Lista de Exercicios Resolvidos - Processos Estocasticos e Cadeias de Markov

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS QUESTOES PARA TREINAMENTO PROCESSOS ESTOCASTICOS CURSO ESTATISTICA PROFESSOR VALDIVINO Questao 1 Os motores de busca surgiram logo apos o aparecimento da Internet com a intencao de prestar um servico extremamente importante a busca de qualquer informacao na rede apresentando os resultados de uma forma organizada e tambem com a proposta de fazer isto de uma maneira rapida e eficiente A par tir deste preceito basico diversas empresas se desenvolveram chegando algumas a valer milhoes ou bilhoes de dolares Entre as maiores empresas encontramse Google Yahoo Lycos Cadˆe e outras Os buscadores se mostraram impre scindıveis para o fluxo de acesso e a conquista de novos visitantes Suponha que o internauta navega por paginas da Web em um universo de cinco paginas como mostrado na Figura 1 sendo cada pagina um dos elementos do espaco de estados E O internauta escolhe a proxima pagina para ver selecionando com igual probabilidade a partir das paginas apontadas pela pagina atual Se uma pagina nao tem qualquer ligacao de saıda por exemplo pagina 2 em seguida o interessado seleciona qualquer uma das paginas do universo com igual prob abilidade Poderıamos estar interessados em encontrar a probabilidade de que o internauta veja a iesima pagina O comportamento de visualizacao pode ser modelado por uma Cadeia de Markov em que o estado representa a pagina at ualmente visualizada Se a pagina atual aponta para k paginas entao a proxima pagina e selecionada a partir desse grupo com probabilidade 1 k Se a pagina at ual nao aponta para nenhuma pagina entao a proxima pagina pode ser qualquer uma das cinco paginas com probabilidade de transicao 1 5 Figure 1 Grafo de busca a Com base nas informacoes do texto e no grafo de busca da Figura 1 nao confunda com o grafo de transicao de uma Cadeia de Markov construa uma Cadeia de Markov para este problema b Construa o grafo de transicao para essa Cadeia e verifique se a cadeia e irre 1 Questão 2 Um jogador tem um R 100 e a cada vez rodada que joga ganha R100 com probabilidade 04 ou perde R100 com probabilidade 06 O jogo termina quando o jogador acumula R 300 ou R 000 Este jogo é uma Cadeia de Markov cujos estados representam a quantia de dinheiro que o jogador possui a cada vez que joga após cada rodada a Construa a matriz de transição e grafo de transição para essa cadeia b Suponha que o jogo terminou em um número par de rodadas Com essa informação é possível dizer se o jogador saiu sem dinheiro ou se saiu com R 300 c Qual é a probabilidade do jogo terminar em 5 rodadas d Qual é a probabilidade do jogo terminar com o jogador sem dinheiro Questão 3 Considere uma Cadeia de Markov a tempo discreto com espaço de estados E 123 e matriz de transição P 910 110 0 0 78 18 0 0 1 Seja Vi o número de visitas ao estado i e Ti minn 0 Xn i a Calcule pⁿij para i E e j E b Obtenha e interprete EV1X1 1 c Classifique cada estado desta cadeia em recorrente ou transiente É preciso justificar d Obtenha a distribuição de probabilidade e a média de T3 dado que X0 1 isto é PT3 kX0 1 e ET3X0 1 Questão 4 Considere uma Cadeia de Markov Xnn0 com espaço de estados E 1234 e probabilidades de transição pii1 110 1 i 3 pii1 910 2 i 4 p11 910 p44 110 Defina Ti minn 0 Xn i e Vin j0 to n IXji a Construa o grafo de transição da cadeia e mostre que ela é irredutível e aperiódica b Obtenha e dê duas interpretações para a distribuição invariante c Obtenha e interprete ET1X0 1 d O que se pode concluir sobre V4nn Interprete o resultado Questão 5 Uma livraria acompanha diariamente o nível de estoque de um livro popular para repor o estoque de 100 exemplares no inıcio de cada dia Os dados para os ultimos 30 dias fornecem a seguinte posicao de estoque