Prova 3 Processos Estocasticos Estatistica UFG 2017

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS PROVA 3 PROCESSOS ESTOCASTICOS CURSO ESTATISTICA PROFESSOR VALDIVINO DATA 12072017 NOME QUESTAO VALOR MAXIMO NOTA OBTIDA 1 ou 2 20 3 ou 4 20 5 ou 6 20 7 ou 8 20 9 ou 10 20 TOTAL 100 EXTRAS 25 NOTA OBTIDA 100 INSTRUC OES A PROVA TERA DURAC AO DE 90 MINUTOS A NOTA OBTIDA E DADA POR MIN100 TOTALBONUSEXTRAS Anote as questoes selecionadas 1 ou 2 3 ou 4 5 ou 6 7 ou 8 9 ou 10 Obs Caso nao esteja definida a escolha para um par de questoes sera corrigida como questao escolhida sempre a primeira do par Por exemplo se o aluno faz as questoes 1 e 2 e nao defina sua escolha sera corrigida a questao 1 valendo 2 pontos e a outra sera considerada questao extra e valera 05 pontos 1 Questão 1 Considere uma Cadeia de Markov Xnn0 com espaço de estados E 1 2 3 4 e probabilidades de transição pii1 99100 1 i 3 pii1 1100 2 i 4 p11 1100 p44 99100 Defina Ti minn 0 Xn i e Vin sumj0n IXji a Obtenha e dê duas interpretações para a distribuição invariante b Obtenha e interprete ET1 X0 1 para i E c O que se pode concluir sobre V4nn Interprete o resultado Questão 2 Suponha que um conjunto de 4 bolas é distribuído por 5 urnas numeradas de 1 a 3 sendo inicialmente instante 0 colocadas todas as bolas na urna 1 Em cada instante n n 1 2 é escolhida ao acaso uma bola a qual é retirada da urna em que se encontra e colocada numa urna seleccionada ao acaso Seja para n N Xn número de bolas na urna 1 no instante n a Encontre a distribuição invariante b Mostre que Xnn0 é uma cadeia de Markov irredutível e recorrente positiva c Interprete a distribuição invariante obtida em a Lembrese que nesse caso a composição inicial das urnas não pode ser sorteada Questão 3 Um ratinho ocupa inicialmente a gaiola 1 e é treinado para mudar de gaiola atravessando uma porta sempre que soa um alarme Cada vez que soa o alarme o ratinho escolhe qualquer uma das portas incidentes a sua gaiola com igual probabilidade e sem ser afetado por escolhas anteriores Considere que o alarme ficou programado para tocar a cada minuto Figura Labirinto Seja Vin o número de visitas ao estado i até o alarme soar n vezes e Ti minn 0 Xn i a O que se pode concluir sobre V1n n quando n Interprete o resultado b Obtenha e interprete ET1X0 1 Questao 4 Uma partıcula deslocase sobre uma circunferˆencia parando em cinco pontos previamente marcados no sentido dos ponteiros do relogio 0 1 2 3 e 4 Em cada passo a partıcula deslocase no sentido dos ponteiros do relogio com probabilidade p e no sentido contrario com probabilidade 1 p com 0 p 1 Seja para n N Xn a posicao da partıcula no instante n e Tj minn 0 Xn j a Para i 0 1 2 3 4 determine ETiX0 i b Determine ETiX0 i quando p 9 10 e p 1 10 Interprete os resultados Questao 5 Considere uma Cadeia de Markov a tempo discreto com espaco de estados E 0 1 2 e matriz de transicao P 9 10 0 1 10 1 10 9 10 0 0 0 1 Seja Vi o numero de visitas ao estado i e Ti minn 0 Xn i a Obtenha e interprete EV0X0 1 b Obtenha e interprete EV1 quando X0 Binomial 2 1 8 c Classifique cada estado desta cadeia em recorrente ou transiente E preciso justificar d Obtenha a distribuicao e a media de T0 dado que X0 1 isto e PT0 kX0 1 e ET0X0 1 Questao 6 Considere trˆes bolas distribuıdas em duas urnas Suponha que o seguinte processo e repetido indefi nidamente Sorteamos simultaneamente uma das trˆes bolas ao acaso e trocamos cada uma delas de urna Admita que o tempo entre duas trocas consecutivas tem distribuicao exponencial com parˆametro dependente do numero de bolas na urna 1 Mais especificamente suponha que se apos a nesima troca ha i bolas na urna 1 entao λi 5i a Descreva dois processos ˆXnn0 que da o numero de bolas na primeira urna apos a nesima troca e Xtt0 que da o numero de bolas na urna 1 no tempo t b Encontre e dˆe duas interpretacoes para a distribuicao invariante de ˆXnn0 c Encontre e dˆe duas interpretacoes para a distribuicao invariante de Xtt0 Questao 7 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contınuo com espaco de estados E 1 2 que permanece no estado 1 durante um tempo exponencial com taxa 1 antes de passar para o estado 2 onde estara 3 um tempo exponencial com taxa 5 antes de voltar ao estado 1 a Escreva as equações de Kolmogorov prospectivas para esta cadeia b Calcule usando a a função de transição Pt c Calcule PX3 2 X12 1 X0 1 Questão 8 Considere uma Cadeia de Markov a tempo contínuo com espaço de estados E 1 2 n a Equações de ChapmanKolmogorov Mostre que Pijt s sumk1n PiktPkjs para todo i j E onde Pijt PXts j Xs i b Seja A o gerador infinitesimal de Xt Interprete qij para i j c Seja Xnn0 o esqueleto de Xtt0 e Q a matriz de transição de Xn O que representa Xn e as probabilidades Qij i j Questão 9 Considere uma fila do tipo MM1 com a seguinte modificação quando há três clientes no sistema dois na fila e outro sendo atendido se um outro chegar ele vai embora e não volta nunca mais Suponha o caso onde λ 6 e μ 2 a Calcule a distribuição estacionária desta cadeia Intereprete o resultado obtido b Seja Ti minn 0 Xn i Obtenha e interprete ET0 X0 0 Questão 10 Um estabelecimento comercial possui uma máquina de polimento de carros com duas velocidades Na velocidade baixa a máquina leva 60 minutos em média para polir um carro Na velocidade alta leva só 20 minutos na média Uma vez que o chaveamento da baixa velocidade para alta é feito os tempos atuais podem ser assumidos seguirem uma distribuição exponencial Assuma que o chaveamento para alta velocidade ocorre quando existe pelo menos dois clientes esperando ou seja três ou mais no sistema Além disso os clientes são atendidos na base do primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido e que há limite no número de clientes que podem esperar Mais especificamente há vagas para no máximo 4 clientes 3 em espera e 1 em atendimento Quando há 4 clientes e um outro chega ele vai embora e não volta nunca mais É estimado que os clientes cheguem de acordo com um processo de Poisson com um tempo médio entre chegadas de 30 minutos a Represente este modelo de filas como um processo de Markov a tempo contínuo b Encontre a distribuição invariante para este modelo Interprete o resultado c Em média quanto tempo leva para o estabelecimento ficar vazio pela primeira vez sem clientes