas equagoes a Osubscrito P referese ao movimento absoluto da particula P ou seja ao seu movimen to em relacado a um sistema de referéncia fixo OXY b O subscrito P referese ao movimento do ponto P do sistema de referéncia rotativo que coincide com P no instante considerado c Osubscrito P referese ao movimento da particula P relativo ao sistema de referéncia rotativo d Otermo a representa a aceleragdo de Coriolis do ponto P Sua intensidade é de 20Qwvz sua orientacao é encontrada girandose 90 vz no sentido de rotagao do sistema de referéncia Vocé deve ter em mente que a aceleragio de Coriolis precisa ser levada em consideragaéo sempre que uma parte do mecanismo que esta sendo analisado movese em relagdo a uma outra parte que esta girando Os problemas que encontraré aqui envolvem colares que deslizam sobre barras rota tivas langas de guindastes que giram em um plano vertical etc Ao resolver um problema envolvendo um sistema de referéncia rotativo vocé verificara que é con veniente desenhar diagramas vetoriais representando as Eqs 1533 e 1536 respectivamente e usar esses diagramas para obter tanto uma solucao analitica como uma solugio grafica 15150 e 15151 Duas barras rotativas esto conectadas por um bloco des lizante P A barra presa em A gira com velocidade angular constante w Para os dados fornecidos determine para a posicao mostrada nas figuras a a velocidade angular da barra presa em B b a velocidade relativa do bloco deslizante P com relagao a barra na qual ele desliza 15150 b200mm 6 rads 15151 b300mm 10 rads D 2 VY a i o C B Figura P15150 e P15152 IS a 15152e15153 Duasb d bloco d e uas barras rotativas estao conectadas por um bloco des lizante P A velocidade v do bloco deslizante relativa 4 barra em que Figura P15151 e P15153 ele desliza tem velocidade constante e esté orientada para fora Para os dados fornecidos determine a velocidade angular de cada barra para a posigo mostrada nas figuras 15152 b300 mm v 480 mms 15153 b 200 mm v 200 mms D A Pf i VP rE 500 mm J c B Figura P15154 e P15155 15154 e 15155 O pino P esta preso ao colar mostrado na figura 0 movi mento do pino é guiado por um rasgo cortado na barra BD e pelo colar que desliza sobre a barra AE Sabendo que no instante considerado as barras giram no sentido horério com velocidades angulares constan tes determine a velocidade do pino P para os dados fornecidos 15154 w 4 rads w 15 rads 15155 w 35 rads Wg 24 rads 984 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica A D 15156e 15157 Duas barras AE e BD passam por meio de furos usinados ie em um bloco hexagonal Os furos sfio usinados em planos diferentes ay para que as barras nfo se toquem Sabendo que no instante consi B 6 i derado a barra AE gira no sentido antihoraério com uma velocidade 60 J E angular constante w determine para os dados fornecidos a velocida i de relativa do bloco com respeito a cada barra 15156 a90 b 6 60 I 15157 45 x 15158 Quatro pinos deslizam em quatro ranhuras separadas cortadas em B uma placa circular como mostrado na figura Quando a placa esté em repouso cada pino tem uma velocidade orientada conforme a figura Figura P15156 e P15157 com a mesma intensidade constante u Se cada pino mantém a mes ma velocidade relativamente a placa quando ela gira em torno de O a uma velocidade angular constante w no sentido antihordrio deter mine a aceleragio de cada pino P i Je 15159 Resolva o Problema 15158 admitindo que a placa gire em torno de O com velocidade angular constante w no sentido horario L lor Py i 15160 No instante mostrado na figura o comprimento da langa AB esta sen 7 A Al do diminuido a uma taxa constante de 02 ms e a langa esté sendo P baixada a uma taxa constante de 008 rads Determine a a velocida Py de do ponto B b a aceleragao do ponto B u Figura P15158 6m OB a Y 6 30 A f 1 4 A J a AA ED O Figura P15160 e P15161 y 125 mm 15161 No instante mostrado na figura o comprimento da langa AB esta sen do aumentado a uma taxa constante de 02 ms e a langa esta sendo F baixada a uma taxa constante de 008 rads Determine a a velocida ZK C de do ponto B b a aceleragao do ponto B x 300 iam 15162 e15163 Umaluva BC é soldada a um brago que gira em torno de A com velocidade angular constante w Na posigo mostrada na figu E ra a barra DF esta sendo movida para a esquerda a uma velocidade B 5 constante u 400 mms em relagao a luva Para a velocidade angular D Sip 300 mm w fornecida determine a aceleragiio a do ponto D b do ponto da 6 ee barra DF que coincide com E 15162 w 8radsi Figura P15162 e P15163 15163 w 3 radsj Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 985 15164 Acabine de um elevador de mina movese para baixo com uma veloci dade constante de 12 ms Determine a intensidade e a orientagao da D aceleracao de Coriolis da cabine se 0 elevador estiver localizado a na ft linha do equador b a 40 de latitude norte c a 40 de latitude sul o 100 mm 15165 Um trené com propulsio por foguete é testado em uma pista reta construfda ao longo de um meridiano Sabendo que a pista est loca A B Cc lizada a 40 de latitude norte determine a aceleracéo de Coriolis do treno quando ele se move para 0 norte a uma velocidade de 900 kmh a 75 mm 200 mm 15166 O movimento do bocal D é controlado pelo brago AB No instante D mostrado na figura o braco esta girando no sentido antihordrio a a uma taxa constante w 24 rads e a porgiio BC esta sendo estendida vA fl a uma taxa constante uw 250 mms em relacao ao braco Para cada O 100 mm um dos sistemas mostrados determine a aceleragao do bocal D B 15167 Resolva o Problema 15166 admitindo que a diregao da velocidade re A lativa u seja invertida de modo que a porgiio BD esteja sendo retrafda b Figura P15166 15168 e 15169 Umacorrente é enrolada em torno de duas engrenagens de 40 mm de raio que podem girar livremente em relacaio ao bracgo u AB de 320 mm A corrente movese em torno do brago AB no sen a eeemees mame saunesmmmee tido hordrio a uma taxa constante de 80 mms relativamente ao bra i il ii co Sabendo que na posigio mostrada na figura o brago AB gira no iim 3 sentido horario em torno de A a uma taxa constante w 075 rads gfe SSE ESBEE TS BEETS SE DETETS EOI determine a aceleragao de cada um dos elos indicados da corrente 4 15168 Elosle2 160 mm160 mm 15169 Elos3e4 Figura P15168 e P15169 15170 A barra AB de comprimento R gira em torno A com velocidade angu lar constante w no sentido hordrio Ao mesmo tempo a barra BD de comprimento r gira em torno de B com velocidade angular constante w no sentido antihordrio com relagao da barra AB Mostre que se 2w a aceleragio do ponto D passa por meio do ponto A Além disso mostre que o resultado é independente de R re 0 D ee 1 Le Figura P15170 e P15171 15171 A barra AB de comprimento R 300 mm gira em torno A com velo cidade angular constante w de 5 rads no sentido horério Ao mesmo tempo a barra BD de comprimento r 160 mm gira em torno de B com velocidade angular constante w 3 rads no sentido anti horério com relagaéo da barra AB Sabendo que 60 determine para a posigao mostrada na figura a aceleragdo do ponto D 986 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 15172 O colar P desliza para fora a uma velocidade relativa constante u ao longo da barra AB que gira no sentido antihordrio com uma veloci dade angular constante de 20 rpm Sabendo que r 250 mm quando 6 0e que o colar atinge B quando 6 90 determine a intensidade da aceleragio do colar P no momento exato em que ele atinge B B a oy P seer mni Figura P15172 15173 O pino P desliza em uma ranhura circular cortada na placa mostrada na figura com uma velocidade relativa constante u 90 mms Sa bendo que no instante mostrado na figura a placa gira no sentido hordrio em torno de A a uma taxa constante w 3 rads determine a aceleragio do pino se ele estiver localizado a no ponto A b no ponto B c no ponto C Cc P a mm pee A QO Figura P15173 e P15174 15174 Opino P desliza em uma ranhura circular cortada na placa mostrada na figura com uma velocidade relativa constante u 90 mms Sabendo que no instante mostrado a velocidade angular w da placa é de 3 rads no sentido horario e que ela decresce a uma taxa de 5 rads determi ne a aceleragao do pino se ele estiver localizado a no ponto A b no ponto B c no ponto C 15175 e15176 Sabendo que no instante mostrado na figura a barra ar ticulada em B gira no sentido antihorério com velocidade angular constante w de 6 rads determine a velocidade angular e a acelera cao angular da barra articulada em A 04 m 04 m P Ale lade oY YJ D f D Figura P15175 Figura P15176 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 987 15177 No instante mostrado na figura a barra BC tem uma velocidade an gular de 3 rads e uma aceleracio de 2 rads ambas no sentido anti horario Determine a aceleracao angular da placa 4 sa mm B 75 mm y iz 6 D C L100 mm150 mm Figura P15177 e P15178 15178 No instante mostrado na figura a barra BC tem uma velocidade an gular de 3 rads e uma aceleragiio de 2 rads ambas no sentido hora rio Determine a aceleragao angular da placa 15179 O mecanismo de Genebra mostrado na figura é usado para atribuir um movimento rotat6rio intermitente ao disco S O disco D gira no sentido antihordrio com uma velocidade angular constante w de 8 rads Um pino P é preso ao disco D e pode deslizar em uma das seis ranhuras igualmente espacadas no disco S E desejavel que a veloci dade angular do disco S seja nula nos instantes em que o pino entra e sai de cada uma das seis ranhuras isso acontecera se a distancia entre os centros dos discos e os raios dos discos estiver relacionada do modo indicado Determine a velocidade angular e a aceleragio angular do disco S no instante em que 150 Rs V3Rp Disco S P Rp 40 mm 4a 125 mm Disco D quando 120 BiG 1 2R Figura P15179 250 mm 15180 No Problema 15179 determine a velocidade e a aceleragdo angula EQnll res do disco S no instante em que 135 15181 O disco mostrado na figura gira no sentido horario com uma veloci dade angular constante de 12 rads No instante mostrado na figura determine a a velocidade angular e a aceleragio angular da barra D BD b a velocidade e a aceleracgéo do ponto da barra coincidente Figura P15181 com E 988 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica 15182 A barra AB passa por meio de um colar que esta soldado na ligacio DE Sabendo que no instante mostrado o bloco A se desloca para a direita em uma velocidade constante de 2 ms determine a a ve locidade angular da barra AB b a velocidade relativa ao colar do ponto da barra em contato com o colar c a aceleragio do ponto da barra em contato com o colar Dica a barra AB e a ligagao DE tem o mesmo w eo mesmo a B GP 150 mm Zo Rey 2 Figura P15182 15183 Resolva o Problema 15182 considerando que o bloco A se desloca para a esquerda com velocidade constante de 2 ms 1512 Movimento em torno de um ponto fixo Na Secao 153 o movimento de um corpo rigido forgado a girar em torno de um eixo fixo foi considerado O caso mais geral do movimento de um corpo rigido que tem um ponto fixo O seré examinado agora Bi Primeiramente seré demonstrado que o deslocamento mais geral de um corpo rigido com um ponto fixo O é equivalente 4 uma rotagdo do cor Bo po em torno de um eixo por meio de O Em vez de considerar 0 préprio 7 Qo J corpo rigido podemos destacar uma esfera de centro O do corpo e ana aM lisar o movimento dessa esfera Naturalmente 0 movimento da esfera caracteriza por completo o movimento do corpo dado Como trés pontos definem a posigao de um sdélido no espago o centro O e dois pontos A CA e B sobre a superficie da esfera definirao a sua posicao e portanto a posigao do corpo Considere os pontos A e B como caracterizando a a posiao da esfera em um instante e A e B os mesmos pontos caracteri zando a posigao da esfera em um instante posterior Fig 1531a Como a esfera é rigida os comprimentos dos arcos de grande circulo AB e AB precisam ser os mesmos mas exceto por esse requisito as posigdes de A A B e B sao arbitrarias Propomonos a demonstrar que os pon tos A e B podem ser levados respectivamente de A e B para A e B A a por uma rotacao tinica da esfera em torno de um eixo s Por conveniéncia e sem perda de generalidade selecionamos 0 pon Sp to B de modo que sua posicao inicial coincida com a posicao final de A d logo B A Fig 1531b Desenhamos os arcos de grande circulo AB B A AB e os arcos bissetores respectivamente de AA e AB Seja C 0 ponto de intersegao desses dois tiltimos arcos completamos a construcao desenhando AC AC e BC Conforme mencionado anteriormente por b causa da rigidez da esfera AB AB Como C é equidistante de A A Figura 1531 e B por construgao temos também que AC AC BC Este resultado é conhecido como teorema de Euler Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 989 Resultado disso é que os triangulos esféricos ACA e BCB sao con gruentes e que os 4ngulos ACA e BCB sao iguais Representado por 6 o valor comum desses Angulos concluimos que a esfera pode ser levada de sua posigio inicial para sua posigéo final com uma rotagio tinica da esfera de um Angulo 6 em torno do eixo OC Por conseguinte o movimento durante um intervalo de tempo At de um corpo rigido com um ponto fixo O pode ser considerado como uma rotacao de A em torno de um certo eixo Desenhando ao longo desse r eixo um vetor de intensidade AAt e fazendo At tender a zero obtemos no limite o eixo instantdneo de rotagdo e a velocidade angular w do corpo a no instante considerado Fig 1532 A velocidade de uma particula P do corpo pode ser obtida como na Segio 153 efetuandose o produto vetorial de w e do vetor de posigao r da particula Figura 1532 v a oXr 1537 A aceleracao da particula é obtida por diferenciagao de 1537 com rela cao at Assim como na Secao 153 obtemos aaxXrtao X a X r 1538 onde a aceleragao angular a é definida como sendo a derivada fe 1539 edt 1539 da velocidade angular w No caso do movimento de um corpo rigido com um ponto fixo a dire cio de w e do eixo instantaneo de rotagao varia de instante para instante Portanto a aceleracio angular a reflete a variacao na diregao de w assim como sua variacao de intensidade e em geral ndo estd orientada ao longo do eixo instanténeo de rotagéo Embora as particulas do corpo localizadas sobre o eixo instantaneo de rotacaio tenham velocidade nula no instante considerado elas nado tém aceleracao nula E ainda as aceleragdes das varias particulas do corpo ndo podem ser determinadas como se 0 corpo estivesse girando permanentemente em torno do eixo instantaneo Relembrando a definigao da velocidade de uma particula com vetor de posigao r notamos que a acelerago angular a conforme expresso na Eq 1539 representa a velocidade da ponta do vetor w Essa proprieda de pode ser util para a determinagao da aceleragao angular de um corpo rigido Por exemplo resulta que o vetor a é tangente 4 curva descrita no a nta do vetor w Cone espacial espago pela po Devese notar que 0 vetor se move no interior do corpo assim Cone corporal como no espaco Logo ele gera dois cones denominados respectivamen te cone corporal e cone espacial Fig 1533 Podese mostrar que em um instante dado qualquer os dois cones sao tangentes ao longo do eixo o instanténeo de rotagao e que 4 medida que 0 corpo se desloca 0 cone corporal parece rolar sobre o cone espacial Antes de concluir nossa anélise do movimento de um corpo rigido O com um ponto fixo devemos demonstrar que as velocidades angulares Figura 1533 sao de fato vetores Conforme indicado na Segao 23 algumas grandezas Lembrese de que um cone é por definigao uma superficie gerada por uma linha reta que passa por um ponto fixo Em geral os cones considerados aqui nao serdo cones circulares 990 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica como as rotagées finitas de um corpo rigido tém intensidade e diregio aN mas no obedecem 4 lei de adigao do paralelogramo essas grandezas nao Ry podem ser consideradas como vetores Em contraste conforme se de Ws monstrara a seguir as velocidades angulares assim como as rotacées in a Ay finitesimais obedecem a lei do paralelogramo e portanto séo realmente f Wr ei grandezas vetoriais a a a aS eo 5 i op a Maal A 7 s a c Foto 158 Quando a escada gira em a a torno de sua base fixa sua velocidade o angular pode ser obtida pela adigdo das velocidades angulares correspondentes a rotagdes simulténeas em torno de dois eixos diferentes B O Ws O Os a b Figura 1534 Considere um corpo rigido com um ponto fixo O que em um ins tante dado gira simultaneamente em torno dos eixos OA e OB com ve locidades angulares w e w Fig 1534a Sabemos que no instante con siderado esse movimento deve ser equivalente a uma rotagao tinica de velocidade angular w Propomonos a demonstrar que W 1540 ou seja que a velocidade angular resultante pode ser obtida pela adico de w e w segundo a lei do paralelogramo Fig 1534 Considere a particula P do corpo definida pelo vetor de posigao r Representando por v v e v a velocidade de P quando o corpo gira respectivamente em torno de OA apenas em torno de OB apenas e em torno de ambos os eixos simultaneamente escrevemos voxXr Vv Xr Vo Xr 1541 Mas 0 carater vetorial das velocidades lineares esta bem estabelecido pois elas representam derivadas de vetores posigao Temos portanto Vv Vo onde o sinal de adigao indica adigao vetorial Substituindo 1541 escre vemos OXr0Xrtxr Xr Xr onde o sinal de adigao ainda indica adicao vetorial Como a relacao obtida vale para um r arbitrério concluimos que 1540 deve ser verdadeira Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 991 1513 Movimento geral y O movimento mais geral de um corpo rigido no espaco sera agora consi derado Sejam A e B duas particulas do corpo Relembrando a partir da Segao 1112 que a velocidade de B em relagio ao sistema de referéncia fixo OXYZ pode ser expressa como Y YBA B vB Va Veja 1542 A onde v 6a velocidade de B relativa a um sistema de referéncia AXYZ a ligado a A e de orientacao fixa Fig 1535 Uma vez que A esta fixo nesse ig sistema de referéncia o movimento do corpo relativo a AXYZ é 0 mo vimento de um corpo com um ponto fixo A velocidade relativa v pode ry entio ser obtida da Eq 1537 apés a troca de r pelo vetor de posigio rj de B em relagio a A Substituindo v na Eq 1542 escrevemos O va Va t X rpya 1543 X onde w é a velocidade angular do corpo no instante considerado Z A aceleragio de B é obtida por um raciocinio semelhante Primeiro escrevemos Figura 1535 ag a apa e retomando a Eq 1538 agp ay axXx VBA xX Xx rp 1544 onde a é a aceleragio angular do corpo no instante considerado As Eqs 1543 e 1544 mostram que 0 movimento mais geral de um corpo rigido em um instante dado qualquer é equivalente a4 soma de uma translagao na qual todas as particulas do corpo tém a mesma velocidade e aceleragéo de uma particula de referéncia A e de um movimento no qual a particula A é considerada fixa Resolvendo 1543 e 1544 para v e a mostrase facilmente que o movimento do corpo em relaco a um sistema de referéncia ligado a B seria caracterizado pelos mesmos vetores w e a do seu movimento rela tivo a AXYZ Logo a velocidade angular e a aceleragao angular de um corpo rigido em um dado instante so independentes da escolha do ponto de referéncia Por outro lado devese ter em mente que esteja O siste ma de referéncia ligado a A ou a B ele precisa manter uma orientagao fixa isto 6 ele deve permanecer paralelo ao sistema de referéncia fixo OXYZ durante todo movimento do corpo rigido Em muitos problemas sera mais conveniente usar um sistema de referéncia mével que possa gi A partir da Secao 1512 lembrese de que em geral os vetores w e a nao sio colineares e que a aceleracio das particulas do corpo em seu movimento relativo ao sistema de refe réncia AXYZ nao pode ser obtida como se 0 corpo estivesse girando permanentemente em torno do eixo instantaneo que passa por A Y Za P PROBLEMA RESOLVIDO 1511 EG SEE 7 an GE O guindaste mostrado na figura gira com uma velocidade angular con GE stante de 030 rads Simultaneamente a langa esta sendo erguida ca MP 6 30 com uma velocidade angular constante de 050 rads em relacao a cab o va x ine Sabendo que o comprimento da langa OP é 1 12 m determine a a velocidade angular da langa b a aceleragaio angular da langa c a ve Goo locidade v da ponta da langa e d a aceleragio a da ponta da langa Z SOLUCAO Y a Velocidade angular da langa Adicionando a velocidade angular w y da cabine e a velocidade angular w da langa em relagao 4 cabine obtemos a 1039 m velocidade angular w da lana no instante considerado p g Wi 030 radsj 050 radsk 030 gE SE 6m b Aceleragado angular da langa A aceleracio angular da langa é 4 fo obtida por diferenciagio de w Como o vetor é constante em intensidade Le e direcado temos Of Xx Say A 00 0 050k onde a taxa de variagio deve ser calculada em relacdo ao sistema Z de referéncia fixo OXYZ Entretanto 6 mais conveniente usar um sis tema de referéncia Oxyz ligado 4 cabine e girando com ela pois o ve tor também gira com a cabine e portanto tem taxa de variagéo nula em relagio a esse sistema de referéncia Usando a Eq 1531 com Q w e O escrevemos QNoxyz Qory QX Q soxrz aoryz 1 X s soxyz 0 030 radsj X 050 radsk a 015 radsi c Velocidade da ponta da langa Observando que o vetor de posigao do ponto P é r 1039 mi 6 mj e usando a expresso encontrada para Y na parte a escrevemos 1039 m i j k ak voaXr 0 030 rads 050 a A 1039 m 6m 0 030 gGE IE 6m v 3 msi 520 msj 312 msk Age JE a d Aceleragado da ponta da langa Relembrando que v w X r es OZ X crevemos Gs a 015i 050k aaXrtoaxXxXraxXrtaxv i ij k ij k a015 0 O 0 030 050 1039 6 O 3 520 312 090k 0941 260i 150j 090k a 354 msi 150 msj 180 msk 4 y B PROBLEMA RESOLVIDO 1512 C D eee ofgl A barra AB de comprimento de 175 mm esta presa ao disco por uma junta ar 50 mm 75 mm ticulada e ao colar B por um grampo em U O disco gira no plano yz a uma taxa BR constante w 12 rads ao passo que o colar esta livre para deslizar ao longo el Z 7 da barra horizontal CD Para a posicgio 6 0 determine a a velocidade do o I colar e b a velocidade angular da barra A SOLUCAO y a Velocidade do colar Como ponto A esta preso ao disco e como o 150 mm colar B deslocase em uma direcio paralela ao eixo x temos 50 mm a B Vy X ry 121 X 5k 600j Vp vpi wi B Representando por a velocidade angular da barra escrevemos mm vo v600jto 0 150 75 50 z VA vpi 600j 50a 75ei 150M 50j 75a 150k 12 Igualando os coeficientes dos vetores unitarios obtemos ry 500 mmk rg 150 mmi 75 mmj Uz 50 75 1 rpjq 150 mmi 75 mmj 50 mmk 600 50w 150m 2 0 75w 150 3 Claramente as trés equacées obtidas nio podem ser resolvidas para as quatro incégnitas v e Uma equagao adicional refletindo 0 tipo de conexao em B sera obtida na parte b Todavia uma vez que a velocidade de B nao de pende dessa conexiio devemos ser capazes de obter v por eliminagao das outras incdgnitas das Eqs 1 2 e 3 Notemos que pode ser eliminada multipli candose a Eq 2 por 3 a Eq 3 por 2 e somandoas e que podem ser eliminadas de modo semelhante Multiplicando as Eqs 1 2 e 3 por 6 38e2 respectivamente e somandoas verificamos que todos os componentes de sio eliminados resultando em uma equagao que pode se resolvida para v 6v 1800 0 v 300 Vv 300mmsi y b Velocidade angular da barra AB Observamos que a velocidade angular nao pode ser determinada somente a partir das Eqs 1 2 e 3 C Ben Uma equacio adicional é obtida considerandose a restrigaio imposta pelo af grampo em B i 75cm A conexio colargrampo em B permite a rotagio de AB em torno da barra CD e também em torno de um eixo perpendicular ao plano que con L 17 x tém AB e CD Ela impede a rotacaio de AB em torno do eixo EB que é per A i 50 mm oe x Toe pendicular a CD e pertence ao plano contendo AB e CD Assim a projegao de w sobre rzz deve ser nula e escrevemos 7 j 50 k x EB my mm OT pz 0 i j k 75j 50k 0 75 500 0 4 Resolvendo as Eqs de 1 até 4 simultaneamente obtemos bp 300 369 1846 w 277 369 radsi 1846 radsj 277 radsk Poderfamos ter observado também que a diregdo de EB é aquela do produto veto rial triplo rgi x Mg X pa escrito Fpc X Kp X Vp 0 Essa formulacio seria particularmente ttil caso a barra CD estivesse inclinada rar assim como fazer o movimento de translagao O uso de tais sistemas de referéncia méveis seré discutido nas Secdes 1514 e 1515 N esta seco vocé iniciou o estudo da cinemdtica de corpos rigidos em trés dimensées Primei ramente estudou 0 movimento de um corpo rigido em torno de um ponto fixo e em seguida o movimento geral de um corpo rigido A Movimento de um corpo rigido em torno de um ponto fixo Para analisar 0 movi mento de um ponto B de um corpo rigido que gira em torno de um ponto fixo O vocé pode preci sar seguir alguns ou todos os seguintes passos 1 Determine o vetor de posicdo r que liga o ponto fixo O ao ponto B 2 Determine a velocidade angular w do corpo em relacio a um sistema de referéncia fixo Frequentemente a velocidade angular w sera obtida pela adigéo de dois componentes de velocidades angulares w e w Problema Resolvido 1511 3 Calcule a velocidade de B usando a equacao voxXr 1537 Normalmente seu calculo ficaré mais facil se vocé expressar 0 produto vetorial como um deter minante 4 Determine a aceleragao angular a do corpo A acelerago angular a representa a taxa de variagao oxyz do vetor w em relagdo a um sistema de referéncia fixo OXYZ e reflete tanto uma variagao da intensidade como da diregao da velocidade angular Entretanto ao calcular a vocé pode achar conveniente calcular em primeiro lugar a taxa de variago ory de em relagaio aum sistema de referéncia rotativo Oxyz de sua escolha e usar a Eq 1531 da ligao anterior para obter a Vocé escrevera oxz oy Q X onde Q é a velocidade angular do sistema de referéncia rotativo Oxyz Problema Resolvido 1511 5 Calcule a aceleracdo de B usando a equagio aaxXrto X a X r 1538 Observe que o produto vetorial w X r representa a velocidade do ponto B e foi calculado no passo 3 Além disso 0 calculo do primeiro produto vetorial em 1538 ficara mais facil se vocé expressar esse produto sob a forma de determinante Lembrese de que como no caso do movi mento plano de um corpo rigido 0 eixo instantaneo de rotagdo ndo pode ser usado para determi nar as aceleragées B Movimento geral de um corpo rigido O movimento geral de um corpo rigido pode ser considerado como a soma de uma translagdo e de uma rotagdo Tenha em mente o seguinte a Na parte de translagao do movimento todos os pontos do corpo tém a mesma velocidade v e a mesma aceleragdo a do ponto A do corpo que foi selecionado como ponto de referéncia b Na parte de rotagao do movimento o mesmo ponto de referéncia A é admitido como um ponto fixo 1 Para determinar a velocidade do ponto B do corpo rigido quando vocé conhece a velocidade do ponto de referéncia A e a velocidade angular w do corpo vocé deve simplesmente adicionar v a velocidade v X rz de B em sua rotagao em torno de A va Va X YVpya 1543 Como indicado anteriormente o cdlculo do produto vetorial normalmente ficaré facilitado se vocé expressar esse produto sob a forma de determinante A Eq 1543 também pode ser usada para determinar a intensidade de v quando sua diregio é conhecida mesmo que w seja desconhecida Embora as trés equagées escalares corresponden tes sejam linearmente dependentes e os componentes de w permanegam indeterminados esses componentes podem ser eliminados e v pode ser encontrado usandose uma combinagao linear apropriada das trés equagées Problema Resolvido 1512 parte a Alternativamente vocé pode atribuir um valor arbitrario a um dos componentes de e resolver as equagées para v Entretan to uma equagio adicional precisa ser procurada a fim de determinar os valores reais dos compo nentes de w Problema Resolvido 1512 parte b 2 Para determinar a aceleragdo do ponto B do corpo rigido quando vocé conhece a ace leragaio a do ponto de referéncia A e a aceleragio angular a do corpo vocé deve simplesmente adicionar a a aceleragao de B em sua rotagio em torno de A do modo expresso na Eq 1538 ag ay X rp X X rp 1544 Observe que o produto vetorial w X r representa a velocidade v de B relativa a A e j4 pode ter sido determinada como parte do seu calculo de v Lembrese também de que o calculo dos dois outros produtos vetoriais ficara mais facil se vocé expressar esses produtos sob a forma de determinante As trés equagoes escalares associadas 4 Eq 1544 também podem ser usadas para determinar a intensidade de a quando sua diregdo é conhecida mesmo que w e a nado sejam conhecidas Em bora os componentes w e a sejam indeterminados vocé pode atribuir valores arbitrarios a um dos componentes de w e a um dos componentes de a e resolver as equagGées para a 15184 Uma placa ABD e uma barra OB estao rigidamente conectadas e giram sobre a junta rotulada O com velocidade angular w i j wk Sabendo que v 75 mmsi 350 mmsj vk e w 15 rads determine a a velocidade angular da montagem b a velocidade an gular do ponto D y SeXy Ae B N an 200 mm 200 mm 3 o a x Figura P15184 15185 Resolva o Problema 15184 considerando que w 15 rads 15186 No instante considerado a antena de radar mostrada na figura gira em torno da origem das coordenadas com uma velocidade angular o wi wj wk Sabendo que v 300 mms v 180 mms e vg 360 mms determine a a velocidade angular da an tena b a velocidade do ponto A Yy 03 m y J A O Ca 025 m x 025 m l B Figura P15186 e P15187 15187 No instante considerado a antena de radar mostrada na figu ra gira em torno da origem das coordenadas com uma velocida de angular w wi wj ok Sabendo que v 100 mms 64 90 mms e v 120 mms determine a a velocidade angular da antena b a velocidade do ponto A 15188 O conjunto de pas de um ventilador oscilante gira com uma velocida de angular constante 360 rpmi em relagdo a caixa do motor Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 997 Determine a aceleracao angular do conjunto de pas sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade angular e a aceleracao angu lar da caixa do motor siio respectivamente w 25 rpmj e a 0 y CD y eee aC Se Uz oe Cc ey A S A i VAS o oe ZY Figura P15188 Yo Ss 15189 Um rotor de um motor elétrico gira a uma taxa constante w 1800 rpm j ee Determine a aceleracio angular do rotor quando 0 motor é girado sobre La o eixo y com a velocidade constante w de 6 rpm no sentido antihordrio Figura P15189 quando visto na diregao positiva do eixo y 15190 No sistema mostrado na figura o disco A é livre para girar sobre a barra horizontal AO Considerando que o disco B é estaciondrio w 0 e que o eixo OC gira com velocidade angular constante w determine a a velocidade angular do disco A b a aceleracao angular do disco A y 15191 No sistema mostrado na figura o disco A é livre para girar sobre a C barra horizontal AO Considerando que 0 eixo OC e o disco B giram com velocidades angulares constantes w e w respectivamente am bas no sentido antihordrio determine a a velocidade angular do 1 disco A b a aceleragao angular do disco A XK 15192 O braco BCD em forma de L gira em torno do eixo z com uma ve Ol oo locidade angular constante w de 5 rads Sabendo que o disco de C oy 150 mm de raio gira em torno de BC com uma velocidade angular constante w de 4 rads determine a aceleragao angular do disco R i x y Ws 150 mm Le 7 J y Figura P15190 e P15191 A of ON I 120mm Dye Zz Figura P15192 15193 No Problema 15193 determine a a velocidade do ponto A b a aceleracio do ponto A 998 Mecénica vetorial para engenheiros dindmica y 15194 Um disco de 100 mm de raio gira taxa constante w 4 rads em torno de um eixo apoiado em uma estrutura presa a uma barra hori zontal que gira 4 taxa constante w 5 rads Para a posicio mostrada KA 100 mm na figura determine a a aceleracio angular do disco D a acelera 6 cao do ponto P sobre a periferia do disco se 6 0 c a aceleragao do nN q ponto P sobre a periferia do disco se 0 90 P ye 15195 Um disco de 100 mm de raio gira taxa constante w 4 rads em X torno de um eixo apoiado em uma estrutura presa a uma barra hori zontal que gira a uma taxa constante w 5 rads Sabendo que 6 30 determine a aceleragao do ponto P sobre a periferia do disco 4 x Figura P15194 e P15195 15196 Um cano de canhio de comprimento OP 4 m esta montado sobre uma torre blindada do modo mostrado na figura Para manter 0 cano com a mira em um alvo mével o 4ngulo azimutal B é aumentado a uma taxa dBdt 30s e 0 angulo de elevagio yy 6 aumentado a uma taxa dydt 10s Para a posicaio B 90 e y 30 determine a a velocidade angular do cano b a aceleragaio angular do cano c a velocidade e aceleragio do ponto P y P om 1G Sy SS so ly B Figura P15196 15197 No sistema de engrenagens planetérias mostrado na figura as engre nagens A e B estao rigidamente conectadas entre si e giram como uma unidade em torno do eixo inclinado As engrenagens C e D gi ram com velocidades angulares constantes de 30 rads e 20 rads res pectivamente ambas no sentido antihordrio quando vistas a partir da direita Escolhendo o eixo x para a direita 0 eixo y para cima e 0 eixo apontando para fora do plano da figura determine a a veloci dade angular comum das engrenagens A e B b a velocidade angular do eixo FH que esta rigidamente fixado ao eixo inclinado 1 Pn 4 7 UR LF liga S eZ aa Lf 50 mm E g F S D G H Y 80 mm 80 mm Figura P15197 Capitulo 15 Cinematica de corpos rigidos 999 15198 Uma roda de 30 mm de raio é montada sobre um eixo OB de compri y mento de 100 mm Ela rola sem deslizar sobre o piso horizontal e seu eixo é perpendicular ao plano da roda Sabendo que o sistema gira em Cc Cl torno do eixo y a uma taxa constante w 24 rads determine a a velocidade angular da roda b a aceleragao angular da roda e c a aceleragéo do ponto C localizado na parte mais elevada da periferia aco da roda i O OF x 15199 Varias barras estao soldadas juntas para formar um braco guia robéti co mostrado na figura que é preso a uma junta rotulada em O A barra 7 OA desliza na ranhura reta inclinada enquanto a barra OB desliza na ranhura paralela ao eixo z Sabendo que no instante mostrado v 180 mmsk determine a a velocidade angular do brago guia D a velocidade do ponto A c a velocidade de ponto C Figura P15198 y 100 Be a7 240 y S CS ay 80 Ns ae ANI Za 200 ae a 5 O B Dimens6es em mm 60 Figura P15199 15200 No Problema 15199 a velocidade do ponto B é conhecida e é cons J x tante Para a posigéo mostrada na figura determine a a aceleragio A angular do brago guia b a aceleracao do ponto C 4 15201 Um setor circular de uma placa de 45 com 250 mm de raio é presoa Figura P15201 uma junta rotulada em O Enquanto a aresta OA se desloca na superficie horizontal a aresta OB de desloca ao longo da parede vertical Saben do que o ponto A se desloca com velocidade constante de 1500 mms determine para a posicao mostrada na figura a a velocidade angular da placa b a velocidade do ponto B y 15202 A barra AB de comprimento de 275 mm esté conectada por juntas rotuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras c mostradas na figura Sabendo que o colar B se move em diregio a b uma velocidade constante de 180 mms determine a velocidade do colar A quando c 175 mm A O B 15203 A barra AB de comprimento de 275 mm esté conectada por juntas Py rotuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras mostradas na figura Sabendo que o colar B se move em direcio a uma velocidade constante de 180 mms determine a velocidade do colar A quando c 50 mm Figura P15202 e P15203 1000 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica y 15204 A barra AB esta conectada por juntas rotuladas ao colar A e ao disco C de 400 mm de didmetro Sabendo que o disco C gira no sentido db antihorario 4 taxa constante w 3 rads no plano zx determine a velocidade do colar A para a posicao mostrada na figura QD 4 A 15205 A barra AB de comprimento de 580 mm esté conectada por juntas rotu ladas A manivela BC e ao colar A A manivela BC tem 160 mm de com primento e gira no plano horizontal xz 4 taxa constante w 10 rads 500 mm No instante mostrado na figura quando a manivela BC esté paralela ao a eixo z determine a velocidade do colar A A 625 mm y i B i 160 mm DS adm 5 200 mm 4 J A Figura P15204 KR O WB 420 mm Q2 S CY 7160 mm 240 mm a z pS A iT J Figura P15205 15206 A barra AB de comprimento de 300 mm esta conectada por juntas rotuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras mostradas na figura Sabendo que o colar B aproximase do ponto D O 90 mm a uma velocidade constante de 50 mms determine a velocidade do 7 colar A quando c 80 mm D C a a 15207 A barra AB de comprimento de 300 mm esta conectada por juntas B a 180 mm rotuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras oe mostradas na figura Sabendo que o colar B aproximase do ponto D a uma velocidade constante de 50 mms determine a velocidade do Figura P15206 e P15207 colar A quando c 120 mm Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1001 15208 A barra AB de comprimento de 500 mm esté conectada por juntas y rotuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras mostradas na figura Sabendo que o colar B aproximase do ponto E a uma velocidade constante de 400 mms determine a velocidade do colar A quando o colar B passa pelo ponto D 400 mm A 15209 A barra AB de comprimento de 500 mm esta conectada por juntas rotuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras 2 mostradas na figura Sabendo que o colar B aproximase do ponto E a uma velocidade constante de 400 mms determine a velocidade do C O colar A quando o colar B passa pelo ponto C f 15210 Dois eixos AC e EG que se situam no plano vertical yz estéo0 conec 180 mm tados por uma junta universal em D O eixo AC gira com uma veloci 2 dade angular constante w do modo mostrado na figura No instante 400 Zz 240 mm mm em que o braco da cruzeta preso ao eixo AC esta na vertical determi ne a velocidade angular do eixo EG D E y Figura P15208 e P15209 Ms a 9 Ye JA x A eee 4 100 mm C y B el A ee yp a aa 80 mm z 2 mm Figura P15210 15211 Resolvao Problema 15210 considerando que o brago da cruzeta pre so ao eixo AC esta na horizontal 15212 No Problema 15203 a junta rotulada entre a barra e 0 colar A é subs titufda por um grampo em U como mostrado na figura Determine a a velocidade angular da barra b a velocidade do colar A Figura P15212 15213 No Problema 15204 a junta rotulada entre a barra e 0 colar A é subs titufda por um grampo em U como mostrado na figura Determine a a velocidade angular da barra b a velocidade do colar A Figura P15213 1002 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 15214a 15219 Parao mecanismo do problema indicado nas figuras de termine a aceleracao do colar A 15214 Mecanismo do Problema 15202 15215 Mecanismo do Problema 15203 15216 Mecanismo do Problema 15204 15217 Mecanismo do Problema 15205 15218 Mecanismo do Problema 15206 15219 Mecanismo do Problema 15207 1514 Movimento tridimensional de uma particula em relacdo a um sistema de referéncia rotativo Aceleragdo de Coriolis y Vimos na Secao 1510 que dada uma fungi vetorial Q e dois sistemas A de referéncia centrados em O um sistema de referéncia fixo OXYZ e 4 um sistema de referéncia rotativo Oxyz as taxas de variagao de Q em Q relacao aos dois sistemas de referéncia satisfazem a relacao x Qoxz Qow AX Q 1531 O x Haviamos admitido na ocasiao que o sistema de referéncia Oxyz era obri gado a girar em torno de um eixo fixo OA Entretanto a deducao dada k na Segio 1510 permanece valida quando o sistema de referéncia Oxyz é forgado tao somente a ter um ponto fixo O Mediante essa hipétese mais Z z geral o eixo OA representa 0 eixo instantdneo de rotagao do sistema de referéncia Oxyz Secao 1512 e o vetor Q sua velocidade angular no Figura 1536 instante considerado Fig1536 Vamos considerar agora o movimento tridimensional de uma parti y cula P em relagao a um sistema de referéncia rotativo Oxyz forgado a ter uma origem fixa O Seja r o vetor de posigao de P em um dado instante e J a velocidade angular do sistema de referéncia Oxyz em relacao ao sis tema de referéncia fixo OXYZ no mesmo instante Fig 1537 As dedu 2 P ces fornecidas na Segio 1511 para o movimento bidimensional de uma particula podem ser prontamente estendidas ao caso tridimensional e a velocidade absoluta v de P isto 6 sua velocidade em relacao ao sistema 7 X de referéncia fixo OXYZ pode ser expressa como Vp Qxrt Toxys 1545 2 Representando por o sistema de referéncia rotativo Oxyz escrevemos Figura 1537 essa relacao na forma alternativa Vp Vp vps 1546 onde v velocidade absoluta da particula P v velocidade do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P Vz velocidade de P relativa ao sistema de referéncia mével A aceleracao absoluta a de P pode ser expressa como ap OX r QO X O X r 20D X Pow Por 1547 Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1003 Uma forma alternativa é ap ap ae apg ats a 1548 onde a aceleracao absoluta da particula P a aceleracao do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P pg aceleracao de P relativa ao sistema de referéncia mével a 20 X row 2Q X veg aceleragaio complementar ou de Coriolis Observamos que a aceleracao de Coriolis é perpendicular ao vetor 0 e V Todavia como esses vetores usualmente nao sao perpendiculares entre si a intensidade de a em geral ndo é igual a 20Qvz como era no caso do movimento plano de uma particula Observamos ainda que a aceleracao de Coriolis se reduz a zero quando os vetores Q vp sao paralelos ou quando algum deles é nulo Os sistemas de referéncia rotativos so particularmente titeis no es tudo do movimento tridimensional de corpos rigidos Se o corpo rigido tem um ponto fixo O como era 0 caso do guindaste do Problema Resol vido 1511 podemos usar um sistema de referéncia Oxyz que nao é fixo nem rigidamente ligado ao corpo rigido Representado por a velocidade angular do sistema de referéncia Oxyz decompomos entio a velocidade angular w do corpo nos componentes 2 e w onde o segundo compo nente representa a velocidade angular do corpo em relagiio ao sistema de referéncia Oxyz ver Problema Resolvido 1514 Uma escolha apropriada do sistema de referéncia rotativo muitas vezes conduz a uma anilise mais simples do movimento de um corpo rigido do que seria possivel com eixos de orientagio fixa Isso é particularmente verdadeiro no caso do movimen to tridimensional de um corpo rigido ou seja quando o corpo rigido em consideragao nao possui um ponto fixo ver Problema Resolvido 1515 1515 Sistema de referéncia em movimento geral vi Considere um sistema de referéncia fixo OXYZ e um sistema de referén cia Axyz que se move de maneira arbitraria mas conhecida em relagiao a J OXYZ Fig 1538 Seja P uma particula movendose no espago A posi cao de P é definida em qualquer instante pelo vetor r no sistema de re fo Px feréncia fixo e pelo vetor r no sistema de referéncia mével Represen Y tando por r 0 vetor de posigao de A no sistema de referéncia fixo temos A oe A x Vp rq Ypya 1549 tp A velocidade absoluta v da particula é obtida escrevendose ye oye Vp Vp X Vp 1550 04 onde as derivadas estao definidas em relagao ao sistema de referéncia fixo OXYZ Logo o primeiro termo do membro a direita de 1550 re J presenta a velocidade v da origem A dos eixos méveis Por outro lado como a taxa de variagaio de um vetor é a mesma em relagao a um siste Figura 1538 ma de referéncia fixo e a um sistema de referéncia em translagao Secaio E importante observar a diferenga entre a Eq 1548 e a Eq 1521 da Segdo 158 Ver a nota de rodapé na pagina 978 1004 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1110 o segundo termo pode ser tratado como a velocidade v de P em relagio ao sistema de referéncia AXYZ de mesma orientaco que OXYZ e de mesma origem que Axyz Temos portanto que Vp Va Vpya 1551 Mas a velocidade v de P em relagaio a AXYZ pode ser obtida de 1545 trocando r por rp naquela equacgéo Escrevemos vp Va O X rp fpyarys 1552 onde é a velocidade angular do sistema de referéncia Axyz no instante considerado A aceleracao absoluta a da particula é obtida por diferenciagio de 1551 e escrevendose ap Vp va Vpia 1553 onde as derivadas estéo definidas em relagao a qualquer um dos sistemas de referéncia OXYZ ou AXYZ Portanto o primeiro termo do segundo membro de 1553 representa a aceleracgaio a da origem A dos eixos moveis e o segundo termo representa a aceleragao a de P em relacio ao sistema de referéncia AXYZ Essa aceleracao pode ser obtida de 1547 trocando r por rp Logo escrevemos ap ay t Q X rpy O X O X rpy 2Q X rpyaarye Pradarys 1554 eS es i mp g As Eqs 1552 e 1554 tornam possivel a determinagio da velocidade e ole pate eS Pe a aS ee Bm aceleracdo de uma dada particula em relagdo a um sistema de referéncia oe DF eee eee fixo quando 0 movimento da particula é conhecido em relagao a um sis Re aire cod Be Neer ae seme tema de referéncia mével Essas formulas tornamse mais significativas le RS si ik ee 2a substancialmente mais faceis de se memorizar se notarmos que a soma La Sg ae iene dos dois primeiros termos em 1552 representa a velocidade do ponto 3 EN See eae P do sistema de referéncia mével coincidente com P no instante consi eis San 6 derado e que a soma dos trés primeiros termos em 1554 representa a ci De Eda Ae aceleracaio do mesmo ponto Logo as relagdes 1546 e 1548 da secaio eee ry Bite 5 8 anterior ainda sao validas no caso de um sistema de referéncia em movi a oo mento geral e podemos escrever Foto 159 O movimento das particulas de ar 8 P de um furacdo pode ser considerado como o movimento relativo a um sistema de referéncia Vp Ver Veg 1546 ligado 4 Terra e que gira com ela ap ap apg a 1548 onde os varios vetores envolvidos foram definidos na Seco 1514 Devese notar que se o sistema de referéncia mével ou Axyz esté em translacao a velocidade e a aceleragao do ponto P do sistema de referéncia coincidente com P tornamse iguais respectivamente a ve locidade e a aceleracao da origem A do sistema de referéncia Por outro lado como o sistema de referéncia mantém uma orientacao fixa a 6 nula e as relagdes 1546 e 1548 reduzemse respectivamente as relacdes 1133 e 1134 deduzidas na Segao 1112 PROBLEMA RESOLVIDO 1513 clb A barra dobrada OAB gira em torno da vertical OB No instante consi derado sua velocidade e aceleracéo angulares sio respectivamente de B 20 rads e 200 rads ambas no sentido hordrio quando vistas do eixo Y positivo O colar D deslocase ao longo da barra e no instante considerado A OD 200 mm A velocidade e a aceleragao do colar relativas a barra sao respectivamente de 125 ms e 15 ms ambas para cima Determine a a D velocidade do colar e b a aceleragio do colar 200 mm 30 py Li A i Z l SOLUCAO Sistemas de referéncia O sistema de referéncia OXYZ é fixo Ligamos o sistema de referéncia rotativo Oxyz 4 barra dobrada Portanto sua velocidade angular e sua aceleracao angular relativas a OXYZ sio O 20 radsj e Q 200 radsj respectivamente O vetor de posigio de D é r 200 mmsen 30 cos 30 j 100 mmi 17325 mm j Y a Velocidade vj Representando por D o ponto da barra que coincide y com D e por o sistema de referéncia rotativo Oxyz e considerando a Eq 1546 escrevemos B A i Fp D Vp Vp Vos 1 Sh VpIs onde 200 mm 2 30 Avs Vy OX vr 20 radsj x 100 mmi 17325 mmj 2000 mmsk L Vig 1250 mmssen 30 cos 30j 625 mmsi 1083 mms j O xX Substituindo os valores obtidos para vp Vp na Eq 1 encontramos J Vp 625 mmsi 1083 mmsj 2000 mmsk A je 20 radsj 0625 msi 1083 msj 2 msk Z 200 radsj b Aceleragdo ap Considerando a Eq 1548 escrevemos ap ap ang a 2 onde ay OXr0xOxr 200 rads j x 100 mmi 17325 mmj 20 rads X 2000 mmsk 20000 mms k 40000 mms i apg 15000 mms sen 30 cos 30j 7500 mms i 12990 mms j a 20 X Vig 220 radsj x 625 mmsi 1083 mms j 25000 mms k Substituindo os valores obtidos para ap apg a na Eq 2 encontramos a 325000 mmsi 12990 mmsj 45000 mmsk 325 msi 1299 msj 45 msk Y P PROBLEMA RESOLVIDO 1514 KG P an go O guindaste mostrado na figura gira com uma velocidade angular constante gE de 030 rads Simultaneamente a lanca esté sendo erguida com uma 4 gE 0 30 velocidade angular constante de 050 rads em relagiio 4 cabine Sabendo Oo se x que o comprimento da langa OP é1 12 m determine a a velocidade da ponta da langa e b a aceleragiio da ponta da langa M2 Z SOLUCAO Sistemas de referéncia O sistema de referéncia OXYZ é fixo Ligamos o sistema de referéncia rotativo Oxyz a cabine Portanto Y sua velocidade angular em relagio ao sistema de referéncia OXYZ é Q 030 radsj A velocidade angular da langa em relagiio a ca bine e ao sistema de referéncia rotativo Oxyz ou abreviadamente é 1039 m oe tp Og 050 radsk lo w 030j LE a Velocidade v Considerando a Eq 1546 escrevemos CE 6m Vp Vp Veg 1 ge LS onde v a velocidade do ponto P do sistema de referéncia rotativo coin Xx cidente com P Ong Ws 050k vp X r 030 radsj X 1039 mi 6 mj 312 msk 2 e onde vz a velocidade de P relativa ao sistema de referéncia rotativo Z Oxyz Mas a velocidade angular da langa relativa a Oxyz foi determinada como 4 050 radsk Logo a velocidade da ponta P em relagiio a Oxyz é Veg Wp X xv 050 radsk X 1039 mi 6 mj 3 msi 520 msj Substituindo os valores obtidos para vp Vpz na Eq 1 encontramos vp 3 msi 520 msj 312 msk b Aceleragdo a Considerando a Eq 1548 escrevemos ap ap apg a 2 Como Q e 3 sio ambas constantes temos ap QO X O X r 030 radsj X 312 msk 094 msi apg Opg X Mpg X xr 050 radsk 3 msi 520 msj 150 msj 260 msi a 20 x Veg 2030 radsj X 3 msi 520 msj 180 msk Substituindo os valores obtidos para ap ap e a na Eq 2 encontramos ap 354 msi 150 msj 180 msk L 4 PROBLEMA RESOLVIDO 1515 cho a O disco D de raio R esta preso por pino a extremidade A do brago OA de comprimento L localizado no plano do disco O brago gira em torno de um O a ie eixo vertical que passa por O a uma taxa constante e 0 disco gira em ae torno de A a uma taxa constante Determine a a velocidade do ponto P U DisconD localizado diretamente acima de A b a aceleracao de P e c a velocidade angular e a aceleracao angular do disco SOLUCAO Sistemas de referéncia O sistema de referéncia OXYZ é fixo Liga mos 0 sistema de referéncia rotativo Axyz ao brago OA Portanto sua ve y locidade angular em relagao a OXYZ é wj A velocidade angular do y disco D em relagiio ao sistema de referéncia mével Axyz ou abreviada mente 6 pz wk O vetor de posigio de P em relagaio a O é r Li Rj L e o vetor de posigio em relacio a A é rp Rj Q wij PL p a Velocidade v Representando por P 0 ponto do sistema de referén AR OT cia mével que coincide com P e considerando a Eq 1546 escrevemos a R a Vp Vp VPF 1 O Lp x xX 4a onde vp X r wj X Li Rj oLk Z VeF WpygF x rpa Wok x Bj wR 4 Opg k Substituindo os valores obtidos para vp Vpg na Eq 1 encontramos Vp Ri wLk b Aceleragdo a Considerando a Eq 1548 escrevemos ap ap apg a 2 Como Q e 3 sao ambas constantes temos ap X O X r wj X wLk aiLi apg Opg X Wpgy X Ypja Wak X woRi o5Rj a 20 X Vey 20 j x Ri 2oRk Substituindo os valores obtidos na Eq 2 encontramos ap Li w3Rj 2aRkk c Velocidade angular e aceleragdo angular do disco wo 01 apg Owjt wk 4 Usando a Eq 1531 com Q escrevemos a oxyz Aryz QXo aQw wi 4 A RESOLUGAO DE PROBLEMAS N esta secdo vocé concluiu seu estudo da cinematica de corpos rigidos aprendendo a usar um sistema de referéncia auxiliar para analisar o movimento tridimensional de um corpo rigi do Esse sistema de referéncia auxiliar pode se um sistema de referéncia rotativo com uma origem fixa O ou pode ser um sistema de referéncia em movimento geral A Usando um sistema de referéncia rotativo Ao abordar um problema envolvendo o uso de um sistema de referéncia rotativo vocé deve seguir os seguintes passos 1 Selecione o sistema de referéncia rotativo que vocé deseja usar e desenhe os eixos de coordenadas correspondentes x y e z a partir do ponto fixo O 2 Determine a velocidade angular 2 do sistema de referéncia em relacdo a um sistema de referéncia fixo OXYZ Na maioria dos casos vocé teré selecionado um sistema de re feréncia que esta ligado a algum elemento rotativo do sistema assim 0 sera a velocidade angular daquele elemento 3 Designe como P o ponto do sistema de referéncia rotativo coincidente com o ponto P de interesse no instante que vocé esta considerando Determine a velocidade v e a aceleracéo a do ponto P Como P é parte de e tem o mesmo vetor de posigio r de P vocé encontrara que vp OXr e ap aaxXrtQ x O X r onde a é a aceleracado angular de Entretanto em muitos dos problemas que abordara a veloci dade angular de é constante tanto em intensidade como em direcao e a 0 4 Determine a velocidade e a aceleracdo do ponto P em relacdo ao sistema de re feréncia Quando estiver tentando determinar v apg vocé verificara que é util visualizar o movimento de P no sistema de referéncia quando este sistema nao esta girando Se P 6 um ponto de um corpo rigido que tem uma velocidade angular w e uma aceleragéo angular ag relativas a Problema Resolvido 1514 vocé encontrara que VWF WR XT e apg Ag X vr We X We X Yr Em muitos dos problemas de que se ocupard a velocidade angular do corpo relativa ao sistema de referéncia é constante tanto em intensidade como em diregao e ag 0 5 Determine a aceleragao de Coriolis Considerando a velocidade angular 0 do sistema de referéncia e a velocidade vdo ponto P em relacgdo aquele sistema de referéncia calculada na etapa anterior escrevemos a 20 x VIF 6 Avelocidade e a aceleragdo do ponto P em relagdo ao sistema de referéncia fixo OXYZ pode agora ser obtida adicionando as express6es que vocé determinou Vp Vp Verge 1546 ap ap apg a 1548 B Usando um sistema de referéncia em movimento geral Os passos que vocé devera seguir diferem apenas ligeiramente daqueles listados sob A Eles consistem do seguinte 1 Selecione o sistema de referéncia F que vocé deseja usar e um ponto de refe réncia A naquele sistema de referéncia a partir do qual vocé desenhara os eixos de coor denadas x y e z definindo o sistema de referéncia Vocé consideraré 0 movimento do sistema de referéncia como a soma de uma translacdo com A e de uma rotacdo em torno de A 2 Determine a velocidade v do ponto A e a velocidade angular do sistema de referéncia Na maioria dos casos vocé tera selecionado um sistema de referéncia que esta ligado a algum elemento rotativo do sistema assim 0 sera a velocidade angular daquele elemento 3 Designe como P 0 ponto do sistema de referéncia rotativo F coincidente com o ponto P de interesse no instante que vocé esta considerando e determine a velocidade v e a aceleracéo a daquele ponto Em alguns casos isso pode ser feito visualizando 0 movimento de P como se aquele ponto fosse impedido de se mover em relagao a F Problema Resolvido 1515 Uma abordagem mais geral é relembrar que 0 movimento de P é a soma de uma translacgao com o ponto de referéncia A e de uma rotagio em torno de A Assim a velocidade v e a aceleragio a de P podem ser obtidas adicionandose v e a respectivamente as expressdes encontradas no item A3 e trocando o vetor de posicao r pelo vetor r desenhado de A a P ve va OD X rp ap aq X rpy X OD X rpy Os passos 4 5 e 6 sdo os mesmos da Parte A com a excegio de que o vetor r deve ser novamente trocado por rp Assim as Eqs 1546 e 1548 ainda podem ser usadas para obterse a velocidade e a aceleracao de P em relacio ao sistema de referéncia fixo OXYZ 15220 A barra AB esta soldada em uma placa de 300 mm de raio que gira com uma taxa constante w 6 rads Sabendo que o colar D se des loca na diregao da extremidade B da barra a uma velocidade cons tante u 2 ms determine para a posicado mostrada na figura a a velocidade de D b a aceleragao de D Y a 200 mm PY B By A ets XxX Z Figura P15220 15221 A barra dobrada mostrada na figura gira a taxa constante w 3 rads Sabendo que o colar C se desloca na diregio do ponto D com uma velocidade relativa constante uw 1 ms determine para a posigao mostrada na figura a velocidade e aceleragio de C se a x 100 mm b x 400 mm Y Y d KA B b 300 mm as a A I EDS 400 mm KA Ga i eo 400 SS D2 pm DAT ee N30 Figura P15221 200 mm 15222 A placa circular mostrada na figura gira em torno de seu diametro Bo vertical a uma taxa constante w 10 rads Sabendo que na posigéo mostrada o disco se encontra no plano XY e o ponto D da alga CD se Z x desloca para cima com velocidade relativa u 15 ms determine a Figura P15222 a velocidade de D b a aceleracao de D Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1011 15223 Resolva o Problema 15222 considerando que no instante mostrado a velocidade angular w da placa de 10 rads esta decrescendo a uma taxa de 25 rads enquanto a velocidade relativa u do ponto D daalga CD 615 ms e esta decrescendo a uma taxa de 3 ms 15224 Umaplaca quadrada com 500 mm de lado esta articulada nos pontos A e B de um grampo em U A placa gira 4 taxa constante w 4 rads em relaco ao grampo que por sua vez gira a taxa constante w 3 rads em torno do eixo Y Para a posicao mostrada na figura determine a a velocidade do ponto C b a aceleragao do ponto C 1B lA LS A os tr f20 G Xx SN Ze Me 500 mm D Z Y 250 mm NS NS 2 Figura P15224 e P15225 90mm B JA 15225 Umaplaca quadrada com 500 mm de lado esta articulada nos pontos A rN e B de um grampo em U A placa gira 4 taxa constante w 4 rads em 2 relaco ao grampo que por sua vez gira a taxa constante w 3 rads em torno do eixo Y Para a posicao mostrada na figura determine a a 135 mm velocidade do ponto D b a aceleracgao do ponto D D A 15226a 15228 Aplaca retangular mostrada na figura gira 4 taxa constan on te w 12 rads em relagiio ao brago AE que por sua vez gira a taxa Z Os xX constante w 9 rads em torno do eixo Z Para a posigao mostrada 135 mm determine a velocidade e a aceleragiao do ponto da placa indicado 15226 CantoB 15227 Ponto D 15228 Canto C Figura P15226 P15227 e P15228 15229 Resolva o Problema 15228 admitindo que no instante mostrado na fi gura a velocidade angular w da placa em relacio ao brago AE é de 12 rads e decresce A taxa de 60 rads enquanto a velocidade angular w do braco em torno do eixo Z é de 9 rads e decresce a taxa de 45 rads 15230 Resolva o Problema 15221 admitindo que no instante mostrado na figura a velocidade angular w da barra é 3 rads e cresce a taxa de 12 rads enquanto a velocidade relativa u do colar é 1 ms e decresce a taxa de 2 ms 15231 Usando o método da Secao 1514 resolva o Problema 15191 15232 Usando 0 método da Segio 1514 resolva o Problema 15195 1012 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 15233 Usando 0 método da Secao 1514 resolva o Problema 15192 15234 Um corpo AB e a barra BC do componente robotico mostrado na figura giram em uma taxa constante w 060 rads em torno do eixo Y Simultaneamente um controle por fio e polia produz o giro do brago CD em torno C a uma taxa constante w dBdt 045 rads Sabendo que B 120 determine a a aceleraco angular do brago CD b a velocidade de D c a aceleracao de D Y D cs él 7 B a 400 mm ee wo IC A Sw Cx 500 Z mm X Figura P15234 15235 Um disco com raio de 120 mm gira 4 taxa constante w 5 rads em relagdo ao brago AB que por sua vez gira 4 taxa constante w 3 rads Para a posigdo mostrada na figura determine a velocidade e a aceleracao do ponto C Y a 1 A Z 140 mm Y s S xX Cl mm Qa C190 mm D u WwW Figura P15235 e P15236 30 ae 7S AWS A 15236 Um disco com raio de 120 mm gira 4 taxa constante w 5 rads em OP SOD relagdo ao brago AB que por sua vez gira 4 taxa constante w 3 rads RE Para a posigdo mostrada na figura determine a velocidade e a aceleracao Z Gee Pp eo QR do ponto D x 15237 O guindaste mostrado na figura gira 4 taxa constante w 025 rads Fi simultaneamente a langa telescépica esta sendo levantada a taxa cons igura P15237 Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1013 tante w 040 rads Sabendo que no instante mostrado 0 compri mento da langa é de 6 m e que cresce a taxa constante de u 05 ms determine a velocidade e a aceleracao do ponto B 15238 O braco AB de 5 m de comprimento é usado para fornecer uma pla taforma elevada para trabalhadores da construgao civil Na posigao mostrada na figura o brago AB esta sendo erguido a uma taxa cons tante d6dt 025 rads simultaneamente a unidade esta sendo gira da em torno do eixo Y a uma taxa constante w 015 rads Sabendo que 20 determine a velocidade e a aceleragiio do ponto B Y C Be J a m e NN A e C ee z Xx Z Figura P15238 15239 Resolva o Problema 15238 considerando que 6 40 15240 Um disco com raio de 180 mm gira 4 taxa constante w 12 rads em relagio ao brago CD que por sua vez gira a taxa constante w 8 rads em torno do eixo Y Determine no instante mostrado na figura a velo cidade e a aceleragaéo do ponto A na periferia do disco Y 180 mm oC A7 dh D j Y nN 7 Z X 360 min 7 150 mm Figura P15240 e P15241 15241 Um disco com raio de 180 mm gira 4 taxa constante w 12 rads em relagio ao brago CD que por sua vez gira a taxa constante w 8 rads em torno do eixo Y Determine no instante mostrado na figura a velo cidade e a aceleragaéo do ponto B na periferia do disco 1014 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 15242 e 15243 Na posigao mostrada nas figuras a barra delgada se des loca a uma velocidade constante u 100 mms para fora do tubo BC Ao mesmo tempo o tubo BC gira 4 taxa constante w 15 rads em relagio ao brago CD Sabendo que todo 0 conjunto gira em torno do eixo X 4 taxa constante w 12 rads determine a velocidade e a aceleragao da extremidade A da barra Y Y A Ag r Se 300 mm if 500 min ZZ B LP LO x LS o Gere Cyt 500 mm RYN Sak r an 300 mm SS a SO A Z 2 Figura P15243 Figura P15242 15244 Dois discos de 130 mm de raio esto soldadados a uma barra CD de 500 mm A unidade barra e discos gira a uma taxa constante w 3 rads com relagiio ao brago AB Sabendo que no instante mostrado na figura w 4 rads determine a velocidade e aceleragao do a ponto E b ponto F A G Me sp 130 mm 250 mnt 125 mm 250 mm KN Xx Y Z 130 mm Figura P15244 4 A 75 mm p 15245 No Problema 15244 determine a velocidade e a aceleragao do a Y i ponto G b ponto H N zDD 15246 A placa vertical mostrada na figura esta soldada ao bragco EFG e o NI P g NI A conjunto gira como um todo a taxa constante w 16 rads em torno 150mm ky 1 N B F do eixo Y Ao mesmo tempo uma correia movese em torno do peri a Ni AA metro da placa a uma velocidade constante u 100 mms Para a po siciio mostrada determine a aceleracao da parte da correia localizada P 150 mm p a no ponto A b no ponto B L ZZ 75 my Ae a 250 mm 15247 A placa vertical mostrada na figura esté soldada ao brago EFG e o or conjunto gira como um todo a taxa constante w 16 rads em torno Ly J g 1 do eixo Y Ao mesmo tempo uma correia movese em torno do peri metro da placa a uma velocidade constante u 100 mms Para a po Z xX a sigéo mostrada determine a aceleracao da parte da correia localizada Figura P15246 e P15247 a no ponto C b no ponto D Este capitulo foi dedicado ao estudo da cinematica de corpos rigidos Consideramos em primeiro lugar a translagdo de um corpo rigido Segao Corpo rigido em translagao 152 e observamos que em tal movimento todos os pontos do corpo tém a mesma velocidade e a mesma aceleragéo em um dado instante qualquer Em seguida consideramos a rotagao de um corpo rigido em torno de um Rotacdo de um corpo rigido eixo fixo Segao 153 A posigao do corpo é definida pelo 4angulo quea em torno de um eixo fixo linha BP tragada do eixo de rotago a um ponto P do corpo forma com um plano fixo Fig 1539 Encontramos que a intensidade da velocidade de P é d v 7 rOsend 154 of onde 6 é a derivada temporal de 6 Expressamos entao a velocidade de L P como B dr a x 155 p v dt 155 SJ O r onde o vetor 13 ok 6k 156 A é orientado ao longo do eixo fixo de rotagiio e representa a velocidade i Y angular do corpo Figura 1539 Representando por a a derivada dwdt da velocidade angular expressa mos a aceleracao de P como aaxXrta xX Xr 158 Diferenciando 156 e lembrando que k é constante em intensidade e diregao encontramos que ak ak 6k 159 O vetor a representa a aceleragéo angular do corpo e é orientado ao lon go do eixo de rotagio fixo 1016 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica y y vokXr a ak Xr Se x i x wok aak Figura 1540 Figura 1541 Rotagao de uma Em seguida consideramos 0 movimento de uma placa representativa lo placa representativa Calizada em um plano perpendicular ao eixo de rotagao do corpo Fig 1540 Como a velocidade angular é perpendicular a placa a velocidade do ponto P da placa foi expressa como vokxr 1510 onde v esta contido no plano da placa Substituindo w wk e a ak na Componentes Eq 158 verificamos que a aceleragao de P podia ser decomposta em tangencial e normal componentes tangencial e normal Fig 1541 iguais a respectivamente aak xr a ra a wrT a rw 1511 Velocidade angular e Retomando as Eqs 156 e 159 obtivemos as seguintes expressdes aceleracdo angular para a velocidade angular e para a aceleragdo angular da placa Segao da placa rotativa 154 9 1512 o dt dw d0 513 a dt dt ou de 1514 a o dé Observamos que essas expressGes sao similares aquelas obtidas no Cap 11 para o movimento retilineo de uma particula Dois casos particulares de rotagao séo encontrados com frequéncia rotacdao uniforme e rotagdo uniformemente acelerada Os problemas que envolvem um desses movimentos podem ser resolvidos pelo uso de equa des similares aquelas usadas nas Secdes 114 e 115 para o movimento retilineo uniforme e para o movimento retilineo uniformemente acele rado de uma particula contanto que x veda sejam trocados por 6wea respectivamente Problema Resolvido 151 Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1017 VA VA y AS C J 7 VBA A VA VA VB VBA G CQ B Movimento plano Translagaio com A Rotagao em torno de A vg Va Vpa Figura 1542 O movimento plano mais geral de uma placa rigida pode ser considerado Velocidades no como a soma de uma translagdo e de uma rotagdo Segao 155 Porexem movimento plano plo podese considerar que a placa mostrada na Fig 1542 é translada com 0 ponto A enquanto gira simultaneamente em torno de A Disso resulta que a velocidade de qualquer ponto B da placa pode ser expressa como Secao 156 Ve Va Vpva 1517 onde v 6a velocidade de A e v 6 a velocidade relativa de B em relagaio a A ou mais precisamente em relacio aos eixos xy que se transladam juntamente com A Representando por rz 0 vetor de posigao de B rela tivo a A encontramos que Van Ok X rp Opa TO 1518 A equagaéo fundamental 1517 que relaciona as velocidades absolutas dos pontos A e B e a velocidade relativa de B em relacao a A foi expressa sob a forma de um diagrama vetorial e usada para resolver problemas en volvendo varios tipos de mecanismos Problemas Resolvidos 152 e 153 Outra abordagem 4 solugao de problemas envolvendo as velocidades dos Centro instantaneo pontos de uma placa rigida em movimento plano foi apresentada na Se de rotagao cao 157 e usada nos Problemas Resolvidos 154 e 155 Ela é baseada na determinagio do centro instantdneo de rotagao C da placa Fig 1543 o C y C i i i VB BP vp g AQ VA VA a b Figura 1543 1018 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica y ay aa Wak apa x ee S az apan aBA aB pian a a aa apy apya Movimento plano Translagao com A Rotagao em torno de A Figura 1544 Aceleracées no O fato de que qualquer movimento plano de uma placa rigida pode ser movimento plano considerado como a soma de uma translagao da placa com um ponto de referéncia A e de uma rotacdo em torno de A foi usado na Secao 158 para relacionar as aceleragdes absolutas de dois pontos quaisquer A e B da placa e a aceleragiio relativa de B com relagao a A Obtivemos ap ag apa 1521 onde az consistia de um componente normal a de intensidade rw e orientada para A e de um componente tangencial a de intensi dade ra e perpendicular a linha AB Fig 1544 A relagao fundamental 1521 foi expressa em termos de diagramas vetoriais ou de equacgodes vetoriais e usada para determinar as aceleracdes de determinados pontos de varios mecanismos Problemas Resolvidos 156 a 158 Devese notar que o centro instantaneo de rotagaio C considerado na Segéo 157 nao pode ser usado para a determinagao de aceleragées pois 0 ponto C em geral ndo tem aceleragio nula Coordenadas expressas em No caso de certos mecanismos é possivel expressar as coordenadas x e termos de um pardmetro de todos os pontos importantes do mecanismo por meio de expressdes analiticas simples contendo um tinico parémetro Os componentes da ve locidade e da aceleragio absolutas de um dado ponto sao entéo obtidos diferenciandose duas vezes as coordenadas x e y daquele ponto em rela cao ao tempo t Secao 159 Taxa de variagado de um vetor Emboraa taxa de variacado de um vetor seja a mesma em relacdo a um sis em relacdo a um sistema de tema de referéncia fixo e a um sistema de referéncia em translacao a taxa referancia rotativo de variagao de um vetor em relagao a um sistema de referéncia rotativo é diferente Portanto a fim de estudar 0 movimento de uma particula y relativo a um sistema de referéncia rotativo tivemos antes de comparar as taxas de variagao de um vetor genérico Q em relagao a um sistema oN y de referéncia fixo OXYZ e em relacdo a um sistema de referéncia Oxyz Q girando com velocidade angular 0 Segao 1510 Fig 1545 Obtivemos a j A a seguinte relagaéo fundamental O x Qhoxz Qow A x Q 1531 k e concluimos que a taxa de variagdo do vetor Q em relagao ao sistema de re feréncia fixo OXYZ é composta de duas partes a primeira representa a taxa Z de variacio de Q em relacio ao sistema de referéncia rotativo Oxyz a se Figura 1545 gunda parte X Q é induzida pela rotagao do sistema de referéncia Oxyz Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1019 A parte seguinte do capitulo Segao 1511 foi dedicada a andlise cinemé tica bidimensional de uma particula P que se move em relagdo a um sis Movimento plano de uma tema de referéncia girando com velocidade angular Q em torno de um particula em relacdo a eixo fixo Fig 1546 Verificamos que a velocidade absoluta de P podia ym sistema de referéncia ser expressa como rotativo Vp Ver Veg 1533 r 2 r xy onde vp velocidade absoluta da particula P vp OX 4 vers Pony vp velocidade do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P p Vp velocidade de P relativa ao sistema de referéncia mével aa ME Observamos que a mesma expressiio para v é obtida se o sistema de re A 2 r feréncia esté em translaco em vez de rotagaio Mas quando o sistema de x referéncia esta em rotagao verificase que a expressao para a aceleracao 0 S 7 de P contém um termo adicional a denominado aceleragado complemen Qo tar ou aceleracéo de Coriolis Escrevemos Figura 1546 ap ap apg a 1536 onde a aceleragao absoluta da particula P a aceleracio do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P app aceleragio de P relativa ao sistema de referéncia mével a 20 x Tory 20 x VPF aceleragaio complementar ou de Coriolis Uma vez que e vz so perpendiculares entre si no caso de movi mento plano verificase que a aceleracdo de Coriolis tem intensidade a 20 e que sua orientagao é obtida girandose o vetor vpz de 90 no sentido da rotagao do sistema de referéncia mével As Eqs 1533 e 1536 podem ser usadas para a andlise do movimento de mecanismos que contém partes que deslizam umas sobre as outras Problemas Resolvidos 159 e 1510 A ultima parte do capitulo foi dedicada ao estudo da cinematica de Movimento de um corpo corpos rigidos tridimensionais Consideramos em primeiro lugar 0 mo rigido com um ponto fixo vimento de um corpo rigido com um ponto fixo Secao 1512 Apés demonstrar que o deslocamento mais geral de um corpo rigido com um ponto fixo O é equivalente a uma rotagao do corpo em torno de o um eixo passando por O fomos capazes de definir a velocidade angular w e 0 eixo instantaneo de rotagéo do corpo em um instante dado A velocidade de um ponto P do corpo Fig 1547 pode novamente ser expressa como F yx 1537 voXr dt Diferenciando essa expressao escrevemos também Figura 1547 aaxXrto xX Xr 1538 Entretanto como a direcdo de w muda de um instante para outro a ace leragdo angular a nao é em geral dirigida ao longo do eixo instanténeo de rotagao Problema Resolvido 1511 1020 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Movimento geral no espaco Mostrouse na Secao 1513 que 0 movimento mais geral de um corpo rigido no espago é equivalente em um instante dado qualquer a soma de uma translagdo e de uma rotagao Considerando duas particulas A e B do corpo verificamos que VB Va Va 1542 Y onde vz 6a velocidade de B relativa ao sistema de referéncia AXYZ li BIA B gado a A e de orientagio fixa Fig 1548 Representando por rz 0 vetor x de posigéo de B em relagao a A escrevemos A Va Va X Vpya 1543 f onde w é a velocidade angular do corpo no instante considerado Pro A blema Resolvido 1512 A aceleragao de B foi obtida por um raciocinio semelhante Primeiro escrevemos X apg ay apy e retomando a Eq 1538 Z Figura 1548 ag ay X vga X X Fp 1544 Movimento tridimensional Nas duas segées finais do capitulo consideramos 0 movimento tridimen de uma particula em sional de uma particula P em relagao a um sistema de referéncia Oxyz relacdo a um sistema de girando com uma velocidade angular relatvamente aum sistema de referéncia rotativo Teteréncia fixo OXYZ Fig 1549 Na Secdo 1514 expressamos a veloci dade absoluta v de P como Vp Vp Veg 1546 onde v velocidade absoluta da particula P v velocidade do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P Vp velocidade de P relativa ao sistema de referéncia mével y oN y le i a 0 X k Z Figura 1549 Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1021 A aceleracao absoluta a de P foi entéo expressa como ap ap apg a 1548 onde a aceleragao absoluta da particula P a aceleragao do ponto P do sistema de referéncia mével coincidente com P apz aceleracao de P relativa ao sistema de referéncia mével a 20 x Toxyz 20 x VPF aceleragaio complementar ou de Coriolis Na Segao 1515 observamos também que as Eqs 1546 e 1548 per Sistema de referéncia em manecem validas quando o sistema de referéncia Axyz movese de ma movimento geral neira conhecida porém arbitrdria em relagdo ao sistema de referéncia fixo OXYZ Fig 1550 desde que 0 movimento de A seja incluido nos termos v a representando a velocidade e a aceleragado absolutas do ponto coincidente P YI v P TPA x Y 4 J 7 x 7 Z O X Z Figura 1550 Sistemas de referéncia rotativos sao particularmente tteis no estu do do movimento tridimensional de corpos rigidos De fato ha muitas situagdes em que uma escolha apropriada do sistema de referéncia ro tativo leva a uma anilise mais simples do movimento do corpo rigido do que seria possivel com eixos de orientagao fixa Problemas Resolvidos 1514 e 1515 D 15248 Sabendo que no instante mostrado na figura a manivela BC tem uma velocidade angular constante de 45 rpm no sentido hordrio determi ne a aceleracao a do ponto A b do ponto D 15249 O rotor de um motor elétrico tem a velocidade de 1800 rpm quando 200 mm 100 mm oe Z P 7 aenergia é desligada O rotor é entio observado até alcangar 0 repou so apés executar 1550 rpm Considerando 0 movimento uniforme Cc mente acelerado determine a a aceleragao angular do rotor b 0 B tempo necessério para o rotor alcangar 0 repouso 15250 O disco de 015 m de raio gira a uma taxa constante w em relagio a 200 mm placa BC que por sua vez gira a uma taxa constante w em torno do eixo y Sabendo que w w 3 rads determine para a posigio mostrada na figura a velocidade e a aceleragao a do ponto D b do ho A ponto F Figura P15248 y A x 015 m p Figura P15250 15251 Um ventilador de um motor de um automével gira em um eixo hori zontal paralelo a diregéo de movimento do automével Quando visto da retaguarda do motor observase que o ventilador gira no sentido horario a uma taxa de 2500 rpm Sabendo que o automével esta vi rando a direita ao longo de uma trajetéria de 12 m de raio a uma velocidade constante de 12 kmh determine a aceleragio angular do ventilador no instante em que 0 automével esta se movendo ao norte Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1023 15252 Um tambor de 100 mm de raio estd preso rigidamente a um cilindro de 180 mm de raio Uma corda é enrolada ao redor do tambor e sua extremidade E é puxada para a direita com velocidade constante de 180 mm 100 mm 400 mms fazendo com que o cilindro role sem deslizar na placa F A Sabendo que a placa F é fixa determine a a velocidade do centro do cilindro b a aceleragao do ponto D do cilindro 15253 Resolva o Problema 15252 considerando que a placa F esta se mo ee E vendo para a direita com velocidade constante de 250 mms Figura P15252 15254 A Agua flui por meio de uma tubulagio curva AB que gira com velo cidade angular de 90 rpm no sentido horario Se a velocidade da agua em relacao a tubulagao é 8 ms determine a aceleracao total de uma particula de 4gua em um ponto P P IS 05m Figura P15254 15255 A barra BC de comprimento 600 mm é conectada por juntas rotula das a um braco rotativo AB e a um colar C que desliza na barra fixa DE Sabendo que 0 comprimento do brago AB é 100 mm e que este gira a uma taxa constante w 10 rads determine a velocidade do colar C quando 6 0 y a a LA Ber AN j a y J 100mm j 400 mm j p JZ D x 00 SF C z m Figura P15255 15256 Resolva o Problema 15255 considerando que 6 90 1024 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 15257 A manivela AB tem uma velocidade angular constante de 15 rads no sentido antihorario Para a posigao mostrada na figura determine a a velocidade angular da barra BD b a velocidade do colar D 25 B D 7 40 mm Qy qt A Le mm Figura P15257 e P15258 15258 A manivela AB tem uma velocidade angular constante de 15 rads no sentido antihorario Para a posigao mostrada na figura determine a a aceleraco angular da barra BD b a aceleragao do colar D 15259 Abarra AB de comprimento 125 mm fixada a barra vertical que gira em torno do eixo y com uma taxa constante w 5 rads Sabendo que o Angulo formado pela barra AB e a vertical cresce a uma taxa constante dBdt 3 rads determine a velocidade e aceleracao da extremidade B da barra quando B 30 1 Lo x 1B Figura P15259 15C1 O disco mostrado na figura tem uma velocidade angular constante de 500 rpm no sentido antihordrio Sabendo que a barra BD tem 250 mm de com primento use um programa de computador para determinar e tragar um grafico considerando valores de de 0 a 360 com incrementos de 30 para a velocida de do colar D e a velocidade angular da barra BD Determine os dois valores de 6 para os quais a velocidade do colar D é nula B of L150 mm Figura P15C1 15C2 Duas barras rotativas esto conectadas por um bloco deslizante P como mostra a figura Sabendo que a barra BP gira com uma velocidade angular cons tante de 6 rads no sentido antihordario use um programa de computador para determinar e tragar um grafico considerando valores de 6 de 0 a 180 para a velocidade angular e a aceleragao angular da barra AE Determine o valor de 6 para o qual a aceleragio angular a da barra AE é maxima e para o valor corres pondente de a E XQ 400 mm P 800 mm Ale Figura P15C2 1026 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 15C3 No sistema bielamanivela de motor mostrado na figura 160 mm e P b 60 mm Sabendo que a manivela AB gira com uma velocidade angular cons tante de 1000 rpm no sentido hordrio use um programa de computador para determinar e tracar um grafico considerando valores de de 0 a 180 com 10 de incremento a da velocidade angular e da aceleragdo angular da biela BD a b da velocidade e da aceleragao do pistao P 1 15C4 A barra AB movese sobre um rolete em C enquanto a extremidade A movese para a direita com uma velocidade constante de 180 mms Usando um programa de computador determine e trace um grafico considerando valores de 6 de 20 a 90 com 5 de incremento da velocidade do ponto B e da aceleragiio A 4 angular da barra Determine o valor de para o qual a aceleragao angular a da Sa Or barra é maxima e para o valor correspondente de a 0 I B Figura P15C3 aA 400 mm a Lo 140 mm AA Figura P15C4 15C5 A barra BC de comprimento 600 mm é conectada por juntas rotuladas aum brago rotativo AB e a um colar C que desliza na barra fixa DE O brago AB é 100 mm e gira em um plano XY com uma velocidade constante de 10 rads Usando um programa de computador determine e trace um grafico conside rando valores de 6 de 0 a 360 para a velocidade do colar C Determine os dois valores de 6 para os quais a velocidade do colar C é nula y oo ZF a LA B A y Ey 400 mm GO a SNe Z 100 mm Figura P15C5 Capitulo 15 Cinemdtica de corpos rigidos 1027 15C6 A barra AB de 625 mm de comprimento esté conectada por juntas ar ticuladas aos colares A e B que deslizam ao longo das duas barras mostradas na figura O colar B se move em direco ao suporte E a uma velocidade constante de 500 mms Representando por d a distancia do ponto C ao colar B use um programa de computador para determinar e tragar o grafico da velocidade do colar A para valores de d de 0 a 375 mm 500 mm A O 225 mm B x Z 300 mm 500 mm D a E Figura P15C6 As turbinas eólicas de três pás similares a da figura de um parque eólico são atualmente o modelo mais comum Neste capítulo você aprenderá a analisar o movimento de um corpo rígido considerando o movimento de seu centro de massa o movimento em relação ao seu centro de massa e as forças externas que atuam sobre ele BeerDinamica16indd 1028 BeerDinamica16indd 1028 050712 1444 050712 1444 Movimento plano de corpos rígidos forças e acelerações C A P Í T U L O BeerDinamica16indd 1029 BeerDinamica16indd 1029 050712 1444 050712 1444 1030 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica l 6 Movimento plano de corpos 161 Introducdo rigidos forcas aceleracoes Neste capitulo e nos Caps 17 e 18 vocé vai estudar a cinética de corpos v rigidos ou seja as relagdes que existem entre as forcas que atuam sobre 161 Introdugao um corpo rigido a forma e a massa desse corpo e o movimento produzido 162 Equagées de movimento Nos Caps 12 e 13 vocé estudou relagées semelhantes assumindo entéao para um corpo rigido que o corpo podia ser considerado como uma particula isto é que sua 163 Quantidade de movimento massa podia ser concentrada em um ponto e que todas as forgas atuavam angular de um corpo rigido nesse ponto A forma do corpo assim como a localizagao exata dos pontos oe movie pla Ie de aplicacgao das forgas serao consideradas agora Além disso vocé vai se 164 ese Principio de preocupar nao apenas com 0 movimento do corpo como um todo mas DAlembert também com o movimento desse corpo em torno do seu centro de massa 165 Um comentario sobre os Nossa abordagem consideraré os corpos rigidos como sendo compos axiomas da mecdnica de tos de um grande ntimero de particulas e utilizar os resultados obtidos no corpos rigidos Cap 14 para o movimento de sistemas de particulas Especificamente 166 Solugdo de problemas duas equagées do Cap 14 serio utilizadas a Eq 1416 2F ma que envolvendo o movimento de elacionaa resultante das forgas externas e a aceleragao do centro de mas um corpo rigido sa G do sistema de particulas e a Eq 1423 SMc He que relaciona 167 Sistemas de corpos rigidos o momento resultante das forgas externas e a taxa de variacao da quanti 168 Movimento plano com dade de movimento angular do sistema de particulas em relagao a G restrigdes Com excegiio da Segio 162 que se aplica ao caso mais geral do mo g SOS de um corpo rigid os resultados deduzidos neste capitulo serao limitados de duas maneiras 1 Eles serao restritos ao movimento plano de corpos rigidos isto é ao movimento no qual cada particula do corpo permanece a uma distancia constante de um plano de referéncia fixo 2 Os corpos rigidos considerados consistirao somente de placas planas e de corpos simétricos em relagao ao plano de referéncia O estudo do movimento plano de corpos tridimensionais nao simétricos e de maneira mais ampla do movimento de corpos rigidos no espaco tridimensional serao abordados no Cap 18 Na Secao 163 definimos a quantidade de movimento angular de um corpo rigido em movimento plano e mostramos que a taxa de variacio da quantidade de movimento angular Hc em relagio ao centro de mas sa igual ao produto Ja do momento de inércia de massa em relagio ao centro de massa I e a aceleracao angular a do corpo O principio de DAlembert introduzido na Segao 164 é usado para provar que as for cas externas que atuam sobre um corpo rigido sao equivalentes a um ve tor ma preso ao centro de massa e a um bindrio de momento Ia Na Secao 165 deduzimos o principio da transmissibilidade usando somente a regra do paralelogramo e as leis de Newton do movimento permitindonos remover esse principio da lista de axiomas Segao 12 necessarios ao estudo da estatica e da dinamica de corpos rigidos Equagoes de diagrama de corpo livre sao introduzidas na Segao 166 e serao usadas na solugao de todos os problemas envolvendo o movimen to plano de corpos rigidos Depois de considerar 0 movimento plano de corpos rigidos ligados entre si na Secao 167 vocé estara preparado para resolver uma varieda de de problemas que envolvem a translagio a rotagao em torno do cen tro de massa e 0 movimento sem restrico de corpos rigidos Na Secao 168 e no restante do capitulo consideraremos a solugdo de problemas que incluem rotagdes em torno de outros pontos que nao o centro de massa 0 movimento de rolamento e outros movimentos planos parcial mente restritos de corpos rigidos Ou de modo mais geral de corpos que tém um eixo principal de inércia que passa pelo centro de massa perpendicular ao plano de referéncia Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1031 162 Equacdes de movimento para um corpo rigido F Fy aos as Yy Considere um corpo rigido sob a agao de varias forgas externas F F N Fy F Fig 161 Podemos assumir que o corpo é constituido de um Go grande nimero n de particulas de massas Am i 1 2 n e aplicar os resultados obtidos no Cap 14 para um sistema de particulas Fig 162 Considerando inicialmente o movimento do centro de massa G do corpo em relaco ao sistema de referéncia newtoniano Oxyz recordamos a Eq Fa 1416 e escrevemos O x F ma 161 onde m é a massa do corpo e a é aaceleragao do centro de massa G Voltan donos agora ao movimento do corpo em relagio ao sistema de referéncia Figura 161 ligado ao centro de massa Gxyz recordamos a Eq 1423 e escrevemos y Mc He 162 onde He representa a taxa de variagao de H a quantidade de movimen Amn to angular em relagio a G do sistema de particulas que formam 0 corpo fr U rigido No que se segue vamos nos referir a H simplesmente como a Cs quantidade de movimento angular do corpo rigido em relagdo a seu cen on tro de massa G As Eqs 161 e 162 juntas expressam que o sistema X das forgas externas é equipolente qo sistema constitutdo do vetor ma liga z do a Ge ao bindrio de momento Hg Fig 163 O x f Ah Fy F Figura 162 ma F Geo G A Figura 163 i ee As Eqs 161 e 162 se aplicam no caso mais geral do movimento Aa C de um corpo rigido No restante deste capitulo contudo nossa anilisese a limitaré ao movimento plano de corpos rigidos isto é a um movimento em que cada particula permanece a uma distancia constante de um pla e 55 9 no de referéncia fixo e assumiremos que os corpos rigidos considerados consistem somente em placas planas e corpos que sao simétricos em re Se lagiio a esse plano de referéncia Assim 0 estudo do movimento planode NE corpos nao simétricos tridimensionais e do movimento de corpos rigidos Sg no espaco tridimensional sera adiado até o Cap 18 SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSss eV Como os sistemas envolvidos atuam sobre um corpo rigido poderiamos concluir neste ES ponto referindonos a Seco 319 que os dois sistemas so equivalentes bem como equi j polentes e utilizar sinais de igualdade em verde em vez de sinais de igualdade preto na Foto 161 O sistema de forgas externas Fig 163 Entretanto se adiarmos essa conclusio seremos capazes de obtéla indepen que atua sobre o homem e a prancha inclui dentemente Segées 164 e 185 eliminando assim a necessidade de incluir 0 principio os pesos a tragdo no cabo de reboque e as da transmissibilidade entre os axiomas da mecAnica Secao 165 forgas exercidas pela dgua e pelo ar 1032 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 163 Quantidade de movimento angular de um vi Am corpo rigido em movimento plano 1 i i Considere uma placa rigida em movimento plano Assumindo que a placa Pe é constitufda de um grande nimero n de particulas P de massas Am e re cordando a Eq 1424 da Segao 145 notamos que a quantidade de mo x vimento angular H da placa em relagio a seu centro de massa G pode ser calculada tomandose os momentos em relagio a G das quantidades de movimento das particulas da placa em seu movimento em relacao aos referenciais Oxy ou Gxy Fig 164 Escolhendo o ultimo método es O crevemos n Figura 164 Ho S xj X v Am 163 il onde rj e v Am representam respectivamente o vetor de posicao e a quantidade de movimento linear da particula P em relagio ao sistema de referéncia ligado ao centro de massa Gxy Mas como a particula perten ce 4 placa temos v w X rj onde w é a velocidade angular da placa no instante considerado Escrevemos n He S x x x r Am il Referindonos a Fig 164 verificamos facilmente que a expressio obtida representa um vetor com a mesma direco e sentido que isto é per endicular a placa e de intensidade igual a wSrAm Recordando que P P 8g i Am q a soma rj Am representa o momento de inércia I da placa em relagio a um eixo perpendicular a placa passando pelo centro de massa conclui mos que a quantidade de movimento angular H da placa em relacao ao seu centro de massa é H lw 164 Diferenciando ambos os membros da Eq 164 obtemos Ho la Ia 165 Portanto a taxa da variagao da quantidade de movimento angular da pla caé representada por um vetor de mesma direcao e sentido que a isto 6 perpendicular a placa e de intensidade Ia Devese ter em mente que os resultados obtidos nesta secgéo foram deduzidos para uma placa rigida em movimento plano Como vocé vera no Cap 18 eles permanecem vilidos no caso do movimento plano de Vik corpos rigidos que sao simétricos em relacao ao plano de referéncia yy Entretanto nao se aplicam ao caso de corpos nao simétricos Ou no caso de movimento tridimensional i io y 7 me Foto 162 Odisco rigido e os bragos de captura do disco rigido sofrem Ou de modo mais geral de corpos que possuem um eixo principal de inércia ligado ao rotagdo em torno do centro de massa centro de massa perpendicular ao plano de referéncia Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1033 164 Movimento plano de um corpo rigido F Principio de DAlembert a Considere uma placa rigida de massa m que se desloca sob a agio de varias forgas externas F F F contidas no plano da placa Fig Go 165 Substituindo o valor de Hg da Eq 165 na Eq 162 e escre vendo as equagées fundamentais do movimento 161 e 162 na for Fs F ma escalar temos DXF ma F may Mg Ila 166 4 x As equagoes de 166 mostram que a aceleragao do centro de mas Figura 165 sa G da placa e sua aceleragéo angular a podem ser facilmente obtidas quando a resultante das forgas externas que atuam na placa e seu mo mento resultante em relagao a G tiverem sido determinados Dadas as condic6es iniciais apropriadas as coordenadas x e y do centro de massa e a coordenada angular 6 da placa podem entao ser obtidas por integragao em qualquer instante t Portanto o movimento da placa é completamente definido pela resultante e pelo momento resultante em relagaéo a G das forcas externas que atuam sobre ela Esta propriedade que sera estendida no Cap 18 ao caso do movi mento tridimensional de um corpo rigido é caracteristica do movimento de um corpo rigido De fato como vimos no Cap 14 0 movimento de um sistema de particulas que nao estio rigidamente ligadas vai em geral depender das forgas externas especificas que atuam sobre as varias parti culas como também das forgas internas Como o movimento de um corpo rigido depende somente da resul tante e do momento resultante das foras externas que atuam sobre ele seguese que dois sistemas de forgas que sdo equipolentes isto