Lista de Exercicios Resolvidos Cadeias de Markov Probabilidade e Estatistica

Questão 1Valor05 Considere uma Cadeia de Markov Xnn0 com espaço de estados E 12345 e probabilidades de transição pii1 frac9991000 1 le i le 4 quad pii1 frac11000 2 le i le 5 quad p11 frac11000 quad p55 frac9991000 Defina Ti minn 0 Xn i e Vin sumj0n IXj i a Obtenha e dê duas interpretações para a distribuição invariante b Obtenha e interprete mathbfETiX0 i para i in E c O que se pode concluir sobre fracV5nn Interprete o resultado Questão 2Valor05 Uma partícula deslocase sobre uma circunferência parando em quatro pontos previamente marcados no sentido dos ponteiros do relógio 1 2 3 e 4 Em cada passo a partícula deslocase no sentido dos ponteiros do relógio com probabilidade p e no sentido contrário com probabilidade 1 p com 0 p 1 Seja para n in mathbfN Xn a posição da partícula no instante n e Tj minn 0 Xn j a Para i in 1234 determine mathbfETiX0 i b Determine a distribuição invariante do processo e o resultado limite para fracVinn quando p frac110 Interprete os resultados c Determine mathbfETiX0 i quando p frac910 Interprete o resultado Questão 3Valor05 Considere uma Cadeia de Markov a tempo discreto com espaço de estados E 123 e matriz de transição P beginpmatrix frac710 0 frac310 frac110 frac910 0 0 0 1 endpmatrix Seja Vi o número de visitas ao estado i e Ti minn 0 Xn i a Obtenha e interprete mathbfEV1X0 2 b Obtenha e interprete mathbfPV2 k e mathbfEV2 quando P0 040501 c Classifique cada estado desta cadeia em recorrente ou transiente É preciso justificar d Obtenha a distribuição e a média de T1 dado que X0 2 isto é mathbfPT1 k X0 2 e mathbfET1 X0 2 e Obtenha e interprete mathbfPT3 k quando P0 040501 Questão 4Valor05 Considere três bolas distribuídas em duas urnas Suponha que o seguinte processo é repetido indefi nidamente Sorteamos simultaneamente uma das três bolas ao acaso e trocamos cada uma delas de urna Admita que o tempo entre duas trocas consecutivas tem distribuição exponencial com parâmetro lambda 2 a Descreva dois processos hatXn n geq 0 que dá o número de bolas na primeira urna após a nésima troca e Xtt geq 0 que dá o número de bolas na urna 1 no tempo t b Encontre e dê duas interpretações para a distribuição invariante de hatXn n geq 0 c Encontre e dê duas interpretações para a distribuição invariante de Xtt geq 0 Questão 5Valor05 Seja X Xtt in T um processo de nascimento e morte recorrente com taxas de nascimento lambdan lambda e taxas de morte mun mu associado a uma fila MM1 a Mostre que o processo será recorrente positivo e logo terá distribuição estacionária única se e somente se lambda mu b Mostre que caso o processo seja recorrente positivo a distribuição estacionária será também a distribuição limite e será dada por pi0 fracmu lambdamu pik pi0 leftfraclambdamurightk ext se k geq 1 Questão 6Valor05 Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificação quando há três clientes no sistema dois na fila e outro sendo atendido se um outro chegar ele vai embora e não volta nunca mais Suponha o caso onde lambda 4 e mu 2 a Calcule a distribuição estacionária desta cadeia Interprete o resultado obtido b Seja Ti minn 0 Xn i Obtenha e interprete mathbfET0X0 0