Lista de Exercícios Resolvidos - Processos Estocásticos IME UFG

IMEUFG DISCIPLINA PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Questão 1 Considere uma urna contendo oito bolas verdes e duas bolas vermelhas Bolas são retiradas uma a uma da urna ao acaso e com reposição Sejam X1X2 as variáveis aleatórias definidas por Xi 1 se a iésima retirada resulta em bola verde 0 caso contrário Defina o processo estocástico de Bernoulli X Xn n1 e seu processo do número de sucessos associado Snn0 tal que Sn ni1 Xin1 a Obtenha ESn e VarSn b A lei dos grandes números pode ser aplicada para Sn Explique graficamente sua conclusão c Calcule PS100 84 Questão 2 Sejam X1X2Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que PXn 1 35 e PXn 1 25 Seja um passeio aleatório Snn0 com S0 0 e Sn ni1 Xi n 12 a Calcule PS20 4 b O que a Lei Forte e diz neste caso Questão 3 Seja Snn0 um processo estocástico Dizemos que Sn é um martingale se para todo n 1 ESn 2 ESn1S0S1Sn Sn Sejam S0 0 e Sn ni1 ξi n 12 onde ξi é uma seqüência de variáveis aleatórias iid com distribuição exponencial de média 1 Mostre que Yn 2n expSn n 12 define um martingale 1 Scanned with CamScanner Questão 4 Um minerador está preso em uma mina contendo 3 portas A primeira porta leva a um túnel que o levará a saída após 2 horas de viagem A segunda porta leva a um túnel que fará com que ele retorne à mina após 3 horas de viagem A terceira porta leva a um túnel que fará com que ele retorne à mina após 8 horas Considere que em todo o tempo o minerador não escolhe uma porta repetida e que das restantes ele escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade Seja T o tempo até o minerador sair livre Defina uma sequência de variáveis aleatórias X1X2X3 e um tempo N número de vezes que o minerador abre portas antes de escolher a porta para saída tal que T Ni1 Xi Obs Você pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo após ele alcançar a liberdade Calcule ET Questão 5 O número de emails que chegam a um servidor no intervalo de tempo 0t dado em minutos é para cada t 0 uma variável aleatória Nt com distribuição de Poisson com parâmetro λt Somente um computador é conectado ao servidor para ler os emails recebidos Se o tempo de vida T desse computador tem distribuição exponencial de parâmetro θ Além disso Nt e T são independentes para todo t Obtenha a distribuição do número de emails lidos até o computador falhar Scanned with CamScanner