Introdução aos Processos Estocásticos

Introdução aos processos estocásticos Processo estocástico Definição É uma família de variáveis aleatórias Types discreto a tempo discretas contínuo a tempo contínuo Xt Valor do processo no tempo t T conjunto de índices para cada t T Xt é a E conjunto onde Xt toma valores Chamado espaço de estados Passeio aleatório simples Sm n 0 é tal que Sm X1 Xm n 1 S0 0 As va X1 X2 são iid com PXk 1 p e PXk 1 1 p E Z T 012 discreto a tempo discreto Processos de ramificação Zm m 0 tal que Z0 1 Zm Σi1Nm1 Ni Ni1 NNm1 m de filhos do iésimo indivíduo da m1ésima geração No exemplo Z0 1 Z1 3 Z2 5 Z3 3 N10 3 N11 1 N12 4 N21 0 N21 2 N13 1 E 012 discreto T 012 Processos de contagem Xt t 0 é processo de contagem se 1 X0 0 2 Xt 0 3 Xt é valor inteiro 4 Xs Xt se s t 5 Xt Xs nº de scennarios em st E 012 discreto T 012 ou ℝ tempo discreto ou tempo contínuo Processo de Poisson Xt t 0 E um processo de contagem com incrementos independentes PXts Xt n eλs λsm m m 012 E 012 discreto T ℝ tempo contínuo Tmm 0 é chamado processo de chegadas É um processo contínuo a tempo discreto Sm T1 T2 Tm Tm Sm Sm1 Sm n 0 é chamado processo de chegadas É um processo contínuo a tempo discreto Caracterização dos processos Estocásticos Especificações de 1ª ordem a lei de cada Xt é conhecida Especificação de ordem m a lei conjunta para todo vetor Xt1Xtm é conhecida função média μxt EXt função variância σ2xt VarXt função autocovariância CovXt Xs EXt μxtXs μxs μxt EΣ Xk EΣ Xk Σ EXk t EX1 t EX1 t EX1 t EX1 1 p 1 p1 p EX EX p1 p 2p 1 σx2t 4p1 pt PSm k PVm n k 2 PSm n b Sm tem incrementos independentes estocásticos d O processo Tm m 1 em c é estacionário Definições O m1ésimo e o mésimo sucesso O processo de λwnn1 é chamado processo de chegadas Teorema B2 i Tn Pascal mp ii μTm ETm mp σ²Tm m1pp² iii Wm geométrico p iv μWm EWm 1p σ²Wm 1pp² v Lei forte dos grandes números Deixe Xn ns um processo de Bernoulli com parâmetro p e seja Tnn1 o processo de chegadas associados Então Tnm p c Note que Tn W1 W2 Wm m Para ε 0 N Nε aleatório tal que para m Nε Tmm pε pε v Teorema Central do Limite Seja Xn n1 um processo de Bernoulli com parâmetro p e seja Tnn1 o processo de chegadas associados Então Zn Tm mp mp1p PT84 100 m p 5m 4 σ² 4 m 4 m s4 PXn 1 12 Z84 T84 105 21 T84 T84 105 21 a Pela lei forte dos grandes números Smm 810 45 Assim para ε 0 N Nε tal que para m Nε Smm 45 ε 45 ε Aqui N é variável aleatória b Escreva Zn Sm mp Temos que Zn D Z Z N0 1 Zn S100 41005 PT84 100 PT84 105 100 105 PZ84 521 1 Φ521 Φ521 Φ109 08621 PAm PXm 1 m² 2m m² 2m t PBm PBm PAi mm1² PBm 12m2m2 2m²m1 PBm m22m1m1 PBm 1m²m2m1 PBm m22m1m1 PBm 1m²m2m1 PBm 12 EXn 1PXn 1 0PXn 0 PXn 1 mu12 EX1 PA1 A2 PA1PA2 810 810 1625 sigma2Sm 144m 2m164625 1 Definição C1 Sejam X₁ X₂ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que EX₁ Seja S₀ c e Sₘ S₀ Xᵢ i1 m 1 O processo Sₘ m 0 é chamado passeio aleatório Definição C2 Sejam X₁ X₂ variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que PX₁ 1 p e PX₁ 1 p Seja S₀ c e Sₘ S₀ Xᵢ i1 m 1 O processo Sₘ m 0 é chamado passeio aleatório simples Obs Se p 12 