é que tém a mesma resultante e 0 mesmo momento resultante séo também equivalentes isto é eles tém exatamente o mesmo efeito sobre um dado corpo rigido Fy Considere em particular o sistema de forcas externas que atuam so F Ama bre um corpo rigido Fig 1662 e 0 sistema das forgas efetivas associadas as particulas que formam esse corpo rigido Fig 166 Foi mostrado na Go Ac Seco 142 que os dois sistemas assim definidos so equipolentes Mas al como as particulas consideradas formam agora um corpo rigido seguese 3 om que os dois sistemas sfio também equivalentes Podemos entao afirmar Ba que as forgas externas que atuam sobre um corpo rigido sao equivalentes a b as forcas efetivas das varias particulas que formam o corpo Essa afirma Figura 166 cao é conhecida como principio de dAlembert devido ao matematico francés Jean le Rond dAlembert 17171783 apesar do enunciado ori ginal de dAlembert ter sido escrito de forma um pouco diferente O fato de o sistema de forgas externas ser equivalente ao sistema de F forgas efetivas foi enfatizado pelo uso de sinais de igualdade em verde ma na Fig 166 e também na Fig 167 onde usando os resultados obtidos F anteriormente nesta secao substitufmos as forgas efetivas por um vetor ma ligado ao centro de massa G da placa e um bindério de momento Ia G A P Ta 3 F Este resultado ja foi deduzido na Segao 319 a partir do principio da transmissibilidade a b Seco 33 Entretanto essa deducao é independente daquele principio e possibilitara sua eliminagao dos axiomas da mecAnica Secao 165 Figura 167 1034 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Fy Translagao No caso particular de um corpo em translacao a acelera ma o angular do corpo é identicamente igual a zero e suas forgas efetivas se Fs reduzem ao vetor ma ligado a G Fig 168 Assim a resultante das forgas externas que atuam sobre um corpo rigido em translagao passa pelo cen o tro de massa do corpo e é igual a ma PF Fy Rotagdo em torno do centro de massa Quando uma placa ou mais genericamente um corpo simétrico em relaco ao plano de referén a cia gira em torno de um eixo fixo perpendicular ao plano de referéncia Figura 167 repetida passando pelo seu centro de massa G dizemos que 0 corpo esta em rota ao em torno do centro de massa Como a aceleragao a é identicamente igual a zero as forcas efetivas do corpo se reduzem ao bindrio Ia Fig Fi nq 169 Assim as forgas externas que atuam em um corpo em rotagao em F torno do centro de massa so equivalentes a um bindério de momento Ia Movimento plano geral Comparando a Fig 167 com as Figs 168 e 169 observamos que do ponto de vista da cinética o movimento plano F mais geral de um corpo rigido simétrico em relagao ao plano de referén Fy cia pode ser substitufdo pela soma de uma translagao e uma rotagéo em torno do centro de massa Devemos notar que esta afirmagao é mais res a b tritiva do que a afirmagao similar feita anteriormente do ponto de vista Figura 168 Translagao da cinemdatica Seco 155 uma vez que agora se requer que o centro de massa do corpo seja escolhido como o ponto de referéncia Referindonos as Eqs 166 observamos que as duas primeiras F equagoes sao idénticas 4s equagdes de movimento de uma particula de massa m sob a acao das forgas dadas F F F Verificamos assim que o centro de massa G de um corpo rigido em um movimento plano se move como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nesse ponto e como Fy se todas as forgas externas atuassem sobre ele Recordamos que este resul tado ja foi obtido na Segio 144 no caso geral de um sistema de particulas particulas essas nao necessariamente ligadas rigidamente Notamos tam b bém como fizemos na Segao 144 que o sistema de forcas externas em geral nao se reduz a um tinico vetor ma ligado a G Portanto no caso geral Figura 169 Rotagao em torno do centro do movimento plano de um corpo rigido a resultante das forcas externas de massa que atuam sobre o corpo ndo passa pelo centro de massa desse corpo Finalmente devemos observar que a tltima das Eqs 166 ainda seria valida se 0 corpo rigido embora sujeito 4s mesmas forgas aplicadas fosse restrito a girar em torno de um eixo fixo passando por G Portanto um corpo rigido em movimento plano gira em torno de seu centro de mas sa como se esse ponto fosse fixo 165 Um comentario sobre os axiomas da mecdnica de corpos rigidos O fato de que dois sistemas equipolentes de forgas externas que atuam sobre um corpo rigido sao também equivalentes isto que tém o mes mo efeito sobre esse corpo rigido ja foi estabelecido na Segao 319 Mas ali ele foi deduzido do principio de transmissibilidade um dos axiomas utilizado em nosso estudo de estatica de corpos rigidos Devese observar que esse axioma nAo foi utilizado no presente capitulo porque a segunda e a terceira leis de Newton do movimento tornaram desnecessaria sua utilizago no estudo da dinamica dos corpos rigidos De fato o principio de transmissibilidade pode agora ser deduzido de outros axiomas utilizados no estudo da mecAnica Este principio es Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1035 tabeleceu sem comprovagio Segio 33 que as condigdes de equilibrio f ou de movimento de um corpo rigido permanecerao inalteradas se uma forga F que atua em um dado ponto do corpo rigido for substituida por E uma forga F de mesma intensidade direcao e sentido mas que atue em um ponto diferente contanto que as duas forgas tenham a mesma linha a de agdo Mas como F e F tém o mesmo momento em relagiio a qualquer Ji ponto dado é evidente que elas formam dois sistemas equipolentes de ws forgas externas Assim podemos agora provar como um resultado do que Jv estabelecemos na secao precedente que Fe F tém o mesmo efeito sobre o corpo rigido Fig 33 J O principio da transmissibilidade pode portanto ser retirado da re lagaio de axiomas requeridos para o estudo da mecAnica do corpo rigido Figura 33 repetida Esses axiomas se reduzem 8 lei do paralelogramo para a adigdo de vetores e as leis de Newton do movimento 166 Solugdo de problemas envolvendo o movimento de um corpo rigido Vimos na Secgao 164 que quando um corpo rigido esté em movimento pla no existe uma relacao fundamental entre as forcas F F F que atuam sobre 0 corpo a aceleracao a de seu centro de massa e a aceleragdo angular a do corpo Esta relagdo que esté representada na Fig 167 na forma de uma equagdo de diagrama de corpo livre pode ser usada para determinar a aceleragdo a e a aceleracao angular a produzidas por um dado sistema de forcas que atuam sobre um corpo rigido ou reciprocamente para determi nar as forgas que produzem um dado movimento do corpo rigido As trés equacoes algébricas de 166 podem ser usadas para resolver os problemas de movimento plano Contudo nossa experiéncia em esta tica sugere que a solugao de muitos problemas envolvendo corpos rigidos pode ser simplificada por uma escolha apropriada do ponto em relagio ao qual sio calculados os momentos das forgas FE preferivel portanto relembrar a relacdo existente entre as forgas e as aceleracdes na forma ilustrada mostrada na Fig 167 e deduzir dessa relagdo fundamental as equagdes dos componentes ou dos momentos que melhor se adaptarem a solugaio do problema em questao my A relagaio fundamental mostrada na Fig 167 pode ser apresentada Fy em uma forma alternativa se adicionarmos as forgas externas um vetor a f de inércia ma com sentido oposto ao de a ligado a Ge um bindério 7 0 de inércia Ia com momento igual em intensidade a Ia e com sentido ofa oc G a oposto ao de a Fig 1610 O sistema obtido é equivalente a zero e diz ri f se que 0 corpo rigido esta em equilibrio dindémico Fy Se o principio de equivaléncia das forgas externas e efetivas é aplica y do diretamente como na Fig 167 ou se 0 conceito de equilibrio dinami co é introduzido como na Fig 1610 0 uso de equagées de diagramas de Figura 1610 corpo livre que mostram vetorialmente a relacao existente entre as forgas aplicadas sobre o corpo rigido e as aceleracgées linear e angular resultan tes apresenta vantagens consideraveis sobre a aplicagdo pura e simples da Eq 166 Essas vantagens podem ser resumidas como segue 1 O uso de uma representagao por figuras fornece um melhor entendi mento do efeito das forgas sobre o movimento do corpo Lembrese de que a tiltima das Eqs 166 é valida somente no caso de movimento plano de um corpo rigido simétrico em relacao ao plano de referéncia Em todos os demais ca sos os métodos do Cap 18 devem ser usados 1036 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica F 2 Esse procedimento possibilita dividir a solugio de um problema de ma dinamica em duas partes na primeira parte a andlise das caracteris Fe ticas cinematicas e cinéticas do problema leva aos diagramas de cor po livre da Fig 167 ou 1610 na segunda o diagrama obtido é usado o para analisar as varias forgas e vetores envolvidos pelos métodos do Cap 3 Ps F 3 Um procedimento unificado é dado para a andlise do movimento pla no de um corpo rigido independentemente do tipo de movimento a b especifico que se considere Enquanto a cinematica dos varios mo Fj vimentos considerados pode variar de um caso para outro a aborda igura 167 repetida re 2 gem da cinética do movimento é consistentemente a mesma Para cada caso serd desenhado um diagrama mostrando as forgas externas o vetor ma associado ao movimento de G e o bindrio Ia associado a F rotagio do corpo em torno de G 4 A resolugao do movimento plano de um corpo rigido em uma transla F cao e em uma rotagado em torno do centro de massa G aqui usada é um conceito basico que pode ser aplicado de modo eficaz em todo o Ta 0 estudo da mecfnica Ela sera usada novamente no Cap 17 com o mé todo de trabalho e energia e com o método de impulso e quantidade F de movimento By 5 Como vocé vera no Cap 18 esse procedimento pode ser estendido ao estudo do movimento geral tridimensional de um corpo rigido O movimento do corpo serd novamente dividido em uma translagio e Figura 1610 repetida em uma rotagao em torno do centro de massa e equacées de diagra mas de corpo livre serao utilizadas para indicar a relago existente entre as forcas externas e as taxas de variagao das quantidades de movimento linear e angular do corpo 167 Sistemas de corpos rigidos O método descrito na segdo anterior também pode ser utilizado em pro blemas que envolvem o movimento plano de varios corpos rigidos uni dos Para cada parte do sistema um diagrama similar ao da Fig 167 ou TTT da Fig 1610 pode ser desenhado As equagées de movimento obtidas a rr partir desses diagramas sao resolvidas simultaneamente oman Bt Em alguns casos como no Problema Resolvido 163 um diagrama 3 i ig tinico pode ser desenhado para todo o sistema Esse diagrama deve in geer i a cluir todas as forgas externas assim como os vetores ma e os bindrios Ia mi ay associados As varias partes do sistema Entretanto forcas internas como A ea as exercidas por cabos de ligagao podem ser omitidas j4 que ocorrem mi Mm Y 1 em pares de forgas iguais e opostas e sao portanto equipolentes a Ze10 lee I i As equagées obtidas expressandose que o sistema de forgas externas é equipolente ao sistema de forgas efetivas podem ser resolvidas para as Foto 163 A empilhadeira ea carga incgnitas restantes Tome de dois corpos rgides conectados Nao é possivel usar este segundo método em problemas que envol em movimento plano vem mais de trés incégnitas j4 que somente trés equacdes de movimento estio disponiveis quando um tinico diagrama é utilizado Nao ha neces sidade de nos alongarmos mais sobre este ponto jé que a discussAo seria similar 4 desenvolvida na Secao 611 para o caso do equilibrio de um sistema de corpos rigidos Note que nao podemos falar de sistemas equivalentes j4 que nao estamos lidando com um tinico corpo rigido CS PROBLEMA RESOLVIDO 161 s oaovmvm ty J Quando a velocidade escalar de avancgo do caminhao mostrado na figura era 12ms Y tJ de 10 ms os freios foram acionados bruscamente fazendo com que as qua L a tro rodas parassem de girar Foi observado que o caminhio derrapou sobre Aba 5 m21 m8 7 m de pista até 0 repouso Determine a intensidade da reagio normal e da forga de atrito em cada roda enquanto o caminhiao derrapava até 0 repouso SOLUCAO Cinematica do movimento Escolhendo o sentido positivo para a direita e usando as equagées de movimento uniformemente acelerado 7 EN escrevemos axo 7 e J 5 10 ms v2 0 2ax 0 10 2a7 a7l4ms2 a714 ms A B Equagées de movimento As forgas externas consistem no peso W do caminhao nas reagdes normais e nas foras de atrito nas rodas Os vetores N e F representam a soma das reacGes nas rodas traseiras enquanto N e F re presentam a soma das reagées nas rodas dianteiras Como 0 caminhio esté em translacio as forgas efetivas se reduzem ao vetor ma ligado a G Trés equagdes de movimento sido obtidas ao expressarse que o sistema de forgas externas é equivalente ao sistema de forcas efetivas 7 SF UF efet Ny NzgW0 Como F N e F Nz onde p 0 coeficiente de atrito cinético GC j iS j encontramos que Fy Fg py Na Ng ppmg Ad Fp SER BFeeet Fa Fp ma Na Ng jymg m714 Las m 21 m BRINE 7 14 5 0798 Uk 981 ma G EN 0 TA EM 4 XM a ofor W5 m Ng36 m ma12 m 0 0 12m WwW 9 Np 0659W Fy 14Np 07280659W Fy 048W 1 DF SlFyeo Na NgW0 N 0659W W 0 N 0341W Fy 14N 4 07280341W F 0248W Reag6es em cada roda Recordando que os valores calculados anterior mente representam a soma das reagées nas duas rodas dianteiras ou nas duas rodas traseiras obtemos as intensidades das reagdes em cada roda escrevendo Nom 4N 03295W N N 01705W P oian aF 024W Pas Fy 0124W PROBLEMA RESOLVIDO 162 J H a EY 150 mm A placa fina ABCD de 8 kg de massa é mantida na posigo mostrada pelo fio BH RS B e pelas duas hastes de conexiio AE e DF Desprezando as massas das hastes de G 7 conexao determine imediatamente apés 0 fio BH ser cortado a a aceleracio da placa e b a forga em cada haste de conexio iQ 200 mm 07 D Cc 500 mm SOLUCAO E Cinemdtica do movimento Depois de o fio BH ter sido cortado ob ka servamos que os cantos A e D se movem ao longo de circunferéncias pa BR 30 ralelas de raios iguais a 150 mm centradas respectivamente em E e F O AU UZ B movimento da placa é portanto uma translagio curvilinea as particulas que formam a placa se movem ao longo de circunferéncias paralelas de 150 mm me stp G Super 60 Va de raio ID mae No instante em que o fio BH é cortado a velocidade da placa é nula 150 vo Assim a aceleracgéo a do centro de massa G da placa é tangente a trajetéria circular que sera descrita por G Equagées de movimento As forcas externas consistem no peso W e nas forgas F e F exercidas pelas hastes de conexfio Como a placa esté em translagiio as forgas efetivas se reduzem ao vetor maligado a G e dirigido ao longo do eixo t Uma equagiio de diagrama de corpo livre é tragada para mostrar que o sistema de forgas externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas Fup a Aceleragdo da placa 2 mm 30 A Bo OF SF eter mn W cos 30 ma N For 30 2 mm mg cos 30 ma Ww 30 4 0s 30 981 ms cos 30 1 DD ty Cc 2 a 850 ms 27 60 250 mn b Forgas nas hastes de conexdo AE e DF A B 100mm n NS LF XFretet Far Fpp W sen 30 0 2 eR oy 2Mc XMaefet 100 mm 30 Y ma Cc Far sen 30250 mm Far cos 30100 mm D t Fpp sen 30250 mm Fpr cos 30100 mm 0 384F ar 2116F pr 0 Fpp 01815F yg 3 Substituindo Fp p de 3 em 2 escrevemos Fp 01815F 4p W sen 30 0 Far 06109W Fppr 0181506109W 01109W Observando que W mg 8 kg981 ms 7848 N temos F 061097848 N F479NT F 5p 011097848 N Fyp870NC 250 mm PROBLEMA RESOLVIDO 163 Uma polia que pesa 6 kg e tem um raio de giragaio de 200 mm esta unida a dois blocos como mostrado na figura Considerando que nao exista atrito no eixo determine a aceleragio angular da polia e a aceleracao de cada bloco 150 mm 5kg LUCA iia SOLUGAO Sentido do movimento Embora um sentido arbitrério para o movi i mento possa ser considerado ja que as forgas de atrito nao estaio envolvidas e posteriormente verificado pelo sinal da resposta é provavel preferirmos determinar em primeiro lugar o sentido real de rotacao da polia O peso do bloco B necessario para manter o equilfbrio da polia quando ela esta sob a ago do bloco A de 25 kg é determinado inicialmente Escrevemos 5 2M 0 mgg150 mm 25 kgg 250 mm 0m 4167 kg aA Como o bloco B pesa realmente 5 kg a polia giraré no sentido antihorario ap Cinematica do movimento Supondo que a tenha o sentido antihora rio e observando que a ra e dg ra obtemos 6g a 025maft ag 015 mal Equagées de movimento Um sistema tnico constituido pela polia e pelos dois blocos é considerado As forgas externas a este sistema sao os pe sos da polia e dos dois blocos e a reacgaio em G As forgas exercidas pelos 5 cabos sobre a polia e sobre os blocos sfo internas ao sistema considerado e se anulam Como o movimento da polia é uma rotago em torno do centro de massa e o movimento de cada bloco é uma translagao as forgas efetivas se reduzem ao bindrio Ie aos dois vetores ma e maz O momento de inércia em torno do centro de massa da polia é 25g maa T mk 6 kg02 m 024 kg m2 5 g mMpag Como o sistema das forcgas externas é equipolente ao sistema de forgas efe tivas escrevemos h Mcg XM efet 5 kg981 ms015 m 25 kg981 ms025m Iat ma015 m ma025 m 73575 61312 024a 5015015 25025a025 a 241 rads a 241 rads a rao 025 m241 rads ay 0603 ms apg rgo 015 m241 rads ag 0362 ms T PROBLEMA RESOLVIDO 164 Uma corda esta enrolada em torno de um disco homogéneo de raio r 05 m 7 e massa m 15 kg Se a corda for puxada para cima com uma forcga T de 05m intensidade igual a 180 N determine a a aceleragiio do centro do disco b A Go a aceleracao angular do disco e c a aceleragiio da corda SOLUCAO 0 i Equagoes de movimento Assumimos que os componentes a e a da ay aceleragéo do centro do disco estio dirigidos respectivamente para a di le reita e para cima e que a aceleragio angular do disco esta no sentido anti a Ax horario As forgas externas que agem no disco consistem no peso W e na J forga T exercida pela corda Esse sistema é equivalente ao sistema de for cas efetivas que consiste em um vetor de componentes ma e ma ligados a Geem um binario Ia Escrevemos DE YF efet 0 ma a0 1 SK DFy eter TWna TW a T Como T 180 N m 15 kge W 15 kg981 ms 1471 N temos ee 180 N1471N LN 2 bee y tke Pet ms a 219 mist 4 Ia i HUM OMG eet TrIa Tr 4 mra 2 2180 N 62 aT 5 kg05m 480 rads oon a 480 rads Aceleragao da corda Como a aceleragio da corda é igual ao compo nente tangencial da aceleracgéo do ponto A no disco escrevemos A Acorda aa a aac 219 ms 1 05 m48 rads 1 Acorda 262 ms t PROBLEMA RESOLVIDO 165 Yo Uma esfera uniforme de massa m e raio r é langada sobre uma superficie horizontal rugosa com uma velocidade linear e velocidade angular nula Representando por py 0 coeficiente de atrito cinético entre a esfera e 0 piso determine a 0 instante em que a esfera comega a rolar sem deslizar e b a velocidade linear e a velocidade angular da esfera no instante SOLUCAO x Equag6es de movimento O sentido positivo é escolhido para 0 a direita para a e no sentido hordrio para As forcas externas que atuam sobre a esfera consistem no peso W na reacio normal N e ee na forga de atrito F Como o ponto da esfera em contato com a su perficie esta deslizando para a direita a forca de atrito F esta dirigi da para a esquerda Enquanto a esfera esta deslizando a intensidade da forga de atrito é F yN As forgas efetivas consistem no vetor ma ligado a G e no bindrio Ia Expressando que o sistema das forgas externas é equiva lente ao sistema das forcas efetivas escrevemos O ve T LF DFy etet NW0 NWmg F pN ppmg F SOEUR UE Fma jymgma a kg N EMe DMeefot Frla Observando que I 2mr e substituindo 0 valor obtido para F escrevemos 22 OER ymgr Zima a oT Cinemadtica do movimento Enquanto a esfera estiver girando e desli zando seus movimentos linear e angular seraio uniformemente acelerados 5 t0 a 0 o oy at04 38 2 A esfera vai comegar a rolar sem deslizar quando a velocidade v do v1 ponto de contato C for zero Nesse instante t t 0 ponto C se torna o D centro instantaneo de rotacAo e temos 0 ra 3 Substituindo em 3 os valores obtidos para 0 e w quando fazemos t t em 1 e 2 respectivamente escrevemos 5 Meg 2 Go Uo Legh 1r5t 0 ksh 5a 1 1 7 png Substituindo o valor de t em 2 temos 5 ig 5 ng 2 By 5 Up 5 vo 2Fko VF ho 0 2 o Oa a A a7 T Kg O17 7 4 r 22 525 vy 25 1TO a 17 Vi 7 METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS E ste capitulo trata do movimento plano de corpos rigidos e nesta primeira ligdo consideramos corpos rigidos que estiao livres para se movimentar sob a acao de forgas aplicadas 1 Forgas efetivas Primeiramente recordamos que um corpo rigido consiste de um grande ntimero de particulas Vimos que as forgas efetivas das particulas que formam 0 corpo sio equiva lentes a um vetor ma ligado ao centro de massa G do corpo e a um bindrio de momento Ia Fig 167 Observando que as forcas aplicadas so equivalentes as forcas efetivas escrevemos FF ma F ma Mc Ia 165 onde e a so os componentes x e y da aceleragao do centro de massa G do corpo e a é a acelera cao angular desse corpo E importante notar que quando essas equagées sao usadas os momentos das forgas aplicadas devem ser calculados em relagdo ao centro de massa do corpo Entretanto vocé aprendeu um método mais eficiente de solugao baseado no uso de uma equagao de diagrama de corpo livre 2 Equacgdo de diagrama de corpo livre Seu primeiro passo para a solugao de um proble ma deve ser desenhar uma equagdo de diagrama de corpo livre a Uma equacdo de diagrama de corpo livre consiste em dois diagramas que repre sentam dois sistemas equivalentes de vetores No primeiro diagrama vocé deve mostrar as forgas exercidas sobre o corpo incluindo as forgas aplicadas as reagdes nos apoios e o peso do corpo No segundo diagrama vocé deve mostrar 0 vetor ma e o binario Ia representando as forgas efetivas b Usar uma equacdo de diagrama de corpo livre permitelhe somar os componen tes em qualquer diregao e somar os momentos em relagéo a qualquer ponto Ao escrever as trés equacgées de movimento necessarias para solucionar um dado problema vocé pode entio selecio nar uma ou mais equagdes envolvendo uma sé incdégnita Solucionando em primeiro lugar essas equacoes e substituindo os valores obtidos para as incdégnitas nas equagaodes restantes vocé teré uma solucao mais simples 3 Movimento plano de um corpo rigido Os problemas que lhe sero apresentados recai rao em uma das seguintes categorias a Corpo rigido em translagdo Para um corpo em translacao a aceleraco angular é igual a zero As forcas efetivas se reduzem ao vetor ma aplicado no centro da massa Problemas Resolvidos 161 e 162 b Rotacdo de um corpo rigido em torno do centro de massa Para uma rotacdo de um corpo em torno do centro de massa a aceleragéo do centro de massa é igual a zero As forgas efetivas se reduzem ao bindrio Ia Problema Resolvido 163 c Corpo rigido em movimento plano geral Vocé pode considerar 0 movimento pla no geral de um corpo rigido como a soma de uma translagdo e de uma rotacdo em torno do centro de massa As forcas efetivas sio equivalentes ao vetor ma e ao bindrio Ia Problemas Resolvidos 164 e 165 4 Movimento plano de um sistema de corpos rigidos Vocé deve primeiramente dese nhar uma equagio de diagrama de corpo livre que inclua todos os corpos rigidos do sistema Um vetor ma e um binario Ia sao ligados a cada corpo Entretanto as forgas exercidas entre si pelos varios corpos do sistema podem ser omitidas j4 que eles ocorrem em pares de forgas iguais e opostas a Sendo mais que trés incdégnitas estado envolvidas vocé pode usar essa equacao de diagrama de corpo livre e somar os componentes em qualquer diregaio e os momentos em rela cao a qualquer ponto para obter equacdes que possam ser solucionadas para as incdgnitas deseja das Problema Resolvido 163 b Se mais de trés incégnitas estado envolvidas vocé deve desenhar uma equagio de diagrama de corpo livre separada para cada um dos corpos rigidos do sistema Tanto as forgas internas como as externas devem ser incluidas em cada uma das equagées de diagrama de corpo livre e vocé deve ter cuidado para representar com vetores iguais e opostos as forgas que dois cor pos exercem um sobre o outro A 161 Um sistema de transporte é equipado com painéis verticais e uma barra AB de 300 mm e de massa 25 kg é depositada entre dois pai néis como mostra a figura Sabendo que a aceleragio do sistema é 15 ms para a esquerda determine a a forga exercida na barra em C C b a reagio em B 162 Um sistema de transporte é equipado com painéis verticais e uma barra AB de 300 mm e de massa 25 kg é depositada entre dois pai néis como mostra a figura Se a barra permanece na posigéo mostrada 200 mm na figura determine a maxima aceleracio admissivel do sistema 163 Um quadro de 2 m é colocado em um caminhio com uma extremidade repousando sobre um bloco preso no piso e a outra apoiada em uma 70 divis6ria vertical Determine a maxima aceleragao admissivel do cami B nhao para que o quadro permaneca na posio mostrada na figura DOQE0IOm 2 B Fi a P161 e P162 78 igur A 78 Figura P163 164 Uma barra uniforme BC de massa 4 kg é conectada a um colar A por uma corda AB de 250 mm Desprezando a massa do colar e da corda determine a a menor aceleracao constante a para a qual a cordae a barra ficarao em linha reta b a tragao correspondente na corda aa p 165 Sabendo que o coeficiente de atrito estatico entre os pneus e a es trada é de 080 para o veiculo mostrado na figura determine a ace leragéo maxima possivel em uma estrada nivelada considerando a A 955mm tracao nas quatro rodas b tracao nas rodas traseiras c trago nas B rodas dianteiras 400 mm A 350 mm 5 am C J 1500 mm Ya Figura P164 1500 mm 1000 ol Figura P165 166 Para o caminhao do Problema Resolvido 161 determine a distancia GC que ele vai derrapar se a os freios traseiros nao funcionarem b os freios dianteiros nao funcionarem 100 N 167 Umarmiario de 20 kg é montado sobre rodinhas que o deixam mover f 09 m se livremente wu 0 sobre o chao Se uma forga de 100 N for apli h cada como mostra a figura determine a a aceleracdo do armario b g w w o intervalo de valores de h nos quais 0 armério nao tombara os n 168 Resolva o Problema 167 considerando que as rodinhas estio trava Figura P167 das e que escorregam no piso dspero 4 025 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1045 169 A empilhadeira mostrada na figura tem a massa de 1125 kg e é usa da para elevar um caixote de massa m 1250 kg Sabendo que a empilhadeira esté em repouso determine a a aceleragio para cima para a qual as reagdes nas rodas traseiras B sejam nulas b a reagao correspondente em cada uma das rodas dianteiras A rr el a im J te e Oo EH a 7 SS Yj SS 12m ltidt Cl B od Loom 1amL vom Figura P169 e P1610 1610 A empilhadeira mostrada na figura tem massa de 1125 kg e é usada para elevar um caixote de massa m 1250 kg A empilhadeira esta se movendo para a esquerda com velocidade de 3 ms quando os freios sao acionados em todas as quatro rodas Sabendo que o coeficiente de 4 atrito estatico entre o engradado e o garfo da empilhadeira é 030 de Ua se termine a menor distancia que a empilhadeira pode utilizar para parar a se o caixote nao desliza e se a empilhadeira nao tomba para frente 1611 Osuporte mostrado na figura é usado para transportar uma lata cilin drica de um nivel de elevacdo para o outro Sabendo que wu 025 f entre a lata e o suporte determine a a intensidade da aceleragio FT para cima a em que a lata vai escorregar no suporte b a menor rela cao hd em que a lata vai tombar antes de escorregar AZ h I 1612 Resolvao Problema 1611 considerando que a aceleragio a do supor te é dirigida para baixo Figura P1611 1613 Considerando que a massa de um barril cheio somado com seu con tetido tem uma massa combinada de 100 kg Um cilindro C é ligado ao barril na altura h 550 mm como mostra a figura Sabendo que wt 040 e w 035 determine 0 peso maximo de C para 0 qual o barril ndo tombara 500 mm 900 mm eG y 450 mm A B G Figura P1613 1046 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1614 Uma placa retangular uniforme tem uma massa de 5 kg e é mantida na posigéo por trés cordas como mostrado na figura Sabendo que 6 30 determine imediatamente depois da corda CF ter sido cor tada a a aceleragao da placa b a trago nas cordas AD e BE D EW 0 tS 0 rS A B 240 mm Cc F o 300 mm id L Figura P1614 e P1615 C 5 1615 Uma placa retangular uniforme tem massa de 5 kg e é mantida na za posigao por trés cordas como mostrado na figura Determine o maior oN B valor de 6 para que ambas as cordas AD e BE permanecam esticadas TE para q P a imediatamente depois da corda CF ter sido cortada eA G y 1616 Um prato uniforme circular de massa de 3 kg é unido a duas hastes Ne D de conexaéo AC e BD de mesmo comprimento Sabendo que o prato a é solto a partir do repouso na posigao mostrada na figura determine Figura P1616 a a aceleraciio do prato e b a tracio em cada haste de conexiio C Pp 1617 Trés barras cada uma de massa de 4 kg so soldadas juntas e unidas mm por pinos a duas hastes de conexiio BE e CF Desprezando o peso das hastes de conexao determine a forga em cada haste de conexdo A D imediatamente depois do sistema ser liberado do repouso 1618 No instante mostrado na figura a velocidade angular das hastes de 400 mm conexao BE e CF é de 6 rads no sentido antihordrio e esta dimi nuindo a uma taxa de 12 rads Sabendo que o comprimento de cada haste de conexio é de 300 mm e desprezando o peso das hastes de B C conexio determine a a forca P e b a forga correspondente em ale 3 cada haste de conexao A massa da barra AD é de 6 kg jn 50 4 50 Lt Ee Fe 30 i E 30 ld F Figura P1617 y y BY oy D P A y 8 y 09 m 06 m 02 m Figura P1618 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1047 1619 Uma barra BC de 75 kg conectase a um disco centrado em A e na 5 750 mm 30 manivela CD Sabendo que o disco é colocado para rodar a uma velo B C cidade constante de 180 rpm determine para a posigao mostrada na NX figura a componente vertical das forgas exercidas na barra BC pelo 30 Pug mm pino em b00 am 1620 Uma estrutura soldada triangular ABC é guiada por dois pinos que deslizam livremente em rasgos curvos paralelos de raio 150 mm cor Figura P1619 tados em uma placa vertical A estrutura soldada tem uma massa de 8 kg e seu centro de massa é localizado no ponto G Sabendo que no instante mostrado na figura a velocidade de cada pino é 750 mms para baixo ao longo dos rasgos determine a a aceleragiio da estrutu ra soldada b as reagdes em A e B aa mm oe 75 mm F 150 mm 60 N Figura P1620 1621 Desenhe os diagramas de esforgo cortante e de momento fletor da barra AB do Problema 1617 A 1622 Desenhe os diagramas de esforgo cortante e de momento fletor da 5 barra de conexio BC do Problema 1619 Jian sg Ama G e 1623 Para uma placa rigida em translacaio mostre que o sistema das for 7 Le cas efetivas consiste de vetores Ama unidos as varias particulas da placa onde a é a aceleracao do centro de massa G da placa Mostre também calculando sua soma e a soma de seus momentos em relacdo Figura P1623 a G que as forcas efetivas sio reduzidas a um tinico vetor ma ligado em G Am Xr 1624 Para uma placa rigida em rotagéo em torno do centro de mas i sa mostre que o sistema de forgas efetivas consiste de vetores Aim Amwr e Am X rj ligados as varias particulas P da placa onde w e a sio a velocidade angular e a aceleragio angular da placa e onde rj representa a posigao da particula P em relagio ao seu centro 7 de massa G Mostre também calculando sua soma e a soma de seus momentos em relagao a G que as forgas efetivas se reduzem a um bindrio Ia Figura P1624 1625 Um volante de motor de 3000 kg leva 10 minutos para desacelerar até o repouso a partir de uma velocidade angular de 300 rpm Sa bendo que o raio de giragao do volante é de 900 mm determine a intensidade média do bindrio devida ao atrito cinético nos mancais 1048 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1626 O rotor de um motor elétrico tem uma velocidade angular de LE 3600 rpm quando a carga e a energia elétrica sio desligadas O rotor de 50 kg que tem um raio de giragao em relagio ao centro de massa de 180 mm entiio gira desacelerando até 0 repouso Sabendo que o 180 mm atrito cinético resulta em um bindrio de intensidade 35 N m exer Ag cido sobre o rotor determine o ntimero de revolugées que o rotor executa antes de chegar ao repouso 1627 Um disco de raio 180 mm esté em repouso quando é colocado em Se 4 contato com uma correia em movimento com velocidade constante 60 Desprezando o peso da haste de conexéo AB e sabendo que o coefi f ho B ciente de atrito cinético entre o disco e a correia é 040 determine a aceleragdo angular do disco enquanto ocorre o deslizamento Figura P1627 1628 Resolva o Problema 1627 considerando que a diregao do movimento da correia é revertida 1629 Um tambor de freio de 150 mm é ligado a um volante de motor maior 80 mm que nao é mostrado na figura O momento de inércia total da massa A do tambor e do volante é 75 kg m Uma cinta de freio é utilizada 7c para controlar o movimento do sistema e o coeficiente de atrito ciné B Ke s0 mm tico entre a cinta e o tambor é 025 Sabendo que a forca P de 100 N 150 mm é aplicada quando a velocidade angular inicial do sistema é 240 rpm BE no sentido hordrio determine o tempo requerido para o sistema pa rar Mostre que o mesmo resultado é obtido se a velocidade angular 320 mm inicial do sistema é 240 rpm no sentido antihorario 1630 Otambor de freio de 200 mm de raio é unido a um volante maior que pu P nao esta mostrado na figura O momento de inércia total da massa do tambor e do volante é de 20 kg m e 0 coeficiente de atrito cinético Figura P1629 entre o tambor e a sapata de freio é 035 Sabendo que a velocidade angular do volante é de 360 rpm no sentido antihorario quando a forga P de intensidade 400 N é aplicada ao pedal C determine o nti mero de revolugées executadas pelo volante antes de ele parar 150 mm 4 250 mm Gg L zB D 7 0 mm cS QS C 400 mm Figura P1630 1631 Resolva o Problema 1630 considerando que velocidade angular ini cial do volante é de 360 rpm no sentido horario Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1049 1632 O volante de motor mostrado na figura tem um raio de 500 mm massa de 120 kg e um raio de giragéo de 375 mm Um bloco A de 15 kg é preso a um fio que é enrolado em torno do volante e 0 sis tema é solto a partir do repouso Desprezando o efeito do atrito determine a a aceleracao do bloco A b a velocidade do bloco A depois de ele ter se deslocado 15 m 1633 Para poder determinar o momento de inércia de massa de um volante de raio de 600 mm um bloco de 12 kg é ligado a um fio que é enrolado em torno do volante de motor O bloco é solto e observase que ele cai 3 mem 46 s Para eliminar 0 atrito do mancal dos calculos um segun do bloco de massa 24 kg é usado e observase que ele cai 3 m em 31 s Considerando que 0 momento do binario devido ao atrito permanece constante determine 0 momento de inércia de massa do volante A 1634 Cada uma das roldanas duplas mostradas na figura tem um momento de P1632 Pl inércia de massa de 20 kg m e esté inicialmente em repouso O raio ex Figura P1632 e P1633 terno é de 500 mm e 0 interno de 250 mm Determine a a aceleragao angular de cada uma das roldanas b a velocidade angular de cada uma das roldanas depois do ponto A na corda ter se deslocado 3 m eo eo eo e A AO AO AO 800 N 800 N 2300N L500N 400N 1 2 3 4 Figura P1634 1635 Cada uma das engrenagens A e B tem massa de 10 kg e um raio de giragiéo de 150 mm a engrenagem C tem uma massa de 25 kg e um raio de giracio de 60 mm Se o bindrio M de intensidade constante 6 N m é aplicada 4 engrenagem C determine a a aceleracgao an gular da engrenagem A b a forga tangencial que a engrenagem C exerce na engrenagem A B fb 200 mm r P Y Cc 80 mm Figura P1635 1636 Resolva o Problema 1635 considerando que o bindrio M é aplicado ao disco A 1050 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1637 e 1638 Dois discos uniformes e dois cilindros sio montados como in dicado na figura O disco A tem a massa de 10 kg e 0 disco B tem a massa de 8 kg Sabendo que o sistema é liberado do repouso deter mine a aceleracao a do cilindro C b do cilindro D 6 Oa 1637 Os discos A e B sao aparafusados juntos e os cilindros sio joo gpN ligados em cordas separadas enroladas nos discos a 1638 Os cilindros sfo ligados a uma tinica corda que passa so 200mm 150i bre os discos Considere que nenhum escorregamento e al eo ocorre entre a corda e os discos i A B e 50 iim 200 mm C 6kg 9kg D Figura P1637 Figura P1638 1639 O disco A tem massa de 6 kg e velocidade angular inicial de 360 rpm no sentido hordrio o disco B tem massa de 3 kg e esta inicialmente em repouso Os discos so ligados aplicandose uma forga horizontal de intensidade 20 N ao eixo do disco A Sabendo que yy 015 entre os discos e desprezando 0 atrito no mancal determine a a aceleracéo angular de cada disco b a velocidade angular final de cada disco A 80 mm 60 mm S a P Figura P1639 1640 Resolva o Problema 1639 considerando que o disco A esta inicial mente em repouso e que o disco B tem uma velocidade angular de Fl 360 rpm no sentido horario Le ahs 100 mm 1641 Uma correia de massa desprezivel passa entre os cilindros A e B e é puxada para a direita com a forga P Os cilindros A e B tém res pectivamente massa de 25 e 10 kg O eixo do cilindro A é livre para Pod deslizar no rasgo vertical e os coeficientes de atrito entre a correia e B A cada cilindro sao pw 050 e py 040 Para P 18 N determine a se ocorre ou no deslizamento entre a correia e um dos cilindros b a aceleracao angular de cada cilindro Figura P1641 1642 Resolva o Problema 1641 para P 10 N Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1051 1643 O disco A de 3 kg tem raio r 75 mm e velocidade angular inicial 375 rpm no sentido hordario O disco B de 75 kg tem um raio rz 125 mme esté em repouso Uma forga P de 125 N de intensida de é entiio aplicada para pdr os discos em contato Sabendo que p 025 entre os discos e desprezando o atrito do mancal determine a P a aceleragéo angular de cada disco b a velocidade angular final de cada disco L eee 1644 Resolva o Problema 1643 considerando que o disco A esta inicial mente em repouso e que o disco B tem uma velocidade angular de 375 rpm no sentido horario 2 B 1645 O disco B tem uma velocidade angular w quando ele é posto em cL contato com o disco A que esta em repouso Mostre que a as velo B p cidade angulares finais dos discos sio independentes do coeficiente f de atrito 44 entre os discos desde que pu 0 D avelocidade angular Figura P1643 e P1645 final do disco B depende somente de e da razio das massas m e mz dos dois discos 1646 Mostre que o sistema de forgas efetivas para uma placa rigida em movimento plano é reduzido a um tinico vetor e expresse a distncia do centro de massa G da placa a linha de agio desse vetor em termos do raio de giragéo em torno do centro de massa k da placa da inten sidade a da aceleragio de G e da aceleragio angular a Am X r P AmJa 1647 Para uma placa rigida em movimento plano mostre que o siste So ma das forcas efetivas consiste dos vetores Ama Amwr e Am or Jr 2 Am X 4 ligados as varias particulas P da placa onde a é a ace 7 leragao do centro de massa G da placa w é a velocidade angular da ct placa a é sua aceleragio angular e rj representa o vetor de posigio XK da particula P em relagaio a G Mostre também calculando sua soma NES e a soma de seus momentos em relagao a G que as forgas efetivas se reduzem a um vetor ma ligado a G e a um binario Ia Figura P1647 1648 Uma barra delgada uniforme AB repousa sobre uma superficie hori zontal sem atrito e uma forga P de intensidade igual a 1 N é aplicada em A em uma diregio perpendicular a barra Sabendo que a barra tem peso de 9 N determine a aceleragiio a do ponto A b do ponto B y A a Figura P1648 1649 a No Problema 1648 determine o ponto da barra AB onde a forga P deve ser aplicada para a aceleragio do ponto B ser igual a zero b Sabendo que P 1 N determine a aceleragéo correspondente do ponto A 1052 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1650 e 1651 Uma forca P de intensidade igual a 3 N é aplicada a uma fita enrolada em torno do corpo indicado na figura Sabendo que 0 corpo repousa sobre uma superficie horizontal sem atrito determine a ace leragao a do ponto A b do ponto B 1650 Para um pequeno aro de massa de 24 kg 1651 Para um disco uniforme de massa 24 kg y y fa B Z LL r G ZA NS J p x Sy x P P Figura P1650 Figura P1651 e P16 52 4 g60 mm 1652 Uma forga P é aplicada a uma fita enrolada em torno de um disco uniforme que repousa sobre uma superficie horizontal sem atrito Mostre que para cada 360 de rotagiio do disco 0 centro do disco vai S14 distancia d fas se mover uma distancia de tr L A Af wN T 1653 Um satélite de 120 kg tem um raio de giracgio de 600 mm com relagio x x ao eixo y e é simétrico em relagio ao plano zx Sua orientacgio é mo 4 7 T W if dificada pelo acionamento de quatro pequenos foguetes A B C e D A cada um produzindo um impulso T de 1620 N dirigidos como mostra a figura Determine a aceleracao angular do satélite e a aceleragéio de 2 seu centro de massa G a quando todos os quatro foguetes sao acio D sa i Figura P1653 nados b quando todos os foguetes exceto D sao acionados 1654 Uma placa retangular de massa 5 kg é suspensa por quatro arames verticais e a forca P de intensidade 6 N é aplicada no canto C como mostra na figura Imediatamente depois que P é aplicada determine a aceleracao a do ponto médio da borda BC b do canto B 74 a 400 D a B x P C Figura P1654 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1053 1655 Uma roda dentada de 3 kg tem um raio de giracdo do centro de massa de 70 mm e é suspensa por uma corrente como mostra a figura Determine a aceleracdo dos pontos A e B da corrente sa bendo que T 14NeT 18N AQ Os QO T 4 Tz 80 mm x 80 mm Q Q f Q Q Q O 8 Jo 5 m O Figura P1657 oO O e 6 oN SP a6 a0 COP f f Figura P1655 A 4m B 1656 Resolva o Problema 1655 considerando que T 14N e T 12N 1657 e 1658 Uma viga de 5 m pesando 2500 N é abaixada por meio de dois cabos que sao desenrolados de guindastes suspensos A medida que a viga se aproxima do chao os operadores dos guindastes apli 5m cam os freios para reduzir a velocidade desse movimento de desen rolar dos cabos Sabendo que a desaceleragio do cabo A é de 6 ms Figura P1658 e que a desaceleracao do cabo B é de 1 ms determine a tensiio em cada cabo Ta 1659 O rolo de aco mostrado na figura tem massa de 1200 kg e raio de giracdo do centro de massa de 150 mm e é elevado por dois cabos All ip dobrados sobre seu eixo Sabendo que cada cabo T 3100 N e Ty T 3300 N determine a a aceleracio angular do rolo b a B aceleracao de seu centro de massa All iB 1660 O rolo de ago mostrado na figura tem massa de 1200 kg e raio de giracao do centro de massa de 150 mm e é elevado por dois cabos dobrados sobre seu eixo Sabendo que no instante mostrado na figu VU z 100 mm ra a aceleragio do rolo é 150 mms para baixo e que para cada cabo T 3000 N determine a a correspondente tragio de T b a aceleracao angular do rolo Figura P1659 e P1660 1054 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1661 Puxando a corda do ioid uma pessoa consegue fazer 0 ioié girar en quanto permanece na mesma altura acima do chao Indicando a mas sa do ioid por m o raio de tambor interior onde a corda é enrolada por re o raio de giracao do centro de massa do ioié por k determine a aceleracao angular do ioié f Figura P1661 e P1662 1662 O ioid de 100 g mostrado na figura tem um raio de giracao do centro g girag de massa de 30 mm O raio do tambor interno onde a corda é enrola 2 3 da é de 6 mm Sabendo que no instante mostrado a aceleragao do ioid Ss 7 2 Ss éde 1 ms para cima determine a a tragio T necessaria na corda Ss Ss b a aceleragao angular correspondente do ioid A B 1663 4 1665 Uma viga AB de massa m e de secio reta uniforme é suspensa a partir de duas molas como mostra a figura Se a mola 2 quebra J L determine nesse instante a a aceleracio angular da viga b a acele Figura P1663 racao do ponto A c a aceleragao do ponto B WwW Ww Lod Lal 5 CF S S Dy ig 9 Dp W Dp aww S S 30 ii PW 30 Jif Fy 4 e L L L L L L 3 3 3 3 3 3 Figura P1664 Figura P1665 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1055 1666 a 1668 Uma placa fina com a forma indicada na figura e de massa m é suspensa a partir de duas molas como mostra a figura Se a mola 2 quebra determine a aceleragao nesse instante a do ponto A b do ponto B 1666 Para uma placa circular de diametro b 1667 Paraum aro fino de didmetro b 1668 Para uma placa quadrada de lado b Ss S 2 A B A B J B Figura P1666 Figura P1667 Figura P1668 1669 Um jogador de boliche langa uma bola de 200 mm de diametro e massa de 6 kg ao longo de uma pista com uma velocidade para frente Vo v de 5 ms e uma rotagio para tras w de 9 rads Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é de 010 determi ne a o instante em que a bola vai comegar a rolar sem deslizamen to b a velocidade escalar da bola no instante c a distancia que a bola ira percorrer no instante Figura P1669 1670 Resolva o Problema 1669 considerando que o jogador de boliche lan ca a bola com a mesma velocidade para frente mas com uma rotagao para tras de 18 rads 1671 Umaesfera de raio r e massa m é langada ao longo de uma superficie horizontal rugosa com as velocidades iniciais indicadas na figura Se a velocidade final da esfera for zero expresse em termos de vo re fy a a intensidade requerida de w b 0 instante para a esfera parar c a distancia que a esfera percorrera antes de parar EEE 1672 Resolva o Problema 1671 considerando que a esfera é substituida Figura P1671 por um aro fino uniforme de raio r e massa m 1673 Umaesfera homogénea de raio r e massa m colocada com velocida de inicial nula sobre uma correia que se move para a direita com uma velocidade constante v Representando por p 0 coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a correia determine a o instante em que a esfera comegara a rolar sem deslizar b as velocidades linear e an gular da esfera no instante Figura P1673 1674 Umaesfera de raio r e massa m tem uma velocidade linear vy dirigida para a esquerda e velocidade angular nula no momento em que ela é colocada sobre uma correia que se move para a direita com uma velocidade constante v Se depois de primeiro deslizar sobre a cor reia a esfera tiver velocidade linear relativa ao chio nula no momento Yo em que ela comegar a rolar na correia sem deslizar determine em termos de v e do coeficiente de atrito cinético p entre a esfera ea correia a o valor necessario para Ug b o instante t em que a esfera vai comegar a rolar sobre a correia c a distancia que a esfera tera percorrido relativa ao chao no instante Figura P1674 1056 Mec4nica vetorial para engenheiros dinamica 168 Movimento plano com restrigées A maioria das aplicagdes de engenharia trata de corpos rigidos que es tao em movimento sob a agio de determinadas restrigdes Por exemplo manivelas tém de girar em torno de um eixo fixo rodas devem rolar sem deslizar e barras de ligagio devem descrever certos movimentos pres critos Em todos esses casos existem relagdes definidas entre os com ponentes da aceleragao a do centro de massa G do corpo considerado e sua aceleragao angular a o movimento correspondente é chamado de movimento restrito A solugéo de um problema envolvendo um movimento plano restrito Ly 4 exige em primeiro lugar uma andlise cinemdtica do problema Considere K8 por exemplo uma barra delgada AB de comprimento e massa m cujas extremidades esto ligadas a blocos de massa desprezivel que deslizam ao eyes Il longo de trilhos horizontais e verticais sem atrito A barra é puxada por TKO a 00 wma forga P aplicada em A Fig 1611 Sabemos a partir da Segao 158 a JS que a aceleracao a do centro de massa G da barra pode ser determinada ay em qualquer instante dado a partir da posigao da barra de sua veloci 000 A dade angular e de sua aceleragao angular nesse instante Suponha por hell exemplo que os valores de 6 w e a sfio conhecidos num dado instante e Figura 1611 que queremos determinar o valor correspondente da forga P como tam bém as reagdes em A e B Devemos primeiro determinar os componentes a e a da aceleragdo do centro de massa G pelo método da Segao 158 A seguir aplicamos o principio de dAlembert Fig 1612 utilizando as express6es obtidas para a ed As forgas desconhecidas P N e Nz podem ser determinadas escrevendose e solucionandose as equagées apropriadas B Nz Ta G AW may Ww A P Na Figura 1612 Suponha agora que a forga aplicada P 0 Angulo 6 e a velocidade an gular w da barra sao conhecidos em um dado instante e que queremos determinar a aceleragéo angular a da barra e os componentes e d da aceleracao de seu centro de massa nesse instante como também as reagoes em A e B O estudo cinemitico preliminar do problema tera por objetivo expressar os componentes a e a da aceleragdo de G em termos da aceleragao angular a da barra Isso sera feito em principio expressan dose a aceleragao de um ponto de referéncia adequado como o ponto A em termos da aceleragao angular a Os componentes e a da acele racao de G podem entao ser determinados em fungio de a e as expres sdes obtidas carregadas para a Fig 1612 Trés equagdes podem entio ser Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1057 deduzidas em termos de a N e N e resolvidas para as trés incégnitas ver o Problema Resolvido 1610 Observe que 0 método de equilibrio B dinamico também pode ser usado para efetuar a solugao dos dois tiposde 5 problemas que tinhamos considerado Fig 1613 pores Quando um mecanismo consiste de vdrias partes moéveis 0 méto do recém descrito pode ser utilizado para cada parte do mecanismo O la procedimento requerido para determinar as varias incdgnitas 6 entao ma G similar ao procedimento seguido no caso do equilibrio de um sistema de corpos rigidos ligados Segao 611 JA analisamos anteriormente dois casos particulares de movimen Ww to plano restrito a translacao de um corpo rigido na qual a aceleragao A angular do corpo é restringida a zero e a rotagao em torno do centro de massa em que a aceleragao a do centro de massa do corpo é res Na tringida a ser zero Dois outros casos particulares de movimento plano Figura 1613 restrito sao de especial interesse a rotagdo em torno de ponto diferen te do centro de massa de um corpo rigido e 0 movimento de rolamento de um disco ou uma roda Esses dois casos podem ser analisados por um dos métodos gerais descritos anteriormente Entretanto em vis ta da extensao de suas aplicagdes eles merecem alguns comentarios especiais Rotagdao em torno de um ponto diferente do centro de massa O movimento de um corpo rigido restrito a girar em torno de um eixo fixo que a ra nao passa por seu centro de massa é chamado rotagdo em torno de um ponto WG diferente do centro de massa O centro de massa G do corpo se desloca ao anE ro Ss longo de uma circunferéncia de raio r centrada no ponto O onde o eixo a a de rotacao intercepta o plano de referéncia Fig 1614 Representando Nol respectivamente por w e a a velocidade angular e a aceleraco angular da linha OG obtemos as seguintes expresses para os componentes tangencial e normal da aceleracao de G Figura 1614 qra GTw 167 Como a reta OG pertence ao corpo sua velocidade angular w e sua ace leragao angular a também representam a velocidade angular e a acelera cao angular do corpo em seu movimento em relagao a G As Eqs 167 definem portanto a relagaio cinematica existente entre o movimento do centro de massa G e o movimento do corpo em torno de G Elas devem ser utilizadas para eliminar a e a das equagées obtidas pela aplicagao do principio de dAlembert Fig 1615 ou pelo método do equilibrio dinamico Fig 1616 F ma D may a a AaG Man NM SS 0 0 Ae Ta may R F Woe OF pe R Riv y Wie F3 a b IR Figura 1615 Figura 1616 1058 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Fy Fy may la G May Qa O Mh R Fs SS o R a b Figura 1615 repetida Uma relacao interessante é obtida igualandose os momentos em re lagdo ao ponto fixo O das forgas e vetores mostrados respectivamente nas partes a e b da Fig 1615 Escrevemos 7 7 2 Mo Ia mrar I mra 7 Mas de acordo com 0 teorema dos eixos paralelos temos I mr Io onde I representa o momento de inércia do corpo rigido em torno do eixo fixo Portanto escrevemos Embora a Eq 168 expresse uma importante relagao entre a soma dos momentos das forgas externas em relagio ao ponto fixo O e o produto Ia deve ser claramente entendido que essa equacao nao significa que o sistema das forgas externas é equivalente a um binério de momento Ia O sistema de forgas efetivas e portanto o sistema de forgas externas se reduz a um bindrio somente quando O coincide com G ou seja so mente quando a rotagao é em torno do centro de massa Segio 164 No n Fp 4 F caso mais geral de rotagao em torno de um ponto diferente do centro de massa 0 sistema de forgas externas nao se reduz a um binario Aa 0 Um caso particular de rotagéo em torno de um ponto diferente do la ma centro de massa é de especial interesse 0 caso da rotado uniforme o Ke no qual a velocidade angular w é constante Como a é zero o bindrio Res de inércia na Fig 1616 desaparece e o vetor de inércia se reduz a seu P 3 Z 2 1k componente normal Esse componente também chamado forga centri fuga representa a tendéncia que o corpo rigido tem de escapar do eixo Figura 1616 repetida d e rotagao Movimento de rolamento Outro caso importante de movimento plano é 0 movimento de um disco ou roda que rola sobre uma superficie plana Se o disco é restringido a rolar sem deslizar a aceleragao a de seu centro de massa G e sua aceleracdo angular a nao sao independentes Considerando que o disco esta balanceado de modo que seu centro de massa coincide com seu centro geométrico escrevemos em primeiro lu gar que a distancia x percorrida por G durante uma rotagio 6 do disco é x r onde r é 0 raio do disco Diferenciando essa relacdo duas vezes escrevemos ara 169 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1059 Recordando que o sistema das forgas efetivas no movimento plano Ww se reduz a um vetor ma e a um bindrio Ia encontramos que no caso p particular do movimento de rolamento de um disco balanceado as forgas oA rex efetivas se reduzem a um vetor de intensidade mra ligado a G e a um bi nario de intensidade Ia Podemos entio dizer que as forgas externas so C equivalentes ao vetor e ao bindrio mostrado na Fig 1617 Quando um disco rola sem deslizar nao ha movimento relativo entre B o ponto do disco que esté em contato com o chio e o proprio chao As N sim no que concerne ao calculo da forga de atrito F um disco que rola Figura 1617 pode ser comparado a um bloco em repouso sobre uma superficie A intensidade F da forga de atrito pode ter qualquer valor desde que este valor nao exceda o valor maximo F wN onde p é 0 coeficiente de atrito estatico e N é a intensidade da forca normal No caso de um disco que rola a intensidade F da forga de atrito deve portanto ser determina da independentemente de N pela resolugao da equacao obtida a partir da Fig 1617 ral aan Quando o deslizamento é iminente a forga de atrito alcanga seu valor 4 w i iC maximo F uN e pode ser obtida de N f ee ben Quando o disco rola e desliza ao mesmo tempo existe um movimen an mes We to relativo entre o ponto do disco que esté em contato com o chiio e o E a AV proprio chao e a forca de atrito tem intensidade F N onde p 0 oa 1 coeficiente de atrito cinético Nesse caso entretanto o movimento do SS 4 mi a centro de massa G do disco e a rotagiio do disco em torno de G sao inde g BI PoE 4 pendentes e a nao é igual ara Si aa Esses trés casos diferentes podem ser resumidos assim Rolamento sem deslizamento FpsN ara ae Rolamento com deslizamento iminente F pN a ra NX Rotagio e deslizamento F Na e aindependentes Quando nao se sabe se o disco desliza ou nao devese primeiro consi I derar que o disco rola sem deslizar Se F é constatado como sendo menor ou igual a uN a suposicao estard correta Se F for constatado como sen Foto 164 Quando a bola bate na pista do maior do N ica tard incorret roblema devera de boliche ela primeiro gira e desliza para que uN a suposigao estaré incorreta e o problema devera 4 toler sem deslizar ser revisto considerandose a rotagio e o deslizamento P Quando um disco esta desbalanceado ou seja quando seu centro de massa G nao coincide com seu centro geométrico O a relagao 169 entre e a nao se verifica Entretanto uma relacao similar se verifica entre a intensidade a da aceleracao do centro geométrico e a aceleracao angular a de um disco desbalanceado que rola sem deslizar Temos do ra 1610 Para determinar a em termos da aceleracao angular a e da velocidade angular w do disco podemos usar a formula da aceleracao relativa Ye aacaqt ago G ao ao ago Acion 1611 agios onde os trés componentes da aceleragao obtida tém as diregdes e sen Cc tidos indicados na Fig 1618 e as intensidades do ra ago OGa e agion OGa Figura 1618 Mh PROBLEMA RESOLVIDO 166 Q A A parte AOB de um mecanismo consiste em uma barra de ago OB de 400 mm D 2 soldada a uma engrenagem E de raio de 120 mm que pode girar em torno de um eixo horizontal O Ela é acionada por uma engrenagem D e no instante 400 mm mostrado na figura tem uma velocidade angular de 8 rads no sentido horario e uma aceleragao angular de 40 rads no sentido antihorario Sabendo que a barra OB tem massa de 3 kg e a engrenagem E tem massa de 4 kg e um raio de B giragéio de 85 mm determine a a forga tangencial exercida pela engrenagem D sobre a engrenagem E e b os componentes da reaciio no eixo O SOLUCAO Na determinagao das forgas efetivas do corpo rigido AOB a engrenagem E e a barra OB serao consideradas separadamente Portanto os componentes a da aceleragiio do centro de massa Go da barra seraio determinadas em pri Tt é meiro lugar 0200 m 08n Gop Fa 0200 m40 rads 8 ms 1g I Gogn Fw 0200 m8 rads 128 ms agp Equagées de movimento Dois esbogos do corpo rigido AOB foram tragados O primeiro mostra as forgas externas que consistem no peso W B da engrenagem E no peso Wo da barra OB na forga F exercida pela engre nagem D e nos componentes R e R da reagao em O As intensidades dos pesos sao respectivamente 0190 Wr mpg 4 kg981 ms 392 N mm I Wos Mogg 3 kg981 ms 294 N W B O segundo esbogo mostra as forgas efetivas que consistem de um binario Ia visto que a engrenagem E esté em rotagao em torno de seu centro de y i E q grenag A g 7 E O massa e de um bindrio e dois componentes vetoriais no centro de massa de 0200 E mdz onn OB Como as aceleragées so conhecidas calculamos as intensidades desses ate componentes e bindrios Gos to G Mopopt 8 Tp mpkpa 4 kg0085 m40 rads 1156 Nm Wop Tope Mopdog 3 kg8 ms 240 N B B mopGopn 3 kg128 ms 384N Togo 45 Mogl a 3 kg0400 m40 rads 1600 Nm Expressando que o sistema de forcas externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas escrevemos as seguintes equagoes Mo SMoefet F0120 m Tra mogGop0200 m Toga F0120 m 1156 Nm 240 N0200 m 1600 Nm F630N F630 N SUF UFyefet Ry monGoss R 240N R240N 7 UF UF eter Ry F We Wop Moposn Ry 630 N 392 N294N 384N Ry 1700N R 1700 N ft PROBLEMA RESOLVIDO 167 A B ee Uma placa retangular de 300 400 de massa 30 kg esta suspensa por dois pinos A e B Se 0 pino B for removido repentinamente determine a a 300 mm aceleracgéo angular da placa e b os componentes da reagiio no pino A ime diatamente apés 0 pino B ter sido removido 400 mm KF SOLUCAO Al y a Aceleragdo angular Observamos que 4 medida que a placa gira em 7 iiaNo torno do ponto A seu centro de massa G descreve uma circunferéncia de Zz ay raio r com centro em A f a Como a placa parte do repouso w 0 0 componente normal da ace 7 P P P np leragio de G é zero A intensidade da aceleragaéo a do centro de massa G é portanto ra Tragamos o diagrama mostrado para expressar que as 4 forgas externas saio equivalentes as forgas efetivas A J5MSMaeen W maF To A Como a ra temos XN Ss a mgx Wxmrarla Q 2 1 ir mr 1 WwW O momento de inércia em torno do centro de massa da placa é 200 mm T M2 b2 30 kg 04 m 03 m 12 12 AA 0625 kg m 2 a Substituindo este valor de I junto com W mg 2943 Nr 025 mex NSN Taw G 02 m na Eq 1 obtemos Z a 2354 rads a 235 rads ma b ReagGo em A Usando 0 valor calculado de a determinamos a inten APN sidade do vetor ma ligado a G YN 5 sh y ma mra 30 kg025 m2354 rads 1766 N 4N Ia ap Mostrando esse resultado no diagrama escrevemos as equagées de movi 5f4 mento 766 NF 3 5 dF LF etet Ay 1766 106N Al106N DK DlFyefor Ay 2943N 41766 A 1530 N A153NTt 4 O binario Ia nao esta envolvido nas duas tltimas equacées entretanto ele deve ser indicado no diagrama PROBLEMA RESOLVIDO 168 Uma esfera de raio r e peso W é liberada com velocidade inicial nula sobre um plano inclinado e rola sem deslizar Determine a 0 valor minimo do coeficiente de atrito estatico compativel com o movimento de rolamento b a velocidade do centro G da esfera apés ela ter rolado 3 m e c a velocidade 30 de G se a esfera tivesse percorrido 3 m descendo em um plano inclinado de 30 sem atrito SOLUCAO a Valor minimo para o movimento de rolamento As forcas externas W N e F formam um sistema equivalente ao sistema de forgas efe tivas representado pelo vetor ma e pelo bindrio Ia Como a esfera rola sem deslizar temos que a ra o HEM ce UM ofot W sen 6r mar Ta W sen 6r mrar Ta Notando que m Wge T 2mr escrevemos 5 0 aw sendir ra 20 ra a 2gsen g 5 g Tr 2 i 9 7 rq E808 5OSI mis sen 30 350 ms To DE UFLetet W sen F ma Ia 5 9 CA oa W sendF oe 4 F2Wsen02Wsen30 F0143W 530 oN J DF OF efor NWcos0 SS SS NWcos00866W N0866W 260 N x x F 0143W Ms Ni 0 866W M0165 b Velocidade de rolamento da esfera Temos um movimento uni formemente acelerado H0 a3504 ms xXx3m X0 b222aX F20423504 ms23 m bv 459 ms V 459 ms 30 c Velocidade de deslizamento da esfera Supondo agora a auséncia de atrito temos F 0 e obtemos 5Mc SMe efor 0Ia a0 DF Fy etet W sen 30 ma 050W a 4905 ms a 4905 ms G 30 Substituindo 4905 ms nas equagées de movimento uniformemente acelerado obtemos U2 BG 2aX Xp b2 04 24905 ms23 m v542 ms V 542 ms 30 100mm 60 mm PROBLEMA RESOLVIDO 169 Uma corda esté enrolada no tambor interno de uma roda e é puxada horizontal mente com uma forga de 200 N A roda tem massa de 50 kg e um raio de giragiio 200 N de 70 mm Sabendo que p 020 e py 015 determine a aceleragio de G e aaceleracao angular da roda SOLUCAO Ce a Suponha rolamento sem deslizamento Neste caso temos out a ara0100 mja Podemos determinar se essa suposicao é justificada pela comparagio da for ca de atrito obtida com a maxima forga de atrito disponivel O momento de inércia da roda é T mk 50 kg0070 m 0245 kg m2 Equacées de movimento 40Mc SM eter 200 N0040 m ma0100 m Ta w 800 Nm 50 kg0100 ma0100 m 0245 kg ma a1074 rads 0 a ro 0100 m1074 rads 1074 ms S00 N 0100 m DF DF eter F 200N ma F 9040m F 200 N 50 kg1074 ms N F1463N F1463N T UF DF y efet NW0 NWmg 50 kg981 ms 4905 N N 4905N7 Maxima forca de atrito disponivel Fini HgN 0204905 N 981 N Como F F 0 movimento suposto é impossivel b Rotagdo e deslizamento Comoaroda deve rodar e deslizar ao mes mo tempo tragamos um novo diagrama onde a e a so independentes e onde W 0060 m F F N 0154905 N 736N ma Dos calculos da parte a aparentemente F deve estar dirigida para a esquer 200 N C Ff da Escrevemos as seguintes equagdes de movimento 0100 m g OF WF eret 200 N 736 N 50 kga F736N 253 ms N a253m q Mc OMG efet 736 N0 100 m 200 N0060 m 0245 kg m2a a 1894 rads a1894rad q Bl PROBLEMA RESOLVIDO 1610 i m As extremidades de uma barra de 12 m com massa de 25 kg podem se des locar livremente e sem atrito ao longo de dois trilhos retos como mostra a figura Se a barra é liberada da posigiio mostrada com velocidade nula de B 45 3 A termine a a aceleragio angular da barra e b as reagdes em A e B D SOLUCAO aB nn Cinematica do movimento Como o movimento é restrito a acelera B a cao de G deve estar relacionada com a aceleragao angular Para obter essa aS relagéo determinamos primeiro a intensidade da aceleragiio a do ponto A Cc em fungio de a Supondo que é dirigido no sentido antihorario e obser a 2A vando que d 12a escrevemos A agpray ABA ay ag SS 45 a 1 20 2 60 Observando que 75 e usando a lei dos senos obtemos s BIA a164a ag 1470 A aceleragio de G é agora obtida escrevendose uA aagayt aca ay i NES 00 aca a 164a 060 60 a Decompondo a em componentes em x e em y obtemos a 164a 06a cos 60 1340 a 134a ad 06a sen 60 052a a 052a Cinética do movimento Tracamos uma equaciio de diagrama de corpo livre expressando que o sistema de forgas externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas representado pelo vetor de componentes ma e ma liga dos a G e pelo binario Ia Calculamos as seguintes intensidades E E T hme 28 12m 3kgm Ta3a A a a fl ma 25 134a335a ma 25052a 130a a 45 c 134m 7 yo I Yo Yo Equagées de movimento I Ry PK ma DMp UM peter Sl IH 5m 25981052 3350134 130a052 3a 245 N Ry may a 233 rads a233rads 4 O52 mn O8R a a DF UPyefer Rg sen 45 335233 Rz 1104 N R 1104 N245 DF SFy eto Ra Rg cos 45 25 981 130233 R 3029 7806 24525 1369 N R 1869NT METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N ligdo consideramos 0 movimento plano de corpos rigidos sob restrigées Vimos que os tipos de restrigdes envolvidas em problemas de engenharia variam muito Por exemplo um corpo rigido pode ser restrito a girar em torno de um eixo fixo ou a rolar sobre uma dada superfi cie ou pode estar ligado por pinos a anéis ou a outros corpos 1 Sua solugado de um problema envolvendo o movimento restrito de um corpo rigi do consistird em geral de dois passos Primeiro vocé vai considerar a cinemdtica do movimento depois vai solucionar a parte cinética do problema 2 Aandlise cinematica do movimento é feita usandose os métodos que vocé aprendeu no Cap 15 Devido as restrigdes as aceleragées linear e angular estarao relacionadas Eles ndo serio independentes como na secio anterior Vocé deve estabelecer uma relagdo entre as aceleragées angular e linear e sua meta deve ser expressar todas as aceleragdes em termos de uma tinica aceleragéo desconhecida Este é 0 primeiro passo dado na solucgao de cada um dos problemas re solvidos nesta liao a Para um corpo em rotacdo em torno de ponto um diferente do centro de massa os componentes da aceleracao do centro de massa sio Ta ea Tw onde w vai ser geralmente conhecido Problemas Resolvidos 166 e 167 b Para um disco ou roda em rolamento a aceleracio do centro de massa 6 d ra Problema Resolvido 168 c Para um corpo em movimento geral plano sua melhor linha de acdo se nem a nem sao conhecidos ou de facil obtengao é expressar em termos de a Problema Resolvido 1610 3 Aandlise cinética do movimento é feita como segue a Comece desenhando uma equacdo de diagrama de corpo livre Isso foi feito em todos os problemas resolvidos desta segéo Em cada caso 0 diagrama da esquerda mostra as forgas externas incluindo as forcas aplicadas as reagdes e o peso do corpo O diagrama da direita mostra 0 vetor ma e o binario Ia b A seguir reduza o numero de incdgnitas da equacao de diagrama de corpo livre usando as relagdes entre as aceleracdes que encontrou em sua andlise cinematica Vocé entao esta ra pronto para considerar equagdes que podem ser escritas somandose componentes ou momen tos Primeiro escolha uma equagiio que envolva uma tinica incégnita Depois de ter resolvido para essa incégnita substitua 0 valor obtido nas outras equagdes com as quais vocé entiio vai resolver para as incégnitas restantes continua 4 Ao solucionar problemas envolvendo discos ou rodas em rolamento tenha em mente 0 seguinte a Seo deslizamento é iminente a forga de atrito exercida no corpo em rolamento atingiu seu valor maximo F wN onde N é a forcga normal exercida sobre 0 corpo e p é 0 coe ficiente de atrito estdtico entre as superficies de contato b Se o deslizamento ndo é iminente a forga de atrito F pode ter qualquer valor me nor que F e deve entiao ser considerada como uma incégnita independente Depois que vocé ti ver determinado F verifique se ele 6 menor que F se nao for o corpo ndo rola mas gira e desliza como descrito no préximo paragrafo c Seocorpo gira e desliza ao mesmo tempo entio ele ndo estd rolando e a acelera cao a do centro de massa é independente da aceleracgado angular a do corpo a ra Por outro lado a fora de atrito tem um valor bem definido F yN onde py é 0 coeficiente de atrito cinético entre as superficies de contato d Para um disco ou roda desbalanceado em rolamento a relacio a ra entre a aceleracaio a do centro de massa G e a aceleracgdo angular a do disco ou roda ndo se aplica mais Entretanto uma relagio similar aplicase entre a aceleracaio a do centro geométrico O e a acelera cao angular a do disco ou roda dg ra Essa relagdo pode ser usada para expressar em termos de a e w Fig 1618 5 Para um sistema de corpos rigidos ligados a meta da sua andlise cinemdtica deve ser determinar todas as aceleragGes a partir da informacao dada ou expressdlas em termos de uma tinica incégnita Para sistemas com varios graus de liberdade vocé vai precisar usar tantas incég nitas quantos graus de liberdade existirem Sua andlise cinética em geral sera feita desenhando uma equacao de diagrama de corpo livre para o sistema inteiro como também para um ou mais dos corpos rigidos envolvidos No ultimo caso tanto as forcas internas como as externas devem ser inclufdas e devese ter 0 cuidado de re presentar com vetores iguais e opostos as forgas que dois corpos exercem um sobre 0 outro 1675 Mostre que o bindrio Ta da Fig 1615 pode ser eliminado fixandose a os vetores ma e ma em um ponto P denominado centro de percus sao e localizado sobre a linha OG a uma distancia GP k r a partir ph do centro de massa do corpo Gg 1676 Uma haste delgada uniforme de comprimento L 1 m e massa man ii m 2 kg esta suspensa livremente a partir de uma articulagao em Os A Se uma forga P de intensidade de 8 N é aplicada em B horizontal mente para a esquerda h L determine a a aceleragdo angular da a haste b os componentes da reagao em A Figura P1675 A T h 1 5 B C L Figura P1676 2 r 1677 No Problema 1676 determine a a distancia h na qual acomponen G I te horizontal da reagao A é nula b a aceleragio angular correspon dente da barra L 2 1678 Uma haste delgada uniforme de comprimento L 900 mm e massa m 4kg esta suspensa livremente a partir de uma articulagaio em C P Uma forga horizontal P de intensidade 75 N é aplicada a extremidade B B Sabendo que r 225 mm determine a a aceleragao angular da haste b os componentes da reagao em C Figura P1678 1679 No Problema 1678 determine a a distancia r na qual a componen te horizontal da reagao C é nula b a acelerago angular correspon dente da barra 1680 Uma barra delgada uniforme e massa m gira em torno do eixo verti cal AA com velocidade angular constante w Determine a tragao na barra a uma distancia x do eixo de rotagao Al A A I X Cs Figura P1680 1068 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica pa a 1681 Um grande volante de motor é montado em um eixo horizontal e gira we a uma taxa constante de 1200 rpm Dados experimentais indicam que a forga total exercida pelo volante sobre o eixo varia de 55 kN para cima até 85 kN para baixo Determine a 0 peso do volante b 4 a distancia a partir do centro do eixo até 0 centro de massa do volante OP 0mI5 r 1682 Um disco de turbina de massa 26 kg gira a uma taxa constante de 9600 rpm Sabendo que o centro de massa do disco coincide com o Xx centro de rotagiio O determine a reagaio em O imediatamente depois que uma tinica pd em A de massa de 45 g fica solta e é jogada fora YO a f nae 1683 O obturador mostrado na figura foi formado removendose um quar Figura P1682 to de um disco de 20 mm de raio e é usado para interromper um feixe de luz emitido a partir de uma lente em C Sabendo que o obturador tem massa de 50 g e gira 4 taxa constante de 24 ciclos por segundo determine a intensidade da forga exercida pelo obturador sobre o eixo em A G 1684 e 1685 Uma haste uniforme de comprimento L e massa m é apoiada iC como mostra a figura Se o cabo ligado a B repentinamente se parte a S determine a a aceleracgao da extremidade B b a reacao no suporte a do pino 4 O CY J Figura P1683 A B 5 b pint aC B Figura P1684 A L 1686 Um cone delgado uniforme de massa m pode balangar livremente em torno da barra horizontal AB Se o cone é liberado do repouso na Figura P1685 posicéo mostrada na figura determine a a aceleracao da ponta D b areacio em C B Aw A 06 m 6 Figura P1686 B 1687 O objeto ABC consiste de duas barras esbeltas soldadas no ponto B a A barra AB tem uma massa de 1 kg e a barra BC tem uma massa A 8 ni de 2 kg Sabendo que a intensidade da velocidade angular de ABC é 10 rads quando 6 0 determine os componentes da reagiio no Figura P1687 ponto C quando 6 0 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1069 1688 Uma barra delgada AB de 4 kg e uma barra delgada BC de 25 kg estao ligadas por um pino B e por uma corda AC O conjunto gira em um plano vertical sob o efeito combinado da gravidade e do binario M aplicado a barra AB Sabendo que na posigo mostrada na figura a velocidade angular do conjunto é zero e que a tragéo na corda AC é igual a 36 N determine a a aceleragaio angular do conjunto b a intensidade do binario M 300 mm 300 mm o M C 225 mm L G e lay A A B M Figura P1688 150 mm a B 1689 Duas barras uniformes ABC de massa 3 kg e DCE de massa 4 kg sio ligadas por um pino C e por duas cordas BD e BE O conjunto 150 mm em forma de T gira em um plano vertical sob 0 efeito combinado da gravidade e do binario M aplicado 4 barra ABC Sabendo que no ins llE tante mostrado na figura a tragéo é 8 N na corda BD determine a a D C E aceleracio angular do conjunto b 0 binario M 200 mm 200 mm 1690 Uma haste delgada de 15 kg é soldada a um disco uniforme de 5 kg Figura P1689 como mostra a figura O conjunto oscila livremente em torno de C em um plano vertical Sabendo que na posigao mostrada na figura o conjunto tem uma velocidade angular de 10 rads no sentido horario determine a a acelerag4o angular do conjunto b os componentes da reacao em C 80 mm A B y 120 mm Figura P1690 1691 Um disco uniforme de 5 kg esta ligado a uma haste uniforme BC de eee 150 mm C 3 kg por meio de um pino AB sem atrito Uma corda elastica é enrola da em torno da borda do disco e é ligada a um anel em E Tanto 0 anel E como a haste BC podem girar livremente em torno do eixo vertical E Sabendo que o sistema é liberado a partir do repouso quando a tragiio 4 A D na corda elastica é de 15 N determine a a aceleragéo angular do c disco b a aceleracao do centro do disco u x 1692 Deduza a equacgio XM Ia para o disco em rolamento da Fig a 1617 onde M representa a soma dos momentos das forgas exter nas em relacao ao centro instantfneo C e I 60 momento de inércia Figura P1691 do disco em torno de C 1693 Mostre que no caso de um disco desbalanceado a equagdo deduzida no Problema 1692 é valida somente quando o centro de massa G 0 centro geométrico O e o centro instantaneo C esto sobre uma linha reta 1070 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1694 Uma roda de raio re raio de giracdo em torno do centro de massa k é liberada a partir do repouso no declive e rola sem deslizar Deduza uma expressao para aceleragao do centro da roda em termos de r k B e g r 1695 Um volante de motor esta rigidamente preso a um eixo de 40 mm de raio que pode rolar ao longo de trilhos paralelos como mostra a figu ra Quando liberado a partir do repouso o sistema rola 5 m em 40 s as Determine 0 raio de giragao em torno do centro de massa do sistema BI Figura P1694 15 Figura P1695 P1696 1696 Um volante de motor de raio de giracgaio em torno do centro de massa k preso rigidamente a um eixo que pode rolar ao longo de trilhos paralelos Representando por yu 0 coeficiente de atrito estatico entre o eixo e os trilhos deduza uma expresso para o maior angulo de in clinagdo B no qual nao ocorrera deslizamento 1697 Uma esfera homogénea S um cilindro uniforme C e um tubo fino P esto em contato quando sao liberados a partir do repouso no declive mostrado na figura Sabendo que todos os trés objetos rolam sem des o or lizar determine apdés 4 s de movimento a distancia livre entre a 0 tubo e 0 cilindro b 0 cilindro e a esfera 10 ow B 1698 a 16101 Um tambor de 100 mm de raio estd preso a um disco de 200 mm de raio O disco e 0 tambor tém peso combinado de 50 N e um Figura P1697 oe raio de giracgéo combinado de 150 mm Uma corda é presa como mos tra a figura e puxada com a forga P de intensidade 25 N Sabendo que os coeficientes de atrito estatico e cinético sio p 025 e pw 020 respectivamente determine a se o disco desliza ou nao b a acele p racao angular do disco e a aceleracio de G G 8 16102 a 16105 Um tambor de 60 mm de raio esté preso a um disco de 120 mm de raio O disco e 0 tambor tém uma massa total de 6 kg e um raio de giracgdo combinado de 90 mm Uma corda é presa como mostra a figura e puxada com uma forga P de intensidade 20 N Sa bendo que o disco rola sem deslizar determine a a aceleragao angu Figura P1698 e P16102 lar do disco e a aceleragao de G b 0 valor mfnimo do coeficiente de atrito estatico compativel com esse movimento l P j o G o G G e Figura P1699 e P16103 x 8 Figura P16100 e P16104 Figura P16101 e P16105 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1071 161064 16108 Uma barra de massa m é mantida como mostra a figura entre quatro discos cada um de massa me raio r 75 mm De termine a aceleragio da barra imediatamente depois dela ter sido liberada do repouso sabendo que as forgas normais nos discos sio suficientes para evitar qualquer escorregamento e considerando que am 5kgem 2kg b a massa m dos discos é desprezada c a massa m da barra é desprezada A A A B sy EI B BE LS Figura P16106 Figura P16107 Figura P16108 16109 Dois discos uniformes A e B cada um com massa de 2 kg estiio liga dos por uma haste CD de 15 kg como mostra a figura Um binério M 50 mm Bw de momento 225 N m no sentido antihorario é aplicado ao disco A Dor 150 m Sabendo que os discos rolam sem deslizar determine a a aceleragiio do centro de cada disco b o componente horizontal da forga exerci da no disco B pelo pino D Figura P16109 16110 A engrenagem C tem uma massa de 5 kg e um raio de giragao do centro de massa de 75 mm Uma barra uniforme AB tem uma massa de 3 kg e a engrenagem D fixa Se 0 sistema é liberado do repouso na posigaéo mostrada na figura determine a a aceleragdo angular da engrenagem C b a aceleracio do ponto B 250 mm 16111 A metade da segao do cilindro uniforme de massa m esta em repouso quando a forca P é aplicada como mostra a figura Considerando que a secio rola sem deslizamento determine a sua aceleragio angular A 2S b o minimo valor de 1 compativel com o movimento Xe I P Oy O A B D Figura P16110 Figura P16111 16112 Resolva o Problema 16111 considerando que a forga P aplicada em B é dirigida horizontalmente para a direita 1072 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 16113 Uma pequena bracgadeira de massa m esta presa em B a um arco de B massa m O sistema é liberado a partir do repouso quando 90 e AN rola sem deslizar Sabendo que m 3m determine a a aceleragiio angular do arco b os componentes horizontal e vertical da acelera cao de B 16114 Uma pequena bragadeira de massa m esta presa em B a um arco de massa m Sabendo que o sistema é liberado a partir do repouso e rola sem deslizar deduza uma expressio para a aceleracao angular do arco em termos de m m re 0 Figura P16113 e P16114 16115 O centro de gravidade G de uma roda desbalanceada de 15 kg esta localizado a uma distancia r 18 mm de seu centro geométrico B O r18mm raio da roda é R 60 mm e seu raio de giragdo em relagao ao centro P de massa é 44 mm No instante mostrado na figura o centro B da ea roda tem uma velocidade de 035 ms e uma aceleracao de 12 ms 7a RX 6 mm ambas dirigidas para a esquerda Sabendo que a roda rola sem desli SS zar e desprezando a massa do braco AB determine a forca horizontal P C Sp P aplicada a esse braco SS Pp 16116 Uma barra de 2 kg é ligada a um cilindro uniforme de 5 kg por um pino quadrado P como mostrado na figura Sabendo que r 04 m h 02 m 0 20 L 05 me 2 rads no instante mostrado determine as reagdes em P neste instante considerando que o cilin dro rola para baixo sem deslizar no plano inclinado Fi 16117 As extremidades da haste uniforme AB de 10 kg sao presas a cursores igura P16115 de peso desprezivel que deslizam sem atrito ao longo de hastes fixas Se a haste é liberada a partir do repouso quando 25 determine L imediatamente apés sua liberacao a a aceleragaio angular da haste b a reacio em A c a reagdo em B o h 6 6 l12m B Figura P16116 SN 30 Za A Figura P16117 e P16118 16118 As extremidades da haste uniforme AB de 10 kg sao presas a cursores 750 mm de peso desprezivel que deslizam sem atrito ao longo de hastes fixas Uma forga vertical P é aplicada ao cursor B quando 25 fazendo o cursor partir do repouso com uma aceleracao para cima de 12 ms Determine a a forga P D a reacgio em A B 16119 O movimento de uma haste uniforme de 4 kg AB é guiada por peque nas rodas de peso desprezivel que rolam ao longo de rasgos sem atrito como mostrado na figura Se a haste é liberada do repouso na posigiao mostrada na figura determine imediatamente depois da liberagao a Figura P16119 aceleragéo angular da haste b a reagéio em B Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1073 16120 As extremidades da haste uniforme AB de 2 kg sao presas a cursores de peso desprezivel que deslizam sem atrito ao longo de hastes fixas mostradas na figura A haste AB esté em repouso na posigaio 6 25 quando uma forga horizontal P é aplicada ao cursor A causando o ini cio do seu movimento para a esquerda com uma aceleragio para cima de 4 ms Determine a a forca P b a reacgdo em B A ie 70 800 mm NYY Figura P16120 P16121 16121 As extremidades da haste uniforme AB de 2 kg sao presas a cursores de peso desprezivel que deslizam sem atrito ao longo de hastes fixas B mostradas na figura Se haste AB é liberada do repouso na posigiao gi 6 25 determine imediatamente depois da liberacao a aceleragiao ws a angular da haste b a reaco em B uf 16122 O movimento da haste uniforme AB de massa 5 kg e comprimento A L 750 mm é guiado por pequenas rodas de massa desprezivel que E L ot ys of rolam sobre a superficie mostrada na figura Se a haste é liberada a Y partir do repouso quando 6 20 determine a a aceleragao angular da haste b a reagdo em A 16123 A extremidade A da barra uniforme AB de 8 kg é ligada ao colar que Figura P76122 pode deslizar sem atrito na barra vertical A extremidade B da barra é ligada ao cabo vertical BC Se a barra é liberada do repouso na posigéo mostrada na figura determine imediatamente depois da li beragao a a aceleragao angular da barra b a reagao em A c al 5 30 0 a 100 mm L 750 mm 200 mm ark oN B c a B Figura P16123 2 ae 200 mm 16124 A haste uniforme ABD de 4 kg esta presa 4 manivela BC e é ajustada com uma pequena roda que pode rolar sem atrito ao longo de uma fen da vertical Sabendo que no instante mostrado a manivela BC gira com uma velocidade angular de 6 rads no sentido horario e uma aceleragao A angular de 15 rads no sentido antihordrio determine a reagioem A Figura P16124 1074 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 6 16125 Uma barra uniforme BD de 250 mm e de massa 5 kg é ligada como en mostrado na figura ao disco A e ao colar de massa desprezivel que pode deslizar livremente ao longo da barra vertical Sabendo que o disco A gira no sentido antihordrio a uma taxa constante de 500 rpm 50 mm determine as reagdes em D quando 6 0 16126 Resolva o Problema 16125 quando 6 90 16127 A barra uniforme BD de 300 mm e massa de 4 kg é ligada como D mostra a figura 4 manivela AB e ao colar D de massa desprezivel que pode deslizar livremente ao longo de uma barra horizontal Sabendo 150 que a manivela AB gira no sentido antihordrio 4 taxa constante de mm 300 rpm determine a reagio em D quando 0 Figura P16125 g 16128 Resolva o Problema 16127 quando 6 90 D 16129 A barra uniforme BD de 3 kg é ligada 4 manivela BD e ao colar de eel peso desprezivel que pode deslizar livremente ao longo de uma barra EF Sabendo que na posigao mostrada na figura a manivela BD gira B 180 mm com uma velocidade angular de 15 rads e uma aceleracio angular de Sr oy 60 rads ambas no sentido horario determine a reacio em A 6 1 500 mm Figura P16127 pla E so bam A Ll tf 7 Ta Ny Figura P16129 A Ny A 16130 No Problema 16129 determine a reacio em A sabendo que na po q P 9 sigio mostrada na figura a manivela BD gira com uma velocidade an B gular de 15 rads e uma aceleracao angular de 60 rads no sentido Figura P16131 antihorario 16131 Um motorista liga seu carro com a porta do lado do passageiro total mente aberta 6 0 A porta de 40 kg tem raio de giragaio em torno D do centro de massa k 300 mm e seu centro de massa esta localizado a uma distancia r 500 mm de seu eixo vertical de rotacao Sabendo que o motorista mantém uma aceleracao constante de 2 ms determi ne a velocidade angular da porta quando ela bate ao fechar 8 90 600 mm 16132 Para o carro do Problema 16131 determine a menor aceleragao cons tante que o motorista pode manter se a porta fechar e travar sabendo que quando a porta bate na estrutura sua velocidade angular deve ser no minimo de 2 rads para o mecanismo de travamento funcionar C 16133 Duas barras uniformes de 4 kg estao ligadas formando 0 sistema arti A culado mostrado na figura Desprezando o efeito do atrito determine B a reagio em D imediatamente apés o sistema articulado ser liberado do repouso na posicao mostrada na figura 300 mm 300 mm P poss 6 Figura P16133 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1075 16134 O mecanismo articulado ABCD é formado pela unio da barra BC de 3 kg as barras AB e CD de 15 kg cada O movimento do mecanismo é controlado pelo bindrio M aplicado a barra AB Sabendo que no instante mostrado na figura a barra AB tem uma velocidade angular de 24 rads C no sentido horario e aceleragéo angular nula determine a 0 binario M Ml A b os componentes da forga exercida em B sobre a haste BC 125 mm 16135 Resolva o Problema 16134 considerando que no instante mostrado na figura a barra AB tem velocidade angular de 24 rads sentido hora Bo D rio e uma aceleragao angular de 160 rads no sentido antihorario 300 mm 16136 A haste AB de 2 kg e a haste BC de 3 kg estio ligadas como mostra a figura a um disco que é colocado em rotacao em um plano vertical a Figura P16134 uma velocidade angular constante de 6 rads no sentido horario Para a posigaio mostrada na figura determine as forgas aplicadas em A e B A 120mm sobre a haste AB B 60 16137 A haste AB de 2 kgea haste BC de 3 kg estaio ligadas como mostra a C O figura a um disco que é colocado em rotagéo em um plano vertical é Sabendo que no instante mostrado na figura o disco tem uma aceleragao 180 mm angular de 18 rads no sentido horario e velocidade angular nula deter mine os componentes das forgas aplicadas em A e B sobre a haste AB 16138 No sistema motor mostrado na figura 1 250 mm eb 100 mm A Cc haste conectora BD é assumida como uma haste delgada uniforme de 12 kg e esta ligada ao pistio P de 18 kg Durante um teste do siste Figura P16136 P16137 ma a manivela AB é posta em rotaco com uma velocidade angular constante de 600 rpm no sentido horaério sem nenhuma forga aplicada na face do pistéio Determine as forgas exercidas na haste conectora em B e D quando 180 Despreze o efeito do peso na haste 1 B 16139 Resolva o Problema 16138 quando 6 90 oO TTS A Xv 16140 Duas barras idénticas AC e CE cada uma com peso W sao ligadas D aF ODA em forma de articulagéo como mostrado na figura Sabendo que no instante mostrado a forga P faz com que o rolo ligado a D se mova para a direita com velocidade constante vp determine a intensidade Fiqura P16138 da forga P em termos de L W v 0 8 C L 2 B D Ve e P L L van 6 6 Figura P16140 1076 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica A 16141 No instante mostrado na figura um poste ABC uniforme de 50 kg comprimento de 6 m tem uma velocidade angular de 1 rads no sen tido antihordrio e o ponto C esta deslizando para a direita Uma forga P horizontal de 500 N atua em B Sabendo que 0 coeficiente de atrito o cinético entre o poste e o chao é 03 determine no instante a a acele ragdo do centro de gravidade b a forga normal entre 0 poste e o chao B P 16142 Um disco uniforme de massa m 4 kg e raior 150 mm é suporta do por uma correia ABCD que é aparafusada no disco em B e C Se 2m P q P 80 a correia se rompe de repente em um ponto localizado entre A e B rs determine a a aceleracdo do centro do centro do disco b a tracio na porgio CD da correia Figura P16141 ia ig A D 30 30 Figura P16142 GP206 Q 16143 Dois discos cada um de massa m e raio r estao ligados como mostra O fe y a figura por uma corrente continua de massa desprezivel Se um pino Ag no ponto C da corrente é repentinamente removido determine a a 8 8 aceleragéo angular de cada disco b a trago na poraio esquerda da SX corrente c a aceleracaio do centro do disco B Oc O 16144 A barra delgada uniforme AB de massa de 15 kg e comprimento de 1 m esta suspensa como mostra a figura a partir do carrinho C 3 5 de 20 kg Desprezando o efeito do atrito determine imediatamente oO CS depois do sistema ter sido liberado do repouso a a aceleragio do carrinho b a aceleragiio angular da barra Ooo Figura P16143 Pas 95 B L Figura P16144 16145 Uma barra delgada uniforme AB de massa m esté suspensa como P mostra a figura a partir de um disco uniforme de mesma massa m B Determine as aceleragdes nos pontos A e B imediatamente apés a Figura P16145 forga horizontal P ter sido aplicada em B Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1077 16146 Uma barra delgada AB de 5 kg é conectada por pino em um disco uniforme de 8 kg como mostrado na figura Imediatamente apés o sistema ser liberado do repouso determine a aceleragio do a ponto A b ponto B 250 mm 100 mm ACT aD ac B Figura P16146 16147 e 16148 Ocilindro B de 3 kg e a cunha A de 2 kg sao mantidos em repouso na posicao mostrada na figura pela corda C Consideran do que os cilindros rolam sem deslizar sobre a cunha e desprezando o atrito entre a cunha e o solo determine imediatamente apés a corda C ter sido cortada a a aceleragdo da cunha b a aceleragio angular do cilindro r 100mm Cc r 100mm Sy ey on yp OOOO Soy 2G ax 2 Figura P16147 20 16149 Cada uma das barras AB e BC de 3 kg tem comprimento L 500 mm Figura P16148 Uma forga horizontal P de intensidade de 20 N é aplicada na barra BC como mostra a figura Sabendo que b L P esta aplicada em C A la determine a aceleragdo angular de cada barra L 16150 Cada uma das barras AB e BC de 3 kg tem comprimento L 500 mm Uma forga horizontal P de intensidade de 20 N é aplicada na barra BC B Para a posigéo mostrada na figura determine a a distancia b para a tT qual as barras se movem como se formassem um tinico corpo rigido b b a correspondente aceleragaéo angular das barras L L 16151 a Determine a intensidade e a localizagiéo do momento fletor ma P ximo na haste do Problema 1676 b Mostre que a resposta para a c parte a é independente da massa da haste Figura P16149 e P16150 16152 Desenhe os diagramas de esforgo cortante e de momento fletor da haste do Problema 1684 imediatamente apés 0 cabo B se romper Neste capitulo estudamos a cinética de corpos rigidos ou seja as rela c6es existentes entre as forgas aplicadas em um corpo rigido a forma e a massa desse corpo e 0 movimento produzido Exceto nas duas primeiras secdes que tratam do caso mais geral do movimento de um corpo rigido nossa andlise restringiuse ao movimento plano de placas rigidas e de corpos