Sumário de Processos Estocásticos e Exercícios Associados

Sumario 1 Introducao aos Processos Estocasticos 3 11 Exercıcios 3 2 Martingale 9 21 Exercıcios 9 3 Passeios Aleatorios 10 31 Exercıcios 10 4 Processos de Ramificacao 13 41 Exercıcios 13 5 Processos de Poisson 15 51 Exercıcios 15 6 Processos de Renovacao 26 61 Exercıcios 26 7 Cadeias de Markov a Tempo Discreto 29 71 Exercıcios 29 8 Cadeias de Markov a Tempo Contınuo 38 81 Exercıcios 38 9 Modelos de Provas 46 91 Provas 2011 46 911 Prova 1 46 912 Prova 2 49 913 Prova 2 Segunda Chamada 52 1 914 Prova 3 53 915 Prova Extra 56 92 Provas 2013 58 921 Prova 1 58 922 Prova 2 62 923 Prova 3 65 93 Provas 2014 68 931 Prova 1 68 932 Prova 2 71 933 Prova 3 75 94 Provas 2022 78 941 Prova 1 78 942 Prova 2 80 943 Prova 3 82 2 Capitulo 1 Estocasticos 11 Exercicios Exercicio 111 Pedese a Defina processo estocdstico b O que uma realizagao de um processo estocdstico Dé um exemplo c Como se classifica um processo estocdstico quanto ao tipo de seus estados Dé exemplos d Como se classifica um processo estocdstico quanto ao seu conjunto de indices T Dé exemplos e Defina distribuigao de primeira ordem f Defina distribuigdo de ordem n g O que processo estaciondrio h Defina processo estaciondrio no sentido amplo i Defina processo estaciondrio com incrementos independentes j Defina processo markoviano Exercicio 112 Sejam X1 X2 Xn varidveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 1 p e PX 11p Seja n Sn SXi n12 i1 3 e So 0 A colegao Sn 0 um processo aleatério chamado passeio aleatério simples unidi mensional a Descreva o passeio aleatério simples b Construa uma realizagao deste processo c Calcule a média e a varidncia de S Qual é 0 valor maximo para a varidncia de Sy d Para S calcule a fungado autocorrelagdao e Mostre que S uma cadeia de Markov Exercicio 113 Seja Sn 0 um passeio aleatério simples Defina um processo aleatério St tal que StSpn ntnl a Descreva St b Construa uma realizagao de St c Qual a média e a varidncia de St Exercicio 114 Numa partida do Goids pela Copa do Brasil torcedores esmeraldinos chegam ao Serra Dourada em instantes aleatorios pontuais Seja Xp o tempo em segundos até a chegada do nésimo esmeraldino Podemos escrever n X SOT n12 i1 e Xo 0 onde T o tempo entre a chegada do n 1ésimo torcedor e do nésimo torcedor a Descreva o processo aleatério Xn Xnn 1 b Construa uma realizagao ttpica do processo c Suponha que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos wma varidvel aleatoria exponencial de pardmetro X Neste caso obtenha a médiaa varidncia e a distribuicao de primeira ordem de Xn Exercicio 115 Considere um processo estocdstico a tempo discreto Xn Xnn 1 onde as X sdo varidveis aleatérias independentes e identicamente distributdas com média p e varidncia o a Calcule aa distribuigao de ordem n de Xn b Encontre a média e a varidncia de Xp c Encontre a fungao autcorrelagao de Xp d Encontre a fungao autocovariancia de Xn 4 Exercicio 116 Mostre que um processo estocdstico que é estaciondrio de ordem n também esta ciondrio de todas as ordens menores que n Exercicio 117 Seja Xnn 0 uma sequéncia aleatéria de vaiid com média 0 e varidncia 1 Mostre que Xyn 0 é um processo estaciondrio no sentido amplo Exercicio 118 Seja Xn 0 um processo estocdstico com incrementos estaciondrios indepen dentes e assuma que S0 0 Mostre que EXt pat onde py EX1 Exercicio 119 Sejam X1 X2 Xn varidveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 2 pePX 11p Seja n Sn SX n 12 i1 e So 0 a Descreva o processo aleatério Sn 012 b Construa uma realizagao deste processo c Dé a distribuigao de primeira ordem desse processo d Calcule a média e a varidncia de S Qual 0 valor mdézimo para a varidncia de Sy Exercicio 1110 Considere um processo aleatério Xt definido por Xt Y coswt 0 onde X e Y sdo varidveis aleatérias independentes tais que Y Uniforme A A e 0 Uniforme 1 7 a Descreva este processo aleatério b Calcule a média pX t e a varidncia VarX t c Encontre a funado autocorrelagdo Rx t s d Encontre a fungao autocovariancia K x t s 5 Exercıcio 1111 Considere uma sucessao infinita de provas de Bernoulli Seja Xt o numero de provas ate obter um sucesso pela tesima vez t 1 2 a Defina o exposto como um processo estocastico indicando o espaco dos parˆametros e dos estados b Determine para cada t a funcao de probabilidade de Xt c Represente graficamente uma trajetoria d Determine a lei conjunta de X2 X3 X4 e Calcule PX4 xX3 x3 X2 x2 e PX4 xX3 x3 Comente o resultado f Determine a lei da variavel aelatoria tempo ou numero de provas entre dois sucessos de Ber noulli g Determine a lei da variavel aelatoria numero de provas necessarias ate a ocorrˆencia de dois su cessos consecutivos de Bernoulli Exercıcio 1112 O numero de clientes Y que chegam a um caixa eletrˆonico tem distribuicao de Poisson com parˆametro X sendo X a intensidade com que os clientes chegam ao caixa eletrˆonico Su pondo que X tem distribuicao Gamaα 1 encontre a funcao de probabilidade da variavel aleatoria Y Exercıcio 1113 O numero de emails que chegam a um servidor no intervalo de tempo 0 t e para cada t 0 uma variavel aleatoria Nt com distribuicao de Poisson com parˆametro λt Somente um computador e conectado ao servidor para ler os emails recebidos O tempo de vida T desse com putador tem distribuicao exponencial de parˆametro θ Alem disso Nt e T sao independentes para todo t Obtenha a distribuicao do numero de emails lidos ate o computador falhar Exercıcio 1114 Sejam X e Y variaveis aleatorias binomiais independentes com parˆametros n e p idˆenticos calcule o valor esperado condicional de X dado que X Y n Exercıcio 1115 Uma partıcula se movimenta ao longo do conjunto dos inteiros da seguinte ma neira Se ela esta na posicao i entao se movimenta para a posicao i 1 com probabilidade 1 3 e para a posicao i 1 com probabilidade 2 3 Iniciando na posicao 0 seja p a probabilidade dela em algum momento atingir a posicao 1 Calcule p Exercıcio 1116 Considere uma urna contendo oito bolas verdes e duas bolas vermelhas Bolas sao retiradas uma a uma da urna ao acaso e com reposicao Sejam X1 X2 as variaveis aleatorias 6 definidas por x 1 se a iésima retirada resulta em bola verde 0 caso contrdario Defina o processo estocdstico de Bernoulli X Xyn1 seu processo do ntimero de sucessos asso ciado Si no tal que Sy Sv Xin 1 a Obtenha ES e VarS b A let dos grandes ntimeros pode ser aplicada para S Explique graficamente sua concluséo c Calcule PSio0 84 Exercicio 1117 Sejam X X2Xn varidveis aleatérias independentes e identicamente dis tributdas tais que PX 1 e PX 1 Seja um passeio aleatério Sn 0 com So 0 e n SnS 2X n12 i1 a Calcule PS29 4 b O que a Lei Forte e diz neste caso Exercicio 1118 Seja Sn n0 um processo estocdstico Dizemos que S um martingale se para todo n 1 ES 00 2 BSn41S0 1 Sn Sn Sejam So 0e Sn 0G n12 i1 onde uma sequéncia de varidveis aleatérias tid com distribuigdo exponencial de média 1 Mostre que Y 2 exp Sn 12 define um martingale Exercicio 1119 Um minerador esté preso em uma mina contendo 3 portas A primeira porta leva a um tunel que o levardé a saida apés 2 horas de viagem A segunda porta leva a um ttnel que fard com que ele retorne a mina apés 3 horas de viagem A terceira porta leva a um tiinel que fard com que ele retorne ad mina apés horas Considere que em todo o tempo o minerador nao escolhe uma 7 porta repetida e que das restantes ele escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade Seja T o tempo até o minerador sair livre Defina uma sequéncia de varidveis aleatorias X1X2X3 e um tempo N ntimero de vezes que o minerador abre portas antes de escolher a porta para satda tal que N TSX i1 Obs Vocé pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apos ele alcangar a liberdade Calcule ET Exercicio 1120 O nitimero de emails que chegam a um servidor no intervalo de tempo 0 t dado em minutos é para cadat 0 uma varidvel aleatoria Nz com distribuigao de Poisson com parametro At Somente um computador é conectado ao servidor para ler os emails recebidos Se o tempo de vida T desse computador tem distribuicao exponencial de parémetro 6 Além disso N eT sao independentes para todo t Obtenha a distribuigao do numero de emails lidos até o computador falhar 8 Capitulo 2 Martingal 21 Exercicios Exercicio 211 a Defina Martingale b Verifique se o passeio aleatério simples simétrico é um martingale c Defina submartingale Dé um exemplo d Defina supermartingale Dé um exemplo Exercicio 212 Seja UU2 uma sequéncia de varidveis aleatérias iid com distribuigado Uni forme01 Seja Xp 1 e n X 2 Unn12 i1 Mostre que Xn um martingale Exercicio 213 Sejam So 0 e n Sn So n 12 i1 onde uma sequéncia de varidveis aleatérias tid com distribuigdo exponencial de média 1 Mostre que Xy 2 exp Sn 12 define um martingale 9 Capitulo 3 e 2 e Passeios Aleatorios 31 Exercicios Exercicio 311 Considere um passeio aleatorio simples com p z a Calcule PSi5 5 b Usando o principio da reflexado calcule PTo5 25 Exercicio 312 Considere um passeio aleatério simples Sn 0 com Spo 0 e para todo n 12 S wx de PX 1 6 PX 1 4 n i Onae iFt7 i17 10 10 a Calcule PS25 5 Valor 07 b Usando o principio da reflexado calcule PTo5 25 Exercicio 313 Sejam X1 X2 Xn varidveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 1 p e PX 11p Seja Sn SXi n12 i1 e So 0 A colegao Sn 0 um processo aleatério chamado passeio aleatério simples a Mostre que este processo uma Cadeia de Markov b Considere um passeio aleatério simples onde p e So 0 Seja N o tempo até o passeio alcancar a posigao 100 Calcule o valor esperado de N 10 Exercicio 314 Sejam X1 X2 Xn varidveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas tais que 3 2 PX 4 e PX l 5 5 Seja um passeio aleatério Snn 0 onde n Sn SX n 12 i1 e So 0 Calcule PS 13 27 Exercicio 315 Considere um passeio aleatorio simples com barreiras onde o espaco de estados é E 12345 e as probabilidades de transigao 3 2 2 3 Piitt pl Sis4 Pig1 Fe 2S0S5 Pil 5 P55 5 Calcule a distribuigao invariante Dé uma interpretagao intuttiva Exercicio 316 Sejam X1 Xo Xn varidveis aleatorias independentes e identicamente distribuidas tais que 3 2 PX 12 e PX l 5 5 Seja n Sn SXi n12 i1 e So 0 Sn 0 um passeio aleatério simples assimétrico Seja N o tempo até o passeio alcangar a posigao 10 a Mostre que N é tempo de parada b Usando a equgao de Wald calcule o valor esperado de N Exercicio 317 Considere um passeio aleatério simples com barreiras onde E 01234 e probabilidades de transicao 4 Piss 579 is3 1 Pii1plsic4 5 1 Po00 5 4 P44 5 Obtenha a distribuigao invariante 11 Exercıcio 318 Considere um jogador que a cada rodada de um jogo ganha um real com probabilidade 2 5 e perde um real com probabilidade 3 5 Assuma que as rodadas do jogo sao independentes e que o jogador pare de jogar se seu capital soma do capital incial com o capital ganho no jogo atingir 20 reais Se o capital inicial do jogador e de 12 reais calcule a probabilidade dele atingir 20 reais antes de perder todo o dinheiro 12 Capıtulo 4 Processos de Ramificacao 41 Exercıcios Exercıcio 411 a Defina processo de ramificacao Cite suas principais propriedades b Dˆe exemplo de uma realizacao de um processo de ramificacao Exercıcio 412 Considere um processo de ramificacao com X0 10 Calcule EXn quando Yi Hipergeometrica 1084 Exercıcio 413 Considere um processo de ramificacao com X0 1 e Yi Binomialn p Calcule a EXn b EX20 quando n 5 e p 1 4 c EX20 quando n 5 e p 1 5 d EX20 quando n 5 e p 1 3 e Encontre a probabilidade de extincao desse processo Exercıcio 414 Considere um processo de ramificacao com X0 1 e Yi Poisson λ a Calcule a probabilidade de extincao desse processo b Calcule EX10 quando λ 10 c Calcule EX10 quando λ 1 d Calcule EX10 quando λ 0 1 Exercıcio 415 Considere um processo de ramificacao com X0 1 e PYi d p 1PYi 0 13 a Sob quais condicoes π 1 b Calcule a probabilidade de extincao desse processo quando d 2 Exercıcio 416 Processo de Ramificacao nao homogˆeneo Considere um processo de ramificacao com X0 1 e PYn 0 1 n 1 PYn 1 Calcule a probabilidade de extincao desse processo Exercıcio 417 Processo de Ramificacao nao homogˆeneo Considere um processo de ramificacao com X0 1 e PYn 0 1 n2 1 PYn 1 Calcule a probabilidade de extincao desse processo Exercıcio 418 Considere um processo de ramificacao com X0 1 e Yi Poisson λ a Calcule a probabilidade de extincao desse processo b Calcule EX10 quando λ 10 c Calcule EX10 quando λ 1 d Calcule EX10 quando λ 0 1 Exercıcio 419 Considere um processo de ramificacao onde X0 1 e cada indivıduo tem um numero de filhos com distribuicao Binomial 3 3 5 Calcule a probabilidade de extincao desse processo Exercıcio 4110 Considere um processo de ramificacao nao homogˆeneo onde X0 1 e PYn1 0 1 n2 1 PYn1 1 para n 2 Aqui Yn e o numero de filhos de um indivıduo da nesima geracao Calcule a probabilidade de extincao desse processo 14 Capıtulo 5 Processos de Poisson 51 Exercıcios Exercıcio 511 Um sistema de mensagens gravadas recebe acessos de acordo com um processo de Poisson de taxa 15 acessos por minuto Encontre a probabilidade de em um intervalo de tempo de 1 minuto 3 acessos sejam feitos nos primeiros 10 segundos e 2 acessos sejam feitos nos ultimos 15 segundos Exercıcio 512 Carros passam por certo ponto de uma estrada de acordo com um processo de Poisson com intensidade λ 3 por minuto Se Junior atravessa esse ponto da estrada sem prestar atencao qual a probabilidade dele ser atropelado se o tempo que ele leva para cruzar a estrada e de s segundos Assuma que se ele esta na estrada quando um carro passa ele sera atropelado Repita o exercıcio para s 2 5 10 20 Exercıcio 513 Uma seguradora paga prˆemios de seguro de vida de acordo com um Processo de Poisson com taxa λ 5 por semana Se o total em dinheiro pago para cada apolice tem distribuicao exponencial com media R2000 qual a media e a variˆancia do total pago pela seguradora em um perıodo de quatro semanas Exercıcio 514 Dois pacientes de um hospital A e B ambos necessitam de transplantes de rim Se A nao receber um novo rim entao A morrera apos um tempo exponencialmente distribuıdo com media λA e B morrera apos um tempo exponencialmente distribuıdo com media λB Novos rins chegam ao hospital de acordo com um Processo de Poisson com taxa λ Foi decidido que o primeiro rim que 15 chegar sera destinado ao paciente A se ele ainda estiver vivo caso contrdrio ird para o paciente B Caso B ainda esteja precisando de um rim quando o segundo rim chegar ele sera destinado ao paciente B a Qual a probabilidade de A ser transplantado b Qual a probabilidade de B ser transplantado Exercicio 515 Numa partida do Goids pela Copa do Brasil torcedores esmeraldinos chegam ao Serra Dourada em instantes aleatorios pontuais Seja X 0 tempo em segundos até a chegada do nésimo esmeraldino Podemos escrever n Sn SOT n12 i1 e Xo 0 onde T o tempo em minutos entre a chegada do i 1ésimo torcedor e do iésimo torcedor Suponha que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos é uma varidvel aleatéria exponencial de pardmetro X 100 a Qual é a probabilidade de chegarem 200 torcedores esmeraldinos num intervalo de 2 minutos b Calcule a probabilidade de se