temos um passeio aleatório simples simétrico Se p 12 temos um passeio aleatório simples assimétrico Exemplo C1 Seja Sₘ m 0 um passeio aleatório simples com S₀ 0 Assim Sₘ X₁ X₂ Xₘ m 1 onde as variáveis aleatórias X₁ X₂ são iid Teorema C1 Seja Sₘ m 0 um passeio aleatório simples com S₀ 0 Então Sₘ X₁ X₂ Xₘ onde as variáveis aleatórias Xᵢ satisfazem que PXᵢ 1 p PXᵢ 1 Então PSₘ k m k2 pm k2 1 pn k2 se mk é par e k m 0 caso contrário A função média de Sₘ satisfaz M₁Sₘ 2p 1m n 0 1 2 A função variância de Sₘ satisfaz V₁Sₘ 4mp1 p veja Este dos grandes Números Sₘgé 2p 1 Assim para ε 0 N Nε aleatório tal que para n N Sₘ 2p 1 ε 2p 1 ε Prova 1 Note que Sₘ m Assim PSₘ k 0 se k m ou k m Seja Vₘ o número de passos tais que Xᵢ 1 Então Vₘ i 1 i m Xᵢ 1 Portanto Vₘ é binomial m p Vale Sₘ k Vₘ m k2 m par k m De fato se r é o número de is tais que Xᵢ 1 S é o número de is tais que Xᵢ 1 Então r S m 1 r S k 2 Obviamente r e S são inteiros não negativos PSₘ k PVₘ m k2 pm k2 1 pn k2 Assim PSₘ k m k2 pm k2 1 pn k2 1 k m r e m k per 0 cc 2 Note que Sₘ Xᵢ da linearidade da média M₁Sₘ ESₘ EΣ Xᵢ EXᵢ n EX₁ mas VarXk EXk² EXk² EXk² Σx²PXkx 1²PXk1 1²PXk1 EXk² 1P 11p P 1 p 1 logo VarXk 1 2p1² 1 4p² 22p 1 1 4p² 4p 1 4p 4p² 4p1p Portanto σ²Sm 4p1pm Usamos o Lema Forte dos Grandes Números de Kalmogorov Seja X₁ X₂ uma sequência de vaid com média comum μ finita Então Sₙ X₁ X₂ Xn satisfaz Sₙ n μ Em particular temos μ EX₁ 2p 1 onde segue o resultado Usamos o Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias iid Seja X₁ X₂ uma sequência de vaid com média comum μ finita e não nula 0 σ² Seja Sₙ X₁ X₂ Xn e Zₙ Sₙ nμ n Z é normal padrão Em particular temos μ EX₁ 2p 1 e σ² VarX₁ 4p1p 0 onde segue o resultado Observação O TCL nos dá lim PZₙ z Φz z 12π ex²2 dx assim para n grande PZₙ z Φz z 12π ex²2 dx Exemplo C2 Seja Sₙ n 0 um passeio aleatório sem pilares simétricos com S₀ 0 Calcule a PS₁₀ 0 b PS₁₀ 1 c P5 S₁₀ 8 d PS₁₀ 1 e PS₁₀ 0 Solução a Seja V₀ o número de passos tais que X₁ 1 λ 2 10 Temos V₀ binomial10 12 n S 10 m S 0 a r 10 S₁₀ 0 V₀ 5 PS₁₀ 0 PV₀ 5 PS₁₀ 0 10 512⁵12⁵ PS₁₀ 0 10111 1038765151 1038765543211 2521024 0246039375 PS₁₀ 0 2521024 0246039375 b n S 10 n S 1 s de passos p1 à direita 2n 11 n Z PS₁₀ 1 0 c P pelo TCL Zₙ S₁₀ 0 m N01 Assim aproximando Z₀₀ S₁₀ de uma N01 P5 S₁₀ 8 P5 S₁₀ 8 P5 Z₁₀ 8 P05 Z 08 Z N01 P5 S₁₀ 8 Φ08 Φ05 Φ08 Φ05 1 P5 S₁₀ 8 07881 06915 1 04796 d n S 100 n S 1 s de passos p1 à direita a r 101 n Z Logo PS₁₀ 1 0 e PS₁₀ 0 Analogamente ao item a V₁₀ binomial100 12 PS₁₀ 0 PV₀ 50 100 5012⁵12⁵ PS₁₀ 0 100 5012¹⁰ 01075889 Exemplo C3 Seja X₁ X₂ vaid tais que PX₁ 4 35 e PXₗ 4 25 i 1 2 Defino o passeio aleatório Sₙ n 0 com S₀ 0 e Sₙ X₁ X₂ Xn m s i 2 calcule PS₁₃ 27 Solução Deixem μ e σ os acréscimos no passeio S m de decrecimentos no passeio Portanto n S m n S 13 4n S 27 r 8 e s 5 5n 40 Seja V₁₃ o número de acréscimos no passeio Então PS₁₃ 27 PV₁₃ 8 8 325⁸35⁵ 0221 Assum para ε 0 N Nε aleatório tal que para n N Sm ε 2ε 2ε EXi2 4PXi 4 12PXi 1 1635 125 10 Assim Zm Sm ESm VarSm D N01 Em particular se E 001 P001 Sm 001 PSm 0 E 2Φ001m 1 Em particular se E 001 P001 Sm 