rigidos simétricos em relagdo ao plano de referéncia O estudo do movimento plano de corpos rigidos nao simétricos e do movimento de corpos rigidos no espago tridimensional sera considerado no Cap 18 Equacées fundamentais Primeiro recordamos Segao 162 as duas equagées fundamentais dedu de movimento para Zidas no Cap 14 para o movimento de um sistema de particulas e obser um corpo rigido Vamos que elas se aplicam ao caso mais geral do movimento de um corpo rigido A primeira equagio define o movimento do centro de massa G do corpo temos i F ma 161 in onde m é a massa do corpo e a a aceleracao de G A segunda equacio esté relacionada com 0 movimento do corpo relativamente a um sistema Ge A de referéncia ligado ao centro de massa escrevemos PD ma Mc He 162 F onde Hg é a taxa de variacao da quantidade de movimento angular Hy G do corpo em relagdo a seu centro de massa G As Eqs 161 e 162 em conjunto expressam que o sistema de forgas externas é equipolente qo sistema que consiste no vetor ma ligado a G e no bindério de momento He Fig 1619 Figura 1619 Quantidade de Restringindo nossa andlise neste ponto e no restante do capitulo ao mo movimento angular no Vimento plano de placas rigidas e de corpos rigidos simétricos em relacao movimento plano 2 plano de referéncia mostramos Seao 163 que a quantidade de mo vimento angular do corpo pode ser expressa como Ho lw 164 onde I é 0 momento de inércia do corpo em torno de um eixo que passa pelo centro de massa perpendicular ao plano de referéncia e w é a veloci dade angular do corpo Diferenciando ambos os membros da Eq 164 obtivemos Ho Iw Ia 165 que mostra que no caso restrito aqui considerado a taxa de variagéo da quantidade de movimento angular do corpo rigido pode ser representada por um vetor de mesma diregao e sentido que a isto é perpendicular ao plano de referéncia e de intensidade Ia Equacées para o movimento Resulta do que foi mencionado anteriormente Segao 164 que 0 mo plano de um corpo rigido vimento plano de uma placa rigida ou de um corpo rigido simétrico em Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragdes 1079 relaco a um plano de referéncia é determinado pelas trés equacées es calares F ma F ma Mc Ia 166 Resulta ainda do apresentado anteriormente que as forgas externas que Principio de dAlembert atuam sobre o corpo rigido séo realmente equivalentes ds forcgas efetivas sobre as varias particulas que o constituem Esse enunciado conhecido como principio de dAlembert pode ser expresso sob a forma do diagra ma vetorial mostrado na Fig 1620 onde as forgas efetivas foram repre sentadas por um vetor ma ligado a G e um bindrio Ia No caso particular F F de uma placa em translagdo as forgas efetivas mostradas na parte b dessa figura se reduzem a um tinico vetor ma enquanto no caso particular de uma placa em rotagdo em torno do centro de massa elas se reduzem a um tinico bindrio Ia em qualquer outro caso de movimento plano tanto o vetor ma como o bindrio Ia devem ser incluidos Qualquer problema envolvendo 0 movimento plano de uma placa rigida Fy pode ser resolvido pelo esbogo de uma equagdo de diagrama de corpo a b livre similar ao da Fig 1620 Seco 166 Trés equacdes de movimento Figura 1620 podem entio ser obtidas igualandose os componentes em x os compo nentes em y e os momentos em relagio a um ponto arbitrario A das for cas e vetores envolvidos Problemas Resolvidos 161 162 164 e 165 Equacdo de diagrama de Uma solucao alternativa pode ser obtida pela adicao as forgas externas corpo livre de um vetor de inércia ma de sentido oposto ao de a ligado a G e de um bindrio de inércia Ia de sentido oposto ao de a O sistema obtido dessa maneira é equivalente a zero e dizse que a placa esté em equili brio dindémico O método descrito anteriormente também pode ser usado para resolver Corpos rigidos ligados problemas envolvendo o movimento plano de varios corpos rigidos liga dos Segao 167 Uma equagio de diagrama de corpo livre é desenhada para cada parte do sistema e equagdes de movimento obtidas sao resol vidas simultaneamente Em alguns casos entretanto um tinico diagrama pode ser desenhado para todo 0 sistema incluindo todas as forgas exter nas assim como os vetores ma e os bindrios Ia associados as varias partes do sistema Problema Resolvido 163 Na segunda parte do capitulo nos preocupamos com 0 movimento de cor Movimento pla no restrito pos rigidos sob dadas restrig6es Segio 168 Embora a anilise cinética do movimento plano restrito de uma placa rigida seja a mesma da men cionada anteriormente ela deve ser complementada por uma andlise ci nemdtica que tem como objetivo expressar os componentes e a da aceleragao do centro de massa G da placa em termos de sua aceleragao angular a Problemas resolvidos dessa maneira incluem os de rotagdo em torno de um ponto diferente do centro de massa de barras e placas Pro blemas Resolvidos 166 e 167 0 movimento de rolamento de esferas e rodas Problemas Resolvidos 168 e 169 e o movimento plano de varios tipos de sistemas articulados Problema Resolvido 1610 16153 O eixo de um disco de 100 mm de raio é ajustado em um rasgo que forma um Angulo de 6 30 com a vertical O disco esta em repouso quando é colocado em contato com uma esteira rolante que se move Wi com uma velocidade escalar constante Sabendo que o coeficiente A de atrito cinético entre o disco e a esteira é de 020 e desprezando o U 100th atrito dos mancais determine a aceleracao angular do disco enquanto 0 escorregamento ocorre v 16154 Resolva o Problema 16153 considerando que a diregaéo do movimen to da esteira rolante é invertida Figura P16153 16155 Cilindros idénticos de massa m e raio r sio empurrados por uma série de bracgos de movimentagio Considerando que o coeficiente de atrito entre todas as superficies 6 w 1 e indicando por a a in tensidade da aceleragéo dos bragos deduza uma expressio para a o maximo valor admissfvel de a se cada cilindro rola sem deslizar b o minimo valor admissivel de a se cada cilindro se move para a direita sem girar le m le ee0e2e Figura P16155 16156 Um ciclista esta pedalando uma bicicleta a uma velocidade escalar de 30 kmh em uma estrada horizontal A distancia entre eixos é 1050 mm e o centro de massa do ciclista e da bicicleta é localizado a 650 mm atras do eixo dianteiro e 1000 mm acima do chao Se o ciclista aplica os freios apenas na roda dianteira determine a menor distancia que ele pode parar sem ser jogado sobre a roda dianteira B 16157 A barra uniforme AB de peso W é liberada do repouso quando B 70 Considerando que a forga de atrito entre a extremidade A e a superficie é grande o suficiente para evitar o deslizamento de terminar imediatamente apés a liberagio a a aceleragao angular da L barra b a reagdo normal em A c a forga de atrito em A 16158 A barra uniforme AB de peso W é liberada do repouso quando B 70 Considerando que a forga de atrito é zero entre a extremi A B dade A e a superficie determinar imediatamente apés a liberagiio a a aceleracao angular da barra b a aceleragao do centro de massa da barra c a reagdo em A Figura P16157 e P16158 Capitulo 16 Movimento plano de corpos rigidos forgas e aceleragées 1081 16159 Uma placa uniforme de massa m é suspensa em cada uma das ma neiras mostradas na figura Para cada caso determine imediatamente apos a conexio B ter sido liberada a a aceleragio angular da placa b a aceleragao de seu centro de massa 3 Pinos suporte Arames Molas A B re Sp a 8 FPA B yo ze xe yt a 1 2 3 Figura P16159 16160 Uma barra delgada AB de peso W é mantida em equilfbrio por dois contra pesos cada um pesando 3W Se o arame em B cortado deter mine a aceleragao nesse instante a do ponto A b do ponto B A O CG as TT Figura P16160 16161 Ocentro de massa G de uma roda de 5 kg de raio R 300 mm lo calizado a uma distancia r 100 mm do seu centro geométrico C O a raio de giragao do centro de massa ék 150 mm Se a roda gira sem A Y deslizar sua velocidade angular varia e observase que w 8 rads na EG LU posicao mostrada na figura Determine a correspondente aceleragao NX angular da roda Figura P16161 16162 Duas barras delgadas cada uma com comprimento e massa m so liberadas do repouso na posigo mostrada na figura Sabendo que um pequeno puxador na extremidade B da barra AB suporta a barra CD determine imediatamente apés a liberagao a a aceleracio da extre midade C da barra CD b a forga exercida sobre 0 puxador A B C 1 1 1 1 aL i aL i Figura P16162 1082 Mecânica vetorial para engenheiros dinâmica 16163 O movimento de uma placa quadrada de lado 150 mm e massa 25 kg é guiado por pinos nos cantos A e B que deslizam em rasgos cortados em uma parede vertical Imediatamente após a placa ser liberada do repouso na posição mostrada na figura determine a a aceleração angular da placa b a reação no canto A 30 B A Figura P16163 16164 Resolva o Problema 16163 considerando que a placa é equipada com um único pino no canto A 30 B A Figura P16164 BeerDinamica16indd 1082 BeerDinamica16indd 1082 050712 1444 050712 1444 PROBLEMAS PARA RESOLVER NO COMPUTADOR 16C1 Uma barra AB de 25 kg é liberada do repouso na posigaio mostrada na Ww B figura a Considerando que a forga de atrito entre a extremidade A e a super ficie 6 grande o suficiente para evitar o deslizamento usando um programa de computador calcule a reagaéo normal e a forga de atrito em A imediatamente apés a liberagio para valores de B de 0 a 85 b Sabendo que o coeficiente de atrito estatico entre a barra e o chao é de modo eficaz igual a 050 determine a faixa de valores de B da barra deslizada imediatamente apos ser liberada do repouso L 16C2 A extremidade A da haste AB de 5 kg é movida para a esquerda a uma velocidade escalar constante v 15 ms Usando um programa de computador calcule e trace em um grafico as reagdes normais nas extremidades A e B da has te para valores de 6 de 0 a 50 Determine o valor de em que a extremidade B da haste perde contato com a parede 3 16C3 Umcilindro de 15 kg de diémetro b 200 mm e altura h 150 mm as é posto em uma plataforma CD de 5 kg que é mantida na posicao mostrada na figura por trés cabos Desejase determinar 0 valor minimo de pw entre o cilindro Figura P16C1 e a plataforma em que o cilindro nao escorregue sobre a plataforma imediata mente apés 0 cabo AB ser cortado Usando um programa de computador calcule e trace em um grafico 0 valor minimo admissivel de yw para valores de de 0 a pp 30 Sabendo que o valor real de 2 é 060 determine o valor de 6 no qual 0 es B corregamento é iminente J f L 450 mm VA for fr f fi 4 A C JD S3 B Figura P16C3 A A 16C4 No sistema motor do Problema 15C3 do Cap 15 a massa do pistéo Figura P16C2 P e da haste de conexéo BD sao 25 kg e 3 kg respectivamente Sabendo que durante um teste do sistema nenhuma forga é aplicada na face do pistéo use um programa de computador para calcular e tragar em um grafico os componentes ey c D JJ horizontal e vertical das reagdes dindmicas exercidas na haste de conexdo em B e 2S ZA D para valores de de 0 até 180 Z 16C5 Uma barra delgada uniforme AB de massa m est suspensa por molas A 2B AC e BD como mostra a figura Usando um programa de computador calcule e Jo L trace em um grafico as aceleragGes das extremidades A e B imediatamente apés Fi P16C5 P gura P16 a mola AC quebrar para valores de de 0 até 90 Neste capítulo os métodos de energia e quantidade de movimento serão adicionados às ferramentas disponíveis para o seu estudo do movimento de corpos rígidos Por exemplo usando o princípio da conservação da energia e a aplicação direta da Segunda Lei de Newton as forças exercidas nas mãos deste ginasta podem ser determinadas na medida em que ele troca de uma argola para outra BeerDinamica17indd 1084 BeerDinamica17indd 1084 050712 1343 050712 1343 Movimento plano de corpos rígidos métodos de energia e quantidade de movimento 17 C A P Í T U L O BeerDinamica17indd 1085 BeerDinamica17indd 1085 050712 1343 050712 1343 1086 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica l 7 Movimento plano de corpos 171 Introdugdo soos cad Je de energic Neste capitulo o método de trabalho e energia e o método de impulso e quantidade de movimento serao usados para analisar o movimento plano v de corpos rigidos e de sistemas de corpos rigidos 171 Introdugdo O método de trabalho e energia sera considerado em primeiro lugar 172 Principio de trabalho Nas Secées 172 a 175 0 trabalho de uma forca e de um bindrio sera de e energia para um corpo finido e sera obtida uma expresso para a energia cinética de um corpo ri rigido gido em movimento plano O principio de trabalho e energia sera entao 173 Trabalho de forgas que agem ysado para resolver problemas envolvendo deslocamentos e velocidades sobre um corpo rigido Na Seciio 176 0 principio de conservagao da energia sera aplicado a re 174 Energia cinetica de um corpo solucao de uma variedade de problemas de engenharia rigico em movimento plano Na segunda parte do capitulo o principio de impulso e quantidade de a Conn eo decree movimento sera aplicado a resolucao de problemas que envolvem veloci 177 Poténcia dades e tempo Segdes 178 e 179 eo conceito de conservagao de quan 178 Principio de impulso e tidade de movimento angular sera introduzido e discutido Segao 1710 quantidade de movimento Na parte final do capitulo Segdes 1711 e 1712 serao considerados para o movimento plano problemas que envolvem o impacto excéntrico de corpos rigidos Como de um corpo rigido fizemos no Cap 13 ao analisar o impacto de particulas o coeficiente de 179 Sistemas de corpos rigidos restituigao entre os corpos em colisao sera usado juntamente com o princi 1710 Conservagaéo da quantidade pio de impulso e quantidade de movimento para a resolugao de problemas de movimento angular de impacto Serd mostrado também que 0 método usado é aplicdvel nao 1711 Movimento impulsivo apenas quando os corpos em colisio movemse livremente apés 0 impacto 1712 Impacto excéntrico mas também quando eles esto parcialmente restritos em seu movimento Hi 172 Principio de trabalho e energia para um corpo rigido O principio de trabalho e energia seré usado agora na aniélise do movi mento plano de corpos rigidos Conforme salientado no Cap 13 0 mé todo de trabalho e energia adaptase particularmente bem a resolucao de problemas que envolvem velocidades e deslocamentos Sua vantagem principal reside no fato de que o trabalho de forgas e a energia cinética de particulas sao grandezas escalares Para aplicar o principio de trabalho e energia 4 anélise do movimento de um corpo rigido admitiremos novamente que o corpo rigido é consti tuido de um grande ntimero n de particulas de massa Am Retomando a Eq 1430 da Segao 148 escrevemos T U T 171 onde T T valores inicial e final da energia cinética total das particulas constituintes do corpo rigido a ae U trabalho de todas as forgas que agem sobre as varias parti B a culas do corpo CAA Va ase A energia cinética total y Pas T5 SY Am 0 172 S wr a il Za rm aid éobtida adicionandose as grandezas escalares positivas sendo ela mes Foto 171 On 5 Ih feito velo ctri ma uma grandeza escalar positiva Veremos adiante que T pode ser de ae 4 snergia cinétics do ede a terminada para varios tipos de movimento de um corpo rigido Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1087 A expressao U na Eq 171 representa o trabalho de todas as for iii cas que agem sobre as varias particulas do corpo sejam essas forgas in ae ternas ou externas Todavia como vocé vera agora O trabalho total das ta i S forgas internas que mantém as particulas de um corpo rigido juntas é tan oe Lc Z nulo Considere duas particulas A e B de um corpo rigido e as duas forgas a iguais e opostas F e F que elas exercem uma sobre a outra Fig 171 as A Lua yoo Embora em geral pequenos deslocamentos dr e dr das duas particulas i die Uo sejam diferentes os componentes desses deslocamentos ao longo de AB nw en precisam ser iguais caso contrario as particulas no permaneceriam a ae mesma distancia uma da outra e o corpo nao seria rigido Portanto 0 Figura 171 trabalho de F é igual em médulo e tem sinal oposto ao trabalho de F e sua soma é igual a zero Logo o trabalho total das forgas internas que agem sobre as particulas de um corpo rigido é nulo e a expressdo U5 na Eq 171 se reduz ao trabalho das forgas externas que agem sobre o corpo durante o deslocamento considerado 173 Trabalho de forgas que agem sobre um corpo rigido Nos vimos na Seco 132 que o trabalho de uma forga F durante um des locamento de seu ponto de aplicagao de A até A é As U49 F dr 173 Ay ou S82 Uj 52 F cos a ds SI 173 onde F é a intensidade da forga a é 0 Angulo que ela forma com a diregao do movimento de seu ponto de aplicagiio A e s é a varidvel de integracao que mede a distancia percorrida por A ao longo de sua trajetoria No calculo do trabalho das forgas externas que agem sobre um cor ann po rigido frequentemente convém determinar o trabalho de um bindrio ee sem considerar separadamente o trabalho de cada uma das duas forgas aaicaattii que o constituem Considere as duas forgas F e F que formam um bi LTiee B nario de momento M e que agem sobre um corpo rigido Fig 172 Um fe A nn ja P pequeno deslocamento qualquer do corpo rigido levando A e B respec Le t dry tivamente para A e B pode ser dividido em duas partes em uma parte Z wt os pontos A e B realizam deslocamentos iguais a dr na outra parte A NS p permanece fixo enquanto B movese para B por meio de um desloca mento dr de intensidade ds r d0 Na primeira parte do movimento 0 i o trabalho de F é igual em intensidade e tem sinal oposto ao trabalho de Figura 172 F e sua soma é igual a zero Na segunda parte do movimento apenas a forca F realiza trabalho igual a dU F ds Fr d Mas 0 produto Fr é igual a intensidade M do momento do bindrio Portanto o trabalho de um bindério de momento M que age sobre um corpo rigido é dU Mdoé 174 onde dé é 0 pequeno Angulo expresso em radianos por meio do qual o corpo gira Observamos novamente que o trabalho deve ser expresso em unidades obtidas pelo produto das unidades de forga e de comprimento 1088 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica O trabalho do binario durante uma rotagao finita do corpo rigido é obtido por integraco de ambos os membros de 174 desde o valor inicial 6 do Angulo até seu valor final 0 Escrevemos 02 U2 M dé 175 a Quando o momento M do bindrio é constante a Eq 175 reduzse a U M0 6 176 Na Secio 132 destacamos que certas forgas encontradas em proble mas de cinética ndo realizam trabalho Tratase de forgas aplicadas a pon tos fixos ou que atuam em uma direcao perpendicular ao deslocamento de seu ponto de aplicagao Entre as forgas que nao realizam trabalho fo ram listadas as seguintes a reagfo em um pino sem atrito quando 0 cor po apoiado gira em torno do pino a reagaio em uma superficie sem atrito quando 0 corpo em contato se move ao longo da superficie e o peso de um corpo quando seu centro de gravidade movese horizontalmente Po demos agora acrescentar que quando um corpo rigido rola sem deslizar sobre uma superficie fixa a forga de atrito F no ponto de contato C ndo realiza trabalho A velocidade v do ponto de contato C é nula e 0 trabalho da forga de atrito F durante um pequeno deslocamento do corpo rigido é dU F ds Flv dt 0 174 Energia cinética de um corpo rigido em movimento plano Considere um corpo rigido de massa m em movimento plano Recorde mos a partir da Segao 147 que sendo a velocidade absoluta v de cada particula P do corpo expressa como a soma da velocidade v do centro de massa G do corpo e da velocidade vj da particula relativa a um sistema de referéncia Gxy ligado a G e de orientagio fixa Fig 173 a energia y y vj cinética do sistema de particulas constituintes do corpo rigido pode ser UA escrita sob a forma Viea7 N 0 7 ONS Vv 1 1 P T gine 5 SY Amw 177 A v il G Mas a intensidade v da velocidade relativa de P é igual ao produto 4 r da distancia r de P ao eixo perpendicular ao plano do movimento passando por G pela intensidade w da velocidade angular do corpo no instante considerado Com essa consideragio na Eq 177 temos O x 1 2 1 2 2 T mvo S ry Am 178 Figura 173 2 2i5 ou entao como a somatoria representa o momento de inércia I do corpo em torno do eixo que passa por G i 5917 9 T Zmv slow 179 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1089 Notemos que no caso particular de um corpo em translacao w 0 a expresso obtida reduzse a mv enquanto no caso de uma rotagao centroidal 6 0 ela se reduz a 3Iw Concluimos que a energia cinéti ca de um corpo rigido em movimento plano pode ser separada em duas partes 1 a energia cinética mb associada ao movimento do centro de massa G do corpo e 2 a energia cinética I associada A rotagao do corpo em torno de G Rotacao nao centroidal A relacdo 179 é valida para qualquer y tipo de movimento plano e pode portanto ser usada para expressar a n OK energia cinética de um corpo rigido que gira com uma velocidade angu fo lar w em torno de um eixo fixo passando por O Fig 174 Neste caso a P porém a energia cinética do corpo pode ser expressa mais diretamente y considerandose que a velocidade v da particula P é igual ao produto oF DX rw da distancia r de P do eixo fixo pela intensidade w da velocidade angular do corpo no instante considerado Substituindo em Eq 172 4 escrevemos Figura 174 IS 21 3 2 T Ss Amrj Ss r Am 275 21 ou entéo como o ultimo somatério representa o momento de inércia I do corpo em torno do eixo fixo que passa por O T 3Iow 1710 Observamos que os resultados obtidos nao sio limitados ao movi mento de placas planas ou ao movimento de corpos simétricos em re lago ao plano de referéncia e que podem ser aplicados ao estudo do movimento plano de qualquer corpo rigido qualquer que seja o seu formato Todavia como a Eq 179 é aplicavel a qualquer movimento plano enquanto a Eq 1710 aplicase apenas em casos que envolvem rotacao nao centroidal a Eq 179 sera usada para a resolugio de todos os Problemas Resolvidos 175 Sistemas de corpos rigidos Quando um problema envolve diversos corpos rigidos cada um deles pode ser considerado em separado e o principio de trabalho e energia pode ser aplicado a cada corpo Somando as energias cinéticas de to das as particulas e considerando o trabalho de todas as forcgas envolvidas podemos também escrever a equacao de trabalho e energia para todo 0 sistema Temos T U T 1711 onde T representa a soma aritmética das energias cinéticas dos corpos rigidos constituintes do sistema todos os termos sao positivos e U5 representa o trabalho de todas as forgas que agem sobre os varios corpos sejam elas forcas internas ou externas do ponto de vista do sistema como um todo O método de trabalho e energia é particularmente ttil para a resolu cao de problemas que envolvem elementos conectados por pinos blocos e polias ligados por cabos inextensiveis e transmissdes por engrenagens 1090 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Em todos esses casos as forgas internas ocorrem em pares de forcas iguais e opostas e os pontos de aplicagiio das forgas em cada par movem se por meio de distancias iguais durante um pequeno deslocamento do sistema Como resultado o trabalho das forgas internas é nulo e U se reduz ao trabalho das forgas externas ao sistema 176 Conservagdo de energia Vimos na Secio 136 que o trabalho de forgas conservativas tais como o peso de um corpo ou a forga exercida por uma mola pode ser expresso como uma variagao da energia potencial Quando um corpo rigido ou um sistema de corpos rigidos movese sob a acao de forgas conservativas o principio de trabalho e energia estabelecido na Seco 172 pode ser expresso por meio de uma forma modificada Substituindo U da Eq 1319 na Eq 171 escrevemos TVTV 1712 A equacao 1712 estabelece que quando um corpo rigido ou um siste ma de corpos rigidos movese sob a acao de forgas conservativas a soma da energia cinética e da energia potencial do sistema permanece constan te Devese notar que no caso do movimento plano de um corpo rigido a energia cinética do corpo deve incluir tanto 0 termo translacional smb como 0 termo rotacional 51 w Como um exemplo de aplicagao do principio de conservacaio da energia consideremos uma barra delgada AB de comprimento e massa m cujas extremidades esto conectadas a blocos de massa desprezivel que deslizam ao longo de pista horizontal e vertical Assumimos que a barra é liberada sem velocidade inicial de uma posigao horizontal Fig 175a e desejamos determinar sua velocidade angular depois de ela ter girado por meio de um Angulo 6 Fig 175 Como a velocidade inicial é nula temos T 0 Medindo a energia potencial a partir do nivel da pista horizontal escrevemos V 0 Apds 0 giro da barra por meio do Angulo 6 0 centro de gravidade G da barra esta a uma distancia 1 sen 6 abaixo do nivel de referéncia e temos V 3W1 sen 6 jmgl sen 0 Nivel de referéncia Nivel de referéncia B A A J qos a ASS i 9 I g 0 Cc a oon B Vv a b Figura 175 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1091 Observando que nessa posigao o centro instantaneo de rotagio da barra esta localizado em C e que CG 5l escrevemos 0 lw obtemos Ty gm 31a ymslw 37amlor Im w 23 Aplicando o principio da conservacao da energia escrevemos T Vi To Vo 1 ml 0 jmel sen 0 23 2mg 3g 5 sen 0 l As vantagens do método de trabalho e energia assim como suas li mitagdes foram indicadas na Seao 134 Aqui devemos acrescentar que esse método precisa ser suplementado pela aplicagao do principio de dAlembert quando for determinar reagdes em eixos fixos rolamentos e blocos deslizantes Por exemplo para calcular as reagdes nas extremi dades A e B da barra da Fig 175b devese desenhar um diagrama para expressar que o sistema de forcas externas aplicadas a barra é equivalente ao vetor ma e ao bindrio Ia Entretanto a velocidade angular w da barra é determinada pelo método de trabalho e energia antes que as equacées de movimento sejam resolvidas para as reacGdes Portanto a andlise com pleta do movimento da barra e das forgas exercidas sobre ela requer o uso combinado do método de trabalho e energia e do principio de equi valéncia das forcas externas e efetivas 177 Poténcia Poténcia foi definida na Segao 135 como sendo a taxa temporal em que o trabalho é realizado No caso de um corpo sujeito a uma forga F mo vendose com velocidade v a poténcia foi expressa da seguinte maneira dU Poténcia Fv 1313 dt No caso de um corpo rigido girando com velocidade angular w e sujeito a um bindrio de momento M paralelo ao eixo de rotagao temos pela Eq 174 dU Mdé Poténcia Mow 1713 dt dt As diferentes unidades usadas para medir a poténcia tais como o watt W e 0 cavalopoténcia hp foram definidas na Segao 135 04 m PROBLEMA RESOLVIDO 171 Um bloco de 120 kg esta suspenso por um cabo inextensivel enrolado em A torno de um tambor de 04 m de raio preso rigidamente a um volante O tambor e o volante tém um momento de inércia centroidal combinado T 16kg m No instante mostrado na figura a velocidade do bloco é de 2 ms para baixo Sabendo que o mancal em A é pouco lubrificado e que seu atrito equivale a um bindrio M de intensidade de 90 N m determine a ve locidade do bloco apés ele ter se deslocado 125 m para baixo 120 kg SOLUCAO Consideremos o sistema formado pelo volante e pelo bloco Como o cabo é inextensivel o trabalho realizado pelas forgas internas exercidas pelo cabo se cancela As posigées inicial e final do sistema e as forgas externas que agem sobre ele estéo mostradas na figura vy M90Nm Energia cinética Posicdo 1 C iS Bloco v 2ms FA o 2 m a Volante 1 ams 5 rads r 04 m T 4m I observe que a velocidade do centro da massa Vv 2ms do tambor 0 0 120 kg2 ms 16 kg m5 rads W11772N 440 Posido 2 Observando que w 0 04 escrevemos 172 172 ey M90Nm T mv slo CaS 1120834162 1107 be 04 QQ Trabalho Durante 0 movimento apenas 0 peso W do bloco e o bindrio de atrito M realizam trabalho Observando que W realiza trabalho positivo e que o bindrio de atrito M realiza trabalho negativo escrevemos p s0 s 125m 125 m 60 g 82 4125 M 3 195 rad r 04m 82 125m U WssM0 6 2 120 kg981 ms125 m 90 N m3125 rad W 11772N 768 ftlb Principio de trabalho e energia T U T 440 J 1190 J 1100 0 385 ms 385ms ry 250 mm PROBLEMA RESOLVIDO 172 YR A engrenagem A tem massa de 10 kg e raio de giracao de 200 mm a engrena J P gem B tem massa de 3 kg e raio de giragaio de 80 mm O sistema esta em na rg 100mm repouso quando um bindrio M de intensidade 6 N m é aplicado engrena ha gem B Desprezando o atrito determine a o nimero de revolugGes execu 3 Xs tadas pela engrenagem B antes que sua velocidade angular atinja 600 rpm ey e b a forga tangencial que a engrenagem B exerce sobre a engrenagem A 8 q grenag grenag B SOLUCAO Movimento do sistema como um todo Notando que as velocidades Ke A periféricas das engrenagens sao iguais escrevemos Ss 4 P Tp 100 mm 10 Oz W W 0 040 al 28 Ts 250 mm Q Para w 600 rpm temos Beh B w 628 rads wo 040 251 rads T mk 10 kg0200 m 0400 kg m T mk 3 kg0080 m 00192 kg m Energia cinética Como 0 sistema esta inicialmente em estado de repou so T 0 Somando as energias cinéticas das duas engrenagens quando w 600 rpm obtemos T 310 so 40400 kg m251 rads 400192 kg m628 rads 1639 J Trabalho Representando por 6 0 deslocamento angular da engrenagem B temos U M0 6 N m0 rad 665 J Principio de trabalho e energia T UT 0 66 J 1639 J 6 2732 rad 0435 rev Movimento da engrenagem A Energia cinética Inicialmente a Wi engrenagem A esté em repouso de modo que T 0 Quando w 600 rpm Ps a energia cinética da engrenagem A é T 4T0 40400 kg m251 rads 1260 Pj Trabalho As forgas que agem sobre a engrenagem A estéo mostradas na figura A forga tangencial F realiza trabalho igual ao produto de sua intensi dade pelo comprimento r do arco descrito pelo ponto de contato Como F 01 Oprz temos U 49 FOgrg F273 rad0100 m F273 m Principio de trabalho e energia T U T 0 F273 m 1260 J F462 N F462N PROBLEMA RESOLVIDO 173 Uma esfera um cilindro e um aro todos de mesma massa e mesmo raio s40 liberados do repouso em um plano inclinado Determine a velocidade de cada corpo depois de ele ter rolado por uma distancia correspondente a uma variacao de elevacio h SOLUCAO O problema sera resolvido primeiro em termos gerais e em seguida serao encontrados os resultados para cada corpo Representamos a massa por m 0 momento de inércia centroidal por I 0 peso por W e 0 raio por r y Cinematica Como cada corpo rola 0 centro instantaneo de rotagao esta localizado em C e escrevemos oC o r Energia cinética Ww T 0 Ww T 4mo1lw ayY T 4mo4T 2 Hmt 5 rT r r 6 SF BR N Trabalho Como a forga de atrito F em movimento de rolagem nao rea F N liza trabalho U Wh Principio de trabalho e energia TUT 1 2Wh 0wh4mAee o r mtIr Observando que W mg reordenamos o resultado e obtemos 5 2g 1Imr Velocidades da esfera cilindro e aro Introduzindo sucessivamente a expressio particular para I obtemos Esfera T 3mr v 0845V2ch Cilindro T 3mr v 0816V2ch Aro I mr v 0707V2gh Observagado Comparemos os resultados com a velocidade atingida por um bloco sem atrito que desliza pela mesma distancia A solugao é idéntica a so lugao anterior exceto que 0 encontramos 0 V 2ch Ao compararmos os resultados verificamos que a velocidade do corpo é independente tanto da massa como do raio Entretanto a velocidade depen de do quociente Tmr kr que mede a raziio entre a energia cinética rotacional ea energia cinética translacional Assim o aro que possui 0 maior k para um raio dado r atinge a menor velocidade enquanto o bloco deslizan te que nao gira atinge a maior velocidade PROBLEMA RESOLVIDO 174 25m Uma barra delgada AB de 15 kg tem 25 m de comprimento e esta pivotada ol m em um ponto O situado a 05 m da extremidade B A outra extremidade é A aa B pressionada contra uma mola de constante k 300 kNm até que a mola es 2 teja comprimida 40 mm A barra fica entéio em uma posicao horizontal Se a barra é liberada dessa posicao determine a velocidade angular e a reagao no pivé O quando a barra passa pela posigao vertical SOLUCAO Posicgaio 2 Posigdo 1 Energia potencial Como a mola esté comprimida 40 mm temos x 40 mm ree V 4kx 4300 000 Nm0040 m 240 J Posigio 1 7 0 v2 Escolhendo o nivel de referéncia mostrado na figura temos V 0 logo o i o Loft W 15 ke Elemento de referéncia VVV 240 ne Energia cinética Como a velocidade na posigao 1 é nula temos T 0 15 kg Posigdo 2 Energia potencial A elongacao da mola é zero e temos V 0 Como o centro de gravidade da barra esta agora a 075 m acima do nivel de referéncia V 14715 N075 m 1104 J V VV 1104 Energia cinética Representando por a velocidade angular da bar ra na posigaéo 2 notamos que a barra gira em torno de O e escrevemos V FW 0750 T mP o15 kg 25 m781 kgm T 4mi Tw 415075 4781 8120 Conservacdo da energia TV1V 0 240J81202 1104 G a 3995 rads 4 a f Reagdo na posigdo 2 Como w 3995 rads os componentes da ace leragéo de G quando a barra passa pela posigiio 2 siio 5 a rw 075 m3995 rads 1197 ms a 1197 ms a ra a ra Expressamos que o sistema de forgas externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas representado pelo vetor de componentes mae ma ligados aG e pelo bindrio Ia Ta ma J2My Mo afer 0Ia mFar a0 t TT G SSF SF ca R mFa R 0 i 30 Ib may TRF X osai Ry 14715 Nma z 0 Oo R R 14715 N 15 kg1197 ms R 324N R324N JBA PROBLEMA RESOLVIDO 175 i ao Ng Ds Cada uma das barras delgadas mostradas tem 075 m de comprimento e 6 kg 7 2 de massa Se o sistema é liberado do repouso com B 60 determine a a x Y velocidade angular da barra AB quando B 20 e b a velocidade do ponto A eC D D D no mesmo instante SOLUCAO A200 Cinematica do movimento quando B 20 Comov é perpendicu on x lar 4 barra AB e v é horizontal 0 centro instantaéneo de rotagao da barra BD ae eT esta localizado em C Considerando a geometria da figura obtemos BLU7 Z ae a ol 0513 m BC 075 m CD 2075 m sen 20 0513 m w ee aa Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo CDE estando E localizado no cen fe 20 B ye D vp tro de massa da barra BD encontramos EC 0522 m Representando por B w a velocidade angular da barra AB temos wmno AC D4 0375 mw Vaz 0375 N BD O BU v 075 mw v 0750 l AB SE ag Como a barra BD parece girar em torno do ponto C escrevemos E aex ENS p Vap03750 4 0522e Uz BCgp 075 mw 075 mw Opp O Upp EC 0522 mw Vap 05220 Posicao 1 Energia potencial Escolhendo o nivel de referéncia mos B trado e observando que W 6 kg981 ms 5886 N temos 589 N 589 N V 2Wy 25886 N0325 m 38 26 J Y X Ff Energia cinética Como 0 sistema esta em repouso T 0 4 B or as 0325 m Posigdo 2 Energia potencial Ay Elemento V 2W 25886 N01283 m 1510 J Ay D de referéncia E oe ee Posicao 1 nergia cinética Lyy Ign Eml 46 kg075 m 0281 kg m 589 N B 589 N T TMD 4p Z1 Or TMOpp 1 ppp B 20 160375 0281m 4605220 402810 A 4 i 2 2 2 2 eo D 15200 A f Jo 01283 m A Elemento de referéncia D Conservacdo da energia Posigao 2 Tr 4 V T 4 v 0 3826 1520 1510 J w 390 rads 390 rads 4 Velocidade do ponto D Up CD 0513 m390 rads 200 ms Vp 200ms N esta secao introduzimos métodos de energia para determinar a velocidade de corpos rigidos para varias posicgdes durante seu movimento Como vocé constatou anteriormente no Cap 13 métodos de energia devem ser considerados para problemas que envolvem deslocamentos e velocidades 1 O método de trabalho e energia quando aplicado a todas as particulas constituintes de um corpo rigido conduz 4 equagiio T U T 171 onde T e T sio respectivamente os valores inicial e final da energia cinética total das particulas constituintes do corpo rigido e U 0 trabalho realizado pelas forgas externas exercidas sobre esse Corpo a Trabalho de forcgas e bindrios A expressio do trabalho de uma forga Cap 13 adi cionamos a expressao do trabalho de um bindrio e escrevemos Ap 00 Uy9 F dr Uy Mdé 173 175 A 6 Quando o momento de um bindrio é constante o trabalho do binario é U5 M6 0 176 onde 6 e 8 sio expressos em radianos Problemas Resolvidos 171 e 172 b A energia cinética de um corpo rigido em movimento plano foi encontrada considerandose 0 movimento do corpo como a soma de uma translacéo com seu centro de massa e de uma rotacao em torno dele T mbv0 1w 179 onde v é a velocidade do centro de massa e w é a velocidade angular do corpo Problemas Resol vidos 173 e 174 2 Para um sistema de corpos rigidos usamos novamente a equagao T Ui T 171 onde T é a soma das energias cinéticas dos corpos que formam o sistema e U é 0 trabalho realizado por todas as forgas que agem sobre os corpos tanto internas como externas Seus calculos serao simplificados se vocé tiver em mente 0 que vem a seguir a As forcgas exercidas entre si por elementos conectados por pinos ou pelas engrenagens de uma transmissGo sao iguais e opostas e como elas tem o mesmo ponto de aplicagiio efetuaraio pequenos deslocamentos iguais Portanto seu trabalho total serd nulo e pode ser omitido de seus calculos Problema Resolvido 172 continua b As forgas exercidas por um cabo inextensivel sobre dois corpos por ele conectados tém a mesma intensidade e seus pontos de aplicagaéo percorrem distancias iguais mas 0 trabalho de uma forga é positivo e o trabalho da outra é negativo Portanto seu trabalho total é nulo poden do novamente ser omitido de seus calculos Problema Resolvido 171 c As forcas exercidas por uma mola sobre os dois corpos por ela conectados também tém a mesma intensidade mas seus pontos de aplicacéo em geral percorrerao distancias dife rentes Portanto seu trabalho total normalmente ndo é nulo e deve ser levado em conta em seus calculos 3 O principio de conservagdo da energia pode ser expresso como TVTV 1712 onde V representa a energia potencial do sistema Esse principio pode ser usado quando um corpo ou um sistema de corpos esta sujeito a forgas conservativas tais como a forga exercida por uma mola ou a forga da gravidade Problemas Resolvidos 174 e 175 4 A ultima ligao desta segao foi dedicada a poténcia que é a taxa de variagdo temporal com que o trabalho é realizado Para um corpo sujeito a um bindrio de momento M a poténcia pode ser expressa como Poténcia Mw 1713 onde w é a velocidade angular do corpo expressa em rads Como no Cap 13 vocé deve expressar a poténcia em watts ou em cavalopoténcia 1 hp 746 W 171 Sabese que sdo necessdrias 1500 revolugdes para um volante de 3000 kg chegar ao repouso partindo de uma velocidade angular de 300 rpm Sabendo que o raio de giragio do volante é de 1 m deter mine a intensidade média do bindrio devido ao atrito cinético nos mancais 172 O rotor de um motor elétrico tem uma velocidade angular de 3600 rpm quando a carga e a poténcia sao cortadas O rotor de 50 kg com um raio de giracgéo centroidal de 180 mm chega entiio ao estado de repouso Sabendo que o atrito cinético do rotor produz um bindrio de intensidade de 35 N m determine o ntimero de revolugées que o rotor executa antes de chegar ao repouso 173 Dois discos de mesmo material estao presos a um eixo como mostrado na figura O disco A tem raio r e espessura b enquanto o disco B tem pi CE A raio nr e espessura 3b Um bindrio M de intensidade constante é apli vO cado quando o sistema esté em repouso e é removido apés o sistema realizar duas revolugdes Determinar 0 valor de n que resulte na maior velocidade final para um ponto na aba do disco B 174 Dois discos de mesmo material estéo presos a um eixo como mostra 7 C ae do na figura O disco A tem massa de 15 kg e um raio r 125 mm O 3b B disco B tem o triplo da espessura do disco A Sabendo que um bindrio 4 M de intensidade 20 N m é aplicado ao disco A quando o sistema esta em repouso determine o raio nr do disco B para que a velocida t Fi de angular do sistema seja de 600 rpm apds quatro revolugées Figura P173 e P174 175 O volante de uma maquina perfuratriz tem uma massa de 300 kg e um raio de giracaio de 600 mm Cada operagio de perfuragaio requer 2500 J de trabalho a Sabendo que a velocidade do volante é de 300 rpm logo antes de uma perfuragao determine a velocidade imediata mente apos a perfuracao b Se um bindrio constante de 25 N m é aplicado ao eixo do volante determine o ntimero de revolugées exe cutadas antes da velocidade atingir novamente 300 rpm 176 Ovolante de uma pequena maquina perfuratriz gira a 360 rpm Cada operagiio de perfuragao requer 2250 N m de trabalho sendo de sejavel que a velocidade do volante apés cada perfuracio nao seja menor que 95 da velocidade original 2 Determine o momento de inércia requerido do volante b Se um bindrio constante de 27 N m é aplicado ao eixo do volante determine o ntimero de revolugées que devem ocorrer entre duas perfuragGes sucessivas sabendo que a ve locidade inicial precisa ser de 360 rpm no inicio de cada perfuragao 1100 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 177 O disco A tem espessura constante e esta em repouso quando posto q em contato com a esteira BC que se move com velocidade constante v Indicado por py 0 coeficiente de atrito cinético entre o disco e a es teira deduza uma expressao para o ntimero de revolugées executadas pelo disco antes dele atingir uma velocidade angular constante UJ 178 O disco A de massa 5 kg e raio r 150 mm esté em repouso quando posto em contato com a esteira BC que se move para a direita com B velocidade constante v 12 ms Sabendo que p 020 entre o disco e a esteira determine o ntimero de revolugées executadas pelo disco antes dele atingir uma velocidade angular constante Figura P177 e P178 179 Cada uma das engrenagens A e B tem uma massa de 24 kg e um raio de giragaio de 60 mm enquanto a engrenagem C tem uma massa de 12 kg e um raio de giracado de 150 mm Um binario M de intensidade A B 10 N m é aplicado a engrenagem C Determine a 0 nimero de 80 mm X80 mm revolugGes da engrenagem C necessarias para sua velocidade angular s act aumentar de 100 para 450 rpm D a forca tangencial correspondente vy As que age sobre a engrenagem A 200 mm 3 1710 Resolvao Problema 179 considerando que a bindrio 10 N m é apli cado na engrenagem B 1711 A polia dupla mostrada na figura tem massa de 15 kg e um raio de giragio centroidal de 160 mm O cilindro A e o bloco B esto presos a Figura P179 cordas enroladas sobre as polias conforme ilustrado na figura O coefi ciente de atrito cinético entre o bloco B e a superficie é de 025 Saben do que o sistema é liberado do repouso na posigao mostrada determine a a velocidade do cilindro A quando ele atinge o solo b a distancia total percorrida pelo bloco B antes de retornar ao estado de repouso 150 mm i 4 10 kg A 250 mm A 125 kg 120 mm 4 900 mm i ZA Figura P1711 200 mm 1712 Otambor de freio de 160 mm de raio é preso a um volante maior que L nao esta mostrado na figura O momento de inércia de massa total e do volante e do tambor é 20 kg m e 0 coeficiente de atrito cinético P entre o tambor e a sapata do freio é 035 Sabendo que a velocidade angular inicial do volante é 360 rpm no sentido antihorario determi ne a forga vertical P que precisa ser aplicada ao pedal C para fazer o ee sistema parar em 100 revolugées C 300 mm 1713 Resolva o Problema 1712 considerando que a velocidade angular Figura P1712 inicial do volante é 360 rpm no sentido horario Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1101 1714 O trem de engrenagens mostrado na figura consiste de quatro engrena gens de mesma espessura e do mesmo material duas engrenagens tém raio r e as outras duas tem raio nr O sistema esta em repouso quando oO bindrio M é aplicado no eixo C Indicado por I o momento de inércia de uma engrenagem de raio r determine a velocidade angular do eixo Ase o binario M é aplicado para uma revolugao do eixo C SW WRAL Le er e at 2 S Y 7 9 A Ty S J B Wis Oe 3 xX au Figura P1714 1715 Os trés discos de atrito mostrados na figura sao feitos do mesmo ma terial e tem a mesma espessura Sabese que o disco A tem massa 4 B de 6 kg e que os raios dos discos sio r 200 mm rz 150 mm e rA a ro 100 mm O sistema esta em repouso quando um bindrio M dey al eo G oo 0 intensidade constante 75 N m é aplicado no disco A Considerando que nao ocorre nenhum escorregamento entre os discos determine o ntimero de revolugées requerido para o disco A para alcangar a velo cidade angular de 150 rpm Figura P1715 1716 e 1717 Uma barra delgada de 4 kg pode girar em um plano vertical em torno de um pivé em B Uma mola de constante k 400 Nm e comprimento indeformado de 150 mm é presa 4 barra como mostrado na figura Sabendo que a barra é liberada do repouso na posigaio mostra da determine sua velocidade angular apés ela ter girado 90 A Cc iy 120 mm NY Vig D 4 lei Wy B D By 7 al a en 120 mm ae a G C 350 mm ALL 350 mm Figura P1716 Figura P1717 1718 Uma barra delgada de comprimento e peso W é pivotada em uma extremidade como mostra a figura Ela é liberada do repouso na AC B posigio horizontal e oscila livremente a Determine a velocidade 1 angular da barra quando ela passa por meio da posigao vertical e de termine a reaco correspondente no pivo b Resolva a parte a para Figura P1718 W10Nel1m 1102 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1719 Uma barra delgada de comprimento esta pivotada no ponto C loca lizado a uma distancia b de seu centro G Ela é liberada do repouso em uma posigio horizontal e oscila livremente Determine a a dis tancia b para que a velocidade angular da barra seja maxima quando passar por uma posigio vertical b os valores correspondentes de sua velocidade angular e da reagaio em C 7 LT A B ss l Figura P1719 1720 Um ginasta de 80 kg esta executando uma série de giros completos im em uma barra horizontal Na posigao mostrada na figura ele tem ve locidade angular pequena e desprezivel e mantera seu corpo ereto e G rigido 4 medida que girar para baixo Admitindo que durante o giro Im o raio de giracéo centroidal de seu corpo seja de 04 m determine a eo velocidade angular e a forga exercida sobre suas maos apos ele ter girado a 90 b 180 1721 Duas barras delgadas idénticas AB e BC estao soldadas entre si for mando um conjunto em forma de L O conjunto é pressionado contra uma mola em D e liberado a partir da posigéo mostrada na figura Sabendo que o 4ngulo maximo de rotacgo do conjunto em seu mo vimento subsequente é de 90 no sentido antihorério determine a intensidade da velocidade angular do conjunto quando ele atingir a posigo em que a barra AB forma um Angulo de 30 com a horizontal 1722 Um cursor com massa de 1 kg é rigidamente preso a uma distancia Figura P1720 d 300 mm da extremidade de uma barra uniforme delgada AB A barra tem uma massa de 3 kg e comprimento L 600 mm Sabendo que a barra é liberada do repouso na posicao mostrada na figura deter mine a velocidade angular da barra depois dela ter girado 90 B A eee 1723 Umcursor com massa de 1 kg é rigidamente preso a uma barra uni forme delgada AB de massa de 3 kg e tem comprimento L 600 mm A barra é liberada do repouso na posigo mostrada na figura Deter h mine a distancia d para que a velocidade angular da barra seja maxi 04m ma depois dela ter girado 90 Ww 1724 Um rolo cilfndrico uniforme de 20 kg inicialmente em repouso esta D sujeito a uma forga de 90 N como mostrado na figura Sabendo que o corpo rola sem deslizar determine a a velocidade do seu centro G Cc apos ele ter se deslocado 15 m b a forga de atrito requerida para 04m evitar o deslizamento Figura P1721 L G 250 mm d 6s 90N FC A B Figura P1722 e P1723 Figura P1724 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1103 1725 Uma corda é enrolada em torno de um cilindro de raio r e massa m como mostrado na figura Sabendo que o cilindro é liberado do a repouso determine a velocidade do centro do cilindro apés ele ter se deslocado para baixo a uma distancia s 1726 Resolva o Problema 1725 considerando que o cilindro é substituido por um tubo de parede fina de raio r e massa m 1727 O centro de massa G de uma roda de 3 kg de raio R 180 mm é lo calizado a uma distancia r 60 mm do centro geométrico C O raio de giragao centroidal da roda é k 90 mm Como a roda rola sem Figura P1725 deslizamento observase que sua velocidade angular varia Sabendo que w 8 rads na posigo mostrada na figura determine a a velo cidade angular da roda quando o centro de massa G esta diretamente w acima do centro geométrico C b a reagio na superficie horizontal no mesmo instante Oo 1728 Um cursor B de massa m e dimensGes despreziveis esta preso a pe Gc riferia de um aro de mesma massa m e de raio r que rola sem deslizar sobre uma superficie horizontal Determine a velocidade angular w do aro em termos de g e r quando B estiver diretamente acima do Figura P1727 centro A sabendo que a velocidade angular do aro é 3w quando B esta diretamente abaixo de A Figura P1728 Ge Oo 1729 Um semicilindro de massa m e raio r é liberado do repouso na posicao mostrada na figura Sabendo que ele rola sem deslizar determine a sua velocidade angular apés ele ter rolado por 90 b a reacio na su pertficie horizontal no mesmo instante Dica observe que GO 2rm e que pelo teorema dos eixos paralelos I mr mGOY Figura P1729 1730 Dois cilindros uniformes cada um de massam 7 kg e raior 100 mm estaio conectados por uma esteira como mostrado na figura Sabendo que a velocidade angular inicial do cilindro B é de 30 rads no sentido B oe antihorario determine a a distancia que o cilindro A subira antes que i a velocidade angular do cilindro B seja reduzida para 5 rads D a tragao Aa na parte da esteira que liga os dois cilindros 1731 Dois cilindros uniformes cada um de massam 7kge raior 100 mm estao conectados por uma esteira como mostrado na figura Se o sistema é liberado do repouso determine a a velocidade do centro do cilindro A apés ele ter movido por 1 m D a tragao na parte da esteira que liga os dois cilindros Figura P1730 e P1731 1104 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 75 mm 1732 A barra BC de 5 kg presa por pinos a dois discos uniformes como mostra a figura A massa do disco de raio de 150 mm é 6 kg e que a massa do disco de raio de 75 mm é 15 kg Sabendo que o sistema é 150 mm liberado do repouso na posigéo mostrada determine a velocidade da barra depois do disco A ter girado 90 75 mm a ms 1733 a 1735 O estrado de 9 kg esta apoiado como mostrado na figura J wy por dois discos uniformes que rolam sem deslizar em todas as superfi cies de contato A massa de cada disco 6m 6 kg e 0 raio de cada disco é r 80 mm Sabendo que o sistema esta inicialmente em repouso Figura P1732 determine a velocidade do estrado apés ele ter se deslocado 250 mm 30 N 30 N 30 N fo iD Dy AW Ds 4 y ACS EF en i ee Figura P1733 Figura P1734 Figura P1735 1736 O movimento da barra delgada uniforme AB de 10 kg é guiado por cursores de massa desprezivel que deslizam livremente nas barras vertical e horizontal mostradas na figura Sabendo que a barra é libe A rada do repouso quando 30 determine a velocidade dos curso res A e B quando 6 60 6 1737 O movimento da barra delgada uniforme AB de 10 kg é guiado por cursores de massa desprezivel que deslizam livremente nas barras vertical e horizontal mostradas na figura Sabendo que a barra é libe l12m B rada do repouso quando 20 determine a velocidade dos curso S res A e B quando 6 90 1738 As extremidades de uma barra AB de 45 ke sao forgadas a se mover 8 ao longo de ranhuras cortadas em um plano vertical como mostrado na figura Uma mola de constante k 600 Nm esta presa 4 extremi dade A de tal maneira que sua extensdo é nula quando 6 0 deter mine a velocidade angular da barra e a velocidade da extremidade B Figura P1736 e P1737 quando 9 30 1739 As extremidades de uma barra AB de 45 kg sao forgadas a se mover 8 A ao longo de ranhuras cortadas em um plano vertical como mostrado a na figura Uma mola de constante k 600 Nm esta presa a extre midade A de tal maneira que sua extensfo é nula quando 6 0 Se a barra é liberada do repouso quando 50 determine a velocidade 1600 mm B angular da barra e a velocidade da extremidade B quando 6 0 1740 O movimento da barra uniforme AB é guiado por roletes de massa desprezivel que rolam sobre a superficie mostrada na figura Se a bar ra liberada do repouso quando 0 determine as velocidades de Figura P1738 e P1739 Ae B quando 6 30 A T 60 fe B 1 Figura P1740 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1105 1741 O movimento de uma barra delgada de comprimento R é guiado por pinos em A e B que deslizam livremente em ranhuras feitas em uma placa vertical como mostrado na figura Se a extremidade B é movida ligeiramente para a esquerda e entio liberada determine a veloci dade angular da barra e a velocidade de seu centro de massa a no instante em que a velocidade da extremidade é zero b quando a extremidade B passa pelo ponto D i Cc R R D ft B A B Figura P1741 1742 Duas barras uniformes cada uma com massa m e comprimento L L estao conectadas para formar a articulagaio mostrada na figura A ex tremidade D da barra BD pode deslizar livremente na ranhura hori zontal enquanto a extremidade A da barra AB esta apoiada em um y suporte pinado Se a extremidade D é levemente deslocada para a BD esquerda e entao liberada determine sua velocidade a quando ela esté diretamente abaixo de A b quando a barra AB é vertical Figura P1742 1743 As barras uniformes AB e BC tém massas de 12 kg e 2 kg respectiva mente e o rolete em C tem massa desprezivel Se o rolete é levemen te deslocado para a direita e entio liberado determine a velocidade do pino B apos a barra AB ter girado 90 1744 As barras uniformes AB e BC tém massas de 12 kg e 2 kg respectiva mente e o rolete em C tem massa desprezivel Sabendo que na posigao mostrada na figura a velocidade do rolete C é de 2 ms para a direita determine a velocidade do pino B apés a barra AB ter girado 90 CN 750 mm 450 mm Sy A i NO Ke lj 4 Figura P1743 e P1744 720 mm 1745 A barra AB de 4 kg esta presa a um cursor de peso desprezivel em A e aum volante em B O volante tem massa de 16 kg e raio de giragio c tS de 180 mm Sabendo que na posicaio mostrada na figura a velocidade Oe angular do volante é de 60 rpm no sentido hordario determine a veloci B A dade do volante quando o ponto B esta diretamente abaixo do C 3 1746 No Problema 1745 se a velocidade angular do volante tiver de ser a mesma da posigaio mostrada na figura e quando o ponto B estiver diretamente acima de C determine o valor requerido de sua veloci 240 mm dade angular na posigao mostrada na figura Figura P1745 e P1746 1106 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1747 A engrenagem de raio 80 mm mostrada na figura tem uma massa de 5 kg e um raio de giracgao centroidal de 60 mm A barra AB de 4 kg é 80 mm presa ao centro da engrenagem e ao pino em B que desliza livremen te na ranhura vertical Sabendo que o sistema é liberado do repouso eS quando 60 determine a velocidade do centro da engrenagem ee a i quando 20 0 1748 O motor mostrado na figura gira a uma frequéncia de 225 Hz e mo vimenta uma maquina presa ao eixo em B Sabendo que o motor de 320 mm senvolve 3 kW determine a intensidade do binario exercido a pelo motor na polia A b pelo eixo na polia B B 30 mm Figura P1747 G 180 mm 5a Figura P1748 1749 Sabendo que o bindrio maximo admissivel que pode ser aplicado ao eixo é de 2000 N m determine a poténcia maxima em kW que pode ser transmitida pelo eixo em a 180 rpm b 480 rpm 1750 Trés eixos e quatro engrenagens siio usados para formar um trem de engrenagens que transmitira 75 kW de um motor em A para uma maquina ferramenta em F Os mancais dos eixos foram omitidos do esbogo Sabendo que a frequéncia do motor é 30 Hz determine a SREB Zz intensidade do binario que é aplicado ao eixo a AB b CD c EF g a EOS ZB S EB y GS S 2 B 1751 O dispositivo eixodiscoesteira mostrado na figura é usado para 180 mm S transmitir 24 kW do ponto A ao ponto D Sabendo que os bindrios EZ SB maximos admissiveis que podem ser aplicados aos eixos AB e CD sio aang asi 180 mm que p P gS Any de 25 N me 80 N m respectivamente determine a velocidade 75 mm Oe 3D a 2 minima requerida do eixo AB r A mm B A 30 mm LF Za A Figura P1750 D 120 mm Figura P1751 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1107 178 Principio de impulso e quantidade de movimento para o movimento plano de um corpo rigido O principio de impulso e quantidade de movimento sera agora aplicado a andlise do movimento plano de corpos rigidos e de sistemas de corpos rigidos Como salientado no Cap 13 o método de impulso e quantidade de movimento adaptase particularmente bem 4 resolugio de problemas que envolvem tempo e velocidades Além disso 0 principio de impulso e quantidade de movimento fornece 0 tinico método praticével para a solucao de problemas envolvendo 0 movimento impulsivo ou o impacto Secdes 1711 e 1712 Considerando outra vez um corpo rigido como sendo constituido de diversas particulas P relembremos a partir da Seco 149 que o sistema formado pelas quantidades de movimento das particulas no tempo t e o sistema de impulsos das forgas externas aplicadas de t até t sio em con junto equipolentes ao sistema formado pelas quantidades de movimento das particulas no tempo t Uma vez que os vetores associados a um corpo rigido podem ser considerados como vetores deslizantes Segao 319 seguese que o sistema de vetores mostrados na Fig 176 sao nao apenas SF dt vi Ania 4 v Am1 y O x O x O x a b c Figura 176 equipolentes mas de fato equivalentes no sentido de que os vetores do lado esquerdo do sinal de igualdade podem ser transformados nos veto res do lado direito pelo uso das operagées fundamentais listadas na Secao 313 Portanto escrevemos Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext 1714 ee ee Sist de Quant de Mov a a e i a 5 i a ae i he 7 Mas as quantidades de movimento v Am das particulas podem ser PSs A reduzidas a um vetor ligado a G igual 4 sua soma SG Age n EB L S Vi Am 2 il es 3 eaum bindrio de momento igual 4 soma de seus momentos em relacao a G NS waa i Foto 172 Um teste de impacto Ho rj X v Am Charpy é usado para determinar a ml quantidade de energia absorvida Recordemos da Segao 143 que L e H definem respectivamente a quan pelo material durante o impacto pela diferenga entre a energia potencial tidade de movimento linear e a quantidade de movimento angular em re ree oe gravitacional final do brago e sua lagdo a G do sistema de particulas constituintes do corpo rigido Observe gnergia potencial gravitacional inicial 1108 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica mos também pela Eq 1414 que L mv Por outro lado restringindo a presente andlise ao movimento plano de uma placa rigida ou de um cor po rigido simétrico em relagao ao plano de referéncia relembramos pela Eq 164 que H I Logo concluimos que o sistema de quantidades de movimento v Am é equivalente ao vetor quantidade de movimento linear mv ligado a G e ao bindrio quantidade de movimento angular Iw Fig 177 Observando que o sistema de quantidades de movimento se reduz ao vetor mv no caso particular de uma translacao w 0 e ao bind rio Iw no caso particular de uma rotagio centroidal v 0 verificamos uma vez mais que o movimento plano de um corpo rigido simétrico em relaco ao plano de referéncia pode ser decomposto em uma translacao com o centro de massa G e em uma rotagado em torno de G Lmv vy Am A P B Figura 177 Substituindo o sistema de quantidades de movimento das partes a e c da Fig 176 pelos equivalentes vetor quantidade de movimento linear e bindrio quantidade de movimento angular obtemos os trés diagramas mostrados na Fig 178 Essa figura expressa sob a forma de uma equa cao baseada no diagrama de corpo livre a relagaéo fundamental 1714 no caso do movimento plano de uma placa rigida ou de um corpo rigido simétrico em relagio ao plano de referéncia y y y MVo SF dt mvj O x O x O x a b c Figura 178 Trés equagdes de movimento podem ser deduzidas da Fig 178 Duas delas podem ser obtidas somandose e igualando os componen tes em x e em y das quantidades de movimento e impulsos e a terceira equacao é obtida somandose e igualando os momentos desses vetores em torno de um dado ponto qualquer Os eixos de coordenadas podem ser escolhidos como sendo fixos no espaco ou deslocandose com o centro do massa do corpo embora mantendo uma orientagio fixa Em qualquer dos casos 0 ponto em torno do qual os momentos s4o efetuados deve manter a mesma posiao relativamente aos eixos de coordenadas durante o intervalo de tempo considerado Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1109 Ao deduzir as trés equagdes de movimento para um corpo rigido devese tomar cuidado para nao adicionar quantidades de movimento lineares e angulares indiscriminadamente Podese evitar confusdes re lembrando que mv e mv representam os componentes de um vetor a saber 0 vetor quantidade de movimento linear mv ao passo que Iw re presenta a intensidade de um bindrio isto é o binério quantidade de mo vimento angular I Logo a grandeza Iw deve ser adicionada somente ao momento da quantidade de movimento linear mv e jamais a esse pr6 prio vetor nem a seus componentes Todas as grandezas envolvidas serio entéo expressas na mesma unidade a saber N m s Rotagdo nao centroidal Nesse caso particular de movimento a in tensidade da velocidade do centro de massa do corpo é rw onde r representa a distancia do centro de massa ao eixo fixo de rotacgio e re presenta a velocidade angular do corpo no instante considerado a inten sidade do vetor quantidade de movimento ligado a G é entéo mv mra Somando os momentos em relaco a O do vetor quantidade de movi mento e do bindrio quantidade de movimento angular Fig 179 e mv a Sy 7 ors Tr ot Figura 179 usando o teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia verifica mos que a quantidade de movimento angular Hy do corpo em relacao a O tem a intensidade Iw mrwr I mro Ipw 1715 Igualando os momentos em relagéo a O das quantidades de movimento e impulsos em 1714 escrevemos ty ty No caso geral do movimento plano de um corpo rigido simétrico em relaco ao plano de referéncia a Eq 1716 pode ser usada em relacao ao eixo instantaneo de rotagao sob certas condigdes Todavia 6 recomen davel que todos os problemas de movimento plano sejam resolvidos pelo método geral descrito anteriormente nesta secAo 179 Sistemas de corpos rigidos O movimento de sistemas de corpos rigidos pode ser analisado pela aplica cao do principio de impulso e quantidade de movimento a cada corpo em Observe que a soma H dos momentos em relagiio a um ponto arbitrério A das quanti dades de movimento das particulas de uma placa rigida ndo é em geral igual a I ver Problema 1767 1110 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica separado Problema Resolvido 176 Entretanto ao resolver problemas envolvendo nao mais que trés inc6gnitas incluindo os impulsos de reagdes desconhecidas 6 muitas vezes conveniente aplicar o principio de impulso e quantidade de movimento ao sistema como um todo Os diagramas de quantidade de movimento e impulso sao desenhados para todo o sistema de corpos Para cada parte mével do sistema os diagramas das quantida des de movimento devem incluir um vetor de quantidade de movimento um bindrio de quantidade de movimento angular ou ambos Impulsos de forgas internas ao sistema podem ser omitidos do diagrama de impulso pois eles ocorrem em pares de vetores iguais e opostos Somando e equa cionando sucessivamente os componentes em x os componentes em y 0s momentos de todos os vetores envolvidos obtémse trés relagdes que ex pressam que as quantidades de movimento no tempo t e os impulsos das forcas externas formam um sistema equipolente ao sistema de quantidades de movimento no tempo f Novamente devese tomar cuidado para nfo adicionar quantidades de movimento lineares e angulares indiscriminada mente cada equacao deve ser verificada para se ter certeza do emprego de unidades consistentes Essa abordagem é usada no Problema Resolvido 178 e ainda nos Problemas Resolvidos 179 e 1710 a 1710 Conservacdo da quantidade de movimento ZS angular y Quando nfo ha forgas externas agindo sobre um corpo rigido ou sistema y oa de corpos rigidos os impulsos das forgas externas sAo nulos e o sistema i de quantidades de movimento no tempo é equipolente ao sistema de quantidades de movimento no tempo t Somando e igualando sucessiva mente os componentes em x os componentes em y e os momentos das quantidades de movimento nos tempos f e t concluimos que a quan tidade de movimento linear total do sistema conservase em qualquer direco e que sua quantidade de movimento angular total conservase ee al em relagao a qualquer ponto Entretanto ha muitas aplicagdes de engenharia em que a quantidade de movimento linear ndo se conserva embora a quantidade de movimen pM to angular H do sistema em relacao a um dado ponto O seja conservada ar isto é em que i H Ho 1717 Tais casos ocorrem quando as linhas de aco de todas as forcas externas y passam por O ou de modo mais geral quando a soma dos impulsos angu lares das forgas externas em torno de O é nula Problemas envolvendo a conservagdo da quantidade de movimento angular em relaco a um ponto O podem ser resolvidos pelo método geral de impulso e quantidade de movimento ou seja desenhando diagramas de quantidade de movimento e de impulso como descrita nas Segées 178 a ene e 179 Assim a Eq 1717 é obtida somandose e igualando momentos em relagaio a O Problema Resolvido 178 Como vocé vera adiante no Problema Resolvido 179 duas equacgées adicionais podem ser escritas Foto 173 Uma patinadora artistica somandose e igualando os componentes em x e em y e essas equacdes no inicio e no final de uma rotagéo Loe Usando o principio de conservagéo da podem ser usadas para determinar dois impulsos lineares desconhecidos quantidade de movimento angular vocétais como os impulsos dos componentes da reagao em um ponto fixo verificard que a velocidade angular da patinadora é muito maior no final da Observe que como na Seo 167 nao podemos falar de sistemas equivalentes pois naio rotagdo estamos tratando de um tinico corpo rigido ra 250 mm PROBLEMA RESOLVIDO 176 A Jr A engrenagem A tem massa de 10 kg e raio de giragaio de 200 mm e a en grenagem B tem massa de 3 kg e raio de giragaio de 80 mm O sistema esta ll rg 100 mm em repouso quando um bindrio M de intensidade de 6 N m é aplicado a engrenagem B Essas engrenagens foram consideradas no Problema Resol co vido 172 Desprezando o atrito determine a 0 tempo requerido para a velocidade angular da engrenagem B atingir 600 rpm e b a forga tangencial B exercida pela engrenagem B sobre a engrenagem A SOLUCAO Aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimento a cada engre nagem separadamente Como todas as forgas e o bindrio sio constantes seus impulsos so obtidos multiplicandoos pelo tempo desconhecido t Relem bremos do Problema Resolvido 172 onde os momentos de inércia centroidais e as velocidades angulares finais sio 1 0400 kg m T 00192 kg m 251 rads 628 rads Principio de impulso e quantidade de movimento para a engre nagem A Os sistemas de quantidades de movimento iniciais impulsos e quantidades de movimento finais esto mostrados em trés esbocos separados r a A TA o Ayt Ayt Ft Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov sobre o momento A 0 Ftr 1 Ft0250 m 0400 kgm251 rads Ft 402 Ns Principio de impulso e quantidade de movimento para a engre nagem B Tplg 0 Ft Tplp Bt Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov sobre o momento B 0 Mt Ftr Iw 6 N mt 402 Ns0100 m 00192 kg m628 rads t087ls Relembrando que Ft 402 N s escrevemos F0871 s 402 N s F462N Logo a forga exercida pela engrenagem B sobre a engrenagem A é F462NY 4 PROBLEMA RESOLVIDO 177 Uma esfera uniforme de massa m e raio r é langada ao longo de uma super v ficie horizontal rugosa com uma velocidade linear v e sem velocidade an gular Representando por p 0 coeficiente de atrito cinético entre a esfera e a superficie determine a 0 tempo t em que a esfera comegaré a rolar sem a deslizar e b as velocidades linear e angular da esfera no tempo f5 SOLUCAO Enquanto a esfera esta deslizando em relagio a superficie ela esta sujeita a forga normal N a forga de atrito F e a seu peso W de intensidade W mg Principio de impulso e quantidade de movimento Aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimento a esfera desde 0 tempo t 0 quando ela é posta sobre a superficie até o tempo t t quando ela comega a rolar sem deslizar Cc 7 Ft Cc Nt Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov componentes em y Nt Wt 0 1 componentes em x mb Ft mo 2 sobre o momento G Ftr To 3 De 1 obtemos N W mg Durante todo o intervalo de tempo conside rado ocorre deslizamento no ponto C e temos F pN mg Substituin do CS no lugar de F em 2 escrevemos Mv pyMgt Mvy Uo 0 prt 4 Substituindo F mg e T 2mr em 3 5 Brg wymetr 2mrws t 5 2r A esfera comegara a rolar sem deslizar quando a velocidade v do ponto de contato for nula Nesse instante o ponto C tornase 0 centro instant4neo de rotacio e temos U rw Com essa consideragio em 4 e 5 escrevemos 5 hr 2 v Uy Tw v1 7 trt t 2 2 1 Brg 2 5 7 mg Substituindo essa expressio para t em 5 3 Mi 2 5 0 5 ot 2 2 r 7 Lg 2 Or 2 7 r 2 1 5 Oo TW Us ro Vg 7U7 4 79 y PROBLEMA RESOLVIDO 178 600 mm eeeeeeee P 600 mm Duas esferas sdlidas de raio de 100 mm pesando 1 kg cada estéio montadas a 100mm 100mm em A e B sobre a barra horizontal AB que gira livremente em torno da ver a 4 tical com uma velocidade angular de 6 rads no sentido antihorario As esfe A Tit ee ras sfio mantidas no lugar por uma corda que é subitamente cortada Sabendo Corda 4 B que o momento de inércia centroidal da barra e do pivé é I 04 kg m B determine a a velocidade angular da barra apés as esferas terem se movido EDs para as posic6es A e B e b a energia perdida devido ao impacto plastico das FY t t esferas e dos anteparos em A e B SOLUCAO a Principio de impulso e quantidade de movimento Para determi nar a velocidade angular final da barra expressaremos que as quantidades de movimento inicial das varias partes do sistema e os impulsos das forgas externas sao em conjunto equipolentes 4s quantidades de movimento finais do sistema msVpo Tc05 9 lw msVp A Tyo A gos Tp rg mod ey y B Ia msvW 7 JR dt a A mV ao Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov Observando que as forgas externas consistem dos pesos e da reagao no pivé que no produzem momento em torno do eixo y e notando que U U To igualamos os momentos em torno do eixo y 2mgr1r IT so Tp 2MgroWsTo IT ss I pws Qmgrj 2s Ip 2msr3 Ws Tps 1 expressando que a quantidade de movimento angular do sistema em relagaéo ao eixo y conservase Calculamos agora I ma 21 kg01 m 0004 kg m mgr 1 kg01 m 001 kgm mF 1 kg06 m 036 kg m2 Substituindo esses valores e I 04kg me w 6 rads em 1 04286 rads 1128 228 rads 4 b Energia perdida A energia cinética do sistema em um instante qual quer é T 2imsv Ts LT po 1 2msr QT Tp Trazendo os valores numéricos encontrados anteriormente temos T 04286 7704 J Ty 1128 228 2932 J Energia perdida T T 7704 2932 477J METODOLOGIA PARA A RESOLUGAO DE PROBLEMA SOLUCAO fo S N segao vocé aprendeu a usar 0 método de impulso e quantidade de movimento para re solver problemas envolvendo o movimento plano de corpos rigidos Como vocé verificou no Cap 13 esse método é bastante eficaz quando usado na resolugio de problemas que envolvem velocidade e tempo 1 O principio de impulso e quantidade de movimento para o movimento plano de um corpo rigido é expresso pela seguinte equacgdo vetorial Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov 1714 onde Sist de Quant de Mov representa 0 sistema de quantidades de movimento das particulas constituintes do corpo rigido e Sist de Imp Ext representa o sistema de todos os impulsos exter nos exercidos durante 0 movimento a O sistema de quantidades de movimento de um corpo rigido é equivalente a um vetor quantidade de movimento linear mv ligado ao centro de massa do corpo e a um binario quantidade de movimento angular Iw Fig 177 b Vocé deve definir uma equacdo baseada no desenho do diagrama de corpo livre para o corpo rigido para expressar graficamente a equacao vetorial anterior Sua equagdo de diagrama consistira de trés esbogos do corpo representando respectivamente as quantidades de movimento iniciais os impulsos das forgas externas e as quantidades de movimento finais Ela mostrara que o sistema de quantidades de movimento iniciais e 0 sistema de impulsos das forgas externas séo em conjunto equivalentes ao sistema de quantidades de movimento finais Fig 178 c Usando a equacdo baseada no diagrama de corpo livre vocé pode somar com ponentes em qualquer direco e somar momentos em relago a qualquer ponto Ao somar mo mentos em relacéo a um ponto lembrese de incluir a qguantidade de movimento angular Iw do corpo bem como os momentos dos componentes de sua quantidade de movimento linear Em muitos casos vocé estar apto a selecionar e resolver uma equacao que envolva apenas uma incdég nita Isso foi feito em todos os Problemas Resolvidos desta secio 2 Em problemas envolvendo um sistema de corpos rigidos vocé pode aplicar o prin cipio de impulso e quantidade de movimento ao sistema como um todo Uma vez que as forgas externas ocorrem em pares de forgas iguais e opostas elas nao faraio parte de sua resolugio Pro blema Resolvido 178 3 A conservacdo da quantidade de movimento angular em relagdo a um eixo dado ocorre quando para um sistema de corpos rigidos a soma dos momentos dos impulsos ex ternos em relagdo aquele eixo é nula De fato vocé pode observar facilmente na equagio baseada no diagrama de corpo livre que as quantidades de movimento angulares inicial e final do sistema em relagio aquele eixo so iguais e portanto que a quantidade de movimento angular do sistema em relagdo ao eixo dado conservase Logo vocé pode somar as quantidades de movimento angula res dos diversos corpos do sistema e os momentos de suas quantidades de movimento lineares em relagéo aquele eixo para obter uma equagio que pode ser resolvida para uma incdgnita Problema Resolvido 178 1752 O rotor de um motor elétrico tem massa de 25 kg e raio de giragéo de 180 mm Observase que sao necessdrios 42 min para o rotor chegar ao repouso a partir de uma velocidade angular de 3600 rpm apés ser desligado Determine a intensidade média do binario devido ao atrito cinético nos mancais do rotor 1753 Um volante de 2000 kg com raio de giragio de 700 mm é deixado livre a partir de uma velocidade angular de 450 rpm Sabendo que o atrito cinético produz um binario de intensidade de 16 N m deter mine o tempo necessério para o volante chegar ao repouso 1754 Dois discos de mesma espessura e mesmo material so presos a B um eixo como mostrado na figura O disco A de 4 kg tem um raio r 100 mm e o disco B tem um raio rz 150 mm Sabendo que o binario M de intensidade 25 N m é aplicado ao disco A quando o sistema esta em repouso determine o tempo requerido para a velocidade angular do sistema alcangar 960 rpm A 7 LA 1755 Dois discos de mesma espessura e mesmo material so presos a e A um eixo como mostrado na figura O disco A de 3 kg tem um raio Z r 100 mm e o disco B tem um raio rz 125 mm Sabendo que a a velocidade angular do sistema deve ser aumentada de 200 rpm para 800 rpm durante o intervalo de 3 s determine a intensidade Figura P1754 e P1755 do bindrio M que deve ser aplicado ao disco A 1756 Umcilindro de raio r e peso W com velocidade angular inicial no sentido antihorario é colocado no canto formado pelo piso e por uma parede vertical Representando por jy 0 coeficiente de atrito cinético entre o cilindro a parede e o piso deduza uma expressao para o tem po necessirio de o cilindro chegar ao estado de repouso OR 1757 Umcilindro de 3 kg de raio r 125 mm com uma velocidade angular inicial w 90 rads no sentido antihorario é colocado no canto for mado pelo piso e por uma parede vertical Sabendo que 0 coeticiente Figura P1756 e P1757 de atrito cinético é 010 entre o cilindro a parede e o piso deduza uma expressao para o tempo necessério de o cilindro chegar ao esta do de repouso 1758 Um disco de espessura uniforme inicialmente em estado de repouso é posto em contato com uma esteira que se move com velocidade constante v Representando por ju 0 coeficiente de atrito cinético en a tre o disco e a esteira deduza uma expressio para 0 tempo necessario de o disco atingir uma velocidade angular constante 1759 O disco A de massa de 25 kg e raio r 100 mm esté em estado de repouso quando é posto em contato com uma esteira que se move a velocidade constante de v 15 ms Sabendo que p 020 entre o disco e a esteira determine o tempo necessario para 0 disco atingir uma velocidade angular constante Figura P1758 e P1759 1116 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1760 O volante de 350 kg de um pequeno guincho tem um raio de giracgao de 600 mm Se o motor é desligado quando a velocidade angular do volante é de 100 rpm no sentido horario determine o tempo neces I sdrio para o sistema chegar ao estado de repouso AG 225 mm 1761 No Problema 1760 determine o tempo necesséario para a velocidade do volante ser reduzida a 40 rpm no sentido horario 1762 Uma fita movese sobre dois tambores mostrados na figura O tambor A tem massa de 06 kg e raio de giracaio de 20 mm enquanto o tam bor B tem massa de 175 kg e raio de giragéo de 30 mm Na porcaio inferior da fita a tenso é constante e igual a T 4 N Sabendo que a fita esté inicialmente em repouso determine a a tenso constante requerida T se a velocidade da fita deve ser v 3 ms apos 024 s Figura P1760 b a tenso correspondente na porao da fita entre os tambores iT B im 40 mm 2 25 mm Y ww A T4N Figura P1762 P LA 1763 O disco B tem velocidade angular inicial quando é posto em con J tato com o disco A que esta em repouso Mostre que a velocidade a angular final do disco B depende apenas de e da razao das massas m em dos dois discos se 3 A 1764 O disco A de 4 kg tem raio r 150 mm e esta inicialmente em re pouso O disco B de 5 kg tem raio r 200 mm e velocidade angular re de 900 rpm quando é posto em contato com o disco A Despre di zando o atrito nos mancais determine a a velocidade angular final de cada disco b 0 impulso total da forga de atrito exercida sobre o Figura P1763 e P1764 disco A 1765 Mostre que o sistema de quantidades de movimento de uma placa rigi mro da em movimento plano reduzse a um vetor tinico e expresse a distan cia do centro de massa G a linha de agio desse vetor em termos do raio centroidal de giragao k da placa da intensidade v da velocidade de G e Dp da velocidade angular a Vix 1766 Mostre que quando uma placa rigida gira em torno de um eixo fixo rT G assando por O perpendicular 4 placa 0 sistema de quantidades de P P perp P q movimento de suas particulas é equivalente a um vetor tinico de in tensidade mrw perpendicular a linha OG e aplicado a um ponto P O sobre essa linha denominado centro de percussdo a uma distancia GP kF do centro de massa da placa Figura P1766 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1117 1767 Mostre que a soma H dos momentos em relacao ao ponto A das quantidades de movimento das particulas de uma placa rigida em movimento plano é igual a I onde é a velocidade angular da pla ca no instante considerado e I 6 o momento de inércia da placa em relacao a A se e somente se uma das seguintes condigées é satisfeita a A 0 centro de massa da placa b A 0 centro instantaneo de rotacao c a velocidade de A é dirigida ao longo de uma linha que liga o ponto A ao centro de massa G 1768 Considere uma placa rigida inicialmente em estado de repouso e su F jeita a uma forga impulsiva F contida no plano da placa Definimos PA o centro de percussdo P como 0 ponto de intersegao da linha de agio a de F com a perpendicular desenhada a partir de G a Mostre que 4 o centro instanténeo de rotagao C da placa esta localizado sobre a in linha GP a uma distancia GC kGP sobre 0 lado oposto a G b Mostre que se o centro de percussio estivesse localizado em C0 Figura P1768 centro instantaneo de rotacao estaria localizado em P 1769 Uma roda de raio re raio de giragao centroidal k é liberada do estado de repouso sobre o plano inclinado mostrado na figura no instante git N t 0 Admitindo que a roda rola sem deslizar determine a a velo G cidade do seu centro no tempo t b 0 coeficiente de atrito estatico S necessario para evitar o deslizamento 1770 Um volante esta rigidamente montado em um eixo de 40 mm de raio 3 que rola sem deslizar ao longo de trilhos paralelos Sabendo que apés ser liberado do estado de repouso o sistema atinge uma velocidade de 6 150 mms em 30 s determine 0 raio de giragao centroidal do sistema Figura P1769 r YW B C Ry 15 Figura P1770 A 80 1771 A polia dupla mostrada na figura tem massa de 3 kg e um raio de gira mm cao de 100 mm Sabendo que quando a polia esta em repouso uma forga P de intensidade de 24 N é aplicada a corda B determine a a velocidade do centro da polia apéds 15 s b a tragiio na corda C Figura P1771 1772 Dois cilindros uniformes cada um com massa m 7 kg e raio r 100 mm estado conectados por uma esteira como mostrado na fi gura Se o sistema é liberado do repouso quando t 0 determine a K oe a velocidade do centro do cilindro B emt 3 s b a tragio na parte i da esteira que liga os dois cilindros A 1773 Dois cilindros uniformes cada um com massa m 7 kg e raio r 100 mm esto conectados por uma esteira como mostrado na figura Sabendo que no instante mostrado a velocidade angular do cilindro A é de 30 rads no sentido antihordrio determine a 0 tem po necessério para a velocidade angular do cilindro A seja reduzida para 5 rads b a tracao na parte da esteira que liga os dois cilindros Figura P1772 e P1773 1118 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1774 e 1775 Um cilindro de 240 mm de raio e massa de 8 kg repousa sobre um transportador de 3 kg O sistema esta em estado de repouso quando uma forga P de intensidade 10 N é aplicada como mostrado na figura durante 12 s Sabendo que o cilindro rola sem deslizar so bre o transportador e desprezando a massa dos roletes determine a velocidade resultante a do transportador b do centro do cilindro A A P e O B Pp B TC FC Ge Figura P1774 Figura P1775 200 mm 1776 No arranjo das engrenagens mostrado na figura as engrenagens A e C estao presas 4 barra ABC que é livre para girar em torno de B en 4 c quanto a engrenagem interna B é fixa Sabendo que o sistema esté em Ply repouso determine a intensidade do bindrio M que deve ser aplicado mM na barra ABC se 25 s depois a velocidade angular da barra for de 240 J rpm no sentido hordrio As engrenagens A e C tém massa de 125 kg cada uma e podem ser consideradas como discos de raio de 50 mm a barra ABC tem massa de 2 kg Figura P1776 1777 Uma esfera de raio r e massa m é colocada sobre um piso horizontal sem velocidade linear mas com velocidade angular no sentido horé nt rio Representando por 4 0 coeficiente de atrito cinético entre a esfe rae o piso determine a 0 tempo em que a esfera comegara a rolar y sem deslizar b as velocidades linear e angular da esfera no tempo 1778 Uma esfera de raio r e massa m é langada ao longo de uma superfi as cie horizontal rugosa com as velocidades iniciais mostradas na figura Para que a velocidade final da esfera seja nula expresse a a inten Figura P1777 as sidade requerida de em termos de wy e r b 0 tempo necessario para a esfera chegar ao repouso em termos de wv e do coeficiente de atrito cinético p 0 Vo Ea Figura P1778 0 Y 1779 Um disco de 125 kg e 100 mm de raio esta preso ao suporte BCD aD D por meio de pequenos eixos montados em mancais em B e D O su QQ porte de 075 kg tem raio de giragaio de 75 mm em relacio ao eixo x Inicialmente 0 conjunto esta girando a 120 rpm com o disco no plano do suporte 6 0 Se o disco for levemente deslocado e girar em B Ne x relagio ao suporte até 90 onde ele é contido por uma pequena barra em D determine a velocidade angular final do conjunto Figura P1779 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1119 1780 Dois painéis A e B sao ligados por dobradigas a uma placa retangular b e mantidos por um fio como mostra na figura A placa Os painéis sao pot feitos do mesmo material e tém a mesma espessura Sabendo que b todo o conjunto esta girando com uma velocidade angular quando pot o fio se parte determine a velocidade angular do conjunto apds os painéis terem chegado ao estado de repouso contra a placa HG Nv 1781 Um tubo AB de 16 kg desliza livremente na barra DE que pode girar b Q A livremente no plano horizontal Inicialmente o conjunto esta rodando com velocidade angular w 5 rads e 0 tubo é mantido na posigéo C por uma corda O momento de inércia da barra e do brago em torno 2b do eixo vertical de rotagao é 030 kg m e o momento de inércia ON centroidal do tubo em torno eixo vertical é 00025 kg m Se acorda é subitamente rompida determine a a velocidade angular do con junto apos o tubo ter se movido para a extremidade E b a energia perdida pelo impacto plastico em E Figura P1780 125 mms 375 mi E x 500 mins ao As D trig 3 ao Figura P1781 1782 Duas bolas de 04 kg sao inseridas sucessivamente no centro C do tubo delgado AB de 2 kg Sabendo que quando a primeira bola é inserida no tubo a velocidade angular inicial do tubo é de 8 rads e desprezando o efeito do atrito determine a velocidade angular do tubo exatamente apos a a primeira bola sair do tubo b a segunda bola deixar o tubo 500 a A 500mm PP C f A J Figura P1782 1120 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1783 Uma barra de 3 kg e comprimento de 800 mm pode deslizar livremente no cilindro DE de 240 mm que pode girar livremente no plano hori zontal Na posicio mostrada na figura 0 conjunto esta girando com ve locidade angular de intensidade w 40 rads e a extremidade B da bar ra se movimenta na direcao do cilindro a uma velocidade de 75 mms em relacao ao cilindro Sabendo que 0 momento de inércia da massa centroidal do cilindro em torno do eixo vertical é 0025 kg me des prezando o efeito do atrito determine a velocidade angular do conjunto quando a extremidade B da barra bate na extremidade E do cilindro 120 mm Pi mm A E 240 mm D E B y a 5m Figura P1783 SSS ON ee SSS cass 1784 No helicéptero mostrado na figura um rotor de cauda é usado para i impedir a rotacao da cabine 4 medida que a velocidade das pas prin yr cipais é alterada Admitindo que o rotor de cauda nao esteja em j i x operacao determine a velocidade angular final da cabine apos a ve Ss locidade das pas principais ter sido alterada de 180 para 240 rpm tS A velocidade das pas principais é medida em relagao a cabine que tem um momento de inércia centroidal de 1000 kg m Cada uma Figura P1784 das quatro pas principais é considerada como uma barra delgada de 42 m de comprimento e 25 kg de massa 90 mm 1785 Admitindo que o rotor de cauda do Problema 1784 esteja operando e que a velocidade angular da cabine permanega nula determine a CN velocidade horizontal final da cabine quando a velocidade das pis A 90 mm principais for alterada de 180 para 240 rpm A cabine tem massa de A T 625 kg e estd inicialmente em estado de repouso Determine também 180 Os a forga exercida pelo rotor de cauda considerando que a variagdo de Motor velocidade seja uniforme durante 12 s 1786 O disco B de 4 kg esta ligado ao eixo de um motor montado sobre a i Cc placa A que pode girar livremente em torno do eixo vertical C A uni dade motorplacaeixo tem um momento de inércia de 020 kg m em relagio a linha de centro do eixo C Se 0 motor é ligado quando o sistema esta em repouso determine as velocidades angulares do disco e da placa apés o motor ter atingido sua velocidade normal de operagiio de 360 rpm Figura P1786 1787 Uma plataforma circular A é presa a um aro de raio interno de 200 mm e pode girar livremente sobre um eixo vertical E sabido que a unidade plataformaaro tem massa de 5 kg e raio de giragéio de 175 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1121 mm com relago ao eixo No momento em que a plataforma esta gi rando com uma velocidade de 50 rpm um disco B de 3 kg e raio de 80 mm é colocado na plataforma com velocidade nula Sabendo que o disco B entao desliza de encontro ao aro até ficar em repouso relativo a plataforma determine a velocidade angular final da plataforma 200 mm ma B 4 7 A 4 J g py Figura P1787 1788 Um pequeno cursor C de 2 kg pode deslizar livremente sobre um anel fino de massa de 3 kg e raio de 250 mm O anel esta soldado a um eixo vertical curto que pode girar livremente em um mancal fixo Inicialmente o anel tem uma velocidade angular de 35 rads e o cur sor esta no alto do anel 8 0 quando este recebe um leve toque Desprezando o efeito do atrito determine a a velocidade angular 2 do anel quando o cursor passar pela posicaio 90 b a velocidade correspondente do cursor relativamente ao anel Figura P1788 1789 O cursor C tem massa de 8 kg e pode deslizar livremente sobre a barra AB que por sua vez pode girar livremente em um plano ho rizontal O conjunto esta girando com uma velocidade angular w de 15 rads quando uma mola localizada entre A e C é liberada proje tando o cursor ao longo da barra com uma velocidade relativa inicial v 15 ms Sabendo que o momento de inércia combinado da barra e da mola em relacio a B é de 12 kg m determine a a distancia minima entre o cursor e 0 ponto B no movimento subsequente D a velocidade angular correspondente do conjunto 1 600 nim D Cc U rN A 6 Figura P1789 1790 No Problema 1789 determine a intensidade requerida da velocida de relativa inicial v para que durante o movimento subsequente a distancia minima entre o cursor C e 0 ponto B seja de 300 mm 1122 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica 1791 Umcursor C de 3 kg é preso a uma mola e pode deslizar na barra AB podendo girar em torno do plano horizontal O momento de inércia da massa da barra AB em relacao a extremidade A é 05 kg m A mola tem uma constante k 3000 Nm e um comprimento indefor mado de 250 mm No instante mostrado na figura a velocidade do cursor relativa 4 barra é zero e 0 conjunto esta girando com uma ve locidade angular de 12 rads Desprezando o efeito do atrito deter mine a a velocidade angular do conjunto quando 0 cursor passa pelo ponto localizado 180 mm da extremidade A da barra b a velocidade correspondente do cursor em relagio a barra NS 600 mm en cGy 3 4 C Figura P1791 Y A fy 1792 A barra AB de massa 75 kg e comprimento 1 m estd presa a um carrinho C de 125 kg Sabendo que o sistema é liberado do repouso 30 na posigao mostrada na figura e desprezando o atrito determine a B a velocidade do ponto B quando a barra AB passa por uma posigéio Figura P1792 vertical b a velocidade correspondente do carrinho C 1793 No Problema 1783 determine a velocidade da barra AB em relacao ao cilindro DE quando a extremidade B da barra bate na extremidade E do cilindro 1794 No Problema 1781 determine a velocidade do tubo em relagio a barra quando o tubo bate na extremidade E do conjunto A 7 1795 Um cilindro A de ago de 3 kg e um carrinho B de madeira de 5 kg 150 me C act estéo em repouso na posicéo mostrada na figura quando o cilindro i 1 recebe um empurraozinho fazendo com que ele role sem deslizar ao Y longo da superficie superior do carrinho Desprezando o atrito entre o carrinho e o chao determine a velocidade do carrinho quando o Figura P1795 cilindro passa pelo ponto mais baixo da superficie em C Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1123 1711 Movimento impulsivo Vocé viu no Cap 13 que o método de impulso e quantidade de movimen to é 0 tinico praticdvel para a resolugao de problemas que envolvem o movimento impulsivo de uma particula Vai verificar agora que os proble mas que envolvem o movimento impulsivo de corpos rigidos adaptamse particularmente bem 4 resolucao pelo método de impulso e quantidade de movimento Uma vez que o intervalo de tempo considerado no cdlcu lo de impulsos lineares e de impulsos angulares é muito curto é possivel considerar que os corpos