Prova de Processos Estocásticos - UFG - Estatística - 2021

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS SEGUNDA PROVA DE PROCESSOS ESTOCASTICOS CURSO ESTATISTICA PROFESSOR VALDIVINO DATA 14102021 NOME Notas obtidas 1 2 3 4 5 6 Nota obtida Instrucoes 1 Escolha quatro das seis questoes a seguir 2 Cada questao escolhida valera 25 em caso de acerto total 3 A partir das 2200 digitalize a prova e envie o arquivo na versao pdf para o email vvjuniorufgbr 4 O prazo para submissao e 2230 Questao 1 Mensagens chegam a um servidor de acordo com um processo de Poisson de taxa 16 mensagens por minuto Dado que trˆes mensagens chegaram durante os primeiros dez segundos determine a probabilidade de que apenas uam delas tenha chegado nos primeiros quatro segundos Questao 2 Impulsos ruidosos que ocorrem em uma transmissao de TV digital podem ser modelados por um processo de Poisson com uma taxa 4 impulsos ruidosos por hora a Encontre a probabilidade que ocorram no maximo 2 impulsos em uma trans missao de 24 minutos de duracao b Suponha que um pacote de dados transmitido seja codificado de modo que os erros causados por ate 3 impulsos possam ser corrigidos Qual a probabili dade de que uma transmissao de meia hora de duracao nao possa ser corrigida Questao 3 Uma massa radioativa emite partıculas e um contador e colocado ao seu lado Suponha que as partıculas se movimentam independentemente e que o contador registra partıculas de acordo com um processo de Poisson de taxa 20 partıculas por segundo a Calcule a probabilidade de que demore um centesimo de segundo 005 s ate o registro da primeira partıcula a partir do momento em que o registrador comece a funcionar b Calcule a probabilidade de serem necessarios pelo menos 2 minutos para o registro de 2472 partıculas 1 Questao 4 Considere uma Cadeia de Markov com espaco de estados E 1 2 3 e matriz de transicao P 7 16 1 16 1 2 3 8 1 2 1 8 3 8 3 8 1 4 Calcule PX3 1X0 2 Questao 5 Uma partıcula deslocase sobre uma circunferˆencia parando em trˆes pontos pre viamente marcados no sentido dos ponteiros do relogio 1 2 e 3 Em cada passo a partıcula deslocase no sentido dos ponteiros do relogio com probabilidade 0 8 e no sentido contrario com probabilidade 0 2 Seja para n N Xn a posicao da partıcula no instante n a Obtenha a matriz de transicao e construa o grafo de transicao para a cadeia Xn n 0 b Obtenha e interprete caso exista a distribuicao invariante para esta cadeia Questao 6 O mundo de Oz e abencoado com muitas coisas dentre as quais nao se encontra o tempo Seus habitantes nunca tˆem dois dias de sol consecutivos Depois de um dia bom eles estao igualmente propensos a ter um dia de chuva ou um dia de neve Se eles tˆem chuva ou neve num dia ha uma chance de 50 de terem o mesmo no dia seguinte Se ha mudanca do tempo apos um dia chuvoso ou com neve esta mudanca e para um dia bom em apenas 50 das vezes Com base nessas informacoes a Determine a matriz de transicao