001 PSm 0 E 2Φ001m 1 Em geral se p 05 e n grande PX k Para p diferente de 12 podemos fazer uma construção análoga PS1000 P05 S100 05 P05 S100 05 P05 Z100 05 2Φ05 1 206915 1 01830 PS1000 00736 bem próximo do valor real 0073589 PS3k 332 18 k3113 PS3k é a distribuição de probabilidades do k Pi P3 s 1 p 1 p i 1 1 p c Teorema C3 Equações de Wald E left frac1pp rightfrac12Snm left frac1pp rightfrac32 namos a seguinte desigualdade de hx e uma função não negativa então para a P left hX geq alpha right leq fracE left hX rightalpha from Sm X hS left frac1pp rightfrac12 xm e alpha left frac1pp rightfrac32 mas Sm k Vn fracmk2 1 leq k leq n m para onde Vn sim extbinomialm p Logo Snm sim extbinomialm p para outros lado se y sim extbinomialm p então Gy S pA1pm S in xi1 xim mas Gy E left Sy right logo E left 1pfrac12Snm right left fracp1pp 1 p rightm 21pm finalmente PT01 m leq 21pm left fracp1p rightfrac12 2m 1pm left fracp1p rightm 2m 1pm left fracp1p rightm ETn frac1psqrtp1p fracE2left 1p sqrtp right left fracp1p1p rightnEm0infty ET01 summ0infty PT01 2m1 summ0infty 2m1PT01m ET01 fracsumm0infty 2m1 left frac2mm2 right2mm fracET012T01 summ02m left 2m 22m 4 ldots 2 cdot 2m ldots fracmm1 ET01 geq summ0infty fracm2m22m4mm1m12 geq summ0infty 1 cdot 2m 22m 0 m1 min0mt p infty summ0infty left1 2mright ET01 n cdot ETms ET1o fracL21p EA with p teorema C7 Sejam X1 X2 uaid tais que P left Xi 1 right p e P left Xi 1 right 1 ext p p in 0 1 Defina Sn A Sm S0 sumi1m Xi onde B min m 0 Sm 0 ou Sm a b 0 Então EB frac12p 1 left ab left frac1 1pa1 1pb right alpha right p frac12 prova b sigma0 extprobabilidade de um passe ao Xkap e EXk 1 P cdots ap 1 P cdots 1p 2p 1 p 1 E EB E left fracXi frac1 1pa11pbright delayed ab 1 1ρ a ρ α 1 1ρ a b Assim 2P1EB ab 1 1ρ a ρ 1 1ρ a b α Exemplo 19 Um jogador participa de um jogo onde o cara da rodada ganha 1 real com probabilidade de ⅗ e perde 1 real com probabilidade ⅖ Inicialmente ele tem 10 reais e sua estratégia é esperar se perder toda sua dinheiro ao sair com 15 reais 5 reais de lucro a P⅓ é a probabilidade do jogador perder todo seu dinheiro antes de em algum momento atingir 5 reais de lucro b Em média quantas rodadas durará este jogo Solução Seja Sn o patrimônio aleatório Sn 0 onde S0 10 é o capital inicial do jogador e Sn 10 Xi onde Xi é o lucro do jogador em n rodadas e as Xi são vaid com PXi 1 ⅗ e PXi 1 ⅖ Assim do Teorema C2 EB 0187030023 b EB 1 105 1 ⅜ ⅗ 10 1 ⅜ ⅗ EB 1 1 15 1 ⅜ ⅗ 10 10 EB 5 15 012869977 10 EB 5 10 1945492655 EB 402725172 Teorema G1 Seja Sm n 0 um passeio aleatório simples com S0 0 Defina Nm 0x como o número de trajetos possíveis de 00 para mx múmero de trajetos de comprimento n saindo de 0 e chegando a x Então se m é par Nn 00 n m2 m2 n2 Prova Considere um trajeto do passeio aleatório de ln para mSm com n passos positivos e s passos negativos Se Sm x então Sm b Análogo o número de trajetórias Nm10b conta trajetórias onde Sm1b1 O último passo é Nn Prova A ideia é inicialmente contar os passeios como na prova do teorema do primeiro acerto Considere o número de passeios de 11 para 2m2n que visitam a origem