demorar pelo menos 90 segundos até a chegada de 144 torcedores Exercicio 516 Clientes chegam em um banco de acordo com um Processo de Poisson com inten sidade X Suponha que trés clientes chegam durante a primeira hora Qual a probabilidade a Dos trés terem chegado durante os primeiros 20 min b De pelo menos um dos trés clientes tenha chegado durante os primeiros 20 min Exercicio 517 Clientes chegam a um restaurante de acordo com um processo de Poisson com in tensidade de 30 pessoas por hora Cada pessoa tem probabilidade z de comer sobremesa Seja Xt o numero de sobremesas consumidas até o tempo t horas Calcule a PXt 0 b EXt Exercicio 518 Carros passam em um ponto da estrada de acordo com um processo de Poisson com intensidade um por minuto Se 5 dos carros sao Fuscas a Qual a probabilidade de pelo menos um Fusca passar durante uma determinada hora b Dado que 10 Fuscas passaram durante uma hora qual o ntimero esperado de carros que passaram durante essa hora c Se 50 carros tiverem passado em uma hora qual a probabilidade de 5 deles serem Fuscas 16 Exercıcio 519 Pacotes de dados chegam a um roteador de acordo com um processo de Poisson a uma taxa de 30 pacotes por minuto Encontre a probabilidade de que em um intervalo de 2 minutos 5 pacotes cheguem ao roteador nos primeiros 30 segundos 8 pacotes cheguem nos 40 segundos seguintes e 6 pacotes cheguem nos ultimos 10 segundos Exercıcio 5110 Considere uma rodovia que tenha um fluxo medio de 30 carroskm Assuma que os carros estejam distribuıdos em distˆancia por um modelo de Poisson a Qual a probabilidade de que a qualquer instante de tempo existam 4 ou mais carros em uma ponte da rodovia de 150 m de comprimento b Qual o numero medio de carros na ponte Exercıcio 5111 Um registrador de trafego conta o numero de pacotes em um no de rede Seja N1t o contador do numero de pacotes vindos pelo caminho 1 no intervalo 0 t e N2t o contador do numero de pacotes vindos pelo caminho 2 no mesmo intervalo Os processos de Poisson N1t e N2t sao independentes com parˆametros λ1 e λ2 respectivamente Dado que n pacotes tenham che gado qual e a probabilidade que k pacotes tenham vindo pelo caminho 1 Exercıcio 5112 Suponha que a chegada de clientes em uma loja siga o modelo de Poisson com parˆametro λ Se a loja decide fechar as portas apos a chegada do nesimo cliente qual a fdp do intervalo de tempo T em que as portas permaneceram abertas Exercıcio 5113 O numero de frutos produzidos por uma arvore e uma variavel aleatoria X Al guns destes frutos em numero de Y sao atacados por uma larva o que os torna improprios para consumo Supondo que X possui distribuicao de Poisson de parˆametro λ e ainda que cada fruto e atacado pela larva com probabilidade p independentemente dos outros frutos determine a A funcao de probabilidade de Y condicional a X n com n natural b A funcao de probabilidade de Y c Conclua que o numero de frutos da arvore que sao atacados por larvas Y e independente do numero de frutos que nao sao atacados por larvas X Y e que estas variaveis aleatorias possuem distribuicoes de Poisson de parˆametros p e 1p respectivamente Exercıcio 5114 Solicitacoes chegam a um dispositivo de armazenamento de mensagens de acordo com um processo de Poisson de taxa 15 solicitacoes por minuto Encontre a probabilidade que em um perıodo de 1 minuto 3 solicitacoes cheguem durante os primeiros 10 segundos e 2 solicitacoes cheguem 17 durante os ultimos 15 segundos Exercıcio 5115 Impulsos ruidosos que ocorrem em uma transmissao de TV digital podem ser mo delados por um processo de Poisson com uma taxa 5 impulsos por hora a Encontre a probabilidade que ocorram no maximo 5 impulsos em uma transmissao de 24 minutos de duracao b Suponha que um pacote de dados transmitido seja codificado de modo que os erros causados por ate 3 impulsos possam ser corrigidos Qual a probabilidade de que uma transmissao de meia hora de duracao nao possa ser corrigida c Nesse sistema de transmissao se o numero de impulsos ruidosos registrado estiver entre 0 e 3 o codigo corretor consegue corrigir os erros Se o numero de impulsos estiver entre 3 e 6 o sistema de recepcao solicita reenvio dos dados e se a quantidade de impulsos estiver entre 6 e 10 o sistema sofre interrupcao Em uma transmissao de meia hora qual a probabilidade que haja interrupcao no fornecimento dos servicos Exercıcio 5116 Impulsos ruidosos ocorrem em uma transmissao de radio de acordo com um pro cesso de Poisson de taxa λ a Encontre a probabilidade que ocorram no maximo 5 impulsos em uma transmissao de uma men sagem de t segundos de duracao b Suponha que uma mensagem e codificada de modo que os erros causados por ate dois impulsos possam ser corrigidos Qual a probabilidade que uma mensagem de t segundos nao possa ser corrigida Exercıcio 5117 Clientes chegam a uma loja segundo um processo de Poisson Xt com taxa λ 20 por hora Encontre o numero esperado de vendas realizadas durante um dia de trabalho a loja fica aberta 8 horas por dia supondo que a probabilidade de um cliente comprar algo e 03 Exercıcio 5118 Clientes chegam em um banco de acordo com um processo de Poisson com taxa λ Suponha que dois clientes cheguem durante a primeira hora Qual e a probabilidade que a Ambos tenham chegado durante os primeiros 20 minutos b Pelo menos um tenha chegado durante os primeiros 20 minutos Exercıcio 5119 Automoveis passam em determinado ponto de uma estrada de acordo a um pro cesso de Poisson de taxa λ 1 automovel por minuto Considerando que a percentagem de Mercedes 18 que circulam nessa estrada e de 5 calcule a A probabilidade de passar pelo menos uma Mercedes no perıodo de uma hora b O numero esperado de automoveis que passaram no perıodo de uma hora sabendo que 10 deles eram Mercedes c A probabilidade de terem passado 5 Mercedes ao fim de uma hora sabendo que nesse perıodo pas saram 50 carros pelo referido ponto da estrada Exercıcio 5120 Considere que o trafego de veıculos automoveis numa avenida e governado por um processo de Poisson E sabido que para qualquer intervalo de 5 minutos de duracao 50 carros chegam em media Encontre a probabilidade de que para qualquer intervalo de 5 minutos 20 carros cheguem no primeiro minuto e 20 carros cheguem nos proximos 4 minutos Exercıcio 5121 Entre as 1400 e as 1700 horas em dias uteis passam por um pedagio 90 carros por hora em media Calcule as probabilidades dos seguintes eventos em qualquer dia util suponha que os carros passam segundo um processo de Poisson apassam 5 carros entre 1506 e 1508 bpassam 5 carros entre 1600 e 1602 cfaz sentido pensar que a probabilidade de que passem 5 carros entre 1600 e 1604 sera o dobro da probabilidade calculada em b e que a probabilidade de que passem 5 carros num intervalo qualquer de 40 minutos entre as 1400 e as 1700 horas em dias uteis sera igual a 20 vezes o resultado obtido em b Onde reside a linearidade neste tipo de problema dpassam ate 4 carros inclusive entre 1410 e 1415 epassam mais de 8 carros entre 1414 e 1418 fA probabilidade de que passem 5 carros entre 1610 e 1612 sera ou nao o mesmo numero calculado em a e b Argumente gQual e a esperanca e a variˆancia do numero de carros que passam entre 1506 e 1508 hQual e a esperanca e a variˆancia do numero de carros que passam entre 1600 e 1602 iQue podemos dizer a respeito da a esperanca e a variˆancia do numero de carros que passam entre 1006 e 1008 Exercıcio 5122 A chegada de clientes a uma revendedora de automoveis e modelada como um Processo de Poisson de taxa igual a 3 clientes por hora a Qual e a probabilidade de que cheguem 3 clientes entre 9 e 10 horas e 3 clientes entre 930 e 1030 b Dado que entre 9 e 10 horas chegaram 3 clientes qual e a probabilidade de que nao tenha chegado 19 nenhum cliente entre 9 e 930 c Dado que chegou apenas um cliente entre 9 e 10 horas qual e a probabilidade de que ele tenha chegado entre 9 e 930 Exercıcio 5123 Suponha que o numero de erros que ocorrem na transmissao de uma mensagem de texto e modelado por um processo de Poisson de taxa 012 por minuto a Determine a probabilidade de em dois minutos nao se registarem erros na transmissao de mensagem de texto b Qual e a probabilidade de que o tempo que decorre entre a ocorrˆencia de dois erros consecutivos na transmissao de uma mensagem de texto seja superior a 45 segundos Suponha que cada erro que ocorre numa mensagem pode ser detectado com probabilidade 03 inde pendentemente dos restantes Considerando 6 erros ocorridos num dado perıodo determine c A probabilidade de pelo menos metade desses erros virem a ser detectados d O numero esperado de erros detectados Exercıcio 5124 Mensagens chegam a um servidor de acordo com um processo de Poisson de taxa 36 por hora a Qual a probabilidade de que chegue pelo menos 1 mensagem no primeiro minuto a esse servidor b Determine a probabilidade de que a quarta mensagem chegue em mais de 3 minutos apos a chegada da terceira mensagem a esse servidor Considere 10 servidores daquele tipo que operam de forma independente c Determine a probabilidade de que em 3 destes servidores chegue pelo menos 1 mensagem no pri meiro minuto d Indique nas condicoes da alınea anterior o valor esperado do numero de servidores aos quais chegam pelo menos 1 mensagem no primeiro minuto Exercıcio 5125 A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar e uma variavel aleatoria com distribuicao exponencial de parˆametro λ Assim que o componente falha ele e imediatamente substituıdo por outro do mesmo tipo Se Xi representa o tempo de vida do iesimo componente utilizado entao Sn Σn i1Xi representa o instante da nesima falha A taxa de falhas r a longo prazo e definida por r lim n n Sn Suponha que as variaveis aleatorias Xi i 1 sejam independentes a Determine r 20 b A fim de estimar λ verificouse que num intervalo 90 dias foram utilizados 2160 componentes Neste caso qual seria uma estimativa para λ c Com base no item b construa um intervalo de confianca a 95 para o estimador ˆλ Interprete o intervalo obtido Exercıcio 5126 Suponha que num classico entre Goias e Vila Nova a partir do tempo t 0 torce dores do Goias chegam a bilheteria do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa λ torcedores por minuto De forma analoga torcedores do Vila Nova chegam a bilheteria do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa µ torcedores por minuto a Suponha λ 60 torcedores por minuto e µ 50 torcedores por minuto Neste caso qual e a probabilidade de se demorar no maximo 2 minutos ate a chegada do centesimo torcedor b Nas condicoes do item a qual e a probabilidade de chegarem 100 torcedores em 2 minutos c A partir do tempo t 0 qual e o tempo esperado ate que surja um torcedor do Goias ou do Vila Nova c A partir do tempo t 0 qual e a probabilidade do primeiro torcedor a chegar ser do Goias d Escreva uma expressao para a probabilidade de se demorar no maximo k segundos ate a chegada do nesimo torcedor do Goias e Dado que do instante t 40 segundos ate o instante t 45 segundos nao chegou nenhum torce dor do Vila Nova qual e a probabilidade do proximo torcedor do Vila Nova demorar mais do que 5 segundos para chegar Considere as condicoes do item a f Dado que do instante t 45 segundos acabou de chegar um torcedor do Vila Nova qual e a proba bilidade do proximo torcedor do Vila Nova demorar mais do que 5 segundos para chegar Considere as condicoes do item a Exercıcio 5127 Suponha que o numero de clientes que chegam num restaurante segue um processo de Poisson de taxa λ 100 clientes por hora O nesimo cliente gasta uma quantia Yn Suponha que Yn Uniforme 10100 Nesse caso qual e o valor medio total gasto pelos clientes num perıodo de 90 minutos Exercıcio 5128 O modelo classico do risco na atividade seguradora e um processo estocastico Ut u ct St onde Ut e o capital da seguradora no instante t reserva de risco e c e uma constante que representa o prˆemio por unidade de tempo de forma que ct sera o prˆemio que recebeu a seguradora ate o instante 21 t u a reserva inicial da seguradora e St representa o valor total das indenizagdes até o instante t Xt StSY n1 onde Ynn1 uma sequéncia de varidveis aleatérias nado negativas que representam os valores das indenizagées individuais que deve pagar a seguradora ante a ocorréncia de sinistros e Xiis0 um processo de Poisson homogéneo das ocorréncias das indenizagoes até o instante t Suponha um caso particular onde Y Exponencialue X um processo Poisson de tara X Nesse caso calcule EU t Exercicio 5129 Considere que o trafego numa rodovia é conhecido O niimero de vetculos pas sando num sentido segue o processo de Poisson com taxa de 60 vetculos por hora sendo que 20 desses vetculos sao caminhoes O ntimero de veiculos passando no sentido contrario segue o processo de Poisson com taxa de 80 veiculos por hora sendo que 30 desses veiculos séo caminhoes Em geral 10 de todos os veiculos param num restaurante que fica ao lado da rodovia Assuma que 0 ntimero de pessoas num caminhao é 1 e o ntimero de pessoas num carro varia de 1 até 5 com as seguintes probabilidades 3 3 3 6 in Encontre o valor esperado do ntimero de pessoas que chegam no restaurante num periodo de 1 hora Exercicio 5130 Um shopping tem trés andares As chegadas a cada um deles formam um processo de Poisson com taras 4 110 42 90 43 160 clientes por hora 30 dos clientes séo homens A probabilidade de um cliente homem comprar alguma coisa 0 8 e a probabilidade de uma cliente mulher comprar é 0 1 As mercadorias custam em média 450 reais a Qual seraé a média do total de vendas num dia com expediente de 10 horas b Qual é a probabilidade de que a terceira cliente mulher que comprou alguma coisa chegue durante os primeiros 15 minutos Qual é o valor esperado do momento da sua chegada Exercicio 5131 Clientes chegam em determinada loja de acordo com um processo de Poisson com taza X 2 por hora Dado que dois clientes chegaram durante a primeira hora determine a probabi lidade de que a Ambos tenham chegado nos primeiros 30 minutos b Pelo menos um deles tenha chegado nos primeiros 20 minutos Exercicio 5132 A cada cinco clientes que chegam numa loja um ganha um presente isto é 0s clientes ntimero 5 10 15 etc ganham presentes Se as chegadas dos clientes formam um processo 22 de Poisson com taxa λ a Calcule a funcao de densidade dos tempos entre chegadas consecutivas de clientes que ganham pre sentes b Calcule PMt k para o numero de presentes Mt que foram dados pela loja ate o instante t Exercıcio 5133 Uma loja possui duas entradas uma pela rua A e outra pela rua B Os fluxos de consumidores que chegam na loja a partir dessas duas entradas sao processos de Poisson independentes com taxas de 1 2 consumidor por minuto e de 3 2 consumidores por minuto respectivamente a Qual e a probabilidade que um novo consumidor entre na loja durante um intervalo fixado de 3 minutos b Qual e o tempo medio entre chegadas de novos consumidores c Qual e a probabilidade que um dado consumidor entre pela rua A Exercıcio 5134 O fluxo de consumidores numa loja e descrito por um processo de Poisson com taxa de 25 consumidores por hora Sabese que a proporcao de consumidores