Vigas-2023-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 1 MECÂNICA GERAL II VIGAS Prof.º Msc José Lucas Sobral Marques MECÂNICA GERAL II VIGAS Prof.º Msc José Lucas Sobral Marques SETOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL 1 Definição: Barras retas dispostas seqüencialmente solicitadas no seu próprio plano Eixo Carregamento INTRODUÇÃO 1 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES fe i f, | \ \ \ laa A, A Analise estrutural WW \ e “Uma estrutura é considerada em equilibrio se, inicialmente em repouso, ela permanecer em repouso quando sujeita a um sistema de forcas e momentos”. ¢ Se um corpo inicialmente em movimento for submetido a forcas que satisfazem as equacdes de equilibrio, ele permanecera em movimento com uma velocidade constante. — — Py : yi o .. ag 3 Li \ \\ I, / pi } \ \ \ sli AIM A Analise estrutural aN | E . \ \ ¢ Para haver o equilibrio todas as forcas e momentos que atuam sobre a estrutura devem manter o equilibrio uns com Os Outros; ° Acodes = reacoes; * O equilibrio de um sistema de forc¢as quaisquer, coplanares, deve verificar as trés equac6es universais da estatica: BM, =0 =M, =0 EM. = 0 Fr, z B Z My | yy F, =0 F, [ ae dF ey ° oO Fy ——_ > Mj =0 4 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 3 Para se poder dimensionar uma estrutura é necessário que se conheçam os esforços internos atuando na mesma, para verificar se o material utilizados os suporta. O QUE SÃO ESFORÇOS INTERNOS? QUAIS SÃO OS ESFORÇOS INTERNOS? INTRODUÇÃO Esforço Normal: INTRODUÇÃO 5 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 4 Esforço Cortante: INTRODUÇÃO Momento Fletor: INTRODUÇÃO Fibras tracionadas Fibras comprimidas 7 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 5 Os esforços internos são uma função da posição, x, da seção de uma viga. INTRODUÇÃO Quanto à Lei de formação: 1. Simples I. Biapoiadas; II. Engastada e livre; III. Viga com balanço; IV. Contínua. 2. Compostas I. Vigas Gerber INTRODUÇÃO 9 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 6 11 INTRODUÇÃO Simples – biapoiada http://www.peyrani.org INTRODUÇÃO 11 12 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 7 Simples – Engastada e livre http://static.guim.co.uk INTRODUÇÃO Simples – Viga com balanço vão balanço INTRODUÇÃO 13 14 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 8 Simples – Contínua littleletterstolondon.blogspot.com INTRODUÇÃO Compostas - Gerber Sussekind, 1981 INTRODUÇÃO 15 16 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 9 Vigas Gerber São estruturas estaticamente determinadas, constituídas de associação de vigas simples, com e sem balanço, obtidos a partir de uma viga contínua, pela articulação para torná-la isostática. Fonte: www.tocnotícias.com.br INTRODUÇÃO Vigas Gerber Qual a utilização? Quando se deseja evitar esforços adicionais provenientes de recalques diferenciais dos apoios, variação térmica, retração, razões construtivas, etc. Desvantagens: Problemas que podem ocorrer na articulação  desgastes devido deslocamento contínuo da estrutura, infiltração, dificuldade de manutenção. INTRODUÇÃO 17 18 