T0 é N02m12n Refletindo o passeio no e Cada um desses trajetos tem probabilidade de fracmbmbnb2 pois se Snb contagem com taxa λ0 onde a Xt tem incrementos independentes b O número de ocorrências em qualquer intervalo t tΔt tem distribuição de Poisson com média λt Ou seja PXtΔt Xt m eλt λtm m m012 ln P0t t0 λt t0 ln P0t ln P00 λtt0 ln P0t λt P0t eλt P0t P00eλt mas P00 PXt0 Processos de Poisson 1 Definição Definição E1 Uma função f é dita ser okh se é uma função de h que tende a zero mais rapidamente que h Que seja lim okh lim gh 0 ext Pnt λPmt λext Pm1t Exemplo E1 Um sistema de mensagens gravadas recebe a acessos de acordo com um processo de Poisson de taxa 3 acessos por minuto Encontre a probabilidade de em um intervalo de 1 minuto 2 acessos sejam feitos nos primeiros 40 segundos e sejam feitos nos últimos 20 segundos a PX13 0 X1 2 PX05 2 X1 2 PX1 2 PLTm t 1 x t 0 Se t 0 PLTm t 0 PLTm t Tm1 s λx eλs ds 0 P0Xt 0 λ eλs ds HI Tmn expλ 0 eλs eλt ds eλt 0 λ eλs ds eλt boog Tm expλ Teorema E3 Deixe Sm o instante da mésima ocorrência num processo de Poisson Xt t 0 com taxa λ Sm tem distribuição gama com parâmetros m e λ Prova Se t 0 PSm t Φ PSm t PΦ 0 Se t 0 PSm t PXt m PSm t PXt m 1 m1 k0 PXt k 1 m1 k0 eλt λtkk 1 eλt tm1m1 FSmt 0 t 0 1 m1 k0 eλt λtkk t 0 1 eλt m1 k0 λtkk eλt λtm1m1 boog eλt tk λ eλt k eλt tk1 Se t 0 PSmt t m1 k0 eλt λtkk λ eλt tk eλt tk1 eλt k1 λtkk λ eλt tk1k1 Teorema E4 smt eλt Σk1 λk tkk Σ λk eλt tk1k1 eλt λ eλt tk λ eλt tk1k1 λ eλt tk λ eλt Σk1k λ eλt tkk1 λ eλt tm1 t 0 m1 0 t 0 Exemplo E3 Mensagens chegam a um servidor de acordo com um processo de Poisson de taxa 36 por hora a Qual é a probabilidade de que chegue pelo menos uma mensagem no primeiro minuto a este servidor b Determine a probabilidade de que a chegada de uma mensagem chegue em mais de 3 minutos após a chegada da terceira mensagem a este servidor Solução Deixe Tm o tempo entre a chegada da m1ésima mensagem e mésima mensagem Em t1 t2 tm são VAs ee independentes de parâmetro λ 36 mensagens por hora PT1 t PXt 60 0 to 60 36e36x dx e3660 0451 b PT3 3 0 to 3 36e36x dx 0 e3660 e18 0165 2 Tempo entre chegadas Teorema E2 Os intervalos de tempo entre ocorrências sucessivas num processo de Poisson λt 0 são variáveis aleatórias independentes idênticamente distribuídas com lei exponencial de parâmetro λ Prova Deixe Tmn 1 os processos entre chegadas Se t 0 PT1 t Xt 0 PT1 t eλt Se t 0 PT1 t Xt 0 PT1 t 0 PT1 t PΦ 1 Assim PT1 t 1 eλt t 0 0 t 0 Tn expλ Analogamente se t 0 PT2 t T1 λ PX2t T1 0 T1 λ PX1t T1 0 eλt boog PT2 t T1 t 0 to PT2 t T1 s λeλs ds o que queremos PA 0 to PA T s fTs ds PT2 t 0 to eλt λeλs ds eλt 0 to λeλs ds eλt Se t 0 obviamente PT2 t 1 boog T2 expλ e T2 e Ts são independentes Em geral fazemos por indução PTm t T1 t1 Tn tm1 PXt 0 PXt 0 PXt 0 1 No Exemplo 3 qual é a probabilidade de que cheguem 3 mensagens em menos de seis minutos a um servidor Teorema E4 LGN Teorema E6 Exempl 56 A quantidade de tempo que certo componente de função opera de falhas é uma variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro λ Assim que o componente falha