Aula 03: Análise por Lugar das Raízes - ECA602 Sistemas de Controle

ECA602 Sistemas de Controle Universidade Federal de Itajuba Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao Aula 03 Analise por Lugar das Raızes Prof Caio Fernandes de Paula caiofernandesunifeiedubr 2 Semestre de 2023 1 61 Consideracoes Iniciais Na teoria de controle classico isto e teoria de controle baseado na representacao do sistema dinˆamico no domınio da frequˆencia funcao de transferˆencia existem duas abordagens principais para analise e projeto de sistemas de controle o Lugar das Raızes e a Resposta em Frequˆencia Ambas as abordagens possuem suas vantagens desvantagens e parti cularidades e sao comumente utilizadas juntas Portanto e necessario conhecer bem cada uma delas A tecnica de Lugar das Raızes criada por WR Evans no final da decada de 40 se baseia em uma analise grafica do lugar geometrico formado pelas raızes da equacao caracterıstica polos em malha fechada no plano complexo quando um determinado parˆametro do sistema varia geralmente o ganho em malha aberta 2 61 Consideracoes Iniciais Sabemos que a resposta de um sistema dinˆamico depende 1 Da localizacao de seus polos no planos complexo 2 Da localizacao de seus zeros no planos complexo 3 Do tipo de entrada que e aplicado 4 Das condicoes iniciais Embora a tecnica de lugar das raızes nao considere visualmente a posicao dos zeros mas somente a dos polos ela e muito util para determinar as caracterısticas da resposta transitoria ou ao menos for necer um insight sobre elas As caracterısticas da resposta ao degrau desempenho para um sis tema de segundaordem padrao overshoot e tempo de acomodacao dependem do fator de amortecimento e da frequˆencia natural que por sua vez definem a posicao do polo no plano complexo 3 61 Consideracoes Iniciais Vamos comecar a analise do metodo do lugar das raızes com um exem plo Considere o seguinte sistema de controle no qual K R real e positivo e Gs e uma funcao de transferˆencia dada por Gs 1 ss 2 A funcao de transferˆencia da malha fechada e Ts Y s Rs KGs 1 KGs K s2 2s K 4 61 Consideracoes Iniciais A equacao caracterıstica em malha fechada e entao s2 2s K 0 E evidente que as raızes da equacao caracterıstica dependem de K As raızes da equacao caracterıstica sao dadas por s12 2 4 4K 2 1 1 K Para 0 K 1 temos duas raızes reais e distintas e para K 1 duas raızes reais e iguais ambas em s 1 Ja para 1 K temos duas raızes complexoconjugadas dadas por s12 1 j K 1 ou seja a parte real das raızes complexoconjugadas e sempre igual a 1 e a parte imaginaria depende de K Graficamente podemos expressar a posicao das raızes com respeito a variacao de K 5 61 Considerações Iniciais K 2 K 0 K 1 K 0 K 2 2 1 0 1 1 jω s Consideracoes Iniciais Vemos que para 1 K a medida que o ganho K cresce o fator de amortecimento ζ diminui e entao esperase que o overshoot do sistema aumente Como a constante de tempo τ 1σ se mantem constante em 1 s esperase que o tempo de acomodacao nao mude sendo igual a 4 s mesmo com o aumento de K O grafico anterior e conhecido como Lugar das Raızes de Gs ou seja e o lugar geometrico formado pelos polos do sistema em malha fechada no planos quando o parˆametro K varia Para este sistema em particular tracar o grafico do Lugar das Raızes e consideravelmente facil Entretanto para sistemas mais comple xos tracar o Lugar das Raızes desta maneira nem sempre e trivial ou possıvel Veremos posteriormente algumas regras para esbocar o Lugar das Raızes de qualquer sistema 7 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Considere o problema que se segue dado um ponto s1 C no planos como saber se este ponto faz parte do grafico de Lugar das Raızes de um sistema Gs Para resolver este problema vamos considerar a equacao caracterıstica em malha fechada