envolvidos ocupem a mesma posico durante aquele intervalo de tempo o que torna o cdlculo bastante simples 1712 Impacto excéntrico Nas Segoes 1313 e 1314 vocé aprendeu a resolver problemas de impac to central isto é problemas em que os centros de massa dos dois corpos em colisio estao localizados sobre a linha de impacto Agora analisaré o impacto excéntrico de dois corpos rigidos Considere dois corpos que colidem e represente por v e v as velocidades antes do impacto dos dois pontos de contato A e B Fig 1710a Sob 0 impacto os dois corpos se deformardo e ao final do perfodo de deformagio as velocidades u e u de A e B terao componentes iguais ao longo da linha de impacto nn Fig 1710b Um perfodo de restituigéo entio se seguird ao término J 9 s 2 up n v4 n uA n va a b c Figura 1710 do qual A e B terio velocidades v e v Fig 1710c Admitindo que os corpos estéo sem atrito concluiremos que as foras que eles exercem um sobre 0 outro sao dirigidas ao longo da linha de impacto Representando a intensidade do impulso de uma dessas forgas durante 0 periodo de de formagao por J P dt e a intensidade do seu impulso durante o perfodo de restituigado por J Rdt relembremos que o coeficiente de restituigao e é definido pela razio SR dt e 1718 SP dt Propomonos a mostrar que as relagdes estabelecidas na Seco 1313 en tre as velocidades relativas de duas particulas antes e depois do impacto também valem para os componentes das velocidades relativas dos dois 1124 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica FY pontos de contato A e B ao longo da linha de impacto Portanto quere mos mostrar que a t ST s et v3 v4 elv vgn 1719 Zz a Primeiro iremos admitir que o movimento de cada um dos dois cor pos em colisao da Fig 1710 é irrestrito Logo as tinicas forcas impulsivas exercidas sobre os corpos durante o impacto estado aplicadas em A e B Foto 174 Quando o bastao em respectivamente Considere o corpo ao qual o ponto A pertence e dese rotagdo entra em contato com a bola nhe os trés diagramas de impulso e quantidade de movimento corres ele aplica uma forca impulsiva na pondentes ao periodo de deformacao Fig 1711 Representemos por bola requerendo o uso do método de impulso e quantidade de movimento para determinar as velocidades finais mv mu da bola e do bastao m sPdt n mu n 0 A A 5 j A n n n Figura 1711 Vv e u respectivamente a velocidade do centro de massa no inicio e no fim do periodo de deformagao e por w e w as velocidades angulares do corpo nos mesmos instantes Somando e igualando os componentes das quantidades de movimento e impulsos ao longo da linha de impacto nn escrevemos mb JP dt mu 1720 Somando e igualando os momentos em relagéo a G das quantidades de movimento e impulsos escrevemos também Iw rfP dt Io 1721 onde r representa a distancia perpendicular entre G e a linha de impacto Considerando agora 0 periodo de restituigéo obtemos de modo similar mu Rdt mv 1722 Iw rfRdt Io 1723 onde v e w representam respectivamente a velocidade do centro de massa e a velocidade angular do corpo aps o impacto Resolvendo 1720 e 1722 para os dois impulsos e substituindo os resultados em 1718 e em seguida resolvendo 1721 e 1723 para os mesmos dois impulsos e substituindo os resultados novamente em 1718 ob temos as duas express6es alternativas seguintes para o coeficiente de restituicao Un U wo o ae a 1724 On Up o Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1125 Multiplicando por r o numerador e o denominador da segunda ex pressao obtida para e e adicionando os produtos respectivamente ao nu merador e ao denominador da primeira expressdo temos u rw v ro e TO 1725 DO rw u ro Observando que v rw representa o componente v ao longo de nn da velocidade do ponto de contato A e que analogamente u rw e v rw representam respectivamente os componentes w v4 escrevemos Wan OAn e aan 1726 van wan A andlise do movimento do segundo corpo conduz a uma expressao se melhante para e em termos dos componentes das velocidades sucessivas do ponto B ao longo de nn Relembrando que u ug eliminando esses dois componentes de velocidade por uma manipulacao semelhante aquela usada na Seco 1313 obtemos a relagiio 1719 Se um ou ambos os corpos em coliso forem restringidos a girar em torno de um ponto fixo O como no caso de um péndulo composto Fig 1712a uma reacao impulsiva sera exercida em O Fig 1712 SQ dt fo qT A o JQ dt ZZ im AS r SP dt NS y A n Bw a b Figura 1712 Verificamos que as Eqs 1726 e 1719 permanecem validas embora sua deducao deva ser modificada Aplicando a formula 1716 ao periodo de deformagio e ao periodo de restituigo escrevemos Iw rfP dt Iw 1727 Iw rfRdt Igo 1728 onde r representa a distancia perpendicular do ponto fixo O 4 linha de impacto Resolvendo 1727 e 1728 para os dois impulsos substituin do os resultados em 1718 e observando entiio que rw rw e rw repre sentam os componentes das sucessivas velocidades do ponto A ao longo de nn escrevemos wo 0 ro ro Uan CAn e o wo ro ro van wan e constatamos que a Eq 1726 ainda vale Logo a Eq 1719 permane ce valida quando um ou ambos os corpos em colisao forem restringidos a girar em torno de um ponto fixo O Para determinar as velocidades dos dois corpos em colisio apés o impacto a relagdo 1719 deve ser usada em conjunto com uma ou varias outras equagées obtidas pela aplicagao do principio de impulso e quanti dade de movimento Problema Resolvido 1710 A PROBLEMA RESOLVIDO 179 Uma bala B de 25 kg é disparada com uma velocidade horizontal de 450 ms 400 mm 500 mm contra a lateral de um painel quadrado de 10 kg suspenso por uma articu 2 lacaio em A Sabendo que o painel esta inicialmente em estado de repouso B G C q Pp Pp s determine a a velocidade angular do painel imediatamente apés a bala se alojar no painel e D a reacio impulsiva em A considerando que a bala leva vp 450 ms 00006 s v aloi s00 nm s para se alojar SOLUCAO Principio de impulso e quantidade de movimento Consideramos a bala e o painel como um sistema tinico e expressamos que as quantidades de movimento iniciais da bala e do painel e os impulsos das forgas externas sio em conjunto equipolentes as quantidades de movimento finais do sistema Como o intervalo de tempo At 00006 s é muito curto desprezamos todas as forgas nao impulsivas e consideramos apenas os impulsos externos A At e A At Apos o impacto a bala fica incorporada ao painel Ja que o painel gira com uma velocidade angular w a velocidade da bala é ABw direcionada perpendicularmente para AB Assim a velocidade da bala é da mesma ordem que a do centro de massa do painel Uma vez que m Myinee despre zamos a dindmica da bala apds 0 impacto Isto contrasta com o caso de pré impacto onde v Ug No caso de m Myaincl SeTeM COmparaveis 0 momento pésimpacto da bala nao pode ser desprezado AAt AAt Ars AG Are F 250 mm 400 mm t G G Ce MpVo MpVp Tpay Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov sobre o momento A m004 m 0 mo025 m0 1 componentes em x m0 A At mb 2 componentes em y O AAt 0 3 O momento de inércia de massa centroidal do painel quadrado é I gmpb 10 kg05 m 0417 kgm Substituindo esse valor bem como os dados fornecidos na Eq 1 e notan do que v 025 ma escrevemos 02545004 10025w025 0417 w 467 rads w 432 rads 0 025 m 025 m432 rads 108 ms Substituindo v 108 ms At 00006 s e os dados fornecidos na Eq 2 temos 0025 450 A 00006 10108 A 750N A70Ne A partir da Eq 3 encontramos A 0 A0 gy PROBLEMA RESOLVIDO 1710 AS Uma esfera de 2 kg movendose horizontalmente para a direita com veloci 06 m dade inicial de 5 ms bate na extremidade inferior de uma barra rigida AB de Cc 12m 8 kg A barra esta suspensa por uma articulagéo em A e esta inicialmente em repouso Sabendo que o coeficiente de restituigio entre a barra e a esfera ws é de 080 determine a velocidade angular da barra e a velocidade da esfera e imediatamente apos 0 impacto B SOLUCAO Principio de impulso e quantidade de movimento Consideramos a barra e a esfera como um sistema tinico e expressamos que as quantidades de movimento iniciais da barra e da esfera e os impulsos das forgas externas sio em conjunto equipolentes 4s quantidades de movimento finais do sis tema Observamos que a tinica forga impulsiva externa ao sistema é a reagéo impulsiva em A AAt A AG A A At 06 m MpVR O Mpvy 12m To0 G lo no G G MV MVs Qo UB OU B OP Us Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov momentos em relagao a A mv 12 m mv 12 m mv 06 m Io 1 Como a barra gira em torno de A temos vg rw 06 mw Ainda T 4 mL 4 8kg12 m 096 kg m Substituindo esses valores e os dados fornecidos na Eq 1 temos 2 kg5 ms12 m 2 kgv12 m 8 kg06 mw06 m 096 kg m 12 240 3840 2 Velocidades relativas Escolhendo o sentido positivo para a direita es crevemos Op 01 ev Uz Substituindo v 5 ms v 0 e e 080 obtemos vz v 0805 ms 3 Novamente considerando que a barra gira em torno de A escrevemos v 12 mo 4 Resolvendo as Eqs de 2 a 4 simultaneamente obtemos w 321 rads w32lrads v 0143 ms vi 0143ms 4 ol PROBLEMA RESOLVIDO 1711 4 Um pacote quadrado de lado a e massa m movese para baixo sobre uma esteira transportadora A com uma velocidade constante v No final da cor ge a reia transportadora 0 canto do pacote bate em um suporte rigido em B yf Oa 5 Admitindo que o impacto em B seja perfeitamente plastico deduza uma C B expresso para a menor intensidade da velocidade v de modo que o pacote gire em torno de Be atinja a esteira transportadora C SOLUCAO Principio de impulso e quantidade de movimento Como 0 impac to entre o pacote e o suporte é perfeitamente plastico 0 pacote gira em tor no de B durante o impacto Aplicamos o principio de impulso e quantidade de movimento ao pacote e notamos que a tinica forga impulsiva externa ao pacote é a reacio impulsiva em B a mVo 4 a 2 B 15 15 B 15 B B BAt v2 4 2 Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov yl fp yvl r sobre o momento B mv 3a 0 mb2V2a Tas 1 Posigao 2 Uma vez que o pacote gira em torno de B temos v3 GB 5V 2a oo Substituimos essa expressdo juntamente com I gma na Eq 1 1 mv ga m3V2aws V 2a maws D1 jaw 2 L f Principio de conservagdo de energia Aplicamos o principio de con hg servacio de energia entre a posicio 2 e a posigiio 3 a voncia Posigdo 2 V Wh Relembrando que 02 3V2aqs escrevemos GB V2a 0707a Ts 4mbo3 13 3m5V2aw5 4naw3 Hnaws h GBs 45 15 oe 2 sen 45 15 Posido 3 Uma vez que o pacote precisa atingir a esteira transportadora 0612a C ele tera que passar pela posigao 3 onde G estaré diretamente acima de B Além disso como desejamos determinar a menor velocidade para que 0 paco te atinja essa posicao escolhemos 0 e w 0 Portanto T 0 e V Wh Posigao 3 ons DD Conservacdo da energia a To Vo T3 V3 smaws Why 0 Wh 3W 3g K a w3 hs hg hs ha h ma a 3 a V Substituindo os valores calculados de h e h na Eq 3 obtemos B hy GB 0707 2 8 38 3 GB UG w3 0707a 0612a 0095a V0285a a a DB Jaw 3aV0285a v0712Vga METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMA SOLUCAO fo S E sta secao foi dedicada ao movimento impulsivo e ao impacto excéntrico de corpos rigidos 1 O movimento impulsivo ocorre quando um corpo rigido é submetido a uma forga F mui to intensa durante um intervalo de tempo At bastante curto o impulso resultante F At é finito e diferente de zero Tais forgas siéo conhecidas como foras impulsivas e sio encontradas sempre que ha um impacto entre dois corpos rigidos As forgas cujo impulso é nulo sao conhecidas como forcas ndo impulsivas Como vocé observou no Cap 13 as seguintes forgas podem ser conside radas como nao impulsivas 0 peso de um corpo a forga exercida por uma mola e qualquer outra forga que sabidamente seja pequena em comparagio com as forcas impulsivas Reagdes incdgnitas porém ndo podem ser consideradas como nao impulsivas 2 Impacto excéntrico de corpos rigidos Vocé ja sabe que quando dois corpos colidem os componentes de velocidade dos pontos de contato A e B ao longo da linha de impacto antes e depois do impacto satisfazem a seguinte equagio UBn An ev4n vgn 1719 onde o primeiro membro é a velocidade relativa depois do impacto e 0 segundo membro é 0 pro duto do coeficiente de restituicio e da velocidade relativa antes do impacto Essa equagio expressa a mesma relacgao entre os componentes de velocidade dos pontos de contato antes e depois do impacto que vocé usou para particulas no Cap 13 3 Para resolver um problema envolvendo impacto vocé deve usar 0 método de impulso e quantidade de movimento e seguir os seguintes passos a Estabeleca uma equacgdo baseada em diagrama de corpo livre para o cor po expressando que o sistema formado pelas quantidades de movimento imediatamente antes do impacto e pelos impulsos das forcgas externas é equivalente ao sistema de quantidades de movi mento imediatamente apds o impacto b A equacdo baseada em diagrama de corpo livre relacionara as velocidades antes e depois do impacto com as forgas e reagdes impulsivas Em certos casos vocé sera capaz de deter minar as velocidades e reacdes impulsivas incdgnitas resolvendo as equacgées obtidas pela soma de componentes e momentos Problema Resolvido 179 c No caso de um impacto em que e 0 o ntimero de incégnitas serd maior que o ntimero de equagées que vocé pode escrever pela soma de componentes e momentos e vocé deve suplementar as equagées obtidas da equagao baseada em diagrama de corpo livre com a Eq 1719 que relaciona as velocidades relativas dos pontos de contato antes e depois do impacto Problema Resolvido 1710 d Durante um impacto vocé deve usar o método de impulso e quantidade de movimento Todavia antes e depois do impacto se necessario vocé pode usar alguns dos outros métodos de solugdo que vocé aprendeu tais como 0 método de trabalho e energia Problema Re solvido 1711 1796 Uma bala de 40 g é disparada com uma velocidade horizontal de 550 ms contra a extremidade inferior de uma barra delgada de 75 kg e comprimento L 800 mm Sabendo que h 300 mm e que a barra esta inicialmente em estado de repouso determine a a veloci dade angular da barra imediatamente apés a bala se alojar nela b a reagio impulsiva em C considerando que a bala se aloja em 0001 s A h We I L Cc vo B Figura P1796 1797 No Problema 1796 determine a a distancia h requerida para que a reagio impulsiva em C seja nula b a velocidade angular correspon dente da barra imediatamente apés a bala ter se alojado 1798 Uma bala de 45 g é disparada com velocidade de 400 ms a 6 30 dentro de um painel quadrado de 9 kg de lado b 200 mm Saben dose que h 150 mm e que o painel esta inicialmente em repouso determine a a velocidade do centro do painel imediatamente depois da bala ter se alojado D a reagiio impulsiva em A considerando que a bala tornase alojada em 2 ms 1799 Uma bala de 45 g é disparada com velocidade de 400 ms a 6 5 dentro de um painel quadrado de 9 kg de lado b 200 mm Sabendo que h 150 mm e que 0 painel esté inicialmente em repouso deter mine a a distancia necessdria h se a componente da reagao impulsi va em A é igual a zero b a velocidade correspondente do centro do painel imediatamente apés a bala terse alojado T Oa hoo 4 b Figura P1798 e P1799 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1131 17100 Um painel de madeira de 8 kg é suspenso por um pino suporte em A 200 mm 200 mm e esta inicialmente em repouso Uma esfera de metal de 2 kg é libera da do repouso em B e cai dentro de uma concha semiesférica C presa B B ao painel em um ponto localizado em sua borda de topo Consideran O ra do que o impacto é perfeitamente elastico determine a velocidade do 250 mm centro de massa G do painel imediatamente apds do impacto Cc g ww a 17101 Um painel de madeira de 8 kg é suspenso por um pino suporte em A a 250 mm e esta inicialmente em repouso Uma esfera de metal de 2 kg é libe 500 mm oO rada do repouso em B e cai dentro de uma concha semiesférica C presa ao painel no mesmo nivel do centro de massa G Considerando que o impacto é perfeitamente elastico determine a velocidade do centro de massa G do painel imediatamente apds do impacto 500 mm Figura P17100 e P17101 17102 A engrenagem mostrada na figura tem raio R 150 mm e raio de g giragio k 125 mm A engrenagem esta rolando sem deslizamento com velocidade v de intensidade 3 ms quando ela bate em um de grau de altura h 75 mm Uma vez que a borda do degrau engata no dente da engrenagem nenhum deslizamento ocorre entre a engrena gem e o degrau Considerando um impacto perfeitamente plastico determine a velocidade angular da engrenagem imediatamente apés o impacto vi es ni Figura P17102 17103 Uma barra delgada uniforme AB de massa m esté em repouso sobre uma superficie horizontal sem atrito quando o gancho C engata em um pequeno pino em A Sabendo que o gancho é puxado para cima com uma velocidade constante v determine o impulso exercido so bre a barra a em A b em B Considere que a velocidade do gancho fica inalterada e que o impacto é perfeitamente plastico IAs L ay B AID A Cc Figura P17103 1132 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 17104 Uma barra delgada uniforme de comprimento L e massa m é apoiada por uma mesa horizontal sem atrito Inicialmente a barra esta giran do em torno de seu centro de massa G com uma velocidade angular constante Subitamente o trinco D é movimentado para a direita batendo na extremidade A da barra Admitindo que o impacto entre Ae D seja perfeitamente plastico determine a velocidade angular da barra e a velocidade de seu centro de massa imediatamente apds 0 impacto S LY A Fe LZ mn a Dx 4 q B a 7 Figura P17104 17105 Resolva o Problema 17104 admitindo que o impacto entre A e D seja perteitamente elastico 17106 Uma barra delgada uniforme de comprimento L cai contra suportes A rigidos em A e B Como o suporte B esta ligeiramente abaixo do supor vy B te A a barra bate no suporte A com uma velocidade v antes de bater em B Admitindo um impacto perfeitamente eldstico tanto em A como em B determine a velocidade angular da barra e a velocidade de seu centro de massa imediatamente apés a barra ao a bater no suporte A Figura P17106 b bater no suporte B c bater mais uma vez no suporte A 17107 Uma barra delgada uniforme AB esté em estado de repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito quando a extremidade A da barra é golpeada por um martelo que fornece um impulso perpendicular a barra No movimento subsequente determine a distancia b que a barra percorrera cada vez que ela completar uma revolucio inteira B B A L a A 90 ie A NY Figura P17107 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1133 17108 Umaesfera uniforme de raio r rola para baixo sobre o plano inclinado mostrado na figura sem deslizar Ela atinge uma superficie horizontal e apés deslizar por um momento comega a rolar novamente Con siderando que a esfera no quica ao atingir a superficie horizontal determine sua velocidade angular e a velocidade de seu centro de massa ap6s recomegar a rolar om G B Figura P17108 17109 A barra delgada AB de comprimento L forma um Angulo B com o eixo vertical quando bate na superficie sem atrito mostrada na figura com uma velocidade vertical v e sem velocidade angular Admitin do que o impacto seja perfeitamente elastico deduza uma expressiio para a velocidade angular da barra imediatamente apés 0 impacto B G B vy A Figura P17109 17110 Resolva o Problema 17109 considerando que o impacto entre a bar raABea superficie sem atrito é perfeitamente elastico 17111 Um caixote retangular uniformemente carregado é liberado do re pouso na posigao mostrada na figura Considerando que o chao é su ficiente dspero para evitar o deslizamento e que o impacto de B é perfeitamente elastico determine o menor valor da razio ab para que o canto A permanega em contato com o chao a a a A B 9 A Figura P17111 1134 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 17112 e 17113 Uma barra delgada AB de comprimento L esta em livre com uma velocidade v quando a corda AC se torna subitamente es ticada Considerando que o impacto é perfeitamente plastico deter mine a velocidade angular da barra e a velocidade de seu centro de massa imediatamente depois da corda ficar esticada B 1 vo S 2 C A B vo 1 5 Ss A Figura P17112 Figura P17113 L 17114 Um barra delgada de comprimento L e massa m é liberada do repou b so na posicao mostrada na figura Observase que apds a barra bater na superficie vertical ela ricocheteia e forma um Angulo de 30 com AG B a vertical a Determine 0 coeficiente de restituiao entre a saliéncia K k ea superficie b Mostre que o mesmo rebote pode ser esperado para qualquer posigao da saliéncia k 17115 Um bloco retangular uniforme mostrado na figura esta se movendo ao 30 longo de uma superficie com velocidade v quando bate em uma pe g P ig P quena obstrugao em B Considerando que o impacto entre o canto A e obstrugio B é perfeitamente plastico determine a intensidade da velo 5 cidade v para que o maximo Angulo 6 que o bloco ira girar seja 30 Figura P17114 250 mm 125 mm of B L Figura P17115 30 17116 Um barra delgada de comprimento L e massa m é liberada do re D pouso na posigaio mostrada na figura e atinge a borda D Conside rando que o impacto em D é perfeitamente plastico determine para b 06L a a velocidade angular da barra imediatamente apés o impacto b o maximo Angulo que a barra ira girar apés 0 impacto Figura P17116 17117 Uma bala de 30 g é disparada com uma velocidade horizontal de 350 ms contra uma viga de madeira AB de 8 kg A viga esta suspensa por um cursor de peso desprezivel que pode deslizar ao longo de uma barra horizontal Desprezando o atrito entre o cursor e a barra de Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1135 termine o Angulo maximo de rotagiio da viga durante seu movimento A subsequente aa 17118 Para a viga do Problema 17117 determine a velocidade da bala de 30 g para que o Angulo maximo de rotagao da viga seja de 90 17119 Umcaixote quadrado uniformemente carregado é liberado do repou 12m so com seu canto D diretamente acima de A ele gira em torno de A até que seu canto B bata no chao quando entao passa a girar em tor no de B O chao é suficientemente dspero para impedir o deslizamen to e o impacto em B é perfeitamente plastico Representando por a velocidade angular do caixote imediatamente apos B bater no chao determine a a velocidade angular do caixote imediatamente antes BWW de B bater no chao b a fracdo da energia cinética do caixote perdida durante o impacto c 0 angulo 6 em que o caixote ira girar apds B bater no chao Figura P17117 p Cc C D D C B A A A B 0 B 1 2 3 Figura P17119 17120 Uma barra delgada uniforme AB de comprimento L 800 mm é posicionada com seu centro equidistante de dois apoios localizados a uma distancia b 200 mm entre si A extremidade B da barra é erguida a uma distancia h 100 mm e liberada a barra passa entéio a balangar sobre os apoios como mostrado na figura Admitindo que o impacto em cada apoio seja perfeitamente plastico e que nao haja deslizamento entre a barra e os apoios determine a a altura h al cangada pela extremidade A apés o primeiro impacto b a altura h alcangada pela extremidade B apés o segundo impacto A B N Yo Hath Ee ae A By Y j c P Z 1 i A Figura P17120 Se 17121 Uma pequena placa B é presa a uma corda que é enrolada em volta de A S um disco uniforme de 4 kg e raio R 200 mm Um cursor A de 15 kg ans é liberado do repouso e cai de uma distancia h 300 mm antes de H h atingir a placa B Considerando que o impacto é perfeitamente plas ee tico e desprezando o peso da placa determine imediatamente apés o Bo impacto a a velocidade do cursor b a velocidade angular do disco Figura P17121 17122 Resolva o Problema 17121 considerando que o coeficiente de resti tuigdo entre A e B é 08 1136 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 17123 Uma barra delgada AB é liberada do estado de repouso na posigio mostrada na figura Ela oscila para baixo até uma posicao vertical e bate em uma segunda barra idéntica CD que esta em repouso sobre uma superficie sem atrito Admitindo que o coeficiente de restituigao entre as barras seja de 05 determine a velocidade da baixa CD ime diatamente apos 0 impacto A J ae Is L E Ca Figura P17123 17124 Resolva o Problema 17123 admitindo que o impacto entre as barras seja perteitamente elastico ye 17125 A prancha CDE tem massa de 15 kg e repousa sobre um pequeno oY pivé em D A ginasta A de 55 kg esta parada sobre a prancha em C B 3 quando o ginasta B de 70 kg pula de uma altura de 25 m e bate na y prancha em E Considerando um impacto perfeitamente plastico e A h que a ginasta A esteja de pé e absolutamente ereta determine a altu raa que a ginasta A subira ch D E 17126 Resolva o Problema 17125 considerando que os ginastas troquem de lugar com a ginasta A pulando sobre a prancha e o ginasta B parado Figura P17125 em C 17127 e 17128 Oelemento ABC tem uma massa de 24 kg e esté preso a um suporte com pino em B Uma esfera D de 800 g bate na extremi dade C do elemento ABC com uma velocidade vertical v de 3 ms Sabendo que L 750 mm e que 0 coeficiente de restituigdo entre a esfera e o elemento ABC é 05 determine imediatamente apés 0 impacto a a velocidade angular do elemento ABC b a velocidade da esfera L 4 Vv Q D B DO 1B v1 el 6060 a C Figura P17127 Figura P17128 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1137 17129 Uma barra delgada CDE de comprimento L e massa m é presa por um pino suporte em seu ponto médio D Uma segunda e idéntica barra AB esta girando em torno de um pino suporte em A com uma velocidade angular quando sua extremidade B bate na barra CDE Represen tando por e o coeficiente de restituigaio entre as barras determine a velocidade angular de cada barra imediatamente apés 0 impacto B D bh Cc E I L L Figura P17129 17130 A barra delgada AB de 25 kg é liberada do estado de repouso na posicao mostrada na figura e balanga até uma posicao vertical onde ela bate na barra delgada CD de 15 kg Sabendo que o coeficiente de restituigo entre a saliéncia K presa 4 barra AB e a barra CD 08 determine o Angulo maximo 6 em que a barra CD ira girar apés o impacto P 800 mn A q auf 800 mm D Figura P17130 17131 AesferaA de massa m e raio r rola sem deslizar com uma velocidade v sobre uma superficie horizontal quando bate de frente com uma esfera idéntica B que esta em estado de repouso Representando por 0 coeficiente de atrito cinético entre as esferas e a superficie des prezando o atrito entre as esferas e admitindo um impacto perteita mente elastico determine a as velocidades linear e angular de cada esfera imediatamente ap6s 0 impacto D a velocidade de cada esfera depois que elas comegam a rolar uniformemente A B vi Figura P17131 1138 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 17132 Uma pequena bola de borracha de raio r é atirada contra um piso rugoso com uma velocidade v de intensidade v e uma velocidade angular w de intensidade w Observase que a bola salta de A para B depois de B para A depois de A para B etc Admitindo um impacto perteitamente eldstico determine a intensidade requerida w da ve locidade angular em termos de 0 er 7 J My B Op 60 e B Figura P17132 17133 Em um jogo de sinuca a bola A esta rolando sem deslizar com uma velocidade v quando bate obliquamente na bola B que esta em es tado de repouso Representando por r o raio de cada bola e por py 0 coeficiente de atrito cinético e considerando um impacto perfeita mente elastico determine a as velocidades linear e angular de cada bola imediatamente apds 0 impacto b a velocidade da bola B apés comegar a rolar uniformemente y A B x 6 Vo Figura P17133 17134 Cada uma das barras AB e BC tem comprimento L 400 mm e massa 1 kg Determine a velocidade angular de cada barra imediata mente depois que o impulso QAt 15 N si é aplicado em C A 7 L Bie 2 L At QV il Cc Figura P17134 Neste capitulo consideramos novamente o método de trabalho e energia e o método de impulso e quantidade de movimento Na primeira parte estudamos o método de trabalho e energia e suas aplicagdes a anélise do movimento de corpos rigidos e sistemas de corpos rigidos Na Segao 172 expressamos primeiramente o principio de trabalho e Principio de trabalho e energia para um corpo rigido na forma energia para um corpo TU T 71 gide onde T e T representam os valores inicial e final da energia cinética do corpo rigido e representa o trabalho das forgas externas que agem sobre o corpo rigido U Na Segio 173 recordamos a expressio encontrada no Cap 13 parao Trabalho de uma forga ou trabalho de uma forga F aplicada a um ponto A a saber de um binGrio SQ Uy 49 F cos a ds 173 St onde F era a intensidade da forga 0 Angulo entre a forga e a diregao do movimento de A e s a varidvel de integracgéo que mede a distancia per corrida por A ao longo de sua trajet6ria Deduzimos também a expressao para o trabalho de um binario de momento M aplicado a um corpo rigido durante uma rotacgao em 6 do corpo rigido 92 a Em seguida deduzimos uma expressao para a energia cinética de um Energia cinética no corpo rigido em movimento plano Segio 174 Escrevemos movimento plano T mv 31w 179 onde v é a velocidade do centro de massa G do corpo w é a velocidade angular do corpo e I é 0 seu momento de inércia em relagao a um eixo que passa por G perpendicularmente ao plano de referéncia Fig 1713 Problema Resolvido 173 Observamos que a energia cinética de um corpo rigido em movimento plano pode ser separada em duas partes 1 a energia cinética smv associada ao movimento do centro de massa G do corpo e 2 a energia cinética 51 associada A rotagao do corpo em torno de G Figura 1713 1140 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Para um corpo rigido girando em torno de um eixo fixo que passa por O com uma velocidade angular w obtivemos 1 2 Energia cinética na rotacdo T glow 1710 onde I era o momento de inércia do corpo em relacao ao eixo fixo Ob servamos que 0 resultado obtido nao se limita rotacgao de placas planas ou de corpos simétricos em relacao ao plano de referéncia mas que é valido independentemente do formato do corpo ou da localizagao do eixo de rotacao Sistemas de corpos rigidos A Eq 171 pode ser aplicada ao movimento de sistemas de corpos rigi dos Seco 175 desde que todas as forgas envolvidas que agem sobre os varios corpos tanto internas como externas ao sistema estejam inclui das no calculo de U Entretanto no caso de sistemas constituidos de elementos conectados por pinos ou blocos e polias conectados por cabos inextensiveis ou transmiss6es por engrenagens os pontos de aplicacaio das forgas internas percorrem distAncias iguais e o trabalho dessas forgas se cancela Problemas Resolvidos 171 e 172 Conservacdo de energia Quando um corpo rigido ou um sistema de corpos rigidos movese sob a agao de forcas conservativas 0 principio de trabalho o energia pode ser expresso sob a forma TVTV 1712 que é conhecida como principio de conservagdo de energia Secao 176 Esse principio pode ser usado para resolver problemas envolvendo forgas conservativas tais como a forga da gravidade ou a forga exercida por uma mola Problemas Resolvidos 174 e 175 Todavia quando for necessario determinar uma reaciio o principio de conservacao de energia deve ser suplementado pela aplicacgao do principio de dAlembert Problema Re solvido 174 Poténcia Na Segao 177 estendemos o conceito de poténcia a um corpo rotativo sujeito a um bindrio escrevendo Poténci du Md6 M 1718 oténcia Mw dt dt onde M a intensidade do bindrio e w é a velocidade angular do corpo A parte intermediaria do capitulo foi dedicada ao método de impulso e quantidade de movimento e sua aplicagio a resolucao de varios tipos de problemas envolvendo o movimento plano de placas rigidas e corpos rigidos simétricos em relagio ao plano de referéncia Principio de impulso e Primeiro recordamos 0 principio de impulso e quantidade de movimento quantidade de movimento como foi deduzido na Segao 149 para um sistema de particulas e o apli para um corpo rigido amos ao movimento de um corpo rigido Segao 178 Escrevemos Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext 1714 Sist de Quant de Mov Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1141 Em seguida mostramos que para uma placa rigida ou um corpo rigido simétrico em relagao ao plano de referéncia 0 sistema de quantidades de movimento das particulas constituintes do corpo é equivalente a um vetor mv ligado ao centro de massa G do corpo e a um bindrio Iw Fig 1714 O vetor mv associado a translagao do corpo com G e representa a quantidade de movimento linear do corpo enquanto o bindrio I cor responde a rotagao do corpo em torno de G e representa a quantidade de movimento angular do corpo em relacao a um eixo passando por G Amv mv Figura 1714 A Eq 1714 pode ser expressa graficamente como mostra a Fig 1715 desenhandose trés diagramas que representam respectivamente o sistema de quantidades de movimentos iniciais do corpo os impulsos das forgas externas que agem sobre o corpo e o sistema de quantidades de movimentos finais do corpo Yy Y Yy MVs sFdt O x O x O x a b c Figura 1715 Somandose e igualando respectivamente os componentes em x os com ponentes em y e os momentos em relagéo a um dado ponto qualquer dos vetores mostrados naquela figura obtemos trés equagdes de movimento que podem ser resolvidas para as inc6gnitas desejadas Problemas Resol vidos 176 e 177 Em problemas que tratam de diversos corpos rigidos conectados Segao 179 cada corpo pode ser considerado separadamente Proble ma Resolvido 176 ou se mais de trés incégnitas estiverem envolvidas o principio de impulso e quantidade de movimento pode ser aplicado 1142 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica a todo o sistema considerando apenas os impulsos das forgas externas Problema Resolvido 178 Conservacdo da quantidade Quandoas linhas de agao de todas as forcas externas que agem sobre um de movimento angular sistema de corpos rigidos passam por um dado ponto O a quantidade de movimento angular do sistema em relacao a O conservase Segao 1710 Sugeriuse que os problemas envolvendo a conservagao da quantidade de movimento angular fossem resolvidos pelo método geral descrito an teriormente Problema Resolvido 178 Movimento impulsivo A tltima parte do capitulo foi dedicada ao movimento impulsivo e ao impacto excéntrico de corpos rigidos Na Segao 1711 relembramos que o método de impulso e quantidade de movimento é 0 tinico método pra ticdvel para a resolucao de problemas que envolvem o movimento im pulsivo e que o calculo de impulsos em tais problemas é particularmente simples Problema Resolvido 179 Impacto excéntrico Na Secao 1712 recordamos que o impacto excéntrico de dois corpos rigidos é definido como um impacto em que os centros de massa dos cor pos em colisao ndo estao localizados na linha de impacto Em tal situagao mostrouse que ainda é valida uma relagao similar aquela deduzida no Cap 13 para o impacto central de duas particulas envolvendo o coefi ciente de restituigao e mas que as velocidades dos pontos A e B onde hé contato durante o impacto devem ser usadas Temos v 04 el Wp 1719 onde v vg S40 os componentes ao longo da linha de impacto das velocidades de A e B antes do impacto e v U3 So seus componen tes depois do impacto Fig 1716 A Eq 1719 é aplicavel nao apenas quando os corpos em coliséo movemse livremente apés o impacto mas também quando os corpos esto parcialmente restringidos em seu movi mento Ela deve ser usada em conjunto com uma ou varias outras equa 6es obtidas pela aplicacao do principio de impulso e quantidade de mo vimento Problema Resolvido 1710 Também consideramos problemas em que 0 método de impulso e quantidade de movimento e 0 método de trabalho e energia podem ser combinados Problema Resolvido 1711 a SS n Va n vA a Antes do impacto b Depois do impacto Figura 1716 17135 O movimento de uma barra delgada AB de 250 mm é guiada por C pinos em A e B que deslizam livremente em uma ranhura feita em 4 uma placa vertical como mostrada na figura Sabendo que a barra 125 mm tem uma massa de 2 kg e é liberada do repouso quando 6 0 deter A mine as reagdes em A e B quando 90 17136 Um disco uniforme de espessura constante inicialmente em estado de repouso é posto em contato com a esteira mostrada na figura que se move a uma velocidade constante v 25 ms Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a esteira é de 015 de termine a o ntimero de revolugées executadas pelo disco antes dele B atingir uma velocidade angular constante b o tempo requerido para L o disco atingir aquela velocidade angular constante Figura P17135 120 mm B i 25 i N Figura P17136 17137 Resolva o Problema 17136 considerando que a diregéo do movimen to da esteira é revertido 17138 Uma barra delgada e uniforme é colocada no canto B e é feito um leve movimento no sentido hordrio Considerando que o canto é agu do e tornase levemente incorporado na extremidade da barra tal que o coeficiente estatico em B é muito grande determine a 0 4n gulo B por meio do qual a barra ir girar até que esta perde o contato com o canto b a velocidade correspondente da extremidade A A L N B Figura P17138 1144 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica 17139 Uma bala B de 35 g é disparada com velocidade de 400 ms no lado de um painel quadrado de 3 kg sustentado por um pino em A como mos trado na figura Sabendo que o painel esta inicialmente em repouso determine as componentes da reagdo em A apés 0 painel ter girado 90 A eB 500 mm 0 s Kan Figura P17139 17140 Um bloco quadrado de massa m esta caindo com velocidade v quan do bate em um pequeno anteparo em B Considerando que o impac b to entre o canto Aeo anteparo Bé perfeitamente plastico determine imediatamente apés o impacto a a velocidade angular do bloco b a velocidade de seu centro de massa G G b 17141 Resolvao Problema 17140 considerando que o impacto entre o can to A e o anteparo B é perfeitamente elastico A 17142 Uma barra AB de 3 kg esté presa por um pino em D a uma placa quadrada de 4 kg que pode girar livremente em torno de um eixo B vertical Sabendo que a velocidade angular da placa é de 120 rpm quando a barra esta na vertical determine a a velocidade angular Figura P17140 da placa depois da barra ter balangado até uma posiao horizontal e chegar ao repouso contra o pino C b a energia perdida durante o impacto plastico em C ry A 500 mm i pl G A B R 300 mm Figura P17142 17143 Uma placa retangular de 300 400 mm é suspensa por pinos em A e B O pino em B é removido e a placa balanga livremente em torno do pino A Determine a a velocidade angular da placa apés ela ter gira 400mm do 90 b a maxima velocidade angular atingida pela placa enquanto Figura P17143 balanga livremente Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1145 17144 Os discos A e B sio feitos do mesmo material e sio da mesma espes sura eles podem girar livremente sobre o eixo vertical O disco B esta em repouso quando é solto sobre o disco A que esta girando com uma velocidade de 500 rpm Sabendo que o disco A tem uma massa de 10 kg determine a a velocidade angular final dos discos b a variagio na energia cinética do sistema ee SS 4 e 500 rpm 7 Figura P17144 17145 A que altura h acima do seu centro de massa G uma bola de bilhar de raio r deve ser golpeada horizontalmente por um taco para comegar a rolar sem deslizar a Figura P17145 17146 Uma grande esfera de 15 kg com raio r 100 mm solta dentro de uma cesta leve na extremidade de uma barra fina e uniforme de mas sa 1 kg e comprimento L 250 mm como mostrado na figura Ime diatamente antes do impacto a velocidade angular da barra é 3 rads no sentido antihorario e a velocidade da esfera é 05 ms para baixo Considerando que a esfera se fixa na cesta determine apés 0 impacto a a velocidade angular da barra e da esfera b os componentes da reagaéo em A RB Do e na 7 XS J A B 7 Figura P17146 y 17C1 A barra AB tem massa de 3 kg e esté presa um carrinho C de 5 kg em A Sabendo que o sistema é liberado do estado de repouso quando 6 30 e des Ss B prezando o atrito use um programa de computador para calcular a velocidade 12m do carrinho e a velocidade da extremidade B da barra para valores de variando de 30 a 90 Determine o valor de 6 em que a velocidade do carrinho para LB a esquerda é maxima e o valor correspondente dessa velocidade 6 he A Kee 17C2 A barra delgada uniforme AB de comprimento L 800 mm e massa r 5 kg repousa sobre um rolete em D e esté presa a um cursor de massa des O x prezivel que pode deslizar livremente sobre a barra vertical EF Sabendo que a 200 mm e que a barra é liberada do estado de repouso quando 6 0 use um Figura P17C1 ae programa de computador para calcular e tragar um grafico da velocidade angular da barra e da velocidade da extremidade A para valores de 6 variando de 0 a 50 Determine a velocidade angular maxima da barra e 0 valor correspondente de 6 A le fe L LL a B Figura P17C2 17C3 Umaesfera uniforme de 250 mm de raio rola sobre uma série de bar ras horizontais paralelas igualmente espagadas a uma distancia d A medida que ela gira sem deslizar em torno uma dada barra a esfera bate na proxima barra e comega a girar em torno dela sem deslizar até bater na barra seguinte e assim por diante Admitindo um impacto perfeitamente plastico e sabendo que a esfera tem uma velocidade angular de 15 rads quando seu centro de massa G esta diretamente acima da barra A use um programa de computador para calcular para valores de espagamento d variando de 25 a 150 m a a velocidade angular da esfera quando G passar diretamente acima da barra B b o ntimero de barras sobre as quais a esfera rolaré apds deixar barra A Ww W C e ee G G G Af AB f Afi AB A AA AB f edea eatea baa 1 2 3 Figura P17C3 Capitulo 17 Movimento plano de corpos rigidos métodos de energia e quantidade de movimento 1147 17C4 Ocursor C tem massa de 25 kg e pode deslizar sem atrito sobre a barra AB Uma mola de constante 750 Nm e comprimento indeformado r 500 mm é presa ao cursor e ao cilindro B como mostrado na figura Sabese que 0 mo mento de inércia de massa total da barra do cubo e da mola é de 03 kg m em relacio a B Inicialmente 0 cursor é mantido a uma distancia de 500 mm do eixo de rotagéo por um pequeno pino preso a barra O pino é removido subita mente quando o conjunto esta girando em um plano horizontal com velocidade angular de 10 rads Representando por r a distancia entre o cursor e 0 eixo de rotagiio use um programa de computador para calcular e tragar o grafico da velocidade angular do conjunto e da velocidade do cursor em relagao a barra para valores de r variando de 500 a 700 mm Determine o valor maximo de r no movimento subsequente Ux oy r9 ESS JZ A Figura P17C4 17C5 Cada uma das duas barras delgadas idénticas mostradas tem um com primento L 750 mm Sabendo que o sistema é liberado do estado de repouso quando as barras estaio em posicao horizontal use um programa de computador para calcular e tragar um grafico da velocidade angular da barra AB e a velocida de do ponto D para valores de 6 variando de 0 a 90 a SSS L L oS Figura P17C5 Embora os princípios gerais que você aprendeu nos capítulos anteriores possam ser usados novamente para resolver problemas que envolvem o movimento tridimensional de corpos rígidos essa resolução requer uma nova abordagem e é bem mais complexa que a de problemas bidimensionais Um exemplo é a determinação das forças que atuam no braço robótico do ônibus espacial BeerDinamica18indd 1148 BeerDinamica18indd 1148 050712 1342 050712 1342 Cinética de corpos rígidos tridimensionais 18 C A P Í T U L O BeerDinamica18indd 1149 BeerDinamica18indd 1149 050712 1342 050712 1342 1150 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica I Cinética de corpos rigidos 181 Introdugdo tridimensionais Nos Caps 16 e 17 tratamos do movimento plano de corpos rigidos e de v sistemas de corpos rigidos No Cap 16 e na segunda metade do Cap 17 181 Introdugdo método de quantidade de movimento nosso estudo ficou ainda mais 182 Quantidade de movimento restrito ao movimento de placas planas e corpos simétricos em relacao angular de um corpo rigido a um plano de referéncia Todavia muitos dos resultados fundamentais tridimensional oo obtidos nesses dois capitulos permanecem validos no caso do movimento 183 Aplicagdo do principio de de um corpo rigido tridimensional impulso e quantidade de Por exemplo as duas equagdes fundamentais movimento ao movimento tridimensional de um corpo rigido xXF ma 181 184 Energia cinética de um corpo P rigide tridimensional P 2Mc He 182 185 Movimento de um corpo rigido tridimensional nas quais se baseou a andlise do movimento plano de um corpo rigido 186 Equagées de Euler do permanecem vilidas no caso mais geral do movimento de um corpo rigi movimento Extensdo do do Conforme indicado na Segio 162 essas equagdes expressam que o principio de dAlembert ao sistema de forcas externas é equipolente ao sistema que consiste do vetor movimento de um corpo ma ligado a G e ao bindrio de momento Hg Fig 181 Entretanto a rigido tridimensional relacio H I que nos possibilitou determinar a quantidade de movi 187 Movimento de um corpo mento angular de uma placa rigida e desempenhou um papel importan rigido em torno de um ponto te na solugdo de problemas envolvendo o movimento plano de placas e fix corpos simétricos em relacao a um plano de referéncia deixa de valer no 188 Rotacao de um corpo rigido caso de corpos assimétricos ou de movimento tridimensional Assim sen em torno de um ponto fixo do na primeira v d tul Secio 182 sd lid 189 Movimento de um 0 na primeira parte do capitulo na Segao 182 sera desenvolvido um giroscopio Angulos de Euler método mais geral para 0 calculo da quantidade de movimento angular 1810 Precessdo em regime H de um corpo rigido tridimensional permanente de um giroscépio 1811 Movimento de um corpo com fic simetria axial livre de forgas F 4 SEE lt ff NS ma Go ROOT ic a Figura 181 Analogamente embora o aspecto principal do método de impulso e quantidade de movimento discutido na Segio 177 ou seja a reducio das quantidades de movimento das particulas de um corpo rigido a um vetor de quantidade de movimento linear mv ligado ao centro de massa G do corpo e a um bindrio de quantidade de movimento angular Hg permanega valido a relagaio H Iw deve ser descartada e substituida pela relacio mais geral desenvolvida na Segdo 182 antes que esse méto do possa ser aplicado ao movimento tridimensional de um corpo rigido Secao 183 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1151 Notemos também que o princfpio de trabalho e energia Segao 172 e o principio de conservagio da energia Segao 176 ainda se aplicam ao caso do movimento de um corpo rigido tridimensional Entretanto a expressiao obtida na Segiio 174 para a energia cinética de um corpo rigido em movimento plano sera substituida por uma nova expressio desenvol vida na Segao 184 para um corpo rigido em movimento tridimensional Na segunda parte do capitulo vocé aprenderd primeiro a determinar a taxa de variacgaio H da quantidade de movimento angular H de um corpo rigido tridimensional usando um referencial rotativo em relacao ao quais os momentos e produtos de inércia mantémse constantes Se cio 185 As Eqs 181 e 182 serao entéo expressas como equagées baseadas em diagrama de corpo livre podendo ser usadas para resolver diversos problemas que envolvem 0 movimento tridimensional de corpos rigidos Segdes de 186 a 188 A tiltima parte do capitulo Segdes de 189 a 1811 é dedicada ao estudo do movimento do giroscépio ou de modo mais geral de um corpo com simetria axial e com um ponto fixo localizado sobre seu eixo de sime tria Na Segdo 1810 serd considerado o caso particular da precesséo em regime permanente de um giroscdpio e na Secdo 1811 sera analisado o movimento de um corpo com simetria axial livre de forgas exceto por seu préprio peso 182 Quantidade de movimento angular de um corpo rigido tridimensional Nesta seco vocé verd como a quantidade de movimento angular H de um corpo em torno de seu centro de massa G pode ser determinada a partir da velocidade angular w do corpo no caso de movimento tridi mensional De acordo com a Eq 1424 a quantidade de movimento angular do corpo em relaco a G pode ser expressa como n Hc S ri X vi Am 183 i1 onde r e vj representam respectivamente 0 vetor posicio e a velocidade da particula P de massa Am em relagio ao referencial centroidal Gxyz Fig 182 y wW viw Xr y Cs a x J X Z Figura 182 1152 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Mas v X r onde é a velocidade angular do corpo no instante consi derado Substituindo na Eq 183 temos n Ho S r X w X ri Am il Relembrando a regra para a determinagao dos componentes retangulares de um produto vetorial Segao 35 obtemos as seguintes express0es para o componente da quantidade de movimento angular A Ss Ly X rj zi X rj Am i1 S Ly y X 2x Am il o y 27 Am wy xy Am o zx Am i i i Substituindo as somas por integrais nesta expressao e nas duas expressdes similares que sao obtidas para H e H temos H wSy 2 dm wJxy dm wfzx dm H JSxy dm OS x dm wfyzdm 184 H wJzx dm wfyz dm wJx y dm Notemos que as integrais que contém quadrados representam os momen tos centroidais de inércia de massa do corpo em relagao aos eixos x y respectivamente Seciao 911 temos 7 2 7 fy 2 I Sly 2 dm I fiz x dm 185 I fx x dm Analogamente as integrais que contém produtos de coordenadas re presentam os produtos centroidais de inércia de massa do corpo Segao 916 temos Ivy f xy dm 1 J yz dm L fzxdm 186 Substituindo 185 e 186 em 184 obtemos os componentes da quantidade de movimento angular H do corpo em relacao ao seu centro de massa A I W Ty 10 li Tix y is Tyo a Ty 187 H 0 Iy 1 w Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1153 As relagées 187 mostram que a operagao que transforma o vetor y w no vetor H Fig 183 é caracterizada pela matriz de momentos e Y produtos de inércia He 7 Tr 7 I wLey meee Lye Ty yz 188 ce x Ls Ly JO A matriz 188 define 0 tensor de inércia do corpo em seu centro de mas O sa G Uma nova matriz de momentos e produtos de inércia seria obtida X se um sistema de eixos diferente fosse usado No entanto a transforma z cao caracterizada por essa nova matriz ainda seria a mesma Claramente a quantidade de movimento angular Hy correspondente a uma dada ve Figure 183 locidade angular w é independente da escolha dos eixos de coordenadas Conforme mostrado nas Segées 917 e 918 sempre é possivel selecionar um sistema de eixos Gxyz denominados eixos principais de inércia em relacao aos quais todos os produtos de inércia de um dado corpo sao nulos Nessa situagao a matriz 188 assume a forma diagonal Ip 0 0 0 Iy 0 189 0 0 TL onde I I y L representam os momentos centroidais principais de inér cia do corpo e as relagées 187 se reduzem a Hy Tyo Ay Lyoy Hy I 1810 Observamos que se os trés momentos centroidais principais de inércia I 1 L forem iguais os componentes H H H da quantidade de mo vimento angular em relagdo a G serao proporcionais aos componentes w W da velocidade angular e os vetores H e w serio colineares Em ge ral porém os momentos de inércia principais serao diferentes e os vetores H e terdo diregées diferentes exceto quando dois dos trés componentes de w forem nulos isto é quando w estiver orientado ao longo de um dos eixos de coordenadas Logo a quantidade de movimento angular H de um corpo rigido e sua velocidade angular w tém a mesma diregdo se e somente se w estiver orientado ao longo de um eixo principal de inércia Fazendo I 1 1 Ig 1 gg Ly Ti 1 13 ete podemos escrever 0 tensor de inércia 188 na forma padrao Ty Tie T3 Ty Ig Ty Ts T59 133 Representando por H H e H os componentes da quantidade de movimento angular H por w os componentes da velocidade angular w podemos escrever as relagdes 187 sob a forma H Lj j onde i ej assumem os valores 1 2 3 As grandezas I sio denominadas componentes do tensor de inéreia Como I I 0 tensor de inércia é um tensor simétrico de segunda ordem No caso particular em que I I I qualquer linha que passe por G pode ser con siderada como um eixo principal de inércia e os vetores H sao sempre colineares 1154 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica MS ego og Como essa condigao é satisfeita no caso do movimento plano de sa se a a um corpo rigido simétrico em relagao ao plano de referéncia fomos SEN ee SN capazes nas Secées 163 e 178 de representar a quantidade de movi ee ee FS mento angular H de um dado corpo pelo vetor Iw Entretanto deve ph Va fx a mos compreender que esse resultado nao pode ser estendido ao caso do ff a aA yal movimento plano de um corpo assimétrico ou ao caso do movimento ae Pen tae tridimensional de um corpo rigido Exceto quando o vetor w estiver pe es orientado ao longo de um eixo principal de inércia a quantidade de oa movimento angular e a velocidade angular de um corpo rigido terao diregdes diferentes e a relaco 187 ou 1810 devera ser usada para Foto 181 O projeto de um robé determinar Hy a partir de o soldador para uma linha de montagem 7 de automéveis requer um estudo tridimensional tanto de cinematica Reducdo das quantidades de movimento das particulas de um quanto de cinética corpo rigido a um vetor de quantidade de movimento e a um bindrio em G Vimos na Seco 178 que o sistema formado pelas quantidades de movimento das varias particulas de um corpo rigido pode ser reduzido a um vetor L ligado ao centro de massa G do corpo repre sentando a quantidade de movimento linear do corpo e a um bindrio Hg representando a quantidade de movimento angular do corpo em relacgao a G Fig 184 Estamos agora em condigées de determinar o vetor L e o bindrio H no caso mais geral de movimento tridimensional de um corpo rigido Como no caso do movimento bidimensional considerado na Secao 178 a quantidade de movimento linear L do corpo é igual ao produto mv de sua massa m pela velocidade v de seu centro de massa G A quantidade de movimento angular H porém nao pode mais ser obtida multiplicandose a velocidade angular w do corpo pelo escalar I simplesmente ela deve agora ser obtida a partir dos componentes de w e dos momentos e produtos centroidais de inércia do corpo usandose a Eq 187 ou 1810 Y He Ab Lmv v O Xx Zz Figura 184 Devemos notar também que uma vez determinadas a quantidade de movimento linear mv e a quantidade de movimento angular H de um corpo rigido sua quantidade de movimento angular H em relaco a um ponto dado qualquer O pode ser obtida pela adigao dos momentos em relagao a O do vetor mv e do binaério H Escrevemos Ho F xX mv He 1811 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1155 y y w Vj X 7 Ho 1 P 1 F YZ Cf Of ao x ao x a b Figura 185 Quantidade de movimento angular de um corpo rigido restrito a girar em torno de um ponto fixo No caso particular de um corpo rigido restrito a girar no espago tridimensional em torno de um ponto fixo O Fig 185a as vezes conveniente determinar a quantidade de movimento angular H do corpo em relagao ao ponto fixo O Embora Hy possa ser obtido calculandose primeiramente H do modo descrito ante riormente e usando em seguida a Eq 1811 com frequéncia é vantajoso determinar H diretamente a partir da velocidade angular w do corpo e de seus momentos e produtos de inércia em relagao a um referencial Oxyz centrado no ponto fixo O Retomando a Eq 147 escrevemos n Ho 1 X v Am 1812 il onde r v representam respectivamente 0 vetor posicdo e a veloci dade da particula P em relagao ao referencial fixo Oxyz Substituindo Vv X re depois operagdes semelhantes as usadas na primeira parte desta secio deduzimos que os componentes da quantidade de movimen to angular H Fig 185b sao dados pelas relagdes H 1 1jy Lad H 1 Io Ty 1813 H L Lyw w onde os momentos de inércia I I I e os produtos de inércia I I 1 sio calculados em relagao ao referencial Oxyz centrado no ponto fixo O a 183 Aplicagdo do principio de impulso e f of quantidade de movimento ao movimento rN tridimensional de um corpo rigido p a x 5 a Antes que possamos aplicar a equacao fundamental 182 a resolugao de problemas envolvendo o movimento tridimensional de um corpo rigido devemos aprender a calcular a derivada do vetor H Isso sera feito na om TF ili Segio 185 Entretanto os resultados obtidos na seco anterior podem Foto 182 Como resultado da forga ser usados de imediato para resolver problemas pelo método de impulso idade d impulsiva aplicada pela bola de boliche e quantidade de movimento um pino adquire tanto quantidade de Relembrando que o sistema formado pelas quantidades de movi movimento linear como quantidade de mento das particulas de um corpo rigido se reduz a um vetor de quan movimento angular 1156 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica He Hgs 2 mv SF we A 7 ic Go G MVo a b c Figura 186 tidade de movimento linear mv ligado ao centro de massa G do corpo e a um bindrio de quantidade de movimento angular H representamos graficamente a relacao Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext 174 Sist de Quant de Mov por meio dos trés esbogos mostrados na Fig 186 Para resolver um de terminado problema podemos usar esses esbogos para escrever equa des apropriadas de componentes e de momento tendo em mente que os componentes da quantidade de movimento angular H relacionamse com os componentes da velocidade angular w pelas Eqs 187 da segao anterior Ao resolver problemas que tratam do movimento de um corpo que gira em torno de um ponto fixo O sera conveniente eliminar 0 impulso da reagaio em O escrevendose uma equagao que envolve os momentos das quantidades de movimento e dos impulsos em relagaio a O Relembremos que a quantidade de movimento angular H do corpo em relacao ao ponto fixo O pode ser obtida seja diretamente a partir das Eqs 1813 seja pelo calculo preliminar da quantidade de movimento linear mv e da sua quanti dade de movimento angular H usandose em seguida a Eq 1811 184 Energia cinética de um corpo rigido tridimensional Considere um corpo rigido de massa m em movimento tridimensional Recordemos da Segiio 146 que sendo a velocidade absoluta v de cada y particula P do corpo expressa como a soma da velocidade v do centro de massa G do corpo e da velocidade v da particula relativamente a um Vi O Xr referencial Gxyz ligado a G e de orientagiio fixa Fig 187 a energia cinética do sistema de particulas constituintes do corpo rigido pode ser Y fu escrita sob a forma r gy P oe 12 LY 2 La x T gMD 2 S Am 1814 il onde o tiltimo termo representa a energia cinética T do corpo relativa 0 z ao referencial centroidal Gxyz Como v v w X rj escrevemos 1 n 1 n 4 T Amo S e x ri Am Figura 187 2 j 2 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1157 Expressando o quadrado em termos de componentes retangulares do produto vetorial e substituindo as somas por integrais temos T 3fy wx yz wy wx zdm 51x fy 2dm ow fs xdm we fx ydm 200 fxydm 2a0 fyzdm 2ww fzxdm ou considerando as relacGes 185 e 186 T 1 Lo Lw QT yO Wy 2D 0 21 W0 1815 Substituindo em 1814 a expressio 1815 que acabamos de obter para a energia cinética do corpo relativa aos eixos centroidais escrevemos lL 2 7 91 Fo LT a T 53mov 31 Toy Laz yoo 1816 2100 2100 Se os eixos de coordenadas sao escolhidos de modo a coincidirem no instante considerado com os eixos principais x y z do Corpo a relacdo obtida reduzse a T mb dIyo Tyo I 1817 onde v velocidade do centro de massa velocidade angular m massa do corpo rigido I1 y I momentos centroidais principais de inércia Os resultados que obtivemos possibilitamnos aplicar ao movimento tridimensional de um corpo rigido os principios de trabalho e energia Segio 172 e conservagio da energia Segao 176 Energia cinética de um corpo rigido com um ponto fixo No y caso particular de um corpo rigido girando no espago tridimensional em torno de um ponto fixo O a energia cinética do corpo pode ser expressa mee Xs em termos de seus momentos e produtos de inércia em relacao a eixos ligados a O Fig 188 Retomando a definigao de energia cinética de sis P tema de particulas e substituindo v v w X r escrevemos A 12 12 T Amv lo x x Am 1818 2 2 i x Operagées semelhantes aquelas usadas na dedugio da Eq 1815 pro Figura 188 duzem T 31 10 Lw 2100 2 0y0 200 1819 Ou CaSO OS eixos principais x y z do corpo na origem O sejam escolhi dos como eixos de coordenadas T 3xlyoy Lyoy Ia 1820 J j PROBLEMA RESOLVIDO 181 Uma placa retangular de massa m suspensa por dois fios em A e B é atingida A B em D em uma diregio perpendicular a placa Representando por F At o impulso aplicado em D determine imediatamente apds 0 impacto a a G b velocidade do centro de massa G b a velocidade angular da placa D ry SOLUCAO Admitindo que os fios permanecem sob trago e que os componentes v de Vv e w de so nulos apés 0 impacto temos v 0i ok a 0j Como Os eixOs xX y Z SAO eixOs principais de inércia TotstTam ee err ee Hg 10 10j He jgmbai jgmaaj 1 Principio de impulso e quantidade de movimento Uma vez que as quantidades de movimento iniciais sio nulas o sistema dos impulsos deve ser equivalente ao sistema das quantidades de movimento finais T At a y Tz At d 2 Ayj CD Ys I dl GS Ce b x mo k x 2 FAL wat 4 a Velocidade do centro de massa Igualando os componentes dos impulsos e quantidades de movimento nas diregées x z Componentes em x 0 Mx Ux 0 Componentes em 2 F At mv v F Atm y v0i ok v FAtmk a 2 B b Velocidade angular Igualando os momentos dos impulsos e quanti A b dades de movimento em relacio aos eixos x e y 2 5 Em relagao ao eixo x 5bF At H D C Em relagao ao eixo z 3aF At A H He Hai Hj He 3bF Ati 3aF Atj 2 Comparando as Eqs 1 e 2 concluimos que y w 6F Atmb w 6F Atma A a wi oj 6F Atmabai bj IG Observe que w é orientado ao longo da diagonal AC J Observacao Igualando os componentes em y dos impulsos e quantidades D 4 Cc de movimento e seus momentos em relagiio ao eixo z obtemos duas equa J cdes adicionais que fornecem T T W Verificamos assim que os fios permanecem sob tragao e que nossa hipotese estava correta L PROBLEMA RESOLVIDO 182 Um disco homogéneo de raio r e massa m esté montado sobre um eixo OG OCS 3 de comprimento L e massa desprezivel O eixo é pivotado no ponto fixo O e I o disco é compelido a rolar sobre um piso horizontal Sabendo que o disco gira no sentido antihorario a uma taxa w em torno do eixo OG determine a a velocidade angular do disco b sua quantidade de movimento angular em relacio a O c sua energia cinética d 0 vetor e bindrio em G equiva lente as quantidades de movimento das particulas do disco SOLUCAO y LLL L a Velocidade angular A medida que o disco gira em torno do eixo OG ele também gira juntamente com seu eixo em torno do eixo y a uma wf taxa w no sentido hordrio Portanto a velocidade angular total do disco é Oo i x wi oj 1 ve Zt ej C Para determinar w escrevemos que a velocidade do ponto C é nula Lw rwk 0 rwL Substituindo o valor de w em 1 o i rwLj 4 b Quantidade de movimento angular em relagdo a O Admitin do que o eixo seja parte do disco podemos considerar que o disco tem um ponto fixo em O Como os eixos x y Z sao eixos principais de inércia para o disco A LO gmra H Lo mL 4mrrwL H Iw mL jmr0 0 Ho gmri mL GrraLji c Energia cinética Usando os valores obtidos para os momentos de inércia e os componentes de temos T 3Lo Io Iw2 33mro mL GrrewL re T ima6 5 wo d Vetor e bindrio de quantidade de movimento em G OO vetor de quantidade de movimento linear mv e o bindrio de quantidade de movi mento angular H sio y mv mrok e Hg G x He Ioi 1yoj wk tmri imrreLj MV 4 1 2 1 ra Ho Hg 3mr oni ars METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMA TelkU lel Xo fo S N esta seciio vocé aprendeu a calcular a quantidade de movimento angular de um corpo rigido tridimensional e a aplicar o principio de impulso e quantidade de movimento ao movimento tridimensional de um corpo rigido Aprendeu também a calcular a energia cinética de um corpo ri gido tridimensional E importante que vocé tenha em mente que exceto em situagdes muito espe ciais a quantidade de movimento angular de um corpo rigido tridimensional ndo pode ser expressa pelo produto Iw e que portanto ndo terd a mesma diregdo da velocidade angular w Fig 183 1 Para calcular a quantidade de movimento H de um corpo rigido em relagdo ao seu centro de massa G vocé precisa primeiro determinar a velocidade angular do corpo em relacdo a um sistema de eixos centrado em G e de orientagdao fixa Como nesta segao vocé sera solicitado a determinar a quantidade de movimento angular do corpo em um dado instante apenas selecione o sistema de eixos mais conveniente para seus calculos a Se os eixos principais de inércia do corpo em G sGo conhecidos useos como eixos de coordenadas x y e pois os respectivos produtos de inércia do corpo serio iguais a zero Decomponha em componentes ao longo desses eixos e calcule os momentos principais de inércia I Ie I Os respectivos componentes da quantidade de movimento angular H sao Hy Ipoy Hy Tyoy Hy Tew 1810 b Se os eixos principais de inércia do corpo em G sdo desconhecidos vocé deve usar as Eqs 187 para determinar os componentes da quantidade de movimento angular Hg Essas equacdes requerem 0 calculo preliminar dos produtos de inércia do corpo bem como dos seus momentos de inércia em relacao aos eixos selecionados c A intensidade e os cossenos diretores de H sio obtidos a partir de formulas simi lares aquelas usadas em Estatica Segaio 212 Temos Hg VH Hy HH A Ay H cos 6 cos 6 cos 6 He He He d Uma vez determinado Hg vocé pode obter a quantidade de movimento angular do corpo em relagdo a um dado ponto qualquer O observando na Fig 184 que Hojo rX mv He 1811 onde r é 0 vetor posicao de G relativo a O e mv é a quantidade de movimento linear do corpo 2 Para calcular a quantidade de movimento angular H de um corpo rigido com um ponto fixo O siga o procedimento descrito no primeiro pardgrafo exceto que vocé deva agora usar eixos centrados no ponto fixo O a Se os eixos principais de inércia do corpo em O sao conhecidos decomponha em componentes ao longo desses eixos Problema Resolvido 182 Os componentes respectivos da quantidade de movimento angular H sao obtidos a partir de equagdes semelhantes as Eqs 1810 b Se os eixos principais de inércia do corpo em O sdo desconhecidos vocé deve calcular tanto os produtos como os momentos de inércia do corpo em relagao aos eixos que vocé selecionou e usar as Eqs 1813 para determinar os componentes da quantidade de movimento angular Ho 3 Para aplicar o principio de impulso e quantidade de movimento 4 solucdo de um problema envolvendo o movimento tridimensional de um corpo rigido vocé usaré a mesma equa cao vetorial que usou para o movimento plano no Cap 17 Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext Sist de Quant de Mov 174 onde cada um dos sistemas inicial e final de quantidades de movimento so representados por um vetor de quantidade de movimento linear mv e um bindrio de quantidade de movimento angular H Agora porém esses sistemas de vetor e bindrio devem ser representados em trés dimensGes conforme mostra a Fig 186 e H devem ser determinado como explicado no pardagrafo 1 a Em problemas que envolvem a aplicagdo de um impulso conhecido a um corpo rigido construa uma equagio baseada no diagrama de corpo livre correspondente a Eq 174 Igualando os componentes dos vetores envolvidos vocé determinara a quantidade de mo vimento linear final mv do corpo e portanto a velocidade corresponde v de seu centro de massa Igualando momentos em relagao a G vocé determinara a quantidade de movimento angular final H do corpo Substituira entio os valores obtidos para os componentes de H nas Eqs 1810 ou 187 e resolvera essas equagGes para os respectivos valores dos componentes da velocidade angu lar do corpo Problema Resolvido 181 b Em problemas envolvendo impulsos desconhecidos construa a equacao baseada em diagrama de corpo livre correspondente a Eq 174 e escreva equagdes que nao envolvam tais impulsos Essas equagdes podem ser obtidas igualando momentos em relacao ao ponto ou linha de impacto 4 Para calcular a energia cinética de um corpo rigido com um ponto fixo O de componha a velocidade angular em componentes ao longo dos eixos de sua escolha e calcule os momentos e produtos de inércia do corpo em relagao a esses eixos Como no caso do calculo da quantidade de movimento angular utilize os eixos principais de inércia x y ez se puder deter minalos facilmente Nesse caso os produtos de inércia serao nulos Problema Resolvido 182 e a expressfo para a energia cinética se reduzira a T yoo Lyaiy I0 1820 Se precisar usar outros eixos que nfo os eixos principais de inércia a energia cinética do corpo devera ser expressa do modo mostrado na Eq 1819 5 Para calcular a energia cinética de um corpo rigido em movimento geral consi dere 0 movimento como a soma de uma translacdo junto com o centro de massa G e uma rotacdéo em torno de G A energia cinética associada a translagado é Lino Se for possivel usar eixos prin cipais de inércia a energia cinética associada 4 rotagaéo em torno de G podera ser expressa sob a forma mostrada na Eq 1820 A energia cinética total do corpo rigido sera entéo T hmv Lyor Io Iw 1817 Se vocé tiver que usar outros eixos que nao os eixos principais de inércia para determinar a energia cinética associada a rotagao em torno de G a energia cinética total do corpo devera ser expressa como mostrado na Eq 1816 181 Duas barras uniformes AB e CE cada qual com 15 kg de massa e comprimento 600 mm esto soldadas uma a outra em seus pontos médios Sabendo que esse conjunto tem velocidade angular de inten sidade constante w 12 rads determine a intensidade e a direcao da quantidade de movimento angular H do conjunto em relacio a D y C Ag y D z B 225 mm x 75 mm 295 mm E x LY 75 mm Figura P181 U se 182 Um disco fino e homogéneo de massa m o raio r gira a uma taxa cons tante w em torno de um eixo apoiado em uma unio em U presa a uma barra vertical que gira com taxa constante w Determine a quan CL tidade de movimento angular H do disco em relagao ao seu centro de massa G Figura P182 183 Uma placa fina quadrada e homogénea de massa m e lado a é soldada a um eixo vertical AB formando com ele um Angulo de 45 Sabendo que o eixo gira com uma velocidade angular constante determine a quantidade de movimento angular da placa em relagao ao ponto A y y A A p 7 ee L 1 x Figura P183 z o 184 Um disco homogéneo de massa m o raio r 6 montado em um eixo vertical AB A normal ao disco em G forma Angulo B 25 com o eixo Sabendo que o eixo tem uma velocidade angular constante o B determine 0 Angulo 6 formado com o eixo AB e a quantidade de mo vimento angular H do disco em relacao ao seu centro de massa G Figura P184 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1163 185 Um disco homogéneo de massa m 5 kg gira 4 taxa constante w 15 rads em relacao ao brago ABC que por sua vez gira a taxa constante w 5 rads em relacao ao eixo y Determine a quantidade de movimento angular do disco em relagiio a seu centro C Yi 600 mm r 200 mm AR 1 Ly J aft BAK J IF mn oH Figura P185 186 Um disco homogéneo de massa m 3 kg gira 4 taxa constante w 16 rads em relagao ao brago ABC que esta soldado a um eixo DCE que gira 4 taxa constante w 8 rads Determine a quantidade de movimento angular H do disco em relagio a seu centro A y r 200 mm A u Ae D B 200 mm el a7 A a Oe C 200 mm 300mm SS E p Ms é 300 mm Ye 2a Figura P186 x 187 Um paralelepipedo retangular sélido de massa m tem uma base Z quadrada de lado a e um comprimento de 2a Sabendo que ele B D gira 4 taxa constante w em torno de sua diagonal AC e que essa t C rotacao é vista de A como antihoraria determine a a intensidade j da quantidade de movimento angular H do paralelepipedo em re oo lago ao seu centro de massa G b o Angulo que H forma com a Se diagonal AC Figura P187 188 Resolva o Problema 187 considerando que o paralelepipedo retangu lar sdlido tenha sido substitufdo por um oco constitufdo de seis cha pas metiélicas finas soldadas entre si 189 Determine a quantidade de movimento angular do disco do Proble ma 185 em relagiio ao ponto A 1810 Determine a quantidade de movimento angular H do disco do Pro blema 186 em relagao ao ponto D 1164 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1811 O projétil de 30 kg mostrado na figura tem um raio de giragao de 60 mm em relaciao ao seu eixo de simetria Gx e um raio de giracaio de 250 mm em relagiio ao eixo transversal Gy Sua velocidade angular w pode ser decomposta em dois componentes um componente na diregio de Gx que mede a taxa de rotagdo propria do projétil enquanto o outro com ponente na diregao de GD que mede a taxa de precesséo Sabendo que 6 5 e que a quantidade de movimento angular do projétil em relagao ao seu centro de massa G é Hg 320g msi 9 ge msj deter mine a a taxa de rotacio propria D a taxa de precessio y B Bo 275 mm e Vv A Figura P1811 1812 Determine a quantidade de movimento angular H do projétil do Problema 1811 em relagao ao centro A de sua base sabendo que seu centro de massa G tem uma velocidade v de 650 ms Fornega sua res posta em termos de componentes paralelos respectivamente aos eixos x ey mostrados na figura e a um terceiro eixo apontado para vocé 1813 a Mostre que a quantidade de movimento angular H de um corpo y rigido em relagiio ao ponto B pode ser obtida adicionandose a quan A tidade de movimento angular H daquele corpo em relagio ao ponto r A ao produto vetorial do vetor r tragado de B a A pela quantidade r de movimento linear mv do corpo G o or B Hz Hy rag X mv r SO r x b Mostre ainda que quando um corpo rigido gira em torno de um Figura P1815 eixo fixo sua quantidade de movimento angular seré a mesma em relagéo a dois pontos quaisquer A e B localizados sobre o eixo fixo H H se e somente se 0 centro de massa G do corpo estiver localizado sobre o eixo fixo 1814 Determine a quantidade de movimento angular H do disco do Pro 190 mm blema Resolvido 182 a partir de expressGes obtidas para a sua quanti Sf dade de movimento linear mv e sua quantidade de movimento angu rH lar H usando as Eqs 1811 Verifique que o resultado é o mesmo B que aquele obtido por célculo direto 90 mm 1815 Uma barra de segio transversal uniforme é usada para formar o eixo CIF mostrado na figura Sendo m a massa total do eixo e sabendo que o i D eixo gira com uma velocidade angular constante w determine a a 160 mm quantidade de movimento angular H do eixo em relagao ao seu cen tro de massa G b 0 angulo formado entre H e 0 eixo AB A o 1816 A placa triangular mostrada na figura tem uma massa de 75 kg e esta soldada a um eixo vertical AB Sabendo que a placa gira 4 taxa cons oS tante w 12 rads determine a quantidade de movimento angular em relacao ao a ponto C b ponto A Dica Para resolver o item b en Figura P1816 e P1817 contre v e use a propriedade indicada na parte a do Problema 1813 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1165 1817 A placa triangular mostrada na figura tem uma massa de 75 kg e esté soldada a um eixo vertical AB Sabendo que a placa gira 4 taxa constante w 12 rads determine a quantidade de movimento an y gular em relagiio ao a ponto C b ponto B Ver dica do Problema 1816 io 1818 Determine a quantidade de movimento angular do eixo do Problema 200 mm B 1815 em relagao a ao ponto A b ao ponto B L x 200 mm 1819 Dois bragos em formato L cada qual com massa de 2 kg so soldados oo 200 mm aos tergos médios do eixo AB de 600 mm Sabendo que o eixo AB A 200 mm gira 4 taxa constante de w 240 rpm determine a a quantidade de movimento angular do conjunto em relagio ao ponto A b o Angulo a formado entre a quantidade de movimento angular e 0 eixo AB Figura P1819 1820 Para o conjunto do Problema 1819 determine a a quantidade de movimento angular em relagio a B b o 4ngulo formado entre a quantidade de movimento angular e 0 eixo BA 1821 Uma das esculturas expostas em um campus universitério consiste em um cubo oco feito de seis chapas de aluminio de 2 X 2 m cada soldadas entre si e reforcadas com tirantes internos de massa des prezivel O cubo esta montado sobre uma base fixa A e pode girar livremente em torno de sua diagonal vertical AB Ao passar por essa exposigao a caminho de uma aula de mec4nica uma estudante de engenharia segura 0 canto C do cubo e 0 empurra durante 12 s em direcio perpendicular ao plano ABC com uma forga média de 60 N Tendo observado que o cubo leva 5 s para o cubo completar uma volta completa ela utiliza a sua calculadora e comega a calcular a massa do cubo Qual é 0 resultado de seu calculo Dica a distancia perpendicular da diagonal que liga dois vértices de um cubo a qual quer um de seus seis outros vértices pode se obtida multiplicandose o lado do cubo por V23 B i C A Se Figura P1821 1822 Seo cubo de aluminio do Problema 1821 fosse substitufdo por um cubo do mesmo tamanho feito de seis placas de madeira compensa da de massa de 10 kg cada um quanto tempo levaria para fazer uma volta completa se a estudante empurrasse 0 canto C do mesmo modo que empurrou o canto do cubo de aluminio 1166 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica y 1823 Duas placas circulares cada uma com massa 4 kg sao rigidamente co nectadas pela barra AB de massa desprezivel e suspensas pelo ponto A como mostra a figura Sabendo que um impulso F At 24 Nsk A é aplicado a estrutura no ponto D determine a a velocidade do cen tro de massa G da estrutura b a velocidade angular da estrutura 180 mm 1824 Duas placas circulares cada uma com massa 4 kg sio rigidamente co oe A nectadas pela barra AB de massa desprezivel e suspensas pelo ponto A Ne como mostra a figura Sabendo que um impulso F At 24 N sj é D CG aplicado a estrutura no ponto D determine a a velocidade do centro de massa G da estrutura b a velocidade angular da estrutura B 150 mm ed 1825 Uma barra uniforme de massa m é dobrada no formato mostrado z x na figura e suspensa por um fio preso ao seu centro de massa G A barra dobrada é atingida em A segundo uma diregio perpendicular 180 mm ao plano que contém a barra no sentido x positivo Representando Figura P1823 e P1824 o impulso correspondente por F At determine imediatamente apés o impacto a a velocidade do centro de massa G b a velocidade y angular da barra 1826 Resolva o Problema 1825 considerando que a barra dobrada seja of A D atingida em B a 4 1827 Trés barras esbeltas cada uma com massa m e comprimento 2a sio a a soldadas para formar a estrutura mostrada na figura A estrutura é 3 atingida em A em uma diregio vertical descendente Representando C o impulso correspondente por FAt determine imediatamente apds o G impacto a a velocidade do centro de massa G b a velocidade angu lar da barra B TT z y pa o As Figura P1825 Ty a Ze oS x nn a Figura P1827 a 1828 Resolva o Problema 1827 considerando que a estrutura seja atingida em B no sentido x negativo Figura P1829 1829 Uma placa quadrada de lado a e massa m suspensa por uma jun ta articulada no ponto A esté girando em torno do eixo y com uma velocidade angular constante wj quando uma obstrucio é re pentinamente introduzida no ponto B do plano xy Admitindo que o impacto no ponto B seja perfeitamente plastico e 0 determine imediatamente apés o impacto a a velocidade angular da placa b a velocidade de seu centro de massa G 1830 Determine o impulso exercido sobre a placa do Problema 1829 duran te o impacto a pela obstrugao no ponto B b pelo apoio no ponto A Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1167 1831 Uma placa retangular de massa m cai com velocidade v e sem veloci Vo y dade angular quando seu canto C bate em uma obstrugio Admitindo a que o impacto seja perfeitamente plastico e 0 determine a velo a cidade angular da placa imediatamente apés 0 impacto as C 1832 Para a placa do Problema 1831 determine a a velocidade de seu 2a centro de massa G imediatamente apés 0 impacto b o impulso exer cido sobre a placa pela obstrugio durante o impacto z 1833 Uma sonda de 2500 kg em 6rbita ao redor da Lua tem 24 m de al Figura P1831 tura e bases octogonais com lados de 12 m Os eixos de coordenadas mostrados na figura sao os eixos centroidais principais de inércia da sonda e seus raios de giragiio sio k 098 m k 106mek 102 m A sonda é equipada com um propulsor principal de 500 N de J empuxo E e com quatro propulsores de 20 N de empuxo A B C e D D que podem expelir propelente no sentido y positivo A sonda tem fj uma velocidade angular w 0040 radsi 0060 radsk quando on ee m dois dos propulsores de 20 N siio usados para reduzir a velocidade 0 9 angular a zero Determine a quais dos propulsores devem ser usa N Ts dos b o tempo de operagiio de cada um desses propulsores c por if quanto tempo o propulsor principal E deve ser ativado para que a i velocidade do centro de massa da sonda permanega inalterada F a x 1834 Resolva o Problema 1833 considerando que a velocidade angular da E sonda seja 0060 radsi 0040 radsk Figura P1833 1835 Os eixos de coordenadas mostrados na figura representam os eixos centroidais principais de inércia de uma sonda espacial de 1500 kg cujos raios de giracao sio k 04 m k 045 mek 0375 m A sonda nao tem velocidade angular quando um meteorito de 150 g atinge um de seus painéis solares em A com uma velocidade Vy 720 msi 900 msj 960 msk em relagiio a sonda Sa bendo que o meteorito emerge do outro lado do painel sem mudanga na diregao de sua velocidade mas com uma reducao de 20 na sua intensidade determine a velocidade angular final da sonda y ee i ZS 02m 29m Ne SSS Figura P1835 e P1836 1836 Os eixos de coordenadas mostrados na figura representam os eixos cen troidais principais de inércia de uma sonda espacial de 1500 kg cujos raios de giracao sio k 04 m k 045 me k 0375 m A sonda nao tem velocidade angular quando um meteorito de 150 g atinge um de seus painéis solares em A e emerge do outro lado do painel sem mudanga na diregao de sua velocidade mas com uma redugio de 25 na sua intensidade Sabendo que a velocidade angular final da sonda é 005 radsi 012 radsj wk e que o componente x da varia Ao resultante da velocidade do centro de massa da sonda 6 16 mms 1168 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica determine a 0 componente w da velocidade angular final da sonda b a velocidade relativa v com que o meteorito atinge o painel 1837 Representando por w H e T respectivamente a velocidade angular a quantidade de movimento angular e a energia cinética de um corpo rigido com um ponto fixo O a demonstre que Hy 2T e b mostre que o Angulo 6 entre w e Hy seré sempre agudo L 1838 Mostre que a energia cinética de um corpo rigido com um ponto fixo O pode ser expressa por T 5100 onde é a velocidade angular o instanténea do corpo e Ip é seu momento de inércia em relagio 4 linha de agiio OL de w Deduza essa expresso a a partir das Eqs 946 e 1819 b considerando T como a soma das energias ciné P ticas de particulas P que descrevem circulos de raios p em torno da linha OL Sh O A Me 1839 Determine a energia cinética do conjunto do Problema 181 a x a 1840 Determine a energia cinética do disco do Problema 182 Figura P1838 1841 Determine a energia cinética da placa do Problema 183 1842 Determine a energia cinética do disco do Problema 184 1843 Determine a energia cinética da barra do Problema 1815 1844 Determine a energia cinética da placa triangular do Problema 1816 1845 Determine a energia cinética do corpo do Problema 1819 1846 Determine a energia cinética transmitida para o cubo do Problema 1821 1847 Determine a energia cinética do disco do Problema 185 1848 Determine a energia cinética do disco do Problema 186 1849 Determine a energia cinética do paralelepipedo sélido do Problema 187 1850 Determine a energia cinética do paralelepipedo oco do Problema 188 1851 Determine a energia cinética perdida quando a placa do Problema 1829 bate na obstrugao no ponto B 1852 Determine a energia cinética perdida quando o canto C da placa do Problema 1831 bate na obstrugio 1853 Determine a energia cinética da sonda espacial do Problema 1835 em seu movimento em torno do seu centro de massa apés sua colisao com o meteorito 1854 Determine a energia cinética da sonda espacial do Problema 1836 em seu movimento em torno do seu centro de massa apés sua colisao com o meteorito Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1169 185 Movimento de um corpo rigido tridimensional Conforme indicado na Segio 182 as equagdes fundamentais F ma 181 Mc He 182 permanecem vilidas no caso mais geral do movimento de um corpo ri gido Entretanto antes que a Eq 182 pudesse ser aplicada ao movi mento tridimensional de um corpo rigido foi necessdrio deduzir as Eqs 187 que relacionam os componentes da quantidade de movimento angular H e os componentes da velocidade angular w Ainda nos falta encontrar um meio eficaz e conveniente de calcular os componentes da derivada H da quantidade de movimento angular Como H representa a quantidade de movimento angular do corpo y Y o em seu movimento relativo aos eixos centroidais GXYZ de orientagao x fixa Fig 189 e como H representa a taxa de variagaio de H em re J Lo lago aos mesmos eixos pareceria natural usar componentes de w e H Hg L ao longo dos eixos X Y Z ao escrever as relagées 187 Todavia uma a vez que 0 corpo gira seus momentos e produtos de inércia variariam continuamente e seria necessaério determinar seus valores em fungdo do a x tempo Logo é mais conveniente usar eixos x y z ligados ao corpo ga a ui rantindo que seus momentos e produtos de inércia manterao os mesmos Z valores durante o movimento Isso é permissivel pois como indicado an fo teriormente a transformacao de w em H independe do sistema de eixos O 3 x de coordenadas selecionado A velocidade angular w porém ainda deve z ser definida em relagao ao referencial GXYZ de orientagio fixaO 5 gura 189 vetor w pode entio ser decomposto em componentes ao longo dos eixos rotativos x y x Aplicando as relagées 187 obtemos os componentes do vetor H ao longo dos eixos rotativos No entanto o vetor H representa a quantidade de movimento em relagao ao centro de massa G do corpo em seu movimento relativo ao referencial GXYZ Diferenciando em relagao a t os componentes da quantidade de mo vimento angular em 187 definimos a taxa de variagao do vetor Hg re lativamente ao referencial rotativo Gxyz Ho crys Hi Hj Hk 1821 onde i j k sao os vetores unitérios ao longo dos eixos rotativos Relem brando da Segao 1510 que a taxa de variagao H do vetor H em relacao ao referencial GXYZ é determinada adicionandose a H 0 produ to vetorial X H onde representa a velocidade angular do referen cial rotativo escrevemos He Heay X He 1822 onde H quantidade de movimento angular em relagio ao referencial GXYZ de orientacio fixa Hoery taxa de variagao de H em relagao ao referencial rotativo Gxyz a ser calculado a partir das relagdes 187 e 1821 Q velocidade angular do referencial rotativo Gxyz 1170 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Substituindo por H da Eq 1822 na Eq 182 temos Mc He cxyz QM x He 1822 Se o referencial rotativo é ligado ao corpo como havia sido admitido na discussao sua velocidade angular é identicamente igual a velocida de angular do corpo Todavia ha muitas aplicagdes em que é vantajoso usar um referencial que nao é de fato ligado ao corpo mas que gira de um modo independente Por exemplo se 0 corpo considerado tem sime tria axial como no Problema Resolvido 185 ou na Segio 189 é possivel selecionar um referencial em relago ao qual os momentos e produtos de inércia do corpo permanecem constantes mas que gira menos que o proprio corpo Como resultado é possivel obter expressdes mais simples para a velocidade angular w e para a quantidade de movimento angular H do corpo do que as que seriam obtidas caso o referencial fosse de fato ligado ao corpo E claro que em tais situagées a velocidade angular 0 do referencial rotativo e a velocidade angular w do corpo sao diferentes 186 Equagodes de Euler do movimento Extensdo do principio de dAlembert ao movimento de um corpo rigido tridimensional Se os eixos x y e forem escolhidos de modo a coincidir com os eixos principais de inércia do corpo as relagdes simplificadas 1810 podem ser usadas para determinar os componentes da quantidade de movimen to angular H Omitindo as plicas dos subscritos escrevemos Hg i 10j Lwk 1824 onde I I ye I representam os momentos centroidais principais de inér cia do corpo Substituindo H da Eq 1824 na Eq 1823 e definindo Q obtemos as trés equagées escalares M 1x 1 Ioyo YM 10 I To0 1825 M 10 I 1 Essas equacées denominadas equagées de Euler do movimento em ho menagem ao matematico suigo Leonhard Euler 17071783 podem ser usadas para analisar o movimento de um corpo rigido em relagdo ao seu centro de massa Entretanto nas secdes seguintes a Eq 1823 sera usa da preferencialmente as Eqs 1825 pois a primeira é mais geral e a for ma vetorial compacta em que ela esta expressa é mais facil de recordar Escrevendo a Eq 181 em forma escalar obtemos trés equagées adicionais F ma F ma F ma 1826 as quais juntamente com as equagées de Euler formam um sistema de seis equacées diferenciais Sob condigées iniciais apropriadas essas equagées diferenciais tém uma solugao tinica Logo o movimento de um corpo rigido tridimensional é completamente definido pela resultante Mais especificamente o referencial nao ter4 rotacdo propria spin ver a Secao 189 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1171 das forgas externas que agem sobre ele e pelo momento resultante dessas forgas Esse resultado sera considerado como uma generalizagaio de um resultado similar obtido na Seco 164 para o caso do movimento plano de uma placa rigida Concluise que em trés ou duas dimensGes dois sis temas de forgas que sao equipolentes so também equivalentes ou seja eles exercem 0 mesmo efeito sobre um dado corpo rigido Ama F i F N Pp a Go Fy Tah J F os a b Figura 1810 Considerando em particular o sistema de forgas externas que age so bre um corpo rigido Fig 1810a e 0 sistema de forgas efetivas associado F as particulas constituintes do corpo rigido Fig 1810b podemos afir F mar que os dois sistemas que sao equipolentes conforme demonstrado NS na Secao 142 séo também equivalentes Isso é a extensio do principio de dAlembert ao movimento tridimensional de um corpo rigido Subs Go Bs tituindo as forcas efetivas na Fig 1810b por um sistema forgabindrio equivalente verificamos que o sistema de forgas externas que agem so Am bre um corpo rigido em movimento tridimensional é equivalente ao sis F tema que consiste do vetor ma ligado ao centro de massa G do corpo e do binario de momento Hg Fig 1811 onde H é obtido a partir das mea relacGes 187 e 1822 Note que a equivaléncia dos sistemas de vetores be mostrados nas Figs 1810 e 1811 foi indicada por sinais de igualdade em negrito Problemas envolvendo o movimento tridimensional de um corpo rigido podem ser resolvidos considerandose a equagio baseada no dia grama de corpo livre representada na Fig 1811 e escrevendo equacées Figura 1811 escalares apropriadas para relacionar os componentes ou os momentos das forgas externas e efetivas ver o Problema Resolvido 183 187 Movimento de um corpo rigido em torno de um ponto fixo y Quando um corpo rigido é restrito a girar em torno de um ponto fixo O é o x desejavel escrever uma equacio envolvendo as quantidades de movimento em relacao a O das forgas externas e efetivas pois essa equaco nao conte YH L ra a reagio incégnita em O Embora tal equacao possa ser obtida a partir 1 A da Fig 1811 pode ser mais conveniente escrevéla considerando a taxa de NY td variacao da quantidade de movimento angular H do corpo em relagao ao Yy ponto fixo O Fig 1812 Relembrando a Eq 1411 escrevemos as Mo Ho 1827 Z onde H representa a taxa de variagao do vetor Hy em relagiio ao referen cial fixo OXYZ Uma deducgio semelhante aquela usada na Secao 185 per Figura 1812 1172 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica mitenos relacionar H a taxa de variacao Ay ou de H em relacio ao re ferencial rotativo Oxyz Uma substituigao na Eq 1827 conduz a equagiio i at a me x és d YMo Hoow X Ho 1828 a onde XM somatério dos momentos em relagio a O das forgas aplica das ao corpo rigido H quantidade de movimento angular do corpo em relagiio ao Foto 183 O radiotelescdépio giratério referencial fixo OXYZ é um exemplo de ume eaaee limitada Ho oy taxa de variagéo de Hy em relagao ao referencial rotativo a girar em forno de um ponto tixo Oxyz a ser calculado a partir das relagdes 1813 velocidade angular do referencial rotativo Oxyz Se o referencial rotativo esta ligado ao corpo sua velocidade angular é identicamente igual 4 velocidade angular do corpo Todavia con forme indicado no tiltimo pardgrafo da Seco 185 existem muitas aplica cdes em que é vantajoso usar um referencial que nao é de fato ligado ao corpo mas que gira de um modo independente 188 Rotagdo de um corpo rigido em torno de um ponto fixo a A Eq 1828 deduzida na seco anterior sera usada para analisar 0 mo i vimento de um corpo rigido restringido a girar em torno de um eixo fixo ia AB Fig 1813 Primeiramente notemos que a velocidade angular do oe corpo em relacao ao referencial fixo OXYZ é representada pelo vetor eo X orientado ao longo do eixo de rotagao Ligando o referencial rotativo oO Oxyz ao corpo com 0 eixo z ao longo de AB temos w wk Substituindo B w 0 a 0 w w nas relagdes 1813 obtemos os componentes ao longo dos eixos rotativos da quantidade de movimento angular H do JL corpo em relacao a O Z A I A 1 H 1 Figura 1813 Como o referencial Oxyz esta ligado ao corpo temos e a Eq 1828 fornece Mo Ho oxy xX Ho Ii Ij Lk ok x La 1j Lko Ii 1j Lka Lj 1d O resultado obtido pode ser expresso pelas trés equacgées escalares se guintes YM a 10 YM 10 10 1829 XM Ia Quando as forcas aplicadas ao corpo sao conhecidas a aceleragao angu lar pode ser obtida da ultima das Eqs 1829 A velocidade angular Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1173 w é entaio determinada por integragio e os valores obtidos para a e w all sio substituidos nas duas primeiras equagées de 1829 Essas equagoes mais as trés equagdes de 1826 que definem o movimento do centro de massa do corpo podem entao ser usadas para determinar as reacdes nos i aed Sf a mancais A e B wee he leg 4 2 i ry E possivel selecionar outros eixos que nao aqueles mostrados na Fig Ces 1813 para analisar a rotagao de um corpo rigido em torno de um eixo fixo Em muitos casos os eixos principais de inércia do corpo serio con siderados mais vantajosos Portanto é sensato retornar a Eq 1828 e selecionar o sistema de eixos que melhor se adapte ao problema Foto 184 As forcas exercidas pelo Se o corpo rotativo é simétrico em relagio ao plano xy os produtos eixo de manivelas de um automével de inércia I e I sao nulos e as Eqs 1829 se reduzem a sobre seus mancais sdo as reagées estdticas e dindmicas O eixo de M 0 M 0 2M La 1830 manivelas pode ser projetado para ficar que esta de acordo com os resultados obtidos no Cap 16 Por outro lado Dalanceado ginamicamente Pem como se os produtos de inércia I e I nao forem iguais a zero a soma dos momentos das forgas externas em relagio aos eixos x e y também serio diferentes de zero mesmo quando 0 corpo girar a uma taxa constante w De fato nesse tiltimo caso as Eqs 1829 produzem XM1 MIo M0 1831 Essa ultima observagio nos leva a discutir 0 balanceamento de eixos rotativos Considere por exemplo 0 eixo de manivelas mostrado na Fig BR 1814a que é simétrico em relagdo ao seu centro de massa G Observe mos primeiro que quando o eixo de manivelas esta em repouso ele nao exerce esforgo lateral em seus apoios pois seu centro de gravidade G esta Gl localizado diretamente acima de A Dizse ento que 0 eixo esta estatica l mente balanceado A reagio em A comumente referida como uma rea cao estdtica é vertical e sua intensidade é igual ao peso W do eixo Vamos entio considerar que 0 eixo gire com uma velocidade angular constante A Q Ligando nosso referencial ao eixo com sua origem em G 0 eixo z ao a longo de AB 0 eixo y no plano de simetria do eixo Fig 1814b nota mos que I zero e que I 6 positivo De acordo com as Eqs 1831 as A forgas externas incluem um bindério de momento I yk Como o binario a é formado pela reagio em B e pelo componente horizontal da reagéo em A temos z 10 I B A 7d B 7d 1832 Uma vez que as reac6es nos mancais sao proporcionais a w o eixo tera CG uma tendéncia de ser arrancado de seus mancais em altas velocidades de y rotacao Além disso como as reagdes A e B nos mancais denominadas Ww reacoes dindmicas estio contidas no plano Y elas giram com 0 eixo e x fazem a estrutura de apoio vibrar Esses efeitos indesejaveis serao evita dos se por redistribuigéo de massas em torno do eixo ou pela adigao de A eA massas corretivas fizermos ser igual a zero As reagdes dinamicas A e t B desaparecerao e as reacgdes nos mancais se reduzirao 4 reagao estatica A cuja diregio esta fixada O eixo estaré entéo balanceado tanto dina b micamente como estaticamente Figura 1814 E PROBLEMA RESOLVIDO 183 a Uma barra delgada AB de comprimento L 2 m e massa m 20 kg esta C B ligada por um pino em A a um eixo vertical DE que gira com uma velocidade angular constante de 15 rads A barra é mantida no lugar por meio de um fio horizontal BC preso ao eixo e 4 extremidade B da barra Determine a tracao no fio e a reacgio em A L2m B 60 A D SOLUCAO As forgas efetivas se reduzem ao vetor ma ligado a G e ao bindrio H Como G descreve um circulo horizontal de raio F L cos 6 a uma taxa constante w temos aa Trw lLL cos Bw I 1125 ms I ma 20 1125 I 2250 NI y Determinacdo de H Calculamos primeiro a quantidade de movimen r to angular H Usando os eixos centroidais principais de inércia x y es crevemos oh AS I bmL2 i 0 I bmi B x w cos B asenB wo 0 a X Hcg Tread Iyonj Lwk He jsmLw cos Bi Z A taxa de variagaéo H de H em relagio a eixos de orientacio fixa é obtida pela Eq 1822 Observando que a taxa de variacao H de Hg em re lacio ao referencial rotativo Gxyz é nula e que a velocidade angular Q do referencial é igual 4 velocidade angular w da barra temos Y TTI H Hg ery oxH H 0o cos Biq sen BpxbmLo cos B i 1732 m G H mle sen B cos B k 6495 Nmk W 20 X 981 N 1962 N A 60 Equagdes de movimento Expressando que o sistema de forgas exter aa x nas equivalente ao sistema de forcas efetivas escrevemos Z z SFO m SM SMyee Y 1732J X TI 051 X 1962J 0866 22501 6495K 1732T 981K 19485 6495K T15566N 4 SF3F Ad AJA4K 155661 1962 22501 ma 2250N I A 6934NI 1962NJ i Gy e 0866 m Hg 6495 Nm K Observacgdo O valor de T poderia ter sido obtido a partir de H e da Eq 1828 Entretanto o método aqui utilizado também fornece a reagéo em A xX A Além disso ele chama atengio para o papel da assimetria da barra na resolucao do problema mostrando claramente que tanto 0 vetor ma como o Z bindrio H devem ser usados para representar as forgas efetivas 150 mm PROBLEMA RESOLVIDO 184 150 mm eee C PN 300 Duas barras A e B de 100 mm cada qual com massa de 300 g esto solda B mm soe das ao eixo CD que é apoiado por mancais em C e D Se um bindrio M de G 100 2 intensidade igual a 6 N m é aplicado ao eixo determine os componentes A 100 mm D das reacées dinamicas em C e D no instante em que o eixo tiver atingido a uma velocidade angular de 1200 rpm Despreze 0 momento de inércia do proprio eixo SOLUCAO y Quantidade de movimento angular em relagao a O Ligamos um referencial Oxyz ao corpo e verificamos que os eixos escolhidos nio siio eixos O principais de inércia para o corpo Como 0 corpo gira em torno do eixo x z c temos w ew 0 Substituindo nas Eqs 1813 D Ho H Lo A Iy H I Ho Li Iyj Leko Momentos das forgas externas em relagdo aO Como o referencial gira com velocidade angular w a Eq 1828 fornece Mo Ho oxy w X Ho Li Iyj Lk wi X Li Tyj ko Loi Iya L0j Ia 1 1 y Ip Reagado dindmica em D As forgas externas consistem dos pesos do eixo Y 4 i e das barras do bindrio M das reagGes estaticas em C e D e das reagées dina Cyj s L micas em C e D Uma vez que os pesos e as reacoes estaticas estio equilibra 5 p20 das as forgas externas se reduzem ao bindrio M e as reacdes dindmicas C e D conforme mostrado na figura Tomando momentos em relagio a O temos Ck Dyj c YMo Li X Dj Dk Mi Mi DIjDLk 2 Mi Dk Igualando os coeficientes do vetor unitdrio i em 1 e 2 MLa M 23mcea a 3M2mc Igualando os coeficientes de k e j em 1 e 2 D Ic IyL D Inyo 10L 3 Usando o teorema dos eixos paralelos e observando que o produto de inércia de cada barra é nulo em relacao a eixos centroidais temos Ty Umxy mL5c jmLc L mxz m4L3c gmLe Substituindo em 3 os valores encontrados para I I a D 74Mc jmew D 3Mc 4mcw Substituindo w 1200 rpm 1257 rads c 0100 m M6Nme m 0300 kg temos D 1298N D368N 4 Reagdo dindmica em C Usando um referencial ligado a D obtemos equagées semelhantes as Eqs 3 que produzem C 1522N C1552N L PROBLEMA RESOLVIDO 185 Um disco homogéneo de raio r e massa m esté montado sobre um eixo OG Om 0 de comprimento L e massa desprezivel O eixo é pivotado no ponto fixo O e IL o disco é compelido a rolar sobre um piso horizontal Sabendo que o disco a gira no sentido antihordrio a taxa constante w em torno do eixo determine a a forga considerada vertical exercida pelo piso sobre o disco b a rea ao no pivé O SOLUCAO As forgas efetivas se reduzem ao vetor ma ligado a G e ao bindrio H Re lembrando a partir do Problema Resolvido 182 que o eixo gira em torno do eixo y taxa w rwL escrevemos ma mLoxi mLroL7i mroLi 1 Determinacgdo de HH Recordemos do Problema Resolvido 182 que a y quantidade de movimento do disco em relagao a G é ri Hc smo i i x Ho onde H esta decomposto em componentes ao longo dos eixos rotativos x z y com x ao longo de OG e y vertical A taxa de variacaio H de H em Q woj relagio a eixos de orientacao fixa é obtida da Eq 1822 Observando que a taxa de variacao H de H em relagao ao referencial rotativo é nula e que a velocidade angular Q daquele referencial é ro Oe red TI temos He Heexy X He ro 3 ri 0 7d x mre i y tmrrL qk 2 L Wj Rj Equagées do movimento Expressando que o sistema de forga externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas escrevemos O Rk Ri Mo Moefet Li x Nj Wj He J N WLk dr rL ork Nj N W gmrrLo NW smrrL or j 3 y y ZF DF epee R Nj Wj ma Substituindo N de 3 e ma de 1 na expressio anterior e resolvendo para ma R obtemos 0 xx 2 27 2 1 2 2s y R mrwyLi gmrrL aij J We Ra re i 53 x L OL A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N esta secao vocé devera resolver problemas que envolvem 0 movimento tridimensional de corpos rigidos O método a ser empregado é basicamente 0 mesmo que vocé usou no Cap 16 em seu estudo do movimento plano de corpos rigidos Vocé construira uma equagio baseada no diagrama de corpo livre mostrando que o sistema de forgas externas 6 equivalente ao sistema de forcas efetivas e igualaré somas de componentes e somas de momentos nos dois membros dessa equacio Agora porém o sistema de forgas efetivas ser representado por um vetor ma e um bind rio H cuja determinacao sera explicada nos paragrafos a seguir Para resolver um problema que envolve 0 movimento bidimensional de um corpo rigido vocé deve perfazer os seguintes passos 1 Determine a quantidade de movimento angular H do corpo em relagcdo ao seu centro de massa G a partir de sua velocidade angular w relativa a um referencial GXYZ de orientacao fixa Essa é uma operacdo que vocé aprendeu a efetuar na segao anterior Todavia como a configuragao do corpo mudard com o tempo ser necessério agora que vocé use um siste ma auxiliar de eixos Gxyz Fig 189 para calcular os componentes de w e os momentos e pro dutos de inércia do corpo Esses eixos podem ser rigidamente ligados ao corpo caso em que sua velocidade angular é igual a w Problemas Resolvidos 183 e 184 ou podem ter uma velocidade angular propria Problema Resolvido 185 Da ligao anterior lembrese do seguinte a Se os eixos principais de inércia do corpo em G sdo conhecidos useos como eixos de coordenadas x y e z pois os respectivos produtos de inércia do corpo serio iguais a zero Note que se 0 corpo tiver simetria axial esses eixos nao precisarao ser rigidamente ligados a ele Decomponha em componentes w ao longo desses eixos e calcule os momentos principais de inércia I I e I Os respectivos componentes da quantidade de movimento angular H saio Hy 1po Hy Tyoy Hy Tay 1810 b Se os eixos principais de inércia do corpo em G sdo desconhecidos vocé deve usar as Eqs 187 para determinar os componentes da quantidade de movimento angular He Essas equagdes requerem o calculo preliminar dos produtos de inércia do corpo bem como dos seus momentos de inércia em relacao aos eixos selecionados continua 2 Calcule a taxa de variagao H da quantidade de movimento angular H em re lagdo ao referencial GXYZ Note que esse referencial tem uma orientagdo fixa enquanto o referencial Gxyz que vocé usou para calcular os componentes do vetor era um referencial rotativo Remetemos vocé A nossa discussao na Secao 1510 sobre a taxa de variacaio de um vetor em relagao a um referencial rotativo Retomando a Eq 1531 vocé expressara a taxa de variacao H como segue He He exy Q He 1822 O primeiro termo do segundo membro da Eq 1822 representa a taxa de variagio de H em relagio ao referencial rotativo Gxyz Esse termo se anulara se o vetor e portanto H per manecer constante tanto em intensidade como em diregdo quando visto a partir daquele referen cial Por outro lado se qualquer uma das derivadas temporais e for diferente de zero Hgcy7 também sera diferente de zero e seus componentes deverao ser determinados por dife renciagao das Eqs 1810 em relagao a t Finalmente lembrese de que se o referencial rotativo estiver ligado rigidamente ao corpo sua velocidade angular sera igual 4 do corpo e podera ser substituida por o 3 Desenhe a equagdo baseada no diagrama de corpo livre para o corpo rigi do mostrando que o sistema de forgas externas exercidas sobre 0 corpo é equivalente ao vetor ma aplicado em G e ao vetor bindrio H Fig 1811 Igualando componentes em qualquer diregio e momentos em relagéo a qualquer ponto vocé pode escrever até seis equagdes escalares de movi mento independentes Problemas Resolvidos 183 e 185 4 Aoresolver problemas que envolvam o movimento de um corpo rigido em torno de um ponto fixo O vocé pode achar conveniente usar a seguinte equacao deduzida na Seio 187 que elimina os componentes da reagaio em O Mo Hoow X Ho 1828 onde o primeiro termo do segundo membro representa a taxa de variagaio de Hy em relagio ao referencial rotativo Oxyz e onde Q é a velocidade angular do referencial 5 Ao determinar as reagées dos mancais de um eixo rotativo use a Eq 1828 e siga os seguintes passos a Coloque o ponto fixo O em um dos dois mancais de apoio do eixo e ligue o referencial Oxyz ao eixo rotativo sendo este alinhado com um dos eixos de coordenadas Por exemplo admitindo que o eixo x tenha sido alinhado com 0 eixo rotativo vocé tera O wi Problema Resolvido 184 b Como os eixos selecionados ndo serdo em geral eixos principais de inércia em O vocé precisaré calcular além dos momentos de inércia os produtos de inércia do eixo ro tativo em relacgao aqueles eixos de coordenadas e usar as Eqs 1813 para determinar Hy Admi tindo novamente que o eixo x tenha sido alinhado com 0 eixo rotativo as Eqs 1813 se reduzem a H10 HIo H 1w 1813 mostrando que Hy ndo estard orientado ao longo do eixo rotativo c Para obterH substitua as expressoes obtidas na Eq 1828 e facaQ w ai Se a velocidade angular do eixo rotativo for constante 0 primeiro termo do segundo membro da equacio se anulara Porém se o eixo tiver uma aceleragio angular a ai o primeiro termo nao sera nulo e devera ser calculado por diferenciagdo das expressdes em 1813 em relagaéo ao tempo t Resultarao disso equagées similares 4s Eqs 1813 com w substituido por a d Uma vez que o ponto O coincida com um dos mancais as trés equagées escala res correspondentes a Eq 1828 poderao ser resolvidas para os componentes da reagao dinamica no outro mancal Se o centro de massa G do eixo estiver localizado sobre a linha que liga os dois mancais a forga eficaz ma sera nula Construindo a equagéo baseada em diagrama de corpo livre do eixo rotativo vocé observara entio que os componentes da reagio dindmica do primeiro mancal devem ser iguais e opostos Aqueles que acabou de determinar Se G nao estiver localizado sobre a linha que liga os dois mancais vocé podera determinar a reagao do primeiro mancal pondo o ponto fixo O no segundo mancal e repetindo 0 procedimento anterior Problema Resolvido 184 ou entio podera obter equagées adicionais de movimento a partir da equagiao baseada no diagrama de corpo livre do eixo assegurandose antes de determinar e incluir a forga eficaz ma aplicada em G e Na maioria dos problemas pedese para determinar as reagdes dindmi cas nos mancais ou seja as forgas adicionais exercidas pelos mancais sobre 0 eixo quando ele esta girando Ao determinar reagdes dindmicas ignore o efeito de carregamentos estaticos tais como 0 peso do eixo y 1855 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu cise lar H do conjunto do Problema 181 A 1856 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu lar H do disco do Problema 182 B 1857 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu lar H da placa do Problema 183 sabendo que sua velocidade angu 600 mm lar permanece constante 1858 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu A lar H do disco do Problema 184 x A 1859 Determine a taxa de variacgado H da quantidade de movimento angu L300 mm lar H do disco do Problema 185 Figura P1865 1860 Determine a taxa de variacio H da quantidade de movimento angu lar H do disco do Problema 186 y 1861 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu lar H do conjunto do Problema 181 admitindo que no instante con siderado o conjunto tenha uma velocidade angular w 12 radsie A uma aceleracio angular 96 radsi C 1862 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu A lar H do conjunto do Problema 181 admitindo que no instante con siderado o conjunto tenha uma velocidade angular w 12 radsie uma aceleracao angular a 96 radsi b G 1863 Determine a taxa de variagaio H da quantidade de movimento angu lar H do conjunto da placa do Problema 183 admitindo que no ins B tante considerado o conjunto tenha uma velocidade angular wj 2 e uma aceleracio angular aj b B NZ 1864 Determine a taxa de variagao H da quantidade de movimento angu D lar H do disco do Problema 184 admitindo que no instante con siderado 0 conjunto tenha uma velocidade angular w wj e uma Fa aceleragao angular a aj Figura P1866 1865 Uma placa triangular homogénea e fina de massa de 25 kg esta sol dada a um eixo vertical leve suportado por dois mancais em A e B y Sabendo que a placa gira com uma taxa constante w de 8 rads deter mine as reagdes dinamicas nos pontos A e B 1866 Uma barra AB uniforme e delgada de massa m e um eixo vertical A CD cada com comprimento 2b so soldados juntos em seus pontos médios G Sabendo que o eixo gira numa taxa constante w determine soo B as reagdes dindmicas de C e D 200 mm 200 mr 200 00 aa 500 ma 1867 Um eixo de 8 kg mostrado na figura tem uma segio transversal cons tante Sabendo que o eixo gira com uma taxa constante w 12 rads Figura P1867 determine as reacgGes dindmicas nos pontos A e B Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1181 1868 Oconjunto mostrado na figura consiste de pedagos de chapa de alumi nio de espessura uniforme e massa total de 125 kg soldados a um eixo leve apoiado em mancais A e B Sabendo que o conjunto gira a uma taxa constante w 240 rpm determine as reacGes dinamicas em A e B y 150 mm 150 mm a st A 150 mm 150 mm C D E 150 mm Se 150 mm Soma ee Figura P1868 1869 Quando a roda de 18 kg mostrada na figura é presa a uma maquina de y balanceamento e posta para girar a uma taxa de 125 revs verificase que as forgas exercidas pela roda sobre a maquina siio equivalentes a um sistema forgabindrfo consistindo de uma forga F 160 Nj apli cada em C e um binério M 147 N mk sendo que os vetores unitdérios formam uma triade que gira com a roda a Determine a nm B distancia do eixo de rotagdo ao centro de massa da roda e os produtos de inércia L e I b Usando apenas dois pesos corretivos a fim de balancear a roda estatica e dinamicamente quais deveriam ser esses 182 mm 1 pesos e em quais dos pontos A B D ou E eles deveriam ser colocados 1 c la 1870 Depois de prender a roda de 18 kg mostrada na figura a uma maquina a x de balanceamento e colocéla para girar a uma taxa de 15 revs um mecAnico verifica que para balancear a roda tanto estatica como di 182mm namicamente ele deve usar dois pesos corretivos um peso de massa de 170 g em B e um peso de massa de 56 g em D Usando um refe rencial dextrogiro que gira com a roda com 0 eixo z perpendicular ao E plano da figura determine antes de se prender os pesos corretivos D a a distancia do eixo de rotagiio ao centro de massa da roda e os pro dutos de inércia L e I b 0 sistema forgabindrio em C equivalente J as forgas exercidas pela roda sobre a maquina 75 mm 75 mm 1871 Sabendo que 0 conjunto do Problema 1865 esta inicialmente em re pouso w 0 quando um bindrio de momento M 075 N mj Figura P1869 e P1870 é aplicado ao eixo determine a a aceleragdo angular resultante do conjunto b as reagdes dindmicas nos pontos A e B imediatamente apos a aplicacio do bindrio 1872 Sabendo que o conjunto do Problema 1866 esta inicialmente em re pouso w 0 quando um bindrio de momento M Mj é aplicado ao eixo CD determine a a aceleragio angular resultante do conjun to b as reagdes dindmicas nos pontos C e D imediatamente apés a aplicacao do binario 1182 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1873 Umcomponente de chapa metélica mostrado na figura tem espessura homogénea e massa de 600 g Ele esté preso a um eixo leve suporta do por mancais em A e B distantes em 150 mm O componente esta em repouso quando um bindrio M lhe é aplicado Se a resultante da aceleragio angular é a 12 radsk determine a 0 bindrio M b as reacdes dinamicas em A e B imediatamente apés a aplicacao do bindrio y 75 imi Le BL 7 7 75 mm lp aj zg a x 75 mm 4 15 mm Figura P1873 1874 Para o componente de chapa metialica do Problema 1873 determine a a velocidade angular do componente 06 s depois do binério M ter sido aplicado b a intensidade das reagdes dindmicas em A e B neste momento 1875 O eixo do Problema 1867 esta inicialmente em repouso w 0 quando um bindrio de momento M é aplicado a ele Sabendo que a resultante da aceleragio angular 6 a 20 radsi determine a 0 bindrio Mb b as reagdes dinamicas em A e B imediatamente apés o binario ser aplicado d 1876 Oconjunto do Problema 1868 esta inicialmente em repouso w 0 100 mm quando um bindrio de momento M é aplicado ao eixo AB Sabendo que a aceleracao angular resultante do conjunto é 150 rads i 200 mm Oo Ae 200 mm determine a 0 binério Mp b as reagdes dindmicas em A e B ime 200 mm 100 mm diatamente apés 0 bindrio ser aplicado A 200 mm 1877 O conjunto mostrado na figura tem massa de 6 kg e consiste em qua tro placas finas semicirculares de aluminio com 400 mm de diametro B soldadas a um eixo leve AB de 1 m de comprimento O conjunto esta Mo em repouso w 0 no instante t 0 quando um bindrio M é aplica do do modo mostrado fazendo o conjunto girar uma volta completa em 2s Determine a 0 binario M b as reagdes dindmicas em A e Figura P1877 Bemt 0 1878 Para o conjunto do Problema 1877 determine as reagdes dindmicas emAeBemt 2s Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1183 1879 O volante de um motor de automével preso rigidamente ao eixo de manivelas é equivalente a uma placa de aco de 400 mm de diémetro e 15 mm de espessura Determine a intensidade do bindrio exercido pelo volante sobre 0 eixo de manivelas horizontal 4 medida que o y automdvel faz uma curva sem inclinagao de 200 m de raio a uma velo cidade de 90 kmh com o volante girando a 2700 rpm Admita que o automével tenha a tragao nas rodas traseiras com 0 motor montado SAD longitudinalmente b tragao nas rodas dianteiras com o motor mon Z tado transversalmente Densidade do ago 7860 kgm SP SSl 1880 Uma hélice de quatro laminas de um avido tem massa de 160 kg e raio de giracaio de 800 mm Sabendo que a hélice gira a 1600 rpm quando o avido voa em uma trajetéria circular vertical de 600 m de raioa540 kmh determine a intensidade do bindrio exercido pela hélice sobre seu eixo devido a rotagao do aviao Figura P1881 1881 A lamina de uma serra portatil e o rotor de seu motor tém massa total de 125 kg e raio de giragio combinado de 40 mm Sabendo que a y lamina gira do modo mostrado na figura a uma taxa w 1500 rpm determine a intensidade e diregaéo do bindrio M que um operario deve exercer sobre a alga da serra para giréla com uma velocidade ES W angular constante w 24 rads Gin fe r 125 mm 1882 As pas de um ventilador oscilante e o rotor de seu motor tém massa o1 Wy total de 250 g e um raio de giracaio combinado de 75 mm Eles estéio ey apoiados em mancais em A e B distantes de 125 mm e giram a taxa a GS B w 1800 rpm Determine as reagées dinémicas em A e B quando a WA carcaga do motor tem velocidade angular w 06 radsj SSL E x 1883 Cada roda de um automével tem massa de 22 kg diametro de 575 mm e raio de giragio de 225 mm O automével faz uma curva sem inclinagado de raio de 150 m a uma velocidade de 95 kmh Sabendo que a distancia transversal entre as rodas é de 15 m determine a for ca normal adicional exercida pelo solo sobre cada roda externa devido ao movimento do carro Figura P1882 1884 A estrutura essencial de certo tipo de indicador de guinada de uma aeronave é mostrada na figura Cada mola tem uma constante de 500 Nm e o disco uniforme de 200 g e de 40 mm de raio gira a taxa de 10000 rpm As molas esto tensionadas e exercem forcas verticais iguais sobre a uniéo AB quando o aviiio voa em linha reta Determine o angulo em que a unido AB ira girar quando o piloto executar uma guinada horizontal de 750 m de raio para a direita a uma velocidade de 800 kmh Indique se 0 ponto A se movera para cima ou para baixo iy mm fo AA AQ IA A CH B 2 oy Figura P1884 1184 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica y 1885 Uma placa semicircular de raio 120 mm esta articulada em A e B por uma base em forma de U que gira com velocidade angular constante em relacio a um eixo vertical Determine a 0 angulo B entre a for P ma e a horizontal x quando w 15 rads b o maior valor de w para o que a placa permanega vertical 90 1886 Uma placa semicircular de raio 120 mm esta articulada em A e B por C B uma base em forma de U a um eixo vertical que gira com uma veloci S dade angular constante w Determine o angulo o valor de w para que a placa forme um Angulo B 50 com o eixo horizontal x Als 1887 Uma barra delgada é dobrada em forma de uma estrutura quadrada de lado 200 mm O conjunto esta articulado no ponto A por uma base que gira com uma velocidade angular constante w Determine a 0 Angulo B que a linha AB forma com o eixo horizontal x quando w Figura P1885 e P1886 98 rads b o maior valor de w para a qual B 90 y cls B Vv z 200 mm AS a mm Figura P1887 e P1888 EL 7 1888 Uma barra delgada é dobrada em forma de uma estrutura quadrada de lado 200 mm A estrutura esta articulada no ponto A por uma base que gira com uma velocidade angular constante Determine o valor D de w para que a linha AB forme um Angulo B 48 com o eixo hori zontal x L 400 mm 1889 A engrenagem A de 950 g esta limitada a rolar sobre a engrenagem fixa B mas é livre para girar em torno do eixo AD O eixo AD de L 30 on 400 mm de comprimento e peso desprezivel esté ligado por um grampo em forma de U ao eixo vertical DE que gira do modo mos ee trado na figura com uma velocidade angular constante w Admitindo SMA LA 1 Ss e 25 ES que a engrenagem A possa ser aproximada por um disco fino de raio j AW 80mm de 80 mm determine o maior valor admissivel de w para que a en Quen anos grenagem A nao perca contato com a engrenagem B Figura P1889 1890 Determine a forga F exercida pela engrenagem B sobre a engrena gem A do Problema 1889 quando o eixo DE gira com a velocidade constante w 4 rads Dica a forga F tem de ser perpendicular linha tragada de Da C Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1185 1891 e 1892 A barra delgada AB esté presa por um grampo ao braco BCD que gira com uma velocidade angular constante em torno da linha de centro de sua porgao vertical CD Determine a intensidade da velocidade angular ls CIS D D 100 mm 100 mm Bl CT f 30 Aon B oS oT TS 30 4 300 mm As co 300 mm A v Se een 2L UU A Figura P1891 Figura P1892 1893 Dois discos cada qual com massa de 5 kg e raio de 100 mm giram do modo mostrado na figura taxa w 1500 rpm em torno de uma barra AB de massa desprezivel que por sua vez gira em torno do eixo vertical 4 taxa w 45 rpm a Determine as reagdes dinamicas nos pontos C e D b Resolva a parte a considerando que o sentido de giro do disco B seja invertido P50 mm Ks 250 mm a 150 mm z tea x 300 mm DI Bl Figura P1893 e P1894 1894 Dois discos cada qual com massa de 5 kg e raio de 100 mm giram do modo mostrado na figura 4 taxa w 1500 rpm em torno de uma barra AB de massa desprezivel que por sua vez gira em torno do eixo vertical 4 taxa w Determine o maximo valor admissivel de w para que as intensidades das reacdes dindmicas nos pontos C e D nao excedam 250 N cada uma 1186 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica 1895 O disco de 250 g mostrado na figura gira taxa w 750 rpm en quanto o eixo AB gira do modo mostrado na figura com uma velocida de angular de 6 rads Determine as reagdes dinamicas em A e B y L 200 mm A i Qe ow r50mm QP Sw WM S a Z x Figura P1895 e P1896 y 500 mm 1896 O disco de 250 g mostrado na figura gira 4 taxa w 750 rpm enquan r200 mm S to o eixo AB gira do modo mostrado na figura com uma velocidade AI angular w Determine a intensidade maxima admissivel de w para aa que as reagdes dinAmicas em A e B nfo excedam 125 N cada uma J A fe pAK 1897 Um disco fino de massa m 5 kg gira com velocidade angular w em Ge 250 mm relagaéo ao brago ABC que por sua vez gira com velocidade angular em torno do eixo y Sabendo que w 5 rads e w 15 rads x e que ambas sao constantes determine o sistema forgabinario que Figura P1897 representa as reagdes dindmicas no apoio A 1898 Um disco homogéneo de massa m 3 kg gira taxa constante w 16 rads em relagao ao brago ABC que esta soldado ao eixo DCE que gira 4 taxa constante w 8 rads Determine as reacdes dinamicas em D e E y r 200 mm C J D B 200 mm a 3s a ZN q a é C mm e B Xk 2 300 mm 5 b SS E M é 300 mm 4 x A SS Figura P1898 ED 7 3 Se AC ig 1899 Um outdoor de comprimento 2a 24 m e largura 2b 16 m é man ry tido em relagao a uma taxa constante w em torno de seu eixo horizon tal por um pequeno motor elétrico preso em A a estrutura ACB Essa mesma estrutura é mantida girando a uma taxa constante w em torno D de um eixo vertical por um segundo motor preso em C a coluna CD a Sabendo que o painel e a estrutura percorrem uma volta completa em 6s e 12s respectivamente expresse em funcao do Angulo 6 a reacaio Figura P1899 dinamica exercida sobre a coluna CD por seu apoio em D Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1187 18100 Para o sistema do Problema 1899 mostre que a a reagao dindmica y em D é independente do comprimento 2a do painel e b a razio mm MM das intensidades dos bindrios exercidos pelos motores em A A e C respectivamente é independente das dimensdes e da massa do C painel e é igual a w2w em um dado instante qualquer t My 18101 Um disco homogéneo de 3 kg e raio de 60 mm gira do modo mostra mm fp y do na figura a taxa constante w 60 rads e é suportado pelo eixo a eS ZX 60 mm dobrado AB que esta soldado ao eixo vertical CBD O sistema esta ah em repouso quando um binario M 040 N mj é aplicado duran 75 mm D a te 2s sendo entao removido Determine as reagdes dindmicas nos oS x apoios em C e D apés a remocio do binario 2 oS 18102 Um disco homogéneo de 3 kg e raio de 60 mm gira do modo mos Figura P18101 e P18102 trado na figura a taxa constante w 60 rads e é suportado pelo eixo dobrado AB que esta soldado ao eixo vertical CBD O sistema est em repouso quando um bindrio M é aplicado durante 3 s sendo entio removido Sabendo que a maxima velocidade angular atingida pelo eixo é 18 rads determine a 0 bindrio Mb b as reagdes dina micas nos apoios em C e D apoés a remogio do binario 18103 Para o Problema 1897 determine a 0 bindrio Mj que poderia y 1 E ser aplicado ao brago ABC para darlhe uma aceleragaéo angular 150mm a 75 radsj quando w 5 rads sabendo que o disco gira C a uma taxa constante w 15 rads b o sistema forgabindrio que OT ae 150 mm representa a reagio dinémica em A no instante Considere que ABC C tem massa desprezivel D rs AZ 18104 Admitese que no instante mostrado na figura 0 eixo DCE do Pro Oo blema 1898 tenha uma velocidade angular w 8 radsi e uma nye mm aceleragéo angular a 6 radsi Lembrando que o disco gira com QS uma velocidade angular constante 16 radsj determine a 0 Figura P18105 bindrio que deve ser aplicado ao eixo DCE para produzir a aceleraciao angular dada D as correspondentes reacdes dinamicas em D e E 18105 Um disco homogéneo de 25 kg e raio de 80 mm gira com uma velo 4 cidade angular em relagio ao brago ABC que esta soldado a um eixo DCE girando a uma taxa constante w 12 rads como mostra a figura O atrito nos mancais em A provoca um decréscimo de cw 4M numa taxa de 15 rads Determine as reagées dinamicas correspon dentes em D e E no momento que tenha decrescido para 50 rads A 18106 Uma barra delgada e homogénea AB de massa m e comprimento L C 9 L é posta a girar com uma taxa constante w em torno do eixo horizontal o z enquanto a estrutura CDé posta a girar com uma taxa constante 5 M w em torno do eixo y Expresse em funcao do Angulo 6 a o binario B x M necessdrio para manter a rotagio da estrutura b 0 binério M D necessdrio para manter a rotagio da barra c as reagdes dindmicas nos suportes C e D Figura P18106 1188 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Zz 189 Movimento de um giroscopio Angulos de Euler abs Um giroscépio consiste essencialmente de um rotor que pode girar livre mente em torno de seu eixo geométrico Quando montado em uma sus f pensao Cardan Fig 1815 o giroscépio pode assumir qualquer orienta cao mas seu centro de massa precisa permanecer fixo no espago A fim Bdek col i de definir a posigao de um giroscépio em um dado instante selecione Yaw Y mos um referencial fixo OXYZ com a origem O localizada no centro de massa do giroscépio e 0 eixo Z orientado ao longo da linha definida pelos x mancais A e A da argola externa Vamos considerar uma posicao de re feréncia do giroscépio em que as duas argolas e um dado diametro DD i do rotor estejam localizados no plano fixo YZ Fig 1815a O giroscépio A pode ser levado dessa posicao de referéncia a qualquer posigao arbitraria a Fig 1815b por meio dos seguintes passos 1 uma rotagao da argola 7 externa de um Angulo em torno do eixo AA 2 uma rotacao da argola interna de 6 em torno de BB e 3 uma rotacao do rotor de yw em torno 0 de CC Os angulos e so denominados dngulos de Euler eles A py caracterizam por completo a posicao do giroscépio em um instante dado l qualquer Suas derivadas 0 e definem respectivamente a taxa de precessdo a taxa de nutagao e a taxa de rotagao propria do giroscépio no io instante considerado M h Para calcular os componentes da velocidade angular e da quantida Va a de de movimento angular do giroscé6pio usaremos um sistema de eixos N SS D Y rotativo Oxyz ligado a argola interna com o eixo y ao longo de BB e o B VE eixo z ao longo de CC Fig 1816 Esses eixos so eixos principais de XN Ff inércia para o girosc6pio Embora eles 0 sigam em sua precessio e nuta ao nao giram por essa razao eles sA0 mais convenientes para 0 uso do A a que os eixos realmente ligados ao girosc6pio A velocidade angular w do giroscdpio em relacao ao referencial fixo OXYZ sera agora expressa como b a soma das trés velocidades angulares parciais correspondentes respec Figura 1815 tivamente a precessao a nutagiio e a rotacao prépria do giroscépio Re presentando por i j e k os vetores unitdrios ao longo dos eixos rotativos e por K 0 vetor unitdrio ao longo do eixo fixo Z temos 4 ow K 6j vk 1833 a Como os componentes vetoriais obtidos para em 1833 nao sio orto gonais Fig 1816 o vetor unitdrio K sera decomposto em componentes SY ao longo dos eixos x e z escrevemos 7 Uh A K sen 0i cos 0k 1834 Bo S if e substituindo K em 1833 cf wo sendi 6j b cos Ok 1835 AT Uma vez que os eixos de coordenadas sao eixos principais de inércia Figura 1816 os componentes da quantidade de movimento angular Hy podem ser ob Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1189 tidos multiplicandose os componentes de w pelos momentos de inércia do rotor em relagao aos eixos x y 3 respectivamente Representando por I o momento de inércia do rotor em relacao a seu eixo de rotagao propria por I seu momento de inércia em relagdo a um eixo transversal passando por O e desprezando a massa das argolas escrevemos Ho Idsen 61 I0j Ih bcos Ok 1836 Lembrando que os eixos rotativos estio ligados 4 argola interna e que portanto nado giram expressamos sua quantidade de movimento angular pela soma OQ K 6j 1837 ou substituindo K da Eq 1834 O sen 0i Oj 6 cos Ok 1838 Substituindo H e 2 de 1836 e 1838 na equacgao ag Mo Hoory Qx Ho 1828 wh obtemos as trés equagées diferenciais XM Ib sen 6 26 cos 6 10 i cos 6 PA M 19 d sen 6 cos 0 Id sen 6 is cos 6 1839 ee d bs M I fs cos 6 dt As equacées 1839 definem 0 movimento de um giroscépio sujeito 4 a um dado sistema de forgas quando a massa das argolas é desprezada Elas também podem ser usadas para definir o movimento de um corpo a com simetria axial ou corpo de revolugao preso a um ponto sobre seu he eixo de simetria e para definir o movimento de um corpo com simetria axial em relagdo ao seu centro de massa Embora as argolas do giroscépio tenham nos ajudado a visualizar os angulos de Euler esta claro que ESSES Foto 185 O giroscépio pode ser Angulos podem ser usados para definir a posigdo de qualquer corpo rigido gad para medir a orientacéo e em relagao a eixos centrados em um ponto do corpo nio importando de consegue manter a mesma diregdo que maneira 0 corpo esteja de fato apoiado absoluta no espaco Como as equagées 1839 sao nao lineares em geral nao sera pos sivel expressar os Angulos de Euler 6 e como fungGes analiticas do tempo t podendo ser necessério empregar métodos numéricos Todavia como vocé vera nas pr6ximas segdes existem diversos casos particulares de interesse que podem ser facilmente analisados 1190 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Z 1810 PrecessGo em regime permanente de um giroscopio Vamos investigar o caso particular do movimento de um giroscépio em wa v que o Angulo 8 a taxa de precessio e a taxa de rotagao prépria i perma ok necem constantes Propomosnos a determinar as forgas que devem ser aplicadas ao giroscdépio para manter esse movimento conhecido como bk precessdo em regime permanente de um giroscépio One Em vez de aplicar as equacdes gerais 1839 i determin m vez de aplicar as equagées gerais 1839 iremos determinar o b sen bi y y somat6rio dos momentos das forgas requeridas calculando a taxa de varia 5 cao da quantidade de movimento angular do giroscépio no caso particular considerado Notemos primeiramente que a velocidade angular w do gi 7 rosc6pio sua quantidade de movimento angular Hy e a velocidade angu x lar O do referencial rotativo Fig 1817 se reduzem respectivamente a Figura 1817 igure sendi ok 1840 Hy Id seni Iwk 1841 Q sen bit d cos 6k 1842 onde w yt cos 6 componente retangular da velocidade angular Z total do giroscépio ao longo do eixo de rotagio propria ik Como 6 i e sao constantes o vetor H é constante em intensidade e 4 diregao em relagao ao referencial rotativo e sua taxa de variagao Ho oy éK em relacao a esse referencial é nula Logo a Eq 1828 se reduz a 3 De M 2H 1843 B Mo que fornece apés substituigdes de 1841 e 1842 J Mo Iw Ib COS A sen 0 j 1844 Figura 1818 Uma vez que o centro de massa do giroscépio é fixo no espago te mos pela Eq 181 2F 0 logo as forgas que devem ser aplicadas ao giroscépio para manter sua precessio em regime permanente se re duzem a um bindério de momento igual ao membro da direita da Eq 1844 Notemos que esse bindrio deve ser aplicado em relagéo a um Z eixo perpendicular ao eixo de precessdo e ao eixo de rotagdo prépria do Eixo de precessao giroscépio Fig 1818 éK Fixo do binério No caso particular em que o eixo de precessio e 0 eixo de rotacao ropria formam um Aneulo reto temos 90 ea Eq 1844 se reduz a y prop g q OFu Mo IW dj 1845 mS N O dle rotacio propria Logo se aplicarmos ao giroscépio um bindrio My em relaco a um eixo perpendicular a seu eixo de rotaco prépria o girosc6pio tera preces bk 5 so em torno de um eixo perpendicular tanto ao eixo de rotagao propria como ao eixo do bindrio em um sentido tal que os vetores que represen tam a rotagdo propria o bindrio ea precessao respectivamente formam um trio dextrogiro Fig 1819 Figura 1819 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1191 Por causa dos binérios relativamente altos requeridos para mudar a orientacao de seus eixos os girosc6pios so usados como estabiliza dores em torpedos e navios Balas e cépsulas rotativas permanecem tangentes as suas trajetérias devido a ago giroscépica E é mais facil manter uma bicicleta balanceada em altas velocidades devido ao efeito estabilizador de suas rodas giratérias Todavia a aco giroscépica nem sempre bemvinda e deve ser levada em conta no projeto de man cais que apoiam eixos rotativos sujeitos a precessio forgada As reagdes exercidas por suas hélices sobre um aviaéo que muda sua direcao de voo também devem ser levadas em consideracgo e compensadas sempre que possivel Zz 1811 Movimento de um corpo com simetria axial Diregao ms livre de forgas h G Nesta secdo vocé analisaré 0 movimento em relacgdo ao seu centro de A massa de um corpo com simetria axial livre de forgas exceto por seu A peso proprio Exemplos de tal tipo de movimento sao fornecidos por pro of jéteis caso a resisténcia do ar seja desprezada e por satélites artificiais e veiculos espaciais apds a extingao de seus foguetes lancadores Como 0 somatério dos momentos das forgas externas sem relagao ao centro de massa G do corpo é nulo a Eq 182 fornece H 0 Segue VW se que a quantidade de movimento angular H do corpo em relagiio a G W é constante Logo a diregdo de H é fixa no espago e pode ser usada para definir 0 eixo Z ou 0 eixo de precessio Fig 1820 Escolhendo um sis Figura 1820 tema de eixos rotativo Gxyz com o eixo z ao longo do eixo de simetria do corpo o eixo x no plano definido pelos eixos Z e z e 0 eixo y apontando para longe de vocé temos H Hg sen 0 A 0 H H cos 0 1846 onde 6 representa o Angulo formado entre os eixos Z ez e H representa a intensidade constante da quantidade de movimento angular do corpo em relacaio a G Como os eixos x y Z sao eixos principais de inércia para 0 corpo considerado podemos escrever HIo HIo HIe 1847 onde I representa o momento de inércia do corpo em relagio ao seu eixo Z de simetria e I representa seu momento de inércia em relacao aum eixo T transversal passando por G Seguese das Eqs 1846 e 1847 que Mf Jak Hg sen 6 Hg cos 0 vk Oy w 0 o 1848 oK A A segunda das relagdes obtidas mostra que a velocidade angular w nao tem componente ao longo do eixo y isto 6 ao longo de um eixo perpen dicular ao plano Zz Assim o Angulo entre os eixos Z e z permanece Ly constante e 0 corpo estd em precessdo em regime permanente em torno x do eixo Z wv Dividindo a primeira e a terceira das relagdes 1848 membro a membro e observando pela Fig 1821 que ww tg y obtemos a Figura 1821 1192 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica Diregio fixada Direcao fixada OR o z J a b Z Figura 1822 o seguinte relagao entre os Angulos y e que os vetores w e H respectiva A SK mente fazem com 0 eixo de simetria do corpo Za ZZ 46 4 I 3 ry hy tgy 7 8 1849 Cone espacial K a Cone ompon Cy Ha dois casos particulares de movimento de um corpo com simetria axial livre de forgas que nao envolvem precessao 1 Se 0 corpo é posto para girar em torno de seu eixo de simetria temos w 0 e pela Eq 1847 H 0 os vetores w e H tém a mesma orientagao e 0 corpo mantémse girando em torno de seu eixo de simetria Fig 1822a 2 Se 0 corpo é posto para girar em torno de um eixo transversal temos w 0 e pela Figura 1823 Eq 1847 H 0 novamente os vetores e H tém a mesma orienta cao e o corpo mantémse girando em torno do eixo transversal dado Fig 1822b Considerando agora o caso geral representado na Fig 1821 lem Z bramos da Segio 1512 que o movimento de um corpo em torno de um ponto fixo ou em torno de seu centro de massa pode ser representado AM GK pelo movimento de um cone corporal que rola sobre um cone espacial vo No caso de precessaio em regime permanente os dois cones sao circula o CT espacial yes pois os Angulos y e y que a velocidade angular w faz respecti z vamente com 0 eixo de simetria do corpo e com 0 eixo de precessao sao RX constantes Dois casos devem ser destacados 4 1 I I Esse 0 caso de um corpo alongado tal como 0 veiculo espa Ts cial da Fig 1823 Pela Eq 1849 temos y 6 0 vetor w fica dentro ys do angulo ZGz 0 cone espacial e 0 cone corporal so tangentes exter 6 INS namente a rotacio propria e a precessdo séo ambas observadas como Sem J antihordrias a partir do eixo z positivo A precessao é dita direta SS Cone corporal 2 I I Esse é 0 caso de um corpo achatado tal como 0 satélite da Fig E 1824 Pela Eq 1849 temos y 0 como o vetor deve ficar fora ik T do Angulo ZGz o vetor yk tem sentido oposto ao do eixo z 0 cone espacial esta dentro do cone corporal a precessiio e a rotacao propria Figura 1824 tém sentidos opostos A precessiao é dita retrégrada PROBLEMA RESOLVIDO 186 2 LS ck Sabese que um satélite espacial de massa m é dinamicamente equivalente a 0 a dois discos finos de massas iguais Os discos tém raio a 800 mm e estio Ee rigidamente conectados por uma barra leve de comprimento 2a Inicialmen te o satélite esta girando livremente em torno de seu eixo de simetria a uma y taxa w 60 rom Um meteorito de massa m m1000 que viajando a 2a GC 0 rp 0 q uma velocidade v de 2000 ms em relagio ao satélite colide com ele e fica alojado em C Determine a a velocidade angular do satélite imediatamente ee ap6s o impacto b 0 eixo de precessio do movimento subsequente e c as C taxas de precessio e de rotagio propria do movimento subsequente Avo SOLUCAO x z Momentos de inércia Observamos que os eixos mostrados sao eixos principais de inércia para o satélite e escrevemos Ho Ia G AY my I 1 ma 11 245ma ma 3ma C y y Principio de impulso e quantidade de movimento Consideramos o x G x satélite e o meteorito como um sistema tinico Como nao ha forgas externas agindo sobre esse sistema as quantidades de movimento antes e depois do impacto so equipolentes Tomando momentos em relagao a G escrevemos a aj X movok Iaok He MoVo He mpvoai Lak 1 Velocidade angular apdés o impacto Substituindo os valores obtidos para os componentes de H e para os momentos de inércia em z HH Lo A 1 H 10 He e escrevemos Xe mpvoa Iw 2maa 0Ta Toy Iw Kt J 4 Moo NY o ow 0 W Wo 2 ta 5 ma y ay Para o satélite considerado temos w 60 rpm 6283 rads mom a0 SS a 0800 m e v 2000 ms encontramos 2 rads ow 0 w 6283 rads o C wo Vow w2 6594 rads tg y 03183 one o a compora O 630 rpm y 177 Cc Eixo de precessGo Uma vez que no movimento livre a diregdo da quan tidade de movimento angular H é fixa no espago o satélite tera precessio em torno dessa diregio O Angulo entre o eixo de precessiio 0 eixo z é H MoVoa 2mMv y tg 0796 0385 2 H Iwo Mao WV Cone Taxas de precessdo e de rotacdo propria Esbogamos os cones es espacial acial al li d li ando a lei d pacial e corporal para o movimento livre do satélite Usando a lei dos senos ea calculamos as taxas de precessio e de rotacao propria oF py sen seny sen y 6 308rpm 359rpm METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N esta segao analisamos 0 movimento de giroscépios e de outros corpos com simetria axial com um ponto fixo O Para definir a posigio desses corpos em um dado instante qualquer intro duzimos os trés dngulos de Euler 0 e Fig 1815 e observamos que suas derivadas temporais definem respectivamente a taxa de precessdo a taxa de nutagdo e a taxa de rotagdo propria Fig 1816 Os problemas que vocé encontraraé caem em uma das seguintes categorias 1 Precessao em regime permanente Este é 0 movimento de um giroscépio ou outro corpo com simetria axial com um ponto fixo localizado sobre seu eixo de simetria em que o Angulo 6 a taxa de precessio e a taxa de rotagio prépria permanecem constantes a Usando o referencial rotativo Oxyz mostrado na Fig 1817 que efetua precessdo com 0 corpo mas ndo gira com ele obtemos as seguintes expressGes para a velocidade angular do corpo sua quantidade de movimento angular Hy e a velocidade angular Q do referencial Oxyz w sendi ak 1840 Hy I sendilak 1841 QO sen di cos 0k 1842 onde I momento de inércia do corpo em relagiio ao seu eixo de simetria I momento de inércia do corpo em relagao a um eixo transversal passando por O w componente retangular de ao longo do eixo z yf cos 8 b Osomatoério de momentos em relagdo a O das forgas aplicadas ao corpo é igual 4 taxa de variagdo de sua quantidade de movimento angular conforme expresso pela Eq 1828 Mas como e as taxa de variagiio e w sao constantes seguese da Eq 1841 que o vetor Hy permanece constante em intensidade o diregao quando visto a partir do referencial Oxyz Logo sua taxa de variagio é nula em relagdo aquele referencial e vocé pode escrever M 02x H 1843 onde e H estao definidos respectivamente pela Eq 1842 e pela Eq 1841 A equagao ob tida mostra que o momento resultante em O das forgas aplicadas ao corpo é perpendicular ao eixo de precessio bem como ao eixo de rotagio propria Fig 1818 c Tenha em mente que o método descrito aplicase nao apenas a giroscépios onde o ponto fixo O coincide com o centro de massa G mas também a qualquer corpo com simetria axial com um ponto fixo O localizado sobre seu eixo de simetria Portanto esse método pode ser usado para analisar a precessao em regime permanente de um pido sobre um piso dspero d Quando um corpo com simetria axial nado tem ponto fixo mas esta em pre cessdo em regime permanente em torno de seu centro de massa G vocé deve dese nhar uma equagdo baseada no diagrama de corpo livre mostrando que o sistema de forgas externas exercidas sobre o corpo incluindo o peso do corpo é equivalente ao vetor ma aplicado em G e ao vetor bindrio H Vocé pode usar as Eqs 1840 a 1842 trocando Hy por Hg e expressar o momento do binério como He oO x He Pode entio usar a equagaio baseada em diagrama de corpo livre para escrever até seis equagdes escalares independentes 2 Movimento de um corpo com simetria axial livre de forgas exceto seu peso pro prio Temos XM 0e portanto H 0 seguese que a quantidade de movimento angular H é constante em intensidade e diregao Seco 1811 O corpo esté em precessdo em regime per manente com 0 eixo de precessio GZ dirigido ao longo de Hg Fig 1820 Usando o referencial rotativo Gxyz e representando por y 0 Angulo que w faz com o eixo de rotagao propria Gz Fig 1821 obtivemos as seguintes relagdes entre y e o Angulo formado pelos eixos de precessao e de rotagao propria I tgy r tg 6 1849 A precessio é dita direta se I I Fig 1823 e retrégrada se I I Fig 1824 a Em muitos dos problemas que tratam do movimento de um corpo com simetria axial livre de forgas vocé sera solicitado a determinar 0 eixo de precessdo e as taxas de precessdo e de rotagdo propria do corpo conhecendo a intensidade de sua velocidade angular w e 0 angulo y que ela forma com o eixo de simetria Gz Fig 1821 Partindo da Eq 1849 vocé determinara o angulo 6 entre o eixo de precessio GZ e 0 eixo Gz e decompor w em dois componentes obliquos K e Wk Usando a lei dos senos vocé determinara entao a taxa de precessio e a taxa de rotagao propria yp b Em outros problemas o corpo sera submetido a um dado impulso e vocé determinara em primeiro lugar a quantidade de movimento angular resultante H Usando as Eqs 1810 vocé calcularaé os componentes retangulares da velocidade angular sua intensidade w e o Angulo y que ela faz com o eixo de simetria Determinaré entio 0 eixo de precessdo e as taxas de precessdo e de rotagao propria conforme descrito anteriormente Problema Resolvido 186 3 Movimento geral de um corpo de simetria axial com um ponto fixo O localizado sobre seu eixo de simetria e sujeito apenas ao seu proprio peso Esse é um movimento em que o Angulo pode variar Em um dado instante qualquer vocé deve levar em consideragao a taxa de precessio a taxa de rotacao propria e a taxa de nutagdo 8 que nenhuma delas perma necera constante Um exemplo de movimento desse tipo 6 o movimento de um piao discutido nos Problemas 18139 e 18140 O referencial rotativo Oxyz que vocé usou ainda é aquele mostrado na continua Fig 1818 mas esse referencial ira girar agora em torno do eixo y com a taxa 6 Portanto as Eqs 1840 1841 e 1842 devem ser substituidas pelas seguintes equagées ow d sen 0i Oj bh cos 0 k 1840 Hy Id sendi l6j I cos 6 k 1841 Q sen Oi Oj 6 cos Ok 1842 Como a substituigao dessas expresses na Eq 1844 levaria a equagées diferenciais nao lineares é preferivel sempre que possivel aplicar os seguintes principios de conservagao a Conservacdo de energia Representando por c a distancia entre o ponto fixo O e o centro de massa G do corpo e por E a energia total vocé escrevera TVE 5Iw Io Iw mgc cos 0 E e substituiré os componentes de pelas expressdes obtidas na Eq 1840 Note que c sera posi tivo ou negativo dependendo da posigao de G em relagiio a O Ainda c 0 se G coincidir com O caso em que a energia cinética se conserva b Conservacdo da quantidade de movimento angular em relagdo ao eixo de precessao Como 0 apoio em O esta localizado sobre 0 eixo Z e como 0 peso do corpo e 0 eixo Z sao ambos verticais e portanto paralelos entre si resulta que M z Ve consequentemente que H permanece constante Isso pode ser expresso escrevendose que o produto escalar K Hy é constante sendo K 0 vetor unitario ao longo do eixo Z c Conservagdo da quantidade de movimento angular em relacdo ao eixo de rotagdo propria Como o apoio em O e o centro de gravidade G sao ambos localizados sobre o eixo z resulta que M 0e portanto H permanece constante Isso é expresso escrevendose que o coeficiente do vetor unitdrio k na Eq 1841 é constante Observe que este ultimo prin cipio de conservagao nao pode ser aplicado quando o corpo é impedido de girar em torno de seu eixo de simetria mas nesse caso as inicas varidveis sio 0 e d 18107 Umaesfera sélida de aluminio de raio de 100 mm esta soldada a ex tremidade de uma barra AB de 200 mm de comprimento e de peso C desprezivel suspensa por uma junta articulada em A Sabendo que a esfera tem precessio em torno de um eixo vertical 4 taxa constante de 60 rpm no sentido indicado e que a barra AB faz um Angulo B 50 x com a vertical determine a taxa de rotagio prépria da esfera em tor no da linha AB A a ww 200 mm 18108 Uma esfera sélida de aluminio de raio de 100 mm esta soldada a extremidade de uma barra AB de 200 mm de comprimento e de peso desprezivel suspensa por uma junta articulada em A Sabendo aX B 100 mm que a esfera gira do modo mostrado na figura em torno da linha AB 8 taxa de 700 rpm determine o angulo B com que a esfera tera a precessfio em torno do eixo vertical 4 taxa constante de 60 rpm no G Y sentido indicado CD j 18109 Umcone sélido de altura 300 mm com a base circular de raio 100 mm é suportado por uma junta articulada em A Sabendo que é observa do a precessao do cone em torno do eixo vertical AC a taxa constante Figura P18107 e P18108 40 rpm no sentido indicado na figura e que seu eixo de simetria AB forma um Angulo B 40 com AC determine a taxa que o cone gira em torno do eixo AB 18110 Umcone sélido de altura 300 mm com a base circular de raio 100 mm 4 é suportado por uma junta articulada em A Sabendo que cone esta JN girando em torno de seu eixo de simetria AB a taxa de 3000 rpm e A 300 que AB forma um Angulo B 60 com o eixo vertical AC determine am as duas taxas possiveis de precesséio em regime permanente do cone em torno do eixo AC 18111 O pio de 85 g mostrado na figura esta apoiado no ponto fixo O Os raios de giragdo do piaio em relagao ao seu eixo de simetria e em re laco a um eixo transversal passando por O sio de 21 mm e 45 mm b W respectivamente Sabendo que c 375 mm e que a taxa de rotacao B propria do piaio em torno de seu eixo de simetria é de 1800 rpm de sO temine as duas possiveis taxas de precessado em regime permanente Cc correspondentes a 30 Figura P18109 e P18110 18112 O pido mostrado na figura esta apoiado no ponto fixo O e seus mo mentos de inércia em relacao ao seu eixo de simetria e em relagao a um eixo transversal passando por O sao representados por I e I res pectivamente a Mostre que a condicao para a precessiio em regime Zz z permanente do piao é Oo Iw Id cos 06 We onde é a taxa de precessao e w 6 0 componente retangular da velo cidade angular ao longo do eixo de simetria do pido b Mostre que F se a taxa de rotagio prépria ys do pido é muito grande comparada O com sua taxa de precessiio a condigio de precessiio em regime per LM manente é Ii We c Determine o erro percentual introduzido quando esta Ultima relagdo é usada para aproximar a menor das duas taxas de precessio obtidas para o pido do Problema 18111 Figura P18111 e P18112 1198 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica y 18113 Um cubo sdlido de lado c 80 mm é preso a corda AB como mos A trado na figura Observase que ele gira a uma taxa ys 40 rads em torno de sua diagonal BC e tem precessio a taxa constante de 5 rads em torno do eixo vertical AD Sabendo que B 30 determine B o Angulo 6 que a diagonal BC forma com a vertical Dica O momen to de inércia do cubo em torno de um eixo que passa pelo seu centro Boe é independente da orientagio daquele eixo cis b 7 c 18114 Umcubo solido de lado c 120 mm é preso a corda AB de compri mento 240 mm com mostrado na figura O cubo gira em torno de sua diagonal BC e tem precessio em torno do eixo vertical AD Sabendo C que 0 25 e B 40 determine a a taxa de rotacao prépria do D cubo b sua taxa de precessiio Ver dica do Problema 18113 6 oo 18115 Uma esfera sélida de raio c 100 mm esta presa do modo mostrado x na figura 4 corda AB A esfera tem precessio 4 taxa constante 6 rads em torno do eixo vertical AD Sabendo que B 40 determine Figura P18113 e P18114 o Angulo 6 que o diametro BC forma com a vertical quando a esfera a nao tem rotagdo propria b gira em torno de seu diametro BC a taxa w 50 rads c gira em torno de BC taxa fp 50 rads 18116 Umaesfera sélida de raio c 100 mm esta presa do modo mostrado Ya na figura 4 corda AB de 500 mm de comprimento A esfera gira em torno de seu diémetro BC e tem precessao em torno do eixo vertical AD Sabendo que 6 20 e B 35 determine a a taxa de rotagio Le propria da esfera e b sua taxa de precessao 18117 Sea Terra fosse uma esfera a atragaio gravitacional do Sol da Lua e ci p dos planetas seria em todos os instantes equivalente a uma tinica for B ca R agindo no seu centro de massa No entanto a Terra é de fato um D 2K esferoide oblato e o sistema gravitacional que age sobre ela é equiva lente a uma forga R e a um bindrio M Sabendo que o efeito do bina a rio M é fazer com que o eixo da Terra tenha precessio em torno do Cc eixo GA a taxa de uma revolucao em 25800 anos determine a inten ar sidade média do binario M aplicado 4 Terra Admita que a densidade média da Terra seja de 551 gem que o raio médio da Terra seja de Figura P18114 e P18115 6370 km e que I 2mr Nota Esta precessio forgada é conhecida como a precessio dos equinécios e nfo deve ser confundida com a precessio livre discutida no Problema 18123 2345 Eixo de precessao Vy ee a W A W aes NY S Figura P18117 18118 Um registro fotografico de alta velocidade mostra que um certo pro jétil foi disparado com uma velocidade horizontal v de 600 ms e com seu eixo de simetria formando um Angulo B 3 com a horizontal Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1199 A taxa de rotagdo propria w do projétil era de 6000 rpm e o arrasto ub aerodindmico era equivalente a uma forga D de 120 N agindo no cen 4 tro de pressio C localizado a uma distancia c 150 mm de G a oe B Sabendo que o projétil tem massa de 20 kg e um raio de giracao de 50 mm em relagao ao seu eixo de simetria determine sua taxa aproxima Cs D da de precessio em regime permanente b Sabendose ainda que o ye raio de giracao do projétil em relacdo a um eixo transversal passando por G é 200 mm determine os valores exatos das duas taxas de pre Figura P18118 cessao possiveis 18119 Mostre que para um corpo com simetria axial livre de forgas as taxas de precessio e de rotagao prépria podem ser expressas respectiva mente como He p Tr e i He cos OI I II onde H é 0 valor constante da quantidade de movimento angular do corpo 18120 a Mostre que para um corpo com simetria axial livre de forgas a taxa de precessio pode ser expressa como é Io I cos 0 onde w é o componente retangular de w ao longo do eixo de simetria do corpo b Use esse resultado para verificar que a condigao 1844 para a precessao em regime permanente é satisfeita por um corpo com simetria axial livre de forgas 18121 Mostre que o vetor velocidade angular w de um corpo com simetria axial livre de forgas é visto do corpo como ele préprio girando em torno do eixo de simetria A taxa constante I I wo n 1 Fe onde w é o componente retangular de w ao longo do eixo de simetria do corpo 18122 Para um corpo com simetria axial livre de forgas demonstre a que a taxa de precessio retrégrada nunca pode ser menor que o dobro da taxa de rotagdo prépria do corpo em torno de seu eixo de simetria b que na Fig 1824 o eixo de simetria do corpo nunca pode ficar no interior do cone espacial 18123 Usando a relacaio dada no Problema 18121 determine o periodo de precessio do polo norte da Terra em torno do eixo de simetria do pla neta A Terra pode ser aproximada por um esferoide oblato de momen to de inércia axial I e momento de inércia transversal I 099671I Nota Observagées reais mostram um periodo de precessio do polo norte de aproximadamente 4325 dias solares médios a diferenga entre os perfodos observados e calculados devese ao fato de que a Terra nao é um corpo perfeitamente rigido A precessio livre aqui considerada nao deve ser confundida com a precessdo dos equindécios muito mais lenta que é uma precessiio forgada Ver o Problema 18117 1200 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 18124 O vetor velocidade angular de uma bola de futebol americano que acaba de ser chutada é horizontal e seu eixo de simetria OC esta orientado do modo mostrado na figura Sabendo que a intensidade da velocidade angular é de 200 rpm e que a raziio entre os momentos de inércia axial e transversal é II determine a a orientagao do eixo de precessio OA e b as taxas de precessiio e de rotagiio propria C 15 aw wo y Ib A Wo Figura P18124 D o l 2 m 18125 Um satélite de 2500 kg tem 24 m de altura e bases octogonais com la Dae dos de 12 m Os eixos de coordenadas mostrados na figura so os eixos N centroidais principais de inércia do satélite e seus raios de giracao sao kk09me k 098 m O satélite é equipado com um propulsor 24m principal E de 500 N de empuxo e quatro propulsores de 20 N de em puxo ABC e D que podem expelir propelente no sentido y positivo O E x satélite esta girando a taxa de 36 revh em torno de seu eixo de simetria z Gy que mantém uma direcao fixa no espaco quando os propulsores E A e B sio ativados durante 2 s Determine a 0 eixo de precessio do Figura P18125 satélite b sua taxa de precessio c sua taxa de rotag4o propria 18126 Resolvao Problema 18125 admitindo que os propulsores A e D em vez de A e B sejam ativados durante 2 s y 18127 Umsatélite geoestaciondrio de 400 kg esta girando com uma velocida de angular w 15 radsj quando ele é atingido em B por um me teorito de 200 g viajando a uma velocidade v 500 msi 400 msj 1250 msk relativa ao satélite Sabendo que b 500 mm e lm que os raios de giragao do satélite sto k k 700 mm ek 800 A a mm determine o eixo de precessdo e as taxas de precessio e rotagiio 6 proprias do satélite depois do impacto 18128 Resolva o Problema 18127 admitindo que o meteorito atinja o saté lite em A em vez de B os 18129 Uma moeda é langada para o alto Observase que ela gira a uma taxa a de 600 rpm em torno do eixo GC perpendicular 4 moeda e que tem i x precessao em torno da diregao vertical GD Sabendo que GC faz um a angulo de 15 com GD determine a o Angulo que a velocidade an z a BO d da f GD b ataxa d Ao d d z B gular w da moeda faz com GD b a taxa de precessio da moeda em Ss torno de GD Figura P18127 C D 15 ke tra FF zoel ena Figura P18129 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1201 18130 Resolva o Problema Resolvido 186 considerando que o meteorito atinge o satélite em C com velocidade v 2000 msi y 18131 Um disco homogéneo de massa m esté conectado em A e B a um gar A i fo de massa desprezivel que se apoia em um mancal em C O disco é livre para girar em torno de seu diametro horizontal AB e 0 eixo é B livre para girar em torno do eixo vertical passando por C Inicialmen SS te o disco esta em um plano vertical 8 90 e 0 eixo tem uma ve locidade angular 8 rads Se o disco é ligeiramente perturbado 9 determine para o movimento subsequente a o valor minimo de Ta b 0 valor maximo de 8 b 18132 Uma barra delgada e homogénea AB de massa m e comprimento L é Cc Ab livre para girar em torno do eixo horizontal que passa pelo seu centro de massa G O eixo é suportado por uma estrutura de massa despre zivel e é livre para girar em torno do eixo vertical CD Sabendo que Figura P18131 6 6 0 0e d gp mostre que a barra oscilaré em torno do eixo horizontal e determine a a faixa de valores do angulo 6 durante o movimento b o valor maximo de 8 c 0 valor minimo de C 5 d 18133 Uma placa retangular homogénea de massa m e lados c e 2c esta apoiada nos pontos A e B por um garfo na extremidade do eixo de 2 massa desprezivel que é suportado pelo mancal em C A placa é livre c para girar em torno de AB e 0 eixo é livre para girar em torno da ho OA rizontal que passa por C Sabendo que inicialmente 0 30 0 0 e b 6 rads determine para o movimento subsequente a a faixa de valores de 0 b 0 valor minimo de c 0 valor maximo de 8 G 6 B Kc LY Fi P18132 b 4 igura c S Figura P18133 e P18134 18134 Uma placa retangular homogénea de massa m e lados c e 2c esta apoiada nos pontos A e B por um garfo na extremidade do eixo de massa desprezivel que é suportado pelo mancal em C A placa é livre para girar em torno de AB e 0 eixo é livre para girar em torno da ho rizontal que passa por C Inicialmente a placa esta no plano do garfo 0 0 e 0 eixo tem uma velocidade angular 6 rads Se a placa é levemente perturbada determine para o movimento subsequente a o valor minimo de b 0 valor maximo de 0 1202 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 18135 Um disco homogéneo de raio 180 mm esta soldado a uma barra AG de 5 d comprimento 360 mm e massa desprezivel que esta conectada por um grampo a um eixo vertical AB A barra e o disco podem girar livremen te em torno de um eixo horizontal AC e 0 eixo AB pode girar livre x mente em torno de um eixo vertical Inicialmente a barra AG esta na B horizontal 6 90 e nao tem velocidade angular em torno de AC A Sabendo que o valor maximo da velocidade angular do eixo AB no movimento subsequente é 0 dobro de seu valor inicial determine C a 0 valor minimo de 9 b a velocidade angular inicial do eixo AB r180 mm 8 18136 Um disco homogéneo de raio 180 mm esta soldado a uma barra AG de comprimento 360 mm e massa desprezivel que esta conectada por 360 mm um grampo a um eixo vertical AB A barra e o disco podem girar li vremente em torno de um eixo horizontal AC e 0 eixo AB pode girar livremente em torno de um eixo vertical Inicialmente a barra AG esté na horizontal 8 90 e nao tem velocidade angular em torno de AC Sabendo que o menor valor de 6 no movimento subsequente Figura P18135 e P18136 q q g 30 determine a a velocidade angular inicial do eixo AB e b sua velocidade angular maxima 18137 Um disco homogéneo de raio de 180 mm esta soldado a uma barra AG de 360 mm de comprimento e massa desprezivel que esta suspen sa por uma junta articulada em A O disco é liberado com uma taxa de rotacio propria pw 50 rads com taxas nulas de precessio e nutagiio e com a barra AG na horizontal 6 90 Determine a o menor valor de 6 no movimento subsequente b as taxas de precessiio e de rotacaio propria quando o disco passar pela sua posicao mais baixa Ci A 360 mm VY r180 mm Figura P18137 e P18138 18138 Um disco homogéneo de raio de 180 mm esta soldado a uma barra AG de 360 mm de comprimento e de massa desprezivel que esta sus pensa por uma junta articulada em A O disco é liberado com uma taxa de rotagdo prépria yf antihordria vista de A com taxas nulas de precessiio e nutagao e com a barra AG na horizontal 8 90 Sa bendo que o menor valor de no movimento subsequente é 30 de Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1203 termine a taxa de rotagiio propria ys do disco em sua posiao inicial Db as taxas de precessio e de rotagdo prépria quando o disco passar pela sua posigéo mais baixa 18139 Um piiio se apoia em um ponto fixo O como mostra a figura Repre Z sentando por 6 e os 4ngulos de Euler que definem a posigéo do 6 pido em relagiio a um referencial fixo considere o movimento geral do pido no qual todos os Angulos de Euler variam a Observando que 2M 0 e 3M 0 e representando por G Te I respectivamente os momentos de inércia do pido em relagéio ao seu eixo de simetria e em relacao a um eixo transversal passando por O deduza as duas equacGes diferenciais de primeira ordem do PP c movimento oO SS Id sen 6 bh cos cos 6 a Iw cos 0 B Figura 18139 e 18140 onde a e B sao constantes que dependem das condigées iniciais Essas equagGées expressam que a quantidade de movimento angular do pitio se conserva em relagao aos eixos Z e Z ou seja que os componentes retangulares de H ao longo de cada um desses eixos é constante b Use as Eqs 1 e 2 para mostrar que o componente retan gular w da velocidade angular do piao é constante e que a taxa de precessio depende do valor do Angulo de nutagiio 6 18140 a Aplicando o principio de conservagiio de energia deduza uma ter ceira equacio diferencial para o movimento geral do pido do Proble ma 18139 b Eliminando as derivadas e w da equagio obtida e das duas equagées do Problema 18139 mostre que a taxa de nutagio 6 é defi nida pela equacao diferencial g f onde 1 B Boos 6 2E 2mgc cos 6 AO a i 6 I sen 0 c Introduzindo uma variavel auxiliar x cos 0 mostre ainda que os valores maximo e minimo de 6 podem ser obtidos resolvendo se a seguinte equagao ctibica para x 2 1 cx f 2mgex1 x r a Bx 0 18141 A esfera homogénea de massa m e raio a é soldada 4 barra AB de Z massa desprezivel que suportada por uma junta articulada em cls d A A esfera é liberada na posicéo B 0 com a taxa de precessio l A od V17g11a com rotagio e nutagio nulas Determine o maior an valor de B no momento subsequente A B q on 18142 A esfera homogénea de massa m e raio a é soldada a barra AB de mas sa desprezivel que é suportada por uma junta articulada em A A es fera é liberada na posigaio B 0 com a taxa de precessio 6 com rotagao e nutacao nulas Sabendo que o maior valor de B no momento subsequente é 30 determine a a taxa de precessio da esfera na ia sua posigao inicial b as taxas de precessiio e rotacio propria quando B 30 Figura P18141 e P18142 1204 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Ho 18143 Considere um corpo rigido de formato arbitrario que esté preso ao LN seu centro de massa O e nfo esta sujeito a forgas exceto por seu peso proprio pela reagao do apoio em O 4 a Demonstre que a quantidade de movimento angular Hy do corpo em relagio ao ponto fixo O é constante em intensidade e dire Ne O cao que a energia cinética T do corpo é constante e que a projegiio ao 2THo longo de Hg da velocidade angular do corpo é constante b Mostre que a ponta do vetor w descreve uma curva sobre um plano fixo no espago chamado plano invariante que é perpendicular x aH eauma distancia 2TH de O mo A c Mostre em relagdo a um referencial ligado ao corpo e coin aN fi cidente com seus eixos principais de inércia que a ponta do vetor O parece descrever uma curva sobre um elipsoide cuja equacao é Lo Iw Lw 2T Wy yy O constante y O elipsoide chamado elipsoide de Poinsot esta rigidamente ligado Figura P18143 ao corpo e tem o mesmo formato do elipsoide de inércia mas em tamanho diferente Ho 18144 Referindose ao Problema 18143 a demonstre que o elipsoide de Poinsot é tangente ao plano invariante b mostre que o movimento do corpo rigido deve ser tal que o elipsoide de Poinsot parece rolar o sobre o plano invariante Dica Na parte a mostre que a normal ao V elipsoide de Poinsot na ponta de é paralela a H Lembrese de que a diregdo da normal a uma superficie de equagio Fx y z constante em um ponto P é a mesma do vetor grad F no ponto P 18145 Usando os resultados obtidos nos Problemas 18143 e 18144 mostre Figura P18144 que para um corpo com simetria axial preso ao seu centro de massa O e livre de forgas exceto por seu peso préprio pela reagio em O o elipsoide de Poinsot é um elipsoide de revolugao e os cones espacial e corporal sio ambos circulares e tangentes entre si Mostre ainda que a os dois cones sio tangentes externamente e que a precessio é direta quando IIondelel representam respectivamente os momentos de inércia axial e transversal do corpo b 0 cone espacial fica dentro do cone corporal e a precessio é retrégrada quando I I 18146 Refirase aos Problemas 18143 e 18144 a Mostre que a curva chamada poldédia descrita pela ponta do vetor em relagio a um referencial coincidente com os eixos princi pais de inércia do corpo rigido é definida pelas equacées Lw 1o Lw 2T constante 1 Lo Ta I2w HZ constante 2 e que portanto ela pode ser obtida por intersegio do elipsoide de Poinsot com o elipsoide definido pela Eq 2 b Admitindo que I I y I mostre ainda que as polédias ob tidas para varios valores de Hy tém os formatos indicados na figura c Usando o resultado obtido na parte b mostre que um corpo rigido livre de forgas pode girar em torno de um eixo centroidal fixo se e somente se aquele eixo coincidir com um dos eixos principais c y de inércia do corpo e que o movimento sera estavel se o eixo de ro tagdo propria coincidir com o eixo maior ou menor do elipsoide de Poinsot eixo z ou x na figura e instével se coincidir com o eixo inter Figura P18146 mediario eixo y Este capitulo foi dedicado a andlise cinética do movimento de corpos rigidos tridimensionais Verificamos em primeiro lugar Segdo 181 que as duas equagées fun Equacées fundamentais do damentais deduzidas no Cap 14 para o movimento de um sistema de movimento para um corpo particulas rigido F ma 181 fornecem a base de nossa anilise assim como elas fizeram no Cap 16 no caso do movimento plano de corpos rigidos Entretanto o calculo da quantidade de movimento angular H do corpo e de sua derivada H é agora bem mais complexo Na Secao 182 vimos que os componentes retangulares da quantidade Quantidade de movimento de movimento angular H de um corpo rigido podem ser expressos do gngular de um corpo rigido seguinte modo em termos dos componentes de sua velocidade angular jyjdimensional e de seus momentos e produtos centroidais de inércia A 1 OO Ly y i Ay Iy Ty y 10 187 H 1 Iy I Se forem empregados os eixos principais de inércia Gxyz essas rela cGes se reduzem a Hy Lywy Hy Lyoy H Iw 1810 Observamos que em geral a quantidade de movimento angular H e a velocidade angular w nao tém a mesma diregdo Fig 1825 Todavia elas terao a mesma direcao se w estiver orientado ao longo de um dos eixos principais de inércia do corpo y Ho aay O xX Z Figura 1825 1206 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Quantidade de movimento Relembrando que 0 sistema de quantidades de movimento das particulas angular em relacéo a um Constituintes de um corpo rigido pode ser reduzido ao vetor mv ligado a ponto dado Ge ao binario H Fig 1826 observamos que uma vez que a quantida de de movimento linear mv e a quantidade de movimento angular H de um corpo rigido tenham sido determinadas a quantidade de movimento angular H do corpo em relacao a um ponto dado qualquer O pode ser obtida escrevendose Ho rxX mvt He 1811 Corpo rigido com um Nocaso particular de um corpo rigido restrito a girar em torno de um ponto fixo ponto fixo O os componentes da quantidade de movimento angular Hy do corpo em relagaio a O podem ser obtidos diretamente a partir dos componentes de sua velocidade angular e de seus momentos e produtos de inércia em relagio a eixos passando por O Escrevemos A 1 Ty Ty0 A 1 1 Io 1813 H I 10 I o Principio de impulso e O principio de impulso e quantidade de movimento para um corpo rigido quantidade de movimento movimento tridimensional Segao 183 6 expresso pela mesma formula fundamental usada no Cap 17 para um corpo rigido em movimento plano Sist de Quant de Mov Sist de Imp Ext 174 Sist de Quant de Mov mas agora os sistemas de quantidades de movimento inicial e final devem ser representados do modo mostrado na Fig 1826 e H deve ser calculado a partir das relagdes 187 ou 1810 Problemas Resolvidos 181 e 182 Energia cinética de um A energia cinética de um corpo rigido em movimento tridimensional corpo rigido tridimensional pode ser dividida em duas partes Seao 184 uma associada ao movi mento de seu centro de massa G e a outra ao seu movimento em torno de G Usando os eixos centroidais principais x y x escrevemos T 3mv Los Too Iw 1817 onde v velocidade do centro de massa velocidade angular m massa do corpo rigido Iy Ly 2 momentos centroidais principais de inércia Y He Vy mv G L oO X Z Figura 1826 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1207 Observamos também que no caso de um corpo rigido limitado a girar em torno de um ponto fixo O a energia cinética do corpo pode se expres sa como T HLpy Lyi Lew 1820 onde x y e 2 so os eixos principais de inércia do corpo em O Os re sultados obtidos na Segao 184 tornam possivel estender ao movimento tridimensional de um corpo rigido a aplicacao do principio de trabalho e energia e do principio de conservagao da energia A segunda parte do capitulo foi dedicada a aplicagao das equagdes fun Uso de um referencial damentais rotativo para escrever as equacées do movimento de F ma 181 re um corpo rigido no espaco ao movimento de um corpo rigido tridimensional Primeiramente re lembramos Segio 185 que H representa a quantidade de movimen to angular do corpo em relagdo a um referencial centroidal GXYZ de orientagio fixa Fig 1827 e que H na Eq 182 representa a taxa de y y y Lo Heo v 4 a a J Z L Tb X Z Figura 1827 variagaio de H em relagio aquele referencial Verificamos que 4 medida que 0 corpo gira seus momentos e produtos de inércia em relagao ao referencial GXYZ variam continuamente Portanto 6 mais convenien te usar um referencial rotativo Gxyz para decompor w em componen tes e para calcular os momentos e produtos de inércia que serao usados para determinar H nas Eqs 187 ou 1810 Entretanto como H na Eq 182 representa a taxa de variagao de H em relagio ao referencial GXYZ de orientagio fixa devemos usar 0 método da Segao 1510 para determinar seu valor Retomando a Eq 1531 escrevemos He Acaxy Qx He 1822 onde HH quantidade de movimento angular em relagao ao referen cial GXYZ de orientagio fixa HG taxa de variagao de H em relagao ao referencial rotativo Gxyz a ser calculado a partir das relagdes 187 velocidade angular do referencial rotativo Gxyz 1208 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Substituindo H da Eq 1822 na Eq 182 obtivemos 2Mo Heay x He 1823 Se o referencial rotativo é de fato ligado ao corpo sua velocidade angular é identicamente igual a velocidade angular w do corpo Todavia ha muitas aplicacgdes em que é vantajoso usar um referencial que nao esteja ligado ao corpo mas que gira de maneira independente Problema Resolvido 185 Equacées de Euler do Fazendo 0 w na Eq 1823 usando eixos principais e escrevendo esta movimento Principio de quaao em forma escalar obtivemos as equagdes de Euler do movimento DAlembert Seao 186 Uma discussao sobre a solugao dessas equagées e das equa c6es escalares correspondentes a Eq 181 levounos a estender o prin cipio de dAlembert ao movimento tridimensional de um corpo rigido e a concluir que o sistema de forgas externas que agem sobre um corpo rigido é nao s6 equipolente mas também de fato equivalente as forgas efetivas do corpo representadas pelo vetor ma e pelo bindrio H Fig 1828 Problemas que envolvem o movimento tridimensional de um cor po rigido podem ser resolvidos considerando a equacao baseada no dia grama de corpo livre representada na Fig 1828 e escrevendo equacées escalares apropriadas relacionando os componentes ou momentos das forgas externas e efetivas Problemas Resolvidos 183 e 185 fi yo F NS ma Equagdo do diagrama de corpo livre Ce G Figura 1828 Corpo rigido com um ponto No caso de um corpo rigido limitado a girar em torno de um ponto fixo O fixo possivel usar um método alternativo de solucgo envolvendo os momen tos das forgas e a taxa de variagao da quantidade de movimento angular em relaco ao ponto O Escrevemos Segio 187 Mo Hoow X Ho 1828 onde XM somatério dos momentos em relagio a O das forgas aplica da ao corpo rigido H quantidade de movimento angular em relagao ao referen cial fixo OXYZ Hoo taxa de variagao de Hy em relagao ao referencial rotativo Oxyz a ser calculado a partir das relagdes 1813 velocidade angular do referencial rotativo Oxyz Essa abordagem pode ser usada na resolugio de certos problemas que envolvam a rotagdo de um corpo rigido em torno de um eixo fixo Secao 188 como por exemplo um eixo rotativo desbalanceado Problema Re solvido 184 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1209 Na ultima parte do capitulo consideramos 0 movimento de giroscépios e Movimento de um de outros corpos com simetria axial Introduzindo os dngulos de Euler 68 giroscépio e W para definir a posigao de um giroscdpio Fig 1829 observamos que suas derivadas b0e representam respectivamente as taxas de preces sdo de nutagao e de rotagao propria do giroscépio Segao 189 Expres sando a velocidade angular w em termos dessas derivadas escrevemos wo sen bit 6j b cos Ok 1835 Z Z LK 0 K 0 A ay Thy oN A 7 Bee aif en ort ayy ob LS Y LS Ce B Y x aw x fh A a A a Figura 1829 Figura 1830 onde os vetores unitdrios estao associados ao referencial Oxyz ligado a argola interna do giroscdpio Fig 1830 e portanto giram com a velo cidade angular Q send i 6j cos 0k 1838 Representando por I o momento de inércia do giroscépio em relagao ao seu eixo de rotagao prépria z e por I seu momento de inércia em relagao a um eixo transversal passando por O escrevemos Ho Ifsen0i l6j Ib cos Ok 1836 A substituigéo de H e 0 na Eq 1828 levounos as equagées diferen ciais que definem o movimento do giroscépio No caso particular da precessdo em regime permanente de um giroscépio PrecessGo em regime Segao 1810 o Angulo 6 a taxa de precessao e a taxa de rotagao pro permanente pria y permanecem constantes Vimos que tal movimento sé é possivel se os momentos das forgas externas em relacao a O satisfizerem a relacao Z Mo lw Id cos Ad sen 0j 1844 ik ou seja se as forgas externas se reduzirem a um bindrio de momento 1K igual ao membro 4a direita da Eq 1844 aplicado em relagdo a um eixo ey perpendicular ao eixo de precessdo e ao eixo de rotagéo prépria Fig YB 1831 O capitulo terminou com uma discussdo sobre 0 movimento de B Mo um corpo com simetria axial com rotaco prépria e precessao livre de forcas Segao 1811 Problema Resolvido 186 7 x Figura 1831 y 18147 Um disco homogéneo de massa m 5 kg gira a uma taxa constante w 8 rads em relagao ao eixo dobrado ABC que por sua vez gira a uma taxa constante w 3 rads em torno do eixo y Determine 2 a quantidade de movimento angular H do disco em torno de seu Aw a centro C B 18148 Dois bragos em formato de L cada qual com massa de 2 kg sao sol Sy dados aos tergos médios do eixo AB de 600 mm Sabendo que o eixo 400 mm 300mm AB gira a taxa constante w 180 rpm determine a a quantidade de P a movimento angular H do corpo em relagao ao ponto A b o angulo que H forma com 0 eixo Figura P18147 q tT y 200 B mm ka L Fr 200 mm 7 200 mm AQ 4 200 mm 4 y Figura P18148 y 18149 Uma barra uniforme de massa m e comprimento 5a é dobrada na for ma mostrada na figura e é suspensa por um fio preso em B Sabendo of que a barra é atingida em C na direcao z negativa e indicando que o impulso correspondente por F Atk determine logo apés 0 impac Ke to a a velocidade angular da barra b a velocidade do seu centro A de massa G L B any 18150 Um disco homogéneo de raio a e massa m apoiado por uma junta arti G 2 culada em A esta girando em torno do seu diaémetro vertical com uma velocidade angular constante wj quando uma obstrucio é subita C t mente introduzida em B Admitindo que o impacto seja perfeitamente z plastico e 0 determine imediatamente apés 0 impacto a a velo a a cidade angular do disco b a velocidade do seu centro de massa G ee gu Figura P18149 y A a Figura P18150 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1211 18151 Determine a energia cinética perdida quando o disco do Problema 18150 atinge a obstrugaéo em B 18152 Cada uma das placas triangulares mostradas na figura tem massa de y 5 kg e esté soldada a um eixo vertical AB Sabendo que 0 conjunto gira cA Wo a taxa constante w 8 rads determine as reagdes dinamicas em A e B 5 18153 Um pedaco de chapa de ago de 24 kg com dimensées 160 mm X 640 mm foi dobrada na forma do componente mostrado na figura O Sf 2 soe A componente esta em repouso w 0 quando o bindério My 08 N mk é aplicado nele Determine a a aceleragio angular do com 600 mm ponente b as reagdes dinamicas em A e B imediatamente apés o binario ser aplicado C 900 mm y D 80 mm rh 80 mm Zz 600 mm x oS 2B B 900 mm 160 mm fo Bok Ze 160 mm Za 160 Filan Figura P18152 M LD ye Figura P18153 18154 Um anel fino de 100 mm de raio é preso por um cursor em A a um eixo vertical que gira com uma velocidade angular constante w De termine a 0 4ngulo constante B que o plano do anel forma com a vertical quando w 12 rads b o maior valor de w para o qual o anel permanece vertical B 0 v ls y Al R A 300 mm a x ie r 100mm Od CES Figura P18154 Fr 18155 O disco fino de massa m 4 kg gira com uma velocidade angular ps w em relagaio ao brago OA que por sua vez gira com uma veloci 1 dade angular w em torno do eixo y Determine a 0 binério Mj mm que poderia ser aplicado ao brago OA para darIhe uma aceleragio w a 6 radsj com velocidade w 4 rads sabendo que o disco ON y gira a uma taxa constante w 12 rads b o sistema forgabinario d 430 dinami O C id r 100mm representando a reagio dinamica em O nesse instante Considere que o brago OA tem massa desprezivel Figura P18155 1212 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica y 18156 Um concentrador experimental de energia solar por lentes Fresnel 5 pode girar em torno do eixo horizontal AB que passa por meio de 16 seu centro de massa G Ele é suportado em A e B por uma estrutura m que pode girar em torno do eixo vertical y O concentrador tem uma massa de 30 Mg um raio de giragéo de 12 m em torno se seu eixo de 16m dQ g simetria CD e um raio de giracgéo de 10 m em torno de qualquer eixo transversal que passa por G Sabendo que as velocidades angulares e tém intensidade constante igual 020 rads e 025 rads res C pectivamente determine para a posigao 6 60 a a forga exercida SAS Be no concentrador em A e B b 0 bindrio Mk aplicado no concentra WS Shs f dor naquele instante SSE 18157 Um disco de 2 kg e 150 mm de diametro esté preso na extremidade 1 A Se Ss de uma barra AB de massa desprezivel que é suspensa por junta arti Soe a x culada em A Se no disco for observada a precessiio em torno da ver SS tical no sentido indicado a uma taxa constante de 36 rpm determine z L ae x a taxa de rotagiio propria ys do disco em torno de AB Figura P18156 a A 5 ie I 600 mm 30 iS a aS Figura P18157 18158 As caracteristicas essenciais de um giroscépio sao mostradas na figu ra O rotor gira a uma taxa w em torno de um eixo montado em uma tinica argola que pode girar livremente em torno do eixo vertical AB O Angulo formado pelo eixo do rotor e o plano do meridiano é indi cado por 6 e a latitude da posicao da terra é indicada por A Notamos que a linha OC é paralela ao eixo da terra e indicando por a velo A cidade angular da terra em torno de seu eixo C a Mostre que as equagées de movimento do giroscépio siio oe re 16 Iww cos A sen 6 Iw cos Asen 6 cos 0 0 Ia 0 Xr N onde w é um componente retangular da velocidade angular total N j ye S S ao longo do eixo do rotor e I e I sio os momentos de inércia do rotor Ul Ko com relagiio ao seu eixo de simetria e ao eixo transversal que passa por O7 respectivamente b Desprezando o termo contendo mostre que para 0 me nor valor de 6 temos I cos r B wy 6 60 Figura P18158 e que 0 eixo do giroscépio oscila em torno da diregio nortesul 18C1 Um arame de segio transversal uniforme pesando 60 gm é usado para formar a estrutura mostrada na figura que é suspensa pelo cordéo AD Um im pulso F At 25 N sj é aplicado a estrutura no ponto E Use um programa de computador para calcular e representar por graficos imediatamente apdés o impacto valores de 6 variando de 0 a 180 a a velocidade do centro de massa G da estrutura b a velocidade angular da estrutura y f 90 mm GD cl a 60 mm c E C 60 mm SY x 90 mm FAt Figura P18C1 18C2 Uma sonda de 2500 kg em Grbita ao redor da Lua tem 24 m de altura e bases octogonais com lados de 12 m Os eixos de coordenadas mostrados na figura siio os eixos centroidais principais de inércia da sonda e seus raios de gi racdo sao k 098 m k 106 mek 102 m A sonda é equipada com um propulsor principal de 500 N de empuxo E e com quatro propulsores de 20 N de empuxo A B C e D que podem expelir propelente no sentido y positivo A sonda tem uma velocidade angular wi wk quando dois dos propulsores de 20 N siio usados para reduzir a velocidade angular a zero Use um programa de com putador para determinar para qualquer par de w e w menor que ou igual a 006 rads quais propulsores poderao ser usados e por quanto tempo poderao ser ati vados Use esse programa de computador considerando que w tem a a velocida de angular dada no Problema 1833 b a velocidade angular do Problema 1834 c 006 radsi 002 radsk d w 006 radsi 002 radsk y oo 12m gg a 24m a S x E Figura P18C2 1214 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica 18C3 Um bindrio M 005 N mi é aplicado a um conjunto formado por pedacgos de chapa de aluminio de espessura uniforme e massa total de 15 kg soldados a um eixo leve apoiado em mancais em A e B Use um programa de computador para determinar as reagGes dindmicas exercidas pelos mancais sobre o eixo em qualquer instante apds a aplicagio do bindrio Decomponha essas reacdes em componentes orientados ao longo dos eixos y e z girando com 0 conjunto a Calcule e represente graficamente os componentes das reagées de t 0 até t 2s em intervalos de 01 s b Determine o instante em que os componentes z