Regras de Construção do Lugar das Raízes - Aula 12

Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Aula 12 Lugar das Raızes Regras de construcao ECA602 Sistemas de Controle Prof Fernando Henrique UNIFEI Universidade Federal de Itajuba Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 1 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Regras de construcao 1ª Regra O lugar das raızes e simetrico com respeito ao eixo real Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 2 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Regras de construcao 2ª Regra O lugar das raızes tem origem nos polos de GsHs para K 0 e fim nos zeros de GsHs quando K incluindo os zeros no infinito Um sistema com m zeros e n polos n m como e comum em modelos de sistemas fısicos reais tem α n m zeros no infinito Uma equacao caracterıstica de ordem n resulta em um lugar das raızes com n ramos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 3 36 tae Regras de construcao Se a funcdo de transferéncia de malha aberta GsHs tem anm zeros no infinito a 1 o lugar das raizes se aproxima de a assintotas quando K tende a infinito Essas assintotas tem angulos dados por r180 9 r 1345 Qa e partem do eixo real no ponto polos finitos zeros finitos 0 ooOOoO eee a Angulos 0 Sem assintotas 1 180 2 90 3 60180 4 45135 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Regras de construcao 4ª Regra Um ponto sobre o eixo real faz parte do lugar das raızes se a sua direita o numero de polos e zeros finitos da malha aberta sobre o eixo real for ımpar Observe que os polos e zeros complexoconjugados em malha aberta nao interferem no lugar das raızes sobre o eixo real Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 5 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Regras de construcao 5ª Regra Os pontos nos quais os ramos do lugar das raızes partem ou chegam ao eixo real se houverem sao conhecidos como pontos de separacao e sao dados pelas raızes reais do polinˆomio obtido atraves de GsHs s 0 ou equivalentemente NsDs s Ns s Ds 0 em que Ns e o numerador de GsHs e Ds e o denominador de GsHs Observe que a raiz encontrada so e um ponto de separacao se obe decer a 4ª Regra ou seja se fizer parte do lugar das raızes Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 6 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Regras de construcao 6ª Regra Os pontos nos quais os ramos cruzam o eixo imaginario sao encon trados pelo criterio de estabilidade de RouthHurwitz Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 7 36 tae Regras de construcao Um ramo parte de um polo complexo p com um angulo 6g dado por m n 04 0z Y Op 17180 r 4143 45 if em que 6 e 02 representa o dngulo do polo ou zero correspondente até Pj Um ramo chega a um zero complexo z com um angulo dado por n m 6 Op 02 17180 r 4143 45 ifj em que 6 e 02 representa o dngulo do polo ou zero correspondente Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Como exemplo considere as seguintes funcoes de transferˆencia em malha aberta a GsHs 1 s 1s 2s 3 b GsHs s 1 s2 c GsHs s 1 ss 1s2 4s 16 Vamos esbocar o lugar das raızes para cada uma dessas funcoes Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 9 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Letra a GsHs 1 s 1s 2s 3 1ª Regra 2ª Regra Os ramos tem origem nos polos em s 1 s 2 e s 3 e como nao ha zeros finitos fim nos zeros no infinito 3ª Regra A funcao de transferˆencia em malha aberta tem trˆes polos finitos n 3 e nenhum zero finito m 0 Portanto existem α 3 0 3 zeros no infinito e portanto 3 assıntotas Quando ha trˆes assıntotas os ˆangulos sao 60 e 180 O ponto de onde elas partem do eixo real e σa 1 2 3 0 3 1 3333 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 10 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 4ª Regra Os intervalos que tem a sua direita um numero ımpar de polos e zeros sao 2 s 1 s 3 5ª Regra Os pontos de separacao sao encontrados resolvendose NsDs s Ns s Ds 0 Ns Ds 1 s 1s 2s 3 1 s3 4s2 s 6 13s2 8s 1 0s3 4s2 s 6 0 3s2 8s 1 0 As raızes desse polinˆomio sao s1 0 1315 e s2 2 5352 Como s2 nao faz parte do lugar das raızes ignoramos esse ponto Assim ha apenas um ponto de separacao localizado em s 0 1315 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 11 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 6ª Regra A equacao caracterıstica e 1 K 1 