no seguinte formato 1 KGs 0 KGs 1 Como Gs e geralmente complexa funcao de variavel complexa podemos decompor a equacao anterior de duas formas uma equacao de modulo e uma equacao de ˆangulo KGs KGs 1 1802k 1 k 0 1 2 Isolandose as equacoes temos Gs 1 K Gs 1802k 1 k 0 1 2 8 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Como o modulo de um numero complexo e sempre positivo a equacao de modulo nao fornece uma condicao necessaria e suficiente pois qualquer K positivo e real faz com que a funcao Gs seja positiva Em outras palavras para qualquer ponto s1 C a equacao de modulo e sempre satisfeita Entretanto a equacao de ˆangulo fornece uma condicao necessaria e suficiente pois independe de K Sendo assim para saber se um determinado ponto s1 C faz parte do Diagrama de Lugar das Raızes de Gs basta utilizar o criterio de ˆangulo Gs1 1802k 1 k 0 1 2 Logo dizemos entao que o Lugar das Raızes de Gs e o conjunto LR s C Gs 1802k 1 k 0 1 2 Se o criterio de ˆangulo for satisfeito podemos utilizar o criterio de modulo para encontrar o ganho K que impoe a raiz s1 para a equacao caraterıstica K 1 Gs1 9 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Os criterios de ˆangulo e de modulo podem ser vistos de uma outra maneira Con sidere sem perda de generalidade que a funcao Gs e dada por um zero e dois polos da seguinte forma Gs s z1 s p1s p2 Se desejamos saber se s1 faz parte do LR entao temos Gs1 s1 z1 s1 p1s1 p2 Geometricamente no planos Gs1 e composta por trˆes vetores s1 z1 s1 p1 e s1 p2 ou seja sao vetores com inıcio em pi ou zi e fim em s1 Tais vetores possuem evidentemente um modulo rpi s1 pi ou rzi s1 zi e um ˆangulo θpi s1 pi ou θzi s1 zi formados em relacao ao eixo real Desta forma podemos decompor Gs1 em uma equacao de modulo e uma equacao de ˆangulo Gs1 rz1 rp1rp2 Gs1 θz1 θp1 θp2 10 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes 11 61 Determinando Pontos do Lugar das Raízes APLICANDOSE O CRITÉRIO DE ÂNGULO PARA QUE O PONTO s1 C FAÇA PARTE DO LR TEMOS ENTÃO QUE θz1 θp1 θp2 1802k 1 k 0 1 2 SE A CONDIÇÃO ACIMA FOR SATISFEITA ENTÃO PELO CRITÉRIO DE MÓDULO TEMSE QUE O GANHO K QUE IMPÕE A RAIZ s1 PARA A EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA É K rp1rp2rz1 DESSA MANEIRA TEMOS A SEGUINTE DEFINIÇÃO CRITÉRIO DE ÂNGULO UM PONTO s1 C FAZ PARTE DO DIAGRAMA DE LUGAR DAS RAÍZES SE O SOMATÓRIO DOS ÂNGULOS DOS VETORES DOS ZERO MENOS O SOMATÓRIO DOS ÂNGULOS DOS VETORES DOS PÓLOS FOR IGUAL A 180 OU UM MÚLTIPLO 2k 1 COM k 0 1 2 MATEMATICAMENTE TEMOS i θzi i θpi 1802k 1 k 0 1 2 Determinando Pontos do Lugar das Raízes CRITÉRIO DE MÓDULO DADO QUE UM PONTO s1 C FAZ PARTE DO DIAGRAMA DE LUGAR DAS RAÍZES O GANHO K QUE FAZ COM QUE s1 SEJA UMA RAIZ DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA É DADO PELO PRODUTÓRIO DOS MÓDULOS DOS VETORES DOS PÓLOS DIVIDIDO PELO PRODUTÓRIO DOS MÓDULOS DOS VETORES DOS ZERO OU 1 SE NÃO HOUVER ZEROS FINITOS MATEMATICAMENTE TEMOS K i1n rpi se 0 m n i1m rzi se m 0 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Exemplo 31 Dado o sistema de controle ilustrado pela figura abaixo com Gs 1 ss 2 determine se os seguintes pontos fazem parte do diagrama de Lugar das Raızes e caso afirmativo qual o valor de K que impoe o polo desejado em malha fechada a s1 3 b s1 1 j5 c s1 2 j5 14 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Resolucao do Exemplo 31 Equacao caracterıstica 1 KGs 0 1 K 1 ss 2 0 Metodo 1 Definicao Gs1 1802k 1 k 0 1 2 K 1 Gs1 Resolvendo a letra a s1 3 G3 1 33 2 1 3 0 3333 G3 0 3333 0 1802k 1 k 0 1 2 portanto o ponto s1 3 nao faz parte do Lugar das Raızes de Gs 15 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Continuacao da Resolucao do Exemplo 31 Resolvendo a letra b s1 1 j5 G1 j5 1 1 j51 j5 2 1 1 j51 j5 1 26 0 0385 G1 j5 0 0385 180 portanto o ponto