do tempo no mundo de Oz b Construa o grafo de transicao para a Cadeia de Markov obtida 2 Questão 1 R Seja 𝑋𝑠 o número de mensagens que chegam no intervalo de 𝑠 segundos 𝑠 1 2 então 𝑋𝑠 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 16 60 𝑠 02667𝑠 𝑃𝑋𝑠 𝑥 02667𝑠𝑥𝑒02667𝑠 𝑥 𝑥 0 1 𝑠 1 2 Assim note que 𝑃𝑋4 1𝑋10 3 𝑃𝑋4 1𝑃𝑋6 2 02667 41𝑒026674 1 02667 62𝑒026676 2 03671 02584 00949 Portanto a probabilidade de que apenas uma das três mensagens tenha chegado nos primeiros quatro segundos é de aproximadamente 949 Questão 2 Seja 𝑋𝑡 o número de impulsos ruidosos no intervalo de 𝑡 minutos 𝑡 1 2 então 𝑋𝑡 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 4 60 𝑡 00667𝑡 𝑃𝑋𝑡 𝑥 00667𝑡𝑥𝑒00667𝑡 𝑥 𝑥 0 1 𝑡 1 2 𝑎 R 𝑃𝑋24 2 𝑃𝑋24 𝑥 2 𝑥0 00667 24𝑥𝑒0066724 𝑥 2 𝑥0 07832 Assim a probabilidade de ocorrer no máximo 2 impulsos ruidosos em uma transmissão de 24 minutos é de aproximadamente 07832 7832 𝑏 R A probabilidade de que uma transmissão de meia hora de duração não possa ser corrigida é igual à probabilidade de que o número de impulsos ruidosos na transmissão seja maior do que 3 uma vez que a transmissão só pode ser corrigida para até 3 impulsos ruidosos Assim temos 𝑃𝑋30 3 1 𝑃𝑋30 3 1 𝑃𝑋30 𝑥 3 𝑥0 1 00667 30𝑥𝑒0066730 𝑥 3 𝑥0 1 08569 01431 Logo a probabilidade de que uma transmissão de meia hora de duração contenha 4 ou mais impulsos ruidosos e portanto não possa ser corrigida é de aproximadamente 01431 1431 Questão 3 Seja 𝑋𝑡 o número de partículas registradas pelo contador num intervalo de 𝑡 segundos então 𝑋𝑡 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛20𝑡 𝑃𝑋𝑡 𝑥 20𝑡𝑥𝑒20𝑡 𝑥 𝑥 0 1 𝑡 1 2 𝑎 R A probabilidade de que demore um tempo 𝑡 até a primeira partícula ser registrada pelo contador é dada por uma distribuição exponencial com parâmetro 𝜆 20 taxa de Poisson Ou seja a função densidade de probabilidade fdp da va de interesse 𝑇 é dada por 𝑓𝑡 20𝑒20𝑡𝕀0𝑡 Assim note que 𝑃𝑇 005 20𝑒20𝑡 005 𝑑𝑡 𝑒20𝑡005 𝑒20005 03679 Portanto a probabilidade de que demore um centésimo de segundo até o registro da primeira partícula é de aproximadamente 03679 𝑏 R 𝑋120 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛240 Para calcular a probabilidade de que sejam necessários pelo menos 2 minutos para o registro de 2472 partículas podemos usar a distribuição do tempo necessário para registrar 𝑘 partículas que é uma distribuição gama com parâmetros 𝑘 e 𝜆 Assim o tempo necessário para registrar 2472 partículas segue uma distribuição gama com parâmetros 𝑘 2472 𝜆 20 Então a probabilidade de que sejam necessários pelo menos 2 minutos ou 120 segundos é dada por 𝑃𝑇 120 202472 Γ2472 𝑡2471𝑒20𝑡𝑑𝑡 120 09273 Questão 4 R Temse que 𝑃2 𝑃 𝑃 7 16 1 16 1 2 3 8 1 2 1 8 3 8 3 8 1 4 7 16 1 16 1 2 3 8 1 2 1 8 3 8 3 8 1 4 04023 02461 03516 03984 03203 02813 03984 03047 02969 Pelas Equações de ChapmanKolmogorov temos 𝑃𝑋3 1𝑋0 2 𝑃0𝑘 2 𝑃𝑘2 1 2 𝑘0 𝑃00 2 𝑃02 1 𝑃01 2 𝑃12 1 𝑃02 2 𝑃22 1 04023 1 2 02461 1 8 03516 1 4 02012 00308 00879 03199 Portanto 𝑃𝑋3 1𝑋0 2 03199