do sexo feminino e de 80 Qual e a probabilidade que nenhum consumidor homem entre nessa loja durante um intervalo de 15 minutos Exercıcio 5135 As chegadas de clientes numa loja formam um processo de Poisson com taxa λ 20 por hora Calcule a quantidade esperada de vendas feitas durante o expediente de oito horas durante um dia de trabalho se a probabilidade de um cliente comprar alguma coisa e 03 Exercıcio 5136 Calcule a autocovariˆancia e a autocorrelacao para um processo de Poisson Xtt0 de taxa λ Exercıcio 5137 Um conjunto de n fontes radioativas emitem partıculas de forma independente A iesima fonte emite partıculas segundo um processo Poisson de taxa λi partıculas por minuto i 1 2 n a A partir do tempo t 0 qual e o tempo esperado ate que alguma fonte emita uma partıcula Qual seria este valor se n 10 e λi i partıculas por minuto b A partir do tempo t 0 qual e a probabilidade que apos um minuto todas as fontes tenham emitido pelo menos uma partıcula Qual seria esse valor se n 10 e λi i partıculas por minuto c A partir do tempo t 0 qual e a probabilidade de se demorar pelo menos dez minutos ate que 500 partıculas tenham sido emitidas Qual seria este valor se n 10 e λi i partıculas por minuto 23 Exercıcio 5138 Uma massa radioativa emite partıculas segundo um processo de Poisson a uma taxa media de 10 partıculas por segundo Um contador e colocado ao lado da massa Suponha que cada partıcula atinja o contador com probabilidade 1 10 que o contador registra todas as partıculas que o atingem e que nao ha interacao entre as partıculas elas se movimentam independentemente a Calcule em detalhes a distribuicao do tempo ate o registro da primeira partıcula b Calcule a probabilidade de serem necessarios pelo menos 2 minutos para o registro de 125 partıculas Exercıcio 5139 Eventos ocorrem de acordo com um processo de Poisson nao homogˆeneo cuja funcao media e dada por mt t2 2t t 0 Qual a probabilidade de n eventos ocorrerem entre os tempos t 4 e t 5 Exercıcio 5140 Uma companhia de seguro afirma que para certo tipo de acidente o numero de acidentes para cada perıodo de 24 horas aumenta de meia noite para meio dia e diminui de meio dia para meia noite Suponha que o numero de acidentes desse tipo possa ser modelado por um processo de Poisson nao homogˆeneo onde a intensidade no tempo t e dada por λt 1 6 12 t2 1152 a Calcule o numero esperado de acidentes por dia b Calcule a probabilidade de que aconteca exatamente 1 acidente entre 6 horas da manha e seis horas da tarde Exercıcio 5141 Uma loja abre as 8h Clientes chegam de acordo com um processo de Poisson naohomogˆeneo De 8h as 10h clientes chegam com uma taxa de 4 por hora Entre 10h e 12h eles chegam a uma razao de 8 por hora De 12h as 14h a taxa de chegada aumenta uniformemente de 8 por hora as 12h a 10 por hora as 14h das 14h as 17h a taxa de chegada cai uniformemente de 10 por hora a 4 por hora As 5h a loja fecha a Determine a distribuicao de probabilidade do numero de clientes que entram na loja em um dado dia b Se um cliente chegou antes das 10h qual a distribuicao do seu tempo de chegada c Se um cliente chegou antes das 13h qual a probabilidade dele ter chegado depois das 10h d Qual a probabilidade de exatamente 10 clientes chegarem entre as 9h e as 13h 24 Exercıcio 5142 Clientes chegam em determinada loja de acordo com um processo de Poisson com taxa λ 2 por hora Dado que dois clientes chegaram durante a primeira hora determine a probabi lidade de que a Ambos tenham chegado nos primeiros 30 minutos b Pelo menos um deles tenha chegado nos primeiros 20 minutos 25 Capitulo 6 Processos de Renovacao 61 Exercicios Exercicio 611 Numa partida do Goids pela Copa do Brasil torcedores esmeraldinos chegam ao Serra Dourada em instantes aleatérios pontuais Seja Sp o tempo em segundos até a chegada do nésimo esmeraldino Podemos escrever n SS0T n12 i1 e So 0 onde T 0 tempo em segundos entre a chegada do i 1ésimo torcedor e do iésimo torcedor Suponha que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos é uma varidvel aleatéria Uniforme 01 quando o tempo é medido em segundos Admita independéncia entre os tempos de chegada a Qual d a probabilidade de chegarem no méximo 250 torcedores esmeraldinos num intervalo de 2 minutos b Suponha que a chance de chegar um torcedor esmeraldino com no mdximo 60 anos de idade é de 90 Qual 0 tempo esperado até a chegada do primeiro torcedor esmeraldino coma mais de 60 anos de idade Exercicio 612 A quantidade de tempo em horas que certo tipo de componente funciona antes de falhar uma varidvel aleatéria com densidade j 5 O 2 0 caso contrario Assim que o componente falha ele imediatamente substitutdo por outro do mesmo tipo Se X repre senta o tempo de vida do iésimo componente utilizado entao S UPX representa o instante da 26 nesima falha e Xt sup n Sn t o numero de falhas ate o instante tSuponha que as variaveis aleatorias Xi i 1 sejam independentes a Obtenha limt Xt t Interprete o resultado obtido b Obtenha limt mt t Interprete o resultado obtido c Calcule a probabilidade de ocorrerem mais de 56 falhas num intervalo de tempo de 3 dias Exercıcio 613 Um dado honesto e lancado ate que saia face cinco pela decima vez Apos cada lancamento anotase a pontuacao obtida na jogada isto e o valor da face obtida Seja X a pontuacao acumulada ate o ultimo lancamento Calcule EX Exercıcio 614 Suponha que o numero de pessoas que entram em uma loja de departamentos em determinado dia seja uma variavel aleatoria com media 50 Suponha ainda que as quantias de di nheiro gastas por esses clientes sejam variaveis aleatorias independentes com media comum de R 8000 Finalmente suponha tambem que a quantia gasta por um cliente seja independente do numero total de clientes que entram na loja Qual e a quantidade esperada de dinheiro gasto na loja em um dia Exercıcio 615 O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vıdeo game e uma variavel aleatoria exponencial de parˆametro λ O menino decide que apos terminar a disputa de cada fase ira lancar um dado honesto e caso saia face cinco ira parar de jogar e iniciar as tarefas da escola imediatamente Caso saia face diferente de cinco iniciara uma nova fase Considere desprezıvel o tempo gasto com os lancamentos do dado Seja X o tempo ate que o menino inicie as tarefas escolares a Qual a distribuicao de X b Qual o tempo medio ate que o menino inicie as tarefas escolares c Responda o ıtem b considerando que λ 0 3 quando o tempo e medido em minutos e que o menino gasta 1 minuto em cada lancamento do dado Exercıcio 616 A quantidade de tempo em horas que certo tipo de componente funciona antes de falhar e uma variavel aleatoria com densidade fx xex x 0 0 caso contrario Assim que o componente falha ele e imediatamente substituıdo por outro do mesmo tipo Se Xi representa o tempo de vida do iesimo componente utilizado entao Sn Σn i1Xi representa o instante 27 da nésima falha e X sup n S t o ntimero de falhas até o instante t Suponha que as varidveis aleatérias X i 1 sejam independentes Obtenha Xt lim X interprete o resultado obtido t3oco t Exercicio 617 Mostre que c ae nlkn onde c é uma constante positiva 28 Capıtulo 7 Cadeias de Markov a Tempo Discreto 71 Exercıcios Exercıcio 711 Responda a O que e uma cadeia de Markov Dˆe um exemplo b O que uma cadeia de Markov homogˆenea Dˆe um exemplo de uma cadeia de Markov homogˆenea e um exemplo de uma cadeia de Markov nao homogˆenea c O que e uma matriz de transicao Dˆe um exemplo d Como se representa a topologia de uma cadeia de Markov em grafosDˆe um exemplo e O que e o vetor de distribuicao de probabilidades inicialDˆe um exemplo f O que e uma distribuicao invariante Dˆe um exemplo g O que e uma distribuicao assintotica Dˆe um exemplo h Quando a cadeia de Markov convergir em um numero grande de passos o que pode se dizer sobre a distribuicao assintotica e invariante Dˆe um exemplo Exercıcio 712 Quatro em cada cinco caminhoes em uma estrada sao seguidos por um carro en quanto um em cada seis carros e seguido por um caminhao A longo prazo qual proporcao de veıculos na estrada e de caminhoes Admita que todos os veıculos nesta estrada sejam ou carro ou caminhao Exercıcio 713 Suponha que temos duas caixas e 2d bolas onde d sao verdes e d sao vermelhas Inicialmente d bolas sao colocadas na caixa 1 e o restante e colocado na caixa 2 A cada minuto uma bola e aleatoriamente retirada de cada caixa e as duas bolas sao trocadas de caixa Seja X0 o numero 29 de bolas verdes que inicialmente estao na caixa 1 e Xn o numero de bolas verdes no nesimo minuto Encontre a matriz de transicao da Cadeia de Markov Xnn0 Exercıcio 714 Um pai que esta ensinando ao seu filho de cinco anos a ler observou que se que o menino faz um erro numa palavra ele fara um erro na seguinte no texto tambem em 25 dos casos e se ele ler uma palavra bem a proxima e lida corretamente em 90 das vezes Se a crianca ler um texto de 100 palavras dˆe uma aproximacao para o numero delas que ele lera corretamente Exercıcio 715 Consideremos a historia de varias geracoes de uma famılia que ao longo do tempo tem somente um filho Neste modelo simples a observacao da classe social alta media ou baixa da famılia para cada geracao permitiria descrever sua evolucao social ao longo do tempo Se tivermos uma sociedade composta por famılias deste tipo podemos escolher ao acaso uma famılia e para cada geracao n chamar de Xn a uma quantidade que valera 1 se a famılia for de classe alta 2 se ela for de classe media e 3 se for de classe baixa Desta forma cada Xn sera uma variavel aleatoria e a sua evolucao ao longo do tempo permitira tirar conclusoes sobre as mudancas na estrutura da sociedade Suponha que o processo Xn e uma cadeia de Markov com espaco de estados E 1 2 3 cujas mudancas de classe social estao dadas pela seguinte matriz de transicao P 0 70 0 20 0 10 0 30 0 50 0 20 0 20 0 40 0 40 a Suponha que a famılia comeca na classe media estado 2 na geracao 0 Qual a probabilidade que a geracao 1 ascenda a classe alta estado 3 e a geracao 2 desca para a baixa estado 1 b Suponha de novo que a famılia comeca na classe media estado 2 na geracao 0 Qual a probabilidade que a geracao 2 desca para a classe baixa estado 1 Exercıcio 716 Uma empresa de logıstica classifica os clientes em trˆes classes nao desejaveis satisfatorios e preferenciais A classificacao de um cliente pode mudar de um ano para outro Nao e possıvel passar de preferencial para nao desejavel e viceversa Em geral foi observado que 40 dos clientes nao desejaveis viram satisfatorios 30 dos satisfatorios se tornam preferencial enquanto 10 viram nao desejaveis e 20 dos preferenciais viram satisfatorios Podese representar essa situacao atraves de uma cadeia de Markov Xnn0 que descreve a possıvel situacao de um cliente no ano a Defina o espaco de estados E a matriz de probabilidade de transicao e a topologia da cadeia b Calcule a probabilidade de um cliente preferencial continuar a sˆelo no proximo ano e se tornar satisfatorio no ano seguinte c A cadeia possui distribuicao assintotica Por que 30 d Supondo que a longo prazo a empresa possua 5000 clientes qual sera o possıvel numero de clientes nao desejaveis satisfatorios e preferenciais Exercıcio 717 Existem trˆes marcas de detergentes designadas A B e C de grande consumo Um estudo de mercado revelou as seguintes percentagens de consumidores para cada uma das marcas tendo em atencao comportamento idˆentico na semana anterior Consumidores fieis Ao produto A 80 Ao produto B 75 Ao produto C 95 Consumidores que consomem um produto na semana tendo consumido outro na semana ante rior Consomem A tendo consumido antes B 5 tendo consumido antes C 2 Consomem B tendo consumido antes A 15 tendo consumido antes C 3 Consomem C tendo consumido antes A 5 tendo consumido antes B 20 a Justifique que se trata de uma cadeia de Markov homogˆenea e construa a respectiva matriz das probabilidades de transicao b Calcule qual devera ser a quota de mercado de cada uma das marcas no longo prazo Exercıcio 718 A matriz de transicao de uma Cadeia de Markov com espaco de estados 1 2 3 e dada por P 0 50 0 50 0 00 0 25 0 50 0 25 0 00 0 50 0 50 a Construa um grafo de transicoes para essa matriz b Calcule P n 31 c Calcule limn P n d Suponha que PX0 1 1 3 PX0 2 1 3 e PX0 3 1 3 Nesse caso iCalcule a distribuicao de Xn iiCalcule a distribuicao de Xn quando n e Encontre distribuicao invariante para este processo f Encontre distribuicao assintotica para esta cadeia Exercıcio 719 Considere que existem 5 bolas que estao distribuıdas por duas urnas A e B Em cada perıodo seleccionase uma urna ao acaso e se nao estiver vazia e retirada uma bola dessa urna e colocada na outra Seja Xn o numero de bolas na urna A no perıodo n a Construa a matriz das probabilidades de transicao e classifique os diferentes estados do espaco de Xn Justifique todos os procedimentos b Justifique que se trata de uma cadeia de Markov regular A longo prazo qual a percentagem de tempo em que a urna B esta vazia Justifique Exercıcio 7110 Um determinado indivıduo modifica o seu estado de espırito durante o seu dia de trabalho Tendo sido observado pelos seus colegas durante um longo perıodo foramlhe atribuıdas as seguintes probabilidades de mudanca do seu estado de espırito Se esta de bom humor durante uma certa hora a probabilidade de estar de mau humor durante a hora seguinte e de 02 Se esta de mau humor durante uma certa hora a probabilidade de continuar de mau humor durante a hora seguinte e de 04 a Se o indivıduo durante a primeira hora de trabalho estava de mau humor qual a probabilidade de estar de bom humor durante a terceira hora de trabalho b Admitindo que os estados de espırito sao igualmente provaveis quando chega ao trabalho deter mine a probabilidade de estar de bom humor durante a terceira hora de trabalho Exercıcio 7111 Considere uma cadeia de Markov em tempo discreto com espaco de estados E 1 2 3 4 e matriz de transicao P 1 3 2 3 0 0 1 2 1 2 0 0 1 4 0 1 4 1 2 0 0 0 1 32 a Classifique os diferentes estados do espaco Justifique b Calcule a probabilidade de a primeira visita ao estado 4 ocorrer no nesimo passo partindo de 3 e calcule a probabilidade de absorcao no estado 4 partindo de 3 Exercıcio 7112 Observouse de hora a hora uma maquina que produz parafusos tendose consta tado o seguinte Ao longo da sua laboracao a maquina pode avariarse passando a produzir parafusos defeituosos Se estiver a produzir um parafuso defeituoso a maquina e reparada e na hora seguinte o parafuso produzido e sempre nao defeituoso Se estiver a produzir um parafuso nao defeituoso a probabilidade de passar a produzir um para fuso defeituoso na hora seguinte e p Designe por Xn n 0 1 a cadeia de Markov representativa do estado de funcionamento da maquina ao longo das sucessivas horas observadas a Defina o espaco dos estados da cadeia e a respectiva matriz das probabilidades de transicao b Determine a probabilidade de produzir parafusos nao defeituosos muito tempo depois da maquina ter iniciado a sua laboracao Exercıcio 7113 Considere uma cadeia de Markov definida pela matriz das probabilidades de transicao