Teste de Hipóteses para Proporção: Exemplos e Análises

Testes de Hipóteses Teste de Hipóteses para Proporção Exemplo 1 Numa pesquisa entre 703 trabalhadores selecionados aleatoriamente 61 obtiveram seus empregos através de rede de amigos Use os dados amostrais com um nível de significância de 005 para testar a afirmativa de que a maioria dos trabalhadores ie mais de 50 obtêm seus empregos através de rede de amigos Temos ˆp 061 n 703 α 005 Testes de Hipóteses para Proporção Método Tradicional Região Crítica o teste é unilateral à direita ver H1 e devemos determinar zα da distribuição N01 que deixa 005 de área à sua direita Sendo assim a região crítica é qualquer valor de estatística de teste maior que 1645 ou seja rejeitamos H0 para z 1645 Conclusão Como z 583 1645 zα rejeitamos H0 e portanto p 05 a um nível de significância de 005 ou ainda a proporção de trabalhadores que obtêm emprego através de rede de amigos é maior que 50 a um nível de significância de 5 Testes de Hipóteses para Proporção Método do pvalor Calculo do pvalor Como o teste é unilateral à direita o pvalor é a probabilidade área à direita da estatística de teste z 583 na distribuição N01 De acordo com a tabela da N01 p 00001 pois 583 é grande suficientemente ocorre para todos os valores maiores que 35 Conclusão Como p 00001 005 α rejeitamos H0 e portanto p 05 a um nível de significância de 005 ou ainda a proporção de trabalhadores que obtêm emprego através de rede de amigos é maior que 50 a um nível de significância de 5 Testes de Hipóteses para Proporção Exemplo 2 Quando Gregor Mendel realizou seus famosos experimentos de hibridização com ervilhas um deles resultou em uma prole que consistia em 428 ervilhas com vagens verdes e 152 ervilhas com vagens amarelas De acordo com a teoria de Mendel 14 da prole de ervilhas deveria ter vagens amarelas Use o nível de significância de 005 com o método tradicional para testar se a afirmativa de que a proporção de ervilhas com vagens amarelas é igual a 14 Temos n 428 152 580 p 152580 0262 α 005 Definindo as hipóteses Afirmação p 14 Negando fica p 14 Logo H0 p 14 H1 p 14 Estatística de teste sob H0 z pp pqn 0262025 025075580 067 Testes de Hipóteses para Proporção Método Tradicional Região Crítica o teste é bilateral ver H1 e devemos determinar zα2 e zα2 da distribuição N0 1 que deixam 0025 de área à esquerda de zα2 e 0025 de área à direita de zα2 Sendo assim Rejeitase H0 se z zα2 196 ou se z zα2 196 Conclusão Como z 067 encontrase fora da região crítica não rejeitamos H0 e portanto p 14 a um nível de significância de 005 ou ainda a proporção de ervilhas com vagens amarelas é igual a 14 a um nível de significância de 005 Testes de Hipóteses para Proporção Embora o exercício pedisse apenas o método tradicional vamos fazer o método do pvalor também para exercitar Método do pvalor Cálculo do pvalor Como o teste é bilateral e a estatística de teste é uma valor positivo ou seja à direita do centro da distribuição o pvalor é a 2 a área à direita da estatística de teste z 067 na distribuição N0 1 De acordo com a tabela da N0 1 p 2PZ 067 2PZ 067 202514 05028 Conclusão Como p 05028 005 α não rejeitamos H0 a um nível de significância de 005 Testes de Hipóteses para a Média com σ conhecido Teste de Hipótese para a Média com σ conhecido Requisitos a amostra é aleatória σ é conhecido e n 30 ou a população é normalmente distribuída Definir hipóteses Calcular estatística de teste sob H0 z x μ σ n Determinar o valor crítico associado ao nível de significância α e construir a região crítica usando a tabela da N0 1 ou alternativamente calcular o valor p usando a tabela da N0 1 Conclusão Rejeitar ou não H0 Testes de Hipóteses para a Média com σ conhecido Exemplo 1 Uma amostra aleatória de 106 temperaturas do corpo humano fornece média de 982F Suponha que σ 062F Considere um teste de hipótese que use o nível de significância de 005 para o teste da afirmativa de que a temperatura média do corpo humano é menor do que 986F Requisitos OK pois a amostra é aleatória σ é conhecido e n 30 Definindo as hipóteses Afirmação μ 986 Negando fica μ 986 Logo H0 μ 986 H1 μ 986 Estatística de teste sob H0 z x μ σn 982 986 062106 04 06002 664 Testes de Hipóteses para a Média com σ conhecido Método Tradicional Região Crítica o teste é unilateral à esquerda ver H1 e devemos determinar zα da distribuição N0 1 que deixa 005 de área à sua esquerda Sendo assim a região crítica é qualquer valor de estatística de teste menor