das reagées em A e B sao iguais a zero y 150 mm 150 mm st A 150 mm D 150 mm Cc E 150 mm B 150 mm se wane SO mm x Figura P18C3 18C4 Um disco homogéneo de 25 kg e raio de 80 mm pode girar em relagao ao brago ABC que esta soldado a um eixo DCE apoiado por mancais em D e E Tanto o brago como o eixo tém massa desprezivel No instante 0 um bindrio M 05 N mk é aplicado ao eixo DCE Sabendo que em t 0 a velocidade angular do disco é 60 radsj e que o atrito no mancal em A faz com que a intensidade de w decresca A taxa de 15 rads determine as reagdes dindmicas exercidas sobre o eixo pelos mancais em D e E em qualquer instante t Decom ponha essas reagdes em componentes orientados ao longo dos eixos x e y que giram com o eixo Use um programa de computador a para calcular os compo nentes das reagdes de t 0 até t 4s b para determinar os instantes f e t em que os componentes x e y das reagées em E siio respectivamente iguais a zero y E 150 mm a A 120 mm 150 mm Cc 80 mm D SS B AA SF 2 Mo Cris z NI Figura P18C4 Capitulo 18 Cinética de corpos rigidos tridimensionais 1215 18C5 Um disco homogéneo de 180 mm de raio esté soldado a uma barra AG de 360 mm de comprimento e massa desprezivel que est conectada por CIS um grampo a um eixo vertical AB A barra e o disco podem girar livremente em torno de um eixo horizontal AC e 0 eixo AB pode girar livremente em torno de um eixo vertical Inicialmente a barra AG faz um dado Angulo 6 com a vertical x para baixo e sua velocidade angular 6 em torno de AC 6 nula O eixo AB atinge B entaio uma velocidade angular em torno da vertical Use um programa de A computador a para calcular 0 valor minimo do Angulo 6 no movimento C subsequente e o periodo de oscilacgado em 6 ou seja o tempo necessario para 0 C readquirir seu valor inicial 0 b para calcular a velocidade angular do eixo 180 mm AB para valores de 6 variando de 6 até 6 Use esse programa com as condi Goes iniciais i 6 90 b 5 rads ii 05 90 by 10 rads iti 0 60 d 5 rads Dica Use o principio de conservagao de energia e 0 fato de 360 mm que a quantidade de movimento angular do corpo em relagio ao eixo vertical passando por A se conserva para obter uma equagio da forma G f0 Essa equagao pode ser integrada por um método numérico 18C6 Um disco homogéneo de 180 mm de raio esta soldado a uma barra AG Figura P18C5 de 360 mm de comprimento e massa desprezivel que esta suspensa por uma junta articulada em A O disco é liberado na posigao 6 6 com uma taxa de rotacao propria wy um taxa de precessao e uma taxa de nutagiio nula Use um programa de computador a para calcular o valor minimo 6 do Angulo 6 no mo vimento subsequente e o periodo de oscilagao em 6 ou seja o tempo necessario para 6 readquirir seu valor inicial 6 b para calcular a taxa de rotacao propria e a taxa de precessio para valores de 6 variando de até 0 usando a 2 ordem Use esse programa com as condigées iniciais i 8 90 yy 50 rads f 0 ii 0 90 fy 0 by 5 rads iii 8 90 hy 50 rads by 5 rads iv 6 90 Ww 10 rads h 5 rads v 0 60 fy 50 rads 6 5 rads Dica Use 0 principio de conservacio de energia e o fato de que a quantidade de movimento angular do corpo conservase em relagdo a ambos os eixos Z e z para obter uma equacao da forma f Essa equacio pode ser integrada por um método numérico Z cls A ot 360 mm VY r180mm Figura P18C6 O amortecedor de vento do Taipei 101 ajuda a proteger de tufões e terremotos reduzindo os efeitos do vento e da vibração na construção Sistemas mecânicos podem estar sujeitos a vibrações livres ou a vibrações forçadas As vibrações são amortecidas quando há dissipação de energia e não amortecidas no caso contrário Este capítulo é uma introdução para muitos conceitos fundamentais na análise de vibração BeerDinamica19indd 1216 BeerDinamica19indd 1216 050712 1342 050712 1342 Vibrações mecânicas 19 C A P Í T U L O BeerDinamica19indd 1217 BeerDinamica19indd 1217 050712 1342 050712 1342 1218 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica l Vibragées mecdnicas 191 Introducao v Uma vibragaéo mecdnica é 0 movimento de uma particula ou de um cor 191 Introdugao po que oscila em torno de uma posicao de equilibrio A maior parte das Vibragoes sem vibragdes em maquinas e estruturas é indesejével devido ao aumento amortecimento de tensGes e as perdas de energia que as acompanham Elas deveriam 192 Vibracoes livres de portanto ser eliminadas ou reduzidas tanto quanto possivel por meio particulas Movimento d jetos ad dos A anidlise de vibragdes tem se tomado cada vez harménico simples Projenos Beas ti devidod 6 dénci 1 ee 193 Péndulo simples Solugéo mais importante nos ultimos anos devi oa ten encla atua por maquinas Aproximada de altas velocidades e de estruturas mais leves Existem muitas razGes 194 Péndulo simples Solugéo para esperar que essa tendéncia permanega e que uma necessidade ainda Exata maior de analise de vibragdes ocorra no futuro 195 Vibracées livres de corpos A anilise de vibragdes é um tema muito extenso aos quais textos in rigidos teiros tém sido dedicados Nosso presente estudo consequentemente 196 Aplicacdo do principio de sera limitado a tipos simples de vibragdes a saber as vibragdes de um conservacdo de energia corpo ou de um sistema de corpos com um grau de liberdade 197 Vibragées forgadas Uma vibrago mecanica é geralmente produzida quando um siste Vibracées amortecidas ma é deslocado de sua posigao de equilibrio estavel O sistema tende a 198 Vibragées livres amortecidas retornar a essa posigio sob a agio de forgas restauradoras sejam forgas 199 Vibracdes forcadas elasticas como no caso de uma massa ligada a uma mola ou forgas gra amortecidas vitacionais como no caso de um péndulo Mas o sistema em geral atin 1910 Andlogos elétricos ge sua posigao original com certa velocidade adquirida que o leva além 5 dessa posigiio Como 0 processo pode ser repetido indefinidamente o sistema mantémse em movimento oscilatério ao redor de sua posicao de equilibrio O intervalo de tempo necessdrio para o sistema completar um ciclo inteiro do movimento é chamado de periodo da vibragaio O nimero de ciclos por unidade de tempo define a frequéncia e o deslocamento maximo do sistema de sua posigdo de equilibrio é chamado de amplitude da vibracao Quando 0 movimento é mantido somente pelas forgas restauradoras a vibragao é denominada vibracdo livre Segdes de 192 a 196 Quando uma fora periddica é aplicada ao sistema o movimento resultante é des crito como uma vibragdo forgada Secao 197 Quando os efeitos do atri to podem ser desprezados as vibragGes sao ditas ndo amortecidas En tretanto todas as vibragdes sAo realmente amortecidas em algum grau Se uma vibragao livre é apenas ligeiramente amortecida sua amplitude decresce lentamente até depois de certo tempo o movimento cessar Mas se 0 amortecimento for grande o suficiente para impedir qualquer vibragio real o sistema entao retoma lentamente a sua posicao original Secao 198 Uma vibragao forcada amortecida é mantida durante todo o tempo em que a forga periédica que produz a vibragio é aplicada A amplitude da vibragao entretanto é afetada pelas intensidades das forgas de amortecimento Secao 199 VIBRACOES SEM AMORTECIMENTO 192 Vibracées livres de particulas Movimento harménico simples Considere um corpo de massa m ligado a uma mola de constante k Fig 191a Como neste momento estamos preocupados somente com oO movimento de seu centro de massa nos referimos a esse corpo como uma particula Quando a particula esté em equilibrio estatico as forgas que agem sobre ela sao seu peso W e a forca T exercida pela mola de Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1219 intensidade T k6 onde 6 representa a elongacdo da mola Temos Eee portanto 3 W ké 2 Considere agora que a particula é deslocada ao longo de uma distancia Vaal x de sua posicaio de equilibrio e é liberada com velocidade inicial nula Nao deformada Tkd ec Se x for escolhido como sendo menor que 6 a particula vai oscilar be em torno de sua posicao de equilibrio uma vibracao de amplitude x tera sido produzida Note que a vibragao também pode ser produzida comunicandose certa velocidade inicial 4 particula quando ela esta em Equilibrio sua posicao de equilibrio x 0 ou de modo mais geral pondo a particula Ww em movimento a partir de qualquer posico dada x x com uma dada velocidade inicial vy Para analisar a vibragéo consideremos a particula em uma posicgdo P em algum instante arbitrario t Fig 19 Ib Representando por x o des xm ocamento OP medido a partir da posico de equilibrio O positivo para S S baixo observamos que as forgas que atuam sobre a particula sao seu 2 peso W e a forca T exercidos pela mola que nessa posigao tem uma in S tensidade T k6 x Recordando que W ké constatamos que a 2 intensidade da resultante F das duas forgas positivo para baixo é é T k os x FWK6 x kx 191 waa x Assim a resultante das forcas exercidas sobre a particula é proporcional Paine ao deslocamento OP medido a partir da posigao de equilibrio Recordan p do a convengao de sinal verificamos que F é sempre dirigida ao longo da posigao de equilibrio O Substituindo F na equacdo fundamental F ma X COT Ww T e recordando que a é a segunda derivada x de x em relacao at escrevemos ma ni mx kx 0 192 b Figura 191 Observe que a mesma convencao de sinal deve ser utilizada para a acele racao X e para o deslocamento x a saber positivo para baixo O movimento definido pela Eq 192 6 chamado movimento har ménico simples Ele é caracterizado pelo fato de que a aceleragao é pro porcional ao deslocamento de diregdo e sentido oposto Podemos veri ficar que cada uma das fungGdes x sen Vkm t e x2 cos Vkm t satisfaz a Eq 192 Essas fungdes portanto constituem duas solugées particulares da equacao diferencial 192 A solugdo geral da Eq 192 é obtida multiplicandose cada uma das solugées particulares por uma constante arbitraria e adicionandoas Assim a solugao geral é expressa como n eae Cre Cao Vi x Cyx Coxvg Cysen t Cy cos t 193 m m Observamos que x é uma fungdao periddica do tempo t e que portanto representa uma vibragio da particula P O coeficiente de t na expressio que obtivemos é chamado de frequéncia natural circular da vibragio e é representado por w Temos Aas k Frequéncia natural circular de 194 1220 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Substituindo Vkm na Eq 193 escrevemos x Csen wt Cy cos wyt 195 Essa é a solugao geral da equagiio diferencial ox0 196 que pode ser obtida a partir da Eq 192 dividindose ambos os ter mos por m e observando que km w Diferenciando duas vezes am bos os membros da Eq 195 em relagado a t obtemos as seguintes expressGes para a velocidade e a aceleracao no instante t v x Cia cos wt Cow sen wt 197 a X Cy sen wt Cw cos wt 198 Os valores das constantes C e C dependem das condiées iniciais do movimento Por exemplo temos C 0 se a particula é deslocada de sua posicao de equilibrio e liberada em t 0 com velocidade inicial nula e temos C 0 se a particula parte de O emt 0 com determinada velo cidade inicial Em geral substituindo t 0 e os valores iniciais x e v do deslocamento e da velocidade nas Eqs 195 e 197 encontramos que C v fw eC Xp As expressdes obtidas para o deslocamento velocidade e aceleragao de uma particula podem ser escritas de forma mais compacta se obser varmos que a Eq 195 expressa que o deslocamento x OP 6 a soma dos componentes x de dois vetores C e C respectivamente de inten sidades C e C dirigidos como mostrado na Fig 192a Quando varia ambos os vetores giram no sentido horario constatamos também que a intensidade da sua resultante OQ é igual ao deslocamento maximo x O movimento harménico simples de P ao longo do eixo x pode assim ser obtido projetandose neste eixo o movimento de um ponto Q que descre ve uma circunferéncia auxiliar de raio x com uma velocidade angular constante w o que explica o nome de frequéncia natural circular dado para w Representando por o Angulo formado pelos vetores OQ e C escrevemos OP OO sen wt o 199 que conduz a novas equagées para o deslocamento velocidade e acele racio de P x x sen t 1910 0 X XW COS wt d 1911 a xw sen wt 1912 A curva deslocamentotempo representada por uma curva senoidal Fig 192b o valor maximo x do deslocamento é chamado amplitude da vibragao e o angulo que define a posigio inicial de Q no circulo é chamado éngulo de fase Verificamos a partir da Fig 192 que um ciclo completo é descrito quando o angulo wt aumenta em 277 rad O valor correspondente de t representado por T 6 chamado periodo da vibracgao livre e é medido em segundos Temos Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1221 xp i wa Ser NL Seo YOUN Xm T a b Figura 192 periodo 7 n 193 n O ntimero de ciclos descritos por unidade de tempo é representado por f e conhecido como a frequéncia natural da vibracgao Escrevemos Frequenca nasal 1914 requéncia natural f 7 On A unidade de frequéncia é uma frequéncia de 1 ciclo por segundo correspondente a um periodo de 1 s Em termos de unidades bisicas a unidade de frequéncia é entao 1s ou s Ela é chamada hertz Hz no sistema de unidades SI Seguese também da Eq 1914 que uma frequéncia de 1s ou 1 Hz corresponde a uma frequéncia circular de 2a rads Em problemas que envolvem velocidades angulares expres sas em rotagdes por minuto rpm temos 1 rpm gp 5 a Hz ou 1 rpm 2760 rads Recordando que w foi definido em 194 em termos da constan te k da mola e da massa m da particula observamos que o periodo e a frequéncia sao independentes das condigées iniciais e da amplitude da vibracao Veja que 7 e f dependem da massa e nao do peso da particula e assim sio independentes do valor de g As curvas velocidadetempo e aceleragaéotempo podem ser repre sentadas por curvas senoidais de mesmo periodo que a curva desloca mentotempo mas com Angulos de fase diferentes A partir das Eqs 19 f 11 e 1912 verificamos que os valores maéximos das intensidades da a velocidade e da aceleragio sao va Um Xmn Ain Xe 1915 oto Como o ponto Q descreve a circunferéncia auxiliar de raio x a uma i velocidade angular constante w sua velocidade e aceleracao sao Noto iguais respectivamente as expressdes 1915 Recordando as Eqs P a X po 1911 e 1912 constatamos portanto que a velocidade e a ace PO leracgio de P podem ser obtidas em qualquer instante pela projegao out no eixo x de vetores de intensidade v x d X represen Van Xmn tando respectivamente a velocidade e a aceleragao de Q no mesmo x instante Fig 193 Figura 193 1222 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica Os resultados obtidos nao estao limitados a solugao do problema de uma massa ligada a uma mola Eles podem ser usados para analisar o movimento retilineo de uma particula sempre que a resultante F das forgas que atuam sobre a particula seja proporcional ao deslocamento x e dirigida para O A equacao fundamental do movimento F ma pode entio ser escrita sob a forma da Eq 196 que é caracteristica de um movimento harménico simples Observando que o coeficiente de x deve ser igual a w podemos facilmente determinar a frequéncia circular na tural w do movimento Substituindo o valor obtido para w nas Eqs 1913 e 1914 obtemos entio o periodo 7 e a frequéncia natural f do movimento 193 Péndulo simples solucao aproximada l A maioria das vibragdes encontradas em aplicagdes de engenharia pode ser representada por um movimento harménico simples Muitas outras ao embora de tipos diferentes podem ser aproximadas por um movimento ota harménico simples contanto que suas amplitudes permanecgam peque nas Considere por exemplo um péndulo simples consistindo em um a péndulo de massa m ligada a uma corda de comprimento que pode oscilar em um plano vertical Fig 194a Em um determinado instante t a corda forma um Angulo 6 com a vertical As forcas que agem sobre o péndulo sao seu peso W e a forga T exercido pela corda Fig 194 t may Decompondo o vetor ma em componentes tangencial e normal com ma dirigido para a direita isto 6 na diregao e sentido correspondente aos ao may valores crescentes de 6 e observando que a la 16 escrevemos F ma W sen 6 ml6 w Sabendo que W mg e dividindo tudo por ml obtemos 6 esena 0 1916 b i Figura 194 yw os Para oscilagdes de pequena amplitude podemos substituir sen 6 por 8 expresso em radianos e escrevemos 2 6 7 0 1917 A comparacao com a Eq 196 mostra que a equagiio diferencial 1917 é ade um movimento harménico simples com uma frequéncia natural circular w igual a gl A solucao geral da Eq 1917 pode portanto ser expressa como 6 6 sen wt o onde 6 a amplitude das oscilagées e é um Angulo de fase Substi tuindo na Eq 1913 o valor obtido para w obtemos a seguinte expres so para o periodo das pequenas oscilagdes de um péndulo de compri mento I Qa l 12 am 1918 On g Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1223 194 Péndulo simples solugdo exata A Eq 1918 é apenas uma solugio aproximada Para obter uma expres sio exata para o periodo das oscilagdes de um péndulo simples devemos retornar Eq 1916 Multiplicando ambos os termos por 26 e integran do de uma posigio inicial correspondente 4 maxima deflexio isto é 8 6 8 0 escrevemos do 2g cos 6 cos 6 7d i n Substituindo cos por 1 2 sen 02 e cos 0 por uma expressiio and loga resolvendo para dt e integrando em um quarto do periodo partindo det 06 Oatét 74 6 0 temos 1 do 8 Jo sen62 sen62 A integral de lado direito da equacao é uma integral elfptica ela nio pode ser expressa em termos das fungées algébricas ou trigonométricas usuais Entretanto fazendo sen 02 sen 02 sen podemos escrever 1 172 d 7 at Pe 1919 SJo V1 sen62 sen onde a integral obtida comumente representada por K pode ser calcula da usandose um método numérico de integragao Essa integral também pode ser encontrada em tabelas de integrais elipticas para varios valores de 62 A fim de comparar o resultado aqui obtido com o resultado da secao precedente escrevemos a Eq 1919 sob a forma 2K l t 2n 1920 7 g A Eq 1920 mostra que o valor real do periodo de um péndulo simples pode ser obtido multiplicandose 0 valor aproximado dado na Eq 1918 pelo fator de corregao 2K7 Na Tabela 191 sao apresentados valores do fator de corregio para varios valores da amplitude 6 Verificamos que para célculos comuns de engenharia o fator de correco pode ser omiti do desde que a amplitude nao exceda 10 Tabela 191 Fator de corregdo para o periodo de um péndulo simples 6 o 10 20 30 6090 120150 180 K 1571 1574 1583 1598 1686 1854 2157 2768 00 2K7 1000 1002 1008 1017 1073 1180 1373 1762 o0 Ver por exemplo Standard Mathematical Tables Chemical Rubber Publishing Com pany Cleveland Ohio PROBLEMA RESOLVIDO 191 4kN ss ky m S Um bloco de 50 kg se move entre guias verticais como mostra a figura O tT bloco é puxado até 40 mm abaixo de sua posigao de equilibrio e liberado ky6kNm Para cada combinacao de molas determine 0 perfodo da vibracao a veloci Ss dade maxima do bloco e a acelerag4o maxima desse bloco a b SOLUCAO a Molas presas em paralelo Inicialmente determinamos a constan te k de uma mola tinica equivalente 4s duas molas encontrando a intensida Se de da forga P necessaria para produzir uma dada deflexio 6 Uma vez que a para uma deflexio 6 as intensidades das forgas exercidas pelas molas sao yp Be ke respectivamente k6 e k6 temos 8 Pk6k6 k kd A constante k da mola tinica equivalente é P P k so ky ky 4kNm 6kNm 10 kNm 104 Nm Periodo de vibragéo Como m 50 kg a Eq 194 resulta em k 10N o aa w 1414 rads m 50 kg tT 20o T 0444s Velocidade mdxima v X 0040 m1414 rads v 0566 ms v 9566 mst Aceleragéo maxima a x 0040 m1414 rads a 800 ms a 800ms b Molas presas em série Determinamos inicialmente a constante k da mola tinica equivalente as duas molas encontrando a elongagéo total 6 to of dessas molas sob a agio de uma carga estética dada P Visando facilitar os 4 Ss 8 calculos uma carga estatica de intensidade P 12 kN é utilizada P P 12 kN 12 kN x 66 6 4 5 pe 2k ky 4KNm 6KNm o 283 P 12kN 8 Ss k 24kNm 2400 NAn 6 5m k 2400 N Periodo de vibragéo w sa w 693 rads P m 50 kg 2 T at T 0907s 4 Wy Velocidade maxima w xv 0040 m693 rads v 0277 ms v 0277 mst Aceleragdo maxima a x 0040 m693 rads a 1920 ms a 1920ms ste capitulo trata de vibragées mecanicas ou seja do movimento de uma particula ou corpo que oscila em torno de uma posicao de equilibrio Nesta primeira lio vimos que uma vibragdo livre de uma particula ocorre quando essa particula esta sujeita a uma forca proporcional ao seu deslocamento e de diregio oposta tal como a forga exercida por uma mola Fig 191 O movimento resultante chamado movimento harménico sim ples é caracterizado pela equacao diferencial mx kx 0 192 onde x é 0 deslocamento da particula x é sua aceleragao m é sua massa e k é a constante da mola A solugio encontrada para essa equagao diferencial foi x x sen wt 1910 onde x amplitude da vibragaio w Vkm frequéncia natural circular rads o Angulo de fase rad Também definimos 0 pertodo da vibragaéo como o tempo 7 277w necessdrio para a particula completar um ciclo e a frequéncia natural como o nimero de ciclos por segundo f 1r w27 expressa em Hz ous Diferenciando a Eq 1910 duas vezes obtemos a velocidade e a aceleragio da particula em qualquer instante Os valores maximos encontrados da velocidade e da aceleragaio foram On XnOmn Qn X 1915 Para determinar os parametros da Eq 1910 vocé pode seguir estes passos 1 Desenhe um diagrama de corpo livre mostrando as forcas exercidas sobre a particula quando essa particula esta a uma distancia x de sua posico de equilibrio A resultante dessas forgas sera proporcional ax e seu sentido sera oposto ao sentido positivo de x Eq 191 2 Escreva a equacdo diferencial do movimento igualando 4 mx a resultante das forcas encontradas no passo 1 Note que uma vez que uma diregio positiva para x tenha sido escolhida a mesma convencao de sinal deve ser usada para a aceleragao x Depois da transposicao vocé vai obter uma equacao na forma da Eq 192 continua 3 Determine a frequéncia natural circular w dividindo o coeficiente de x pelo coeficien te de x nessa equagio e tomando a raiz quadrada do resultado obtido Certifiquese que w esta expresso em rads 4 Determine a amplitude x e o Gngulo de fase substituindo o valor obtido por w e os valores iniciais de x e x na Eq 1910 e a equagao obtida diferenciando a Eq 1910 em relagao at A Eq 1910 e as duas equagées obtidas diferenciando a Eq 1910 duas vezes em relagao a t po dem agora ser usadas para encontrar 0 deslocamento a velocidade e a aceleragio da particula em um instante qualquer As Eqs 1915 produzem a velocidade maxima v e a aceleracaéo maxima 4 5 Vocé também observou que para pequenas oscilagcoes de um péndulo sim ples o Angulo que a corda do péndulo forma com a vertical satisfaz a equagao diferencial fo 67a0 1917 onde é 0 comprimento da corda e 6 é expresso em radianos Seco 193 Essa equagio define no vamente um movimento harménico simples e sua solugéo tem a mesma forma que a Eq 1910 6 6 sen wt d onde a frequéncia natural circular w V gl é expressa em rads A determinagao das varias constantes dessa expressio é realizada de maneira similar 4 da descrita anteriormente Lembrese de que a velocidade do péndulo é tangente a trajet6ria e que sua intensidade é v 10 enquanto a aceleracao do péndulo tem um componente tangencial a de intensidade a 18 e um componen te normal a dirigido para o centro da trajetoria e de intensidade a 16 191 Determine a velocidade maxima e a aceleragéo maxima de uma par ticula que se move em movimento harménico simples com uma am J plitude de 5 mm e um periodo de 01 s Ss 4kNm 192 Determine a amplitude e a velocidade maxima de uma particula que 2 se move em movimento harménico simples com uma aceleracgio ma xima de 60 ms e uma frequéncia de 40 Hz 15 kg 193 Uma particula se move em movimento harménico simples Sabendo que a amplitude é de 300 mm e a aceleragaio maxima é de 5 ms Figura P194 determine a velocidade maxima da particula e a frequéncia de seu movimento 194 Um bloco de 15 kg é suportado pela mola como mostrado na figu ra Se o bloco é movido verticalmente para baixo até sua posigao de equilibrio e liberado determine a 0 perfodo e a frequéncia do mo vimento resultante b a velocidade maxima e a aceleracio maxima Y k 12kNm do bloco se a amplitude de seu movimento é 50 mm S 195 Um bloco de 32 kg é ligado a uma mola e pode moverse sem atrito S em um rasgo como mostrado na figura O bloco esta na sua posicao de equilibrio quando é atingido por um martelo que lhe confere uma ve locidade inicial de 250 mms Determine a 0 periodo e a frequéncia Figura P195 do movimento resultante b a amplitude do movimento e a acelera do maxima do bloco 196 Um péndulo simples consistindo de um peso ligado a uma corda osci la em um plano vertical com um periodo de 13 s Considerando um movimento harménico simples e sabendo que a velocidade maxima l do péndulo é de 400 mms determine a a amplitude do movimento em graus D a aceleragio tangencial maxima do peso i Za Za 197 Um péndulo simples consistindo de um peso ligado a uma corda de ss oem comprimento 800 mm oscila em um plano vertical Consideran do um movimento harm6nico simples e sabendo que o péndulo é Figura P196 e P197 liberado do repouso quando 6 6 determine a a frequéncia de oscilagao b a velocidade maxima do peso a 198 Uma caixa de instrumento A esta aparafusada numa mesa vibratéria como mostrado na figura A mesa se movimenta verticalmente em co movimento harménico simples na mesma frequéncia do motor de rotagio varidvel que a impulsiona A caixa deve ser testada para uma aceleracio de pico de 50 ms Sabendo que a amplitude da mesa vi bratéria é de 60 mm determine a a rotacdo requerida do motor em Lee oeeat rpm b a velocidade maxima da mesa eee 199 O movimento de uma particula é descrito pela equacio x 5 sen 2t 4 cos 2t onde x é expresso em metros ef em segundos Determine ee a 0 periodo do movimento sua amplitude c seu Angulo de fase Figura P198 1228 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica ey FT 1910 Um pacote de instrumento B é colocado na mesa C como mostrado na figura A mesa foi projetada para se deslocar horizontalmente em SOOOOOOO6 movimento harménico simples com uma frequéncia de 3 Hz Saben do que 0 coeficiente de atrito estatico p é igual a 040 determine a Figura P1910 maior amplitude possivel do movimento para que o pacote nao desli ze Na mesa 1911 Um bloco de 32 kg ligado a uma mola de constante k 12 kNm pode se mover sem atrito em um rasgo como mostrado na figura O bloco sofre um deslocamento inicial de 300 mm para baixo a partir da sua posicaéo de equilibrio e é liberado Determine 15 s depois de o bloco ter sido liberado a a distancia total percorrida pelo bloco b a aceleragio do bloco id k 12kNm S S wy Figura P1911 S k 1912 Um bloco de 2 kg 6 suportado como mostrado na figura por uma g Pp g P S mola de constante k 400 Nm que pode atuar em tracio ou com que p d pressio O bloco esta na sua posigéo de equilibrio quando ele é atin gido por baixo por um martelo que Ihe confere uma velocidade as A m cendente de 25 ms Determine a 0 tempo requerido para o bloco se mover 100 mm para cima b as correspondentes velocidade e Figura P1912 aceleragio do bloco 1913 No Problema 1912 determine a posicao velocidade e aceleragio do bloco 090 s apés ter sido atingido pelo martelo 1914 O peso de um péndulo simples de comprimento 800 mm é li berado do repouso quando 5 Considerando um movimento harménico simples determine 16 s apés a liberacao a 0 Angulo 6 b as intensidades da velocidade e aceleragao do peso I l I a Za NL im a Figura P1914 Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1229 1915 Umcolar de 5 kg repousa sobre a mola mostrada na figura 4 qual nao esta preso Observase que quando o colar é empurrado 180 mm ou mais para baixo e liberado ele perde contato com a mola Determine a a constante da mola b a posigao a velocidade e a aceleracgaio do colar 016 s apés ter sido empurrado 180 mm para baixo e liberado 1916 Um colar C de 8 kg pode deslizar sem atrito sobre uma barra hori A m zontal entre duas molas idénticas A e B nas quais nao esté preso Cada mola tem uma constante k 600 Nm O colar é empurrado para a 5 k esquerda contra a mola A comprimindo esta em 20 mm e liberado ZG na posicgéo mostrada na figura Ele entao desliza ao longo da barra a para a direita e atinge a mola B Apés comprimir esta mola em 20 mm o colar desliza para esquerda e atinge a mola A que 6 compri Figura P71915 mida de 20 mm O ciclo é entao repetido Determine a 0 periodo do movimento do colar b a velocidade do colar 15 s depois de ter sido liberado Nota Isto é um movimento periddico mas nfo um movimento harménico simples 60 mm A B 20 mm Figura P1916 1917 e 1918 Um bloco de 35 kg é suportado pelo sistema de molas mos trado na figura O bloco é movido verticalmente para baixo a partir de sua posicao de equilibrio e liberado Sabendo que a amplitude do movi J mento resultante é de 45 mm determine a 0 perfodo e a frequéncia do movimento b a velocidade maxima e a aceleracio maxima do bloco 16 kNm e oe 16kNm 16kNm 35 kg 35 kg Figura P1918 y 8 kNm 8 kNm 115 kg 20 4kNm Figura P1917 32kNim 1919 Um bloco de 15 kg é suportado pelo sistema de molas mostrado na 24 kKNm figura Se o bloco é movido 40 mm verticalmente para baixo da sua po i sigéo de equilibrio e liberado determine a 0 periodo e a frequéncia do é é movimento resultante b a velocidade maxima e a aceleracao do bloco Figura P1919 1230 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1920 Um bloco de 5 kg preso a extremidade inferior de uma mola cuja J extremidade superior é fixa vibra com um periodo de 68 s Sabendo ak que a constante k da mola é inversamente proporcional ao seu com primento determine o periodo de um bloco de 3 kg que estd preso ao centro da mesma mola se as extremidades superior e inferior da mola k forem fixas 1921 Um bloco de 15 kg é suportado pelo sistema de molas mostrado na k figura O bloco é movido 20 mm verticalmente para baixo da sua posicgao de equilibrio e entado liberado Sabendo que o periodo do Q movimento resultante é de 15 s determine a a constante k b a velocidade maxima e a aceleragio maxima do bloco g 1922 Duas molas de constantes k e k estio unidas em série a um bloco Figura P1921 A que vibra em movimento harménico simples com um periodo de 5s Quando as duas mesmas molas sfio unidas em paralelo ao mesmo bloco este vibra com um perfodo de 2 s Determine a raziio kk das duas constantes de mola 3 Sho be oh i Lf S 3 ii e Y Figura P1922 MP 15 kg B 1923 Observouse que o periodo de vibracao do sistema mostrado na figura q P g é de 06 s Apos o cilindro B ser removido 0 periodo observado é de Figura P1923 05 s Determine a a massa do cilindro A b a constante da mola 1924 Observouse que 0 periodo de vibragiio do sistema mostrado na figura é de 08 s Se o bloco A é removido o periodo observado é de 07 s Determine a a massa do bloco C b 0 periodo de vibragéo quando os blocos A e B sio removidos a a 6 neal Figura P1924 ky 4kNm TP 1925 O periodo de vibracgéo do sistema mostrado na figura observado é de 02 s Depois que a mola de constante k 4 kNm é removida e o bloco A preso a mola de constante k o perfodo observado é de 012 s Determine a a constante k da mola que restou b a massa Figura P1925 do bloco A Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1231 1926 Uma plataforma A de 50 kg é presa nas molas B e D cada uma das quais tem uma constante de k 2 kNm Sabendo que a frequéncia de vibragio da plataforma permanece inalterada quando um bloco de B C Ss D 40 kg é colocado sobre ela e uma terceira mola C é adicionada entre Ss Ss Ss as molas B e D determine a constante requerida da mola C Ss ss S zs 2 1927 A partir da resisténcia dos materiais sabese que quando uma carga a a a estatica P é aplicada 4 extremidade B de uma barra de metal uniforme engastada na extremidade A 0 comprimento da barra tem um incre Figura P1926 mento 6 PLAE onde L é 0 comprimento nao deformado da barra A a area da seco transversal e E é 0 médulo de elasticidade do mate rial Sabendo que L 450 mm E 200 GPa e que o didmetro da bar ra 8 mm e desprezando o peso da barra determine a a constante de mola equivalente da barra b a frequéncia da vibragao vertical de um bloco de massa m 8 kg preso a extremidade B da mesma barra C C L L L B L B oo r r P a b Figura P1927 1928 A partir da resisténcia dos materiais sabese que para uma viga en gastada de segio transversal uniforme uma carga estatica P aplicada P na extremidade B causara uma deflexio 5 PL3EI onde L é 0 A comprimento da viga E é o médulo de elasticidade e I 6 o momen Ps to de inércia da segio transversal da viga Sabendo que L 3 m E 230 GPae I 5 X 10 mm determine a a constante de mola B equivalente da viga b a frequéncia de vibracao de um bloco de 250 L kg preso na extremidade B da mesma viga Figura P1928 1929 Uma deflexfio de 40 mm no segundo piso de um edificio é medi da diretamente abaixo de uma maquina rotativa de 4000 kg recém instalada que possui um rotor com um pequeno desbalanceamento Considerando que a deflexio do piso é proporcional a carga que ele suporta determine a a constante de mola equivalente do conjunto do piso b a rotagéo da maquina em rpm que deve ser evitada para nao coincidir com a frequéncia natural do sistema maquinapiso 1930 A equagao de forgadeflexfio para uma mola nao linear engastada em uma extremidade é F 5x onde Féa forga expressa em newtons aplicada 4 outra extremidade e x é a deflexfio expressa em metros a Determine a deflexio x se um bloco de 120 g estiver suspenso pela mola e em repouso b Considerando que a inclinagéo da curva deflexaoforga no ponto correspondente a esta carga pode ser utiliza da como uma constante de mola equivalente determine a frequéncia de vibracio do bloco se esse bloco for ligeiramente deslocado para baixo da sua posigao de equilibrio e liberado 1232 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica B 1931 Se h 700 mm e d 500 mm e cada mola tem uma constante m k 600 Nm determine a massa m para a qual o periodo de pequenas oscilagGes é a 050 s b infinito Despreze a massa da barra e consi dere que cada mola pode atuar tanto trago como em compressio h 1932 Representando por 6 a deflexao estatica de uma viga submetida a uma VWia1 bey determinada carga mostre que a frequéncia de vibragiio da carga é d joi fe ot Qa Sest Figura P1931 Despreze a massa da viga e considere que a carga permanece em contato com a viga 1933 Expandindo o integrando da Eq 1919 da Segio 194 em uma série de poténcias pares de sen e integrando mostre que o perfodo de um péndulo simples de comprimento pode ser aproximado pela f6rmula l 2 Om T Ne sen g 2 onde 6 a amplitude das oscilagées 1934 Usando a férmula dada no Problema 1933 determine a amplitude 6 para a qual o periodo de um péndulo simples é mais longo que o periodo do mesmo péndulo considerando pequenas oscilagées 1935 Usando os dados da Tabela 191 determine o perfodo de um péndulo simples de comprimento 750 mm a para pequenas oscilagGes b para oscilagdes de amplitude 6 60 c para oscilagdes de am plitude 6 90 1936 Usando os dados da Tabela 191 determine 0 comprimento em mi limetros de um péndulo simples que oscila com um periodo de 2 s e uma amplitude de 90 195 Vibracées livres de corpos rigidos A anilise das vibragdes de um corpo rigido ou de um sistema de corpos rigidos que possui um tinico grau de liberdade é andloga a andlise das vibragdes de uma particula Uma varidvel apropriada tal como uma dis tancia x ou um Angulo 9 é escolhida para definir a posigao do corpo ou sistema de corpos e uma equacio relacionando essa variavel e sua deri vada segunda em relacao at é escrita Se a equacao obtida for da mesma forma que 196 isto é se tivermos wrx 0 ou 6 26 0 1921 a vibragao considerada seré um movimento harménico simples O pe riodo e a frequéncia natural da vibragao podem entao ser obtidos identi ficandose w e substituindo seu valor nas Eqs 1913 e 1914 Em geral um modo simples de se obter uma das Eqs 1921 é ex pressar que o sistema de forgas externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas tragando um diagrama de corpo livre para um valor arbitrario da varidvel e escrevendo a equacao de movimento apropriada Recorriamos Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1233 que nosso objetivo devia ser a determinagdo do coeficiente da variavel x ou y 6 endo a determinagio da varidvel em si ou das derivadas ou 8 Fazendo T or este coeficiente igual a w obtemos a frequéncia natural circular a par i tir da qual 7 ef podem ser determinados 5b O método apresentado pode ser utilizado para analisar vibragdes ba 3 que sejam de fato representadas por um movimento harménico sim ys 4 ples ou vibragGes de pequena amplitude que possam ser aproximadas b i por um movimento harmdénico simples Como um exemplo vamos de L terminar o periodo das pequenas oscilagdes de uma placa quadrada de lado 2b que est suspensa pelo ponto médio O de um dos seus lados 2b Fig 195a Consideramos a placa em uma posicao arbitréria definida a pelo Angulo que a linha OG forma com a vertical e tragamos uma R equacao de diagrama de corpo livre para expressar que 0 peso W da placa e os componentes R e R da reagéo em O sao equivalentes aos vetores ma e ma e ao bindrio T Fig 195 Como a velocidade an O gular e a aceleragao angular da placa sao iguais respectivamente a 6 e 0 as intensidades dos dois vetores sao respectivamente mb0 e mbé ao passo que o momento do bindrio é 10 Em aplicagées anteriores a este método Cap 16 tentamos sempre que possivel assumir o sentido correto para a aceleragaio Aqui porém devemos considerar 0 mesmo sentido positivo para 6 e 6 a fim de obter uma equagao da forma 1921 Consequentemente a acelerac4o angular sera considerada positiva no sentido antihordrio ainda que esta suposigao nao seja claramente rea w lista Igualando os momentos em relacgdo a O escrevemos O h Wib sen 6 mb6b 16 Considerando que I jhm2b 2b mbe W mg obtemos 5 may 3 b 0 send 0 1922 5b Para oscilagdes de pequena amplitude podemos substituir sen 6 por 0 expresso em radianos e escrever 3 b 6 p 9 1923 Figura 195 A comparacao com 1921 mostra que a equacao obtida é a de um mo vimento harménico simples e que a frequéncia natural circular w das oscilagées é igual a 35b Substituindo em 1913 encontramos que o periodo das oscilagGes é 20 4 5b TO 7 OTN 3g 1924 O resultado obtido é vélido somente para oscilagdes de pequena amplitude Uma descrico mais precisa do movimento da placa é obtida pela comparagao das Eqs 1916 e 1922 Observamos que as duas equagoes sio idénticas se escolhermos igual a 5b3 Isso significa que a placa oscilaré como um péndulo simples de comprimento 5b3 e os resultados da Segao 194 podem ser utilizados para corrigir 0 valor do perfodo dado em 1924 O ponto A da placa localizado sobre a reta OG auma distancia 5b3 de O é definido como 0 centro de oscilagdo correspondente a O Fig 1952 w PROBLEMA RESOLVIDO 192 ie Um cilindro de peso W e raio r esta suspenso por um lago de corda confor me mostrado na figura Uma extremidade da corda esta presa diretamente 1 aum suporte rigido enquanto a outra extremidade esta presa a uma mola B de constante k Determine o periodo e a frequéncia natural das vibragées do cilindro SOLUCAO Cinematica do movimento Expressamos o deslocamento linear e a aceleragio do cilindro em fungio do deslocamento angular 6 Escolhendo o By sentido horario como positivo e medindo os deslocamentos a partir da posi 3 cao de equilibrio escrevemos aN x 7 B x 10 2x 270 i ale oo a49 arar0e a rol 1 Equagées de movimento O sistema de forcas externas que atuam so bre o cilindro consiste no peso W e nas forgas T e T exercidas pela corda Expressamos que esse sistema é equivalente ao sistema de forgas efetivas representado pelo vetor ma ligado a G e pelo binario Ia 2r JEM Maofo Wr To2r mar Ta 2 T T Quando o cilindro esta em sua posigéo de equilibrio a tragéio na corda é T 3W Verificamos que para um deslocamento angular 6 a intensidade 7 de T é ASO Ao Y Ia 9 T Ty k8 3W kd 5W k2r0 Substituindo 1 e 3 em 2 e lembrando que I smr escrevemos Wr GW 2kr02r mr6r smr6 8k 6 90 3m Vemos que 0 movimento é harménico simples e temos 8k Sk O 35 OO a 3m 3m 20 og 3m Tr Wn T Qa 3k Wy 1 8 k n on Io 3ON3 im PROBLEMA RESOLVIDO 193 VW WV ee Um disco circular pesando 10 kg e de raio de 200 mm esta suspenso por um arame como ilustrado na figura O disco é girado torcendo portanto o arame e em seguida liberado 0 periodo da vibragao torcional é visto como sendo de 113 s A seguir uma engrenagem é entdo suspensa pelo mesmo 200 mm SD arame e 0 perfodo de vibraco torcional é observado como de 193 s Consi derando que o momento do binario exercido pelo arame é proporcional ao Angulo de torgao determine a a constante de mola torcional do arame b o momento de inércia centroidal da engrenagem c a velocidade angular maxima alcangada pela engrenagem quando ela é girada em 90 e liberada SOLUCAO a Vibragao do disco Representando por 6 o deslocamento angular a6 do disco expressamos que a intensidade do binario exercido pelo arame é 6 M K onde K é a constante da mola torcional do arame Uma vez que Jo esse bindrio deve ser equivalente ao bindrio Ia que representa as forgas efe tivas do disco escrevemos 5ZMo DModeter Ko 10 K 6 600 I O movimento é portanto harménico simples e temos K Qa fz a n 2 Zz 1 O i Tn T T K 1 Para o disco temos la16 9 9 7 113s I 4mr 10kg02 my 02 kgm O 2 Substituindo em 1 obtemos 02 113 2a x K6183Nmrad b Vibragao da engrenagem Como 0 periodo de vibracao da engre nagem é de 193 s e K 6183 N mrad a Eq 1 fornece 193 2 j I 0583kgm 4 T 6183 engr a g m c Velocidade angular maxima da engrenagem Como o movi mento é harménico simples temos 0 6 sen ot 60 COS wt w 90 Recordando que 90 1571 rad e tT 193 s escrevemos Q7 Q97 060 6 1571 rad w tua 022 ase na 22 wo 5llrads 4 A RESOLUGAO DE PROBLEMAS N esta seco vocé viu que um corpo rigido ou um sistema de corpos rigidos cuja posigao pode ser definida por uma coordenada simples x ou 6 executaré um movimento harménico sim ples se a equagao diferencial obtida pela aplicagaéo da segunda Lei de Newton for da forma wrx 0 ou 6 00 0 1921 Seu objetivo deve ser determinar w a partir do qual pode obter o periodo 7 e a frequéncia natural f Levando em conta as condigées iniciais vocé pode entéo escrever uma equagio da forma x x sen wt d 1910 onde x deve ser substituido por se houver uma rotago envolvida Para resolver os problemas desta segiio vocé deve seguir os seguintes passos 1 Escolha uma coordenada que ira medir o deslocamento do corpo a partir de sua posicaio de equilibrio Vocé notaré que muitos dos problemas aqui apresentados envolvem a rota cao de um corpo em torno de um eixo fixo e que o Angulo que mede a rotacao do corpo a partir da sua posigio de equilibrio é a coordenada mais conveniente para ser utilizada Em problemas envol vendo o movimento plano geral de um corpo onde a coordenada x e possivelmente a coordenada y usada para definir a posigéo do centro de massa G do corpo e uma coordenada 0 é utilizada para medir sua rotacao em torno de G encontre relacdes cinematicas que lhe permitirao expressar x e y em termos de 6 Problema Resolvido 192 2 Desenhe uma equacdo de diagrama de corpo livre para expressar que o sistema das forgas externas é equivalente ao sistema de forgas efetivas que consiste no vetor ma e no bindrio Ia onde ad xe a 6 Assegurese de que cada forga ou binario aplicado esteja desenhado em uma diregao e um sentido coerentes com os deslocamentos considerados e que os sentidos de a e a sejam respectivamente os sentidos de crescimento das coordenadas x e 0 3 Escreva as equacoes diferenciais de movimento igualando as somas dos componentes das forcas externas e efetivas nas diregGes x e y e as somas de seus momentos em relagdo a um pon to dado Se necessario utilize as relagdes cinematicas desenvolvidas no passo para obter equagdes envolvendo somente a coordenada 9 Se for um Angulo pequeno substitua sen 6 por e cos 6 por 1 se essas fungdes aparecerem em suas equagées Ao eliminar todas as reagdes desconhecidas vocé obteré uma equagiio do tipo das Eqs 1921 Observe que em problemas envolvendo um corpo que gira em torno de um eixo fixo vocé pode obter tal equacao de maneira imediata igualan do os momentos das forgas externas e das forcas efetivas em relacio a esse eixo fixo 4 Comparando a equagdo que obteve com uma das Egs 1921 vocé pode identi ficar w e assim determinar a frequéncia natural circular w Lembrese de que o objetivo da sua andlise ndo é resolver a equagio diferencial que vocé obteve mas sim identificar w 5 Determine a amplitude e o dngulo de fase por meio da substituigao do valor obtido para w e dos valores iniciais da coordenada e de sua primeira derivada na Eq 1910 e na equa cao obtida pela diferenciagao de 1910 em relagio a t A partir Eq 1910 e das duas equagées obtidas diferenciando 1910 duas vezes em relacdo at e usando as relacdes cinematicas desen volvidas no passo 1 vocé sera capaz de determinar a posigao a velocidade e a aceleragio de qual quer ponto do corpo em qualquer instante de tempo 6 Em problemas envolvendo vibragées torcionais a constante K da mola torcional é expressa em N mrad O produto de K pelo Angulo de torcao 0 expresso em radianos resulta no momento restaurador 0 qual deve ser igualado 4 soma de momentos das foras ou bindrios efeti vos em relagao ao eixo de rotagao Problema Resolvido 193 1937 A barra uniforme AC de 5 kg esta presa a molas com constantes Ww k 500 Nm em B ek 620 Nm em C que podem atuar em tra cao ou compressao Se a extremidade C for ligeiramente abaixada e liberada determine a a frequéncia de vibracao b a amplitude do B movimento do ponto C sabendo que a velocidade maxima desse pon Eee c to é de 09 més S 1938 A barra uniforme mostrada na figura tem uma massa de 75 kg e esta presa a uma mola de constante k 800 Nm Se a extremidade B da eO barra é abaixada 10 mm e liberada determine a 0 periodo de vibra cao b a maxima velocidade da extremidade B 07 m 4 m Figura P1937 j S S C S A SS B 500 750 mm Figura P1938 B 1939 Um cilindro uniforme de 15 kg pode rolar sem deslizar em um plano A k6kNm inclinado de 15 Uma esteira é presa ao aro do cilindro e uma mola WA A mantém o cilindro em repouso na posigao mostrada na figura Se o centro do cilindro é movido 50 mm para baixo no plano inclinado e li berado determine a 0 perfodo de vibragio b a aceleragao maxima am do centro do cilindro 1940 Uma barra AB de 75 kg esta aparafusada a um disco uniforme de 15 6 kg como mostrada na figura Uma esteira é presa na borda do disco e uma mola que mantém a barra em repouso na posicao mostrada na figura Se a extremidade A da barra é movida 20 mm para baixo e Figura P1939 liberada determine a 0 periodo de vibragées b a maxima veloci dade da extremidade A 900 mm 250 mm fae A as 8 cc k6kNm 2 S a Figura P1940 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1239 1941 Uma barra uniforme AB de 8 kg esta ligada a uma articulagiio em A e est presa por meio dos pinos B e C em um disco de 12 kg e raio Jd de 400 mm Uma mola presa em D mantém a barra em repouso na Ss posicgao mostrada na figura Se o ponto B é movido para baixo 25 mm eS e liberado determine a 0 perfodo de vibragées b a maxima veloci k800 Nén S dade da extremidade B pt C 400 mm 1942 Resolva o Problema 1941 considerando que o pino C é removido e A 8 o Dp que o disco pode girar livremente sobre o pino B 600 mm 1943 Uma esteira é posta sobre a borda do aro de um volante de 240 kg e ligada como mostra a figura a duas molas cada uma de constante 1200 mm k 15 kNm Se a extremidade C da esteira é puxada 40 mm para Fiqura P1941 baixo e liberada observase 0 periodo de vibracao do volante de 05 s 9 Sabendo que a traco inicial na esteira é suficiente para impedir o deslizamento determine a a velocidade angular maxima do volante i iracd idal b 0 raio de giragdo centroidal do volante AW 1944 Um furo de raio 75 mm é cortado em um disco uniforme de raio Ss Ss 200 mm que esta ligada a um pino sem atrito em seu centro geomé Ss trico O Determine a 0 periodo de pequenas oscilagées da placa b 7 5 o comprimento de um péndulo simples que tem o mesmo periodo x 1 75 mm ee 100 mm Sa 200 mm O 450 mm Figura P1943 Figura P1944 1945 Dois pequenos pesos w sao fixados em A e B no aro de um disco uniforme de raio r e peso W Representando por 7 0 periodo de pe quenas oscilagdes quando B 0 determine o Angulo B para o qual o periodo de pequenas oscilagGes é 27 1946 Dois pesos de massa 50 g cada sao fixados em A e B no aro de um dis co uniforme de 15 kg e de raio r 100 mm Determine a frequéncia de pequenas oscilagdes quando o Angulo B 60 MATL A Cac Sg N 7 TN fy AI 2 GW AG 29 B S plp Figura P1945 e P1946 1240 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1947 Para uma placa quadrada uniforme de lado b 300 mm determine Ole 1 a 0 periodo de pequenas oscilagées se a placa 6 suspensa como mos Cc trado na figura b a distancia c a partir de O até o ponto A para que a placa possa ser suspensa para que 0 perfodo seja minimo 1948 Uma biela é suportada por uma aresta pontiaguda no ponto A 0 periodo de suas pequenas oscilagdes observado é 087 s A biela é entao invertida e suportada pela aresta pontiaguda no ponto B e o periodo de suas pe quenas oscilagdes observado é 078 s Sabendo que r 7 250 mm determine a a localizagao do centro de massa G b 0 raio de giracaio b b centroidal k XK Figura P1947 af Figura P1948 1949 Para a placa triangular equilaétera uniforme de lado 300 mm de O termine o periodo de pequenas oscilagées se a placa é suspensa por a um dos vértices b 0 ponto médio de um dos seus lados l 1950 Um disco uniforme de raio r 250 mm é fixado em A a uma haste AB de 650 mm de massa desprezivel que pode girar livremente em um plano vertical em torno de B Determine o periodo de pequenas oscilag6es a se o disco é livre para girar em um mancal em A b se a haste esta rebitada ao disco em A Ble Figura P1949 6 r 250 mm A a H L Figura P1950 Cc 1951 Um pequeno cursor de massa de 1 kg esta rigidamente ligado a uma barra uniforme de 3 kg de comprimento L 1 m Determine a a distancia d para maximizar a frequéncia de oscilagéo quando é dado B na barra um pequeno deslocamento inicial b o correspondente pe Figura P1951 riodo de oscilacao Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1241 1952 Um péndulo composto é definido como uma placa rigida que oscila em torno de um ponto fixo O chamado de centro de suspensio Mos tre que o periodo de oscilagaéo de um péndulo composto é igual ao periodo de um péndulo simples de comprimento OA onde a distan cia de A para o centro de massa G GA kF O ponto A é definido como o centro de oscilagéo e coincide com o centro de percussiio definido no Problema 1766 ee A an k 5 ww q Figura P1952 e P1953 1953 Uma placa rigida oscila em torno de um ponto fixo O Mostre que o menor periodo de oscilagao ocorre quando a distancia r do ponto O para o centro de massa G é igual ak A 250 mm eG 1954 Mostre que se o péndulo composto do Problema 1952 é suspenso do 40 r mn ponto A em vez de O o periodo de oscilagiio é o mesmo que 0 ante lle c rior e que o novo centro de oscilagiio esta localizado em O 1955 Uma barra uniforme AB de 8 kg esta articulada em C e é presaem A a uma mola de constante k 500 Nm Se a extremidade A recebe um pequeno deslocamento e é liberada determine a a frequéncia de pequenas oscilagdes b o menor valor da constante de mola k B para o qual a oscilagao vai ocorrer Figura P1955 1956 Uma placa quadrada uniforme de 20 kg é suspensa de um pino loca lizado no ponto médio A de um dos seus lados de 04 m e esta ligada a duas molas cada uma de constante k 16 kNm Se é dado um pequeno deslocamento no canto B e liberado determine a frequén cia da vibragio resultante Considere que cada mola pode atuar em tragao ou compressao A L Ge k k B Cc D eS WW SB el ot S S Figura P1956 S S ke k S S 1957 Duas hastes uniformes cada uma de massa m 12 kg e comprimen é é to L 800 mm sao soldadas juntas para formar a montagem mostra da na figura Sabendo que a constante de cada mola é k 500 Nme L L que a extremidade A recebe um pequeno deslocamento e é liberada 2 2 determine a frequéncia do movimento resultante Figura P1957 1242 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica A 1958 A barra ABC de massa total m é dobrada como mostrado na figura e é suportada no plano vertical pelo pino em B e pela mola de constante k em C Se na extremidade C é dado um pequeno deslocamento e li berado determine a frequéncia do movimento resultante em termos dem Lek L 1959 Um disco uniforme de raio r 250 mm é ligado em A a uma barra AB de 650 mm de massa desprezivel que pode girar livremente em um plano vertical em torno de B Se a barra é deslocada em 2 da By C posigio mostrada na figura e liberada determine a intensidade da OY f frequéncia natural considerando que o disco a é livre para girar em s k um mancal em A b esté rebitado 4 barra em A B Figura P1958 g 6 P 250 mm Figura P1959 Z 1960 Uma haste delgada de 3 kg é suspensa por um fio de aco que é sabido ter uma constante de mola torcional K 225 N mrad Sea haste é girada 180 sobre o eixo vertical e liberada determine a 0 periodo B de oscilacao b a maxima velocidade da extremidade A da barra 1961 Um fio homogéneo dobrado para formar a figura mostrada esta liga GC do ao pino do suporte em A Sabendo que r 220 mm e que o ponto 190 mm B é empurrado para baixo 20 mm e liberado determine a intensidade da velocidade de B 8 s depois A ae mm Figura P1960 B Figura P1961 e P1962 1962 Um fio homogéneo dobrado para formar a figura mostrada esta liga do ao pino do suporte em A Sabendo que r 400 mm e que o ponto B é empurrado para baixo 40 mm e liberado determine a intensidade da aceleragio de B 10 s depois Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1243 1963 Um disco uniforme de raio r 120 mm tem seu centro soldado a duas barras elasticas de igual comprimento com extremidades A e B engastadas Sabendo que o disco gira em um Angulo de 8 quando um B bindrio de 05 N m é aplicado ao disco e que o mesmo oscila com um perfodo de 13 s quando o binario é removido determine a a massa do disco b 0 periodo de vibragao se uma das barras for removida 1964 Uma barra uniforme CD de 5 kg e de comprimento 075 m esté soldada em C a duas barras elasticas que tém as extremidades A A e B engastadas e uma constante de mola torcional combinada de K 30 N mrad Determine 0 periodo para pequenas oscilagées se a posicao de equilibrio de CD é a vertical como mostra a figura horizontal Figura P1963 B Ce alk l D Figura P1964 1965 Uma placa uniforme de 18 kg na forma de um triangulo equilatero é suspensa em seu centro de gravidade por um fio de ago que é sabido ter uma constante de mola torcional K 0035 N mrad Se a placa é gi rada 360 sobre 0 eixo vertical e entio liberada determine a 0 periodo de oscilagao b a maxima velocidade de um dos vértices do triangulo a a 150 mm Figura P1965 1966 Uma plataforma horizontal P é suspensa por meio de diversas bar ras rigidas que esto conectadas a um arame vertical Sabese que o periodo de oscilacgio da plataforma é de 22 s quando a plataforma esté vazia e de 38 s quando um objeto A com momento de inércia uniforme é colocado sobre a plataforma com seu centro de massa diretamente sobre o centro de massa da placa Sabendo que o arame aly tem uma constante de mola torcional K 30 N mrad determine o y momento de inércia em torno do centro de massa do objeto A Figura P1966 1244 MecGnica vetorial para engenheiros dindmica 1967 Uma placa fina retangular de lados a e b suspensa por quatro ara mes verticais de mesmo comprimento Determine o perfodo das pequenas oscilagées da placa quando a ela é girada em um pequeno Angulo em torno do eixo vertical que passa por seu centro de massa G b ela sofre um pequeno deslocamento horizontal em uma di regio perpendicular a AB c ela sofre um pequeno deslocamento horizontal em uma diregdo perpendicular a BC PF PF FP 4 yg AY D Cc l Ki A b B A 4 a B Figura P1967 Ks 1968 Um disco circular de raio r 08 m é suspenso pelo seu centro C por meio dos arames AB e BC unidos por solda no ponto B As constantes de mola torcional dos arames siio K 100 N mrad para AB e K Figura P1968 50 N mrad para BC Se o periodo de oscilacao é 05 s torno do eixo AC determine a massa do disco 196 Aplicacdo do principio de conservagdo de energia Vimos na Secdo 192 que quando uma particula de massa m esté em movimento harménico simples a resultante F das forgas exercidas so bre a particula tem uma intensidade proporcional ao deslocamento x medido a partir da posico de equilibrio O e esta dirigida na diregao de O escrevemos F kx Voltando 4 Segio 136 observamos que F é uma fora conservativa e que a correspondente energia potencial é V 5kx onde V é considerado igual a zero na posigao de equilfbrio x 0 Uma vez que a velocidade da particula é igual a x sua energia ci nética 6 T smx e podemos expressar que a energia total da particula se conserva escrevendo T V constante smi 5kx constante Dividindo a equacio por m2 e recordando da Segio 192 que km onde w é a frequéncia natural circular da vibracgao temos 2 22 x wx constante 1925 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1245 A Eq 1925 é caracteristica de um movimento harmdnico simples pois ela pode ser obtida a partir da Eq 196 multiplicandose ambos os ter b mos por 2x e integrando OW O principio da conservagao de energia fornece um caminho conve f ara 2 x sos Om b cos 6 b niente para a determinacao do periodo de vibraco de um corpo rigido e m ou de um sistema de corpos rigidos que possuem um tinico grau de liber ia yo dade uma vez que tenha sido estabelecido que 0 movimento do sistema a CU é um movimento harménico simples ou que possa ser aproximado por a Elemento um movimento harménico simples Escolhendo uma varidvel apropriada de referéncia tal como uma distancia x ou um Angulo 6 consideremos duas posigdes particulares do sistema a 1 O deslocamento do sistema é maximo temos T 0 e V pode ser expresso em termos da amplitude x ou 0 escolhendo V 0 na posicao de equilibrio y 2 O sistema passa por sua posigdo de equilibrio temos V 0 e T 6 b pode ser expresso em funcao da velocidade maxima x ou da veloci dade angular maxima 6 Go i Expressamos ento que a energia total do sistema é conservada e Elemento escrevemos T V T V Recordando de 1915 que para o mo a de referéncia vimento harmdénico simples a velocidade maxima é igual ao produto da amplitude pela frequéncia natural circular w encontramos que a equa ib cio obtida pode ser resolvida para o Como um exemplo consideremos novamente a placa quadrada trata Figura 196 da na Segio 195 Na posigao de deslocamento maximo Fig 196a temos T0 V Wb bcos 0 Wh1 cos 6 ou como 1 cos 6 2 sen 02 262 62 para oscilagdes de pequena amplitude T0 VWbe 1926 Quando a placa passa por sua posigao de equilfbrio Fig 196b sua velo cidade é maxima e temos Ts 3mv 1o tmb6 1716 V 0 ou recordando da Segio 195 que I smb T2 2mb6 V 0 1927 Substituindo 1926 e 1927 em T V T V e observando que a velocidade maxima 8 é igual ao produto 6w e mg escrevemos 5WDhO 33mb60 1928 que produz w 35b e Qa 5b TT 2 1929 O 3g como previamente obtido Note que néio devemos substituir cos 8 1 pelo menor valor de 0 porque a equaciio principal 1925 contém o termo x Dessa forma elevamos a aproximacao do desloca mento minimo a uma ordem de grandeza de pelo menos igual ao quadrado do desloca mento neste caso 0 a PROBLEMA RESOLVIDO 194 R mE Determine o periodo de pequenas oscilagées de um cilindro de raio r que r rola sem deslizar no interior de uma superficie curva de raio R SOLUCAO Representamos por 0 Angulo que a reta OG forma com a vertical Como O o cilindro rola sem deslizar podemos aplicar o principio de conservagio da 1 energia entre a posicéo 1 onde 6 6 e a posicaio 2 onde 6 0 R Rr m Rr cos Om Posigdo 1 Energia cinética Como a velocidade do cilindro é zero T 0 Energia potencial Escolhendo uma referéncia como mostrado na figura h e representando por W o peso do cilindro temos oS 9 Pesan Elemento V Wh WR r1 cos 0 Posicao 2 de referéncia 9 9 osigdo 2 a Verificando que para pequenas oscilagdes 1 cos 6 2 sen 02 02 temos 02 Vi WR r 2 Q PosigGo 2 Representando por 6 a velocidade angular da reta OG quan Wa do o cilindro passa pela posigaio 2 e observando que o ponto C é 0 centro Om instantaéneo de rotagao do cilindro escrevemos Um Rr Cm R r6 On On r r 7 Vin On SF Energia cinética c Tz ym0y alan Posigao 2 Rr 5mR r6 ame 2 6 mR r0 Energia potencial V0 Conservacdo de energia T Vi To Vo Bn 3 22 0 WIR r amR 1 6 0 Como 6 w0 e W mg escrevemos On 2g mgR n imR1rOn 3R Qa 3Rr T T 277 QO 2 g METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMA SOLUCAO fo S N problemas que se seguem vocé sera solicitado a usar 0 principio de conservagdo de energia para determinar o perfodo ou a frequéncia natural de um movimento harmdénico simples de uma particula ou corpo rigido Considerando que vocé escolha um Angulo 6 para definir a posigo do sistema com 0 na posigao de equilibrio como fara na maioria dos problemas desta segdo vocé vai expressar que a energia total de um sistema é conservada T V T V entre a posicao 1 de deslocamento maximo 0 8 0 0 e a posigio 2 de velocidade maxima 6 0 0 0 Segue se que T e V seraio ambos iguais a zero e a equagao de energia vai se reduzir a V T onde V e T sao express6es quadraticas homogéneas em 6 6 respectivamente Recordando que para um movimento harménico simples 6 6 substituindo esse produto na equagiio de energia vocé vai obter depois da redugao uma equacio que pode ser resolvida para w Uma vez que vocé tenha determinado a frequéncia natural circular w podera obter o periodo 7 e a frequéncia natural f da vibracio Os passos que vocé deve adotar siio os seguintes 1 Calcule a energia potencial V do sistema na sua posicdo de deslocamento maxi mo Desenhe um esbogo do sistema na sua posicao de deslocamento maximo e expresse a energia potencial de todas as forgas envolvidas tanto internas como externas em termos do deslocamento maximo x ou 6 a A energia potencial associada ao peso W de um corpo V W ondey éa elevagio do centro de gravidade G do corpo acima da sua posigiao de equilibrio Se o problema que vocé esta resolvendo envolve a oscilagaéo de um corpo rigido em torno de um eixo horizontal por meio do ponto O localizado a uma distancia b de G Fig 196 expresse y em termos do angulo 6 que a linha OG forma com a vertical y b1 cos Mas para valores pequenos de 6 vocé pode substituir esta expressao por y 1 2b0 Problema Resolvido 194 Portanto quando 6 al canga seu valor maximo 6 e para oscilagdes de pequena amplitude vocé pode expressar V como V 3Wb6 Observe que se G estd localizado acima de O em sua posigio de equilibrio em vez de abaixo de O como temos considerado o deslocamento vertical y serd negativo e deve ser aproximado por y 12b0 0 que vai resultar em um valor negativo para V Na auséncia de outras forgas a posigao de equilibrio sera instavel e o sistema no vai oscilar Veja por exemplo o Problema 1991 b A energia potencial associada a forga eldstica exercida por uma mola é V kx onde k é a constante da mola e x sua deflexio Em problemas envolvendo a rotago de um corpo em torno de um eixo vocé geralmente vai ter x a onde a é a distancia do eixo de rotacao continua ao ponto do corpo onde a mola esta presa e onde 6 é 0 Angulo de rotagao Portanto quando x alcan ca seu valor maximo x e alcanga seu valor maximo 6 vocé pode expressar V como 1py2 1p 292 ve 3KX aka On c A energia potencial V do sistema em sua posicdo de deslocamento maxi mo 6é obtida pela adigao de varias energias potenciais que vocé tenha calculado Ela sera igual ao produto de uma constante e 6 2 Calcule a energia cinética T do sistema em sua posicdo de velocidade maxi ma Observe que essa posigaio é também a posicaéo de equilibrio do sistema a Seo sistema consiste de um Unico corpo rigido a energia cinética T do sistema sera a soma da energia cinética associada ao movimento do centro de massa G do corpo e a energia cinética associada com a rotacdo do corpo em torno de G Vocé vai escrever portanto 12 1 1728 T gM m glo Considerando que a posigio do corpo tenha sido definida por um Angulo 6 expresse 0 em termos da taxa de variacio de quando o corpo passa por sua posicao de equilibrio A energia cinética do corpo sera assim expressa como o produto de uma constante e Observe que se 0 mede a rotacdo do corpo em torno de seu centro de massa como foi 0 caso para a placa da Fig 196 entdo w 6 Em outros casos entretanto a cinematica do movimento deveria ser usada para deduzir uma relagio entre w e 6 Problema Resolvido 194 b Seo sistema consiste de varios corpos rigidos repita os cdlculos anteriores para cada um dos corpos usando a mesma coordenada 6 e some o resultado obtido 3 Iguale a energia potencial V do sistema a sua energia cinética T VT e recordando a primeira das Eqs 1915 substitua 6 no primeiro membro pelo produto da am plitude 6 e da frequéncia circular Como ambos os termos contém agora o fator 67 esse fator pode ser cancelado e a equacao resultante pode ser resolvida pela frequéncia circular w Todos os problemas devem ser resolvidos usando 0 método da Segiio 196 R 1969 Determine o perfodo de pequenas oscilagdes de uma pequena par ticula que se move sem atrito dentro de uma superficie cilindrica de raio R 1970 Uma esfera A de 400 g e uma esfera C de 300 g estiio ligadas as ex tremidades de uma barra AC de massa desprezivel que pode girarem Figura P1969 um plano vertical em torno de um eixo em B Determine o periodo de pequenas oscilagées da barra A 1971 Um cursor A de 18 kg é preso a uma mola de constante 800 Nm e pode deslizar sem atrito na barra horizontal Se o cursor movido 125 mm 70 mm para a esquerda de sua posigiio de equilibrio e liberado deter mine a maxima velocidade e a maxima aceleragao do cursor durante o movimento resultante B 200 mm CN a Cc Figura P1971 e P1972 Figura P1970 1972 Um cursor A de 15 kg é preso a uma mola de constante 1 kNm e pode deslizar sem atrito na barra horizontal O cursor esté em re pouso quando é golpeado com uma marreta e atinge uma velocidade inicial de 1 ms Determine a amplitude do movimento resultante e a maxima aceleracao do cursor 1973 Uma barra AB uniforme pode girar em um plano vertical em torno A de um eixo horizontal em C localizado a uma distancia c acima do centro de massa G da barra Para pequenas oscilagdes determine o valor de c para 0 qual a frequéncia do movimento sera maxima r ol 1974 Um arame homogéneo de comprimento 2 é dobrado como mostrado c na figura e pode oscilar sobre 0 pino B sem atrito Indicando por T 0 4 ec l periodo de pequenas oscilagées quando B 0 determine o Angulo B para o qual o perfodo de pequenas oscilagées é 27 BR B Figura P1973 1 1 va DN p g Figura P1974 1250 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1975 O aro interior de um volante de 40 kg é colocado sobre uma aresta A pontiaguda e o periodo de suas pequenas oscilagées encontrado é de r 126 s Determine 0 momento de inércia centroidal do volante e oe 350mm 1976 Uma biela é suportada por uma aresta pontiaguda no ponto A 0 pe riodo de suas pequenas oscilagées observado é de 103 s Sabendo t iN que r 150 mm determine o raio de giragio centroidal da biela LP Figura P1975 Yq A rp Figura P1976 B C oS o 1977 A barra ABC de massa total m é dobrada como mostrado na figura e é Sk suportada no plano vertical pelo pino em B e pela mola de constante Ss P P pelo p P Tq k em C Se na extremidade C é dado um pequeno deslocamento e li berado determine a frequéncia do movimento resultante em termos dem Lek 1978 Umcilindro uniforme de 75 kg pode rolar sem deslizar em um plano Figura P1977 inclinado e esta ligado a uma mola AB como mostrado na figura Se o centro do cilindro é movido em 10 mm descendo no plano inclinado e liberado determine a 0 periodo de vibragao b a velocidade ma xima do centro do cilindro A k 900 N B m eae B C D 140 k SA Figura P1978 OL OL 1979 Duas barras uniformes cada uma de massa m 600 g e comprimen to 200 mm esto unidas por solda para formar a montagem mos L L trada na figura Sabendo que a constante de cada mola é k 120 Nm 5 5 gu q e que a extremidade A sofre um pequeno deslocamento e é liberada Figura P1979 determine a frequéncia do movimento resultante 1980 Uma barra delgada AB de 8 kg e comprimento 600 mm esta li gada a dois cursores de massa desprezivel O cursor A esta ligado a uma mola de constante k 12 kNm e pode deslizar em uma barra Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1251 vertical enquanto o cursor B pode deslizar livremente em uma barra horizontal Sabendo que o sistema esté em equilfbrio e que 6 40 determine o periodo de vibragao se 0 cursor B recebe um pequeno 4 deslocamento e é liberado Z l 1981 Uma barra delgada AB de comprimento 600 mm e massa despre Z zivel esta ligada a dois cursores de 8 kg cada O cursor A esta ligado a Z uma mola de constante k 12 kNm e pode deslizar em uma barra Z vertical enquanto o cursor B pode deslizar livremente em uma barra Z wa horizontal Sabendo que o sistema esté em equilfbrio e que 6 40 determine o perfodo de vibragiio se ao cursor A recebe um pequeno B deslocamento e é liberado Figura P1980 e P1981 1982 Uma barra delgada AB de 3 kg esté aparafusada a um disco uniforme de 5 kg Uma mola de constante 280 Nm esta ligada ao disco e de formada na posigo mostrada na figura Se a extremidade B da barra recebe um pequeno deslocamento e é liberada determine 0 periodo de vibragao do sistema S WV S55 St 7 80 mm Le omy 300 mm B 125 mm Figura P1982 B 1983 Umaesfera A de 400 g e uma esfera C de 300 g estiio ligadas as extre midades de uma barra AC de 600 g que pode rodar em um plano ver 200 mm tical em torno de um eixo em B Determine o perfodo de pequenas oscilagdes da barra 1984 Trés barras idénticas sfio ligadas como mostra a figura Se b FL oec determine a frequéncia das pequenas oscilagées do sistema Figura P1983 1985 Uma barra AB de 800 g esta aparafusada a um disco de 12 kg Uma mola de constante k 12 Nm é presa ao centro do disco em A e na parede em C Sabendo que o disco gira sem escorregar determine o periodo das pequenas oscilagées do sistema al lal k b oY MMM l yy 600 mm Le B an Figura P1985 Figura P1984 1252 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 1986 e 1987 Duas barras uniformes AB e CD cada uma de compri mento e massa m esto ligadas a engrenagens como mostrado na figura Sabendo que a massa da engrenagem C é m e que a massa da engrenagem A é 4m determine o periodo de pequenas oscilagdes do sistema i B oT B D l Figura P1986 ee l Figura P1987 1988 Uma barra uniforme CD de 5 kg é soldada em C a um eixo de massa desprezivel que esta soldado aos centros de dois discos uniformes A C Wa P 1 500 mm e B de 10 kg Sabendo que os discos rolam sem deslizar determine o FS periodo de pequenas oscilagGes do sistema iS 1989 Quatro barras de massa m e de igual comprimento sao ligadas pelos pinos A B C e D e podem moverse no eixo do plano horizontal Jy As barras sio ligadas a quatro molas de mesma constante k e esto em equilfbrio na posicéo mostrada na figura 6 45 Determine o periodo de vibracgo se os cantos A e C recebem pequenos descola mentos iguais de um lado para o outro gj Figura P1988 B ka f k me Ae WW Si 150 mm 150 mm YY J T00 mm Figura P1989 0 IO F NN L 1990 A barra AB de 10 kg é presa a dois discos de 4 kg como mostra a figu 500 mm ra Sabendo que os discos rolam sem deslizar determine a frequéncia Figura P1990 de pequenas oscilagdes do sistema Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1253 1991 Um péndulo invertido constitufdo de uma esfera de peso W e uma barra rigida ABC de comprimento I e peso desprezivel é suportado por um pino e suporte em C A mola de constante k esta ligada a k oA uma barra em B e nao esta deformada quando a barra esta na posicao S AV vertical mostrada na figura Determine a a frequéncia de pequenas B oscilagdes b o menor valor de a para o qual ocorrerao oscilagées 1992 Para o péndulo invertido do Problema 1991 e para os valores da a dos de k a e 1 observase que f 15 Hz quando m 1 kg e que f 908 Hz quando m 2 kg Determine o maior valor de m para o qual as pequenas oscilagGes ocorrerao C 1993 Uma barra uniforme de comprimento L é suportada por um suporte esférico em A e por um fio vertical CD Deduza uma expressiio parao Figura P1991 e P1992 periodo de oscilagao da barra se a extremidade B recebe um pequeno deslocamento no plano horizontal e entio é liberado DY oo A C B ln I L Figura P1993 1994 Uma barra uniforme ABC de 2 kg é sustentada por um pino em B e esta ligada a uma mola em C A barra esta unida em A a um bloco DE de 2 kg que esta ligado a uma mola e pode rodar sem atrito Sabendo que cada mola pode atuar em tragdo ou compressio determine a fre quéncia de pequenas oscilagdes do sistema quando a barra é girada por meio de um pequeno Angulo e liberada k 50Nm A pb Lf k 400 Nén Ee a 3 A T Pw ww a 600 mm 200 mm poe 300 mm B a S MWA C C 0 k 50 Nm Figura P1994 D k 300 Nin 1995 Um bracgo uniforme ABC de 750 g é sustentada por um pino em B e esta ligada a uma mola em A O brago esta unido em C a uma massa a m de 15 kg que esta ligado a uma mola Sabendo que cada mola pode atuar em tragao ou compressao determine a frequéncia de pequenas oscilagdes do sistema quando o peso recebe um pequeno desloca 300 mm mento vertical e é liberado Figura P1995 1254 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica A 1996 As barras uniformes AB e AC cada uma com massa m e comprimento I sio parafusadas juntas em A e conectadas por pinos em pequenos ro letes em B e C Uma mola de constante k é presa aos pinos em B e Ce observase que 0 sistema esta equilibrio quando cada barra forma um 1 Bp angulo 6 com a vertical Determine o perfodo de pequenas oscilagées quando o ponto A recebe uma pequena deflexio para baixo e é liberado 4 1997 Quando um corpo submerso se move em um fluido as particulas des te fluido circulam em torno do corpo e adquirem energia cinética oR No caso de uma esfera movendose em um fluido ideal a energia BY VV OC cinética total adquirida pelo fluido é pV onde p é 0 peso especi fico do fluido V é 0 volume da esfera e v é a velocidade da esfera Figura P1996 Considere uma capsula esférica oca de 500 g e raio de 80 mm que é mantida submersa em um tanque de dgua por uma mola de constante 500 Nm a Desprezando 0 atrito do fluido determine o periodo de vibragao da cépsula quando ela é deslocada verticalmente e entéio liberada b Resolva a parte a considerando que o tanque é acelerado para cima a taxa constante de 8 ms Figura P1997 Ds a Y 4 1998 Uma placa fina de comprimento repousa sobre um semicilindro de ig raio r Deduza uma expressiio para o periodo de pequenas oscilacdes da placa Figura P1998 ses LD 197 Vibragées forgadas e S Ss As vibragdes mais importantes do ponto de vista de aplicagdes da enge s 2 nharia sao as vibragées forgadas de um sistema Essas vibragdes ocorrem 2 2 quando um sistema esta sujeito a uma forga periddica ou quando ele esta 3 S elasticamente conectado a um suporte que tem um movimento alternado 2 Considere primeiramente o caso de um corpo de massa m suspenso zt S Taku 2 por uma mola e sujeito a uma forca periddica P de intensidade P P Ss sen w onde w é a frequéncia circular de P e é referenciada como a r 2 frequéncia forgada circular do movimento Fig 197 Essa forga pode Bano ser uma forga real externa aplicada ao corpo ou pode ser uma forga cen trifuga produzida pela rotagao de alguma parte desbalanceada do corpo w veja o Problema Resolvido 195 Representando por x o deslocamen PY oe en eft to do corpo medido a partir de sua posigao de equilibrio escrevemos a Fn Sen eof equagiio de movimento ma Mx Figura 197 SF ma P sen wt W k84 x mx Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1255 Recordando que W ké6 temos Sin i 6 sen wf t mx kx P sen wet 1930 LA to wft A seguir consideramos 0 caso de um corpo de massa m suspenso poruma mola ligada a um suporte moével cujo deslocamento 6 é igual a6 sen wt Fig 198 Medindo 0 deslocamento x do corpo a partir da posigao de J equilibrio estatico correspondente a 0 encontramos que o elonga Ss mento total da mola no instante é 6 x 6 sen w A equagao do movimento é entio s my mk SF ma W kS x 6 sen wrt mx Speke Recordando que W ké6 temos ft 5 sen wft mx kx k6 Sen wt 1931 eanitio 7 Observamos que as Eqs 1930 e 1931 sao da mesma forma e que a so L lugdo da primeira equagao vai satisfazer a segunda se colocarmos P k6 Uma equacio diferencial tal como 1930 ou 1931 que tem um mav mi segundo membro diferente de zero é chamada néo homogénea Sua solucao geral é obtida adicionandose uma solucao particular da equa Figure 198 cao dada a solucao geral da correspondente equagaio homogénea com o segundo membro igual a zero Uma solugdo particular de 1930 ou 1931 pode ser obtida tentandose uma solugao da forma Xyart Xj SEN Wet 1932 Substituindo x por x em 1930 encontramos MoX sen wt kx sen wt P sen wrt que pode ser resolvida para a amplitude Pn Xm 7 9 k mo Recordando de 194 que km onde a é a frequéncia natural cir cular do sistema escrevemos Pk X 1933 1 a Substituindo 1932 em 1931 obtemos de modo semelhante ENN LN Om i f 1933 a 1 A equacao homogénea correspondente a 1930 ou 1931 é a Eq 192 que define a vibragao livre do corpo Sua solugao geral chamada Foto 191 Um sismémetro opera fungao complementar foi encontrada na Secao 192 medindo a quantidade de energia elétrica necessdéria para manter uma Xcomp C sen wt C cos a t 1934 massa centrada em seu alojamento na presenga de um forte tremor do solo 1256 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica Somando a solugao particular 1932 a fungao complementar 1934 obtemos a solugdo geral das Eqs 1930 e 1931 x Csenwt C cos wt x sen wt 1935 Observamos que a vibragao obtida consiste em duas vibragdes super postas Os dois primeiros termos da Eq 1935 representam uma vibra cao livre do sistema A frequéncia desta vibracao é a frequéncia natural do sistema que depende somente da constante k da mola e da massa m do corpo e as constantes C e C podem ser determinadas a partir das condicGes iniciais Esta vibracaio livre também é chamada vibracaio transiente pois na pratica ela é rapidamente amortecida pelas forgas de atrito Secio 199 O ultimo termo da Eq 1935 representa a vibragdo em regime per manente produzida e mantida pela forga imprimida ou pelo movimento forgado do suporte Sua frequéncia é a frequéncia forgada imposta por essa forga ou movimento e sua amplitude x definida por 1933 ou 1933 depende da razdo de frequéncia ww A razio da amplitude x da vibragao em regime permanente para a deflexao estatica Pk causada por uma forga P ou para a amplitude 6do movimento do suporte é chamada fator de ampliagdao De 1933 e 1933 obtemos Xm Xm 1 Fator de ampliagao Pik 8 1a cole 7 1936 O grafico do fator de ampliagao versus a razao das frequéncias wa foi 4 tragado na Fig 199 Observamos que quando a amplitude da Xm 3 vibragao forgada tornase infinita A forga imprimida ou 0 movimento Pink forgado do suporte é dito estar em ressondncia com o sistema dado Na ou 2 lidad mplitude da vibragéo permanece finita por causa das fore x realidade a amplitude da vibraco permanece finita por causa das forgas 5 w de amortecimento Secio 199 todavia tal situacao deve ser evitada e a 1 2 3 frequéncia forgada nao deve ser escolhida muito proéxima da frequéncia 0 natural do sistema Observamos também que para w 0 coeficiente 1 de sen wt em 1935 positivo enquanto para w esse coeficiente 9 é negativo No primeiro caso a vibragao forgada esté em fase com a forga imprimida ou 0 com movimento forado do suporte enquanto no se 3 gundo caso ela esta defasada em 180 Figura 199 Finalmente observemos que a velocidade e a aceleracgao na vibra cao em regime permanente podem ser obtidas diferenciando duas vezes em relagao at o tiltimo termo da Eq 1935 Seus valores maximos sao dados por expressGes similares aquelas das Eqs 1915 da Segao 192 exceto que essas expressdes envolvem agora a amplitude e a frequéncia circular da vibracdo forada Uy X Op dy X 0 1937 PROBLEMA RESOLVIDO 195 ee Um motor que pesa 200 kg é suportado por quatro molas cada uma tendo uma constante de 150 kNm O desbalanceamento do rotor é equivalente a i um peso de 30 g localizado a 15 cm do eixo de rotagao Sabendo que 0 mo Se tor é restringido a moverse verticalmente determine a a rotago em rpm na qual ocorreré ressonancia b a amplitude da vibragio do motor a uma rotagio de 1200 rpm SOLUCAO a Rotagdo de ressondncia A rotacao de ressonancia é igual a fre quéncia natural circular w em rpm da vibragao livre do motor A massa do motor e a constante equivalente das molas de sustentagiio sao m 200 kg k 4150 kNm 600000 Nm w E 500000 548 rads 523 rpm m 200 Rotagio de ressonancia 523 rpm 4 b Amplitude de vibragado a 1200 rpm A velocidade angular do motor e a massa equivalente ao peso de 028 N sao 9 1200 rpm 1257 rads as m 008 kg P sen wrt P 4 7 A intensidade da forca centrifuga causada pelo desbalanceamento do rotor é P ma mrw 003 kg015 m1257 rads 711 N A deflexio estatica que seria causada por uma carga constante P é Fu TEIN 5 1000 mm 01185 mm k 600000 Nm A frequéncia forgada circular do movimento é a velocidade angular do motor w 1257 rads Substituindo os valores de Pk e na Eq 1933 obtemos t Pk 01185 mm 00278 mm 1oo 1 1257548 x 00278 mm defasado 4 Nota Como w w a vibragao esta defasada 180 em relacao a forga centrifuga causada pelo desbalanceamento do rotor Por exemplo quando a massa desbalanceada esta diretamente abaixo do eixo de rotagao a posigao do motor é x 00278 mm acima da posicao de equilibrio sta segao foi dedicada a andlise das vibragées forgadas de um sistema mecanico Essas vibra des ocorrem quando o sistema esta sujeito a uma forga periddica P Fig 197 ou quando o sistema esta elasticamente acoplado a um suporte que tem um movimento alternado Fig 198 No primeiro caso o movimento do sistema é definido pela equagio diferencial mx kx P sen wet 1930 onde o membro a direita representa a intensidade da forga P em um dado instante No segundo caso 0 movimento é definido pela equagio diferencial mx kx k6 sen wet 1931 onde o membro a direita é o produto da constante de mola k pelo deslocamento do suporte em um dado instante Vocé s6 estard interessado no movimento em regime permanente do sistema que é definido por uma solugdo particular dessas equagées da forma Kart Xi SEN Wp t 1932 1 Se a vibragao forcada é causada por uma forga periddica P de amplitude P e fre quéncia circular a amplitude da vibragao é Pk X 1933 1 a onde w é afrequéncia natural circular do sistema w Vkm ek éaconstante de mola Observe que a frequéncia circular da vibragao é we que a amplitude x nao depende das condig6es iniciais Para 0 denominador da Eq 1933 é zero e x infinito Fig 199 a forga imprimida P é dita estar em ressondncia com 0 sistema Também para x positivo e a vibragdo esta em fase com P enquanto para x 6 negativo e a vibragdo esta defasada a Nos problemas que se seguem vocé pode ser solicitado a determinar um dos pardmetros da Eq 1933 quando os outros sao conhecidos Sugerimos que mantenha a Fig 199 4 sua frente quando estiver resolvendo esses problemas Por exemplo se vocé for solicitado a encontrar a frequéncia na qual a amplitude de uma vibracao forgada tenha um dado valor mas nao sabe se a vibragao esta em fase ou no em relagio a forca imprimida vocé deve verificar a partir da Fig 199 que podem existir duas frequéncias que satisfazem esse requisito uma correspondendo a um valor positivo de x e a uma vibragaio em fase com a forga imprimida e a outra correspondendo a um valor negativo de x e a uma vibracdo defasada com a forga imprimida b Uma vez que vocé tenha obtido a amplitude x do movimento de um componente do sistema a partir da Eq 1933 podera usar as Eqs 1937 para determinar os valores maximos da velocidade e da aceleragéo daquele componente ok 2 On Xn Op Gn Xn Or 1937 c Quando a forca imprimida P é causada pelo desbalanceamento do rotor de um motor seu valor maximo é P mr onde m é a massa do rotor r é a distancia entre seu centro de massa e 0 eixo de rotagao e w é igual 4 velocidade angular w do rotor expressa em rads Problema Resolvido 195 2 Sea vibragdo forgada é causada pelo movimento harménico simples de um su porte de amplitude 6 e frequéncia circular a amplitude de vibragao é On Lm 3 1933 1 onde w é a frequéncia natural circular do sistema w Vkm Novamente observe que a fre quéncia circular da vibragdo é we que a amplitude x nado depende das condigées iniciais a Certifiquese de ler nossos comentarios nos paragrafos 1 1a e 1b pois eles se aplicam igualmente bem a uma vibragiao causada pelo movimento de um suporte b Sea aceleragado maxima a do suporte é especificada em vez de seu desloca mento maximo 6 lembrese de que como 0 movimento do suporte é um movimento harménico simples vocé pode usar a relagio a 5 para determinar 6 0 valor obtido é entao substituido na Eq 1933 P P sen at 1999 Um bloco de 50 kg esta ligado a uma mola de constante k 20 kNm e pode se mover sem atrito em uma fenda vertical como mostrado na fi gura Sobre ele atua uma forga periddica de intensidade P P sen wt onde w 18 rads Sabendo que a amplitude do movimento é 3 mm determine P 19100 Umcursor de 5 kg pode deslizar sobre uma barra horizontal sem atri k 20 kNén to e esté ligado a uma mola de constante 550 Nm Sobre ele atua S uma forga periédica de intensidade P P sen wt onde P 15 N S Determine a amplitude do movimento do cursor se a w 5 rads b w 10 rads Figura P1999 P P sen aft Figura P19100 P19101 e P10102 19101 Umcursor de 5 kg pode deslizar sobre uma barra horizontal sem atrito e esta ligado a uma mola de constante k Sobre ele atua uma forga pe riddica de intensidade P P sen wf onde P 10 N e w 5 rads Determine o valor da constante de mola k sabendo que 0 movimento do cursor tem uma amplitude de 150 mm e esta a em fase com a for Sy T T sen oft ca aplicada b defasado com a forga aplicada A 19102 Um cursor de massa m que desliza sobre uma barra horizontal sem or atrito esta ligado a uma mola de constante k e sobre ele atua uma for ca periddica de intensidade P P sen wt Determine o intervalo de e valores de w para o qual a amplitude da vibragao excede trés vezes a deflexio estatica causada por uma forga constante de intensidade P 19103 Um disco uniforme de 8 kg e raio de 200 mm é soldado a um eixo vertical com uma ponta engastada em B O disco gira em um Angulo Figura P19103 P19104 de 3 quando um bindrio estatico de intensidade de 50 N m The é aplicado Se sobre o disco atua um binario torcional periddico de in tensidade T T sen wt onde T 60 N m determine o intervalo de valores de w para os quais a amplitude da vibragdo é menor que o Angulo de rotagio causado por um binario estatico de intensidade T 19104 Parao disco do Problema 19104 determine o intervalo de valores de para os quais a amplitude da vibragdo é menor que 35 S 19105 Um bloco A de 8 kg desliza em uma fenda vertical sem atrito e esté Se 5 5 sen wyt ligado a um suporte mével B por meio de uma mola AB de constante k Ba 16 kNm Sabendo que o deslocamento do suporte é 6 6 sen wf onde 6 150 mm determine 0 intervalo de valores de nos quais a amplitude da forca oscilante exercida pela mola no bloco é menor que Figura P19105 120 N Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1261 19106 A barra AB é rigidamente presa a estrutura de um motor em funcio BF BF Br namento com velocidade constante Quando um cursor de massa m 6 colocado sobre a mola observase que ele tem amplitude de 15 mm J Quando dois cursores cada um com massa m sAo colocados sobre a ny 7 mola a amplitude de vibracio observada é 18 mm Qual a amplitude Ss L 3 de vibracio esperada quando trés cursores cada um com massa m y Z eg sao colocados sobre a mola Obter duas respostas Ze 3 os postas Ass AS Ags 19107 Uma viga engastada AB suporta um bloco que causa uma deflexiio vas a b c estatica de 50 mm em B Considerando que o suporte em A sofre um deslocamento vertical periddico 5 6 sen wt onde 6 12 mm Figura P19106 determine o intervalo de valores de w nos quais a amplitude do mo vimento do bloco seré menor que 25 mm Despreze a massa da viga e considere que o bloco nao deixa a viga 5 dy sen weft a 0 Figura P19107 A Sc 19108 Um motor de velocidade variavel é rigidamente preso a uma viga BC A oe A Quando a velocidade do motor é menor que 600 rpm ou mais que 1200 rpm observase que um pequeno objeto em A permanece em Figura P19108 contato com a viga Para velocidades entre 600 e 1200 rpm observa se que 0 objeto danga e realmente perde o contato com a viga Determine a velocidade para a qual ocorrera ressonancia 19109 Um bloco A de 8 kg desliza em uma fenda vertical sem atrito e esta ligado a um suporte mével B por meio de uma mola de constante k 120 Nm Sabendo que a aceleragio do suporte é a a sen wt onde a 15 ms e w 5 rads determine a 0 desloca mento maximo do bloco A b a amplitude da forga oscilante exer cida pela mola no bloco y 2 1 a dy Sen aft BY e A y Figura P19109 5 6 sen wet 19110 Uma bola de 20 g esta ligada a uma raquete por meio de uma corda elastica AB de constante k 75 Nm Sabendo que a raquete é mo vida verticalmente de acordo com a relagao 6 6 sen wf com uma B amplitude 6 200 mm determine a frequéncia circular maxima admissivel para a corda nao ficar frouxa Figura P19110 1262 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica XC Sn Sen wrt 19111 Um péndulo simples de comprimento é suspenso de um cursor C que é forgado a moverse horizontalmente de acordo com a relagéio C X 6 sen wt Determine o intervalo de valores de para o qual o le OS movimento do peso seja menor que 6 Considere que 6 6 pequeno comparado com 0 comprimento do péndulo 19112 Um peso de 12 kg de um péndulo simples de comprimento 600 mm é suspenso de um cursor C de 14 kg O cursor que é forgado a mover se horizontalmente de acordo com a relagao x 6 sen wf com uma amplitude 6 10 mm e uma frequéncia fr 05 Hz Determine a a amplitude do movimento do péndulo b a forga que deve ser aplicada yo Q ao cursor C para manter 0 movimento x 19113 Um motor de massa M é suportado por molas com uma constante de mola equivalente k O desbalanceamento de seu rotor é equivalente a Figura P1911T e P19112 uma massa m localizada a uma distancia r do eixo de rotagao Mostre que quando a velocidade angular do rotor é w a amplitude x do movimento do motor é rmM Xm 1 a onde w VkM 19114 A medida que a velocidade de rotagao de um motor de 100 kg apoia do por molas é aumentada a amplitude da vibragao causada pelo desbalanceamento do seu rotor de 15 kg primeiro aumenta e depois diminui Observase que quando velocidades muito altas sio alcan cadas a amplitude da vibragdo se aproxima de 33 mm Determine a distancia entre o centro de massa do rotor e seu eixo de rotagao Dica use a formula deduzida no Problema 19113 19115 Um motor de 200 kg é suportado por molas que tém uma constante total de 240 kNm O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 30 g localizada a 200 mm do eixo de rotagio Determine o intervalo de valores admissiveis da velocidade do motor se a amplitu de da vibrac4o nao exceder 15 mm 19116 A medida que a velocidade de rotagao de um motor apoiado por mo las é lentamente aumentada de 300 para 500 rpm a amplitude da vibragéio causada pelo desbalanceamento do seu rotor é observada aumentando continuamente de 15 para 6 mm Determine a veloci dade de rotagéo em que ocorrera ressonancia 19117 Um motor de 100 kg é parafusado a uma viga horizontal leve O desba lanceamento do seu rotor é equivalente a uma massa de 60 g localizada a 100 mm do eixo de rotacgo Sabendo que a ressonancia ocorre na velocidade do motor de 