P 0 2 3 1 3 3 8 1 8 1 2 1 2 1 2 0 a Mostre que a cadeia e irredutıvel e aperiodica b Discuta a existˆencia de distribuicao limite e determinea Exercıcio 7114 Considere dois jogadores dispondo cada um deles de 2 Euros e que apostam 1 Euro de cada vez ate que um deles nao disponha de dinheiro A probabilidade de ganho em cada jogada e de p para o jogador A a Calcule a matriz das probabilidades de transicao e classifique justificando os diferentes estados do espaco b Identifique os estados absorventes do processo e calcule as respectivas probabilidades de absorcao 33 Exercıcio 7115 Relativamente a uma cadeia de Markov homogenea com dois estados denominados por 0 e 1 foi observada 50 transicoes de estados da cadeia Os sucessivos estados ocupados pela cadeia foram os seguintes 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 Com base neste dados estime a matriz das probabilidades de transicao Exercıcio 7116 A matriz de transicao de uma Cadeia de Markov com espaco de estados 1 2 e dada por P 0 1 0 9 0 6 0 4 a Calcule P n b Calcule limn P n c Suponha que PX0 1 3 5 e PX0 2 2 5 Nesse caso iCalcule a distribuicao de Xn iiCalcule a distribuicao de Xn quando n d Encontre distribuicao invariante para este processo e Encontre distribuicao assintotica para esta cadeia Exercıcio 7117 Uma pulga pula sobre os vertices de um triˆangulo de maneira que qualquer pulo tem a mesma probabilidade Encontrar a probabilidade de que depois de n pulos a pulga encontrase no lugar de partida Uma segunda pulga tambem decide pular sobre os vertices do triˆangulo mas a probabilidade de pular no sentido horario e duas vezes a probabilidade no sentido contrario Qual a probabilidade de que apos de n pulos esta ultima esteja no mesmo lugar onde iniciou Exercıcio 7118 Um sistema de monitoramento pode ser modelado por uma Cadeia de Markov com 3 estados 1 operando 2 em standby e 3 falhado Sua matriz de transicao obtida por historico e dada por P 0 7 0 2 0 1 0 6 0 3 0 1 0 8 0 1 0 1 a Calcule PX2 3X0 1 b Suponha que PX0 1 3 5 PX0 2 3 10 e PX0 3 1 10 Neste caso calcule PX3 1 34 Exercıcio 7119 Em um censo populacional de uma cidade de medio porte foi constatado que a cada ano 7 da populacao rural migra para a zona urbana e que 2 da populacao urbana migra para a zona rural Supondo que esse fenˆomeno social seja estavel nao havendo mudancas nessas taxas temos as seguintes questoes a Construa a matriz de transicao dessa cadeia de Markov b Construa a topologia em grafo c Em 5 anos qual a probabilidade de um indivıduo atualmente na zona urbana ter migrado para a zona rural d Em 10 anos qual a probabilidade de um indivıduo atualmente na zona rural ter migrado para a zona urbana e A cadeia converge Caso positivo determine a distribuicao assintotica dessa cadeia de Markov Exercıcio 7120 O seguinte experimento foi realizado em uma fabrica de lˆampadasSao colocados em uma sala duas lˆampadas Quando as duas se queimam elas sao trocadas de forma que no comeco do dia seguinte haverao duas lˆampadas funcionando A probabilidade de uma parar de funcionar quando as duas estao funcionando e de 002 No entanto se ha somente uma funcionando a probabilidade dessa se queimar e de 005 A longo prazo qual e a fracao do tempo em que havera somente uma lˆampada funcionando Exercıcio 7121 Considere que existam 4 bolas distribuıdas em duas urnas A e B Em cada perıodo selecionase uma urna ao acaso e se nao estiver vazia e retirado uma bola dessa urna e colocado na outra Seja Xn o numero de bolas da urna A a Determine a matriz de transicao e a topologia em grafo dessa cadeia de Markov b Classifique os estados da cadeia c A longo prazo qual sera a percentagem de tempo em que a urna B ficara vazia Exercıcio 7122 Um treinador de futebol de um campeonato da primeira divisao acredita na poli valˆencia dos jogadores do time Considere trˆes tipos de jogadores atacante meio de campo e defensor Apos cada jogo o treinador pode definir uma nova posicao para um jogador Depois de experimentar esse sistema ele observou que a chance de um atacante continuar no ataque e 05 a chance de um atacante ir para defesa e 0 a chance de um defesa ir para o ataque e 0 a chance de um defesa continuar na defesa e 05 a chance de um meio de campo ir para o ataque e 075 a chance de um meio de campo ir para a defesa e 0 No inıcio do campeonato o tecnico classificou seus jogadores em 12 atacantes 2 meio campistas e 35 11 defensores Com isso e possıvel construir uma cadeia de Markov para estudar o comportamento desse time com o passar dos jogos a Identifique o espaco de estados construa a matriz de transicao e defina a topologia da cadeia b Defina a distribuicao X0 e calcule a distribuicao X2 Qual a probabilidade de um jogador ser um atacante depois de 2 jogos c Qual a probabilidade de um jogador da defesa jogar no ataque depois de 4 jogos consecutivos E de um atacante jogar na defesa depois de 4 jogos d Determine as classes irredutıveis com o respectivo perıodo e Determine os estados transientes e recorrentes f A cadeia converge Por que Se sim calcule a distribuicao assintotica g Calcule como podera estar a configuracao do time depois de 35 jogos Exercıcio 7123 Prove que o passeio aleatorio simples simetrico nao possui distribuicao invariante Exercıcio 7124 A matriz de transicao de uma Cadeia de Markov com espaco de estados 1 2 e dada por P 1 p p q q a Calcule P n b Calcule limn P n c Suponha que PX0 1 3 5 e PX0 2 2 5 Nesse caso iCalcule a distribuicao de Xn iiCalcule a distribuicao de Xn quando n d Encontre distribuicao invariante e a distribuicao assintotica para este processo Elas sao unicas Justifique Exercıcio 7125 Um modelo de Markov para transmissao de voz por pacotes assume que se o n esimo pacote contem silˆencio a probabilidade de silˆencio no proximo pacote e 1 α e a probabilidade do pacote conter voz e α Similarmente se o nesimo pacote contiver atividades de voz a probabilidade do proximo pacote conter voz e 1 β e a probabilidade de silˆencio e β a Esboce uma cadeia de Markov para este problema Vocˆe deve escrever a matriz de transicao de estados e desenhar um grafo de transicoes b Para α 1 10 e β 1 5 dadas as probabilidades iniciais dos estados p0 p1 1 2 determine as probabilidades dos estados depois de 2 passos Exercıcio 7126 Uma urna contem inicialmente 5 bolas verdes e 5 bolas vermelhas O seguinte experimento e repetido indefinidamente uma bola e retirada da urna se a mesma e vermelha ela e 36 recolocada na urna caso contrdrio é deizada de fora Seja Xp o numero de bolas verdes que perma necem na urna depois de n testes a X um processo de Markov Se sim esboce a matriz de transigao e o grafo de transigdes para este processo b As probabilidades de transigao dependem de n Justifique c Esta cadeia possui estados absorventes Qualis Exercicio 7127 O seguinte experimento foi realizado em uma fabrica de lampadas Sdéo colocados em uma sala duas lampadas Quando as duas se queimam elas sao trocadas de forma que no comeo do dia seguinte haverao duas lampadas funcionando A probabilidade de uma parar de funcionar quando as duas estado funcionando é de 002 No entanto se ha somente uma funcionando a probabilidade dessa se queimar é de 005 a Escreva uma cadeia de Markov para este processo b Obtenha a distribuigao assintética desta cadeia Exercicio 7128 Considere um passeio aleatorio simples com barreiras onde o espaco de estados é E 12345 e as probabilidades de transigao 2 3 3 2 hidd oli4 hi1 t275 F F Pijil 5 Piji1 Bot Pil 5 P55 5 Calcule em todos os detalhes a distribuigao invariante Dé duas interpretacoes intuitivas para o re sultado obtido Exercicio 7129 Seja Xn 0 uma Cadeia de Markov com espacgo de estados E e distribuigao invariante m Mostre que a Para todo j Een1 vale que So mPR a3 1EB b Se a cadeia tem distribuigdo inicial m9 7 entado para todo n 1 vale PX 7 xt Exercicio 7130 Equacgoes de ChapmanKolmogorov Considere uma Cadeia de Markov homogénea a tempo discreto com espacgo de estados E Escreva Pr PXmin jXm 1 Mostre que pre S PiPy para todo ij EB kek 37 Capıtulo 8 Cadeias de Markov a Tempo Contınuo 81 Exercıcios Exercıcio 811 Considere uma Cadeia de Markov X com espaco de estados E 1 2 e funcao de transicao 0 6 0 4e2t 0 4 0 4e2t 0 8 0 8e2t 0 2 0 8e2t Calcule a PX15 1 X18 2 X25 1 X0 1 b Obtenha o gerador infinitesimal Exercıcio 812 Considere uma Cadeia de Markov X com espaco de estados E 1 2 e funcao de transicao 0 8 0 2e2t 0 2 0 2e2t 0 3 0 3e2t 0 7 0 3e2t Calcule a PX12 1 X16 2 X24 1 X0 1 b PX18 2 X36 1 X64 1 se π01 4 5 1 π02 c Obtenha o gerador infinitesimal d Construa a matriz do esqueleto e Obtenha as taxas qi i E Interprete os valores 38 f Obtenha as taxas qij i j E Interprete os valores Exercıcio 813 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de transicao Q 0 0 5 0 5 0 8 0 0 2 0 7 0 3 0 e taxas q1 10 q2 1 q3 5 a Calcule o gerador infinitesimal deste processo b Escreva as equacoes de Kolmogorov prospectivas c Escreva as equacoes de Kolmogorov retrospectivas Exercıcio 814 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de transicao Q 0 0 0 8 0 2 0 9 0 0 0 1 0 6 0 4 0 0 e taxas q1 6 q2 4 q3 5 a Calcule o gerador infinitesimal deste processo b Obtenha as taxas qij i j E Interprete os valores Exercıcio 815 Calcule a funcao de transicao de uma Cadeia de Markov com dois estados que permanece no estado 1 durante um tempo exponencial com taxa 3 antes de passar para um estado 2 onde estara um tempo exponencial com taxa 2 antes de voltar ao estado 1 Exercıcio 816 Considere um processo de nascimento e morte com espaco de estados E 0 1 2 e taxas de nascimento e morte λi1 i 1 e µi i i 0 respectivamente a Ache as equacoes retrospectivas para P ijt b Ache a matriz de transicao Q do esqueleto da cadeia Exercıcio 817 Processo de Nascimento e Morte a Defina um processo de nascimento e morte Dˆe uma interpretacao para o estado do processo num instante t e para uma transicao b Escreva o gerador infinitesimal para o processo de nascimento e morte c Escreva a matriz de transicao do esqueleto 39 Exercicio 818 Distribuigado estaciondria Uma distribuigao 7 sobre o espaco de estados EF sera chamada de distribuigao estaciondria da Cadeia de markov X se para todo 7 E e todot 0 So hk Prjt 79 kek Como no caso discreto se iniciarmos a cadeia com distribuicdo estaciondria teremos que todos os estados terado a mesma distribuigao isto é PX j 7 E posstvel provar que sob condigées bastante razodveis vale que uma distribuicao é estaciondria se e somente se S mkqxj 0 keE e no caso finito se e somente se 7A 0 Com base nesta informagao responda os itens a seguir a Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espago de estados E 123 e matriz de transicao 00 04 06 Q 02 00 08 01 09 00 e taxas qi 5 q2 4q3 2 Encontre a distribuigado estaciondria desta cadeia Interprete o resultado obtido b Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificagéo quando ha dois clientes no sistema um na fila e outro sendo atendido se wm outro chegar ele vai embora e nao volta nunca mais Calcule a distribuicao estaciondria desta cadeia Exercicio 819 Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espaco de estados E 123 e matriz de transigao 00 07 03 Q 01 00 09 06 04 00 e taxas qi 8 q2 6q3 5 a Calcule o gerador infinitesimal deste processoValor 03Interprete os valores b Escreva as equagées de Kolmogorov retrospectivas 40 Exercıcio 8110 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com dois estados que perma nece no estado 1 durante um tempo exponencial com taxa 2 antes de passar para um estado 2 onde estara um tempo exponencial com taxa 8 antes de voltar ao estado 1 Calcule P125 Exercıcio 8111 Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificacao quando ha dois clientes no sistema um na fila e outro sendo atendido se um outro chegar ele vai embora e nao volta nunca mais Calcule a distribuicao estacionaria desta cadeia para o caso onde λ 5 e µ 3 Dˆe duas interpretacoes para o resultado obtido Exercıcio 8112 a Defina Cadeia de Markov a tempo contınuo b Defina Cadeia de Markov contınua homogˆenea no tempo c Defina funcao de transicao Cite suas principais caracterısticas d Como podem ser classificados os estados de uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com relacao a variavel Wtw infs 0 tal que Xtsw Xtw Caracterize cada tipo de estado e Cite a distribuicao condicional da variavel aleatoria Wtw infs 0 tal que Xtsw Xtw f Defina processos de saltos g Defina Cadeia de Markov a tempo contınuo regular h Defina esqueleto de uma Cadeia de Markov Xtt0 i Relacione variaveis Tn matriz de transicao do esqueleto e Xt j Quais sao as principais propriedades das variaveis aleatorias Tnn0 k Defina gerador infinitesimal l Interprete o significado dos elementos qiiE m Interprete o significado dos elementos qijijE n Explique como e possıvel obter o gerador infinitesimal a partir da funcao de transicao o Explique como e possıvel obter a funcao de transicao a partir do gerador infinitesimal p Quais sao as equacoes de Kolmogorov retrospectivas Como podem ser obtidas q Quais sao as equacoes de Kolmogorov prospectivas Como podem ser obtidas r Enuncie e prove as equacoes de ChapmanKolmogorov para o caso contınuo s Defina processo de nascimento e morte t Defina processo de nascimento puro Dˆe um exemplo u Descreva uma fila do tipo MM1 41 Exercicio 8113 Em 1827 o botdanico escocés Robert Brown observou e descreveu o movimento irregular executado por pequenos graos de polen suspensos em dgua Esta observagao aparentemente sem muita importancia tornouse especialmente relevante alguns anos depois Embora L Bachelier em 1900 e A Einstein em 1905 tenham sido os primeiros a abordar quantitativamente o estudo deste fenémeno foi o matemdtico norteamericano Norbert Wiener quem em 1923 estudou e formalizou rigorosamente o modelo matemdtico motivado no fendmeno fisico do movimento browniano E por isso que ele chamado de processo de Wiener ou movimento browniano sendo que este ultimo nome dé mais énfase ao processo fisico Considere o processo a tempo continuo X X1i0 com espaco de estados E R que tem as sequintes caracteristicas i Xo 0 ii X tem incrementos independentes iii 1 eau PX X 0 a e25 du Vint In isto X X N0t s iv X possut trajetérias continuas X conhecido como movimento Browniano ou processo de Wiener a Obtenha a densidade conjunta de X e Xs para dois instantes de s et tais queQst b Obtenha o vetor de médias para o vetor Xs X c Calcule a autocovaridncia Kx st CovX Xz d Mostre que o Movimento Browniano é um processo de Markov a tempo continuo Exercicio 8114 Considere um processo de Poisson homogéneo com taxa r 0 a Escreva a fungdo de transigao b Escreva o gerador infinitesimal Exercicio 8115 Considere uma Cadeia de Markov X com espago de estados FE 12 e fungao de transicao 0802e 024 02e74 0802e 024 02e74 Calcule a PX12 1 X16 2X241 Xo 1 b PX18 2 X36 1 X64 1 se mo1 3 1702 c Obtenha o gerador infinitesimal d Construa a matriz do esqueleto 42 e Obtenha as taxas qi i E Interprete os valores f Obtenha as taxas qij i j E Interprete os valores Exercıcio 8116 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de