Aula 24: Empuxo de Terra e Estruturas de Arrimo

C EAM40 GEOTECNIA II Profa Adinele Gomes Guimarães adineleunifeiedubr 1 C EMPUXO DE TERRA E ESTRUTURAS DE ARRIMO Aula 24 2 EMPUXO DE TERRA DEFINIÇÃO É a ação produzida pelo maciço terroso sobre as estruturas ou elementos em contato com ele 3 Empuxo no Repouso Pressão vertical σv γz Pressão horizontal σh K0γz K0 coeficiente de empuxo no repouso 𝑧 profundidade 𝛾 peso específico do solo 𝜎𝑣 tensão efetiva vertical 𝜎ℎ tensão efetiva horizontal 𝐾 coeficiente de empuxo K 𝜎ℎ 𝜎𝑣 plano imóvel indeformáve l e sem atrito Pressões em um maciço semiinfinito 4 Valores de K0 Relações empíricas para solos normalmente adensados Estimativa pela teoria da elasticidade Solo K0 Argila 070 075 Areia solta 045 050 Areia compacta 040 045 Solos granulares K01senϕ Solos argilosos K0095senϕ K0μ1μ μ Coeficiente de Poisson Valores obtidos experimentalmente 5 RELAÇÕES EMPÍRICAS Jaky 1944 Booker e Ireland 1965 Alpan 1967 Sherif Fang e Sherif 1984 OUTRAS FORMAS DE DETERMINAÇÃO Laboratório Edômetros ou Triaxiais Campo Pressiômetro Camkometer Dilatômetro de Marchett Retroanálise K0 1 𝑠𝑒𝑛𝜑 K0 095 𝑠𝑒𝑛𝜑 K0 019 0233 log 𝐼𝑃 K0 1 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝛾𝑑 𝛾𝑑min 1 55 Limitação quanto à amostragem areia fofa e argilas normalmente adensadas areia compactada 6 Empuxo sobre estruturas rígidas que não possam ou não devam sofrer deslocamentos a Solo Homogêneo Empuxo total por unidade de comprimento de muro ER é igual a área do diagrama de pressão 𝜎𝑣 𝛾 𝑧 𝜎ℎ 𝐾0 𝜎𝑣 𝐾0 𝛾 𝑧 𝐸𝑅 න 0 𝐻 𝜎ℎ 𝑑𝑧 න 0 𝐻 𝐾0 𝛾 𝑧 𝑑𝑧 𝐸𝑅 1 2 𝐾0 𝛾 𝐻2 Força aplicada no terço médio da profundidade H ER H z K0gH H3 Cálculo do Empuxo Total no Repouso 7 b Solo Parcialmente Submerso Princípio Tensões Efetivas 𝜎 𝜎 u Para qualquer profundidade z H1 Pressão da água é a mesma em todas as direções 𝑢 𝛾𝑤 𝑧 𝐻1 Tensão efetiva vertical 𝜎𝑣 𝛾 𝐻1 𝛾 𝑧 𝐻1 𝛾 𝛾𝑠𝑎𝑡 𝛾𝑤 Tensão efetiva horizontal 𝜎ℎ 𝐾0 𝜎𝑣 𝐾0 𝛾 𝐻1 𝛾 𝑧 𝐻1 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 em Repouso 𝐸𝑅 න 0 𝐻 𝜎ℎ 𝑑𝑧 න 0 𝐻 𝜎ℎ 𝑢 𝑑𝑧 𝐸𝑅 න 0 𝐻 𝐾0 𝛾 𝐻1 𝛾 