400 rpm determine a amplitude da vibragao em regime permanente em a 800 rpm b 200 rpm c 425 rpm 19118 Um motor de 180 kg é parafusado a uma viga horizontal leve O des balanceamento do seu rotor é equivalente a uma massa de 28 g lo calizada a 150 mm do eixo de rotagio e a deflexao estatica da viga decorrente do peso do motor é de 12 mm A amplitude da vibragio r decorrente do desbalanceamento pode ser diminufda pela adigao de eee uma placa na base do motor Se a amplitude de vibracao deve ser menor que 60 wm para velocidades do motor acima de 300 rpm de Figura P19117 e P19118 termine a massa necessdria da placa Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1263 19119 Odesbalanceamento do rotor de um motor de 200 kg é equivalente a uma massa de 100 g localizada a 150 mm do eixo de rotagao A fim de limitar para 1 N a intensidade da forga oscilante exercida na fundagiao quando o motor gira a velocidades de 100 rpm ou acima uma base amortecedora é colocada entre o motor e a fundacao Determine a a constante maxima admissivel da mola k da base b a amplitude correspondente da forga oscilante exercida na fundagio quando o asl motor esta girando a 200 rpm eo ee 19120 Um motor de 180 kg é suportado por molas de constante total 150 kNm O desbalanceamento do rotor é equivalente auma massa Figura P19119 de 28 g localizado a 150 mm do eixo de rotagao Determine o interva lo de velocidades do motor para 0 qual a amplitude da forga oscilante exercida na fundagiio é menor que 20 N 19121 Um medidor de vibragao usado para medir a amplitude das vibra gdes consiste de uma caixa contendo um sistema massamola com frequéncia natural conhecida de 120 Hz A caixa esté rigidamente ligada a uma superficie que esta se movendo de acordo com a equa cao y 6 sen wt Se a amplitude z do movimento da massa relativo a caixa 6 usada como uma medida da amplitude 6 da vibragio da superficie determine a 0 erro percentual quando a frequéncia da vibragaéo é de 600 Hz b a frequéncia na qual o erro é zero i 19122 Um certo aceler6metro consiste essencialmente de uma caixa con tendo um sistema massamola com uma frequéncia natural conhecida Y de 2200 Hz A caixa é rigidamente ligada a uma superficie que esta se movendo de acordo com a equacgao y 6 sen wt Se a amplitude z do movimento da massa relativo 4 caixa vezes um fator de escala 3 45 cenext w usada como uma medida da aceleracio maxima a 60 da nn superficie que esté vibrando determine o erro percentual quando a frequéncia da vibragao é 600 Hz Figura P19121 e P19122 19123 As Figuras 1 e 2 mostram como molas podem ser usadas para su portar um bloco em duas situagées diferentes Na Fig 1 elas aju dam a diminuir a amplitude da forga oscilante transmitida pelo bloco a fundagao Na Fig 2 elas ajudam a diminuir a amplitude do des locamento oscilante transmitido pela fundagio ao bloco A razio da forga transmitida pela forga imprimida ou a razo do deslocamento transmitido pelo deslocamento forgado é chamada de transmissibili dade Deduza uma equacio para a transmissibilidade em cada situa cao Dé sua resposta em termos da razio ww da frequéncia w da forga imprimida ou do deslocamento forgado pela frequéncia natural w do sistema massamola Mostre que para causar qualquer redugao na transmissibilidade a razao ww deve ser maior que V2 P P sen wrt t Ss Ss y 5 Sen wet 1 2 Figura P19123 1264 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 19124 Um disco de 30 kg é fixado com uma excentricidade e 015 mm a ao ponto médio de um eixo vertical AB que gira com uma velocidade A angular w constante Sabendo que a constante de molak para o movi mento horizontal do disco é de 650 kNm determine a a velocidade e angular w na qual a ressonAncia vai ocorrer Db a deflexao r do eixo quando w 1200 rpm I 19125 Um pequeno reboque e sua carga tém uma massa total de 250 kg O reboque é suportado por duas molas cada uma de constante ae 10 kNm e puxado sobre uma estrada cuja superficie pode ser apro ximada por uma curva senoidal com amplitude de 40 mm e compri mento de onda de 5 m ou seja a disténcia entre cristas sucessivas é de 5 m e a distancia vertical da crista para a depressaio é de 80 mm Determine a a velocidade em que ocorrera ressonancia b a ampli B tude da vibragio do reboque a uma velocidade de 50 kmh Figura P19124 cw p V P P sen wrt e L Figura P19125 P a 19126 O bloco A pode se mover sem atrito na fenda como mostrado na Sk figura e sobre ele atuar uma forga vertical periddica de intensidade TT P P sen wt onde w 2 rads e P 20 N Uma mola de cons 0 tante k esta ligada 4 superficie inferior do bloco A e ao bloco B de 22 kg Determine a 0 valor da constante k que vai evitar a vibragéo em regime permanente do bloco A b a correspondente amplitude Figura P19126 da vibracao do bloco B VIBRACOES AMORTECIDAS 198 Vibracodes livres amortecidas Os sistemas vibratérios dados na primeira parte deste capitulo foram con siderados livres de amortecimento Na realidade todas as vibragGes sAo amortecidas em algum grau pelas forcas de atrito Essas forgas podem ser causadas pelo atrito seco ou atrito de Coulomb entre corpos rigidos por atrito fluido quando um corpo rigido se move em um fluido ou por atrito interno entre as moléculas de um corpo aparentemente elastico Um tipo de amortecimento de especial interesse 6 0 amortecimen to viscoso causado pelo atrito fluido a velocidades baixas e moderadas O amortecimento viscoso é caracterizado pelo fato de que a forga de atrito é diretamente proporcional e oposta a velocidade do corpo mével Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1265 Como um exemplo vamos novamente considerar um corpo de massa m suspenso por uma mola de constante k considerando que o corpo esta Qo ligado ao émbolo de um amortecedor Fig 1910 A intensidade da forga S de atrito exercida sobre o émbolo pelo fluido que o envolve é igual a cx onde a constante c expressa em N sm e conhecida como 0 coeficiente Ss de amortecimento viscoso depende das propriedades fisicas do fluido e 2 da construgao do amortecedor A equagaio de movimento é SF ma W k6 x cx m T 4 Recordando que W ké escrevemos eT 4 7 Pee ant 1938 Equilibrio Substituindo x e em 1938 e dividindo por e escrevemos a Ww equacdo caracteristica m ck k 0 1939 mamk e obtemos as raizes a iT tstiYd fr SY Cx c c Yk i A t 1940 Figura 1910 2m 2m m Definindo 0 coeficiente de amortecimento crucial c como o valor de c que torna o radical da Eq 1940 nulo escrevemos 2 C k k 0 C 2m 2mw 1941 2m m m onde é a frequéncia natural circular do sistema na auséncia de amor tecimento Podemos distinguir trés casos diferentes de amortecimento dependendo do valor do coeficiente c 1 Amortecimento supercrucial c c As raizes X e A da equagiio ca racteristica 1939 sao reais e distintas e a solugao geral da equagao diferencial 1938 é x Cye Cyc 1942 Essa solugao corresponde a um movimento nao vibratério Como A e A sao negativos x tende a zero quando t aumenta indefinidamente Contudo o sistema na realidade retorna a sua posigao de equilibrio ap6s um tempo finito 2 Amortecimento crucial c c A equagao caracteristica tem uma raiz duplaA c2m a ea solugao geral de 1938 é x Cy Cote 1943 O movimento obtido é novamente nao vibrat6rio Sistemas critica mente amortecidos sdo de interesse especial em aplicagdes de en genharia pois eles retornam a sua posigao de equilibrio no menor tempo possivel sem oscilagio 3 Amortecimento subcrucial c c As raizes da Eq 1939 siio com plexas e conjugadas e a solugao geral de 1938 é da forma x e C sen wt Cs cos a t 1944 1266 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica onde w é definido pela relagiao 2k Od m 2m Substituindo km w e recordando 1941 escrevemos co WI On 1 1945 Ce onde a constante cc é conhecida como fator de amortecimento Apesar de que o movimento na realidade ndo se repete a constante w é geral mente referenciada como a frequéncia circular da vibragao amortecida Uma substituigado semelhante a utilizada na Segao 192 permitenos es crever a solugao geral da Eq 1938 na forma x xe on sen wt 1946 O movimento definido pela Eq 1946 é vibratério com amplitude de crescente Fig 1911 e 0 intervalo de tempo 7 277w que separa dois pontos sucessivos onde a curva definida pela Eq 1946 toca uma das curvas limites mostradas na Fig 1911 6 comumente referenciado como o pertodo da vibragao amortecida Recordando a Eq 1945 observa mos que w w e assim que 7 maior que o periodo de vibragio 7 do sistema nao amortecido correspondente x Xo 1 24 NS xoe 2m NX Lo a x3 x4 O AN Mi Ne i i 1 t a Yo Y 7 7 7 7 7 7 7 7 x9 Figura 1911 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1267 199 Vibragdes forcadas amortecidas ee Se o sistema considerado na segao precedente é submetido a uma forca pe y riddica P de intensidade P P sen wt a equagdo do movimento se torna P a aw mx cx kx P sen wet 1947 P aa ee ES a A solugao geral de 1947 é obtida adicionandose uma solucio particu ve ay etre lar de 1947 a fungaio complementar ou uma solugao geral da equacao homogénea 1938 A fungo complementar é dada por 1942 1943 Foto an A suspensdo de ouiomovel ou 1944 dependendo do tipo de amortecimento considerado Ela re mosirada consisie essenciaimenie ee uma mola e um absorvedor de choque presenta um movimento transiente que é no final das contas completa gue yao fazer com que 0 corpo do carro mente amortecido sofra vibragdes forgadas amortecidas Nosso interesse nesta seco esté centrado nas vibragdes em regime quando ele é dirigido sobre uma permanente representadas por uma solucao particular de 1947 da forma estrada irregular Xyart Xj SCN Wet 1948 Substituindo Xa POY x em 1947 obtemos MoX sen wt g cwx Cos wet g kx sen wpt P sen wrt Fazendo wt p sucessivamente igual a 0 e a 772 escrevemos cx P sen g 1949 k ma x P cos 1950 Elevando ao quadrado ambos os membros de 1949 e 1950 e soman do temos k mo cor x P 1951 Resolvendo 1951 para x e dividindo 1949 e 1950 membro a membro obtemos respectivamente P ca im i tgQ a 1952 Vk moj cop k moog Recordando de 194 que km w onde éa frequéncia circular saa 4 gle da vibragio livre nao amortecida e de 1941 que 2mw c onde cé 0 les Ss coeficiente de amortecimento crucial do sistema escrevemos a ae s re x x x 1 ae a OR a SS 1953 a 1 eI Polk Bn VTL wl 2ceay gs Sa 1 ee f f x a ay f 2ccs Foto 193 Esta camioneta esta tg aN 1954 passando por vibragéo forgada 1s w amortecida no ensaio dindmico de veiculo mostrado 1268 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica A equagao 1953 representa o fator de ampliagao em termos da ra zao de frequéncias w e do fator de amortecimento cc Ela pode ser usada para determinar a amplitude de vibraco em regime permanente produzida por uma forga imprimida de intensidade P P sen wt ou pelo movimento forgado do suporte 6 6 sen wt A equagao 1954 define em termos dos mesmos parametros a diferenca de fase entre a forga imprimida ou o movimento forgado do suporte e a resultante vibra cao em regime permanente do sistema amortecido O fator de ampliacao foi tragado em fungao da razio de frequéncias na Fig 1912 para varios valores do fator de amortecimento Observamos que a amplitude de uma vibragao forcada pode ser mantida pequena pela escolha de um coefi ciente de amortecimento viscoso c grande ou mantendo a frequéncia na tural e a forcada bem distanciadas entre si 5 Cc 4 Cc E 0195 Pk 3 ou 025 Xm Ce On Y VK 1 ee S XI NV C 2 0 0 1 2 3 oy Figura 1912 1910 Andlogos elétricos Circuitos elétricos oscilantes so caracterizados por equagées diferen ciais do mesmo tipo que as obtidas nas segdes precedentes Sua anilise é portanto similar aquela de um sistema mecAnico e os resultados ob tidos para um dado sistema vibratério podem ser prontamente estendi Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1269 dos ao circuito equivalente Reciprocamente qualquer resultado obtido R para um circuito elétrico também se aplicara ao sistema mecanico cor respondente Considere um circuito elétrico que consiste em um indutor de indu C tancia L um resistor de resisténcia R e um capacitor de capacitancia C L ligados em série com uma fonte de tensao alternada E E sen w Fig 1913 Recordamos a partir da teoria elementar de circuitos que se i representa a corrente do circuito e g representa a carga elétrica do capa citor a queda de potencial é Ldidt por meio do indutor Ri por meio do B Em sen wyt resistor e qC por meio do capacitor Expressando que a soma algébrica Figura 1913 da tensao aplicada e das quedas de potencial ao longo do circuito fechado é nula escrevemos E sen wt Lo Ri a 0 1955 Reordenando os termos e recordando que em qualquer instante a cor rente i é igual a taxa de variacao q da carga q temos 1 Lg Rq cd E sen wt 1956 Verificamos que a Eq 1956 que define as oscilagdes do circuito elé trico da Fig 1913 6 do mesmo tipo da Eq 1947 que caracteriza as vibragdes forgadas amortecidas do sistema mecanico da Fig 1910 Com parando as duas equagées podemos construir uma tabela de expressdes mecanicas e elétricas andlogas A Tabela 192 pode ser usada para estender os resultados obtidos nas segdes precedentes para varios sistemas mecAnicos aos seus andlogos elétricos Por exemplo a amplitude i da corrente no circuito da Fig 1913 pode ser obtida observando que ela corresponde ao valor méximo v da velocidade no sistema mecanico anélogo Recordando a partir da Tabela 192 Caracteristicas de um sistema mecdnico e de seu andlogo elétrico Sistema mecdnico Circuito elétrico m Massa L Indutdncia c Coeficiente de amortecimento viscoso R Resisténcia k Constante de mola 1C Inverso da capacitancia x Deslocamento q Carga v Velocidade i Corrente P Forga aplicada E Voltagem aplicada Ver C R Paul S A Nasar e L E Unnewehr Introduction to Electrical Engineering 2 ed McGrawHill Nova York 1992 1270 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica primeira das Eqs 1937 que v x substituindo o valor de x da Eq 1952 e trocando as constantes do sistema mecanico pelas corres pondentes expressoes elétricas temos i En 1 2 C Lay Roy E in Ai 1957 p2 O radical na expressao obtida é conhecido como impedéncia do circuito elétrico R A analogia entre sistemas mecanicos e circuitos elétricos é valida tan to para oscilagdes transitérias como para oscilagdes em regime perma nente As oscilagdes do circuito mostrado na Fig 1914 por exemplo sao andlogas as vibragGes livres amortecidas do sistema da Fig 1910 No que L c diz respeito as condigées iniciais devemos notar que fechar a chave S quando a carga no capacitor é g qy equivale a liberagao da massa do sis tema mecAnico com velocidade inicial nula da posigao x x Devemos s observar também que se uma bateria de tensdo constante E é introduzida Figura 1914 no circuito elétrico da Fig 1914 fechar a chave S seré equivalente a aplicacaio repentina de uma forga de intensidade constante P 4 massa do sistema mecAnico da Fig 1910 A discussao anterior seria de valor questionavel se seu tinico re sultado fosse tornar possivel para os estudantes de mecAnica analisar circuitos elétricos sem aprender os elementos da teoria de circuitos Esperase que essa discussio va ao contrario encorajélos a aplica rem na resolugao de problemas de vibracgées mecAnicas as técnicas matematicas que possam aprender em cursos posteriores de teoria de circuitos elétricos O principal valor do conceito de andlogos elétricos no entanto reside em sua aplicagao a métodos experimentais para a determinacio das caracteristicas de um dado sistema mecanico De fato um circuito elétrico é muito mais facilmente montado que um modelo mecanico e 0 fato de que suas caracteristicas podem ser mo dificadas variando a indutancia a resisténcia ou a capacitancia de seus varios componentes torna o uso do andlogo elétrico particularmente conveniente Para determinar 0 andlogo elétrico de um dado sistema mecAnico concentraremos nossa atencdo sobre cada massa mével no sistema ob servando quais molas amortecedores ou forgas externas esto direta Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1271 mente aplicados sobre ela Uma malha ou circuito elétrico equivalente pode entéo ser montada para combinar cada uma das unidades mecé nicas assim definidas as varias malhas obtidas desse modo formario no ky Cy seu conjunto o circuito desejado Considere por exemplo o sistema mecAanico da Fig 1915 Observamos que a massa m em esta sob a agiio de duas molas de constantes k e k e de dois amortecedores caracteri fp zados pelos coeficientes de amortecimento viscoso c e c O circuito k Co elétrico deveria portanto incluir uma malha consistindo em um indutor de indutancia L proporcional am em dois capacitores de capacitancias C e Cinversamente proporcionais ak ek respectivamente e em dois fe resistores de resisténcia R e R proporcionais ac c respectivamente Como a massa m esté sob a acdo da mola k e do amortecedor c bem como da forga P P sen w 0 circuito também deveria incluir uma P Py sen wyt malha contendo o capacitor C o resistor R o novo indutor L e a fonte Figura 1915 de tensao E E sen wt Fig 1916 Para verificar se o sistema mecanico da Fig 1915 e o circuito elétri co da Fig 1916 realmente satisfazem as mesmas equacoes diferenciais 1 Ry as equacdes de movimento para m e m serao deduzidas primeiro Re presentando respectivamente por x e x os deslocamentos de m e m de suas posigées de equilibrio observamos que o elongamento da mola 4 In k medida de sua posicao de equilfbrio é igual a x enquanto o elon Cy Ry gamento da mola k é igual ao deslocamento relativo x x de m em relacio am As equagdes de movimento para m e m sao portanto 19 mx eX X x kx kx x0 1958 te Mok CX X kx x1 P sen wpt 1959 EE sen oyt Considere agora 0 circuito elétrico da Fig 1916 representamos res Figura 1916 pectivamente por i e i as correntes da primeira e segunda malhas e por 4 qo as integrais Ji dt e Ji dt Observando que a carga no capacitor C é q enquanto a carga em C é gq qo expressamos que a soma das diferengas de potencial em cada malha é zero e obtemos as seguintes equacgoes di Y Lig Rigi Rol go 2 LB 0 1960 Cy Cy Logis Bogs 41 ne Esenat 1961 2 Verificamos facilmente que as Eqs 1960 e 1961 se reduzem a 1958 e a 1959 respectivamente quando as substituigdes indicadas na Tabela 192 so efetuadas N esta secao um modelo mais realfstico de sistema vibratério foi desenvolvido incluindose o efeito do amortecimento viscoso causado pelo atrito fluido O amortecimento viscoso foi re presentado na Fig 1910 pela forga exercida sobre 0 corpo em movimento por um émbolo moven dose em um amortecedor Essa forga é igual em intensidade a cx onde a constante c expressa em N sm é conhecida como 0 coeficiente de amortecimento viscoso Tenha em mente que a mesma convencao de sinal deve ser usada para x e X 1 Vibragées livres amortecidas A equagio diferencial que define este movimento foi en contrada como sendo mx cx kx 0 1938 Para obter a solugaio dessa equacao calcule 0 coeficiente de amortecimento crucial c usando a equagao Co 2MVkm 2mno 1941 onde w é a frequéncia natural circular do sistema ndo amortecido a Sec c amortecimento supercrucial a solucado da Eq 1938 é x Cye Coe 1942 onde 2 GC c k Ag 7H el iia 1940 a 2m m e onde as constantes C e C podem ser determinadas a partir das condigGes iniciais x0 e x0 Essa solugao corresponde a um movimento nao vibratorio b Sec c amortecimento crucial a solucao da Eq 1938 é x Cy Cote 1943 que também corresponde a um movimento nao vibratério c Sec c amortecimento subcrucial a solucao da Eq 1938 é c2mt X Xe sen wt o 1946 onde oN Wq 1 1945 Ce e onde x e podem ser determinados a partir das condigées iniciais x0 e x0 Essa solugao cor responde a oscilagdes de amplitude decrescente e de periodo 7 277w Fig 1911 2 Vibragoes forgadas amortecidas Essas vibragdes ocorrem quando um sistema com amortecimento viscoso esta sujeito a uma forga periddica P de intensidade P P sen wt ou quando ele esta elasticamente ligado a um suporte com um movimento alternado 6 6 sen f No primeiro caso o movimento é definido pela equagao diferencial mx cx kx P sen wet 1947 e no segundo caso por uma equagio similar obtida pela substituigao de P por k6 Vocé se preocu pard somente com 0 movimento em regime permanente do sistema que é definido por uma solugao particular dessas equacgées da forma Xpart Xin sen wet 1948 onde Bm om 1953 Polk 8m VL ogloP 2clce pn P e 2ces tee 1854 1 A expressao dada na Eq 1953 é referida como o fator de ampliagdo e foi tragada em um grafico em fungao da razao de frequéncias w da Fig 1912 para varios valores do fator de amorteci mento cc Nos problemas que se seguem vocé podera ser solicitado a determinar um dos para metros das Eqs 1953 e 1954 onde os outros parametros sao conhecidos 19127 Mostre que no caso de amortecimento supercrucial c c um cor po nunca passa pela sua posigao de equilibrio O a se ele é liberado sem velocidade inicial de uma posigio arbitraria ou b se ele parte de O com uma velocidade inicial arbitraria 19128 Mostre que no caso de amortecimento supercrucial c c um cor po liberado de uma posigio arbitréria com uma velocidade inicial arbitréria nfo pode passar mais de uma vez pela sua posigao de equi librio 19129 No caso de amortecimento subcrucial os deslocamentos x x5 x3 mostrados na Fig 1911 podem ser considerados iguais aos desloca mentos maximos Mostre que a razio de dois deslocamentos maximos sucessivos x X constante e que o logaritmo natural dessa raziio chamado de decremento logaritmico é Xn 27 cC lh Xn1 V1 cle 19130 Na pratica é frequentemente dificil determinar o decremento lo garitmico de um sistema com o amortecimento subcrucial definido no Problema 19129 pela medida de dois deslocamentos maximos sucessivos Mostre que o decremento logaritmico também pode ser expresso como 1k Inxx onde k é o ntimero de ciclos entre leituras do deslocamento maximo 19131 Em um sistema com amortecimento subcrucial c c 0 periodo de vibragaio é usualmente definido como o intervalo de tempo T 27w correspondente a dois pontos sucessivos onde a curva deslocamentotempo toca uma das curvas limitantes mostradas na Fig 1911 Mostre que o intervalo de tempo a entre o deslocamento positivo e o deslocamento negativo seguinte maximos é 7 b entre dois deslocamentos nulos sucessivos é T c entre um deslocamento positivo maximo e o deslocamento nulo seguinte é maior que 7 19132 O bloco mostrado na figura é abaixado em 30 mm da sua posigéio de equilibrio e entao liberado Sabendo que depois de 10 ciclos o deslocamento maximo do bloco é de 125 mm determine a o fator de amortecimento cc b 0 valor do coeficiente de amortecimento viscoso Dica veja os Problemas 19129 e 19130 k 175 Nm oD i Figura P19132 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1275 19133 Um vagiio de trem carregado de massa 15000 kg esta circulando a uma velocidade constante v quando é acoplado com uma mola e um sistema amortecedor Fig 1 O registro da curva deslocamento tempo do vagio de trem carregado é mostrado Fig 2 Determine a a constante de amortecimento b a constante da mola Dica Use a definigio de decremento logaritmico dado em 19129 15 041 s 125 Vo 10 125 mm 75 2 5 3mm z 25 t k g 4 JS le Lt Pettitt 4 25 02 06 08 1 a Go G0 i 5 Tempo s 75 1 2 Figura P19133 19134 Um bloco A de 4 kg é solto de uma altura de 800 mm sobre um blo co B de 9 kg que estaé em repouso O bloco B é suportado por uma mola de constante k 1500 Nm e esta unido a um amortecedor de coeficiente de amortecimento c 230 N sm Sabendo que nao ha rebote determine a distancia maxima a que os blocos vao se mover apos 0 impacto 800 mm Y k c Figura P19134 19135 Solucione o Problema 19134 considerando que o coeficiente de amortecimento do amortecedor é de c 300 N sm 19136 O cano da arma de caga tem massa de 750 g e é retornado para a posigdo de tiro apés o recuo de um recuperador de constante c 18 kN sm Determine a a constante k que deveria ser usada para 0 recuperador retornar 0 cano para a posicao de tiro no menor tempo possivel sem qualquer oscilagao b o tempo neces sdrio para o cano voltar dois tergos do caminho de sua posigao de recuo maximo para a sua posicao de tiro 1276 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 19137 Uma barra uniforme de massa m é suportada por um pino em A e uma mola de constante k em B e esta ligada em D a um amortecedor de coeficiente de amortecimento c Determine em termos de m k e c para pequenas oscilagées a a equacaio diferencial de movimento b 0 coeficiente de amortecimento crucial c Ss k s A 7 D B Cc L L 2 2 Figura P19137 19138 Uma barra uniforme de 2 kg é suportada por um pino em O e por uma mola em A e esta ligada a um amortecedor em B Determine a a equacio diferencial do movimento para pequenas oscilagées b 0 Angulo que a barra formardé com a horizontal 15 s apés a extremidade B ter sido empurrada 25 mm para baixo e liberada re 600 I O A ve B ee S S k50Nm c8Nsm Figura P19138 19139 Um elemento de maquina de 500 kg é suportado por duas molas cada uma de constante 50 kNm Uma forga periddica de 150 N de amplitude é aplicada ao elemento com uma frequéncia de 28 Hz Sa bendo que 0 coeficiente de amortecimento é de 18 kN sm deter mine a amplitude da vibragiio em regime permanente do elemento 19140 No Problema 19139 determine o valor necessdrio da constante de cada mola se a amplitude da vibragaéo em regime permanente deve ser de 04 mm 19141 No caso da vibragao forgada de um sistema determine o intervalo de valores do fator de amortecimento cc para o qual o fator de amplia cao sempre diminuiré quando a razio de frequéncia ww aumentar Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1277 19142 Mostre que para um fator de amortecimento cc pequeno a ampli tude maxima de uma vibracao forgada ocorre quando w e que a wo ea Sti ttt o valor correspondente do fator de ampliacio é cc kos 19143 Um motor de 50 kg é parafusado a uma viga leve horizontal que tem Figura P19143 uma deflexio estatica de 6 mm devido ao peso do motor O desbalan ceamento do motor é equivalente a uma massa de 100 g localizado a 75 mm do eixo de rotagio Sabendo que a amplitude da vibragao do motor é 08 mm a uma velocidade de 400 rpm determine a o fator de amortecimento cc b 0 fator de amortecimento c 19144 Um motor de 15 kg é suportado por quatro molas cada uma de cons tante 45 kNm O desbalanceamento do motor é equivalente a uma massa de 20 g localizada a 125 mm do eixo de rotagio Sabendo que o motor é restringido a moverse verticalmente determine a amplitude da vibragiio em regime permanente do motor a uma velocidade de 1500 rpm considerando a que nenhum amortecimento esta pre sente b que o fator de amortecimento cc é igual a 13 re im EE eFTahzc PD S Figura P19144 e P19145 19145 Um motor de 100 kg é suportado por quatro molas cada uma de constante k 90 kNm e esta ligado ao chao por um amortecedor que tem coeficiente de amortecimento c 6500 N sm O motor é restringido a moverse verticalmente e a amplitude observada de seu movimento é de 21 mm a uma velocidade de 1200 rpm Sabendo que a massa do rotor é de 15 kg determine a distancia entre o centro de massa do rotor e 0 eixo da haste IQ 19146 Um excitador de massa excéntrica contrarotativo consiste de duas mas sas rotativas de 400 g que descrevem circulos de raio 150 mm com a mesma velocidade mas em sentidos opostos e é colocado em um ele mento de maquina para induzir uma vibracaio em regime permanente nesse elemento e para determinar algumas caracteristicas dinamicas WD oy do elemento A uma velocidade de 1200 rpm um estroboscépio mos oa oe tra as massas excéntricas exatamente abaixo de seus respectivos eixos de rotacao e o elemento passa a ter a sua posigio de equilibrio estatico TT TT Sabendo que a amplitude de movimento do elemento a essa velocida O 0 0 de é 15 mm e que a massa total do sistema é 140 kg determine a a constante de mola combinada k b 0 fator de amortecimento cc Figura P19146 1278 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 19147 Um modelo simplificado de uma maquina de lavar é mostrada na fi gura Uma trouxa de roupa molhada forma uma massa m de 10 kg na maquina e causa um desbalanceamento rotativo A massa rotativa é 20 kg incluindo m e 0 raio da cesta de lavar e é 25 cm Sabendo que a maquina de lavar tem uma constante de mola equivalente a k 1000 Nm e fator de amortecimento cc 005 e durante o ciclo de centrifugagio a cesta gira 250 rpm determine a amplitude do movimento e a intensidade da forga transmitida para os lados da maquina de lavar Suporte ba sem atrito Figura P19147 P P sen wt 19148 Um elemento de maquina é suportado por molas e esta ligado a um amortecedor como mostrado na figura Mostre que se uma forga pe riddica de intensidade P P sen wt é aplicada ao elemento a am plitude da forga oscilante transmitida 4 fundagiio é F 1 2ccylo m PNT open PP Bele layla 19149 Um elemento de maquina de 100 kg suportado por quatro molas Ss cada uma de constante k 200 Nm esta sujeito a uma forga pe riddica de frequéncia de 08 Hz e amplitude de 100 N Determine a amplitude da forga oscilante transmitida 4 fundagao se a um amor tecedor com um coeficiente de amortecimento c 420 N sm esta Figura P19148 e P19149 ligado maquina e ao chao b o amortecedor é removido 19150 Para uma vibracio em regime permanente com amortecimento sob uma forca harmGnica mostre que a energia mecanica dissipada por J ciclo pelo amortecedor é E TICK Op onde c é 0 coeficiente de amor S tecimento x a amplitude do movimento e wa frequéncia circular da ke c forga harmGénica S p 19151 Asuspensio de um automével pode ser aproximada pelo sistema sim plificado molaamortecedor mostrado na figura a Escreva a equa J 5 cao diferencial que define o deslocamento vertical da massa m quan ee ey Lae mT do o sistema se move com uma velocidade v por uma estrada com uma segio longitudinal senoidal de amplitude 6 e comprimento de L onda L b Deduza uma expressio para a amplitude do deslocamento Figura P19151 vertical da massa m Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1279 19152 Dois blocos A e B cada um de massa m so suportados como mos trado na figura por trés molas de mesma constante k Os blocos A e B esto ligados por um amortecedor e o bloco B esta ligado ao chao por dois amortecedores cada um tendo o mesmo coeficiente de amor tecimento c O bloco A é submetido a uma forga de intensidade P P sen wt Escreva as equagoes diferenciais que definem os desloca mentos x x dos dois blocos a partir de suas posigdes de equilibrio P P sen wort A lo Q oO S O XB ee O O Figura P19152 19153 Expresse em termos de L C e E 0 intervalo de valores da resisténcia R no qual ocorrerao oscilagGes no circuito mostrado na figura quando achave S for fechada R E Figura P19153 19154 Considere o circuito do Problema 19153 quando 0 capacitor C é re movido Se a chave S for fechada no instante t 0 determine a o valor final da corrente no circuito b o instante no qual a corrente alcangard 1 1e vezes o valor final O valor desejado de t 6 conhe cido como a constante de tempo do circuito 1280 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 19155 e 19156 Desenhe o andlogo elétrico do sistema mecfnico mos trado na figura Dica desenhe as malhas correspondentes para os corpos livres m e A k f J iu P P sen wt Figura P19155 e P19157 19157 e 19158 Escreva as equagées diferenciais definindo a os deslo camentos da massa m e do ponto A b as cargas nos capacitores do andlogo elétrico Ne c A P P sen wt Figura P19156 e P19158 Este capitulo foi dedicado ao estudo de vibragées mecéanicas ou seja a andlise do movimento de particulas e corpos rigidos que oscilam em tor no de uma posigio de equilibrio Na primeira parte do capitulo Secdes de 192 a 197 consideramos vibragées sem amortecimento enquanto a segunda parte foi dedicada as vibragées amortecidas Segoes de 198 a 1910 Na Segao 192 consideramos as vibragées livres de uma particula isto Vibracgées livres de uma 6 o movimento de uma particula P sujeita a uma forga restauradora pro particula porcional ao deslocamento da particula tal como a forga exercida por uma mola Se o deslocamento x da particula P é medido a partir de sua posigao de equilibrio O Fig 1917 a resultante F das forgas que atuam em P incluindo seu peso tem uma intensidade kx e esta dirigida para O Aplicando a segunda lei de Newton F ma e lembrando que a X escrevemos a equagio diferencial mk kx 0 192 ou estabelecendo que w km i ox 0 196 Z Xm2 a ea 2 fs Equilibrio 4 ty 27223 Lid Figura 1917 1282 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica O movimento definido por essa equacao é chamado movimento harmé nico simples A solucao da Eq 196 que representa o deslocamento da particula P foi expressa como x x sen wt d 1910 onde x amplitude da vibragao w Vkm frequéncia circular natural Angulo da fase O periodo da vibragao isto é o tempo necessario para um ciclo com pleto e sua frequéncia natural isto é o nimero de ciclos por segundo foram expressos como Qa Periodo tT 1913 Dn 1 o Frequéncia natural f 1914 Tr Qa A velocidade e aceleragao da particula foram obtidas diferenciandose a Eq 1910 e seus valores maximos foram encontrados como sendo On Xn Gn X00 1915 Como todos os parametros anteriores dependem diretamente da fre quéncia natural circular w e portanto da razio km é essencial em qualquer problema dado calcular o valor da constante k isto pode ser feito determinandose a relagao entre a forga restauradora e o desloca mento correspondente da particula Problema Resolvido 191 Foi também mostrado que 0 movimento oscilatério da particula P pode ser representado pela projecao no eixo x do movimento de um ponto Q que descreve um circulo auxiliar de raio x com a velocidade angular constante w Fig 1918 Os valores instanténeos da velocidade e acele racio de P podem entao ser obtidos projetandose no eixo x os vetores v e a que representam respectivamente a velocidade e aceleragiio de Q Re Qp am XmOr ae ye oto Vin XmOn x Figura 1918 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1283 Apesar de 0 movimento de um péndulo simples nao ser realmente um Pandulo simples movimento harménico simples as formulas dadas anteriormente po dem ser usadas com wo gl para calcular o perfodo e a frequéncia natural das pequenas oscilagdes de um péndulo simples Segao 193 Oscilagdes de grande amplitude de um péndulo simples foram discuti das na Segiio 194 As vibragées livres de um corpo rigido podem ser analisadas escolhen Vibracées livres de um dose uma varidvel apropriada como uma distancia x ou um Angulo 9 corpo rigido para definir a posigao do corpo desenhando uma equagio de diagrama de corpo livre para expressar a equivaléncia entre forgas externas e for cas efetivas e escrevendo uma equacao relacionando a variavel esco lhida e sua segunda derivada Segao 195 Se a equacao obtida for da forma t wx 0 ou 6 00 0 1921 a vibragao considerada 6 um movimento harmdnico simples e seu pe riodo e frequéncia natural podem ser obtidos identificandose w e subs tituindo seu valor nas Eqs 1913 e 1914 Problemas Resolvidos 192 e 193 O princtpio de conservacdo de energia pode ser usado como um méto Usandoo principio de do alternativo para a determinagao do periodo e da frequéncia natural conservacdo da energia do movimento harménico simples de uma particula ou de um corpo rigido Seco 196 Escolhendo novamente uma varidvel apropriada tal como 6 para definir a posigao do sistema expressamos que a ener gia total do sistema é conservada T V T V5 entre a posicdo de deslocamento maximo 6 6 e a posigaéo de velocidade maxima 6 9 Se o movimento considerado é harménico simples os dois membros da equagio obtida consistem de express6es quadraticas ho mogéneas em 6 e 6 respectivamente Substituindo 6 0w nessa equacaéo podemos faturar 0 solucionar para a frequéncia circular w Problema Resolvido 194 Na Seciio 197 consideramos as vibragées forgadas de um sistema meca Vibracgées forcadas nico Essas vibragdes ocorrem quando o sistema esté submetido a uma forga periddica Fig 1919 ou esta preso elasticamente a um suporte em movimento alternado Fig 1920 Representando por a frequéncia forgada circular encontramos que no primeiro caso 0 movimento do sistema foi definido pela equagao diferencial mx kx P sen wpt 1930 e que no segundo caso ele foi definido pela equagao diferencial mx kx k6 sen wet 1931 A solugao geral dessas equagées é obtida adicionandose uma solugao particular da forma Xyart Xp SEN Wet 1932 Se o movimento considerado pode apenas ser aproximado por um movimento harméni co simples como no caso das pequenas oscilacdes de um corpo sob a acio da gravidade a energia potencial deve ser aproximada por uma expresso quadratica em 6 1284 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 8m 6 Sen wt 2 to cot 4 wt 0 S S S S S Sy S S S S 3 S s Equilibrio I S S 2 qui 1DYr10 PP sen wyt Figura 1919 Figura 1920 a solucio geral da equagio homogénea correspondente A solugao parti cular 1932 representa uma vibragdo em regime permanente do sistema enquanto a solugao da equacgaio homogénea representa uma vibragao li ure transitéria que pode normalmente ser desprezada Dividindo a amplitude x da vibragéo em regime permanente por Pk no caso de uma forga periddica ou por 6 no caso de um suporte oscilante definimos o fator de ampliagao da vibragaio e encontramos que Fator de ampliagio s 1936 ator de ampliagio P PrJk By 1 al De acordo com a Eq 1936 a amplitude x da vibragao forgada se torna infinita quando w w quer dizer quando a frequéncia forgada é igual a frequéncia natural do sistema A forga imprimida ou 0 movimento forga do do suporte sao entao ditos a estarem em ressondncia com 0 sistema Problema Resolvido 195 Na verdade a amplitude da vibragao perma nece finita por causa das forgas amortecedoras Vibracées livres amortecidas Na tltima parte do capitulo consideramos as vibragées amortecidas de um sistema mecanico Primeiramente analisamos as vibragées livres amortecidas de um sistema com amortecimento viscoso Segio 198 Constatamos que 0 movimento de tal sistema foi definido pela equagio diferencial mx cx kx 0 1938 onde c é uma constante chamada de coeficiente de amortecimento visco so Definindo 0 coeficiente de amortecimento crucial c como k C 2m mo 2m 1941 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1285 onde é a frequéncia natural circular do sistema na auséncia de amor tecimento distinguimos os trés casos diferentes de amortecimento a sa ber 1 amortecimento supercrucial quando c c 2 amortecimento crucial quando c c e 3 amortecimento subcrucial quando c c Nos dois primeiros casos 0 sistema quando perturbado tende a restau rar sua posigao de equilibrio sem nenhuma oscilagao No terceiro caso 0 movimento é vibratério com amplitude decrescente Na Secao 199 consideramos as vibracgées forcadas amortecidas de um Vibracgées forcadas sistema mecdnico Essas vibragdes ocorrem quando um sistema com gmortecidas amortecimento viscoso é sujeito a uma forga peridédica P de intensidade P P sen wt ou quando ele esta elasticamente ligado a um suporte com um movimento alternado 6 6 sen wt No primeiro caso 0 movi mento do sistema foi definido pela equacao diferencial mx cx kx P sen wpt 1947 e no segundo caso por uma equacao anéloga obtida substituindo P por k6 em 1947 A vibragdo em regime permanente do sistema é representada por uma solucao particular da Eq 1947 sob a forma X part Xin sen wpt 1948 Dividindo a amplitude x da vibragaéo em regime permanente por Pk no caso de uma forga periédica ou por 6 no caso de um suporte osci lante obtivemos a seguinte expressio para o fator de ampliagao Xm Xm 1 SO ae 1953 Prof 8m VLD wopleoy PP 2ce pn onde w Vkm frequéncia natural circular de sistema nao amorte cido Cc 2mm coeficiente de amortecimento critico cc fator de amortecimento Também verificamos que a diferenga de fase entre a forca imprimida ou o movimento do suporte e a vibragao em regime permanente resul tante do sistema amortecido foi definida pela relagao 2ce4 tg gg 1954 1 a O capitulo terminou com uma discussao sobre andlogos elétricos Segao Andlogos elétricos 1910 na qual mostrouse que as vibragées de sistemas mecanicos e as oscilagées de circuitos elétricos sao definidas pelas mesmas equacoes di ferenciais Andélogos elétricos de sistemas mecanicos podem portanto ser usados para estudar ou prever o comportamento desses sistemas 19159 Uma placa quadrada fina de lado a pode oscilar sobre um eixo AB A wx localizado a uma distancia b de seu centro de massa G a Determi gd ne o periodo de pequenas oscilagdes se b 5d b Determine um Wa segundo valor de b para o qual o periodo de pequenas oscilagées é 0 eo B mesmo encontrado na parte a a 19160 Um eletrofma de 150 kg em repouso mantém uma sucata de aco de 100 kg quando a corrente é desativada 0 aco cai Sabendo que o cabo e a ccorrente de suporte tém uma rigidez total equivalente a uma Figura P19159 constante de mola de 200 kNm determine a a frequéncia a am plitude e a velocidade maxima do movimento resultante b a tracao minima que ocorrera no cabo durante 0 movimento c a velocidade do eletroima 003 s apds a corrente ser desativada A Joe a ee ZA Sa Figura P19160 19161 Os discos A e B tém massas de 15 kg e 6 kg respectivamente e um pequeno bloco C de 25 kg é preso no aro do disco B Considerando que nao ocorre deslizamento entre os discos determine 0 periodo de pequenas oscilacdes do sistema C a rg 150 mm Figura P19161 Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1287 19162 Um periodo de 600 s é observado para as oscilagdes angulares de um rotor de giroscé6pio de 120 g suspenso por um fio como mostrado na figura Sabendo que o periodo de 380 s é obtido quando uma esfera de ago de 30 mm de diametro é suspensa da mesma forma determi ne o raio de giragao centroidal do rotor Densidade do ago 7800 kgm S Figura P19162 A 19163 Um bloco B de 15 kg é conectado por uma corda ao bloco A de 2 kg que é suspenso por uma mola de constante 3 kNm Sabendo que o sistema esta em repouso quando a corda é cortada determine a a frequéncia a amplitude e a maxima velocidade do movimento resul tante b a tragéo minima que ocorreré na mola durante 0 movimen to c a velocidade do bloco A 03 s apés a corda ser cortada Figura P19163 19164 Duas barras cada uma de massa m e comprimento L sao soldadas juntas para formar a montagem mostrada na figura Determine a a distancia b para que a frequéncia de pequenas oscilagdes da monta gem seja maxima b a frequéncia maxima correspondente L L 27 2 ae i Cll Cc D L B Figura P19164 1288 Mecnica vetorial para engenheiros dindmica 19165 Como avelocidade de giro de um motor suportado por molas é lenta mente aumentada de 200 para 500 rpm observase que a amplitude da vibragio do desbalanceamento do rotor decresce continuamente de 8 mm para 25 mm Determine a a velocidade na qual ocorrera ressonancia b a amplitude da vibragéo em regime permanente a uma velocidade de 100 rpm 19166 Ocompressor mostrado tem massa de 250 kg e opera em 2000 rpm Para essa condicaio de operacao ocorre vibragéo indesejavel quando o compressor é preso diretamente no chao Para reduzir a vibragéio do piso de concreto que repousa em solo argiloso propéese isolar o compressor montado em um bloco quadrado de concreto que re pousa no chio como mostrado na figura A densidade do concreto Z 3 Z é 2400 kgm e a constante de mola para o solo é estabelecido em 6 80 X 10 Nm A geometria do compressor leva a escolher um bloco de concreto de 15 m por 15 m Determine a profundidade h que reduzira a forga transmitida para 0 chio em 75 Compressor Bloco de concreto Enchimento de asfalto Enchimento de asfalto Piso Piso im jim a 7 v Ya 7 LD NLT Een IMM LINCOCITDT ERC IAOL CN TED EEN AMMO ED EMM T OOM WG Et LIEN IT PE rr re SPIE rE rey SS MPAA ULM AUM SANA LAE h 0 Ye AM ELM ELAN ELM AN ELAN 6 AY IE eT MS ELSE PLATO PAY eg PLPC Ph AIO Be Se eee ON AE EN MME RL 8 MMI LEIS SIL GLE Gs ES S55 MUI SS LE MCL SS IMLS LENMCL SS MOT SS UCTS Ls solo argiloso A eS Figura P19166 l 19167 Dificuldades sao encontradas se for usado um péndulo simples ou um composto para determinar experimentalmente a aceleragio da gravi dade g No caso de um péndulo simples a corda nao é suficientemen te pesada enquanto no caso de um péndulo composto a localizagéo B exata do centro de massa é dificil de estabelecer No caso de um pén dulo composto a dificuldade pode ser eliminada usando um péndulo reversivel ou um péndulo de Kater Duas arestas pontiagudas A e B sdo dispostas tal que elas no estéo obviamente 4 mesma distancia do centro de massa G e a distancia 1 6 medida com grande precisio D errr A posigao do contrapeso D 6 entio ajustada tal que o periodo de Fy oscilagdo T seja o mesmo quando qualquer aresta pontiaguda é usada Ll Mostre que o periodo 7 obtido é igual a de um verdadeiro péndulo 2 2 Figura P19167 simples de comprimento e que g 4qlr Capitulo 19 Vibracgées mecdnicas 1289 19168 Um motor de 400 kg é suportado por quatro molas cada uma de constante k 150 kNm e é restringido de moverse verticalmen te Sabendo que o desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa 23 g localizada a uma distancia de 100 mm do eixo de rotacao determine para a velocidade de 800 rpm a a amplitude da forga oscilante transmitida para a fundagao b a amplitude do movimento vertical do motor om 2 EE 2 DP Figura P19168 19169 Resolva o Problema 19168 considerando que a constante de amorte cimento c 6500 N sm é introduzida entre 0 motor e 0 chao 19170 Uma pequena bola de massa m presa ao ponto médio de uma corda elastica bem esticada de comprimento I pode deslizar no plano hori zontal A bola recebe um pequeno deslocamento na dirego perpen dicular 4 corda e é liberada Considerando que a tracio T na corda permanece constante a escreva a equacao diferencial de movimen to da bola b determine o periodo de vibragao x T T root 2 2 Figura P19170 19C1 Expandindo o integrando da Eq 1919 em uma série de poténcias de sen e fazendo a integragiio é possivel mostrar que o perfodo de um péndulo simples de comprimento pode ser aproximado pela expressao 5 eis Ges Reeve Reyes aa aa PAO oo Eo mn STN g aJ ax4 2xX4X6 onde c sen 56 6 a amplitude de oscilagao Use um programa de compu tador para calcular a soma das séries entre colchetes usando sucessivamente 1 2 4 8 e 16 termos para valores de 6 de 30 a 120 usando incrementos de 30 19C2 A equagio de forcadeflexao para uma classe de molas nao lineares Im presas em uma extremidade é F 5x onde F é a intensidade expressa em newtons da forga aplicada na outra extremidade da mola e x é a deflexiio expres saem metros Sabendo que um bloco de massa m é suspenso pela mola e recebe um pequeno deslocamento para baixo a partir de sua posigio de equilibrio use um programa de computador para calcular e tragar em um grafico a frequéncia de vibragao do bloco para valores de m iguais a 02 06 e 10 kg e valores de n de 1 a 2 Considere que a declividade da curva de forgadeflexio no ponto corres pondente a F mg pode ser usada como uma constante equivalente de mola 19C3 Um elemento de uma maquina suportado por molas e preso a um amortecedor esta sujeito a uma forga periddica de intensidade P P sen wt A transmissibilidade T do sistema é definida pela razao FP do valor maximo F da forga periddica oscilante transmitida 4 fundagio pelo valor maximo P da for ca periddica aplicada ao elemento da maquina Use um programa de computa dor para calcular e tragar em um gréafico o valor de T para razGes de frequéncia w iguais a 08 14 e 20 e para fatores de amortecimento cc iguais a 0 1 e 2 Dica Use a f6rmula dada no Problema 19148 P P sen aft Figura P19C3 Capitulo 19 Vibragées mecdnicas 1291 19C4 Um motor de 15 kg é suportado por quatro molas cada uma de cons tante 60 kNm O desbalanceamento do motor é equivalente a uma massa de 20 g localizada a 125 mm do eixo de rotagaio Sabendo que o motor esta restrin gido a se mover verticalmente use um programa de computador para calcular e tracar em um grafico a amplitude da vibragao e a aceleracéo maxima do motor para velocidades do motor de 1000 a 2500 rpm 19C5 Resolva o Problema 19C4 considerando um amortecedor que tem o coeficiente de amortecimento c 25 kN sm foi preso 4 base do motor e ao chao 19C6 Um pequeno reboque e sua carga tém massa total de 250 kg O rebo que é suportado por duas molas cada uma de constante 10 kNm e é puxado sobre uma estrada cuja superficie pode ser aproximada por uma curva senoidal com amplitude de 40 mm e comprimento de onda de 5 m ou seja a distancia entre cristas sucessivas é de 5 m e a distncia vertical da crista para a depressio é de 80 mm a Desprezando a massa das rodas e considerando que as rodas permanecem em contato com o chao use um programa de computador para cal cular e tracgar um grafico da amplitude de vibracao e a maxima aceleracio vertical do reboque para velocidades de 10 a 80 kmh b Determine a faixa de valores da velocidade do reboque para os quais as rodas perderao 0 contato com o chio ae dil SSS eV oO sn Figura P19C6 APENDICE A A d fi e Tz t e iedades de dlgeb torial As seguintes definigdes e propriedades de algebra vetorial foram discuti das detalhadamente nos Capitulos 2 e 3 do livro Mecénica vetorial para engenheiros Estdtica Elas estaéo resumidas aqui para conveniéncia do leitor com referéncias 4s segdes apropriadas do volume de Estdtica Os niimeros das equagées e ilustrages so aqueles usados na apresentacao original A1 Adicdo de vetores Segdes 23 e 24 Vetores sao definidos como expressdes matemdticas possuindo intensida de diregao e sentido que se somam de acordo com a lei do paralelogra mo Portanto a soma dos dois vetores P e Q é obtida aplicandose os dois vetores no mesmo ponto A e construindose um paralelogramo usando P e Q como dois lados desse paralelogramo Fig A2 A diagonal que passa por meio de A representa a soma dos vetores P e Q e essa soma é representada por P Q A adigao vetorial é associativa e comutativa P ao J P PQ 7 P a Q Figura A1 Figura A2 O vetor negativo de um dado vetor P é definido como um vetor tendo a mesma intensidade P e direcao e sentido opostos ao de P Fig Al 0 negativo do vetor P é representado por P Claramente temos P P0 1294 Apéndice A Algumas definigées Uteis e propriedades de algebra vetorial A2 Produto de um escalar e um vetor Segdo 24 O produto kP de um escalar k e um vetor P é definido como um vetor tendo a mesma diregio e sentido que P se k é positivo ou diregao e sen tido oposto ao de P se k é negativo e uma intensidade igual ao produto da intensidade P pelo valor absoluto de k Fig A3 CY 2P Figura A3 A3 Vetores unitdrios Decomposigdo de um vetor em componentes retangulares Secdes 27 e 212 Os vetores i j e k chamados de vetores unitdrios sio definidos como vetores de intensidade 1 dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x y eZ positivos Fig A4 yl y COs 6J rey AIAS ee k i x Figura A4 Figura A5 Representando por F F e F os componentes escalares de um vetor F temos Fig A5 FFitFjFk 220 No caso particular de um vetor unitério A dirigido ao longo de uma reta formando angulos 6 6 e 6 com os eixos coordenados temos A cos 61 cos 6j cos 6k 222 A4 Produto vetorial de dois vetores Segdes 34 e 35 O produto vetorial de dois vetores P e Q é definido como 0 vetor VPxQ Apéndice A Algumas definicées Uteis e propriedades de dlgebra vetorial 1295 que satisfaz as seguintes condicées 1 A linha de agao de V é perpendicular ao plano contendo P e Q Fig verse A6 2 A intensidade de V é o produto das intensidades de P e Q pelo seno do Angulo 6 formado por P e Q cujo valor é sempre menor ou igual a 180 temos entao V PQ sené 31 ta a 3 A direcio e o sentido de V sao obtidos pela regra da mdo direita Fe che sua mio direita e posicionea de modo que seus dedos se curvem Vv no mesmo sentido da rotaco em que leva o vetor P a ficar alinhado com 0 vetor Q seu polegar ira entao indicar a diregao e o sentido do vetor V Fig A6b Note que se P e Q nao tiverem um ponto J comum de aplicagiio eles deveraio primeiramente ser redesenhados t com a origem no mesmo ponto Os trés vetores P Q e V tomados b nessa ordem formam uma triade da mao direita Figura A6 Os produtos vetoriais sio distributivos mas ndo comutativos Temos Q x P PxQ 34 Produtos vetoriais de vetores unitdrios Seguese da definigao do produto vetorial de dois vetores que ixi0 jxik kXij ixjk jxjo kX ji 37 ixkj jxki kxk0 Componentes retangulares de produto vetorial Decompondo os vetores P e Q em componentes retangulares obtemos as seguintes express6es para os componentes de seu produto vetorial V Vy PyQ PQy V PO PO 39 V PQ PQ Na forma de determinante temos e i jk pe VPxQP P P 310 yy Dar Or Q Q E oh UY d aye A5 Momento de uma forca em relacado a um ponto Segdes 36 e 38 O momento de uma forga F ou mais geralmente de um vetor F em relaco a um ponto O é definido como 0 produto vetorial a Mo rXF 311 he onde r representa 0 vetor de posigao do ponto de aplicacao A de F Fig rw Aa De acordo com a definigao do produto vetorial de dois vetores dada 4 na Secaio A4 o momento Mo deve ser perpendicular ao plano contendo UN O ea forga F Sua intensidade é igual a b M rF sen 0 Fd 312 Figura A7 1296 Apéndice A Algumas definigées Uteis e propriedades de algebra vetorial onde d é a distancia perpendicular de O 4 linha de agao de F e seu senti do é definido pelo sentido da rotagao que traria o vetor r alinhado com o vetor F essa rotacao deve ser vista como no sentido antihordrio por um observador localizado na ponta de M Outra maneira de definir 0 sen tido de Mz é fornecida por uma variagao da regra da mao direita feche sua mao direita e mantenhaa de modo que seus dedos fiquem curvados no sentido da rotagéo que F imprimiria ao corpo rigido cm relagio ao eixo fixo dirigido ao longo da linha de agao de M seu polegar ira indicar o sentido do momento M Fig A7b Componentes retangulares do momento de uma forga Re presentando por x y e z coordenadas do ponto de aplicagio A de F obte mos as seguintes expresses para os componentes do momento Mo de F M yF 2F M 2F xF 318 M xF yF Na forma de determinante temos i j k MorXFx y 319 F Fy F Para calcular o momento M em relagao a um ponto arbitrario B de uma forga F aplicada em A devemos usar 0 vetor r 13 desenha do de B para A em vez do vetor r Escrevemos M fry X F r r X F 320 ou usando a forma de determinante i jk Mz Xap Ya ZAB 321 F Fy EF onde X4p Y4p Z4g S40 Componentes do vetor Fr p Xap X Xp Yar Ya Ye Zap B A6 Produto escalar de dois vetores Secdo 39 Q O produto escalar de dois vetores P e Q é definido como o produto das intensidades de P e Q e do cosseno do angulo 6 formado por P e Q Fig e A8 O produto escalar de P e Q é representado por P Q Escrevemos P PQ PQ cos 0 324 Figura A8 Produtos escalares sio0 comutativos e distributivos Produtos escalares de vetores unitdrios Seguese da definicao de produto escalar de dois vetores que ii1 jjl kk1 ij0 jk0 ki0 329 Apéndice A Algumas definigdes Uteis e propriedades de algebra vetorial 1297 Produto escalar expresso em termos de componentes retangu y lares Decompondo os vetores P e Q em coordenadas retangulares L obtemos 4 A y P Q PO PQ PO 330 r Kw n P Angulo formado por dois vetores Seguese de 324 e 329 que O poy 0 P PQ PQ PO cos 8 PrQ 332 PQ PQ oe oe Figura A9 Projegao de um vetor em um dado eixo A projecao de um vetor P sobre 0 eixo OL definido pelo vetor unitario A Fig A9 é Po OAPA 336 A7 Produto triplo misto de trés vetores Secdo 310 O produto triplo misto dos trés vetores S P e Q é definido como a ex pressao escalar SP XQ 338 obtida formandose o produto escalar de com o produto vetorial de P e Q Produtos triplos mistos so invariantes por permutagées ctclicas mas mudam de sinal com qualquer outra permutacao SPX QPQxSQS xX P SQx PPSxQQPXS 339 Produto triplo misto expresso em termos de componenites re tangulares O produto triplo misto de P e Q pode ser expresso na forma de um determinante Ss S 8 sf SPXQP P P 341 Ox Qy Q P O produto triplo misto P X Q mede o volume do paralelepipedo Figura A10 que tem os vetores S P e Q como lados Fig A10 Yy A8 Momento de uma forca em relacao a um dado h eixo Segdo 311 O momento M de uma forga F ou de modo mais geral de um vetor F Mow 7S C Be em relacao a um eixo OL é definido como a projecao OC sobre 0 eixo OL d do momento M de F em relagio a O Fig A11 Representando por A A o vetor unitdrio ao longo de OL temos r 5 Mo A M A r X F 342 ou em forma de determinante hy Ay Az Figura A11 Mor x y 343 FB FP FP 1298 Apéndice A Algumas definigées Uteis e propriedades de algebra vetorial onde J X A cossenos diretores do eixo OL x y 2 coordenadas do ponto de aplicagio de F F F F componentes da forga F Os momentos da forga F em relagiio aos trés eixos coordenados sao dados pelas expressGes 318 obtidas anteriormente para os componen tes retangulares do momento M de F em relagao a O M yF 2F M 3F xP 318 M xF yF Yy F d r 2 AB rm rp aA Cc O a x Zz Figura A12 De modo mais geral o momento de uma forga F aplicada em A em relaco a um eixo que nao passa pela origem é obtido escolhendose um ponto arbitrario B sobre o eixo Fig A12 e determinando a projegao sobre o eixo BL do momento M de F em relacao a B Escrevemos My AMA typ X F 345 onde r r r representa o vetor desenhado de B para A Expres sando M forma de um determinante temos Ay ody Ag Mp Xap Ya ZaB 346 Fe FP F onde A X A cossenos diretores do eixo BL Xap Xa Xp Yas Ya Yo Pap 2a FB F F F componentes da forga F Devese observar que 0 resultado obtido é independente da escolha do ponto B no eixo dado o mesmo resultado teria sido obtido se 0 ponto C tivesse sido escolhido em vez de B APENDICE B M tos de inércia d B1 Momento de inércia de uma massa Considere um pequeno corpo de massa Am fixado em uma barra de mas sa desprezivel que pode girar livremente em torno de um eixo AA Fig B1a Se um binario é aplicado ao sistema a barra e 0 corpo conside rados inicialmente em repouso comegarao a girar em torno de AA Os detalhes desse movimento serao estudados posteriormente No momen to queremos apenas indicar que o tempo necessério para que o sistema alcance uma dada velocidade de rotagao é proporcional 4 massa Am e ao quadrado da distancia r O produto r Am fornece portanto uma medida da inércia do sistema ou seja uma medida da resisténcia que o sistema oferece quando tentamos colocélo em movimento Por essa razao 0 pro duto r Am é denominado momento de inércia do corpo de massa Am em relacao ao eixo AA L Ki Am pe m Yo 413 ol f Am3 A A A a b c Figura B1 Considere agora um corpo de massa m que deve ser posto para girar em torno de um eixo AA Fig B1b Dividindo 0 corpo em elementos de massa Am Am etc verificamos que a resisténcia do Corpo ao movi mento de rotagao é medida pela soma r Am r Am Essa soma define portanto o momento de inércia do corpo em relagao ao eixo AA Aumentando o ntimero de elementos concluimos que 0 momento de inércia é igual no limite a integral r dm B1 1300 Apéndice B Momentos de inércia de massas O raio de giragdao k do corpo em relacao ao eixo AA é definido pela relagaio Ilkm ou k B2 m Logo 0 raio de giragao k representa a distancia a que toda massa do cor po deve ser concentrada para que seu momento de inércia em relagao a AA permanega inalterado Fig B1c Seja mantido em seu formato original Fig B1b seja concentrado da maneira mostrada na Fig B1c o corpo de massa m reagiré do mesmo modo a uma rotagao ou giragdo em torno de AA No Sistema Internacional de Unidades 0 raio de giragao k é expresso em metros e a massa m em quilogramas e assim a unidade usada para o momento de inércia de um corpo é kg m y O momento de inércia de um corpo em relacao a um eixo de coor denadas pode ser facilmente expresso em termos das coordenadas x y z do elemento de massa dm Fig B2 Observando por exemplo que o quadrado da distancia r do elemento dm ao eixo y 62 x escrevemos 0 momento de inércia do corpo em relacao ao eixo y como NX odm 1 Pam 2 2dm O iY 7 x Expressées similares podem ser obtidas para os momentos de inércia em P relagao aos eixos x e z Escrevemos x ye 2dm Figura B2 an I x x7 dm B3 Weis fA se 5 t G yan ee ae ef Le 4 e ee i es i B2 Teorema dos eixos paralelos Foto B1 Co mo vocé analisaré no Considere um corpo de massa m Seja Oxyz um sistema de coordenadas curso de dindmica o comportamento So rotacional de uma drvore de comando retangulares cuja origem esté em um ponto arbitrario O e Gxyz um de valvulas depende do seu momento sistema de eixos centroidais paralelos ou seja um sistema cuja origem de inércia do corpo em relagéo aoeixo est no centro de gravidade G do corpo e cujos eixos x y 2 séo pa de rotagdo Observe que o termo centroidal é usado aqui para definir um eixo que passa pelo centro de gravidade G do corpo seja G coincidente ou nao com o centroide do sélido represen tativo do corpo Apéndice B Momentos de inércia de massas 1301 ralelos aos eixos x y respectivamente Fig B3 Representando por y x y x as coordenadas de G em relacaio a Oxyz escrevemos as seguintes relacGes entre as coordenadas x y z do elemento dm em relagio a Oxyz e y suas coordenadas x y z em relaco aos eixos centroidais Gxyz xaxo x ysy ty 22 2 B4 dm Voltando as Eqs B3 podemos expressar o momento de inércia do cor 7 po em relagiio ao eixo x da seguinte maneira eC O 2 2 2 z2 a iy 2dm Uy y 2 2 dm i 7 a y 2 dm 2y ydm 2 zdm y am 2 A primeira integral nessa expresso representa o momento de inércia I Figura B3 do corpo em relaco ao eixo centroidal x a segunda e a terceira integrais representam o momento de primeira ordem do corpo em relagio aos planos zx e xy respectivamente e como ambos os planos contém G as duas integrais sao nulas a tiltima integral é igual 4 massa total m do corpo Escrevemos entao 1 Ty my 2 B5 e de modo andlogo 7 s2 4 2 7F 2 12 I Iy mz x I 1 mx yy B5 2 a A Pela Fig B3 verificamos facilmente que a soma z x represen ta o quadrado da distancia OB entre os eixos y e y Analogamente dB y z ex y representam os quadrados da distancia entre os eixos x ex e os eixos z e 2 respectivamente Portanto representando por d a distancia entre um eixo arbitrario AA e um eixo centroidal paralelo BB Fig B4 podemos escrever a seguinte relacao geral entre o momento de inércia I do corpo em relagaio a AA e seu momento de inércia J em G relacdo a BB II md B6 A Expressando os momentos de inércia em termos dos raios de giragao cor B respondentes podemos escrever também Figura BA PkRra B7 onde kek representam os raios de giraco do corpo em relagéo a AA e BB respectivamente 1302 Apéndice B Momentos de inércia de massas B3 Momentos de inércia de placas delgadas Considere uma placa delgada de espessura uniforme feita de um mate rial homogéneo de massa especifica p massa especifica massa por uni dade de volume O momento de inércia de massa da placa em relagio a um eixo AA contido no plano da placa Fig B5a é 2 Iya massa r dm Uma vez que dm pt dA escrevemos 2 Taay massa Pt rdA Mas r representa a distancia do elemento de drea dA ao eixo AA logo a integral é igual ao momento de inércia da superficie da placa em relagdo a AA Escrevemos entio Taar massa Pt ns rea B8 A A t t t B a B 0 O B 0 B G c A A a b c Figura B5 De modo semelhante para um eixo BB contido no plano da placa e per pendicular a AA Fig B5b temos Tgp massa ptl gp grea B9 Considerando agora 0 eixo CC perpendicular ao plano da placa e que passa pelo ponto de interseco C de AA e BB Fig B5c escreve mos Toc massa Pt c area B10 sendo J 0 momento de inércia polar da superficie da placa em relagio ao ponto C Recordando a relacao J I4 Ipg que existe entre os momentos de inércia retangular e polar de uma superficie escrevemos a seguinte relaco entre os momentos de inércia de corpo de uma placa delgada Loo Lay Lgp B11 Os momentos de inércia do corpo e da superficie foram subscritos por massa e area respectivamente Apéndice B Momentos de inércia de massas 1303 Placa retangular No caso de uma placa retangular de lados a e b A Fig B6 obtemos os seguintes momentos de inércia de massa em rela t cao a eixos que passam pelo centro de gravidade da placa B 43 Taq massa ptl aa area ptqsa b 1 p3 Tppr massa ptl gp area ptqsab b B Observando que o produto pabt é igual 4 massa m da placa escrevemos Cc see A os momentos de inércia de corpo de uma placa retangular delgada da bo seguinte maneira 1 2 172 Ta gma I pp pmb B12 Figura B6 Ico Taya I pp pma b B13 Placa circular No caso de uma placa circular ou disco de raio r Fig A B7 escrevemos yl B Taya massa ptl ya drea ptqar t Observando que o produto part é igual massa m da placa e que I Ig escrevemos os momentos de inércia de corpo de uma placa C circular delgada da seguinte maneira B A a L 2 Ina Top amr B14 Figura B7 Tec Tar I pp 5mr B15 oe y B4 Determinagdo do momento de inércia de um y corpo tridimensional por integragdo x ae 4 2 2 Ok7 775 O momento de inércia de um corpo tridimensional é obtido pelo calculo t da integral I fr dm Se 0 corpo é feito de um material homogéneo de dx i 4 Ny densidade p o elemento de massa dm é igual a pdV e podemos escrever a I p fr dV Essa integral depende somente do formato do corpo Logo é para se calcular o momento de inércia de um corpo tridimensional em g NC i geral sera preciso efetuar uma integragao tripla ou pelo menos uma in SL teoracao dunl dm ptr dx NL7 gracdo dupla x Todavia se o corpo tiver dois planos de simetria em geral sera possivel dl r2dm determinar o momento de inércia do corpo com uma integragiio simples dy dly x2dm 112 x2dm escolhendo como elemento de massa dm uma fatia delgada perpendicular Los aos planos de simetria No caso de corpos de revolugao por exemplo 0 4 dm Gr 42 dm elemento de massa seria um disco delgado Fig BS Usando aequagao Figura B8 Determinacdo do B15 o momento de inércia do disco em relagao ao eixo de revolugé0 momento de inércia de um corpo de pode ser expresso do modo indicado na Fig B8 Seu momento de inércia revolucéo em relacao a cada um dos outros dois eixos de coordenadas é obtido pela equagao B14 e pelo teorema dos eixos paralelos A integragao das ex pressGes assim obtidas conduz aos momentos de inércia do corpo B5 Momentos de inércia de corpos compostos Os momentos de inércia de alguns formatos simples estéo mostrados na Fig B9 Para um corpo constituido de varios desses formatos simples podese obter o momento de inércia do corpo em relagio a um dado eixo calculandose primeiro os momentos de inércia de suas partes componen tes em relagio ao eixo desejado e adicionandoos em seguida Tal como no caso de superficies 0 raio de giragéo de um corpo composto ndo pode ser obtido pela adigao dos raios de giracao de suas partes componentes 1304 Apéndice B Momentos de inércia de massas y G Barra esbelta 1 1 4 mL2 z SL oO x y 4 c b l mb c Placa retangular delgada Bp I mce2 p2 jmb Zz x y cr 1 4 mb2 c2 i 2 1 Prisma retangular 4 1 aD mc2 a I x I sma b z y I mr Disco delgado 11 tr z x y 1 I 5 ma Cilindro circular 2 1 1 1 D m3a2 L y 3 ma hm I wn mEa2 2 Cone circular Iy T sma h x y 2 nae Esfera I 1y1 3ma a z x Figura B9 Momentos de inércia de massa de formas geométricas simples y PROBLEMA RESOLVIDO B1 Determine o momento de inércia de uma barra esbelta de comprimento L e x massa m em relago a um eixo perpendicular 4 barra passando por uma das L extremidades da barra y SOLUCAO Escolhendo o elemento diferencial de massa mostrado escrevemos eee On OE say A a dm 7 dx z J Lon mele Llxedm vdk Zs I imI2 pa edn eas L3 3m y PROBLEMA RESOLVIDO B2 Para o prisma retangular homogéneo mostrado determine o momento de th inércia em relacao ao eixo z fe y SOLUCAO x dx Escolhemos como elemento diferencial de massa o elemento delgado mos Narcan trado logo e 1 il dm pbc dx x Veo T2377 Voltando a Secao B3 verificamos que o momento de inércia do elemento em relacao ao eixo z é dl j5b dm Aplicando o teorema dos eixos paralelos obtemos o momento de inércia de massa do elemento em relacao ao eixo z dl dl x dm 4b dm x dm 5b x phe dx Integrando de x 0 até x a obtemos a I av qgb x phe dx pabcjsb a 0 Como a massa total do prisma é m pabc podemos escrever 1 mj5b a 1 4ym4a Db Observamos que se o prisma é delgado sendo b pequeno em comparagao com a a expressio para I reduzse a Lina que 0 resultado obtido no Pro blema Resolvido B1 quando L a y PROBLEMA RESOLVIDO B3 Determine 0 momento de inércia de um cone circular em relagao a a seu x eixo longitudinal b um eixo que passa pelo vértice do cone e é perpendicu Z lar ao seu eixo longitudinal e c um eixo que passa pelo centroide do cone e é perpendicular a seu eixo longitudinal SOLUCAO Escolhemos 0 elemento diferencial de massa mostrado na figura y y x 2 a 2 dk ra dm par dx pa 5x dx a if hn cee vy a Momento de inércia IUsando a expresso deduzida na Segao B3 ee rx para um disco delgado calculamos 0 momento de inércia de massa do ele z mento diferencial em relacao ao eixo x ALL x 2 a dl 37 dm i on Sx a 2pm dx Integrando de x 0 até x h obtemos h a a hd I au 3pm Xx dx 5pT jpptah 0 h a Como a massa total do cone 6 m Loma h podemos escrever L jpptah Aa 4pma7h ma L 4ma b Momento de inércia E usado 0 mesmo elemento diferencial Aplicando o teorema dos eixos paralelos e usando a expressio deduzida na Secio B3 para um disco delgado escrevemos dl dl x dm jr dm x dm fr x dm Substituindo as expressGes para r e dm na equagiio obtemos la a a a dl x ei Tx a pr 1 Jat dk y he an Pm an h 2 2 2 2 5 a fa a fa h I dl am 1 Jxdx oH S4i1e y y eae PMN an 5 Introduzindo a massa total m do cone reescrevemos I y da seguinte maneira I 3ta hspmah I 2m4a h y c Momento de inércia ly Aplicamos 0 teorema dos eixos paralelos e y escrevemos 3 x gh 5 I Ly mx Resolvendo para I e voltando a Fig 521 onde x Sh temos x z I 1 mx 2mta h m3h h Ly yma ih y PROBLEMA RESOLVIDO B4 75 errr errr rere mm Uma pega de ago forjado consiste em um prisma retangular de 150 X 50 Xx 25mm 50mm e dois cilindros de 50 mm de diémetro e 75 mm de comprimento tal como mostra a figura Determine os momentos de inércia da pega em 50 mm x ot 4 relagio aos eixos de coordenadas sabendo que o peso especifico do ago é 5 7850 kgm f og 50 mm oo 7 50mm o 0 mm a 41695 mm SOLUCAO 75 me Cadlculo das massas Prisma ania oe V 005m005m0150m 375 X 104 m L maka oun m 375 X 104 m7850 kg m ee 150 mm 294 kg 3 50 mm a Cada cilindro V 7 0025m0075m 1473 X 104m som mm 1473 X 10 m7850 kgm 1156 kg Momentos de inércia Os momentos de inércia de cada componente sio calculados a partir da Fig B9 usandose 0 teorema dos eixos paralelos quando necessirio Observe que todos os comprimentos sao expressos em centimetros Prisma 1 150 50 1 1294k 05 50 612 10kg m 135 294 k81 F590 oo0 sm 1 50 500 1 5 294 kg 2 50 akg m2 7g 294 kg 7o99 Too J 1225 X 10 kgm Cada cilindro 1 2 72 25 2 50 2 3 m2 L 4ma mi 41156 kg 7535 m 1156 kg 00 m 3251 x 10kem 4 24 724 mp2 25 75 I m3a L mx 4 1156 kg3 x sooo 7m 625 3 ey an 1156 kg P m 5238 x 10 kg m 1 2 72 2 2 41 25 2 75 L 34 L mz y 75 1156 kg 3 Xx 25 om 625 50 3 5 1156 kg Pm Faegm 8128 x 10 kgm Todo 0 corpo Adicionando os valores obtidos 1 6125 X 10 23251 x 10 I 1263 X10 kgm I 1225 X 10 25238 x 10 I 1170 X10 kgm I 6125 X 10 28128 x 10 I 224X10kgm PROBLEMA RESOLVIDO B5 Uma placa de ago delgada de 4 mm de espessura é cortada e dobrada para 50 formar o elemento de maquina mostrado na figura Sabendo que a densida de do aco é 7850 kgm determine os momentos de inércia do elemento de ee maquina em relagiio aos eixos de coordenadas 80 Wo z 100 7 Dimensdes em mm y SOLUCAO r008 m Observemos que 0 elemento de maquina consiste em uma placa semicircular e uma placa retangular da qual foi retirada uma placa circular Calculo das massas Placa semicircular 2 x V dart 2008 m0004 m 4021 X 10 m z y my pV 785 X 10 kgm4021 X 10 m 03156 kg Placa retangular V2 0200 m0160 m0004 m 128 X 107 m a x ms pV2 785 X 10 kgm128 x 107 m 1005 kg S 4016m Placa circular V3 mat 70050 m0004 m 3142 X 10 m y ms pV3 785 X 10 kgm3142 X 10 m 02466 kg a 005 m Momentos de inércia Adotando 0 método apresentado na Secio B3 iS calculamos os momentos de inércia de cada componente SB Placa semicircular Observamos na Fig B9 que para uma placa circular dol x de massa m e raio r I 5mr I 1 mr Devido a simetria temos que para uma placa semicircular L 5gmr 1 3tmr7 Como a massa de uma placa semicircular 6 m 5m temos I 3myr 303156 kg008 m 1010 X 10 kg m 1 1 gmr gmyr 703156 kg008 m 0505 X 107 kg m Placa retangular I qgmsc 731005 kg016 m 2144 x 10 kg m 1 mob 31005 kg02 m 13400 x 10 kg m I 1 1 2144 1340010 15544 X 107 kg m Placa circular 1 msa 402466 kg005 m 0154 X 102 kg m I sma mad 502466 kg005 m 02466 kg01 m 2774 X 10 kg m I yma mgd 302466 kg005 m 02466 kg01 m 2620 X 10 kg m Todos os elementos de maquina T 1010 2144 015410 kgm 300 X 10 kgm I 0505 15544 277410kgm I 1328 X 10 kgm 4 I 0505 13400 262010 kgm I 1129 10 kgm 4 A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N esta segao apresentamos 0 momento de inércia de massa e 0 raio de giragdo de um corpo tridimensional em relagao a um determinado eixo Eqs B1 e B2 Também deduzimos um teorema dos eixos paralelos referente a momentos de inércia de massa e discutimos 0 célculo dos momentos de inércia de massa de placas delgadas e corpos tridimensionais 1 Cadlculo dos momentos de inércia de massa O momento de inércia de massa I de um corpo em relaco a um dado eixo pode ser calculado diretamente a partir da definigéo dada na Eq B1 para formatos comuns Problema Resolvido B1 Em muitos casos porém é necessario dividir 0 corpo em fatias delgadas calcular o momento de inércia de uma fatia tipica em relagao ao eixo dado usando o teorema dos eixos paralelos e integrar a expressao obtida 2 Aplicagao do teorema dos eixos paralelos Na Secao B2 deduzimos 0 teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia de massa l1 mde B6 estabelecendo que 0 momento de inércia J de um corpo de massa m em relagao a um dado eixo é igual 4 soma do momento de inércia I desse corpo em relacao ao eixo centroidal paralelo e do produto md sendo d a distancia entre os dois eixos Quando o momento de inércia de um corpo Palle Z m2 2 oy tridimensional é calculado em relagao a um dos eixos de coordenadas d pode ser substituido pela soma dos quadrados das distancias medidas ao longo dos outros dois eixos de coordenadas Eqs B5 e B5 3 Evitando erros de unidades Para evitar erros é essencial que vocé seja consistente no uso de unidades Assim recomendamos enfaticamente que vocé inclua as unidades ao efetuar seus calculos 4 Cadlculo do momento de inércia de massa de placas delgadas Mostramos na Secio B3 que o momento de inércia de massa de uma placa delgada em relagao a um dado eixo pode ser obtido pelo produto do momento de inércia correspondente da superficie da placa da massa especifica p e da espessura t da placa Eqs de BS a B10 Observe que sendo 0 eixo CC na Fig B5 perpendicular a placa Toc mraggq ASSOCiAdO ao Momento de inércia polar Je grea Em vez de calcular diretamente 0 momento de inércia de uma placa delgada em relagdo a um eixo especificado as vezes vocé pode concluir que é mais conveniente calcular primeiro seu mo mento de inércia em relacao a um eixo paralelo ao eixo especificado e em seguida aplicar 0 teo rema dos eixos paralelos Além disso para determinar o momento de inércia de uma placa delgada em relacdo a um eixo perpendicular a placa vocé pode querer calcular primeiro seus momentos de inércia em relagao a dois eixos perpendiculares no plano e em seguida usar a Eq B11 Fi nalmente lembrese de que a massa de uma placa de area A espessura t e massa especifica p é m pta continua 5 Determinagao do momento de inércia de um corpo por integracdo direta sim ples Discutimos na Seco B4 e exemplificamos nos Problemas Resolvidos B2 e B3 de que maneira se pode usar uma integragao simples para calcular o momento de inércia de um corpo que pode ser dividido em uma série de elementos delgados paralelos Nesses casos 4s vezes vocé pre cisard expressar a massa do corpo em termos da densidade e das dimens6es do corpo Assim como nos Problemas Resolvidos considerando que o corpo tenha sido dividido em elementos delgados perpendiculares ao eixo x vocé precisaré expressar as dimensdes de cada elemento em fungao da varidvel x a No caso especial de um corpo de revolucdo o elemento é um disco delgado e as equagoes fornecidas na Fig B8 devem ser usadas para determinar o momento de inércia do corpo Problema Resolvido B3 b No caso geral quando o corpo nado é de revolugdo 0 elemento diferencial nao é um disco mas um elemento delgado de formato diferente e as equagées da Fig B8 nao po dem ser usadas Veja por exemplo o Problema Resolvido B2 em que o elemento era uma placa delgada retangular Para configuragdes mais complexas vocé pode querer usar uma ou mais das seguintes equacées baseadas nas Eqs B5 e B5 da Secao B2 dl dly ya 22 dm dl dly 22 x2 dm dl dl x2 Ya dm onde as placas indicam os eixos centroidais de cada elemento e onde x y 2 representam as coordenadas do seu centroide Os momentos de inércia centroidais do elemento sao determinados da maneira descrita anteriormente para uma placa delgada voltando 4 Fig 912 calcule os mo mentos de inércia correspondentes de superficie do elemento e multiplique o resultado pela den sidade especifica p e pela espessura t do elemento Além disso considerando que 0 corpo tenha sido dividido em elementos delgados perpendiculares ao eixo x lembrese de que vocé pode obter dl adicionando dI e dI em vez de calculalo diretamente Finalmente usando a geometria do corpo expresse o resultado obtido em termos da variavel tinica x e integreo em x 6 Cadlculo do momento de inércia de um corpo composto Conforme estabelecemos na Segio B5 o momento de inércia de um corpo composto em relagdo a um eixo especificado é igual 4 soma dos momentos de inércia de seus componentes em relagaio ao mesmo eixo Os Proble mas Resolvidos B4 e B5 ilustram o método de solugo adequado Vocé deve se lembrar também de que o momento de inércia de um componente s6 sera negativo se o componente estiver remo vido como no caso de um furo Embora os problemas de corpos compostos desta segao sejam relativamente diretos vocé pre cisara trabalhar com cuidado para evitar erros de calculo Além disso se alguns dos momentos de inércia de que vocé necessitar nfo forem dados na Fig B9 vocé tera de deduzir suas proprias equagoes usando as técnicas desta segiio B1 Determine 0 momento de inércia da massa de um anel de massa m A cortado de uma placa delgada uniforme em relagiio a ao eixo AA b ao eixo centroidal CC que é perpendicular ao plano do anel L B B2 Um placa delgada semielfptica tem massa m Determine o momento c de inércia de massa da placa em relacao a ao eixo centroidal BB b KT ao eixo centroidal CC perpendicular a placa ALP I B C A A fie B Figura PB1 fc Ss A B A Cc Figura PB2 B3 O quarto de anel mostrado na figura tem massa m e foi cortado de rc a uma placa delgada uniforme Sabendo que r r determine 0 mo 7 a mento de inércia de massa do quarto de anel em relagao a ao eixo AA b ao eixo centroidal CC perpendicular ao plano do quarto de anel 0 B Cc B4 O spandrel parabélico da figura foi cortado de uma placa delgada A uniforme Denotando a massa do spandrel como m determine 0 mo Figura PB3 mento de inércia da massa em relaco a ao eixo BB b ao eixo DD que é perpendicular ao spandrel A YY F b y k LY oN D B a A Figura PB4 1312 Apéndice B Momentos de inércia de massas y B5 Uma placa delgada de massa m foi cortada em forma de um parale logramo como mostrado na figura Determine o momento de inércia da massa da placa em relagio a a ao eixo x b ao eixo BB que é perpendicular a placa B6 Uma placa delgada de massa m foi cortada em forma de um pa a ralelogramo como mostrado na figura Determine o momento de a A Sf inércia da massa da placa em relacio a a ao eixo x b ao eixo y a B Z B6 A thin plate of mass m was cut in the shape of a parallelogram as sho A P P P g BI wn Determine the mass moment of inertia of the plate with respect to a the y axis b the axis AA which is perpendicularto the plate Figuras PB5 e PB6 B7 Uma placa delgada de massa m tem o formato trapezoidal mostrado na figura Determine o momento de inércia de massa da placa em A relagao a ao eixo x D ao eixo y x y C cK B8 Uma placa delgada de massa m tem o formato trapezoidal mostrado a P g P na figura Determine o momento de inércia de massa da placa em A relagéo a ao eixo centroidal CC perpendicular a placa b ao eixo 15a AA paralelo ao eixo x e localizado a uma distancia 15a da placa Qa P P B9 A area mostrada na figura é girada em torno do eixo x para formar Qa um solido homogéneo de revolucao de massa m Usando integragiio direta expresse o momento de inércia da massa do sdlido em relagéio ao eixo x em termos de meh Figuras PB7 e PB8 y 2h L x Loy Figura PB9 2 L B10 Determine por integracao direta o momento de inércia da massa do 3 cilindro circular direito mostrado na figura em relagao ao eixo y assu mindo que tem densidade uniforme e massa m B11 A drea mostrada na figura é girada em torno do eixo x para formar um sdlido homogéneo de revolugéio de massa m Determine por integra a cao direta o momento de inércia de massa do sélido em relagio a a 0 eixo x b o eixo y Expresse suas respostas em termos de m e das Y dimens6es do sélido Figura PB10 y k YX h a 1 Figura PB11 Apéndice B Momentos de inércia de massas 1313 B12 Determine por integragdo diretao momento de inércia em relacao ao y eixo x do corpo tetraédrico mostrado na figura considerando que ele tem densidade uniforme e massa m 1 b x B13 Determine por integragdo direta o momento de inércia em relacao ao a eixo y do corpo tetraédrico mostrado na figura considerando que ele Zz tem massa especifica uniforme e massa m Z h B14 Determine por integragéo direta o momento de inércia em relacdo ao eixo z do corpo em formato de semielipsoide mostrado na figura considerando que ele tem massa especiffica uniforme e massa m Figuras PB12 e PB13 a ZO 4 2 72 A oe a b2 b Cc Figura PB14 B15 Um arame de ago é dobrado no formato mostrado na figura Repre sentando por m a massa por unidade de comprimento do arame determine por integragéo direta o momento de inércia do arame em relacdo aos eixos coordenados y y a2 x2382 a a 6 x a z C A Figura PB15 aS a h B16 Uma placa delgada triangular de massa m é soldada ao longo de sua a me base AB a um bloco tal como mostra a figura Sabendo que a placa 2 a x faz um Angulo 6 com o eixo y determine por integragio direta 0 mo z 2 mento de inércia de massa da placa em relagio a ao eixo x b ao eixo y c ao eixo 2 Figura PB16 1314 Apéndice B Momentos de inércia de massas B17 A figura mostra a segao transversal de uma polia plana fundida De termine seu momento de inércia de massa e seu raio de giragéo em relaco ao eixo AA A densidade do lato é 8650 kgm e a densida de do policarbonato reforgado em fibra é 1250 kgm Policarbonato 2mm 28 mm 22 Nia 5 f 17mm l A Aron Latéao Neoprene r 16mm Aluminio s 6mm 95 mm v St 175 mm 28 mm AD AY 12 mm Figura PB17 Bronze B18 A figura mostra a secao transversal de um rolete esticador Determi 20 ne seu momento de inércia de massa e seu raio de giragao em rela mm cao ao eixo AA A densidade do bronze é 8580 kgm do alumfinio Figura PB18 2770 kgm do neoprene 1250 kgm y B19 Sabendo que a concha cilindrica delgada mostrada na figura tem massa m espessura t e altura h determine o momento de inércia de massa da concha em relagiio ao eixo x Dica Considere que a concha é formada pela remocao de um cilindro de raio a e altura h de um cilindro de raio a t e altura h apés despreze os termos que contém tet e conserve os termos que contém t B20 A pega da maquina mostrada na figura é formada pela usinagem de uma superficie cénica em um cilindro circular Para b 5h deter h mine o momento de inércia de massa e o raio de giragao da pega em relacio ao eixo y z x y Figura PB19 5 i L a ane 4 Figura PB20 Apéndice B Momentos de inércia de massas 1315 B21 Apdés um periodo de uso uma das laminas de um desfibrador des B gastase assumindo o formato mostrado na figura e uma massa de 80 min UK 018 kg Sabendo que os momentos de inércia da lamina em relagao le aos eixos AA e BB sao 0320 g me 0680 g m respectivamente A j determine a a localizagao do eixo centroidal GG b 0 raio de gira do em relacao ao eixo GG bh Ky B22 Determine o momento de inércia da massa do componente de 05 kg mostrado na figura em relagiio ao eixo AA Figura PB21 B23 O componente de aluminio de uma maquina tem um furo de secéo 10 mm quadrada centrado ao longo de seu comprimento Determine a 0 valor de a para que o momento de inércia do componente em relagéo A ao eixo AA que intercepta a superficie superior do furo seja maxi mo b os valores correspondentes do momento de inércia de massa e do raio de giragéio em relagiio ao eixo AA A densidade do aluminio 6 2770 kgm Qo 84 mm A 60 mm 300 mm I Ke I mm a A x A LK 30 mm a 40 mm Figura PB23 Figura PB22 B24 As conchas e os bragos de um anemémetro sao fabricados de um ma terial de massa especifica p Sabendo que o momento de inércia de uma casca hemisférica delgada de massa m e espessura em relaciao ao seu eixo centroidal GG é 5ma12 determine a 0 momento de inércia do anemémetro em relagao ao eixo AA b a razio a por para que o momento de inércia centroidal das conchas seja igual a 1 do momento de inércia das conchas em relagao ao eixo AA Al o rad Cc a d 2 AA r yp 1 oy Sm J A Figura PB24 1316 Apéndice B Momentos de inércia de massas B25 e B26 Um pedaco de chapa metilica de 2 mm de espessura é cor tado e dobrado para formar 0 componente de maquina mostrado na figura Sabendo que a densidade do ago é 7850 kgm determine o momento de inércia do componente em relagiio a cada um dos eixos de coordenadas y y I 120 mm 150 mm x 150 mm 120 mm Zo Ss mS Mt 150 mm 150 mm Figura PB26 Figura PB25 y B27 A tampa de um dispositivo eletronico é feita com chapa de aluminio de 15 mm de espessura Determine 0 momento de inércia de massa em relaco a cada um dos eixos de coordenadas A densidade do mm aluminio é 2770 kem 155 mm 8 a Yt 60 mm NO tr 45 mm Y ah z 70mm we Figura PB27 x 20 mm 25 oO y Figura PB28 120 mm B28 Um apoio estrutural é feito com chapa de aco galvanizado de 2 mm de espessura Determine 0 momento de inércia de massa do apoio em relacao a cada um dos eixos de coordenadas A densidade do ago galvanizado é 7530 kgm a B29 Um subconjunto para um aeroplano é montado a partir de trés pegas Z NN de madeira compensada de 15mm Desprezando a massa do adesivo 300 oO usado para reunir as trés partes determine o momento de inércia de massa do subconjunto em relagio a cada um dos eixos coordenados Figura PB29 A densidade da madeira compensada é 780 kgm Apéndice B Momentos de inércia de massas 1317 B30 Um fazendeiro constréi um cocho pela soldagem de um pedago re 210 mm tangular de uma chapa de ago de 2 mm 4 metade de um tambor de y l aco Sabendo que a densidade do ago é de 7850 kgm e que a den 840 mm sidade das paredes do tambor é de 18mm determine o momento de inércia de massa do cocho em relacao a cada um dos eixos coordena dos Despreze a massa das soldas a B31 O elemento de maquina mostrado na figura é fabricado em ago Determine 0 momento de inércia de massa do conjunto em rela N cao a ao eixo x b ao eixo y c ao eixo z A densidade do ago é x 7850 kgm Figura PB30 y 40 mm Spann 20 mm 20 mm ip e se mm x 40 mm Figura PB31 B32 Determine o momento de inércia de massa do elemento de maquina de ago mostrado na figura em relagao ao eixo y A densidade do ago 6 7850 kgm y 18 mm 18 mm 18 mm 180 oof 4 74mm e Zz 62 mm 12m 28 mm 24mm Figura PB32 e PB33 B33 Determine o momento de inércia de massa do elemento de maquina de ago mostrado na figura em relagio ao eixo z A densidade do ago é 7850 kgm 1318 Apéndice B Momentos de inércia de massas B34 Determine 0 momento de inércia da massa e 0 raio de giragaio do elemento de maquina de ago mostrado na figura em relagao ao eixo x A densidade do ago é de 7850 kgm 40 pe 50 mm y Z 60 nim AD 15 mm al 15 mm a i p x z 45 mm 45 mm Figura PB34 B35 Determine o momento de inércia de massa do elemento de maquina de aco mostrado na figura em relagiio a ao eixo x b ao eixo y c ao eixo z A densidade do aco é 7850 kgm y 50 mm 30 mm 16 mm 70 mi 40 ily Sou mm Figura PB35 B36 Um arame de aluminio com 0049 kgm de massa por unidade de comprimento é usado para formar o circulo e os membros retilineos mostrados na figura Determine 0 momento de inércia de massa do conjunto em relagio a cada um dos eixos de coordenadas y 160 mm 160 mm aS 160 fa mm Ao oN é x Figura PB36 Apéndice B Momentos de inércia de massas 1319 B37 A armacio mostrada na figura é formada por um arame de ago de 3 mm de diametro Sabendo que a massa especifica do ago é 7850 kg m determine o momento de inércia de massa da armagao em relaco a cada um dos eixos de coordenadas y 360 mm Te a a L 12m 360 mm SS z x Figura PB37 12m B38 Um arame homogéneo com 0056 kgm de massa por unidade de ZZ an comprimento é usado para formar a armacao mostrada na figura De z 12m x termine o momento de inércia da armagao em relacao a cada um dos VT eixos de coordenadas Figura PB38 B6 Momento de inércia de um corpo em relagdo a y L um eixo arbitrdrio que passa por O Produtos de inércia de corpos A 2 see A odm Nesta segio vocé veré que o momento de inércia de um corpo pode ser IN determinado em relagio a um eixo arbitrério OL que passa pela origem Fig B10 se j4 estiverem determinados os momentos de inércia em re a lagdo aos trés eixos de coordenadas bem como outras grandezas a serem OF a definidas a seguir 4 O momento de inércia I do corpo em relagao a OL é igual a J p dm em que p denota a distancia perpendicular do elemento de massa dm ao z eixo OL Se representarmos por do vetor unitério ao longo de OL e por Figura B10 r 0 vetorposicao do elemento dm observamos que a distancia perpen dicular p é igual ar sen 6 que é a intensidade do produto vetorial A X r Logo escrevemos lon p dm A X rf dm B16 Expressando IA X rl em termos dos componentes retangulares do pro duto vetorial temos Toy Ay Aye Ayz Aw Aw Az dm onde os componentes X Ap Xz do vetor unitério A representam os cos senos diretores do eixo OL e os componentes x y z de r representam as coordenadas do elemento de massa dm Expandindo os quadrados e rearranjando os termos escrevemos To 2 y 27dm Ay 227 x7 dm x y dm 2A xy dm 2XA Ju dm 22A zxdm B17 1320 Apéndice B Momentos de inércia de massas Voltando as Eqs B3 notamos que as trés primeiras integrais em B17 representam respectivamente os momentos de inércia I e I do corpo em relaco aos eixos de coordenadas As trés tltimas integrais em B17 que envolvem os produtos de coordenadas sao denominadas produtos de inércia do corpo em relacao aos eixos x y aos eixos y eZ aos eixos z x respectivamente Escrevemos la fey dm Ty Ju dm Ixy a dm B18 Reescrevendo a Eq B17 em termos das integrais definidas nas Eqs B3 e B18 temos Tor TAy Ay LAZ yyArAy WyAyAz WeAAy B19 Observamos que a definigao dos produtos de inércia de um corpo dada nas Eqs B18 é uma extensio da definigao do produto de inércia de uma superficie Seco 98 Produtos de inércia de um corpo redu zemse a zero nas mesmas condigées de simetria em que os produtos de inércia de uma superficie se anulam e o teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia de um corpo é expresso por relagées similares a formula derivada para o produto de inércia de uma superficie Substi tuindo as expressGes para x y e z dadas nas Eqs B4 nas Eqs B18 concluimos que bg Ley ir mxy Ly Ty myz B20 Tx Tey mzx sendo x y 2 as coordenadas do centro de gravidade G do corpo e Tey I 1 representantes dos produtos de inércia do corpo em relagao aos eixos centroidais x y z Fig B3 B7 Elipsoide de inércia Eixos principais de inércia Vamos admitir que o momento de inércia do corpo considerado na segao anterior foi determinado em relagao a diversos eixos OL que passam elo ponto fixo O e que foi plotado um ponto Q sobre cada eixo OL a y pelo p q P P L uma distancia OQ 1VIo de O O