transicao Q 0 0 5 0 5 0 8 0 0 2 0 7 0 3 0 e taxas q1 10 q2 1 q3 5 a Calcule o gerador infinitesimal deste processo b Escreva as equacoes de Kolmogorov prospectivas c Escreva as equacoes de Kolmogorov retrospectivas Exercıcio 8117 Equacoes diferenciais de Kolmogorov Considere uma Cadeia de Markov Xt com espaco de estados E a Prove que P t APt b Prove que P t PtA c Suponha que E 1 2 3 n Neste caso como ficariam as equacoes de Kolmogorov retrospec tivas e prospectivas escritas componente a componente Exercıcio 8118 Classificacao de Cadeias de Markov a tempo contınuo Numa Cadeia de Markov a tempo contınuo um estado sera recorrente se e somente se for recorrente para o esqueleto ˆ Xnn0 Alem disso os conjuntos irredutıveis para Xt e para seu esqueleto coinci dem Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 3 4 e matriz de transicao Q 0 0 0 9 0 0 0 1 0 8 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 e taxas q1 1 q2 2 q3 4 q4 5 aCalcule o gerador infinitesimal deste processo bQuais estados deste processo sao recorrentes 43 Exercicio 8119 Distribuigdo estaciondria Uma distribuigao 7 sobre o espaco de estados EF sera chamada de distribuigao estaciondria da Cadeia de markov X se para todo 7 E e todot 0 So hk Prjt 79 kek Como no caso discreto se iniciarmos a cadeia com distribuicdo estaciondria teremos que todos os estados terado a mesma distribuigao isto é PX j 7 E posstvel provar que sob condigées bastante razodveis vale que uma distribuicao é estaciondria se e somente se S mkqxj 0 keE e no caso finito 7A 0 a Seja X uma Cadeia de Markov com gerador infinitesimal 5 2 3 A 2 3 1 2 4 6 Encontre a distribuigado estaciondria desta cadeia Interprete o resultado obtido b Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espacgo de estados FE 123 e matriz de transicao 00 03 07 Q 01 00 09 02 08 00 e taxas q 10q2 4q3 2 Encontre a distribuigado estaciondria desta cadeia Interprete o reultado obtido Exercicio 8120 Processo de Nascimento e Morte a Descreva o processo de nascimento e morte Dé uma interpretagado para o estado do processo num instante t b Escreva o gerador infinitesimal para o processo de nascimento e morte c Escreva as equagées de Kolmogorov prospectivas para o processo de nascimento e morte d Escreva a matriz de transigaéo do esqueleto e Considere um processo de nascimento e morte com trés estados E 012 e taxas de nascimento 44 e morte tais que λ0 µ2 Use as equacoes prospectivas para calcular P0kt k 0 1 2 f Para um processo de nascimento puro com λn 0 para todo n 0 calcule P0Xt n g Para um processo de nascimento puro com λn λ 0 para todo n 0 calcule P0Xt n Exercıcio 8121 Considere um processo de nascimento e morte com espaco de estados E0 1 2 e taxas de nascimento e morte λi1 i 1λ e µi iµ i 0 a Ache as equacoes retrospectivas para P ijt b Ache a matriz de transicao Q do esqueleto da cadeia cVerifique se o processo e recorrente Exercıcio 8122 Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificacao quando ha dois clientes no sistema se um outro chegar ele va embora e nao volte nunca mais a Obtenha o gerador infinitesimal da Cadeia de Markov Xt para esta dinˆamica b Escreva as equacoes retrospectivas c Calcule a distribuicao estacionaria desta cadeia 45 Capıtulo 9 Modelos de Provas 91 Provas 2011 911 Prova 1 Questao 1 Considere um processo aleatorio definido por Xt A cosωt Θ t onde A e ω sao constantes e Θ Uniforme π π a Calcule a media de Xt b Calcule a variˆancia de Xt c A autocorrelacao de Xt d A autocovariˆancia de Xt Questao 2 a Defina processo estocastico b Como se classifica um processo estocastico quanto ao tipo de seus estados Dˆe um exemplo de cada tipo c Como se classifica um processo estocastico quanto ao seu conjunto de ındices T Dˆe um exemplo de cada tipo d Defina processo estacionario com incrementos independentes e Defina processo estocastico markoviano Questao 3 46 A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma varidvel aleatéria com fungao densidade de probabilidade jf we O0 a2 2 0 caso contrario Assim que o componente falha ele é imediatamente substituido por outro do mesmo tipo Se X representa o tempo de vida do iésimo componente utilizado entao S UX representa o instante da nésima falha Suponha que as varidveis aleatérias X i 1 sejam independentes a A taxa de falhas r a longo prazo é definida por r lim n200 Sin Calcule r b Este processo 6 markoviano Prove Questao 4 Uma particula se movimenta ao longo do conjunto dos inteiros da seguinte maneira Se ela esta na posicgao 7 entao se movimenta para a posicgao 7 1 com probabilidade p e para a posicao 7 1 com probabilidade 1 p Iniciando na posicao 0 seja a a probabilidade dela em algum momento atingir a posicao 1 Calcule a Questao 5 Suponha que num classico entre Goids e Vila Nova a partir do tempo t 0 torcedores do Goids che gam a bilheteria do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa torcedores por minuto De forma andloga torcedores do Vila Nova chegam a bilheteria do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa js torcedores por minuto a A partir do tempo t 0 qual é 0 tempo esperado até que surja um torcedor do Goids ou do Vila Nova Justifique b A partir do tempo t 0 qual é a probabilidade do primeiro torcedor a chegar ser do Goids c Escreva uma expressao para a probabilidade de se demorar no minimo k minutos até a chegada do nésimo torcedor do Vila Nova Questao 6 Numa partida do Goids pela Copa do Brasil torcedores esmeraldinos chegam ao Serra Dourada em instantes aleatdérios pontuais Seja X o tempo em minutos até a chegada do nésimo esmeraldino Podemos escrever X S0T n12 i1 AT e Xo 0 onde T é 0 tempo entre a chegada do n 1ésimo torcedor e do nésimo torcedor a Suponha que o tempo entre a chegada de dois torcedores esmeraldinos consecutivos é uma varidvel aleatéria exponencial de parametro Neste caso obtenha a médiaa varidncia e a distribuicao de primeira ordem de X b No item anterior supondo que 100 torcedores por minuto calcule a probabilidade de se demorar pelo menos 90 segundos até a chegada de 144 torcedores Dado 05 06915 Questao 7 Seja Xn 0 um processo estocdstico com incrementos estaciondérios independentes e assuma que S0 0 Mostre que aEXt pnt onde py EX1 bVarXt o7t onde o7 varX1 Questao 8 Seja Xn 0 uma sequéncia aleatéria de vaiid com média 0 e varidncia 1 Mostre que Xn 0 é um processo estaciondrio no sentido amplo Questao 9 Sejam X1 X9 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 1pePX 11p Seja n Sn S 2X n12 i1 e So 0 A colegdo Sn 0 é um processo aleatério chamado passeio aleatério simples unidimen sional a Calcule PSi9 4 b Calcule a média e a variancia de S Qual é o valor mdximo para a variancia de S Questao 10 Sejam X1 X9 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 5 pe PX 11p 48 Seja n Sn S 2X n12 i1 e So 0 A colegdo Sn 0 é um processo aleatério chamado passeio aleatério simples unidimen sional a Descreva o processo S7 0 b Construa um exemplo de realizagao deste processo c Calcule a distribuigéo de primeira ordem para este processo 912 Prova 2 Questao 1 O ntimero de particulas emitidas por uma fonte radioativa durante um periodo especificado segue um processo de Poisson de taxa 64 emissoes por segundo Qual é a probabilidade de serem emitidas mais do que 3800 particulas num periodo de 1 minuto Questao 2 O modelo classico do risco na atividade seguradora é um processo estocastico Ut utct Sé onde Ut é 0 capital da seguradora no instante reserva de risco e c 6 uma constante que representa o prémio por unidade de tempo de forma que ct sera o prémio que recebeu a seguradora até o instante t wu é a reserva inicial da seguradora e St representa o valor total das indenizagoes até o instante t Xt stSY n1 onde Yn1 é uma sequéncia de varidveis aleatérias nao negativas que representam os valores das indenizagdes individuais que deve pagar a seguradora ante a ocorréncia de sinistros e X50 6 um processo de Poisson homogéneo das ocorréncias das indenizacoes até o instante t Suponha um caso particular onde X é um processo Poisson de taxa A e Y tem densidade dada por 3 2 se0yk fy a 0 caso contrario onde é uma constante Nesse caso calcule EUt Questao 3 Uma companhia de seguro afirma que para certo tipo de acidente o numero de acidentes para cada 49 perıodo de 24 horas aumenta de meia noite para meio dia e diminui de meio dia para meia noite Suponha que o numero de acidentes desse tipo possa ser modelado por um processo de Poisson nao homogˆeneo onde a intensidade no tempo t e dada por λt 1 6 12 t2 1152 a Calcule o numero esperado de acidentes por dia b Calcule a probabilidade de que aconteca exatamente 1 acidente entre 6 horas da manha e seis horas da tarde Questao 4 Numa partida do Goias pela Copa do Brasil carros chegam ao Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa λ 90 veıculos por minuto Os veıculos tˆem i torcedores com probabilidade 6i 15 i 1 2 3 4 5 Qual e o numero esperado de torcedores que chegam de carro ao Serra Dourada num perıodo de 20 minutos Questao 5 Impulsos chegam a um contador Geiger segundo um processo de Poisson de taxa 3 impulsos por mi nuto Cada impulso tem independentemente dos restantes probabilidade 1 3 de ser registrado Qual e a probabilidade de em um minuto nenhum impulso ser registrado pelo contador Geiger Questao 6 A quantidade de tempo em horas que certo tipo de componente funciona antes de falhar e uma variavel aleatoria com densidade fx xex x 0 0 caso contrario Assim que o componente falha ele e imediatamente substituıdo por outro do mesmo tipo Se Xi re presenta o tempo de vida do iesimo componente utilizado entao Sn Σn i1Xi representa o instante da nesima falha e Xt sup n Sn t o numero de falhas ate o instante t Suponha que as variaveis aleatorias Xi i 1 sejam independentes a Obtenha lim t Xt t Interprete o resultado obtido b Calcule a probabilidade de ocorrerem menos de 61 falhas num intervalo de tempo de 5 dias com pletos 50 Questao 7 Um modelo de Markov para transmissao de voz por pacotes assume que se 0 n ésimo pacote contém siléncio a probabilidade de siléncio no préximo pacote é 08 e a probabilidade do pacote conter voz é 02 Similarmente se o nésimo pacote contiver atividades de voz a probabilidade do préximo pacote conter voz é 09 e a probabilidade de siléncio é 01 a Esboce uma cadeia de Markov para este problema Vocé deve escrever a matriz de transigéo de estados e desenhar um grafo de transicoes b Supondo que as probabilidades iniciais dos estados sao tais que a chance do pacote inicial conter voz é 0 dobro da chance de conter siléncio determine as probabilidades dos estados depois de 2 passos Questao 8 Considere uma Cadeia de Markov com espago de estados E 012 e matriz de transicgao de probabilidade dada por 033 P 1 0 0 1 0 O Encontre caso existam as distribuigoes invariante e assintdtica para esta cadeia Questao 9 Considere trés bolas distribufidas em duas urnas A cada instante de tempo n uma das trés bolas é sorteada ao acaso e trocada de urna Seja X o numero de bolas na primeira urna no instante n a Descreva uma cadeia de Markov para este procedimento b Encontre a distribuicgaéo invariante para esta cadeia Questao 10 Equacgoes de ChapmanKolmogorov Considere uma Cadeia de Markov homogénea a tempo discreto com espago de estados EF Escreva P PXm4n jXm 1 Mostre que prn S pr Pe para todo ij E keE Questao 11 Sejam X1 X2 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que n PX 1pePX 11p Seja Sn SX n 123 e So 0 i1 A colecao S2 0 é um processo aleatério chamado passeio aleatério simples unidimensional Em particular se p temos o chamado passeio aleatério simples simétrico 51 a Mostre que o passeio aleatério simples simétrico nao possui distribuigdo invariante b O passeio aleatério simples simétrico possui distribuigdo assintdética Em caso positivo qual Questao 12 Considere uma cadeia de Markov Xn0 com espaco de estados E 01 e matriz de transicao la a P Oatb2 b 1b Mostre que Pi0 Too 1a6 para todoi E Esta desigualdade nos dé uma estimativa para a taxa de convergéncia das probabilidade de transigao em n passos para a distribuicao assintética Qual seria o valor dessa estimativa para a b en 20 913 Prova 2 Segunda Chamada Questao 1 Clientes chegam em determinada loja de acordo com um processo de Poisson com taxa X por hora Dado que dois clientes chegaram durante a primeira hora determine a probabilidade de que a Ambos tenham chegado nos primeiros 30 minutos b Pelo menos um deles tenha chegado nos primeiros 20 minutos Questao 2 Quatro em cada cinco caminhoes em uma estrada sao seguidos por um carro enquanto um em cada seis carros é seguido por um caminhéo Que proporgao de veiculos na estrada é de caminhdes Ad mita que todos os veiculos nesta estrada sejam ou carro ou caminhoes Questao 3 Sejam X1 X2 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 1pePX 11p Seja n Sn S 2X n12 i1 e So 0 A colecao Sn 0 é um processo aleatério chamado passeio aleatério simples a Mostre que este processo é uma Cadeia de Markov 52 b Considere um passeio aleatério simples onde p e So 0 Seja N o tempo até o passeio alcancgar a posicao 100 Calcule o valor esperado de N Questao 4 Uma massa radioativa emite particulas segundo um processo de Poisson a uma taxa média de 10 particulas por segundo Um contador é colocado ao lado da massa Suponha que cada particula atinja o contador com probabilidade i que o contador registra todas as particulas que o atingem e que nao ha interagéo entre as particulas elas se movimentam independentemente a Calcule em detalhes a distribuigao do tempo até o registro da primeira particula b Calcule a probabilidade de serem necessdrios pelo menos 2 minutos para o registro de 125 particulas Questao 5 Seja Xn 0 uma Cadeia de Markov com espaco de estados E e distribuicao invariante 7 Mostre que a Para todo j Een 1 vale que S miPr 9 iCE b Se a cadeia tem distribuigdo inicial 7 7 entao para todo n 1 vale PX 17 xt 914 Prova 3 Questao 1 Considere um passeio aleatério simples Sn 0 com So 0 e para todo n 12 S XxX de PX 1 iu PX 1 4 onde le l n a a 10 a 10 a Calcule PS5 5 b Usando o principio da reflexao calcule PTo5 25 Nao seré considerada como solugao a aplicagaéo imediata do Teorema do Primeiro Acerto Questao 2 Considere um passeio aleatério simples com barreiras onde o espaco de estados é F 12345 e as probabilidades de transigao 3 2 2 3 wars t1i4 Mi 25215 Pijitl 5 ts Piji1 5 4s P11 5 P55 5 53 Calcule em todos os detalhes a distribuicao invariante Dˆe uma interpretacao intuitiva Questao 3 Considere um jogador que a cada rodada de um jogo ganha um real com probabilidade 2 5 e perde um real com probabilidade 3 5 Assuma que as rodadas do jogo sao independentes e que o jogador pare de jogar se seu capital soma do capital incial com o capital ganho no jogo atingir 20 reais Se o capital inicial do jogador e de 12 reais calcule em todos os detalhes a probabilidade dele atingir 20 reais antes de perder todo o dinheiro Questao 4 a Defina Martingale b Verifique em todos os detalhes se o passeio aleatorio simples simetrico e um martingale Questao 5 Considere um processo de ramificacao onde X0 1 e cada indivıduo tem