Lista de Exercicios 3 - Geometria Analitica - Espaco e Quadricas

Lista de Exercícios 3 Geometria Analítica Professor Marlos Rodrigues da Rocha 2 de dezembro de 2024 1 Espaço 1 Determine o centro e o raio das seguintes esferas a x² y² z² 2 4y 2z 10 b x² y² z² 2y 10z 27 c x² y² z² 3 2 Determine uma equação da esfera que tem por diâmetro o segmento de extremos A803 e B625 3 Calcule a área do triângulo cujos vértices são A000 B230 e C105 4 Mostre que qualquer que seja o valor de a o módulo do vetor 1 a 1 a 2 é igual à área do paralelogramo definido pelos vetores u 1 1 1 e v 2 1 1 2 Quádricas 5 Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação a da elipse x²9 y²4 1 z 0 em torno do seu eixo maior b da elipse x²4 z² 1 y 0 em torno do eixo x c da parábola z 4x² y 0 em torno do eixo z d da hipérbole x²9 y²4 1 z 0 em torno do eixo x 6 Deduz uma equação da esfera de centro na origem e raio r girando a circunferência x² y² r² z 0 em torno do eixo x 7 Escreva uma equação do cone gerado pela rotação da reta r em torno da reta s onde x 2 t z 1 2t r y 3 4t s y 2 x 3 2t 8 Deduz uma equação do cilindro de revolução gerado pela rotação da reta r em torno da reta s sendo r x 2 z 3 r y 3 y 0 s z 7 9 Mostre que o gráfico da seguinte equação reduzse a um único ponto x⁴ y⁴ z⁴ 2x² 4y² 2z 6 0 10 Mostre que o gráfico de 2x⁴ 2y⁴ 5x² 2xy 2xz 2yz 8 0 é o conjunto vazio 3 11 Determine a interseção da reta z 1 y 2 t z 4 com o cilindro y z 2 12 Deduz uma equação do paraboloide de revolução de vértice na origem sabendo que sua interseção com o plano z 1 é a circunferência de centro 001 e raio 3 13 Escreva uma equação do elipsóide que intercepta o plano xy segundo a elipse x²4 y²9 1 z 0 e que contém o ponto 1 1 14 14 Escreva uma equação do hiperbóide de uma folha que intercepta o plano xy segundo a elipse x²9 y²16 1 z 0 e o plano yz segundo a hipérbole y²16 z²9 1 z 0 3 Curvas no espaço 15 Escreva a equação paramétrica da curva dada pela interseção das superfícies x y² z² e y x² z² 1 16 Deduz a equação paramétrica da interseção do cilindro x² y² 1 com o plano x y z 1 17 Mostre que a tangente à curva x 6t y 3t² z t³ faz um ângulo constante com o vetor 101