Lista de Exercícios - Sistemas de Controle

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informacao ECA602 Sistemas de Controle 7a Lista de Exercıcios Prof Caio Fernandes de Paula 2 Semestre de 2023 Exercıcio 01 Para os seguintes sistemas dinˆamicos lineares e invariantes no tempo obtenha a representacao no espaco de estados nas formas canˆonica controlavel canˆonica observavel e canˆonica diagonal e desenhe o diagrama de simulacao de cada uma delas Caso nao seja possıvel ou pertinente obter alguma das representacoes justifiquese a Gs s 10 s2 3s 2 b Gs s2 2s 3 s 2s2 2s 8 c Gs 10s s2 2 d Gs s2 7s 12 s2 2s 1s2 4s 4 Exercıcio 02 Considere o seguinte sistema dinˆamico linear e invariante no tempo descrito por meio da equacao diferencial yt 4 yt 3yt 2ut a Fazendose as seguintes substituicoes de variaveis x1t yt e x2t yt obtenha um modelo em variaveis de estado para este sistema b Desenhe o diagrama de simulacao do modelo no espaco de estados obtido no item a c A partir do modelo no espaco de estados obtido no item b obtenha a sua funcao de transferˆencia d A partir da funcao de transferˆencia obtida no item c obtenha a representacoes no espaco de estados na formas canˆonica controlavel e desenhe seu diagrama de simulacao e A partir da funcao de transferˆencia obtida no item c obtenha a representacoes no espaco de estados na formas canˆonica observavel e desenhe seu diagrama de simulacao 1 f A partir do modelo no espago de estados obtido no item b aplique uma transformagaéo de similaridade com 2 2 r 4 e obtenha um novo modelo no espaco de estado g Desenhe o diagrama de simulagéo do modelo no espago de estados obtido no item f Exercicio 03 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo descrito por meio da equacao diferencial d d d d d3 d 2 yt 2 yt 4 yt 10yt 4 ut 2 ut 6 ut 2ut ult 2ylt Ault loyt 4 ut 2ult 6Lut 2ut a Obtenha um modelo em varidveis de estado para este sistema b Desenhe o diagrama de simulacao do modelo no espago de estados obtido no item a Exercicio 04 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados xt 2 Jx4l t ae 3 4 2 yt1 1 xt 0 J ut Obtenha a representacéo na forma can6nica modal decomposigao modal Exercicio 05 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por funcao de transferéncia 8 Gs Gry a Obtenha o modelo em varidveis de estado na forma candénica observavel b Obtenha a representagdo na forma canénica de Jordan fatorizagao a partir do modelo do item a Exercicio 06 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 0 1 0 0 xt 0 0 1 xt 0 ut 0 4 4 1 yt1 0 0 xt 0 J ut Obtenha a representacéo na forma canénica de Jordan fatorizagao utilizando o conceito de autovetores generalizados Exercicio 07 Dada a seguinte matriz A 3 4 3 A 0 l1 0 0 O 2 Obtenha a matriz de transicao de estados t de duas maneiras 2 a Pela definicao 6t st ay b Por diagonalizacao t eA TeAT onde T é uma matriz que diagonaliza A e e4 é ert 0 ee 0 rot Ut O ev 0 0 O ern Exercicio 08 Obtenha a resposta de entrada nula xot do sistema descrito por 0 1 2 3 x onde as condigoes iniciais sao 710 1 e 20 1 Exercicio 09 Obtenha a resposta de estado nulo do sistema descrito por 0 1 2 x 2 3 xe Pow onde a entrada é ut eu1t Exercicio 10 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 4 6 1 xt 14 x 0 Jue yt1 4 xt 0 ut Construa as matrizes de controlabilidade e observabilidade e determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 11 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 1 2 2 2 xt O 1 1 xt 0 ut 1 0 1 1 yt1 1 0xt 0 J ut Construa as matrizes de controlabilidade e observabilidade e determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 12 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 1 0 0 2 xt 0 2 O xt 0 ut 2 2 8 1 yt6 12 5 xt 0 ut 3 Construa as matrizes de controlabilidade e observabilidade e determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 13 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 1 O 0 2 xt 0 2 O xt 3 ut 2 2 3 4 yt 2 2 1xt 0 ut Construa as matrizes de controlabilidade e observabilidade e determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 14 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 1 O 0 1 xt 0 2 O xt 0 ut 2 2 3 2 yt0 2 1 xt 0 ut Construa as matrizes de controlabilidade e observabilidade e determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 15 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 0 O 0 2 xt 0 1 O xt 1 ut 0 O 2 1 yt1 1 5 xt 0 J ut Sem computar as matrizes de controlabilidade e observabilidade determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 16 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 5 0 0 0 xt O 1 O x 1 uf 0 0 2 1 yt 1 0 2 xt 0 ut Sem computar as matrizes de controlabilidade e observabilidade determine se o sistema é controlavel e observavel 4 Exercicio 17 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 2 1 00 O 0 0 2 110 O 0 xt 0 O 20 0 xt 2 ut 0 0 011 O 2 0 0 00 83 3 yt1 0 0 2 1xt 0 ut Sem computar as matrizes de controlabilidade e observabilidade determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 18 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 2 1 00 0 2 0 2 110 O 0 xt 0 O 20 0 xt 0 ut 0 0 011 O 1 0 0 00 83 2 yt0 0 32 1xt 0 ut Sem computar as matrizes de controlabilidade e observabilidade determine se o sistema é controlavel e observavel Exercicio 19 Considere o seguinte sistema dinamico linear e invariante no tempo representado por meio de modelo no espaco de estados 1 2 2 2 xt 1 2 2 xt4 1 ut 1 1 8 0 yt1 0 2 xt 0 ut a Encontre a matriz de transformagaéo linear T que converte a representacéo do sistema para a forma canonica controlavel b Encontre a matriz de transformacao linear T que converte a representagaéo do sistema para a forma canonica controldvel 2 aquela na qual a matriz de controlabilidade tem determinante igual a 1 c Encontre a matriz de transformacao linear T que converte a representagaéo do sistema para a forma canonica observavel d Encontre a matriz de transformacao linear T que converte a representagaéo do sistema para a forma can6nica observavel 2 aquela na qual a matriz de observabilidade tem determinante igual a 1 e A partir de qualquer das representacdes encontradas determine a fungao de transferéncia do sistema por inspecao Exercicio 20 Sobre as transformacoes de similaridade a Por que os pélos do sistema nao mudam com uma transformagao de similaridade b Por que um mesmo sistema pode admitir infinitas representagdes no espago de estados mas somente uma tinica em funcao de transferéncia 5 Exercıcio 21 Prove que se um determinado sistema e nao controlavel eou nao observavel nao ha nenhuma transformacao de similaridade que faca com que ele passe a ser controlavel eou observavel Em outras palavras prove que controlabilidade e observabilidade sao caracterısticas do modelo particular que tenta descrever o sistema e nao da representacao do modelo no espaco de estados Exercıcio 22 O que se pode dizer a respeito de cancelamento de polos e zeros na funcao de transferˆencia e sua relacao com controlabilidade e observabilidade E sobre os resıduos 6