um numero de filhos com distribuicao Binomial 3 3 5 Calcule a probabilidade de extincao desse processo Questao 6 Considere um processo de ramificacao nao homogˆeneo onde X0 1 e PYn1 0 1 n2 1 PYn1 1 para n 2 Aqui Yn e o numero de filhos de um indivıduo da nesima geracao Calcule a probabilidade de extincao desse processo Questao 7 Considere uma Cadeia de Markov X com espaco de estados E 1 2 e funcao de transicao 0 6 0 1e2t 0 4 0 1e2t 0 8 0 5e2t 0 2 0 5e2t Calcule a PX15 1 X18 2 X25 1 X0 1 b Obtenha o gerador infinitesimal Questao 8 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de 54 transigao 00 08 02 Q 09 00 01 06 04 00 e taxas q 6 qo 4q3 5 a Calcule o gerador infinitesimal deste processo b Obtenha as taxas q7j E Interprete os valores Questao 9 Calcule a fungao de transigao de uma Cadeia de Markov com dois estados que permanece no estado 1 durante um tempo exponencial com taxa 3 antes de passar para um estado 2 onde estarad um tempo exponencial com taxa 2 antes de voltar ao estado 1 Questao 10 Considere um processo de nascimento e morte com espaco de estados EF 012 e taxas de nascimento e morte A4 i 1 e uw 17 0 respectivamente a Ache as equacoes retrospectivas para P jt b Ache a matriz de transigao Q do esqueleto da cadeia Questao 11 Processo de Nascimento e Morte a Defina um processo de nascimento e morte Dé uma interpretacaéo para o estado do processo num instante e para uma transicao b Escreva o gerador infinitesimal para o processo de nascimento e morte c Escreva a matriz de transigéo do esqueleto Questao 12 Distribuicgao estaciondria Uma distribuigao 7 sobre 0 espaco de estados FE sera chamada de distribuicao estacionaria da Cadeia de markov X se para todo j Fe todo t 0 So hk Prjt 79 keE Como no caso discreto se iniciarmos a cadeia com distribuigao estacionaria teremos que todos os estados terao a mesma distribuicao isto é PX j J E possivel provar que sob condicgoes bastante razodveis vale que uma distribuicao é estacionaria se e 55 somente se S mkqrj 9 keE e no caso finito se e somente se 74 0 Com base nesta informacéo responda os itens a seguir a Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espacgo de estados E 123 e matriz de transicgao 00 04 06 Q 02 00 08 01 09 00 e taxas q 5q2 4q3 2 Encontre a distribuicao estacionaria desta cadeia Interprete o resultado obtido b Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificacgao quando ha dois clientes no sistema um na fila e outro sendo atendido se um outro chegar ele vai embora e nao volta nunca mais Calcule a distribuicao estacionaria desta cadeia 915 Prova Extra Questao 1 Sejam X1 X2 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 4 e PX 1 Seja um passeio aleatério Sn 0 onde n Sn S 2X n12 i1 e So 0 Calcule PSi3 27 Questao 2 Clientes chegam em determinada loja de acordo com um processo de Poisson com taxa X por hora Dado que dois clientes chegaram durante a primeira hora determine a probabilidade de que a Ambos tenham chegado nos primeiros 30 minutos b Pelo menos um deles tenha chegado nos primeiros 20 minutos Questao 3 A quantidade de tempo em horas que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma varidvel 56 aleatéria com densidade ze a0 fa 0 caso contrario Assim que o componente falha ele é imediatamente substituido por outro do mesmo tipo Se X representa o tempo de vida do iésimo componente utilizado entao S UX representa o instante da nésima falhae X sup n S tontmero de falhas até o instante t Suponha que as varidveis aleatérias X i 1 sejam independentes Obtenha Xt jim Valor 05 Interprete o resultado obtidoValor 05 oo Questao 4 Considere um passeio aleatério simples com barreiras onde o espaco de estados é F 12345 e as probabilidades de transigao 2 3 3 2 Ma41s1i4 Mi 215 s Pijitl 5 és Piji1 5 és Pil 5 P55 5 Calcule em todos os detalhes a distribuicao invariante Valor 06 Dé duas interpretac6es intuitivas para o resultado obtido Valor 04 Questao 5 Sejam X1 X2 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que 3 2 PX 1 e PX 1 5 5 Seja n Sn S 2X n12 i1 e So 0 Sn 0 é um passeio aleatério simples assimétrico Seja N o tempo até o passeio alcancar a posicao 10 a Mostre que N é tempo de parada Valor 05 b Usando a equcao de Wald calcule o valor esperado de N Valor 05 Questao 6 Equacgoes de ChapmanKolmogorov Considere uma Cadeia de Markov homogénea a tempo discreto com espago de estados E Escreva P PXmn jXm 1 Mostre que prt pr pr para todo ij B keE 57 Questao 7 Uma massa radioativa emite partıculas segundo um processo de Poisson a uma taxa media de 10 partıculas por segundo Um contador e colocado ao lado da massa Suponha que cada partıcula atinja o contador com probabilidade 1 10 que o contador registra todas as partıculas que o atingem e que nao ha interacao entre as partıculas elas se movimentam independentemente a Calcule em detalhes a distribuicao do tempo ate o registro da primeira partıcula b Calcule a probabilidade de serem necessarios pelo menos 2 minutos para o registro de 125 partıculas Questao 8 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de transicao Q 0 0 0 7 0 3 0 1 0 0 0 9 0 6 0 4 0 0 e taxas q1 8 q2 6 q3 5 a Calcule o gerador infinitesimal deste processoInterprete os valores b Escreva as equacoes de Kolmogorov retrospectivas Questao 9 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com dois estados que permanece no estado 1 durante um tempo exponencial com taxa 2 antes de passar para um estado 2 onde estara um tempo exponencial com taxa 8 antes de voltar ao estado 1 Calcule P125 Questao 10 Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificacao quando ha dois clientes no sistema um na fila e outro sendo atendido se um outro chegar ele vai embora e nao volta nunca mais Calcule a distribuicao estacionaria desta cadeia para o caso onde λ 5 e µ 3 Dˆe duas interpretacoes para o resultado obtido 92 Provas 2013 921 Prova 1 Questao 1 Considere uma urna contendo cinco bolas verdes e uma bola vermelha Bolas sao retiradas uma a 58 uma da urna ao acaso e com reposicao Sejam X 1 X2 as varidveis aleatérias definidas por x 1 seaiésima ea i 1ésima retiradas resultam em bola verde a 0 caso contrario Defina o processo estocastico S Sn1 tal que S 7 Xnn 1 a Qual o significado do valor S Descreva este processo b Calcule sn e ogn c Alguma versao da Lei Forte pode ser aplicada Qual versao e qual a conclusao obtida via Lei Forte Questao 2 Considere uma sequéncia infinita de urnas numeradas por 12 tal que a urna de numero n contém 1 bola vermelha e n 2n bolas verdes Uma bola é retirada ao acaso e independentemente de cada urna Sejam as varidveis aleatérias X n 1 definidas por x 1 se bola retirada da urna n é verde n 0 caso contrario Defina o processo estocastico S Si n1 tal que S i Xnn 1 a Verifique se S 6 um processo markoviano CO b Calcule P Aix 0 i1 Questao 3 Seja Xt cos27fot um processo aleatério a tempo continuo no qual é uma varidvel aleatéria uniformemente distribuida no intervalo 027 Calcule a A fungao densidade de probabilidade de Xt b O valor médio a autocorrelagéo e a autocovariancia de Xt Questao 4 Sejam X1 X9 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 5 pe PX 11p Seja n Sn SX n 12 i1 e So 0 a Dé a distribuicgéo de primeira ordem desse processo 59 b Calcule a media e a variˆancia de Sn Qual e o valor maximo para a variˆancia de Sn Questao 5 A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar e uma variavel aleatoria com distribuicao exponencial de parˆametro λ Assim que o componente falha ele e imediatamente substituıdo por outro do mesmo tipo Se Xi representa o tempo de vida do iesimo componente utilizado entao Sn Σn i1Xi representa o instante da nesima falha A taxa de falhas r a longo prazo e definida por r lim n n Sn Suponha que as variaveis aleatorias Xi i 1 sejam independentes a Determine r b A fim de estimar λ verificouse que num intervalo 90 dias foram utilizados 2160 componentes Neste caso qual seria uma estimativa para λ c Com base no item b construa um intervalo de confianca a 95 para o parˆametro λ Interprete o intervalo obtido Questao 6 Dado um intervalo de tempo de area volume etc de numeros reais assuma que acontecimentos ocorrem de forma aleatoria ao longo do intervalo Seja Nt o numero de acontecimentos que ocorrem no intervalo 0 t e N Nt t IR a Sob quais condicoes a contagem de acontecimentos Nt constitui um Processo de Poisson de taxa λ b Suponha que o processo Nt constitui um Processo de Poisson de taxa λ Mostre que o intervalo entre acontecimentos sucessivos segue uma distribuicao exponencial de parˆametro λ Questao 7 O numero de emails que chegam a um servidor no intervalo de tempo 0 t dado em minutos e para cada t 0 uma variavel aleatoria Nt com distribuicao de Poisson com parˆametro λt Somente um computador e conectado ao servidor para ler os emails recebidos a Dado que trˆes emails chegaram no primeiro minuto qual e a probabilidade de que exatamente dois tenham chegado nos primeiros 15 segundos b Se o tempo de vida T desse computador tem distribuicao exponencial de parˆametro θ Alem disso Nt e T sao independentes para todo t Obtenha a distribuicao do numero de emails lidos ate o computador falhar 60 Questao 8 O modelo classico do risco na atividade seguradora é um processo estocastico Ututcad St onde Ut é 0 capital da seguradora no instante reserva de risco e c 6 uma constante que representa o prémio por unidade de tempo de forma que ct sera o prémio que recebeu a seguradora até o instante t u éa reserva inicial da seguradora e St representa o valor total das indenizacoes até o instante t Xt StS Yn n1 onde Yn1 é uma sequéncia de varidveis aleatérias nao negativas que representam os valores das indenizagoes individuais que deve pagar a seguradora ante a ocorréncia de sinistros e Xi0 6 um processo de Poisson homogéneo das ocorréncias das indenizacoes até o instante t Suponha um caso particular onde Y Exponencialje X 6 um processo Poisson de taxa Nesse caso calcule EUt Questao 9 Numa partida do Goids pela Copa do Brasil veiculos chegam ao estacionamento do Estadio Serra Dourada segundo um processo de Poisson de taxa A 100 veiculos por minuto Cada veiculo tem 7 pessoas com probabilidade p 5i 12345 a Calcule o ntimero médio de torcedores que chegam num periodo de 5 minutos b Calcule a probabilidade de se demorar pelo menos 90 segundos até a chegada de 144 veiculos Questao 10 A emissaéo de particulas por uma fonte radioactiva é feita segundo um processo de Poisson Sabendo que a probabilidade de nao ser emitida qualquer particula num intervalo de tempo de amplitude unitaria é 3 calcule a A probabilidade de que a fonte emita pelo menos 2 particulas num intervalo de tempo de amplitude unitaria b A probabilidade de decorrerem pelo menos 3 unidades de tempo entre duas emissdes consecutivas de particulas c Suponha que cada particula emitida é registada com probabilidade 07 independentemente umas das outras Determine a probabilidade de serem registadas exatamente 2 particulas no intervalo de tempo 2 4 61 922 Prova 2 Questao 1 Considere um processo de Poisson naohomogˆeneo Ntt0 com funcao media mt tt1 t 0 a Calcule a probabilidade de ocorrerem exatamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3 b Sabendo que ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3 calcule a probabilidade de ambos os eventos terem ocorrido apos o instante 2 Questao 2 Uma loja atende ao publico de 8h00 a 17h00 Suponha que os clientes chegam de acordo a um processo de Poisson nao homogˆeneo com funcao de intensidade dada por λt 0 0 t 8 5 5t 8 8 t 11 20 11 t 13 20 2t 13 13 t 17 0 17 t 24 e e λt λt 24 para t 24 a Qual e a probabilidade de que nenhum cliente chegue a loja entre as 8h00 e as 9h30 b Qual e o numero esperado de clientes no perıodo das 8h00 e as 9h30 Questao 3 O tempo para um menino terminar a disputa de qualquer fase de um jogo de vıdeo game e uma variavel aleatoria exponencial de parˆametro λ O menino decide que apos terminar a disputa de cada fase ira lancar um dado honesto e caso saia face cinco ira parar de jogar e iniciar as tarefas da es cola imediatamente Caso saia face diferente de cinco iniciara uma nova fase Considere desprezıvel o tempo gasto com os lancamentos do dado Seja X o tempo ate que o menino inicie as tarefas escolares a Obtenha a distribuicao de X b Obtenha o tempo medio ate que o menino inicie as tarefas escolares c Responda os ıtens a e b considerando que λ 0 3 quando o tempo e medido em minutos e que o menino gasta 1 minuto em cada lancamento do dado Questao 4 Um minerador esta preso em uma mina contendo 3 portas A primeira porta leva a um tunel que o levara a saıda apos 2 horas de viagem A segunda porta leva a um tunel que fara com que ele retorne a mina apos 3 horas de viagem A terceira porta leva a um tunel que fara com que ele retorne a mina 62 apos 8 horas Considere que em todo 0 tempo o minerador escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade Seja T 0 tempo até o minerador sair livre a Defina uma sequéncia de vaiid X1 X2 e um tempo de parada N tal que N TSX i1 Obs Vocé pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apds ele alcancar a liberdade b Use a equacao de Wald para calcular FT c Calcule N E ys XN i1 n Esta quantidade é igual a EF x i1 d Use a parte c para calcular ET de forma diferente da parte b Questao 5 Um ratinho ocupa inicialmente a gaiola 1 e é treinado para mudar de gaiola atravessando uma porta sempre que soa um alarme Cada vez que soa o alarme o ratinho escolhe qualquer uma das portas incidentes a sua gaiola com igual probabilidade e sem ser afetado por escolhas anteriores Considere que o alarme ficou programado para tocar a cada minuto a Determine a probabilidade de o ratinho estar na gaiola 3 apds ter soado o alarme 3 vezes b Qual a distribuigéo da proporgaéo de vezes que esse ratinho passou pelas gaiolas considerando um longo lapso temporal 63 Questao 6 O mundo de Oz e abencoado com muitas coisas dentre as quais nao se encontra o tempo Seus habitantes nunca tˆem dois dias de sol consecutivos Depois de um dia bom eles estao igualmente propensos a ter um dia de chuva ou um dia de neve Se eles tˆem chuva ou neve num dia ha uma chance de 50 de terem o mesmo no dia seguinte Se ha mudanca do tempo apos um dia chuvoso ou com neve esta mudanca e para um dia bom em apenas 50 das vezes a Com base nessas informacoes determine a matriz de transicao do tempo no mundo de Oz b A longo prazo qual a porcentagem de dias ensolarados chuvosos e com neve Questao 7 Um determinado fruto tem sua safra classificada como superior media e pobre Estudos revelam que apos uma safra pobre ha probabilidades 06 e 03 de a safra no ano posterior ser classificada como media ou superior respectivamente Apos uma safra media ha probabilidades 04 e 01 de a proxima safra ser classificada como superior ou pobre respectivamente E apos uma safra superior ha probabilidades 05 e 01 de a proxima safra ser classificada como media ou pobre respectivamente Com base nestas informacoes a Represente o diagrama de transicao b Monte a matriz de transicao c Em 4 anos qual a probabilidade de uma safra vir a ser classificada