que 1645 ou seja rejeitamos H0 para z 1645 Conclusão Como z 664 1645 zα rejeitamos H0 e portanto μ 986F a um nível de significância de 005 ou ainda a temperatura média do corpo humano é menor do que 986F a um nível de significância de 5 Testes de Hipóteses para a Média com σ conhecido Método do pvalor Cálculo do pvalor Como o teste é unilateral à esquerda o pvalor é a probabilidade área à esquerda da estatística de teste z 664 na distribuição N0 1 De acordo com a tabela da N0 1 p PZ 664 00001 Conclusão Como p 00001 005 α rejeitamos H0 e portanto μ 986F a um nível de significância de 005 Teste de Hipótese para a Média com σ desconhecido Requisitos a amostra é aleatória σ é desconhecido e n 30 ou a população é normalmente distribuída Definir hipóteses Calcular estatística de teste sob H0 t x μ s n Determinar o valor crítico associado ao nível de significância α e construir a região crítica usando a tabela da tn1 ou alternativamente calcular o valor p usando a tabela da tn1 Conclusão Rejeitar ou não H0 Exemplo 1 Considere uma amostra com os pesos de 13 balas MM vermelhas selecionadas aleatoriamente de uma embalagem de 465 balas MM Esses pesos são normalmente distribuídos e têm x 08635g e s 00576g Na embalagem afirmase que o conteúdo é de 3969g de modo que as balas devem ter um peso médio de no mínimo 3969g465 08535g para corresponder ao peso afirmado Use os dados amostrais e o nível de significância de 005 para testar a afirmativa do gerente de produção de que as balas MM têm na verdade peso médio maior que 08535g Requisitos OK pois a amostra é aleatória σ é desconhecido e a população é normalmente distribuída Definindo as hipóteses Afirmação μ 08535 Negando fica μ 08535 Logo H0 μ 08535 H1 μ 08535 Estatística de teste sob H0 t x μ s n 08635 08535 00576 13 001 0016 0626 Testes de Hipóteses para a Média com σ desconhecido Método Tradicional Região Crítica o teste é unilateral à direita ver H1 e devemos determinar tα da distribuição tn1 t12 t com n1 131 12 graus de liberdade que deixa 005 de área à sua direita Cuidado Tabela da t para teste unilateral lembrar de olhar α como Área em Uma Cauda Sendo assim a região crítica é qualquer valor de estatística de teste maior que 1782 ou seja rejeitamos H0 para t 1782 Conclusão Como t 0626 1782 tα não rejeitamos H0 e portanto a um nível de significância de 005 não podemos garantir que µ 08535g como o gerente de produção afirmou Testes de Hipóteses para a Média com σ desconhecido Método do pvalor Calculo do pvalor Como o teste é unilateral à direita o pvalor é a probabilidade área à direita da estatística de teste t 0626 na distribuição t12 Observe que não temos o valor t 0626 na tabela mas sabemos que ele deixa área maior que 010 à sua direita Conclusão Como p 005 α não rejeitamos H0 a um nível de significância de 005 Testes de Hipóteses para a Média com σ desconhecido Outro exemplo para determinar pvalor com a distribuição t Suponha que temos a seguinte estatística de teste t 2777 Além disso considere a população normalmente distribuída σ desconhecido o tamanho da amostra aleatória é n 20 e o nível de significância de α 005 Determine o pvalor para o teste das seguintes hipóteses H0 µ 5 H1 µ 5 Calculo do pvalor Como o teste é bilateral e a estatística de teste está à direita do centro é positiva o pvalor é 2 a probabilidade área à direita da estatística de teste t 2777 na distribuição t19 Testes de Hipóteses para a Média com σ desconhecido Note que neste caso devemos usar a tabela da t na linha t19 considerando a Área em Uma Cauda005 Exemplo 2 Pacientes com síndrome da fadiga crônica foram testados e então retestados após serem tratados com fludrocortisona Uma escala 7 a 7 foi usada para medir a fadiga antes e depois do tratamento As mudanças numa amostra aleatória apresentaram barx 400 s 217 e n 21 As mudanças foram computadas no sentido de que valores positivos representam melhorias Suponha população normalmente distribuída e use um nível de significância de 001 para testar a afirmação de que a mudança média foi positiva Requisitos OK pois a amostra é aleatória σ é desconhecido e a população é normalmente distribuída Hipóteses H0 μ 0 H1 μ 0 Estatística de teste sob H0 t fracbarx μfracssqrtn frac4 0frac217sqrt21 approx 845 Região Crítica Sendo assim rejeitamos H0 para t 2528 Conclusão Como t 845 2528 talpha rejeitamos H0 e portanto a um nível de significância de 001 μ 0 ie a fludrocortisana apresentou efeito positivo na diminuição da fadiga