𝑧 𝐻1 𝛾𝑤 𝑧 𝐻1 𝑑𝑧 𝐸𝑅 1 2 𝐾0 𝛾 𝐻1 2 𝐾0 𝛾 𝐻1 𝐻2 1 2 𝐾0 𝛾 𝛾𝑤 𝐻2 2 O ponto de aplicação da força resultante é obtido calculandose o momento em relação a um ponto H2 H1 H z K0gH1 gH2 K0gH1 gwH2 8 c Caso de Várias Camadas de Solo Cálculo por camadas considerandose o peso de solo da camada superior como sobrecarga na camada abaixo transformando a em altura de solo 9 H2 H1 H K01g1H1 K02g1H1 K02 g2H2 Solo 1 Solo 2 d Caso com Sobrecarga A altura pode ser considerada como uma altura equivalente de solo h0 adotandose o mesmo valor do peso específico do terreno 10 H z K0gh0 K0gH q ℎ0 𝑞 𝛾 h0 Empuxo Ativo e Passivo ATIVO Distensão do solo Ka coeficiente de empuxo ativo menor que K0 PASSIVO Compressão do solo Kp coeficiente de empuxo passivo maior que K0 Quando ocorre o deslocamento do plano vertical o maciço se deforma e aparecem tensões de cisalhamento os quais conduzem a uma variação do empuxo sobre o plano vertical Estados limites de equilíbrio Equilíbrio inferior diminui o empuxo Equilíbrio superior aumenta o empuxo 11 Variação dos empuxos em função dos deslocamentos A pressão diminui ou aumenta conforme o muro se afasta do maciço ou se desloca contra o maciço Na primeira situação o maciço se apóia sobre o muro empuxo ativo e na segunda o maciço é que resiste à ação transmitida pelo muro empuxo passivo 12 EMPUXO ATIVO Empuxo de terra que atua sobre uma estrutura que resiste distensão do solo Exemplos muros de arrimo cortina de estacas 13 EMPUXO PASSIVO Empuxo que a contenção exerce sobre o terreno compressão do solo Exemplos cortinas atirantadas escoramentos de valas e galerias apoio de ponte em arco 14 Teorias de Empuxo de Terra Teoria de Empuxo de Coulomb atrito entre o muro e o solo Teoria de Empuxo de Rankine muro sem atrito solo não coesivo muro vertical e flexível aterro horizontal Método de Culmann Gráfico Método de Poncelet Gráfico Análise Limite Métodos Numéricos Critério de ruptura de MohrCoulomb 15 17 SOLOS NÃO COESIVOS Empuxo Ativo estrutura se afasta do terrapleno Movimento para baixo peso maior que