como superior dado que a safra atual e pobre Questao 8 Suponha que so existem dois refrigerantes guarana e soda Se uma pessoa escolheu guarana existe 90 de chance de que peca novamente guarana Se a pessoa tiver escolhido soda a chance de que peca este refrigerante outra vez e de 80 a Calcule e interprete a distribuicao assintotica Π b Se uma pessoa e atualmente consumidora de soda qual a probabilidade de que escolha guarana no segundo pedido futuro c Suponha que 60 das pessoas bebem guarana e 40 bebem soda agora Daqui a trˆes pedidos que fracao das pessoas bebera guarana Questao 9 Considere uma Cadeia de markov a tempo discreto Xn n 0 com espaco de estados E 0 1 2 e matriz de transicao P a Defina distribuicao invariante 64 b Suponha que a cadeia inicia com a distribuicao invariante Il 7971 72 Mostre em detalhes que PX 1 7 para todoi E c Interprete o resultado da parte b Questao 10 Considere um processo de renovagao Xt 0 cujo tempo médio entre renovacg6es sucesssivas é U a Mostre que com probabilidade 1 X Et 1 tn b Interprete o resultado da parte a 923 Prova 3 Questao 1 Numa Cadeia de Markov a tempo continuo um estado sera recorrente se e somente se for recorrente para o esqueleto Xnndo Além disso os conjuntos irredutiveis para X para seu esqueleto coinci dem Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espacgo de estados E 1234 e matriz de transicgao 00 09 00 O1 08 00 00 02 Q 00 00 00 10 00 00 01 00 e taxas q 1q2 23 4q4 5 aCalcule o gerador infinitesimal deste processo bQuais estados deste processo sao recorrentes Justifique Questao 2 Uma distribuigao 7 sobre 0 espaco de estados FE sera chamada de distribuicao estacionaria da Cadeia de markov X se para todo j Ee todo t 0 So hk Prjt 79 keE Como no caso discreto se iniciarmos a cadeia com distribuigao estacionaria teremos que todos os estados terao a mesma distribuicao isto é PX j 7 65 E possivel provar que sob condicgoes bastante razodveis vale que uma distribuicao é estacionaria se e somente se S mkqrj 9 keE e no caso finito 7A 0 a Seja X uma Cadeia de Markov com gerador infinitesimal 5 2 3 A 2 3 1 2 4 6 Encontre a distribuicao estacionaria desta cadeia Interprete o resultado obtido b Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espaco de estados E 1 23 e matriz de transicgao 00 03 07 Q 01 00 09 02 08 00 e taxas q 10q2 4q3 2 Encontre a distribuicgao estacionaria desta cadeia Interprete o reultado obtido Questao 3 Sejam X1 X2 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PX 1 e PX 1 3 Seja n Sn S 2X n12 i1 e So 0 Sn 0 é um passeio aleatério simples assimétrico Seja N o tempo até o passeio alcancar a posicao 10 a Mostre que N é tempo de parada b Usando a equacao de Wald calcule o valor esperado de N Questao 4 Considere um jogador que a cada rodada de um jogo ganha um real com probabilidade e perde um real com probabilidade s Assuma que as rodadas do jogo sao independentes e que o jogador pare de jogar se seu capital soma do capital inicial com o capital ganho no jogo atingir 20 reais Se o capital inicial do jogador é de 8 reais calcule em todos os detalhes a probabilidade dele atingir 20 reais antes 66 de perder todo o dinheiro Questao 5 a Como podem ser classificados os estados de uma Cadeia de Markov a tempo continuo com relacao a varidvel Ww infs 0 tal que X145w A X1w Caracterize cada tipo de estado b Enuncie as equagdes de ChapmanKolmogorov para uma Cadeia de Markov a tempo continuo Questao 6 a Defina Martingale b Verifique se o passeio aleatério simples simétrico é um martingale c Seja UU2 uma sequéncia de varidveis aleatérias iid com distribuicgéo Uniforme01 Seja Xo le X 2 Unn12 i1 Mostre que X é um martingale Questao 7 Equacoes diferenciais de KolmogorovConsidere uma Cadeia de Markov X com espaco de estados E a Prove que P t APt bSuponha que F 123 que a matriz de transicao do esqueleto é 0 05 05 Q 08 0 02 07 03 O e que as taxas de saida valem q 10q2 1q3 5 Nesse caso como ficam as equacoes de Kolmo gorov retrospectivas Questao 8 Considere uma Cadeia de Markov X com espaco de estados E 12 e fungao de transigaéo 08402e77 02 02e7 0606e 044 06e74 Calcule a PX18 2 X36 1 X64 1 se mo1 1 77 2 67 b Obtenha as taxas qi i E Interprete os valores c Obtenha as taxas qij i j E Interprete os valores Questao 9 Considere um processo de ramificacao com X0 1 e PYi d p 1 PYi 0 a Sob quais condicoes π 1 b Calcule a probabilidade de extincao desse processo quando d 2 Questao 10 Considere um processo de nascimento e morte com trˆes estados E 0 1 2 e taxas de nascimento e morte tais que λ0 µ2 a Escreva o gerador infinitesimal b Escreva a matriz de transicao do esqueleto c Escreva as equacoes de Kolmogorov prospectivas 93 Provas 2014 931 Prova 1 Questao 1 a Defina Processo Estocastico b Os processos estocasticos podem ser classificados em funcao dos valores que podem assumir assim como dos instantes de tempo em que podem sofrer mudancas Quais sao as classificacoes existentes Dˆe um exemplo de cada tipo Questao 2 a Defina processo estocastico com incrementos independentes b Defina processo estocastico com incrementos estacionarios c Considere uma situacao na qual os eventos ocorrem em instantes de tempo aleatorios a uma taxa media de λ eventos por segundo Por exemplo um evento poderia representar a chegada de um cliente a uma estacao de servico ou a falha de um componente em algum sistema Seja Nt o numero de ocorrˆencias destes eventos no intervalo de tempo 0 tNt e entao um processo estocastico contınuo no tempo nao descrescente e que assume apenas valores inteiros Quais condicoes a mais devem ser observadas para que Nt seja um Processo de Poisson 68 Questao 3 Considere um processo estocastico Xt definido por Xt UcostVsintl1t1l onde U e V sao variaveis aleatérias independentes e cada uma assume os valores 2 e 1 com probabi lidades 5 e z respectivamente a Calcule wx t EX b Calcule Rx ti t2 Questao 4 Considere o processo estocastico Xt Ri coswot 8t 8 um sinal cossenoidal retificado em onda completa com amplitude aleatéria R com fdp exponencial we r0 frr 7 0 caso contrario a Calcule a fdp de Xt b Calcule a fungaéo média do processo 1x t e construa seu grafico Questao 5 Considere duas urnas A e B A urna A contém sete bolas verdes e trés bolas vermelhas enquanto a urna B contém nove bolas verdes e 1 bola vermelha Bolas sao retiradas uma a uma de cada urna ao acaso e com reposicao Sejam X X2 as varidveis aleatérias definidas por x 1 seas retiradas de nimero 7 das duas urnas resultam em bolas de mesma cor a 0 caso contrario Defina o processo estocastico processo aleatério S Sn n1 tal que n Sn S Xn n 1 i1 a Qual o significado do valor S Descreva este processo b Calcule pgn e o2n c Alguma versao da Lei Forte pode ser aplicada Qual versao e qual a conclusao obtida via Lei Forte 69 Questao 6 Dois jogadores A e B disputam apostas num jogo tal que em cada rodada a seguinte dinamica é realizada O jogador A recebe uma bola verde e o jogador B quatro bolas vermelhas Além disto ha cinco urnas outras quatro bolas verdes e uma outra bola vermelha Uma terceira pessoa arbitro do jogo coloca aleatoriamente uma bola dentro de cada urna O jogador A pega sua bola verde e escolhe uma urna para colocala O jogador B pega suas quatro bolas vermelhas e as coloca em quatro urnas uma em cada urna que escolher Colocadas as bolas contase os pontos de cada jogador na rodada A pontuacéo equivale ao numero de acertos que cada jogador consegue Um acerto ocorre quando um jogador coloca na urna uma bola da mesma cor contida na urna O vencedor da rodada é aquele que fizer mais pontos Este ganha um real na rodada O perdedor perde um real Em caso de empate no ntimero de pontos ninguém ganha nada Admita que a escolha de urna feita por um jogador A é independente das escolhas feitas pelo jogador B Defina n Sn SXin1 So 0 i1 como o ganho do jogador A apds n rodadas do jogo a Obtenha jogn ES b Obtenha on VarS Questao 7 O nimero de emails que chegam a um servidor no intervalo de tempo 0 t dado em minutos é para cada t 0 uma varidvel aleatéria N com distribuigao de Poisson com parametro At Somente um computador é conectado ao servidor para ler os emails recebidos a Dado que cinco emails chegaram no primeiro minuto qual é a probabilidade de que exatamente dois tenham chegado nos primeiros 15 segundos b Suponha que o tempo de vida T desse computador tem distribuigéo exponencial de pardmetro p Além disso N e T séo independentes para todo t Obtenha a distribuigéo do numero de emails lidos até o computador falhar Questao 8 Suponha que num classico entre Goids e Vila Nova a partir do tempo t 0 torcedores do Goids chegam a um bar onde o jogo vai ser trasmitido segundo um processo de Poisson de taxa torcedores por minuto De forma andloga torcedores do Vila Nova chegam ao mesmo bar segundo um processo de Poisson de taxa yp torcedores por minuto A partir do tempo t 0 qual é a probabilidade do primeiro torcedor a chegar ser do Goids 70 Questao 9 Suponha que o numero de pessoas que entram em uma loja de departamentos em um determinado dia seja uma variavel aleatoria com media 50 Suponha ainda que as quantias gastas por esses clientes sejam variaveis aleatorias independentes com media comum de R 8000 Finalmente suponha ainda que a quantia gasta por cliente seja independente do numero total de clientes que entram na loja Calcule em detalhes a quantidade esperada de dinheiro gasto na loja em um dado dia Questao 10 Considere que as temperaturas medidas em um determinado aeroporto ao meio dia a cada dia do ano geram uma sequˆencia C1 C2 C365 de possıveis valores aleatorios contınuos Essas medicoes foram tomadas ao longo dos ultimos 50 anos Foi observado que em qualquer dia do verao a temperatura se comporta uniformemente distribuıda entre 19 oC e 35 oC Calcule a probabilidade que na vespera do natal os passageiros do aeroporto ao desembarcarem sintam uma temperatura acima de 25 oC 932 Prova 2 Questao 1 Num classico entre Goias e Vila Nova torcedores chegam a bilheteria do Estadio Serra Dourada de acordo com um processo de Poisson com intensidade trezentos torcedores por minuto Admita que todo o torcedor que vai a este classico seja esmeraldino ou vilanovense Se 60 dos torcedores sao esmeraldinos torcem para o Goias a Calcule a probabilidade de pelo menos um torcedor esmeraldino chegar num perıodo de 05 segun dos b Dado que 100 torcedores esmeraldinos chegaram num perıodo de 20 segundos calcule o numero esperado de torcedores que chegaram nesse perıodo de tempo c Se 500 torcedores chegaram num perıodo de 2 minutos calcule a probabilidade de pelo menos 270 deles serem esmeraldinos Questao 2 Um registrador de trafego conta o numero de pacotes em um no de rede Seja N1t o contador do numero de pacotes vindos pelo caminho 1 no intervalo 0 t e N2t o contador do numero de pacotes vindos pelo caminho 2 no mesmo intervalo Os processos de Poisson N1t e N2t sao independentes com parˆametros λ e µ respectivamente Dado que n pacotes tenham chegado calcule a probabilidade que exatamente k pacotes tenham vindo pelo caminho 1 71 Questao 3 A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma varidvel aleatéria com distribuigéo exponencial de parametro Assim que o componente falha ele é imediatamente substituido por outro do mesmo tipo Se X representa o tempo de vida do iésimo componente utilizado entao Sn X i1 representa o instante da nésima falha A taxa de falhas r a longo prazo é definida por r lim n00 Sp Suponha que as varidveis aleatérias X 7 1 sejam independentes a Determine r b A fim de estimar verificouse que num intervalo 180 dias foram utilizados 4320 componentes Neste caso qual seria uma estimativa para A c Com base no item b construa um intervalo de confianga a 95 para X Interprete o intervalo obtido Questao 4 Uma companhia de seguro afirma que para certo tipo de acidente o numero de acidentes para cada periodo de 24 horas aumenta de meia noite para meio dia e diminui de meio dia para meia noite Suponha que o numero de acidentes desse tipo possa ser modelado por um processo de Poisson nao homogéneo onde a intensidade no tempo t é dada por y tPA pcr cos a Calcule o ntimero esperado de acidentes para o perfodo de cinco da manha a cinco da tarde em um certo dia b Calcule a probabilidade de que aconteca exatamente 1 acidente entre sete horas da manha e sete horas da tarde Questao 5 Um minerador esté preso em uma mina contendo 3 portas A primeira porta leva a um ttinel que o levaraé a saida apdés 4 horas de viagem A segunda porta leva a um tiinel que fard com que ele retorne mina apés 6 horas de viagem A terceira porta leva a um ttinel que fard com que ele retorne 4 mina apos 8 horas Considere que em todo 0 tempo o minerador escolhe qualquer uma das portas com igual probabilidade Seja T 0 tempo até o minerador sair livre 72 a Defina uma sequéncia de vaiid X1 X2 e um tempo de parada N tal que N TSX i1 Obs Vocé pode supor que o minerador continua escolhendo portas aleatoriamente mesmo apds ele alcancar a liberdade b Use a equacao de Wald para calcular FT c Calcule N E ys XN i1 Esta quantidade é igual a EF x d Use a parte c para calcular ET de forma diferente da parte b Questao 6 A cada quatro clientes que chegam numa loja um ganha um presente isto é os clientes nimero 4 8 12 etc ganham presentes Se as chegadas dos clientes formam um processo de Poisson com taxa X 120 clientes por hora a Calcule a fungao de densidade dos tempos entre chegadas consecutivas de clientes que ganham presentes b Seja Mt o nimero de presentes que foram dados pela loja até o instante t em horas Calcule PM2 56 Questao 7 Considere uma Cadeia de Markov com espaco de estados EF 123 e matriz de transicao 020 000 080 P 075 025 000 000 000 100 a Obtenha pi para todo 17 E b Obtenha a distribuigdo de X sabendo que o estado inicial é escolhido de acordo com a distribuigaéo Ip 701 702 703 PX 1 PXo 2 PXo 3 4 2 7 c Obtenha e interprete a distribuigao assintdtica Io d Obtenha e interprete a distribuicao invariante II 73 Questao 8 Um ratinho ocupa inicialmente a gaiola 1 e é treinado para mudar de gaiola atravessando uma porta sempre que soa um alarme Cada vez que soa o alarme o ratinho escolhe qualquer uma das portas incidentes a sua gaiola com igual probabilidade e sem ser afetado por escolhas anteriores Considere que o alarme ficou programado para tocar a cada minuto Determine a probabilidade de o ratinho nao estar na gaiola 2 apds ter soado o alarme 3 vezes Questao 9 Considere trés bolas distribufidas em duas urnas A cada instante de tempo n uma das trés bolas é sorteada ao acaso e trocada de urna Seja X o numero de bolas na primeira urna no instante n a Descreva uma cadeia de Markov para este procedimento b Encontre e interprete a distribuigdéo invariante desta cadeia Questao 10 Equacgoes de ChapmanKolmogorov Considere uma Cadeia de Markov homogénea a tempo discreto com espago de estados FE 12 n Escreva pi PXn4m jXn 7 Mostre que py So pepe para todo i7 E keE Qual a interpretagao deste resultado 74 933 Prova 3 Questao 1 Sejam X1 X9 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que PXn 1 5 e PX 1 Seja n Sn S 2X n12 i1 e So 0 Sn 