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 10 Classificação quanto a estaticidade: Isostática vão balanço 3 reações de apoio 3 equações de equilíbrio INTRODUÇÃO Classificação quanto a estaticidade: Hiperestática 4 reações de apoio 3 equações de equilíbrio INTRODUÇÃO 19 20 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 11 A VA HA HB Hipoestática INTRODUÇÃO A VA VC VE VD B C D E Hipoestática INTRODUÇÃO 21 22 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES LV \\ 4 Y Vi \ \\ lod Ah A INTRODUCAO WW \\\ * O modelo estrutural representa o isolamento de uma estrutura em relacgdo ao meio externo. e Assim sendo, as cargas externas devem estar em equilibrio com as reacdes de apoio! Equilibrio estatico: > = 0 ». Mo = 0 23 Wi, If, /| pi } \ \ \ iN A/a INTRODUCGAO ¢ Para se dimensionar uma estrutura 6 necessario se conhecer os esforcos internos nela atuando para verificar se o material utilizado os suporta. e Esses esforcos internos podem ser calculados pelo método das secoes. Esforgo normal Esforc¢o corte Momento fletor Momento torcedor 24 12 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Ty h LA , a) () ry H>\ \\ INTRODUCAO UW \\\ ¢ Se eu tenho uma viga carregada e quero saber os esforcos em B. P; a P2 peed ¢ Facgo uma secao imaginaria a-a perpendicular ao eixo da viga, passando pelo ponto B. P; * A, Mz Mz | f : ate = he A, & Ng Np " M, Vy Vy 25 Wy IN dA \ INTRODUCAO Ny \ \ e WN A A\\ ¢ Aestrutura precisa estar em equilibrio: — Nao pode haver translacdo ou rotacao relativa entre as duas partes da viga. * Como a estrutura precisa estar em equilibrio eu facgo o equilibrio em algum dos membros da viga, melhor usar aquele que nao precisa calcular as reacgdes de apoio. >» Fa =07>Nb P, : ;/* YF, =0>Vb fn We rt —_ nd Ar & Nz Np ~ Mo =07>Mb My Vp Vy 26 13 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 14 INTRODUÇÃO • Numa análise 3D não serão apenas 3 resultantes da força: – 1 resultante normal – 2 resultantes de esforço cortante – 2 componentes de momento fletor – 1 componente de momento torcedor REVISÃO ÚLTIMA AULA 28 • Esforço interno de flexão 27 28 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 15 29 • Esforço interno de cisalhamento REVISÃO ÚLTIMA AULA 30 • Método das seções Como a estrutura precisa estar em equilíbrio eu faço o equilíbrio em algum dos membros da viga, melhor usar aquele que não precisa calcular as reações de apoio. Se eu quero calcular os esforço no ponto B, faço uma seção imaginária a-a perpendicular ao eixo da viga, passando pelo ponto B. REVISÃO ÚLTIMA AULA 29 30 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES TaN \ — Ai a) \\ REVISAO ULTIMA AULA e Método das segdes P; p >» Fy = 0 > para determiner esforgo normal pled, >» Fy = 0 > para determinar esforco cortante A B a » Mo = 0 > para determinar momento fletor y/* — je x “tit A, 4 Np Ne M, V; V, 31 YY, f y \ \ pA AVY : \ \EQUAGOES FUNDAMENTAIS DA My iy » \\ ESTATICA q y 3 (Ut q(x) M LOLA M+dM | TTT iy oe dx dN > Fe =0-> \tN+ dN + p(x):dx =0 > a —p(x) d 5 =0 =%-- ae +q(x)-dx=0 > = = q(x) a dM > Mo = 0 oy ++ am —(9 +29) -dx + q@)-S=0 > De = OH) d?M ° Ge 1) 2 32 16 