s3 4s2 s 6 0 s3 4s2 s K 6 0 Montando a tabela de Routh s3 1 1 s2 4 K 6 s1 10 K 4 s0 K 6 O sistema e estavel para 6 K 10 Para K 6 s3 4s2 s ss2 4s 1 0 ou seja o eixo imaginario e interceptado na origem e para K 10 s3 4s2 s 4 s 4s2 1 0 ou seja o eixo imaginario e interceptado em j1 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 12 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 7ª Regra Como nao ha polos ou zeros complexoconjugados essa regra nao se aplica Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 13 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 14 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Letra b GsHs s 1 s2 1ª Regra 2ª Regra Os ramos tem origem nos polos em s 0 e fim em um zero finito em s 1 e em um zero infinito 3ª Regra A funcao de transferˆencia em malha aberta tem dois polos finitos n 2 e um zero finito m 1 Portanto existe α 2 1 1 zeros no infinito e portanto 1 assıntota Quando ha apenas uma assıntota o ˆangulo e 180 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 15 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 4ª Regra O intervalo que tem a sua direita um numero ımpar de polos e zeros e s 1 5ª Regra Os pontos de separacao sao encontrados resolvendo se NsDs s Ns s Ds 0 Ns Ds s 1 s2 s 12s 1s2 0 s2 2s 0 As raızes desse polinˆomio sao s1 0 e s2 2 Como os dois pontos fazem parte do lugar das raızes ha dois pontos de separacao localizados em s 0 e s 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 16 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 6ª Regra A equacao caracterıstica e 1 K s 1 s2 0 s2 Ks K 0 O sistema e estavel em malha fechada para todo K 0 7ª Regra Como nao ha polos ou zeros complexoconjugados essa regra nao se aplica Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 17 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 18 36 Regras Exemplos Outras configurac6es Lugar das raizes complementar Exemplos Letra c sl GsHs t sHs ss 1s 4s 16 e 13 Regra 22 Regra Os ramos tem origem nos polos em s 0 s 1 s 2 j2V3 e fim em um zero finito em s 1 e nos zeros no infinito 32 Regra A funcao de transferncia em malha aberta tem quatro polos finitos n 4 e um zero finito m 1 Portanto existem a 418 zeros no infinito e portanto 3 assintotas Quando ha trés assintotas os 4angulos sdo 60 e 180 O ponto de onde elas partem do eixo real é 012 723 2 723 1 o Vili J2V3 Y 9 667 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 4ª Regra Os intervalos que tem a sua direita um numero ımpar de polos e zeros sao s 1 0 s 1 5ª Regra Os pontos de separacao sao encontrados resolvendose NsDs s Ns s Ds 0 Ns Ds s 1 ss 1s2 4s 16 s 1 s4 3s3 12s2 16s s 14s3 9s2 24s 16 1s4 3s3 12s2 16s 0 3s4 10s3 21s2 24s 16 0 As raızes reais desse polinˆomio sao s1 2 2627 e s2 0 4483 Como os dois pontos fazem parte do lugar das raızes essas duas raızes constituem pontos de separacao Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 20 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos 6ª Regra A equacao caracterıstica e 1 K s 1 s4 3s3 12s2 16s 0 s4 3s3 12s2 K 16s K 0 Montando a tabela de Routh s4 1 12 K s3 3 K 16 s2 52 K 3 K s1 K2 59K 832 52 K s0 K O sistema e estavel para 23 3153 K 35 6847 Para K 23 3153 o eixo imaginario e interceptado em j1 5616 e para K 35 6847 o eixo imaginario e interceptado em j2 5616 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 21 36 ag Leta os OTN tg mera iT a0 Tg Lerel Lugar das raizes complementar Exemplos 72 Regra Nesse caso hd um par de polos complexoconjugados em s 2 23 Calculando o Angulo de partida para s 2 j2V3 jw ASM Oo aa l 0 1 ae ee ci ey D3 m n 9a 42 7180 r 1435 iAj Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Portanto θd θz1 θp1 θp2 θp4 r180 θz1 106 1021 θp1 130 8934 θp2 120 θp4 90 Portanto o ˆangulo de partida de s3 e θd 106 1021 130 8934 120 90 180 547913 ou seja o ramo parte deste polo para baixo e a direita Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 23 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Exemplos Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 24 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Outras configuracoes Como ja conversado em geral a analise via lugar das raızes considera a variacao do ganho em malha aberta de determi nado sistema Entretanto e possıvel analisar a influˆencia de outros parˆametros nos polos do sistema em malha fechada