ao final do dia 1 2 0 3 2 1 0 0 3 0 1 1 3 2 3 3 2 1 0 2 0 1 3 0 0 3 2 1 2 2 a Represente o estoque diario por meio de uma Cadeia de Markov Deixe claro as suas hipoteses b Estime a probabilidade de a longo prazo a livraria ficar com falta de estoque de livros em um dado dia Questao 6 Em um domingo ensolarado de primavera uma empresa de minigolf pode obter R 2000 de receita bruta Se o dia estiver nublado a receita cai 20 Um dia chuvoso reduz a receita em 80 Se o dia de hoje estiver ensolarado ha 80 de chance que amanha tambem o tempo estara ensolarado sem nenhuma chance de chuva Se o dia estiver nublado ha 20 de chance de chover amanha e 30 de chance de fazer sol A chuva continuara no dia seguinte com uma probabilidade de 08 mas ha 10 de chance de fazer sol Determine a receita esperada por esta empresa Questao 7 Um estudo de resposta imunologica em coelhos classificou os coelhos em quatro grupos 123 ou 4 de acordo com a intensidade da resposta imune De uma semana para a seguinte os coelhos alteram a classificacao de um grupo para o outro de acordo com a seguinte matriz de transicao P 5 7 2 7 0 0 0 1 2 1 3 1 6 0 0 1 2 1 2 0 0 1 4 3 4 a Construa a matriz de transicao e grafo de transicao para esse modelo b Suponha que um coelho inicie no grupo 1 Qual a probabilidade de quatro semanas depois ele estar no grupo 2 3 Questão 2 a Vamos construir seguindo as regras P 1 0 0 0 06 0 04 0 0 06 0 04 0 0 0 1 b Poro o jogo acor com rodado por o jogador terminou com R300 pois é impossível em dois rodados o jogador ter 0 sendo que quando se te R 100 preciso de 1 rodado ou 3 por o se ter 0 impor rodados c Poro resolvermos precisamos achor o P5 P5 1 0 0 0⁵ 1 0 0 0 06 0 04 0 077856 0 01984 0 0 0 0 01 0 0 0 01 Logo 077856 01984 097696 d Como não disse em que rodada vamos em tender que é a longo prozo 1º Achor DImviorionte πP π1 π1 06π104π3π2 06π204π4π3 π4π4 π1π2π3π41 Queremos achor π1 0 0 0 00 Resolvendo o sistema dado que começa do R100 0 06 1 04 0 0 0 0 00 078147 000000726 0 021054 de perder Questão 3 E 123 P 09 01 0 0 78 18 0 0 1 a Vamos desenho o grofo para ficar mios fóci Estado 2 01 09 78 18 Estado 1 Estado 3 pm12110 mk1 k01 0 cc p₂₂ᵐ 78ᵐ mk k12 0 cc p₃₂ᵐ 0 123 pm11 910k se mk k012 0 cc pm₂₁ 0 pm₃₁ 0³ Estado 3 pm13 1 mk2 k0123 0 cc pm₂₃ 18 mk1 k012 0 cc pm₃₃ 1 mk k012 b Queremos EV1X11 dado que estamos estado 1 a esperomça seria lim m 910m 0 como a única forma de ir ao estado 1 é por ele mesmo a esperança é 0 c como estado 1 pode ir proprio ele mesmo e para o 2 ele é tromsiente O mesmo vale ao estado 2 tromsiente Jó o estado 3 que é um estado obarvente por quando chegar nele não ter como sair é recorrente d Temos T3X01 23 PT32X01 P12 P23 110 18 Sendo T3x2 Ex 1 18 18 7 ET3X01Ex2X01 ExX01 2 7 2 9 PT33X01 P11 P12 P23 910 110 18 PT3kX01 0 se k 234 Questão 5 Nosso hipótese será pegar todos os momentos que o número do estoque estiver em 0 1 2 3 e montar grupos 8 vezes o 0 7 vezes o 1 7 vezes o 2 7 vezes o 3 Agora vamos ver os números seguintes a esses números para montar a matriz de transição 0 1 2 3 P 28 28 18 38 27 17 27 27 27 37 17 17 27 0 47 17 b Para acharmos a longo prazo precisamos do Dominvariante logo 28π1 28π2 18π3 38π4 π1 vamos tirar uma e resolver o sistema 27π1 47π2 17π3 π2 68 28 18 38 0 π1 π1 π3 π4 1 27 67 27 27 0 π1 π2 π3 π4 1 27 37 67 17 0 1 1 1 1 1 Usando o calculadoro temos π1025 Folto de estoque π2025 π3025 π4025 Questão 6 1 Vamos montar a matriz de transição E nublado chuvoso ensolarado emsol nublado chuvoso Ensolorado 08 02 0 nublado 03 05 02 chuvoso 01 01 08 Agora vamos achar a distribuimoriente para achar a receita estimada 08π1 02π2 π1 03π1 05π2 02π3 π2 01π1 01π2 08π3 π3 π1 π2 π3 1 resolvendo o sistema com calculadora temos π1 13 π2 13 π3 13 Esses valores mostram como é a probabilidade ao longo do tempo Receita Esperada 200013 160013 40013 40003 133333