Exercícios Resolvidos Processo de Poisson - Estatística e Probabilidade

Questão 4 O número de emails que chegam a um servidor no intervalo de tempo 0 t dado em minutos é para cada t 0 uma variável aleatória Nt com distribuição de Poisson com parâmetro λt Somente um computador é conectado ao servidor para ler os emails recebidos Dado que três emails chegaram no primeiro minuto qual é a probabilidade de que exatamente dois tenham chegado nos primeiros 15 segundos b Se o tempo de vida T desse computador tem distribuição exponencial de parâmetro θ Além disso Nt e T são independentes para todo t Obtenha a distribuição do número de emails lidos até o computador falhar Questão 5 Eventos ocorrem de acordo com um processo de Poisson não homogêneo cuja função média é dada por mt t² 2t t 0 Qual a probabilidade de n eventos ocorrerem entre os tempos t 4 e t 5 Questão 6 Uma companhia de seguro afirma que para certo tipo de acidente o número de acidentes para cada período de 24 horas aumenta de meia noite para meio dia e diminui de meio dia para meia noite Suponha que o número de acidentes desse tipo possa ser modelado por um processo de Poisson não homogêneo onde a intensidade no tempo t é dada por λt 16 12 t² 1152 Calcule o número esperado de acidentes por dia Calcule a probabilidade de que aconteça exatamente 1 acidente entre 6 horas da manhã e seis horas da tarde Questão 7 A emissão de partículas por uma fonte radioativa é feita segundo um processo de Poisson Sabendo que a probabilidade de não ser emitida qualquer partícula num intervalo de tempo de amplitude unitária é 13 calcule a A probabilidade de que a fonte emita pelo menos 2 partículas num intervalo de tempo de amplitude unitária b A probabilidade de decorrerem pelo menos 3 unidades de tempo entre duas emissões consecutivas de partículas c Suponha que cada partícula emitida é registada com probabilidade 07 independentemente umas das outras Determine a probabilidade de serem registadas exatamente 2 partículas no intervalo de tempo 2 4 Questão 8 O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vídeo game é uma variável aleatória exponencial de parâmetro λ O menino decide que após terminar a disputa de cada fase irá lançar um dado honesto e caso saia face cinco irá parar de jogar e iniciar as tarefas da escola imediatamente Caso saia face diferente de cinco iniciará uma nova fase Considere desprezível o tempo gasto com os lançamentos do dado Seja X o tempo até que o menino inicie as tarefas escolares a Obtenha a distribuição de X b Obtenha o tempo médio até que o menino inicie as tarefas escolares c Responda os ítens a e b considerando que λ 03 quando o tempo é medido em minutos e que o menino gasta 1 minuto em cada lançamento do dado Questões 5 e 6 processo de Poisson não homogêneo Xts Xt Poissonmts mt onde mt é a função média dado por mt 0t λs ds λs λs é a função intensidade dia e diminui de meio dia para meia noite Suponha que o número de acidentes desse tipo possa ser modelado por um processo de Poisson não homogêneo onde a intensidade no tempo t é dada por λt 16 12 t² 1152 Calcule o número esperado de acidentes por dia Calcule a probabilidade de que aconteça exatamente 1 acidente entre 6 horas da manhã e seis horas da tarde Questão 7 A emissão de partículas por uma fonte radioativa é feita segundo um processo de Poisson Sabendo que a probabilidade de não ser emitida qualquer partícula num intervalo de tempo de amplitude unitária é 13 calcule a A probabilidade de que a fonte emita pelo menos 2 partículas num intervalo de tempo de amplitude unitária b A probabilidade de decorrerem pelo menos 3 unidades de tempo entre duas emissões consecutivas de partículas c Suponha que cada partícula emitida é registada com probabilidade 07 independentemente umas das outras Determine a probabilidade de serem registadas exatamente 2 partículas no intervalo de tempo 2 4 Questão 8 O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vídeo game é uma variável aleatória exponencial de parâmetro λ O menino decide que após terminar a disputa de cada fase irá lançar um dado honesto e caso saia face cinco irá parar de jogar e iniciar as tarefas da escola imediatamente Caso saia face diferente de cinco iniciará uma nova fase Considere desprezível o tempo gasto com os lançamentos do dado Seja X o tempo até que o menino inicie as tarefas escolares a Obtenha a distribuição de X b Obtenha o tempo médio até que o menino inicie as tarefas escolares c Responda os ítens a e b considerando que λ 03 quando o tempo é medido em minutos e que o menino gasta 1 minuto em cada lançamento do dado 1913 1713