o empuxo v g h 1 h Ka g h 3 2 tan 45º 1 1 2 2 1 3 3 3 a a v K tan 45º 2 N N K h K 2 a h a a 0 g h2 E K g z dz 1 K Ka é o coeficiente de empuxo ativo Força é aplicada no terço inferior da altura h 1 3 N TEORIA DE RANKINE 18 SOLOS NÃO COESIVOS Empuxo Passivo estrutura se aproxima do terrapleno Movimento para cima peso menor que o empuxo v g h 3 h Kp g h 1 2 2 3 3 p p v K tan 45º 1 3 N N K h K 2 h p p p 0 E K g z dz 1 K g h2 Kp é o coeficiente de empuxo passivo Força também é aplicada no terço inferior da altura h 1 3 N TEORIA DE RANKINE 21 SOLOS COESIVOS Quando a pressão horizontal se anula σh 0 temse z z0 altura até a qual ocorre fendas de tração assim A pressão horizontal acima de z0 é negativa e abaixo desta profundidade é positiva 2 2 2 tan 45º 2 2 g z tan2 45º 2 c tan 45º g z 2 c tan 45º N h v 2 c N h v h N 2 c N Para o estado de equilíbrio limite ativo 1 v g z e 3 h 2 2 c tan 45º 2 g z tan 45º 2 g Ka 2 c 2 g tan 45º 2 c 2 g tan 45º 2 2 c tan 45º 2 z z0 1 2c N 3 N TEORIA DE RANKINE TEORIA DE RANKINE 𝐾𝑎 tan2 45 2 𝐾𝑝 tan2 45 2 SOLOS NÃO COESIVOS 𝐸𝑝 න 0 ℎ 𝐾𝑝 𝛾 𝑧 𝑑𝑧 1 2 𝐾𝑝 𝛾 ℎ2 𝐸𝑎 න 0 ℎ 𝐾𝑎 𝛾 𝑧 𝑑𝑧 1 2 𝐾𝑎 𝛾 ℎ2 Se o terrapleno tiver uma inclinação β os valores dos empuxos serão 𝑘𝑝 cos 𝛽 cos 𝛽 cos2 𝛽 cos2 𝜑 cos 𝛽 cos2 𝛽 cos2 𝜑 𝑘𝑎 cos 𝛽 cos 𝛽 cos2 𝛽 cos2 𝜑 cos 𝛽 cos2 𝛽 cos2 𝜑 19 Empuxo ativo total Empuxo passivo total 2c Ka gh Ka 2c Ka 2c Kp gh Kp gh Kp2c Kp 2c Kp g hKa 2c Ka 𝐸𝑎 න 0 ℎ 𝜎ℎ 𝑑𝑧 1 2 𝛾 ℎ2 tan2 45º 2 2 𝑐 ℎ tan 45º 2 𝐸𝑝 න 0 ℎ 𝜎ℎ 𝑑𝑧 1 2 𝛾 ℎ2 tan2 45º 2 2 𝑐 ℎ tan 45º 2 SOLOS COESIVOS 20 21 𝐾𝑎𝛾𝑧 2𝑐 𝐾𝐴 2𝑐 𝐾𝑎 𝜎ℎ𝑎 𝐾𝑎 𝛾 𝑧 2𝑐 𝐾𝑎 𝑧0 2𝑐 𝛾 1 𝐾𝑎 SOLOS COESIVOS PROFUNDIDADE FENDAS DE TRAÇÃO Para esta altura o maciço se mantém estável sem necessidade de nenhuma contenção TEORIA DE COULOMB Essas equações para α90⁰ e βδ0 transformamse nas conhecidas expressões de Rankine Os valores de Ka e Kp podem ser obtidos nas tabelas de Krey Partindo das equações de equilíbrio de forças deduzemse analiticamente as equações gerais abaixo 𝐸𝑎 1 2 𝛾 ℎ2 𝐾𝑎 𝐾𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝜙 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝛿 1 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝛿 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝛿 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝛽 2 𝐸𝑝 1 2 𝛾 ℎ2 𝐾𝑝 𝐾𝑝 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝜙 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝛿 1 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝛿 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝛿 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝛽 2 22 Exemplo 1 23 Para a situação mostrada na figura abaixo determine a força de empuxo ativo por unidade de comprimento da cortina segundo Rankine 𝐾𝑎 tan2 45 2 𝐾𝑎 tan2 45 27 2 038 γ 18 kNm3 ϕ 27º c 12 kNm2 6 m z 10 kNm2 o 𝑧0 2𝑐 𝛾 1 𝐾𝑎 𝑧0 2 12 18 1 038 22 𝑚 24 Solo 𝑘𝑎 𝛾 ℎ ℎ 𝐸𝑎𝛾 1 2 038 18 62 122 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎𝛾 1 3 ℎ 1 3 6 2 𝑚 𝐸𝑎𝛾 𝐸𝑎𝑐 ℎ 𝑧𝑎𝑐 1 2 ℎ 1 2 6 3 𝑚 𝐸𝑎𝛾 1 2 𝐾𝑎 𝛾 ℎ2 𝐸𝑎𝑐 2 12 038 6 88 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑎𝑐 2 𝑐 𝐾𝑎 ℎ 2 𝑐 𝐾𝑎 Exemplo 1 6 m z 10 kNm2 o Antes da formação das trincas de tração γ 18 kNm3 ϕ 27º c 12 kNm2 25 Sobrecarga 𝐸𝑎𝑠 𝑘𝑎 𝑞 ℎ 𝐸𝑎𝑠 ℎ 𝑘𝑎 𝑞 𝑧𝑎𝑠 1 2 ℎ 1 2 6 3 𝑚 𝐸𝑎𝑠 038 10 6 23 𝑘𝑁 𝑚 Exemplo 1 6 m z 10 kNm2 o TOTAL 𝐸𝑎𝑇 𝐸𝑎𝛾 𝐸𝑎𝑐 𝐸𝑎𝑠 122 88 23 56 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎𝑇 𝐸𝑎𝛾 𝑧𝑎𝛾 𝐸𝑎𝑐 𝑧𝑎𝑐 𝐸𝑎𝑠 𝑧𝑎𝑠 𝐸𝑎𝑇 𝑧𝑎𝑇 122 2 88 3 23 3 56 083 𝑚 𝑀𝑜 0 Antes da formação das trincas de tração 𝐸𝑎𝑇 56 𝑘𝑁 𝑚 083 𝑚 26 Solo 𝑘𝑎 𝛾 ℎ 𝑧0 ℎ 𝑧0 𝐸𝑎𝛾 1 2 038 18 382 49 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎𝛾 1 3 ℎ 𝑧0 1 3 38 13 𝑚 𝐸𝑎𝛾 𝐸𝑎𝑐 𝑧𝑎𝑐 1 2 ℎ 𝑧0 1 2 38 19 𝑚 𝐸𝑎𝛾 1 2 𝐾𝑎 𝛾 ℎ 𝑧02 𝐸𝑎𝑐 2 12 038 38 56 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑎𝑐 2 𝑐 𝐾𝑎 ℎ 𝑧0 2 𝑐 𝐾𝑎 Exemplo 1 Depois da formação das trincas de tração ℎ 𝑧0 γ 18 kNm3 ϕ 27º c 12 kNm2 38 m z 10 kNm2 o 22 m 27 Camada trincas 𝐸𝑎𝑠 𝑘𝑎 𝑞 ℎ 𝑧0 𝐸𝑎𝑠 𝑘𝑎 𝑞 𝑧𝑎𝑠 1 2 ℎ 𝑧0 1 2 38 19 𝑚 𝐸𝑎𝑠 038 10 38 14 𝑘𝑁 𝑚 Exemplo 1 ℎ 𝑧0 𝐸𝑎𝑡 𝑧𝑎𝑐 1 2 ℎ 𝑧0 1 2 38 19 𝑚 𝐸𝑎𝑡 038 18 22 38 56 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑎𝑡 𝐾𝑎 𝛾 𝑧0 ℎ 𝑧0 ℎ 𝑧0 