s1 1 j5 faz parte do Lugar das Raızes de Gs Portanto pelo criterio de modulo K 1 G1 j5 1 0 0385 26 Resolvendo a letra c s1 2 j5 G2 j5 1 2 j52 j5 2 1 2 j5j5 0 0345 j0 0138 G2 j5 0 0345 j0 0138 158 2 1802k 1 k 0 1 2 portanto o ponto s1 2 j5 nao faz parte do Lugar das Raızes de Gs 16 61 Método 2 Interpretação Geométrica Σθzeros Σθpólos 1802k 1 k 0 1 2 K rpólosrzeros Pólos de Gs s 0 e s 2 Resolvendo a letra a s1 3 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Continuacao da Resolucao do Exemplo 31 Calculo dos ˆangulos θp1 180 θp2 180 Criterio de ˆangulo 0 θp1 θp2 360 1802k 1 k 0 1 2 portanto s1 3 nao faz parte do Lugar das Raızes de Gs Resolvendo a letra b s1 1 j5 18 61 Cálculo dos ângulos θp1 180 tan¹51 101309 θp2 tan¹51 786901 Critério de ângulo 0 θp1 θp2 101309 786901 180 portanto s1 1 j5 faz parte do Lugar das Raízes de Gs Cálculo dos módulos rp1 5sin180 θp1 5099 rp2 5sinθp2 5099 Logo o ganho K que impõe o pólo s1 1 j5 em malha fechada é K rp1 rp2 5099 5099 26 Cálculo dos ângulos θp1 180 tan¹52 1118014 θp2 90 Critério de ângulo 0 θp1 θp2 2018014 1802k 1 k 0 1 2 portanto s1 2 j5 não faz parte do Lugar das Raízes de Gs Determinando Pontos do Lugar das Raızes Exemplo 32 Considere o sistema de controle de um motor de corrente contınua conforme ilustrado na figura a seguir O objetivo e controlar a velocidade do motor em rpm utilizandose de um sensor constituıdo por um tacogerador cuja funcao de transferˆencia e Hs 1 0 75s 150 Vrpm Sabendose que a funcao de transferˆencia da planta e GP s Y s Us 8 0 6s2 1 6s 1 rpmV e que o controlador GC s e um controlador puramente proporcional GC s KP a Prove que o ponto s1 1 2 j2 nao faz parte do diagrama de Lugar das Raızes b Prove que o ponto s1 1 32 j2 09 faz parte do diagrama de Lugar das Raızes c Qual o valor de KP que impoe o polo do item b em malha fechada d Qual o desempenho esperado para o sistema compensado com o KP encontrado no item c e Qual o valor do terceiro polo em malha fechada para o KP encontrado no item c 21 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes 22 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Resolucao do Exemplo 32 Sabemos que o controlador proporcional e GC s KP Podemos reescrever o sensor Hs e a planta GPs respectivamente como Hs 1 0 75s 150 1 0 75 1 s 200 GPs 8 0 6s2 1 6s 1 8 0 6 1 s 1s 1 6667 Desta forma a equacao caracterıstica e 1 GC sGPsHs 0 1 KP 8 0 6 1 s 1s 1 6667 1 0 75 1 s 200 0 a qual podemos ver na tradicional forma 1 KGs 0 simplesmente assumindo que K KP 8 0 6 1 0 75 8KP 0 45 Gs 1 s 1s 1 6667s 200 23 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Continuacao da Resolucao do Exemplo 32 Resolvemos a letra a aplicando o criterio de ˆangulo para s1 1 2 j2 G1 2 j2 1 814 8228 j97 8532 Calculando o ˆangulo de G1 2 j2 temos que G1 2 j2 173 1521 1802k 1 e desta maneira o ponto s1 1 2 j2 nao atende o criterio de ˆangulo e portanto nao faz parte do Lugar das Raızes Resolvemos a letra b tambem aplicando o criterio de ˆangulo para s1 1 32 j2 09 G1 32 j2 09 1 890 0131 j1 7257 Calculando o ˆangulo de G1 32 j2 09 temos que G1 32 j2 09 179 8889 180 e desta maneira o ponto s1 1 32 j2 09 atende o criterio de ˆangulo e portanto faz parte do Lugar das Raızes 24 61 Determinando Pontos do Lugar das Raízes Continuação da Resolução do Exemplo 32 Para resolvemos a letra c aplicamos o critério de módulo sabendo que o ponto s1 132 j209 faz parte do diagrama de Lugar das Raízes pois atende o critério de ângulo Sendo assim temos K 1G132 j209 11236 x 103 890 Sabemos que da equação característica K 8KP045 890 8KP045 e portanto temos que o ganho proporcional deve ser KP 500625 Para resolvermos a letra d vamos assumir que a priori os pólos s12 132 j209 são dominantes não sabemos ainda isso Sendo assim a frequência de oscilação nãoamortecida