lugar geométrico dos pontos Q assim obtidos forma uma superficie Fig B11 A equagio dessa super ficie pode ser obtida substituindose I por 14O0Q em B19 e depois multiplicandose ambos os membros da equagao por OQY Observando Come que 1 al of OQA x OQA y OQA y x 2 onde x y z representam as coordenadas retangulares de Q escrevemos a 2 2 2 fe IxoLy 1g 20xy 21yx 212x 1 B21 A equagio obtida é a equagéo de uma superficie quddrica Como 0 mo z mento de inércia I é diferente de zero para cada eixo OL nenhum Figura B11 ponto Q pode ficar a uma distancia infinita de O Portanto a superficie Apéndice B Momentos de inércia de massas 1321 quadrica obtida é um elipsoide Esse elipsoide que define o momento de y x inércia do corpo em relagao a qualquer eixo que passe por O é conheci y do como 0 elipsoide de inércia do corpo em O Observamos que se os eixos na Fig B11 sao girados os coeficien 74 tes da equagao que define o elipsoide se alteram pois se tornam iguais aos momentos e produtos de inércia do corpo em relacio aos eixos de O a coordenadas girados Entretanto 0 proprio elipsoide permanece inalte al rado pois sua forma depende apenas da distribuicgo de massa do corpo considerado Suponha que escolhemos como eixo de coordenadas os eixos principais x y z do elipsoide de inércia Fig B12 Sabese que a equagao do elipsoide em relacao a esses eixos de coordenadas é x da forma Lx Tyo La 1 B22 Figura B12 que nfo contém quaisquer produtos das coordenadas Comparando as Eqs B21 e B22 observamos que os produtos de inércia do corpo em relagio aos eixos x y z precisam ser nulos Os eixos x y so conhecidos como eixos principais de inércia do corpo em O e os co eficientes I I I referemse ao momentos principais de inércia do corpo em O Observe que dado um corpo de formato arbitraério e um ponto O sempre é possivel encontrar eixos que sao os principais do corpo em O ou seja eixos em relagdo aos quais os produtos de inércia do corpo sao nulos De fato qualquer que seja o formato do corpo os momentos e os produtos de inércia do corpo em relagiao aos eixos x y e que passam por O definirao um elipsoide e este elipsoide tera eixos principais que por definigao sao os eixos principais de inércia do corpo em O Se os eixos principais de inércia x y z sio usados como eixos de coordenadas a expressao obtida na Eq B19 para o momento de inércia de um corpo em relagao a um eixo arbitrério que passa por O reduzse a Al ee Bi Tor pA TyA2 Tpr B23 a A determinagao dos eixos principais de inércia de um corpo de for mato arbitrério é um tanto complexa e sera discutida na préxima segio Todavia ha muitos casos em que esses eixos podem ser revelados de imediato Por exemplo considere 0 corpo cOnico homogéneo de base eliptica mostrado na Fig B13 esse corpo tem dois planos de sime Og tria perpendiculares entre si OAA e OBB Observemos na definigao B18 que se os planos xye yz sao escolhidos para coincidir com os dois planos de simetria todos os produtos de inércia sao nulos Portanto os eixos x y ez assim selecionados so os eixos principais de inércia Figura B13 do corpo cénico em O No caso do corpo homogéneo em forma de tetra edro regular OABC mostrado na Fig B14 a linha que une 0 canto O ao centro D da face oposta é um eixo principal de inércia em O e qualquer Cc linha que passe por O perpendicular a OD também é um eixo principal de inércia em O Essa propriedade fica nitida se observarmos que uma rotacao de 120 do corpo em torno de OD deixa inalterados 0 formato e a distribuigao de massa Resulta que o elipsoide de inércia em O tam B bém permanece inalterado mediante tal rotagao Logo o elipsoide é um corpo de revolugao cujo eixo de revolugao é OD e a linha OD assim como qualquer linha perpendicular que passe por O deve ser um eixo A principal do elipsoide Figura B14 1322 Apéndice B Momentos de inércia de massas B8 Determinacdo dos eixos principais e dos momentos principais de inércia de um corpo de formato arbitrdrio O método de anilise descrito nesta segao deve ser usado quando 0 corpo em consideraco nao apresenta uma propriedade obvia de simetria Considere o elipsoide de inércia do corpo em um dado ponto O Fig B15 seja r o vetor raio de um ponto P sobre a superficie do elip soide e seja n o vetor unitério ao longo da normal a essa superficie em P Observamos que os tinicos pontos em que r e n sao colineares so os pontos P P e P onde os eixos principais interceptam a parte visivel da superficie do elipsoide e os pontos correspondentes sobre 0 outro lado do elipsoide y x n y P a 7 I 14 7 O 7 Vi 2 in P Figura B15 Lembremos agora do calculo em que a direco da normal a uma su perficie de equagio fx y z 0 em um ponto Px y z é definida pelo gradiente Vf da fungio f nesse ponto Para obter os pontos em que os ei xos principais interceptam a superficie do elipsoide de inércia devemos entao escrever que r e Vf sao colineares Vf 2Kr B24 onde K é uma constante r xi yj zke 0 0 0 Vf a a fy ox oy Ox Retomando a Eq B21 notamos que a fungao fx y correspon dente ao elipsoide de inércia é 2 2 2 fixya x Ly Le 20 xy 21ys 202 1 Substituindo r e Vf na Eq B24 e igualando os coeficientes dos vetores unitdrios obtemos x Ty y Lee Kx Tyx 1yy yz Ky B25 Tx Ty 16 Kz Apéndice B Momentos de inércia de massas 1323 Dividindo cada termo pela distancia r de O a P obtemos equagées simi lares que envolvem os cossenos diretores X A eAz Ty Igyy Teg KA Lyyhy Tydy Ips Kary B26 Lidy Iyzhy LA KAz Transpondo os termos do segundo membro para o primeiro chegamos ao seguinte sistema de equacées lineares homogéneo I KAy Igy TAs 0 DeyAy I KA 1A 0 B27 Lydy Iyhy Lz KA 0 Para que esse sistema de equagGes tenha solugao diferente de A A A 0 seu determinante deve ser nulo IK Iy Ta I IK I 0 B28 Tex Ty IK Expandindo esse determinante e trocando sinais escrevemos K I 1 1K il Tl Ly Tey Ty FxK 2 2 2 Ighyle 0 Lyle LBy Wyylyclx O B29 Essa é uma equagao ctibica em K que fornece trés rafzes reais positivas K K e Ks Para obter os cossenos diretores do eixo principal correspondente a raiz K substituimos K por K nas Eqs B27 Como essas equacdes sio agora linearmente dependentes apenas duas delas podem ser usa das para determinar A A eA Entretanto podese obter uma equacao adicional voltando a Segio 212 em que se viu que os cossenos diretores devem satisfazer a relacgaio A A ADH 1 B30 Repetindo esse procedimento com K e K obtemos os cossenos direto res dos outros dois eixos principais Vamos mostrar agora que as raizes K K e K da Eq B29 sao os momentos principais de inércia do corpo considerado Vamos substituir K nas Eqs B26 pela raiz K ed A yea pelos valores correspondentes Ap A e A dos cossenos diretores as trés equagGes serio satisfeitas Multipliquemos agora cada termo da primeira segunda e terceira equa Ges por A A e A respectivamente e adicionemos as equagées obtidas desse modo Escrevemos TA Tyagi LET QLoyAvdi Ay QyAyAz1 2TAz Ax 1 Kyl Ay Azi Voltando a Eq B19 observamos que 0 membro a esquerda dessa equagiio representa o momento de inércia do corpo em relaco ao eixo principal correspondente a K logo tratase do momento principal de inércia correspondente a essa raiz Por outro lado voltando a Eq B30 observamos que o membro 4 direita reduzse a K Portanto K é 0 pr6 prio momento principal de inércia Da mesma maneira podemos mos trar que K e K séo os outros momentos principais de inércia do corpo y PROBLEMA RESOLVIDO B6 Considere 0 corpo em forma de prisma retangular de massa m e lados a b D C c Determine a os momentos e os produtos de inércia do corpo em relagiio TT aos eixos de coordenadas mostrados na figura e b o momento de inércia do A 7 b corpo em relacao a diagonal OB oom J oLucAo EL Le 4 A a Momentos e produtos de inércia em relagdo aos eixos de z coordenadas Momentos de inércia Apresentando os eixos centroi dais x y em relagdo aos quais os momentos de inércia sdo fornecidos na Fig B9 aplicamos 0 teorema dos eixos paralelos IL Ie my 2 fmb ce m4b 4c I 3mb c Analogamente I 3mc a 1 ima b l sz x D C Produtos de inércia Devido a simetria os produtos de inércia em rela Gao aos eixos centroidais x y z sao nulos e esses eixos s40 eixos principais A b de inércia Usando o teorema dos eixos paralelos temos o ore ma a H Ty Tey mxy 0 m3asb Ty mab E iG yo Analogamente Lj ymbe L imea F 7 A b Momento de inércia em relagdo a OB Referimonos a Eq B19 Tog LAg IyAy LAZ WyArdy WyAyAz WeyAAy onde os cossenos diretores de OB siio a 9 OH a cos 0 x x OB a2 h2 2 2 b Cc D Ay 35 2 3 12 A 5 2 212 LT a nn eee 9 o b Substituindo os valores obtidos para os momentos e produtos de inércia e nae H para os cossenos diretores na equacao para Ip obtemos a Ss a 1 EL a lop Sy alm LD 7 Gm c b fa BDC AO at b C mab mbc 3mcea mab bc ca Tog nr re rr 6 bhbte Solugao alternativa O momento de inércia I pode ser obtido direta mente dos momentos principais de inércia I I y I pois a linha OB passa pelo y centroide O Sendo x y 2 os eixos principais de inércia usamos a Eq B23 para escrever 6 Top yay TyAy Taz Ee 1 m m m One 7 tse 0 C b e bye OleceO x tbhcll2 12 12 te 249 22 22 Y m ab bc ca eo Ton 2 2 2 6 abte PROBLEMA RESOLVIDO B7 Se a 3c eb 2c para o prisma retangular do Problema Resolvido B6 determine a os momentos principais de inércia na origem O e b os eixos principais de inércia em O SOLUCAO a Momentos principais de inércia na origem O Substituindo a 8c eb 2c na solugao do Problema Resolvido B6 temos L mc I me 1 me Ty 3me Lj smc L me Substituindo os valores dos momentos e os produtos de inércia na Eq B29 e agrupando os termos temos kK Smce K mc K Bom c 0 Em seguida determinamos as raizes dessa equagiio pela discussio da Segao B18 seguese que essas raizes sio os momentos principais de inércia do corpo na origem K 0568867mc Ky 420885mc K 455562mc K 0569mc Ky 421mc K3 456mc b Eixos principais de inércia em O Para determinar a direcao de um eixo principal de inércia primeiro substituimos o valor correspondente de K em duas das equagées B27 as equagées resultantes em conjunto com a Eq B30 constituem um sistema de trés equagées do qual é possivel de terminar os cossenos diretores do eixo principal correspondente Logo para o primeiro momento principal de inércia K temos 3 0568867mcA yme Ay SmeAz1 0 3meA 3 0568867meA xmeAz 0 AJt At Aji 1 Resolvendo o sistema obtemos A 0836600 A 0496001 A 0232557 Assim os angulos que os eixos principais de inércia fazem com os eixos de coordenadas s4o 0 332 0 603 0 766 Usando sucessivamente 0 mesmo conjunto de equacgdes com K e K con cluimos que os 4ngulos associados ao segundo e terceiro momentos princi pais de inércia na origem sao respectivamente 0578 0 1466 0 980 e 0 828 0 761 1643 METODOLOGIA PARA A RESOLUCAO DE PROBLEMAS N segao definimos os produtos de inércia de massa I I I de um corpo e mostramos a vocé como determinar os momentos de inércia desse corpo em relagao a um eixo arbitrario que passa pela origem O Vocé também aprendeu como determinar na origem O os eixos princi pais de inércia de um corpo e os momentos principais de inércia correspondentes 1 Determinagdo dos produtos de inércia de massa de um corpo composto Os pro dutos de inércia de massa de um corpo composto em relaciao aos eixos de coordenadas podem ser expressos como as somas dos produtos de inércia de suas partes componentes em relacao a esses eixos Para cada parte componente podemos usar 0 teorema dos eixos paralelos e escrever as Eqs B20 Ly Ivy mxy Ty Tyg myz L Ley mzx onde as placas indicam os eixos centroidais de cada parte componente e x y e 2 representam as coordenadas do seu centro de gravidade Tenha em mente que os produtos de inércia de massa de um corpo podem ser positivos negativos ou nulos e certifiquese de levar em conta os sinais de x y 2 a Das propriedades de simetria de uma parte componente podese deduzir que dois ou todos os trés de seus produtos de inércia de massa sao nulos Por exemplo para uma placa delgada paralela ao plano xy um arame situado em um plano paralelo ao plano xy um corpo com um plano de simetria paralelo ao plano xy e um corpo com um eixo de simetria paralelo ao eixo z podese verificar que os produtos de inércia I I sdo nulos Para placas retangulares circulares ou semicirculares com eixos de simetria paralelos aos eixos de coordenadas arames retilineos paralelos a um eixo de coordenadas arames circulares e semi circulares com eixos de simetria paralelos aos eixos de coordenadas e prismas retangulares com eixos de simetria paralelos aos eixos de coordenadas os produtos de inércia I Ly 1 sdo todos nulos b Produtos de inércia diferentes de zero podem ser calculados pelas Eqs B18 Em bora em geral seja necesséria uma integragao tripla para se determinar um produto de inércia de massa uma integracgdo simples poder ser usada caso 0 corpo em consideracao possa ser dividido em uma série de elementos delgados paralelos Nesse caso os calculos serio semelhantes aqueles discutidos na ligéo anterior para os momentos de inércia 2 Calculo do momento de inércia de um corpo em relagdo a um eixo arbitrario OL Uma expressio para o momento de inércia Ip foi deduzida na Secao B6 e é dada na Eq B19 Antes de calcular I vocé deve determinar os momentos e os produtos de inércia do corpo em relacdo aos eixos de coordenadas dados bem como os cossenos diretores do vetor unitario X ao longo de OL continua 3 Cálculo dos momentos principais de inércia de um corpo e determinação de seus eixos principais de inércia Você viu na Seção B7 que é sempre possível encontrar uma orientação dos eixos de coordenadas para a qual os produtos de inércia de massa são nulos Esses eixos são citados como os eixos principais de inércia e os momentos de inércia correspondentes são conhecidos como os momentos principais de inércia do corpo Em muitos casos os eixos prin cipais de inércia de um corpo podem ser determinados por suas propriedades de simetria O pro cedimento para se determinarem os momentos e os eixos principais de inércia de um corpo sem propriedade óbvia de simetria foi discutido na Seção B8 e ilustrado no Problema Resolvido B7 Esse procedimento consiste nos seguintes passos a Expanda o determinante da Eq B28 e resolva a equação cúbica resultan te A solução pode ser obtida por tentativa e erro ou de preferência com uma calculadora cientí fica avançada ou um programa de computador apropriado As raízes K1 K2 e K3 dessa equação são os momentos principais de inércia do corpo b Para determinar a direção do eixo principal correspondente a K1 substitua esse valor de K em duas das equações B27 e resolva essas equações em conjunto com a Eq B30 para os cossenos diretores do eixo principal correspondente a K1 c Repita esse procedimento com K2 e K3 para determinar as direções dos outros dois eixos principais Para se certificar de seus cálculos você pode verificar que o produto escalar de dois vetores unitários quaisquer ao longo dos três eixos que você obteve é nulo e portanto que esses eixos são perpendiculares entre si d Quando um momento principal de inércia é aproximadamente igual a um momento de inércia em relação a um eixo de coordenadas os valores calculados dos cossenos diretores correspondentes serão muito sensíveis ao número de algarismos significativos empregados em seus cálculos Nesse caso sugerimos que você expresse suas respostas intermediá rias com seis ou sete algarismos significativos para evitar possíveis erros BeerApendiceB2indd 1327 BeerApendiceB2indd 1327 050712 1336 050712 1336 PROBLEMAS B39 Determine os produtos de massa de inércia Ixy Iyz e Izx do objeto de aço da figura A densidade do aço é de 7850 kgm 3 50 mm 70 mm 40 mm 16 mm 80 mm y x z 50 mm 38 mm 24 mm Figura PB39 B40 Determine os produtos de inércia Ixy Iyz e Izx do elemento de máqui na de aço mostrado na figura A densidade do aço é 7850 kgm 3 x y z 18 mm 16 mm 100 mm 20 mm 20 mm 25 mm 25 mm 10 mm 60 mm 24 mm r 12 mm Figura PB40 B41 e B42 Determine os produtos de inércia Ixy Iyz e Izx do elemento de máquina de alumínio fundido mostrado na figura A densidade do alumínio é 2770 kgm 3 r 12 mm 12 mm 108 mm 48 mm 72 mm 16 mm r 16 mm y x z Figura PB41 x y z 28 mm 22 mm 22 mm 24 mm 6 mm 36 mm 14 mm 90 mm Figura PB42 BeerApendiceB2indd 1328 BeerApendiceB2indd 1328 050712 1336 050712 1336 Apéndice B Momentos de inércia de massas 1329 B43 a B46 Uma secio de chapa de ago de 2 mm de espessura é cor tada e dobrada para formar o componente de maquina mostrado na figura Sabendo que a densidade do ago é 7850 kgm determine os produtos de inércia I e I do componente y y 180 mm wool 400 2a 400 mm Sy mh Lo Nw x Figura PB43 225 mm Figura PB44 y y x NN 7155 10m c Z 350 SS a mm 7 z x Figura PB45 Figura PB46 B47 e B48 Umarame de latéo com peso por unidade de comprimento w usado para formar a armacao mostrada na figura Determine os produtos de inércia I e I da armagao y Om 203 y t 3 a 2 fl ae x RN 2a x Figura PB47 ra Z oa Figura PB48 1330 Apéndice B Momentos de inércia de massas B49 A armacao mostrada na figura é formada por um arame de alumi nio de 15 mm de espessura Sabendo que a densidade do aluminio é 2800 kgm determine os produtos de inércia Ly 1e Ly da armagio y q 180 NY Ay a ZC x Figura PB49 B50 Um arame fino de aluminio com diametro uniforme é usado para formar a armacio mostrada na figura Representando por m a massa S por unidade de comprimento do arame determine os produtos de R inércia Ly I we L da armagaio B51 Complete a dedugao das Eqs B20 que exprimem o teorema de eixos paralelos para produtos de inércia de massa x B52 Para tetraedro homogéneo de massa m mostrado na figura a de a termine por integragao direta o produto de inércia I b deduza I e I dos resultados obtidos na parte a Figura PB50 Figura PB52 h i B53 Ocilindro circular homogéneo mostrado na figura tem massa m De NN termine o momento de inércia do cilindro em relagao a linha que liga x a origem O e 0 ponto A localizado sobre o perimetro da superficie Figura PB53 superior do cilindro Apéndice B Momentos de inércia de massas 1331 B54 O cone circular homogéneo mostrado na figura tem massa m De termine o momento de inércia do cone em relagao a linha que liga a origem O eo ponto A y O 3 3a te Figura PB54 B55 A figura mostra o elemento de maquina do Problema B31 Determi ne seus momentos de inércia em relacao a linha que liga a origem O eo ponto A y 40 mm 40 mm hi 20 mm 20 mm 7 TS ea Se x 40 mm Figura PB55 B56 Determine o momento de inércia do elemento de maquina de ago dos Problemas B35 e B39 em relagio ao eixo que passa pela origem e faz angulos iguais com os eixos x y e Z B57 Uma placa delgada dobrada mostrada na figura tem densidade uni forme e peso W Determine seu momento de inércia de massa em relacao a linha que liga a origem O e 0 ponto A y A a je a x aoe a a Figura PB57 1332 Apéndice B Momentos de inércia de massas y B58 Um pedago de chapa metélica de espessura t e densidade p é cor tada e dobrada no formato mostrado na figura Determine seu mo mento de inércia de massa em relacao a linha que liga a origem O e 0 ponto A A B59 Determine o momento de inércia de massa do componente de ma A quina dos Problemas B26 e B45 em relagio ao eixo que passa pela f origem caracterizado pelo vetor unitério A 4i 8j k9 5 oN B60 a B62 Paraaarmagio de arame do problema indicado determine o momento de inércia de massa da armagao em relagao ao eixo que passa pela origem caracterizado pelo vetor unitério A 3i 6j Qk7 B60 Problema B38 z B61 Problema B37 Figura PB58 B62 Problema B36 B63 Parao prisma retangular mostrado na figura determine os valores das razdes ba e ca para que o elipsoide de inércia do prisma seja uma esfera quando calculado a no ponto A b no ponto B y CAN 4 cre a 2 b 2 b 2 x Figura PB63 No 2 L B64 Para o cone circular do Problema Resolvido B3 determine o valor 4k da raziio ah para que o elipsoide de inércia do cone seja uma esfera e quando calculado a no vértice do cone b no centro da base do cone bs z ve B65 Para o cilindro circular homogéneo mostrado na figura de raio a e comprimento L determine o valor da razio aL para que o elipsoide x de inércia do cilindro seja uma esfera quando calculado a no cen Figura PB65 troide do cilindro b no ponto A B66 Dado um corpo arbitrario e trés eixos retangulares x y ez demonstre que o momento de inércia do corpo em relagio a qualquer um dos trés eixos nao pode ser maior que a soma dos momentos de inércia do corpo em relagao aos outros dois eixos Ou seja demonstre que a desigualdade I I I e as duas desigualdades similares sao satis feitas Além disso demonstre que I 12I se 0 corpo for de revo lugdio e homogéneo com x representando o eixo de revolugao e y um eixo transversal Apéndice B Momentos de inércia de massas 1333 B67 Considere um cubo de massam e lado a a Mostre que o elipsoi de de inércia no centro do cubo é uma esfera e use essa proprie dade para determinar o momento de inércia do cubo em relagéo auma de suas diagonais b Mostre que o elipsoide de inércia em um dos vértices do cubo é um elipsoide de revolugio e determine os momentos principais de inércia do cubo nesse ponto B68 Dado um corpo homogéneo de massa m e de formato arbitrario e trés eixos retangulares xyezcom origem em O demonstre que asoma I I I dos momentos de inércia do corpo nao pode ser menor que a soma similar calculada para uma esfera de igual massa e mesmo material centrada em O Além disso usando os resultados do Problema B66 mostre que se 0 corpo é de revo lucao com x representando o eixo de revolugio seu momento de inércia I em relagdo a um eixo transversal y nao pode ser menor que 3mar 10 sendo a 0 raio da esfera de igual massa e de mesmo material B69 Ocilindro circular homogéneo mostrado na figura tem massa m e o diaémetro OB da sua superficie superior faz Aangulos de 45 com os eixos x e a Determine os momentos principais de inércia do cilindro na origem O b Calcule os angulos que os eixos prin cipais de inércia em O fazem com os eixos de coordenadas c Esboce o cilindro e mostre a orientagio dos eixos principais de inércia em relagiio aos eixos x y e y a Figura PB69 B70 a B74 Parao componente descrito no problema indicado de termine a os momentos principais de inércia na origem b os eixos principais de inércia na origem Esboce o corpo e mostre a orientagao dos eixos principais de inércia em relagiio aos eixos x y ez B70 Problema B55 B71 Problemas B35 e B39 B72 Problema B57 B73 Problema B58 B74 Problemas B38 e B60 Momentos de inércia deA segunda parte do capitulo foi dedicada 4 determinagao de momentos massas de inércia de massas que aparecem em problemas de dinamica que en volvem a rotagao de um corpo rigido em torno de um eixo O momento de inércia de massa de um corpo em relagio a um eixo AA Fig B16 gf foi definido como I rdm B1 sendo ra distancia de AA ao elemento de massa Secao B1 O raio de giracao do corpo foi definido como I o 6 ws Os momentos de inércia de um corpo em relagio aos eixos de coordena das foram expressos como A Figura B16 ye 2dm I 22 x7 dm B3 IL x y dm Teorema dos eixos paralelos Vimos que 0 teorema dos eixos paralelos também se aplica aos momentos de inércia de massa Secao B2 Assim 0 momento de inércia I de um corpo em relagio a um eixo arbitrario AA Fig B17 pode ser expresso como I1 md B6 A B Figura B17 Apéndice B Momentos de inércia de massas 1335 sendo I o momento de inércia do corpo em relagio ao eixo centroidal BB paralelo ao eixo AA m a massa do corpo e d a distancia entre os dois eixos Os momentos de inércia de placas delgadas podem ser obtidos diretamen Momentos de inércia de te dos momentos de inércia de suas superficies Secao B3 Concluimos placas delgadas que para uma placa retangular os momentos de inércia em relagio aos eixos mostrados Fig B18 sao Taya ima I pp mb B12 Ico Taya I pp ima b B13 A t A B t B b B Cc Le a 3 Cc A Figura B18 Figura B19 enquanto para uma placa circular Fig B19 eles sao 4 Igy mr B14 Ice Ta I pp smr B15 Quando um corpo tem dois planos de simetria geralmente é possivel efe Corpos compostos tuar uma integragao simples para se determinar seu momento de inércia em relagao a um dado eixo selecionandose 0 elemento de massa dm igual ao de uma placa delgada Problemas Resolvidos B2 e B3 Por outro lado quando um corpo consiste em diversos formatos geométricos simples seu momento de inércia em relagaéo a um dado eixo pode ser obtido aplicandose as formulas dadas na Fig B9 juntamente com o teo rema dos eixos paralelos Problemas Resolvidos B4 e B5 Momento de inércia em ales relaca m eixo arbitrari Nas tltimas segdes do capitulo aprendemos a determinar 0 momento de elagae aum e1xo a bitrario inércia de um corpo em relagao a um eixo arbitrério OL que passa pela y 1 origem O Segao B6 Representando por A A A os componentes do vetor unitério A ao longo de OL Fig B20 e apresentando os produtos de inércia p Al adm TI xy dm 1 zdm I sxdm 7 wo yy B18 if 7 Os concluimos que o momento de inércia de um corpo em relagaio a OL 7 pode ser expresso como L Zz 72 2 2 Toy LAS Iydiy LA Qyhdy Qydyds BoAAy B19 Fire B20 1336 Apéndice B Momentos de inércia de massas y x a x a O yal x Sal Vi i Figura B21 Elipsoide de inércia Plotando um ponto Q ao longo de cada eixo OL a uma distancia OQ 1V Io de O Segao B7 obtivemos a superficie de um elipsoi de conhecido como elipsoide de inércia do corpo no ponto O Os eixos Lo rincipais x y z desse elipsoide Fig B21 sao os eixos principais de Eixos principais de inércia pm 4 4 P d 111 Ml P M wncipais de warei do corpo ou seja os pro utos de inércia I I 1 do corpo em omenros principals relacao a esses eixos sao todos nulos Ha muitas situagdes em que os eixos Inercia principais de inércia de um corpo podem ser deduzidos das proprieda des de simetria do corpo Escolhendo esses eixos como sendo 0s eixos de coordenadas podemos ento expressar I como 2 2 2 lon yA2 Tya2 Lad B23 sendo I I I os momentos principais de inércia do corpo em O Quando os eixos principais de inércia nao podem ser obtidos por ins peciao Secao B7 é preciso resolver a equacao ctibica K I 1 LK ily jl Ld Uy Ty FxK LLL TLj2 yl UD ey WrylyTex 0 B29 Verificamos Secgao B8 que as raizes K K e K dessa equacao sao os momentos principais de inércia do corpo considerado Os cossenos di retores A A1 A do eixo principal correspondente ao momento principal de inércia K séo entaio determinados por substituigao de K nas Eqs B27 e solucao de duas dessas equacgées e da Eq B30 simul taneamente O mesmo procedimento é ento repetido com K e K para se determinarem os cossenos diretores dos outros dois eixos principais Problema Resolvido B7 CAPÍTULO 11 Página de abertura NASAGetty Images RF Foto 111 US Department of Energy Foto 112 Getty Images RFDigital Vision Foto 113 Brand X PicturesJupiter Images Foto 114 Digital Vision Getty Images RF Foto 115 RoyaltyFreeCORBIS Foto 116 RoyaltyFreeCORBIS CAPÍTULO 12 Página de abertura Lester LefkowitzCORBIS Foto 121 RoyaltyFreeCORBIS Foto 122 Brand X PicturesPunchStock RF Foto 123 RoyaltyFree CORBIS Foto 124 Russell IlligGetty Images RF Foto 125 RoyaltyFreeCORBIS CAPÍTULO 13 Página de abertura Tom Miles Foto 132 Scandia National LaboratoriesGetty Images RF Foto 132 Andrew DavidhazyRIT Foto 133 Tom McCarthyPhotolibrary CAPÍTULO 14 Página de abertura XCOR Foto 141 NASA Foto 142 RoyaltyFreeCORBIS Foto 143 Brand X PicturesPunchStock CAPÍTULO 15 Página de abertura motor Cortesia de Wartsila Corporation navio Cortesia de AP MollerMaersk Foto 151 Chris HellierCORBIS Foto 152 Royalty FreeCORBIS Foto 153 Joseph NettisStock Boston Inc Foto 154 AGE FotostockPhotolibrary Foto 155 George TiedemannNewSportCORBIS Foto 156 RoyaltyFreeCORBIS Foto 157 Cortesia de Tangen Drives Foto 158 Northrop GrummanIndex Stock ImageryJupiter Images Foto 159 RoyaltyFree CORBIS CAPÍTULO 16 Página de abertura Getty Images RF Foto 161 Getty Images RF Foto 162 Cortesia de Samsung Semiconductor Inc Foto 163 Tony Arruza CORBIS Foto 164 Robert E Daemmrich CAPÍTULO 17 Página de abertura AP PhotoMatt Dunham Foto 171 Richard McDowellAlamy Foto 172 Phillip Cornwell Foto 173ab Photography by Leah Foto 174 Chuck SavageCORBIS CAPÍTULO 18 Página de abertura RoyaltyFreeCORBIS Foto 181 SuperStock Foto 182 Matthias Kulka CORBIS Foto 183 Roger RessmeyerCORBIS Foto 184 Cortesia de Caterpillar Engine Division Foto 185 Lawrence ManningCORBIS RF CAPÍTULO 19 Página de abertura Peter Tsai Photography Foto 191 Tony FreemanIndex Stock Foto 192 The McGrawHill Companies IncPhoto by Sabina Dowell Foto 193 Cortesia de MTS Systems Corporation CRÉDITOS DAS FOTOS BeerCreditosindd 1337 BeerCreditosindd 1337 050712 1336 050712 1336 Estao listadas a seguir as respostas dos exercicios em que 0 nimero nfo esta em itdlico As respostas dos problemas em italico nao estio listadas CAPITULO 11 1164 a Mesmo do Prob 1163 b 420 mm 111 660 m 1490 ms 228 ms c 1069 s 400 s 112 300 m 700 ms 1165 a 448 s b 1033 ms t 113 300 s 595 m 250 ms 1166 207 mms 114 248 m 720 ms 383 ms 1169 396 ms 115 0667 s 0259 m 856 ms 1170 a 0600 s b 0200 ms 284 m 116 a 1000 s e 400 s b 1500 m 245 m 1171 88s 119 a 400 s b 560 ms 260 m 1172 854 s 929 kmh 1110 x 1108 10t 240 27 10 1173 1525 s 1112 a 300 ms b v 8 32 ms x t14 32 1174 a 500 ms 1194 m b 5925 ms 64 1177 a 1800 s b 1788 m c 347 kmh 1115 a 589 ms b 1772 m 1178 b 375 m 1116 368 m 1832 2 1179 a 200 s b 04 ms 02 ms 1117 a 00900 s b 1697 mms 1180 a 509 min b 306 kmh 1118 a 480 ms b 216 m c 490 ms 1183 a 295 s b 667 m 1121 a 225 m b 384 ms 1184 a 41 ms b 286 ms 1122 a 293 ms b 0947 s 1186 104m 1123 a 500 m b c 0866 s 1189 a 860 mms SS 355 1720 mms 7 355 1124 333 ms b 334 mms 86 393 mms 147 1125 a 01457 sm b 1452 m c 686 ms 1190 a 0 1591 ms 829 1126 a 333 m b 222 s c 1667 s b 628 ms 1579 ms 1127 a 715 km b 521 x 10 ms c 499 min 1191 a 537 ms b t 280 sx 756 m 1128 a 00525 ms b 617 s y 552 m v 537 ms 3 634 1131 a 236 wT 7vT b 0363 vp 1192 a 200 ms 600 ms b Para vt 2Na sx 1133 a 1500 ms b 1000 s 8Na m y 2m v 200 ms ou 200 ms 1134 a 250 ms b 1900 ms c 368 m Para U4 t 2N lasx 42N 1 m y 1135 a 278 s b 80 kmh 6 m v 600 ms 0u 600 ms 1136 a 729 ms b 360 m 1195 VR1 o2t c Ro V4 w2P 1139 a 0500 km b 429 kmh 1196 a 300 ms 361 ms b 382 s 1140 a 210 ms 206 ms b 259 s antes de A 1197 353 m alcangar a zona de troca 1198 a 1550 ms b 512 m 1141 a 162 s 2276 m b 652 kmh 365 kmh 1199 465 ms Sv 1057 ms 1142 a 167 ms b 28 ms 11100 a 1137 kmh S v 135 kmh b 67 48 1143 a 300s b 133 ms 11101 a 287 m 243 m b 701 ma partir da rede 1144 a 0250 ms 0300 ms b 208 s c 855kmh 11102 0244 m h 0386 m 1147 a 200 ms f b 200 ms J c 800 ms fF 11103 215m 1148 a 200 ms 667 ms J 11104 0d 052m b 1333 ms 1333 mJ 11105 72 ms 1149 a 9 ms b 9 msf c 135 msf d 9 msf 11106 a 92 ms b 915 ms 1150 a 04 msf 08 ms b 2 ms 11107 1064 ms Sv 1448 ms 1153 a 200 mms b 600 mms c 200 mms 11108 0678 ms Sv 1211 ms d 400 mms 11111 a5 b 285 m c 16s 1154 a 1333 mms 200 mms 11112 a 147 b 0106 s b 1333 mms c 700 mms 440 mm 11113 a 1038 b 974 1155 a 1000 mms b 600 mms 200 mms 11115 a 450 652 m b 582 584 m c 175 mmf 11117 a 1540 ms 4 386 b 1503 ms 27583 1156 a 240 mms 345 mms t 11118 505 ms SX 558 b 130 mms 433 mms 7 c 728 mm 11119 34 kmhS78 1157 a 40 mms 60 mms b 0667 s c 133 mmf 11120 a 267 kmh 7 1297 b 258 kmh 4 764 c 1158 a51 6 mms b 181 mm 65 km SS 40 1163 a20t10sa010st26sa 11123 a 853 cms 3541 b 640 cms 541 5 mms 26s t41sa 041s t46sa 11124 a 7 cms 606 b 117 cms 2 606 3mmst 46sa 0x 540 mmemt 0 11125 a 0835 mms 5s 75 b 835 mms Ss 75 x 60 mmemt 10sx 380 mm emt 26s x 11126 a 0958 ms SG 236 b 1917 ms SS 236 80 mmemt 41 sx 175 mm emt 46s x 11127 337 ms 811 25mmemt 50s b 1383 m c 900 s 495 s 11128 a 155 ms Sx 15 b 03 ms XS 15 1340 Respostas 11129 1749 kmh 27590 128 a 406 m b 467 m 11130 1579 kmh 260 129 419 N no inicio e 301 N durante o deslizamento 11133 280 ms 1210 0414 ms SS 15 11134 a 250 m b 829 kmh 1211 a A 249 ms B 0831 ms b 748 N 11135 571m 1212 a A 0698 ms B 0233 ms b 798 N 11136 957 kmh 1215 a 0986 ms 5x 25 b 517 N 11137 a 200 mms b 268 mms 1216 a 1794 ms Sx 25 b 582 N 11138 a 1789 m b 1118 ms 1217 a 0304 ms 2 15 0493 ms 7 15 11139 08 ms 1219 Sistema 1 a 327 ms b 443 ms c 1835 s 11141 5 ms Sistema 2 a 481 ms b 537 ms c 1247 s 11143 a 281 m b 209 m Sistema 3 a 023 ms b 118 ms c 26087 s 11144 a 799 ms 2 40 b 382 m 1220 a 1962 ms t b 391 N 11145 a 16 m b 0027 m 1221 a 663 ms b 0321 m 11146 a 0634 m b 91 m 1222 a 1953 ms 2 65 b 424 ms 65 11147 p v9v 1224 0347 myvFo 11148 1817 ms 7 404 e 1817 ms SS 404 1226 Vkm VE x2 1 11151 BR 20R 1227 2097 kmh 1152 250m 1228 a 336N b a 476 ms a 308 ms 11153 258 x 10 kmh a 1401 ms 11154 1256 X 10 kmh 1229 a 360 N ba 593 ms 11155 1533 X 10 kmh a 262 ms a 9 11156 1473 x 10 km 1230 a a a a 084 ms ag 336 ms 11157 14037 X 10 km b 184N po ee os 11158 1606 h uo 11161 a 3b e 47b e b 6 2Nz N 0 12 36 3 ne wah Post 11162 a 2bo 4bw b p b um circulo 1237 a 499 b 6 95 N 11163 a 67 mse 80 7 mse b 0 1238 25 ms 11165 a 27 mse 40 mse 1240 277 ms v 4 36 ms b imBasle Crmslen er 2ms Ie 4242 B51 ms ee 464m T ms e 11166 a 2abt 2abV1 4bt b p a um circulo Meas ae S eee 11169 d6 tg B sec Bl tg B cos 6 sen 6 1245 a 553N b 659 N 11170 wv cos B tg B cos 6 sen 0h 1246 a 201 Mm b 589 Nt 1 a sro kh ag w 1247 a 216 ms 20 b 291 ms 20 9 kmh 11175 baV4 6 eae ia ON yt 11176 b we 110 A x ER 00 11180 te IRQ wxteV4 ox 1281 ie 0390 c 126 kmh 11181 a 6 90 8 1237 8 337 b 8 1034 1253 a 0186 W b 103 6 1343 0 474 1255 468 mm 11182 a 100s 400 s b 150 m 245 m 1256 236 msv 499 ms 11184 a 729 x 10 ms b 1366 x 10s 1257 a 01967 movimento iminente de queda 11185 a 1162 s 209 m b 55 ms 0342 movimento iminente par ues ewe ee Jas para cima 11186 a 300 s b 5625 mm abaixo de sua posicio inicial 1258 a Nao desliza 936 N 5x 80 11187 v 125 mmsf v 75 mms b Desliza para baixo 541 N Ss 40 Vo 175 mms 1261 a 01776 b 101 para o movimento iminente 11189 1788 kmh 2 364 ara a esquerda 1699 par mento iminent 2 para a esquer a para o movimento mminente 11190 075 ms ara a direita 11193 r 120 ms t 348 ms 00900 rads 1262 a 081 ms b 1929 para o movimento iminente 9 00156 rads para a esquerda 1607 para o movimento iminente ara a direita CAPITULO 12 1264 1054VeVmod 121 a 4890 N em 0 4903 N em 45 4916 N em 90 1265 13331 b 5000 kg em todas as latitudes 1266 a F 1073N F 0754 N 122 a 324N b 200 kg b F 444N F 1118N 123 1300 X 10 kg ms 1267 F 00523N F 0432 N 125 a 667 ms b 00755 1268 a F 47N F 096N 126 a 225 kmh b 1871 kmh b F 24N F 024N 127 3355 m Respostas 1341 1269 a mery kt b mery 3kt 1322 a 457 J b T 832 N T 603 N 1270 200s 1323 a 316 ms b 548 ms 1271 P 576 N tg6 sec ONO 1324 a 343 ms 236 b 48 ms 236 Q 576 N tg 6 sec 0 1325 1190 ms 1276 v vo sen 20V cos 20 Ug vo Vos 20 1326 a 076 ms b 078 ms 1279 ar grR4ar b g 248 ms 1327 a 00765 m b Block moves to the right 1280 a 35800 km b 307 kms 1329 a 329 ms b 1472 m 1281 636 x 10 kg 1331 a 206 mm J b 022 ms ou J 1282 a 1h57 min b 3380 km 1333 0759 VpaAm 1284 a 869 X 10 kg b 436000 km 1335 11 v2 v2R J 1286 a 1680 ms b 8892 ms 1336 1212 m 1287 a 1551 ms b 158 ms 1338 a 327 mm 981 Nt b 304 mm 1049 Nf 1288 5000 ms 1339 a V3el b V21 1289 19 ms 1340 1400 1290 a EmA a 0 a4 0 b 384 ms 1341 750N c 08 ms 1342 minimo 750 N maximo 4464 N 1291 a 06 ms b a 6 ms dy 0 ce 52 ms 1344 a 279 b 114 m 1298 1042 kms 1346 a 30 Ws b 175 Ws 1299 a 1013 kms b 297 kms 1349 a 1090 kW b 530 kW 12103 a 8 X 10 ms b 135 ms 1350 a 275 kW b 335 KW 12104 V22 a 1351 148kN 12105 a 16 X 10 ms b 387 ms em A 1192 ms em B 1352 a 135 kN b 218 kW 12108 9725 h 1353 a 375 kW b 579 kmh 12109 495 h 1354 a 589 kW b 529 kW 12110 560 1355 a kkk k b ky ky 12112 531 x 10 km 1356 a xo Vkykomky ks b xoV hy kam 12114 cos 1 nB1 B 1357 319 ms 0319 ms 12115 810 ms 1358 a 12 ms b 915 ms 12116 a 1437 b 598 kms 1359 49 ms 12119 a r rr 79 b 609 X 10 m 1361 a 872 ms b 1058 ms 12122 785 m 1362 a 1m b 442 ms 12124 a 8N b 102 N 1364 a 297 mm b 242 ms 12125 a 68 ms 30 b 59 ms 1365 a 427 b 243 msJ 12127 a 0454 para baixo b 01796 para baixo 1368 0269 m c 0218 para cima 1369 01744 m 12128 a F 559N F 89N 1370 a 255 N b 696 N b P 293 N 70 Q 595 N 40 1371 a 815 N b 294N 12129 v 2v sen 26 vy v cos 26 1372 a 18 més b 3815 Ni 3863 Nj 12131 a r 038 m F 0 1373 272 ms 664 Nf b r 026 m F 122N 1374 1 a 799 ms b 589 N 12132 1147 2 a 767 ms b 392 N 1375 a Langamento 1 minimo 0 384 ms 35 ms CAPITULO 13 b Langamento 2 v 783 ms 131 a 585 kj b 410 kmh 1376 026 m 132 694 x 10 1377 464 ms 135 a 203 kmh b 166 kmh 1378 a tan 102813 y 136 a 524 kmh b 2287 kmh b 0 857 8 716 8 1611 137 405 ms 1380 bV In xyz 138 299 m 1381 a wka4 b 0 139 a 857 ms 2 15 b 530 ms 15 1382 a P xx y eye P yx y ey le 1310 a 870 m b 494 ms 27 15 Piale ty tz b av3 1313 671 m 1385 a 9042 J b 208 GJ 1314 a 290 ms b 0893 m 1386 575 MJke 1315 a 374 m b Fy 95 kN tracio 1387 249 X 10 kmh Frye 422 kN tracao 1388 1353 MJkg 1316 a 84 m b Fy 95 kN compressiio 1389 a mgR1 Rr b mgR2r c mgR1 R2r F 423 kN compressio 1390 a 339 MJkg b 464 MJkg 1321 a 234 ms b 235 mm 1393 a 0919 ms b 827 ms 1342 Respostas 1394 a 735 ms b 1102 ms 13169 0857 1395 v 298 ms v 289 ms 13170 1594 m 1396 a 065 m b 23 ms 13173 a 225 b 213 1397 maximo 1661 m minimo 0338 m 13174 a 0294 m b 544 mm maximo 256 ms minimo 521 ms 13175 a 0685 m para e 1 0484 m parae 0 13100 1420 kms b 500 ms para e 1 250 ms parae 0 13101 298 ms 13176 a v v 0 b vi 1201 ms 13102 a 1366 ms 128 ms b 201 MJkg v 0400 ms 13103 a 5612 kms b 9663 kms 13177 a 0258 b 434 ms 13106 1555 ms 793 13178 a 0236 m b 1665 Nm 13107 maximo r1 sen a minimo rj1 sen a 13179 a e 1000 b 0656 m c 083 m 13108 689 13183 a 290 ms b 1005 J 13109 a 3435 ms b 4149 ms 13184 a 401 mm b 410 N s 13110 588 13185 a 0923 b 1278 m 13111 a 315 ms b 1053 ms 13188 vi 035 ms v 104 ms 13116 b vee Va1 tp See VA a2 4a 19190 598 13118 a h yg Ong Elm 402 GMI yy 13191 a 72 kNm b 124 m 13119 a340s b 2558 13194 3969 ms 13120 5 min 17s 13196 650 KN 13121 a 306 s b LA7s 13197 0707 a 13122 a 11425 b 1255 msj 1945 msk 13199 a 1368 ms b 0668 m c 1049 m 13123 a 2475 b 1225 13200 1 e 4 13124 261s 13126 0260 CAPITULO 14 13127 0310 141 a 1417 ms b 1417 ms 13129 a 1504 s b 32 KN tracao 142 a 1000 kg b 1200 ms 13130 a 3007 s b 1161 kN tracao 143 a 288 ms b 293 ms 13131 a 1960 s b 1020 kN compressiio 144 a 088 ms b 0071 ms 13132 a 392 ms b 392 N 147 a A 1288 ms B 0312 ms C 1512 ms 13134 a 92 ms b 244 ms b A 0956 ms B 00296 ms 13135 a 244 ms b 549 s C 1552 ms 13136 a 500 s b 152 ms c 1788 s 148 0294 ms 13137 a 700 s b 335 ms c 1349 s 149 312 kg msi 648 kg msj 13139 818 480 kg msk 13140 621W 1410 a 0600 mi 1400 mj 1525 mk 13141 302 kN b 260 kg msi 1400 kg msj 13142 a 1764 kN b 3527 KN 1400 kg msk 13145 a 1333 kmh b 01888 s c 295 kg msi 1675 kg msj 13146 a A estava mais répido b 1152 kmh 320 ke msk 13147 a 851 kmh b 667 N 1413 a v 0375 m v 1375 m 13148 144 ms b Hy 1775 kg msi 13149 a A VL 2L B vy VL 302L 1415 2440 mi 200 mj 200 mk b me L2 4L2 1416 1333 mi 802 mj 133 mk 13150 a 0185 ms b 0912 ms 1417 1004 mi 487 mj 13151 a 1000 ms b 0500 N sf 1418 503 mi 547 mj 13152 mMv cos 6m M mv sen 67 1421 a 298 ms b 144 ms 13155 a vi 0363 ms vi 244 ms b 413 J 1422 a 213 ms b 234 ms 13157 075 1423 260 mi 1254 mk 13158 a v 235 ms v 31 ms b 0151 J 1424 v 919 ms vy 717 ms v 619 ms 13159 A 1013 ms B 0338 ms C 0150 ms 1431 a 422 J b 510 J 13160 a 0 01 2 vk o1 e2 1432 a 264 J b 352 J b vf v1 e4 vi 01 e4 1433 mulher 600 J homem 703 J c vl v 1 4 ey Dgi d 0881 Uy 1434 a 1617 J b 905 J 13163 0728 e 0762 1437 a vy Mvo m4 m 13165 vi 637 ms 27 772 vi 1802 ms 2 40 b h myvj2g my ms 13166 v 300 ms 2 40 vi 300 ms 2 40 1438 a Vv 0200 vy vz 0693 v 2 30 13167 a v 0848 v S 270 v 0456 v 2576 Vo 0693 0 30 b v 0250 v 60 13168 a 702 b 032 ms Vv 0866 v 2 30 vo 0433 vy 30 Respostas 1343 1439 v 354 ms vs 177 ms v 306 ms CAPITULO 15 1440 25 ms vg 306 ms 1 306 ms 151 a 0 1500 rads 1800 rads 1441 v 411 ms 2 469 v 1739 ms SS 167 b 900 rad 1200 rads 0 1442 v 1217 ms 4 253 vz 917 ms SS 709 152 1000 s 700 rad 1200 rads 1445 600 msi 600 msj 390 msk 500 s 250 rad 1200 rads 1446 x 1817 mm ys 0 1394 mm 153 a 00 0 b 600 rad 471 rads 370 rads 1449 a 0866 vp b 0250 vo c 750 154 1243 rad 333 rads 479 rads 1450 a 0707 vp b 0500 vo c 1250 155 a 0 01000 rads 00250 rads 1451 a v 256 ms f vz 424 ms SS 319 b 0211 rad 00472 rads 001181 rads b 234 m c 0400 rad 0 0 1452 a vy 24 msi 18 msj b 600 mm 156 a 400s b 529 rads c 200 rads 159 a 1273 rev b c 1842 s 1453 a vg 283 ms 2 45 vu 2 ms b 13 m 1510 0400 msi 1400 msj 0700 msk 1454 a v 245 ms vz 316 ms 2 508 840 msi 330 msj 1140 msk b 174 m 1511 0400 msi 0700 msk 1457 312N 200 msi 650 msj 300 msk 1458 418 ms 1512 0450 msi 1200 msj 1500 msk 1459 906N 1260 msi 765 msj 990 msk 1460 a 1668 kN b 3118 kN 1513 0750 msi 1500 msk 1275 msi 1463 C 1617N 4 D 1548N D 1702 Nf 1125 msj 300 msk 1467 a 611 ms b 592 N 5s 490 1516 a 4645 ms 0334 ms b 3559 ms 1468 C 900 N C 2360 N D 0 D 2900 N 0026 ms c 0 0 1469 369 kN 1518 a 00600 ms b 00937 ms c 0294 ms 1470 976 kgs 1519 a 600 ms b 998 ms c 600 ms 1471 a 461 KN 12 m b 3222 kN 345 m 1521 a 267 rads 167 rads b 11 ms SS 768 1473 1096 m 1522 1200 rads 1474 4LAKN 1524 a 628 ms 1579 ms b 0628 ms 1580 ms 1475 a 863 kmh b 657 kmh 1525 a 120 rpm 275 rpm b 237 ms f 1990 ms J 1477 a 1547 kJs b 0323 1527 a 1000 rads b 750 ms 300 ms J 1478 a 800 kjs b 519 kmh c 400 ms J 1479 a 12 MW b 216 MW c 056 1528 a 300 rads J b 400 s 1480 a 324 ms b 1018 ms c 6465 kJs 1529 a 16 rads 5 b 64 rads 9 1484 1435 ms 1530 a 275 rev b 1710 ms 311 m J 1485 a P qv c 849 mms 2 320 1486 Caso 1 a 0333 g b 0817 V1 1531 a 1152 ms f 230 m f b 1728 ms 346 m J Caso 2 a gyl b Vell 1532 Disco A 541 rads 5 Disco B 1466 rads 5 1487 a mIv gy b mg1 yIt 1533 a 10395 b Disk A 413 rpm J Disco B 248 rpm 4 1488 a mgyl b ml gl y elt 1536 bv2nr 1489 34 ms 1537 bw 20 1490 15 ms 1538 a 0378 rads J b 016 ms 1492 533 kgs 1539 a 0684 rads b 0306 ms 5 15 1493 a 900 ms b 359 X 10 kmh 1540 a 226 rads 5 b 1840 ms 5s 60 1494 a 319 msf b 240 ms f 1541 a 254 rads J b 1346 ms 2 30 1495 2369 kg 1544 a 400 rads b 100 mmsi 1496 1151 ms 1545 a 300 mmsi 200 mmsj 1497 7930 ms b x 50 mm y 75 mm 1498 a 1800 ms b 9240 ms 1546 a 200 rads J b 120 mmsi 660 mmsj 1499 1868 kn 1548 a 105 rpm J b 1275 rpm 14100 a 312 km b 1975 km 1549 a 1500 b 0333 w 14106 a 520 kmh b 400 kmh 1550 70 rpm 14107 a Vv Vv Vo 067 kmh 1551 a 1350 rpm J b 1050 rpm J b v4 vp 28kmh vo 76 kmh 1552 a 480 rads b 339 ms 2 45 14109 v 48 ms v 16 ms 1555 a 600 rpm J 19 ms b 0 25 ms 14111 a quy b V2gh Ss 30 1556 267 rads J 172 ms 14112 1712kNf em C 229 kN fem D 1557 a 0 393 rads b 628 ms 0 14113 414 rpm 1558 652 ms 208 rads 5 14114 wg 1560 a 01254 ms b 0208 rads J 14115 a m qt meu b vo vye ner 1561 a 302 rads J b 0657 rads 1344 Respostas 1563 Barra BD 0955 rads Barra DE 255 rads 15116 A 12 ms B 214 ms Ss 694 1564 Barra BD 400 rads Barra DE 667 rads C 207 ms 27 650 1565 Barra BD 520 rads Barra DE 640 rads J 15118 a 035 ms 2 674 b 0337 ms 270 1566 a 333 rads b 200 ms SS 563 15119 a 308 ms b 925 ms 1568 a 1200 rads J b 2 ms 15120 a 598 ms 4 b 1906 ins f 1569 a 1200 rads J b 18 ms 27 563 15121 D 1558 ms SS 45 E 337 ms 245 1570 B 444 ms C 0 D 429 ms 2 15 15122 a 3045 ms b 248 ms E 314 ms G 45 15125 1483 ms 1571 a 338 mms 0 b 710 mms 237 rads J 15126 296 ms 1572 w 1 14reane 15127 a 1080 rads J b 1379 ms 5s 649 1573 a C encontrase 025 m a direita de A b 01 ms 7 15128 a 432 rads b 816 ms 5x 603 1574 x 0 295 m 15129 1745 ms 2 682 1575 a 500 mm 2 direita do eixo 15130 a 720 rads b 1296 ms b 750 mmsJ 1950 ms 15132 960 ms 1576 a 250 mm a direita do eixo b 420 mms 15133 a 1075 rads 5 b 230 rads 1577 a 1200 rads 15135 a 815 rads b 0896 rads b Cremalheira 240 ms D 216 ms 47563 15138 ov sen Bl cos 0 1578 a 1000 mm a direita de A b 400 mms 15139 v sen Bl sen 6cos 6 c DE desenrolado a 240 mms 15140 ba cos 0 ba cos 0 bw sen 0 BF desenrolado a 120 mms 15141 bub xz 5 Qbxyxyw D xP 1579 a 200 mm a direita de A b 800 mms 15143 vf1 cos vtr v sen vtr c DE desenrolado a 240 mms 15147 vry 1 cos tg 0 BF desenrolado a 120 mms 15149 Rw sen wtj Rw cos wt j 1582 a 1200 rads b 390 ms 674 15150 a 1815 rads J b 041 ms S 20 1583 a 500 rads b 1300 ms 674 15151 a 516 rads b 1339 ms 5s 60 1584 a 289 rads b 208 ms SS 739 15152 AP 468 rads BE 1415 rads 5 1585 a 0326 rads b 096 ms 27 592 15153 AD 224 rads BP 115 rads 1589 a 442 rads b 326 ms 250 15156 4 Vian lO Vitpp 0 1590 a 1579 rads J b 699 mms 4 783 b Viyae 9577 lw Ss 30 Vizjpp 0577 lw 2 30 1592 a 540 mms 2 796 b 051 ms SS 205 15157 Vyjjay 0299 lw Ss 45 Vizjpp 0816 lw 2 15 1593 a 007 ms 2 367 b 0216 ms 2 750 15160 a 0520 ms 826 b 500 mms 5 98 1595 a 1260 mmstf b 1250 rads 5 15161 a 0520 ms S374 b 500 mms 27 698 1596 a 0338 rads J b 788 mms 15162 a 15 msj 27 ms k b 15 msj 1597 a DE 250 rads AB 1176 rads 15163 a 24 msi 27 msk b 24 ms i b 0735 ms 15166 a 17 ms 5s 215 b 255 ms Ss 32 1598 a AB 200 rads DE 500 rads b 06 ms 15167 a 238 ms 2 483 b 144 ms 27 643 1599 Centrodo espacial quarto de circulo de 400 mm de 15168 Elo 1 303 mms Elo 2 1685 mms 27 577 raio centrado em O Centrodo corporal semicir 15169 Elo 3 483 mms Elo 4 1685 mms 5577 culo de 200 mm de raio com centro equidistante 15171 784 ms 27 405 entre Ae B 15174 a a 0621 msf b ay 1733 ms 539 15100 Centro espacial cremalheira inferior c ag 262 ms 2 676 Centrodo corporal circunferéncia da engrenagem 15175 1500 rads 4 779 rads 9 15102 400 rads J 667 rads 15176 600 rads 5 624 rads J 15103 520 rads 640 rads J 15177 430 rads 15104 B 445 ms C 0 D 429 ms 2 150 15178 470 rads j E 314 ms 45 15181 a 240 rads 346 rads 15105 a 0900 ms b 1800 ms b 1342 ms 5s 634 911 ms G 184 15106 a 0600 m de A b 0200 m de A 15182 a 385 rads b 23 ms 2 30 15107 a 0889 rads J b 556 ms f c 19 ms 27 542 15108 A3 ms B06 ms J 15183 a 385 rads J b 23 ms 30 15109 a 288 ms b 360 ms c 19 ms 27 542 15110 a 288 ms b 792 ms 15184 a 1500 radsi 300 radsj 250 radsk 15111 a 1976 ms b 1976 ms t b 0675 msi 035 msj 0825 msk c 1976 ms S 60 15185 a 1500 radsi 0750 radsj 1000 radsk 15112 a 960 rads 5 240 ms b 0225 msi 035 msj 0075 msk b 480 rads 1200 ms 15186 a 0480 radsi 1600 radsj 0600 radsk 15113 a 300 mms b 247 mms 2 140 b 400 mmsi 300 mmsj 480 mmsk 15115 A 1415 ms 580 B 2 ms 4 15187 a 0400 radsj 0360 radsk C 43 ms Ss 258 b 100 mmsi 90 mmsj 120 mmsk Respostas 1345 15188 987 radsk 15236 0600 msi 0225 msk 0675 msi 15189 1184 radsi 300 msj 360 msk 15190 a j Rrwk b Rroi 15237 13 msi 183 msj 163 msk 15193 a 0600 msi 0750 msj 0600 msk 0815 msi 0826 msj 0956 msk b 615 msi 300 msj 15240 504 msi 1200 msk 960 msi 15194 a 200 radsj b 16 ms i 4 msk 259 ms j 576 ms k c 41 msj 15241 0720 msi 1200 msk 960 msi 15195 139 msi 205 msj 35 msk 259 msj 1152 msk 15196 a 01745 radsi 0524 radsj 15242 100 mmsi 150 mmsj 675 mmsi b 00914 radsk 300 mmsj 360 mmsk c 1818 msi 0605 msj 349 msk 15243 450 mmsi 500 mmsj 360 mmsk 0366 msi 00609 msj 1055 msk 300 mmsi 1107 mmsj 480 mmsk 15198 a 800 radsi b 1920 radsk 15244 a 0610 msk 0880 msi 1170 msj c 1103 msi 2005 msj b 0520 msi 0390 msj 1000 msk 15199 a 0750 radsi 1500 radsj 400 msi 325 msk b 300 mmsi 150 mmsj 15245 a 1390 msk 712 msi 1170 ms c 60 mmsi 30 mmsj 90 mmsk b 0520 msi 0390 msj 1000 msk 15200 a 1125 radsk b 225 mmsi 400 msi 325 msk 180 mmsj 1125 mmsk 15248 a 128 msJ b 462 ms 2 161 15202 210 mmsk 15249 a 1824 rads b 1033 s 15203 400 mmsk 15250 a 0450 msk 405 msi 15204 075 msj b 1350 msk 675 ms ji 15205 091 msj 15252 a 09 ms b 45 ms f 15206 1278 mmsj 15254 494 ms 260 15207 466 mmsj 15256 0196 msk 15210 wcos 25 sen 25j cos 25 k 15257 a 01749 rads b 662 mms Sx 25 15211 cos 25 sen 25j cos 25 k 15259 0325 msi 01875 msj 0313 msk 15212 a 0240 radsi 0080 radsj 1080 radsk 213 msi 0974 msj 325 msk b 400 mmsk 15213 a 0348 radsi 0279 radsj 1089 radsk CAPITULO 16 b 075 msj 161 a343 N 2 20 b 244 NX 734 15216 1125 msj 162 357ms 15217 41 msj 163 209 ms 15218 951 mms 164 a 409 ms b 425 N 15219 876 mms jj 165 a 785 ms b 374 ms c 406 ms 15220 a 185 msi 077 msj 12 msk 166 a 112 m b 1603 m b 72 msi 2215 msk 167 a 500 ms b 0311 m h 1489 m 15221 a 08 msi 06 msj 0675 msk 168 a 255 ms bh 1047 m 18 msj 36 msk 1611 a 0337 g 2 30 b hd 400 b 08 msi 06 msj 36 ms k 1612 a 0252 g 30 b hd 400 15222 a 0750 msi 1299 msj 1732 msk 1613 2135 N b 271 msi 563 msj 1500 msk 1614 a 491 ms 27 30 b AD 310 N BE 1143 N 15223 a 075 msi 1299 msj 1732 msk 1616 a 254 ms 15 b AC 601 N tracao b 286 msi 321 msj 1067 msk BD 224 N tracio 15226 1215 msi 1620 msk 304 ms k 1617 CF 199 N compressio BE 703 N compressao 15227 1080 msk 1944 msi 1296 ms k 1620 a 93 ms 838 15228 1215 msi 1080 msj 1620 msk b B 662 N 230 A 263 N 230 1944 msi 304 msj 1296 msk 1625 1272Nm 15229 1215 msi 1080 msj 1620 msk 1626 5230 rev 255 msi 250 msj 211 msk 1627 204 rads 15230 a 08 msi 06 msj 0675 msk 1628 327 rads 5 16 msi 0825 ms jj 09 ms k 1629 594s b 08 msi 06 msj 16 ms i 1630 752 rev 12 msj 36 msk 1634 1 a 1000 rads 9 b 1549 rads 9 15232 139 msi 205 msj 35 ms k 2 a 8 rads 5 b 1386 rads 5 15234 a 0270 radsi b 1559 mmsi 3 a 452 rads 5 b 1042 rads 9 90 mmsj 420 mmsk c 029 msi 4 a 662 rads 9 b 892 rads 007 ms j 019 ms k 1636 a 1185 rads J b 1666 N 7 15235 0600 msj 0585 msk 476 msi 1346 Respostas 1637 a 0235 ms b 0176 ms 16111 a 1536 Pmr J b 0884 Pmg P 1638 a 131 ms b 131 msJ 16113 a 01250 gr J 01250 g 01250 g 1639 a a 1250 rads 5 333 rads 5 16116 P 1684 N 2 705 M 0228 N m b A 320 rpm J B 320 rpm 4 16117 a 1111 rads J b 377 Nf c 282 N 1640 a a 1250 rads 5 333 rads 5 16118 a 978 NY b 603 Nf b A 900 rpm 5 B 1200 rpm J 16119 a 1087 rads 4 b 453 Ne 1641 a Ocorre deslizamento b a 648 rads 16120 a 194N b 145 N 20 a 981 rads 16121 a 956 rads b 83 N 220 1642 a Nao ocorre deslizamento b a 16 rads 5 16124 640N a 32 rads 16125 171L7N 1648 a A 436 ms b 218 ms 16126 600N 1649 a 388 mm de A b 218 ms 16127 1315 NT 1650 a 250 ms b 0 16128 483N J 1651 a 375 ms b 125 ms 16129 299N 260 1655 A 0885 ms B 260 ms 16130 235 N 260 1656 A 0273 ms B 201 ms 16133 162N 1657 A 18kN B 159 kN 16134 a 1500 N m4 b 1200 N 882 N4 1658 A 138 kN B 185 kN 16135 a 250Nm b 1900 N 1049 Nf 1659 a 0741 rads 5 b 0857 ms 16136 A82NB87Nf 1660 a 2800 N b 1511 rads J 16138 B805ND426N 1663 a 300 gL J b 1000 gf c 200 gJ 16139 B525 N27 381 D 322 NG 157 1664 a 1000 gL J b 0 c 1000 g 16140 mv 6L tg 0cos 6 1665 a 1000 gL J b 0866 g 16141 a 936 ms S 271 b 278 Nf c 1323 g2491 16142 a 910 ms S811 b 654N 1666 a 0500 gf b 1500 g 16143 a A 0400 gr 5 B 0400 gr J b 0200 mg 1667 a 0 b 1000 gJ c 0800 g 1668 a 0250 7 b 1250 16144 a 563 ms S 25 b 765 rads J 1669 a 1718 s b 331 ms c 714 m 16146 a 1355 ms b 234 ms 1670 a 1981 s b 306 ms c 798 m 16147 a 195 ms b 346 rads 9 1672 a vor b vo myg C 05 2myg 16151 154 N m localizado 058 m abaixo de A 1676 a 12 rads J b A 4NA 196 f 16153 352 rads 5 1677 a 067 m b 8 rads 16156 063 m 1678 a 1071 rads b C 214N 16157 a 0513 gL b 0912 met c 0241 ng C 392 Nf 16159 1 a 1200 gc J b 0671 g 634 1679 a 1500 mm b 1250 rads J 2 a 1412 gc J b 0706 g 1681 a 1529 kg b 290 mm 3 a 240 gc J b 0500 g J 1682 1364kN 16160 a 0333 g 4 b 1667 gJ 1684 a 1500 g b 0250 mef 16161 237 rads 5 1685 a 1286 gl b 0571 mgt 16163 a 512 rads b 210 N 4 1686 a 250 g b 0375 met 16164 a 578 rads b 204 N t 1687 1501 N27832 1688 a 99 rads 5 b 623 N m4 CAPITULO 17 1689 a 1350 rads 5 b 679 N m4 171 157Nm 1695 0806 m 172 5230 rev 1696 tg B w1 rk 173 0760 1697 a 227 m b 0649 m 174 988 mm 1698 a Rola sem deslizamento 175 a 293 rpm b 1592 rev b 157 rads 314 ms 178 195 rev 1699 a Rola sem deslizamento 179 a 635 rev b 714 N b 235 rads 471 ms 1710 a 254 rev b 1786 N 16100 a Desliza b 436 rads 5 294 ms 1711 a 296 ms J b 228 m 16101 a Desliza b 1308 rads 5 098 ms 1712 4174N J 16102 a 1778 rads J 213 ms b 0122 1713 4802N 16105 a 889 rads 1067 ms b 0165 1716 1113 rads 5 16106 a 0556 g b 1000 gJ c 0 1717 327 rads 16107 a 1125 gJ b 1000 g c 1333 gf 1718 a 1732Vg1 J 250 W 4 b 542 rads J 25 N f 16108 a 0765 g b 1000 g c 0667 g 1720 a 41 rads 1355 kN 5s 458 16109 a 173 ms b 39N b 58 rads J 349 kN f 16110 a 654 rads 5 b 818 ms 1724 a 300 ms b 300 Ne Reso stas 1347 1725 1154Vs 17106 a 3vL J v2 b 3vL 5 v27 c 0 vf 1726 Ves 17107 wL3 1727 a 500 rads b 249 Nf 17108 2 5 cos Bw7 2 5 cos Bv7 1728 0577Vgr 17110 Gv sen B1 3 sen BL 1729 a 1324V2r 5 b 212 mg fF 17112 0750 vL J 0910 v 27 741 1730 a 039 m b 196 N 17113 0706 vL J 0949 v 2 879 1733 0745 ms 17114 0366 1734 1000 ms 17115 267 ms 1735 1054 ms 17116 512 1736 311 ms 1798 ms J 17117 559 1737 482 ms 0 17120 a 468 mm b 219 mm 1739 367 rads 22 ms f 17121 a 104 ms b 52 rads J 1740 0775 Vel 0775 Vel 60 17122 a 0069 ms b 936 rads J 1742 a 0926 VaL b 1295 VeL 17123 0650VgL 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0276 ma b 252 1782 a 500 rads b 313 rads 188 a 0432 ma b 202 1783 1807 rads 189 45kg msi 925 kg msj 1784 242 rpm 15 kg msk 1786 disco 337 rpm placa 235 rpm 1810 216 kg msi 048 kg nvsj 1787 372 rpm 144 kg msk 1788 a 1500 rads b 614 ms 1811 a 291 rads b 00551 rads 1789 a 1492 mm b 444 rads 1812 0320 kg msi 0009 kg msj 1790 1136 ms 467 kg msk 1794 1542 ms 1815 a mrw 0379 i 0483 j b 519 1795 061 ms 1816 a 0063 kg msi 0216 kg msj 1796 a 227 rads J b 454 kN b 0513 kg msi 0216 kg msj 1797 a 267 mm b 2159 rads 1819 a 1508 kg msi 1508 kg msj 1798 a 216 ms b 487 kN 2 669 3351 kg msk b 1475 1799 a 792 mm b 1992 ms 1820 a 1508 kg mi 1508 kg mj 17100 242 mms 3351 kg mk b 325 17101 302 mms 1821 826N 17102 1410 rads 5 1822 356 s 17105 2 Lw4 1823 a 0300 msk b 0962 radsi 0577 msj 1348 Respostas 1824 a 0300 msj 1889 545 rads b 346 radsi 1923 radsj 0857 radsk 1890 211 N187 1825 a FAtmi b FAtma1714 j 857 k 1893 a C 1234 Ni D 1234 Ni 1826 a FAtmi b FAtma343 j 514k bC D 0 1829 a 0125 w i j b 00884 aa k 1894 912 rpm 1830 a 01031 maw k b 001473 maa k 1895 A 295 Nk B 295 Nk 1831 0429 ci 0429 0ak 1896 102 rads 1832 a 6 w7j b me 7j 1899 1123Nm cos 6i 1123 N m 1833 aC eB b C 816 s D 484 s c 0520 s sen 6 cos 0 j 281 N m sen cos 0k 1834 a DeA b D 682 s A 1848 s c 0347 s 18101 C 898 Ni 528 Nk 1839 1417 D 898 Ni 528 Nk 1840 01250 mrw 207 18102 a 01962 N mj b C 486 Ni 389 Nk 1841 01250 maw D 486 Ni 389 Nk 1842 0228 mrw 18103 a 975 N mj b A 625 Ni 1875 Nk 1843 01896 mrw M 1218 N mi 1563 N mk 1844 1296 J 18104 a 162 N mi b D 302 Nj 21 Nk 1847 344 E 46Nj 21 Nk 1848 941 J 18107 250 rpm 1849 01250 maw 18108 72 1850 0203 maw 18109 1141 rpm 1853 11 J 18111 459 rpm 533 rpm 1854 557 18113 237 1855 321 Nmk 18114 a 527 rads b 644 rads 1856 0500 mrwo i 18115 a 400 b 207 c 751 1857 01667 maw i 18116 a 49 rads b 46 rads 1858 0958 mrw k 18125 a 0 525 6 375 6 90 1859 75 N mii b 538 revh c 668 revh 1861 1890 N mi 214N mj 321 N mk 18126 a 0 90 0 1765 0 7235 1862 1890 N mi 214N mj 321 N mk b 448 revh c 668 revh 1865 A 1200 Ni B 400 Ni 18129 a 1319 b 1242 rpm retrégrado 1866 C mbw sen B cos Bi 18130 a 1094 rpm y 90 y 10005 y 1005 6 b 8 90 6 1139 8 239 C mba sen B cos B i 18131 Onik a rpm an 646 rpm a 400 rads 566 rads pay Arcus ts 18182 Wied B 494 Nj J 412 Nk 2 rg 9 sen 6 cos Oy C Arner SED Bp 1871 a 200 radsj 18133 3 20 mol b 04 240 rads O 329 rads b A 375 Nk B 1250 Nk 18134 a6 1200 rads b 6 268 rads 1872 i C ae pink b lv te82hk 18137 a 441 b 872 rads 563 rads 1875 a 213 N Wi 9 18138 a 327 rads b 1333 rads ys 443 rads b A 16 Nj B 16 Nj 18140 a we sen 6 re gle mgc cos 0 E 1876 a 117N mi dye 9 As 008NY LAT Nk to Oa ig Wf h se WM B 098 Nj 117 Nk a8 ws an 1877 a 006 N mi b A 016 Nj 016 Nk ets kg sk ia 1505 B 016 Nj 016 Nk 18150 a woi a j b woak 1878 A 217Nj 185 Nk s 6 6 6 B 217 Nj 185 Nk 18151 maw 1879 a 1047 Nm b 1047Nm 48 1880 429kNm 18153 a 521 rads b A 250 Ni B 250 Ni 1881 0754Nmii 18154 a 63 b 81 rads 1883 sLON 18155 a 222 N mj b F 192 Ni 72 Nk 1884 1138 Ponto A move para cima M 24 N mi 384 N mk 1885 a 381 b 1178 rads 18156 a A Sek SOSENYE 1886 1346 rads B 1786 kNi 1508 kNj 1887 a 378 b 767 rads b 357 kN mk 1888 w 89 rads 18157 1326 rpm Resp sts 1849 CAPITULO 19 1977 0276Vkm AL 191 031 ms 1974 ms 1978 a 0702 s b 90 mms 192 0950 mm 239 mms 1979 214 Hz 193 1225 ms 0650 Hz 1980 0387 s 194 a 085 s 26 Hz b 082 ms 133 ms 1983 1737 s 195 a 0324 s 308 Hz b 1291 mm 484 ms 1984 01899VI 196 a 109 b 193 ms 1985 1327s 197 a 0557 Hz b 293 mms 1988 369s 199 a 314 s b 640 m c 387 1989 27V2m3k 1910 1104 mm 1990 1063 Hz 1911 a 549 m b 805 ms J 1991 a 01592V g Ikawl 1 b Velk 1912 a 00425 s b 206 ms t 20 ms J 1992 326N 1913 284 mm 4 25 ms 57 ms J 1994 0742 Hz 1914 a 389 b 01538 ms 0666 ms 1996 27cos B Vm6k 1917 a 0208 s 481 Hz b 1361 ms 411 ms 1997 a 0352 s b 0352 s 1918 a 0416 s 241 Hz b 0680 ms 1029 ms 1998 1814 lVer 1919 a 055 s 282 Hz b 071 ms 125 ms 1999 1140 N 1920 263s 19100 a 353 mm em fase b 300 mm fora de fase 1923 a 341 kg b 538 Nm 19101 a 192 Nm b 58 Nm 1924 a 680 kg b 0583 s 19102 Vk2m wp V3k2m 1925 a 711 kNm b 26 kg 19105 816 rads 1926 32kNm 19106 225 mm 563 mm 1927 a 223 MNm b 266 Hz 19107 908 rads e w 1704 rads 1930 a 554 mm b 1497 Hz 19108 651 rpm 1934 1626 19109 a 900 mm b 1800 N 1935 a 1737 s b 1864 s c 205 s 19112 a 252 mm b 0437 senzt N 1936 071 m 19114 220 mm 1937 a 336 Hz b 426 mm 19115 328 rpm e w 338 rpm 1938 a 0304 s b 021 ms 19116 783 rpm 1939 a 01927 s b 535 ms 19118 391 kg 1940 a 0483 s b 026 ms 19120 w 254 rpm e w 303 rpm 1943 a 1117 rads b 400 mm 19121 a 417 b 849 Hz 1944 a 228 s b 1294 m 19122 804 1945 755 19123 1 111 waI 2 1L eI 1946 038 Hz 19124 a 1406 rpm b 0403 mm 1947 a 1067 s b 897 mm 19132 a 001393 b 0737 N sm 1949 a 0933 s b 0835 s 19133 a 1044 kN sm b 37046 kNm 1950 a 1617s b 1676 s 19134 569 mm 1955 a 221 Hz b 1153 Nm 19136 a 108 kNm b 01908 s 1956 5 Hz 19137 a 6 3cm 0 3k4m 6 0 b Vkm3 1957 0945 Hz 19139 047 mm 1958 0276Vkm gAL 19141 cc 0707 1959 a 3885 rads b 375 rads 19143 a 00905 b 366 N sm 1961 821 mms 19144 a 0324 mm b 00884 mm 1963 a 213 kg b 1838 s 19145 1301 mm 1964 a 0875s b 1111 19146 a 2210 kNm b 00286 1965 a 1951 s b 1752 ms 19147 1348 mm 1437 N 1966 73ke m 19149 a 828 N b 463 N a 2 1056 ie 19151 lays kx 6k sen wt cap cos wyt 1971 1476 ms 311 ms onde o QrrvL 1972 39mm 258 ms 1973 02891 b 8m VRP coxpV k meng cong 1974 755 19153 R2VIC 1976 1306 mm 19154 a ERb LR 1350 Respostas 1 B32 733 X 10 kem 19157 a kx cxy x 0 6 9 a kena ela Xn 0 B34 I 381 X 10 kg mk 1107 mm a 3 2 3 2 mie ole xy Py sen ot B35 a 264 X 10 kg m b 312 X 10 kg m dt dt c 858 X 10 kgm 1 d B37 1 00232 ke m I 00214 ke m b Sqa Roda Gn 9 x BoM ty 8 C dt L 0018 kg m Tn ad B38 1 0323kem21 1 0A19 ke m L Roam qa En sen ot x g m3 y oo gm 2 dt dt B39 I 250 X 10 kgm 1 406 X 10 kg m dk a I 881 X 10 kg m 19158 aoa hi kata katn 0 B40 I 244 X 10 kg m1 1415 X 10 kg m dx KX ye 1 459 X 10 kg m ne Foe hyxq x4 0 B41 I 229 x 10 kgmsI 71 X 10 kg f 1 1 1 m p Re oth Gin I 466 X 10 kg m P ae B42 I 709 X 10 kg m1 209 X 10 kg ms poe py Sle 4m qu 0 I 869 X 10 kg m dt 2 B45 I 804 X 10 kgmI 1290 X 10 kg 19159 a 27 V2a3g b 01667 a m 19160 a 491 mm 581 Hz 01791 ms b 49IN 1 940 x 10 kg m c 01592 ms f B46 I 01 483 X 10 kg my 19161 1771s 1 443 x 10 kg mm 19163 a 616 Hz 491 mm 01900 ms b 491 N BA7 I wal 5mg I 11 mwa g c 01542 ms J L 4wa 1 2ag 19164 a 0316 L b 0200 VgL B48 I 1lwagI wa a 62g 19166 1456 m wa4g 191 69 a 575 N b 000710 mm B49 I 479 x 10 ke m I 1021 x 10 kg m 19170 a mx 4Txl 0 b TV mlT 1 641 X 10 kg m APENDICE B B50 I mRj2I mRi2 1 mR32 B52 a mac20 b L mab20 1 mbc20 B1 a mr2 24 b mr 22 B55 1817 X 10 kg B2 a 00699 ma b 0320 ma B56 1181 x 10 kgm B3 a 25 mr64 b 01522 mrs B57 5 Wa18 B4 a mb7 b mTa 10b70 B58 441 ytag B5 a ma3 b 3ma2 B59 281 X10 kg m B6 a 7ma6 b ma2 B60 0354 ke m B9 1329 mh B63 a ba 2ca 2 b ba 1 ca 05 B10 m3a L12 B64 a 2 b V23 B11 a 0241 mh b m3a 01204 h B65 a 1V3 b V712 B12 mb h10 B69 a K 0363ma K 1583ma K 1720ma B14 ma bV5 b 8 8 497 0 1137 B15 1 1 ma4 1 ma2 8 45 0 90 0 135 B17 837 X 10 kg m 692mm 0 03 735 0 237 B18 1286 x 10 kgm88 mm B70 a K 1430 X 10 kgm B19 m3a 2h6 K 1396 X 10 kg m K 206 X 10 kg m B21 a 275 mm to the right of A b 320 mm b 0 8 900 0 0 B23 a 46 mm b 8447 x 10 km m 454 mm 0 342 0 866 0 900 B24 a mpl 0 44 1 a b 01851 85 934 8 34 8s 900 395 one oe ag co ke B72 aK 21650 g Ky 1054Wag K ea gmI 383 gm 1115Wag Iz 1755 X 10 kg m 4 b 0 367 716 0 595 B26 I 1755 X 10 kg ms I 309 X 10 kg m 0 749 0 545 0 1405 1 1544 x 10 kgm 7 03 575 6s 1388 0 1124 B27 I 1120 x 10 is m 1 1348 X 10 kg m B73 a K i2era g Ky 1727 ytag K kg m 1908 ytag B28 I 2825 x lo kg m I 1086 x 10 kgm b 0 850 8 368 0 537 I 3722 x 10 kg m 4 6 817 0 547 8 1434 B31 a 1399 x 10 kg m b 206 X 10 kg m 0 970 0 990 0 863 c 1430 X 10 kg m A Abordagem totalmente vetorial 968 cinemática 1337 força massa e aceleração 1337 impulso e quantidade de movimento 1337 trabalho e energia 1337 vibrações 1337 Aceleração absoluta e relativa no plano de movimento 707 961963 1018 Aceleração angular 921 924 992 994 1056 de rotação em torno de um eixo fixo 964 10151016 Aceleração complementar Ver Aceleração de Coriolis Aceleração de Coriolis 922 981 10021003 1008 10191021 Aceleração relativa 687 981 fórmula da 967 Acelerações 966967 10061009 Ver também Aceleração de Coriolis Forças e acelerações componente tangencial de 670 da gravidade 700 determinante 616 638 952 994 995 do ponto coincidente 981 angulares 921 924 964 992 994 10071008 1016 1056 instantânea 608609 no plano de movimento absoluta e relativa 961963 1018 relação entre 1065 relativa 687 981 Adição associativa de vetores 1284 Adição comutativa de vetores 1293 Adição de vetores 1293 Álgebra vetorial definições úteis e propriedades da 12931298 adição de vetores 938 1293 momento de uma força em torno de um dado eixo 12971298 momento de uma força em torno de um ponto 12951296 produto de um escalar por um vetor 1294 produto escalar de dois vetores 12961297 produto triplo misto de três vetores 1297 produto vetorial de dois vetores 12941295 subtração de vetores 901 vetores unitários decomposição de um vetor em componentes retangulares 1294 Amortecedores 1271 Amortecimento crucial 1265 1272 1285 coeficiente de 1265 1272 Amortecimento subcrucial 1265 1266 1272 1285 Amortecimento supercrucial 1265 1272 1285 Amortecimento viscoso 1264 1272 1284 coeficiente de 1265 1272 1285 Análise cinética 1066 três métodos fundamentais de 852 Análogos elétricos para vibrações amortecidas 12681280 1285 características de um sistema mecânico e de seu análogo elétrico 1269 Ângulo de fase 1220 Ângulo de tiro 656 Ângulo formado por dois vetores 1297 Apogeu 741 Atrito cinético 1066 Atrito de Coulomb 1264 Atrito fluido 1264 Atrito interno 1264 Atrito seco 1264 resolvendo problemas com 707 B Balanceamento 1173 Binário da quantidade de movimento angular 1108 1159 1161 Binários constante 1088 de inércia 1079 intensidade de 1109 momento de 1078 1139 1195 quantidade de movimento angular 1108 1159 1161 trabalho de 1097 Binormal 671 676 689 Bola de boliche 1056 1155 Bola de golfe deformação sobre impacto 758759 quantidade de movimento na batida 878 Braço robótico 11481149 C Calcular corpos compostos 1310 Centro de gravidade 865 Centro de massa de um sistema de partículas movimento de 864866 909910 1028 1034 1056 velocidade de 1158 Centro geométrico 1066 Centro instantâneo de rotação 922 1109 em movimento plano 950960 1017 Centroide espacial 952 Cinemática 1034 1065 análise 1066 de movimento 10371038 1041 10641065 1234 definição de 606 Cinemática de corpos rígidos 918 1027 aceleração absoluta e relativa em movimento plano 961963 1018 análise do movimento plano em termos de um parâmetro 963975 1018 centro instantâneo de rotação em movimento plano 950960 1017 equações definindo a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo 921 926927 introdução 920922 movimento em torno de um ponto fixo 988990 1019 movimento geral 921 9911002 movimento geral no espaço 1020 ÍNDICE BeerIndice2indd 1351 BeerIndice2indd 1351 050712 1335 050712 1335 1352 indice movimento plano de uma particula introducao 11501151 Componentes tangencial e normal em relacdo a um sistema rotativo movimento de um corpo com 669671 676 689 961 1018 977988 1019 simetria axial livre de foras 1191 de aceleragio 670 movimento plano geral 921 936 1204 em rotacao em torno de um eixo 937 movimento de um corpo rigido em fixo 1016 movimento tridimensional de uma torno de um ponto fixo 11711172 equagées de movimento em termos particula em relacao a um sistema 1208 de 700701 rotativo aceleracao de Coriolis movimento de um corpo rigido movimento de uma particula no 10021003 10201021 tridimensional 11691170 1206 espaco 671 689 problemas para computador 1025 1207 movimento plano de uma particula 1027 movimento de um giroscépio 669671 problemas para revisaio 10221024 angulos de Euler 11881189 1209 Componentes transversais Ver rotacaéo em torno de um eixo fixo precessiio em regime permanente Componentes radial e transversal 920921 923925 1015 de um girose6pio 11901191 1209 Computador disco rigido 1032 sistema de referéncia em problemas para computador 1213 Condigées iniciais 611 626 movimento geral 10031014 1021 1215 CondigGes necessarias 789 suméario 10151021 problemas para reviséo 12101212 Cone corporal 989 taxa de variagao de um vetor com quantidade de movimento angular Cone espacial 989 relagdo a um sistema rotativo 975 de um corpo rigido tridimensional Conservacio de energia 789790 977 1018 11511155 1205 794 836 850 881883 10901091 translagao 920 922923 1015 rotacdio de um corpo rigido em 10951096 1140 velocidade absoluta e relativa em og para um sistema de particulas 773 torno de um eixo fixo 11721187 movimento plano 938950 1017 sumario 12051209 878 911 Cinematica de particulas 604693 Cinética de particulas 694857 Conservagio de quantidade de introdugao a dinamica 606607 métodos de energia e uantidade movimento 836 882 movimento curvilfneo de particulas de movimento 758 guy angular 727728 751752 791 645685 794 883 11101122 1142 movimento retilineo de particulas segunda lei de Newton 694757 linear 699 758 870 883 607644 Circulos concéntricos 920 para sistemas de particulas 868 problemas para computador 692 Circulos paralelos 920 876 910 693 Coeficientes Constante de gravitagaio 752 problemas para revisio 690691 de amortecimento 1265 1272 Constante de mola 763 sumario 686689 de restituigao 758 852 1129 Constante de tempo 1279 Cinética Colisdes 870 883 Coordenadas angulares 923 anilise por 852 1066 Cometas 748 Coordenadas cilindricas 673 677 definindo 606 Componentes normais Ver Coriolis GustaveGaspard 978 Cinética de corpos rigidos Componentes tangencial e normal Corpos assimétricos 11941195 1209 tridimensionais 11481215 Componentes radial e transversal Corpos compostos 13031319 1335 aplicacao do princfpio de impulso e 672685 689 calculo 1310 da quantidade de movimento para em movimento curvilineo de formas geométricas comuns 1304 movimentos tridimensionais de particulas 672685 689 momento de inércia de 13031319 corpos rigidos 11551156 1206 equagoes de movimento em termos 1335 energia cinética de um corpo rigido de 726727 751 Corpos rigidos Ver Sistema de corpos tridimensional 11561168 1206 extensdo do movimento de rigidos equagao do diagrama de corpo livre particulas no espago coordenadas Correias transportadoras 901 1079 1208 cilmdricas 673 Curva aceleragiio X tempo 636 equagdes de Euler de movimento Componentes retangulares Curva posigaotempo 636 extensao do principio de de produto vetorial 1295 Curva velocidadetempo 636 dAlembert ao movimento de um de velocidade e aceleragao 649 Curvas de movimento 610 637 corpo rigido tridimensional 1170 650 688 1171 12071208 decomposicao de um vetor em D equagées fundamentais de 1294 dAlembert Jean le Rond 1033 movimento para um corpo rigido equagoes de movimento em termos Defasada 1256 1205 de 700701 750 Deflexio 797 Índice 1353 Deformação 1123 período de 830 Derivadas de funções vetoriais 647 649 688 Desequilíbrio 1059 1066 Deslocamento definição 760761 988 finito 762 medição 1236 trabalho correspondente a 847 Deslocamento máximo de sistema na aplicação do princípio da conservação de energia 1245 Determinação do movimento de uma partícula 611620 686 Diagramas de corpo livre desenhando 707 816817 837 1065 1114 1129 1178 1225 1236 equações para 1035 1042 1079 1194 1208 Diferença de fase 1268 1285 Diferencial exato 789 E Eficiência 768 mecânica 768 potência e 767786 849 Eficiência global 768 Eixo paralelo centroidal 1309 Eixos arbitrários produtos de inércia de corpos momento de inércia de um corpo em relação a 13191320 1335 Eixos centroidais 1301 Eixos de inércia 1153 11601161 1177 1205 principais 13211323 13251327 Eixos de rotação instantânea 950 989 1002 1019 Eixos fixos de rotação 918 Eixos principais de inércia 1321 13251327 Elipsoide de inércia 1321 Em fase 1256 Energia Ver também Energia química Energia elétrica Energia cinética Energia mecânica Energia potencial Energia térmica Energia total Princípio do trabalho energia somando energia cinética e potencial 796 Energia cinética 10921096 1159 1161 1168 12461248 constante 850 de uma partícula 764765 774 792793 796 848849 em rotação 1140 Energia cinética de um corpo rígido em movimento plano 10881089 1139 tridimensional 11561168 1206 Energia cinética de um sistema de partículas 876877 910911 usando um sistema centroidal de referência 876877 Energia elétrica 790 Energia mecânica 790 total 790 Energia potencial 786788 792 796 849 1090 12461248 calculando 797 constante 850 variação da 786 790 Energia química 790 Energia térmica 790 Energia total de uma partícula 828 Engrenagens planetárias 998 Equações características 1265 de uma superfície quádrica 1320 homogeneidade de 1255 para diagrama de corpo livre 1035 1042 1079 1194 1208 Equações de movimento 700701 750 10371041 1061 1174 1176 1234 1237 componentes radial e transversal 726727 751 componentes retangulares 700701 componentes tangencial e normal 700701 diagrama para corpo livre 1035 1079 1208 para um corpo rígido1205 Equações de Euler de movimento extensão do princípio de dAlembert ao movimento de um corpo rígido tridimensional 11701171 1207 1208 Equações definidoras da rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo 921 926936 rotação uniforme 926 rotação uniformemente acelerada 926 Reações dinâmicas 1173 1175 1179 Equilíbrio dinâmico 701724 750 1035 1079 Erro admissível 795 Espacial aplicação da mecânica 732 739742 753 Euler Leonhard 1170 Excentricidade 739 Explosões 870 Expressões matemáticas 1293 F Fase 1256 Fator de amortecimento 1266 1273 Fator de amplitude 1256 1273 1284 Fluxo de fluido desviado por uma pá fluxo permanente de partículas 891 Fluxos desviados 901 Foguetes 868 Força Ver também Força central Sistemas de forças atuando em um corpo rígido 1087 1088 1139 centrífuga 701702 1058 de atrito 767 1063 de gravidade 699700 762763 eficaz 861 1033 1042 1079 elástica 787 797 1247 exercida por uma mola 763 848 1098 1129 1224 exercida sobre um escoamento 895 externa 861867 870 909 1028 10331034 1089 1139 imprimida 1259 impulsiva 813 816 851 1129 interna 861 878 1089 não impulsiva 813 816 1129 trabalho de 1097 Força central movimento sujeito a 727728 731751752 trajetória de uma partícula sujeita a 738 Força constante em movimento retilíneo trabalho da 762 Força gravitacional Ver também Leis de Newton constante da 752 trabalho da 763764 847848 Força impulsiva média 816 Força negativa 767 790 Forças conservativas 788789 796 849 1244 Forças de atrito 767 1063 cinética 1066 trabalho feito por 1086 BeerIndice2indd 1353 BeerIndice2indd 1353 050712 1335 050712 1335 1354 Índice Forças e acelerações 10281083 comentário sobre os axiomas da mecânica de corpos rígidos 1034 1035 equação do diagrama de corpo de livre 1079 1298 equações de movimento para um corpo rígido 1031 1078 introdução 1030 movimento plano com restrições 10561077 1079 movimento plano de um corpo rígido 10331034 1079 não realizam trabalho 764 princípio de dAlembert 1033 1034 1079 problemas para computador 1083 problemas para revisão 1080 1082 quantidade de movimento angular em um corpo rígido em movimento plano 1032 10781079 sistemas de corpos rígidos 1036 1055 1079 solução de problemas envolvendo o movimento de um corpo rígido 10351036 sumário 10781079 Forças efetivas 861 1033 1042 1079 Frequência circular 1266 forçada 1254 natural 1219 1226 1256 Frequência forçada 1256 1284 circular 1254 Frequência natural 12211222 1256 1284 circular 1219 1226 12571258 Função complementar 1255 Função escalar gradiente de 789 Funções periódicas 12191220 Funções potenciais 788 Funções vetoriais derivadas de 647 649 688 G Galileu 606 Ginasta 10841085 Giroscópio precessão em regime permanente 1191 1209 Gravitação universal Ver Leis de Newton H Hélices 901 Helicóptero fluxo permanente de partículas 892 Hodógrafo movimento do 646 Homogeneidade equações de 1255 I Impacto 813 825 836 1129 central 825831 837 851852 878 882 1123 elástico 827 838 852 excêntrico 11231138 1142 linha de 825 837 plástico 827 852 impacto central direto 825828 851852 impacto perfeitamente elástico 827 852 impacto perfeitamente plástico 827 852 Impacto oblíquo 825 central 828831 837 Impedância 1270 Impulso linear 810811 de uma força 850 Impulsos 810811 816 1195 angular 878 desconhecido 1161 Incógnitas 816 883 1036 1043 impulsos 1161 reduzindo o número de 1065 Inércia 1299 eixos de 1153 11601161 1177 1205 elipsoide 1321 produtos de 1177 1179 1335 Integrais definidas 611 Integrais elípticas 1223 tabela de 1223 Introdução à Dinâmica 606609 J Junta rotulada 9991001 K Kepler Johann 742 L Lançamento oblíquo 850 Lei da gravidade Ver Leis de Newton Lei do paralelogramo 990 1293 Leis de Kepler do movimento de planetas 742749 753 Leis de Newton aplicação ao movimento de um sistema de partículas forças efetivas 860863 909 da gravitação 728737 752 segunda lei de movimento 697 698 750 771 Linha de impacto 825 837 movimento contra a 834 M Massa 1221 sistemas que ganham ou perdem massa 892908 912 Mecanismo de Genebra 975 Método de energia e quantidade de movimento 758857 10841147 aplicação do princípio do trabalho e energia 766767 849 conservação da quantidade de movimento angular 11101122 1142 conservação de energia 789790 85088188310901091 1140 1196 energia cinética de um corpo rígido em movimento plano 10881089 1092 1139 energia cinética de uma partícula principio do trabalhoenergia 764 765 848849 energia cinética na rotação 1140 energia potencial 786788 849 forças conservativas 788789 849 impacto 825 impacto central direto 825828 851852 impacto central oblíquo 828831 impacto excêntrico 11231138 1142 introdução 760 1086 movimento impulsivo 813824 851 1123 1142 movimento sob força gravitacional 850 movimento sob uma força central conservativa aplicação à mecânica espacial 791810 850 potência 10911106 1140 BeerIndice2indd 1354 BeerIndice2indd 1354 050712 1335 050712 1335 Índice 1355 potência e eficiência 767786 849 princípio de impulso e quantidade de movimento 810812 850851 princípio de impulso e quantidade de movimento para o movimento plano de um corpo rígido 1107 1109 11401142 princípio de trabalho energia para um corpo rígido 10861087 1139 problemas envolvendo 831846 problemas envolvendo energia e quantidade de movimento 831 846 problemas para computador 856 857 11461147 problemas para revisão 853855 11431145 sistemas de corpos rígidos 1089 1090 1110 1140 sumário 847852 11391142 trabalho de forças atuando em um corpo rígido 10871088 1139 trabalho de um binário 1139 trabalho de uma força 760764 847 usando os três métodos fundamentais de análise cinemática 852 Método de trabalho e energia Ver Princípio de trabalho e energia Método do momento de área 635 Métodos experimentais 1270 Momento de inércia de massas 1299 1336 1334 determinação do eixo principal e momentos de inércia principais de um corpo de forma arbitrária 13221333 determinação do momento de inércia de um corpo tridimensional por integração 1303 1310 eixos principais de inércia 1336 elipsoide de inércia eixos principais de inércia 13201321 1336 evitando erros de unidades 1309 momento de inércia principal 1336 sumário 13341336 teorema dos eixos paralelos 1301 1309 13341335 Momento de uma força sobre um ponto 12951296 sobre uma dado eixo 12971298 Momentos de binários 1078 1139 1195 de vetores 1108 Momentos centroidais de inércia de corpo 1152 Momentos de inércia 1193 de corpos compostos 13031319 1335 de placas delgadas 13021303 13091310 1335 de um corpo com relação a um eixo arbitrário produto de inércia de corpos 13191320 1335 principal 13211323 13251327 Momentos de inércia de massa 1299 1300 1309 centroidal 1152 de formas geométricas simples 1304 Momentos principais de inércia 13211323 13251327 Motor do protótipo XR5M15 858 Motores a Diesel 918 Motores a jato 891 901 912 fluxo permanente de partículas para 891 901 Movimento absoluto 651 acelerado 772 ao longo da linha de impacto 834 cinemática de 10371038 1041 1234 curvilíneo 645 687 de rolamento 10571059 1062 1063 10651066 1079 1088 de um corpo com simetria axial livre de forças 11911204 de um giroscópio ângulo de Euler 11881189 1209 de um projétil 650 655656 de várias partículas 622633 687 deslizamento 10621063 1088 do centro de massa de um sistema de partículas 864866 909910 em regime permanente 1258 1273 em torno de um ponto fixo 921 988990 1019 equações de 700701 750 1037 1041 1060 1174 1176 1234 1237 harmônico 1219 1226 1282 hodógrafo de 646 relativo 1169 sistema de referência ligado à translação 650668 688 sistema de referência ligado ao centro de massa 867 sujeito à força da gravidade 850 sujeito a uma força central 727 728 751752 sujeito a uma força central conservativa aplicação da mecânica espacial 791810 850 uniforme 612 772 Movimento curvilíneo de partículas 645685 componentes radial e transversal 672685 689 componentes retangulares de velocidade e aceleração 649650 688 componentes tangencial e normal 669671 689 derivadas de funções vetoriais 647 649 688 movimento relativo de sistema de translação 650668 688 vetor posição velocidade e aceleração 645646 687688 Movimento de partículas determinação do 611620 686 no espaço 671 689 Movimento de um corpo rígido em torno de um ponto fixo 1171 1172 1208 tridimensional 11691170 1206 1207 Movimento geral 921 9911002 de um corpo rígido 995 no espaço 1020 Movimento horizontal 858 Movimento impulsivo 813824 851 1123 1142 Movimento orbital 752753 Movimento plano aceleração absoluta e relativa em 961963 1018 analisado em termos de um parâmetro 963975 1018 diagramação 942 velocidade absoluta e relativa em 938950 1017 BeerIndice2indd 1355 BeerIndice2indd 1355 050712 1335 050712 1335 1356 Índice Movimento plano com restrições 10561077 1079 rotação em torno de um ponto fixo 1207 rotação não centroidal 10571058 Movimento plano de corpos rígidos 1043 1078 e princípio de dAlembert 1033 1034 1079 em sistemas de corpos rígidos 1043 forças e acelerações 10281083 métodos de energia e quantidade de movimento 10841147 Movimento plano de uma partícula 669671 921 em relação a um sistema rotativo 977988 1019 Movimento plano geral 918 921 936937 1017 1034 1065 Movimento retilíneo de partículas 607644 determinação do movimento de um partícula 611620 686 movimento de várias partículas 622633 687 movimento retilíneo uniforme 620 687 movimento retilíneo uniformemente acelerado 607 610 686 outros métodos gráficos 635646 posição velocidade e aceleração 607610 686 solução gráfica de problemas de movimento retilíneo 634635 687 Movimento tridimensional de uma partícula em relação a um sistema rotativo 10021003 10201021 N Newton Sir Isaac 698 742 Normal principal 671 Nutação 1188 1194 1209 taxa de 1195 O Órbitas circulares 741 920 Oscilações 12221223 centro de 1233 elétricas 1269 P Partículas Ver Sistemas de partículas Partículas lisas suposição de 828 Partículas sem atrito hipótese de 828 Patinadora artística 1110 Pêndulo composto 1241 Pêndulo simples 12221232 1283 solução aproximada 1222 solução exata 12231232 Perigeu 741 Período de deformação 830 de uma vibração amortecida 1266 de vibração 1282 Peso 816 865 1221 1247 Placas delgadas momento inércia de 13021303 13091040 1335 Plano invariável 1204 Planos de simetria 1335 Planos osculadores 671 689 Ponto de referência selecionando 1009 Pontos coincidentes aceleração de 981 Posição determinação 616 Posições coordenadas 686687 Potência 10911106 1140 definindo 1098 e eficiência 767786849 média 774 Precessão de um giroscópio eixo de 1193 regime permanente 1151 1188 1192 11941195 1209 Precessão direta 1192 Precessão retrógrada 1192 Princípio da conservação da energia 1098 1128 12461248 aplicação do 12441254 1283 deslocamento máximo de um sistema 1218 sistema passando pela sua posição de equilíbrio 1245 Princípio da conservação da quantidade de movimento angular 1110 Princípio de dAlembert 1057 extensão ao movimento de um corpo rígido tridimensional 1170 1171 12071208 movimento plano de um corpo rígido 10331034 1079 Princípio de impulsoquantidade de movimento 813 881 Princípio de trabalho e energia 1092 1094 aplicação do 766767 849 para um corpo rígido 10861087 1139 Princípio de transmissibilidade 1034 Princípio do impulso e da quantidade de movimento 810812 816 834835 850851 11261129 1158 1193 aplicação para o movimento tridimensional em um corpo rígido 11551156 1206 para o movimento plano de um corpo rígido 11071109 1140 1142 para um sistema de partículas 878 888 911 Princípio do trabalho energia 773 831 878 911 Problemas para computador cinemática de corpos rígidos 1025 1027 cinemática de corpos rígidos tridimensionais 12131215 cinemática de partículas 692693 forças e acelerações 1083 métodos de energia e quantidade de movimento 856857 1146 1147 segunda lei de Newton 757 sistema de partículas 916917 vibrações mecânicas 12901291 Procedimento unificado 1036 Produto de um escalar e um vetor 1294 Produto escalar de dois vetores 1296 1297 ângulo formado por dois vetores 1297 expresso em termos de componentes retangulares 1297 produtos escalares de vetores unitários 1296 projeção de um vetor em um dado eixo 1297 BeerIndice2indd 1356 BeerIndice2indd 1356 050712 1335 050712 1335 Índice 1357 Produto triplo misto de três vetores 1297 expresso em termos de componentes retangulares 1297 Produto vetorial 1294 Produto vetorial distributivo 1295 Produto vetorial triplo 924 Produtos comutativos de vetores 12951296 Produtos de inércia de corpos 1319 1320 Produtos vetoriais de dois vetores 12941295 de vetores unitários 1295 Projeção de um vetor em um dado eixo 1297 Q Quantidade de movimento Ver também Quantidade de movimento angular Método de energia e quantidade de movimento Princípio de impulsoquantidade de movimento Quantidade de movimento linear conservação de 836 851 882 final 811 forças equipolentes de 890 Quantidade de movimento angular 1141 componente do 1177 conservação do 727728 731 751 752 791 870 883 1110 1114 1196 de um sistema de partículas em torno de seu centro de massa 866 868 910 de uma partícula 725726 751 taxa de variação do 751 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido tridimensional 11511155 1205 obrigado a girar em torno de um ponto fixo 1155 1206 redução da quantidade de movimentos das partículas de um corpo rígido a uma quantidade de movimento vetor e um binário 1154 Quantidade de movimento linear 1141 conservação da 699 758 870 883 de partículas 698699 750 850 de um sistema de partículas 863 864 909 Quantidade de movimento total 812 837 conservação de 830 851 de uma partícula 817 Quantidades escalares 761 883 R Raio de giração 13001334 Razão de frequência 1256 Reações estáticas 1173 Redução das quantidades de movimento das partículas de um corpo rígido a um vetor de quantidade de movimento e a um binário 1154 Redução de terremotos 12171217 Referencial fixo 1178 taxa de variação de um vetor em relação a 648649 982 994 Regime permanente de partículas 889892 912 fluido que escoa por meio de um tubo 891 helicóptero 892 motor a jato 891 901 ventilador 892 Regra da mão direita 12951296 Representações por figuras 1035 1036 Ressonância 12561257 Restituição 825826 1123 coeficiente de 758 826827 1136 período de 825 830 11231125 Rolamentos 11781179 Rotação em torno de um eixo fixo 920921 923925 1015 componentes tangencial e normal 1016 de um corpo rígido 929 11721187 de uma placa representativa 925 1016 definindo 920 diagramação 942 967 equações para 929 velocidade angular e aceleração angular 1016 Rotação uniforme 926 1016 1058 acelerada 926 1016 Rotações 858 936937 995 1090 Ver também Centro instantâneo de rotação centroidal 1034 1058 em torno de um ponto diferente do centro de massa 10571058 1079 1089 infinitesimal 990 uniforme 1058 Rotações infinitesimais 990 S Satélites analisando movimento de 744745 em órbita circular 732 em órbita elíptica 732 Seções cônicas 739740 Simetria planos de 1335 propriedades de 1326 Sistema de referência centroidal movimento em relação a 867 uso 876877 Sistema de referência newtoniano 698 750 Sistema de unidades gravitacionais 700 Sistema passando por meio de ponto de equilíbrio em aplicação do princípio de conservação da energia 1245 Sistema rotativo 1178 taxa de variação de um vetor com respeito a 975977 982 1018 Sistemas articulados 1079 Sistemas de corpos rígidos 1089 1100 1110 1140 Sistemas de forças equipolentes 862 866 890 1033 1078 1171 Sistemas de partículas 858917 aplicação das leis de Newton para o movimento forças efetivas 860 863 909 conservação da quantidade de movimento para 868876 910 energia cinética de 876877 910 911 BeerIndice2indd 1357 BeerIndice2indd 1357 050712 1335 050712 1335 1358 Índice introdução 860 movimento do centro de massa de 864866 909910 princípio do impulso e quantidade de movimento de 878888 911 princípio do trabalho energia conservação de energia para 878 911 problemas para computador 916 917 problemas para revisão 913915 quantidade de movimento angular em torno de seu centro de massa 866868 910 quantidade de movimento linear e angular 863864 909 regime permanente de partículas 889892 912 sistemas que ganham ou perdem massa 892908 912 sistemas variáveis de partículas 889 912 sumário 909912 Sistemas de referências 10051009 centroidal 876877 na translação 650668 688 newtoniano 698 1031 no movimento geral 10031014 1021 selecionado 1009 Sistemas de unidades 699700 725 750 Sistemas mecânicos aplicações espaciais 739742 753 e seus análogos elétricos 1269 Solução exata para pêndulo simples 12231232 Solução gráfica problemas de movimento retilíneo 634635 687 Soluções aproximadas 637 1233 para o pêndulo simples 1222 Sumário cinemática de corpos rígidos 1015 1021 cinemática de partículas 686689 cinética de corpos rígidos tridimensionais 12051209 métodos de energia e quantidade de movimento 847852 1139 1142 momentos de inércia de massas 13341336 segunda lei de Newton 750753 sistema de partículas 909912 vibração mecânica 12811285 Superfície quádrica equações da 1320 T Taxa de variação de quantidade de movimento angular 751 1178 1180 de quantidade de movimento linear 698699 750 Taxa de variação de um vetor com relação a um sistema fixo 648 649 982 984 com relação a um sistema rotatório 975977 982 1018 Telescópio Hubble 739 Tempo 816 Tempo períodico 741743 753 Teorema dos eixos paralelos 1305 1306 1309 Trabalho 1092 1094 correspondente ao deslocamento 847 de um binário 1139 definindo 760762 negativo 786 total 10971098 Trabalho de uma força 760764 847 constante em movimento retilíneo 762 773 exercida por uma mola 763 773 848 gravitacional 763764 773 847 848 Trajetórias de uma partícula sujeita a uma força central 738 elíptica 740741 744745 hiperbólica 740741 744745 parabólica 740741 744745 Translação 918923 928 936937 995 1015 1034 1043 1090 definindo 920 diagramação 942 967 Transmissibilidade 1263 1290 princípio de 1034 Trens pendulares 722 Tríade da mão direita 1295 Turbinas eólicas 1028 V Veículo espacial analisando movimento de 744745 ônibus espacial 11481149 Velocidade 940 1293 absoluta 952 angular ver Velocidade Angular de escape 697 741742 753 determinando 616 942 955 994 995 do centro de massa 1158 em movimento plano absoluta ou relativa 938950 1017 instantânea 608 645646 média 607608 relativa 687688 827 830831 835 837 852 893 942 1127 Velocidade angular 921 924 992 994 1007 11581161 constante 1220 de rotação em torno de um eixo fixo 10151016 Velocidade areolar 727728 751752 Ventiladores Ver também Hélices Turbinas eólicas fluxo permanente de partículas para 892 901 Vetor de inércia 701702 1079 Vetor posição velocidade e aceleração 645646 686688 Vetores componentes de 1109 de quantidade de movimento linear 1108 1159 1161 momentos de 1108 negativos 1293 posição 645 994 1295 Vetores tangentes 688 Vetores unitários 1294 Vibração forçada 12541264 1283 1284 amortecida 1216 12671268 1273 1285 Vibrações em regime permanente 1256 1267 1285 BeerIndice2indd 1358 BeerIndice2indd 1358 050712 1335 050712 1335 Índice 1359 mecânicas ver Vibrações mecânicas período da 1282 torsional 1237 transiente 1256 1267 Vibrações amortecidas 12641280 análogos elétricos 12681271 1285 Vibrações livres 1216 1225 amortecidas ver Vibrações livres amortecidas de corpos rígidos 12321244 1283 de partículas movimento harmônico simples 12181222 12811282 transitória 1284 Vibrações livres amortecidas 1264 1266 12721273 12841285 amortecimento crítico 1265 amortecimento subcrucial 12651266 amortecimento supercrucial 1265 Vibrações mecânicas 12161291 introdução 1218 problemas para computador 12901291 problemas para revisão 12861289 sumário 12811285 vibrações amortecidas 12641280 vibrações sem amortecimento 12181264 Vibrações sem amortecimento 12181264 aplicação do princípio de conservação de energia 12441254 1283 pêndulo simples 12221232 1283 vibrações forçadas 12541264 12831284 vibrações livres de corpos rígidos 12321244 1283 vibrações livres de partículas movimento harmônico simples 12181222 12811282 BeerIndice2indd 1359 BeerIndice2indd 1359 050712 1335 050712 1335 C y h b 2 b 2 y y kx2 h a x C O x C r O x C r O Centroides de áreas e linhas de formatos comuns Formato Área Área triangular Área de um quarto de círculo 0 Área semicircular Área semiparabólica 0 Área parabólica Área sob arco parabólico Setor circular 0 Arco de um quarto de círculo 0 Arco semicircular Arco de círculo 0 2 r r sen r 2r r 2 2r 2r r2 2r sen 3 ah 3 3h 10 3a 4 4ah 3 3h 5 2ah 3 3h 5 3a 8 r2 2 4r 3 r2 4 4r 3 4r 3 bh 2 h 3 y x y x r C C O O x O O a h C C a y y x r C C O O BeerIndice2indd 1360 BeerIndice2indd 1360 050712 1335 050712 1335 Momentos de inércia de Momentos de inércia de areas geométricas comuns solidos geométricos comuns Retangulo Barra esbelta y y y T dbh G vii eee y 12 y ae I sbh h x L Jo pbhb h x b Placa retangular delgada y LAY Triangulo I jgmb c b sh I 1 fyme a 1 pmb I 3gbh h 1 I qabh 4 3 x I Prisma retangular nd I jmb c b Circulo I pn c a to 4 I jma b 7 7 14 a I 1 qr J Jo yar x WD Disco delgado y I 3mr Semicirculo I 1 mr y Zz I 1 gar 1 Jo amr 5 x Cilindro circular y ro I 3ma I 1 m3a L a Quarto de circulo y z I 1 ygur Cone circular y Jo sar x p OL I ama I 1 3mqa h Z a Elipse y 44 1 Esfera y Jo imab b a Zz x Prefixos SI Fator de multiplicagado Prefixo Simbolo 1000000000000 10 tera T 1000000000 10 giga G 1000000 10 mega M 1000 10 quilo k 100 10 hecto h 10 10 deca da 0110 deci d 001 107 centi c 0001 10 mili m 0000 001 10 micro LU 0000 000 001 10 nano n 0000 000 000 001 10 pico p 0000 000 000 000 001 10 femto f 0000 000 000 000 000 001 10 atto a O uso desses prefixos deve ser evitado exceto para a medigdo de dreas e volumes e para o uso nao técnico do centimetro como no caso das medidas do corpo e de roupas Principais unidades do SI usadas em mecénica Grandeza Unidade Simbolo Férmula Aceleragao Metro por segundo ao quadrado a ms Angulo Radiano rad Aceleragdo angular Radiano por segundo ao quadrado rads Velocidade angular Radiano por segundo a rads Area Metro quadrado Lee m Massa especifica Quilograma por metro cUbico Lee kgm Energia Joule J Nm Forga Newton N kg ms Frequéncia Hertz Hz s Impulso Newtonsegundo a kg ms Comprimento Metro m Massa Quilograma kg ee Momento de uma Newtonmetro a Nm forga Poténcia Watt WwW Js Pressdo Pascal Pa Nm Tensdo Pascal Pa Nm Tempo Segundo s Velocidade Metro por segundo a ms Volume Sdlidos Metro cUbico a m Liquidos Litro L 10 m Trabalho Joule J Nm Unidade suplementar 1 revolugéo 27 rad 360 Unidade bdsica