Sobrecarga 𝑘𝑎 𝛾 𝑧0 Depois da formação das trincas de tração γ 18 kNm3 ϕ 27º c 12 kNm2 38 m z 10 kNm2 o 22 m 28 Exemplo 1 TOTAL 𝐸𝑎𝑇 𝐸𝑎𝛾 𝐸𝑎𝑐 𝐸𝑎𝑠 𝐸𝑎𝑡 𝑧𝑎𝑇 𝐸𝑎𝛾 𝑧𝑎𝛾 𝐸𝑎𝑐 𝑧𝑎𝑐 𝐸𝑎𝑠 𝑧𝑎𝑠 𝐸𝑎𝑡 𝑧𝑎𝑡 𝐸𝑎𝑇 𝑧𝑎𝑇 49 13 56 19 14 19 56 19 63 𝑀𝑜 0 Depois da formação das trincas de tração 𝐸𝑎𝑇 49 56 14 56 63 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎𝑇 14 𝑚 38 m z 10 kNm2 o 22 m 𝐸𝑎𝑇 63 𝑘𝑁 𝑚 14 𝑚 Exemplo 2 29 Para a situação mostrada na figura abaixo determine a força de empuxo ativo por unidade de comprimento da parede segundo Rankine bem como o ponto de aplicação da mesma 𝐾𝑎 tan2 45 2 𝐾𝑎1 tan2 45 1 2 tan2 45 30 2 033 𝐾𝑎2 tan2 45 2 2 tan2 45 36 2 026 γ 16 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 36º c 2 0 3 m 3 m o z NA 30 Solo 1 𝑘𝑎1 𝛾1 ℎ1 ℎ1 𝐸𝑎2 1 2 033 16 32 24 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎1 ℎ2 1 3 ℎ1 3 1 3 3 4 𝑚 𝐸𝑎1 𝐸𝑎𝑐1 2 𝑐1 𝐾𝑎1 ℎ1 0 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑎𝑐1 ℎ1 𝑧𝑎𝑐2 ℎ2 1 2 ℎ1 3 1 2 3 45 𝑚 𝐸𝑎1 1 2 𝐾𝑎1 𝛾1 ℎ2 2 2 𝑐1 𝐾𝑎1 Exemplo 2 γ 16 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 36º c 2 0 3 m 3 m o z NA 31 Solo 2 𝑘𝑎2 𝛾2 ℎ2 ℎ2 𝐸𝑎2 1 2 026 19 10 32 105 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎2 1 3 ℎ2 1 3 3 1 𝑚 𝐸𝑎2 𝐸𝑎𝑐2 ℎ2 𝑧𝑎𝑐2 1 2 ℎ2 1 2 3 15 𝑚 𝐸𝑎2 1 2 𝐾𝑎2 𝛾 2 ℎ2 2 𝐸𝑎𝑐1 2 𝑐2 𝐾𝑎2 ℎ2 0 𝑘𝑁 𝑚 2 𝑐2 𝐾𝑎2 Exemplo 2 γ 16 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 36º c 2 0 3 m 3 m o z NA 32 Solo 1 sobre Solo 2 𝐸𝑎12 𝑘𝑎2 𝛾1 ℎ1 ℎ2 𝐸𝑎12 ℎ2 𝑘𝑎2 𝛾1 ℎ1 𝑧𝑎12 1 2 ℎ2 1 2 3 15 𝑚 𝐸𝑎12 026 16 3 3 374 𝑘𝑁 𝑚 Água 𝛾𝑤 ℎ𝑤 ℎ𝑤 𝐸𝑤 1 2 10 32 45 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑤 1 3 ℎ𝑤 1 3 3 1 𝑚 𝐸𝑤 𝐸𝑤 1 2 𝛾𝑤 ℎ𝑤2 Exemplo 2 γ 16 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 36º c 2 0 3 m 3 m o z NA 33 TOTAL 𝐸𝑎𝑇 𝐸𝑎1 𝐸𝑎𝑐1 𝐸𝑎2 𝐸𝑎𝑐2 𝐸𝑎12 𝐸𝑤 𝐸𝑎𝑇 24 0 105 0 374 45 117 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎𝑇 𝐸𝑎1 𝑧𝑎1 𝐸𝑎𝑐1 𝑧𝑎𝑐1 𝐸𝑎2 𝑧𝑎2 𝐸𝑎𝑐2 𝑧𝑎𝑐2 𝐸𝑎12 𝑧𝑎12 𝐸𝑤 𝑧𝑤 𝐸𝑎𝑇 𝑧𝑎𝑇 24 4 0 45 105 15 0 15 374 15 45 15 117 20 𝑚 𝑀𝑜 0 Exemplo 2 3 m 3 m o z NA 𝐸𝑎𝑇 117 𝑘𝑁 𝑚 20 𝑚 Exemplo 3 34 Para a situação mostrada na figura abaixo