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUCAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES MY IV \ \\ a AV | \\ EQUACOES FUNDAMENTAIS DA MAS mt \ ESTATICA | f(x) | ) c d & af (x) 7 , a — coeficiente angular da reta,é a tangente af(x) oo . _ Tea 0 — ponto critico, maximos e minimos da fungao h 33 j / y, if Y i \ ~ ips : Velen tere) FUNDAMENTAIS DA MAS m) \ ESTATICA dQ > =0 > 0-Q-d0 + q(x) dx =0 > = = a(x) Inclinagdo do diagrama de forcas cortantes é igual a intensidade da carga distribuida AQ = q(x): dx 49 = | q(x)-ax Variacgdo do esforco cortante é igual a drea sob a curva de carregamento 34 17 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUCAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES YY, 1 j \\ ~ ANY : EQUACOES FUNDAMENTAIS DA NA / \\\ ESTATICA dx? dM > Mo =0 9-M+M+dM—~(Q +dQ)-dx +q()-—-=0 > —=0@) Inclinagdo do diagrama de momento fletor é igual a forga cortante dM v4 a an 0 — Ponto de momento fletor maximo AM=Q-dx am = | Q-dx Variagdo do momento fletor é a drea sob o diagrama de esforco cortante fppt.com 35 WW Vy | = Vis EQUAGOES DE CORTANTE E LN ft | \a WW MAS \\ MOMENTO YM LLG \\NN ¢ Vigas sao membros estruturais projetos para suportar cargas aplicadas perpendiculares ao seu proprio eixo; * Geralmente sdo classificadas de acordo com sao apoiadas: ¢ Para o correto dimensionamento é preciso ter o conhecimento detalhada da variacdo do esforc¢o cortante e da forc¢a normal, ou seja, saber seus valores em cada ponto da estrutura. ¢ Pode-se obter esse variacdo utilizando o método das secées, deixando os valore de V e M em funcao da distancia “x” da secdo de analise a um dos apoios. 36 fppt.com 36 18 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 19 • Com essa metodologia obteremos umas equação para cada um dos esforços, função da distância “x”; • Essas equações podem ter descontinuidades em pontos onde são aplicadas cargas pontuais ou pontos onde a carga distribuída varia ou onde haja momentos aplicados; 37 EQUAÇÕES DE CORTANTE E MOMENTO As funções precisam ser determinadas para cada seguimentos das viga, situado entre duas descontinuidades. • Procedimento de análise: 1. Calcular as reações de apoio; 2. Escrever as funções de esforço cortante e momento fletor; 3. Obter os diagramas de esforço cortante e momento fletor. 38 EQUAÇÕES DE CORTANTE E MOMENTO 37 38 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUCAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES 1 VAS \ Pa vis | Xs CALCULO ESFORC¢OS WY \ CORTANTES 50 KN 30 kN 90 kN A V, = 60 kN Vg = 110 kN 4,0m 4,0m 3,0m 2,0m TrechoAC >60 O0<x<4 TrechoCD >10 4<x<8 TrechoDE >-20 8<x< 11 TrechoEB >—-110 11<x< 13 l | eax =0 + 60-4+10-4~20-3-110-2=0 0 39 39 TITY \ r Vis : \\ CALCULO MOMENTOs IW \ FLETORES 50 KN 30 kN 90 kN /\ € D E Z\ V, = 60 kN Vz = 110 kN 4,0m 4,0m 3,0m 2,0m TrechoAC > 60:x O<x<4 Trecho CD > 60-x-—50-(«-4) 4<x<8 Trecho DE > 60-x —50-(x-—4)-—30-(«-8) 8<x<1l1 Trecho EB > 60-x —50:(«— 4) —30- (« — 8) — 90(@ — 11) 11<x<13 40 20 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 21 EXEMPLOS DE APLICÃÇÃO 41 Fonte: www.metélica.com.br Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão VIGA BIAPOIADA 41 42 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Li fe \ \ 14 fi, } \ a Ah “NY -VIGA BIAPOIADA UW \\ Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vao ” 1. Reacdes de apoio x | Y= 05 V+ Vp =P Fi = 0H, =0 3 ~ l P P v2 v2 DMa=0> Uy 1-P-5=0Vp=7 ela=5 2. Equagées do esfor¢go cortante Trecho AC > Q=V, .Q=5 A cl Pp COUN P Trecho CB > Q=V4—P+Q=-F 43 AM “\\ VIGA BIAPOIADA Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vao " 3. Equacdo do momento fletor 4 | Trecho AC > M =V,+x O<x<5 : WY Parax=0>M=0 _l _P Ll NPS /2 /2 Parax=[>M——-5 + M= ~~ A c l l {NX 1? Trecho CB 4M =Vq-x~P(x~5) zsxsl CF cl A Li) | Pel Parax=5-M=5-5-P(5-5) «M = — — P l . — Parax => =5-1-P(1-5) .~M=0 44 22 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUCAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Wi, \N ‘ 14 fi, } N \\ Ah “NY -VIGA BIAPOIADA UW \\ Viga biapoiada com carga concentrada nao no meio do vao Pp 1. Reacdes de apoio - | Y= 05 V+ Vp =P Fi = 0H, =0 cS 2 Pp. P+b ; g DY, Ma = 09 Vy 1- Pa =04Vp=—~ eV, = —— 2. Equagées do esfor¢go cortante Trecho AC > Q=V, .Qare Al lL fon 7 =z Trecho CB > Q=V4—PQ=-——* 45 AM “\\ VIGA BIAPOIADA Viga biapoiada com carga concentrada nao no meio do vao ‘ 3. Equagdo do momento fletor | Trecho AC > M=V,-x O<sx<a a Parax =0>M=0 P+b P-a-b a B eS _ oh ‘A Cc Trecho CB >M=V,-x—P(x-a) asx<l hon \4.Pab a Ip P-b P-a-b | Parax =a >M=——-a—P(a~—a) “M=—— P-b Parax =1>M =——-1~ P(l—a) .«M=0 46 23 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 24 Na seção onde está aplicada a carga, o cortante não é definido, existe uma descontinuidade; O valor desta descontinuidade é igual a carga; Na seção onde está aplicada a carga, o diagrama de momento possui um ponto anguloso; Diagramas de esforços internos são representações gráficas onde os esforços são traçados perpendiculares ao eixo da estrutura. VIGA BIAPOIADA Viga biapoiada com carga concentrada: Carga Distribuída Uniforme – peso próprio de viga de seção constante VIGA BIAPOIADA 47 48 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUCAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES YA/ V Pp \ X Vi, RA | A VIGA BIAPOIADA LW \*\\ ¢ ll ce fl iN sean 1 Tee in alae Lem an wf Bt ae se ee ‘—_ - Rh Lee ee 2) le ue residencialespelhodasaquas.com.br 49 7] Yy/ Va ip \ hi i) RL A A VIGA BIAPOIADA NY / | \\\ WA | | AA \\ Viga biapoiada com carga distribuida uniforme ; 1. Reacdes de apoio P(X) F, =0>V, + Vz = pl Fy = 0 > H, = 0 , COUT 2 = DAF < B a l pl pl DY Ma = 0 Vp l= pel-5= 04 Vp =" ey = — 2. Equagées do esforgo cortante Trecho ABB>Q=V,-—p:x O<x<l 2 parax=0>Q= e * Nee parax => Q=0 parax =139=-% 50 25 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Vi ™ \, MY pi } N \N AV “N\ VIGA BIAPOIADA AY A \ \ . \ Viga biapoiada com carga distribuida uniforme 3. Equagdes do momento fletor x Trecho AB > M = Vq+x— px-s O<x<l P(x) p PLL para 09M =0 bon _l fe pl? | parax => M =~ parax=l>M=0 A nN eA 51 fppt.com 51 VN \, | 4 } \ \ \\ AV ‘N\ VIGA BIAPOIADA NY ih \\\ Ui)! i \\\\ Viga biapoiada com carga distribuida uniforme ¢ Dicas para o tragado do diagrama de momento fletor. uM, =22 A M B 7h, 4 2. Marcamos M,M, I \ fe 3. Criamos AM, e BM, \ 4] ve Ne ea <V 4. Dividimos AM, e BM, em quatro ONY partes iguais, cada uma. i AN / 7 « ! r - 5. Obtemos pontos |, Il, Ill, IV, Ve VI ee 6. Criamos IVI, IIV e IIIIV M, Dessa forma os pontos em vermelho sdo pontos da parabola. Se for necessario aumentar a precisdo basta dividir AM, e BM, em 8, 16, .... partes ao invés de 4, repetindo o mesmo tracado. 