é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo Se Ti representa o tempo de vida do iésimo componente utilizado então Sm Ti representa o instante da mésima falha A taxa de falhas r a longo prazo é definida por r lim n nSn Supõese que as variáveis aleatórias X1 X2 Xn são independentes a Determine r b A fim de estimar verificase num intervalo de 30 dias foram utilizados 2160 componentes nesse caso qual seria a estimativa de r c Com base em b construa um intervalo de confiança a 95 para o parâmetro λ solicitação av Temos que Sm yig ETi 1λ logo r 1λ λ 216090 24 d λ 216090 c PZ z12 35 solucion 35 c onde Teorema E7 Seja Xt um processo de Poisson com taxa λ Supõese que t não é um instante no qual não houve uma ocorrência no processo X Defina t à variável aleatória Wt como o tempo até a próxima ocorrência Então Wt é independente de ti Wt tem distribuição exponencial de parâmetro λ Prova seja s 0 s t o instante no qual o último evento ocorrer digamos m1ésimo O evento Wt t é equivalente ao evento Tm t s Tm t s PWt t PTm ts Tm t s PTm ts t PTm ts PWt t eλt eλts eλs PS1 T Xt 1 PS1 T Xt 1 PXt 1 PXt 1 Xt Xr 0 PXt 1 PXr 1 PXt 1 Xr 1 eλt eλt t PXt 1 eλtt eλt λt λt logo S1 Xt 1 uniforme 0 t Teorema E9 Seja Xt um processo de Poisson com taxa λ 0 Sejam A1 A2 An intervalos de tempo disjuntos A A1 A2 An e compA 0 logo dados k1 k2 km KEIN tais que k k1 k2 km então PXA k1 X1 k2 Xm km XA k kk1 k2 km α1α α2α2 αmαm Prova Como XA k1 Xam km XA k Considerações E Seja Xtt0 um processo de Poisson com taxa λ 0 Para 0 t e k 0 1 2 m PXs k Xt m mk Δtk 1 Δtnk Prova Aplicação imediata do Teorema E5 com A1 0 t A2 t t Δt A A1 A2 0 t Δt O Corolário E5 nos diz que Pst Xs Xt m binomialm Δtt Pti Si tk i 1 2 m Xt m P niti Xt 1 Xt m PXt m P ni Xti Xt 0 PXt m Exemplo E7 Suponha que as chegadas de ônibus a um dormente de ponto de ônibus formam um processo de Poisson com intensidade λ 1 ônibus por minuto Suponha que um ônibus passou às 355 hs e o último que passou Um homem chegou ao ponto às 1000 hs qual a probabilidade dele esperar pelo menos 15 minutos até a passagem do próximo ônibus Solução PW10 1560 04e4t dt e4t0 0 e4 1560 b Dado que ocorreram 3 defeitos durante os primeiros milhas qual é a probabilidade que exatamente 1 desses defeitos tenha ocorrido durante as cinco primeiras milhas c Dado que ocorreram 5 defeitos durante os 30 primeiros milhas qual é a probabilidade de que dois tenham ocorrido nas 10 primeiras milhas um entre a 10ª e 20ª milha e os outros dois da 20ª até a 30ª milha Solução a Seja Xt o número de defeitos até a milha t S1 é tempo neste caso o número de milhas 0º defeito Do Teorema E8 S1X81 uniforme 08 Então S1X8 1 uniforme 08 PS1 24 X81 P2 S2 4 X81 14211801 28 14 b Pelo Teorema E9 ou 1 SxXt m binomial m st Logo X1X0 3 binomial 3 s20 PX0 1 X20 3 31s2011s2031 2764 P0 S1 5 5 S2 20 X20 3 520 20 3dt3 dt2 dt1 5203 2 dt2 dt1 620 5 20t2 dt2 620 05 4004002 205 S222 dt 620 200895 dt1 620 05 dt1 6225 t1 50 6222550 675016000 2764 1 Superposição Sejam X1t X2t Xmt processos de contagem O processo Zt X1t X2t Xmt é chamado superposição dos processos X1t X2t Teorema G1 