natural ωn é ωn 132² 209² 24719 rads Determinando Pontos do Lugar das Raízes Continuação da Resolução do Exemplo 32 Já o fator de amortecimento ζ é ζωn 132 ζ 0534 Sendo assim o overshoot esperado é Mp eπζ1 ζ² x 100 eπ0534 x 1 0534² x 100 1375 enquanto que o tempo de acomodação esperado é ts 4ζωn 40534 24719 303 s Para resolvermos a letra e partimos do ponto que se o ponto s1 132 j209 faz parte do diagrama de Lugar das Raízes então ele é solução para a equação característica 1 KGs 0 Já calculamos que o ganho K que impõe estes pólos é K 890 logo 1 890s 1s 16667s 200 0 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Continuacao da Resolucao do Exemplo 32 Simplificando a equacao anterior chegaremos a s 1s 1 6667s 200 890 0 s3 202 6667s2 535 0067s 1223 94 0 Temos certeza que s12 1 32 j2 09 sao raızes da equacao anterior Para achar a outra raiz podemos utilizar dois metodos divisao polinomial e propriedades da solucao da equacao de 3 grau Formulas de Vieta Sabendo que s12 sao raızes da equacao caracterıstica por divisao polinomial sabemos que o resto da divisao de s3 202 6667s2 535 0067s 1223 94 pelo polinˆomio formado por s s1s s2 e zero e o quociente fornece o polinˆomio que determina terceira raiz Calculandose o polinˆomio s s1s s2 s 1 32 j2 09s 1 32 j2 09 s2 2 64s 6 1105 Procedendose a divisao de s3202 6667s2535 0067s1223 94 por s22 64s6 1105 veremos que o resto e zero e o quociente e dado por s 200 0267 Portanto a terceira raiz esta localizada em s3 200 0267 27 61 Determinando Pontos do Lugar das Raızes Continuacao da Resolucao do Exemplo 32 Uma maneira mais simples e utilizar a propriedade da solucao da equacao de 3 grau dada a equacao de 3 grau na variavel s na forma as3 bs2 cs d 0 pelas Formulas de Vieta a soma de suas raızes e igual a ba a soma do produto doisadois das raızes e ca e a multiplicacao das raizes e da Logo temos que s1 s2 s3 ba 1 32 j2 09 1 32 j2 09 s3 202 6667 o que nos fornece s3 200 0267 que e exatamente igual ao calculado anteriormente Convem salientar que esta terceira raiz s3 200 0267 esta muito mais distante da origem que as outras duas s12 1 32 j2 09 e portanto estes ultimos tendem a ser dominantes De fato um dos criterios para se determinar se um polo e dominante ou nao e justamente verificar a parte real dos polos se um polo ou um par de polos complexo conjugados tiver parte real cerca de 5 a 10 vezes menor que todos os outros podemos dizer que tal polo ou tais polos complexoconjugados e dominante sao dominantes isto e na resposta temporal o efeito de todos os outros polos desaparece no tempo muito mais rapidamente que o efeito dos dominantes que sao muito mais lentos Este e um criterio muito simples para aproximacao de funcoes mas pode falhar bastante principalmente quando o sistema possui zeros 28 61 Regras Gerais de Construcao 1ª Regra Simetria O lugar das raızes e um diagrama simetrico com respeito ao eixo real 2ª Regra Inıcio e Fim Dada uma equacao caracterıstica com n raızes os n ramos tem origem K 0 nos polos do sistema em malha aberta e fim K nos m zeros finitos e n m zeros no infinito em malha aberta 3ª Regra Assıntotas Se a funcao de transferˆencia da malha aberta possui α n m zeros no infinito α 1 o lugar das raızes se aproxima das α assıntotas na medida em que K com ˆangulos θ 2k 1 α 180 k 0 1 2 α 1 e as assıntotas partem do eixo real no ponto σa soma dos polos finitos soma dos zeros finitos α 29 61 Regras Gerais de Construcao 4ª Regra Eixo Real Um ponto sobre o eixo real faz parte do lugar das raızes se a sua direita o numero de polos e zeros finitos da malha aberta sobre o eixo real for ımpar 5ª Regra Pontos de Separacao Os pontos nos quais os ramos do lugar das raızes partem do ou chegam ao eixo real se houverem sao conhecidos como pontos de separacao e sao dados