determine a força de empuxo passivo por unidade de comprimento da parede segundo Rankine 𝐾𝑝 tan2 45 2 𝐾𝑝1 tan2 45 1 2 tan2 45 30 2 30 𝐾𝑝2 tan2 45 2 2 tan2 45 26 2 26 γ 17 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 26º c 2 10 kNm2 24 m 15 m z 10 kNm2 NA o 35 Solo 1 𝑘𝑝1 𝛾1 ℎ1 ℎ1 𝐸𝑝1 1 2 3 17 242 147 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑝1 ℎ2 1 3 ℎ1 15 1 3 24 23 𝑚 𝐸𝑝1 𝐸𝑝𝑐1 ℎ1 𝑧𝑝𝑐1 ℎ2 1 2 ℎ1 15 1 2 15 225 𝑚 𝐸𝑝1 1 2 𝐾𝑝1 𝛾1 ℎ1 2 𝐸𝑝𝑐1 2 𝑐1 𝐾𝑝1 ℎ1 0 𝑘𝑁 𝑚 2 𝑐1 𝐾𝑝1 Exemplo 3 γ 17 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 26º c 2 10 kNm2 24 m 15 m z 10 kNm2 NA o 36 Solo 2 𝑘𝑝2 𝛾2 ℎ2 ℎ2 𝐸𝑝2 1 2 26 19 10 242 26 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑝2 1 3 ℎ2 1 3 15 05 𝑚 𝐸𝑝2 𝐸𝑝𝑐2 ℎ2 𝑧𝑝𝑐2 1 2 ℎ2 1 2 15 075 𝑚 𝐸𝑝2 1 2 𝐾𝑝2 𝛾 2 ℎ2 2 𝐸𝑝𝑐2 2 10 26 15 48 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑎𝑐1 2 𝑐2 𝐾𝑝2 ℎ2 2 𝑐2 𝐾𝑎2 Exemplo 3 γ 17 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 26º c 2 10 kNm2 24 m 15 m z 10 kNm2 NA o 37 Solo 1 sobre Solo 2 𝐸𝑝12 𝑘𝑝2 𝛾1 ℎ1 ℎ2 𝐸𝑝12 ℎ2 𝑘𝑝2 𝛾1 ℎ1 𝑧𝑝12 1 2 ℎ2 1 2 15 075 𝑚 𝐸𝑝12 26 17 24 15 157 𝑘𝑁 𝑚 Água 𝛾𝑤 ℎ𝑤 ℎ𝑤 𝐸𝑤 1 2 10 152 1125 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑤 1 3 ℎ𝑤 1 3 15 05 𝑚 𝐸𝑤 𝐸𝑤 1 2 𝛾𝑤 ℎ𝑤2 Exemplo 3 γ 17 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 26º c 2 10 kNm2 24 m 15 m z 10 kNm2 NA o 38 Sobrecarga 𝐸𝑝𝑠1 𝑘𝑝1 𝑞 ℎ1 𝐸𝑝𝑠1 ℎ1 𝑘𝑝1 𝑞 𝑧𝑝𝑠1 ℎ2 1 2 ℎ1 15 1 2 24 27 𝑚 𝐸𝑝𝑠1 3 10 24 72 𝑘𝑁 𝑚 𝐸𝑝𝑠2 𝑘𝑝2 𝑞 ℎ2 𝐸𝑝𝑠2 ℎ2 𝑘𝑝2 𝑞 𝑧𝑝𝑠2 1 2 ℎ2 1 2 15 075 𝑚 𝐸𝑝𝑠2 26 10 15 38 𝑘𝑁 𝑚 Exemplo 3 γ 17 kNm3 ϕ1 30º c 1 0 γsat 19 kNm3 ϕ2 26º c 2 10 kNm2 24 m 15 m z 10 kNm2 NA o 39 TOTAL 𝐸𝑝𝑇 𝐸𝑝1 𝐸𝑝𝑐1 𝐸𝑝2 𝐸𝑝𝑐2 𝐸𝑝12 𝐸𝑤 𝐸𝑝𝑠1 𝐸𝑝𝑠2 𝐸𝑝𝑇 147 0 26 48 157 1125 72 38 499 𝑘𝑁 𝑚 𝑧𝑎𝑇 𝐸𝑝1 𝑧𝑝1 𝐸𝑝𝑐1 𝑧𝑝𝑐1 𝐸𝑝2 𝑧𝑝2 𝐸𝑝𝑐2 𝑧𝑝𝑐2 𝐸𝑝12 𝑧𝑝12 𝐸𝑤 𝑧𝑤 𝐸𝑝𝑠1 𝑧𝑝𝑠2 𝐸𝑝𝑠2 𝑧𝑝𝑠2 𝐸𝑎𝑇 𝑧𝑎𝑇 147 23 0 225 26 05 48 075 157 075 1125 05 72 27 38 075 499 15 𝑚 𝑀𝑜 0 Exemplo 3 24 m 15 m z 10 kNm2 NA o 𝐸𝑝𝑇 499 𝑘𝑁 𝑚 15𝑚 C SUGESTÃO DE LEITURA D GERSCOVICH R SARAMAGO BR DANZIGER Contenções teoria e aplicações em obras São Paulo Oficina de Textos 2016 Capítulos 1 2 e 3 40