Para isso basta ma nipular a equacao caracterıstica para que ela assuma o formato 1 αFs 0 em que α e o parˆametro cuja influˆencia desejase analisar Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 25 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Outras configuracoes Para isso podese utilizar o seguinte procedimento 1 Encontre a equacao caracterıstica isto e o polinˆomio de polos em malha fechada 2 Separe este polinˆomio em uma parte As que nao depende de α e na parte Bs que depende de α Colocando o parˆametro α em evidˆencia nessa ultima parte temse As αBs 0 3 Divida a equacao anterior por As resultando em 1 αBs As 0 em que a funcao de transferˆencia a ser analisada e dada por Fs Bs As Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 26 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Outras configuracoes Exemplo dado sistema de controle representado na figura abaixo desejase saber qual a influˆencia da variacao do polo em malha aberta s a nos polos da malha fechada via lugar das raızes Qual e a funcao que deve ser analisada Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 27 36 ode Exemplos Outras configuracées Lugar das raizes complementar Outras configuracdes e Funcdo de transferéncia em malha fechada Ys 1 9 YO Rs sas1 e Equacao caracteristica sas10 2 1 s1as 0 As Bs Dividindo a equacao por s 1 8 1a 5 0 s21 Portanto a funcdo a ser analisada é 8 Fs Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Lugar das raızes complementar Por definicao a tecnica do lugar das raızes considera que o valor de K e real e positivo Entretanto podese realizar analises semelhantes considerandose um valor de K real e negativo gerando um lugar das raızes complementar Podemos reformular o problema invertendo o sinal da reali mentacao ou seja usando realimentacao positiva e conside rando K 0 A equacao caracterıstica para esse caso e 1 KGsHs 0 Para que um ponto faca parte do lugar das raızes complementar o criterio de ˆangulo e modificado para GsHs r360 r 0 1 2 Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 29 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Lugar das raızes complementar 1ª Regra O lugar das raızes complementar e simetrico com respeito ao eixo real Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 30 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Lugar das raızes complementar 2ª Regra O lugar das raızes complementar tem origem nos polos de GsHs para K 0 e fim nos zeros de GsHs quando K incluindo os zeros no infinito Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 31 36 Lugar das raizes complementar MV yox axe ep4cmoeolnaloliclatlaele Se a funcdo de transferéncia de malha aberta GsHs tem Q nm zeros no infinito a 1 o lugar das raizes complemen tar se aproxima de qa assintotas quando K tende a infinito Essas assintotas tem dngulos dados por r360 r0142 Qa partem do eixo real no ponto Y polos finitos 5 zeros finitos 0 ee ne Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Lugar das raızes complementar 4ª Regra Um ponto sobre o eixo real faz parte do lugar das raızes comple mentar se a sua direita o numero de polos e zeros finitos da malha aberta sobre o eixo real for par Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 33 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Lugar das raızes complementar 5ª Regra Os pontos nos quais os ramos do lugar das raızes complementar partem ou chegam ao eixo real se houverem sao conhecidos como pontos de separacao e sao dados pelas raızes reais do polinˆomio obtido atraves de GsHs s 0 ou equivalentemente NsDs s Ns s Ds 0 em que Ns e o numerador de GsHs e Ds e o denominador de GsHs Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 34 36 Regras Exemplos Outras configuracoes Lugar das raızes complementar Lugar das raızes complementar 6ª Regra Os pontos nos quais os ramos cruzam o eixo imaginario sao encon trados pelo criterio de estabilidade de RouthHurwitz Prof Fernando H D Guaracy ECA602 Sistemas de Controle 35 36 Lugar das raizes complementar Lugar das raizes complementar Um ramo parte de um polo complexo p com um angulo 6g dado por m n 64 G2 S O 17360 r012 if em que 6 e 02 representa o dngulo do polo ou zero correspondente até Pj Um ramo chega a um zero complexo z com um angulo dado por n m 02 62 7360 r012 ifj em que 6 e 02 representa o dngulo do polo ou zero correspondente até Zi