pelas raızes reais do polinˆomio obtido atraves de dGs ds 0 ou equivalentemente de NsdDs ds dNs ds Ds 0 onde Ns e o numerador de Gs e Ds e o denominador de Gs Observe que a raiz encontrada so e um ponto de separacao σb se obedecer a 4ª Regra ou seja fizer parte do lugar das raızes 30 61 Regras Gerais de Construcao 6ª Regra Cruzamento com o Eixo Imaginario Os pontos nos quais os ramos cruzam o eixo imaginario se houverem podem ser encontrados de duas formas Atraves do criterio de RouthHurwitz encontrandose os valores de K que geram um sistema marginalmente estavel para depois subs tituılo na equacao caracterıstica e entao achar o valor das raızes ou Substituir s jω na equacao caracterıstica e separar a equacao resul tante em outras duas por meio da parte real e da parte imaginaria 31 61 Regras Gerais de Construção 7ª Regra Ângulo de Partida Um ramo parte de um pólo complexo pj com um ângulo θd dado por θd i θzi j θpi 1802k 1 k 012 8ª Regra Ângulo de Chegada Um ramo chega a um zero complexo zj com um ângulo θa dado por θa i θpi j θzi 1802k 1 k 012 Regras Gerais de Construcao Exemplo 33 Dada a seguinte funcao de transferˆencia da malha aberta GCsGPsHs K s 1s 2s 3 faca o esboco do diagrama de lugar das raızes deste sistema 33 61 Regras Gerais de Construcao Resolucao do Exemplo 33 A equacao caracterıstica em malha fechada e 1 GC sGPsHs 0 e colocando na forma 1 KGs 0 temos 1 K 1 s 1s 2s 3 0 e logo Gs 1 s 1s 2s 3 1ª Regra Simetria nesta regra nao ha nada a ser calculado apenas lembrar que o Lugar das Raızes e sempre simetrico com respeito ao eixo real 2ª Regra Inıcio e Fim os ramos do diagrama tem inıcio nos polos finitos da malha aberta ou seja de Gs e fim nos zeros finitos ou nao Logo os ramos tem inıcio em s 1 s 2 e s 3 e fim nos zeros no infinito uma vez que nao ha zeros finitos em malha aberta 34 61 Regras Gerais de Construcao Continuacao da Resolucao do Exemplo 33 3ª Regra Assıntotas uma vez que a malha aberta tem trˆes polos finitos n 3 e nenhum zero finito m 0 e portanto tera trˆes assıntotas α n m 3 Quando ha trˆes assıntotas os ˆangulos sao θ 1802k 1 3 k 0 1 2 Sendo assim os ˆangulos das assintotas sao θ 60 θ 60 e θ 180 lembrar que os ˆangulos das assıntotas sao tabelados pelo numero de assıntotas e nao pelo sistema em si O ponto onde as assıntotas partem do eixo real serao σa 1 2 3 0 3 1 3333 4ª Regra Eixo Real um ponto sobre o eixo real faz parte do Lugar das Raızes se a sua direita o numero de polos e zeros sobre o eixo real for ımpar Graficamente 35 61 Continuação da Resolução do Exemplo 33 5ª Regra Pontos de Separação os pontos de separação são dados pelas raízes de dGsds 0 que fazem parte do Diagrama de Lugar das Raízes Logo dGsds dds1s 1s 2s 3 dds1s3 4s2 s 6 0 dds Gs 3s2 8s 1s 12s 22s 32 0 Calculandose as raízes da equação acima temse que são s1 01315 e s2 25352 Uma vez que s1 está sobre um trecho do eixo real que faz parte do LR e s2 não concluise que há apenas um ponto de separação que é igual a σb 01315 Regras Gerais de Construcao Continuacao da Resolucao do Exemplo 33 6ª Regra Cruzamento com o Eixo Imaginario a equacao caracterıstica e 1 K 1 s3 4s2 s 6 0 s3 4s2 s K 6 0 Montandose a Tabela de Routh s3 1 1 s2 4 K 6 s1 10 K 4 s0 K 6 Para qualquer ganho 6 K 10 o sistema e estavel em malha fechada Para K 6 a equacao caracterıstica fica s3 4s2 s 0 ss2 4s 1 0 e entao vemos que ha um polo na origem ou seja um dos ramos intercepta o eixo imaginario na origem Para K 10 a linha s1 na Tabela de Routh passa a ser nula indicando que havera um polinˆomio par com os coeficientes da linha anterior igual a Qps 4s2 4 fatorando Qs Calculandose as raızes de Qps temos que s12 j Ou seja em K 10 dois ramos interceptam o eixo imaginario nos pontos 1 37 61 Regras Gerais de Construcao Continuacao da Resolucao do Exemplo 33 6ª