0 é um passeio aleatério simples assimétrico Seja N o tempo até o passeio alcancar a posicao 5 pela primeira vez a Mostre que N é tempo de parada b Usando a equcao de Wald calcule o valor esperado de N Questao 2 Considere um passeio aleatério simples Sn 0 com So 0 e para todo n 12 n Sn So Xi onde PX 1 e PX 1 Calcule em detalhes PS25 5 i1 Questao 3 Cada bola na figura a seguir representa um individuo Suponha que de inicio 0 individuo na posigao chamada Origem recebe uma informagao e deseja propagala ao longo de um sistema como o da figura onde vizinhos imediatos sao ligados por segmentos de reta Quando um individuo recebe a informacao ele tenta transmitila para seus vizinhos imediatos abaixo A chance de um individuo detentor da informacao transmitila para um de seus vizinhos imediatos abaixo é de 5 e independe da tentativa de transmissao para outro vizinho imediato A figura apresenta parte da estrutura onde os individuos estao distribuidos A estrutura completa é infinita de modo que cada individuo possui dois vizinhos imediatos abaixo e um vizinho imediato acima Por exemplocada individuo na Geracao 1 possui dois vizinhos imediatos abaixo que pertencem a Geracéo 2 Apenas o individuo na Origem nao possui vizinho imediato acima Seja X o numero de individuos na Geragao n que receberao a informacao 75 a Escreva X como um processo de ramificacao e calcule sua probabilidade de extincao b Seja Z Oe Zn1 Zn S X i1 o total de individuos até a geracgéo n que recebem a informacao Calcule para n finito EZ Questao 4 Sejam So O0e Sn 5 Xjn12 i1 onde Xen 6 uma sequéncia de varidveis aleatérias iid com distribuigéo exponencial de média 1 Mostre que M 2 exp Sn 12define um martingale Questao 5 Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espaco de estados F 1 23 e matriz de transigao 00 07 03 Q 01 00 09 06 04 00 e taxas q 8q2 6q3 5 Calcule o gerador infinitesimal deste processo e interprete seus valores Questao 6 Considere uma Cadeia de Markov a tempo continuo com espaco de estados EF 12 que permanece no estado 1 durante um tempo exponencial com taxa 2 antes de passar para o estado 2 onde estara um tempo exponencial com taxa 8 antes de voltar ao estado 1 Calcule P25 Questao 7 a Descreva o processo de nascimento e morte e dé uma interpretacao para o estado do processo num instante ft b Escreva o gerador infinitesimal para o processo de nascimento e morte c Escreva as equagoes de Kolmogorov prospectivas para o processo de nascimento e morte d Escreva a matriz de transigéo do esqueleto Questao 8 Considere uma Cadeia de Markov X com espaco de estados F a Prove que Pt APt equagdes de Kolmogorov retrospectivas b Suponha que E 12 Como ficam as equagoes de Kolmogorov retrospectivas escritas compo nente a componente 76 Questao 9 Considere trés bolas distribuidas em duas urnas Suponha que o seguinte processo é repetido indefini damente Sorteamos uma das trés bolas ao acaso e trocamos de urna Seja X o ntimero de bolas na primeira urna apés a nésima troca Admita que o tempo entre duas trocas consecutivas tem distri buigao exponencial com parametro dependente do numero de bolas na urna 1 Mais especificamente suponha que se apés a nésima troca ha 7 bolas na urna 1 entao A 7 1 a Descreva uma cadeia de Markov X que dé o ntimero de bolas na urna 1 no tempo t b Encontre e interprete a distribuicdo invariante desta cadeia Veja Anexo no fim da Prova Questao 10 Um ratinho ocupa inicialmente a gaiola 1 e é treinado para mudar de gaiola atravessando uma porta sempre que soa um alarme O tempo entre dois soares consecutivos tem distribuigao exponencial cujo parametro depende da gaiola atual do ratinho Isto é se ele se encontra na gaiola 7 o tempo tem distribuigao exponencial de parametro Cada vez que soa o alarme o ratinho escolhe qualquer uma das portas incidentes a sua gaiola com igual probabilidade e sem ser afetado por escolhas anteriores Supondo i escreva este problema como uma Cadeia de Markov obtenha sua distribuicado inva riante Veja Anexo no fim da Prova e interpre o resultado obtido Anexo Uma distribuigao 7 sobre 0 espaco de estados F sera chamada de distribuicao estacionaria da Cadeia de markov X se para todo 7 EF e todo t 0 So hk Prjt 79 keE Como no caso discreto se iniciarmos a cadeia com distribuigao estacionaria teremos que todos os estados terao a mesma distribuicao isto é PX j J 77 E possivel provar que sob condicgoes bastante razodveis vale que uma distribuicao é estacionaria se e somente se S mkqrj 9 keE e no caso finito 74 0 Além disso se 0 esqueleto X de X 6 irredutfvel e possui somente estados recorrentes positivos lembrese que numa Cadeia de Markov X a tempo continuo um estado sera recorrente se e somente se for recorrente para o esqueleto Xnn0 e além disso os conjuntos irredutiveis para X e para seu esqueleto coincidem entao 1 ma qj Tj onde T inftTXje EZ EZjXo0 J 94 Provas 2022 941 Prova 1 Questao 1 Os motores de busca surgiram logo apds o aparecimento da Internet com a intencao de prestar um servico extremamente importante a busca de qualquer informacao na rede apresentando os resultados de uma forma organizada e também com a proposta de fazer isto de uma maneira rapida e eficiente A partir deste preceito bdsico diversas empresas se desenvolveram chegando algumas a valer milhoes ou bilhoes de ddlares Entre as maiores empresas encontramse Google Yahoo Lycos Cadé e outras Os buscadores se mostraram imprescindiveis para o fluxo de acesso e a conquista de novos visitantes Suponha que o internauta navega por paginas da Web em um universo de cinco paginas como mostrado na Figura 1 sendo cada pagina um dos elementos do espaco de estados EF O internauta escolhe a préxima pagina para ver selecionando com igual probabilidade a partir das paginas apontadas pela paégina atual Se uma pdgina nao tem qualquer ligagao de saida por exemplo pagina 2 em seguida o interessado seleciona qualquer uma das paginas do universo com igual probabilidade Poderfamos estar interessados em encontrar a probabilidade de que o internauta veja a iésima pagina O comportamento de visualizagao pode ser modelado por uma Cadeia de Markov em que o estado representa a pagina atualmente visualizada Se a pagina atual aponta para k paginas entao a proxima pagina é selecionada a partir desse grupo com probabilidade i Se a pagina atual nao aponta para nenhuma pagina entao a proéxima pagina pode ser qualquer uma das cinco paginas com probabilidade de transicao z a Com base nas informagdes do texto e no grafo de busca da Figura 1 nao confunda com o grafo 78 Figura 91 Grafo de busca de transicao de uma Cadeia de Markov construa uma Cadeia de Markov para este problema b Construa o grafo de transicao para essa Cadeia e verifique se a cadeia e irredutıvel e aperiodica Questao 2 Um jogador tem um R 100 e a cada vez rodada que joga ganha R100 com probabilidade 04 ou perde R100 com probabilidade 06 O jogo termina quando o jogador acumula R 300 ou R 000 Este jogo e uma Cadeia de Markov cujos estados representam a quantia de dinheiro que o jogador possui a cada vez que joga apos cada rodada a Construa a matriz de transicao e grafo de transicao para essa cadeia b Suponha que o jogo terminou em um numero par de rodadas Com essa informacao e possıvel dizer se o jogador saiu sem dinheiro ou se saiu com R 300 c Qual e a probabilidade do jogo terminar em 5 rodadas d Qual e a probabilidade do jogo terminar com o jogador sem dinheiro Questao 3 Considere uma Cadeia de Markov a tempo discreto com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de transicao P 9 10 1 10 0 0 7 8 1 8 0 0 1 Seja Vi o numero de visitas ao estado i e Ti minn 0 Xn i a Calcule pn ij para i E e j E b Obtenha e interprete EV1X1 1 c Classifique cada estado desta cadeia em recorrente ou transiente E preciso justificar d Obtenha a distribuicao de probabilidade e a media de T3 dado que X0 1 isto e PT3 kX0 1 e ET3X0 1 Questao 4 Considere uma Cadeia de Markov Xnn0 com espaco de estados E 1 2 3 4 e probabilidades de transicao pii1 1 10 1 i 3 pii1 9 10 2 i 4 p11 9 10 p44 1 10 79 n Defina T minn 0 Xp i e Vin So Ix j0 a Construa o grafo de transicaéo da cadeia e mostre que ela é irredutivel e aperiddica b Obtenha e dé duas interpretagdes para a distribuicaéo invariante c Obtenha e interprete ETXo 1 V d O que se pode concluir sobre Valn Interprete o resultado n Questao 5 Uma livraria acompanha diariamente o nivel de estoque de um livro popular para repor o estoque de 100 exemplares no inicio de cada dia Os dados para os ultimos 30 dias fornecem a seguinte posigao de estoque ao final do dia 1 2 0 3 2 1 0 0 3 0 1 1 3 2 3 3 2 1 0 2 0 1 3 0 0 3 2 1 2 2 a Represente o estoque diario por meio de uma Cadeia de Markov Deixe claro as suas hipdteses b Estime a probabilidade de a longo prazo a livraria ficar com falta de estoque de livros em um dado dia Questao 6 Em um domingo ensolarado de primavera uma empresa de minigolf pode obter R 2000 de receita bruta Se o dia estiver nublado a receita cai 20 Um dia chuvoso reduz a receita em 80 Se o dia de hoje estiver ensolarado ha 80 de chance que amanha também o tempo estara ensolarado sem nenhuma chance de chuva Se o dia estiver nublado ha 20 de chance de chover amanha e 30 de chance de fazer sol A chuva continuaré no dia seguinte com uma probabilidade de 08 mas ha 10 de chance de fazer sol Determine a receita esperada por esta empresa 942 Prova 2 Questao 1 Um jogador tem um R 100 e a cada vez rodada que joga ganha R100 com probabilidade 06 ou perde R100 com probabilidade 04 O jogo termina quando o jogador acumula R 400 ou R 000 a Calcule a probabilidade do jogo terminar com o jogador sem dinheiro b Em média quantas rodadas duram 0 jogo Questao 2 Sejam X1 X2Xn varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que 5 4 PX 1e PX 1 9 9 80 Seja n Sn S 0X n 12 i1 e So 0 Sn no0 6 um passeio aleatério simples assimétrico Seja N o tempo até o passeio alcangar a posicgao 50 a Mostre que N é tempo de parada b Usando a equacao de Wald calcule o valor esperado de N Questao 3 Sejam X1 X2 X varidveis aleatérias independentes e identicamente distribuidas tais que 2 1 PX 1 3 e PX 1 3 Seja n Sn SX n 12 i1 e So 0 a A Lei forte pode ser aplicada Qual sua conclusao Vocé deve fazer um grafico em sua explicacao b Calcule P295 Sooo 305 Use correcao de continuidade Questao 4 Seja Z o numero de indiviuos na geracgao n de um processo de ramificagao de GaltonWatson com distribuigao Pk p1 pk 012 onde p 1 para o ntimero de descendentes diretos de um indiviuo a Conclua que a probabilidade de extingao da populacaéo partindo de um unico individuo é ae b Suponha que Z Geométrica 7 0 r 1 Use o resultado em a para calcular a probabilidade de extingao da populacao Questao 5 Um exemplo de processo de ramificagao bem conhecido é devido a Lotka e estuda a evolucao da descendéncia de uma familia homens americanos com dados baseados num censo de 1920 Lotka mostrou que po 0 4825 e pz 0 21260 5893 1k 1 descreve 0 processo Determine a probabilidade de extingao 81 Questao 6 Para cada n inteiro nao negativo defina uma sequéncia de varidveis aleatérias independentes e identi camente distribuidas xr Nin xe 60 niimero de filhos do mésimo individuo da ngeracao Agora defina Z 1 e indutivamente Zn XV EXPY 4 AXE para n 1 Zn representa o tamanho total da populagdo na nésima geracgao O processo Znnen 6 chamado processo de ramificacao a Mostre por que Zn nen 6 Cadeia de Markov b Construa a matriz de transigéo de Znen para o caso onde cada x tem distribuicdo binomial com parametros n 2ep 3 Nesse caso qual é a probabilidade de extingao do processo 943 Prova 3 Questao 1 Clientes chegam em determinada loja de acordo com um processo de Poisson com taxa A clientes por hora Dado que trés clientes chegaram durante a primeira hora determine a probabilidade de que a Todos eles tenham chegado nos primeiros 30 minutos b Pelo menos um deles tenha chegado nos primeiros 20 minutos Questao 2 Numa partida do Goids pela Copa do Brasil torcedores chegam nas entradas do Estadio Hailé Pinheiro segundo um processo de Poisson de taxa A 100 torcedores por minuto Calcule a probabilidade de se demorar menos que 90 segundos até a chegada de 144 torcedores Questao 3 O modelo classico do risco na atividade seguradora é um processo estocastico Ut ut ct St onde Ut é 0 capital da seguradora no instante reserva de risco e c 6 uma constante que representa o prémio por unidade de tempo de forma que ct sera o prémio que recebeu a seguradora até o instante t u éa reserva inicial da seguradora e St representa o valor total das indenizacoes até o instante t Xt stSY n1 onde Yn1 uma sequéncia de varidveis aleatdérias nao negativas que representam os valores das indenizagdes individuais que deve pagar a seguradora ante a ocorréncia de sinistros e X50 6 um 82 processo de Poisson homogˆeneo das ocorrˆencias das indenizacoes ate o instante t Suponha um caso particular onde Yn Uniformea b a 0 e Xt e um processo Poisson de taxa λ Nesse caso calcule EUt e desenhe seu grafico Questao 4 Considere trˆes bolas distribuıdas em duas urnas Suponha que o seguinte processo e repetido indefi nidamente Sorteamos uma das trˆes bolas ao acaso e trocamos cada uma delas de urna Admita que o tempo entre duas trocas consecutivas tem distribuicao exponencial com parˆametro dependente do numero de bolas na urna 1 Mais especificamente suponha que se apos a nesima troca ha i bolas na urna 1 entao λi 2i 1 a Descreva dois processos ˆXnn0 que da o numero de bolas na primeira urna apos a nesima troca e Xtt0 que da o numero de bolas na urna 1 no tempo t b Encontre e dˆe uma interpretacao para a distribuicao invariante de ˆXnn0 c Encontre e dˆe uma interpretacao para a distribuicao invariante de Xtt0 Questao 5 Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificacao quando ha trˆes clientes no sistema dois na fila e outro sendo atendido se um outro chegar ele vai embora e nao volta nunca mais Suponha o caso onde λ 4 e µ 2 Calcule a distribuicao estacionaria desta cadeia Interprete o resultado obtido Questao 6 Um estabelecimento comercial possui uma maquina de polimento de carros com duas velocidades Na velocidade baixa a maquina leva 60 minutos em media para polir um carro Na velocidade alta leva so 30 minutos na media Uma vez que o chaveamento da baixa velocidade para alta e feito os tempos atuais podem ser assumidos seguirem uma distribuicao exponencial Assuma que o chaveamento para alta velocidade ocorre quando existe pelo menos dois clientes esperando ou seja trˆes ou mais no sis tema Alem disso os clientes sao atendidos na base do primeiro a chegar e o primeiro a ser atendido e que ha limite no numero de clientes que podem esperar Mais especificamente ha vagas para no maximo 4 clientes 3 em espera e 1 em atendimento Quando ha 4 clientes e um outro chega ele vai embora e nao volta nunca mais E estimado que os clientes cheguem de acordo com um processo de Poisson com um tempo medio entre chegadas de 30 minutos a Represente este modelo de filas como um processo de Markov a tempo contınuo b Encontre a distribuicao invariante para este modelo Interprete o resultado 83