Sejam X1t X2t Xmt processos de Poisson independentes com taxas λ1 λ2 λm respectivamente O processo Zt é um processo de Poisson com taxa v λ1 λ2 Prova Parcial Mostraremos apenas a distribuição de Zt Para t fixado MZts EesZt EesX1t Xmt EesX1tm Πλi i1 EesXt λTs et11 entntkk entradas nos processos de Poisson independentes com taxas de 2 clientes por minuto e 3 clientes por minuto respectivamente a Qual é a probabilidade de que um novo client e entre na loja durante um intervalo fixado de 20 segundos b Qual é a probabilidade de que o próximo cliente entre pela entrada A Solução Sejam Xt nº de clientes que chegam até o instante t chegando pela entrada A e Yt n de clientes que chegam até o instante t chegando pela entrada B Zt mº de clientes que chegam até o instante t Temos Xt Poisson 2t e Yt Poisson 3t Pelo teorema 1 Zt Poisson 5t a PZt 1 1 PZt 0 1 e5t over 0 1 e56 b Sejam TA o tempo até chegar o próximo cliente pela entrada A e TB o tempo até chegar o próximo cliente pela entrada B PTA TB PTA TB TB t fTBt dt PA PA TA t fTAt dt 2 Decomposição Seja Xt t 0 um processo de contagem Suponha que o evento a ser contado pode ser de n tipos digamos tipo 1 tipo 2 tipo m e jam para i 12m Xt j o números de ocorrências do tipo i até o tempo t Os processos Xt t0 X2t t0 Xmt t0 formam uma decomposição do processo Xt t0 Teorema 62 Seja Xtt0 um processo de Poisson com taxa λ Supõe que cada ocorrência do processo pode ser classificada entre n tipos distintos Admitindo que a probabilidade do ocorrência ser do tipo i e ρi i 12m é P e R já X0 tenha ocorrências do tipo i e j já Xt e até o instante t Os processos Xit X2t Xnt são processos de Poisson independentes com taxas ρ1λ ρ2λ ρmλ respectivamente Prova parcial para n2 PX1t k1 X2t k2 Xτ k1 k2 k1k2k1 k2 eλt eλt eλtk1k2 k1k2 P1peλt eλt 1p e0 k1 k2 1pk2 eλt eλt eλtλptk1 1pk2 PXt k2 PX1t k1 PX2t k2 Exemplo 62 Carros passaram em um ponto da estrada de acordo com um processo de Poisson com intensidade de um carro por minuto Se 5 destes carros são furs a Qual é a probabilidade de pelo menos uma Furca passar durante uma determinada hora b Dado que dez furs passaram durante uma hora qual é o número esperado de carros que passaram durante esse hora c Se 50 carros passaram em uma hora qual é a probabilidade de exatamente 5 deles serem Furs a Pelo Teorema 62 XFt Poisson005t e um mutos logo PXF60 1 1 PXF60 0 1 e00560 1 e3 1 e3 01 b PXF60 k Xt m m k pk 1pmk PXF60 k X60 10 10 k s100k 35100mk k 012m EX60 XF60 10 EXF60 X60 XF60 10 EXF60 EX60 XF60 10 E10 X60 10 EX60 EXU60 10 00560 10 57 67 c XF60 X60 50 binomial50 005 PXF60 1 X60 50 50 10051005501 2118760005109549 006584 Exemplo 63 Os carros que chegam num restaurante em Giamaica o fazem segundo um processo de Poisson com todas x 20 carros por hora Os veículos têm 1 2 3 4 e 5 passageiros com probabilidades 03 03 02 01 e 01 respectivamente Calcule o número esperado de passageiros que chegam nesse restaurante em uma hora Solução λ 20 PR1 2003 6 PR2 2003 6 PR3 2002 4 PR4 2001 2 PR5 2001 2 Sejam Xto números de carros que chegam com i passageiros até t 0 tempo t Pelo Teorema 62