Regra Cruzamento com o Eixo Imaginario a resolucao alternativa consiste em subs tituir s jω na equacao caracterıstica Fazendose isso teremos jω3 4jω2 jω K 6 0 jω3 4ω2 jω K 6 0 Ambas as partes real e imaginaria da equacao anterior devem ser zero logo ω3 ω ωω2 1 0 Parte Imaginaria 4ω2 K 6 0 Parte Real As raızes da equacao da parte imaginaria sao ω12 1 e ω3 0 indicando que os ramos interceptam o eixo imaginario em 1 e na origem Para ω12 a equacao da parte real fornece K 10 e para ω3 fornece K 6 7ª e 8ª Regras ˆAngulos de Partida e Chegada nao sao aplicaveis pois em malha aberta nao ha polos complexoconjugados nao ha ˆangulo de partida ou zeros complexoconjugados nao ha ˆangulo de chegada 38 61 Regras Gerais de Construcao Lugar das Raızes gerado via MATLAB do Exemplo 33 5 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 39 61 Regras Gerais de Construcao Exemplo 34 Dada a seguinte funcao de transferˆencia da malha aberta GCsGPsHs Ks 1 ss 1s2 4s 16 encontre os ˆangulos de partida do diagrama de Lugar das Raızes para os polos complexoconjugados 40 61 Regras Gerais de Construcao Resolucao do Exemplo 34 Os polos complexos sao as raızes de s2 4s 16 0 Logo sao s34 2 j2 3 Faremos o calculo do ˆangulo de partida do polo s3 2 j2 3 sabendo que pela propriedade da simetria em relacao ao eixo real o outro ˆangulo e exatamente o oposto do que iremos calcular Graficamente Figura Grafico do Exemplo 34 41 61 Continuação da Resolução do Exemplo 34 Pelo critério de ângulo devemos ter θd θz1 θp1 θp2 θp4 1802k 1 Como θz1 180 tan1231 1061021 θp1 180 tan1233 1308934 θp2 180 tan1232 120 logo o ângulo de partida do polo s3 2 j23 é θd 541973 ou seja o ramo parte deste pólo para baixo e à direita O ângulo de partida do outro pólo s4 2 j23 é 541973 exatamente o oposto do outro e então o ramo parte deste pólo para cima e à direita Regras Gerais de Construcao Figura de alguns diagramas de Lugar das Raızes comuns Phillips 43 61 Regras Gerais de Construcao Figura de alguns diagramas de Lugar das Raızes comuns Ogata 44 61 Configuracoes Adicionais Vimos que as tecnicas para analise via diagrama de Lugar das Raızes e seu respectivo esboco sao determinadas quando a equacao caracterıstica e dada por 1 KGs 0 ou seja o parˆametro variante K aparece linear na equacao Isto ocorre quando o parˆametro a ser analisado e o ganho em malha aberta o que configura a maioria dos casos de analise de sistemas de controle pelo metodo do Lugar das Raızes Entretanto e possıvel analisar a influˆencia de outro parˆametro do sistema que nao seja o ganho em malha aberta via a tecnica de Lugar das Raızes Seja α R o parˆametro variante cuja influˆencia sobre o sistema em malha fechada e desejado conhecer De maneira a aplicar a tecnica de Lugar das Raızes para proceder tal analise e necessario deixar a equacao caracterıstica da seguinte forma 1 αGs 0 45 61 Configuracoes Adicionais Um procedimento geral que resolve o problema na maioria dos casos e 1 A partir do equacionamento da malha encontre a equacao caracterıstica ou seja o polinˆomio de polos da malha fechada 2 Separe este polinˆomio em outros dois polinˆomios um polinˆomio cujos coefici entes nao dependem de α que iremos chamar de As e um polinˆomio cujos coeficientes dependem de α Colocando o parˆametro α em evidˆencia neste ultimo polinˆomio teremos entao αBs Com isto a equacao caracterıstica fica As αBs 0 3 Basta entao dividir a equacao anterior por As e teremos 1 αBs As 0 e desta forma a funcao de transferˆencia que deve ser levada em consideracao no metodo de Lugar das Raızes e Gs Bs As 46 61 Configuracoes Adicionais Exemplo 35 Dada o seguinte sistema de controle no qual a funcao de transferˆencia da planta e GPs 1 ss a e tanto a realimentacao quanto o controlador sao unitarios Hs 1 e GC s 1 qual deveria ser a