Lista de Exercícios Resolvidos - Processos Estocásticos e Variáveis Aleatórias

Questão 6 Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que PXi1 910 e PXi1 110 Seja S00 e Sn Σi1n Xi n12 a Calcule a distribuição de primeira ordem desse processo função de probabilidade de Sn b Obtenha PS100 85 c Obtenha PS10085 Questão 7 Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que PXn1 p e PXn1 1p Seja S00 e Sn Σi1n Xi n12 A coleção Sn n 0 é um processo aleatório chamado passeio aleatório simples unidimensional Defina um processo aleatório St tal que St Sn n t n 1 a Descreva o processo St e construa um exemplo de realização de St c Calcule a média e a variância de St e construa os gráficos destas duas funções Questão 8 Seja Xn n 0 um processo estocástico tal que as variáveis aleatórias Xi são independentes e identicamente distribuídas com lei PXi1 p 1PXi0 Escreva ti i As variáveis aleatórias Yi Xi Xi1 são exemplos de incrementos para o processo Xn n 0 a Calcule a distribuição destes incrementos b Obtenha CovYi Yj Questão 9 Considere uma urna contendo oito bolas verdes e duas bolas vermelhas Bolas são retiradas uma a uma da urna ao acaso e com reposição Sejam X1 X2 as variáveis aleatórias definidas por Xi 1 se a iésima retirada resulta em bola verde 0 caso contrário Defina o processo estocástico S Snn1 tal que Sn Σi1n Xi n 1 a O que pode ser afirmado via Lei Forte dos Grandes Números Interprete o resultado b Calcule PS1000 812 c Calcule VarS1000 Questão 1 Considere um processo aleatório definido por Xt A cosωt Θ t onde A e ω são constantes e Θ Uniforme π π a Calcule a média de Xt b Calcule a variância de Xt c A autocorrelação de Xt d A autocovariância de Xt Questão 2 A quantidade de tempo que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade fx 132 x7 0 x 2 0 caso contrário Assim que o componente falha ele é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo Se Xi representa o tempo de vida do iésimo componente utilizado então Sn Σi1n Xi representa o instante da nésima falha Suponha que as variáveis aleatórias Xi i 1 sejam independentes a A taxa de falhas r a longo prazo é definida por r limn nSn Calcule r b Este processo é markoviano Prove Questão 4 Uma partícula se movimenta ao longo do conjunto dos inteiros da seguinte maneira Se ela está na posição i então se movimenta para a posição i 1 com probabilidade p e para a posição i 1 com probabilidade 1 p Iniciando na posição 0 seja α a probabilidade dela em algum momento atingir a posição 1 Calcule α Questão 7 Seja Xn n 0 um processo estocástico com incrementos estacionários independentes e assuma que S0 0 Mostre que a EXt µ1 t onde µ1 EX1 b VarXt σ12 t onde σ12 varX1 Questão 8 Seja Xn n 0 uma sequência aleatória de vaiid com média 0 e variância 1 Mostre que Xn n 0 é um processo estacionário no sentido amplo Questão 4 Considere um passeio aleatório simples com barreiras onde o espaço de estados é E 1 2 3 4 5 e as probabilidades de transição pii1 25 1 i 4 pii1 35 2 i 5 p11 35 p55 25 Calcule em todos os detalhes a distribuição invariante Valor 06 Dê duas interpretações intuitivas para o resultado obtido Valor 04 Questão 2 Um jogador tem um R 100 e a cada vez rodada que joga ganha R 100 com probabilidade 04 ou perde R 100 com probabilidade 06 O jogo termina quando o jogador acumula R 300 ou R 000 Este jogo é uma Cadeia de Markov cujos estados representam a quantia de dinheiro que o jogador possui a cada vez que joga após cada rodada a Construa a matriz de transição e grafo de transição para essa cadeia b Suponha que o jogo terminou em um número par de rodadas Com essa informação é possível dizer se o jogador saiu sem dinheiro ou se saiu com R 300 c Qual é a probabilidade do jogo terminar em 5 rodadas d Qual é a probabilidade do jogo terminar com o jogador sem dinheiro Questão 1 Um jogador tem um R 100 e a cada vez rodada que joga ganha R100 com probabilidade 06 ou perde R100 com probabilidade 04 O jogo termina quando o jogador acumula R 400 ou R 000 a Calcule a probabilidade do jogo terminar com o jogador sem dinheiro b Em média quantas rodadas duram o jogo Questão 2 Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que PXn 1 59 e PXn 1 49 Seja Sn i1 n Xi n 12 e S0 0 Snn0 é um passeio aleatório simples assimétrico Seja N o tempo até o passeio alcançar a posição 50 a Mostre que N é tempo de parada b Usando a equação de Wald calcule o valor esperado de N Questão 3 Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que PXi 1 23 e PXi 1 13 Seja Sn i1 n Xi n 12 e S0 0 a A Lei forte pode ser aplicada Qual sua conclusão Você deve fazer um gráfico em sua explicação b Calcule P295 S900 305 Use correção de continuidade Questão 4 Seja Zn o número de indivíduos na geração n de um processo de ramificação de GaltonWatson com distribuição pk pk1 p k 012 onde 12 p 1 para o número de descendentes diretos de um indivíduo a Conclua que a probabilidade de extinção da população partindo de um único indivíduo é 1pp b Suponha que Z0 Geométrica r 0 r 1 Use o resultado em a para calcular a probabilidade de extinção da população Questão 5 Um exemplo de processo de ramificação bem conhecido é devido a Lotka e estuda a evolução da descendência de uma família homens americanos com dados baseados num censo de 1920 Lotka mostrou que p0 04825 e pk 0212605893k1 k 1 descreve o processo Determine a probabilidade de extinção Questão 6 Para cada n inteiro não negativo defina uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas Xmnm Xmn é o número de filhos do mésimo indivíduo da ngeração Agora defina Z0 1 e indutivamente Zn Xn11 Xn12 Xn1Zn1 para n 1 Zn representa o tamanho total da população na nésima geração O processo ZnnN é chamado processo de ramificação a Mostre por que ZnnN é Cadeia de Markov b Construa a matriz de transição de ZnnN para o caso onde cada Xmn tem distribuição binomial com parâmetros n 2 e p 34 Nesse caso qual é a probabilidade de extinção do processo