52 fppt.com 52 26 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 27 Carga Distribuída Triangular http://indac.org.br VIGA BIAPOIADA VIGA BIAPOIADA Carga Distribuída Triangular 53 54 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Vi \™ ‘ Y] fi } \ \ \ vp \\ VIGABIAPOIADA NY A A \\\ YMA a AR \ AN Viga biapoiada com carga distribuida triangular 1. Reacdes de apoio * l . cil Y= 03 Vat Vg = Fi = 0H, =0 B = l 2l 1 ol .___. 2. Equacdes do esforco cortante 2 za Trecho AB > Q=V,—Pe.% =P PE O<x<l A B 1 AN y NE parax=0 9 Q=% v3 = r parax=l1>Q=- > 3 Para achar o ponto onde Q =0 basta igualar a equagao a zero jets 55 LV, \ \\ 4 /| J, \\ vp XX VIGABIAPOIADA NAA \\\ YMA a N \\NN Viga biapoiada com carga distribuida triangular 3. Equagdes do momento fletor px? x 5 Trecho AB > M =V4-x -——'>5 O<x<l ail ee et TTT pl px “K fe ES are O<x<l | parax=0>M=0 ; parax=l|1>M=0 Ns A au = 0 ~ nos doo ponto de momento maximo wee FE - 0,064p/2! 5 mA} a | Momento é maximo quando x = a parax = 5 > Q = 0,064pl? 56 28 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES 29 h1 h 1 h2 h2 Halsttat, AT Peso próprio de mísulas – vigas com seção variável x VIGA BIAPOIADA Viga biapoiada com carga distribuída trapezoidal Princípio da Superposição dos Efeitos! Viga biapoiada com carga distribuída trapezoidal VIGA BIAPOIADA 57 58 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Tay \ y NY vicasiaporaba Y W it N \ Viga biapoiada com carga momento 2 b is : ; = ——_ . - ; 2 | a = a ee eS } - . i > Tn i | mot TT ik 59 TN \ YY | \\ via BraporaDa Viga biapoiada com carga momento 1. Reacdes de apoio A ov 3 Yi My = 03 My 1M 202% =] _ M DH 04 Mate = 02% => | a b >. Fy =0 > H, =0 i 2. Equagées do esforgo cortante Cc B M pe Trecho AB» Q = Va, Q = —— l 60 30 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES Ta \ LA A | Af \\-VIGA BIAPOIADA Wa Ave | A\\\ Viga biapoiada com carga momento 3. Equacdo do momento fletor M Trecho AC >M=V,-x O<sx<a A — B M LY AN OO a b Trecho CB >M=V,:x—M a<x<l M Parax=l1>M=—--b —Ma . — TT Cc B Mb — T 61 Ty \ N/A Wy, \\ -VIGA BIAPOIADA UWA i Viga biapoiada com carga inclinada cS een _— ale ——- Re ae RSSs > —" = arin || lel enn | a a ——— 62 31 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUCAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES | fa \ yy \\-VIGA BIAPOIADA Y W YN . \ \\ Viga biapoiada com carga inclinada : N ae A J ae A EES ae a b a b a b Psena+b l Diagrama N Diagrama M "a Psena + ab Peng ab 63 IV iy | \\ VIGA ENGASTADA Nf | : \ \\ N/a \ EPONA Viga engastada e livre - ae ees P (x) ’ ky Wee UL | Surge momento reativo no apoio 64 32 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES fy’, ty \ vis \\ VIGA ENGASTADA IW \\ E LIVRE