funcao Gs a ser utilizada se fosse desejado conhecer a influˆencia da variacao do polo em malha aberta s a nos polos da malha fechada atraves do metodo de Lugar das Raızes 47 61 Resolução do Exemplo 35 Função de transferência da malha fechada Ts YsRs GcsGps1 GcsGpsHs 1s2 as 1 Equação característica s2 as 1 0 s2 1 as 0 Dividindo a equação anterior por s2 1 temos 1 ass2 1 0 e portanto a função de transferência Gs que deve ser analisada é Gs ss2 1 Lugar das Raızes Complementar Vimos ate entao a analise da tecnica de Lugar das Raızes quando por definicao o parˆametro variante K e real e positivo ou seja 0 K Entretanto existe o chamado de Lugar das Raızes Complementar que e o lugar geometrico formado pelas raızes da equacao caracterıstica quando o parˆametro K e real e negativo ou seja K 0 Para nao criar confusao o termo Lugar das Raızes sera utilizado para denotar o Lugar das Raızes Convencional para 0 K enquanto que o termo Lugar das Raızes Complementar para K 0 Assumindo que K e real e negativo podemos reescrever a equacao caracterıstica para o Lugar das Raızes Complementar como 1 KGs 0 e entao novamente K e tratado como real e positivo mas sabemos que e negativo o sinal menos ja esta embutido na equacao Desta forma temos que KGs 1 KGs 1 360k k 0 1 2 49 61 Lugar das Raızes Complementar Decompondo a equacao anterior em duas equacoes modulo e ˆangulo temos K 1 Gs Gs 360k k 0 1 2 Novamente vemos que a equacao de modulo que e exatamente igual ao do Lugar das Raızes nao fornece uma condicao necessaria e suficiente pois qualquer valor do modulo de Gs torna K real e positivo Entretanto a equacao de ˆangulo fornece uma condicao necessaria e suficiente pois independe de K Sendo assim para saber se um determinado ponto s1 C faz parte do LR Complementar aplicamos o criterio ou condicao de ˆangulo revisitada Gs1 360k k 0 1 2 e entao definimos o conjunto Lugar das Raızes Complementar como LRC s C Gs 360k k 0 1 2 De maneira similar se um ponto s1 C faz parte do diagrama de Lugar das Raızes Complementar o criterio ou condicao de modulo K 1 Gs1 pode ser utilizado para calcular o ganho K que impoe o polo s1 para a equacao caracterıstica 50 61 Lugar das Raızes Complementar Em geral analisamos o Lugar das Raızes Complementar para K ate K 0 Desta forma as regras para construcao do Lugar das Raızes complementar sao modificadas em relacao ao Lugar das Raızes 1ª Regra Simetria O Lugar das Raızes Complementar e um diagrama simetrico com respeito ao eixo real 2ª Regra Inıcio e Fim Dada uma equacao caracterıstica com n raızes os n ramos tem origem K nos m zeros finitos e n m zeros no infinito em malha aberta e fim K 0 nos polos do sistema em malha aberta 51 61 Lugar das Raızes Complementar 3ª Regra Assıntotas Se a funcao de transferˆencia da malha aberta possui α n m zeros no infinito α 1 o Lugar das Raızes Complementar se aproxima das α assıntotas na medida em que K com ˆangulos θ k α 360 k 0 1 2 e as assıntotas partem do eixo real no ponto σa soma dos polos finitos soma dos zeros finitos α 4ª Regra Eixo Real Um ponto sobre o eixo real faz parte do Lugar das Raızes Complementar se a sua direita o numero de polos e zeros finitos da malha aberta sobre o eixo real nao for ımpar 52 61 Lugar das Raızes Complementar 5ª Regra Pontos de Separacao Os pontos nos quais os ramos do Lugar das Raızes Complementar partem do ou chegam ao eixo real se houverem sao conhecidos como pontos de separacao e sao dados pelas raızes reais do polinˆomio obtido atraves de dGs ds 0 ou equivalentemente de NsdDs ds dNs ds Ds 0 onde Ns e o numerador de Gs e Ds e o denominador de Gs Note que toda raiz encontrada e na realidade um ponto de separacao seja do Lugar das Raızes ou do Lugar das Raızes Complementar Logo se e desejado esbocar o Lugar das Raızes Complementar basta checar se o ponto σb cumpre a 4ª Regra 53 61 Lugar das Raızes Complementar 6ª Regra Cruzamento com o Eixo Imaginario Os pontos nos quais os ramos cruzam o eixo imaginario se houverem podem ser encontrados de duas formas Atraves do criterio de RouthHurwitz encontrandose os valores de K que geram um sistema marginalmente estavel para depois subs tituılo na equacao caracterıstica e entao achar o valor das raızes ou Substituir s jω na equacao caracterıstica e separar a equacao resul tante em outras duas por meio da parte real e da parte imaginaria 54 61 7ª Regra Ângulo de Partida Um ramo parte de um zero complexo zj com um ângulo θd dado por θd i n θpi i ij m θzi 360k k 0 1 2 8ª Regra Ângulo de Chegada Um ramo chega a um pólo complexo pj com um ângulo θa dado por θa i m θzi i ij n θpi 360k k 0 1 2 Lugar das Raızes Complementar Exemplo 36 Dada a seguinte funcao de transferˆencia da malha aberta GCsGPsHs K s 1s 2s 3 faca o esboco do diagrama de lugar das raızes complementar deste sistema 56 61 Lugar das Raızes Complementar Resolucao do Exemplo 36 A equacao caracterıstica e 1 GC sGPsHs 0 e colocando na forma 1 KGs 0 temos 1 K 1 s 1s 2s 3 0 e logo Gs 1 s 1s 2s 3 1ª Regra Simetria nesta regra nao ha nada a ser calculado apenas lembrar que o Lugar das Raızes e sempre simetrico com respeito ao eixo real 2ª Regra Inıcio e Fim os ramos do diagrama tem inıcio nos zeros finitos ou no infinito da malha aberta ou seja de Gs e fim nos polos finitos Logo os ramos tem inıcio nos zeros no infinito uma vez que nao ha zeros finitos em malha aberta e fim em s 1 s 2 e s 3 57 61 Lugar das Raızes Complementar Continuacao da Resolucao do Exemplo 36 3ª Regra Assıntotas uma vez que a malha aberta tem trˆes polos finitos n 3 e nenhum zero finito m 0 e portanto havera trˆes assıntotas α n m 3 Quando ha trˆes assıntotas os ˆangulos sao θ 360k 3 k 0 1 2 Sendo assim os ˆangulos das assıntotas sao θ 0 θ 120 e θ 120 lembrar que os ˆangulos das assıntotas sao tabelados pelo numero de assıntotas e nao pelo sistema em si O ponto onde as assıntotas partem do eixo real sera σa 1 2 3 0 3 1 3333 4ª Regra Eixo Real um ponto sobre o eixo real faz parte do Lugar das Raızes Complemen tar se a sua direita o numero de polos e zeros sobre o eixo real nao for ımpar Graficamente 58 61 Continuação da Resolução do Exemplo 36 5ª Regra Pontos de Separação os pontos de separação são dados pelas raízes de dGsds 0 que fazem parte do Diagrama de Lugar das Raízes Complementar Logo dds Gs dds 1s 1s 2s 3 dds 1s³ 4s² s 6 0 dds Gs 3s² 8s 1s 1²s 2²s 3² 0 3s² 8s 1 0 Calculandose as raízes da equação acima temse que s1 01315 e s2 25352 Uma vez que s2 está sobre um trecho do eixo real que faz parte do LR Complementar e s1 não concluise que há apenas um ponto de separação que é igual a σb 25352 Lugar das Raızes Complementar Continuacao da Resolucao do Exemplo 36 6ª Regra Cruzamento com o Eixo Imaginario a equacao caracterıstica e 1 K 1 s3 4s2 s 6 0 s3 4s2 s K 6 0 Montandose a Tabela de Routh s3 1 1 s2 4 K 6 s1 K 10 4 s0 K 6 Para qualquer ganho 10 K 6 as raızes da equacao caracterıstica estao no SPE Entretanto como os dois valores crıticos de K 10 e 6 nao estao na faixa possıvel entre 0 K entao concluise que os ramos nao interceptam o eixo imaginario Lembre se que embora K seja negativo ja estamos considerando o sinal na equacao caracterıstica 7ª e 8ª Regras ˆAngulos de Partida e Chegada nao sao aplicaveis pois em malha aberta nao ha polos complexoconjugados nao ha ˆangulo de chegada ou zeros complexoconjugados nao ha ˆangulo de partida 60 61 Lugar das Raızes Complementar Continuacao da Resolucao do Exemplo 36 Lugar das Raızes Complementar gerado via MATLAB do Exemplo 36 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Root Locus Real Axis seconds1 Imaginary Axis seconds1 61 61