Viga engastada e livre 1. ReacGdes de apoio 40 kN ; YF = 0 Va = gl + P > Va = 160 kN 30 kN/m A gy UL ” > Ma =M > -30- 4-5- 40-2 =M «.M = ~—320kN.m M Ha V 2. Equacées do esforcgo cortante A 2m 2m Trecho CB > Q=30-x O<x<2 Imediatamente a direita de C parax=2>Q=60kN 160 100 Trecho AC >7>Q=30-x+40 2<x<4 A é Imediatamente a esquerda de C c parax=2>Q=100kN parax=4—>Q=160kN 65 YY, | j \ Vis \\ VIGA ENGASTADA IWS \\ E LIVRE Viga engastada e livre 3. Equagdes do momento fletor P= x Trecho CB > M =~30-x-= Osxs2 30 kN/m all ah : LIJIT) parax =2>M=-—60kN.m Ss B Precho BC + M = ~30-x-5—40-(X—2) 2<x<4 oo parax =4—>M=—320kN.m 320 S20 A = a 66 33 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES TA is AV | . \ WHA CEZU INEZ USEVAUDY.N IW \\ BONA —320\\~ - yar She ql? ae 2 =15 A ce — B c 67 Vy; \\ VIGA BIAPOIADA DX LY \\ MAN \"\ WOO) EVN OUN(@CO) Sa | — g S ti oe a ay | cla | Ave < balanco >< vaio > Ne En 68 34 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES DAY bs \\\ vis | \\ VIGA BIAPOIADA MAY \ WOO NV SYN O-WN(@O) 0 KN 20 kNim renee LULU or pet LUELLA y , # 2m 2m 1. Reacgdes de apoio Yh =0> Va + Vp =10-2+20-44+10-2+20=140kN DY, Mp = 0 > -10-2-1-Ve-4420-4-2410-2-5+20-6=02V% = ook | “Vz = sokn | 69 LAY TY bs \ Vis \\ VIGA BIAPOIADA MWA / \\ «COM BALANCO 2. Equacées do esforc¢o cortante Trecho AB > Q=-10-x O<x<2 Imediatamente a esquerda de B parax=2 >Q=-—20kN Trecho BC > Q=-10-24V, —20(x - 2) 2<x<6 Imediatamente a direita de B parax =2>Q=+30kN parax=6>Q=-—50kN Trecho BC >Q=—10-:2+V,—20:4+V_—10: (x —-6) 6<5x<8 Imediatamente a direita de C parax =6>Q=+40kN parax=8>Q=+20kN 70 35 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES IW \ vis | \\ VIGA BIAPOIADA LN A | \e WW WAY \ WOO NV SYN O-WN(@O) 3. Equagdes do momento fletor Trecho AB» M = —-10-x +> O<x<2 parax=2—>M=—20kN.m Trecho BC >M =—20-(x-1)+V,- (x — 2) — 20- (x — 2) —_ 2sxs6 parax =6—>M=—60kN.m (x — 6) Trecho BC > M = —20+(x— 1) + Va: (%— 2) + Ve: (X— 6) — 80 «(x — 4) — 10 - (x — 6) - —5— 6<x<8 parax =8>M=0OKN.m’ 71 THVT \ Vis \\ VIGA BIAPOIADA NA A | ry \\ Wh WY COM BALANCO Diagrama de esfor¢o cortante +40 +30 +20 D A B Cc —20 3,5m —50 Momento 6 maximo quando ~ = 0 — quando x =3,5m 72 36 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA DEPARTAMENTO DE CONSTRUGAO CIVIL PROF. JOSE LUCAS SOBRAL MARQUES LAV bs \\ iy | \\ VIGA BIAPOIADA WAS \\ «COM BALANCO Diagrama de momento fletor —60 ~~ LIN : “Aer a ql? , -20-" | yeas qu ae |gl2 \ gk UF qv - “ak 8 x Aw D /\ps LE 3,5m Momento 6 maximo quando = 0 — quando x =3,5m 73 73 LAS bs \ Yh /\ J \\\ VIGA BIAPOIADA 4, WH | A IW Y= COM BALANGO * Os trechos AB e CD podem ser encarados como vigas engastadas e livres, sendo a obtencdo dos diagramas de esforco cortante e momento fletor imediata. * Otrecho BC pode ser avaliado como uma viga biapoiada. A viga 6 “rompida” a esquerda de B e a direita de C, sendo necessario a transferéncia dos carregamentos atuantes em casa um dos trechos “rompidos” a estrutura restante. Dessa maneira, do ponto de vista estatico, nada sera alterado. 20 kN 40 kN bo uin 0 KN 20 kNim 10 kKN/m 10 kN/m scot, yy 21 rain 2m 2m 4£\ |.___4m__. 74 74 37